ヨッシーの八方掲示板

2005年07月の投稿ログ

22273．(untitled)

名前：みりん　中３ 日付：7月31日(日) 23時56分

夏休みの宿題で迷ってます。できれば歴史ものをやりたいのですが・・・何かいいテーマありませんか？よろしくお願いします。

	22281．Re: (untitled)
	名前：だるまにおん日付：8月1日(月) 13時14分
	数学史をやろうなんてかっこいいですね中３ですから「無理数の発見まで」とか「ピタゴラスの定理の歴史」、「円の不思議に見せられた人々」なんてどうでしょうか？

	22328．Re: (untitled)
	名前：みりん（中３）日付：8月3日(水) 22時40分
	ありがとうございます！

22272．(untitled)

名前：167＠中学３年。 日付：7月31日(日) 22時18分

22182のつづきです。
この図の書き方も教えてください。
円O1,O2,O3は書けるんですが、円Oの位置が分かりません；

	22282．Re: (untitled)
	名前：ヨッシー日付：8月1日(月) 20時58分
	22182 の方に、　ａ＝(４√2－５)／２という結果が出ていますね。今回の質問は、逆に、O1,O2,O3 を先に書いて、それに外接する円を描こうと言うことでしょうか？ならば、O1,O2 の半径を１，O3の半径を２とすると、外接円の半径は　１／ａ＝２／(４√２－５)＝２(４√２＋５)／７となりますから、この長さを作図すればいいでしょう。その長さを、O3 の先端から切ってやれば、中心がでます。　 http://yosshy.sansu.org/

	22296．別解
	名前：らすかる日付：8月2日(火) 23時31分
	何度も投稿したり削除したりしてすみません。いろいろ考えていたら、すごく単純な方法を思い付きました。円O1,円O2,円O3の中心を順にA,B,Cとし、ABの中点をO、 ABの垂直二等分線と円O3との交点のうちABから遠い方をEとします。 (22191の図と同じです。) (1) 線分OE上にPE=1となるように点Pをとります。 (2) APの垂直二等分線とOEの交点が、外接円の中心です。 http://www10.plala.or.jp/rascalhp

	22297．全体の作図
	名前：らすかる日付：8月2日(火) 23時53分
	一応まとめておきます。 (1) 直線Lを引き、その直線上に点Aをとります。 (2) Aを中心として半径aの円を描き、直線Lとの交点をB,Cとします。 (3) Bを中心としてAを通る円を描き、直線Lとの新しい交点をDとします。　　この円は半径aで、目的の円の1つ目です。 (4) Cを中心としてAを通る円を描き、直線Lとの新しい交点をEとします。　　この円は半径aで、目的の円の2つ目です。 (5) Bを中心としてEを通る円とCを中心としてDを通る円の交点の一つを　　Fとし、直線AFを引きます。 (6) Fを中心として半径BCの円を描き、直線AFとの交点のうちAから遠い方を　　Gとします。この円は半径2aで、目的の円の3つ目です。 (7) Gを中心として半径aの円を描き、直線AFとの交点のうちAに近い方をHとします。 (8) Hを中心として半径BEの円を描き、中心B・半径BEの円との交点をJ,Kとします。 (9) 直線JKと直線AFの交点をMとします。 (10) Mを中心としてGを通る円を描きます。これが目的の最後の円です。 http://www10.plala.or.jp/rascalhp

	22298．図
	名前：らすかる日付：8月3日(水) 0時1分
	小さく作れば縮小されないかと思ったけど、縮小されて残念。もっと小さく作らなければならなかったようで。 http://www10.plala.or.jp/rascalhp

	22299．Re: (untitled)
	名前：ヨッシー日付：8月3日(水) 0時4分
	240×240 が、この掲示板で設定できる添付ファイルの最大値です。ちなみに、直貼りすると、こう↓ 　 http://yosshy.sansu.org/

	22300．図
	名前：らすかる日付：8月3日(水) 0時24分
	240×240ですか、わかりました。次回図を貼る時に考慮します。あ、そうか。添付ファイルじゃなくリンクにすれば良かったんですね… ところで、図を添付した書込みを何度か削除してしまいましたが、もしかしたら図のファイルは残っているのでしょうか？もし残るなら、一旦添付で書き込んで削除してからリンクにして書き込み直すというワザも使えますね。 http://www10.plala.or.jp/rascalhp

	22324．Re: (untitled)
	名前：167＠中学３年。日付：8月3日(水) 21時56分
	うーむ、難しいですね。有難う御座います。１番が作図問題で２番が長さの問題なので、長さから図を書くのは邪道ですよね？

	22326．Re: (untitled)
	名前：らすかる日付：8月3日(水) 22時5分
	長さを計算して、その長さを作図して全体を作図しても ×にはならないと思います。ただ、作図問題が先ということは、長さを計算しなくても図形的に簡単に作図する方法があるはずで、そういう解答を期待しているものと思われます。私が書いた作図方法は、長さを作図してから作図するより簡単ですよね。 http://www10.plala.or.jp/rascalhp

22270．級数。

名前：security 日付：7月31日(日) 21時32分

1-1/2+1/3-1/4+1/5-1/6+…は、収束するか、発散するか。
収束ならば、その値を求めなさい。

という問題です。
ちなみに、1+1/3+1/5+…1/2n-1…が∞に発散して、
1/2+1/4+1/6+…1/2n…も∞に発散することは、わかってます。
（↑『初項から第n項までの和の極限をとったら∞になること』から発散すると求めました。この考え方でよいのでしょうか…？）

教えてください。

	22274．Re: 級数。
	名前：みっちぃ日付：8月1日(月) 1時44分
	log2 (底は自然対数の底e)に収束します． 1-1/2+1/3-1/4+1/5-1/6+…は，『条件収束』するといい，securityさんのように並び方を変えてしまうと，発散してしまうので注意が必要です．この収束の証明はlog(1+x)のマクローリン展開(x=0まわりのテイラー展開)によってなされます．

	22276．Re: 級数。
	名前：security 日付：8月1日(月) 2時41分
	マクローリン展開から導けるとは…意外でした。解説、ありがとうございました！

22266．(untitled)

名前：大学１年 日付：7月31日(日) 16時42分

2^(3x-4)をxで不定積分するには
どのような方法を使えば良いのですか？
置換積分法などでできますか？

	22267．Re: (untitled)
	名前：のぼりん日付：7月31日(日) 16時55分
	大した技術を使わずに、高校数学の範囲で　　　∫2^(3x-4)dx 　　　=e^-4log2∫e^3log2xdx 　　　=e^-4log2e^3log2x/3log2+定数　　　=2^3x-4/3log2+定数と計算できます。もちろん、y=3log2･x と置換しても良いですが、この程度だったら、しなくても判り易い様に思います。

	22268．Re: (untitled)
	名前：大学１年日付：7月31日(日) 19時34分
	ありがとうございます。やってみたら簡単にできました。丁寧に教えていただき、ありがとうございました。

22262．図形

名前：けん日付：7月30日(土) 23時14分

１＜ｘ≦４
２≦ｙ＜７
を図に示すとどうなりますか？

	22264．Re: 図形
	名前：ＴＯＭ日付：7月31日(日) 15時42分
	数直線？？

	22265．Re: 図形
	名前：だるまにおん日付：7月31日(日) 16時1分
	おそらく長方形（辺の数は少ないけど）ではないでしょうか・・・

22261．最大値

名前：IGA(高２） 日付：7月30日(土) 22時47分

x,yが9^x+4^y=a^2を満たすとき、3^x+2^(2y+1)の最大値を求めよ。
ただしaは正の定数とする。

解説によると
3^x=X, 2^y=Yとおいて

3^x+2^(2y+1)=-2(X-1/4)^2+2a^2+1/8
ところがyY^2=a^2-X^2>0より、0<X<a
したがって、a>1/4のとき、x=1/4で最大となり最大値は2a^2+1/8,0<a≦1/4のとき最大値はない。
とあったのですが、「0<a≦1/4のとき最大値はない。」というのがわかりません。なぜ最大値はないのですか？
お願いします。

	22287．Re: 最大値
	名前：ヨッシー日付：8月2日(火) 7時59分
	例題１）ｙ＝２ｘにおいて、－１≦ｘ≦２における、ｙの最小値、最大値は？　ｘ＝－１のとき、最小値－２，ｘ＝２のとき　最大値４。例題２）ｙ＝２ｘにおいて、－１＜ｘ＜２における、ｙの最小値、最大値は？　最小値、最大値ともになしこれと同じことです。　 http://yosshy.sansu.org/

	22336．Re: 最大値
	名前：IGA(高２）日付：8月4日(木) 11時21分
	わかりました。有り難うございました。

22255．n次無理関数の積分について

名前：haru 日付：7月30日(土) 13時0分

√の中が分子が４次の関数で分母が６次の有理関数の積分の仕方がわかりましたら教えてください。何冊かの本をあたったのですが載っていませんでした。

22254．いつか０.９９９…＝1はなんでって聞いたもんです

名前：akihiro 日付：7月30日(土) 11時57分

An＝1-1/10ｎ乗の時
ｎ→(無限）のときAn→1…①
0.999…＝1…②
①と②は同値でしょうか

	22256．Re:
	名前：soredeha 日付：7月30日(土) 14時17分
	b1＝0.9 b2＝0.99 ・ bn＝0.99・・・9（9がn個）として、0.999…の意味(定義）を 0.999…＝lim[n→∞] 0.99・・・9（9がn個）、とすれば 0.999…＝lim[n→∞] 0.99・・・9（9がn個）＝lim[n→∞] ｛0.99・・・9（9がn個）＋0.00・・・1（0がn-1個）－0.00・・・1（0がn-1個）＝lim[n→∞] ｛1－0.00・・・1（0がn-1個）｝＝lim[n→∞] ｛1－0.00・・・1（0がn-1個）/1｝＝lim[n→∞] ｛1－1/10・10・・・10（10がn個）｝＝lim[n→∞] (1－1/10＾n) つまり、0.999…の意味(定義）を 0.999…＝lim[n→∞] 0.99・・・9（9がn個）とすれば 0.999…＝lim[n→∞] (1－1/10＾n)、--------(1) よって(1)より lim[n→∞] (1－1/10＾n)＝1、ならば、0.999…＝1 0.999…＝1、ならば、lim[n→∞] (1－1/10＾n)＝1

	22258．Re: いつか０.９９９…＝1はなんでって聞いたもんです
	名前：akihiro 日付：7月30日(土) 18時12分
	すげえ。でわ、少し広げて、ある数ｘに収束していく数列の極限値aはa＝ｘとあらわせるのでしょうか？？？

	22259．Re: いつか０.９９９…＝1はなんでって聞いたもんです
	名前：akihiro 日付：7月30日(土) 18時16分
	あ！おれいを忘れましたありがとうございました！

22250．確率分布表

名前：ぽん日付：7月30日(土) 0時10分

連続ですいません。。

黒が２ｎ、白がｎでの黒Xについての確立分布表は

X　　　　０　　　　１　　　　２

P　n(n-1)/3(3n-1) 4n/3(3n-1) 2n(2n-1)/3(3n-1)

これで正解でしょうか？
自分なりにといたんですが答えがなく
確信に迫れなくて。

	22251．Re: 確率分布表
	名前：ぽん日付：7月30日(土) 0時11分
	見づらくなってすいません０　　n(n-1)/3(3n-1) ------------------------ １　　4n/3(3n-1) ------------------------ ２　　2n(2n-1)/3(3n-1) これで区切って下さい、

	22257．Re: 確率分布表
	名前：我疑う故に存在する我日付：7月30日(土) 17時32分
	ご質問の意味が良く分かりません。省略することなく問題文全文を書いて下さい。

	22288．Re: 確率分布表
	名前：ヨッシー日付：8月2日(火) 8時12分
	黒２ｎ個、白がｎ個、合計３ｎ個の碁石から、２個を同時に取り出すとき、黒が取り出される個数をＸとするとき、Ｘ＝０，１，２に対する確率を求めよ。ってことですね。Ｘ＝１　は合っていますが、０と２は違います。Ｘ＝１で行った約分が、中途半端になっていること。合っているかどうかは、足して１になれば、少しは安心でしょう。「かくしんにせまる（核心に迫る）」の用法が誤っています。正しくは「確信が持てる」等。 http://yosshy.sansu.org/

22246．不定積分

名前：2(大2) 日付：7月29日(金) 23時12分

①exp(x^2)
②x･exp(x^2)

xで積分するにはどうすれば良いのでしょうか？

	22253．Re: 不定積分
	名前：花パジャ日付：7月30日(土) 11時13分
	2)はd(exp(x^2))/dx=2xexp(x^2)から解けるが、 1)は.... exp(-x^2)の例えば[-∞,∞]での積分とかは複素積分使って解けたかと思うが

	22263．Re: 不定積分
	名前：2(大2) 日付：7月31日(日) 13時27分
	よく分からないのですが、詳しくおしえていただいても良いでしょうか？勉強不足ですいません。

	22293．Re: 不定積分
	名前：花パジャ日付：8月2日(火) 10時36分
	1)複素積分ぢゃなかった...2)を使うのだった...22283.に返答します(上にあるので)

	22295．不定積分
	名前：2(大2) 日付：8月2日(火) 15時43分
	すいません。 22283を拝見させていただきます。

22241．確立です。

名前：ぽん日付：7月29日(金) 21時17分

黒３個　白２個　赤５個の球があり、これを３回引いて
一回づつそのつど戻すとき

続けて同じ色が出ない場合はどうなるのですか？

黒黒黒、白白白、赤赤赤、は式で出して
わかるのですが黒黒白、白白黒などが
どうしていいのやらわかりません、
ご教授ください、

	22242．Re: 確立です。
	名前：らすかる日付：7月29日(金) 21時34分
	毎回、黒を引く確率は3/10、白を引く確率は1/5、赤を引く確率は1/2ですから、黒黒白となる確率は (3/10)×(3/10)×(1/5) 白白黒となる確率は (1/5)×(1/5)×(3/10) のようになります。 http://www10.plala.or.jp/rascalhp

	22245．Re: 確立です。
	名前：ぽん日付：7月29日(金) 22時50分
	結果的には赤赤白赤赤黒白赤赤黒赤赤以下省略。。。。。。と同じように全て繰り返さないとでないでしょうか？ほかによい導き方はありますでしょうか？

	22248．Re: 確立です。
	名前：らすかる日付：7月29日(金) 23時56分
	続けて同じ色が出る場合を全体から引くより、最初から続けて同じ色が出ない場合の確率を計算した方が早いと思います。２回目が黒の場合 {1-(3/10)}×(3/10)×{1-(3/10)} ２回目が白の場合 {1-(1/5)}×(1/5)×{1-(1/5)} ２回目が赤の場合 {1-(1/2)}×(1/2)×{1-(1/2)} と計算出来ますね。 http://www10.plala.or.jp/rascalhp

	22249．Re: 確立です。
	名前：ぽん日付：7月30日(土) 0時5分
	確かにそのようですね。。＞＜ご指導ありがとうございましたｍ（＿＿）ｍ

22238．場合の数

名前：高１日付：7月29日(金) 19時58分

「1～100の数字から3つ選んだとき、積が偶数になる場合は何通りか。」

奇数になるものを求める模範解答はわかるのですが、要は偶数が一つ入ればいいのだから
50C1×99C2では何故いけないのでしょうか？
よろしくお願いします。

	22239．Re: 場合の数
	名前：らすかる日付：7月29日(金) 20時20分
	偶数が2つ以上入ったものを重複して数えてしまうからです。 50C1で2が選ばれ、99C2で4と5が選ばれた場合と 50C1で4が選ばれ、99C2で2と5が選ばれた場合は同じですね。従って 50C1×99C2 という計算では偶数が2つ入ったものは2回、3つ入ったものは3回数えてしまいますから、その分を考慮して引けば答えは合います。偶数が3つ入っているものは 50C3通りです。ここで、偶数が2つ入っているものを 50C2×98C1と計算すると、この式でも偶数が3つ入っているものを3回数えてしまいますので、その分を引いて 50C2×98C1 - 50C3×3 が偶数が2つ入っている場合の数です。従って、 50C1×99C2 - (50C2×98C1 - 50C3×3) - 50C3×2 = 50C1×99C2 - 50C2×98C1 + 50C3 = 142100 と計算すれば正しい答となりますが、模範回答のように 100C3 - 50C3 と計算した方がはるかに簡単ですね。 http://www10.plala.or.jp/rascalhp

	22240．Re: 場合の数
	名前：高１日付：7月29日(金) 20時28分
	とてもわかりやすかったです！ありがとうございます。助かりました。

22237．n次導関数

名前：2(大2) 日付：7月29日(金) 11時30分

積の関数f(x)=g(x)h(x)のn次導関数を
g(x)やh(x)を用いてどのように表せばいいのでしょうか？

	22244．Re: n次導関数
	名前：のぼりん日付：7月29日(金) 22時21分
	二項定理を使って、f⁽ⁿ⁾(x)=Σ_{〔k=0～n〕n}C_kg^(k)(x)h^(n–k)(x) と表せば良いと思います。

	22247．Re: n次導関数
	名前：2(大2) 日付：7月29日(金) 23時19分
	ありがとうございます！勉強不足でした。二項定理の復習から始めたいと思います･･･

22236．微分方程式

名前：さもん 日付：7月29日(金) 9時39分

分からない問題があったので、宜しくお願いします。

次の計算をせよ.
(e^xcosx)/(D+1)

どのように計算すればいいのか方針が立ちません。
宜しくお願いします。

	22243．Re: 微分方程式
	名前：のぼりん日付：7月29日(金) 22時18分
	D とは微分の記号（=d/dx）のことでしょうか。そう思って回答します。そうだとすれば、1/(D+1) は関数と可換でないので、(D+1)^–1f(x)={1/(D+1)}f(x) を f(x)/(D+1) とは書かない方が良いでしょう。 (D+a)y=y'+ay=e^bx を一階線形常微分方程式の一般的解法（定数変化法）で解きます。y'+ay=0 を解くと y=C^–ax（C は定数）です。y=ue^–ax とおくと u'e^–ax=y'+ay=e^bx で、これを解くと u=e^(a+b)x/(a+b)+C（C は定数）です。よって、　　　(D+a)^–1e^bx=y=e^bx/(a+b)+C^–ax　（C は定数）　…　① です。e^xcosx=e^x(e^ix+e^–ix)/2=e^(1+i)x/2+e^(1–i)x/2 に①を適用すれば、答えが得られます。

	22252．Re: 微分方程式
	名前：花パジャ日付：7月30日(土) 11時8分
	(D+α)Y=F　→　Y=exp(-αx)(∫exp(αx)Fdx+C)

22235．微分方程式

名前：ふみや 日付：7月29日(金) 0時22分

つぎの微分方程式を解け。
①dy/dx=(5x-7y)/(x-3y+4)
②y"-2y'+2y=e^x cosx
③x^2 y"+3xy'+y=1/(1-x)^2

申し訳ありません。急いでますので他の掲示板と重複している問題もあります。苦手ですので、略解でなく全解でお願いします。
よろしくお願いします。

22232．証明

名前：すばる 日付：7月28日(木) 21時44分

次の不等式を証明せよ。ただし、文字は全て実数とする。
(1)0≦p≦qのときp/(1+p)≦q/(1+q)
(2)|p+9|/(1+|p+q|)≦{|p|/(1+|p|)}+{|q|/(1+|q|)}
ですがわかりません。教えてください。

	22233．Re: 証明
	名前：のぼりん日付：7月28日(木) 23時4分
	(1)　p(1+q)=pq+p≦pq+q=q(1+p) で、両辺を (1+p)(1+q)＞0 で割ると、p/(1+p)≦q/(1+q) です。 (2)　\|p+9q\|/(1+\|p+q\|)≦\|p\|/(1+\|p\|)+\|q\|/(1+\|q\|) のことだと思って回答します。三角不等式により、\|p+q\|≦\|p\|+\|q\| なので、(1) より　　　\|p+q\|/(1+\|p+q\|)≦(\|p\|+\|q\|)/(1+\|p\|+\|q\|)　…　① です。また、　　　(\|p\|+\|q\|)(1+\|p\|)(1+\|q\|) 　　　=\|p\|²\|q\|+\|p\|\|q\|²+\|p\|²+\|q\|²+2\|p\|\|q\|+\|p\|+\|q\| 　　　≦2\|p\|²\|q\|+2\|p\|\|q\|²+\|p\|²+\|q\|²+4\|p\|\|q\|+\|p\|+\|q\| 　　　=\|p\|(1+\|p\|+\|q\|)(1+\|q\|)+\|q\|(1+\|p\|+\|q\|)(1+\|p\|) の両辺を (1+\|p\|+\|q\|)(1+\|p\|)(1+\|q\|) で割って、　　　(\|p\|+\|q\|)/(1+\|p\|+\|q\|)≦\|p\|/(1+\|p\|)+\|q\|/(1+\|q\|)　…　② です。①、②を合わせて、　　　\|p+q\|/(1+\|p+q\|)≦(\|p\|+\|q\|)/(1+\|p\|+\|q\|)≦\|p\|/(1+\|p\|)+\|q\|/(1+\|q\|) です。

	22234．Re: 証明
	名前：すばる日付：7月28日(木) 23時29分
	うっかり問題間違えてました。どうもありがとうございます。大変助かりました。また何かあったらよろしくお願いします。

22228．証明

名前：石頭（大学４年） 日付：7月28日(木) 17時32分

「１９以下の自然数から、７個の数を適当に選ぶ。この７個の数の中から、いくつかの相違なる数の組を２組選んで、その和を等しくすることができることを確認し、証明せよ。」
和が等しくなるのは分かりました。どうやって証明すればいいのか、教えてください。

	22231．Re: 証明
	名前：らすかる日付：7月28日(木) 20時19分
	7個からいくつかの数を選ぶ方法は、2^7-1=127通りです。一方、和は最小1、最大19+18+17+16+15+14+13=112で 112通りしかありませんので、127通りのうち和が同じになる組合せが必ずあります。和が同じになる組合せ同士で同じ数を使っている場合は、それを削除しても和が同じになりますので、結局7個の数の中から重複しない2組で同じ和になる組が存在することになります。 http://www10.plala.or.jp/rascalhp

22225．因数分解

名前：コッチ 日付：7月28日(木) 15時37分

t⁴-3t²-4=0
の因数分解が分かりません。

宜しくお願いします。

	22226．Re: 因数分解
	名前：ビコーン日付：7月28日(木) 16時14分
	左辺で， t²=Xとおいてみましょう． X²-3X-4=0 これでXの値は求まりますね．

	22227．Re: 因数分解
	名前：ヨッシー日付：7月28日(木) 16時14分
	因数分解なら、＝０は、いりませんね（＾＾；おそらく、これを使って、方程式を解くのでしょう。Ｔ＝ｔ² とおくと、ｔ⁴＝Ｔ² ですから、　ｔ⁴－３ｔ²－４＝Ｔ²－３Ｔ－４となります。これは、普通の２次式ですので、因数分解できます。ここで、安心せずに、Ｔをｔ² に直してから、もう一段階あります。　 http://yosshy.sansu.org/

	22229．Re: 因数分解
	名前：コッチ日付：7月28日(木) 18時29分
	有難うございます！ (t+2)(t-2)(t²+1)　ですね。

	22230．Re: 因数分解
	名前：ヨッシー日付：7月28日(木) 19時0分
	正解！ちなみに、ｘ² とｘ⁴ だけ（あと定数項）現れている式の因数分解は、この問題のように、Ｘ＝ｘ² と置けば、出来るものと、ｘ⁴＋３ｘ²＋４＝ｘ⁴＋４ｘ²＋４－ｘ² ＝(ｘ²＋２)²－ｘ² ＝(ｘ²＋ｘ＋２)(ｘ²－ｘ＋２) のように、ｘ²－ｙ²＝(ｘ＋ｙ)(ｘ－ｙ) の形にするものの、ふた通りあります。　 http://yosshy.sansu.org/

22221．割り算について

名前：井上　朋花 日付：7月28日(木) 9時55分

なぜ2分の3×3=2になるのでしょうか。
2を3で割ったら1.6666666…で、それに3をかけたら、なぜきれいに2になるのかわかりません。なのに計算の順序によってはきれいに２になるのはなんででしょうか。おしえてください。
小学５年。

	22222．Re: 割り算について
	名前：ヨッシー日付：7月28日(木) 13時2分
	まずは、間違いの訂正。３分の２×３＝２　ですね。あと、1.666… ではなくて 0.666…　です。さて、0.666… は、何万桁、何億桁かで止まるわけではなく、ずーっと 6 が続いている数です。これに、3 を掛けると、表記上は　1.999…　のように、9 がずーっと続く数になります。では、質問です。この、1.999… という数は、いったい、２よりもどれだけ小さいでしょうか？（大きいかも？と考えることは、ここでは必要ないでしょう） 0.000… 果たして、どこかで 0 でない数が現れるでしょうか？結局、1.999… は、２よりも、少しも小さくないのです。ですから、(2/3)×３＝0.666…×３＝1.999…＝２　です。この考え方は、高校の数学にも出てくる考え方ですので、小学生には難しいかも知れませんね。ちょっと、続きます。　 http://yosshy.sansu.org/

