2003年02月 の投稿ログ


6164．情報待ち。。  
名前：@FIDO    日付：2月28日(金) 20時22分
角の三等分線の方法についてですが。半円と棒を組み合わせた道具や三角形の角度を使う道具があることを知りました。何かほかにも発明された道具などはありませんか？折り紙でもできるらしいのですが…ヒっピアスの円積線についても何か詳しいことを知っていたら教えてください！

6160．(untitled)  
名前：知也    日付：2月28日(金) 1時3分
lim(t→∞）(1+1/t)^t=e (自然対数2.71･･…）になる証明を忘れてしまいました。教えて下さい。もう高校の教科書がないもので


6161．Re: (untitled)
名前：中川　幸一    日付：2月28日(金) 6時11分
n∈N のとき、
an=(1+ 1/n)n とおいて
anを２項定理より展開していき
an と an+1 を比較して
an＜an+1 となることを示し
an＜1 + 1/1! + 1/2! +1/3! + …… + 1/n!＜1 + 1 + 1/2 + 1/22 + …… + 1/2n-1
=1 + ( (1 - (1/2)n ) / (1 - 1/2) ) = 3 - (1/2)n-1＜3

∴ a1＜a2＜a3＜……＜an＜an+1＜……＜3
∴ lim[n→∞]_an=e (≦3)


また式の途中で e の Maclaurin(マクローリン)級数展開が得られるのでそこからも導けます。


かなり省略してしまいましてすみません。
http://8417.teacup.com/arith_math/bbs

6162．Re: (untitled)
名前：知也    日付：2月28日(金) 14時46分
ありがとうございました

6155．複素数  
名前：高2    日付：2月27日(木) 20時27分
z=ai(aは0でない実数)のときの
複素数平面において∠zz2z3を求めたい
のですが、解答では90度のみだったのですが、私は
arg(-ai)=±90°となりました。間違ってますか？


6156．(untitled)
名前：K.N.G.    日付：2月27日(木) 20時55分
∠a=x[度]というふうに表現するときは，一般にx≧0ですよね．
ですから，90度のみが答えになるのだと思います．
解いていないのでわかりませんが，argを用いて表せば，±90度となるのでしょう．

6154．待ち行列  
名前：アガシイ    日付：2月27日(木) 17時18分
サービスを提供する窓口が１つあり、客がそこでサービスを受ける。ただし１度にサービスを受ける客は１人だけであり、先客がいるときは最後尾に並ぶとする。ここで確率分布を考え、１つは、客が到着する時間間隔は一定ではなく確率的に変化する。また
１．客が到着する割合はいつも同一
２．客どうしが影響を与えない
３．客は必ず１人でくる
とし、１人の客が到着してから次の客が到着するまでの時間をＸ分とする。
そして
f(x)=λe^-λx (x≧０）,０　　　　(x＜０）
である。ただしλ＞０である。
問題１：到着時間間隔Ｘがｘ分以下である確率Ｆ（ｘ）を求めよ。
問題２：到着時間間隔Ｘの平均を求めよ。
問題３：客の到着時間間隔の平均Ｅ（ｘ）が３０秒とする。このとき、確率密度関数を示し、３０秒以内に客がくる確率を求めよ。
よろしくおねがいします。


6163．指数分布の密度関数が与えられてる
名前：占星術師    日付：2月28日(金) 19時54分
f(x)=λe-λxですな。
確率密度関数や期待値の定義に基づき計算するだけ。難しくないですよ。
(1)　x≧0のとき、F(x)=∫-∞xf(x)dx=∫0xf(x)dx=1-e-λx
x＜0のときはF(x)=0
(2)　∫-∞∞xf(x)dx=∫0∞λxe-λxdx=......=1/λ
(3)　1/λ=1/2（⇔λ=2)のとき密度関数はf(x)=2e-2xで、
1/2分以内に客が来る確率は(1)で得た式にλ=2,x=1/2をぶちこんで1-e-1

6165．Re: 待ち行列
名前：アガシイ    日付：2月28日(金) 21時18分
(1)(3)の計算は理解できました。
(2)の途中計算がよくわかりません。部分積分するのでしょうか？
∞があるので、計算方法が余計に分からなくなっています。おねがいします。

6166．(2)の途中計算
名前：占星術師    日付：2月28日(金) 21時45分
(2)は部分積分です。∞の扱いは広義積分の基本どおりで、
一般にa＞1ならばlimx→+∞xa-x=0が成り立つことも用います。
具体的には、
　∫0∞λxe-λxdx
=[-xe-λx]0∞+∫0∞e-λxdx
=limT→∞[-(x+1/λ)e-λx]0T
=limT→∞{-(T+1/λ)e-λT}+(0+1/λ)e0
=1/λ

6167．Re: 待ち行列
名前：アガシイ    日付：2月28日(金) 22時4分
広義積分ですかぁー。まだ習ってないんですよ。
広義積分の何か参考になりそうなものを紹介してくれませんか？
ほんとうにご迷惑かけます。
実はいうと、なぜいきなりlimや積分区間０→Ｔがでてきているかわかってません。よろしくおねがいします。

6168．参考資料
名前：占星術師    日付：2月28日(金) 22時23分
こちらでは、広義積分と区別して無限積分と呼ばれています。
limやTが現れる理由は、定義だからです。
お手元に微積分の入門書があれば、それにもちゃんと書いてあるかも知れませんです。

6146．度々質問です  
名前：高2    日付：2月26日(水) 17時30分
ちょっと期日が迫っているので
ヒントだけではなく解法そのものを
教えてくださると嬉しいです。
＿　　　　　　　　　　　　 ＿
ｚｚ －(１＋ｉ)ｚ－（１－ｉ）ｚ ＋ｋ＝０
が円を表す時のｋの範囲を求めたいのですが、
与式を変形する時、
　　　　　　＿
{z-(1-i)}{ ｚ －(1+i)}=(1-i)(1+i)-kとする発想が
出てこないのですが・・解答にあったこの式を変形してみて、
あっ本当だ、と気付く感じで。類似問題が出た時の為に
詳しいご説明をお願いします。
ちなみに私は、｜-(1+i)｜2-k＞０を考えたのですが、
これでは駄目でしょうか？　


6149．Re: 度々質問です
名前：中川　幸一    日付：2月26日(水) 17時46分
計算は大変ですが, z=x+y i とおいて式を変形すると言う手もあります。
するとこの与式は x2-2x+y2+2y+k=0 となり
これが (x-1)2+(y+1)2=2-k と変形できることより k≦2 のとき円(等号成立の時は点)になることが分かります。
http://8417.teacup.com/arith_math/bbs

6151．Re: 度々質問です
名前：ast    日付：2月26日(水) 19時8分
(1-i)(1+i)-k と｜-(1+i)｜^2-k は同じですね・・・.

6152．Re: 度々質問です
名前：高2    日付：2月26日(水) 21時8分
中川さん＞一般的に、そうやって変形していたんですか・・。
　　　　知らなかったです。ありがとうございました。

ａｓｔさん＞私の場合、それを公式化して覚えてしまっていたので（＾＾；
　　　　　　ご指摘ありがとうございます。ちょっとやってみますね

6142．関数  
名前：ミッキー    日付：2月26日(水) 16時52分
f(x)=x^2-x+1/x^2+x+1,g(x)=x^2+x+2/x^2+x+1について次の問に答えよ。と言う問題で
f(x)の極大値と極小値はいくつか。また
曲線y=f(x),y=g(x)と直線x=n(n>0)とで囲まれる部分の面積をＳ(n)とする時

Ｓ(n)=log28となるnの値はいくつか。

と言うのがよくわかりません・・・・。


6148．Re: 関数
名前：中川　幸一    日付：2月26日(水) 17時36分
少々きついことを言うようですが基本的な微積分は理解しているのでしょうか？
問題集等の問題のように見えるのですが、どこが理解できていないのか分かりません。
あと学年は４月から高校３年生と見てよろしいでしょうか？
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6157．Re: 関数
名前：知也    日付：2月27日(木) 21時32分
ごく普通の基本的な問題です。自分でしてみて下さい。f(x)＝１－2x/（x＾2＋x＋1)　g(x)＝１＋１/（x＾2＋x＋1)　微分してf’(x)＝2(x＋1)(x‐1)/(x＾2＋x＋1)＾2　よってx＝‐1のとき極大値３　ｘ＝１のとき極小値１/３　また交点はf(x)＝g(x)より　x＝‐1/2　∫（‐１/２→ｎ）｛g(x)‐f(x)｝＝－∫（‐1/2→ｎ）(2x＋1)/（x＾2＋x＋1)＝[log(x^2+x+1)]=log[4/3(n^2+n+1)] 4/3(n^2+n+1)=28 n=4 はすぐ理解できる

6158．Re: 関数
名前：知也    日付：2月27日(木) 21時40分
1つ訂正です。‐∫（‐1/2・・・・）となっていますが－（マイナス）はいりません

6159．Re: 関数
名前：知也    日付：2月27日(木) 21時42分
正しくは∫（‐1/2→ｎ）（2x＋1）/(x＾2＋x＋1)dxです

6141．(untitled)  
名前：高校生    日付：2月26日(水) 16時36分
xy平面において点（x,y）が円x^2+y^2=4/3上を動く時、x+y,
xyのとる値の最大値はそれぞれいくつか。

全然わからないんです。どうすればよいのでしょう？教えてください！


6143．たとえば，三角関数を用いる方法．
名前：変態数学教師見習い    日付：2月26日(水) 16時52分
　ｘ2＋ｙ2＝４／３ の表す図形は，原点を中心とする半径 ２／√３ の円です．
これを単位円を２／√３倍したものと考えることにより
　　　ｘ＝２cos θ ／√３
　　　ｙ＝２sin θ ／√３
と置くことができます．あとはカンタンな三角関数の問題ですね．

（佐久間信子たんのファン）

6139．(untitled)  
名前：へっぽこ学生    日付：2月26日(水) 15時36分
-1/(2x)*exp(-x^2)
x→0の値は？
誰か教えてくれませんでしょうか


6140．Re: (untitled)
名前：ヨッシー    日付：2月26日(水) 16時16分
x=0 のとき exp(-x2)＝１＞０
なので、
ｘ→＋０ のとき -1/(2x)*exp(-x^2)→－∞
ｘ→－０ のとき -1/(2x)*exp(-x^2)→＋∞
でしょう。
　
　
http://yosshy.sansu.org/

6137．角度について  
名前：farhorizon    日付：2月26日(水) 10時47分
はじめまして。

xy座標平面において点A(x1,y1)、原点O(0,0)、点B(x2,y2)からなる∠AOBの角度（※1)を求めたいんですが、なにかいい方法はありませんでしょうか。

※1：∠AOBはAから時計回りにBをみた角です。


6138．例えば・・・
名前：K.N.G.    日付：2月26日(水) 10時55分
｢△AOBに注目して余弦定理を使う｣
というのはどうでしょうか．

6144．Re: 角度について
名前：farhorizon    日付：2月26日(水) 16時58分
ベクトルの内積
a・b = |a||b|cosθ
から解くことができました。

x1 * x2 + y1 * y2
cosθ = ──────────────────
√( x1^2 + y1^2 ) * √( x2^2 + y2^2 )

K.N.G.さん、アドバイスありがとうございました。

6132．ベクトル  
名前：高2    日付：2月25日(火) 19時44分
x,yを整数とする時連立方程式
x^xy=y^2
y^xy=x^2
の解のうちx=-4の場合が全然分かりません
おねがいします


6133．vectorですか？
名前：中川　幸一    日付：2月26日(水) 2時23分
Original Size: 668 x 668, 49KB

・xxy=y2
・yxy=x2
上記２式を連立して解くのですよね？
graphを描いてみたのですが x=-4 は解にないみたいなのですが…。
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6136．Re: ベクトル
名前：ヨッシー    日付：2月26日(水) 9時1分
私は、
　xxy=y2
　yxy=x2
だと思いましたが。なぜなら、２つ目の式を
yx+1 と書いていないからです。
で、こちらでも x=-4 は解になりませんね。
　
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6145．Re: ベクトル
名前：中川　幸一    日付：2月26日(水) 17時27分
Original Size: 668 x 668, 50KB

・xxy=y2
・yxy=x2
のgraphを描いてみました。

しかし解は (x,y)=(1,1), (√2, √2) だけですね。
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6147．Re: ベクトル
名前：高2    日付：2月26日(水) 17時33分
お二人ともすみません。
解決です。

6150．Re: ベクトル
名前：ast    日付：2月26日(水) 19時2分
何のお話だったのか気になりますね.
解決したとだけ書かれると, なんとも落ち着かないw

6129．e^xの微分  
名前：ヤッス    日付：2月25日(火) 16時12分
e^xの１回微分はe^x２回微分もe^xですが、無限回微分すると、どこかの値に落ち着いたりするのでしょうか？どうもe^x=1+x/1!+x^2/2!...を見ていると、末項(そういってよいか疑問）が１つずつ減少しているので、どうなるのかと思って書きこしました。
ご教授お願いします。


6130．Re: e^xの微分
名前：ast    日付：2月25日(火) 16時39分
e^x のままですね.

級数になると混乱する人もいるみたいですが, 末項なんてのは無いんです.
　1=0.999・・・ か？ みたいな問題でも, 似たようなことが言えますね.

大体, 今の場合の「無限回」微分可能の意味は,
任意有限回(どんなに大きな自然数をとっても, その回数だけ)微分可能
だと思えばよいわけで.

6126．関係式？条件式？  
名前：玄人    日付：2月24日(月) 0時51分
はじめまして、高校２年です。

関係式と条件式とでは、いったいどうちがうのですか？

つまらない質問でゴメンナサイ。
よろしくおねがいします。


6128．Re: 関係式？条件式？
名前：ヨッシー    日付：2月25日(火) 15時31分
条件式は必ず関係式であるが、
関係式だからと言って、条件式とは限らない、ってとこでしょうか？

関係式じゃない条件式って、何かあります？
　
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6123．円は扇形に含まれるのでしょうか？  
名前：ひで(中1)    日付：2月23日(日) 22時13分

扇形の定義は、円の弧の両端と円の中心とを結んだ図形だそうですが、「中心角が360度の扇形」ということはできるのでしょうか？


6125．Re: 円は扇形に含まれるのでしょうか？
名前：ヨッシー    日付：2月23日(日) 23時4分
言うことが出来る出来ないより、そういうふうに言う必要があるかどうかです。

「○○の比率を扇形で表せ」と言われたとき、もし１００％なら全円を描いて
良しとするしかないでしょう。

一方、扇形の周の長さ、などを問われた場合、全円の場合、半径を含めるか
どうかという問題がありますが、そういう場合は、そもそも360°となるような
場合を考えさせる方がおかしいし、もし含めるなら、「周の長さ」と言うことで、
定義がされていて然るべきです。
　
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6122．偏差値について  
名前：ようかん    日付：2月23日(日) 21時37分
偏差値の最高と最低はいくつなのですか?2項分布とかあまりよくわかりませんがよろしく。29才文系塾講師


6124．Re: 偏差値について
名前：ヨッシー    日付：2月23日(日) 22時57分
偏差値＝５０＋１０×（得点－平均点）÷標準偏差
です。
ｎ人中１人だけ１００点で残りのｎ－１人が０点として、ｎが大きい数になると
偏差値もいくらでも大きい数にはなります。現実的ではありませんが。
　
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6120．小学生の問題かな？  
名前：KDD(高1)    日付：2月23日(日) 21時0分
ある水槽にＡ菅(水道管)で水を入れると12分で満たされる。
それを空にするにはＢ菅(排水管)で9分かかる。この水槽に水を満たしておき、Ａ，Ｂ菅をともに開くと何分で空になるか。
という問題で、答えが36分になったのですが当ってるでしょうか？


6121．Re: 小学生の問題かな？
名前：ヨッシー    日付：2月23日(日) 21時5分
水槽の容量（いっぱいのときの水の量）を１とおくと、
Ａ管の１分あたりの流量は・・・以下略

分数のイヤな人は、水槽の容量を３６とおけば良いでしょう。

答えは ３６分で合っています。
http://www2.tokai.or.jp/yosshy/

6119．確率分布の式の変形  
名前：文系クン    日付：2月23日(日) 14時40分
k回目にでた値をｘ_kとしている。

分散z^2＝１/１００∑(k=1){^100}(x_k－ｍ）^2
と表されているのですが、ここからの変形がわかりません。
細かく教えてください。
よろしくおねがいします。


6131．Re: 確率分布の式の変形
名前：ヨッシー    日付：2月25日(火) 16時42分
(x_k－ｍ）^2＝x_k^2－２ｍx_k＋ｍ^2 なので、
与式＝1/100・Σx_k^2－２ｍx_k＋ｍ^2
　　＝(x_k^2 の 平均)－２ｍ(x_k の平均)＋ｍ^2
となります。x_k の平均 ＝ ｍ ですから、結局
与式＝(x_k^2 の 平均)－ｍ^2
となります。
これを使えば、データが順々に得られるようなとき、
ｘとｘ2の累計とデータ数だけ覚えておけば
分散と標準偏差が出ます。

元の式のままだと、データを１つ１つ覚えておかないといけません。
　
http://yosshy.sansu.org/

6108．数Ａ・・・？よろしくお願いします。  
名前：Toshi_もうすぐ高校生    日付：2月22日(土) 23時23分
直線 7x+9y=1 上で、x,yがともに整数であるような座標平面上の(x,y)を求めよ。
また、その点のうちで、原点Oからの距離が50以内にあるものの個数を求めなさい。

なのですがピンときません。
解き方を教えていただけないでしょうか。


6109．Re: 数Ａ・・・？よろしくお願いします。
名前：中    日付：2月23日(日) 0時30分
色々実験してみると、ｘ,ｙそれぞれについてある規則が見つかると思います。
つまり、これを満たすｘ,ｙを出来るだけ多く並べてみてください。
すると規則が見えるはずです。
次はこれを一般化するように努力してみましょう。
自分なりのやり方で解法を見つけることが出来れば（できなくても努力すれば）この手の不定方程式の問題は解けます。

6110．Re: 数Ａ・・・？よろしくお願いします。
名前：変態数学教師見習い    日付：2月23日(日) 0時54分
　（４．－３）が直線７ｘ＋９ｙ＝１上の点であることはすぐに分かります．
直線７ｘ＋９ｙ＝１の傾きは－７／９ですから，この点（４，－３）から
　　　　　　　　　　　　　　　：
　　　　　　　　　　　　　　　：
「ｘ軸方向に－18，ｙ軸方向に＋14」だけ移動した点　（－14，11）
「ｘ軸方向に－９，ｙ軸方向に＋７」だけ移動した点　（－５，４）
「ｘ軸方向に＋９，ｙ軸方向に－７」だけ移動した点　（13，－10）
「ｘ軸方向に＋18，ｙ軸方向に－14」だけ移動した点　（22，－17）
　　　　　　　　　　　　　　　：
　　　　　　　　　　　　　　　：
などは，すべて直線７ｘ＋９ｙ＝１上の点です．そして題意を満たす点が
これ以外にないことも直感的には明らかでしょう．
よって，直線７ｘ＋９ｙ＝１上でｘ座標・ｙ座標がともに整数であるものは
ｍを整数として　（９ｍ＋４，－７ｍ－３）　と表せます．
このように表せれば，あと問題はカンタンです．

「解の１つを見つける」→「それを手がかりに解をすべて求める」という
思考法は，高校数学でよく出てきます．

6111．Re: 数Ａ・・・？よろしくお願いします。
名前：変態数学教師見習い    日付：2月23日(日) 1時4分
ありゃ．中さんがすでに書き込んでいる．
余計なコトしちゃったかな…．

6098．(untitled)  
名前：ルーキー    日付：2月22日(土) 19時5分
２定点Ａ、Ｂからの距離の和が一定である点の軌跡が楕円になって、２定点Ａ、Ｂからの距離の差が一定である点の軌跡が双曲線になるとあったのですが意味がよくわかりません。おしえてください。また双曲線と放物線はどこが違うのでしょうか。


6101．定義
名前：中川　幸一    日付：2月22日(土) 19時42分
楕円
２定点Ｆ, Ｆ’からの距離の和が一定の点Ｐの奇跡.Ｆ, Ｆ’を楕円の焦点という.
ＰＦ＋ＰＦ’＝２ａ(長軸の長さ)

双曲線
２定点Ｆ, Ｆ’からの距離の差が一定の点Ｐの奇跡.Ｆ, Ｆ’を双曲線の焦点という.
ＰＦ～ＰＦ’＝２ａ(頂点間の距離)

放物線
定点Ｆと定直線ｇとにいたる距離が等しい点Ｐの奇跡.Ｆ, ｇをそれぞれ放物線の焦点, 準線という.
http://8417.teacup.com/arith_math/bbs

6104．Re: (untitled)
名前：ヨッシー    日付：2月22日(土) 20時41分
こちらもご覧下さい。
　
http://www2.tokai.or.jp/yosshy/

6097．(untitled)  
名前：ルーキー    日付：2月22日(土) 18時58分
４２０円の買い物をして１０円、５０円、１００円の３種類の硬貨で払うとすると、支払い方は全部で何通りあるか。ただし、３種類の効果はどれも使い、使用する効果は１５枚以下とする。

なんとかして、はやく答えを導き出せる方法はないでしょうか。教えてください。


6102．釣はないものとする...
名前：花パジャ    日付：2月22日(土) 20時10分
まず、10円の枚数を決める(10円を使わない払方は考えられない)...

6094．チェビシェフの多項式  
名前：Takashi    日付：2月22日(土) 16時1分
　チェビシェフの多項式というのを用いると、三角関数のn倍角を帰納法によってn次式で得ることができる、と聞いたのですが、余りよくわかりません。


6100．Re: チェビシェフの多項式
名前：中川　幸一    日付：2月22日(土) 19時34分
下記サイトの連続応募問題の第111回を参考にしてみてはいかがでしょうか？第111回数学的な応募問題のテーマは『tanのｎ倍角』でした。
水の流れ



http://8417.teacup.com/arith_math/bbs

6106．問題が違えば無駄レスになるが、推測で…
名前：占星術師    日付：2月22日(土) 22時15分
“三角関数のn倍角”とは、質問が曖昧な気がします。
cosだとすると、概略、次のような感じかと。加法定理より
　cos((n+2)θ)+cos(nθ)
=cos((n+1)θ+θ)+cos((n+1)θ-θ)
=2cos(n+1)θ*cosθ
だから、
cos((n+2)θ)=2cosθ*cos((n+1)θ)-cos(nθ)
よって、cos(nθ)がn次多項式fn(x)を用いてfn(cosθ)と表せ
cos((n+1)θ)がn+1次多項式fn+1(x)を用いてfn+1(cosθ)
と表せると仮定すると、cos((n+2)θ)は……

6112．Re: チェビシェフの多項式
名前：Takashi    日付：2月23日(日) 3時15分
申し訳ありません、書き途中で投稿してしまったみたいです。
余弦のn倍角については占星術師さんありがとうございます。
cos((n+2)θ)=2cosθ*cos((n+1)θ)-cos(nθ)
は、つまり
cos(n+1)θ＝2cos(nθ)･cosθ-cos(n-1)θ
なので、
Tn+1(x)＝2xTn(x)-Tn-1(x)
という漸化式が得られるから、０倍角、１倍角、２倍角さえわかっていればあとは代入を続けるだけで、任意のcos(n+1)θが得られる、というところまでは理解しています。この漸化式をチェビシェフ多項式と云うらしいんです。
続いて正弦のｎ倍角を求めたいのですが、いろいろ試行錯誤して計算してみたんですが、ちんぷんかんぷんなんです。
教えてくださらないでしょうか？

森北出版から出ている一松信先生の『初等関数概説』を参考にしています。

6113．Re: チェビシェフの多項式
名前：Takashi    日付：2月23日(日) 3時17分
中川　幸一さんの紹介して下さった、tanのn倍角は興味深いです。
sinについて理解したら読んでみたいと思います。

6115．Re: チェビシェフの多項式
名前：中川　幸一    日付：2月23日(日) 4時43分
今手元の資料を探しています。
チェビシェフ(Chebyshev)の多項式は一度独自で勉強したことがあるので資料見つけ次第書き込みをします。
http://8417.teacup.com/arith_math/bbs

6134．Re: チェビシェフの多項式
名前：中川　幸一    日付：2月26日(水) 2時26分
この前紹介した水の流れのことですが、連続応募問題の所に
第115回 「チェビシェフの多項式」
平成15年3月1日
と出ていました。
よろしければどうぞ。

PS 未だに資料を探しています。
http://8417.teacup.com/arith_math/bbs

6135．Re: チェビシェフの多項式
名前：Takashi    日付：2月26日(水) 8時24分
わざわざすいません。

＞水の流れ

本当ですね。まだ問題は出ていないようですが・・・予定ということなんでしょうね。参考にしてみたいと思います。

6091．お願いします。  
名前：中学数学復習中    日付：2月22日(土) 14時48分
ジョーカーの入っていない52枚のトランプがある。3枚のカードを引いたとき、3枚とも絵札である確立はいくらか。


6092．確立⇒確率(2回目？)
名前：K.N.G.    日付：2月22日(土) 15時22分
3枚のカードを引くとき，
(a)カードの引き方は全部で，52C3通り．
(b)3枚とも絵札である引き方は，12C3通り．
(a)，(b)より求める確率は，12C3/52C3．

6087．(untitled)  
名前：しょう    日付：2月22日(土) 12時43分
媒介変数方程式
x=3t^2 - 1
y= t^3-3t +2

による曲線が自分自身と交わる点を求めよ。

ってやつがわかりません。。。


6093．Re: (untitled)
名前：ヨッシー    日付：2月22日(土) 16時0分
異なる２つのｔの値（たとえば、ｔ1 と ｔ2）についてのｘ、ｙをそれぞれ
ｘ1、ｙ1 および ｘ2、ｙ2 とするとき、
　ｘ1＝ｘ2　ｙ1＝ｙ2
となるということです。
http://www2.tokai.or.jp/yosshy/

6095．Re: (untitled)
名前：しょう    日付：2月22日(土) 17時31分
ありがとうございます☆

6096．Re: (untitled)
名前：しょう    日付：2月22日(土) 17時31分
このスレッドを削除してもらえませんか？？
KEYを入力しわすれてて。。

6099．Re: (untitled)
名前：ast    日付：2月22日(土) 19時8分
何故, 削除しようと・・・？
削除が必要なスレッドには見えないのですが.
レスを貰って, 解決したから削除というのは, 逆に失礼に当たる
気がしますし・・・.

