ヨッシーの八方掲示板

2007年05月の投稿ログ

32443．軌跡と領域から

名前：高3　幸 日付：5月31日(木) 23時48分

正の実数a,bは a^2-b^2=1を満たし、
また実数θは0＜θ＜πを満たすとする。
x=b/a-cosθ , y=sinθ/a-cosθ とおく。

a,bが定数で、θが動くとき、動点(x,y)は
1つの円周上にあることを示せ。

という問題です。教えて下さい。
よろしくお願いします！

	32445．Re: 軌跡と領域から
	名前：angel 日付：6月1日(金) 7時43分
	問題は　x=b/(a-cosθ), y=sinθ/(a-cosθ) で良いでしょうか? cosθ, sinθが出てきているので、　cosθ=… 　sinθ=～の形にして、　(…)^2+(～)^2=(cosθ)^2+(sinθ)^2=1 のように消してしまえば良いです。そこからまとめていく過程で、a^2-b^2=1 特に a^2-1=b^2 をよく使います。

32439．微分を利用した不等式の証明で質問があります。

名前：みかん 日付：5月31日(木) 21時37分

微分を利用した不等式の証明で質問があります。
ｘ＞０のとき、e^x>1+x+x^2/2･･･(1)の証明で、
ｆ(x)＝e^x－1－ｘ－x^2/2･･･(2)
とおく。
ｆ’(x)＝e^x－1－ｘ･･･(3)
ｆ''(x)＝e^x－1･･･(4)
ｘ＞０のとき、f''(x)＞０だからf'(x)はｘ≧０で単調に増加する。
よってｘ＞０のときf'(x)＞f'(x)＝０
これより、f(x)はｘ≧０で単調に増加する。
ゆえに、ｘ＞０のとf(x)＞f(０)＝０
したがってe^x－1－ｘ－x^2/2＞０だから
ｘ＞０のとき、e^x>1+x+x^2/2

	32442．Re: すいません質問が消えてました。
	名前：みかん日付：5月31日(木) 23時4分
	（質問）「ｘ＞０のとき、f''(x)＞０だからf'(x)はｘ≧０で単調に増加する。」を「ｘ＞０のとき、f''(x)＞０だからf'(x)はｘ＞０で単調に増加する。」にしてはいけないのでしょうか。その理由もお願いします。

	32450．Re: 微分を利用した不等式の証明で質問があります。
	名前：ぱんだ日付：6月2日(土) 7時48分
	このタイプの問題で私が強調するのは、小手先のテクニックよりも「グラフを書こうとする意思」です。そして、f '(x)やf ''(x)の意味をしっかり考えてください。ちょっとこの例を必ずグラフを書いて考えてみてください。 g(x)はg(0)=100で、ｘ≧０でg '(x)＞0を満たす。 g(x)はｘ＞０でg(x)＞０を満たすことがお分かりでしょうか？ g' (x)がどうとかg''(x)がどうとうかいう文字面を追いかけるのではなくグラフを書こうとしたとき明らかにg(x)>0(x>0)のはずですよね。さて、今回ご質問の問題ですがf(x)は f(0)=0を満たしています（グラフを書いてみてください）この後x>0の部分のグラフを書いていきたいわけですが f '(x)が正か負か、知りたいですよね。そこで調べてみます。 f '(x)=e^x－1－ｘ　　これでは正か負かちょっとわかりにくい。でもf'(0)=0なので最初の（ｘ＝０の時の）傾きは０です。そこでf'(0)の変化率であるf''(x)を調べると f''(x)=e^x-1>0(x>0)がわかります。つまり、①「最初の傾きが０であること」と ②「傾きの変化率（=f''(x))が常に正であること」からその後（ｘ＞０の部分）の傾きが常に正であることがわかり f(x)>0(x>0)を示すという目的が達成されるわけです。さて、みかんさんの「ｘ＞０のとき、f''(x)＞０だからf'(x)はｘ＞０で単調に増加する。」は何がいけないかもうお分かりいただけたでしょうか？私が具体的な反例をあげてもよいのですが、せっかくですからみかんさんが自分で反例を作って書き込んでみてください。頑張ってくださいね。

	32452．Re: 微分を利用した不等式の証明で質問があります。
	名前：みかん日付：6月2日(土) 9時48分
	「ｘ＞０のとき、f''(x)＞０だからf'(x)はｘ＞０で単調に増加する。」ではいけない反例は、ｆ’（ｘ）がｘ＝０で連続でない時です。ｘ＝０の時、ｆ’（０）＝０でｘ＝０でない時、ｆ’（ｘ）＝ｘ－４です。これでいいでしょうか。

	32460．Re: 微分を利用した不等式の証明で質問があります。
	名前：ぱんだ日付：6月2日(土) 19時3分
	＞「ｘ＞０のとき、f''(x)＞０だからf'(x)はｘ＞０で単調に増加する。」ではいけない反例とは、「ｘ＞０のとき、f''(x)＞０」は満たすが、「f'(x)はｘ＞０で単調に増加する。」を満たさない例です。 f''(x)＞０が存在するということは、f '(x)の微分が存在するわけですから f '(x)は必ず連続になります。なので、みかんさんの反例は不適切です。もう少しヒントをあげておくと、f ''(x)とは、f'(x)の変化率のこと、つまり傾きの変化率のことです。 f ''(x)>0とは、「傾きがどんどん大きくなってくる」ということです。もう一度考えてみてください。

	32461．Re: 微分を利用した不等式の証明で質問があります。
	名前：ぱんだ日付：6月2日(土) 19時17分
	あっと、失礼しました。私が最初に大変な見間違いをしていることに今気づきました。＞「ｘ＞０のとき、f''(x)＞０だからf'(x)はｘ＞０で単調に増加する。」のf'(x)の部分をf(x)と見間違っていました。（私は見間違えにくいようにスペースを一個空けてf '(x)と書いています）かなり意味が違ってくるので（汗）取り急ぎ訂正まで。

	32464．訂正
	名前：ぱんだ日付：6月2日(土) 19時41分
	「ｆ（ｘ）がｘ≧０で『連続』で、ｘ＞０でf '(x)＞０ならばｆ（ｘ）はｘ≧０で単調増加」ということは成立します。今回の模範解答はこのような形で証明をすることになるわけですが、今回の質問の「ｘ＞０のとき、f''(x)＞０だからf '(x)はｘ＞０で単調に増加する。」でよいかということについて考えて見ましょう。ｘ＞０のとき、f''(x)＞０が仮定されると確かにf '(x)はｘ＞０で単調に増加します。ところが、「x>0で単調増加」とはどういう意味か考えてみましょう。 a>0,b>0を満たすa,bについてa>bならばa＞（≧）bということですよね。これだとf '(2)>f '(1)は成立しますが、肝心のf '(1)>f '(0)=0が成立するかどうかはわかりません。なので、その証明はよろしくないということになります。（ちなみに模範解答としてみかんさんが挙げたものも、「ｘ＞０のとき、f''(x)＞０だからf'(x)はｘ≧０で単調に増加する」ではなくて、「ｘ＞０のとき、f''(x)＞０で、『なおかつf '(x)はx=0で連続』だから f'(x)はｘ≧０で単調に増加する」としなくてはならないでしょう。ただし、高校生ではここまでは求められないのが通例ですのであまり気にしなくてよいかもしれません。）なお、angelさんの書き込みで気づきましたが、マルチポストはマナー違反ですので、気持ちはわかりますがやめた方がいいと思います。

	32467．Re: 微分を利用した不等式の証明で質問があります。
	名前：みかん日付：6月3日(日) 8時57分
	すいません。あまり理解できていません。「ｘ＞０のとき、f''(x)＞０」は満たすが、「f'(x)はｘ＞０で単調に増加する。」を満たさない例は、何があるかよくかわかりませんでした。お願いします。あと、掲示板のルールをよくわかっていないくて御迷惑をかけました。

	32469．Re: 微分を利用した不等式の証明で質問があります。
	名前：ぱんだ日付：6月3日(日) 18時1分
	えっと、最初に私がみかんさんの書き込みを見間違えてなおかつ、見間違えに気づかずにみかんさんの書き込みをコピーして貼り付けてしまったので、かなりおかしなことになっていました。なので、いったんその反例～の部分は忘れてください。しかし、みかんさんの最初の証明がよくないのは確かです。改めてこれが私の最初の書き込みと思って読んでいただけると幸いです。「ｘ＞０のとき、f ''(x)＞０だからf '(x)はｘ＞０で単調に増加する。」は確かに成立します。しかし、f '(x)が『ｘ≧０』で単調に増加するとは主張できていません。そのため、a,b>0についてa>bならばf '(a)>f '(b)は成立しますが、 a>0についてf '(a)>f '(0)=0は成立しません。つまり、f '(x)>0 (x>0)がいえないので、よろしくありません。

	32484．Re: 微分を利用した不等式の証明で質問があります。
	名前：みかん日付：6月4日(月) 22時31分
	ぱんださん。「f '(a)>f '(0)=0は成立しません。」でよくわかりました。掲示板で御迷惑をかけたのにもかかわらず、色々と答えていただきありがとうございました。

32438．高2です

名前：モソ日付：5月31日(木) 20時31分

logx^y=logy^xを満たすとき
　x^2+2y^2の最小値は？

	32448．Re: 高2です
	名前：ぱんだ日付：6月1日(金) 17時58分
	問題はそれであっていますか？ x^2+2y^2≧０は当然成立するのですが、 x=y>0ならば必ずlogx^y=logy^xを満たすので x=y=0.00000・・・1のようにｘもｙも０に近づければ x^2+2y^2は当然限りなく０に近づきますが０に一致することは決してありません。よって最小値はなしということになります。

32434．存在範囲

名前：バンビ 日付：5月31日(木) 13時51分

ｘについての方程式　cos2x＋2asinx＋ｂ＝０（０＜＝ｘ＜２π）について
１）解が１個だけとなるような点（a,b)の存在範囲を図示せよ。
２）解が２個となるような点（a,b)の存在範囲を図示せよ。
３）解が３個となるような点（a,b)の存在範囲を図示せよ。
４）解が４個となるような点（a,b）の存在範囲を図示せよ。

どなたか教えて頂けないでしょうか。よろしくお願い致します。

	32435．Re: 存在範囲
	名前：ヨッシー日付：5月31日(木) 14時13分
	ここでいう解は、実数解だとします。また、重解は、解が１個とします。 cos2x＝１－2sin^2ｘですから、　cos2x＋2asinx＋ｂ＝０　・・・(1) は、　-2sin^2ｘ＋2asinｘ＋ｂ＋１＝０　2sin^2ｘ－2asinｘ－(ｂ＋１)＝０と書けます。ｔ＝sinｘとおくと、この式は、　２ｔ^2－２ａｔ－(ｂ＋１)＝０　・・・(2) と書けます。(2) の解と、(1) の解の関係は、　(2) が虚数解を持つとき、(1) の解はなし　(2) が重解を持つとき、その解が　　ｔ＝１またはｔ＝－１のとき、(1) の解は１個　　－１＜ｔ＜１の範囲にあるとき、(1) の解は２個　　それ以外のとき、(1) の解はなし　(2) が異なる２つの実数解α、βを持つとき　　α、βともに　(-1,1) の範囲にあるとき、(1) の解は４個　　α、βのいずれかが、±１で、他方が (-1,1) の範囲にあるとき、(1) の解は３個　　α、βが、－１と１であるとき、(1) の解は２個　　α、βのどちらかが　[-1,1] の外にあり、　　　他方が、(-1,1) の範囲にあるとき、(1)の解は２個　　　他方が、±１であるとき、(1)の解は１個　　　他方も、[-1,1] の外にあるとき、(1) の解はなしこのように分類されます。例えば、ｔ＝1/2 のように、(-1,1) の範囲に(2) の解があると、 (1) の解は、ｘ＝π/6、5π/6 のように２つあります。ｔ＝１だと、ｘ＝π/２のみです。　 http://yosshy.sansu.org/

32431．(untitled)

名前：ゴン日付：5月31日(木) 5時16分

ヨッシーさんありがとうございます。

32426．(untitled)

名前：ゴン日付：5月30日(水) 23時42分

sin＾３xcosx (t=sinx)　の置換積分です。お願いします。

	32427．Re: (untitled)
	名前：ヨッシー日付：5月31日(木) 0時58分
	t=sinx とおくと、dt/dx=cosx より　dt＝cosｘdx ∫sin³ｘcosｘdx＝∫ｔ³dt＝ｔ^4/４＋Ｃ　＝sin⁴ｘ/４＋Ｃ　 http://yosshy.sansu.org/

32425．背理法

名前：あき日付：5月30日(水) 22時38分

ａ、ｂが実数で、ａ＋ｂ＞２ならば、ａ＞１またはｂ＞１である。
がわかりません。導いてもらえますか？お願いしますっ

	32428．Re: 背理法
	名前：ヨッシー日付：5月31日(木) 1時2分
	背理法といえば背理法ですが、対偶を取るといった感じですね。つまり、　「ａ≦１　かつ　ｂ≦１　ならば　ａ＋ｂ≦２」を示せばいいことになります。ａ≦１　と　ｂ≦１　の、左辺どうし、右辺どうしを足して、　ａ＋ｂ≦２が直ちに言えます。よって、　「ａ＋ｂ＞２ならば、ａ＞１またはｂ＞１である」は成り立ちます。背理法っぽく解くなら、　ａ＋ｂ＞２のとき、ａ≦１　かつ　ｂ≦１であると仮定します。ａ≦１　かつ　ｂ≦１であると、左辺どうし、右辺どうしを足して、　ａ＋ｂ≦２となり、ａ＋ｂ＞２　と矛盾します。以上より、　ａ＋ｂ＞２ならば、ａ＞１またはｂ＞１であると言えます。　 http://yosshy.sansu.org/

	32433．Re: 背理法
	名前：あき日付：5月31日(木) 13時18分
	ヨッシーさんありがとうございます♪すごくわかりやすくて勉強になりましたぁ。

32422．回答ミス

名前：教得手　学 日付：5月30日(水) 20時45分

ヨッシーさん、angel さん、マリオさん、ご迷惑をおかけしました。
□32421.をのぞいてください。

	32429．Re: 回答ミス
	名前：ヨッシー日付：5月31日(木) 1時6分
	ドンマイ。もしかして、質問者さんは、教得手　学さんの考えに、一番共感するかも。　 http://yosshy.sansu.org/

	32430．Re: 回答ミス
	名前：教得手　学日付：5月31日(木) 1時6分
	あっ！　□32421.がどこにあるか分からないですね。質問 □32347.証明　のＲe. の最後です。

32412．ニュートン法etc・・・

名前：るう日付：5月30日(水) 1時18分

教えてください(＞＜；

x(x-1)^2=0を初期値x。=0.1として、ニュートン法で求める問題。

答えはx。=0.1
x1=0.0285714286
x2=0.0015037594
x3=0.0000045023
x4=0.0000000000 であっていると思うのですが、解法がまったくわかりません。

また、f(x)=x^3-x=0について。
初期値をx。=1.1,0.9,0.3　としたとき、
a1＝１、a2=０、a3=－１のどの解に収束するのか、それぞれの場合について予想しましょう。という問題。
実際に数値計算して確かめることもできれば、尚良いんですけども・・・。

最後に、tanx-1=0(0<x<1)とπsinx-2x=0(-π<x<π)の解を
小数点以下６桁まで正確に求める問題。

複雑なものばかりでごめんなさい。
アホ②なわたしに解説お願いします。

	32415．Re: ニュートン法etc・・・
	名前：ヨッシー日付：5月30日(水) 11時40分
	ニュートン法は　f(x)＝x(x-1)^2 とおいて、ｘ＝ｘn における、y=f(x) の接線とｘ軸との交点のｘ座標をｘ(n+1) とする手法です。　f'(x)＝(x-1)^2＋2x(x-1)＝(x-1)(3x-1) x0=0.1 に対して接点は(0.1, f(0.1)）＝(0.1, 0.081)、接線の傾きは　f'(0.1)＝0.63 接線の式は、y=0.63(x-0.1)+0.081 y=0 とすると、ｘ1＝-0.0285714285714286 同様に　ｘ2＝-0.00150375939849625 　ｘ3＝-0.000004502273648192 　ｘ4＝-0.000000000040540388 となります。グラフで描くとこんな感じです。このグラフがイメージできれば、初期値に対して、どの解に収束するかはおおよそわかるでしょう。ちなみに、ａ3＝－１は解ではないので、これには収束しません。　 http://yosshy.sansu.org/

	32417．Re: ニュートン法etc・・・
	名前：ヨッシー日付：5月30日(水) 13時38分
	その延長で考えると、後半の問題も、ニュートン法の問題でしょうか？だとすると、初期値によって、どの解に行き着くかが変わります。普通の数学の問題なら、　tanｘ－１＝０　→　ｘ＝π/４　πsinx-2x=0 →　ｘ＝０，±π/２というのが得られますので、π=3.1415926 を使えば求められます。　 http://yosshy.sansu.org/

	32424．(untitled)
	名前：るう日付：5月30日(水) 21時7分
	ありがとうございました！！がんばります！！

32397．指数関数

名前：小宮賢太 日付：5月29日(火) 22時53分

a＞0かつa≠1のとき、a^x＞aはどうなるのですか？

	32414．Re: 指数関数
	名前：ヨッシー日付：5月30日(水) 11時15分
	a^x＞a は a^x＞a^1 のことですから、 x と 1 の比較になります。ｙ＝ａ^x のグラフを描いて、a^x＞a となるｘの範囲を見つけましょう。　ｙ＝２^x のグラフ　ｙ＝0.5^x のグラフの２つは最低描きましょう。　　 http://yosshy.sansu.org/

	32423．Re: 指数関数
	名前：小宮賢太日付：5月30日(水) 21時3分
	ありがとうございました！

32396．(untitled)

名前：コメダ一登 日付：5月29日(火) 22時11分

ヨッシーさんは高校の先生とかやってるんですか？

	32398．Re: (untitled)
	名前：ヨッシー日付：5月29日(火) 23時8分
	教師、講師、教授などとは違います。正体はヒミツ(^^; 　 http://yosshy.sansu.org/

32395．e πの大きさ

名前：ゴン日付：5月29日(火) 21時34分

eのπ乗　と　πのe乗の　大きさはどうなりますか？
教えて頂けたら幸いです。お願いいたします。

	32400．Re: e πの大きさ
	名前：mimi 日付：5月29日(火) 23時30分
	x>0のときe^x>1+xを使います。 π>eより、π/e-1>0 上の不等式でx=π/e-1とおくと、 e^(π/e-1)>1+(π/e-1)=π/e 両辺にeを掛けると、 e^(π/e)>π 両辺をe乗すると、 e^π>π^e

	32401．Re: e πの大きさ
	名前：ゴン日付：5月29日(火) 23時46分
	ありがとうございます。すみませんが・・・もし、この大きさでグラフを作るとしたらどうなりますかね？本当に自分勝手ですみません。お力をお借りしたいのですが・・・。

	32402．Re: e πの大きさ
	名前：たまたま見ました日付：5月29日(火) 23時54分
	他にも、x＞０の時にy＝logx／x（エックス分のログ・エックス）のグラフを用いる方法もあります。増減を調べて大まかなグラフを書いてeとπを代入した時の値の大小を調べてみてください。ちなみに、このグラフを使えば、たとえば他に99＾100と100＾99の大小を調べられたりしますよ。

	32405．Re: e πの大きさ
	名前：ゴン日付：5月29日(火) 23時59分
	logグラフの求め方を教えていただきたいです。お願いいたします。

	32406．Re: e πの大きさ
	名前：ぱんだ日付：5月30日(水) 0時0分
	私からも一言。問題です。2^100と100^2どちらが大きいでしょうか　　　　　5^30と30^5　どちらが大きいでしょうか　　　　　3^1000と1000^3どちらが大きいでしょうかまず直観的にどちらが大きいか予想がつくとよいと思います。

	32407．Re: e πの大きさ
	名前：mimi 日付：5月30日(水) 0時11分
	2^100と100^2とか２つの数が極端に違うときは簡単ですが、e^πとπ^eのときは結構微妙ですね。 e^π=23.1406… π^e=22.4591… この差は感覚では分かりませんね。「この大きさでグラフを作る」というのはちょっと意味が図りかねますが、両方とも超越数なので直線上にその大きさを定規・コンパスで作図することは不可能です。

	32409．Re: e πの大きさ
	名前：ぱんだ日付：5月30日(水) 0時20分
	a>b>1のときa^bとb^aのどちらが大きいのか？この問いに対してまず暗算でb^aのほうが大きいと予想をつけてください。「a^bとb^aの大小を比べたい」 ⇔「log(a^b)=blogaとlog(b^a)=alogbの大小を比べたい」 ⇔「loga/aとlogb/bの大小を比べたい」 ⇒f(x)=logx/xのグラフを書く（書こうとする）。（普通に微分して書いてください） f(a)=loga/aとf(b)=logb/bの大小を比べたい f(2)とf(3)のどちらが大きいか、f(4)とf(5)のどちらが大きいか、今回知りたいのは要はそういう内容です。aはより大きい数で bはより小さい数ということをイメージしておくこと。 f'(x)=1-logx/x^2 よりx>eでf'(x)<0 x<eでf'(x)>0 よって、ｆ(π)<f(e)よりπ^e<e^πが成立。（＊）先ほどの例ですが不適切でした。急いで書いたもので申し訳ありません。例えば2^3<3^2でしたね（汗）今回の問いは微妙なラインの問題でした。

	32410．Re: e πの大きさ
	名前：ぱんだ日付：5月30日(水) 0時22分
	あと当然一つ上の＞a>b>1のときa^bとb^aのどちらが大きいのか？この問いに対してまず暗算でb^aのほうが大きいと予想をつけてください。も不適切でした。訂正させていただきます。

	32419．Re: e πの大きさ
	名前：ゴン日付：5月30日(水) 15時24分
	皆さんありがとうございました。助かりました。

32394．確立ー高2

名前：やす日付：5月29日(火) 20時22分

こんにちは。
今場合の数と確立を習っているのですがどうやって式をたてるかなど頭でよく整理できません。
　　赤玉３つ、黄色い玉２つ、緑の玉１つの入った袋の中から２つの玉（１つめはだしたら戻さない）を選ぶとき、全ての玉が違う色になる確立はなんですか。
という問題で、
私は　１－（同じ色の確立）　でやろうと思ったのですがよくわからず先に進めません。
何か確立の良い考え方・解き方などありませんでしょうか？
上の問題の解き方もお願いします。

	32404．Re: 確立ー高2
	名前：教得手　学日付：5月29日(火) 23時56分
	（そのことの起こる確率）＝（そのことの起こる場合の数／（すべての場合の数）で求まりますが、各場合がすべて同じ起こりやすさであることが条件です。だからこの問題において、「何通りか」を考えるとき同じ色の玉も区別して、「何通りか」を数えなくてはなりません。いま　３つの赤玉を①,②,③、２つの黄玉をイ.ロ、緑玉をＡとします全体の集合は｛①,②,③,イ.ロ,Ａ｝となり、ここから２つを抜き出して出来る組み合わせ（部分集合）の数は｛①,②｝｛①,③｝｛①,イ｝｛①.ロ｝｛①,Ａ｝｛②,③｝｛②,イ｝｛②.ロ｝｛②,Ａ｝｛③,イ｝｛③.ロ｝｛③,Ａ｝｛イ.ロ｝｛イ,Ａ｝｛ロ,Ａ｝以上の１５通りで、そのうち｛①,②｝のような同じ色の組み合わせは４通り、異なる色の組み合わせは１５-４＝１1（通り）したがって、２つとも異なる色の玉だある確率は　１１／１５　ただし、６つの玉ぐらいならこのようにすべて書き上げてもしれていますが、もっと多いときなどは次のように計算します。　６つから２つ取り出して出来る組み合わせの数・・・（65)／(21) 　８つから３つ取り出して出来る組み合わせの数・・・（876)/(321) このような確率を求めるときに、私は次のことに注意を払います。　①同じものが繰り返してよいのか（この問題では戻さないから駄目）　②１回目（１つ目）２回目（２つ目）と区別して数えるのか、区別し　ないで数えるのか（この問題では区別しないで数えてよい）　③そうでない場合のほうがかなり多い場合は、１－（そうでない場合　の確率）でもとめる。　④場合漏れがないように細心の注意を払う。　　・・・・・等

	32408．Re: 確立ー高2
	名前：たまたま見ました日付：5月30日(水) 0時19分
	そうですね、頭で整理できないのなら素直に紙に書いて整理すればいいんですよ。よく言われることだと思いますが、このような分野の問題を考える時には、実験が結構威力を発揮したりします。つまり、自分で書き並べてみることです。そのうちに規則性に気がつくこともよくあります。是非、面倒くさがらずに手を動かしてください。

	32488．Re: 確立ー高2
	名前：やす日付：6月4日(月) 23時12分
	教得手　学さん、たまたま見ましたさん、回答ありがとうございます。わかりやすくて問題も同じ方法でやったら解けました。あと、一つ一つの問題を図を書いてからとくようにしたら前よりももっとわかりやすく、正解率も高くなってきました。 2人ともありがとうございました。

32393．今回も助けてください

名前：麻奈（高３） 日付：5月29日(火) 20時19分

半径rの円に内接する正十角形の周の長さをℓ
その面積をsとする。また　半径rの円に外接する
正十角形の周の長さをL　面積をSとする
cos18°＝a　とするとき
ℓ/c　をaを用いて表せ

という問題です。　よろしくお願いします

	32411．Re: 今回も助けてください
	名前：たまたま見ました日付：5月30日(水) 0時24分
	分母にきているｃってなんですか？

	32413．Re: 今回も助けてください
	名前：あんな日付：5月30日(水) 6時30分
	すみません　問題間違えてました ℓ/L です　よろしくお願いします

	32416．Re: 今回も助けてください
	名前：ヨッシー日付：5月30日(水) 12時6分
	煩雑なので円は描いていませんが、２つの十角形の関係は図のようになります。求めたいのは、内の十角形と、外の十角形の相似比なので、　ＯＡ／ＯＢを求めればいいことになります。 △ＯＡＢで、∠ＡＯＢ＝18° なので、cos18°とは・・・(以下略) 　 http://yosshy.sansu.org/

32386．グラフ

名前：もこ日付：5月29日(火) 12時26分

２変数関数
U（X１、X2）＝min{X1,4X2}
のグラフがどうなるのかわかりません。
さらに、このグラフとX1+４X2=１６の交点はどうなるのでしょうか？

	32387．Re: グラフ
	名前：ヨッシー日付：5月29日(火) 14時1分
	２変数関数なので、グラフは３次元になると思いますが、平面的に書くとこんな感じです。　 http://yosshy.sansu.org/

	32388．Re: グラフ
	名前：ヨッシー日付：5月29日(火) 14時25分
	立体的に描くと、こんな感じでしょうか。　 http://yosshy.sansu.org/

	32389．Re: グラフ
	名前：ヨッシー日付：5月29日(火) 14時38分
	さらに、X1+４X2=１６の平面を交差させると、その交点は、図の折れ線上の点になります。　 http://yosshy.sansu.org/

32379．数ⅠA　ⅡB演習

名前：高3 日付：5月28日(月) 22時55分

a＝(2＋√5)^1/3、b＝(2-√5)^1/3のとき、abとa＋bを求めなさい。

という問題が解けません。教えていただけないでしょうか？？

	32383．Re: 数ⅠA　ⅡB演習
	名前：ヨッシー日付：5月29日(火) 8時44分
	ab={(2＋√5)(2-√5)}^1/3=(-1)^1/3=-1 これはすぐ出ますね。一方、　(a+b)^3=a^3+b^3+3ab(a+b) において、a^3+b^3=4, ab=-1 より、 (a+b)^3+3(a+b)-4=0 x=a+b とおくと、　x^3+3x-4=0 x=1 は１つの解なので、(x-1) をくくりだして、　(x-1)(x^2+x+4)=0 x^2+x+4=0 からは虚数解しか得られないので、実数解は x=1 のみ。以上より、ab=-1, a+b=1 　 http://yosshy.sansu.org/

	32437．Re: 数ⅠA　ⅡB演習
	名前：高3 日付：5月31日(木) 16時42分
	ありがとうございました

32375．中2･文字式

名前：胡桃日付：5月28日(月) 21時53分

学校から配られたプリントにあった問題で、先生の解説もよく分からず困ってます。よかったら教えてください。１　１　１ ―＋―＝―　のとき、ａをｂとｃを用いた式で表せ。ａ　ｂ　ｃ解答には　　　ｂｃａ＝――――― 　　　ｂ－ｃとでています。この答えになるまでの途中が全く分かりません＾＾；できたら詳しく教えていただけたら嬉しいです。よろしくお願いします。

	32376．Re: 中2･文字式
	名前：mimi 日付：5月28日(月) 22時30分
	１　１　１　１ ―＋―＝―の―を右辺に移項する。ａ　ｂ　ｃ　ｂ１　１　１ ―＝―－― ａ　ｃ　ｂ右辺を通分する。１　ｂ　　ｃ　　ｂ－ｃ ―＝――－――＝―――― ａ　ｂｃ　ｂｃ　　ｂｃ逆数をとる。　　　ｂｃａ＝―――― 　　ｂ－ｃ

	32377．Re: 中2･文字式
	名前：mimi 日付：5月28日(月) 22時34分
	あれ？だいぶずれちゃった 1/a+1/b=1/c で1/bを右辺に移項 1/a=1/c-1/b 右辺を通分 1/a=b/bc-c/bc=(b-c)/bc 逆数をとる a=bc/(b-c)

	32440．Re: 中2･文字式
	名前：胡桃日付：5月31日(木) 21時53分
	だいぶ遅れてしまってすみません；両辺の分母分子を入れ替えても答えは同じ、ということを知りませんでした(笑助かりました、ありがとうございました♪

32370．相似について

名前：√ 日付：5月28日(月) 18時4分

宜しく、お願い致します。

「正多角形」「正多面体」など、
『正』が付くものは、どんなものでも、
「必ず相似の関係」になっていると考えて良いですか？

	32372．Re: 相似について
	名前：らすかる日付：5月28日(月) 20時6分
	相似の関係って、何と何がですか？例えば、ある正三角柱と別の正三角柱は、普通相似ではありません。 http://www10.plala.or.jp/rascalhp

	32378．Re: 相似について
	名前：√ 日付：5月28日(月) 22時38分
	らすかるさん私の表現の仕方が下手で、すみませんでした。『正』のつくのもの、という言い方は駄目でしたね。正三角柱とかは思いつきませんでした。では「平面図形」の場合大きさの異なる正三角形　　　　　　　正五角形　　　　　　　　・　　　　　　　　・などの頭に『正』が付く図形は全て「相似の関係にある」で良いですか？「立体」の場合大きさの異なる正四面体　　　　　　　正十二面体　　　　　　　　・　　　　　　　　・などの頭に『正』または『準正』が付く多面体は全て相似の関係にある」で良いですか？

	32380．Re: 相似について
	名前：らすかる日付：5月29日(火) 0時15分
	「正三角柱」は「頭に『正』が付く多面体」ですが… もし「正三角形」「正四角形」「正五角形」「正六角形」…と「正四面体」「正六面体」「正八面体」「正十二面体」「正二十面体」に限定するなら、相似です。 http://www10.plala.or.jp/rascalhp

