中三程度で理解できるように、根号と三平方の定理までを使用し、三角関数は使用していません。
三角関数で解く場合はこちらを参照してください。
１）外接円の半径がわかっているとき
図２の△ＯＡＢの面積がわかれば、それを５倍すればよい。
ＯＢを底辺とすれば、高さは、図３のＡＨとなる。
ここで、図３の△ＡＦＯは、∠Ｆ＝∠Ｏ＝72°の二等辺三角形である。
図４のように、∠Ｏの二等分線OGを引くと、△ＡＦＯと△OGＦは相似となる。
図４の●１つで36°を表す。
△OGＦを抜き出したのが図５である。
△ＡＦＯと△OGＦの辺の比より、
ｒ：ｘ＝ｘ：(ｒ−ｘ)
よって、
ｘ2＝ｒ(ｒ−ｘ)
ｘ2＋ｒｘーｒ2＝０
ｘ＞０の範囲でｘについて解くと
ｘ＝(−ｒ＋ｒ√5)/2＝ｒ×(√5−1)/2
すると、
ＦＨ＝ＨＯ＝ｒ×(√5−1)/4
となり、△ＡＨＦにおける三平方の定理より、
ＡＨ2＝ＡＦ2−ＦＨ2＝ｒ2{1−(3−√5)/8}
＝ｒ2(5＋√5)/8
ＡＨ＝ｒ√{(5＋√5)/8}＝ｒ√(10＋2√5)/4
△ＯＡＢ＝ＯＢ×ＡＨ÷２＝ｒ2√(10＋2√5)/8
５倍して
五角形ＡＢＣＤＥ＝5ｒ2√(10＋2√5)/8
２）１辺の長さがわかっているとき
△ＯＡＢの面積がわかれば、それを５倍すればよい。
図７においてＭはＡＢの中点で、ＦはＯＭの延長上にあり、ＯＦ＝ＯＡである。
１）の結果より、
ＡＦ＝(√5−1)ｘ/2
ＡＭ＝ＡＦ×√(10＋2√5)/4
＝(√5−1)ｘ/2×√(10＋2√5)/4
＝√(6−2√5)√(10＋2√5)ｘ/8
＝√(40−8√5)ｘ/8
＝√(10−2√5)ｘ/4＝d/2
よって、
ｘ＝２ｄ/√(10−2√5)
これを、１）のｒに当てはめると、
五角形ＡＢＣＤＥ＝20ｄ2√(10＋2√5)/8(10−2√5)
＝5ｄ2/4 × √{(10＋2√5)/(30−10√5)}
＝5ｄ2/4 × √{(5＋√5)/5(3−√5)}
＝5ｄ2/4 × √{(5＋√5)(3＋√5)/5・4}
＝√5ｄ2/8 × √{(5＋√5)(3＋√5)}
＝√5ｄ2/8 × √(20＋8√5)
＝√{5(5＋2√5)}ｄ2/4
＝√(25＋10√5)ｄ2/4
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