ヨッシーの八方掲示板

2003年10月の投稿ログ

10993．垂直と直角

名前：ナナコ 日付：10月31日(金) 21時20分

この違いがよくわかりません。教えてください。

	10996．Re: 垂直と直角
	名前：Red cat 日付：11月1日(土) 0時23分
	私見です。垂直 … 交わる二直線のなす角が直角である状態直角 … 所謂 90°のことつまり「直角」という言葉は角度に対して、「垂直」とは交わる二直線に対して使う言葉であって、言葉遣いとしては ○「垂直に交わる」 ×「直角に交わる」といった違いが出てくるのではないでしょうか。

10991．ボルツァノ‐ワイヤシュトラースの定理

名前：たくや 日付：10月31日(金) 21時8分

ふと思いついた疑問ですが，大学で習うボルツァノ‐ワイヤシュトラースの定理は平面上の有界な無限集合を用いて表されていますが，有界でなくても成り立ちますよね？

	10992．Re: ボルツァノ‐ワイヤシュトラースの定理
	名前：Red cat 日付：10月31日(金) 21時15分
	有界でないと成り立ちません。 a_n = n とすれば、これは収束部分列を持たないからです。

	10994．Re: ボルツァノ‐ワイヤシュトラースの定理
	名前：たくや日付：10月31日(金) 21時51分
	ａ_{ｎ}＝ｎのｎは自然数ということですか？なぜ平面上の点列の収束性を考える時にａ_{ｎ}＝ｎを考えなければいけないのでしょうか？よろしくお願いします。

	10995．Re: ボルツァノ‐ワイヤシュトラースの定理
	名前：Red cat 日付：11月1日(土) 0時18分
	a_n = n の n は自然数です。ボルツァノ‐ワイヤシュトラースの定理は「有界点列 {a_n} は収束部分列を持つ」ということだったと記憶しますが、それは直線であろうと平面であろうと同じように成り立つことです。そこで、直線上の例を挙げて、非有界のときに定理の主張が成り立たないことを示させていただきました。必要なら a_n = (n,0) として、平面上に話を持っていけば良いだけです。

	11034．Re: ボルツァノ‐ワイヤシュトラースの定理
	名前：たくや日付：11月2日(日) 18時43分
	何度もすみません。有界でなくても，例えば直線で考えた時，有界でない無限集合Ｓに属する任意の実数をとってきて，それをａ_{１}とすると，Ｓ上で収束部分列をもつようにとれるのではないでしょうか？例えばある有界でない無限集合Ｓがあって，ａ_{ｎ}＝１/ｎ（ｎ＝１，２，３，…）となるようにとれるとすると，この数列は０に収束するので，これは収束部分列をもつということではないでしょうか？よろしくお願いします。

	11044．Re: ボルツァノ‐ワイヤシュトラースの定理
	名前：Red cat 日付：11月3日(月) 11時58分
	定理が主張することを、もう一度良く考えてみてください。「有界点列は収束部分列を持つ」と主張していますが、「非有界点列は収束部分列を持たない」とは主張していません。持つときも持たないときもありえます。

	11205．Re: ボルツァノ‐ワイヤシュトラースの定理
	名前：たくや日付：11月9日(日) 19時33分
	非有界点列が収束部分列を持たないのは，どのような時でしょうか？

10974．　群数列

名前：わく日付：10月30日(木) 23時21分

偶数の列を次のような奇数個ずつの群に分ける。
2｜4,6,8|10,12,14,16|・・・・
(1)第K群のK番目の数をCｋとおく。Ｃ1＋Ｃ2＋・・・＋Ｃnを求めよ。
(2)第Ｎ群に含まれる和の総和を求めよ。
(1)と(2)の違いがわかりません。
教えてください

	10975．Re: 　群数列
	名前：ヨッシー日付：10月30日(木) 23時27分
	正しくは、 2 \| 4,6,8 \| 10,12,14,16,18 \| ・・・ですね。 (1) は、上の太字の数の和です。第１群の１番目、第２群の２番目、第３群の３番目・・・です。 (2) は、たとえば第３群なら、10+12+14+16+18 です。　 http://yosshy.sansu.org/

	10976．Re: 　群数列
	名前：わく日付：10月30日(木) 23時37分
	訂正：2｜4,6,8\|10,12,14,16,18\|・・・・でした。あいがとうございました。

10969．教えてください

名前：うさぎ　中３ 日付：10月30日(木) 21時5分

2次関数です。。。

（１）y＝－２Ｘ＾２＋４Ｘ＋１（－１≦Ｘ≦２）

（２）ｙ＝－（X＋１）＾２＋３（０≦X≦２）

↑の関数の最大値および最小値とそのときのXの値を求めましょう。
という問題です。
やり方と、グラフが必要なのか教えてください。
では宜しくお願いいたします。

	10985．Re: 教えてください
	名前：ヨッシー日付：10月31日(金) 9時22分
	とりあえず、私のページの「ミニ講座」の「二次関数の最大・最小」をご覧下さい。グラフが必要かというと、「グラフをいちいち描かないでも、解けるようになるには、いやというほどグラフを描かないといけません」と言っておきましょう。　 http://yosshy.sansu.org/

	10988．Re: 教えてください
	名前：うさぎ　中３日付：10月31日(金) 17時30分
	はい。ありがとうございました。いやというほど書かないといけないのですね。

10968．掛け算

名前：ああああ 日付：10月30日(木) 21時3分

質問です。
実数の掛け算って交換法則が成り立ちますよね。
それの証明の仕方を教えてほしいのですが。
a*b=b*aの証明です。
a=Bのときは成立するのですが、a=!のときはどうするのですか？
大学二年生です。

	10970．訂正
	名前：ああああ日付：10月30日(木) 21時6分
	a=Bじゃなくて a=b a=!じゃなくて a=!b です。（aはbではないという意味です

	10972．Re: 掛け算
	名前：ast 日付：10月30日(木) 21時53分
	自然数での可換性を認めてそれを整数に拡張, 続いて有理数に拡張, さらに実数へ完備拡大に従って拡張. で終了です. さて, 自然数から整数, 整数から有理数への拡張や, 有理数の完備化として実数への拡張はきちんと理解されているのでしょうか・・・；

	11000．Re: 掛け算
	名前：ああああ日付：11月1日(土) 12時16分
	いえ、自然数の可換性からまずわかりません。その証明方法は大体どのような教科書に載っているのですか？小学生の使う教科書でしょうか（もう捨ててしまったはず）中学、高校では教わった覚えはないのですが。群論などの教科書でアーベル群などを見たのですが、自然数の可換性には触れていませんでした。これはもう習得済みのはずということで載っていないのでしょうか。

	11004．Re: 掛け算
	名前：ast 日付：11月1日(土) 21時43分
	はじめに断わっておきますが, そのような話は全て大学生レベルの話になりますから, 習っていなくて当然です. 自然数の場合を『証明』したいのなら, 公理的集合論の話（？）なので私は詳しく知りません. ですから, 私がお話するとなると, 自然数の積の可換性は『認めて』もらわないと話が進みません. ただ, その前に数の拡張を（高校までのように誤魔化さずに）きちんとやると, 同値関係で割るだとか, 整域の商体だとか, コーシー列だとかいろいろ使うので, まったく知識がないといわれると, どの辺まで誤魔化して話すかというのをかんがえることになって, ちょっと面倒です. # そうなると, 私のほうでも準備が必要になりますし, 掲示板でやるような # ことではないかもしれません. # ああああさんが疑問をもった背景や, 学力などが測れると良いのですが.

	11047．Re: 掛け算
	名前：ああああ日付：11月3日(月) 15時42分
	すいません。僕は実数の掛け算の可換性は小学生の頃から当たり前の様に使っていたので、証明は単純なものだと思っていました。どのような教科書に証明が載っているかを教えて下さい。大学二年生が習っていないようなことがある程度必要だとしてもそこは自分で勉強するので良いです。群を勉強していて実数については可換であるということの証明をやらなかったので疑問に思って、質問しました。

10965．不等式

名前：IGA 日付：10月30日(木) 18時47分

不等式について質問なんですが、

７００＞６０ｘ
の不等式なんですが、不等式って文字が入ってる場合、その文字の値って求められたんでしたっけ？それとも範囲でしたっけ？

	10966．Re: 不等式
	名前：ヨッシー日付：10月30日(木) 18時52分
	もちろん、範囲ですよ。極端な例が　ｘ＜３　解くまでもない(^^; ただし、連立不等式で、　一方から　ｘ≦２　他方から　ｘ≧２　という解が得られたときは範囲の重なり部分として　１つの値　ｘ＝２　が答えとなることはあります。　　 http://yosshy.sansu.org/

	10967．Re: 不等式
	名前：IGA 日付：10月30日(木) 19時51分
	返信ありがとうございます！ありがとうございました。

10961．お願いします。曲線の長さの問題です。

名前：papiky 日付：10月30日(木) 15時45分

だいぶ前に大学卒業のpapikyです。
よろしくお願いします。

曲線ｙ＝ｘ＾１/２（0<=x<=1)の長さを求めよ。という問題です。

	10963．Re: お願いします。曲線の長さの問題です。
	名前：（）（）（）日付：10月30日(木) 18時32分
	定積分のなど入力しにくいものが多いのでやり方だけ… yをxで微分しその値をｔとでもおいておくと 1+ｔ＾2のルートを1から0で定積分　　　　（これは公式です）これで答えが出ます公式の説明が必要ならまた書いておいてください

	10964．Re: お願いします。曲線の長さの問題です。
	名前：papiky 日付：10月30日(木) 18時46分
	実は、この下の積分が計算できません。 ∫（１+１/４ｘ）＾１/２ｄｘ

	10977．Re: お願いします。曲線の長さの問題です。
	名前：キューダ日付：10月31日(金) 0時6分
	∫√(1+x^2)dx = x√(1+x^2) - ∫x^2 dx /√(1+x^2) = x√(1+x^2) + ∫dx/√(1+x^2) - ∫√(1+x^2) dx 　; x^2 = -1 + (1+x^2) = x√(1+x^2) + ∫du/u - ∫√(1+x^2) dx , u = x + √(1+x^2) 従って、∫√(1+x^2)dx = (1/2) * [ x√(1+x^2) + Log\|x + √(1+x^2)\| ] この積分を参考にしてみて下さい。

	11027．Re: お願いします。曲線の長さの問題です。
	名前：papiky 日付：11月2日(日) 16時11分
	ありがとうございます。できれば、∫（１＋１/４ｘ）~１/２ｄｘの詳しい計算方法をお願いします。

	11037．Re: お願いします。曲線の長さの問題です。
	名前：キューダ日付：11月2日(日) 21時37分
	根号の扱い上、x≧0,a≧0 とします。 ∫√{(x+a)/x}dx = ∫(x)'* √{(x+a)/x}dx = x * √{(x+a)/x} + (a/2) * ∫dx/√{x(x+a)} ここで、u = √x + √(x+a) と置くと第２項は、a ∫du/u となります。従って、∫√{(x+a)/x}dx = √{x(x+a)} + Log(√x + √(x+a)) + Const. ちなみに前回の書き込みは、ｓ＝∫√(1+(dx/dy)^2)dy=∫√(1+4y^2)dy を利用して欲しいというものでした。

	11039．Re: お願いします。曲線の長さの問題です。
	名前：キューダ日付：11月2日(日) 22時17分
	訂正誤従って、∫√{(x+a)/x}dx = √{x(x+a)} + Log(√x + √(x+a)) + Const. 正従って、∫√{(x+a)/x}dx = √{x(x+a)} + a Log(√x + √(x+a)) + Const.

	11063．Re: お願いします。曲線の長さの問題です。
	名前：papiky 日付：11月4日(火) 17時11分
	大変ありがとうございました。

10944．積分

名前：ジャグラ　高３ 日付：10月28日(火) 22時23分

こんばんわ、最近学校で条件があえば公式が使えるのを習ったのですが、
その公式をどのようにして導くのかを説明してくれませんでした。
もやもやになっているので、どなたか教えていただけませんか？

放物線と放物線で作られる面積Ｓは各x^2の係数a,bを用いて
また⊿Xを(β-α）で表すとＳ＝la-bl/6(β-α)^3

放物線と２本の接線　同様な感じでS=lal/12(β-α)^3
放物線とそれに対する接線とX軸に垂直な線で囲まれる面積は
S=lal/3(β-α)^3
以上の３つが分からないです＾＾；
私なりに色々考えてみたのですが、自力で積分の原理を考え出し納得する
ことは厳しいようです....お願いします（m__m)

	10948．Re: 積分
	名前：ヨッシー日付：10月29日(水) 2時37分
	ｆ（ｘ）＝ａｘ²＋・・・ｇ（ｘ）＝ｂｘ²＋・・・で囲まれた部分の面積は、　ｙ＝ｆ（ｘ）－ｇ（ｘ）のグラフと、ｘ軸で囲まれた部分の面積と等しいので、こちらの公式に帰着することが出来ます。とりあえず、今日はここまで。　 http://yosshy.sansu.org/

	10951．Re: 積分
	名前：我疑う故に存在する我日付：10月29日(水) 11時59分
	＞放物線と放物線で作られる面積Ｓは各x^2の係数a,bを用いてまた⊿Xを(β-α）で表すとＳ＝la-bl/6(β-α)^3 所で、(β-α)^2 ＝ D (２つの２次式の差の判別式)、よって、Ｓ＝ (la-bl/6)(β-α)^3 = (la-bl/6)D^(3/2) 覚えておくと便利ですよ。(と言うより、受験生にとっては常識？)

	10953．Re: 積分
	名前：ジャグラ　高３日付：10月29日(水) 18時44分
	ヨッシーさん返答ありがとうございます。なるほど、そのようにして導くのですね･･･。助かります（m__m) 我疑う故に存在する我さんありがとうございます。全然知りませんでした（笑）　と言うか笑ってる場合じゃないよね・・・。 (β-α)^2より具体的にもう少し解説していただきたいのですが.... と言うか分かりません；； (β-α)^2って絶対に正ですよね？それとも一般的にこの数値より上回ったらこうだとかがあるのでしょうか？

	10984．Re: 積分
	名前：ジャグラ　高３日付：10月31日(金) 1時36分
	どなたか公式の導き方を教えていただけませんか？＞＜ヨッシーさんから教えていただいたf(x)-g(x)=h(x)でf(x)とg(x)の交点は h(x)のx軸との交点α、βと同値であると言うコトですよね。お忙しい中多少あつかましい気もするのですが、とても気になっているので lαl/3からはじまる公式等の導き方も教えていただけないでしょうか？；－；

	10986．Re: 積分
	名前：ヨッシー日付：10月31日(金) 16時53分
	S=lal/3(β-α)^3 の式のは、何がαで、何がβなのでしょう？　 http://yosshy.sansu.org/

	10989．Re: 積分
	名前：ジャグラ　高３日付：10月31日(金) 19時4分
	S=lal/3(β-α)^3 についてですが、f(x)=ax^2･･･と f(x)の接線とx=Qで囲まれた面積みたいで、その時のx座標の交点α、β（β＞α）とすると成立するみたいです....x=Qがβの時αの時でも関係なく成りたつようです・・・。 S=lal/12(β-α)^3は　f(x)=ax^2･･･の異なる２つの接線の接点α、βをとし,２つの接線と放物線f(x)で囲まれる面積Ｓは ∫(from β to α）f(x)dx=S=lal/12(β-α)^3と表せるみたいです・・・。お手数かけます(m__m)

	10990．Re: 積分
	名前：ジャグラ　高３日付：10月31日(金) 19時9分
	∫(from β to α）f(x)dxではなく２つの接線L(x) M(x)の交点γとして ∫(from β to γ）｛f(x)-L(x)｝＋∫(from γ to α）｛f(x)dx-M(x)｝ =lal/12(β-α)^3ですね・・・。

	10997．Re: 積分
	名前：ヨッシー日付：11月1日(土) 6時48分
	私のページの「覚え書きコーナー」に「２次関数の定積分２」を載せました。　 http://yosshy.sansu.org/

	11009．Re: 積分
	名前：ジャグラ　高３日付：11月1日(土) 23時2分
	ヨッシーさん＞お忙しい中制作していただきただ感謝するばかりです（m__m)

10939．数的処理　

名前：ともこ（３回生） 日付：10月28日(火) 16時15分

１３で割ると７余り、７で割ると２余る整数ｎがある。この整数ｎを１３・７で割ると余りはいくらか。

という問題が分かりません。数学、ほんと苦手です。誰か教えて下さるとうれしいです。

	10940．Re: 数的処理
	名前：ヨッシー日付：10月28日(火) 16時31分
	例えば、５で割ると３あまり、３で割ると１あまるような数は、どんな数か考えてみます。とりあえず１つ見つけるために、５で割ると３あまる数を挙げると　３，８，１３，１８，２３，２８，３３，３８，４３，４８などがあり、この中で太字のものが、３で割ると１あまるで、　１３，２８，４３，５８，７３・・・などです。規則がわかりますか？「とにかく１つ見つけると、あとは３・５＝１５ずつ増やせばよい」です。もし、４３なんかを最初に見つけたら、１５ずつ減らせばいいです。１３から始まって、１５ずつ増えていく数というと、もちろん１５で割ったあまりはすべて　１３　ですね。さて、１３で割ると７余り、７で割ると２余る整数。まず、１つ見つけるところから始めてみて下さい。　 http://yosshy.sansu.org/

	10943．Re: 数的処理
	名前：ともこ（３回生）日付：10月28日(火) 21時12分
	わかりました！！まず書き出してみて、共通なものを見つければ、その次に共通なものは１３と７の最小公倍数ずつ増やして行けば見つかるんですね。　どうもありがとうございました。就職試験勉強中なんですが、数学苦手でしょっちゅうつまずいてます・・。今後もよろしくお願いします！！

10921．高校数学Ⅰ

名前：ピアノ 日付：10月27日(月) 20時49分

数学の宿題でわからないところがありましたので教えてください。
問）2次方程式X^2－2KX＋K＋2=0が、異なる２つの負の解をもつように、定数Kの値の範囲を求めましょう。

という問題です。
お時間ありましたら宜しくお願いします。

	10923．Re: 高校数学Ⅰ
	名前：ヨッシー日付：10月27日(月) 21時2分
	私のページの「ミニ講座」の「二次方程式の基礎」の下の方に「判別式」というものが出てきます。まず、このページを読んでみて下さい。　 http://yosshy.sansu.org/

	10927．Re: 高校数学Ⅰ
	名前：ドラドラ（１７）日付：10月27日(月) 21時24分
	まずＦ(ｘ）＝Ｘ＾2－２ＫＸ＋Ｋ＋２っておきます。そしたら平方完成して頂点の座標を出すと（Ｋ,　－Ｋ＾2＋Ｋ＋２）となります。そもそも求める条件ってのはグラフに書いてみると分かるけど頂点のＸ座標が負に、そしてＹ座標も負に、さらにＦ(0)が正になるときじゃん？ちなみにF(0)＝Ｋ＋２ね。これらの条件からＫ＜０・・・①　－Ｋ＾2＋Ｋ＋２＜０・・・② Ｋ＋２＞０・・・③となってこれら①②③の連立不等式をとくと、－２＜Ｋ＜－１っていう解が得られると思うよ。間違ってたらゴメン。

	10929．Re: 高校数学Ⅰ
	名前：arc 日付：10月27日(月) 22時23分
	k = -1 x^2 + 2x + 1 = 0 x = -1 が成り立つので、-1は含まれるかと。よって答えは、（－２）＜（Ｋ）≦（－１）になりますか。

	10930．Re: 高校数学Ⅰ
	名前：ドラドラ（１７）日付：10月27日(月) 22時37分
	でも異なる２つの負の解ですからＫ＝－１は入らなくないですか？

	10931．Re: 高校数学Ⅰ
	名前：ピアノ日付：10月27日(月) 22時40分
	カキコしてくださった皆さんありがとうございます。まだ習ったばかりなのでよくわからないのですが、Ｄ＝ｂ＾２－４Aｃってこの問題に使用することありますか？

	10932．Re: 高校数学Ⅰ
	名前：モルモット大臣日付：10月27日(月) 22時41分
	題意は負であるあい異なる2解ですから重解はだめなんですよね。

	10933．Re: 高校数学Ⅰ
	名前：arc 日付：10月27日(月) 23時27分
	そうでした。すみません・・・（汗

	10934．Re: 高校数学Ⅰ
	名前：ドラドラ（１７）日付：10月28日(火) 0時51分
	もちろんＢ＾2－４ＡＣもつかえるよ。だけどF(0)＞０ってのと頂点のＸ座標がつまりＫがＫ＜０ってのをわすれなければね。

	10938．Re: 高校数学Ⅰ
	名前：ヨッシー日付：10月28日(火) 6時20分
	判別式＞０　より、　Ｋ²－Ｋ－２＞０　・・・(1) ２つの解をα、βとすると　α＋β＜０　かつ　αβ＞０なので、解と係数の関係より　２Ｋ＜０　・・・(2) 　Ｋ＋２＞０　・・・(3) 以上より　－２＜ｋ＜－１という方法もあります。　 http://yosshy.sansu.org/

	10941．Re: 高校数学Ⅰ
	名前：ピアノ日付：10月28日(火) 17時40分
	とてもわかりやすかったです。ありがとうございました。

10920．不定積分

名前：まなみ 日付：10月27日(月) 20時45分

（x^2+x+1）/（x^4+1）のxについての不定積分です。
おそらく部分分数分解っぽいのですがさっぱり。おねがいします。

	10935．Re: 不定積分
	名前：Red cat 日付：10月28日(火) 0時57分
	x^4 + 1 = x^4 + 2x^2 + 1 - 2x^2 = (x^2 + 1)^2 - 2x^2 = (x^2 + (√2)x + 1)(x^2 - (√2)x + 1) 従って (x^2 + x + 1)/(x^4 + 1) = (Ax + B)/(x^2 + (√2)x + 1) + (Cx + D)/(x^2 - (√2)x + 1) とおくと x^2 + x + 1 = (Ax + B)(x^2 - (√2)x + 1) + (Cx + D)(x^2 + (√2)x + 1) = (A + C)x^3 + (B - (√2)A + D + (√2)C)x^2 + (A - (√2)B + C + (√2)D)x + (B + D) 係数を比較すると A + C = 0 B - (√2)A + D + (√2)C = 1 A - (√2)B + C + (√2)D = 1 B + D = 1 ここから A = C = 0 , B = 1/2 - (√2)/4 , D = 1/2 + (√2)/4 めんどい(ぉので B と D は文字のまま放っておいて (x^2 + x + 1)/(x^4 + 1) = B/(x^2 + (√2)x + 1) + D/(x^2 - (√2)x + 1) = B/[{x + (√2)/2}^2 + 1/2] + D/[{x - (√2)/2}^2 + 1/2] えらく泥タンボ(苦笑)になってしまいましたが、これでとりあえず既知の形に持ち込めます。

	10950．Re: 不定積分
	名前：キューダ日付：10月29日(水) 9時43分
	偶・奇に分けて積分すると、 (1/2) ArcTan(x^2) + (1/√2) ArcTan(u) , u = (√2)x/(1-x^2) とも計算できます。

10916．基礎質問　明日テスト・・・

名前：IGA 日付：10月27日(月) 17時43分

連立方程式の問題で立式をするときに・・
いつも疑問に思うのですが、それを質問させていただきます。

x/14+y/5=y/15+x/6-1/3

上記の式で分数を消したいのですが、逆わり算ができないという・・・
ショッキングなことが・・・・かんでやっても途方に暮れる。

どうすればいいでしょうか？教えてください。明日テストなんで・・

	10917．Re: 基礎質問　明日テスト・・・
	名前：ヨッシー日付：10月27日(月) 20時31分
	一挙に消すなら、 14, 5, 15, 6, 3 の最小公倍数である 210 を両辺に掛けて　210x/14+210y/5=210y/15+210x/6-210/3 約分して　15x+42y=14y+35x-70 です。最小公倍数が求めにくければ、　14×5×15×6×3＝18900 を両辺に掛けても良いです。また、少し整理するなら、移項して、　x/14-x/6+y/5-y/15=-1/3 通分して　3x/42-7x/42+3y/15-y/15=-1/3 　-2x/21+2y/15=-1/3 21, 15, 3 の最小公倍数 105 を両辺に掛けて　-210x/21+210/15=-105/3 約分して、　-10x+14y=-35 です。　 http://yosshy.sansu.org/

	10928．Re: 基礎質問　明日テスト・・・
	名前：IGA 日付：10月27日(月) 21時46分
	＞最小公倍数が求めにくければ、　14×5×15×6×3＝18900 を両辺に掛けても良いです。これはこれは参考になります。本当に助かった。（汗こういうやり方があったとは！うれしい。じつにうれしい。しかしすこしめんどくさそう。これは最終手段ですね。ヨッシーさんありがとうございました！！

10915．立て続けに大変申し訳ありません

名前：formula 日付：10月27日(月) 17時3分

２つの放物線y=x^2 , y=ax^2+b の交点において、これらの曲線の接線が
直交している。このとき、定数a,bの間にはどのような関係があるか。

答えは4ab=a-1, (1-a)b>0なのですが、後者がどうにも分かりません。
解説では
y=f(x)=x^2 , y=g(x)=ax^2+b とおき、(1-a)x^2=bとしているのですが、
これは２つの関数の交点のx座標をαとしたときf(α)＝g(α)だからf(x)=g(x)を考えたのかな？と思い次の行に進んだら、いきなり「この２関数が交点を持つから(1-a)b>0」とあるのですが・・さっぱり分かりません。図形的解釈でああ、そうなのかな・・？という程度で、これが入試に出たら、この答えを書こうとは思えません。どう言う事なのか、すみませんが、宜しくお願いします。

	10918．Re: 立て続けに大変申し訳ありません
	名前：ヨッシー日付：10月27日(月) 20時35分
	いろんな解釈が出来ますが、一言で言えば、（判別式）＞０　です。　 http://yosshy.sansu.org/

	10926．Re: 立て続けに大変申し訳ありません
	名前：formula 日付：10月27日(月) 21時15分
	２つとも答えて頂きありがとうございます。納得です。

10914．(untitled)

名前：formula 日付：10月27日(月) 16時45分

関数f(x)は
(i)f'(0)=a ,
(ii)全てのx,yに対して　 f(x+y)=f(x)+f(y)
を満たす。
（１）f'(x)を求めよ。
（２）f(x)=f(1)xを示せ。

この解説では
まず(１)でf′(x)=a と分かったので、f(x)=ax+b(bは定数)･･･①とおき、(ii)からf(0+0)=f(0)+f(0)=2f(0) ∴f(0)=0 ①からf(0)=b=0、よってf(x)=axであり、f(1)=aだから･･
と言うふうに示してあるのですが、f(1)=aというのは「f(x)=f(1)x」という「示さねばならない問題」にのっとった解説で、f(1)=aを示さないと証明不完全では？？

	10919．Re: (untitled)
	名前：ヨッシー日付：10月27日(月) 20時44分
	「よってf(x)=axであり、」は、(i)(ii) から得られた結果ですから、そのまま x=1 を代入した　f(1)=a は、すでに示されていることになります。　 http://yosshy.sansu.org/

	10925．Re: (untitled)
	名前：formula 日付：10月27日(月) 21時15分
	ありがとうございました。とても分かりやすかったです。こんなことにも気付かなかったなんて。。

10910．宗教・・・

名前：田村　正和 日付：10月27日(月) 3時23分

昨日私の友達から宗教の勧誘を受けました。
ちょっと法の華三法行やオウムに近かったのですがまだつぼやセミナーなどを開いてお金などを徴収している様子ではありませんでした。
私も宗教は心理的にいいことかもしれないし悪いものだとは考えていませんがある意味詐欺なのでお金などを集めるようになったら私の友達が大学をやめてしまうかもしれないととても不安です。
そこで私の友達に論理的に間違っていると証明をしてその宗教から身を引いてもらうと考えています。どこか以下の論理を指摘できる証明をしてるようなサイトやできるかたいらっしゃいませんか？
１：その宗教に入ると誰もが幸せになれる。
２：生命力・福運はその宗教の教えに書いてある勤行に従わないとあっという間に減って元に戻ってしまい、いつかはなくなってしまう。
３：宝くじのような運勢を使うと運力は減ってしまう。
＃私いつも数学に関係ない話ですいません。版違いでしょうか？

	10911．Re: 宗教・・・
	名前：Red cat 日付：10月27日(月) 9時33分
	＞版違い確かに字を間違ってる…というツッコミはおいといて…。宗教に論理は通用しないので、ご友人には自分をしっかり持つようにアドバイスしてみてはいかがでしょう。 #宗教に身を委ねている状態が、自分をしっかり持っているとは、到底 #思えません。 ##補足ですが、宗教というものは、良かれ悪かれ、自分の都合で論理を ##ねじ曲げます。「通用しない」とはそう言う意味です。また、貴方自身も、自分をしっかりと持ってください。説得に失敗したとき、自分まで引きずり込まれることのないように…。

	10912．Re: 宗教・・・
	名前：花パジャ日付：10月27日(月) 10時44分
	宗教は完全を目指します、で、矛盾に陥ります数学は無矛盾を目指します、で、不完全に陥ります真の宗教者に矛盾を指摘しても無意味なのですその友人に邪念があれば、手はあるかと思いますが...

