(1)
△ＡＱ(n)Ｐ(n) と、△Ｐ(n+1)Ｒ(n)Ｐ(n) は相似で、相似比は３：１
であるので、
　ＡＰ(n)：Ｐ(n+1)Ｐ(n)＝３：１
よって、
　ＡＰ(n+1)：Ｐ(n+1)Ｐ(n)＝２：１

(2)
　Ｐ(n+1) は、ＡＰを２：１に内分する点なので、
　ｘ(n+1)＝{２ｘ(n)−２}/３

(3)
　ｘ(n+1)＝{２ｘ(n)−２}/３
を変形して
　ｘ(n+1)＋２＝(2/3){ｘ(n)＋２}
ｙ(n)＝ｘ(n)＋２　とおくと、y(1)＝a+2　公比 2/3 の等比数列
　y(n)＝(a+2)(2/3)^(n-1)
よって、
　x(n)＝(a+2)(2/3)^(n-1)−２

(4)
　Ｓ(n+1)＝(4/9)Ｓ(n) であるので、
　Ｓ(n)＝Ｓ(1)(4/9)^(n-1)
　ΣＳ(n)＝(9/5)Ｓ(1)
なので、Ｓ(1)＝5/9 であれば、ΣＳ(n)＝１　になります。

△ＡＰ(n)Ｑ(n) の面積は、Ｓ(1)の９倍ですから、
△ＡＰ(n)Ｑ(n)＝５
△ＡＰ(n)Ｑ(n)は、ＡＱ(n)：Ｑ(n)Ｐ(n)＝２：１
なので、
　ＡＱ(n)＝２√5、Ｑ(n)Ｐ(n)＝√5
よって、
　ＡＰ(n)＝√5Ｑ(n)Ｐ(n)＝５
以上より、ａ＝３

だいぶ端折りましたが、こんな感じです。
　

　
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(3)
ＡＨ＝２ｄ　となる点Ｈを取ると、
　ＡＰ＝Ａｂ＋Ｂｄ
　　＝Ａｂ＋(Ｂ/２)ＡＨ　　ただし、Ａ＋(Ｂ/２)＝１
より、点Ｐは、ＢＨ上に存在します。

　ＡＣ＝ｂ＋(1/2)d
なので、ＢＣ＝(1/2)d　であり、
　ＤＨ//ＢＣ　かつ　ＢＣ＝(1/2)ＤＨ
となります。
ＢＨとＣＤの交点をＫとすると、
△ＢＫＣと△ＨＫＤは相似（相似比は１：２）となり、
　ＤＫ：ＫＣ＝２：１
となります。
△ＢＫＣがＤ２に当たりますが、これの面積Ｓ２をＸとすると、
　△ＢＫＤ＝２Ｘ　・・・ＣＫ：ＫＤ＝１：２　による
　△ＡＢＤ＝２△ＢＣＤ＝６Ｘ　・・・　ＡＥ：ＥＣ＝２：１　による
以上より、
　Ｓ１＝△ＡＢＤ＋△ＢＫＤ＝８Ｘ
Ｓ１：Ｓ２＝８：１
　
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方べきの定理より、
ＣＤ・ＣＥ＝ＡＣ^2
ＣＤ・ＣＥ＝ＢＣ^2
が言えます。
　
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最初は、↑こうかと思いましたよ。
　
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図のように、小さい円が内接する正三角形の３倍の大きさの正三角形に、
大きい円は内接するので、半径も３倍です。
　
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角の二等分線の定理の逆より、
ＡＣは∠ＢＡＤの二等分線となり、必然的に、ＢＣ＝ＣＤとなります。
また円周角より　∠ＣＢＤも、∠ＢＡＣ、∠ＣＡＤ　と等しくなります。

すると、△ＡＢＣと△ＢＥＣは相似であり、
　ＡＢ：ＢＥ＝ＡＣ：ＢＣ
となり、
　ＡＢ・ＢＣ＝ＡＣ・ＢＥ
が得られます。
ＢＣ＝ＣＤ　より、
　ＡＢ・ＣＤ＝ＡＣ・ＢＥ
　
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先に。
実は今回の問題は、載せた3枚の断面図で説明できてしまいます。図中 OX=ON/cos(π/3)=2ON とかで求まってしまいますし。
と、いうことで、やはり「平面図形の延長として考える」が肝なのです。

で、本題ですが、
> ただどうもx=2aが境界線になるというのが、イメージ力が乏しいのか、理解しづらいです。本当にx＜2aのときはPは見えないのかな、という疑問がなかなか晴れません。これはもう、そういうものだよと覚えてしまった方がいいのでしょうか？

身近なものでイメージしてしまう手が一つ。計算してみて確かめる手が一つ。それでもダメなら覚えるしかないでしょう。
今回のポイントは、「接平面よりも球面側にある点は、球面に阻まれて見えない」です。
>　障害物αがある時、点A から点B が見えない
>　⇔ 線分ABがαと交わる
は良いでしょうか? これが納得できないと先には進めないのですが…。