	32381．Re: 相似について
	名前：√ 日付：5月29日(火) 0時20分
	らすかるさんありがとうございました。

32368．小4　概数について

名前：小5の母 日付：5月28日(月) 16時6分

小4まとめテストで、概数を求める問題が出ました。

四捨五入で、一万の位までの概数で表しなさい。
６９２８０　→　約７００００

コドモは答えに｢約」をつけて解答。
不正解でした。
しかし、子供に聞くと去年の先生はそれで正解だったと・・・。
で、ノートを調べると確かに｢約」が付いて正解でした。

今年の先生に質問したところ、「教科書には約がついてないので・・・」とのこと。

コドモも納得いってないようです。
正解でも不正解でも納得のいく説明が欲しいのでよろしくお願いします。

	32369．Re: 小4　概数について
	名前：ヨッシー日付：5月28日(月) 16時54分
	残念ですが、そういう先生だとあきらめるしかないでしょう。本質が見えてないですね。ただ、お子さんにそう言うと、先生をあなどったりするので、お家でこっそり○を付けて、点数を書き換える程度にしておいた方が良いでしょう。折を見て、前の先生（もう転勤されたのかも）の話を聞いたりする手もありますが、ここで今の先生を言い負かしても、あまり良いことはないです。一番怖いのは、これを機に算数が嫌いになってしまうことです。うまく導いてあげて下さい。　 http://yosshy.sansu.org/

	32374．Re: 小4　概数について
	名前：教得手　学日付：5月28日(月) 21時52分
	上のヨッシーさんのアドバイスは、いろいろな配慮がなされており的を射たものだと思います。　一般に子供は親が先生批判をすると、先生を軽んじたり全否定をしたりして、先生が大切なことを教えてくれた場合でも謙虚に学ぶ姿勢がなくなり　結局はマイナスになることが多いですね。　うまくフォローする知恵を期待します。ところで　「約」が必要か、不必要かですが「概数が約７0000」ということは「およその数が約70000」ということで、「およそ」が重複しておかしな文になってしまっているので「約」は付けないほうがよいとは思います。（私が採点をすれば、「約」を消してマルを付けるかな？）「～～の可能性があるかもしれない」と若者が使いがちですが、これもね～～・・・・・・

32365．(untitled)

名前：めちゃイケナイ　高2 日付：5月28日(月) 11時42分

おはようございます。ベクトルなんですが，

OA＝4，OB＝3，∠AOB＝60°の三角形OABがある。辺OAを3：1に内分する点をCとし→OD=k→OB（k≠0）で定まる点をDとし，三角形OABの重心をGとする。また，→OA＝→a，→OB＝ｂとする。
（1）→CD，→CGをa→, →bで表せ。
（2）３点C、G、Dが一直線上にあるとき，kの値を求めよ。
（3）直線CDと直線OGが垂直となるとき，kの値を求めよ。

	32366．Re: (untitled)
	名前：ヨッシー日付：5月28日(月) 12時15分
	(1) 　ＯＣ＝(3/4)ａ　ＯＤ＝ｋｂより、　ＣＤ＝ＯＤ－ＯＣ＝・・・(以下略) 　ＯＧ＝(ａ＋ｂ)/３より、　ＣＧ＝ＯＧ－ＯＣ＝・・・(以下略) (2) ＣＤとＣＧのａ、ｂの係数を比較して、　ＣＤ＝ｔＣＧ　（ｔは実数）の形になるためには、　-3/4＝-5t/12 　k＝t/3 これを解いて、　ｔ＝9/5, k＝・・・(以下略) (3) ＣＤとＯＧの内積を取って、　ＣＤ・ＯＧ＝(-1/4)\|ａ\|^2＋(k/3)\|ｂ\|^2＋(-1/4＋k/3)ａ・ｂここで、　\|ａ\|^2＝16、\|ｂ\|^2＝９、ａ・ｂ＝６より、　ＣＤ・ＯＧ＝(中略)＝-11/2＋5k＝０よって、　ｋ＝・・・(以下略) 　 http://yosshy.sansu.org/

32350．三角比

名前：あんな 日付：5月27日(日) 22時7分

四角形ＡＢＣＤは円に内接していて、ＡＢ＝５　ＢＣ＝５
ＣＤ＝８　ＤＡ＝１０であるとき　線分ＢＤの長さを求めよ
また四角形ＡＢＣＤの面積を求めよ
という問題なんですが　教えていただけますか？

	32352．Re: 三角比
	名前：ヨッシー日付：5月27日(日) 22時58分
	ＢＤを△ＡＢＤと△ＢＣＤとから求めます。 △ＡＢＤにおける余弦定理より、　ＢＤ^2＝５^2＋１０^2－２・５・１０cos∠ＢＡＤ　…(1) △ＢＣＤにおける余弦定理より、　ＢＤ^2＝５^2＋８^2－２・５・８cos∠ＢＣＤ　…(2) 四角形ＡＢＣＤは円に内接するので、　∠ＢＡＤ＋∠ＢＣＤ＝π よって、　cos∠ＢＣＤ＝－cos∠ＢＡＤ (1)(2)に代入して　ＢＤ^2＝１２５－１００cos∠ＢＡＤ　ＢＤ^2＝８９＋８０cos∠ＢＡＤこれを解いて、　cos∠ＢＡＤ＝１／５　ＢＤ^2＝１０５よって、　ＢＤ＝√105 また、cos∠ＢＡＤ＝1/5 より、sin∠ＢＡＤ＝2√6/5 同様に　sin∠ＢＣＤ＝2√6/5 よって、　△ＡＢＤ＝(1/2)ＡＢ・ＡＤsin∠ＢＡＤ　　＝(1/2)５・10(2√6/5)＝10√6 同様に　△ＢＣＤ＝8√6 よって、四角形ＡＢＣＤの面積は　18√6 　 http://yosshy.sansu.org/

	32367．Re: 三角比
	名前：ヨッシー日付：5月28日(月) 14時12分
	別解です。 △ＡＢＤ、△ＢＣＤともに、３つの辺の長さがわかっているので、ヘロンの公式を使って、面積を出す方法もあります。また、この問題に限っては、ＡＢ＝ＢＣなので、下の図のような変形をして、√105, √105, 18 の三角形を作って、三平方で高さを求めるか、ヘロンの公式を使う方法もあります。【三平方】底辺は１８なので、高さは、　√(105－9^2)＝√24＝2√6 面積は、　18×2√6÷２＝18√6 【ヘロンの公式】　Ｓ＝(1/4)√{(18+2√105)18(2√105-18)18}＝(18/4)√(420-324) 　　＝(9/2)√96＝9√24＝18√6 　式は、端折ってます。　 http://yosshy.sansu.org/

32349．(untitled)

名前：コメダ一登 日付：5月27日(日) 21時53分

特性方程式の件ですが、最初にあの形を目指すりゆうがわからないのですが…アルファーを両辺カラひくりゆうです

	32351．Re: (untitled)
	名前：ヨッシー日付：5月27日(日) 22時9分
	一言で言えば、等比数列を作るためです。ａn が等比数列でなくても、ａn－α が等比数列になれば、一般項の式が作れるのです。　 http://yosshy.sansu.org/

	32362．Re: (untitled)
	名前：ヨッシー日付：5月28日(月) 9時27分
	その前に、知っておかないといけないのは、初項　ａ1、公比ｒ　の等比数列の表し方は　一般項：ａ_n＝ａ₁・ｒ^(n-1) とするほかに、漸化式としての表し方　ａ_n+1＝ｒ・ａ_n　（ただし、初項ａ₁）があるということで、ここでは、この形を目指します。　 http://yosshy.sansu.org/

	32403．Re: (untitled)
	名前：ぱんだ日付：5月29日(火) 23時56分
	＞ヨッシーさんへ特性方程式についてですが、「等比数列を作るため」という捉え方は確かにあります。大半の生徒にはそれで十分かもしれません。しかし、大変差し出がましく恐縮なのですが、特性方程式の本来の意味を考えたとき、出来れば別の考え方も入れたほうがよいような気がします。 a_n+1=f(a_n)という漸化式が与えられたとき（簡単のために-1/2≦f'(x)≦1/2とします） y=xという直線とy=f(x)という曲線の交点を求める操作それがx=f(x)つまり特性方程式になります。この交点（のｘ座標、ｙ座標）はすなわちa_nの極限(aとおく）になります。例えば、f(x)=x/2+1として、a_1=0,a_n+1=f(a_n)とし、点Pn(a_n,a_n)および Qn(a_n,a_n+1)をとっていき P1→Q1→P2→Q2→P3→・・・と順番に結んでいってください。点Pや点Qはいったいどこに向うのでしょうか？（a,a)に近づくことはお分かりでしょうか？ここから、（大学で習う範囲ですが）縮小写像の話などから、数学的に大いに深まる内容につながっていくものになっています。高校レベルの話に限定しても、この本質的な考えを念頭においた大学受験問題は（難関大では）よくみかけます。ただし、、実際問題として私が生徒に教える際どうするかと問われると、大半の生徒にはヨッシーさんと同じように「等比数列を作りたい」と答えます。しかし、より力のある生徒に対しては、「そういう捉え方もあるけど、実は数学の本質的な意義としては～」と先ほどのような内容をします。私のように未熟な人間がこのようなことを言うのは大変恐縮ですがあしからずご理解いただければ幸いです。

	32432．Re: (untitled)
	名前：ヨッシー日付：5月31日(木) 8時41分
	実際、専門家筋の方からは、漸化式に出てくるアレは、特性方程式ではないという意見も聞かれますので、あのページを紹介するときは、内心ビクビクするのですが(^^; まぁ、そういうことです。　 http://yosshy.sansu.org/

32347．証明

名前：マリオ 日付：5月27日(日) 19時46分

　a、bは正の数とする。不等式√a + √b =k√(a+b)・・・①を考える。ただしkは定数である。
（1）①が成り立つならばk≧√2であることを示せ。

この問題で解答は
①が常に成り立つならば特別なa、bについて成立。したがって、a=bのとき成立。すなわち2√a≦k≦√2a
k≧√2

どうしてa=bの時だけを示せばよいのかがわかりません。教えてください。

	32353．Re: 証明
	名前：ヨッシー日付：5月27日(日) 23時0分
	まず、①は不等式ではないですね。　 http://yosshy.sansu.org/

	32355．Re: 証明
	名前：angel 日付：5月27日(日) 23時7分
	記述が曖昧なので、どう判断すべきか決められない状態です。問題文を正確に、かつ記述を省略せずに書いてください。ツッコミ所としては、 > 不等式√a + √b =k√(a+b) 不等式になっていないです。 > 丸1が成り立つならばk≧√2であることを示せ。「任意(全て)のa,bに対して」なのか、「あるa,bに対して ( ～となるa,bが存在する )」なのかで意味が全く違います。問題文にその辺りの前提が書いているはずです。( もし書いていないなら、問題としてダメダメ ) > すなわち2√a≦k≦√2a 前後とつながらないです… 普段ならば、ちょっとした間違い程度なら修正して読み進めるのですが、今回はそこらへんが正確でないと判断がまるで変わりますので。

	32357．訂正
	名前：マリオ日付：5月27日(日) 23時42分
	a、bは正の数とする。不等式√a + √b ≦k√(a+b)・・・①を考える。ただしkは定数である。（1）①が成り立つならばk≧√2であることを示せ。この問題で解答は ①が常に成り立つならば特別なa、bについて成立。したがって、a=bのとき成立。すなわち2√a≦k√2a よってk≧√2 ＞不等式になっていないです。 √a + √b ≦k√(a+b)の間違えでした。＞「任意(全て)のa,bに対して」なのか、「あるa,bに対して ( ～となるa,bが存在する )」なのかで意味が全く違います。問題文にその辺りの前提が書いているはずです。( もし書いていないなら、問題としてダメダメ ) 問題には他に条件は書いていません。＞すなわち2√a≦k≦√2a これも2√a≦k√2aの打ち間違えでした。すいません。

	32358．問題の前提
	名前：angel 日付：5月28日(月) 0時37分
	前提が書いていないとすると、問題としてはダメダメだと思いますね。仕方が無いので、解答解説や、設問で挙げられている√2 から間接的に判断するに、丸1とは、　「任意の正の実数 a,b、定数 k に対し、不等式 √a+√b≦k√(a+b) が成立する」のことだとせざるを得ません。以下では、これを前提として話を進めます。

	32359．Re: 証明
	名前：angel 日付：5月28日(月) 0時58分
	で、　任意の a,b で不等式が成立する　⇒ 特定の a,b の組で不等式が成立するは真です。今、　a=b の時不等式が成立する　⇒ k≧√2 も、計算の結果成立することが分かります。であれば、　任意の a,b で不等式が成立する　⇒ a=b という特定の a,b の組で、不等式が成立する　⇒ k≧√2 が成立します。この時点で、設問の要求している「丸1が成立する⇒k≧√2」が真だと分かるため、これ以上何か調べる必要はないわけです。 ※なぜ a=b としたか…? たまたま都合が良かっただけですね。一番考え易いパターンですから。深い意味はないとしたものでしょう。ここで気をつけなければならないのは、「k≧√2」とは、　「kは、√2以上であれば、どんな値を取ろうとも不等式が成立する」ではなく、　「不等式を満たすような k は少なくとも √2 以上でなければならない」の意味です。これは「丸1が成立するためには、k≧√2 が必要」「k≧√2は、丸1 の必要条件」ということです。

	32360．Re: 証明
	名前：マリオ日付：5月28日(月) 1時19分
	でも例えばa=1、b=4を代入したらkの範囲は異なってきますよね。それなのにどうしてa=bのときの結果のみを考慮するだけでいいんでしょうか。

	32361．Re: 証明
	名前：ヨッシー日付：5月28日(月) 9時10分
	対偶を言えば、ｋ＜√2 に規定しちゃうと、成り立たないときがあるよ、ということです。ある a,b の値で、ｋ＜√2 であるｋで、この不等式が成り立ったとしても、それは一部で、いつかはｋ≧√2 が必要になるよ、ということです。これが、「丸１が成り立つならばk≧√2である」ということです。必要十分とはいっていません。必要条件だけです。　　 http://yosshy.sansu.org/

	32371．Re: 証明
	名前：教得手　学日付：5月28日(月) 19時41分
	「a,b どんな正の数のときでも √a + √b ≦k√(a+b) が成り立つようなｋの値の範囲を求めよ。」というのが題意でしょう。すなわちヨッシーさんのいわれるように、ｋを定めたときに　√a + √b ＞k√(a+b)　なる a,b が存在するようなｋは駄目だということですね。　では何故　a＝ｂ　のときか？　ですが解答の説明は不適切。あなたが疑問をもたれるのは当然だと思います。下に私なりの説明を書いてみます。いま　ｂ＝ａｘ　とおき不等式に代入すると条件式は　√a + √(ax) ≦k√(a+ax) 　　　　√(a+ax) >0 より　k≧｛√a + √(ax)｝／√(a+ax)　　　k≧（１＋√ｘ）／√(1+ｘ）　　となります。・・・・・（イ）いま　ｆ(ｘ)＝（１＋√ｘ）／√(1+ｘ）　とおくと　ｆ'(x)＝（１－√ｘ）／[ 2（1+ｘ）√｛ｘ(x＋１）｝] (説明略）分母＞０　より　　ｘ＞１のとき・・ｆ'(x)＜０　　　　　　　　　ｘ＜１のとき・・ｆ'(x)＞０よって　ｘ＝１のときｆ(x) は最大値をとる　（代入すると　ｆ(x)＝√２　が最大値）すなわち　ｂ＝ａ*1＝ａ　のとき(１＋√x)／√(1+ｘ）は最大値√２　をとる。したがって　どんな a,b (x)でも（イ）が成り立つには、ｋはこの最大値以上でなければならない。　　　よって　ｋ≧　√２　　 ※微分のところは　　（ｕ/ｖ）’＝（ｕ'v-ｕv')／ｖ^2 を使いました。

	32382．繰り返しになりますが
	名前：angel 日付：5月29日(火) 1時47分
	> ここで気をつけなければならないのは、「k≧√2」とは、 > 　「k は、√2以上であれば、どんな値を取ろうとも不等式が成立する」 > ではなく、 > 　「不等式を満たすような k は少なくとも √2 以上でなければならない」 > の意味です。これは「丸1が成立するためには、k≧√2 が必要」「k≧√2は、丸1 の必要条件」ということです。これが実感できているかどうか…? 例えばこの2つは、同じ k≧√2 でも内容が違うのです。 1. (この問題の)丸1が成立するならば、k≧√2 が成立する 2. 不等式 k(k+\|k\|)≧4 の解は k≧√2 ( \|k\| とは k の絶対値 ) 　※2 について　　k<0 の時、\|k\|=-k のため、k+\|k\|=0 となり、与不等式は成立しない　　k≧0 の時、\|k\|=k のため、与不等式は k(k+k)≧4 と同値、これを解き k≧0 より k≧√2

	32385．Re: 証明
	名前：教得手　学日付：5月29日(火) 9時48分
	私の上の文での題意の表現は不適切ですね。次のように訂正しておきます。「a,b どのような正の数のときでも √a + √b ≦k√(a+b) が成り立つとき、ｋはすくなくとも k≧√2 を満たさなければならないことを示せ」というのが題意でしょう。この題意に基づけば・・その後に書いた説明に続いていくことになります。 >したがって　どんな a,b (x)でも（イ）が成り立つには、ｋはこの最 >大値以上でなければならない　　のところも「したがって　どんな a,b (x)でも（イ）が成り立つようなｋは少なくともこの最大値以上でなければならない」としておきます。

	32420．Re: 証明
	名前：教得手　学日付：5月30日(水) 20時13分
	マリオさん、angelさん、ヨッシーさん御免なさい！私のいたらなさで間違った回答をしておりました。「ｋ≧√２である」が「任意の正の数 a,b に対し、不等式 √a+√b≦k√(a+b) が成立する。」の必要十分条件でもあることを、一生懸命説明しようとしておったようです。マリオさん、私の回答は無視して、angelさん・ヨッシーさんの解説を読み直してください。混乱させてすみませんでした。 angelさん・ヨッシーさんせっかくの適切な解説を、ぼやかしてしまってすみませんでした。「あるａ,b について・・」なのか、「任意の a,b について・・」なのか、「任意の a,b,k について・・」なのか、不等式を満たすすべての a,b,k の組み合わせにおいて（a,b,k を並列的に）考えるのか・・・等が曖昧ななかで勘違いをしました。とくに

	32421．Re: 証明
	名前：教得手　学日付：5月30日(水) 20時34分
	マリオさん、angelさん、ヨッシーさん御免なさい！私のいたらなさで間違った回答をしておりました。「ｋ≧√２である」が「任意の正の数 a,b に対し、不等式 √a+√b≦ k√(a+b) が成立する。」の必要十分条件でもあることを、一生懸命説明しようとしておったようです。　マリオさん、私の回答は無視して、angelさん・ヨッシーさんの解説を読み直してください。混乱させてゴメンナサイ。　angelさん・ヨッシーさんせっかくの適切な解説を、ぼやかしてしまってすみませんでした。「あるａ,b について・・」なのか、「任意の a,b について・・」なのか、「任意の a,b,k について・・」なのか、不等式を満たすすべての a,b,k の組み合わせにおいて（a,b,k を並列的に）考えるのか・・・等が曖昧ななかで勘違いをしました。・・・（言い訳）とくに a,b,k を並列的に考えて、不等式を満たすすべての a,b,k において考えればまた違った結果になりそうですよね。・・・・・以上。名前に免じて勘弁を・・・・

32345．質問なのですが。。

名前：受験生 日付：5月27日(日) 18時9分

1/√(1＋x~2)の積分って出来ますでしょうか？
自分で計算してみたんですが、うまくいきません…。
宜しくお願い致します。

	32354．Re: 質問なのですが。。
	名前：ZELDA 日付：5月27日(日) 23時1分
	d/dx(log[x+√(1+x^2)])=1/√(1+x^2)です。 1/√(1+x^2)から直接に不定積分を求めるには t=log[x+√(1+x^2)]と置換すればよい。

	32373．Re: 質問なのですが。。
	名前：教得手　学日付：5月28日(月) 20時57分
	双曲線関数をご存知なら次のようにもできます。ｙ＝sinh^(-1)ｘ　　[ｘ＝sinh(y)]　とおくと dy/dx＝１／(dx/dy)＝１／cosh(y) 　　　　＝１／√（１＋sinh^2(y))＝１／√（１＋ｘ~2) ゆえに　∫{１／√（１＋ｘ~2)}dx＝ｓinh^(-1)ｘ　　となります。 (注）　このｓinh^(-1)ｘは上に ZELDA さんが書かれている　　log{ｘ＋√（１+ｘ^2)} と一致します。

32342．写像。

名前：syu 大学生 日付：5月27日(日) 5時12分

f:R→R　
多項式の割り算や巾根を用いたC^∞関数で、∀x∈Rに対し、
f(x)/=0だが、fは全射でないものを構成せよ。
という問題です。何から手をつければいいのでしょうか?

32341．過不足算

名前：駱駝日付：5月27日(日) 2時42分

分速70メートルで行くと予定時間に15分遅れるので
分速84メートルで行くとそれでも10分遅れた。出発点から
到着地までの予定時間と距離を求めよ。

という問題で70×15－84×10＝210（ｍ）
210÷（84－70）＝15（分）70×30＝2100（ｍ）と正解はしたものの
小学生の時の知識のなごりで解けたようなもので、何故こうすれば
解けるのかの仕組みの理解があいまいです。おなじ過不足算でも
鉛筆やノートの過不足なら理解できるのでですが、時間や距離に
なると抽象的で・・またこれの別解で
（15－10）÷（1／70－1／84）＝2100という距離の算出方法も
謎です。なぜ、時間を時間で割って距離がでるのですか？
以上長くなりましたがこの二点お願いします。

	32343．Re: 過不足算
	名前：教得手　学日付：5月27日(日) 8時46分
	過不足算という名前を見たことはあるけれど、どういう算法か知らないのですが書かれておられる式を見ながら私なりに考察しました。まず予定時刻に目的地より何ｍ手前にいるかを出します。分速70ｍのとき・・・・７０１５　（ｍ）分速84ｍのとき・・・・８４１０　（ｍ）　これらの差　２１０ｍはスタート後予定時刻までに両スピードでいったときについた差ですね。 1分で（８４-７０）ｍ差がつくので、２１０ｍの差がつくには　２１０／（８４-７０）＝１５　（分）かかります。すなわち　スタートから予定時刻までは１５分ということになります。分速70ｍのときに１５分遅れるということは（１５+１５）分かかるということになります。だから目的地までの距離は　７０*３０＝２１００（ｍ）もう１つの式ですが（1／70－1／84）は１ｍ進むのにかかる時間の差（分） (15-10)分の差が出るにはどれくらい距離が必要かということで (15-10)／（1／70－1／84）＝2100（ｍ）（1／70－1／84）の単位は分というより、１ｍにつき分ということで分/ｍ　と考えるのが妥当でしょう。すると単位どうしの計算も　　（分）／（分/ｍ）＝ｍ　となります。

	32363．Re: 過不足算
	名前：ヨッシー日付：5月28日(月) 9時53分
	この問題を、過不足算っぽく書くと「何人かの生徒を、１つの椅子に７０人ずつ座らせると１５脚足らず、８４人ずつ座らせると１０脚足りない。このときの、準備していた椅子の数と生徒数を答えよ」となります（設定に無理はありますが）はみ出た部分の差は、70×15－84×10＝210 で、これは、赤と青の差と同じです（総数は変わらないので）。つまり、座れた人数で比較すると、８４人掛けにした方が２１０人多く座れるということです。１脚に付き１４人多く掛けられるので、　２１０÷１４＝１５　・・・準備した椅子の数総生徒数は　７０×（１５＋１５）　または　８４×（１５＋１０）　で　２１００人後半は、教得手　学さんの解釈の通りで、いわゆる「差集め算」の考え方ですね。　 http://yosshy.sansu.org/

	32364．Re: 過不足算
	名前：ヨッシー日付：5月28日(月) 10時1分
	別解です。図の斜線部の面積は８４×５＝４２０　で、あと４２０ｍ余分に走れば、８４ｍで走ったときと、７０ｍで走ったときの時間が同じになります。８４ｍで走ったときは、１分間で、１４ｍずつ余分に走るので、　４２０÷１４＝３０(分) 走ったことになります。実際に走ったのは、７０ｍで３０分、８４ｍで２５分　となります。　 http://yosshy.sansu.org/

	32418．Re: 過不足算
	名前：駱駝日付：5月30日(水) 14時1分
	返信遅れてすいません。よく理解できました、お二方ありがとうございます。

32339．写像なのですが

名前：kane　大学1年 日付：5月26日(土) 18時55分

冪集合なんですけど
　二つの集合A、Bに対してA⊂ Bであるための必要十分条件はP(A)⊂ P(B)であることの証明を詳しく教えてください。

	32340．Re: 写像なのですが
	名前：mimi 日付：5月26日(土) 20時15分
	P(A)というのはAの部分集合全体の集合 A⊂BならばAの任意の部分集合XはBの部分集合つまり、X∈P(A)ならばX∈P(B) よってP(A)⊂P(B) 逆にP(A)⊂P(B)ならば、X∈P(A)ならばX∈P(B) 特にA∈P(A)だからA∈P(B) つまりAはBの部分集合でA⊂B

32335．立方体と球

名前：恵日日付：5月26日(土) 1時13分

☆疑問☆

立方体Xと球Yがあって、両者の体積は等しいとする。このとき、次の問いに答えなさい。ただし、円周率はπ=3.14・・・とする。

(1)立方体Xと球Yを動かして、立方体Xのなるべく多くの頂点が球Yの内部に含まれるようにしたい。最大何個の頂点が含まれるようにできるか。

(2)立方体Xと球Yを動かして、立方体Xのなるべく多くの辺が球Yの内部と共通の点をもつようにしたい。最大何この辺が共通の点をもつようにできるか。

(1)ですが、まずは自分で考えたことを少し。立方体Xの一辺の長さを1、球Yの半径をrとすると、両者の体積の関係から、r=(3/4π)^(1/3)となります。いろいろ計算した結果、1/2＜rとなりそうです。最初に球Yの中心が立方体Xの一つの頂点にあったとします。r＜1なので、このとき球Yに含まれる立方体Xの頂点は一つです。ここから球Yの中心を、立方体Xの辺上に沿って動かすと、立方体Xの辺の中点にきたとき、1/2＜rですので、球Yに含まれる立方体Xの頂点は二つありそうです。

自分で考えられたのはここまでです。球Yがこれ以上立方体Xの頂点を含むことができるかどうかがどうしてもわかりませんでした。また(2)は、明らかに球Yは立方体Xの三つの辺を含むことができることはわかりますが、これ以上のことはやはりわかりません。

どうやって考えて解いていけばよいのか、教えていただけないでしょうか。どうかよろしくお願いします。

	32338．Re: 立方体と球
	名前：ぱんだ日付：5月26日(土) 7時40分
	私の第一印象ｒ＞1/2は当たり前ではありませんか？同じ体積の球と立方体が並べたときどういう形になるか想像してください。私なら球の中心と立方体の中心を合わせます。立方体の一辺を１として式を立てるか、半径を１として式を立てるかは微妙な問題である（まだどちらがいいか考えてません）立方体の形の風船（！）を球の中に入れて空気を入れて大きくしていきます。大きさと共に共有点の個数が変わってくるはずです。なるべくたくさん共有点を持てるように立方体を移動させましょうではこれから出かけるので後ほど。

	32344．Re: 立方体と球
	名前：恵日日付：5月27日(日) 17時47分
	To　ぱんだ様回答ありがとうございました。＞ｒ＞1/2は当たり前ではありませんか？そうですね、当たり前のことですね。うっかりしてました^^; ＞立方体の形の風船（！）を球の中に入れて空気を入れて大きくしていきます。大きさと共に共有点の個数が変わってくるはずです。なるべくたくさん共有点を持てるように立方体を移動させましょうやっぱり頂点は2個、辺は3本含められる以上のことがどうしてもわかりません。解説していただけないでしょうか。どうかお願いします。

	32356．Re: 立方体と球
	名前：ぱんだ日付：5月27日(日) 23時35分
	まずはまたヒントということで。球の半径を１とします。体積の等しい立方体の一辺をｄとします。 d^3=4π/3＞4　より、d>3/2です。（もっと大きいですが、まあ大まかなところで）一つ質問です。半径１の球の中に長さ３のマッチ棒を収めることは可能でしょうか？もしも３つの頂点を内部に持つとしたら、その３つの距離はいくらでしょうか？

	32390．Re: 立方体と球
	名前：恵日日付：5月29日(火) 16時42分
	To　ぱんだ様回答ありがとうございました。＞半径１の球の中に長さ３のマッチ棒を収めることは可能でしょうか？球の直径は2ですので不可能です。＞もしも３つの頂点を内部に持つとしたら、その３つの距離はいくらでしょうか？ここがちょっとわかりません。3つの距離ってなんのことでしょうか。そもそも球は3つの頂点を含むことができるのですか。なかなか先に進めないです。すみません、もう少し詳しく教えていただけないでしょうか。どうかお願いします。

	32391．Re: 立方体と球
	名前：ぱんだ日付：5月29日(火) 19時38分
	では、私が実際に自分で正解にたどり着いた時の流れを説明しますね。第一印象　体積の等しい立方体と球を並べて書く。・直径のほうが立方体の一辺よりも少しだけ長いな・対称性を利用できるかな？・中心をそろえようか、それとも別の並べ方がよいかさて実際に何個入りそうか、紙面で実験してみるか。（１）だけど、ちょっと実験してみたら、２個は含めるけど３個含めるのはちょっときつくないか？３個とったら三角形ができるけど、ちょっと大きすぎる気がする。よし、この線でいってみよう！立方体ABCD-EFGHとする。長さは色々迷ったが、半径を１としたほうが計算が楽と判断し、そのように設定する。一辺の長さｄはd^3=4π/3＞4　より、d>3/2 まあ、後でもっと詳しい長さが必要になったらもっと詳しく計算しよう。とりあえず、球の内部に含める最大（実際にはちょうどはだめだが）の長さは２ ABの長さはｄ＜２より、AとBを球の内部に納めることは出来る。しかし、３個の点を収めようとして３つの点を選ぶと、（例えばAとBとCを選ぶとACの長さ＝（√２）ｄ＞２そのとき出来る三角形の辺の長さの最大値≧（√２）ｄ＞２だなよってそれらの点を同時に内部に納めることは不可能である。よって（１）の答えは最大２個である。（考え方　例えばAとBとCを選んだら三角形ABCの最大の辺はACでその長さは（√２）ｄ＞２である。こんな長いものを中に収めようとしても当然はみだしてしまう。つまり、球はAとCを同時に内部に含むことはできない。当然AとBとCの３点を同時に内部に含むことは出来ない。他の３点についても同様）（２）は非常に難しく長くなるのでいったんここで切ります。

