2007年02月 の投稿ログ


31219.確率に関する問題  
名前:華麗なる12(中2)    日付:2月28日(水) 17時5分
 分っかりませ〜ん(ー'`ー;)
@  x+y+z=99を満たす正の奇数の組(x,y,z)はいく通りある   か。ただし例えば、(x,y,z)=(1,1,97)と(x,y,z)=(1,97,  1)は異なる組として考える。

A  ある試験において、20点満点の問題が5題出題されている。各問  とも0点、5点、10点、15点、20点のいずれかで全部をサインするも  のとする
  1)起こりうる採点の仕方は何通りあるか。
  2)少なくとも3問が正解である場合は何通りか。
  3)総得点が80点以上の場合は何通りか。
 この二問教えてください(*- -)(*_ _)ペコリ



31220.Re: 確率に関する問題
名前:ヨッシー    日付:2月28日(水) 17時43分
(1)
xの取れる値は、97, 95, 93, ・・・, 3, 1 の 49通りです。
x=97 のとき、(y,z)=(1,1) の1通り
x=95 のとき、(y,z)=(1,3),(3,1) の2通り
x=93 のとき、(y,z)=(1,5),(3,3),(5,1) の3通り
 ・・・
x=1 のとき、(y,z)=(1,97),(3,95),・・・,(97,1) の49 とおり
よって、
 1+2+3+・・・+49=1225(通り)

(2) 「正解」とは 20点であることを言うとします。
1)
1問目は0, 5, 10, 15, 20 の5通り
以下、2問目、3問目、4問目、5問目 とも、5通りずつの点数があるので、
 5×5×5×5×5=3125(通り)

2)
3問が20点の場合:
 どの3問が20点かは、(1,2,3) で、1,2,3問目が20点であることを表すとすると、
 (1,2,3),(1,2,4),(1,2,5),(1,3,4),(1,3,5)
 (1,4,5),(2,3,4),(2,3,5),(2,4,5),(3,4,5) の10通り。
 残りの2問はそれぞれ、0, 5, 10, 15 の4通りの点数が考えられるので、
 残りの2問の点の取り方は 4×4=16(通り)
 よって、
  10×16=160(通り)
4問が20点の場合:
 どの1問が20点でないかは、1〜5の5通り。それが取れる点数は、
 0, 5, 10, 15 の4通り。
 よって、
  5×4=20(通り)
5問が20点の場合:1通り
以上より、
 160+20+1=181(通り)

3)
2)のやり方と似ています。やってみて下さい。
 

http://yosshy.sansu.org/

31214.正四面体の性質についての問題  
名前:明日試験ピンチ!(中2)    日付:2月28日(水) 13時12分
 正四面体A−BCDにおいて
△BCDと△ACDの重心をそれぞれG1、G2とし、AG1 



31215.正四面体の性質についての問題
名前:明日試験ピンチ!(中2)    日付:2月28日(水) 13時23分
 正四面体A−BCDにおいて
△BCDと△ACDの重心をそれぞれG1、G2とし、AG1とBG2の交点をGとすると
 AG:GG1=BG:BG2=3:1
になることを証明せよ
※ ・AG1⊥△BCD
  ・BG2⊥△ACD
  ・AG1とBG2は交わる は証明必要

明日試験にこれが出ます。わがままを言うようですが、僕が中2ということを踏まえて急いで教えてください。

http:/


31217.Re: 正四面体の性質についての問題
名前:ヨッシー    日付:2月28日(水) 13時52分


CDの中点をMとすると、
 G1 はBM上にあり、BG1:G1M=2:1
 G2 はAM上にあり、AG2:G2M=2:1
よって、AG1、BG2 はともに、△ABM上にあるので、
AG1、BG2 は交わります。

この交点をGとするとき、メネラウスの定理より、
 (AG/GG1)(G1B/BM)(MG2/G2A)=1
 (AG/GG1)(2/3)(1/2)=1
よって、
 AG/GG1=3
より、
 AG:GG1=3:1

同様にして、
 BG:GG2=3:1
 

http://yosshy.sansu.org/


31218.先生イワク・・・
名前:明日試験ピンチ!(中2)    日付:2月28日(水) 15時41分
 本当にありがとうございました。とっても参考になりましたのは山々なのですが、先生が言うにはAG1とBG2が同一平面上にあり、平行になってしまうのを否定し、交わるっ!と説明しないといけないそうなんです(これってホントに必要なんですかね?)それも教えていただけませんか。お願いします。
http:/


31224.チェバの定理逆使えば?
名前:華麗なる12(中2)    日付:3月1日(木) 14時22分
それについてですが、平行ではないという背理法を使うのではなく、チェバの定理逆をつかうのが有効ではないでしょうか〃^-------^〃)

ABの中点をNとしたとき、△MABにおいて
(MG2/G2A)・(NB/AN)・(G1M/BG1)=(1/2)・(1/1)・(2/1)
             = 1
よってチェバの定理逆よりAG1とBG2は△MAB上で交わる

見たいな感じで o(*'▽'*)/

31210.確率の問題について  
名前:ブッチャー(高3)    日付:2月28日(水) 11時8分
円周を6等分する点を時計回りの順にA、B、C、D、E、Fとし、点Aを出発地点として小石を置く。さいころを振り偶数の目が出たときは2、奇数の目が出たときは1だけ小石を時計回りに分点上を進めるゲームを続け、最初に点Aにちょうど戻ってきたときを上がりとする。
(1)ちょうど1周して上がる確率を求めよ。
(2)ちょうど2周して上がる確率を求めよ。
以上の問題が解けません。よろしくお願いします。



31211.Re: 確率の問題について
名前:らすかる    日付:2月28日(水) 11時32分
(1)
3回連続偶数:(1/2)^3
4回中偶数が2回:4C2(1/2)^4
5回中偶数が1回:5C1(1/2)^5
6回連続奇数:(1/2)^6
全部足して 43/64

(2)
1周目にFに止まる確率は
3回中偶数が2回:3C2(1/2)^3
4回中偶数が1回:4C1(1/2)^4
5回連続奇数:(1/2)^5
の合計で21/32
FからAに止まらずにBに行く確率は1/2
そのBから5個先のAに止まる確率は
1周目にFに止まる確率と同じで21/32
よって求める確率は(21/32)(1/2)(21/32)=441/2048

http://www10.plala.or.jp/rascalhp


31212.Re: 確率の問題について
名前:ブッチャー(高3)    日付:2月28日(水) 11時37分
らすかるさん。ありがとうございました。。^^

31203.オイラー関数  
名前:ザ エスジェー    日付:2月27日(火) 16時25分
初めて利用させてもらう現在某私立大学一年の者です。後期試験でわからないところがありまして、質問させたもらいました。
「φをオイラー関数とするとφ(1000)=(ア)であり、7の804乗の下三桁は(イ)である。」という問題ですが、(ア)の方は公式を使って400とわかって、正解だったんですが、(イ)の方はわかりませんでした。宜しくお願いします。



31204.Re: オイラー関数
名前:らすかる    日付:2月27日(火) 17時56分
こういう解き方で良いかどうかわかりませんが…
7^2=49=50-1
7^804=49^402=(50-1)^402
=402C0・50^402-402C1・50^401+402C2・50^400-…
 -402C399・50^3+402C400・50^2-402C401・50+1
≡402C400・50^2-402C401・50+1 (mod 1000)
=402・401・50^2/2-402・50+1
=201・401・50^2-402・50+1
≡500-100+1 (mod 1000)
=401

http://www10.plala.or.jp/rascalhp


31208.Re: オイラー関数
名前:のぼりん    日付:2月27日(火) 23時55分
別解です。アの結果を利用し、フェルマーの定理を使って、
  7804=(7400×7
   ≡1×2401 (mod 1000)
   ≡401 (mod 1000)
と計算できます。


31222.Re: オイラー関数
名前:ザ エスジェー    日付:2月28日(水) 19時4分
求めたオイラー関数の値を使っても、使わなくても解けてしまうんですね。ラスカルさん、のぼりさんありがとうございました!

31200.等比数列の一般項と和  
名前:ロング    日付:2月27日(火) 3時3分
第3項が40、第6項が320のとき、初項と公比を求めよ。
a[n]=ar[n-1]とおくと、a[3]=40,a[6]=320より
ar[2]=40…@
ar[5]=320…A
A÷@によりr[3]=8という答えなのですが、
ココのA÷@計算のやり方がわかりません。
計算式を省かず教えください!!!
すいません。宜しくお願いします!!



31201.Re: 等比数列の一般項と和
名前:月月火水木金金    日付:2月27日(火) 11時5分
320÷40=8


31202.あれ?
名前:ヨッシー    日付:2月27日(火) 11時15分
左辺の方は、式をそのままとらえると、
 ar[5]÷ar[2]
ですが、これが r[3] になるしくみは、問題を直に紙で見ている
ロングさんが一番よくわかるでしょう。
 

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31205.Re: 等比数列の一般項と和
名前:ロング    日付:2月27日(火) 20時32分
すいません。わかりました…
ありがとうございます。
ar[5]=ar×ar×ar×ar×ar
ですからar[3]になります…
すいません!!!!わかりました!!
ありがとうございました。
お手数お掛けしました!!!


31207.Re: 等比数列の一般項と和
名前:廃人    日付:2月27日(火) 22時54分
ちゃうちゃう


31209.おや?
名前:ヨッシー    日付:2月28日(水) 8時51分
ar[3] ではなく r[3] にならないといけないですね。
それ以前に、a って何? r って何? ということが述べられていませんし、
おそらく、教科書だか問題集だかには ar[5] という書き方はしていませんね?
 ar^5
となっているはずで、これは(ar)^5 という意味ではありません。
(言うまでもなく、^5 は5乗という意味です)
 

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31194.数列と不等式  
名前:なな    日付:2月26日(月) 14時7分
どうしても解けない問題が
2問あるのですが。
(1) 2ax^2+2ax+a-1>0がすべての実数xに対して成り立つように実数aの範囲を求めよ。

(2)a1=1,a2=3,an=4an-1-3an-2 (n≧3)のときanを求めよ。
詳しく宜しくお願いします。



31195.Re: 数列と不等式
名前:ヨッシー    日付:2月26日(月) 14時13分
(1)
グラフで言うと

こんな感じです。このグラフの特徴は、
1.下に凸である。→ x^2の係数が正
2.x軸と交わらない → 判別式が負
以上より
 2a>0
 D/4=a^2-2a(a-1)=-a^2+2a<0
よって、
 a>0 かつ (a<0 または a>2)
 答 a>2
 

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31196.Re: 数列と不等式
名前:ヨッシー    日付:2月26日(月) 14時30分
a[n]=4a[n-1]-3a[n-2] を変形して
 a[n]-a[n-1]=3(a[n-1]-a[n-2])
b[n]=a[n+1]-a[n] とおくと、b[n] は初項が
 b[1]=a[2]-a[1]=2
で、公比が3の等比数列なので、 
 b[n]=2・3^(n-1)
階差数列の公式より、n≧2 のとき、
 a[n]=a[1]+Σk=1〜n-1b[k]=3^(n-1)
これは、n=1のときも、a[1]=1 を満たすので、任意の自然数nについて
 a[n]=3^(n-1)
 

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31199.Re: 数列と不等式
名前:なな    日付:2月26日(月) 17時50分
助かりました。
ありがとうございます。

31187.宜しくお願いします  
名前:月市イニ    日付:2月25日(日) 22時9分
関数y=2x^3-3x^2 で表される曲線C1と、これをx軸方向にa(a>0)だけ平行移動した曲線C2がある。

2曲線C1,C2が異なる2つの共有点を持つためのaの条件を求め、この2曲線で囲まれた図形の面積Sを求めよ。


宜しくお願いしますm(__)m



31189.Re: 宜しくお願いします
名前:月市イニ    日付:2月26日(月) 4時5分
C2:y=2(x-a)^3-3(x-a)^2 となるから、2曲線C1,C2が異なる2つの共有点を持つためには、C1:y=2x^3-3x^2 とC2を連立して、
 6ax^2-6a(a+1)x+2a^3+3a^2=0
⇔6x^2-6(a+1)x+2a^2+3a=0 (∵ a≠0)
が2つの異なる実数解を持てばよい。即ち、判別式D/4>0 となればよい。
D/4=(-3(a+1))^2-6・(2a^2+3a)>0
⇔9a^2+18a+9-12a^2-18a>0
⇔a^2-3<0
⇔-√3<a<√3
a>0 なので、 0<a<√3

C1,C2の交点のx座標をα,βとすると、
S=∫[α〜β](C2-C1)dx=∫[α〜β]-a(6x^2-6(a+1)x+2a^2+3a)dx となる。
6x^2-6(a+1)x+2a^2+3a=0 の2つの解がα,βとなるので、2次方程式の解と係数の関係より、
α+β=a+1 αβ=(2a^2+3a)/6 となる。
よって、 S=∫[α〜β]-a(x-α)(x-β) と表せるので、
S=-1/6・(-a)・(β-α)^3
=a/6・((α+β)^2-4αβ)^(3/2)
=a/6・(1-a^2/3)^(3/2)


以上のようになったんですが、あっていますか?
また、Sはこの先どのようにすればいいのですか?
解説宜しくお願いします。


31191.Re: 宜しくお願いします
名前:廃人    日付:2月26日(月) 4時49分
御名答!

31182.証明問題・数V  
名前:神楽    日付:2月25日(日) 19時2分
こんにちは。
高校2年生です。

「方程式 log2x+x/2=1 は1<x<2の範囲に実数解を持つことを示せ」

という問題です。
中間値の定理を使うのかもしれないと考えたのですが、{f(b)-f(a)}/(b-a)の形へどのように直したらいいのか分かりません。

ぜひ教えてください。よろしくお願いします。



31184.Re: 証明問題・数V
名前:c.e.s.    日付:2月25日(日) 21時22分
「平均値の定理」と混乱している気がします。確認してください。


31185.Re: 証明問題・数V
名前:神楽    日付:2月25日(日) 21時25分
>c.e.s.さん

すみません、平均値の定理とは、どういうものですか?


31186.Re: 証明問題・数V
名前:神楽    日付:2月25日(日) 21時41分
今Wikiで調べてみたところ、たしかに平均値の定理かもしれません。
学校で私が習った中間値の定理は

「関数f(x)がa≦x≦bで連続かつa<x<bで微分可能であるなら
{f(b)-f(a)}/(b-a)=f´(c) (a<b)
を満たすa<c<bとなる実数cが少なくとも一つ存在する」

でしたので。(汗
なので問題はこれを使うと考えたのです。
よく調べもせず >31185. のような質問をしてしまい、申し訳ありません。 


31192.Re: 証明問題・数V
名前:ヨッシー    日付:2月26日(月) 9時28分
肝心の問題の方ですが、
 f(x)=log2x+x/2-1
とおくと、f(x) は 1≦x≦2 で連続で、
 f(1)=0+1/2−1=-1/2<0
 f(2)=1+2/2−1=1>0
より、f(x)=0 は、1<x<2 の範囲で、少なくとも1つ解を持つ。

といった具合でしょう。
使うのは、中間値の定理ですね。
 

http://yosshy.sansu.org/

31173.積分  
名前:なお    日付:2月25日(日) 1時33分
数3やってます。教えて下さいm(__)m

mを正の定数とし、xy座標平面において
 条件(a)y>x>0
   (b)すべてのt>0に対し、(1/y)t^x−logt>=m
 を満たす点(x,y)からなる領域をDとする。
(1) Dの概形を図示せよ。
(2) 領域Dの面積を求めよ。

よろしくお願いしますm(__)m



31193.Re: 積分
名前:    日付:2月26日(月) 10時36分
f(t)=(1/y)t^x-logt-mとおくと、
f’(t)=(x/y)t^(x-1)-1/t=(x/(yt))(t^x-(y/x))
t^xはtに関して単調増加、
従って、t^x=y/xのとき、f’(t)=0となり、f(t)は極小、かつ最小となる。
このとき、logt=(1/x)log(y/x)なので、
f(t)[min]=(1/y)(y/x)- (1/x)log(y/x)-m≧0となればよい。
これを変形すると、y≦xe^(1-mx) 
g(x)=xe^(1-mx)とおくと、
g’(x)=e^(1-mx)・(1-mx)
よって、x=1/mで極大、かつ最大となる。
g(0)=0、g(∞)=+0より、y=g(x)のグラフが書ける。
また、g’(0)=e>1だから、0近傍ではg(x)>xである。
さて、g(x)=xとおけば、x=0、1/mとなり、
y=g(x)が最大のところで、y=xと交わる。
従って、領域の面積は、以下の部分積分で求まる。
S=∫[x=0→1/m]( xe^(1-mx)-x)dx

31172.逆関数でx、yを入れ変えることについて  
名前:アンパン 高2    日付:2月25日(日) 1時15分
 いつもお世話になっています。以下の問題の解答で納得がいきません。教えて下さい。
(問題)
関数f(x)=ax+bとその逆関数f-1(x)について、f(1)=3,f-1(5)=2が成り立つとき、定数a,bの値を求めよ。
(正解)
f-1(5)=2からf(2)=5
f(1)=3からa+b=3
f(2)=5から2a+b=5
これより、a=2,b=1
(質問1)
f(x)=ax+bの逆関数はy=ax+bをxについて解いたx=(y-b)/a・・・(1)でxとyを入れかえてy=(x-b)/a・・・(2)のはず、つまり、f-1(x)=(x-b)/aと思います。上の解答でf(2)=5ですが、私は次のよういに考えました。
元の関数f(x)=ax+bのx、y座標を考えると、f-1(5)=2よりxとyを入れ変えて、f-1(2)=5 これより、f(5)=2
実際の解答ではf(5)=2ではなくf(2)=5になっています。どうしても納得がいきません。
「逆関数を求めよ。」の問題では、xとyを入れけえて解き、「f(1)=3,f-1(5)=2のようにx、yの値が求められて、関数の係数a,bを求めよ。」の問題では、x、yを入れ変えないのは何故ですか。
f(x)=ax+bの逆関数はy=ax+bをxについて解いたx=(y-b)/a・・・(1)で、xはyの関数になっているが、xの関数で書くのが普通なのでxとyを入れ変えたのだと思いますが、よくわかりません。
(質問2)
どのような問題の時「x、yを入れ変える」または「x、yを入れ変えない」のかを教えてください。



31174.Re: 逆関数でx、yを入れ変えることについて
名前:ぱんだ    日付:2月25日(日) 3時5分
f(x)=2xという関数を考えて見ましょう。以前話したようにf(『x』)や
f(『y』)にはこだわらず、f() そのものの性質について考えて見てください。

fという関数は1→2、2→4、3→6、10→20、t→2t
と対応させる関数です。
f^(-1)という関数は、逆に2→1、4→2、6→3、20→10、2t→t
と対応させる関数です。
fが10を20に変化させる関数なら、f^(-1)は20を10に「戻す」関数です。

さて、f^(-1)(5)=2ということは、f^(-1)という関数は、5を2に戻したということ。
つまり、元のfという関数は2を5に変化させる関数のはずです。
「fは2を5に変化させる(f(2)=5)」なのか
「fは5を2に変化させる(f(5)=2)」なのかもう一度考えてみてください。

今日はもう寝ますので他の問題はまた後ほど。


31177.Re: 逆関数でx、yを入れ変えることについて
名前:アンパン 高2    日付:2月25日(日) 7時41分
ぱんださん。

わかりました。ありがとうございます。


31179.Re: 逆関数でx、yを入れ変えることについて
名前:ぱんだ    日付:2月25日(日) 11時28分
以前あんぱんさんにした話に
「『x』や『y』にこだわらずにfそのものに注目しろ」といったことがあります。

しかし、逆に
「どの文字の関数か、どの文字で微分するのか、どの文字が定数で
どの文字が変数なのか考えろ」とも言いました。

数学は様々な捉え方ができます。
fそのものに注目するとわかりやすい場合(あるいはそのほうが適切な場合)
もありますし、文字の種類に注目したほうがよい場合もあります。
断言できるのは、一面からばかり捉えるのではなく
多くの目線で物事を捉えるようにするとうまくいく確率は上がると
いうことです。

今回の逆関数という概念も、詳しくやっていくと明らかに高校レベルをはるかに超えてしまいます。
しかし、その概念について出来る範囲で色々考えてみることには
大いに意義があると思いますので、やってみてください。


31183.Re: 逆関数でx、yを入れ変えることについて
名前:アンパン 高2    日付:2月25日(日) 19時4分
ぱんださん

「『x』や『y』にこだわらずにfそのものに注目しろ」ということを大切にして、これからは関数の問題を解きます。ありがとうございました。

31171.教えてください  
名前:ゆう    日付:2月24日(土) 22時50分
初めまして。
大学入試中、高校3年生のゆうです。
問題が解けなくてピンチ状態です。教えてください。

問題 実数x,yが方程式xA+yA−2(x+y)−6=0を満たすとき、

x+yのとり得る値の範囲を求める。
x+y=u xy=v とおくと方程式から
2v=uA−2u−6・・・@ となる。
また、xとyは実数であるから
uA− A v≧ B ・・・A である。
@とAより、− C ≦x+y≦ D となる。
A〜Dを答えなさい。

(二乗がコンピューターで打てなかったので、二乗の所はAにしてあります。答えはすべて0〜9のうちのどれかです。)
よろしくお願いします。



31175.Re: 教えてください
名前:ぱんだ    日付:2月25日(日) 3時15分
問題の意味がわかりにくいタイプの問題ですね。
こういうときに必ずやることは「具体的な(ある程度簡単な)数で
実験、分析してみること」です。

最終的にx+y (つまりu)の範囲を求める問題です。
つまり、uには範囲が決まっています。uが変な値を取ると
何かおかしなこと(矛盾)が起こるはずです。いったい何が起こるの
でしょうか。

そこで、u=10000とでも考えてみてください。
するとvの値は約5000万になります。すると
x+y=10000,xy=約5000万  何か矛盾は起こりませんか?

