2004年11月 の投稿ログ


18506．2つの円の共有点?  
名前：daisuke    日付：11月30日(火) 22時14分
こんにちは、数学の問題を問いていて考えがつまってしまいました。どなたかアドバイスをいただけないでしょうか？

(x+a)^2+(x+b)^2=r^2
(x+c)^2+(x+d)^2=s^2
という２つの円があるとき、この円が交わるか、接するか、離れているか判断せよ。

という問題なのです、僕は2円の共有点の個数を求めればわかると考えたのですが、どうやって共有点の個数を求めればよいかわからなくなってしまいました。なにか判別式などがあるのでしょうか?
よろしくお願いします。


18507．Re: 2つの円の共有点?
名前：HybridTh.(大学3年)    日付：11月30日(火) 22時45分
先ず,
　(x+a)^2 + (y+b)^2 = r^2
　(x+c)^2 + (y+d)^2 = s^2
の間違いではないでしょうか.
上の2つの方程式を連立して調べなくても, ｢2つの円の中心間の距離｣と｢2つの円の半径の長さの和｣を比較することにより, 共有点の個数を調べれます.
2つの円の中心間の距離は
　√{(-a-(-c))^2 + (-c-(-d))^2}　…(*1)
2つの円の半径の長さの和は
　r+s　…(*2)
となります.
例えば, (*1)と(*2)が等しいとき, 2つの円は接します(つまり共有点は1個です).

18508．Re: 2つの円の共有点?
名前：daisuke    日付：11月30日(火) 23時10分
回答ありがとうございます。
なるほど!たしかにその方法なら、共有点を考えなくても判断することができますね。hybridth.さん、本当にありがとうございます!

18510．Re: 2つの円の共有点?
名前：HybridTh.(大学3年)    日付：12月1日(水) 4時27分
｢調べれます｣って変な日本語ですね(汗)
｢調べられます｣に訂正します.

18511．Re: 2つの円の共有点?
名前：Ｒａｔｔｌｅ    日付：12月1日(水) 10時1分
一方の円がもう一方の円に内接するということもありますから、そのときのr,sの関係も考えてみてください。

18505．教えてください！  
名前：みるく（大学生）    日付：11月30日(火) 21時37分
初めて書き込みします。
問題は、「6進法の24の1.3乗の値を6進法の整数表記で表せ。」です。
専門学校の試験問題で回答がなく困っています。。
よろしくおねがいします。


18509．Re: 教えてください！
名前：のぼりん    日付：11月30日(火) 23時13分
気の利いたやり方ではないですが、
　　246進法=2×6+4=1610進法
　　1.36進法=1+3/6=1.510進法
　　241.36進法=161.510進法=6410進法=1×62+4×6+4=1446進法
とすれば、解くには解けます。

18513．Re: 教えてください！
名前：みるく（大学生）    日付：12月1日(水) 18時27分
すごい！！感激です！！
ありがとうございます！！

初歩的な質問で大変恐縮なのですが、
乗の計算がわかりません。１乗２乗・・・はわかるのですが、
小数点の場合、どのように計算したらよいのでしょうか？？

18517．Re: 教えてください！
名前：のぼりん    日付：12月1日(水) 21時8分
＞小数点の場合、どのように計算したらよいのでしょうか？？
高校の数学Ⅱの指数・対数の当たりで習うのではないかと思います。一般論は、掲示板で説明するのは困難なので、昔の教科書を参照下さい。ただ、本問に出て来たのは、0.3乗6進法表記＝0.5乗10進法表記 のみで、これは√と同義です。なぜなら、ｘ＝ａ０．５ とすると、ｘ２＝（ａ０．５）２＝ａ０．５×２＝ａ だからです。

18518．Re: 教えてください！
名前：みるく（大学生）    日付：12月1日(水) 21時35分
ルートですね！ありがとうございます！！
頭が混乱しているので、もう一度まとめ直してみます！！

初めての書き込み質問で不安だったのですが、的確に教えていただけて
聞いて良かったなと思いました！類似問題も解くことができてうれしいです！
試験問題に、指数・対数とｎ進法がたくさんでてきてしまい、
近々また似た分野の質問をしてしまうと思いますが、
どうぞよろしくお願い致します。

18502．積分  
名前：もえ    日付：11月30日(火) 16時20分
∫[上27,下8]1/(x-3√x)dxの定積分を求めよ。
(3√xは３乗根になります。)
教えてください。


18503．Re: 積分
名前：我疑う故に存在する我    日付：11月30日(火) 16時29分
ヒント：対数微分
log ( x^(2/3) - 1 ) の微分を考える。

18504．Re: 積分
名前：豆    日付：11月30日(火) 17時53分
普通にx^(1/3)=yの置換積分でもいいような

18531．Re: 積分
名前：もえ    日付：12月3日(金) 6時58分
計算の仕方などを教えてくださいますか？

18533．Re: 積分
名前：ヨッシー    日付：12月3日(金) 16時38分
我疑う故に存在する我さんの書かれた式を微分すると、ほとんど答えまで行ってしまうのですが、
この式を創造（想像？）出来ない人のために、豆さんの方法で。
　ｔ＝ｘ^(1/3)　　とおくと、
　dt/dx＝ｘ^(-2/3)／３　　より、
　dx＝３dtｘ^(2/3)＝３dt・ｔ^2
これより、
　∫[上27,下8]1/(x-3√x)dx＝∫[上3,下2]３ｔ^2/(t^3 - t)dt

　３ｔ^2/(t^3 - t)＝３ｔ/(t^2 - 1)＝(3/2){1/(t-1)＋1/(t+1)}
と変形すると、(3/2)[log(t-1)＋log(t+1)] と積分できます。
答えは、(3/2)（３log２－log３）　です。
　
http://yosshy.sansu.org/

18495．二項定理です  
名前：優希（高2）    日付：11月29日(月) 18時38分
お願いします。

（a+b+1)5乗の展開式における
ab2乗の係数を求めよ、という問題です。

階乗！を使って求めようかとも思ったんですが･･
Cを使うのですか･･･？


18496．Re: 二項定理です
名前：ヨッシー    日付：11月29日(月) 18時48分
(a+b+1)^5 は
(a+b+1)(a+b+1)(a+b+1)(a+b+1)(a+b+1)
ということです。５つの括弧から、a か b か 1 のどれか１つを選んできて
掛け合わせたのが、項となります。
ab^2 を作るには、a, b, b, 1, 1 を選んでくればいいです。
a の選び方は、5Ｃ1＝５　通り
残りの４つの括弧から b を２個選ぶのは 4Ｃ2＝６　通り
残りの２つの括弧から 1 を２個選ぶのは 2Ｃ2＝１　通り
よって、５×６×１＝３０　通り
となり、係数は３０となります。
階乗を使うなら、　5!/(2!・2!・1!) です。
　
http://yosshy.sansu.org/

18497．Re: 二項定理です
名前：優希（高2）    日付：11月29日(月) 19時7分
有難うございました！
理解できたのですが･･

（x+2y)６乗の展開で
x4条y2乗の係数を求めたいのですが･･･

（x+2y)（x+2y)（x+2y)（x+2y)（x+2y)（x+2y)

こうなって･･･求めたいのはxxxx2y2y

Xの選び方　6C4＝30
yの選び方　2c2=1

30X1＝30･･･となるのでしょうか？

2ｙの2はどうすればいいのでしょうか？

18498．Re: 二項定理です
名前：教員志望（大学生）    日付：11月29日(月) 20時16分
それも係数として掛け算すればよいですよ．
しかし6C4は30ではなく15ですね．
なので15×2×2で60ですね☆

18499．Re: 二項定理です
名前：優希（高2）    日付：11月29日(月) 20時37分
よく分かりました！
ありがとうございました！

18493．定積分の問題  
名前：たみ    日付：11月29日(月) 17時52分
１　∫[上π/2,下0]sin^2・cos^3・xdx
２　∫[上1,下0]xtan^-1・xdx
この２つの定積分の求め方をどなたか教えてくださいますようお願いいたします。


18500．Re: 定積分の問題
名前：我疑う故に存在する我    日付：11月29日(月) 21時40分
(1) について。 sin x = t と置くと、 t の多項式になる。

18501．Re: 定積分の問題
名前：豆    日付：11月30日(火) 9時4分
２は部分積分で，
∫xarctanxdx=(1/2)x^2arctanx-(1/2)∫x^2(arctanx)’dx
第2項の被積分関数はx^2/(1+x^2)=1-1/(1+x^2)

18492．教えてください  
名前：ひな（中３）    日付：11月29日(月) 16時50分
四角形ABCDはAD//BCの台形
　　　　　　EはBCの中点でAB//DE
　　　　　　FはCD上の点でDF：FC＝２：１
　　　　　　GはA、Fを通る直線とBCを延長した直線との交点
　　　　　　Hは線分AGとDEとの交点　　です。
AD＝４㎝のとき線分BGの長さと、AH：HFの値を求めよ
という問題です。長くなりましたが、よろしくお願いします。


18494．Re: 教えてください
名前：ヨッシー    日付：11月29日(月) 18時20分
Size: 237 x 167, 2KB

△ＡＤＦと△ＧＣＦの相似（相似比ＤＦ：ＦＣ＝２：１）より、
　ＡＤ：ＧＣ＝２：１　よって、　ＣＧ＝２cm
　ＢＧ＝４＋４＋２＝１０(cm)
△ＡＤＨと△ＤＥＨの相似（相似比２：３）より、
　ＡＨ：ＨＧ＝２：３＝６：９　・・・(1)
△ＡＤＦと△ＧＣＦの相似より、
　ＡＦ：ＦＧ＝２：１＝１０：５　・・・(2)
(1)(2) より、
　ＡＨ：ＨＦ：ＦＧ＝６：４：５
　ＡＨ：ＨＦ＝３：２
　
http://yosshy.sansu.org/


18525．Re: 教えてください
名前：ひな（中３）    日付：12月2日(木) 16時27分
ヨッシーさんありがとうございました。
また、わからないことがあればお願いします。

18490．球面三角形について  
名前：haru    日付：11月29日(月) 15時56分
球面三角形ABCにおいて、∠A=a,∠B=未知、∠C=ｔ、∠Aの対辺の長さを未知、∠Bの対辺の長さをｂ、∠Cの対辺の長さをσとするとき、cosｂ×cosa=sinb×cotσ－sina×cotｔとなるようなのですが、いくつもある球面三角法の公式を使っても解けませんでした。どうしたら解けるのでしょうか。

18488．２乗  
名前：愛　高校１年    日付：11月29日(月) 8時39分
２乗して２９４、　４９０になる数字ってありますか？教えてください！


18489．Re: ２乗
名前：ひで    日付：11月29日(月) 9時2分
数字ですよね？
2乗して294になるのは　√294と－√294　すなわち7√6と－7√6
490の方は、294を参考に今一度考えてみて下さい。

18482．高次方程式２題。。高１です。  
名前：パゲさん    日付：11月28日(日) 19時39分
☆　整式 ｘ^3＋ａｘ^2＋２ｘ＋ｂ－３ を整式Ｐ(ｘ)で割ると、
　　商が ｘ－１、余りが ｘ－２である。また、Ｐ(ｘ)を ｘ－２
　　で割ると、余りは －ａｂである。
　　このとき、ａ、ｂのとりうる範囲を求めよ。

☆　定数ｐ、ｑ、ｒは、ｐ＞ｑ＞ｒを満たす。また、３次方程式
ｘ^3＋ｐｘ^2＋ｑｘ＋ｒ＝０の解は、連続する３つの整数、
　　ｎ－１、ｎ、ｎ＋１であるとする。
　　このとき、ｎ、また、ｐ、ｑ、ｒの値を求めよ。

上の２題が分かりません。。どなたかお願いします。


18484．Re: 高次方程式２題。。高１です。
名前：TAIC（大学院生）    日付：11月28日(日) 22時52分
整式 ｘ^3＋ａｘ^2＋２ｘ＋ｂ－３ ＝Ｐ(ｘ)*(x-1)＋x-2
x=1のときa+b=-1 x=2のとき8＋4a+4+b-3=4a+b+9=P(2)

また、Ｐ(ｘ)＝Q(x)*（ｘ－２）-ab P(2)=-ab
つまり4a+b+9=-ab

解と係数の関係　3n=-p (n-1)n+n(n+1)+(n-1)(n+1)=q n(n-1)(n+1)=r
　　

18481．微分  
名前：みっちー　　高２    日付：11月28日(日) 18時44分
この前学校で関数f（x）を２回微分するとｆ（x）の変曲点を求めることができると教わりました。変曲点というのはf（x）接線の傾きの変化なんですよね？でもいまいち変曲点のイメージがつかめません　
どなたか分かりやすく説明をお願いします


18486．Re: 微分
名前：ヨッシー    日付：11月28日(日) 23時13分

図は、ｙ＝ｘ^3－２ｘ　のグラフですが、
ｘ＜０　の部分では、接線の傾きが、ｘの増加につれて、
　大きな正の数→小さな正の数→０→負の数→－２まで小さくなる
のように変化します。
この部分が、f"(x) が負の部分で、グラフは上に凸になります。
ｘ＞０　の部分では、逆に、
　－２→０→正の数→どんどん大きくなる
のように変化します。
この部分が、f"(x) が正の部分で、グラフは下に凸になります。

この、上に凸から下に凸に変わるところ（０，０）が、このグラフの変曲点になります。
　
http://www.geocities.jp/dainembutsu/

18487．Re: 微分
名前：みっちー　　高２    日付：11月29日(月) 6時0分
説明ありがとうございます！！
グラフがあってすごく分かりやすかったです

18476．高１です  
名前：匿名希望    日付：11月28日(日) 11時34分
４人で一回じゃんけんをするとき、次の確立を求めよ
(ア)二人だけが勝つ確立
(イ)勝負がつかない確立
よろしくお願いします


18483．Re: 高１です
名前：教員志望（大学生）    日付：11月28日(日) 21時26分
確立ではなく確率です☆
計算で出すのもいいですがこのくらいならすべての場合を考えても4人の出し方は81通りですよね．わからないときは実際書いてみると意外と規則とかが見つかるかもしれないですよ．
あとうまく計算したいときは場合わけの工夫が必要ですね．

18512．Re: 高１です
名前：tarame    日付：12月1日(水) 11時52分
（ア）について
(1)勝つ２人の決め方は何通り？
(2)勝つ手は何通り？
（イ）について
(1)１人だけが勝つ確率は？
(2)３人が勝つ(１人だけが負ける)確率は？
(3)勝負が決まらない確率は？

というふうに考えてみればいかがでしょうか？

18474．かく乱順列  
名前：なんちゃってマジメちゃん    日付：11月28日(日) 10時23分
1から５の番号が付いたボールと箱が５つずつある。箱に箱と同じ番号のボールが入らないようにして､ボールを1個ずつ入れる方法は何通りあるか。

という問題なんですけど､かく乱順列を使うらしいんですが､どう解けば良いのですか？中３です､ヨロシクお願いします!


18477．(untitled)
名前：COREGA    日付：11月28日(日) 11時39分
この問題は必ずしも計算でやろうとしないでも樹形図を使えば
以外に楽にとけますよ。うちの学校のテストで樹形図を使って
表せっていう問題ででました

18478． かく乱順列
名前：なんちゃってマジメちゃん    日付：11月28日(日) 11時54分
ありがとうございます!!
早く解けるコツとかってありますか？

18480．Re: かく乱順列
名前：COREGA    日付：11月28日(日) 12時32分
なやんだら計算だけでやろうとせず基本に戻ってかんがえると簡単にできることも結構あります

18469．２次方程式  
名前：浦川高２    日付：11月28日(日) 5時43分
２次方程式 ｘ^2－５ｘ＋５＝０ の２つの解の小数部分を解とする
２次方程式を１つ作れ。

作れと言われても作れません。
誰か親切な方、どうか教えてください。


18472．Re: ２次方程式
名前：arc    日付：11月28日(日) 7時16分
x2-5x+5 = 0
x = {5±√(25-20)}/2 = {(5)±√(5)}/2
x = {(5)+√(5)}/2 , {(5)-√(5)}/2

x = IP(x) + FP(x) , a = {(5)+√(5)}/2 , b = {(5)-√(5)}/2
a = IP(a) + FP(a)
b = IP(b) + FP(b)
IP(a) = 3
IP(b) = 1
A = FP(a) = {-1+√(5)}/2
B = FP(b) = {3-√(5)}/2

(x-A)(x-B)=0
x2-(A+B)x+AB = 0
A+B = 1
AB = -2+√(5)

x2-x-2+√(5) = 0

18473．Re: ２次方程式
名前：ヨッシー    日付：11月28日(日) 9時31分
２つ３つ、基本となる知識が必要です。
１つは、α、βを解とする２次方程式は、
　ａ(ｘ－α)(ｘ－β)＝０　　ａ≠０
と書ける。この問題の場合、ｘ^2 の係数は何でもいいので、ａ＝１ とします。
すると、解と係数の関係より（というより、上の式を展開して）、
　ｘ^2－(α＋β)ｘ＋αβ＝０
ということ。２つ目は、ある数の小数部分は、元の数から整数部分を引けば良いということ。
例えば、
　√2≒1.414 なので、√2 の小数部分は　√2－１
　√5≒2.236 なので、√5 の小数部分は　√5－２
です。
手順としては、
１．ｘ^2－５ｘ＋５＝０　の２解を求める
２．その２解のだいたいの大きさを求める
３．２解の小数部分を求める
４．それらを解とする２次方程式を作る
です。
　
http://www.geocities.jp/dainembutsu/

18458．因数定理  
名前：かなぶん    日付：11月27日(土) 22時24分
整式Ｐ(x)を(x+1)^2および(x-1)^2で割ったときのあまりが、それぞれ3x-4,
2x-1である。この時P(x)を(x-1)^2(x+1)で割ったときのあまりをもとめよ。

解説をみると、余りは二次式であり、またP(x)を(x-1)^2で割ったときの余りが 2x-1より、P(x)＝(x-1)^2(x+1)Q(x)+a(x-1)^2+2x-1とおける、とありましたが、なぜ余りの部分を、a(x-1)^2+2x-1とおけるのかがわかりません。どなたか教えて下さい


18459．Re: 因数定理
名前：かなぶん    日付：11月27日(土) 22時26分
すみません。高1です。

18460．理由としては
名前：風あざみ    日付：11月27日(土) 23時54分
P(x)を(x-1)2で割った余りは2x-1ですから
P(x)=(x-1)2R(x)+2x-1…(1)
です。
R(x)を(x+1)で割った商をQ(x)、余りをaとすると
R(x)=(x+1)Q(x)+a…(2)

(2)を(1)に代入すると
P(x)=(x-1)2R(x)+2x-1=(x-1)2{(x+1)Q(x)+a}+2x-1=(x-1)2(x+1)Q(x)+a*(x-1)2+2x-1
となります。

18471．Re: 因数定理
名前：かなぶん    日付：11月28日(日) 7時10分
良く理解できました。R(x)=(x+1)Q(x)+aとあらわすところに気がつきませんでした。風あざみさんありがとうございました。

18455．解と係数の関係  
名前：ヨッピー高２    日付：11月27日(土) 21時28分
a,bを実数とする。２次方程式　x^2＋ax＋b＝0　の１つの解が　2＋3iであるとき、定数a,bの値と他の解を求めよ。

解と係数の関係を使って解くらしいのですが、イマイチよく解りません
どうか教えてくださ～い！！


18456．Re: 解と係数の関係
名前：ヨッピー高２    日付：11月27日(土) 21時31分
すいません書き忘れです。

iは虚数単位とする

18465．Re: 解と係数の関係
名前：H2O    日付：11月28日(日) 1時23分
（ヒント）
　２次方程式　ax^2＋bx＋c＝0（a，b，c は実数）の１つの解が　p＋qi　であるとき，もう１つの解は　p-qi（共役な複素数）です。
　このことを踏まえて，もう少し自分自身で考えてみてください。

18453．log  
名前：みな(大学一回)    日付：11月27日(土) 21時7分
すいませんが、∫dt/t(範囲は１→X)がlogXになると言うことがなんかピンとこないのですが、なぜこれがそうなるか説明してもらえないでしょうか。お願いします


18454．Re: log
名前：ひで    日付：11月27日(土) 21時24分
あくまで高校の教科書に載っている内容で説明させていただきます。
●logtを微分すると1/tになることは理解されていますでしょうか？
要は微分の反対が積分なのだから、1/tを積分すると元に戻る（logtになる）ということです。
●∫dt/tという表記の仕方は、すなわち∫(1/t/)dt/と同じであることは理解されていますでしょうか？
●log1＝0になることは理解されていますでしょうか？
以上のことから
　　∫1Xdt/t
　　　＝[logt]1X
　　　＝logX－log1＝logX
となります。

18457．Re: log
名前：みな(大学一回)    日付：11月27日(土) 22時21分
それはわかるのですが、なぜlogXを微分すると、１/Xになるのでしょうか

18463．Re: log
名前：H2O    日付：11月28日(日) 0時59分
数学IIの教科書（微分の単元）を確認して下さい。乗っていると思います。
捨ててしまったなどとは言わないように。

18464．Re: log
名前：H2O    日付：11月28日(日) 1時8分
またまた失礼しました。
数IIではなく，数IIIでした。(それも「乗っている」ではなく「載っている」)･･･････(あ～ぁ(~_~;)
でも，高校の教科書(中学校も)は捨てずにとっておくのが賢明です。
中高の数学は大学の数学では知っているものとして扱っているので。
(これは数学だけではなく，他の科目も同様と思いますが)

18468．Re: log
名前：arc    日付：11月28日(日) 3時22分
http://tau.doshisha.ac.jp/~kon/lectures/2002.calculus-I/html.dir/node42.html
対数関数の微分。

18450．微分法・積分法  
名前：あいこ(高2)    日付：11月27日(土) 16時34分
次の三次方程式の異なる実数解の個数を求めよ。
x^3-8x^2+46x-60=0

という問題なんですが、この式をｙ＝x^3-8x^2+46x-60とおいて、変形すると、ｙ＝3(x-8/3)^2+ 74/3 >0
となります。ｙは単調に増加します。ここから、解答には、
　x=0のとき　y=-60<0
x=2のとき y=8>0
よってこの関数のグラフとx軸の共有点の個数は１個
ゆえに方程式の異なる実数解の個数は１個

となっていました。
x=0のとき　y=-60<0
x=2のとき y=8>0
とありますが、なぜx=2,0を用いるのでしょうか。
もし宜しければ御指導宜しくお願いいたします。


18451．Re: 微分法・積分法
名前：花パジャ    日付：11月27日(土) 16時45分
x=0でのyの符号はすぐわかり、x=1,x=2と計算しやすい整数で増やしてたら、x=2で符号が変ったので、0と2とを選んだ、といったところかと。
x=0でのyの値が正だったりすれば、x=-1,x=-2と減らすことでしょう

18452．Re: 微分法・積分法
名前：あいこ(高2)    日付：11月27日(土) 17時57分
花パジャさん、御指導有難うございました。

単調増加・減少の場合、ｘ軸との交点が一つだけなので、ｙ＞０となるｘ座標と、ｙ＜０となるｘ座標をどれでも一つずつ示せばいいんですね。しかし、やみくもに探すのではなく、花パジャさんが御説明されたように探すとより効率的なんですね。よく分かりました。

18447．log  
名前：TEA    日付：11月27日(土) 13時38分
log2 2√2

の解き方を教えてください。

log2 4ならわかるのですが、混乱してしまいます●　　高2


18449．Re: log
名前：えいぶ    日付：11月27日(土) 15時47分
2を何乗すれば2√2になるでしょう？
ただし2^(1/2)=√2です．

18466．Re: log
名前：H2O    日付：11月28日(日) 1時45分
　A=BC　⇔　C=logBA
ということを理解して(といより知って)いますか？
また，
　√A=A1/2
ということを理解して(といより知って)いますか？

　これらは高校の数学IIの範囲です。
　もし，理科していないのであれば，教科書や参考書を再読することをお勧めします。

18467．Re: log
名前：H2O    日付：11月28日(日) 1時46分
失礼，「理科」ではなく「理解」ですね(~_~;)

18479．Re: log
名前：TEA    日付：11月28日(日) 12時24分
ありがとうございます。
もう1度基礎から勉強しなおします。

18445．ε－δ法について  
名前：KH    日付：11月27日(土) 11時51分
いつもお世話になっております。微積の勉強をしていて、
無限に近づくという部分について、正式にはε－δ法を使う
とありました。そこで、このε－δ法を調べてみたところ、
法となっているので、テクニックかと思いましたら、定義ではないかと
思い始めました。これは、無限に近づくときの正式な定義と考えて、
よいのでしょうか。教えて下さい。