ま, レスを付けておられるのが管理人さんですから,
管理人さんのご判断に, 委ねる問題なのですけれど,
きちんと削除キー入れてたら, いつの間にか消えてるという
ことになっていたわけですし, ちょっと気になりました.

6082．(untitled)  
名前：受験中    日付：2月22日(土) 11時3分
xの整式f(x)について、f(x)=f(1-x)が成立している。
ある整式g(x)を用いてf(x)=g(x(x-1))と書けることを示せ。

今度は方針も何も立ちません。
宜しくお願いします・・・。


6088．Re: (untitled)
名前：INA    日付：2月22日(土) 12時55分
f(x)=f(1-x)ということは、関数y=f(x)のグラフはx=1/2を軸として線対称になっています。一方またy=x(x-1)という関数のグラフもx=1/2を軸に線対称です。
みたいな感じでどうでしょう。方針としては。

6089．Re: (untitled)
名前：受験中    日付：2月22日(土) 13時7分
対称という理由から、
f(x)=g(x(x-1)) ⇒ f(x)=f(1-x)
はすぐに分かるんですが、逆がどうしても・・・

6090．Re: (untitled)
名前：ころっさす    日付：2月22日(土) 13時26分
次数が1以下のときは成立しますから，
次数に関する帰納法を適用しましょう．

多項式 P，数 a，b が存在し，f(x)＝x(1-x)P(x)+ax+b(1-x)．
更に f(x)＝f(1-x) ならば，f(x)＝(1-x)xP(1-x)+a(1-x)+bx．
商，剰余の一意性により，P(x)＝P(1-x) かつ a＝b．

6103．補足というか蛇足
名前：花パジャ    日付：2月22日(土) 20時25分
>次数が1以下のときは成立しますから，
(最高)次数が奇数のf(x)では、f(x)=f(1-x)が成立しないので、成立しているのです

6105．Re: (untitled)
名前：macsyma2e    日付：2月22日(土) 21時1分
中心1/2で展開して，f(x)=Σ_{k=0}^{n} c_{k}*(x-(1/2))^k．
このとき，f(1-x)=Σ_{k=0}^{n} (-1)^k c_{k}*(x-(1/2))^k．
展開の一意性により，(-1)^k c_{k}=c_{k}．

6117．Re: (untitled)
名前：INA    日付：2月23日(日) 14時18分
＜１：x>=1/2のとき＞
h(x)=x(x-1)と置くと、y=h(x)は定義域x>=1/2のとき値域y>=-1/4を取り、さらにx>1/2で厳密に単調増加な関数になっているから、この関数には逆関数が存在する。具体的にこれをH(y)と書けば、これはy>=-1/4で定義される関数である(なおH(y)=[1+√(1+4y)]/2です)。値域はx>=1/2である。
いま、g(t)=f(H(t))と定義する(ただしt>=-1/4でのみ定義される)。すると今x>=1/2であるからg(t)はt=x(x-1)と置いてもきちんと定義することができて、これを計算すれば、g(x(x-1))=f(H(x(x-1)))=f(x)。
よって具体的にｇを構成できることが示せた。

＜２：x<1/2のとき＞
f(x)=f(1-x)より、f(x)はx=1/2で線対称になっているグラフであることに注意して背理法を用いる。
仮定として、「x>=1/2においてg(x(x-1))=f(x)となるgが存在するにも関わらず、そのようなgのいかなるものに対してもx<1/2においてはg(x(x-1))=f(x)とはならない、具体的には、x<1/2を満たすあるx'において少なくともこの等式が成立しない」として矛盾を導く。
今x"=1-x'と置くとf(x')=f(1-x')=f(x")であるが、x">1/2よりg(x"(x"-1))=f(x")が成立する。
ここでまたx"(x"-1)=(1-x')(1-x'-1)=(x'-1)x'であるから、g(x"(x"-1))=g(x'(x'-1))も成立する。
これらから、結局g(x'(x'-1))=f(x')が導出される。これは矛盾である。


以上＜１＞＜２＞から、題意の命題が証明される。
＊f(x)は任意の形の関数でよいと思います。

6118．Re: (untitled)
名前：macsyma2e    日付：2月23日(日) 14時28分
＞ INAさん
その g(x) が多項式となることは自明でしょうか？

6127．Re: (untitled)
名前：受験中    日付：2月24日(月) 0時55分
すいません、現在理解が追いついていなくて、混乱中です。

自分で作った解答は、x=1/2について対称であることを利用して、
a=1/2として、

F(x)=f(x+a)とおくと、
F(-x)=f(-x+a)=f(1-(-x+a))=f(x+a)=F(x)・・・①
示すべきことはF(x)=f(x+a)が
(x+a){(x+a)-1}=x2-a2の整式で表されることであるが、①よりF(x)は偶数次の項だけからなり、
x2n={(x2-a2)+a2}n
はx2-a2の整式であるから、題意は示された。

ダメでしょうか…。
皆さんが示された解答研究してみます。

6081．周期の求め方。  
名前：コジロウ    日付：2月22日(土) 10時45分
次の周期を求めなさい。
・ｙ＝cos2x
・ｙ＝sin3x
・ｙ＝２cosωｘ
・ｙ＝sin(k/m)x
周期を求めるコツを教えてください。


6083．Re: 周期の求め方。
名前：ast    日付：2月22日(土) 11時34分
コツも何も, もともとの sin(x),cos(x),tan(x) の周期が
きちんと理解できているのなら, 「自然に」できます.

要は, 適当な定数 k(≠0) に対して sin(kx) が有ったとしたら,
t:=kx とでも置いてやると, sin(kx)=sin(t) というのは,
「t で測れば」周期は 2π なわけです.
で, この「t で測った 2π」は, x で測るといくらなのか？

t=2π になるのは, kx=2π なので, x=2π/k のとき.
つまり, もとの sin(kx) の周期は(x で測って) 2π/k であると.
このことは, つまり, t は x の k 倍速く(k の値によっては遅く
なったり逆に行ったりと言う意味にはなるけれども)動いて,
2π に到達するのですから, とても「自然」に思えてきませんか？

6084．Re: 周期の求め方。
名前：なすび    日付：2月22日(土) 11時35分
sin(x),cos(x)周期は2πです。
sin(ax),cos(ax)の周期は、a倍早く次の山が訪れるので、
周期は1/aとでも考えるといいかと。

（感覚的に）

6085．Re: 周期の求め方。
名前：なすび    日付：2月22日(土) 11時36分
かぶった・・・しかも、似た内容ですね・・・。

6086．Re: 周期の求め方。
名前：なすびなすび    日付：2月22日(土) 11時48分
または、感覚的に×なら、

f(x)=sin(ωx)の周期は？なら、
もし最小周期がTなら、
f(x+T)=f(x)が成り立つはず。つまり、
sin(ω(x+T))=sin(ωx)
sin(ωx+ωT))=sin(ωx)
よってωT=2πk（kは正の整数）
だから、T=2πk/ωで、
Tは最小周期だからT=2π/ω

しかし、感覚でサラッと処理するのがベストだと思います。

6107．Re: 周期の求め方。
名前：コジロウ    日付：2月22日(土) 22時50分
それじゃあ、
ｙ＝sin(k/m)xの周期は
(k/m)x=2π
ｘ＝2πm/kなので、
周期は2πm/kでよろしいのでしょうか？

6114．Re: 周期の求め方。
名前：なすび    日付：2月23日(日) 3時51分
もし
ω = k/m
ならば正しいですね。
ただ普通運動方程式が
mx''=-kx
ならω2≡k/m
と定義する場合が多いと思います。

（いちいちω2としなきゃならないため。）

6116．Re: 周期の求め方。
名前：コジロウ    日付：2月23日(日) 13時35分
よくわかりましたありがとうございました。

6072．簡素なものほど美しい。その１  
名前：田中    日付：2月21日(金) 20時30分
問題です。秒殺の人いるかも。
図形問題。
点Ｏから　半直線　Ｌ　Ｍ　Ｎ　を描きます。ただし、ＬとＭは、６０°をなし　ＭとＮは、６０°をなすとします。　結局　ＬとＮは、１２０°ですね。　そしてＬ上に　ＯＡ＝ａ、Ｎ上に　ＯＢ＝ｂとなる点　Ａ　　Ｂ　をとります。　さて、ＡＢ　を直線で結ぶと、Ｍを切る点Ｃが求まります。　ＯＣ＝ｃ　とすれば、　ａ　　ｂ　　ｃには、どんな関係式が成り立つでしょう。
　いちばん　美しい形で　書きなさい。


6074．なるほどね．
名前：変態数学教師見習い    日付：2月21日(金) 20時59分
　△ＯＢＣ＋△ＯＡＣ＝△ＯＡＢより
　　　１　　　　　　　 １　　　　　　　１
　　　―ｂｃsin60ﾟ＋―ａｃsin60ﾟ＝―ａｂsin120ﾟ
　　　２　　　　　　　 ２　　　　　　　２

　　　　√３　　　　√３　　　√３
　∴　――ｂｃ＋――ａｃ＝――ａｂ
　　　　 ４　　　　　４　　　　　４

　　　　　　 ４　　　　　　　　　　１　　１　　１
両辺に――――をかけて　　―＋―＝―　
　　　　 √３ａｂｃ　　　　　　　　ａ　　ｂ　　ｃ

（佐久間信子たんのファン）

6075．Re: はやい　！！正解　　　当方　数式コレクター
名前：田中    日付：2月21日(金) 21時26分
正解です。では、引き続き次の式は？

２．電気抵抗ａ　と　ｂを並列につないだときの、合成抵抗をｃとすると、ａ　ｂ　ｃには、どんな関係式が成り立つでしょう。いちばん　美しい形で書きなさい。

３．凸レンズの焦点距離をｃとします、レンズからこれより遠い距離ａにろうそくをおきました。すると、レンズの向こうに実像ができ、その距離は、レンズからｂでした。ａ　ｂ　ｃには、どんな関係式が成り立つでしょう。いちばん美しい形で書きなさい。

6076．その１の別解
名前：変態数学教師見習い    日付：2月21日(金) 21時31分
　ＬＯの延長上に点ＤをＯＢ＝ＯＤをみたすようにとる．
△ＡＢＤ∽△ＡＣＯより　ＡＤ：ＡＯ＝ＢＤ：ＣＯ
すなわち　　　（ｂ＋ａ）：ａ＝ｂ：ｃ
　　　　　⇔　ｃ（ｂ＋ａ）＝ａｂ
　　　　　　　　　　　　　　　１　　１　　１
両辺をａｂｃで割って　　　―＋―＝―
　　　　　　　　　　　　　　　ａ　　ｂ　　ｃ

その２は…．物理は他の人に任せることにしましょう．
（↑単に忘れただけ）

（佐久間信子たんのファン）

6077．Re: 簡素なものほど美しい。その１
名前：知也    日付：2月21日(金) 22時9分
2は1/a+1/b=1/c　3は1/a-1/b=-1/c

6078．Re: 簡素なものほど美しい。その１
名前：知也    日付：2月21日(金) 22時14分
違いました　３は1/a+1/b=1/cです

6079．変わり種　計算尺
名前：田中    日付：2月22日(土) 4時59分
知也さんも正解です。はじめの問題の意義分かってくれたでしょうか。
２．３って物理のよく知られた計算問題ですよね。これを、およそで良いなら素早く求めるのが、はじめの３本の線の図形なのです。用紙に目盛付きでこれを描き、ａ　ｂを・・定規をあてて、「はい、ｃが求まりました．１０オームです　とか・・」　ａとｃから　引いた関係のｂも出せます。実像の位置など。ちよっとしゃれていますよね。ただし、１００　と　２　でとかなると、はみ出してしまい使えないので悪しからず。

6057．(untitled)  
名前：受験中    日付：2月21日(金) 6時48分
互いに素な自然数x,yに対し、6x+yと9x+3yの最大公約数となりうる値を全て求めよ。

という問題なんですが、どうすればいいのか分かりません。
最大公約数をdとして・・・とやってもうまくいきません。

答えはどうやら1,3,9みたいなんですが・・・

よろしくお願いします。


6058．Re: (untitled)
名前：受験中    日付：2月21日(金) 7時2分
例えば両方とも3の倍数にするには、

6x+yが3の倍数になるようにx,yを調整してやればよく、

両方とも9の倍数にするには、

yを3の倍数にして、
6x+yが9の倍数になるようにxを調整してやればよく、

最大公約数は3,9などにでき、

もし両方を共に3や9以外の、例えばd(>1)の倍数にしたければ
x,y共にdの倍数にしなきゃいけないが、互いに素なのでむりで、

1,3,9以外が最大公約数になるようにx,yを選ぶことが出来ない。

みたいに、なんとなくは分かるんですけど・・・。

6061．Re: (untitled)
名前：受験中    日付：2月21日(金) 9時0分
結局夜通し（６時間ぐらい）考えていました。
（途中気分転換に他の問題もやっていましたが・・・）


で、自分なりの解答を途中まで作ったので添削お願いします。

とする。ここで、gcd(A,B)=dとし、dの取りうる値を考える。まず、
6x+y=Ad
9x+3y=Bd
(A,Bは自然数で、gcd(A,B)=1)とかけるから、
これを変形して、
32x=(3A-B)d …①
3y=(2B-3A)d …②

ここで、dの3以外の因数をkとする。
ここで、
①より32xはkの倍数、
②より3yはkの倍数となるから、
gcd(x,y)=k
ここで、gcd(x,y)=1より、k=1
よって、dは3以外に因数を持たない。

ここで、d=3n (nは0以上の整数)とかけるが、
①より32xは3nの倍数、
②より3yは3nの倍数となるから、
n≧3のとき、
gcd(x,y)=3n-2＞1となり、
gcd(x,y)=1に反するので、n≦2
よって、dの値として可能性のあるものは、1,3,32となる。

あとは、実際にd=1,3,32となるA,Bがあることを示せればいいんですが・・・。
できれば、具体的に値を代入して、１つ見つけた、という形ではなく。

6065．Re: (untitled)
名前：受験中    日付：2月21日(金) 9時17分
あ・・・
最大公約数が1,3,32となるようにA,Bは必ず取れるから、
存在するのは自明でしょうか。

d=32だとすると、
x=(3A-B)
y=3(2B-3A)
となるから、(x,y)=32となる自然数x,yは存在する。

d=3だとすると、
3x=(3A-B)
y=(2B-3A)
となり、Bが3の倍数ならば、(x,y)=3となる自然数x,yは存在する。

d=1だとすると、
32x=(3A-B)
3y=(2B-3A)
となり、
Aが3の倍数かつBが9の倍数ならば、(x,y)=1となる自然数x,yは存在する。

よって、最大公約数の取りうる値は1,3,32である。

なんか、必要性をだして、十分性を確認しているカンジですね。

・・・もしかして自己完結ですか？
質問しておきながら申し訳ないんですが…。
もしかしたら間違いがあるかもしれないので、一応消さずに残しておきます…。

6066．Re: (untitled)
名前：受験中    日付：2月21日(金) 9時26分
全くどうでもいい訂正ですが、

実際にd=1,3,32となるA,Bがあることを示せればいいんですが・・・。

↓

実際にd=1,3,32となる場合がある（そういうx,yの組がある）ことを示せればいいんですが・・・。

でした。

6068．Re: (untitled)
名前：受験中    日付：2月21日(金) 9時50分
最初の方と最後がメチャクチャですね

M=6x+y
N=9x+3y
として、
とする。ここで、gcd(M,N)=dとし、dの取りうる値を考える。まず、
M=6x+y=Ad
N=9x+3y=Bd
(A,Bは自然数で、gcd(A,B)=1)とかけるから、

に訂正します。

あと、後半は、(M,N)=～～となる自然数A,Bは存在し、それに対応してx,yは存在する

でした。

6069．Re: (untitled)
名前：ヨッシー    日付：2月21日(金) 9時53分
あ、自分で訂正されたので、こちらからは特にないです。

あと、ユークリッドの互除法を使う手も、あるような気がします。
　
http://yosshy.sansu.org/

6071．Re: (untitled)
名前：受験中    日付：2月21日(金) 10時21分
レス有難うございます。

＞互除法

この問題、どうしてもそれに結び付けられなかったんですよ・・・。
（互除法の理解が不十分なだけかもしれませんが。）

6073．Re: (untitled)
名前：受験中    日付：2月21日(金) 20時31分
9x+3y=3(3x+y)と6x+yの最大公約数を求める。
ユークリッドの互除法より、6x+yと3x+yの最大公約数は、
6x+y=(3x+y)+3x、3x+y=(3x)+yより、3xとyの最大公約数に等しい。
（１）yが３の倍数でないとき、g.c.d(x,y)(以下、単に括弧だけを書くとする）=1
なので、（３ｘ、ｙ）＝１．すなわち、与題の２つの式の最大公約数は１
（２）ｙが３の倍数であるとき、ｙ＝３ｋ　とすると、
６ｘ＋ｙ＝３（２ｘ＋ｋ）、９ｘ＋３ｙ＝９（ｘ＋ｋ）
となり、（１）と同様にすれば、（２ｘ＋ｋ、ｘ＋ｋ）＝（ｘ、ｋ）
となり、（ｘ、ｙ）＝（ｘ、３ｋ）＝１なので、（ｘ、ｋ）＝１
ここで、２ｘ＋ｋが３の倍数であれば、最大公約数は９となり、そうでないときは３となる。
（１）、（２）より題は示された

これでOKですか？

6050．こんばんわ  
名前：まる    日付：2月20日(木) 23時4分
学生じゃありません。もしよければ教えてください。四角の四辺の長さがわかるのですが、角度はわかりません。　その状態で面積を求めたいのです。余弦定理と正弦定理！？を使えばできるんではないかといわれたのですが、公式見てもさっぱりで　よければ　やり方等教えてもらえないでしょうか？


6052．Re: こんばんわ
名前：知也    日付：2月20日(木) 23時27分
へロンの公式でできませんか？どんな四角形なんですか？

6053．Re: こんばんわ
名前：高橋　道広    日付：2月20日(木) 23時28分
四辺の長さだけでは　残念ながら面積は出せません。

ある正方形　と　同じ長さをもったひし形　を考えると良いと思います。
正方形を対角線にそってつぶしていくと（イメージわかりますか？）
いろいろな面積を持ったひし形ができますよね。
ですから　面積最大　とか　円に内接する　とかいった条件がないと
求まりませんね(~o~)

6054．Re: こんばんわ
名前：はてにゃん    日付：2月20日(木) 23時38分
各辺の長さを教えてください。
をしたらわかります。
もし、平行な辺があれば台形の面積の求め方でも求まりますよ。

6063．Re: こんばんわ
名前：ヨッシー    日付：2月21日(金) 9時11分
私のページの「作りちらかした画像集」というページの２３番目に
「辺の長さだけでは四角形の形は決まらないことの説明」というのが
あります。
いずれにしても、少なくとも１つの角度が分かっている、対角線が分かっている、その他の
条件がないと、面積が決まりません。

また、例えば、台形であるとすれば、こちらのページを参考にしてください。
　
http://yosshy.sansu.org/

6039．高2です★  
名前：mari    日付：2月20日(木) 18時27分
y=log(1-x^2)のグラフを描き、この曲線のx=oからx=1/2までの長さを求めよ。という問題です。お願いします(^_^;)


6040．Re: 高2です★
名前：ast    日付：2月20日(木) 18時51分
はじめまして.

ところでお伺いしたいのですが, y = log(1+x^2) のグラフは描けるのですか？
また, 曲線の長さの定義は, ご存知ですか？

重要なのは, 貴方が何についてお判りでないのか,
また, 貴方が何処までお分かりなのか, ということです.

6042．Re: 高2です★
名前：おおさわ    日付：2月20日(木) 20時16分
グラフは以下の通りです。
手書きでは、１つ１つ値を求めていくしかないと思われます。


次に、長さを求めます。
x = 0 のとき、
y = log(1-02) = 0

x = 1/2 のとき、
y = log(1-(1/2)2) = log(3/4)

故に、２点の距離 d は、
d = sqrt((1/2)2+(log(3/4))2)
　= sqrt(1/4+(log(3/4))2)

う～ん…答えが微妙になってしまった。
http://simfan.cn1.jp/mathmarks/

6044．Re: 高2です★
名前：ast    日付：2月20日(木) 20時27分
あらあら, いろいろ誤解を与えるご解答ですね.
グラフを描けとは, 概形を書けということ.
曲線の長さは 数III か C の範囲ではなかったでしたっけ？
少なくとも, 2点間の距離とは異なる概念です.

6046．(untitled)
名前：K.N.G.    日付：2月20日(木) 21時0分
astさん wrote:
> ところでお伺いしたいのですが, y = log(1+x^2) のグラフは描けるのですか？
y=log(1+x^2)ではなくて，y=log(1-x^2)ですよね？

mariさん，以下方針を示します．
この場合の曲線の長さは，
∫[a→b]√(1+(dy/dx)2)dx …(*)
を使って求められます．
y=log(1-x2)より，dy/dx=2x/(x2-1)．
∴√{1+(dy/dx)2}=(1+x2)/(1-x2) (∵0≦x≦1/2)
あとは，(*)において，a=0, b=1/2として
∫[0→1/2]{(1+x2)/(1-x2)}dx
を計算すれば曲線の長さが求まります．

6047．Re: 高2です★
名前：ast    日付：2月20日(木) 21時25分
>K.N.G さん
>> ところでお伺いしたいのですが, y = log(1+x^2) のグラフは描けるのですか？
>y=log(1+x^2)ではなくて，y=log(1-x^2)ですよね？
そのとおりです, 書き間違えました. すみません.
しかし, わたしは mari さんに「何処まで判るのか」を
問うたのであり, その事は余り問題ではありません.

問題を噛み砕いて, 解答を示そうとされる人は多いですが,
質問者ご本人が, どれだけ考えるか, どのように理解を
深めていくかを考えたとき, すぐに解答を示すのでなく, まずは
より理解を深めるにはどうすればよいか探るべきでは無いでしょうか.

宿題を丸投げしておけば, そのうち解答が出来上がる
ブラックボックスになっては意味が有るとは思えません.

と, 偉そうにご高説たれてみました. いや, ただの愚痴ですが・・・.

6048．(untitled)
名前：K.N.G.    日付：2月20日(木) 22時24分
> 問題を噛み砕いて, 解答を示そうとされる人は多いですが,
> 質問者ご本人が, どれだけ考えるか, どのように理解を
> 深めていくかを考えたとき, すぐに解答を示すのでなく, まずは
> より理解を深めるにはどうすればよいか探るべきでは無いでしょうか.
そうですね．それも大切だと思いますが，質問者に質問をするとそのまま放置されてしまうこともしばしばあるので，僕もどっちがいいのか，と良く思います．結局(質問者)本人の問題なんですよね．

6049．(untitled)
名前：mari    日付：2月20日(木) 22時57分
ありがとうございます。
私はまずグラフが描けなかったので、迷ってしまっただけです(ﾟ-ﾟ)

6056．Re: 高2です★
名前：ast    日付：2月21日(金) 3時39分
＞mariさん
なるほど, いや実際, はじめにそう書いていただけると,
回答側でも, より疑問に即した回答が考えやすくなるのです.

だから, 丸々判らないとか, どう判らないかすら判らない
とかでも, べつに悪いわけではありません.
それはそれで, 回答側が考えることだからです.
問題しか書いていないと, その判断すらなかなか難しいのです.

と, 偉そうなことばかりでは, 失礼ですね. 閑話休題.

グラフを書けという問題は, そのグラフに特徴的な
形や, 数値を明らかにせよ. と言う意図が込められています.

たとえば, log(1-x^2) は偶関数ですから, グラフは y軸に対して
対称ですし, 真数条件から定義域は 1-x^2 > 0 の部分ですし,
というふうです.

グラフの概形というと, 幾つかの通る(特徴的な)点, たとえば,
格子点(座標が整数の点), 極大点, 極小点, 零点(x軸との交点),
y軸との交点, 変曲点, 漸近線, あと定義域の端点での値(極限値になるかも)
などが(有ればあるだけ)描かれていると良いと思います.

軸との交点は, x=0 や y=0 と置いてみれば変な曲線でなければ
判りますし, よっぽどでも, せめて符号ぐらいは調べると良いかも.
その他は, 微分したりして増減表が書けると良く判る.

今回の問題だと, log(x) は, x>0 の範囲で定義される単調増加関数で,
1-x^2 は上に凸の放物線, こいつらの合成というところから
ある程度の情報が引き出せるわけですが・・・.