そうです、x,yは 足してu,かけてvになる2数なのでt^2-ut+u=0の2根です。
つまりこのtの二次方程式が実数解を持たなければならないので
D=u^2-4u≧0となります。つまりA=4、B=0

@より4v=2u^2-4u-12をAに代入して
-u^2+4u+12≧0 これを解いて -2≦u≦6


31190.Re: 教えてください
名前:ゆう    日付:2月26日(月) 4時28分
丁寧な解説ありがとうございました。
理解出来ましたぁ♪

31166.関数の極限  
名前:神楽    日付:2月24日(土) 15時30分
初めまして。
どうしても分からなかったので教えてください。
学年は高校2年生です。

数Vの問題です。

lim(x→1) √(x+1)-√(3x-1)/(x-1)

です。
※√( )内の数字は全て一つのルートの中に入ります。

よろしくお願いいたします。orz



31168.Re: 関数の極限
名前:らすかる    日付:2月24日(土) 15時48分
lim[x→1]√(x+1)-√(3x-1)/(x-1) と書くと、通常は
lim[x→1] {√(x+1)} - {√(3x-1)/(x-1)} という意味に解釈されます。
もし問題がこれで正しいならば、答は「±∞に発散」です。

多分そうではなくて
lim[x→1]{√(x+1)-√(3x-1)}/(x-1)
だと思いますが、この場合は
lim[x→1]{√(x+1)-√(3x-1)}/(x-1)
=lim[x→1]{√(x+1)-√(3x-1)}{√(x+1)+√(3x-1)}/{(x-1){√(x+1)+√(3x-1)}}
=lim[x→1]{(x+1)-(3x-1)}/{(x-1){√(x+1)+√(3x-1)}}
=lim[x→1](-2x+2)/{(x-1){√(x+1)+√(3x-1)}}
=-2lim[x→1](x-1)/{(x-1){√(x+1)+√(3x-1)}}
=-2lim[x→1]1/{√(x+1)+√(3x-1)}
=-2・1/(√2+√2)
=-1/√2
(=-√2/2)
となります。

http://www10.plala.or.jp/rascalhp


31169.Re: 関数の極限
名前:神楽    日付:2月24日(土) 15時57分
>らすかるさん

お早い回答どうもありがとうございます。

>多分そうではなくて……
はい、そのとおりです。(^ ^;
{ }を書いていませんでした、申し訳ありません。

本当に助かりました。

31163.高校入試の過去問がわかりません・・・  
名前:りんりん    日付:2月24日(土) 15時18分
『三角錐OABCがある。OA=OB=OC=10p、∠AOC=∠BOC=∠COA=90°である。頂点Oから、この三角錐の面に沿って辺AB、BCと交わり、頂点Oまでひもをかける。このひもが最も短くなるときの長さを求めなさい。』
という問題がわかりません。(平成16年度 兵庫県の過去問)
展開図(正三角形ABCの各辺に直角二等辺三角形OAB、OBC、OCAが付いている図)にその 最も短くなるときのひも の線をかくことはできました。でもその長さがわかりません。教えてください。
空間図形の問題はすごくニガテで、今とってもあせっています・・・



31170.Re: 高校入試の過去問がわかりません・・・
名前:らすかる    日付:2月24日(土) 22時6分
その展開図上で、直角二等辺三角形OABのOをP、直角二等辺三角形OBCのOを
Qとすると、△PCQは二等辺三角形ですからPQ=PCです。PCの長さは出せますね?

http://www10.plala.or.jp/rascalhp

31159.教えてください。  
名前:あゆみ    日付:2月24日(土) 11時17分
直径146oの鉄板に直径50oの穴を4個あけたいのですが
均等にあけたいのですが、どうしたらいいですか?(最大の強度で)
年齢=27才(社会人)



31160.Re: 教えてください。
名前:らすかる    日付:2月24日(土) 11時42分
どうすると“最大の強度”になるのかは存じませんが、もし
「最も幅が狭くなる箇所の幅を最大にする」
ということでしたら、次のようになると思います。
146mmの鉄板の中心をxy平面の原点に合わせ、
50mmの穴をそれぞれ中心が(k,0)(0,k)(-k,0)(0,-k)である円とすると、
(73,0)付近に残る幅は73-(k+25)=48-k
中心(k,0)の円と中心(0,k)の円の間に残る幅は(√2)k-50
48-k=(√2)k-50 を解いて k=98(√2-1)≒40.6
よって146mmの鉄板の中心から40.6mm離れたところに50mmの穴を
空けると、端と穴間の鉄板がそれぞれ7.4mmずつ残ることになります。

しかし、素人考えですが、強度的なことを考えると
端の7.4mmの付近は細い部分が長いのに対し、穴間の7.4mmは
細い部分が短い(少しずれるとすぐに幅が太くなる)ので、
もしかしたら端に残る幅の方を若干広くした方が良いのでしょうか。
もしそうだとしたら、私にはわかりません。

http://www10.plala.or.jp/rascalhp


31162.Re: ありがとうございます。
名前:あゆみ    日付:2月24日(土) 13時0分
早い返信で大変助かりました。本当にありがとうございました。

31156.三角関数  
名前:初心者    日付:2月24日(土) 8時9分
(cos60)/2とcos(60/2)はなぜ答えがちがうのでしょうか?
変な質問ですみません。



31157.Re: 三角関数
名前:らすかる    日付:2月24日(土) 8時17分
どう答えて良いのか返答に困りますが、適当に答えてみます。
「cos60はcos30の2倍ではないから」

http://www10.plala.or.jp/rascalhp


31164.Re: 三角関数
名前:サルの浅知恵    日付:2月24日(土) 15時22分
角度が2等分されても辺の長さが2等分されるわけではありませんから、当然、成立しないでしょう。

31153.定数について  
名前:天丼    日付:2月24日(土) 6時59分
xの二次方程式x^2-mx+m^2-7=0の一つの解がx=2であるとき
1 定数mの値を求めよ。
2 1で求めた値をとる時、他の解を求めよ。
という問題でx=2を代入してm^2-2m-3=0となりますが
この場合mは二次方程式のxを担っているので定数じゃなくて
変数だと思うのですが・・定数とは正確にはどういう意味なんでしょうか?またx=2となる定数m=-1、3となりふたつ出てきますが、
定数(定まった値)は二個以上あってもいいんでしょうか。
また場合わけの時など、定数が+のとき、−のとき0のときなどと
あるのが理解できません。定数の定義を教科書や参考書でみても
定まった数としか載っていなくて要領を得ません。
定数とはどんな概念なんでしょうか、教えてください。



31198.Re: 定数について
名前:ヨッシー    日付:2月26日(月) 17時5分
簡単に言えば、
「そのとき、変数であることを意図している文字以外の文字および数」
です。

xの二次方程式 x^2-mx+m^2-7=0
と書かれているので、xが変数、それ以外は(未知数であっても)定数です。

xとmの関係式 x^2-mx+m^2-7=0
と書かれていれば、xが変わるのにつれて、mがどのように変わるかを表す
式であり、xとmが変数です。

m^2-2m-3=0 は、mの2次方程式を解くことを意図した式なので、
この式については、mは変数と言えます。
しかし、xの式に戻ったとたんに、定数になります。

http://yosshy.sansu.org/


31223.Re: 定数について
名前:天丼    日付:3月1日(木) 1時31分
そういうことだったんですか。よくわかりました、ありがとう
ございました。

31149.三角定規  
名前:    日付:2月23日(金) 21時15分
よろしくお願い致します。

問題に「三角定規」という言葉があったら、
90度・60度・30度
又は
90度・45度・45度
の三角形と決め付けてしまって良いのですか?



31176.Re: 三角定規
名前:ぱんだ    日付:2月25日(日) 3時16分
その角度以外の三角定規というのは聞いたことがないので
おそらくそれで問題ないと思います。


31178.Re: 三角定規
名前:    日付:2月25日(日) 8時56分
ばんださん ありがとうございます。


31188.Re: 三角定規
名前:wakky    日付:2月25日(日) 23時33分
もし、問題文に単に「三角定規」とあるならば、通常みかける三角定規を想定してもいいのかもしれません。
しかし、「数学の問題」としては、不適切であると思います。
数学の厳密性を重視するならば、単に「三角定規」はまずいですね。


31197.Re: 三角定規
名前:    日付:2月26日(月) 14時40分
wakkyさん ありがとうございます。

「算数の問題で単に「三角定規」が2つあります」
と書かれているだけで、角度は全く書かれていなかった場合、
小学生は、それぞれの角度をちゃんと知っているのかなと
疑問に思ったもので・・・

31148.体積の増加  
名前:からす    日付:2月23日(金) 20時21分
直円柱形の物体があり、その半径は毎秒2cmの割合で伸び、高さは毎秒5cmの割合で伸びるという。この物体の半径が10cm、高さが30cmになった時の体積の増加する割合を求めよ。



31152.Re: 体積の増加
名前:ウルトラマン    日付:2月24日(土) 3時21分
> 直円柱形の物体があり、その半径は毎秒2cmの割合で伸び、高さは毎秒5cmの割合で伸びるという。この物体の半径が10cm、高さが30cmになった時の体積の増加する割合を求めよ。

底面の半径をr,高さをhとすると,体積は
V = πr^{2}h
であるから,
dV/dt
=π{2r(dr/dt)h+r^{2}(dh/dt)}
=π{2×10×2×30+10^{2}×5}
=π{1200+500}
=1700π
よって,
1700π(cm^{3}/秒)
が答え.

31147.証明ですが教えてください  
名前:ゆうま    日付:2月23日(金) 16時17分
X/(1+r)+X/(1+r)^2+X/(1+r)^3=Kのとき、

X−X/(1+r)^3=K×rであることを証明しなさい。
(K>0、r>0)
 です。

誰か教えてください。



31158.Re: 証明ですが教えてください
名前:花パジャ    日付:2月24日(土) 10時52分
証明....
XやKは関係無く
 r/(1+r)+r/(1+r)^2+r/(1+r)^3=1-1/(1+r)^3
を示せばいいのですね
 r=(1+r)-1
を使えば簡単に求まります

31137.関数の問題で解き方が納得いきません。  
名前:アンパン 高2    日付:2月22日(木) 23時57分
「微分可能な関数f(x)と任意の実数x、yについて、f(x+y)=f(0x)f(y)-sinx siny・・・(1)とf'(0)=0・・・(2) が成り立っている。f(0)=1を証明せよ。」で色々と質問があります。よろしくお願いします。


問題集の解答(正解)は、
「(1)でx=0を代入すると、
f(y)=f(0)f(y)・・・(5)
f(y){f(0)-1}=0・・・(6)
ここで、f(0)≠1と仮定すると、すべての実数に対してf(y)=0・・・(7)
このとき、(1)にx=π/2,y=π/2,を代入すると、
左辺=f(π)=、右辺=f(π/2)f(π/2)-sin π/2sinπ/2=0-1=-1となり矛盾する。したがって、
f(0)=1・・・(8)」

自分の解答方法では以下のようにしました。
「(1)でx=y=0を代入
f(0)=f(0)f(0)-sin0 sin0・・・(2)
f(0){f(0)-1}=0・・・(3)
よって、f(0)=0またはf(0)=1・・・(4)」



(質問1)
f(y){f(0)-1}=0・・・(6)より、答えはf(y)=0またはf(0)=1にしたくなるのですが、なぜ、ここでやめないで、「f(y)=0とf(0)=1のうち、条件を満たすものを見つける」という考えでてくるのでしょうか。色々な問題を解く時、x,yなどを代入して、条件を満たすかどうか確認しないで答えを書いている場合と、上の問題のように、「x,yなどを代入して、条件を満たすものを見つけて答えを書く場合」の違いがわからなく成りました。

(質問2)
問題集の解答では、f(x+y)=f(0x)f(y)-sinx siny・・・(1)は,xを代入しf(0)=1・・・(8)を求めていますが、f(0)=1・・・(8)は必要条件であって、逆にf(0)=1・・・(8)の時、f(x+y)=f(0x)f(y)-sinx siny・・・(1)をみたすことを書くべきではないでしょうか。

(質問3)
「恒等式で係数を求める問題で数値を代入してから、値を求めたとき、この値は必要条件だから、逆を考えないといけない。」と同じように、この問題も逆を考えないといけないと思いました。f(x+y)=f(0x)f(y)-sinx siny・・・(1)はx,y についての恒等式と考えることはできるのでしょうか。


(質問4)
私の解答f(0)=0またはf(0)=1・・・(4)は、なぜいけないのでしょうか。



31141.Re: 関数の問題で解き方が納得いきません。
名前:ぱんだ    日付:2月23日(金) 3時58分
今回の問題、「全ての実数x,yについて与式が成立する」ということがポイントです。
f(x+y)=f(x)f(y)-sinx siny・・・(1)とf'(0)=0・・・(2)は
xの値が0でも1でも2でも必ず成り立つことが「必要」です。
しかし、xが0のときに成り立ったからといっても、
xが他の値(例えばx=7)のときにも成立するとは限りません。
つまり、十分性を言わなければなりません。

質問1は、x=0のときにも(1)は成立することが必要なので
f(y){f(0)-1}=0・・・(6)より、「yの値に関わらずf(y)=0またはf(0)=1
が成立する」ことが「必要」です。
しかし、出てきた答えが必ずしもほかのxの値の時にも
成立させる(十分性)を持っているわけではないので
必ず十分性を確かめることになります。

質問2は、「微分可能な関数f(x)と任意の実数x、yについて、f(x+y)=f(0x)f(y)-sinx siny・・・(1)とf'(0)=0・・・(2) が成り立っている。
このとき『f(0)=1が必要である』ことを証明せよ。」ということです。
アンパンさんに質問ですが、f(0)=1を満たす関数は必ず
f(x+y)=f(x)f(y)-sinx sinyを満たすのでしょうか?そんなことは
決してないはずです。反例としてf(x)=x+1を考えてみてください。

質問3 もちろんこれはfという関数のxとyについての恒等式です。
    この条件を満たすfを求めていくのが究極の目的です。

質問4 f(0)=0またはf(0)=1は必要条件であって、f(0)=0は高校レベル
の思考ですぐに矛盾が示せるからです。できることはやっておきましょう。

さて、今回の問題、究極の目的はf(x)を求めてしまうことですが、
高校レベルでそれを要求するのは(不可能ではありませんが)難しいので
出題者はとりあえずわかること(つまりf(0)の値)だけ求めさせようと
しているわけですね。
しかし、推測はしてみると面白いと思いますよ。
ある関数fは、全てのx、yについて
f(x+y)=f(0x)f(y)-sinx siny・・・(1)とf'(0)=0・・・(2)
を満たしている、このようなfは何か?想像してみて下さい。
答えはこの下です





f(x)=cosxとおけば、これは三角関数の加法定理そのままですね。
しかし、これを思いついたとしても、これ以外にも条件を満たす関数
は存在するかもしれませんね。なのでこれも答案としては不十分です。
以下に私の答案を示しますので参考にしてください。

x=y=0のときも(1)が成立することが必要なので、f(0)={f(0)}^2つまり
f(0)=0,1が必要。ところがf(0)=0とすると、
f(x)=f(x+0)=f(x)f(0)-sinxsin0=0が全てのxについて成立することが
必要。しかし、f(π)=f(π/2)f(π/2)-sinπ/2sinπ/2=-1となり矛盾。
よってf(0)=1が必要。
さて、今もし条件を満たすfが存在するとすると、fは
f(x+h)=f(x)f(h)-sinxsinh,f '(0)=0,f(0)=1を全て満たす。
すると、f(x+h)-f(x)=f(x)f(h)-f(x)-sinxsinhが成立。
よって{f(x+h)-f(x)}/h={f(x)f(h)-f(x)-sinxsinh}/hが成立
ここで、h→0とすると、左辺→f '(x) となり、また
{f(x)f(h)-f(x)}/h={f(x)f(h)-f(x)f(0)}/h=f(x){f(h)-f(0)}/h→f(x)f '(0)=0
かつsinxsinh/h→sinxより、右辺→-sinx
h→0のとき、両辺共に収束するのでその収束先は等しい。
つまりf '(x)=-sinxが(xの値に関わらずに)成立する。
よって、f(x)=cosx+C(積分定数)と表せるが、これと
f(0)=1よりC=0が必要。つまりf(x)=cosxが必要。
(*条件を満たすfが存在するとしたら、cosxしかありえないということです)
逆にf(x)=cosxとすると、確かに(1)と(2)を満たす。(f(0)=1も満たしている)
よって、求める関数f(x)=cosx

難しいですが一応高校生でも出来る証明ですね。


31142.Re: 関数の問題で解き方が納得いきません。
名前:ぱんだ    日付:2月23日(金) 4時13分
(元の問題を「fを求めよ」というものに変えています。
元の問題そのままならば、解答の最後に「よってf(0)=1が成立」と
付け加えればおkです。)

ちなみに、高校生レベルでは見落としがちですが
上の証明で特に気を配ったのは、

{f(x)f(h)-f(x)}/h={f(x)f(h)-f(x)f(0)}/h=f(x){f(h)-f(0)}/h→f(x)f '(0)=0
かつsinxsinh/h→sinxより、右辺→-sinx
(両方の項が収束しているので単純に足してよいということ!)や

「両辺共に収束するのでその収束先は等しい。」などです。


31146.Re: 関数の問題で解き方が納得いきません。
名前:ぱんだ    日付:2月23日(金) 12時29分
追記

質問1の、x,yなどを代入して、条件を満たすかどうか確認しないで答えを書いている場合と、上の問題のように、「x,yなどを代入して、条件を満たすものを見つけて答えを書く場合」の違い

についてですが、基本は十分性も言わないといけないです。
しかし、例えばx+3=5をといてx=2を得たとき、逆にこのとき
条件を満たすということは自明であるため省略されているということです。
x+3=5⇔x=2(つまり、この2つは同値、必要十分条件、全く同じことを言っている)
なので、わざわざ「逆に〜」といわなくてもよいという慣例です。

このように、両辺に同じ数を足したり引いたりする操作は可逆性が
あります。
しかし、例えばx=2⇒x^2=4は成立しますが、逆は成立しません。
両辺を2乗するという操作は可逆性がありません。
この場合は当然「逆に〜」と確認する必要があります。

√(x+3)=3-xを解いてみてください。


31155.Re: 関数の問題で解き方が納得いきません。
名前:アンパン 高2    日付:2月24日(土) 8時9分
ぱんださん

ありがとうございます。質問がありますので、よろしくお願いします。


(質問5)
f(x+y)=f(x)f(y)-sinx siny・・・(1)でx=0だけを代入して得られた結果は、
f(y){f(0)-1}=0・・・(6)からf(y)=0またはf(0)=1・・・(ア)
前回の私の解答のように、x=y=0を代入して得られた結果は、
f(0){f(0)-1}=0・・・(3)からf(0)=0またはf(0)=1・・・(イ)
このように、(1)でx,yなどを代入すると、(ア)(イ)のように色々な値がでてくるが、すべてのx,yを代入すれば、どれも必ず共通な値f(0)=1がでてくるとういうことですね。

 f(x+y)=f(x)f(y)-sinx siny・・・(1)のようにすべてのx、yで成り立つ式で、x=0など1つの値を代入して得られた結果(たとえばf(y){f(0)-1}=0・・・(6)など)は、その代入した値(ここではx=0)でしか成り立たない。すべてのx,yで成り立つものを見つけるためには、f(y){f(0)-1}=0・・・(6)から、更に確認する必要があるということですね。


(質問6)
f(y)=0またはf(0)=1・・・(ア)またはf(0)=0またはf(0)=1・・・(イ)から、f(x+y)=f(x)f(y)-sinx siny・・・(1)を満たす値f(0)=1は、必要条件であって、十分条件にならないということですね。つまり、
「f(x+y)=f(x)f(y)-sinx siny→f(0)=1」は正しいが、「f(0)=1→f(x+y)=f(x)f(y)-sinx siny」は正しくない。

(質問7)
「f(x+y)=f(x)f(y)-sinx siny→x=0の時f(y){f(0)-1}=0・・・(6)」は
成り立ちましたが、f(y){f(0)-1}=0は必要条件と呼べるのでしょうか。

 
「√(x+3)=3-xを解いてみてください。 」は同値変形を考えて、両辺を2乗して(x+3)=(3-x)^2 ただし、3-x≧0」のように解くので大丈夫です。


31161.Re: 関数の問題で解き方が納得いきません。
名前:ぱんだ    日付:2月24日(土) 11時48分
うーん、話を聞いていて少し感覚がずれている気がします。
今回の問題は「恒等式」の問題です。恒等式とはいったいなんでしょうか?

例1:x+3=5
この等式は、x=2のときには確かに成立します。しかしx=5やx=0では
決して成立しません。
このように『xが特定の値のときにだけ成り立つ等式を方程式』と呼びます。
例2:x+3=x+3
この等式はx=2のときにもx=5のときにもx=0のときにも、
xにどんな値をいれても成立します。
このように『xがどんな値をとっても成り立つ等式を恒等式』と呼びます。
恒等式とは、このように式全体が当たり前に等しいものなのです。


(質問5)すべてのx,yを代入すれば、どれも必ず共通な値f(0)=1がでてくるとういうことですね。

例えばax^2+bx+c=(5-c)x^2+dx+1 という恒等式が与えられた場合
明らかにc=1が成立(必要)だということはお分かりでしょうか?
x=1のときも確かにこの式は成立しますが、しかしx=1を代入したから
といって、c=1が出てくるわけではありません。
x=2を代入してもx=3を代入してもどれも必ず共通な値c=1がでてくると
思っているとしたら大間違いです。

(質問6)「f(x+y)=f(x)f(y)-sinx siny→f(0)=1」は正しいが〜

f(x+y)=f(x)f(y)-sinx sinyがx,yの値に関わらず(恒等的に等しければ)⇒f(0)=1 という意味ならば正しいです。

(質問7)
ax^2+bx+c=(5-c)x^2+dx+1 が恒等式として成立するためには
xの値が0のときもこの式が等式として成立することは必要ですよね。
(この等式はx+3=x+3のような等式なのですから)


31167.Re: 関数の問題で解き方が納得いきません。
名前:あんぱん 高2    日付:2月24日(土) 15時41分
(質問A)すべてのx,yを代入すれば、どれも必ず共通な値f(0)=1がでてくるとういうことですね。

「例えばax^2+bx+c=(5-c)x^2+dx+1 という恒等式が与えられた場合
明らかにc=1が成立(必要)だということはお分かりでしょうか?
x=1のときも確かにこの式は成立しますが、しかしx=1を代入したから
といって、c=1が出てくるわけではありません。x=2を代入してもx=3を代入してもどれも必ず共通な値c=1がでてくると
思っているとしたら大間違いです。」

上の式でx=2の時、4a+2b+c=4(5-c)+2d+1で、まだこの時はa,b,dの値が求まらないですが、これも、(x=0,2,3などを代入した後にわかることですが、)共通な値c=1は成立していますよね。

(質問B)
f(x+y)=f(x)f(y)-sinx siny・・・(1)からx=0を代入して得られた
f(y){f(0)-1}=0・・・(6)からf(y)=0またはf(0)=1・・・(ア)
x=0,y=0を代入して得られた
f(0){f(0)-1}=0・・・(3)からf(0)=0またはf(0)=1・・・(イ)
で、成り立たなかったf(y)=0とf(0)=0は何を意味するのでしょうか。


(質問C)
あと(質問7)で
「f(x+y)=f(x)f(y)-sinx siny→x=0の時f(y){f(0)-1}=0・・・(6)」は
成り立ちましたが、f(y){f(0)-1}=0は必要条件と呼べるのでしょうか。

 


31180.Re: 関数の問題で解き方が納得いきません。
名前:ぱんだ    日付:2月25日(日) 11時37分
質問A について

あんぱんさんの「気持ち」はわかります。(実は元からわかっていました。)
しかしその表現があいまいでよくありません。
数学は最も厳密さが要求される学問でもあります。
問題の意味が曖昧で、複数の意味にとれるようでは問題そのものが
おかしいといわれてしまいます。
もう一度自分の主張したいことを整理して
数学的に落ち度のないように質問を提示してみてください。

質問B、Cについて

繰り返しますが、数学は厳密な学問です。
単に「f(y){f(0)-1}=0」と書くのと
「f(y){f(0)-1}=0が任意の実数yについて成立する」ことでは
全く意味が違います。そのことについてもう一度よく考えてみてください。
この辺は細かく見ていくと相当に難しいところですが、
考える価値は十分あると思います。
日本の学生に不足していると言われている正確な論証力が
鍛えられると思いますよ。


31206.Re: 関数の問題で解き方が納得いきません。
名前:アンパン 高2    日付:2月27日(火) 22時19分
ぱんださん

 色々とありがとうございました。また御指導をお願いします。

31133.  
名前:名無し 高2    日付:2月22日(木) 23時9分
y=cosxのグラフとy=logxのグラフの交点のx座標って出せますか?



31144.Re: 謎
名前:らすかる    日付:2月23日(金) 8時28分
近似値なら、ニュートン法などを使えば
x=1.30296400121601255253211430697335802538621997810467…
のように求まります。
正確な値を初等関数で表現するのは多分無理です。

http://www10.plala.or.jp/rascalhp


31151.Re: 謎
名前:名無し 高2    日付:2月23日(金) 23時0分
なるほど☆
じゃあ,y=logxとy=cosxで囲まれた部分の面積って求められないんですかね?交点のx座標がわからなくても求められたりしますか?


31154.Re: 謎
名前:らすかる    日付:2月24日(土) 7時3分
y=logxとy=cosxだけでは閉領域が出来ませんので「y=logxとy=cosxで囲まれた部分」
というのがどこのことを指しているのかわかりませんが、いずれにせよ
交点が絡んで面積が有限である閉領域の面積を(近似値でなく)求めることは
出来ないのではないでしょうか。

http://www10.plala.or.jp/rascalhp


31181.Re: 謎
名前:名無し 高2    日付:2月25日(日) 18時28分
ごめんなさい.y=logxとy=cosxとx軸で囲まれた部分の面積は求められるのか知りたかったのです.言葉が足りず,申し訳ありませんでした.
やっぱり無理ですか…

31132.算数の問題です  
名前:    日付:2月22日(木) 22時53分
算数です。よろしくお願い致します。

財布の中に

100円玉が1個
 50円玉が2個
 10円玉が3個

入っています。

この、お金で買える値段は何通りありますか?

私の出した答えは21通りになったのですが、
合ってますでしょうか?

私は、とても原始的な、やり方で出しました。
簡単に上手く出す方法を教えて頂きたいのですが、
よろしくお願い致します。



31134.Re: 算数の問題です
名前:ハゲ豚    日付:2月22日(木) 23時13分
50円×2=100円

4×3×2-1-4=19


31138.凄く恥ずかしいです(^^;
名前:    日付:2月23日(金) 0時5分
あっ 分かりました。
凄く恥ずかしいです(^^;
簡単なことでしたね。

有り難うございました。


31143.Re: 算数の問題です
名前:らすかる    日付:2月23日(金) 8時21分
100円玉1個を50円玉2個と考えて良いので、 (4+1)×(3+1)-1=19
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31145.Re: 算数の問題です
名前:    日付:2月23日(金) 9時47分
ハゲ豚さん、 らすかるさん
有り難うございました。

31131.高校レベル問題  
名前:たけ    日付:2月22日(木) 22時33分
もう1問どうしても解けない問題あります。どうぞ宜しくお願いいたします。
問題:x=√5−√3を解とする整数係数で、係数の最大公約数は1のもののうち、次数の最低のものを求めよ。また、その方程式の他のすべての解を求めよ。



31136.Re: 高校レベル問題
名前:のぼりん    日付:2月22日(木) 23時46分

   x+2√3x+3=(x+√3)=5
   x−4x+4=(x−2)=12x
   f(x)=x−16x+4=0
なので、f(t) は x を解に有する整数係数で、係数の最大公約数が 1 の多項式です。

   f(±1)≠0、f(±2)≠0、f(±4)≠0
なので、f(t) は一次式を因子に持ちません。f(t) が既約とすると、二次式×二次式です。
   f(t)=(x+ax+b)(x+cx+d)
とおくと、
   f(t)=x+(a+c)x+(b+d+2ac)x+(ad+bc)x+bd
です。
   a+c=ad+bc=0、b+d+2ac=−16、bd=4
です。a=−c、a(d−b)=0 なので、a=0 または b=d です。a=0 のとき、b+d=−16、bd=4 で矛盾です。また b=d のとき、b=2、4−2a=−16 となり矛盾です。f(t) は既約なので、題意の多項式(x の最小多項式)です。

   f(t)=t−16t+4
   =(t−2)−12t
   =(t−2√3−2)(t+2√3−2)
   =(t−√5−√3)(t−√5+√3)(t+√5−√3)(t+√5+√3)
なので、その解は ±√5±√3 (複号任意) です。



31139.Re: 高校レベル問題
名前:たけ    日付:2月23日(金) 2時13分
早速のご解答どうもありがとうございました。本当に助かりました。

31130.整式の最大公約数  
名前:たけ    日付:2月22日(木) 22時29分
f(x)=ax+b, g(x)=cx+dとする。ad-bc≠0であるとき、f(x)とg(x)の最大公約数d(x)を求めよ。まだd(x)=f(x)s(x)+g(x)t(x)となるs(x)、t(x)を求めよ。

という問題ですが、具体的な数字が出ている場合ユーグリットの互除法を使って解けるのですが、文字式なるとなんだか分からなくなってしまいます。大学の授業でこの問題をやっていますが、高校1年レベルではないかと思います。



31135.Re: 整式の最大公約数
名前:のぼりん    日付:2月22日(木) 23時45分
係数の範囲は体として考えます。
   s(x)=−c/(ad−bc)、t(x)=a/(ad−bc)
とおけば、
   f(x)s(x)+g(x)t(x)=−c/(ad−bc)・f(x)+a/(ad−bc)・g(x)=1
なので、f(x) と g(x) は互いに素で、特に単数倍を除き d(x)=1 です。

31125.微分積分です。  
名前:りー    日付:2月22日(木) 4時16分
∫-1〜-3(x+3)dx
=[1/3(x+3)]-1-3=8/3
なのですが、ココの途中計算式を省かず教えて下さい。
申し訳ないのですが、よろしくお願いします!!