18446．Re: ε－δ法について
名前：c.e.s.    日付：11月27日(土) 12時28分
ここが分かりやすい。
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%A4%E3%83%97%E3%82%B7%E3%83%AD%E3%83%B3-%E3%83%87%E3%83%AB%E3%82%BF%E8%AB%96%E6%B3%95

18433．この場合  
名前：すすか（中２）    日付：11月25日(木) 21時38分
グラフが次のような直線になる１次関数がある。yをxの式で表しなさい

（１）２点（０，２）.（２，４）を通る直線である。

（２）２点（-３,１０）.（３,-２）を通る直線である。

（３）２点（-２,-２）.（２,０）を通る直線である。

（１）だけ解けないんですけど教えてください
ちなみに私がといてみると（２）、（３）の答えは
（２）がy＝-２x+４　　（３）がy＝２x+２
になりました。


18435．Re: この場合
名前：TAIC（大学院生）    日付：11月25日(木) 22時46分
(1) (0.2)を通るからy=ax+2 (2.4)を通るから　4=2a+2 a=1 y=x+2
(2)はあってるけど(3)は間違えてないかい？

18436．Re: この場合
名前：アカギ    日付：11月25日(木) 22時50分
一次関数の一般形である「ｙ＝ａｘ＋ｂ」のｘとｙに座標を代入です。
（１）の場合は
２＝ａ×０＋ｂ　…①
４＝ａ×２＋ｂ　…②
となります。
ここで①と②を連立方程式とみて解くと
ａ＝１　ｂ＝２　なので
∴　ｙ＝ｘ＋２

（２）はその通り
（３）は違うかと
やり方はいずれも（１）と同じ方法で解けます。
もう少しエレガントな解法もありますが、中学校で一番最初に習う方法はこれだったと記憶しています(^^ゞ

18437．Re: この場合
名前：すすか（中２）    日付：11月25日(木) 22時59分
同じようにやりましたが
同じこたえになってしまいますが。。。

18438．Re: この場合
名前：アカギ    日付：11月25日(木) 23時34分
そうですか？（３）の話ですよね？
ｙ＝２ｘ＋２は（２，０）を通りませんよ～

18439．Re: この場合
名前：AxlRose    日付：11月25日(木) 23時46分
こんばんは。

（３）はもしかして２点（-２,-２），（０,２）を通る直線である。

として計算してしまってませんか？

質問文の通りだと、（３）はもしかして２点（-２,-２），（２,０）を通る直線である。

として計算しないとダメですよ。
http://fairytale.holy.jp

18443．Re: この場合
名前：すすか（中２）    日付：11月26日(金) 21時26分
あ～そうです。間違えてました。
解けました。ありがとうございました。。。

18428．よい問題がないですか？  
名前：教員志望（大学生）    日付：11月25日(木) 16時14分
背理法に関して何か良い問題はないでしょうか？
どうも√2が無理数であることの証明など有理数，無理数関係しか思い当たりません．特に高１の段階での話ですので，高１に背理法の有用性がわかるような問題ないでしょうか？


18429．Re: よい問題がないですか？
名前：らすかる    日付：11月25日(木) 17時2分
素数が無限にあることの証明なんかどうでしょう。
http://www10.plala.or.jp/rascalhp

18430．Re: よい問題がないですか？
名前：ひで    日付：11月25日(木) 18時58分
有用性があるかどうかはともかくとして
「x＋y＝2ならば、x≦1またはy≦1であることを証明せよ」
というのはいかがでしょう？

18432．Re: よい問題がないですか？
名前：シュテヘル（高１）    日付：11月25日(木) 20時21分
a,bを０でない決まった整数とし、ax＋bx(x,yは整数）の形の数全体の集合をＭとする.
Ｍに属する最小の正の整数をdとするとき、Ｍの要素はすべてdで割り切れることを示せ.

こういうのは、背理法とはいえないのだろうか。

18441．Re: よい問題がないですか？
名前：教員志望（大学生）    日付：11月26日(金) 9時25分
いろいろありがとうございます．
私が教えているクラスはあまり賢くないですが，僕が思っている以上に生徒は考える力を持っているということに最近気付きました．授業に取り入れさせていただきたいと思います．

18414．展開図の数  
名前：やきいも(23)    日付：11月24日(水) 19時34分
初めまして。
23歳社会人男性です。

三角柱の展開図は何通りありますか？
底辺は二等辺三角形です。

教えてください。


18415．Re: 展開図の数
名前：我疑う故に存在する我    日付：11月24日(水) 20時48分
二等辺三角形の特別な場合として三等辺三角形がありますが、
その場合は答えが出ましたか?

18417．三等辺三角形
名前：やきいも    日付：11月24日(水) 22時19分
我疑う故に存在する我さん＞
返信ありがとうございます。
その場合もわかっていません。
あわせて教えていただけるとうれしいです。

18425．Re: 展開図の数
名前：我疑う故に存在する我    日付：11月25日(木) 14時23分
例えば立方体の展開図なら、
http://www004.upp.so-net.ne.jp/s_honma/spread/spread.htm
にあるように数え上げてみてはいかがですか？

18440．Re: 展開図の数
名前：らすかる    日付：11月26日(金) 5時11分
まず、二等辺三角柱の各面に記号を付けておきます。
２底面をＢ、同じ面積の２側面をＷ、残りの側面をＮとします。

二等辺三角柱の展開図は以下の３通りに分類出来ます。
(1) ある面と接している面が４つ
(2) ある面と接している面が３つ
(3) (1)(2)以外
※(1)かつ(2)はあり得ません。

(1)の場合、面の繋がり方は
　ｂ
ｃａｅ
　ｄ
のようになり、これをａ－ｂｃｄｅと表すと、展開図のパターンは
Ｗ－ＢＷＢＮ と Ｎ－ＢＷＢＷ の２通りとなります。

(2)の場合、面の繋がり方は
ａ
ｂｄｅ
ｃ
のように表すことが出来て、これを(ａｂｃ)ｄｅと表すことに
すると、展開図のパターンは
(ＢＷＷ)ＮＢ　(ＢＷＷ)ＢＮ　(ＢＷＮ)ＷＢ　(ＢＷＮ)ＢＷ
(ＢＷＢ)ＷＮ　(ＢＷＢ)ＮＷ　(ＢＮＷ)ＷＢ　(ＢＮＷ)ＢＷ
(ＢＮＢ)ＷＷ　(ＷＢＮ)ＷＢ　(ＷＢＷ)ＮＢ
の11通りとなります。

(3)の場合、面の繋がり方は
ａｂｃｄｅ
のように直線的に表すことが出来て、この場合のパターンは
ＢＷＷＮＢ　ＢＷＷＢＮ　ＢＷＮＢＷ　ＢＷＮＷＢ　ＢＷＢＷＮ
ＢＷＢＮＷ　ＢＮＷＢＷ　ＢＮＢＷＷ　ＷＢＷＢＮ　ＷＢＮＢＷ
の10通りとなります。

従って、展開図は全部で23通りです。
※対称形は全て削除しています。
http://www10.plala.or.jp/rascalhp

18442．Re: 展開図の数
名前：やきいも(23)    日付：11月26日(金) 15時47分
我疑う故に存在する我さん、らすかるさんありがとうございました。
おかげさまで解決いたしました。
ただ、他の図形などで自分がすると、どうしても抜けがありそうで心配です。
何か計算で求める方法などはあるのでしょうか？

18448．Re: 展開図の数
名前：我疑う故に存在する我    日付：11月27日(土) 14時0分
グラフを考えると良いと思います。
多面体の頂点をグラフの頂点、辺をグラフの辺、として、
極大樹木を考える。

18411．チェバ・メネラウスの定理について  
名前：竜馬中３    日付：11月24日(水) 17時38分
チェバ・メネラウスの定理についてなのですが
どうしてそれが成り立つのか（定理の証明）いまいちよくわかりません
よろしくおねがいします


18412．Re: チェバ・メネラウスの定理について
名前：ヨッシー    日付：11月24日(水) 17時48分
私のページの「覚え書きコーナー」の「定理の覚え書き」は
ご覧いただけましたか？
　
http://yosshy.sansu.org/

18413．Re: チェバ・メネラウスの定理について
名前：竜馬中３    日付：11月24日(水) 18時31分
ええと、何故かけるのかがわからなかったのですが
さきほど理解しました
お忙しい所どうもありがとうございました。

18402．三角形  
名前：たけし高3    日付：11月24日(水) 1時5分
三角形のそれぞれの辺の中点と頂点を結んだ３つの線のうちの2つが
同じ長さなら2等辺三角形であることを証明したいのですが、わかり
ません。
よろしくお願いします。


18403．Re: 三角形
名前：toto    日付：11月24日(水) 2時15分
こんな感じでどうでしょう。
　三角形ABCで、
※ベクトルの記号は省きます。以下すべてベクトルです。
　AB＝b、AC＝c　とすると
　各中線は、(1/2)b＋(1/2)c、－b＋(1/2)c、(1/2)b－c　となり
　条件より、|－b＋(1/2)c|＝|(1/2)b－c|　
　両辺2乗して　|b|^2＋(1/4)|c|^2－b･c＝(1/4)|b|^2＋|c|^2－b･c
　まとめ整理して、|b|^2＝|c|^2
　よって、|b|＝|c|
※条件等の押さえをきちんとして、まとめてください。

18405．Re: 三角形
名前：ひで    日付：11月24日(水) 11時33分
△ABCにおいて辺BC，CA，ABの中点をそれぞれL，M，Nとする。
中点連結定理より
　　LM＝(1/2)AB
　　MN＝(1/2)BC　　　…※
　　NL＝(1/2)CA
題意から3線分LM，MN，NLのうちの2つは同じ長さである。よって※から辺AB，BC，CAのうちの2辺は同じ長さになるので△ABCは二等辺三角形である。

…と考えたんですが。。。問題ありますか？

18406．Re: 三角形
名前：ヨッシー    日付：11月24日(水) 12時55分
それは、「中点と中点を結んだ線」ですね。
　
http://yosshy.sansu.org/

18408．Re: 三角形
名前：ひで    日付：11月24日(水) 13時14分
あ、問題を読み間違えましたm(_ _)m
しっかり問題文を読まないといけないですね(^^;)

18410．Re: 三角形
名前：花パジャ    日付：11月24日(水) 16時17分
等しい2線において、交点は重心で、いずれの線においても
重心と頂点との距離:重心と辺の中点との距離=2:1
であることを使って2辺挟角

18419．Re: 三角形
名前：たけし高3    日付：11月24日(水) 22時57分
ありがとうございました。
とても参考になりました。

18394．さいころ２個  
名前：松崎あや（中１）    日付：11月23日(火) 21時3分
お伺いします。

Ａ、Ｂがさいころを２個づつ投げ、出た目の和によって勝負する。
１．引き分ける確率と、Ａが勝つ確率は幾つか？
２．あらかじめＡに１点、２点というようにハンディを与えておくとき、Ａが勝つ確率はどのように変化するか？

という問題が、わかりません。
どのように考えを進めたらよいのでしょうか。


18398．Re: さいころ２個
名前：ヨッシー    日付：11月23日(火) 23時32分
Ａ，Ｂともに、
2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12 の目が 1,2,3,4,5,6,5,4,3,2,1 通り出ます。
差が10で勝つ場合＝差が10で負ける場合：12と2 が １×１＝１　通り
差が９で勝つ場合＝差が９で負ける場合：12と3 が １×２＝２　通り、11と2 が ２×１＝２　通り、計４通り
差が８で勝つ場合＝差が８で負ける場合：３＋４＋３＝１０　通り
・・・・のようにまとめておくと、２．以降で便利でしょう。
　
http://www.geocities.jp/dainembutsu/

18393．体積  
名前：あぁ…    日付：11月23日(火) 20時56分
立体　x^(2/3)+y^(2/3)+z^(2/3)≦a^(2/3) (0<aは定数)　
の体積を求めよ。

この問題を教えてください。
できれば、どのような概形になるのか教えてください。
よろしくお願いします。


18396．Re: 体積
名前：豆    日付：11月23日(火) 21時22分
計算はしていませんが、z=0(xy平面)ではx^(2/3)+y^(2/3)≦a^(2/3)
となります。まずこの形と面積がどうなるのかあたりから当たりをつけたら
どうでしょう。対称形ですから、第一象限のみ考えれば面積は出せそう。
x=(acosθ)^3、y=(asinθ)^3の置換かな？

それができれば、x,y.zの対称形だから概形は想像できませんか？

18404．Re: 体積
名前：豆    日付：11月24日(水) 10時56分
＞x=(acosθ)^3、y=(asinθ)^3の置換かな？
間違いです．明らかに次元があいませんよね．
→x=a(cosθ)^3、y=a(sinθ)^3の置換

18407．Re: 体積
名前：花パジャ    日付：11月24日(水) 13時1分
x=rsin^3φcos^3θ
y=rsin^3φsin^3θ
z=rcos^3φ
と置くとヤコビアンJが
J=9r^2sin^5φcos^2φsin^2θcos^2θ
で、件の領域はr≦aなので
体積Vは
V=9∫(0,a)r^2dr∫(0,π)sin^5φcos^2φdφ∫(0,2π)sin^2θcos^2θdθ
=3a^3*(1/4)*(π/2)
=3πa^3/8

18409．Re: 体積
名前：豆    日付：11月24日(水) 14時38分
花バジャさん，どうもです．
質問者の学年がないのですが，立体の概形も分からないという事でしたので，重積分は使わない高校生向けにと思っていました．
それにしても私の書き方も中途半端というか，間違いというか，z=zでの面積をS(z)とさせ，zで積分させるために，先ずはz=0での面積と概形というつもりでした．
それならそれで，置き換えはx=a（sinθ）^3だけでよかったのですが，余計なことを書いてしまったようで．
いずれにしても質問者のレス待ちですね．
それにしてもアステロイドの面積が3πa^2/8？なので係数は同じになるのですね．

18421．Re: 体積
名前：あぁ…    日付：11月25日(木) 0時32分
花バジャさん、豆さんありがとうございます。
概形はわかりました！
xy平面の面積もなんとか求めることができました。
でも体積の求め方がまだわかりません。

重積分はまだ習っていないので、使わないで求める方法を教えてください。

18424．Re: 体積
名前：花パジャ    日付：11月25日(木) 13時57分
zを定数のように考えて
　x^(2/3)+y^(2/3)≦a^(2/3)+z^(2/3)
の面積を求め、zに関して積分すればいいです


...計算したら、先に求めたのと係数が一致しない...どちらかで計算間違いしている T_T

18427．Re: 体積
名前：花パジャ    日付：11月25日(木) 15時5分
∫sin^nθdθ等の計算を間違えていた ^^;
体積は 4πa^3/35 かと思います
(両方の計算法で一致しました)

18431．Re: 体積
名前：豆    日付：11月25日(木) 19時51分
計算は花バジャさんに任せた手抜きですみませんでした。

紙風船というのがあって、ついて行くうちに凹んでくるので、途中で息を吹き込み復元したものですが、もし、正八面体の紙風船があったら、求める概形に似た形になるのでしょうか？（紙が伸びてもらう必要がありますがイメージ的に）
なお、z=0のxy平面に現れる正方形の辺をへこませた形は上で書いたようにアステロイドと言います。
壁にぴたっと立て掛けた棒の下を滑らせたときに、棒の軌跡がこの形になります。興味があれば、アステロイドや包絡線というので調べると面白いかもしれません。

18388．加法定理の応用問題  
名前：花    日付：11月23日(火) 19時48分
sinπ/12の値を求めよ。
この問題を教えてください。


18391．Re: 加法定理の応用問題
名前：芯    日付：11月23日(火) 20時30分
倍角公式より、
Cosπ/6＝1-２（Sinπ/12）＾2

なので、Sinπ/12>0に注意して、

Sinπ/12＝(1-Cosπ/6)/2)^(1/2)

18395．Re: 加法定理の応用問題
名前：ヨッシー    日付：11月23日(火) 21時19分
加法定理と書いてあるので、（倍角公式も加法定理の延長ではありますが）
　sin(45°－30°)
とさせたいのではないでしょうか？

まぁ、自分にとって、先に思いついた方が、いい方法ですが。
　
http://www.geocities.jp/dainembutsu/

18386．(untitled)  
名前：imachan    日付：11月23日(火) 17時58分
すみません、問題を書き間違えました。
正確には、以下の通りです。
ａ(1)＝1

ａ(n+1)= ｛a(n)+7｝／｛a(n)-5｝

（ここでは、表記上数列の第i項を　ａ(i)と書いています。）

宜しくお願いします。（ちなみに、高2です。）


18387．Re: (untitled)
名前：忍    日付：11月23日(火) 19時45分
両辺に1を加えて、逆数をとってみると...

18390．Re: (untitled)
名前：imachan    日付：11月23日(火) 20時20分
忍さんありがとうございます。
両辺に1を加えて、逆数をとってみると...

1／（ａ(n+1))=(a(n)-5)/(2a(n)+2)

となると思うのですが、ここからどうすればよいのですか？

18392．Re: (untitled)
名前：忍    日付：11月23日(火) 20時42分
b(n)=1/(a(n)+1) とおけば 2b(n+1)=1-6b(n)
あとはよかろう。

18397．Re: (untitled)
名前：xxx    日付：11月23日(火) 21時48分
特性方程式を解くと、α=-1,7となります。

{a(n+1)-7}/{a(n+1)+1}=...=(-3){a(n)-7}/{a(n)+1}

という、解法もありますよ。

18380．お願いします（社会人）  
名前：Photon    日付：11月23日(火) 15時28分
問題の解く過程の意味が解かりませんでした。宜しくお願いします。
ある人が３０日で終らせる仕事があります。またある人は２０で
終らせることができます。二人でやったら何日かかるでしょうか。
という問題でしたが、1/30 +1/20 =１/x とやって出すとききました。
この数式がなぜ、この問題の解答を算出する式になるのでしょうか？
宜しくお願いします。　


18381．Re: お願いします（社会人）
名前：Bｏｂ    日付：11月23日(火) 16時26分
「１」という仕事があるとする。（←ここが大事）
１という仕事を３０日で終わらす。
１日あたりの仕事は１／３０
同様にもう一人の人は１／２０
二人が協力すると１／３０　＋１／２０　だけ１日でできる。

１という仕事をやるにはｘ日かかるとすると
１＝ｘ×（１／３０　＋１／２０　）
変形して1/30 +1/20 =１/x

18384．Re: お願いします（社会人）
名前：ひで    日付：11月23日(火) 17時32分
私が塾で教えていた時は、「ある人たちがいてな。その人は１つのケーキを食べることが仕事やねん。」とか言ってました(^^;)

18389．ありがとうございました
名前：Photon    日付：11月23日(火) 19時52分
よく理解できました。
スッキリしました。この問題が解からずボーっと一人で
考えていました。
また、解からないことがありましたら来ます。
どうか宜しくお願いします。
ありがとうございました。

18379．組合せ  
名前：あき（高一）    日付：11月23日(火) 15時6分
どなたか教えて下さいっ！！

問．８人の生徒を、次のような組に分ける方法は何通りあるか。
（１）４人ずつＡ，Ｂの２組
（２）４人ずつ２組
（３）３人、３人、２人の組

授業を聞いてても、（１）と（２）の違いがよくわからなかったので、
詳しく教えてもらえると嬉しいです。


18383．Re: 組合せ
名前：AxlRose    日付：11月23日(火) 16時59分
こんにちは。

８人の名前をa,b,c,…,h、Aを成績のいいクラス、
Bを成績がAより劣るクラスとして(1)と(2)の違いを説明します。

(1)のパターンではA：a,b,c,d B:e,f,g,h と分けるのと、
A：e,f,g,h B：a,b,c,d と分けるのでは全く意味が異なります。

前者は a,b,c,d が成績優秀とされてるのに対して、
後者は e,f,g,h が成績優秀とされてますからね。

でも(2)のパターンではこの両者は全く同じです。

(2)では一方のグループが成績優秀だとか名前がAだとか、
そういったグループ間の区別が全くなく、
あくまでただ２つのグループに分けるということですから。

したがって、前者も後者もただ一方のグループが a,b,c,d で、
もう一方のグループが e,f,g,h となっている点で同じなわけです。

さて、(1)の組み合わせについて見ていきましょう。
まず A を８人から４人選ぶので 8C4。
次に B を（残りの）４人から４人選ぶので 4C4。
この両者をかけあわせてあげればOKです。

(2)は(1)の結果をもとに計算します。
先に述べたように(2)ではグループ間の区別がないので、
A と B のグループを入れ換えても全く同じです。

したがって、(1)の結果を 2! で割ってあげればいいですね。

(3)はまずグループに区別がある、すなわち A：３人、
B：３人、C：２人に分けるとして考えましょう。

すると、(1)と同じように、8C3*5C3*2C2 となります。

しかし、グループ間に区別がないのでその分を
(2)のように割ってあげないといけません。

Cグループに関しては A,B と人数が違うので、
グループの入れ換えのようなことはできませんが、
A,B に関しては(2)と同じように入れ換えをしても同じになります。

だから、これも(2)と同じようにグループに区別がある場合の
組み合わせの数である 8C3*5C3*2C2 を 2! で割ってあげればOKですね。

もしわかりにくいところがあれば聞いてください。

＃場合の数の問題っていつも微妙に答えに自信が持てないなぁ；
http://fairytale.holy.jp

18399．Re: 組合せ
名前：あき（高一）    日付：11月23日(火) 23時57分
ありがとうございますっ！！とっても分かりやすかったです(^O^)
授業が早過ぎてついていけてなかったものですから…（涙）
ほんとに助かりました♪♪

18374．簡単な証明ですが  
名前：みな    日付：11月23日(火) 9時25分
lim[x→0]sinx/x = 1の証明方法を教えてください


18375．Re: 簡単な証明ですが
名前：X    日付：11月23日(火) 9時58分
教科書の微分の項目を見れば、大抵扇形を利用した証明方法が書いてあると思います。

18377．Re: 簡単な証明ですが
名前：知也    日付：11月23日(火) 11時51分
ｘ（rad)の小さい扇形（半径ｒ）を考えるとするとｘが十分小さいとき
rsinx<rx<rtanx rsinxでそれぞれをわると　1<x/sinx<1/cosx 逆数取ると　cosx<sinx/x<1 ここでｘ→0のときcosx=1　からはさみうちによりsinx/x=1となる。

18370．複素数  
名前：さくら （社会人）    日付：11月22日(月) 23時54分
続けてすみませんが、お願いします。ＮＯ．１８１８３で解法を教えていただいて、答えを得ることができたのですが、これで合っているかどうか自信がありません。この答えで合っているのかどうかどうぞ教えてください。

複素数ｚ、αを表す点をそれぞれＰ，Ａとするとき、次の点は、どんな複素数で表されるか。
ＡをＰのまわりに９０°、ー９０°、４５°、ー６０°回転した点

求める点をγ、Ａ＝ｘ＋ｙi、Ｐ＝ｓ＋ｔiとする。
γ＝Ｐ＋（Ａ－Ｐ）（cosθ＋isinθ）に代入して、
９０°回転した時
γ＝ｓ＋ｔi＋｛（ｘ＋ｙi）ー（ｓ＋ｔi）｝（cos９０°＋isin９０°）
　＝（ｓ＋ｔ－ｙ）＋（－ｓ＋ｔ＋ｘ）i
ー９０°回転した時、同様にして
γ＝（ｓーｔ＋ｙ）＋（ｓ＋ｔーｘ）i
４５°回転した時、同様にして
γ＝｛（√２ー１）ｓ＋ｔ＋ｘーｙ｝/√２＋｛ーｓ＋（√２ー１）ｔ＋ｘ＋ｙ｝/√２・i
ー６０°回転した時、同様にして
γ＝（ｓ－√３ｔ＋ｘ＋√３ｙ）/２＋（√３ｓ＋ｔー√３ｘ＋ｙ）/２・i

よろしくお願いします。


18373．Re: 複素数
名前：のぼりん    日付：11月23日(火) 9時10分
内容的には良い様に思います。ただ、回答するとなると、「求める点を…」以下では A→α、P→z と書き換えた方が無難でしょう。問題文を読むと、A、P は点であって、演算の対象は α、z の方だからです。

蛇足ながら、最初に
　　γ=z+(α–z)(cosθ+isinθ)=(s+ti)+{(x+yi)–(s+ti)}(cosθ+isinθ)
　　={(1–cosθ)s+t･sinθ+x･cosθ–y･sinθ}+{–s･sinθ+(1–cosθ)t+x･sinθ+y･cosθ}i
と変形しておいた方が、後の計算が簡単そうです。

