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「ｍ（ｘ＾２+ｙ＾２+ｚ＾２）≧（ｘ+ｙ+ｚ）＾２を満たす最小のｍの値を求めなさい。ただしｘ、ｙ、ｚは任意の正の数とする。」という問題がわかりません。テストに出るかもなのでどなたかお願いします。
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32790．Re: 不等式の問題です。 |
| 名前：f^G=f 日付：6月29日(金) 0時13分 |
In[2]:=
f = (x^2 + y^2 + z^2)/(x + y + z)^2;
In[3]:=
Simplify[{D[f, x], D[f, y], D[f, z]}]
Out[3]=
{-((2*(y^2 + z^2 - x*(y + z)))/
(x + y + z)^3),
-((2*(x^2 - x*y + z*(-y + z)))/
(x + y + z)^3),
-((2*(x^2 + y*(y - z) - x*z))/
(x + y + z)^3)}
In[4]:=
Solve[{D[f, x], D[f, y], D[f, z]} ==
{0, 0, 0}, {x, y, z}]
Out[4]=
{{x -> z, y -> z}}
In[5]:=
f /. {x -> z, y -> z}
Out[5]=
m=1/3<------fの最大値
ついでに 次元を上げ；
In[6]:=
f = (x^2 + y^2 + z^2 + w^2)/(x + y + z + w)^
2;
In[7]:=
FullSimplify[{D[f, x], D[f, y], D[f, z],
D[f, w]}];
In[8]:=
Solve[{D[f, x], D[f, y], D[f, z],
D[f, z]} == {0, 0, 0, 0}, {x, y, z, w}]
Out[8]=
{{w -> 0, x -> z, y -> z},
{w -> z, x -> z, y -> z}}
In[9]:=
f /. {w -> z, x -> z, y -> z}
Out[9]=
1/4<------- サイテイですかー 否 最高デス m=1/4
何次元でも 叶う.
(f が 或る群のもとで 不変なる 美しさが 在る ので
コタエは 誰でも 予想可能!*)
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32791．Re: 不等式の問題です。 |
| 名前：f^G=f 日付：6月29日(金) 0時36分 |
直前の 分母 分子 置換し 訂正；
In[10]:=
g = (x + y + z)^2/(x^2 + y^2 + z^2);
In[11]:=
Simplify[{D[g, x], D[g, y], D[g, z]}]
Out[11]=
{(2*(x + y + z)*(y^2 + z^2 - x*(y + z)))/
(x^2 + y^2 + z^2)^2,
(2*(x + y + z)*(x^2 - x*y + z*(-y + z)))/
(x^2 + y^2 + z^2)^2,
(2*(x + y + z)*(x^2 + y*(y - z) - x*z))/
(x^2 + y^2 + z^2)^2}
In[12]:=
Solve[{D[g, x], D[g, y], D[g, z]} ==
{0, 0, 0}, {x, y, z}]
Out[12]=
{{x -> z, y -> z}, {x -> -y - z}}
In[13]:=
g /. {x -> z, y -> z}
Out[13]=m=3 ＜－----が 最高デス
（直前達の逆数達 に訂正します）
-------------------------------------------
中３とあり 当然 vector 場 R^n---Grad(g)-->R^n
を熟知と見做し 使いました。
そして vector 場 が 零(0,.....0)^t<---ゼロ！
が 要の部分であることも 熟知と見做し 使いました。
ゼロ！推奨文献；
http://www.youtube.com/watch?v=p8nicTh38oU
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32795．Re: 不等式の問題です。 |
| 名前：一般人 日付：6月29日(金) 18時3分 |
空気を読んだ解答を書きます。
f ＝(x+y+z)^2/(x^2+y^2+z^2) とおくと、
f ＝1+2×(xy+yz+zx)/(x^2+y^2+z^2)
ここで、
(1/2){(x-y)^2+(y-z)^2+(z-x)^2} ≧ 0 …(*)なので、
(数の二乗は0以上だから、それらを３つ足しても
0以上です)
x=y=z のときに、
まさに 左辺が =0 になることに注意。
よって、(*)を展開して整理すると、
x^2+y^2+z^2≧xy+yz+zx が成立することが分かる。
両辺をx^2+y^2+z^2＞0 で割ると、
(xy+yz+zx)/(x^2+y^2+z^2)≦1
ゆえに
1+2×(xy+yz+zx)/(x^2+y^2+z^2)≦3
すなわち、
f≦3
よって、3(x^2+y^2+z^2)≧(x+y+z)^2
ゆえに、m=3
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32796．Re: 不等式の問題です。 |
| 名前：ヨッシー 日付：6月29日(金) 18時37分 |
ｘ、ｙ、ｚは正なので、
ｍ(ｘ^2＋ｙ^2＋ｚ^2)≧(ｘ+ｙ+ｚ)^2
より、
ｍ≧(ｘ+ｙ+ｚ)^2/(ｘ^2＋ｙ^2＋ｚ^2)
として、(ｘ+ｙ+ｚ)^2/(ｘ^2＋ｙ^2＋ｚ^2) の最大値があって、
ｍがそれ以上であればいいなぁ、という問題と見ることが出来ます。
高校の空間上の平面を使うなら、
原点を通る平面 ax＋by＋cz＝０ (ただし、a,b,c は正の数)
があり、点(1,1,1) から、この平面までの距離が
(a+b+c)/√(a^2+b^2+c^2)
であるので、これを、ｘ，ｙ，ｚに置きかえて２乗すると、
(ｘ+ｙ+ｚ)^2/(ｘ^2＋ｙ^2＋ｚ^2) になります。
点(1,1,1) から、原点を通る平面までの距離の最大値を見つけるわけですが、
点(1,1,1) を中心とし、原点を通る球（半径は√3）を考え、原点で、
この球に接している平面を考えます。
もし、これ以外の平面は、球に食い込む形になって、距離が球の半径より
短くなるので、この球に接している状態が、距離が最大と言えます。
よって、距離の最大が√3 で、その２乗の３が、ｍの最小値となります。
また、別の考え方として、ｘｙｚ座標空間に点(x,y,z) を取ります。
３点(x+y+z,0,0),(0,x+y+z,0),(0,0,x+y+z) を通る平面を考えると、
点(x,y,z) はその平面上にあります。
これと、原点から点(x,y,z)までの距離 √(ｘ^2＋ｙ^2＋ｚ^2) を使って、
説明する方法もありますが、結局、球に平面が接するという持って行き方になります。
http://yosshy.sansu.org/
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32797．Re |
| 名前：soredeha 日付：6月29日(金) 20時27分 |
x＝y＝z＝1 を代入すると m≧3
m＝3 のとき成り立つので 答は 3 .