31127.Re: 微分積分です。
名前:らすかる    日付:2月22日(木) 8時5分
∫[-1〜-3](x+3)dx
=[(1/2)x^2+3x][-1〜-3]
={(1/2)(-3)^2+3・(-3)}-{(1/2)(-1)^2+3・(-1)}
=(9/2-9)-(1/2-3)
=9/2-1/2-9+3
=8/2-6
=4-6
=-2
となりますが…

http://www10.plala.or.jp/rascalhp


31165.Re: 微分積分です。
名前:りー    日付:2月24日(土) 15時23分
ありがとうございます!参考にします!!

31117.中学入試問題  
名前:本の虫    日付:2月21日(水) 20時31分
高校生ですが、どうしても解けない中学入試の問題を見つけ、教えて欲しく書き込みをさせていただきました
「一辺が10の正方形に内接する半径5の円がある。
 また、その正方形の頂点を中心として半径10の円を描く。
 このとき、この二つの円の共通部分の面積を求めよ」



31123.Re: 中学入試問題
名前:ヨッシー    日付:2月22日(木) 1時23分
Size: 76 x 76, 1KB

図の青いところですよね?

どこの中学の問題か?
あるいは、どこの出版社の何という問題集か?
教えていただけますか?
 
普通、こういう問題が中学や高校の入試で出ることは考えられません。
 

http://yosshy.sansu.org/



31126.Re: 中学入試問題
名前:らすかる    日付:2月22日(木) 5時15分
以前どこかで話題になっていましたが、ある学校が入試問題に出したらしいです。
どのように解こうとするかをみる問題だったとか。
で、答えは 25(5π-√7-11arccos(3/4))/2 となります。
計算方法は↓こちらをご覧下さい。

http://web2.incl.ne.jp/yaoki/mens3.htm


31129.ありがとうございます
名前:本の虫    日付:2月22日(木) 21時6分
実は開成中学の中学入試から引用させていただきました。
僕の通ってる高校でこの問題が噂になりまして、先生でさえ解けないという稀有な事態が生じたので、書き込みをさせていただきました。
丁寧な回答ありがとうございます。
cosの逆関数を使った答えになるということを全く予期していなかったので・・・。ちょっとびっくりです。
開成の過去問をあさっても見たのですが、何せ出典された年代が確定できなくて・・・。
いずれにせよ、本当にありがとうございました

31115.式の数の並べ方  
名前:アマネンティウス    日付:2月21日(水) 19時32分
次の式を展開せよ、という問題で
(a-b+c)^(2)*(a+b-c)^(2)
という問題が出ました。
展開した(ここも教えてほしいです)後、a^(4)+b^(4)+c^(4)と並べた後、残った数字をどう並べたらいいのか分かりません。
式はaに着目してるわけでもないし、a^(4)+b^(4)+c^(4)のあとの並べ方に
決まりはあるんでしょうか?
次数の多い順に並べるんでしょうか? それともaが高い順に?
それではa^(4)+b^(4)+c^(4)と、b^(4)+c^(4)が続いているのが説明できません(泣
式の数の並べ方に決まりがあるなら教えてほしいです。困ってます。
おねがいします!



31124.Re: 式の数の並べ方
名前:ぱんだ    日付:2月22日(木) 2時7分
(a-b+c)^2*(a+b-c)^2=[{a-(b-c)}{a+(b-c)}]^2
={a^2-(b-c)^2}^2={a^2-b^2-c^2+2bc}^2
=a^4+b^4+c^4+4b^2*c^2-2a^2*b^2+2b^2*c^2-2c^2*a^2+4a^2*bc-4b^3*c-4bc^3
=a^4+b^4+c^4-2a^2*b^2+6b^2*c^2-2c^2*a^2+4a^2*bc-4b^3*c-4bc^3

今回、a,b,cが「ある程度」バランスよく出てきますので、
バランスのよさを保った書き方をするとよいでしょう。
例えば @「a^2+b^2+c^2+ab+bc+ca」という書き方と
    A「a^2+ab+ac+b^2+bc+c^2」という書き方では
@のほうがa,b,cの対称性がわかりやすい書き方になっています。

しかし、今回の問題はあまり各順番にこだわらず、ある程度適当で
構わないと思います。


31128.Re: 式の数の並べ方
名前:アマネンティウス    日付:2月22日(木) 19時59分
ありがとうございました!
厳格な基準があるわけではないんですね。
見やすくすればいい、ということかな
べんきょうになりました

31111.(untitled)  
名前:chiba    日付:2月21日(水) 9時35分
すいません。以下の問題がどうしてもわかりませんので、ご教授願えませんか?

a,b,cは実数とする。
f(x) = x^3 + ax^2 + bx + cについて、
f(1+i)=0(iは虚数単位)を満たすとき、
f(a+b+c)<0である事を示せ。



31112.Re: (untitled)
名前:ヨッシー    日付:2月21日(水) 10時58分
例えば、a=0, b=-2, c=4 とすると、
 (1+i)^2=2i
 (1+i)^3=2i-2
より、
 f(1+i)=(2i-2)-2(1+i)+4=0
でありますが、
f(a+b+c)=f(2)=2^3 - 2・2 + 4 = 8 >0

となりますから、 f(a+b+c)<0 とは限りません。

問題が、間違っていませんか?
 

http://yosshy.sansu.org/

31108.平行四辺形の中の三角形の面積は?  
名前:宵の明星    日付:2月21日(水) 5時44分
Original Size: 256 x 174, 6KB

よろしくお願いします。
平行四辺形ABCDがあり、DAの中点にE、DF:FC=2:1で
三角形BEFがある。
平行四辺形の面積をSとして三角形BEFの面積を求めよ。

という問題ですがよくわかりません。
よろしくお願いいたします。



31109.Re: 平行四辺形の中の三角形の面積は?
名前:らすかる    日付:2月21日(水) 6時28分
△AEB、△EDF、△BFCの面積を求めてSから引くとか、
Eを通りABと平行な直線とBFとの交点をGとして
△BEFを△BEGと△EFGに分けて計算して足すとか、
四角形EFCB=△EFB+△BFC=△EFC+△ECBから計算するとか。

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31114.Re: 平行四辺形の中の三角形の面積は?
名前:ハゲ豚    日付:2月21日(水) 14時6分
Eを通るBFと平行な直線とABとの交点をGとおく.
△BEF=△BGFとなるので△BGFを求める.
△AEG∽△CBFで相似比は1:2
よってAG/AB=1-(1/3)*(1/2)=5/6
△BGF=□ABCD*(1/2)*(5/6)=(5/12)□ABCD
つまり△BGF=(5/12)S


31119.Re: 平行四辺形の中の三角形の面積は?
名前:宵の明星    日付:2月21日(水) 22時12分
らすかるさん、ハゲ豚さん、ご丁寧な解説ありがとうございました。

なるほどそういうことなんですね。
よくわかりました。

またお願いします。

31106.三角関数とその応用・加法定理(高2)  
名前:あおい    日付:2月20日(火) 23時11分
いつもお世話になっております。
(1)θが-π/3≦θ≦2/3πの範囲で変化するとき、3sinθ+2cos^2θの最大値と最小値を求めよ。

(2)0≦x≦2πとするとき、関数f(x)=2sinx-cos2x-3の最大値と最小値を求めよ。


という問題で、(1)は全く分からなかったんです。
(2)は2倍角の公式で、sinxで表すのかなと思うのですが…

解法の方、よろしくお願いします。



31107.Re: 三角関数とその応用・加法定理(高2)
名前:ハゲ豚    日付:2月21日(水) 1時49分
(1) cos^2x = 1 - sin^2x デス.

(2) ソノトオリ. ザッツライト.

31105.またまたお願いしますw  
名前:月市イニ    日付:2月20日(火) 22時51分
放物線y=2x^2をC1,放物線y=x^2を頂点が点P(p,q)になるように平行移動したものをC2とする。C1とC2で囲まれた領域の面積が4/3であるように、点Pを動かしたときにできるPの軌跡を求めよ。

解説宜しく御願いします。



31110.Re: またまたお願いしますw
名前:ヨッシー    日付:2月21日(水) 9時4分
Size: 107 x 119, 1KB

C2 を表す式は
 y=(x-p)^2+q
です。

C1とC2で囲まれた領域が存在するのは、図のように、
C1 が C2 より下にある部分があるときです。

 f(x)=(x-p)^2+q-2x^2
とおき、f(x)=0 の解を α、β(α<β)とすると、
この領域の面積Sは、こちらの公式より、
 S=(β−α)^3/6=4/3
より、
 (β−α)^3=8
β−α は実数なので、β−α=2
 f(x)=(x-p)^2+q-2x^2=-x^2-2px+p^2+q
解と係数の関係より
 α+β=-2p, αβ=-(p^2+q)
 (β−α)^2=(α+β)^2−4αβ=4p^2+4(p^2+q)=8p^2+4q=4
よって、pとqの関係式は、
 q=-2p^2+1
逆に、q=-2p^2+1 のとき、常に β−α=2 (β>α のとき)となり、
S=4/3 を満たす。よって、点Pは、
 y=-2x^2+1
を動く。
 

http://yosshy.sansu.org/



31121.Re: またまたお願いしますw
名前:月市イニ    日付:2月21日(水) 23時22分
回答ありがとうございます。
とてもよくわかりましたw

31101.度々スイマセン  
名前:月市イニ    日付:2月18日(日) 22時58分
0<k<3 のとき、直線y=kxと曲線y=lx(x-3)lとで囲まれた図形の面積Sが最小となるようなkの値を求めよ。

宜しく御願いしますw



31102.Re: 度々スイマセン
名前:ヨッシー    日付:2月19日(月) 14時20分

面積Sは、図の黄色の部分と青い部分の面積を足したものです。

点Aは、y=-x(x-3) と y=kx の原点でない方の交点のx座標です。
両者連立させて、
 kx=-x(x-3)
 x(x-3+k)=0
より、A=3-k
点Bは、y=x(x-3) と y=kx の原点でない方の交点のx座標です。
両者連立させて、
 kx=x(x-3)
 x(x-3-k)=0
より、B=3+k

黄色の部分の面積は、
 ∫0〜A{-x(x-3)-kx}dx=(3-k)^3/6
青い部分の面積は、
 ∫A〜3{kx+x(x-3)}dx+∫3〜B{kx-x(x-3)}dx=3k^2
よって、
 S=(3-k)^3/6+3k^2=(27-27k+27k^2-k^3)/6
kで微分して、
 S'=(-27+54k-3k^2)/6=(-9+18k-k^2)/2
S'=0 となるのは、k=9±6√2 のとき 
0<9-6√2<3<9+6√2 より、0<k<3 の範囲では、
k=9-6√2 のときに、Sは極小かつ最小となります。
 

http://yosshy.sansu.org/


31104.Re: 度々スイマセン
名前:月市イニ    日付:2月20日(火) 15時25分
回答ありがとうございます。

31096.微分の問題  
名前:haru    日付:2月18日(日) 21時8分
曲率の計算をしていたところ
楕円x=acost,y=bsintとあったのでdx^2=a^2sin^2tdt^2,d^2y=−bsintdt^2なので、この式をy=f(x)の形で与えられている時の曲率を求める式の中のd^2y/dx^2に代入して計算したところ、本に書いてある答えと違ってしまいました。何故でしょうか。わかりましたら教えてください。



31103.Re: 微分の問題
名前:ヨッシー    日付:2月20日(火) 9時7分
haru さんの計算した途中計算と結果、本に書いてある答えをそれぞれ
書いて頂けますか?
 

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31113.Re: 微分の問題
名前:haru    日付:2月21日(水) 13時46分
媒介変数を用いたときの曲率半径の式は、
ρ=(dx^2+dy^2)^(3/2)/(dxd^2y−dyd^2x)=(a^2sin^2t+b^2cos^t)^(3/2)/(ab)が本に書いてある答えで、曲線がy=f(x)の形で与えられているときは、xを独立変数として、ρ=(1+(dy/dx)^2)^(3/2)/(d^2y/dx^2)となるそうで、この式にdy=bcostdt,dx=−acostdt^2,dx^2=a^2sin^2tdt^2,d^2y=−bsintdt^2を代入したところ、ρの分子の値は答えと同じですが、分母の値が−absin^2tとなってしまいました。

31095.宜しく御願いします  
名前:月市イニ    日付:2月18日(日) 20時31分
y=(2a-1)x-a^2+a のaが、実数の範囲で変化するとき、このグラフの通る範囲を図示しなさい。

宜しく御願いしますw



31097.Re: 宜しく御願いします
名前:ハゲ豚    日付:2月18日(日) 21時42分
y≦x^2-1/4


31098.Re: 宜しく御願いします
名前:ハゲ豚    日付:2月18日(日) 21時44分
上記訂正
y≦x^2+1/4


31099.Re: 宜しく御願いします
名前:月市イニ    日付:2月18日(日) 21時59分
回答ありがとうございます。
できれば、解き方も教えていただけないでしょうか?


31100.Re: 宜しく御願いします
名前:月市イニ    日付:2月18日(日) 22時28分
解決しましたw
ありがとうございますw

31088.自分算数がめっさ苦手デス 計算ドリル真面目にしておけば;;  
名前:BAKA    日付:2月18日(日) 3時50分
0,32/M*0,02432これをcとおくとc*2,3=0,118
答え256なんですが257になったりぜんぜん違う答えになったり
します   約分するタイミングで答えが違ってくることってあるんですか??
簡単に解く方法をおしえてください
自分はそのまま少数のままで解いてマス



31090.Re: 自分算数がめっさ苦手デス 計算ドリル真面目にしておけば;;
名前:らすかる    日付:2月18日(日) 7時18分
0.32/M*0.02432 と書くと、通常は (0.32/M)*0.02432 と解釈されます。
答から推測すると、 0.32/(M*0.02432) ですよね。
0.32/(M*0.02432)*2.3=0.118
両辺にMを掛けて
0.32/0.02432*2.3=0.118*M
両辺を0.118で割って整理すると
M=(0.32*2.3)/(0.02432*0.118)
分母分子を10^8倍すると
M=(32*23*10^5)/(2432*118)
素因数分解して
M={(2^5*23)*(2^5*5^5)}/{(2^7*19)*(2*59)}
整理して
M=(2^10*5^5*23)/(2^8*19*59)
分母分子を2^8で割って
M=(2^2*5^5*23)/(19*59)
分母分子をそれぞれ計算して
M=287500/1121
割り算して
M=256.4…

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31087.図形の証明  
名前:天丼    日付:2月18日(日) 3時22分
三角形ABCの内部にPをとり、三角形PBCとします。
AB+AC>PB+PCを証明しなさい。という問題なんですが
大きい角に対する辺は小さい角に対する辺より大きいので
∠ACB>∠PCBからAB>PB、 ∠ABC>∠PBCから、AC>PC。
よってAB+AC>PB+PC。とするのは証明になっていますか?
また、三角形PBCは、対応部分が三角形ABCの内部にある。
よってAB+AC>PB+PC。というのは数学の証明になるのでしょうか?



31089.Re: 図形の証明
名前:らすかる    日付:2月18日(日) 5時16分
>大きい角に対する辺は小さい角に対する辺より大きいので
>∠ACB>∠PCBからAB>PB、 ∠ABC>∠PBCから、AC>PC。
>よってAB+AC>PB+PC。とするのは証明になっていますか?

なっていません。
「大きい角に対する辺は小さい角に対する辺より大きい」というのは
一つの三角形の中だけで言えることです。
例えば、一辺が1cmの正三角形と頂角20°、底辺2cmの二等辺三角形を
考えると、「角が大きければ辺が長い」とは言えませんね。
実際、この問題でも∠A=90°、∠B=∠C=45°として、Pを点Cの
すぐ近くにとれば、∠ACB>∠PCB ですが AB<PB です。

>また、三角形PBCは、対応部分が三角形ABCの内部にある。
>よってAB+AC>PB+PC。というのは数学の証明になるのでしょうか?

なりません。
「対応部分が三角形ABCの内部にある」⇒「AB+AC>PB+PC」
と言える理由を証明する必要があります。

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31140.Re: 図形の証明
名前:天丼    日付:2月23日(金) 2時42分
よくわかりました、ありがとうございます。

31083.証明  
名前:のんかる    日付:2月17日(土) 21時38分
いつもお世話になっております。以下の問題をお願い致します。
「x>0のとき、任意の自然数nに対して次の不等式が成り立つことを示せ。
 e^x>1+x+(1/2!)x^2+・・・+(1/n!)x^n」
宜しくお願い致します。



31084.Re: 証明
名前:だるまにおん    日付:2月17日(土) 22時46分
f(x) = (納k=0〜n]xk/k!)/ex とおくと
f'(x) = -(xn/n!)/ex < 0 (x > 0)
であり f(0) = 1 なので, x > 0 において f(x) < 1
∴ ex > 納k=0〜n]xk/k!

31081.すいません。グラフをかいてもわかりません。  
名前:アンパン 高2    日付:2月17日(土) 21時14分
ぱんださん

前回の質問では、色々とありがとうございました。
「f(x)=sinxとg(x)=xは、原点では共に傾きは1です。f(x)とg(x)のグラフはほとんど折り重なって一致する。」は分かりました。しかし、
「質問1:lim[x→a]{f'(x)/g'(x)}=−∞ならば、lim[x→a]{f(x)/g(x)}=−∞は成立します。」をはじめ、他の場合もグラフを書いてもわかりませんでした。教えてください。



31085.Re: すいません。グラフをかいてもわかりません。
名前:ぱんだ    日付:2月17日(土) 23時16分
まず基本になる
「f(x),g(x)がx=0を含む区間で連続、0以外では微分可能でf(0)=g(0)=0,かつg'(x)≠0の時、lim[x→0]{f'(x)/g'(x)}=2ならばlim[x→0]{f(x)/g(x)}=2」
は直観的に納得できているのでしょうか?

丸い1円玉も顕微鏡で極限まで拡大して見たら、側面は直線に見えます。
丸い地球も、地球から非常に近い場所でみると、水平線は球ではなく
平面にみえてしまいます。

fもgも原点付近を顕微鏡で見たら、原点を通る直線に見えます。
y=f(x)はy=f '(0)x とほぼ同じに見えますし
y=g(x)はy=g'(0)x とほぼ同じグラフに見えます。
lim[x→0]{f'(x)/g'(x)}=2とは、f '(x)はg'(x)の約2倍の大きさということです。
y=f'(0)xはy=g'(0)xの2倍の傾きをもつ直線です。
だからy座標の比は約2倍になります。


31086.Re: すいません。グラフをかいてもわかりません。
名前:あんぱん 高2    日付:2月18日(日) 0時30分
ぱんださん。

わかりました。ありがとうございます。


31092.Re: x→∞の時、グラフを書いて考えることができません。
名前:アンパン 高2    日付:2月18日(日) 10時11分
ぱんださん。

x→aの時、グラフを書いて考えることはできましたが、x→∞の時はわからなくなりました。御指導をお願いします。
(質問1)
x→∞の時を考えるので、ロピタルの定理の条件は「x=aを含む区間で連続、a以外では微分可能」は「xが十分大きい区間(x→∞となる部分のことです。)で微分可能の時」でいいでしょうか。
(質問2)上の条件が正しい時、ロピタルの定理は、ぱんださんが言われた「f(x),g(x)がx=0を含む区間で連続、0以外では微分可能」の例つまり、f(x)=f'(0)xとg(x)=g'(0)xと考える方法ではどのようになるのでしょうか。x→∞ではf(x)=f'(x)xとg(x)=g'(x)xのようにできないような気がしました。以下の3つの定理で説明をお願いします。

定理1「xが十分大きい区間(x→∞となる部分のことです。)で微分可能でlim[x→∞]f(x)=-∞、lim[x→∞]g(x)=∞,かつg'(x)≠0の時、lim[x→∞]{f'(x)/g'(x)}=∞ならばlim[x→∞]{f(x)/g(x)}=∞」
定理2「xが十分大きい区間(x→∞となる部分のことです。)で微分可能の時でlim[x→∞]f(x)=-∞、lim[x→∞]g(x)=∞,かつg'(x)≠0の時、lim[x→∞]{f'(x)/g'(x)}=k(有限な値)ならばlim[x→∞]{f(x)/g(x)}=k(有限な値)」
定理3「xが十分大きい区間(x→∞となる部分のことです。)で微分可能の時でlim[x→∞]f(x)=-∞、lim[x→∞]g(x)=∞,かつg'(x)≠0の時、lim[x→∞]{f'(x)/g'(x)}が極限を持たないならばlim[x→∞]{f(x)/g(x)}は極限を持たない。」


31093.Re: すいません。グラフをかいてもわかりません。
名前:ぱんだ    日付:2月18日(日) 12時34分
n→∞のときの極限について考えて見ましょう。
例えば、n/n+1という数列はいったい何に近づくでしょう?
分母のn+1はA国の兵隊の数、分子のnはB国の兵隊の数と思ってください。
n/n+1はA国とB国の戦力比を表しています。(比較しているわけです)
n=1ならば1/2となり、A国のほうが有利ですが、nが大きくなると
例えばn=10000とするとAの兵隊は10001人、Bの兵隊は10000人
これではほとんどAが有利とはいえないでしょう。
たった1人の差など、1万人や1億人といった大勢の兵隊からみたら
ゴミみたいなもので、無視できる存在なわけです。
だから、n/n+1の極限は1になります。同様に2n-3/3n+1の極限は2/3になります。

例えばn/n^2の極限は0になりますが、分子のnも∞に近づくのに
どうして全体としてみると0になるのかという疑問もわきます。
そこで、y=nとy=n^2の二つのグラフを同じ平面上に書いてください。
nというのはドラゴンボールのピッコロ大魔王の戦闘力
n+1というのは孫悟空の戦闘力だと思ってみてください。
話が進むにつれて(nが大きくなるにつれて)ピッコロも悟空も
無限に強くなっていきます。しかし、2人の力関係の比較を考えてみてください。
話の最初のころは(例えばn=0.1など)ピッコロの方が戦闘力が高いです。
しかし、ストーリーの都合上すぐに孫悟空のほうが強くなり、
最終的にはピッコロなどいてもいなくても関係ないレベルの
雑魚キャラ扱いになってしまうでしょう。
これは、「孫悟空のほうが強くなるスピードが早い(f '(x)が大きい)」
ということを意味しています。
序盤の第100話などでピッコロの方がいくら強くても、
極限まで話が進んでいくと(第1億話など)初期のころの差など
ゴミにしかなりません。
xが無限に大きくなるときにf(x)とg(x)の値の比を決めるのは
初期のころのわずかな差ではなく、極限でのf '(x)とg '(x)です。
極限の傾きが2の関数f(x)と、極限の傾きが3の関数g(x)では、
f(x)/g(x)の値は2/3になるはずです。

さて、定理3「xが十分大きい区間(x→∞となる部分のことです。)で微分可能の時でlim[x→∞]f(x)=-∞、lim[x→∞]g(x)=∞,かつg'(x)≠0の時、lim[x→∞]{f'(x)/g'(x)}が極限を持たないならばlim[x→∞]{f(x)/g(x)}は極限を持たない。」
これは偽です。
反例として、f(x)=2x+sinx,g(x)=3x+cosxを考えてみてください。
f '(x)=2+cosx,g '(x)=3-sinx このときf '(x)/g '(x)は極限を持ちません。
しかし、f(x)/g(x)は間違いなく2/3に収束するはずです。
(2xや3xと比べるとsinxやcosxはゴミみたいなものですから)

前回も話しましたが、この話は相当デリケートな問題なので
私自身大学の数学から長い間離れていることもあり
正直あまり自信を持って教えられるレベルではありません。
どなたかこの問題について解説をしてくださる方がいらっしゃったら
是非お願いします。


31094.Re: ロピタルの定理の使い方のまとめ
名前:あんぱん 高2    日付:2月18日(日) 16時26分
ぱんださん 

ありがとうございます。まとめると以下のようになるのでしょうか。

定理3「xが十分大きい区間(x→∞となる部分のことです。)で微分可でlim[x→∞]f(x)=-∞、lim[x→∞]g(x)=∞,かつg'(x)≠0の時、lim[x→∞]{f'(x)/g'(x)}が極限を持たないならばlim[x→∞]{f(x)/g(x)}は極限を持たない。」 は成り立たたない。