	10913．Re: 宗教・・・
	名前：Red cat 日付：10月27日(月) 11時10分
	＞宗教は完全を目指します、で、矛盾に陥ります＞数学は無矛盾を目指します、で、不完全に陥ります職場でなければ大爆笑必至。見事な好対照。

	10924．Re: 宗教・・・
	名前：田村　正和日付：10月27日(月) 21時14分
	どうもご返信ありがとうございます。とても参考になりました。

10906．立体について

名前：ドラドラ（１７） 日付：10月26日(日) 23時32分

立体の定義とはなんですか？と先生に聞かれました。どう答えればよいでしょうか。教えて下さい。

	10907．Re: 立体について
	名前：ケロ＠蛙宇宙高３日付：10月27日(月) 0時39分
	直方体といっても、現実には完全な直方体は存在しないでしょう。球も宇宙空間で無重力状態にあっても、ほんのわずかな重力を受けたり、素粒子が衝突したりしているので、液体が完全な球になることはないでしょう。立体は（直方体や球）はそれに似たもの（箱やボールなど）の仮の理想的な形です。立体の定義はというと、面（平面や曲面）により他の空間から切り取られた空間の一部分ということになりそうです。

	10922．Re: 立体について
	名前：ドラドラ（１７）日付：10月27日(月) 20時57分
	すいません。正多面体の定義でした。この場合なんでしょうか？

	10936．Re: 立体について
	名前：Red cat 日付：10月28日(火) 1時0分
	＞正多面体の定義全ての面が正多角形からなる多面体のこと。じゃ「多面体ってナニ?」ときかれたらちょっと困るかも…。

	10937．Re: 立体について
	名前：ヨッシー日付：10月28日(火) 6時13分
	多面体で、全ての面が、合同な正多角形であること。任意の隣り合う２面のなす角が等しいこと。　 http://yosshy.sansu.org/

	10942．Re: 立体について
	名前：Red cat 日付：10月28日(火) 18時20分
	＞合同あ! これを忘れてましたね。 follow ありがとうございます。

	10952．Re: 立体について
	名前：我疑う故に存在する我日付：10月29日(水) 18時21分
	＞「多面体ってナニ?」凸多面体の定義は、有限点集合の凸包で内点を持つ物（⇔有限個の閉半空間の交わりで、有界かつ内点を持つ物)（内部も含む場合。）多面体の定義：有限個の凸多面体の和集合で内点集合が連結な物。或は更に強く、任意の境界点の任意の閉球近傍との交わりが、その内点集合が連結という条件を満たす物。＞正多面体の定義多面体で、全ての面が、合同な正多角形であること。任意の隣り合う２面のなす角が等しいこと任意の隣り合う２面のなす角が等しいこと→「各頂点に集まる面の数が一定値であること」とするのが普通。

	10954．Re: 立体について
	名前：ケロ＠蛙宇宙高３日付：10月29日(水) 20時36分
	いろいろ考えたけど、これぐらい。おかしなのあるかな。１）球に内接し、すべての面が合同な正多角形の多面体。２）面が合同な正多角形で、それらの正多角形の外接円の中心を通る法線が一点で交わる多面体。３）頂点が球面上に残るように、平面で球をすぱすぱ切っていったとき、その断面が合同な正多角形となる多面体。

	11067．Re: 立体について
	名前：我疑う故に存在する我日付：11月4日(火) 18時3分
	私が云っているのは正多面体の「普通の定義」ケロ＠蛙宇宙高３さんが云っているのは「特徴付け」（正しいかどうか知らないが。）

10902．「§」とはどういう意味でしょうか？

名前：味噌汁 日付：10月26日(日) 14時42分

こんにちは。

「§」とはどういう意味でしょうか？

	10903．Re: 「§」とはどういう意味でしょうか？
	名前：中川　幸一日付：10月26日(日) 15時22分
	Section という意味です。 http://www3.ezbbs.net/01/k-nakagawa/

	10904．Re: 「§」とはどういう意味でしょうか？
	名前：味噌汁日付：10月26日(日) 16時1分
	検索しても0件だったので困っていたのです。助かりました。どうもありがとうございました。

10898．question time

名前：IGA 日付：10月26日(日) 10時30分

√２＋√３＋√４を小数で表したとき、その整数部分をa,小数部分をbとするとき、
①aの値を求めよ
②b^2-a+6b+9の値を求めよ。
という問題なんですが・・・
①の問題では私は４になると思うのですが、違うのです。
理由は√２＋√３＋√４の整数部分は順に１＋１＋２だからです・・・

②は小数部分の求め方を忘れました。たしか・・・・・
もとの数から整数部分をひくということだから・・・
√２ー１＋√３ー１ですよね。√４の小数部分はありませんよね・
┐（;´Д｀）┌...
教えてくださるとありがたや・・・

	10899．Re: question time
	名前：IGA 日付：10月26日(日) 10時32分
	なぜ小数部分はもとの数から整数部分を引くのかを教えてくださるとありがたいです。

	10900．Re: question time
	名前：ヨッシー日付：10月26日(日) 10時42分
	√２≒１．４１ √３≒１．７３ √４＝２なので、√２＋√３＋√４≒５．１となり、整数部分は「５」となります。数を小数で表したとき、小数点より左の部分が整数部分、右の部分が小数部分なので、（もとの数）＝（整数部分）＋（小数部分）です。２．４３という数の整数部分は「２」。これをもとの数から引いた、　２．４３－２＝０．４３が、小数部分です。つまり、ａ＝５　であり、ｂは　ｂ＝√２＋√３＋√４－５＝√２＋√３－３です。　 http://yosshy.sansu.org/

	10901．Re: question time
	名前：IGA 日付：10月26日(日) 12時42分
	なるほど！わかりやすかったです！このような問題は小数第１位までもとめてたしたほうがいいのですね。ちょっとしつもんなんですが、 √３≒１．７３とありますが、この整数部分は四捨五入して２ってことはないですよね？１ですよね？すいません変な質問で！

10895．明日模試があるんですけど・・・

名前：しっほ（中３） 日付：10月26日(日) 9時20分

思いっきり記憶から消えてて・・・
球の体積を求める公式ってなんでしたっけ？

	10896．Re: 明日模試があるんですけど・・・
	名前：ヨッシー日付：10月26日(日) 9時42分
	よその掲示板に載ってたものですが、こちらなど。　 http://yosshy.sansu.org/

10891．数列

名前：味噌汁 日付：10月26日(日) 1時2分

こんばんは。

次の数列の階差数列はどのような数列か。という問題なのですが、
等差数列1,5,9,13,……
階差をとると、
4,4,4,4,4,……
これは初項が4、公差が0の等差数列。と、解答には書いてあるのですが、
初項が4、項比1の等比数列では駄目でしょうか…？
解答にはなにも書いてないので不安で…
よろしくお願いします。

	10892．Re: 数列
	名前：ヨッシー日付：10月26日(日) 1時31分
	良いでしょう。等差数列と見るなら、一般項は　４＋０（ｎ－１）等比数列と見るなら、一般項は　４×１^n-1 で、いずれも　４　になります。　 http://yosshy.sansu.org/

	10897．Re: 数列
	名前：味噌汁日付：10月26日(日) 10時8分
	ほっとしました。どうもありがとうございました。

10886．２次関数

名前：じゅんこ（中３） 日付：10月25日(土) 20時47分

今学校で2次関数を習っているのですが、先生から出された質問がわかりません。どうか教えてください。

y=x^2　という式で
Y| 1 2 3 4 5
X| 1 4 9 16 25

Xの増加量が、３、５、７、９のように奇数で増加する理由を答えよ
という問題でした。色々考えたのですが全くわかりません。
宜しくお願いします。

	10887．Re: ２次関数
	名前：（）（）（）日付：10月25日(土) 20時55分
	(x+1)^2-x^2が増加している量になります (x+1)^2-x^2＝x^2+2x+1-x^2＝2x+1 よって2x+1は奇数であるから増加量は奇数となります

	10888．Re: ２次関数
	名前：じゅんこ（中３）日付：10月25日(土) 21時1分
	()()()さん。回答ありがとうございました。加えて質問ですが、なぜ増加量が(x+1)^2-x^2となるかがわかりませんｔｔどういう風に考えればそこに行き着くのでしょうか宜しくおねがいします。」

	10890．Re: ２次関数
	名前：aminoさん日付：10月25日(土) 22時9分
	一つ言うけどＸが１．２．３．４・・・・って増えたらＹが１．４．９．１６ってなるんだよね？変化量についてだけど例えば２から５までの変化量っていったら５－２＝３ってなるでしょ？つまり後マイナス最初ってわけで。この場合もＸの次の数はＸ＋１じゃん？だからＹ＝Ｘ＾2に代入するとＸの時の数はＸ＾2となり、Ｘ＋１の時の数は（Ｘ＋１）＾2ってなるわけだ。つまり変化量は後マイナス最初で（Ｘ＋１）＾2－Ｘ＾2ってなるわけですよ。

	10893．Re: ２次関数
	名前：じゅんこ日付：10月26日(日) 9時7分
	なるほど！とても勉強になりました。 aminoさん。ありがとうございました。数学って楽しいですね。自分で解けるようになれるようガンバリマス！

	10905．Re: ２次関数
	名前：aminoさん日付：10月26日(日) 19時14分
	高校生になっても２次関数はとても大切な概念になるからがんばって解けるようになってね。

10879．簡単な質問ですいません。

名前：IGA 日付：10月25日(土) 10時31分

√４０３２ー１８９ｎが正の整数になるような最大の整数ｎの値を求めよ。
※ルートははじまでつづいてます。
それで
√3^2*7*(2^6-3n)
となりますよね?※ルートははじまでつづいてます。
ここからがさっぱり・・・・
解答を読むと
2~6-3n=7*m^2となるらしい。
これが正の整数になるための式・・
まったくわけがわかりません。
ご教授お願いします。

	10880．Re: 簡単な質問ですいません。
	名前：Bob 日付：10月25日(土) 12時6分
	ルートが外れるときはどんなとき？ √１６＝√４＾２＝４ √１２１＝√１１＾２＝１１のように中が２乗の形にならないと外れて整数にならないのです。今回√４０３２ー１８９ｎ＝√６３・（２＾６－３ｎ）　　　　　　　　　　　　＝√３＾２・７・（２＾６－３ｎ）これをみると３は２つありもう２乗の形になっている。問題点は（１）７はあとひとつ必要（２）カッコの中はなってない（１）は２＾６－３ｎが７×○の形になれば解決します。でも（２）はまだ外れませんね。よって○＝△＾２にならなければ行けませんよって総括すると　２＾６－３ｎ＝７×△＾２今回△＝ｍになっています。６４－３ｎ＝７ｍ＾２ｎを０からいれていきｍが正の整数になる最大ｎを探す。　　　　　　　　　 http://homepage3.nifty.com/sumida-3/

	10881．Re: 簡単な質問ですいません。
	名前：Bob 日付：10月25日(土) 12時21分
	ｎとしては２つあります。一つはｎ＝１２　　　もう一つは　　　n＝１９最大ｎ＝１９ http://homepage3.nifty.com/sumida-3/

	10882．Re: 簡単な質問ですいません。
	名前：IGA 日付：10月25日(土) 12時52分
	ありがとうございます～～わかりやすかったです。どうもありがとうございました。

	10885．Re: 簡単な質問ですいません。
	名前：Bob 日付：10月25日(土) 19時11分
	いえいえどういたしまして。この問題もパターン化して覚えちゃいましょう。あまりアレンジも見かけないので、応用をちょっときかせれば他の問題もできると思います。 http://homepage3.nifty.com/sumida-3/

10877．数Ｉ　反復試行

名前：まきまき　２８歳 日付：10月24日(金) 23時34分

はじめまして。どうしても納得できないのでご指導願えますでしょうか？

チャート式（白）　基礎と演習　数学Ｉ＋Ａ　（数研出版）より
Ｐ２６６　問題３５６　（４）
さいころを続けて３回投げるとき、出る目の数の積が１０の倍数になる確率を求めよ。

私は、１０の倍数になるためには「５が１回偶数が１回あとの１回は何の数字でもよい」と思い、　３！×１/６×１/２×６/６＝１/２　　としました。

解答は、　出る目の積が１０の倍数となる場合は
[１]５が２回と偶数が１回でる　[２]５が１回と偶数が２回出る　
[３]５と偶数が１回ずつ出て１または３が１回出る
のいずれかで、これらは互いに排反である。それぞれの確立は
[１]　3Ｃ2（１/６）^2･１/２＝１/２４
[２]　3Ｃ1・１/６（１/２）^2＝１/８
[３]　３！×１/６・１/２・２/６＝１/６
よって、求める確立は
１/２４＋１/８＋１/６＝１/３

でした。解答の[１][２][３]の説明で、共通している「５が１回」「偶数が１回」と考えると、残った数字は「５」「偶数」「１・３」になりますよね。
私の考えた「あとの１回は何の数字が出てもよい」とどう違うんでしょうか？

よろしくお願いします。

	10878．Re: 数Ｉ　反復試行
	名前：Red cat 日付：10月25日(土) 0時38分
	＞「あとの１回は何の数字が出てもよい」と考えると、例えば (2,5,5) のようなものを二重にカウントしてしまうことになります。

	10884．数Ｉ　反復試行
	名前：まきまき　２８歳日付：10月25日(土) 14時39分
	ありがとうございました。今から落ちついて考えてみます。

10871．y切片

名前：味噌汁 日付：10月23日(木) 23時33分

こんばんは。数１の問題です。

二次関数：y=ax^2+bx+c

の「+c」がy切片になる理由が分からないので教えてください。
よろしくお願いします。

	10872．Re: y切片
	名前：ast 日付：10月23日(木) 23時41分
	「y 軸」=「直線 x=0」だからです.

	10873．Re: y切片
	名前：味噌汁日付：10月23日(木) 23時57分
	なるほど！すごくよくわかりました！！どうもありがとうございました。＾＾

10865．数列

名前：豚カツ（１７歳） 日付：10月23日(木) 10時40分

よく数列の問題で第ｎ項を求めよ。ってのがあるとありますが、第ｎ項って簡単に言うと何ですか？

	10866．Re: 数列
	名前：ast 日付：10月23日(木) 11時53分
	ご質問の意図が読み取れないので, 非常に答えにくいのですが・・・.

	10868．Re: 数列
	名前：ヨッシー日付：10月23日(木) 15時21分
	簡単に言うと「ｎ番目の項」です。自然数列：1, 2, 3, 4, 5, ・・・　の　第１項は１です。　第８項は８です。　第ｎ項はｎです。２のべき乗：2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, ・・・　の　第１項は２です。　第８項は 256 です。　第ｎ項は２ⁿ です。ａ_k＝２^k－ｋ（ｋ＝0,1,2,3・・・）で定義される数列　　　　　：1, 1, 2, 5, 12, 27, 58, 121,・・・　の　第１項は１です。　第８項は 121 です。　第ｎ項は２_n-1－ｎ＋１　です。　※ｋが０から始まっているので、第ｎ項は k=n-1 のときの値です。大抵、ｎを含んだ式で答えることになります。　 http://yosshy.sansu.org/

10854．三角関数

名前：nekota 日付：10月22日(水) 21時43分

sin(x＋60°)＞1/2はどうやるんでしょうか？

	10859．Re: 三角関数
	名前：Red cat 日付：10月22日(水) 22時40分
	まずは sin y ＞ 1/2 が解けますか?解けないなら、そこから解説を始めることになりますが。

	10861．Re: 三角関数
	名前：nekota 日付：10月22日(水) 23時51分
	30°≦ｘ≦120°ですか？

	10863．Re: 三角関数
	名前：Red cat 日付：10月23日(木) 10時25分
	私は別に y の範囲を限定したつもりはありません。ご質問の問題も、x の範囲は特に指定されていないようですし。逆質問ですが、なぜ不等号に等号が付くと思いましたか? #回答を小出しにするようで恐縮ですが、ここは根気よく行きたいと #思いますのでよろしくお願いします。

	10875．Re: 三角関数
	名前：Red cat 日付：10月24日(金) 18時2分
	反応がないので、いかんともし難いですが…。仕方がないので、ポイントを絞りつつ解答。 Q, sin(x + 60°) ＞ 1/2 A, x + 60°= y とおくと sin y ＞ 1/2 となるので 0°≦ y ＜ 360°ならば 30°＜ y ＜ 150°となります。 #等号は付かないので注意。 sin の周期が 360°なので、答は (360n + 30)°＜ y ＜ (360n + 150)° となります(n は整数)。 y = x + 60°と戻すと (360n + 30)°＜ x + 60°＜ (360n + 150)° ∴(360n - 30)°＜ x ＜ (360n + 90)°(n は整数)

	10876．忘れ物
	名前：Red cat 日付：10月24日(金) 18時20分
	画像を添付しておきます。参考になれば幸い。

	10883．Re: 三角関数
	名前：nekota 日付：10月25日(土) 14時4分
	本当ありがとうございました。

10851．空間図形

名前：つばさ 日付：10月22日(水) 20時58分

初めまして。高二です。
「正四面体ＡＢＣＤの辺ＡＢ、ＣＤが垂直であることを
ベクトルを用いて証明せよ」という問題で
証明は出来るんですが、ＡＢとＣＤは垂直と言えるのでしょうか？

	10852．Re: 空間図形
	名前：momomo 日付：10月22日(水) 21時23分
	証明したのだから垂直で良いのでは？立方体ABCD-EFGHのADFHは正四面体だからAD⊥FHというのではだめ？

	10856．Re: 空間図形
	名前：ケロ＠蛙宇宙高３日付：10月22日(水) 21時50分
	ねじれの位置にある２本の直線にはどちらの直線にも平行な平面があります。その平面にそれぞれの直線に平行な直線を引いたとき、その為す角は平行な平面をどのようにとっても一定で、その角をねじれの位置にある２本の直線のなす角と言うみたいです。

	10857．Re: 空間図形
	名前：つばさ日付：10月22日(水) 22時6分
	ありがとうございました。何となく理解出来ました。

10850．固有ベクトルと正規直交基底

名前：ほるもん（大卒・・一般市民？） 日付：10月22日(水) 17時39分

こんにちは。線形代数の問題です。
3*3の行列A
(3,2,4)
(2,0,2)
(4,2,3)
について、
１．異なる固有値に対応する固有ベクトルは互いに直交することを確かめよ。
２．R^3(3次元ベクトル空間)の正規直交基底をなす3つの固有ベクトルを求めよ。

１．
固有方程式|λE-A|=0から(λ-8)(λ+1)^2=0より　λ=-1,8
λ=-1に対応する固有ベクトルをxとすると(-E-A)x=0をみたす(x≠0)から、
連立方程式を解いて,x=α(1,-2,0)+β(0,-2,1) α,β≠0
λ=8に対応する固有ベクトルをyとすると、同様にしてy=γ(2,1,2)
x・y を計算すると0になるのでxとyは直交。
としました。

２．
α=1/√2、β=-√2として　a=(1/√2,0,-1/√2)
γ=1/3として　b=(1/3,2/3,1/3)
とするとこれらは正規直交系をなす。
　これらの1次結合で表されないベクトルをt=(1,0,0)と選ぶと、
　c=t-{(a・t)/(a・a)}a-{(b・t)/(b・b)}b
　で作られるcはa、bと直交。（実際a・c、b・cを計算すると0)
　cを求めると　c=(1/18,-4/18,1/18)　|c|=1
　よって求める正規直交基底はa,b,cである。

としたのですが、２の問題文に3つの「固有ベクトル」を求めよ。
とあるのがよくわかりません。a,bは固有ベクトルですが、cは
固有ベクトルではないですよね？
だいたい、固有値が重解で2個しかないから固有ベクトルも2個しかない
はずじゃないかと思うのですが。
もともと題意がよく分かりません。
よろしくお願いします。

	10860．Re: 固有ベクトルと正規直交基底
	名前：Red cat 日付：10月22日(水) 22時44分
	＞cは固有ベクトルではない固有ベクトルです。＞固有値が重解で2個しかないから固有ベクトルも2個しかないこの問題の場合、固有値 - 1 に対する固有空間が 2 次元になるため、一次独立なものが 2 個取れます。

	10862．Re: 固有ベクトルと正規直交基底
	名前：ほるもん日付：10月23日(木) 0時32分
	Red Catさんありがとうございます。 >固有値 - 1 に対する固有空間が 2 次元になるため、一次独立なものが 2 個取れます。はオッケーです。こういう行列では、固有値が2個しかなくても、1次独立な固有ベクトルが3つとれるので対角化可能というやつですよね？でも、cが固有ベクトルというのが、やっぱり分かりません。固有ベクトルの定数倍もまた固有ベクトル、というのは分かりますが。 cは（だいたい直交するようにつくったのだから）定数倍ではないですよね？なのに、なんで固有ベクトルなのか？どの固有値に対応した固有ベクトルなのか？？よろしくお願いします！！

	10864．Re: 固有ベクトルと正規直交基底
	名前：Red cat 日付：10月23日(木) 10時38分
	＞どの固有値に対応した固有ベクトルなのか - 1 です。 p = ^t(1,- 4,1) として、Ap を計算してみてください。 Ap = - p となるはずです。c はその 1/18 倍なので、やはり Ac = - c となります。あと、言い忘れがあったので補足。お求めになった c は長さが 1 ではありません。

	10874．Re: 固有ベクトルと正規直交基底
	名前：Red cat 日付：10月24日(金) 10時47分
	よく見たら b が間違ってませんか? ＞b=(1/3,2/3,1/3) ではなく b = (2/3,1/3,2/3) では?

	10889．Re: 固有ベクトルと正規直交基底
	名前：ほるもん日付：10月25日(土) 21時21分
	Red Catさん、ありがとうございました。 >b=(1/3,2/3,1/3)ではなく b = (2/3,1/3,2/3) では? そのとおりでした。。 cが固有ベクトルというのは確かに納得です。でも、なんとなく不思議な気がします。。。

10843．プログラム

名前：K 日付：10月22日(水) 3時13分

大学の確率のことで、質問します。
ガンマ分布p.d.f f(x)=1/Γ(α)　（β＾α x^{α-1}e^{-βx}）
このとき、P(a<X<b)=aからbのf(x)の積分を計算するプログラム（mathematicaを用いて）を作りたいのですが、教えていただけると助かります。β＾αはβのα乗という意味です。

	10845．Re: プログラム
	名前：Red cat 日付：10月22日(水) 14時39分
	新しい確率変数 Y を Y = βX とおくと、Y の分布関数は (1/Γ(α)) x^{α - 1} e^{- x} となります。 #これを [0,∞) の区間で積分すると 1 になるのは良いでしょうか。そうすると P(a ＜ X ＜ b) = P(βa ＜ Y ＜ βb) = P(Y ＞ βa) - P(Y ＞ βb) = Γ_βa(α)/Γ(α) - Γ_βb(α)/Γ(α) ただし Γ_x(α)/Γ(α) (x ≧ 0) は不完全ガンマ関数比 mathematica のことは良くわかりませんが、不完全ガンマ関数比を求める関数があれば、それを使えばよいのだと思います。

	10847．Re: プログラム
	名前：中川　幸一日付：10月22日(水) 16時58分
	不完全ガンマ関数 Γ(a,z) なら Gamma[a,z] という関数があります。不完全ガンマ関数は, Γ(a,z)=∫[z＜t＜∞](t^a-1e^-t) dt を満たします。 http://www3.ezbbs.net/01/k-nakagawa/

	10848．Re: プログラム
	名前：中川　幸一日付：10月22日(水) 17時3分
	ちなみに, 一般不完全ガンマ関数 Γ(a,z₀)-Γ(a,z₁) は Gamma[a,z₀,z₁] という関数です。不完全一般ガンマ関数は, 積分 ∫[z₀＜t＜z₁](t^a-1e^-t) dt で与えられます。 http://www3.ezbbs.net/01/k-nakagawa/

	10858．Re: プログラム
	名前：Red cat 日付：10月22日(水) 22時38分
	ってことは Gamma[a] で Γ(a) ですか?それならば Gamma[α,βa]/Gamma[α] - Gamma[α,βb]/Gamma[α] あるいは Gamma[α,βa,βb]/Gamma[α] が答. #そう言えば、報告し忘れました(滝汗)が、HN を元に戻しました。

	10867．Re: プログラム
	名前：Red cat 日付：10月23日(木) 12時54分
	ググってみたところ、GammaRegularized という関数を発見。 GammaRegularized[a,z0(,z1)] = Gamma[a,z0(,z1)]/Gamma[a] これを使えば GammaRegularized[α,βa,βb] で瞬殺…。

10835．無限級数

名前：aminoさん 日付：10月21日(火) 23時50分

1+1/2+1/3+1/4+1/5・・・・はどんな値になるのでしょうか？
または発散するんですか？教えてください。

	10836．Re: 無限級数
	名前：中川　幸一日付：10月21日(火) 23時51分
	発散します。 http://www3.ezbbs.net/01/k-nakagawa/

	10837．Re: 無限級数
	名前：中川　幸一日付：10月21日(火) 23時58分
	S₁=1, S₂=1+1/2, S₄=1+1/2+1/3+1/4＞1+1/2+(1/4+1/4)=1+1/2+1/2=1+(1/2)・2, S₈=1+1/2+1/3+1/4+1/5+1/6+1/7+1/8＞1+1/2+(1/4+1/4)+(1/8+1/8+1/8+1/8)=1+1/2+1/2+1/2=1+(1/2)・3, : : : 一般に S_2^m＞1+(1/2)・m ∴ lim[m→∞]S_2^m=+∞ S₁＜S₂＜……＜S_n＜…… であるから lim[m→∞]S_n=+∞ http://www3.ezbbs.net/01/k-nakagawa/

	10838．Re: 無限級数
	名前：aminoさん日付：10月22日(水) 0時3分
	すいませんが理由も教えていただきたいのですが・・・

	10840．Re: 無限級数
	名前：aminoさん日付：10月22日(水) 0時5分
	どうもありがとうございました

10830．(untitled)

名前：中３日付：10月21日(火) 19時54分

ルート６は無理数である。
という証明はどうすればいいのですか？
よろしくお願いします。

	10831．Re: (untitled)
	名前：Bob 日付：10月21日(火) 20時58分
	√6 が無理数でない，つまり有理数とする．√6＝ｑ／ｐとおく．ここで p と q は互いに素であるとする．つまりｐもｑも偶数ではない。６ｐ＾２＝ｑ＾２奇数の平方は再び奇数であるから左辺が偶数なので q は偶数でなければならない。ｑ＝２ｑ’とおける。６ｐ＾２＝（２ｑ’）＾２　⇒３ｐ＾２＝２ｑ’＾２これから３ｐ＾２が偶数 3×ｐ×ｐ＝偶数絶対にｐが偶数になってしまい、最初にｐとｑが素であるといったことに矛盾した。よって√６は無理数になる。 http://homepage3.nifty.com/sumida-3/

10829．余弦・正弦と関数

名前：YUYA （高３） 日付：10月21日(火) 19時7分

以前にも出したのですが、

Tn＝cosθ+cos2θ+・・・+cosｎθ　（ｎ＝1,2,3・・・）の一般項は？
Tn＝sinθ+sin2θ+・・・+sinｎθ　（ｎ＝1,2,3・・・）の一般項は？

という問題です。
解き方から、最後の解答まで、教えてください。よろしくお願いします

	10833．Re: 余弦・正弦と関数
	名前：中川　幸一日付：10月21日(火) 22時17分
	10578 で質問した内容ですね？この説明のどの部分が分からなかったのかを聞いた方が有意義だと思います。 http://www3.ezbbs.net/01/k-nakagawa/

	10842．Re: 余弦・正弦と関数
	名前：えいぶ日付：10月22日(水) 3時10分
	とある掲示板で解く機会があったのでコピペします。 sinθ+…+sinkθ＝S_n cosθ+…+cosKθ＝C_n とおきます。両方実数であることを確認してください。ここで C_n+iS_n ＝cosθ+…+coskθ+i(sinθ+…+sinkθ) ＝cosθ+isinθ…coskθ+isinkθ ここでcosθ+isinθ＝zとおくとド・モアブルの定理より＝z+…z^k となり、等比数列の和の公式から＝z(1-z^k)/(1-z) とできます。分母の実数化のためz~をzの共役複素数とおくと＝{z(1-z^k)(1-z~)}/{(1-z)(1-z~)} ＝(z-z^k+1-1-z^k)/(2-2cosθ) ＝{cosθ+isinθ-cos(k+1)θ-isin(k+1)θ-1-coskθ-isinkθ}/(2-2cosθ) ＝{cosθ-cos(k+1)θ-1-coskθ}/(2-2cosθ)+i{sinθ-sin(k+1)θ-sinkθ}/(2-2cosθ) したがって C_n＝{cosθ-cos(k+1)θ-1-coskθ}/(2-2cosθ) S_n＝{sinθ-sin(k+1)θ-sinkθ}/(2-2cosθ) さらに加法定理を使うと C_n＝{cosθ-cosθcoskθ+sinθsinkθ-1-coskθ}/(2-2cosθ) S_n＝{sinθ-sinθcoskθ-cosθsinkθ-sinkθ}/(2-2cosθ) です。もう少しきれいにできるのでしょうか？

10828．組合せ？

名前：みず日付：10月21日(火) 18時44分

はじめまして。こんばんは。
わからない問題が出て、困っているので、どうかお助けください。

「１０人を３つのクラス（Ａ.Ｂ.Ｃ）に分けるとき、どのクラスにも２人以上いるとするようるにすれば、何通りの方法があるか。」

おそらく、場合分けが必要なんですよね。
私は、今、受験生です。高校３年です。

	10841．Re: 組合せ？
	名前：ケロ＠蛙宇宙高３日付：10月22日(水) 0時41分
	場合分けは(6,2,2),(5,3,2),(4,4,2),(4,3,3)かな。まだある？ (6,2,2)のとき、Ａ.Ｂ.Ｃのどれを6にするかで、3通り(3C1), Ａを6にしたとき、Aは10Ｃ6通り、Bは4Ｃ2通りで、Ｃは決めなくても決まる。だから、3C110Ｃ64Ｃ2 以下同文。でいいかな。

	10846．Re: 組合せ？
	名前：みず日付：10月22日(水) 16時18分
	解答、ありがとうございます。１０人を分ける場合のパターン、例えば（6,2,2）に分けて、６がＡ、Ｂ、Ｃのどれかになる３Ｃ１と、実際の人を選ぶ１０Ｃ６と４Ｃ２をかけるのは、なんとか理解したのですが、その後、各分ける場合のパターンでも同様にして、全パターンを足せばよいのですよね。ここに、書き込んだ後、全く別の方法を考えました。３を１０乗して全クラスにふりわける場合を計算し、０人のクラスがある場合と１人しかいないクラスがある場合を引く方法です。でも、答えが同じになりません。ますます、悩んでいます。どなたか、よろしくお願いします。

	10853．Re: 組合せ？
	名前：ケロ＠蛙宇宙高３日付：10月22日(水) 21時25分
	続き。(6,2,2)のとき、3C110Ｃ64Ｃ2=1260、 (5,3,2)のとき、3C12C110C55C3=15120、 (4,4,2)のとき、3C110C46C4=9450、 (4,3,3)のとき、3C110C4*6C3=12600。計38430。でした。あと一つの方法はわかりません。

	10870．Re: 組合せ？
	名前：ケロ＠蛙宇宙高３日付：10月23日(木) 21時9分
	計算違いがありました。(6,2,2)のとき、3C110Ｃ64Ｃ2=1260→=3780 計40950大通り。 (5,3,2)のときは数が３つ異なっているので3C12C1=3P3のことです。計算はCに取る数を小さい数から選んだ方が大分楽だったかな。もう一つの方法も原始的に計算なら。計算しておきます。 (5,5,0)のとき、3C110C5=756, (5,4,1)のとき、3P310C19C4=7560, (6,4,0)のとき、3P310C4=1260, (6,3,1)のとき、3P310C19C3=5040, (7,3,0) のとき3P310C3=720, (7,2,1) のとき3P310C19C2=2160, (8,2,0) のとき3P310C2=270, (8,1,1) のとき3C110C19C1=270, (9,1,0) のとき3P3*10C1=60, (10,0,0) のとき3C1=3. 計　18099。 3^10=59049だから、59049-18099=40950。手計算なので大丈夫かな？かなかなかな。

10825．恒等式の問題；計算過程がよく分かりません

名前：アカネ(高１年) 日付：10月21日(火) 14時46分

次の式がｘについての恒等式であるとき、定数ａ、ｂ、ｃの値を求めよ。

ｘ^2／(ｘ＋１)(ｘ＋２)(ｘ＋３)＝ａ／ｘ＋１＋ｂ／ｘ＋２＋ｃ／ｘ＋３

係数比較法、数値代入法を使わずに部分分数分解を利用して解答を求めなさい。

解答見ますと
左辺＝１／(ｘ＋１)(ｘ＋２)・ｘ^2／ｘ＋３
　　＝(１／ｘ＋１－１／ｘ＋２)・ｘ^2／ｘ＋３←ここまでは分かります。
　　＝(ｘ／ｘ＋１－ｘ／ｘ＋２)・ｘ／ｘ＋３←なんで分子が１からｘに？
　　＝{(１－１／ｘ＋１)－(１－２／ｘ＋２)}(１－３／ｘ＋３)←上の式からなんでこのようになるの？
　　＝(－１／ｘ＋１＋２／ｘ＋２)(１－３／ｘ＋３)
　　＝－１／ｘ＋１＋２／ｘ＋２＋３／(ｘ＋１)(ｘ＋３)－６／(ｘ＋２)　　　　(ｘ＋３)←上の式からなんでこうなるの？
　　＝－１／ｘ＋１＋２／ｘ＋３／２(１／ｘ＋１－１／ｘ＋３)－６(１／　　　　ｘ＋２－１／ｘ＋３)
　　＝１／２(ｘ＋１)－４／ｘ＋２＋９／２(ｘ＋３))←上の式からなんでこうなるの？
　　
　　以上よりａ＝１／２、ｂ＝－４、ｃ＝９／２

説明よろしくお願いします。

	10826．Re: 恒等式の問題；計算過程がよく分かりません
	名前：ヨッシー日付：10月21日(火) 15時8分
	＞←なんで分子が１からｘに？の疑問を持ったなら「←なんで分子がｘ^2からｘに？」←分母がｘ＋３の部分の分子の疑問も持たないといけません。これら二つで帳尻が合うことに気付きませんか？　(１／２)(ｘ²／３)＝(ｘ／２)(ｘ／３) はわかりますか？＞←上の式からなんでこのようになるの？　（その１）ｘ／(ｘ＋１)＝{(ｘ＋１)－１}／(ｘ＋１) 　　　＝(ｘ＋１)／(ｘ＋１)－１／(ｘ＋１) 　　　＝１－１／(ｘ＋１) 他も同じです。＞←上の式からなんでこうなるの？　（その２）普通の式の展開です。　(Ａ＋Ｂ)(Ｃ＋Ｄ)＝ＡＣ＋ＢＣ＋ＡＤ＋ＢＤ＞←上の式からなんでこうなるの？　（その３）カッコをはずして　１／(ｘ＋１) に関するものと、　１／(ｘ＋２) に関するものと、　１／(ｘ＋３) に関するものとに分けただけです。　 http://yosshy.sansu.org/

	10869．Re: 恒等式の問題；計算過程がよく分かりません
	名前：アカネ(高１年) 日付：10月23日(木) 16時0分
	ヨッシー様、ありがとうございました。

10794．簡単問題

名前：IGA 日付：10月19日(日) 23時14分

次の図においてAB＝２８、BC＝２１角ABC＝９０度とし、角ABCの二等分線とACとの交点をDとします。Dを通りACに垂直な直線とBCの延長との交点をFとし、ABとDFとの交点をEとします。このとき、次の角問いに答えなさい。

DFの長さを求めなさい。

とりあえずAD＝２０　DC＝１５まで求まりました。
それで△ADB相似△FECで
これをもとに比例式をたてたいのですが、
たてられません。教えてください。お願いします！

	10795．Re: 簡単問題
	名前：IGA 日付：10月19日(日) 23時14分
	図です！

	10800．Re: 簡単問題
	名前：ケロ＠蛙宇宙高３日付：10月20日(月) 1時9分
	DFの長さを求めたいのだから、DFで作られた三角形を考えた方が・・・。

