ヨッシーの八方掲示板

2007年07月の投稿ログ

33347．数列の和

名前：ShoWat 日付：7月31日(火) 22時22分

【問題】
1, 3*3, 5*3^2,..., (2n-1)*3^(n-1)　の和を求めよ。

【模範解答】
S=1+3*3+5*3^2+･･･+(2n-1)*3^(n-1)　・・・①とすると、
S-3S=1+2(3+3^2+3^3+･･･+3^(n-1))-(2n-1)*3^n・・・②
=1+2*3(3^(n-1)-1)/(3-1)-(2n-1)*3^n・・・③
=-2{(n-1)*3^n+1}・・・④
よって、
-2S=-2{(n-1)*3^n+1}
すなわち、
S=(n-1)*3^n+1

【質問】
（１）率直に、こんな面倒な解き方しかないのかなぁ、という感想を
　　　持ちました。（私自身解けないくせに大変生意気ですが）

　　　まず、①のような変形を思いつきません。
　　　また、②③④の計算も理解できません。

（２）この形式の問題では、模範解答のような解き方が一般的なの
　　　でしょうか。

（３）①のような変形は、どうやったら思いつくので
　　　しょうか。正解を得るためにどこかに着眼して、逆算して
　　　S－２Sを設定していると感じるのですが、その着眼点が分かりま
　　　せん。

（４）別解はありませんか。たとえこんなに上手く変形できなくても、
　　　力ずくの解き方でも、この答案より汎用性の高い解法がないも
　　　のかと思うのですが、いかがでしょうか。

（５）設問の初項を
　　　1*3^0と考えて、各項の*の左は、1, 3, 5, 7,..., (2n-1)
　　　*の右が、3^0,3^1,3^2,...,3^(n-1) と分解して、
　　　それぞれ初項が１、等差が２、末項が2n-1 の等差数列、
　　　　　　　初項が３、等比が３、項数がn　の等比数列　
　　　と考えて、何とか解くことは出来ないでしょうか。

一度にたくさん質問をして大変ですが、よろしくお願いいたします。

	33349．Re: 数列の和
	名前：口内炎痛い日付：7月31日(火) 23時4分
	今回のように等差数列と等比数列の積になっている問題では一般的な解法だと思います。等比数列の和の公式もこのような解法で求めます。京都大学出身の数学教師がこれを思いついた人はセンスがありますよ、と言っていたので思いつくのは比較的難しいと思います。ガウスが等差数列の和の公式を導いた程度で本などに書かれてるくらいですし。まぁ、当時小学生でしたが。本題に入りますが、見た瞬間に一般工が等差数列と等比数列の積で表されていることがわかります。等差数列だけなら和を求められるのになぁ～、等比数列だけなら和を求められるのになぁ～、などとまず考えます。等比数列だけなら和を求められるから部分的に等比数列に変えてやろうと考えます。そうすると、等差数列の性質からうまい具合にパッパッパと等差数列だった部分が、あらビックリ、定数に変わります。よし、これで求めれるゾ！ってなカンジです。何度も経験すればじきに慣れます。

33350．Re: 数列の和

名前：カワイ肝油ドロップ 日付：8月1日(水) 1時41分

＞まず、①のような変形を思いつきません。
＞また、②③④の計算も理解できません。
について。

＞S=1+3*3+5*3^2+･･･+(2n-1)*3^(n-1)　・・・①とすると、
1+3*3+5*3^2+･･･+(2n-1)*3^(n-1)の値を求めよ、
という問題なので、便宜上Sとおいているだけです。

＞S-3S=1+2(3+3^2+3^3+･･･+3^(n-1))-(2n-1)*3^n・・・②
＞=1+2*3(3^(n-1)-1)/(3-1)-(2n-1)*3^n・・・③
＞=-2{(n-1)*3^n+1}・・・④
これについては以下をみてください。

S = 1 + 3*3 + 5*3^2 + ･･･ + (2n-1)*3^(n-1) とする。
　S = 1 + 3*3 + 5*3^2 + ･･･ + (2n-1)*3^(n-1)
 3S =　　　 3 + 3*3^2 + ･･･ + (2n-3)*3^(n-1) + (2n-1)*3^n
上式から下式を辺々それぞれ引いて
-2S = 1 + 2*3 + 2*3^2 + ･･･ + 2*3^(n-1) - (2n-1)*3^n
　　= 1 + 2 * (3 + 3^2 + ･･･ + 3^(n-1)) - (2n-1)*3^n
ここで、カッコ内が
初項3，公比3の等比数列のn-1項までの和
になっていることから、等比数列の和の公式を用いて③式を得、
それを整理して④式を得るはずです。

33341．放物線と面積

名前：hikami 日付：7月31日(火) 1時43分

[問題]放物線y=x^2-4x+3と、この放物線上の点(4.3)(0,3)における
接線で囲まれた図形の面積を求めよ。

当方高2です。
よろしければお願いいたしますー。

	33343．Re: 放物線と面積
	名前：教得手　学日付：7月31日(火) 7時49分
	ｙ＝ｘ^2－４ｘ＋３＝(ｘ^2－2)^2－１より、この関数のグラフはｘ＝２に関して対称な放物線である。ｙ'＝２ｘ－４より（途中の式省略） (４,３)における接線の式は・・　ｙ＝４ｘ－１３ (０,３)における接線の式は・・　ｙ＝－４ｘ＋３　グラフを書けば分かるように、３つのグラフに囲まれた図形は　ｘ＝２　について対称な図形になるので。求める面積は　２∫[0～2]{x^2-4x+3-(-4x+3)}dx 　＝２∫[0～2] x^2dx ＝２[ｘ^3/３]（0～2）＝２（８/３）＝１６/３　　となります。

	33345．Re: 放物線と面積
	名前：ヨッシー日付：7月31日(火) 8時29分
	超裏技なので、取り扱い要注意ですが、こちらの３．より求める面積は、　(4-0)^3/12＝16/3 　 http://yosshy.sansu.org/

33338．確率

名前：ShoWat 日付：7月30日(月) 21時45分

【問題】
k を２以上の整数とする。硬貨を繰り返し投げて、表の出た回数がｋ回にな
るか、あるいは、裏の出た回数がｋ回になった時点で終了する。
（１）ｋ≦ｎ≦２ｋ－１　を満たす整数ｎに対して、ちょうどｎ回で終了
　　　する確率Ｐnを求めよ。
（２）ｋ≦ｎ≦２ｋ－２　を満たす整数ｎに対して、(Ｐn+1)/Pn を求め
　　　よ。分子はＰの分子の添え字は、n+1　です。）
（３）Ｐn を最大にするｎを求めよ。

【解答】
（１）Ｐn=(n-1)!/(k-1)!(n-k)!*2^n-1
（２）Ｐn+1/Pn = n/2(n+1-k)
（３） n =2k-2, 2k-1

（１）は反復試行の確率だと思うのですが、単純にnCr*p^r*(1-p)^n-r
　　　とはいきません。

よろしくお願いいたします。

（３）

	33342．Re: 確率
	名前：angel 日付：7月31日(火) 6時43分
	(1) 　(n-1)回目までで k-1 回表が出ていて、n回目で表が出て終了　(n-1)回目までで k-1 回裏が出ていて、n回目で裏が出て終了のいずれか。 ※「 (n-1)回目までに k 回表が出て、n 回目は裏」のようなケースは、n回目より前に終了してしまうので、数えてはいけないなので、(n-1)C(k-1)・( p^k・(1-p)^(n-k) + p^(n-k)・(1-p)^k )　( p=1/2 )

	33346．Re: 確率
	名前：ShoWat 日付：7月31日(火) 21時54分
	angelさんへありがとうございました。 (n-1)C(k-1)・( p^k・(1-p)^(n-k) + p^(n-k)・(1-p)^k )　( p=1/2 )は、より正確に言えば、 (n-1)C(k-1)・( p^(k-1)・(1-p)^(n-k) + p^(n-k)・(1-p)^(k-1) )*1/2 　( p=1/2 ) ということですね。

	33348．Re: 確率
	名前：angel 日付：7月31日(火) 23時0分
	ん? それはちょっと危ない。 > (n-1)C(k-1)・( p^k・(1-p)^(n-k) + p^(n-k)・(1-p)^k )　( p=1/2 )は、 > より正確に言えば、 > (n-1)C(k-1)・( p^(k-1)・(1-p)^(n-k) + p^(n-k)・(1-p)^(k-1) )*1/2 > 　( p=1/2 ) > ということですね。 p=1/2 だから結果は同じですが、　( (n-1)C(k-1)・p^(k-1)・(1-p)^(n-k) )・p 　　+ ( (n-1)C(k-1)・p^(n-k)・(1-p)^(k-1) )・(1-p) 　= (n-1)C(k-1)・( p^k・(1-p)^(n-k) + p^(n-k)・(1-p)^k ) という計算です。

	33358．Re: 確率（何度もすみません）
	名前：ShoWat 日付：8月2日(木) 0時2分
	angel さんへいつもありがとうございます。しつこくて申し訳ありませんが、 (n-1)C(k-1)・( p^k・(1-p)^(n-k) + p^(n-k)・(1-p)^k )　( p=1/2 )は、 (n-1)C(k-1)・p^(k-1)・(1-p)^(n-k)1/2 + (n-1)C(k-1)/・p^(n-k)・(1-p)^(k-1) )1/2 =(n-1)C(k-1)・p^(k-1)・(1-p)^(n-k)1/22 ということでもよろしいでしょうか。つまり、（ｎ－１）回までに既に（ｋ－１）回表が出ていて、ｎ回目には表か裏がそれぞれ２分の一の確率で出るし、同様のことが裏の場合にも言えるので、（ｎ－１）回中（ｋ－１）回表が出る確率*1/2で、表か裏のそれぞれの確率を出し、それを最後に２倍と考えました。よろしくお願いいたします。出るの

	33367．Re: 確率
	名前：ヨッシー日付：8月2日(木) 14時14分
	angel さんなら「その変形はもっと危ない」と言われるでしょう。表の出る確率を p とすると、裏の出る確率は 1-p です。いま、p=1/2 （問題には書いていませんが暗黙の了解？）なので、 1-p も 1/2 というだけです。それを、p にあたる部分も、1-p にあたる部分も、同じ 1/2 だからと言って、安易にくくってしまうのは、(計算結果は合っていますが)「式の意味がわかっているのか？」という意味で、「危ない」ということになるのです。ましてや、(1-p)^(k-1) を p^(k-1) に置き換えるというのは、式の意味すら変わってしまいます。何のために、表はp、裏は1-pと分けたのか、わからなくなってしまいます。とはいえ、この問題は、最終的には、p=1/2 を前提として、計算結果を出さないといけません。ではどうするのかというと、p=1/2 にすると決めた瞬間に、すべての p を 1/2 に置き換えるのです。 p を文字で残したまま、一部の p だけを 1/2 に置き換えるというところが違和感というか、不信感を与えていると思います。　 http://yosshy.sansu.org/

33336．確率の問題です

名前：INI 日付：7月30日(月) 20時40分

１組のトランプの絵札（ジャック、クイーン、キング）合計１２枚の中から、任意に４枚の札を選ぶ。
(1)ジャック、クイーン、キングの札が選ばれる確率
(2)スペード、ハート、ダイヤ、クラブの４種類の札が選ばれ、かつジャック、クイーン、キングの札が選ばれる確率

答えは、順に 32/55,4/55 です。
解説よろしくお願いします！

	33339．Re: 確率の問題です
	名前：ヨッシー日付：7月30日(月) 21時58分
	札の選び方は　12Ｃ4＝495 ジャック(以下Ｊ)だけを選ぶのは１通り。クイーン(以下Ｑ)だけ、キング(以下Ｋ)だけも同様で、計３通り。ＪＱＫのうち、２種類だけを選ぶのは、１枚と３枚選ぶのが、4Ｃ1×4Ｃ3＝１６これが、ＪとＱ、ＱとＪ、ＱとＫ、ＫとＱ、ＫとＪ、ＪとＫについて起こるので、９６通り。２枚と２枚を選ぶのが、4Ｃ2×4Ｃ2＝３６これが、ＪとＱ、ＱとＫ、ＫとＪについて起こるので、１０８通り。合計　３＋９６＋１０８＝２０７　通りを除いた、　４９５－２０７＝２８８　通りが、ＪＱＫが、少なくとも１枚入る選び方。確率は、　288/495＝32/55 (2) ＪＱＫの選び方は　ＪＪＱＫ，ＪＱＱＫ、ＪＱＫＫ　の３通り、それぞれについて、２枚ある絵札のマークのつけかたが　4Ｃ2＝６　通り残りの２枚のマークの付け方が２通り。以上より、　３×６×２＝３６確率は、　36/495＝4/55 　　 http://yosshy.sansu.org/

	33340．Re: 確率の問題です
	名前：INI 日付：7月31日(火) 1時4分
	解説ありがとうございますw とてもよくわかりましたww

33331．方程式の解について---高１です---

名前：ピーター 日付：7月29日(日) 21時37分

二次方程式の問題で出てきました。

ｘについての方程式　(k+2)x^2 -2(k-1)x +2k-3=0 ＜kは定数＞がただ一つの実数解を持つようなkの値を定めよ。

大変申し訳ないのですが模範解答も分かりません。
x^2の係数に注目して場合分けをすると思うのですが、やり方がいまいちよく分かりません。少し長くなりましたが、よろしくお願いします。

	33333．Re: 方程式の解について---高１です---
	名前：ヨッシー日付：7月29日(日) 23時29分
	(k+2)x^2 -2(k-1)x +2k-3=0 が、一次方程式なのか、二次方程式なのかの場合分けが必要です。一次方程式の場合→必ず、実数解が１つ存在する。二次方程式の場合→重解ということになります。ごくまれに、「一次方程式の場合」として、x^2 の係数を０にしたら、ｘの係数まで消えてしまって、３＝０などという式になってしまうこともありますので、注意が必要です。　 http://yosshy.sansu.org/

33327．BASIC：（　）の有効範囲について

名前：ShoWat 日付：7月29日(日) 18時19分

【問題】
添付ファイルの問題です。

【模範解答】
(1) 1/(1+1/(2+1/3))
(2) 1/2*(x-SQR(y*z+SIN(U)+A^V))

【私の答案】
(1) 1/(1+1/(2+(1/3)))
　　分母が「２足す３分の１」なので、模範解答でも誤解はないと思いま
　すが、念のため（２＋（１／３））としました。

(2) (1/2)*(x-SQR(y*z+SIN(U)+A^V))
　　「ｘ引くルートｙ掛けるｚ足すサインＵ足すＡのＶ乗」全体に
　「２分の１」を掛けるので、このようにしました。
　　　模範解答では１を、「ｘ引くルートｙ掛けるｚ足すサインＵ足す
　　ＡのＶ乗」を２倍したもので割っている、ので違うものを求めている
　　と思うのですが、いかがでしょうか。

この違いは、
　例えば、１／２＊３＝１／６・・・①
　　　（１／２）＊３＝３＊２・・・②
の違いと同じことだと思うのですが、①が間違っているのでしょうか。

よろしくお願いいたします。

	33329．Re: BASIC：（　）の有効範囲について
	名前：七日付：7月29日(日) 18時39分
	/，＊には優先順位はありませんので ()がない限り左から順に実行されます。したがって模範解答で問題ありません。

	33332．Re: BASIC：（　）の有効範囲について
	名前：ヨッシー日付：7月29日(日) 23時25分
	この掲示板のような場で書く場合と、BASIC や Excel で実際に計算させる場合とでは少し違います。上の (1) も (2) も、人によっては、１／２×３となってしまいます。 (2) では、分母にカッコが付いていないので、そのまま書いてしまうわけです。ところが、／は÷と同じですから、１／２×３は、本来(1) の意味です。もちろん答えも、１／２×３＝３／２です。ところが、(2) を、１／２×３と書いてしまう人が、かなりの数いる以上、たとえ、与えられた式が、(1) の方であっても、(1/2)×3 と書くようにオススメしています。すべての人が注意をして、(2) の場合は、必ず 1/(2×3) と書くようになれば、１／２×３は (1) の意味にだけ、読めばいいのですが、そうは行きません。　 http://yosshy.sansu.org/

33318．積分について

名前：teru 日付：7月29日(日) 13時44分

∫[π/4→π/2](1/sin^2x)dxは積分可能ですか？
先生が余角定理でできると言ってたんですが、自分には出来ないです。
自分の聞き間違いかもです…。
分母を1-cos^2xにして因数分解したりしましたがそれも駄目でした。
一番やりたくないtan(x/2)=tとおいて有理関数にしようと
思ったんですが計算が汚くなって計算できませんでした…。
簡単な方法があればお願いします。
ｐｃがあまり使えないので少し返信が遅くなるかもしれませんが
宜しくお願いします。

	33321．Re: 積分について
	名前：七日付：7月29日(日) 14時40分
	定積分 ∫[π/4→π/2](1/sin^2x)dx は定数ですからその値が0でなければこれを積分すると xについての一次関数になると思うのですが

	33323．Re: 積分について
	名前：七日付：7月29日(日) 14時55分
	前のレスが勘違いなら－cosx/sinx を商の微分で微分してみてください

	33328．Re: 積分について
	名前：教得手　学日付：7月29日(日) 18時22分
	まず不定積分をしてみると 1/(sin^2ｘ)dx＝∫2/(1－cos2x)dx tanx＝t 　とおくと半角公式より　cos2x＝(1－ｔ^2)/(1+ｔ^2) ｘ＝tan^(-1)t より　dx＝1/(1+t^2)dt ∴∫2/(1－cos2x)dx 　＝∫2/{1-(1-t^2)/(1+t^2)}*{1/(1+t^2)}dt 　＝∫(1/t^2)dt＝－1/ｔ＋Ｃ　＝－1/tanx＋Ｃ＝－cotx＋Ｃよって、∫[π/4→π/2](1/sin^2x)dx＝[－cotx] (π/4→π/2) 　　＝－cot(π/2)＋cot(π/4)＝１こんなのでどうでしょう。

	33330．Re: 積分について
	名前：だるまにおん日付：7月29日(日) 20時46分
	不定積分を求める方法は天下り式や有理函数へ帰着するもの以外にも考えられます。方法1： ∫1/sin²x dx = ∫1/(tanxcosx)² dx = ∫1/t² dt　　( tanx = t と置換．dt = dx/cos²x ) = -1/t + C = -1/tanx + C 方法2： ∫1/sin²x dx = -∫1/cos²θ dθ　　( x = π/2 - θ と置換．) = -tanθ + C = -tan(π/2-x) + C = -1/tanx + C

	33337．Re: 積分について
	名前：teru 日付：7月30日(月) 21時34分
	＞＞七さん－cosx/sinx 微分したら1/sin^2xになりました。全く気づきませんでした。ありがとうございます。＞＞教得手　学さんｘ＝tan^(-1)t より　dx＝1/(1+t^2)dt 高校の時の問題集にあったのでarctanxのことをすっかり忘れてました(^_^;)ありがとうございます。＞＞だるまにおんさん方法1： ∫1/(tanxcosx)2 dx これも気づかなかったです……。方法2： ∫1/sin2x dx = -∫1/cos2θ dθ　　( x = π/2 - θ と置換．) = -tanθ + C = -tan(π/2-x) + C = -1/tanx + C この方法が先生が言ってた余角定理を使ったやりかただと思います！ありがとうございます。解答して下さったみなさんありがとうございます。解き方がわかってかなりすっきりしました！

33308．(untitled)

名前：やすし　中学1年 日付：7月29日(日) 10時5分

連立2元1次方程式
　　３ｘ＋２ｙ－４＝０
　　－２ｘ＋５ｙ＋１＝０
の解を通る直線の方程式はつぎのように表されることを証明しなさい

　α（３ｘ＋２ｙ－４）＋β（－２ｘ＋５ｙ＋１）＝０

ここでα　βは適当な定数とする

何回も読んでるんですが、問題の意味がよくわからないです

よろしくおねがいします

	33309．Re: (untitled)
	名前：やすし　中学1年日付：7月29日(日) 10時14分
	連レスすいません一様、連立方程式　　　3x+2y−4=0　…　① 　　　−2x+5y+1=0　…　② の解を x0、y0 とすると、点 (x0、y0) は直線 ① と直線 ② の交点ということはわかるんですが　「解を通る直線の方程式はつぎのように表されることを証明しなさい　α（３ｘ＋２ｙ－４）＋β（－２ｘ＋５ｙ＋１）＝０」というのがわからないです・・・

	33312．具体例
	名前：angel 日付：7月29日(日) 10時43分
	「問題の意味が分からない」というよりは、「何をどう考えたら、そういう発想が出てくるのか、証明しようがあるのかが分からない」といったところでしょうか? 中1 でやるのは確かに難しいように思います。先に具体例をお見せしましょう。 2直線の交点は、連立方程式を解くことで、(22/19, 5/19) だと分かります。この交点を通る直線として、原点(0,0) を通る直線を考えてみましょう。( あくまで一例として、です ) (0,0), (22/19, 5/19) を通る直線は、y=5/22・x ですね。さて、では件の α,β を使った形で表せるのでしょうか。途中の計算は省略しますが、(α,β)=(1,4) の時が当てはまることが分かります。 ※(1,4)以外でも、(α,β)=(2,8),(0.1,0.4) など、無数に候補はあります。確認してみましょう。　α(3x+2y-4)+β(-2x+5y+1)=0 　⇔ 1・(3x+2y-4)+4・(-2x+5y+1)=0　　( (α,β)=(1,4) を代入 ) 　⇔ 3x+2y-4-8x+20y+4=0 　⇔ -5x+22y=0 　⇔ y=5/22・x というわけで、確かに表せていることが分かります。さて、今回は「原点と2直線の交点を通る直線は、α,βを使った形で表せる」という一例を示したわけですが、これが「原点以外の任意の点」でも言えれば、この問題を完璧に解けたことになります。

	33313．発想の転換
	名前：angel 日付：7月29日(日) 10時53分
	「なぜ α,β を使った形で表せるのだろうか」を考えると、多分永遠に解けません。( 発見した人はスゴイですね!! ) 逆に、「α,βを使った形で表せる」ことを一旦認めて、「ではα,βの値はどう計算すれば分かるか」を考える方が建設的です。原点を通る例では、(α,β)=(1,4) が丁度良いことを示しました。それを任意の点で計算してみるのです。つまり、　「2直線の交点と、その交点を除く任意の点(p,q) の2点を通る直線は、α,βを用いた形で表すことができる。この時 α,β を p,q を用いて表せ」という問題として考えてみましょう。なお、「相異なる2点を通る直線はただ1通りに決定される」という暗黙の前提がミソです。ちなみに、(α,β)の組み合わせは無数にできますから、都合の良い1通りだけ見つければO.K.です。

	33315．Re: (untitled)
	名前：七日付：7月29日(日) 12時28分
	証明するなら次のように書けばどうでしょう。連立方程式　　　3x+2y−4=0　…　① 　　　−2x+5y+1=0　…　② の解を (x，y)＝(m，n) とすると、点 (m、n) は直線 ① と直線 ② 上の点だから 3m＋2n－4＝0，－2m＋5n＋1＝0 … ③ 等式　α（３ｘ＋２ｙ－４）＋β（－２ｘ＋５ｙ＋１）＝０ … ④ はα＝β＝0 以外ならば x，y の係数がともに0 になることはないから直線の方程式である。 ③ より x＝m，y＝n を ④ に代入して成り立つから ④ は点(m，n) を通る。…

	33317．必要条件と必要十分条件
	名前：angel 日付：7月29日(日) 13時38分
	To: 七さん最初、それでいいかなとも考えたのですが、それだと「α,βを用いた形で表される直線は、2直線の交点を通る」が示せるだけなので、必要条件に過ぎないのですね。「2直線の交点を通る任意の直線は、α,βを用いた形で表される」を示すためには、「任意の直線」をどう表現するかを考えなければならないわけです。私の説明では、そこを「(2直線の交点を除く)任意の点を通る」としています。尤も、中1でやるには高度な話だと思うので、そこまで考えないかもしれないですけどね。

	33320．Re: (untitled)
	名前：七日付：7月29日(日) 14時34分
	直線　α（３ｘ＋２ｙ－４）＋β（－２ｘ＋５ｙ＋１）＝０が任意の点(p，q) を通るためには　α＝2p－5q－1，β＝3p＋2q－4 であれば足りるのではありませんか？

