ここでは、一次方程式を解くことは十分にマスターしたものとして、
二次方程式の解法を説明します。
特にことわりのない限り、√ａ と書いた場合、ａ≧０ であるものとします。
ａ＜０ の場合は、高校以上で習います。
１． ｘ2＝ａ を解く
まず、もっとも基本となる、このような形の方程式です。
例 (1) ｘ2＝４ (2) ｘ2＝６
(1) の意味は、「２乗して４になる数を求めよ」ということです。
これは、公式もなにもありません。答えを見つけるのみです。
「２乗して４になる数」は、２と−２です。 ２次方程式の解はこのように通常２つあります。
つまり、(1) の解は、
ｘ＝２ または ｘ＝−２ です。これを、ｘ＝２，−２ と書いたり ｘ＝±２ と書いたりします。
同様に、(2) の解は ｘ＝±√６ です。
一般に、ｘ2＝ａ の解は、ｘ＝±√ａ です。
とくに、ａが０のとき、つまり、ｘ2＝０ の解は、ｘ＝０ であり、このときに限り解は１つです。
これは元々２つあった解が、その差がなくなって０になったものと考えます。
このような解を重解といいます。
２．(ｘ−ｔ)2＝ａ を解く
このような形で方程式が与えられることは少ないですが、次のステップへの重要な
過程ですので、説明します。
この式は、１． の ｘ が ｘ−ｔ になったものです。そこで、
Ｘ＝ｘ−ｔ
とおくと、Ｘ2＝ａ となり、１． と同じ式になります。
Ｘについて解くと、 Ｘ＝±√ａ であり、
Ｘ＝ｘ−ｔ
を考慮すると、ｘ−ｔ＝±√ａ より、
ｘ＝ｔ±√ａ
が、最終的な解になります。
これも、ａ＝０ のとき重解となり、ｘ＝ｔ が解となります。
例 (1) (ｘ−２)2＝４ (2) (ｘ＋３)2＝６
(1) は ｘ−２＝±２ より、ｘ＝０または４
(2) は ｘ＋３＝±√６ より、ｘ＝−３±√６
です。(2)のように√ が残るときは、±√の形に書き、(1) のように√がはずれる
ときは、２±２ とせず、計算して ０，４ と書くのが普通です。
３．ｘ2＋ｂｘ＋ｃ＝０ を解く。
例 (1) ｘ2−６ｘ＋８＝０ (2) ｘ2＋４ｘ＋２＝０ (3) ｘ2＋５ｘ＋６＝０
いよいよ、一般的な形に近づいてきました。
ここで、考えることは、なんとかして２．のような形にならないか、ということです。
そこで、ｘ2 と ｘ の項だけに注目して、定数項（数字だけの項）で、つじつまを合わせることを
試みます。
(1) ｘ2−６ｘ＋９ であれば、(ｘ−３)2 になりますね。そこで、元の式と比べて、
両辺に１を加えます。
ｘ2−６ｘ＋９＝１ より、 (ｘ−３)2＝１ となります。
また、９を足して９を引く、つまり
ｘ2−６ｘ＋９−９＋８＝０ として、(ｘ−３)2−９＋８＝０ より、(ｘ−３)2＝１ とすることも出来ます。
(ｘ−３)2＝１ は２．の形ですから、即座に解けて、
ｘ−３＝±１ より、ｘ＝２，４ です。
(2) 同様に、ｘ2＋４ｘ＋４＝(ｘ＋２)2 であることより、４を足して引いて
ｘ2＋４ｘ＋４−４＋２＝０ より、(ｘ＋２)2＝２ を得ます。
これを解いて、ｘ＋２＝±√２ より、 ｘ＝−２±√２ です。
(3) (ｘ＋5/2)2＝ｘ2＋５ｘ＋25/4 を利用します。
分数になってイヤですが、頑張って計算しましょう。
25/4 を足して引いて
ｘ2＋５ｘ＋25/4−25/4＋６＝０
(ｘ＋5/2)2−25/4＋24/4＝０
(ｘ＋5/2)2＝1/4
これを解いて、ｘ＋5/2＝±1/2・・・（２乗して 1/4 になる数は ±1/2 です）
ｘ＝−２，−３
ここまでの、１．、２．、３．の流れをよく理解してください。
１．が一番の基本で、それを元にして２．、２．を元にして３．が解けるようになっていますので、
一つずつ確実に理解してください。
さらに一般的な形として
２ｘ2＋３ｘ＋５＝０
のような形（ｘ2の係数が１以外の場合）もありますが、このような場合は、両辺をｘの係数で割って、
ｘ2＋３ｘ/２＋５/２＝０
とすれば、３．と同じ形になります。
ここまでが理解できたら、次に進みましょう。
