ヘロンの公式（代数的証明）幾何的証明はこちら
三角形の三辺の長さ ａ，ｂ，ｃ が分かっているとき、三角形の面積Ｓは、
　
と表せる。

以下の説明では、左図のように、頂点および角度をA,B,Cで表し 各頂点に向かい合う辺の長さを、ａ，ｂ，ｃ で表します。

証明
使用する公式
・三角関数の基本公式
　sin²A+cos²A=1

・余弦定理
　a²=b²+c²-2bccosA
　b²=c²+a²-2cacosB
　c²=a²+b²-2abcosC

・三角形の面積の公式（面積をＳとする）
　　

　余弦定理の第１式より
　　　・・・(1)

　sin²A+cos²A=1　において、０＜Ａ＜π　より　sinA>0
　よって、
　　
　(1) を代入して、
　　
　よって、三角形の面積Ｓは
　　
一方、ヘロンの公式の右辺は、
　　
以上より、ヘロンの公式で、三角形の面積が求められることが分かる。

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