2006年05月 の投稿ログ


27002．(untitled)  
名前：まさい    日付：5月31日(水) 23時20分
aベクトル=（２．１）ｂベクトル＝（－１．１）
のときaベクトル+tbベクトルの大きさの最小値とそのときのｔの値をもとめよｍｍｍｍ・・・・です


27005．Re: (untitled)
名前：ヨッシー    日付：6月1日(木) 4時18分
ａ＋ｔｂ＝(2-t, 1+t)
|ａ＋ｔｂ|≧０　なので、
|ａ＋ｔｂ|^2 が最小の時、|ａ＋ｔｂ|も最小になるので、
|ａ＋ｔｂ|^2 が最小の時を調べます。

|ａ＋ｔｂ|^2＝(2-t)^2＋(1+t)^2
　＝2t^2－2t＋5
　＝2(t－1/2)^2＋9/2
より、ｔ＝1/2 のとき、|ａ＋ｔｂ|^2 は最小値 9/2 となります。
|ａ＋ｔｂ| の最小値は 3/√2＝3√2/2 です。
　
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27000．三角関数  
名前：やす    日付：5月31日(水) 23時8分
こんにちは。
今高２で三角関数をやっているのですが、

　sinx + 2sin2x = 0 （二番目のsinは２sinの2条です）
で、ｘの値を　0≦x≦３６０　で求めろ

という問題で、
2sin2x= -sinx
に変えて、両辺を　sinx で割れば
2sinx= -1
になってxの値を求められると思ったんですが、
先生に、両辺をsinxでは割れないといわれました。
公式的には大丈夫ですよね？
何がいけないのでしょうか・・？


27001．Re: 三角関数
名前：X    日付：5月31日(水) 23時18分
>>2sinx= -1
ですが
2cosx= -1
のタイプミスではありませんか？

それで質問の回答ですが、恐らく先生は
sinx=0
の場合を指して「sinxで割ることはできない」と仰ったのだと思います（0で割ることは数学では定義されていませんので）。

27004．Re: 三角関数
名前：ヨッシー    日付：6月1日(木) 4時13分
2sin2x= -sinx
は
2sin^2(x)= -sinx
のことなので、タイプミスではありませんね。

で、二次方程式を解くとき
　2x^2＋x＝0
の両辺ｘで割って、
　２ｘ＋１＝０
　ｘ＝－１／２
じゃ、まずいですよね？
それと同じです。正しくは、
　2x^2＋x＝0
　ｘ（２ｘ＋１）＝０
　ｘ＝０　または　ｘ＝－１／２
ですから。
　
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27011．Re: 三角関数
名前：やす    日付：6月1日(木) 22時32分
・・なるほど！
sinx=0 の場合を忘れてました。
ということは、三角関数の方程式では
両辺を同じ数でわれないんですね！
気づけてよかったです。
ありがとうございました。

26996．(untitled)  
名前：CP9    日付：5月31日(水) 21時57分
ｐベクトル（－３．ｋ）ｑ＝（４．１）について次の条件を満たすようにｋの値を定めよ
絶対値ｐベクトル＝絶対値ｑベクトル
でルートがないのはなぜですか？


26997．Re: (untitled)
名前：ヨッシー    日付：5月31日(水) 22時14分
√(９＋ｋ^2)＝√(１６＋１)
の両辺２乗して、
９＋ｋ^2＝１６＋１
としたものと思われます。
　
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26995．数Ⅱ  
名前：うるりん    日付：5月31日(水) 21時11分


次の曲線に与えられた点から引いた接線の方程式を求めよ。
①ｙ＝√ｘ　　点（-2．0）
ｙ＝（1／2√2）（ｘ-2）+√2　

それからどうしたらいいのでしょうか？
　
②ｙ＝ｌｏｇｘ　　点（0．1）

ｙ＝（１／ｅ＾2）（ｘ-ｅ＾2）+2　になってんですがこの先教えて下さいお願いします。

26994．根号を含む式の計算・平方根の公式  
名前：flank    日付：5月31日(水) 20時49分
こんにちは。

a＞0、b＞0、k＞0のとき
√a√b=√ab √a/√b=√a/b
√k^2a=k√a　
が成り立つと書いてあるのですが、
別にa,b,kが0を含んでもこの式は成り立たないでしょうか？？


26998．Re: 根号を含む式の計算・平方根の公式
名前：ヨッシー    日付：5月31日(水) 22時16分
ｂは分母になっているのでダメですが、他は良いでしょう。
　
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26990．(untitled)  
名前：あき    日付：5月31日(水) 16時4分
すいません…学年ゎ中２ですっ!!急いでて…読んでなかったんです…(笑）

26989．教えて下さい  
名前：あき    日付：5月31日(水) 16時1分
今テスト勉強やってるんですけど、側面積の求め方が分からなくって…進めないんですよぉ（泣）誰か分かる人教えて下さい！！


26991．Re: 教えて下さい
名前：ヨッシー    日付：5月31日(水) 16時21分
何の側面積でしょう？
基本は、展開図を描くことです。
　
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26987．二項定理  
名前：メアリー    日付：5月31日(水) 11時48分

mを6以下の整数とする。
(x2－2/x)mの展開式で、
0でない定数項がでてくるようなmの値をすべて求めよ。
また(x2－2/x＋1)6の展開式の定数項を求めよ。

ちなみに答えを見るとはm＝3,6で、定数項は481でした・・・

分かるのは二項定理だということ位です(泣)
よろしくおねがいします。


26988．Re: 二項定理
名前：ヨッシー    日付：5月31日(水) 13時18分
aki(高２)という方から、同じ質問があって、回答しておいたのですが、
消えてしまいましたね。もう一回書きます。

たとえば、
　(a+b)^2＝a^2+2ab+b^2
　(a+b)^3＝a^3+3a^2b+3ab^2+b^3
　(a+b)^4＝a^4+4a^3b+6a^2b^2+4ab^3+b^4
のように、２乗を展開すると項はすべて２次、３乗は３次、４乗は４次です。一方、
　(x + 1/x)^2＝x^2 + 2x/x + 1/x^2＝x^2 + 2 + 1/x^2
のように、定数項になるのは、分子分母でｘが約分される場合
です。そのためには、分子分母の次数が同じであることが必要です。

　(x^2－2/x)^m
を展開して定数項が現れるというのは、
　x^2・(-2/x)^2
　(x^2)^2・(-2/x)^4＝{x^2・(-2/x)^2}^2
　(x^2)^3・(-2/x)^6＝{x^2・(-2/x)^2}^3
のように、x^2 １個と -2/x ２個がセットで、さらにその何乗かという場合です。
そうすると、mとして考えられるのは、3,6,9 などですが、m は６以下なので、　m=3,6となります。

(a+b+c)^6 を展開したときの項は、すべて６次です。またその係数は、文字の部分を a^p・b^q・c^r とすると、
　6!/(p!q!r!)
となります。abc^4 だと、係数は、30 です。

これは、a,b,c ３つのボールが入ったかごが６つあり、各かごから１個ずつボールを取って、a１個、b１個、c４個をとる場合の数と同じです。
　(x^2－2/x＋1)^6 を展開して定数項になる場合は、
　１）x^2 １個、(-2/x) ２個、１を３個　とる場合
　２）x^2 ２個、(-2/x) ４個、１を０個　とる場合
　３）x^2 ０個、(-2/x) ０個、１を６個　とる場合とがあります。

１）係数は、　6!/(1!2!3!)＝60 さらに (-2/x)^2 の係数 4 が掛けられて、240
２）係数は、　6!/(2!4!0!)＝15　さらに (-2/x)^4 の係数16が掛けられて、240
３）係数は、　6!(0!0!6!)＝１
全部足して　240+240+1=481　です。　　
　
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26983．数Ⅱ  
名前：綺羅    日付：5月31日(水) 6時25分
簡単かもしれませんが・・お願いします

6個の数字012345の中から異なる数字を使って整数を作る
4桁の奇数はいくつできるか。
3桁の整数を作りそれらを小さい順に並べると43番目の数は何か。


26985．Re: 数Ⅱ
名前：ヨッシー    日付：5月31日(水) 8時35分
4桁の奇数：
まず、一の位の数の選び方が、１，３，５　の３通り。
次に、千の位の数の選び方が、１の位の数と０以外の４通り。
十の位の数の選び方は、上の２つ以外の４通り、百の位の数３通り。
以上より
　３×４×４×３＝１４４(個)

３桁の整数の４３番目
　１００台の整数は　５×４＝２０(個)できます。
　２００台の整数も２０個できます。
　その続きは 301,302,304 で、304 が43番目です。
　
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26982．(untitled)  
名前：CP9    日付：5月31日(水) 0時11分
小石を斜めに投げ上げたところ投げた点より39.2ｍはねれたところにある垂直なけべの高さ１９．６ｍの点に垂直にあたった
初速度が水平方向となす角はいくらか


26984．Re: (untitled)
名前：ヨッシー    日付：5月31日(水) 8時30分
重力加速度を9.8m/s^2 とします。
初速度の水平成分、鉛直成分をｘm/s、ｙm/s とすると、
どの高さまで上がるかとか、地面に落ちるまで何秒かかるかというのは、
ｙだけで決まります。
ｘはその間水平に動くだけです。

ですから、まず、ｙについて考えます。
初速ｙm/sの小石が、１秒間に9.8m/s ずつ減速していって、０になるまでの時間ｔは、
　ｔ＝y/9.8 秒
この間の小石の移動距離は、
　yt/2＝y^2/19.6＝19.6(m)
よって、y＝19.6(m/s) で、この間の時間は、２秒。
ｘは時間により変わらないので、２秒間に39.2ｍ動いたということは、
　39.2÷2＝19.6
よって、求める角度は、45度。
　
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26976．(untitled)  
名前：すすか（高１）    日付：5月30日(火) 22時9分
問　ｘ＾4＋ｘ＾2＋１
　＝ｘ＾4＋２ｘ＾2＋１－ｘ＾2
　＝（ｘ＾2＋１）＾2－ｘ＾2
　＝（ｘ＾2＋ｘ＋１）（ｘ＾2－ｘ＋１）

ですが、このやり方をくわしく教えていただけますか？
２ｘ＾2がでてくるのがどうもわからなくて・・・　
　　


26981．Re: (untitled)
名前：ZELDA    日付：5月30日(火) 23時54分
この問題では、最初から、A^2-B^2=(A+B)(A-B)をねらっています。
したがって、x^4+1を含むような完全平方式をつくることを考えます。おそらく、２つできますが、[{(x^2)-1}^2]+3x^2では、全く意味がありません。したがって、[{(x^2)-1}^2]-x^2を用いています。

26969．どうしよう  
名前：タイガー    日付：5月30日(火) 15時43分
どう求めればいいか、思いつきません。
すいませんが、お願いします。
　
問い　ｘｙ平面上の領域｛（ｘ、ｙ）｜logx>=y>0}をDとする。
　　　ｋを実数の定数とするとき、Dに含まれるすべての点（ｘ、ｙ）
　　　に対して不等式
　　
　　　（ｘ＋ｙ）／２＞＝ｋ√ｘｙ
　　　が成り立つようなｋの最大値を求めよ。　


26992．Re: どうしよう
名前：angel    日付：5月31日(水) 16時40分
条件より、x>0, y>0 のため、
t=y/x と置くと、
　(x+y)/2 ≧ k√(xy)
　⇔ (1+t)/2 ≧ k√t

k≦0 であれば、明らかに上記不等式は成立するため、k>0 の場合を考えると、
　(1+t)/2 ≧ k√t かつ k>0
　⇔ (1+t)^2/4 ≧ k^2t
　⇔ t^2-2(2k^2-1)t+1 ≧ 0

なお、原点より y=logx に引いた接線は y=x/e、y=logx は上に凸なため、
x>0,y>0,y≦logx の時、0<t=y/x≦1/e

結局、
　「0<t≦1/e の範囲で、t^2-2(2k^2-1)t+1≧0 が常に成立する k の条件」
を調べることになる。これは2次関数の問題。
最大の k は、(e+1)/(2√e) になると思います。

26993．別解
名前：angel    日付：5月31日(水) 16時39分
なお、
　k≦(x+y)/(2√(xy))=(t+1)/(2√t)
と解釈し、0<t≦1/e の範囲での (t+1)/(2√t) の最小値を求める方法もあります。
微分して増減を調べると、(t+1)/(2√t) は、0<t<1 の範囲で単調減少ですから、0<t≦1/e の範囲では、t=1/e の時最小、最小値 (e+1)/(2√e) となり、k の最大値 (e+1)/(2√e) となります。

26968．基本的なことですが  
名前：やきのり　高校一年    日付：5月30日(火) 15時35分
次の問題なんですが、計算でてこずっています。ヒントお願いします。
ｘｙ平面上において、定点A（０，０）、B(３，０）と曲線ｙ＝ｘ（３－ｘ）（０＜ｘ＜３）上の二点C,Dを頂点とする四角形を考える。
このような四角形の面積の最大値を求めよ。


26973．Re: 基本的なことですが
名前：angel    日付：5月30日(火) 18時42分
C,Dのx座標を p,q(0<p<q<3)と置くと、

放物線・ABで囲まれる面積 … 1/6・3^3
放物線・ACで囲まれる面積 … 1/6・p^3
放物線・CDで囲まれる面積 … 1/6・(q-p)^3
放物線・DBで囲まれる面積 … 1/6・(3-q)^3

よって、四角形の面積は 1/6・(27-p^3-(q-p)^3-(3-q)^3)
qを固定してpによる微分を行うと、p=q/2 の時、面積が極大かつ最大と分かりますので、
あらためて p=q/2 を代入して、qに関する3次式として最大値を求めましょう。

※別解
　qを固定して考えると、△ACDは、点Cにおける接線がADに平行な時に面積が最大となり、その時 p=q/2
　これを利用して、面積(□ACDB=△ACD+△BAD) を q の式で表す。

26967．割り算  
名前：kagawa    日付：5月30日(火) 15時30分
割り算の問題のようですが
ｍを２以上の整数とします
このとき
ｍCｍ－１ｘ＾ｍ－１＋ｍCm-2x^m-2＋・・・・＋ｍC2ｘ＾２＋ｍC1ｘ
についてｘ＾２＋ｘ＋１で割り切れるｍの条件は？
手がでません


26971．Re: 割り算
名前：らすかる    日付：5月30日(火) 17時9分
↓こちらをご覧下さい。
http://www2.ezbbs.net/cgi/reply?id=dslender&dd=07&re=23726

26966．どうする  
名前：ノコリン    日付：5月30日(火) 15時25分
集合でよくバーを使いますが、パソコンでの表記はみんなどうしてるの？


26977．Re: どうする
名前：すすか（高１）    日付：5月30日(火) 22時19分
少し面倒ではありますが
まず、「記号」と打って変換するといっぱいでてきますよね？
その中から「アンダーライン」を探してください。
そしたらアンダーラインの下にカーソルを持っていき、
「【全】ローマ字大」のＡを打つとできます。
　　　　＿　＿
　　　　Ａ∪Ｂ　　　　こんな感じです。
　　　　　　　　　　　　　

26965．行列  
名前：もも    日付：5月30日(火) 15時23分
行列の表記の仕方についてパソコンではどうするのか？

26964．記号  
名前：nakitao    日付：5月30日(火) 15時21分
集合Aにその要素ｃが含まれることの記号はパソコンではどう表記すればいいのですか？


26970．Re: 記号
名前：to    日付：5月30日(火) 17時0分
「しゅうごう」と入力し、
【変換】キーを押すと、
　　以下のようなものが出てきて、選択ができます。
　∈、∋、⊇、⊆、⊂、⊃、∩、∪、∧、∨、∃、∀

「きごう」や「すうがく」
　　と入力しても、できますが
　選択数が、その他いろいろな記号が多数出てくるので
　絞ったほうが、手間が省けます

26959．宇宙人のパラドックス  
名前：黄黒真直    日付：5月29日(月) 22時14分
初めまして、キグロです。
数学…と呼んでいいかどうかわかりませんが、どうしてもわからない問題があります。次のパラドックスです。

ある子どもが言った。
「宇宙人がいる確率は、５０％だよね。だって、『いる』か『いない』か、だもん」

どうやって反論したらいいのかわかりません。教えてください、お願いいたします。
なお、確率の知識は高校１年生レベルです。
http://page.freett.com/kiguro/index.html


26960．Re: 宇宙人のパラドックス
名前：ZELDA    日付：5月29日(月) 22時52分
確率の定義は、

(確率)=(そのうち条件を満たす根元事象の数)/(同様に確からしい根元事象の総数）

である。

宇宙人が「いる」、「いない」というのものの見方では、根元事象がはっきりしないため、同様に確からしい根元事象をとらなければならないと確率の最低条件をみたしていないと思います。(確率の定義に当てはまらないということです。）

まあ、子供の質問には、１００枚のカードに１枚のジョーカーが入っているとき、ジョーカーが「出る」か「出ない」かだから、ジョーカーの出る確率は
５０％なのか？と聞き返せば良いと思うのですが。

26962．Re: 宇宙人のパラドックス
名前：花パジャ    日付：5月30日(火) 10時42分
自分の子供が言ったら「ふ～～ん、そう?」と返し、以降、しばらく
「あれ欲しい、買って?」
　「爆弾が『入っている』か『入っていない』かだから、確率50%。
　　そんな危険なものは買えないでしょ?」
「僕のおもちゃが皆無いけど、何処に隠したの?」
　「ふ～～ん、君のおもちゃは『ある』か『ない』かだから、確率50%。
　　妹のおもちゃはあるみたいだから、ちょうど50%、すごいね?」
「今月のお小遣いは?」
　「お小遣いが『出る』か『出ない』かだから、確率50%。
　　出ない月が半分位あるんだよね?」
「あれ?僕の夕飯は?」
　「夕飯が『出る』か『出ない』かだから、確率50%。
　　あ、でも、実際は妹を含めた3人分は出ていて75%だから
　　今日は運がいいんだね?」
とか、て子供をいじめると思う。
(将来ありそうな出来事だなぁ。でも、
父親が『悪魔』か『悪魔ではない』かの確率50%で
悪魔な父親にあたったんだよ ＞ 我が子達)

26974．Re: 宇宙人のパラドックス
名前：黄黒真直    日付：5月30日(火) 20時40分
返信ありがとうございます。
ＺＥＬＤＡさん＞
なるほど、確かに言われてみればその通りですね。
と言うか、確率の定義を忘れてました。
回答ありがとうございました。

花パジャさん＞
思わず１人で大笑い…。
「この世の全ての確率は５０％である」と言うパラドックスもありましたっけ…。
http://page.freett.com/kiguro/index.html

26958．数Ⅲ  
名前：綺羅    日付：5月29日(月) 19時1分


次の曲線上の点Ａにおける接線と法線の方程式を求めよ。
①ｙ＝ｘ/(2x+1) 、 A(1，1/3)

ｙ＝ｘ/9+2/9=（ｘ-2）/9

それからどうしたらよいんですか？
②y=tanx 、　　A（π/4，1）
y=-2x+1+π/2
それからの過程お願いします。


26961．Re: 数Ⅲ
名前：angel    日付：5月30日(火) 9時9分
以下の組み合わせで。
(a) 曲線 y=f(x) の x=a における接線の傾きは、微分係数 f'(a) に等しい
　法線は、接線に垂直なため、傾きは -1/f'(a) に等しい ( f'(a)≠0 であれば )

(b) 点(p,q)を通り、傾き m の直線の方程式は、y-q=m(x-p)

そうすれば、
　y=f(x) 上の点(a,b) (b=f(a)) における
　接線：y-b=f'(a)(x-a)
　法線：y-b=-(x-a)/f'(a)
　　※f'(a)=0 にも対応するなら、(x-a)+f'(a)(y-b)=0
となります。
実際の数値を使用して、これと同じように計算し、まとめれば答えが出ます。

26952．ヨセフスの問題  
名前：年金未納ニート    日付：5月29日(月) 9時54分
こんにちは。質問があるのですが。
この前あるテレビ番組でこんな問題を出していました。

それぞれ1～200まで番号のついた200枚のカードがある。
一番上のカードを一番下にまわし、その次のカードを捨て
再び一番上に来たカードを一番下へまわし、その次のカードを
捨てるという操作を繰り返した時、一番最後に残るカードは
何番のカードか？

という問題で、
ｎ枚のカードでこの操作をするとき、最後に残ったカードの番号を
カ（ｎ）とする。
このとき、
カ（2ｎ）＝2×カ（2ｎ）-1
カ（2ｎ+1）＝2×カ（2ｎ）+1
が成り立つと、その番組で説明していたのですが、
なぜそうなるのかいまいち理解できません。
もう四日ぐらい悩んでいるのですが、どうか教えてください。
ちなみにこの問題の答えは１４５でした。


26953．Re: ヨセフスの問題
名前：angel    日付：5月29日(月) 11時0分
1,2,…,2n の 2n枚のカードに n回操作を施した時。
残るカードは、順に 1,3,…,2n-1 の n枚。
これは、一般項 2k-1 の数列の 1～n項と同じ。
この中の カ(n)番目が残るので、そのカードは 2・カ(n)-1

1,2,…,2n+1 の 2n+1枚のカードに n回操作を施した時。
残るカードは、順に 2n+1,1,3,5,…,2n-1
さらにもう1回操作を施すと、
残るカードは、順に 3,5,…,2n-1,2n+1 の n枚。
これは、一般項 2k+1 の数列の 1～n項と同じ。
この中の カ(n)番目が残るので、そのカードは 2・カ(n)+1

その上で、
　カ(200)=2・カ(100)-1
　カ(100)=2・カ(50)-1
　カ(50)=2・カ(25)-1
　カ(25)=2・カ(12)+1
　カ(12)=2・カ(6)-1
　カ(6)=2・カ(3)-1
　カ(3)=2・カ(1)+1
　カ(1)=1
を辿っていくと、カ(200)=145 となりますね。

26955．Re: ヨセフスの問題
名前：ヨッシー    日付：5月29日(月) 11時25分
カ（2ｎ）＝2×カ（ｎ）-1
カ（2ｎ+1）＝2×カ（ｎ）+1
と思われます。


まず カ(2n) ですが、2n 枚のカードから最初に捨てられるのは
偶数ばかりで、n 枚の偶数を捨てた時点で、残りは奇数ばかりｎ枚になります。
それをまた、１を下に回すところから始めるので、ｎ枚の状態からスタートしたのと
同じ状態になります。
残るのはカ(n)枚目のカードですが、奇数ばかりで始めているので、
「カ(n)枚目の奇数は何ですか？」という問題になります。
答えは、２×カ(n)－１ ですね？

カ(2n+1)の場合は少し複雑で、ｎ枚の偶数を捨てた後、2n+1 枚目のカード
（図の一番右の○）を下に回し、１枚目のカード(図の一番左の○)を捨てたところで、
残りｎ枚となり、３枚目のカード（図の左から３個目の○）を下に回す
所から始まります。
この結果残るのは、カ(n)＋１番目の(奇数の)カードです。
なぜなら、ｎ枚の状態から始めるとき、１は既に捨てられていて、
　3,5,7・・・2n+1
のｎ枚から始めているからです。
カ(n)＋１番目の奇数は・・・２×カ(n)＋１　です。
　
これは、まま子立てという問題ですが、
カード２枚だと最初に下に回した１が残ります。
カード４枚だと、１，３が残り、１を下にまわすところから始めるので、やはり１が残ります。
カード８枚だと、１，３，５，７が残り、やはり１が残ります。
16,32,64,128,256,512・・・　と２倍していっても同じです。
２００枚だと、７２枚捨てた時点で、残り１２８枚となり、その後、下に回すカードが
残ることになります。
７２×２＝１４４　まで捨てられて、１４５を下に回すので、１４５が残ります。
　
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26956．Re: ヨセフスの問題
名前：年金未納ニート    日付：5月29日(月) 12時15分
angelさん、ヨッシーさん
早急にご回答いただきありがとうございました。

＞カ（2ｎ）＝2×カ（ｎ）-1
　カ（2ｎ+1）＝2×カ（ｎ）+1
　と思われます。

確かにそうでした。こっちの書き間違いでしたね、すいません。
お二人の解説でよく理解できました、ありがとうございました。
ちなみにこの番組（コマネチ大学数学科）では答えを出すのに
二進表記数を使うとい面白い解き方をやっていました。

26957．Re: ヨセフスの問題
名前：ヨッシー    日付：5月29日(月) 12時28分
二進数を用いた方法は、こちらですね。
　
http://yosshy.sansu.org/

26963．Re: ヨセフスの問題
名前：白拓    日付：6月1日(木) 1時32分
この番組「たけしのコマネチ大学数学科」は
　 フジテレビ　毎週金曜深夜1時15分～1時45分
で放送しているようです。

26946．確率です  
名前：浪人生    日付：5月29日(月) 0時21分
「サイコロをｎ回振るとき、最大の目の数が５となる確率を求めよ」

という問題なんですが、自分が考えた回答は
(nＣ1)(1/6)(5/6)^n
です。５が１回出て残りは１～５のどれか、と考えたんです。

回答に示された
(5/6)－(4/6)
というのは理解できたんですが、なぜ自分の考え方がいけないのかわかりません。どなたか間違いを指摘してくださいm(_ _)m


26947．Re: 確率です
名前：らすかる    日付：5月29日(月) 0時28分
5が複数回出るパターンを重複して数えてしまうところに問題があります。
例えばn=3の時、「545」というパターンを
「1回目に5が出て残りは1～5のどれか」
「3回目に5が出て残りは1～5のどれか」
の両方で数えてしまいますね。
http://www10.plala.or.jp/rascalhp

27003．Re: 確率です
名前：浪人生    日付：6月1日(木) 0時35分
おおお！
わかりました！
ありがとうございます☆

26945．点の移動  
名前：rina    日付：5月28日(日) 21時18分
(1)点(0.1)を直線y=xに対して対象移動した後の点を求めよ
(2)点(0.1)を原点周りに45度回転させて後の点を求めよ
(3)空間上の点(0,-1,-1)をy=-xに対して対象移動させた後の点を求めよ
(4)空間上の点(0,-1,-1)をy=-xに対して45度回転させた後の点を求めよ

(1)(2)は何とかなったのですが、(3)(4)がどうにもなりません(＞＜）
お願いします。


26948．Re: 点の移動
名前：ヨッシー    日付：5月29日(月) 7時25分

y=-x は、図のような平面です。
ｚ軸に平行な（この場合はｚ軸を含む）平面なので、
対称移動しても、ｚ座標は変わりません。
右の図のような、ｘｙ平面に垂直な方向から見た図を
考えるといいでしょう。

ただし、平面に対して45度回転というのは定義できません。
　
http://yosshy.sansu.org/

26940．(untitled)  
名前：るな    日付：5月28日(日) 16時41分
Original Size: 288 x 352, 13KB

直方体の１辺の長さｘをもとめよ。ただし、体積は６０ｃｍ3とする。

教えてください。お願いします。


26941．Re: (untitled)
名前：通りすがり    日付：5月28日(日) 17時30分
（底面積）×（高さ）＝60㎝3・・①で、
（底面積）・・3×4＝12
（高さ）・・X なので
①の公式に当てはめると
12×X＝60
X＝5

26939．ベクトルの問題です  
名前：aki(高２)    日付：5月28日(日) 15時2分
正四面体OABCの2辺AB、OC上の点をそれぞれP、Qとし、a＝OA、b＝OB c＝OC とおく。PとQの距離が最小であるとき、OP、OQをa、b、cで表せ。また、θ＝∠OPCとしてcosθを求めよ。

ベクトルが苦手で全く分かりません・・・
どうか教えて下さいお願い致します。


26949．Re: ベクトルの問題です
名前：ヨッシー    日付：5月29日(月) 7時43分
以下、太字はベクトルです。
正四面体ＯＡＢＣの１辺をｍとします。

ＰはＡＢ上にあるので、
ＯＰ＝(1-t)ａ＋tｂ　(0<t<1)
と書けます。ＱはＯＣ上にあるので、
ＯＱ＝sｃ　(0<s<1)
と書けます。
ＰＱ＝ＯＱ－ＯＰ＝sｃ－{(1-t)ａ＋tｂ}
|ＰＱ|^2＝ＰＱ・ＰＱ
　＝{sｃ－(1-t)ａ－tｂ}・{sｃ－(1-t)ａ－tｂ}
　＝s^2|ｃ|^2＋(1-t)^2|ａ|^2＋t^2|ｂ|^2－2s(1-t)ａ・ｃ－2stｂ・ｃ＋2t(1-t)ａ・ｂ
ここで、
|ａ|＝|ｂ|＝|ｃ|＝ｍ^2
ａ・ｂ＝ｂ・ｃ＝ｃ・ａ＝ｍ^2cos60°＝ｍ^2/２
なので、
　|ＰＱ|^2＝ｍ^2(s^2－s＋t^2－t＋1)
　　＝ｍ^2{(s－1/2)^2＋(t－1/2)^2＋1/2}
よって、s＝t＝1/2 のとき、ＰＱは最小で、このとき
　ＯＰ＝(ａ＋ｂ)/2
　ＯＱ＝ｃ/2

ＰはＡＢの中点であり、△ＯＰＣは、
　ＯＰ：ＣＰ：ＯＣ＝√3：√3：２
の三角形であるので、
　cosθ＝(√3^2＋√3^2－２^2)/２・√3・√3＝１／３
　
http://yosshy.sansu.org/

26938．円の回転体  
名前：リシュレストリング・サガⅡ    日付：5月28日(日) 14時45分
円x^2 +(y-2)^2=1をx軸のまわりに1回転してできる立体の
体積Vを求めよ。

この問題で立体をいまいちイメージできません。
ドーナツ型になるのかなーと思ったんですけど
それだったら、内部の空間部分はどうやって表せばいいのか
わかんないし。。＞＜
分かりやすく教えてください！
おねがいします！！


26942．Re: 円の回転体
名前：c.e.s.    日付：5月28日(日) 20時6分
中心(0,2)の半径1の円をx軸の周りに1回転させると、ドーナツになりますね。
で、体積ですが、式で表さなくても「パップス＝ギュルダンの定理」という定理を使うと簡単に求めることができます。
要は、「面積×重心の移動距離」で体積が求まるという便利な定理でして。回転させる円の面積はπ、円の重心はその中心であり、その移動距離は半径2の円周なので4πとなります。よって、この定理によれば求める体積はπ×4π=4π^2になります(と、思います)。

パップス＝ギュルダンの定理 - Wikipedia
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%91%E3%83%83%E3%83%97%E3%82%B9%EF%BC%9D%E3%82%AE%E3%83%A5%E3%83%AB%E3%83%80%E3%83%B3%E3%81%AE%E5%AE%9A%E7%90%86

26943．Re: 円の回転体
名前：ZELDA    日付：5月28日(日) 20時10分
パップスギュルダンの定理を用いれば、一瞬だと思うのですが。

(解答）回転させるものの面積は　π　で、重心の回転距離は2π×2=4π
であるから、求める体積は　π×4π=4π^2
です。

26944．Re: 円の回転体
名前：ZELDA    日付：5月28日(日) 20時17分
先ほどの解答ではちょっとかわいそうなので、計算は省きますが、求める体積は、円の上半分を回転させた物体から、円の下半分を回転させた物体を除いたものであるから、

V=∫[-1,1]{2+√(1-x^2)}dx-∫[-1,1]{2-√(1-x^2)}dx
を計算したらでます。

26936．よろしくお願いします  
名前：ソラ    日付：5月28日(日) 14時20分
aを,a≦-2を満たす定数とするとき y=(3^ｘ＋a)^2+(3^-x+a)^2の最小値が7となるようなaの値をもとめよ。

という問題なのですが、解けなくて困っています。
よろしくお願いします。


26954．Re: よろしくお願いします
名前：angel    日付：5月29日(月) 11時10分
s=3^x と置くと、3^(-x)=1/s、sの範囲は s>0
t=s+1/s と置くと、s^2-ts+1=0
この s が s>0 の解を持つことから、t>0 かつ、判別式 t^2-4≧0
すなわち t≧2 が必要十分

なお、t^2=(s+1/s)^2=s^2+1/s^2+2 より、s^2+1/s^2=t^2-2

よって、
y
=(s+a)^2+(1/s+a)^2
=(s^2+1/s^2)+2a(s+1/s)+2a^2
=(t^2-2)+2at+2a^2
=(t+a)^2+a^2-2

a≦-2 であれば、t≧2 に対し、t=-a の時がy最小となるので、
最終的に a^2-2=7 と分かります。

26928．(untitled)  
名前：けん（大学1年）    日付：5月27日(土) 16時30分
線形代数の質問です。
①f(x)=x^3-xがRからRへの全射であることを証明せよ。（グラフを見て、明らかっていうのは駄目だそうです）
②RからRへの関数f(x)=x^4+5x+1が単射であるか、全射であるかを判定せよ。
③-1≦x≦1からRへの関数f(x)=tanxが単射であるか、全射であるかを判定せよ。
④連続関数f:R→Rについて、
f:R→Rが単射⇔fが単調増加または単調減少
を、中間値の定理を用いて証明せよ。

以上、よろしくお願いします。


26929．Re: (untitled)
名前：angel    日付：5月27日(土) 16時52分
(1) lim[x→+∞] f(x)=+∞、lim[x→-∞] f(x)=-∞、f(x) は R全体において連続なため、明らか。
　…これだけでは何なので。
　lim[x→+∞] f(x)=+∞
　⇔ 任意の b に対して、ある a が存在し、x>a⇒f(x)>b
　lim[x→-∞] f(x)=-∞
　⇔ 任意の b に対して、ある a が存在し、x<a⇒f(x)<b

　よって、任意の b に対して、ある a1, a2 が存在し、
　x>a1⇒f(x)>b, x<a2⇒f(x)<b
　⇒ あるα,βが存在し、α>a1, β<a2, α>β その時 f(α)>b, f(β)<b

