１つの直線上に３点Ａ，Ｂ，Ｃがあり、別の直線上に３点Ｐ，Ｑ，Ｒがあり、
ＡＱとＢＰの交点Ｘ、ＢＲとＣＱの交点Ｙ、ＣＰとＡＲの交点Ｚが存在するならば、
３点Ｘ，Ｙ，Ｚは一直線上にある。
証明
パップスの定理（３）
１つの直線上に３点Ａ，Ｂ，Ｃがあり、別の直線上に３点Ｐ，Ｑ，Ｒがあり、
ＡＱとＢＰの交点Ｘ、ＢＲとＣＱの交点Ｙ、ＣＰとＡＲの交点Ｚが存在するならば、
３点Ｘ，Ｙ，Ｚは一直線上にある。
証明
| △ＸＡＰと△ＸＡＲは底辺ＸＡを共有しているので △ＸＡＰ／△ＸＡＲ＝ＰＱ／ＱＲ 同様に△ＹＣＰと△ＹＣＲは底辺ＹＣを共有していることより △ＹＣＰ／△ＹＣＲ＝ＰＱ／ＱＲ 従って △ＸＡＰ／△ＸＡＲ＝△ＹＣＰ／△ＹＣＲ ………(1) |
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| 同様にして△ＸＡＰと△ＸＣＰは底辺ＸＰを共有、 △ＹＡＲと△ＹＣＲは底辺ＹＲを共有していることから △ＸＡＰ／△ＸＣＰ＝△ＹＡＲ／△ＹＣＲ(＝ＡＢ／ＢＣ) ………(2) (1)÷(2)より △ＸＣＰ／△ＸＡＲ＝△ＹＣＰ／△ＹＡＲ すなわち △ＸＣＰ／△ＹＣＰ＝△ＸＡＲ／△ＹＡＲ ………(3) |
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| ここで、△ＸＣＰと△ＹＣＰは底辺ＣＰを共有しているので、ＣＰとＸＹの交点をＳとすれば △ＸＣＰ／△ＹＣＰ＝ＸＳ／ＳＹ ………(4) 同様に△ＸＡＲと△ＹＡＲは底辺ＡＲを共有しているので、ＡＲとＸＹの交点をＴとすると △ＸＡＲ／△ＹＡＲ＝ＸＴ／ＴＹ ………(5) (3),(4),(5)より ＸＳ／ＳＹ＝ＸＴ／ＴＹ 従ってＳ，ＴはＸＹの間にあるので同一点であり、Ｚとも一致する。 すなわちＸ，Ｙ，Ｚの３点は一直線上にある。 |
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