	10803．Re: 簡単問題
	名前：arc 日付：10月20日(月) 2時2分
	因みに答えは２０です。

	10806．Re: 簡単問題
	名前：ヨッシー日付：10月20日(月) 4時37分
	http://yosshy.sansu.org/

	10813．Re: 簡単問題
	名前：IGA 日付：10月20日(月) 16時25分
	ケロさんへいやいやタイプミスです・・あしからず・・

	10815．Re: 簡単問題
	名前：IGA 日付：10月20日(月) 16時36分
	△ADB相似△FDCです。これをもとに比例式がつくれないでしょうか？ヨッシーさんの図をみても・・・ピンときません。ごめんなさい。

	10816．Re: 簡単問題
	名前：おがわ日付：10月20日(月) 16時40分
	うーん・・・難しいですね。学校で先生に聞きなさい！

	10817．Re: 簡単問題
	名前：IGA 日付：10月20日(月) 16時50分
	おがわさんへすいません。学校の先生には学校の問題以外は聞きにくいのですよ。

	10819．Re: 簡単問題
	名前：ヨッシー日付：10月20日(月) 18時29分
	「△ADB相似△FDC」ではありません。 △FDC は直角三角形ですが、△ADB は違いますね。　 http://yosshy.sansu.org/

	10820．Re: 簡単問題
	名前：IGA 日付：10月20日(月) 21時17分
	すいません。理解できました～～二等分線と垂線がごっちゃになっちゃいました。ありがとうございます！

10791．「因数分解」

名前：あや　高２ 日付：10月19日(日) 23時4分

こんばんは。x^3+8y^3の因数分解の仕方が良く分かりません…。
a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)を用いて、どういう計算をして
(x+2y)(x^2-2xy+4y^2)になったのかどうしても分かりません(><;)
すみませんが計算式を教えて下さい。宜しくお願いします。

	10793．Re: 「因数分解」
	名前：momomo 日付：10月19日(日) 23時9分
	a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)に a=x,b=2yを入れればいいのです。2^3=8だよ。

	10797．Re: 「因数分解」
	名前：あや　高２日付：10月19日(日) 23時56分
	momomoさんこんばんは。どうもありがとうございます。 >a=x,b=2yを入れればいいのです。とは、なぜa=x,b=2yとなるのか教えて下さい。宜しくお願いします。

	10798．Re: 「因数分解」
	名前：ひろみち日付：10月20日(月) 0時1分
	x^3+8y^3とa^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)という公式を見比べてみると x^3+8y^3＝x^3+(2y)^3とかけます。なのでa=x,b=2yとおけますね★

10789．三角形の内角の和

名前：ひろみち 日付：10月19日(日) 22時45分

三角形の内角の和が二直角（１８０°）になることを証明せよ。

三角形の内角の和が１８０°になることは分かっていますが、
証明はどのようになるのでしょうか？
おねがいします。

	10792．Re: 三角形の内角の和
	名前：momomo 日付：10月19日(日) 23時7分
	△ＡＢＣにおいてＡを通るＢＣと平行の直線を引き錯角が等しいことを使えば証明できる。

10787．過去問

名前：IGA 日付：10月19日(日) 22時41分

右の図のように正方形ABCDの対角線BD上にBE：ED＝３：１となるように点Eをとり、直線AEと辺CDとの交点をFおつるとき、正方形ABCDの面積は△ECFの面積の何倍ですか？

っと言う問題です。

とりあえずDF：FC＝１：２までできましたここからどうするのかわかりません。ご教授お願いします！

	10788．Re: 過去問
	名前：IGA 日付：10月19日(日) 22時44分
	＞Fおつるとき Fとするときです。

	10799．Re: 過去問
	名前：ケロ＠蛙宇宙高３日付：10月20日(月) 0時11分
	10705の問題と同じ感じかな。三角形の高さか底辺が同じ三角形をさがすと図を見ているだけでわかっちゃうと思います。この場合は三角形CBEと三角形CEDをそれぞれ底辺をBE、EDとしてながめると、高さが同じ。三角形ECFと三角形EFDをながめると、これも高さが同じ。だから、どちらも底辺の比と面積の比が同じ。

	10814．Re: 過去問
	名前：IGA 日付：10月20日(月) 16時33分
	答えは１２ですね。難しい・・・・っというかこんなにいろいろな見方ができない・・・・やはり練習して慣れるしかないのでしょうか？

	10824．Re: 過去問
	名前：ケロ＠蛙宇宙高３日付：10月20日(月) 23時47分
	ちょっと図を描いてみました。三角形ＣＥＦは２ｓだけど。下記。 http://www.geocities.co.jp/Bookend-Soseki/7526/rakugaki3.htm

	10834．Re: 過去問
	名前：IGA 日付：10月21日(火) 22時35分
	ありがとうございます。ご丁寧に・・・

10783．剰余の問題

名前：ほるもん（大卒・・一般市民？） 日付：10月19日(日) 18時31分

こんばんは。また悩んでます。。。
問い
G={0,1,2,3,…10}において、x,y∈Gのとき、x*yはx+yを11で割ったときの余りとする。
(1)すべてのa∈Gに対して、a*x=0となるx∈Gを求めよ。
(2)一次方程式a*x=b(∀a,∀b∈G)がG内で唯1つの解を持つことを示せ。
ですが、(1)は、
a=0のとき　0+x≡0(mod 11)よりx≡0　∴x=0、
a=1のとき　1+x≡0(mod 11)より1≡1(mod 11)を引いてx≡-1、x≡10　∴x=10、
と場合わけをして全部書き、
(2)はやはり
a=0のとき　0+x≡b(mod 11)より、x≡b　∴x=b（∈G）
a=1のとき　1+x≡b(mod 11)より1≡1(mod 11)を引いてx≡b-1、
　　　　　b≧1ならx=b-1（∈G）、b<1(b=0)ならx=10+b(=10)（∈G）
a=2のとき　2+x≡b(mod 11)より2≡2(mod 11)を引いてx≡b-2、
　　　　　b≧2ならx=b-2（∈G）、b<2ならx=9+b（∈G）
・・・と延々とやっていけばいいのかな、と思ったのですが、
もっと良い方法がある気がしてなりません。
よろしくお願いします。

	10804．Re: 剰余の問題
	名前：ヨッシー日付：10月20日(月) 4時19分
	(1) は、最終的には　a＝0 のとき　x=0 　a≠0 のとき　x=11-a ということになります。１１×１１通りのしらみつぶしでも良いですし、たとえば、２数、x,y(x,y∈G)について、０≦x+y≦20 より、　ax=0 は、a+x=0 または a+x=11 を意味する。ただし、a+x=0 は a=x=0 のときのみ　a＝0 のとき　a+x=11 はあり得ないので、a+x=0 より、x=0 　a≠0 のとき a+x=11 より、x=11-a のような書き方もあるでしょう。 (2) は、背理法で、　２数 a,b (a,b∈G) に対して、　ax=b, ay=b (x≠y, x,y∈G) が成り立つとすると、適当な整数 m,n に対して、　a+x=11m+b, a+y=11n+b が成り立つということである。辺々引いて、　x-y＝11(m-n)・・・(a) y＝0 のとき、-y∈G および (a)より　(-y)x＝0 　(1) の結果より　x=0 となり、x≠y に反する。 y≠0 のとき、11-y∈G より (a) を x+(11-y)＝11(m+n+1) と書き換えると、　(11-y)*x＝0 　(1) の結果より、x=11-(11-y)=y となり、x≠y に反する。あとは、２数 a,b に対して、x の存在を言ってやれば、完了です。　 http://yosshy.sansu.org/

	10808．Re: 剰余の問題
	名前：ほるもん（大卒・・一般市民？）日付：10月20日(月) 14時15分
	遅いレスですみません。(2)ですが、 y∈Gについて、-y∈Gではないのではないでしょうか？？

	10809．Re: 剰余の問題
	名前：ほるもん（大卒・・一般市民？）日付：10月20日(月) 14時17分
	またまたすみません。「y=0のとき、-y∈G」としてありました。 OKです。ありがとうございました。

	10810．Re: 剰余の問題
	名前：ほるもん（大卒・・一般市民？）日付：10月20日(月) 14時22分
	「あとは、２数 a,b に対して、x の存在を言ってやれば、完了」はどのように言えばいいのでしょうか？ Gに解がないことはない、ということを言えばいいのですよね？

	10811．Re: 剰余の問題
	名前：ヨッシー日付：10月20日(月) 14時36分
	b-a を 11 で割った余りを x(∈G) とすれば、　a*x=b を満たす x を見つけたことになります。と、一転して素っ気ない解答ですが。　 http://yosshy.sansu.org/

	10844．Re: 剰余の問題
	名前：ほるもん（大卒・・一般市民？）日付：10月22日(水) 7時38分
	ありがとうございました。 m(_ _)m

10782．二等辺三角形

名前：たか日付：10月19日(日) 18時30分

中３ですが、某高校の過去入試問題でわからないのです。
図がかけなくて申し訳ありません。
ＡＢ＝ＡＣの二等辺三角形ＡＢＣを点Ｂから辺ＡＣに垂直になる線分
ＢＤで折り曲げたとき、点Ｃが線分ＡＤ上の点Ｃ’に移動したとき
ＡＣ’＝ＢＣ’であったとする。
＜ＡＣ’Ｂの大きさを求めなさい。

	10785．Re: 二等辺三角形
	名前：hippo 日付：10月19日(日) 21時47分
	△ABCは二等辺三角形なので角ABC＝角BCA＝αとおく △ABC'は二等辺三角形なので角ABC'＝角C'AB＝βとおく △BDC'≡△BDCより角C'BD＝角CBD＝γとおく △ABCより α＋２β＝１８０・・・・・・・（１） △BDCより β＋γ＝９０・・・・・・・・・（２）角BC'A＝角C'BD＋角BDC'　より２α＋γ＋９０＝１８０・・・・（３）（２）より β＝９０－γ （１）に代入 α－２γ＝０この式と（３）より α＝３６以下 β＝７２ γ＝１８求める角＝１８０－３６×２＝１０８ http://www.kcc.zaq.ne.jp/tokkii/

	10796．Re: 二等辺三角形
	名前：たか日付：10月19日(日) 23時27分
	hippoさん、ありがとうございます。何とか理解できました。 αとβが逆ですね？図形問題だと図に頼ってしまうクセがあってダメです。この問題を最初見て数値がでるの？っていう感じでした。　すっきりしました。

	10822．Re: 二等辺三角形
	名前：hippo 日付：10月20日(月) 22時15分
	申し訳ない。直前に記号を変更したものですから・・・。 http://www.kcc.zaq.ne.jp/tokkii/

10779．「因数分解」

名前：あや日付：10月19日(日) 14時36分

こんにちは。高2なのにこんな事を聞くのは恥ずかしいのですが…、この問題の解き方を教えて下さい。宜しくお願いします。

次の式を因数分解せよ。
x^2-x-y^2-3y-2

	10780．Re: 「因数分解」
	名前：とも（高３）日付：10月19日(日) 16時16分
	x^2-x-y^2-3y-2 =x^2-x-(y^2+3y+2) =x^2-x-(y+1)(y+2) ={x+(y+1)}{x-(y+2)} =(x+y+1)(x-y-2) わかりました？

	10781．Re: 「因数分解」
	名前：あや日付：10月19日(日) 17時50分
	とも（高３）さん、どうもありがとうございます。こんな質問をすみません。 =x^2-x-(y+1)(y+2) ={x+(y+1)}{x-(y+2)} となるのが分かりません…(><)

	10784．たすきがけ
	名前：Bob 日付：10月19日(日) 20時18分
	ｘの項の係数は－１ですね。かけて　-(y+1)(y+2) たして　－１になるようにくみあわせをかんがえると +(y+1）　と－（ｙ＋２）になります。これをたすきがけといいます。 http://homepage3.nifty.com/sumida-3/

	10786．Re: 「因数分解」
	名前：とも（高３）日付：10月19日(日) 21時47分
	よく図（？）を書いて判断しました。クロスされた線のところがたすきがけ（斜めにかける）です。 x^2-x-(y+1)(y+2)について一番下の段の１は　x^2の係数 -1　はxの係数 -(y+1)(y+2)　はxの２次式と考えたときの定数項を表します。青で囲まれたところは、『かけて』「-(y+1)(y+2)」赤で囲まれたところは、たすきがけをした同士を『足して』「-1」これらを満たすように図を書くと、水色で囲まれたのが結果となり {x+(y+1)}{x-(y+2)} と因数分解できるわけです。言っていることはBobさんと同じなのですが、余計分からなくなったらごめんなさい。解らない問題があったらそのままにせずにどんどん質問しましょう。親切な方々が詳しく教えてくれますから。

	10790．Re: 「因数分解」
	名前：あや日付：10月19日(日) 22時47分
	Bobさん、とも（高３）さん、どうもありがとうございました！！ (＾▽＾)たすき掛けをするのですねっ。良く分かりました。

10775．仕事算・のべ算

名前：里香（小６） 日付：10月19日(日) 8時9分

はじめまして！みなさん難しいもんだいをやっていますね～私がここの掲示板にこんな問題質問していいのかな？とためらったぐらいです！Ａ、Ｂ、Ｃ３人でかべのペンキぬりをします。Ａが１人でこのかべを全部のるには４時間、Ｂが１人でこにかべを全部ぬるには６時間、Ｃが１人でこのかべ全部ぬるには８時間かかります。このかべを３人でぬり始めましたが、途中でＣが何分間か休んだので、かべ全部ぬり終えるのに２時間かかりました。Ｃが休んだ時間は何分間でしたか。

	10778．Re: 仕事算・のべ算
	名前：ヨッシー日付：10月19日(日) 8時21分
	私のページの「和算目録」を、まずご覧ください。かべを全部ぬる仕事の量を１とすると、Ａは１時間に１／４（４分の１）Ｂは１時間に１／６、Ｃは１時間に１／８の仕事をします。というのが、基本的なパターンですが、ここでは、分数をきらって、全部の仕事量を２４（４，６，８の公倍数）とします。すると、１時間にＡは６，Ｂは４，Ｃは３の仕事をします。３人で２時間ぬると、本当なら、　（　　　　　　　　　　　　）＝２６だけの仕事をします。ところが、実際は２４の仕事しかしていないので、　２６－２４＝２の分は、Ｃが休んだ分となります。よって、　２÷３＝２／３（時間）　　（　　　　）分　だけＣが休んだことになります。　 http://yosshy.sansu.org/

10773．高3

名前：ぷうちゃん 日付：10月19日(日) 4時4分

座標平面において、放物線ｙ＝1/2x^2＋2xをCとして、直線ｙ＝mx(0<m<2を満たす定数)をl1、点(4,0)におけるCの接線l2とする。

(1)l1とl2の交点の座標を求めよ
(2)Cとl1で囲まれる部分の面積S1とし、Cの上方(Cを含む)
にあって、Cとl1,l2で囲まれる部分の面積をS2とする。S1＝S2となるようなｍの値を求めよ。

	10776．Re: 高3
	名前：ヨッシー日付：10月19日(日) 8時10分
	ｙ＝1/2x^2＋2x だとのようにも読めるので、ｙ＝(1/2)x^2+2x とかｙ＝x^2/2+2x ＜ｙ＝(x^2)/2+2x が better＞とか書いてください。で、　ｙ＝(1/2)x^2-2x ではないでしょうか？でないと点(4,0)を通りません。　 http://yosshy.sansu.org/

	10777．Re: 高3
	名前：ぷうちゃん日付：10月19日(日) 8時14分
	そうです

	10812．Re: 高3
	名前：ヨッシー日付：10月20日(月) 15時9分
	もう一度確認です。ひょっとして、　ｙ＝-(1/2)x^2+2x ではありませんか？　 http://yosshy.sansu.org/

10772．何数列？

名前：中谷日付：10月19日(日) 3時56分

8^m≦ｘ≦2・8＾m(ｍ＝0,1,2,・・)を満たす自然数xを
小さいほうから順に並べて、
数列1,2,8,9,・・,15,16,64,・・,8^m,8^m＋1,・・,2・8^m,・・,を作る。

(1)8^m≦ｘ≦2・8＾mに含まれる項の個数をmを用いて表せ。
(2)100は第何項か。
(3)8^n(Nは自然数)は、はじめから、数えて何項か。
よろしくお願いします

	10774．Re: 何数列？
	名前：arc 日付：10月19日(日) 4時58分
	答えだけ・・・。 (1)　8^m+1 (2)　第48項 (3)　(8ⁿ+1)+(8^n-1+1)+...+(8¹+1)+(8⁰+1) 間違ってるかも・・・。

	10807．Re: 何数列？
	名前：ヨッシー日付：10月20日(月) 4時57分
	(1,2),(8,9,・・・16)(64,65,・・・128)(512,513,・・・1024)(・・・) のように、m によるグループに区切ります。 (1) は、8^m から 2・8^m までの整数の個数 (2) は、第３のグループ(m=2 のグループ）の３７番目が１００なので、arc さんの答えの通りです。 (3) は、8ⁿ は、第n+1 のグループの、第１項目なので、　(8⁰+1)+(8¹+1)+・・・+(8^n-1+1)　　・・・ここまでが第ｎのグループの項の数で、8ⁿ は、この次。よって、　(8⁰+1)+(8¹+1)+・・・+(8^n-1+1)+1 となりますが、整理して、　(8⁰+8¹+・・・+8^n-1)+n+1 等比数列の和を計算して、　(8ⁿ-1)/7 +n+1 が答えとなります。 arc さんのは、2・8ⁿ の場合の答えになっています。　 http://yosshy.sansu.org/

10765．接線

名前：あすか 日付：10月19日(日) 0時7分

円；X^2＋y^2＋4x－2y＋4＝0のとき、この円が直線l;mx－y＝0とが接するような定数mを求めよ。
ｍは何個もでないんすか？

	10767．Re: 接線
	名前：ケロ＠蛙宇宙高３日付：10月19日(日) 0時33分
	１．円の標準形にする。２．円の中心を求める。３．円の中心から直線ｌまでの距離を１として、距離の公式を使う。ｍは何個もでないんすか？＞グラフを描けばわかると思います。

	10768．Re: 接線
	名前：あすか日付：10月19日(日) 0時51分
	円の中心は＜－2、1＞になりますよね？それから点と直線との間の距離を求めると m^2+2m+2になるんですけどあってますか？これをとけばいいのでしょうか？

	10769．Re: 接線
	名前：ケロ＠蛙宇宙高３日付：10月19日(日) 1時26分
	違うみたい。mx－y＝0はax+by+c=0と比較するとどれがどれ？ x0=-2,y0=1だから、公式\|ax0+byo+c\|/(√a^2+b^2)（=1）に代入すると。

	10770．Re: 接線
	名前：あすか日付：10月19日(日) 2時27分
	よくわかりませんです

	10771．Re: 接線
	名前：ヨッシー日付：10月19日(日) 2時50分
	点から直線までの距離の公式　点（ｐ、ｑ）から、直線ａｘ＋ｂｙ＋ｃ＝０までの距離は、　\|ａｐ＋ｂｑ＋ｃ\|/√(ａ²＋ｂ²) というのがあります。この問題では、　（ｐ、ｑ）＝（－２，１）　ａ＝ｍ，ｂ＝－１，ｃ＝０なので、それぞれ代入します。一方、円の半径は１なので、　\|－２ｍ＋１\|/√(ｍ²＋１)＝１これより、ｍを求めます。ただ、この問題の場合、ｙ＝ｍｘを　ｘ²＋ｙ²＋４ｘ－２ｙ＋４＝０に代入して、判別式＝０　でやった方が楽でしょう。　 http://yosshy.sansu.org/

10764．微分で増減表？

名前：ひむ＠高３ 日付：10月18日(土) 22時51分

こんばんわ。この問題がわからないのでお願いします。

関数ｆ（ｘ）= 3xxx - kkx + 2 の（0≦x≦1）における最大値、最小値を求めなさい。

xxxはX^3、kkはk^2と考えてください。

	10766．Re: 微分で増減表？
	名前：ケロ＠蛙宇宙高３日付：10月19日(日) 0時21分
	１．極大極小となる点を求める。（注意：因数分解のとき\|k\|とする）２．f(0)を求める。３．f(0)と同じ値となる点を求める。（f(x)=f(0)となる点）４．グラフを描く。５．原点近くから始めて、x=1の場所を動かしてみる。

	10832．Re: 微分で増減表？
	名前：ケロ＠蛙宇宙高３日付：10月21日(火) 21時38分
	凍り付いているので、進めておきます。 k=0のとき、f(x)=2だから、0≦x≦1のとき最大値も最小値も2。（こんなのあり？） k≠0のとき、 f’(x)=9x^2-k^2=(3x+k)(3x-k) と因数分解すると、kのプラスマイナスを気にしなければならないので、 f’(x)=9x^2-k^2=(3x+\|k\|)(3x-\|k\|) と因数分解してみます。 1<\|k\|/3 のとき、x=0で最大値f(0)=2 、x=1で最小値f(1)=5-k^2。 \|k\|/3≦1<\|k\|/√3のとき、x=0で最大値2、x=\|k\|/3で最小値2-2\|k\|^3/9。 \|k\|/√3=1のとき、x=0とx=\|k\|/√3で最大値2, x=\|k\|/3で最小値2-(2\|k\|^3)/9。 \|k\|/√3<1のとき、x=1で最大値5-k^2、x=\|k\|/3で最小値(2-2\|k\|^3)/9。これをk>o,k<0で場合分けすれば少しだけ楽かなと。 http://www.geocities.co.jp/Bookend-Soseki/7526/rakugaki3.htm

10757．三平方の定理。

名前：IGA 日付：10月18日(土) 12時5分

次の図のようにAD//BCである台形ABCDに円Oが内接している。E,Fはそれぞれの辺AD、BCと円との接点で、AE=２㎝　BF＝５㎝である。円Oの面積を求めよ。ただし、円周率はπとする。

それで解答をみますと、AB＝AE＋BF＝２＋５＝７㎝
とでるようです・・・
なぜこのような式が成り立つのでしょうか？まったくわかりません。三平方の定理に沿った式でもないし・・・
ご教授お願い申し上げます。

	10758．Re: 三平方の定理。
	名前：Bob 日付：10月18日(土) 12時53分
	三平方というより円の基本性質ですね。図でＡＢと円の交点をＫとするとＡＫ＝ＡＥＢＦ＝ＢＫが成り立ちます。「円外の1点から円に接線を2本引いたときその接点までの距離は等しい」★ つまりＣＤと円との交点をＬとすればＣＬ＝ＣＦ、ＤＬ＝ＤＥもいえるのです今回の問題でＡＢ＝ＡＫ＋ＫＢになり、これに先ほどのＡＫ＝ＡＥＢＦ＝ＢＫを代入しAB＝AE＋BFになる。おまけで★の証明ですがＡＥ＝ＡＫを例に証明しますと「三角形ＡＥＯと三角形ＡＫＯでＫ，Ｅ接点より∠ＡＥＯ＝∠ＡＫＯ＝９０° 　直角三角形ですね。ＡＯ共通、これが斜辺　あとはＥＯ＝ＫＯ　半径だから　よって斜辺と他の一辺が等しいので三角形ＡＥＯとＡＫＯは合同　だからＡＥ＝ＡＫ」 http://homepage3.nifty.com/sumida-3/

	10762．Re: 三平方の定理ＯＲ円の性質
	名前：IGA 日付：10月18日(土) 18時32分
	Ｂｏｂさんありがとうございます。Ｂｏｂさんといえば・・久しぶりのような・・・他の掲示板で教えてもらったことがあるような気がします。とりあえずありがとうございます。これは円の性質と三平方の定理を組み合わせた問題ですね。しかしこんな定理があったとは知らなかったです。助かります。（最近の私立は習ってないところも余裕で出すのでこまります。）

10749．無視してもかまいません

名前：IGA 日付：10月17日(金) 21時24分

某新聞紙に東京大学医学部を合格した人の体験談がのってまして、どうも数学の成績が低迷してたらしいのですが、その原因は考え方にあったようです。『数学は発想』という考え方から『数学は暗記』という考え方に変えたらぐんぐん数学の成績が良くなったと語ってました・・

やはり数学は暗記なのでしょうか？ある程度のところまでは・・
変な質問なんで無視してもかまいません。

	10751．Re: 無視してもかまいません
	名前：（）（）（）日付：10月17日(金) 23時20分
	数学は最終的には発想が大事ですがその発想を生むのは基礎を使いこなすこと（これが暗記にあたるのかな）だと思いますまず自分の発想力だけで問題に挑戦し悩みまくれば解答を見たときもそのやり方はすぐに覚えられますんで解き方を覚えるというより身につけるという感覚で取り組んでみたらと思います

	10753．Re: 無視してもかまいません
	名前：IGA 日付：10月17日(金) 23時49分
	ありがとうございます。参考になりました。問題を解くときにはすぐにあきらめないようにします。（）（）（）さんありがとうございます。

	10756．Re: 無視してもかまいません
	名前：ヨッシー日付：10月18日(土) 0時47分
	渡部由輝「数学は暗記科目である」原書房という本があります。　 http://yosshy.sansu.org/

	10761．Re: 無視してもかまいません
	名前：ｙｙ日付：10月18日(土) 17時58分
	数学は暗記よりも経験だと思っています。いろんな問題を解いた経験があるからこそ新しい問題を見たときにどういう方法で解けばいいかということがわかるのだと思います。

	10763．Re: 無視してもかまいません
	名前：IGA 日付：10月18日(土) 18時37分
	みなさん回答ありがとうございます。＞ヨッシーさんへさっそく参考に書店に注文しました。けっこう数学のテストでは落ち込むことがおおくて・・・参考に買います！＞ｙｙさんへ返答有り難うございます。数学は問題をとにかくときまくることですね。それで２度と間違わないようにするために完全に理解することが大切ですね・・・・（少し難しいかも・・）とにかくあと数ヶ月の受験へ全力を尽くしてがんばりたいと思います。（私は本当に難しい数学の問題に出会うと本当に解けなくて・・・努力してなんとかします！）

10748．数学の授業で出てきたんですけど・・・

名前：しっほ 日付：10月17日(金) 20時21分

こんばんわ☆私は中３の受験生です。
こないだの数学の授業中の雑談で先生が言ってて。
“アキレスと亀”っていう問題らしいんです。
アキレスは本当に足の速い男で、でも亀を絶対に追い抜けない。
どうしでだろうか？っていう質問で・・・。訳がパーなんです。
なんとな～くは分かるんだけど・・・？

	10750．アキレスと亀
	名前：中川　幸一日付：10月17日(金) 22時25分
	アキレスはどんなに頑張って走っても, 自分より先を歩む亀に追いつくことができない。なぜならアキレスが亀が今いる所まで辿り着いた時, 亀はそれより少し先まで行っている。アキレスがその地点まで行った時には, 亀はまた更にその少し先まで行っている。アキレスがその地点まで行った時には, 亀はまた更にその少し先まで行っている。アキレスがその地点まで行った時には, 亀はまた更にその少し先まで行っている…。ということで, アキレスは永久に亀に追いつけないのである。 http://www3.ezbbs.net/01/k-nakagawa/

	10752．Re: 数学の授業で出てきたんですけど・・・
	名前：（）（）（）日付：10月17日(金) 23時31分
	アキレスの速さをｎV亀の速さをVとし最初の亀とアキレスの距離をLとするアキレスがL進む間に亀はL/nすすむ次にアキレスがL/n進む間に亀はL/(ｎｎ）進むこういうような考えを無限回繰り返すとアキレスが進む距離の和は初項L　項比1/ｎ　等比数列の和で表せるので L/（1-1/ｎ）＝ｎL/ｎ-1となり亀とアキレスの距離が0になる地点までの話しかしていないのでこういうことが起こるのです

	10754．Re: 数学の授業で出てきたんですけど・・・
	名前：ＩＦ日付：10月17日(金) 23時52分
	ではこの問題とちょうど反対になるような問題。無限にある自然数を有限時間内にすべて数えるあげることができます。もちろん実際には不可能ですが。

	10818．Re: 数学の授業で出てきたんですけど・・・
	名前：しっほ日付：10月20日(月) 18時25分
	でも、亀のが足が遅くて、アキレスのが早いんだったら、同じ時間走ったら当たり前にアキレスの進む距離が長いんだから、絶対に亀を追いこせるんじゃないんですか？

	10823．Re: 数学の授業で出てきたんですけど・・・
	名前：ヨッシー日付：10月20日(月) 22時22分
	とりあえず未菜実さんのページを紹介しておきましょう。目次にはいると「アキレスと亀」のページへのリンクが見えます。「追いつけない」のではなく、「追いつくまでの時間を、細かく刻んでいるだけ」です。 http://yosshy.sansu.org/

	10894．Re: 数学の授業で出てきたんですけど・・・
	名前：しっほ日付：10月26日(日) 9時18分
	わかりました！皆さん、ありがとうございました（≧∪≦）

10742．こんばんわ！！

名前：加藤　成亮 日付：10月17日(金) 1時5分

はじめまして！俺は都立高校に通う高校１年生です！明日テストなんですけど、この問題の解き方がわからないので教えてください！
問→500円硬貨３枚を同時に投げて、表が出た硬貨を全部もらえるゲームがある。１回のゲームで、受け取る金額の期待値を求めよ。
また、このゲームの参加料が一回８００円のとき、このゲームに参加することは得といえるか。

	10743．Re: こんばんわ！！
	名前：ヨッシー日付：10月17日(金) 1時59分
	表(○)と裏(●)の出方と、その時もらえる金額は次の通りです。　●●●・・・０円　○●●・・・５００円　●○●・・・５００円　●●○・・・５００円　●○○・・・１０００円　○●○・・・１０００円　○○●・・・１０００円　○○○・・・１５００円また、それぞれが起こる確率は　1/8　ずつ。よって、期待値は、　(０＋５００×３＋１０００×３＋１５００)／８＝７５０損得は個人的な信念に基づくことなので何とも言えませんが、期待値に対していうならば、「得ではない」ということになるでしょう。　 http://yosshy.sansu.org/

	10747．Re: こんばんわ！！
	名前：加藤　成亮日付：10月17日(金) 16時47分
	今日のテストでこれと同じような問題が出ていて助かりました！ヨッシーさんありがとうございました！！

10739．えーと。対称式？

名前：ほるもん（大卒・・一般市民？） 日付：10月17日(金) 0時35分

こんにちは。次を証明せよ、という問題です。
「x^2 + y^2 + z^2 = 1 …(1), a^2 + b^2 + c^2 =1 …(2)　⇒ -1 ≦ ax + by + cz ≦ 1　（x,y,z,a,b,cは実数）」
(1)は(x,y,z)が、原点を中心とする半径1の球面をなすことを意味しており、(2)は点(a,b,c)が(1)の球面上にあることを意味している、と思いました。

	10740．Re: えーと。対称式？のつづき
	名前：ほるもん（大卒・・一般市民？）日付：10月17日(金) 0時39分
	それなら ax + by + cz =1 は点(a,b,c)における接平面なのですが、 x,y,zは(1)の球面をなすので、結局点(a,b,c)でのみ=1が成立、よって -1 ≦ ax + by + cz ≦ 1 ??? なんかおかしい気はするんですが、よくわかりません。よろしくお願いします。

	10741．Re: えーと。対称式？
	名前：中川　幸一日付：10月17日(金) 0時44分
	コーシー・シュワルツの不等式より, (a²+b²+c²)(x²+y²+z²)＞(ax+by+cz)² iff 1・1＞(ax+by+cz)² ∴ -1＜ax+by+cz＜1 http://www3.ezbbs.net/01/k-nakagawa/

	10744．Re: えーと。対称式？
	名前：ヨッシー日付：10月17日(金) 2時11分
	ax + by + cz =1 を、平面の式と考えるならば、ここに出てくる (x,y,z) という座標は、この平面上の任意の点を表します。一方、-1 ≦ ax + by + cz ≦ 1 で言っている (x,y,z)は、球(1)上の任意の点を表します。これを混同するとややこしくなります。接平面を使って説明すると、混同しないために、球上の点を (a,b,c) と (p,q,r) とし、　-1≦ap + bq + cr≦1 を示すことにします。球(1)上のある点(a,b,c) に対して、接平面　ax+by+cz=1 が存在します。また、これと原点対称な位置に(-a,-b,-c) における接平面　ax+by+cz=-1 が存在します。球(1)上の任意の点(p,q,r) は、この２平面の間にあるので　ap+bq+cr≦1 かつ ap+bq+cr≧-1 等号が成り立つのは (a,b,c)=(p,q,r) のとき（(p,q,r)が接点のとき）という具合です。　 http://yosshy.sansu.org/

	10745．Re: えーと。対称式？
	名前：ほるもん（大卒・・一般市民？）日付：10月17日(金) 9時34分
	ありがとうございます。 ax + by + cz =　定数が元のax + by + cz = 1　に平行な平面を表すから、そうなるんですね。わかりました！コーシー・シュワルツの不等式だったら一発でしたね。

	10746．Re: えーと。対称式？
	名前：高橋　道広日付：10月17日(金) 10時9分
	遅いレスですが　ベクトルの内積という方法もあります。コーシーシュワルツと同値なんですが αベクトル=(a,b,c)　βベクトル=(x,y、z)の大きさがともに１のとき内積は　ax+by+cz=abs(α)×abs(β)×cosθ=cosθ cosθを評価して　終わりです　ここで　abs(α)は　ベクトルαの大きさという記号です。 httphttp://micci.sansu.org/

	10760．Re: えーと。対称式？
	名前：ほるもん（大卒・・一般市民？）日付：10月18日(土) 14時25分
	高橋さんありがとうございます。いろいろな側面があるんですね。そういう視点を持ちたいんですが、これがなかなか・・・。

10728．三角形の面積を求めたいのですが高さの出し方がわかりません。

名前：檸檬日付：10月16日(木) 17時44分

12m.15m.15mの二等辺三角形の面積を出したいのですが高さがわからないのでだせません。高さを出す公式は？

	10729．Re: 三角形の面積を求めたいのですが高さの出し方がわかりません。
	名前：檸檬日付：10月16日(木) 17時53分
	> 12m.15m.15mの二等辺三角形の面積を出したいのですが高さがわからないのでだせません。高さを出す公式は？

	10730．Re: 三角形の面積を求めたいのですが高さの出し方がわかりません。
	名前：えいぶ日付：10月16日(木) 18時5分
	へロンの公式というのがあります。 s=(a+b+c)/2とするとS=√s(s-a)(s-b)(s-c)です。しかし２等辺三角形とわかっていれば頂点から垂線を下ろせば底辺は２等分されます。高さは√(15^2-6^2)=√195です。したがって面積=12*√195/2=6√195となります。

	10731．Re: 三角形の面積を求めたいのですが高さの出し方がわかりません。
	名前：ヨッシー日付：10月16日(木) 18時39分
	この場合は、二等辺三角形なので、12cm を底辺とした高さを出すのが楽でしょう。ちなみに、えいぷさんのはちょっとミスがあり、 √(15^2-6^2)＝√189＝3√21 ですね。 15 も 6 も 3 の倍数なので、必ず 3 でくくれます。面積は 18√21 となります。さらには、えいぷさんの書かれている「ヘロンの公式」。これは、式の見た目ほど、ややこしい計算にはなりません。ｓ＝(12+15+15)/2＝21 なので、 21, 9, 6, 6 を掛けてルートを取ります。 6 が二つと 9 があるので、6×3＝18 が√の外に出て、残りは 21 なので、 18√21 です。あとは、余弦定理から角度を出して、公式　Ｓ＝(1/2)ab・sinＣを使うパターンです。 15m と 15m ではさまれた角をθとすると、余弦定理より、　cosθ＝(15^2＋15^2－12^2)/(2・15・15)＝306/450＝17/25 cos²θ＋sin²θ＝１　より、　sinθ＝√336/25＝4√21/25 　Ｓ＝(1/2)15・15・4√21/25＝18√21 http://yosshy.sansu.org/

10726．・・・質問・・・

名前：受験戦争 日付：10月16日(木) 17時2分

ｘ１９９+１０ｘ+５＝０
　のxの解の和を求めよ。（x１９９＝x１９９乗）

天才中学生は一瞬で解いたとか・・・

	10727．Re: ・・・質問・・・
	名前：arc 日付：10月16日(木) 17時35分
	０だと言ってみる・・。

	10733．Re: ・・・質問・・・
	名前：ヨッシー日付：10月16日(木) 18時47分
	いわゆる「解と係数の関係」ですね。　 http://yosshy.sansu.org/

	10734．Re: ・・・質問・・・
	名前：我疑う故に存在する我日付：10月16日(木) 20時41分
	＞解の和中学生なら、全ての相異なる実数（複素数）解と解釈するのかな？　今時の受験戦争では代数学の基本定理は常識と仮定して良いのかな。それだと大学へ入学してから自明でなくなって、とまどう事になる。勉強する前に全てを疑ってかかれ。

10725．大変恐縮ですが・・

名前：高校3 日付：10月16日(木) 15時9分

すいません。少しお尋ねしたいのですが、
私は帝京大学を受けるため、数1を覚えなくてはいけないのですが
この問題集や参考書をやれば絶対大丈夫！
というものはありませんか？

問題外の質問おゆるしください

10720．x^100 + y^100 = ?