18401．Re: 複素数
名前：さくら （社会人）    日付：11月24日(水) 0時25分
のぼりんさま、あたたかいアドバイスをありがとうございます。
おかげさまで、よく分かりました。
これは、試験の過去問題なのですが、不安が一問解消されて、ちょっと軽く、試験会場に向かうことができます。

18368．整域  
名前：さくら （社会人）    日付：11月22日(月) 23時16分
先日、変換ミスのため、皆様に大変ご迷惑をおかけしたさくらです。今日は、集中してパソコンに向かっています。これからも、どうぞよろしくお願いいたします。

どうぞ、私の答えがあっているかどうか、教えてください。
ａ+ｂ・５＾１／３（a、ｂは、整数）の全体は、整域であるかどうか、理由を明記して判定せよ。
（ａ+ｂ・５＾１／３）（ｃ+ｄ・５＾１／３）＝aｃ＋（ad+bc+bd・５^1/3)5^1/3となり、ad+bc+bd・5^1/3は、整数ではないので、整域ではない。


18372．Re: 整域
名前：のぼりん    日付：11月23日(火) 8時38分
さくらさん、おはようございます。前後の脈絡を把握していないので、ご質問の趣旨とはずれているかも知れません。頓珍漢だったらご容赦下さい。

もしこの論法が成り立つとします。すると、
a+b・51/2 （a、b は、整数）の全体は、整域であるかどうか、理由を明記して判定せよ。
(a+b・51/2)(a+b・51/2)=ac+(ad+bc+bd･51/2)51/2となり、ad+bc+bd・51/2は、整数ではないので、整域ではない。
との回答が成り立ち得ることとなります。

しかし実際は、右辺はさらに変形でき、ac+(ad+bc+bd･51/2)51/2=(ac+5bd)+(ad+bc)51/2 となるので、51/2 の場合は、実は整域になります。51/3 の場合も同様に、ac+(ad+bc+bd･51/3)51/3 がこれ以上変形できないこと、つまり、1, 51/3, 52/3 が一次独立であることを言わないと、示したことにならない様に思われます。

18400．Re: 整域
名前：さくら （社会人）    日付：11月24日(水) 0時15分
のぼりんさま、ありがとうございます。
頓珍漢なのは、私です。一次独立であることがなかなか言えないので、整域であるということにして、理由を考えてみました。
どうぞ見てください。

(1)a+ｂ・５＾１／３の形の２つの数の和、積はやはりこの形である。
（ａ+ｂ・５＾１／３）＋（ｃ+ｄ・５＾１／３）＝（a+c)+(b+d)5^1/3
（ａ+ｂ・５＾１／３）（ｃ+ｄ・５＾１／３）＝(aｃ)＋（ad+bc+bd・５^1/3)5^1/3
(2)演算の基本法則を満たすことは、a,b,c,d等が整数であることから明らかである。
(3)恒等元は０＝０＋０・５＾１／３，単位元は１＝１＋０・５＾１／３
(4)方程式（a+ｂ・５＾１／３）＋ｘ＝０の解は、ｘ＝ーaーｂ・５＾１／３
(5)消約律は、同値な条件である零因子が存在しないことから成り立つ。
よって、（１）～（５）により、整域である。

よろしくお願いいたします。

18416．Re: 整域
名前：のぼりん    日付：11月24日(水) 21時3分
＞（ａ+ｂ・５＾１／３）（ｃ+ｄ・５＾１／３）＝(aｃ)＋（ad+bc+bd・５^1/3)5^1/3
この式自体は正しいのですが、ad+bc+bd･51/3∈Z とならないと、題意の集合 A:={a+b･51/3|a,b∈Z} が積に関して閉じていることが言えません。しかし、bd≠0 ⇒ ad+bc+bd･51/3ﾏZ ですよね。

A が閉じていると仮定します。51/3∈A ですから、51/3･51/3=52/3∈A です。よって、52/3=a+b51/3 … ① を満たすa, b∈Z が存在します。両辺に 51/3 を掛けると、5=a51/3+b52/3 … ② が得られます。①を②に代入すると、5=a51/3+b(a+b51/3)=ab+(a+b2)51/3 つまり 51/3=(5–ab)/(a+b2) です。左辺は無理数、右辺は有理数なので矛盾です。よって、A は積に関して閉じていません。従って、A は環でないので、整域ではありません。

18422．Re: 整域
名前：さくら （社会人）    日付：11月25日(木) 1時51分
丁寧で詳しい証明をどうもありがとうございました。
おかげさまで、よく理解することができました。
整域でないことについて、もっとつきつめて考えることが必要だったのに、かなり力不足のため、安易に整域であるということにしてしまった自分を反省しました。本当に、お世話様になり、ありがとうございました。

18365．図形と方程式　高1  
名前：moe    日付：11月22日(月) 21時16分
点A（１，９）と点B（７，１）に対し、線分ABを直径とする円の方程式を求めよ。
また、この円の中心を通り、直線ABに直交する直線の方程式を求めよ。

という問題おしえてください。
よろしくおねがいします。


18366．Re: 図形と方程式　高1
名前：教員志望（大学生）    日付：11月22日(月) 22時22分
中心は点Aと点Bの中点ですね．
あと半径は中心から点Aまたは点Bへの距離ですね．
中心と半径がわかれば円の方程式はもう十分ですね．
また直交する２つの直線の傾きの積は－１ですし，中心を通るわけですから，傾きと通る点がわかるので直線の方程式を求めるには十分ですね．
高１でどこまで習っているのかわかりませんが頑張ってくださいね☆

18367．Re: 図形と方程式　高1
名前：arc    日付：11月22日(月) 23時12分
A(1,9)、B(7,1)の中点Mの座標は、( (1+7)/2 , (9+1)/2 )=(4,5)
線分ABの長さ2r=√{(7-1)²+(1-9)²}=10 故に半径r=5
中心(4,5)、半径5の円の方程式は、【(x-4)²+(y-5)²=25】
直線ABの方程式は、y-9=m(x-1) , m=-8/6=-4/3
よって、y-9=(-4/3)(x-1) , y-9=(-4/3)x+(4/3) , y=(-4/3)x+(31/3)
この直線に垂直なので、m=3/4 , 5=(3/4)*4+(k)を満たすkが傾きとなる。
よってk=2となるので、求める直線の式は、【y=(3/4)x+2】

18376．Re: 図形と方程式　高1
名前：ソラ　高1    日付：11月23日(火) 11時50分
5=(3/4)*4+(k)の
＊のマークってどういう意味なんでしょうか・・・すみませんがおしえてください<m(__)m>

18378．Re: 図形と方程式　高1
名前：知也    日付：11月23日(火) 13時2分
×（かける）の意味です

18420．Re: 図形と方程式　高1
名前：moe 高1    日付：11月24日(水) 22時59分
ありがとうございました。

18363．数３の積分の問題なのですが....  
名前：初夏    日付：11月22日(月) 17時26分
ｘｙｚ空間内に２点ｐ（cosｘ,sinｘ、0） Q（sinｘ、cosｘ、x） がある。ｘが０≦ｘ≦２πを動く時ΔOPQの通過する部分の体積を求めよ。ただしOは原点とする。という問題 なのですがだれか宜しくお願いします。


18423．Re: 数３の積分の問題なのですが....
名前：ヨッシー    日付：11月25日(木) 9時10分
えーと。
放ってあるわけではありません。
手が付かないのです。
　
http://yosshy.sansu.org/

18475．Re: 数３の積分の問題なのですが....
名前：初夏    日付：11月28日(日) 10時58分
すいません。しかも返信遅れて...
お願いします

18356．(untitled)  
名前： 運動方程式    日付：11月22日(月) 1時26分
ちょっと数学から離れてて申し訳ありません。
今、高２で物理は初学の状態なのでどうぞお手柔らかに・・・。
運動方程式m(dv/dt)=Fの両辺をtで不定積分すると
∫m(dv/dt)dt=∫Fdtとなって右辺がmvになり。∫Fdt=mv+Cとなりますよね？これを区間【0～t】で定積分と考え直して∫F(t)dt=mvとなりますよね？ここで疑問に感じたのですが、∫F(t)dtって時刻tまでの運動エネルギーを表しますよね？だったら右辺のmvって(1/2)mv^2であるべき
だと思ったのですが、どこが間違ってるのでしょうか？面倒なことで大変恐縮ですがどなたか時間があればお教え下さいm)--)微積の知識は
数Ⅲと成分くらいの知識しかありません。どうぞよろしくお願いします。


18357．Re: (untitled)
名前：トマト    日付：11月22日(月) 1時39分
∫F(t)dtは力積だよ

18359．Re: (untitled)
名前：豆    日付：11月22日(月) 10時27分
勘違いしているのは，次のこととの混同です．
m(dv/dt)=F　を　時間じゃなくて，変位のxで積分すると，
左辺=∫m(dv/dt)dx=m∫(dx/dt)dv=m∫vdv=(1/2)mv^2の差
右辺=∫Fdx　運動エネルギの差をもたらしたその間の仕事

18364．Re: (untitled)
名前： 運動方程式    日付：11月22日(月) 17時51分
あ、エネルギーを誤解してました。
ありがとうございますm)--),,,

18344．順列  
名前：ソラ　高1    日付：11月21日(日) 18時14分
0,1,2,3,4,5の６つの数字を全部使ってできる６桁の整数は何個あるか。
また、そのうち５の倍数は何個在るかという問題がわかりません。

６桁の整数は何個在るかという式は
５×５！＝６００
と考えたのですが自信がありません。


18345．Re: 順列
名前：ＫＧ    日付：11月21日(日) 18時32分
それで正解です．問題ありません．

18346．Re: 順列
名前：ソラ　高1    日付：11月21日(日) 18時38分
５の倍数はどうすればよいのでしょうか・・・

18347．Re: 順列
名前：ＫＧ    日付：11月21日(日) 19時15分
場合分けをします．
　(Ａ)一の位が０
　(Ｂ)一の位が５(ただし，十万の位が０であってはいけない)

18348．Re: 順列
名前：ソラ　高1    日付：11月21日(日) 20時8分
すみませんが、場合わけをするときの
式をおしえていただけませんか？

18350．Re: 順列
名前：arc    日付：11月21日(日) 21時16分
■６桁の整数は何個あるか。
十万の位が0だと、６桁の整数にならないので、
十万の位は『1,2,3,4,5』から５通り。
一万の位は、十万の位の数字以外なので、『0,1,2,3,4,5』の6-1＝５通り。
千の位は、十万の位と一万の位の数字以外なので『0,1,2,3,4,5』の6-2＝４通り。
百の位、十の位も同様に、それぞれ３通り、２通り。
一の位は、今までの数字以外なので、『0,1,2,3,4,5』の使われていない１通り。

よって、５×５！＝６００通り。

■５の倍数は何個あるか。
一の位が0　----　１通り。
十の位が1,2,3,4,5　----　５通り。
百の位が十の位以外の1,2,3,4,5 ----　４通り。
千の位が十、百の位以外の1,2,3,4,5 ----　３通り。
一万の位が十、百、千の位以外の1,2,3,4,5 ----　２通り。
十万の位が、上記以外の１通り。
∴５！＝１２０通り。

一の位が5　----　１通り。
上記同様に５，４，３，２，１通り。より５！＝１２０通り。
しかし、十万の位が0の場合を除くので、この１２０通りから、一の位＝５、十万の位＝０の場合を引く。

一の位が5　----　１通り。
十万の位が0　----　１通り。
十、百、千、万の位が４！＝２４通り。
よって１２０－２４＝９６通り。

∴１２０＋９６＝２１６通り。

18352．Re: 順列
名前：ソラ　高1    日付：11月22日(月) 0時14分
とても詳しい解説をしていただきありがとうございました。
分かりやすかったです。

18342．重複試行の確立（高2）  
名前：鳥居    日付：11月21日(日) 16時52分
原点Ｏにある点Ｐは、硬貨を投げて表が出るとｘ軸の方向に＋1、
裏が出るとｙ軸の方向に＋1移動する。
硬貨を6回投げるとき、点Ｐが点（2,4）に到達する確立を求めよ。

↑という問題なのですが、これの解き方がよく分かりません；
解き方を教えてくださいお願いします；；


18343．Re: 重複試行の確立（高2）
名前：ＫＧ    日付：11月21日(日) 17時26分
硬貨を６回投げて，表が２回，裏が４回出る場合です．
タイトルに，重複試行の確『率』と書いてありますから，公式は知ってますね？

18354．Re: 重複試行の確率（高2）
名前：鳥居    日付：11月22日(月) 0時32分
公式は習ってます。
表が２回で裏が4回ということは、

Ｐ＝6Ｃ2（1/2)^2(1/2)^4
　＝15/64

という事になるのですか？

18358．Re: 重複試行の確立（高2）
名前：ＫＧ    日付：11月22日(月) 4時55分
はい．

18360．Re: 重複試行の確立（高2）
名前：鳥居    日付：11月22日(月) 10時39分
分かりました。ありがとうございましたｖ

18340．(untitled)  
名前：haru    日付：11月21日(日) 13時45分
天文学の本に、地球から見た太陽の自転周期は、360゜/(13°.39-2゜．7(sinφ)^2)=(26.89+5.4(sinφ)^2)日となっていましたが（ここでφは太陽緯度です）、どうしてこうなるのかさっぱりわかりません。わかりましたら教えてください。


18351．Re: (untitled)
名前：xxx    日付：11月21日(日) 22時0分
360/(13.39-2.7(SinX)^2)と、26.89+5.4(SinX)^2は等しくはありません。
しかし、両方とも２７～３２or３３あたりで変化する、近い値を持つ関数です。
実験式でしょう。


想像するに、黒点の移動角度を、各軽度ごとに計測すると、赤道では、一日あたり13.39度、高緯度では、ちょっと遅くなり、その減じ方は緯度φで、2.7(Sinφ)^2程少ないのでしょう。
これを直接的に使い、周期を求める式は？というと、左辺のような式が成り立ちますが、分母にSinφが来て、イメージし辛いため、ほぼ近い関数として、右辺が紹介されているのだと思います。

ちなみに、２００２年版の理科年表に、26.90+5.2Sinφ^2という式が載ってます。

18355．Re: (untitled)
名前：xxx    日付：11月22日(月) 1時19分
質問の意図は、式変形だったのかも知れませんね。
だとすると、次のようになります。

360/(13.39-2.7x^2)=360*(13.39-2.7x^2)^(-1)
=(360/13.39)*(1-2.7x^2/13.39)^(-1)
=(360/13.39)*(1+(2.7x^2/13.39)+(2.7x^2/13.39)^2+(2.7x^2/13.39)^3+...)
このうち、第一近似まで取ると、
与式≒(360/13.39)*(1+(2.7x^2/13.39))
360/13.39≒26.885...
360/13.39*2.7/13.39≒5.42132...
と右辺に現れている数字が出てきます。

なお、ここでは、－１＜x＜１のとき、
(1+x)^a = 1 + a x + a(a-1)x^2/2! + a(a-1)(a-2)x^3/3! + ...
を利用してます。特に、a=-1で、xの代わりに-xを入れた場合の式、
1/(1 - x)= 1 + x + x^2 + x^3 + x^4 +...
は、有名ですね。

18362．Re: (untitled)
名前：haru    日付：11月22日(月) 15時53分
xxxさん、ありがとうございました。

18337．三角形の面積  
名前：IGA(高１）    日付：11月21日(日) 9時37分
△ＡＢＣにおいて、Ａ＝６０°、b=3,c=5、角Ａの二等分線とＢＣの交点をＤとするとき、ＡＤの長さを求めよ。
解説だと面積についての方程式をたててＡＤを求めています。

私の考えは
余弦定理より
a^2=5^2+3^2-2*5*3*cosA
a=√19
ADは角Ａの二等分線なのでＢＤ：ＤＣ＝５：３
よってＢＤ＝5√１９／８
よって余弦定理により
cos30°={5^2+AD^2-(5√１９／８)^2}/2*5*AD
AD=25√3/8,15√3/8
この二つのうちどれかですが答えは15√3/8
です。
解説のやり方だと15√3/8しかでてきませんが、わたしの面倒くさいやり方だと二つでてきてしまいます。
この二つのうち15√3/8が正しいといいたいときにはどうすればいいでしょうか。
お願いします。


18339．Re: 三角形の面積
名前：ＫＧ    日付：11月21日(日) 12時53分
２５√３/８＞５＝ｃ により不適．

18336．本  
名前：アカギ    日付：11月21日(日) 3時37分
数学を真剣に勉強したいと思っています。
高校数学までは基本的には理解できていると思います。しかし、環、群、体などの勉強をする機会がなく、ここまできました。実数の連続性についても理解できません。どなたかこういったいわゆる数学の本質、難しい部分を、できるだけやさしく解説したような本をご存知ないでしょうか？よろしくお願いします☆(ﾉ∀`)お薦めの著書を紹介してください。


18341．Re: 本
名前：haru    日付：11月21日(日) 15時30分
図書館に行けばいろいろな本があると思うのですが、百科事典なんかはどうでしょうか。

18349．Re: 本
名前：アカギ    日付：11月21日(日) 21時14分
百科事典…ですか？手にとったこともない…一度みてみます。
他にも何かあれば、よければ教えてください。

18353．Re: 本
名前：ワットマン    日付：11月22日(月) 0時22分
　君がどのレベルまで希望しているのか不明なので、
今、思いつくままに書きますね。

　○実数の連続性・・『無限と連続』岩波新書　遠山啓　著
　　あとは、「解析学」「微分積分学」といった専門書で、
　　この項の説明を読み比べて、自分に合った本を買えば
　　いいでしょう。
　　　要は、「無限大」には２種類あるっていう話です。

　　　昔は高木貞治著の『解析概論』が定番だったので、古書で
　　たくさんあるかもしれません。数学者なら誰でも知ってる本
　　でしょうね。でも難解かも。


　○群、環、体・・代数学の基本だけど、専門書をただ読んでも
　　たぶん無味乾燥だから、「ガロア理論」を解説した本で、
　　読みやすい本を探してみて下さい。代数はここまでいけば、
　　面白いらしいです。

　○複素関数論・・これは「コーシーの積分定理」「同公式」から
　　派生する諸理論が美しい、一つの分野ですから、大学教養レベルで
　　数学の美が楽しめる分野でしょう。
　　これも「積分定理」あたりを読み比べて買って下さい。

　○初等幾何学をやり直す・・『わかる幾何学』秋山武太郎著。
　　『幾何への誘い』小平邦彦著　岩波現代文庫
　　今はあまり良い本がないので・・。あとは『モノグラフ』ぐらい。

　○専門の数学の「文法」・・位相空間論
　　私が持ってるのは『集合・位相入門』松坂和夫著　岩波書店
　　これは大学３年以上のレベルに行きたい人には、必須の内容です。

　以上、専門書に近い本を紹介しました。今は易しめの本がいっぱい出て
　いますが、ここに書いたのは「堅いセンベイ」みたいな本だと思います。
　しかし、全部は無理でしょうけど、こういった本を読み解く努力は
報われると思いますよ。

18361．Re: 本
名前：アカギ    日付：11月22日(月) 14時14分
＞わっとまんさん
ありがとうございます。ご丁寧に。
堅いせんべいですか…^^;がんばってみます。
易しい本いっぱい出ていますか？やさしすぎていい加減でよくわかんない本は目にするのですが…。あとは代数学の専門書、おっしゃるとおり無味乾燥でしたm(__)m
厳密でやさしい本…そんなもの自体ありえないというか、矛盾したものなのかなぁ…と最近は考えてしまいます。

18371．Re: 本
名前：ワットマン    日付：11月23日(火) 4時49分
　一応、私は高校生向けの教師なので、今の専門書コーナーを
あまり見ていませんから、少し昔の情報だと思って下さい。
　あと追加しておきますと、今はほとんど絶版の、梶原じょう二著
の「新修解析学」「新修線形代数」などはおもしろい本でした。
　今は線形代数しか売っていません。この方ももう鬼籍に入られた
かと記憶しています。
　独特の語りで、いろいろと余談がありつつも、楽しめる本でした。
古書店で探してみて下さい。A4ぐらいの大きめで、やや薄い本です。
　教員採用試験、大学院入試の問題を材料にして、大学教養レベルを
解説した本です。

　他には、いろいろと「読み物」と呼ばれる解説本がいろいろあります。
　いろいろあるので、ポイントを絞ってみませんか。たとえば、
ちょっと無茶かもしれないけど「イプシロンデルタ論法」に絞って
半年ほど考えてみるとか。これが分かったら、大したものですよ。

　または、「フェルマーの最終定理」の易しい解説本を読んでから、
「整数論」の専門書を読んでみるとか。

　とにかく、山への登り道はいろいろです。
自分の一番好きな分野から、登ってみて下さい。
　全分野を分かる必要はありません。
　でも、一旦登ってしまうと、いろいろと分かる範囲が広がって
いて、楽しいものです。
　だから、まずは登ってみることですね。

18434．Re: 本
名前：アカギ    日付：11月25日(木) 22時44分
＞わっとまんさん
登ってみます！ありがとうございます。
イプシロンデルタにしぼってみました。ここから実数の連続性、ダルぶーの定理に進むことを目標とすることにします。ご意見、参考にさせていただきます。

18333．積分について  
名前：エーテル（高３）    日付：11月20日(土) 15時27分
xtanx^2xの不定積分を求めるとき、部分積分でやるんですけどtan^2xの処理の仕方が解答を見てもよくわからないので教えてください。あと自分みたいに数学力がないのは積分でよく出るパターンは暗記しちゃったほうがいいんですか？


18334．Re: 積分について
名前：知也    日付：11月20日(土) 15時56分
解答のそのパターンを書いてみてください。

18338．Re: 積分について
名前：    日付：11月21日(日) 12時42分
tan^2x？
tanx^2x？

18369．Re: 積分について
名前：AxlRose    日付：11月22日(月) 23時32分
tan^2x の積分を行うときの常套手段として、
　tan^2x = (1/cos^2x) - 1
という変形がよく行われます。

これを使って積分すると、
∫xtan^2x dx
= ∫x( 1/cos^2x -1)dx
= ∫x(1/cos^2x)dx - ∫xdx
= ∫x(tanx)'dx - x^2/2 + C
= xtanx - ∫tanxdx - x^2/2 + C
= xtanx + log|cosx| - x^2/2 + C
となりますね。
http://fairytale.holy.jp

18323．複素数  
名前：チェリー    日付：11月19日(金) 11時4分
｜α｜＝｜α＋１｜＝１　のときαのありうる複素数を答えよ。
宜しくお願いします


18325．Re: 複素数
名前：ヨッシー    日付：11月19日(金) 11時8分
｜α｜＝１　のグラフ、｜α＋１｜＝１　のグラフを
それぞれ描いてみましょう。
　
http://yosshy.sansu.org/

18328．Re: 複素数
名前：チェリー    日付：11月19日(金) 15時46分
言ってる意味が分かりません。解き方教えてください

18329．Re: 複素数
名前：ヨッシー    日付：11月19日(金) 16時49分
複素数平面は、ご存知ありませんか？

では、戦法を変えて、
　α＝ｘ＋ｙｉ
とおいて、
　｜α｜＝｜α＋１｜＝１
に当てはめてみましょう。むしろ、
　｜α｜^2＝｜α＋１｜^2＝１
とした方が、わかりやすいでしょう。
　
http://yosshy.sansu.org/

18321．中学レベル  
名前：IGA(高１）    日付：11月19日(金) 7時4分
3x^2-1<0をとくときに因数分解するやりかたもありますが
3x^2<1
x^2<1/3
というやり方もありますよね。
ここからなんですがx^2をxにするときに不等号がどのように変わるかなんですがどうなるのでしょうか。


18322．Re: 中学レベル
名前：のぼりん    日付：11月19日(金) 8時40分
|x|^2=x^2<1/3 と式変形すると、両辺の平方根を取れるので、
|x|=√(|x|^2<√(1/3) つまり -√(1/3)<x<√(1/3) と解けます。

18331．Re: 中学レベル
名前：えいぶ    日付：11月19日(金) 22時14分
高１ならば２次関数のグラフで考えるのが常套手段だと思いますが…

18335．Re: 中学レベル
名前：IGA(高１）    日付：11月20日(土) 23時33分
ありがとうございました。

18319．証明と確率と相似  
名前：金子　中2    日付：11月18日(木) 21時45分
僕は数学検定3級を受けたいと思っています。どうしても証明と確率と相似が分かりません。簡単にやり方を説明して欲しいのですが時間があまりないので説明できる人でいいです。お願いします。できれば問題なども作ってもらえるとありがたいです


18330．Re: 証明と確率と相似
名前：えいぶ    日付：11月19日(金) 22時12分
掲示板で「証明の問題を出して」と言われても量に限りがあるし多少たり無理があります。
数学検定を受けるなら過去問題集かそれにあった参考書などを探す方が賢明かもしれません。

18332．Re: 証明と確率と相似
名前：金子　中2    日付：11月20日(土) 7時12分
そうですか…分かりました。ありがとうございました

18313．三角比の拡張  
名前：IGA(高１）    日付：11月18日(木) 6時50分
次の直線とｘ軸の正の向きとのなす角θを求めよ。ただし０°≦θ＜１８０°とする。

ｙ＝－ｘ

答えは１３５°です。
直線とｘじくの正の向きとのなす角度なら３５°もいいようなきがするのですが。
お願いします。


18314．Re: 三角比の拡張
名前：ヨッシー    日付：11月18日(木) 7時37分
４５°ですね。

うーん、これは出題者との駆け引きでね。
ｙ＝－ｘ　自体、方向を持っていないので、４５°でも、間違いではないです。
ただし、なぜ、あえて「正の方向」と、書いたのか？
また、「なす角」なら本来　０°≦θ＜９０°　でいいのに、
０°≦θ＜１８０°と書いてあるのか？
を考慮すると、出題者は、下図のような角度を想定していて、
１３５°と答えて欲しいんだと思われます。

市販の問題集ですか？



　
http://www.geocities.jp/dainembutsu/

18315．Re: 三角比の拡張
名前：tarame    日付：11月18日(木) 12時40分
数学Ⅱで「三角関数」を学習すると、135°にしている訳がわかります。
角度にも、「向き」を定義し、反時計回りを正の向きとします。
直線とｘ軸との交点からｘ軸の正の方向（半直線）を０°として、角度を測ります。
したがって、この場合は、45°でなく、－45°と表現します。

18320．Re: 三角比の拡張
名前：IGA(高１）    日付：11月18日(木) 21時48分
すいません朝忙しかったもので・・・タイプミスでした。
学校からもらった問題集です。
わかってきました。
ありがとうございました。

18309．２次関数もわからない…（泣）  
名前：エーテル（高３）    日付：11月17日(水) 18時9分
放物線y=x^2-2ax+4a-4（aは定数）がある。すべてのxに対して
y≧0が成り立つようなaの範囲を求めたいんですけど、Ｄ≦0でやったらできません。どうすればいいんですか？


18324．Re: ２次関数もわからない…（泣）
名前：X    日付：11月19日(金) 11時5分
解法は問題ないので途中で計算を間違えたか、或いは解答の方が
間違っているのかどちらかでしょうか？

こちらでの計算は以下のようになります。

条件を満たすためには、２次方程式x^2-2ax+4a-4=0の解の判別式D
について
D/4=a^2-(4a-4)<=0
∴a^2-4a+4<=0
(a-2)^2<=0　①
∴a=2 (Ans.)