	22223．Re: 割り算について
	名前：ヨッシー日付：7月28日(木) 13時15分
	私たちが普通に使っている数は、　100, 10, 1, 0.1, 0.01, 0.001 のように、桁が１つ右に行くと、1/10 倍になる決まりがあります（左だと１０倍です）こういう数を十進数といいます。例えば、２１は７で割り切れますが、この場合、２１は７×３のように必ず、７×□ の形に書けます。７÷５は、整数の範囲では割り切れませんが、小数まで考えると、７÷５＝１．４と割り切れます。これは、７を５で割ったときのあまり２を、小数第１位を考えるときに、あたかも、（２×１０＝）２０のように考えて、これを５で割ったときに割り切れるわけです。１０＝２×５　ですから、１０を掛けると、５×□ の形に書ける数が作れるわけです。ところが、３や７ではどこまで行っても割れないときがあります。小数の割り算で、右の位に行くたびに、あまりに１０を掛けていくわけですが、１０をいくら掛けても、３や７を含んでいないので、ダメなのです。長々と書きましたが、結局　0.666… などのようにずっと続く数は、この十進法の表記の限界であり、しかたなくこう書いていますが、数字そのものの大きさは、ちゃんと存在するわけです。もう少し続きます。　 http://yosshy.sansu.org/

	22224．Re: 割り算について
	名前：ヨッシー日付：7月28日(木) 13時19分
	十進数ということを書きましたが、三進数というものもあります。　100, 10, 1, 0.1, 0.01, 0.001 は、右に行くと 1/3 倍、左に行くと３倍になる決まりがあります。十進数での、　1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 は、三進数では、　1, 2, 10, 11, 12, 20, 21, 22, 100, 101 となります。３以上の数は使わないんですね（そもそも存在しない）。これを使うと、三進数の 0.1 は、十進数の 1/3 ですから、十進数では、0.666… と書いていた数も、三進数では、0.2 ときれいに掛けます。逆に、十進数の 0.1 なんかは、三進数では、きれいに表せないことになります。結局、数の表記（書き表し方）の問題だと言うことですね。　 http://yosshy.sansu.org/

22216．数と方程式

名前：ウルトラかめっちょ 日付：7月27日(水) 19時1分

方程式18x-7y=9を満たす2つの正の整数x,yの中で、x+yが最小になるのはx=□,y=□のときであり、x+yの2番目に小さい値は□である。
□をうめよ。
わからないので教えてください。

	22217．Re: 数と方程式
	名前：ヨッシー日付：7月27日(水) 20時58分
	18x, -7y, 9 の３つの数字が見えていますが、ｘ，ｙが整数のとき、 18x と 9 は９の倍数ですので、-7y も９の倍数でないといけません。また、18x という偶数から 7y を引いて、9 という奇数になるということは、7y は奇数でないといけません。つまりは、ｙが奇数ということです。しかも、ｙは９の倍数ですから、　ｙ＝9,27,45,63,81 ・・・　です。これに対応して、　ｘ＝4,11,18,25,32　・・・です。ｘが小さいほどｙも小さいので、（以下略）　 http://yosshy.sansu.org/

	22218．Re: 数と方程式
	名前：ウルトラかめっちょ日付：7月27日(水) 22時24分
	すみません…頭が悪いのでよく理解できません…ヨッシーさんの回答が問題とどう関係があるのかもわかりません。お手数で申し訳ありませんが、もう少し直接的なことを教えていただけると大変助かります。

	22219．Re: 数と方程式
	名前：ウルトラかめっちょ日付：7月27日(水) 23時0分
	わかりました。お騒がせしてすみませんでした。とっても助かりました。本当にどうもありがとうございます。

22212．微分法

名前：りっちー 日付：7月27日(水) 11時58分

以下の問題が分かりませんでした。
次の方程式は、-1と5との間に4個の実数解をもつことを証明せよ。
x⁴-6x³+8x²-1=0

宜しくお願いします。

	22213．Re: 微分法
	名前：ヨッシー日付：7月27日(水) 12時56分
	４次方程式で、４個の解ですから、すべての解が実数で、それらが－１と５の間にあるので、グラフはこんな感じです。すると、微分して、極値を調べてそれらが、－１と５の間で、負、正、負というふうに変化すればいいことになります。　 http://yosshy.sansu.org/

	22214．Re: 微分法
	名前：ヨッシー日付：7月27日(水) 12時59分
	あ、あと　ｘ＝－１、ｘ＝５　のときに、正であることをいう必要がありますね。　 http://yosshy.sansu.org/

22210．相加・相乗平均

名前：京日付：7月27日(水) 11時0分

相加・相乗平均はどういうときに使うのかを教えてください
最小値を求めるだけしか調べてみましたがのってませんでした。

	22211．Re: 相加・相乗平均
	名前：ヨッシー日付：7月27日(水) 11時5分
	実用上はそんなもんでしょう。和の最小値、積の最大値　が基本です。一定の長さのひもで、最大面積の長方形を作る。一定面積の長方形の、周囲の長さを最小にする。　等です。ａ＞０、ｂ＞０　などの条件があれば、一応相加相乗を疑いましょう。　 http://yosshy.sansu.org/

	22220．Re: 相加・相乗平均
	名前：京日付：7月27日(水) 23時57分
	ありがとうございました。

22204．たびたびすみません。。。

名前：security 日付：7月26日(火) 20時17分

以下、Zは整数全体とする。
　Z/4Zの部分群を全て求めよ。
　（Z/2Z）×（Z/2Z）の部分群を全て求めよ。

という問題なのですが、どうやって求めていくのでしょうか…
教えてください。。。

22200．(untitled)

名前：さあや 日付：7月26日(火) 19時12分

[ｘのn-1乗]-１＝０の解を１、a1,a2,a3…anとする。このとき、（１-a1）(1-a2)…(1-an)の値を求めよ。（ｎは１以上）

自分なりの解答を作ってみましたが、自信がないのでお願いします＞＜

	22201．Re: (untitled)
	名前：のぼりん日付：7月26日(火) 19時26分
	ｎ－１次方程式の解の個数はｎ－１個ですから、題意の方程式「の解を、a1,a2,a3…anとする」ことはできません。問題に間違いがあるか、書き写し間違いがありそうです。

	22203．Re: (untitled)
	名前：さあや日付：7月26日(火) 19時56分
	すみません！ｎ＋１です！うっかりしてました＞＜

	22205．Re: (untitled)
	名前：のぼりん日付：7月26日(火) 21時7分
	xⁿ⁺¹–1=(x–1)(xⁿ+x^n–1+…+x+1)=0 の解を 1、a₁、a₂、…、a_n とすると、f(x)=xⁿ+x^n–1+…+x+1=(x–a₁)(x–a₂)…(x–a_n) です。よって、(1–a₁)(1–a₂)…(1–a_n)=f(1)=1ⁿ+1^n–1+…+1¹+1⁰=n+1 です。

	22206．Re: (untitled)
	名前：さあや日付：7月26日(火) 21時52分
	ほぼ大丈夫でした☆ありがとうございました☆

22197．(untitled)

名前：takeshi 日付：7月26日(火) 18時8分

√(X+1) これをマクローリン展開しなさい。

という問題があったのですが、マクローリン展開を「する」というのが何を出すことなのかも、Rnの式を出すことすらも分かりません…
明日試験の大学1年です（ToT）
解答・解法をよろしくお願いします。

	22198．Re: (untitled)
	名前：ヨッシー日付：7月26日(火) 18時16分
	公式だけをいうなら、こちらの、一番上にあります。 f(x)＝√(x+1)＝(x+1)^(1/2)　が、 f(x)＝a0＋a1x＋a2x^2＋a3x^3＋・・・・と書けるものとして、（a0 で１つの文字です。a1,a2 も同様） f(0)＝a0＝√(0+1)＝１　より、a0＝１ f'(x)＝(1/2)(x+1)^(-1/2) 　　＝a1＋2a2x＋3a3x^2＋4a4x^3＋・・・　より f'(0)＝1/2＝a1　より、a1=1/2 のように順々に係数を求めていきます。　 http://yosshy.sansu.org/

	22199．Re: (untitled)
	名前：takeshi 日付：7月26日(火) 18時25分
	返信ありがとうございます。ということは、ｆ(x)=…　の式を書けば答えになるのでしょうか？その場合に第N項の式は自力で一般式を求めるんですよね？あ、それと追記で申し訳ないんですが、問題ではX=０でマクローリン展開せよと書いてありました。いろいろとすみません。

	22269．Re: (untitled)
	名前：高校生日付：7月31日(日) 20時15分
	x=0 でテイラー展開することがマクローリン展開。

22188．(untitled)

名前：トマト 日付：7月26日(火) 0時50分

次の問題の解き方を教えて下さい。

1<k<3…①のとき、xy平面上の2直線
2kx－y=1…②
2x－ky=4－3k…③
の共有点の軌跡を求めよ。

	22189．Re: (untitled)
	名前：ヨッシー日付：7月26日(火) 8時55分
	(2)と(3) をｘ、ｙの連立方程式として解きます。　2k^2x－ky=k　…(2)×ｋ　2x－ky=4-3k　…(3) 上式から下式を引いて、　2(k^2-1)x=4(k-1) 1<k<3 より、k-1>0 より、両辺 2(k-1) で割って、　(k+1)x=2 　x=2/(k+1) (2) より、　y=2kx-1=4k/(k+1) - 1=(3k-1)/(k+1) = 3 - 4/(k+1) これより、　y= 3-2x と書け、ｘの範囲は、1/2＜ｘ＜１　 http://yosshy.sansu.org/

22187．群論２

名前：security（大学２年） 日付：7月26日(火) 0時22分

本日2回目のカキコになります。。。

1.　4次対称群の元
　　　(1342) , (124) , (12)(34)の
　　　　　位数を求めよ。
※そもそも、位数の定義をあまり理解できていませんが。。。

２．以下、Zは整数全体とする。
　　Z/4Z={0+4Z,1+4Z,2+4Z,3+4Z}の剰積表を作れ。
　　Z/4Zの部分群を全て求めよ。
　　（Z/2Z）×（Z/2Z）の部分群を全て求めよ。

2の剰積表ってのが何なのか、イマイチわかりません。。。
よろしくお願いします。

	22193．Re: 群論２
	名前：我疑う故に存在する我日付：7月26日(火) 12時1分
	(1) について。｢位数｣は二通りの異なる意味があり、群の位数ははその元の個数、群の元 x の位数は、x^n = 1 (単位元) なる最小の自然数のことです。たとえば、 (124)^1 =(124), (124)^2 = (142), (124)^3 =(1) = 単位元、 (124) の位数は 3. (2) について。 0+4Z,1+4Z,2+4Z,3+4Z を簡単のため 0, 1, 2, 3 であらわすと、＋│０１２３ ─　──── ０│０１２３１│１２３０２│２３０１３│３０１２これを(和の)乗積表といいます。

22182．夏休みの宿題。

名前：167＠中学３年。 日付：7月25日(月) 22時39分

三つの円O1、O2、O3の半径をそれぞれa、a、2aとする。
今、半径１の円にこれらが内接し、かつ三つの円が互いに外接している。
この問題文を満たす具体図の書き方を教えてください。

	22191．Re: 夏休みの宿題。
	名前：ヨッシー日付：7月26日(火) 10時18分
	これは、最終的には、ａの値を求めるのですかね？その方向で、座標を使って考えてみます。 O1,O2,O3 の中心をＡ，Ｂ，Ｃとし、Ａ（０，ａ）、Ｂ（０，－ａ）、Ｃ（√10ａ，０）とします。半径１の円の中心を（ｘ、０）とすると、ＤＣ＝１－２ａ　より、　√10ａ－ｘ＝１－２ａＢＤ＝１－ａ　より、△ＢＯＤにおける三平方の定理より　ＢＤ^2＝(１－ａ)^2＝ａ^2＋ｘ^2 これを解くと、　ｘ＝(５－√10)／３　ａ＝(５√10－１３)／９が得られます。　 http://yosshy.sansu.org/

	22195．Re: 夏休みの宿題。
	名前：ヨッシー日付：7月26日(火) 13時29分
	Ｃの座標は、（2√2ａ，０）でした。これに伴って、他の数値も変わってきます。直しますので、少しお待ち下さい。 http://yosshy.sansu.org/

	22196．Re: 夏休みの宿題。
	名前：ヨッシー日付：7月26日(火) 16時27分
	O1,O2,O3 の中心をＡ，Ｂ，Ｃとし、Ａ（０，ａ）、Ｂ（０，－ａ）、Ｃ（2√2ａ，０）とします。半径１の円の中心を（ｘ、０）とすると、ＤＣ＝１－２ａ　より、　2√2ａ－ｘ＝１－２ａＢＤ＝１－ａ　より、△ＢＯＤにおける三平方の定理より　ＢＤ^2＝(１－ａ)^2＝ａ^2＋ｘ^2 これを解くと、　ｘ＝２－√2 　ａ＝(4√2－５)／２が得られます。　 http://yosshy.sansu.org/

	22202．Re: 夏休みの宿題。
	名前：167＠中学３年。日付：7月26日(火) 19時35分
	詳しい解説有難う御座います。

22181．関数の問題

名前：ひろ日付：7月25日(月) 22時21分

２次関数y=x^(2)+ax+bがx軸と共有点をもつとき、
(a,b)の満たす領域を図示せよ。

図がわかれば幸いです。お願いします。

	22185．Re: 関数の問題
	名前：ＴＯＭ日付：7月25日(月) 23時37分
	ｘ軸と共有点を持つ⇒判別式Ｄ≧０Ｄ＝ａ＾２－４ｂａ＾２－４ｂ≧０　　　－４ｂ≧－ａ＾２　　　　　ｂ≦（１／４）・ａ＾２ｙ≦（１／４）・ａ＾２　は図示できますか？

	22186．Re: 関数の問題
	名前：ひろ日付：7月25日(月) 23時56分
	TOMさん、ありがとうございます。どのような図なのかわからないのですが。

	22192．Re: 関数の問題
	名前：ヨッシー日付：7月26日(火) 11時54分
	ｙ≦(1/4)・ｘ^2　を描くには、まず、ｙ＝(1/4)・ｘ^2 のグラフを描く必要があります。　ｙ≦(1/4)・ｘ^2 において、　ｘ＝０　のとき　ｙ＝０　→（０，０）を通る。　ｘ＝２　のとき　ｙ＝１　→（２，１）を通る。　ｘ＝－２のとき　ｙ＝１　→（－２，１）を通る。など、通る点をいくつか求めて、グラフ上に描いていって、なめらかな曲線で結べば出来上がりです。ｙ≦(1/4)・ｘ^2　において、ｙは、ｙ＝(1/4)・ｘ^2 の上の点よりも、小さいことを表しているので、上で描いたグラフの曲線の下側の領域になります。 ↓こんなふうになります。正しくは、いくつかの点の座標や、軸、頂点を書き込むと、答案らしくなります。　 http://yosshy.sansu.org/

	22194．Re: 関数の問題
	名前：ひろ日付：7月26日(火) 12時21分
	ｙ≦（１／４）・ａ＾２のaの部分が分かりませんでした。 xに置き換えるのですね。有難うございました。

22179．連立方程式

名前：みお日付：7月25日(月) 20時39分

ある地区で地元野球チームの試合を応援に行った。１回戦では参加者が５０人だったので、バスを1台借りたところ入場料とバス代の合計が１人あたり１５００円になった。２回戦では参加者が８０人だったのでバスを２台借りたところ入場料とバス代の合計が１人あたり１８００円になった。このときの１人分の入場料とバス１台分の使用料を求めなさい。中２です。

	22180．Re: 連立方程式
	名前：ボランチ日付：7月25日(月) 20時58分
	１回戦では参加者が５０人だったので、バスを1台借りたところ入場料とバス代の合計が１人あたり１５００円になった。５０１５００＝全員の入場料+バス代２回戦では参加者が８０人だったのでバスを２台借りたところ入場料とバス代の合計が１人あたり１８００円になった。８０１８００＝全員の入場料+バス代（２台分）この二つの式の意味はわかりますか？

	22207．Re: 連立方程式
	名前：みお日付：7月26日(火) 21時55分
	遅くなりました。よく分かりません。泣　ごめんなさい。

	22215．Re: 連立方程式
	名前：ヨッシー日付：7月27日(水) 14時50分
	ボランチさんの書かれた１つ目の式は、　５０人分の入場料とバス１台分の費用の合計が７５０００円ですよってことですね？２つ目の式は、　８０人分の入場料とバス２台分の費用の合計が１４４０００円ですよってことですね？この２つが、問題文から読み取れることです。では、この２つのことを式で表してみましょう。１人分の入場料をｘ円、バス１台の費用をｙ円とします。　　　　・・・・・つづきをどうぞ　 http://yosshy.sansu.org/

22176．以下の２問について教えてください。

名前：security（大学２年） 日付：7月25日(月) 19時54分

１.
数列{ａ(n)}がαに収束するならば、
lim【n→∞】(1/n){a(1)＋a(2)＋…a(n)}の値がαとなる
ことを示しなさい。

２．
関数ｙ=〔{(xの2乗)-1}のn乗〕のn次導関数は、
方程式{(xの2乗)-1}y"＋2xy'-n(n+1)y＝０を満たすことを示せ。

証明の糸口すらわかりません。。。ぜひ教えてください。。。
よろしくお願いします。

	22183．Re: 以下の２問について教えてください。
	名前：のぼりん日付：7月25日(月) 22時47分
	１．∀ε＞0 を取ります。a_n→α（n→∞）より、∃m≧1:∀n≧m:\|a_n–α\|＜ε/2 です。A=\|a₁–α\|+…+\|a_m–α\|≧0、m'=[2A/ε]+1≧1（[　] は Gauß 記号）とおけば、∀n≧m'に対し、　　　\|(a₁+…+a_n)/n–α\|≦(\|a₁–α\|+…+\|a_n–α\|)/n 　　　≦{A+(n–m)ε/2}/n＜A/m'+ε/2＜ε です。２．ルジャンドルの微分方程式と、ルジャンドルの多項式ですね。一般的理論ですので、残念ながら、掲示板での質問には適さない様に思います。というのも、限られたスペースで完全な説明を書くのは困難です。申し訳ないですが、本を調べて貰うのが最も近道と思います。もちろん、微分方程式の本を読んでも良いのですが、以下の本は、初等的かつとてもわかり易く説明していて、お勧めです。 ■　原島鮮「初等量子力学｣（裳華房）§13.4 Legendre の多項式

	22184．Re: 以下の２問について教えてください。
	名前：security（大学２年）日付：7月25日(月) 23時13分
	のぼりんさん、丁寧な解説と共に、本の紹介まで、ありがとうございました。参考にさせていただきます。

22175．教えてください

名前：専門学校２年生 日付：7月25日(月) 19時10分

はじめまして。今あるプログラムを書いていて、どうしても私の数学的知識ではわからないことがあります。教えていただけたらと思い質問させていただきます。

ある点Ｐ１とＰ２があります。この点を結んだ線分をＰ１を原点として延長した場合の座標の求め方が知りたいのです。
Ｐ１とＰ２間の距離（メートル）がわかっています。この距離をある一定の長さにしたいのです。お願いします。

	22177．Re: 教えてください
	名前：らすかる日付：7月25日(月) 19時58分
	何倍にすれば良いかわかっているなら、その倍率をsとして P1+s(P2-P1) が求める座標です。 http://www10.plala.or.jp/rascalhp

	22178．Re: 教えてください
	名前：専門学校２年生日付：7月25日(月) 20時7分
	らすかるさん。ありがとうございます。これから試してみます。

22172．命題

名前：あきら 日付：7月25日(月) 15時22分

命題p.q.rに対してp→qが真であるとする。このとき次の命題について真、偽、判定不明を決定し理由を述べよ。１．p→(q∧r) ２．p→(q∨r) ３．(p∧r)→q ４．(p∨r)→q 誰か教えてください。。。。急ぎです！！！大２

	22173．Re: 命題
	名前：ヨッシー日付：7月25日(月) 16時58分
	一般に　ｐ→(ｐ∨ｑ)、（ｐ∧ｑ）→ｐです。ｐ→ｑ　が真であるとき、１．偽：ｐ→(ｑ∧ｒ~) であれば、ｐ→(ｑ∧ｒ) でなくとも、ｐ→ｑとなりうる。２．ｐ→ｑ→(ｑ∨ｒ) より、真。３．(ｐ∧ｒ)→ｐ→ｑより、真。４．偽：(ｐ~∧ｒ) →ｑとは限らない。判定不明とは、どういう場合をいうのでしょう？　 http://yosshy.sansu.org/

	22174．Re: 命題
	名前：あきら日付：7月25日(月) 17時24分
	一般に　ｐ→(ｐ∨ｑ)、（ｐ∧ｑ）→ｐというのは必ず成り立つのでしょうか？？よくこの意味が理解できません。判定不可というのは・・・・そうやって問題に書いてあるのでちょっとよくわかりません・・・・ありがとうございます。

22167．漸化式

名前：IGA(高２） 日付：7月24日(日) 22時24分

次のように定められた数列{a(n)}の一般項を求めよ

a(1)=2,a(n+1)=4a(n)-3

解答をみると
与式は、a(n+1)-1=4(a(n)-1)
と変形されるから、数列{a(n)-1}は初項a(1)-1=2-1=1、公比４の等比数列になる・・・・・・・

と続くのですが、そのような考え方をする過程を教えてください。
つまり
なぜ、どうしたいから与式をa(n+1)-1=4(a(n)-1)
のように変形したのか。
またなぜ数列{a(n)-1}を考えるのか・・・

以上を教えてください。お願いします。
※（　　）内は小さい文字

	22169．Re: 漸化式
	名前：黒蟻日付：7月24日(日) 23時33分
	c＝4c－3を満たすcを求めると、c＝1となります。すなわち1＝4＊1－3です。a(n＋1)＝4a(n)－3の両辺からこの式を引いて、a(n＋1)－1＝4(a(n)－1)を得ます。一般に、a(n＋1)＝Ka(n)＋L (K≠1)という漸化式に対して、c＝Kc＋L を満たすcが存在する(c＝L/(1－K)と置けばよい)ので、a(n＋1)＝Ka(n)＋Lからこの式を引くとa(n＋1)－c＝K(a(n)－c)を得ます。どうしてこのような計算を考えるのかは、「そうやるとうまくいくから」としか私には言えません。別の方法もあります。a(n＋1)＝Ka(n)＋L (K≠0)という式は、K＝1ならば階差数列になって計算できるので、階差数列にしてしまおう、という考え方です。具体的には、両辺をK^(n＋1)で割るだけです。このときa(n＋1)/K^(n＋1)＝a(n)/K^n＋L/K^(n＋1)となります。見づらいのでb(n)＝a(n)/K^nとおいてやると、b(n＋1)＝b(n)＋L/K^(n＋1)となり、階差数列になりました。

	22170．Re: 漸化式
	名前：ヨッシー日付：7月25日(月) 9時16分
	こちらのページの、一番最初に出てくる解説の、「・・・まず、この形にすることを目指す」の部分が、この考え方のすべてだと思います。「等比数列なら、式で表すことができる」に尽きます。　 http://yosshy.sansu.org/

	22208．Re: 漸化式
	名前：IGA(高２）日付：7月27日(水) 7時28分
	>ヨッシーさんへ＞ａn－α が等比数列になるのでとあるのですがなぜαを引くだけで等比数列となるのですか？教えてください。お願いします。

	22209．Re: 漸化式
	名前：ヨッシー日付：7月27日(水) 8時26分
	ａ_n+1－α＝ｂ（ａ_n－α）の意味は、ａ1－α, ａ2－α, ａ3－α, ・・・という数列の、ある項と、その次の項の比が、どこをとっても一定であるということを表しています。（等比数列の漸化式表現ですね）　ａ_n+1＝ｂａ_n＋ｃの形の漸化式は、αを適当に決めてやることによって、必ずこの形になります。では、αをいくつにしたらいいかというと、それを求めるのが、　ｘ＝ｂｘ＋ｃという方程式です。　 http://yosshy.sansu.org/

	22260．Re: 漸化式
	名前：IGA(高２）日付：7月30日(土) 22時41分
	わかりました。有り難うございました。

22155．比の問題です

名前：Pico（小学５年） 日付：7月24日(日) 14時14分

ある店で、テニスのシューズとラケットを仕入れ、それぞれに利益があるように定価をつけました。シューズ１足とラケット１本の仕入れ値の比は７：９、利益の比は１：６、定価の比は５：８になりました。
（１）ラケット１本の利益は定価の何％ですか。
（２）シューズ１足の利益が４００円のとき、ラケットの定価はいくらですか。
線分図を書いてみたのですが、わけが分からなくなってしまいました。よろしくお願いします。