6033．微分方程式  
名前：miho    日付：2月20日(木) 11時1分
/│
/│
/│----------○
/│
/│
球の質量をｍ、ばね定数をｋとする。上の図は、机の上におかれた球とバネを上から見た図で、球と壁はバネでつながっているので球はバネによって右方向に振動する。
つり合いの位置を原点とし、バネの伸びをｘとすると、力Ｆは
Ｆ＝－ｋｘ
また質店の運動方程式はｍd^2x/dt^2＝－ｋｘ・・・(1)である。

問題１：x(t)＝C1cosωt＋C2sinωtが(1)式を満たすようにωを決定しなさい。
問題２：ｘ＝αの位置で固定し、時刻ｔ＝０で手を離した。解x(t)を求めよ。

問題３：関数x(t)を図で示せ。

よろしくお願いします。


6036．Re: 微分方程式
名前：ヨッシー    日付：2月20日(木) 12時2分
問題１，問題２，問題３は（単独でなく）続いているものとします。

問題１は、
　ｘをｔで２回微分した式を(1) の左辺、
　ｘに－ｋを掛けたものを(1) の右辺に代入して、
　任意のｔについて成り立つようにωを決めれば良いです
　答えは　ω＝±√(k/m)　（ｍ＞０，ｋ＞０ より）
問題２は、
　x(0)＝α、x'(0)＝０ となるように C1、C2 を決めます。
　答えは　x(t)＝αcosωｔ＝αcos√(k/m)ｔ
問題３は、
　コサインのグラフを描いて、適当に目盛りを決めればＯＫです。
　最大最小が±αであることとか、１周期が２π/√(k/m) であることとかに注目します。
　
http://yosshy.sansu.org/

6038．Re: 微分方程式
名前：miho    日付：2月20日(木) 18時22分
問題１でd^2x/dt^2＝－C1ω^2cosωt－C2ω^2sinωt
になったんですけど、これ以上計算することはできますか？

問題２で「x(0)＝α、x'(0)＝０ となるように C1、C2 を決めます。」
の意味がイマイチ分かってないので、もう少し分かりやすく教えてくれませんか？
図々しく聞いてごめんなさい。よろしくお願いします。

6051．Re: 微分方程式
名前：知也    日付：2月20日(木) 23時23分
問１は-C1ω＾2*sinωt-C2*ω＾2*cosωt＝-ω＾2*ｘ　ω＾2＝ｋ

問2は時間ｔ＝０のとき位置がｘ＝α　時間t＝０のとき固定されているので速さが０つまり変位をｔで微分した速さが0になります。

6080．Re: 微分方程式
名前：miho    日付：2月22日(土) 10時29分
ありがとうございました。

6026．教えて下さい!!!ピンチです。  
名前：やすお    日付：2月20日(木) 1時57分
私いま32歳ですが事情があり、職業訓練校の入試を受ける事になりました。
昨年の入試問題で二つ
８*2乗÷１２*5乗÷２５*2乗×１５*4乗＝？
ともう一つ
｢ ICHIROの６文字の中から２文字を選ぶ方法は何通りありますか。 」
答えは四択で
ァ・９通り　ィ・１０通り　ゥ・１１通り　ェ・１２通り
です。累乗計算は何か簡単な方法があった様な気もしますが
なにぶん馬鹿で歳もいってきてさっぱり解かりません。
お助け頂ければ幸いです。宜しくお願い致します。


6028．Re: 教えて下さい!!!ピンチです。
名前：変態数学教師見習い    日付：2月20日(木) 2時22分
　　　　　　　　　　　　 ８2×１５4
　与えられた式は　―――――　と変形できます．
　　　　　　　　　　　　１２5×２５2
ここで，
　　　８2＝(２×４)2＝２2×４2＝４3
　　　１５4＝(３×５)4＝３4×５4
　　　１２5＝(３×４)5＝３5×４5
　　　２５2＝(５2)2＝５4
と変形すると，簡単に約分ができます．

(佐久間信子たんのファン)

6029．Re: 教えて下さい!!!ピンチです。
名前：変態数学教師見習い    日付：2月20日(木) 2時39分
　Ｉが何文字選ばれるかで場合わけをします．
・ Ｉが２文字選ばれるとき　　　（Ｉ，Ｉ）の１通り．
・ Ｉが１文字選ばれるとき　　　（Ｉ，Ｃ），（Ｉ，Ｈ），（Ｉ，Ｏ），（Ｉ，Ｒ）の４通り．
・ Ｉが選ばれないとき　　　　　（Ｃ，Ｈ），（Ｃ，Ｏ），（Ｃ，Ｒ），（Ｈ，Ｏ），（Ｈ，Ｒ），（Ｏ，Ｒ）の６通り．
したがって　１＋４＋６＝１１通り

※この程度ならば，すべて書き出してしまっても大した手間ではないでしょう．
　そのとき，上のように「数える基準」を設けるとミスを防ぎやすくなると思います．

(佐久間信子たんのファン)

6034．Re: 教えて下さい!!!ピンチです。
名前：やすお    日付：2月20日(木) 11時28分
佐久間信子たんのファンさん
早速のご回答ありがとうございます。
助かりました、この問題は理解できました。
しかし、もし解からない問題が出たらおっしゃる様に
全て書き出して考えたいと思います。

入試問題は中卒程度の数学と言う事ですが、私の固い頭ではなかなか…
どなたか中学数学の復習が出来る*解説が無いと解かりません（＾＾；
HPをご存知なら書き込みお願いいたしま～す！

6035．Re: 教えて下さい!!!ピンチです。
名前：やすお    日付：2月20日(木) 11時30分
御名前間違えました、変態数学教師見習いさんでした。
すいませんありがとうございました

6055．Re: 教えて下さい!!!ピンチです。
名前：はてにゃん    日付：2月20日(木) 23時44分
書店に判りやすく説明してくれている本はありますよ。
それか、短期で家庭教師をつけるというのもいい手かもデス。
実は私も職業訓練校を受験した身です。

6070．Re: 教えて下さい!!!ピンチです。
名前：やすお    日付：2月21日(金) 10時4分
はてにゃんさん
ありがとうございます、早速本屋で探してみます。

6023．子供の数学教えて下さい。  
名前：玲子    日付：2月19日(水) 23時39分
Original Size: 640 x 865, 5KB

下図に於いて∠COD=75度の時∠BAOはいくらか？
AB=BO=COとする

申し訳ないのですが宜しくお願い致します。


6024．Re: 子供の数学教えて下さい。
名前：みゆき    日付：2月19日(水) 23時57分
∠BAO=∠BOA(△ABOは二等辺三角形)
∠CBO=∠BAO+∠BOA（外角の関係）
=2∠BAO
∠CBO=∠BCO(△CBOは二等辺三角形)
=2∠BAO
∠BOC=180°-∠CBO-∠BCO=180°-4∠BAO
∠COA=180°-75°
=∠BOC+∠BOA=180°-3∠BAO
∠BAO=25°

6025．(untitled)
名前：K.N.G.    日付：2月20日(木) 0時0分
∠BAO=x°とする．
AB=BOより∠BAO=∠BOA=x．
∠CBO=∠BAO+∠BOA=2x．
BO=OCより∠CBO=∠BCO=2x．
以上より∠COD=∠BAO+∠BCO=x+2x=3x=75°．
∴∠BAO=x=25°．

6009．地獄の漸化式  
名前：pioneer    日付：2月19日(水) 20時37分
おもしろい問題ですので解いてみてください。
（もうネタを知っている方々にとっては
つまらない問題かもしれませんが）

数列{an}において、

a(1)=15
a(2)=55
a(3)=225
a(4)=973
a(5)=4425
であるとし、

a(n+5)=15a(n+4)-85a(n+3)+225a(n+2)-274a(n+1)+120a(n)
が成り立っているとする。

{an}の一般項を求めよ。


6011．Re: 地獄の漸化式
名前：ころっさす    日付：2月19日(水) 21時5分
そのまま a(n)=9/2-(11/2)*2^n+7*3^n-(7/4)*4^n+(3/2)*5^n では？

6012．Re: 地獄の漸化式
名前：高３    日付：2月19日(水) 21時11分
a(n) = (18-22×2n+28×3n-7×4n+6×5n)/4

意外と綺麗な答えですね。
元ネタってなんでしょう？

6013．すいません！
名前：pioneer    日付：2月19日(水) 21時30分
a(4)=979　です！
皆さん方の答えは当たっていますが、
a(4)=979　としてみて
答えを出してみてください！
華麗なる答えがでます！

6014．Re: 地獄の漸化式
名前：ころっさす    日付：2月19日(水) 21時33分
そのまま a(n)=1+2^n+3^n+4^n+5^n では？

6015．Re: 地獄の漸化式
名前：高３    日付：2月19日(水) 21時34分
今度のは、

a(n) = 1n + 2n + 3n + 4n + 5n

でしょうか？
確かに美しいですね。
（1のn乗に特に意味はありません）

6016．Re: 地獄の漸化式
名前：高３    日付：2月19日(水) 21時35分
また先を越されました。
まぁ、どうでもいいのですけど。

6017．Re: 地獄の漸化式
名前：高３    日付：2月19日(水) 21時38分
ではころっさすさん、

a(n) = 1n + 3n + 5n + 7n + 9n

の漸化式を作ってみてください。
（一応手元に答えはあります）

6018．Re: 地獄の漸化式
名前：ころっさす    日付：2月19日(水) 21時43分
(x-1)*(x-3)*(x-5)*(x-7)*(x-9)を展開して下さい．

6019．Re: 地獄の漸化式
名前：高３    日付：2月19日(水) 21時50分
私がですか？

-945x + 1689x - 950x2 + 230x3 - 25x4 + x5

ですね。
まぁやり方を知っていれば単なる単純作業なんですが…。

6020．Re: 地獄の漸化式
名前：高３    日付：2月19日(水) 21時50分
失礼しました。

-945x → -945

6021．Re: 地獄の漸化式
名前：高３    日付：2月19日(水) 22時25分
さすが青空学園の大学院卒だけありますね。
ではおやすみなさい。

6022．Re: 地獄の漸化式
名前：ころっさす    日付：2月19日(水) 22時31分
院は昔行きましたが，待兼山です．
勉強頑張って下さいね．＞高３さん

6005．円  
名前：あやか    日付：2月19日(水) 19時48分
初めまして。今中一です。
最近気になったんですが、なぜ、
半径×半径×π ＝円の面積　なんですか？

そもそも　半径×半径　って何をもとめているのでしょうか？


6006．(untitled)
名前：K.N.G.    日付：2月19日(水) 19時59分
意味があるのは (半径×半径) ではなく (半径×π) の方です．
(半径×π) は，円周(直径×π)の半分の長さを表すわけですが…，
どうして， (半径×円周の半分の長さ) で円の面積が求められるかというと…，詳しいことは小学校または中学校の教科書を見てください．
(図がないと説明しにくいので…)

6007．(untitled)
名前：K.N.G.    日付：2月19日(水) 20時4分
ここの｢円｣のところを見てください．
すごく分かり易いですよ．

6008．円の面積について
名前：pioneer    日付：2月19日(水) 20時5分
積分の知識+αがあれば厳密に説明できますが、
あなたは中学生のなので、
下記に示されたものを参考にしてください。

円を、
面積が限りなく0に近い無数の扇型にばらします。
それらを組み合わせたら、長方形ができます。
その長方形の短いほうの辺の長さは円の半径に等しいのでｒ。
長いほうの辺の長さは、円周の半分に等しいので、2πr÷2=πr
長方形の面積は縦×横なので、
もとの円の面積は、r×πr
つまり、半径×半径×π ＝円の面積

注意：長方形の面積として考える方法はイメージに過ぎず、
厳密には、半径×半径×π ＝円の面積という事実を
示していない。

6030．Re: 円
名前：ヨッシー    日付：2月20日(木) 8時57分
私のページの「ＧＩＦアニメ」のコーナーの「円の面積」もご覧下さい。
　
http://yosshy.sansu.org/

6031．Re: 円
名前：ヨッシー    日付：2月20日(木) 9時7分
あぁ！図が酷似しているっ！
って、当たり前か。
http://yosshy.sansu.org/

6037．Re: 円
名前：kasama    日付：2月20日(木) 16時0分
ご質問の答えではありませんが、あなたと同じように円の面積について疑問をもっていたので...
私は、小学生のとき、pioneerさんのような説明を先生から聞き、非常に納得できませんでした。次の２つの疑問があったからです。
疑問①･･･扇型を小さく切っていく操作が無限にできるか？
疑問②･･･①の操作が可能であったとしても、扇型がどんなに小さくしてもやはり扇型であって、それをつなぎ合わせて長方形になるのか？
当時、疑問①はなんとなく納得しましたが、疑問②については理解できず、かなり先生につかかってやりました。そのときのやり取りは、次のようなものでした。
私:「扇型のつなぎ合せは目で見て長方形になっているが、顕微鏡で拡大すると、長方形にはなっていないのではないか？」
先生：「顕微鏡で見ても判らないほど細かく切るんだよ」
多くの人たちには、扇型のつなぎ合せが長方形に近付くと言うより長方形になると言った方が理解しやすいようですし、確かに教科書にも長方形になると記述されいます。
しかし、このような不可解なやり取りがあった以降は（大学２年生まで続くことになる）、円の面積を計算するたびに非常に奇妙な思いをしました。高校数学でも極限、積分などで同じような疑問を持っていましたが、試験で答えを出すためだけに、似たような奇妙な方法で問題を解いていました。
大学は工学部だったので、数学はHowToが中心で論理は疎かにさていたので、結局、自分で集合論、トポロジー、解析学･･･を勉強して疑問を解決することになりました。そもそも数とは何か、1,2,3,･･･と数えるということはどういうことか、収束とは、そして面積とは何かと言った根本的な考え方をまず理解しておく必要があることに気付きました。当時の私が納得できるような説明は「つなぎ合せた扇型がある形に限りなく近づきます。限りなく近づこうとする形が長方形なので、円の面積を長方形の面積と約束しようね」だったのです。それまでの疑問はすべてきれいに晴れました。
当時小学生だった私の担任の先生の数学的思考が劣っていたとは思いませんが、問題をごまかさず、せめて解決の糸口を与えてもらえたら良かったのにと思います。
現在、私は３児の父親ですが、小学５年生になる息子がいます。そろそろ円の面積について習う時期を思います。私と同じ疑問をもっていたらできる限り正確に説明してやろうと思います。

6043．Re: 円　比例をかんがえて・・・
名前：中年N    日付：2月20日(木) 20時16分
最近　比例　と　単位のとり方に　興味をもち
いろいろ考えました。

こういうのは　どうでしょうか。

つまり　面積は　半径、あるいは　直径の二乗に　比例する。
面積を　たて　かける　よこ　とすると
　円は　たても　横方向も　半径に　比例して　長くなる。
ゆえに　面積は　半径の二乗に　比例する。

比例定数は　パイだが
　パイがわからなくても　半径の二乗に何かをかけて数字が
　円のめんせきであることが　わかる。

6003．すいません・・  
名前：pioneer    日付：2月19日(水) 19時25分
6002の題目は、
「sin5°の値を具体的に求めることを考える」です・・。
入力ミスすいませんでした・・。

6002．解の存在  
名前：pioneer    日付：2月19日(水) 19時22分
「sinπ/の値を具体的に求めることを考える」

θ=5°とするならば、
sin3θ=sin15°

ここで、3倍角の定理より、
sin3θ=sin15°⇔3sinθ-4(sinθ)^3]=(sqr(6)-sqr(2))/4 ・・・①
（＊sqr(a) は aの2乗根とする）
sinθをtに置き換えて・・・
①⇔3t-4t^3=(sqr(6)-sqr(2))/4
　⇔t^3-3t/4+(sqr(6)-sqr(2))/16・・・②
ｶﾙﾀﾞﾉの解法より、
2次方程式：t^2+(sqr(6)-sqr(2))/16+1/64 の
2つの解の3乗根をそれぞれ、α,β とするなら、
②の3つの解はそれぞれ、
α+β , αω+βω^2 , αω^2+βω となる。

・・・この3つの解のうちどれかひとつが、
sin5°の値となるﾊｽﾞですが・・・
虚数などが邪魔でsin5°に値を
私の力では求められませんでした・・。
どなたかお助けを・・。


6004．注釈
名前：pioneer    日付：2月19日(水) 19時27分
ωは、1ではない1の3乗根です。

6010．Re: 解の存在
名前：ころっさす    日付：2月19日(水) 21時1分
(2)の3根は sin(5º±120º)，sin(5º) で，
α+β，αω+βω^2，αω^2+βωとの対応はα，βの選び方に依存します．

このように，根が実数であっても，
根の表示には，複素数の立方根が含まれ，
その簡約は一般には出来ないことが知られていますし，
複素数の立方根を含んだままで良いなら，より手軽に．．．

5997．　  
名前：ゆうこ    日付：2月19日(水) 13時31分
はじめまして。今高２です。

log3 x２乗＝log√3 (x２乗-x-2)
において、両辺の真数が正となるxの値の範囲と
この方程式の解を求めよ

ま２のx乗-２の-x乗<3
の解はx<log○○○
である
という問題です。
logはていをそろえればいいのかなと思ったけどわかりません。
指数の問題は2のx乗をtとおいて計算していくのかなと思ったけどわかりません
よろしくお願いします！


5998．Re: 　
名前：知也    日付：2月19日(水) 14時52分
真数条件は[log｛底｝()]の（ )の中身が(　）＞０にならないといけないことです。つまりlog{3}(x^2)=2log{3}(x) つまりｘ＞０　log｛√３｝（x＾2‐x‐2)の真数条件はｘ＾２－ｘ－２＞０　(x‐2)(x＋1)＞０　ｘ＜－１　ｘ＞２　これらをまとめて真数条件はｘ＞２　底の交換法則からlog{√３｝（x＾2‐x‐2）＝2*log{3}(x^2-x-2) だから2log{3}(x)=2log{3}(x^2-x-2) x=x^2-x-2 x=１±√３　真数条件から　ｘ＝１＋√３だよ

5995．ぜひ、二次関数！！  
名前：ぷよ    日付：2月19日(水) 10時23分
こんにちわ。はじめまして。
どうしても気になる事がありましてカキコさせていただきました。

y=2x^2（べき乗って＾でしたよね？ ２エックスの二乗です）
のグラフを、
ｘ軸の正の方向へ３、
ｙ軸の負の方向へ５、
だけ平行移動させたグラフの方程式を答えなさい。

という問題で答えはy=2x^2-12x+13とあるのですが、この式を導くためにはどう考えたら良いのでしょうか？
是非とも回答をよろしくお願いいたします。


5996．Re: ぜひ、二次関数！！
名前：ヨッシー    日付：2月19日(水) 11時24分
y=2x2 上の点を(X,Y) とします。
当然、Y=2X2 が成り立ちます。
点(X,Y) を ｘ軸方向に３，ｙ軸方向に－５移動した点を(x,y) とすると、
x=X+3, y=Y-5 です。
今、知りたいのは、(x,y) がどのような式で表されるかということ。
一方、与えられているのは、(X,Y) が Y=2X2 を満たすということです。
そこで、関係式 x=X+3, y=Y-5 を変形して、X=x-3, Y=y+5 として、
Y=2X2 に代入すると、
(y+5)=2(x-3)2
となり、y=2x2-12x+13 が得られます。

一般に、ｘとｙの関係式で(直線でも２次関数でも三角関数でも円でもです)
x の代わりに x-a 、y の代わりに y-b を代入すると、元のグラフを
ｘ軸方向にａ、ｙ軸方向にｂ 移動したグラフになります。
今回の場合、x の代わりに x-3、y の代わりに y-(-5) = y+5 を代入しています。
　
http://www2.tokai.or.jp/yosshy/

5999．Re: ぜひ、二次関数！！
名前：ぷよ    日付：2月19日(水) 15時33分
ヨッシーさんレスありがとうございます！

なるほど、そう考えるのですね。
単純にｘ＋３、ｙ－５と考えてしまいそうですね。
ふ～む。

よ～く理解できました！！！！
ありがとうございます。
非常にたすかりましたぁ～♪

6000．Re: ぜひ、二次関数！！
名前：現役高校数学教師    日付：2月19日(水) 15時37分
y=ax^2をx軸方向にｐ、y軸方向にｑだけ平行移動した２次関数のグラフは、y=a(x-p)^2+qになります。
したがって、問題はy=(2(x-3)^2)-5となりますから、展開整理して
y=2x^2-12x+13になります。

5991．ぜひ！  
名前：中尾　寛宙    日付：2月18日(火) 21時53分
僕は、洛南附中の１年です。
今日、幾何の先生から問題を出されまして「明日までに説いてきなさい」とのことなのですが、全く手も足も出ません。そこで、ヨッシーの力をおかりしたくメールをしました。よろしくお願いします。
（問題）一辺の長さが５の正五角形ＡＢＣＤＥにおいて、対角線ＡＣの長さを求めよ。
　　　　よろしくお願いします。


5992．Re: ぜひ！
名前：高橋　道広    日付：2月18日(火) 22時51分
ヨッシーさんでなくてすみません
対角線ACとBEの交点をPとします。
三角形APEは二等辺三角形となります
　　角EAD=ｘとすると　角CAD=X（同じ長さの弦に対する円周角）
　　から角CAE=2Xとなります
　　角APE=角BAC+角ABE=X＋X=2X（同じ長さの弦に対する円周角）
このことから　PE=AE=5
三角形ABPと三角形BEAは相似です（省略）
よって　BP=ｔとして　AB:BP=BE:ABから
5:ｔ=(t+5):5から　t＾2+5t-25=0
t+5が求める長さとなります。
省略しているところは自分でやってみてくださいね。

5993．ヨッシーさんではないけれども…
名前：K.N.G.    日付：2月18日(火) 22時51分
△ACDに注目して考えます．
∠ACDの二等分線と辺ADの交点を点Fとすると，
AF=CF=CD=5，△ACD∽△CDF…(*)
AC=x(x＞0)とおくと，DF=x-5．
(*)より，AC:CD=CD:DFであるから，
x:5=5:x-5⇔x2-5x-25=0
∴x=(5+5√5)/2(∵x＞0)．
よって，対角線AC=(5+5√5)/2．

5994．Re: ぜひ！
名前：ヨッシー    日付：2月19日(水) 9時10分
こちらの図４において、
ｘ＝５
とおけば、対角線ｒが出ます。

出張中なので、夜のページチェックは出来ませんので、悪しからず。
　
http://www2.tokai.or.jp/yosshy/

6001．Re: ぜひ！
名前：1729    日付：2月19日(水) 16時37分
四角形ABCDにトレミーの定理を適用

5990．ぜひ！  
名前：中尾　寛宙    日付：2月18日(火) 21時47分
僕は、洛南附中の１年です。
幾何の先生から問題を出されまして全く手も足も出ない状態です。
ぜひ、ヨッシーの力を貸していただきたいと思います。よろしくお願いします。
「問題」
　　一辺の長さが５の正五角形ＡＢＣＤＥにおいて、対角線ＡＣの長さ　　を求めよ。

5979．確率  
名前：ｍｉｙｕｋｉ    日付：2月17日(月) 22時41分
袋の中に赤玉3個、白玉4個、青玉5個が入っている。
この中から同時に4個を取り出す時、取り出した玉のうち2個
だけが同じ色である確率を求めよ。

この問題で、例えば赤玉2個を取り出したと考えた時、
３Ｃ２×９Ｃ２
とせず、３Ｃ２×４×５としているのは
何故なんでしょう？白玉４個、青玉５個の場合も同様に・・。

↓このような問題では私の考えが通じたのですが。
袋の中に赤玉３個、白玉４個、青玉５個がはいっている。
この中から同時に３個を取り出す時、２個だけが同じ色
である確率を求めよ。


5980．Re: 確率
名前：変態数学教師見習い    日付：2月17日(月) 22時56分
　４個中２個だけが同じ色なのだから，赤玉２個を選んだ
時点で，残りは白玉１個，青玉１個に決まってしまいます．
ｍｉｙｕｋｉさんの考えだと，（赤，赤，白，白）になって
しまう場合などが含まれるのでマズイわけです．

（佐久間信子たんのファン）

5981．Re: 確率
名前：変態数学教師見習い    日付：2月17日(月) 23時5分
　３個中２個だけが同じ色の場合は，赤玉２個を選んだあと
残りの１個は赤以外の色ならばよいことになります．
したがって，3Ｃ2×９　としてよいのです．

（佐久間信子たんのファン）

5972．よろしくお願いします。  
名前：中学数学復習中    日付：2月17日(月) 19時20分
Original Size: 433 x 199, 4KB

（図をｸﾘｯｸして見て下さい。）
三角形ＡＢＣで、底辺ＢＣに平行な線分ＰＱがあります。はじめ、ＡＱ＝１ｍ、ＱＣ＝３ｍのとき、三角形ＡＰＱの面積は３㎡でした。
点ＱがＡＣ上をＣに向かって毎秒８ｃｍで動き、点Ｐも線分ＰＱが底辺ＢＣに平行になるようにＡＢ上を動いています。
台形ＰＢＣＱの面積が、はじめの三角形ＡＰＱの面積（３㎡）の７倍になるまでの時間は、何秒ですか。


5976．Re: よろしくお願いします。
名前：知也    日付：2月17日(月) 20時49分
相似に関する面積の比　２つの相似な三角形があり辺の比がa:bなら面積比はa^2:b^2である。このことをふまえれば、ACが４ｍ　AQが１ｍから相似比は4:1よって面積比△ABC：△APQ＝16:1　だから△ABCは16*3＝48m＾2となる。ここで求めたいAQの長さをｘｍとする。△APQが27m＾2　台形PBCQが3*7＝21m＾2になればよい。つまり辺の比がAC:AQ＝４：ｘであるから面積比は16:x＾2　つまり16:x＾2＝48:27だからx=3つまりAQ＝3mのときであるもとから２ｍ＝２００ｃｍ動いているので25秒後です。　

5983．Re: テーマは、相似と面積
名前：田中    日付：2月18日(火) 0時15分
ここで大切なことは、相似の図形の辺の比　と　面積の比　の関係です。
例　　正方形　で　考えましょう。正方形ならみんな相似ですね。

１辺が１㎝なら　面積は、１＊１＝１　平方センチです。
　　　２㎝　　　面積は、２＊２＝４　平方センチです。

辺　１：２　なら　面積　１：４　なのです。
　
　面積の比は、２乗になるのです。　これが、ポイント。

このことは、どんな相似の図形にもあてはまります。たとえ円でも、三角形でもです。

では　この問題　、相似の△ＡＰＱの面積は、３　そこで、△ＡＢＣの面積はいくらか。それは、ＡＰの４倍がＡＣなので、１：４

で、はじめに述べたように　面積比は、　　１：１６　なのです。

△ＡＢＣの面積は３＊１６＝４８

条件では、台形は３＊７＝２１です。
よって、台形にのってる三角形の面積は　４８－２１＝２７　です。

さあ、この三角形の面積は、小さいときと比べると　２７／３＝９倍　です。
これは、何かの２乗になっていませんか？　そう　３倍です。これは、辺が何倍かを示すのです。

ということで、△ＡＰＱの　ＡＰ＝３　のとき、この条件になります。

はじめに比べると　３－１＝２　メートルのびました。

速さは、８㎝／秒　だから　２００／８＝２５　秒後です。

5961．(untitled)  
名前：知也    日付：2月17日(月) 11時41分
関係ないけど70000HITゲットです！

5960．改めてお願いします。  
名前：中学数学復習中    日付：2月17日(月) 11時34分
Original Size: 267 x 361, 5KB

（図をｸﾘｯｸして見て下さい。）
上の図の斜線で示す三角形を、回転軸ｌを中心に１回転させるとき、出来上がる立体の体積はいくらになりますか。但し、円周率をπとする。