ひょっとして解法途中で出てきた①の定数倍の式を
s(a-2)^2<0 (s:正の定数)
というように等号がないものと勘違いして、解が存在しないから解けないとしているのでしょうか？？

18327．Re: ２次関数もわからない…（泣）
名前：エーテル（高３）    日付：11月19日(金) 13時52分
ですよね！？解答の方が３／２≦a≦５／２なんですけど…解説がないんでわかんないんですよね。やっぱり解答ミスかな？調べてみます。

18308．(untitled)  
名前：エーテル（高３）    日付：11月17日(水) 18時0分
円に内接する四角形ＡＢＣＤがあり、ＡＢ＝２、ＢＣ＝３、ＣＡ＝４である。このとき線分ＣＤの最大値を求めよ。
ＡＣ垂直ＢＤのときに最大になると思うんですけど、どう攻めていったらいいんですか？


18317．Re:違います
名前：tarame    日付：11月18日(木) 17時25分
＞ＡＣ垂直ＢＤのときに最大になると思うんですけど
残念ながら違います。
「△ＡＢＣが、∠Ｂ＞90°の鈍角三角形であること」から攻めていけば答えが出ます。
（ＣＤの最大値は、16/√15です）
ちなみに
＞ＡＣ垂直ＢＤのときに最大になると思うんですけど
ＡＣ⊥ＢＤにすれば、△ＡＣＤの面積（すなわち□ABCDの面積）が最大になるときです。

18318．Re: (untitled)
名前：ヨッシー    日付：11月18日(木) 17時45分
Size: 205 x 195, 2KB

△ＡＢＣの形が決まっているので、その外接円の半径がわかれば、
ＣＤが直径になるときが、ＣＤが最大です。（Ｄ1の位置）
△ＡＢＣが鈍角三角形なので、そうなることが可能です。

また、△ＡＣＤの面積最大は、Ｄ3 の位置で、Ｄ2 は、この場合、
図形的な特徴は、ＡＣ⊥ＢＤ 以外、なさそうです。
　
http://yosshy.sansu.org/


18326．Re: (untitled)
名前：エーテル（高３）    日付：11月19日(金) 13時48分
なるほど、ありがとうございました！

18289．代数学の試験の過去問題  
名前：さくら （社会人）    日付：11月16日(火) 8時14分
１１月１３日１０時４１分に質問した、ＮＯ．１８１８３「複素数を教えてください」では、丁寧に教えていただき、大変ありがとうございました。おかげさまで、答えをだすことができたのですが、この答えであっているのか目を通していただけると、うれしく思います。どうぞよろしくお願いします。

また、以下の問題は、自分で答えをだすことができたのですが、やはり答えがあっているかどうか見ていただきたいと思っています。重ねてよろしくお願いします。
（１）a+ｂ・３＾１／３（a、ｂは、整数）の全体は、聖域であるかどうか、理由を明記して判定せよ。
　　（a+ｂ・３＾１／３）（ｃ+ｄ・３＾１／３）＝aｃ＋（ad+bc+bd・3^1/3)3^1/3となり、ad+bc+bd・3^1/3は、整数ではないので、聖域ではない。
（２）ｚ_1＝(ー１＋√３)/２・i,ｚ_2＝１＋iであるとき、Ｚ_1/ｚ_2の絶対値は？
　　ｚ_1＝cos120°+isin120°、z_2=√2(cos45°+isin45°)より、|
z_1/z_2|=1/√２
　


18290．Re: 代数学の試験の過去問題
名前：X    日付：11月16日(火) 11時18分
(1)「聖域」という言葉の数学的な意味が分からないので解答できません。（私は数学の用語で「聖域」という言葉は聞いたことがない）
(2)|z_1/z_2|=1/√２で間違いありません。

18291．Re: 代数学の試験の過去問題
名前：ヨッシー    日付：11月16日(火) 12時8分
(1) は、Xさんと同じく意味不明です（誤変換では？）。
(2) の z_1 は純虚数に見えるのですが？
　
http://yosshy.sansu.org/

18292．Re: 代数学の試験の過去問題
名前：X    日付：11月16日(火) 12時35分
(2)
ヨッシーさんの言うとおりですね。
z_1=(-1+i√3)/2
と勘違いしていました。
問題文の通りのz_1だとすると
|z_1|=(-1+√3)/2
ですから（|z_2|は問題ない)
|z_1/z_2|={(-1+√3)/2}/√2
=(-√2+√6)/4

18299．Re: 代数学の試験の過去問題
名前：ひで    日付：11月16日(火) 21時45分
「聖域」とは零因子をもたない可換環だそうです。
私も知りませんでしたf(^^;)
それと
　　ｚ_1＝(ー１＋√３)/２・i
は
　　z1＝{－1＋(√3)i}/2
のタイプミスのような気がするるるる。。。(__;)

18304．Re: 代数学の試験の過去問題
名前：C-D    日付：11月17日(水) 1時6分
「整域」とは違うの？

18305．Re: 代数学の試験の過去問題
名前：さくら （社会人）    日付：11月17日(水) 1時53分
皆様、私の変換ミスにもかかわらず、熱心な議論をさせてしまいまして、またそのことにより、以前に質問した方の記事を圧迫してしまいまして、大変申し訳在りませんでした。出勤前にあわてて送信したことを深く後悔するとともに、以後、十二分に気をつけることをお約束いたします。本当にすみませんでした。
（１）は、聖域は、整域の変換ミスでした。
（２）は、　＞ｚ_1＝(ー１＋√３)/２・i　は、
　　z1＝{－1＋(√3)i}/2
のタイプミスのような気がするるるる。。。(__;)
というご指摘の通りの変換ミスでした。

ただひたすら、謝ることしかできません。本当に申し訳ありませんでした。

18307．Re: 代数学の試験の過去問題
名前：ひで    日付：11月17日(水) 7時54分
あわせてごめんなさいm(_ _)m

18282．もう１題お願いします  
名前：初夏    日付：11月15日(月) 20時46分
ｘｙｚ空間内に２点ｐ（cosｘ,sinｘ、0） Q（cosｘ、sinｘ、0） がある。ｘが０≦ｘ≦２πを動く時ΔOPQの通過する部分の体積を求めよ。ただしOは原点とする。という問題なのですがこちらもさっきの問題と引き続き答えを持っていないのですが宜しくお願いします。


18283．Re: もう１題お願いします
名前：ヨッシー    日付：11月15日(月) 21時21分
点ｐと点Ｑが同じ点に見えますが。
　
http://www.geocities.jp/dainembutsu/

18284．Re: もう１題お願いします
名前：初夏    日付：11月15日(月) 23時8分
> ｘｙｚ空間内に２点ｐ（cosｘ,sinｘ、0） Q（sinｘ、cosｘ、x） がある。ｘが０≦ｘ≦２πを動く時ΔOPQの通過する部分の体積を求めよ。ただしOは原点とする。という問題 でした。すいません打ち間違えて

18281．数Ⅲの体積を求める問題なのですが...  
名前：初夏    日付：11月15日(月) 20時31分
曲線ｃ：ｙ＝ｘ＾２と直線L：ｙ＝２ｘで囲まれた部分をLのまわりに回転させた時通過する部分の体積をもとめよ。
という問題で１６/７５πと出したのですがあってますか？？違ってたらやり方教えください。宜しくお願いします


18293．Re: 数Ⅲの体積を求める問題なのですが...
名前：ヨッシー    日付：11月16日(火) 14時13分
(１６√５/７５)π　となるようです。

回転部分の面積と、重心の位置を求め、
パップス・ギュルダンの定理より。

面積は４／３、重心座標は、（１，8/5）になります。
　
http://yosshy.sansu.org/

18300．Re: 数Ⅲの体積を求める問題なのですが...
名前：初夏    日付：11月16日(火) 22時14分
お答えいただきありがとうございます。パップス・ギュルダンの定理を使わない場合どうやるのでしょうか？？私は直線と曲線の距離を求め｛点（ｘ、ｘ＾２）、２ｘーｙ＝０を使い｜２ｘ－ｘ＾２｜/√（５）と出し｝それを２乗してπを掛　範囲０≦ｘ≦２でｘについて積分したのですが...１６/７５πとでてしまいます。どこがちがってるのでしょうか？教えてください

18301．Re: 数Ⅲの体積を求める問題なのですが...
名前：ひで    日付：11月16日(火) 22時52分
Original Size: 375 x 460, 6KB

区分求積法は習ってないんですか？
とりあえず初夏さんの解き方を図で表してみました。
0≦x≦2で均等に10等分し、各点からLへ垂線をひくと、L上では均等には分かれてくれません。すなわちこれを回転させ円盤を作り、その体積の和を求めれば近似できるはずですが、いかんせん、均等ではないですから、体積はその方法では求まらないことになります。


18302．Re: 数Ⅲの体積を求める問題なのですが...
名前：ころっさす    日付：11月16日(火) 23時32分
x 軸方向の幅 h に対応する L 方向の幅は √(5)h なので
　∫_{0}^{2} π((2x-x^{2})/√(5))^{2}√(5) dx
とすれば良いでしょう．

18303．Re: 数Ⅲの体積を求める問題なのですが...
名前：初夏    日付：11月17日(水) 0時31分
ひでさん、ころっさすさんありがとうございます。おかげさまで分かりました。
ころっさすさん最後にもうひとつお願いします。どうやって L 方向の幅は √(5)h を出しましたか？？私はわざわざｙ＝－２ｘと垂直に交わる直線を求め、それとの交点を出し、また点（ｘ＾２/２、ｘ＾２）、（ｘ、ｘ＾２）三点で三平方の定理を使って
√（５）を出したのですが....

18312．Re: 数Ⅲの体積を求める問題なのですが...
名前：ヨッシー    日付：11月17日(水) 20時16分
Size: 85 x 149, 1KB

こういうことでしょう。
http://yosshy.sansu.org/


18316．Re: 数Ⅲの体積を求める問題なのですが...
名前：初夏    日付：11月18日(木) 16時5分
なるほど
ヨッシーさんありがとうございました。

18275．指数の処理  
名前：シュテヘル（高１）    日付：11月15日(月) 18時49分
（－１）＾（ｎ－１）＊２＾（４ｎ－３）　を計算すると、
＝－１＊２＾（ｎ－１＋４ｎ－３）＝－２＾（５ｎ－４）

になると、私は思うのですが、解答では、

＝２＊（－１６）＾（ｎ－１）　になる様です。だとすると、
どういう理屈で上のようになるのでしょうか。

寧ろ、１６ は２＾４ だから、与式の指数から４を
減じないといけないのではないでしょうか。
そうすると、指数が（ｎ－１）に到底なり得ないのですが。

初歩の疑問ですけど、お願いします。


18278．Re: 指数の処理
名前：AxlRose    日付：11月15日(月) 19時40分
こんばんは。

逆にたどっていきます。
これを参考にしてみてください。

2 * (-16)^(n-1)
=2 * { (-1) * 16}^(n-1)
=2 * (-1)^(n-1) * 16^(n-1)　　：　(ab)^n=a^n * b^n より
=2 * (-1)^(n-1) * (2^4)^(n-1)
=2^1 * (-1)^(n-1) * 2^{4(n-1)}　　：　(a^m)^n=a^(mn) より
=(-1)^(n-1) * 2^1 * 2^(4n-4)
=(-1)^(n-1) * 2^(4n-3)

これで元の式に戻りました。
http://www.eonet.ne.jp/~kurdt/

18280．Re: 指数の処理
名前：シュテヘル（高１）    日付：11月15日(月) 20時22分
こんばんは。

丁寧な説明でよく分かることが出来ました。
ありがとうございました。

18261．悩み・・・  
名前：教員志望（大学生）    日付：11月15日(月) 9時18分
ずっと悩んでるんですが生徒に「数学なんて役に立たないやん！」と言われたときにどういう反応をみなさんはするんでしょうか？また中学生，高校生のみなさんはどのような気持ちで数学をしていますか？
私は受験のためと思い数学をしていました．しかし大学でとある先生に出会い価値観を変えました．今は数学という学問の「創造する苦しさ」に魅力を感じています．
まあそれはよいとして，多くの生徒は卒業後数学から離れます．そんな生徒になんて言えばいいんでしょうか．実際役に立つなんて思って数学していませんし，「実は役に立ってるんだ」では最近の生徒は納得しないんではないですか．まあ嫌いな学校の数学が頑張れないような生徒は社会でも頑張れないようにも思うのですが．


18262．Re: 悩み・・・
名前：ヨッシー    日付：11月15日(月) 11時28分
こちらの記事。
私の送った文章もあります。
ご参考まで。
　
http://yosshy.sansu.org/

18266．Re: 悩み・・・
名前：ひで    日付：11月15日(月) 12時56分
「なんで英語なんて勉強するん？」
「将来、外国に出た時に必要やろ？」
「俺、外国には絶対行けへんもん！！」
・・・という会話を思い出しました。要はこの質問も根底には「数学を勉強したくない」という気持ちがあるからだと思います。どう説得しても生徒は多分うなずかないから、それなら数学を「楽しい」と思わせることに、私なら全力を注ぎます。

18270．Re: 悩み・・・
名前：HybridTh.(大学3年)    日付：11月15日(月) 17時37分
もし数学がなかったら, 今の世の中はどうなるか？
というようなことを, 生徒と一緒に考えてみるのも面白いのではないでしょうか.
(その子の人生において役に立つかどうか, ではなくて世の中で)数学が役に立たないなんて, 口が裂けても言えなくなりますよね(笑

18272．Re: 悩み・・・
名前：とある小学校教員の友達    日付：11月15日(月) 18時6分
確かに勉強したくないのが原因であることが多いのは間違いないですね．最近の子（私も含め）は我慢をすることを知らない子が多いですね．
何か世の中の役に立っていることと受験数学が結びつくといいのですが．楽しませる数学と受験数学のはざまですね．
しかし私たちだってすべての教科に対して好きにはなれてないですよね．私からしたら学校の勉強は頑張ったという事実以外何にも残っていないように思います．何とか生徒が頑張れるようにやる気を持たせる教育が必要ですね．

18274．個人的見解です。
名前：ラブのアンジ    日付：11月15日(月) 18時23分
　私も子供に勉強を教ているものです。２つ続けて私好みのスレが立っているのでカキコさせてください。

　「数学は役に立つのか」・・・スレ主さんは下のスレッドで「NO]と言われていますが、私は断固YESです。もっとも真意は「役に立つかどうかは問題でない」と思っていますが。

　「経理に役立つ」「土木に役立つ」という意味で言っているのではありません。私は、例えば中学校でならう教科すべて役にたつと思っていますが、それは具体的な「～できる」というものではないと思っています。
　他の教科はさておき、数学に関して言えば、２つの大きな価値があると考えています。
　一つは「なにかの問題に出会ったとき（日常生活でも）『解く』『解決する』という習慣と欲求を持つこと」です。
　２つ目は「応用する力量を育てる」ということです。
　一つ目にかんしては解説不要でしょうが、２つ目に関して少し。私たちが普段接する問題も、もとは「１つのものを一つと数える」という基本で（数量以外もありますが）成り立っていると思いませんか？すべてはその応用（ちょっと強引？！）ではないでしょうか？現に私は、過去にこの板で「～進法」について質問しましたが、独学ということもありそのやり方たるや小学校の掛け算割り算の応用でしかありませんでした。でも私は「１＋１＝２」ができるなら大抵の問題は解けるはずだ、という信念で（ちょっと、いやひどく強引・・・）数学の問題に接しています。そのことは数学のみならず私の日常生活で役立っています。

　例えば社会科の歴史は、私の捕らえ方は、「過去を知って、数学で養った応用力で自分の現在の生活・これからの生き方に役立てる」という明確な産物がありますし、他の教科も同じです。

　なにかの学問を教授する人間が、そのものを役立たないと言うことほど悲しいことはない。失礼ながら、そして個人的見解ながらそのように思っています。
　冒頭「役に立つ立たないは問題でない」と書いたのは、私にとって学問は「楽しい娯楽」であるから、これも個人的な見解にてご容赦ください。

　長文駄文大変失礼しました。
　ほんとは私、哲学屋でして、その方面でも書きたかったのですがさすがに板違いにて、我慢しました（笑）

18276．Re: 悩み・・・
名前：教員志望（大学生）    日付：11月15日(月) 19時8分
いろいろなご意見ありがとうございます．役に立つ，立たないの話ですがラブのアンジさんの意見は同感です．少し表現が悪かったですね．すみません．少なくとも私は数学そのものは役に立たなくても十分価値のある学問であると思ってますし，役に立つことを求めては数学を学んでいるつもりはありません．また役に立つことばかりを求めるという姿勢もあまり好きではありません．無駄なことにこそ価値を見出したいです．なんか哲学っぽくなってしまいました．
しかし姿勢や生き方，考え方を学ぶ上では受験数学は適していないですね・・・また私自身考える楽しさを少しはわかっているつもりです．あまり悲しまないで下さいね．
いろいろな意見が聞けて非常に嬉しく思います．

18279．Re: 悩み・・・
名前：arc    日付：11月15日(月) 19時56分
＞「数学なんて役に立たないやん！」
ここでいう『数学』とは？『何の』役に立たないのか？
目的語が明確でないのでこの文章に対する答えはありません。

※数学のみに関して考えます・・。
生活する上で、例えば虚数を考えることは皆無だと思います。
しかし、自然界の中には数学的な事象がたくさんあります。
その自然界の中で生活するには、少なくとも算数程度の知識が必要です。
その算数を応用、拡張したものが数学といえるのであれば、
数学を理解し応用する事によって、様々な事柄に対して効率を良くさせることができると思います。

数学を理解するためには、天才で無い限り日々の学習の積み重ねが必要です。
その学習の基底として学校で数学を学んでいます。
日々の問題演習は学習の積み重ねの部分です。
数学を理解し、応用する事が出来れば、それは生活に大いに役に立ちます。
しかし、日々の学習の積み重ねの一部だけを注目してしまうと、
同じような問題を何回も解いて何の役に立つのだろう？と考えてしまうかもしれません。
『数学』という分野のひとつの単元、例えば「方程式」だったら、
　「4x+3=27を満たすxを求めよ。」
　「7x+3y=68を満たす自然数x,yの組み合わせを全て求めよ。」
というような問題を何度も解き、その内容を理解することが出来れば、様々な形式の方程式を応用した内容の問題を考えられ、
また、高次方程式や図形の方程式など、新しい内容に関して考察することができるようになります。

『日々の学習』→『その単元の理解』→『応用問題に取り組める』→『その単元を活用できるようになる』→『何らかの形で生活に役立つ』
というような流れであると仮定すると、『日々の学習』なんて『生活の』役に立たないやん！と言えるかも知れません。
∵『日々の学習』から『生活に役立つ』には矢印が直接出ていないので。
しかし、『日々の学習』は『その単元の理解』に役に立ちます。（少し言葉がおかしいですが）
何か数学的な事象を考えるに於いて、数学の内容を理解しているという事はとても役に立ちます。
理解をするために、学校で１つの単元に数時間かけて勉強しています。
そういった意味で、「数学が役に立たない」ということが正しい（明らか）といえるときは、
『何の』にあたる部分が、『数学的でない事象』に限るのではないか。と私は思います。


また、違った意味ですが、数学が好きな人には『数学』は面白く感じられると思います。
一種のパズルも数学に関連していますよね。だから、変な言い方をすれば、数学は『遊び道具』なんです。
遊び道具は、あれば『遊べる』のですから、遊べるだけで役に立ちますよね。
そういう理由もあって、数学が好きな人は数学に夢中になれるのだと思います。

# 長くなったので内容を少し削除。。長文失礼しました・・・。

18285．Re: 悩み・・・
名前：kirakira    日付：11月15日(月) 23時27分
どこかで読んだ気がするのですが、
mathematic(s)の語源は学ぶ事だとか(?)・・・
（あいまいで申し訳ありません）

誰にも「好きな教科」があるように、
誰にも「嫌いな教科」があります。
（皆さんそうでしょ？？？）

数学は嫌いではありませんが、自信をもって「好き」だともまだ言えません。
ただ、私の教え子は、私が数学を嫌いでない事は分かっていると思います。

「私の（中学or高校or大学）の数学の先生は、数学が大好きな先生だった」と言ってもらえるように、記憶に残る先生になってください。

百人百様です。
教え子全員に、数学は役に立つ事だと教える必要は無いと思います。
教え子が感じるのは、あなたの「熱意」です。
熱意は、みんなに伝わるはずです。

18286．Re: 悩み・・・
名前：H2O    日付：11月16日(火) 2時47分
　私は次のように考えます。
　学校で学ぶ数学には少なくとも３種類あると考えています。考え方によっては４種類以上に分類できるかもしれません。とりあえず私が考える３種類の数学について述べます。
　まず一つ目は、学問的な数学です。これは好きな人だけが学ぶものです。おもに大学の数学科の学生やや数学者などが自身の専門、あるいは自身の嗜好にしたがって学習・研究するものです。素人数学者も少なくないですね。
　二つ目は、実用数学です。これは小学校の算数で学ぶ四則演算や数学を専門としない人たちが自分の必要な部分だけ学習するものです。日常の生活に密接した数量的感覚や自分の存在している位置感覚（他の事物との距離感覚）あるいは経済学部の学生が統計的処理や必要に応じて微分・積分を学ぶといったものです。
　三つ目は、論理的思考を養うものです。中学や高校で学ぶ数学は、主にこの論理的思考力を養うためにあると思います。直面した問題（別に数学の問題というわけではない）を論理的思考によって解決する手段（手順）を学ぶ。（実際、論理的思考に欠ける生徒の文章は読むに堪えない(~_~;)）
　私は論理と感性が一体となって一個の人格を形成すると思いますので、中高の数学は、論理的思考力を養うためには最低限必要だと思います。
　また、感性を磨くためには文学や芸術に常日頃触れることも大切だと思います。どのような文学も音楽も絵画も、あらゆる芸術において感性だけでは成り立ってはいません。優れた作品には緻密に計算された背景があります（作者自身が意識的ではないにしても）。芸術作品に触れるとその作者の感性のみならず、その論理性にも着目するとより理解が深まります。
　数学が何の役に立つのかなどという人は、自分が何者になりたいかということもあまり考えていないと思いますが、自分が実際何者かになりたいと考えるようになれば愕然とするだろうと思います。
　そして、どのような分野に進むにしても、論理的に適切な思考ができる人間とできない人間には決定的な差が出ると思います。
　ですから、そのためには学ぶ姿勢がとても大事なことだと思います。人は、大人になると社会的に責任を負わされます。その責任を感じているか感じていないかは別として負わされていることは誰一人例外ではありません。
　私は、「数学が何の役に立つのか」という質問に対しては、三つ目の内容に加え、以下のことを答えています。
　
　（あんまり私好みの表現ではないのですが）好むと好まざるに関係なく人間には勝ち組と負け組（勝ち負けの判断は主観的で明らかに２分できるとは思っていないが(‥;)）が存在する。身近な例でいえば第１志望への合格者と不合格者だ。
　人の思考は２つのもの基礎としている。一つは感性でもう一つは論理だ。
　今一つの問題が発生したとする。その問題は自分の感性だけでは解決できそうもない。つまり、感性だけでは解決策がでてこない場合がある。しかし、論理的に考えればいくつかの解決策がある場合がある。あとは自分の感性にあった方法を選べばよい。
　つまり、感性だけでは解決策を得ることができず、論理だけでは最適な解決策を選ぶことができない。
　したがって、感性を磨きつつ、論理性を身につける必要がある。
　そのために、数学や芸術科目が存在する。
　というように…。
　
　悲しいこと（私はそうは思わない）ですが人は損得で考えることが多いので、さらに学ばないことがどれほど不利益なのかを説くことにしています。
　