	22157．Re: 比の問題です
	名前：だるまにおん日付：7月24日(日) 14時47分
	シューズの定価×８＝ラケットの定価×５という事実よりそれぞれの品における仕入れ値と利益の比が分かります。

	22159．Re: 比の問題です
	名前：Pico（小学５年）日付：7月24日(日) 17時18分
	シューズの仕入れ値×9＝ラケットの仕入れ値×7 シューズの利益×6＝ラケットの利益×1 を、どのように利用したらいいのか分かりません。

	22161．Re: 比の問題です
	名前：だるまにおん日付：7月24日(日) 18時26分
	シューズ：仕入れ値＝７ｓ　利益＝１ｒラケット：仕入れ値＝９ｓ　利益＝６ｒ　　とおくことが出来ます。するとシューズの定価は（７ｓ＋１ｒ）ラケットの定価は（１８ｓ＋６ｒ）となります。すると、シューズの定価×８＝ラケットの定価×５なので（７ｓ＋１ｒ）×８＝（９ｓ＋６ｒ）×５つまり５６ｓ－４５ｓ＝３０ｒ－８ｒよってｓ＝２ｒという関係が分かります。ですから６ｒ＝３ｓなのでラケットの利益は３ｓとなるのでラケットの利益は定価の３ｓ÷（３ｓ＋９ｓ）＝２５％です

	22162．Re: 比の問題です
	名前：だるまにおん日付：7月24日(日) 18時29分
	↑上の書き込みは一部間違っています。↓が正しいですシューズ：仕入れ値＝７ｓ　利益＝１ｒラケット：仕入れ値＝９ｓ　利益＝６ｒ　　とおくことが出来ます。するとシューズの定価は（７ｓ＋１ｒ）ラケットの定価は（９ｓ＋６ｒ）となります。すると、シューズの定価×８＝ラケットの定価×５なので（７ｓ＋１ｒ）×８＝（９ｓ＋６ｒ）×５つまり５６ｓ－４５ｓ＝３０ｒ－８ｒよってｓ＝２ｒという関係が分かります。ですから６ｒ＝３ｓなのでラケットの利益は３ｓとなるのでラケットの利益は定価の３ｓ÷（３ｓ＋９ｓ）＝２５％です

	22163．Re: 比の問題です
	名前：ヨッシー日付：7月24日(日) 18時33分
	図の上が、与えられた条件をそのまま描いた図。下が「シューズの定価×８＝ラケットの定価×５」を示した図です。　　 http://yosshy.sansu.org/

	22165．Re: 比の問題です
	名前：Pico（小学５年）日付：7月24日(日) 21時3分
	定価のところで５と８の最小公倍数でそろえるといいんですね。よくわかりました。ありがとうございました。

22148．証明を教えてください

名前：明日香 日付：7月24日(日) 13時0分

点A、Bを通る直線をｙ＝ｍｘ＋ｎとする。

そのとき線分AB＝√1＋ｍ^2×(Β－α)

(√はｍ^2までです、Β、αは点A、Bから垂線を下したときのｘ軸との交点だとおもいます、Β－αは距離です)

なぜ上のようになるのか教えてください

	22152．Re: 証明を教えてください
	名前：だるまにおん日付：7月24日(日) 13時18分
	A(p,q)B(r,s)とおきます。すると \|r-p\|:線分AB=1:√(1+m^2) (∵ピタゴラスの定理） ∴\|r-p\|×√(1+m^2)=線分AB×1 ところで\|r-p\|=(Β－α)なので線分AB=√(1+m^2)×(Β－α)　　　■

	22154．Re: 証明を教えてください
	名前：明日香日付：7月24日(日) 13時39分
	ありがとうございました

22145．変形がわかりません。

名前：you 日付：7月24日(日) 12時38分

2-2cosθ＝4sin^2 θ/2
に変形ってできるのでしょうか？

	22146．Re: 変形がわかりません。
	名前：らすかる日付：7月24日(日) 12時42分
	出来ますよ。 http://www10.plala.or.jp/rascalhp

	22147．Re: 変形がわかりません。
	名前：you 日付：7月24日(日) 12時53分
	どうやるのでしょうか？

	22150．Re: 変形がわかりません。
	名前：だるまにおん日付：7月24日(日) 13時6分
	半角の公式を使うだけです。

	22151．Re: 変形がわかりません。
	名前：明日香日付：7月24日(日) 13時16分
	できました。半角の公式で私が知っているのはθのときだけでしたが、 θ/2にして使えばなりますね。ありがとうございました。

22144．(untitled)

名前：フロッピーディスクω高３ 日付：7月24日(日) 11時35分

座標空間に、３点Ｏ(０、０、０)、Ａ(３、－２，１)、Ｂ(１，１，１)がある。→ＯＡ、→ＯＢを２つの辺とする平行四辺形の面積は（　）である。という問題で、解答で、
平行四辺形の面積SはS=|→OA||→OB|sinθである。
とあるのですが、なぜこうなるのかわかりません。
誰か教えてください。

	22149．Re: (untitled)
	名前：だるまにおん日付：7月24日(日) 13時2分
	θ=∠AOBのときOA,OBの張る平行四辺形においてOAを底辺と見たときの高さはOBsinθです。だから面積SはS=\|→OA\|\|→OB\|sinθです。

	22158．Re: (untitled)
	名前：フロッピーディスクω高３日付：7月24日(日) 15時36分
	よくわかりました。ありがとうございました。

22142．(untitled)

名前：しん　大学１年 日付：7月24日(日) 5時30分

　関数の連続性について質問させてください。
（１）　n=0,1,2,3,・・・のとき　f(x)=x^n (x∈(－∞,∞))　は、任意の　　　点cで連続である。を証明せよ。
（２）　f(ｘ)=1/xは、(0,∞)で連続であることを証明せよ。
どのようにしたらよいのかわかりません・・・お願いします！！

	22160．Re: (untitled)
	名前：のぼりん日付：7月24日(日) 17時36分
	(1)　∀x∈R、∀ε＞0 を取り固定します。　δ=(\|x\|ⁿ+ε)^1/n–\|x\|＞0 とおくと、\|y–x\|＜δ ならば \|f(y)–f(x)\|＜ε です。　よって、f は R 上で連続です。 (2)　∀x＞0、∀ε＞0 を取り固定します。　δ=εx²/(1+εx)＞0 とおくと、\|y–x\|＜δ ならば \|f(y)–f(x)\|＜ε です。　よって、f は (0,∞) 上で連続です。

	22166．Re: (untitled)
	名前：しん　大学１年日付：7月24日(日) 21時35分
	のぼりんさんいつも、質問に答えてくれて本当にありがとうございます！

22140．(untitled)

名前：ユーちゃん 日付：7月24日(日) 1時49分

次の問題は、どのように解くのでしょうか？

C:(x-a)^2=4(1-b)(y-b)…①
（a,bはa≠0,b≠1の任意の実数の定数）
が、すべてｙ＝-x^2に接するとき、y軸を軸として任意のCに接する
y=-x^2以外の放物線があればすべて求めよ。

	22156．Re: (untitled)
	名前：たけしま日付：7月24日(日) 14時27分
	①をyについてときそれをy=f(x)とおく方程式f(x)=-x^2の判別式D=0なので計算が間違っていなければ a^2+(4b-5)(a^2-4b^2+4b)=0という式が出てきます。この式を満たすa,bの例として(a,b)=(3,-1) (√6,2)などがあり、このときのCは8y=x^2-6x+1 ,-4y=x^2-2√6x-2･･･♪　となります。次に求める放物線をy=mx^2+nとおくとこれと♪は接しているので立式して判別式をとると 8mn-m-n-1=0かつ8mn-4m+2n-4=0となります。nを消去して整理すると (4m-1)(m+1)=0∴m=-1,1/4 ∴(m,n)=(-1,0)(1/4,5/4) よってもしy=-x^2以外にあるとしたらy=1/4x^2+5/4しか有り得ません。ところがCとy=1/4x^2+5/4が接しているかどうか確かめると････

22137．数列

名前：calamity 日付：7月23日(土) 21時23分

次の数列の第n項をa(n)とする
1/4,2/4,3/4,1/9,2/9,3/9,4/9,5/9,6/9,7/9,8/9,・・・
(1)第100項を求めよ
(2)最初にa(n)=5/12となるのは第何項か

問題を解き始める前に、第ｎ群の初項が全体の第何項目になるのか
わかるように式を立てましたがうまくいきません
（方針）第ｎ群の項数は(n+1)^2 -1より
n≧2のときΣ(k=1からn-1まで）(k+1)^2 -1+1という計算をしたのですが
でた式に実際に代入すると結果が合いません・・
どうすれば求められるんでしょうか　解説お願いします

	22141．Re: 数列
	名前：豆日付：7月24日(日) 2時11分
	∑[k=1,n-1]((k+1)^2-1)+1=∑[k=2,n]k^2-(n-1)+1 =n(n+1)(2n+1)/6-n+1 でいいのでは？

22132．偏微分と重積分

名前：ふみや 日付：7月23日(土) 18時38分

こんにちは。
(1)log√(x^2+y^2)=arctan(y/x)のときdx/dyを求めよ。
(2)∫∫D(x^2+y^2)dxdy 　D:x^2/a^2+y^2/b^2≦1を求めよ。

宜しくお願いします。

	22143．Re: 偏微分と重積分
	名前：X 日付：7月24日(日) 10時42分
	(1) log√(x^2+y^2)=arctan(y/x) の両辺をで微分して {y+x(dx/dy)}/(x^2+y^2)={{x-y(dx/dy)}/x^2}/{1+(y/x)^2} 後はこれをdx/dyについて解きます。 (2) x=arcost,y=brsintと置くと D:0≦r≦1,0≦t≦2π でヤコビヤンをJと置くと J=abr ∴(与式)=∫[t:0→2π]∫[r:0→1](r^2){(acost)^2+(bsint)^2}abrdrdt =(ab/4)∫[t:0→2π]{(acost)^2+(bsint)^2}dt =(ab/4)∫[t:0→2π]{(a^2)(1+cos2t)/2+(b^2)(1-cos2t)/2}dt =(abπ/4)(a^2+b^2)

	22190．Re: 偏微分と重積分
	名前：ふみや日付：7月26日(火) 9時15分
	ありがとうございました。

22131．(untitled)

名前：マグチャン 日付：7月23日(土) 17時36分

次の問題の解き方を教えてください。
ax^2+(a+1)x+b=0 がaがどのような有理数であっても有理数解を持つようなbの値を求めよ。

	22133．Re: (untitled)
	名前：昼下がりのGeorge　高３日付：7月23日(土) 20時8分
	D=(a+1)^2-4ab≧0が任意の有理数aについて成り立つのでb=0が必要条件ところでb=0なら方程式は有理数の解を持つので、これは十分条件でもある。 b=0…(答)

	22135．その解法は誤っています。
	名前：高校生日付：7月23日(土) 20時12分
	D=(a+1)^2-4ab≧0が任意の有理数aについて成り立つのでb=0が必要条件とはいえません。なぜなら、たとえば、b=1 とすると、 D=(a+1)^2-4a= a^2－2a＋1=(a－1)^2 でこれは0以上。

	22136．Re: (untitled)
	名前：昼下がりのGeorge　高３日付：7月23日(土) 20時37分
	あ、そうですよね。大嘘を書き込んでしまいました。正気の沙汰じゃありませんね。

22130．集合論

名前：あきら 日付：7月23日(土) 16時37分

１・直線上に重なり合わない線分（ただし端の点は共有してもよい）の集合を考えると、この集合は有限または可算集合であることを示せ　　２．aを無限の濃度とすれば　a＋アレフゼロ＝a であることを示せ。　　　どちらかでもいいんでわかる方完全解答教えてください！！大学２年

	22164．Re: 集合論
	名前：ハンス日付：7月24日(日) 20時6分
	１．直線の長さは１としてもよく，任意の正の整数ｋに対して長さが１／ｋ未満１／(ｋ＋１)以上である線分の濃度は有限だから，全体の濃度も高々可算．２．ａ≧アレフゼロだから，ａ＝\|Ａ\|，アレフゼロ＝\|Ｂ\|，Ａ⊇Ｂを満たす集合Ａ，Ｂがあり，ａ＝\|(Ａ－Ｂ)＋Ｂ\|＝\|Ａ－Ｂ\|＋アレフゼロ＝\|Ａ－Ｂ\|＋(アレフゼロ＋アレフゼロ)＝(\|Ａ－Ｂ\|＋アレフゼロ)＋アレフゼロ＝ａ＋アレフゼロ．

	22168．Re: 集合論
	名前：あきら日付：7月24日(日) 22時25分
	２番についてなんですけど　ａ＝\|(Ａ－Ｂ)＋Ｂ\|　の部分が何で成り立つのかわからないので教えてください。。すいません。

22126．証明問題

名前：浜島日付：7月23日(土) 3時24分

次の問題がわからないのですが・・・
どうすればよいでしょうか

任意に選んだ実数を（x1,x2,x3),(y1,y2,y3),(z1,z2,z3)の3組に分け、
第1組と第2組から求めた3数（x1-x2)^2,(x2-x3)^2,(x3-x1)^2のうち
最大の値をAで表し、同様に第2組と第3組から求めた3数の最大値B、第3組と第1組から求めた3数の最大の値をCとすれば、
A^0.5≦B＾0.5＋C＾0.5
であることを証明せよ。

	22127．Re: 証明問題
	名前：浜島日付：7月23日(土) 7時53分
	すみません、問題を書き間違えました。正確には以下のとおりです。すみません。任意に選んだ実数を（x1,x2,x3),(y1,y2,y3),(z1,z2,z3)の3組に分け、第1組と第2組から求めた3数（x1-y1)^2,(x2-y2)^2,(x3-y3)^2のうち最大の値をAで表し、同様に第2組と第3組から求めた3数の最大値B、第3組と第1組から求めた3数の最大の値をCとすれば、 A^0.5≦B＾0.5＋C＾0.5 であることを証明せよ。

	22129．Re: 証明問題
	名前：のぼりん日付：7月23日(土) 9時41分
	三角不等式により　　　\|x_i–y_i\|=\|(y_i–z_i)+(z_i–x_i)\|≦\|y_i–z_i\|+\|z_i–x_i\| だから、　　　A^½=max_i√(x_i–y_i)²=max_i\|x_i–y_i\|≦max_i(\|y_i–z_i\|+\|z_i–x_i\|) 　　　≦max_i\|y_i–z_i\|+max_i\|z_i–x_i\|=max_i√(y_i–z_i)²+max_i√(z_i–x_i)²=B^½+C^½ です。

22114．全ての数は複素数

名前：たけしま 日付：7月22日(金) 18時56分

全複素数は適当な実数ｐ、ｑを用いてｐ＋ｑｉとかけるのでしようか。
例えばsin５i＝ｐ＋ｑｉとなる実数ｐ、ｑはあるのでしょうか。
そのことがとても気になります。教えてください。

	22117．Re: 全ての数は複素数
	名前：らすかる日付：7月22日(金) 20時6分
	必ず書けます。sin(5i)の場合は、p=0, q={e^5-e^(-5)}/2 =74.20321057778875897700947199606456559961940900442581… となります。 http://www10.plala.or.jp/rascalhp

	22119．Re: 全ての数は複素数
	名前：たけしま日付：7月22日(金) 20時11分
	ありがとうございます。もう少し教えてください。 1の3乗根のうちの虚数のものをひとつをωとおくときtanωのp,qを教えてもらえませんでしょうか?

	22121．Re: 全ての数は複素数
	名前：らすかる日付：7月22日(金) 20時24分
	ω=(-1+√3i)/2 とすると、 tanω≒-0.2435601371571337256644103314 + 0.7924027564180361049365337353i http://www10.plala.or.jp/rascalhp

	22122．Re: 全ての数は複素数
	名前：たけしま日付：7月22日(金) 20時46分
	大変ありがとうございました。

	22123．Re: 全ての数は複素数
	名前：たけしま日付：7月22日(金) 21時3分
	やはり2p/(p^2+q^2-1)=tan1なんですね

22108．(untitled)

名前：モリモト 日付：7月21日(木) 23時47分

次の問題はどう解けばよいのでしょうか？
全く手も足も出ない状態で困っています。

自然数a,b,cについて、BC=a,CA=b,AB=cかつ　∠CAB＝２∠ABC
をみたす△ABCが存在し、a,b,cの最大公約数が１ならば
bは平方数であることを証明せよ。

	22112．Re: (untitled)
	名前：ヨッシー日付：7月22日(金) 18時33分
	∠ＣＡＢの二等分線とＢＣの交点をＤとします。角の二等分線の定理より、　ＢＤ：ＣＤ＝ｃ：ｂなので、　ＢＤ＝ａｃ/(ｂ＋ｃ)、ＣＤ＝ａｂ/(ｂ＋ｃ) △ＡＢＣと△ＤＡＣの相似、および、ＡＤ＝ＢＤ　より　ＢＣ：ＣＡ＝ＣＡ：ＣＤ　ａ：ｂ＝ｂ：ａｂ/(ｂ＋ｃ) 計算して、整理すると、　ｂ^2＝ａ^2ｂ/(ｂ＋ｃ) 　ｂ(ｂ＋ｃ)＝ａ^2 ここで、ｂが平方数でないとすると、　ｂ＝ｓ^2×ｔの形に書けます。（ただし、ｓは自然数、ｔは同じ素因数を２つ以上含まない２以上の自然数）ｂにｂ＋ｃを掛けて、ａ^2 という平方数になるには、ｂ＋ｃはｔの倍数。よって、ｃもｔの倍数となる。また、ａもｔの倍数となり、ａ，ｂ，ｃは、公約数ｔを持つので、条件に反します。以上より、ｂは平方数となります。　 http://yosshy.sansu.org/

	22125．ヨッシーさんのより劣る別解ですが
	名前：のぼりん日付：7月23日(土) 0時11分
	θ=∠ABC とおくと、0＜θ＜π/2 で、正弦定理により　　　a/sin(2θ)=b/sinθ=c/sin(π–3θ)　…　① です。倍角の公式、三倍角の公式により、　　　sin(2θ)=2sinθcosθ、sin(π–3θ)=3sinθ–4sin³θ=sinθ(4cos²θ–1) です。これらを①に代入し、r=cosθ とおいて整理すると、　　　a=2br、c=b(4r²–1)　…　② です。②の前式より、r は有理数ですから、既約分数により r=p/q （p、q は互いに素な正整数で、0＜p＜q）と表せます。②に代入すると、　　　aq=2bp、cq²=b(4p²–q²) です。q が奇数だとすれば、q² と 4p²–q² は互いに素ですから、後式より、b は q² で割り切れます。b=b'q² とおくと、　　　a=2b'pq、c=b'(4p²–q²) です。a、b、c は互いに素ですから、a、b'、c も互いに素です。よって、b'=1 で、b=q² です。次に、q が偶数だとすれば、q=2q' とおくと、　　　aq'=bp、cq'²=b(p²–q'²) です。p と q' は互いに素ですから、以下は上と同様です。蛇足ながら繰り返すと、q'² と p²–q'² は互いに素で、後式より、b は q'² で割り切れます。b=b'q'² とおくと、　　　a=b'pq'、c=b'(p²–q'²) です。a、b、c は互いに素ですから、a、b'、c も互いに素です。よって、b'=1 で、b=q'² です。

22106．確率の問題

名前：tomo(高2) 日付：7月21日(木) 21時41分

１辺の長さが１の正１２角形の頂点３つを結んで三角形を作る。
(1)少なくとも１辺の長さが１の三角形のうち、互いに合同でないのは全部で何種類あるか。
(2)互いに合同でないのは全部で何種類あるか。

｢互いに合同でない｣の意味が全く分かりません。何と比較しているのでしょうか。
また、教えていただければ幸いです。
よろしくお願いします。

	22109．Re: 確率の問題
	名前：ヨッシー日付：7月22日(金) 4時36分
	三角形は、全部で、12Ｃ3 個できます。図はそのうちの２つですが、「互いに合同」ですよね？形の違う三角形がいくつ出来るかってことです。　 http://yosshy.sansu.org/

22105．確率

名前：つかさ 日付：7月21日(木) 21時13分

１から１０までの整数がかかれたカードが１枚ずつ入った箱がある。
この箱からカードを１枚と取り出して元に戻す操作を３回操作を
３回繰り返し、それらの数を順にa,b,cとする。
このとき、次の条件を満たす確率をもとめよ。
(1)a<b<c
(2)a≦b≦c

教えて頂ければ幸いです。

	22111．Re: 確率
	名前：らすかる日付：7月22日(金) 14時2分
	取り出し方は全部で10^3通り (1) a＜b＜c となるのは 10C3 通りなので 10C3/10^3=3/25 (2) a≦b≦c となるのは 10H3 通りなので 10H3/10^3=11/50 http://www10.plala.or.jp/rascalhp

	22138．Re: 確率
	名前：つかさ日付：7月23日(土) 23時57分
	10H3は重複の組み合わせのいいのでしようか。

	22139．Re: 確率
	名前：らすかる日付：7月24日(日) 0時3分
	はい、重複組合せです。重複組合せを使わず、1≦a≦b≦c≦10 を 1≦a＜b+1＜c+2≦12 と考えて、(1)と同様に12C3/10^3と計算することも出来ます。 http://www10.plala.or.jp/rascalhp

22103．確率

名前：昼下がりのGeorge　高３ 日付：7月21日(木) 19時30分

ABCDEFと書かれた6種類のカードがそれぞれたくさんあり
X君はその中から3種類、Y君はその中から4種類選ぶ。
次にX,Y君はZ君にそれぞれ1枚ずつ献上するのだが、
それら献上する2枚が（AB)(BC)(CA)のいずれかにすること
ができるようなX,Y君の選び方が存在する確率はいくらか。

よく分かりません。お願いします。

	22104．Re: 確率
	名前：たこ日付：7月21日(木) 20時18分
	ほかの方が答えてくれるまでの時間稼ぎ・・・まず、それぞれ何枚もあるとするともうどう仕様もない（高校生の勉強じゃない）ので、３種類・４種類選ぶというのをそれぞれ同じカードは選ばないと仮定しなければなりません。しかしⅩ君とＹ君はダブってもいいという問題だと思います。考え方としてまずＺ君がＡのカードを一枚Ｘ君からもらえるには？を考えて見てください。　時間がないのでこれで失礼します。

	22113．Re: 確率
	名前：ヨッシー日付：7月22日(金) 18時45分
	前提は、たこさんの書かれた通りでしょうね。そうすると、たとえば、Ｘ君が３枚を選んで、その中の１枚をＺ君に渡すのと、Ｘ君が６枚の中から１枚選んでＺ君に渡すのは同じ確率なので、Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ，Ｅ，Ｆいずれも１／６の確率でＺ君に渡ります。Ｙ君についても同様です。Ｘ君がＡ，Ｂ，Ｃのいずれかを渡す確率は１／２。Ｙ君がＡ，Ｂ，Ｃのいずれかのうち、Ｘ君が渡さなかったものを渡す確率は、１／３。よって、求める確率は　１／２　×　１／３　＝　１／６となります。　 http://yosshy.sansu.org/

	22118．Re: 確率
	名前：昼下がり日付：7月22日(金) 20時7分
	ありがとうございます。もう少し考えてみます。

	22120．Re: 確率
	名前：らすかる日付：7月22日(金) 20時22分
	題意を満たさないのは、 (1) X君がA,B,Cのうち1つだけ選び、Y君がA,B,CのうちX君と同じ　1つだけを選ぶ場合 → 3C1×3C2/6C3 × 1/6C4 = 3/100 (2) X君がDEFを選ぶ場合 → 1/6C3=1/20 の2つなので、求める確率は 1-(3/100+1/20)=23/25 http://www10.plala.or.jp/rascalhp

	22124．Re: 確率
	名前：ヨッシー日付：7月22日(金) 22時39分
	あ、そういうことですね。らすかるさんの方が正しいです。　 http://yosshy.sansu.org/

	22134．Re: 確率
	名前：昼下がりのGeorge　高３日付：7月23日(土) 20時9分
	おさんかたありがとうございました。

22095．確率

名前：未来日付：7月21日(木) 3時17分

（１）１枚の硬貨を続けて３回投げるとき，３回とも同じ面になる確率を求めよ。
（２）３枚の硬貨を投げるとき，少なくとも１枚は表である場合。
という問題なのですが・・・。。
樹形図を書いてするところまでは、わかるんですが、樹形図の書き方とがいまいちわからないんです。。
（１），（２）の解き方を教えてもらえるとありがたいのですが・・。
質問多くてすみません。　お願いします。

	22097．Re: 確率
	名前：ヨッシー日付：7月21日(木) 8時36分
	ではまず樹形図を書いておきます。こういう、以下にも木の枝のような図でも良いし、こちらの下の方にあるような、表の形でも良いのです。　 http://yosshy.sansu.org/