名前：ほるもん（大卒・・一般市民？） 日付：10月16日(木) 10時30分

x+y=1、xy=1のときx^100 + y^100の値は？
という問いなのですが、
x^2 + y^2 = (x+y)^2 - 2xy = -1
x^3 + y^3 = (x^2 + y^2) - (x + y) = -2
x^4 + y^4 = (x^3 + y^3) - (x^2 + y^2) = -1
x^5 + y^5 = (x^4 + y^4) - (x^3 + y^3) = 1
x^6 + y^6 = (x^5 + y^5) - (x^4 + y^4) = 2
x^7 + y^7 = (x^6 + y^6) - (x^5 + y^5) = 1
・・・
あとは-1,-2,-1,1,2,1の繰り返し・・
ということから、100=1+6*16+3より x^100 + y^100 = -1
としたのですが、いかがでしょうか？
ご意見を伺いたく。

	10722．Re: x^100 + y^100 = ?
	名前：高橋　道広日付：10月16日(木) 12時2分
	違う方法もありますので紹介しましょう。 x,yは解と係数の関係から t^2-t+1=0の解となります。この両辺にt+1をかけると (t+1)(t^2-t+1)=０から　t^3+1=0　t^3=-1となります。つまりx^3=-1ｇ成り立ち　これより　x^99=-1　同様にy^99=-1 よって　x^100+y^100=-(x+y)=-1というようにできます。もちろん漸化式の方法でも規則性から　できますね（^_^）２人が違う方法でやって同じ答えでしたから　答えは正解でしょうね。 httphttp://micci.sansu.org/

	10737．Re: x^100 + y^100 = ?
	名前：ほるもん（大卒・・一般市民？）日付：10月16日(木) 22時51分
	高橋さんありがとうございます。ここで両辺にt+1をかけているのは、t≠-1だからOKってことですね。実はこれは(3)の問いで、(2)でx＾3の値を問うているので、求められているのは高橋さんの解法かもしれません。

10716．線形代数（大学１年）

名前：John 日付：10月16日(木) 9時21分

ｎ次関数係数正方行列全体の集合をM_n(R)と書く。
（１）M_n(R)はR上のベクトル空間であることを証明せよ。
（２）任意の行列Ａ∈M_n(R)に対し、行列の組A^0,A^1,A^2,・・・・,A^n^2
は一次従属であることを示せ。
（３）任意の行列Ａ∈M_n(R)に対し、ある恒等的に０でない多項式Ｐが存在
　　　してＰ（Ａ）＝Ｏを満たすことを示せ。
よろしくおねがいします。

	10735．Re: 線形代数（大学１年）
	名前：我疑う故に存在する我日付：10月16日(木) 21時7分
	＞ｎ次関数係数正方行列全体の集合をM_n(R)と書く。質問の意味が良く分かりませんが、 n = 1 即ち１次関数を要素とする 100 次正方行列全体で良いのですか？＞一次従属であることを示せ。一次結合の係数は数なんですか多項式なんですか？意味するところは見当が付かないでもないが他の人が分らないだろう。貴方自身質問の意味を良く理解しているのですか？

	10755．Re: 線形代数（大学１年）
	名前：John 日付：10月18日(土) 0時30分
	訂正です。＞ｎ次関数係数正方行列全体の集合をM_n(R)と書く。 →ｎ次の実数係数正方行列全体の集合をM_n(R)と書く。でしたm(__)m あまり理解できてません。説明お願いします。

	10827．Re: 線形代数（大学１年）
	名前：我疑う故に存在する我日付：10月21日(火) 16時7分
	(1) は、ベクトル空間の定義を理解すれば分ります。 (2) も、教科書を見れば、m 次元ベクトル空間の k 個の元( m ＜ k )は、一次従属である事が書いてあるはずです。(dim M_n(R) = n^2) (3) は、(2) より即ちに出ますが、別解として、教科書の Hamilton-Cayley の定理を調べて下さい。

10713．積分

名前：セアワソ 日付：10月16日(木) 1時12分

積分の問題で困っています。誰か解ける方お願いしたいのですか、、、よろしいでしょうか

1/(1+cos x)dx
x^2/(x^2-x-6)dx
arcsin xdx

ヨロシクお願いします。高３です。

	10717．Re: 積分
	名前：ヨッシー日付：10月16日(木) 9時36分
	とりあえず２番目だけ。 x^2/(x^2-x-6)＝x^2/(x-3)(x+2) より、この式が　ax/(x-3)+bx/(x+2) となるように a,b を決めると、　(与式)＝0.6x/(x-3) + 0.4x/(x+2) 　　　　＝1 + 1.8/(x-3) - 0.8/(x+2) より、 ∫{1 + 1.8/(x-3) - 0.8/(x+2)}dx＝x + 1.8log\|x-3\| - 0.8log\|x+2\| 　 http://yosshy.sansu.org/

	10721．Re: 積分
	名前：高橋　道広日付：10月16日(木) 11時54分
	じゃあ　私は　１番だけ分母分子に1-cosxを掛けて 1/(1+cosx)=(1-cosx)/(1-(cosx)^2)=(1-cosx)/(sinx)^2 ここで 1/(sinx)^2は積分すると-1/tanx cosx/(sinx)^2=(sinx)'/(sinx)^2ですから　こちらは積分すると -1/sinxとなります。答えは　1/sinx-1/tanx+C　となるようです httphttp://micci.sansu.org/

	10723．Re: 積分
	名前：中川　幸一日付：10月16日(木) 12時42分
	じゃ～私は 3 番をやります。 ∫arcsin x dx =x arcsin x -∫x(arcsin x) ' dx =x arcsin x -∫(x/√(1-x²)) dx =x arcsin x -(-√(1-x²)) =x arcsin x +√(1-x²) http://www3.ezbbs.net/01/k-nakagawa/

	10759．Re: 積分
	名前：セアワソ日付：10月18日(土) 13時55分
	ありがとうございました。とても助かりました。また何かあったら質問しますんでヨロシクお願いします。

10710．私も簡単な質問・・

名前：MASUO 日付：10月15日(水) 23時41分

この極値はの求め方がわかりません。
大まかな流れはわかるんですが・・・
どなたかご教授お願いします。

	10711．Re: 私も簡単な質問・・
	名前：中川　幸一日付：10月15日(水) 23時46分
	この関数の微分は出来ますか？ http://www3.ezbbs.net/01/k-nakagawa/

	10714．Re: 私も簡単な質問・・
	名前：MASUO 日付：10月16日(木) 6時29分
	logの微分が出来ません

	10718．Re: 私も簡単な質問・・
	名前：Bob 日付：10月16日(木) 9時42分
	ｙ＝ｘ＾２・ｌｏｇｘ積の微分法よりｙ’＝（ｘ＾２）’・logｘ＋（ｘ＾２）・（ｌｏｇｘ）’ ここでｌｏｇｘの微分ですが１／ｘ　です。よってｙ’＝２ｘ・logｘ＋ｘ＾２・１／ｘ＝２ｘlogｘ＋ｘ http://homepage3.nifty.com/sumida-3/

10705．質問

名前：IGA 日付：10月15日(水) 22時53分

簡単な質問です。
　M、Nはそれぞれの辺の中点であります。
△PMNは４平方センチメートルのとき次の問に答えなさい。

三角形ABCの面積を求めなさい。

MP：PC＝１：２です。
↑前の設問にありました・・・・
教えていただけるとありがたいです。

	10706．Re: 質問
	名前：IGA 日付：10月15日(水) 22時54分
	図を忘れました。貼り付けときます。

	10707．Re: 質問
	名前：田村　正和日付：10月15日(水) 23時6分
	中点連結定理からＡＭ：ＭＢ＝ＡＭ：ＭＣ＝１：１とでて面積は４×（２×２）＝１６と出ます。別にＰがなくても解けますね。ところでＩＧＡさん貼り付けてある画像はスキャナでコピーしたんですか？実はスキャナを買おうかどうか悩んでいるのです。

	10708．Re: 質問
	名前：中川　幸一日付：10月15日(水) 23時9分
	面積は 48 になりますよ!! http://www3.ezbbs.net/01/k-nakagawa/

	10709．Re: 質問
	名前：中川　幸一日付：10月15日(水) 23時15分
	△PMN∽△PCB より, △PMN:△PCB=1:4=4:16 △MNC:△BCN=1:2 より, △NPC=x とおくと, 4+x:16+x=1:2 iff x=8 よって, △NPC=8 同様に, △MPB=8 また, △AMN:△ABC=1:4 より, 四角形MBCN:△ABC=3:4 四角形MBCN=4+8+8+16=36 よって, 四角形MBCN:△ABC=3:4=36:48 ∴ △ABC=48 http://www3.ezbbs.net/01/k-nakagawa/

	10712．Re: 質問
	名前：IGA 日付：10月16日(木) 0時18分
	田村さん　中村さんありがとうございます。本当に感激です・・・＞田村さんへいや、違います。ペイントで描いただけです。問題のご協力ありがとうございます。お忙しい中ありがとうございます。＞中村さんへどうしてこのような考えがスラスラとでてくるのでしょう？すごいです。中点連結定理が使える場合にはあまり定理だけにとらわれないほうがいいのですね。ずっと中点連結定理をどう応用するか考えてました・・・相似な図形をみつけるのですね・・・・あと１／２のことをつかって比が１：４になると・・中点連結定理の三角形の面積の問題のテクニックが分かったような気がします。ありがとうございました。田村さん、中川さん今後ともよろしくお願いいたします。

	10724．Re: 質問
	名前：ヨッシー日付：10月16日(木) 15時4分
	△ＰＭＮと同じ大きさの三角が１２個です。　 http://yosshy.sansu.org/

	10736．Re: 質問
	名前：IGA 日付：10月16日(木) 21時9分
	ヨッシーさんありがとうございます。

	10738．Re: 質問
	名前：田村　正和日付：10月17日(金) 0時7分
	失礼しました。三角形ＰＭＮを三角形ＡＭＮだと思ってました。ご指摘ありがとうございました＞中川さんＩＧＡさんも質問に答えていただきありがとうございます。

10702．ご丁寧にありがとうございます。

名前：pon　昔の中学生です。 日付：10月15日(水) 21時25分

ご指摘ありがとうございます。
a:b:c=d:e:f
例えば、ｄが不明で、これを
を求めたい場合はどうしたら、いいでしょうか？

あのーーーー、
小生の頭が悪くて、申し訳ありませんが、
ｂ＝aD/Cは、理解しているので、わかりますが、

ast@学校さまのご教示いただいた、
または、かつ、というのは、
なかなか難しくて、
ノートの上の筆算で、イメージがわきません。
ごめんなさい。

恥ずかしながら、大変、恐縮いたしますが、
２：３：４＝x:9:12のとき、
Ｘは何？？？
の求め方にしていただいてもよろしいですか？？

よろしくお願いいたします。

	10703．Re: ご丁寧にありがとうございます。
	名前：ast 日付：10月15日(水) 21時48分
	一連の質疑応答は新規にスレッドを立てずに返信をクリックして同じスレッドにつけてください. 　　2：3：4 = x：y：z ⇔ 2：3 = x：y かつ 3：4 = y：z と置き換えたら判りますか？私の先のレスでも, 0 を含まないのであれば, 　　a：b：c = d：e：f ⇔ a/d = b/e = c/f とするだけで求まりますが.

	10715．Re: ご丁寧にありがとうございます。
	名前：我疑う故に存在する我日付：10月16日(木) 8時11分
	空間内の（一般に高次元でよいが）直線の方程式も、 (x - a)/d = (y - b)/e = (z - c)/ f と分数式を使うと、分母が 0 の場合、場合分けをするから、 10701 の記事で書いた方が簡単だ。

10695．a:b:c=d:e:f　　よろしくお願いします。

名前：pon　昔の中学生です。 日付：10月15日(水) 13時33分

a:b=C:Dこれを求めるのは、ｂＣ＝ａＤ、ですよね。
　　　　　　　　　　　　　ｂ＝aD/C
　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　これはわかります。

a:b:c=D:E:F
この求め方を、昔、塾でやりましたが、忘れてしまいました。
いくつかの段階を経て、回答した記憶があります。
ぜひ教えてください。

	10697．Re: a:b:c=d:e:f　　よろしくお願いします。
	名前：ast@学校日付：10月15日(水) 15時22分
	a：b：c = d：e：f ⇔ a = b = c= d = e = f = 0 または　a/d = b/e = c/f です.

	10698．Re: a:b:c=d:e:f　　よろしくお願いします。
	名前：ast@学校日付：10月15日(水) 15時30分
	訂正. a：b：c = d：e：f 　　⇔ [a/d = b/e = c/f] 　　　　または [a = d = 0 かつ b/e = c/f] 　　　　または [b = e = 0 かつ a/d = c/f] 　　　　または [c = f = 0 かつ a/d = b/e] 　　　　または [a = d = b = e = 0] 　　　　または [b = e = c = f = 0] 　　　　または [c = f = a = d = 0] ですね.

	10700．Re: a:b:c=d:e:f　　よろしくお願いします。
	名前：ヨッシー日付：10月15日(水) 17時10分
	「求め方」とありますが、どの文字がわかっているときに、どの文字の値を求めたいのでしょう？例えば、a:b=C:D　→　ｂ＝aD/C　は、 a,C,D がわかっているときに、b を求める方法ですね。　 http://yosshy.sansu.org/

	10701．Re: a:b:c=d:e:f　　よろしくお願いします。
	名前：我疑う故に存在する我日付：10月15日(水) 17時30分
	＞ast さん＞または [a = d = 0 かつ b/e = c/f] 分母に来る数は 0 でないという暗黙の前提があるのですね。＞または [a = d = b = e = 0] これには c ≠ 0, f ≠ 0 なる条件が付くんでしょうか？片一方だけが 0 だとまずい？それとも 0：0：0 は不定だから、任意の比に等しいと解釈するのでしょうか？場合分けを使わなくとももっと単純に　ae - bd = af - cd = bf - ce = 0. 但し、0：0：0 は不定だから、任意の比に等しい。今現在大学生ならこれくらいの解釈で良いかも。場合分けは面倒だ。

10693．論理の間違いを指摘せよ。という問題

名前：ほるもん（大卒・・一般市民？） 日付：10月15日(水) 1時4分

恥のかきついでにもう1題。
次の論理の間違いを指摘し、理由を説明せよ。
「1次方程式2x-4=0　…(1)を解く。
　⇒(x-3)・(2x-4)=(x-3)・0　…(2)
　⇒(x-3)(2x-4)=0　…(3)
　⇒2(x-3)(x-2)=0　…(4)
　⇒x=3,x=2
　よって、1次方程式(1)は解x=3,x=2を持つ。」
ですが、私の回答はこんな感じです。。
「(2)の段階で、両辺に(x-3)を乗じたところが間違い。
なぜならば、x-3=0というまったく別な条件をつけたしたのと同じだから。」
と思うのですが、
等式の両辺に同じものをかけても等式は成立。
0に何をかけても0。
など、やっている操作は間違っていないので、なんだかこれでいいのかなあ、と不安になっています。
よろしくお願いします。

	10694．Re: 論理の間違いを指摘せよ。という問題
	名前：ヨッシー日付：10月15日(水) 9時22分
	言わんとしておられることは、大体良いと思います。　2x-4=0　…(1) の両辺に０を掛けると、０＝０となり、ｘの値に関係なく成り立つ式になってしまい、 (1) の方程式としての意味が無くなってしまいます。従って、(1) の両辺に x-3 を掛けるときは、x-3≠0 を前提として、掛けないといけないということでしょう。　 http://yosshy.sansu.org/

	10696．Re: 論理の間違いを指摘せよ。という問題
	名前：ast@学校日付：10月15日(水) 15時20分
	実際には推論に誤りは無いけれど, ただ, 一方通行（⇒）に必要条件を求めているだけなので, 最後に十分性の確認をせずに x=3,2 が解になると結論付けているところが誤りと考えるほうが良いのではないかと思います.

	10719．Re: 論理の間違いを指摘せよ。という問題
	名前：ほるもん（大卒・・一般市民？）日付：10月16日(木) 9時43分
	ヨッシーさん、astさん。ありがとうございました。m(_ _)m

10689．(untitled)

名前：呆け人 日付：10月14日(火) 22時48分

今回は２つ質問です。
(-1)^kを３でわる。ｋが奇数なら余りは２
えーと、よくわかりません。教えてください。
偶数なら余り１というのは、わかるのですが…

nを３以上の自然数とする。1,2²,2³,…,2²ⁿの数が１つずつ書かれたカードが１枚ずつ合計2n+1枚ある。これらから3枚を選ぶとき、3枚のカードに書かれた数を小さい順に並べ替えると等比数列になるような選び方は何通りあるか。

という問題で、解答は
①それぞれの数を３で割り、余りが1の組、2の組で分けて考える。
Ａ={1,2²,2⁴,…，2²ⁿ}
Ｂ={2,2³,2⁵,…，2^2n-1}
選ばれた3つの数を2^a,2^b,2^c(a<b<c)
とすると、等比数列になる条件は2b=a+c
よって、a+cは偶数だからa,cの偶奇は一致する。a,cを定めればbがただ1つ決まる。
ゆえに、集合Aから２つ、または集合Bから2つを選べばよい。(後略）

偶奇は一致する、と書いてありますが、この場合1を除けば全て偶数だから2n枚中から2つ選べばいいのではないかと考えていたので、なぜ集合からそれぞれ選んでいるのかがわかりません。教えてください。

	10690．Re: (untitled)
	名前：ＩＦ日付：10月14日(火) 23時42分
	(-1)^kはｋが奇数のとき－１になるので３で割った余りは２です。次の質問について、２＾１、２＾２･･･２＾（２ｎ）が偶数であることと、指数であるa,cが偶数であることを混同しているのではないですか。

	10691．Re: (untitled)
	名前：ヨッシー日付：10月14日(火) 23時45分
	整数ｎに対して、３ｎ＋２に書けるなら、「余り２」です。－１＝－１×３＋２　なので、余り２です。後半は、２ⁿであるところの、１とか２とか４とか８とかが、奇数だ偶数だと言っているのではなく、指数が奇数か偶数かを言っています。　 http://yosshy.sansu.org/

	10704．あ！
	名前：呆け人日付：10月15日(水) 22時35分
	ほんとだー、指数の話でしたね！そうか、ご指摘ありがとうございます。すぐわかりました。－１を３でわるって何？と思っていたのも納得。 IFさん、ヨッシーさん、ありがとうございます。お世話になります。

10680．はじめまして！

名前：ナッツ（高校二年生） 日付：10月14日(火) 12時32分

早速ですが、質問です(加法定理の問題です)。

２直線ｙ=ｍｘ　とｙ=3ｍｘ（ｍ＞０）について、
　（１）2直線のなす角をθとするとき、tanθをｍで表せ。

↑この問題の場合、2直線のなす角＝鋭角とは限りませんよね？
　なら答えはtanθ＝｜２ｍ／１＋３ｍ＾｜だとおもうのですが、
　答えには絶対値はついていないのです…
　何故なのでしょうか？

また、（２）ｍが変化するとき、θの最大値を求めよ
　というのが、どう考えれば良いのか全く分かりません…
宜しくお願いします！

	10681．Re: はじめまして！
	名前：帰ってきた赤猫(旧 : Red cat) 日付：10月14日(火) 12時45分
	＞2直線のなす角は、必ず鋭角を採用します。従って、答に絶対値は付きません。 (2) については、m を変化させると tan θ の値が変化します。 θ が増加すれば tan θ も増加するので、まずは tan θ の最大値をもとめ、tan θ = (その最大値) となる θ を求めれば良いでしょう。

	10699．Re: はじめまして！
	名前：ナッツ（高校二年生）日付：10月15日(水) 15時42分
	ありがとうございます！そうだったのですか～、全然知りませんでした…お恥ずかしい（^^；）（２）もやってみます！

10679．連立方程式・・・よりよい解法は？

名前：ほるもん（大卒・・一般市民？） 日付：10月14日(火) 10時8分

こんにちは。より良い解法がないか、お尋ねしたいのですが。
問い:
連立方程式
2ax-y=5 …(1)
4x-ay=6 …(2)
5x+3y=2 …(3)
が解を持つとき、aの値を求めよ。また、解を求めよ。
というものですが、未知の数がa、x、yの3つで式も3つなので、
例えばこれらの式からx、ｙを消去してaだけの式にしてaを出し、
それからx、yを出すという方法でトライしたのですが、計算が煩雑で、
もっと良い解法があるのではないか、と思えてきました。
よろしくお願いします。

	10682．Re: 連立方程式・・・よりよい解法は？
	名前：帰ってきた赤猫(旧 : Red cat) 日付：10月14日(火) 12時50分
	`エレガントな解法としては、行列式 \| 2a -1 -5 \| \|　4 -a -6 \| \|　5　3 -2 \| が 0 にならない a の値(高々二つ)に対して試せばよい、という方法も。`

	10683．訂正。
	名前：帰ってきた赤猫(旧 : Red cat) 日付：10月14日(火) 12時53分
	＞行列式(中略)が 0 にならない「行列式(中略)が 0 になる」の間違いです。

	10685．Re: 連立方程式・・・よりよい解法は？
	名前：帰ってきた赤猫(旧 : Red cat) 日付：10月14日(火) 16時52分
	ちょっと補足をば。問題の連立方程式を、行列を使って ( 2a -1 -5 )( x ) 　( 0 ) (　4 -a -6 )( y ) = ( 0 ) (　5　3 -2 )( 1 ) 　( 0 ) と表すことにします。もし行列式 \| 2a -1 -5 \| \|　4 -a -6 \| \|　5　3 -2 \| が 0 でなければ、左辺の 3 × 3 行列が逆行列を持つので、それを左から掛けると ( x ) 　( 0 ) ( y ) = ( 0 ) ( 1 ) 　( 0 ) となっておかしくなります。従って \| 2a -1 -5 \| \|　4 -a -6 \| = 0 \|　5　3 -2 \| から、あらかじめ a の候補を絞ろうというわけです。

	10686．Re: 連立方程式・・・よりよい解法は？
	名前：ほるもん（大卒・・一般市民？）日付：10月14日(火) 20時12分
	red catさん、ありがとうございます。 aを出すまでの過程がかなり楽になりました。ただ、a=(-11±2√153)/8 と、もともとあまりきれいじゃない答でした。あんまりきれいじゃないので、これであってるんかいな？と思ってましたが、やっぱりこれでいいんですね～。行列式ってこういうふうに使うんですねえ。ありがとうございました☆。

	10687．Re: 連立方程式・・・よりよい解法は？
	名前：花パジャ日付：10月14日(火) 20時51分
	解はきれいになりますよ(√は無い) aの方程式どうなりました?

	10688．Re: 連立方程式・・・よりよい解法は？
	名前：帰ってきた赤猫(旧 : Red cat) 日付：10月14日(火) 21時12分
	んー、3 × 3 行列の行列式の計算に使う Sarrus の法則とか覚えてます?花パジャさんの仰るとおり、a の値は「すげー」きれいな値が出てきます(私の計算に間違いが無ければ)。

	10692．Re: 連立方程式・・・よりよい解法は？
	名前：ほるもん（大卒・・一般市民？）日付：10月15日(水) 0時44分
	あ、サラスの方法を使ったのです。が、その後のaの式を解くのが間違ってました！ aの式は4a^2+11a-38=0です。ここまではx、yを消去するやり方でも出ていたのですが、これを解くのに、安易に解の公式に入れたために、途中で計算間違いしていました。 (a-2)(4a+19)=0で、a=2,-19/4ですね。そうすると、a=2のときx=1,y=-1 a=-19/4のときx=-34/47,y=88/47 になりました。確かにキレイです・・・・。はーーーーー。数学には向いてないのかにゃー。実は数学の教員免許でもとろうかと勉強中で、この掲示板にお世話になっているのですが、こんなに不注意がつづくと自己嫌悪におちいりますね。ケアレスミスが多いのは中学高校のときからそうなので、自覚も十分あり、「落ち着け～よく見て～」などと自分に言い聞かせながらやってるんですが。ふう。まあ、自分なりにがんばります。

10671．こんばんは。

名前：味噌汁 日付：10月13日(月) 23時44分

こんばんは。

△ＡＢＣにおいて、AB=4,BC=3,∠B=90°とする。
△ＡＢＣの重心ＧからABに下ろした垂線の長さが1であるのはなぜでしょうか…？

教えてください。よろしくお願いします。

	10675．Re: こんばんは。
	名前：ケロ日付：10月14日(火) 0時33分
	こんばんは。重心Ｇは中線を２：１に内分します。Ｃからの中線を引いて、ＡＢとの交点をＭとすると、重心ＧからABに下ろした垂線はＢＣと平行ですから…何対何。

	10676．Re: こんばんは。
	名前：Ｓａｒ日付：10月14日(火) 0時39分
	座標、幾何、ベクトルとありますが今回は座標で。 A(4,0),B(0,0),C(0,3)と座標平面状にとると、△ABCの重心Gの座標はどうなりますか？

	10678．Re: こんばんは。
	名前：味噌汁日付：10月14日(火) 0時51分
	なるほどです。中点連結定理でも重心の座標でもわかるのですね。理解できました。ケロさん、Sarさん、どうもありがとうございました。＾＾

10666．すいませんが、質問でございます。

名前：IGA 日付：10月13日(月) 22時33分

次の図でMはABの中点であり、NはACの中点である。そして△PMNの面積が４平方センチメートルのとき次の時に答えなさい。

１　MP:PCを求めなさい。

まったくわかりません。
すいませんがお願いいたします。

	10667．Re: すいませんが、質問でございます。
	名前：IGA 日付：10月13日(月) 22時35分
	すいません。本文中が間違ってました。日本語的に・・時→問いです。図は見にくいので拡大してください。

	10668．Re: すいませんが、質問でございます。
	名前：ＩＦ日付：10月13日(月) 22時41分
	三角形ＰＢＣとＰＭＮは相似ですね。相似比がわかればおしまいです。

	10672．Re: すいませんが、質問でございます。
	名前：IGA 日付：10月13日(月) 23時59分
	すいません。かなり簡単な問題でしたね。ごめんなさい。

10664．複素数平面

名前：ジャグラ　高３ 日付：10月13日(月) 17時46分

以前質問したのと類似しますが、分からないので質問させてください＞＜
複素数α、βの間にα^2＋β^2=αβ　lα-βl=2の関係がある。
次のものを求めよ。

１）β/α の偏角　これは大丈夫です。
２）αの絶対値

どこまで理解できたかを書きます。
β/α=｛cosθ＋isin(±θ)｝であり　lβ/αl=1 →lαl＝lβl
それとlα-βl=2からlα-βllαのバー-βのバーl=4

(α･βのバー＋αのバー･β)=2lαllβlcosargβ/α=lαllβl
↑が分かりません＾＾；
何故lαllβlは大きさであるからそのままcosかけなくても大丈夫な気が
するのですが.....良く考えてみると内積の定義と類似してる気もします。
そう過程すると(α･βのバー＋αのバー･β)の部分は直接大きさの概念は用いれ
ないのでしょうか？
ウーン･･･いまいち絶対値がついてると理解が厳しくなります＾＾；

	10669．Re: 複素数平面
	名前：ケロ日付：10月13日(月) 23時4分
	こんばんは。これは別解ですか？でも、今回はlα-βl=2で、前のはｌα-βl=3だったけど。 lα-βl^2= (α-β)(α~-β~)= αα~-αβ~-βα~+ββ~ です。絶対値ではありません。 ~は共役の表し方だそうです。 α=\|α\|(cosθ1+isinθ1) , β=\|β\|(cosθ2+isinθ2)　とおきます。 αβ~=\|α\|\|β\| (cos(θ1-θ2)+isin(θ1-θ2))= \|α\|\|β\|(cos(θ2-θ1)-isin(θ2-θ1))。 βα~=\|α\|\|β\|(cos(θ2-θ1)-isin(θ2-θ1))。 αβ~+βα~=2\|α\|\|β\|(cos(θ2-θ1))。ここで、θ2-θ1はβ/αの偏角です。

	10670．Re: 複素数平面
	名前：ケロ日付：10月13日(月) 23時21分
	ありゃ。これではsinが消えない。 βα~=\|α\|\|β\|(cos(θ2-θ1)-isin(θ2-θ1)) →βα~=\|α\|\|β\|(cos(θ2-θ1)+isin(θ2-θ1))。

	10673．Re: 複素数平面
	名前：ジャグラ　高３日付：10月14日(火) 0時15分
	ケロさん＞返答ありがとうございます。丁寧な解説助かります＞＜複素数平面ってZやZ~等でごちゃごちゃになるんですが....(；；慣れが必要なのでしょうかねぇーー；

	10674．Re: 複素数平面
	名前：ジャグラ　高３日付：10月14日(火) 0時19分
	あと上でケロさんがおっしゃったように（問題は違いますが）別解なのですが、複素数平面で結構色々な方向から解が導けますよね。別解としては今回のより前の方が早いでしょうか....