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32799．Re: 不等式の問題です。 |
| 名前：ＭＡＴ 日付：6月30日(土) 0時35分 |
ｍ（ｘ＾２+ｙ＾２+ｚ＾２）≧（ｘ+ｙ+ｚ）＾２
ｘ＾２＋ｙ＾２＋ｚ＾２≧（ｘｙ＋ｙｚ＋ｚｘ）－－－－－①
等号成立はｘ＝ｙ＝ｚのときである。
（ｘ＋ｙ＋ｚ）＾２＝ｘ＾２＋ｙ＾２＋ｚ＾２＋２（ｘｙ＋ｚｘ＋ｙｚ）
であり、①より、
（ｘ＋ｙ＋ｚ）＾２ ≦ ３（ｘ＾２＋ｙ＾２＋ｚ＾２）である。
よって、ｍ＝３である。
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32800．Re: 不等式の問題です。 |
| 名前：たく・中３です 日付：6月30日(土) 8時2分 |
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いろいろ解法ありがとうございました。先生がヒントで必要条件より・・・とか言ってましたがsoredehaサンの解法のことですよね。テストではこれで行こうと思います。ほかの解法もいろいろ勉強になりました。またよろしくお願いします。
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32802．Re: 不等式の問題です。 |
| 名前：testen 日付：6月30日(土) 17時16分 |
横からすいません。
soredehaさんの解法で、十分なのでしょうか？
ときどきそういう解法を見るのですが
論理的に十分なのかと思っていました。
管理人のヨッシーさん、
それについて、ご解説頂けたら
とても勉強になります。
よろしくお願いいたします。
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32803．Re: 不等式の問題です。 |
| 名前：testen 日付：6月30日(土) 17時25分 |
疑問に思っている内容を書き忘れました。
「ｘ、ｙ、ｚは任意の正の数とする。」ことより
x=y=z=1のときに成り立つのは、m≧3が必要条件
ここまでは分かりました。
m=3のときに ３（ｘ＾２+ｙ＾２+ｚ＾２）≧（ｘ+ｙ+ｚ）＾２
が成り立った場合
なぜｍ（ｘ＾２+ｙ＾２+ｚ＾２）≧（ｘ+ｙ+ｚ）＾２を満たす最小のｍの値が3になるのか、そこのところがこのような問題で悩んでいました
すいません、教えてください。
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32804．Re: 不等式の問題です。 |
| 名前：ヨッシー 日付：6月30日(土) 18時50分 |
まず、ｘ＝ｙ＝ｚ＝１ を代入して（どうやってこれに気付くかは難しいですが）
ｍ≧３ でないと、少なくとも、ｘ＝ｙ＝ｚ＝１ のときはダメだなということで、
ｍは最低でも３であることを見つけます。（必要条件）
soredeha さんの「m＝3 のとき成り立つので」の部分が十分条件なのですが、
詳しく書くと、ｍ＝３ のとき
３（ｘ＾２+ｙ＾２+ｚ＾２）≧（ｘ+ｙ+ｚ）＾２
展開して、移項すると
2x^2+2y^2+2z^2-2xy-2yz-2zx≧０
(左辺)＝(x-y)^2 + (y-z)^2 + (z-x)^2
であるので、ｍ＝３ は、任意のｘ、ｙ、ｚ についても、
ｍ（ｘ＾２+ｙ＾２+ｚ＾２）≧（ｘ+ｙ+ｚ）＾２
を満たす。
ということになります。
http://yosshy.sansu.org/
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32806．Re: 不等式の問題です。 |
| 名前：testen 日付：6月30日(土) 20時44分 |
ヨッシーさん、どうもありがとうございます。
なんかわかってきたような気がしました。
ということは、このような解法でmの値を見つける場合
必要条件としてmの値を出してきて
次に十分条件である証として
それが平方もしくは平方の和の形で表されないといけない・・・
ということは、この場合対称式なので
3mx^2≧9x^2としてmを求めて、平方の和の形となるように
十分条件の確認をしても良いということでしょうか？
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32818．Re |
| 名前：soredeha 日付：7月1日(日) 10時1分 |
(1^2＋1^2＋1^2)(x^2＋y^2＋z^2)≧(x＋y＋z)^2
[ 等号成立は、x/1＝y/1＝z/1 ]
これより
3≧(x＋y＋z)^2/(x^2＋y^2＋z^2)
[ x＝y＝z で等号成立 ]
よって m≧3 が必要 .
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