	32392．Re: 立方体と球
	名前：ぱんだ日付：5月29日(火) 20時11分
	では次に（２）です。まずはいつものように、直感的なアプローチから始めましょう。実際に球と立方体を動かしてみて何個の共有点をもてるか実験してみます。頂点AとBを含むように球を持ってくると（頂点Aと頂点Bが北極と南極を結ぶ軸の上に持ってくると簡単です）合計５つの辺と共有点をもてます。（恵日さんが３つの辺と予想してしまったことが今回一番の反省材料でしょう。くどいようですがこれは図形の問題なのです。証明が出来なくても答えの見当がつくはずです。）（１）で、「離れすぎている２点を同時に含めない」ことがわかりました。（２）では球と辺の共有点を考えるわけですが（１）同様に「離れすぎている２辺と同時に共有点を持つことは出来ない」はずです。具体的には、ABとGHは、最も近い２点でも（√２）ｄ＞２の距離があるので辺ABと辺GHの二つと同時に共有点を持つことはできません。同様にBCとEHも同時に共有点を持つことはできません。このノリで行くと、合計１２の辺のうち、最大６個しか共有点をもてなくなります。予想は５個なのでこの６個が無理と言えたらそれで証明は完了です（５個は持てるということはすぐ示せる）。ではやってみましょう。 ①ABとGH　②BCとEH　③CDとEF　④ADとFG　⑤AEとCG　⑥BFとDH これらの組の辺は、それぞれ同じ組同士と同時に共有点を持つことは出来ない。よって、７個以上の辺と共有点を持つことは不可能である。今球が６個の辺と共有点を持つと仮定する。すると①～⑥の組のそれぞれ片方の辺と共有点を持つはずである。対称性より、①でABと共有点を持つと考える。するとGHとは共有点をもてない。ここで（ABとは共有点を持つと決まった状態です。ABにだけ色線をつけてみてください） ③について、CDかEFのどちらかと共有点を持つことになるが、どちらを選んでもこの段階では対称なのでCDと共有点を持つとしてよい。すると、球はEFとは共有点を持たない。ここで（今ABとCDの２つと共有点を持つ状態です。ABに付け加えてCDにも色線をつけてください。）すると、⑥のBFとDHについて全く同様に対称性よりBFと共有点を持つとしてよい。すると球はDHとは共有点をもたない。さて、ここで次の関門です。これも図形的な直観ですが、①でAEを選ぶとかなりきついのではないか？と感じるのです。正直微妙なラインかなと思いました。これがもてるなら、５個の予想よりもっとたくさん(６個）もてるというように修正しないといけないな、と感じました。そこで、もてるかどうか確かめてみましょう。すいません、これから出かけないといけないのでまたほど。（結論から先に言っておくとこれはもてません。その結果先ほどのような議論の続きで、結局６個持つことは不可能になり５個が最大値になります。ちなみにこの問題の難易度は相当高いと思います。高校生がこのような問題を自力で解いていたら、東大の理Ⅲ志望でも楽々合格できると思います。ところでこれは出典は何でしょうか？？）

	32399．Re: 立方体と球
	名前：ぱんだ日付：5月29日(火) 23時18分
	ただいま戻りました。＞これも図形的な直観ですが、①でAEを選ぶとかなりきついのではないか？ですが、⑤でAEを選ぶと、の間違いです。AB,CD,BFの３辺と共有点をもった状態でさらにAEと共有点を持てるか？・・・（＊）とおく（おそらくもてないだろうからその証明）それを今から調べていきます。そのことは、頂点A,頂点Bと辺DC上の一点を球の中に含むことができるかどうか、という問題とほぼ同義です。そこで、正方形ABCDに注目し、頂点A,頂点B,辺CD上の点を含めるかを考察します。（ここで実際に私が考えたこと：「ｄの大きさは１．５か１．６くらいか。ｄの値＝4π/3の三乗根から、一辺がその長さである正方形について上の条件を満たせる円の半径を求める、、、やってられないな（笑）半径１の円が上の条件を満たせるような正方形の一辺を求める、これならまだましかな。でもやっぱり面倒だ。この手の問題は経験上「ある程度ゆとりがある場合が多い」から簡単に計算できそうな近い数字で試してみるか。DCと円の中心の距離は１だから、中心とABの距離はどうしよう。０．６くらいだけど、この数字ならちょうど３：４：５の比を使えて簡単に出せるな、よしこの数字で実験だ！すると、、、なんと一辺１．６のときの『ちょうどぎりぎり』頂点A,Bと辺CD上の点（実際にはCDの中点）が円周上に来ることがわかる。ということは、もしｄが１．６より大きければやはり（＊）は満たせないということだ。ｄの大きさを正確に調べてみよう。 d^3=4π/3>4×3.14/3>4×1.04=4.16 1.6^3=(8/5)^3=512/125<4.1 よってｄ＞１．６が得られるよって（＊）は満たせないよって、元の話に戻ると、６個の辺と共有点をもつためには AB、CD,BFの次にCGと共有点を持たなければならない（AEとは共有点をもたない）次に、②についてBCかEHのどちらかと共有点をもつことになりますが先ほどと同様にｄ＞１．６よりBCと共有点をもつ最後に、AB,CD,BF,CG、BCの次に④のADとFGのいずれかと共有点をもたなければならないが、今度はいずれの場合も先ほどと同様にｄ＞１．６より不適である。よって球は６つ（以上）の辺と共有点を持つことは出来ない。ところが、先述のように、５つの辺と共有点を持つことは出来るので求める答えは５つの辺である。以上です。ただ、これはこの前の東工大の問題よりもはるかに難しい内容だと思います。この前の問題は私は見た瞬間に方針を思いつきましたが今回の問題はかなり考えさせられました。（１）はまだ常識的なレベルですが、（２）はちょっと高校生らしく（？）ありません（笑）恵日さんの反応を見ていると、おそらく（２）を理解するのは現段階ではつらいと思いますので、あまりやりすぎることはお勧めしません。今回の問題については、（２）を３個と予想してしまったことを大いに反省すること、それくらいで十分だと思います。（その代わり、その反省はしっかりしてください）最初のアドバイスでいったこと、「同じ体積の球と立方体が並べたときどういう形になるか想像してください」それが正確に想像できていれば、予想は小学生でもできるはずです。図形の能力を鍛えたければ、細かいテクニックよりもそういう根本的な力を鍛えるのが一番の近道です。頑張ってくださいね。

	32436．Re: 立方体と球
	名前：恵日日付：5月31日(木) 15時22分
	To　ぱんだ様大変お詳しい解説、どうもありがとうございました。思考過程まで詳細に書いてくださったおかげで、とてもわかりやすかったです。ホントにありがとうございました^^

	32441．Re: 立方体と球
	名前：ぱんだ日付：5月31日(木) 22時38分
	返信ありがとうございます。お役に立てたようで何よりです。また何かありましたらご遠慮なくどうぞ。ところで、私からの質問ですが、この問題の出典は何でしょうか？（時間が大量に与えられる数学オリンピックの問題ならば今やったようにとけばよいと思いますが、一問３０分しかかけられない大学受験問題ならば私は（１）だけまじめにやって（２）は予想の５個をそれっぽく適当に書いて終るところです。）

	32446．Re: 立方体と球
	名前：恵日日付：6月1日(金) 12時53分
	To　ぱんだ様＞返信ありがとうございます。お役に立てたようで何よりです。また何かありましたらご遠慮なくどうぞ。ありがとうございますm(__)m ＞この問題の出典は何でしょうか？確認したところ、年度はわかりませんが、だいぶ前の大阪大の問題だそうです。

	32447．Re: 立方体と球
	名前：ぱんだ日付：6月1日(金) 17時55分
	返信ありがとうございます。大学入試の問題でしたか。出題形式はどのようなものだったのでしょう。答えだけでよいならかなり短時間で出ますが完全な証明は、時間内には私も無理ですし時間をかけても上のような証明を出来る時点で既に高校生らしくない（笑）ですし。まあ、受験の問題ということなら、予想の答えを書いて、理由をある程度それっぽくかいて「明らかに」などの言葉でごまかすのがよいでしょう。３０分で解けといわれたら捨て問題ですね。

	32449．Re: 立方体と球
	名前：恵日日付：6月1日(金) 23時16分
	＞出題形式はどのようなものだったのでしょう。大阪大は伝統的に120分5題、全問記述式と聞いておりますので、本問も解答は結果のみでなく、結果に至るまでの過程も必要だったのでは？っと思います。ただ私には、(2)についてはばんだ様のような解答を24分で作れる気が全くしません^^;

	32451．Re: 立方体と球
	名前：ぱんだ日付：6月2日(土) 7時57分
	＞ただ私には、(2)についてはばんだ様のような解答を24分で作れる気が全くしません^^; 私も無理です（苦笑）２個と５本の答えの検討をつけるのは時間内に可能ですが（２）の答案を作るのには恥ずかしながら私も１時間以上かかってしまいました。結果に至るまでの過程が必要ということですが、やはり適当にごまかして６本は明らかに無理としてそれっぽく書くことになりそうですね。どうも返信ありがとうございました。

	32458．Re: 立方体と球
	名前：恵日日付：6月2日(土) 14時30分
	To　ぱんだ様こちらこそ、最後までいろいろなアドバイスをしていただきまして、ありがとうございました。

32333．(untitled)

名前：コメダ一登 日付：5月25日(金) 22時10分

私は高３なのですが、特性方程式の意味がよくわかりません。お願いしますm(__)m

	32336．Re: (untitled)
	名前：ヨッシー日付：5月26日(土) 1時14分
	とりあえず，こちらをご覧下さい。　 http://yosshy.sansu.org/

32327．質問です。

名前：新大学一年生 日付：5月24日(木) 18時33分

直線lとそれに平行な線分ABが与えられている。直線lの上で、量|MA|/|MB|が最大値もしくは最小値をとるような点Mを求めよ。
直線と曲線ハンディブックの問題5.7です。
レベル曲線がよくわかりません…よろしくお願いします。

32323．(untitled)

名前：リーンゴーン 日付：5月24日(木) 16時38分

xyz空間において，点(0,0,0)をA，点(8,0,0)をB，点(6,2√3,0)をCとする．点Pが△ABCを一周するとき，Pを中心と半径1 の球が通過する点全体のつくる立体をVとする．Vの体積を求めよ．

△ABCは1：2：√3の直角三角形でした。この直角三角形の辺に中心を持つ球が動き回るということですが図形が想像できないせいでまったく堆積の求め方がわかりません。解き方を詳しく教えてください。お願いします。

	32325．Re: (untitled)
	名前：ヨッシー日付：5月24日(木) 17時17分
	学年は？積分使って良いですか？　 http://yosshy.sansu.org/

	32329．Re: (untitled)
	名前：ヨッシー日付：5月25日(金) 11時14分
	この立体を　平面ｚ＝ｋ　（０＜ｋ＜１）で切り取ると、 △ＡＢＣを半径√(１－ｋ^2) の円が動いた図形になります。一方、△ＡＢＣを半径ｒの円が動いた図形の面積を求めます。この図形の面積は、半径ｒの円(中心角が90°,120°,150° なので、合わせると円になります)と、辺ＡＢの外側にできた高さｒの長方形、辺ＢＣの外側にできた高さｒの長方形、辺ＣＡの外側にできた高さｒの長方形、 △ＡＢＣから△ＤＥＦを引いたものの合計になります。　ＥＦ＝ＢＣ－ｒ－ＢＧ　ＢＧ＝√3ｒより、　ＥＦ＝４－(１＋√3)ｒ　ＦＤ＝√3ＥＦ △ＤＥＦの面積は　(√3/2)ＥＦ^2＝(√3/2){(4＋2√3)ｒ^2－8(1＋√3)ｒ＋16} 　　＝{(3＋2√3)ｒ^2－4(3＋√3)ｒ＋8√3} 以上より、この図形の面積は、　πｒ^2＋(4＋8＋4√3)ｒ＋(4×4√3÷2)－{(3＋2√3)ｒ^2－4(3＋√3)ｒ＋8√3} 　＝(π－3－2√3)ｒ^2＋(24＋8√3)ｒこれをｒ＝√(１－ｚ^2)に置きかえると、　Ｓ(z)＝(π－3－2√3)(１－ｚ^2)＋(24＋8√3)√(１－ｚ^2) これを、ｚ＝０～１で積分して、　Ｖ/２＝∫(0～1){(π－3－2√3)(１－ｚ^2)＋(24＋8√3)√(１－ｚ^2)}dz 　　＝∫(π－3－2√3)(１－ｚ^2)dz ＋∫(24＋8√3)√(１－ｚ^2)dz Ｖ1＝∫(π－3－2√3)(１－ｚ^2)dz、Ｖ2＝∫(24＋8√3)√(１－ｚ^2)dz とおきます。　Ｖ1＝(π－3－2√3)[ｚ－ｚ^3/3](0～1)＝(2/3)(π－3－2√3) ｚ＝sinθ とおくと、0≦ｚ≦1 は 0≦θ≦π/2 に相当し、√(１－ｚ^2)＝cosθ また、dz＝cosθdθ より、　Ｖ2＝(24＋8√3)∫(0～π/2)cos^2θdθ 　　＝(24＋8√3)∫(cos2θ＋1)/2 dθ 　　＝(24＋8√3)/2 [(sin2θ)/2 ＋θ](0～π/2) 　　＝(12＋4√3)π/2＝(6＋2√3)π 以上より、　Ｖ/２＝(2/3)(π－3－2√3)＋(6＋2√3)π 　　＝(20/3 ＋ 2√3)π－(2＋4√3/3) よって、　Ｖ＝(40/3 ＋ 4√3)π－(4＋8√3/3) 　 http://yosshy.sansu.org/

	32330．Re: (untitled)
	名前：ヨッシー日付：5月25日(金) 12時49分
	立体はこんなのです。　 http://yosshy.sansu.org/

32316．ｎ個の超球面を表すように　に　拡張して　解いて　下さい　

名前：無に等しい 日付：5月24日(木) 0時21分

日付：5月19日(土) 9時32分のを　再掲　
-x^2 + x^4 - 2*x^2*y + y^2 + 2*x^2*y^2 -
2*y^3 + y^4 - 2*x^2*z + A*y*z - 2*y^2*z +
z^2 + 2*x^2*z^2 - 2*y*z^2 + 2*y^2*z^2 -
2*z^3 + z^4==0 が
二つの球面を表すように　A を　（未定係数法以外の発想で）定め、
交角（二つの球面の交線上の任意の点での接空間T1,T2の為す角）を求めよ。

　　　再度のお願い；　よろしくお願いします

更に、　上のAを定めた後、そのAを微小に変化させたときの左辺=0 の
　　　　　表す　空間R^3 の　代数多様体達　を　描写
(もはや　球面達ではない）　して　いただければ　幸甚に存じます

	32337．前半部分まで…
	名前：みっちぃ日付：5月26日(土) 4時19分
	高校生でも解ける方法で… とりあえず，普通に書くと読みにくいので，ax^py^qz^r→a[p,q,r]と書き換えます。すると，与式は -[2,0,0]+[4,0,0]-2[2,1,0]+[0,2,0]+2[2,2,0]-2[0,3,0]+[0,4,0]-2[2,0,1]+A[0,1,1] -2[0,2,1]+[0,0,2]+2[2,0,2]-2[0,1,2]+2[0,2,2]-2[0,0,3]+[0,0,4]=0 と書け，これを全文字(x,y,z)の次数ごとに並べると [4,0,0]+[0,4,0]+[0,0,4]+2([2,2,0]+[0,2,2]+[2,0,2]) -2([2,1,0]+[2,0,1]+[0,3,0]+[0,2,1]+[0,1,2]+[0,0,3]) +([0,2,0]+[0,0,2]+A[0,1,1]-[2,0,0])=0 元に戻すと x^4+y^4+z^4+2(x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2)-2(x^2y+x^2z+y^3+y^2z+yz^2+z^3)+(y^2+z^2+Ayz-x^2)=0 (x^2+y^2+z^2)^2-2(y+z)(x^2+y^2+z^2)+(y^2+z^2+Ayz-x^2)=0 これが，2球面を表すこと，y,zについて対称であることを考えると，(かなり明らかですが…)3次の項の係数を合わせるために {x^2+y^2+z^2+ax+by+cz}{x^2+y^2+z^2-ax-(2+b)y-(2+c)z}=0と置ける。この展開より2次の項は x^2:-a^2=1 ⇔ a=±1 y^2:-b(2+b)=1 ⇔ (b+1)^2=0 ∴b=-1 z^2:-c(2+c)=1 ⇔ (c+1)^2=0 ∴c=-1 これにより，aが1でも-1でも {x^2+y^2+z^2+x-y-z}{x^2+y^2+z^2-x-y-z}=0であり，yzの項よりA=2。よって，2球面はx^2+y^2+z^2+x-y-z=0，x^2+y^2+z^2-x-y-z=0。交線はx=0，かつy^2+z^2-y-z=0(⇔(y-1/2)^2+(y-1/2)^2=1/2)であり，交線上の任意の点はP(0,1/2+cosθ/√2，1/2+sinθ/√2)と書ける。今，球面上の接平面は半径と直交するので，2球の中心がC_1(-1/2,1/2,1/2)，C_2(1/2,1/2,1/2)に対して，接平面T1，T2の法線ベクトルは C_1P↑=(1/2,cosθ/√2，sinθ/√2)，C_2P↑=(-1/2,cosθ/√2，sinθ/√2)であり，「接平面のなす角」=「法線ベクトルのなす角」から C1P↑・C2P↑=\|C1P↑\|\|C2P↑\|cosα 1/4=(3/4)*cosα ⇔α=arccos(1/3)。

32314．(untitled)

名前：キゥィ 日付：5月23日(水) 22時4分

教えてください。

原点Ｏを中心とし、直線l:3x+4y-5=0に接する円C1がある。また、x軸の正の部分に中心があり、lに接し、C1と外接円をC2とする。以下同様に、x軸の正の部分に中心があり、lに接し、C( n)とする円をC(n+1)とする。ただし、C(n+1)の中心のx座標は、C(n)の中心のx座標より大きいものとする(n=1、2、3…) C(n)の半径をr(n)とするとき、
① r(n)を求めよ。
② r(n+1)をr(n)を用いて表せ。
③ C(n)の面積をS(n)とするとき∞∑(n=1)S(n)を求めよ。

	32319．Re: (untitled)
	名前：ヨッシー日付：5月24日(木) 8時44分
	C1 の半径は１であることは、別途求めておくとして、 C1 と C2 の半径の比率は、図の△ＡＢＣと△ＡＤＥの相似比と同じです。さらに言うと、ＡＢ：ＡＤと同じです。Ａのｘ座標は5/3、Ｂは－１、Ｄは１であるので、ＡＢ＝8/3、ＡＤ＝2/3 となり、ＡＢ：ＡＤ＝４：１　です。これは、C(r) と C(r+1) の間にも言えるので、 (2) r(n+1)＝r(n)/4 (1) r(n) は初項１、公比1/4の等比数列なので、　r(n)＝1/4^(n-1) (3)　∞∑(n=1)S(n) の∞とn=1 は省略しますが、 ∑S(n)＝Π∑r(n)^2＝Π(１＋1/16＋1/256＋・・・) 　　＝16Π/15 　 http://yosshy.sansu.org/

32308．(untitled)

名前：リーンゴーン 日付：5月23日(水) 15時35分

nを正の整数、kを-n≦k≦nを満たす整数とする。次の四つの不等式を満たす(x,y)のうち、xもyもともに整数であるようなものの個数を求めなさい。

y≦-x+n-k
y≦x+n+k
y≧x-n-k
y≧-x-n+k

直線の交点はそれぞれ(-k,n)、(n,k)、(-n,k1)、(k,-n)となりますので、これらの4点を頂点とする長方形の内部及び周の整数点が答えになると思ったので、長方形の二辺は√2(n+k)と√2(n-k)なので、答えは√2(n+k)*√2(n-k)になると思ったのですが、全然違いました。どうしてコレは違うんですか？正しい解き方はどうなりますか？お願いします。

	32310．Re: (untitled)
	名前：らすかる日付：5月23日(水) 16時43分
	＞どうしてコレは違うんですか？面積と格子点が一致すると考えている点が誤りです。例えば正方形(1,0)(0,1)(-1,0)(0,-1)の面積は2ですが、内部の格子点は1個、周を合わせると5個ですからまったく合いません。＞正しい解き方はどうなりますか？解き方は何通りかあると思いますが、この問題の場合は正方形(n,n)(-n,n)(-n,-n)(n,-n)の格子点の数から斜辺以外の二辺がn+kの直角二等辺三角形の格子点の数（斜辺上の格子点は除く）の2倍と斜辺以外の二辺がn-kの直角二等辺三角形の格子点の数（斜辺上の格子点は除く）の2倍を引くのが簡単そうに思えます。 http://www10.plala.or.jp/rascalhp

	32311．Re: (untitled)
	名前：ヨッシー日付：5月23日(水) 17時0分
	では、別の方法を。図は、n=5,k=3 の例ですが、ｋが負になる場合も含めて、長方形の２辺が (n+k)√2 と、(n-k)√2 になるということは、良いですね。すると、辺には、√2 ずつ格子点が並びますので、これらと、正方形を形成する格子点（●）が　(n+k+1)×(n-k+1) 個ありこれらの正方形の真ん中に位置する格子点（●）が、　(n+k)×(n-k) 個ありますので、合計　(n+1)^2-k^2 + n^2-k^2＝2n^2+2n-2k^2+1 (個) となります。　 http://yosshy.sansu.org/

	32312．Re: (untitled)
	名前：らすかる日付：5月23日(水) 17時2分
	そちらの方が簡単ですね。 http://www10.plala.or.jp/rascalhp

	32320．Re: (untitled)
	名前：リーンゴーン日付：5月24日(木) 16時3分
	ラスカルさんの解説はよくわかりました。ヨッシーさんの解説は＞すると、辺には、√2 ずつ格子点が並びますので、これらと、正方形を形成する格子点（●）が　(n+k+1)×(n-k+1) 個ありこれらの正方形の真ん中に位置する格子点（●）が、　(n+k)×(n-k) 個ありますのでここのところが分かりません。ここをもう少し詳しく教えてください。

	32324．Re: (untitled)
	名前：ヨッシー日付：5月24日(木) 17時6分
	上の図でいうと、長方形の辺の長さは 2√2 と 8√2 です。式でいうと、(n-k)√2 と (n+k)√2 です。まず黒い●を数えます。●は、長方形の辺に平行で、１辺√2 の正方形の各頂点におかれています。 2√2 の辺には 2+1＝3 個、8√2 の辺には 8+1=9 個あり、合計　3×9＝27 個です。式で書くと、(n-k+1)×(n+k+1) です。次に赤い● を数えます。赤い● は、黒い ● で作られる正方形１個に付き１個おかれています。正方形は 2×8 個ありますので、赤い● も16個あります。式で書くと (n-k)×(n+k) です。　 http://yosshy.sansu.org/

32307．(untitled)

名前：リーンゴーン 日付：5月23日(水) 15時21分

こっちの問題も教えてください。どうぞよろしくお願いします。

xy平面内に次の二つの集合l，mを考える．
l={(-5,y)|-5y5}
m={(5,y)|-5y5}
l，m上にない2点A，Bに対し，A，Bをl，mと交わらない線分又は折れ線で結ぶときの経路の長さ
の最小値をd(A,B)で表す．
2点P(-9,3)，Q(9,3)に対し，
d(P,Q)=d(Q,R)
となる点Rの軌跡をxy平面上に図示せよ．

	32313．Re: (untitled)
	名前：ヨッシー日付：5月23日(水) 17時31分
	-5y5 とあるのは、-5＜y＜5 とします。特に説明はいらないと思います。ＱＡＢＰを結んだ折れ線をロープに見立てて、Ｑを中心にぶん回した状況です。図では切れていますが、右の方にも大きな円があります。点Ｃに届く寸前に、内回りをした方が近いところがあって、ちょっと複雑な形になります。図は、点Ｃ付近の拡大図です。いずれにしても、円周を組み合わせた形になります。　 http://yosshy.sansu.org/

	32321．Re: (untitled)
	名前：リーンゴーン日付：5月24日(木) 16時5分
	＞-5y5 とあるのは、-5＜y＜5 とします。失礼しました。そのとおりです。＞特に説明はいらないと思います。ＱＡＢＰを結んだ折れ線をロープに見立てて、Ｑを中心にぶん回した状況です。 (×△×)すみません。説明ほしいです。よくわからないです。

	32326．Re: (untitled)
	名前：ヨッシー日付：5月24日(木) 18時13分
	↑こういうことです。Ｑから伸びたヒモの長さ d(Q,R) は　d(P,Q) と等しいです。ただし、点Ｃ付近の内回りの件は、反映していません（美しくないので^^;) 　 http://yosshy.sansu.org/

32306．(untitled)

名前：リーンゴーン 日付：5月23日(水) 15時21分

よろしくお願いします。この問題の解き方をわかりやすく教えてください。

xy平面上の2点P，Qに対し，PとQをx軸またはy軸に平行な線分からなる折れ線で結ぶときの経路の
長さの最小値をd(P,Q)で表す．
(1)原点O(0,0)と点A(1,1)に対し，d(O,P)=d(P,A)をみたす点P(x,y)の範囲をxy平面上に図示
せよ．
(2)実数a0に対し，点Q(a,a^2+1)を考える．
次の条件(※)を満足する点P(x,y)の範囲をxy平面上に図示せよ．
(※)原点O(0,0)に対し，d(O,P)=d(P,Q)となるようなa≧0が存在する．

	32309．まず(1)番
	名前：ヨッシー日付：5月23日(水) 15時54分
	座標面を図のように９つのエリアに分けます。例えば、(1) はｘ≦０かつｙ≧１、(5) は０≦ｘ≦１かつ０≦ｙ≦１です。（説明上、境界線上の点はどちらのエリアにも含むとします） (1) d(O,P)=-x+y, d(P,A)=(1-x)+(y-1) より、　-x+y=-x+y より、このエリア内の任意の点は、d(O,P)=d(P,A) を満たす。　(9) も同様です。 (2)　x+y=(1-x)+(y-1) より、x=0 つまりｙ軸上の点のみ、d(O,P)=d(P,A) を満たす。　同様に(4) は、y=1 上。(6) はｘ軸上。(8) は、x=1 上。 (3)は、必ず d(O,P)＞d(P,A)、(7) は、必ずd(O,P)＜d(P,A) となる。 (5) x+y=(1-x)+(1-y) より、2x+2y=2 より、直線 x+y=1 上の点が d(O,P)=d(P,A) を満たす。以上より、d(O,P)=d(P,A) を満たす点は、以下のようになります。　 http://yosshy.sansu.org/

	32322．Re: (untitled)
	名前：リーンゴーン日付：5月24日(木) 16時7分
	(1)の解説ありがとうございました。かなり難しいですが今何とか理解しかけてきてます。(2)の方も教えてください。お願いします。

32300．図形問題

名前：ナイトメア　オブ　アリス 日付：5月23日(水) 11時17分

一辺の長さが5cmの立方体の内部を半径1cmの球が動き回る。
このとき、立方体の内部で球が動き見回ることのできる空間図形の体積Vと表面積Sを求めよ。

図が想像できていないのか、解答を見てもよくわかりません。
おねがいします。

	32301．Re: 図形問題
	名前：らすかる日付：5月23日(水) 12時29分
	図が想像できないと厳しいと思いますが、この図形は「角が丸い立方体」ですよね。これは、各面から1cmの平面で切ってバラバラにして考えると考えやすいと思います。バラバラにすると、　3cm角の立方体が1個　3cm×3cm×1cmの正四角柱が6個　底面の半径が1cm、高さが3cmの円柱の1/4が12個　半径1cmの球の1/8が8個となりますね。 http://www10.plala.or.jp/rascalhp

	32302．Re: 図形問題
	名前：ヨッシー日付：5月23日(水) 12時44分
	図は、上半分の図です。中身が見えるように、１つだけ直方体を取り外してあります。らすかるさんの書かれたとおり、　3cm角の立方体が1個　3cm×3cm×1cmの正四角柱が6個　底面の半径が1cm、高さが3cmの円柱の1/4が12個　半径1cmの球の1/8が8個になります。　 http://yosshy.sansu.org/

	32304．Re: 図形問題
	名前：ヨッシー日付：5月23日(水) 14時22分
	ちょっと見にくいですが、こんなの。　 http://yosshy.sansu.org/

	32317．Re: 図形問題
	名前：ナイトメア　オブ　アリス日付：5月24日(木) 2時5分
	ありがとうございました！図を描いてくださったおかげでよく分かりました。自分でこういう問題に出会ったら図を書けるかどうか自信ないですけど。。。でもがんばっていこうと思います表面積が苦手なんですが教科書見たら自分で解けそうなので調べてきますありがとうございましたー！

32292．二項定理

名前：ナイトメア　オブ　アリス 日付：5月22日(火) 22時45分

(1)101^(100)の下位5桁を求めよ
(2)99^(100)の下位5桁を求めよ

100乗もあると下位5桁がどうなるのかよく分かりません。
二項定理を利用するといっても、最初の5乗くらいまでを
nCrで出して、下位5桁を求めているようですが
どうして最初のほうだけ計算して出したら、下位5桁が分かるんでしょうか？
98乗とか99乗あたりは下位5桁に影響しないんでしょうか？
なんか計算式だけ見ても分からないので
どうして下位5桁が最初のほうだけで求まるのかを言葉で教えてほしいです。
おねがいします。

	32295．Re: 二項定理
	名前：らすかる日付：5月23日(水) 0時11分
	最初の方だけで求まる、ということは (1+100)^100 のようにして展開したということでしょうか。そうすると、第2項は100、第3項は100^2=10000、第4項は100^3=1000000、…が掛けられていて、第4項は ……000000、第5項は ……00000000 のようになりますので、第4項以降は下位5桁に関係ないですね。 http://www10.plala.or.jp/rascalhp

	32299．Re: 二項定理
	名前：ナイトメア　オブ　アリス日付：5月23日(水) 11時3分
	ありがとうございました教科書では(1+100)^(100) なんていう難しい二項定理用の式にされていたんですが（らすかるさんもそうやっていますね）それで、100C1{1^(99)}(100)+...となっていたので難しく感じましたが、100は1乗から大きくなるだけだから最初のほうだけで求まるってことですよね？でも(2)のほうは問題が(1-100)^(100)だけど・・あー最初のほうだけでいいのかな・・なんとなく分かりましたありがとうございました！

	32303．Re: 二項定理
	名前：ヨッシー日付：5月23日(水) 12時46分
	(2)は　(100-1)^100 ですYO! 　 http://yosshy.sansu.org/

	32318．Re: 二項定理
	名前：ナイトメア　オブ　アリス日付：5月24日(木) 2時5分
	あ、そうでしたｗうっかりしてましたｗこれからは気をつけようと思いますありがとうございましたー！

32290．答えまでのプロセス

名前：ヨッシーマン 日付：5月22日(火) 20時9分

d(14.053-d)=33.0625
d=11.065は解っていますが（答えだけ）途中の解き方が解りません。
宜しくお願いします。

	32291．Re: 答えまでのプロセス
	名前：ラディン.ms 日付：5月22日(火) 20時38分
	展開して整理して解の公式を使うと　d={14.053±√(14.053^2-4*33.0625)}/2 根号のところは大体√65でした……

	32298．Re: 答えまでのプロセス
	名前：ヨッシーマン日付：5月23日(水) 8時35分
	ラディン.msさん、大変ありがとうございました。理解できました。