18294．Re: 悩み・・・
名前：教員志望（大学生）    日付：11月16日(火) 15時11分
ほんとにありがとうございます！正直自分はしっかりとした信念ももたずに質問していました．しかし非常に多くのご意見や価値観を提示していただき，今一度もう少し深く考えてみたいと思います．ちなみに僕の高校時代の数学の先生は数学大好き人間でした．今思うとその先生も信念を持っていたからこそ，そのように生徒に感じさせることができていたのかもしれません．僕のその先生のように生徒が笑うくらい自分自身が数学を好きになっていきたいと思います．そうすることで「役にたたんやん」といった生徒の気持ちに答えられると信じて頑張ります．

18231．質問です  
名前：すすか（中２）    日付：11月14日(日) 20時39分
みなさんは、図形の性質を証明することには、どのような良さが
あると思いますか？
感想を聞かせてください。

ちなみに、私は、日常で「あ、三角形の形だ！」などと気づいたときに
その三角形はただの三角形ではなく、いろいろな根拠から
できた三角形だ。と思えます。


18234．Re: 質問です
名前：tomato    日付：11月14日(日) 20時56分
人間と2等辺3角形の違いはなんであろう？
こう考えてみると良い．
｢我々が2等辺3角形をそれとして認識するとき，我々は，はじめに心の中に
経験的に2等辺3角形の性質をイメージせねばならない．そのイメージと照ら
し合わせて整合した3角形(もっと言えば図形)のみが2等辺3角形としての市
民権を認められるのである．ところが人間の場合，今のような順序で個体が
認識を受けるのではない．人間が存在する，というのはなにものにも影響さ
れない絶対的な事実である｣
いいかえると，
｢人間にとって人間以外のものはすべて具体的存在を普遍的概念が包み込む
ようにして認識される｣
だから，数学のように抽象的な学問体系においては
｢普遍的概念｣
が最も重要なのであり，小学校までの算数と中学校から段階的に習得する
｢数学｣のギャップもここから生ずるものである．

18237．Re: 質問です
名前：tomato    日付：11月14日(日) 21時8分
……とえらそうな口をききましたが｢2等辺3角形｣を｢ナイフ｣にかえてくれた
ら元ネタになります(笑)．

要はものごとをきちんと整理して，体系的に考えていくことの練習でしょう．
厨3までには図形のいろんな性質を習うので，頑張って
｢図形の性質を証明することのよさ｣
も自分なりに考えていってください．
テクニックくらいならどうにでもなりますよ．実際のトコ

18246．Re: 質問です
名前：すすか（中２）    日付：11月14日(日) 22時51分
あの～説明が難しすぎてわからないのですが。。。

18248．Re: 質問です
名前：tomato    日付：11月14日(日) 22時55分
要は幾何の証明が好きだということです．
高校数学ではあんまり解く機会がないのでうずうずしてます．

2つ目のレスを主に参考にしてくれたら嬉しいです．
貴方の記事がちょっと哲学っぽかったんで，乗りをいれてみたんですが．

18260．Re: 質問です
名前：教員志望（大学生）    日付：11月15日(月) 9時5分
数学が人生に役に立つか，とよく子どもに言われますが答えは「No」です．しかし，あえて役に立ちそうだということの一つに論理的な表現力，読解力の育成があると思います．つまり簡単に言うと自分の考えを相手にいかにうまく説明するか，また相手の考えをいかに理解するか，このような力の育成こそが数学における一つのよさであり，図形の証明は比較的のこのような力の育成には適した教材ではないでしょうか．
そんなん国語でやれといわれればそれまでですが．でもすすかさんのように“よさ”を考えて生活することはすばらしいと思います．私も参考にさせてもらいます．

18287．Re: 質問です
名前：H2O    日付：11月16日(火) 4時18分
　面白いことを提起してくれました。
　図形の性質を証明することはその図形の性質を本質から理解することだと思っています。どの証明も一通りではなく（中学の学習範囲では証明方法も限られますが）、座標平面上で数式的に証明したり、複素数平面を利用したり、ベクトルを利用したりと方法は何通りも存在します。その時に数式と図形の性質の関係を知ったりすると、さらに理解が深まったりします。図形の性質を理解することは、数学全体の理解に役立ちます。理解が深まればこの世の成り立ちがどのように成り立っているかも理解できると思います。当然歴史や政治経済や宇宙の成り立ちを理解できると思います。
　私は高校で、数学はＩ,IIB,III（現在のI,II.III.A.B.C）、理科は化学I,II,生物I,物理I,II,地学I，地歴・公民は地理Ｂ，世界史，倫理社会，日本史，政治経済と、ほぼ全科目を学んだ世代ですので、また、小学校、中学校と「お前たちは過渡期（指導要領の改定期）の子たちだから、詰め込まれる」といわれてきたのですが、落ちこぼれなどはいませんでした。これは私の学校の先生方の努力によるものかもしれません。

>ちなみに、私は、日常で「あ、三角形の形だ！」などと気づいたときに
>その三角形はただの三角形ではなく、いろいろな根拠から
>できた三角形だ。と思えます
　そうですね。それは確かに意味のある三角形です。建築物であれば強度など、広告や芸術的作品であれば意図的な何らかの主張をもっているのですね。
　そのようなことに気がつくのが感性です。そして、そこに意味を考えていくのが論理です。
　感性とともに論理性も磨いていってください。

18229．よっしーさんへ  
名前：チェリー    日付：11月14日(日) 20時22分
今日の昼間１２時過ぎ書いた積分の問題なんですけど、計算間違いか、
積分のやり方が間違ってるんか分かんないんですけど、解き方教えてください

18227．中3です｡　　　　　　(-人-;)　  
名前：ともみ    日付：11月14日(日) 19時51分
円に内接する四角形ABCDの辺ＡＤ，ＢＣを延長して、その交点をＥとする｡
角Ｅ＝45度、角ＢＣＤ＝75度、ＡＤ＝3　ＤＥ＝7、CE＝5　とするとき、次の問に答えよ｡

問一、角Ｂは何度か｡

問二、辺ＢＣの長さを求めよ｡

問三、辺ＣＤの長さを求めよ｡


18239．Re: 中3です｡　　　　　　(-人-;)　
名前：Bｏｂ    日付：11月14日(日) 21時9分
内接四角形で対角の和は１８０度になります。
したがって角Ｃ＋角A＝１８０度
よって角A＝１０５度
⊿ABEで角A＋角B＋角E＝１８０度
　　　よって角B＝３０度

18265．Re: 中3です｡　　　　　　(-人-;)　
名前：tarame    日付：11月15日(月) 12時39分
問２
△EAB∽△ECD（相似）であることを使いましょう

18267．Re: 続きです
名前：tarame    日付：11月15日(月) 14時31分
問３
ＣからＡＢに平行な直線とＤＥの交点をＦとし、
△CED∽△FEC（相似）であることを使いましょう。
CDと同じ長さをみつけると………

18216．円周角の定理  
名前：かな    日付：11月14日(日) 17時17分
円周角の定理のよさを調べているのですがわからないので、おしえていただきたくメールを送ってみました。
また、円周角の定理がないと解けない問題などはありますか？
わたしは大学３年です。


18219．Re: 円周角の定理
名前：教員志望（大学生）    日付：11月14日(日) 17時30分
定理のよさというのはどういう意味でのよさなのかがなかなか難しいですよね．ただ中学校，高校と円周角の定理を利用して解く問題，また定理の逆を利用して解く問題，いろいろありますよね．これだけ適用されていればその有用性は十分よさということになるんではないでしょうか．つまりどのような問題にどのように適用されていたかをもう一度考えてみればよい答えが見つかるんではないでしょうか．
また定理がないと解けないという問題は存在しないんではないでしょうか．定理なんか使わずにおおもとから考えればすむ話しですし．

18215．弧度法  
名前：教員志望（大学生）    日付：11月14日(日) 17時14分
今回の指導要領改訂で弧度法が数Ⅱに入りましたがみなさんはどのようにお考えでしょうか．確かに数Ⅲまで学ぶ生徒にとっては三角関数の微分などで必要不可欠ですが数Ⅱにいれてしまっては文系の生徒まで学ぶことに．文系の生徒にとっては何のためにやったんだろうかということにならないんでしょうか？
ちなみに弧度法を学ぶ意義のようなものが某県の教員採用試験に出題されていました．


18225．Re: 弧度法
名前：ひで    日付：11月14日(日) 18時30分
去年高２（旧カリ）を担当し、今年も高２（新カリ）を担当することになりました。新カリを勉強してなかったのでこの弧度法が登場していたのを見てビックリしました。慣れると弧度法の方が度数法より直感的に分かりやすいんですが、度数法を高校生達は小学生で習って高校２年生まで使いつづけるので、なかなか慣れませんよね。特に文系は・・・。
私も興味が湧きましたので回答ではありませんがレスをつけさせていただきました。
ちなみに、その教員採用試験の模範解答はどのようになっていたのでしょうか？
一応、明日学校からでも教科書の指導書調べてみます。

18241．Re: 弧度法
名前：とある小学校教員の友達    日付：11月14日(日) 21時35分
指導要領解説には「扇形の面積や周の長さを求めたり，三角関数のグラフを書いたりするのに弧度法が有用である．」と書いてあるので，これが模範解答ではないでしょうか．ちなみに問題では「有用性を2つ書きなさい」でした．しかしこれは非現実的のように思えて．こんなもの有用といえるでしょうか．私は弧度法に慣れるのに困難が生じて文型の数学嫌いを増やすのに有用のように思えて．なにか良い授業案とかないですかね．

18249．Re: 弧度法
名前：arc    日付：11月14日(日) 23時2分
私の学校では、世界史と数学に選択があります。
文系：世界史Ⅰ　数学Ⅱα　世界史Ⅱ
理系：世界史Ⅰ　数学Ⅱα　数学Ⅱβ
というような選択になっています。
数Ⅱαでは、◆方程式・式と証明　◆微分と積分　だけ学習します。
数Ⅱβでは、◆図形と方程式　◆三角関数　◆対数関数・指数関数　を学習します。

三角関数の第一章の第一節で「一般角」として『弧度法』が導入されています。
なので、文系の生徒は『弧度法』を学習していません。
因みに私は今現在高２です。。

他の学校ではどうでしょうかね・・・？

18258．Re: 弧度法
名前：ひで    日付：11月15日(月) 8時7分
教科書の指導書（教授資料）で確認しましたが、とある小学校教員の友達さんのおっしゃるのと同じく、これと言った新発見はなかったですね。。。
私の体験的には、図形を正確に作図する時に、エクセルなどで三角関数を計算させる場合、すべて弧度法で表記しないといけないんですよね。度数法しか知らないと不便に感じるのはそれくらいかなぁ・・・。
arcさん
ちなみにうちの学校では高１までに数学１，Ａを終わらせ２とＢは教科書の半分まで終わらせます。理系文系を分けるのは高２からですから高２の文系は指数対数関数と微分積分だけやって（数Ｂは分かりません）、すぐに大学入試演習に入ります。

18259．Re: 弧度法
名前：教員志望（大学生）    日付：11月15日(月) 8時54分
みなさん，いろいろ貴重な意見をありがとうございます．
ところでarcさんの学校にはセンター試験を受ける国公立志望の文系の生徒はいないんでしょうか？それとも弧度法は出ないんでしょうか？
来年のセンターからは選択問題とかどうなるんですかね？特に数Aはすべて必修になったんで．

18271．Re: 弧度法
名前：arc    日付：11月15日(月) 18時0分
＞センター試験を受ける国公立志望の文系の生徒はいないんでしょうか？

文系の大学進学希望者で、試験で数学Ⅱ(β)の知識が必要な場合は、
３年次に14単位まで自由選択できるので、そこで数学Ⅱ(Ｂ)を選択して学習するような形になっています。

この自由選択に数学は、「数学ⅠＡ(文理)」「数学Ⅱ(文)」「数学ⅡＢ(文理)」「数学Ⅲ(理)」「数学Ｃ(理)」があります。
Ⅲ、Ｃに関しては２年次に理系の選択をして、数学Ⅱ(α+β)と数学Ｂを共に履修した生徒しか選択出来ないようになっています。

なので、受験に(ⅠＡ程度の内容しか)数学の知識が必要の無い、
＞文系の生徒にとっては何のためにやったんだろうかということ
が起こらないようになっていると思います。多分・・。

18273．Re: 弧度法
名前：とある小学校教員の友達    日付：11月15日(月) 18時10分
国公立は数Ⅱまで必要な人が多いですよね．結局その文型の人たちはどうなるんですかね？弧度法に関しては旧課程のほうが良いようにも思えますね．

18288．Re: 弧度法
名前：H2O    日付：11月16日(火) 5時0分
>今回の指導要領改訂で弧度法が数Ⅱに入りましたがみなさんはどのように
>お考えでしょうか．確かに数Ⅲまで学ぶ生徒にとっては三角関数の微分な
>どで必要不可欠ですが数Ⅱにいれてしまっては文系の生徒まで学ぶことに．
>文系の生徒にとっては何のためにやったんだろうかということにならない
>んでしょうか？

　私はなぜそのように考えるのかが疑問です。高校で教える学習内容は大学受験のためですか？　本来違うはずです。
　まぁ、進学実績が高校の評価になっていることを否定するつもりはありませんが、これから高校の教師になろうとしている人がそれに振り回されているのは納得できません。
　本来数学の学習は受験のためではないはずです。教師になろうとしているならばその目的は理解しているはずです。
　弧度法ですが、意味が理解できていれば弧度法の方が直感的で、理解しやすいのではと思います。つまり、教える側が適切に教え、指導できるかどうか、ということです。私が学んだのはもう２０年以上前ですが、文系・理系の区別がなく、誰もが同じ内容を学んでいました（文系でも数IIIまで学習）。
　また、センター試験についてですが、旧過程・新過程どちらにも対応した問題、あるいはそれぞれに対応した別々の問題を出題するはずなので、心配しなくてもよいと思います。
　

18295．Re: 弧度法
名前：教員志望（大学生）    日付：11月16日(火) 15時44分
私の意見は確かに教員の逃げ道かもしれません．しかし教える以上最善を尽くし受験だけに終らないようにしたいとは考えます．学ぶことを否定しているわけではないです．
ただ時間的な問題も含め，弧度法を学ぶことがその他の数学の理解の妨げにならないのかとやはり思います．数学の内容に対して学べるだけ学ぶのは良いと思います．また数学教師としてもたくさん思考してもらいたいでしょう．しかし時間も有限です．その中で（卒業後も）よりよく思考ができるように支援するのも教師ではないでしょうか．
やはりあまり弧度法を使う期間が短い生徒は図形の性質などを学ぶのに小学校以来使い続けた度数法を使った方が直感的ではないでしょうか．実際数Ⅱだけの内容でなれることはできるんでしょうか．なぜ今回の改訂であえて数Ⅱにきたのか．それが聞きたいんです．数Ⅰでもなく数Ⅱに．どうも改訂した方々と現場との温度差を感じてしまします．
また旧課程対応はいつまで続くんでしょうか？新課程の生徒でも旧家庭でいけるということでしょうか？

18213．中学校レベルですが・・・新課程で・・・  
名前：IGA(高１）    日付：11月14日(日) 17時6分
次の図の三角錐A-BCDで、△EFGは底面に平行な平面で切った切り口である。
AE=１２、EB＝４で、三角錐A-EFGの体積が１６のとき、次の立体の体積を求めよ。

（１）三角錐A－BCD

この問題は二つの三角錐が相似であることを示してその相似比を三乗して比例式でもとめるんですが。

問題集の解答ではあっさりと相似であるとかいてありますが、テストなどで過程をかくときにやはり相似であることをしめさなければならないと思うんです。
ですからこの三角錐A-BCDと三角錐A-EFGが相似であることを示してもらえませんか？
お願いします。


18214．Re: 中学校レベルですが・・・新課程で・・・
名前：IGA(高１）    日付：11月14日(日) 17時7分
Original Size: 512 x 384, 13KB

図です


18255．Re: 中学校レベルですが・・・新課程で・・・
名前：ヨッシー    日付：11月15日(月) 1時21分
△ＡＢＣと△ＡＥＦ、△ＡＣＤと△ＡＦＧ、△ＡＤＢと△ＡＧＥ、△ＢＣＤと△ＥＦＧ
の４組が、いずれも相似で、相似比が４：３であることを言えばいいです。
　
http://www.geocities.jp/dainembutsu/

18268．Re: 中学校レベルですが・・・新課程で・・・
名前：IGA(高１）    日付：11月15日(月) 16時52分
△ＡＢＣと△ＡＥＦ、△ＡＣＤと△ＡＦＧ、△ＡＤＢと△ＡＧＥ、△ＢＣＤと△ＥＦＧ
のうち一つの相似を証明してあとは「同様に」と表記しても採点で減点対象にはなりませんでしょうか？

18269．Re: 中学校レベルですが・・・新課程で・・・
名前：ヨッシー    日付：11月15日(月) 17時28分
△ＡＢＣと△ＡＥＦ、△ＡＣＤと△ＡＦＧ、△ＡＤＢと△ＡＧＥ の３組と、
△ＢＣＤと△ＥＦＧ とでは、少し示し方が違います。
ただし、厳密に言えば、
△ＡＢＣと△ＡＥＦ、△ＡＣＤと△ＡＦＧ、△ＡＤＢと△ＡＧＥ
の相似と、相似比が等しいことが言えれば、△ＢＣＤと△ＥＦＧ　については、
言う必要はありません。また、最初の３組は、「同様に」でも、問題ないです。
　
http://yosshy.sansu.org/

18296．Re: 中学校レベルですが・・・新課程で・・・
名前：IGA(高１）    日付：11月16日(火) 19時52分
ありがとうございました。

18209．中３です｡　お願いします　　　　　(-人-;)　  
名前：ともみ    日付：11月14日(日) 16時24分
南北の方向に水平でまっすぐな道路を、Ａ君が南から北へ毎分60mの速さで歩いている｡また、この道路と立体交差している水平でまっすぐな道路を、B君が毎分３０√７ｍの早さで歩いている｡ある地点ＰでＡ君がＢ君をみたところ、ちょうど西の方向に仰角30度に見え、それより10秒後に、地点Ｑでみたところ、北から60度西の方向に仰角45度に見えたという｡このとき、次の[　]にあてはまる数、または式を求めよ｡ただし、Ａ、Ｂ君の身長及び道路の幅は考えないものとする｡

(1)Ｂ君の歩いている道路がＡ君の歩いている道路よりｘｍ高いとして、ｘについての方程式をつくると、

　　　ｘ^2+[　]＝0　

となる｡これをといて、高さをもとめると[　]ｍである｡

（2）この二つの道路が立体交差する地点Ｒは、地点Ｐより北へ[　]ｍはなれた所にある｡


18228．Re: 中３です｡　お願いします　　　　　(-人-;)　
名前：ひで    日付：11月14日(日) 20時8分
Original Size: 247 x 281, 3KB Size: 117 x 72, 1KB Size: 82 x 75, 1KB

まず図は上のようになります。この図は理解されていますでしょうか？では１つずつ進めていきましょう。
まずPQ間の距離は　60(m/分)×10(秒)÷60＝10(m)
P'Q'の距離はP"Q"の距離と等しく　30√7(m/分)×10(秒)÷60＝5√7(m)
次に題意からP'P"＝Q'Q"＝x(m)ですから
　　PP"＝(√3)x　QQ"＝x
となります。これらを元に解いてみましょう！
補助線も２本引いておきましたので、質問して下さいね！！


18230．Re: 中３です｡　お願いします　　　　　(-人-;)　
名前：ともみ    日付：11月14日(日) 20時34分
ひでさん、ありがとうございます!!!
今からすぐに解いてみます｡

18232．Re: 中３です｡　お願いします　　　　　(-人-;)　
名前：ともみ    日付：11月14日(日) 20時54分
ごめんなさい｡。やっぱり解けません(･_･､
図は理解しました｡
PP"＝(√3)x　QQ"＝x　も理解できます｡
面積を求めて解いていくんですか?

18235．Re: 中３です｡　お願いします　　　　　(-人-;)　
名前：ともみ    日付：11月14日(日) 20時58分
ＳＱ´も、√3ｘ　ですか?？

18238．Re: 中３です｡　お願いします　　　　　(-人-;)　
名前：ともみ    日付：11月14日(日) 21時8分
ｘ＾2　と言うのは、何の事を考えたらいいんですか??

18242．Re: 中３です｡　お願いします　　　　　(-人-;)　
名前：とある小学校教員の友達    日付：11月14日(日) 21時37分
ヒントは三平方の定理ですね☆

18244．Re: 中３です｡　お願いします　　　　　(-人-;)　
名前：ひで    日付：11月14日(日) 22時25分
そうですね。
三平方の定理と、それから相似を使えば解けますよ。
それとすいません。P"とQ"が抜けてますね。P"，Q"はそれぞれP'，Q'の地面への垂線の足です。（「垂線の足」ってわかるかな？）
QQ"＝xですから、△QQ"Tが1：2：√3であり，
　　Q"T＝(√3/2)x
となりますよね。PP"＝(√3)x
ですから，SP"＝□，またSQ"＝TP＝10，P"Q"＝P'Q'＝5√3
そして△P"SQ"は直角三角形ですから、ここで三平方の定理です。
（□は埋めてみて下さい）

xが分かってしまえばTQの長さも求まりますし，相似で攻めてRTの長さも分かります。

がんばれ！！！

18250．Re: 中３です｡　お願いします　　　　　(-人-;)　
名前：ともみ    日付：11月14日(日) 23時7分
□は、5√3ですか??