　中間値の定理により、α<x<βの範囲に、f(x)=b となる x が存在する。
　任意の b に対し、f(x)=b となる x が存在するため、f は全射。

26930．Re: (untitled)
名前：angel    日付：5月27日(土) 17時2分
(2) グラフを見れば、全射でないことも、単射でないことも明らか。
　…だけでは何なので。
　・全射
　　f(x) が下に有界であることから、ある b に対して f(x)=b となる x が存在しないことを示しましょう。
　・単射
　　ある b に対して、f(x)=b の解が2つ以上あることを示しましょう。
　　例えば f(x)=97 とかでも良いですね。

26931．Re: (untitled)
名前：けん（大学1年）    日付：5月27日(土) 18時27分
レスありがとうございます。
①はよくわかりました！
②全射の方は、微分してグラフを描き、最小値を求め、それより小さい値をとれない。でいいのでしょうか？
単射は、三次方程式の解き方がわからないので、どうすればいいのか…。 f(x)=97 となるxは、どうやって求めればいいのでしょうか？x=3しかわかりません。

26950．Re: (untitled)
名前：angel    日付：5月29日(月) 9時45分
(3)
tan は、(-π/2, π/2)→R の全単射ですから、
(-1,1)→R ならば、単射ではありますが、全射ではありません。

(4)
← はほぼ自明(対偶を示せば良い)なので、→ の説明を。
対偶「fは単調増加でも単調減少でもない⇒fは単射ではない」でいきます。

その前に、事前準備として、以下の命題を挙げておきます。
　ある a,b,c (a<b<c) に対し、f(a)>f(b),f(b)<f(c) または f(a)<f(b),f(b)>f(c)
　⇒ f は単射ではない

簡単に理由を挙げると、
　f(a)>f(b),f(b)<f(c)であれば、区間(f(b),min(f(a),f(c)))内のあるαに対し、
　中間値の定理より、f(d)=f(e)=αとなる d,e が、それぞれ区間(b,a),(b,c)に存在するから。
　f(a)<f(b),f(b)>f(c)の場合も同様。

これを元に、証明を行います。
　fが単調増加 ⇔ 任意の x,y(x<y) に対し、f(x)<f(y)
　fが単調減少 ⇔ 任意の x,y(x<y) に対し、f(x)>f(y)
　よって、
　fは単調増加でも単調減少でもない
　⇔ ある a,b(a<b), c,d(c<d) に対し、f(a)≧f(b) かつ f(c)≦f(d)

　1. f(a),f(b),f(c),f(d) の中に一致するものがある場合
　　明らかに f は単射ではない
　2. f(a)>f(b) かつ f(c)<f(d) かつ、f(a),f(b),f(c),f(d)が互いに異なる場合
　　2.1. a<b<c<d の場合
　　　2.1.1. f(b)>f(c) の場合
　　　　b<c<d に対し、f(b)>f(c), f(c)<f(d) であるため、f は単射ではない
　　　2.1.2. f(b)<f(c) の場合
　　　　a<b<c に対し、f(a)>f(b), f(b)<f(c) であるため、f は単射ではない
　2.2. a<c<b<d の場合 …
　2.3. a<c<d<b の場合 …
　2.4. c<d<a<b の場合 …
　2.5. c<a<d<b の場合 …
　2.6. c<a<b<d の場合 …

　よって、いずれの場合も f が単射ではないことが証明された。

…ちょっと面倒くさいですが、やっていることは1つです。

26951．Re: (untitled)
名前：angel    日付：5月29日(月) 9時50分
>(2)全射の方は、微分してグラフを描き、最小値を求め、それより小さい値をとれない。でいいのでしょうか？

はい。それでO.K.です。

>単射は、三次方程式の解き方がわからないので、どうすればいいのか…。 f(x)=97 となるxは、どうやって求めればいいのでしょうか？x=3しかわかりません。

三次方程式は、必ず一つ実数解を持ちます。これは(1)と同じ理屈で言えます。
今考えている三次方程式は x=3 を解に持ちませんから、結果 f(x)=97 は、x=3,3以外 の2つ以上の実数解を持つことが分かります。

26978．Re: (untitled)
名前：けん（大学1年）    日付：5月30日(火) 22時30分
ありがとうございます。
tanxは、(-π/2, π/2)→R の全単射っていうのを示したいです。
xにどのようなx(r)を代入すれば、tanx＝任意の実数rとなるのでしょうか？

27017．Re: (untitled)
名前：angel    日付：6月2日(金) 15時17分
おっと、続いていたのですね。( もう見てないかな? )
… tan が全単射であることは普通に使っても良いように思いますが…
一応、
　tanx=r
　⇔ cosx=1/√(1+r^2), sinx=r/√(1+r^2)
のため、任意の r に対し、tanx=r なる x は存在します。よって全射。
また、導関数を調べれば、tan が単調増加なのは一目瞭然のため、明らかに単射です。
よって tan は全単射。

27023．Re: (untitled)
名前：けん（大学1年）    日付：6月2日(金) 21時22分
なるほど。わかりました。ありがとうございました！

26913．図形なんて  
名前：大東    日付：5月26日(金) 20時3分
高校一年です。
図形が苦手なのですが次の問題がわかりません

円に内接する四角形ABCDがあり、直線ABと直線CDの交点をP
直線ADと直線BCの交点をQとする。

（１）三角形PBCの外接円と直線PQとの交点のうちPと異なるものはR
とすると4点A,B,R,Qは同一円周上にあることを示せ
（２）PA*PB+QA*QD=PQ~2となることを示せ　


26916． 図形が分からなきゃ終わり。
名前：岩本亮平    日付：5月26日(金) 23時20分
　THE END

26924．Re: 図形なんて
名前：三次    日付：5月27日(土) 14時23分
岩本氏へそんな野次やめろ。追放だ

26932．Re: 図形なんて
名前：ZELDA    日付：5月27日(土) 18時37分
まあ、お二人さんけんかは、止めてください。いちおうできました。

(解答）
(１）
内接四角形の性質より ∠BAD=∠BCP
円周角の定理より　　 ∠BCP=∠BRP
これら２式より　　　 ∠BAD=∠BRP
したがって、内接四角形の性質より四角形ABRQは内接四角形となるので、
A,B,R,Qは同一円周上にある。

(２）
方べきの定理より、PA*PB=PR*PQ
　　　　　　　　　QD*QA=QR*QP
これら２式を加えて
　　　　　　　　　PA*PB+QD*QA=PR*PQ+QR*QP
　PA*PB+QA*QD=PQ(PR+RQ)
　　　 =PQ^2　

26933．Re: 図形なんて
名前：ZELDA    日付：5月27日(土) 18時48分
すいません、なんか文字が変な風になってしまいました。それと（２）の方べきの定理の使い方かたなのですが、一見なにも考えずにその式がでてきているように解答では見えますが、次のように考えました。いちおう、書いておこうと思います。（２）のように方べきの定理を用いる問題で、なぜそのように考えたのか全く分からない解答ばかりで、愕然としてしまった記憶があるので、役に立つかと思い追加しておきます。

方べきの定理より次のような式が成り立つ。
PA*PB=PC*PD=PR*PQ
QR*QP=QC*QB=QD*QA
AB*AP=AD*AQ

これらの式のうちPA*PBを含む式とQD*QAを含む式とPQを含む式を抜き出して、変形しました。

26934．ZELDAさんへ
名前：大東    日付：5月27日(土) 21時38分
わかりやすい解説ありがとうございます。
これを期に精進していきたいと思います。

26911．行列難しい  
名前：高校二年    日付：5月26日(金) 15時24分
試験に出るといわれたので解いていたのですが
手が出ません。

問題　x,yを実数として(1,1)成分＝(2,2)成分＝x,(1,2)成分＝(2,1)成分＝ｙの形の行列の集合Ｄとする。Ｏを零行列、Ｅを単位行列とするとき

(1)xがＤに属するとき、X^2-4X+3E=Oを満たすＸをすべて求めよ。
(2)行列Ａの(1,1)成分＝(2,2)成分＝1,(1,2)成分＝2,(2,1)成分＝3とする。xがＤに属するとき、x^2-4Ax+3A^2＝0を満たすxをすべて求めよ。


26919．Re: 行列難しい
名前：ヨッシー    日付：5月27日(土) 8時36分

(2) より x=2 または y=0
x=2 のとき (1) よりy=±1
y=0 のとき (1) より x=1,3
より、４通りのＸが得られます。
　
http://yosshy.sansu.org/

26925．ヨッシーさんへ
名前：高校二年    日付：5月27日(土) 14時28分
おかげで（１）は理解できました。
しかし、（２）がどう変形すればいいのか午前中ずっと考えてもわかりません。

26909．ようわからん  
名前：友    日付：5月26日(金) 15時9分
二つの関数f(x)=sinxcosx,g(x)=sinx+cosx+K(K;実数）として
ここでそれぞれC1,C2とおいてある点ＡにおけるC1,C2の接線が一致するようなC1,C2の共有点Ａが存在するとき、Kの値をすべて求めよ。
詳細なやり方教えてください


26922．Re: ようわからん
名前：angel    日付：5月27日(土) 12時50分
点A (x座標=a) において、C1,C2の接線が一致する。
⇔ C1,C2が点A を通り、かつ接線の傾きが等しい
⇔ f(a)=g(a), f'(a)=g'(a)

これより、
　1. f'(a)=g'(a) を満たす a を求める。
　2. 1で求めた a それぞれに対し、f(a)=g(a) より K の値を求める
という手順で答えが求まります。

なお、f(x)は周期π、g(x)は周期2πの関数のため、共通の周期は2π。
よって、0≦x<2π の範囲で調べれば十分です。

26908．順列  
名前：まーちゃん    日付：5月26日(金) 15時0分
学校の課題です。
４桁の自然数の各位の数が千の位から順にa,b,c,dとする。
次の条件を満たすのはそれぞれ何通りですか
（１）a>=b>=c>=d
(２）a,b,c,dのうち、同じ数が少なくとも１組は存在する。
やりかたわからないです


26915．Re: 順列
名前：白拓    日付：5月27日(土) 0時28分
(1)
(x(=9),a,b,c,d,e(=0)) eからxまでの数字の各増分を考えます。
5箇所の文字間で9増加するから、（900000を除く）
(9+5-1)C(5-1)-1=13C4-1=714通り

26917．Re: 順列
名前：らすかる    日付：5月26日(金) 23時29分
(2)
全部の桁の数字が異なる4桁の自然数は、0から9までの数字から
4つ選んで並べた順列から千の位が0であるものを除けば良いので、
10P4-9P3
これを4桁の自然数の個数から引けば答が得られます。
(10000-1000)-(10P4-9P3)=9000-4536=4464通り
http://www10.plala.or.jp/rascalhp

26918．(1)別解
名前：angel    日付：5月27日(土) 0時7分
0～9の10種から4文字、重複を許した組み合わせは、重複組み合わせ 10H4 = (10+4-1)C4 = 715通り
その中から、0のみで構成される 0000 を除けば、714通り

この組み合わせ1通りずつに対し、大きい順に並べた4桁の数は一意に定まるため、答えも同じ 714通り
※先頭の桁(最大数)は0にならず、ちゃんと4桁の数として成立します

26907．(untitled)  
名前：剛志    日付：5月26日(金) 14時51分
e^-xsinxの不定積分のやりかた教えてください
ｘ；０ー＞ｎπでe^-x|sinx|の積分でｎー＞∞にした極限の出し方が
わかりません


26912．Re: (untitled)
名前：ZELDA    日付：5月26日(金) 18時10分
d/dx{e^(-x)(sinx+cosx)}=-2e^(-x)sinxなので、
∫e^(-x)sinxdx=-{e^(-x)/2}(sinx+cosx)である。

∫[0,nπ]e^(-x)|sinx|dx
=∑k=[1,n]∫[(k-1)π,kπ]e^(-x)|sinx|dx
(ここで、x=t+(k-1)πと置換する。)

=∑k=[1,n]∫[0,π]e^{-t-(k-1)π}|sin{t+(k-1)π}|dt
=∑k=[1,n]e^{-(k-1)}∫[0,π]e^(-t)sintdt

最初の不定積分の公式を用いてこの定積分を計算すると、定積分の値は、
{1+e^(-π)}/2である。
ゆえに、求める和は、初項{1+e^(-π)}/2,公比１/(e^π)の無限等比級数であるから、その和は
{(e^π)+1}/[2{(e^π)-1}]
に収束する。

26906．不等式  
名前：まちこ    日付：5月26日(金) 14時44分
すべての実数xに対して不等式

　　　e^-x+e^x/2>=1+ax^2

が成り立つような定数aの最大値を求めよ。

左辺ー右辺を考えたけどわかりません


26921．Re: 不等式
名前：angel    日付：5月27日(土) 12時56分
おそらく、( e^(-x)+e^x )/2 ≧ 1+ax^2 の事だろうと思いますので、そのように話を進めます。
基本は、(左辺)-(右辺) の増減を調べる、ということで微分が出てくるのですが…、1階の微分では分からないため、分かるところまで何階でも微分します。
なお、左辺・右辺ともに偶関数という対象性を利用すると少し楽です。

　f(x)=( e^(-x)+e^x )/2 - (1+ax^2) と置く。
　すると、( e^(-x)+e^x )/2 ≧ 1+ax^2 ⇔ f(x)≧0
　また、f(-x)=( e^x+e^(-x) )/2 - (1+a(-x)^2)=f(x) のため、f は偶関数
　次に導関数は、
　　f'(x)=( -e^(-x)+e^x )/2 - 2ax
　　f''(x)=( e^(-x)+e^x )/2 - 2a
　　f'''(x)=( -e^(-x)+e^x )/2
　x=0 における各値は、
　　f(0)=0, f'(0)=0, f''(0)=1-2a

　※ここで、f(0)=0 ですから、ここから減少するとマズイことになります。これを利用します。

　もし、a>1/2 とすると、f''(0)<0 よって、x=0 を含むある区間において f'(x) は単調減少。
　よって、ある実数 c>0 に対して、区間(0,c)においては、常に f'(x)<0
　これは、区間 [0,c] において f(x) が単調減少であることを示すため f(c)<0 となり、題意を満たさない。

　ゆえに a≦1/2 が必要。

　逆に a≦1/2 であれば、
　x>0 において、e^x>1, 1/e^x<1 のため、
　　f'''(x)=( -e^(-x)+e^x )/2=(e^x-1/e^x)/2 > (1-1)/2 = 0
　　→ f''(x) は x≧0 において単調増加
　f''(0)=1-2a≧0、f''(x) は x≧0 において単調増加
　　よって、x>0 において f''(x)>0
　　→ f'(x) は x≧0 において単調増加
　f'(0)=0、f'(x) は x≧0 において単調増加
　　よって、x>0 において f'(x)>0
　　→ f(x) は x≧0 において単調増加
　f(0)=0、f(x) は x≧0 において単調増加
　　よって、x>0 において f(x)>0、
　　偶関数のため x<0 においても f(x)>0
　　x=0 においては、f(x)=0
　　→ 任意のxに対し f(x)≧0

　よって、a≦1/2 は十分題意を満たす

　ゆえに a≦1/2 が必要十分、最大の a は 1/2

26905．どうしたら　高校二年  
名前：jono    日付：5月26日(金) 14時37分
時間かけてもどうやればいいのかわかりません。

四角形ABCDの各辺の長さは一定で、AB=a,BC=b,CD=c,DA=dである。
また内角はすべてπより小さい範囲で変化するものとする。∠B=x,∠D
=y、四角形ABCDの面積をＳとおく。

（１）dy/dxをx,yで表せ。
（２）ds/dxをx,yで表せ。
（３）Ｓが最大になるとき、四角形ABCDは円に内接することを示せ。


26910．ヒント
名前：angel    日付：5月26日(金) 15時10分
(1) 余弦定理を使用
　AC^2=AB^2+BC^2-2AB・BC・cosB
　AC^2=CD^2+DA^2-2CD・DA・cosD
からAC^2を消去し、x,y の関係式に持っていく

(2) 2つの三角形に分割して面積を求める
　S=△ABC+△CDA=1/2・(AB・BC・sinB + CD・DA・sinD)

(3) dS/dx=0 のポイントを探る。
　(1)の結果から、x が増加すれば y も増加することが分かるので、
　(2)の結果を合わせると、dS/dx が プラス→0→マイナス と推移することが分かる。
　よって、dS/dx=0 の時に S が最大。そのとき x+y=π ( □ABCDが円に内接 ) を確かめる。

26926．angel様へ
名前：どうしたら　高校二年    日付：5月27日(土) 14時33分
（１）はできたのですが、（２）でその結果をどうつかえばいいのか
　わかりません。ヒントをお願いします。

26927．Re: どうしたら　高校二年
名前：angel    日付：5月27日(土) 15時1分
(2)に関しては、(1)で dy/dx=(ab・sinx)/(cd・siny) という答えが出ていると思いますので、それを代入すればよいです。
もっとも、(3) の事を考え、ある程度綺麗に変形はした方が良いです。

　S=△ABC+△CDA
　= 1/2・(AB・BC・sinB + CD・DA・sinD)
　= 1/2・(ab・sinx+cd・siny)
より、
　dS/dx
　= 1/2・(ab・cosx+cd・cosy・dy/dx)
　= 1/2・(ab・cosx+cd・cosy・(ab・sinx)/(cd・siny))
　= ab/(2siny)・(cosx・siny + sinx・cosy)
　= ab・sin(x+y)/(2siny)

26935．わかりました
名前：どうしたら　高校二年    日付：5月27日(土) 21時41分
わかりやすかった

26903．どうも  
名前：カズ    日付：5月25日(木) 21時35分
自分は、高2なんですが。今、三角関数やっております。
それで、今、倍角の公式をやっているんですが、三倍角の公式の証明の仕方がわかりません。誰か、よかったら教えてくれませんか？
メールでお願いします。


26904．Re: どうも
名前：c.e.s.    日付：5月25日(木) 23時2分
sin(3x)=sin(x+2x)
=sin(x)cos(2x)+cos(x)sin(2x) …加法定理
=sin(x){1-2sin(x)^2}+cos(x){2sin(x)cos(x)} …2倍角の公式
=sin(x)-2sin(x)^3+2sin(x)cos(x)^2
=sin(x)-2sin(x)^3+2sin(x){1-sin(x)^2} …cosとsinの関係
=sin(x)-2sin(x)^3+2sin(x)-2sin(x)^3
=3sin(x)-4sin(x)^3

26900．微分  
名前：至眞    日付：5月25日(木) 16時43分
(1)関数sinx/xは0＜x＜π/2で単調減少であることを示せ。
(2)関数f(x)＝cos(πcosx/2)+cos(πsinx/2)の0≦x≦π/2における最大値と最小値を求めよ。

よく分からないので教えてください。


26902．Re: 微分
名前：soredeha    日付：5月25日(木) 18時56分
>(1)関数sinx/xは0＜x＜π/2で単調減少であることを示せ。

(sinx/x)'＝(xcosx-1sinx)/x^2
f(x)＝xcosx-sinx　とすると　f(0)＝0
f '(x)＝cosx＋x(-sinx)-cosx＝-xsinx＜0　( 0＜x＜π/2 )
よって、f(x)＜f(0)＝0
.

26920．Re: 微分
名前：至眞    日付：5月27日(土) 11時48分
ありがとうございます。理解できました。

26923．Re: 微分
名前：至眞    日付：5月27日(土) 13時15分
すいません。cos(πcosx/2)は、cos{(πcosx)/2}です。後のもおなじです。

26896．確率の問題  
名前：ATS    日付：5月25日(木) 12時10分
あるHPで以下のような問題が提示されていました。
その問題はストーリ仕立てだったのですが、問題文だけまとめますと、

Aさんは火星に生物がいる確率は、「存在する」か「存在しない」かのいずれかであるので1/2であると考えました。
また、火星に猫がいる確率も同様に1/2、火星に恐竜がいる確率も同様に1/2と考えました。しかし、このように考えれば、火星に少なくとも猫または恐竜のいずれかが存在する確率は3/4となります。

これは、火星に生物が存在するという確率を超えています。
何がおかしいのでしょうか？それとも何もおかしくないのでしょうか？

また、ここからは私の考えですが、同様にn種類の生物が存在する確率は(1/2)^nと考えられます。この時、ｎ種類の生物の中の少なくとも1種が火星に存在する確率は十分大きいｎに対して１となります。
何か不自然であると思うのですが･･･。


26897．Re: 確率の問題
名前：ヨッシー    日付：5月25日(木) 13時2分
「猫がいる確率も同様に1/2」をどうとらえるかですね。
「猫」は「生物」の一部であるので、
生物が存在する上で、そのさらに1/2 の確率で猫(およびその他の生物)
が存在する（しかも、お互い相関関係なく)というなら、十分大きいｎに
ついて、確率は１（全体としては1/2）に近付いても不思議ではありません。

反対に、「猫がいる確率が全体の1/2」であるなら、「生物がいること」
と「猫がいること」は同値として扱われます。恐竜なども同じです。
生物がいないという状況下で、猫や恐竜がいることはあり得ないのです。

ですから、猫がいる（Ａ）と恐竜がいる(Ｂ)の間には
　Ａ＝Ｂ＝Ａ∩Ｂ＝Ａ∪Ｂ
の関係があるので、猫または恐竜の確率も１／２のままです。
　
http://yosshy.sansu.org/

26901．Re: 確率の問題
名前：ATS    日付：5月25日(木) 16時51分
>>ヨッシー様

御回答ありがとうございます。
数学というより、問題の意図をいかに汲み取るかが重要であると思いました。
説明も分かり易く、理解する事が出来ました。
ありがとうございました。

26875．数Ⅱ  
名前：綺羅    日付：5月23日(火) 21時44分
１辺の長さが１２センチの正四面体があり、点Pを辺AＣ上の点とする。ここで点Pを通り、底面BCDに平行な平面でこの正四面体を切る。このとき次の各場面について線分ＡPの長さを求めよ。
①切り口の面積が△ＢＣＤの面積の１／3になる。

②底面BCDを含む方の立体の体積がもとの正四面体の体積の37/64になる。

詳しく教えて下さいお願いします。


26876．Re: 数Ⅱ
名前：ZELDA    日付：5月23日(火) 22時38分
切断面とAB,ADとの交点をQ,Rとする。

(1)相似な三角形⊿PQRと⊿CBDの面積比が1:3だから、相似比は1:√3
ゆえに、AP=12×1/√3=4√3

(2)相似な三角錐A-PQRと三角錐A-CBDの体積比が27:64だから、
相似比は3:4
ゆえに、AP=12×3/4=9

26890．Re: 数Ⅱ
名前：綺羅    日付：5月24日(水) 21時19分
なんか丸付けで三角されました。
何かが違うようです・・・。

26894．Re: 数Ⅱ
名前：ヨッシー    日付：5月24日(水) 23時50分
それは、採点者に聞かないとわかりませんね。
相似であることを、証明しないといけないのでしょうか？
まさかね。
　
http://yosshy.sansu.org/

26895．Re: 数Ⅱ
名前：ZELDA    日付：5月25日(木) 1時17分
すいませんでした。こたえが間違っていたのでしょうか？それとも、こたえはあっているのに三角にされてしまったのでしょうか？
単純に簡略化しすぎたということなのでしょうか？

一箇所自分では、解答として問題があるとしたら、（２）でいきなり２つの立体の体積比を書いている点だと思いますが、それ以外には、あまり大きな問題点はないと思うのですが・・・

すいませんでした。

26898．Re: 数Ⅱ
名前：zuzu    日付：5月25日(木) 14時29分
＞なんか丸付けで三角されました。
＞何かが違うようです・・・。

テストの採点の際には、それまで学習してきた事柄は無条件で使っても減点にしませんが、学習していないことをそのまま使うと減点になることがあります。
三角なので違っているわけではなく、解くときの過程が不十分だと見なされたのでしょう、ただ、この問題がどの単元の問題か不明ですから何とも言えませんが、少なくとも「数学Ⅱ」ではないように思います。

26874．(untitled)  
名前：三朗    日付：5月23日(火) 20時44分
問題　多項式P(x)を(x-1)^2で割ると余りが4x-5、x+2で割ると余りが-1である。P(x)を(x-1)^2(x+2)で割ったときの余りを求めよ。

解説
P(x)を(x-1)^2(x+2)で割ったときの商をQ(x)、余りをax^2+bx+cとするとP(x)=(x-1)^2(x+2)Q(x)+ax^2+bx+c
更に、P(x)を(x-1)^2で割ったときの余りが4x+5よりP(x)=(x-1)^2(x+2)Q(x)+a(x-1)^2+4x+5・・・①

どうして①のような形に置くことができるのですか。Q(x)ってP(x)を(x-1)^2(x+2)で割ったときの商なのに、なぜP(x)を(x-1)^2で割ったときの余りが4x+5というのをあらわすときにもQ(x)が使われているのですか。


26878．Re: (untitled)
名前：白拓    日付：5月23日(火) 22時50分
なぜならば
P(x)=(x-1)^2(x+2)Q(x)+ax^2+bx+c
だからです。

26880．Re: (untitled)
名前：三朗    日付：5月23日(火) 23時50分
もう少し詳しく教えてもらえないでしょうか。

26883．Re: (untitled)
名前：toni    日付：5月24日(水) 2時33分
横から失礼します

「どうして①のような形に置くことができるのですか。」
　参考程度です。

元の式を変形してみます。
　P(x)＝(x－1)^2(x＋2)Q(x)＋ax^2＋bx＋c
　　※余りの ax^2＋bx＋c を (x－1)^2 で割った形びしてみる。
　P(x)＝(x－1)^2(x＋2)Q(x)＋a(x－1)^2＋(2a－1)x＋(c－a)…(1)
　　※(x－1)^2 でまとめられる部分をまとめる
　P(x)＝(x－1)^2{(x＋2)Q(x)＋a}＋{(2a－1)x＋(c－a)}…(2)

(2)の式は、
　P(x)を(x－1)^2 で割ったとき、
　　商が{(x＋2)Q(x)＋a}で、余りが{(2a－1)x＋(c－a)}を表しています。
ここで、
　　余りの{(2a－1)x＋(c－a)}の部分を (4x＋5)に置き換えて
　(1)の式の形にしたものが
　　P(x)＝(x－1)^2(x＋2)Q(x)＋a(x－1)^2＋{4x＋5}・・・①　です。
さらに、
　　商の{(x＋2)Q(x)＋a}は、
　　　P(x)を(x－1)^2(x＋2)で割った商Q(x)を使って表しています。
　(1)の形に戻して
　　P(x)＝(x－1)^2(x＋2)Q(x)＋a(x－1)^2＋{4x＋5}・・・①　です。

26872．(untitled)  
名前：すすか（高１）    日付：5月23日(火) 20時10分
この問題なのですが、答えと一致しません。
まだやり方を理解しきっていないのでわかりません。

問　次の式を因数分解しなさい。

（１）ｘ＾2－２ａｘ＋２ｘ－４ａ
（２）ａ＾3＋ａ＾2ｂ－ａｃ＾2－ｂｃ＾2
（３）２ｘ＾2－５ｘｙ＋２ｙ＾2＋ｘ－５ｙ－３

よろしくお願いします。


26877．Re: (untitled)
名前：白拓    日付：5月23日(火) 22時47分
（１）ｘ＾2－２ａｘ＋２ｘ－４ａ
　=x(x-2a)+2(x-2a)=(x+2)(x-2a)
（２）ａ＾3＋ａ＾2ｂ－ａｃ＾2－ｂｃ＾2
　=a^2(a+b)-c^2(a+b)=(a+b)(a^2-c^2)=(a+b)(a+c)(a-c)
（３）２ｘ＾2－５ｘｙ＋２ｙ＾2＋ｘ－５ｙ－３
　=2x^2+(1-5y)x+2y^2-5y-3
　=2x^2+{-2x(2y+1)-x(y-3)}x+(2y+1)(y-3)
　=(x-(2y+1))(2x-(y-3))=(x-2y-1)(2x-y+3)

26879．Re: (untitled)
名前：すすか（高１）    日付：5月23日(火) 23時6分
因数分解の問題を色々見てるとすごく長い式が
でてきて「どうやってやるんだろう？」と悩む時が
あります。
そういう時は共通なものをくくってみれば
解き方が見えてきますでしょうか？

26882．Re: (untitled)
名前：白拓    日付：5月24日(水) 0時21分
そうですね
共通因数でくくり出したり、
(3)のように最低次数の文字を中心に整理したりします

↓因数分解のコツが載ってます。
http://w3e.kanazawa-it.ac.jp/math/category/suu-to-siki/seisiki/insuubunkai.html

26888．因数分解の解き方
名前：zuzu    日付：5月24日(水) 16時38分
文字が2つ以上あるときの因数分解は、次数の低い文字で整理するのが多くの問題で有効です。
(1)x^2-2ax+2x-4a=(-2x-4)a+x^2+2x=-2(x+2)a+x(x+2)=(x+2)(-2a+x)=(x+2)(x-2a)
(2)a^3+a^2b-ac^2-bc^2=(a^2-c^2)b+a^3-ac^2=(a^2-c^2)b+a(a^2-c^2)=(a^2-c^2)(b+a)=(a+c)(a-c)(a+b)
次数が等しいときは、どれか1つの文字について整理し、共通因数があればそれでくくり、なければたすきがけ等の方法を使います。
(3)2x^2-5xy+2y^2+x-5y-3=2x^2+(-5y+1)x+2y^2-5y-3
2　＼／　1 →1
1　／＼　-3→-6
与式=2x^2+(-5y+1)x+(2y+1)(y-3)
2　＼／　-(y-3) →-y+3
1　／＼　-(2y+1)→-4y-2
与式={2x-(y-3)}{x-(2y+1)}=(2x-y+3)(x-2y-1)

これが教科書や問題集等に載っている解き方です。
白拓氏の方法は (3) にタイプミス（たぶん？）があるようです。
＞=2x^2+{-2x(2y+1)-x(y-3)}x+(2y+1)(y-3)

26892．Re: (untitled)
名前：白拓    日付：5月24日(水) 22時32分
タイプミスです。ご指摘ありがとうございます。
＞2x^2+{-2x(2y+1)-x(y-3)}x+(2y+1)(y-3)
→2x^2+{-2x(2y+1)-x(y-3)}+(2y+1)(y-3)
http://w3e.kanazawa-it.ac.jp/math/category/suu-to-siki/seisiki/insuubunkai.html

26893．Re
名前：soredeha    日付：5月24日(水) 22時53分
（３）(２ｘ＾2－５ｘｙ＋２ｙ＾2)＋ｘ－５ｙ－３
＝(2x-y)(x-2y)＋ｘ－５ｙ－３
＝(2x-y＋○)(x-2y＋○)
＝(2x-y＋3)(x-2y-1)

26867．(untitled)  
名前：けん（大学1年）    日付：5月23日(火) 17時34分
地球の内部にある物体は、その内部の部分しか力を受けず、外部から受ける力の和は０になる
の、証明をお願いします。


26868．Re: (untitled)
名前：angel    日付：5月23日(火) 17時58分
前提ははっきりさせないと。

「万有引力の法則」f=GmM/R^2、地球は均一な球というのが前提でしょうか…。
http://kato.issp.u-tokyo.ac.jp/kato/genko/September/September.html
あたりの説明ではどうでしょう。

26871．Re: (untitled)
名前：けん（大学1年）    日付：5月23日(火) 19時58分
説明不足ですみません。
とりあえずそのページ見てみます。
ありがとうございます。

26864．対数  
名前：至眞    日付：5月23日(火) 17時3分
log[10]2=0.3010とする。2004個の2の累乗,2^1,2^2,2^3,・・・,2^2004のうち、10進法で表したとき、その最高位が1であるものの個数を求めよ。

よく分からないので教えてください。


26866．Re: 対数
名前：らすかる    日付：5月23日(火) 17時20分
2,4,8,16,… のように2倍ずつしていくと、桁が増えた時だけ
最高位が1になります。
従って、個数は(2^2004の桁数-1)個です。
http://www10.plala.or.jp/rascalhp

26870．Re: 対数
名前：至眞    日付：5月23日(火) 19時24分
なるほど。しかし桁数が上がったときだけ最高位が1になるというのはどのように証明すればいいのですか。

26873．Re: 対数
名前：花パジャ    日付：5月23日(火) 20時13分
(2倍にしたとき)
1≦x<5 のとき 2≦2x で 0<2x/10<1
(元の数と桁が同じで、最高位が2以上であるか)
5≦x<10 のとき 1≦2x/10<2
(元の数より桁が1つ増えて、最高位が1であるか、のいずれか)

26889．Re: 対数
名前：至眞    日付：5月24日(水) 19時34分
すいいません。xとは何のxですか。

26891．Re: 対数
名前：らすかる    日付：5月24日(水) 22時0分
1000…00 から 4999…99 までの場合、2倍して桁数が増えません。
この時、2倍すると2000…00から9999…98 となりますので、
最高位が1になることはありません。
5000…00 から 9999…99 までの場合、2倍して桁数が増えます。
この時、2倍すると10000…00から19999…98 となりますので、
最高位は1になります。
従って、「桁数が増えた」＝「最高位が1」です。
http://www10.plala.or.jp/rascalhp

26899．Re: 対数
名前：至眞    日付：5月25日(木) 16時35分
よく分かりました。ありがとうございました。

26852．(untitled)  
名前：毬    日付：5月23日(火) 13時11分
6x2＋10x＋2を複素数の範囲で因数分解


26854．Re: (untitled)
名前：毬    日付：5月23日(火) 13時16分
中2です。お願いします（ぺこり

26855．Re: (untitled)
名前：ヨッシー    日付：5月23日(火) 13時18分
２次方程式
　6x2＋10x＋2=0
を解いて、解をα、β とすると、
　6(x-α)(x-β)
と因数分解できます。
ちなみに、実数の範囲で因数分解できます。