32288．領域の最大値　　偏差値６０ぐらい

名前：小宮賢太 日付：5月22日(火) 18時53分

「xとyが不等式x^2-4x-y-2<=0,2x+y-1=0をみたすとき、ax-yの最大値をもとめよ。」の解答をお願いします。

	32289．Re: 領域の最大値　　偏差値６０ぐらい
	名前：ヨッシー日付：5月22日(火) 19時1分
	2x+y-1=0 より、y=-2x+1 これを、x^2-4x-y-2≦0 に代入して、　x^2-4x+2x-1-2≦0 　x^2-2x-3≦0 　(x-3)(x+1)≦0 　-1≦x≦3 一方、y=-2x+1 を ax-y に代入して　ax+2x-1 = (a+2)x -1 これの -1≦x≦3 における最大値を調べます。　a=-2 のとき、ax-y は常に -1 であり、最大値は -1。　a＜-2 のとき、x が小さいほど ax-y は大きいので、x=-1 のとき　最大値 -a-3 　a＞-2 のとき　(以下略) 　 http://yosshy.sansu.org/

	32294．Re: 領域の最大値　　偏差値６０ぐらい
	名前：小宮賢太日付：5月22日(火) 23時11分
	なるぼど。そういう解答でいいんですね。では、2x+y-1<=0だったら、どういう風になるのですか？

	32305．Re: 領域の最大値　　偏差値６０ぐらい
	名前：ヨッシー日付：5月23日(水) 14時53分
	２つの不等式の共通領域は、図のようになります。　ax-y=k とおくと、y=ax-k より、この直線が、上の領域と共有点を持ちながら傾きおよび切片が変化するときの、切片の最小値（切片が -k なので）がａによって、どう変わるかを見ます。まず、交点(-1,3), (3,-5) における接線の傾きは、-6, 2 であることを確認しておきます。　ａ＜－６のとき、点(-1,3) を通るときが切片は最小。このとき　k=-a-3 　－６≦ａ≦２　のとき、y=ax-k が y=x^2-4x-2 に接しているときが切片は最小。　代入して、判別式＝０　とすると、ｋ＝a^2/4 ＋2a＋6 　ａ＞２のとき、点(3,-5) を通るときが切片は最小。このとき　k=3a+5 　 http://yosshy.sansu.org/

	32315．Re: 領域の最大値　　偏差値60ぐらい
	名前：小宮賢太日付：5月23日(水) 23時36分
	ありがとうございました＼(^o^)／

32283．方程式

名前：みぉ（高3） 日付：5月22日(火) 0時13分

a,bを整数とし、2次方程式x^2+ax+b=0を考える
(1)この方程式の2つの解が整数のとき、判別式Dは平方数であることをしめせ。
　ただし、平方数とは整数の平方で表される数である。

(2)判別式Dが平方数ならば、解はすべて整数であることを示せ。

(1)はなんとかできたのですが、(2)がよくわかりません。
よろしくおねがいします！

	32284．Re: 方程式
	名前：教得手　学日付：5月22日(火) 1時24分
	判別式D＝a＾2-４ｂ　が平方数であれば　　　a＾2-４ｂ＝ｍ＾2　（ｍ：整数）とおけます。このとき a が奇数ならば左辺も奇数となり、ｍも奇数となります。 a が偶数ならば左辺も偶数となり、ｍも偶数となります。　　すなわち　a≡ｍ（ｍoｄ２）となります・・・・・（イ） x^2+ax+b=0　の解は　ｘ＝（－a±√D）／２　　　　　　　　　　　＝（－a±ｍ）／２　ところが（イ）より分子はともに２の倍数となるから、約分が出来て解ｘはともに整数となります。

	32297．Re: 方程式
	名前：みぉ（高3）日付：5月23日(水) 6時52分
	わかりました！ありがとうございます！

32280．数

名前：せな日付：5月21日(月) 23時42分

正の整数から、どうやって負の数や有理数、無理数までを考えていくかについて、問われているのですが、
負の数はなんとなく漠然とですが正の整数から生まれた過程を私なりに考えることができたのですが、有理数、無理数がどうもうまくいきません＞＜
どうしてこのような数字が生まれてきたのでしょうか？？教えてください！！

	32287．Re: 数
	名前：ヨッシー日付：5月22日(火) 8時36分
	この質問に、ピッタリ答えているわけではありませんが、こちらをご覧下さい。要は、数の表記方法の限界と、限界を超えた必要性から発展させていったものかと。　 http://yosshy.sansu.org/

32278．関数の最大値、最小値を教えてください

名前：麻奈（高３） 日付：5月21日(月) 21時2分

y＝（x＾２－３x)＾２－９（x＾２－３x)で（１≦x≦４）
の最大値、最小値を求めよ
（　）の中をくくりだしてA＾２－９A　にするまではあってますか？
その先がまったくわかりません
よろしくお願いします

	32282．Re: 関数の最大値、最小値を教えてください
	名前：教得手　学日付：5月22日(火) 0時6分
	A＝x^2－３x　とおくのでいいでしょう A＝x^2－３x＝（x－３／２）^2－９／４より　A は１≦x≦４においては　　x＝３／２　のとき最小値 A＝－９／４　　x＝４　のとき最大値　A＝4＾2-34＝４　　をとります。－9/4≦A≦４　のとき　y ＝A^2－９A　の値のとる範囲は　　y ＝A^2－９A＝（A-9/2）^2－81/4　　より　グラフは　A＝9/2　を軸とする上開きの放物線となる（A軸が横軸）　よって　yは　A＝－9/4　のとき最大値・・(-9/4)^2－9(-9/4)＝405/16 　　　　　　　A＝４　のとき最小値・・4^2－9*4＝－20 をとります。ちなみに　最大値のときの x は 3/2、最小値のときのx は４　です。・・・以上、「教えたがり屋」改め「教得手　学」・・・

32270．証明問題

名前：しげみ 日付：5月21日(月) 0時23分

f(x)=x^2+7とおく．
(1)nは3以上の自然数で，ある自然数aにたいしてf(a)は2^nの倍数になってい
るとする．このときf(a)とf(a+2^(n−1))のうち少なくとも一方は2^(n+1)の倍数で
あることを示せ．
(2)任意の自然数nにたいしてf(a[n])が2^nの倍数となるような自然数a[n]が存在す
ることを示せ．

(1)はなんとか解けたんですが(2)が全然わかりませんでした。(2)の解法をわかりやすく教えてください。お願いします。

	32274．Re: 証明問題
	名前：ヨッシー日付：5月21日(月) 13時56分
	(1) f(a)＝a^2+7 が 2^n の倍数であるとき、　a は奇数であることは明らかです。 f(a)＝a^2+7＝m・2^n (m は整数）と書けます。 m が偶数のとき、明らかにf(a) は 2^(n+1) の倍数。 m が奇数のとき、　f(a+2^(n-1))=(a+2^(n-1))^2 + 7 　　＝a^2+7 + a・2^n + 2^(2n-2) 　　＝m・2^n + a・2^n + 2^(n-3)・2^(n+1) 　　＝(m+a)・2^n + 2^(n-3)・2^(n+1) m+a は偶数なので、(m+a)・2^n は、2^(n+1) の倍数。ｎ≧３より、2^(n-3) は整数であり、2^(n-3)・2^(n+1) は、2^(n+1) の倍数。以上より、f(a+2^(n-1)) は 2^(n+1) の倍数になります。　 http://yosshy.sansu.org/

	32275．Re: 証明問題
	名前：ヨッシー日付：5月21日(月) 14時5分
	(2) n=1 のとき、例えば a[1]=1 が条件を満たします。　f(1)＝8＝4・2^1 n=2 のとき、同様に a[2]=1 が条件を満たします。　f(1)＝8＝2・2^2 n=3 のとき、同様に a[3]=1 が条件を満たします。　f(1)＝8＝1・2^3 n≧3 である自然数ｎについて、　f(a[n]) が 2^n の倍数であるとき　f(a[n]) が 2^(n+1) の倍数であるとき　a[n+1]=a[n] 　f(a[n]) が 2^(n+1) の倍数でないとき　a[n+1]＝a[n]＋2^(n-1) によって、a[n+1] を決めることが出来る。以上より、任意の自然数ｎについてa[n] を決めることが出来ます。　　 http://yosshy.sansu.org/

32269．領域の問題

名前：小宮賢太 日付：5月20日(日) 23時46分

座標平面で、x^2-3xy+y^2+6x-8y+8>=0のあらわす領域を図示せよ。
　　　問題の解答の仕方がわかりません。

	32273．Re: 領域の問題
	名前：ヨッシー日付：5月21日(月) 13時47分
	x^2-3xy+y^2+6x-8y+8=0 のグラフを原点周りに45°回転させてみましょう。　 http://yosshy.sansu.org/

32268．関数の微分について・・・(対象は高３くらいかな)

名前：るう日付：5月20日(日) 23時7分

sinx/x＾2-logxの微分をしてみたんですが、どこまでもっていけば
正しい解答になるのかいまいちわからなくて。。あまりにも複雑な
だらだらとした式になってしまうので、自信がありません。。
どなたか教えてください！！

あと、log(x＾2+1)のグラフの書き方を教えてください！！

	32272．Re: 関数の微分について・・・(対象は高３くらいかな)
	名前：ヨッシー日付：5月21日(月) 13時8分
	{(sinx)/x＾2-logx}' = {(x^2)cosx - 2x・sinx}/x^4 - 1/x または {(x^2)cosx - 2x・sinx - x^3}/x^4 で十分でしょう。 f(x)＝log(x＾2+1) とおく。 f'(x)＝2x/(x^2+1) f"(x)＝{2(x^2+1)-4x^2}/(x^2+1)＝2(1-x^2)/(x^2+1) より、x=0 でf'(x)＝０，ｘ＝±１で、f"(x)＝０図のように、ｙ軸について対象で、－１＜ｘ＜１　で、下に凸、それ以外で上に凸。ｘ＜０で単調減少、ｘ＞０で単調増加。極小値がｘ＝０でf(x)＝０変曲点が(-1,log2) と (1,log2) となります。　　 http://yosshy.sansu.org/

	32277．(untitled)
	名前：るう日付：5月21日(月) 18時8分
	ありがとうございます！！(＞＜) また、寄せてもらいます☆★

32262．確率Ｐ（Ａ∪Ｂ）の取りうる値の範囲

名前：ShoWat 日付：5月20日(日) 10時51分

【問題】
独立な２つの事象Ａ，Ｂの積事象の確率Ｐ（Ａ∩Ｂ）＝１／４のとき、
和事象の確率Ｐ（Ａ∪Ｂ）の取りうる値の範囲を求めよ。

模範解答では、以下のように２次方程式を利用し、
定義域（０≦ｘ≦１）より確率の条件を求めていますが、
私は、相加・相乗平均を用いました。アプローチはまったく違うのですが
同じ答えとなりました。私の解答でもよろしいですか。
また、私の解答は汎用性がありますか。よろしくお願いいたします。

【模範解答】
Ａ、Ｂは互いに独立なので、
Ｐ（Ａ∩Ｂ）＝Ｐ（Ａ）＊Ｐ（Ｂ）＝１／４・・・①

確率の加法定理より
Ｐ（Ａ∪Ｂ）＝Ｐ（Ａ）＋Ｐ（Ｂ）－Ｐ（Ａ∩Ｂ）
Ｐ（Ａ）＋Ｐ（Ｂ）＝ｕ＋Ｐ（Ａ）＊Ｐ（Ｂ）　
Ｐ（Ａ）＋Ｐ（Ｂ）＝ｕ＋（１／４）・・・②

①、②からＰ（Ａ）とＰ（Ｂ）を解に持つ２次方程式は
解と係数の関係より、
ｘ^2－（ｕ＋１／４）ｘ＋（１／４）＝０・・・③

③を定義域（０≦ｘ≦１）で解を持つ条件は４つ。
i)判別式Ｄ≧０
ii)０≦軸（頂点のｘ座標）≦１

y=f(x)-ｘ^2－｛ｕ＋（１／４）｝ｘ＋（１／４）
ii)f(0)≧０
iv)f(1)≧１

途中省略しますが、i)～iv)を満たす条件が正解で
３／４≦Ｐ（Ａ∪Ｂ）≦１

【私の答案】
Ｐ（Ａ）≧０　かつＰ（Ｂ）≧０より
相加・相乗平均を用いて、
Ｐ（Ａ）＋Ｐ（Ｂ）≧２√（Ｐ（Ａ）＊Ｐ（Ｂ））
（等号成立条件　Ｐ（Ａ）＝Ｐ（Ｂ））・・・④

④の両辺から１／４を引いて
Ｐ（Ａ）＋Ｐ（Ｂ）－（１／４）≧２√Ｐ｛（Ａ）＊Ｐ（Ｂ）｝－（１／４）・・・⑤
確率の加法定理より
Ｐ（Ａ∪Ｂ）＝Ｐ（Ａ）＋Ｐ（Ｂ）－（１／４）・・・⑥
Ｐ（Ａ∪Ｂ）≧２√Ｐ｛（Ａ）＊Ｐ（Ｂ）｝－（１／４）・・・⑦
①を⑤へ代入して、
Ｐ（ＡＵＢ）≧２√（１／４）－（１／４）＝２＊（１／２）－（１／４）＝３／４

また、Ｐ（Ａ∪Ｂ）は全体集合の確率１を超えないので、
Ｐ（Ａ∪Ｂ）≦１・・・⑧

⑦、⑧より
３／４≦Ｐ（Ａ∪Ｂ）≦１

	32264．Re: 確率Ｐ（Ａ∪Ｂ）の取りうる値の範囲
	名前：黄桃日付：5月20日(日) 14時17分
	残念ながら、ShoWatさんの方法では、P（Ａ∪Ｂ)のとりうる範囲を求めているのではなく、P（Ａ∪Ｂ）が満たすべき不等式を求めているだけにすぎません。以下、最大限に趣旨を尊重して答案を解釈してみます。まず、３／４≦Ｐ（Ａ∪Ｂ）はいつでも正しいですが、等号が成立する場合（つまり、0≦P(A),P(B)≦1で等号をみたすP(A),P(B)が存在する）が実際にあることをいわなければ最小値を求めたことにはなりません(P(A)=P(B)=1/2の時条件を満たします）。しかしながら、確率の場合、とりうる値は0 以上1以下だから「平方根に関して閉じているので」必ず等号が成立する場合があります。したがって、この点を理解した上で相加相乗を使うのならＰ（Ａ∪Ｂ）の最小値が3/4 であるに関しては問題ありません（説明としては不十分とみなされるでしょうが、それは自分の理解とは別の問題です）。次に P(Ａ∪Ｂ）≦1 についても、本当に1までとりうるのかの吟味がかけています。P(A)=1,P(B)=1/4 にすれば１となるので明らかですから、この点を理解してP(Ａ∪Ｂ）の最大値は１としたのならOKですが、答案だけからは読めません。最後に、本当にべったり 3/4 から 1 まで全部動くのか、という吟味もありません。善意に解釈すれば、「P(A∪B)=P(A)+P(B)-1/4 なので、 f(x,y): [0,1]x[0,1]→[0,1] を f(x,y)=x+y-1/4 と定義し、fによる像すなわち、{f(x,y)\|xy=1/4}を求める問題で、xy=1/4 は連結だからその連続像も連結なので、最大値と最小値の間をすべて取りうる」から結果が得られる、となるでしょう。なお、高校レベルであれば、上記「」内は無視していただいて、その代わりに0≦x,y≦1の範囲で k=x+y-1/4 という直線が双曲線 xy=1/4 と交わる条件として k は最小値から最大値までべったり動くと説明する必要があるでしょう。ここまで理解してこの答案を書かれたのなら、OKです。ただし、テストの答案として採点者がここまで読み取ってくれるか、という質問であれば、答は NO です。参考までに付け加えますと、以上の点を踏まえて模範解答をもう一度見ていただくとその意図がよくわかると思います。

	32267．Re: 確率Ｐ（Ａ∪Ｂ）の取りうる値の範囲
	名前：我疑う故に存在する我日付：5月20日(日) 23時8分
	二つの賽コロを振る時、第一のサイコロの目が偶数なる事象を A, 第二の賽コロの目が偶数なる B とすると、これらは条件＞独立な２つの事象Ａ，Ｂの積事象の確率Ｐ（Ａ∩Ｂ）＝１／４を満たし、Ｐ（Ａ∪Ｂ） = 3/4 となる。そのほかの値でも具体的に確率空間と事象を作って示す必要がある。

32258．置き方に作用する操作　月曜までにお願いします

名前：あさまる 日付：5月19日(土) 23時59分

白２個　黒２個　青２個　で腕輪を作る。

このとき、反時計回りi/6回転をpi　としてp０（＝０回転、即ち動かさないという操作）、p１、p２、p３、p４、p５．
６本の対象軸をそれぞれ中心とする裏返し、t１、t２、t３、t４、t５、t６．
で固定される置き方の個数を求め、その合計を計算せよ。
（それぞれの捜査に対して、固定される置き方の個数を数えて合計する）

答えは、12（操作の数）×11（腕輪の種類）＝132となります。
図がヘタクソですいません。

32257．三角比

名前：あか日付：5月19日(土) 23時57分

2(cosθ)^2+19(sinθ)^2
の最大値を求めたいのですが…
最初sin^2θをtとおいてやってみましたが、8次式になって解けませんでした。
どなたか教えてください

	32259．Re: 三角比
	名前：Sin 日付：5月20日(日) 0時21分
	---------------------------------------------- In[5]:= f[x_, y_] := 2x^2 + 19y^2 g[x_, y_] := x^2 + y^2; In[7]:= {D[f[x, y], x] == λD[g[x, y], x], D[f[x, y], y] == λD[g[x, y], y], g[x, y] == 1} Out[7]= {4x == 2xλ, 38y == 2yλ, x^2 + y^2 == 1} lsol = Solve[{D[f[x, y], x] == λD[g[x, y], x], D[f[x, y], y] == λD[g[x, y], y], g[x, y] == 1}, {x, y, λ}] Out[11]= {{λ -> 2, x -> -1, y -> 0}, {λ -> 2, x -> 1, y -> 0}, {λ -> 19, y -> -1, x -> 0}, {λ -> 19, y -> 1, x -> 0}} In[12]:= {x, y} /. lsol Out[12]= {{-1, 0}, {1, 0}, {0, -1}, {0, 1}} In[14]:= f[x, y] /. lsol Out[14]= {2, 2, 19, 19} で最大値19（ついでに最小値2）

	32260．Re: 三角比
	名前：Sin 日付：5月20日(日) 0時25分
	Expand[2(1 - Sin[θ]^2) + 19Sin[θ]^2] Out[23]= 2 + 17Sin[θ]^2 で 2+170<=2 + 17Sin[θ]^2<=2+171=19 です。

	32261．Re: 三角比
	名前：らすかる日付：5月20日(日) 0時34分
	2(cosθ)^2+19(sinθ)^2 =2(cosθ)^2+2(sinθ)^2+17(sinθ)^2 =2{(cosθ)^2+(sinθ)^2}+17(sinθ)^2 =2+17(sinθ)^2 (sinθ)^2 の最大値は1だから 2+17(sinθ)^2 の最大値は 2+17×1=19 http://www10.plala.or.jp/rascalhp

32256．2球面

名前：バケリマン 日付：5月19日(土) 9時32分

-x^2 + x^4 - 2*x^2*y + y^2 + 2*x^2*y^2 -
2*y^3 + y^4 - 2*x^2*z + A*y*z - 2*y^2*z +
z^2 + 2*x^2*z^2 - 2*y*z^2 + 2*y^2*z^2 -
2*z^3 + z^4==0 が
二つの球面を表すように　A を　（未定係数法以外の発想で）定め、
交角（二つの球面の交線上の任意の点での接空間T1,T2の為す角）を求めよ。

　　　　　　　　よろしくお願いします

更に、　上のAを定めた後、そのAを微小に変化させたときの左辺=0 の
　　　　　表す　空間R^3 の　代数多様体達　を　描写
(もはや　球面達ではない）　して　いただければ　幸甚に存じます。

32251．線対称な五角形の面積

名前：恵日日付：5月18日(金) 19時59分

☆問題☆

一辺の長さが1の正方形の紙を1本の線分に沿って折り曲げたとき二重になる部分の多角形をPとする。Pが線対称な五角形になるように折るとき、Pの面積の最小値を求めよ。

自分でもいろいろと考えましたが、どうしてもこの問題が解けません。どうやって解くのか教えていただけないでしょうか。よろしくお願いします。

以下は一応自分で考えたところまでです。ただ解けていないのでので、何の参考にもならないと思いますので、軽く読み飛ばしてくださいね^^;

正方形の頂点を、左下から反時計回りにA、B、C、Dとします。正方形ABCDを線分QRに沿って折り曲げるとします。Qは辺AD上にあるとします。

Rが辺ADの隣り合う辺上にあるときは、多角形Pは三角形にしかなりませんので、このときは不適合です。したがって、Rは辺BC上にあります。でもAQ≦1/2かつBR≦1/2のときは、多角形Pは四角形にしかなりませんので、このときも不適合です。したがって、AQ＜1/2かつBR＞1/2とできます。このとき多角形Pは五角形になります。以下、Q、Rをそのような点とし、Pは五角形を表しているとします。・・・ここまでは図を描きながら考えたことで、あくまでも予想です。

まず点の設定をします。正方形ABCDを線分QRに沿って折り返したとき、頂点Aが移る点をE、頂点Bが移る点をFとします。さらに、辺ADと線分EFの交点をG、辺CDと線分EFの交点をH、辺CDと線分RFの交点をIとします。

⊿EGQと⊿DGHと⊿FIHと⊿CIRはすべて直角三角形であり、また∠EGQ=∠DGH=∠FIH=∠CIR(=θとします)ですので、⊿EGQと⊿DGHと⊿FIHと⊿CIRはすべて相似です。さらにPが線対称な五角形ですので、GQ=IR、HG=HIから、⊿EGQと⊿CIR、⊿DGHと⊿FIHはそれぞれ合同です。

ここで、辺の長さを設定します。EQ=a(0＜a＜1/2)、DH=b(0＜b＜1/2)とします。AQ=EQですので、AQ=a。よって、DQ=1-a。⊿EGQ≡⊿CIRですので、CR=a。また、GQ=a/sinθですので、DG=1-a-(a/sinθ)。さらにCI=a/tanθ。

さて、Pの面積Sですが、S=台形CRQD-⊿DGH-⊿CIRとして求められるので、上記の辺の長さの設定から、S=(CR+DQ)*CD/2-CR*CI/2-DG*DH/2=(1/2)-(a^2/2tanθ)-(b(1-a-(a/sinθ))/2)となります。また、たとえば辺CDの長さに注目すると、DH+HI+IC=1ですので、b+(b/sinθ)+(a/tanθ)=1となりますので、Sの式からbを消去できます。するとSはaとθの二変数関数になります。

あとはaとθの関係式を作って、どちらかを消去してSを一変数の関数で表して微分なりをして面積の最小値を求めることができると思うのですが、このaとθの関係が、いろいろ考えましたがどうしても出てきません。方針を誤ったのだと思います(辺の長さを設定するところなど)。でもこれ以上は自分で解決することはできそうにありません。

	32263．Re: 線対称な五角形の面積
	名前：ぱんだ日付：5月20日(日) 10時58分
	よく頑張っていると思いますが、正解にたどり着くにはちょっと足りないようですね。私がこういう問題で最も強調するのが「これは図形の問題である」ということです。公式や微分積分などに頼るより、まず小学生のような気持ちで素朴に図形そのものと向き合ってください。五角形が線対称になるのは一体どんなときでしょうか？おそらく正方形の「真ん中」を通る直線で折り曲げたときと予想できませんか？このことを強く意識して問題に取り組んでください。 AQ＝CRにならないといけないので、当然「真ん中」を通る直線で折り曲げることになります。そこで、真ん中を原点にとって、ABに平行なｘ軸、ADに平行なｙ軸をとってください。原点を通る直線で折り曲げるのですが、折り曲げ方には色々あります。しかし、それは一変数分の自由度しかないのはお分かりでしょうか？つまり、直線とｘ軸のなす角度θという唯一つの変数によって折り曲げ方を表現できるはずです。（他にも色々と折り曲げ方を文字で表す方法はありますが、「どの文字で表すのが一番楽か？」と考えるのは非常に重要です）これだけでも一応できるはずですがもう一点。図形の問題ということで、図形的に考えてください。真ん中を原点に持ってきたとしたら、あなたのいう点Hはどこにくるでしょうか？QRを底辺としたとき、Oの「真上」にくるはずですね。ということは、∠OHC＝θとなるので、Hとｙ軸の距離はtanθ/2となります。よってDH＝(1-tanθ)/2より、４つの三角形は全て合同。五角形の面積が最小とは、三角形４つの面積が最大ということ。三角形一つの面積＝1/4・tanθ(1-tanθ)/1+tanθの最大値を求めたい。 tanθ=tとおくと少し書くのが楽になります。 1/4・(-t^2+t)/(1+t)　（０＜ｔ＜１）の最大値を求めるのですが、普通に微分してもよいですが、例えば1+t=uとおいてuの式に直せば 1/4・(-u^2+3u-2)/u=1/4{3-(u+2/u)}となり、相加相乗より u=√2のときに最大値(3-2√2)/4をとる。よって求める五角形の面積の最小値は 1/2-(3-2√2)=2√2-5/2　である。最後の変形はちょっとしたテクニックですのでそこまで重要ではありません。ということでまとめておきます。 ①図形の問題であるということを意識すること。式ではなく、まず図形的に考える ②図形の問題では、座標を導入するのも一つの重要な手段である。その際、「どこを原点に置くか」「ｘ軸をどこにするか」といったことを考えることは非常に重要である。 ③どの変数の関数として表すと楽かしっかり考えること他にも色々と図形の問題のコツはあるのですが、今回はこのくらいで。頑張ってくださいね。

	32266．Re: 線対称な五角形の面積
	名前：ふにゃふにゃ日付：5月20日(日) 23時5分
	＞ぱんださんこの問題は東工大のですよね？何年のか忘れましたが。たしか答えは√2-1になるはずですよ。＞おそらく正方形の「真ん中」を通る直線で折り曲げたときと予想できませんか？人にもよりますがこれを予想するのはなかなかムズイですね。しかもちゃんと説明できる人はほとんどいないでしょう。＞恵日さんこの問題は東工大という理系の難関大の問題でしかも悪評だらけの奇問です。本番では絶対に捨てなければならない問題です。こんな問題にこだわってると貴重な時間を無駄にしますよ？でも一応アドバイスを。恵日さんの解答中での疑問ですが実は⊿EGQと⊿DGHと⊿FIHと⊿CIRはすべて合同です。これらが全て合同なのであとはもうわかりますね？やってみればわかりますがθは必要なくなります。aかbどっちかなの文字一つで面積を表せます。ところで何故すべて合同になるのかと質問されると思いますが実は当時私にもそれが分からなかったです。でも本来この問題は捨て問なので合同の理由ははしょってもかまいません。合同の理由を削ると減点は免れませんが答えが出ればそれだけで他の受験生に大きく差がつけられるからです。それで十分というそういうタチの問題です。参考になったかね？

	32271．Re: 線対称な五角形の面積
	名前：ぱんだ日付：5月21日(月) 6時56分
	>この問題は東工大のですよね？何年のか忘れましたが。たしか答えは√2-1になるはずですよ。あ、1/2-4×（三角形４つ分）ではなく、1/2-2×（三角形２つ分）でしたね。なので仰るとおり答えは√2-1です。ご指摘ありがとうございます。（東工大の問題だということは全く知りませんでした。情報ありがとうございます。）＞おそらく正方形の「真ん中」を通る直線で折り曲げたときと予想できませんか？人にもよりますがこれを予想するのはなかなかムズイですね。ムズイとは、なかなかきつい突っ込みですね（笑）ただ、この問題このことが直観的にわかるかどうかが勝負を左右すると思います。このことを自分の力で見抜けない人にとっては仰る通り捨て問にするべきだと思います。しかし、恵日さんは自力でかなりいいところまで行かれているので十分理解できると思ったのですが。。。＞しかもちゃんと説明できる人はほとんどいないでしょう。恵日さんが「真ん中」という感覚を持っていたら CR=EQ=AQよりQRは正方形の真ん中（原点）を通る　とでもしておけば十分でしょう。（あらかじめ座標を設定しておきます。時間が余った場合はさらに詳しく証明しても可）＞でも一応アドバイスを。恵日さんの解答中での疑問ですが実は⊿EGQと⊿DGHと⊿FIHと⊿CIRはすべて合同です。このような場で議論をするのはちょっとはばかれるのですが、まがいなりにも数学に携わっている者として、この件については、あえて反論させていただきます。「合同です」とのことですが、あなたはどうやって合同であるということに自力で気づくのでしょう？「合同」ということが他から与えられているならそれでよいのですが私は「合同であることに自分で気づくことの出来る力」を生徒につけさせることが最も重要であると考えます。＞aかbどっちかなの文字一つで面積を表せますとのことですが、辺の長さaやbで式を作るよりも、ｘ軸とQRのなす角α （先ほど私はθとおきましたが、紛らわしいのでαとおきなおします）で表したほうがはるかに簡単になると思います。一度両方の方法を試してみて、どちらが簡単か試してみるとよいと思います。＞本番では絶対に捨てなければならない問題です。これはその通りだと思います。下手な東大の問題よりもよほど難しいのは間違いありません。この問題を自力で解けるレベルは確実に存在しますが、そのレベルの生徒が東工大を受けることはまずないでしょう。また、プレッシャーの中で時間内に解くのは非常に難しいです。恵日さんの解答に手を加えて現実的な（？）レベルでの答案を作ってみます。 A（-1/2,-1/2),B(1/2,-1/2),C(1/2,1/2),D(-1/2,1/2)とします。正方形ABCDを線分QRに沿って折り曲げるとします。Qは辺AD上にあるとします。＞Rが辺ADの隣り合う辺上にあるときは、多角形Pは三角形にしかなりませんので、このときは不適合です。したがって、Rは辺BC上にあります。でもAQ≦1/2かつBR≦1/2のときは、多角形Pは四角形にしかなりませんので、このときも不適合です。したがって、AQ＜1/2かつBR＞1/2とできます。このとき多角形Pは五角形になります。以下、Q、Rをそのような点とし、Pは五角形を表しているとします。・・・ここまでは図を描きながら考えたことで、あくまでも予想です。（予想ですが、すばらしいと思います。私が受験した場合でもこのくらいの説明を手早く書いた上で計算に取り掛かります。詳しい証明は時間が余ったら、で十分でしょう。予想したことに・・・①とでもしておいて、時間が余ったら答案の一番最後に　①の証明：～　とでもすればOKです。）＞まず点の設定をします。正方形ABCDを線分QRに沿って折り返したとき、頂点Aが移る点をE、頂点Bが移る点をFとします。さらに、辺ADと線分EFの交点をG、辺CDと線分EFの交点をH、辺CDと線分RFの交点をIとします。＞⊿EGQと⊿DGHと⊿FIHと⊿CIRはすべて直角三角形であり、また∠EGQ=∠DGH=∠FIH=∠CIR(=θとします)ですので、⊿EGQと⊿DGHと⊿FIHと⊿CIRはすべて相似です。さらにPが線対称な五角形ですので、GQ=IR、HG=HIから、⊿EGQと⊿CIR、⊿DGHと⊿FIHはそれぞれ合同です。（考え方　私が次に疑問に思ったのは２種類の三角形の相似比です。これをθで表せたら、答えは出たも同然です。よって２種類の三角形の辺の長さを求めることが次の目的になります）『ここで、CR=AQより、線分QRの中点は原点Oである。 QRとｘ軸の正の方向のなす角をαとおく。（対称性より０＜α＜π/4としてよい。）すると、CR＝EQ=1/2(1-tanα)で、∠IRC＝2αよりCF＝GE＝CR×tan2α=tanα/1+tanα IR＝GQ＝CR/cos2α＝CR・(1-tan^2　α）/(1+tan^2　α) よって、DG＝1-CR-QG=（計算してみてください）tanα/1+tanα=CF よって、４つの三角形は全て合同だとわかる。（「相似比を求めたい」という意思から、合同だということが「必然的」に導かれます。合同の証明の別解は私の一つ目の書き込み参照。そちらのほうが楽だが、気づくのは相当に難しいです。余裕があればそちらのほうも考えてみてください。）よって{Pの面積}＝1/2-2{三角形一つ分の面積}=1/2-2・1/2・CR・CF ＝1/2-1/2・tanα(1-tanα）/1+tanα（ここでtanα＝tとおく　０＜ｔ＜１） =1/2-1/2・t(1-t）/1+t(ここで1+t=uとおく　１＜u＜２　＊こうすると楽に解けますが、難しければ普通に微分してください）＝1/2+1/2・（u+2/u -3)≧1/2＋1/2（2√2-3)=√2-1 (相加相乗　等号はu=√2のとき。）よって求める最小値は)√2-1である。』くどいようですが、この問題を自力で解くのに必要な力は、 ①真ん中を通ると直観的にわかる図形的な力→わからないようなら実際に紙を折り曲げて色々実験してみてください。何か気づくことがあるはずです。どうしてもわからないようなら、この問題は元からあきらめるべきです。 ②座標軸の設定もうまい方法である ③どの文字の関数とするとわかりやすいか判断する眼をもつ →今回様々な変数があります。θ、α、a,bなど。辺や角が色々変化するわけですが、どの文字で表すのが楽なのか、考えること（この手の問題では長さよりも角を主役にするとうまくいくことが経験上多いですが、そのことは是非自分で色々な問題に接することで感じてみてください）最後にふにゃふにゃさんへ。私の数学に対する姿勢からこのような場で反論してしまい申し訳ありません。ふにゃふにゃさんの仰っていることはある意味非常に正しいと私自身思っております。

