角の2等分線の定理

定理

△ABCにおいて、∠Aの2等分線とBCの交点をDとするとき
 BD:DC=AB:AC
が成り立つ。

証明

点Cを通り、ABに平行な直線と、ADの交点をEとします。
このとき、
 ∠BAE=∠CEA (錯角)
より、
 ∠CEA=∠CAE(=∠BAE)
となり、△ACEは、AC=CE の二等辺三角形となります。
一方、△ABDと△ECDが相似であることより
 BD:DC=AB:CE
よって、AC=CE より、
 BD:DC=AB:AC
が成り立ちます。

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