角の２等分線の定理

定理

△ＡＢＣにおいて、∠Ａの２等分線とＢＣの交点をＤとするとき
　ＢＤ：ＤＣ＝ＡＢ：ＡＣ
が成り立つ。

証明

点Ｃを通り、ＡＢに平行な直線と、ＡＤの交点をＥとします。
このとき、
　∠ＢＡＥ＝∠ＣＥＡ　（錯角）
より、
　∠ＣＥＡ＝∠ＣＡＥ（＝∠ＢＡＥ）
となり、△ＡＣＥは、ＡＣ＝ＣＥ の二等辺三角形となります。
一方、△ＡＢＤと△ＥＣＤが相似であることより
　ＢＤ：ＤＣ＝ＡＢ：ＣＥ
よって、ＡＣ＝ＣＥ より、
　ＢＤ：ＤＣ＝ＡＢ：ＡＣ
が成り立ちます。

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