	10677．Re: 複素数平面
	名前：ケロ日付：10月14日(火) 0時46分
	前のほうが楽みたい。ケロも勉強中で、知識は高３±αです。ジャグラ　高３さんたちの質問で勉強させてもらってます。ありがとう。

10654．できる面積は？

名前：まなみ 日付：10月13日(月) 1時0分

tを実数とする。Ｙ軸上の点Ｐ（0,t）から関数y=log(x)のグラフに引いた接線の接点をＱとする。
（１）接点Ｑの座標をtを用いて表せ。
（２）tが-1<=t<=0の範囲を動くとき、線分ＰＱが動いてできる図形の面積を求めよ。

（１）はＱのx座標qとおいてy=log(x)を微分して、（0,t）を代入して
（e^(t+1),t+1）だと思うんですが、（２）は全く。おねがいします。

	10656．Re: できる面積は？
	名前：ケロ日付：10月13日(月) 2時3分
	x=1の前後で、y=x/eとy=2x/e-1、 y=x/eとy=logxで囲まれた面積でいいと思うけど。 S1=∫[0,1](x/e-(2x/e-1))dx=…、 S2=∫[1,e](x/e-logx)dx=[2x^2/e+x-xlogx][1,e]=2e-2/e+1 。

10649．オイラーの公式

名前：aminoさん（１７） 日付：10月12日(日) 22時17分

オイラーの公式を微分を利用して導出する方法があるのですが、本を読んでも分かりませんでした。どなたか分かりやすく説明してあるホームページを知っていましたら教えて下さい。

	10650．Re: オイラーの公式
	名前：ＩＦ日付：10月12日(日) 22時45分
	http://www80.sakura.ne.jp/~aozora/taiwa2/euler-f/node4.html はどうでしょうか。

	10660．Re: オイラーの公式
	名前：aminoさん（１７）日付：10月13日(月) 8時4分
	高校生向けの微分法のみえ説明してあるものがあると思うのですが？シグマとかなんとか展開ってのはないものがあるのです。お願いします。

10639．よりよい解法がないでしょうか。

名前：ほるもん（大卒・・一般市民？） 日付：10月12日(日) 19時47分

今日はもうひとつ、お願いします。
問い：x^2+2x-1=0を満たす負の解xに対してx^8+2x^7+1の値を求めよ。
なのですが、
順当に2次方程式の解の公式から、負の解x=-1-√2 を出して
x^8 や x^7 を計算したのですが、もっと良い解法がありそうで
お尋ねします。
よろしくお願いします。

	10642．Re: よりよい解法がないでしょうか。
	名前：花パジャ日付：10月12日(日) 20時42分
	x^2=-2x+1を使って次数を下げる　x^8+2x^7+1=x^6+1=....

	10644．Re: よりよい解法がないでしょうか。
	名前：中川　幸一日付：10月12日(日) 20時59分
	(x+1)²-2=0 の利用。 http://www3.ezbbs.net/01/k-nakagawa/

	10645．Re: よりよい解法がないでしょうか。
	名前：ast 日付：10月12日(日) 21時43分
	次数下げと本質的に同じですが x^8+2x^7+1 を x^2+2x-1 で割っておく.

	10651．Re: よりよい解法がないでしょうか。
	名前：ほるもん（大卒・・一般市民？）日付：10月12日(日) 23時15分
	ありがとうございます。花パジャさんの方法で x^8 + 2x^7 + 1 =x^6 + 1 =(-2x+1)^3 + 1 =(4x^2-4x+1)(-2x+1) + 1 =(-12x+5)(-2x+1) + 1 =6(4x^2-4x+1) =6(-12x+5) =102+72√2 が一番計算量が少ないかな、と思いました。もしくは途中から =6x^4 =6(3+√2)^2 =6(17+12√2) =102+72√2 あんまり変わらないか。中川さんの(x+1)^2+1=0の利用はよくやり方が分からなかったのですが・・・？割り算はたくさん項がでてきたので途中まで・・。

	10653．Re: よりよい解法がないでしょうか。
	名前：中川　幸一日付：10月13日(月) 0時39分
	x⁸+2x⁷+1 =(x²+2x-1)(x⁶+x⁴-2x³+5x²-12x+29)+30-70x =0×(x⁶+x⁴-2x³+5x²-12x+29)+30-70x =30-70x x=-1-√2 より, 30-70x =30-70(-1-√2) =100+70√2 http://www3.ezbbs.net/01/k-nakagawa/

	10663．Re: よりよい解法がないでしょうか。
	名前：ほるもん（大卒・・一般市民？）日付：10月13日(月) 15時49分
	割り算のやり方ありがとうございました。 (x+1)2-2=0 の利用。というのも、割り算のことだったのでしょうか。割り算の途中を間違えなければこれも早いですね。私の計算は間違ってました。(- -;)ゝ =24x^2+-22x+6 =-70x+30 =100+70√2 ですね。

10625．ベクトル

名前：ai（高２） 日付：10月12日(日) 18時2分

こんばんは。質問があります。宜しくお願いします。

a↑=(4,1),b↑=(2,-1),p↑=(a↑+tb↑)とするとき、次の問に答えよ。
ただし、tは実数とする。
｜p↑｜の最小値を求めよ。

｜p↑｜^２が最小のとき、｜p↑｜も最小となるという事と、
｜p↑｜^２=5t^2+14t+17
=5(t+7/5)^2+36/5
と平方完成されるのが分かりません。
教えて下さい。お願いします。

	10627．Re: ベクトル
	名前：（）（）（）日付：10月12日(日) 18時20分
	たとえば3の2乗と4の2乗を比べると3の2乗のほうが小さいですよねこのようにX>0のときX^2の大小とXの大小は一致するんです Y=X^2のグラフを思い浮かべてみたらX>0ときはグラフの左に行くほどX^2の値も小さくなってることは理解できると思います｜p↑｜はp↑の大きさだから正なので｜p↑｜^２が最小のとき、｜p↑｜も最小となるというわけです次に平方完成ですがまずｔ^2の係数でくくりｔ^2+2aｔ+a^2という形を作ることを考えるとここではa＝7/5になっていますくわしく式変形を書くと｜p↑｜^２=5t^2+14t+17＝5（t^2+14/5ｔ+49/25-49/25）+17 ＝5（t^2+14/5ｔ+49/25）-49/5+17 =5(t+7/5)^2+36/5 これでわかったでしょうか？

	10628．Re: ベクトル
	名前：Bob 日付：10月12日(日) 18時26分
	「｜p↑｜^２が最小のとき、｜p↑｜も最小となるという事と、」＞＞｜p↑｜がつねに0以上ということはわかりますか？絶対値とはって考えればわかるはず。　たとえば｜p↑｜^２が３６のとき２５のとき９のときを考えると　｜p↑｜はそれぞれ６、５，３となり「｜p↑｜^２が最小のとき、｜p↑｜も最小となるという事と、」が示されました。「｜p↑｜^２=5t^2+14t+17」＞＞今｜p↑｜^２の最小値を出すのですが、この式はｔの2次関数ですね　　数Ⅰで2次関数の最小最大を出すのには平方完成を使いませんでしたか？ ★ちなみにｔ＝-７／５のとき最小で最小値は６／√５です。　36／５ではないので気をつけましょう http://homepage3.nifty.com/sumida-3/

	10632．お願いします。
	名前：ai（高２）日付：10月12日(日) 18時52分
	()()()さん、Bob さんありがとうございます。 >5t^2+14t+17＝5（t^2+14/5ｔ+49/25-49/25）+17 5t^2+14t+17＝5（t^2+14/5ｔ+17/5）+17 になりませんか？？

	10655．Re: ベクトル
	名前：ai（高２）日付：10月13日(月) 1時4分
	んん～中々解けません。こんがらがってきました(><) どうしたらできるでしょうか…。

	10659．Re: ベクトル
	名前：中川　幸一日付：10月13日(月) 2時49分
	5t²+14t+17 =5(t²+(14/5)t)+17 =5(t²+2(7/5)t)+17 =5(t²+2(7/5)t+(7/5)²-(7/5)²)+17 =5(t²+2(7/5)t+(7/5)²)-5(7/5)²+17 =5(t+(7/5))²-5(7/5)²+17 =5(t+(7/5))²-(49/5)+17 =5(t+(7/5))²+(36/5) というように変形されます。 http://www3.ezbbs.net/01/k-nakagawa/

10621．分類は・・・2次関数の正負？かな？

名前：ほるもん（大卒・・一般市民？） 日付：10月12日(日) 15時44分

もうひとつ、わからない問題があります。
問い：f(x)=x^2 + x + a^2 (aは実数）について、
f(m) < 0 ⇒　f(m+1) > 0 を示せ。（mは実数）
というものです。
仮定より　f(m) = m^2 + m + a^2 < 0
f(m+1) = m^2 + 3m + 2 + a^2
= f(m) + 2(m+1)
と変形したのですが、これが　> 0 を示すのは？？？？です。
ためしにf'をとってみたのですが、極小値がa^2 - 1/4　となって
だめでした。
形を見ると、数列みたいなかんじですが、どうすればいいでしょう？
よろしくお願いします。

	10624．Re: 分類は・・・2次関数の正負？かな？
	名前：ヨッシー日付：10月12日(日) 17時29分
	言い換えると、このグラフは、下に凸の放物線なのですが、判別式：Ｄ≦０のときは、f(m)＜０となるようなｍはなく、たとえ、Ｄ＞０で、f(m)＜０（ｘ軸より下に来ている）の部分があっても、その（ｘ軸で）１右側ではもうｘ軸より上に来ている。という意味です。つまり、ということです。結局、ｘ軸と２点で交わっても（２実解を持っても）、その２解の間隔（差）が１以下である、ということです。　 http://yosshy.sansu.org/

	10635．Re: 分類は・・・2次関数の正負？かな？
	名前：ほるもん（大卒・・一般市民？）日付：10月12日(日) 19時17分
	ようやく、題意がわかりました。では、D>0のとき、f(m)<0の部分があって、2つの実数解をα、βとすると、その差が1より小さいことを示したい、となります。解と係数の関係より、α+β=-1 …(1) αβ=a^2　…(2) (1)より、β=-(α+1) (2)に代入して-α(α+1)=a^2>0 したがって、α<0かつα+1>0　∴-1<α<0 α-β=α+(α+1)=2α+1 より、　　-1<α-β<1　　∴\|α-β\|<1 こんな感じでいいのでしょうか？

	10684．Re: 分類は・・・2次関数の正負？かな？
	名前：ヨッシー日付：10月14日(火) 15時1分
	決まり切ったやり方の１つとして、　(α－β)²＝(α＋β)²－４αβ というのがあります。判別式＞０より、　１－４ａ²＞０より　-1/2＜ａ＜1/2 この条件下で、　(α－β)²＝(α＋β)²－４αβ 　　　＝１－４ａ²≦１また、当然　１－４ａ²＞０　（判別式と同じ式だから）以上より、　０＜\|α－β\|≦１という感じです。　 http://yosshy.sansu.org/

10620．2次方程式の虚数解

名前：ほるもん（大卒・・一般市民？） 日付：10月12日(日) 15時34分

こんにちは。また、お世話になりたく思います。。。
問い：方程式 ax^2 + x + 1 = 0 が虚数解α、βを持つとき、
(1)aの範囲を示せ。
(2)|α| < 2 ,|β| < 2 を示せ。
という問題なのですが、(2)がよくわかりません。
(1)は判別式b^2-4ac < 0より、　a > 1/4　としました。
解と係数の関係を使うのかな、と思って、
α + β = 1/a > -4
αβ = 1/a < 4
を出しましたが、なんとなく|α| < 2 ,|β| < 2になりそうだけどなあ、
というくらいでどうやって示すのか？？？？です。
よろしくお願いします。

	10622．Re: 2次方程式の虚数解
	名前：ヨッシー日付：10月12日(日) 17時13分
	ａは実数とします。すると、α、βは共役複素数なので、　α＝ｐ＋ｑｉ、β＝ｐ－ｑｉ　（ｐ、ｑは実数）と書け、\|α\|²＝\|β\|²＝ｐ²＋ｑ² です。一方、　αβ＝(ｐ＋ｑｉ)(ｐ－ｑｉ)＝ｐ²－(ｑｉ)² 　　　＝ｐ²＋ｑ² なので、（以下略）　 http://yosshy.sansu.org/

	10631．Re: 2次方程式の虚数解
	名前：ほるもん（大卒・・一般市民？）日付：10月12日(日) 18時50分
	あらら。聞けば、なあんだ、っていうかんじですね。でも、これがなかなか思いつかないんです。。ありがとうございました。

10618．複素数平面

名前：ジャグラ　高３ 日付：10月12日(日) 13時4分

こんにちわ、分からない問題があるので教えていただきたいと思い
書き込みします！！

複素数平面上で,A(α),B(β)はα^2＋β^2=αβ, ｌα-βl=3をみたす0と異なる
複素数を表すとする。

１）α/β を求めよ
２）αの絶対値を求めよ

１）は分かったのですが、２）が解説を読んでもいまいち分からないので
教えていただきたいです＞＜
解説には次のように書かれていました....
lαll1-β/αl=3において、1-β/α=1±√3i/2 (複合同順）
(*)±は上と下が逆と考えてください...該当するものが見つかりませでした.

よりl1-β/αl=1 複合同順のあたりから理解できません；；
どうかお願い致します（m__m)

	10629．Re: 複素数平面
	名前：ケロ日付：10月12日(日) 18時33分
	こんばんは。昨日はごめん。 α/β=(1±√3i)/2 . 1-α/β=1-(1±√3i)/2=(1±√3i)/2 \|(1±√3i)/2\|=1 ±逆かも。でも計算上は同じかな。

	10634．Re: 複素数平面
	名前：ジャグラ　高３日付：10月12日(日) 19時15分
	ケロさん＞返答ありがとうございます。すみません･･･α/β=1±√3/2ですが、１－β/αの値が良く分からないのであって、詳しく説明をしていただきたいのですが.... どのように変形すればいいのでしょうか・・・。

	10636．Re: 複素数平面
	名前：ケロ日付：10月12日(日) 19時18分
	図で考えると、 α/β=(1±√3i)/2=cos(3π/2)+isin(3π/2)またはα=β(cos(3π/2)+isin(3π/2))から、 \|α\|=\|β\|で、αとβのなす角は60度ということがわかるので、三角形OABは正三角形。ｌα-βl=3から辺AB=3だから、\|α\|=\|β\|=3　でもいいかな。

	10637．Re: 複素数平面
	名前：ケロ日付：10月12日(日) 19時30分
	α/βとβ/αは共役です。 β/α=1/(1±√3i)/2の分母を有理化してみてください。

	10638．Re: 複素数平面
	名前：ケロ日付：10月12日(日) 19時46分
	あらら、またやった。 cos(3π/2)+isin(3π/2)またはα=β(cos(3π/2)+isin(3π/2)) →cos(2π/3)+isin(2π/3)またはα=β(cos(2π/3)+isin(2π/3))

	10640．Re: 複素数平面
	名前：ジャグラ　高３日付：10月12日(日) 19時49分
	ケロさん＞迅速な返答ありがとうございます。 ±がついてたので有理化にとまどいました＾＾；落ち着いて考えてみればα/βとβ/αの関係がe^i(α-β),e^i(β-α)であるので共役の関係であることは容易に気づけますよねーー；理解できました！ありがとうございました＾～＾

	10662．Re: 複素数平面
	名前：ケロ日付：10月13日(月) 13時32分
	式はα/β→β/αだな。そういえば、｢かん｣で変換すると｢干｣という字が出るって、誰か紹介してたな。これがマイナスプラスに使えるって。中川師匠だったかな。 1-β/α=1-(1干√3i)/2=(1±√3i)/2 と書けたぞー。

10617．対数

名前：味噌汁 日付：10月12日(日) 12時16分

こんにちは。

(log[4]5+log[3](4/5))・(log[8](1/9)+log[3](1/8))

の計算方法を教えていただけないでしょうか…
よろしくお願いします。

	10626．Re: 対数
	名前：ケロ日付：10月12日(日) 18時16分
	底を2と3あたりにすればいいかな。。 log[4]5= log[2]5 /log[2]4=1/2 log[2]5 。 log[3](4/5)= 2log[3](2)- log[3](5),　log[8](1/9)=-2 log[8]3=-2/3 log[2]3　。 log[3](4/5))・(log[8](1/9)=-4/3+2/3 log[2]5　。 log[3](1/8)= -3log[3]2　。くらいかな。

	10630．Re: 対数
	名前：味噌汁日付：10月12日(日) 18時49分
	ありがとうございます。すみません… log[3](4/5))・(log[8](1/9)=-4/3+2/3 log[2]5　がよく分からないのですが… あと、このあとはどのように計算してゆけばよいのでしょうか… よろしくお願いします。

	10633．Re: 対数
	名前：ケロ日付：10月12日(日) 19時4分
	log[3](4/5)= 2log[3](2)- log[3](5)=2/log[2]3- log[2]5/ log[2]3 となり、約分できます。

	10641．Re: 対数
	名前：ケロ日付：10月12日(日) 20時21分
	2log[2]5- 3log[3]2-4/3 までで、これ以上は無理かな。

	10652．Re: 対数
	名前：味噌汁日付：10月13日(月) 0時35分
	なるほどです。問題自体がよくない問題だったのですね。変な問題ですみません。でも理解できました。ケロさん、どうもありがとうございました。＾＾

10612．角度

名前：ｆｆ（工に） 日付：10月12日(日) 3時24分

二等辺三角形OABがあります(0A=OB)。この三角形の∠Bの二等分線が0A上にOC＋CB=BAとなるようにし、BCをＣ側に延長した点をＤとします。
このときCO＝CDとなるのは∠OAB=40であることが必要十分である。

上の命題で一応三角関数つかってやれば簡単にできるのですが小学生でわかるやり方があるそうなんですがちょっとわかりません。

←こっち向きのやり方は小学生でもわかるやり方でできたのですが、逆はわかりません。ヒントは正三角形をつかうようですが。

	10613．Re: 角度
	名前：ヨッシー日付：10月12日(日) 5時27分
	＞BCをＣ側に延長した点をＤとします。どこまで延長するのでしょうか？　 http://yosshy.sansu.org/

	10614．Re: 角度
	名前：ｆｆ（工に）日付：10月12日(日) 8時59分
	すみません ⇒BCをＣ側に延長した点をCO＝CDとなるようにDをとります。 ∠OAB=40であることが必要十分である

	10615．Re: 角度
	名前：ｆｆ（工に）日付：10月12日(日) 9時9分
	たびたび BCをＣ側に延長した点をCO＝CDとなるようにDをとります。このときBA=BDが成り立つのは∠OAB=40であることが必要十分である

	10661．Re: 角度
	名前：ｆｆ（工に）日付：10月13日(月) 10時7分
	・・・難しい。

10602．(untitled)

名前：ai 日付：10月11日(土) 22時57分

こんばんは。
=5-2*1/2(n-1){(n-1)+1}+5(n-1)
=-n^2+6n
と何回解いてもなりません…。
私が解くと
=4n^2-9n-5となってしまいます。
すみませんが教えて下さい…。宜しくお願いします。

	10603．Re: (untitled)
	名前：中川　幸一日付：10月11日(土) 23時11分
	まず初めにすべて展開してみてください。あとはまとめるだけです。途中式を書いてくれると, どこで間違えたかが分かると思いますので宜しければ書いてくれると嬉しいです。 http://www3.ezbbs.net/01/k-nakagawa/

	10604．Re: (untitled)
	名前：ai 日付：10月11日(土) 23時18分
	中川さんレスありがとうございます。 >途中式を書いてくれると, どこで間違えたかが分かると思いますので >宜しければ書いてくれると嬉しいです。 =5-1(n-1)n+5(n-1) =4(n^2-n)+5n-5 =4n^2-4n+5n-5 =4n^2-n-5 となってしまいます…。

	10607．Re: (untitled)
	名前：中川　幸一日付：10月11日(土) 23時25分
	5-1(n-1)n+5(n-1) =4(n²-n)+5n-5 ではなく 5-1(n-1)n+5(n-1) =5-(n²-n)+5n-5 です。 1×(n-1)×n となっています。 http://www3.ezbbs.net/01/k-nakagawa/

	10608．Re: (untitled)
	名前：ai 日付：10月11日(土) 23時35分
	5-1(n-1)n+5(n-1) =5-(n2-n)+5n-5 になぜなりますか？

	10609．Re: (untitled)
	名前：中川　幸一日付：10月11日(土) 23時37分
	1×(n-1)×n は何になりますか？ http://www3.ezbbs.net/01/k-nakagawa/

	10610．Re: (untitled)
	名前：ai 日付：10月11日(土) 23時38分
	あぁ～！！単純なことでした…。中川さんすみません。

	10611．Re: (untitled)
	名前：中川　幸一日付：10月11日(土) 23時39分
	いえいえ(;^_^A アセアセ… どういたしまして。 http://www3.ezbbs.net/01/k-nakagawa/

10589．微分法の応用

名前：とも（高３） 日付：10月11日(土) 19時12分

こんばんは
ある問題集に、
y=sinx(1+cosx) (0≦x≦2π) 　　この関数の極値を求めよ。
とありました。
答えを見ると極値の数から sinxと(1+cosx)とをかけた関数だと思うんですが、sinθと比べた時　θ=x(1+cosx)　となる関数ととらえられます。
だから、y=(1+cosx)sinx　と表記すべきだと思います。
一般的にy=sinx(1+cosx) と表記できるのでしょうか。

	10590．Re: 微分法の応用
	名前：ジャグラ　高３日付：10月11日(土) 19時13分
	θ=x(1-cosx)と表したければsin｛x(1-cosx)｝と表記するのではないでしょうか？ただ、問題を解いていく中で自身が勘違いしやすくなるのと、確実性を考えればはやり(1-cosx)を前に書いた方がいいじゃないっすかね？

	10594．Re: 微分法の応用
	名前：とも（高３）日付：10月11日(土) 20時2分
	ジャグラさんの言うとおりだと思ったのですが、対数関数では　例えばy=logx(2x+1)とあればy=log｛x(2x+1)｝と表記しなくてもx(2x+1)が真数となります。（三角関数と対数関数とでは違うかもしれませんが・・・）だから納得がいきません。

	10619．Re: 微分法の応用
	名前：花パジャ日付：10月12日(日) 13時9分
	>対数関数では　例えばy=logx(2x+1)とあればy=log｛x(2x+1)｝ >と表記しなくてもx(2x+1)が真数となります。いいえ、なるとは限りません

	10623．Re: 微分法の応用
	名前：とも（高３）日付：10月12日(日) 17時18分
	そうなのですか・・・・勉強になりましたが、釈然としません。

10588．ベクトル

名前：味噌汁 日付：10月11日(土) 18時37分

こんにちは。

(AP→)は(p→)-(a→)
とかけると思いますが、
図を書いてみると、(a→)-(ｐ→)となるのですが、
(p→)-(a→)＝(a→)-(p→)なのでしょうか…？
これはどのように理解すればよいのでしょうか…？
よろしくお願いします。

	10595．Re: ベクトル
	名前：ケロ日付：10月11日(土) 20時25分
	こんばんは。 (p→)-(a→)＝-{(a→)-(p→)} となり方向が違います。でも、１０５８３の問題では垂直であることだけが問題なので、どちらを使っても垂直であることに変わりないと思います。 http://www.geocities.co.jp/Bookend-Soseki/7526/

	10598．Re: ベクトル
	名前：味噌汁日付：10月11日(土) 21時1分
	理解できました。どうもありがとうございました。

10584．(untitled)

名前：miki 日付：10月11日(土) 18時27分

こんばんは。宜しくお願いします。

Σ[k=1,n](-1/2)^k-1という式の和を求めたいのですが、なぜ初項が１と分かるのか分かりません。

Σ[k=1,n](5k)の和は、
ak=5*5^k-1と変形できるので、
Σ[k=1,n](5k)＝Σ[k=1,n]5(5^k-1)となりますか？？
なので上の問題は初項が１となるのでしょうか…。

	10591．Re: (untitled)
	名前：ジャグラ　高３日付：10月11日(土) 19時30分
	部分和を求める公式は等比数列の場合ならSn=a(r^2-1)/r-1　（r≠1) aを初項rを公比で...表せますよね。ですからar^n-1の形に変形するのです。ですが、(-1/2)^n-1は変形する必要はなくおっしゃる通り初項が１になります。等比数列の部分和の仕組みを理解すれば大丈夫だと思います＾～＾

	10592．Re: (untitled)
	名前：miki 日付：10月11日(土) 19時42分
	ジャグラさんどうもありがとうございます！！分かりました。 Σ[k=1,n](5k)は、＝Σ[k=1,n]5(5^k-1)でいいでしょうか。

	10593．Re: (untitled)
	名前：ジャグラ　高３日付：10月11日(土) 19時48分
	はい、大丈夫です！！！

	10596．Re: (untitled)
	名前：ケロ日付：10月11日(土) 20時50分
	何か二人とも勘ちがいしているみたいだなあ。というもののケロもよく勘ちがいするけど。なぜ初項が１と分かるのか分かりません＞(-1/2)^k-1にk=1を代入すると、 (-1/2)^1-1=(-1/2)^0=1 。 Σ[k=1,n](5k)=5Σ[k=1,n](k)=5*n(n+1)/2 だと思うんだけど。 Σ[k=1,n](5k)をΣ[k=1,n](5^k) と勘違いしているみたい。俺の勘違い？

	10597．Re: (untitled)
	名前：miki 日付：10月11日(土) 20時53分
	ケロさんどうなんでしょうか…。私の考えはやっぱり違いますか？

	10599．Re: (untitled)
	名前：ケロ日付：10月11日(土) 21時10分
	はやいなあ。消そうとしたら下に入ってしまった。１の方はついでに書いただけなので、ジャグラ　高３さんのでいいと思います。下の方も5k は５×ｋなのかなと思ったのですが、5のk乗のことなのかなやはり。それなら俺の感ちがい。ごめん。

	10600．Re: (untitled)
	名前：miki 日付：10月11日(土) 21時15分
	ケロさんすみません！！５乗の問題でした。間違えて５ｋとしてしまいました…。

	10601．Re: (untitled)
	名前：ケロ日付：10月11日(土) 21時26分
	よかった。めでたしめでたし。

10583．平面ベクトル

名前：味噌汁 日付：10月11日(土) 18時22分

こんにちは。

A,Bを直径の両端とする円
((p→)-(a→))・((p→)-(b→))＝0

とできる理由を教えていただけないでしょうか…？
よろしくお願いします。

	10585．Re: 平面ベクトル
	名前：ヨッシー日付：10月11日(土) 18時27分
	Ａ，Ｂ，Ｐの位置ベクトルをａ、ｂ、ｐとします。　(ｐ－ａ)・(ｐ－ｂ)＝０は、　ＡＰ・ＢＰ＝０と書けます。これは、ＡＰとＢＰが垂直であることを示します。一方、直径ＡＢに立つ円周角は９０°であることを考慮すると、この式で、円が表されることが分かるでしょう。また、ＰがＡやＢと一致する場合にも成り立ちます。　 http://yosshy.sansu.org/

	10586．Re: 平面ベクトル
	名前：味噌汁日付：10月11日(土) 18時33分
	理解できました。どうもありがとうございました。

10578．余弦・正弦と関数

名前：YUYA （高３） 日付：10月11日(土) 13時7分

Tn＝cosθ+cos2θ+・・・+cosｎθ　（ｎ＝1,2,3・・・）の一般項は？
Tn＝sinθ+sin2θ+・・・+sinｎθ　（ｎ＝1,2,3・・・）の一般項は？

という問題です。よろしくお願いします。

	10579．Re: 余弦・正弦と関数
	名前：帰ってきた赤猫(旧 : Red cat) 日付：10月11日(土) 13時22分
	混乱するとまずいので U_n = sin θ + sin 2θ + ... + sin nθ とおきます。すると T_n + iU_n = (cos θ + i sin θ) + (cos 2θ + i sin 2θ) + ... + (cos nθ + i sin nθ) = (cos θ + i sin θ) + (cos θ + i sin θ)² + ... + (cos θ + i sin θ)ⁿ cos θ + i sin θ = z とおくと T_n + iU_n = z + z² + ... + zⁿ = z(1 - zⁿ)/(1 - z) 後はこれに z = cos θ + i sin θ を代入して、実部、虚部を取れば完了です。 #確か高専の方でしたよね?複素数とか大丈夫かな? ##他所でも同様の回答をさせていただきましたが、わからないところが ##あれば遠慮なくどうぞ。

	10582．Re: 余弦・正弦と関数
	名前：中川　幸一日付：10月11日(土) 18時14分
	今回の質問とはかなりずれますが, 面白い記事があるので紹介しておきます。第１１５回数学的な応募問題解答第１１１回数学的な応募問題解答その 1 第１１１回数学的な応募問題解答その 2 第７１回数学的な応募問題解答以上のリンクを参照してみてください。また, この問題は, 第 1 種チェビシェフ多項式, 第 2 種チェビシェフ多項式といわれるものと深く関係してきます。(寧ろそのものもあったり…。) 関係ないことではありますが, 研究事項としてどうぞ。 http://www3.ezbbs.net/01/k-nakagawa/

	10587．Re: 余弦・正弦と関数
	名前：中川　幸一日付：10月11日(土) 18時35分
	それでは, 私は複素数を使わずに一般化した解答を紹介します。【問題】 Σ[k=1 to n]sin(α+(k-1)h) ={sin(α+((n-1)/2)h)sin((n/2)h)}/sin(h/2) (h≠2mπ) =n sin(α) (h=2mπ) (m∈Z) を示せ。【解答】和を S とし, 両辺に 2 sin(h/2) を掛けると, h≠2mπ のときは 2 sin(α+(k-1)h)sin(h/2)=cos(α+((2k-3)/2)h)-cos(α+((2k-1)/2)h) k=1 to n より, 2S sin(h/2) =Σ[k=1 to n]2 sin(α+(k-1)h)sin(h/2) =cos(α-(h/2))-cos(α+((2n-1)/2)h) =2 sin(α+((n-1)/2)h)sin((n/2)h) (n=2mπ ときは明らか。) http://www3.ezbbs.net/01/k-nakagawa/

	10849．Re: 余弦・正弦と関数
	名前：YUYA 日付：10月22日(水) 17時33分
	Tn＝cosθ+cos2θ+・・・+cosｎθ の場合はどうなるのでしょうか？　教えてください。

10571．高校数列の問題

名前：ナイスガイ 日付：10月11日(土) 7時52分

数Ａの教科書の問題で
『等差数列５，１１，１７，・・・・の１００と２００の間にある項の和を求めよ。』
の以下の解説でわからない部分があります。（解説は教科書ガイドからです）

「与えられた数列は,初項5,公差6の等差数列であるから、その一般項ａ[n]は
ａ[n]＝５＋（ｎ－１）・６＝６ｎ－１
よって、100と200の間にある項の番号をkとすると
１００＜６ｋ－１＜２００　
ゆえに１６．８・・・＜ｋ＜３３．５
ｋは整数であるから
１７≦ｋ≦３３
求める和Sは
S＝Σ[k=17,33](6k-1)＝Σ[k=1,33](6k-1)－Σ[k=1,16](6k-1)
＝3・33・34－33－(3・16・17－16)
＝3・34(33－8)－33＋16＝102・25－17＝2550－17＝2533　(答)」

この解説で、「3・33・34－33－(3・16・17－16)」の式の意味がわかりません。どうしてこのように導かれたんでしょうか？

	10572．Re: 高校数列の問題
	名前：ヨッシー日付：10月11日(土) 8時22分
	Σ[k=1,33](6k-1) が 3・33・34－33 と書けることが分かれば、 Σ[k=1,16](6k-1) の方も分かるでしょう。 6kと-1を分けて、　Σ[k=1,33](6k-1)＝Σ[k=1,33]6k-Σ[k=1,33]1 のように書け、さらに6を前に出して、　　＝6Σ[k=1,33]k-Σ[k=1,33]1 のように書けます。　Σ[k=1,33]k は、公式によって、33・34／2　ですし、　Σ[k=1,33]1 は、1 を 33回足すだけなので、33 です。最初の６と 1/2 が約分されて、　3・33・34－33 となります。　 http://yosshy.sansu.org/

	10574．Re: 高校数列の問題
	名前：ナイスガイ日付：10月11日(土) 12時6分
	理解できました！ありがとうございます。なんか、一気に計算が進んでて付いて行けなかったです。。

	10575．Re: 高校数列の問題
	名前：ナイスガイ日付：10月11日(土) 12時18分
	本質問とは関係ないですが「１００と２００間」というのは、仮に１００または２００の場合があったら、それらは含まれるんでしょうか？

10563．トレースについて

名前：あや日付：10月10日(金) 15時17分

トレース，固有和といいますが・・実際には何に役に立つのですか＞＜
教えてください！

10557．数学の情報

名前：arc 日付：10月10日(金) 3時3分

質問ではないのですが・・・、

覆面算（など）を解いたり、指定したグラフを描写したり、数列を求めたりする、
フリーのアプリケーションソフトや、プログラムを組み込んだページや、
数学に関して面白いことをまとめているサイトなんかを教えていただきたいです。

フリーソフトでも、とても役に立つものを集め（？）たいのですが・・・

数学全般を見てしまうと、情報量が多すぎるので、
みなさんがよく使っているソフト（DL可能なもの）や、サイトを教えていただきたいと思います。

ちなみに、【10536．覆面算？】の解答は、覆面算ソルバーで求めさせていただきました・・・。

なにかご存知でしたらよろしくお願いします。

	10558．Re: 数学の情報
	名前：中川　幸一日付：10月10日(金) 6時3分
	はどうでしょうか？わたしは, これと Mathematica を併用しています。 Mathematica はシェアなのですが, それとほとんど変わらないフリーソフトで <a href="http://maxima.sourceforge.net/">Maxima というのもあります。詳しくは検索をかけてみてください。 http://www3.ezbbs.net/01/k-nakagawa/

	10560．Re: 数学の情報
	名前：帰ってきた赤猫(旧 : Red cat) 日付：10月10日(金) 9時54分
	中川さんのが一部消えていたのでソースより補完。 #これ即ち「横レス」です(^^;) FunctionView

	10564．Re: 数学の情報
	名前：arc 日付：10月10日(金) 16時52分
	ありがとうございます。参考にさせていただきます。

	10567．Re: 数学の情報
	名前：中川　幸一日付：10月10日(金) 21時26分
	帰ってきた赤猫(旧 : Red cat) さん有り難うございます。今日は徹夜をしていたので, いつもなら投稿時に確認するのですが, 今日に限って確認をするのを忘れてしまいました。ところで, どうしてこのような事態が起きてしまったのでしょう？何かのバグでしょうか？ http://www3.ezbbs.net/01/k-nakagawa/

	10573．Re: 数学の情報
	名前：ヨッシー日付：10月11日(土) 8時24分
	バグかどうかは分かりませんが、とりあえず、 href が fref となっているので、この辺に起因している可能性があります。　 http://yosshy.sansu.org/

	10577．Re: 数学の情報
	名前：中川　幸一日付：10月11日(土) 12時45分
	はっ Σ(ﾟ∀ﾟ) 私のタイプミスだったのですね。それが原因で, Maxima の方も出来なかったみたいですね。有り難うございました。 http://www3.ezbbs.net/01/k-nakagawa/

10537．ベン図って？

名前：オヤジ 日付：10月10日(金) 1時2分

ベンって語源は何なのか？
小学生の子供に聞かれてわかりませんでした。
ご存知であればご教示ください。

	10540．Re: ベン図って？
	名前：ast 日付：10月10日(金) 1時7分
	人名です.