	22098．Re: 確率
	名前：ヨッシー日付：7月21日(木) 8時38分
	ちなみに、この問題ではたかだか８通りなので良いですが、（２）などは、別の考え方が要求されます。どんな考え方は、まず、樹形図に印を付けながら数えてみてから。　 http://yosshy.sansu.org/

22093．(untitled)

名前：清田日付：7月20日(水) 23時47分

次の問題はどのように解けばよいでしょうか。

2辺AB、ACの長さが等しい二等辺三角形ABCにおいて
AC^2＋BC^2≦AD^2＋BD＾2＋CD^2（ACなどは長さを表す。）
をみたす辺AB上の点DでBと異なるものが存在するならば、
∠BAC≦60゜であることを証明せよ。

ちなみに、高3です。

	22102．Re: (untitled)
	名前：ヨッシー日付：7月21日(木) 10時46分
	ＡＢ＝ＡＣ＝１　としても、一般性を失わないので、このように決めます。ＡＤ＝ｅ　(０≦ｅ＜１)　、∠ＢＡＣ＝２θ　(０＜θ＜90°)　とします。　ＢＤ＝１－ｅ　ＢＣ＝２sinθ 余弦定理より、　ＣＤ^2＝ＡＤ^2＋ＡＣ^2－２ＡＤ・ＡＣcos２θ ｆ(ｅ，θ)＝ＡＤ^2＋ＢＤ^2＋ＣＤ^2－ＡＣ^2－ＢＣ^2　とおくと、ｆ(ｅ，θ)＝ｅ^2＋(１－ｅ)^2＋(ｅ^2＋１－２ｅcos２θ)－１－４sin^2θ 　＝３(ｅ^2－１)＋４(１－ｅ)cos^2θ 　＝(１－ｅ){４cos^2θ－３(１＋ｅ)} ｆ(ｅ，θ)≧０　となるためには、４cos^2θ－３(１＋ｅ)≧０　となるｅ，θが存在することが必要。０＜cosθ＜１　より、　cosθ≧√{３(１＋ｅ)}／２ θはｅ＝０のとき最大で、そのとき　θ＝60° 　 http://yosshy.sansu.org/

22091．わかりません。

名前：高校生 日付：7月20日(水) 23時36分

一直線上に同じ向きに走っているアキレスと亀の速さが
それぞれ時間tによる関数f(t),g(t)で与えられている。
常に f(t)＞g(t)　であるとき、
いくら時間がたっても、
アキレスの前にいる亀をアキレスが追い抜くことができないような
f(t),g(t)の一例を挙げよ。

http://diary.cururu.jp/gersdorffite
↑ ここにある問題も　解けません。

	22094．Re: わかりません。
	名前：みっちぃ日付：7月21日(木) 1時11分
	最初(t=0)に，亀とアキレスの差がMだったとする． k=∫[t:0→∞] f(t)-g(t) dt によって，アキレスが亀にどれだけ追いつくか計算できます．もし，kが有限の値であれば，M>kとなっておれば，アキレスは亀に追いつけないことになります． f(t)-g(t)=1/(t+1)^2 だとすると，k=∫[t:0→∞] 1/(t+1)^2 dt =1 となるので， M>m>0のとき，g(t)=1，f(t)=1 +m/(t+1)^2なら追いつけません．

22088．数列　数B

名前：華日付：7月20日(水) 21時12分

Ａｎ＝３＾n－３＾（ｎ－１）
の計算の仕方が分か分からないので
教えてください．

	22090．Re: 数列　数B
	名前：ビコーン日付：7月20日(水) 23時10分
	3^n-3^(n-1)=3・3^(n-1)-3^(n-1) =2・3^(n-1) ってこといいんですか？？

	22107．Re: 数列　数B
	名前：華日付：7月21日(木) 23時19分
	分かりました。ありがとうございました。

22087．線形代数

名前：2(大2) 日付：7月20日(水) 17時39分

行列Aの固有値を求めよ。
Aは2次正方行列で、A11=α、A12=1-α,A21=1-α,A14=αである。

よろしくお願いします。

	22089．Re: 線形代数
	名前：我疑う故に存在する我日付：7月20日(水) 22時29分
	固有多項式 = x^2 - 2αx + 2α - 1 = ( x - 1) (x - 2α + 1) 固有値 1, 2α - 1 #固有値 1 の固有ベクトル (1, 1) #固有値 2α - 1 の固有ベクトル (1, -1) #が一見して分かる。

	22100．Re: 線形代数
	名前：2(大2) 日付：7月21日(木) 9時47分
	ありがとうございます！

22081．正弦定理・余弦定理

名前：ミオ日付：7月20日(水) 12時30分

高１です。次の問題がわからないので教えて下さい。
△ABCにおいて、次のものを求めよ。
a＝３、c＝２、B＝６０°の時 b

	22083．Re: 正弦定理・余弦定理
	名前：ヨッシー日付：7月20日(水) 13時48分
	余弦定理の単元に　ｂ²＝・・・という式があるはずです。　 http://yosshy.sansu.org/

	22084．Re: 正弦定理・余弦定理
	名前：Kurdt 日付：7月20日(水) 13時55分
	こんにちは。 a=3, c=2, B=60°を次の余弦定理の式　b²=c²+a²-2cacosB に代入しましょう。そうすれば b を求めることができますね。 http://fairytale.holy.jp

22080．三角比

名前：ミオ日付：7月20日(水) 11時54分

sin（９０°＋θ）sin（９０°－θ）－cos（９０°＋θ）cos（９０°－θ）の解き方を教えて下さい。高１です。

	22082．Re: 三角比
	名前：ヨッシー日付：7月20日(水) 13時46分
	sin(90°＋θ)＝・・・ cos(90°＋θ)＝・・・という形の公式が、教科書にあるはずですので、確認して下さい。もし、どうしてもなければ、　sin(90°＋30°)　を　sin30°または、cos30°　で表してみて下さい。　cos(90°＋30°)　を　sin30°または、cos30°　で表してみて下さい。　sin(90°＋120°)　を　sin120°または、cos120°　で表してみて下さい。　cos(90°＋120°)　を　sin120°または、cos120°　で表してみて下さい。これらを、いくつも調べると、 sin(90°＋θ) と sinθ または cosθ との関係が式で書けるでしょう。公式とは、こうやって、自分で作ることができます。　 http://yosshy.sansu.org/

	22085．Re: 三角比
	名前：Kurdt 日付：7月20日(水) 13時56分
	こんにちは。次の５つの公式を活用しましょう。　sin(90°-x)=cosx　,　cos(90°-x)=sinx 　sin(90°+x)=cosx　,　cos(90°+x)=-sinx 　sin²x+cos²x=1 これらを当てはめていけばきれいな答えが求まります。 http://fairytale.holy.jp

22078．空間図形の問題

名前：香織日付：7月19日(火) 23時33分

高３です。
次の問題は、どのように解けばよいでしょうか。

四面体ABCDにおいて、辺AB、BC、CA、DC、DA、DB上（いずれも端点を除く）に、それぞれ点P,Q,R,S,T,Uをとるとき

（1）3線分PS,QT,RUの中点が一致するならば、P,Q,R,S,T,Uは各辺の中点であることを証明せよ。

（２）P,Q,R,S,T,Uが正八面体の６頂点になるならば、四面体ABCDが正四面体であることを証明せよ。

	22079．Re: 空間図形の問題
	名前：ヨッシー日付：7月20日(水) 6時14分
	Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄの位置ベクトルをａ、ｂ、ｃ、ｄとします。同様に、ｐ、ｑ、ｒ、ｓ、ｔ、ｕを決め、　ｐ＝（１－ｅ）ａ＋ｅｂ　ｑ＝（１－ｆ）ｂ＋ｆｃ　ｒ＝（１－ｇ）ｃ＋ｇａ　ｓ＝（１－ｈ）ｄ＋ｈｃ　ｔ＝（１－ｉ）ｄ＋ｉａ　ｕ＝（１－ｊ）ｄ＋ｊｂとします。条件より、　ｐ＋ｓ＝ｑ＋ｔ＝ｒ＋ｕａ、ｂ、ｃ、ｄはいずれも、平行でないので、係数比較して、　１－ｅ＝ｉ＝ｇ　ｅ＝１－ｆ＝ｊ　ｈ＝ｆ＝１－ｇ　１－ｈ＝１－ｉ＝１－ｊこれらを解いて、ｅ＝ｆ＝ｇ＝ｈ＝ｉ＝ｊ＝１／２　を得ます。よって、P,Q,R,S,T,Uは各辺の中点となります。　 http://yosshy.sansu.org/

	22092．Re: 空間図形の問題
	名前：香織日付：7月20日(水) 23時39分
	ヨッシーさんご回答ありがとうございます。少し分かった気もするのですが、係数を比較するためには a,b,c,dが一次独立でなければいけないはずだと思うのです。 a,b,c,dは一次従属だと思うのですが、なぜ係数比較できるのでしょうか？一次独立でなくても良い場合もあるのでしょうか？

	22099．Re: 空間図形の問題
	名前：ヨッシー日付：7月21日(木) 9時7分
	この場合、各点の位置ベクトルは、相対的な位置を表しているだけなので、ベクトルとしては固定されていません。次のように書くと、ベクトルの形がイメージされて、しかも一次独立である３つのベクトルに絞られるので、この方が良いでしょうか？点Ｄを始点とするＡ，Ｂ，Ｃの位置ベクトルをａ、ｂ、ｃとします。同様に、ｐ、ｑ、ｒ、ｓ、ｔ、ｕを決め、　ｐ＝（１－ｅ）ａ＋ｅｂ　ｑ＝（１－ｆ）ｂ＋ｆｃ　ｒ＝（１－ｇ）ｃ＋ｇａ　ｓ＝ｈｃ　ｔ＝ｉａ　ｕ＝ｊｂとします。条件より、ｐ＋ｓ＝ｑ＋ｔ＝ｒ＋ｕａ、ｂ、ｃはいずれも、平行でないので、係数比較して、　１－ｅ＝ｉ＝ｇ　ｅ＝１－ｆ＝ｊ　ｈ＝ｆ＝１－ｇこれらを解いて、ｅ＝ｆ＝ｇ＝ｈ＝ｉ＝ｊ＝１／２　を得ます。　 http://yosshy.sansu.org/

22072．以下の三角形の面積

名前：vik 日付：7月19日(火) 2時16分

私は大学2年生です
以下の三角形について予想はたてれたのですが、証明がわかりません

三角形の頂点に格子点をとり、三角形の内部（辺上はふくまない）に１つだけ格子点をもつ三角形で、面積が最大のものはどのような三角形であるか？

という問題なのですが・・・・・
おそらく、最大は9/2ではないかとおもうのですが、そうであると証明がなかなかできません
ピックの公式をつかおうとしてもどうしていいやら・・・・
よろしければ、ヒントのようなものでも結構なので、教えてください

22069．2次方程式。

名前：かな日付：7月19日(火) 1時32分

2次方程式　ｘ2－３ｘ－１＝０の解をａ，ｂとするとき、ａ＋ｂの値を求めよ。という問題です。教えてもらえたらぁりがたぃです。　ぉ願ぃします。

	22071．Re: 2次方程式。
	名前：momono花日付：7月19日(火) 2時8分
	解の公式を知っていたら実際a, bを求めてa + b を計算するのも一つの方法です。二次方程式がa, bを解ともつんだから (x - a)(x - b) = 0 と表せます。これを展開すると x² - (a + b)x + ab = 0 これと与えられた二次方程式x² - 3x - 1 = 0(は恒等的に等しいの)で係数比較して a + b = 3 とでます。蛇足 x² + px + q = 0が解α, βを持つとき α + β = - p, αβ = qを「解と係数の関係」といいます。

22068．お願いします

名前：ぽち日付：7月19日(火) 0時36分

こんばんは、ぼくは大学１年の男です。
明日数学の試験があるのですが、ひとつわからない問題があります。
「外積の直観的な意義」とはなんでしょうか？どなたかわかる方がいましたら、ぜひ教えてください。お願いします。

	22075．Re: お願いします
	名前：花パジャ日付：7月19日(火) 10時45分
	2つのベクトルの作る平行四辺形の面積、とか

22067．教えてください。

名前：たく・中２です。 日付：7月18日(月) 22時52分

「三角形ABCがある。∠Bの２等分線と対辺ACとの交点をD、∠Cの２等分線と対辺ABとの交点をEとする。また∠A の外角の２等分線と対辺BCの延長線の交わる点をFとする。三点DEFが同一直線上にあることを証明しなさい。」という問題が解けそうで解けません。メネラウスを使っても途中でわからなくなって・・。問題には図がついているんですが図の書き方がわからないので文章で書きました。教えてください。お願いします。

	22076．Re: 教えてください。
	名前：ヨッシー日付：7月19日(火) 12時4分
	内角の二等分線の定理の他に、外角の二等分線の定理も使えば、メネラウスで示すことが出来るでしょう。外角の二等分線の定理は、以下の通りです。ＡＢ：ＡＣ＝ＢＤ：ＣＤ　 http://yosshy.sansu.org/

	22171．Re: 教えてください。
	名前：ヨッシー日付：7月25日(月) 12時10分
	こちらにも載せておきます(^^; 外角の二等分線の定理　ＡＢ：ＡＣ＝ＢＤ：ＣＤを使います。ＤＥの延長とＢＣの延長の交点をＧとすると、内角の二等分線の定理より、　ＡＤ：ＤＣ＝ＡＢ：ＢＣ　ＡＥ：ＥＢ＝ＡＣ：ＢＣと、メネラウスの定理より、　ＢＧ：ＧＣ＝ＡＢ：ＡＣ一方、Ａの外角の二等分線とＢＣの延長との交点をＦとすると、外角の二等分線の定理より、　ＢＦ：ＦＣ＝ＡＢ：ＡＣとなり、点Ｇと点Ｆは、同一点になり、ＦＥＤは１直線上にあります。ただし、ＤＥがＢＣに平行になる場合もありますので、その場合は除きます。　 http://yosshy.sansu.org/

22066．高３です

名前：あけみ 日付：7月18日(月) 22時28分

次の問題は、どのようにとけばよいでしょうか。

「999以下の自然数のうちで、平方すると下3桁に小さい順に３つの連続した数字が並ぶ（234などだけでなく890なども含む）ものをすべて求めよ。」

どなたか、教えていただけませんか？

	22073．Re: 高３です
	名前：ヨッシー日付：7月19日(火) 9時35分
	890 がＯＫなら、901 もＯＫですね？たとえば、元の数の１の位が１とすると、平方数の１の位は「１」です。次に、元の数の下２桁が、01,11,21,……91 の中で、平方数の下２桁が「０１」となるのは、01 と 51。 001,101,201,……901 の中で、平方数の下３桁が「９０１」となるものはなし。 051,151,251,……951 の中で、平方数の下３桁が「９０１」となるものはなし。元の数の１の位が２とすると、平方数の１の位は「４」です。元の数の下２桁が、02,12,22,……92 の中で、平方数の下２桁が「３４」となるのはなし。元の数の１の位が３とすると、平方数の１の位は「９」です。元の数の下２桁が、03,13,23,……93 の中で、平方数の下２桁が「８９」となるのは、33 と 83。 033,133,233,……933 の中で、平方数の下３桁が「７８９」となるものはなし。 083,183,283,……983 の中で、平方数の下３桁が「７８９」となるものはなし。このように順に調べていきます。答えは４つあります。　 http://yosshy.sansu.org/

22063．確率

名前：つかさ 日付：7月18日(月) 19時41分

５円玉、１０円玉、５０円玉を使って２００円を支払いことを考える。
(1)１枚も使わない硬貨があってもよいとき、支払い方法は何通りあるか。
(2)どの硬貨も少なくとも１枚は使うとすると支払い方法は何通りになるか。
確率は苦手なのでお願いいたします

	22074．Re: 確率
	名前：ヨッシー日付：7月19日(火) 10時36分
	(1) 　１）５０円玉４個使う場合・・・１通り　２）５０円玉３個使う場合　　残りの５０円分を、１０円玉５個、４個・・・０個の６通り　３）５０円玉２個使う場合　　残りの１００円分を、１０円玉１０個、９個・・・０個の１１通り　４）５０円玉１個使う場合・・・１６通り　５）５０円玉０個使う場合・・・２１通りで、合計　５５通り (2) 　５円玉、１０円玉、５０円玉　１個ずつをまず使い、残りの１３５円を　使わない場合も許して支払うやり方を数えると、　１）５０円玉２個使う場合・・・４通り　　　※ここでいう２個とは、最初の１個以外に２個使うということです（以下同じ）　２）５０円玉１個使う場合・・・９通り　３）５０円玉０個使う場合・・・１４通りで、合計２７通り別の考え方をすれば、５円と１０円だけで払う方法は、２１通り５円と５０円だけで払う方法は、５通り１０円と５０円だけで払う方法は、５通りこれらはいずれも、５円のみ、１０円のみ、５０円のみの払い方を２回ずつ数えているので、３種類使わない方法は、　２１＋５＋５－３＝２８　５５－２８＝２７（通り）　 http://yosshy.sansu.org/

	22077．Re: 確率
	名前：つかさ日付：7月19日(火) 23時3分
	ありがとうございました。とてもわかりやすくて助かりました。

22057．確立

名前：数学できない人（高3） 日付：7月18日(月) 14時20分

二つのサイコロを同時に投げる時,次の期待値を求めよ。
1　出る目の和の期待値
2　出る目の差の絶対値の期待値
3　出る目の二つのうち,最大値の期待値
全く分かりません。教えてください

	22058．Re: 確率
	名前：ヨッシー日付：7月18日(月) 15時37分
	１つのサイコロを投げたときのに出る目の期待値は、わかりますか？（２，４，４，６，６，８）の数が書かれたサイコロの目の期待値はわかりますか？　 http://yosshy.sansu.org/

	22059．Re: 確率
	名前：momono花日付：7月18日(月) 15時38分
	さいころ２個の場合は表を書くといいですよ。それほど時間もとりませんし。確率はそれぞれ1/36だからそれぞれの期待値は(1/36)×(表内の和)となります。確率はいろんな問題をいっぱい解いたほうがいいと思います。

22046．乗法表

名前：あき　日付：7月17日(日) 21時35分

（Z5－｛０｝、*）において、単位元は１ですよね？
乗法表において各元の逆元は例えば（１，１）なら１．（１，２）なら３．（２，２）なら１でいいのですか？
タイトル忘れてたので、作り直しました。すいません

	22048．Re: 乗法表
	名前：のぼりん日付：7月17日(日) 23時37分
	＞　（１，１）なら１．（１，２）なら３．（２，２）なら１この意味が判りませんでした。おそらく、他の参加者も意味が判らず、前質問に回答がなかったのだと思います。

	22052．Re: 乗法表
	名前：あき　日付：7月18日(月) 0時47分
	（Z5－｛０｝、*）において＊で演算を定義すると、乗法表において、（１＊１）＝１　、（１＊２）＝２　…（３＊４）＝２，（４＊４）＝１となるじゃないですか。で、そのときの逆元は（１，１）なら１．（１，２）なら３．（２，２）なら１でいいのですか？ということです。上手く表現できずすいません

	22053．Re: 乗法表
	名前：のぼりん日付：7月18日(月) 1時40分
	申し訳ありませんが、まだ質問の意味が判りません。（１，１）、（１，２）、（２，２）とは、何でしょうか？代数は特に苦手なので、判らない（記号を知らない）のは私だけかも知れませんが。。。

	22061．Re: 乗法表
	名前：あき　日付：7月18日(月) 18時22分
	すいません。でも勝手なんですが解決しました。すいませんでした

	22062．Re: 乗法表
	名前：黒蟻日付：7月18日(月) 18時36分
	あきさんへ相手にきちんと伝わる文章を書きましょうね。相手にうまく伝わっていないのに、自分の中で解決したからといって「もういいです」という態度を取るのはちょっと失礼ですよ。数学に限らず、自分の思っていること、疑問に感じていることを相手に伝える能力は非常に大切ですから、ここをないがしろにしては進歩がありません。

	22064．Re: 乗法表
	名前：あき　日付：7月18日(月) 21時4分
	すいません。そうやって書き表したらいいか考えても表にはできるのでみてもらったらわかりそうなのですが、ここに書き表す方法がわからなかったのです。それで、今日、立ち読みしてたら、探してたことが載っていて解決したのです。みなさますいませんでした。のりぽんさん、いつも丁寧に解答いただいているのにすいませんでした。黒蟻さんもご指摘ありがとうございました。反省します。

	22065．Re: 乗法表
	名前：あき　日付：7月18日(月) 21時18分
	一つ上の問題のような図がかけたらいけたとおもうのですが、どのようにされてるんですか？

	22096．Re: 乗法表
	名前：我疑う故に存在する我日付：7月21日(木) 7時58分
	数式で表しにくいのなら言葉で書きましょう。

22044．数3の問題なのですが...

名前：初夏日付：7月17日(日) 20時53分

１からｎまでのす宇治を１つずつ書いたｎ枚のカードが箱に入っている。この箱から無作為にカードを1枚取り出して数字を記録し、箱に戻すという操作を繰り返す。ただし、ｋ回目の操作で直前のカードと同じ数字か直前のカードよりも小さい数字のカードを取り出した場合に、ｋを得点として終了する。
（１）２≦ｋ≦ｎ+1を満たす自然数ｋについて、得点がｋとなる確率を求めよ
（２）得点の期待値をｎで表した式をｆ（ｎ）とするとき、ｆ（ｎ）を求めよ。
という問題なのですが....宜しくお願いします。

	22045．Re: 数3の問題なのですが...
	名前：初夏日付：7月17日(日) 20時54分
	> １からｎまでの数字を１つずつ書いたｎ枚のカードが箱に入っている。この箱から無作為にカードを1枚取り出して数字を記録し、箱に戻すという操作を繰り返す。ただし、ｋ回目の操作で直前のカードと同じ数字か直前のカードよりも小さい数字のカードを取り出した場合に、ｋを得点として終了する。 > （１）２≦ｋ≦ｎ+1を満たす自然数ｋについて、得点がｋとなる確率を求めよ > （２）得点の期待値をｎで表した式をｆ（ｎ）とするとき、ｆ（ｎ）を求めよ。 > という問題なのですが....宜しくお願いします。

	22054．Re: 数3の問題なのですが...
	名前：みっちぃ日付：7月18日(月) 2時8分
	これは，今年の東北大学(前期)の問題ですね(難問指定されています!!)． (1) この問題と同じタイプの問題は，少しむずかしめの参考書なら必ず載っている解法を用います．私は個人的に『順番固定問題』と呼んでいますが，類題として『この問題と同じ状況(1～n(≧3)のカードを復元抽出する)で3回カードを取る．出たカードを順にa,b,cとするとき，a>b>cとなる確率』があります． ⇒異なる3枚のカードを組み合わせで選んで(nC3通り)，大きい順にa,b,cとする(×1通り)ので，nC3通り．確率は(nC3)/n^3 です．この考え方をかなり応用して(1)を解きます．一応，2通りの解法を載せておきますので，納得しやすい方で考えてください．解法1) 全事象はn^k．場合わけします i)k回目が1～k-1回目のどれかと一致するとき 1～k-1回目は『順番固定』して取るので，nC(k-1)通り．でk回目は1～k-1回目のどれかと一致するので，(k-1)nC(k-1)通り． ii)k回目が1～k-1回目のどれとも一致しないとき(ただし，k=n+1のときはこういうことは起こりえない) n個の中からk個の数を選ぶ(nCk通り)．k回目は，k個の数のうち最大のもの以外の(k-1)通り．残った(k-1)個の数を『順番固定』して並べるので1通りなので，(k-1)nCk通り． i),ii)をあわせて，(k-1){nC(k-1)+nCk}=(k-1){(n+1)Ck}通りなので，確率(k-1){(n+1)Ck}/n^k(2≦k≦n)． k=n+1のときは，1～n回目を『順番固定』して取るのでnCn=1通り．で，n+1回目はどれをとってもいいのでn通り．確率n/n^(n+1)=1/n^n ⇒2≦k≦n+1で(k-1){(n+1)Ck}/n^k．続きは，次で．

	22055．Re: 数3の問題なのですが...
	名前：みっちぃ日付：7月18日(月) 2時43分
	解法2) 得点がkになる場合の数=【(k-1)回目まで『順番固定』して取り，k回目を適当に(n通り)取る場合の数】-【k回目まで『順番固定』して取る場合の数】 =nnC(k-1) -nCk通り．これを，2項係数の定義nCk=n!/k!(n-k)!を用いて計算すると… ={nk -(n-k+1)}{n!/(n-k+1)!k!} =(n+1)(k-1){n!/(n-k+1)!k!} =(k-1)(n+1)!/(n-k+1)!k! =(k-1)(n+1)Ck通り．よって，確率は(k-1)(n+1)Ck/n^k．(k=n+1のときの議論は解法1の最後と同じ) (2) 問題はlim[n→∞] f(n) ですよね．そうでないと数3の問題になりませんし． f(n)=Σ[k=2..n+1] k(k-1){(n+1)Ck}/n^k (2項係数の計算により)=Σ[k=2..n+1] n(n+1){(n-1)C(k-2)} /n^k =n(n+1)/n^2 Σ[k=2..n+1] (1/n)^(k-2) {(n-1)C(k-2)} (m=k-2として，Σの書き換え)=(n+1)/n Σ[m=0..n-1] (1/n)^m {(n-1)Cm} ここで，(1+x)^n=Σ[m=0..n] x^m(nCm) の変形を用いて =(n+1)/n {1+(1/n)}^(n-1)={1+(1/n)}^n．よって，lim[n→∞] f(n) =lim[n→∞] {1+(1/n)}^n =e (eの定義)

