オイラーの公式

オイラーの公式　ｅ^iθ＝cosθ＋ｉsinθ　の導出

f(x)＝ｅ^ｘ
g(x)＝cosｘ
h(x)＝sinｘ
とおき、それぞれテーラー展開します。

　f(x)＝ｅ^ｘ＝a0＋a1x＋a2x²＋a3x³＋・・・＋anxⁿ＋・・・
と書けたとします。
f(0)＝１＝a0　より、a0＝１
　f'(x)＝ｅ^ｘ＝a1＋2・a2x＋3・a3x²＋・・・＋n・anx^n-1＋・・・
f'(0)＝１＝a1　より、a1＝１
　f''(x)＝ｅ^ｘ＝2・a2＋2・3・a3x＋・・・＋(n-1)n・anx^n-2＋・・・
f''(0)＝１＝2・a2　より、a2＝1/2
　・・・・・・
　f⁽ⁿ⁾(x)＝ｅ^ｘ＝n!・an＋2・3・…(n+1)a_n+1x＋・・・
f⁽ⁿ⁾(0)＝１＝n!・an　より、an＝１/n!
よって、
　f(x)＝ｅ^ｘ＝1/0!＋x/1!＋x²/2!＋x³/3!＋・・・＋xⁿ/n!＋・・・

　g(x)＝cosｘ＝a0＋a1x＋a2x²＋a3x³＋・・・＋anxⁿ＋・・・
と書けたとします。
g(0)＝１＝a0　より、a0＝１
　g'(x)＝-sinｘ＝a1＋2・a2x＋3・a3x²＋・・・＋n・anx^n-1＋・・・
g'(0)＝０＝a1　より、a1＝０
　g''(x)＝-cosｘ＝2・a2＋2・3・a3x＋・・・＋(n-1)n・anx^n-2＋・・・
g''(0)＝−１＝2・a2　より、a2＝-1/2
　・・・・・・
　g⁽²ⁿ⁾(x)＝(-1)ⁿcosｘ＝(2n)!・a_2n＋2・3・…(2n+1)a_2n+1x＋・・・
g⁽²ⁿ⁾(0)＝(-1)ⁿ＝2n!・a_2n　より、a_2n＝(-1)ⁿ/2n!
　g⁽²ⁿ⁺¹⁾(x)＝(-1)ⁿ⁺¹sinｘ＝(2n+1)!・a_2n+1＋2・3・…(2n+2)a_2n+2x＋・・・
g⁽²ⁿ⁺¹⁾(0)＝０＝(2n+1)!・a_2n+1　より、a_2n+1＝０
よって、
　g(x)＝cosｘ＝1/0!−x²/2!＋x⁴/4!＋・・・＋(-1)ⁿx²ⁿ/(2n)!＋・・・

　h(x)＝sinｘ＝a0＋a1x＋a2x²＋a3x³＋・・・＋anxⁿ＋・・・
と書けたとします。
h(0)＝０＝a0　より、a0＝０
　h'(x)＝cosｘ＝a1＋2・a2x＋3・a3x²＋・・・＋n・anx^n-1＋・・・
h'(0)＝１＝a1　より、a1＝１
　h''(x)＝-sinｘ＝2・a2＋2・3・a3x＋・・・＋(n-1)n・anx^n-2＋・・・
h''(0)＝０＝2・a2　より、a2＝０
　h⁽³⁾(x)＝-cosｘ＝3!・a3＋・・・＋(n-2)(n-1)n・anx^n-3＋・・・
h⁽³⁾(0)＝−１＝3!・a3　より、a3＝-1/3!
　・・・・・・
　h⁽²ⁿ⁾(x)＝(-1)ⁿsinｘ＝(2n)!・a_2n＋2・3・…(2n+1)a_2n+1x＋・・・
h⁽²ⁿ⁾(0)＝０＝2n!・a_2n　より、a_2n＝０
　h⁽²ⁿ⁺¹⁾(x)＝(-1)ⁿcosｘ＝(2n+1)!・a_2n+1＋2・3・…(2n+2)a_2n+2x＋・・・
h⁽²ⁿ⁺¹⁾(0)＝(-1)ⁿ＝(2n+1)!・a_2n+1　より、a_2n+1＝(-1)ⁿ/(2n+1)!
よって、
　h(x)＝sinｘ＝x/1!−x³/3!＋x⁵/5!＋・・・＋(-1)ⁿx²ⁿ⁺¹/(2n+1)!＋・・・

ここで、f(ｉθ)＝ｅ^ｉθ を計算すると、
　f(ｉθ)＝ｅ^ｉθ＝1/0!＋ｉθ/1!−θ²/2!−ｉθ³/3!＋θ⁴/4!＋・・・＋(-1)ⁿx²ⁿ/(2n)!＋ｉ(-1)ⁿx²ⁿ⁺¹/(2n+1)!・・・
　　　　＝(1/0!−θ²/2!＋θ⁴/4!＋・・・＋(-1)ⁿx²ⁿ/(2n)!＋・・・)＋ｉ(θ/1!−θ³/3!＋・・・＋ｉ(-1)ⁿx²ⁿ⁺¹/(2n+1)!＋・・・)
　　　　＝cosθ＋ｉsinθ
となり、オイラーの公式
　ｅ^iθ＝cosθ＋ｉsinθ
が得られます。

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