	33322．Re: (untitled)
	名前：angel 日付：7月29日(日) 14時50分
	To: 七さん > 直線…(中略)…が任意の点(p，q) を通るためには…(中略)…であれば足りるのではありませんか？ええ。まさにその通りでして、その α,β を計算で見つけましょう、というのが私の説明の意図していたところです。

	33344．Re: (untitled)
	名前：ぱんだ日付：7月31日(火) 7時54分
	なかなか面白い内容ですね。私からもコメントさせてください。 α（３ｘ＋２ｙ－４）＋β（－２ｘ＋５ｙ＋１）＝０・・・（ア）についてまず例えばα＝３、β＝２だったら(ア）は「直線である」ということはお分かりでしょうか。(ア）の形の式を変形すると Aｘ＋Bｙ＋C＝０の形の式ができますが、（AとBが両方同時に０になることはないので）さらに変形するとｙ＝ax+bやx=cy+dの形の直線の方程式ができます。そしてやすしさんが分かったと言っている様に(ア）のグラフは必ず①と②の交点を通ります。では(ア）のグラフは（α、β）が（１、１）の時と（１、４）の時、（１、１０）の時で同じグラフでしょうか？＊もし分からなければ実際に式を作って、グラフを書いてみて下さい。理解度がかなり変わってきます。答えは全て違うグラフになります。 αとβを変えていくともっともっとたくさんの(22/19, 5/19)を通る直線が出来ますね。それを繰り返していくと、平面全体が直線で埋め尽くされるというのが今回の問題で示したいことです。そこで私がやすしさん向けに（中１だとやはり無理な気がしますが理解や納得はしやすいと思います）提案する方法は、「直線（ア）は全ての傾きになり得る」ということを示す方法です。 (ア）をy=ax+bの形に整理すると(ア）は傾き(-3α+2β)/(2α+5β)となりますが、 αとβを色々変えていくとこの値はどんな数にでもなれるというわけです。（まだ中１ということで、分母が０になる場合についてなどについての考察は避けます。その後の証明も中１だときついかもしれません。中１の段階ではあくまでも直観的に理解する程度にとどめるのがよいと思います。厳密に証明しようとしたら七さんが言っているような方法が一応中１でも可能といえば可能です。）さて、私は数学を教える上で、まず直観的に納得することを重視していますので、上のようなある意味厳密さにかけるかもしれない表現をしてみたわけですが、＞「なぜ α,β を使った形で表せるのだろうか」を考えると、多分永遠に解けません。( 発見した人はスゴイですね!! ) について、高校生の時の私が考えたことを話させてください。（中１に説明しないといけないので、多少感覚的過ぎる表現になってしまいます。本当はベクトルの内分などを色々経験してもらった上でもっと詳しく説明したいところですが。）数直線上でA（x_1),B(x_2)をa:bに内分する点の座標（a:bに内分する点とは、直線AB上でAとBからの距離の比がa:bになっているAとBの内側にある点のことです）は、(bx_1+ax_2)/(a+b)となりますが、このことの意味を考えてみましょう。 x_1=1,x_2=10として考えてみます。a=100,b=1のときとa=1,b=50の時で座標はどうなりますか？前者の方は点Bに近い（似ている）座標になり、後者は点Aに近い座標になります。 aの値が大きければ大きいほど求める座標はBに近くなり bの値が大きければ大きいほど求める座標はAに近くなるのです。別の例を考えてみましょう。とある相撲取りA（体重３００ｋｇ以上）が絶世の美女Bと結婚しました。そしてその女性が妊娠して女の子が産まれることになったのですがさあ、その産まれる女の子の気持ちになってください。一つ重大な問題がありますよね？お父さんに似るか、お母さんに似るか？！運命の分かれ道です。もしお父さんの遺伝子を０．９９、お母さんの遺伝子を０．０１だけ受け継いだらどうなるでしょう？・・・きっと太っているはずです！！（笑）逆にお父さんの遺伝子を０．００００１、お母さんの遺伝子を０．９９９９９だけ受け継いだならどうでしょう？お母さんそっくりな美人になるはずですね。お父さんの遺伝子をa,お母さんの遺伝子をbだけ受け継いだとしたら aの値が大きければ大きいほどお父さんに似るわけです。 aはお父さんの影響力、bはお母さんの影響力とでも呼ぶべきものです。先ほどの数直線の問題に戻ると、(bx_1+ax_2)/(a+b)において x_2の係数aはx_2の影響力、x_1の係数bはx_1の影響力です。（内分の性質から相撲取りの問題とは逆に aの値が大きければ、Aから遠くなるのでかかる文字が逆になっています） aが大きければ大きいほどBに似るわけです。座標(bx_1+ax_2)/(a+b)は、いわば点Aと点Bの子どものようなものです。父親と母親の性質を少しずつ受け継いでいると考えられます。さて、やすしさんの問題に戻ってみましょう。 α（３ｘ＋２ｙ－４）＋β（－２ｘ＋５ｙ＋１）＝０・・・（ア） A：（３ｘ＋２ｙ－４）＝０ B：（－２ｘ＋５ｙ＋１）＝０この直線Aと直線Bの子どもが(ア）の直線なわけです。（ア）の直線は次のような性質があります。・直線である・AとBの交点を通る・Aの影響力がα、Bの影響力がβ（つまりαの絶対値が大きければ直線Aに似た直線になる）・上の影響力の大きさによって傾きが変わる。それによって全ての傾きになれる。もし興味があれば、αとβの値を色々変えてみて、(ア）がどのようなグラフになるか、グラフ用紙に書いてみて下さい。気づくことがたくさんあるはずです。「こんなαとβの値で調べると面白いよ」とアドバイスもついついしてみたくなりますが、「どんなαとβで調べたら面白いことが発見できるか」と考える経験を奪ってしまいますので今回はやめておきます。

33301．場合の数、組合せ

名前：ShoWat 日付：7月28日(土) 21時30分

【問題】
ｘｙｚ空間の原点に駒がある。ｘまたはｙまたはｚが大きくなる方向に
１ずつ駒を進める。

（１）原点から（２，２，２）まで進む方法は何通りであるか。
（２）原点から（１，１，０）を通り（２，２，２）まで進む方法は
　　　何通りであるか。
（３）原点から（１，１，０）を通らないで（２，２，２）まで進む方法は
　　　何通りであるか。
（４）サイコロを投げ、１，２，３が出たらｘ方向、４，５が出たらｙ方向
　　　６が出たらｚ方向に１ずつ進むとき、６回投げたとき（２，２，２）
　　　に進む確率はいくらであるか。

【正解】
（１）９０通り
（２）２４通り
（３）５４通り
（４）５／７２

正解に至るまでの考え方や求め方が分かりません。よろしくお願いいたし
ます。

	33302．Re: 場合の数、組合せ
	名前：らすかる日付：7月28日(土) 22時5分
	(1) xxyyzz の並べ方なので、6!/(2!2!2!)=90通り (2) 最初の2つが xy の並べ方 2通り、残りの4つが xyzz の並べ方 4!/2=12通りなので、 2×12=24通り (3) (1)-(2)=66通り（問題合ってますか？） (4) (1/2)^2×(1/3)^2×(1/6)^2×90=5/72 http://www10.plala.or.jp/rascalhp

	33319．Re: 場合の数、組合せ
	名前：ShoWat 日付：7月29日(日) 13時48分
	ラスカルさんへありがとうございました。基本的な考え方がわかりすっきりしました。（３）は私の問題写し間違えで、大変ご迷惑をお掛けしました。すみません。正しくは（１，１，１）でした。念のため、（４）の９０は以下の解釈でよろしいでしょうか。６回中ｘが２回が 6C2、残りの４回中ｙが２回が 4C2、残りの２回中２回ともｚが 2C2 で、それぞれ独立なので、6C24C22C2=90 もしこの解釈でよければ、この問題自体は理解できたと思うのですが、実は、新たに疑問が湧いてきました。それは、「１回起こる確率がｐの事象が、ｎ回中ｒ回起こる確率」を用いて解くことはできないだろうかというものです。具体的には、６回中ちょうど２回ｘ、かつ６回中ちょうど２回ｙ、かつ６回中ちょうど２回ｚの場合を考えてはどうか、というものです。ところが、 6C2(1/2)^2(1/2)^4 6C2(1/3)^2(2/3)^4 6C2(1/6)^2*(5/6)^4 を計算してみると、5/72 とはまったく異なる値が出てきてしまいます。どこがおかしいのか。考え方のどこが間違いであるか、について残念なことに、見当さえつきません。どうかよろしくお願い致します。

	33324．Re: 場合の数、組合せ
	名前：angel 日付：7月29日(日) 15時22分
	> 具体的には、 > ６回中ちょうど２回ｘ、かつ６回中ちょうど２回ｙ、かつ６回中ちょうど > ２回ｚの場合を考えてはどうか、というものです。 > > ところが、 > 6C2(1/2)^2(1/2)^4 6C2(1/3)^2(2/3)^4 6C2(1/6)^2*(5/6)^4 > を計算してみると、5/72 とはまったく異なる値が出てきてしまいます。その式が示す確率は、　(6回中2回xの確率)×(6回中2回yの確率)×(6回中2回zの確率) ですね。しかし、それぞれの事象 ( 6回中2回x/y/z ) は独立でないため、単純に掛け算をするのはN.G.です。 ※正確には、「独立であるという確信が持てる状況で無い限り、独立でない時のことを考えて、単純に掛け算をするのは止めましょう」ですけど。正しくは、　(6回中2回xの確率) 　　×(6回中2回x の前提で、残り4回中2回yの条件付き確率) 　　×(6回中2回x, 2回y の前提で、残り2回中2回zの条件付き確率) です。この問題では、これら「条件付き確率」ならば、問題なく計算できます。　( 6C2×(1/2)^2×(1/2)^4 )×( 4C2×(2/3)^2×(1/3)^2 )×( 2C2×1^2 ) = 5/72 …でも、らすかるさんの計算式の方が素直な気もしますけどね。

	33325．Re: 場合の数、組合せ
	名前：らすかる日付：7月29日(日) 15時36分
	＞念のため、（４）の９０は以下の解釈でよろしいでしょうか。＞６回中ｘが２回が 6C2、残りの４回中ｙが２回が 4C2、残りの２回中２回＞ともｚが 2C2 で、それぞれ独立なので、6C24C22C2=90 そのように考えても問題ありませんが、私は(1)の答をそのまま使いました。 http://www10.plala.or.jp/rascalhp

33300．立体4目並べについて教えてください。

名前：コスモス 日付：7月28日(土) 19時54分

いつもお世話になります。
立体の4目並べがまあおもちゃっていうか、五目並べの4目で立体に
並べるのがあるのですが。これは5ずつ並んでも同じように
並べてもできるのでしょうか、または７目でも８目でも同じような
立体を作ることができて、８目並べとか成立するのでしょうか。
どうして、４目並べで売っているのでしょうか、他の数字では
売っていません。ダメな理由、成り立たない理由ってあるの
でしょうか。お暇な時教えてください。すみません。遊びで。
でも子供に聞かれて、はあーって思っちゃいました。よろしく。

	33303．Re: 立体4目並べについて教えてください。
	名前：angel 日付：7月28日(土) 23時8分
	立体四目並べですか…。あれは、所謂五目並べとは別物ですね。五目並べはルールが曖昧なので、「連珠」でのお話ですと、十五路盤(縦・横15本の線があり、225の交点に着手可能)を使用します。立体四目並べとは、使用する領域の広さが違うわけですね。もし立体四目並べの延長で立体五目並べを作ったとしても、領域が狭くて勝負がつかないでしょう。六目以上なら尚更です。 ( 連続で並べるには手数が要りますが、阻止するのは1手で済みますから、長い程勝負が着き難い ) 或いは、五目なら何とかゲームになるかもしれません。でも、遊びこなせる人が出てくるでしょうか? 売れないゲームは無いのと同じことです。逆に三目以下にしてしまうと、恐らく勝負が分かり易くなる代わりに、圧倒的に先手有利になって、ゲームとして成り立たなくなるでしょう。所謂「○×」とは、平面三目並べに相当しますが、あれは先手負け無しですよね。平面でのお話だと、色々試したことがあるのですが、四目並べは先手必勝、六目だと今度は勝負が着かず膠着状態になります。五目が丁度良いです。とは言え、単純な五目並べだと圧倒的先手有利 ( コンピュータで計算すれば「必勝」らしい ) なので、先手に色々なハンディキャップ ( 禁手 ) を負わせた上に、さらに先手・後手の差を埋める措置を行います。それが「連珠」です。

	33305．Re: 立体4目並べについて教えてください。
	名前：コスモス日付：7月29日(日) 0時4分
	早速有難うございました。なるほどね。とても分かりやすいご説明いただき有難うございました。知ったかぶりで、明日の朝子供に話してみようと思っています（笑）しかし、最近何を聞いて来るやらです。ドキドキです。もう少し大きくなれば掲示板にひとりで聞けることを教えようと思っています。本当にありがとうございました。

33299．(untitled)

名前：やすし 日付：7月28日(土) 18時35分

（１）

(a+b)x-(a-b)y=1
ax+by=1

（２）

a+b分のｘ＋ a-b分のy =a
x+y=a×a+ｂ×b

連立方程式です　よろしくおねがいします

	33335．Re: (untitled)
	名前：ヨッシー日付：7月30日(月) 15時20分
	文字で割る時に気をつければ、普通の連立方程式と同じです。 (1) 　(a+b)x-(a-b)y=1　…(i) 　ax+by=1　　…(ii) (i)×b＋(ii)×(a-b) 　(a+b)bx-(a-b)by=b 　(a-b)ax+(a-b)by=a-b 足して　(a^2+b^2)x=a a=b=0 の時は、元の方程式は 0=1 となり、適当な解はありません。それ以外の時、a^2+b^2＞０であるので、　x=a/(a^2+b^2) (ii) より、　by＝1-ax＝b^2/(a^2+b^2) 　y=b/(a^2+b^2)　※ b=0 の時も含めて、これで表せます。以上より、　x=a/(a^2+b^2),　y=b/(a^2+b^2)　ただし、a^2+b^2≠0 (2) 　x/(a+b)＋ y/(a-b)＝a　…(i) 　x+y=a^2＋b^2　　…(ii) (i)×(a-b)－(ii) 　x(a-b)/(a+b)＋y＝a(a-b) (ii) を引いて、　x{(a-b)/(a+b)－1}＝-ab-b^2 　-2bx/(a+b)＝-b(a+b) b=0 のとき、(i)も(ii) も、x+y=a^2 となり、x,y は、x+y=a^2 を満たす任意の実数。 b≠0 のとき、x＝(a+b)^2/2 (ii) より、　y＝a^2+b^2-x＝{2a^2+2b^2-(a^2+2ab+b^2)}/2 　　＝(a-b)^2/2 以上より、　b=0 のとき、x,y は、x+y=a^2 を満たす任意の実数。　b≠0 のとき、x＝(a+b)^2/2, y＝(a-b)^2/2 　 http://yosshy.sansu.org/

33296．(untitled)

名前：教得手　学 日付：7月28日(土) 13時56分

「後で証明された性質・定理が、じつはこの定理を使っているかもしれ
ないのです。」と書きましたが、この可能性があるので

基本的には、そう考えるべきでしょう。

	33297．Re: (untitled)
	名前：教得手　学日付：7月28日(土) 14時7分
	スミマセン。No.33281 への返信で[返信]をクリックし忘れました。

33295．(untitled)

名前：大学三年 日付：7月28日(土) 13時50分

ｆ、f[n]∈Ｌ(Ｒ^d)を考える。

f[n](x)→f(x) (a.e.x∈Ｒ^d)
ならば、f[n](x-y)→f(x-y) (a.e.(x,y)∈Ｒ^d×Ｒ^d)

であることを示せ。っていうのが分かりません。
分かる方いましたら教えて下さい。

33291．質問します

名前：大学1年 日付：7月28日(土) 11時44分

Palindromeとは、zmz^{-1}のかたちの語です。有限オートマトンはこのzがアルファベットの全ての語をわたるようなpalindromeをacceptしないことを示すにはどうしたらよいですか？

	33304．Re: 質問します
	名前：angel 日付：7月28日(土) 23時34分
	有限オートマトンは、特定の文字の個数を覚えるとか、「以前の(無限通りある)入力を覚えておく」ことが原則できませんからね。それをどう説明するかになります。有限オートマトンですから、遷移する状態の数は有限です。これを利用して背理法に持ち込むと良いでしょう。回文として、(X以外の文字で構成された文字列z) X (zの逆順) を考えてみましょう。文字 X までを有限オートマトンに入力した状態の数は有限です。にも関わらず、z の候補は無限ですから、必ずこういう組み合わせが出来ます。　z1 X, z2 X のどちらを入力しても同じ状態に遷移する　( z1 と z2 は異なる文字列、z1, z2 とも文字 X を含まない ) では、任意の回文を受理するには、z1 X z1^(-1) を受理することが必要ですから、この状態から z1^(-1) を入力した状態で受理状態となることが必要です。であれば、同じ状態からの遷移となりますから、z2 X z1^(-1) という入力も受理することになりますが、これは回文ではありません。ここに矛盾が生じます。

33281．質問です。（証明問題）

名前：中３日付：7月28日(土) 9時4分

二等辺三角形の低角は等しいという証明問題で僕は
直角三角形の斜辺と他の一辺がそれぞれ等しいで証明したのですが
答えは一辺とその両端角がそれぞれ等しいで証明していました。
証明の仕方が模範解答と違う場合、証明の仕方があっていても答えは×になるのですか？教えてください。

	33283．Re: 質問です。（証明問題）
	名前：ヨッシー日付：7月28日(土) 9時26分
	証明の仕方があっていれば、×にはなりません。むしろ、気になるのは、模範解答の「一辺とその両端角がそれぞれ等しい」の方法ですが、どのような補助線を引いたのでしょうか？この証明では、（ＡＢ＝ＡＣ　の△ＡＢＣがあるとします）１．角Ａの二等分線を引く→２辺とはさむ角が等しい２．頂点ＡからＢＣに垂線を引く→直角三角形の斜辺ともう一辺が等しい３．頂点Ａと、ＢＣの中点を結ぶ→３辺が等しいによる方法がありますが、「一辺とその両端角がそれぞれ等しい」を使う方法が、思い当たらないのです。　 http://yosshy.sansu.org/

	33285．Re: 質問です。（証明問題）
	名前：教得手　学日付：7月28日(土) 10時16分
	ヨッシーさんが書かれておられる通り、筋道が通っていれば正解ですね。だから、問題によっては何通りも正解が存在します。ただ注意しなければならないのは、補助線を引くときに条件を同時にもり込みすぎないことですね。例えばこの問題において、底辺に垂直な頂角Ａの２等分線ＡＤを引くと・・・というようなたぐいを証明が苦手な人が平気でしますね。もし、このようなことをすれば、「一辺とその両端角がそれぞれ等しい」につながるのですが、模範解答の意図がわかりません。　この問題において、次のような証明はどう思われますか？　みなさん、遊び気分でみてください。 [証明]△ＡＢＣにおいて、ＡＢ＝ＡＣ　であるとする。　　△ＡＢＣと△ＡＣＢにおいて　　　ＡＢ＝ＡＣ　　　ＡＣ＝ＡＢ　　　ＡＣ＝ＣＡよって、△ＡＢＣと△ＡＣＢは３辺がそれぞれ等しくなり　　　　△ＡＢＣ≡△ＡＣＢ　対応する角は等しいので、∠Ｂ＝∠Ｃ　 (注)対応順になるように記号をつけてあることを頭に入れて、読んでみてください。

	33286．Re: 質問です。（証明問題）
	名前：中３日付：7月28日(土) 10時26分
	間違えました・・・。二辺とその間の角が等しいでした。すいません。模範解答・・・角Aの二等分線をひき、底辺BCとの交点をDとする。←この文は固定です △ABDと△ACDにおいて角BAD＝角CAD（仮定）－①　AB＝AC（仮定）-②　ADは共通-③ ①～③より二辺とその間の角が等しいので△ABD≡△ACD ∴∠B＝∠C 僕の解答角Aの二等分線をひき、底辺BCとの交点をDとする。←この文は固定です △ABDと△ACDにおいて二等辺三角形の頂角を二等分する線は底辺を垂直に二等分するので ∠ADB＝∠ADC＝90°－①　BD＝CD－② AB=AC(二等辺三角形の性質）－③ ①～③より直角三角形の斜辺と他の一辺がそれぞれ等しいので △ABD≡△ACD　∴∠B＝∠C 　ですが何か間違っていますか？外部模試で×にされました。　長文失礼致しました。

	33288．Re: 質問です。（証明問題）
	名前：七日付：7月28日(土) 11時8分
	「二等辺三角形の頂角を二等分する線は底辺を垂直に二等分する」ということは，模範解答のようにして △ABD≡△ACD を証明して初めて言えることなのでこの場合これを使うと部分点もありません。教科書の記述もたぶんこの順になっていると思います。

	33289．Re: 質問です。（証明問題）
	名前：中３日付：7月28日(土) 11時27分
	[二等辺三角形の頂角を二等分する線は底辺を垂直に二等分する] は、二等辺三角形の性質なので、問題文に△ABCは二等辺三角形という記述があるので、[二等辺三角形の頂角を二等分する線は底辺を垂直に二等分する]を使えるのではないのでしょうか？

	33290．Re: 質問です。（証明問題）
	名前：教得手　学日付：7月28日(土) 11時28分
	七さんが書かれておられる通りです。なぜなら、∠Ａの二等分線が底辺を垂直に２等分するかどうかわからないし、底辺の垂直二等分線が頂点Ａを通るかもこの時点では分からないからです。　上の私の投稿に書いたように、同時に成り立つか分からないようなことを平気で使っているのです。要注意！

	33292．Re: 質問です。（証明問題）
	名前：教得手　学日付：7月28日(土) 11時57分
	私のＲe.の直前に中三さんのコメントが入っていたので、追加します。教科書などで定理などは論理を順に積み上げて証明していくので、それ以前に証明されたことだけしか使えません。「二等辺三角形の底角が等しい」ということは、二等辺三角形についての初めて扱う性質なので、後で証明される性質・定理は使えないと考えてください。後で証明された性質・定理が、じつはこの定理を使っているかもしれないのです。

	33294．Re: 質問です。（証明問題）
	名前：中３日付：7月28日(土) 12時29分
	性質・定理を証明する問題が出た場合は、その性質・定理以前に習った性質・定理を用いて証明しなければならないということですか？理解力がなくてすいません。

	33298．Re: 質問です。（証明問題）
	名前：教得手　学日付：7月28日(土) 14時10分
	[返信]をクリックし忘れたので、No.30296 を見てください。

33276．(untitled)

名前：ゴン日付：7月27日(金) 23時51分

お世話になります。
①log(1+2X+3X^2)
②X/log(1+sin2X)
何ですが・・・。途中式あるとうれしいです。お力をお借りしたいです。

	33279．Re: (untitled)
	名前：らすかる日付：7月28日(土) 2時53分
	その式をどうするんですか？ http://www10.plala.or.jp/rascalhp

	33282．Re: (untitled)
	名前：ゴン日付：7月28日(土) 9時9分
	すみません。この２つの微分です。お願いいたします。

	33284．Re: (untitled)
	名前：らすかる日付：7月28日(土) 10時4分
	(1) 合成関数の微分は f(g(x))=f'(g(x))・g'(x) です。この問題では、f(x)=logx, g(x)=1+2X+3X^2 です。 (2) 分数の微分は f(x)/g(x)={f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}/{g(x)}^2 です。この問題では、f(x)=X, g(x)=log(1+sin2X) です。 g(x)は(1)の式で微分します。 http://www10.plala.or.jp/rascalhp

	33287．Re: (untitled)
	名前：ゴン日付：7月28日(土) 10時35分
	ありがとうございました。

33272．集合の証明

名前：ShoWat 日付：7月27日(金) 22時8分

【問題】
自然数ｍに対し、ｍの約数の全体からなる集合をD(m)と書く。例えば、
D(6)={1,2,3,6}である。自然数ｍ、ｎに関して、次のことを証明せよ。
(1)　D(m)∩D(n)⊂D(m+n)
(2)　D(m)∪D(n)⊂D(mn)
(3)　m∈D(n)ならばD(m)⊂D(n)であり、逆もまた成立する。