	32281．Re: 線対称な五角形の面積
	名前：ふにゃふにゃ日付：5月22日(火) 0時4分
	＞ぱんださん誤らなければならないのは私の方です。失礼しました。すまんかったです。ただ私が多少過激な書き方をしたのは、恵日さんのようなやる気のありそうな方(そう見えます)が、こういう問題に多くの時間を浪費させられるているのが忍びなかったからです。もちろん受験という制約を外せば別ですが。受験数学ではとにかくできるだけ解法を暗記しなければ勝負になりませんので、この手の論証問題は捨ててかないと受験には勝ち残れません。ちなみに＞あなたはどうやって合同であるということに自力で気づくのでしょう？ですが、別に気がついたわけじゃありませんよ。もしそうだったらこの問題は解けそうだからそうだったらいいなってただの希望的観測です。いい加減に見えますがえてしてこのような多少の狡賢さは受験数学では実に有効です。ところでついでに私にもこの問題をわからせてくださいな。（1）＞QRを底辺としたときOの「真上」にくるはずですね。これはOをとおりQRに垂直な直線上という意味ですよね？（2）直線とｘ軸のなす角度θとおくと∠OHC＝θとなる理由が分かりません。図を描くととてもそうは見えませんが。（3）Hとｙ軸の距離はtanθ/2は1/2tanθの間違いでは？（4）＞DH＝(1-tanθ)/2より、４つの三角形は全て合同。自分にはこれがどうしても理解できないな。DH＝(1-tanθ)/2となるのもここから４つの三角形は全て合同につなげるのも話が飛躍しすぎてやいませんかい？よっかったら自分にも教えてくれやしませんか？＞恵日さん横レスすまないね

	32285．Re: 線対称な五角形の面積
	名前：ぱんだ日付：5月22日(火) 2時18分
	レスありがとうございます。解説のためにいくつか点を付け加えて起きますね。ｘ軸とBCの交点M（1/2,0)ｙ軸とCDの交点N(0,1/2) （あ、あと２つ目のレスの答案はご理解いただけましたでしょうか？）（1）＞QRを底辺としたときOの「真上」にくるはずですね。これはOをとおりQRに垂直な直線上という意味ですよね？その通りです。QRの両端から∠GQR＝∠IQRで、GQ=IRとなるように IとRをとったので（GQIRは等脚台形ですね）、さらにGH＝IHとなる点Hを取ると、いったいどんな場所にくるでしょうか？（正方形を折り曲げた図に描くのではなく、単独でこのことだけを表現してみてください）当然Oの真上になるはずです。ちなみに私は当初２つ目の答案のような解答をしようとしたのですが計算が面倒そうだったので他に楽な方法はないかと探してこの方法にたどり着きました。（2）直線とｘ軸のなす角度θとおくと∠OHC＝θとなる理由が分かりません。図を描くととてもそうは見えませんが。あ、すいません。∠HON=θの間違いです。理由としては、「真上だから」もっと言うと ∠HON＝π/2-∠NOM＝∠MOR＝θということです。（3）Hとｙ軸の距離はtanθ/2は1/2tanθの間違いでは？ tanθ/2は(tanθ)/2のつもりでした。1/2tanθだと1/(2tanθ)に間違えやすいと思ってこのような書き方をしたのですが、いずれにしても複数通りの読み方がありましたね（汗）確実に間違いなく書くためには（）をつける必要がありそうです。混乱させてしまい申し訳ありません。（4）＞DH＝(1-tanθ)/2より、４つの三角形は全て合同。自分にはこれがどうしても理解できないな。DH＝(1-tanθ)/2となるのもここから４つの三角形は全て合同につなげるのも話が飛躍しすぎてやいませんかい？さて、この（４）が最大のポイントですよね？２つ目の答案のときにも書きましたが、＞（考え方　私が次に疑問に思ったのは２種類の三角形の相似比です。これをθで表せたら、答えは出たも同然です。よって２種類の三角形の辺の長さを求めることが次の目的になります）２種類の三角形の辺の長さをどんどんθで表していきたいわけです。まず三角形CFRの辺の長さについてですが、 RM＝(tanθ)/2　より、CR＝1/2-RM=(1-tanθ)/2　が得られます。次に三角形DGHの辺の長さを求めようとします。 IH=(tanθ）/2より DH＝1/2-IH=(1-tanθ)/2 より辺の長さが等しい。２種類の三角形は相似でなおかつ対応する辺の長さが等しいので合同。「三角形の面積をθだけで表せそうだ！」→ 「２種類の三角形は相似なので、相似比がわかれば簡単に面積を出せる！」→ 「相似比を出すために全ての辺の長さを求めてみよう」→ 「たまたま合同だった、ラッキー！」→「後は計算するだけ」という流れですね。

	32286．Re: 線対称な五角形の面積
	名前：ぱんだ日付：5月22日(火) 2時20分
	あ、＞（あ、あと２つ目のレスの答案はご理解いただけましたでしょうか？）は、最初からみて２つ目ではなく、私の２つ目、つまり全体からみて４番目のレスです

	32293．Re: 線対称な五角形の面積
	名前：恵日日付：5月22日(火) 22時57分
	To ぱんだ様　&　ふにゃふにゃ様返事が遅くなってしまって大変申し訳ありません。お二人方とも、大変貴重なアドバイスを、本当にどうもありがとうございます。今はまだぱんだ様の解説を解読中です。とてもお詳しいのですが、私が図形が苦手なのと、本問がやや難し目であるためなかなか理解が進みません。また質問させていただきそうな雰囲気です・・・。

	32296．Re: 線対称な五角形の面積
	名前：ぱんだ日付：5月23日(水) 2時15分
	恵日さんへ私の一つ目の解説は急いで書き込んだのでふにゃふにゃさんが後で指摘されているように間違いがいくつかありますのでご注意ください（汗）２つ目の解説（全体から見て４番目の書き込み）のほうが考え方としてはハードルが低めなので、やるならばこちらがお勧めです。（計算はこちらのほうが面倒ではありますが）

	32331．Re: 線対称な五角形の面積
	名前：恵日日付：5月25日(金) 14時45分
	To ぱんだ様ようやく解決しました。とても詳しく丁寧な解説、どうもありがとうございましm(__)m

	32332．Re: 線対称な五角形の面積
	名前：ぱんだ日付：5月25日(金) 21時43分
	お疲れ様でした。今回の問題のように難しい問題を本番で解くのは無理だと思いますが、練習でこの問題に取り組んだ場合、得るものは多いと思います。ポイントになった考え方、大まかな解法などを意識してもらえると他の問題に応用が効くと思います。

	32334．Re: 線対称な五角形の面積
	名前：恵日日付：5月25日(金) 22時25分
	To ぱんだ様ご丁寧に、どうもありがとうございます^^

32246．展開図

名前：Asuma 日付：5月18日(金) 0時46分

xyz空間において、x軸と平行な円柱面A={(x,y,z)|y^2+z^2=1,x,y,zは実数}から、y軸と平行な柱面B={(x,y,z)|x^2-√3xz+z^2=1/4,x,y,zは実数}により囲まれる部分を切り抜いた残りの図形をCとする。図形Cの展開図を描け。ただし(0,1,0)を通り、x軸と平行な直線に沿ってCを切り開くものとする。

どうやって解いたらいいのか全然分かりません。詳しく教えてください。お願いします。できれば展開図を付けていただけるとありがたいです。

	32255．Re: 展開図
	名前：ヒドロキシ日付：5月19日(土) 3時35分
	確か東京大学の問題。 y=cosθ,z=sinθ としてみましょう。

	32276．Re: 展開図
	名前：ヨッシー日付：5月21日(月) 15時53分
	x^2-√3xz+z^2=1/4 に、z=sinθ を代入して、　x^2-√3xsinθ+(sin^2θ-1/4)＝０これをｘについて解くと　x＝{√3sinθ±√(1 - sin^2θ)}/2 よって、θとｘの関係として　x＝{√3sinθ＋√(4 - 4sin^2θ)}/2 　x＝{√3sinθ－√(4 - 4sin^2θ)}/2 という２つの曲線が得られます。これをθ＝０～２π で描画したものが展開図となります。　 http://yosshy.sansu.org/

32245．おもしろい問題ですが・・・・

名前：ryo 日付：5月17日(木) 22時45分

ある家と檻があり、両者は長さ2nメートルの直線道路で結ばれている。ただし、nは自然数である。今この家の猫が道路上のある場所にいる。この猫は一秒ごとに確率P(0<P<1)で道路上を家に向かって１メートルすすみ、1-Pで檻の中に向かって１メートルすすむ。そして檻の場所に着いたら、檻の中に入ってしまい、家には戻れないとする。
猫が家からkメートル（k=0,1,2,・・・・・,2n）離れた場所にいる状態から始めて、檻にはいることなく家に戻れる確率をakとする。
従ってa0=1,a2n=0である。
(1)k=1,2,3,・・・・,2n-1のとき　ak-1,ak,ak＋1の満たす関係を求めよ

(2)aｎを求め、lim(n→∞）an　について調べよ。

よろしくお願いしますm(_ _)m

	32252．Re: おもしろい問題ですが・・・・
	名前：ぱんだ日付：5月18日(金) 20時38分
	これは破産の確率と呼ばれている問題ですね。（１）は説明なくても大丈夫でしょうか？（大丈夫でない場合はこの問題を理解するのは今はあきらめた方がいいかもしれません）ｋ地点にいるとき、ｐの確率でk-1に、1-pの確率でk+1に移動するのでｋ地点にいるとき最終的に家に戻る確率a_kは、 pa_(k-1)+(1-p)a_(k+1)・・・①となります。さて、（２）です。 ①は隣接三項間の漸化式です。さくっと変形してください。 a_(k+1)-a_k=p(a_k-a_k-1)/1-p a_(k+1)-pa_k/1-p=a_k-pa_(k-1)/1-p さて、後はこれを解けばおしまいなわけですが、どうすればよいでしょうか？（しばらく考えてみてください）今回一般項a_kを求めたいのです。そのためにはa_1とa_0がわかればよいわけです。しかし、今回a_0は既に与えられていますので a_1を求めることが目標になります。その際「ｐやｎは単なる数字である」ということが大きなポイントになります。（あなたはいったい今何をしているのか？ということをしっかり意識してください）また、a_2nは既に０という値が与えられています。このことも利用しなくてはなりません。そのために次のように変形します。 a_2n-a_(2n-1)=(a_1-a_0)(p/1-p)^2n-1 a_2n-pa_(2n-1)/1-p=a_1-pa_0/1-p これにa_2n=0,a_0=1を代入して -a_(2n-1)=(a_1-1)(p/1-p)^2n-1・・・② -pa_(2n-1)/1-p=(a_1-p/1-p)・・・③ この連立方程式②③において、未知数はa_(2n-1)とa_1です。ｎやｐなどは全て単なる数字なのですからこれはa_(2n-1)とa_1の連立方程式ということになるわけです。あとはこの連立方程式をとけばa_1がわかるので一般項がわかります。

32241．mの変化に応じて　円以外をも

名前：川島日付：5月17日(木) 18時51分

x^2+3*x^3-10*x^4-x*y+m*x^2*y-12*y^2+3*x*y^2-20*x^2*y^2+m*y^3-10*y^4=0
が二つの円を表すようにmを定め,その２円の交角を求めよ。
(求めたmを僅かに変えたときの　左辺=0 の　図も示していただけませんか)

32240．質問です

名前：ryo 日付：5月17日(木) 18時42分

２種類の文字x,yを一列に並べるとき、同じ一続きの（１個でも良い）を連という
たとえば

xxyyyyxyy xxyyyxxyxx

前者はxの連が２個、yの連も２個で、連の総数は４個、後者はxの連が３個ｙの連が２個で連の総数は５個である。
いまm個の文字xとn個の文字yを無造作に一列に並べるとき、連の総数がk個（１＜ｋ＜2n＋２）である確率を求めよ。ただしm＞nとする。

お願いします。

	32243．Re: 質問です
	名前：らすかる日付：5月17日(木) 20時40分
	x,yの並べ方は (m+n)Cn通り連の総数がk個となるのは、 k=2p (pは自然数) のとき m個のxをpグループに分け、n個のyをpグループに分けて組合せれば良いが、組合せ方が2通りあるので 2×(m-1)C(p-1)×(n-1)C(p-1) 通り k=2p+1 (pは自然数) のとき m個のxをp+1グループに分け、n個のyをpグループに分けて組合せる方法と、 m個のxをpグループに分け、n個のyをp+1グループに分けて組合せる方法があるので、 (m-1)Cp×(n-1)C(p-1)+(m-1)C(p-1)×(n-1)Cp 通りただし、k=2n+1 のときは m個のxをn+1グループに分け、n個のyをnグループに分けて組合せる方法だけなので、(m-1)Cn 通りよって求める確率は kが偶数のとき {2・(m-1)C(k/2-1)・(n-1)C(k/2-1)}/(m+n)Cn kが2n未満の奇数のとき {(m-1)C((k-1)/2)・(n-1)C((k-3)/2)+(m-1)C((k-3)/2)・(n-1)C((k-1)/2)}/(m+n)Cn k=2n+1のとき (m-1)Cn/(m+n)Cn http://www10.plala.or.jp/rascalhp

	32244．Re: 質問です
	名前：ryo 日付：5月17日(木) 22時36分
	ありがとうございます。助かりました。

32235．濃度の文章題です。

名前：真希日付：5月17日(木) 0時49分

中学校２年生です。
次の問題を教えてください！
『ソバのたれは普通食塩濃度が２．０％である。２倍に濃縮された液を使って２５０gのソバのたれを作るには、濃縮液を何グラム必要とするか。』
今日中に教えていただくと嬉しいです！！

	32238．Re: 濃度の文章題です。
	名前：らすかる日付：5月17日(木) 16時17分
	2倍に濃縮された液を還元するには、同量の水を加えます。よって250gのたれを作るには250÷2=125gの濃縮液が必要です。 http://www10.plala.or.jp/rascalhp

	32242．Re: 濃度の文章題です。
	名前：mimi 日付：5月17日(木) 20時6分
	２５０ｇの濃度２％のたれでは、食塩は２５０×２％＝５ｇです。２倍濃縮液（濃度４％）ｘｇの中に食塩が５ｇになるようにするには、ｘ×４％＝５ｇよりｘ＝５ｇ÷４％＝１２５ｇ必要です。これに１２５ｇの水を加えれば、濃度は５÷２５０＝２％となります。

32232．数直線

名前：B45 日付：5月15日(火) 23時3分

（－４）×（＋３）を数直線で表しなさいという宿題がでました。
答えは・・・－１２ですよね？
早めに答えまってます。明日（AM6時）までなんで

32228．漸化式

名前：けい　浪人 日付：5月15日(火) 20時0分

数列Anは、A1=1 ,A(n+1)=∑(k・Ak)　を満たしている。
（１）Anをnの式で表せ。
（２）∑｛k/A(k+1)｝を求めよ。

という問題です。
（１）でn≧２の時An=n!/2と予想はできたんですが帰納法で証明がうまくできません。（１）と（２）　どなたか教えて下さい。よろしくお願いします！

	32233．Re: 漸化式
	名前：wakky 日付：5月16日(水) 11時18分
	(1) A(n+1)=A(1)+2A(2)+･･･+(n-1)A(n-1)+nA(n) A(n) =A(1)+2A(2)+･･･+(n-1)A(n-1) よって A(n+1)-A(n)=nA(n)より　A(n+1)=(n+1)A(n) 従って、n≧2のとき A(n)=nA(n-1)だから、帰納的に A(n)=nA(n-1)=n(n-1)A(n-2)=･･･=n(n-1)(n-2)…2A(1)=n! これは、n=1のときも成り立つ。 ∴A(n)=n!…（答） (2) k/(k+1)!={1/k!}-{1/(k+1)!}　だから n項までの和だとすると与式=(1/1!-1/2!)+(1/2!-1/3!)+…+(1/n!-1/(n+1)!) =1-{1/(n+1)!}…（答）

32226．不等式

名前：高１日付：5月15日(火) 18時31分

Xについての不等式４（X－１）＜３（X＋ａ）を満たす最大の整数が５であるとき、定数ａの値の範囲を求めなさい。
↑
この問題の解き方がわかりません。どなたか詳しく教えてください。
お願いします。

	32227．Re: 不等式
	名前：ラディン.ms 日付：5月15日(火) 19時57分
	４（X－１）＜３（X＋ａ）より　X<3a+4 これを満たす最大の整数Xが５なので　　5<3a+4≦6 ∴　1/3<a≦2/3 これがaの値の範囲である。

	32229．Re: 不等式
	名前：高１日付：5月15日(火) 20時28分
	ラディン.msさん　理解できました。ありがとうございました。。

32218．反射していく光線の到達点

名前：恵日日付：5月14日(月) 5時12分

正3角形ABCの頂点Aから辺ABとのなす角がαの方向に、3角形の内部に向かって出発した光線を考える。ただし0°＜α＜60°とする。この光線は3角形の各辺で入射角と反射角が等しくなるように反射し、頂点に到達するとそこでとまるものとする。また、3角形の内部では光線は直進するものとする。さて、正の整数kを用いてtanα=（√3）/(6k+2)と表せるとき、この光線の到達する頂点を求め、またそこへ至るまでの反射の回数をkを用いて表せ。

「入射角と反射角が等しい」と言う条件を使って、反射後の直線を作っていくのかなと思って、A(0,0)、B(2,0)、C(√3,1)とおいて実際に試してみたのですが、三本目の直線を作ろうとした段階で、とても複雑な計算になってしまい、何の規則性も分りそうになく、挫折してしまいました。どうやって解くのか全然思いつきません。教えていただけないでしょうか。どうかよろしくお願いします。

	32219．Re: 反射していく光線の到達点
	名前：らすかる日付：5月14日(月) 9時40分
	光線を反射させて軌跡を追うのは大変ですので、逆に光線を直進させて三角形を反射させると良いと思います。正三角形ABCと辺BCで接する正三角形BA'Cを描き、正三角形BA'Cと辺BA'で接する正三角形BC'A'を描き、… のように下方向と左方向に三角形を増やしていくと、光線の軌跡が直線で表せますね。 http://www10.plala.or.jp/rascalhp

	32220．Re: 反射していく光線の到達点
	名前：恵日日付：5月14日(月) 16時40分
	To　らすかる様解説ありがとうございます。でもちょっと難しいことをやっていらっしゃるようで、理解できないです。＞逆に光線を直進させて三角形を反射させると良いと思います。ここのところですが、らすかる様がおっ屋手いることがよくわからないです。『三角形を反射させる』とはどういうことなのですか？なぜそんなことをしていいのでしょうか？大変すみませんが、もう少し解説を付け加えていただけないでしょうか。お願いします。

	32221．Re: 反射していく光線の到達点
	名前：らすかる日付：5月14日(月) 17時10分
	辺BCで光線が反射 → 正三角形を辺BCに関して対称に移動すれば光線は直進辺ABで光線が反射 → 正三角形を辺ABに関して対称に移動すれば光線は直進のようになりますので、図のように正三角形を各辺で対称にコピーしていけば、光線がどのように進むかが良くわかりますね。図は、tanα=(√3)/7の場合の例です。 http://www10.plala.or.jp/rascalhp

	32222．Re: 反射していく光線の到達点
	名前：恵日日付：5月15日(火) 8時14分
	To　らすかる様解説ありがとうございます。ちょっと確認したいのですが(もしかしてすごく基本的かも・・・)、たとえば、＞辺BCで光線が反射 → 正三角形を辺BCに関して対称に移動すれば光線は直進のところですが、辺BCで反射した直線は、辺BCに関して折り返すと、反射する前の直線の延長と一致するってことをおっしゃっていると思うのですが、これって当たり前のことですか？解説していただくまで全然気が付かなかったのですが。答案に書くとき、説明は必要ですか(どうやって説明すればいいかわかりませんが・・・)？

	32223．Re: 反射していく光線の到達点
	名前：恵日日付：5月15日(火) 8時25分
	あともう一個質問ですが、らすかる様のご用意してくださったtanα=(√3)/7の場合の図を見ていて思ったのですが、よほど正確に図を描かない限り点Cに到達することはわからないのですか？フリーハンドでここまで正確な図を描くことはとてもできそうにありません。試験場で考えるときって、どうやって考えたらいいのでしょうか。

	32224．Re: 反射していく光線の到達点
	名前：らすかる日付：5月15日(火) 12時19分
	32222の回答＞辺BCで反射した直線は、辺BCに関して折り返すと、反射する前の直線の延長と一致＞するってことをおっしゃっていると思うのですが、これって当たり前のことですか？はい、当然のことです。光線が反射する場合、図で入射角と反射角が等しいことから、∠QPB=∠APCとなります。このとき正三角形ABCをBCに関して対称に移動すれば∠RPB=∠QPBですから ∠RPB=∠APCとなり、Rは直線AP上にあることになりますね。＞答案に書くとき、説明は必要ですか？必要ありません。問題がもし「RがAP上にあることを示せ」のようにその点を直接問う問題であれば説明（というより証明）が必要ですが、今回の問題ではそこはポイントではありませんので、明らかなものとして問題ないと思います。 http://www10.plala.or.jp/rascalhp

	32225．Re: 反射していく光線の到達点
	名前：らすかる日付：5月15日(火) 12時38分
	32223の回答＞よほど正確に図を描かない限り点Cに到達することはわからないのですか？ Cに到達することは、図でわかるのではありません。計算でわかります。この図の例では、tanα=tan∠RPQ=√3/7 であり、 tan∠SPR=tan(30°-∠RPQ)=(tan30°-tan∠RPQ)/(1+tan30°・tan∠RPQ) ={(1/√3)-(√3/7)}/{1+(1/√3)(√3/7)}=√3/6 となります。例えば△ABCの一辺を2とすると、高さは√3ですから、光線がAから下方向に n段分=(√3)n 進むと左方向には (√3)n・tan∠SPR=n/2 進みます。すると、下に1段進んだとき → 左に1/2 → 頂点ではない下に2段進んだとき → 左に1 → 頂点ではない下に3段進んだとき → 左に3/2 → 頂点ではない下に4段進んだとき → 左に2 → 頂点C のようになり、頂点Cに到達することがわかります。この考え方を元の問題に当てはめてみれば、回答にたどりつけるかと思います。 http://www10.plala.or.jp/rascalhp

	32236．Re: 反射していく光線の到達点
	名前：恵日日付：5月17日(木) 8時38分
	To らすかる様とても詳しい解説、ありがとうございました。問題の考え方は理解できたと思います。らすかる様のように考えると、tan∠RPQ=（√3）/(6k+2)のときは、tan∠SPR=(6k-1)/(√3)(6k+3)となると思います。光線が下にn段進むと、左には(√3)ntan∠SPR=n(6k-1)/(6k+3)進みます。光線がどこかの頂点に到達するためには、(√3)ntan∠SPR=n(6k-1)/(6k+3)が偶数でなければならないような感じがしますので、これが最小の偶数になるのは、n=2(6k+3)のときだと思います。ここからまたわからなくなってしまったのですが、下に2(6k+3)段、左に2(6k-1)進んだときはどこの頂点に到達するのでしょうか。それと反射の回数は、横切る正三角形の本数を数えればよいと思いますが、下に移動した分と左に移動した分の合計、2(6k+3)+2(6k-1)=24k+4回でいいのでしょうか。もう少しだけ解説をしていただけないでしょうか。どうかお願いします。

	32237．Re: 反射していく光線の到達点
	名前：らすかる日付：5月17日(木) 10時6分
	＞左には(√3)ntan∠SPR=n(6k-1)/(6k+3)進みます。ここまではいいですね。その後も、かなりいい線までいってます。＞光線がどこかの頂点に到達するためには、n(6k-1)/(6k+3)が偶数でなければならない図を見るとわかるように、頂点に達するのは　「nが偶数」かつ「n(6k-1)/(6k+3)が偶数」または　「nが奇数」かつ「n(6k-1)/(6k+3)が奇数」のいずれかの場合です。 6k-1と6k+3は互いに素なので、n(6k-1)/(6k+3)が整数になるための最小のnは 6k+3であり、そのときn=6k+3は奇数、n(6k-1)/(6k+3)=6k-1も奇数ですから、 n=6k+3のときに頂点に達しますね。どの頂点に達するかは、図をもう少し下に広く作るとわかりやすいですが、緑の線PS上にはAだけが並び、そこから左に1平行移動した直線上にはBだけが並び、その次はC、のように、左に進む距離で頂点が自動的に決まっています。　左に1→B 　左に2→C 　左に3→A 　左に4→B 　左に5→C 　左に6→A 　・・・ところで、左に進む距離6k-1は3の倍数-1ですから、到達する頂点はkによらず Cになることがわかりますね。＞反射の回数は、横切る正三角形の本数を数えればよいそうですね。横切る横線の本数は、n段の間の本数ですからn-1本ですね。横切る斜線の本数は、n段下に進むうちで最上段と最下段では横切らず、間のn-2段では必ず１本ずつ横切りますので、n-2本となります。合わせて2n-3本ですから、2(6k+3)-3=12k+3本となりますね。 http://www10.plala.or.jp/rascalhp

	32247．Re: 反射していく光線の到達点
	名前：恵日日付：5月18日(金) 6時53分
	To らすかる様大変詳しい解説ありがとうございます。あともう少しって感じです。＞図を見るとわかるように、頂点に達するのは　「nが偶数」かつ「n(6k-1)/(6k+3)が偶数」または　「nが奇数」かつ「n(6k-1)/(6k+3)が奇数」のいずれかの場合です。私の勘違いだと思うのですが、「n(6k-1)/(6k+3)が奇数」の場合にもどこかの頂点に達し得るというのがちょっとわかりません。三角形の一辺を2としているので、左には必ず偶数分進まなければならないような気がします。なぜ「n(6k-1)/(6k+3)」が奇数のときもどこかの頂点に達し得るのでしょうか？＞横切る斜線の本数は、n段下に進むうちで最上段と最下段では横切らず、間のn-2段では必ず１本ずつ横切りますので、n-2本となります。最後のここのところも読み取れませんでした。斜線とはA(P)Cに平行な直線のこと(でよろしいでしょうか？)だと思いますが、でも「最上段と最下段」がどこのことを指しているのかがちょっとわかりません。もう少しだけ解説をしていただけないでしょうか。どうかお願いします。

	32249．Re: 反射していく光線の到達点
	名前：らすかる日付：5月18日(金) 10時26分
	＞「n(6k-1)/(6k+3)が奇数」の場合にもどこかの頂点に達し得る Pから1段下に進んだところは辺BCの中点ですから、そこから左に1進めば頂点Bに到達しますね。また、3段下に進んだところもまた辺の中点であり、そこから左に1進めば頂点、2進むと中点、3進むと頂点のようになっていますね。つまり、奇数段下に進んだところは必ず辺の中点ですから、そこから左に進んで頂点に達するための距離は (辺の長さの半分)+(辺の長さ)×k＝奇数ということになりますね。＞斜線とはA(P)Cに平行な直線のこと(でよろしいでしょうか？)だと思いますが「斜線」は、「横線」でない直線、つまりPCに平行な直線とPBに平行な直線の両方のことです。上の図ではたまたま「PCに平行な直線」しか横切っていませんが、もしαが微妙に大きければ、最後にRに到達せずにRよりやや右を通過しますので、 Rの上の辺BCを横切りますね。 Pから、最初に横線（＝辺BC）に到達するまでの間では、他の線は横切りませんよね。そして、最初に横線に達してから次の横線までの間で、必ず斜線（対称移動された辺AB）を横切ります。その後も、横線から次の横線までの間に斜線を必ず1回ずつ横切り、最後の1段つまり頂点に到達するときは横切らずに終わります。従って、全部でn段下に進むうち、最初と最後の1段ずつは斜線を横切らず、間の段では必ず1本ずつ横切りますので、横切る斜線の本数はn-2本となりますね。 http://www10.plala.or.jp/rascalhp

	32250．Re: 反射していく光線の到達点
	名前：恵日日付：5月18日(金) 11時58分
	To　らすかる様最後までご丁寧に、どうもありがとうございました。おかげさまでやっと解決しました。m(__)m

32217．体積

名前：ルル日付：5月14日(月) 1時15分

放物線y=x^2をy軸の周りに回転してできる曲面があり、y軸が水平面に垂直でy軸の正の部分が上方にあるようにおいてある。その曲面の中に半径r(r1/2)の球を落とし込む。このときこの回転面と球面とで囲まれた部分の体積を求めよ。

どうやって考えて解けばいいのか全然わかりませんでした。この問題を詳しく教えてください。お願いします。

32211．内接について

名前：√ 日付：5月13日(日) 23時46分

宜しくお願い致します。

正三角形に内接する円は、
正三角形の一辺の長さがｎ倍になると、
内接円の半径もｎ倍になりますが、
これは
全ての正多角形にも言える事ですか？

	32212．Re: 内接について
	名前：angel 日付：5月13日(日) 23時59分
	そうなりますね。相似比 1:n の相似形と考えることができるでしょう。