で、座標を設定して計算するなら、
「球面 x^2+y^2+(z-r)^2=r^2 上の点 (0,0,0) における接平面 z=0 (xy平面) に関して、接平面より上 (球面側) にある点(a,0,c) ( a,c>0, a^2+(c-r)^2≧r^2 ) と (0,0,0) を結ぶ線分は、(0,0,0)以外で球面と交わる」が楽でしょう。あくまで代表的な点だけを考えればよいため、(a,0,c) のように y座標は 0 でO.K. これで、xz平面上の話として対処できます。

でも、身近な例としてこういうのは如何でしょう?
「太陽は地面より上にある時(昼)に見え、地面より下にある時(夜)は見えない」
地面というのは、地球という球の球面の一部ですが、局所的には平面であり、その平面とは球面の接平面に他なりません。
で分かりやすい例として、春分・秋分の時の太陽の軌道は、観測者を中心とした円軌道になるのですが、そのためこの軌道は地面(接平面)によって真二つに等しく分かれます。これは、春分・秋分の時に昼夜の時間の長さが等しくなる事に対応しています。
※太陽のように遥か遠くにあるものではなく、もっと近いものを見る場合には、観測者の目の高さ(地面に目があるわけではないこと)を考慮する必要がありますので、要注意。

(x+4)^2+y^2=81　は(-4,0)中心、半径９
(x-4)^2+y^2=49　は(4,0)中心、半径７
なので、両円からの距離がｄとすると、それぞれの円の中心からの距離は
　９±ｄ、７±ｄ
となります。＋は点Ｐが円の外側の場合、−は内側の場合で、内側の場合は、
距離が半径を超えることはありません。

同符号(点Ｐが両円の外または両円の内側)の場合：点(-4,0)からの距離の方が (4,0)からの距離より２大きい。
異符号(点Ｐが一方の円の外で、他方の内側)の場合：点(-4,0)からの距離と(4,0)からの距離の和が１６。
と言い換えられます。

同符号の場合：点Ｐ(x,y)とする (ただし x>0)
　条件より、√{(x+4)^2＋y^2}＝√{(x-4)^2＋y^2}＋２
　両辺二乗して　(x+4)^2＋y^2＝(x-4)^2＋y^2＋４√{(x-4)^2＋y^2}＋４
　展開して整理すると、　8x＝-8x＋４√{(x-4)^2＋y^2}＋４
　４で割って移項して　4x−1＝√{(x-4)^2＋y^2}
　両辺二乗して　16x^2-8x+1＝(x-4)^2＋y^2
　整理して　15x^2-y^2=15
　よって、双曲線　x^2−y^2/15＝１　の　ｘ＞０側となります。

異符号の場合：点Ｐ(x,y)とする
　条件より、√{(x+4)^2＋y^2}＋√{(x-4)^2＋y^2}＝１６
　移項して　√{(x+4)^2＋y^2}＝−√{(x-4)^2＋y^2}＋１６
　両辺二乗して　(x+4)^2＋y^2＝(x-4)^2＋y^2−３２√{(x-4)^2＋y^2}＋２５６
　展開して整理すると　8x＝-8x−３２√{(x-4)^2＋y^2}＋２５６
　１６で割って移項して　ｘ−１６＝−２√{(x-4)^2＋y^2}
　両辺二乗して　x^2-32x+256＝4{(x-4)^2＋y^2}
　整理して　x^2-32x+256＝4x^2-32x+4y^2+64
　移項して　3x^2＋4y^2＝192
　よって、楕円　x^2/64＋y^2/48＝１　となります。
　
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Ａを原点として、Ｂ、Ｃの位置ベクトルをｂ、ｃとします。
また、Ｐ、Ｑ、Ｒの位置ベクトルをｐ、ｑ、ｒとし、
　ｐ＝ｓｂ
　ｑ＝(１−ｔ)ｂ＋ｔｃ
　ｒ＝ｕｃ
とします。ただし、０＜ｓ＜１、０＜ｔ＜１、０＜ｕ＜１。
△ＰＱＲの重心をＧ(ｇ)とします。
　ｇ＝(ｐ＋ｑ＋ｒ)／３
　　＝{(１＋ｓ−ｔ)ｂ＋(ｔ＋ｕ)ｃ}／３
ｍ＝(１＋ｓ−ｔ)／３、ｎ＝(ｔ＋ｕ)／３　とおくと、ｍ＋ｎ＝(１＋ｓ＋ｕ)／３　より
　０＜ｍ＜２／３、０＜ｎ＜２／３、１／３＜ｍ＋ｎ＜１
よって、上のような図になります。
点はいずれも、辺の三等分点です。（境界線上の点は含みません）
　
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こういうことです。
球が平面で切られる（触れられる場合も含む）場合に
Ｐが存在します。
　
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