定理3’「xが十分大きい区間(x→∞となる部分のことです。)で微分可でlim[x→∞]f(x)=0、lim[x→∞]g(x)=0,かつg'(x)≠0の時、lim[x→∞]{f'(x)/g'(x)}が極限を持たないならばlim[x→∞]{f(x)/g(x)}は極限を持たない。」 は成り立たたない。

定理3''「f(x),g(x)がx=aを含む区間で連続、a以外では微分可能でf(a)=g(a)=0,かつg'(a)≠0の時、lim[x→a]{f'(x)/g'(x)}=が極限値をもたないならばlim[x→a]{f(x)/g(x)}は極限値を持たない。」は成り立つ。

定理3'''「f(x),g(x)がx=aを含む区間で連続、a以外では微分可能でf(a)→∞、g(a)→∞(f(a)→−∞、g(a)→∞やf(a)→−∞、g(a)→−∞なども含む)かつg'(a)≠0の時、lim[x→a]{f'(x)/g'(x)}=が極限値をもたないならばlim[x→a]{f(x)/g(x)}は極限値を持たない。」は成り立つ。

それから{f'(x)/g'(x)}が極限値を持つときですが、lim[x→a]{f(x)/g(x)}でもlim[x→∞]{f(x)/g(x)}でも、またf(a)=g(b)=0以外にf(a)→∞、g(a)→∞などを変えた以下のものでもすべて成り立つということでいいでしょうか。

定理1「f(x),g(x)がx=aを含む区間で連続、a以外では微分可能でg'(a)≠0で、f(a)=g(b)=0、あるいはf(a)→∞、g(a)→∞(f(a)→−∞、g(a)→∞やf(a)→−∞、g(a)→−∞なども含む)の時、
lim[x→a]{f'(x)/g'(x)}=∞、−∞、k(有限な値)ならばlim[x→a]{f(x)/g(x)}=∞、−∞、k(有限な値)」は成り立つ。

定理2「xが十分大きい区間(x→∞となる部分のことです。)で微分可でg'(x)≠0で、x→∞でf(x)→0、g(x)→0あるいはf(x)→∞、g(x)→∞(f(x)→−∞、g(x)→∞やf(x)→−∞、g(x)→−∞なども含む)の時、
lim[x→∞]{f'(x)/g'(x)}=∞、−∞、k(有限な値)ならばlim[x→a]{f(x)/g(x)}=∞、−∞、k(有限な値)」は成り立つ。


31116.Re: すいません。グラフをかいてもわかりません。
名前:ぱんだ    日付:2月21日(水) 19時32分
返事が遅れました。
まず私が一番気になるのが、あんぱんさんが根拠なく定理を拡張していることです。
前回書いたようにこの問題は「非常にデリケート」です。
開区間が閉区間になったり、連続性を条件として与えられたり
与えられなかったり、f(a)の値の存在が保証されたり保障されなかったり、
そういうわずかなことで、言える言えないが変わってきます。

まず定理3、これは成立しません。前回私が反例を上げましたので
間違いありません。

次に定理3’ なぜあなたはこれが成り立たないと主張しているのですか??
前回私が挙げた反例は、lim[x→∞]f(x)=-∞、lim[x→∞]g(x)=∞の例のはずです。
それがなぜlim[x→∞]f(x)=0のときも成り立たないことになるのでしょうか??
その命題の真偽に関わらず、この態度は問題とされるべきものだと思います。
結論から言うと、この命題は確かに成り立ちません。
反例はf(x)=sinx/x^2 g(x)=1/xです。

次に定理3''ですが、2月17日(土) 15時6分の私の書き込みで
対偶の「f(x)/g(x)が極限を持つならば、{f'(x)/g'(x)}が極限を持つ」
が直観的に真になりそうだと書いたのですが、申し訳ないですが
これは偽でした。デリケートな問題だったのですが
時間の都合で厳密な証明を(大まかな方針を考えはしたのですが)
まだやっていませんでした。
反例はf(x)=x^2sin(1/x) (x≠0),0(x≠0)、g(x)=xです。
なお、あんぱんさんは定理3’’において「かつg'(a)≠0の時」と
書かれていますが、これはg '(x)≠0の間違いとみなしてやってあります。
(厳密な数学をやる上で、aとxの違いは非常に大きいですので
こういう点は特に注意して見直すとよいと思います)

定理3'''ですが、これについても私は前回一言も触れていないですね。
根拠のない定理の拡張は、数学で最も忌み嫌うべきことの一つです。
注意してください。
この定理3'''については私ももう少し調べてみます。


31118.Re: すいません。グラフをかいてもわかりません。
名前:ぱんだ    日付:2月21日(水) 21時16分
それから{f'(x)/g'(x)}が極限値を持つときですが、lim[x→a]{f(x)/g(x)}でもlim[x→∞]{f(x)/g(x)}でも、またf(a)=g(b)=0以外にf(a)→∞、g(a)→∞などを変えた以下のものでもすべて成り立つということでいいでしょうか。

これは成立します。
ただ、今回の問題を考えるに当たって正直嫌だったのは
その「結論」を教えることにあまり意義を感じられないということです。
「これは成り立つのだろうか?ちょっと難しいな、よし調べてみよう!」
ということには大いに意義があると思います。
しかし、ここで私が教えることでアンパンさんにプラスになるとは
どうにも思えないのです。

繰り返しますが非常にデリケートな問題です。
x→aのときと∞のとき、f→→aのときと∞のとき、
f/g→aのときと∞のとき、合計8種類あり
その全てに厳密な証明が要求されます。
あんぱんさんはこの証明を自分で行おうとされたのでしょうか?

この命題は成立します。しかし、その結論を知っていることに
何の意義があるとも私には思えません。
今は答えを教えてもらうことよりも、大学に入ってから
自分で証明方法を考察することが一番有意義な行動ではないでしょうか。


31120.Re: ありがとうございました。
名前:アンパン 高2    日付:2月21日(水) 23時6分
ぱんださん

 色々と御負担をかけてしまいすいませんでした。ぱんださんから教えて頂いた方法を発展させて自分で証明を考えましたが、結局できませんでした。ぱんださんが言われたように、大学に入ってから自分で証明方法を考察してみたいと思います。ありがとうございました。


31122.Re: すいません。グラフをかいてもわかりません。
名前:ぱんだ    日付:2月22日(木) 1時4分
いえいえ、定理を拡張させたいという心構えは非常にすばらしいものだと思います。
ただ、今回はちょっと高校生には相手が悪すぎたかなという感じもします。
どうしても今回は結論を教えるだけしかできなくなってしまうので
仕方ないかなという感じもします。
なお、「直観的に考える」ということを繰り返し強調してきましたが、
極限の世界ではその「直観的」な常識が覆されることも多々あります。
(例えばxsin(1/x)のように)激しく振動しながら0に近づく関数などは
日常的な直観はなかなか役に立ちません。
これからも遠慮なく質問してくださいね。


31150.Re: すいません。グラフをかいてもわかりません。
名前:アンパン 高2    日付:2月23日(金) 21時42分
ぱんださん

 これからもよろしくお願いします。

31071.ありがとうございました。別の質問を載せましたのでお願いします。  
名前:あんぱん 高2    日付:2月17日(土) 9時28分
ぱんださん。「今さらにdy/dz=2という条件が与えられました。これは「yを少しだけ動かすとzはその2倍動く」ということです。」はdz/dy=2の誤りですね。でもよく理解できました。本当にありがとうございました。
 今日2月17日(土)の朝8時から9時に2つ質問を載せましたので、よかったら御指導をお願いします。

31070.ロピタルの定理の使い方がわかりません。  
名前:あんぱん 高2    日付:2月17日(土) 9時21分
いつもお世話になっています。「高校の質問掲示板」に載せましたが、こちらの掲示板でも質問させていただきます。よろしくお願いします。

(質問1)
参考書(チャート式)にロピタルの定理 「f(x),g(x)がx=aを含む区間で連続、a以外では微分可能でf(a)=g(a)=0,かつg'(x)≠0の時、lim[x→a]{f'(x)/g'(x)}=k(有限確定値)ならばlim[x→a]{f(x)/g(x)}=k」が書いてありました。
質問ですが、「lim[x→a]{f'(x)/g'(x)}=k(有限確定値)がlim[x→a]{f'(x)/g'(x)}=−∞ならば、lim[x→a]{f(x)/g(x)}=−∞」としていいのでしょうか。
同じように考えて、「lim[x→a]{f'(x)/g'(x)}が極限を持たないならば、lim[x→a]{f(x)/g(x)}は極限を持たない」と言えるのでしょうか。

(質問2)
ロピタルの定理で不定形0/0を∞/∞に変えて「f(x),g(x)がx=aを含む区間で連続、a以外では微分可能で、lim[x→a]f(a)=-∞、lim[x→a]g(a)=∞,かつg'(x)≠0の時、lim[x→a]{f'(x)/g'(x)}=k(有限確定値)ならばlim[x→a]{f(x)/g(x)}=k」にしてもいいのでしょうか。
あるいは、x→aをx→∞に変えて「f(x),g(x)がx=aを含む区間で連続、a以外では微分可能でflim[x→∞](a)=-∞、lim[x→∞]g(a)=∞,かつg'(x)≠0の時、lim[x→∞]{f'(x)/g'(x)}=k(有限確定値)ならばlim[x→∞]{f(x)/g(x)}=k」にしても成り立ちますか。
更に(質問1)のように極限値がk(有限確定値)ではなく、-∞に変えて「f(x),g(x)がx=aを含む区間で連続、a以外では微分可能でflim[x→∞](a)=-∞、lim[x→∞]g(a)=∞,かつg'(x)≠0の時、lim[x→∞]{f'(x)/g'(x)}=-∞ならばlim[x→∞]{f(x)/g(x)}=」-∞にしても成り立ちますか。



31078.Re: ロピタルの定理の使い方がわかりません。
名前:ぱんだ    日付:2月17日(土) 15時6分
ロピタルの定理を直観的に理解してみましょう。
例えばlim[x→0](sinx/x)=1という公式がありますが、
これはxとsinxは「(x=0の近辺では)大体同じ大きさ」だということです。

f(x)=sinxとg(x)=xは、原点では共に傾き1です。
さて、グラフを書いて、原点付近を顕微鏡でのぞいてみてください。
f(x)とg(x)のグラフはほとんど折り重なって一致することがわかるでしょうか。接しているということを「ほとんど同じ大きさだ」と捉えてみてください。

質問1:lim[x→a]{f'(x)/g'(x)}=−∞ならば、lim[x→a]{f(x)/g(x)}=−∞
は成立します。
自分でグラフを書いて考えてみてください。

質問2:「f(x),g(x)がx=aを含む区間で連続、a以外では微分可能で、lim[x→a]f(a)=-∞、lim[x→a]g(a)=∞,かつg'(x)≠0の時、lim[x→a]{f'(x)/g'(x)}=k(有限確定値)ならばlim[x→a]{f(x)/g(x)}=k」

これも成立します。グラフを書いてみてください。

その後の問題のflimとは何でしょうか??
「f(x),g(x)がx=aを含む区間で連続、a以外では微分可能でlim[x→∞]f(x)=-∞、lim[x→∞]g(x)=∞,かつg'(x)≠0の時、lim[x→∞]{f'(x)/g'(x)}=k(有限確定値)ならばlim[x→∞]{f(x)/g(x)}=k」

これならば成立します。グラフを書いて、今度はそのグラフをはるか遠い場所から見てください。
月にでも行ってそのグラフを眺めてみてください。初期値(x=aの時の値)の違いなど、チリよりも小さくしか見えないはずです。

質問1の後半の問題(かなりデリケートな問題で、色々調べてもみたのですが、
本などを見てもこれそのものは載っていなかったので私なりの解説
になります)

「lim[x→a]{f'(x)/g'(x)}が極限を持たないならば、lim[x→a]{f(x)/g(x)}は極限を持たない」
の対偶を取ると、「f(x)/g(x)が極限を持つならば、{f'(x)/g'(x)}が極限を持つ」となります。
これは直観的にいって、グラフを書けば成立する事が納得して
もらえるでしょうか?
(厳密な証明は、コーシーの平均値の定理を使って行うことになります)


31079.Re: ロピタルの定理の使い方がわかりません。
名前:ぱんだ    日付:2月17日(土) 15時34分
一つ言い忘れましたが、あんぱんさんにはチャート式よりも
大学への数学シリーズの方が向いていると思います。
(業者の回し者ではありません)

一度大学への数学シリーズを見てみるといいと思います。

31069.(untitled)  
名前:あんぱん 高2    日付:2月17日(土) 8時36分
いつもお世話になっています。問題を解く時、「f(x)はx= aで微分可能である」ということを述べないといけないことがあるのですが、どのような関数の時、微分可能なのでしょうか。

(質問1)
(xが定義される区間で)すべての区間で微分可能な関数は、n次関数、指数関数、対数関数、三角関数以外にありますか。また、微分可能な関数の和(例えば、xe^x+log(sinx)、差、積、商はいつも微分可能ですか。


(質問2)
微分可能でない関数は絶対値、ガウス記号の入ったの他に何がありますか。

よろしくお願いします。



31074.微分可能/不可能な関数
名前:angel    日付:2月17日(土) 10時29分
質問1
n次関数、指数関数、対数関数、三角関数等、いわゆる初等関数以外でも微分可能な関数は幾らでもあります。
※極端な話、自分でぐちゃっとグラフを描いて、「そのグラフに対応する関数」を考えれば良い訳で
ただ、まあ、初等関数で表せないものを表現するのが難しいですね。

一例としては、
 f(x)=1/5・x^5+2/3・x^3+x
に対して
 g(x):f(x)の逆関数
と定めれば、g(x) は初等関数では表現できませんが、微分は可能です。

> 微分可能な関数の和(例えば、xe^x+log(sinx)、差、積、商はいつも微分可能ですか。

はい。そこで公式があるわけで。
 ( f ± g )' = f' ± g' ( 複号同順 )
 ( f・g )' = f'・g + f・g'
 ( f(g) )' = g'・f'(g)
 ※これより、f(x)=1/x ( f'(x)=-1/x^2 ) を適用すれば
  ( 1/g )' = -g'/( g・g )
  さらに積の公式を適用すれば
  ( f/g )' = ( f・1/g )' = f'/g - f・g'/(g・g) = ( f'・g - f・g' )/(g・g)
 ( f^(-1) )' = 1/f'(f^(-1)) ( f^(-1) は逆関数を表す )

質問2
こちらも幾らでもあります。
そもそも連続でない関数は、それだけで微分不可能ですし。

連続でかつ微分不可能な例としては、
 f(x)=x^2 ( x≧0 ), f(x)=x ( x<0 )
とかでも良いですね。( x=0 において微分不可能 )


31076.Re: (untitled)
名前:だるまにおん    日付:2月17日(土) 11時57分
(質問2)
微分可能でない関数は絶対値、ガウス記号の入ったの他に何がありますか。

y=|x3|は絶対値が入ってますが微分可能ですよ。


31077.Re: (untitled)
名前:ぱんだ    日付:2月17日(土) 12時31分
まず「微分可能」という意味を直観的に考えてみましょう。
微分可能であるというのは、簡単に言うと「接線の傾きを求められる」
ということです。
逆に「微分不可能」とは「接線の傾きを求められない
(複数出てしまい一つに定められない)」ということです。
微分不可能な例としては、[x]のように連続でない関数や
|x|のように「とがっている」関数が簡単に考えられます。
そのように考えると、微分可能とは「滑らかにつながっている」
と直観的に捉えることができます。

さて、質問についてですが、世の中に関数とは三角関数や指数関数などしか
存在しないのでしょうか?

「A君は男の子です。B君も男の子です。Cさんは女の子です」と言われたとき
「A君とB君以外に男の子はこの世に存在しますか?」と聞かれたら
当然私の答えは「たくさん存在する」となります。
世の中にはきっとたくさんの人がいるはずです。私の知っている
D君も男の子だよ、とか言うこともできますが、それ以前に
世の中には私の知らない男の子も当然たくさんいるはずです。
世の中には大勢の人がいるということを知っておかないといけません。

さて、私は今xy平面に鉛筆でフリーハンドで滑らかな線を書きました。
それはきっと微分可能な関数になっているはずです。
数学的に意味のない関数で、マイナーな関数なので名前はまだ
ついていません。もしこれが数学的に非常に重要な関数であったならば
この関数にはぱんだ関数という名前がつけられて、これから多くの
人たちがその関数について勉強することになるでしょう。

あんぱんさんがこれから先、新しい関数を考案して
あんぱん関数と名前がつけられるようになるといいですね。

なお、だるまにおんさんがおっしゃっているように、
絶対値やガウス記号が入っていることは
微分可能でないことの必要条件でも十分条件でもありません。
「絶対値だから」とか「三角関数だから」ではなく
関数全体として考えてどのようであるかという捉え方を
心がけてください。


31082.Re: (untitled)
名前:アンパン 高2    日付:2月17日(土) 21時22分
angelさん、だるまにおんさん、ぱんださんありがとうございました。
微分可能な関数とそうでない関数の区別がつきました。

31068.質問  
名前:マリオ    日付:2月17日(土) 3時5分
Original Size: 240 x 320, 21KB

 図のように、船尾の点Oと船首の点Aを結ぶ水平方向の線分OAの中点BにマストBCが鉛直に立ってある。マストBCの長さはOAの1/4である。点Oから船首に向けて水平方向に対して角度θ、速さVでボールを投げた。次の各問に答えよ。ただし、重力加速度をg、ボールの大きさとマストの太さは無視できるものとする。答えは解答郡から選べ。

(1)船が静止しているとき、点Oから投げられたボールが点Cすれすれを通過し、点Aに落下した。tanθの値を求めよ。

(2)(1)の条件を満たすようにボールを投げた直後、船が一定の加速度aでOからAの向きに動き出し、ボールはマストの根元の点Bに落下した。加速度の比a/gを求めよ。

(3)船が一定の速度V/√2で動くようになったとき、点Oから投げられたボールが点Cすれすれを通過し、点Aに落下した。岸で静止している人から見ると、tanθの値はいくらか。

(4)(3)において、岸で静止している人から見ると、ボールが投げられてから落下するまでに飛んだ水平方向の距離Xはいくらか。

解答郡
(1)〜(3)
@1/3 A1/2 B1/√3 C1 D√3 E2 F3

(4)
@1/3OA A1/√3OA B1/√2OA COA D√(2OA) E√(3OA) F2OA



31073.Re: 質問
名前:angel    日付:2月17日(土) 9時54分
まずは事実関係を明らかにし、数式化すること。
BC=h と置くと、OB=2h, OA=4h
(1)
ボールを投げてからCをかすめるまでの時間をTと置くと、
 水平方向:VTcosθ=2h
 鉛直方向:VTsinθ-1/2・gT^2=h
 鉛直方向(速度):Vsinθ-gT=0 … Cで最高なので、Cでは鉛直方向の速度が 0

(2)
(1)において、ボールが落下するまでの時間は 2T、これは水平方向の加速に関わらず一定のため、(2)でも落下するまでの時間は 2T
 水平方向:V・2T・cosθ-1/2・a・(2T)^2=2h

(3)
船の中での状況は(1)と変わらない。
そのため、船から見たボールの相対速度(初速)は、
 水平方向:Vcosθ(船の進む方向)、鉛直方向:Vsinθ(上)
では、船の外から見た速度(初速)は、
 水平方向:Vcosθ+V/√2、鉛直方向:Vsinθ
船の外から見た投げ上げ角度をφ ( (3)でのθ ) と置くと
 tanφ=(Vsinθ)/(Vcosθ+V/√2)

(4)
 水平方向:Vcosθ の時 4h=OA 飛んでいたため、
 水平方向:Vcosθ+V/√2 に変われば、
  X=OA・(Vcosθ+V/√2)/(Vcosθ)
 ※落下してくるまでの時間は変わっていないため

31065.微分法・積分法  
名前:リー    日付:2月16日(金) 4時44分
関数f(x)=x^~-3px^+(3p+6)xについて
1,f(x)が実数全体で増加するようなpの値の範囲を求めよ
途中の式わかるので省きます。
-3p^+3p+6≧0⇔p^-p-2≦0
ここのマイナスは何故プラスにするのですか??計算をしやすくするためですか??
答えが-1≦p≦2
2,f(x)がx≧0の範囲で増加するよなpの値の範囲を求めよ。
 (i)p≧0のとき
  条件は-3x^+3p+6≧0⇔-1≦p≦2よって0≦p≦2
 (A)p<0のとき
  条件はf'(0)=3p+6≧0
と書いてあるのですがなぜ上の式になるのですか?
  続きはp≧-2よって-2≦p<0
答えは
 −2≦p≦2
長く質問をして申し訳ないのですが、教えて下さい!すいません!!



31075.Re: 微分法・積分法
名前:angel    日付:2月17日(土) 10時40分
> -3p^+3p+6≧0⇔p^-p-2≦0
> ここのマイナスは何故プラスにするのですか??計算をしやすくするためですか??

そうです。
 -3(p+1)(p-2)≧0 よって -1≦p≦2
よりも
 (p+1)(p-2)≦0 よって -1≦p≦2
の方が基本に忠実…、といってもどちらでもよいですけど。

> 2,f(x)がx≧0の範囲で増加するよなpの値の範囲を求めよ。
>  (i)p≧0のとき
>   条件は-3x^+3p+6≧0⇔-1≦p≦2よって0≦p≦2
>  (A)p<0のとき
>   条件はf'(0)=3p+6≧0
> と書いてあるのですがなぜ上の式になるのですか?

今回、「f(x)がx≧0の範囲で増加」⇔「x>0の範囲で常に f'(x)≧0」
だからです。もはや微分の問題ではなく、二次関数 f'(x) の値の範囲の問題にすり替わっています。
p の正負は、二次関数のグラフの軸の位置に関わってくるため、模範解答のような場合分けを行っているのですね。
※なお、f'(x)≧0 か f'(x)>0 にすべきかは悩ましいところですが、
 今回の f'(x) は、0 の値が連続するような関数にはなりえません。
 であれば、瞬間的に値が 0 になったとしても「増加」には変わりはないため、f'(x)≧0 という条件で考えます。


31080.Re: 微分法・積分法
名前:リー    日付:2月17日(土) 17時40分
2次関数の問題ですか!わかりました。ありがとうございました!!

31060.数学  
名前:ASAMI(中学3年生)    日付:2月16日(金) 2時10分
いつもお世話になっています。

A君はB君の家から毎分50mの速さで歩いて自宅に帰り5分後に自転車で毎時18kmの速さでC君の家に自転車を返しに行きました。
その後C君の家から毎分50mの速さで歩いて自宅に戻りました
A君がB君の家を出てからC君の家まで25分かかりC君の家から自宅まで30分でした。A君の家からB君の家までの距離を求めなさい

という問題がわかりませんでした。
よろしくお願いします。



31066.Re: 数学
名前:wakky    日付:2月16日(金) 10時45分
A君の自宅とC君の家の距離は
 毎分50mで30分かかったのだから
 50×30=1500(m)
 この1500mを自転車で毎時18km=毎分300mで行ったから
 1500÷300=5(分)
B君の家→A君の自宅で5分休み→C君の家 が25分だから
B君の家→A君の自宅 に要した時間は
 25−5−5=15(分)なので
A君の家からB君の家までの距離は
 毎分50mで15分かかったことになるから
 50×15=750(m)・・・(答)
 

31057.わかりません  
名前:BAKA    日付:2月15日(木) 18時15分
2硫化炭素のモル沸点上昇度を2.3K・kg/mol
硫黄の結晶0.32gを2硫化炭素の24.32gに溶かした
溶液の沸点は 純粋な二硫化炭素よりも0.118度高かった
硫黄の分子量はいくらか

31056.(untitled)  
名前:ジャンメン    日付:2月15日(木) 17時1分
次の問題が全く分からないのですが、どなたか教えて頂けないでしょうか?
因数分解をして解こうと試みたのですが、あいにく因数分解ができずに困っております。以前、このような類題を解いた時は2つの方程式ともうまく因数分解ができる形であったので、簡単に解けましたが、今回ばかりはどんなに頑張っても無理なようです。どのようにして解いたら良いかご教示下さい。
お願いいたします。

問題:2次方程式A:x^2+(a-1)x+2a=0 と2次方程式B:x^2+(2a-1)x+a+1=0    とが共通の整数解を持つようなaの値を全て求めよ。



31064.Re: (untitled)
名前:らすかる    日付:2月16日(金) 3時46分
AとBが共通の整数解bを持つとすると
Aから b^2+(a-1)b+2a=0 … (1)
Bから b^2+(2a-1)b+a+1=0 … (2)
(2)-(1)から ab-a+1=0 … (3)
(3)はb=1では成り立たないのでb≠1
よって(3)から a=1/(1-b)
これを(1)に代入して整理すると
b^3-2b^2-2=0
∴b^2(b-2)=2 … (4)
(4)は、bが奇数のとき左辺は奇数、
bが偶数のとき左辺が8の倍数となるので、
(4)が成り立つような整数は存在しない。
よって題意を満たすaは存在しない。

…という答になってしまいますが、問題は合っていますか?

http://www10.plala.or.jp/rascalhp

31053.円の面積を10等分したときの個々の高さを求める式  
名前:sao    日付:2月15日(木) 11時54分
Size:  x , 1KB

円の面積を10等分したときの個々の高さを求める式

添付資料参照
注意:拡張子を.xlsに変えてから開いてください



31055.Re: 円の面積を10等分したときの個々の高さを求める式
名前:らすかる    日付:2月15日(木) 13時35分
「添付資料」がダウンロードできませんが、
平行線で10等分でしょうか?

http://www10.plala.or.jp/rascalhp

31048.  
名前:sam    日付:2月14日(水) 20時39分
√(−3)^2=|−3|=3とあって確かに√9=3ですが
その√9を構成するのはあくまで√−3×−3なので、矛盾してませんか?かといって√9=−3は間違いなのはわかるんですが・・
うまい理解の仕方を教えてください。



31049.Re: √
名前:ヨッシー    日付:2月14日(水) 21時53分
√9=3 と簡単に書いていますが、
√9 の意味は、2乗して9になる正の数(0も考慮すると、負でない数と書くべき?)です。
2乗して9になる数は、−3と3であることを知りつつ、3だけを採用する
システムですから、いくら−3が存在を主張してもダメです。
 

http://yosshy.sansu.org/


31067.Re: √
名前:sam    日付:2月16日(金) 19時25分
そうだったんですか。ありがとうございました。

31042.同値変形  
名前:のんかる    日付:2月13日(火) 22時38分
いつもお世話になっております。以下の問題をお願い致します。
「@ 方程式 1+√(x+1)=|x| 根号を含まない形に同値変形せよ。
 A 不等式 3-x<√(x-1) を解け。」
Aの方は 自分なりに解答し 2<x<3 と解答したのですが、x=4のときはどうなるのでしょうか?
何卒宜しくお願い致します。



31046.Re: 同値変形
名前:ヨッシー    日付:2月14日(水) 10時37分
(1)
 1+√(x+1)=|x|
両辺2乗して
 x+1+1+2√(x+1)=x^2
移項して
 x^2-x-2=-2√(x+1)
2乗して、
 x^4-2x^3-3x^2+4x+4=4x+4
 x^4-2x^3-3x^2=0
ここで、x=0 は、1+√(x+1)=|x| を満たさないので、x≠0
両辺 x^2で割って、
 x^2-2x-3=0

(2)
 3-x<√(x-1)
x≧1 は、必要です。
(i)x>3 のとき
(左辺)<0<(右辺) なので、常に、3-x<√(x-1) が成り立ちます。
(ii) 1≦x≦3 のとき
 0≦3-x<√(x-1)
より、各辺2乗しても、不等号は変わらず、
 x^2-6x+9<x-1
 x^2-7x+10<0
 (x-2)(x-5)<0
 2<x<5
よって、
 2<x≦3

(i)(ii)より、2<x
 
 

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31047.Re: 同値変形
名前:ヨッシー    日付:2月14日(水) 18時32分
(1) の方は、途中が同値じゃないので、ちょっとイヤですね。
 1+√(x+1)=|x|
 √(x+1)=|x|-1
2乗して
 x+1=x^2+1-2|x| かつ |x|≧1
 x^2-x=2|x| かつ |x|≧1
 x^2-x=2x かつ x≧1 または x^2-x=-2x かつ x≦-1
 x(x-3)=0 かつ x≧1 または x(x+1)=0 かつ x≦-1
 x-3=0 または x+1=0
 (x-3)(x+1)=0
といった具合でどうでしょう?
 