18251．Re: 中３です｡　お願いします　　　　　(-人-;)　
名前：ひで    日付：11月15日(月) 0時8分
四角形Q"SPTは長方形になります。ですからQ"T＝SPですね。
Q"T＝(√3/2)x　であり、PP"＝(√3)x　ですから
　　SP"＝PP"－Q"T＝(√3)x－(√3/2)x＝(√3/2)x
となります。
あとは三平方の定理で
　　Q"P"2＝SP"2＋SQ"2
ですから、代入して
　　(5√7)2＝{(√3/2)x}2＋102
となります。この式を整理すれば、問題の式に行き当たるはずです。
いかがでしょう？

18208．放物線とｘ軸の共有点  
名前：ソラ　高1    日付：11月14日(日) 15時4分
放物線y＝x^2-2(a-1)x+(a-2)^2についてX軸と異なる2つの共有点をもつように定数ａの値の範囲をもとめ、その共有点のｘ座標をα、β（α＜β）としたとき、０＜α＜１＜β＜２となるような定数αの値の範囲を求めたいのですが、分からなくて困っています。

よろしくお願いします。


18220．Re: 放物線とｘ軸の共有点
名前：教員志望（大学生）    日付：11月14日(日) 17時37分
y=f(x)として，今グラフは下に凸ですから
f(0)>0, f(1)<0, f(2)>0・・・①
として連立させたらいいと思います．
０＜α＜１＜β＜２ならば①ですし，①ならば０＜α＜１＜β＜２ですよね．
こうなるように①のような条件を探すのがなかなか難しいですよね．

18222．Re: 放物線とｘ軸の共有点
名前：ソラ　高1    日付：11月14日(日) 18時16分
教えてくださってありがとうございました。
がんばってみようと思います。

18207．集合  
名前：ブレード    日付：11月14日(日) 14時51分
分配法則を用いて、集合Ａ，Ｂ，Ｃに関し、次の性質が成り立つことを示せ。
Ａ＝Ｂ⇔Ａ∪Ｃ＝Ｂ∪ＣかつＡ∩Ｃ＝Ｂ∩Ｃ
教えてください。


18211．Re: 集合
名前：ひで    日付：11月14日(日) 16時35分
同じ問題が過去ログにもあったと思います。

18233．Re: 集合
名前：ブレード    日付：11月14日(日) 20時54分
そうなんですか？わからなかったものですから、もしよければご指導お願いできたらと思います。お願いします

18256．Re: 集合
名前：ヨッシー    日付：11月15日(月) 1時25分
過去ログというと、消え去ったみたいですが、まだ残ってます。
お早めに。
　
http://www.geocities.jp/dainembutsu/

18205．極値  
名前：ts    日付：11月14日(日) 12時57分
仕方がわからないので困っています。だれかやり方をおしえてください。
次の関数の増減と凸凹を調べ、極値を求める問題です。（グラフも）
(1)y=x^5-5x^3+1
(2)y=xe^-x

お願いします。


18210．Re: 極値
名前：ひで    日付：11月14日(日) 16時34分
グラフをかく上で注意することは次の６つです。
１．対称性を調べる
２．定義域を調べる（できれば値域も）
３．１回微分により増減を考える
４．２回微分により凹凸を考える
５．x軸やy軸の交点など分かりやすい点を考える
６．漸近線を調べる（発散させるとどうなるか等）
題名は「極値」ということですから３番目を調べればＯＫですね。１回微分をして「＝0」となるxの値を考え、増減表をかくなどして極大値と極小値を考えてみて下さい。

18218．Re: 極値
名前：ts    日付：11月14日(日) 17時26分
ありがとうございます。
グラフは慣れてないと難しいですね。
他はできました。

18202．積分  
名前：チェリー    日付：11月14日(日) 12時2分
曲線C：ｙ＝(2x+1)e^x２関して次の問に答えなさい。
①ｙの導関数ｙ`を求めなさい
②原点(0,0)からCにひいた２本の接線の方程式を求めなさい。
③　②でもとめた２本の接線とCとで囲まれた部分の面積を求めなさい

解　①はy=e^x(2x+3)
②y=x/e ,4x√e
③が分かりません。できたらどんなグラフになるかも載せてくれたらうれしいです


18204．Re: 積分
名前：ヨッシー    日付：11月14日(日) 12時56分
「２」は「に」なのですね。

グラフは、描くのは難しいですが、次のようにすれば、概形はわかります。

まず、２接線を引きます。
つぎに、接点である（－１，－１/ｅ）、（1/2，２√ｅ）を取ります。
曲線のグラフは、この２点とさらに、（０，１）を通るので、
面積を求める部分の位置関係はこれでつかめるでしょう。
　
http://www.geocities.jp/dainembutsu/

18253．Re: 積分
名前：ヨッシー    日付：11月15日(月) 0時57分

グラフは、上図のようになります。
面積は、以下の積分になります。

　
http://www.geocities.jp/dainembutsu/

18254．Re: 積分
名前：ヨッシー    日付：11月15日(月) 1時12分
答えは、
　７／(２ｅ)　＋　(√ｅ)/２
になります。
　
http://www.geocities.jp/dainembutsu/

18184．移項について･･･  
名前：ぁい    日付：11月13日(土) 11時20分
移項について,なんですが･･･

移項がなぜできるのですか？

移項とは何かはわかっているんですが,なんで移項ができるの？
と聞かれると,.答えられません。教えてください。


18185．Re: 移項について･･･
名前：ぁい    日付：11月13日(土) 11時21分
連レス申し訳ありません。
ひとつ言い忘れていました。中学1年生です。

18186．Re: 移項について･･･
名前：tk（高3）    日付：11月13日(土) 12時26分
Ａ＋Ｂ＝Ｃという等式を考えます。
今、右辺と左辺は等しいので両辺に同じものを足したり引いたりしても、等式は成り立つはずです。
上の等式の両辺に－Ｂを加える（またはＢを引く）と
Ａ＝Ｃ－Ｂという等式が成り立ちます。
これはＢを移項したことに他なりません。

このことからわかることは、
移項ということは等式の両辺にあるものをを加える（または引く）ということを別の見方をしただけである
ということです。

18196．Re: 移項について･･･
名前：ひで    日付：11月14日(日) 0時52分
天秤を例に出してみてはいかがでしょうか？

18183．複素数を教えてください。  
名前：さくら    日付：11月13日(土) 10時41分
はじめまして。社会人なのですが数学を勉強しています。
高校の時、文系のクラスにいたので初歩的なことも勉強不足のため、高校のチャート式の参考書などを買い込んで、奮闘しているところです。下の問題は、試験の過去問題なのですが、参考書にも類題がなく、全く分かりません。

複素数ｚ、αを表す点をそれぞれＰ，Ａとするとき、次の点は、どんな複素数で表されるか。
ＡをＰのまわりに９０°、ー９０°、４５°、ー６０°回転した点

どうぞよろしくお願いします。


18188．Re: 複素数を教えてください。
名前：ヨッシー    日付：11月13日(土) 16時11分
原点の回りにθ回転することは、複素数では、
　cosθ＋ｉsinθ
を掛けることで、実現できます。座標だけで考えれば、点(x,y)・・・x+yi を表す
に、これを掛けると、
　(x+yi)(cosθ＋ｉsinθ)＝(ｘcosθ－ｙsinθ, ｘsinθ＋ｙcosθ)
となり、回転の一次変換と同じ式になります。
また、オイラーの公式より、cosθ＋ｉsinθ を掛けることは
　ｅ^(iθ) を掛けるのと同じです。

さて、点Ａを点Ｐを中心にθだけ回転させることは、
　１．点Ａと点Ｐを、点Ｐが原点に来るまで平行移動する。このときの点Ａを
　　点Ａ’とすると、点Ａで表される複素数は、（α－ｚ）
　２．点Ａ’を原点回りにθ回転させる。(α－ｚ)ｅ^(iθ)
　３．１．で平行移動した分を元に戻す。(α－ｚ)ｅ^(iθ)＋ｚ
と言う手順で、実現されます。

この問題では、具体的に角度が与えられているので、
　sin90° とか、cos(-60°) とかは、数値に直すことが出来ます。
　
http://www.geocities.jp/dainembutsu/

18191．Re: 複素数を教えてください。
名前：☆数理パズル推進委員☆    日付：11月13日(土) 17時34分
高校の教科書を読めばわかると思います。
目を通してみましたか？

18197．Re: 複素数を教えてください。
名前：さくら    日付：11月14日(日) 1時24分
ヨッシーさん、☆数理パズル推進委員☆さん、大変ありがとうございます。

私は、類題を探す時に、移動するのだからベクトルだと思いこんで、ベクトルの章を探してないので、１章の点と直線の章を探して、２章の複素数と方程式の章を探してもないので、質問させていただきました。
１２章に図形と複素数という章があったのですが、図形とは三角形とか円とか閉じた形のことを言うのだと思って、探しませんでした。☆数理パズル推進委員☆さんのご指摘で、高校の基本的な問題であることが分かったので、１２章をよく探したら、類題を見つけることができました。
ヨッシーさんの丁寧な説明を何度も読んで、意味を勉強して、類題のまねをしてやっとここまで解いてみました。

これで、あっているでしょうか。

求める点をγ、Ａ＝ｘ＋ｙi、Ｐ＝ｓ＋ｔiとする。
９０°回転した時
γ＝ｓ＋ｔi＋｛（ｘ＋ｙi）ー（ｓ＋ｔi）｝（cos９０°＋isin９０°）
　＝（ｓ＋ｔ－ｙ）＋（－ｓ＋ｔ＋ｘ）i
ー９０°回転した時、同様にして
γ＝（ｓーｔ＋ｙ）＋（ｓ＋ｔーｘ）i
４５°回転した時、同様にして
γ＝｛（√２ー１）ｓ＋ｔ＋ｘーｙ｝/√２＋｛（√２ー１）ｔーｓ＋ｘ＋ｙ｝/√２・i
ー６０°回転した時、同様にして
γ＝（ｓ－√３ｔ＋ｘ＋√３ｙ）/２＋（ｔ＋√３ｓ＋ｙ＋√３ｘ）/２・i

基本的なことが分かっていないので、やはり教科書が必要なことに気がつきました。今度、町に行ったら教科書販売店で予約をしてこようと思っています。

よろしくお願いします。

18177．次の△ＡＢＣの面積Ｓを求めよ。  
名前：純　高校１年    日付：11月12日(金) 14時19分
Ａ＝３０゜、ｂ＝６、c＝５　という問題と、Ｂ＝６０°、ａ＝５、c＝７という問題が分からないので教えてください。


18179．Re: 次の△ＡＢＣの面積Ｓを求めよ。
名前：知也    日付：11月12日(金) 17時37分
△ABCにおいて　S＝1/2*bc*sinA

18181．Re: 次の△ＡＢＣの面積Ｓを求めよ。
名前：ヨッシー    日付：11月12日(金) 18時1分
Size: 157 x 187, 1KB

こういう図が、即座に描けますか？
６を底辺にすると、高さは？
７を底辺にすると、高さは？
もちろん、１：２：√３ の比を使います。
　
http://yosshy.sansu.org/


18176．sinA、cosAの値  
名前：ミルク　高校１年生です。    日付：11月12日(金) 14時13分
Ａが鋭角で、ｔａｎＡ＝１/３であるとき、sinＡ，cosA の値を求めなさい。という問題なのですが分かりません！教えてください！！


18178．Re: sinA、cosAの値
名前：知也    日付：11月12日(金) 17時36分
1+(tanA)^2=1/(cosA)^2という公式知ってる？

18180．Re: sinA、cosAの値
名前：ヨッシー    日付：11月12日(金) 17時54分
Size: 129 x 57, 1KB

即座に、こういう図が描けますか？
もちろん、√10 は三平方の定理から出します。
　
http://yosshy.sansu.org/


18164．漸化式！！  
名前：高校一年です、    日付：11月11日(木) 19時51分
今、高校一年で数列をやっているのですが、期末試験で「確立と漸化式」がでると言われたのですが、チャートなどを見ても、問題が一問か二問しか見つかりませんでした。そこで、何かいい問題があれば教えてください！！　お願いします！


18168．Re: 漸化式！！
名前：ひで    日付：11月11日(木) 22時26分
チャートはすでに学習されたとのことですので、基本はいけると思います。定期考査はやはり基本がどれだけ押さえられているかというところですから、まずはその調子でこれからも勉強してくださいね。大学入試も基本的な漸化式は過去８年間で２００問～出題されています。がんばってください。で、どのレベルを求めているか分かりませんので、こんな問題はいかがでしょう？
　　an＋1＝n×an，a1＝1
解答は明日の朝。

追伸：「確率」ですね(^^;)

18170．Re: 漸化式！！
名前：☆数理パズル推進委員☆    日付：11月12日(金) 2時29分
こんな問題いかがでしょう。

数列{A(n)}について、
全ての自然数n において、
A(n+1) = n*A(n) +n -1
が成立し、
A(1)=2　であるとき、
A(n) をnを用いて表示せよ。

18172．問題追加
名前：☆数理パズル推進委員☆    日付：11月12日(金) 5時46分
漸化式の問題です。
余力があるのなら、
挑戦してみるのもいいかもしれませんよ。

ここにおいて、
a^b は、 a の b乗を意味するものとする。

(1) 漸化式 A(n+1) = -2*(3^n)*A(n) +3^((n^2)/2) を解け。

(2) x,y を自然数(≧1)の定数,
　　 k(≠1)を実数の定数とするとき、
A(x)= k*A(y) が成立し、
全ての自然数m,n について、
(m+n)*A(m+n) = m*A(n) + n*A(m) が成立している。
　A(n) を求めよ。

(3) 全ての自然数m,n について、
　　A(m+n) = n*A(m) + m*A(n) が成立している。
A(100)の最大値を求めよ。

ヒント：(1)について。
　　　　 一般項の推定は
ほぼ不可能だと思われますので、
　　　　 戦略的に式変形して解くしかありません。

18173．条件欠落
名前：☆数理パズル推進委員☆    日付：11月12日(金) 6時8分
(3) について、
A(1) = 1 という条件が抜けていました。

18175．Re: 漸化式！！
名前：ひで    日付：11月12日(金) 10時6分
おぉ！　何やら問題が増えている！！＼(^o^)／
解き方を教えて下さいもいいけれど、こんなふうに問題を出して下さいってのもいいかもしれませんね♪
ちなみに昨日の私の問題の答は
　　an＝(n－1)！
でした。

18159．漸化式　だと思います。  
名前：舜　(高校)    日付：11月11日(木) 17時24分
正四面体があり、その頂点をそれぞれＡ1、Ａ2、Ａ3、Ａ4とおく。
その頂点上に点Ｐが有り、点Ｂは一秒毎に辺を通って、別の頂点に進む。
Ｐｘ(ｎ）をｎ秒後にＡｘにいる確立とする。　
ただし、Ｐ1(０)＝1/4　Ｐ2(０)＝1/2　Ｐ3(０)＝1/8　Ｐ4(０)＝1/8
この時、Ｐ1(ｎ)とＰ2(ｎ)を求めよ。　

という問題なのですが、どなたか解法だけでも教えて下さいませんか？


18160．Re: 漸化式　だと思います。
名前：舜　(高校)    日付：11月11日(木) 17時25分
二行目の点Ｂは点Ｐの間違いです。

18161．Re: 漸化式　だと思います。
名前：ヨッシー    日付：11月11日(木) 18時12分
漸化式でいうなら、
　P1(n+1) = (P2(n) + P3(n) + P4(n))/3
　P2(n+1) = (P3(n) + P4(n) + P1(n))/3
　P3(n+1) = (P4(n) + P1(n) + P2(n))/3
　P4(n+1) = (P1(n) + P2(n) + P3(n))/3
ですが、P1(n) + P2(n) + P3(n) + P4(n) = 1 に注意すれば、
　P1(n+1) = (1 - P1(n))/3　　他も同様
という、独立した漸化式になります。
　
http://yosshy.sansu.org/

18163．Re: 漸化式　だと思います。
名前：舜　(高校)    日付：11月11日(木) 18時51分
どうして、
P1(n+1) = (P2(n) + P3(n) + P4(n))/3
という風になるのですか？

18165．Re: 漸化式　だと思います。
名前：ヨッシー    日付：11月11日(木) 19時55分
ｎ秒後にＡ１にある点Ｐは、ｎ＋１秒後には、1/3 ずつの確率で、
Ａ２，Ａ３，Ａ４ に行きます。Ａ２，Ａ３，Ａ４ についても同様です。
逆に、Ａ２から 1/3 の確率で Ａ１へ、Ａ３から 1/3 の確率で Ａ１ へ、
Ａ４から 1/3 の確率で Ａ１へ来るので、ｎ＋１秒後に Ａ１に点Ｐが来る確率は、
直前のｎ秒時にＡ２，Ａ３，Ａ４ に点Ｐがある確率 P2(n),P3(n),P4(n) を使って、
　(P2(n) + P3(n) + P4(n))×(1/3)
のように書けます。
　
http://www.geocities.jp/dainembutsu/

18167．Re: 漸化式　だと思います。
名前：舜　(高校)    日付：11月11日(木) 21時27分
どうも有り難うございました。
本当にヨッシーさんってすごいですね。

18150．解の公式について…  
名前：金子　中2    日付：11月11日(木) 5時39分
解の公式は因数分解で解けない問題だけなのですか？それとも因数分解で解ける問題にも使用してもいいのですか？例えばx^2－９＝０などにも…


18151．Re: 解の公式について…
名前：教員志望（大学生）    日付：11月11日(木) 8時40分
もちろん使用可能です．
x^2-9=0は1x^2+0x-9=0ですから
a=1,b=0,c=-9のときの解の公式から
x=(-0±√0^2-4×1×(-9))/2
=±6/2
=±3
ですよね．

18182．Re: 解の公式について…
名前：金子　中2    日付：11月13日(土) 10時25分
ありがとうございました。あとで考えたときにはルートを外すところで間違っていました。

18149．どなたか　お力を。  
名前：☆数理パズル推進委員☆    日付：11月11日(木) 4時32分
次の組み合わせの問題に手こずっています。(挫折した)

テトリスで落下してくるブロック郡は、
4ブロック構成で全部で計7種類の構成をもつ。
ところで、一般に nブロック構成だと、
全部で何種類の構成をもつのか。

計算していたら　推定できずに挫折しました。
そもそも、nの式で推定しようとするのが誤りかもしれません。
しかしながら、マルコフ過程的に定まる気がしてなりません。


18152．Re: どなたか　お力を。
名前：教員志望（大学生）    日付：11月11日(木) 8時46分
力にはなれませんが確か「ポリノミノ」といったような本が洋書であったはずです．8以上になるとブロックで囲まれる領域が発生することがあり，それも含めるとさらにややこしかったような気が・・・
中途半端ですみません．

18154．Re: どなたか　お力を。
名前：ヨッシー    日付：11月11日(木) 12時3分
「ポリオミノ」ですね。（たぶん）
私も、詳しくは知りません。
　
http://yosshy.sansu.org/

18171．ポリオミノ
名前：☆数理パズル推進委員☆    日付：11月12日(金) 2時32分
返信ありがとうございました。
ポリオミノという言葉すら知りませんでした。
詳しく調べてみることにします。

18143．なぜでしょうか？  
名前：roi(高1)    日付：11月11日(木) 0時9分
0≦(a-4)^2≦1の範囲が
-1≦a-4＜1になるはなぜでしょうか？


18145．Re: なぜでしょうか？
名前：ヨッシー    日付：11月11日(木) 0時35分
なぜ -1≦a-4≦1 ではなく -1≦a-4＜1 なのかと言うことでしたら、「ただの誤植です」と言います。

0≦(a-4)^2≦1 → -1≦a-4≦1 となる、理由がわからないと言うことでしたら、
この問題は、0≦x^2≦1 → -1≦x≦1 と同じですので、こちらでお答えします。
まず、-1≦x≦1 ではない ｘ、つまり、-1 より小さいか、１より大きい数ｘで、
0≦x^2≦1 を満たす数があると、お考えですか？
また、-1≦x≦1 の範囲にあるｘで、0≦x^2≦1 を満たさない数があると思いますか？
　
http://www.geocities.jp/dainembutsu/

18146．Re: なぜでしょうか？
名前：roi(高1)    日付：11月11日(木) 0時40分
そうですよね
適切な指南ありがとうございました。

18141．高1です。  
名前：アキフミ    日付：11月10日(水) 23時42分
⊿ABCにおいて∠A＝45°となり、
垂心をDとし、
AE⊥BC、BF⊥ACとなるように点E、Fを取るとBE=2、EC＝3となった。
このときの⊿ABCの面積、及び∠BDCの大きさを求めよ。

なかなか、スマートな解き方が分かりません。
http://sound.jp/song_writer/mypage2/


18153．Re: 高1です。
名前：ヨッシー    日付：11月11日(木) 9時29分

直角をはさむ２辺が、１：２の三角形と、１：３の三角形のそれぞれ、
一番小さい角を合わせると、４５度になることを、予備知識として
知っていれば、（上の左の図より示すのは簡単です）ＡＥ＝６　というのが
すぐ出ます。（面積は１５）

∠ＢＤＣは、そのことに関係なく、右の図から、すぐに出せますね。
（∠ＢＤＣ＝１３５度）
　
http://yosshy.sansu.org/

18140．不定方程式  
名前：シュテヘル（高１）    日付：11月10日(水) 23時31分
７ｘ＋１７ｙ＝４５０　　という方程式を解くにあたって、

４５０－１７ｙ　は７の倍数と言う事で、１７ｙ≡４５０（７）　

これから　３y≡２（７）となる。

それは、６ｙ≡４（７）で　６≡－１（７）だから、－ｙ≡４,

y≡－４≡３（７）となる様ですが、

何故、「それは」以降の　６ｙ　から　－１（７）になり、

６が－ｙとなるのでしょうか。なぜ（－ｙ）が、７を法として４なのでしょうか。

初歩すぎて、恥ずかしいのですが、どなたかお願いします。


18142．Re: 不定方程式
名前：のぼりん    日付：11月10日(水) 23時59分
整数方程式で、１７ｙ≡４５０（７） 等は １７ｙ≡４５０（ｍｏｄ ７） 等のことですね。
＞何故、「それは」以降の　６ｙ　から　－１（７）になり、
６≡－１（ｍｏｄ ７） は、６ｙ の式と無関係に成り立ちます。この式は、７≡０（ｍｏｄ ７） の両辺から １ を引いて得られます。
＞６が－ｙとなるのでしょうか。なぜ（－ｙ）が、７を法として４なのでしょうか。
一般に、ａ≡ｂ（ｍｏｄ ｐ）∧ｃ≡ｄ（ｍｏｄ ｐ）⇒ａｃ≡ｂｄ（ｍｏｄ ｐ） ですから、６ｙ≡－ｙ（ｍｏｄ ７） が成り立ちます。よって、－ｙ≡６ｙ≡４（ｍｏｄ ７） です。

※　誤字があったので、修正して書き込み直しました。

18162．Re: 不定方程式
名前：シュテヘル（高１）    日付：11月11日(木) 18時37分
ありがとうございました。よく分かりました。

18136．組み合わせについての質問  
名前：青柳（社会人）    日付：11月10日(水) 18時23分
よろしければ教えて下さい。
a,b,cを５つ並べると何通りの組み合わせができますか？
ただし、順列は問いません。
aaaab/aaaba/baaaaなどは同一と考えます。

宜しくお願い致します。

社会人


18137．Re: 組み合わせについての質問
名前：ヨッシー    日付：11月10日(水) 18時27分
３種類のものから、５個取り出す、「重複組合せ」なので、
　3Ｈ5＝7Ｃ5＝３５　通り
です。
　
http://yosshy.sansu.org/

18138．Re: 組み合わせについての質問
名前：☆数理パズル推進委員☆    日付：11月10日(水) 20時28分
以下のように考えると明快です。
a+b+c=5を満たす (a,b,c)の組の個数が求めるものであるが、
a=a'-1, b=b'-1, c=c'-1 と置換すると、
(a'-1)+(b'-1)+(c'-1)=5 ⇔ a'+b'+c'=8
(a',b',c') の組が1つ定まると、それに対応して、(a,b,c)の組がただ一通りに定まるので、
a'+b'+c'=8 を満たす(a,b,c)の組の個数が求めるものである。
ここで、 a', b', c' は自然数(≧1)であることから、
下図の○と○の間(○と○の隙間は計7つある)の
相異なる場所に仕切りを2つうちこむ組み合わせの総数が
求めるものである。
よって、　求める解は コンビネーションの 7の2

18134．数列  
名前：篠原    日付：11月10日(水) 11時13分
先日はどうもありがとうございました。今回もまた詳しい解説をお願いします。

整数からなる数列｛a{n}｝を漸化式a{1}=1、a{2}=3、a{n+2}=3a{n+1}-7a{n}(n=1,2,3・・・)によって定める。
(1)a{n}が偶数になることと、nが3の倍数になることは同値であることを示せ。
(2)a{n}が10の倍数となる条件を求めよ。

実際に｛a{n}｝を求めてみたところ、何の役にも立ちそうにありませんでした。どう解けばよいのか、全く分りません。教えてください。よろしくお願いします。


18135．Re: 数列
名前：xxx    日付：11月10日(水) 14時36分
Mod 2で、a_1=1,a_2=1,a_n+2=a_n+1+a_n
Mod 10で、a_1=1,a_2=3,a_n+2=3*(a_n+1+a_n)
をそれぞれ、具体的に求めれば、自ずと答えが出ると思いますよ。

18148．Re: 数列
名前：篠原    日付：11月11日(木) 3時39分
xxx様。風あざみ様。

おはようございます。早速回答していただき、どうもありがとうございました。でもお二方の回答の中に、いくつか分らないことがありましたので、また質問させてください。

まずはお二方の解答に共通して出てくる＜Mod、mod、≡＞などの文字ですが、これは一体何なのでしょうか。もしかして大学以降で使う文字ではないでしょうか。私は今高3なのですが、このような文字はみたことがありません。