5962．Re: 改めてお願いします。
名前：知也    日付：2月17日(月) 11時43分
V=1/3*3^2*π*（４－３）＝3π

5970．Re: 改めてお願いします。 やはり図　逆でしたね
名前：田中    日付：2月17日(月) 18時5分
方針は、
外側の高さ４の円錐から高さ３の円錐の体積を引くことなのは、分かりますね。

そこで、円錐の体積は

　　Ｖ＝１／３＊底面積＊高さ　　　　なのです。１／３　と言うところが面白いところです。
　
　高さ４の円錐の体積をＶ４　　　高さ３の円錐の体積をＶ３とすると

Ｖ４－Ｖ３＝１／３＊底面積＊４－１／３＊底面積＊３

ですね。　高さ以外同じなので、くくることができます。ここが丁寧なところです。あわててそれぞれ計算しない方が良い例です。

つづけて　＝１／３＊底面積＊（４－３）
　　　　　＝１／３＊底面積＝１／３＊３＊３＊π
　　　　　＝３π

5974．(untitled)
名前：中学数学復習中    日付：2月17日(月) 19時24分
わかりやすい解説、ありがとうございました。

5959．改めてお願いします。  
名前：中学数学復習中    日付：2月17日(月) 11時32分
Original Size: 433 x 182, 4KB

（図をｸﾘｯｸして見て下さい。）
上の図の直角二等辺三角形ＡＢＣの面積を求めなさい。


5963．Re: 改めてお願いします。
名前：知也    日付：2月17日(月) 11時50分
直角三角形の比よりBH=CH=√３ｒ　BC＝２√３ｒ　AB＝AC＝ｘとおくと直角二等辺三角形からBC＝√２ｘ　√２ｘ＝２√３ｒ　ｘ＝√６ｒ　よって△ABCの面積は1/2*(√６ｒ*√６ｒ)=3r^2

5971．Re: 改めてお願いします。 がんばりましょう
名前：田中    日付：2月17日(月) 18時54分
図をしっかり、正確に描くこと。この画面に載せたらゆがんだかも・・・

Ａが９０°にみえません。この△ＡＢＣは、９０°　４５°　４５°のあの三角形です。
　というのは、図形問題では、なるべく正確に図を描くとそれだけで、答えが見えてくることが多いのです。等しかったり、およその角度がみえたりです。入試での「奥の手が、この実際に正確な図をかく」事なのです。

さて、△ＣＯＨは、正三角形の半分なことは、わかりますか？　９０°　３０°　ですから　あと　６０°でしょう。
ここで、ＯＨ＝　ｒ　のとき　ＣＨ＝√３ｒ　なります。これは、憶えることです。１：√３だと。
これで　面積を求める　底辺　も　高さ　も分かったのです。

底辺　√３ｒ　＊２　　　高さ　　√３ｒ　です

なぜなら　高さＡＨはＣＨと同じ　長さですから

三角形の面積は　底辺＊高さ／２　です

　　代入して　　√３ｒ　＊２　＊√３ｒ　／２＝３ｒ＾２

です。

5973．(untitled)
名前：中学数学復習中    日付：2月17日(月) 19時22分
分かりやすい解説ありがとうございました。

5948．(untitled)  
名前：高２    日付：2月17日(月) 5時0分
不定積分∫{log(x-a)}^2 dx
なんですが、部分積分を使うらしいのですが、答えがうまく合いません。
やり方（∫１・{log(x-a)}^2 dx とみなす）が間違っているのでしょうか？


5956．Re: (untitled)
名前：知也    日付：2月17日(月) 10時35分
間違っています。∫logx dx=x(logx-1)を使う。x-a=tとする。∫（logt)^2 dt=[tlogt(logt-1)]-∫（logt-1)dt=t{(logt)^2-2logt+2}=(x-a){(log[x-a])^2-2log(x-a)+2}＋Cとなる。

5964．Re: (untitled)
名前：nabeX    日付：2月17日(月) 12時2分
べつに、間違っちゃいないと思いますが。
(x-a)をxで微分すると1{log(x-a)}2をxで微分すると、2log(x-a)/(x-a)になる事に注意して
∫1*{log(x-a)}2dx
=(x-a)*{log(x-a)}2-∫(x-a)*2log(x-a)/(x-a)dx
=(x-a)*{log(x-a)}2-2∫log(x-a)dx
=(x-a)*{log(x-a)}2-2(x-a)log(x-a)+2x+ｃ

5965．Re: (untitled)
名前：知也    日付：2月17日(月) 12時55分
そんな方法もあったのですね！

5989．Re: (untitled)
名前：高３    日付：2月18日(火) 20時43分
どうも有難うございました。

5942．お願いします。  
名前：中学数学復習中    日付：2月17日(月) 2時33分
（1）1から6までの番号のついた席にＡ、Ｂ、Ｃの3人が座るとき、座り方は何通りですか。

（2）男子4名と女子1名が1列に並ぶとき、女子が端に来る並び方は、何通りですか。

場合の数、確立の問題などがなかなか理解出来ません。
何か、解き方のコツなどがあれば、教えていただけると嬉しいです。
水曜日に1校目のテストなので、かなり焦っています。
よろしくお願いします。


5943．確立⇒確率
名前：K.N.G.    日付：2月17日(月) 3時1分
(1)
A, B, Cの3人に1～6の番号のついたカードを配ると考えるとわかり易いと思います．
Aには(1～6の)6通り，Bには(Aに1枚配ったので残りの)5通り，Cには(A，Bに1枚ずつ配ったので残り)4通りの配り方があります．
従って，求める場合の数は 5×4×3=60通り です．
(2)
女子は左端もしくは右端に並ぶので，2通り．
その各々に対して，男子4名の並び方は 4×3×2×1=24通り．
従って，求める場合の数は 2×24=48通り です．

高校の確率も小学生の知識で解けます．
順列Pや組合せCといった知識は全く必要ありません．
要は，問題を｢どう噛み砕くか｣だと思います．

5944．訂正
名前：K.N.G.    日付：2月17日(月) 3時21分
(1)の最後の行
＞従って，求める場合の数は 5×4×3=60通り です．
を
従って，求める場合の数は 6×5×4=120通り です．
と訂正します．

5975．(untitled)
名前：中学数学復習中    日付：2月17日(月) 19時25分
丁寧に教えていただき、ありがとうございました。

5934．三角比、三角関数の取り扱いについて  
名前：家庭教師をやっているものです。    日付：2月17日(月) 1時9分
家庭教師をこの4月から始めるため、
数学のまとめをつくっているところなのですが、
よく、『三角比』と『三角関数』をひとつにまとめてしまえ。という考え方
が出回っていますが、実際には（私の学校では）、
律儀に数学1の範囲と数学2の範囲とわかれていました。
確かに、加法定理や合成などまでは、まだやる必要もないように思うのですが、
Sin(90°-θ)=Cosθなどをいまだにただ暗記させたり、直角三角形で理解させたりされるのはどうしてでしょうか?

実際は、やっぱり高校1年の段階でそこまでというのは無理。ということはないと思うのですが。。


5938．Re: 三角比、三角関数の取り扱いについて
名前：知也    日付：2月17日(月) 1時35分
三角関数（関数として）としてひとまとめで教えたらどうですか？

5940．Re: 三角比、三角関数の取り扱いについて
名前：変態数学教師見習い    日付：2月17日(月) 2時2分
三角「関数」として教えるなら，弧度法を使うべきだと思う．
新指導要領では，そのようになっているようだが．

5941．Re: 三角比、三角関数の取り扱いについて
名前：変態数学教師見習い    日付：2月17日(月) 2時18分
それと「Sin(90°-θ)=Cosθなどの公式」をただ暗記させるべきではないし，
教科書でも（生徒が理解できるように）説明がされているハズなので念のため．
そもそも，数Ⅰでも（０ﾟ＜θ＜180ﾟにおける）単位円の扱いは出てくる．
きちんと教科書を研究してみてください．

5966．Re: 三角比、三角関数の取り扱いについて
名前：家庭教師をやっているものです。    日付：2月17日(月) 13時4分
みなさん、返信ありがとうございました。
一応教科書にも単位円を用いた説明ものっていました。
ただ、その一方そのことが一番重要というか、基本であるということはなく、
そのあたりは自分で強調して教えようと思います。
ありがとうございました。

5931．グラフと行列  
名前：なおこ    日付：2月16日(日) 23時20分
頂点A(点１)、B(点２)、C（点３）、D（点４）がある。
点１と点２は、二つの線でむすばれている。点１と点4、点２と点3、点３と点４、点２と点４が線で結ばれている。
これから隣接行列を用いる。
隣接行列Aは、その成分Aij=点iと点jを結ぶ辺の数・・・(1)とする。
またi=jの要素Aiiはゼロとする。
例として
A=│0201│←４×４行列です。
　　│2011│
　　│0101│・・・(2)
　　│1110│
となる。
また点１と点２は二本の辺で結ばれているので、A12=A21=２である。

問題１：４×４行列Mの積M^2＝M・M、M^3=M・M・Mのij成分を、行列Mの成分を使って表す式を書きなさい。
問題２：(A^2)ijは、グラフ上でどんな意味をもつか。
問題３：(A^3)13を求め、これは、グラフ上でどんな意味をもつか。


よろしくお願いします。


5935．Re: グラフと行列
名前：ころっさす    日付：2月17日(月) 1時13分
問題１ M^3=M・M・Mは定義として適当ではありませんので，
M^3=M・M^2を定義として答えます．

(M^2)(i,j)=Σ_{k=1}^{4} M(i,k)*M(k,j)，
(M^3)(i,j)=Σ_{k=1}^{4} M(i,k)*(M^2)(k,j)
=Σ_{k=1}^{4} M(i,k)*Σ_{l=1}^{4} M(k,l)*M(l,j)
=Σ_{k,l=1}^{4} M(i,k)*M(k,l)*M(l,j)．

問題２
点iと点jとを結ぶ路のうち，2つの辺からなるものの総数．

問題３
(A^3)(1,3)=Σ_{k,l=1}^{4} A(1,k)*A(k,l)*A(l,3)=3．
点1と点3とを結ぶ路のうち，3つの辺からなるものの総数．

5937．Re: グラフと行列
名前：みゆき    日付：2月17日(月) 1時25分
A(n,m),B(m,l),C(n,l)の行列のとき
C=AB
であれば
行列の成分は
cij=Σ[k=1～m]aikbkj
これを4次正方行列Mに適応するだけ

5955．Re: グラフと行列
名前：なおこ    日付：2月17日(月) 10時21分
Σ_{k,l=1}^{4} M(i,k)*M(k,l)*M(l,j)は
Σ_{k}^{4} Σ_{l}^{4} M(i,k)*M(k,l)*M(l,j)と書いてもいいのでしょうか。
あとグラフ上で、３本以下の辺を通って点１から点３にいく経路はどのようになりますか。
よろしくおねがいします。

5978．Re: グラフと行列
名前：ころっさす    日付：2月17日(月) 21時40分
＞ Σ_{k}^{4} Σ_{l}^{4} M(i,k)*M(k,l)*M(l,j)と書いても
宜しいかと思われます．

＞３本以下の辺を通って点１から点３にいく経路
の総数は，(A+A^2+A^3)(1,3)=6．

5982．Re: グラフと行列
名前：なおこ    日付：2月17日(月) 23時12分
ありがとうございました。

5927．ソフト  
名前：なおこ    日付：2月16日(日) 22時8分
数学の問題を作成したいのですが、無料で作れるソフトがあれば教えていただけませんか。よろしくおねがいします。


5933．Re: ソフト
名前：うっしー（数ⅡＢ）    日付：2月17日(月) 0時42分
私も同じ思いです。
ワープロみたく分数やｎ乗根、Σや、lim、∫などを打てたらなぁ…と思います。
何か無料でインストールできるソフトがあれば教えて下さい。

5936．Re: ソフト
名前：ころっさす    日付：2月17日(月) 1時15分
やはり，TeX でしょうね．

5939．(untitled)
名前：K.N.G.    日付：2月17日(月) 2時0分
僕は，MicrosoftWordについてる｢数式エディタ｣というものを使っています．結構簡単に作れますよ．分数，n乗根，lim，∑なども簡単に打てます．初心者にはいいかもしれません．
因みにグラフを描くのにははfunctionviewという無料のソフトを使っています．
TeXもやりたいんですけど時間がなくて…．

5958．Re: ソフト
名前：なおこ    日付：2月17日(月) 11時24分
MicrosoftWordに｢数式エディタ｣って最初から付いているんですか？
できればどこから開いたらいいか教えてくれませんか？

5968．(untitled)
名前：K.N.G.    日付：2月17日(月) 16時2分
僕はOffice2000を使っているので，Office2000の場合で説明します．
｢数式エディタ｣はOffice2000に最初から入っていますが，Office2000の標準インストールでは，｢数式エディタ｣はインストールされませんので，カスタムインストールで｢数式エディタ｣のところにチェックをいれるか，フルインストールする必要があります．
インストール後はWordの[挿入]→[オブジェクト]→[新規作成]タグから｢Microsoft 数式3.0｣を選択すればOKです．

5977．Re: ソフト
名前：なおこ    日付：2月17日(月) 20時57分
作ることができました！ありがとうございました。

5921．外角の二等分線の性質  
名前：K.T　（東京都　13歳）    日付：2月16日(日) 13時50分
三角形ABCにおいて、角BACの外角を角CAEとおく。角CAEをADで二等分する。(DはBCの延長上にある)この時　AB:AC＝BD:DCとなるのは何故か教えてください。


5925．ヒントです．
名前：変態数学教師見習い    日付：2月16日(日) 20時9分
　ＡＢ上に点ＦをＡＤ//ＦＣをみたすように取ると
△ＡＦＣが二等辺三角形になることを使います．

（佐久間信子たんのファン）

5917．広義積分です（高２）  
名前：mari    日付：2月16日(日) 11時41分
①∫（１～∞）１/x^２+４　dx
②∫（０～π/４）tanx dx
という問題がわかりません(^_^;)
習ったばっかしで、広義積分の意味がいまいちよく分からないので、
そのへんも教えてくれたら嬉しいです。


5918．Re: 広義積分です（高２）
名前：知也    日付：2月16日(日) 13時16分
なぜ広義積分を高校生で？広義積分はこの場合lim(ε→∞）∫（０～ε）1/(x^2+4)dx=1/2(π/2-arctan[1/2])だとおもうんだけど。∫tanx dx=-loglcosxl=log(π/√2）

5919．Re: 広義積分です（高２）
名前：知也    日付：2月16日(日) 13時17分
ごめんなさい最後の答えが間違っています。答えはlog(√2/π）です

5920．Re: 広義積分です（高２）
名前：知也    日付：2月16日(日) 13時21分
ごめんなさい1/2*log2でした

5923．(untitled)
名前：mari    日付：2月16日(日) 15時44分
ありがとうございます。
arctan[1/2]っていくつになりますか？
基本的なことですみません・・・

5924．Re: 広義積分です（高２）
名前：知也    日付：2月16日(日) 17時31分
π/6.8ぐらいとちゃうか？関数電卓でないとだせない

5906．5905に加えてもう一つお願いします。  
名前：Toshi_もうすぐ高校生    日付：2月15日(土) 22時29分
放物線C:y=ax2-bx+b　と　直線l:y=a2x　(a>0)が2点PQで交わっていて各々のx座標の差が1である。放物線Cの一部である弧PQ上の点と直線lの距離の最大値をdとおく。
この時dをaで表してください。
またdの最大値と、それを与えるa,bの値も求めてください。

少し先の内容でも頑張って理解するので回答よろしくお願いします。。。^^;


 5915．Re: 5905に加えてもう一つお願いします。
名前：ころっさす    日付：2月16日(日) 0時28分
各々のx座標の差が1
⇔a*x^2-(a^2+b)*x+b＝0の2解の差が1
⇔√( (a^2+b)^2 - 4*a*b )＝a … (0)

点(x,a*x^2-b*x+b)(∈弧PQ)と直線lとの距離
＝( -a*x^2+(a^2+b)*x-b )/√( a^4+1 )
＝( -a*(x-(a^2+b)/2)^2 + ((a^2+b)^2-4*a*b)/(4*a) )/√( a^4+1 )
≦( ((a^2+b)^2-4*a*b)/(4*a) )/√( a^4+1 ) （等式成立⇔x=(a^2+b)/2，その点∈弧PQ）
＝( (a/4) )/√( a^4+1 )
＝1/(4*√( a^2+(1/a^2) ))
≦1/(4*√( 2 )) （等式成立⇔a^2=1/a^2⇔a=1＞0，(0)によりb=0又は2）．

5928．Re: 5905に加えてもう一つお願いします。
名前：Toshi_もうすぐ高校生    日付：2月16日(日) 22時40分
ころっさすさん、ありがとうございます！でも

＝1/(4*√( a^2+(1/a^2) ))
≦1/(4*√( 2 ))

上からこのように持ってこれません、この部分はどうすればいいのでしょうか？

それとdをaだけで表すにはころっさすさんの…(0)式を整理して
( -a*(x-(a^2+b)/2)^2 + ((a^2+b)^2-4*a*b)/(4*a) )/√( a^4+1 ) に適用すればいいんでしょうか？

よろしくお願いします。。。

5932．Re: 5905に加えてもう一つお願いします。
名前：ころっさす    日付：2月16日(日) 23時49分
＞ この部分はどうすればいいのでしょうか？
a^2+(1/a^2)＝2+(a-(1/a))^2≧2 ということです．
相加平均(AM)と相乗平均(GM)との大小関係
A,B≧0 ⇒ (A+B)/2≧√(A*B) の証明と同じです．

＞ それとdをaだけで表す
dを定める段階では，a,bは定数，xは変数であることに注意しましょう．つまり，
xについての2次関数 ( -a*(x-(a^2+b)/2)^2 + ((a^2+b)^2-4*a*b)/(4*a) )/√( a^4+1 )
の最大値 ( ((a^2+b)^2-4*a*b)/(4*a) )/√( a^4+1 ) が d であり，
その分子に (0) を用いてd=( (a^2)/(4*a) )/√( a^4+1 )
というのが，5915の内容です．

5986．Re: 5905に加えてもう一つお願いします。
名前：Toshi_もうすぐ高校生    日付：2月18日(火) 17時27分
ころっさす さん、ありがとうございました！

とてもよく理解できました。

5905．よろしくお願いします  
名前：Toshi_もうすぐ高校生(たぶん。)(汗)    日付：2月15日(土) 22時20分
実数a,b,cがa≠0、a+b+2c=0を満たしているとき、2次方程式
ax2+bx+c=0　が相異なる実数解を持ち、そのうち少なくとも一つは正であることを示せ。
ax2+bx-(a+b)/2=0、
↑この問題はどう解けばいいでしょうか?
少し考えたんですが、
2c=-a-b、よりc=-(1/2)*(a+b) これをax2+bx+c=0に代入して

a(x2-(1/2))+b(x-(1/2))=0
a≠0よりx2=1/2、若しくはb=0、x=1/2　とやってみたのですが、このような感じでよろしいでしょうか？少し違うような気もするのですが…


5908．Re: よろしくお願いします
名前：中川　幸一    日付：2月15日(土) 22時47分
『相異なる実数解を持つ』 iff 『判別式D(=b2-4ac)＞0』 なので, D＞0 を示せばよい。
a+b+2c=0 iff b=-(a+2c) よって, b2=4ac+a2+4c2
したがって, D=b2-4ac=4ac+a2+4c2-4ac=2+4c2＞0
∴実数a,b,cがa≠0、a+b+2c=0を満たしているとき、2次方程式ax2+bx+c=0　は相異なる実数解を持つ。
http://8417.teacup.com/arith_math/bbs

5909．Re: よろしくお願いします
名前：Toshi_もうすぐ高校生    日付：2月15日(土) 23時1分
ありがとうございます。
でも「少なくとも一つは正の解である」ことを証明するにはどうすればいいのでしょうか？

よろしくお願いします。

5914．「少なくとも一つは正の解である」こと
名前：変態数学教師見習い    日付：2月15日(土) 23時39分
　ｆ（ｘ）＝ａｘ2＋ｂｘ＋ｃ とおくと
　　　ｆ（０）＋ｆ（１）＝ａ＋ｂ＋２ｃ＝０
あとは，ｙ＝ｆ（ｘ）のグラフを考えてみよ．

5929．Re: よろしくお願いします
名前：Toshi_もうすぐ高校生    日付：2月16日(日) 22時47分
>>変態数学教師見習い　さん
スイマセン！わからないです。詳しくお願いします…

5930．これで分かるかな？
名前：変態数学教師見習い    日付：2月16日(日) 23時10分
　「方程式ｆ（ｘ）＝０が正の解をもつ」
⇔「ｙ＝ｆ（ｘ）のグラフがｘ軸の正の部分と共有点をもつ」
そこでｙ＝ｆ（ｘ）のグラフについて考察します．

条件より，ｆ（０）＋ｆ（１）＝０が成り立ちます．
このようになるのは
　①ｆ（０）の値とｆ（１）の値は符号が異なる
　②ｆ（０）の値もｆ（１）の値も０になる
のいずれかの場合です．

①の場合は，ｙ＝ｆ（ｘ）のグラフは，０と１の間でｘ軸と（少なくとも１回）交わります．
（そうでないとしたら，０と１の間でグラフが途切れることになるから）
②の場合は，ｙ＝ｆ（ｘ）のグラフとｘ軸との共有点は（０，０）（１，０）ですね．

（佐久間信子たんのファン）

5969．↑のように考えると
名前：変態数学教師見習い    日付：2月17日(月) 16時19分
判別式をもちだすまでもなく，ｆ（ｘ）＝０が
２つの実数解をもつことも自明なんですけどね…．
（中川さんは気付かなかったようですが）

5987．Re: よろしくお願いします
名前：Toshi_もうすぐ高校生    日付：2月18日(火) 17時31分
中川　幸一 さん、変態数学教師見習い さん、ありがとうございました。とても分かりよかったです！！

5903．(untitled)  
名前：トモ    日付：2月15日(土) 21時53分
どうしても分数の割り算の時は逆数をかければいいということが納得できません。どうしてなのか教えてもらえませんか？？


5904．(untitled)
名前：K.N.G.    日付：2月15日(土) 22時4分
例えば，Ａ÷(Ｂ／Ｃ)＝Ｄ…(*)を考えます．
但し，Ｃ≠０とします．
(*)
⇔Ｄ×(Ｂ／Ｃ)＝Ａ
⇔Ｄ×(Ｂ÷Ｃ)＝Ａ
⇔Ｄ×Ｂ÷Ｃ＝Ａ
⇔(Ｄ×Ｂ)÷Ｃ＝Ａ
⇔Ｄ×Ｂ＝(Ａ×Ｃ)
⇔Ｄ＝(Ａ×Ｃ)÷Ｂ
⇔Ｄ＝Ａ×Ｃ÷Ｂ
⇔Ｄ＝Ａ×(Ｃ÷Ｂ)
⇔Ｄ＝Ａ×(Ｃ／Ｂ)
⇔Ａ×(Ｃ／Ｂ)＝Ｄ．

5910．Re: (untitled)
名前：中川　幸一    日付：2月15日(土) 23時5分
a÷(b/c)=d (c≠0)
iff a=(b/c)×d
iff ac=bd
iff a×(c/b)=d

pointとしては, 割り算の反対の操作は掛け算ということ。
移項という操作みたいなものを考えればいいのです。
http://8417.teacup.com/arith_math/bbs

5916．Re: (untitled)
名前：ころっさす    日付：2月16日(日) 0時32分
端的に，それが定義だからです．
a÷b は a×b-1 の別表示に過ぎません．

5967．Re: (untitled)
名前：ヨッシー    日付：2月17日(月) 13時45分
まわりくどい割に、厳密でないですが、
このようなページもあります。
　
http://www2.tokai.or.jp/yosshy/

6045．Re: (untitled)
名前：トモ    日付：2月20日(木) 20時42分
ありがとうございました！！

5893．＞変態数学教師見習いさんへ  
名前：ナミ(高１です)    日付：2月15日(土) 12時1分
変態数学教師見習いさん、この前、違うサイトで教えていただいた時、とても解かりやすかったのでよろしくお願いします。

(１)ａ、ｂを有理数とする。2次方程式ｘ2乗＋ａｘ＋ｂ＝０の１つの解が１＋√２であるときａ，ｂの値と2次方程式の他の解を求めよ。

答えを見ますとｘ＝αが方程式ｘ2乗＋ａｘ＋ｂ＝０の解⇔α2乗＋ａα＋ｂ＝０である。これとＰ＋ｑ√２＝０⇔Ｐ＝ｑ＝０(Ｐ､ｑは有理数)の関係を用いて解くと書いてありましたが、Ｐ＋ｑ√２＝０⇔Ｐ＝ｑ＝０(Ｐ､ｑは有理数)の部分が特によく解かりません。

(２)ｘの2次方程式ａｘ2乗＋ｂｘ＋ｃ－ａ＝０(a,b,cは定数)はｂ＝ａ＋ｃのとき異なる２つの解をもつことを証明せよ。

Ｄ＝ｂ2乗－４ａ(ｃ－ａ)
これにｂ＝ａ＋ｃを代入して
Ｄ＝(ａ＋ｃ)2乗－４ａ(ｃ－ａ)＝５ａ2乗－２ａｃ＋ｃ2乗
ココから先をどのように解くのか解かりません。

以上２問の詳しいご解答よろしくお願いします。


5899．今日は研修
名前：変態数学教師見習い    日付：2月15日(土) 18時3分
【問題】
　ａ，ｂを有理数とする．２次方程式 ｘ2＋ａｘ＋ｂ＝０ の１つの解が
１＋√２ であるとき，ａ，ｂの値と２次方程式の他の解を求めよ．

【方針】
　解の１つが １＋√２ ですから，方程式に １＋√２ を代入した式が成り立ちます．
この１本の式からａ，ｂの２つの値を求めるために，「有理数どうしの割り算の結果は
必ず有理数になる（無理数にならない）」ことを使います．
（本の解説より，↓のように解答したほうが分かり易いと思う）