	10551．Re: ベン図って？
	名前：オヤジ日付：10月10日(金) 2時2分
	astさん，ありがとうございます。明日，子供にそのように教えます。

	10580．Re: ベン図って？
	名前：Bob 日付：10月11日(土) 14時24分
	そういやー小学校のとき先生に「ベン図って語源はなに？」ときいたら「便利な図の略」とかいってたことを思い出しました。いまも健在かな… http://homepage3.nifty.com/sumida-3/

10536．覆面算？

名前：片瀬日付：10月10日(金) 0時50分

A＋AB＋ABC＋ABCD＋ABCDE＋ABCDEF＋ABCDEFA＋ABCDEFAB=ALPHABET

が成り立つときABCDEFHLPTの値を求めよ。っつー問題なんですがよくわかわからないです。
因みにすべて相違なる０～９までの数字です。

　　　　　　　　A
AB
ABC
ABCD
ABCDE
ABCDEF
ABCDEFA
＋ ABCDEFAB
　　--------------
ALPHABET
　　　　

	10538．Re: 覆面算？
	名前：片瀬日付：10月10日(金) 1時2分
	ずれてるし。一応僕が考えたのは繰り上がりの数をＣ1～Ｃ7まで考えると 2A＋2B＋C＋D＋E＋F＝Ｃ1×１０＋ＴＣ1＋2A＋B＋C＋D＋E＋F＝Ｃ2×１０＋E Ｃ2＋A＋B＋C＋D＋E＋F＝Ｃ3×１０＋B Ｃ3＋A＋B＋C＋D＋E＝Ｃ4×１０＋A Ｃ4＋A＋B＋C＋D＝Ｃ5×１０＋ＨＣ5＋A＋B＋C＝Ｃ6×１０＋ＰＣ6＋A＋B＝Ｃ7×１０＋ＬＣ7＋A＝A と考えてＣ7＝０はすぐわかるのですが、あとしらみつぶしにやってはいるのですが、量が多すぎて処理しきれないです。・・・もっと簡単の方法があるのだろうか？

	10539．Re: 覆面算？
	名前：中川　幸一日付：10月10日(金) 1時2分
	これってMathNori.comというサイトのQuestion 49の問題ですね。ここで聞いて良い問題なのでしょうか？ http://www3.ezbbs.net/01/k-nakagawa/

	10541．Re: 覆面算？
	名前：片瀬日付：10月10日(金) 1時9分
	>中川さん一応そうなんですがずいぶん前からやってはいるのですがちょっと知恵を拝借したいなと。答えそのものを書くのは問題があるかもしれませんだから方針だけでもと。

	10543．Re: 覆面算？
	名前：中川　幸一日付：10月10日(金) 1時11分
	このサイトの問題は, 管理人自ら考えた問題ではなく, 海外の問題を集めてきたものらしいです。日本で言う JMO レベルの問題もゴロゴロとあります。 http://www3.ezbbs.net/01/k-nakagawa/

	10544．Re: 覆面算？
	名前：片瀬日付：10月10日(金) 1時14分
	ＰＣがおかしいのかな？ここにかきこむとエラー報告がでてブラウザとか全部消し飛んじゃう。・・・独り言です＞中川さんひょー。ってことはどこかにこれと同じ問題がとあるサイトに載ってる可能性があるということですか？

	10545．Re: 覆面算？
	名前：中川　幸一日付：10月10日(金) 1時16分
	無いとは言い切れませんね。ある人が, これは海外で出されている問題集で全く同じ問題を解いたことがあると言っていたので…。 http://www3.ezbbs.net/01/k-nakagawa/

	10546．Re: 覆面算？
	名前：片瀬日付：10月10日(金) 1時21分
	なにかのツールとかつかったらできそうな問題なんですが、当方持ち合わせてはおりません。しぼり込むのにまずありそうなＣ2、Ｃ3、Ｃ4を適当に３、３、２とやっていっても相当な量でした。まだ合致すものはありません。というよりこの問題自体解は１個なのでしょうけど数学的にもっとうまい手があるのかも

	10547．Re: 覆面算？
	名前：片瀬日付：10月10日(金) 1時25分
	因みに２≦Ｃ1≦５、２≦Ｃ2≦５、２≦Ｃ3≦４、１≦Ｃ4≦３１≦Ｃ5≦３、０≦Ｃ6≦２各値の最大と最小は各々の文字に最大、最小となるように適当に入れていったものです

	10548．Re: 覆面算？
	名前：中川　幸一日付：10月10日(金) 1時47分
	ここに投稿してある解答は, プログラムを走らせて解答を作成したようです。プログラムソースが掲載されていました。 http://www3.ezbbs.net/01/k-nakagawa/

	10549．Re: 覆面算？
	名前：片瀬日付：10月10日(金) 1時52分
	・・・・プログラム？解答にはいってるってことは中川さんはできているのですか。すごい。

	10550．Re: 覆面算？
	名前：arc 日付：10月10日(金) 2時1分
	`実際に求めてみた。 38063479。 +00000003 +00000034 +00000342 +00003425 +00034257 +00342571 +03425713 +34257134 ---------- +38063479 勿論プログラムで。`

	10552．Re: 覆面算？
	名前：中川　幸一日付：10月10日(金) 2時5分
	プログラムを見る限りでは BASIC ではなさそうです。 http://www3.ezbbs.net/01/k-nakagawa/

	10553．Re: 覆面算？
	名前：片瀬日付：10月10日(金) 2時6分
	>ARKさんすごいですね。因みに答は１個のみなんですか？僕はもうちょっと数学的にできないか考えてみます。 >中川さん BASIC？当方ＰＣ関係疎いです

	10554．Re: 覆面算？
	名前：片瀬日付：10月10日(金) 2時8分
	たいへん失礼しました。ａｒｃ様

	10555．Re: 覆面算？
	名前：中川　幸一日付：10月10日(金) 2時12分
	その解答で正解になります。 BASIC (ベーシック) は数A・B・C の教科書に付いていると思いますよ!! 私は UBASIC (ユーベーシック) を持っていますが, これはフリーで DL 出来ますよ!! また, UBASIC は BASIC とプログラム入力方法は同じです。 http://www3.ezbbs.net/01/k-nakagawa/

	10556．Re: 覆面算？
	名前：片瀬日付：10月10日(金) 2時15分
	＞中川さん情報提供ありがとうございます。見てみます。

	10570．Re: 覆面算？
	名前：Ｓａｒ日付：10月11日(土) 5時24分
	ここではarc氏によって既に答えが出ていますが、ちょっと面白そうだったのでプログラム組んで確かめてみました。私はこんな時間に何をやってんだか:) 「全て相違なる」という条件を外せば答えはなんと398通りもありました。少なかったら列挙してみようと思ったんですが、これではちょっと。＃(ABCDEFHLPT)=(1008090129),(8099829994)がそれぞれ、足し算の結果が最小、最大になるものでした。

10533．カヴァリエリの原理

名前：docomo 日付：10月9日(木) 23時1分

こんばんわ。いきなりですが、この原理の証明を教えてください。

	10535．Re: カヴァリエリの原理
	名前：docomo 日付：10月9日(木) 23時14分
	すみません、学年は高1です。

	10542．Re: カヴァリエリの原理
	名前：中川　幸一日付：10月10日(金) 1時10分
	曲線で囲まれる 2 つの平面図形 M, N がある。定直線に平行な直線から M, N が切り取る線分の長さの比がつねに m:n であるとき, M, N の面積の比も m:n である。体積についても同様なことが成り立つ。 http://www3.ezbbs.net/01/k-nakagawa/

	10559．Re: カヴァリエリの原理
	名前：docomo 日付：10月10日(金) 8時20分
	上のようなことがどうして成り立つのか知りたいのですが。高1の知識では無理ですか？

	10561．Re: カヴァリエリの原理
	名前：ヨッシー日付：10月10日(金) 9時57分
	Ｍ、Ｎ２つの図形があり、面積がそれぞれＭ、Ｎであるとします。Ｌ0、Ｌ1、・・・Ｌi が、Ｍ、Ｎを通っており、ＭおよびＮが切り取る長さを、ｍ0、ｍ1、・・・ｍi および、ｎ0、ｎ1、・・・ｎi とし、ｍ0＝ｍn＝ｎ0＝ｎn＝０、ｍ1:ｎ1＝ｍ2:ｎ2＝ｍ3:ｎ3＝・・・ｍi-1:ｎi-1＝ｍ:ｎ　・・・（一定）とします。また、ＭおよびＮが、Ｌk とＬk+1 （k=0,1,2・・・i-1) とで切り取られる部分の面積をＭ0、Ｍ1、・・・Ｍi-1　および　Ｎ0、Ｎ1、・・・Ｎi-1 とすると、　Ｍ＝Ｍ0＋Ｍ1＋・・・＋Ｍi-1 　Ｎ＝Ｎ0＋Ｎ1＋・・・＋Ｎi-1 が成り立ちます。分割数 i を非常に大きく取ると、切り取られる図形の形は、台形に近づきます。　Ｍk＝(ｍk＋ｍk+1)／２　Ｎk＝(ｎk＋ｎk+1)／２であり、すべてのｋ（k=0,1,2・・・i-1) について　Ｍk：Ｎｋ＝(ｍk＋ｍk+1):(ｎk＋ｎk+1)＝ｍ：ｎが成り立つので、　Ｍ：Ｎ＝ｍ；ｎが成り立ちます。　 http://yosshy.sansu.org/

	10562．Re: カヴァリエリの原理
	名前：帰ってきた赤猫(旧 : Red cat) 日付：10月10日(金) 10時12分
	さすがはヨッシー様です。ほとんど補足することはないんですが、ちょっと蛇足。＞分割数 i を非常に大きく取ると、切り取られる図形の形は、台形に近づきます。おそらく、小学校の時に (円の面積) = (半径) × (半径) × (円周率) の説明の時に、円を極細の扇形に切って互い違いに並べると、その扇形が細くなるに従って、平行四辺形に近づいて…みたいな説明をされたと思います。実は両者とも根本にある考え方は同じで、高 2 (?)で習う「積分」の考え方を用いています。よりすっきりさせるためには「積分」を知るのが一番ですが、感覚としてはつかめるのではないでしょうか。ちなみに立体の場合も証明はほとんど同じで、・図形は立体・定直線に平行な直線→定平面に平行な平面・切り取る線分の長さの比→断面積の比とすれば、O.K.です。 #一部修正は必要ですが…。

	10565．Re: カヴァリエリの原理
	名前：ヨッシー日付：10月10日(金) 17時15分
	途中で、添え字をｎからｉに変えたので、変え忘れがありました。（図は直しましたが）ｍ0＝ｍn＝ｎ0＝ｎn＝０　はｍ0＝ｍi＝ｎ0＝ｎi＝０　の誤りです。　 http://yosshy.sansu.org/

	10665．Re: カヴァリエリの原理
	名前：docomo 日付：10月13日(月) 19時3分
	学校の旅行に行っていたので返信が遅くなりました。とてもわかりやすい解説どうもありがとうございました。

10527．複素数平面

名前：ジャグラ　高３ 日付：10月9日(木) 21時39分

複素数1＋iを一つの解とする実数係数の３次方程式
X^3＋aX^2＋bX＋c=0ー（＊）について以下の問いに答えよ。

（１）方程式（＊）の実数解をaを用いて表せ

こんばんわ、本当は（１）以下問題がまだ続くのですが（１）が分からない
ので先に進めません＞＜

共役な複素数が存在するから１－１iも存在することは理解いたしました。
それで解説には以下のように書かれていました。
（＊）の実数解をtとおくと、解と係数の関係より
t＋（１＋i)＋(1-i)=-a　よってt=-a-2とありました。
解説を読んで２つ思いました...一つ目は解と係数がワカラネェエエ！！
ってことで、もう一つは複素数平面の概念を用いて解を導いていないじゃ
ないか、と言うことです。
ですが、複素数で考えてみても未知数が多いことにより、なかなか上手く
導けません･･･複素数で解を導くことは可能なのでしょうか？
できれば２つの疑問を解消して欲しいです。
どうかお願いします（m__m)

	10528．Re: 複素数平面
	名前：momomo 日付：10月9日(木) 21時55分
	解と係数の関係について二次方程式 x²+ax+b=0・・・(1) の解をα、βとします。解がα、βと定まったので (1)⇔(x-α)(x-β)=0⇔x²-(α+β)x+αβ=0・・・(2) (1)と(2)は高等的に等しいので係数比較をすると -a=α+β、b=αβ ３次方程式 x³+ax²+bx+c=0 の解をα、β、γとします。同様に (x-α)(x-β)(x-γ)=0⇔x³-(α+β+γ)x²+(αβ+βγ+γα)x-αβγ ゆえに -a=α+β+γ、b=αβ+βγ+γα、-c=αβγ これが解と係数の関係です。解がわかれば係数もわかるということです。

	10530．Re: 複素数平面
	名前：ジャグラ　高３日付：10月9日(木) 22時5分
	momomoさん＞迅速な返答ありがとうございます＾～＾なるほど、解が与えられたことによって係数が分かるのですね・・・。ありがとうございました（m__m)

	10531．Re: 複素数平面
	名前：momomo 日付：10月9日(木) 22時22分
	あらら・・・誤字発見。高等→恒等ところで＞複素数平面の概念を用いてとはどういうことでしょうか。僕にはわからない・・・

	10532．Re: 複素数平面
	名前：ジャグラ　高３日付：10月9日(木) 22時45分
	えっと（＊）の３次方程式で考えてみますと複素数平面上に（＊）の解Ａ（α）Ｂ（β）Ｃ（γ）が存在すると思うのです。もし（＊）がなんらかの形で２次方程式になれば解けるのかなと感覚的に思っただけで、やはり３次方程式は解と係数の関係を用いるしかないのでしょうかねぇーー；

	10534．Re: 複素数平面
	名前：momomo 日付：10月9日(木) 23時4分
	()がx=1＋iを解に持つからx=1-iも解に持つ、実数解をtとおくと {x-(1+i)}{x-(1-i)}(x-t)=0・・・(☆) ()と(☆)は恒等的に等しいので(☆)を展開して(*)と係数比較して tをaで表すことができます。本質的には解と係数の関係と同じなんですけどね。たしかに複素数平面上に（＊）の解Ａ（α）Ｂ（β）Ｃ（γ）が存在するけどここでは平面のことは考えなくていいと思います。

10520．関数

名前：IGA 日付：10月9日(木) 0時2分

MはABの中点です。

点A（１，６）　点B（７，０）です。
M（４，３）です。※計算で求めました。

それで問いなんですが・・
点Cのｙ座標がー１２で、四角形ＡＣＢＤの面積がｘじくによって二等分されるとき、点Ｄの座標を求めなさい。という問題なんですが・・・・まったくわかりません。教えてくださると幸いです。

※関数の式などは図にすべて書き込んであります。
すいません。図が汚くてみにくいかもしれません。

	10522．Re: 関数
	名前：ヨッシー日付：10月9日(木) 0時41分
	ＡＣとｘ軸の交点をＥとすると、Ｅ（－１，０）より、　△ＢＣＥ＝８×１２÷２＝４８一方、　△ＡＢＥ＝８×６÷２＝２４よって、△ＡＢＥと同じ大きさの△ＡＢＤを作ればいい。 △ＡＢＥと点Ｍに対して対称な△ＢＡＦを考えて、点ＦをＡＢに平行にＭまで動かせばいいです。　 http://yosshy.sansu.org/

	10525．Re: 関数
	名前：IGA 日付：10月9日(木) 17時47分
	答えは（９、６）でしょうか？確認お願いいたします。・・・ちょっと質問なんですけど・・設問に点D（８，９）だった場合の四角形ACBDの面積を求めよ。っというのなんですけど・・・等積変形で四角形を三角形にするのと、三角形ＣＢＤを求め２倍してやるやり方でどちらの方が効率がいいのでしょう？まあ～いろいろな問題に使えるのには等積変形だと思うんですが・・是非意見をお聞かせください。

	10566．Re: 関数
	名前：ヨッシー日付：10月10日(金) 17時22分
	（９，６）は、Ｆの座標ですね。そこから、左上４５°に少し移動させてやりましょう。後半の解き方としては、他にも、　座標を方眼紙に見立てて、長方形から三角形を引く形で求める　ヘロンの公式を使う等があります。どれが効率が良いかは、実際やってみないとわかりません。時間があれば、全部試したいですね。実際の試験などでは、最初に思いついた方法が、一番良い方法です。結果として別に楽に解く方法があったとしても、気付かなければ意味がないし、途中で気付いてやり直しても、時間が限られてますから。　 http://yosshy.sansu.org/

	10568．Re: 関数
	名前：IGA 日付：10月10日(金) 22時44分
	ええ！左上に４５°とはどうやって動かすのか・・・というかどうやって「４５°動かす」と計算で出てくるのか・・教えてくださると幸いです。馬鹿ですいません！

	10569．Re: 関数
	名前：ヨッシー日付：10月11日(土) 1時54分
	目的は、「△ＡＢＦと同じ面積を持つ△ＡＢＤを作ること」ですね。ＡＢは共通なので、ＦをＡＢに平行に移動します（等積変形）。ところで、ＡＢの傾きは－ｘなので、角度で言うと左上４５度です。実際には、ＣＭの式と、ＦＤの式を連立させた解として、Ｄを求めます。　 http://yosshy.sansu.org/

	10576．Re: 関数
	名前：IGA 日付：10月11日(土) 12時36分
	ありがとうございました！ヨッシーさん。

10514．この問題

名前：ゆー(高３） 日付：10月8日(水) 22時9分

この極限の求め方を教えてください。

	10516．Re: この問題
	名前：ast 日付：10月8日(水) 22時18分
	説明が面倒くさいので検索して出てきた下のページで我慢してください. ページの下の方に書いてあります.

10513．組み合わせについて

名前：あちまお 日付：10月8日(水) 21時38分

公式を使わずに生徒たちに例えば９Ｃ３＝であるとか、３Ｃ１であるとかを生徒に理解してもらえる方法はないですか？わかりやすく具体的によろしく！！

	10524．Re: 組み合わせについて
	名前：ヨッシー日付：10月9日(木) 15時16分
	9Ｃ3 をやる前に必ず 9Ｐ3 を理解させる必要があります。Ａ～Ｉまでの９つの文字から３つ取り出して並べる場合、最初の１文字の取り方は９通り、２文字目は１文字目で選んだものを覗いた８通り、３文字目は同じく７通りなので、すべての並べ方は　９×８×７このうち、例えば、ＡＢＣ、ＡＣＢ、ＢＡＣ　のように、同じ３つの文字を並び替えただけのものは、(3Ｐ3＝)３×２×１個ずつあり、これら、並び替えて同じになるものは１つの組合せと考えるのが 9Ｃ3 なので、その数は、(９×８×７)÷(３×２×１) 通りです。　 http://yosshy.sansu.org/

	10616．Re: 組み合わせについて
	名前：あちまお日付：10月12日(日) 10時10分
	ありがとうございました！！ヨッシーさん

10509．C言語分かる人お願いします。

名前：master 日付：10月8日(水) 17時16分

標準入力からある単語を入力して、その単語の各アルファベットに対応する文字コードを整数とみなして、単語を構成する全アルファベットの整数の和を求めて出力するプログラムをつくりなさい。

ヒントは
c = getcha();
while (c != '\n'){
c = getchar();
}
です。
下の図のように表示されれば正解なのですが。。。
単語を入力してください：get
整数の合計は 320 です。
というものです。
よろしくおねがいします。

	10510．Re: C言語分かる人お願いします。
	名前：ヨッシー日付：10月8日(水) 18時54分
	上のプログラムをそのまま実行すると、ｃに、'g','e','t','\n' を読んで終了するだけです。その間に、ｃの累計を計算する部分を作ってやればいいです。　　n=0; 　　n+=c; および、　　printf("単語を入力してください："); 　　printf("整数の合計は %d です。",n); を、どこかに入れてやればいいです。 c=getchar(); で、ｃには 'g','e','t' の文字コードが入るので、特に細工はいりません。足すだけです。　 http://yosshy.sansu.org/

	10517．Re: C言語分かる人お願いします。
	名前：master 日付：10月8日(水) 23時19分
	#include<stdio.h> main() { int n; c = getcha(); while (c != '\n'){ c = getchar(); printf("単語を入力してください："); scanf("%d", &n); n=0; 　n+=c; } printf("整数の合計は %d です。",n); } こんな感じではダメでしょうか？よろしくおねがいします。

	10519．Re: C言語分かる人お願いします。
	名前：ヨッシー日付：10月8日(水) 23時57分
	#include <stdio.h> int main(void) { 　　int c,n; 　　printf("単語を入力してください："); 　　n=0; 　　c = getchar(); 　　while (c != '\n'){ 　　　　n+=c; 　　　　c = getchar(); 　　} 　　printf("整数の合計は %d です。",n); } が正解です。　 http://yosshy.sansu.org/

	10521．Re: C言語分かる人お願いします。
	名前：master 日付：10月9日(木) 0時22分
	scanfを使わないとできないと思っていました('-';) 答えをみると納得いくのですが、なかなか自分で思いつくことができないです。Ｃ言語は難しいですね～。がんばって勉強します。ありがとうございました！！

	10523．Re: C言語分かる人お願いします。
	名前：ヨッシー日付：10月9日(木) 9時3分
	getchar は、キーボードから入力する場合、リターンキーが押されるまで、処理を待って、（その間押された文字列は、バッファに入っている）リターンが押されたら、バッファの中身を１字ずつ処理しますので、プログラムの流れが読みにくいかも知れませんね。でも、そういうものだと思ってつき合うしかないです。ファイルから文字列を読んで処理するには、便利な関数です。ちなみに、scanf を使うと、文字列として入力するので、以下のような感じです。 int main(void ) { int n,i; char c[100]; printf("単語を入力してください："); scanf("%s",c); n=0; i=0; while (c[i] != '\0'){ n+=(int)(c[i]); i++; } printf("整数の合計は %d です。",n); } または、 int main(void ) { int n; char c[100],s; printf("単語を入力してください："); scanf("%s",c); n=0; s=c; while ((s) != '\0'){ n+=(int)(*s); s++; } printf("整数の合計は %d です。",n); } 　 http://yosshy.sansu.org/

	10526．Re: C言語分かる人お願いします。
	名前：master 日付：10月9日(木) 19時32分
	ご丁寧にありがとうございます。ちょっとこんがらがってしまったのですが、説明してくださいませんか？おねがいします。 #include <stdio.h> int main(void)　　　　　　　←main()でも良いのでしょうか？ { 　　int c,n; 　　printf("単語を入力してください：");　　/単語の入力/ 　　n=0; ←なぜn=0としないとだめなのでしょうか？　　c = getchar(); /cに代入/ 　　while (c != '\n'){ 　　　　n+=c;　　　　　　　　　　　　/n=n+c/ 　　　　c = getchar(); 　　} 　　printf("整数の合計は %d です。",n); /計算結果の表示/ }

	10529．Re: C言語分かる人お願いします。
	名前：ヨッシー日付：10月9日(木) 21時57分
	int main(void ) は、main() でも良いかと言えば、「良い」です。でも、超厳しい条件で、コンパイルすると警告が出ることがあります。 n=0; は、変数は、最初何の値が入っているか、定かでありません。そんな値に、ｃの値をどんどん足していっても、正しい答えになるとは限りません。それで、最初にｎの値をリセットしておくのです。　 http://yosshy.sansu.org/

10498．数学１

名前：高校１年生 日付：10月7日(火) 22時11分

2次関数のグラフが、3点（-1、0）（2、3）（3、-4）を通るとき、その
2次関数を求めよ。

３つの点を通るときのやり方がわかりません。教えてください。

	10499．Re: 数学１
	名前：ast 日付：10月7日(火) 22時20分
	二次関数は y = ax^2 + bx + c の形をしているのだから通る三点の座標の値を代入して a,b,c を求めればよいです.

	10500．Re: 数学１
	名前：momomo 日付：10月7日(火) 22時20分
	y=ax^2+bx+c におのおのの点を代入し連立します。未知数３つに式３つできますので答えが出ます。

10492．教えてください

名前：高校3 日付：10月7日(火) 18時7分

1番から6番まで番付された6つの箱と1番から6番まで番付された6つの球があり、各箱に球を1つづつ入れるとき

☆偶数の箱に奇数の球が入り、奇数の箱に偶数の球が入る確立

☆ちょうど4つの箱に、箱と同じ番号の球が入る確立

この分野をとばしていてわかってません（汗）
あと４日ほどで大学試験があるのですが、このレベルの問題は今日中に覚えれるでしょうか？

	10494．Re: 教えてください
	名前：（）（）（）日付：10月7日(火) 19時2分
	入れ方全てで6！＝720 偶数は偶数　奇数は奇数に入れるのは3！3！＝36 よって確率は1/20 ちょうど4つにただしくいれるにはどの4つか　　6C4=15 のこり2つは違わなければいけないから1通りよって1/48 急いでいるもので説明がざつですいません 5分で解ける問題を1時間で20問その後10分で解ける問題を10問やれば3時間ほどで基本はマスターできると思いますんで基本中心にやってみてはどうでしょう

	10497．Re: 教えてください
	名前：ジャグラ　高３日付：10月7日(火) 21時30分
	あと４日で受験とのことですが、確率の範囲が出るのでしょうか... 確率の範囲でどの程度理解したいかによるので分かりませんが、基礎を理解するのには１日あれば十分だと思います。

	10503．Re: 教えてください
	名前：高校3 日付：10月7日(火) 23時51分
	のこり2つは違わなければいけないから*1通りよって1/48 すいません。。この部分がわかりません・・確立か順列が確実に出るので点数にしたいのですM＿＿M レベルはこの問題レベルです

	10504．Re: 教えてください
	名前：ヨッシー日付：10月7日(火) 23時59分
	たとえば、１，２，３，４は、箱と球が一致していて、５，６の箱と、５，６の球が残ったとします。もし、５の箱に５の球、６の箱に６の球を入れたら、これは「ちょうど4つの箱に、箱と同じ番号の球が入る」にならない（６つとも同じ番号になる）ので、残り２つを同じ番号にならないように入れる入れ方は５の球を６の箱に、６の球を５の箱に入れる　１通りだけ　です。　 http://yosshy.sansu.org/

	10506．Re: 教えてください
	名前：高校3 日付：10月8日(水) 0時32分
	なるほど～ありがとうございましたー

10487．学術的な質問ではないのですが・・・

名前：ようかん 日付：10月7日(火) 9時37分

２９才塾講師のものです。実は数学の図形等が簡単に作成できるソフトを探しています。中学で使う二次関数、円、複雑な図形等が描けるものです。恥ずかしながら私のところではいまだにワープロを使用しております。手の込んだものは切り貼りだったり。私は文系でしたのであまり詳しくありません。お勧めのものございましたら価格もそえて紹介していただけたらさいわいです。ちなみに設計につかうのCADはやってみましたが・・・。

	10489．Re: 学術的な質問ではないのですが・・・
	名前：帰ってきた赤猫(旧 : Red cat) 日付：10月7日(火) 10時23分
	中学・高校程度のグラフを描くのなら「GRAPES」がお薦めです。これでグラフを描いて、文章に取り込めば良いと思います。 #ちなみにフリーソフトです。

	10491．Re: 指数対数
	名前：えいぶ日付：10月7日(火) 17時41分
	functionviewも結構お勧めです。勿論フリーです。（vectorなどでDLできます。フリーじゃないものならヨッシーさんが使っていらっしゃる「花子」というソフト等…

	10495．Re: 学術的な質問ではないのですが・・・
	名前：とも（高３）日付：10月7日(火) 20時17分
	GRAPESは関数のグラフを確かめるためによく使っています。 URL貼っておきます http://www.osaka-kyoiku.ac.jp/~tomodak/grapes/

	10496．ありがとうございました。
	名前：ようかん日付：10月7日(火) 20時21分
	早速試してみます。

	10501．Re: 学術的な質問ではないのですが・・・
	名前：Ｓａｒ日付：10月7日(火) 23時30分
	GRAPESは、DOS版にはお世話になりました。今では、ソフトをインストールして操作を覚えるのが面倒、というのと、アニメGIFを作りたいという理由から自分でプログラム書いてグラフ作ってます。が、どう考えても、多少面倒でもGRAPESなどを導入する方が楽ですね:) 私もWindows版を試してみることにします。＃そろそろ受験勉強始めないと……

	10505．Re: 学術的な質問ではないのですが・・・
	名前：ヨッシー日付：10月8日(水) 0時4分
	最近ＤＭで入ってきたソフトに「カルキング」というのがあります。 Simplex という会社が出しています。　 http://yosshy.sansu.org/

10474．確率。

名前：五月【中3】 日付：10月6日(月) 21時17分

初めまして、確率の問題で分からない問題があるので良ければ教えて下さい。

3個のさいころを同時に投げる時、次の場合の確率を求めよ。
【1】少なくとも1個は1の目が出る。
【2】少なくとも1個は偶数の目が出る。

1から50までの番号札から1枚引く時、その番号が次のような数である確率を求めよ。
【1】3の倍数または4の倍数
【2】3の倍数でも4の倍数でもない数

宜しくお願い致します。

	10477．Re: 確率。
	名前：ジャグラ　高３日付：10月6日(月) 22時58分
	中学生であると言うことなので、多少理解に苦しむかもしれませんが少なくとも１個は１の目が出る確率を求める場合に、順を追って確率を求めるよりも３個投げた中一回も１の目がでない確率をもとめて１から引けば早いです。つまり、（１）は１－(5/6)^3 (2)も同様にして１－(1/2)^3 3の倍数または４の倍数である確立を求める時にまず考える事は３の倍数でもあり４の倍数でもある共通の倍数はあるかどうかです。この場合は１２の倍数が4個存在し、３の倍数である事象をα ４の倍数である事象をβ　１２の倍数である事象をγとすると αＵβ（αまたはβ）＝α＋βーγ　であり３の倍数は１６個、４の倍数は１２個で16＋12-4=24 したがって24/50 →12/25 ３の倍数でも４の倍数でもない事象は題意より1-12/25=13/25 で多分あってると思います＾＾； ♯分かりにくい説明ですね・・・；－；と言うか、ぶっちゃけ中学生向きの問題じゃねぇええええ。

	10479．Re: 確率。
	名前：五月【中3】日付：10月6日(月) 23時45分
	ご返答有り難う御座います。すみませんが(5/6)^3　の^は何と読めばいいのか教えて下さい。無知ですみません。　宜しくお願い致します。

	10480．Re: 確率。
	名前：ジャグラ　高３日付：10月6日(月) 23時53分
	(5/6)^3は5/6の３乗と言う意味です。もし分からなければ遠慮なく言ってくださいね。受験勉強してると思いますので多分起きてます（笑）

	10481．Re: 確率。
	名前：五月【中3】日付：10月7日(火) 0時21分
	ご返答有り難う御座います。 1の答えなんですが9/216になりますか・・？宜しければお教えください。

	10482．Re: 確率。
	名前：五月【中3】日付：10月7日(火) 0時46分
	何度もすみません。どうしてもさいころの【1】【2】が良く理解できません。よければもう少し途中の計算を書いてくださると嬉しく思います。あと発表するかもしれないので良ければ回答お願い致します【＞＜御手数おかけしてしまい申し訳御座いません。

	10483．Re: 確率。
	名前：ジャグラ　高３日付：10月7日(火) 1時2分
	３コふった中少なくとも１個は１の目がでる確率をαとします。それ以外になる確率をβとしますと、α＋β＝１すべての事象を足せば１になることはお分かりでしょうか？つまり（１）の問題の場合直接αとなる確率を求めていく方法よりも α＝１－βですから間接的に１－βの確率を求めた方が効率がいいです。なぜそっちのが効率がいいのか....理由は簡単です少なくとも１個は１の目が出る確率と言うのは３個振った中１個１の目がでる確率と２個１の目が出る確率とすべて１の目がでる確率の３通りについて考えることになってしまいます。一方、すべて１の目がでない確率は１の目を除く5/6になることだけについて求めればＯＫであることはお分かりになるでしょう。つまりそれを３回ふるから１回も１の目が出ない確率β＝(5/6)^3=125/216になりよってα＝１－β＝216/216-125/216=101/216でないかと思います。

	10484．Re: 確率。
	名前：ジャグラ　高３日付：10月7日(火) 1時10分
	計算ミスしてますね（＾＾；方法が間違っていなければ91/216だと思う...

