ひろさんからの質問１
平方根っていったい何なの――――？？？
「２乗するもとの数」って何回も何回も先生は言ってくれるけど、
それがわからないの。
ルート９は３なのに、なんでルート７はルート７でしかないの？？？？？？？
先生もあまりに私がわかんないから、困っちゃってるみたいだから、
かわいそうでもうきけないよ。 誰かわたしをすっきりさせて―――！
回答
こういう、モノの始まりの部分を説明するのは、実はすごく難しい。
どの辺から始めようかな。
数学の世界では、１とか４とか 0.5 とかのように、整数や小数でピッタリ表せない
数というのは、結構ある。そのトップバッターが分数だ。
1/2（２分の１）や 1/4（４分の１）のように、小数に直すことの出来る分数もあるが、
1/3 や 1/7 は無理だ。
実際に計算すると、
1/3＝0.3333・・・・ 1/7＝0.1428571428・・・・
となり、ピッタリした数にはならない。
ところが、１を３等分した数、７等分した数というのは、いろんな計算をする上で必要に
なってくる。そこで、使われるのが、1/3、1/7
といった表記方法だ。
ここで注意することは、1/3 はだいたい 0.33
くらいの数、1/7 は 0.14 くらいの数と
大きさの見当はつくし、他の数との大小の比較は出来る。
しかし、実際に重要なのは、1/7 が 0.142857・・・という数であるということより、
その数の意味だ。（簡単にいえば、1/7 は７倍すれば１になるということ）
ここで一休みして、頭を整理しよう。
整理できたところで問題だ。下のように対角線が２ｃｍの正方形がある。この正方形の面積と、
１辺の長さを求めよ。
面積は、いろんな考え方があるが、一番オーソドックスなのは、この正方形をひし形とみなして、
（対角線）×（対角線）÷２ を使う方法だ。
つまり、面積は、２×２÷２＝２ｃｍ２ だ。
では、１辺の長さはどうか？
もし、この正方形の面積が、４ｃｍ２だったなら、即座に２ｃｍと答えられるだろう。２×２＝４だからだ。
９ｃｍ２の場合も１辺は３ｃｍということになる。３×３＝９だからね。
ところが、面積が２ｃｍ２の時、１辺の長さはいくつになるのだろう？
１辺が１ｃｍだと、面積は１ｃｍ２だ。これでは足りない。
では、１辺が２ｃｍだと、面積は４ｃｍ２だ。どうやら、求める数は１と２の間にあるようだ。
見当を付けて、１．５ｃｍだとどうだ？ １．５×１．５＝２．２５ ちょっと大きすぎか。
１．４ｃｍだと？ １．４×１．４＝１．９６ 今度は小さい。
こうして、どんどん絞り込んでいくと、１．４１４２１・・・・という数に近いことがわかる。
ところが、どこまで行っても、ピッタリした数にはならない。
しかし、まぎれもなく２乗して２になる数は、１．４１４２１・・・・あたりに存在する。
ここで、分数の時に使った、「ある大きさを持った、しかも、ある特定の意味を持つ数を、
特別の表記方法で約束する」という技を使う。
つまり、ピッタリとした数にはならないけれども、２乗すると２になる数、を
と書こう
というわけだ。
そして、 が１．４１４２１ に近い数だということは、実はあまり重要ではなく、２乗すれば
２になるという意味が重要だ。
ちなみに、１，４，９などはそれがたまたま整数の２乗になっているので、
、
、
は、
それぞれ、１，２，３に一致するが、そういう数は、あまり多くない。
※ここでいう、「多い」とは感覚上のことで、数学的な理論で反論されても意味がない。
もっとも、やを見て、即座に２や３に直せることは重要ではある。
そして、これは言葉上の問題で、かえってややこしいかも知れないが、
「４の平方根」というと「２乗して４になる数」という意味で、２と−２を指す。
一方「平方根４」というと、「４の平方根のうち、正（プラス）の方」という意味で、
つまり２を指す。つまり、
「２の平方根」とはと
のことで、「平方根２」といえば、のことである。
さて、わかったようなわからないような説明であったが、少しは役に立っただろうか。
では、さらばだ。またアデュー。