【解答】
　 ｘ2＋ａｘ＋ｂ＝０ の１つの解が １＋√２ であるから
　　　（ １＋√２ ）2＋ａ（ １＋√２ ）＋ｂ＝０
が成り立つ．これを変形して
　　　（ａ＋２）√２＝－（ａ＋ｂ＋３）　　　…☆
ここでａ＋２≠０であると仮定すると，両辺を（ａ＋２）で割ることができて
　　　　　　　－（ａ＋ｂ＋３）　　（有理数）　
　　　√２＝――――――＝――――＝（有理数）
　　　　　　　　　　ａ＋２　　 　　（有理数）
となるが，これは，√２が無理数であることと矛盾する．
よって　ａ＋２＝０　　　∴　ａ＝－２
このとき，☆より
　　　０＝－（－２＋ｂ＋３）　　　∴　ｂ＝－１
　すると，もとの２次方程式は ｘ2－２ｘ－１＝０ となる．
解の公式により　ｘ＝１±√２．したがって，他の解は　ｘ＝１－√２

※　問題で要求されない限り，「√２が無理数であること」は証明ナシで
　使ってよいでしょう．

（佐久間信子たんのファン・今日のイベントはわけあって欠席）

5912．今日は研修（18:34の投稿を訂正）
名前：変態数学教師見習い    日付：2月15日(土) 23時19分
【問題】
　ｘの２次方程式 ａｘ2＋ｂｘ＋ｃ－ａ＝０ （ ａ，ｂ，ｃは定数 ） は，
ｂ＝ａ＋ｃ のとき異なる２つの解をもつことを証明せよ．

【方針】
　うまく式変形すると，判別式Ｄ＝○2＋△2 の形になります．
○や△の中身に入る数がどのようなものか考えてみると…．

【解答】
　ｘの２次方程式 ａｘ2＋ｂｘ＋ｃ－ａ＝０ の判別式をＤとおくと
　　　Ｄ＝ｂ2－４ａ（ｃ－ａ）
　　　　＝ｂ2－４ａｃ＋４ａ2
　　　　＝（ａ＋ｃ）2－４ａｃ＋４ａ2　　　［ ｂ＝ａ＋ｃ を代入した］
　　　　＝ａ2－２ａｃ＋ｃ2＋４ａ2
　　　　＝（ａ－ｃ）2＋４ａ2
ここで，（ａ－ｃ）2≧０．また，２次の係数ａ≠０より ４ａ2＞０ なので
Ｄ＞０ がいえる．したがって，題意は示された．■nobuko

※　０以上の数 （ａ－ｃ）2 と，０より大きい数 ４ａ2 の和は０より大きくなる
　というわけです．

（佐久間信子たんのファン・今日のイベントはわけあって欠席）

5913．つけたし
名前：変態数学教師見習い    日付：2月15日(土) 23時23分
　実際には，計算過程などは適当に端折っても構いません．
あと，証終記号のあとに何やらありますが気にしないように．

6032．Re: ＞変態数学教師見習いさんへ
名前：ナミ    日付：2月20日(木) 9時28分
御礼のお返事遅れてすみません。やっぱり、とても解りやすかったです。ありがとうございました。

5888．分数の割り算  
名前：HYPER-IT    日付：2月15日(土) 7時29分
中学生に，「○÷2/3を計算するときなぜ○×3/2にするのか」と質問されたのですが，どなたか明確な説明方法をご教示願えませんか？


5892．Re: 分数の割り算
名前：おおさわ    日付：2月15日(土) 11時20分
分数の記号 / を ÷ に置き換えると、

○÷2/3
=○÷2÷3
=○÷(2×3)
=○×(2÷3)
=○×2/3

となるからではないでしょうか。
http://simfan.cn1.jp/mathmarks/

5894．Re: 分数の割り算
名前：K.N.G.    日付：2月15日(土) 12時45分
> おおさわさん
式が変わってませんか？

正しくは
○÷2/3
=○÷(2÷3)
=○÷2×3
=○×3÷2
=○×(3÷2)
=○×3/2
だと思います．

5902．Re: 分数の割り算
名前：おおさわ＠小学生からやり直し    日付：2月15日(土) 18時49分
あ、そうでした…（汗2
どうもすみません。
http://simfan.cn1.jp/mathmarks/

5882．1+1＝2？  
名前：はてにゃん    日付：2月14日(金) 23時25分
1+1＝2というのは当たり前と言われていますが
1+1＝2というのを命題とすると、その対偶は1+1でないなら、2ではない
つまり、1じゃないもの+1じゃないもの＝2ではない
ということになってしまうのではないでしょうか。
ということは1.1+0.9＝2というのは反例になって
命題は正しくないということでは・・・。
単純な質問ですが教えてください。


5884．(untitled)
名前：K.N.G.    日付：2月15日(土) 0時22分
命題というのは｢ＰならばＱ｣のような形をしているものですよね．
｢1+1=2｣というのは上の形になっていない，
つまり命題ではないと思うのですが…，どうなんでしょう？？？

5886．Re: 1+1＝2？
名前：知也    日付：2月15日(土) 1時28分
対偶は、２じゃなかったら→１＋１ではないです

5926．Re: 1+1＝2？
名前：はてにゃん    日付：2月16日(日) 22時5分
そうでした・・・。
ありがとうございました

5876．証明  
名前：ＧＲＡＣＥ！    日付：2月14日(金) 21時10分
高２です。テストで定理などの証明が出るので、教えてください！！

（１）実数係数の２次方程式が虚数解ａ＋ｂｉ（ａ，ｂ∈実数）
　　　を持つとき、もう１つの解はその共役な複素数ａ－ｂｉ
　　　であることを証明せよ。
（２）複素数平面上の２点Ｐ（ｘ）、Ｑ（ｙ）、Ｒ（ｚ）とする。
　　　（Ⅰ）３点Ｐ、Ｑ、Ｒが１直線上にあるならば、
　　　　　　（ｚ－ｘ）／（ｙ－ｘ）が実数となることを証明せよ。
　　　（Ⅱ）２直線ＰＲ、ＰＲが垂直に交わるならば、
　　　　　　（ｚ－ｘ）／（ｙ－ｘ）が純虚数となることを証明せよ。


5879．Re: 証明
名前：知也    日付：2月14日(金) 22時50分
2を先に。P,Q,Rが１直線上→ｘを中心にｙを180°回転してｋ（ｋは実数）倍すると（ｚ－ｘ）になるということでは？よってｋ（ｙ－ｘ）（cos180+i*sin180)=(z-x) (z-x)/(y-x)=-k よってなりたつ。垂直の場合は同様に90°回転させれば　k(y-x)(cos90+i*sin90)=(z-x) (z-x)/(y-x)=-k*i　よって成立する

5880．Re: 証明
名前：知也    日付：2月14日(金) 22時54分
ごめんなさい垂直の場合は＝k*iでしたね

5881．Re: 証明
名前：知也    日付：2月14日(金) 23時16分
(1)は解の公式から証明してはいけないの？

5883．Re: 証明
名前：ＧＲＡＣＥ！    日付：2月15日(土) 0時8分
多分、解の公式を使ってもいいはず。どのようにやるんですか？

5885．Re: 証明
名前：知也    日付：2月15日(土) 1時25分
2次方程式（ｋは実数）k(x^2+px+q)=0を考える。←2次方程式は全てこのようにあらわすことができるので、両辺をｋでわってx＾2＋ｐｘ＋ｑ＝０の解についてだけを考えても一般性を失わない。もちろんこの方程式の解はｘ＝{－ｐ±√（p＾2－４ｑ）}/2　{-p+√(p^2-4q)}/2＝a+biとする。これを変形して｛2(a+bi)+p}^2=p^2-4q これらからa=-p/2 bi=√(p^2-4q)/2になる。よって解の公式よりa-biも解となる。（おまけ）また{-p-√（p^2-4q)}/2=a+biとした場合もbi=－√（p＾2‐4q)/2となるから結局はa-biも解となる。

5887．Re: 証明
名前：nabeX    日付：2月15日(土) 3時39分
一般にa+biを解にもつ二次方程式はもう一つの解をc+di　(c,d∈R)とすると
k(x-a-bi)(x-c-di)=0　k≠0と書ける。
両辺をkで割って(x-a-bi)(x-c-di)=0　としても一般性を失わない。これを展開すると
x2-{a+c+(b+d)i}x+ac-bd+(ad+bc)i　となる
この方程式が実数係数であるとき
b+d=0　ad+bc=0　であるのでd=-b　これより-ab+bc=0を得て
b(c-a)=0　a+biは虚数であるのでb≠0であるからc=aを得る。
これより実数係数の二次方程式でa+biを解にもつならa-biも解であることが言えた。

5889．Re: 証明
名前：ＧＲＡＣＥ！    日付：2月15日(土) 9時31分
(1)が３次方程式のときはどうやるんでしょう？

5890．Re: 証明
名前：花パジャ    日付：2月15日(土) 10時59分
nabeXさんの証明の前段を言換えると
　実数係数の2次方程式の2解をα、βとすると、解と係数の関係より
　　α+β=実数
　　αβ=実数
　今、α=a+bi,β=c+di...

で、実数係数の3次方程式の場合、少なくとも1つの解は実数解なので(何故かは省略)、
その1つをγとし、他の2解をα、βとすると、解と係数の関係より
　α+β+γ=実数
　αβγ=実数
γが実数なので
　　α+β=実数
　　αβ=実数
　今、α=a+bi,β=c+di...

5875．固有値の求め方  
名前：あや    日付：2月14日(金) 20時13分
２×２の対称行列の固有値の求め方を教えてください！！
因数分解or逐次方法ではなく，直接法で簡潔に求める方法があったら，
教えてくださいませんか．よろしくお願いいたします．


5891．Re: 固有値の求め方
名前：花パジャ    日付：2月15日(土) 11時17分
訊きたい事がよくわからない...
２×２の対称行列
　a　b
　b　c
の固有値は
　λ2-(a+c)λ+ac-b2=0
の解で、2次方程式の解の公式より
　D=(a-c)2+(2b)2
とすると
　λ=(a+c±√D)/2
かと思いますが...

5985．Re: 固有値の求め方
名前：あや    日付：2月18日(火) 17時9分
花さん　ありがとうございました．
もっと勉強が必要みたいです^^;;

5873．三角形の面積を二等分する直線の引き方  
名前：素人    日付：2月14日(金) 2時54分
三角形の外部にある点を通って、その三角形の面積を二等分する直線の作図方法をご教授下さい。
点が辺上にあるならば簡単なのですが。


5874．Re: 三角形の面積を二等分する直線の引き方
名前：ヨッシー    日付：2月14日(金) 9時35分
数学の部屋掲示板に掲載された、榎本孝一氏による解答を引用します。
元記事が参照できないので、こちらに本文ごと記載することをご容赦願います。

＊＊＊＊＊＊これより引用＊＊＊＊＊＊
御質問の問題は，次の問題を解くことで解決します。

【問題】
定角ＸＯＹの外部に定点Ｐがある。いま，Ｐを通る直線を引き，
ＯＸ，ＯＹとそれぞれＱ，Ｒで交わらせて，ＯＱ×ＯＲ＝ｍ2
となるようにせよ。
<HR>
【作図】
∠ＰＯＸ＝∠ＹＯＳとなるようなＳを∠ＸＯＹの外側に作り，
ＯＰ×ＯＳ＝ｍ2とし，ＰＳを弦として，∠ＸＯＳの補角に等し
い角を含む弓形の弧を作り，ＯＹとの交点をＲとすれば，ＰＲ
は求める直線である。

【証明】
作図により，四角形ＯＳＲＱ（ＱはＯＸとＰＲの交点）は円に
内接するので，∠ＯＳＲ＝∠ＯＱＰ　である。
また，作図により，∠ＰＯＱ＝∠ＳＯＲ　なので，
△ＰＯＱ∽△ＲＯＳ　となるから，
ＯＰ：ＯＱ＝ＯＲ：ＯＳ　より，∴ＯＱ×ＯＲ＝ＯＰ×ＯＳ＝ｍ2
よって，ＰＲは求める直線である。


この，ＯＱ×ＯＲ　を　ＡＤ×ＡＥ　と見れば良いでしょう。

＊＊＊＊＊＊ここまで引用＊＊＊＊＊＊
http://www2.tokai.or.jp/yosshy/

5878．Re: 三角形の面積を二等分する直線の引き方
名前：素人    日付：2月14日(金) 22時49分
美しい図をご提示頂き、ありがとうございます。
しかし、理解できない部分が多いので、さらに教えて下さい。
ＯＰ×ＯＳ＝ｍ2
この式の意味がわかりません。特にｍ2が何を表しているのかがわかりません。
大変お手数をおかけしますがよろしくお願いいたします。

5898．Re: 三角形の面積を二等分する直線の引き方
名前：すみお    日付：2月15日(土) 16時16分
こんにちは。
ｍ２というのは定数ですね。三角形の面積を２等分したい場合は、

△XOYの面積が、OX×OY×sinθ
△QORの面積が、OQ×OR×sinθ （θ：∠XOY)

ですので、OQ×OR=OX×OY÷2=ｍ２=OP×OSとして
榎本さんの作図をすればいいのだと思います。

5984．Re: 三角形の面積を二等分する直線の引き方
名前：ヨッシー    日付：2月18日(火) 10時46分
ｍ2 は、正しくは ｍ2 のことです。
点Ｏからの長さがともにｍである、二等辺三角形と同じ面積の
三角形を作ることを、目指しています。
http://www2.tokai.or.jp/yosshy/

5988．Re: 三角形の面積を二等分する直線の引き方
名前：素人    日付：2月18日(火) 18時34分
ここ数日、じーっと考えて、ようやく理解ができました。すごい発想ですね。
ヨッシーさん、すみおさん、有難うございます。なぜm2なのかもよくわかりました。

1　定規とコンパスを使ってＯＳの長さを決めること。
2　ＰＳを弦として，∠ＸＯＳの補角に等しい角を含む弓形の弧の作図。

以上2点については苦労しましたが、なんとかできました。
数学って美しいですね。久々に感動しました。ありがとうございます！

5868．(untitled)  
名前：礪    日付：2月13日(木) 22時57分
今x,y,zが次の条件を満たしている
①x,y,z,はすべて自然数である
②x^2+y^2=z^2
このときx,y,zのどれか一つは必ず5の倍数であることを示せ


5870．Re: (untitled)
名前：ころっさす    日付：2月13日(木) 23時39分
整数aが5の倍数でない ⇒ a^2を5で割った余りは1又は4
に注意すると，整数x,y,zのどの一つも5の倍数でない
⇒ x^2+y^2を5で割った余りは0又は2又は3 かつ z^2を5で割った余りは1又は4
なので不合理ですね．

5895．Re: (untitled)
名前：中川　幸一    日付：2月15日(土) 14時30分
いや, これはちゃんと証明ができますよ!!
このピタゴラス方程式についての問題は有名問題ですからいろいろ検索してみると解説がついているＨＰを探せられると思います。
一応ヒントとなるものを載せておきます。

《ピタゴラス方程式の原始解》
x=(m2-n2), y=2mn, z=(m2-n2) となる。
　※ (m2-n2)2+(2mn)2=(m2+n2)2
http://8417.teacup.com/arith_math/bbs

5896．Re: (untitled)
名前：ころっさす    日付：2月15日(土) 14時38分
＞ いや, これはちゃんと証明ができますよ!!
それは私に対する発言でしょうか？

5897．Re: (untitled)
名前：中川　幸一    日付：2月15日(土) 15時32分
そういう意味ではないのですが…。

某掲示板で, x2+y2=z2 (x,y,z∈Ｎ)
を満たすとき, xyz=60k (k∈Ｎ)を証明せよ。
っていう質問を受けたことがあって, 懐かしいなぁ～。
と思いまして…。
http://8417.teacup.com/arith_math/bbs

5863．方程式  
名前：とも    日付：2月13日(木) 22時9分
方程式 x^4+px^2+q=0 の１つの解が１＋√５・i 　であるとき、次のものを求めよ。
【１】　ｐ　　【２】　ｑ　【３】　他の解
一応頑張ってみたところ
ｐ＝８　　　ｑ＝３６　他の解ｘ＝１－√５・i，－１±√５・i　
っとなったんですけど、自信ないので解説も含めて教えてくださいm(__)m


5865．Re: 方程式
名前：中川　幸一    日付：2月13日(木) 22時20分
f(x)=x4+px2+q
とおいて、
x=1+√5i より x=1-√5i も解である。
よって, f(1+√5i)=0, f(1-√5i)=0 より
実部, 虚部についての恒等式をたてて連立方程式を解く。

っといった具合の解法でいいと思います。
http://8417.teacup.com/arith_math/bbs

5867．ちょっとした工夫
名前：変態数学教師見習い    日付：2月13日(木) 22時48分
　ｘ2＝Ｘ とおくと，２次方程式 Ｘ2＋ｐＸ＋ｑ＝０　…☆ の１つの解が
Ｘ＝（１＋√５ i ）2＝－４＋２√５ i のとき ｐ，ｑ を求める問題になる．
☆の係数は実数だから，－４＋２√５ i が解であるならば，－４－２√５ i も解である．
よって，解と係数の関係により
　　　（－４＋２√５ i ）＋（－４－２√５ i ）＝－ｐ　　　∴　ｐ＝８
　　　（－４＋２√５ i ）（－４－２√５ i ）＝ｑ　　　　　∴　ｑ＝３６
他の解は，与えられた方程式が実数係数だから，１－√５ i が解であることはすぐ分かる．
あとの２つは Ｘ＝－４－２√５ i すなわち ｘ2＝－４－２√５ i を解けばよい．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（ｘ＝ａ＋ｂ i などとおけばよい）

（美少女中学生・佐久間信子たんのファン）

5869．Re: 方程式
名前：ころっさす    日付：2月13日(木) 23時34分
もし，p，q が実数ならば，以下のようになります．

x^4+p*x^2+q=0の係数は全て実数なので，1+√(-5)のR上の共役元1-√(-5)も根であり，
x^4+p*x^2+qはxの偶数次の項のみからなるので，-(1+√(-5))と-(1-√(-5))も根だから，
x^4+p*x^2+q
=(x-1-√(-5))*(x-1+√(-5))*(x+1+√(-5))*(x+1-√(-5))
=((x-1)^2+5)*((x+1)^2+5)
=(x^2+6-2*x)*(x^2+6+2*x)
=(x^2+6)-4*x^2=x^4-8*x^2+36
なる多項式の相等を得ます．

5871．そういえば…
名前：変態数学教師見習い    日付：2月13日(木) 23時59分
ｐ，ｑが実数とはどこにも書いていないですね．

5872．Re: 方程式
名前：とも    日付：2月14日(金) 0時0分
みなさん本当に有り難うございました。
ちなみに変態数学教師見習いさんの方法と同じでした。

5862．円周率　多桁算出　　大記録樹立・・・感激してます  
名前：田中    日付：2月13日(木) 21時58分
本日は、報告です。当方、昨日、円周率の桁数新記録を樹立しました。

その桁数、１億６６万桁です。　算出時間　２時間５２分

その昔　１５年くらい前　ＰＣ９８０１ｎｅというノートパソコンにアクセラレータをつけ５０ＭＨＺにして頑張って、１００万桁を１１日かけて算出した思い出があります。ハードは、今のパソコン　Ｐｅｎｔｉｕｍ４　スピードは、２．２ギガＨＺに、プログラムは、ＦＦＴ(高速フーリエ変換)ベースの多倍長計算ルーチンというものです。式も、ガウス、ルジャンドルの式です、いままでのマチンの式ではありません。
それらの総合的な進化により、昨日の大記録になりました．
１００万桁なんか、３０秒くらいです。昔１１日間が３０秒です。なんという「えぐさ」・・・・・
算出結果を見て、数学って　ほんとうに　すばらしいなと感じた時間です。
たぶん、今のパソコンレベルで１億桁に到達できる人はあまりいないはずです。
これ以上計算できた人は、お知らせください。データあげましょうか？
冗談です。１００メガバイトありますから。ＭＯにしっかり保存しました。


5864．Re: 円周率　多桁算出　　大記録樹立・・・感激してます
名前：中川　幸一    日付：2月13日(木) 22時13分
新記録達成おめでとうございます!!
１億桁を超えてるなんて、もう神の領域に達しているようなものですね☆
これからも記録更新に頑張ってください!!
http://8417.teacup.com/arith_math/bbs

5877．Re: 円周率　多桁算出　　大記録樹立・・・感激してます
名前：　    日付：2月14日(金) 21時19分
http://www.hitachi.co.jp/New/cnews/2002/1206/

5861．重心・図心  
名前：花形　満    日付：2月13日(木) 19時46分
どこが違うの、どうもとめるの

5860．インターネット算数・数学駅伝  
名前：IMA事務局    日付：2月13日(木) 16時42分
突然の書き込み失礼いたします。
こちらは、インターネットで算数の問題を解いていく「インターネット算数・数学駅伝」を主催しているIMA事務局です。
第5回の「インターネット算数・数学駅伝大会」が開催されました。
参加は無料ですので、皆様のご参加お待ちしております。

※管理人様、この場をお借りさせていただき感謝申し上げます。
不適切な書き込みでしたら削除お願いします。
http://www.ima.ne.jp

5858．ヘロンの公式  
名前：ふか    日付：2月13日(木) 10時44分
ヘロンの公式でｓ＝(a+b+c)/2とおきますが、その“ｓ”の由来について教えてください。“和＝sum・・・”ですか？

5852．お願いします。  
名前：中学数学復習中    日付：2月12日(水) 17時59分
Original Size: 201 x 245, 3KB

（1）上の図のように、底面の直径が9cmの円柱の容器の中に、半径3cmの球Aと、半径2cmの球Bがそれぞれ内側に接して入っています。容器内に注水して、水を球Bの最上部まで入れたとき、水の深さは何cmですか。
（見づらい図でごめんなさい。図をWｸﾘｯｸすると、少し見やすい図が出ます）

（2）150個のみかんを子供に等しく分けたら、1人分のみかんの数は子供の数より5だけ多くなりました。子供の数は何人ですか。

（3）袋の中に、赤玉2個、白玉3個があります。この中から同時に2個の玉を取り出すとき、少なくとも1個が白玉である確立を分数で求めなさい。

以上の3問になります。
よろしくお願いいたします。


5855．ヒントだけ
名前：K.N.G.    日付：2月12日(水) 18時14分
(1) 平面で考えてみると…
(2) 子供の数をx[人]とすると…
(3) 全部赤である確率を求めて…

5856．といいつつ答えを
名前：K.N.G.    日付：2月12日(水) 18時33分
(1)
球A，Bそれぞれの中心を結んだ線分を斜辺とする直角三角形は，
辺々の比が3(高さ):4(底辺):5(斜辺)の直角三角形である．
これより，水の深さは，
(球Aの半径)+(直角三角形の高さ)+(球Bの半径)=8[cm]である．

(2)
子供の人数をx(＞0)[人]とすると，
150/x=x+5
⇔x2+5x-150=0
⇔(x-10)(x+15)=0．
x＞0より，x=10．
故に，子供の人数は10人である．

(3)
同時に２個の玉を取り出すとき，全て赤玉である確率は
2C2/5C2=1/10．
(少なくとも１個が白玉である確率)=1-(全て赤玉である確率)より
求める確率は，9/10．

5847．辺DE  
名前：中学数学復習中    日付：2月12日(水) 0時34分
問1の記号が抜けていました。
三角形の中に引いてある斜めの線が辺DEになります。
よろしくお願いします。


5849．間違えました。
名前：中学数学復習中    日付：2月12日(水) 0時36分
下の投稿への追加でした。

5854．Re: 辺DE　　　　　おや　まだ　解いていませんね
名前：田中    日付：2月12日(水) 18時11分
中学数学復習中さんは、失礼ですが、ピタゴラスの定理など大丈夫でしょうか。また、１辺の分かってる正三角形の高さを出せるでしょうか。
これは、その辺の問題です。ＡＢの上の点をＤ　他方をＥとしましょう。Ｄから下ろした垂線の足をＨとしましょうか。
このすると、ＤＨ＝２√３なります。
そして、ＢＨ＝２ですから、ＨＥ＝１０です。
さあ、ピタゴラスの定理で、ＤＥ＾２＝ＤＨ＾２＋ＨＥ＾２です。
ＤＥ＾２＝（２√３）＾２＋１０＾２＝１２＋１００＝１１２

よってＤＥ　は　この１１２の平方根をとれば求まります。

１１２＝４＊４＊７ですから

ＤＥ＝４√７

5843．(untitled)  
名前：波面.sys    日付：2月11日(火) 23時14分
「複素数平面上の3点をA(α),B(β),C(γ)としたとき、△ABCに内接する面積が最大の楕円の焦点は、α,β,γを解に持つ3次方程式を微分して得られる2次方程式の2解となっている。」

これの証明が分かりません。
立式してもぐちゃぐちゃで計算が不能です。分かる方お願いします。


5851．Re: (untitled)
名前：ころっさす    日付：2月12日(水) 16時0分
http://www80.sakura.ne.jp/~aozora/taiwa/node43.html
をご覧ください

5857．Re: (untitled)
名前：波面.sys    日付：2月12日(水) 23時8分
どうもありがとうございます。

5841．積分計算  
名前：アキ    日付：2月11日(火) 22時10分
∫(-π→０)cosnxdxの計算途中を教えてください。


5842．(untitled)
名前：K.N.G.    日付：2月11日(火) 23時5分
∫[-π→0]cos(nx)dx
=[(1/n)sin(nx)][-π→0]
=(1/n){sin(-nπ)-sin(0)}
=0．

5853．積分公式
名前：おおさわ    日付：2月12日(水) 18時8分
F(x) = ∫f(x)dx とすると、
∫f(ax)dx = (1/a)F(ax)
という公式があった気がします。
http://simfan.cn1.jp/mathmarks/

5838．お願いします。  
名前：中学数学復習中    日付：2月11日(火) 21時58分
Size: 4KB

図形の問題です。
添付ﾌｧｲﾙをつけましたので、よろしくお願いします。


5844．今日は別HN（ソース見れば丸わかり）
名前：代理投稿マン    日付：2月11日(火) 23時15分
Size: 160 x 155, 1KB Original Size: 131 x 193, 2KB