↓中学生向けの２次方程式の基礎です。
http://yosshy.sansu.org/2jieq.htm

26849．二進数  
名前：さる    日付：5月23日(火) 11時22分
こんにちは。社会人です。数学の質問といっていいかわかりませんが。
二進数を左へ一つシフト（各桁を一つずつ左にずらし、１の位に0を入れる）と二倍されますよね。
二進数（1011）を二倍→（10110）
これを使って、ある二進数Bを１０倍したいときは、
Bを左に３回左へシフトし（Bを8倍した）、それにBを一回左へシフトしたものをたす（Bを2倍したものを足した）という事をしますよね。
では、ある二進数を右シフトを使って10で割りたい場合はどのようにしたらよいでしょうか？
調べたのですが見つけられませんでした。
教えてください、お願いします。


26850．Re: 二進数
名前：白拓    日付：5月23日(火) 12時52分
10進数の割り算ができるのであれば、同じように考えれば良いでしょう。

26853．Re: 二進数
名前：らすかる    日付：5月23日(火) 13時15分
定数倍は左シフトと加算で簡単に出来ますが、それと同様な簡単な操作で
右シフトで定数除算をすることは、除数が2^nでない限り出来ません。
ただし、被除数の範囲・定数の値・ビット長によっては、
左シフトと加算と右シフトでうまく処理出来る場合もあります。
http://www10.plala.or.jp/rascalhp

26856．Re: 二進数
名前：さる    日付：5月23日(火) 13時22分
具体的に教えて欲しいのですが、
上の１１、二進数表記で（1011）という数の場合、
１１÷１０＝1…１（１余り3）ですよね。
この商１ 二進数表記で(1)
と余り３ 二進数表記で(11)
を求めたいのですが、できる事は二進数（この場合（1011））をシフト（右でも左でも）して、2の階乗を掛けたり2の階乗で割ったりする事や
そうやって作った数を足し引きするということで、もとの数（1011）を10で割りたいということです。二進数Bを右に3回シフトすると８で割ったことになり、4回シフトすれば１６で割ったことになりますよね。
８と１６の間にある１０で割るにはどうすればいいのでしょう。

（二進数表記を一度十進数表記にして１０で割って商と余りを求め、その値を二進数表記するということではありません。）

26857．Re: 二進数
名前：さる    日付：5月23日(火) 13時25分
＞右シフトで定数除算をすることは、除数が2^nでない限り出来ません。

そうですか。白拓さん、らすかるさん、お答えいただきどうもありがとうございました。

26858．Re: 二進数
名前：らすかる    日付：5月23日(火) 13時42分
被除数や定数に対してシフト可能なビット数の大きさが十分あれば、
例えば以下のようにして商を求めることも出来ます。
もし0～68の範囲の値を10で割りたい場合は、被除数を（左シフトと加算で）
13倍し、右に7ビットシフトすることで、10で割った商が得られます。
（この場合10ビット以上必要）
0～16388の範囲の値を10で割りたい場合は、被除数を（左シフトと加算で）
3277倍し、右に15ビットシフトすれば出来ます。
（この場合26ビット以上必要）
http://www10.plala.or.jp/rascalhp

26859．Re: 二進数
名前：ヨッシー    日付：5月23日(火) 13時53分
プログラミング前提で、整数レベルで、商と余りを出すなら、
非除数から 1010(2) を何回引けるかということで、
行うことが出来ます。

また、
　1(2)÷1010(2)＝0.0001100110011・・・(2)
なので、右に
　4,5,8,9,12,13,16,17,20,21
シフトしたものを足し合わせれば、商の近似値は出ます。
　30(10)＝11110(2)
を1010(2)で割ると、
　1.111
　0.1111
　0.0001111
　0.00001111
　0.00000001111
　0.000000001111
----------------
10.111111111101
で、ほぼ３になります。
　
http://yosshy.sansu.org/

26861．Re: 二進数
名前：angel    日付：5月23日(火) 14時46分
左右シフト・加減算のみで除算を行うのであればこのような方法も。
…2進数の筆算をアルゴリズム化しただけですが。

被除数を M、除数を D、解を Q(初期値 0)、一時変数を T (初期値 1)とします。

1. Dを目一杯左シフトで大きくする
2. 1.と同じ桁数だけ、Tを左シフトする
ループ
　L1. MとDを比べる
　　　M≧D の場合は、Q に T を足し、M から D を引く
　L2. Tと1を比べる
　　　T=1 の場合はループを終了する
　L3. T,Dを1桁右シフトする
ループ終わり
Qが解、Mが剰余となります。

例：110÷10=11 二進数では 1101110÷1010=1011

0. M=1101110, D=1010, Q=0, T=1
1. Dを4桁左シフトする
　　D=10100000
2. Tも4桁左シフトする
　　T=10000
L3. T,Dを1桁右シフトする T=1000, D=1010000
L1. M≧D のため、QにTを足し Q=1000、MからDを引き M=11110
L3. T,Dを1桁右シフトする T=100, D=101000
L3. T,Dを1桁右シフトする T=10, D=10100
L1. M≧D のため、QにTを足し Q=1010、MからDを引き M=1010
L3. T,Dを1桁右シフトする T=1, D=1010
L1. M≧D のため、QにTを足し Q=1011、MからDを引き M=0
L2. T=1 のためループ終了

Q=1011, M=0 で終了

26862．Re: 二進数
名前：さる    日付：5月23日(火) 15時23分
＞左右シフト・加減算のみで除算を行うのであればこのような方法も。
　…2進数の筆算をアルゴリズム化しただけですが。
　　　　　　　　　　　　・
　　　　　　　　　　　　・
　　　　　　　　　　　　・
angelさん、自分の探していた求め方はおそらくこれです。
ありがとうございました。
らすかるさん、ヨッシーさん、ありがとうございました。
これらの方法で求めてみようと思います。

26863．Re: 二進数
名前：ヨッシー    日付：5月23日(火) 16時4分
こちらの割り算(3) あたりに、同様の方法での
プログラムが載っています。
　
http://yosshy.sansu.org/

26844．二次関数　平行移動  
名前：チョモラン    日付：5月23日(火) 4時40分
y＝ax^2＋qのグラフはy＝ax^2のグラフをｙ軸の方向にqだけ
移動したものです。
そして軸の方程式はｘ＝０　頂点の座標は（０、ｑ）。
ｙ軸方向にｑだけ変化したのだから、y＝ax^2＋qを
ｙ－ｑ＝ax^2と書くとｘ軸方向に変化しないで、ｙ軸方向にｑだけ
変化しているのがわかる。つまり、ｙがｙ－ｑに変化しているのです。
と説明があるのですが、全く理解できません。
y＝ax^2＋qからy＝ax^2に変化しているというのなら分かるのですが。
グラフの図示ではy＝ax^2→y＝ax^2＋qの説明みたいです、
それなら－ではなく＋だと思うのですが・・
何度も読み直して考えてみましたがわかりませんでした。どうか
お願いします。


26845．Re: 二次関数　平行移動
名前：soredeha    日付：5月23日(火) 5時51分
y＝ax^2 上の点(x,y)をx軸方向にｐ( 正のときは右、負のときは左)、
y軸方向にｑ( 正のときは上、負のときは下)平行移動した点を(X,Y)とすると
x＋ｐ＝X、ｙ＋ｑ＝Y　　　　　　　が成り立つでしょう。p,qを移項すると
ｘ＝X－ｐ、ｙ＝Y－ｑ　　ですから、これを　　
y＝ax^2 　　に代入すると
Y－ｑ＝a(X - ｐ)^2、　　が成り立ちます。
式は普通ｘ、ｙで表わすから
ｙ－ｑ＝a(ｘ - ｐ)^2　　　　ｙ＝a(ｘ - ｐ)^2＋ｑ　　となるわけです。
.

26881．Re: 二次関数　平行移動
名前：チョモラン    日付：5月24日(水) 0時9分
返答ありがとうございます、しかしわかりませんｗ
＞ｙ軸方向にｑだけ変化したのだから、y＝ax^2＋qを
ｙ－ｑ＝ax^2と書くとｘ軸方向に変化しないで、ｙ軸方向にｑだけ
変化しているのがわかる

この部分からしてよくわかりません。これはｙ＝ax^2→y＝ax^2＋qだと
ｘ軸方向に変化しないで、ｙ軸方向にｑだけ
変化しているのがわかる、と同じ説明なのですか？
そもそもｙ－ｑ＝ax^2のように変形する意図がわかりません。
恐縮ですが、、できれば記号を少なくして代わりに言葉で説明してもらえませんか？

26884．Re
名前：soredeha    日付：5月24日(水) 2時44分
＞「y＝ax^2＋qのグラフはy＝ax^2のグラフをｙ軸の方向にqだけ
移動したものです。」

これは、比較的理解しやすいでしょう。
y＝ax^2　 -------(1)
y＝ax^2＋q　-------(2)
同じｘに対して、(2)のｙは、(1)のｙよりｑだけ大きいからです。
これ以上の説明は必要ないのですが、

「ｙ軸方向にｑだけ変化したのだから、y＝ax^2＋qを
ｙ－ｑ＝ax^2と書くとｘ軸方向に変化しないで、ｙ軸方向にｑだけ
変化しているのがわかる。」

と付け加えるからには、その前に
「y＝ax^2　のグラフをx軸方向にｐ、y軸方向にｑ平行移動すると
移動後のグラフの式は、y-q=a(x-p)^2　　になる。」ことの説明があるはずです。
無ければそれは説明者の不手際です。
y軸方向の平行移動であること再確認するために、以前の　y-q=a(x-p)^2　の説明に関連付けて、　わざわざ
y＝ax^2＋q　　　のｑを移項して　　ｙ－ｑ＝ax^2　　とし、
ｙ＝ax^2　と比較して　ｘはそのままで、ｙがｙ－ｑになっているから
　　　　　「ｘ軸方向に変化しないで、ｙ軸方向にｑだけ変化している」
という説明を付けたのでしょう。
.

26885．Re: 二次関数　平行移動
名前：チョモラン    日付：5月24日(水) 3時9分
返答ありがとうございます、言い換えだったのですね、ちなみにその前に説明はありませんでした。
ところで
＞式は普通ｘ、ｙで表わすから
ｙ－ｑ＝a(ｘ - ｐ)^2　　　　ｙ＝a(ｘ - ｐ)^2＋ｑ　　となるわけです。
　
ここが理解できないのですが・・
x＋ｐ＝X、ｙ＋ｑ＝Y　　ｘ＝X－ｐ、ｙ＝Y－ｑ　
だからy＝ax^2 に代入すると
ｙ＋ｑ－ｑ＝a(x＋ｐ－ｐ）^2　からｙ＝ax^2になりませんか？
よく分かりません。

26887．Re: 二次関数　平行移動
名前：soredeha    日付：5月24日(水) 15時17分
Y-q＝a(X-p)^2 　これを大文字から小文字に単に書き換えて　　　
y-q＝a(x-p)^2 です。（普通、式は小文字であらわすから）
y＝ax^2　のx,yは移動前の座標
y-q＝a(x-p)^2　　のx,yは移動後の座標で同じものではありません。

>ｘ＝X－ｐ、ｙ＝Y－ｑ　
だからy＝ax^2 に代入すると
ｙ＋ｑ－ｑ＝a(x＋ｐ－ｐ）^2

Y-q＝a(X-p)^2 　にＹ＝y＋q　　Ｘ＝x＋p　を代入してますね。
そうではなく
y＝ax^2　　に　ｙ＝Y－ｑ　、ｘ＝X－ｐ　を代入します。

文字を変えて繰り返すと
y＝3x^2 　上の点を(c,d)とすると代入して　
d＝3c^2
点(c,d)を右に２、上に１平行移動した点を(x,y)とすると
(y＝3x^2 のｘ、ｙではありません）
ｃ＋２＝ｘ　　ｄ＋１＝ｙ　　これより
ｃ＝ｘ－２、ｄ＝ｙ－１
d＝3c^2　　に　　ｃ＝ｘ－２、ｄ＝ｙ－１　を代入すると
ｙ-１＝３(x-2)^2　　　これが移動後の式になります。
.

26842．三角関数  
名前：らいむ    日付：5月22日(月) 23時53分
tan(π/4+θ)tan(π/4-θ)
この問題を教えてください。


26843．Re: 三角関数
名前：ZELDA    日付：5月23日(火) 0時15分
π=pi,θ=Xとする。（入力が面倒なので）

tan(X+pi/4)tan(-X+pi/4)=-tan(X+pi/4)tan(X-pi/4)
=tan(X+pi/4)×{tan(X+pi/4)}^(-1)=1

26836．(untitled)  
名前：CP9    日付：5月22日(月) 21時46分
全統模試ってどのような形式ででるんですか？？


26860．Re: (untitled)
名前：匿名    日付：5月23日(火) 14時3分
僕も知りたいです。詳しく教えてください。

26865．Re: (untitled)
名前：思葦    日付：5月23日(火) 17時7分
ぼくちんも知りたい。

26869．Re: (untitled)
名前：ヨッシー    日付：5月23日(火) 18時46分
残念ながら、私は答えを持ち合わせていません。
　
http://yosshy.sansu.org/

26837．因数分解  
名前：義　はじめ（中学３年）    日付：5月22日(月) 20時54分
ｎ が自然数のとき、ｎ×ｎ×ｎ（ｎの３乗）＋３ｎ×ｎ（ｎの２乗）＋２ｎは６の倍数であることを証明せよ。


26841．Re: 因数分解
名前：ZELDA    日付：5月22日(月) 21時29分
(n^3)+(3n^2)+(2n) = n{(n^2)+3n+2}
= n(n+1)(n+2)・・・(A)

(A)式において、連続する3つの自然数のうち1つが3の倍数であり、少なくとも1つが2の倍数であるから、

(A)式は2,3を因数にもつ。

したがって、(A)式は6の倍数である。

26835．どうやるんですか？？  
名前：土橋    日付：5月22日(月) 20時7分
点P（x,y）が原点を中心とする半径1の円の内部を動くとき、点Q(x+y,xy)の動く範囲を図示せよ。


26840．Re: どうやるんですか？？
名前：ZELDA    日付：5月22日(月) 21時19分
x+y=s,xy=tとおく。

　「x^2+y^2<1のとき、(x+y,xy)が動く領域」

⇔「x+y=s かつ xy=t かつ x^2+y^2<1を同時にみたす
　　実数x,yが存在するような点(s,t)の集合」

⇔ 「(s^2)-2t<1
かつ
uに関する2次方程式：(u^2)-su+t=0が実解uをもつ。」

⇔ (s^2)-2t<1 かつ (s^2)-4t≧0

⇔ t>{(1/2)s^2)}-1/2 かつ t≦{(1/4)s^2}

変数をx,yに置き換えて、求める領域は
y>{(1/2)x^2}-1/2 かつ y≦{(1/4)x^2}
である。

26831．内積  
名前：リシュレストリング・サガⅡ    日付：5月22日(月) 18時47分
半径2√3の円C上に2定点A,Bがあり、AB=6であるとする。
また、点Pを弦ABにかんして円Cの中心がある側の狐（優弧）AB上を
動く点とする。
ただし、P≠A,Bとする。

(1)ベクトルAP↑が円Cの中心を通るとき、内積AB↑*AP↑の値を求めよ。
(2)∠PAB=θとおくとき、内積AB↑*AP↑をθを用いて表せ
(3)内積AB↑*AP↑の最大値および最小値を求めよ。

内積が苦手です！！
角度の問題になると不等号もややこしくて。。＞＜
図形問題とか円とかほんとに難しいです！
教えてください！！
おねがいします！！


26848．Re: 内積
名前：angel    日付：5月23日(火) 9時59分
この問題は、ベクトルに拘らない方が良いです。
内積 AB↑・AP↑ = AB・AP・cosθ　( ∠PAB=θ ) なので、三角比の問題に落ち着きます。
なお、(1) は重要なヒントになっています。
図形的に、円周角・正弦定理を用いて解きましょう。
以下、実際の数値を使わずに話を進めます。解答を書く時には数値は当然必要です。

(1) APが中心を通る…円の直径 ということは、三角形ABPは直角三角形(∠ABP=90°)
　そのため AP・cosθ=AB となります。

なお、円周角により∠APB は一定です。
以下、∠APB=α として話を進めます。
αが何度になるか、(1)の直角三角形の形状を調べましょう。

(2)
∠PAB=θ、∠APB=α、∠PBA=180°-θ-α
正弦定理により、
　AP/sin∠PBA = AB/sin∠APB
よって、
　AP=AB/sinα・sin(180°-θ-α)
ゆえに
　AB・AP・cosθ= AB^2/sinα・sin(180°-θ-α)cosθ
三角比の積→和 sinA・cosB = ( sin(A+B)+sin(A-B) )/2 を適用して
　AB・AP・cosθ= AB^2/(2sinα)・( sin(180°-α) + sin(180°-2θ-α) )

(3)
　sin(180°-2θ-α) の範囲に注目。
　0°< θ < 180°-α、α<90° より、
　θ=45°-α/2 の時 AB・AP・cosθ最大、最大値 AB^2/(2sinα)・( sin(180°-α) + 1 )
　θ=135°-α/2 の時 AB・AP・cosθ最小、最小値 AB^2/(2sinα)・( sin(180°-α) - 1 )

26937．Re: 内積
名前：リシュレストリング・サガⅡ    日付：5月28日(日) 14時42分
ありがとうございました！！
へんじおくれてしまってすみません！！＞＜

26824．ヘロンの公式と三角形の面積の底辺×高さ÷２での続き  
名前：taka    日付：5月22日(月) 16時52分
先ほどのものです。三角定規は辺の長さではありませんでした。
辺の長さが、１：２：√５の直角三角形と考えてください。

大変失礼いたしました。


26828．Re: ヘロンの公式と三角形の面積の底辺×高さ÷２での続き
名前：ヨッシー    日付：5月22日(月) 17時18分
関連する記事は、

を、押して投稿すると、ひとまとめになります。

さて、３辺が　１,２，√５　なら、面積１ですね。

ヘロンを使うと、
　√{(3+√5)/2}{(3-√5)/2}{(√5+1)/2}{(√5-1)/2}
　＝{√(４×４)}/4＝１
ですね。
　
http://yosshy.sansu.org/

26821．ヘロンの公式と三角形の面積の底辺×高さ÷２で  
名前：taka    日付：5月22日(月) 15時46分
ヘロンの公式と三角形の面積の底辺×高さ÷２で三角形の面積を求めた解が一致しません。たとえば、三角定規の１：２：√３の三角形は、

底辺を２とし高さを１とすると２×１÷２＝１で三角定規の面積は1平方ｃｍになります。が
ヘロンの公式ｘ＝2÷（1＋2＋√３）
ｘ＝2÷（3＋√３）でルートを1，732としても面積ｘは1以上になってしまいます。高卒ですが部活が厳しく授業を寝ていたので、サイン、コサイン、タンジェントさえ分かりません。多分数学は中学1年生位の理解度だと思います。年齢は40歳です。よろしくお願いいたします。


26822．Re: ヘロンの公式と三角形の面積の底辺×高さ÷２で
名前：ヨッシー    日付：5月22日(月) 16時11分

底辺２で、高さが１というのが誤りで、高さ１なら、底辺は√3です。
よって、面積は√3/2 です。

一方、ヘロンの公式によると、
　s=(√3+3)/2
　s-1=(√3+1)/2
　s-2=(√3-1)/2
　s-√3=(3-√3)/2
よって、面積は
　{√(3+√3)(3-√3)(√3+1)(√3-1)}/4
　＝{√(6×2)}/4＝√3/2
で、両者一致します。

なお、ヘロンの公式はこちらです。
　
http://yosshy.sansu.org/

26815．関数列  
名前：ぽん    日付：5月21日(日) 23時48分
[0,1]上の関数列 f n,m を　f n,m(x)=(cos(n!πx))^2m　とし、また　f(x)＝1 (xが有理数）、　f(x)=0 (xが無理数）としたとき、limn→∞{limm→∞fn,m(x)}=f(x)を示せ。　　この問題を教えてください。


26839．Re: 関数列
名前：soredeha    日付：5月22日(月) 20時56分
xが有理数のとき、x＝p/q　( pは整数、qは自然数 )　とおくと
n≧q　ならば、n!x＝(n・・・q・・・2・1)p/q　は整数だから
cos(n!πx)＝±1　　　(cos(n!πx))^2m＝(±1)^2m＝1^m　
lim[m→∞](cos(n!πx))^2m＝lim[m→∞]1^m＝1
lim[n→∞]{lim[m→∞](cos(n!πx))^2m}＝lim[n→∞]１＝1
xが無理数のとき、n!xは整数ではないので(n!x＝整数　とすると　x＝整数/n!＝有理数 )
-1＜cos(n!πx)＜1
lim[m→∞](cos(n!πx))^2m＝0
lim[n→∞]{lim[m→∞](cos(n!πx))^2m}＝lim[n→∞]0＝0
.

26806．(untitled)  
名前：orz    日付：5月21日(日) 12時56分
等式８ab=(2a+b)^2-(2a+b)^2が成り立つことを利用してa＞0b＞0　ab=1
のときの２a+bの最小値とそれらを与えるa,bの値をもとめよ
でなぜ（2a+b）＾２は２a-b=0.
すなわち２a=bのときの最小値８をとるんですか
＆a＞0　b＞0から2a+b＞０であり　このとき2a+bも最小値をなぜとるんですか？


26813．(untitled)
名前：soredeha    日付：5月21日(日) 21時46分
８ab=(2a+b)^2-(2a-b)^2、　　　ab=1　を代入すると
８=(2a+b)^2-(2a-b)^2
8＋(2a-b)^2＝(2a+b)^2
(2a+b)^2＝8＋(2a-b)^2　　
(2a-b)^2≧0　であり、2a-b＝0　のとき　
すなわち２a=bのとき　(2a-b)^2＝0　だから　最小値８をとる。
また、a＞0　b＞0から2a+b＞０　であり
2a+b＝√{8＋(2a-b)^2}　
.

26814．はじめまして
名前：ZELDA    日付：5月21日(日) 21時57分
初めて書き込みをさせていただきます。ZELDAです。これからも書き込みをさせていただくと思いますが、よろしくお願いします。

与えられたいるa,bに関する恒等式は、おそらく間違っている思うのですが、
正しくは、8ab=(2a+b)^2 - (2a-b)^2　でよろしいのでしょうか？
私は、この恒等式を用いて問題を解こうと思います。

与えられた恒等式にab=1を代入して
8=(2a+b)^2 - (2a-b)^2
⇔(2a+b)^2=8+(2a-b)^2
であるから、

　(2a+b)^2が最小になる。
⇔8+(2a-b)^2が最小になる。
⇔(2a-b)^2が最小になる。
⇔(2a-b)^2=0
⇔2a-b=0
ゆえに、2a=bのとき(2a+b)^2は最小値8をとる。

ところで、2a+b > 0であることから、
　2a+bが最小になる。
⇔(2a+b)^2が最小になる。
⇔2a=b
つまり、2a=bのとき2a+bは最小になる。

すいません、これでは
「a＞0　b＞0から2a+b＞０であり　このとき2a+bも最小値をなぜとるんですか？」という質問に答え切れていないようなので、最後に追加しておきます。

これは、
「a≧0のとき
　a^2が最小になる。
⇔aが最小になる。」
という性質を用いることによって、言えます。
　

26800．かくりつ  
名前：つかさ    日付：5月20日(土) 23時55分
こんばんは。

A,Bはそれぞれ赤球、白球、青球の入った箱を持っている。Aの箱には赤球が５個、白球が２個、青球が１個入っている。Bの箱には赤球がx個、白球がy個、青球がz個の全部で８個の球が入っている。x,y,zは0以上の整数とする。A,Bそれぞれが自分の箱から無作為に１個の球を取り出し、それらが同じ色の場合にはBの勝ち、違う色の場合にはAk
勝ちとする。
問題1　Bの勝つ確率をx,y,zで表すと何か。

問題2　Bが勝つ場合の得点を赤球を出して勝つ場合には１点、白球を出して勝つ場合には５点、青球を出して勝つ場合には１０点とする。
Bの勝つ確率が1/2以上のとき、Bの得点の期待値の最大値はいくつか。

また、この最大値をとるx,y,zの場合の数は３通りあるが、その中でBの勝つ確率を最大にするにはx,y,zがどのような数字の場合か。またそのときの確率はいくつか。

長くすみません。


26816．RE
名前：白拓    日付：5月22日(月) 8時21分
＞問題1　Bの勝つ確率をx,y,zで表すと何か。

{Bの勝つ確率}=x/8*5/8+y/8*2/8+z/8*1/8=(5x+2y+z)/64

＞問題2　Bが勝つ場合の得点を赤球を出して勝つ場合には１点、白球を出して勝つ場合には５点、
＞青球を出して勝つ場合には１０点とする。
＞Bの勝つ確率が1/2以上のとき、Bの得点の期待値の最大値はいくつか。
XをBの得点の期待値とする。

(5x+2y+z)/64≧1/2 …(1)
X=(5x*1+2y*5+z*10)/64=5(x+2y+2z)/64…(2)
x+y+z=8,x≧0,y≧0,z≧0…(3)

（(1)より）　(5x+2y+(8-x-y))/64≧1/2 ⇔4x+y≧24…(4)
（(2)より）X=5(x+2y+2z)/64=5(x+2y+2(8-x-y))/64=5/4-5x/64…(5)
((4)より)4x+y≧24→4(6-x)≦y→x+4(6-x)≦x+y≦8
24-3x≦8→16/3≦x ∴6≦x (x,y,z)=(6,2,0),(6,1,1),(6,0,2)は(1),(2),(3)を満たす。
(5)よりxが最小であるときXは最大値をとる。

∴{Bの得点の期待値の最大値}=5/4-5*6/64=25/32

＞また、この最大値をとるx,y,zの場合の数は３通りあるが、その中でBの勝つ確率を最大にするにはx,y,zが
＞どのような数字の場合か。またそのときの確率はいくつか。
最大値をとるx,y,zの場合の数(x,y,z)=(6,2,0),(6,1,1),(6,0,2)
(6,2,0)のとき{Bの勝つ確率}=(5*6+2*2+0)/64=34/64
(6,1,1)のとき{Bの勝つ確率}=(5*6+2*1+1)/64=33/64
(6,0,2)のとき{Bの勝つ確率}=(5*6+2*0+2)/64=32/64
よって、(x,y,z)=(6,2,0)のときBの勝つ確率は最大値17/32をとる。

26817．Re: かくりつ
名前：ヨッシー    日付：5月22日(月) 8時22分
両者赤を出してＢが勝つ確率：(5/8)(x/8)＝5x/64
両者白を出してＢが勝つ確率：(2/8)(y/8)＝2y/64
両者青を出してＢが勝つ確率：(1/8)(z/8)＝z/64
合計して　(5x+2y+z)/64　・・・答え(1)

Ｂの勝つ確率が１／２以上ということなので、
　(5x+2y+z)/64≧1/2
より
　5x+2y+z≧32
これを満たす(x,y,z) の組は
　(6,0,2)(6,1,1)(6,2,0)(7,0,1)(7,1,0)(8,0,0)
の６通り。一方、Ｂの得点の期待値は
　1(5x/64)＋5(2y/64)＋10(z/64)＝(5x+10y+10z)/64
であるので、上記の６通りを順に当てはめると、期待値はそれぞれ、
　50/64,50/64,50/64,45/64,45/64,40/64
であるので、期待値の最大値は　50/64=25/32　・・・答え(2)

これを与える(6,0,2)(6,1,1)(6,2,0)のうち、確率(5x+2y+z)/64が最大となるのは、
　(x,y,z)＝(6,2,0) のときで、そのときの確率は、34/64=17/32　・・・答え(3)
　
http://yosshy.sansu.org/

26819．Re: かくりつ
名前：白拓    日付：5月22日(月) 19時37分
質問者の投稿から３0時間以上経って、１分違いってかなりの偶然ですねw

26820．Re: かくりつ
名前：ヨッシー    日付：5月22日(月) 12時23分
朝一番の巡回で、たまたま同時に目をつけたってとこでしょうか。
　
http://yosshy.sansu.org/

26799．何通りですか  
名前：ひろ    日付：5月20日(土) 23時31分
点(5,7)を通る直線がある。この直線のx軸との交点の座標(a,0),
y軸との交点の座標(b,0)とするとき、a,bがともに自然数になるのは全部で何通りあるか。

教えてください


26803．Re: 何通りですか
名前：angel    日付：5月21日(日) 3時5分
直線の方程式は x/a+y/b=1
これが (5,7) を通るという条件から 5/a+7/b=1
両辺に ab をかけてまとめると ab-7a-5b=0 より (a-5)(b-7)=35
a,b が自然数であることを考慮して解を数えると 4通り

26823．Re: 何通りですか
名前：ひろ    日付：5月22日(月) 16時13分
有難うございます。
質問ですが、
＞a,b が自然数であることを考慮して解を数えると 4通り
なぜ４通りなんでしょうか

26825．Re: 何通りですか
名前：angel    日付：5月22日(月) 17時11分
> ＞a,b が自然数であることを考慮して解を数えると 4通り
> なぜ４通りなんでしょうか

それはもう、地道に数えてください。
(整数)×(整数)=(整数) の形ですから、約数を考えればよいですね。

(a-5)(b-7)=35 であれば、
(a-5, b-7) = (1,35), (5,7), (7,5), (35,1)
すなわち、
(a,b) = (6,42), (10,14), (12,12), (40,8)

なお、負の約数
(a-5, b-7) = (-1,-35), (-5,-7), (-7,-5), (-35,-1)
については、この問題では考える必要がないです。a,bは自然数なので。
※ただ、解答上は「負の約数も考えましたよ」という証拠は入れておかないと、減点されるかもしれませんね。

26827．Re: 何通りですか
名前：あるてぃ    日付：5月22日(月) 17時11分
あまり説明しすぎてもよくないだろうから・・・ヒントを。

Ａ×Ｂ＝６　になるようなＡとＢを求めよ・・・なんて問題だと、答えは無数にありますね？
（Ａ，Ｂ）＝（1，６）、（５，６/５）、（－１２，－1/２）などなど。
でもＡとＢがどちらも自然数っていう中でなら・・・
１と６、２と３、３と２、６と１の４通り・・・ですね。

ヒントおしまい。
このヒントでわからなければ、また聞いてください。

26833．Re: 何通りですか
名前：ひろ    日付：5月22日(月) 19時32分
皆様有難うございました。
また質問させてください。
＞これが (5,7) を通るという条件から 5/a+7/b=1
どうしてこのような式がわかるのでしょうか

26847．Re: 何通りですか
名前：ヨッシー    日付：5月23日(火) 9時20分
angel さんの回答の
「直線の方程式は x/a+y/b=1」の前に
ｘ軸と(a,0)、ｙ軸と(0,b) で交わる（直線の方程式は)
を、まず付けましょう。ただし　ab≠0
　x/a+y/b=1
が、その直線の方程式ですが、これに(5,7) を代入したのが
　5/a+7/b=1
です。
　
http://yosshy.sansu.org/

26798．積分  
名前：少年（高３）    日付：5月20日(土) 23時0分
教えてください。
sin^7tcos^2t
を積分するとどうなりますか？
できれば途中計算もお願いします。

高３


26802．Re: 積分
名前：soredeha    日付：5月21日(日) 1時57分
sin^7tcos^2t＝sint(sint)^6(cost)^2＝sint{(sint)^2}^3(cost)^2
＝sint{1-(cost)^2}^3(cost)^2
あとは、ｘ＝cost　　で置換積分
.

26834．Re: 積分
名前：soredeha    日付：5月22日(月) 19時58分
∫sin^7tcos^2tdt＝∫(-sint){(cost)^2-1}^3(cost)^2dt
＝∫{x^2-1}^3・x^2dt　（ｘ＝cost )
＝∫{x^6-3x^4＋3x^2-1}・x^2dt
＝∫{x^8-3x^6＋3x^4-x^2}dt
＝(1/9)x^9-(3/7)x^7+(3/5)x^5-(1/3)x^3＋C
＝(1/9)(cost)^9-(3/7)(cost)^7+(3/5)(cost)^5-(1/3)(cost)^3＋C
Cは積分定数
.

26797．指数関数  
名前：taki（高2）    日付：5月20日(土) 22時22分
初歩的な質問かもしれませんが、分からないので教えて下さい。

　　1／2^3/2＝(1／2)^－ 3/2
　　1／4^x＝(1／4)^x

どうしてこのようになるのか過程が知りたいです。
私には１つ目は　2^－ 3/2　に、２つ目は　4^－x　にするやり方しか分かりません。
説明が分かりにくいかと思いますが、よろしくお願いします。


26801．Re: 指数関数
名前：soredeha    日付：5月21日(日) 1時44分
＞1／2^3/2＝(1／2)^－ 3/2　
これはたぶん間違いです。

＞1／4^x＝(1／4)^x
(1／4)^x＝1^x／4^x＝1／4^x
.

26805．Re: 指数関数
名前：taki（高2）    日付：5月21日(日) 11時9分
soredehaさん、ありがとうございます！
間違いかもしれないんですね。
解答には何度見てもそう書いてあるので・・・どうしよう；

＞(1／4)^x＝1^x／4^x＝1／4^x
とのことですが、「1^x／4^x」のところの1の指数であるxは
どこからきたんでしょうか。1に隠れていたという事でしょうか？
何度もすみません。「1^x／4^x＝(1／4)^x」は納得できたのですが・・・。

気づいたら教えて頂けると助かります。

26811．Re: 指数関数
名前：soredeha    日付：5月21日(日) 17時45分
(1/4)^3＝(1/4)・(1/4)・(1/4)＝(1・1・1)/(3・3・3)＝(1^3)/(4^3)
ではありませんか？
.