	32213．Re: 内接について
	名前：√ 日付：5月14日(月) 0時12分
	ａｎｇｅｌさん　有り難うございました。すると正多角形でない多角形でも同じですか？それと内接する円だけでなく外接する円も同じように考えて良いのですか？

	32215．Re: 内接について
	名前：angel 日付：5月14日(月) 0時25分
	はい。いずれも相似という観点では同じですから。

	32216．Re: 内接について
	名前：√ 日付：5月14日(月) 0時27分
	ａｎｇｅｌさんこんなに速く、有り難うございました。

32209．三角関数

名前：ERI 高３ 日付：5月13日(日) 20時39分

与えられた実数aに対して、方程式　cos2x-sinx=a　(0≦x＜2π)・・・①
の解が4個存在するのは(ウ)＜a＜(エ)のときである。また、a=(オ)のときに限り、①の解は3個存在する。

(ウ)～(オ)を答えよ。

答えは
(ウ)0 (エ)9/8 (オ)0 になるそうですが、導き方が分かりません。
どうかよろしくお願いします。

	32210．Re: 三角関数
	名前：angel 日付：5月13日(日) 21時51分
	理系ならば、微分して導関数を求め、極値および増減を調べてグラフを描くのが楽でしょう。 y=cos2x-sinx のグラフと y=a のグラフの共有点が何個できるか、aの値を変えながら ( y=a のグラフをずらしながら ) 調べることになります。極値を調べるにあたり、sinx=-1/4 なる x の値を調べる必要がありますが、具体的な値はいらないので、sinα=1/4 となるようなα(0<α<π/2)を置いてしまえば済みます。 ( x=π+α, 2π-α の時、sinx=-1/4 ) 微分を使わない/使えないならば、cosの倍角を使って2次方程式の形にもっていきます。今回は cos2x=1-2(sinx)^2 で。 t=sinx と置いた場合、1-2t^2-t=a という2次方程式になります。 2次方程式の解として、t の値は 0個～2個 t=sinx の解として、xの値は t に応じて 0個～2個これにより、方程式全体として、解xが4個存在するのは、　・1-2t^2-t=a が2個の実数解tを持ち　・かつ、その2個のt に対し、t=sinx がそれぞれ2個の実数解xを持つということになります。で、t=sinx が2個の実数解を持つには、-1<t<1 が必要十分ですから、まとめると　○2次方程式 1-2t^2-t=a が -1<t<1 なる2実数解を持つが最終的な条件。なお、解が3個ということであれば、　○2次方程式 1-2t^2-t=a が -1<t<1 なる実数解と、t=1 または t=-1 どちらかの実数解を持つとなります。確認してみてください。

	32328．Re: 三角関数
	名前：ERI 高３日付：5月25日(金) 0時15分
	お礼言い忘れていました！！！すみません。どうもありがとうございました！

32200．軌跡

名前：小宮賢太 日付：5月11日(金) 23時12分

点A(0,2)を通る直線lと曲線y=2x^2との交点をP,Qとし、線分P,Qの中点をRとする。直線ｌがAを通るすべての直線(ただしy軸は除く)を動くとき、点Rを軌跡の方程式を求めよ。

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（東北学院大）

	32201．自分の解答では・・・
	名前：小宮賢太日付：5月11日(金) 23時21分
	条件より直線ｌを　ｙ＝ax+2とおくと　　y=2x^2より点Aを通る直線の方程式は　　　　　2x^2-ax-2=0 この解をα、βとおくと上に記述したところまででわからなくなりました。解答はどうなりますか？

	32202．Re: 軌跡
	名前：ヨッシー日付：5月12日(土) 0時42分
	そこまでは問題ないですね。　2x^2-ax-2=0 の解をα、βとおくと、Ｐ，Ｑの座標は　(α, ２α^2), (β, ２β^2) となり、Ｒの座標は((α＋β)/２, α^2＋β^2) と書けます。解と係数の関係より、　α＋β＝a/2, αβ＝-1 　α^2＋β^2＝(α＋β)^2－２αβ＝ａ^2/４＋２よって、Ｒの座標は (a/4, ａ^2/４＋２) と書けます。　ｘ＝a/4, ｙ＝ａ^2/４＋２とおいて、ａを消去すると　ｙ＝４ｘ^2＋２となります。a がすべての実数を取ると、ｘもすべての実数を取るので、ｘの定義域は実数全体です。さらに、ｙ＝ax+2 では表せない、ｘ＝０について考えると、 y=2x^2 との交点は、１点だけなので、これは考慮しなくて良い。　 http://yosshy.sansu.org/

32198．物理ですが…

名前：とも(大1) 日付：5月11日(金) 18時45分

質量mの小球を初速V_0で水平に投射する。
最初に小球を投射した水平方向をX軸正方向、鉛直下向きをY軸正方向とする。
投射の瞬間の時刻を0とし、時刻tには、小球の速さはVで、速度ベクトルはX軸正方向と角θを成している。また、小球には速度ベクトルと反対の向きにkVの空気抵抗がかかる。
このとき、小球のX、Y成分についてそれぞれ運動方程式を立て、それを解け。
ただし、重力加速度はgとする。
　
ながくなりましたがお願いしますm(_ _)m

	32206．Re: 物理ですが…
	名前：サボテン日付：5月12日(土) 13時56分
	時刻tの速度ベクトルを(u,v)とします。 'をtの微分とすると、運動方程式は mu'=-ku mv'=-kv+mg これをとくと、k/m=Kとして、 u=V_0exp(-Kt) v=g/K[1-exp(-Kt)] となります。

	32207．Re: 物理ですが…
	名前：豆日付：5月12日(土) 14時24分
	時刻tでの速度成分をV=(V[x],V[y])とすれば、運動方程式は、 mdV[x]/dt=-kV[x]　、mdV[y]/dt=mg-kV[y] これを、t=0での初期条件V[x]=V[0]、V[y]=0の元で解けば、 V[x]=v[0]e^(-kt/m)　、V[y]=(mg/k)(1-e^(-kt/m)) さらにt=0での初期条件x=y=0で解けば、 x=(mV[0]/k)(1- e^(-kt/m))　,　y=(m^2g/k^2)(e^(-kt/m)-1+kt/m) 一応これで終わりだと思います(θ?)。もし、軌跡が必要ならxのほうからt単体で書けるので、そのtをyのほうに代入すればよい。当然のことながら、小球はt→∞で考えると、x方向mV[0]/k寸前まで行って x方向の速度はほとんど失い、最終的には鉛直方向に一定速度 g/kで落下することとなる。

	32248．Re: 物理ですが…
	名前：とも日付：5月18日(金) 8時48分
	遅れました(>_<) ありがとうございます！！

32188．連続の問題

名前：まこ（大学2年） 日付：5月11日(金) 15時3分

「f(x,y)=sin(x^2+y^2)が連続であるかどうかを調べよ。」

という問題がわかりません。
連続の定義を使って書こうと思っても途中で詰まってしまいます。

どなたかよろしければ教えてください。
お願いします。

	32197．Re: 連続の問題
	名前：ヒドロキシ日付：5月11日(金) 18時42分
	\|sinx\|≦\|x\| (∀x) を使う。 ∀ε＞0に対して、δ=min{ε,1}/(1+2\|a\|+2\|b\|)ととると、 ∀(x,y):√((x-a)^2+(y-b)^2)＜δ に対して、 \|sin(x^2+y^2)-sin(a^2+b^2)\| =2\|cos((x^2+a^2+y^2+b^2)/2)\|\|sin((x^2-a^2+y^2-a^2)/2)\| ≦21\|sin((x^2-a^2+y^2-b^2)/2)\| =2\|sin((x^2-a^2+y^2-b^2)/2)\|≦\|x^2-a^2+y^2-b^2\| =\|(x-a)^2+(y-b)^2+2ax-2a^2+2by-2b^2\| ≦((x-a)^2+(y-b)^2)+2\|a\|\|x-a\|+2\|b\|\|y-b\| ≦((x-a)^2+(y-b)^2)+2\|a\|√((x-a)^2+(y-b)^2)+2\|b\|√((x-a)^2+(y-b)^2) =((x-a)^2+(y-b)^2)+2(\|a\|+\|b\|)√((x-a)^2+(y-b)^2) ＜δ^2+2(\|a\|+\|b\|)δ≦ε となり、連続。

32187．一葉双曲面の方程式

名前：ｈａｒｕ 日付：5月11日(金) 12時59分

よろしくお願いします。
サイトを調べてもよくわからないのですが、一葉双曲面の方程式がなぜ、ｘ＾２／ａ＾２＋ｙ＾２／ｂ＾２－ｚ＾２／ｃ＾２＝１になるのか、わかりましたら教えてください。もしくは、その導き方について書かれている本がありましたら教えてください。

	32190．Re: 一葉双曲面の方程式
	名前：ヨッシー日付：5月11日(金) 16時46分
	こういう定義的な疑問は、答えるのが難しいですね。我々は、円とか球というものはイメージとして持っていますから、中心からの距離が等しいなどの性質を表す式を作ることや、正しさを吟味することは出来ますが、一葉双曲面というものは、あまり知らないわけです。こんな式では、一葉双曲面の○○○な性質が表現できてないじゃないか！というような疑問なら、答えやすいのですが、なぜこれが一葉双曲面の式なのかといわれても、そうとしか言いようがないです。逆に聞きますが、一葉双曲面の性質って何ですか？この式から読み取れることとしては、　ｘ軸やｙ軸に垂直な平面で切ると、切り口は双曲線になる。　ｚ軸に垂直な平面で切ると、切り口は楕円になる。ぐらいでしょうか。　 http://yosshy.sansu.org/

	32204．Re: 一葉双曲面の方程式
	名前：ｈａｒｕ日付：5月12日(土) 8時28分
	回答ありがとうございました。サイトを見たところ、何かありそうなので、また調べてみます。

32185．連続ですいません・・・

名前：かな　高3 日付：5月11日(金) 0時7分

定積分をもちいて、極限値をもとめよ。

よろしくおねがいします。

	32186．Re: 連続ですいません・・・
	名前：ヨッシー日付：5月11日(金) 11時3分
	一般に　lim(n→∞)Σ(k=1～n)(1/n)ｆ(k/n)＝∫(0～1)f(x)dx と書けます。　{1/(n^2+1^2)＋2/(n^2+2^2)＋…＋n/(n^2+n^2)} 　＝{1/n^2(1+(1/n)^2)＋2/n^2(1+(2/n)^2)＋…＋n/n^2(1+(n/n)^2)} 　＝(1/n){(1/n)/(1+(1/n)^2)＋(2/n)/(1+(2/n)^2)＋…＋(n/n)/(1+(n/n)^2)} と書けるので、　f(x)＝x/(1+x^2) とおくと、上の式が使えます。　∫(0～1)x/(1+x^2)dx＝(1/2)[log(1+x^2)](0～1)＝(1/2)log２　 http://yosshy.sansu.org/

	32231．Re: 連続ですいません・・・
	名前：かな　高3 日付：5月15日(火) 21時10分
	↓同様、返信おくれてすいませんでした;; わざわざありがとうございます！

32184．数Ⅲ　定積分

名前：かな　高3 日付：5月10日(木) 23時54分

f(x)=∫［1,x］(2-t)logt dt (1≦x≦e)
の、最大値、最小値を求めよ。

よろしくおねがいします

	32195．Re: 数Ⅲ　定積分
	名前：ヨッシー日付：5月11日(金) 17時42分
	まず、　f'(x)＝(2-x)logｘであることは、すぐわかります。よって、 1≦x≦e における増減は　x=1 (単調増) x=2 で極大 (単調減) x=e となります。一方、部分積分により　∫(2-t)logtdt = ∫(2t-t^2/2)'logtdt 　　= (2t-t^2/2)logt - ∫(2t-t^2/2)(1/t)dt 　　= (2t-t^2/2)logt - (2t - t^2/4) より 1～x で定積分を計算すると、　∫[1,x](2-t)logtdt = (2x-x^2/2)logx - (2x - x^2/4) + 7/4 よって、　f(1) = 0 　f(2) = 2log(2) - 3 + 7/4 = 2log(2) - 5/4 ・・・最大値　f(e) = (2e - e^2/2) - (2e - e^2/4) + 7/4 　　　= - e^2/4 + 7/4 　e＞2.7, e^2＞2.7^2=7.29 より、　f(e)＜０となり、最小値は - e^2/4 + 7/4 　 http://yosshy.sansu.org/

	32230．Re: 数Ⅲ　定積分
	名前：かな　高3 日付：5月15日(火) 21時9分
	返信遅れてすいません。どうもありがとうございました！わかりました。

32183．整式

名前：のんかる 日付：5月10日(木) 23時35分

①　整式x^15+1をx^2+x+1で割ったときの余りを求めよ。
②　二次方程式x^2+3x+8=0の解をa,bとするとき、
　　(i) a^2+ab+b^2の値を求めよ。
　 (ii) a^4+21bの値を求めよ。
③　cを定数とするxの二次方程式x^2-cx-c=0の２つの解a,bがa-b=2iを満たすとき、
　　(i) cの値を求めよ。
　 (ii) a+b^2とa^2+bを解に持つ二次方程式を求めよ。

何卒よろしくお願いいたします。

	32191．Re: 整式
	名前：ヨッシー日付：5月11日(金) 17時0分
	(1) (x-1)(x^2+x+1)＝x^3－1 なので、x^3＝Ｘとおくと、　x^15+1＝Ｘ^5＋１と書けます。f(X)＝X^5＋１とおくと、f(1)＝2 より、 f(X) は X-1 で割ると、２あまります。つまり、　f(X)＝(X-1)g(X)＋２と書けます。すると、　f(X)＝X^5＋１＝x^15＋１＝(X-1)g(X)＋２　　＝(x^3-1)g(x^3)＋２＝(x-1)(x^2+x+1)g(x^3)＋２となり、x^15＋１＝(x^2+x+1)h(x)＋２と書けて、余りは２となります。　　 http://yosshy.sansu.org/

	32193．Re: 整式
	名前：ヨッシー日付：5月11日(金) 17時21分
	(2) 解と係数の関係より　a+b=-3, ab=8 (i) a^2+ab+b^2 = (a+b)^2 - ab = 9-8 = 1 (ii) a^4+21b は、問題に間違いがないと確認できれば、改めて解きます。 (3) 解と係数の関係より　a+b=c, ab=-c a-b=2i と a+b=c より、a=c/2 + i, b=c/2 - i 　ab=c^2/4 + 1 = -c より、　c^2 + 4c + 4 = 0 　(c+2)^2=0 　c=-2 a+b^2とa^2+b において、和：a+b + a^2+b^2 = (a+b) + (a+b)^2 -2ab = c + c^2 +2c = -2 積：(a+b^2)(a^2+b)=a^3+ab+a^2b^2+b^3 　　=(a+b)^3-3ab(a+b) + ab + (ab)^2 　　=c^3 +3c^2 -c + c^2 （以下略）　 http://yosshy.sansu.org/

	32203．Re: 整式
	名前：豆日付：5月12日(土) 8時47分
	(2)　(ⅱ)　に関して a^2+3a+8=0よりa^2=-(3a+8) よって、 a^4=(3a+8)^2=9a^2+48a+64 =-9(3a+8)+48a+64=21a-8 ∴a^4+21b=21(a+b)-8=-63-8=-71

32177．図形と軽量

名前：小宮賢太 日付：5月10日(木) 22時9分

図のような１辺の長さ１２の立方体がある。頂点Aおよび辺上の２点B,Cを通る平面αで立方体を切るとき、次の問いに答えよ。
(１)cos∠BACの値を求めよ。
(２)三角形ABCの面積を求めよ。
(３)切り口の面積を求めよ。

	32180．Re: 図形と軽量
	名前：ヨッシー日付：5月10日(木) 23時25分
	ＢやＣの位置についての情報は何もありませんか？頂点からどれだけとか、辺を何対何に内分するとか。　 http://yosshy.sansu.org/

	32181．Re: 図形と軽量
	名前：小宮賢太日付：5月10日(木) 23時28分
	BB’とCC’の長さは９です。　　すみません書き込みし忘れました。

	32189．Re: 図形と軽量
	名前：ヨッシー日付：5月11日(金) 15時50分
	図のように記号を付けます。また、ＢＦはＡＣと平行、ＣＦはＡＢと平行になっています。 △ＡＢＢ'と△ＡＣＣ'はともに、３辺が９，１２，１５の直角三角形です。　ＢＧ＝１２－９＝３であり、△ＢＧＥと△ＣＣ'Ａは相似なので、　ＧＥ＝４，ＢＥ＝５となります。同様に　ＣＨ＝３，ＨＤ＝４，ＤＣ＝５となります。 (1)△ＡＢＣにおいて、ＡＢ＝ＡＣ＝１５、ＢＣ＝12√2　であるので、余弦定理より、　cos∠ＢＡＣ＝{15^2＋15^2－(12√2)^2}/(2・15・15)＝162/450＝9/25 (2)同時に sin∠ＢＡＣ＝4√34/25 が求まります。 △ＡＢＣ＝(1/2)ＡＢ・ＡＣsin∠ＢＡＣ＝450√34/25＝18√34 (3) 切り口はひし形ＡＢＦＣから△ＤＥＦを引けば出ます。　 http://yosshy.sansu.org/

	32192．Re: 図形と軽量
	名前：小宮賢太日付：5月11日(金) 17時15分
	(３)で三角形ABCと台形CBEDで求めるとしたらどうなりますか？

	32196．Re: 図形と軽量
	名前：ヨッシー日付：5月11日(金) 17時54分
	元をたどれば、ひし形から求めるのと、同じ情報を使うのですが、 △ＡＢＣ＝18√34 まで求まったとして、三角形が底辺ＢＣ＝ａ、高さをｈとすると台形ＣＢＥＤは、　下底ａ、上底(2/3)ａ、高さh/3 であるので、　(5/3)ａ×(h/3)÷２＝5/18ａｈこれは、△ＡＢＣの面積ａｈ/2 の(5/9)倍である。よって、　台形ＣＢＥＤ＝10√34 よって切り口は、18√34＋10√34＝28√34 となります。もちろん、底辺や高さを実際の数値で出していっても求められます。　 http://yosshy.sansu.org/

	32199．Re: 図形と軽量
	名前：小宮賢太日付：5月11日(金) 22時35分
	ありがとうございました！！

32176．(untitled)

名前：よぅすけ 日付：5月10日(木) 21時47分

返信遅くなりました。
すいませんでした。

32103の(2)の図の意味がよくわからないのですが…
何を示しているのですか？

	32179．Re: (untitled)
	名前：ヨッシー日付：5月10日(木) 23時23分
	１から７までの掛け算の表の数（７×７のマスになります）を、　2^x・(奇数) のｘに値に置き換えたものです。　 http://yosshy.sansu.org/

32171．反射

名前：ラディン.ms 日付：5月10日(木) 17時0分

次の問題がわかりません。

　長方形ABCDの辺AB上の点Pから発した光がBC上の点Q，CD上の点R，DA上の点Sで反射して線分PB上の点Tに達した。
　AB=6,BQ=2,PT=1,AP=a(0<a<5)とするとき
（１）BCの長さをaで表せ。
（２）PQとSTの交点をXとするとき，四角形QRSXの面積をaで表せ。

（１）は答えが12/(6-a)と出たのですが，合っているでしょうか？
（２）はほとんどわかりません。方針としては周りの三角形の面積を引けばよいのでしょうか？

	32173．Re: 反射
	名前：ヨッシー日付：5月10日(木) 17時31分
	(1) 反射させる代わりに、四角形ＡＢＣＤを次々と対称移動させて、ＰからＴまで直線で結ぶと、途中の辺と交わるところがＱ，Ｒ，Ｓ（の対称移動した点）になります。上の図の△ＰＴＴ' と △ＰＱＢが相似であるから、　ＰＴ'：ＴＴ'＝ＰＢ：ＱＢここで、ＢＣ＝ｘ　とおくと、　ＰＴ'＝１３、ＴＴ'＝２ｘ、ＰＢ＝６－ａ、ＱＢ＝２より、ｘ＝13/(1-a) となります。 (2) (1)の結果からわかる辺の長さを記入すると、上のようになります。四角形ＱＲＳＸは、△ＱＲＳの２倍ですから、台形ＱＣＤＳから、△ＱＲＣ、△ＤＲＳを引いて２倍すれば出ます。　 http://yosshy.sansu.org/

	32174．Re: 反射
	名前：ラディン.ms 日付：5月10日(木) 18時9分
	素早い対応ありがとうございます！早速計算してみます！

	32175．Re: 反射
	名前：ラディン.ms 日付：5月10日(木) 19時43分
	> ＰＴ'：ＴＴ'＝ＰＢ：ＱＢ > ここで、ＢＣ＝ｘ　とおくと、 > 　ＰＴ'＝１３、ＴＴ'＝２ｘ、ＰＢ＝６－ａ、ＱＢ＝２ > より、ｘ＝13/(1-a) となります。 13/(6-a)にしかならないんですが……

	32178．Re: 反射
	名前：ヨッシー日付：5月10日(木) 23時19分
	あぁ、分母は6-a です。失礼しました。図に書き込んだ数値はあっていると思います。　 http://yosshy.sansu.org/

	32194．Re: 反射
	名前：ラディン.ms 日付：5月11日(金) 17時23分
	訂正有難うございます。

32163．問題

名前：のんかる 日付：5月9日(水) 23時30分

①　x=(1+√5)/2のとき1/x+1/x^2+1/x^3の値を求めよ。

②　(x+y)/z=(y+2z)/x=(z-x)/yのとき、この式の値を求めよ。

③　nを自然数とするとき、3006^n-2171^n+1319^n-150^nは2004で割り切れることを示せ。

問題数が多いですがお願いいたします。

	32167．Re: 問題
	名前：ヨッシー日付：5月10日(木) 0時57分
	(1) 1/x＝２/(１＋√５)＝２(１－√５)/(１＋√５)(１－√５) 　　＝(√５－１)/２ 1/x^2＝{(√５－１)/２}^2＝(３－√５)/２ 1/x^3＝(√５－１)/２×(３－√５)/２＝(４√５－８)/４＝√５－２よって、　1/x+1/x^2+1/x^3＝(√５－１)/２＋(３－√５)/２＋(√５－２) 　　＝√５－１　 http://yosshy.sansu.org/

	32168．Re: 問題
	名前：みっちぃ日付：5月10日(木) 1時17分
	① y=1/x=2/(1+√5)=(-1+√5)/2 とすると，求めるのはy^3+y^2+y。今，y=(-1+√5)/2を解に持つ2次方程式は，どんな方法でもいいですがy^2+y-1=0で与えられるので， y^2+y=1，すなわちy^3+y^2=yなので，y^3+y^2+y=2y=-1+√5。 ②(x+y)/z=(y+2z)/x=(z-x)/y=kとすると x+y=kz　…Ⅰ y+2z=kx …Ⅱ z-x=ky　…Ⅲ を，地道に1文字ずつ消去。 Ⅰy=kz-xをⅢに代入：(1-k^2)z=(1-k)x より，(1-k){(1+k)z-x}=0 …Ⅳ Ⅰy=kz-xをⅡに代入：(k+2)z=(k+1)x …Ⅴ Ⅳより，k=1またはx=(1+k)z。 i)x=(1+k)zのとき，これをⅤに代入。 (k+2)z=(k+1)^2z ⇔ (k^2+k-1)z=0 よって，k=(1±√5)/2 またはz=0。 z=0は，元の式が分母=zのものを含むので不可。 k=1，(1±√5)/2。 ③2004=2^23167と素因数分解されるので，与式が2^2，3，167でそれぞれ割り切れることを示せばよい。このときに，a^n-b^n=(a-b)Nの形で表せることを利用します。 (ちなみに，N=a^{n-1}+a^{n-2}b +… +b^{n-1}) ・2^23 3006^n-2171^n+1319^n-150^n =(3006^n-150^n)-(2171^n-1319^n)=2856N1 - 852N2で， 2856=12238，852=1271なので，2^23で割り切れる。・167 3006^n-2171^n+1319^n-150^n =3006^n-2171^n+(1319^n-150^n)=3006^n-2171^n+1169N4で， 3006=16718，2171=16713，1169=1677なので，167で割り切れる。従って，2004=2^23*167で割り切れる。

	32169．Re: 問題
	名前：らすかる日付：5月10日(木) 4時35分
	(1)別解 x=(1+√5)/2 2x-1=√5 x^2-x-1=0 x^2=x+1 … (1) x≠0なので、(1)の両辺をx^3で割ると 1/x=1/x^2+1/x^3 … (2) また(1)から x=1+1/x なので 1/x=x-1 … (3) (2)(3)から 1/x+1/x^2+1/x^3 = 1/x+1/x = 2/x = 2(x-1) = 2x-2 = 1+√5-2 = √5-1 http://www10.plala.or.jp/rascalhp

	32182．Re: 問題
	名前：nm 日付：5月10日(木) 23時29分
	ありがとうございました。

32160．複素数

名前：のんかる 日付：5月9日(水) 21時37分

α=cos60°+isin60°とする。n,mが整数全体を動くとき、
z=n+mα
の形の複素数について、次の問いに答えよ。
①　|z|^2をnとmの式で表せ。
②　|z|≦4となるような正の整数の組(n,m)をすべて求めよ。
③　|z|≦4となるような整数の組(n,m)をすべて求めよ。

何卒よろしくお願いいたします。

	32165．Re: 複素数
	名前：みっちぃ日付：5月9日(水) 23時56分
	①zの共役な複素数をz~とすると\|z\|^2=z*z~で表せるので，それを使えば一瞬。本当は，共役な複素数は現行の教科書からは外れてるんですが，\|z\|を扱うのであれば知っていますよね?? z=n+m{1/2 +(√3/2)i}=(2n+m)/2 +(m√3/2)i，z~=(2n+m)/2 -(m√3/2)i なので，\|z\|^2=(2n+m)^2/4 +3m^2/4 =n^2+m^2。 ②\|z\|≦4 ⇔ \|z\|^2=n^2+m^2≦16なので，これを満たす正の整数の組は，全部探せば終わり。 (m,n)=(1,1)(1,2)(2,1)(2,2)(1,3)(3,1)(2,3)(3,2)の合わせて7個。 ③②\|z\|≦4 ⇔ \|z\|^2=n^2+m^2≦16なので，これを満たす整数の組は，いろいろあります。まずは，②の符号入れ替え。 (m,n)=(±1,±1)(±1,±2)(±2,±1)(±2,±2)(±1,±3)(±3,±1)(±2,±3)(±3,±2)　(複号任意)の計28個。 (複号任意で(±2,±1)とは(2,1)(2,-1)(-2,1)(-2,-1)の4つ全ての意味) で，どちらかが0になるもの。 (m,n)=(0,0)(±1,0)(0,±1)(±2,0)(0,±2)(±3,0)(0,±3)(±4,0)(0,±4)の計9個。合わせて37個。

	32166．Re: 複素数
	名前：みっちぃ日付：5月9日(水) 23時58分
	↑個数が違う!!すんません。 ②の答えは8個です。だから，③の答えは32+9=41個です。

32159．高1：平面図形

名前：かな日付：5月9日(水) 21時37分

(1)△ABCにおいて、AB=9,BC=8,CA=3ｔｏｓｕｒｕ．∠BACの二等分線が辺BCと交わる点をDとする時DC/BDは[ア/イ]であるから、BD=[ウ]である。

また、辺BAをAの側に延長して半直線AEを引き、∠CAEの二等分線が辺BCの延長と交わる点をＦとする時、/=[エ/オ]であるから、CF=[カ]である。

というア～カにあ　てはまるものを求める問題です。
よろしくお願いします。

	32164．Re: 高1：平面図形
	名前：教えたがり屋日付：5月9日(水) 23時48分
	(1)のような角の二等分線があるとき　AB：AC＝BD:DC　　が成り立ちます。・・・これは便利なので覚えておくといいでしょう。一応証明例を書いておきます。　半直線 AE上に　AC＝AG なる点Gをとります。　　AC＝AG より　∠AGC＝（１８０度－∠GAC）／２　　∠BAD＝∠BAC／２＝（１８０度－∠GAC）／２　よって　∠AGC＝∠BAD　　　∴ADとGCは平行　したがって　AB：AC＝AB:AG ＝BD:DC　　外角の二等分線があるときは、下記のように考えると　BC：CF＝（AB－AC）：AC　　・・・・が成り立つでしょう。　線分AB上にAC＝AH　なる点H をとると　∠EAF＝（１８０度－∠BAC）／２＝∠AHC　　・・・・・・あとは　自分で確認してみてください。

32158．宿題なんですけど

名前：麻奈（高３） 日付：5月9日(水) 20時54分

１≦X≦４における２次関数　Y=aｘ^2ー４aｘ＋bの最大値が１２
最小値が４であるとき、定数ａ，ｂの値を求めよ。

って問題なんですけど、さっぱりわかりません。教えてください

	32161．Re: 宿題なんですけど
	名前：たまたま見ました日付：5月9日(水) 22時20分
	与えられた二次関数を平方完成すると軸がx＝２に固定されていることが分かりますね？しかも、今の場合軸が与えられた範囲の中に入っているので頂点で最小値を取ることが分かります。では、最大値はどこで取るのか？それは、軸から遠いほうの端っこで取ります。是非とも自分でグラフを書いてみてください。視覚的に理解ができるはずです。・・・っと、ここまで書いてうっかり大切なことを忘れるところでした。以上のようになるのはa＞０の時ですね。aについては何も条件がないので、０との大小で場合を分ける必要があります（つまり、上に凸か下に凸か）。ちなみに、a＝０は考えなくていいです。０なら二次関数になりませんから。では、a＜０の場合はどうなるか？同じようにグラフを書けば、頂点で最大、軸から遠いところで最小になるのが分かるはずです。後は最大値と最小値についての二式を連立方程式として解くといいと思いますよ。ちなみに、軸が与えられた区間に入っていない、もしくは軸自体が変数で動くと言った問題もよく出題されます。その場合でも、二次関数ならとにかく「頂点と端の値」を調べると解決できます。

	32162．Re: 宿題なんですけど
	名前：教えたがり屋日付：5月9日(水) 22時49分
	この式を変形すると　　ｙ＝a（ｘ-2)^2+（ｂ-４a）・・・・（イ）となり　この関数のグラフは　ｘ＝２　を軸とする放物線となる。（１）a＞０　のときは　グラフは上開きとなり　　　　　ｘ＝２　のときにｙは最小値４　　　ｘ＝４　のときにｙは最大値１２　をとります　　（イ）に代入して出来る連立方程式を解いて　a＞０を満たしてい　　れば、１つの解が求まります。（２）a＜０　のときは　グラフは下開きとなり　　　　　ｘ＝２　のときにｙは最大値１２　　　ｘ＝４　のときにｙは最大値４　をとります　あとは（１）と同様に・・・　大まかなグラフを書いて、上のことを確認しながら解いていって下さい。（たまたま見ましたさんとダブってしまったようですが送信しておきます）