Excelのファイル（しかも圧縮）だと環境によって開けない方が
いらっしゃるので、質問掲示板としては好ましくないかもしれません。
そこで、今回限りの特別ご奉仕として、Excelで描かれた図を
.gifに変換して添付します。同時に問題文も転載します。
なお、今日は私忙しいので解答は他の方にお任せします(爆)

問1　図で、1辺が16cmの正三角形ABCの辺AB、BCを4等分した時、
辺DEの長さは何cmですか。

問2　図の正方形ABCDの一辺を4cmとし、扇形ABDは正方形ABCDに内接している。
線分BCの延長線上に点Pをとり、点Aと結んで出来る2つの斜線部分の面積が
等しいとき、線分PBは何cmですか。
ただし円周率はπとして計算しなさい。


5845．とりあえず問２
名前：K.N.G.    日付：2月11日(火) 23時27分
線分PBの長さをx[cm]とすると
(扇形ADEの面積)=(三角形AEPの面積)より
(1/4)*4*4*π=(1/2)*4*x
∴x=2π．

5846．ありがとうございました。
名前：中学数学復習中    日付：2月11日(火) 23時42分
特別ご奉仕ありがとうございます！
もしよろしければ、時間がある時で結構ですので、
ここに図を載せる方法を教えていただければ、うれしいです。
よろしくお願いします。

5848．辺DE
名前：中学数学復習中    日付：2月12日(水) 0時35分
問1の記号が抜けていました。
三角形の中に引いてある斜めの線が辺DEになります。
よろしくお願いします。

間違えて上の方に投稿してしまいました。。。

5850．Re: お願いします。
名前：岩井原中（3年）    日付：2月12日(水) 2時36分
問１
中学数学で解くならばDからBCに垂線をおろして三平方の定理
高校数学で解くならば三角形DBEの角Bに対して余弦定理

5859．Re: お願いします。
名前：ヨッシー    日付：2月13日(木) 11時42分
図は、まず画像ファイル(gif や jpg)を作って、書き込み欄の下の
「添付」のところに、ファイル名（自分のパソコン内の）を書きます。
http://www2.tokai.or.jp/yosshy/

5835．お願いします。  
名前：中学数学復習中    日付：2月11日(火) 21時10分
（1）28に自然数ｎをかけて、ある数の2乗にするとき最も小さい数ｎを求めなさい。

（2）4/5より大きく、9/10より小さい分数のうち、分子が6になる分数の分母の値を求めなさい。

（3）周長500ｍの池を、ＡさんとＢさんが同じ所を同時に出発して歩き始めます。反対方向にまわる時は5分後に出会い、同じ方向にまわる時は50分後にＡさんがＢさんを追い越します。Ａさんの分速は、何ｍですか。

以上の3問です。よろしくお願いします。


5836．Re: お願いします。
名前：K.N.G.    日付：2月11日(火) 21時27分
(1)
28=22*7
故に n=7．

(2)
分母の値をxとおくと
4/5<6/x<9/10
⇔4x<30かつ60<9x
⇔x<7.25かつ20/3=6.66…<x
⇔6.66…<x<7.25
∴x=7．

(3)
Aさん，Bさんの歩く速さをx[m/min], y[m/min](x>y)とすると
500/(x+y)=5
500/(x-y)=50
これを解くと，x=55, y=45．
故に，Aさんの分速は，55ｍ．

5837．Re: お願いします。　１番の答え
名前：田中    日付：2月11日(火) 21時32分
１番
慣れると簡単です。

ある数が、１以上で２乗になっているときは、次のような状態になっています

　　　１４４　・・・・　１２×１２　　　　①

でもこれをもう少し分析すると　１２＝２×２×３
ですね．　①にもどすと

　１４４＝２×２×３×　２×２×３

これを見ると、２が４回　　３が２回　掛けられています。
ということで、素数の積に分けてみます、これらの作業を素因数分解と言いますが、全部の素数の何乗のところが、２の倍数になっていることが条件です。

こうしておけば、Ｘ＝Ａ＊Ａの　Ａに半分の素数の掛けた組を割り当てれば良いからです。

さて、２８＝４×７＝２×２×７

２が２回掛けてます、７は、１回ですから、この７を１回掛けておけば、
　　　　　２×２×７×７
が作られます。
これが　答え　　７　　　

　２＊７・・１４の２乗になっています。

5839．(untitled)
名前：中学数学復習中    日付：2月11日(火) 22時0分
みなさん、迅速に解答していただいて、とても助かります。
ありがとうございました。

5840．Re: お願いします。３番
名前：田中    日付：2月11日(火) 22時4分
Ａさんの分速をＸ　　Ｂさんの分速をＹ　とします　　　ｍ／分は略

・反対に歩き、池を回って向こう側で出会う場面・・・・５分で出会う
　Ａさんが歩いた距離　５Ｘ　
　Ｂさんが歩いた距離　５Ｙ　
二人がこれらを歩いて池の向こうで会ったので、歩く合計が円周
　　５Ｘ＋５Ｙ＝５００・・・・Ｘ＋Ｙ＝１００　①
・同じ向きにあるいて・・・とは、５０分間、ある距離歩きましたが、Ａさんは１周勝ってＢさんと同じ位置についたことです。これを示せば
　５０Ｘ＝５０Ｙ＋５００　・・・Ｘ＝Ｙ＋１０　②
①と②から
　　Ｘ＋Ｙ＝１００　
　　Ｘ－Ｙ＝１０　　　これを解いて

　２Ｘ＝１１０　　　Ｘ＝５５　が出ます
①に入れると　　　 Ｙ＝４５　が出ます。　Ａさんは５５ｍ／分
　

5827．フーリエ逆変換  
名前：nayuta    日付：2月11日(火) 14時26分
((1/(ω-ω0))*sin((ω-ω0)Δt/2)のフーリエ逆変換は
解析的に得られるのでしょうか？または数値計算によらないと
得られないのでしょうか？

質問の背景：

関数g(t)が
cos(ω-ω0)tという波形が時間-Δt/2からΔt/2まで
存在し、それ以外の時間では０である場合、
g(t)のフーリエ変換は

((1/(ω-ω0))*sin((ω-ω0)Δt/2)
+(-1/(ω+ω0))*sin((ω+ω0)Δt/2)

となります。しかし現実の世界では
負の周波数というのはないから、f(t)をスペクトラム
アナライザで計測すると第一項（ω=ω0）のみが観測されます。

((1/(ω-ω0))*sin((ω-ω0)Δt/2)
をフーリエ逆変換するとg(t)が得られるのか？
それとも
((1/(ω-ω0))*sin((ω-ω0)Δt/2)
+(-1/(ω+ω0))*sin((ω+ω0)Δt/2)
を逆変換しないと得られないか？
後者だとするとその物理的に意味するところはなにか？
以上について考えている途中です。


5830．Re: フーリエ逆変換
名前：本人    日付：2月11日(火) 16時24分
誤記訂正します。
6行目）正：cosω0t　　誤：cos(ω-ω0)t
12行目）正：f(ω) 誤：f(t)

5825．お願いします。  
名前：中学数学復習中    日付：2月11日(火) 14時1分
a+1/a=-2のとき、a2(二乗）-1/a3(三乗）の値を求めなさい。
（＊二乗の入力の仕方が分からず、見づらくてすみません。）

内のりが縦6cm、横80cm、高さ1.3mの直方体の容積は何ﾘｯﾄﾙですか。

この2問です。よろしくお願いします。


5826．Re: お願いします。
名前：中川　幸一    日付：2月11日(火) 14時20分
a3-(1/a)3の間違えでは？
http://8417.teacup.com/arith_math/bbs

5828．Re: お願いします。
名前：みゆき    日付：2月11日(火) 14時29分
a+1/a=-2
a2+1=-2a
a2+2a+1=(a+1)2=0
a=-1
a2-1/a3=1-(-1)=1+1=2


6cm×80cm×1.3m＝6cm×80cm×130cm
＝62400cm3
＝62.4リットル

5829．Re: 中学数学復習中 さんへの集中講座みたいですね　ほそく
名前：田中    日付：2月11日(火) 16時7分
１問目　は、ａがいくつかをまず条件から求めろというのが、問題の意図ですね。後ろの式を前の条件式で表せるかより早いみたいですから。

２問目　？？すごく　へんな問題　こんな箱　何につかってるの？この箱は、何かを答えなさいという方が難問かも。

　３０年以上も昔のまぬけな数学、算数の本に載っていた問題の香りがします。だらけた無能な小学校の教師が作りそうな問題ですよね。ただ単位の換算を聞くだけのもの。全部　㎝に直すのが、定石です。
そのあと　１リットルが　何立方センチかを　知っているかです。
１リットルって言うのは、１辺１０㎝のサイコロだと思ってください。だから体積は１０＊１０＊１０　で　１０００立方センチです。

だから、６２４００立方センチがでたら、１０００で割れば　リットルに換算されます。

5834．こんな箱何に使うの？
名前：中学数学復習中    日付：2月11日(火) 21時2分
この大きさじゃ、ホントに何に使うの？？って感じですよね。
縦60cmの間違えでした。それで解いた結果624ﾘｯﾄﾙになりました。
みなさん、ありがとうございました。

5819．お願いします。  
名前：中学数学復習中    日付：2月11日(火) 11時49分
8％の食塩水があります。これに水100gを加えたら6％の食塩水になりました。初めにあった8％の食塩水は何gですか。

という問題です。
勝手なお願いで申し訳ありませんが、時間がなく急いでいる為、
ヒントでなく解答をお願いしたいです。
かなりレベルが低いので、詳しい解答を書いていただけると有難いです。

今まで一人で息詰まって勉強していたので、この掲示板を見つけて、
本当に助かっています。
よろしくお願いします。


5820．Re: お願いします。
名前：変態数学教師見習い    日付：2月11日(火) 12時14分
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　濃度(％)
　食塩水の問題では， 食塩の量＝食塩水の量×―――― を
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 １００

用いて，食塩の量について式を立てるのがポイントです．

【解答】
　はじめにあった８％の食塩水をｘｇとする．水を加える前後で含まれる食塩の量は

　　　　　　　　　　　　　　　　 ８　　　　　 ６
変化していないから　　　―――ｘ＝―――（ｘ＋１００）
　　　　　　　　　　　　　　　 １００　　　 １００

両辺に１００をかけて　　　　　８ｘ＝６（ｘ＋１００）

これを解いて　　　　　　　　　　ｘ＝３００　　　　　よって　３００ｇ　(答)

(美少女中学生・佐久間信子たんのファン)

5821．ついでに
名前：変態数学教師見習い    日付：2月11日(火) 12時20分
「ＡとＢを混ぜてＣになった」というタイプの問題ならば
（Ａに含まれる食塩の量）＋（Ｂに含まれる食塩の量）＝（Ｃに含まれる食塩の量）
という式を立てればよいのです．食塩水の問題はワンパターンなので慣れればカンタン♪

5823．Re: お願いします。　　補足
名前：田中    日付：2月11日(火) 13時52分

濃度　％　＝　塩／（塩＋水）　×＊１００　です。

けして　　　　塩／水　　　×１００　ではないことに注意。

また、　食塩水の重さ　×　濃度　で、中にある食塩の重さが求まります。

はじめの食塩水（塩＋水）を　Ｘ　グラムとおきましょう

すると、この中には、０．０８Ｘ　　グラムの塩があります。

そし薄めた状態の式　塩は同じ量、分母の（塩＋水）は　１００グラム増しています。
よって濃度の式にあてはめます。パーセントは０．０＊＊としてしまって良いでしょう。

　　０．０６　＝０．０８Ｘ／（Ｘ＋１００）
　　　６＝８Ｘ／（Ｘ＋１００）
　　　６（Ｘ＋１００）＝８Ｘ
　　　６＊１００＝８Ｘ－６Ｘ
　　　２Ｘ＝６００　　　　Ｘ＝３００　　とでます。

5824．(untitled)
名前：中学数学復習中    日付：2月11日(火) 13時54分
分かりやすい解答ありがとうございました。

5811．教えてください。  
名前：中学数学復習中    日付：2月11日(火) 0時19分
現在２６歳ですが、今度受ける事になったテストで、高1までの数学が出題されるので、勉強中です。ビックリする位忘れていてかなり慌てています。簡単な質問を何度もしてしまうと思いますが、よろしくお願いします。
今回教えていただきたい問題は、

Ａ地点からＢ地点までを車で往復しました。行きは平均時速90ｋｍで、帰りは平均時速30ｋｍで走行しました。往復の平均時速は何ｋｍですか。

という問題です。解答は45ｋｍとなっているのですが、解き方が分かりません。よろしくお願いします。


5812．Re: 教えてください。
名前：中学数学復習中    日付：2月11日(火) 0時21分
あと、高校1年の数学というのは、数学Ⅰと数学Ａでしょうか？
参考書を買いたいのですが、分からなくて困っています。

5813．とりあえずヒントね．
名前：変態数学教師見習い    日付：2月11日(火) 0時42分
　（往復の平均時速）＝（往復の道のり）÷（往復にかかった時間）　でした．
ＡＢ間の道のりをａkmとおいたとき，（往復の道のり），（往復にかかった時間）は
ａの式で表すことができますね．

5814．(untitled)
名前：K.N.G.    日付：2月11日(火) 0時42分
行きに掛かる時間をｈ[時間]とすると，ＡＢ間の道のりは
９０[km/時間]×ｈ[時間]＝９０ｈ[km]
帰りに掛かる時間は
９０ｈ[km]÷３０[km/時間]＝３ｈ[時間]です．
よって，平均速度は
(９０ｈ×２)[km]÷４ｈ[時間]＝４５[km/時間]
となります．

5815．あら…
名前：K.N.G.    日付：2月11日(火) 0時50分
微妙な時間差で，答えを書いてしまいました…．
ですが，｢変態数学教師見習い｣さんの解法と僕の解法は少し違うので｢変態数学教師見習い｣さんの方も考えてみて下さい．

5817．Re: 教えてください。　受験ごくろうさまです。
名前：田中    日付：2月11日(火) 4時40分
前に解かれた方　の　方法に準じていますが、理解できたでしょうか。
この種の問題、距離が書かれていないので、とまどう事が多いかと思います。そのようなときは、自分で仮に決めてしまえばよいのです。
　このレベルの問題なら簡単な整数がみつかります。
９０ｋｍ／ｈですから、　走った距離を９０ｋｍ　にすればよいでしょう。
　かかった時間＝距離÷速さ　　　　ですから

行きの時間　　　　９０÷９０＝１　　時間
帰りの時間　　　　９０÷３０＝３　　時間
　合計　　　　　４時間かかりました。
ここで　行き、帰りで　１８０ｋｍ　走ったことですから

速さ＝　１８０÷４　で　　＝４５ｋｍ／ｈ　となります。

5818．ありがとうございました。
名前：中学数学復習中    日付：2月11日(火) 11時44分
解く事が出来ました。
高1の数学の範囲もどなたかご存知でしたら、お願いします。

5822．Re: 教えてください。
名前：変態数学教師見習い    日付：2月11日(火) 12時29分
高校１年の数学というならば，数学ⅠＡを指すものと思われます．
（教える学年は高校によって違うのですが，一般的には１年次で数学ⅠＡを扱う）

(美少女中学生・佐久間信子たんのファン)

5808．5787の追加質問  
名前：エドカー    日付：2月11日(火) 0時2分

f(x)=-1(-π≦ｘ＜0,x=π),f(x)=＋１(0≦ｘ＜π)・・・(4)
f(x)=a0/2＋∑(n=1,5)(ancosnx＋bnsinnx)
=4/π∑(n=1,3,5)(sinnx)/n・・・(5)

この２つの式のグラフを重ねてかくとどのようになるか。
よろしくおねがいします。


5831．Re: 5787の追加質問
名前：nabeX    日付：2月11日(火) 17時15分
Original Size: 501 x 501, 56KB

こんな感じですか。


5833．Re: 5787の追加質問
名前：エドカー    日付：2月11日(火) 19時49分
教えていただきありがとうございました。

5803．入試問題  
名前：受験生    日付：2月10日(月) 23時29分
X、ｙがX>0、ｙ>0、Xｙ=kをみたしながら変化するときの、２X2＋２ｙ2の最小値は（①)kであり、
X、ｙがX>0、ｙ>0の範囲を動く時、
２X2＋２ｙ2＋1/Xｙの最小値は（②）である。
の①と②の答えを教えて下さい。


5806．(1)のヒント
名前：K.N.G.    日付：2月10日(月) 23時46分
xy=k(x>0, y>0)　…反比例のグラフの第1象限の部分
x2+y2　…原点からの距離の2乗
を考えてみると，2x2+2y2はどのようなとき，最小となるでしょうか．

5809．（１）の別解
名前：変態数学教師見習い    日付：2月11日(火) 0時11分
①　相加・相乗平均の不等式を用いて　２ｘ2＋２ｙ2≧４ｋ　を示す．
②　実際に　２ｘ2＋２ｙ2＝４ｋ　となる場合があることを確認する．
の手順でも解けます．（②を忘れないように！）

5793．行列です。  
名前：miyuki    日付：2月10日(月) 18時23分
a,bを定数とし、行列Ａを
A=1/10│1　　a　│　←カッコのつもりです。
│a　　b　│
とする。Ａ2＝Ａが成り立つのは、
a=(　　　),b=(　　　　)またはa=(　　　),b=(　　　　)
のときである。


5795．Re: 行列です。
名前：みゆき    日付：2月10日(月) 18時35分
A2を求めて、各行列の成分を比較することによって
a,bを決定するのでしょう。
行列のかけ算は習いましたか？

5796．Re: 行列です。
名前：みゆき    日付：2月10日(月) 19時5分
A2=1/100│1+a2　　a+ab　│
│a+ab　　a2+b2　│
A2=Aより
1/10=(1/100)(1+a2)
1+a2=10
a2=9
a=±3
(1/10)a=(1/100)(a+ab)
10=1+b
b=9
(1/100)(a2+b2)=9/10=(1/10)b
を満たすので
(a,b)=(3,9),(-3,9)が答えとなります。

5801．Re: 行列です。
名前：miyuki    日付：2月10日(月) 21時51分
ごめんなさい！何だかずれちゃってました。
みゆきさん、ありがとうございました。

5792．長くてゴメンナサイ。  
名前：miyuki    日付：2月10日(月) 18時17分
手も足も出なかった問題です・・。
長くてすみませんが、どなたか詳しい解説を
よろしくお願いします。ちなみに、最後から２番目の
P(x1,y1)を求める問題では、x1には根号が、とくにy1と
最後の面積Sを求める問題には2重根号が含まれます。
あと、解答はありません。

次の空欄を埋めよ。
座標平面上に、１辺の長さ１の正方形ＡＢＣＤが
A(-1,0) B(0,0) C(0,1) D(-1,1)の様に置かれている。
いま、この正方形が頂点Ｂを中心に、時計回りに辺ＢＣが
x軸と重なるまで回転する、このときの頂点Dの軌跡をT1とする。
更に、この回転後の正方形を、頂点Cを中心に辺CDがx軸と重なるまで
時計回りに回転させる。このときの頂点Dの軌跡をT2とする。
軌跡T1上の点P(x1,y1)における接線ｌが軌跡T2と接する時、この接点
Pの座標を求める。
接線ｌの方程式と軌跡T2の方程式から、xについての2次方程式
x2+(x12+ax1+b)x+c=0 ･…①
が得られ、a=(　　　　), b=(　　　　), c=(　　　　)となる。
接線ｌがT2に接する事から、①の2次方程式は重解を持ち、
判別式Ｄ=x14+dx13+ex1+f=0
となり、d=(　　　　), e=(　　　　), f=(　　　　)　である。
これをx1について解くと４つの解が得られる。ここでx1の存在
範囲を考慮することによって、x1=(　　　), y1=(　　　)である。
また、接線ｌとT2,及びｘ＝①,ｘ＝2によって囲まれる面積をＳ
とする。接線ｌの方程式をｙ＝ｆ(x)とするとき、面積Ｓは
Ｓ＝∫f(x)dx－(　　　　)π ＝（　　　　　　）となる。


5807．Re: 長くてゴメンナサイ。
名前：はなみずき    日付：2月10日(月) 23時53分
軌跡Ｔ１　は　ｘ2＋ｙ2＝2……①　（－１≦ｘ≦１の部分）
であり、点P(x1,y1)　はＴ１上の点だから　ｘ12＋ｙ12＝2をみたす。
また点Ｐが接点だから、x1・x＋y1・ｙ＝2……②
これと、軌跡　T２　は　(ｘ－１）2＋ｙ2＝１……③
①～③から　yとy1を消去すると、求まると思います。

5810．Re: 長くてゴメンナサイ。
名前：はなみずき    日付：2月11日(火) 0時15分
ｘ2＋(x12－2x1－2）＋2＝０　かな

5832．Re: 長くてゴメンナサイ。
名前：miyuki    日付：2月11日(火) 18時37分
ありがとうございます。
最後の面積を求める問題では、πの前には
何が入るんでしょう？？そもそも
πが入らないと思うんですが・・

5784．(untitled)  
名前：KDD(高1)    日付：2月10日(月) 1時39分
なるほど図形を動かせばよかったんですね。どうもです～

5779．面積について  
名前：KDD(高1)    日付：2月9日(日) 22時3分
対角線ＡＣ，ＢＤがそれぞれ6，8で、ＡＣ，ＢＤが60°で交わっているときの四角形ＡＢＣＤの面積を求めよ。という問題です。
よろしくお願いしま～す


5780．Re: 面積について
名前：ヨッシー    日付：2月9日(日) 22時18分

たとえば、６ｃｍの対角線を底辺として、上下２つの三角形に分けると、
面積の総和は６ｃｍ×（高さの総和）なので、四角形ＡＢＣの面積は
２辺が６ｃｍと８ｃｍで、間の角が６０°の三角形と同じになります。
http://www2.tokai.or.jp/yosshy/

5777．正二十面体の展開図について  
名前：ようかん    日付：2月9日(日) 21時43分
はじめまして。28歳塾講師（国立文系卒)のようかんと申します。早速せすが、正二十面体の展開図はいったいいくつくらいあるのでしょうか？中1の授業に使えそうか考えているのですが。よろしくおねがいします。


5783．Re: 正二十面体の展開図について・・・むずかしいでしょう
名前：みらい    日付：2月9日(日) 23時57分
たぶん、数えればできるでしようが、なんとなくできても達成感はないでしょう。塾の先生ということで、まず答えをだしてみてください。この種の問題は、数えるということより、そのカウントのしかたが正しいことを説明する方が難しいでしょう。いくら先生が説明したって、ほかにもあるかも・・・と疑われるのがおちです。それに、展開図の回転して合同をしりぞけるなど実に先を考えるといやらしい問題です。・・で、できたとしても何も達成感はないものに見えます。相手は、中１ですから。
わたしとしては、達成して、明確に表示できて、子供たちが「おーー」と思い、「発見して先生と生徒が喜び合うような問題」が好きですね。

たとえば、　鎖状の炭化水素分子　Ｃ６Ｈ１４の　異性体さがし。おわかりですか？
炭素４個からはじめると理解できますよ。子供も必死に探します。

5786．ありがとうございました。
名前：ようかん    日付：2月10日(月) 8時32分
できれば、異性体探しについてもうすこし詳しく教えてください（大学入試は化学選択だったので、基本的な知識・用語等はわかります）。

5816．Re: 正二十面体の展開図について　　ご返事
名前：みらい    日付：2月11日(火) 4時23分
元素記号　炭素はＣ　これが、まず鎖状に並び、炭素の結合のあまった結合の手に水素がすべて結びつくものがこの種の化合物です。
だから、水素は省いて、炭素の並びだけでよいでしよう。

例　　１．Ｃ－Ｃ－Ｃ－Ｃ－Ｃ－Ｃ
　　　．
　　　２．Ｃ－Ｃ－Ｃ－Ｃ－Ｃ　　３．Ｃ－Ｃ－Ｃ－Ｃ－Ｃ
　　　　　　　｜　　　　　　　　　　　　　　｜
　　　　　　　Ｃ　　　　　　　　　　　　　　Ｃ
などが　みつかって来ます。まだ、まだありますし、回転したり対称なものをチェックしていくおもしろさがあります。化学の掲示板みたいですが、この数をカウントするには、数学の巧みなアルゴリズムがあり、鎖が長くなるとおそろしいほどの異性体がでて来ます。
　Ｃ　の数　４　で　２個　　５で　３個　　６で５個　７で９個
　　　８で　１８個　　９で３５個　１０で７５個・・・

Ｃ７　で９個　すべて見つけたら、感動です。でもそれ以上は、やめた方がよいでしょう。時間の浪費です。

5776．基本的な事ですみません。  
名前：中学数学復習中    日付：2月9日(日) 20時57分
正四面体の高さと、体積の公式を教えて下さい。
よろしくお願いします。


5778．Re: 基本的な事ですみません。
名前：ヨッシー    日付：2月9日(日) 21時51分

正四面体をＡＢＣＤとし、△ＡＢＣを底面とします。
また、１辺を２とします。
点Ｄから底面ＡＢＣにおろした垂線がこの場合の高さになりますが、
この垂線の足は、△ＡＢＣの重心Ｇになります。
△ＡＤＧは直角三角形で、ＡＤ＝２、ＡＧ＝２√３/３　なので、
（以下略）

１辺がａのときは、長さはａ／２倍、体積はａ3/８倍すれば
得られます。
　
http://www2.tokai.or.jp/yosshy/

5771．nabexさん。  
名前：同値関係    日付：2月9日(日) 17時46分
もう一つの問題は、一つ目の問題とは全く関係ありません。
こちらのほうも教えていただけますか？
念のため、もう一度ここに載せます。

-------------------------------------------------------------
X={1,2,3,4,5}
R={(1,1),(2,3),(3,3),(4,4),(5,5),(1,2),(2,1),(1,3),(3,1),(2,3),(3,2),(4,5),(5,4)}

Rの関係は、reflexive、symmetricであることはわかるのですが、
transitiveであるといえるのでしょうか。
またanti-symmetricといえるのでしょうか。

その場合、上記は、partial ordering, totally ordering, equivalence relationのいずれかの関係になるといえるのでしょうか。