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31038.ベクトル  
名前:ふみや    日付:2月13日(火) 20時32分
三角形ABCの辺BCをm:nに内分する点をM,線分AMの中点をN,直線BNと辺ACの交点をPとする。
@3つのベクトル→AB,→AC,→ANの間に成り立つ関係式を求めよ。
A→AP=x→AC, →NP=y→BNとするとき、x,yの値を求めよ。

よろしくお願いします。



31040.Re: ベクトル
名前:ヨッシー    日付:2月13日(火) 21時34分
(2)は、メネラウスの定理を知っておけば、検算程度に使えるでしょう。

以下、太字は、ベクトルです。

(1)
ANAM/2 であり、
 AM=(nAB+mAC)/(m+n)
より、
 AN=(nAB+mAC)/2(m+n)

(2)
NP=yBN より、
 BPBNNP=(1+y)BN …(i)
と書けます。
 BNANAB
と、(1)の結果より、
 BN=(nAB+mAC)/2(m+n)−AB
 ={mAC−(2m+n)AB}/2(m+n)
(i) より、
 BP=(1+y){mAC−(2m+n)AB}/2(m+n) …(ii)
一方、
 BPAPAB=xACAB
ABACは、平行でないので、(ii)と係数比較して、
 (1+y)m/2(m+n)=x
 (1+y)(2m+n)/2(m+n)=1
が成り立ちます。x,yについて解いて、
 x=m/(2m+n)
 y=n/(2m+n)
 


 

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31050.Re: ベクトル
名前:ふみや    日付:2月14日(水) 22時19分
ありがとうございました。

31035.高2の数T  
名前:玲奈    日付:2月13日(火) 19時24分
tanθ=-2のとき、sinθ、cosθの値を求めよ。



31036.Re: 高2の数T
名前:玲奈    日付:2月13日(火) 19時25分
> tanθ=-2のとき、sinθ、cosθの値を求めよ。
どなたかお願いします。


31037.Re: 高2の数T
名前:玲奈    日付:2月13日(火) 19時27分
何回もすいません!!!
高1です><


31039.Re: 高2の数T
名前:ヨッシー    日付:2月13日(火) 21時14分
Size: 123 x 187, 1KB

tanθ=-2 と聞いただけで、図のような、つまり、
(1,-2) と原点を通る直線が引けなくてはいけません。
そのときの角度、120°に近いところの角度と、300°に近いところの角度が
 tanθ=-2
を満たします。(θは2つあります)
この直線と、単位円の交点の、x座標がcosθ、y座標がsinθです。
 

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31054.Re: 高2の数T
名前:玲奈    日付:2月15日(木) 12時39分
ありがとうございました!!!

31033.漸化式  
名前:高1    日付:2月13日(火) 14時25分
Original Size: 574 x 165, 278KB

この問題がどうしても解けません…
お願いします!



31034.Re: 漸化式
名前:ヨッシー    日付:2月13日(火) 15時20分

問1
n本直線があって、平面がan個に分かれているとき、
n+1本目の直線を引くと、この直線は、他の直線と必ず交わり、n個の交点が出来ます。
この交点によって、n+1本目の直線は、n+1本の線分または半直線に区切られます。
その、1つ1つによって、区切られた平面が1つずつ増えるので、
(1)
 an+1=an+(n+1)
(2)
 a1=2
 an+1−an=n+1
より、階差数列が n+1 で表される、もとの数列{an}の一般項は、n≧2 に対して
 an=a1+Σk=1〜n-1(k+1)
  =2+(2+3+・・・+n)
  =2+n(n+1)/2−1=n(n+1)/2+1
これは、n=1の場合も成り立つので、
 an=n(n+1)/2+1

問2
 n≧2 なるnに対して、
 bn=an+1−an=2/n(n+1)
とおく。このとき、
 an=a1+Σk=1〜n-1k
と書けます。
 bn=2{1/n−1/(n+1)}
と書けるので、
 Σk=1〜n-1n=2[(1−1/2)+(1/2−1/3)+・・・+{1/(n-1)−1/n}]
  =2(1−1/n)
よって、
 an=−2+2(1−1/n)=-2/n
これは、n=1の場合も成り立つので、
 an=-2/n
 

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31027.体積【数3】  
名前:やす    日付:2月13日(火) 3時49分
息子に質問されたのですが、さっぱり分かりません。どうか教えてください。 ※息子 高2:数V学習中
xyz空間において、半径が1でx軸を中心軸として原点から両側に無限に伸びている円柱C1と、
半径が1でy軸を中心軸として原点から両側に無限に伸びている円柱C2がある。
C1とC2の共通部分のうち、y<=1/2である部分をKとおく。
(1) uを-1<=u<=1を満たす実数とする。平面z=uによるKの切断面の面積を求めよ。
(2) Kの体積を求めよ。

学校であたっているとのことです。どうかよろしくお願いします。



31028.Re: 体積【数3】
名前:ヨッシー    日付:2月13日(火) 9時19分
Size: 218 x 218, 2KB

図は、x軸の方向から見た図です。(y軸方向の円柱は省略しています)

こちらの解答も参考にしていただいて、

(1)
u>√3/2 または u<-√3/2 のとき、
断面は、1辺 2√(1−u^2) の正方形なので、
面積は、4(1−u^2)
-√3/2≦u≦√3/2 のとき、
断面は、縦 2√(1−u^2)、横√(1−u^2)+1/2 の長方形なので、
面積は、2(1−u^2)+√(1−u^2)

(2)
積分範囲は、0≦z≦1 として、これを2倍します。
0〜√3/2{2(1−u^2)+√(1−u^2)}du+∫√3/2〜14(1−u^2)du
=2[u−u^3/3]0〜√3/2+4[u−u^3/3]√3/2〜1+∫0〜√3/2√(1−u^2)du

0〜√3/2√(1−u^2)du について、
u=sinθ とおくと、du=cosθdθ
0≦u≦√3/2 は、0≦θ≦π/3 に対応し、この範囲では、√(1−u^2)=cosθ
よって、
0〜√3/2√(1−u^2)du
 =∫0〜π/3cos^2θdθ
 =∫0〜π/3{(cos2θ+1)/2}dθ
 =[sin2θ/4+θ/2]0〜π/3=√3/2+π/6

Kの体積は、
2[u−u^3/3]0〜√3/2+4[u−u^3/3]√3/2〜1+(√3/2+π/6)
=2(√3/2−√3/8)+4(1−1/3−√3/2+√3/8)+(√3/2+π/6)
=3√3/4+8/3−3√3/2+√3/2+π/6
=8/3−√3/4+π/6
 
ちょっと自信なし。
 

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31029.Re: 体積【数3】
名前:ヨッシー    日付:2月13日(火) 10時0分
あ、2倍するの忘れてました。

16/3−√3/2+π/3

です。
 

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31031.Re: 体積【数3】
名前:らすかる    日付:2月13日(火) 11時51分
私の計算では (4π+64-15√3)/12 となりました。
sin2θ/4にπ/3を代入したところで4で割り忘れているようですね。

http://www10.plala.or.jp/rascalhp


31032.Re: 体積【数3】
名前:ヨッシー    日付:2月13日(火) 12時13分
らすかるさん、ありがとうございます。

2倍した記事を書いたところで、間違ってる自信も、2倍になりました(^^;

16/3(欠けがないときの体積) より、大きくなるはずないんです。
 

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31016.定積分  
名前:ryou    日付:2月12日(月) 20時39分
f(x)=cosx+∫[0,π/2]f(t)sin(x+t)dt

という問題なのですが、a=∫[0,π/2]f(t)sin(x+t)dt とおいて、
f(x)=cosx+a
a=∫[0,π/2](cosx+a)sin(x+t)dt
=∫[0,π/2]cosx sin(x+t)dt + a∫[0,π/2]sin(x+t)dt

となったのですが、sin(x+t)をどう処理しながらとけばいいのかが分かりません。どうかよろしくお願いします。



31022.Re: 定積分
名前:c.e.s.    日付:2月12日(月) 22時42分
∫[0,π/2]f(t)sin(x+t)dtにはxが入っているので、定数ではなく、
aでおくわけにはいきません。

f(x)=cos(x)+∫[0,π/2]f(t)sin(x+t)dt
=cos(x)+∫[0,π/2]f(t){sin(x)cos(t)+sin(t)cos(x)}dt
=cos(x)+∫[0,π/2]f(t){sin(x)cos(t)}dt+∫[0,π/2]f(t){sin(t)cos(x)}dt
=cos(x)+sin(x)∫[0,π/2]f(t)cos(t)dt+cos(x)∫[0,π/2]f(t)sin(t)dt

a=∫[0,π/2]f(t)cos(t)dt, b=∫[0,π/2]f(t)sin(t)dtとおくと
f(x)=cos(x)+a sin(x)+b cos(x)=a sin(x)+(1+b)cos(x)となるので
a=∫[0,π/2]f(t)cos(t)dt=∫[0,π/2]{a sin(t)+(1+b)cos(t)}cos(t)dt
=(1/4)(2a+πb+π)
b=∫[0,π/2]f(t)sin(t)dt=∫[0,π/2]{a sin(t)+(1+b)cos(t)}sin(t)dt
=(1/4)(πa+2b+2)

a,bについての連立方程式a=(1/4)(2a+πb+π),b=(1/4)(πa+2b+2)を解くと
a=4π/(4-π^2),b=(4+π^2)/(4-π^2)

よってf(x)=a sin(x)+(1+b)cos(x)=4{πsin(x)+2cos(x)}/(4-π^2)


31023.Re: 定積分
名前:ryou    日付:2月12日(月) 23時11分
sin(x+t)=sinxcost+cosxsintに分けて考えればよかったんですね。
そのあとも計算長いのに解く順序を教えていただき、本当に有難うございました。

31015.(untitled)  
名前:清美です。    日付:2月12日(月) 13時43分
よく解りました。
ありがとうございました。



31045.Re: (untitled)
名前:キモオタ    日付:2月14日(水) 4時56分
良かったな!! 今度から宿題くらいちゃんと自分でしろよ!!

31008.sgtq  
名前:清美です。    日付:2月12日(月) 10時38分
(1)yがxに反比例していて、x=8分の15のときy=−5分の16である。
  y=2分の3の時のxの値を求めなさい。

(2)yがxに反比例していて、xの変域が5分の12<=x<=6の時、
  yの変域が16<=y<=40である。x=3のときのyの値を求めない。



31012.Re: sgtq
名前:ヨッシー    日付:2月12日(月) 12時16分
xとyが反比例するとは、
 xy=a (aは0以外の定数)
と表されることなので、(両辺xで割って y=a/x と書かれることもあります)
x=15/8 のとき y=-16/5 より、aにあたる定数は、
 xy=(15/8)(-16/5)=-6
よって、y=3/2 のとき、x=-6÷(3/2)=-4

(2)
(1)と同様に考えると、
 x=12/5 のとき y=40
 x=6 のとき y=16
で、xy=96 と書けます。(以下略)
 

http://yosshy.sansu.org/

31003.微分を利用した極限値の問題  
名前:アンパン 高2    日付:2月11日(日) 22時8分
 (別の掲示板で質問させていただきましたが、内容を一部変更しこちらで質問させていただきます。)
 次の命題のを自分で考えました。証明が正しいかどうかわからないので教えてください。

命題『f(x)はg1(x)<=x<=g2(x)は連続で、g1(x)<x<g2(x)で微分可能とする。lim[x→a]g1(x)=lim[x→a]g2(x)=αならばlim[x→a] ( f(g1(x))-f(g2(x)) )/( g1(x)-g2(x) )=f'(α)になる。』

<質問1>

この命題に自身がないのですが、正しいですか。


<質問2>

この命題の証明を自分で考えましたが正しいですか。

(私が考えた証明)
f(x)はg1(x)<=x<=g2(x)は連続で、g1(x)<x<g2(x)で微分可能であるから、g1(x)<=x<=g2(x)で平均値の定理から 
(f(g1(x))-f(g2(x)) )/( g1(x)-g2(x) )=f'(c) 、 g1(x)<c<g2(x)となる実数cが存在する。lim[x→a]g1(x)=lim[x→a]g2(x)=αより、はさみうちの原理から、lim[x→a]c=α
よって、lim[x→a] ( f(g1(x))-f(g2(x)) )/( g1(x)-g2(x) )=lim[x→a]f'(c)=f'(α)

この証明の書き方は正しいですか。

<質問3>

この命題が正しかったら、問題で次のように解いていいのでしょうか。
また、「f(x)はsin x<=x<=2xは連続で、sin<x<2xで微分可能であるから。」は書く必要がありますか。
(問題) lim[x→0] {e^(2x)-e^sinx}/(2x-sinx)
(解答) f(x)=e^xとおく。f'(x)=e^x lim[x→0]sin x=lim[x→0]2x=0より、(上の命題から)lim[x→0] {e^(2x)-e^sinx}/(2x-sinx)=f'(0)=e^0=1



31004.Re: 微分を利用した極限値の問題
名前:黒蟻    日付:2月12日(月) 0時0分
>f(x)はg1(x)<=x<=g2(x)は連続で、
日本語の文章になっていません。

>g1(x)<x<g2(x)で微分可能とする
日本語の文章になっていません。「a<x<bで微分可能である」と書いたとき、a,bはxによらない定数でなければ 意味がとおりません。


31005.Re: 微分を利用した極限値の問題
名前:あんぱん 高2    日付:2月12日(月) 8時4分

「f(x)はg1(x)<=x<=g2(x)は連続」は「g1(x)≦x≦g2(x)は連続」と書きたかったのですが、≦の記号を書くことができず、<=にしました。
すいません。
「g1(x)<x<g2(x)で微分可能とする
日本語の文章になっていません。「a<x<bで微分可能である」と書いたとき、a,bはxによらない定数でなければ 意味がとおりません。」ですが、「1/(x+1)<log(x+1)−logx<1/xを平均値の定理を使って証明せよ。」の問題の解答(記述の仕方をはっきりと覚えていません。)で「f(x)=logxはx>0で微分可能で区間[x,x+1]で平均値の定理を用いると(以下略)」のように区間のところにa,b(定数)ではなく、変数xが入っていましたが、これはいけないのでしょうか。


31009.Re: 微分を利用した極限値の問題
名前:黒蟻    日付:2月12日(月) 10時58分
>「g1(x)≦x≦g2(x)は連続」と書きたかったのですが、
f(x)はどこに行ってしまったのですか?あと、やはり日本語の文章になっていません。「g1(x)≦x≦g2(x)」は不等式を表します。これが”連続である”とは何ですか?不等式の連続性とはどういうことですか?私は関数の連続性しか知りません。

>「f(x)=logxはx>0で微分可能で区間[x,x+1]で平均値の定理を用いると(以下略)」のように区間のところにa,b(定数)ではなく、変数xが入っていましたが、これはいけないのでしょうか。
私の文書をよく読んで下さい。もう一度言います。

「a<x<bで微分可能である」という形の文章においては、a,bはxによらない定数でなければ 意味がとおりません。

分かりますか?あなたの挙げたf(x)=logxの例でも、「x>0で微分可能で」と表現されていて、a=0,b=+∞となっています。区間はxによっていません。そして

>区間[x,x+1]で平均値の定理を用いると(以下略)

この部分ですが、これは意味が通っています(そもそも「a<x<bで微分可能である」という形の文章ではありません)。


31025.Re: 微分を利用した極限値の問題
名前:アンパン 高2    日付:2月12日(月) 23時43分
黒蟻さん

 すいません。問題と答えをよく覚えていないで御迷惑をかけました。前回はいくつかの参考書の文を混ぜて書いてしまい変な内容になりました。その中で、今回は1つだけ(駿台予備校で出版されている参考書)に書いてあった問題と解答を書きますので、御指導をお願いします。

(問題)

「平均値の定理を利用して、x>0のとき、1/(x+1)<log(x+1)-logx<1/xを証明せよ。ただし、対数は自然対数である。」

(解答)

「f(x)=logx、a=x.b=x+1(x>0)とおく。f(x)は区間[x,x+1](x>0)で連続、区間(x,x+1)で微分可能で、f'(x)=1/xであるから、
{log(x+1)-log x)/{(x+1)-x}=f'(c)かつ0<x<c<x+1
(以下略)」

質問ですが、上の問題の解答の「a=x.b=x+1(x>0)とおく。f(x)は区間[x,x+1](x>0)で連続、区間(x,x+1)で微分可能で」の[x,x+1]と(x,x+1)は,黒蟻さんの言われた「a,bはxによらない定数でなければ 意味がとおりません。」で考えると、xとx+1は定数になるのでしょうか。


31026.Re: 微分を利用した極限値の問題
名前:黒蟻    日付:2月13日(火) 0時57分
>「a,bはxによらない定数でなければ 意味がとおりません。」で考えると、xとx+1は定数になるのでしょうか。
訂正の仕方は2通りあります。

(1つ目)
a=x.b=x+1(x>0)とおく。f(t)は区間[x,x+1]で連続、区間(x,x+1)で微分可能で

(2つ目)
a=p.b=p+1(p>0)とおく。f(x)は区間[p,p+1]で連続、区間(p,p+1)で微分可能で

1つ目の訂正では、xを定数扱いし、そのかわりに、「t」を変数として扱っています(文字はtでなくてもよい。ただしxは駄目)。2つ目の訂正では、xを変数として扱い、そのかわりに、定数として「p」という文字を使っています(文字はpでなくてもよい。ただしxは駄目)。


31030.Re: 微分を利用した極限値の問題
名前:ぱんだ    日付:2月13日(火) 11時34分
数Vの微分積分で特に意識しないといけないことに
「どの文字が定数か」「どの文字の関数か」
「どの文字で微分(あるいは積分)するのか」ということがあります。

さて、一般にxy平面上に(x,○)という座標を取ったら
それだけである意味嘘になってしまいます。次の問題を考えてみてください。

問題1 y=x^2上の点P(t,t^2)での接線の方程式を求めよ。
問題2 y=x^2上の点Q(x,x^2)での接線の方程式を求めよ。

xy平面上に(x,x^2)という座標を取ってはいけない理由を考えてみてください。
「y=『x』^2」に書かれている『x』とQ(『x』)に書かれている『x』は
意味が違いますよね?だから本来別の文字でおかないといけないのです。

さて、今回の問題は、xは定数としての性質と変数としての性質の
二面性を含んでいます。
f(x)=logxは(*このときxは間違いなく変数として扱われています。
xの値が一つ定まると(xを2などの定数とみなす。
つまりこの段階で厳密には誤り)fという関数は閉区間[x,x+1]で連続です。
無難な書き方としては、黒蟻さんが書かれているように
f(t)=logtは(tは変数)閉区間[x,x+1]で連続で〜(xは定数)と
するのがよいでしょう。

さらに私からのアドバイスとしては、f(○)の○に入る文字にこだわるな
ということ、fそのものを見つめるということです。
f(x)=x^2という関数を考えてみましょう。
ここで、f(『x』)とかf(『t』)とか、中に入る文字は
本来関数の本質ではありません。

関数は昔は函数などと書かれました。函は箱(ブラックボックス)を
意味します。
今ここに不思議な箱(ブラックボックス)があります。
その箱に1を入れると1という数が出てきました。
その箱に2を入れると4という数が出てきました。
その箱に3を入れると9という数が出てきました。
その箱に4を入れると16という数が出てきました。
・・・・
さて、この箱はどういう仕組みになっているのでしょうか?
A君は一般にxという数を入れるとx^2が出てくる箱だと結論付けました。
B君は一般にtという数を入れるとt^2が出てくる箱だと結論付けました。
A君の定義の仕方はf(x)=x^2、B君の定義の仕方はf(t)=t^2です。
A君は数の代表としてxを選び、B君は数の代表としてtを選びました。
しかしA君もB君もその根底の考え方は全く同じであるはずです。
tだから、とかxだから、ということにこだわる必要は全くなく、
むしろfというブラックボックスはいったいどんな性質を持っている
のだろうかと考えることこそが本質に近づく近道だと思います。

どの文字の関数かということにあまりこだわらなくてよい
(自明なあるいは簡単な場合)は、今回のアンパンさんの問題の
ように本当は同じ文字を使ってはいけない場合に同じ文字を使うことは
厳密な大学の数学の授業でもしばしば見られます。

最後に、あんぱんさんに対する宿題として
f '(2x)と{f(2x)} 'の違いについて考えてみてください。


31043.Re: 微分を利用した極限値の問題
名前:アンパン 高2    日付:2月13日(火) 23時43分
黒蟻さん、ぱんだ さんありがとうございました。xが定数と変数になる場合の考え方がよくわかりました。
「最後に、あんぱんさんに対する宿題として
f '(2x)と{f(2x)} 'の違いについて考えてみてください。 」でf '(2x)はf(□)を微分した答えf’(□)に2x(2xを定数と考える。)を代入したもの、{f(2x)} 'はf(□)に2xをまず代入してそれから微分する(2xは変数と考える。)ということですね。


31044.Re: 微分を利用した極限値の問題
名前:ぱんだ    日付:2月14日(水) 0時4分
だいたい正解ですね。
f '(2x)はf(t)というtの関数をtで微分したf '(t)に
t=2x(2xは定数とみなす)を代入したもの。
{f(2x)} 'はg(x)=f(2x)というxの関数をxで微分したものです。

ではf '(2x)と{f(2x)} 'の間に成り立つ関係式について考えてみてください。


31051.Re: 微分を利用した極限値の問題
名前:アンパン 高2    日付:2月15日(木) 0時44分
ぱんださん

ありがとうございます。「f '(2x)と{f(2x)} 'の間に成り立つ関係式について考えてみてください。 」ですが、{f(2x)} 'は合成関数の微分の公式を使って、{f(2x)} '=f'(2x)×(2x)'=2f'(2x)と考えるしかできませんでした。はんださんの期待した答えの仕方ができません。教えて下さい。お願いします。


31052.Re: 微分を利用した極限値の問題
名前:ぱんだ    日付:2月15日(木) 1時58分
あ、{f(2x)} '=f'(2x)×(2x)'=2f'(2x)が私の期待した
{f(2x)} '=f'(2x)の関係式ですね。

ちなみになぜ2倍になるのか自分自身で納得できていますか?