32153．複素数平面と三角関数の融合問題

名前：ルル日付：5月9日(水) 15時20分

Oを原点とする複素数平面上で、複素数zを表す点XはOを中心とする半径1の円周上を動くものとする。zの偏角をθと表す。w=(z^2)+(1/z)とおき、wを表す点をYとする、次の問いに答えなさい。ただし、θは-π以上π未満とする。

(1)w=0となるθをすべて求めよ。

(2)w≠0のとき、wの偏角βをθで表せ。ただし、βは-π以上π未満とする。

(3)三角形OXYの面積が√3/2となるθの個数を求めよ。

(1)はθ=-π、±π/3と求めることができました。(2)はw=2cos(3θ/2)(cos(θ/2)+isin(θ/2))という変形まではできました。でもできたのはここまでで、これ以降が全然わかりませんでした。とくに答え(途中過程なし)が-π＜θ＜-π/3のときと-π/3＜θ＜π/3のときとπ/3＜θ＜πの三つの場合に分かれているのが全然わかりません。三角関数はとても苦手なので、詳しく解説していただけないでしょうか。よろしくお願いします。

	32157．Re: 複素数平面と三角関数の融合問題
	名前：ヨッシー日付：5月9日(水) 17時56分
	こちらも見ていただくとして、 w=2cos(3θ/2)(cos(θ/2)+isin(θ/2)) までできたのなら、　ｚ＝ｒ(cosθ＋ｉsinθ) に照らし合わせると、偏角βは β＝θ/2 になります。長さは 2cos(3θ/2) で、これも、θにより変わります。 (3) θ＝０の場合も含めて、面積０になるのが４箇所あり、それで区切られた４つの区間を考えます。それぞれの区間について、ｚとｗの間の角の求め方が変わってくるため、場合分けします。　　 http://yosshy.sansu.org/

	32205．Re: 複素数平面と三角関数の融合問題
	名前：ルル日付：5月12日(土) 10時6分
	ヨッシー様、図を添えての解説をありがとうございました。でもどうしてもまだ理解できません。 w=2cos(3θ/2)(cos(θ/2)+isin(θ/2))とｚ＝ｒ(cosθ＋ｉsinθ)を見比べると、r=2cos(3θ/2)、argβ=θ/2となると思うのですが、これは何故違うのですか？どうして場合分けが生じるんですか？ここのところを詳しく教えていただけませんでしょうか？どうかお願いします。

	32208．Re: 複素数平面と三角関数の融合問題
	名前：ヨッシー日付：5月12日(土) 19時19分
	よく考えると、β＝θ/2 ばかりではないようですね。係数の 2cos(3θ/2) の部分が負になると、偏角は180°ずれてきます。　 http://yosshy.sansu.org/

	32214．Re: 複素数平面と三角関数の融合問題
	名前：ルル日付：5月14日(月) 0時20分
	＞よく考えると、β＝θ/2 ばかりではないようですね。これは一体何故ですか？w=2cos(3θ/2)(cos(θ/2)+isin(θ/2))とｚ＝ｒ(cosθ＋ｉsinθ)を見比べると、どう考えてもβ=θ/2だと思うのですが・・・？＞係数の 2cos(3θ/2) の部分が負になると、偏角は180°ずれてきます。ここのところの意味が分かりません。\|2cos(3θ/2)\|は正だと思うのですが？詳しく教えてください。お願いします。

	32234．Re: 複素数平面と三角関数の融合問題
	名前：ルル日付：5月16日(水) 22時5分
	ヨッシー様、もうこれ以上は解説していただけないのでしょうか？どうかお願いします。

32148．またまたお世話になります

名前：miruru 日付：5月8日(火) 22時20分

２つの２次方程式X２乗＋KX＋K２乗ー４＝０とX２乗ー３XーK＋２＝０はそれぞれ異なる解を持ち、それらのうち１つだけが一致するときKの値は■または◇である。ただし■＜◇とする。

	32149．Re: またまたお世話になります
	名前：ヒドロキシ日付：5月9日(水) 0時59分
	x^2+kx+k^2-4=0 …① x^2-3x-k+2=0　　…② ②より k=x^2-3x+2 これを①に代入して、 x^2+x^2-3x^2+2x+x^4+9x^2+4-6x^3-12x+4x^2-4=0 ⇔x^4-5x^3+11x^2-10x=0 ⇔x(x-2)(x^2-3x+5)=0 ⇔x=0,2,(3+i√11)/2,(3-i√11)/2 よって、上の四つが共通解の候補である。共通解がx=0とすると、②より、k=2 このとき、①は x^2+2x=0⇔x=0,-2 ②は x^2-3x=0⇔x=0,3 これは題意を満たす。共通解がx=2とすると、②より、k=0 このとき、①は x^2-4=0⇔x=2,-2 ②は x^2-3x+2=0⇔x=1,2 これは題意を満たす。共通解がx=(3+i√11)/2とすると、②より、k=-3 このとき、①は x^2-3x+5=0 ②は x^2-3x+5=0 これは題意を満たさない。共通解がx=(3-i√11)/2のときも同様。以上より、k=0,2

	32151．Re: またまたお世話になります
	名前：miruru 日付：5月9日(水) 8時14分
	あいがとうございました

32136．角の和の最大値

名前：amasawa 日付：5月8日(火) 0時22分

三角形ABDの外接円を赤道とする球面上に点Cがあり，次の条件を満たしている。
条件：∠BAD=90°，AB=3，AC=√13，AD=4
このとき∠BAC+∠CADの最大値を求めよ。

たくさん質問してしまってすみません。問題集でどうしても分からなかったものばかりなんです。この問題もどやって解けばいいのかぜんぜん思いつかないので質問させてください。どうかお願いします。

	32145．Re: 角の和の最大値
	名前：ぱんだ日付：5月8日(火) 20時18分
	今から出かけるので取り急ぎ大まかな方針だけ。 BDの中心をMとおく。三角形AMCは常に合同三角形AMCをAMを軸として回転させたときの ∠BAC＋∠CAD（＝α＋βとおく）のMAXを求めたい。 α＋βがMAXとはcos(α＋β)=cosαcosβ-sinαsinβ(=uとおく）がminになるということ。三角形AMCが平面ABDとなす角をθとし、 uをθの関数として表しminになるθを求める。では出かけてきます。また後ほど。

	32146．Re: 角の和の最大値
	名前：ぱんだ日付：5月8日(火) 20時23分
	ちょっと気づいたこと微分使うよりも、この方が楽にいけるかもしれません。 AB’＝４となるB'をとって、図形的に考える。 CがB'とDから等距離になるときに最大になるはずです。急いでるので確認してる暇がないので、間違ってたらすいません。では本当に出かけてきます。

	32170．Re: 角の和の最大値
	名前：花パジャ日付：5月10日(木) 11時16分
	BD=5が赤道の直径なので、BC=5sinθ,DC=5cosθと置く ∠BAC=α,∠CAD=βと置き、各々余弦定理からθとの関係式を得るまず、θを消去して　3cosα+4cosβ=√13 θとの関係式の微分を、最大時にはα'+β'=0であることから　3sinα=4sinα これらを解いて、最大値120°を得た.... ....のだけれど、そのときBC=4,DC=3という、さもありなんという数値が出たのできっともっとスマートな解法があるかと思われます

32135．回転体の体積

名前：amasawa 日付：5月8日(火) 0時16分

xz平面内の曲線：x^2-z^2=1をz軸の周りに回転したときできる曲面と平面z=0，z=1によって囲まれる立体を平面z=xで分割した時，小さい方の体積Vを求めよ。

この問題もどうやって解いていくのかの解法が思い浮かばず，全然解けそうにありません。今回も詳しく教えてください。よろしくお願いします。

	32142．Re: 回転体の体積
	名前：ヨッシー日付：5月8日(火) 17時31分
	上のも含め、かなり難しいですね。何の問題集ですか？対象学年とかは？難関向け通信教育か何かですかね？　 http://yosshy.sansu.org/

	32143．Re: 回転体の体積
	名前：ヒドロキシ日付：5月8日(火) 18時43分
	V1=∫[0,x]πx^2dz=π∫[0,x](1+z^2)dz =π(x^3+3x)/3 上で、x=1とすると、4π/3 よって、もう一方の体積V2は V2=π(4-x^3-3x)/3 a=(1+√2)^(1/3)+(1-√2)^(1/3)とすると、 V=V1 (0≦x≦a), V2 (a≦x)

	32152．Re: 回転体の体積
	名前：ヨッシー日付：5月9日(水) 8時54分
	平面ｚ＝ｘで切るので、↑こういうことだと思うんです。　 http://yosshy.sansu.org/

	32154．Re: 回転体の体積
	名前：hikari 日付：5月9日(水) 16時34分
	>上のも含め、かなり難しいですね。何の問題集ですか？対象学年とかは？難関向け通信教育か何かですかね？解いておきたい立体図形50題という問題集の問題です。略解ばかりでかなり使いづらいです。ヒドロキシさん，すみませんが何をやっているのか，ぜんぜん理解できないです。詳しく教えていただけませんか？お願いします。

	32155．Re: 回転体の体積
	名前：ヒドロキシ日付：5月9日(水) 17時14分
	ヨッシーさん、ありがとうございます。確かに仰るとおりですね。では、訂正として。まず、分かりやすいように、y軸を加えることにする。平面z=t(0≦t≦1)で問題の立体を切断するときの切断面の面積をS(t)とおく。 S(t)はxy平面上において、円:x^2+y^2=1+t^2および直線:x=tで囲まれた部分の面積である。したがって、 S(t)=2∫[t,√(1+t^2)]√(1+t^2-x^2) x=(√(1+t^2))sinθとおけば、 S(t) =2(1+t^2)∫[Arcsin√(t^2/(1+t^2)),π/2] (cosθ)^2 dθ =2(1+t^2)∫[Arcsin√(t^2/(1+t^2)),π/2] (1+cos2θ)/2 dθ =(1+t^2)π/2-(1+t^2)Arcsin√(t^2/(1+t^2))-t^2 よって、 V=∫[0,1]S(t)dt を計算すればよい。 ∴V=(π+log2)/3-1/6 となる。計算を間違っていなければいいですが。上の積分で、真ん中 ∫[0,1] (1+t^2)Arcsin√(t^2/(1+t^2)) dt これは部分積分で計算できます。また、x=tで切断すると断面は双曲線になります。他にも切断の仕方はありますが、どれも場合わけが生じそうです。

	32156．Re: 回転体の体積
	名前：ヒドロキシ日付：5月9日(水) 17時30分
	>>hikariさんある立体の体積を求める問題の解き方は、その立体を適当な平面で切断したときの断面積を適当な区間で積分します。例えば、立体をx=t(a≦t≦b)で切断したときの断面積が、tの函数としてS(t)とかけたとします。すると、体積は∫[a,b]S(t)dtで計算できます。

32133．小学校の質問ですみません

名前：√ 日付：5月7日(月) 23時10分

初歩の問題です。宜しくお願い致します。

「３・４・７・８」を１回づつ全て使って「５」を作ります。
使って良い記号は「＋－ｘ÷」と（　）です。

（８－４）ｘ３－７＝５

ですが、下記のように
（３＋７）÷（８÷４）＝５
と（　）の中が割り算でも良いのですか？
（　）を付けないと答えが違ってしまうのですが。

	32137．Re: 小学校の質問ですみません
	名前：らすかる日付：5月8日(火) 3時22分
	もちろん割り算でもいいですが、 (3+7)÷(8÷4) なら (3+7)÷8×4 あるいは (3+7)×4÷8 などと変形してカッコを減らせますね。 http://www10.plala.or.jp/rascalhp

	32140．Re: 小学校の質問ですみません
	名前：√ 日付：5月8日(火) 13時29分
	１０÷（８／４）を１０ｘ（４／８）と変形させて考えれば１０ｘ４÷８で良かったのですね。頭が固くなってました。らすかるさん有り難うございました。

32121．空間図形

名前：amasawa 日付：5月7日(月) 8時32分

はじめまして,おはようございます。どうかよろしくお願いします。↓の問題が全く見た事のない問題で，解法が全く思い浮かびません。詳しいとき方を教えてください。

空間内の点Oを中心とする一辺の長さがlの立方体の頂点をA[1]，A[2]，・・・，A[8]とする。またOを中心とする半径rの球面をSとする。

(1)S上の全ての点からA[1]，A[2]，・・・，A[8]のうちの少なくとも1点が見えるための必要十分条件をlとrで表せ。

(2)S上の全ての点からA[1]，A[2]，・・・，A[8]のうちの少なくとも2点が見えるための必要十分条件をlとrで表せ。

ただしS上の点PからA[k]が見えるとは，A[k]がSの外側にあり，線分PA[k]とSとの共有点がPのみであるコトを言う。

	32124．Re: 空間図形
	名前：ぱんだ日付：5月7日(月) 9時24分
	全く見たことがない問題なのはわかるのですが、まずあなたはこの問題の意味はわかりましたか？まず概略を考えてみましょう。球は地球だとでも思ってみてください。立方体の頂点は星だと思ってください。ｌの値が小さすぎると立方体が球に埋まってしまい、見えなくなります。ｌの値を十分大きくすると多くの星を見ることが出来るようになるのはお分かりでしょうか？さて、地上から星が見えるということは逆にいうと星から地上が見えるということでもあります。あなたが今地面を見渡しても非常に狭い範囲しか見渡せませんがあなたが飛行機の上からみたらもっと広い範囲を見ることができますしあなたが月に行けばもっともっと広い範囲を見ることができるはずです（極限まで遠くに行けば地球のちょうど半分を見渡せますね）ではこのことを意識しながら問題を解いてみましょう。（長いので２つにわけます）

	32125．Re: 空間図形
	名前：ぱんだ日付：5月7日(月) 9時39分
	（ついでに言うと、ここまで読んだ段階で「ｌをｒの何倍から何倍の範囲にすればよい」というタイプの問題だと気づいていただけると幸いです）文章では非常に表現しにくいのですが、図形の問題なので必ず図を描きながら考えてください。（ｒを固定して考えます） A１を(l/2,l/2,l/2)にとります。球Sのうち、x,y,z座標が全て０以上の部分をT１と名づけます。 A1から見える部分S１がｌの値の変化とともにどのように変化するかわかりますか？書いてみてください。 S１がP１(0,0,r)を含まないとき、対称性からS２やS３などもP１を含みません。よってS１がP１を含むことが必要である。＊S１がP1を「ぎりぎり」含むときのｌの長さ以上になればよいわけですね。では「ぎりぎり」含むのはどんなときか？P1（北極点とでも思ってください）にあなたが立ったとき、ぎりぎり地平線すれすれに星A１が見えたときですよね。つまり、A１のそのときの座標は(r,r,r)です。そのときｌ＝２ｒよって、ｌ≧２ｒが必要。逆にこのときS１はT１を含み、S２はT２を含み、・・・（S２やT２は同様に決めていってください）なのでｌ≧２ｒのとき条件を満たす。よってｌ≧２ｒが必要十分条件である。

	32126．Re: 空間図形
	名前：ぱんだ日付：5月7日(月) 10時9分
	次に（２）です。先ほどと同じように考えてみましょう。「あなたが２つの星が見える」ということは「２つの星からあなたが見える」ということです。あなたから星A１とA２が見えるということはあなたのいる場所は S１に含まれる、かつS２に含まれるということです。 S1やS２にペンキを塗っていくと考えると、今回の問題は地球上の全ての場所が二度塗り以上される条件を求めたいわけです。 A1（l/2,l/2,l/2) A2(-l/2,l/2,l/2) A3(l/2,-l/2,l/2) A4(l/2,l/2,-l/2) と座標をとります。さあ、ｌの値を小さい値から初めてだんだん大きくしてみてください。 S１やS２がだんだん大きくなっていってT１が塗られる場所が増えていきますね。ｌの値を大きくしていくとだんだん二度塗りされる範囲も増えてきます。でもT１の中になかなか二度塗りされない部分がありませんか？そう、T１の「ど真ん中」の部分です。そのど真ん中Q１は原点からみて (1,1,1)方向にありますので座標はQ1(r/√3,r/√3,r/√3)です。このQ1が「ぎりぎり塗られる」ときのｌの値以上にすればよいわけです。ではどんなときに「ぎりぎり」なのか？さっきよりちょっと難しいですが、「OQ1とQ1A2が垂直になったとき」がぎりぎりですね。つまり(1,1,1)とQ1A2が垂直なので (1,1,1)・(-l/2-r/√3,l/2-r/√3,l/2-r/√3)=0より l=(2√3)・r よってｌ≧(2√3)・rが必要。逆にこのとき確かに条件を満たす。よってｌ≧(2√3)・rが必要十分条件である。できるだけ理解してもらいやすいように一部数学的ではない表現をあえて使っていますがご了承ください。

	32128．Re: 空間図形
	名前：ヨッシー日付：5月7日(月) 15時56分
	これは、ある軸方向から見たイメージです。球上の円が、四角形の頂点から見える範囲です。逆に言えば、四角形の頂点が見える範囲です。図の水色で塗った部分は、どこからも見えていない部分です。これがなくなった時点が、「少なくとも１点が見える」状態です。図の水色で塗った部分は、１点だけしか見えていない部分です。これがなくなった時点が、「少なくとも２点が見える」状態です。　 http://yosshy.sansu.org/

	32129．Re: 空間図形
	名前：ヨッシー日付：5月7日(月) 17時16分
	上の記事の一番下の図は、厳密に言えば、正しくありません。赤、青、紫に囲まれた三角状の部分ではなく、黄色の円と、球の中心に対して対称な位置にある円（図では、赤とピッタリ重なる）と、青と紫とで出来る三角状の部分が正解です。ただし、対称性から、答え自体は問題ありません。この図は、正方形の頂点方向から見た図です。この図で、中央あたりに出来る、三角状の部分は、まぎれもなく、「１点だけしか見えていない部分」です。　 http://yosshy.sansu.org/

	32130．Re: 空間図形
	名前：ぱんだ日付：5月7日(月) 19時29分
	ヨッシーさん、図をつけてくださってありがとうございます。きっとつけてくださるだろうと期待していました（笑）（ちなみにそういう図を作るのに、フリーソフトでヨッシーさんのお勧めってありますか？）＞上の記事の一番下の図は、厳密に言えば、正しくありません。立体の球に円が複数関わると、図が非常に表現しにくくなりますね（苦笑）正しい図は正三角形の３つの辺が全て凹んだ形になります。（上の記事の一番下の図は１箇所凸型になっているので、おっしゃるとおり明らかに誤りですね。）ところで、＞黄色の円と、球の中心に対して対称な位置にある円（図では、赤とピッタリ重なる）とはどういう意味でしょうか？？単に球を中心に回転移動した円というだけの意味で使っているのでしょうか？もしもちょうど１８０度回転した反対側の円という意味で使われているのなら、それは違うような気がしたのですが。。。（一番上のGIFアニメの赤と黄の円をそのまま意味しているのであれば、ですが）一番最後のGIFは、まさに私がamasawaさんに自分でイメージできるようになって欲しかった図そのものなので、私がヨッシーさんの文章の意図を読み違えているのかもしれませんが（汗）

	32132．Re: 空間図形
	名前：キューダ日付：5月7日(月) 21時15分
	立方体に内接する球が、(1)の上限です。立方体の８つ頂点の内、一つおきに選んで作られる正四面体に内接する球が(2)の上限です。上限としたそれぞれの球より、ちょっとだけ大きい球を考えてください。そのちょっだけ大きい球表面のうち、立方体、あるいは正四面体からはみ出した部分は、題意を満たさないことは、すぐわかると思います。イメージ化に役立てば幸いです。

	32134．Re: 空間図形
	名前：amasawa 日付：5月8日(火) 0時10分
	回答者のみなさんへとてもお詳しく教えていただけて大変嬉しいです。おかげで完全に理解できました。ありがとうございました。まだまだ分からない問題がたくさんあるので,今後もヨロシクです。

	32139．Re: 空間図形
	名前：ヨッシー日付：5月8日(火) 9時8分
	補足します。この図を、ｘ軸の正の向きから見た図として手前をｘ軸、右向きをｙ軸、上向きをｚ軸とすると、赤円は、ｘ＞０，ｙ＞０，ｚ＞０の領域の円（はみ出ることもあります）黄円は、ｘ＞０，ｙ＜０，ｚ＜０の領域の円となります。他の円も、ｘ＞０の領域にあります。図右上の水色の部分は、この図だけでは、青円と、紫円と、赤円の球の向こう側に隠れた線とで、囲まれたみたいに見えるので、実際はそうでなくて、黄円と原点対称な、ｘ＜０，ｙ＞０，ｚ＞０の領域にある円があって、（ｘ軸方向から見ると、赤円と重なって見えます）それがｘ＞０の方にせり出してきた部分と、青、紫との三角だと考えて下さい、という意味で書きました。この方向（円を、球の中心側から見る）と、三角の辺が凸に見えますが、正面（点(1,1,1)から原点を見る方向）から見ると、凹に見えます。よけい、ややこしくなったか？　 http://yosshy.sansu.org/

	32141．Re: 空間図形
	名前：ヨッシー日付：5月8日(火) 13時39分
	＞（ちなみにそういう図を作るのに、フリーソフトでヨッシーさんのお勧めってありますか？）私は、２０年間花子一筋ですので、その他のソフトのリサーチをしたことがありません。アニメが出来てからの動作調整は、ZGIFMAKE(フリー)を使っていますが、機能的には不満はあります。　 http://yosshy.sansu.org/

	32144．Re: 空間図形
	名前：ぱんだ日付：5月8日(火) 19時49分
	ヨッシーさん、そういう意味なら納得です！まさにそのとおりです。まあ、何にしても立体を平面に書いた図で表現したり、文章で図形を表現したりするのは大変ですよね。＞私は、２０年間花子一筋ですので、その他のソフトのリサーチをしたことがありません。アニメが出来てからの動作調整は、ZGIFMAKE(フリー)を使っていますが、機能的には不満はありますそうでしたか、どうもありがとうございました。

32114．(untitled)

名前：ふらわ～ 日付：5月6日(日) 22時8分

Kを定数とし、ｆ(x)=(4x^3)/3-6kx^2+5k^2x-6kとする。
曲線y=ｆ(x)上の点(t、ｆ(t))における接線とy軸との交点のy座標をg(t)とする。
(ⅰ) g(t)を求めよ。
(ⅱ)t≧0において、つねにg(t)≦0となるようなkの値の範囲を求めよ。　　　

高三です。
微分・積分をよく理解していなく、宿題に出ていて困っています。
お願いします。

	32118．微分
	名前：モンテスキュー日付：5月6日(日) 23時57分
	（ⅰ）まずはf(x)をxで微分してf'(x)を求めましょう　　　y=f(x)の点(t,f(t))における接線lの方程式は　　　l: y-f(t)=f'(t)(x-t)　…　① 　　　で表されます　　　f'(t)がx=tにおける接線の傾きを表しているということは　　　わかりますか？　　　次にy軸との交点　⇔　x座標が0 　　　ですから接線lの方程式①へ「x=0」を代入してそのときのyを求めましょう　　　それがg(t)となります（ⅱ）g(t)をtで微分してg'(t)を求め　　　「増減表」をつくって下さい（わからない場合は教科書参考）　　　増減表ができたらt≧0の範囲において常にg(t)≦0となるための条件は　　　「（最大値）≦０」　　　であればいいわけですよね

32112．(untitled)

名前：キャンディ 日付：5月6日(日) 21時5分

座標平面上に曲線C:y=x^2があり、C上に異なる2点A(α、α^2)、B(β、β^2)をとる。
(1) 直線ABの方程式をα、βを用いて表せ。
(2) AにおけるCの接線と、BにおけるCの接線の交点をPとする。Pの座標をα、βを用いて表せ。
(3) 直線ABが点(2、3) を通るように2点A、BがC上を動くとき、Pの軌跡を求めよ。　　　　　　　　　

教えてください。

	32115．Re: (untitled)
	名前：教えたがり屋日付：5月6日(日) 22時47分
	（１）直線ABの傾きは　（α^2－β^2)／（α－β）＝α＋β 　だから直線ABの方程式は　ｙ－α^2＝（α＋β)(ｘ－α）　整理すると　　ｙ＝（α＋β)ｘ－αβ （２）ｙ＝ｘ^2 において　ｙ’＝２ｘ　だから　Aにおける接線の式は　ｙ－α^2＝２α(ｘ－α）　　　整理して　　　　　ｙ＝２αｘ－α^2　・・・・（イ）　同様にして、Bにおける接線の式は　　　　　　　　　　　　ｙ＝２βｘ－β^2　・・・・（ロ）　（イ)(ロ）の連立方程式を解けば P の座標がα,βであらわせます。（３）ｙ－α^2＝（α＋β)(ｘ－α）が（２,３）を通るときは　　ｘ＝２、ｙ＝３を代入しても等式が成り立ちます。　そして、でてきたα,βに関する等式を見ながら　　P のｘ座標とｙ座標のあいだにどのような等式が出来るかを　見つけてください。その式を満たすグラフが Pの軌跡となります。

32108．(untitled)

名前：N&M 日付：5月6日(日) 18時13分

高校で習う数学で、以下の形の漸化式を解くことは可能なのでしょうか？

A_n+1=f_nA_n

どうしても分からなかったので、質問させていただきました。　どなたかご教授の程をよろしくお願いいたします。

	32119．Re: (untitled)
	名前：mimi 日付：5月7日(月) 0時32分
	A2=f1A1 A3=f2A2 ・・・ An=f(n-1)A(n-1) を全部掛けると、 A2A3…An=f1f2…f(n-1)A1A2…A(n-1) 両辺をA2A3…A(n-1)で割ると、 An=f1f2…f(n-1)A1 あとはfnがどんなものかによります。例えばfn=nだとすると、 An=(n-1)!A1 と階乗になります。

	32131．Re: (untitled)
	名前：N&M 日付：5月7日(月) 20時57分
	丁寧な御返答、ありがとうございました。おかげでスッキリすることが出来ました＾＾

32106．教えてください

名前：胡桃日付：5月6日(日) 17時42分

高１です。
この問題、教えてください。

8個の数字0～7から異なる3個の数字を選び、横一列に並べて3桁の整数を作る。
(1) 全部で何個出来るか。
(2) 2つの倍数は何個出来るか。
(3) (百の位の数字)<(十の位の数字)<(一の位の数字)となるものは何個出来るか。
(4) (3)の条件を満たす整数のうち、2の倍数、または3の倍数となるものは何個出来るか。

	32109．Re: 教えてください
	名前：たまたま見ました日付：5月6日(日) 18時45分
	（１）百の位には０はこれませんよね？なので、１から７の７通りが可能です。つぎに、十の位を考えると今度は０も可能なので０から７のうち百の位で使わなかった七通りが可能です。一の位は残りの６通りです。なので答えは・・・・（２）２つの倍数ってなんのことでしょうか？２の倍数の打ちミスかな？２の倍数なら一の位が０，２，４，６の場合をそれぞれ考えればいいのでは？（３）一見難しそうですが単純ですよ。今は考えている数がすべて異なっているので異なる三つの数を選べば大小関係は唯一に決まりますよね？つまり、三つ選んでい小さい順に百の位から入れればいいわけです。場合の数は三つの数の選び方と一致することが分かりますね？（４）２の倍数は一の位が０，２，４，６ですね。３の倍数は各位の数の和が３の倍数になります。場合を分けるくらいしかちょっと思いつきません・・・重複に注意しましょう。

32104．お願いします。

名前：ダンデライオン 日付：5月6日(日) 15時38分

tan1°は有理数か無理数か証明せよ。

	32105．Re: お願いします。
	名前：らすかる日付：5月6日(日) 16時5分
	もしtan1°が有理数だとすると、加法定理を繰返し使うことによってtan30°も有理数となるが、 tan30°=1/√3なので矛盾。よってtan1°は無理数。 http://www10.plala.or.jp/rascalhp

	32107．Re: お願いします。
	名前：ダンデライオン日付：5月6日(日) 17時53分
	記述する際、全て書かなくてはならないのですか？

	32110．Re: お願いします。
	名前：たまたま見ました日付：5月6日(日) 19時3分
	tan30°までをすべて、ということですかね？おそらくすべてを書く必要はないと思います。tan１°を仮定してtan２°、tan４°位までは加法定理の式を書いて導いた後は、「同様に」などとしてtan３２°へ行き、tan３２°とtan２°から加法定理でtan３０°につなげる程度でいいと思います。この証明で落としてはならないのは、tan１°の仮定、加法定理を用いたと言う記述、仮定よりtan３２°とtan２°が有理数という記述、これからtan３０°が有理数であることが導かれるがそれはtan３０°が無理数であることに矛盾すると言う記述だと思います。逆にtangentの値をすべて書くと答案が見にくくなると思われます。採点官が見やすいように適度に省略するのも美しい答案には必要でしょう。

	32111．Re: お願いします。
	名前：ZELDA 日付：5月6日(日) 19時43分
	私だったら、帰納法ですませます。

	32113．Re: お願いします。
	名前：ダンデライオン日付：5月6日(日) 21時26分
	ありがとうございました。

32103．(untitled)

名前：よぅすけ 日付：5月6日(日) 8時44分

また確率の問題お願いします。

それと、32027の最初の問題の(2)は答えが504じゃなくて960通りになると言われたんですが…
どうなのでしょうか？

①～⑦の7枚のカードがある。このなかから1枚のカードを取り出し、カードに書かれた数を記録しても戻す。これを2回繰り返し、1回目、2回目に記録していた数をそれぞれa、bとする。 (1) aが2の倍数となる確立を求めよ。 (2) 積abをab=2^x・(奇数)　(Xは0以上の整数)と表した時のXについて考える。たとえばab=3のときX=0、ab=24のときX=3である。 (ⅰ)X=1となる確率、X=４となる確率をそれぞれ求めよ。 (ⅱ)Xの期待値を求めよ。

	32120．Re: (untitled)
	名前：教えたがり屋日付：5月7日(月) 0時38分
	９６０通りが正解だと思います。　ヨッシーさんの説明において　　Ａ●Ａ●Ａ● 　　Ａ●Ａ●●Ａ　　Ａ●●Ａ●Ａ　　●Ａ●Ａ●Ａの配置にE ２つが挿入される場合の数は説明通り　５０４通りですが次の２パターンが抜けていると思います。（１）ＡＡ●Ａ●●　　　　Ａ●●ＡＡ● 　　　ＡＡ●●Ａ●　　　　●Ａ●ＡＡ● 　　　ＡＡ●●●Ａ　　　　●●ＡＡ●Ａ　　　Ａ●ＡＡ●●　　　　Ａ●●●ＡＡ　　　●ＡＡ●Ａ●　　　　●Ａ●●ＡＡ　　　●ＡＡ●●Ａ　　　　●●Ａ●ＡＡ　　上のA～Dの配置に１つのEがAAの間に入り、もう１つのEが他の場所　に入る場合の数は　　（１２６）６＝４３２　（通り）（２）ＡＡＡ●●● 　　　●ＡＡＡ●● 　　　●●ＡＡＡ● 　　　●●●ＡＡＡ　　上のA～Dの配置に２つのEがAAAのAの間に入る場合の数は　　　４*６＝２４　　（通り）したがって答えは　５０４+４３２+２４＝９６０（通り）となります。