まったくお手上げです。よろしくお願いいたします。

	33274．Re: 集合の証明
	名前：angel 日付：7月27日(金) 23時20分
	集合の問題は論理の問題と同じ。こう言い換えることができることができます。 (1) m, n の公約数は m+n の約数である (2) m の約数も、n の約数も、いずれも mn の約数となる (3) 「m が n の約数である」と「m の約数が全て n の約数となる」は同値であるこの証明では如何でしょうか。

	33275．言い換え規則
	名前：angel 日付：7月27日(金) 23時44分
	集合での用語と、論理との間の言い換えの規則です。「x が性質 a を満たす」と「x が集合 A に含まれる ( x∈A )」を同一視します。 0. A⊂B 　⇔ Aに含まれる(任意の)元は、Bに含まれる ( x∈A ⇒ x∈B ) 　⇔ 性質 a を満たす(任意の) x は、性質 b を満たす 1. A∩B⊂C 　⇔ A∩Bに含まれる元は、Cに含まれる　⇔ A, B いずれにも含まれる元は、Cに含まれる　⇔ 性質 a を満たし、かつ b も満たす x は、性質 c を満たす 2. A∪B⊂C 　⇔ A∪Bに含まれる元は、Cに含まれる　⇔ A, B いずれかに含まれる元は、Cに含まれる　⇔ 性質 a を満たすか、または b を満たす x は、性質 c を満たす　⇔ 性質 a を満たす x は性質 c を満たし、性質 b を満たす x も性質 c を満たす今回の問題では、　x∈D(m) ⇔ x は m の約数となりますね。

	33277．Re: 集合の証明
	名前：教得手　学日付：7月28日(土) 0時6分
	（１）ｘ∈D(m)∪D(n)　とすると　ｘは∈D(m)∩D(n)　とすると　ｘはｍの約数でもあり、ｎの約数でもあります。　このとき　ａｘ＝ｍ , ｂｘ＝ｎなる整数ａ,ｂが存在します。　すると、ａｘ＋ｂｘ＝ｍ＋ｎ　　　　　（ａ+ｂ）ｘ＝　となり　ａ+ｂは整数だから、ｘはｍ＋ｎの約数になります。　すなわち　ｘ∈D(ｍ+ｎ)　となります。　∴D(m)∩D(n)⊂D(ｍ+ｎ) （２）ｍの約数であるか、ｎの約数であります。　ｘはｍの約数であれば　cｘ＝ｍ　なる整数cが存在します　　このとき　cｎｘ＝ｍｎ　となりcｎは整数だからｘはｍｎの約数になります。ｘがｎの約数であるときも同様に、ｘはｍｎの約数になります。いずれにせよｘはｍｎの約数となり、ｘ∈D(ｍｎ)　となり　　　D(m)∪D(n)⊂D(mn)　がいえます。（３）m∈D(n)であるとき、ｍはｎの約数です。　すなわち　dｍ＝ｎ　なる整数dが存在します。　　このとき、ｘ∈D(m)ならば、eｘ＝ｍ　なる整数ｅが存在します。　すると　ｄｅｘ＝ｄｍ＝ｎ　となりｄｅは整数だから、ｘはｎの約数　となり、ｘ∈D(n)　となります。　　ゆえに　m∈D(n)であるとき、D(m)⊂D(ｎ）　[逆]　ｍはｍの約数だから、ｍ∈D(m) 　　D(m)⊂D(ｎ）ならば、ｍ∈D(m)よりｍ∈D(ｎ)　がいえる。

	33278．Re: 集合の証明
	名前：教得手　学日付：7月28日(土) 0時25分
	上の私のＲe.において（１）の１行目の「ｘは∈D(m)∪D(n)　とすると」は（２）の１行目　に移動させて読んでください。（１）の６行目は「（ａ+ｂ）ｘ＝ｍ+ｎ」です。なぜか編集が出来なかったので、見にくくなってスミマセン。

	33310．Re: 集合の証明
	名前：ShoWat 日付：7月29日(日) 10時18分
	angel さんいつもありがとうございます。問題の解説もさることながら、今回の「言い換え規則」のような決まり事や考え方の基礎をアドバイスいただくと本当にうれしいです。つまり、何が大事でどこがポイントかが分からず手探りの状態で問題を解いている状態なので、指針として大変ありがたいのです。今後ともよろしくお願い致します。

	33311．Re: 集合の証明
	名前：ShoWat 日付：7月29日(日) 10時22分
	教得手　学さん理路整然とした答案、感動しました。ありがとうございます。ところで、またひとつ質問なのですが、「整数ａ,ｂが存在します」（以下c,eもおなじ）とありますが、この「整数」を「自然数」としてはいけませんか。また、もし「自然数」が不可で「整数」が可であれば、その理由も含めてご教示ください。よろしくお願いいたします。

	33314．Re: 集合の証明
	名前：angel 日付：7月29日(日) 12時17分
	いえいえ。また何かあればどうぞ。学校では集合と論理の話は、結びつけて説明しないんでしたっけ… …しなかったような気もしますね。集合の問題があっさり分かる人は、意識的に、もしくは無意識の内に、論理との結びつきを考えているはずですから、上のような説明を考えてみたわけです。例えば、ド・モルガンの法則は学校で習うと思うのですが、　集合版：~(A∩B)=(~A)∪(~B), ~(A∪B)=(~A)∩(~B) 　　　　　※ ~X は「Xの補集合」を表すものとして考えてください　論理版：not(A and B)⇔(not A)or(not B), not(A or B)⇔(not A)and(not B) というように、集合でのバージョンと、論理でのバージョンと2バージョン存在します。これこそまさに、集合と論理が、実は本質的に同じものであることの表れですね。 ※つまり、補集合とnot、∩とand、∪とor、= (集合としてのイコール) と ⇔ (同値・必要十分) がそれぞれ対応するわけです。 ※後は、A⊂B と A⇒B の対応を知ってれば十分でしょう。

	33316．Re: 集合の証明
	名前：教得手　学日付：7月29日(日) 13時17分
	「約数」ということを扱うときは、特に断らない限りは正の整数の範囲で考えますね。　すなわち、自然数の世界の中での話ということになって、整数の集合のなかに0,負の整数が含まれていない時点での話と考えられます。自然数というのは、整数の範囲が広がってからつけた名称だから、いちいち「自然数」と断らないで、「整数」と表現しています。だから「自然数」をつかってもよいが、その都度正の数と断る必要もないとも思います。

33270．小学6年なんですが・・・教えてください・・・

名前：村の人々 日付：7月27日(金) 21時15分

図のように、４つの歯車A,B,C,Dがあり、歯車BとCは同じ軸を持ち、歯車A,C,Dの歯数は60，４５，１５です。歯車Aが1回転するとき歯車Bは2回転します。このとき、歯車Dは何回転しますか？

	33273．Re: 小学6年なんですが・・・教えてください・・・
	名前：教得手　学日付：7月27日(金) 23時19分
	歯車Ｂと歯車Ｃはひっついていて同じように回転するものとして回答します。Ａが１回転すれば、Ｂは２回転する。このときＣも２回転します。Ｃ,Ｄとがかみ合っているとき、かみ合っている場所において (Ｃの通過する歯の数)＝(Ｄの通過する歯の数)　　が言えます。　Ｃが２回転するとき (Ｃの通過する歯の数)＝４５×２＝９０ (Ｄの通過する歯の数)＝９０　になるには　歯の数が１５だから９０÷１５＝６　となり、Ｄは６回転する必要があります。よって、Ａが１回転すれば、Ｄは６回転することになります。

33268．(untitled)

名前：太郎日付：7月27日(金) 20時48分

小学校６年生です。

水が凍ると体積が９％増え、氷が溶けるときはもとの体積に戻ります。氷が水になるときの体積の減少分を分数で答えなさい。

	33280．Re: (untitled)
	名前：教得手　学日付：7月28日(土) 8時13分
	>水が凍ると体積が９％増え、氷が溶けるときはもとの体積に戻りますということは体積１００の水があれば、凍ると体積１０９の氷になり体積１０９の氷があれば、溶けると体積１００の水になるということですねだから、体積１０９の氷があれば(109-100＝)９だけの体積が減少します。よって、体積が減少は全体の９/１０９　ということになります。

33267．小６の問題です。

名前：tomato 日付：7月27日(金) 20時35分

ポンプで水をくみ出すのに、３台使うと９時間かかり、４台使うと６時間かかります。この泉は絶えず一定の量の水が湧き出ているとすると、ポンプ１０台ではくみ出すのに何時間かかりますか？

	33269．Re: 小６の問題です。
	名前：チョッパ日付：7月27日(金) 20時49分
	解説ではなく申し訳ありませんが，メールアドレスを拝見する限り＞MONO消しゴムさんと同じ方なのでしょうか？もしそうであれば，この問題も『ニュートン算』という考え方で，先程の質問と同じ考え方をします。その問題が理解できていれば，この問題もできるはずです。まずは1つずつ理解していった方がよいのではないでしょうか？

33266．一様収束

名前：けん日付：7月27日(金) 12時9分

大学２年です。
t(0≦t≦π)の関数
exp(iεexp(it))
がε→0で1に一様収束することをε-δ論法で証明したいのですが、
|exp(iεexp(it))-1|をεで抑える方法が分かりません。
よろしくお願いします。

33262．すみません　問題間違っていました

名前：MONO消しゴム 日付：7月27日(金) 8時52分

宝くじ販売口で、販売前から行列ができていて、一定の割合で人数が増えています。窓口が３つなら販売後２０分で、４つならば１０分で行列がなくなります。ただし窓口で一人にかかる時間は一定であるとします。窓口を６つにして販売すると、行列がなくなるのに何分かかりますか？

	33264．Re: すみません　問題間違っていました
	名前：ぱんだ日付：7月27日(金) 9時4分
	窓口で仕事をどんどんこなしますが、それと同時に新規のお客さんも並びます。窓口一つでこなす仕事率（人を減らす速さ）を「窓」、お客さんが新しく並ぶ速さを「新」としておきましょう。窓３つから新を引いた場合、２０分で行列がなくなるので（それで仕事が終ったと考えます）窓３つから新を引いた仕事率は1/20です。（もしわかるなら線分図などを描いてください）同じく窓４つから新を引いたときの仕事率は1/10です。なので、窓１つ分の仕事率は1/10-1/20=1/20になります。では、窓６個だとどうなるかというと、窓４個のときよりも仕事率が窓２つ分上がります。つまり窓６つから新を引いたときの仕事率は1/10+1/20×2=1/5 仕事率は1/5、つまり５分で行列はなくなります。

	33265．Re: すみません　問題間違っていました
	名前：七日付：7月27日(金) 11時39分
	別解 1つの窓口で1分間に処理できる人数を基準に，これの何個分かという考え方で説明します。 3つの窓口で20分間に処理した人数は 60個分 4つの窓口で10分間に処理した人数は 40個分この差20個分は 10分間に新しく来た客の人数なので 1分間に2個分の客が新しくやってくるということです。またこれをもとに最初並んでいた客は 20個分だということになります。ですから窓口を6個に増やすと 1分間に6個分処理でき，その間に2個分が新たにやってきますから差し引き1分間で4個分が減っていきます。したがって最初並んでいた20個分の客は 20÷4＝5 分でなくなります。

33250．極限

名前：Nanami 日付：7月26日(木) 23時0分

【問題】
関数f(x)を次のように定義する。

f(x)={2x (0≦x≦1/2) 2(1-x) (1/2＜x≦1)

そしてf_1(x)=f(x)とおき、f_n(x)を

f_n(x)=f(f_(n-1)(x))(n=2、3、4・・・)と定義する。

さらに関数g_n(x)を

g_n(x)=f_1(x)/2+f_2(x)/2^2+・・・・・+f_2^n(x)/2^(n+1)

で定義する。y=g_n(x)のグラフとx軸とで囲まれた部分の面積をS_nとするとき、lim[n→∞]S_nを求めなさい。

f_4(x)のグラフまで描いてみましたが、何も思いつきません。この問題の解答を教えてください。よろしくお願いします。

	33260．Re: 極限
	名前：ぱんだ日付：7月27日(金) 8時32分
	まず、問題の出し方がちょっと不親切ですね。（出題者がわざとそうしたのかもしれませんが） g_n(x)=f_2^0(x)/2^1+f_2^1(x)/2^2+f_2^2(x)/2^3+・・・+f_2^n(x)/2^(n+1) と書きなおしておくとよいでしょう。今回登場するのはf_1,f_2,f_4,f_8,f_16,・・・などです。さて、ではfの特徴について考えてみましょう。（馬鹿正直に場合わけして丁寧に代入して考えているようでは話になりません） f(x)={2x (0≦x≦1/2) 2(1-x) (1/2＜x≦1) なわけですが、この式をみた瞬間にあなたは「ああ、x=1/2を中心に対称な関数だな」と思えましたか？この感覚がわかっていないとわけがわからなくなる可能性が非常に高いです。 h(x)=2x,k(x)=2(1-x)として考えてみましょう。 h(0.1)=k(0.9)は当然ですよね。h(0.2)=k(0.8),h(0.3)=k(0.7)・・・こういう特徴が今回の問題を解く鍵になる対称性です。さて、ではf_n(x)の性質を調べていきましょう。 f_1(x)は、逆V字型（あるいは三角形型）のグラフをとりますね。ｙ座標は０から１まで直線的（この感覚も非常に重要）に上がり、その後「対称的に」１から０まで下がります。では次にf_2(x)=f(f(x))です。Nanamiさんにわかりやすいように f(f(x))=f(t)とおいてみましょう。ｘが０から変化していくと、まずｔの値は０から１まで直線的に動きます。（このとき、ｘは０→1/2まで変化）ｔが０から１まで動く間にf(t)の値は逆V字型に０→１→０と動きます。なので、f_2(x)はｘが０から1/2まで動く間にVを１回描くわけです。では1/2から１までの間はどうでしょう？ここで対称性の登場です。f(0.1)=f(0.9)のような性質があるわけですから、 f(f(0.1))=f(f(0.9))が成立します。つまりf_2(0.1)=f_2(0.9)のような性質があります。 f_2(x)もx=1/2について左右対称なわけです。なので、f_2(x)は、０から１までの間にV字型２つ分のグラフを描きます。（長いのでいったん切ります）

	33261．Re: 極限
	名前：ぱんだ日付：7月27日(金) 8時49分
	次にf_4(x)=f(f(f(f(x))))=f_2(f_2(x))について考えましょう。やることは同じく対称性です。 f_2(x)はxが０から１まで動く間に逆V字型をきれいに４つ描きます。ではf_2(f_2(x))=f_2((s))を分析してみましょう。（f_2(x)=sとおいた）ｘが０から1/8まで動く間にｓの値が０から１まで動くのでその間にf_2(s)の値は何個逆V字を描きますか？そう、４個ですね。以下同様にf_2^n(x)のグラフを描くことが出来ます。さて、ではいよいよ問題に取り掛かりましょう。 f_2^n(x)は結局どれも０以上の値しかとらないグラフです。なので、g_n(x)≧０が常に成立。よってS_n=∫（0→1)g_n(x)dx =∫(0→1)f_2^0(x)/2^1dx+∫(0→1)f_2^1(x)/2^2dx+∫(0→1)f_2^2(x)/2^3dx+・・・+∫(0→1)f_2^n(x)/2^(n+1)dx となります。ここで、=∫(0→1)f_2^k(x)dx=T_kとおくと T_kの値はいくらでしょう？（グラフから暗算で面積を出してください）そう、ｋの値に関わらず、T_k=1/2ですよね。ここまでくれば後は簡単です。 S_n=1/2{1/2^1+1/2^2+1/2^3+・・・+1/2^(n+1)}→1/2(n→∞)

	33263．Re: 極限
	名前：ぱんだ日付：7月27日(金) 8時55分
	追伸です。問題の出し方は元から g_n(x)=f_1(x)/2+f_2(x)/2^2+・・・・・+f_2^n(x)/2^(n+1) と書かれていたのでしょうか？どうもg_n(x)=f_1(x)/2+f_2(x)/2^2+『f_4(x)/2^3』・・・・・+f_2^n(x)/2^(n+1) （あるいはそれに準ずる形）が元の問題であったような気がしてなりません。もしNanamiさんが手抜きで３番目の項を省略したのであったとしたらそれは大いに反省してください。３番目の項を書くことを怠ったせいで、難易度や紛らわしさが格段にあがっています。相手に伝わりにくいだけでなく、自分自身が理解するときも妨げになってしまいます。１、２、・・・と書いたとき、次に来る数が３のときも４の時もあることを今回の件で知っておいていただけると幸いです。

33247．小６　　割合と比に関する文章題です・・・

名前：MONO消しゴム 日付：7月26日(木) 21時56分

宝くじ販売窓口で、販売前から行列ができていて、一定の割合で人数が増えています。窓口が三つならば販売後二十分で、四つならば十分で列がなくなります。ただし窓口で一人にかかる時間は一定です。窓口を三つにすると列がなくなるのに何分かかりますか？

	33252．Re: 小６　　割合と比に関する文章題です・・・
	名前：ぱんだ日付：7月26日(木) 23時8分
	問題はあっていますか？＞窓口が三つならば販売後二十分といっているのですから＞窓口を三つにすると列がなくなるのに何分かかりますか？当然二十分です。

33244．教えてください

名前：おばけ 日付：7月26日(木) 21時37分

6年の問題です。教えてください。

12％の食塩水が300g入っている容器Aと、８％の食塩水が500g入ってる容器Bがあります。ABの両方の容器から同じ量の食塩水をくみ出し、Aからくみ出した食塩水をBに、Bからくみ出した食塩水をAに移したとき、Aの容器の食塩水は10％になりました。Bの濃度は何％になりましたか。

	33245．Re: 教えてください
	名前：チョッパ日付：7月26日(木) 21時44分
	やりとりしても食塩水の量は変わりません。 300×0.12＝36（g） 500×0.08＝40（g） 300×0.1＝30（g） 36＋40－30＝46（g） 46÷500×100＝9.2（％）

	33249．Re: 教えてください
	名前：おばけ日付：7月26日(木) 22時8分
	ありがとうございました！

33243．球の表面積

名前：高3 日付：7月26日(木) 20時30分

球があって、その球を1000個の球にすると表面積は何倍になるか。
という問題が分かりません。教えてください。

	33251．Re: 球の表面積
	名前：ヨッシー日付：7月26日(木) 23時6分
	まぁ、たぶん、体積を変えずにということだと思いますが、半径１０の球があるとします。体積は4000π/3です。これが、半径１の球１０００個になったとします。１個の体積は　４π／３　で、１０００個だと、4000π/3です。半径１０の球の表面積は400πです。半径１の球の表面積は、１個で４π、１０００個で4000πなので、１０倍ですね。　 http://yosshy.sansu.org/

	33326．Re: 球の表面積
	名前：高3 日付：7月29日(日) 16時11分
	御礼遅れました・・・。ありがとうございました

33242．(untitled)

名前：みかげ　中３ 日付：7月26日(木) 19時59分

★[問題](栄光ｐ113 3 (3))右の図(図１)で。△ABCの頂点Aから辺BCに垂線ADをひき、Dから辺AB、ACにそ

れぞれ垂線DE、DFをひいた。
(１)∠ADF＝∠AEFであることを証明せよ
(３)四点E,B、C、Fは同一円周上にあることを証明せよ
[答](3)△ADFと△ACDで∠AFD＝∠ADC=９０°∠DAF＝∠CAD(共通)よって、∠ADF＝∠ACD
(１)から、∠ADF＝∠AEFより　∠AEF＝∠ACD　四角形EBCFで　∠AEF＝∠FCBだから　四角形EBCFは円に内

接する
[質問]∠ADF＝∠ACDとなんで合同じゃないのに言えるのですか？

★[問題](栄p139 2(3))右の図(図２)で、直線ｌはy=axのグラフで、点A(3,6)を通る。また直線mは点Aと

点B(0,9)を通る直線である。このとき、次の問いに答えなさい。
(3)座標が(-1,2)となる点Cと、直線ｍ上に点Pを取るとき、△AOPの面積が△AOCの面積の2倍になるような

点Pの座標を全て求めお。
[答]点Cを通り、直線ｌに平行な直線の式はy=2x+4　この直線とmとの交点をQとすると、Q(5/3,22/3)　
３－(５/3)＝4／3だから、AP＝２AQとなる点Pのx座標をｐとすると　ｐ＋(4／3)×2＝3またはp－(4／3)

×2=3　よって、p＝1/3、17/３　点Pは直線m上にあるから、p＝1/3のとき、y=(－1／3)＋9＝26/3　
p=17／3のとき、y=(-17/3)＋９＝10/3
[質問]ｐ＋(4／3)×2＝3またはp－(4／3)×2=3　なんでpを足す(引く)んでしょうかいらないような気が

するんですが...

