円外の点Ｐから円に交わる２本の直線を引くとき、
以下の等式が成り立つ。
ＡＰ・ＢＰ＝ＣＰ・ＤＰ＝ＯＰ2−ｒ2 (ｒ は円の半径)
△ＡＣＰと△ＤＢＰにおいて、
円に内接する四角形のある角と、向かい合う角の外角
が等しいことより、
∠ＣＡＰ＝∠ＢＤＰ、∠ＡＣＰ＝∠ＤＢＰ
以上より、△ＡＣＰと△ＤＢＰは相似。
よって、
ＡＰ：ＣＰ＝ＤＰ：ＢＰ
ＡＰ・ＢＰ＝ＣＰ・ＤＰ
（＝ＯＰ2−ｒ2 の証明は、ii) で併せて証明）
円外の点Ｐから円に交わる直線および接線を引くとき、
以下の等式が成り立つ。
ＡＰ・ＢＰ＝ＣＰ2＝ＯＰ2−ｒ2 (ｒ は円の半径)
△ＡＣＰと△ＣＢＰにおいて、接弦定理より
∠ＣＡＰ＝∠ＢＣＰ
また、
∠ＣＰＡ＝∠ＢＰＣ（共通）
以上より、△ＡＣＰと△ＣＢＰは相似。
よって、
ＡＰ：ＣＰ＝ＣＰ：ＢＰ
ＡＰ・ＢＰ＝ＣＰ2
また、△ＯＣＰにおいて、
∠ＯＣＰ＝∠Ｒ
より、
ＣＰ2＝ＯＰ2−ｒ2
よって、i) の場合もあわせて、
ＡＰ・ＢＰ＝ＯＰ2−ｒ2
円内の点Ｐから２本の直線を引くとき、以下の等式が成り立つ。
ＡＰ・ＢＰ＝ＣＰ・ＤＰ＝ｒ2−ＯＰ2
△ＡＤＯと△ＣＢＯにおいて、
∠ＤＡＯ＝∠ＢＣＯ
∠ＡＤＯ＝∠ＣＢＯ （いずれも同一弦に立つ円周角）
より、△ＡＤＯと△ＣＢＯは相似。
よって、
ＡＰ：ＤＰ＝ＣＰ：ＢＰ
ＡＰ・ＢＰ＝ＣＰ・ＤＰ
また、図のように、２点Ｏ、Ｐを通る直径ＭＮを引く。
既に証明した方べきの定理より、
ＡＰ・ＢＰ＝ＭＰ・ＮＰ
ここで
ＭＰ＝ｒ＋ＯＰ、ＮＰ＝ｒ−ＯＰ
より、
ＡＰ・ＢＰ＝ｒ2−ＯＰ2