	32122．Re: (untitled)
	名前：ヨッシー日付：5月7日(月) 8時41分
	その通り！数え上げてみて、９６０だと確認しました。失礼しました。さて、本問ですが、 (1) は、１から７のうち、２の倍数は２，４，６の３個なので、　確率は、３／７ (2) はこのように、1,2,3,4,5,6,7 を 0,1,0,2,0,1,0 のように、２が掛けられている数に直して、それらの、縦横の和を取った表を作ります。　X=0：16個　X=1：16個　・・・　確率は　16/49 　X=2：12個　X=3：４個　X=4：１個　・・・　確率は　1/49 期待値は　(0×16＋1×16＋2×12＋3×4＋4×1)/49＝56/49＝８／７　 http://yosshy.sansu.org/

	32138．Re: (untitled)
	名前：らすかる日付：5月8日(火) 7時42分
	32027の(2)は Aが隣り合わない並べ方は、A以外を並べて(5!/2!通り)から、間または端計6箇所中3箇所にAを配置(6C3通り)すれば良いので、5!/2!×6C3通り Aが隣り合わない並べ方のうちEが隣り合う並べ方は、 Eを一つと考えて上と同様の計算をすればよいので、4!×5C3通りよってAもEも隣り合わない並べ方は 5!/2!×6C3-4!×5C3=960通り http://www10.plala.or.jp/rascalhp

32101．(untitled)

名前：こぶ平 日付：5月5日(土) 18時46分

直線ｙ=ax+a^2-5...①、放物線y=x^...②について、
Ⅰ）aが全ての実数値をとって変わるとき①の直線の通過する領域を図示せよ。
Ⅱ)①と②が共有点をもつようなaの範囲を求めよ。またaのこの範囲で変わるとき、①の直線の通過する領域を図示せよ。
…という問題なんですけど、
（Ⅰ)はx≦-2√5、2√5≦xとなったんですけどｙ=ax+a^2-5ってグラフはどう書いたらいいんですか？
（Ⅱ)はa≦-2、2≦aとなったんですけど「また～～」の後からわかりません･･･。くわしめに教えて下さい。

	32116．「実数解」の処理
	名前：モンテスキュー日付：5月6日(日) 23時12分
	`（Ⅰ）ｙ=ax+a^2-5 … ① 　　　① を a について変形すると　　　a^2+(x)a-(y+5)=0 　　　a が実数解をもつための条件は「Ｄ≧０」（Ⅱ）a≦-2，2≦a までは正解　　　a=2 および a=-2 のときに y=x^2 と接する直線を考え　　　（Ⅰ）の条件と重ねて考慮してみて下さい　　　結果は上図のようになるはず`

32100．数C　式と曲線

名前：麗美日付：5月5日(土) 18時23分

ｘ^2＝４pyの焦点と準線を考えた媒介変数表示をおしえてください！！
おねがいします。

	32117．数C
	名前：モンテスキュー日付：5月6日(日) 23時15分
	x=t と置くパターンと x=2pt と置くパターンどちらでもいいと思いますそのときのそれぞれの y のパラメータ表示はどうなるかを考えてみればいいと思います

32099．プログラムについて

名前：真日付：5月5日(土) 16時18分

私はセンター試験で統計とプログラムを選択しようと思って勉強しているのですが、プログラムが難しいです。格子点の問題など。もしプログラムの問題がベクトル･数列よりパターンが少ないのならこのまま続けようと思っているのですが…　私はベクトル･数列がかなり苦手なのであまりやりたくは無いのです｡なにかアドバイスはいただけないでしょうか？

	32127．Re: プログラムについて
	名前：ヨッシー日付：5月7日(月) 13時30分
	これは、好みの問題ですから、何とも言えませんが、プログラムの方がパターンが少ないといえばそうかも知れませんが、「間違いなく解けた」という実感の少ないのも事実で、答え合わせするまで不安が残ったままであることが多いです。また、プログラムは、統一テスト（共通一次を含む）での歴史が浅いので、パターンが少なく見えるだけかも知れませんし、その分、傾向と対策がつかめずに、予想外の問題が出る可能性もあります。　 http://yosshy.sansu.org/

	32147．Re: プログラムについて
	名前：真日付：5月8日(火) 20時26分
	ありがとうございます。ところで、統計とプログラムをあわせて何分ぐらいで解くのが理想でしょうか？

32097．(untitled)

名前：みるく 日付：5月5日(土) 9時5分

度々、すいません。
またベクトルなんですが…お願いします。

OA〃BCである台形OABCがあり、OA=6、OB=OC=3、∠AOB=60°を満たしている。
さらに、辺ACの中点をMとする。
ベクトルOA=ベクトルa、ベクトルOB=ベクトルbとするとき、
(1)内積ベクトルa・ベクトルbを求めよ
(2)ベクトルOC、ベクトルOMをそれぞれベクトルa、ベクトルbを用いて表し、絶対値ベクトルOMを求めよ。
(3)線分OM上を動く点Pに対して、内戦ベクトルOP・ベクトルAPが最小になるとき、絶対ベクトルOPを求めよ。

	32098．Re: (untitled)
	名前：ヨッシー日付：5月5日(土) 10時0分
	まず、△ＯＢＣは正三角形であることを知っておきます。 (1)公式通りなので、省略します。　ａ・ｂ＝９　です。 (2)ＯＢ＝ＯＣ＝ＢＣ＝３なので、ＢＣ＝－ａ/２よって、　ＯＣ＝ｂ＋ＢＣ＝ｂ－ａ/２ＭはＡＣの中点なので、　ＯＭ＝(ａ＋ＯＣ)/２　＝ａ/４＋ｂ/２　\|ＯＭ\|^2＝ＯＭ・ＯＭ　　＝(ａ/４＋ｂ/２)・(ａ/４＋ｂ/２) 　　＝\|ａ\|^2/１６＋\|ｂ\|^2/４＋ａ・ｂ/４　　＝36/16＋9/4＋9/4＝27/4 よって、　　\|ＯＭ\|＝3√3/2 　 http://yosshy.sansu.org/

32092．空間図形

名前：リザ日付：5月4日(金) 23時49分

xyz空間において、平面上に円盤Aがあり、xz平面上に円盤Bがあって、以下の2条件を満たしている。
(a)A、Bは原点からの距離が1以下の領域に含まれる。
(b)A、Bは一点Pのみを共有し、Pはそれぞれの円周上にある。
このような円盤AとBの半径の和の最大値を求めよ。ただし、円盤とは円の内部と円周をあわせたものを意味する。

この問題なのですが、どうやって考えたらいいのか最初から全くわかりませんでした。どうやって解いていくのか、詳しく教えてください。よろしくお願いします。

	32093．Re: 空間図形
	名前：みっちぃ日付：5月5日(土) 3時59分
	これは，1999年の東京大学の問題です。図は載せてある通りで，2枚目，3枚目は，それぞれxy平面，xz平面を書いています。まずは，問題の前提から。 2円が共有するのはx軸上の点で，この点をP(p,0)とします。p≧0で一般性を失いません。で，2円A，BはP以外の点を共有しないので，「Bの中心のx座標」≦p≦「Aの中心のx座標」まずは，Pを固定した上で，A，Bの半径r_A，r_Bの最大値を求めます。その後，0≦p<1で動かして，r_A+r_Bの最大値を求めます。 2枚目の図のように，Aの中心をA'とすると△OPA'の3辺は図の通りで，∠OPA'=αとすると， α≧90°でないとA'のx座標がp未満になるので，cosα≦0です。ここで，余弦定理より(1-r_A)^2=(r_A)^2+p^2-2pr_Acosα ∴r_A=(1-p^2)/2(1-pcosα) ≦(1-p^2)/2(1+p)=(1-p)/2 (α=180°で，A'はx軸上) 同様に，3枚目の図のように，Bの中心をB'とすると△OPB'の3辺は図の通りで，∠OPB'=βとすると， β≦90°でないと，B'のx座標がpより大になるので，cosβ≧0です。また，余弦定理より(1-r_B)^2=(r_B)^2+p^2-2pr_Bcosβ ∴r_B=(1-p^2)/2(1-pcosβ)≦(1-p^2)/2　(β=90°で，PB'はx軸と垂直)。このとき，r_A+r_B=(2-p-p^2)/2なので，平方完成によりp=1/2のとき r_A+r_B=9/8が最大。

	32094．訂正
	名前：みっちぃ日付：5月5日(土) 4時4分
	3枚目のr_B，1-r_Bの長さが逆でした。失礼!!

	32096．さらに訂正
	名前：みっちぃ日付：5月5日(土) 6時40分
	解答がグダグダです。すみません m(_ _)m 以下のように変わります。 >∴r_A=(1-p^2)/2(1-pcosα) ≦(1-p^2)/2(1+p)=(1-p)/2 (α=180°で，A'はx軸上) r_A=(1-p^2)/2(1-pcosα) ≦(1-p^2)/2(α=90°で，PA'はx軸と垂直) >∴r_B=(1-p^2)/2(1-pcosβ)≦(1-p^2)/2　(β=90°で，PB'はx軸と垂直) r_B=(1-p^2)/2(1-pcosβ)≦(1-p^2)/2(1-p) =(1+p)/2 (β=0°でB'はx軸上) >このとき，r_A+r_B=(2-p-p^2)/2なので，平方完成によりp=1/2のとき >r_A+r_B=9/8が最大。 r_A+r_B=(2+p-p^2)/2なので，平方完成によりp=1/2のとき r_A+r_B=9/8が最大。

32087．因数分解

名前：miruru 日付：5月4日(金) 20時13分

x４乗＋３x２乗＋４の因数分解を教えてください

	32088．Re: 因数分解
	名前：ヨッシー日付：5月4日(金) 20時50分
	x^4+3x^2+4=(x^4+4x^2+4)-x^2 　=(x^2+2)^2 - x^2 　=(x^2+2+x)(x^2+2-x) 　 http://yosshy.sansu.org/

32085．正四面体の内積（高校２年）

名前：ゆう日付：5月4日(金) 12時19分

〈問題〉
一辺の長さが１の正四面体OABCがあり、辺BCを2:3の比に内分する点をMとする。このとき内積→OA・→OMの値を求めよ。

〈正解〉
→OA・→OM＝→OA・（3/5→OB＋2/5→OC）
　　　　　　　＝(3/5)→OA・→OB＋(2/5)→OA・→OC
　　　　　　　＝(3/5)*1/2+(2/5)*1/2
　　　　　　　(∵|→OA|・|→OB|cos60°=|→OA|・|→OB|cos60°=1/2)
　　　　　　　＝(3/10)+(2/10)
　　　　　　　＝1/2

※正解では、側面が正三角形であることから、→OAと→OB、→OAと
　→OC　のなす角がそれぞれ６０°。よって、cos60°=1/2　から、
　→OA・→OB=→OA・→OC=1/2 を利用しています。

※以下のようにしてしまうと答えが違いますが、どこがだめなのか教えて
　下さい。
　→OA・→OM＝→OA・（3/5→OB＋2/5→OC）
　　　　　　　　＝3/5→OA・→OB＋2/5→OA・OC
　　　　　　　　＝3/5|→OA|・|→OB|cos60°＋2/5|→OA||→OC|cos90°
　　　　　　　　　（∵∠AOCはOA=OC=1, AC=√2の直角二等辺三角形なの
　　　　　　　　　　　で、90°）
　　　　　　　　＝(3/5)*1*1*(1/2)+(2/5)*1*1*0
　　　　　　　　＝3/10+0
　　　　　　　　＝3/10

どうかよろしくお願いします。

	32086．Re: 正四面体の内積（高校２年）
	名前：だるまにおん日付：5月4日(金) 13時5分
	（∵∠AOCはOA=OC=1, AC=√2の直角二等辺三角形なの　　　　　　　　　　　で、90°）これが違います。△AOCは一辺の長さが1の正三角形です。

	32090．Re: 正四面体の内積（高校２年）
	名前：ShoWat 日付：5月4日(金) 21時39分
	だるまにおんさん、ありがとうございました。正四角錐と勘違いしていました。

32084．(untitled)

名前：hiranoyuuhei 日付：5月4日(金) 11時21分

sankakukei
daikeimennomotomekata
seki

32082．初めての掲示板です。よろしくお願いします。

名前：だっち　新高３ 日付：5月4日(金) 10時49分

初めての掲示板です。今後ともよろしくお願いします。
数Ⅲの積分でゴールデンウィークの課題で全く分からない問題が４つありました。　考えても、参考書を調べて分からなかったのでよろしくお願いします。量が多いと思いますがよろしくお願いします。

※表記の関係で　・　は「かける」を意味しています。

①f_n(x)＝A_ｎ・x+とB_ｎし、次の式を満たすf_n(x)と
lim<ｎ→∞>f_n(x)を求めよ。
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　x^2 ・f_n+1(x)＝ｘ^3+∫《from　0　to　ｘ》ｔf_n(t)dt

　　　　　　　

　　　　　　　　　　　　　
②lim<x→1>(1／x－1）・∫《from　1　to　√x》f(ｔ)ｄｔ
をf(1)を用いて表せ。
　　　　　　　　　　　　

--------------------------------------------------------------------------------

③∫《from　0　to　x》ｔｆ（x－ｔ）ｄｔ＝∫《from　0　to　x》（x－ｔ）f（ｔ）ｄｔを示し、
　
　　　　　　
（ｄ／ｄx）∫《from　0　to　x》ｔsin^2(x－ｔ）ｄｔを求めよ。
　　　　　　

　　　　　　　　　　　　　　
④f（x）＝（x^2＋1）e^(-x)+∫《from　0　to　x》F（x－ｔ）e^(-t)dt を満たすf（x）を求めよ。　　　　　　　　　　　　　

	32123．Re: 初めての掲示板です。よろしくお願いします。
	名前：ぱんだ日付：5月7日(月) 8時55分
	書いてある問題の意味がちょっとわかりにくいのですが。 ①f_n(x)＝A_ｎ・x+とB_ｎしこれは①f_n(x)＝A_ｎ・x+B_ｎとし　の間違いでしょうか？次にA_ｎとは何でしょう？これはｎの値によって変わる定数でしょうか？それともｎの値によって変わる行列でしょうか？

32080．二重根号

名前：ゆっち 日付：5月4日(金) 7時43分

√3+√5+√3－√5
の計算方法を教えてください
√３は√５の上までかかっていて二重根号になっています。
よろしくおねがいします

	32081．Re: 二重根号
	名前：らすかる日付：5月4日(金) 8時1分
	√3+√5+√3-√5 と書くと (√3)+(√5)+(√3)-(√5) という意味になってしまいますので、「√3は√5の上までかかっていて二重根号になってい」る場合は √(3+√5)+√(3-√5) のように書いた方がいいです。 {√(3+√5)+√(3-√5)}^2 =(3+√5)+(3-√5)+2√{(3+√5)(3-√5)} =6+2√{3^2-(√5)^2} =10 であり、√(3+√5)+√(3-√5)＞0なので √(3+√5)+√(3-√5)=√10 http://www10.plala.or.jp/rascalhp

32077．体積

名前：一山当てる 日付：5月4日(金) 0時18分

三角錐の体積や、球の表面積、体積の公式的なもの
（いわゆる、三角錐の体積＝1/3×底面積×高さ　のようなもの）
は覚えているのですが、なぜそのようになるのかがわかりません。
ご教授頂けませんでしょうか？

	32078．Re: 体積
	名前：ヒドロキシ日付：5月4日(金) 0時37分
	直感的には http://www004.upp.so-net.ne.jp/s_honma/circle/intuition.htm あたりを参照。積分を使えば、球の表面積=∬r^2*sinθdθdφ　(θ:0～π,φ:0～2π) 　　　　　=4πr^2　(途中省略) あとは、高校レベルの積分でできます。

	32079．Re: 体積
	名前：ヨッシー日付：5月4日(金) 0時39分
	例えば、三角錐（に限らず錐体）の場合、頂点から、高さ方向にｘ軸をとり、底面とｘ軸の交点を座標Ｈとします。つまり、高さがＨです。また、底面積をＳとします。０＜ｘ＜Ｈの範囲にあるｘ軸上の点を通り、底面に平行な平面で、この三角錐を切ったとき、切り口の面積は、　Ｓ(ｘ/Ｈ)^2 となります。（底面と、相似比が　Ｈ：ｘ　の三角形なので、面積は　（ｘ/Ｈ）倍）これを、ｘ＝０からＨまで積分して、　∫(0～H)Ｓ(ｘ/Ｈ)^2ｄｘ　　＝(Ｓ/３Ｈ^2)[ｘ^3](0～H) 　　＝(Ｓ/３Ｈ^2)・Ｈ^3 　　＝ＳＨ/３となり、底面積×高さ÷３　という式になります。って、こんな感じで良いんでしょうか？球の体積も大体こんな感じです。球の面積は、こちらを参照して下さい。　　 http://yosshy.sansu.org/

	32089．Re: 体積
	名前：一山当てる日付：5月4日(金) 21時35分
	大変参考になりました！有難うございました

32074．体積

名前：恵日日付：5月3日(木) 4時53分

おはようございます。今回もどうかよろしくお願いします。

☆疑問☆

1辺の長さが2の立方体の中心をOとする。この立方体の表面及び内部の点Pで、OPの長さがPから正方形の各面に下ろした垂線の長さより長くないという条件を満たすもの全体が作る立体の体積Vを求めよ。

立方体の八つの頂点を(1,1,1)、(-1,1,1)、(-1,-1,1)、(1,-1,1)、(1,1,-1)、(-1,1,-1)、(-1,-1,-1)、(1,-1,-1)として、点PをP(x,y,z)とします。点Pから各面への長さは、1-x、1-y、1-z、1+x、1+y、1+zとなります。対称性から、点Pを0≦x≦1、0≦y≦1、0≦z≦1に置いてもよさそうです。この領域では体積は元の1/8です。これで1-x<1+x、1-y<1+y、1-z<1+zです。さらに場合分けを軽減するため、x≦y≦zとすれば、点Pから各面への長さの内、最小のものは1-zとなります。この領域では体積は元の1/48です。この条件下で、OP=√{(x)^2+(y)^2+(z)^2}<1-zを考えようとしました。でも考えようとしたんですが、ここから先が全然わかりません。教えていただけないでしょうか。よろしくお願いします。

	32083．Re: 体積
	名前：教えたがり屋日付：5月4日(金) 11時18分
	計算があまりに大変で私も答えが出せていないのですが、次のことは言えると思うのでヒントになればと思い送信します。予備知識として「ＸＹ平面上で定点Ａ（ｐ,０）と、直線ｘ＝－ｐまでの距離が等しい点の集合は　ｙ^2＝４ｐｘ　で表される放物線になる。」というのがありますよね。これをｘ軸の周りに回転させれば、点Ａ（ｐ,０）と、平面ｘ＝－ｐまでの距離が等しい点の集合は　放物線面になります。そこで、底面が(1,1,-1)(1,-1,-1)(-1,1,-1)(-1,-1,-1)を結ぶ正方形、頂点がＯの正四角錐の領域で考えます。（内部の点は立方体のＺ＝-1　の面までが最も近く、体積は立方体の１／６）　Ｚ＝－1　の平面までの距離と、点Ｏまでの距離が等しい点の集合は放物線面となり、点Ｏまでの距離のほうが短い点の範囲は、放物線面より点Ｏ側の部分。これを６倍すれば出るはず。理屈では、この正四角錐をＺ軸をふくみX軸との角がαである平面できった断面図で面積を求め、α：０～πで積分すれば求まりそうですが・・？

	32095．Re: 体積
	名前：恵日日付：5月5日(土) 6時0分
	To 教えたがり屋様解説をしていただきまして、ありがとうございました。Pの領域は正四角錐の中に限定して考えなければいけなかったのですね。教えたがり屋様の解説中の、下から二段目からが、とても難しくて、とても解けそうにありませんでした。ここは、xz平面上で、Oを焦点、z=-1を準線とする放物線(z=(x^2-1)/2)をz軸の周りに回転してできる放物線面の内側と、正四角錐O-EFGHとで囲まれる領域の体積を求めることになると思うのですが、どうやって考えればいいのか全然分からないです。ここのところを、詳しく教えていただけないでしょうか。どうかお願いします。

	32102．Re: 体積
	名前：教えたがり屋日付：5月5日(土) 23時49分
	放物線面で囲まれた部分の体積を求めればよいことは確かだと思います。答えが出せていませんが、こういう方法ですれば解けるはずだと思う構想だけを書いておきす。 ①この正四角錐をＺ軸をふくみX軸との角がαである平面できった断面図を考え、放物線より O 側の部分の面積はαの式で表せますね。これをｆ(α)とします。 ②∫<<0～π>>ｆ(α)ｄα を求めれば、正四角錐内の放物線面で囲まれた部分の体積が求まる。まず①ですが、断面図を△OABとし、ABの中点をO'とすると OO'=1　　AO'=BO'=1/ｓiｎα　となります。放物線とOA,OB,OO'との交点をP,Q,Rとすると、ｆ(α)は放物線PRQとPQで囲まれた部分と△OPQの面積の和で求まります。いま、PQとOO'の交点をSとすると　OP=SO'＝a　とおくと三平方の定理と相似比をつかって　a＝siｎα/｛１+√（１+（ｓiｎα）^2)} すると　SのZ座標が求まります。（RのZ座標は -1/2) 放物線の式は　ｇ（ｚ）＝+-√（２Z+１）　放物線PRQとPQで囲まれた部分＝2*∫√（２Z+１）ｄｚ <<-1/2～SのZ 座標>> △OPQの面積もαであらわせます。以上より　ｆ(α)が表されますが、式が複雑すぎて②の積分が出来ず答えが出せていません。他の方法が考えられず、また私の計算能力ではここまでです。悪しからず・・・

	32150．Re: 体積
	名前：恵日日付：5月9日(水) 0時59分
	To 教えたがり屋様解説、どうもありがとうございました。ですが、私の力ではどうも教えたがり屋様の方針で問題を解くことができそうにありません。そもそも何故断面を『z軸をふくみx軸との角がαである平面』にしなければならないのかもよくわかりません。まだこの方針で考えて見ますが、この私の投稿にお気付きになられた方、この問題が分かる方、この問題の解き方を解説していただけないでしょうか。どうかお願いします。

32073．近似

名前：こぶ平 日付：5月3日(木) 2時35分

f(x)=(1+x)^p　ただし｜ｘ｜≪1
f(x)=sinx　ただし-∞＜x＜∞
f(x)=cosx　ただし-∞＜x＜∞

この３つの式の近似はどうなるのか、導出方法とともに教えてください。

	32076．Re: 近似
	名前：ヒドロキシ日付：5月3日(木) 22時15分
	http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%86%E3%82%A4%E3%83%A9%E3%83%BC%E5%B1%95%E9%96%8B を参照。

32067．立体図形の体積

名前：リザ　(高卒) 日付：5月2日(水) 4時10分

問題
a,b,cは1≦a≦2,1≦b≦2,1≦c≦2の範囲を動く実数とする。このとき、立体Vを

{(x,y,z)|x=bc/(a+c),y=a+c,z=ab/(a+c)}

で定義する。この立体Vの体積を求めなさい。

立体Vの概形を想像するのは難しいようなので、「形の分らない立体図形は、適当な平面での切り口を考える」の解法に従って、まずx軸、y軸、z軸のどれかに垂直な平面での切り口を考えようとしました。どの平面がベストなのか、(x,y,z)をじ～っと見ていたら、y=tでの切り口を考えるのが、最も適当そうでした。このとき、y=a+c=tなので、立体Vのxz平面上での図形は(x,y,z)=(bc/t,t,ab/t)を満たすものになると思いました。またtの積分区間は2≦a+c=t≦4になると思います。

次に(x,z)がxz平面上でどんな図形になるのかを考えました。cを消去すると、(x,z)=(b(t-a)/t,ab/t)なので、これはx+z=bという一次直線を表すので、(x,z)はx+z=1とx+z=2で囲まれる領域になると思いました。でもこの領域は無限にあるので、明らかに間違っています。でもどこで間違えたのか、全然分りません。何か条件を見落としているのか、そもそも考え方がおかしかったのか・・。これ以上自分で考えてもとても解決できそうにないので、この問題も質問させてください。

この問題の解法を教えてください。どうかお願いします。

	32069．Re: 立体図形の体積
	名前：angel 日付：5月2日(水) 9時57分
	はい。a,c の範囲に制限があるため、a/(a+c), c/(a+c) の値にも限界があります。その分を考えなければいけません。 t=a+c とし、y=t で切断した断面を考えるアイデアは良いと思います。上で挙げた分を考えるには、 s=a/(a+c) とでも置いて、t の値に応じた s の範囲を調べ　x=b(1-s), y=t, z=bs から持って行けば良いと思います。

	32091．Re: 立体図形の体積
	名前：リザ日付：5月4日(金) 23時48分
	angel様回答をありがとうございました。でも回答をもとに考えたのですが、どうも自分では解けそうにありません。大変申し訳ないのですが、詳しい解答を教えていただけないでしょうか？どうかおねがいします！

32066．変数を含む放物線

名前：リザ　(高卒) 日付：5月2日(水) 3時40分

掲示板運営者ヨッシーさまへ

はじめまして。掲示板への質問投稿に私も参加します。どうぞよろしくお願いします。

問題
tが0＜t≦1/2を動くとき、tとともに変化する放物線y={t+x(2-x)/t}/2が通る点(x,y)全体の集合を図示せよ。

tについて解いて、0＜t≦1/2に代入することを考えたのですが、この方針ではとても解けそうにありません。どうやって解いたらいいのか見当もつかず、全く歯が立ちません。この問題の解き方を教えてください。よろしくお願いします。

	32070．Re: 変数を含む放物線
	名前：angel 日付：5月2日(水) 10時4分
	放物線の方程式を、t≠0 ( 0<t≦1/2 であれば、t≠0 のため ) の条件下で、t に関して整理すると　y={t+x(2-x)/t}/2 ⇔ t^2-2yt+x(2-x)=0 で、「0<t≦1/2 の範囲で t が変化する時」を考えるのではなく、上でまとめた結果出てきた t の2次方程式が、0<t≦1/2 の範囲に実数解を少なくとも1つ持つ条件を考えましょう。

	32071．Re: 変数を含む放物線
	名前：ヨッシー日付：5月2日(水) 10時13分
	y={t+x(2-x)/t}/2 を整理すると、　2y=t+x(2-x)/t 　2yt＝t^2＋x(2-x) 　t^2-2yt＋x(2-x)＝０これを、ｔの２次方程式と考えて、0＜t≦1/2 の範囲に解があるようにします。まず、判別式　D/4＝y^2－x(2-x)≧０は絶対です。 f(t)＝t^2-2yt＋x(2-x) とおくと、　f(0)＞０　かつ　f(1/2)≦０　f(0)＜０　かつ　f(1/2)≧０　軸：ｔ＝ｙが０＜ｙ≦1/2 にあり、f(0)≧０　かつ　f(1/2)≧０の３通りで考えます。　x(2-x)＞０　かつ　1/4－ｙ＋x(2-x)≦０　x(2-x)＜０　かつ　1/4－ｙ＋x(2-x)≧０　０＜ｙ≦1/2　かつ　x(2-x)≧０　かつ　1/4－ｙ＋x(2-x)≧０以上より、図のようなグラフになります。境界線上の点は、円と放物線は含みます。ｙ軸とｘ＝２　は、０≦ｙ≦1/2 の部分は含み、その他は含みません。　　 http://yosshy.sansu.org/

32063．数Ⅲ　定積分

名前：みぉ（高3） 日付：5月1日(火) 21時39分

よろしくおねがいします。

	32064．Re: 数Ⅲ　定積分
	名前：ヒドロキシ日付：5月1日(火) 23時30分
	(与式)=[e^{x^3} /3]_[0,1]=(e-1)/3

	32068．Re: 数Ⅲ　定積分
	名前：ヨッシー日付：5月2日(水) 8時52分
	まぁ、結果をうまく予測できれば、　{ｅ^(x^3)}’＝3x^2ｅ^(x^3) を使えばすぐです。公式的には、置換積分で、ｕ＝ｘ^3 とおくと、du＝3x^2dx であり、０≦ｘ≦１　は、０≦ｕ≦１に対応するので、　(与式)＝(1/3)∫(0～1)ｅ^udu＝(1/3)[ｅ^u](0～1)＝(e-1)/3 となります。　 http://yosshy.sansu.org/

32059．お願いします

名前：りょーすヶ 日付：5月1日(火) 0時58分

宿題で出された問題なんですが、まだ習っていない部分もあり、わかりません。
しかし、正答を知りたいので
教えてください。

(1)aは実数の定数とする。xの方程式x^2-ax+(a-1)^2=0が異なる２つの実数解を持つとする。
①aのとり得る値の範囲を求めよ。
②２つの解をA、Bとするとき、A^2B+AB^2のとり得る値の範囲を求めよ。
(2)OA=OB=OC=√35、AB=6、CA=4√2、∠BAC=45°の四面体OABCがある。
①辺BCの長さを求めよ。
②三角形ABCの外接円の半径を求めよ。
③四面体OABCの外接球の体積を求めよ。

	32061．Re: お願いします
	名前：ヨッシー日付：5月1日(火) 9時41分
	(1) [1] 判別式をとって、　Ｄ＝a^2-4(a-1)^2＝-3a^2+8a-4＞０　3a^2-8a+4＜０　(3a-2)(a-2)＜０　3/2＜ａ＜2 [2] 解と係数の関係より　A+B=a, AB=(a-1)^2 　A^2B+AB^2＝AB(A+B)＝a(a-1)^2 　3/2＜ａ＜2 の範囲では、a も a-1 も正で単調増加(a が大きいほど大きい)するので、　3/8＜A^2B+AB^2＜2 (2) [1] 余弦定理より　BC^2＝AB^2＋AC^2－2AB・ACcos∠BAC 　　＝36＋32－48＝20 　BC＝2√5 　(方眼紙に線を引いても求められます) [2] 正弦定理より、外接円の半径をＲとすると　２Ｒ＝BC/sin∠BAC＝2√10 　Ｒ＝√10 [3] △ＡＢＣの外心をＤとすると、　ＡＤ＝ＢＤ＝ＣＤ＝√10 　一方、△ＡＤＯ、△ＢＤＯ、△ＣＤＯを考えると、　ＯＡ＝ＯＢ＝ＯＣ　ＡＤ＝ＢＤ＝ＣＤ　ＤＯは共通　なので、いずれも合同な三角形となり、ＤＯはＤから延びた△ＡＢＣの垂線となります。　すると、△ＡＤＯは直角三角形となり、三平方の定理より　ＤＯ＝√(35-10)＝５　△ＡＤＯにおいて、ＯＡの中点をＥ、ＥからＯＡに垂直な線を引きＤＯとの交点をＦとすると、Ｆが外接球の中心となります。　外接球の半径をｒとすると、 (解法１) 　△ＤＡＦにおける三平方の定理より　　ｒ^2＝(√10)^2＋(５－ｒ)^2＝ｒ^2－１０ｒ＋３５　　ｒ＝３．５ (解法２) 　△ＡＤＯと△ＦＥＯは相似なので、　　ＯＦ：ＯＥ＝ＯＡ：ＯＤ＝√35：５　　ＯＥ＝√35/2 より　　ＯＦ＝(√35/2)√35÷５＝３．５よって、外接球の体積は、　(4π/3)(7/2)^3＝343π/6 　 http://yosshy.sansu.org/

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