正五角形の作図
実際には、正十角形の作図をして、点を２つおきに結んで正五角形にします。
図の∠ＦＯＡが３６°になれば正十角形の作図の完成です。
円の半径を２とすると、公式※により、ＦＡの長さは√５−１になります。
√５を作るために、左下図のような、１：２：√５の直角三角形を利用します。
これらを、効率よく作るように図をまとめると、上図のようになります。
（手順）
点Ｏを中心とした円（円１）と、円１に内接する半径が半分の円（円２）を描きます。
円１と円２の接点を点Ｃ、円２の中心を点Ｄとし、点Ｏにおける円２の接線（円１の直径になります）
を引き、円１との交点を点Ａ、点Ｂとします。
線分ＡＤと円２の交点を点Ｅとし、点Ａを中心とし点Ｅを通る円（円３）を描きます。
円１と円３との交点を点Ｆ、点Ｇとするとき、線分ＦＧの長さで円１を切れば、正五角形、
線分ＡＦの長さで円１を切れば、正十角形が描けます。
※ＡＦの長さは、以下のようにしても求められます。
上図において、
ＯＦ＝ＯＡ＝２
∠ＦＯＡ＝∠ＯＦＫ＝∠ＡＦＫ＝３６°
です。また、ＡＦ＝ｘ とおくと、
ＯＫ＝ＦＫ＝ＡＦ＝ｘ
△ＯＡＦ と △ＦＡＫ は相似ですから、
２：ｘ＝ｘ：ＡＫ
より、
ＡＫ＝ｘ2/2
よって、ＯＡにおいて、
ｘ2/2＋ｘ＝２
ｘ2＋２ｘ−４＝０
これを解いて、
ｘ＝−１±√(１＋４)
ｘ＞０より、
ｘ＝ＡＦ＝√５−１
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