27069．Re: 指数関数
名前：taki（高2）    日付：6月4日(日) 16時31分
返事が遅くなってすみません。

soredehaさんの丁寧な説明で理解する事ができました。
本当にありがとうございました！

26791．(untitled)  
名前：三朗    日付：5月20日(土) 16時35分
y=ax^2+bx+c, f(x)=ax^2+bx+c
この2つの式って違いは何ですか。


26804．Re: (untitled)
名前：のぼりん    日付：5月21日(日) 10時35分
前式は ｙ＝…、後式は ｆ（ｘ）＝… であるところが違う様に思われます。

26812．Re: (untitled)
名前：soredeha    日付：5月21日(日) 17時57分
y＝f(x)＝ax^2+bx+c
yもf(x)も同じax^2+bx+cを表わしています。ax^2+bx+cの表現をかえただけです。状況に応じて使ってください。
たとえは、y＝f(x)＝x^2+x の場合
ｘ＝1　のとき　ｙ＝２ 　　　これが、f(x)を使うと、f(1)＝2
.

26786．(untitled)  
名前：たっつん    日付：5月20日(土) 4時34分
｜１－２ｘ｜＝３ｘ－４という問題を答えでは
｜２ｘ－１｜＝３ｘ－４になおしてから解いているんですが
｜１－２ｘ｜＝３ｘ－４のまま場合わけしても
途中が違うのですが答えは同じでした、どちらでも
よいんでしょうか？


26787．Re: (untitled)
名前：ヨッシー    日付：5月20日(土) 6時42分
どちらでもいいです。

２ｘ－１＝－(１－２ｘ)
で、２と－２のような関係ですから、絶対値を取れば同じです。

ただ、場合分けするときに、２ｘ－１ の方は
　ｘが１／２より大きいとプラス、小さいとマイナス
１－２ｘ　だと
　ｘが１／２より小さいとプラス、大きいとマイナス
となり、「大きい」と「プラス」のイメージが合うので、２ｘ－１ にしているかと思います。
　
http://yosshy.sansu.org/

26794．Re: (untitled)
名前：たっつん    日付：5月20日(土) 16時46分
わかりました、ありがとうございます。
ところで、例えば｜ｘ－３｜＝５のような問題は
別に場合わけしなくても解けます、
でも｜１－２ｘ｜＝３ｘ－４のような
問題は場合わけしないと解けないのはなぜですか？
多分右辺にｘが含まれているからと思うのですが
いまいち仕組みが飲み込めません、
正確に場合わけしなければいけない理由を言葉で
述べるとどうなるのでしょうか？奇妙な質問かも
しれませんがよろしくお願いします。

26795．Re: (untitled)
名前：angel    日付：5月20日(土) 17時24分
> ところで、例えば｜ｘ－３｜＝５のような問題は
> 別に場合わけしなくても解けます、
> でも｜１－２ｘ｜＝３ｘ－４のような
> 問題は場合わけしないと解けないのはなぜですか？

「どちらも場合分けが必要」とも「どちらも場合分けが不要」とも言えますね。
ただし、5 は非負であることが既に分かっていますが、3x-4 については既知ではありませんから、その分を前提として付け加える必要があります。

1-1. |x-3|=5 より x-3=5 または x-3=-5
　前者の場合は x=8, 後者の場合は x=-2
1-2. |1-2x|=3x-4 より、3x-4≧0 が必要で、1-2x=3x-4 または 1-2x=-(3x-4)
　前者の場合は x=1 だがこれは 3x-4≧0 を満たさない
　後者の場合は x=3 これは 3x-4≧0 を満たす

2-1. |x-3|=5 より (x-3)^2=5^2
　まとめて (x-8)(x+2)=0 よって x=8,-2
2-2. |1-2x|=3x-4 より、3x-4≧0 かつ (1-2x)^2=(3x-4)^2
　まとめて 5(x-1)(x-3)=0
　3x-4≧0 を満たす解は x=3

26808．Re: (untitled)
名前：たっつん    日付：5月21日(日) 15時16分
なるほど、2乗する方法もあるのですね。丁重にありがとう
ございました。

26784．高２  
名前：ｋ    日付：5月19日(金) 21時34分
等加速直線運動で打点間隔１/10秒で
ＯＡ間３．４　　　の平均の早さはなんm/sか
0.34になるのはなぜですか？


26785．Re: 高２
名前：soredeha    日付：5月19日(金) 23時57分
平均の早さを　Ｖ　とすると
Ｖ・(１/10)秒＝３.４
Ｖ＝３.４÷(１/10)秒＝３４/秒
.

26788．Re: 高２
名前：ヨッシー    日付：5月20日(土) 6時53分
３．４の単位はｃｍでしょうか？
３．４ｃｍ＝0.034ｍ　なので、
0.034÷(1/10)＝０．３４
です。
　　
http://yosshy.sansu.org/

26781．定積分  
名前：リシュレストリング・サガⅡ    日付：5月19日(金) 18時4分
0≦x≦1のとき、1-(x^2)≦1-(x^4)≦1であることを用い
不等式(π/4)≦∫[0→1]√{1-(x^4)}dx≦1を示しなさい。

この問題が解けません・・
ごきょうじゅおねがいします！


26782．Re: 定積分
名前：ヨッシー    日付：5月19日(金) 19時37分
０≦1-(x^2)≦1-(x^4)≦１　なので、
√{1-(x^2)}≦√{1-(x^4)}≦√１
これを０～１まで積分します。
　
http://yosshy.sansu.org/

26792．Re: 定積分
名前：リシュレストリング・サガⅡ    日付：5月20日(土) 16時41分
ありがとうございました！！
これをしきにすると
∫[0→1]√{1-(x^2)}になりますよね。
これが参考書を読むと、
原点を中心とする半径1の円の第1象限の部分を表す面積、と
書いているんですが、どこからそんなことが分かるんでしょうか？
∫[0→1]√{1-(x^2)}を計算すると答えは(1/4)+(1/4)πになりましたけど、これが0°から90度を表すようには思えないし。
もしかして、x=sinθと置いたときに　xは 0→1　で
θ　0→π/2　が第1象限に当たるということが分かるとそういうふうに
いってるんでしょうか？　
なんか長ったらしい文章になってすみません＞＜
おねがいします！！

26796．Re: 定積分
名前：angel    日付：5月20日(土) 17時36分
円の方程式
　x^2+y^2=1
の第1象限に着目すれば、0≦x≦1、y≧0 ですから、
　y≧0 かつ y^2=1-x^2 すなわち、y=√(1-x^2)

そのため、∫[0,1] √(1-x^2) dx は円の面積の 1/4 になります。
一度簡単にグラフを書いて見てみると良いと思います。

もちろん、積分計算で考えても同じ結果になります。

　y=√(1-x^2)　(0≦x≦1) を、x=sinθ で置換
　この時、
　　0≦θ≦π/2
　　dx/dθ=cosθ
　　y=√(1-(sinθ)^2)=√(cosθ)^2 = cosθ　(∵0≦θ≦π/2 では cosθ≧0)
　よって、
　　∫[0,1] √(1-x^2)dx
　　= ∫[0,π/2] (cosθ)^2 dθ
　　= ∫[0,π/2] (1+cos(2θ))/2 dθ
　　= [θ/2+1/4・sin(2θ)][0,π/2]
　　= π/4

26810．Re: 定積分
名前：リシュレストリング・サガⅡ    日付：5月21日(日) 17時15分
わかりました！！
ありがとうございました！！＞＜

26777．ベクトル  
名前：リシュレストリング・サガⅡ    日付：5月19日(金) 14時41分
座標平面において、△ABCは(BA↑,CA↑)=0を満たしている。
この平面上の点Pが条件(AP↑,BP↑)+(BP↑+CP↑)+(CP↑+AP↑)=0を
満たすとき、Pはどのような図形上の点であるか。
ただし、(AP↑,BP↑)はベクトルの内積を表す。

式がよく分かりません。いつまでたっても、(○,×)といった感じで
式が続くし、式が何でこんな変化するんだろう、と序盤から疑問でいっぱいです＞＜
やさしくおしえてください！！
おねがいします！！


26780．Re: ベクトル
名前：ヨッシー    日付：5月19日(金) 16時25分
(AP↑,BP↑)+(BP↑+CP↑)+(CP↑+AP↑)=0　は
(AP↑,BP↑)+(BP↑,CP↑)+(CP↑,AP↑)=0　のことですか？
　
http://yosshy.sansu.org/

26789．Re: ベクトル
名前：angel    日付：5月20日(土) 9時53分
うーむ。少し難しいかもしれませんね。
ただ、この手の軌跡の問題って大部分は円になりますから、どう式を持っていくかはそんなに悩まずにはすみます。

まず円を示す式への誘導。
とりあえず位置ベクトルを用いるのは有効。

　点A,B,C,Pの位置ベクトルをそれぞれa,b,c,p と置く。
　そのとき、AP↑=p-a, BP↑=p-b, CP↑=p-c
　よって、
　(AP↑,BP↑)+(BP↑,CP↑)+(CP↑,AP↑)
　=(p-a)・(p-b)+(p-b)・(p-c)+(p-c)・(p-a)
　=(p・p-a・p-b・p+a・b)+(p・p-b・p-c・p+b・c)+(p・p-c・p-a・p+c・a)
　=3p・p-2(a・p+b・p+c・p)+(a・b+b・c+c・a)
　=3p・p-2(a+b+c)・p+(a・b+b・c+c・a)
　=3(p-(a+b+c)/3)・(p-(a+b+c)/3)+(a・b+b・c+c・a)-(a+b+c)・(a+b+c)/3
　=3|p-(a+b+c)/3|^2 - (a・a+b・b+c・c-a・b-b・c-c・a)/3
　=3|p-(a+b+c)/3|^2 - ((a-b)・(a-b)+(b-c)・(b-c)+(c-a)・(c-a))/6
　=3|p-(a+b+c)/3|^2 - (|a-b|^2+|b-c|^2+|c-a|^2)/6

　位置ベクトル (a+b+c)/3 なる点をGと置くと、Gは△ABCの重心
　(AP↑,BP↑)+(BP↑,CP↑)+(CP↑,AP↑)
　=3|p-(a+b+c)/3|^2 - (|a-b|^2+|b-c|^2+|c-a|^2)/6
　=3|GP↑|^2-(|BA↑|^2+|CB↑|^2+|AC↑|^2)/6
　=3GP^2-(AB^2+BC^2+CA^2)/6

　よって、
　　(AP↑,BP↑)+(BP↑,CP↑)+(CP↑,AP↑)=0
　　⇔ 3GP^2-(AB^2+BC^2+CA^2)/6=0
　　⇔ GP=√( 2(AB^2+BC^2+CA^2) ) / 6
　であり、Pの軌跡はGを中心とする円

ここまでは整式の計算と平方完成と同じです。ただ、円の半径がよく分からない値になっているので、以下のように補完します。

　その1 ( 間違ってはいないけど正解には不十分かもしれない )
　　(BA↑,CA↑)=0 より BA⊥CA、すなわち△ABCは∠Aが直角の直角三角形
　　よって、AB^2+CA^2=BC^2
　　GP=√( 2(AB^2+BC^2+CA^2) ) / 6
　　　=√( 4BC^2 ) /6
　　　= 1/3・BC
　　Pの軌跡は、Gを中心とし、半径 1/3・BC の円

　その2 ( 多分これで十分 )
　　点PがAに一致するとき、
　　　(AP↑,BP↑)+(BP↑,CP↑)+(CP↑,AP↑)
　　　= (AA↑,BA↑)+(BA↑,CA↑)+(CA↑,AA↑)
　　　= 0+(BA↑,CA↑)+0　　(∵AA↑はゼロベクトルのため)
　　　= 0
　　これにより、件の条件を満たすため、点Aは求める軌跡に含まれる
　　よって、Pの軌跡は、Gを中心とし、GAを半径とする円

　その3 ( その1・2の合成 )
　　(前略)
　　Pの軌跡は、Gを中心とし、GA=1/3・BCを半径とする円

…ちなみに、実際に解答を書くのであれば、もっと無駄を省いた方が見やすいでしょう。

26790．Re: ベクトル
名前：リシュレストリング・サガⅡ    日付：5月20日(土) 16時29分
ヨッシーさんの言うとおりでした＞＜
式を書き間違えていました！！
質問してる立場なのにこんなミスを犯してしまい
ほんとにごめんなさい！！

それでエンジェルさんの説明を見て質問があるんですが。
＞　=(p-a)・(p-b)+(p-b)・(p-c)+(p-c)・(p-a)
＞　=(p・p-a・p-b・p+a・b)+(p・p-b・p-c・p+b・c)+(p・p-c・p-a・＞　　p+c・a)
この上の式を展開？してる、んでしょうか？
上の式が下の式に変形してるのが、ちょっとよく分かりません
どうどう計算しているのでしょうか？
おねがいします！！

26793．Re: ベクトル
名前：angel    日付：5月20日(土) 16時46分
> ＞　=(p-a)・(p-b)+(p-b)・(p-c)+(p-c)・(p-a)
> ＞　=(p・p-a・p-b・p+a・b)+(p・p-b・p-c・p+b・c)+(p・p-c・p-a・＞　　p+c・a)
> この上の式を展開？してる、んでしょうか？
> 上の式が下の式に変形してるのが、ちょっとよく分かりません

そうです。展開しています。
内積の計算は部分的に見れば、通常の整式の計算と同じです。

　整式
　　(x-a)(x-b)= x^2 -ax -bx +ab　(=x^2-(a+b)x+ab)
　内積
　　(p-a)・(p-b)= p・p -a・p -b・p +a・b　(=p・p-(a+b)・p+a・b)

念のためですが、内積 p・p を p^2 と書くのはN.G.です。
ただし、p・p=|p|^2 の関係があるので、|p|^2 と書くのはO.K.です。

26830．Re: ベクトル
名前：リシュレストリング・サガⅡ    日付：5月22日(月) 18時21分
ありがとうございました！！
むー完全に理解はできていないです＞＜
ちょっとしばらく考えさせてください。
また分からなかったらそのときはお願いします＞＜

26776．難しくてイメージできないです。＞＜  
名前：リシュレストリング・サガⅡ    日付：5月19日(金) 14時26分
△OABに対し、OP↑=αOA↑+βOB↑とする。
実数α,βが次の関係を満たしながら動くとき
点Pの描く図形を図示せよ。
(1)1≦α≦2,0≦β≦1
(2)1≦α+β≦2
(3)0≦α≦2,0≦β≦2
(4)2α+3β≦6,α≧0,β≧0

本当に分からないです＞＜
どういう部分に着目して解いていけばいいんでしょうか？
動点が描く図形ってすごくむずかしいです・・。
教えてください！！
おねがいします！！


26778．Re: 難しくてイメージできないです。＞＜
名前：ヨッシー    日付：5月19日(金) 16時13分
とりあえず、こちらを紹介しておきます。
　
http://yosshy.sansu.org/

26809．Re: 難しくてイメージできないです。＞＜
名前：リシュレストリング・サガⅡ    日付：5月21日(日) 17時11分
ありがとうございました！！
そちらのページを見させてもらったんですが
まだいまいちイメージできずにおります。
なかなか難しいですね。。＞＜

(2)はどうして答えが台形にならずに
太い直線（幅の広い）になるんでしょうか？
(4)はどうやって計算すればいいんでしょうか？

おねがいします！！

26818．Re: 難しくてイメージできないです。＞＜
名前：ヨッシー    日付：5月22日(月) 8時38分

α≧０かつβ≧０　の条件が付いていれば台形ですが、
これがないので、１≦α＋β≦２　は、右２つの図の
間の領域となります。

(4) は、Ｍ＝２α、Ｎ＝３β とおくと、
　ＯＰ＝ＭＯＡ／２＋ＮＯＢ／３
に対して、Ｍ＋Ｎ≦６、Ｍ≧０、Ｎ≧０　なので、
ＯＡ／２　と　ＯＢ／３ を考えれば、あとは同じです。
　
http://yosshy.sansu.org/

26832．Re: 難しくてイメージできないです。＞＜
名前：リシュレストリング・サガⅡ    日付：5月22日(月) 18時48分
ありがとうございました！！＞＜
すごく分かりやすいです！！
なんか一気に分かった感じです！！
ほんとにありがとうございました！！

26772．二次関数の平行移動  
名前：flank    日付：5月18日(木) 21時35分
こんにちは。

二次関数の平行移動を授業でやりました。
xの方向にp、yの方向にq、平行移動後の座標を（X,Y)とすると
元の座標は、(x-p，y-q)というのはわかったのですが、
それをy=ax^2に代入したらなぜそれが移動後のグラフの式になる
のでしょうか。

返信よろしくお願いします。


26774．Re: 二次関数の平行移動
名前：soredeha    日付：5月19日(金) 0時36分
元の座標は、(x-p，y-q)ではなく(X-p，Y-q) です。
それをy=ax^2に代入したら　Y-q=a(X-p)^2
（X,Y)は平行移動後の座標ですから、これは移動後のグラフの式です。
式は普通ｘ、ｙで表わすので書き換えて、y-q=a(x-p)^2
.

26763．サイコロ確立問題です  
名前：でんぶ＠高校一年    日付：5月18日(木) 1時27分
さいころを三回投げるとして、３回とも同じ目になる確率を求めよ。
→１/３６だと思うんですが、
１/６×１/６×１/６＝１/２１６
かとも思ってきて・・・教えてください！

あともうひとつ。
一回目の目＜二回目の目＜三回目の目
この確立はどうなりますか？？？


26764．Re: サイコロ確立問題です
名前：らすかる    日付：5月18日(木) 4時20分
前半
例えば3回とも1が出る確率は、1/6×1/6×1/6=1/216です。
3回とも同じ目になるのは、「3回とも1」の他に「3回とも2」「3回とも3」
「3回とも4」「3回とも5」「3回とも6」があって6倍になりますから、
1/216×6=1/36となります。

後半
1回目＜2回目＜3回目
となるのは、書き出してみると
123 124 125 126 134 135 136 145 146 156
234 235 236 245 246 256 345 346 356 456
の20通りです。これは「1～6から3つ選ぶ組み合わせ」を
書き出したのと同じですから、6C3=20（6!/3!3!=20）と
計算出来ます。
確率は、全部で6^3=216通りですから、20/216=5/54となります。
http://www10.plala.or.jp/rascalhp

26761．(untitled)  
名前：Σ（゜Д゜）    日付：5月17日(水) 22時33分
高さ29.4ｍから水平方向から６０度情報に９．８m/sで物体を
発射した
１）物体が最高点にたっするのはなんｓ後か・・9.8ｔ＝4.9√３・・２　　　４．９√３－９．８ｔ＝０．・・・・で√を少数にするﾀｲﾐﾝｸﾞで答えがかわってしまうようなきがするんですが・２でやるのが正解ですよね。。。


26768．Re: (untitled)
名前：ヨッシー    日付：5月18日(木) 10時57分
この問題であれば、どの時点で、小数に直しても同じ結果になります。

おそらく、理科の問題と思いますが、そうすると、有効数字を気にする必要があります。
9.8m/s という数値がありますので、この問題は有効数字２桁の問題です。
また、６０度というのも計測値なので、√3/2 という有効数字無限の定数を使うわけに行かず、
最初から、0.866 にしておくのが自然です。
さらに、計算した結果は、有効数字の下一桁で、多少ずれが出ることも
あるということは、知っておくと良いでしょう。
　
http://yosshy.sansu.org/

26753．お願いします  
名前：亜希(高2)    日付：5月17日(水) 14時41分
関数f(x)＝(2x2－x)2－2(2x2－x)＋3(0≦x≦1)の最大最小とその時のxを求めよ。
この問題でまず
t＝2x2－x
＝2(x－1/4)2－1/8
と置いてtの範囲をださねばならないと思うのですが、どうやって範囲をだせばいいか分かりません。どうか教えてください。


26754．Re: お願いします
名前：ヨッシー    日付：5月17日(水) 15時0分
この問題には、まず、
　ｔ＝２ｘ^2－ｘ　（0≦x≦1)
の最大、最小を求めよ。という問題が隠れています。
　ｔ＝２(ｘ^2－ｘ/2＋1/16)－1/8
　　＝２(ｘ－1/4)^2－1/8
より、ｘ＝1/4 のとき最小値-1/8、ｘ＝１ のとき最大値１
よって、-1/8≦ｔ≦１　として、
　f(x)＝ｔ^2－２ｔ＋３
の最大最小に取り組みます。
　
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26739．(untitled)  
名前：Σ（゜Д゜）    日付：5月16日(火) 22時16分
点A（５．ー４）をとおりﾍﾞｸﾄﾙnﾍﾞｸﾄﾙ＝（－１．３）に垂直な直線を
ｔをもちいて媒介変数表示せよ


26744．Re: (untitled)
名前：ヨッシー    日付：5月17日(水) 0時40分
（－１，３）に垂直なベクトルの１つが（３，１）であるので、
　ｘ＝３ｔ＋５，ｙ＝ｔ－４

最初は、
　（ｘ，ｙ）＝（３，１）ｔ＋（５，－４）
と書いた方が、わかりやすいでしょうか。
　
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26762．正直・・ぜんぜんわかりませんｗｗｗｗＴＴ
名前：orz    日付：5月17日(水) 23時8分
　

26766．Re: (untitled)
名前：ヨッシー    日付：5月18日(木) 8時8分
媒介変数表示を理解されていないように思います。
直線　ｙ＝２ｘ－１　を媒介変数表示してみてください。
　
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26770．ごめんなさいｍｍｍ；；；
名前：orz    日付：5月18日(木) 19時12分
ぜっっっんぜんわかりませんｗｗ；；これだけで媒介変数表示できるのっといううかんじです

26775．Re: (untitled)
名前：ヨッシー    日付：5月19日(金) 8時33分
同じ直線でも、媒介変数表示の表し方は、無数にあります。
ｙ＝２ｘ－１ の例で言うと、
　ｘ＝ｔ、ｙ＝２ｔ－１
　ｘ＝２ｔ、ｙ＝４ｔ－１
　ｘ＝ｔ＋１、ｙ＝２ｔ＋１
などです。要は、２つの式からｔを消去してｘとｙの式になったとき
ｙ＝２ｘ－１　になればいいのです。

上の問題の場合、グラフなどから(5,-4) を通り、(-1,3) に垂直な直線は、
　３ｙ＝ｘ－１７
ですので、
　ｘ＝３ｔ＋１７、ｙ＝ｔ
　ｘ＝３ｔ＋１４、ｙ＝ｔ－１
　ｘ＝６ｔ＋２０、ｙ＝２ｔ＋１
など、何でも良いのですが、とは言っても、与えられている点(5,-4)
と
ベクトル(-1,3) に垂直なベクトル(3,1) が見えるように
　ｘ＝３ｔ＋５，ｙ＝ｔ－４
にするのが、良い表し方です。また、公式として、
　点(a,b) を通り、ベクトル(m,n) に平行な直線の式は、ｔを実数として、
　ｘ＝ｍｔ＋ａ、ｙ＝ｎｔ＋ｂ
と表される。というふうにまとめておけば、いろんな問題に応用できます。
　
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26736．最後ものすごい数になってルートをはずせません  
名前：k    日付：5月16日(火) 21時26分
　＿＿＿＿＿＿　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
√39.2^2+19.6^2


26737．Re: 最後ものすごい数になってルートをはずせません
名前：のぶなが。    日付：5月16日(火) 21時47分
√(39.2^2+19.6^2）=√{(19.6*2)^2+ 19.6^2}=19.6√5
なので根号ははずせません。
19.6=9.8*2となりますが物理の問題でしょうか。

26738．はい
名前：k    日付：5月16日(火) 21時53分
どうやって19.6√5
とでるんですか手軽にやっているようにみえますけどわかりませんorzｍｍやり方をおしえてください

26741．Re: 最後ものすごい数になってルートをはずせません
名前：のぶなが。    日付：5月17日(水) 0時25分
√(39.2^2+19.6^2）
=√{(19.6*2)^2+ 19.6^2}
=√{(19.6)^2*(2^2+1^2)}
=√(19.6)^2*√(2^2+1^2)
=19.6*√(2^2+1^2)
=19.6√5

26760．Re: 最後ものすごい数になってルートをはずせません
名前：Σ（゜Д゜）    日付：5月17日(水) 21時23分
4列目の√はどこからでたんですか？

26767．Re: 最後ものすごい数になってルートをはずせません
名前：ヨッシー    日付：5月18日(木) 8時9分
√（Ａ×Ｂ）＝√Ａ×√Ｂ
ですね。
　
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26735．三角関数  
名前：ソラ    日付：5月16日(火) 21時9分
ｓｉｎ（θ／２）＋３ｃｏｓθ－２＝０（０≦θ≦π）

この問題が分からないのでよろしくお願いします。


26743．Re: 三角関数
名前：ヨッシー    日付：5月17日(水) 0時38分
ｘ＝θ／２　とすると、　０≦ｘ≦π/２
　sin(θ/2)＋3cosθ－２＝０　は、
　sinｘ＋3cos２ｘ－２＝０
と書けます。倍角の公式より
　sinｘ＋３(１－２sin2ｘ)－２＝０
　－６sin2ｘ＋sinｘ＋１＝０
　-(３sinx＋１)(２sinx－１)＝０
０≦ｘ≦π/２ より ０≦sinx≦１　なので、
　sinｘ＝１／２
　ｘ＝π/6
　θ＝２ｘ＝π／３
　
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26773．Re: 三角関数
名前：ソラ    日付：5月18日(木) 22時14分
ありがとうございました！！

26733．式の値  
名前：すすか（高１）    日付：5月16日(火) 20時16分
この問題なのですが教科書の例題とちがうので
解き方が分かりません。
分数の場合はどのようにするのでしょうか？

問　ｘ＝√５＋√３分の１,√５－√３分の１のとき、次の式の
　　値を求めなさい。
（１）ｘ＋ｙ　　（２）ｘｙ　　（３）ｘ＾2＋ｙ＾2

お願いします


26742．Re: 式の値
名前：ヨッシー    日付：5月17日(水) 0時33分
(1)と(2)は、代入して計算するだけです。
(3) は、x^2＋y^2＝(x+y)^2－2xy に(1)(2)の結果を適用します。

(1)はこんな感じです。(2)はもう少し簡単です。

　
http://yosshy.sansu.org/

26746．Re: 式の値
名前：らすかる    日付：5月17日(水) 5時11分
参考
X=1/x=√5+√3, Y=1/y=√5-√3 とおくと X+Y=2√5, XY=2
(1) x+y=1/X+1/Y=(X+Y)/XY=√5
(2) xy=1/XY=1/2
http://www10.plala.or.jp/rascalhp

26756．Re: 式の値
名前：すすか（高１）    日付：5月17日(水) 20時14分
それぞれ符号の違うものをかければいいんですか？

26759．Re: 式の値
名前：らすかる    日付：5月17日(水) 20時58分
ヨッシーさんが書かれた計算式のことでしたら、通分しているだけですね。
http://www10.plala.or.jp/rascalhp

26729．等式の証明  
名前：たけし高３    日付：5月16日(火) 18時15分
すいません。次の問題がどうやっても解けないのでどなたか解いてくれませんか？

(x^2-yz)/{x(1-yz)} = (y^2-zx)/{y(1-zx)} ,xyz≠0,x≠y　ならば
x+y+z=1/x + 1/y + 1/z であることを示せ。

よろしくお願いします。


26730．Re: 等式の証明
名前：angel    日付：5月16日(火) 19時3分
(x^2-yz)/{x(1-yz)} = (y^2-zx)/{y(1-zx)} = k と置いてみましょう。

　x^2-yz=kx-kxyz
　y^2-zx=ky-kxyz

となるため、辺々引いてまとめて (x-y)(x+y+z-k)=0 これより x+y+z=k

さて、x+y+z=1/x+1/y+1/z を示したければ、(左辺)=k, (右辺)=(xy+yz+zx)/(xyz) であるため、
kxyz=xy+yz+zx の形に持っていきたくなります。
上の式から、この形を目指しましょう。

　x^2-yz=kx-kxyz より
　kxyz
　= kx-x^2+yz
　= x(x+y+z)-x^2+yz
　= xy+yz+zx

よって、k=(xy+yz+zx)/(xyz) となり、x+y+z=1/x+1/y+1/z
※x≠yやxyz≠0の条件は、文中に適宜補って下さい。

26747．Re: 等式の証明
名前：たけし高３    日付：5月17日(水) 8時23分
すいません！！！ありがとうございました！！助かりました！！！

26727．和集合  
名前：ぽん    日付：5月16日(火) 16時53分
(0,1］＝∪[1/n,1] 右辺は和集合でn=1から無限大です。この証明を教えてください。


26728．Re: 和集合
名前：angel    日付：5月16日(火) 18時5分
基本に立ち返って、
　A = B ⇔ A⊃B かつ A⊂B
この問題の場合、A⊃B の部分は自明
なぜなら、
　任意の n に対して X⊃Y[n] ⇒ X⊃( ∪Y[n] )
がそのまま適用できるから。
※ (0,1]⊃[1/n,1] は敢えて説明は要りますまい。

キモとなるのは A⊂B の部分。これは地道に、x∈A⇒x∈B を示す。
　x∈(0,1]
　⇒ x>0 かつ x≦1
　⇒ ある自然数 n が存在し n≧1/x>0 かつ x≦1　※
　⇒ そのような n に対して 1/n≦x≦1 すなわち x∈[1/n,1]
　⇒ x∈( ∪ [1/n,1] )
※「ある自然数 n が存在し n≧1/x>0」は、根拠が必要であれば、「アルキメデスの原理により」とことわれば良いでしょう。

26740．Re: 和集合
名前：ぽん    日付：5月16日(火) 22時57分
助かりました！！！！ほんとにありがとうございます。今後ともよろしくお願いします。

26769．Re: 和集合
名前：ぽん    日付：5月18日(木) 18時0分
すいません考えたんですが※ (0,1]⊃[1/n,1] は敢えて説明は要りますまい。の部分についてイメージは出来るのですがもしきちんと証明するにはどうしたらいいですか？？　　あと共通集合バージョンで　(0,1]＝∩(0,1+1/n) 右辺はn=0から∞です。　　の証明はどうなるか教えて欲しいです。和集合と同じような証明でいけますかね？？

26771．Re: 和集合
名前：angel    日付：5月18日(木) 19時14分
> すいません考えたんですが※ (0,1]⊃[1/n,1] は敢えて説明は要りますまい。の部分についてイメージは出来るのですがもしきちんと証明するにはどうしたらいいですか？？

x∈[1/n,1] ⇒ x∈(0,1] を次のように示せば良いでしょう。
x∈[1/n,1] ⇔ 1/n≦x≦1 ⇔ 0<1/n≦x≦1 ⇒ 0<x≦1 ⇔ x∈(0,1]

> (0,1]＝∩(0,1+1/n) 右辺はn=0から∞です。　　の証明はどうなるか教えて欲しいです。和集合と同じような証明でいけますかね？？

同じようにいけます。
A = B ⇔ A⊃B かつ A⊂B の中で、今度は逆に A⊃B の部分がキモ。
x∈B ⇒ x∈A を示すために、この場合は背理法を使った方がやりやすいでしょう。

　もし x∈∩(0,1+1/n) かつ x>1 なる x が存在したとすると、
　その x に対して、n≧1/(x-1) なる自然数 n が存在する。
　その x,n に対し、x≧1+1/n すなわち x は (0,1+1/n) に含まれない。
　よって、x は ∩(0,1+1/n) に含まれず矛盾。
　以上により、x∈∩(0,1+1/n) ⇒ x≦1
　※ x>0 に関する話は省略しています。

26807．Re: 和集合
名前：ぽん    日付：5月21日(日) 14時18分
ありがとうございます。(0,1]＝∩(0,1+1/n) の証明のangelさんがとかなかった方の証明は　x∈(0,1) ⇔ 0<x≦1 ⇔0<x≦1<1+1/n ⇔ 0<x<1+1/n ⇔　x∈(0,1+1/n) ⇔(@) x∈∩(0,1+1/n) と思ったんですが最後の (@) は成り立つのでしょうか？？もし間違ってるならば解答を教えて下さい。

26829．Re: 和集合
名前：angel    日付：5月22日(月) 18時13分
> x∈(0,1) ⇔ 0<x≦1 ⇔0<x≦1<1+1/n ⇔ 0<x<1+1/n ⇔　x∈(0,1+1/n) ⇔(@) x∈∩(0,1+1/n) と思ったんですが最後の (@) は成り立つのでしょうか？？

大筋は問題ないです。もう少し詳しく書けば、
　x∈(0,1]
　⇔ 0<x≦1
　⇔ 任意の n に対して 0<x≦1<1+1/n
　⇒ 任意の n に対して 0<x<1+1/n
　⇔ 任意の n に対して x∈(0,1+1/n)
　⇔ x∈∩(0,1+1/n)
　※「任意のnに対して x∈A[n]」⇔ x∈∩A[n]　がミソ

前の問題の場合、これと似た論理展開をするなら、
　x∈∪[1/n,1]
　⇔ ある n に対して x∈[1/n,1]
　⇔ ある n に対して 1/n≦x≦1
　⇔ ある n に対して 0<1/n≦x≦1
　⇒ 0<x≦1
　⇔ x∈(0,1]
　※「あるnに対して x∈A[n]」⇔ x∈∪A[n]　がミソ

ところで、矢印の違いには注意しましょう。
⇔ は同値(必要十分)、⇒ は一方通行(必要)ですから。

26838．Re: 和集合
名前：ぽん    日付：5月22日(月) 20時54分
またまたangelさんありがとうございます。しかし 任意の n に対して x∈(0,1+1/n)⇔ x∈∩(0,1+1/n)　の部分僕も最初成り立つと思ってたんですが、共通集合をとることによりxの範囲が狭くなるので必ずしも成り立つとは思えません。図を描いたりもしました。僕の考え方が間違っていたら教えてください。

26846．Re: 和集合
名前：angel    日付：5月23日(火) 9時3分
> しかし 任意の n に対して x∈(0,1+1/n)⇔ x∈∩(0,1+1/n)　の部分僕も最初成り立つと思ってたんですが、共通集合をとることによりxの範囲が狭くなるので必ずしも成り立つとは思えません。