★[問題](栄p145　1)3人でじゃんけんするとき、次の問いに答えなさい。
(1)手の出し方は全部で何通りあるか。
(2)1人だけ活場合は何通りあるか。
(3)あいこになる場合は何通りあるか。[答]6通り
[解説](2)Aがひとりだけ勝つのは、グー、チョキ、パーで勝つ場合の3通り　B,Cも同様だから、3×3=9(

通り)
(3)2人が勝つ場合は1人が負ける場合だから、(2)と同様に考えると9通り。よってあいこになる場合は　

27－９×２＝９(通り)
[質問](３)について・・なぜあいこなのに(２)と同様に考えるのですか？

栄光というのは栄光ゼミナールといところでもらったテキストです・・・
ちなみにさっき書き込んだAっていうのは「A級問題集」昇龍堂出版　という問題集です

	33256．Re: (untitled)
	名前：ヨッシー日付：7月26日(木) 23時46分
	[質問]∠ADF＝∠ACDとなんで合同じゃないのに言えるのですか？相似であれば、等しい角はありますね。＞(3)△ADFと△ACDで∠AFD＝∠ADC=９０°∠DAF＝∠CAD(共通)よって、∠ADF＝∠ACD の部分が、それを示しています。 △ADFと△ACD の相似を示しているわけですね。 [質問]ｐ＋(4／3)×2＝3またはp－(4／3)×2=3　なんでpを足す(引く)んでしょうかいらないような気がするんですが... なぜって、ｐ（点Ｐのｘ座標）を求めるのが、この問題の目的なのにｐがなければ困るでしょう。 [質問](３)について・・なぜあいこなのに(２)と同様に考えるのですか？あいこを、１人が勝つ場合と同じように考えるのではなくて、１人が負ける場合を、１人が勝つ場合と同じように考えて、全体から、１人が勝つ場合と、１人が負ける場合を引くのです。　 http://yosshy.sansu.org/

	33293．Re: (untitled)
	名前：みかげ日付：7月29日(日) 8時21分
	ありがとうございました!! でも2番目の質問についてですが、pを求めるのが、この問題の目的なのでｐは必要だということはわかりましたが、なぜこのような式になるのでしょうか？

	33334．Re: (untitled)
	名前：ヨッシー日付：7月30日(月) 10時58分
	Ｐの位置としては、図の２ヶ所が考えられます。３－(５/３)＝4／3 というのは、ＡとＱのｘ座標の差です。ｐ＋(4／3)×2＝3 は、左上の方のＰで、Ｐのｘ座標に 4/3 を２つ分足すとＡのｘ座標になるという式です。ｐ－(4／3)×2＝3 は、右下の方のＰで、Ｐのｘ座標から 4/3 を２つ分引くとＡのｘ座標になるという式です。　 http://yosshy.sansu.org/

33240．お願いします

名前：みかげ　中３ 日付：7月26日(木) 19時51分

★[問題](実p212⑩)　正20角形A1(本当は図1みたいな感じです)A2A3･･････A19A20がある。その対角線A7A18とA1A【　ア　】は平行であり、A7A18とA5A【　イ　】とは垂直である。
[解説]なし　[答]ア.４　ｲ.10
[質問]全く分かりません。解き方を教えてください。

★[問題](実p216 34(3))右図(図２)の△ABCにおいて∠BAD＝∠CAD＝３５°、BE⊥AD,CF⊥AD,BM=CMであるとき
(3)∠EAMの大きさを求めよ
[解説]なし　[答]１１０°
[質問]解法を教えて下さい

★[問題](実p216 31(3))右図(図3)△ABCにおいて、∠Aの二等分線と辺BCとの交点をDとし、BAの延長とCからDAに平行にひいた直線との交点をEとする
(３)△ABDの面積が24平方cmで、点Dが辺BCを２：３に内分するとき、△ACEの面積を求めなさい
[解説]なし　[答]90平方㎝
[質問]
解法を教えてください

	33255．Re: お願いします
	名前：ヨッシー日付：7月26日(木) 23時29分
	最初のは、考えるより、描いた方が早いですね。 A7A18 から、５つずつ回転させた、A12A3 は、A7A18 に垂直な線分のひとつです。２番目どう見ても、∠EAM は 110°には見えませんね。どこか別の角ではないですか？３番目ＢＤ：ＤＣ＝２：３　より、 △ＡＣＤ＝２４×3/2＝３６ＡＤ//ＣＥ　より、ＢＡ：ＡＥ＝ＢＤ：ＤＣ＝２：３よって、△ＥＡＣ＝△ＡＢＣ×3/2＝６０×2/3＝９０または、△ＡＢＤと△ＥＢＣの相似（相似比２：５）より △ＥＢＣ＝△ＡＢＤ×25/4＝１５０ △ＥＡＣ＝△ＥＢＣ－△ＡＢＣ＝９０　　 http://yosshy.sansu.org/

	33306．Re: お願いします
	名前：みかげ日付：7月29日(日) 8時23分
	すみません。。。その通りです訂正　∠EAM→∠EMF

33237．連続投稿ですみません。。。

名前：みかげ　中３ 日付：7月26日(木) 17時23分

★[問題](Ap125 6の(2))　右の図(図4)は、平行四辺形ABCDを、対角線BDを折り目として折ったものである。EはCの移動先の点、PはBEとADの交点、QはBAの延長とDEの延長の交点である。∠BDC=a°とするとき、∠AQEをaで表せ。
[解説]∠BDC=∠DBQ=∠BDQ=a°[答]∠AQE=180°ｰ２a°
[質問]なぜ∠DBQ=∠BDQなんですか？

★[問題](Ap125 7)右の図(図５　凄くいい加減です_o2 )のように、平行四辺形のＡＢＣＤの紙片を点Ａと点Ｃが重なるように折ったところ、正五角形になった。∠ＡＢＣと∠ＡＣＢの大きさを求めよ。
[解説]右の図(図６)で、∠ＡＢＣ＝∠ＥＢ’Ｃ＝１０８°　また∠ＣＥＦ＝７２°　ＡＣ⊥ＥＦより　∠ＡＣＢ＝１８°［答]∠ＡＢＣ＝１０８°、∠ＡＣＢ＝１８°
[質問]なぜＡＣ⊥ＥＦなんでしょうか？

	33238．Re: 連続投稿ですみません。。。
	名前：ヨッシー日付：7月26日(木) 18時12分
	[質問]なぜ∠DBQ=∠BDQなんですか？ ∠ＤＢＱ＝∠ＢＤＣ　（錯角） ∠ＢＤＣ＝∠ＢＤＱ　（折り返したので）よって、∠ＤＢＱ＝∠ＢＤＱ [質問]なぜＡＣ⊥ＥＦなんでしょうか？一言で言えば、折ったからです。紙を切って、でたらめな四角形を作り、向かい合う頂点がくっつくように折ってみてください、。対角線と折り目は直角になります。式で書くなら、ＢＣ上の点をＥ、ＡＤ上の点をＦ、ＥＦとＡＣの交点をＧとすると、 ∠ＡＧＦ＝∠ＣＧＦ　（折り返したので） ∠ＡＧＦ＋∠ＣＧＦ＝１８０° よって、∠ＡＧＦ＝∠ＣＧＦ＝１８０°÷２＝９０° 　 http://yosshy.sansu.org/

33235．★[問題39］(実p142 )

名前：みかげ　中３ 日付：7月26日(木) 16時46分

★[問題39］(実p142 )　いま、A君とB君は自転車に乗って72KM離れているP市からQ市へ行くのに、右図(図2　見ににくくてすみません)のようなダイヤグラムを作った。A君は予定通り、11時に出発し12時半にX地点に着いた。B君も予定通り、9時に出発し11時にX地点に着いたが、1時間休んだのちに、急用のため、X地点からP市へ戻った。P市に着いたB君は、すぐ引き返してQ市に向かい、4時にA君とおちあった、B君の、予定を変更してからの速さは、P市からX地点へ向かうときの2倍の速さであった。このとき、次の問いに答えなさい。
(1)Ｂ君が予定変更してからの様子を図に書き入れなさい。
(2)A君がP市からX地点に向かうときの速さは毎時何キロメートルですか。答　毎時16キロメートル
(3)A君とB君はP市とX地点の間で出会った。その時刻を求めなさい　答　12時12分
[質問](2)(3)の解き方を教えて下さい。

おそらく赤丸の時間は1時半もしくは20分だと思います。
どうも曖昧ですみません。。。本当に。。。
でももともとの図画小さいんですすみません(;´ｘ｀)

	33239．Re: ★[問題39］(実p142 )
	名前：ヨッシー日付：7月26日(木) 18時30分
	なんか、意味ありげなページ数のようなものが書かれていますが、問題集であれば、書名（出来れば出版社も）を書いてください。今、書店を覗いてきましたが、このような問題は見つかりませんでした。でも、もともとの図が小さいと書いているので、転用ですかね？さて、問題ですが、まず、Ｂ君の動きを追います。９時発　１１時着　Ｘ地点１２時まで休憩１２時発１３時着　Ｐ市　（最初の倍速なので、１時間で着きます）１３時発１６時着　Ｑ市 72km を３時間で行っているので、Ｂ君の倍速での速さは　７２÷３＝２４(km/時) 最初は、１２(km/時) で、２時間かけてＰ→Ｘを行っているので、ＰＸ間は、24km Ａ君はこの24kmを、１．５時間で行っているので、　２４÷1.5＝１６(km/時)　・・・答え(2) １２時の時点で、Ｂ君はＸ地点、Ａ君はＰ→Ｘの2/3 まで進んでいるので、Ｘ地点からは8km。・・・１２時での両者の距離ここから、Ａ君は毎時16km、Ｂ君は毎時24kmで近づくので、出会うのは　８÷(16+24)＝0.2 0.2時間後＝12分後　１２時１２分・・・答え(3) 　 http://yosshy.sansu.org/

	33241．Re: ★[問題39］(実p142 )
	名前：みかげ　中３日付：7月26日(木) 19時55分
	自分が整理しやすいようにつけてました・・・えっと問題集の名前は「実戦の数学」晶文社出版編　というものです書いてなくてすみませんでした_o2

	33307．Re: ★[問題39］(実p142 )
	名前：みかげ日付：7月29日(日) 8時26分
	＞１２時の時点で、Ｂ君はＸ地点、Ａ君はＰ→Ｘの2/3 まで進んでいるので、Ｘ地点からは8km。・・・１２時での両者の距離　Q　Ａ君はＰ→Ｘの2/3 まで進んでいるといえるのでしょうか？？＞ここから、Ａ君は毎時16km、Ｂ君は毎時24kmで近づくので、出会うのは　８÷(16+24)＝0.2 　Q　なぜこのような式になるのですか？

33234．わかりません・・・

名前：おふくろさん 日付：7月26日(木) 15時45分

恥ずかしながら・・・お願いします。
１．２ａｒｃｃｏｓ√ｘ＋２／３
２．√（ｘ－１）（ｘ－３）／（ｘ＋１）（ｘ＋３）
を微分する

極限値を求めるので・・・
1.lim x→０　x^2/1+x-e^x
2.lim x→１　ｘ㏒x/1-x^2

です。どうかお願いします！

	33236．Re: わかりません・・・
	名前：ヨッシー日付：7月26日(木) 17時4分
	極限値の方が、式が類推しやすいので、まずここから、１．lim_x→0x^2/(1+x-e^x) と解釈します。　マクローリン展開より、　e^x=1 + x + x^2/2 + x^3f(x) 　（f(x) は、x の整式）と書けるので、　lim_x→0x^2/(1+x-e^x)＝lim_x→0x^2/(-x^2/2 -x^3f(x)) 　　＝lim_x→01/(-1/2-xf(x))＝２２．lim_x→1(xlogx)/(1-x^2) と解釈します。　ｘ＝ｙ＋１とおくと、この式は、　lim_y→0{(y+1)log(y+1)}/-y(y+2) と書けます。マクローリン展開より、　log(y+1)＝y + y^2f(y) 　　（f(y) は、y の整式）と書けるので、　(y+1)log(y+1)＝y + y^2g(y) 　　（g(y) は、y の整式）となり、　(与式)＝lim_y→0{y + y^2g(y)}/-y(y+2) 　　＝lim_y→0{1 + yg(y)}/-(y+2)＝－1/2 最初の方のは、式がいろいろに解釈出来てしまいます。１．２arccos√{(ｘ＋２)／３} ２．√[（ｘ－１）（ｘ－３）／{（ｘ＋１）（ｘ＋３）}] であるように思うのですが、確認願います。　 http://yosshy.sansu.org/

	33254．Re: わかりません・・・
	名前：おふくろさん日付：7月26日(木) 23時12分
	そのとうりです！返事遅くなってすいません

33230．場合の数

名前：INI 日付：7月26日(木) 2時22分

１０人を２人、２人、３人、３人の４組に分ける方法は全部で何通りあるか。このとき、１０人の中のある特定の１人が２人の組に入る場合の総数は何通りあるか。

答えは順に、６３００通り、２５２０通りです。
１つ目はわかったのですが、２つ目の問題文の意味がよくわかりません...
解説よろしくお願いします!

	33231．Re: 場合の数
	名前：ヨッシー日付：7月26日(木) 9時8分
	最初の問題は、１０人をＡＢＣＤＥＦＧＨＩＪの順に並べて、ＡＢ\|ＣＤ\|ＥＦＧ\|ＨＩＪのように分ける。ここまでで　１０！通り。ただし、ＡＢはＢＡでも同じ、ＣＤはＤＣでも同じ、ＥＦＧはＥＧＦ，ＦＥＧ，ＦＧＥ，ＧＥＦ，ＧＦＥでも同じよって、２×２×６×６　だけ、重複して含まれているので、これで割ります。また、ＣＤ\|ＡＢ\|ＥＦＧ\|ＨＩＪのように、２人の組が入れ替わっても同じ。３人の組も同様。よって、２×２で割る。以上より、　１０！÷（２×２×６×６×２×２）＝６３００（通り）２番目の問題は、ある一人を、上のＡ，Ｂ，Ｃ，Ｄのどれかにおいて、残り９人は、どこにおいても良いので、最初の１０！を、４×９！から始めれば良いです。　４×９！÷（２×２×６×６×２×２）＝２５２０（通り）　 http://yosshy.sansu.org/

	33233．Re: 場合の数
	名前：INI 日付：7月26日(木) 9時50分
	ヨッシーさん、解説ありがとうございますww とてもよくわかりましたぁ～

33224．1次不等式

名前：フラッシュ　高2 日付：7月25日(水) 21時35分

0<x<1……[1]　│x-a│<2……[2]とする。
[1]を満たすどのようなxについても[2]が満たされるとき、実数aの値の範囲を求めよ。また、[1]を満たすあるxについて[2]が満たされるとき、実数aの値の範囲を求めよ。
という問題の解き方を教えてください。
ちなみに答えは順に、-1≦a≦2, -2<a<3 です。よろしくお願いします。

	33232．Re: 1次不等式
	名前：ヨッシー日付：7月26日(木) 9時32分
	図のa=-1 から、a=2 までは、0＜x＜1 の範囲が、\|x-a\|＜2 に完全に含まれています。つまり、0＜x＜1 の範囲のどんな数をとっても、\|x-a\|＜2 を満たすと言うことです。これが、-1≦a≦2 です。いずれも、両端の数は含まないので、a=-1 や a=2 も含まれます。図の a=-1.5 は、両者が一部重なっています。たとえば、 0＜x＜1 の範囲の数で、x=0.25 は、\|x-a\|＜2 を満たします。一方、x=0.75 は、\|x-a\|＜2 を満たしません。ところが、あるｘと言った時は、一つでも満たすものがあれば、ＯＫです。つまり、両者がちょっとでも重なる時が、あるｘが[2] を満たす時です。これが、－２＜ａ＜３　です。ａ＝－２だと、ｘ＝０は、どちらにも属さず、重なり部分がないので、ダメです。　 http://yosshy.sansu.org/

	33248．Re: 1次不等式
	名前：フラッシュ　高2 日付：7月26日(木) 21時59分
	理解できました。ご丁寧な解答をありがとうございます。

33222．足し算について

名前：ラズマリー 日付：7月25日(水) 20時55分

初めまして。
検索でたどり着きました。色々自分なりに調べてみたのですが、答えが見つからないので、こちらで質問させて下さい。

小学校一年の息子の足し算についての質問です。
息子の担任の先生は文章問題の時に
例えば『右手に飴を３個持っています。左手に５個持っています。併せて何個でしょうか』という問題の場合、

【しき】３＋５　【こたえ】８個

と書くように指導しているようです。
理由はもし３＋５＝９と勘違いしていた場合、

【しき】３＋５＝９　【こたえ】９個
と書いてしまうと部分点さえもらえなくなるけど

【しき】３＋５　　　【こたえ】９個
と書いていれば部分点さえもらえるからだそうです。

教科書をみると
【しき】３＋５＝８　【こたえ】８個

と書いてあります。
担任の先生の書き方に少し違和感を感じてますが、間違いなのか間違いでないのかさえわかりません。

とりとめもない質問で申し訳ございませんがよろしくおねがいします。

	33227．Re: 足し算について
	名前：ヨッシー日付：7月25日(水) 23時33分
	部分点を取れる取れないは、ほとんど採点者のさじ加減ですし、小一から、そういうことを気にしていても、仕方ないと思います。私から見れば、【しき】３＋５＝９　【こたえ】９個と【しき】３＋５　　　【こたえ】９個の、価値は同じです。 ×なら両方×、△なら両方△です。　 http://yosshy.sansu.org/

	33229．Re: 足し算について
	名前：angel 日付：7月26日(木) 0時16分
	ヨッシーさんに賛成です。と、いうか、その先生の考え方だと、学年が進んでからやる文章題で、「1,000円で 200円のお菓子を買ったお釣りを、2人兄弟に均等に分け与えた。兄弟1人に与えられた金額はいくらか」を、　式：　　1000-200=800 　　800÷2 　答：400円のように中途半端に書こうとでも言うのですか? と。最初の式の =800 を抜いたら、もっと変ですしね。 ※まさか、(1000-200)÷2 しか許さない、とも言えないでしょうおそらくはその先生のオリジナルの考えなのでしょうが、的を外しているとしかいえないですね。 ※私は昔から(小学校の)先生というものを信用していないので、恐らく厳しい書き方になっているでしょうが、細かい点に関してはあまり拘らずに、柔軟に対応できた方が、精神衛生上楽だと思いますよ。書き方の問題に過ぎない、と思えばそれほど重要ではない…と。

33221．場合の数

名前：ShoWat 日付：7月25日(水) 18時18分

【問題】
赤、青、黄の３色のカードが１０枚ずつ、計３０枚ある。各色のカードには
それぞれ１から１０までの番号が１つずつ書いてある。この３０枚のカード
のうちから３枚を一度に取り出すとき、次の場合の数を答えよ。
（１）３枚の番号がすべて異なる取り出し方
（２）３枚のうち２枚が同じ番号で、１枚が別の番号である取り出し方

	33225．Re: 場合の数
	名前：angel 日付：7月25日(水) 23時17分
	「一度に」と書いてあっても、「順番に」考えるのが吉の時も多いですね。 (1) 　1枚目 … 30枚の内、どれを引いても良いので 30通り　2枚目 … 1枚目と同じ数を除いた 27枚ならO.K. 27通り　3枚目 … 1,2枚目と同じ数を除いた 24枚ならO.K. 24通り　ここまでで、30×27×24通り　ただし、最終的には組み合わせで考えるため、　(A,B,C) を A→B→C, A→C→B, B→A→C, B→C→A, C→A→B, C→B→A の　3!重に数えていることを考慮し、÷3! 　つまり、30×27×24÷3! (2) 　数字と色を別々に考えてみる。　　1～10の数字を 1つ選んで、その数字で 3色中2色のカードを引き、　　残り 9個の数字から 1つ選んで、その数字で 3色中1色のカードを引く。　　10C1×3C2×9C1×3C1

	33226．Re: 場合の数
	名前：ぐるる日付：7月25日(水) 23時22分
	疑問なんですが、赤、青、黄と分けられていない場合はどうなるのでしょうか。色分けされずに10枚ずつセットになっているという意味です。

	33228．同色3組30枚の場合
	名前：angel 日付：7月26日(木) 0時0分
	To:ぐるるさんそれは非常にシンプルです。 (1) は、1～10 の内 3数の選び方、10C3 (2) は、1～10 の内 1数を選び ( 2枚分 )、残る 9数の内 1数を選ぶ ( 1枚分 )、10P2 重要なのは、「何と何を同一視するか」です。 3色30枚であれば、(赤1, 青2, 黄3) と、(青1, 青2, 黄3) は別のものとして区別されます。しかし、同色3組30枚の場合、A,B,Cの組があるとすると、 (A1, B2, C3) と、(B1, B2, C3) は、上と似たような状況でありながら、区別されずに同一視されます。( 1通りの中にまとめられる ) なお、確率を考える場合には注意が必要です。「同様に確からしい」単位で区別し考える、つまり「見た目が同じ」で同一視してはいけないからです。

	33271．Re: 場合の数
	名前：ShoWat 日付：7月27日(金) 22時0分
	angel さんへありがとうございました。

33218．分かりません

名前：マリオ 日付：7月25日(水) 1時28分

【1】　n＝0,1,2,3・・・に対し、
I[n]=∫[0～π/2]sin^n xdxとおく。
（1）I[n]をI[n-2]で表せ。（n≧2）
（2）I[n]を求めよ。（n≧2）

【2】関数f(x)=∫[x～2x+1]dt/(t^2+1)について、
（1）不等式f(x)＞0を解け。
（2）f'(x)を求めよ。
（3）f(x)の最大値を求めよ。

この2題の解き方が分かりません。解説よろしくお願いします。

	33220．Re: 分かりません
	名前：ヨッシー日付：7月25日(水) 17時17分
	【2】 g(x)＝1/(x^2+1) と置きます。また、g(x) の原始関数を G(x) と置きます。つまり、G'(x)＝g(x) (1) g(x)＞０なので、f(x)＞０と x＜2x+1 (積分範囲が反転していない)は、同値です。よって、ｘ＞－１ (2) 　f(x)＝Ｇ(2x+1)－Ｇ(x) より、　f'(x)＝2G'(2x+1)－G'(x)＝2/{(2x+1)^2+1}－1/(x^2+1) 　　＝-x(x+2)/(x^2+1)(2x^2+2x+1) (3) 　f'(x)＝-x(x+2)/(x^2+1)(2x^2+2x+1) の分母は常に正なので、f'(x) は、　ｘ＜－２、ｘ＞０で負　－２＜ｘ＜０　で正となります。(1) の結果と合わせると、ｘ＝０で、f(x) は極大かつ最大になります。よって、求めるのは、　f(0)=∫[0～1]dt/(t^2+1) です。t^2＝tanθ とおくと、dt/dθ＝1/cos^2θ、　1/(t^2+1)＝cos^2θ また、0≦ｔ≦１は、0≦θ≦π/4 に相当します。以上より、　f(0)=∫[0～1]dt/(t^2+1)＝∫[0～π/4]dθ＝π/4 　 http://yosshy.sansu.org/

	33223．Re: 分かりません
	名前：教得手　学日付：7月25日(水) 21時9分
	【1】 I[n]＝∫[0～π/2]sin^n xdx＝∫[0～π/2](-cosx)'sin^(n-1) xdx 　＝[(-cosx)sin^(n-1)x](π/2～0)－∫[0～π/2](-cosx)(n-1)sin^(n-2) xcosxdx ＝(n-1)∫[0～π/2](1-sin^2x)sin^(n-2) xdx ＝(n-1)I[n-2]－(n-1)I[n] ゆえに、移項して整理するとＩ[n]＝n/(n-1)*Ｉ[n-2]　　となります。

	33246．Re: 分かりません
	名前：マリオ日付：7月26日(木) 21時51分
	【1】（3）はどのようにすればいいのでしょうか

	33257．Re: 分かりません
	名前：教得手　学日付：7月27日(金) 1時21分
	あっ！(2)を見落としていました。失礼しました。Ｉ[0]＝∫[0～π/2]sin^0 xdx＝∫[0～π/2]dx＝π/２Ｉ[1]＝∫[0～π/2]sin xdx＝[-cosx](π/2～0）＝１よって、漸化式より、I[n]=∫[0～π/2]sin^n xdx　の値はｎが正の偶数のとき・・{(ｎ-1)/ｎ}{(n-3)/(n-2)}・・・(1/2)(π/2) ｎが正の奇数のとき・・{(ｎ-1)/ｎ}{(n-3)/(n-2)}・・・(4/5)(2/3）　となります。

	33258．Re: 分かりません
	名前：マリオ日付：7月27日(金) 1時55分
	どうして、ｎが正の偶数のときと奇数のときとに場合わけをしなければならないのでしょうか。

	33259．Re: 分かりません
	名前：教得手　学日付：7月27日(金) 7時39分
	漸化式は、I[n]とI[n-2] の関係式で１つ跳びで求まっていきます。　偶数の場合は I[0]がスタートとして順次求まっていき　奇数の場合は I[1]がスタートとして順次求まっていきます。要するに、偶数の場合と奇数の場合とでは系列が違うということになります。

33215．これはヨッシー先生ですか？

名前：コスモス 日付：7月24日(火) 20時59分

http://www.yokozuna.org/abacus/kaiho.pdf

ようやく納得しました。有難うございました。
皆さんにご迷惑おかけして。申し訳ありませんでした。
色々とやり方があるらしく又練習の問題集なども
問い合わせしましたが
やはり、開立の需要がないので教科書もない
とのことでした。でもようやく先が見えてきました。
ファイト！です。
ヨッシー先生にもご迷惑おかけしました。有難うございました。

	33219．Re: これはヨッシー先生ですか？
	名前：ヨッシー日付：7月25日(水) 8時36分
	これは、詳しいですね。もちろん、私ではありませんが。　 http://yosshy.sansu.org/

33212．積分面積問題

名前：すう　高校３年 日付：7月24日(火) 19時46分

x=cosθ-sinθ　y=cosθsinθ　

で表される曲線の0≦θ≦π/2の部分と

x軸とで囲まれた部分の面積を求めよ。

すみません　教えてください

	33214．Re: 積分面積問題
	名前：ヨッシー日付：7月24日(火) 20時7分
	まず、ｘとｙとの関係ですが、　x^2＝cos^2θ＋sin^2θ－２cosθsinθ 　　＝１－２ｙより、　ｙ＝-x^2/2＋1/2 の放物線（の一部）になります。次に、　ｘ＝√2{(√2/2)cosθ＋(-√2/2)sinθ} sinα＝√2/2, cosα＝-√2/2 となる角として、α＝3π/4 を見つけ　ｘ＝√2sin(θ＋3π/4) 　ｙ＝sin2θ／２より、0≦θ≦π/2 のとき、-1≦ｘ≦1、0≦ｙ≦1/2 となり、　ｙ＝-x^2/2＋1/2 の、-1≦ｘ≦1 の部分のグラフになります。よって、面積は、　∫[-1～1](-x^2/2＋1/2)dx を計算して、2/3 となります。　 http://yosshy.sansu.org/

	33217．Re: 積分面積問題
	名前：すう　高校３年日付：7月25日(水) 0時14分
	よく分かりましたありがとうございました

33211．集合（数A）

名前：ShoWat 日付：7月24日(火) 18時21分

【問題】
あるクラスの生徒４０人に、英語・数学・国語の試験を行ったところ、
英語が６０点以上の生徒は２３人、数学が６０点以上の生徒は１８人、
国語が６０点以上の生徒は２０人であった。このとき、英語と数学がと
もに６０点以上の生徒は、少なくとも（　ア　）人、多くて（　イ　）
人である。
数学と国語がともに６０点未満の生徒の人数は、数学と国語がともに６０点以上の生徒よりも（　ウ　）人多くなる。