31058.Re: 微分を利用した極限値の問題
名前:アンパン 高2    日付:2月15日(木) 21時57分
ぱんだ さん

「{f(2x)} '=f'(2x)×(2x)'=2f'(2x)が私の期待した
{f(2x)} '=f'(2x)の関係式ですね。
ちなみになぜ2倍になるのか自分自身で納得できていますか? 」ですが、納得がいきません。教えてください。


31059.Re: 微分を利用した極限値の問題
名前:ぱんだ    日付:2月16日(金) 1時29分
まず、微分の意味というものを考えてみましょう。
例えばdy/dxとは「yをxで微分したもの」です。数Vではこのように
「どの文字をどの文字で微分したか」が重要なポイントになります。
ではそのdy/dxとは直観的に言うと何なのか?
例えばxy平面にグラフを書いたときの「傾き」であったり
「xとyの変化の割合」であったりします。
さて、今回の問題を考えるときはdy/dxを
「yはxの何倍変化するか」という捉え方をするとわかりやすいと思います。

今AとBの歯車が接していて、BはCとも接しています。
Aをx回動かすと連動してBがy回動き、それに連動してCがz回動くシステムです。
今、dy/dx=3という条件が与えられました。これはどういうことでしょうか?
(下の答えを見る前に少し自分で考えてみてください)



「xを少しだけ動かすとyはその(約)3倍(の速さで)動く」ということです。
今さらにdy/dz=2という条件が与えられました。
これは「yを少しだけ動かすとzはその2倍動く」ということです。

ではここで問題です。dz/dxはいったいなんでしょうか?

dz/dxとは、zはxの何倍の速さで動くのかということです。
その答えは当然(dy/dx)×(dz/dy)=3×2=6です。
合成関数の微分の公式はこのように捉えると
複雑な証明ではなく、簡単に直観的に理解できると思います。

さて、今y=(3x+1)^4という式をxで微分することを考えて見ましょう。
3x+1=uとおいてみてください。xが動くと連動してuも動き、
それに連動してyの値も動きます。
uはxを使ってu=3x+1と表され、yはuを使ってy=u^2と表されます。

※yを直接xで表すのが不可能(あるいは難しい)場合はこのように
間に「yともxとも比較しやすいもの」を仲介に持ってきます。
このuの役を媒介変数と呼んだりします。

さて、dy/dxを求めたいがyとxは直接の関係は複雑なので仲介にuを持ってきます。
dy/dx=(dy/du)×(du/dx)={d/du(u^2)}×{d/dx(3x+1)}
=2u×3=2(3x+1)×『3』となります。

y=f(2x) u=2xについて、yをxで微分したものが{f(2x)} 'です。
dy/dx=(dy/du)×(du/dx)=f '(u)×2=f '(2x)×2となるわけです。

別の捉え方としては、
f '(2x)とはy=f(t)のグラフのt座標が2xの点での傾きを表し、
{f(2x)} 'とは、y=g(t)=f(2t)というグラフのt座標がxの点での傾きを
表しています。y=f(t)とy=f(2t)のグラフの関係はお分かりでしょうか?


y=f(2t)はy=f(t)の横幅を半分に圧縮したものになります。
遊園地などにあるマジックミラーを想像してください。
世界全体が横幅半分になったと思えばいいでしょう。
f(2t)の世界では全てのものの横幅が半分になって細長くなっています。
f(2t)の世界におけるt=xは、f(t)(元の世界)におけるt=2xに対応します。
その両者の傾きは、横幅が半分になったf(2t)の世界でのほうが2倍に
なっています。つまり{f(2x)} '=2f '(2x)となります。


31072.Re: 微分を利用した極限値の問題
名前:あんぱん 高2    日付:2月17日(土) 9時31分
ぱんださん。「今さらにdy/dz=2という条件が与えられました。これは「yを少しだけ動かすとzはその2倍動く」ということです。」はdz/dy=2の誤りですね。でもよく理解できました。本当にありがとうございました。
 今日2月17日(土)の朝8時から9時に2つ質問を載せましたので、よかったら御指導をお願いします。

31002.証明問題(宿題)  
名前:のんのん(中2)    日付:2月11日(日) 21時17分
お世話になっています。よろしくお願いします。

円Oの外の1点Pから円Oに2つの接線PA , PB を引く。C は、A, B と異なる円周上の点で、ACとPO は平行ではなく、またACとPB も平行ではないとき、Pを通ってACに平行に引いた直線と直線BCとの交点をDとすれば、DO⊥AC (DO と AC は垂直)であることを示せ。  



31010.Re: 証明問題(宿題)
名前:のんのん(中2)    日付:2月12日(月) 11時15分
解説では、5点 P, O, A, B, D が同一円周上にあることを示す。
OP がその円の直径だから ∠ODP = 90度 となっています。

この解説を読んでもわかりません。よろしくお願いします。
円周角とか方べきの定理を利用するのではないかとは想像できるのですが。


31011.Re: 証明問題(宿題)
名前:ヨッシー    日付:2月12日(月) 12時7分
Size: 154 x 119, 1KB

∠AOP=∠BOP を●とおくと、∠ACBは∠AOBの半分なので、
●に一致します。
また、AC//PD なので、∠PDB+∠ACB(●)=180°であるので、
 ∠PDB+∠BOP(●)=180°
より、四角形POBDは、円に内接します(向かい合う角の和が180°)
以上より、∠OBP=∠ODP=90° となり、DO⊥PD
AC//PD より、DO⊥AC となります。
 

http://yosshy.sansu.org/



31013.Re: 証明問題(宿題)
名前:のんのん(中2)    日付:2月12日(月) 13時6分
ヨッシーさん、ありがとうございます。
内接四角形の条件のところはよく理解できましたが、、∠OBP = 90度になる部分、および解説にあるOPがその円の直径になるという部分がよく理解できません。解説をお願いできますでしょうか。

よろしくお願いします。


31014.Re: 証明問題(宿題)
名前:ヨッシー    日付:2月12日(月) 13時15分
円の接線と、その接点と円の中心を結んだ半径とは直角をなす。
というのがあります。
この場合、OAとPAは直角、OBとPBは直角です。

また、円周角の定理(中でもターレスの定理と言うそうですが)
より、直径に経つ円周角は直角である。
と言うのがあって、その逆を使って、∠OBPが直角であることより、OPが直径と言えます。
 

http://yosshy.sansu.org/


31019.Re: 証明問題(宿題)
名前:のんのん(中2)    日付:2月12日(月) 21時20分
ヨッシーさん
お礼がおそくなりました。接線と半径の関係は質問を書き込んだあとに自分でも気づきました。ありがとうございました。

ところで、点Cが逆にPの側の円周上にあっても同じことのようですが円周角と中心角の関係が使えないように思われます。
どのように証明すればいいのでしょうか。

よろしくお願いします。


31020.Re: 証明問題(宿題)
名前:ヨッシー    日付:2月12日(月) 21時42分
Size: 221 x 160, 2KB

その場合は、∠AC’Bが●なのに対して、∠ACDが●になります。
すると、AC//DP より、∠CDPが●になり、
 ∠BOP=∠BDP
より、4点O,B,P,D は同一円上にあり、OPが直径になります。
 

http://yosshy.sansu.org/



31024.Re: 証明問題(宿題)
名前:のんのん(中2)    日付:2月12日(月) 23時20分
ヨッシーさん
ありがとうございました。

31000.(untitled)  
名前:iyahaya    日付:2月11日(日) 20時10分
半径rの球の表面積が4πr2であることの証明を積分を使って行う方法を解説してください。



31006.Re: (untitled)
名前:ヨッシー    日付:2月12日(月) 8時39分
こちらをご覧下さい。
 

http://yosshy.sansu.org/

30992.図形の面積  
名前:aya    日付:2月11日(日) 13時41分
三角形ABCにおいて、a=2√3−√6、b=4−2√2、c=√2の時次の問いに答えなさい。
問い・・・内接円の半径rを求めなさい。
答え・・・5√2+4√3−3√6−6/2
です。高1の問題です。お願いします!!



30994.Re: 図形の面積
名前:ぱんだ    日付:2月11日(日) 14時5分
大まかな方針としては、
1、まず面積を求める
2、面積=三角形の周囲の長さ×内接円の半径×1/2を使って半径を求める。
といったところです。
面積の出し方は
ヘロンの公式や、習っていなければ
余弦定理でどこかの角のcosを求め、そこからsinを求め、
高さを求めてやれば出せます。


30996.Re: 図形の面積
名前:aya    日付:2月11日(日) 15時1分
ぱんださん、ありがとうございました。頑張って解いてみます。

30990.図形の証明(外接するふたつの円)  
名前:のんのん(中2)    日付:2月11日(日) 10時53分
教えていただけないでしょうか。お願いします。

半径 r1, r2 の円 O1, O2 が点 A で外接しているとき、この2つの円の共通外接線が、円 O1, O2 と接する点を B, C とする。
ABの二乗 : ACの二乗 : BCの二乗 = r1 : r2 : r1 + r2 であることを証明せよ。



30997.Re: 図形の証明(外接するふたつの円)
名前:なかいち    日付:2月11日(日) 17時36分
Original Size: 320 x 320, 27KB

O1O2=r1+r2, DO2=r2-r1より、BC=2√(r1*r2)となります。
よって、BM=√(r1*r2)
また、△ABM∽△ACO2より、AB:AC=BM:CO2=√(r1*r2):r2
よって、AB^2:AC^2=(√(r1*r2))^2:(r2)^2=r1:r2
∠BAC=90°より、BC^2=AB^2+AC^2
AB^2=r1*t, AC^2=r2*t と置いてみると、BC^2= r1*t+r2*t
以上より、AB^2:AC^2:BC^2=r1:r2:r1+r2



31001.Re: 図形の証明(外接するふたつの円)
名前:のんのん(中2)    日付:2月11日(日) 20時26分
なかいちさん、
ありがとうございました。よく読んで理解できました。

30986.問題が解けません><  
名前:中学2年生    日付:2月11日(日) 5時44分
伏せられた20枚のカードの内1枚だけ絵柄の違うカードが混ざっている。
私はそのうち2枚だけめくることを許され、最終的に20枚の中からその絵柄の違う1枚を言い当てるというものである。
それが絵柄の違う1枚だった場合私の勝ちとなり、その他の場合は相手の勝ちとなる。
そして一度だけ私の質問に応じるという。
ただしそれは「はい」「いいえ」で答えることが可能な質問で無ければならない。
どうすれば当てられますか?><教えてください!



30991.Re: 問題が解けません><
名前:らすかる    日付:2月11日(日) 11時40分
これって、まともな数学の問題ですか?
それとも、クイズ?

http://www10.plala.or.jp/rascalhp


31091.Re: 問題が解けません><
名前:らすかる    日付:2月18日(日) 8時35分
回答がありませんので、「クイズ」と仮定して思い付いた答を書きます。

「今から私が言う質問に、私が絵柄の違う1枚に触れた時に答えてください。
『カードは全部で20枚ですか?』」
と質問して、順にカードに触れていく。

http://www10.plala.or.jp/rascalhp

30985.循環小数  
名前:sam    日付:2月11日(日) 4時50分
5/7を循環少数で表せという問題の解説に
@自然数を7で割った余りは1,2,3,4,5,6のいずれかである。
A従って少なくとも6回割り算を行えば同じ余りがでてきて
以後の計算は繰り返しとなる。 とあるんですが
なぜ従ってなのかわかりません。自然数を9で割った余りは
1から8のいずれかである→少なくとも8回計算必要ってわけではない
ですよね。



30987.Re: 循環小数
名前:らすかる    日付:2月11日(日) 6時33分
9でも同じですよ。
ただ、「少なくとも」というのは日常語としては解釈できますが、
数学的には適切ではないですね。

@自然数を7で割った余りは1,2,3,4,5,6のいずれかである。
A従って多くとも7回割り算を行えば同じ余りがでてきて、以後の計算は繰り返しとなる。

という意味ですので、そのように解釈すれば9でも問題ないですね。

http://www10.plala.or.jp/rascalhp


31021.Re: 循環小数
名前:sam    日付:2月12日(月) 22時9分
ありがとうございました。

30982.図形の証明  
名前:のんのん(中2)    日付:2月10日(土) 22時16分
円O外の点Pから円Oに2本の接線を引き、接点をA, B とする。また、P を通る1本の割線を引いて円周との交点をC , D とする。
このとき、AD x BC = AC x BD であることを証明せよ。

よろしくお願いします。



30984.Re: 図形の証明
名前:angel    日付:2月11日(日) 4時8分
PCDの順に並んでいる前提で。
PAが円の接線であることに着目すると、∠PAC=∠PDA
この条件と、∠P 共通とを合わせると、△PAC∽△PDA、よって AC/DA=PC/PA

同様に △PBC∽△PDB、BC/DB=PC/PB

ところで、接線の長さ PA, PB は等しいため、
AC/DA=PC/PA, BC/DB=PC/PB, PA=PB の3条件を合わせると、AC/DA=BC/DB

※ PA=PB に関しては、
 OA=OB=半径、OP共通、∠PAO=∠PBO=直角 より △PAO≡△PBO から
 ( もしくは、三平方の定理より PA^2=OP^2-OA^2=OP^2-OB^2=PB^2 )


30989.Re: 図形の証明
名前:のんのん(中2)    日付:2月11日(日) 10時40分
ありがとうございました。

30980.2次関数  
名前:あすみ    日付:2月10日(土) 21時1分
この問題はあるテストででた問題なのですが、
答えを見ても何がなんだかわかりません。
わかりやすい説明をしていただきたいです。

問 xの2次関数 

      f(x)=x^2−2ax+1
      g(x)=−2x^2−2ax+1

がある。ただし、aは正の定数とする。

(1)0≦x≦1におけるf(x)の最小値m1を求めよ。

(2)−1≦x≦0におけるg(x)の最小値m2を求めよ。

 お願いします。



31007.Re: 2次関数
名前:ヨッシー    日付:2月12日(月) 9時27分
f(x)=x^2−2ax+1
 =(x−a)^2−a^2+1
と書けるので、
 f(x) 自身は、x=a で最小になります。

ただし、0≦x≦1 に、それが含まれるかで、場合分けが必要になります。
0≦a≦1 のとき、x=aのとき最小値 f(a)=−a^2+1
a<0 のとき、x=0 のとき最小値 f(0)=1
a>1 のとき、x=1 のとき最大値 f(1)=2−2a

こちらも併せてご覧下さい。
 

http://yosshy.sansu.org/


31018.Re: 2次関数
名前:あすみ    日付:2月12日(月) 21時16分
あの〜どういう計算で
f(1)=2−2aというのがでるんでしょうか?
もしかしてグラフから読み取るんですか?

30977.初めまして。解答よろしくお願いします。  
名前:KYO    日付:2月10日(土) 13時53分
問題は
点(2,ー1)を通り、1/2x-y-5=0に垂直な直線
です。解答よろしくお願いします(>人<)



30983.Re: 初めまして。解答よろしくお願いします。
名前:RYO 高1    日付:2月10日(土) 22時20分
1/2x-y-5=0・・・@
@の傾きは1/2であるので@に垂直な直線の傾きをmとすると
(1/2)・m=−1 ∴m=−2

求める直線は傾きー2で点(2,ー1)を通るので

y+1=-2(x-2)⇔y=-2x+3・・・A

Aが求める直線。
http://evergreen1.blog90.fc2.com/

30975.別の質問です。逆と連続について   
名前:あんぱん 高2    日付:2月10日(土) 12時33分


次のことがわかりません。よろしくお願います。

<質問1>

(問題1)

kは整数とする。y=kxが(3,6)を通るとき、定数kの値を求めよ。
(解答)x=3、y=6を代入して、6=3k k=2 ・・・(答え)



(問題2)

kは整数とする。y=xk+k2が(0,1)を通るとき、定数kの値を求めよ。
(解答)x=0、y=1を代入して、1=0k+k2 k=−1,1 (必要条件)

逆にk=−1の時、y=x−1+(−1)2 =1/x+1でx=0は定義されないからk=−1は不適。
k=1の時、y=x+1でx=0のとき、y=1より条件を満たす。よってk=1
・・・(答え)




(問題1)の解答は逆を確認する記述をしていないですが、(問題2)では逆を記述しています。(問題1)のような優しい問題では逆が成り立つことを書いていないのですが、これは省略しているのでしょうか。もしそうだとしたら、どのような場合は省略していいのでしょうか。逆を述べるときと述べない時の基準がわかりません。(これまで、恒等式で係数を求める問題で数値を代入する問題、関数の極値が与えられ、係数を求める問題などでは、逆を述べる必要があるとむりやり覚えていました。)それから、値を求める問題は、どの問題も値を求めた時は、これは必要条件(または必要十分条件)であり、逆を(省略する場合もあるかもしれませんが)考えなくてはならないのでしょうか。


<質問2>

平均値の定理はf(x)のグラフが閉区間[a、b]で連続で、開区間

(a,b)で微分可能な時、{f(b)−f(a)}/(b−a)=f'(c)ただし a<c<bとなる実数cが存在する。」で、問題の解答で「閉区間[a、b]で連続」を省略し「開区間(a,b)で微分可能」だけ書いている参考書がありますが、これは「開区間(a,b)で微分可能」⇒「閉区間[a、b]で連続」だと思うのですが、これが納得できません。「x=kで微分可能」⇒「x=kで連続」はわかります。これに合わせて書くと、「開区間(a,b)で微分可能」⇒「開区間(a、b)で連続」ではないでしょうか。



30976.Re: 別の質問です。逆と連続について 
名前:angel    日付:2月10日(土) 13時36分
質問1
> 逆を述べるときと述べない時の基準がわかりません。

それは、「与えられた条件を全て考慮して同値変形を行っているかどうか」
一部の条件を無視して突っ走ったり、同値でない変形を行った場合は、逆を検証する必要があります。

問題1 に関しては、
 y=f(x)が(a,b)を通る ⇔ b=f(a)が成立する
という同値変形なのでO.K.
厳密には「kが整数」ということを検証しなければいけませんが、自明のため省略していると見ることができます。

問題2 に関しては、0^k の部分の条件を考えずに計算を進めているため、後で逆を検証しています。
もしも、
 kは整数、y=x^k+k^2 が (0,1) を通る
 ⇔ kは整数、1=0^k+k^2、0^k が計算できるため、k>0
 ⇔ kは整数、k>0、k=±1
 ⇔ k=1
と持ってきていれば、逆は必要なかったわけで。


30978.Re: 別の質問です。逆と連続について 
名前:angel    日付:2月10日(土) 13時55分
質問2
> 問題の解答で「閉区間[a、b]で連続」を省略し「開区間(a,b)で微分可能」だけ書いている参考書がありますが、これは「開区間(a,b)で微分可能」⇒「閉区間[a、b]で連続」だと思うのですが、これが納得できません。

いいえ、「開区間(a,b)で微分可能」⇒「閉区間[a、b]で連続」とはなりません。
単に書き忘れているだけでしょう。
「閉区間[a、b]で連続」とならないような問題はまず出ませんから、書き忘れても大した問題ではない、とも言えますが…。あまり好ましくはないと思います。

なお、
 開区間(a,b)で微分可能 ⇒ 開区間(a,b)で連続
ならば、無条件で成立します。


30979.Re: 別の質問です。逆と連続について 
名前:あんぱん 高2    日付:2月10日(土) 20時18分
わかりました。ありがとうこざいます。


30988.Re: 「開区間(a,b)で微分可能」⇒「閉区間[a、b]で連続」にならない理由
名前:アンパン 高2    日付:2月11日(日) 8時14分
Angel さんの質問の答えで「開区間(a,b)で微分可能」⇒「閉区間[a、b]で連続」にならない理由と例を教えて下さい。x=aで微分可能はlim[h→0]{f(a+h)-f(a)}/hが存在つまり、lim[h→-0]{f(a+h)-f(a)}/h=lim[h→+0]{f(a+h)-f(a)}/hが存在だから、h→-0を考えることができるから、aより小さいあたい、a+hがあるので、「開区間(a,b)で微分可能」⇒「閉区間[a、b]で連続」と言えるような感じがします。教えてください。


30993.Re: 別の質問です。逆と連続について 
名前:ぱんだ    日付:2月11日(日) 14時2分
あんぱんさん、どれもすばらしい質問ばかりですね!
数Vの極限や微分積分は教科書や学校の授業を聞いただけでは
無機質な文字のパズルに感じられてしまう場合も多々あると
思います。
私も高校時代、「問題は解けるけど、いまいち直観的に『理解』できないな」
と常々感じていたものです。
しかし、本当に一つ一つの式の意味を理解していけば
必ずや心の中のどうしても腑に落ちない点も晴れることでしょう。

さて、あんぱんさんの質問についてですが、まず前の質問

x>0のとき微分可能と書いてありますが、微分可能はlim[h→+0] {(f
(a+h)−f(a))/h}=lim[h→−0] {(f(a+h)−f(a))/h}=f'(a)が成り立つ>ときで、x>0つまりa>0でaの値
が0に限りなく近い時、lim[h→−0] {(f(a+h)−f(a))/h}のa+hは実際にあるのでしょうか

この質問にお答えします。
まず「logxはx>0で微分可能」とはどういう意味かということを考えましょう。
x>0で微分可能とは、0より大きいどんな値aについてもx=aで微分可能だということですよね。
つまり、x=0.1でもx=0.01でもx=0.001でもx=0.0000001でも微分可能だと
言っているわけです。aの値をどんなに小さく0.00000・・・1ととっても
微分可能なのは直感的に「理解」できるでしょうか?
a=0.00・・・1をどんなに小さくとっても、hの絶対値の値をそれよりも
もっともっと限りなく小さくとる(例えばh=a×0.0000・・・1)ことができます。
そうするとやはりx=aでの微分f'(a)=lim[h→0]{f(a+h)-f(a)}/h
の値はある一定の値に近づくはずです。
考え方のポイントは、「先にhを決めてaの値を決める」のではなく
「先にaの値を(0.000001など)一つ決めてしまって、その後で
hを十分小さく近づけていこう」ということです。

logxはx>0で微分可能であることを理解していただけたでしょうか?
すると「開区間(a,b)で微分可能」⇒「閉区間[a、b]で連続」とはならない例として、
f(x)=logx (x>0のとき)、f(x)=0(x≦0のとき)という関数f(x)を考えると、
(グラフを書いてイメージしてみてください)f(x)という関数は
間違いなくx>0の範囲では微分できますよね?(傾きを求められる)
つまりf(x)は開区間(0,1)において間違いなく微分可能です(当然連続)
(注:x=0では当然微分不可能ですよ!開区間(0,1)はx=0は含みませんので)
しかし、f(x)はx=0では連続ではないですよね?
つまりf(x)は閉区間[0,1]において連続ではないわけです。
(閉区間[0,1]はx=0を含みます)


30999.Re: 別の質問です。逆と連続について 
名前:アンパン 高2    日付:2月11日(日) 18時9分
ぱんださん。

とてもわかりやすい解説で助かります。「a=0.00・・・1をどんなに小さくとっても、hの絶対値の値をそれよりももっともっと限りなく小さくとる(例えばh=a×0.0000・・・1)ことができます。」でよくわかりましあ。後半の「「開区間(a,b)で微分可能」⇒「閉区間[a、b]で連続」とはならない例」もよくわかりました。ありがとうございます。

30971.微分がわかりません。  
名前:アンパン 高2    日付:2月10日(土) 8時18分


以下の質問に答えてください。
<質問1>
[問1]
 lim[x→0] {(e^sin x−e^0)/(sin x−0)}を求めよ。よろしくお願いします。
解答でf(x)=e^xとおくと、f’(x)=e^xでx→0のとき、sin x→0より、lim[x→0] {(e^sin x−e^0)/
(sin x−0)}=lim[x→0] {(f(sin x)−f(0))/(sin x−0)}=f'(0)=e^0=1
[問2]
lim[x→0] {(e^sin x−e^x)/(sin x−x)}を求めよ。
解答でf(x)=e^xとおくと、f’(x)=e^xでsin x→0,x→0より、
lim[x→0] {(e^sin x−e^x)/(sin x−x)}=lim[x→0] {(f(sin x)−f(x))/(sin x−x)}=f'(0)=e^0
=1
[問1]は微分係数の定義lim[x→0] {(f(x)−f(a))/(x−a)}=f'(a)を利用しているようですが、この
式で分母f(a)と分子aが定数の時は理解できるのですが、[問2]のように分母f(a)と分子aが変数の
時は理解できません。[問1]と[問2]はf(x)=e^xのグラフがx=0に近づく様子が異なるのに、な
ぜ両方ともf'(0)となるのでしょうか。このように計算できる理由を教えてください。
<質問2>
f(x)=log xのグラフで閉区間[a、a+1]で平均値の定理を使う問題ですが、解答で「x>0のとき微分可
能で開区間(a、a+1)で平均値の定理より、{log (a+1)−log a}/{(a+1)−a}=f'(c)ただし a<c<a+1
となる実数cが存在する。(以下略)」と書いてありました。開区間(a、a+1)を a<x<a+1と書いて
はいけないのですか。また、x>0のとき微分可能と書いてありますが、微分可能はlim[h→+0] {(f
(a+h)−f(a))/h}=lim[h→−0] {(f(a+h)−f(a))/h}=f'(a)が成り立つときで、x>0つまりa>0でaの値
が0に限りなく近い時、lim[h→−0] {(f(a+h)−f(a))/h}のa+hは実際にあるのでしょうか。aが一番端
の値の時、それより小さいa+hは考えることができない、つまり、lim[h→−0] {(f(a+h)−f(a))/h}は存
在しないから、x>0やa>0で微分可能と言えないと思うのですが、どうなのでしょうか。
<質問3>
 恒等式で値代入法の逆の確認について質問ですが、「f(x)=x^25−x^13+5 を(x+1)^2で割ったときの
余りを求めよ。」という問題の解答で以下のようになっていました。
「 f(x)を(x+1)^2で割ったときの商をQ(x)、余りをax+bとする。x^25−x^13+5=(x+1)^2*Q(x)+
ax+b・・・(1) (1)にx=-1を代入すると、5=-a+b ・・・(2) また、(1)の両辺をxで微分すると、25x^24−
13x^12=2*Q(x)+(x+1)^2*Q'(x)+a ・・・(3) (3)にx=−1を代入すると、12=a ・・・(4)
(2)(4)より、a=12,b=17 よって求める余りは、12x+17 ・・・(答え) 」
ここで終わっていますが、x=−1を代入して求めたa=12,b=17は必要条件であって逆が成り立つかどう
かを確認する必要があると思うのですが、しなくてもいいのでしょうか。理由も教えてください。