もう一つ、風あざみ様の回答の第一行目の式変形なのですが、何をやっているのかはわかるのですが、どうしてあのように式を変形したのか分りません。なぜあのように考えられたのですか。

18155．申しわけありませんが解答を訂正します。
名前：風あざみ    日付：11月11日(木) 13時3分
整数a、b、mをとります。
a=b+m*k(ただしkは整数)とかけるとき、aをmで割った余りと、bをmで割った余りは等しくなります。
整数の以上の性質を用いて解答します。

(1)
an+3=3an+2-7an+1=3*(3an+1-7an)-7an+1=2an+1-21an=an+2*(an+1-11an)
したがってan+3を2で割ったあまりとanを2で割った余りは等しい…★
a1とa2は奇数でa3は偶数だから
★より数学的帰納法で
a3k+1とa3k+2が奇数とa3kが偶数であることがわかる。したがって、(1)がいえた。

(2)
(1)と同様に、anが5の倍数となることとnが4の倍数になることは同値であることを示す。
an+4=3an+3-7an+2=3*(3an+2-7an+1)+3an+2=12an+2-21an+1=12*(3an+1-7an)-21an+1=15an+1-84an=an+5*(3an+1-17an)=an　
したがってan+4を5で割ったあまりとanを5で割った余りは等しい…☆
a1を5で割った余りが1、a2を5で割った余りが3、a3を5で割った余りが2、a4は5で割り切れるから☆より数学的帰納法で
a4k+1を5で割った余りが1、a4k+2を5で割った余りが3、a4k+3を5で割った余りが2、a4kは5で割り切れることがいえます。

よって(1)とあわせて考えると、
anが10で割り切れるとき、nは3と4で割り切れるのでnは12で割り切れる。
逆にnが12で割り切れるとき、anは2と5で割り切れるので、anは10で割り切れることがわかる。

したがって、anが10で割り切れるための必要十分条件はnが12で割り切れることであることがわかる。

18156．上記解答とmodの説明
名前：風あざみ    日付：11月11日(木) 13時4分
an+3=an+2*(an+1-11an)は、an+3を2で割ったあまりとanを2で割った余りは等しいことを言うために、an+3=an+2*(整数)という形を導いたのです。

同様にan+4=an+5*(3an+1-17an)は、an+4を5で割ったあまりとanを5で割った余りは等しいことを言うために、an+5=an+5*(整数)という形を導いたのです。

a≡b　(mod　m)というのはa=b+m*kと書けることを、式でいいかえたもので、整数の剰余の問題では絶大な効力を発揮します。

18157．Re: 数列
名前：xxx    日付：11月11日(木) 16時2分
ｘとｙの差が、ｍの倍数の時、「ｘとｙはｍを法として合同である」といい、
ｘ≡ｙ（mod ｍ）
等と書きます。この記号を用いて、

ａ≡ｂ（mod ｍ）、ｃ≡ｄ（mod ｍ）ならば、
ａ±ｃ≡ｂ±ｄ（mod ｍ）、ａ×ｃ≡ｂ×ｄ（mod ｍ）

が成立する事が示せます。いっている事は単純で、
・ｍの倍数同士を加えたり引いたりしてもても、ｍの倍数である。
・ｍの倍数を何倍かしても、ｍの倍数である。
を、ちょっと延長しただけの物です。恐らくすぐに、この結果を理解できると思います。

ところで、今回の問題は、（１）は、「偶数である場合について調べよ」→「２で割り切れる場合について調べよ」→「２の剰余系で考えれば十分」といえます。
同様に（２）は、「１０の倍数になる場合を考えよ」→「１０の剰余系で考えれば十分」という発想が成り立ちます。

２の剰余系において、数列anは
a1≡1,a2≡1,a3≡0,a4≡1,a5≡1,a6≡0,...と、周期３の110のパターンを繰り返す事を述べ、
１０の剰余系において、数列anは
a1≡1, a2≡3, a3≡2,a4≡5,a5≡1,a6≡8,a7≡7,a8≡5,a9≡6,a10≡3,a11≡7,a12≡0,
a13≡1,a14≡3,...と、周期１２を持つ事を見つけられれば、ゴールが見えます。

ただ、周期１２がちょっと長いと感じられる場合は、風あざみさんが書かれているように、
５の剰余系と２の剰余系を組み合わせて考える方がスマートかも知れませんね。
http://homepage3.nifty.com/Kudah/

18158．まだまだ理解できないところが・・・・・
名前：篠原    日付：11月11日(木) 16時35分
風あざみ様。xxx様。

せっかく丁寧な解説をしてくださっているのに、まだまだ理解できないことがあります。またまた質問させてください。ホントすみません。

a{n+3}を2で割ったあまりとa{n}を2で割った余りは等しいことを示すと、どうしてa{n}が偶数になることと、nが3の倍数になることは同値であることを示したことになるのでしょうか。

18166．Re: 数列
名前：xxx    日付：11月11日(木) 20時37分
> a{n+3}を2で割ったあまりとa{n}を2で割った余りは等しいことを示すと、
> どうしてa{n}が偶数になることと、nが3の倍数になることは同値である
> ことを示したことになるのでしょうか。

そのようなことは、言ってないはずです。

「a{n+3}を2で割ったあまりとa{n}を2で割った余りは等しい」から導かれるのは、
「あまりは周期３で変化している」ということです。

そして、具体的にそれを求めると、奇数、奇数、偶数の繰り返しなので、
anが偶数の時は、ｎは三の倍数であるし、また逆に、ｎが３の倍数の時には、
anは偶数であるといえるのです。

18174．御礼
名前：香澄    日付：11月12日(金) 9時31分
xxx様。風あざみ様。

最後まで親切にお付き合いいただき、ありがとうございました。ようやく理解できました。

18125．三角比の相互関係  
名前：IGA(高１）    日付：11月10日(水) 6時54分
等式(1-tanθ)/(1+tanθ)=(cos^2θ-sin^2θ)/(1+2sinθcosθ)が成り立つことを示せ。

解説によると
(1-tanθ)/(1+tanθ)=(cosθ-sinθ)/(cosθ+sinθ)まではわかるのですが
　　　　　　　　 =(cosθ-sinθ)(cosθ+sinθ)/(cosθ+sinθ)^2
と式変形しています。
なぜこのような式変形ができるかよくわかりません。
お願いします。


18126．Re: 三角比の相互関係
名前：ヨッシー    日付：11月10日(水) 7時12分
分子分母に (cosθ+sinθ) を掛けます。
　
http://www.geocities.jp/dainembutsu/

18139．Re: 三角比の相互関係
名前：IGA(高１）    日付：11月10日(水) 22時5分
よく考えればそうですね。
ありがとうございました。

18123．多角形の交点の数  
名前：民間社会人    日付：11月9日(火) 22時52分
よろしかったらお教えください

http://yosshy.sansu.org/tatsuya1.htm　で、
n角形の対角線の交点の解説があります。
ある頂点から、その頂点と隣り合わない異なる２頂点へ引いた
対角線の「交点」は、その「頂点」として扱わなくて良いのでしょうか？
多角形の頂点は、隣り合う辺の「交点」だと思うのですが・・・
この考えは、根本的に間違っていますか？
お手数をおかけして申し訳ありません。


18127．Re: 多角形の交点の数
名前：教員志望（大学生）    日付：11月10日(水) 8時34分
そもそも交点とはどういう定義なんでしょうか？学校教育においてはとても曖昧なな扱いのように思うのですが．さらにはこの問題自体も少し曖昧なためにそのような疑問が生じるんだと思います．私達にできることはテストにおいては出題者の意図していることを考えて解答することくらいでしょうか．またここに示されている解答では，最初に2つの仮定をしているのでわかりやすいと思います．
さらには，数学においてはいろいろな場合を考えるのが一番だと思います．頂点も考えたときいくつになるのか．また交点を共有する線の組はいくつであるとか．いろいろな考察が可能であると思います．なので決して間違いではないと思います．

18129．Re: 多角形の交点の数
名前：民間社会人    日付：11月10日(水) 10時1分
すみません、説明不足だったようですね。

「多角形の対角線の交点の数」についてです。

たとえば、五角形について考えると・・・
対角線は、一筆書きした「星型」になります。
五角形の内部には、交点が５個あり、解説の計算式と
同じ結果になります。Ｃの５の４です。
これ以外にも、「星型」の頂点(?）を、
２本の対角線の「交点」として、数えなくていいのでしょうか？
という疑問です。
この点は、もともとの多角形の頂点ですが、
対角線の交点にも該当するのではないでしょうか？

多角形の内部にある交点の数なら、
計算式でいいと思うのですが・・・

何度もすみません

18130．Re: 多角形の交点の数
名前：ヨッシー    日付：11月10日(水) 10時5分
ページを見ていただいて、ありがとうございます。

＞この考えは、根本的に間違っていますか？
ということについては、全然間違っていませんし、むしろ、そう考える方が
自然な場合もあります。
というか、私は考慮してませんでした。

多角形の内部（周は含まない）に限った場合と考えて下さい。
　
http://yosshy.sansu.org/

18131．Re: 多角形の交点の数
名前：ヨッシー    日付：11月10日(水) 10時11分
こちらのＱ１６４も同様ですね。

と、安心してみる。
　
http://yosshy.sansu.org/

18132．Re: 多角形の交点の数
名前：民間社会人    日付：11月10日(水) 10時32分
お答えありがとうございます。
喉の痞えが取れたようです。

こんなページがあるとは知りませんでした。
これから、できるだけ参加させて頂きたいと思います。
よろしくお願いいたします。

18117．確率  
名前：よーこ    日付：11月9日(火) 17時2分
３つのさいころを同時に投げるとき、目の積が８の倍数となる確率を求めよ。と言う問題の解き方を教えてください。


18119．Re: 確率
名前：ヨッシー    日付：11月9日(火) 17時24分

目の出方は、６×６×６＝２１６　通りです。
１回目と２回目の目の出方３６通りを上図のように表すと、
この９通りは、３回目に何が出てもダメです。
この１２通りは、３回目に４が必要です。
この１０通りは、３回目に２，４，６が必要です。
この５通りは、すでに８の倍数になっています
以上より、３回投げて８の倍数になるのは、
　１２×１＋１０×３＋５×６＝７２　通り
確率は、１／３　です。
　
http://yosshy.sansu.org/

18121．個数（回数）が一般の場合
名前：ころっさす    日付：11月9日(火) 17時49分
1つのサイコロをn回投げて，目の積が8の倍数でないのは
・奇数n回
・偶数1回，奇数n-1回
・4以外の偶数2回，奇数n-2回
の何れかだから，求める確率は
　1-( (1/2)^n + n*(1/2)^n + (n*(n-1)/2)*(1/3)^2*(1/2)^(n-2) )
＝1-( 1 + (7/9)*n + (2/9)*n^2 )*(1/2)^n

18115．集合で、、、  
名前：トモキ(高２)    日付：11月9日(火) 9時27分
次の問題を教えてください！

次の集合の要素をxで表し、xの満たす条件を書け。

M={2,3,5,7,11}


18116．Re: 集合で、、、
名前：ヨッシー    日付：11月9日(火) 12時14分
M={1, 5, 7, 11, 13, 17, 19} なら、
M={ｘ| ｘ≦20，ｘは２でも３でも割り切れない自然数}
ですね。
http://yosshy.sansu.org/

18120．Re: 集合で、、、
名前：X    日付：11月9日(火) 17時48分
ヨッシーさん、申し訳ありませんが、横から失礼します。

M={x|xは、2≦x≦11なる素数}
で良いのではないでしょうか。

18124．Re: 集合で、、、
名前：アカギ    日付：11月9日(火) 23時40分
x≦１１となる素数でよくないでしょうか？
横レスごめんなさい。

18128．Re: 集合で、、、
名前：X    日付：11月10日(水) 9時7分
>>アカギさん
確かに2≦xは必要ありませんね。（１は素数ではない）
正しくは
M={x|xは、x≦11なる素数}

お手数おかけしました。

18133．Re: 集合で、、、
名前：ヨッシー    日付：11月10日(水) 11時11分
要は、質問者のトモキさんが、
　・素数列に気付かなかった　のか、
　・素数であることはわかっていたが、｛ｘ｜・・・｝という書き方を、知らなかった　のか
ですが、どうでしょう？
　
http://yosshy.sansu.org/

18112．(untitled)  
名前：リョウゾウ（高２）    日付：11月9日(火) 2時57分
次の問題の解き方を、教えてください！

自然数a,b,cが
a^2+b^2=c^2
を満たすとする。
このとき、aが奇数ならばbは４の倍数であることを証明せよ。


18114．Re: (untitled)
名前：ころっさす    日付：11月9日(火) 7時51分
n^2を4で割った余りは，nが奇数のとき1，偶数のとき0だから，
aが奇数のとき，bは偶数，cは奇数となり
　a=2x+1，b=2y，c=2z+1
とおけて
　y^2=z(z+1)-x(x+1)
ゆえ，yは偶数です．

18110．多分簡単な因数分解だと思います。  
名前：つたや。。    日付：11月9日(火) 0時22分
こんばんは。高２です。
数Ⅰの因数分解の問題でわからないものがあります。
どなたか教えてください。よろしくお願いします。

☆問：次の式を因数分解せよ。
　　　　
　　　　ｘ＾｛4｝－7ｘ＾｛2｝y＾｛2｝＋ｙ＾｛4｝


☆☆解説：ｘ＾｛2｝についての2次式であって、この形をｘの複2次式という。
　　　　　実数係数の複2次式は必ず、実数係数の範囲内で因数分解ができる。

与式＝（ｘ＾｛4｝＋ｙ＾｛4｝）－7ｘ＾｛2｝y＾｛2｝　　　　・・・・①
　　＝［ｘ＾｛2｝＋y＾｛2｝］＾｛2｝－2ｘ＾｛2｝y＾｛2｝－7ｘ＾｛2｝y＾｛2｝　　・・・・②
　　＝［ｘ＾｛2｝＋y＾｛2｝］＾｛2｝－9ｘ＾｛2｝y＾｛2｝
　　＝［ｘ＾｛2｝＋y＾｛2｝］＾｛2｝－（3ｘｙ）＾｛2｝
　　＝（ｘ＾｛2｝＋y＾｛2｝＋3ｘｙ）（ｘ＾｛2｝＋y＾｛2｝－3ｘｙ）
・・・　答。


○分からない点。
　　　　　　　
①式から②式にする時、②式を
　［ｘ＾｛2｝－y＾｛2｝］＾｛2｝＋2ｘ＾｛2｝y＾｛2｝－7ｘ＾｛2｝y＾｛2｝
としてはダメなのでしょうか。
なぜダメなのか、理由を教えて下さい。お願いします。


こうしてみると、答は
（ｘ＾｛2｝－y＾｛2｝＋sqrt{5}ｘｙ）（ｘ＾｛2｝－y＾｛2｝－sqrt{5}ｘｙ）　　・・・・★　
となり、平方根が入っていてちょっと違和感があるけど答としてきちんと
出ているように思います。
参考書には、別解として★は出ていないし、これはダメなのでしょうか。
★の答でも、検算すると与式の答になります。
なぜ、
　ｘ＾｛4｝＋ｙ＾｛4｝）
⇒［ｘ＾｛2｝－y＾｛2｝］＾｛2｝＋2ｘ＾｛2｝y＾｛2｝
の式変更がダメなのでしょうか。
　　　　　　　
（『なんとなくダメっぽい気がするからダメ』なのでしょうか。）




長くなりましたが、どなたかよろしくお願いいたします。


18111．Re: 多分簡単な因数分解だと思います。
名前：c.e.s.    日付：11月9日(火) 2時34分
いいような気がします。と言いながらそうなると
(2x+(-3+√5)y)(2x+(3+√5)y)(-2x+(-3+√5)y)(-2x+(3+√5)y)/16
ここまでしたくなりますねぇ。

18169．Re: 多分簡単な因数分解だと思います。
名前：つたや。。    日付：11月12日(金) 0時52分
つたや。。です。

返答ありがとうございました！！

18105．放物線を転がすと？  
名前：たまさん（高３）    日付：11月8日(月) 16時26分
次の問題は、どのように解くのでしょうか？

放物線ｙ＝ｘ＾２・・・（１）を、ｘ軸の正の方向へ、
ｘ軸上で滑らせないように転がすとき、
放物線（１）の焦点の軌跡を求めよ。


18109．Re: 放物線を転がすと？
名前：ころっさす    日付：11月8日(月) 22時4分
t≧0のとき，(1)の焦点は，点T(t，t^2)から
　ベクトル(-1，-2t)の向きにt√(t^2+(1/4))，(-2t，1)の向きに(1/2)√(t^2+(1/4))
だけ移動した位置にあり，原点からTまでの(1)の長さは
　∫_{0}^{t}√(1+4x^2)dx=t√(t^2+(1/4))+(1/4)log(2(t+√(t^2+(1/4))))
ゆえ
　点(x，y)∈求める軌跡
⇔　x=(1/4)log(2(t+√(t^2+(1/4))))，y=(1/2)√(t^2+(1/4))，t≧0 なるtが存在
⇔　y=(e^(4x)+e^(-4x))/8，x≧0

18099．教えてください！  
名前：まぐろ（高２）    日付：11月7日(日) 23時20分
この問題がなかなか解けません！教えてください！！

関数y=sinx+2cosxについて、最大値、最小値を求めよ。

です！


18100．Re: 教えてください！
名前：知也    日付：11月7日(日) 23時43分
ｘの範囲はないの？

18101．Re: 教えてください！
名前：まぐろ（高２）    日付：11月7日(日) 23時57分
これしか書いてなくて；範囲はわからないです（泣
なんか　a（アルファー）
使えって言われてもう何がなんだかで・・・；；

18102．Re: 教えてください！
名前：知也    日付：11月8日(月) 0時57分
　三角関数の合成を使おう　y=√5sin(x+α）　ただしcosα＝1/√5　sinα＝2/√5　を満たすものとする。　αは求められない。
　ここから0から360の角度の範囲で考えると、ここでαの情報としては60＜α＜90　くらいはわかるわなあ。

　ここで単位円を考えてみる。ｘの範囲が書かれていないので最大値はsin(x+α）=1のときy=√5　最小値はsin(x+α）=-1のときy=-√5となる。こんな感じでαを使うと思う。

18093．(untitled)  
名前：リョウゾウ（高２）    日付：11月7日(日) 19時31分
次の問題がよくわかりませんでした。
お教えくださいますよう、お願いします。

nが4で割り切れない自然数のとき、
（1^n）+（2^n）+（3^n）+（4^n）は
10の倍数であることを証明せよ。


18096．Re: (untitled)
名前：ころっさす    日付：11月7日(日) 20時25分
nが奇数のとき，等式
　x^n+y^n=(x+y)Σ_{k=0}^{n-1}x^(n-1-k)(-y)^k
の成立に注意すると
　1^n+4^n，2^n+3^n
は5の倍数です．n/2が奇数のとき
　1^(n/2)+4^(n/2)，9^(n/2)+16^(n/2)
は5の倍数です．

18090．組み合わせ  
名前：チェリー    日付：11月7日(日) 16時12分
問1　男子３人、女子４人について次のような方法は何通りあるか

①7人から3人を選んで1列に並べる方法は？
②7人から3人を選ぶ方法

僕は国語が大の苦手でこういった言葉の問題は区別が中々つきません。どっちも７・６・５だと思いました。見分ける方法教えてください。

問２　　男子6人、女子3人の計9人をA列5人、B列4人の2列に並ばせるものとする。ただし、A,B各最低女子1人は入っている、ものとする。このとき、男女の並び方のみに着目した場合の異なる並び方は全部で何通りあるか。(関西学院)

僕は、3C1・6C4＋2C2・2C2＋3C2・6C3＋1C1・3C3＝９２
と解いたんですけど、答え見ると5C1・4C2＋5C2・4C1＝７０でした
なんでこんな式になったか分かりません。教えてください。


18094．Re: 組み合わせ
名前：c.e.s.    日付：11月7日(日) 19時37分
問1
(1)ABCとACBは選び方は同じだが、並び方が違うので、違うものと考えて数える。
(2)ABCとACBは選び方が同じなので、同じものと考えて数える。

問2
5C1・4C2+5C2・4C1=70
まず最初に女子が1人になる列をAかBかで場合分けする。
(Aの場合)
5C1…A列の女子を入れる場所を決める
4C2…B列の女子を入れる場所を決める
(Bの場合)
5C2…A列の女子を入れる場所を決める
4C1…B列の女子を入れる場所を決める
てな具合です。

18095．Re: 組み合わせ
名前：チェリー    日付：11月7日(日) 20時19分
全く分かりません。もっと詳しくお願いします

18097．Re: 組み合わせ
名前：c.e.s.    日付：11月7日(日) 20時51分
問1
(1)7人から3人を選んで1列に並べる方法は？
このように「7人から3人を選んで1列に並べる」と言われた場合は、「選んだ人間は左から順番に並べる」などと勝手に決める。そして一番左は7人から1人選ぶから7通り、次に残り6人から1人選ぶから6通り、最後に残り5人から1人選ぶから5通り、結局全部で7×6×5(通り)とする。これを通常7P3と表す。
(2)7人から3人を選ぶ方法は？
7人の人間ABCDEFGがいるとする。まず(1)と同様に並べてみる。仮にABCという並びになったとする。彼ら(彼女ら)を並べ替えてみると、その方法は3!=6通り(ABC,ACB,BAC,BCA,CAB,CBA)ある。この問題では並べる方法は問われていないので、これら6通りは区別しない。よって、まず7人から3人を並べ(7P3通り)、しかし3!通りの並べ方がダブっているので、結局(7P3÷3!(通り)の選び方があることになる。これを通常7C3と表す。

18113．Re: 組み合わせ
名前：H2O    日付：11月9日(火) 5時49分
　c.e.s.さんはかなり基本的な内容をもとに回答されていいます。
　これでわからないようであれば、教科書を最初から再度復習することが必要でしょう。それも単元の最初から、あるいは中学の確率で学習した事柄から復習する必要があるかもしれません。
　また、復習のし方としては、教科書を読むときには音読する（声に出して読む）ことです（語学や国語だけでなく全教科に効果的）。
　目で見る、声に出す、耳で聞く、が三位一体となって理解を深めるのに効果的なのです。これは問題文を読むときにも効果的です。目で追うだけでなく、声に出し耳で聞くことによって問題の意味や条件・設定などがより深く理解できます。
　語学（英語など）や国語（古文・漢文を含む）で音読を勧める先生は多いと思いますが、数学や物理でも有効です。目で見る、声に出す、耳で聞く、といったことが三位一体となって事柄の理解に役立っているからです。なぜかというと、人間の脳の働きがそうだからです。この３つのどれか一つがかけても理解度に影響が出てきます。だから、苦手な人ほど教科書や、問題文の音読を勧めます。それも２回以上音読することです。
　

18088．オイラー関連  
名前：ひろこ    日付：11月7日(日) 13時37分
問　正しくないものはなにか
(1)有限グラフのすべての頂点の次数が奇数であるとき、
　　頂点の数は偶数である。
(2)連結グラフから分離辺を除いたグラフは、2つの連結成分
　　を持つグラフである。
(3)連結グラフの分離辺を集めて得られるグラフの連結成分は
　　樹木である。
(4)組み合わせグラフは平面グラフである。
(5)完全グラフは組み合わせグラフである。

私もいろんな本を読んでみましたが、
本の内容は理解できませんでした。
(5)はすべての頂点の組合せが辺で結ばれているグラフと
載っていたのであっているのでは。
なんとなく、(1)の奇数が違うのかなと思っています。
よろしくお願いします。


18092．Re: オイラー関連
名前：とある小学校教員の友達    日付：11月7日(日) 19時2分
（１）は全ての頂点の次数の和は偶数であることからすぐに出るんではないでしょうか．

18085．三角比の基本性質  
名前：あいこ(高2)    日付：11月7日(日) 9時39分
sinx+cosx=4/3　(0°≦x≦45°)のとき、sinx-cosxの値を求めよ。

という問題なんですが、計算して求めていくと、
(sinx-cosx)^2=2/9　とでます。また、範囲が0°≦x≦45°となっているので0≦sinx≦1かつ0≦cosx≦1です。しかし、これからsinx-cosxが正になるか負になるか考えたのですがやはり分かりませんでした。解答にはsinx-cosx<0となっていましたが、なぜそのような考え方に至るのでしょうか。もしよろしければ御指導宜しくお願い致します。


18086．Re: 三角比の基本性質
名前：花パジャ    日付：11月7日(日) 9時58分
1) 0°≦x≦45°から 0≦sinx≦1/√2,1/√2≦cosx≦1 だから
2) sinx-cosx=√2sin(x-45°)で、-45°≦x-45°≦0°だから