	10502．Re: 確率。
	名前：五月【中3】日付：10月7日(火) 23時42分
	詳しく教えていただき有り難う御座いました。とても参考になりました。大変感謝致します。また分からない所がありましたらその時は宜しくお願い致します。

10473．展開

名前：味噌汁 日付：10月6日(月) 21時1分

こんにちは。

((x^2)+y)^6の展開式における(x^6)(y^3)の係数を求めるにはどうすればよいのでしょうか？

まったく分からないので、できれば詳しく教えていただきたいのですが…
よろしくお願いします。

	10475．Re: 展開
	名前：ast 日付：10月6日(月) 21時29分
	X: = x^2 と置いてみれば (X+y)^6 の X^3*y^3 の係数を求めるというだけのことですから, 二項定理を知っていればすぐに判ると思いますが, 二項定理はご存知なんでしょうか？

	10476．Re: 展開
	名前：味噌汁日付：10月6日(月) 22時20分
	なるほど！！二項定理をつかえばよいのですね！わかりました。これで出来そうです。どうもありがとうございました。

10468．関数の最大・最小　（極限について）

名前：とも（高３） 日付：10月6日(月) 19時56分

こんばんは。
y=x-√(x^2-1)の最大・最小を求めよ。
という問題なのですが、増減表や極値（最大・最小）は解りました。
しかし　グラフを書いてみようと　極限をとると、
x→+∞ の時は０となりグラフ通りなのですが、
x→-∞ の時も０となってしまいます。増減表を見ると明らかに単調減少をなし、x→-∞ のとき－∞と判断できるのですが・・・・。
どのように工夫すればx→-∞ の時－∞　となるのでしょうか。
よろしくお願いします。

	10469．Re: 関数の最大・最小　（極限について）
	名前：とも（高３）日付：10月6日(月) 20時0分
	単調減少をなし＞単調増加の誤りです。すみませんでした。

	10470．Re: 関数の最大・最小　（極限について）
	名前：ast 日付：10月6日(月) 20時18分
	x < 0 ならば √(x^2) = \|x\| = -x です.

	10472．Re: 関数の最大・最小　（極限について）
	名前：とも（高３）日付：10月6日(月) 20時39分
	astさんありがとうございました。いちいち lim[x→-∞]{x-√(x^2-1)} を計算するのではなく、単純に考えて－∞になりますね・・・・変な質問してしまいました。すみませんでした。

10465．方程式と2次方程式の違い

名前：アケＣ 日付：10月6日(月) 16時38分

方程式と2次方程式の類似点・違う点について教えてください。明日テストです(＞＜)馬鹿なあたしを誰か助けてください！

	10466．Re: 指数対数
	名前：えいぶ日付：10月6日(月) 18時16分
	方程式…変数にある一定の値を入れたときのみ成立する等式。いつでも成り立つのは恒等式と言います。二次方程式…変数の最高次数が二次の方程式。すなわち二次方程式は方程式の一種です。類似…両方ともある一定の値を入れると成り立つ。違う…二次方程式は最高次数が二次であることに限定されるが方程式はそのようなことはない。

10462．数列について

名前：相木道子 日付：10月6日(月) 13時52分

４，－４／３，４／５，－４／７・・・・の第２５項までの和を計算するのですが、等比で考えたんですが比が出てこないのです。数字自体割り切れるようなものではないと思うのですが、どうやればいいと思いますか？お願いします。

	10463．Re: 数列について
	名前：帰ってきた赤猫(旧 : Red cat) 日付：10月6日(月) 15時12分
	4 で括ると 4(1 - 1/3 + 1/5 - 1/7 + ...) となるのだけれど、 Σ_{k = 1} ⁿ (-1)^{k - 1}/(2k - 1) って公式とかあるのかな…?

	10467．Re: 数列について
	名前：ヨッシー日付：10月6日(月) 19時26分
	これは、ちゃんとした問題集の中の問題なのでしょうか？それとも、誰かが思いついた問題でしょうか？解答はありますか？また、問題の続きもあるのでしょうか？　 http://yosshy.sansu.org/

	10486．Re: 数列について
	名前：我疑う故に存在する我日付：10月7日(火) 9時13分
	数学ナンデモ調査隊の調査によると、1996年度東京工業大数学教室主宰数学コンテスト問題の中に、 a(n) = Σ_{k = 1} ⁿ (-1)^{k - 1}/k を調べる物がありました。 a(100) の既約分子は 151 の倍数である事を示せとか・・・この問題 (a(n)) に限ってはΓ関数など使って、あらわせっる事は表せます。

	10488．Re: 数列について
	名前：帰ってきた赤猫(旧 : Red cat) 日付：10月7日(火) 9時43分
	＞続き予想。その値と π とを比較させる。＞Γ がっ、Γ関数…? 帰ったら計算してみんべ。 #今日は久しぶりに通常帰宅できそうなので…。

	10490．Re: 数列について
	名前：我疑う故に存在する我日付：10月7日(火) 15時41分
	先程書き忘れましたが、東工大数学コンテストは http://www.math.titech.ac.jp/cont-j.html に有ります。

	10507．Re: 数列について
	名前：相木道子日付：10月8日(水) 10時27分
	こんにちは。あの、ヨッシーさん。問題集ではなく、プリントなんです。だから、数字にミスがあるかもしれません。考えてくださった方本当にありがとうございます。

	10511．Re: 数列について
	名前：ヨッシー日付：10月8日(水) 19時3分
	とすれば、やはり、πの近似式の紹介のつもりで出したんでしょうかねぇ。　 http://yosshy.sansu.org/

10451．(untitled)

名前：呆け人 日付：10月5日(日) 17時52分

x≧0で定義された関数f(x)=1/(1+x²)の逆関数をg(x)とする。
このとき、∫_f(tan2α)^f(tanα)g(x)dx=S2+S3となることを説明してください。ほんとは問題自体は違うのですが、
この部分だけわからなかったので教えてください。

	10452．Re: (untitled)
	名前：呆け人日付：10月5日(日) 17時53分
	∫部うまくできなくてすみません…

	10458．Re: (untitled)
	名前：ＩＦ日付：10月5日(日) 23時23分
	y軸がｘ軸に、ｘ軸がｙ軸になるようにグラフを回転させてみれば、ｆ（ｘ）のグラフはｇ（ｘ）のグラフになります。このように回転させれば、明らかでしょう。

	10471．Re: (untitled)
	名前：呆け人日付：10月6日(月) 20時30分
	そう考えればいいんですか…頭にはよぎっていたのですが… あの、逆関数ってもとの関数とy=xで対称だからそれ利用するのかと思ってたんですが、僕の考え方はどう間違っているのか教えていただけたら助かります。

	10478．Re: (untitled)
	名前：ＩＦ日付：10月6日(月) 23時0分
	逆関数がもとの関数とy=xで対称だというのは問題ありません。元の関数がＸという集合からＹという集合に移し変えるものであるのに対して、逆関数というのは、Ｙという集合からＸという集合に移し変えるものです。つまり同じグラフをｘのほうから見るか、ｙのほうから見るかということです。

	10485．Re: (untitled)
	名前：呆け人日付：10月7日(火) 6時2分
	なるほど。すっきりしました。ありがとうございます!!!

10445．順列

名前：あいこ(高１) 日付：10月5日(日) 9時11分

下のようなテーブルに6人で座るときの
○　○　○
　　　|￣￣￣￣￣￣￣|
　　　￣￣￣￣￣￣￣￣
　　　　○　○　○

座り方は全部でな何通りか。また特定の
二人が向かい合うのは何通りか。という問題です。解き方教えてください！！

	10446．Re: 順列
	名前：あいこ(高１) 日付：10月5日(日) 9時17分
	すみません！！図がかなりずれてしまいました(＋∩＋;テーブルをはさんで各々が向かい合う図が正しい図です。

	10450．Re: 順列
	名前：ケロ日付：10月5日(日) 17時48分
	テーブルが南向きに固定されているとき（南南東でもいいです）と、回りテーブルのときで少し違うと思います。固定されているなら、一つ一つの席はすべて区別できるので、普通の順列。6人が列を作って並ぶ順列と同じ。特定の二人が向かい合う場所を一つ決めれば、残りの4人の順列。回りテーブルのときは、それぞれ2で割れば済みそうです。

	10454．Re: 順列
	名前：あいこ(高１) 日付：10月5日(日) 19時36分
	テーブルは固定されているみたいです！！回りテーブルの場合『座り方は何通りか。』っという問題の答えはどのようになるのでしょうか？また、固定されている状態は、各々を区別できる状態であるから、普通の順列を使うことができる。っということは、相異なものを並べるときは普通の順列をつかう、とかんがえていいんですか？順列についてまだまだなので、おかしなことを言っていたらすみません(>＿<)

	10455．Re: 順列
	名前：ケロ日付：10月5日(日) 21時14分
	教室の席順でも、曲がっているように見えますが、机を全部１列に並べた場合と同じだと思います。ですから、普通の順列が使えると思います。回りテーブルの場合は180°回転させたとき、2組ずつが同じになるような感じがします。ＡＢＣ　　　ＦＥＤＤＥＦ　　　ＣＢＡは回転させると、同じですね。

	10457．Re: 順列
	名前：あいこ(高１) 日付：10月5日(日) 22時1分
	なるほど～～！！よく分かりました！！ありがとうございます！！

10444．ベクトル

名前：ﾓﾄｵ 日付：10月5日(日) 2時22分

高2

一辺が1の正六角形ＡＢＣＤＥＦに内接する円をとる。この円の円周上に点Pをとり、さらに辺ＢＣの中点をQとするとき、AP=k・AQ(AP,AQはともにベクトル、kは実数)を満たすkをすべて求めよ。

	10449．Re: ベクトル
	名前：ケロ日付：10月5日(日) 17時19分
	↑AP=k・↑AQは点A,P,Qが一直線上にあることを表しています。図を描くと、方べきの定理が使えそうです。 ABの中点をMとするとAM^2＝AP*AQ。 AMはすぐ出ますし、AQは三平方の定理を2回使えば出ます。

10438．はじめまして

名前：健一日付：10月4日(土) 16時5分

以下の問題を出題されたのですが、方針も浮かびませんでした。どなたかお助け下さい。

二人でトランプのババ抜きをする。ただし以下のルールを適用する。
・一人はスペードとハートの１～１３の札の計２６枚を持ち、もう一人はクローバとダイヤの１～１３の札とジョーカー１枚の合計２７枚を持った状態からスタートする。
・相手のカードを交互に取り、数字が一致したカードのペアを場に捨てるが、スペードとハート、クローバとダイヤのそれぞれのペアは捨てない(つまり、初期状態で構成されているペアは捨てないということです)
・最初は、ジョーカーを持っていない者がジョーカーを持っている者のカードを取る。
・先にカードが無くなった者の勝ちとする。
・どのカードを引くかは同様に確からしいものとする。

このとき、最初にカードを引く者の勝つ確率を求めよ。

というものです。よろしくお願いします。

	10441．Re: はじめまして
	名前：arc 日付：10月4日(土) 17時10分
	◆２人で婆抜きをする。 ◆１～１３，１～１３の２６枚をそれぞれ持つ。 ◆１人がさらにジョーカーを持つ。 ◆枚数が少ない人が先にカードを取る。 ◆同じ色で同じ数字のペアしか捨てる事が出来ない。（これだと条件変わるかな・・・？これでいいのかな。 ※「Ａ，Ｂ」は人。　「s,k,h,d」はそれぞれ、スペード,クラブ,ハート,ダイヤ。　「Ｊ」はジョーカー。Ａ：１～１３　１～１３Ｂ：１～１３　１～１３　Ｊ ■ジョーカーが最後まで取られない確率 26!!/27!! = 8388608/35102025　（この値は関係ないかな。 ■Ａが最初にジョーカーを取るのは、1/27。・ジョーカーをＢがまた取るのは、1/27。（最初に戻る）・ジョーカー以外をＢが取るのは、26/27。（以下略） ※ジョーカーを取ると、Ａ，Ｂが反転。 ■Ａが最初にジョーカー以外を取るのは、26/27。・Ａが１ペア揃うので、【Ａ：２５枚　Ｂ：２６枚（含Ｊ）】・ＢがＡから取る（必ず１ペア揃う）ので、【Ａ：２４枚　Ｂ：２５枚（含Ｊ）】・Ａがジョーカーを取るのは、1/25。・Ａがジョーカー以外を取るのは、24/25。【Ａ：２３枚　Ｂ：２４枚（含Ｊ）】（以下略） ●Ａ：１枚，Ｂ：２枚の状態でＡが勝つ確率Ａ：「s1」Ｂ：「k1」「Ｊ」　明らかに1/2　（最後の状態では両者とも勝つ確率1/2。 ●Ａ：２枚，Ｂ：１枚の状態でＡが勝つ確率Ａ：「s1」「Ｊ」Ｂ：「k1」　Ｂが「Ｊ」を取って、Ａがその後「k1」を取るので、(1/2)^2 = 1/4 合っていないと思うけど、結局『1/2』かな・・・。

	10443．Re: はじめまして
	名前：*[.]* 日付：10月4日(土) 22時34分
	ジョーカーを引いたとき以外は必ずカードを捨てれるのでジョーカーを引く回数が偶数回のとき先に引く人が勝ちますここでラストについて考えましょう一方が1枚もう一方が2枚持っているとき1枚の人が勝つ確率は2/3となりますまた一方が2枚もう一方が3枚持っているとき2枚の人が1枚になる確率は3/4となりますまあこういう考えで多いほうがｎ枚持っているときの少ないほうが勝つ確率をA（n）とすると A（n+1）＝（ｎA（n）+1）/（ｎ+2）という式を立てられる　これを解いて n＝27を入れれば答えが出ます

	10493．Re: はじめまして
	名前：134217728 日付：10月7日(火) 18時53分
	健一　礼儀を知れ　恥を知れ

10427．(untitled)

名前：晶日付：10月4日(土) 11時17分

７^7^7^7^7^7^7を１３で割った余りを求めよ。

	10432．Re: (untitled)
	名前：arc 日付：10月4日(土) 13時43分
	7^7^7^7^7^7^7 99425桁の数値となります。 mod(7^7^7^7^7^7^7,13)=7 余りは７です。

	10433．Re: (untitled)
	名前：Ｓａｒ日付：10月4日(土) 13時47分
	7^(7^(7^(7^(7^(7^7)))))と解釈すると 7^(7^(7^(7^(7^(7^7)))))≡6(mod13)ですね。

10424．場合の数

名前：あいこ(高１) 日付：10月4日(土) 8時58分

△ABCの頂点B，Cから対辺に何本かの直線を引く。このとき次の問いに答えよ。
(1)Bから3本、Cから4本引いたとき、△ABCはいくつの部分に分けられるか。また、そのうち、四角形に分けられた部分は何個あるか。

ちなみに答えは△ABCは20個に分けられて、四角形は12個です。なにを考えればよいかよく分かりません、教えてください。

	10426．Re: 場合の数
	名前：花パジャ日付：10月4日(土) 10時51分
	＞なにを考えればよいか考える前に、実際に三角形を描いて、問題のように線を引いてみるのがよいですそうすりゃ、20=(3+1)*(4+1)や12=20-(3+1)-(4+1)+1だと考えれます

	10428．Re: 場合の数
	名前：あいこ(高１) 日付：10月4日(土) 11時38分
	書いてみました！何か変な誤解をしていたようでした；ありがとうございました！！！

10421．集合

名前：Mr. man 日付：10月4日(土) 0時8分

集合Ｕ＝｛a,b,c,d｝の二つの部分集合Ａ，Ｂをもとにして、
補集合・和集合・共通集合を作るこれら６集合が互いに異なる
ようなＡ，Ｂの条件を説明し、例を挙げなさい。
また、上記６集合を要素とする集合Ｑを考え、例に対して
集合ＱをＵの要素a,b,c,dで表現しなさい。

という問題です。
集合が苦手で混乱しています。よろしくお願いします。

	10435．Re: 集合
	名前：我疑う故に存在する我日付：10月4日(土) 14時44分
	次の３条件を満たす事である。 i) x ∈ A であり、 x ∈ B でない x が存在 ii) x ∈ A でなくて x ∈ B なる x が存在 iii) A と B が互いに補集合となる事はない例 A = {a, b} B = {a, c} 例2 A = {a} B = {b}

	10437．Re: 集合
	名前：Mr. man 日付：10月4日(土) 15時52分
	問題の意味がまだよく分かっていないので、補足説明お願いします。迷惑かけてすいません<m(__)m>

	10440．Re: 集合
	名前：我疑う故に存在する我日付：10月4日(土) 17時6分
	＞部分集合Ａ，Ｂをもとにして、補集合・和集合・共通集合を作るこれら６集合が互いに異なるＡ，Ｂ，Ａ^ｃ，Ｂ^ｃ，Ａ∪Ｂ，Ａ∩Ｂ　が相異なると言う事です。問題を理解すれば、後は集合の問題と云うより論理の問題です。

	10447．Re: 集合
	名前：Mr. man 日付：10月5日(日) 13時18分
	「[また、上記６集合を要素とする集合Ｑを考え、例に対して集合ＱをＵの要素a,b,c,dで表現しなさい。」の部分がイマイチまだりかいできてません。おねがいします(__)

	10453．Re: 集合
	名前：ast 日付：10月5日(日) 18時48分
	＞上記６集合を要素とする集合Ｑを考えとは, 　　　Q = {A，B，A^c，B^c，A∪B，A∩B} ということです.

	10456．Re: 集合
	名前：Mr. man 日付：10月5日(日) 21時29分
	まとめてみたので、一度見てもらえませんか。＜解答＞補集合・和集合・共通集合を作るこれら６集合が互いに異なるようなＡ，Ｂの条件は、 i) x ∈ A であり、 x ∈ B でない x が存在 ii) x ∈ A でなくて x ∈ B なる x が存在 iii) A と B が互いに補集合となる事はない例：Ａ＝{a,b},Ｂ＝{b,c} 上記６集合を要素とする集合Ｑは Q = {A，B，A^c，B^c，A∪B，A∩B} 例に対して集合ＱをＵの要素a,b,c,dで表現すると Q = {{a,b},{b,c},{c,d},{a,d},{a,b,c},{b}} と考えてみたのですが、これで問題の答えとなるでしょうか？

	10459．Re: 集合
	名前：ast 日付：10月5日(日) 23時26分
	補集合・和集合・共通集合を作るこれら６集合が互いに異なるようなＡ，Ｂの条件は、 i) x ∈ A であり、 x ∈ B でない x が存在 ii) x ∈ A でなくて x ∈ B なる x が存在 iii) A と B が互いに補集合となる事はないの部分は実際に, それで（必要）十分条件であるかどうかの考察がないと, 私が採点者なら, あまり点数を与えないと思います. # 問題文から, 十分条件を与えれば良い様にも読めるので, 必要性は # 示さなくても良いかもしれませんが, 十分性の考察は無いとダメだと # 思います. 後半はこの場合, 集合 Q は Q = {{a,b},{b,c},{c,d},{a,d},{a,b,c},{b}} である. だけで, 十分だと思います.

	10460．Re: 集合
	名前：Mr. man 日付：10月6日(月) 0時20分
	難しいですね～。命題が苦手で、十分条件や必要条件の与え方がよくわかっていません。どのようにして、必要十分性の考慮を示せばよろしいのでしょうか。よろしくおねがいします。あと、＞後半は＞この場合, 集合 Q は＞Q = {{a,b},{b,c},{c,d},{a,d},{a,b,c},{b}} ＞である. ＞だけで, 十分だと思います. とは、Q = {A，B，A^c，B^c，A∪B，A∩B} は書く必要はないということでしょうか？

	10461．Re: 集合
	名前：ast 日付：10月6日(月) 0時58分
	＞どのようにして、必要十分性の考慮を示せば＞よろしいのでしょうか。よろしくおねがいします。実際にその (i),(ii),(iii) を使って, 6 つの集合が異なることを言えば良いだけです. (十分性) 例えば, 補集合の定義から A と A^c, B と B^c はそれぞれ異なる. iii) から A と B^c, B と A^c はそれぞれ異なる. i) から A と B, A^c と B^c, A と A∩B, B と A∪B, A∩B と A∪B はそれぞれ異なる. またド･モルガンの法則から A^c と A∪B, B^c と A∩B はそれぞれ異なる. ii) から, B と A∩B, A と A∪B はそれぞれ異なる. また, ド・モルガンの法則から B^c と A∪B, A^c と A∩B はそれぞれ異なる. とか書いとけば, まあ OK でしょう. # 自分で書いてて, 採点者は読んでくれなそうな気がしてきた； # まあ, ₆C₂=15 個比較できてればわたしなら○にしてると思いますが. 必要条件から十分条件を誘導するのであれば, 例えば, A^c と B が一致しないことから, iii) が必要だとか, A=U なら, A∪B=U なので, A≠U が必要だとか etc. ＞とは、Q = {A，B，A^c，B^c，A∪B，A∩B} ＞は書く必要はないということでしょうか？書きたければ, 　　Q = {A，B，A^c，B^c，A∪B，A∩B} 　　　　= {{a,b},{b,c},{c,d},{a,d},{a,b,c},{b}} でも良いと思いますが.

	10508．Re: 集合
	名前：Mr. man 日付：10月8日(水) 16時56分
	理解できました！！ありがとうございました★

10417．こんばんわ！！

名前：星野　正樹 日付：10月3日(金) 22時33分

今テスト勉強をしているのですが、この問題がわからないんです！！
どうか解き方を教えてください！！
次の２次不等式を解け。
①Ｘ^2－３Ｘ＋２＞０
②Ｘ^2－2Ｘー8＜０
特にこの２問の解き方がわかりません(＞＜)↓
①２Ｘ^2－５Ｘ＋２≧０
②２Ｘ^2＋５Ｘ＋３≦０
よろしくお願いします！！

	10418．Re: こんばんわ！！
	名前：ＩＦ日付：10月3日(金) 22時39分
	①Ｘ^2－３Ｘ＋２＞０因数分解すると　（Ｘ－２）（Ｘ－１）＞0 求める範囲は　　Ｘ＜１、2＜Ｘそのほかも全部同じようにできます。

	10419．Re: こんばんわ！！
	名前：星野　正樹日付：10月3日(金) 22時46分
	ＩＦさんありがとうございます！下の①＆②はわかりますか？

	10420．Re: こんばんわ！！
	名前：ヨッシー日付：10月3日(金) 22時57分
	逆に質問です。　Ｘ^2－2Ｘー8 　２Ｘ^2－５Ｘ＋２　２Ｘ^2＋５Ｘ＋３の３つの式を、それぞれ因数分解できますか？　 http://yosshy.sansu.org/

	10422．Re: こんばんわ！！
	名前：星野　正樹日付：10月4日(土) 7時41分
	できません(＞＜)＞ヨッシーさん

	10430．Re: こんばんわ！！
	名前：あいこ(高１) 日付：10月4日(土) 11時48分
	因数分解ができればあとは簡単なので、まずは因数分解を完璧にしたほうが良いと思います。さておき、 ①２Ｘ^2－５Ｘ＋２≧０ ②２Ｘ^2＋５Ｘ＋３≦０ついてですが ①２Ｘ^2－５Ｘ＋２≧０　因数分解をして　　(2X－1)(X－2)≧0 　よって求める範囲は　　X≦1/2、2≦X ②２Ｘ^2＋５Ｘ＋３≦０　因数分解をして　　(2X＋3)(X＋1)≦O 　よって求める範囲は　　－3/2≦X≦－1 あっているか自信はないのですがこんな感じでしょうかね。

	10431．Re: こんばんわ！！
	名前：Bob 日付：10月4日(土) 12時35分
	あいこ(高１）さん　あってますね。星野　正樹さんはわかりましたか？ http://homepage3.nifty.com/sumida-3/

	10464．Re: こんばんわ！！
	名前：星野　正樹日付：10月6日(月) 15時34分
	あいこさんありがとう！！すごくわかりやすいよ！！

10412．ワカラネェ！！

名前：ジャグラ　高３ 日付：10月3日(金) 20時17分

こんばんわ、受験勉強をしている中ふと疑問に思った事があるので
教えていただけたらなぁと思い書きコマさせていただきます＞＜

まず　置換積分を行う中で例えばtを媒介変数としdx/dt=Kと表せると
しますと、なぜdx=k･dtと表すことが可能なのでしょうか？（＋＋
ｄｔ・dxは定数と考えても可能なのでしょか？

次に、整数係数のn次方程式　AnX^n＋A(n-1)X^n-1＋･･･A1X＋A0=0
(A0,A1･･･,A(n-1),Anは整数でAnは0でない）が有理数
x=q/p (p,qは±1以外に公約数をもたない整数）に解をもつとき
pはAnの約数,qはA0の約数であることをどういった方法で証明すること
ができるのでしょうか？＾＾；

お願いします（m__m)

	10416．Re: ワカラネェ！！
	名前：ＩＦ日付：10月3日(金) 22時31分
	私もまだ高3なので、あまり正確なことはわかりませんが、ｄｘやｄｔは物理でよく使う⊿ｘや⊿ｔがさらにもっと小さくなったものだから定数扱いしてもいい、と思って納得するようにしています。　AnX^n＋A(n-1)X^n-1＋･･･A1X＋A0=0がｑ/ｐを解に持つとき　（ｐｘ－ｑ）（ｂnX^n-1+bn-1X^n-2…＋ｂ2X+b1）=0 と変形できます。ここで最高次の項と定数項に注目すると　An=ｐbn,A0=－ｑb1 となり、pはAnの約数,qはA0の約数となります。大雑把な説明ですいません。

	10429．Re: ワカラネェ！！
	名前：ジャグラ　高３日付：10月4日(土) 11時44分
	IFさん＞返答ありがとうございます＾＾なるほど、厳密には違うかもしれませんが、高校の段階ではそう納得して次の段階に進みたいと思います＾～＾あのもう一つ疑問があるのですが、お願いしてよろしいですか？＞＜位置ベクトルα、β、γがあるとします、三角形αβγ上に点ｐを取るとそれはα、β、γの係数を足せば１となる有名な考え方ですが、 α、β、γが同一直線上にあるときは納得できるのですが、三角形で内を自由に動くＰは常にα、β、γの係数を足せば１となる事がいまいち分からないのです。どのように補助線を引けばよろしいでしょうか？その理由を納得できれば応用が効くような気がするのですが....

10434．Re: ワカラネェ！！

名前：Ｓａｒ 日付：10月4日(土) 14時5分


点Aに対応する位置ベクトルをaの様に書くことにします。
また、実数s,t(0≦s≦1,0≦t≦1)を考えます。

△ABCにおいて、線分AB上にある点Dについて、点Dが線分ABをs:(1-s)に分ける時、
d = sa + (1-s)b …☆
とおけるわけですね。

また、線分CD上にある点Eについて、点Eが線分CDをt:(1-t)に分ける時、

e = tc + (1-t)dですが、これと☆より、
e = tc + (1-t){sa + (1-s)b} = tc + sa + (1-s)b - sta - t(1-s)b
  = (s-st)a + (1-s-t+st)b + tc
なので、係数の和は1になるんですが…
「s,tの値のとりかたによって、点Eは三角形の内部(および周)の任意の点を取る」
ので、これを踏まえて考えてみてはどうでしょう？

＃何か的外れなこと言ってるかも;)

	10448．Re: ワカラネェ！！
	名前：ジャグラ　高３日付：10月5日(日) 16時48分
	Sarさん＞返答ありがとうございます＾＾返事が送れて申し訳ないです.... 全然的外れじゃありませんよ（笑）と言うかいつもSarさんのおかげで一つの方向からだけではなく、色々な方向から問題を考えることができてます＾～＾実数s,tの値によってＤのとりうる任意の位置は理解できました。実はまた違う方向に行ってしまう可能性もあるのですが、平面α、βがねじれの関係にあり、平面α上に存在するＤベクトルとβ上に存在するＥベクトルの大きさがの比がs:3-sで表される時その条件をもとにＤベクトルとＥベクトルの為す角argD/Eを分かることは可能でしょうか？ ♯意味不明な事かいてますね（ｗ思いついたことなので無理なら無理でもしそれに条件を足せば分かる等などありませんか？(死さすがにないっすかね...

10393．軌跡と領域

名前：T.T.C.高２ 日付：10月3日(金) 0時58分

１)座標平面上で原点Ｏから出る半直線の上に２点Ｐ、ＱがありＯＰ・ＯＱ＝２を満たしている。
Ａ）Ｐ(ｘ、ｙ)、Ｑ(Ｘ，Ｙ)とするとき、ｘ、ｙ、Ｘ，Ｙで表せ。
Ｂ)点Ｐが直線ｘ－３ｙ＋２＝０上を動くとき、点Ｑの軌跡を求めよ。

２)円ｘ²＋ｙ²－２ｔｘ－２(１－ｔ)ｙ＝０がある。ｔが実数全体を動くとき。
Ａ)この円の駅軌跡を求めよ。
Ｂ)この円の円周の通りえない点全体の集合を求めよ。

３）直線ｍを、ｘ軸と直交し、円：ｘ²＋ｙ²＝４となる２点Ａ、Ｂで交わるようにとり、点Ｐを直線ｍ上にＰＡ・ＰＢ＝１を満たすようにとる。
Ａ)このような点Ｐはｍ上に何個あるか。
Ｂ)ｍを動かすとき、これらの点Ｐの軌跡の方程式を求め、軌跡を図示せよ。
軌跡苦手なので大変苦労しています。助けてください。

	10394．Re: 軌跡と領域
	名前：ast 日付：10月3日(金) 1時16分
	そろそろ考えたところまで書いてくれるようになってくれないだろうか.

	10395．Re: 軌跡と領域
	名前：ast 日付：10月3日(金) 1時34分
	1) A) 同じ半直線上にあるので, (X,Y) = (kx,ky) (k＞0) とおける. ただし, k は P,Q に依存して動く. OPOQ = 2 なので, √(x^2+y^2)√(X^2+Y^2) = 2. ゆえに, k=2/(x^2+y^2) である. すなわち, X = x/(x^2+y^2), Y = y/(x^2+y^2). B) X,Y を x,y についてといて, x-3*y+2 = 0 に代入すればよい.