その部分は疑わなくても大丈夫です。上にも書いた
　「任意のnに対して x∈A[n]」⇔ x∈∩A[n]
　※一般には、( 任意のλ∈Λに対して x∈A[λ] ) ⇔ x∈( ∩[λ∈Λ] A[λ] )
というのは常に真です。
文章的に書けば
「xは全てのA[n]に含まれる」⇔「xはA[n]全ての共通部分に含まれる」
なので、特に違和感はないと思いますが…。

26717．円  
名前：リシュレストリング・サガⅡ    日付：5月16日(火) 16時5分
3点A(1,0),B(0,1),C(2,2)に対して、点Pが
|PA↑+PB↑+PC↑|=3を満たしながら動くとき
点Pはどのような図形上を動くか

くわしめでおねがいします！！＞＜
重心を出すのかと思い（手がかりとして）
やってみたんですが、{(1+1+2√2)/3}となって
さきへすすめません。
教えてください！！おねがいします！！


26723．Re: 円
名前：ヨッシー    日付：5月16日(火) 16時29分
最終的に重心は出てきますが、まずはＰの座標を(x,y) とおいて、
ｘとｙとの関係式を出して見ましょう。
　
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26731．Re: 円
名前：angel    日付：5月16日(火) 19時10分
「円」と「重心」が関係することがわかっているなら、答えの形
　| PG↑ | = r　(点Gを中心とする半径 r の円)
を目指す手もあります。

XY↑ = OY↑ - OX↑ を利用した上で、OG↑ = 1/3・(OA↑+OB↑+OC↑) を使ってまとめてみると…？

26750．Re: 円
名前：リシュレストリング・サガⅡ    日付：5月17日(水) 13時8分
うーん・・しばらく考えたんですけど・・＞＜
重心が大事だって言うのは教科書のヒントを見たんですけど
ベクトル方程式は苦手で、ちょっとまだ分かりません・・。
解法を教えてもらえないでしょうか？
おねがいします。

26752．Re: 円
名前：ヨッシー    日付：5月17日(水) 16時5分
ベクトルが成分で与えられているので、ベクトルで表されていますが、
ｘとｙの普通の関係式です。

Ｐ（ｘ，ｙ）とおくと、
ＰＡ＝(１－ｘ，－ｙ)
ＰＢ＝(－ｘ，１－ｙ)
ＰＣ＝(２－ｘ，２－ｙ)
より、ＰＡ＋ＰＢ＋ＰＣ＝(３－３ｘ, ３－３ｙ)
よって、|ＰＡ＋ＰＢ＋ＰＣ|＝√{(３－３ｘ)^2+(３－３ｙ)^2}＝３
両辺２乗して、
　(３－３ｘ)^2+(３－３ｙ)^2＝９
両辺９で割って、
　(１-ｘ)^2+(１－ｙ)^2＝１
変形して
　(ｘ-１)^2＋(ｙ-１)^2＝１
　
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26755．Re: 円
名前：angel    日付：5月17日(水) 15時53分
ベクトル主体で行くなら、

PA↑=OA↑-OP↑, PB↑=OB↑-OP↑, PC↑=OC↑-OP↑
OG↑=1/3・(OA↑+OB↑+OC↑) なる点Gに対し、OA↑+OB↑+OC↑=3OG↑ となるため、

PA↑+PB↑+PC↑
= (OA↑-OP↑)+(OB↑-OP↑)+(OC↑-OP↑)
= OA↑+OB↑+OC↑-3OP↑
= 3OG↑-3OP↑
= 3(OG↑-OP↑)
= 3PG↑

よって、
| PA↑+PB↑+PC↑|=3 ⇔ |3PG↑|=3 ⇔ |PG↑|=1 ⇔ PG=1
Pの軌跡は、点Gを中心とする半径1の円となる。

ところで、Gの座標は、
OG↑=1/3・(OA↑+OB↑+OC↑)=1/3・( (1,0)+(0,1)+(2,2) )=(1,1)
より、(1,1)

軌跡の方程式は、点G(1,1)を中心とする半径1の円 (x-1)^2+(y-1)^2=1

26713．グラフの気づき方  
名前：リシュレストリング・サガⅡ    日付：5月16日(火) 14時35分
グラフを見てぱっとこれはこういうのなんだろうなぁって気づきたいんですが、どうすればそういうふうになれるんでしょうか？
例えば
√x+√y=1とかy=xe^(-x^2)とかy=2exとかy=logxとかy=x^(3)+5とか
見ても、どういうグラフかさっぱり分かりません。
なにかいい方法ないでしょうか？
グラフの作り方を学びたいです！！
おねがいします！！＞＜


26714．Re: グラフの気づき方
名前：リシュレストリング・サガⅡ    日付：5月16日(火) 14時37分
それともしよければ、下のほうにある記事26664と26665の質問にも
答えていただけると嬉しいです！
おねがいします！！

26715．Re: グラフの気づき方
名前：ヨッシー    日付：5月16日(火) 14時52分
基本は、特徴的な点をいくつかとって、結んでいく、です。
加えて、y=xe^(-x^2) は、微分して、極値、変曲点を調べる。
y=2ex, y=logx, y=x^(3)+5 は基本的な形なので、覚えておく。
√x+√y＝1 は、0≦√x≦1、0≦√y≦1 に気づいた上で、
(0,0)(1,0)(1,1)(0,1)で囲まれた正方形の中を詳しく調べる。

こんなとこですかね。

リサージュ曲線のようなものは別として、大抵は微分が中心になるんではないでしょうか？
あとは、楕円、双曲線等の二次曲線ですが、これも、パターンを覚えましょう。
　
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26718．Re: グラフの気づき方
名前：リシュレストリング・サガⅡ    日付：5月16日(火) 16時7分
ありがとうございました！！
基本は暗記なのかなー
eとかlogとか出てくると頭痛くなってきます＞＜
でもがんばります！！

26719．Re: グラフの気づき方
名前：リシュレストリング・サガⅡ    日付：5月16日(火) 16時16分
すみません
今教科書見直したんですけど
無理関数や分数関数は載っているんですけど
y=e^xとかy=logx,y=x^(3)系が載っていません・・＞＜
わがまま言ってしまって申し訳ないんですが
グラフがどんなものか書いてもらえないでしょうか？
ごめんなさい
無理ならスルーしてください。
できれば、おねがいします！＞＜

26724．Re: グラフの気づき方
名前：ヨッシー    日付：5月16日(火) 16時44分
基本は暗記ではなく、点を結ぶことです。
その上で、どうしてもパターンとして覚えておかないといけないもの
たとえば、下の図は　ｙ＝log2ｘ のグラフですが、
グラフが、ｘ≦０ の方には行かないことは、知っておかないといけません。


というわけで、ｙ＝ｅ^x を描く前に、ｙ＝２^x や ｙ＝３^x を描いてみましょう。
また、ｙ＝ｘ^3 も、(0,0)(1,1)(2,8)(3,27) や (-1,-1)(-2,-8)(-3,-27)
などを結べば出来ますね。

それにしても、指数関数、対数関数のグラフは教科書に載っているはずですが。ｙ＝ｘ^3 も。
　　
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26751．Re: グラフの気づき方
名前：リシュレストリング・サガⅡ    日付：5月17日(水) 13時11分
ありがとうございました！！
少しずつ分かってきました！！
グラフを書いてくださって本当にありがとうございました！！
教科書ももう一度見直してみます。

26701．  
名前：han    日付：5月15日(月) 23時37分
こんにちは。

なぜ、y=3/x^2は二次関数ではないのでしょうか？

もう一つ、
授業で、x^4+x^2+1 は「複二次式」と言っていたのですが、
具体的に複二次式とはどういう式のことなのでしょうか。

返信よろしくお願いします。


26705．Re:
名前：soredeha    日付：5月16日(火) 11時27分
>なぜ、y=3/x^2は二次関数ではないのでしょうか？
二次関数とグラフが異なります。
y=3/x^2＝3x^(-2)　なので、あえて言えば、マイナス二次関数でしょうか。

＞授業で、x^4+x^2+1 は「複二次式」と言っていたのですが、
x^2＝t　とおくと、
x^4+x^2+1 ＝t^2+t+1　( t=x^2 )
二次式に二次式を代入したカタチになってます。複二次です。
.

26706．Re:
名前：らすかる    日付：5月16日(火) 7時8分
二次関数は y=ax^2+bx+c　(a≠0) の形の関数のことです。
この形で表せないものは、二次関数とは言いません。

複二次式は、ax^4+bx^2+c　(a≠0) の形の式のことです。

26699．二次関数の平行移動  
名前：flank    日付：5月15日(月) 21時46分
こんにちは。初めて投稿させてもらいます。

y=a(x-p)2+qで平行移動の式になるのですが、
なぜここではpを引くのでしょうか。


26700．Re: 二次関数の平行移動
名前：soredeha    日付：5月16日(火) 11時15分
http://www.kwansei.ac.jp/hs/z90010/sugaku1/2jikan1/2jikan1.htm
参照してみてください。
.

26698．(untitled)  
名前：すすか（高１）    日付：5月15日(月) 20時27分
この有理化の問題を解いたのですが自信がありません。

問　
次の分母を有理化しなさい。

（１）√５分の√３　　（２）√３－√２分の１

（３）√６－１分の√６＋１　　（４）√５－２分の２√５－１

解いたところ、（１）５分の√１５　（２）√３＋√２
（３）５分の７　（４）８
となりました。
間違っているところの答えを教えてください。お願いします。


26702．Re: (untitled)
名前：Bob    日付：5月15日(月) 23時43分
（１）正解
（２）正解
（３）（√６＋１）／（√６ー１）　

　　　分母分子に（√6＋1）倍
　　（√６＋１）（√６＋１）／（√６ー１）（√６＋１）
　　＝（７＋２√６）／５
（４）（２√５－１）／（√５－２）
　　　上下に（√５＋２）倍
　　　
（２√５－１）（√５＋２）／（√５－２）（√５＋２）
＝８＋３√５


　　　
　　　
　　　

26734．Re: (untitled)
名前：すすか（高１）    日付：5月16日(火) 21時4分
分数の有理化というものはややこしいですね。
問題集などを使って練習します。
ありがとうございました。

26696．教えてください  
名前：至眞    日付：5月15日(月) 19時43分
0<a<2の範囲で、xについての方程式A：x^2-2ax-2x+2a^2-6=0の実数解がとりうる範囲を求めよ。

解と係数の関係を使うやり方で教えてください。


26707．Re: 教えてください
名前：soredeha    日付：5月16日(火) 8時24分
x^2-2ax-2x+2a^2-6=0
x＝0　を解にもつときのaを求める、x＝0　を代入すると
2a^2-6=0、a＝-√3、√3　　　　　0<a<2 だから　a＝√3
これは、a＝√3　、x＝0　を代入すると成り立つということだから、x＝0はa＝√3のときの解のひとつなので実数解がとりうる範囲にはいります。
ｘ＝1　を代入すると
2a^2-2a-7=0　　a＝(1±√15)/2　これは、0<a<2　をみたさない。
よって、ｘ＝1　は解のひとつにはならない。実数解がとりうる範囲には、はいりません。
一般に、0<a<2　のとき実数Ｘが、
x^2-2ax-2x+2a^2-6=0　の解になるか否かは、ｘ＝Ｘ　を代入した
Ｘ^2-2aＸ-2Ｘ+2a^2-6=0　　　をみたすaが　　0<a<2　の範囲にあるかどうかにかかってきます。aについて整理しなおすと
2a^2-2Xa＋(X^2-2X-6)＝0
これをみたすaが、0<a<2の範囲に少なくともひとつあることが求める実数解Ｘの条件になります。

26709．Re: 教えてください
名前：soredeha    日付：5月16日(火) 11時21分
2a^2-2Xa＋(X^2-2X-6)＝0
兎も角、aは実数なので、判別式≧0　より
(-X)^2-2(X^2-2X-6)≧0　,-x^2＋x＋12≧0、x^2-x-12≦0、(x-4)(x＋3)≦0
-3≦ｘ≦４　　
このときのaを、α、β　とする。
(1) 0＜α、β＜2 の場合
0＜α、0＜β　⇔　α＋β＞0、αβ＞0
α＜2、β＜2　⇔　2-α＞0、2-β＞0　⇔　(2-α)＋(2-β)＞0、(2-α)(2-β)＞0
根と係数の関係より、α＋β＝X、αβ＝(X^2-2X-6)
(2)
「0＜α＜2、2＜β」「 0＜β＜2、2＜α」の場合
0＜α、0＜β　⇔　α＋β＞0、αβ＞0
「α＜2、2＜β」「 β＜2、2＜α」　⇔　「2-α＞0、2-β＜0」
「2-α＜0、2-β＞0」　⇔　(2-α)(2-β)＜0
「0＜α＜2、2＝β」「 0＜β＜2、2＝α」の場合
a＝2 を代入すると、x^2-6x＋2＝0、x＝3±√7
α＋β＝X 　より　、2＋β＝3±√7、β＝1±√7、0<a<2に不適
(3)
「β＜0＜α＜2、」「 α＜0＜β＜2、」の場合
　⇔　α＜2、β＜2、β＜0＜αまたはα＜0＜β
α＜2、β＜2、　⇔　(2-α)＋(2-β)＞0、　(2-α)(2-β)＞0、
β＜0＜αまたはα＜0＜β　⇔　αβ＜0
「β＝0、0＜α＜2、」「 α＝0、0＜β＜2、」の場合、(2)と同様に。
.

26712．Re: 教えてください
名前：至眞    日付：5月16日(火) 13時42分
丁寧な解説ありがとうございます。
おかげで理解する事が出来ました。

26695．おねがいします  
名前：BAKA    日付：5月15日(月) 19時4分
aﾍﾞｸﾄﾙ＝xﾍﾞｸﾄﾙ＋ｙﾍﾞｸﾄﾙ・・・・・・・・・１
bﾍﾞｸﾄﾙ＝ｘﾍﾞｸﾄﾙ＋Zﾍﾞｸﾄﾙ・・・・・・・・・２
ｃﾍﾞｸﾄﾙ＝ｙﾍﾞｸﾄﾙ＋ｚﾍﾞｸﾄﾙ・・・・・・・・・・３なんで
１より２a+2Z＝aﾍﾞｸﾄﾙ+bﾍﾞｸﾄﾙ+cﾍﾞｸﾄﾙになるんですか


26703．Re: おねがいします
名前：Bob    日付：5月15日(月) 23時48分
aﾍﾞｸﾄﾙ＝xﾍﾞｸﾄﾙ＋ｙﾍﾞｸﾄﾙ・・・・・・・・・１　　より

２ａ＝２ｘ＋２ｙ
２ａ＋２ｚ＝２ｘ＋２ｙ＋２ｚ・・・・・・イ


aﾍﾞｸﾄﾙ＝xﾍﾞｸﾄﾙ＋ｙﾍﾞｸﾄﾙ・・・・・・・・・１
bﾍﾞｸﾄﾙ＝ｘﾍﾞｸﾄﾙ＋Zﾍﾞｸﾄﾙ・・・・・・・・・２
ｃﾍﾞｸﾄﾙ＝ｙﾍﾞｸﾄﾙ＋ｚﾍﾞｸﾄﾙ・・・・・・・・・・３
これら３つを足すと
ａ＋ｂ＋ｃ＝２ｘ＋２ｙ＋２ｚ　・・・・・ロ
イとロから
２a+2Z＝aﾍﾞｸﾄﾙ+bﾍﾞｸﾄﾙ+cﾍﾞクトル

26690．教えてください  
名前：新１年生    日付：5月15日(月) 17時43分
lim［n→∞］(1/n)+1/(n+1)+1/(n+2)+・・・+1/(2n-1)=いくつになるのですか。
宜しくお願いいたします。


26694．Re
名前：soredeha    日付：5月15日(月) 18時6分
これは、区分救積法ですね。

26708．Re: 教えてください
名前：komento    日付：5月16日(火) 8時34分
確率でも（統計でも）使いますね…

26748．Re
名前：soredeha    日付：5月17日(水) 9時13分
(1/n)+1/(n+1)+1/(n+2)+・・・+1/(2n-1)
＝Σ[k:0,n-1]1/(n+k)＝Σ[k:0,n-1]{1/(1+k/n)}(1/n)
　→　∫o11/(1＋x)dx＝[log(1＋x)]o1＝log2
.

26758．Re: 教えてください
名前：新１年生    日付：5月17日(水) 20時57分
soredehaさま、ありがとうございます。
なぜ以下のようになるのでしょうか。

＝Σ[k:0,n-1]1/(n+k)

1/(n+k)←この部分がわかりません

26765．Re: 教えてください
名前：ヨッシー    日付：5月18日(木) 8時6分
(1/n)+1/(n+1)+1/(n+2)+・・・+1/(2n-1)
＝1/(n+0)+1/(n+1)+1/(n+2)+・・・+1/{n+(n-1)}
ですから、この式は
　1/(n+k) のｋの部分に、0,1,2,・・・n-1
を順に代入して足していったものです。
　
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26689．図形  
名前：新１年生    日付：5月15日(月) 17時40分
１辺の長さが2の正四面体A-BCDで、頂点Aから底面BCDにおろした垂線と底面BCDとの交点ほHとする。
このときAHはいくつか。

宜しくおねがいします。図もわかるとうれしいです。


26692．Re: 図形
名前：ヨッシー    日付：5月15日(月) 18時0分
何の１年生でしょう（＾＾；
三平方使うので、高１とします。


ＡＨの方向から見ると、右の図のように、点Ｈは△ＢＣＤの重心になります。
（これは、△ＡＢＨ，△ＡＣＨ，△ＡＤＨの合同を言うことで示せます)
ＢＣの中点をＭとすると、ＢＣ＝ＣＤ＝ＤＢ＝２　より、
　ＤＭ＝√3、ＤＨ＝2√3/3
△ＡＤＨ　は∠ＡＨＤ＝90°の直角三角形なので、三平方の定理より、
　(中略)
ＡＨ＝2√6/3
　
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26757．Re: 図形
名前：新１年生    日付：5月17日(水) 20時55分
ヨッシーさん、ありがとうございました

26688．わからん  
名前：コブクロ    日付：5月15日(月) 17時13分
次の方方程式を解け。
(1) x(x+1)(x+2)=1・2・3
(2) (x^2+x-1)(x^2+x-7)=-5
どっちも因数定理などを用いたら解けるのですが（1）を見る限り他に簡単な解き方があるように思えます。でも思いつかないので解き方教えてくれませんか。


26691．Re: わからん
名前：ヨッシー    日付：5月15日(月) 17時49分
(1) x=1 が見え見えですし、ゆえに(x-1) で因数分解できることも容易に予想できます。
さらに簡単にということですが、どうなんでしょう？ちょっとやってみます。
　x(x+1)(x+2)=1・2・3
展開して移項すると、
　x^3+3x^2+2x-6＝0
(x-1) をくくりだして、
　(x-1)(x^2+4x+6)＝0
これを解いて、　x=1,-2±√2i

別の方法
X＝x-1 とおいて、
　(X+1)(X+2)(X+3)=6
　X^3+6X^2+11X=0
　X(X^2+6X+11)=0
これを解いて X=0,-3±√2i
割り算の手間が省けるくらいですねぇ。

(2)
X=x^2+x-1 とおくと、
　X(X-6)=-5
　X^2-6X+5=0
　(X-1)(X-5)=0
よって、x^2+x-1=1 または x^2+x-1=5　(以下略)
　
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26675．なんで理系にしたんだろ・・・orz  
名前：絶望君orz    日付：5月15日(月) 0時31分
地面からの高さ４４．１ｍから水平方向に39.2m/sで発射した
１）地面にとうたつするのはなん秒か・・3秒
２）物体が地面に到達した点までの水平距離をもとめよ・・117.6m
３）　　　　　　　　　　　鉛直方向・・・・・・29.4
４）物体が地面に到達したときのはやさを・・・大ﾙｰﾄ39.2＾２＋29.4＾２
５）　　　　　　　　　　　　物体の速度の向きとのなす角をθとするtanθをもとめよ0.75
斜め上に投げる場合はどうやってもとめるんですかｍｍｍorz


26678．Re: なんで理系にしたんだろ・・・orz
名前：もってぃ    日付：5月15日(月) 1時51分
　まぁ、そう嘆きなさんな。

鉛直投げ上げ、投げ下ろし、自由落下etc、以下に説明する基本を理解すれば全てとけます。

以下v0初速度（t=0における速度）、x0を初期位置（t=0における位置。つまりt=0での座標。）、aを加速度とします。v(t),x(t)をそれぞれ時刻tにおける速度と位置とします。(t)というのはtの関数であることを明記したものです。
　等加速度直線運動の式は　v(t)=v0+at
x(t)=x0+v0t+1/2at^2…★
　以上の式。必ず教科書に載っています。理由も含めきっちり理解しておいてください。

　さて、その理解を前提に問題をときます。
　
　空中に放たれた物体は重力を受けて、鉛直下向きの加速度(地上では9.8m/s^2)を受けます。一方水平方向は加速度を受けず（上の式で言うと、a=0）v(t)=v0,x(t)=x0+v0tとなります。

(1) 地面に到達したときの時刻をt1とすると、
　1/2*9.8m/s^2*t1^2=44.1m
∴t1=3s
(2) 水平方向は上の説明のとおり、一定速度で進みます。(1)より3s後の水平到達距離を求めます。
　39.2m/s*3s=117.6m
(3) 書き込みが意味不明です。残念ながら。
(4) √（(x方向の速さ)^2+(y方向の速さ)^2）で求められます。速度というのはx,y,zの3つの成分を持ちますが、それらの2乗和の√が速さです。
(5) tanθ＝（y方向の速さ）/（ｘ方向の速さ）

斜めに投げた場合も、各成分が★を満たすことを念頭におけば式がかけます。

26687．Re: なんで理系にしたんだろ・・・orz
名前：絶望君orz    日付：5月15日(月) 23時42分
ありがとううございますｍｍｍ・・・
orz　　　４）で・・・ものすごい数になってとてもﾙｰﾄをはずせるような数になりませんｍｍ簡単にはずせる方法はないのでしょうか

26666．(untitled)  
名前：ｋ    日付：5月14日(日) 20時54分
水平地面の一点から小球を斜め↑に投射した
投げた点より１０ｍはなれたとこにある壁にたかさ２．５ｍ
の点に垂直に衝突させるためには初速度の水平成分と鉛直成分のおきさをそれぞれなんｍ/sにすればよいか

っていうか成分っていううのはなにをもとめればいいんですか？


26683．Re: (untitled)
名前：ヨッシー    日付：5月15日(月) 8時33分
斜めに投げたときの初速度のベクトルを、水平方向、鉛直方向のベクトルの
和に、書き換えたときの２つのベクトルが、初速度の水平成分、鉛直成分です。


壁に、垂直に当たったので、

図の(1)や(3)のような状態ではなく、(2) のように、一番高いところで、
壁に当たったということです。

まず、初速度の鉛直成分をｙとでもおいて、一番高いところに達するまでの時間
（重力加速度9.8m/sを使います)を求め、その時間内に球が登りつめる
高さを求め、それが２．５ｍとなることから、ｙを求めます。
次に、その時間内に、垂直方向に１０ｍ動くので、初速度の水平成分ｘ
を求めます。
　
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26671．数A  
名前：すすか（高１）    日付：5月14日(日) 20時29分
順列の問題でこれがわかりません。

問　ａ、ｂ、ｃ、ｄ、ｅの５文字を１列に並べるとき、次のような
　　並べ方は何通りか。
（１）ａ、ｂが隣り合う。　（２）ａ、ｂが隣り合わない。
（３）ａ、ｂが両端にくる。（４）ａもｂも隣り合わない。

よろしくお願いします。　


26677．Re: 数A
名前：Bob    日付：5月15日(月) 0時43分
(1）ａとｂをひとくくりとし
　　登場人物は４にんになります
４Ｐ４＝２４　　そしてａとｂの並び方が２通り
　　２４×２＝４８
（２）隣り合わないということは５人の並び方すべてが
　　　５！＝１２０通り
　　ここから（１）をひき　　１２０－４８＝７２とおり

（３）両端ときたらその間の３人を先に並べる
　　　３！＝６　あとはａとｂがどちらが左端・右端かを決める
　　　２とおりですね
　　　６×２＝１２とおり

26697．Re: 数A
名前：すすか（高１）    日付：5月15日(月) 20時20分
これって樹形図でも表せますか？

26725．Re: 数A
名前：ヨッシー    日付：5月16日(火) 16時48分
樹形図は、ある意味数え上げの道具ですから、１２０通りのパターンを
書き上げる気があれば、出来ないことはないです。

ところで、（４）は「ａもｂも端に来ない。」ではないでしょうか？
　
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26732．Re: 数A
名前：すすか（高１）    日付：5月16日(火) 20時11分
そのとおりです。
文章書き違えました。

26749．Re: 数A
名前：ヨッシー    日付：5月17日(水) 10時45分
(4)を２通りの考えで解いてみます。
ａが端に来て、ｂが端に来ない場合
　ａが両端のいずれかの２通り。
　ｂが両端以外の３通り。
　ｃｄｅを残りの３つの場所に並べるのが　３×２×１＝６通り
　合計２×３×６＝３６(通り)
ｂが端に来て、ａが端に来ない場合
　同じく　３６通り
ａもｂも端に来る場合
　(3) より １２通り。
すべての並べ方120通りからひいて、
　120－(36+36+12)＝36(通り)


ａを両端以外の３箇所のどれかに置く。・・・３通り
ｂを、両端以外でａを置かなかった２箇所のいずれかに置く・・・２通り
ｃｄｅを残りの３つの場所に並べる　３×２×１＝６通り
以上より、
　３×２×６＝３６(通り)
　
　
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26668．教えて下さい  
名前：はにわ    日付：5月14日(日) 15時44分
前に「与えられた長方形と同じ面積の正方形を描け」という問題を教えていただいた者ですが、
今度は「与えられた長方形の３倍の面積の正方形を描け」という問題を教えてほしいです。
お願いします。


26674．Re: 教えて下さい
名前：らすかる    日付：5月15日(月) 0時17分
与えられた長方形を3倍にしてから同じ面積の正方形を描けば良いと思います。
http://www10.plala.or.jp/rascalhp

26685．(untitled)
名前：はにわ    日付：5月15日(月) 16時35分
使えるものは定規とコンパスで、定規は①与えられた線分を伸ばすとき②与えられた２点を結ぶとき、この２つのときだけしか使うことは出来ません。つまり定規で長さを測ることは出来ません。
まずどのようにして長方形を三倍の大きさにしたら良いのでしょうか？

26686．Re: 教えて下さい
名前：ヨッシー    日付：5月15日(月) 16時48分

　
http://yosshy.sansu.org/

26693．(untitled)
名前：はにわ    日付：5月15日(月) 18時3分
なるほど！ありがとうございます☆

26667．考えると体感できますが、頭が痛くて答えは出ないです  
名前：ふじ    日付：5月14日(日) 15時14分
10^120を体感するように表しなさい

…がどうしても出来ません。
一番ベストなのが体積表現と思いますが

仮に
1.0*10^120立方ミリメートルについて考えるならば…
1.0*10^120立方ミリメートル=1.0*10^111立方メートル
ここで体感するの為に教室5ｍ*5ｍ*3ｍと比較すると
教室の13333333333333333333…=1.3*10^109倍
(計算ミスがなければ)

全く体感出来ない数となるのですよ
何か良い表現方法があったら教えて下さい。


26670．Re: 考えると体感できますが、頭が痛くて答えは出ないです
名前：のぶなが。    日付：5月14日(日) 17時18分
どう表すと体感できるかなんて人によって違いますし、馬鹿げた問題ですが、
1の後に0を120個書いてやれば出題者は満足するんじゃないでしょうかねぇ。

26676．Re: 考えると体感できますが、頭が痛くて答えは出ないです
名前：らすかる    日付：5月15日(月) 12時5分
大雑把ですが、
(小さい)原子の大きさが約1×10^(-10)m
宇宙の大きさが推測で約137億光年≒1.37×10^26m
ですから、原子を10^120個集めると宇宙4千億個分の体積ということになりますね。
参考サイト
http://www.geocities.jp/hiroyuki0620785/k0dennsikotai/30n4cm.htm
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%AE%87%E5%AE%99

26972．Re: 考えると体感できますが、頭が痛くて答えは出ないです
名前：ふじ    日付：5月30日(火) 17時27分
両方参考になりました。ありがとうございます。助かりました。

26665．定積分の利用  
名前：リシュレストリング・サガⅡ    日付：5月14日(日) 14時6分
定積分を利用して、次の極限値を求めよ。
（1）lim[n→∞]1/n^2[√{(n^2)-1}+√{(n^2)-4}+√{(n^2)-9}+...+√{(n^2)-(n-1)^2}]
(2)lim[n→∞]∑[k=1,n]n/{(4n^2)-(k^2)}
(3)lim[n→∞]∑[k=1,n]k/[√{(3n^2)+(k^2)}]

問題が難しすぎて、どう解けばよいのか分かりません！！＞＜
丁寧に解説してもらいたいです！
積分むずかしすぎるんですけど、あたしの頭が悪いからでしょうか？？
おねがいします！！


26669．Re: 定積分の利用
名前：soredeha    日付：5月14日(日) 16時55分
（公式）
limn→∞{f(1/n)(1/n)＋f(2/n)(1/n)＋・・・＋f(n/n)(1/n)}
＝limn→∞∑[k=1,n]f(k/n)(1/n)＝∫[0,1]f(x)dx
(2)lim[n→∞]∑[k=1,n]n/{(4n^2)-(k^2)}
n/{(4n^2)-(k^2)}＝n/{(4n^2)-(n^2・k^2/n^2)}
＝n/{n^2(4-k^2/n^2)}＝1/{n(4-k^2/n^2)}＝{1/{4-(k/n)^2}(1/n)
与式＝lim[n→∞]∑[k=1,n]{1/{4-(k/n)^2}(1/n)＝∫o11/(4 - x^2)dx＝・・・
∑＝∫、k/n＝x、1/n＝dx
.

26711．Re: 定積分の利用
名前：リシュレストリング・サガⅡ    日付：5月16日(火) 11時51分
ありがとうございました！！
すみませんけど、もうすこし詳しくおねがいします！！
よく分からないです！！もうすこしくわしめで！！
なまいきいってすみません！！

26721．Re: 定積分の利用
名前：ヨッシー    日付：5月16日(火) 16時23分
まず、soredeha さんの公式の意味ですが、

y=f(x) のグラフ（図の曲線)を０から１まで積分することを考えます。
０から１をｎ等分して、図のようなｎ個の長方形を考え、これらの面積を
合計します。
１つめの長方形は、横1/n、縦f(1/n)（ｘの値が1/nのときのf(x) の値) ですから、面積はf(1/n)(1/n)
２つ目の長方形は、横1/n、縦f(2/n) ですから、面積はf(2/n)(1/n)
３つ目の長方形は、横1/n、縦f(3/n) ですから、面積はf(3/n)(1/n)
　・・・
ｎ個目の長方形は、横1/n、縦f(n/n) ですから、面積はf(n/n)(1/n)
これらの合計
　f(1/n)(1/n)＋f(2/n)(1/n)＋・・・＋f(n/n)(1/n)
が、ｎ個の長方形の面積の和です。
ここで、ｎを大きく(長方形の幅を小さく)していけば、長方形の和は
∫0～1f(x)dx　・・・曲線とｘ軸で囲まれた部分(範囲は0≦x≦1)
に近付きます。
これが、公式
　limn→∞∑[k=1,n]f(k/n)(1/n)＝∫[0,1]f(x)dx
の意味です。

この公式は、k/n の関数ｆがあり、ｋ＝１～ｎの和が取られていて、
さらに 1/n が掛けられている状態であれば、使用できます。
逆に、そのような形になるように、関数ｆを決めてやればいいのです。

以下、∑と書けばｋ＝1～n の和だとします。（ここだけで通用する約束です)
(1)
　(1/n^2)[√{(n^2)-1}+√{(n^2)-4}+√{(n^2)-9}+...+√{(n^2)-(n-1)^2}]
　＝(1/n^2)[√{(n^2)-1}+√{(n^2)-4}+√{(n^2)-9}+...+√{(n^2)-(n-1)^2}＋√{(n^2)-n^2}]
　＝(1/n^2)∑√{(n^2)-k^2}
ここまでは良いですか？もともと、１からn-1 までの和だったのですが、
１からｎの和にするために、√{(n^2)-n^2} を足しています。
でも、√{(n^2)-n^2}＝０ なので、足しても答えは変わりません。
次に、1/n と ∑ とに分ける変形をします
　(続き)＝(1/n)∑[√{(n^2)-k^2}]/n
　　＝(1/n)∑√[{(n^2)-k^2}/n^2]
　　＝(1/n)∑√{１－(k/n)^2}
ここで、f(x)＝√(1－x^2) とおいて、ｎ→∞ の極限を取れば、上の公式が使えます。
よって、
　(与式)＝∫0～1√(1－x^2)dx
ｘ＝sinθ とおくと、0≦x≦1 は 0≦θ≦π/2 に対応し、
この範囲で、√(1－x^2)＝cosθ、dx＝cosθdθ
　(与式)＝∫0～π/2cos2θdθ
　　＝∫0～π/2(1＋cos2θ)dθ/2
　　＝[θ/2＋sin2θ/4]0～π/2
　　＝π/4
こんな感じです。(2) の変形は soredeha さんがやられているので、
(3) は自分でやってみてください。
　
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26779．Re: 定積分の利用
名前：リシュレストリング・サガⅡ    日付：5月19日(金) 16時15分
ありがとうございました！！
あたしの頭でもなんとか理解できました！！＞＜
でもやっぱり難しいですね！！

26664．定積分  
名前：リシュレストリング・サガⅡ    日付：5月14日(日) 13時58分
次の関数のf(x)について、次の問いに答えよ
f(x)=∫[-x→x]tcos{(π/4)-t}dt
（1）f(x)の導関数f`(x)を求めよ。
（2）0≦x≦2πにおけるf(x)の最大値と最小値を求めよ。

この二つがどうしても分かりません。
微分の仕方とかなるべく詳しく教えて欲しいです。
おねがいします！！＞＜


26710．Re: 定積分
名前：リシュレストリング・サガⅡ    日付：5月16日(火) 11時49分
教えてもらえませんか？？
おねがいします！！

26716．Re: 定積分
名前：ヨッシー    日付：5月16日(火) 14時58分
とりあえず(1)
g(x)＝xcos{(π/4)-x} とし、g(x) の原始関数をG(x) とします。つまり
　G'(x)＝g(x)
です。
　f(x)=∫[-x→x]tcos{(π/4)-t}dt＝G(x)－G(-x)
両辺ｘで微分して、
　f'(x)＝g(x)+g(-x)
　　＝xcos{(π/4)－x}－xcos{(π/4)＋x}
cos{(π/4)－x}＝(√2/2)(cosx＋sinx)
cos{(π/4)＋x}＝(√2/2)(cosx－sinx)　なので、
　f'(x)＝√2ｘsinx
　
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26720．Re: 定積分
名前：リシュレストリング・サガⅡ    日付：5月16日(火) 16時20分
ありがとうございました！！
質問があるんですが
>f(x)=∫[-x→x]tcos{(π/4)-t}dt＝G(x)－G(-x)
どうして、G(x)から－G(-x)をしたらf(x)が求まるんですか？
ここがちょっとわかんないです。＞＜
おしえてください！！
あとさがってるのに答えてくださってありがとうございました！！

26722．Re: 定積分
名前：ヨッシー    日付：5月16日(火) 16時27分
＞どうして、G(x)から－G(-x)をしたらf(x)が求まるんですか？
定積分ってそういうものだからです。
f(x) の原始関数が F(x) のとき、
　∫a～bf(x)dx＝F(b)－F(a)
が、定積分の計算ですよね？
　
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26662．(untitled)  
名前：ｋ    日付：5月14日(日) 11時51分
等速直線運動をしている電車のなかで床の上一点から小球を鉛直に投げ上げる
１）電車の速さを１４ｍ/s都市小球が０．９ｍの高さまであがったとする
小球を投げ上げてから床に落ちるまでに電車はなんｍすすむか
上向きの初速度４．２ｍ/s


26682．Re: (untitled)
名前：ヨッシー    日付：5月15日(月) 8時16分
上向きの初速度４．２ｍ/s
というのは、求めた結果なのでしょうか？
重力加速度を9.8m/s^2 とすると、確かに正しいですが、
それを求める段階で、（仮に求めたものでなく、最初から与えられていたとしても)
小球が一番高い位置に来るまでの時間が求められているはずです。
その２倍が往復の時間ですから、その時間に電車の速さを掛ければ
距離が出ます。
答え：１２ｍ
　
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26657．接線の方程式  
名前：りり    日付：5月14日(日) 1時6分
解答をみてもいまいち理解できませんでした。

問題：次の曲線上に与えられた点における接線の方程式を求めよ。

y=x2-3x+2 (1,0)


26658．Re: 接線の方程式
名前：soredeha    日付：5月14日(日) 5時42分
どんな解答ですか？
.