【質問】
式を使わずに考えました。
まず、（　イ　）の英語も数学も６０点以上の生徒は、数学６０点
以上の生徒全員が英語も６０点以上の場合と考え、１８人。また、
（　ア　）は、英語６０点以上と数学６０点以上の生徒が全く重ならな
い場合４１人で、全体が４０人なので、（４１－１）で１名。

（ウ）は分かりませんでした。

模範解答では式を立てています。
英語が６０点以上の生徒の数をＡ、数学が６０点以上の生徒の数をＢと
して、
ｎ（Ａ∩Ｂ）＝ｘ、ｎ（Ａ∩Ｂ￣）＝ａ、ｎ（Ａ￣∩Ｂ）＝ｂ、
ｎ（Ａ￣∩Ｂ￣）＝ｃ
とおいて、
ａ＋ｘ＝２３、ｂ＋ｘ＝１８、ａ＋ｂ＋ｃ＋ｘ＝４０
としてあるのです。

しかし、略解だけで（ア）１、（　イ　）１８、（ウ）２
とあり途中経過や詳しい考え方、計算上の決まりや計算の仕方が分かり
ません。

特に苦手分野なのでお手上げです。
よろしくお願いいたします。

	33213．Re: 集合（数A）
	名前：ヨッシー日付：7月24日(火) 19時55分
	（ア）（イ）は、良いですね。念のために、国語も含めて、つじつまの合う数字であることを確認しておきましょう。（ウ）は、国数とも６０点以上： 0, 1, 2, 3, 4,・・・国語だけ６０点以上：20,19,18,17,16,・・・数学だけ６０点以上：18,17,16,15,14,・・・国数とも６０点未満： 2, 3, 4, 5, 6,・・・という表を作れば、国数とも６０点未満が、常に２人多いことがわかります。式で書くなら、国数とも６０点以上が、ｘ人とすると、国語だけが２０－ｘ人、数学だけが１８－ｘ人残り（国数とも６０点未満）が　４０－ｘ－（２０－ｘ）－（１８－ｘ）＝２＋ｘとなり、ｘより２人多いことになります。　 http://yosshy.sansu.org/

33209．開基

名前：L.A 日付：7月24日(火) 14時9分

X を集合とします。
このとき、X の部分集合族Bが
(1) ∀x ∈ X , ∃U ∈ B ; x ∈ U
(2) ∀U ∈ B , ∀V ∈ U ∩ V , ∃W ∈ B ; x ∈ W ⊂ U ∩ V
をみたすとき、Bを開基とするX上の位相Oが唯1つだけ存在する。

この証明は
「O={O⊂X ; ∃{B_λ} s.t. O=∪_λ∈ΛB_λ}∪φ
と置いてこれが位相の公理を全て満たすことを示す」
という方針で宜しいのでしょうか？

33204．２次関数の最大・最小の問題です…

名前：INI 日付：7月23日(月) 22時12分

２次関数y=-x^2+ax+bがある。そのグラフが放物線y=x^2+2x-2の頂点を通るとき、次の問いに答えよ。ただし、a>2とする。

(1) aとbの満たす条件を求めよ。
(2) -1≦x≦0のとき、２次関数y=(-x^2+ax+b)-(x^2+2x-2)の最大値が4となるようなa,bの値を求めよ。

(1)の答えはb=a-2 ただしa>2 で、(2)の答えはa=4,b=2らしいです。
(1)は解けたのですが、(2)の解き方がわからないです...
解説宜しくお願いします。

	33206．Re: ２次関数の最大・最小の問題です…
	名前：ヨッシー日付：7月23日(月) 23時14分
	展開して整理すると、　y=(-x^2+ax+b)-(x^2+2x-2)=-2x^2+(a-2)x+(b+2) b=a-2 より　y=-2x^2+(a-2)x+a=-2{x-(a-2)/4}^2 + (a-2)^2/8 + a より、このグラフの頂点は　（(a-2)/4，(a+2)^2/8） a＞2 のとき、頂点のｘ座標は、(a-2)/4＞０また、このグラフは、上に凸なので、 -1≦x≦0 では、ｘ＝０で、最大値を取ります。これが４になるので、　y=-2x^2+(a-2)x+a に、ｘ＝０を代入して、y=a=4 以上より、ａ＝４，ｂ＝ａ－２＝２　 http://yosshy.sansu.org/

	33208．Re: ２次関数の最大・最小の問題です…
	名前：INI 日付：7月24日(火) 4時14分
	解説ありがとうございますww とてもよくわかりました＾＾

33200．(untitled)

名前：やすし 日付：7月23日(月) 18時3分

つぎの連立２元1次方程式の解をグラフをつかって求めなさい

　３ｘ＋２ｙ－４＝０
　２ｘ+５ｙ＋１＝０

よろしくおねがいします

	33201．Re: (untitled)
	名前：ミッキー日付：7月23日(月) 18時10分
	2式ともにyについて解き、グラフを描いて交点の座標を求める。 (グラフを使って求めよ、というくらいだから、きれいな座標のはず)

	33202．Re: (untitled)
	名前：やすし日付：7月23日(月) 18時17分
	できればグラフを書いてくれればうえれしいですおねがいします

	33203．Re: (untitled)
	名前：ミッキー日付：7月23日(月) 18時53分
	連立方程式の解が意味するものを知っているかだけではなく、グラフを描けるかどうかも問われているのです。座標を読み取るのは簡単です。グラフの描き方は教科書の例などを参考にしながら自分で書きましょう。

33193．(untitled)

名前：nijiiro darkness 日付：7月22日(日) 21時49分

y=fxが連続な区間では逆関数も連続、またｙ＝ｆ(ｘ)、ｚ＝ｇ(ｙ)が連続な区間ではｚ＝ｇ(ｆ(ｘ))という合成関数も連続なのはどうしてですか！？

	33210．Re: (untitled)
	名前：どらやき日付：7月24日(火) 16時53分
	次の命題があります。 Xをコンパクト位相空間,YをHausdorff空間とするとき、 f:X→Y 連続全単斜 ⇒ f^(-1):Y→X も連続これを使うと、A,BをRの有界閉区間、f:A→B 連続全単斜について、 f^(-1):B→Aは連続となります。 g(f(x))をgf(x)と表記することにします。 X,Y,Zを位相空間,f:X→Y,g:Y→Z どちらも連続写像とします。 UをZの任意の開集合とすると、 (gf)^(-1)(U)=f^(-1)(g^(-1)(U)) gは連続なので、g^(-1)(U)はYの開集合。 fは連続なので、f^(-1)(g^(-1)(U))はXの開集合。したがって、g*fは連続となります。

	33216．Re: (untitled)
	名前：nijiiro darkness 日付：7月24日(火) 22時12分
	すごいです！！ありがとうございます！

33190．「余り」の証明問題

名前：ShoWat 日付：7月22日(日) 21時23分

下の問題について教えてください。
【問題】
a, b を自然数とし、a を 8 で割った余りを r、b を 8 で割った余りを　s
とする。
(1) a+b を８で割った余りと r+s を８で割った余りが等しいことを示せ。
(2) a^2 を８で割った余りとr^2 を８で割った余りが等しいことを示せ。
(3) 平方数を８で割ったとき、余りとして得られる数を全て求めよ。
　　ただし、平方数とは自然数の平方となっている数のことである。
(4) ２つの平方数の和を８で割ると余りは３にはならないことを示せ。

	33192．Re: 「余り」の証明問題、続き
	名前：ShoWat 日付：7月22日(日) 21時47分
	すみません。途中で送信してしまいました。 (1) について、私の答案ですが、これでよろしいですか。 a=8p+r・・・① b=8q+s・・・②　とおく。 ①＋②より、 a+b=8(p+q)+r+s・・・③ ③の両辺を８で割ると (a+b)/8=(r+s)/8+(p+q)・・・④ ③を変形して、 r+s=a+b-8(p+q)・・・③’ ③’の両辺を８で割ると (r+s)/8=-(a+b)/8+(p+q)・・・⑤ ④、⑤の余りはそれぞれ(p+q)で表せるので、等しい。 (2)も基本的に(1)と同じ形式となりました。 (3)は平方数=1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 84, ,,,と無限に続きます。とりあえず、余りは、９のとき１、１６のとき０，２５のとき１，３６のとき４などとやってみましたが、埒があきません。まず、平方数を一般的な式で表せればとは思うのですが、それが出来ません。 (4)　も同様に思いつきません。どうかよろしくお願いいたします。

	33196．Re: 「余り」の証明問題
	名前：ShoWat 日付：7月22日(日) 22時13分
	(1)について符号間違えました。余り：(p+q)、と-(p+q)なので違います。

	33199．Re: 「余り」の証明問題
	名前：ヨッシー日付：7月23日(月) 10時0分
	＞③の両辺を８で割るとの部分に無理がありますね。余りの式　Ｐ＝Ｑｘ＋Ｒ　は、この形のまま使った方が良いでしょう。 (1) 条件より、ある０以上の整数p,q に対して、　a=8p+r 　b=8q+s と置けます。また、r+s を 8 で割った余りを t とすると、ある０以上の整数uに対して、　r+s＝8u+t とおけます。以上より、　a+b=8(p+q)+r+s 　　=8(p+q)+8u+t 　　=8(p+q+u)+t となり、a+b を８で割った余りも t となり、題意を満たします。 (2)解法１ (1)と同様に、a=8p+r と置けます。また、r^2 を 8 で割った余りを t とすると、ある０以上の整数 u に対して、　r^2=8u+t と書けます。このとき、　a^2=(8p+r)^2=64p^2+16pr+r^2=64p^2+16pr+8u+t=8(8p^2+2pr+u)+t となり、a^2 を８で割った余りも t となり、題意を満たします。 (2)解法２ (1)と同様に、a=8p+r と置けます。 a^2 を８で割った余りと、r^2 を８で割った余りが等しいことは、 a^2－r^2 が８で割り切れることと、同値です。　a^2－r^2＝(a+r)(a-r)＝8p(a+r) より、a^2－r^2 は、８で割り切れるので、題意を満たします。 (3) すべての自然数 a は、　a=8p+r　(ただし、p は０以上の整数、ｒは０から７までの整数) と置けます。よって、a^2 を８で割ったときの余りは、(2) の結果より、 r^2 を８で割ったときの余りで、表されます。ｒに、0,1,2,3,4,5,6,7 をあてはめて、 r^2 の余りを調べると、余りとして得られる数は、順に 0,1,4,1,0,1,4,1 であり、0,1,4 に限られます。 (4) ２つの平方数の和　a^2+b^2 を考えます。 a^2 を８で割ったときの余りは、(3) の結果より、0,1,4 のいずれかです。 b^2 についても同様です。 a^2+b^2 を８で割った余りは、(1) の結果より、　0+0, 0+1, 0+4, 1+0, 1+1, 1+4, 4+0, 4+1, 4+4 を８で割ったときの余りのいずれかになります。これらに、余りが３となるものは含まれないので、２つの平方数の和を８で割ると余りは３にはなりません。　 http://yosshy.sansu.org/

33185．場合の数　2

名前：K 日付：7月22日(日) 20時4分

度々申し訳ありません。
高一の場合の数についての問題です。
解説をお願いいたします。

1. 赤、青、白、黄、緑の5枚の札を1列に並べる。
　左端には赤を置かず、且つ右端には青を置かないような並べ方は何通りあるか。
　A.78通り

2. 立方体の６つの面に1から6までの数字を１つずつ書いて、サイコロのようなものを作る。
　このとき、異なるものは何通りできるか。
　また、相対する２つの面の数字の和が7になっているものは何通りあるか。
　ただし、数字の書く向きは区別しないものとする。
　A. 順に 30通り、2通り

よろしくお願いします。

	33186．Re: 場合の数　2
	名前：七日付：7月22日(日) 20時27分
	1. 左端から考えましょうか。赤はおけませんから 4通りなのですがこのうち左端を青にした場合は残りはどう置いてもかまいませんから 4!＝24 通り左端を赤，青以外の3色にした場合右端に青はおけませんから右端には青以外の3通り間には残りを自由におけますから 3×3×3!＝54 通りよって 24＋54＝78 通り 2. 一つの面を 1 にしてそれを下にして置いたものを想像してください。上の面には2～6 の5通り，そのそれぞれについて残りの4つの数の円順列を考えればよいから 5×(4－1)!＝30 通り　また、相対する２つの面の数字の和が7になっているものは一つの面を 1 にしてそれを下にして置くと上は 6 に決まってしまう。側面のうちの一つを 2 にするとその向かい側も5に決まってしまう。したがって 2 の左または右に 3 を入れる場合があるから 2通り.

	33191．Re: 場合の数　2
	名前：K 日付：7月22日(日) 21時25分
	七さんご丁寧な解説ありがとうございました。

	33195．Re: 場合の数　2
	名前：七日付：7月22日(日) 22時0分
	最後の問についてはこの図の方が分かりやすいかも知れません。ちなみに正式のさいころは左のようになっていると聞いたことがあります。

33184．お願いします

名前：Ini 日付：7月22日(日) 19時55分

２次関数y=ax^2+bx+cのグラフが、２点(-1,0),(3,8)を通り、直線y=2x+6に接するとき、a,b,cの値を求めよ。

宜しくお願いします!

	33187．Re: お願いします
	名前：ヨッシー日付：7月22日(日) 20時58分
	２次関数の式と、直線の式を、連立させた２次方程式が、重解を持つとき、２次関数のグラフと、直線は接します。よって、y=ax^2+bx+c と、y=2x+6 を連立させた、　ax^2+bx+c＝2x+6 が、重解を持つ。整理して、　ax^2＋(b-2)x＋(c-6)＝0 判別式を取って、　(b-2)^2-4a(c-6)＝0　・・・(1) y=ax^2+bx+c が、(-1,0) を通ることより、　a-b+c＝0　・・・(2) 同じく、(3,8) を通ることより、　9a+3b+c＝8　・・・(3) a≠0 を考慮して、(1)(2)(3) を解くと、　a＝-1, b＝4, c＝5 　 http://yosshy.sansu.org/

	33188．Re: お願いします
	名前：Ini 日付：7月22日(日) 21時9分
	回答ありがとうございますｗｗ

33180．整数の問題、についておしえてください。

名前：ShoWat 日付：7月22日(日) 17時5分

【問】
n を整数とする。n を３で割った余りは１，５で割った余りは４、７で割った余りは２であるとする。nを105で割った余りr を求めよ。
ただし、0≦r<105とする。

	33181．Re: 整数の問題、についておしえてください。
	名前：七日付：7月22日(日) 17時23分
	nに26を加えると3，5，7のいずれでも割り切れますから nは3，5，7 の公倍数(105の倍数)より26小さい数ですしたがって nを105 で割ったときの余りrは105－26＝79

	33182．Re: 整数の問題、についておしえてください。
	名前：教得手　学日付：7月22日(日) 18時48分
	[別解]割る数が 3,5,7 の場合、次のようなテクニックもあります。　（３で割ったときの余り）×70　・・・・この場合１70 　（５で割ったときの余り）×21　・・・・この場合、421 　（７で割ったときの余り）×15　・・・・この場合、215 上の３つの数の和Ｎを求めると、これは条件を満たす１つの数になります。　Ｎ＝170+421+215＝１８４よって、最小の自然数は、184-105＝79 これに105の倍数を加えたものはすべて条件を満たすので、一般形は　Ｘ＝１０５ｔ＋７９　・・・・・余りは７９この解法を、百五減算と言うそうです。

33178．命題について

名前：ShoWat 日付：7月22日(日) 15時49分

【問題】
x,y,z は実数とする。各命題が、つぎの４つのうちのどれに当たるか答えよ。

必要十分条件、
必要条件だが十分条件ではない、
十分条件だが必要条件ではない、
必要条件でも十分条件でもない

（１）　x+y<|x| + |y| は、x<0 または　y<0 であるための（　　）。
（２） x^2+y^2≠0 は　x≠0 または　y≠0 であるための（　　）。
（３）　正の整数m について、√m が有理数であることは、
　　　√m が整数であるための（　　）。

【質問】
（１）模範解答では、必要十分条件となっていますが、例えば　x=-1、y=-2
　　　のとき、x+y<|x| + |y|　は成り立ちます。これは x<0 かつ y<0 で
　　　すので、→が成り立ちません。よって、（←の反例がみつからないと
　　　すれば、たとえ、必要条件でも十分条件でもないではないとしても）、
　　　少なくとも「必要条件」と言えると思うのですが、いかがでしょうか。

　　　

（２）模範解答では、x^2+y^2≠0 は、x≠0 または　y≠0 であるための
　　　必要十分条件ですが、x=1.y=2　のとき、x≠0 かつ　y≠0　です。
　　　よって、（←の反例がみつからないとすれば、たとえ、必要条件でも十
　　　分条件でもないではないとしても）、少なくとも「必要条件」とは言え
　　　ると思うのですが、いかがでしょうか。

（３）これも模範解答では、必要十分条件となっています。確かに、反例を
　　　あげることが出来ないのですが、解説が背理法を用いていてよくわか
　　　りません。何とか、わかりやすい説明はないものでしょうか。

よろしくおねがい致します。

	33179．Re: 命題について
	名前：七日付：7月22日(日) 16時13分
	(2) も同様ですので(1)の方だけ x<0 かつ y<0 は x＜0 または y＜0 の反例ではありません。含まれます。 x＜0 または y＜0 の反例(否定)は x≧0 かつ y≧0 です。 (3) については背理法以外では証明しにくいと思いますのでその模範解答のどの部分が分かりにくいのかを書いてみてくれませんか。

33172．２直線のなす角について

名前：ShoWat 日付：7月22日(日) 15時14分

【設問】
２直線 y=sx-3・・・① と　y=(1/3)x+5・・・② のなす角θ　を求めよ。
ただし、0<θ<π/2 とする。

【答案】
傾きは　（yの変化量/xの変化量）なので tanで表せる。
①、②の傾きをそれぞれ、
tanα=2, tanβ=(1/3)と表すと、α>β　より、θ=α-β
よって、
tanθ=tan(α-β)
=(tanα-tanβ)/(1+tanα*tanβ)
={2-(1/3)}/{1+2*(1/3)}
=1

グラフ（ここでは省略）を描いて、
グラフより、θ=π/4

【質問】
ここでは、θの範囲が設問文により制限されていないので、
tanθ=1 ならば、本来　θ=5π/4　も考えられます。

簡単に「グラフより」として、θ=π/4　としてしまいましたが、
解答の吟味として、何故 θ=5π/4 が答ではないか、の説明を加えなくて
よいのでしょうか。
また、説明をするとすれば、「グラフより」ではないものとして、どの
ような説明があるでしょうか。

よろしくお願いいたします。

	33173．Re: ２直線のなす角について
	名前：ShoWat 日付：7月22日(日) 15時16分
	【訂正】ここではθの範囲が制限されていますが、もし、制限されていないとすれば、「グラフより」の他にどのような、説明があるでしょうか。質問を間違えてすみません。よろしくお願いいたします。

	33176．Re: ２直線のなす角について
	名前：七日付：7月22日(日) 16時1分
	直線とx軸の正の向きとのなす角α，βは 0＜α＜π，0＜β＜π ですのでどちらの角が大きいかを考えなくても－π＜α－β＜π です。常識的に考えても2直線のなす角を答えるのに鈍角の方を言うことはあっても180°を超える角では答えません。

33171．三角関数の合成

名前：ShoWat 日付：7月22日(日) 14時58分

【設問】
次の式を　rsin(θ+α)　の形で表しなさい。ただし、-π＜α＜π　とする。
(1) sinθ - √3*cosθ
(2) -sinθ + cosθ

【答】
(1)2sin(θ-π/4)
(2)√2*sin(θ+3π/4)

【質問】
(2)についてです。

-√2 を括りだして、-√2*sin(θ-π/4)　としてはいけませんか。
ここで例えば、θ=π/2 のとき、√2*sin(θ+3π/4)=-√2*sin(θ-π/4)
が成り立ちます。
三角形の合成では、常に　asinθ + bcosθ = √(a^2+b^b)*sin(θ+α)
として、負の数をくくり出すことはしないのでしょうか。

よろしくお願いします。

θ

	33175．Re: 三角関数の合成
	名前：七日付：7月22日(日) 15時25分
	かまわないと思います。ただし、僕が合成をするときは「括り出す」というイメージは持っていません。機械的にP(a，b)をとり，OPを求め，OPとx軸の正の向きとのなす角αを求めて OPsin(θ＋α) を作ります。そのあと必要なら√2sin(θ+3π/4)=-√2sin(θ-π/4) の変形をします。

	33189．Re: 三角関数の合成
	名前：ShoWat 日付：7月22日(日) 21時16分
	七さまありがとうございました。

33169．(untitled)

名前：Grade7 日付：7月22日(日) 14時15分

手品師が１から100までの数字が書かれた100枚のカードを持っている．手品師はその100枚のカード全てを３つの箱（赤い箱，白い箱，青い箱）に入れて，それぞれの箱に少なくとも１枚以上のカードが入っているようにする．

　

ある観客が，異なる２つの箱からカードを１枚ずつ取り出して，カードに書かれている数字の合計を手品師に教える．教えられた値をもとに，手品師はカードが引かれなかった箱の色を当てる．

　

このようなトリックが成立するようなカードの入れ方は何通りあるか．

　

（少なくとも１枚のカードが別の箱に入っているとき，異なる入れ方だと数える．）

	33198．Re: (untitled)
	名前：らすかる日付：7月23日(月) 0時17分
	答は12通りだと思いますが、出典はどちらでしょうか？ http://www10.plala.or.jp/rascalhp

	33205．らすかるさんへ
	名前：Grade7 日付：7月23日(月) 22時48分
	数学オリンピック協会です。

	33207．Re: (untitled)
	名前：らすかる日付：7月23日(月) 23時49分
	回答が長くなってしまうと思って聞いたのですが、数学オリンピック協会の問題なら長くなっても仕方ないですね。 3つの箱をA,B,Cとし、各箱の中の最小の数字を比較した場合にCが最大だとします。 Cの最小の数字をn（3≦n≦100）とします。 n=3の場合残りの2箱の最小の数字は1と2ですので、Aの最小が1、Bの最小が2とします。 4をBまたはCに入れると1+4=5と2+3=5が異なる箱の組合せになって、和が5の場合に区別が付きませんので、4はAに入れるしかありません。 5をAまたはCに入れると2+5=7と3+4=7が異なる箱の組合せになって、和が7の場合に区別が付きませんので、5はBに入れるしかありません。 6をAまたはBに入れると3+6=9と4+5=9が異なる箱の組合せになって、和が9の場合に区別が付きませんので、6はCに入れるしかありません。以下同様に、3k+1→A,3k+2→B,3k→Cと入れる必要があります。逆に、このように入れた場合、 AとBから取り出した数字の和は 3m BとCから取り出した数字の和は 3m+2 CとAから取り出した数字の和は 3m+1 となりますので、トリックが成立します。よってn=3の場合、このような入れ方が3!=6通りあります。 n≧4の場合 n-1のカードはCに入っていませんので、Bに入っていることにします。 1,2のカードはCには入りませんので、AかBのどちらかに入ります。 1と2をAに入れると、1+n=n+1がAとC、2+(n-1)=n+1がAとBとなり、和がn+1のときに区別がつきません。 1をB、2をAに入れると、1+n=n+1がBとC、2+(n-1)=n+1がAとBとなり、やはり区別がつきません。よって2はn-1のカードと同じBに入れる必要があります。 3をAに入れると、2+n=n+2がBとC、3+(n-1)=n+2がAとBとなり、区別がつきませんので、3もBに入れる必要があります。以下同様に、2～n-2のカードはすべてBに入れる必要があります。 Aの最小のカードは2未満ですから、1はAに入ります。ここで、4≦n≦99の場合とn=100の場合に分けます。 4≦n≦99の場合 n+1のカードをAに入れると、2+(n+1)=n+3がAとB、3+n=n+3がBとCとなり不適です。 n+1のカードをBに入れると、1+(n+1)=n+2がAとB、2+n=n+2がBとCとなり不適です。 n+1のカードをCに入れると、1+(n+1)=n+2がAとC、2+n=n+2がBとCとなり不適です。よってn+1のカードをどこに入れてもトリックが成立しませんので、 4≦n≦99の場合の解はありません。 n=100の場合 A=(1), B=(2～99), C=(100) AとBから取り出すと、和が3～100 BとCから取り出すと、和が102～199 CとAから取り出すと、和が101 となりますので、トリックが成立します。よってn=100の場合、このような入れ方が3!=6通りあります。以上により、トリックが成立するようなカードの入れ方は (3k)(3k+1)(3k+2) に分けるのが 6通り (1)(2～99)(100) に分けるのが 6通りの計12通りとなります。 http://www10.plala.or.jp/rascalhp