	10402．Re: 軌跡と領域
	名前：ast 日付：10月3日(金) 8時29分
	1) の A) は, X,Y と x,y を入れ替えたほうがいいかも. 2) A) t について整理. x^2+y^2 - 2tx - 2(1-t)y = 0 <===> x^2+y^2-2y + 2t(y-x) = 0　　---- () ゆえに, () は円 x^2+y^2-2y = 0 と直線 y=x の二つの交点(**) を通る円. B) A) より, () は直線 y=x 上の点は表せない. 逆に, 点(x,y) が直線 y=x 上に無ければ, (**) の二点と点(x,y) のなす三角形の外接円は () の形に表せるので, 適当な t を選べば点(x,y) は (*) 上にある. したがって, 通らない点は直線 y=x.

	10403．Re: 軌跡と領域
	名前：ast 日付：10月3日(金) 8時37分
	寝惚け頭で何も考えずに解いたけれど, 改めて読むとおかしいので 3) を考える前にツッコミ. ＞Ａ）Ｐ(ｘ、ｙ)、Ｑ(Ｘ，Ｙ)とするとき、ｘ、ｙ、Ｘ，Ｙで表せ。「何を」x,y,X,Y で表せば良いのですか？＞Ａ)この円の駅軌跡を求めよ。校正してください. ＞直線ｍを、ｘ軸と直交し、円：ｘ2＋ｙ2＝４となる２点Ａ、Ｂで交わるようにとり「円となる二点」は「円と, 異なる二点」ですか？

	10406．Re: 軌跡と領域
	名前：ast 日付：10月3日(金) 9時14分
	3) A) 直線 m の方程式は x=k (k ∈ (-2,2)) とおける. このとき, x^2+y^2 = 4 に x=k を代入すれば y^2 = 4 - k^2 > 0 ゆえ, m と円の交点は (k,±√(4-k^2)) である. これを適当に A,B とおく. 点P は直線 m 上にあるので, P の座標は (k,y) とおける. APBP=1 だから {y+√(4-k^2)}^2 {y-√(4-k^2)}^2 = 1. すなわち, y^2 = 1/{16(4-k^2)}. ゆえに, P は二個. B) 条件を満たすように直線 m を動かす　　　<==言い換え==> 直線 x=k の k を開区間(-2,2) で動かす. ということだから, 軌跡は y^2 = 1/{16(4-x^2)}. # なかなか奇妙な軌跡がでてしまった. 何か間違えた・・・？

	10410．Re: 軌跡と領域
	名前：ヨッシー日付：10月3日(金) 16時40分
	ast さんの10406番の記事で、　y+√(4-k^2)}^2 * {y-√(4-k^2)}^2 = 1 の次からは、　{y^2-(4-k^2)}^2 = 1 　y^2-(4-k^2) = ±1 　y^2 = 4-k^2±1 = 5 - k^2 , 3 - k^2 です。-2＜k＜2 を考慮すると、　-2＜k＜-√3 または √3＜k＜2 のとき２個　k = ±√3　のとき３個　-√3＜k＜√3　のとき　４個となります。また、軌跡は、円：x^2 + y^2 = 3 の全体と、円：x^2 + y^2 = 5 の -2＜x＜2 の部分となります。一応ここまで。次は、別の解法です。　 http://yosshy.sansu.org/

	10411．Re: 軌跡と領域
	名前：ヨッシー日付：10月3日(金) 16時47分
	３）は（そしてたぶん１）も）方べきの定理を使えば、楽に出来ます。左の図は、Ｃがある接線の接点で、そこから１離れたところにＰを取ると、Ｐから、円に交わるように引いた直線と円の２交点Ａ，Ｂにおいて、　ＰＡ・ＰＢ＝ＰＣ^2＝１が成り立ちます。また、右の図において、長さ２の弦ＣＤの中点をＰとすると、Ｐから任意に引いた直線と円の２交点Ａ，Ｂにおいて、　ＰＡ・ＰＢ＝ＰＣ・ＰＤ＝１が成り立ちます。よって、半径√５（外側）、半径√３（内側）の円上の点をＰに取れば、円と交わる限り、その２交点Ａ，Ｂに対して、　ＰＡ・ＰＢ＝１が成り立ちます。　 http://yosshy.sansu.org/

10392．時間を求める

名前：花日付：10月3日(金) 0時46分

初速6km／時で出発して、10ｋｍ移動します。
移動距離をｘとしたとき、
速度ｖは、ｖ＝－x／5　+　6
で表わされます。
（10ｋｍ移動したときの速度は、4km／時です。）
10ｋｍ移動するのにかかる時間は？
～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～
＜私の方針＞
ｖ＝ｄｘ/ｄｔ　を使って微分方程式で解く。
ｘ：０→１０　で　ｔ：０→ｔ　で積分して　
ｔの方程式にしてｔを求める。

友達のお子さんから聞かれたのですが、これ！という解法が浮かばないのです。
上の方針で正しいのでしょうか？
それに、まだ微分方程式は習っていないそうなので、
私の方針が正しいとしても、微分方程式を使わない方法も教えてください。

	10396．Re: 時間を求める
	名前：通りすがり日付：10月3日(金) 5時0分
	２次元平面上でＸ軸を時間、Ｙ軸を速度、求めたい時間を t とすると x=0, x=t, y=0, y=-x/5+6 で囲まれる領域の面積が距離になります。この場合領域は台形になり、(6+4)*t/2=10 ですから t=2 になるという方針ではどうでしょう？

	10397．Re: 時間を求める
	名前：中川　幸一日付：10月3日(金) 5時8分
	もしこれが物理の問題であるとするならば, v₀=6 v=-10/5+6=4 h=10 とおくと, v²-v₀²=2ah より, 加速度 a は, 4²-6²=2a×10 iff a=-1 また, v=v₀+at より時間 t は, 4=6-t iff t=2 ∴ 2時間と解きますが, これは数学の問題ですか？それとも物理の問題ですか？通りすがりさんが数学的に解いたので, 私は物理的に解いてみました。また, 学年はどのくらいなのでしょうか？ http://www3.ezbbs.net/01/k-nakagawa/

	10399．Re: 時間を求める
	名前：キューダ日付：10月3日(金) 8時2分
	お二人とも間違われています。ｖ＝－x／5　+　6 とｖ＝－t／5　+　6 は異なります。もう一度考えてみましょう。そもそも、これは、高校生向きの問題であり、小中学生には解けません。

	10400．Re: 時間を求める
	名前：花日付：10月3日(金) 8時6分
	通りすがりさん、中川幸一さん　どうもありがとうございます。その子は高校３年生なのですが、メールでＳＯＳが来たので物理か数学か聞いていませんでした。２通りの方法をお伝えしておきます。私が駄目押しで微分方程式で考えた方法とは解答がちがうので、やはり間違っているのですね。 ☆通りすがりさん　もう少し詳しく教えてください。問内の　ｖ=-x/5+6　…①　のｘは距離通りすがりさんの書かれた　y=-x/5+6　…②　のｘは時間左辺はどちらも速度ですよね。 ①から分かることは　x(時間)＝ｔのとき　x(距離)＝10、ｖ＝ｙ＝4 このとき　t＝2が正解とすると、②の式が成り立たないと思うのです。ただ②の　x(時間)＝ｔのときｙ＝4，x(時間)＝0のときｙ＝6は事実なので x(時間)とy(速度)の関係が一次関数で表せれば、領域は台形といえますが、どこから一次関数と分かるのでしょうか？時間と速度の関係がどのように出てくるのかが、よく分からないので、教えてください。

	10401．Re: 時間を求める
	名前：花日付：10月3日(金) 8時20分
	上のレスを書き込んだら、キューダさんのレスが付いていました。加速度が一定とは限らないので中川さんの公式が使えないのですね。 x(時間)とy(速度)の関係ももしかして一次関数ではないのかしら。こうなると、物理の問題ではなく数学の問題なのですね。私の駄目押しの解法（微分方程式）は、間違っているのでしょうか？ただ数式の変形だけで求めたので、積分の意義とかが言えないのですが。

	10404．Re: 時間を求める
	名前：花日付：10月3日(金) 8時52分
	わたしの苦肉の方法ですが、どうでしょうか？

	10405．Re: 時間を求める
	名前：花日付：10月3日(金) 9時7分
	上の式、積分を間違えていました。（削除KEYを入れてなかったので、削除できない・・(^_^Ａ

	10407．Re: 時間を求める
	名前：キューダ日付：10月3日(金) 9時47分
	もちろんその方法でＯＫですが、不定積分を行い、初期値を代入して、一端ｘ＝３０（１－exp(-t/5)）ｖ＝６ exp(-t/5) 等という式を導いてから、ｔを求める方が良いと思います。（上の２式から、ｔを消去すると、与式が現れ、検算もできます。）

	10408．Re: 時間を求める
	名前：花日付：10月3日(金) 10時39分
	キューダさん、ありがとうございます。積分範囲が今一つすっきりしなかったのですが不定積分で考えたらいいのですね。納得です♪ ところでこの問題を、微分方程式を使わないで解くことが出来るのでしょうか？

	10413．Re: 時間を求める
	名前：キューダ日付：10月3日(金) 20時20分
	> ところでこの問題を、微分方程式を使わないで解くことが出来るのでしょうか？答えをみてください。５Log_e（3/2） = 2.0273...です。もし、整数や分数で表せる式なら、小中学校で「テクニック」等として習うような、別の解法があるのかも知れないと思い、色々考えてみようとと思うのですが、実際には Logが現れます。与えられた式は単純なものなのに、Logが出てきてしまいます。これは、1/x型の積分がなされたからに他なりません。何らかの形で積分が現れるのは仕方ないと思います。別解になるかは解りませんが、次のような方法もあります。 a = dv/dt = d(-x/5+6)/dt = - v/5 つまり、 dv/dt = -v/5 から、dv/v = -dt/5 → v = C1 exp(-t/5) t=0でv=6なので、v=6exp(-t/5) → x = -30exp(-t/5) + C2 t=0でx=0なので、x=30(1-exp(-t/5)) あくまで、「微分方程式を使わない」という主義を貫くなら、次のような方法が無いわけでもありません。 v=Σ{a_k t^k,k=0～∞} と書けたとする。すると、 x=Σ{a_k t^(k+1)/(k+1),k=0～∞} + c 初期条件から、a_0=6,c=0 あとは、ｖ = －x／5 + 6 に代入し、 Σ{a_k t^k,k=0～∞} + Σ{a_k t^(k+1)/(k+1),k=0～∞} / 5 = 6 a_0 + Σ{a_(k+1) t^(k+1),k=0～∞} + Σ{a_k t^(k+1)/(k+1),k=0～∞} / 5 = 6 これをtの恒等式とみなして、 a_(k+1) + a_k/(5(k+1)) = 0 a_k/a_(k-1) = -1/(5k) と変形し、ｋを変化させ順次積を取ることにより a_k = a_0 (-1/5)^k/k! つまり、v = Σ{a_0 (-t/5)^k/k!,k=0～∞} = a_0 exp(-t/5) として、答えを得ることもできます。

	10414．Re: 時間を求める
	名前：花日付：10月3日(金) 20時26分
	v(t)=x'(t) より、x'(t)/{x(t)-30｝＝-1/5　より両辺をｔについて不積分すればよいことがわかりました。

	10415．Re: 時間を求める
	名前：花日付：10月3日(金) 20時28分
	また、キューダさんとニアミス。ありがとうございます。内容が濃さそうなので、今から解読させていただきます。

	10442．Re: 時間を求める
	名前：キューダ日付：10月4日(土) 18時13分
	以下の方法は表面上は、積分は現れませんので、紹介しておきます。 x=0 から、10 までの運動を(時刻に関して) N 等分する。求めるべき時刻をTとして、時刻 t(i) ＝ i * (T/N) における質点の位置をx(i)、速度をv(i)と表すこととする。 Nを十分大きく取れば、 Δx = x(i+1) - x(i) = Δt * v(i) = (T/N) * (6 - x(i) / 5) が、ほぼ成り立つ。 x(i+1) - 30 = { 1 - T / (5N)} * ( x(i) - 30 ) と変形できるので、 x(k) = 30 + { 1 - T / (5N) }^k * ( x(0) - 30) k=N とし、x(N)=10,x(0)=0を代入すると、 x(N) = 10 = 30 [ 1 - { 1 - T/(5N)}^N ] T について解くと、 T = 5N { 1 - exp(a/N) }, a=log(2/3) これまでの解答同様、確かにこれは、N→∞ の時 5 log(3/2) へと収束。実は、「積分」を導入するときのアイデアを用いています。

	10512．Re: 時間を求める
	名前：花日付：10月8日(水) 20時21分
	キューダさんお礼が遅くなりました。わかりました♪　ありがとうございます。

10384．複素数の三角関数です。。

名前：ほるもん（大卒・・一般市民？） 日付：10月2日(木) 23時25分

こんにちは。
複素数zの関数cos z について、方程式cos z = 5を解け、という問題
なのですが、
cos z ={e^(iz) + e^(-iz) }/2 = 2
として両辺にe^(iz)を乗じて
e^(2iz) + 2e^(iz) -1 = 0
としたのですが、e^(iz) = Z　などとして解の公式を用いていいのでしょうか？
なんか違うような？？？
よろしくお願いします。

	10385．Re: 複素数の三角関数です。。
	名前：ほるもん（大卒・・一般市民？）日付：10月2日(木) 23時30分
	↑上の問題の式と途中の式がちがってました。すみません。(>_<)=3 問題はcos z = 2　を解け。で途中の式は e^(2iz) - 4e^(iz) + 1 = 0 です。ほかの問題とごっちゃになってました。

	10387．Re: 複素数の三角関数です。。
	名前：ast 日付：10月2日(木) 23時49分
	用いて良いです. 疑わしければ, 解の公式を導いた操作をそっくりそのままなぞってみればよいのです.

	10388．Re: 複素数の三角関数です。。
	名前：ほるもん（大卒・・一般市民？）日付：10月2日(木) 23時58分
	そうすると、e^(iz) = 2 ±　√3 対数をとって iz = log(2±√3) z = -i・log(2±√3) になると思うのですが、これでいいんでしょうか？なんだか複素数になると直観的につかめないです。検算もできないし。（できるのかな？cos{-i・log(2±√3)}????)

	10389．Re: 複素数の三角関数です。。
	名前：中川　幸一日付：10月3日(金) 0時12分
	あっていると思います。 http://www3.ezbbs.net/01/k-nakagawa/

	10390．Re: 複素数の三角関数です。。
	名前：ほるもん（大卒・・一般市民？）日付：10月3日(金) 0時21分
	ありがとうございました!!m(_ _)m 検算はできてないですが。。。^ ^;)

	10436．Re: 複素数の三角関数です。。
	名前：我疑う故に存在する我日付：10月4日(土) 14時50分
	＞あっていると思います。違っています。 z = -i・log(2 ± √3) + 2nπ が正解。もっとも log を多価関数と見れば正解だが。

	10439．Re: 複素数の三角関数です。。
	名前：ほるもん（大卒・・一般市民？）日付：10月4日(土) 16時30分
	そうですね。一応なにも断りがないので2nπがいります。ありがとうございました。

10381．(untitled)

名前：呆け人 日付：10月2日(木) 21時45分

導入問題として、|x+1/x|のとり得る範囲（x≠0)を求めよ。がありました
次の問題です
a.bを実数の定数とする。方程式x⁴+ax³+bx²+ax+1=0が実数解を持たないとき、点(a,b)の存在範囲を図示せよ

途中解説として、
t=x+1/xとおくとt²+at+b-2=0（…★）と変形できる
『|t|≧2の範囲でtを定めれば実数xが存在する。
与式が実数解を持たない⇔★が|t|≧2の範囲で実数解を持たない』
となるので求める条件は
★が実数解を持たない、または★が-2<t<2の範囲で2つの実数解を持つ（重解含む）
『』内よくわかりません。教えてください。

	10383．Re: (untitled)
	名前：ヨッシー日付：10月2日(木) 22時55分
	x⁴+ax³+bx²+ax+1=0　・・・(1)　と t²+at+b-2=0　・・・(2) は、同値なので、(1) が実数解を持つためには、まず (2) が実数解を持たないと話になりません。そこで、判別式を調べます。では、(2) が実数解を持てば、(1) も必ず実数解を持つかというとそうではなく、導入で導いた　\|x+1/x\|≧２という制約があるので、たとえば、(2) で　ｔ＝１などという解があったとしても、それに対応する、実数ｘは存在しません。逆に(2) の解のうち一つでも \|t\|≧２を満たすものがあれば、それに対して、実数ｘが存在します。逆を言えば、(1) が実数解を持たないためには、(2) の判別式が負であれば、無条件にＯＫ。たとえ、(2)が実数解を持ったとしても、いずれの解も、 \|t\|≧２を満たさない（-2＜\|t\|＜2 の範囲に解がある）ならば、それもＯＫです。　 http://yosshy.sansu.org/

	10423．Re: (untitled)
	名前：呆け人日付：10月4日(土) 8時27分
	!なるほどー。同値という基本事項も忘れかけていたか…（涙）ありがとうございました。復習します。

10379．２次不等式の係数の範囲（高１）

名前：arc 日付：10月2日(木) 21時6分

問１
x² + nx + |x| （x,nは実数の定数）に於いて、
全てのxに対して、この式の値が正となる場合、nの範囲は何か。

問２
x² + nx + x （x,nは実数の定数）に於いて、
全てのxに対して、この式の値が正となる、nの範囲は存在するか。

宜しくお願い致します。

----------追記----------
＞ヨッシー（管理人）様

http://yosshy.sansu.org/bbs/07696.htm

こちらの参照画像（pngファイル）をサーバーから消すので、もしリンクを繋げておきたいのでしたら、
お手数ですが、この画像をヨッシー様のサーバーにアップロードしてリンクしていただきたいと思います。

今は、その作業をするために一時的に画像をアップロードしています。
完了（確認）次第、こちらのサーバーからファイルを消します。

	10382．Re: ２次不等式の係数の範囲（高１）
	名前：ヨッシー日付：10月2日(木) 21時49分
	ご連絡ありがとうございます。画像を取り込みました。さて、質問の方の確認ですが、「正となる」→「負でない」または「全てのｘ」→「全ての０でないｘ」と書き換えないと、ｘ＝０のとき、どうしても式の値が０になってしまいます。　 http://yosshy.sansu.org/

	10386．Re: ２次不等式の係数の範囲（高１）
	名前：arc 日付：10月2日(木) 23時40分
	画像の方は処理いたしました。問題の方すみませんでした。表現を間違えました・・・式≧0　（「正となる」→「負でない」）です。宜しくお願いします・・。

	10398．Re: ２次不等式の係数の範囲（高１）
	名前：ヨッシー日付：10月3日(金) 5時36分
	問２の方は、普通の２次関数なので、最小値（頂点）が負にならないようにすればいいです。（０，０）を通ることは明らかなので、この点が頂点になるように　ｙ＝ｘ²　　←これを思いつくのは問題ないでしょうと比較してｎ＝－１としても良いし、判別式≦０から求めても良いです。問１の方は、場合分けが必要です。１）　f(x)＝ｘ²＋（ｎ＋１）ｘ　　（ｘ≧０）２）　f(x)＝ｘ²＋（ｎ－１）ｘ　　（ｘ＜０）１）（０，０）を通るのは明らかなので、グラフは以下のようになります。つまり、軸：ｘ＝-(n+1)/2 が０か負であればよく　ｎ≧－１となります。２）は同様に　ｎ≦１　となります。以上より　－１≦ｎ≦１　です。　　 http://yosshy.sansu.org/

	10409．Re: ２次不等式の係数の範囲（高１）
	名前：arc 日付：10月3日(金) 16時25分
	問題１は場合分けしないで考えていたので求まりませんでした・・・。問題２は今分かりましたｗ n=-1のとき、式がx²（＝明らかに0以上）になりますね。（遅ありがとうございました。

10373．簡単な関数問題。（京都府）

名前：IGA 日付：10月2日(木) 18時44分

次の図のように２点Ａ（３，０）、Ｂ（０，９）を通る直線ｌがある。また点Ｐは、直線ｌ上を動く点である。
このとき次の問に答えなさい。

問い
点Ｐからｘ軸に引いた垂線とｘ軸との交点をＱ、点Ｐからｙ軸に引いた垂線とｙ軸との交点をＲとする。
いま、４点Ｐ、Ｑ，Ｏ、Ｒを頂点とする四角形が正方形になるとき点Ｐの座標を２つもとめなさい。

まずｌの式はｙ＝ー３ｘ＋９です。
これをもとに点Ｐ（ｔ、ー３ｔ＋９）とでてきます。
※ｔは点Ｐのｘ座標
それで正方形になるわけだから
ｔ＝ー３ｔ＋９になり
とくと
ｔ＝９／４になります。
そして答えは
（９／４、９／４）になります。
もう一つの座標の求め方を教えてください。
お願いします。

あと三平方の定理＝ピタゴラスの定理ですよね？
それで、ピタゴラスとはいったいどのようにひとなのでしょうか？
この質問は無視してもかまいせん。

	10375．Re: 簡単な関数問題。（京都府）
	名前：ヨッシー日付：10月2日(木) 19時14分
	「２つもとめなさい」と書いてあるのは、むしろ親切な方でしょう。１つ求めて安心して、５０点しかもらえないという場合もあります。ピタゴラスは．．．うーむ検索してください。(^^; 　　 http://yosshy.sansu.org/

	10376．Re: 簡単な関数問題。（京都府）
	名前：IGA 日付：10月2日(木) 19時20分
	うむ・・・解答を見てみたところｙ＝ｘ　ｙ＝ーｘ上にあるそうです。しかしなぜｙ＝ｘ　ｙ＝ーｘ上にあるのでしょうか？お願いします。じぶんの家に百科事典があるのを忘れてました。ピタゴラスは前6世紀に活躍したギリシアの哲学者。みたいです。

	10377．Re: 簡単な関数問題。（京都府）
	名前：Bob 日付：10月2日(木) 19時45分
	＞＞しかしなぜｙ＝ｘ　ｙ＝ーｘ上にあるのでしょうか？　正方形→縦と横の長さ一緒→ｘ座標とｙ座標がひとしいつまりｙ＝ｘ上ですよね。なぜｙ＝ーｘか？　　　ヨッシ－さんの返信の図をみると第4象限（Ｘ軸の下方のエリア）　に2つ目の正方形があります。その正方形の右下の頂点とＯを結ぶと．．　ｙ＝－ｘですねそうすると縦が－ｔ　横がｔになるが、　　図形の一辺の長さは正なので、絶対値を取ればいいのです。 http://homepage3.nifty.com/sumida-3/

	10378．Re: 簡単な関数問題。（京都府）
	名前：IGA 日付：10月2日(木) 20時5分
	なるほど！正方形だからですか！いや～有り難うございます。正方形だからｙ＝ｘですか！ありがとうございます！！！！！！！！！では私の最初の解き方はよくないですね。二つ目の座標がこの方法だと求まりませんね。有り難うございます。

10371．場合の数

名前：高校１年生 日付：10月2日(木) 17時58分

☆（１）正十角形の３個の頂点を結んで三角形をつくる。

　１　正十角形と１辺だけを共有する三角形は何個あるか。

　　この問題は、正十角形を実際に書いて分かったのですが
　　計算する方法はありますか？

　２　正十角形と辺を共有しない三角形は何個あるか。

☆（２）円に内接する八角形の３個の頂点を結んで三角形を作る。

　１　八角形と１辺だけを共有する三角形は何個あるか。

　２　八角形と辺を共有しない三角形は何個あるか。

この問題が分からないので教えてください。
（１）がわかれば、（２）も分かりますか？

この問題が分からないので教えてください。

	10374．Re: 場合の数
	名前：ヨッシー日付：10月2日(木) 19時6分
	あるひとつの辺を選んだら、その辺と隣り合わない点（６つあります）とを結べば、そのような三角形が作れますね。辺の選び方が１０通り、それぞれについて三角形が６通り出来るので、　１０×６＝６０（個）すべての三角形の数は、１０個の点から３個を選ぶので、　10Ｃ3＝１２０　（個）１辺だけ共有するのが、上で求めた６０個２辺を共有するのが、１０個　なので、　１２０－６０－１０＝５０（個）８角形も同じです。　 http://yosshy.sansu.org/

	10380．場合の数
	名前：高校１年生日付：10月2日(木) 21時27分
	どうもありがとうございました。図も動いてとてもわかりやすかったです。感謝です♪

10366．教えてください

名前：ゆう日付：10月2日(木) 12時39分

１００から２００までの自然数の和

	10368．Re: 教えてください
	名前：中川　幸一日付：10月2日(木) 12時42分
	Σ[k=100 to 200]k = Σ[k=1 to 200]k - Σ[k=1 to 99]k http://www3.ezbbs.net/01/k-nakagawa/

	10370．Re: 指数対数
	名前：えいぶ日付：10月2日(木) 17時0分
	Σ[k=1 to a]k-Σ[k=1 to b]k =a(a+1)/2-b(b+1)/2 =(a^2+a-b^2-b)/2 ={(a+b+1)(a-b)}/2 を使えば多少楽…？

10363．曲線と直線

名前：T.T.C.高２ 日付：10月1日(水) 23時55分

1)
Ａ)円(ｘ－ａ)²＋(ｙ－ｂ)²＝４と円ｘ²＋ｙ²＝９との２つの共有点を通る直線の方程式が６ｘ＋２ｙ－１５＝０となるような(ａ、ｂ)を求めよ。
Ｂ)(Ａ)の２つの共有点と原点とを通る円の方程式を求めよ。
２)円ｘ²＋ｙ²＝１によって､直線ｘ＋ｙ＝ｋが切り取られる弦の長さが１になるように定数ｋの値をもとめよ。
３)直線ｙ＝ｘ＋ｋが放物線ｙ＝ｘ²によって切り取られる線分の長さが３以下であるときのｋの値の範囲を求めよ。
これらの問題がわかりません。助けてくださいm(_ _)m

	10364．Re: 曲線と直線
	名前：ヨッシー日付：10月2日(木) 7時8分
	１）一般に２つの円　ｘ²＋ｙ²＋ａｘ＋ｂｙ＋ｃ＝０　ｘ²＋ｙ²＋ｄｘ＋ｅｙ＋ｆ＝０が交わるとき、その２交点を通る円（特殊な場合として直線）は　(ｘ²＋ｙ²＋ａｘ＋ｂｙ＋ｃ)＋ｔ(ｘ²＋ｙ²＋ｄｘ＋ｅｙ＋ｆ)＝０と書けます。もっと一般的には、　ｓ(ｘ²＋ｙ²＋ａｘ＋ｂｙ＋ｃ)＋ｔ(ｘ²＋ｙ²＋ｄｘ＋ｅｙ＋ｆ)＝０ですが、ｘ²＋ｙ²＋ｄｘ＋ｅｙ＋ｆ＝０を表せないことを納得すれば、ｓ＝１と決めつけても、かまいません。さて問題ですが、　{(ｘ－ａ)²＋(ｙ－ｂ)²－４}＋ｔ(ｘ²＋ｙ²－９)＝０とおいて、この式が、６ｘ＋２ｙ－１５＝０となるように、ｔ，ａ，ｂを求めます。答えは、ａ＝３，ｂ＝１です。Ｂ）は同様に、　{(ｘ－ａ)²＋(ｙ－ｂ)²－４}＋ｔ(ｘ²＋ｙ²－９)＝０が、原点を通るようにします。答えは、５ｘ²＋５ｙ²－１８ｘ－６ｙ＝０　です。２）弦と、弦の両端から引いた半径とで、１辺１の正三角形が出来ます。円の中心（原点）と直線ｘ＋ｙ＝ｋの距離が √3/2 なので、距離の公式より、　｜ｋ｜／√2＝√3/2　　ｋ＝±√6/2 ３）２つの式を連立させた、　ｘ²－ｘ－ｋ＝０の解は、交点のｘ座標です。線分の長さが３以下ということは、傾きから考えると、ｘ座標の差は3√2/2 以下となります。つまり、２解を　α、β （α＜β）とすると　β－α≦3√2/2 です。解と係数の関係より　(β－α)²＝(α＋β)²－４αβ 　　＝１²＋４ｋ≦９／２より、　ｋ≦７／２あとは、判別式から得られるｋの範囲を付加すれば、答えになります。　 http://yosshy.sansu.org/

	10391．Re: 曲線と直線
	名前：T.T.C.高２日付：10月3日(金) 0時37分
	ありがとうございました。なんとかできました。

10358．数１

名前：味噌汁 日付：10月1日(水) 19時57分

こんにちは。理解できないので教えてほしいのですが、

二次関数y=ax^2+bx+cのグラフをＦとする。グラフＦをｘ軸に対して対称移動したグラフは点(1,-1)を通る。また、グラフＦをy軸に関して対称移動し、さらにｘ軸方向に-2、y軸方向に３だけ平行移動すると、y=ax^2+1のグラフになるとする。このときのa,b,cの値を求めよ。

という問題なのですが、解答では、次のように書いてあります。
Ｆをｘ軸に対して対称移動すると、
-y=ax^2+bx+c。これが点(1,-1)を通るから、代入して、
c=1-a-b
Ｆにこれを代入して、
y=ax^2+bx+(1-a-b)

「これをy軸に関して対称移動すると、y=a(-x)^2+b(-x)+(1-a-b)」

と書いてあるのですが、「これをy軸に関して対称移動」ではまずいのではないでしょうか？というのは、問題文では、
「また、グラフＦをy軸に関して対称移動し…」と言っているのに、
「グラフＦをｘ軸に対して対称移動したグラフ」で考えてはまずいのではないでしょうか？

要するに、「グラフＦ」で考えなければならないのに、
なぜ、「グラフＦをｘ軸に対して対称移動したグラフ」で考えているのでしょうか…？

分からないので教えてください。よろしくお願いします。

	10359．Re: 数１
	名前：ast 日付：10月1日(水) 20時15分
	ちゃんと読みましょう。解答に書いてある、 y 軸に対して対称移動したグラフは, 求めた c の値を代入した F のグラフです。

	10360．Re: 数１
	名前：味噌汁日付：10月1日(水) 20時36分
	なるほどです。理解できました。 astさんどうもありがとうございました。

10357．算数倍

名前：ももちゃん 日付：10月1日(水) 19時35分

やり方がよくわからない

	10365．Re: 算数倍
	名前：ヨッシー日付：10月2日(木) 8時53分
	倍数算のことでしょうか？　 http://yosshy.sansu.org/

10348．等積変形

名前：IGA 日付：10月1日(水) 0時4分

次の図のようにＡ，Ｂ，Ｐ，Ｑは対物線ｙ＝ｘ＾２上の点であり、線分ＡＢ、ＰＱは点Ｒで交わってる。点Ａ、Ｂ、Ｐのｘ座標をそれぞれ-1,5/2,-2とするとき、次の問に答えなさい。

△ＡＰＲ＝△ＢＱＲのとき、点Ｑの座標は何か？
△ＡＱＲの面積はいくらか？

おそらく等積変形を使うと思います。
というか使うのですが・・
指摘をお願いします。

まずPB//AQということなので
ＰＢの式の傾きを求めると
ー１／２になります。
それでＡＱの式の傾きはー１／２になります。
なおかつその式はＡを通りますから
y=-1/2x+b→-1=-1/2*1+b
b=1/2になります。
あとは放物線と連立させる・・
-1/2x+1/2=x^2で
ｘ＝１／２　ー１
あたかもあっているようなきがするのですが・・
答えと一致しません。
だってＱ（1/2,1/4)になります。まったくちがうのです。
指摘お願いします。

あと二問目はヒントをくださるとありがたいです。

	10349．Re: 等積変形
	名前：IGA 日付：10月1日(水) 0時6分
	図を貼り付けるのを忘れました。

	10352．Re: 等積変形
	名前：ヨッシー日付：10月1日(水) 0時53分
	とりあえず、ＰＢの傾きは－１／２ではなく１／２になるはずです。　 http://yosshy.sansu.org/

	10353．Re: 等積変形
	名前：ヨッシー日付：10月1日(水) 1時10分
	後半は、座標だけで解けます。ＳはＡＱ上の点で、Ｒとｘ座標が同じ点なのですが、Ｒ、Ｓの座標を出して、　(ＲＳの長さ)×(ＡＱのｘ座標の差)÷２としても良いし、点線の長方形から、三角形を３つ取り去っても良いでしょう。　 http://yosshy.sansu.org/

	10355．Re: 等積変形
	名前：IGA 日付：10月1日(水) 18時26分
	有り難うございました。感謝します。しかし・・こんな発想思いつきませんね。面積についての関数は難しい。発想がなければ解けない・・・がんばります！

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