26659．Re: 接線の方程式
名前：jikk    日付：5月14日(日) 7時18分
y=f(x)=x^2-3x+2
のf(a)における接線の傾きはf'(a)=2a-3で与えられます。
f'(1)=-1なので、とりあえずy=-xと置き、点(1,0)を通るように
平行移動させると、
y=-(x-1)
y=-x+1
となります。

26652．微分  
名前：おれんじ    日付：5月13日(土) 21時22分
次の関数を微分せよ。
①ｙ＝√（２ｘ＾２+１）


②ｙ＝√（１-ｘ＾２）


いくら解いてもわかりません。詳しく教えてください。


26653．Re: 微分
名前：ヨッシー    日付：5月13日(土) 22時40分
いずれも合成関数の微分
　y=f(u)、u=g(x)　つまり　y=f(g(x))　のとき、
　dy/dx＝(dy/du)(du/dx)
を使います。

(1)ｙ＝√（２ｘ＾２+１）　は、
　ｙ＝√ｕ　と　ｕ＝２ｘ＾２+１　の合成なので、
　dy/du＝(u＾1/2)’＝1/(2√u)
　du/dx＝4x
なので、
　dy/dx＝4x/(2√u)＝4x/2√(2x^2+1)

(2)ｙ＝√（１-ｘ＾２）は
　ｙ＝√ｕ　と　ｕ＝１-ｘ＾２　の合成なので、
　（以下略）
　
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26654．Re: 微分
名前：おれんじ    日付：5月13日(土) 23時41分
①２で割って良いんですか？
そうすると２ｘ/√（２ｘ＾２+１）
になるんですが・・・。合ってますか？
②ーｘ/√(1-x^2)
でしょうか？

26660．Re: 微分
名前：ヨッシー    日付：5月14日(日) 8時50分
(1)
そうですね。約分できます。

(2) も合ってます。
　
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26647．数Bなんですけど...  
名前：華    日付：5月13日(土) 11時23分
△ＡＢＣの３辺ＢＣ、ＣＡ、ＡＢを１：２に内分する点をそれぞれＬ、Ｍ、Ｎとするとき、次の事を証明せよ。

→　→　→
AL＋BM＋CN＝０

私は高２で、もうすぐ中間テストがあるんです(´A｀；））
教科書の問題なんですが、解説をみたら
→ → →
AL BM CNがそれぞれ、
２b＋c/３－a、２c+a/３－b、２a+b/３-c
と表されていたんですが、
２ｂ＋ｃ/３までは理解できたのですが、
なぜその式から-aされているのかが分かりません。
教えてください！！
お願いします。


26648．Re: 数Bなんですけど...
名前：華    日付：5月13日(土) 11時25分
すいません、
AL、BM、CNの上にちゃんと→がのりませんでしたが、
ベクトルの事です。

26650．Re: 数Bなんですけど...
名前：ヨッシー    日付：5月13日(土) 11時32分
点Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｌ，Ｍ，Ｎの位置ベクトルを、ａ、ｂ、ｃ、ｌ、ｍ、ｎ とします。
　ＡＬ＝ｌ－ａ
であり、
　ｌ＝(２ｂ＋ｃ)/３
ですので、
　ＡＬ＝(２ｂ＋ｃ)/３－ａ
です。
　
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26783．Re: 数Bなんですけど...
名前：華    日付：5月19日(金) 20時45分
遅くなってすみません(；´Д｀)ノ
分かりました！！
ありがとうございました♪

26642．数Ⅲ  
名前：町長さん    日付：5月12日(金) 23時12分
次の関数を微分せよ。

①ｙ＝１/√ｘ
１/（２ｘ√ｘ）まで解きましたが底から教えてください。

②ｙ＝（ｘ）（３）_√ｘ
３は底のことです。３の前のｘは普通のｘのことです。

③ｙ＝（２ｘ＾３+３ｘ＾２-１）／ｘ＾２
お願いします。。


26649．Re: 数Ⅲ
名前：ヨッシー    日付：5月13日(土) 11時28分
(1)
ｙ＝ｘ^a に対して、ｙ’＝ａｘ^(a-1) です。一方、
　ｙ＝１/√ｘ＝ｘ^(-1/2)
と書けますから、
　ｙ’＝(-1/2)ｘ(-3/2)＝－１／(２ｘ√ｘ)
です。

(2)　ｙ＝ｘ・３√x　ということでしょうか？

(3) 商の微分の公式
　(f(x)/g(x))'＝{f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}/{g(x)}2
を使います。
　
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26655．Re: 数Ⅲ
名前：町長さん    日付：5月13日(土) 23時48分
②　ｙ＝（ｘ）_（3）√ｘ

どうやって表せばいいかわかりませんが、３は３乗根？ていう√の前につく小さく書かれた数字の３です。
（ｘ）と√ｘは普通のです。

答えは４/3(3-√x)それか４/3(1/3-√3)どっちが合ってますか？

③答えは2+(2/x^3)それとも２（ｘ＾3+１）/x^3どっちが合ってますか？

26684．Re: 数Ⅲ
名前：ヨッシー    日付：5月15日(月) 9時8分
ネットでは　 と書くと良いでしょう。
そうすると、自ずと　ｙ＝ｘ^(4/3) となり、(1) と同じように微分できますね。

(3)
どちらも合っています。(2x^3+2)/x^3 でも、2(1+(1/x^3)) でも良いでしょう。
　
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26641．数Ⅱ　放物線  
名前：高    日付：5月12日(金) 23時10分
放物線ｙ＝ｘ＾２+２（a-２）ｘ+ａと次の部分が異なる２点で交わるとき定数aの値の範囲を求めよ。
①ｘ軸の正の部分
②ｘ軸の負の部分

簡単に説明お願いします。


26646．Re: 数Ⅱ　放物線
名前：ヨッシー    日付：5月13日(土) 11時1分
グラフがそれぞれ、下のようになるということです。

　
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26656．Re: 数Ⅱ　放物線
名前：高    日付：5月13日(土) 23時50分
①　０＜a＜１
②　ａ＞４
ですか？

26636．数Ⅱ  
名前：花鼻    日付：5月12日(金) 18時20分
　円に内接する四角形ABCDにおいて∠ABD＝６０度、∠BCD＝１３５度、BD＝√６のとき次のものを求めよ。①辺ADの長さ


詳しく教えてください。お願いします。


26643．Re: 数Ⅱ
名前：tombi    日付：5月13日(土) 1時40分
円に内接する四角形の内角の性質を利用して
　∠BCD＝135°より、∠DAB＝45°
ここから、三角比を使うと(他にも方法はありますが)

△ABDについて、正弦定理を利用
　　∠ABD＝60°，sin60°＝(√3)/2
　　∠DAB＝45°，sin45°＝(√2)/2
　　BD＝√6
　以上を正弦定理に代入し、計算するとADが求まります。
　　AD/{(√3)/2}＝{√6}/{(√2)/2}　より
　　AD/{(√3)}＝{√6}/{(√2)}
　　　AD＝{(√3)}＊{√6}/{(√2)}
　　　AD＝3

26633．教えてください  
名前：至眞    日付：5月12日(金) 16時40分
xy平面上に動く点Pがあり,x軸上では速さ2で,x軸以外では速さ1で動く。Pが,点A(0,1)から点B(2,0)に最短時間で行くための経路を求めよ。

何をどうしたらよいか分かりません。誰か教えてください。


26634．Re: 教えてください
名前：ヨッシー    日付：5月12日(金) 17時15分

最短時間を求めるので、ｘ軸上のある点Ｃをまっすぐ目指して、
ＣからＢまで、ｘ軸上をまっすぐ進むのが最短です。
ｘｙ平面上をウロウロするルートは一切考える必要ありません。

Ｃの座標を(x,0)　0≦ｘ≦2 とすると、
ＡＣ＝√(1+x^2)、ＣＢ＝２－ｘ
より、Ａ→Ｃ→Ｂ にかかる時間f(x)は
　f(x)＝√(1+x^2)＋(2-x)/2
この関数の、0≦ｘ≦2 における最小値を求めます。
　
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26637．Re: 教えてください
名前：至眞    日付：5月12日(金) 18時36分
ありがとうございました。答えを導く事が出来ました。
ここでもう一つ質問があります。そもそも答えを見て何をしてるのか分からなかったから投稿しました。ヨッシーさんの解法のほうがよいのですが、問題集に載っていた解法も知りたいのです。
それは原点をOとして∠OAC=θとおく方法です。厚かましいようですが出来たらこの解法も教えてください。

26638．Re: 教えてください
名前：ヨッシー    日付：5月12日(金) 19時9分
∠OAC＝θとすると、
ＡＣ＝1/cosθ
ＯＣ＝tanθ
ＣＢ＝２－tanθ
よって、かかる時間 f(θ)は
　f(θ)＝ＡＣ＋ＣＢ/２＝1/cosθ＋１－(tanθ)/2
　f'(θ)＝sinθ/cos^2θ－1/(2cos^2θ)
という感じです。
　
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26651．Re: 教えてください
名前：至眞    日付：5月13日(土) 11時49分
すっきりしました。ありがとうございました。

26625．絶対値  
名前：ピップ    日付：5月12日(金) 0時20分
数直線上での原点からの距離であることは
わかりましたが｜｜の記号そのものの意味はなんなんでしょうか？
参考書や教科書には絶対値記号｜｜をはずせと書かれているので
はずされていないものは＋か－の数ってことですよね、
ということは｜｜自体の意味は｜｜内の数値の符号をはずせという
命令みたいなものですか。｜｜＝７の７は絶対値ですよね、
でも｜｜＝正の数がどうのという表記もあり混乱しました、
また、｜｜＝７ではなく｜｜→７にするのが正しいとも思いました。
以上、なにを誤解してるのか教えてください、お願いします。


26626．Re: 絶対値
名前：ast    日付：5月12日(金) 0時29分
絶対値を外すというのは, 関数を y = f(x) と書くか、f(x) = ax + b と書くかの違いににています. 前者は |7| に相当し、後者は 7 に相当します.

> ｜｜自体の意味は｜｜内の数値の符号をはずせという命令みたいなものですか。
という認識はまったく正しいです.

> でも｜｜＝正の数がどうのという表記もあり混乱しました、
という記述をなるべく前後関係のわかる状態で引用していただけますか? そうすれば, 熟練の回答者の方が的確なご返答をくださるかもしれません.

26628．Re: 絶対値
名前：ピップ    日付：5月12日(金) 3時48分
> でも｜｜＝正の数がどうのという表記もあり混乱しました、
｜ｘ－１｜＝２ｘって問題で、本問は｜ｘ－３｜＝５のような
形でなく、｜｜＝正の数の形ではないから解けないって説明です。
正の数じゃなく絶対値でしょ？って思ったのです、また
場合わけの時、Ｏ以上は正の数となってますが、０は正の数では
ないんじゃないのとも思いました。
で、また最初の疑問に戻りますが、｜｜＝の形で絶対値記号をはずせと
あるけど、はずす前は絶対値じゃないのに＝で結ばれてるのが
変ではないかと思います。ご回答いただいた関数の説明ですが
実はまだそこまでいってないのです、すいません。でも
ありがとうございました。

26629．Re: 絶対値
名前：黒蟻    日付：5月12日(金) 6時58分
＞｜｜＝の形で絶対値記号をはずせとあるけど、はずす前は絶対値じゃないのに＝で結ばれてるのが変ではないかと思います。
｜｜という記号の意味は「符号をはずせ」という’命令’ですが、これに具体的な数値△を入れた｜△｜という記号の意味は「△という数についている符号を外し終えた数」であり’命令を終えた数’です。従って「｜｜＝～」の形は　’命令を終えた数’＝数　という形ですので、＝で結ばれているのは変ではありません

詳しく言うと、(Rを実数の集合として)写像F＝｜｜：R∋x→｜x｜∈Rが「符号をはずせ」という’命令’(または’作用’とか)であり、Fによる像F(x)＝｜x｜が「符号をはずし終えた数」という’命令を終えた数’になります。

26630．Re: 絶対値
名前：黒蟻    日付：5月12日(金) 7時13分
Original Size: 341 x 128, 9KB

これだと分かりやすいかな？


26632．Re: 絶対値
名前：soredeha    日付：5月12日(金) 10時17分
絶対値の定義
(1)中学
正の数、負の数の数字の部分；-3の絶対値＝３、+5の絶対値＝５
(2)高校
a≧0　のとき　　|a|＝a、　　a＜0　　のとき　|a|＝-a
|+5|＝+5＝5　　　　　　　　　　　　　　　　　|-5|＝-(-5)＝+5＝5

定義が異なります。
.

26644．Re: 絶対値
名前：ピップ    日付：5月13日(土) 1時55分
そういうことだったんですか、これでもやもやが取れました。
ありがとうございます。

26624．微分  
名前：ＣＩＭＡ（高２）    日付：5月11日(木) 23時0分
球の体積を求める公式は、
Ｖ＝４/３・πr＾３
ですよね？
これをrについて微分すると、４πr＾２となって、球の表面積を求める公式になります。
同じように、円の面積を求める公式、
Ｓ＝πr＾２　をrで微分すると、円周を求める公式、２πrになります。
これはなぜですか？
また、立方体とかだと、体積を求める公式を微分しても、意味のある式が出てきません。
どうしてですか？


26627．Re: 微分
名前：らすかる    日付：5月12日(金) 0時57分
↓こちらをご覧下さい。
http://www.artis-research.com/mathbbs/index.cgi?id=19285
立方体の場合、1辺の長さの半分をrとすれば、体積は8r^3であり、
表面積はそれを微分した24r^2になるということですね。
http://www10.plala.or.jp/rascalhp

26622．(untitled)  
名前：ｋ    日付：5月11日(木) 20時8分
組立除法のやりかたをおしえてくださいorz


26631．Re: 組立除法
名前：ヨッシー    日付：5月12日(金) 8時31分
(x^3＋2x－3x＋1)÷(x-2)
を例にとります。
手順は
１．上に被除数の係数を並べ、１段下の左に除数を０にするｘの値を書く
２．１をそのまま下ろす
３．その１と、左の数２を掛けた数２を右上に書く
４．縦に加える
５．加えた結果４と左の数２を掛けた数８を右上に書く
６．縦に加える
７．加えた結果５と左の数２を掛けた数１０を右上に書く
８．縦に足す
最下段の数は、答えの係数とあまりで、
　x^2＋4x＋5　あまり11
と、読み取ります。

除数が 2x-1 のように、ｘに１以外の係数があるときも、
同様に行います(この場合は、左の数は 1/2 になります）が、
出た結果の、商はｘの係数(この場合は２)で割ります。あまりはそのままです

(2x^3＋3x^2－5x－8)÷(2x-1) の例
※ここでは、書きやすさのため、小数を使っています。

答えは　x^2＋2x－3/2　あまり　-19/2　です。
　
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26639．wakaranaiTTTT
名前：ｋ    日付：5月12日(金) 20時1分
３で左の数がありませんorzその一っていううのは２ですよね；；

26645．Re: (untitled)
名前：ヨッシー    日付：5月13日(土) 10時56分
(x^3＋2x－3x＋1)÷(x-2)
を例にとります。
手順は
１．上に被除数の係数を並べ、１段下の左に除数を０にするｘの値を書く

２．１をそのまま下ろす

３．その１と、左の数２を掛けた数２を右上に書く

４．縦に加える

５．加えた結果４と左の数２を掛けた数８を右上に書く

６．縦に加える

７．加えた結果５と左の数２を掛けた数１０を右上に書く

８．縦に足す

最下段の数は、答えの係数とあまりで、
　x^2＋4x＋5　あまり11
と、読み取ります。
　
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26661．ものすごくわかりましたｂ
名前：ｋ    日付：5月14日(日) 10時55分
ありがとうううございますｍｍｍｍｍ

26615．だれか、おしえてください。  
名前：マサヤン（高１）    日付：5月11日(木) 19時29分
次の問題を、教えてください。
８０組の情報があります。１組の情報はそれぞれ２つの情報から成り立っています。これらの情報から任意に全体の１０％を抽出してみたら次のようになりました。　
Ａ（７，８）　Ｂ（８，６）　Ｃ（６，５）　　Ｄ（９，６）　　　　Ｅ（８，３）　Ｆ（６，３）　Ｇ（５，４）　　Ｈ（６，７）
これら８つのサンプルを基に、情報全体を把握する方法を示しなさい。
何回も、すみませんがお願いします。


26617．Re: だれか、おしえてください。
名前：ヨッシー    日付：5月11日(木) 19時36分
高１で、何を要求する問題でしょう？

手っ取り早くは、座標に点を打ってみるとか？
あるいは、左の数字、右の数字、それぞれで平均を出すとか？
　
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26614．割り算  
名前：至眞    日付：5月11日(木) 18時41分
多項式P(x)を(x+2)^3で割った余りを4x^2+3x+5,x-1で割った余りを3とする。
(1)P(x)を(x+2)(x-1)で割った余りを求めよ。
(2)P(x)を(x+2)^2(x-1)で割った余りを求めよ。

(1)は分かるので(2)を微分を使わないやり方で教えてください。


26616．Re: 割り算
名前：ヨッシー    日付：5月11日(木) 19時30分
　P(x)=(x+2)^3・Q(x)＋(4x^2+3x+5)
とおけますね？これにx=1 を代入すると 3 になるので、
　P(3)＝27Q(1)＋12＝3
より、Q(1)＝-1/3。よって、Q(x)は
　Q(x)＝(x-1)R(x)-1/3
とおけます。(※いっそ R(x)＝０ として、Q(x)＝-1/3 とおいても、答えは出ます)
　P(x)=(x+2)^3・{(x-1)R(x)-1/3}＋(4x^2+3x+5)
　　=(x+2)^3(x-1)R(x)-(x+2)^3/3＋(4x^2+3x+5)
　　=(x+2)^2(x-1){(x+2)R(x)}＋(-x^3/3+2x^2-x+7/3)
あとは、-x^3/3+2x^2-x+7/3 を (x+2)^2(x-1) で割った余りを求めれば良いです。
答え：3x^2-x+1 のはず。
　
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26619．Re: 割り算
名前：至眞    日付：5月11日(木) 19時47分
分かりました。ありがとうございました。

26635．Re: 割り算
名前：soredeha    日付：5月12日(金) 17時34分
4x^2+3x+5＝4(x＋2)^2 - 13x - 11
P(x)＝(x+2)^2(x-1)Ｑ(x)＋a(x+2)^2- 13x - 11
P(1)＝9a - 24＝3
a＝3
a(x+2)^2- 13x - 11＝3(x+2)^2- 13x - 11
　　　　　　　　　＝3x^2-x+1

26610．三角関数  
名前：マサヤン（高１）    日付：5月11日(木) 13時7分
次の問題を教えてください。

〇度＜A９０度のとき、次の値を求めなさい。
（１）ｓｉｎＡ＝１／４のとき、ｃｏｓＡ、ｔａｎＡ
（２）ｃｏｓＡ＝２／５のとき、ｓｉｎＡ、ｔａｎＡ
（３）ｔａｎＡ＝３のとき、ｃｏｓＡ、ｓｉｎＡ


26611．Re: 三角関数
名前：マサヤン（高１）    日付：5月11日(木) 13時8分
> 次の問題を教えてください。
>
> 〇度＜A＜９０度のとき、次の値を求めなさい。
> （１）ｓｉｎＡ＝１／４のとき、ｃｏｓＡ、ｔａｎＡ
> （２）ｃｏｓＡ＝２／５のとき、ｓｉｎＡ、ｔａｎＡ
> （３）ｔａｎＡ＝３のとき、ｃｏｓＡ、ｓｉｎＡ
>　（訂正版）

26612．Re: 三角関数
名前：ヨッシー    日付：5月11日(木) 15時33分
０度＜A＜９０度　なので、
　sinＡ＞０、cosＡ＞０、tanＡ＞０　です。
それを踏まえて、
　sin2Ａ＋cos2Ａ＝０
　sinＡ÷cosＡ＝tanＡ
などの公式を使って求めます。

または、sinＡ＝1/4 ということは、図のような三角形が思い浮かびます。

斜辺が４、Ａの対辺が１、残りの辺が・・・なので、
　cosＡ＝・・・　tanＡ＝・・・
としてもいいでしょう。
　
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26613．Re: 三角関数
名前：マサヤン（高１）    日付：5月11日(木) 15時35分
どうもありがとうございます。
次もお願いします。

26606．空間  
名前：kita    日付：5月11日(木) 3時33分
空間内の点P(3,6,3)が、4点O(0,0,0),A(10,10,0),B(0,10,0),C(0,10,5)を頂点とする四面体の外部にあることを示せ


26607．Re: 空間
名前：ヨッシー    日付：5月11日(木) 7時3分
ＯＰ＝0.3ＯＡ－0.3ＯＢ＋0.6ＯＣ
係数が負の項があるので、点Ｐは四面体ＯＡＢＣの外部にあります。

四面体の内部にあるのは
ＯＰ＝ａＯＡ＋ｂＯＢ＋ｃＯＣ
と表したとき、
ａ≧０、ｂ≧０、ｃ≧０、ａ＋ｂ＋ｃ≦１
のときです。

イコールが入っているのは、四面体の辺上、面上を許した場合です。
内部のみとなると、
ａ＞０、ｂ＞０、ｃ＞０、ａ＋ｂ＋ｃ＜１
となります。
　
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26602．(untitled)  
名前：ｋ    日付：5月10日(水) 23時5分
三角OABにおいて辺OAを３：１に内分する点をC辺OBを２：３に内分する点をDとし線分BCの交点をPとするOAﾍﾞｸﾄﾙ＝aﾍﾞｸﾄﾙOBﾍﾞｸﾄﾙ＝ｂﾍﾞｸﾄﾙ
とするときOpﾍﾞｸﾄﾙをaﾍﾞｸﾄﾙbﾍﾞｸﾄﾙをもちいてあらわせ・・・で
OPべくとる=ｔ2/5ｂﾍﾞｸﾄﾙ＋（１－ｔ）aﾍﾞｸﾄﾙ
OPﾍﾞｸﾄﾙ＝sbﾍﾞｸﾄﾙ+(1-s)３/4aﾍﾞｸﾄﾙ・・・・・・・
　　連立でといても答えがあいませんｹｲｻﾝﾐｽでしょうか・・・


26608．Re: (untitled)
名前：ヨッシー    日付：5月11日(木) 7時15分
2t/5=s
1-t=3(1-s)/4
を解いて、t=5/14 、s=1/7 となり、いずれを代入しても、
　ＯＰ＝９ａ/１４＋ｂ/７
となります。
　
http://yosshy.sansu.org/

26600．数Ⅲ微分  
名前：飼円    日付：5月10日(水) 21時57分
①　ｙ＝ａ＾（２ｘ+１）
２ｘ+１をuとおくとａ＾uというのを言葉じゃなくて式で表したいんですがそこを教えてください。　何かの公式から使って
ｙ'=（２ｘ+１）’ａ＾（２ｘ+１）ｌｏｇa＝２ａ＾(２ｘ+１)ｌｏｇa　となりました。これをこのまま書くとあってるでしょうか。


。お願いします


26603．Re: 数Ⅲ微分
名前：白拓    日付：5月11日(木) 0時58分
マルチポスト（複数の掲示板に同時投稿）が酷過ぎます。
マナー違反ですよ。

26599．∫  
名前：やまと    日付：5月10日(水) 20時51分
下の問題が分かりません。

関数ｆ（ｘ）がｆ（ｘ）＝２ｘ＋∫〔０,１〕(ｘ＋ｔ)ｆ(ｔ)ｄｔを満たす時、ｆ(ｘ)をもとめよ。

ｆ（ｘ）＝２ｘ以下を文字で置き換えて考えてみたのですが、うまくいきせんでした・・・


26605．Re: ∫
名前：c.e.s.    日付：5月11日(木) 1時6分
f(x)=2x+∫[0,1](x+t)f(t)dt
=2x+x∫[0,1]f(t)dt+∫[0,1]t・f(t)dt
ここでr=∫[0,1]f(t)dt、s=∫[0,1]t・f(t)dtとおくと、
f(x)=(2+r)x+sとなるので、
s=∫[0,1]{(2+r)t+s}dt=…。
また、t=∫[0,1]t{(2+r)t+s}dt=…。

tについての積分の中ではxは定数なので、
∫[0,1]xf(t)dt=x∫[0,1]f(t)dtのように積分の外に出せます。
しかし、∫[0,1]t・f(t)dtのtはそうはいかないので、これらは
別々に考える(文字で置くなど)必要があります。

26598．教えてください  
名前：マサヤン（高１）    日付：5月10日(水) 18時30分
運動量保存の法則がよくわかりません。
基礎から発展段階まで教えてください。
よろしくお願いします。


26604．Re: 教えてください
名前：白拓    日付：5月11日(木) 1時4分
この運動量保存の法則を発見したのはあのデカルト様で、 ニュートン郷が生まれる20年ぐらい前のことです。

衝突の前後で運動量の総和が保存されます。
この関係を時間微分すると、作用反作用の法則が得られます。

26609．Re: 教えてください
名前：マサヤン    日付：5月11日(木) 12時52分
よくわかりました。
どうもありがとうございます。

26594．式の順序（二回目です、ごめんなさい！）  
名前：リシュレストリング・サガⅡ    日付：5月10日(水) 13時19分
流れと言うか前回の質問だと、こうなったんですが

2つの曲線　C1:y=x^2 -4x+3,C2:y=-x^2 +2x-1について、
次のような立体の体積を求めよ。

(1)C1とC2で囲まれた部分を、x軸の周りに1回転してできる立体

この問題で、グラフを書くとC1が下向きに凸で、C2が上向きに凸だと分かりました。それで、易しいほうの教科書で読んだ∫[左→右]上の式-下の式、というのに当てはめてみると、この教書だと間違いになります。というか、これが当てはまらないので、今までのグラフの順序の明確な理由がなくなってしまい、順序をどうすればいいかパニくってしまっています。
この問題だと、式は
V=π∫[1→2](x^2 -4x+3)^2 dx-π∫[1→2](-x^2 +2x-1)^2 dxとなっています。
グラフを書いて見ると、C2が上に来てるから
V=π∫[1→2](-x^2 +2x-1)^2 dx-π∫[1→2](x^2 -4x+3)^2 dxじゃないんでしょうか？
式を書くときの順序のルールと、この問題ではどうしてこういうしきになるのかを聞きたいです！＞＜
おねがいします！！


--------------------------------------------------------------------------------

26465．Re: 式の順序
名前：花パジャ 日付：5月2日(火) 22時56分
ちくわで言うと、C1が皮(?)で、C2が棒だから
棒の中心がx軸で、どっちが離れているかで判断します。

穴の辛うじて塞がったドーナツみたいな立体がイメージ出来てます?