5772．Re: nabexさん。
名前：nabeX    日付：2月9日(日) 18時23分
私、まだ順序集合ってあんまり勉強してないんですよ。わかってる範囲でお手伝いしますけど。
まず、関係の定義がよくわからないのですがXの元a,bに対して順序対
(a,b)がRの元であればa、bは関係が成り立つ。ということでいいのでしょうか?
そうだとすると推移律は成り立ちますね。全通り確認すればよいかと。
たいした数ではありませんから。
反対称律は成り立ってないです。Xの元4,5に対し
(4,5)∈Rで(5,4)∈Rですが4≠5ですから。
という事は順序関係でないのでpartial orderingでも totally orderingでもないです。
同値関係ですね。

5773．Re: nabexさん。
名前：同値関係    日付：2月9日(日) 18時30分
この場合、すべての（a,b）がいずれかのものと組になってtransitiveであることを証明できるので、このsetはtransitiveだといえるんですよね？というのも、もし例えば、一つだけどれともtransitiveを証明するための組になれない(a,b)があったとしたら、このsetはtransitiveであるとはいえなくなるんですよね？

5774．Re: nabexさん。
名前：nabeX    日付：2月9日(日) 18時51分
例えば
R’=R+{(2,4),(4,2)}という集合を考えて関係をR'のもとで考えると
1～2、2～4が成り立ちます。（～は関係を表してます。)
しかし(1,4)はR'の元でありませんから1～4は成り立ちません。
からR'にもとづく関係は推移律を満たしません。

全ての場合において推移律がなりたたないといけないというわけです。
なんだか微妙な日本語になってますがお考えのとおりだと思います。

5770．数学的帰納法の初歩中の初歩です  
名前：高校生・予習中    日付：2月9日(日) 17時43分
すみません、わかりにくかいてしまいました。
もう一度書き直しましたので、よろしくおねがいします。


n>=0 のとき(2^n)!= 2^(n+1) –1であることを数学的帰納法で説明せよ。


5775．Re: 数学的帰納法の初歩中の初歩です
名前：花パジャ    日付：2月9日(日) 19時22分
ころっさすさんが指摘しているように
　Σnk=02k=2n+1-1
ですね
(階乗「!」だと、和でなくて積では?)

n=0で成立
あるnで成立するとき
　Σn+1k=02k=Σnk=02k+2n+1
　=2n+1-1+2n+1
　=2n+2-1
でn+1でも成立

5782．Re: 予習　ごくろうさま
名前：田中    日付：2月9日(日) 23時40分
予習ということで、記号を間違って理解しているかも・・・・

確認しましょう。！・・・・この記号って何か。

　　５!＝５×４×３×２×１　のこと
　　
　　５
　　Σｋ　＝　１＋２＋３＋４＋５
　ｋ＝１
　です。

！　は、その手前にある数をひとつおろしながら掛けていくものですから、けして　２＾ｎ－１には、なりません

5785．花バシャさん田中さん、ありがとございます。
名前：高校生・予習中    日付：2月10日(月) 8時24分
あ～～、間違えておいてよかったです。
！を間違えて理解してました。
ほんとうに、ご指摘有難うございました

5766．(untitled)  
名前：ピー    日付：2月9日(日) 15時24分
大円の方程式を教えてください

5764．もう1点お願いします  
名前：同値関係    日付：2月9日(日) 15時18分
X={1,2,3,4,5}
R={(1,1),(2,3),(3,3),(4,4),(5,5),(1,2),(2,1),(1,3),(3,1),(2,3),(3,2),(4,5),(5,4)}

Rの関係は、reflexive、symmetricであることはわかるのですが、
transitiveであるといえるのでしょうか。
またanti-symmetricといえるのでしょうか。

その場合、上記は、partial ordering, totally ordering, equivalence relationのいずれかの関係になるといえるのでしょうか。

5763．同値関係  
名前：同値関係    日付：2月9日(日) 15時0分
６ビットの部分集合Xがあります。（０００００１や０１１１１０等）
同じ数の１を持っている場合、その６ビットのstringは関係があるとします。この部分集合Xの同値関係Rを定義せよ。
a)このXにはいくつのエレメントがあるか
b）いくつの同値類があるか
c）それぞれの同値類にいくつのエレメントがあるのか

どのように考えるのかおしえてください


5767．Re: 同値関係
名前：nabeX    日付：2月9日(日) 15時27分
プログラム関連の話だったりすると全くの門外漢ですが取りあえず。
a)エレメントって元の事ですよね?なら、000000～111111まで全て数えれば良いわけですから
各桁に対し0か1の2通りなので26=64で64個

b)まず同地関係を定義するわけですが、同地関係の定義は
∀a∈X⇒a～a
∀a,b,∈X、a～b⇒b～a
∀a,b,ｃ∈X、a～b、b～c⇒a～c
です。ここで～は関係を表しています。
上記が成り立つような関係をX上に定義してやればよいわけです。
例えば「aのもっている1の数からbの持っている1の数をひくと0になる。」
というのは同地関係です。確認してみてください。
X上で定義できる同値関係は他にもたくさんあります。

同値類というのはXのある元を取ったときにそれと同値関係にあるXの元を集めた部分集合の事です。
先ほどの例でいえば7個できます。
後はそれぞれの同値類に含まれる元の数を数えればよいです。

5768．Re: 同値関係
名前：同値関係    日付：2月9日(日) 15時50分
早々に御返事いただきありがとうございます。
ということはですね。。。。

a）６４個
b）７種類
c）1の数が。。。。
1個の時:6ﾊﾟﾀｰﾝ 2:30ﾊﾟﾀｰﾝ 3:120ﾊﾟﾀｰﾝ 4:30ﾊﾟﾀｰﾝ
5:6ﾊﾟﾀｰﾝ 6:1ﾊﾟﾀｰﾝ 7:1ﾊﾟﾀｰﾝ

と言う答えでいいのですか？
数学も国語力がないとむずかしいです。
恥ずかしい限りです。

5769．Re: 同値関係
名前：nabeX    日付：2月9日(日) 16時16分
1の数が7というのは？1の数が
0のとき1個　1のとき6個　2のとき15個　3のとき20個　4のとき15個
5のとき6個　6のとき1個　です。
Xの元は64個しかないわけですから全部足したら64にならないとおかしいわけです。
あと、あくまでこれは私が定義した関係においての場合です。
問題には同値関係を定義する事も含まれているようですから
定義した同値関係によって(b),(c)の答えは変わってくるでしょう。
例えば6ビットの数を2進数と同一視して10進数に直せば
合同関係”≡　(mod)"を定義してやってもよいわけです。

5758．数学的帰納法の初歩中の初歩です  
名前：高校生・予習中    日付：2月9日(日) 11時14分
予習中です。
教えてください。

n>=0 のとき2^n! = 2^(n+1) –1であることを数学的帰納法で説明せよ。
これはどうやって証明したらいいのですか？


5759．Re: 数学的帰納法の初歩中の初歩です
名前：ヨッシー    日付：2月9日(日) 12時33分
2^(n!) なのか (2^n)! なのかわかりませんが、
n=1 のとき、左辺＝２　右辺＝３ で、すでに成り立たないのですが．．．
　
http://www2.tokai.or.jp/yosshy/

5761．Re: 数学的帰納法の初歩中の初歩です
名前：ころっさす    日付：2月9日(日) 13時54分
階乗のアナロジーで、
(2^n)+(2^(n-1))+…+(2^1)+(2^0)の意でしょう。

5762．Re: 数学的帰納法の初歩中の初歩です
名前：高校生・予習中    日付：2月9日(日) 14時13分
(2^n)!= 2^(n+1) –1です。

5754．確率  
名前：ひかる    日付：2月9日(日) 0時31分
サイコロの値ｚに対する確率関数は、ｐ(z)=1/6・・①
また、確率変数ｚの平均
μ＝∑z・p(z)・・・②
　　z

分散σ^2＝∑(z-μ)^2・p(z)　, 標準偏差σ＝√σ^2・・・③

①～③を使って、サイコロの値の平均、分散、標準偏差を求めよ。また、p(z)のグラフをかきなさい。

お願いします。


5760．Re: 確率
名前：ころっさす    日付：2月9日(日) 13時54分
μ＝∑_{z=1}^{6}z*(1/6)＝7/2
σ^2＝∑_{z=1}^{6}((z-7/2)^2)*(1/6)＝35/12

5748．(untitled)  
名前：K.N.G.    日付：2月8日(土) 21時53分
ｎ×ｎの正方形ABCDを，碁盤の目のように，一辺が１の正方形がｎ２個できるように区切ります．そのとき対角線ACに交わる長方形の数はいくつになるのでしょうか？
長方形の頂点が対角線ACに触れる場合も交わると見なします．


5750．Re: (untitled)
名前：はなみずき    日付：2月8日(土) 22時52分
「長方形」ではなくって、正方形ですか？
対角線上にｎ個。その両脇に（ｎ-１）個ずつ。
計　３ｎ－２　個

5752．Re: (untitled)
名前：ヨッシー    日付：2月8日(土) 23時7分
私のページの「御質問に答えるコーナー」に解答を載せました。
　
http://www2.tokai.or.jp/yosshy/

5755．Re: (untitled)
名前：K.N.G.    日付：2月9日(日) 1時24分
詳しい解説ありがとうございましたm(_ _)m．

5757．Re: (untitled)
名前：はなみずき    日付：2月9日(日) 9時35分
なるほど、そういうことですか。(^-^*ゞポリポリ

5743．空間図形について  
名前：マミ    日付：2月8日(土) 21時17分
A=(2,2,0),B=(-1,1,1),C=(1,0,2)の三角形があります。

[1]ﾍﾞｸﾄﾙｎ=(1,-1,2)はﾍﾞｸﾄﾙOA,ﾍﾞｸﾄﾙOBに垂直であることを示せ。
[2]ﾍﾞｸﾄﾙOA,ﾍﾞｸﾄﾙOBの外積ﾍﾞｸﾄﾙｖを求めよ。
[3]ﾍﾞｸﾄﾙｎ、ﾍﾞｸﾄﾙｖの向きが同じであることを示せ。

ちなみに[2]の答えは(2,2,4)です。
解説お願いします。


5744．Re: 空間図形について
名前：マミ    日付：2月8日(土) 21時18分
> A=(2,2,0),B=(-1,1,1),C=(1,0,2)の三角形があります。
>
> [1]ﾍﾞｸﾄﾙｎ=(1,-1,2)はﾍﾞｸﾄﾙOA,ﾍﾞｸﾄﾙOBに垂直であることを示せ。
> [2]ﾍﾞｸﾄﾙOA,ﾍﾞｸﾄﾙOBの外積ﾍﾞｸﾄﾙｖを求めよ。
> [3]ﾍﾞｸﾄﾙｎ、ﾍﾞｸﾄﾙｖの向きが同じであることを示せ。
>
> ちなみに[2]の答えは(2,-2,4)です。
> 解説お願いします。

5747．Re: 空間図形について
名前：ヨッシー    日付：2月8日(土) 21時47分
ｎ＝(1,-1,2)とOA＝(2,2,0)
ｎ＝(1,-1,2)とOB＝(-1,1,1)
の内積がいずれも０になれば垂直であることが示せます。

ベクトルの外積は、こちらのページの定義に従って、
計算すれば求められます。
ただし、OA×OB と OB×OA とでは、結果が違いますから、
どちらを聞かれているのかは、問題で確認して下さい。

ｎ＝(1,-1,2) と [2] の答え (2,-2,4) とが平行であることを示します。
それぞれ、図に描いてみましょう。
　
http://www2.tokai.or.jp/yosshy/

5753．Re: 空間図形について
名前：マミ    日付：2月9日(日) 0時19分
[1]～[3]まで手順どおりにやってみるとできました。ありがとうございます。
この問題で、三角形OABに垂直で、点Ｃを通る直線をｌとしたとき、直線ｌと三角形OABの交点の座標を求めて、直線ｌの方程式を媒介変数ｔで表したいんですが、どのようにしたら求めることができますか？
よろしくお願いします。

5756．みゆき
名前：岩井原中（3年）    日付：2月9日(日) 2時43分
直線Iの方向ベクトルはOA,OBに垂直で、そのベクトルは外積を求めればすぐに出ます。このベクトルをnとすれば、点Cを通る直線Iの媒介変数表示は
(x,y,z)=nt+OC

5765．Re: 空間図形について
名前：マミ    日付：2月9日(日) 15時24分
私はまだ外積の意味がよく理解できていないので、もう少し易しく教えてください。ｍ（－－）ｍ

5794．Re: 空間図形について
名前：みゆき    日付：2月10日(月) 18時28分
三角形OABに垂直⇔OA,OBに垂直
なので三角形OABに垂直な直線の方向ベクトルは、
OA,OBに垂直なベクトルです。
ここでOA,OBに垂直なベクトルを求めるのに、
内積
(p,q,r)・(2,2,0)=0
(p,q,r)・(-1,1,1)=0
からp,q,rを求めて、（といってもqをp,rをpで表してp,q,rの比を求めるだけで、p,q,rがある値として求まるものではありません）
垂直なベクトルを決める方法がありますが、計算が多少面倒になります。
ここで外積を使います。
(2,2,0)×(-1,1,1)を計算して求めたベクトルは
OA,OBに垂直なベクトルとなります。
(2,2,0)×(-1,1,1)=(2,-2,4) //(1,-1,2)
次にC(1,0,2)を通る三角形OABに垂直な直線は
(x,y,z)=(1,-1,2)t+(1,0,2)
と表せます。これは(1,0,2)を通って、(1,-1,2)の実数(t)倍だけ移動した点の集合が、(1,-1,2)を方向ベクトルとする(1,0,2)を通る直線となるからです。よって、三角形OABに垂直で、点Ｃを通る直線を媒介変数ｔで表すと
(x,y,z)=(1,-1,2)t+(1,0,2)=(t+1,-t,2t+2)
のようになります。
外積で求めたベクトルの値をそのまま用いて
(x,y,z)=(2,-2,4)t+(1,0,2)=(2t+1,-2t,4t+2)としても同じ直線になります。
あとは、
(x,y,z)=(2t+1,-2t,4t+2)と、三角形OABとの交点を求めることになります。

5798．Re: 空間図形について
名前：マミ    日付：2月10日(月) 20時29分
ていねいに教えていただきありがとうございました。
よく理解することができました！！

5741．大発見！！！！　四色問題の不可能例  
名前：田中    日付：2月8日(土) 19時9分
こんな話はどうであろう。
四色問題は、いかなる地図もたかだか四色でとなりの国との境界地図をつくれるというものです。
これも難問でしたが解かれたということです。しかし、わたしの疑問です。
とことんがんばって四色で塗られた地図があったとしましょう。とことん頑張っていますから、この「大陸のヘリ、周囲の国の塗り分けは、４色を使い切っているはずです。」
そこで、この大陸全体を取り囲む「海」は、第五色目が必要です。この海をある国とすれば、４色ではたりないとなります。ゆえに四色問題の証明は間違えである。

すごいでしょう。この発見。


5742．Re: 大発見！！！！　四色問題の不可能例
名前：ころっさす    日付：2月8日(土) 19時36分
＞「海」
も国（連結領域）として４色で塗り分けられる、というのが主張です。

5745．Re: 大発見！！！！　四色問題の不可能例
名前：INA    日付：2月8日(土) 21時32分
田中さんのお話を単純化して次のような反例を思いつきました。まず田んぼの「田」の字のそれぞれの四角形を別々の国と見て、4色で塗り分けます。国数は４つなので、これは可能です。次にこの4国を「完全に取り囲むように」第5の国をつくります。まあ海と解釈してもよいでしょうか。この第5の国の色は、4色のうちのどの色を使っても中のどれかの国と色が重なります。

4色問題にはそうすると、何か仮定があるのでしょうかね。例えば「ある国が別の国を覆ってしまうことはないとする」というような。

5746．Re: 大発見！！！！　四色問題の不可能例
名前：ヨッシー    日付：2月8日(土) 21時40分
ころっさすさんの記事は、
そういう塗り方は理想的な塗り方ではなく、もっとちゃんと塗れば、
海も含めて４色で塗れるということですね。

そもそも、
「大陸のヘリ、周囲の国の塗り分けは、４色を使い切っているはずです。」
という仮定が誤りで、周囲はたかだか３色で塗れる塗り方があるのでしょう。
四色問題が証明されたのですから。

田の字も、別に４色使わなくても２色で塗れてしまうので、周囲に海を作っても
何ら問題ありません。
http://www2.tokai.or.jp/yosshy/

5749．Re: 大発見！ うれしいです　無視されるかと思いました
名前：田中    日付：2月8日(土) 22時1分
レス　ありがとうございました。
もちろんこれは、ギャグですが、「この・・・そーとー頑張ったら４色使ってしまう・・・」というところがそう簡単に証明できないところなのですね。
ＩＮＡさんの指摘の「田の字の国」は、４色ではなく２色で、隣同士の境界を作れることとします。だって、国ごとに色分けすれば１００カ国あれば、１００色いるわけですから。
ということで、まわりを取り囲む手段でも４色以内ということは、内部の地域は３色以内で塗られているということです。実に不思議なことでしょう。

5732．ころっさすさん、ありがとう！！  
名前：Ｏｐｔｉｍｉｓｔａ    日付：2月8日(土) 5時14分
That's so beautiful!!!
Thanks a lot.

5731．質問  
名前：質問    日付：2月8日(土) 0時39分
質問があります。複素フーリエ級数の求め方を教えてください。
　　f={ x-π （-π<=x<0)
π-x (0<=x<π)}
です。お願いします。


5737．Re: 質問
名前：中川　幸一    日付：2月8日(土) 11時39分
下記サイトを参考にしてください。
http://www.sendai-ct.ac.jp/~shimizu/fouries/chapt_2.html
他にも検索をかけると色々と見つかるはずです。



http://8417.teacup.com/arith_math/bbs

5729．積分方程式  
名前：ΔQ=ΔU+(・w・)    日付：2月7日(金) 23時37分
■f(x)とg(ｘ)は次のように定義される。
f(x)＝x-∫［-1～2］g(t)dt、g(ｘ)＝3+2∫［0～ｘ］f(t)dt
(1)f(x)とg(ｘ)を求めよ。
(2)∫［0～a］g(ｘ)dｘ＝1/3 となる最小実数aの値。

定数部分をKとおいてみましたが、
Kが消去できません。
よろしくおねがいします。


5730．Re: 積分方程式
名前：岩井原中（3年）    日付：2月7日(金) 23時56分
とりあえず
(1)だけ
f(x)=x-∫[-1～2] g(t)dt
∫[-1～2] g(t)dt=kとおく
f(x)=x-k
これを
g(x)＝3+2∫[0～x] f(t)dtに代入して
g(x)=3+∫[0～x] (t-k)dt
=3+(1/2)x2-kx
∫[-1～2] g(t)dt=∫[-1～2] ((1/2)t2-kt+3) dt
=(21/2)-(3/2)k
=k
k=21/5
f(x)=x-21/5
g(x)=(1/2)x2-(21/5)x+3

5738．Re: 積分方程式
名前：中川　幸一    日付：2月8日(土) 11時41分
(1)の計算方法はあっているのですが, 途中で計算間違いをしていますね。
正しくは
f(x)=x-3
g(x)=x2-6x+3
です。

(2)
(1)の結果より
∫[0<x<a]_(x2-6x+3) dx=1/3
iff (1/3)a3-3a2+3a-(1/3)=0
iff (a-1)(a-4+√15)(a-4-√15)=0
iff a=1, 4-√15, 4+√15

∴最小実数aの値は 4-√15


http://8417.teacup.com/arith_math/bbs

5740．修正しました
名前：岩井原中（3年）    日付：2月8日(土) 16時17分
g(x)=3+2∫[0～x] (t-k)dt
=3+x2-2kx
∫[-1～2] g(t)dt=∫[-1～2] (t2-2kt+3) dt
=12-3k
=k
k=3
f(x)=x-3
g(x)=x2-6x+3

5751．Re: 積分方程式
名前：ΔQ=ΔU+(・w・)    日付：2月8日(土) 23時7分
どうもありがとうございました。
しばらく積分計算の練習をしたいと思います。

5717．３次元の３つの球の球面上の点が交差する座標を求める  
名前：睡眠不足    日付：2月7日(金) 17時18分
３次元座標において３つの球の球面上の点が交差する座標(x,y,z)を求める。
球１中心座標（x1,y1,z1）半径R1
球２中心座標（x2,y2,z2）半径R2
球３中心座標（x3,y3,z3）半径R3
ちなみに球の方程式は以下になります。
(x-x1)X(x-x1)+(y-y1)X(y-y1)+(z-z1)X(z-z1)=R1XR1
(x-x2)X(x-x2)+(y-y2)X(y-y2)+(z-z2)X(z-z2)=R2XR2
(x-x3)X(x-x3)+(y-y3)X(y-y3)+(z-z3)X(z-z3)=R3XR3
結局、上の式を解く問題です。
よろしくお願いいたします。
どなたか救いの手を！

5716．積分・面積です  
名前：みゆき    日付：2月7日(金) 16時29分
座標平面において一辺の長さが４の正方形ＡＢＣＤを
考える。はじめに、各頂点Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄがそれぞれ
(-2,0)(2,0)(2,4)(-2,4)上にあるとする。この正方形を
点(-2,0)と原点Ｏの両方に接触させながら頂点Ａが初めて
原点Ｏに到達するまで半時計回りに回転させる時、頂点
Ａが(-2,0)から原点０まで動く時、頂点Ｂの軌跡、ｘ軸及び
ｙ軸によって囲まれる部分の面積を求めよ。

この問題で、ＯＢとｘ軸とのなす角をθとしてＢの座標をθで表し、
Ｓ＝∫4-(2cosθ)sinθdx（上端２、下端０）
となるのですが、この上端２、下端０という積分区間が理解できません。
そもそも図形がイメージできないのですが・・。よろしくお願いします！


5721．Re: 積分・面積です
名前：はなみずき    日付：2月7日(金) 18時36分
Original Size: 451 x 415, 11KB

点Ａはこの図の半円上を動きます。
点Ｂは　直線ＡＯ上の点でＡＢ＝４となる点です。
点Ｂの奇跡がイメージできますか？

点Ｂは（2，0)から(0，4）まで曲線を描いて動きます。

∫4-(2cosθ)sinθdx（上端２、下端０）　この式本当にあっていますか？
＝∫（4-sin2θ）dx（上端２、下端０）　ですが、おかしいのでは？


5722．Re: 積分・面積です
名前：はなみずき    日付：2月7日(金) 18時47分
点Ｂのｘ座標は　ＯＢcosθ　（θは0°から90°まで　ｘは２から０まで）
ＯＢ＝ＡＢ－ＯＡ＝４－ＯＡで考えるのかしら？

5723．Re: 積分・面積です
名前：みゆき    日付：2月7日(金) 19時0分
4-(2cosθ)とsinθの間に×を入れれば良かったですね。
すみません。はなみずきさんの式で合ってます。
点ＢのＸ座標の考え方も、その通りです。

5724．Re: 積分・面積です
名前：みゆき    日付：2月7日(金) 19時12分

図まで書いて頂いたのですが、Ｂは（０，４）だと
言うイメージがまだ少し・・。ｘ座標は０だと言う検討は
付くのでこの問題では問題無いのですが。
積分区間は図で分かりました。ありがとうございます。

5725．Re: 積分・面積です
名前：はなみずき    日付：2月7日(金) 20時17分
Original Size: 589 x 444, 28KB

本当は途中も書けたら良いのですが、とりあえず3箇所だけ。


5726．Re: 積分・面積です
名前：はなみずき    日付：2月7日(金) 20時39分
ＯＢとｘ軸とのなす角をθ、ＯＡ＝ｒとすると
Ａ(－ｒcosθ，－ｒsinθ）です。
また、点Ａの軌跡は　(ｘ＋1）2＋ｙ2＝１だから
これに代入して、整理すると　r＝２cosθ

だから　ＯＢ＝ＡＢ－ＯＡ＝４－２cosθ　です。
よって、Ｂのｙ座標は　ＯＢsinθ＝（４－２cosθ）sinθ　ですね。

∫4-(2cosθ)sinθdx（上端２、下端０）　この式は
∫（4-2cosθ)sinθdx（上端２、下端０）　ですね？

5727．Re: 積分・面積です
名前：はなみずき    日付：2月7日(金) 21時3分
Original Size: 267 x 322, 12KB

点Ｂの軌跡です


5709．高１です  
名前：かのん    日付：2月7日(金) 13時19分
正三角形の内部に点Ｐをとる。
正三角形の三頂点と点Ｐを結び、
それら三線分の垂直二等分線の
三つの交点をＰ１、Ｐ２、Ｐ３
とすると、三角形Ｐ１Ｐ２Ｐ３は三辺が
４、５、６の三角形になった。
正三角形の一辺の長さはいくらか。

全然分かりません。
教えて下さい。


5718．Re: 高１です
名前：かのん    日付：2月7日(金) 17時50分
あの・・・こっちは
どういうふうになるんですか？

5720．失礼、重複投稿かと思ってました
名前：ころっさす    日付：2月7日(金) 18時13分
Ｐ１，Ｐ２，Ｐ３と，正３角形の３頂点Ａ，Ｂ，Ｃを
頂点とする６角形Ｐ１ＡＰ２ＢＰ３Ｃにおいて，
∠ＡＰ２Ｂ，∠ＢＰ３Ｃ，∠ＣＰ１Ａの大きさは各々
∠Ａ１Ｐ２Ｐ３，∠Ｐ２Ｐ３Ｐ１，∠Ｐ３Ｐ１Ｐ２の大きさの２倍なので，
∠ＡＰ２Ｂ，∠ＢＰ３Ｃ，∠ＣＰ１Ａの余弦を求めておけば、
三角形Ａ１Ｐ２Ｐ３，三角形Ｐ２Ｐ３Ｐ１，三角形Ｐ３Ｐ１Ｐ２の各面積は、
正３角形ＡＢＣの一辺の長さを用いて表わせますが，
それは３角形Ｐ１Ｐ２Ｐ３の面積の２倍でもあります．

5708．高１です  
名前：かのん    日付：2月7日(金) 13時18分
正三角形の内部に点Ｐをとる。
正三角形の三辺それぞれに関して
点Ｐと線対称な点をＰ１、Ｐ２、Ｐ３
とすると、三角形Ｐ１Ｐ２Ｐ３は三辺が
４、５、６の三角形になった。
正三角形の一辺の長さはいくらか。

全然分かりません。
教えて下さい。


5712．Re: 高１です
名前：ころっさす    日付：2月7日(金) 14時47分
Ｐ１，Ｐ２，Ｐ３と，正３角形の３頂点Ａ，Ｂ，Ｃを
頂点とする６角形Ｐ１ＡＰ２ＢＰ３Ｃにおいて，
∠Ｐ１ＡＰ２，∠Ｐ２ＢＰ３，∠Ｐ３ＣＰ１の大きさは何れも１２０°なので，
６角形Ｐ１ＡＰ２ＢＰ３Ｃの面積は求められますが，
それは正３角形ＡＢＣの面積の２倍でもあります．

5719．Re: 高１です
名前：かのん    日付：2月7日(金) 17時51分
w((￣￣0￣￣))wﾜｵｯ!!