33158．場合の数

名前：K 日付：7月22日(日) 1時14分

高一の数学問題なのですが、どうにも場合の数は苦手のようです。
下記の問題の解説をお願いします…。

1. 5人に招待状を送るため、宛名を書いた招待状と、それを入れる宛名を書いた封筒を作成した。
　招待状を全部間違った封筒に入れる方法は何通りあるか。

2. A、B、Cの3人に、りんご3個、みかん4個、メロン10個を分配する方法は何通りあるか。
　ただし、3人とも何か一個は受け取るとする。

	33159．Re: 場合の数
	名前：K 日付：7月22日(日) 1時16分
	すいません。上記の問題の解答を入れ忘れたので追記します。 1. 44通り 2. 9243通りよろしくお願いします。

	33162．Re: 場合の数
	名前：らすかる日付：7月22日(日) 9時36分
	1 全部間違った封筒に入るのは封筒 1 2 3 4 5 宛名 2 1 4 5 3 のように2つの入れ替えと3つの巡回になるパターンと封筒 1 2 3 4 5 宛名 2 3 4 5 1 のように5つの巡回になるパターンの2種類しかありません。前者は 5C2×2=20通り、後者は(5-1)!=24通りなので、合計は44通りです。 2 特定の2人が1個も受け取らないのは1通りなので、 2人が1個も受け取らないのは1×3=3通り特定の1人が1個も受け取らないのは2H3×2H4×2H10=220通りなので特定の1人だけが1個も受け取らないのは220-2=218通りよって1人だけが1個も受け取らないのは218×3=654通り受け取らない人がいても良い場合は全部で3H3×3H4×3H10=9900通りなので答は9900-654-3=9243通り http://www10.plala.or.jp/rascalhp

	33183．Re: 場合の数
	名前：K 日付：7月22日(日) 19時39分
	丁寧な解説ありがとうございました！とても分かりやすかったです。また度々質問しにくるかもしれません。よろしくお願いします。

33155．本当に馬鹿なのでしょうか

名前：コスモス 日付：7月21日(土) 21時46分

どう考えても分からないんです。
段位の練習問題には開立は乗ってないんです。

	33161．感想
	名前：angel 日付：7月22日(日) 9時36分
	横から失礼します。私はソロバンに関しては全くの素人ですが、ヨッシーさんの「開立」の解説には非常に感嘆しました。上手い事できているものですね。で、数学的な興味から仕組みを考える、というのはアリだと思うのですが、ソロバンで開立ができるように、という目的となると、むしろ仕組みはどうでも良いと思います。そういった仕組みに煩わされずに、決まった手順で答えが出るのが、恐らくは良いところなのでしょうから。なので、分からなくても良いので手順をなぞること、正確に手順を再現できること、が重要なのではないでしょうか。

	33163．とはいえ
	名前：angel 日付：7月22日(日) 9時44分
	とはいえ、私の場合は数学的興味onlyなので、仕組みを考えてみました。ヨッシーさんの解説にある、[3]√3 の例に沿って説明してみます。まず、大前提として、この計算は、　桁数を1ずつ増やし、より [3]√3 に近い値を探ること。　結果として、1 → 1.4 → 1.44 → 1.442 → … と、答えの精度が上がっていく言い換えると、　前回までの答えより、桁数の精度を上げた時の差分を探っていく　最初の 1 を起点として、+0.4 → +0.04 → +0.002 → … と、差分が求まっていくとなるでしょう。次に、そのアルゴリズムを解明します。

	33164．アルゴリズム
	名前：angel 日付：7月22日(日) 10時15分
	以下では、次の文字を使用します　a … 今まで求めた答え　b … 計算用の基礎となる数、b=3a の関係がある　r … 余り。[3]√3 の場合、3 - a^3 に等しい　⊿a … 次の a と、今までの a の差分　i … 計算の中間で出て来る数値　p … 次に考える桁の精度 ( 小数点第何位まで計算するか ) ヨッシーさんの手順 3～6 についてです。 http://yosshy.sansu.org/cool/sansu/cbr_abacus2.htm 前提：整数部分 ( 小数点以下 0 桁 ) まで答えが求まっていて、　a=1, b=3, r=2, p=0 となっている。p を 1 増やし、p=1 の時を計算する。手順3：r ÷ b を、小数点第 p 位まで計算し、商を i に、余りを r に代入する。　i=0.6, r=0.2 　計算としては、　　r ÷ b の結果を i に代入し、r から bi を引く　と同じ事手順4：⊿a に 0.4 を代入し、i から ⊿a(a+⊿a) を引く　⊿a=0.4, i=0.04 　この時の⊿a は、i から引き算をした結果、ぎりぎり 0 を下回らない程度を目指して決定することになる。手順5： r に ib を足す　r=0.32 手順6： r から (⊿a)^3 を引く、b に 3⊿a を足す、a に⊿a を足す、p を 1 増やす　r=0.256, b=4.2, a=1.4, p=2 　ここで r が 0 を下回るようだと、手順4からやり直し。　なお、「aに⊿aを足す」は、ソロバン上では手順4に相当するが、こちらに持ってきた方が分かりやすいと判断した。計算結果　a は⊿a が足され、1 → 1.4 へ　b は、3⊿a が足され、3 → 4.2 へ、b=3a の関係は崩れない　r は、各手順での i[n] を用いると、　　手順3で、bi[3] が引かれ　　手順5で、bi[4] が足され　　手順6で、(⊿a)^3 が引かれている　　ところで、手順4では、i[4]=i[3]-⊿a(a+⊿a) という計算がある。　　そのため結果として、r は、b⊿a(a+⊿a)+(⊿a)^3 が引かれていることになる。　　もともと、r は 3-a^3 だったため、　　　(新しいr) = 3-a^3-b⊿a(a+⊿a)-(⊿a)^3 　　　= 3 - a^3 - 3a⊿a(a+⊿a)-(⊿a)^3 　　　= 3 - (a+⊿a)^3 　　ということで、r = 3 - (新しいa)^3 を満たす値になっている。　　( 2 → 0.256 )

	33165．Re: 本当に馬鹿なのでしょうか
	名前：angel 日付：7月22日(日) 10時17分
	↑をどんどん繰り返すことで、答えの精度があがるわけですね。 ※良く見たら、下でヨッシーさんが説明されてますね。失礼しました。

	33166．Re: 本当に馬鹿なのでしょうか
	名前：コスモス日付：7月22日(日) 10時59分
	ご丁寧に有難うございました。数学的には私もスイスイと考えられるのですが。子供が次に立てる数をどこからどこを見てたてる数を考えるのか分からないのです。教えるのが難しいのです。小学校４年生ですから。珠算教室の先生もお年寄りでっていっても私の母ぐらいですが今まで開立まで行った子がいなくて分からないんですって今勉強していますっておっしゃって、もう頭がこんがらがってって言われるほどで、あと一回ぐらいは開平２００点満点でいつも２００点とっているので、段は上がると思うのですが、もう次の開立に挑戦しておかないと３回目が終わってしまいますので焦っていました。どうも。皆さんにご迷惑をおかけしているみたいで掲示板を汚してしまいました。こちらは、数学、科学の、算盤の質問だけのコーナーみたいですね。皆さんすごいです。いつも見入ってしまいます。思い出して、そうそうって感心しています。こんな感情を投稿するべきじゃなかったなって思っています。ごめんなさい。やっぱり親が馬鹿でした。

	33167．Re: 本当に馬鹿なのでしょうか
	名前：ヨッシー日付：7月22日(日) 12時37分
	ひとつ気になったこと。開立の解説のある、問題集はきっとあります。なぜなら、私は、それを見て、あの記事を書いたので。　 http://yosshy.sansu.org/

	33168．Re: 本当に馬鹿なのでしょうか
	名前：コスモス日付：7月22日(日) 13時38分
	お世話になっています。私もてっきりそう思って安心していたんです、そしたら、開平は載っていたのですがこれはまあ私も知っていましたので、開立は今の先生から頂く段位の練習問題には載っていないのです。どこかに出版会社が変わると載っているかも知れませんので挑戦してみます。ご迷惑おかけしました。しかし、算盤も大切ですが、数学、化学が面白くってもう朝まで見入ってしまうことしばしばで、本当に学生時代に戻ったみたいで、でももう大学並ですよね。女子で理工って私は、橋を作るのに興味があってその道に進んで電卓は４年間に２００個ぐらい潰しました。そのくらい計算ばかりでそれに、もう頭がはげるんじゃないかと思うくらい難しい問題ばかりでした。そしたら、バブルがはじけて世の中は橋を作るどころか、設計事務所は倒産しちゃいました（笑）でもこちらに寄せてもらっていると、又すごく勉強したい衝動にかられます。皆さん！私もですけど、ヨッシー先生がおられて良かったですね。この掲示板世界一だと思います。

	33174．アルゴリズム・改
	名前：angel 日付：7月22日(日) 15時25分
	> 数学的には私もスイスイと考えられるのですが。 > 子供が次に立てる数をどこからどこを見て > たてる数を考えるのか分からないのです。教えるのが難しいのです。教えるのが難しいのは仕方がないですが、数学的にアルゴリズムが分かっていれば、やることはちゃんと整理できると思いますよ。桁合わせのことを考えた、アルゴリズム・改です。ソロバンで小数点の管理をどうするかは分かりませんが、そこさえクリアできれば、このアルゴリズムをソロバン上で再現できるはずです。用意する数　r … 余り、a … 答え、b … ベース(a×3)、i … 中間で一時的に計算する数値・初手　(i) r に、3乗根計算対象の数値を代入する。　(ii) r を適宜回数 1000倍、もしくは 1/1000倍し、1以上1000未満にする。　(iii) a として、a^3 が r を超えない最大の整数を代入する。　(iv) r から a^3 を引く。　(v) b として、a の3倍の数を代入する。・次手以降　(1) r を100倍する。　(2) r を b で割り、商(整数)を i に、余りを r に代入する。　(3) r, a, b を10倍する。　(4) ⊿a に i/a を超えない最大の整数を代入し、a に ⊿a を足し、i から a⊿a を引く　　※この結果 i が 0 を下回るようなら、⊿a としては 1 小さい数を採用し、計算をやり直す　(5) r に ib を足す　(6) r から (⊿a)^3 を引き、b に 3⊿a を足す　この結果、r が 0 になれば終了。最後に答えの桁を調整して終わり。　r が 0 より大きければ、(1) に戻る。　r が 0 を下回るようなら、(4) からをやり直す必要あり ( レアケース )

	33177．アルゴリズム実践
	名前：angel 日付：7月22日(日) 15時44分
	では、[3]√41,278,242,816 の例で。 (i) r=41,278,242,816 (ii) r を (1/1000)^3 倍し、r=41.278242816 (iii) a=3 を採用 ( 3^3=27 < r=41.… < 4^3=64 ) (iv) r から a^3=27 を引き、r=14.278242816 (v) b=3a=9 とする 1-(1) r を 100倍し、r=1427.8242816 1-(2) r÷b を計算、商 i=158, 余り r=5.8242816 1-(3) a,b,r を10倍、a=30, b=90, r=58.242816 1-(4) i/a は 5強だが、5(30+5)>158 で不適。⊿a=4 を採用　　a に⊿aを足して a=34, i から a⊿a=136 を引いて i=22 1-(5) r に bi=1980 を足して、r=2038.242816 1-(6) r から (⊿a)^3=64 を引いて r=1974.242816, b に 3⊿a=12 を足して b=102 2-(1) r を 100倍し、r=197424.2816 2-(2) r÷b を計算、商 i=1935, 余り r=54.2816 2-(3) a,b,r を10倍、a=340, b=1020, r=542,816 2-(4) i/a は 5強のため、⊿a=5 を採用　　a に⊿aを足して a=345, i から a⊿a=1725 を引いて i=210 2-(5) r に bi=214200 を足して、r=214742.816 2-(6) r から (⊿a)^3=125 を引いて r=214617.816, b に 3⊿a=15 を足して b=1035 3-(1) r を 100倍し、r=21474281.6 3-(2) r÷b を計算、商 i=20736, 余り r=21.6 3-(3) a,b,r を10倍、a=3450, b=10350, r=216 3-(4) i/a は 6強のため、⊿a=6 を採用　　a に⊿aを足して a=3456, i から a⊿a=20736 を引いて i=0 3-(5) r に bi=0 を足しても r 変わらず 3-(6) r から (⊿a)^3=216 を引いて r=0 終了今回、答えの桁は調整する必要なし、[3]√41,278,242,816 = 3,456

33154．確率

名前：IGA(浪１) 日付：7月21日(土) 21時31分

数直線上を原点から右（正の向き）に、硬貨を投げて進む。表が出れば１進み、裏が出れば２進むものとする。
このようにして、ちょうど点ｎに到達する確率をPnで表す。
ただし、ｎは自然数とする。

（１）２以上のｎについてPn+1 Pn Pn-1との関係式を求めよ。

（２）Pn（ｎ≧３）を求めよ。

（１）は２以上で扱い（３）では３以上で扱え　というのはどのような理由でそのようにするのでしょうか。

また（２）についてはｎ≧３とあるにもかかわらず漸化式を解くときにn=0,n=1を考えています。
このように範囲が定められていてもそれより小さい数を扱っていいのでしょうか？

お願いします。

	33160．Re: 確率
	名前：angel 日付：7月22日(日) 9時22分
	> （１）は２以上で扱い（２）では３以上で扱え　というのはどのような理由でそのようにするのでしょうか。数列としての P が第1項から始まっているとすれば、P[n-1] という表記が出た時点で、n-1≧1 です。なので、n≧2 と扱うのは自然です。一方、(1) の答えは P[n+1]=( P[n]+P[n-1] )/2　( n≧2 ) ですが、これを書き直すと、　P[n] = ( P[n-1]+P[n-2] )/2　( n≧3 ) と同じ事。つまり、漸化式を活用して値が求まるのは、P[3] 以降ということです。なので、n≧3 を指定しているのでしょう…。とはいえ、n≧3 の指定は、私は不要だと思いますけどね。( n≧1 でいいじゃないか、と ) > また（２）についてはｎ≧３とあるにもかかわらず漸化式を解くときにn=0,n=1を考えています。 > このように範囲が定められていてもそれより小さい数を扱っていいのでしょうか？問題で P[1] 以降を想定しているといえども、矛盾なく P[0] が規定できるなら、特に問題はないと思います。とはいえ、一言説明する必要はあるでしょうけれど。 ※ P[0] を「原点にちょうどいることがある確率」と考え、( スタート時に必ずいるため ) P[0]=1 と規定するのは、P[1] 以降や漸化式と矛盾せず、整合性がとれていますから。

	33197．Re: 確率
	名前：IGA(浪１) 日付：7月22日(日) 23時30分
	ｎは自然数と問題文でいっているのにｎ＝０を使うのがなんだが気持ち悪いです。なるほど、わかりました。有り難うございます。

33151．有難うございました。

名前：コスモス 日付：7月21日(土) 19時16分

ご丁寧なお返事いただき恐縮です。
そうですね、子供には難しいです。応用問題でも同じですから
この字が出てきたら、このようにするとか極端な話ですが
そう教えてきました。小学生ですから本当に難しいです。
今回の例題の立法根３は答えが分かっている大人でも
難しいです。私自身もやっぱり分かりにくいです。
いっそ以前の４桁ぐらいのもので、答えが分かっていない
もののほうが分かるようなきがするのですが。
どうでしょうか、私にも子供に教えるように
教えていただけませんでしょうか、４桁ぐらいの立法根
でお願いできませんでしょうか。

33148．化学ですが・・

名前：ユイ日付：7月21日(土) 16時9分

式量、分子量について、Na2SO4=142.0 , CuSO4=160.0 , H2O=18.0　とする。

硫酸ナトリウム十水和物(Na2SO4・10H2O)の結晶を64.4g取ってビーカーにいれ、これを40℃に保ち続けた。
すると結晶は完全に分解して水和水がすべて液体の水となり、これに無水硫酸ナトリウムが一部溶け込んだ。
ビーカーの底には11.2gの無水硫酸ナトリウムが溶けずに残った。

問１、硫酸ナトリウム十水和物64.4gに含まれる無水硫酸ナトリウムと水和水の質量をそれぞれ求めよ。

これはなんとか解けて、無水硫酸ナトリウムは28.4g、水和水は36.0gと分かりました。

問２、40℃において100ｇの水に溶ける無水硫酸ナトリウムの最大質量は何gか。有効数字3桁で答えよ。

これは教えてもらったとおり比の式にして、溶質:溶液にしてときました。
溶質が28.4-11.2=17.2
17.2:36.0=x:100
x=47.77...=47.8gとなりました。

問３、40℃において100gの水に溶ける硫酸ナトリウム十水和物の最大質量は何gか。整数で答えよ。

この問題が難しくて溶けません。
硫酸ナトリウム十水和物の最大質量をxと置いて
溶液の質量はx+100[g]、溶質はx*142.0/322[g]として
溶液:溶質の比にして
x+100 : x*142.0/322 = 100 : x
となってしまい、答えがマイナスになってしまいます。
散々悩んだんですがどうしても分からないです。

教えてもらえないでしょうか？
おねがいします。

	33149．Re: 化学ですが・・
	名前：angel 日付：7月21日(土) 16時39分
	まずは、問1, 問2 の結果を整理すると、・Na2SO4・10H2O が、無水Na2SO4 と水に分かれた場合、　質量比　無水Na2SO4：水 = 142.0：180.0 ・無水Na2SO4 が、セ氏40度で水に最大限溶けているときは、　質量比　無水Na2SO4：水 = 17.2：36.0 ということですね。では、Na2SO4・10H2O の場合は ? というと、　x(g) の Na2SO4・10H2O の内、　　無水 Na2SO4 … x・142.0/(142.0+180.0) 　　水 … x・180.0/(142.0+180.0) 　そうすると、実際に水溶液中の水は 100(g) よりも多く　　水総量 … 100 + x・180.0/(142.0+180.0) 　ということになります。　これで、無水Na2SO4 と、水を比べる準備が整いました。　最終的に、　　x・142.0/(142.0+180.0)：( 100 + x・180.0/(142.0+180.0) ) = 17.2 : 36.0 　を計算すれば、x が求まります。

	33150．補足 ( 別解? )
	名前：angel 日付：7月21日(土) 16時48分
	ユイさんの案を追及していく方法もありましたね。まず、 > ・無水Na2SO4 が、セ氏40度で水に最大限溶けているときは、 > 　質量比　無水Na2SO4：水 = 17.2：36.0 ここから、　質量比　Na2SO4水溶液：無水Na2SO4 = (17.2+36.0)：17.2 なので、 > 溶液の質量はx+100[g]、溶質はx142.0/322[g]として > 溶液:溶質の比にして > x+100 : x142.0/322 = 100 : x ここは、　x+100：x・142.0/322 = (17.2+36.0)：17.2 となりますね。

	33153．Re: 化学ですが・・
	名前：ユイ日付：7月21日(土) 20時5分
	ありがとうございました！！とっても分かりやすかったです！私のやり方での別解とどうして間違っているのかを指摘してくださってありがとうございました！

33144．魔方陣

名前：√ 日付：7月21日(土) 14時36分

宜しく、お願い致します。

魔方陣で「３ｘ３」の場合
真ん中の枠が、必ず「５」でなければならない
理由を教えて下さい。

	33145．Re: 魔方陣
	名前：angel 日付：7月21日(土) 15時14分
	3×3では、縦・横・斜めの各和は15になります。ここで、1～9 のうち異なる 3数の和が 15 になる組み合わせは、　(1) 1,5,9 　(2) 1,6,8 　(3) 2,4,9 　(4) 2,5,8 　(5) 2,6,7 　(6) 3,4,8 　(7) 3,5,7 　(8) 4,5,6 の 8 通り。ところで、魔法陣の真ん中の数というのは、―｜／＼の4列に共通して含まれます。この4列は、(1)～(8) の内の異なる4種になっています。ということは、魔法陣の真ん中の数字は、(1)～(8) の少なくとも4種類 ( 実際は4種類丁度 ) に含まれている必要があります。そのような条件を満たす数字は、5だけ ( (1),(4),(7),(8) ) ということになります。

	33146．補足
	名前：angel 日付：7月21日(土) 15時7分
	> 魔法陣の真ん中の数字は、(1)～(8) の少なくとも4種類 ( 実際は4種類丁度 ) に含まれている必要があります。同じように考えると、魔方陣の4隅の数字は、(1)～(8) の3種類に含まれている必要があります。この条件に当てはまる数字は、2,4,6,8 残りは、各辺の真ん中に来る、と分かります。

	33147．Re: 魔方陣
	名前：√ 日付：7月21日(土) 15時18分
	ａｎｇｅｌさん　ご丁寧なご説明、有り難うございました。分かりました。後で四隅の事も聞こうと思っていたので助かりました。

33139．(untitled)

名前：nijiiro darkness 日付：7月20日(金) 22時13分

すいません質問させて下さい！

y=sin1/xとy=xsin1/xはx=0で連続か？

という問題なんですけどこんがらがってしまって汗
どなたか数学できる方よろしくお願いします！

	33143．Re: (untitled)
	名前：だるまにおん日付：7月21日(土) 11時14分
	どちらもx=0で定義されないので、不連続では？

	33157．Re: (untitled)
	名前：nijiiro darkness 日付：7月21日(土) 23時29分
	返信ありがとうございます！うーんやっぱり不連続ですよね(^^ でもこれってＸ＝＋０と－０の場合どう計算したらいいんですか？解は不能？

33128．複素

名前：kazu 日付：7月20日(金) 13時2分

cosz=2　　このようになる複素数zを、実部・虚部で全て表せ。という問題が出たのですが、全く検討がつきません。

どなたか解法を詳しく教えてください。よろしくお願いします＞＜

	33129．Re: 複素
	名前：ヨッシー日付：7月20日(金) 13時27分
	使うのはオイラーの公式　ｅ^(ix)＝cosｘ＋ｉsinｘです。 cos^2ｚ＋sin^2ｚ＝１　より、 sin^2ｚ＝１－４＝－３ sinｚ＝±√3ｉよって、　ｅ^(iz)＝２±√3 　iｚ＝log(２±√3) 　ｚ＝－ｉlog(２±√3) かな？ http://yosshy.sansu.org/

	33130．Re: 複素
	名前：ヨッシー日付：7月20日(金) 13時36分
	結果は同じですが、こういう方法もあります。　ｅ^(iｚ)＝cosｚ＋ｉsinｚ　ｅ^(－iｚ)＝cosｚ－ｉsinｚ辺々足して、　ｅ^(iｚ)＋ｅ^(－iｚ)＝２cosｚｅ^(iｚ)＝ｕとおくと、　ｕ＋1/u＝４　ｕ^2－４ｕ＋１＝０　ｕ＝２±√3 これより、　ｅ^(iｚ)＝２±√3 あとは同じです。実部は０、虚部が－log(２±√3)　の純虚数になります。　 http://yosshy.sansu.org/

	33131．Re: 複素
	名前：ヨッシー日付：7月20日(金) 13時39分
	最後の答え方の問題ですが、　log(２－√3）＝－log(２＋√3) なので、ｚ＝±ｉlog(２＋√3) とも書けます。　 http://yosshy.sansu.org/

	33132．Re: 複素
	名前：kazu 日付：7月20日(金) 14時12分
	早速お返事ありがとうございます。本当に助かります。ところで、1番はじめにいただいた回答で、cos^2ｚ＋sin^2ｚ＝１とあったのですが、これはなぜ出てきたのですか？ここの分野も苦手なもので…何度も質問してしまい、申し訳ありません；；