30972.Re: 微分がわかりません。
名前:angel    日付:2月10日(土) 11時36分
質問1
高校範囲で説明できるのか分かりませんが、近づき方によらないのは確かです。つまり、
 lim[x→a] g1(x) = lim[x→a] g2(x) = α
が成立するとき、
 lim[x→a] {f(g1(x))-f(g2(x))}/{g1(x)-g2(x)} = f'(α)
※f,g1,g2は、何回でも微分できる ( C∞級 ) としておきます
問1 は g1(x)=sinx, g2(x)=0 のケース、問2 は g1(x)=sinx, g2(x)=x のケースですね。

気合があれば、ロピタルの定理を使って証明できると思いますが…。


30973.Re: 微分がわかりません。
名前:angel    日付:2月10日(土) 11時54分
質問2

まず、
> 開区間(a、a+1)を a<x<a+1と書いてはいけないのですか。
そう書いても、特に問題ないと思います。同じことですから。

さて本題ですが
> aが一番端の値の時、それより小さいa+hは考えることができない

今回、「x>0 で微分可能」でして、x>0 という区間には端がありません。これは開区間です。
開区間では、下限・上限に限りなく近づくことはできても、下限・上限そのものに辿り着くことはできない、つまりまだ先には若干の余裕が常にある状態なのです。


30974.Re: 微分がわかりません。
名前:angel    日付:2月10日(土) 12時22分
質問3
> x=−1を代入して求めたa=12,b=17は必要条件であって逆が成り立つかどうかを確認する必要があると思うのですが、しなくてもいいのでしょうか。

必要はありません。ただ、確認しても減点にはならないでしょうから、確証が持てず不安なら、やっても問題はないと思いますが。

なぜ必要がないかというと、多項式の恒等式に関して、
 高々 n次の多項式 f(x),g(x) に関して f(x)=g(x)が恒等式
 ⇔ 互いに異なる n+1個の x[i]=x[0], x[1], …, x[n] に関して f(x[i])=g(x[i])
だからです。
今回、f(x)-(x+1)^2・Q(x) は高々1次の多項式と分かっています。
であれば、( f(x)-(x+1)^2・Q(x) )' は定数、つまり 0次の多項式と確定します。
よって、1個の x において ( f(x)-(x+1)^2・Q(x) )'=a が成立することが、a に関する必要十分条件。
微分した式での恒等式が確定すれば、f(x)-(x+1)^2・Q(x)-ax も0次の多項式と確定するので、
1個の x において f(x)-(x+1)^2・Q(x)-ax=b が成立することが、b に関する必要十分条件。

ということで、必要条件のみならず、十分条件も満たされています。


30981.Re: 微分がわかりません。
名前:アンパン 高2    日付:2月10日(土) 22時15分
angel さん

たくさんの質問に答えていただきありがとうございました。わかりました。


30995.Re: 微分がわかりません。
名前:ぱんだ    日付:2月11日(日) 14時37分
>[問1]は微分係数の定義lim[x→0] {(f(x)−f(a))/(x−a)}=f'(a)を利用しているようですが、この
式で分母f(a)と分子aが定数の時は理解できるのですが、[問2]のように分母f(a)と分子aが変数の
時は理解できません。[問1]と[問2]はf(x)=e^xのグラフがx=0に近づく様子が異なるのに、な
ぜ両方ともf'(0)となるのでしょうか。このように計算できる理由を教えてください。

angelさんが既に答えられていますが、この質問についても別の角度から
お答えしておきましょう。

まずは極限についてお話しておきます。
例えばn→∞のとき、1/n→0となります。このときnの値が
1,10,100,1000,・・・という値をとりながら限りなく大きくなった場合も
2,4,8,16,32,・・・という値をとりながら限りなく大きくなった場合も
1/nの値は同じ0に限りなく近づいていくことは納得できるでしょうか?
n→∞のときの極限とは、nがどのような大きくなり方をしていっても
必ず等しい値をとるときにのみ定義されるものなわけです。
一般に、lim[x→a]f(x)=αとは、
『xがどのような近づき方でaに近づいても同じ値αになる』ということです。

ちなみに(−1)^n は、nが1,3,5,7,9,・・・と大きくなった場合と
nが2,4,6,8,10,・・・と大きくなった場合で値が違うので
n→∞のときの極限は存在しません。

さて、微分の話に移りましょう。例えばf(x)=x^2を考えます。
ここでf'(1)を求めよ、という問題が私に与えられました。
f'(1)というのは、x=1での接線の傾きを意味しています。
x=1での(およその)傾きを求めるために、私はy=f(x)上の
(1,1)と(2,4)という二つの点をとって傾き3を得ました。
しかし、グラフを実際に書いてみて明らかなように接線の傾きよりは大きそうです。
「困ったなー、もっと精密な値を出してみるか」と、今度は
(1,1)と(1.1,1.21)を取ってみました。すると傾き2.1を得ました。
次は(1,1)と(1.01,1.01^2),その次は(1,1)と(1.001,1.001^2)、、、
こうやって何度も値を出していくうちにどうやら値が2に近づきそうだと
私は感じたのです。
「では別の近づけ方をしたらどうなるか?」
(1,1)と(1.2,1.2^2)、(1,1)と(1.02,1.02^2)、(1,1)と(1.002,1.002^2)
このように近づけたら得られる傾きの値はいったい何に近づくと
「あなたは思いますか?」グラフをみて考えてください。
どちらも同じ値、2に近づくと直観的に思えましたか?
つまりグラフで考えた場合、直観的に言ってその極限は存在するわけです。

f'(1)=lim[h→0]{(1+h)^2-1^2}/h=lim[h→0]{h+2}の値は、
hの0への近づき方に関わらず間違いなく2に近づきます。
式の上からも、直観的に極限2が存在するわけです。

次に問2のように分母f(a)と分子aが変数のときについて考えてみましょう。
上の例で、私がx=1での接線の傾きを求めるために
(1.1,1.1^2)と(1.2,1.2^2)の傾きを求め、次に(1.01,1.01^2)と
(1.02,1.02^2)の傾き、、、というように傾きを出していったとき、
その傾きの値は何に近づくとあなたは思いますか?グラフをみて考えてください。
一応今回の解説はこれで終りますが、まだ何か腑に落ちないことがあれば
遠慮なく言ってくださいね。


30998.Re: 微分がわかりません。
名前:アンパン 高2    日付:2月11日(日) 17時50分
ぱんださん

 ありがとうございました。具体的な数で例を言っていただきわかりました。値の近づき方が違っても、極限値は同じになることがよくわかりました。

30963.数列 高2  
名前:みるみる    日付:2月9日(金) 18時19分
初項が61,第二項が58の等差数列
{an}初項から第n項までの和をsnとする。snはn=?のとき最大値?をとる。また|sn|はnー?のとき最小値?をとる。

という問題なのですが、答えでは、

snはnー21,最大値651
|sn|はnー42,最小値21

なのですが、答えの出し方がよく分かりません。解説をお願いします。



30964.間違えました!!
名前:みるみる    日付:2月9日(金) 18時24分
問題と答えに「ー」は」「=」です!


30965.Re: 数列 高2
名前:ヨッシー    日付:2月9日(金) 18時53分
初項が61,第2項が58 なので、公差は-3 です。
61, 58, 55, 52, …
のような数列です。一般項は an=64-3n です。
これの、n項までの和は
 Sn=Σk=1〜n64-3k=64k-3k(k+1)/2
両辺2を掛けて(分数を嫌っただけです)
 2Sn=-3k^2+125k=-3(k-125/6)^2 + 125^2/12
であり、kが実数ならk=125/6 で最大値ですが、kは整数なので、
k=20,か k=21 あたりが最大になります。
より、125/6 に近いk=21 が最大で、
 Sn=64・21−3・21・22/2=21×31=651

一方、|Sn| は、Sn が0に近い方が、最小になります。
 2Sn=-3k^2+125k=k(125-3k)
より、ひとつはk=0 ですが、kは1以上の整数なので不適です。
もう一つの解 k=125/3 あたりが Snが0に近いです。
k=41 のとき、Sn=64・41−3・41・42/2=41×1=41
k=42 のとき、Sn=64・42−3・42・43/2=42×(-1/2)=−21
より、k=42 の方が0にちかく、|Sn|の最小は 21。
 

http://yosshy.sansu.org/


30967.Re: 数列 高2
名前:みるみる    日付:2月9日(金) 19時4分
分かりやすかったです!!
ありがとうございました☆★

30959.(untitled)  
名前:ひで    日付:2月9日(金) 14時51分
はじめまして。高1です。
学校の課題ではなく、プログラミングで方程式を解かなければならないのですが、方法がわかりません。
普段からの数学への取り組みの甘さに反省しています。

具体例でなくて申し訳ありませんが、
x=f^2*(f-y)
のfを求める式を教えていただけないでしょうか。
どうぞ、よろしくお願いいたします。



30961.Re: (untitled)
名前:ヨッシー    日付:2月9日(金) 15時29分
x、yの値を決めてやって、それから
fの値を求めるということでしょうか?

数値的に求めるか、式変形で求めるか、
また、虚数解が出た場合の対処まで、プログラミングするのか?
など、いろいろありますが、とりあえず、こちらをご覧下さい。
 

http://yosshy.sansu.org/


30962.Re: (untitled)
名前:ひで    日付:2月9日(金) 15時45分
早速のご返答ありがとうございます。
xとyの値は判明しています。
ちなみにyも式なのですが、fとは関連しないため、簡略化しました。
断言はできませんが、fはおそらく虚数解にはならないと思います。
最終的には「f=...」という式変形のほうが好ましいです。

リンク先を拝見しましたが、因数分解が必要になるのでしょうか?
お手数をおかけしますが、よろしくお願いいたします。


30966.Re: (untitled)
名前:ヨッシー    日付:2月9日(金) 18時54分
ここで、見解を合わせておかないといけないのですが、3次方程式
 f^3-yf^2-x=0
を、f について解く。
ということで良いでしょうか?
 
 

http://yosshy.sansu.org/


30968.Re: (untitled)
名前:ひで    日付:2月9日(金) 22時0分
fのみ判明していないので、fを求めたいのです。
元の式は
x=f^2*(f-y)
ですが、
f^3-yf^2-x=0
という3次方程式に展開できるなら、おっしゃる通りです。
どうぞ、よろしくお願いいたします。


30969.Re: (untitled)
名前:らすかる    日付:2月10日(土) 4時37分
単に答がわかれば良いだけなら、
↓こういう解の公式を使うと簡単ですね。

http://www10.plala.or.jp/rascalhp/math.htm#7

30952.積分(高3)  
名前:とも    日付:2月8日(木) 23時51分
端0〜π/6]log(cosθ)dθの値を求めたいのですが、置換積分も部分積分も上手くいきませんでした。解き方を教えてください。



30953.Re: 積分(高3)
名前:とも    日付:2月8日(木) 23時54分
0〜π/3でしたm(_ _)m


31017.Re: 積分(高3)
名前:我疑う故に存在する我    日付:2月13日(火) 5時57分
Mathematica に「定積分」計算させてみた所、
簡単な表示にはならない様です。


31041.Re: 積分(高3)
名前:mimi    日付:2月13日(火) 21時45分
0〜π/2ならできるけど。
0〜π/3は難しいというか、無理?
どっから出てきた問題?

30950.積分  
名前:のんかる    日付:2月8日(木) 21時51分
いつもお世話になっております。以下の問題をお願い致します。
「∫[0,x](t-x)f(t)dt+f(x)=-(1/12)x^4-(1/3)x^3+2x+2を満たす
関数f(x)=ax^2+bx+cを求めよ。」
宜しくお願い致します。



30957.Re: 積分
名前:ヨッシー    日付:2月9日(金) 9時2分
普通に代入して解いてみます。

(t-x)f(t)=(t-x)(at^2+bt+c)=at^3+(b-ax)t^2+(c-bx)t-cx
より、
0x(t-x)f(t)dt=[(a/4)t^4+(b-ax)t^3/3+(c-bx)t^2/2-cxt]0x
 =(a/4)x^4+(b-ax)x^3/3+(c-bx)x^2/2-cx^2
 =-ax^4/12-bx^3/6-cx^2/2
これに f(x) を足して、
 -ax^4/12-bx^3/6+(a-c/2)x^2+bx+c=-(1/12)x^4-(1/3)x^3+2x+2
係数比較して、
 a=1, b=2, c=2
 

http://yosshy.sansu.org/

30942.untitled  
名前:博美    日付:2月8日(木) 2時5分
こんばんは、高校3年です。

3つの不等式-5x+y+12<0,x+2y+2>0,2x+y-23<0の表す領域をAとする。kを定数として、2つの不等式x+2y+2>0,(-6k+2)x+ky+15k-9<0の表す領域をBとする。
(1)領域Aを図示せよ。
(2)領域Bが領域Aを含むようなkの値の範囲を求めよ。

という問いについて。
(1)は大丈夫です。
(2)なのですが、解説によると
「直線(-6k+2)x+ky+15k-9=0は定点(9/2、12)を通る。よって(1)で示した三角形の頂点(2、−2)(5、13)が不等式(-6k+2)x+ky+15k-9≦0の表す領域に含まれると良い」とあります。
わからないところは次の2点で、
●つまり、直線(-6k+2)x+ky+15k-9=0に関して(9/2、12)と(2、−2)(5、13)が違う側にあればよい.......ということでしょうか。
●また、「(2、−2)(5、13)が不等式(-6k+2)x+ky+15k-9≦0の表す領域に含まれる」ためには、この不等式にx=2y=−2、x=5y=13を代入するだけでいいのですか。
すなわち、「任意の点(a,b)がこの不等式を満たす⇒(-6k+2)a+kb+15k-9≦0が成立」ということなのですか。
でも、不等式(-6k+2)x+ky+15k-9≦0は、kの値によって直線の上を示すのか下を示すのかがかわりますよね?で、定点(9/2,12)を通るなら、上を表す不等式ではBがAを含むのは不可能、だからこの不等式は直線(-6k+2)x+ky+15k-9=0の下を示さないといけない。
また、この時、(2、−2)(5、13)がともにこの不等式のあらわす範囲にあればよい。
ということですか。

意味がわかっていただけるか不安ですが,,,
もしよろしければ、一通りざっと解法を示していただければ嬉しいです。



30943.Re: untitled
名前:ぱんだ    日付:2月8日(木) 2時34分
直線Lk:(-6k+2)x+ky+15k-9=0が必ず通る点P(9/2,12)とおきます。
まず、(1)の図と、Pの位置を見比べてください。
D:(-6k+2)x+ky+15k-9≦0は直線Lkの右側部分か左側部分かは確かに
まだわかりません。しかし、Dという部分は
「@Lkの左側全体になる」か「ALkの右側全体になる」の
必ずどちらか一方になるはずです。
もし、BがAを含むのであれば、Lkは(1)のAの領域の三角形の
左側にあり、DはLkの右側全体になっていないといけないはずです。
そのための条件は、(5、13)がDに含まれる、かつ(2、−2)が
Dに含まれるということになります。
よって、Dのxとyにx=5、y=13を代入して左辺≦0
かつx=2、y=−2を代入して左辺≦0になればよいわけです。

さて、わからないところについてのご質問ですが、
この解説を読んでもう一度最初から考えてみて
わからなければまた質問してください。
受験がんばってくださいね。


30954.Re: untitled
名前:博美    日付:2月9日(金) 1時34分
ぱんださんご返信ありがとうございます。

たいへん自明なことをお聞きするようですが...

>Dのxとyにx=5、y=13を代入して左辺≦0
>かつx=2、y=−2を代入して左辺≦0になればよいわけです。
(5、13)、(2、−2)がDに含まれるためには、
それぞれの値をx、yに代入して不等式が成立すれば良い...のですか。
ぐるぐる考えているうちにそんなことまで疑問に思えてしまってきています。


30956.Re: untitled
名前:ぱんだ    日付:2月9日(金) 2時1分
そのとおりです。
例えば、E:3x+2y<0という領域があった場合、
Eは「x座標の3倍+y座標の2倍が0より小さくなる点全体の集まり」
を意味します。

(1、4)はx座標の3倍+y座標の2倍は0より小さくないので
(3×1+2×4=11>0)(1,4)はEに含まれない。
逆に(−1、−3)は3×(−1)+2×(−3)=−9<0なので
(−1、−3)はEに含まれます。

このように考えると、(5、13)がDに含まれるとは、
D:(-6k+2)x+ky+15k-9≦0にx=5、y=13を代入して
不等式が成立すればよいわけです。
色々と不安はあると思いますが、遠慮なく聞いてくださいね。
そして受験では自信を持って受けてください。

30940.中2 一次関数  
名前:かず    日付:2月7日(水) 22時25分
A君は、家から10kmはなれたP町まで自転車で行くのに、午前8時に家を出発し、途中Q地で休憩したのでP町には8時55分に着きました。右のグラフは、A君が家を出発してからの時間x分と家からの道のりykmとの関係を表したものである。
(図がかけないので言葉で説明します)
・(0,0)と(15,4)を結んでください。
・(15,4)と(25,4)を結んでください。
・(25,4)と(55,10)を結んでください。
そこで、問題なのですが、A君が家を出発してから35分後に、兄が自転車に乗って時速36kmでA君を追いかけました。兄が追いつく時刻を求めなさい。
答えは8:50なのですが、どうしてそうなるのかがわからないので教えてください。

長々とすみません。お願いします



30944.Re: 中2 一次関数
名前:ぱんだ    日付:2月8日(木) 2時45分
A君はQ地点で10分休憩した後、30分で6キロ移動しています。
つまり後半のA君の速さは分速200mです。
A君がQ地点を出発してから10分後に兄は家を出発しています。
兄が出発したとき、弟はQ地点から10分×200(m/分)=2000m
進んでいます。だから兄が出発したときのA君と兄の距離は
4km+2000m=4000m+2000m=6000mです。
兄の速さは時速36km=分速600mです。だから兄とA君の距離は
1分間に600−200=400(m)縮まります。
最初の2人の距離が6000mなので、6000÷400=15分で追いつきます。
だからそのときの時間は、8:35(兄が出発した時刻)+15分=
8:50になります。

30938.垂足三角形  
名前:ごうごう    日付:2月7日(水) 20時51分
△ABCの3つの傍心をI[1],I[2],I[3]とすれば、△ABCは△I[1]I[2]I[3]
の垂足三角形である。このことを証明せよ。
どうやればいいのかやはり理解できません。
よろしくお願いします。



30958.Re: 垂足三角形
名前:ヨッシー    日付:2月9日(金) 13時11分
Size: 191 x 195, 2KB

AI3は、∠BADを二等分しており、
∠DAI3 と∠CAI2 は対頂角なので、
 ∠BAI3=∠CAI2
また、AI1 は、∠BACを二等分しているので、
 ∠BAI1=∠CAI1
以上より、∠I3AI1=∠I2AI1=90° となります。
同様に、
 ∠I1BI2=90°
 ∠I2CI3=90°
が言えるので、△ABCは、△I123 の、垂足三角形となります。
 
 

http://yosshy.sansu.org/


30937.平行四辺形に関して  
名前:ごうごう    日付:2月7日(水) 20時47分
平行四辺形の対角は等しい
平行四辺形の対辺は等しい
上のこの2つは当たり前のように使っていますが、これは
あくまでも定理だと聞いてます。
そうであれば、上の2つの命題に関してどう証明がなされているのでしょうか?



30941.Re: 平行四辺形に関して
名前:のこぎり    日付:2月8日(木) 0時55分
先ず、平行四辺形の一般的な定義は、対辺がそれぞれ平行な四角形を平行四辺形と呼ぶというものです。
平行四辺形に一本対角線を引けば、二つの三角形ができて、
その二つの三角形は合同であることが分かるので、対角と対辺は等しくなります。中学校でやるはずですが。

30936.図形  
名前:ごうごう    日付:2月7日(水) 20時44分
2つの円γとδが2点A,Bで交わってる時、AとBで交わっている時
AとBにおけるγの接線が新しくδと交わっている点を
Q、Sとすれば直線ABと直線QSは平行である。
この証明も手に負えません。よろしくお願いします。



30960.Re: 図形
名前:ヨッシー    日付:2月9日(金) 15時15分
Original Size: 366 x 105, 2KB

図のように、いくつかのパターンに分けて調べていきます。
例えば、一番左の図だと、(Dは接線の交点として)
△CADと△CBDが合同なので、DA=DBより、
 ∠BAD=∠ABD
円周角より
 ∠AQS=∠ABD
よって、錯角が等しく、ABとQSは平行

という具合です。
 

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30935.図形問題  
名前:ごうごう    日付:2月7日(水) 20時40分
凸四辺形ABCDの二組の対辺の延長の交点をE,F,対角線BDの中点をL
対角線の中点をM、線分EFの中点をNとすれば、三点L,M,Nは一直線上
にある。
この命題の証明の仕方がわかりません。
お願いします。



30948.Re: 図形問題
名前:ヨッシー    日付:2月8日(木) 11時42分
この問題の対象学年は何でしょう?
ベクトルを使えるかどうか?
 

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30933.ベクトル (高2)  
名前:    日付:2月7日(水) 18時47分
↑A+↑B=(1,2)、↑A−↑B=(3,4)のとき、
2↑A+3↑Bを求めよ。   (02 大阪薬大)

条件から、↑Aと↑Bの成分を求めて、式に代入すればいいのは
わかりますが、↑Aと↑Bの求め方がわかりません。
そこを教えて欲しいです。



30934.Re: ベクトル (高2)
名前:ヨッシー    日付:2月7日(水) 18時53分
こちらの、和差算と同じ考え方で、
足して2で割れば、引いて2で割れば です。
いわば、連立方程式の、消去法と同じです。

もっと、地道に解こうと思うなら、
 =(xa,ya)
 =(xb.yb)
とおいて、
 xa+xb=1
 xa−xb=3

 ya+yb=2
 ya−yb=4
を、それぞれ解きます。
 
 

http://yosshy.sansu.org/

30927.積分  
名前:akeon(高3)    日付:2月7日(水) 13時16分
∫(e^(x^2))dx
がどうやってもできません。直接問題に出たのではありませんが、ある問題で出てきて結局は計算の必要なしに消えたものです。
よろしくお願いいたします。



30931.Re: 積分
名前:らすかる    日付:2月7日(水) 17時3分
その積分の答を初等関数で表すことはできません。
http://www10.plala.or.jp/rascalhp


30932.Re: 積分
名前:akeon(高3)    日付:2月7日(水) 17時53分
ありがとうございました。

30923.確率  
名前:のんかる    日付:2月6日(火) 23時23分
次も確率の問題ですが、お願い致します。
「1から10までの番号のついた10個の白い球と同じく1から10までの番号のついた10個の赤い球,計20個が入った袋がある。この袋から1つずつ順に4個の球を取り出すことにする。ただし,一度取り出した球は袋に戻さないものとする。
@ 4つめの球を取り出したときに初めて同じ番号の白球と赤球の対ができる確率を求めよ。
A 2つめに取り出した球の番号よりも4つめに取り出した球の番号の方が大きくなる確率を求めよ。」



30929.Re: 確率
名前:ぱんだ    日付:2月7日(水) 14時1分
@
1つ目は何をとってもよい。2つ目は1つ目と違う数字を取る(18/19)
3つ目は1つ目と2つ目とは違う数字を取る(16/18)
4つ目は3つ目までにでた3種類の数字のうちのどれかをとる(3/17)
よって18/19 × 16/18 × 3/17=48/323
(同じ数が出る場合は、結局白と赤になるので、
色はなんでもOKなのがポイントですね)

A
このタイプの問題では、引く順番というのは全く関係ありません。
例えば「10個のくじの中に当たりが3個あります。
今からみなさん10人に1個ずつ引いてもらいます。」
というくじのときに「引く順番」で喧嘩をする必要はありませんよね。
2個目と4個目で考えるより、今回は
「1つ目よりも2つ目が番号が大きい確率」を考えましょう
1つ目と2つ目が同じ番号である確率は1/19です。
つまり違う確率は18/19
1回目も2回目も対等なことを考えれば、2つ目の方が大きい確率は
その半分の9/19になります。


30930.Re: 確率
名前:ぱんだ    日付:2月7日(水) 14時22分
上で示したやり方は上級者向け(?)の方法です。
確率という概念を素朴に捉えている人にとってはこのように
ほとんど計算なく解けるのですが、理解はなかなか難しいかも
しれません。

私はあまり好きではありませんが、いわゆる教科書的な
確率=求める事象/全体の事象 とだけ捉えて解く方法は
例えば次のようになるでしょう。

赤1〜赤10と白1〜白10の合計20枚を「全て見分ける(重要)」
全体の取り方=4つ目までの取り方は20P4
求める取り方は
2番目と4番目に取る数の組(例えば「6と8」など)
の選び方が10C2、そして(例えば「6と8」と決まった後に
「赤6と白8」などの選び方)赤と白の選び方が2×2=4通り
(選んだ数のうち、小さいほうを2番目、大きいほうを4番目に
自動的に配分すればOK)
1番目と3番目は、残った18枚のカードから1枚ずつ選ぶので
18P2より求める答えは9/19となる。
結局手続き上先に2番目と4番目の数を選んでしまいました。(汗)
それも納得できないということであれば、
1番目が1だったとき〜などと場合わけ(本当は1番目に何を引いても
問題の確率には影響を及ぼさないですが)して
さらに2番目が1だったら、3番目が〜のとき、などとやっていく
方法もあるにはあるかもしれませんが、非常に煩雑でとても
やる気にならない方法になってしまいます。

やはり私が最もお勧めしたいのは、「順番はどうでもよい」という
感覚を養うことだと思います。色々と自分で考えてみてください。


30946.Re: 確率
名前:のんかる    日付:2月8日(木) 6時25分
丁寧な解答ありがとうございました。

30922.確率  
名前:のんかる    日付:2月6日(火) 23時16分
いつもお世話になっております。続けてですが以下の問題をお願い致します。
「1から10までのカード10枚から1枚をひいてカードの数字を調べ,元に戻す試行を繰り返す。
@ この試行をn回行ったとき,引いたカードの数字の最大が8になる確率をnの式で表せ。
A この試行をn回行ったとき,引いたカードの数字の最大が8,最小が2になる確率をnの式で表せ。」
宜しくお願い致します。



30928.Re: 確率
名前:ヨッシー    日付:2月7日(水) 13時26分
n回引いたときの数字の出方は、1回に付き10通りあるので、
 10^n (回)
(1)
カードの数字の最大が8である引き方の場合の数は、
 (1〜8の8枚のどれかのみをn回引く場合の数)
 −(1〜7の7枚のどれかのみをn回引く場合の数)
なので、
 8^n−7^n (回)
よって、確率は、(8^n−7^n)/10^n

(2)
最大が8,最小が2になる引き方の場合の数は
 (2〜8の7枚のどれかのみをn回引く場合の数)
 −(2〜7の6枚のどれかのみをn回引く場合の数)
 −(3〜8の6枚のどれかのみをn回引く場合の数)
 +(3〜7の5枚のどれかのみをn回引く場合の数)
となります。確率は、
 (7^n+5^n−2・6^n)/10^n
 
 

http://yosshy.sansu.org/


30947.Re: 確率
名前:のんかる    日付:2月8日(木) 6時26分
ありがとうございました。解けました。

30921.面積  
名前:のんかる    日付:2月6日(火) 23時11分
いつもお世話になっております。以下の問題をお願い致します。
「C1:y=√(x-1),C2:y=log(x+1)+2について以下の問いに答えよ。ただし、対数は自然対数である。
@ C1とC2がただ1つの共有点をもつことを示せ。
A C1とC2およびx軸で囲まれた部分の面積を求めよ。」
宜しくお願い致します。



30926.Re: 面積
名前:ヨッシー    日付:2月7日(水) 13時15分
Size: 229 x 152, 2KB

グラフは上のようになるので、たしかに共有点1個というのは言えそうですが、
「C1とC2およびx軸で囲まれた部分」というのが、あり得ないので、式が間違っていないか
確認してもらえますか?