	22070．Re: 数3の問題なのですが...
	名前：初夏日付：7月19日(火) 1時32分
	みっちぃーさんわざわざ二通りもありがとうございました。解法1の方が分かりやすかったです。

22041．ゼンゼン？

名前：トオル、中２ 日付：7月17日(日) 17時46分

内接円の半径が３、外接円の半径が８の三角形がある。この三角形の面積のとりうる範囲を求めよ。

？？？・・・。

	22050．Re: ゼンゼン？
	名前：ビコーン日付：7月18日(月) 0時36分
	2005年大学への数学7月号（東京出版）の宿題コーナー（７８，７９ページ）に答えが載ってますけど・・・。そちらを参照されては如何ですか？？

22039．小数展開について・・・

名前：しん　大学１年 日付：7月17日(日) 15時49分

こんにちは！小数展開について質問させてください！
（問）１０進法で０．９３７６を５進法、３進法で表せ。
　最初に何をし、どのように展開したらよいのか全然わかりません・・・よろしくお願いします！！

	22040．Re: 小数展開について・・・
	名前：らすかる日付：7月17日(日) 16時34分
	5進法 0.9376×5=4.688 0.688×5=3.44 0.44×5=2.2 0.2×5=1 ∴0.9376(10)=0.4321(5) 3進法 0.9376×3=2.8128 0.8128×3=2.4384 0.4384×3=1.3152 0.3152×3=0.9456 0.9456×3=2.8368 0.8368×3=2.5104 0.5104×3=1.5312 0.5312×3=1.5936 0.5936×3=1.7808 0.7808×3=2.3424 0.3424×3=1.0272 0.0272×3=0.0816 ・・・と延々と計算していくと、500回目で 0.9792×3=2.9376 となって最初の 0.9376×3=2.8128 に戻るので、500桁で循環する小数になります。一応全部書くと、 0.9376(10)=0. 2210221112 1000201211 1010120210 2201002112 2110020002 1101110021 0202212101 0001210222 2002111122 1202011201 0102010221 0102112102 1201210012 2002220011 0001102111 0210020212 1101001202 2110121120 2200201001 1010222022 1000100022 2211100000 2022222121 1111200202 0122121220 0012001110 1222021011 1212102012 0021220110 0112202220 1121112201 2020010121 2221012000 0220111100 1020211021 2120212001 2120110120 1021012210 0220002211 2221120111 2012202010 1121221020 0112101102 0022021221 1212000200 1222122200 0011122222 0200000101 1111022020 2100101002 ・・・(3) (以降この500桁の繰り返し) http://www10.plala.or.jp/rascalhp

	22042．Re: 小数展開について・・・
	名前：しん　大学１年日付：7月17日(日) 19時45分
	らすかるさん、すぐに返事をくれて本当にありがとうございます！５進法のときは１０進法で与えられた数字に５をかけていけばいいのですね！　あの、また、質問したいのですが、５進法で０．４３２１の場合はどのように１０進法になおせばよいのでしょうか？？

	22043．Re: 小数展開について・・・
	名前：らすかる日付：7月17日(日) 20時0分
	0.4321(5) = 4321(5)÷10000(5) =(4×5^3+3×5^2+2×5+1)/5^4 (10) =586/625 となります。 http://www10.plala.or.jp/rascalhp

	22060．Re: 小数展開について・・・
	名前：しん　大学１年日付：7月18日(月) 17時44分
	らすかるさんありがとうございました！！

22027．素朴な疑問

名前：taku 日付：7月17日(日) 0時4分

3乗根ルート-8を(-8)^1/3と表してはいけないのでしょうか？
学校の先生から「表してはだめだ」と言われた人がいるんですが、
どうなのでしょうか？

	22029．Re: 素朴な疑問
	名前：ast 日付：7月17日(日) 0時48分
	いいかどうかは好みの問題だとは思いますが, そう表したとして, 実数の範囲でも指数法則がうまく機能しないので, あんまりうれしくないとおもいます.

	22032．Re: 素朴な疑問
	名前：taku 日付：7月17日(日) 2時3分
	astさん　ありがとうございます。実数の範囲でうまく機能ができないというのはよく分かります。しかし、表してはだめだと断言できるかどうかがこの質問の焦点でして、本当に表してはダメと言い切れるのでしょうか？

	22033．Re: 素朴な疑問
	名前：ast 日付：7月17日(日) 8時37分
	まず x^(p/q) というのは x の p 乗の q 乗根のことだとしましょう（ただし, x が正なら正の q 乗根だとします）. このとき x が負の数なら p が偶数か q が奇数でないと q 乗根は存在しません（p も q も偶数だと明らかに約分できますから話がややこしい）. ところで 1/3 = 2/6 ですが, (-8)^(1/3) = (-8)^(2/6) でしょうか. 定義のしかたから (-8)^(2/6) は (-8)^2 = 64 の正の 6 乗根で 2 です. 同じ値である 1/3 から 2/6 に指数の表示の仕方を変えたら -8 の 1/3 乗と 2/6 乗とで値が変わっているので, これでは正しく定義できたことになりません. x が正なら x^(p/q) は x の q 乗根の p 乗とも一致します. でも x が負だと q が偶数なら p がどんな値をとろうと x の q 乗根が既に存在しませんから話さっきの定義よりも状況が悪化してることが分かります. 要するに, 負の数の分数乗というのは定義不良で話にならないと言うことになります. この状況をさしてダメだと断言するかどうかは, 最初に言ったように好みの問題だと思いますので, ご判断はお任せします. 大学レベルだと複素関数論において複素数の複素数乗なんてのも扱うことがありますが, 複素数の複素数乗は単純な意味では数として扱いません.

	22037．Re: 素朴な疑問
	名前：taku 日付：7月17日(日) 11時56分
	astさん　分かりやすい説明ありがとうございます。とりあえず、表さないほうが良さそうだという方向性で私の中でも納得できました。私に質問を投げかけた人にもそういう方向で話をしてみます。

22026．高3●質問です

名前：もも日付：7月16日(土) 21時9分

たとえば、aｘ²＋bｘ+ｃと与えられていて、
α,βがこの2つの解のとき、α²＋β²を求めなさいという
問題があります。
このときにα²＋β²が負になるときは、αかβのどっちかが複素数が
あるということですか？
２乗と２乗の和では普通性の数ですよね？

	22030．Re: 高3●質問です
	名前：HG 日付：7月17日(日) 1時25分
	方程式なので＝0をつけましょう。本題ですが、これは解と係数の関係です。α＋β＝-b/a αβ＝c/a α＾2＋β＾2＝（α＋β)＾2－2＊αβ＝b^2/a^2-2c/a=(b^2-2ac)/a^2

	22036．Re: 高3●質問です
	名前：HG 日付：7月17日(日) 11時30分
	ちなみに係数a,b,cが実数であり、この方程式の解の1つが複素数であれば、もう一つの解はその共役複素数なので、一方が実数で、もう一方が複素数ということはありえません。

	22086．Re: 高3●質問です
	名前：もも日付：7月20日(水) 17時31分
	すいません。よく見ると誤字がありました。解き方は分かっています。それで、α²＋β²が負になるときは、 αとβの両方が複素数だと言うことになるのですか？

22024．確立

名前：数学できない人（高3） 日付：7月16日(土) 20時34分

(1)サイコロを三回振って,同じ目が三回続けて出る確率を求めよ。また,四回振って同じ目が四回続けて出る確率を求めよ。
(２)大,中,小三個のサイコロを同時に投げる時,目の和が四以上になる確立を求めよ。
この２題が分かりません。おねがいします

	22031．Re: 確立
	名前：HG 日付：7月17日(日) 1時32分
	(1)　さいころを三回振って1が3回出る確率は1/61/61/6=1/216 これが1から6までの6通り考えられるので6*1/216=1/36 (2) 逆に考えて合計の和が3以下になる確率は？3つのさいころがともに1にならないといけない。つまりこの確率は(1/6)^3=1/216 つまり余事象は1-1/216=215/216 簡単に考えましょう。

	22038．Re: 確立
	名前：数学できない人（高3）日付：7月17日(日) 12時36分
	ありがとうございました

22023．(untitled)

名前：あき　日付：7月16日(土) 19時34分

（Z5－｛０｝、*）において、単位元は１ですよね？
じょうほうひょうにおいて各元の逆元は例えば（１，１）なら１．（１，２）なら３．（２，２）なら１でいいのですか？

22021．質問

名前：ooooo 日付：7月16日(土) 17時26分

ある機械があります．Aからある整数を書きこんだカ－ドを入れると，次の規則にしたがってできた数が記入されたカ－ドがBから出てきます．

【規則】
(1)　Aから入れられたカ－ドの数が3で割り切れるならば，その数を3で割ったときの商が記入される．
(2)　Aから入れられたカ－ドの数が3で割り切れなければ，「その数を3で割ったときの余り」をその数からひいた数が記入される．

Bから出てきた数をそのまま繰り返し機械にかけていき，0になるまでの回数を考えます．10回この機械にかけて，初めて0になる数は何個ありますか．

	22034．Re: 質問
	名前：らすかる日付：7月17日(日) 8時59分
	10回目で0になるということは、10回目は(2)と決まります。すると、9回目の結果は3で割り切れませんから、9回目は(1)です。 1回目～8回目は(1)(2)のどちらもあり得ますが、 (2)が2回続くことはありません。従って 1回目～8回目で(2)がk回(0≦k≦4)の時、(1)は8-k回となり、また(2)の時余りが1と2の2通りありますから、求める個数は Σ[k=0～4](8-k+1)Ｃk×2^(k+1)=682個となります。 http://www10.plala.or.jp/rascalhp

	22035．Re: 質問
	名前：花パジャ日付：7月17日(日) 11時23分
	別解) 0からn回前の3の倍数の個数をa(n)、3の倍数でない数の個数をb(n)とする。　a(0)=1,b(0)=0,a(1)=0,b(1)=2 n-1回前に3の倍数となるのは、n回前にその数の3倍の数だった場合と、 n回前にその数+1または+2だった場合。 n-1回前に3の倍数でない数となるのは、n回前にその数の3倍の数だった場合。　a(n)=a(n-1)+b(n-1) 　b(n)=2a(n-1) これを解くと　a(n)=(2^n+2(-1)^n)/3 求める答は、　a(10)+b(10)=a(11)=(2^11-2)/3=682

22017．2次方程式

名前：美夢日付：7月16日(土) 12時16分

正方形の厚紙の４隅から、１辺が２ｃｍの正方形を切り取り、残りを折り曲げて容積が１２８㎝3の直方体を作りたい。正方形の厚紙の１辺の長さは何㎝であればよいか。　　　　　　　　　　　　　　　　　　　という問題なんですが・・・。ょくゎからなぃんです。式とか詳しく教えてもらえるとぁりがたぃのですが・・。お願いします。　　

	22020．Re: 2次方程式
	名前：のぼりん日付：7月16日(土) 16時42分
	一辺が２㎝の正方形を切り取ることから、容器の深さは２㎝です。よって、容器の底面積は、１２８㎝³÷２㎝＝６４㎝²です。底面の一辺の長さは８㎝です。従って、元の厚紙の一辺の長さは、８㎝＋２㎝＋２㎝＝１２㎝です。

22013．群

名前：あき　日付：7月16日(土) 3時8分

H,Kは群Gの部分群とする。
x,y∈G
このとき、HxｎKyは空集合または、（∃ｇ∈Ｇ）（HxｎKy＝（HｎK）ｇ）を示せ。

という問題なのですが、教えてください

	22015．Re: 群
	名前：のぼりん日付：7月16日(土) 8時43分
	部分群 H∩K により、　　　G=∪_a∈A(H∩K)a、　a≠a' ⇒ (H∩K)a∩(H∩K)a'=Ø と類別し、さらに、A の部分集合 B、C により、　　　H=∪_b∈B(H∩K)b、　K=∪_c∈C(H∩K)c と類別します。　　　Hx=∪_b∈B(H∩K)bx 　　　Ky=∪_c∈C(H∩K)cy も類別だから Hx∩Ky≠Ø のとき、∃b∈B、∃c∈C が存在し、(H∩K)bx=(H∩K)cy です。

	22019．Re: 群
	名前：あき　日付：7月16日(土) 16時9分
	ａｒｉｇａｔｏｕｇｏｚａｉｍａｓｉｔａ．

	22028．Re: 群
	名前：あき　日付：7月17日(日) 0時9分
	すいませんがなんか結論に達していない気がするのですが…

	22047．Re: 群
	名前：のぼりん日付：7月17日(日) 23時30分
	g=bx とおくと、　　　Hx=∪_b'∈B(H∩K)b'x⊇(H∩K)g⊆∪_c∈C(H∩K)cy=Ky だから、Hx∩Ky⊇(H∩K)g です。左から g^–1 を掛け、Hxg^–1∩(Kyg^–1)⊇H∩K です。Hxg^–1≠H だとすると、H∩K∋eﾏHxg^–1 なので矛盾だから、Hxg^–1=H です。K についても同様なので、Hxg^–1∩(Kyg^–1)=H∩K で、左から g を掛け、Hx∩Ky=(H∩K)g です。 ※　言い訳めいて恐縮ですが、拙回答は一般的に、完全解答を意図しておらず、行間は適宜補って読んで貰うことを前提としています。本回答も同様でした。

	22049．Re: 群
	名前：のぼりん日付：7月17日(日) 23時53分
	「左から○を掛け」のところは「右から○を掛け」の誤りでした

	22051．Re: 群
	名前：あき　日付：7月18日(月) 0時41分
	ありがとうございました。お手数かけました

22010．(untitled)

名前：calamity 日付：7月15日(金) 22時29分

a,bは0<a<bを満たす定数とし、nを自然数とする
(1)不等式nlog(2)b<log(2)[a^n+b^n]<nlog(2)b+1が成り立つことを証明せよ（2は底です）
(2)極限値lim(n→∞)（a^n+b^n）のn乗根を求めよ。
なにを使って解けばいいんでしょうか？
解説お願いします

	22011．Re: (untitled)
	名前：のぼりん日付：7月15日(金) 23時9分
	calamity さん、こんばんは。 (1)　　nlog₂b=log₂(bⁿ)＜log₂(aⁿ+bⁿ)＜log₂(2bⁿ)=nlog₂b+1 です。 (2)　(1) より、　　　log₂b＜log₂(aⁿ+bⁿ)^1/n＜log₂b+1/n で、n→∞ とすると、挟み撃ちの原理により、　　　log₂lim_n→∞(aⁿ+bⁿ)^1/n=lim_n→∞log₂(aⁿ+bⁿ)^1/n=log₂b よって、lim_n→∞(aⁿ+bⁿ)^1/n=b です。

	22022．Re: (untitled)
	名前：calamity 日付：7月16日(土) 19時9分
	ありがとうございます。でもまだ(1)がよくわかりません・・証明なら順序立てて説明するものだと思ったのですがこれでいいんでしょうか？

	22025．Re: (untitled)
	名前：のぼりん日付：7月16日(土) 20時35分
	この程度の問題であれば、22011 の論証で十分と思います。もっとも、保証はできませんが。心配ならば、もっと優秀な他の参加者の“セカンド･オピニオン”を得たらどうでしょうか？

	22056．Re: (untitled)
	名前：calamity 日付：7月18日(月) 5時21分
	わかりました。ありがとうございました。

22009．微分の問題で

名前：初夏日付：7月15日(金) 20時43分

xを正の実数、nを０以上の整数とする時、不等式
e＾x＞Σ（k=０～n）x^k/k！
を証明せよ。また上記を使い、任意の実数ｐと任意の正数qに対し
lim(x→∞)ｘ＾ｐ/e^x ＝０
を証明せよという問題なのですが、帰納法を使うのは分かるんですが...しっくりできません。宜しくお願いします

	22012．Re: 微分の問題で
	名前：のぼりん日付：7月15日(金) 23時28分
	初夏さん、こんばんは。e^x の定義が示されていないので、適当に前提を置きます。先ず、　　　e^x=∑_k=0～∞x^k/k! と定義されていると仮定します。すると、明らかに、　　　e^x＞∑_k=0～nx^k/k!　…　① です。次に、n=max{[p],0}+2 とおけば、①により、∀x＞0 に対し、　　　0＜x^p/e^x＜x^n-1/(x⁰/0!+x¹/1!+…+xⁿ/n!)＜n!/x です。x→∞ とすれば、挟み撃ちの原理により、lim_x→∞x^p/e^x=0 です。

	22014．Re: 微分の問題で
	名前：初夏日付：7月16日(土) 8時3分
	返信ありがとうございました。しかしex＞∑k=0～nxk/k!が明らかなのはテイラー展開で分かっているのですが...上手く証明できないのですが...

	22016．Re: 微分の問題で
	名前：のぼりん日付：7月16日(土) 8時55分
	m＞0 に対し、∑_k=0～nx^k/k!＜∑_k=0～n+mx^k/k!→e^x（m→∞）です。

	22018．Re: 微分の問題で
	名前：初夏日付：7月16日(土) 14時10分
	のりぼんさんありがとうございました

22002．フーリエー級数

名前：かえで 日付：7月15日(金) 8時26分

区間（－π，π]で、次の式で与えられる周期２πの関数
ｆ(ｘ)＝０(－π＜ｘ≦０)，１(０＜ｘ≦π)のフーリエー級数を求めよ。

お願いします。

	22003．Re: フーリエー級数
	名前：KINO 日付：7月15日(金) 12時13分
	フーリエ級数の定義式にあてはめて計算するだけです。 f のフーリエ級数展開を a₀+Σ[n=1,∞](a_ncos(nx)+b_nsin(nx)) ..... () と表すことにすると，例えば， b_n=(1/π)∫_-π^πf(x)sin(nx)dx =(1/π)∫₀^πsin(nx)dx =-(1/π)[cos(nx)]₀^π =2/π となります。同様の計算により， a₀=(1/2π)∫_-π^πf(x)dx=1/2, a_n=(1/π)∫_-π^πf(x)cos(nx)dx=0 となります。これらを () 式に代入したものが答えです。

	22004．Re: フーリエー級数
	名前：花パジャ日付：7月15日(金) 14時5分
	ｂ_2m=...

	22005．Re: フーリエー級数
	名前：かえで日付：7月15日(金) 16時18分
	回答ありがとうございます。学校では奇関数、偶関数を使ってやれと言っていたのですがどうすればいいのでしょう。

	22006．Re: フーリエー級数
	名前：かえで日付：7月15日(金) 17時4分
	答えは何になりますか。本当に分からないんで教えて下さい。

	22007．Re: フーリエー級数
	名前：X 日付：7月15日(金) 19時9分
	横から失礼します。 >>KINOさんへ重箱の隅を突くようで恐縮ですが b[n]=2/(nπ) の誤りではありませんか？。 >>学校では奇関数、偶関数を使ってやれと言っていたのですが g(x)=f(x)-1/2　① とおけばg(x)は奇関数になることが分かります（確かめて下さい）。従ってg(x)のフーリエ展開に対するa[n]について a[n]=0 となるのでg(x)のフーリエ展開に対しては、b[n]のみ計算すればよくなります。後はg(x)のフーリエ展開を①に代入すればそれがf(x)のフーリエ展開となります。

21999．微分

名前：ごるご 日付：7月15日(金) 2時6分

（x＋１）^2（2x－3）^3と1/x＋2とx√x＋1の微分がどうしてもわかりません。教えてください。

	22001．Re: 微分
	名前：らすかる日付：7月15日(金) 3時44分
	{(x+1)^2(2x-3)^3}' ={(x+1)^2}'×(2x-3)^3 + (x+1)^2×{(2x-3)^3}' =2(x+1)×{(x+1)}'×(2x-3)^3 + (x+1)^2×3×(2x-3)^2×{(2x-3)}' =2(x+1)×1×(2x-3)^3 + (x+1)^2×3×(2x-3)^2×2 =2(x+1)(2x-3)^3 + 6(x+1)^2(2x-3)^2 =2(x+1)(2x-3)^2{(2x-3)+3(x+1)} =2(x+1)(2x-3)^2(2x-3+3x+3) =2(x+1)(2x-3)^2(5x) =10x(x+1)(2x-3)^2 {1/x+2}'={(1/x)+2}' ={x^(-1)+2}'=-1×x^(-2)=-1/x^2 {1/(x+2)}'={(x+2)^(-1)}' =-1×(x+2)^(-2)×{(x+2)}' =-1/(x+2)^2 {x√x+1}'={(x√x)+1}' ={x^(3/2)+1}'=(3/2)×x^(1/2)=(3/2)√x {x√(x+1)}'={x}'×√(x+1) + x×{√(x+1)}' =1×√(x+1) + x×{(x+1)^(1/2)}' =√(x+1) + x×(1/2)×(x+1)^(-1/2)×{(x+1)}' =√(x+1) + x×(1/2)×(x+1)^(-1/2)×1 =√(x+1) + x/2√(x+1) ={2(x+1)+x}/2√(x+1) =(3x+2)/2√(x+1) http://www10.plala.or.jp/rascalhp

21995．(untitled)

名前：季喩日付：7月14日(木) 22時29分

サイコロを二回振って二回とも偶数が出る確率を教えてください。

	21996．Re: (untitled)
	名前：らすかる日付：7月14日(木) 23時26分
	１回で3/6=1/2ですから、２回では(1/2)×(1/2)=1/4です。 http://www10.plala.or.jp/rascalhp

21992．代数学

名前：田原日付：7月14日(木) 20時45分

整数a1,a2…anの最大公約数をｄとしたとき、
a1x1+a2x2+…anxn=dになる整数x1,x2…ｘnが存在することを示せ。という問題なのですが、教えてください。

	21998．少々天下りですが
	名前：風あざみ日付：7月15日(金) 1時2分
	整数の集合Sを以下のように定義します。 S={mは自然数\|m=a₁x₁+…+a_nx_nとなるような整数x₁,…,x_nが存在する} Sの中で最も小さいものをeとします。…※ e=a₁y₁+…+a_ny_n mをeで割って商をq、余りをr(0≦r＜e)とする m=eq+r r=m-eq=a₁(x₁-y₁q)+…+a_n(x_n-y_nq) ここで、r＞0と仮定するとrもSの要素となりますがr＜eだから、rはeより小さなSの要素ということになるが、これは※に反する。ゆえに、r＝0 これは、Sの任煮の要素mがeで割り切れることを示している。…○ また、a_i=0a₁+…+1a_i+0a_n∈Sとなるから a₁,…,a_n∈Sとなる。したがって、○よりeはa₁,…,a_nを割り切る。よって、eはa₁,…,a_nの公約数。公約数≦最大公約数よりe≦d…△ e=d{(a₁/d)y₁+…+(a_n/d)y_n} となって、eはdで割り切れるのでe≧d…▽ △と▽よりe＝d、すなわち d=a₁y₁+…+a_ny_n がいえた。

21987．教えてください。

名前：たく・中２です。 日付：7月14日(木) 8時32分

どのようにしたらいいか見当もつきません。図がかいてあるんですがどうやってパソコンで描くかわからないので文章で書きます。「平行四辺形ABCDがある。辺AB上にE、辺CD上にFをEFが辺AD（BC）に平行になるようにとる。同様に辺BC上にH、辺DA上にGをHGが辺AB（CD）と平行になるようにとる。このときEGの延長線とHFの延長線と対角線BDの延長線は１点で交わることを証明しなさい。」お願いします。

	21989．Re: 教えてください。
	名前：ヨッシー日付：7月14日(木) 9時52分
	これら３直線が平行になる場合は、除くとします。ＢＤとＨＦの交点をＭとすると、メネラウスの定理より、　ＭＢ／ＤＭ＝(ＢＨ／ＨＣ)(ＣＦ／ＦＤ) ＢＤとＥＧの交点をＮとすると、同様に、　ＮＢ／ＤＮ＝(ＢＥ／ＥＡ)(ＡＧ／ＧＤ) として、ＢＥをＣＦに置き換える等すれば、　ＭＢ／ＤＭ＝ＮＢ／ＤＮとなり、ＭとＮは同一点になることが示せます。　 http://yosshy.sansu.org/

	21994．Re: 教えてください。
	名前：たく・中２です。日付：7月14日(木) 22時28分
	わかりやすい解答ありがとうございました。

21981．場合の数　確立

名前：　日付：7月13日(水) 23時36分

数字0011234が１つずつ書かれたカードが７枚あります。
この７枚のカードから何枚かを用いて、左から一列に並べて数を作る。

①0011234の7枚のカードを並べて出来る7桁の数のうち、例えば1020134のように、奇数の1.1.3必ずこの順序で並んでいるような数は全部で何個あるか?