	33133．Re: 複素
	名前：ヨッシー日付：7月20日(金) 16時29分
	cos^2ｚ＋sin^2ｚ＝１　の公式自体は、ｚが実数でも虚数でも変わらなく使えます。なぜ、これを引っ張り出してきたかというと、 sinｚの値を求めて、　ｅ^(iｚ)＝cosｚ＋ｉsinｚに代入するためですね。２番目の方は、sinｚを消去する方法で、 sinｚの値は求めていないので、この公式は使いません。　 http://yosshy.sansu.org/

	33136．Re: 複素
	名前：kazu 日付：7月20日(金) 19時31分
	なるほど…分かりました。これから参考にしていきたいと思います＞＜何度も分かりやすい説明をしてくださって、ありがとうございますm(__)m

33126．化学というか、数学の問題

名前：ユイ日付：7月20日(金) 11時6分

ふつうの分子やイオンの直径は10^(-8)cmほどであるが
コロイド粒子の直径は10^(-7)～10^(-5)cmである。

問題：コロイド粒子はおよそ何個分の分子やイオンから
　　　できていると考えられるか。
　　　10^(a)～10^(b)個のように答えよ。

どう考えればいいのか分からず、式がつくれません。
教えてください(; ;)

	33127．Re: 化学というか、数学の問題
	名前：ヨッシー日付：7月20日(金) 11時53分
	単純な体積の比較で良いと思います。たぶん、それ以上のことは聞いていないでしょう。こういう問題ならできますか？１辺 1cm の立方体の分子があります。一方、コロイドと呼ばれる粒子は、１辺 10cm～100cm の立方体です。コロイド粒子の体積は、分子が、何個集まったものと考えられますか？ 10^(a)～10^(b)個のように答えなさい。　 http://yosshy.sansu.org/

	33134．Re: 化学というか、数学の問題
	名前：ユイ日付：7月20日(金) 18時57分
	ありがとうございました。こういう問題ならできますか？１辺 1cm の立方体の分子があります。一方、コロイドと呼ばれる粒子は、１辺 10cm～100cm の立方体です。コロイド粒子の体積は、分子が、何個集まったものと考えられますか？ 10^(a)～10^(b)個のように答えなさい。ふつうの分子　1cm^(3) コロイド粒子　10^(3)cm^(3)～100^(3)cm^(3) 答えはa=1,b=4ですよね。これを球の体積(4/3)π{r^(3)}に変えたらいいんですね。ちょっとやってきます。ありがとうございました。

	33135．Re: 化学というか、数学の問題
	名前：ユイ日付：7月20日(金) 19時7分
	これは体積を３乗しても(4/3)πの部分は同じですよね。半径{10^(-8)}/2にしても、1/2は消去できますよね。ってことは、直径をそのまま３乗したらいいからふつうの分子は10^(-24) コロイド粒子は10^(-21)～10^(-15) となりますよね。だから答えはa=3,b=9かな、と思いました。

	33141．Re: 化学というか、数学の問題
	名前：ヨッシー日付：7月21日(土) 0時28分
	そういうことですね。基本はあくまでも、体積の公式に当てはめて計算してみることです。そうしているうちに、「体積は半径(広くいえば、長さで測れるもの）の３乗に比例する。（３乗倍になる）」ことに、気付くわけです。最初から、「体積は半径の３乗に比例するから・・・」とか言われても、ピンと来なかったでしょう。ひとつ、財産が増えましたね。　 http://yosshy.sansu.org/

	33142．Re: 化学というか、数学の問題
	名前：ユイ日付：7月21日(土) 5時56分
	はい！ありがとうございました！

33123．統計

名前：ティ日付：7月20日(金) 1時42分

教科書に解答が載っていないため、どなたか宜しければ合っているか確かめていただけませんか。自信がないので…。

次のデータがある。
x：1 2 3 4 5
y：2 5 3 8 7

1)x、yそれぞれの平均、分散、標準偏差を求めよ.
2)x、yの共分散、相関係数を求めよ.
3)回帰式、予測値、誤差、決定係数を求めよ.

1)
xの平均3、yの平均5
xの分散2、yの分散5.2
xの標準偏差1.41、yの標準偏差2.28

2)
共分散2.6
相関係数0.8

3)
回帰式y=1.1 + 1.3x
決定係数0.64

あと質問があるのですが、この問題において決定係数を求めるには、相関係数を2乗するしかないですよね？
また、予測値と誤差は求められますか？

宜しくお願いします。

33116．化学なんですが・・。

名前：ユイ日付：7月19日(木) 18時7分

式量、分子量について、Na2SO4=142.0 , CuSO4=160.0 , H2O=18.0　とする。

水和水をもつ化合物の水に対する溶解度は、一般にある温度で水100gに溶けうる無水物のグラム数で表される。
この定義に基づいた硫酸銅(Ⅱ)五水和物CuSO4・5H2Oの溶解度は、20℃で20、60℃で40である。
いま、60℃の硫酸銅(Ⅱ)飽和水溶液が500gある。

問１、この飽和水溶液500g中に含まれる硫酸銅(Ⅱ)無水物の質量は何gか。整数で答えよ。

硫酸銅(Ⅱ)無水物の質量をxとおいて
{500*(x/250)/500}=40/140=71.4となり答えは71g。ここまであってますよね？
でも問２でどう計算しても、答えがマイナスになります。

問２、この飽和水溶液500gを20℃に冷却したとき、析出する硫酸銅(Ⅱ)五水和物の結晶の質量は何gか。整数で答えよ。

析出する硫酸銅(Ⅱ)五水和物の結晶の質量をyとおく。
式は、{(71.4-0.64z)/(500-z)}=20/120とするんですが、どうしてもマイナスになってしまいます。
どこで間違えているんでしょうか。

教えてください。
おねがいします。

	33117．Re: 化学なんですが・・。
	名前：教得手　学日付：7月19日(木) 20時4分
	>{500*(x/250)/500}=40/140=71.4となり答えは71g。ここまであってますよね？ここがおかしいですね。 [溶けている硫酸銅(Ⅱ)無水物]／[全水溶液] の式ですね。水和物でなく無水物の質量をきいているのだから、上の式は　ｘ/500＝40/140　　となり　ｘ＝１４３したがって、問い２　では　(143-0.64z)/(500-z)=20/120　という式になり　ｚ＝１２６となるのでは。

	33124．Re: 化学なんですが・・。
	名前：ユイ日付：7月20日(金) 6時4分
	ありがとうございました！よく分かりました！

33115．化学なんですが・・。

名前：ユイ日付：7月19日(木) 18時4分

式量、分子量について、Na2SO4=142.0 , CuSO4=160.0 , H2O=18.0　とする。

硫酸ナトリウム十水和物(Na2SO4・10H2O)の結晶を64.4g取ってビーカーにいれ、これを40℃に保ち続けた。
すると結晶は完全に分解して水和水がすべて液体の水となり、これに無水硫酸ナトリウムが一部溶け込んだ。
ビーカーの底には11.2gの無水硫酸ナトリウムが溶けずに残った。

問１、硫酸ナトリウム十水和物64.4gに含まれる無水硫酸ナトリウムと水和水の質量をそれぞれ求めよ。

これはなんとか解けて、無水硫酸ナトリウムは28.4g、水和水は36.0gと分かりました。

問２、40℃において100ｇの水に溶ける無水硫酸ナトリウムの最大質量は何gか。有効数字3桁で答えよ。

これが分かりません。
溶質は28.4-11.2ででるらしいのですが、水100ｇに溶かして、11.2g溶けずに残るかは分からないんじゃないでしょうか？
どうして溶質が、上の式ででるのでしょうか？

あと、溶媒に関しては特によく分からず、溶媒は水100g+水和水36.0ではないのかと思うのですが
なぜか水100gを足さずに計算するみたいです。
どうしてなんでしょうか？

おしえてください。
おねがいします！

	33119．Re: 化学なんですが・・。
	名前：ヨッシー日付：7月19日(木) 21時27分
	なんか、100g が一人歩きしてますね。 100g というのは、溶解度の尺度として持ってきているだけで、上の実験ではどこにも出てきません。上の実験を整理すると、硫酸ナトリウム十水和物(Na2SO4・10H2O)　64.4ｇを分解させた。無水硫酸ナトリウム 28.4g と水 36.0g に分かれた、この水 36.0g に、無水硫酸ナトリウム 17.2g が溶けて、11.2g は溶けきれずに残った。この「水 36.0g に、無水硫酸ナトリウム 17.2g が溶けた」というのが最大溶けている状態です。ここで初めて、（計算のために）100g が出てきます。水 36.0g に、無水硫酸ナトリウム 17.2g が溶けるのなら、水100g には、無水硫酸ナトリウムは何g 溶けますか？やはり、比の問題ですね。　 http://yosshy.sansu.org/

	33122．Re: 化学なんですが・・。
	名前：教得手　学日付：7月19日(木) 21時33分
	最終的には、３６ｇの水に溶ける限界量の無水硫酸ナトリウムが溶け残りの無水硫酸ナトリウムが底に残っています。問１で求めた 28.4ｇのうち 11.2ｇが残ったのだから 36ｇの水に溶けた量（溶質の量）は　28.4－11.2＝17.2　となります。よって、100ｇの水に溶ける量は、17.2*(100/36) で求まります。 >あと、溶媒に関しては特によく分からず、溶媒は水100g+水和水36.0ではないのかと思うのですが「36ｇの水に'無水'硫酸が17.2ｇ溶けるのならば、100ｇの水なら何ｇ溶けるか？」　というのであって、100ｇの水に「硫酸ナトリウム・水和物」を放り込むのではありません。ヨッシーさんかぶってしまってスミマセン。せっかく打ったので残さしてください。

	33125．Re: 化学なんですが・・。
	名前：ユイ日付：7月20日(金) 6時16分
	ありがとうございました！難しい問題だと思っていましたが皆さんの応答を読むと、すっとわかっていきました！

33107．そうだ！

名前：コスモス 日付：7月19日(木) 4時43分

先生ってガチガチで怖いのかなあって思っていたんですけど
算盤の開立のところで、算盤の画面の下のほうに
「目がくらくらします」って書いておられて
もう朝方なのに一人でクスクスって笑いました。
緊張がほぐれました。有難うございました。

33106．何度もすみません

名前：コスモス 日付：7月19日(木) 4時35分

先ほど、返信とするのをうっかりして又立ててしまいました。
すみません。下のほうにも返信していますので、お願いします。
又。どこに６０ってあるのでしょう。
まったく分からなくなってきました。
幼児に教えるように私に教えていただけませんでしょうか。
バカですみません。頑張って親の威厳をここで
勉強します。私の頃はなかったです。お願いします。
もう以前の文章はどこにもないのでしょうか、
照らし合わせたらわかるでしょうか。
目がだんだん冴えてきました。お弁当を作ります。すみません。

33105．夜分すみません

名前：コスモス 日付：7月19日(木) 3時28分

もうずっと眺めているのですが
算盤の開立を又お願いします。
３番目の一回目の３で割り６が立っているのは
分かるのですが５番目の４という数字はどこからきたのでしょうか？
すみません、もし馬鹿な質問でしたらごめんなさい。
又１から数えて４桁まで割るというのが分からないのですが。
又、どこが１の位で答えはどこに出てくるのか
初めは必ず答えに１の位にたてるのですか？開票１^3は分かります。
私は、(a+b)3=(a3)+(3*a2*b)+(3*a*b2)+(b3)は、分かるのですが
いざ算盤となると、頭がこんがらがって、小学生にどのように
教えればいいですかねえ。頭が冴えてきてこんな時間に
なりました。でも数学みてるとあきませんね。算盤助けてください。
よろしくお願いします。

	33111．Re: 夜分すみません
	名前：ヨッシー日付：7月19日(木) 9時47分
	小学生が、この理屈を理解して解くのは、無理です。（普通はね）珠算は技能なので、まず、手順を覚えて、答えが出せるように練習を重ねることをお勧めします。たぶん、実際は、この例のようには行かなくて、間違った数を立てたときの、修復のところで、結構ややこしいことになると思われます。それも含めて、計算方法が、段位のテキストに載っていると思いますので、見てください。それを、ふまえた上で、大人向けの理論編です。３＝(1.44…)^3 であることを知った上で、を見ると、a=1, b=0.4, c=0.04, ・・・　にあたります。 a=1 はともかく、b=0.4 を見つけるには、すでに確定した a^3=1 を引いた余り２から、　3a^2b, 3ab^2, b^3 が引ける最大の数を見つける必要があります。実際には、a が、b より一桁上なので、 3a^2b が引けるかどうかがポイントになる場合が多いです。このまま計算すると、3a でくくったとしても、3a(ab+b^2) と b^3 を計算して２から引かないといけません。 b=0.4 がわかった上での計算でいうと、　3a(ab+b^2)＝1.68 を引いて、0.32 　さらに、b^3＝0.064 をひいて、0.256 という計算が必要になります。これを珠算では、余り２の一部を 3a で割って、　２→0.6×3 と 0.2 に分けて、　２から、3a(ab+b^2)＝1.68 を引く代わりに、0.6 から (ab+b^2)＝0.56 を引くことを試みます。すると、　0.6×3 と 0.2　から、(ab+b^2)＝0.56 を引いて 0.04×3 と 0.2 　計算し直して、　0.32 　さらに、b^3＝0.064 をひいて、0.256 というやり方をします。ここまでが、６．４^3＝６４を３２０から引きます。　までの手順です。これと算盤を照らし合わせれば、どの数字がどれに対応するかわかると思います。算盤の上には、左から、　それまで出た答えを３倍したもの：上の3a にあたるもの　それまで出た答え：上の a にあたるもの　3a で割ったもの：上の 0.6 にあたるもの　それ以外の余り：上の0.2 にあたるものが並んでいます。＞＞１から数えて４桁まで割る答えの最初の１をどこから入れ始めるかによります。この場合は、３．の図の　１・・６・２と入っている、１の右４つめ（６と２の間の・）まで割って、余りは５つめより右になるようにする、ということです。＞＞６０って（上の記事の質問）同じく、１・・６・２の６・の部分を言っています。正確には、0.6 ですが、14×4＝56 を引くので、60 という言い方をしています。　 http://yosshy.sansu.org/

33103．化学なんですが・・。基礎編

名前：ユイ日付：7月19日(木) 2時19分

ヘンリーの法則というのがいまいちよく分かりません。

移動可能なピストン付きの容器に0℃で窒素と水（液体）が入っており、
圧力が1.01*10^(5)Paのとき、水に溶解した窒素の物質量をx[mol]とする。

圧力が1.01*10^(5)Paのとき、x[mol]なら、圧力が2倍の2.02*10^(5)[Pa]のときには、2x[mol]というのは分かるんですが

(1)溶解した窒素の体積（それぞれの圧力での値）の場合、圧力が1.01*10^(5)Paのとき、22.4x[l]で
圧力が2倍の2.02*10^(5)[Pa]のときも、22.4x[l]となっています。なぜ同じ体積なんでしょうか？

(2)溶解した窒素の体積（1.01*10^(5)[Pa]での値に換算）の場合、体積は1.01*10^(5)Paのときには、22.4[l]で、
圧力が2倍の2.02*10^(5)[Pa]のときは44.8[l]と2倍になっており、これは、圧力が2倍されたから
体積も2倍されたんだな、と分かります。

どうして(1)のときは体積が同じなんでしょうか？

教えてください。
お願いします。

	33104．Re: 化学なんですが・・。基礎編
	名前：ユイ日付：7月19日(木) 2時25分
	投稿する順番を間違えました。。すみません。。

	33109．Re: 化学なんですが・・。基礎編
	名前：ぱんだ日付：7月19日(木) 8時5分
	先ほどの私の解説でモルは「個数」を表すものだとお分かりいただけたでしょうか？あと、比の感覚も納得していただけたでしょうか？（１）圧力が２倍になると当然２倍の量（「モル数」！！！つまり個数！）の窒素が溶けます。なので、他の条件が同じなら当然体積は２倍になるはずです。しかし、圧力が２倍になるということは、その分体積はどうなるんでしたっけ？？？そう、半分に圧縮されてしまうわけです。ということは、、、、体積は２倍の半分なので、元通りになります。

	33113．Re: 化学なんですが・・。基礎編
	名前：ユイ日付：7月19日(木) 17時36分
	ありがとうございました！とても分かりやすかったです！

33102．化学なんですが・・。

名前：ユイ日付：7月19日(木) 2時18分

0℃の水 1.0[l]に対して、酸素は圧力が1.01*10^(5)[Pa]のときには49[ml](0℃,1.01*10^(5)[Pa]での体積)溶解する。
これについて、次の問いに答えよ。
なお、酸素は理想気体と考えてよいものし、答えの数値は有効数字2桁で示せ。

問いは全部で4つあるんですが、最初の２つを質問したいです。（最初の2つを理解できれば、残りの3問、4問は自力でできるかなと思ったので）

(1)圧力が1.01*10^(5)[Pa]のとき、0℃の水 1.0[l]に溶解する酸素の物質量は何molか。

(2)圧力が3.03*10^(5)[Pa]のとき、0℃の水 1.0[l]に溶解する酸素の物質量は何molか。

(1)で分からなくなりました。
自分では、こう考えました。
圧力が1.01*10^(5)[Pa]で体積が49[ml]。
普通、体積は22,4[l]だから、49[ml]を[l]になおすと、49*10^(-3)[l]となり
0.5*10^(-3)[mol]かと思ったんですが、答えは2.18*10^(-3)[mol]と全然違いました。

ヒントで0℃、1.01*10^(5)[Pa]で、1molの気体の体積は2.24*10^(4)[ml]である。と書いてありますが
2.24*10^(4)[ml]はどうやって出したんでしょうか？
どうして[ml]にしてるのかもよく分かりません。

おねがいします。
おしえてください。

	33108．Re: 化学なんですが・・。
	名前：ぱんだ日付：7月19日(木) 8時1分
	まず以前私がこの掲示板に書き込んだ内容をコピーして貼り付けますね。＞化学が苦手になる典型的な例ですね。アボガドロ定数やモル数の本質を理解すれば一気に苦手感が薄まると思います。例えば今あるビーカーの中に酸素がどれくらいあるかを表現するのに最も正確な方法は「個数」です。「今このビーカーには酸素分子が～個ある」みたいに説明すれば体積などのようにあいまいなものではなく、厳然と定義できます。しかし、ちょっと問題がありますよね。そう、数が大きすぎるわけです。このビーカーの中に酸素が12×10^23個とか18×10^23個とか言われてもピンときませんよね。そこで昔の人はこう考えました。「水素原子１ｇ分の分子の数が6.02×10^23個だったので、この個数を1モルと定義しよう。（つまり、モルとは原子や分子の『個数』を表す言葉です！）これからはこの個数の何倍かで分子や原子の量を表せるな。よし、この個数（定数6.02×10^23個）をアボガドロ数と名づけよう。」では問題です。今ビーカーの中に12.04×10^23個の酸素分子が入っています。この酸素は何モルでしょうか？「当然２モル！」と思えましたか？次に問題です。その酸素分子は何グラムでしょうか？酸素原子は１モルで１６ｇです。（水素分子の１６倍の質量です。これが原子量１６ということ）酸素分子は１モルで３２ｇです。（分子量３２）酸素分子２モル分なら、、、「当然３２×２＝６４ｇ」と理解できましたか？数学にしても化学にしても共通するのは「いかめしい公式に振り回されるのではなくまず本質を直観的に理解してほしい」ということです。モル数はその典型ですね。いかめしい名前がついて色々な公式が出てくるので公式にたよりがちになってしまいますが、本当は本質さえ理解していたら、上のように小学生レベルの問題になります。最も大切なのは比の感覚でしょうか。頑張ってくださいね。（以上以前の書き込みのコピー）さて、今回は体積です。１モルの気体は、二酸化炭素でも酸素でも窒素でも（圧力や温度が同じならば）体積は同じ体積になります。では１モルの個数の気体は理想状態でどのくらいの体積になるんでしょう？これを「実験」してみると、どの気体でも２２．４[l]になることが実験からわかりました。さて、ここでちょっと質問です。ある二酸化炭素の体積が（理想状態で）４４．８[l]でした。いったい何モルでしょうか？「当然」２[l]とお分かりでしょうか？ mlにそろえた理由は、今回の問題がmlが主役になってるのでそれにそろえただけでしょう。

	33114．Re: 化学なんですが・・。
	名前：ユイ日付：7月19日(木) 17時54分
	ありがとうございました！おかげさまで解けました！難しく考えすぎると迷路に迷っちゃう感じですね。

33099．合成の一様連続

名前：ｄｒ日付：7月19日(木) 0時25分

D_2、D_1⊂R（実数）とする。

写像ｆ：D_1-->D_2　および　写像ｇ：D_1-->R（実数）　が一様連続である
⇒　合成ｇ。f：D-->R（実数）も一様連続である

どなたか、おねがいします！
とくに合成が一様連続であることの
証明の仕方がおもいつきません。。
おしえてください！

	33110．Re: 合成の一様連続
	名前：ぱんだ日付：7月19日(木) 8時17分
	写像はそれであっていますか？？あと、一様連続の概念は理解されていますか？

	33118．Re: 合成の一様連続
	名前：ｄｒ日付：7月19日(木) 21時5分
	あっています。一様連続の概念はわかっているつもりです。。「任意のε＞0に対して、あるδ＞0が存在し、｜ｘ－ｙ｜＜δを満たす全てのｘ、ｙ∈Dについて｜ｆ(x)-f(y)\|<εが成立する」であってますか？

	33120．Re: 合成の一様連続
	名前：ぱんだ日付：7月19日(木) 21時30分
	g:D_2→Rではないでしょうか？？でないと、ｇ。fが定義できないような。。。あと一様連続と連続の違いは理解できていますか？

	33138．ぱんださんへ
	名前：ｄｒ日付：7月20日(金) 20時42分
	何度も確認しましたが、ノートにはこう書いてあります・・・写し間違いかもしれません。すみません・・問題の解説は、問題文が不明確な以上、できないと思いますので、取り下げます。m(_ _o)m 連続と一様連続の違いについて、まだしっかりと理解できていないので、わかりやすく教えていただきたいのですが・・・

	33140．Re: 合成の一様連続
	名前：ぱんだ日付：7月20日(金) 22時18分
	（厳密に話しすぎると長くなってしまうので多少飛ばし気味に書いています。ご了承ください）例えば、x>0の範囲でf(x)=2x や g(x)=1/x は連続です。では、ある関数h(x)がx=aで連続とはどういうことかというと、「任意のεに対してあるδが存在して\|x-a\|<δならば\|h(x)-h(a)\|<εが成立する」・・・①ということになります。しかし、これでは直観的に分かりにくいですし、説明としても実は不十分です。そこで、具体的な数字で考えてみましょう。上のf(x)=2xはx=1で連続です。例えばε＝０．１に対して、そうですね、例えばδ＝０．０１にとれば ①のような式は成立しますね。（y=f(x)について、ｘの値のずれが０．０１未満ならばｙの値ずれは０．０２未満で収まりますから、当然ｙのずれは０．１未満で収まるわけです。） ε=0.01に対しては、δ=0.001とでもすれば十分でしょう。ところで、今回ｘ＝１でδを求めてみましたが、ｘ＝２のときも ε＝0.1に対してはδ=0.01をとればいいし、 ε＝0.001に対してはδ=0.0001をとればいいことになります。つまり、f(x)=2xは、ｘ座標に関わらずδの値を「εだけによる関数として」表すことが出来るわけです。ｘ座標が１万であろうがマイナス１億であろうが、 ε＝0.1を与えられたら、（つまりｙ座標のずれを０．１未満に抑えたければ）δ＝0.01とすればよいわけです（ｘ座標のずれを０．０１未満に抑えればよい）このような特徴を「一様連続」といいます。では次にg(x)=1/xについて考えてみましょう。 g(x)はx=1で連続です。今ε＝０．１を与えられたら、（ｙ座標のずれを０．１未満にしたい） δ＝０．０１とでもしておけば十分でしょう。（ｘ座標のずれが０．０１未満ならｙ座標のずれはグラフからいって明らかに０．１未満です）では、x=0.01のときはどうでしょう？同じようにε＝０．１を与えられたとき、δ＝０．０１とすれば十分でしょうか？？それは違うということがグラフを書いてみたらすぐに分かるはずです。今回、δの値はもっともっと小さくしなければならないはずです。このように、g(x)=1/xに関しては、δの値はεによってのみ決められるわけではなく、ｘ座標にも影響を受けます。『f(x)=2xはx>0で連続かつ一様連続です。 g(x)=1/xはx>0で連続ですが、一様連続ではありません。』さて、改めて連続と一様連続を定義してみましょう。まず、ある関数f(x)が『x=aで』連続であるとは、「任意のε＞０に対し、∃δ＝δ（ε,a)（εとaによって決まる関数）が存在し、 \|x-a\|<δならば\|f(x)-f(a)\|<εが成立する」ということです。次に、ある関数が領域Dで一様連続であるとは、「任意のε＞０に対し、∃δ＝δ（ε）（ε『だけ！！！』によって決まる関数。ｘ座標に全く影響を受けずに決められる）が存在し、\|x_1-x_2\|<δならば\|f(x_1)-f(x_2)\|が成立」ということです。連続な関数のうち特にδがｘ座標に影響を受けずに決まるものが一様連続、決まらないものは一様連続ではないということです。問題ですが、おそらくｇ：D_2→Rかと思われます。ｇ。ｆとは、まずｆによってD_1からD_2に写し、その後でｇによって D_2からRに写す写像となるはずです。直感的な考え方としては、g(f(x))=ｇ（ｙ）のずれを抑えたければ yのずれを抑えればよい。ｙのずれを抑えるためにはｙ＝ｆ（ｘ）においてｘのずれを抑えたらよい、というところでしょうか。