ほんとだ！！！
有り難う御座いました。
便通が良くなった気持ちです。

よろしければ上の方も教えて下せ！！
＞＞ころさっすさん

5705．再帰的帰納法  
名前：Ｏｐｔｉｍｉｓｔａ    日付：2月7日(金) 7時6分
再帰的帰納法をつかって次のことを証明するにはどうしたらいいのですか？

n>=5, f(n)>(3/2)^n

どなたか、ご教授を。


5711．Re: 再帰的帰納法
名前：ころっさす    日付：2月7日(金) 14時47分
f(n) の定義は？

5713．Re: 再帰的帰納法
名前：Ｏｐｔｉｍｉｓｔａ    日付：2月7日(金) 15時29分
あ、わすれてました。
f(n)の定義は、Fibonacci sequenceです。
f(1)=1
f(2)=2
f(n)=fn-1 + fn-2, n>=3
というやつです。

おねがいします

5715．Re: 再帰的帰納法
名前：ころっさす    日付：2月7日(金) 15時43分
f(5)＝8＞243/32＝(3/2)^5 かつ f(6)＝13＞729/64＝(3/2)^6
及び，任意の正整数nについて，次が成立します．
f(n)＞(3/2)^n かつ f(n+1)＞(3/2)^{n+1}
⇒
f(n+2)＞(3/2)^{n+1}+(3/2)^n＝(5/2)*(3/2)^n＞(9/4)*(3/2)^n＝(3/2)^{n+2}

5704．Euclidean Algorithm  
名前：Ｏｐｔｉｍｉｓｔａ    日付：2月7日(金) 5時35分
よろしくおねがいします。

p|ab, p not|a (aをpで割ることは不可), p not| b　（bをpで割ることは不可）である正の整数a,b,pを求めよ。

どうやって求めるのですか？


5710．Re: Euclidean Algorithm
名前：ころっさす    日付：2月7日(金) 14時46分
条件がそれだけなら，a＝2，b＝3，p＝6 など．

5714．Re: Euclidean Algorithm
名前：Ｏｐｔｉｍｉｓｔａ    日付：2月7日(金) 15時29分
ありがとうとざいました。

5696．部分積分法について  
名前：まめじ    日付：2月6日(木) 23時56分
①∫ｘsinｘ ｄｘ
②∫ｘｅ^X ｄｘ

③１／ｘ－２－１／ｘ－１＝□／ｘ^2－３ｘ＋２が成り立つように□の中に適当な数を入れる。

上記の３問を教えてください。
よろしくお願いいたします。


5697．Re: 部分積分法について
名前：岩井原中（3年）    日付：2月7日(金) 0時8分
(1)∫xsinx dx=∫x(-cosx)' dx
=-xcosx-∫(-cosx) dx
=-xcosx+∫cosx dx
=-xcosx+sinx+C
(2)∫xex dx=∫x(ex)' dx
=xex-∫ex dx
=xex-ex+C
(3)通分してください

5702．別解
名前：K.N.G.    日付：2月7日(金) 1時0分
(2)
瞬間部分積分法
∫exf(x)dx=ex{f(x)-f'(x)+f"(x)-…}
を使えば
(与式)=ex(x-1)+C．

5703．Re: 部分積分法について
名前：K.N.G.    日付：2月7日(金) 2時40分
(3)
{1/(x-2)}-{1/(x-1)}=[(x-1)/{(x-2)(x-1)}]-[(x-2)/{(x-1)(x-2)}]
={(x-1)-(x-2)}/(x2-3x+2)
=1/(x2-3x2)．

5781．Re: 部分積分法について
名前：まめじ    日付：2月9日(日) 23時25分
返信が遅れてしまって申し訳ありませんでした。

岩井原中（3年）さん、K.N.G.さん、
解答ありがとうございました。

5694．正二十面体  
名前：武蔵透    日付：2月6日(木) 22時19分
正二十面体の作り方を教えてください。

中一


5695．Re: 正二十面体　　あります　あります。
名前：田中    日付：2月6日(木) 22時38分
運が良いことに、この掲示板の９ページ目の５２６１番の文を見てください、ヨッシーさんがすばらしい展開図を描いていますよ。きっと自分でも作れるはず。のりしろは、工夫してつけてください。

5707．Re: 正二十面体
名前：ヨッシー    日付：2月7日(金) 9時48分
昔の記事はそのうち消えるので、上げときましょう


さらに、こういう立体も展開図１枚で作れます。
（もちろん回りませんが ^^;）

ちょっと、重かったかも。
　
http://www2.tokai.or.jp/yosshy/

5739．Re: 正二十面体
名前：武蔵透    日付：2月8日(土) 11時52分
６角形からの作り方を教えてください

5693．(untitled)  
名前：ＧＲＡＣＥ！    日付：2月6日(木) 22時16分
食塩水の問題が苦手なので教えてください。高２です。

容器Ａには３％の食塩水が３００ｇ、容器Ｂには６％の食塩水が３００ｇ入れてある。Ａ、Ｂからそれぞれ１００ｇの食塩水をとってＡの分をＢに、Ｂの分をＡに入れる。このような操作をｎ回（ｎ＝１，２，３、・・・）繰り返して行った結果、Ａはａｎ％の食塩水になった。
（１）ａｎとａｎ-1（ｎ＝２，３，４、・・・）の関係を示す式を求めよ。
（２）ａｎを求めよ。

ａｎは数列のことです。


5698．Re: (untitled)
名前：岩井原中（3年）    日付：2月7日(金) 0時17分
an=(1/3)n{((3n+1)/2)3+((3n-1)/2)6}

5699．Re: (untitled)
名前：はなみずき    日付：2月7日(金) 0時29分
まず、塩の量は　全部で　300×0.03＋300×0.06＝27（g）
n-1 の時　Ａ　には　an－1％の食塩水が300gだから、塩は　3an－1入っている。
　このとき、Bには　27－3an－1　入っている。

次の操作を行うと、それぞれ　3分の1ずつ塩の量が　交換されるから
Ａの塩は　2an－1＋(9－an－1）＝9＋an－1……①
Ｂの塩は　(18－2an－1)＋an－1＝18－an－1
である。しかし、一方
nの時　塩は　3an……②入っている。
①＝②より
3an＝9＋an－1

(2)の漸化式は解けますか？
3α＝9＋α　より　α＝9/2

5700．Re: (untitled)
名前：はなみずき    日付：2月7日(金) 0時51分
an＝（9／2）〔1－（1/3)n+1〕

5701．Re: (untitled)
名前：岩井原中（3年）    日付：2月7日(金) 0時52分
an=(1/3)n{((3n+1)/2)3+((3n-1)/2)6}
=(9/2){1-(1/3n+1)}

5691．(untitled)  
名前：のっち    日付：2月6日(木) 15時11分
120度の3等分線ってできますか。


5706．Re: (untitled)
名前：はなみずき    日付：2月7日(金) 8時53分
問題の意味が分かりません。
学年も書いてくださいね。

普通に考えたら、40°ずつに分割できますが・・・・

5683．定積分の漸化式  
名前：ΔQ=ΔU+(・w・)    日付：2月5日(水) 23時27分
■n＝0.1.2.....に対して、a｛n｝＝∫［0～π］ sin＾n ｘdｘ とする。
｛1｝a｛n+1｝＝n/n+1 * a｛n-1｝ (n＝1.2.3....)を示す。
｛2｝a｛n-1｝a｛n｝＝2π/n (n＝1.2.3....)を示す。
｛3｝lim(n→∞)a｛n｝を求める。

｛1｝は部分積分により証明できました。
｛2｝も同じ方針だとは思うのですが、うまくいきません。
｛3｝もよろしくお願いします。
よろしくおねがいします。


5684．Re: 定積分の漸化式
名前：ころっさす    日付：2月5日(水) 23時42分
(2) a(n+1)＝(n/n+1)*a(n-1) (n＝1.2.3....)
⇒ (n+1)*a(n)*a(n+1)＝n*a(n-1)*a(n) (n＝1.2.3....)
⇒ n*a(n-1)*a(n)＝1*a(0)*a(1)＝2*π (n＝1.2.3....)
(3) 0≦x≦π
⇒ 0≦sin(x)≦1
⇒ 0≦(sin(x))^n≦(sin(x))^{n-1} (n＝1.2.3....)
故 0≦a(n)≦a(n-1) (n＝1.2.3....)
⇒ 0≦a(n)≦√(a(n-1)*a(n))＝√(2*π/n) (n＝1.2.3....)

5728．Re: 定積分の漸化式
名前：ΔQ=ΔU+(・w・)    日付：2月7日(金) 23時34分
ありがとうございます。
はっとしてしまいました。

5680．質問で～す☆(二つ)  
名前：KDD(高1)    日付：2月5日(水) 18時58分
(1)三角形の成立条件で、最長の辺の長さは他の二辺の和より小さいというのは何故なんでしょうか？

(2)a＾2＋ｂ＾2＋ｃ＾2≧ab＋bc＋caを証明せよという問題で、
(a－b)＾2＋(b－c)＾2＋(c－b)＾2≧0←何でいきなりこんな発想がでてくるんでしょうか？


5681．Re: 質問で～す☆(二つ)
名前：taka    日付：2月5日(水) 20時18分
（１）実際に鉛筆や何かの棒で成立条件を満たさないもので三角形を作ろうとしてみてください。やってみれば、不可能だと分かります。

（２）一般にＡ＞(≧)Ｂを証明するときにいくつかの方法があるがその内の一つに，Ａ－Ｂ＞(≧)０を示す方法がある。それで実際に

(左辺)－(右辺)=a^2+ｂ^2+ｃ^2-(ab+bc+ca)
=(a^2-2ab+b^2+b^2-2bc+c^2+c^2-2ca+a^2)/2
=｛(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2｝/2≧0
となるから(左辺)≧(右辺)が示された。

5682．Re: 質問で～す☆(二つ)
名前：KDD(高1)    日付：2月5日(水) 21時19分
(2)はよくわかりました。
でも(1)は一般的な証明はないんでしょうか？

5685．Re: 質問で～す☆(二つ)
名前：ころっさす    日付：2月6日(木) 0時5分
最も手軽なのは解析幾何による証明でしょう。

a,b,cを3辺の長さとする三角形が存在する
⇔
x^2+y^2＝a^2 かつ (x-b)^2+y^2＝c^2 かつ y≠0 を満たす実数 x,y が存在する
⇔
点(0,0)と直線2*b*x＝a^2-b^2-c^2との距離＜c
⇔
|(a^2-b^2-c^2)/(2*b)|＜c
⇔
-2*b*c＜a^2-b^2-c^2＜2*b*c
⇔
|b-c|＜a＜b+c

5688．りんく
名前：占星術師    日付：2月6日(木) 13時34分
余弦定理に帰着させる証明が載っているweb page

5689．Re: 質問で～す☆(二つ)
名前：ころっさす    日付：2月6日(木) 14時5分
＞占星術師さん
http://www80.sakura.ne.jp/~aozora/taiwa/node38.html
の (4)⇒(1) をご覧になりましたか？

5690．恐縮です
名前：占星術師    日付：2月6日(木) 14時53分
＞三角形の成立条件が満たされるので…
あららら、これではまずいですね。ちゃんと見てませんでした。
皆様、失礼しました。
それにしても、http://www80.sakura.ne.jp/~aozora/taiwa/node40.html
で堂々と用いているとは…

5692．遠回りした方が遠いという事を三角形の別の性質から証明してみたつもりだけどどうかな?
名前：花パジャ    日付：2月6日(木) 19時52分
a=BC,b=CA,c=ABである三角形ABCにおいて、a<b+cが成立つとする仮定する
辺BC上でDB=c(=BA),EC=b(=CA)なる点をとると、上記仮定より
(BC=)a=BD+DE+DCであり、すなわち
∠ADE=180°-∠ADB,∠AED=180°-∠AEC
である
△BADを考えると二等辺三角形なので、∠ADB<90°
△CAEを考えると二等辺三角形なので、∠AEC<90°
すなわち
∠ADE>90°,∠AED=>90°
となり、△AEDの内角の和は180°を超える

5671．複素数漸化式  
名前：みゆき    日付：2月4日(火) 19時28分
実数の数列ａ(n)、ｂ(n)には
ａ(n+1)+ｂ(n+1)ｉ＝(ｉ/２)ａ(n)＋ｂ(n)ｉ＋１の関係がある。
（ｉは虚数単位である。）ａ(2n)，ａ(2n+1)をｎで表せ。


この問題の解説について、

ａ(n)＋ｂ(n)ｉ＝ｚnとおくと与えられた漸化式はｚ(n+1)＝(ｉ/２)+１
となるのでｚ(n+1)－α＝(ｉ/２)(ｚ(n)－α)　（α＝４+２ｉ/５）
と変形できる。

とありましたが、さっぱり分かりません。特性方程式の考え方なら
αの値がいつまで経っても合わないし・・。
すみませんが、どなたか詳しいご説明をお願いします。


5672．Re: 複素数漸化式
名前：はなみずき    日付：2月4日(火) 20時38分
ａn、ｂnが実数の数列なら
ａn+1+iｂn+1＝1+i〔(1/2)ａn＋ｂn〕
となり　実数部分と　虚数部分にわけて

ａn+1＝1
ｂn+1＝(1/2)ａn＋ｂn

が成り立つのでは？
でも、本当にこうなら変な問題ですね。

5675．Re: 複素数漸化式
名前：みゆき    日付：2月4日(火) 23時56分
ａ(n+1)+ｂ(n+1)ｉ＝(ｉ/２){ａ(n)＋ｂ(n)ｉ}＋１
かかるところが見づらかったですね。
またａ(0)=１、ｂ(0)=２でした。ごめんなさい・・。

＞はなみずきさん
解説の移し間違えは無いようです。
改めまして良ければご説明おねがいします。

5676．Re: 複素数漸化式
名前：岩井原中（3年）    日付：2月5日(水) 0時49分
an+1+bn+1i＝(i/2){an+bni}+1
zn=an+bni
zn+1=an+1+bn+1i
zn+1＝(i/2)(zn)+1
α=(i/2)α+1
(1-(i/2))α=1
α=2/(2-i)
=2(2+i)/{(2-i)(2+i)}
=(4+2i)/5

5678．Re: 複素数漸化式
名前：はなみずき    日付：2月5日(水) 11時4分
αの求め方は、岩井原中（3年）さんの方法で良いと思います。

では、Znを使わない別解を。
ａn+1＋bn+1i＝{(－1/2)bn＋1}＋(1/2)ani
となり　実数部分と　虚数部分にわけて

an+1＝(－1/2)bn＋1……①
bn+1＝(1/2)an……②

これから、bnを消去すると
an+1＝(－1/4)an－1＋1
つまり
an＝(－1/4)an－2＋1
これはｎが2つおきの数列の漸化式だから
2ｎのときと　2n+1の時に分けて考える。
ちなみに、初項はそれぞれ　a0　とa1だけれども
a1は　①にb0を代入して　0と求まる。

複素数漸化式って、zを使わないとダメなのかしら？
わたしはこちらの解法の方が、実数の漸化式に帰着され簡単だと思いますが・・・

5679．Re: 複素数漸化式
名前：はなみずき    日付：2月5日(水) 11時7分
それから
5671の（α＝４+２ｉ/５）ですが
この書き方だと普通　α＝４+（２ｉ/５）と理解されます。
α＝（４+２ｉ)/５　と分かりやすく書いてくださいね♪

5687．Re: 複素数漸化式
名前：みゆき    日付：2月6日(木) 12時19分
あ、度々すみません。ご指摘ありがとうございます。
気をつけます・・＞はなみずきさん

お二人ともありがとうございました。

5663．円の方程式  
名前：ババロア    日付：2月4日(火) 13時41分
円の方程式ってありますよね。

(x-a)^2+(y-b)^2=r^2　⇔　y=b±√(r^2-(x-a)^2)

だけど、どうしてこんな式になるのでしょう？
どなたか理由を教えてください。


5664．Re: 円の方程式
名前：ヨッシー    日付：2月4日(火) 14時50分
円周上の任意の点(x,y) と、中心(a,b) との距離は常に一定値 r である。
というのを式で表すと、
　(ｘ－ａ)2＋(ｙ－ｂ)2＝ｒ2
となります。
右側はそれをｙについて解いただけです。
　
http://www2.tokai.or.jp/yosshy/

5666．Re: 円の方程式
名前：花パジャ    日付：2月4日(火) 14時53分
円、とは、ある点(この場合 (a,b))からの距離が一定である点(x,y)の集合だから

距離のx軸に平行な成分が|x-a|、距離のy軸に平行な成分が|y-b|、三平方の定理から半径rとこれらの関係を導いて

(左右の比較の意なら、2次方程式を解いて)

5667．Re: 円の方程式
名前：ババロア    日付：2月4日(火) 15時19分
　中心を一点とする直角三角形を作ると、斜辺が半径(r)、それ以外の辺が|x-a|と|y-b|になるから、それを三平方の定理に代入したというわけですね。
　云われてみれば簡単な事ですね。ありがとうございました。

5673．Re: 円の方程式　　これの使い道
名前：田中    日付：2月4日(火) 22時17分
すぐに分かると思いますが、これは、パソコンの関数グラフづくりによく使います。
繰り返しで、Ｘを少しずつ増加させ、逐次　Ｙを算出して、プロットするときなんか実践的に、有効ですよ。

プログラムの中に１行これをいれるわけです。

5662．二次関数の問題です。  
名前：真美子    日付：2月4日(火) 11時18分
高校１年生です。数学が苦手でとても苦労してます。あまりにもレベルの低い質問ですみませんが、よろしくお願いします。

（問題）
２点(１、－８)、(２、－２)を通りχ軸に接する。
点(１、－８)を通るから－８＝ａ(１－Ｐ)2乗･･･①
点(２、－２)を通るから－２＝ａ(２－Ｐ)2乗･･･②
①－②×４よりａ(１－Ｐ)2乗＝４ａ(２－Ｐ)2乗
ａ≠０より(１－Ｐ)2乗＝４(２－Ｐ)2乗ゆえに１－Ｐ＝±２(２－Ｐ)
後は省略します。

何でａ≠０よりａが消えて(１－Ｐ)2乗＝４(２－Ｐ)2乗になるのか解りません。理由を教えて下さい。よろしくお願いします。


5665．Re: 二次関数の問題です。
名前：変態数学教師見習い    日付：2月4日(火) 14時50分
両辺をａで割ったのですよ．「０で割る」ことはできないので，
「ａ≠０」であることを確認する必要があるのです．
(問題文に２次関数とあれば，２次の係数ａは０になりませんね．)

5670．変態数学教師見習いサン♪♪
名前：真美子    日付：2月4日(火) 16時49分
変態数学教師見習いサン♪♪ありがとうございました。

5654．球  
名前：かのん    日付：2月3日(月) 13時22分
大きなおなじ大きさの二つの球が互いに接している。
その接合部にそれぞれおなじ大きさの八つの球が接しながら
二つの大きな球とも接している。
大きな球の半径が１の時
小さな球の半径はいくらか？

全然分かりません。宜しく教えて下さい！！


5656．Re: 球
名前：C-D    日付：2月3日(月) 14時35分
学年が書いてないので、勝手に中学３年と仮定してヒントを。

求めたい球の半径をrとします。
全部で都合１０個の球がありますが、球のままでは考えにくいので
球の中心を結んだ図を考えます。
すると、高さ１の正八角すいを２つ組み合わせた形になりますね。

あとは三平方の定理を使用してｒを求めます。
考えようによっては計算量が多くなるかもしれません。

5657．Re: 球
名前：ヨッシー    日付：2月3日(月) 14時42分

図のように、大きい２つの球の中心をそれぞれＡ，Ｂ、小さい球の
中心の１つをＣ、大きい球どうしの接点をＤ、求める半径をｒとします。
△ＡＤＣは、直角三角形で、ＡＣ＝１＋ｒ、ＡＤ＝１　より、ＣＤの長さが得られます。
このＣＤを半径とする円に内接する正八角形の１辺が２ｒになります。
つまり、１つの角が 22.5°の直角三角形を考えると、斜辺がＣＤ、一番短い
辺がｒ という比率になります。

22.5°を含む直角三角形の辺の比は、上のような図から得られます。
(角の二等分線の定理より)

答えは　ｒ＝２(３－２√２)　です。
　
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5659．Re: 球
名前：ヨッシー    日付：2月3日(月) 16時39分
おまけです。

　
　
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5652．微分について  
名前：nan    日付：2月3日(月) 12時40分
大学生です。以下の問題がわかりません。よろしくお願い致します。

問題：「y=log[2]xを微分せよ」
解答：「y'=(log[2]x)'=(log[e]x/log[e]2)'=(logx)'1/log2
=1/x*1/log2=1/xlog2」

底の返還公式を使うところまでは分かるのですが、なぜ商の微分公式ではいけないのでしょうか？解答のプロセスを教えていだけるとありがたいです。


5653．んっ？
名前：変態数学教師見習い    日付：2月3日(月) 13時20分
(１／log２)は定数ですぞ．定数ａに対して
　　　(ａlogｘ)´＝ａ・(１／ｘ)
になるでしょ？

5658．Re: 微分について
名前：nan    日付：2月3日(月) 15時9分
変態数学教師見習いさん

つっかえものがスッと降りた感じがします。ありがとうございます、たすかりました。

5639．循環少数　って　あるけど　何桁で循環するんですか？  
名前：木村　中２    日付：2月1日(土) 20時24分
すぐ　循環するのもある　１／３　けど　　１／４７とかは、だいぶ計算して循環しました。なんか、大きい　１／素数　だとその桁数続くかと思いましたが、そうでもありませんでした。これは、何か理論があるのでしょうか。


5648．Re: 循環少数　って　あるけど　何桁で循環するんですか？
名前：変態数学教師見習い    日付：2月2日(日) 11時21分
初等整数論の「フェルマーの小定理」と関係があります．
コチラに詳しく説明されています．→参考サイト
興味があるならば，じっくり勉強してみるとよいでしょう．

5636．極限使う？  
名前：けん    日付：2月1日(土) 7時34分
高校3年です。

以下の問題がわかりません。なんとなく極限を使いそうな感じは
するんですけど、数３の知識を使わなくてもできるのでしょうか？

n を自然数として

　a1=a (a は実定数)
　an+1=|-2an+3|

とする。

(1) a>4 のとき、一般項 an を a と n を用いて表せ。
(2)0≦a≦3 のとき、0≦an≦3 であることを示せ。

具体的な値を代入してみると、a>3 のときは増加数列、0≦a≦3 のときは
循環する数列になりそうだなと見当はついたんですけど、絶対値の扱いに
難儀してます。外せれば(1)はすぐにできるんですけど・・・

どのように考えればよろしいのでしょうか？


5637．数学的帰納法は?
名前：花パジャ    日付：2月1日(土) 10時35分
(1)||の中が負であることはわかっているわけですよね?何故外せません?

5643．うーん・・・
名前：けん    日付：2月1日(土) 22時23分
a>3 のとき||の中身が負であることは予想して、絶対値を外すために
-2an+3<0 …(*) であることを数学的帰納法で証明しようとしたんですけど、うまくいかないんです。

n=1 のときは -2a+3<-2･3+3=-3<0 で成立
n=k (k≧1) のとき (*)が成り立つ、すなわち -2ak+3<0 であると仮定すると…

これでやってうまくいかないんです。やり方が間違っているのでしょうか？

5644．Re: 極限使う？
名前：fan    日付：2月1日(土) 23時2分
-2an+3＜-3を示してみてはいかがですか？

5646．これでいいのでしょうか？
名前：けん    日付：2月2日(日) 0時29分
a>3 のとき -2an+3<-3…(*) が成り立つことを帰納法で証明する。

[ⅰ]
n=1 のとき -2a+3<-2･3+3=-3 より(*)は成立。

[ⅱ]
n=k(k≧1) のとき(*)が成り立つと仮定すると
　-2ak+3<-3…(A)
⇔ak>3…(B)

　ak+1=|-2ak+3|
　　=-(-2ak+3)　(∵(A))
　　=2ak-3
　　>2･3-3　(∵(B))
　　=3

よって(*)は n=k+1 のときにも成り立つ。

以上[ⅰ],[ⅱ]より題意は示された。

-2ak+3<0 ではなくて、-2ak+3< -3
を示せばいいという発想が思いつきませんでした。この辺りは単純に経験の差なのかな・・・

5661．（2）は？
名前：けん    日付：2月3日(月) 23時31分
これも数学的帰納法を使うのでしょうか？
すいません、証明問題に苦手意識があるもので・・・
証明問題を解くコツとかってあるのでしょうか？

5669．Re: 極限使う？
名前：ヨッシー    日付：2月4日(火) 15時34分
(2) も同様です。
a1＝a が　0≦a1≦3 を満たしているのは明らかなので、
0≦ak≦3 の範囲にある ak に対して、ak+1 も　0≦ak+1≦3 を満たすことをいえばいいです。
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5686．できました！
名前：けん    日付：2月6日(木) 0時57分
(2)できました。(1)よりも(2)のほうが簡単でしたね。
「(1)よりも難しいんだろうな」と思ってた僕はダメダメですね(^-^;)

みなさん、どうもありがとうございました。

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