すいません･･･教えて下さい。

	21984．Re: 場合の数　確立
	名前：　日付：7月14日(木) 2時10分
	すいません･･･解決しました!

21962．行列の累乗について

名前：haru 日付：7月13日(水) 14時57分

例えば、２行２列の行列Ａの各成分の値と、行列Ａのｎ乗の各成分の値には、何かの関係式が発見されているのでしょうか。わかりましたら教えてください。

	21976．Re: 行列の累乗について
	名前：アカギ日付：7月13日(水) 19時51分
	たとえば、行列の成分をa,b,c,dとでもおいて、２乗、３乗、…とやてみるとよいかと思います。あまりすばらしい結果は得られないと思いますが。。しかし、任意のa,b,c,dではなく、特殊な数列なら美しい形になることもあります。

	21985．Re: 行列の累乗について
	名前：haru 日付：7月14日(木) 7時44分
	ありがとうございました。

	21990．Re: 行列の累乗について
	名前：haru 日付：7月14日(木) 10時50分
	行列の対角化によって行列のn乗が簡単に計算できることがわかりました。

21961．積分を用いた求積

名前：さとう（社会人） 日付：7月13日(水) 14時33分

半円とｘ軸、ｙ軸に囲まれた部分の面積を求めたいのですが、わかりませんでした。ご指導お願いします。
半円はｆ（ｘ）＝110-√{150＾2-（ｘ-150）＾2}という関数で表すことができます。座標軸（ｘ軸、ｙ軸）で囲まれた部分の面積を積分で求めたいのですが、∫{110-√（150＾2-（ｘ-150）＾2）}ｄｘが解けません。積分の区間は〔0、48.02〕です。宜しくお願い致します。

	21963．Re: 積分を用いた求積
	名前：顔なし日付：7月13日(水) 15時59分
	微積を用いる事が条件ですか？びせき使わないなら出来ますか？

	21964．Re: 積分を用いた求積
	名前：さとう（社会人）日付：7月13日(水) 16時12分
	実は掲示板に載せた内容以外にも同じような曲面求積をしなくてはならないので、条件に合わせた対応ができるように、積分を用いた求積を理解したいと思っております。ですが、他に良い方法をご存知でしたら教えていただけると幸いです。よろしくお願い致します。

	21967．Re: 積分を用いた求積
	名前：顔なし日付：7月13日(水) 16時46分
	積分は詳しくないのですが・・・。範囲の４８．02というのはマイナス域ではないですか？

	21968．Re: 積分を用いた求積
	名前：さとう（社会人）日付：7月13日(水) 17時20分
	X=48.02でちょうどｘ軸と半円が交差します。ちなみに、X=0で半円端部とｙ軸が接します。

	21969．Re: 積分を用いた求積
	名前：haru 日付：7月13日(水) 17時21分
	学術図書出版社から出ている微分積分学という本の９９ページの被積分関数の式中に根号がある場合という所を最初に見て計算していくと、∫(t^2/(t^2+1)^3)dxというのが出てくるので、これを∫t*t/(t^2+1)^3dtと分けて、これを部分積分して、次に９７ページの有理関数の不定積分という所を見て計算するとできます。上付き文字や下付き文字や逆関数の表示の仕方ができないため、しかたなく文章で表してみました。

	21970．Re: 積分を用いた求積
	名前：さとう（社会人）日付：7月13日(水) 17時55分
	お恥ずかしいのですが、、∫{110-√（150＾2-（ｘ-150）＾2）}ｄｘが、どのようにしたら∫(t^2/(t^2+1)^3)dｔになるのかが分かりません。その部分についてもう少し掘り下げて教えて頂けませんか？

	21971．Re: 積分を用いた求積
	名前：顔なし日付：7月13日(水) 18時37分
	さっきのマイナスは勘違いでしたスイマセン。

	21972．Re: 積分を用いた求積
	名前：花パジャ日付：7月13日(水) 18時42分
	半円なんだから x=150-150cosθ,0≦θ≦α,sinα=11/15,cosα=(2/15)√26 とかでいいのでは?

	21973．Re: 積分を用いた求積
	名前：さとう（社会人）日付：7月13日(水) 19時31分
	私の思い違いなのかもしれませんが、ｆ（ｘ）＝110-√{150＾2-（ｘ-150）＾2}とx=150-150cosθ,0≦θ≦α,sinα=11/15,cosα=(2/15)√26では、同じ曲線にならないと思うのですが・・・ｆ（ｘ）＝110-√{150＾2-（ｘ-150）＾2}は（ｘ、ｙ）＝（150,110）を中心とする半径150の下弦円になります。あと、求積する際にラジアンをどのように設定すればいいのかわかりません。積分する際にradθでは解けないんですよね？

	21974．Re: 積分を用いた求積
	名前：花パジャ日付：7月13日(水) 19時47分
	f(x)=110-150sinθ　ですよね? α<π/2ですから、下弦円かと。 dx/dθ=150sinθですから...

	21986．Re: 積分を用いた求積
	名前：haru 日付：7月14日(木) 7時59分
	市販の微分積分学の本にも載っていると思うのですが、この本は図書館から借りれば入手できると思います。本を見れば詳しく載っているのですが、本を読む余裕はないですか?

	21988．Re: 積分を用いた求積
	名前：さとう（社会人）日付：7月14日(木) 9時14分
	haruさんに教えて頂いた本を探したいと思います。顔なしさんharuさん花バジャさんありがとうございました。あと、花バジャさんのおっしゃる通りf(x)=110-150sinθだと下弦円になりました。失礼致しました。

21958．完全数

名前：アカギ 日付：7月13日(水) 12時44分

完全数は連続した自然数の和であらわすことができるような気がします。
６＝１＋２＋３
２８＝１＋２＋３＋４＋５＋６＋７
これって偶然でしょうか？
証明できることなのでしょうか？よろしくお願いします。

	21959．Re: 完全数
	名前：らすかる日付：7月13日(水) 14時4分
	偶然ではありません。オイラーにより証明されています。偶数の完全数は、必ず1からメルセンヌ素数(2^n-1の形の素数)までの和となります(逆も真)。 http://www10.plala.or.jp/rascalhp

	21975．Re: 完全数
	名前：アカギ日付：7月13日(水) 19時49分
	その証明の出所、ウェブ、書籍などはご存知ないですか？メルセンヌ素数などもあまり知らないので、関連するものでもよいです。何かよい文献を教えていただけるとうれしいです。よろしくお願いします。

	21977．Re: 完全数
	名前：らすかる日付：7月13日(水) 21時8分
	文献はわかりませんが、「オイラー完全数」とか「メルセンヌ素数」などで検索してみると、いろいろ出てくると思います。 http://www10.plala.or.jp/rascalhp

	21979．Re: 完全数
	名前：忍日付：7月13日(水) 22時18分
	2個以上の連続した正整数の和で書けない正整数は、 2の累乗に限ります。

	21980．Re: 完全数
	名前：アカギ日付：7月13日(水) 23時14分
	>らすかるさんそうですか。では調べてみます。ありがとうございます。 >忍びさんん？言われてみれば。。当たり前のような…でも証明ができない。。ちなみにそういったネタはどこで仕入れてくるのですか？いっぱい知りたいです＞＜（できたら証明も

	21982．Re: 完全数
	名前：らすかる日付：7月14日(木) 0時14分
	アカギさんが最初に書いた「連続した自然数の和」というのは、「１から連続」という意味ではなかったのでしょうか？完全数は「１から連続」の和で表されますが、忍さんが書かれているのは「１から」に限った話ではありませんので、私が書いたのとは別の話です。 http://www10.plala.or.jp/rascalhp

	21993．Re: 完全数
	名前：アカギ日付：7月14日(木) 21時51分
	＞らすかるさん１からに限定した、というわけではなく、何となく不思議だな～と思い、その真偽、詳細、証明などが知りたいなと書き込みをさせていただきました。わざわざありがとうございます。いろいろな文献を見てみたいと思います。また何かよいものがあれば教えていただければありがたいです。

21956．確率統計

名前：受験生 日付：7月13日(水) 11時8分

２つの壺があり、壺Aには白玉4個と赤玉5個入っている。
壺Bには白玉5個と青玉4個入っている。
今、壺Aから玉を２個取り出して壺Bに入れ、よく振ってから１個取り出す。壺Bから取り出した玉が白である確率を求めよ。

という問題です。
よろしくお願いします。

	21960．Re: 確率統計
	名前：らすかる日付：7月13日(水) 14時11分
	Aから取り出した2個の玉が 2個とも白 … 4C2/9C2=1/6 … (1) 2個とも赤 … 5C2/9C2=5/18 … (2) 白赤1個ずつ … 4C1×5C1/9C2=5/9 … (3) Bから白を取り出す確率は (1)の時 … 7/11 (2)の時 … 5/11 (3)の時 … 6/11 従って、求める確率は (1/6)×(7/11) + (5/18)×(5/11) + (5/9)×(6/11) = 53/99 http://www10.plala.or.jp/rascalhp

	21965．Re: 確率統計
	名前：受験生日付：7月13日(水) 16時38分
	なるほど。よく分かりました。どうもありがとうございます。

21949．お願いします（社会人）

名前：トン日付：7月12日(火) 18時1分

証明の仕方が解かりません。宜しくお願いします。
分配の法則ですが、何故　
ｙ（ａ－ｂ）＝ａｙ－ｂｙ
となるのか？　というのですが・・・
解かりませんでした。
お願いします。

	21953．Re: お願いします（社会人）
	名前：のぼりん日付：7月13日(水) 1時3分
	純数学的な“証明”をお求めですか、それとも直感的な“説明”をお望みですか？前者なら、前提さえはっきりして貰えれば、お手伝いできるかも知れません。

	21991．ご返信ありがとうございます
	名前：トン日付：7月14日(木) 18時37分
	直感的な説明でお願いします<m(__)m>

	21997．直感的な説明
	名前：らすかる日付：7月14日(木) 23時32分
	長方形ABCDを書いてBC上の適当なところに点Eをとり、 Eを通りABに平行な直線とADとの交点をFとします。 AB=y, BC=a, BE=b とすれば EC=a-b であることから長方形FECDの面積は y(a-b) また、長方形ABCDの面積がay、長方形ABEFの面積が byであることから、長方形FECDの面積は ay-by 従って y(a-b)=ay-by http://www10.plala.or.jp/rascalhp

	22008．ありがとうございました
	名前：トン日付：7月15日(金) 20時21分
	らすかるさん、ありがとうございました。面積でやるんですね。助かりました<m(__)m>

21947．線形代数です

名前：miku（高２） 日付：7月12日(火) 16時53分

対角成分がα、その他の成分がβである行列の固有値を求めよ
という問題です。普通に固有方程式を解いていた所、複雑な式になってしまい、解が出ません。
何かよい解き方があるのでしょうか？

	21952．Re: 線形代数です
	名前：のぼりん日付：7月13日(水) 1時0分
	高校二年生で、固有値の問題が出るのですか？高校の範囲だとすると、行列は、二次の正方行列ですか？

	21955．Re: 線形代数です
	名前：miku（高２）日付：7月13日(水) 11時2分
	3次の正方行列です。ちゃんと書かなくてすいません。高校２年ではなく高専なので･･･よろしくお願いします。

	21957．Re: 線形代数です
	名前：Kurdt 日付：7月13日(水) 12時37分
	こんにちは。簡単に書くために α-λ=a , β=b として書きます。固有方程式を展開すると、 a³+2b³-3ab² = 0 a³-ab² +2b³-2ab² = 0 a(a²-b²) -2b²(a-b) = 0 a(a+b)(a-b) -2b²(a-b) = 0 (a-b){a(a+b)-2b²} = 0 (a-b)(a²+ab-2b²) = 0 (a-b)(a-b)(a+2b) = 0 (a-b)²(a+2b)=0 あとは a と b をもとに戻せば解けますね。 http://fairytale.holy.jp/

	21966．(untitled)
	名前：miku（高２）日付：7月13日(水) 16時40分
	ありがとうございます。助かりました。

21936．教えてください。

名前：たく・中２です。 日付：7月11日(月) 22時28分

「三角形ABCの辺BCの上下に辺BCを一辺とする正三角形BCDと正三角形BCE
を作る。このときAE・AE＋AD・AD＝AB・AB＋AC・AC＋BC・BCを証明しなさい。（AE・AEはAEの２乗です。書き方がわかりませんでした。)」
という問題がわかりません。よろしくお願いします。

	21954．Re: 教えてください。
	名前：tororo 日付：7月13日(水) 3時54分
	中学２年生と書いてありますが、公立中学校３年で習う三平方の定理や　公立高校で学ぶ中線定理などが既習済みではないでしょうかその前提ですが…（AEの２乗は、AE^2　と表しました。) BCの中点をMとすると (1)△ABCにおいて、中線定理より　AB^2＋AC^2＝2(BM^2＋AM^2) (2)△ADMにおいて、中線定理より　AD^2＋AE^2＝2(DM^2＋AM^2) (3)BM＝(1/2)BC、DM＝{(√3)/2}BC より　BM^2＝(1/4)BC^2、DM^2＝(3/4)BC^2 以上から　AE^2＋AD^2＝(3/2)BC^2＋2AM^2 　AB^2＋AC^2＋BC^2＝(3/2)BC^2＋2AM^2 となり、　AE^2＋AD^2＝AB^2＋AC^2＋BC^2 ※中線定理を習っていない場合は複雑になりますが、 Aから下ろす垂線を利用すれば三平方の定理を使って導けます。

	21983．Re: 教えてください。
	名前：たく・中２です。日付：7月14日(木) 0時36分
	ありがとうございます。この問題習う直前に確かに中線定理やりました。

21934．お願いします

名前：すすか（中３） 日付：7月11日(月) 20時50分

何回も解いてみたのですがわかりません。

（１）√３分の１+√１２　　（２）３分の√１８-√１０分の２√５+
　　　　　　　　　　　　　　　　　２√２

（３）√１８分の√２７-１-√２分の√３-１

（４）√３分の√２-１×√６分の√６+１

	21935．Re: お願いします
	名前：ＴＯＭ日付：7月11日(月) 21時19分
	(1)は有理化して１／√３＝√３／３　 √１２＝２√３　 √３／３　＋　２√３＝｛（１／３）＋２｝√３＝７√３／３（２）３分の√１８＝３分の３√２＝√２　　　√１０分の２√５有理化して　　　１０分の２√５０＝１０分の１０√２＝√２　　よって√２－√２＋２√２＝２√２（３）√１８分の√２７＝√２分の√３＝√６／２　　　　√２分の√３＝√６／２　よって√６／２　－１－√６／２－１＝－２ひょっとして（√２７－１）／√１８　－（√３－１）／√２　ですか？だとしたら答が違うのでその旨を書き込みしてください。（４）｛（√３分の√２）-１｝×｛（√６分の√６）+１）｝　　　それとも　　　｛（√２－１）／√３｝・｛（√６＋１）／√６｝これもその旨を書き込んで

	21937．Re: お願いします
	名前：すすか（中３）日付：7月11日(月) 22時49分
	（４）は（　　）はついていません。ちなみに答えが「３分の√２」になります。

	21945．Re: お願いします
	名前：TOMMY 日付：7月12日(火) 11時29分
	(4) √３分の√２=√６／３　　１×√６分の√６=1 よって　√６／３－１＋１＝√６／３　（３分の√６）　では？

21929．行列の問題なのですが

名前：初夏日付：7月11日(月) 17時8分

Ａ、Ｂを2次の正方行列とする。0でない実数p,qを用いてＡＢ＝pＡ+qＢと表される時、（Ａ-qＥ)(Ｂ-ｐＥ）＝ｐｑＥを用いＡＢ＝ＢＡを示せ。
という問題なのですがどうやるのでしょうか？？detをとるのは分かるのですが...

	21933．Re: 行列の問題なのですが
	名前：黒蟻日付：7月11日(月) 20時23分
	一般に、2次の正方行列X，YがXY＝aE (a≠0)を満たしているときYX＝aEも成り立つので、（Ａ-qＥ)(Ｂ-ｐＥ）＝ｐｑＥから(Ｂ-ｐＥ)(Ａ-qＥ)ｐｑＥが成り立つことが分かる。よって（Ａ-qＥ)(Ｂ-ｐＥ）＝(Ｂ-ｐＥ)(Ａ-qＥ) 　両辺展開して計算するとＡＢ＝ＢＡを得る。

	21938．Re: 行列の問題なのですが
	名前：初夏日付：7月11日(月) 22時57分
	ありがとうございました。しかし『2次の正方行列X，YがXY＝aE (a≠0)を満たしているときYX＝aEも成り立つ』というのはどう証明するのでしょうか？？

	21939．Re: 行列の問題なのですが
	名前：黒蟻日付：7月11日(月) 23時7分
	2次の正方行列X，YがXY＝aE (a≠0)を満たしているとき、両辺のdetをとって(detX)*(detY)＝a≠0 よって特にdetX≠0だから、Xには逆行列X'が存在する。XY＝aEに左からX'をかけてY＝aX' よってYX＝aX'X＝aE となります。

	21940．Re: 行列の問題なのですが
	名前：黒蟻日付：7月11日(月) 23時9分
	しまった…訂正です。誤：(detX)(detY)＝a≠0 正：(detX)(detY)＝a^2≠0

	21941．Re: 行列の問題なのですが
	名前：初夏日付：7月11日(月) 23時57分
	何度もすいません、両辺のdetをとる　とはどういうことなのでしょうか？？

	21942．Re: 行列の問題なのですが
	名前：黒蟻日付：7月12日(火) 3時10分
	XY＝aEなのでdet(XY)＝det(aE)ですよね。右辺はa^2，左辺は(detX)*(detY)になります。

	21948．Re: 行列の問題なのですが
	名前：初夏日付：7月12日(火) 17時55分
	detが分配法則が成り立つのを忘れていました。何度もありがとうございました。

21926．面積

名前：ジータ 日付：7月11日(月) 11時51分

質問があります。　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　ｆ（ｘ）＝3ｘ^2＋１…（１）を積分するとｇ（ｘ）＝ｘ^3+ｘ＋C（Cは任意定数）になるんですが（１）の０→１までの面積を求めたいのにどうしてその部分の面積が（１）の原始関数の一つ、ｇ（１）－ｇ（０）に等しいのでしょうか。どうもしっくりきませんでた↓

21924．(untitled)

名前：バイ１ 日付：7月11日(月) 11時37分

みなさん、ありがとうございました（＞＿＜）よくわかりました。

	21925．Re: (untitled)
	名前：バイ１日付：7月11日(月) 11時39分
	すみませんまちがえました。m(_ _)m

21921．イデアルについて

名前：恵那日付：7月11日(月) 9時55分

初めまして。次の問題について教えてほしいのですが・・・。
「環RのイデアルH、Kについて、H+KもRのイデアルであることを
示せ」
という問題なのですが、どのように示せばいいのか解説をお願いします。

また、任意の環Rについて、R自身がイデアルであることを示すことは可能でしょうか？？

	21922．Re: イデアルについて
	名前：恵那日付：7月11日(月) 9時56分
	ごめんなさい。学年を書き忘れていました。大学１年です。

	21927．Re: イデアルについて
	名前：ast 日付：7月11日(月) 11時56分
	一年生で環論というのは教養科目かなにかでしょうか. 議論の抽象度が高いのでなかなか感じがつかめないといったところでしょうか. 環, イデアルといった言葉が出ているのですが, 一口に環とかイデアルという場合にも, 分野によっては多少異なる条件を課している場合があり注意が必要です. 本問においてイデアルの左右が論じられていないということは, これは乗法が可換な場合（可換環）なのでしょうか? それともj乗法は非可換で両側イデアルを単にイデアルと呼んでいるのでしょうか? それによって解答も多少変わってしまいますから, 確認したいので環とイデアルの条件を書き並べていただけませんか. 一応前者であるとして, 解答を書いて見ます. H + K = {h + k \| h ∈ H, k ∈ K} というのがどんな要素の集まった集合なのかということを念頭においてください. [解答例ここから] H, K が可換環 R のイデアルであるとする. [i] h + k, h' + k' ∈ H + K (h, h' ∈ H, k, k' ∈ K) とすると　(h + k) - (h' + k') = (h - h') + (k - k') ----() とあらわせる, ここで H, K がそれぞれ R の和について閉じている（正確には部分加法群であること。イデアルである条件の一つ）ことから h - h' ∈ H, k - k' ∈ K が成り立つので, () ∈ H + K. [ii] r ∈ R, h + k ∈ H + K (h ∈ H, k ∈ K) とすると, 　r(h + k) = rh + rk ----() となる. ここで, H, K がそれぞれ R の積による作用について閉じている（イデアルであることの条件の一つ）ことから, rh ∈ H, rk ∈ K がなりたつので, () ∈ H + K. [i][ii] より H + K は R のイデアルである. [//解答例ここまで] > また、任意の環Rについて、R自身がイデアルであることを示すことは可能でしょうか？？については, 環である条件とイデアルである条件を書き並べてにらめっこすると, おそらくイデアルである条件とまったく同じ条件が環である条件の中に見つかるはずです. 見つけられたならば明らかに成立することがわかるのではないかなとおもいます.

	21930．Re: イデアルについて
	名前：恵那日付：7月11日(月) 19時2分
	前者であっていると思います。助かりました。ありがとうございました。

	21931．Re: イデアルについて
	名前：ast 日付：7月11日(月) 20時5分
	独り言です. あー……, 条件を書き出すというのは無意味な行為ではないのでぜひやっていただきたかったのですが……. 今回のやり取りのことだけではありませんが, 私はフル解答を書くときも書かないときも, 質問者さんに何かしら反応を求めるような内容を織り込んでいるつもりなんですが, フル解答を書くとやってもらえない, ヒントにとどめると逃げられるというのがあって難しいですね. 私の解答もそうですが, 大体あってて微妙に間違いとかいうのはよくあることなので, 余り安易に解決したと思わないほうがいいと考えているのですが. 最近だと問題の切り分けのためにしたレスを恫喝か嘲笑かといわれたりもしましたし……. やっぱり難しいですね.

