| 今回の目標 ・素数の意味を理解すること。 ・素因数分解ができること。 ・素因数分解を用いて、約数を求められること。 |
素数
（例題）次の数の約数を求めよ。
| １． | (1) 1 ・・・( 1 ) (2) 3 ・・・( 1, 3 ) (3) 6 ・・・( 1, 2, 3, 6 ) (4) 7 ・・・( 1, 7 ) |
２． 約数が1とその数自身の２つである数を
素数 というが、１．の中で素数はどれか。
( 3, 7 )
＜問題１＞３０以下の素数をすべてあげよ。
( 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29 )
素因数分解
１以外の素数でない数は、２つ以上の素数の掛け算の形で表すことができる。
（例） 30＝2×3×5 24＝2×2×2×3 28＝2×2×7
このように素数でない数を素数の掛け算の形で表すことを、
素因数分解 という。
（例題）次の数を素因数分解せよ
(1) 12＝2×2×3
(2) 54＝2×3×3×3
(3) 64＝2×2×2×2×2×2
素因数分解は次のように計算するとよい。
| 60の素因数分解 | 36の素因数分解 | ||
| ２）６０ | ２）３６ | ||
| ２）３０ | ２）１８ | ||
| ３）１５ | ３） ９ | ||
| ５ | ３ | ||
| 60＝２×２×３×５ | 36＝２×２×３×３ | ||
| （素数になるまで割る） | |||
＜問題２＞ 次の数を素因数分解せよ
| (1) | ２）９０ | (2) | ２）１６６ | (3) | ２）１４４ | (4) | ２）１２０ |
| ３）４５ | ８３ | ２） ７２ | ２） ６０ | ||||
| ３）１５ | ２） ３６ | ２） ３０ | |||||
| ５ | ２） １８ | ３） １５ | |||||
| ３） ９ | ５ | ||||||
| ３ | |||||||
| 90＝２×３×３×５ | 166＝2×83 | 144＝2×2×2×2×3×3 | 120＝2×2×2×3×5 |
素因数分解と約数
60 の約数は、小さい方から、( 1 ),( 2 ),(
3 ),( 4 ),( 5 ),( 6 ),( 10 ),( 12 ),( 15 ),(
20 ),( 30 ),( 60 )である。
一方、60 を、２つの掛け算の形で表すと、
| 60 = 1 × ( 60 ) | 60 = 2 × ( 30 ) | |
| 60 = 3 × ( 20 ) | 60 = 4 × ( 15 ) | |
| 60 = 5 × ( 12 ) | 60 = 6 × ( 10 ) |
のようになるが、ここで、掛けられる数（被乗数）、掛ける数（乗数）いずれも
60 の (約数)になっていることがわかる。
さらに、上の式の被乗数、乗数を素因数分解してみると、
60 = 1 × ( 60 ) = 1 × ( 2×2×3×5 )
60 = 2 × ( 30 ) = 2 × ( 2×3×5 )
60 = 3 × ( 20 ) = 3 × ( 2×2×5 )
60 = 4 × ( 15 ) = ( 2×2 ) × ( 3×5 )
60 = 5 × ( 12 ) = 5 × ( 2×2×3 )
60 = 6 × ( 10 ) = ( 2×3 ) × ( 2×5 )
のようになる。これらの式は、（1 が含まれている式は例外として）いずれも
60 を（素因数分解）した式になっている。
結局、60 の 1 以外の約数は、60 を素因数分解した、(
2 ),( 2 ),( 3 ),( 5 ) の中からいくつか取り出して、かけた数で
あることがわかる。
逆に、( 2 ),( 2 ),( 3 ),( 5 ) の組み合わせでできる数をすべて調べれば、60
の約数をすべて挙げたことになる。その組み合わせの求め方の一例を次に示す。
| ２をいくつ使うか | ３をいくつ使うか | ５をいくつ使うか | 結果 | |
| １ | 使わない （何も掛けない） |
使わない （何も掛けない） |
使わない | 1 |
| １つ使う（×５） | 5 | |||
| １つ使う （３を掛ける） |
使わない | 3 | ||
| １つ使う（×５） | 15 | |||
| １つ使う （２を掛ける） |
使わない （何も掛けない） |
使わない | ( 2 ) | |
| １つ使う（×５） | ( 10 ) | |||
| １つ使う （３を掛ける） |
使わない | ( 6 ) | ||
| １つ使う（×５） | ( 30 ) | |||
| ２つ使う （４を掛ける） |
使わない （何も掛けない） |
使わない | ( 4 ) | |
| １つ使う（×５） | ( 20 ) | |||
| １つ使う （３を掛ける） |
使わない | ( 12 ) | ||
| １つ使う（×５） | ( 60 ) |
＜問題３＞ 150 の約数をすべて求めなさい。
（解答） 150 を素因数分解すると 150＝2×3×5×5
| ２をいくつ使うか | ３をいくつ使うか | ５をいくつ使うか | 結果 | |
| １ | 使わない （何も掛けない） |
使わない （何も掛けない） |
使わない | 1 |
| １つ使う（×５） | 5 | |||
| ２つ使う（×25） | 25 | |||
| １つ使う （３を掛ける） |
使わない | 3 | ||
| １つ使う（×５） | 15 | |||
| ２つ使う（×25） | 75 | |||
| １つ使う （２を掛ける） |
使わない （何も掛けない） |
使わない | 2 | |
| １つ使う（×５） | 10 | |||
| ２つ使う（×25） | 50 | |||
| １つ使う （３を掛ける） |
使わない | 6 | ||
| １つ使う（×５） | 30 | |||
| ２つ使う（×25） | 150 |
答え 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 25, 30, 50,
75, 150
＜問題４＞ 360 の約数はいくつありますか。
（解答） 360を素因数分解すると、
360＝2×2×2×3×3×5
よって、2,2,2,3,3,5 の６つの数字からいくつかを選んで掛け合わせれば、
360 の約数になる。（数字を選ばない場合として
1 がある）
2 の選び方として、（使わない）（１つ使う）（２つ使う）（３つ使う）の４通り
3 の選び方として、（使わない）（１つ使う）（２つ使う）の３通り、
5 の選び方として、（使わない）（１つ使う）の２通り
全部で、
４×３×２＝２４
答え ２４個
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