--------------------------------------------------------------------------------

26501．Re: 式の順序
名前：リシュレスト・サガⅡ 日付：5月5日(金) 17時34分
ありがとうございました！！
立体にして（回転させて）内側（身のほう）のほうの式が
先に来て、外側の（皮のほう）の式が後に来る
ってことでしょうか？
∫[左→右]内側の式-外側の式、て感じで。
>易しいほうの教科書で読んだ∫[左→右]上の式-下の式、
この上の文の式は平面には使えるけど、立体には使えないと言うことでしょうか？
んーと、なんかちょっとまだあやふやなので教えてください！＞＜
おねがいします！


こういう流れなんですけど、式の順序の明確な決まりみたいなものは
ないのでしょうか？？
悩んでます！！おねがいします！！


26596．Re: 式の順序（二回目です、ごめんなさい！）
名前：angel    日付：5月10日(水) 14時25分
> 式の順序の明確な決まりみたいなものはないのでしょうか？？

公式として捉えるよりも、
　(体積) = ∫(断面積) d(厚さ)
という基本に沿って考える方が良いかと。

今の問題であれば、x軸に沿って厚さを考えて(x軸に垂直に断面を取って)いて、
断面積は、π( (外側のグラフの値)^2 - (内側のグラフの値)^2 )
と計算できますから、

　(体積) = π∫[x左端, x右端] ( (外側)^2 - (内側)^2 )dx

となるわけで。

もっとややこしい形になった場合、公式的に捉えていると、混乱してしまいますよ。

例：y=x^2 と y=2x^2-3 に囲まれる部分を x 軸を中心に回転した回転体の体積 V
　V = 2π( ∫[0,1] (2x^2-3)^2 dx
　　　　　+ ∫[1,√6/2] (x^2)^2 dx
　　　　　+ ∫[√6/2,√3] ( (x^2)^2 - (2x^2-3)^2 )dx )

26618．Re: 式の順序（二回目です、ごめんなさい！）
名前：リシュレストリング・サガⅡ    日付：5月11日(木) 19時45分
ありがとうございました！！
うー、むずかしいですね＞＜
例がちょっとうまく把握できなかったです。
こういう問題にもなれていきたいと思います！

26593．二回目です。ごめんなさい。  
名前：リシュレストリング・サガⅡ    日付：5月10日(水) 13時16分
動点Pが原点Oを中心とする半径rの円周上を
点A(rcosV,rsinV)から出発して、OPが1秒間に
角ωの割合で回転するように等速円運動をするとき
動点Pの速度、加速度とそれぞれの大きさを求めよ。

速度と加速度、それぞれの大きさを求める式を
詳しく教えてもらえないでしょうか？＞＜
微分が苦手でむずかしいです・・
できればおねがいします！！

一回目のときが下がりすぎちゃって皆さんの目に留まらないようなので
もう一度質問させてください！！すみません！！＞＜


26595．Re: 二回目です。ごめんなさい。
名前：angel    日付：5月10日(水) 13時37分
物理の問題ですね。
「微分」とありますが、高校ではなくて大学での問題でしょうか…？
※私の記憶では、高校物理で微分は使わなかった(使えなかった)のですが。

高校範囲であれば、暗記になるでしょう。
　加速度 a = rω^2 = v^2/r
　　向きは円の中心方向
　速度 v = rω
　　向きは円の接線方向(半径に垂直)

なお、時刻 t における座標ｘは、反時計周りを前提として
　ｘ=(rcos(V+ωt), rsin(V+ωt))
微分すれば、速度ｖは
　ｖ=(-rωsin(V+ωt), rωcos(V+ωt))
　よって内積　ｘ・ｖ= 0 であり、ｖはｘに垂直なベクトル
加速度ａは
　ａ=(-rω^2cos(V+ωt), -rω^2sin(V+ωt))
　よって ａ = -ω^2ｘ であり、ａはｘの逆向きのベクトル

26597．Re: 二回目です。ごめんなさい。
名前：豆    日付：5月10日(水) 16時4分
＞速度と加速度、それぞれの大きさを求める式を詳しく教えてもらえないでしょうか？＞＜
ということなので，angelさんの回答に少し補足を．
（１）ベクトルで考える方法
angelさんの回答で，
速度の大きさは|v|=√（-rωsin(V+ωt)^2+(rωcos(V+ωt))^2)=rω
なお，時間tの間に進む道のりsは円周角がωtですから
s=rωt
|v|=ds/dt=rω　は　感覚的にも理解できますよね．
加速度の大きさは
|a|=√(-rω^2cos(V+ωt))^2+(-rω^2sin（V+ωt）)^2）=rω^2
(2)複素数で考える方法
y軸を虚軸に取り，動点Pの位置をzとすれば，
z=re^(i（ωt+V）)と書けるので，微分が簡単です．
速度v=dz/dt=iωre^(i（ωt+V）)=iωz
大きさはrωで，向きはzにiが掛かっているので+π/2の回転方向
ということがすぐに分かります．
加速度a=dv/dt=-ω^2r e^(i（ωt+V）)=-ω^2z
大きさはrω^2で，向きはzに-が掛かっているので逆方向（向心力）
ということが分かります．

26620．Re: 二回目です。ごめんなさい。
名前：リシュレストリング・サガⅡ    日付：5月11日(木) 19時52分
ありがとうございました！！
質問があるのですが
＞　ｘ=(rcos(V+ωt), rsin(V+ωt))
＞微分すれば、速度ｖは
＞　ｖ=(-rωsin(V+ωt), rωcos(V+ωt))
(rcos(V+ωt), rsin(V+ωt))を微分するとｖ=(-rωsin(V+ωt), rωcos(V+ωt))というのがどのように変化するのかよく分かりません。
教えてもらえないでしょうか？
あと、教科書では|v↑|=r|ω|というふうにωが絶対値に囲まれているんですがこれは囲まなくても正解なんでしょうか？
おねがいします！

26621．Re: 二回目です。ごめんなさい。
名前：リシュレストリング・サガⅡ    日付：5月11日(木) 19時55分
加速度aの出し方も段階的に式を書いてもらえないでしょうか？
微分は苦手で困っています＞＜
わがままばっかりですみません！！
おねがいします！！

26623．Re: 二回目です。ごめんなさい。
名前：angel    日付：5月11日(木) 20時39分
> 加速度aの出し方も段階的に式を書いてもらえないでしょうか？
> 微分は苦手で困っています＞＜

合成関数の微分の考え方ですね。
　( f(g(t)) )' = g'(t)・f'(g(t))　　( tによる微分 )
に、
　( sinθ )' = cosθ　　( θによる微分 )
　( V+ωt )' = ω　　　( tによる微分 )
を適用すれば
　( sin(V+ωt) )' = (V+ωt)'・sin'(V+ωt) = ωcos(V+ωt)
同様に、( cosθ )' = -sinθ から、
　( cos(V+ωt) )' = -ωsin(V+ωt)

このようにして、ｘを tで微分すればｖが、ｖを tで微分すればａが求まります。( rだとかは定数なので、そのままで )
ちなみに、ここらへんの詳細は、テスト等の解答に書く必要はないと思いますので、自分で納得できれば十分かと思います。

> あと、教科書では|v↑|=r|ω|というふうにωが絶対値に囲まれているんですがこれは囲まなくても正解なんでしょうか？

ωをどういう数値としているかによります。
> OPが1秒間に角ωの割合で回転する
としか書いていないため、「ωは時間あたりに回転する角の大きさ」であれば、常にωは正と考えるのが自然と思い、私は絶対値記号はつけませんでした。
しかし、「反時計周りであればωは正、時計周りであればωは負と考える」という前提があれば(そう考えることはよくあります)、負である可能性のあるωを裸で使うのはマズいですから、絶対値記号をつける必要があります。

26663．Re: 二回目です。ごめんなさい。
名前：リシュレストリング・サガⅡ    日付：5月14日(日) 13時55分
ありがとうございました！！
すっごく助かりました！！

26588．一次不等式の質問です。  
名前：小島    日付：5月10日(水) 0時11分
問題　2.75≦a＜2.85　　－3.35＜b≦－3.25　両者を足して
－0.6＜a-b＜－0.4とあるのですが僕の答えは－0.6≦a-b＜－0.4
となりました。なぜ、＜なのか理屈がわかりません、
答えにくい質問かもしれませんが、お願いします。


26589．Re: 一次不等式の質問です。
名前：ヨッシー    日付：5月10日(水) 0時20分
では逆に、ａがいくつで、ｂがいくつのときに
　ａ－ｂ＝－０．６
になると思いますか？またそれは、
　2.75≦a＜2.85　　－3.35＜b≦－3.25
の両方を満たしていますか？
　
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26590．Re: 一次不等式の質問です。
名前：小島    日付：5月10日(水) 1時3分
a-b＝－0.6をみたす数はいくらでも作れますが、
確かに2.75≦a＜2.85　　－3.35＜b≦－3.25を満たしていませんね。
よくわかりました、ありがとうございました。

26581．☆数Ⅱ☆  
名前：真央    日付：5月9日(火) 22時7分
問題は、
2次方程式ｘ^2+ａｘ+ｂ=0の2つの解の和と積を2つの解にもつ2次方程式の1つが，ｘ^2+ｂｘ+2ａ=0であるという。0でない定数ａ，ｂを求めよ。
です。

教えてください、お願いします。　全然分からなくて…（ノ□｀）゜・


26582．Re: ☆数Ⅱ☆
名前：ヨッシー    日付：5月9日(火) 23時27分
「2つの解の和と積」と来たところで、解と係数の関係を使うと予測できます。
ｘ^2+ａｘ+ｂ=0 の２つの解の、和は－ａ、積はｂ ですから、この問題は、
ｘ^2+ｂｘ+2ａ=0 の解が、－ａとｂであると言っているのと同じです。
「ｘ^2+ｂｘ+2ａ=0 の解が、－ａとｂである」ことについて、解と係数の関係を使って、
　２解の和：－ａ＋ｂ＝－ｂ
　２解の積：－ａｂ＝２ａ
ａｂ≠０　より、ｂ＝－２、ａ＝－４
　
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26583．Re: ☆数Ⅱ☆
名前：真央    日付：5月9日(火) 23時42分
ありがとうございます!!「2つの解の和と積」と来たところで、解と係数の関係を使うと考えればいいのですね。　
あと、どうしても解けない問題が2つあるのですが、もしよければ、やり方を教えて下さい。

①ａ，ｂは定数とする。ｘの方程式ｘ^3+(ａ-1)ｘ^2+(1-ａ)ｘ+ｂ=0の実数解がｘ=1だけであるとき，ａの値の範囲とｂの値を求めよ。


②ある立方体から，底面の縦を1ｃm，横を2cm，それぞれ延ばし，高さを1cm縮めた直方体を作ったら，体積が2/3(2分の3)倍になった。もとの立方体の1辺の長さを求めよ。
(もとの立方体の1辺の長さをｘcmとして、方程式をつくればいいのかな、っと思っているのですが…)

26586．Re: ☆数Ⅱ☆
名前：ヨッシー    日付：5月10日(水) 0時1分
(1)ｘ＝１がわかっているので、ｘ＝１を代入すれば、この方程式は成り立つはずです。
実際に代入すると、ｂだけの式になり、ｂを求めることが出来ます。
その上で、この式を　ｘ－１　で割って（割り切れますが）商を求め、
　ｘ^3+(ａ-1)ｘ^2+(1-ａ)ｘ+ｂ＝(ｘ－１)(ｘの２次式)
の形にします。ｘの２次式＝０　からは実数解は得られないので、（以下略）

(2)
２分の３は　３／２　です。
考え方はそれでいいです。
元の立方体の一辺をｘcmとすると、体積はｘ^3 cm^3。
変形後の体積は
　(ｘ＋１)(ｘ＋２)(ｘ－１)＝３ｘ^3/２
左辺を展開して、
　ｘ^3＋２ｘ^2－ｘ－２＝３ｘ^3/２
両辺２を掛けて移項すると、
　ｘ^3－４ｘ^2＋２ｘ＋４＝０
ｘ＝２ は１つの解なので、ｘ－２ をくくりだして
　(ｘ－２)(ｘ^2－２ｘ－２)＝０
これを解いて、（以下略）
答えは２つあります。
　
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26580．因数分解  
名前：すすか（高１）    日付：5月9日(火) 21時15分
この問題を教えてください。
問　次の式を因数分解しなさい。
（１）ｘ＾2+ｘｙ-６ｙ＾2-４ｘ+１３ｙ-５
（２）２ｘ＾2+ｘｙ-ｙ＾2-７ｘ+２ｙ+３
（３）３ｘ＾2+８ｘ-３
（４）６ｘ＾2-５ｘ-６

（３）、（４）をたすきがけで解こうと思ったのですができませんでした・・・
お願いします


26584．Re: 因数分解
名前：ヨッシー    日付：5月9日(火) 23時45分
(1) ｘについて整理します。
　ｘ^2＋(ｙ－４)ｘ－６ｙ^2＋１３ｙ－５
　＝ｘ^2＋(ｙ－４)ｘ－(２ｙ－１)(３ｙ－５)
　＝ｘ^2＋(ｙ－４)ｘ＋(１－２ｙ)(３ｙ－５)
足して　ｙ－４，掛けて(１－２ｙ)(３ｙ－５) になるのは、
１－２ｙと３ｙ－５なので、
　(ｘ－２ｙ＋１)(ｘ＋３ｙ－５)

(2) 同様に
　２ｘ^2＋(ｙ－７)ｘ－ｙ^2＋２ｙ＋３
　＝２ｘ^2＋(ｙ－７)ｘ－(ｙ－３)(ｙ＋１)
　＝２ｘ^2＋(ｙ－７)ｘ＋(３－ｙ)(ｙ＋１)

　(－ｘ－ｙ＋３)(－２ｘ＋ｙ＋１)
　＝(ｘ＋ｙ－３)(２ｘ－ｙ－１)

(3)

　３ｘ＾2+８ｘ-３
　＝(３ｘ－１)(ｘ＋３)

(4)

　６ｘ＾2-５ｘ-６
　＝(３ｘ＋２)(２ｘ－３)
　
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26579．(untitled)  
名前：ｋ    日付：5月9日(火) 21時7分
BCを1：2に外分するといううのはどういう図になるんでしょうか普通に
２：１に外分したのとおなじなのですか？


26585．Re: (untitled)
名前：ヨッシー    日付：5月9日(火) 23時49分

ＤがＢＣを１：２に外分した点
　ＢＤ：ＣＤ＝１：２　です。
ＥがＢＣを２：１に外分した点
　ＢＥ：ＣＥ＝２：１　です。
　
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26578．微分の問題  
名前：彩夏（高2）    日付：5月9日(火) 21時4分
f（x）＝x3－kx2＋4kについて

（1）x≧0のとき常にf（x）≧0となるような定数kの値の範囲を求めよ。

（2）y＝f（X）のグラフが kの値によらずに通る2つの点 A（a,f（a））,B（b,f（b））（a＜b）を求めよ。更に、 a＜x＜b のとき常にy＝f（x）のグラフが線分 AB よりも上にあるような定数kの値の範囲を求めよ。

という問題が分かりません(;_;)どなたか教えてください。お願いします！


26591．Re: 微分の問題
名前：ヨッシー    日付：5月10日(水) 9時15分

(1)x≧0のとき常にf（x）≧0となるには、
　極小点のｘ座標が
　　ｘ≦０　のときは　f(0)≧0 であれば十分です。
　　ｘ＞０　のときは　点線のような場合もあるので、f(0)≧0 だけではなく、
　　　極小値が０以上であることが必要です。
　以上を踏まえて、f(x)をｘで微分して、
　f'(x)＝3x^2-2kx＝x(3x-2k)
　f'(x)＝０ となるのは、x=0, 2k/3
i)ｋ＝０ のときは、f(x)＝x^3 となり、ｘ≧０　のとき　f(x)≧０ となります。
ii)ｋ＜０ のとき、極小はｘ＝０ のときで、f(0)≧０ であれば十分です。
　f(0)＝４ｋ≧０
　これは、ｋ＜０ より、あり得ません。
iii)ｋ＞０ のとき、極小は　ｘ＝2k/3 で、
　極小値は　f(2k/3)＝4k(27-k^2)/27 ≧0 より
　ｋ≦-3√3　または　0≦k≦3√3

以上より、0≦k≦3√3
　
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26562．普通の問題ですみませんorz  
名前：ﾌｰ    日付：5月8日(月) 23時33分
小球を地上で水平方向から３０度上向きに初速度４９m/s
でうちだした・小球は何秒後に地面に落ちるか
Vｙはあるのでしょうか


26569．Re: 普通の問題ですみませんorz
名前：ヨッシー    日付：5月9日(火) 7時53分

Vy とは、こういうことでしょうか？
　
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26574．Re: 普通の問題ですみませんorz
名前：ﾌｰ    日付：5月9日(火) 17時45分
はい；すみませｎ；；

26575．Re: 普通の問題ですみませんorz
名前：ヨッシー    日付：5月9日(火) 18時42分
えっと。
Vy はあるか？というと Vy＝49/2 m/s として存在するわけですが、
これがわかれば、あとは解けるのでしょうか？
　
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26577．Re: 普通の問題ですみませんorz
名前：ﾌｰ    日付：5月9日(火) 20時59分
えっと最高点０＝４９×ｻｲﾝ３０－９．８ｔ　　２ｔ
で　　　　Vｙってのは常に同じなんでしょうか・・・？？？

26587．Re: 普通の問題ですみませんorz
名前：ヨッシー    日付：5月10日(水) 0時7分
Vｙ が何を表しているかによります。
初速度の鉛直成分を言っているのであれば、Vy＝49/2 です。
鉛直方向の速度を言っているのなら　Vy＝49sin30°－９．８ｔ です。
最高点での速度は０なので、
　49sin30°－９．８ｔ＝０
となるわけです。これの２倍が往復の時間です。
　
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26601．Re: 普通の問題ですみませんorz
名前：ｋ    日付：5月10日(水) 22時8分
助かりましたｍｍｍｍありがとうございますorz

26560．高1です  
名前：たくみん    日付：5月8日(月) 22時21分
(ac＋bd)^2＋(ad-bc)^2を因数分解して
a^2＋b^2＝1，c^2+d^2=1，ac+bd=1の時、a^2-d^2，b^2-c^2の値を求めよ


 26567．Re: 高1です
名前：ヨッシー    日付：5月9日(火) 6時38分
> (ac＋bd)^2＋(ad-bc)^2を因数分解して
> a^2＋b^2＝1，c^2+d^2=1，ac+bd=1の時、a^2-d^2，b^2-c^2の値を求めよ

問題の主体は２行目です。
この部分が変わらない限り結果は同じです。

ひょっとして、
(a^2-d^2)/(b^2-c^2) の値を求めよ
とかじゃないでしょうか？
　
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26559．(untitled)  
名前：ﾌｰ    日付：5月8日(月) 22時18分
２．０ｍ/sの速さで流れる川を船で横切るため
船首を川岸に直角な方向へ向けたが川岸に対して60度の方向に進んだ
船の岸に対する速さ４m/s
および静水中での早さ3.4m/s・・・・・・
であっているのでしょうか？


26570．Re: (untitled)
名前：ヨッシー    日付：5月9日(火) 8時0分
数学の問題なら　4m/s, 2√3m/s
理科の問題なら、4.0m/s, 3.5m/s　ですね。
　
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26555．少数0.2を分数にする方法を教えてください  
名前：まい    日付：5月8日(月) 21時56分
少数0.2を分数にする方法を教えてください
五年 まい


26558．Re: 少数0.2を分数にする方法を教えてください
名前：ヨッシー    日付：5月8日(月) 22時17分
少数ではなく、小数ですね。
0.1 は分数では 1/10 （１０分の１）ですね。
0.2 は、0.1 が２つ合わさったものですから、1/10 の２つ分、つまり、
2/10 ですね。
あとは、約分です。
　
http://yosshy.sansu.org/

26561．Re: 少数0.2を分数にする方法を教えてください
名前：まい    日付：5月8日(月) 22時22分
ありがとうございます。
また教えてください。
小５ まい

26554．リサージュ図形の方程式  
名前：タスク    日付：5月8日(月) 21時49分
問題は位相角が90度で,周波数比が1:1,1:2,1:3の三つの図形がある。この三つの図形の方程式を求めよです。

関数f(x,y)=0を使って解けばよいみたいですが、どのように
導くのかさっぱりわかりません。教えてください。


26573．Re: リサージュ図形の方程式
名前：jikk    日付：5月9日(火) 13時4分
x=Acos(nt),y=Bcos(mt+k)で表されます。(他の表現もあります）
A/Bは振幅比
n/mは周波数比
kは位相差です。
ここでは簡単のためA=B=1とします。
位相差は90度なので、k=π/2
よって、
x=cos(nt),y=-sin(mt)
後は周波数比1:1,1:2,1:3をn:mに代入してください。

26551．因数分解  
名前：たまえ・（高一）    日付：5月8日(月) 20時34分
ａ＾2（ｂ－ｃ）＋ｂ＾2（ｃ－ａ）＋ｃ＾2（ａ－ｂ）
私の答えは（ａ－ｂ)(ｂ－ｃ)(ａ－ｃ)なのですが、
これで検算すると始めの式にならず、
答えは－（ａ－ｂ)(ｂ－ｃ)(ｃ－ａ)
でした。
答えが合っているのは検算でわかるのですが、
なぜ－がついて（どこから来るのか）、なぜ(ａ－ｃ)が(ｃ－ａ)
になるのかがわかりません。

お忙しいところすいませんが、よろしくお願いします。


26563．Re: 因数分解
名前：七誌    日付：5月8日(月) 23時27分
>baと書いても同値だという
馬鹿言ってんじゃないよ。
abとbaは同値だ。
－（ａ－ｂ)(ｂ－ｃ)(ｃ－ａ)
はじめに-がついてない分（ａ－ｂ)(ｂ－ｃ)(ａ－ｃ)
の方が見やすいし、どっちにするかは人それぞれ。　
　そんな主観的な事にこだわる方が遥かに数学的センスがないと
いえるでしょう。
　単に流儀や慣習として並べ順があるだけ。

26565．Re: 因数分解
名前：たまえ・（高一）    日付：5月9日(火) 0時2分
とてもご丁寧なお答えありがとうございました！
他にも疑問に感じていたことが、田中さんのお話で理解することができました。

abとbaは同値だけど違いはセンスの違いということですね。
センスにも個人差があるでしょうが、サイクリックな表現で新たなセンスを身につけてみます！

田中さん、七誌さん、ありがとうございました！

26566．Re: 因数分解
名前：七誌    日付：5月9日(火) 1時53分
話の流れから言って交換則の成り立つ場合のことだと捉えるのが自然だと思うが。
　もし成り立たないなら、ａ＾2（ｂ－ｃ）＋ｂ＾2（ｃ－ａ）＋ｃ＾2（ａ－ｂ）は変形しても
（ａ－ｂ)(ｂ－ｃ)(ａ－ｃ)にはならないだろう。交換則を使う問題の話をしているのに、突然おかしな事を言いだすんじゃない。
　俺様の言ったことは因数分解の問題なんだから、論理的に言って因数分解されていれば
何を書いても正解じゃなきゃおかしいだろって事、もしくはそれに準じた事だよ。

しかし、センスがどうのこうの何てレベルが低いなー。
とりあえず、あなたの言うセンスなんて大したものじゃない。
数学っていうのは論理的に正しい限り自由なんだよ。馬鹿が。

　サイクリだかヘソクリだか知らないが、この式には対称性があるようだね。
文字をうまく互いに入れ替えると同じ式になる。
対称って言ってもa→bとb→aと同時に入れ替えてもだめだ。
a→b,b→c,c→aと同時に入れ替えると同じ式になる。
ま、対称にもいろいろ種類があって複雑だってことだな。
http://www1.ezbbs.net/cgi/bbs

26550．因数分解  
名前：すすか（高１）    日付：5月8日(月) 20時25分
どうしてもわからないので書き込みさせてもらいました。

問　次の式を因数分解せよ
（１）４ｘ＾3－２ｘ＾2－６ｘ　　
（２）ｘ＾3ｙー４ｘｙ＾3－３ｘ＾2ｙ＾2

問　次の式をａについて整理し、因数分解せよ
（１）ａｂ+ａｃ+ｂ＾2+ｂｃ
（２）ａｂ+ｂ＾2+ａｃ-ｃ＾2
よろしくお願いします。


26553．Re: 因数分解
名前：だるまにおん    日付：5月8日(月) 21時19分
(1)
4x3-2x2-6x
=2x(2x2-x-3)
=2x(2x-3)(x+1)

(2)
x3y-4xy3-3x2y2
=xy(x2-4y2-3xy)
=xy(x+y)(x-4y)

(1)
ab+ac+b2+bc
=(b+c)a+b(b+c)
=(b+c)(a+b)=(a+b)(b+c)

(2)
ab+b2+ac-c2
=ab+ac+b2-c2
=(b+c)a+(b+c)(b-c)
=(b+c)(a+b-c)

26557．Re: 因数分解
名前：すすか（高１）    日付：5月8日(月) 22時5分
完全に理解をしてないのでこれから
できるように努力していきます。
ありがとうございました。

26549．ベクトルです  
名前：華    日付：5月8日(月) 19時0分
直方体ABCD－EFGHでAB＝３、AD＝√２、AE＝１とする。ただし
→AB＝→a,→AD=→b,→AE=→cとする

1)→AG・→BHの値と→AGと→BHのなす角θを求めよ

という問題がわからなくて困っています。よろしくお願いします。


26571．Re: ベクトルです
名前：ヨッシー    日付：5月9日(火) 8時17分

Ａを原点とし、ＡＢ，ＡＤ，ＡＥ方向をそれぞれ、ｘ軸、ｙ軸、ｚ軸として、
ベクトルを成分表示すると
ａ＝(3,0,0)
ｂ＝(0,√2,0)
ｃ＝(0,0,1)
と書けます。
ＡＧ＝ａ＋ｂ＋ｃ＝(3,√2,1)
ＢＨ＝ＡＨ－ＡＢ＝ｂ＋ｃ－ａ＝(-3,√2,1)
内積を取って、
ＡＧ・ＢＨ＝(中略)＝－６
|ＡＧ|＝|ＢＨ|＝2√3　より、
cosθ＝(中略)＝-1/2
θ＝・・・
　
http://yosshy.sansu.org/

26576．Re: ベクトルです
名前：華    日付：5月9日(火) 20時43分
ありがとうございました。

26542．おねがいします＾＾  
名前：たくみん    日付：5月7日(日) 22時53分
(ac＋bd)^2＋(ad＋bc)^2を因数分解して
a^2＋b^2＝1，c^2+d^2=1，ac+bd=1の時、a^2-d^2，b^2-c^2の値を求めよ


26546．Re: おねがいします＾＾
名前：ヨッシー    日付：5月8日(月) 9時27分
条件が抜けていませんか？
たとえば、a=3/5,b=4/5,c=3/5,d=4/5 のとき、
　a^2＋b^2＝1，c^2+d^2=1，ac+bd=1
であり、このとき、
　a^2-d^2＝-7/25，b^2-c^2＝7/25
です。一方、a=4/5,b=3/5,c=4/5,d=3/5 のとき、
　a^2＋b^2＝1，c^2+d^2=1，ac+bd=1
ですが、
　a^2-d^2＝7/25，b^2-c^2＝-7/25
となり、a^2-d^2，b^2-c^2の値は、１つに定まりません。
　
http://yosshy.sansu.org/

26541．初めまして。  
名前：小梅    日付：5月7日(日) 22時35分
こんばんわ。初めまして。わからない問題がありましたので教えてください（涙）

１・サイコロの目は、対面の数の和がいずれも７になるように打ってある。外見上はっきり区別のつくサイコロは何種類あるか。

２・順列グラフにおいては全ての頂点が次数２であることを示せ。


以上です。宜しくお願い致します。


26572．1だけ
名前：angel    日付：5月9日(火) 12時37分
> １・サイコロの目は、対面の数の和がいずれも７になるように打ってある。外見上はっきり区別のつくサイコロは何種類あるか。

あの黒い点が、目の数分ついているスタンダードなサイコロを想定して計算します。

まず1を打つと、対面の6も決まります。ここまで1通り
次に、4を、6に対して縦/横どちらの向きにつけるか、2通り
3は、4の対面に決まりますが、斜め3連の点の向きが2通り
5は、残った2面の一方で2通り
2は、最後の面に決まりますが、斜め2連の点の向きが2通り

全部かけて 16通りとなります。

26538．またまた質問です  
名前：ｍｍｍ    日付：5月7日(日) 21時31分
何度もすいません

初項が１、公比２、末項５１２の等比数列の項数と初項から末項までをもとめよ。
これの詳しい解説お願いします。


26540．Re: またまた質問です
名前：jikk    日付：5月7日(日) 22時14分
a[n]=2^(n-1)
2^9=512なので、最後の項はa[10]

26556．Re: またまた質問です
名前：ｍｍｍ    日付：5月8日(月) 22時3分
ありがとうございました。よく分かりました

26536．(untitled)  
名前：すすか（高１）    日付：5月7日(日) 21時13分
今、中学の復習で因数分解をやっているのですが
最初っからつまづいています。

問　因数分解をしなさい

（１）（ａ-ｂ）ｘ+（ｂ-ａ）ｘ　

（２）（ａ+ｂ）ｘ-ａ-ｂ

よろしくお願いします


26537．Re: (untitled)
名前：たくみん    日付：5月7日(日) 21時28分
(１)はax-bx+bx-axとなり、答えは０です。
(２)は
ax+bx-a-b
=a(x-1)+b(x-1)
=(x-1)(a+b)
となります。

26539．Re: (untitled)
名前：すすか（高１）    日付：5月7日(日) 21時38分
すいません。（１）の問題に間違えがありました
（１）は（ａ-ｂ）ｘ+（ｂ-ａ）ｙです
本当にごめんなさい

26543．Re: (untitled)
名前：たくみん    日付：5月7日(日) 22時55分
ax-bx+by-ay
=a(x-y)-b(x-y)
=(a-b)(x-y)
となります。

26535．お願いします！高１です。  
名前：たくみん    日付：5月7日(日) 21時8分
(ac＋bd)^2＋(ad＋bc)^2を因数分解して
a^2＋b^2＝1，c^2+d^2=1，ac+bd=1の時、a^2-d^2，b^2-c^2の値を求めよ


26548．Re: お願いします！高１です。
名前：X    日付：5月8日(月) 17時58分
問題文にタイプミスはありませんか？。
この問題文のままだとa^2-d^2，b^2-c^2は一定の値にはなりません。

26532．あってますか？  
名前：すすか（高１）    日付：5月7日(日) 19時28分
問題　６個の数字１・２・３・４・５・６から異なる４個を
　　　並べて出来る３０００以上の数はいくつあるか？

という問題ですが、私は２４０個とでました。
自信がないので教えてください。


26533．Re: あってますか？
名前：らすかる    日付：5月7日(日) 20時52分
1000の位に使える数が3,4,5,6の4通り
100の位に使える数が1～6から1000の位に使った数を除いた5通り
10の位に使える数は残りの4通り
1の位に使える数は残りの3通り
従って4×5×4×3=240通りで合ってます。
http://www10.plala.or.jp/rascalhp

26534．Re: あってますか？
名前：すすか（高１）    日付：5月7日(日) 21時3分
良かった～
ありがとうございました。

26531．物理ですが　わからないんですorz  
名前：ニア    日付：5月7日(日) 19時7分
静水中４ｍ/sで進む船が流速３，０m/s幅１．２×１０＾２ｍの川を進む
１）船首を流れに垂直に向けて進むとき船の速度をもとめよ
たぶん５ｍ/s・・・・・・のとき
２）１）のとき川を渡るときに要する時間
３）１）　　　渡り始めた点からどれだけ下流の対岸に到達するか
３）この船が流れに直角にすすむには船首をどの向きにむけなければならないか


26547．Re: 物理ですが　わからないんですorz
名前：ヨッシー    日付：5月8日(月) 12時25分
物理だと、有効数字が気になりますが、４．０ｍ／ｓではなくて４ｍ／ｓなのですね？
２）１秒間に川幅方向に４ｍ、流れ方向に３．０ｍ進むと考えると、
川幅１．２×１０^2ｍ進むのに何秒かかるかわかるでしょう。
３）同様に、それだけの時間で、流れの方向に何ｍ進むかもわかるでしょう。
４）川の流れの速度のベクトルと、船の速度のベクトルとを足したベクトルが、
流れに垂直になればいいので、図のような感じです。
流れと逆方向から、角度θが　cosθ＝3/4 を示すような角度だけ、対岸に向いた方向です。
　
http://yosshy.sansu.org/

26529．(untitled)  
名前：けん（大学1年）    日付：5月7日(日) 18時38分
地球の内部にある物体は、その内部の部分しか力を受けず、外部から受ける力の和は０になる
の、証明をお願いします。

26526．浦和レッズの長谷部誠じゃないです  
名前：長谷部誠    日付：5月7日(日) 14時48分
「因数定理」ってなんですか？


26527．Re: 浦和レッズの長谷部誠じゃないです
名前：のぶなが。    日付：5月7日(日) 17時31分
因数定理とは、
http://www.google.co.jp/search?as_q=&num=500&hl=ja&btnB=Google&as_epq=%E5%9B%A0%E6%95%B0%E5%AE%9A%E7%90%86&as_filetype=pdf

26519．(untitled)  
名前：CP9    日付：5月6日(土) 19時17分
AB=1BC=ﾙｰﾄ３の長方形ABCDがある対角線AC　BDの交点をOとし内積をもとめよ
ADﾍﾞｸﾄﾙ・AOﾍﾞｸﾄﾙ


26521．Re: (untitled)
名前：だるまにおん    日付：5月7日(日) 0時22分
AO
=(1/2)AC
=(1/2)(AB+BC)
なので
AD・AO
=(1/2)(AD・AB+AD・BC)
=(1/2)(0+3)
=3/2

26518．(untitled)  
名前：けん（大学1年）    日付：5月6日(土) 18時39分
ふたつ教えて下さい。

①連続関数f:R→R　について、
f:R→Rが単射⇔fが単調増加または単調減少

②２次正方行列Aに対して、平面状の写像TをT＝A（x y）で定義すると、
Aが逆行列をもつ⇔Tが全単射

右から左がわかりません。

以上ふたつ、よろしくお願いします。


26522．Re
名前：soredeha    日付：5月7日(日) 10時36分
②２次正方行列Aに対して、平面状の写像TをT＝A（x y）で定義すると、
Tが全単射　⇒　Aが逆行列をもつ
[ 証明 ]
Tが全単射とすると、Tは全射だから　あるp,q,r,sに対して
A[p]＝[1]
　[q]　 [0]

A[r]＝[0]
　[s]　 [1]
よって
[p　q]
[r　s]＝B　　とすると、　　　AB＝E　　　-------------------(1)

[x']
[y']＝v　とおいて、任意の v について
(AB)v＝E v
A(B v)＝v　
T(B v)＝v　
Tは全単射だから、逆写像T-1が定義される。逆写像の定義から　　
T-1(v)＝B v　　　---------------------(2)
一方、
[x]
[y]＝u　とおいて、任意の u について 逆写像の性質から
T-1(Au)＝u　　 (2)を使うと
B(Au)＝u
(BA)u＝u　　BA＝C　　とおいて、
C u＝u　　u は任意だから
C[1]＝[1]
　[0]　 [0]
C[0]＝[0]
　[1]　 [1]　よって
C[1　0]＝[1　0]
　[0　1]　 [0　1]、⇒　ＣＥ＝Ｅ　⇒　Ｃ＝Ｅ　⇒　ＢＡ＝Ｅ　-----(3)
(1) (3) より　Aは、逆行列Ｂをもつ。
.

26523．Re: (untitled)
名前：のぼりん    日付：5月7日(日) 8時30分

soredeha さん、②の質問の意味が良く判りましたね！
すばらしいです。
私は、何とかして解釈しようとしたのですが、結局わからず諦めて仕舞いました。
①の意味は判ったので、回答します。

連続関数 ｆ：Ｒ→Ｒ が狭義単調であれば、単射であることは明らかです。逆に、連続関数 ｆ：Ｒ→Ｒ が単射であると仮定します。必要ならば、－ｆ を改めて ｆ とおき、ｆ（０）＜ｆ（１） と仮定して一般性を失いません。

ｕ＜０ とします。ｆ（ｕ）≧ｆ（０） であれば、中間値の定理により、
　　　０＜∃ｘ≦１：ｆ（ｘ）＝ｍｉｎ｛ｆ（ｕ），ｆ（１）｝
だから、単射性に反します。よって、ｆ（ｕ）＜ｆ（０） です。
同様にして、
　　　ｕ＜０＜ｖ＜１＜ｗ ⇒ ｆ（ｕ）＜ｆ（０）＜ｆ（ｖ）＜ｆ（１）＜ｆ（ｗ）　…　☆
が示せます。

ｘ＜ｙ だとします。
ｘ，ｙ の間に １ または ２ があれば、☆ により ｆ（ｘ）＜ｆ（ｙ） です。
ｘ＜ｙ＜０ だとします。☆ で ｕ＝ｘ として、ｆ（ｘ）＜ｆ（０） です。ｆ（ｘ）≧ｆ（ｙ） であれば、中間値の定理により、
　　　ｘ≦∃ｕ＜ｙ＜∃ｖ≦０：ｆ（ｕ）＝ｍｉｎ｛ｆ（０），ｆ（ｘ）｝＝ｆ（ｖ）
だから、単射性に反します。よって、ｆ（ｘ）＜ｆ（ｙ） です。
同様にして、他の場合においても、ｆ（ｘ）＜ｆ（ｙ） が示せます。


26528．Re: (untitled)
名前：けん（大学1年）    日付：5月7日(日) 18時12分
soredehaさん、のぼりんさん、どうもありがとうございます。
②なんですが、成分計算をしないで証明する方法はないでしょうか？

26545．Re
名前：soredeha    日付：5月8日(月) 6時44分
②２次正方行列Aに対して、平面状の写像TをT＝A（x y）で定義すると、
Tが全単射　⇒　Aが逆行列をもつ
[ 証明 ]
Tが全単射　⇒　T-1が定義される。
Tは線形なので、T-1も線形。よって
T-1＝B(x,y)　　とおける。
(AB)(x,y)＝(T・T-1)(x,y)＝(x,y)＝E(x,y)　　より　　AB＝E
同様に
(BA)(x,y)＝(T-1・T)(x,y)＝(x,y)＝E(x,y)　　より　　BA＝E
よって、Aは逆行列Bをもつ。
.

