あゆみさんからの質問１
分数の割り算って割る数を分母と分子を逆にしますよね。どうして，逆にするのですか。
解答
この解説はかなり長い。要点だけ知りたい人はこっち。
まず、この方法でまちがいないということをかくにんしよう。
＜例題１＞ １０リットルの水を２リットルのバケツでくみ出すと何回でくむことができるか？
これは、明らかに １０÷２＝５ で ５回だ。では、
＜例題２＞ ４／５（５分の４）リットルの水を ２／１５（１５分の２）リットルのコップで
くみ出すと何回でくむことができるか？
例題１に比べて １０→４／５、２→２／１５ になっただけなので、計算する式は
４／５÷２／１５ だ。
試しに２／１５をいくつも足していくと
のように、６回足すと４／５になるので、６回で水をくむことができる、つまり、この問題の答えは
６回だ。
当然、４／５÷２／１５ の答えも６になるはずだ。
これを「分母と分子を逆にしてかける」方法を使うと、
となり、どうやら、この方法はまちがってはいないようだ。
では、なぜそれでいいのだろう？
学校では、分数を習う前に、１，２，３という整数を使っていろんな計算を勉強してきたはずだ。
そして、そんな数の計算には、いくつかの性質があった。たとえば、
（性質１）３×４＝１２と４×３＝１２のように、かけ算は順序を変えても答えは変わらない。
（性質２）４×３×２＝２４、４×（３×２）＝２４ のように、３と２を２度に分けてかけても、３と２を
先に掛けておき、あとでまとめてかけても答えは変わらない。
（性質３）２４÷３÷２＝４、２４÷（３×２）＝４ のように、３と２で２度に分けて割っても、３と２を
先に掛けておき、あとでまとめて割っても答えは変わらない。
などだ。実際に計算して、確かめてみよう。
このような、整数の計算での性質は、数字が分数になっても、小数になっても同じように使っていいはずだ。
また、次の計算を考えよう。
かけ算は順序を変えても答えは変わらないので、１／２を６倍すると考えよう。
６倍するとは、６回足すことだから、１／２を６回足して、答えは３だ。
こういう問題をもっといっぱい調べると
「１／２をかけるということは、２で割るのと同じことである」
ということがわかる。確かに、６が３になってしまったから、２で割ったのと同じだ。
かける数を変えて、もっといっぱい調べると
「１／３をかけるということは３で割るのと同じ」
「１／４をかけるということは４で割るのと同じ」
など、すべての整数について、同じことがいえる。つまり、
（性質４）１／ｎをかけることは、ｎで割るのと同じである
ここで、ｎには、０でないいろんな数が当てはまるよ。
さて、今度はわり算だ。
これを、さっきと同じように「３リットルの水を１／２リットルのコップでくみ出すには何回でくめるか」
と考えると、６回でくみ出せる。
こういう問題をもっといっぱい調べると
「１／２でわるということは、２をかけるのと同じことである」
ということがわかる。確かに、３が６になったのだから、２をかけたのと同じだ。
割る数を変えて、もっといっぱい調べると
「１／３で割るということは３をかけるのと同じ」
「１／４で割るということは４をかけるのと同じ」
など、すべての整数について、同じことがいえる。つまり、
（性質５）１／ｎで割ることは、ｎをかけるのと同じである
ここまで理解できたかな？
次に進むまでに、必ず理解しよう。
要点はここから
さあ、ここからが要点だが、その前に一言。
「分数で割るときは、分子と分母を逆にしてかける」方法は、あくまで方法であって、これを使っていろんな
分数の計算ができるようになったからといって、やみくもにやり方だけをおぼえたのではいけない。必ず、
計算するときに、数がどのように変化していっているか注意しながら、計算するようにしよう。算数は、計
算のやり方を勉強することではなく、数という規則正しく変化する道具を使って、ものの性質を調べたり、
予測したりすることだからだ。
＜例題＞
これを次々に変形していくぞ。
５／７は１／７が５つ集まったものだから、５×１／７と書ける。
３／５÷（５×１／７）
性質３を逆に使って、５と１／７とでまとめて割っているのを、別々に割ってもいいだろう。
３／５÷５÷１／７
５で割ることは１／５をかけるのと同じだ（性質４）。
１／７で割るのは７をかけるのと同じだ（性質５）
３／５×１／５×７
１／５と７を別々にかけているのを、まとめてかけてもいいだろう（性質２）
３／５×（１／５×７）
１／５×７ は ７／５ である。
３／５×７／５
どうだろう。５／７で割っていたものが、最後は７／５をかける式になった。
「分数で割るときは、分子と分母を逆にしてかける」方法は、まずもって、おぼえて使えるようにならなければ
いけない。しかし、その裏にはこんなにたくさんの知識が基になっている。やり方をおぼえるのにとどまらず、そ
のしくみを味わってほしい。