今度は成功しました

一般に楕円は短半径(a)×長半径(b)×πで求められます。
短半径はもとの円柱の半径(r)と等しくなるのでa=rです。。
長半径は切り口の最も高い部分と最も低い部分の差をhとすると
三平方の定理より(2b)^2=(2r)^2+h^2,b=√(4r^2+h^2)/2となります。
このようすれば求める面積はr√(4r^2+h^2)π/2とすることができます。

こんな図ですね

3587 では，楕円を図のように 2 つに分け，それらから得られる回転体の体積の差として D の体積を求めています．テスト明けにでも考えて見てくださいね．

図からNRの高さが△LII'と△KEJで等しいことがわかります
また底面EFGHにおいて△RELと△RKI'は相似です。
いまER：RK＝S：（１−S）とおけば、LR：RI'＝S：（１−S）。
またLN：NK＝ER：RK＝S：（１−S）、LN:NI＝LR：RI'＝S：（１−S）。
よって立方体の一辺を６aとおけば△LII'における高さNRは６aS
△JEKにおけるNRは４a(1-S)よって
６aS＝４a(1-S)⇔S＝２/５、a≠０、S≠０
よってEL＝２aまたPD：PH＝DI：HK＝１：４よって
AJ＝PDからMはADの中点。
よって切断面は五角形・・・（１）
　
求める図形は青色部分補助点Qをとれば、QE:QH＝JE:PH＝１：２
EL：HK＝２：４
三角錘KPQH＝Vとし三角錘LJQE、IPMDををそれぞれV１、V２とすれば
V１＝V×（１/２）×（１/２）×（１/３）＝V/１２
V２＝V×（１/４）×（１/４）×（１/３）＝V/４８
よって求める体積は
V−V1−V2＝４３V/４８・・�@
一方V＝（１/２）×９×８×４×（１/３）×a^3＝４８a^3
�@に代入して４３a^3・・・（３）
立方体の一辺をｂとすれば６a＝ｂよりa=b/６から
４３b^3/２１６

図形出すの忘れてました

図描いてみました

問題文見間違えたました(；´�)
図の赤い補助線を引きます
△NQMと△PQFは相似で
NM＝a、MQ＝a/√３よりQF＝√３a/６よって
FP：NM＝FQ：QM＝１：２
また△PCNと△PFQは相似でPF：PC＝１：３
図の水量は平面図でいうと△PCNから△PFQを除いたもの
つまり空間図では透明部分のところ。（水色の部分は残っている水量）
PCNを含む三角錘の体積をVとすればPFQを含む三角錘の体積は
(1/3)^3×Vとなり求める部分はV-V/２７＝２６V/２７
一方V＝(１/２)a^2×(√３/２)×（a+a/2）×（１/３）＝√３a^3/８
よって
２６V/２７＝13√３a^3/１０８

図のように、AとBを含む2面を抜き出します。
そして、Aからある方向へ6回、別の方向へ3回動くとBに着くことが分かります。
図の場合は上へ6回、右へ3回ですね。
全移動回数9回の中から、右を3回選ぶ場合の数は9C3＝84通り。
AとBを含む2面を抜き出すパターンは6通りあるから84*6＝504通り。
最後に、元の立方体の辺上（上へ3回、右へ3回、上へ3回など）を2回数えているので504-6＝498通り。

これでは駄目でしょうか？

正四面体→全ての面が正三角形
正三角錐→全ての面が正三角形
正四角錐→底面が正方形であとは正三角形

なので正四面体と正四角錐は同じものになります。

Snは図のような細い長方形で近似する値のことを言っています。
横幅は全て1/nで縦幅はそれぞれ0,(1/n)^2…となるので1/nでまとめることができます。

上の小さい図は、２つの正方形のすき間に出来る直角三角形ですが、
これに直角と縦（長さ１とします）が共通で、30°、60°を含む直角三角形を
作ると、その斜辺は２となります。この直角三角形をＡとします。
また、その直角三角形を除いた部分は、二等辺三角形なのですが、
底辺２，高さ１で、面積は１です。この二等辺三角形をＢとします。

さて、動画の方は、
（１）最初の状態
（２）すき間の直角三角形を内側に折ったところ
（３）すべての直角三角形をＡとＢに分けたところ
（４）真ん中にさらにＡを４つ作ったところ
です。
（４）で、真ん中に出来た正方形は１辺が２，面積は４です。これをＣとします。

大きい正方形は
　Ａが１２個、Ｂが８個、Ｃが１個。　つまり、Ａが１２個と、面積１２
小さい正方形は
　Ａが８個、Ｂが４個、Ｃが１個。　つまり、Ａが８個と、面積８
よって、小さい正方形は大きい正方形の　２／３　倍。
　
http://yosshy.sansu.org/

ヨッシーさんの解法もれっきとした算数ですが、別解を。

内側の正方形を４つの直角二等辺三角形に分割し、
アと名付け、外側の直角三角形４つをイと名付ける。

すると、ア１つ分とイ２つ分の面積が等しいことが分かる。
よって、ア１つ分の面積＝イ２つ分の面積＝＜１＞とすると
内側の正方形…ア４つ＝＜４＞
外側の正方形…ア４つイ４つ＝＜４＞＋＜２＞＝＜６＞

よって、答えは２／３倍

もしかしたら、三平方云々は、「30°60°90°の直角三角形」の
辺の長さの比のことかな？

こうすれば、算数の範囲で
一番長い辺：一番短い辺＝２：１
と説明できます。念のため

ＡからＢＣに垂線ＡＨを下ろします。
ＣＨ＝ｘ　とすると、　ＢＨ＝４−ｘ　ですが、
これを使って、ＡＨ^2 を２通りの方法で表すと
△ＡＢＨにおいて、
　ＡＨ^2＝ＡＢ^2−ＢＨ^2＝９−(４−ｘ)^2＝−ｘ^2＋８ｘ−７
△ＡＣＨにおいて、
　ＡＨ^2＝ＡＣ^2−ＣＨ^2＝４−ｘ^2
よって、
　−ｘ^2＋８ｘ−７＝４−ｘ^2
これより、ｘを求め、ついでにＡＨ^2 も出しておきます。
次に、△ＡＭＨにおける三平方の定理より、ＡＭが求まります。

答えは、ＡＭ＝√10／２　です。
　
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