図の赤い部分の面積なら
正方形の面積から緑の部分を4つ引けば求められます。

△PBC は正三角形だから
おうぎ形BPC，CPD の中心角はそれぞれ60°，30°
緑の部分の面積 s は
おうぎ形CPDからピンクの弓形の面積を引けばよい。
ピンクの弓形の面積はおうぎ形BPCから正三角形PBCを引けばよいから
s＝(1/12)10^{2}π−((1/6)10^{2}π−(√3/4)10^{2})
＝25√3−(1/12)10^{2}π＝25√3−(25/3)π

よって求める部分の面積Sは
S＝100−4s＝100−(100√3−(100/3)π)
＝100−100√3＋(100/3)π [ ＝100(1−√3＋(π/3)) ] cm^2

左図ではなく、右図ですね。
　
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ライプニッツの公式で展開するのは試してはいたのですが、
どうにも巧く纏めることができず、何も思いつきませんでした（上記）
申し訳ないのですが、もう少しヒントをお願い致します。

(1)求める球は、ｘ＞０，ｙ＞０，ｚ＞０ の領域にありますので、
　中心を(m, m, m) 半径をm (m>0) と置くことが出来、その方程式は、
　(x-m)^2+(y-m)^2+(z-m)^2=m^2
と書けます。これが(2,1,1)を通ることより、ｍを求めると、・・・
ｍは整数で２つあります。

(2)まず、ＡＢ＝ＢＣ＝ＣＡであることを確認します。その上で、
　ＡＤ＝ＡＢ＋ＡＣ
となる点をＤとすると、
　ＡＰ＝(2/3)ＡＤ
より求めるか、

△ＡＢＣの重心をＧとして、ＡＧをＧの方向に２倍に伸ばした点を
Ｐとして求めるかです。
後の方が簡単でしょうか？
　　
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まず、ｙ＝1.5ｘ＋3 と ｙ＝2.5ｘ＋4 の交点は(-1,1.5) ですから、
移動後の直線もこの点を通ります。
次に、移動後に傾きがいくつになるかを調べるために、上のような図を考えます。

∠ＯＡＤは直角で、ＯＡ＝２、ＡＢ＝３、ＡＣ＝５ とすると、
ＯＢが傾き１．５、ＯＣが傾き２．５ の直線になります。
ここで、∠ＤＯＣ＝∠ＣＯＢ となる点ＤをＡＣ上に取ると、ＯＤが移動後の直線と同じ傾きになります。

ＯＢ＝√13　と、角の二等分線の定理より、ＣＤ＝ｘ　とおくと、
　ＯＤ＝√13ｘ/2
一方、ＡＤ＝５＋ｘ　より、△ＯＡＤにおける三平方の定理より
　(√13ｘ/2)^2＝２^2＋(ｘ＋５)^2
　９ｘ^2−４０ｘ−１１６＝０
　(ｘ＋２)(９ｘ−５８)＝０
ｘ＞０より　ｘ＝58/9
よって、傾きは　(５＋ｘ)／２＝103/18
求める式は、
　103x-18y+130=0
となります。
　
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20人は多いので、６人いて、500円と1000円が３人ずつとします。
左の図は、制限なしに、500円の人と、1000円の人が払う順番を表しています。
ただし、金額は区別しますが、払う人は区別しません。

左下のＡ点から、上と右にだけ進み、右上までたどり着く道順の数で表されます。
数字は、その地点の左と下の数を足したもので、その地点に来るまでの場合の数を表します。

お釣りが足りなくならないようにするには、1000円の人が500円の人より
多くならないようにすればいいので、右の図の「Ｘ」の地点を通ることを禁止します。
そのときの、Ａ点から右上まで進む行き方が、お釣りが足りなくならないような払う順序の数です。

これを 10+10 で行うと、答えが出ます。
答えは、16796通りになります。
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図の位置の傍心なら，
∠DBC＋∠ECB＝a＋180°
∠PBC＋∠PCB＝a/2＋90°
よって
∠BPC＝90°−(a/2)

垂心の場合
図の場合は
四角形AFPEは円に
内接するので
∠EPF＝∠BPC＝180°−a

外部にあるとき
∠BPC＝a
になる場合もある。

垂心P(2)
四角形AFEPは円に
内接するので
弧EFに対する円周角より
∠BPC＝a