18087．Re: 三角比の基本性質
名前：あいこ(高2)    日付：11月7日(日) 10時44分
花パジャさん、御指導有難うございました。45°ですよね。間違って90°を意識していたみたいです。花パジャさんがおっしゃられた(2)のように調べる方法はおそらく初めて(?)目にしました。早速活用していきたいと思います。

18084．数列　  
名前：篠原    日付：11月7日(日) 9時2分
はじめましてこんにちは。数学の問題で悩んでいたら、この掲示板にたどり着きました。どうか教えていただけないでしょうか。よろしくお願いします。↓の問題なのですが、研文書院の大学への数学の数列の問題です。問題の意味すら理解できません。もちろん解答を読んでも何をやっているのかさっぱりです。どういう問題なのか、から詳しく教えてください。よろしくお願いします。

ｎ年間に亘り、毎年末にa円ずつの年金を受け取る権利のある人が、年利率ｒ、1年毎の複利計算という条件の下で、第1年の初めにおいて、年金を全額受け取るとする。その金額をA（円）として、Aを求めよ。


18089．Re: 数列　
名前：X    日付：11月7日(日) 14時41分
解説になるかは分かりませんが以下の操作で表示される文章を参考にしてみてください。

http://bbs5.cgiboy.com/p/74/00242/
に飛んで、最下段の検索ボックスでキーワード

数列？

を検索。

18098．Re: 数列　
名前：篠原    日付：11月7日(日) 23時11分
こんばんわ、Xさん。早速の回答ありがとうございます。

紹介していただいたHPを早速見てみました。同じ問題に悩んでいる人が私の他にもいたんですね。

しかしあのHPで解説されていたことが、私には何をやっているのか全然わかりませんでした。また新たに詳しい解説をして欲しいです。よろしくお願いします。

18103．Re: 数列　
名前：ヨッシー    日付：11月8日(月) 6時6分
１年目の最初に全額Ａ円受け取った場合を、ケースＡ。
受け取らずに、毎年末にａ円ずつｎ年にわたって受け取った場合を、ケースＢとします。

ケースＡの場合は、その時点で、自分のもらうべき年金は終わりなので、
特に考える必要はありませんが、ケースＢでは、受け取っていない
年金には利息が付くと考えます。

１年目：受け取っていない年金の残高はＡ。これにＡｒの利息が付いて、
　　Ａ＋Ａｒ＝(１＋ｒ)Ａ　となり、ここからａ円もらうので、
　　１年目末の受け取っていない年金の残高は　(１＋ｒ)Ａ－ａ　になります。
２年目：１年目の残高に、さらにｒ倍の利息が付いて、
　　(１＋ｒ){(１＋ｒ)Ａ－ａ}　となり、ここからａ円もらうので、
　　２年目末の残高は、(１＋ｒ){(１＋ｒ)Ａ－ａ}－ａ　になります。
これをｎ年繰り返すと、ｎ年目末の残高は
　(１＋ｒ){(１＋ｒ){(１＋ｒ)・・・{(１＋ｒ)Ａ－ａ}・・・－ａ}－ａ}－ａ
になり、これが０になる、というのが問題の趣旨です。
ただし、これでは、解けないので、漸化式を使います。上の、１年目、２年目を一般化して書くと、

ｋ年目末の残高をＭ(k)で表すものとします。
ｋ＋１年目：ｋ年目末の残高は　Ｍ(k)。これにｒ倍の利息が付いて、
　　(１＋ｒ)Ｍ(k)　となり、ここからａ円もらうので、
　　ｋ＋１年目末の残高は　(１＋ｒ)Ｍ(k)－ａ　となります。
つまり、
　　Ｍ(k+1)＝(１＋ｒ)Ｍ(k)－ａ
という漸化式が出来ます。初期値は、１年目の最初を、０年目の年末と考えると、
　Ｍ(0)＝Ａ
です。
、こちらの＜隣接２項漸化式＞を参考にして変形すると、
　(Ｍ(k+1)－ａ/ｒ)＝(１＋ｒ)(Ｍ(k)－ａ/ｒ)
となり、Ｎ(k)＝Ｍ(k)－ａ/ｒ とおくと、Ｎ(k) は、Ｎ(0)＝Ａ－ａ/ｒ
公比 １＋ｒ の等比数列となります。初項が第０項であることに注意すると、
　Ｎ(k)＝Ｎ(0)×(１＋ｒ)^k＝(Ａ－ａ/ｒ)(１＋ｒ)^k
よって、
　Ｍ(k)＝Ｎ(k)＋ａ/ｒ＝(Ａ－ａ/ｒ)(１＋ｒ)^k　＋ａ/ｒ
ｎ年目の残高が０なので、
　Ｍ(n)＝(Ａ－ａ/ｒ)(１＋ｒ)^n　＋ａ/ｒ＝０
これを解いて、
　Ａ＝(ａ/ｒ){１－(１＋ｒ)^(-n)}
となります。
　
http://www.geocities.jp/dainembutsu/

18104．Re: 数列　
名前：篠原    日付：11月8日(月) 15時41分
こんにちは、ヨッシーさん。とても丁寧でわかりやすい回答を提示してくださって、どうもありがとうございました。本当にわかりやすかったです。

18080．整数問題  
名前：シュテヘル（高１）    日付：11月6日(土) 22時29分
問）十進法で６桁の数ｘを真ん中で区切り、２つの３桁の数ｙ、ｚを作る.
y＋ｚ が３７で割り切れれば、ｘも３７で割り切れる事を示せ.

解）ｘ＝１０＾（３）ｙ＋ｚ＝（３７＊２７＋１）ｙ＋ｚ
＝３７＊２７ｙ＋（ｙ＋ｚ）だから、
ｙ＋ｚが３７で割り切れれば、ｘも３７で割り切れる。


　どういう過程を経ると上記の解のようになるのでしょうか。
そこまでの過程を教えてください。お願いします。


18082．Re: 整数問題
名前：arc    日付：11月6日(土) 23時26分
yとzの定義から、x = 1000y + zとなる。
xから(y+z)を引くと、999yとなる。
999yは37の倍数なのでxが37の倍数である条件は(y+z)が37の倍数であればよいことになる。

18083．Re: 整数問題
名前：シュテヘル（高１）    日付：11月6日(土) 23時46分
何処から２７がでてきたのか疑問に思ってました。

２７＊３７は９９９で＋１で１０００　この程度で詰まってました。
ありがとうございました。お恥ずかしい。。

18077．教えてくださいな  
名前：ヌメモン    日付：11月6日(土) 19時50分
a+b=5 ab=2 のとき aの2乗+bの2乗よろしくお願いします。


18078．Re: 教えてくださいな
名前：ＫＧ    日付：11月6日(土) 19時54分
学年が明示されていませんね．
高校１年であれば，既に
　　ｘ^2＋ｙ^2＝(ｘ＋ｙ)^2－２ｘｙ
という重要公式を学習しているはずですが…

18073．積分の公式  
名前：よしこ（高２）    日付：11月6日(土) 18時16分
３次関数y=ax^3+bx^2+cx+dと直線y=Ax+Bとが、１点で交わり１点で接するとき、共通点のx座標をα、β（α<β）とすると、両者で囲まれる部分の面積S=|a|(β-α)^4/12だという公式を見たんですけど、証明が載っていなくて自分でやっても上手くいきません・・・。できたら証明を教えていただきたいです。


18075．Re: 積分の公式
名前：c.e.s.    日付：11月6日(土) 18時36分
y=ax^3+bx^2+cx+dとy=Ax+Bが1点で交わり1点で接するとき、xに関する方程式ax^3+bx^2+cx+d-Ax-B=0は2つの実数解を持ち、うち1つは重解になります。
簡単のため接点のx座標をα、交点のx座標をβ(α<β)とし、a>0とします。つまり積分区間をα<x<βとし、直線は3次関数の上にあるとするわけですが、そうでなくても議論は同じです。すると
∫[α...β]{(Ax+B)-(ax^3+bx^2+cx+d)}dx=-a∫[α...β](x-α)^2(x-β)dx
=-a∫[α...β](x-α)^2(x-α+α-β)dx=-a∫[α...β]{(x-α)^3+(α-β)(x-α)^2}dx
=-a[(1/4)(x-α)^4-(1/3)(β-α)(x-α)^3][α...β]
=-a{(1/4)(β-α)^4-(1/3)(β-α)^4}+a{(1/4)(α-α)^4-(1/3)(α-α)^4}
=-a{(1/4)(β-α)^4-(1/3)(β-α)^4}
=a(1/12)(β-α)^4
流れはこんな感じです。

18070．不等式・・・（高１です。）  
名前：パゲさん    日付：11月6日(土) 10時13分
｜１／(ｘ^2＋４)－１／(ｙ^2＋４)｜ ≦ １／８｜ｘ－ｙ｜

を証明せよ。という問題です。よろしくお願いします。


18071．Re: 不等式・・・（高１です。）
名前：のぼりん    日付：11月6日(土) 14時18分
ｘ＝１００，ｙ＝０ とすると、左辺＝１/４－１/１０００４＞１/８００＝右辺 となり、題意は成り立ちません。

※　関係ないことですが、PC の調子が悪くて、近々修理に出すことになりそうです。　。･ﾟ･(ﾉ・･ﾟ･。

18074．Re: 不等式・・・（高１です。）
名前：c.e.s.    日付：11月6日(土) 18時20分
>のぼりんさん
右辺の絶対値は1/8にかかっているのだと思いますよ

|1/(x^2+4)-1/(y^2+4)|≦|x-y|/8
⇔(x^2+4)(y^2+4)|1/(x^2+4)-1/(y^2+4)|≦(x^2+4)(y^2+4)|x-y|/8
⇔|(x^2+4)-(y^2+4)|≦(x^2+4)(y^2+4)|x-y|/8
⇔|x+y||x-y|≦(x^2+4)(y^2+4)|x-y|/8
⇔|x+y|≦(x^2+4)(y^2+4)/8
⇔「x+y≧0かつx+y≦(x^2+4)(y^2+4)/8」または「x+y＜0かつ-x-y≦(x^2+4)(y^2+4)/8」
⇔「x+y≧0かつx^2y^2+4(x-1)^2+4(y-1)^2+8≧0」または「x+y＜0かつx^2y^2+4(x+1)^2+4(y+1)^2+8≧0」
⇔x+y≧0またはx+y＜0
⇔真

18079．Re: 不等式・・・（高１です。）
名前：のぼりん    日付：11月6日(土) 21時8分
問題を読み違えてしまったようです。
誠にすみませんでした。

18068．すうがく  
名前：暇大学生    日付：11月5日(金) 22時7分
xのｘ乗の不定積分ってなんでしょうか。
ってかだせるのですか？
気になってています。。


18072．Re: すうがく
名前：のぼりん    日付：11月6日(土) 14時19分
私には証明できませんが、初等関数で表すことはできないのではないでしょうか。

18081．Re: すうがく
名前：えいぶ    日付：11月6日(土) 23時11分
x^x=e^(xlogx)と考えると…

18108．Re: すうがく
名前：ken    日付：11月8日(月) 21時54分
> x^x=e^(xlogx)と考えると…
そのあとどうするんですか？

18067．２次関数  
名前：IGA(高１）    日付：11月5日(金) 19時12分
２次関数ｆ（ｘ）＝-x^2-4x+1のa-1≦ｘ≦a+1における最大値をM(a),最小値をm(a)とする。M(a),m(a)をそれぞれaの式で表せ。
前も似たような質問をしたかもしれませんが・・・・

私の解答は
(1)a≦ー3のとき
最大値M(a)=-a^2-6a-4(x=a+1)
最小値m(a)=-a^2-2a+4(x=a-1)
(2)-3<a<-2のとき
最大値M(a)=5(x=-2)
最小値m(a)=-a^2-2a+4(x=a-1)
(3)a=-2のとき
最大値M(a)=5(x=-2)
最小値m(a)=4(x=-3,-1)
(4)－２＜a≦-1のとき
最大値M(a)=5(x=-2)
最小値m(a)=-a^2-6a-4(x=a+1)
(4)-3<aのとき
最大値M(a)=-a^2-2a+4(x=a-1)
最小値m(a)=-a^2-6a-4(x=a+1)

模範解答は
M(a)=-a^2-6a-4(a<-3)
=5(-3≦a<-1)
=-a^2-2a+4(a≧-1)

m(a)=-a^2-2a+4(a<-2)
=-a^2-6a-4(a≧-2)です。
私の解答と同じようで違います。
私の解答をどうすれば模範解答のようにできるでしょうか。
また私の解答だとテストだと×でしょうか？
お願いします。


18069．Re: ２次関数
名前：暇大学生    日付：11月5日(金) 22時57分
数学的に問題ないです。模範解答はMaとma分けて考えただけですね。
ただ４番目の場合は、－１＜aですね。あとa＝－２の時を独立させる必要はないですね。ほかのにくっつけてもいいですね。

18091．Re: ２次関数
名前：IGA(高１）    日付：11月7日(日) 18時40分
すいません私のタイプミスで４番目が二つできてしまいました。
どの４でしょうか・・・。

18107．Re: ２次関数
名前：暇大学生    日付：11月8日(月) 21時26分
えーと５ばんめってことです。

18122．Re: ２次関数
名前：IGA(高１）    日付：11月9日(火) 22時30分
わかりました。ありがとうございます。

18061．三角形の面積の公式  
名前：とある小学校教員の友達    日付：11月5日(金) 2時2分
小学校において三角形の面積の公式は（底辺）×（高さ）÷２と習いますが，なぜ（高さ）×（底辺）÷２とは教えないんでしょうか？どっちでもいいのは分かってるんですが何か明確な理由があるのであれば教えてください．ちなみに現在考えている理由としては
１．ごろがいいから
２．底辺のほうがすぐに求まるから
です．


18062．Re: 三角形の面積の公式
名前：とある小学校教員の友達    日付：11月5日(金) 3時2分
すみません．なぜこんなことを思ったかというと長方形は縦×横ですのでイメージからすると高さが縦に，底辺が横に対応するのではないでしょうか．

18063．Re: 三角形の面積の公式
名前：ひで    日付：11月5日(金) 10時46分
それは平行四辺形の公式に由来しているからです。
　　(平行四辺形の面積)＝(底辺)×(高さ)
ですから、そういう意味では１番でも２番でもないですね(^_^)

18064．Re: 三角形の面積の公式
名前：とある小学校教員の友達    日付：11月5日(金) 14時1分
ありがとうございます．
それではなぜ平行四辺形は底辺×高さなんでしょうか？？

18065．Re: 三角形の面積の公式
名前：X    日付：11月5日(金) 14時54分
小学生に平行四辺形の面積の求め方を教えるときに
分割して長方形を作るという方法がありますよね。
そこから
「まず底辺が元になっていて、高さは作り出すものだ」
というイメージで公式を覚えさせるために底辺が先になっているのでは
と個人的には思っているのですが。

18066．Re: 三角形の面積の公式
名前：とある小学校教員の友達    日付：11月5日(金) 18時28分
ありがとうございます．
私もその考え方には賛成します．
そもそも友達が教師をやっていて小学生に「長方形も横書ける縦にしたらいいやん」といわれたようです．まあそういうところまで気が回る小学生がいるとは興味深いです．いろんなことに疑問を持って考えることができるような教育になるように私も頑張りたいと思います．ありがとうございました．

18058．～数列～  
名前：高校一年です、    日付：11月4日(木) 21時31分
（１）　n　 　i
∑（　∑ij ）の値をnであらわせ。
j=1　 i=1
（２）
　　　n個の自然数1,2,3,....nのあらゆる異なる二つの数の積を作ると　　　き、その和を求めよ。
（３）
　　　Sn=cosθ+cos2θ+cos3θ+cos4θ+…cosnθ　の値を求めよ。

　　　　　　　　　　　　　　　　　　問題数が多いのですがすいませ　　　　　　　　　　　　　　　　　　ん！！どなたか解法とつきでよ　　　　　　　　　　　　　　　　　　ろしくお願いします。


18059．ずれてしまいました
名前：高校一年です、    日付：11月4日(木) 21時32分
(1)の右の　n と　i　はそれぞれ∑の上につきます。すいません。

18060．Re: ～数列～
名前：xxx    日付：11月4日(木) 21時49分

（１）二つめのΣの上はｊですよね。そのΣの中では、ｊは定数なので、．．．
（２）（１＋２＋３＋．．．＋ｎ）×（１＋２＋３＋．．．＋ｎ）を展開することを考え、、よけいな物を、引いたり、割ったりして．．．
（３）触媒関数として、sinθか何かが使えるのでは？Snにsinθをかけてみて、．．．

18055．お願いします  
名前：ひな（中３）    日付：11月4日(木) 16時20分
面積が３９平方㎝のひし形の対角線がもう1つの対角線ACの長さより
７ｃｍ長いときACの長さをもとめなさい。
という問題です。
だれか教えてください。


18056．Re: お願いします
名前：知也    日付：11月4日(木) 16時40分
ひし形の面積は　（対角線×対角線）*1/2 （小学校ではもう習わないかも）　AC=ｘとすると　ｘ（ｘ＋７）*1/2=39 x(x+7)=78 x^2+7x-78=0 (x+13)(x-6)=0 x=6cm

18057．Re: お願いします
名前：ひな（中３）    日付：11月4日(木) 17時19分
知也さんありがとうございました。
その公式知りませんでした。。
これから覚えておきます。

18052．差分算の文章題  
名前：算数がだんだん苦手になってきた・・小学生男子    日付：11月3日(水) 18時35分
Ａ，Ｂ，Ｃの３人がいっしょに出かけました。Ａが３人分の昼食代２４００円を、Ｂが３人分のチョコレートパフェ代を、Ｃが３人分の交通費を払いました。あとでＢがＡに１４０円渡し、ＣがＡに３２０円渡したところ３人の使ったお金は等しくなりました。１人分のチョコレートパフェ代と交通費を求めましょう。ただしチョコレートパフェ代、交通費はそれぞれ３人とも同じです。

この問題が一生けんめい考えてもわかりません。
教えてくれますか？


18053．Re: 差分算の文章題
名前：花パジャ    日付：11月3日(水) 19時56分
・最終的にAが支払ったのは
　　最初に支払った金額 - Bから貰った分 - Cから貰った分
・最終的には全員この金額を支払っている

・最初にBが支払った金額は
　　最終的に支払った金額 - Aに上げた分
・最初にBが支払った金額とは、チョコレートパフェ3人分

・最初にCが支払った金額は
　　最終的に支払った金額 - Aに上げた分
・最初にCが支払った金額とは、交通費3人分

18054．Re: 差分算の文章題
名前：ヨッシー    日付：11月4日(木) 9時57分
話を逆にして、
同じ額ずつ払ったあとに、ＡがＢに１４０円、ＡがＣに３２０円わたした
（Ａは支払額が増え、Ｂ、Ｃは減る）とすると、図のようになります。

　
http://yosshy.sansu.org/

18049．三角関数  
名前：あいこ(高2)    日付：11月3日(水) 13時41分
xの関数y=1-2a-2acosx-2sin^2xの最小値をf(a)とするとき、f(a)をaの式で表せ。ただしaは実数の定数とする。

という問題なんですが、
この関数をcosxだけの式に変形し、cosx=tとおくと
y=2{t-(a/2)}^2-{(a^2/2)+2a+1}

a/2 < -1のとき・・・・
-1≦a/2≦1のとき・・・
a/2＞1のとき・・・

と解答には書いてありました。なぜ上記のように場合わけをしなくてはいけないのでしょうか？
もしよろしければ御指導宜しくお願い致します。


18050．Re: 三角関数
名前：花パジャ    日付：11月3日(水) 15時33分
頂点の位置で場合分けしています。何故かは自分で考えましょう。

18051．Re: 三角関数
名前：あいこ(高2)    日付：11月3日(水) 16時15分
花パジャさん、ヒント有難うございました。
これは、cosx＝tとおいていて、また、-1≦cosx≦1から-1≦t≦1というようにtに存在する範囲が定められているので、場合わけをしなくてはいけないんですね。

18045．(untitled)  
名前：まい    日付：11月2日(火) 23時59分
三角形の図形において
面積　5㎡
底辺　5ｃｍ
高さ　2ｃｍ（角度は不明）
のみ定義されている場合で、斜距離はわかりますか？
相似を用いた面積比率等で求められますか？
素朴な疑問なんですが宜しくお願いします。


18046．返信
名前：のぼりん    日付：11月3日(水) 9時32分
逆質問で恐縮ですが、「斜距離」とは何ですか？

18047．Re:
名前：X    日付：11月3日(水) 9時57分
斜距離とは底辺以外の２辺の長さのことでしょうか？
そうでしたら求められますが、一定ではありません。

問題の三角形を△ABCとし辺BCを底辺に取ります。
簡単のため、∠B、∠Cがいずれも鋭角だとすると、頂点Aから辺BC
上に垂線の足Hを下ろすことができ
BC=5
AH=2
今、BH=xとおくと
0<x<BC=5　①
で、この場合、斜距離は辺AB、辺CAの長さになりますが
△ABH、△ACHに対し三平方の定理より
AB^2=BH^2+AH^2　②
CA^2=CH^2+AH^2
=(BC-BH)^2+AH^2　③
②より
AB=√(x^2+4)　④
CA=√{(2-x)^2+4}　⑤
従って④、⑤は①のxに対し一定ではありませんから
AB,CAは一定の値を取りません。
（∠B、∠Cのいずれかが鈍角の場合も同様です）

18043．(untitled)  
名前：あいこ(高2)    日付：11月2日(火) 23時40分
0≦θ＜2πのとき、以下の不等式を解け。
2cos^2θ≦sinθ+1

という問題なんですが、解答には以下のように書いてあったのですが、

2cos^2θ≦sinθ+1より　(sinθ+1)(2sinθ-1)≧0･･･(１)
sinθ＋1≧0であるから（１）より
sinθ+1=0または2sinθ-1≧0・・・(２)

この(２)のsinθ+1=0はなぜ＝０なのでしょうか？sinθ＋1≧0であるからsinθ+1≧0ではだめなのでしょうか？

もし宜しければ何方か御指導宜しくお願い致します。


18044．できるだけ判りやすく題名も書いて下さい
名前：のぼりん    日付：11月2日(火) 23時53分
ｓｉｎθ＋１ に関して、場合分けして考えましょう。
ⅰ） 先ず、ｓｉｎθ＋１＝０ のとき、（１） は、２ｓｉｎθ－１ の値如何に関わらず成り立ちます。
ⅱ） 次に、ｓｉｎθ＋１＞０ のとき、（１） が成り立つためには、２ｓｉｎθ－１≧０ が必要十分です。
これを整理すると、｛ｓｉｎθ＋１＝０ または （ｓｉｎθ＋１＞０ かつ ２ｓｉｎθ－１≧０）｝ ですが、これは、（ｓｉｎθ＋１＝０ または ２ｓｉｎθ－１≧０） つまり （２） と同値です。

18048．三角関数
名前：あいこ(高2)    日付：11月3日(水) 10時39分
のぼりんさん、御指導、御指摘有難うございました。
よく吟味する必要があるんですね。分かりました。

18038．順列  
名前：チェリー    日付：11月1日(月) 16時49分
男4人。女3人が1列に並ぶのに、男が2人ずつ2組に分かれるのは何通りか

まず男2人を1組として考えて、５!して　　男４人が並び方は４!で、
男４人ともが隣り合うのが、４！・４！だから、

解　(５！・４！)－４！４！　　だと思ったんですけど、
初めが、解答見たら５！÷２なんでこうなるかよく分かりません。お願いします


18039．Re: 順列
名前：ヨッシー    日付：11月1日(月) 18時16分
男をＡＢＣＤ、女をｅｆｇ とします。
男２人組を○● として、○●ｅｆｇ の並び方は確かに５！通りですが、
これに、男を割り当てるとき、たとえば、
○ｅ●ｆｇ　と　●ｅ○ｆｇ　は、同じものです。
これに、男の並び方４！を掛けると、
○ｅ●ｆｇ　に　○＝ＡＢ、●＝ＣＤ　を割り当てたものと、
●ｅ○ｆｇ　に　○＝ＣＤ、●＝ＡＢ　を割り当てたものとがともに、
ＡＢｅＣＤｆｇ　となり、同じものが２つ出来てしまいます。

よって、
　５！４！÷２－４！４！＝８６４
となります。
　
http://yosshy.sansu.org/

18040．Re: 順列
名前：チェリー    日付：11月1日(月) 21時39分
ありがとうございます。あんまり納得してないんですけど・・・・
確立とか順列って難しいですね。いつも模試で間違えてます。
本番まで２ヶ月ちょいです、かなり焦ってきました。関関同立行きたいです。
担任に無理って言われましたけど・・・・・泣

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