26640．Re: (untitled)
名前：けん（大学1年）    日付：5月12日(金) 22時31分
ありがとうございました。

26509．運動量保存則  
名前：大学1年    日付：5月5日(金) 22時13分
Original Size: 1280 x 960, 155KB

図のように質量ｍの級が長さLの糸で吊るされ、
角度θの位置から放たれる。振り子の視点直下ｈのところのピンにまきつくための条件を求めよ(図は添付参照)

という問題なのですがどうやって解けばいいでしょうか、どなたかご教授願います。よろしくお願いします。


26513．Re: 運動量保存則
名前：ヨッシー    日付：5月6日(土) 10時8分
力学的エナジーの保存から言うと、
図のように、巻き付き時のてっぺんよりも高い位置から振ればいいと思いますが。

　
http://yosshy.sansu.org/

26520．Re: 運動量保存則
名前：のぼりん    日付：5月6日(土) 20時25分
振り子と天井の結び目に ｘｙ 座標系の原点を取ります。
ピンに巻き付く極限の θ を考えます。
ピンから見て右上 φ の位置で、球は円運動から抛物運動に移行し、右上方向からピンに当たります。
エネルギー保存則から、
　　　－ｇＬｃｏｓθ＝－ｇ｛ｈ－（Ｌ－ｈ）ｓｉｎφ｝＋ｖ２/２　…　①
向心力の条件から、
　　　ｇｓｉｎφ＝ｖ（Ｌ－ｈ）　…　②
抛物運動に移行してから時刻 ｔ の時に高さが －ｈ になったとすれば、
　　　－｛ｈ－（Ｌ－ｈ）ｓｉｎφ｝＋ｖｃｏｓφ･ｔ－ｇｔ２/２＝－ｈ　…　③
そのとき、ｘ＝０ だから、
　　　（Ｌ－ｈ）ｃｏｓφ＝ｖｓｉｎφ･ｔ　…　④
①、②を連立させて ｖ，φ を解き、③、④に代入し、ｔ を消去すれば、求める条件式が得られます。

26524．Re: 運動量保存則
名前：大学1年    日付：5月7日(日) 9時55分
お二人ともどうもありがとうございます。

26506．(untitled)  
名前：ｱﾘさん    日付：5月5日(金) 19時57分
aﾍﾞｸﾄﾙと│a│はどうちがうんですか
絶対値は大きさ？aﾍﾞｸﾄﾙ（3.ー4）
aﾍﾞｸﾄﾙと同じ向きの単位ﾍﾞｸﾄﾙの成分表示をもとめよa/│a│ﾍﾞｸﾄﾙ
になるのはなぜなんですか？


26511．Re:
名前：soredeha    日付：5月6日(土) 4時57分
|a|＝(aﾍﾞｸﾄﾙの大きさ)

(aﾍﾞｸﾄﾙと同じ向きのﾍﾞｸﾄﾙ)＝ta　（t＞0)　のカタチ
(単位ﾍﾞｸﾄﾙ)＝(大きさが１のベクトル）　　だから
t＝1/|a|　とすればよさそう。実際
1/|a|＞0
[(1/|a|)aの大きさ]＝|a|の(1/|a|)倍＝|a|(1/|a|)＝1
aﾍﾞｸﾄﾙと同じ向きの単位ﾍﾞｸﾄﾙは、ふたつは無いので
(1/|a|)a＝a/|a|　以外は無し。

a＝(-4,3)　のとき　|a|＝√{(-4)2＋32}＝5
(aﾍﾞｸﾄﾙと同じ向きの単位ﾍﾞｸﾄﾙ)＝(1/5)(-4,3)
　　　　　　　　　　　　　　＝(-4/5,3/5)
.

26503．積分  
名前：リシュレストリング・サガⅡ    日付：5月5日(金) 17時47分
１等式{1/t^2(t+1)}=(a/t)+(b/t^2)+{c/(t+1)}がすべての実数tについ　て成り立つように定数a,b,cの値を定めよ。
（この問題は恒等式を使うみたいなんですけど
　どことどこをイコールさせればいいのか分かりません＞＜
２定積分∫[0→1][dx/e^(x){1+e^(x)}]の値を求めよ。
（これは最初のほうからどう解けばいいのか分からないです＞＜

おねがいします、教えてください！
あと下のほうに（このページの）二問お返事を書かせてもらったので（質問です）それに答えてくださればありがたいです＞＜
おねがいします！！


26504．Re: 積分
名前：X    日付：5月5日(金) 17時56分
1
部分分数分解ですね。
右辺を通分して分子を左辺と比較しましょう。

2
e^x=tと置くとdx=dt/t
でx:0→1にt:1→eが対応し
(与式)=∫[1→e][1/{(t^2)(t+1)}]dt
後は1の結果を代入します。

26516．Re: 積分
名前：リシュレストリング・サガⅡ    日付：5月6日(土) 15時48分
ありがとうございました！
すみませんけど、詳しい式とか書いていただけるとありがたいんですが・・＞＜　生意気言ってすみません！！
教科書を読んでも分からないので途方にくれています。
おねがいします！！

26517．Re: 積分
名前：リシュレストリング・サガⅡ    日付：5月6日(土) 15時51分
あと　＞＜
この次のページの上のほうに、質問を二つ書かせてもらってるので
どなたか答えていただけないでしょうか？
すみません、お願いばっかりして。＞＜

26544．Re: 積分
名前：soredeha    日付：5月8日(月) 5時58分
１．
{1/t^2(t+1)}=(a/t)+(b/t^2)+{c/(t+1)}　　　両辺に　t^2(t+1)　をかける
1＝at(t＋1)＋b(t＋1)＋ct^2
t＝0　を代入　⇒　b＝1
t＝-1　を代入　⇒　c＝1
t＝1　を代入　⇒　1＝2a＋2b＋c　⇒　a＝-1

２．
∫[0→1]dx/e^(x){1+e^(x)}
e^(x)＝t　とおいて　　dt/dx＝e^(x)　⇒　dt/dx＝t　⇒　dt＝tdx
⇒　dx＝(dt)/t
∫[0→1]dx/e^(x){1+e^(x)}＝∫[1→e]{(dt)/t}/{t(1+t)}
　　　　　　　　　　　　　＝∫[1→e]{dt/{t^2(1+t)}
＝∫[1→e]{-1/t＋1/t^2＋1/(t+1)}dt
＝[-log t＋(-1)t^(-1)＋log(t+1)](1→e)
＝・・・
.

26592．Re: 積分
名前：リシュレストリング・サガⅡ    日付：5月10日(水) 13時13分
ありがとうございました！！
おかげさまで理解できました！！

26499．教えてください  
名前：ｍｍｍ    日付：5月5日(金) 16時31分
分からない問題があるので解説してほしいです。

｛問題｝次の条件を満たす点Ｐの軌跡を求めよ。
(2)　２点Ａ（－３，２）Ｂ（５，４）を通る円の中心Ｐ

という問題です。
よろしくお願いします


26500．Re: 教えてください
名前：X    日付：5月5日(金) 17時20分
P(x,y),問題の円の半径をrとすると
(x+3)^2+(y-2)^2=r^2 (A)
(x-5)^2+(y-4)^2=r^2 (B)
(A)(B)からrを消去します。

26505．Re: 教えてください
名前：X    日付：5月5日(金) 19時9分
ちなみに図形的に考えると、求める軌跡は線分ABの垂直二等分線になります。

26507．Re: 教えてください
名前：ｍｍｍ    日付：5月5日(金) 21時35分
返信ありがとうございます。
質問なんですが『＾』ってなんですか???

26508．Re: 教えてください
名前：ｍｍｍ    日付：5月5日(金) 21時37分
あとなんで半径ｒを消去できるんですか???

26510．Re: 教えてください
名前：ｍｍｍ    日付：5月6日(土) 0時9分
＾の意味分かりました。2乗ってことですね。
まだ半径ｒをなぜ消せるのかが分からないのでおしえてほしいです

26514．補？
名前：jikk    日付：5月6日(土) 12時22分
求めたいのは点P(x,y)の軌跡（つまり、xとyの関係式）ですので、
(A),(B)を連立方程式として解きます。この際rは消去できるので
消去します。

26525．Re: 教えてください
名前：ｍｍｍ    日付：5月7日(日) 10時25分
はい、分かりました。どうもありがとうございました(*^▽^*)

26495．ぜんっぜんわかりません　どうゆう流れかわかりません　証明のｺﾂみたいなのはないんでしょうか  
名前：CP9    日付：5月4日(木) 23時23分
四角形ABCDについて次ことを証明せよ
四角形ABCDが平行四辺形⇔ACﾍﾞｸﾄﾙ＋BDﾍﾞｸﾄﾙ＝２ADﾍﾞｸﾄﾙ


26496．太字はベクトル
名前：だるまにおん    日付：5月5日(金) 1時23分
まず四角形ABCDが平行四辺形⇒AC+BD=2ADを示す。
四角形ABCDは平行四辺形なのでAB+AD=AC
したがって
AC+BD
=(AB+AD)+(AD-AB)
=2AD
よって四角形ABCDが平行四辺形⇒AC+BD=2ADが示せた。

次にAC+BD=2AD⇒四角形ABCDが平行四辺形を示す。
AC+BD=2AD
⇒AC+(AD-AB)=2AD
⇒AC-AB=AD
∴BC=AD
よってAC+BD=2AD⇒四角形ABCDが平行四辺形が示せた。

以上より四角形ABCDが平行四辺形⇔AC+BD=2ADが証明された。

26498．Re
名前：soredeha    日付：5月5日(金) 2時18分
⇔を証明するので、⇒　と　←　をいう。

「四角形ABCDが平行四辺形　⇒　ACﾍﾞｸﾄﾙ＋BDﾍﾞｸﾄﾙ＝２ADﾍﾞｸﾄﾙ」の証明
等式を示すので、（左辺）－（右辺）＝０　　　を示す。
(AC＋BD) - 2AD
＝AC＋(AD - AB) - 2AD　　（始点を揃えた）
＝AC - AD - AB　　　　　（仮定を使って、AC,AD,ABの関係を考える）
＝(AB＋AD) - AD - AB＝０　　（終了）

「四角形ABCDが平行四辺形　←　ACﾍﾞｸﾄﾙ＋BDﾍﾞｸﾄﾙ＝２ADﾍﾞｸﾄﾙ」の証明
（仮定を変形する）
ACﾍﾞｸﾄﾙ＋BDﾍﾞｸﾄﾙ＝２ADﾍﾞｸﾄﾙ　　　（始点をAに揃える）
AC＋(AD - AB)＝2AD　　　　　　　　
AC＝AD＋AB　　　　----------------------------------(1)
結論をベクトルで表わすと、ABベクトル＝DCベクトル
等式を示すので、（左辺）－（右辺）＝０　　　を示す。
AB - DC＝AB - (AC - AD)　　　　（始点をAに揃えた）
＝AB - AC＋AD
＝AB - (AD＋AB)＋AD　　（(1)を代入した）
＝０　　（終了）
.

26494．等式と微分積分  
名前：orange    日付：5月4日(木) 22時2分
等式の変形について教えてください。
両辺に同じものを足す、とか、同じもの÷とかはわかるんですが
両辺をｘで微分とか、両辺を積分とか
の意味がよくわかりません。
なぜそんなことをしていいんですか？
認めるしかないのですか？教えてください。


26497．Re: 等式と微分積分
名前：soredeha    日付：5月5日(金) 1時29分
同じ（一致する）ｘの関数をｘで微分しても同じ（一致する）。
同じ（一致する）ｘの関数をｘで積分しても同じ（一致する）。
.

26491．角と点  
名前：till    日付：5月4日(木) 18時58分
高校一年のtillと申します。次の問題が解けないのでどなたか教えてください。
【角とその内部に与えられた点Ａがある。角を構成する二線と点Ａに接する円を作図しなさい。】


26492．Re: 角と点
名前：らすかる    日付：5月4日(木) 19時21分
次ページ26395番に同じ問題の解答が載っています。
http://www10.plala.or.jp/rascalhp

26493．Re: 角と点
名前：till    日付：5月4日(木) 20時17分
気がつきませんでした……、すいません。ありがとうございました。

26485．(untitled)  
名前：BAKA    日付：5月4日(木) 15時33分
四角形ABCDにおいて辺AB,BC,CD,DAの中点をそれぞれPQRSとするとき四角形PQRSは平行四辺形であることを示せ・・・でABﾍﾞｸﾄﾙをｂACﾍﾞｸﾄﾙ＝ｃADﾍﾞｸﾄﾙ=ｄなどをどうゆう基準できめてるんですか？


26486．Re: (untitled)
名前：だるまにおん    日付：5月4日(木) 15時39分
bはABのBの小文字
cはACのCの小文字
dはADのDの小文字
と考えると規則性が見えてきませんか？

26488．Re: (untitled)
名前：BAKA    日付：5月4日(木) 15時59分
これはAを始点としてつながるものを全部あらわすようにすればいいですかそれとも先に答えの流れをつかんで必要なのをあらわすようにすればいいんですか

26489．？？？？？？
名前：だるまにおん    日付：5月4日(木) 16時7分
先に答えの流れをつかんで必要なのをあらわす方が賢明な気がします…

26490．Re: (untitled)
名前：jikk    日付：5月4日(木) 16時46分
線分ACを引いて、△ABCと△ACDに分けます。中点連結定理を使えば、
QPとRSがACに平行で、長さがACの半分で等しい。
よって、□PQRSは平行四辺形。

26480．因数定理  
名前：ゆみ    日付：5月3日(水) 23時57分
多項式Ｐ(x)は（ｘ－１）(ｘ－1)で割ると２ｘ－３あまり、ｘ－２で割り切れる。Ｐ（ｘ）を（ｘ－１）（ｘ－１）（ｘ－２）で割ったときの余りを求める。のとき方が分かりません。


26481．Re: 因数定理
名前：soredeha    日付：5月4日(木) 5時54分
Ｐ（ｘ）を（ｘ－１）（ｘ－１）（ｘ－２）で割ったときの商を Q(x),余りを　ax^2＋bx＋c　とすると
P(x)＝(x - 1)(x - 1)(x - 2)Q(x)＋(ax^2＋bx＋c) 　　------------(a)
ax^2＋bx＋c　を　(x - 1)(x - 1)で割ったときの余りを　px＋q　とおくと
ax^2＋bx＋c＝a(x - 1)(x - 1)＋(px＋q), --------------------(b)
P(x)＝(x - 1)(x - 1)(x - 2)Q(x)＋a(x - 1)(x - 1)＋(px＋q)
　　＝(x - 1)(x - 1){(x - 2)Q(x)＋a}＋(px＋q)
問題の条件より、Ｐ(x)は（ｘ－１）(ｘ－1)で割ると２ｘ－３　余るから
px＋q＝2x - 3　,これを(b)へ代入すると
ax^2＋bx＋c＝a(x - 1)(x - 1)＋(2x - 3),これを(a)へ代入すると
P(x)＝(x - 1)(x - 1)(x - 2)Q(x)＋a(x - 1)(x - 1)＋(2x - 3)　---(c)
問題の条件より、P(x)は　ｘ－２で割り切れるから因数定理より
P(2)＝0、　　　(c)　より　P(2)＝a＋1
a＋1＝0　　より　　a ＝ -1
.

26473．しょうもないことですが・・・  
名前：BAKA    日付：5月3日(水) 17時54分
次の点Aをとおりﾍﾞｸﾄﾙｄﾍﾞｸﾄﾙに平行な直線の方程式　　　　　　　　　A（１，３）ｄﾍﾞｸﾄﾙ（２．４）


26474．Re: しょうもないことですが・・・
名前：jikk    日付：5月3日(水) 18時40分
y＝2x+1

26475．ありがとうございますｍｍ
名前：BAKA    日付：5月3日(水) 20時17分
できればやり方をおしえてください

26476．Re: しょうもないことですが・・・
名前：jikk    日付：5月3日(水) 20時53分
原点Oから見たベクトルd　Odの傾きは2なので、y=2xとします。
直線y=2xをA(1,3)を通るように平行移動させると、
y-3=2(x-1)

y=2(x-1)+3
y=2x-2+3

y=2x+1

26478．SARANI；；；
名前：BAKA    日付：5月3日(水) 22時25分
これの媒介変数をもとめよってなったらどやってもとめるんですか？

26479．Re: しょうもないことですが・・・
名前：jikk    日付：5月4日(木) 11時38分
y-1=2x

t=2xと置きます。

x=t/2
y=t+1

26482．Re: しょうもないことですが・・・
名前：花パジャ    日付：5月4日(木) 10時12分
(x,y)=A+td かと
すなわち
x=1+2t
y=3+4t
...

26483．質問をしておいてなんですが
名前：BAKA    日付：5月4日(木) 14時48分
媒介変数ってなんですかこの場合ｔ＝ｙ－３/4
なんですか

26484．Re: しょうもないことですが・・・
名前：jikk    日付：5月4日(木) 15時31分
媒介変数とは、
x=f(t)
y=g(t)
z=h(t)
のように表される時のtのような変数です。

26487．Re: しょうもないことですが・・・
名前：BAKA    日付：5月4日(木) 15時51分
ありがとうございますｍｍやっとわかりました＼（゜∀゜）Г

26468．重複順列  
名前：博美    日付：5月2日(火) 23時33分
こんばんは。高校３年生です。
次の問題について、どうかどなたかお教えください。

７個の要素からなる集合の部分集合の総数を求めよ。

で、答えは１２８となっていました。
これは、２^７ですよね。
すなわち、それぞれの要素に入るか、あるいは入らないかの、２通りずつの選択があり得て、それが７個あるから、２^７なんでしょうか。

わたしが一番最初に考えたのは（絶対変な考え方なので恥ずかしいですが）
１つの要素を１つの円であらわして、どの２つの円も２つの交点をもつように７この円をかき、その円によって平面がいくつにわかれるか、ということで、数列を使おうとしたんです。
漸化式より、
a｛n+1｝＝a｛n｝+2n　すなわち、
a｛n｝＝n^2-n+2とし、
n＝７
としたわけですが、当然、答えとあいません。
どこか根本的に違うようですが、どこがどうまずいのでしょうか。
変な解法を勝手にして、たいへん恐縮ですが、どなたかご指摘ください。


26471．Re: 重複順列
名前：jikk    日付：5月3日(水) 13時0分
着想としては合っていますが、平面で、互いに2つの交点を持つ円の個数の最大数は3です。

各分岐が2つの7回の分岐の樹形図と同値になるので、2＾7となります。

>すなわち、それぞれの要素に入るか、あるいは入らないかの、２通りずつの選択があり得て、それが７個あるから、２^７なんでしょうか。
これも合ってます。

数列を使うのであれば、n個の円とUで全ての場合を表せる仮想空間を考えて、
1個の円 : 2
2個の円 : 4
3個の円 : 8
4個の円 : 16
n個の円 : 2^n

a[n]=2^nです。

26472．Re:
名前：博美    日付：5月3日(水) 17時50分
jikk さん、ご返信ありがとうございます。

>平面で、互いに2つの交点を持つ円の個数の最大数は3です。

そうだったんですか！
初めて知りました、ちょっと感動しました。

そしていろいろ学べました。
数列を使う解法もご丁寧に示していただき本当にありがとうございます。
とってもたすかりました。

26463．またまたお願いします  
名前：ＯＯ高等学校    日付：5月2日(火) 22時28分
①円Ｏと円Ｏの外部にある点Ｐについて、点Ｐを通る円Ｏの二つの接点をＡ，Ｂとする。
いま、弦ＡＢ上の任意の点Ｍについて、Ｍを通る線分ＯＭに垂直な直線とニ直線ＰＡ，ＰＢの交点をそれぞれＸ，Ｙとするとき、点Ｍが線分ＸＹの中点になることを証明せよ。

②半径ｒの円の中に、三つの合同な正方形が「∴」のような形に積み重なり一部（合計４点）で円に接している。このとき、正方形の一辺の長さを求めよ。

③鋭角三角形△ＡＢＣの頂点Ａから辺ＢＣ下ろした垂線の足をＴとし、点Ｔから辺ＡＢ，ＡＣに下ろした垂線の足をそれぞれＸ，Ｙとする。このとき、□ＢＣＹＸは円に内接することを証明せよ。また、△ＡＢＣの外心をＯとするとき、二直線ＯＡ，ＸＹが直交することを証明せよ。

②は図の載せ方がわからなくて、わかりにくい説明になってしまい、すいません。宜しくお願いします。


26464．Re: またまたお願いします
名前：ヨッシー    日付：5月2日(火) 22時53分
(2) は、ホントにわかりませんね。

とりあえず、イメージできるものを描いてみました。
どこがどう違うか、言ってください。

また、そもそも、画像ファイルが作れるなら、記事の下の
添付　というところにファイル名を書き込めば、表示させられます。
　
http://yosshy.sansu.org/

26466．Re: またまたお願いします
名前：らすかる    日付：5月2日(火) 23時8分
Size: 144 x 144, 2KB

横レスですが、(2)は多分こうですね。
http://www10.plala.or.jp/rascalhp


26467．Re: またまたお願いします
名前：ＯＯ高等学校    日付：5月2日(火) 23時27分
えっと、ラスカルさんのような図です。
他の問題も宜しくお願いします。

26470．(2)について
名前：豆    日付：5月3日(水) 8時2分
対称性から、円の中心は3つの正方形の交点からx下方にあるとする。
正方形の1辺の長さをaとすれば、三平方の定理から、
下の正方形に対して、r^2=a^2+(a-x)^2
上の正方形に対して、r^2=(a+x)^2+(a/2)^2
xを消去すれば、aがrで表せる。

26459．式の順序  
名前：リシュレスト・サガⅡ    日付：5月2日(火) 18時44分
2つの曲線　C1:y=x^2 -4x+3,C2:y=-x^2 +2x-1について、
次のような立体の体積を求めよ。

(1)C1とC2で囲まれた部分を、x軸の周りに1回転してできる立体

この問題で、グラフを書くとC1が下向きに凸で、C2が上向きに凸だと分かりました。それで、易しいほうの教科書で読んだ∫[左→右]上の式-下の式、というのに当てはめてみると、この教書だと間違いになります。というか、これが当てはまらないので、今までのグラフの順序の明確な理由がなくなってしまい、順序をどうすればいいかパニくってしまっています。
この問題だと、式は
V=π∫[1→2](x^2 -4x+3)^2 dx-π∫[1→2](-x^2 +2x-1)^2 dxとなっています。
グラフを書いて見ると、C2が上に来てるから
V=π∫[1→2](-x^2 +2x-1)^2 dx-π∫[1→2](x^2 -4x+3)^2 dxじゃないんでしょうか？
式を書くときの順序のルールと、この問題ではどうしてこういうしきになるのかを聞きたいです！＞＜
おねがいします！！


26465．Re: 式の順序
名前：花パジャ    日付：5月2日(火) 22時56分
ちくわで言うと、C1が皮(?)で、C2が棒だから
棒の中心がx軸で、どっちが離れているかで判断します。

穴の辛うじて塞がったドーナツみたいな立体がイメージ出来てます?

26501．Re: 式の順序
名前：リシュレスト・サガⅡ    日付：5月5日(金) 17時34分
ありがとうございました！！
立体にして（回転させて）内側（身のほう）のほうの式が
先に来て、外側の（皮のほう）の式が後に来る
ってことでしょうか？
∫[左→右]内側の式-外側の式、て感じで。
>易しいほうの教科書で読んだ∫[左→右]上の式-下の式、
この上の文の式は平面には使えるけど、立体には使えないと言うことでしょうか？
んーと、なんかちょっとまだあやふやなので教えてください！＞＜
おねがいします！

26457．まったく分かりません  
名前：リシュレスト・サガ    日付：5月2日(火) 14時13分
動点Pが原点Oを中心とする半径rの円周上を
点A(rcosV,rsinV)から出発して、OPが1秒間に
角ωの割合で回転するように等速円運動をするとき
動点Pの速度、加速度とそれぞれの大きさを求めよ。

まったく分かりません。イメージとかもできないです。
丁寧に教えていただけたらさいこーです＞＜
おねがいします


26458．Re: まったく分かりません
名前：花パジャ    日付：5月2日(火) 15時56分
原点Oを中心とする半径r上の点は
　(rcosθ,rsinθ)
と表せる。
この点が等速円運動しているとは、
θが時間(tとする)の一次関数であることで、
この時のtの係数が角加速度(この問題の場合ω)
以上より
　P(x,y)=(rcos(ωt+V),rsin(ωt+V))
なので
　速度(Vx,Vy)=(dx/dt,dy/dt)
　速度の大きさ=√(Vx^2+Vy^2)
　加速度(αx,αy)=(dVx/dt,dVy/dt)
　加速度の大きさ=√(αx^2+αy^2)
から各々求まる

26460．Re: まったく分かりません
名前：リシュレスト・サガⅡ    日付：5月2日(火) 18時49分
ありがとうございました！！
んーと
>　(rcosθ,rsinθ)
これが分かると、どうして
>P(x,y)=(rcos(ωt+V),rsin(ωt+V))
これが分かるようになるんでしょうか？
というか、これはどうやって計算して出したものなんでしょうか？＞＜
すいません、まだまだ分かっていません・・・
自力では全然とけそうにない問題です。物理みたいで難しい＞＜
もうちょっとやさしめでおねがいします！！
無理言ってすみません！
単位円とかで考えるんでしょうか？　
でも単位円に時間はないですよね。。

26462．Re: まったく分かりません
名前：花パジャ    日付：5月2日(火) 21時43分
計算ではなく、t=0でθ=V(点A)をもとに、文章で書いたものを式にしただけです

26502．Re: まったく分かりません
名前：リシュレスト・サガⅡ    日付：5月5日(金) 17時41分
速度と加速度、それぞれの大きさを求める式を
詳しく教えてもらえないでしょうか？＞＜
微分が苦手でむずかしいです・・
できればおねがいします！！

26456．(untitled)  
名前：　    日付：5月2日(火) 13時46分
3点A（aﾍﾞｸﾄﾙ）B(ｂべくとる)C（ｃベクトル）を頂点とする三角ABCで
ABﾍﾞｸﾄﾙってｂﾍﾞｸﾄﾙになるんですか？？２）あと１：２に外分するってどんな図になるんですか
重心ってなんですか　

26454．難問でした。でも、もう解かれているかもしれません。  
名前：田中    日付：5月2日(火) 0時48分
Size: 159 x 173, 1KB

図形の問題です。２等辺３角形に、図のような条件がついています。角ＡＤＢは、何度かを求める問題です。私は、かなり時間がかかりました。エレガントに解かれた方がいましたら発表してください。


26455．Re: 難問でした。でも、もう解かれているかもしれません。
名前：らすかる    日付：5月2日(火) 3時54分
Size: 184 x 176, 2KB

△ABCと合同な△EDAを作ると、∠BAE=∠DAE-∠DAB=80°-20°=60°、
AE=ABなので、△AEBは正三角形
よってEB=EDなので△EBDは二等辺三角形であり、
∠DEB=∠AEB-∠AED=60°-20°=40°から ∠EDB=70°
従って∠ADB=∠ADE+∠EDB=80°+70°=150°
http://www10.plala.or.jp/rascalhp


26461．Re: 難問でした。でも、もう解かれているかもしれません。
名前：田中    日付：5月2日(火) 21時25分
Original Size: 308 x 506, 4KB

ありがとうございました。さすが　らすかるさんです。見事な解法だと思いました。私のは、図のように、二等辺三角形が多数登場するように、２０°や４０°の補助線を引いていくと、やはり正三角形が出てきます。それで、求まりました。図をクリックすると大きくなります。


26450．軌跡と領域  
名前：コブクロ    日付：5月1日(月) 22時47分
①次の不等式を満たす整数組（x,y）をすべて求めよ。
x^2+y^2-2x+4y<4 , 2y-x+3≧0

②直線y=ax+bが2点P(1,1),Q(2,1)の間を通るとき、点(a,b)の存在範囲を図示せよ。

③aがすべての実数値をとるとき。放物線y=x^2+ax+a^2が通らない領域を図示せよ。

④直線y=2a+kが放物線y=3x-x^2と異なる2点P、Qで交わるとする。また、線分PQの中点をMとする。kの値が変化するとき、Mの軌跡をも求めよ。

多いですが、分からないので教えてください。


26469．Re: 軌跡と領域
名前：豆    日付：5月3日(水) 7時53分
方針を示します。

(1)円の内部：(x-1)^2+(y+2)^2＜3^3
直線の上部：y≧x/2-3/2
　を図示し、交点などを求めておよそのあたりをつけます。
　微妙なところは値を代入して、範囲に入るかどうか検証する。

(2)P,Qはy=1が共通です。
直線y=ax+1　はy=1
つまり、1=ax+1　に対して、1≦x≦2となる、aの条件を求める。

(3)放物線をaの2次方程式とみたとき、
aが実数とならない条件を求める。

(4)直線と放物線の交点のx座標はyを等しくした時の
xの2次方程式の根である。
異なる交点があるということは、この方程式が2実根をもつということ。
また、この根をα,βをすれば、
Mのx座標x=(α+β)/2　を根と係数の関係から求める。
Mのy座標は直線の式にxを代入すれば求まる。
両式からkを消去し、x,yの関係を求める。
最初に求めたkの範囲に注意する。

26443．教えて下さい  
名前：はにわ    日付：5月1日(月) 13時2分
与えられた長方形があります。
これと同じ面積の正方形を、定規などで長さを測らずに書きなさい。

授業では定規の使用規定があり、①与えられた線分を伸ばすとき②与えられた２点を結ぶとき　この２つのときにしか使えません。
他にコンパスを使用したりもしています。


26444．Re: 教えて下さい
名前：ヨッシー    日付：5月1日(月) 13時49分
結論から言うと、方べきの定理の、接線バージョン
上のページの ii) を使います。



手順は、長方形ＡＢＣＤ（ＡＢ＞ＡＤ）として、
１）Ａを中心として、半径ＡＤの円とＡＢの交点をＥとします。
２）ＢとＥを通る、適当な円を描き、中心をＦとします。
３）ＦＡを直径とする円を描き、Ｆを中心とする円との交点をＧとすると、ＡＧが求める正方形の１辺になります。
　
http://yosshy.sansu.org/

26445．Re: 教えて下さい
名前：はにわ    日付：5月1日(月) 14時4分
ありがとうございます。
でも方べきの定理を見てみてもなぜそうなるのかよくわかりません…
もう少し細かく説明していただけませんか？

26446．Re: 教えて下さい
名前：ヨッシー    日付：5月1日(月) 14時11分
上の図で言うと、
△ＥＧＡと△ＧＡＢが相似になっています。
理由は、∠ＥＡＧと∠ＧＡＢは同じものなので等しく、
∠ＡＧＥと∠ＡＢＧは、接弦定理により等しい　ことによります。
そうすると、
　ＡＧ：ＡＥ＝ＡＢ：ＡＧ
となり、
　ＡＢ・ＡＥ＝ＡＧ^2
ＡＤ＝ＡＥより
　ＡＢ・ＡＤ＝ＡＧ^2
左辺は長方形ＡＢＣＤの面積、右辺はＡＧを１辺とする正方形の面積で、
両者が等しくなっています。
　
http://yosshy.sansu.org/

26447．Re: 教えて下さい
名前：らすかる    日付：5月1日(月) 15時8分
こういう方法もあります。

(1) Aを中心としてDを通る円とBAの延長線の交点をEとします。
(2) BEを直径とする円とADの延長線の交点をFとします。
(3) 1辺をAFとする正方形を描けば、それが目的の正方形です。
△AEF∽△AFBから、AE：AF=AF：AB ∴AF^2=AB×AE=AB×AD
http://www10.plala.or.jp/rascalhp

26448．Re: 教えて下さい
名前：はにわ    日付：5月1日(月) 15時29分
なんとかわかりました！！(^^;
ありがとうございました♪

26438．(untitled)  
名前：ブータン    日付：5月1日(月) 2時5分
参考書に次の数式の中から一次関数を選べと
いう問題でy＝３／５xも正解とありました、
でもこれって比例の式に当てはまると思うんですが
違うのでしょうか？お願いします。


26439．Re: (untitled)
名前：らすかる    日付：5月1日(月) 2時7分
比例の式は一次関数です。
http://www10.plala.or.jp/rascalhp

26453．Re: (untitled)
名前：ブータン    日付：5月2日(火) 0時27分
そうだったんですか、てか一次なら
比例も一次ってことですね、ありがとうございました。

26437．教えてください  
名前：Ｓｙｎ    日付：5月1日(月) 0時44分
ｙ＝a、x＝-a上にそれぞれＡ，Ｂがある(1<a<√2)
三角形ＡＢＣが原点を中心とする単位円に外接している時、
三角形の面積の最小値を求めよ

よろしくお願いします


26449．Re: 教えてください
名前：Ｓｙｎ    日付：5月1日(月) 21時4分
打ち間違えていました
一行目：ｙ＝a y＝－a
です。本当に申し訳ありません。

26452．Re: 教えてください
名前：マチルダ    日付：5月1日(月) 23時30分
ＡＢと円の接点を (cos(t),sin(t)) (0≦t＜π/2) とおくと，面積は
　2a(cos(t)^2+a^2-1)/((a^2-1)cos(t))
となるので，相加相乗平均の不等式が使えますね．

26477．Re: 教えてください
名前：Ｓｙｎ    日付：5月3日(水) 21時56分
やってみたのですが、面積を求める過程がイマイチ分かりません。
できればその辺り詳しく説明していただけないでしょうか…？

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