１． ｙ＝ｍ(ｘ−α)(ｘ−β) において、
が成り立つ。
証明
ｙ＝ｍ(ｘ2＋ｂｘ＋ｃ) とおきます。
ただし ｂ＝−(α＋β)， ｃ＝αβ。
積分して、
＝(m/6){2(β3−α3)＋3b(β2−α2)＋6c(β−α)}
＝(m/6)(β−α){2(β2＋αβ＋α2)−3(α＋β)2＋6αβ}
＝(m/6)(β−α)(−α2−β2＋2αβ)
＝−m(β−α)3/６
特に、α、βが実数で、α＜β であるとき、上記の面積は
ｍ(β−α)3／６
となります。
２次関数の積分公式
１． ｙ＝ｍ(ｘ−α)(ｘ−β) において、
が成り立つ。
証明
ｙ＝ｍ(ｘ2＋ｂｘ＋ｃ) とおきます。
ただし ｂ＝−(α＋β)， ｃ＝αβ。
積分して、
＝(m/6){2(β3−α3)＋3b(β2−α2)＋6c(β−α)}
＝(m/6)(β−α){2(β2＋αβ＋α2)−3(α＋β)2＋6αβ}
＝(m/6)(β−α)(−α2−β2＋2αβ)
＝−m(β−α)3/６
特に、α、βが実数で、α＜β であるとき、上記の面積は
ｍ(β−α)3／６
となります。
２．
ｙ＝f(x)＝ａｘ2＋ｂｘ＋ｃ のグラフと
ｙ＝g(x)＝ｄｘ2＋ｅｘ＋ｆ のグラフが異なる２点で交わるとき、
２つの放物線に囲まれた部分の面積Ｓは
Ｓ＝lａ−ｄl(β-α)3/6
ただし、α、βは２交点のｘ座標（α＜β）
証明
h(x)＝f(x)−g(x)
とすると、求める面積Ｓは、
となり、さらに、h(x)＝０ の解は ｘ＝α、β なので、
h(x)＝(ａ−ｄ)(ｘ−α)(ｘ−β)
と書け、１．の公式がそのまま使えます。
よって、
Ｓ＝lａ−ｄl(β-α)3/6
３．
ｙ＝f(x)＝ａｘ2＋ｂｘ＋ｃ のグラフをＣとし、
Ｃ上の異なる２点(α、f(α))、(β、f(β)) における接線と、Ｃとで
囲まれた部分の面積Ｓは
Ｓ＝|ａ|(β−α)3/12
で表される。ただし、α＜βとする。
証明
Ｐ、Ｑにおける接線を、ｍ、ｎ とすると、ｍ、ｎの式はそれぞれ
ｍ： ｙ＝f'(α)(ｘ−α)＋f(α)
ｎ： ｙ＝f'(β)(ｘ−β)＋f(β)
であり、f'(x)＝２ａｘ＋ｂ を用いて、交点Ｒの座標を求めると、
（２ａα＋ｂ）（ｘ−α）＋ａα2＋ｂα＋ｃ＝（２ａβ＋ｂ）（ｘ−β）＋ａβ2＋ｂβ＋ｃ
２ａαｘ−ａα2＝２ａβｘ−ａβ2
２ａ（α−β）ｘ＝ａ(α2−β2)
α−β≠０、ａ≠０ より、両辺 ２ａ（α−β）で割って、
ｘ＝（α＋β）／２
ｙ＝f'(α)(ｘ−α)＋f(α) に代入して、
ｙ＝ａαβ ＋ ｂ(α＋β)／２ ＋ ｃ
図のように、Ｒを通って、ｘ軸に平行な直線と、Ｐ、Ｑからｘ軸におろした垂線との
交点をＳ、Ｔとする。
求める面積は
台形ＰＳＴＱ から △ＰＳＲ、△ＱＲＴ、Ｃと線分ＰＱで囲まれた部分 をひいた部分
の面積となります。
※以下、Ｃが下に凸として説明します。
ＰＳ＝ａα(α−β) ＋ ｂ（α−β）／２
ＱＴ＝ａβ(β−α） ＋ ｂ（β−α）／２
ＳＴ＝β−α
より、
台形ＰＳＴＱ＝（ＰＳ＋ＱＴ）ＳＴ／２＝ａ(β−α)3／２
Ｒは、ＳＴの中点なので、△ＰＱＲ は、台形ＰＳＴＱの半分の面積で、
△ＰＱＲ＝ａ(β−α)3／４
また、線分ＰＱとＣで囲まれた部分は
−ａ(ｘ−α)(ｘ−β) をαからβまで積分したものなので、１．の公式より
ａ(β−α)3／６
以上より、求める面積Ｓは
Ｓ＝ａ(β−α)3／４−ａ(β−α)3／６＝ａ(β−α)3／１２
Ｃが上に凸の場合は、上記のＰＳ、ＱＴおよび、線分ＰＱとＣで囲まれた部分の
符号が逆となり、 −ａ(β−α)3／１２ となります。
両者あわせて
Ｓ＝|ａ|(β−α)3/12
と表せます。
４．
ｙ＝f(x)＝ａｘ2＋ｂｘ＋ｃ のグラフをＣとし、
Ｃ上の点Ｐにおける接線ｍと、Ｐを通らないｙ軸に平行な直線ｎがあり、
この２直線とＣとで囲まれる部分の面積Ｓは、
Ｓ＝|ａ|(β−α)3／３
と表される。
ただし、接点のｘ座標と、ｙ軸に平行な直線のｘの値の大きい方をβ、他方をαとする。
証明
直線ｎとＣの交点をＱ、ｍとｎの交点をＴとします。
３．の証明過程を踏まえると、点ＱにおけるＣの接線は
ＰＱの中点Ｒを通ります。
また、１．３．の結果より、
線分ＰＱとＣで囲まれた部分の面積は
|ａ|(β-α)3/6
２線分ＱＲ、ＰＲと、ＣのＰからＱまでの部分で囲まれた部分の面積は
|ａ|(β-α)3/12
よって、
△ＰＱＲ＝|ａ|(β-α)3/6 ＋ |ａ|(β-α)3/12 ＝ |ａ|(β-α)3/4
ＰＲ＝ＲＴより、
△ＱＲＴ＝△ＰＱＲ＝|ａ|(β-α)3/4
よって、求める面積Ｓは、
|ａ|(β-α)3/12＋|ａ|(β-α)3/4＝|ａ|(β-α)3/3