21919．連続ですが

名前：ひろ日付：7月11日(月) 2時2分

関数f(x)=e^(1/x)について
(1)lim［x→+0］f(x), lim［x→-0］f(x)を求めよ

(2)関数y=f(x)のグラフが変曲点をもつかどうか調べ
もつときは、xの座標を求めよ

(3)関数y=f(x)のグラフをかけ。

グラフまで教えて頂ければ助かります。
宜しくお願いします。

21918．縦・横・高さ

名前：ひろ日付：7月11日(月) 1時53分

全表面積が214㎝^2の直方体がある。直方体の縦のみ1㎝長くしたものは
全表面積が22㎝^2大きくなり、横のみ1㎝長くしたものは全表面積が
24㎝^2大きくなる。もとの直方体の縦・横・高さを求めよ

宜しくおねがいします。

	21920．Re: 縦・横・高さ
	名前：ヨッシー日付：7月11日(月) 6時2分
	縦、横、高さをそれぞれｘcm、ｙcm、ｚcm とおきます。全表面積は　２(ｘｙ＋ｙｚ＋ｚｘ)＝２１４　・・・(1) 縦をｘ＋１cm にすると　２{(ｘ＋１)ｙ＋ｙｚ＋ｚ(ｘ＋１)}＝２１４＋２２　・・・(2) 横をｙ＋１cm にすると　２{ｘ(ｙ＋１)＋(ｙ＋１)ｚ＋ｚｘ}＝２１４＋２４　・・・(3) これらを解きます。　 http://yosshy.sansu.org/

	21932．Re: 縦・横・高さ
	名前：ひろ日付：7月11日(月) 20時22分
	計算してみたのですが、 -x+y=-1 -y-z=-11 ここからどうすればいいのでしょうか

	21946．Re: 縦・横・高さ
	名前：らすかる日付：7月12日(火) 11時43分
	-x+y=-1 から x=y+1 -y-z=-11 から z=-y+11 これを(1)に代入して解けば、yが出ます。 http://www10.plala.or.jp/rascalhp

21912．数列

名前：IGA(高２） 日付：7月10日(日) 21時8分

次の和をΣ記号を用いて表せ。

1+3+3^2+.........+3^(n-1)

答えでは Σ_[k=1,n]3^(3k-1)

となっていたのですが
私の解答では
Σ_[k=0,n]3^k
です。
私の解答はあっているでしょうか？
お願いします。

	21913．Re: 数列
	名前：ヨッシー日付：7月10日(日) 21時34分
	注意すべきは、初項と末項です。 Σ_[k=1,n]3^(k-1)　では、　初項(k=1 のとき) 3^(1-1)＝3^0＝１　末項(k=n のとき) 3^(n-1) なので、与えられた数列と合います。 Σ_[k=0,n]3^k　では、　初項(k=0 のとき) 3^0＝１　　←これは合っています　末項(k=n のとき) 3^n となり、与えられた数列とは、違う物になります。 Σ_[k=0,n-1]3^k　とすれば、正解ですが、たとえば、第５項は k=4 のときと言うふうに、ｋの値と、項の番号が合わないので、模範解答の方が、オススメです。　 http://yosshy.sansu.org/

	21943．Re: 数列
	名前：IGA(高２）日付：7月12日(火) 6時30分
	わかりました。有り難うございました。

21911．積分の仕方

名前：haru 日付：7月10日(日) 20時14分

よろしくお願いします。
回転楕円体の測地線を求める計算をしていたところ、yは√（1－ｂ/(a*√(a^2-x^2))）/(x*√(x^2-c^2))をxで積分したものという複雑な式になってしまいましたがこの積分の計算の仕方がわかりましたら教えてください。

	21950．Re: 積分の仕方
	名前：haru 日付：7月12日(火) 18時20分
	yの中の式が間違っていました。積分の中の分子が1+()^2でした。

21908．複素数が苦手なのでよろしくお願いします

名前：高専２年です 日付：7月10日(日) 19時7分

ｘｙｚが次の連立方程式を満たしているとき以下の問に答えなさい
ただしｘｙｚは複素数とする。
ｚ+ｙ+ｚ＝0
ｘ＾３+ｙ＾３+ｚ＾３＝－１７
ｘ＾４+ｙ＾４+ｚ＾４＝２

問１　ｘｙｚ　の値を求めよ。
問２　ｘｙ+ｙｚ+ｚｘ　　　ｘ＾２+ｙ＾２+ｚ＾２　の値をそれぞれ求めよ。
問３　ｘ＾５+ｙ＾５+ｚ＾５　の値を求めよ。

すみませんが　わかりやすく解答お願いします。

	21917．Re: 複素数が苦手なのでよろしくお願いします
	名前：キューダ日付：7月10日(日) 22時31分
	xyz=a,xy+yz+zx=bとおくと、x^3+bx-a=0が成り立つのはいいですか？当然、これに、x,x^2をかけた式も成り立ちます。さらに、xに代わって、y,zを用いた式も同様の式が成り立ちます。ここで現れた合計９つの式について、対称性に注意し整理してみて下さい。

21907．(untitled)

名前：WS.＠高３ 日付：7月10日(日) 17時23分

関数f(x)=e^x(ax^3+bx)が極大値を二つ極小値を一つ持つための条件を求めよ。

と言う問題でf'(x)=e^x(ax^3+3ax^2+bx+b)で整関数の部分をg(x)とおけばf(x)極値を三つ持つ必要条件はg(x)が三解を持つことでa≠0より
g(x)=0
⇔x^3+3x^2=-(b/a)(x+1)・・・（※）
で（※）の右辺をh(x)とおけば、h(x)はかならず(-1,0)を通るから・・・と言う感じで処理できると思うのですが、そのあとの十分条件の確認、というより極大２極小１までどのように考えればいいのか分かりません。教えてくださいm(--)m

21904．難問・・・！？

名前：高校生（３年） 日付：7月10日(日) 16時2分

A(1)=-89
A(2)=271　として、
全ての正整数nについて、
A(n+2)=│(-3)A(n+1)+(-4)A(n)│　が成立している。
このとき、全ての正整数nについて、
A(n)の絶対値が1より大きいことを示せ。

わたしの手には負えませんでした。
値が振動？するので、捉えにくい。。。
こういう問題は高校数学で解決できるのでしょうか。

	21905．問題訂正・・・
	名前：高校生（３年）日付：7月10日(日) 16時4分
	与えられた漸化式は、 A(n+2) = (-3)A(n+1)+(-4)A(n)　です。（絶対値ﾄﾙ）

21901．積分

名前：かえで 日付：7月10日(日) 14時2分

(1) ∫1/(e^x-e^-x)dx
(2) ∫1/(1-x^2)^2dx
お願いします。

	21923．Re: 積分
	名前：X 日付：7月11日(月) 10時31分
	(1) (与式)=∫{(e^x)/{(e^x)^2-1}}dx =∫{(e^x)/{(e^x-1)(e^x+1)}}dx =(1/2)∫{1/(e^x-1)-1/(e^x+1)}(e^x)dx =(1/2)log\|(e^x-1)/(e^x+1)\|+C (C:積分定数) (2)(略解) 1/{(1-x)(1+x)}^2=a/(1-x)+b/(1+x)+c/(1-x)^2+d/(1+x)^2 と部分分数分解できるとすると a=b=c=d=1/4 ∴(与式)=(1/4)∫{1/(1-x)+1/(1+x)+1/(1-x)^2+1/(1+x)^2}dx =(1/4)log\|1-x^2\|+1/{4(1-x)}-1/{4(1+x)}+C (C:積分定数)

21899．どうしても解けないので教えてください（高３）

名前：ほり日付：7月10日(日) 12時3分

（１）xy－x－y＋１を因数分解せよ。（２）ａ,ｂ≧０のとき、２＾a＋b＋１≧２^a＋２＾bになることを示せ。（３）ａ＋ｂ＋ｃ＝２のとき、２＾a＋２＾b＋２＾cの最大値を求めよ。という問題で、（３）がどうしても解けません。よろしくお願いします。

	21900．Re: どうしても解けないので教えてください（高３）
	名前：のぼりん日付：7月10日(日) 13時11分
	（３）　ａ＝－ｂ、ｃ＝２としてａ→∞とすると、２＾ａ＋２＾ｂ＋２＾ｃ→∞です。従って、最大値は存在しません。蛇足ですが、（２）でも、ａ＝０、ｂ＝３とおくと、２＾a＋b＋１＝５＜９＝２^a＋２＾bなので、題意は成り立ちません。（１）以外は、問題自体が間違いか、あるいは写し間違いがあると思われます。

	21902．Re: どうしても解けないので教えてください（高３）
	名前：ほり日付：7月10日(日) 14時15分
	（２）ａ,ｂ≧０のとき、２＾(a＋b）＋１≧２^a＋２^bになることを示せ。でした、すいません。

	21903．Re: どうしても解けないので教えてください（高３）
	名前：ＴＯＭ日付：7月10日(日) 14時24分
	(1)xy－x－y＋１共通因数ｘでくくるｘ（ｙ－１）－ｙ＋１＝ｘ（ｙ－１）－（ｙ－１）＝（ｘ－１）（ｙ－１）

	21909．解けないのは(3)ですよね
	名前：風あざみ日付：7月10日(日) 19時12分
	(3)は「a,b,c≧0かつa+b+c=2のとき 2^a+2^b+2^cの最大値を求めよ」ですよね。 (2)で示した「a,b≧0のとき 2^a+b+1≧2^a+2^b」を最大限に利用します。 2^a+2^b≦2^a+b+1 2^a+b+2^c≦2^a+b+c+1 ですから 2^a+2^b+2^c≦2^a+b+2^c+1≦2^a+b+c+2=6 となりますから、2^a+2^b+2^cの最大値は6です。等号は例えばa=2、b=c=0のときに成立します。 (もちろんb=2、a=c=0やc=2、a=b=0でも等号は成立します)

	21914．Re: どうしても解けないので教えてください（高３）
	名前：ほり日付：7月10日(日) 21時36分
	ありがとうございます。とても助かりました。

21897．複利法

名前：IGA(高２） 日付：7月10日(日) 7時2分

毎年度の初めに１０万円ずつ積み立てるとき、１０年後の終わりの元利合計はおよそ何万円か。ただし、年利率５％、１年ごとの複利法として
(1+0.05)^10≒1.629を利用せよ。

という問題です。

私は 100000*(1+0.05)^10とやったのですが何故だめなのでしょうか。
教えてください。お願いします。

	21898．Re: 複利法
	名前：らすかる日付：7月10日(日) 7時15分
	最初に10万円預けてそのまま10年間置いておくなら 100000(1+0.05)^10 となりますが、この問題は毎年10万円ずつ積み立てますので、 1年目に積み立てた10万円 → 100000(1+0.05)^10 円 2年目に積み立てた10万円 → 100000(1+0.05)^9 円 3年目に積み立てた10万円 → 100000(1+0.05)^8 円・・・ 10年目に積み立てた10万円 → 100000*(1+0.05)^1 円となり、これを合計する必要があります。 http://www10.plala.or.jp/rascalhp

	21910．Re: 複利法
	名前：IGA(高２）日付：7月10日(日) 20時2分
	わかりました。有り難うございました。

21894．三角関数

名前：しん　大学１年 日付：7月9日(土) 23時3分

はじめまして！あの、三角関数のなのですが、
　①　1+sin^2θ=3sinθcosθが成り立つとき、tanθの値を求めなさい。
　
　②　極座標において、r=cosθ-√3sinθについて次の問いに答えなさい。
　　（１）これを直交形式で表せ。
　　（２）中心を極座標で求めよ。
以上の問題がわかりません...ぜひ、教えてください！お願いします！

	21895．Re: 三角関数
	名前：のぼりん日付：7月9日(土) 23時51分
	しんさん、こんばんは。 ①　与式を cos²θ+2sin²θ=3sinθcosθ と書き換えます。cosθ=0 は上式の解ではないので、両辺を cos²θ で割ると、1+2tan²θ=3tanθ となります。因数分解し、(2tanθ–1)(tanθ–1)=0 なので、tanθ=½、1 です。 ②（１）r＞0 のとき、与式の両辺に r を書けると、x²+y²=r²=rcosθ–r√3sinθ=x–√3y で、整理して、(x–1/2)²+(y+√3/2)²=1（x≠0 または y≠0）です。r=0 のとき、x=y=0 なので、r＞0 のときと合わせて (x–1/2)²+(y+√3/2)²=1 です。（２）中心の xy 座標は (1/2,–√3/2) なので、極座標だと r=1、θ=–π/3 です。 ※　書き間違えがあったので、訂正して書き込み直しました。

	21906．(untitled)
	名前：しん　大学１年日付：7月10日(日) 17時15分
	のぼりんさん、質問に答えてくれて本当にありがとうございました！しかも、書き間違えをしてしまい、すいません.... 三角関数は、どのように変形したらいいのか、わからず困っています。。。のぼりんさん、ぜひ、三角関数を解くコツなんかがあれば教えていただけませんか？？

	21915．Re: 三角関数
	名前：のぼりん日付：7月10日(日) 22時6分
	あっ、いや。「書き間違えがあった」というのは自分の前レスのことで、消して書き直したとこを言っただけです。しんさんの書き込みは、正確です。わかりにくい表現で、すみませんでした。三角関数を解くコツは、私も知りませんが（というか、私も教えて欲しいと思いますが）、〔１〕　基本公式を理解し；〔２〕　問題に取り組むとき、（単に代数的に考えるだけでなく）幾何学的にイメージする様にする。等が考えられます。特に、〔２〕は重要に思います（例：本問②等）。三角関数は、極座標や複素平面と関連付けると、幾何学的イメージが湧き易くなります。

21892．問題

名前：ちひろ 日付：7月9日(土) 20時34分

(1)１０以上１００以下の整数で、３または５の倍数の個数はいくつか。
(2)目の出方が同様に確からしい、１から６までの目をもつ２つのサイコロA,Bを同時に投げるとき目の和が奇数かつ３の倍数になる確率はいくつか。

宜しくお願いします

	21893．Re: 問題
	名前：wakky 日付：7月9日(土) 23時0分
	まずはヒントから・・・頑張ってみてください。（１）１０以上１００以下の整数で（３の倍数の個数）＋（５の倍数の個数）－（１５の倍数の個数）ってことでしょうねぇ。（２） 2つのサイコロの目の和が奇数かつ３の倍数なのだから目の和が、３か９となる確率でしょうねぇ

21890．最大値

名前：あき　日付：7月9日(土) 11時51分

x,y,z,w>0でx+y+z+w＝Jの時　ｘｙｚｗの最大値を求めたいのですが上手くいかないので教えてください

	21891．Re: 最大値
	名前：X 日付：7月9日(土) 12時32分
	略解) x,y,z,w>0ゆえ4変数に対する相加平均と相乗平均の関係を使うと (x+y+z+w)/4≧(xyzw)^(1/4)　① （等号成立はx=y=z=wのとき）ここで x+y+z+w＝J　② であるから①へ代入すると J/4≧(xyzw)^(1/4) ∴xyzw≦(J/4)^4 ∴xyzwはx=y=z=w=J/4のときに最大値(J/4)^4を取ります。

	21896．Re: 最大値
	名前：あき　日付：7月10日(日) 0時36分
	あってました。ありがとうございます

21886．等差数列

名前：IGA(高２） 日付：7月9日(土) 10時1分

１から２００までの自然数について、次の値を求めよ。

６で割ると２余る数の和
初項２，第３４項２００の等差数列の和を求めればよい
とかいせつにありましたが、「初項２，第３４項２００」ということを求めた過程を教えてください。
お願いします。

	21888．Re: 等差数列
	名前：のぼりん日付：7月9日(土) 10時12分
	IGA(高２）さん、こんにちは。６で割ると２余る自然数は、6n+2（n は非負整数）と表せますね。これは、初項 2、公差 6 の等差数列で、2, 8, 14, …, 194, 200, 206, … です。 6n+2=200 のとき、n=33 です。だから、これは初項 2、第 34 項 200 の等差数列でもあります。従って答えは、この等差数列の第 1 項から第 34 項までの和 2+8+14+…+194+200 です。

	21889．Re: 等差数列
	名前：IGA(高２）日付：7月9日(土) 11時33分
	理解できました。有り難うございました。

21874．(untitled)

名前：calamity 日付：7月8日(金) 20時46分

整数nに対してP(n)=n^(3)-nとする
(1)P(n)は６の倍数であることを示せ
(2)nが奇数ならばP(n)は２４の倍数であることを示せ
(3)P(n)が４８の倍数となる偶数nをすべて求めよ
こういう問題苦手なんです・・解説お願いします

	21875．Re: (untitled)
	名前：X 日付：7月8日(金) 21時10分
	(1) 条件より P(n)=n(n^2-1)=n(n+1)(n-1)　① つまりP(n)は連続する三つの整数の積になります。ところで連続する三整数には少なくとも一つ偶数と3の倍数が含まれますのでP(n)は2と3の公倍数、つまり6の倍数になります。 (2) 条件より n=2k-1(但しkは整数) と置けますから①へ代入すると P(n)=2k(2k-1)(2k-2)=4k(k-1)(2k-1) =4k(k-1){2(k+1)-3} =8k(k-1)(k+1)-12k(k-1)　② ここで(1)と同様に考えると②の第一項である 8k(k-1)(k+1) は24の倍数またk(k-1)は連続する2整数の積ですので②の第二項である -12k(k-1) も24の倍数よって②よりP(n)は24の倍数になります。

	21878．Re: (untitled)
	名前：X 日付：7月8日(金) 21時20分
	(3) 条件より n=2l(但しlは整数)　③ と置いて①に代入すると P(n)=2l(2l-1)(2l+1) =2l(2l-1)(2l+1)　④ ここで2l-1、2l+1は連続する二つの奇数ですからいずれかは3の倍数です。よって(1)の結果を考えると、P(n)が48の倍数であるためには l=8m(但しmは整数)　⑤ である必要があります。 ⑤を③へ代入して求めるnは n=16m(但しmは整数) つまりnは16の倍数になります。

	21884．Re: (untitled)
	名前：豆日付：7月9日(土) 2時59分
	蛇足気味ではありますが、イメージで多少。 Xさんが示されたようにP(n)=(n-1)n(n+1)と連続３整数の積です。 (2)nが奇数であれば、n-1とn+1は両方とも偶数で、どちらかは4の倍数です。連続3整数ですから3の倍数は必ずあるので、 2・4・3=24の倍数になります。 (3)48=3・2^4です。 nが偶数なら、n-1、n+1は必ず奇数です。従って、48の偶数因数である2^4=16は必ずnが分担します。

	21916．Re: (untitled)
	名前：calamity 日付：7月10日(日) 22時29分
	ありがとうございます。すごくわかりやすい解説で、理解しやすかったです。

21872．(untitled)

名前：toto(大学１年） 日付：7月8日(金) 14時12分

こんにちは。次の問題について質問させてください。
Gを|ｚ|＝１である複素数の乗法群とする。
Rを実数の加法群とする。
GはR／ｚの同形写像であることを示せ。

|ｚ|＝１である複素数の乗法群の意味がよく分からないので、
手がつけられません。。。
どなたか解説をお願いします。

	21879．Re: (untitled)
	名前：のぼりん日付：7月8日(金) 21時47分
	toto さん、こんばんは。問題文が若干変なので、適当に解釈して回答します。 G={e^iθ\|0≦θ＜2π} です。 x∈R の R/Z での同値類を [x]∈R/Z と表示すると、R/Z={[x]\|0≦x＜1} です。 ∀e^iθ∈G（0≦θ＜2π）に対しf(e^iθ)=[θ/(2π)]∈R/Z とおけば、f:G→R/Z は全単射です。 e^iθ,e^iθ'∈G に対し、　　　f(e^iθe^iθ')=f(e^i(θ+θ'))=[(θ+θ')/(2π)]=[θ/(2π)]+[θ'/(2π)] なので、f は同型写像になります。 7月4日(月) 21時43分付貴再質問№21847．「Re: 群の証明」に、風あざみさんがコメントしておられるのに、放置したままです。非礼に見られないためにも、解決を付けた方が良いように思うのですが、いかがでしょうか。

	21881．Re: (untitled)
	名前：toto 日付：7月8日(金) 22時22分
	返信ありがとうございます。＞∀eiθ∈G（0≦θ＜2π）に対しf(eiθ)=[θ/(2π)]∈R/Z とおけば、f:G→R/Z は全単射です。この部分が少し難しくて分からないので、もう少し解説をお願いできますでしょうか？なぜ全単射だと言えるんでしょう？

	21883．Re: (untitled)
	名前：のぼりん日付：7月8日(金) 23時43分
	0≦∀x＜1 に対し、0≦2πx＜2π で、f(e^i(2πx))=[x] だから、f は全射です。 0≦θ,θ'＜2π、f(e^iθ)=f(e^iθ') ならば、[θ/(2π)]=[θ'/(2π)] です。よって θ=θ' となり、f は単射です。これから申し上げることは、人生の先輩としての助言です。気分を悪くせずに聞いて貰いたいと思います。toto さんは群論を勉強されている様ですが、そのためには、全射、単射等の群論以前の基礎や、群論の位数等の基礎概念を疎かにしては、学習は進みません。前二問を拝見するに、toto さんは、基礎がしっかりしないうちに、背伸びをし過ぎているように見受けられます。ですから、先ず、集合とか論理の基本書を熟読し、その後、群論の教科書を丁寧に読んでから、演習問題に挑戦した方が良いように感じます。そうしないと、いたずらに時間を無駄にするだけだと思います。急がば回れ、と言いますし、西洋でも学問に王道なし、と言いますよね。悪いことは言いませんから、もう少し基礎固めを重視した方が良いですよ。

	21885．Re: (untitled)
	名前：toto 日付：7月9日(土) 9時1分
	返信ありがとうございました。そしてご指摘のほう、ごもっともです；夏休暇の間にもう一度復習してみます（＞＜）

21867．対数について

名前：バイ１ 日付：7月7日(木) 23時41分

恥ずかしいないようですが何故真数は正なのでしょうか？
何となく考えたんですが混乱してわかりませんでした。教えてください。

	21868．Re: 対数について
	名前：c.e.s. 日付：7月8日(金) 0時1分
	対数の定義は次のようなものです。『a>0に対してa^x=yが成り立つとき、x=log{a}yとする』高校の範囲では指数関数y=a^xはa>0を前提として定義するため、x=log{a}yについてもa>0が対数を定義する際の前提となります。

	21869．Re: 対数について
	名前：ヨッシー日付：7月8日(金) 8時26分
	ちょっと補足＆訂正(^^; ｙ＝ａ＾ｘをａ＞０を前提として計算した場合、ｘにどんな実数を当てはめても、　ａ＾ｘの値は正になります。つまり、ｙ＞０です。よって、この逆関数である、ｘ＝log{a}ｙは、ｙ＞０でないと、定義できないのです。（実数の世界では）　 http://yosshy.sansu.org/

	21871．Re: 対数について
	名前：バイ１日付：7月8日(金) 11時29分
	みなさんありがとうございます。やっとわかりました。でも大学にいくと負があり得るようになるんでしょうか？

	21873．Re: 対数について
	名前：c.e.s. 日付：7月8日(金) 19時54分
	あらら、勘違い。すみません。

	21887．Re: 対数について
	名前：のぼりん日付：7月9日(土) 10時4分
	バイ１さん、こんにちは。大学数学だと、非正実数を除く複素数を対数の底として認めるのが、一般的です。複素数全体を底として認めようとすると、対数が連続に定義できないのです。これを連続的に上手く定義するために、非正実数を除く訳です。取り除くところは、何も非正実数でなくても、非負実数とか、{xi\|x≧0} でも構わないのですが、非正実数にするのが一番便利なので、習慣的にこうしている様です。

21865．複素数

名前：bluehare 日付：7月7日(木) 21時53分

x^5=1の１以外の解の一つをｔとおきます。
tがa0+a1t+a2t^2+a3t^3+a4t^4=0を満たすとき
a0=a1=a2=a3=a4であることを示せ。

という問題なんですけどわかりません。
1+t+t^2+t^3+t^4=0を使うのかな？とか思ったけどいまいちです。
どなたかお願いします。

	21870．Re: 複素数
	名前：のぼりん日付：7月8日(金) 10時15分
	bluehare さん、こんにちは。初等的方法がちょっと思いつかなかったので、ガロア理論をちょっとだけ使います。f(x)=x^4+x^3+x^2+x+1 は t の最小多項式で、特に t の次数は 4 です。t が g(x)=a4x^4+a3x^3+a2x^2+a1x+a0 の零点でもあるとします。a4=0 ならば、t が 4 次であることにより、a3=a2=a1=a0=0 です。a4≠0 ならば、3 次以下の多項式 g(x)-a4f(x) も t を零点に持つので、g(x)-a4f(x)=0 です。よって、何れの場合にも、a0=a1=a2=a3=a4 です。

	21882．Re: 複素数
	名前：黄桃日付：7月8日(金) 23時22分
	ai に関する条件が抜けているのではないでしょうか。ai は整数か有理数ではないでしょうか（実数や複素数でもよければ反例ができます）。以下、ai は有理数とします。内容的には、のぼりんさんの証明を噛み砕いたものになります。まず、f(x)=1+x+x^2+x^3+x^4 は、有理数の範囲で既約であることを示します。もし、既約でなければ、f(x)=g(x)h(x) とかけます。gの次数の方とhの次数は、gのほうが小さいか同じとしてもかまいませんから、gの次数は１次か２次としていいわけです。一方f(t^i)=0 (i=1,2,3,4) なので、f(x)は複素係数の範囲で f(x)=(x-t)(x-t^2)(x-t^3)(x-t^4)と因数分解できます。したがって、gが1次式ならgは(x-t^i)のどれかと一致しますから、t^iが有理数となって矛盾です。gが2次式なら、gの係数が実数であることから、その共役も解になるので、g(x)=(x-t)(x-t^4) か g(x)=x(x-t^2)(x-t^3) となります。いずれの場合も x の１次の係数 -(t+t^4), -(t^2+t^3) が有理数にはなりませんので、矛盾です。以上から、f(x)は、有理数の範囲で既約であることがわかりました。このことから、有理係数の１次以上３次以下の多項式 g(x) については、g(t)≠0 となることがわかります。なぜなら、もしg(t)=0 となったとすれば、f(x) と g(x) の最大公約数は1次以上3次以下の多項式h(x)となり、特にf(x)がh(x)で割り切れるため、上で示した既約であることに矛盾するからです。ここまでわかれば、後は、割り算するだけです。F(x)=a0+a1x+a2x^2+a3x^3+a4x^4としますと、F(x)=a4f(x)+R(x) とかけます。ここで、R(x)は３次以下の有理係数の多項式です。F(t)=0, f(t)=0 ですから、R(t)=0 となります。今示したように、このようなR(x) は0しかありません。したがって、F(x)=a4f(x)=a4+a4x+a4x^2+a4x^3+a4x^4 となります。xについての係数を３次まで比較すれば求める結果が得られます。

21863．解析

名前：つかさ 日付：7月7日(木) 0時33分

極値を求めよ。です、宜しくお願いいたします。

(1)f(x,y)=(1/x)+(1/y)-xy

(2)f(x,y)=x^(3)+y^(3)-3xy+2

21859．確率

名前：アカギ 日付：7月6日(水) 21時5分

身近な確率分布って何かありますか？
さいころとかトランプとかはゲームの中ということで身近とは考えないとします。
いろんな分布について勉強したいので、具体的な例がわかる人お願いします。