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30945.Re: 面積
名前:のんかる    日付:2月8日(木) 6時24分
すみませんでした。C2:y=log(x-1)+2でした。この問題の@はグラフを使う以外に証明の仕方があるのでしょうか?お願い致します。


30970.Re: 面積
名前:ロータリオ!!!!!    日付:2月10日(土) 5時52分
曲線C1 y = f(x) ,曲線C2を y = g(x)と置いたときに、
曲線C3 y =h(x) =f(x)-g(x)は単調に増加し、なおかつ、h(a)h(b) < 0
になるようなa,bの値が存在する事を示せば良いだけです。

30914.お願いします。  
名前:orz 高2    日付:2月5日(月) 18時42分
習い始めたばっかりで全然分かりません。
次のような問題はどう解けばよいのでしょうか?お願いします。 
・極限値を求めよ

lim(x→0)sin2x/sin3x

lim(x→0)tanx/x

lim(x→0)sin3x/2x

lim(x→0)sin3x/sin5x

lim(x→0)1-cosx/xsinx

・x-π=θとおくことにより、次の極限値を求めよ。

lim(x→π)(x-π)^2/1+cosx

・極限値を求めよ

lim(x→π/2)cosx/ x-π/2

lim(x→∞)xsin 1/x



30916.三角関数
名前:ゼットン    日付:2月6日(火) 2時55分
「lim(x→0)sinx/x=1」は習ったでしょうか?
この定理はハサミウチ法で証明できるようにしておいたほうがいいでしょう
http://www.geisya.or.jp/~mwm48961/kou2/d_triangle2.html

基本的にはこの定理を用いて極限計算をします

(例)
lim(x→0)sin2x/sin3x

sin2x   sin2x      3x    1
――――― = ―――――・2x・―――――・――
sin3x     2x      sin3x 3x

      2 sin2x   1
     =―・―――――・―――――
      3   2x   sin3x
              ―――――
                3x  

ここで,x→0 ⇒ 2x→0 より

        sin2x
    lim ――――― = 1
   2x→0   2x  

    x→0 ⇒ 3x→0 より

        sin3x
    lim ――――― = 1
   3x→0   3x  


したがって

     2   1   2
与式 = ―・1・― = ―
     3   1   3

残りも基本的にはこの定理の形へと変形すれば解けるはずです

ヒント

(2) tanx=sinx/cosx
(3) 分母を3xに
(4) (1)と同様
(5) 分母・分子に(1+cosx)をかけてみる
   lim(x→0)cosx=1を考慮する
(6) x→π ⇒ θ→0
   cosx=cos(θ+π)=-cosθ
   与えられた置き換えに素直に従う
(7) π/2=θと置く
(8) 1/x=θと置く


30939.ありがとうございました!!!
名前:orz 高2    日付:2月7日(水) 21時17分
大変分かりやすい説明ありがとうございます。

30907.角度  
名前:のり    日付:2月5日(月) 12時2分
AB=ACである二等辺三角形ABCの角ABCの二等分線とACとの交点をDとする。
(1)角BAD=40°のとき、角ADBの大きさを求めなさい。答えは105°です
(2)BC=BDのとき、角BCDの大きさを求めなさい。
この(2)の答えは72°になるそうなのですが、どうして72°になるのかわからないので教えていただけますか。簡単な問題なのかもしれないのですが、お願いします。



30909.Re: 角度
名前:ヨッシー    日付:2月5日(月) 12時42分

図のように、∠BAC=●とすると、
△ABCと△BCDが相似なので、∠CBD=●
よって、∠ABD=●(BDは∠ABCの二等分線)
∠ACB=∠BDC=●+●
よって、△ABCの内角は●5つ分となり、●=36°
∠BCD=36×2=72(°)
 

http://yosshy.sansu.org/

30905.正負の計算  
名前:バカボン    日付:2月5日(月) 10時33分
負の数の足し算を温度計でマイナス二度足すことは、
二度下がることと一緒であるだとか、
マイナス×マイナスがプラスになる理由を数直線のプラスを東に
西をマイナスに取って説明するのはよく聞くのですが、
こういう類推によるものではなく厳密な証明のようなものはあるのでしょうか?気になるのであれば教えてください、お願いします。



30910.Re: 正負の計算
名前:ヨッシー    日付:2月5日(月) 14時22分
例えば、
 どんな数に、1を掛けても元の数のままである
 どんな数に、0を掛けても0になる。
 分配法則((a+b)×c=ac+bc)
を認めるとして、
 {1+(-1)}×(-1)=0×(-1)=0
一方、
 {1+(-1)}×(-1)=1×(-1)+(-1)×(-1)=-1+(-1)×(-1)=0
より、
 (-1)×(-1)=1

ここでは、絶対値を1で考えましたが、
 {a+(−a)}×(-b)=・・・
とすれば、一般的に説明できるでしょう。
 

http://yosshy.sansu.org/


30924.Re: 正負の計算
名前:バカボン    日付:2月7日(水) 4時5分
ありがとうございました。


30949.Re: 正負の計算
名前:ぱんだ    日付:2月8日(木) 12時12分
0を和の単位元(つまり0とは「どんな数に足されても、値を変えない数」)とみなす立場から考えると、細かいことですが
「どんな数に0をかけても0になる」も本来証明すべきことかと
思いました。

任意の実数aについてa+0=aが成立する(0の定義)
任意の実数aについてa+(-a)=0となる-a(和の逆元)が存在する
任意の実数aについてa×1=0 (1の定義)
分配法則・結合法則・交換法則を認める

任意の実数aについて
a=a×1=a×(1+0)=a×1+a×0=a+(a×0)が成立。
ここで、最左辺=最右辺より、
a=a+(a×0)が成立する。この両辺に左から(-a)を足すと
(-a)+a=(-a)+a+(a×0)が成立する。
ここで、左辺=0、右辺=a×0より
0=a×0 が任意のaについて成立する(証明終わり)

ただ、ここまで厳密にいくならば、例えば
a×(−b)=-(ab) という普段当たり前に行っている計算も
長い証明が必要になってしまいますね。

30901.ガウス記号  
名前:ふにべおるい    日付:2月5日(月) 1時38分
2n
Σ[k^2/2]
k=1
の和を求めよ。
[]はガウス記号のつもりです。
よろしくおねがいします。



30903.Re: ガウス記号
名前:らすかる    日付:2月5日(月) 3時33分
k=2m-1 のとき [k^2/2]=[(2m-1)^2/2]=[(4m^2-4m+1)/2]=2m^2-2m
k=2m のとき [k^2/2]=[(2m)^2/2]=2m^2
なので、
Σ[k=1〜2n][k^2/2]
=Σ[m=1〜n](2m^2-2m)+Σ[m=1〜n](2m^2)
=Σ[m=1〜n](4m^2-2m)
=4・n(n+1)(2n+1)/6-2・n(n+1)/2
=n(n+1)(4n-1)/3

http://www10.plala.or.jp/rascalhp


30908.Re: ガウス記号
名前:ふにべおるい    日付:2月5日(月) 12時40分

2nは奇数と偶数にわけれるということを暗示してたみたいですね。
どうもありがとうございました。

30897.ベクトル  
名前:    日付:2月4日(日) 21時23分
高2です。 
次のベクトルの問題の解法を教えてください。
問題 AB=5,BC=7,CA=8の△ABCについて、∠Aの二等分線が辺BCと交わる   点を D,∠Bの二等分線が線分ADと交わる点をIとする。
  @↓AIを↓AB、↓ACで表せ。
  AIは、△ABCの内心、外心、重心、垂心のいずれであるか記せ。
学校の解法は、
 @BD:DC=5:8 …@
  BD=7×5/13=35/13
 AB:BD=5:35/13
  =13:7
  AI:ID=13:7…A
  @,Aより、
  ↓AI=13/20・↓8AD+↓5AC/13(答)
 A 内心 (答)
となっていましたが、なんだかよくわかりません。
わかりやすい解法を教えていただけると助かります。
よろしくお願いします。 



30906.Re: ベクトル
名前:ヨッシー    日付:2月5日(月) 11時13分
角の二等分線の定理を∠Aと∠Bで、使っています。
∠Aの二等分線ADに対して、
 AB:AC=BD:CD
∠Bの二等分線BIに対して、
 BA:BD=AI:DI
という具合です。
 

http://yosshy.sansu.org/

30894.三角関数です。  
名前:温泉    日付:2月4日(日) 15時58分
次の式をRsin(θ+α)の形に変形せよ。
@-√3sinθ-3cosθ
答えは-√3sinθ-3cosθ=2√3sin(θ+4/3π)
なのですが、rは求められるのですが、どうしてもαのところが
わからないのです。すいませんが教えてください!お願いします!
途中の式など省かず教えください。すいません!!!



30895.Re: 三角関数です。
名前:haru    日付:2月4日(日) 17時31分
Rsin(θ+α)=Rsinθcosα+Rcosθsinα=−√3sinθ−3cosθより(Rcosα+√3)sinθ+(Rsinα+3)cosθ=0となり、したがってRcosα+√3=0,Rsinα+3=0となります。ここから、Rcosα=−√3…(1),Rsinα=−3…(2)となり、(2)/(1)=tanα=√3。よってα=π/3(αは第一象限の角)となります。するとcosαとsinαは正の値を取ってしまい、結局Rは負の値を取ってしまいます。もしRの値を正にしたかったら、αは第三象限の角にならなければなりません。よってtanα=−√3より、α=4π/3,R=2√3となります。


30896.ありがとうございます。三角関数
名前:温泉    日付:2月4日(日) 21時17分
申し訳ないのですが、まだ続きがあり、
2sinθ+3cosθ
やはり同じにrsin(θ+α)の形に変形せよ。という問題です。
rの部分はやはりわかるのですがαがわかりません。
答えは√13sin(θ+α)です。
解説にはsinα=3/√13、cosα=2/√13がわかります
と書いてあるのですが、ここも出し方はわかるのですが、
‘α'がどうしてもわからないのです。

そして前の質問なのですが、
第三象限の角という事もわかるのですが、
やはり4/3πになるのはどうしてでしょうか?
tan=-√3になることもわかります。

何度も何度も申し訳ありません。本当にすいません!!


30898.Re: 三角関数です。
名前:haru    日付:2月4日(日) 22時31分
動径が第三象限に来ているので、cosA<0になり、するとA=π+αになります。ここで0<α<π/2になります。これは、(x,y)=(1,0)から反時計方向に動径が動いた場合で、時計方向に動径が動いた場合もあり、その場合は、A=−(πーα)にもなります。だからA=4π/3でなくてもA=−2π/3でもいいと思います。


30920.Re: 三角関数です。
名前:温泉    日付:2月6日(火) 20時28分
何度もありがとうございました!!考えてみます。

30891.じゃんけんの効率  
名前:ヤス    日付:2月4日(日) 8時38分
次のような問題を出題されたのですが、よくわかりません。
どなたか助けてください。

問題1.
二人でジャンケンをします。
グーで勝ったら1歩進む。
チョキで勝ったら2歩進む。
パーで勝ったら3歩進む。
負けたら進めない。

この場合だとグー・チョキ・パーをそれぞれどの割合で出すと一番効率良く進めるでしょうか?

問題2.
問題1の条件で負けた場合に
グーで負ける…1歩戻る
チョキで負ける…2歩戻る
パーで負ける…3歩戻る

という条件を加えた場合、一番効率良く進めるのはグー・チョキ・パーをそれぞれどの割合で出すといいでしょう?

僕には問題1は、どれを出しても勝つ確率は同じなんだから、パーだけを出すのが一番効率が良いと思うのですが…
問題2はどれを出しても期待値が0になるので、どれを出しても同じこと、な気がします…

よろしくお願いしますm(_ _)m
ちなみに問題は高校数学だと思います。



30892.Re: じゃんけんの効率
名前:黄桃    日付:2月4日(日) 10時0分
問題設定が曖昧すぎます。
「効率よく」とはどういう意味でしょうか。
相手の戦略が既知であれば、相手に必ず勝つように出すのが一番「効率よく」進めるのではないでしょうか。

1、2とも、相手が常にチョキを出したらどうなるか、考えてみてください。1でパーを出し続ければ負け続けますから全く進めません。
2では、パーをだすと3歩下がり、グーを出すと1歩しか進めませんから、平均して2歩下がることになります。

#言わんとすることはゲーム理論の簡単な場合と思われます。その場合
#答は 1,2 ともグー、チョキ、パーを 6:3:2 の割合で出すのがいい、
#ということになります。ただし、2では期待値が0になりますので、
#とても「効率よく進」んでいるとはいえません。1でも1回あたりの
#期待値は6/11ですからやはり効率がいい、とはいいがたい気がします。
##なお、上記いずれもあいこの場合はその場に留まる、と仮定しています。


30900.Re: じゃんけんの効率
名前:ヤス    日付:2月4日(日) 23時45分
回答ありがとうございます。
「効率良く」とは、進める歩数の期待値が一番大きいってことだと思うのですが。。。

さらに追加で、
問題2なのですが、
----------------------------------------------
グーを出す割合=a
チョキを出す割合=b
パーを出す割合=c
とすると、a+b+c=1
これに歩数をかけて1a+2b+3c。
「1a+2b+3c=最大(正の値)」…式1
に対して負けた時の後退分が「1a+2b+3c=最大(負の値)」…式2
となるんですが連立させちゃうと式1と式2で解(a、b、cのどれか)が無くなる。つまり
「最大(正の値)=最大(負の値)」

という0次元数になる。
しかも勝つ場合の割合と負ける時の割合が別々になって連立しない。

なので無限級数を考えます。
---------------------------------------------------
と出題者から言われたのですが、この問題の性質上(勝ったときの歩数と負けた時のマイナス歩数が同じ)0次元になって当たり前な気がするのですが…
無限級数の出番はあるのでしょうか…?


30902.Re: じゃんけんの効率
名前:黄桃    日付:2月5日(月) 1時48分
>「効率良く」とは、進める歩数の期待値が一番大きいってことだと思うのですが。。。

相手のいる話ですので、相手の戦略が既知かどうかで話が全く違います。
ここでいう戦略とは、グー、チョキ、パーの出す割合のことと思っていただいて結構です。

最初に述べたように、例えば相手が常にチョキを出す、と分かっていれば、こちらは常にグーを出すのが明らかに期待値が一番大きいでしょう。

相手の戦略が未知の場合は、そんな簡単にはいきません。簡単な計算から言えることは「相手の戦略にかかわらず、自分の期待値を一定にする戦略がある」です。
問1に関して言えば、相手が常にチョキを出す場合だろうが、常にパーを出す場合であろうが、他のいかなる場合でも自分がグー、チョキ、パーを6:3:2 の割合で出せば進める歩数の期待値は1回あたり 6/11 になります。別の言い方をすれば、相手が最善を尽くしたとしても、自分には1回あたり6/11歩進む戦略がある、ということです。

拝見した出題者の解法は、相手の戦略を一切考慮していないのが不思議ですし、 1a+2b+3c の意味が不明です。
自分がグーを出せば必ず1歩進めるという意味ですか?とすると、全く違う問題になり、ヤスさんが書かれたとおりになります。ただ、その場合問2では、グーを出すと1歩進みかつ1歩後退するのでは、問題の意味がない気がします。


30904.Re: じゃんけんの効率
名前:ヤス    日付:2月5日(月) 9時56分
なるほど…
ありがとうございました。

出題者にもそのように伝えてみます。


30911.Re: じゃんけんの効率
名前:ぱんだ    日付:2月5日(月) 15時1分
以前東大の過去問で
「相手がどのような戦略(手の出し方)をしてきたとしても
必ず自分の進む歩数の期待値が相手の歩数の期待値以上になる
ようにするためには自分はどのような手の出し方をしたらよいか」
というような問題をみたことがあります。
ひょっとしてそういう意味でしょうか?
まあ、「効率よく」というのは数学的に意味が曖昧すぎですね。
先生がうろ覚えの問題を不適切な出し方をしたか、
あるいはヤスさんが先生の出した問題を写し間違えたかだと
思います。


30915.Re: じゃんけんの効率
名前:ヤス    日付:2月5日(月) 19時29分
>ぱんださん

もしそのおっしゃっているような、東大の過去問のような場合ではどのような解放&答えになるのでしょうか?

よろしければ教えていただきたく思います。
よろしくお願いします。


30917.Re: じゃんけんの効率
名前:ぱんだ    日付:2月6日(火) 16時52分
東大の問題はグーだと3、チョキだと5、パーで勝つと6なので
数字が異なりますが、今回の問題にあわせるために以下のように
問題を設定します。(私もその東大の問題をうろ覚えなので、
若干実際の問題と違う面もあるかもしれません)

問 AとBの二人でじゃんけんをして、勝った方はグーで勝つと1歩、
チョキで勝つと2歩、パーで勝つと3歩進める。負けたほうは
一歩も進めない。あいこだった場合はお互いに一歩も進めない。
Bがグーを出す確率をa、チョキを出す確率をb、パーを出す確率をcと
し、Bは常にこの確率で手を出してくる。
a,b,cの値に関わらずAが進む歩数の期待値がBの進む歩数の期待値以上に
なるためにはAはグーとチョキとパーを出す確率をそれぞれどのように
すればよいか。

解答 Aがグーを出す確率をp、チョキを出す確率をq、パーを出す
確率をrとおく。a≧0,b≧0,c≧0,a+b+c=1,p≧0,q≧0,r≧0,p+q+r=1
このとき、Aが進む歩数の期待値−Bが進む歩数の期待値をEとする。
E=p(b-3c)+q(-a+2c)+r(3a-2b) 
ここで文字数を少なくするためにc=1-a-b,r=1-p-q,(a+b≧0 p+q≧0)
とおくと、
E=a(-6q+3)+b(6p-2)-3p+2q となる。(この式がa,bの値に関係なく
0以上になるというのが今回の問題です。だから恒等式のようにa,bを
主役に持ってきた書き方をしてあります)
(a,b)=(0,0)でE≧0よりq≧3p/2
(a,b)=(1,0)でE≧0よりq≦-3p/4 +3/4
(a,b)=(0,1)でE≧0よりq≧-3p/2 +1  がそれぞれ「必要」
よってこれらの3つの不等式を全て満たすp=1/3,q=1/2が必要。
逆に、p=1/3,q=1/2のときEの値は恒等的に0に等しくなり、
確かに条件を満たす。
よってグーを1/3,チョキを1/2,パーを1/6で出せばよい。(答)


30918.Re: じゃんけんの効率
名前:ぱんだ    日付:2月6日(火) 17時25分
解説
私がおそらく幼稚園のときだと思うのですが、このようなゲームを
友達とよくやっていました。じゃんけんをしてグーで勝つと「グリコ」
(3文字なので3歩進める)、チョキで勝つと「チョコレート」
(6文字なので6歩進める)、パーで勝つと「パラシュート」
(6文字なので6歩進める)というルールでした。
子どもなので、最初は普通にじゃんけんをしていたのですが、
途中で「グーを出すと、勝っても3歩しか進めないし、負けたら
相手に6歩も進まれてしまうから損だな。チョキを出すと勝ったら
6歩も進めるし、負けても相手はたった3歩しか進めないから
結構「お得」な手だな。パーは勝ったら6歩、負けたら6歩だから
まあまあかな。」ということに気づき、チョキを出す回数を意図的に
多くしたところ、このゲームで私が負けることはほとんどなくなりました。
(相手は皆おそらく普通にランダムに手を出していたのでしょう)

さて、今回のヤスさんの問題の場合、グーは勝ったら1歩負けたら
(相手が)3歩、チョキは勝ったら2歩負けたら1歩、
パーは勝ったら3歩負けたら2歩、ということになります。
例えば小学生くらいの子どもたちにこのゲームをやらせると
一見して「3歩進めるパー」が得のように見えて、パーを出す子どもが
多くなることでしょう。もし私がその集団にいたならば私は
チョキの割合を増やすことで有利にゲームを進められるはずです。
そういう意味でのチョキの有効性に周りの子どもたちが気づくようになると、
チョキの割合が増えてきます。すると今度はグーの割合を増やすと有利に
なるということがわかるでしょう。
このように、相手がどの手を好んで出すか(相手の手の出す割合)に
よって、こちらの最適の戦略は変わってくるわけです。
また、このようにしてみんながこのゲームについて研究を進めていくと
上記のような方程式が出てくるわけですね。
この方法だと相手が猿のようにチョキだけを出し続けても
あるいはグーだけを出し続けても、ランダムに出しても、
相手が最適の方法を研究して手を選んでも、期待値は0
(つまり相手と全く互角)ということになります。
相手と全く同じ条件のゲームなので、自分だけ確実に一方的に
有利な方法を求めるのは虫が良すぎるのかもしれませんね。


30919.Re: じゃんけんの効率
名前:ぱんだ    日付:2月6日(火) 17時31分
最後に、この問題について一番私が言いたいのは
「問題が曖昧すぎる」ということに尽きます。
厳密に与えられた問題を解くことよりも
適当に表現された問題の意味を推定して、つじつまが合うように
問題に厳密さを与えてやる作業のほうがはるかに難しいものです。

「効率よく」の定義は何か?
「相手の戦略は既知か?」
「あいこ」の場合は決着がつくまでやるのか?
「問題2でパーで負けるとは、パーは自分の手か、相手の手か?」
「勝負は一回だけで終るのか?」

他にも突っ込みどころが満載なのが正直なところです。
東大の問題(数字を変えてありますが)の解説は以上のようになりますが、
私自身、その先生の出した正確な問題が何だったのかということが
非常に気になっています。


30951.Re: じゃんけんの効率
名前:ヤス    日付:2月8日(木) 22時30分
>ぱんださん

丁寧な問題と解説をありがとうございました。
じっくり読んで勉強させてもらっています。(まだ完全ではないので^^;)

実はここに質問させていただいたあと、「これって<囚人のジレンマ>ってやつの応用かな?」と思い、計算しなおしてみました。
回答方法は異なりますが、問題1ではグー:チョキ:パー=2:3:1。
とぱんださんと同じ答えが導けました。
ですので、この問題はこの回答で間違っていないと思います。
また問題2はグー:チョキ:パーが5:4:3になりました。

この回答は自信があったので出題者に見せてみました。

結局、出題者自身が問題を理解していないまま出題してしまったようで、僕の回答に納得してくれました。
問題としてはぱんださんが書いてくれた東大の問題と同じ内容であったようです。

ありがとうございました。


30955.Re: じゃんけんの効率
名前:ぱんだ    日付:2月9日(金) 1時51分
参考になったようで私としても非常にうれしいです。
ただ、囚人のジレンマというのは、
「A(自分)とB