つぎは、より楽に解く方法です。
４．因数分解を利用する
方程式 ｘ2＋ｂｘ＋ｃ＝０ の左辺が、(ｘ−α)(ｘ−β) の形に因数分解できたとしましょう。
(ｘ−α)(ｘ−β) は ｘ−αという数とｘ−βという数をかけたものです。
それが０になるということは、少なくともどちらか一方が０である、ということです。
つまり、 ｘ−α＝０ または ｘ−β＝０ です。
よって、この方程式の解は、ｘ＝α または ｘ＝β となります。
３．の(1)(3) も実はこの方法が利用できて、
(1) ｘ2−６ｘ＋８＝０
左辺を因数分解して、
(ｘ−２)(ｘ−４)＝０
よって、ｘ−２＝０ または ｘ−４＝０。これより、
ｘ＝２、４
(3) ｘ2＋５ｘ＋６＝０
左辺を因数分解して、
(ｘ＋２)(ｘ＋３)＝０
よって、ｘ＋２＝０ または ｘ＋３＝０。これより、
ｘ＝−２，−３
一般に、ａｘ2＋ｂｘ＋ｃ＝０ の左辺が ａ(ｘ−α)(ｘ−β) の形に因数分解できるならば、
この方程式の解は、ｘ＝α、βです。
逆に、ａｘ2＋ｂｘ＋ｃ＝０ の解が、ｘ＝α、β ならば、
ａｘ2＋ｂｘ＋ｃ＝ａ(ｘ−α)(ｘ−β)
のように因数分解できる。
５．解の公式
二次方程式 ａｘ2＋ｂｘ＋ｃ＝０ をａ、ｂ、ｃが定数であるとして、ｘについて解いてみます。
考え方は３．の方法です。
ａｘ2＋ｂｘ＋ｃ＝０
両辺をａで割る ・・・ ２次方程式であるのでａ≠０は明らかですから、割っていいのです。
ｘ2＋ｂｘ/ａ＋ｃ/ａ＝０
(ｘ＋ｂ/２ａ)2＝ｘ2＋ｂｘ/ａ＋ｂ2/４ａ2 より、ｂ2/４ａ2を足して引いて、
ｘ2＋ｂｘ/ａ＋ｂ2/４ａ2−ｂ2/４ａ2＋ｃ/ａ＝０
変形して
(ｘ＋ｂ/２ａ)2＝ｂ2/４ａ2−ｃ/ａ
右辺を整理して
(ｘ＋ｂ/２ａ)2＝ｂ2/４ａ2−４ａｃ/４ａ2
(ｘ＋ｂ/２ａ)2＝(ｂ2−４ａｃ)/４ａ2
これを解いて、
ｘ＋ｂ/２ａ＝±√{(ｂ2−４ａｃ)/４ａ2}
ｘ＋ｂ/２ａ＝±√(ｂ2−４ａｃ)/２ａ ・・・ ２ａは√の外です。
ｂ/２ａ を移項して、
ｘ＝−ｂ/２ａ±√(ｂ2−４ａｃ)/２ａ
分母が共通なので、まとめて、
これを二次方程式の解の公式といいます。
解の公式を使えば、
３ｘ2−７ｘ＋３＝０
のような方程式も、ａ、ｂ、ｃ に ３，−７，３ を代入して、
ｘ＝{７±√(４９−３６)}/６＝(７±√１３)/６
のように、解くことが出来ます。
それだけではなく、因数分解がやりにくいような場合、
たとえば、ｘ2＋６ｘ＋３ を因数分解するような場合、
ｘ2＋６ｘ＋３＝０
を、解の公式によって解き、
ｘ＝{−６±√(３６−１２)}/２
＝(−６±√２４)/２
＝(−６±２√６)/２
＝−３±√６
これを、(ｘ−α)(ｘ−β) の α、βに代入し
(ｘ＋３−√６)(ｘ＋３＋√６)
のように因数分解できます。
※この場合は、ｘ2の係数が１ですので、これでいいですが、一般には、
ａ(ｘ−α)(ｘ−β)のように最初にｘ2の係数が付きます。
補足 判別式
解の公式に ｂ2−４ａｃ という部分がありますが、これはときには
マイナスになるときもあります。（例 ｘ2＋２ｘ＋２＝０ のとき、ｂ2−４ａｃ＝−４）
このようなときは、中学の範囲では「解がない（正確には実数の範囲で解がない）」
となります。（高校以上では、「異なる２つの虚数解」）
これは、１．や２．で、ａ＜０である場合にあたります。
また、ｂ2−４ａｃ が ０ になるときもあります。（例 ｘ2＋２ｘ＋１＝０）
このようなときは、重解になります。
このように、ｂ2−４ａｃ が正、０、負 によって解の形が変わります。
この ｂ2−４ａｃ を判別式といい、判別式が
正のとき・・・解は２つ（実数の解が２つ）
０のとき・・・解は１つ（重解）
負のとき・・・解なし（実数の解はなし）
となります。解の数を判別するというわけです。
２次方程式とグラフの関係は、さらに深い内容になりますが、中学では（たしか）習わないので、
省きます。
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