	21860．Re: 確率
	名前：ヨッシー日付：7月6日(水) 21時31分
	模擬試験の得点分布とか、ある信号機での待ち時間の分布とか、工場の作業者が物を組み立て終わるまでの時間の分布とか。　 http://yosshy.sansu.org/

	21861．Re: 確率
	名前：アカギ日付：7月6日(水) 23時27分
	＞よっしーさんレスありがとうございます。ある信号機って待ち時間一定じゃないんですか？いつも赤は１分とかって決まってるんじゃなくてあれってランダム？だとしたら初耳です！ちなみに本とかであまり紹介されない、驚きのものとかないですかね？

	21862．横レス
	名前：らすかる日付：7月7日(木) 0時4分
	例えば赤が1分間とした時、交差点にさしかかった人は、信号が青…待ち時間0秒信号が赤になったばかり…待ち時間約60秒信号が赤になってから40秒後…待ち時間約20秒のようにランダムになりますね。 http://www10.plala.or.jp/rascalhp

	21864．Re: 確率
	名前：我疑う故に存在する我日付：7月7日(木) 13時42分
	＞いろんな分布について勉強したいので http://www.kwansei.ac.jp/hs/z90010/sugakuc/toukei/toukeihy.htm の §７各種分布にいろいろな例があります。

	21866．Re: 確率
	名前：我疑う故に存在する我日付：7月7日(木) 22時34分
	あなたの睡眠時間の分布（／一日）あなたの数学の試験の点数の分布／一回）あなたが「正しかった･うまく行った」と考える判断･決断の回数の分布（／一ヶ月、／一日の朝昼晩）あなたの数学的ひらめきがあった時刻（mod. 24h）の分布生きていて良かったと思う時・・・等など

	21978．Re: 確率
	名前：アカギ日付：7月13日(水) 21時9分
	返信遅れましたが、みなさまどうもありがとうございました。とても参考になりました。

21855．質問で～す

名前：マッスル伊藤 日付：7月6日(水) 18時46分

次の式を積分せなさい。
，x^2 tan[x+1/x] と言う問題です！よろしくお願いします！！

	21858．Re: 質問で～す
	名前：c.e.s. 日付：7月6日(水) 20時12分
	不定積分はできなさそうですが…

21849．科学の質問よいですか

名前：天才馬鹿煩 日付：7月4日(月) 22時21分

板違いなのは承知の事ですがどうか返答よろしくお願いします！問題
憧れのＡ君に話しかけられて、｣顔が赤くなったのは、反射か条件反射かどちらか？という問題です。

	21851．Re: 科学の質問よいですか
	名前：wakky 日付：7月4日(月) 22時41分
	う～ん・・・もっと生物学的なホームページを探してみては？といっても、私の個人的見解というか・・・勝手な解釈と言うか・・・無条件反射はその種ならば例外なく起る反射であると思います。いわば・・本能に近い（か？そのものか？）ものだと思います。変温動物が、外気の気温が低くなったときに、暖かい所に行こうとするのは無条件にとる行動だと思います。つまり、無条件反射。それに対して個体にのみ属する反射を条件反射というそうなので憧れのＡ君に話しかけられて赤面する・・・きっと女性だろうと思いますが（笑別の女性は、Ａ君のことなどなんとも思ってない・・・ってこともあるわけで・・・そんなことを考えるとこれはきっと「条件反射」ではないかと思われます。まぁ、素人の考えなのであまり真剣にとらえないでくださいね（笑

	21856．Re: 科学の質問よいですか
	名前：顔なし日付：7月6日(水) 18時48分
	そういう板違いなものは、他でやってください。管理人さんが困ります

21843．迷惑かけてスイマセンでした！

名前：マッスル伊藤 日付：7月4日(月) 20時50分

「のぽりん」さん、本当にスイマセンでした！！少し調子に乗ってしまいました。でも、僕は本当に質問したかっただけなんですよ！質問させてください。お願いします！！　　　Ａ．Ｂ二人が同じ商品を同じ原価でそれぞれ何個かずつ、合わせて39個仕入れ、Ａは一個につき800円、Ｂは、一個につき600円の利益を見込んで定価をつけました。売り出し期間中にＡは二個、Ｂは四個売り残したので、これらの原価の半額で売って、二人とも全商品売りつくしました。この結果　Ａは8800円　Ｂは6600円の利益を得ました。Ａ．Ｂはそれぞれ何個の商品を仕入れましたか？という問題です！よろしくお願いします！

	21844．Re: 迷惑かけてスイマセンでした！
	名前：のぼりん日付：7月4日(月) 21時24分
	Ａ、Ｂが仕入れた個数を夫々ａ、ｂとします。題意より　　　ａ＋ｂ＝３９　…　① です。、原価をＣとすると、Ａ、Ｂの利益は夫々、　　　８００（ａ－２）－２×Ｃ/２＝８８００　…　② 　　　６００（ｂ－４）－４×Ｃ/２＝６６００　…　③ です。①～③を連立させて解けば、　　　ａ＝１６（個）、ｂ＝２３（個）、Ｃ＝２４００（円）です。【答え】Ａ、Ｂは夫々１６個、２３個の商品を仕入れました。 ※　謝るなら、「のぽりん」氏より管理人さんにお詫びした方が良い様に思われます。ちなみにわたしは、「のぼりん」です。

	21848．Re: 迷惑かけてスイマセンでした！
	名前：マッスル伊藤日付：7月4日(月) 21時53分
	管理人さん本当に御免なさい！許していただけますか？あと「のぼりん」さん御免なさい。目が僕あまりよくないので。返答ありがとうございました！

	21852．Re: 迷惑かけてスイマセンでした！
	名前：ヨッシー日付：7月4日(月) 23時49分
	私が許す、許さないは、ネット上ではあまり意味がありません。「許さない」と言っても、やる人はやりますから。それでも、心情的に「許されたい」と思うなら、それは、あなたの今後の行い次第でしょう。＞＞天才馬鹿煩さん　 http://yosshy.sansu.org/

	21857．Re: 迷惑かけてスイマセンでした！
	名前：顔なし日付：7月6日(水) 18時56分
	僕もスイマセンでした（～＜＞～＊）’’

21839．(untitled)

名前：calamity 日付：7月4日(月) 20時32分

点P(α,β)がα^2+β^2+αβ<1を満たして動くとき、
点Q(α+β,αβ)の動く範囲を図示せよ　という問題です。
参考書を見てもよくわからないので解説をおねがいします

	21841．Re: (untitled)
	名前：ヨッシー日付：7月4日(月) 20時38分
	点Q(α+β,αβ)を（ｘ，ｙ）とおくと、　ｘ＝α＋β、y=αβ となりますが、　α^2+β^2+αβ<1 をｘ、ｙで表すと、　α^2+β^2+αβ＝(α＋β)^2－αβ なので、（以下略）　 http://yosshy.sansu.org/

	21846．Re: (untitled)
	名前：calamity 日付：7月4日(月) 21時43分
	y>x^2-1の答えは出たんですけど、この問題の答えは y≦(1/4)x^2,y>x^2-1 ただし境界は曲線y=x^2/4(-2/√3<x<2/√3）上の点を含み、他の部分を除くってなってるんですけどどうすればいいんでしょう？

	21854．Re: (untitled)
	名前：ヨッシー日付：7月5日(火) 8時26分
	たとえば、ｘ＝２，ｙ＝４は、確かに　ｙ＞ｘ^2－１を満たしますが、 α＋β＝２，αβ＝４　となる実数α、βが存在するかどうかが問題となります。 α、β は、２次方程式　ｔ^2－（α＋β）ｘ＋αβ＝０　つまり、　ｔ^2－ｘｔ＋ｙ＝０の解になるわけですが、これが実数解を持つには、判別式より　ｘ^2－４ｙ≧０が必要となります。　 http://yosshy.sansu.org/

21836．数学質問

名前：ABC 日付：7月4日(月) 17時48分

次の３次方程式を解けという問題なのですがお願いします。

x^3+3x^2+12x+4=0

	21837．Re: 数学質問
	名前：ヨッシー日付：7月4日(月) 18時22分
	こちらによると、　ａ＝３^2/3、ｂ＝－３^1/3、ω＝（－１＋√３ｉ）/２とおくと、　ｘ＝ａ＋ｂ－１　・・・唯一の実数解　ｘ＝ωａ＋ω²ｂ－１　ｘ＝ω²ａ＋ωｂ－１の３つが解となります。が、高校の問題なら、まず、問題の書き間違いを疑いたくなりますが。　 http://yosshy.sansu.org/

	21853．Re: 数学質問
	名前：らすかる日付：7月5日(火) 7時26分
	x^3+3x^2-12x+4=0 の書き間違いに1000点。 http://www10.plala.or.jp/rascalhp

21834．群の証明

名前：toto 日付：7月4日(月) 6時48分

初めまして。次の問題について解答してみたのですが、bの証明の仕方が分かりません。
「ｐを素数として、群Gの位数をｐとする。次を証明せよ。
a)GはGと{e}を除いて部分郡を持たない。
b)またGは巡回的であり、すべての要素a≠eはGを生成する。」

aの証明は、
ラグランジュの定理により、Gの位数がｐ（素数）なら、
Gの部分郡Hの位数は１またはｐのみ。
もし１なら部分群は必ずeを含むのでH＝{e}
もしｐならH＝G
よってGはGと{e}を除いて部分郡を持たない。

のようにできたのですが、ｂが分からず困っています。
よろしくお願いします。

	21840．Re: 群の証明
	名前：のぼりん日付：7月4日(月) 20時33分
	toto さん、こんばんは。b) も a) と殆ど同じです。G の単位元以外の元の位数は p です。よって、∀g∈G-{e} を取れば、g から生成される部分群〈g〉は G に一致します。これは、G={e,g,g²,…,g^p-1} を意味し、g により生成される位数 p の巡回群です。

	21847．Re: 群の証明
	名前：toto 日付：7月4日(月) 21時43分
	のぼりん様、返信ありがとうございます。ですが、次のところがよく分からなくて。。。＞G の単位元以外の元の位数は p です。単位元を含んでｐではないのでしょうか？？（すごく初歩的な質問かもですが・・・；）

	21850．Re: 群の証明
	名前：風あざみ日付：7月4日(月) 22時21分
	＞単位元を含んでｐではないのでしょうか違います。単位元の位数は1です。どうもあなたは、「群の位数」の定義と「群の元の位数」の定義がごっちゃになっているようです。「群の元の位数」の定義を代数学の教科書できちんと確認してください。

	21880．Re: 群の証明
	名前：toto 日付：7月8日(金) 22時16分
	返信遅くなってしまってすみません（＞＜）定義についてもう一度確認してみます。

21831．消費税計算

名前：算数日付：7月4日(月) 5時2分

一個５０円のみかんと一個７０円のりんごを合わせて４０個買ったところ、消費税込みで２４１５円になった。買ったみかんは何個か

という問題です。
消費税問題にお手上げなんです。へとー

	21833．Re: 消費税計算
	名前：らすかる日付：7月4日(月) 6時1分
	40個全部がみかんだとすると、一個50円×40個＝2000円、消費税を足して2100円。みかんを一個りんごに取りかえると、20円高くなるので消費税を足して21円高くなる。 2415円になったということは、2100よりも315円高くなっているから、 315円÷21円＝15個のみかんをりんごに取りかえればよい。従って、みかんは25個。 http://www10.plala.or.jp/rascalhp

	21845．Re: 消費税計算
	名前：算数日付：7月4日(月) 21時27分
	ありがとうございました。算数に苦戦中ですよ。へごー

21827．三角関数の値

名前：期末日付：7月3日(日) 21時7分

sin 2/5π ,cos 2/5π ,sin π/10 ,cos π/10の三角形の相似を使った求め方を教えてください。お願いします。

	21830．Re: 三角関数の値
	名前：のぼりん日付：7月3日(日) 21時32分
	期末さん、こんばんは。△ABC を、∠A=π/5,∠B=∠C=2π/5, AB=AC=a＞BC=2 である二等辺三角形とし、∠B の二等分線が辺 CA と交わる点を D とします。 △ABC∽△BCDだから、AD=BD=BC=2 です。また a:2=AB:BC=BC:CD=2:CD つまり CD=4/a だから、AD=AC–CD=a–4/a です。よって、2=AD=a–4/a ⇔ a²–2a–4=0 ⇔ a=1±√5 で、a＞2 より、a=√5＋1 を得ます。これから、　　sin(π/10)=cos(2π/5)=(BC/2)/AB=1/(√5＋1)=(√5–1)/4 を得ます。cos(π/10)=sin(2π/5) は、上式と三平方の定理から求めてください。 ■　ビユ・ペイツ=バス=顔あり=東大生=顔なし=パイロット志望者=母=神様=某大学の教授=マッスル伊藤　の人へ荒らすのはいい加減に止めて下さい。

	21835．ありがとうございます
	名前：期末日付：7月4日(月) 16時24分
	分かりました。丁寧に教えてくださり、ありがとうございます。

21798．教えてください！２

名前：takako 日付：7月3日(日) 15時31分

⑤ ある整数Ｎに336 をかけて平方根をとると、その数も整数になる。整数Ｎのうち、最小のものは何か。
⑥ ある競技用自転車は、後輪の周の長さが前輪より30 ㎝長い。この自転車で2300ｍを走ると、その間に前輪は後輪よりも150 回多く回転する。前輪の周の長さは何㎝か。

	21800．Re: 教えてください！２
	名前：顔なし日付：7月3日(日) 18時19分
	６の問題２３００ｍで１５０回多く回転する　　のなら何メートル走れば　１回多く回転するのでしょうか？これが解決の糸口です。何で「何メートル走れば　１回多く回転するのでしょうか？」というのを考えるのかこれを気付けるかどうかがポイントですから、自分でそのように考えられるかどうかをよく考えてください。

	21842．Re: 教えてください！２
	名前：ＴＯＭ日付：7月4日(月) 20時48分
	５. √（N・３３６）＝□ √N・√（２＾４・３・７）＝□ √N・４√２１＝□ よって√が外れるためにはN＝２１　にすればいい

21797．教えてください！

名前：takako 日付：7月3日(日) 15時28分

次の①～④の解き方と答えを教えてください。よろしくお願いします。

① Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ、Ｅの５人が横１列に並ぶとき、並び方は何通りあるか。
② 赤玉が３つ、白玉２つ入っている箱から、続けて２つの玉を取り出すとき、２つとも赤玉である確率を求めよ。
③ ２つのサイコロを同時に投げたとき、少なくとも一方が６の目である確率を求めよ。
④ ３枚の硬貨を同時に投げて、１枚が表で残りの２枚が裏になる確率を求めよ。

	21799．Re: 教えてください！
	名前：顔なし日付：7月3日(日) 18時10分
	勉強ご苦労さん　まず、組合せを絵に描いたりしながら、全部書き出して見てください。　そして数えれば答えは出ます。とき方はそのあとです。いきなりとき方を聞いても身に付きません。　是非、書き出して、答えを出してみてください。

21795．正三角形さがし

名前：ぱぁこ 日付：7月3日(日) 14時13分

1辺が1㎝の正三角形がｎ段あるとき、ｎ番目の正三角形には全部でいくつ正三角形がありますか？（いろいろな大きさの正三角形を見つける）
この問題の一般的な考え方(根拠)を教えてください。よろしくお願いします。

	21801．Re: 正三角形さがし
	名前：顔なし日付：7月3日(日) 18時23分
	まず、一つ一つ数えることからはじめてください。小さい三角が１個の時は１４個の時は５１６個の時は？　そうするだけでわかる人もいます。まずやってみてください。やり方だけ覚えても身に付きません。すぐ忘れちゃいます。

21789．扇形の面積について

名前：toto 日付：7月2日(土) 18時35分

大学1年です。
半径をｒ、中心の角をθとすると、扇形の面積は
１/２ｒ^2θで表されますが、これを
積分を使って証明したいです。
どうしてこのような公式になるのでしょうか？
解説のほう、よろしくお願いします。

	21792．Re: 扇形の面積について
	名前：豆日付：7月2日(土) 21時7分
	変数の取り方の関係上混乱しないように半径a、中心角αとしておきます。もともと、この式は半径aの円の面積をπa^2として、中心角αとの比α/(2π)を掛けて、(1/2)a^2αと学んだと思います。ですから (1)半径aの円の面積を「積分」でπa^2と求めて、上記比を掛ければよいと思います。 (2)直接求めたければ(面倒ですが) ∫[x=0→acosα]xtanαdx+∫[x=acosα→a]√(a^2-x^2)dx で求めてもいいでしょう。 (3)半径r、円周角αの円周を「積分」でrαと求めて、 ΔS≒rαΔrとなることから、 S=∫[r=0→a]rαdrでもOKでしょう。 (4)同じようなイメージですが、直交座標を極座標変換して、 ∫∫dxdy=∫[r=0→a]∫[θ=0→α]rdrdθでもいいと思います。

	21794．Re: 扇形の面積について
	名前：toto 日付：7月3日(日) 9時24分
	一口で扇形の面積を求めるといってもたくさんあるんですね。一つ一つについて考えてみます。豆様、返信ありがとうございました！

21788．無限級数

名前：tomo（高２） 日付：7月2日(土) 18時15分

[n→∞]のとき、1-1/2+1/3-1/4+・・・・・+(-1)^(n-1)/nを求めよという問題がわかりません。どなたか教えてください。

	21793．Re: 無限級数
	名前：のぼりん日付：7月2日(土) 21時38分
	tomo さん、こんにちは。本問は、どう考えても数Ⅲ･A の範囲の問題です。従って、高三の知識を使いますが、了解下さい。T(n)=1–1/2+1/3–1/4+…+(–1)^n–1/n とおきます。 f(x)=1/x （1≦x≦2）とおき、y=f(x) のグラフと x 軸とで囲まれた 1≦x≦2 の範囲の面積 ∫_[1,2]f(x)dx を考えます。閉区間 [1,2] を n 等分したとき、区分求積法で、右端で評価した有限和を s(n)、左端で評価した有限和を S(n) とすれば、　　s(n)={1/(1+1/n)}(1/n)+{1/(1+2/n)}(1/n)+…+(1/2)(1/n) 　　=1/(n+1)+1/(n+2)+…+1/(2n) 　　S(n)={1/1}(1/n)+{1/(1+1/n)}(1/n)+…+{1/(2–1/n)}(1/n) 　　=1/n+1/(n+1)+…+1/(2n–1) です。 T(2n–1)=S(n)、T(2n)=s(n) を帰納法で証明します。n=1 のとき、T(1)=1/1=S(1) です。n=2k–1 のときに T(2k–1)=S(k) だとします。　　T(2k)=T(2k–1)–1/(2k)=S(k)–1/(2k) 　　=1/k+1/(k+1)+…+1/(2k–1)–1/(2k) 　　=1/(k+1)+…+1/(2k–1)+1/(2k)=s(k) です。また、n=2k のときに T(2k)=s(k) だとします。　　T(2k+1)=T(2k)–1/(2k)=s(k)+1/(2k+1) 　　=1/(k+1)+…+1/(2k–1)+1/(2k)+1/(2k+1)=S(k+1) です。よって、帰納法により、主張が示せました。以上から、定積分の定義により、　　1–1/2+1/3–1/4+…+(–1)^n–1/n+…=lim_n→∞T(n) 　　=∫_[1,2]f(x)dx=∫_[1,2](1/x)dx=log_e2–log_e1=log_e2 です。

	21796．Re: 無限級数
	名前：のぼりん日付：7月3日(日) 15時26分
	誤字を訂正します。【誤】…どう考えても数Ⅲ･A の範囲の… 【正】…どう考えても数Ⅲ･C の範囲の… そして範囲は、数Ⅲでした。ちなみにこの問題は、大学数学の　　　log_e(z+1)=z⁰/1–z¹/2+z³/3–z⁴/4+…　　（\|z\|＜1 または z=1）という式を知っていないと、回答するのが簡単でないと思います。上式を知っていれば、収束先が log_e2 だと直ぐに判るので、答えから遡って、試行錯誤で上記の様な回答を作った訳です。

	21832．Re: 無限級数
	名前：黒蟻日付：7月4日(月) 5時31分
	T(n)=1–1/2+1/3–1/4+…+{(–1)^(n－1)}/nとおきます。 T(2n) ＝Σ[i＝1～2n]{(－1)^(k－1)}/k ＝Σ[i＝1～n]{1/(2k－1)－1/(2k)} ＝Σ[i＝1～n]{1/(2k－1)＋1/(2k)－1/k} ＝Σ[i＝1～n]{1/(2k－1)＋1/(2k)}－Σ[i＝1～n]1/k ＝Σ[i＝1～2n]1/k－Σ[i＝1～n]1/k ＝Σ[i＝n＋1～2n]1/k ＝(1/n)Σ[i＝n＋1～2n]1/(k/n) →∫[1，2](1/x)dx ＝log2 (区分求積法) よってT(2n)→log2 (n→∞)また、T(2n＋1)＝T(2n)＋1/(2n＋1)→log2＋0 (n→∞)　よってT(n)→log2

21786．どっかの入試

名前：河野毅 日付：7月2日(土) 15時53分

サッカーボールは次の条件で作られる。
①正五角形と正六角形の多面体を球状にしたものである。
②各々の五角形の周りは六角形に囲まれており、六角形の周りは五角形と六角形に交互に囲まれている。
③オイラーの多面体の定理によれば、面、頂点、辺の数の関係に「面の数＋頂点の数＝辺の数＋２」の関係がある。
五角形と六角形の数を求めよ。

	21787．Re: どっかの入試
	名前：花パジャ日付：7月2日(土) 16時32分
	五角形がx個、六角形がy個とする。＞各々の五角形の周りは六角形に囲まれて任意の五角形と接する六角形は5個なので五角形と六角形との境は全部で5x箇所＞六角形の周りは五角形と六角形に交互に囲まれて任意の六角形と接する五角形は3個なので五角形と六角形との境は全部で3y箇所 →5x=3y ＞面の数＋頂点の数＝辺の数＋２において面の数=x+y 頂点の数=(5x+6y)/3 辺の数=(5x+6y)/2 なので、x=12

21767．確率問題教えてください。

名前：マトバ（高三） 日付：7月1日(金) 15時1分

「目の前に3つの箱がある。三つの箱の中で１つに賞品が入っている。はじめは、どの箱でも選べる。箱を選んだ後、残り2つの箱から賞品の入っていない箱を１箱だけ教えてもらえる。この時点で、箱を変更しても良い。箱を変更しない方が確率的に得かどうかを調べよ。」定期テストの問題なんですが解けませんでした。答えがどうしてもしりたいので、どなたかご教授お願いします。

	21769．Re: 確率問題教えてください。
	名前：X 日付：7月1日(金) 17時15分
	問題文に惑わされますが、結局これは空箱を一つ教えてもらった後にもう一度二箱の内から一つを選び直している（「変更しない」場合は「二箱の内から元々選んでいた箱を選んだ」と見ることができる）だけなので、変更の有無に関わらず確率はどちらも1/2で変化はありません。よって変更しないことは確率的には得でも損でもありません。

	21770．Re: 確率問題教えてください。
	名前：忍日付：7月1日(金) 19時23分
	"Monty Hall Problem" あるいは "Monty Hall Dilemma" で検索するとよいだろう。例えば http://mathworld.wolfram.com/MontyHallProblem.html

	21772．Re: 確率問題教えてください。
	名前：X 日付：7月1日(金) 19時46分
	＞＞忍さんへレスで掲載されたURLを拝見しました。しかし正直なところ、このURLの最上部の例題に関しては納得できないものがあります。できましたらNo.21769のレスについて誤っている点をご指摘頂けると幸いです。

	21777．Re: 確率問題教えてください。
	名前：忍日付：7月1日(金) 22時59分
	どれが当たりか知っている人が、初めに選んだ箱以外のはずれを開けているのだから、初めに選んだ箱に関する情報は増えない。もう一度書くが、"Monty Hall Problem" あるいは "Monty Hall Dilemma" で検索するといろいろ見つかります。どうしても納得いかなければ、 http://www.cut-the-knot.org/hall.shtml あたりで実験してみたら如何？

	21778．ご教授ありがとうございました。
	名前：マトバ日付：7月1日(金) 23時11分
	有名な問題だったんですね。検索して調べてよくわかりました。ありがとうございました。

	21781．Re: 確率問題教えてください。
	名前：らすかる日付：7月2日(土) 2時53分
	最初の状態は 1/3：○×× 1/3：×○× 1/3：××○ 左端を選んだとして、それ以外のうち×が一つ除外されるから 1/3：○×× → ○×－ = ○× 1/3：×○× → ×○－ = ×○ 1/3：××○ → ×－○ = ×○ 従って変更すれば当たる確率は倍になります。 http://www10.plala.or.jp/rascalhp

	21785．Re: 確率問題教えてください。
	名前：X 日付：7月2日(土) 11時28分
	＞＞忍さん、らすかるさんへお手数をおかけします。もう少し考えてみます。＞＞マトバさんへ申し訳ありませんが、No.21769のレスは忘れて下さい。

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