33094．式の値

名前：ShoWat 日付：7月18日(水) 22時0分

【問題】
a^2+b^2=1, c^2+d^2=1, ac+bd=1 とするとき、ad-bc, a^2+d^2, b^2+c^2
の値を求めよ。

よろしくお願いします。

	33095．Re: 式の値
	名前：ぱんだ日付：7月18日(水) 22時54分
	a=cosα、b=sinα、c=cosβ、d=sinβ とおいてみましょう。あとは楽勝です。

	33096．Re: 式の値
	名前：ぱんだ日付：7月18日(水) 23時25分
	もっと普通の解き方（？）の別解を載せておきます。この問題の印象としては、バランスのいい形をしているなということが挙げられます。また、ac+bd=1がこのままでは使いにくいので、二乗して他の条件とあわせることを考えてみます。 (ac+bd)^2=a^2c^2+b^2d^2+2abcd・・・① (a^2+b^2)(c^2+d^2)=a^2c^2+b^2d^2+a^2d^2+b^2c^2=1・・・② よって①、②よりa^2d^2+b^2c^2-2abcd=0が成立。つまり(ad-bc)^2=0よりad-bc=0となる。さて、ここからどうしましょうか？ a^2+d^2をどうやって作ろうかと考えても、なかなか難しいです。「バランスよく変形しよう」とした場合、うまくいけば美しく、楽に解くことができますが、変形方法が限られてしまうのでうまくいかない場合も出てきます。問題によってはそういう「美しい」解き方よりも、基本に立ち返った愚直な方法が有効な場合もあります。基本に立ち返って「文字の種類を減らす」ことをやってみましょう。 ac+bd=1とad-bc=0より、　Ⅰ　a≠0かつb≠0のとき d=(1-ac)/bかつd=bc/aが成立。よって(1-ac)/b=bc/aより c=a/(a^2+b^2)=a（∵a^2+b^2=1)　d=bc/a=b が成立。よって、a^2+d^2=a^2+b^2=1 b^2+c^2=a^2+b^2=1となる。　Ⅱ　a=0のときb=±１　ac+bd=1に代入してd=マイナスプラス１（複合同順）このとき、a^2+d^2=1かつb^2+c^2=1となる　Ⅲ　b=0のときはⅡと同様にする大体このようなかんじです。

	33112．Re: 式の値
	名前：チョッパ日付：7月19日(木) 16時46分
	a²＋b²＋c²＋d²－2(ac＋bd)＝1＋1－2 (a－c)²＋(b－d)²＝0 a＝cかつb＝d ad－bc＝ab－ab＝0 a²＋d²＝a²＋b²＝1 b²＋c²＝a²＋b²＝1

	33121．Re: 式の値
	名前：ぱんだ日付：7月19日(木) 21時33分
	あ、普通に変形も出来ましたね。

	33170．Re: 式の値
	名前：ShoWat 日付：7月22日(日) 14時41分
	ぱんださん、チョッパさんありがとうございました。

	33194．Re: 式の値
	名前：ShoWat 日付：7月22日(日) 21時50分
	チョッパさん凄い！

33093．中学１年生です。　

名前：Grade7 日付：7月18日(水) 19時27分

四角形ABCDにおいてAB＝５、BC＝７、CD＝６であり、対角線ACとBDは正方形の内部で
直交している。DAを求めよ。

	33098．Re: 中学１年生です。
	名前：to 日付：7月19日(木) 0時20分
	「対角線ACとBDは正方形の内部で」を「対角線ACとBDは四角形の内部で」として解いてみました AC，BDの交点をPとして、AC⊥BDより三平方の定理を考え　①AP^2＋BP^2＝AB^2＝25 　②BP^2＋CP^2＝BC^2＝49 　③CP^2＋DP^2＝CD^2＝36 ①＋③－② 　AP^2＋DP^2＝12 よって　AD^2＝AP^2＋DP^2＝12 　AD＝2√3

33084．高校３年です。

名前：フジ日付：7月18日(水) 16時5分

aを定数とするとき，次の問いに答えなさい。ただし，eは自然対数の底を表します。
（1）e^x>=e^a+(x-a)e^aが成り立つことを証明しなさい。

（2）a=1/2として，（1）の不等式を用い，∫e^cosπxdx[0,1]>=√e/2(２分のルートeです）が成り立つことを証明しなさい。
よろしくお願いします。

	33085．Re: 高校３年です。
	名前：どらやき日付：7月18日(水) 16時54分
	>（2）a=1/2として，（1）の不等式を用い書いてある通りにするだけ。

	33087．Re: 高校３年です。
	名前：ヨッシー日付：7月18日(水) 17時46分
	(1) 　f(x)＝e^x－e^a－(x-a)e^a とおいて、　f'(x)＝e^x－e^a これより、f(x) の増減を調べます。 (2) 任意のｘについて　e^x>=e^a+(x-a)e^a　が成り立つなら、ｘの代わりに　cos(πｘ) を入れても成り立ちます。　 http://yosshy.sansu.org/

33083．高校３年です。

名前：フジ日付：7月18日(水) 15時43分

a,b,cを実数としたとき，命題「a^2>bcかつac>b^2ならばa≠b」を証明しなさい。
よろしくお願いします。

	33086．Re: 高校３年です。
	名前：どらやき日付：7月18日(水) 16時55分
	背理法

	33089．Re: 高校３年です。
	名前：ラディン.ms 日付：7月18日(水) 18時1分
	対偶を示せばよいかと a=b⇒「a^2>bcかつac>b^2」でないことを示せばよいわけで aが正のときも負のときも「a^2>bcかつac>b^2」とすると矛盾が生じます（a=0のときは明らかにa^2>bcかつac>b^2が成り立たない）

33082．算盤

名前：コスモス 日付：7月18日(水) 13時56分

算盤で開立の根を出す方法が前に載っていたのですが
そこをクリックしても出てきません。
是非見たいのでＵＰしてもらえませんでしょうか
よろしくお願いします。

	33088．Re: 算盤
	名前：ヨッシー日付：7月18日(水) 17時50分
	あら。見事に消えてますね。今夜トライしてみます。　 http://yosshy.sansu.org/

	33097．Re: 算盤
	名前：コスモス日付：7月18日(水) 23時35分
	アアアアア有難うございます。届いて嬉しいです。先週の日曜日６段が通って開立が２００点満点で２００点を取りました。あと時間が余ったのですが、開立が分かりません。どうかよろしくお願いします。すごく分かりやすかったと記憶しているのですが練習問題の答えがなかったような・・・もし答えがありませんでしたら、答えも載せてくれませんでしょうか勉強します。難しかったのだけは覚えています。こんなに飛び級するなんて自分でもびっくりしています。もう小学校４年生で算盤の先生になれますか？(冗談です）でも算盤の先生は「もう負けるわ」って言ってくれました。大好きな算盤です、あと開立だけ頑張ればいいと言ってくれました。よろしくお願いします。

	33100．Re: 算盤
	名前：ヨッシー日付：7月19日(木) 1時0分
	ページを直しました。この先、十段目指して、頑張ってください。　 http://yosshy.sansu.org/

	33101．Re: 算盤
	名前：コスモス日付：7月19日(木) 1時44分
	キャアアアアすごい、やっぱり、数学博士なのですねえ。すごーーい。前は算盤がなく、文章だけだったのに算盤があるうう。分かりやすいです。本当にどうしたら、こんなの出来るのですか？もう不思議で不思議でたまりません。大ファンです。ところで私の投稿を読んでみますと、自分のことのように読めます、主語が抜けています。すみません。ややこしくて娘が小学校４年生です。すごく頑張ってくれていて今では算盤３つ目になりました。次々準備をしていかないと軽くなりすぎて５が落ちやすくなってきますので私は、４段までであきらめました。娘はもう早起きで本当に好きなのか、まだ誰も起きていないのに小学校４年生で朝早くから「パチパチ」といい音ではじいています。先生！１０段って暗算は無理ですよねえ。もういいんじゃないの？っていってもやりたいらしいです、こちらの先生のＨＰをいつも見せて「すごいでしょう？」って言っています。先生絶対に娘が大学に行くまで置いておいてくださいね。先生のこのＨＰ。暗算の早くできる方法ってあるのでしょうか。もう６段以上は問題数が及びそうにありません。私は、数学も算盤も大好きで来ました。娘にもつい気合が入って、そのうちすることが多くなってやめるっていいだすのかなあ。先生！私達のためによる遅くまでＵＰに時間をかけて下さって有難うございました。明日早く娘に見せたいとおもいます。きっと目を丸くしてびっくりしている娘の顔が浮かびます。本当に夜分有難うございました。お疲れが出ませんように。お礼まで。

33077．質問です。

名前：まってぃ　大学一年工学部 日付：7月18日(水) 0時13分

大学内のテストで今度説明問題があるんですが、

ヤコビアンの幾何学意味を式などを使って説明してください。

よろしくお願いします。

	33137．Re: 質問です。
	名前：ｈａｒｕ日付：7月20日(金) 20時18分
	微分積分学の本に２次元の例が載っていました。

33075．数列

名前：ガガガS 日付：7月17日(火) 21時41分

1^2,4^2,7^2,10^2,……の一般項を求めよ｡お願いします

	33076．Re: 数列
	名前：カワイ肝油ドロップ日付：7月18日(水) 0時8分
	2乗を無視した 1，4，7，10，･･･という数列の一般項は分かりますか？それを2乗するだけです。

33074．対数の証明

名前：なりたて受験生 日付：7月17日(火) 21時8分

高校3年生です。
先生が「少し考えさせて…」といわれて、なかなか聞く時間を作れないのでここで。

（問）log 10(底)2<0.31であることを示せ。

この書き方でわかりますか?左辺は「ログ１０底の２」です。よろしくお願いします。

	33079．Re: 対数の証明
	名前：みっちぃ日付：7月18日(水) 1時42分
	log[10]2<0.31ですね。 0.31=log[10] 10^(0.31)なので，log[10]2<log[10] 10^(0.31) 両辺のlogの底=10>1なので，2<10^(0.31) 両辺を100乗して，2^(100)<10^(31) 従って，log[10]2<0.31 ⇔ 2^(100)<10^(31)であり，これを示します。 10^31=100…0(0が31個続く)と文字通り32桁の整数の中の最少の数 2^100={2^(10)}^10=(1024)^10=(1024を10001.024と書き換えて) =(1000)^10(1.024)^10=10^(30)(1.024)^10 と計算できるので，(1.024)^10が10より小さかったら2^100<10^31と言える。この部分の証明は簡単で，1.024より大きな1.1を10乗しても(ここは電卓などを利用)10には遠く及びません。つまり，(1.024)^10<(1.1)^10<2.6なので，2^100<2.610^30<10^31であり，題意は示された。

	33080．Re: 対数の証明
	名前：キューダ日付：7月18日(水) 1時51分
	2^13=8192<10000=10^4の常用対数を取ると 13log[10]2<4 log[10]2<4/13=0.307...<0.31

	33081．Re: 対数の証明
	名前：なりたて受験生日付：7月18日(水) 6時56分
	ありがとうございました。 100乗するとか、10000を使うとかが思いつきませんでした。がんばります！

33072．質問です

名前：なかたこう 日付：7月17日(火) 17時29分

極値問題で、
　3yx^2+y^3-y=0
3xy^2+x^3-x=0
の解の出し方がわかりません。答えでは、(x,y)=(0,0)
(±1,0)(0,±1)（±1/2,マイナスプラス1/2）(±1/2,±1/2)とありました。おねがいします。

	33073．Re: 質問です
	名前：キューダ日付：7月17日(火) 20時4分
	二つの式の和と差を取り、それらをx+y、x-y、だけの式に書き換えれば簡要。（xyは{(x+y)^2-(x-y)^2}/4と表せる）

33064．代数学の問です

名前：音楽の友 日付：7月16日(月) 0時4分

Ⅰ.４次対称群Ｓ4 について次の各問に答えよ
①Ｓ4の３－シロー部分群を全て求めよ
②Ｓ4の２-シロー部分群を一つ求めよ

Ⅱ. f:G→G' を群の準同型写像とし、Ｈを群Ｇの部分群とする。
ｆの書くKer(f)をＫとおく。ｋはこのときＧの正規部分群である。

①ＨＫ＝ＫＨが成立することを示せ
②f^(-1)(f(H))=ＨＫであることを示せ。
③ＨＫはＧの部分群であることを示せ。

分かる方いらっしゃいましたらお願いします。

33062．二次関数と一次関数が４交点をもつ条件

名前：ShoWat 日付：7月15日(日) 21時58分

【設問】
放物線 y=(-2/3)x^2+k と y=|x+1| + |x-1|-|x| のグラフが相異なる４点で交わるための k の値の範囲を求めよ。

【答え】
(13/8) < k <2

【質問】
解説がほとんどなく、答とわずかな解説やヒントがあるだけの問題集です。
行間が読めません。

簡単な説明があり、下記の通りです。
（ヒント）２つのグラフはともにy軸について対称であるから x>0 の範囲において異なる２点で交わればよい。
（解説）２つのグラフはともにy軸に関して対象であるから、0<x<1 と1≦x に１つずつ交点がある場合と、0<x<1 に２つ交点がある場合がある。

よろしくお願いいたします。

	33063．Re: 二次関数と一次関数が４交点をもつ条件
	名前：ヨッシー日付：7月15日(日) 22時19分
	まず、　y=\|x+1\| + \|x-1\|-\|x\| のグラフは描けますか？さらに、　y=(-2/3)x^2 のグラフは？　 http://yosshy.sansu.org/

	33065．Re: 二次関数と一次関数が４交点をもつ条件
	名前：ShoWat 日付：7月16日(月) 11時39分
	ヨッシー　さま y=\|x+1\| + \|x-1\|-\|x\|　のグラフは、x の値で４つに場合分けして、 i) x≦-1 のとき、y=-x ii)-1≦x≦0 のとき、y=x+2 iii)0≦x≦1 のとき、y=-x+2 Iv)1≦x のとき、y=x です。 y=(-2/3)x^2 は頂点が減点で、上に凸の放物線です。よろしくお願いいたします。

	33068．Re: 二次関数と一次関数が４交点をもつ条件
	名前：ヨッシー日付：7月16日(月) 18時47分
	ｋの値につれて、放物線は、上下しますが、その間に、Ｗ字型のグラフと２点で交わる（もしくは接する）、４点で交わる、交わらない、という状態が起こります。その境目を、ｋの値で表現すれば、４つの交点を持つｋの範囲が出てきます。　 http://yosshy.sansu.org/

33056．(untitled)

名前：zaza 日付：7月15日(日) 7時43分

1+x<e^x<1/(1-x) を証明しなさい。x<1
の問題がわからないのですが、教えてださい。
f(x)=e^x-1-xにして、微分してみたのですが、うまくいかないくて…

	33058．Re: (untitled)
	名前：ヨッシー日付：7月15日(日) 9時15分
	ｘ＝０　だと、全部１になりますね。＜ではなく≦なのか？もしくは　０＜ｘ＜１　なのか？　 http://yosshy.sansu.org/

	33059．Re: (untitled)
	名前：zaza 日付：7月15日(日) 9時27分
	範囲は x<1 で 1+x<=e^x<=1/1-xを証明せよでした。すみません

	33070．Re: (untitled)
	名前：ヨッシー日付：7月17日(火) 9時14分
	f(x)=e^x-1-x とすると、 f'(x)=e^x-1 であるので、x=0 のとき f'(x)=0 ｘ＜０で、f'(x)＜０　単調減少ｘ＞０で、f'(x)＞０　単調増加および、f(0)＝０より、ｘの全範囲において、f(x)≧０（等号はｘ＝０のとき）よって、１＋ｘ≦e^x g(x)＝1/(1-x)、h(x)＝e^x とすると、ｘ＜１において、g(x)＞０、h(x)＞０であるので、　g(x)≧h(x)　←→　1/g(x)≦1/h(x) そこで、　f(x)＝1/h(x)－1/g(x)＝e^(-x)－１＋ｘとおくと、　f'(x)＝-e^(-x)＋１ｘ＝０　で、f'(x)＝０ｘ＜０で、f'(x)＜０　単調減少ｘ＞０で、f'(x)＞０　単調増加（以下同じです）　 http://yosshy.sansu.org/

	33078．Re: (untitled)
	名前：zaza 日付：7月18日(水) 0時45分
	お手数おかけしました。ありがとうございました。

33047．(untitled)

名前：かんかん 日付：7月14日(土) 22時31分

半径rの円に外接する二等辺三角形のうち、面積最小のものはどのような場合か。

どなたか解き方を教えてください。お願いします。

	33050．Re: (untitled)
	名前：angel 日付：7月14日(土) 23時55分
	とりあえず、私は、三角関数を使って面積を表し、後に微分で最小を探るという方法を考えました。二等辺三角形 ABC ( AB=AC ) に対し、円との接点をそれぞれ BCとの接点が X、CAとの接点が Y、ABとの接点が Z とします。また、円の中心を O とします。この時、△OAY, △OAZ は合同な直角三角形、 △OBX, △OBZ, △OCX, △OCY も合同な直角三角形です。そうすれば、θ=∠YOC=∠XOC=∠XOB=∠ZOB と、r=OX=OY=OZ を用いて、二等辺三角形の面積を表すことができます。 θの範囲として、π/4<θ<π/2 となることに注意しましょう。 ( 0<∠YOC=∠XOC=∠XOB=∠ZOB<π/2 かつ 0<∠YOA=∠ZOA<π/2 のため )

33046．常に微分してよいかどうか、教えてください

名前：ShoWat 日付：7月14日(土) 21時54分

【設問】
関数f(x)=∫from -1 to x(t^2+2t-3)dt　の極小値を求めよ。

【答え】
-(16/3)

【私の答案】
与式を積分し
f(x)=(1/3)*x^3+x^2-3x-(11/3) ・・・①を求める。
①をx で微分し、f'(x)=x^2+2x-3 を求める。
f'(x)=0 のとき
x^2+2x-3=0
(x+3)(x-1)=0
x= -3, 1
増減表により、
極小値　f(1)=-(16/3)

【質問】
当然答えは同じなのですが、模範解答では、

いきなり、
f(x)=∫from -1 to x(t^2+2t-3)dt　のとき、
｛∫from -1 to x(t^2+2t-3)dt｝'=x^2+2x-3
となる。
という記述がありました。

確かにf(x)をいったん変数　t　について積分してから、それを　x　で微分すれば、x^2+2x-3　となります。

よくわからないのは以下の２点です。
ひとつは、もともと変数　t　についての積分を、何の説明もせずに　x で微分した形になっていることです。
もうひとつは、ある変数の積分を、今回の「解説」のように、常に別の変数で
微分した形に表せるかどうかということです。

よろしくお願いいたします。

	33048．Re: 常に微分してよいかどうか、教えてください
	名前：angel 日付：7月14日(土) 23時3分
	とりあえず、それは定石だと考えて良いです。今回、　f(x)=∫[a,x] g(t)dt　( a は x に依存しない定数 ) 　⇒ f’(x)=g(x) を利用しているわけです。これは特に説明しなくても、解答中で使って良いでしょう。微分・積分の関係から、すぐに導くこともできます。まず、不定積分　G(x)=∫g(x)dx に関して、G’(x)=g(x) が成立します。これは、積分の基本的な性質です。この時、定積分 ∫[a,b] g(x)dx = G(b)-G(a) です。文字 x そのものには深い意味はありませんので、　∫[a,b] g(t)dt = G(b)-G(a) としても同じ事。であれば、f(x) = ∫[a,x] g(t)dt に対して、　f(x) = G(x)-G(a) 　f’(x) = G’(x) = g(x) こうして考えると、　d( ∫[a,2x] g(t)dt )/dx = 2g(2x) とか、応用も可能です。

	33053．Re: 常に微分してよいかどうか、教えてください
	名前：ぱんだ日付：7月15日(日) 0時41分
	私からもコメントをさせていただきます。まずこのタイプの問題で考えていただきたいのは「どの文字の関数か？」ということです。例えば∫from 0 to xf(t)dt　はどの文字の関数でしょうか？答えはｘの関数です。（これをｔの関数と思っていませんか？）具体的な例で試して見ましょう。 ∫from 0 to x(t^2)dtを計算するとき、確かにｔが変数であるかのように計算をします。しかし、　実際に計算をした結果を見てみるとこの式は＝x^3/3となり、紛れもなくｘの関数になります。 t^2は積分すればt^3/3になりますが、今回の計算結果はｔの関数ではなくｘの関数になっているわけです。このように、積分区間に文字を含んだ定積分の結果は、その文字の関数になります。さて一般的に考えてみましょう。f(x)の不定積分をF（ｘ）としてください。 ∫from 0 to xf(t)dt　=F(x)-F(0)　（これはｘの関数です）この式をｘで微分してください。f(x)になりますよね。（F(0)は定数なので、微分したら０になって消えます）

33042．二次関数の質問です

名前：たぷー　＠高一 日付：7月14日(土) 19時25分

f(x)=2x^2+ax-b(a,bは実数）
について答えよ
（１）0<a<8とする
０≦ｘ≦4において最大値９をとり　0≦ｘ≦２において最小値１をとるとき
a,bの値を求めよ

（２）a>0とする関数f(x)が０≦ｘ≦４/（a+1)において最大値９　最小値１をとるとき
a,bの値を求めよ

解き方だけでもお願いします。答えはわかりません｡･ﾟ･(ﾉД`)

	33051．Re: 二次関数の質問です
	名前：angel 日付：7月15日(日) 0時23分
	問題の何処かに書き間違いはないでしょうか? おそらくこのままでは答えが出ません。 (1) は、せめて f(x)=x^2-ax+b ( もしくは -b ) とするなら解けますけど。( f(x)=2x^2-ax+b だとダメっぽい ) (2) は…、f(x)=x^2-ax+b だと…、計算が少し面倒で答えも汚いけど、解けないことはないですね。

	33054．Re: 二次関数の質問です
	名前：ぱんだ日付：7月15日(日) 0時53分
	あれ、さして難しくなく普通に答えが出ましたが、ひょっとして私が計算を間違っている（あるいは問題を読み違えている）かもしれません。 f(x)=2x^2+ax-b=2(x+a/4)^2-a^2/8-bより、頂点は（-a/4,(-a^2/8)-b) 頂点のｘ座標-a/4は、-2<-a/4<0を満たす。（この状態でグラフを書いてみてください。）０≦ｘ≦4において、f(x)はｘ＝４で最大値をとります。よってf(4)=9 どうように0≦ｘ≦２においてf(x)はｘ＝０で最小値をとります。よってf(0)=1 これをとけば終わりです。

	33055．Re: 二次関数の質問です
	名前：ぱんだ日付：7月15日(日) 0時55分
	あっと、失礼しました。解いたらa=-6となって、だめですね。お騒がせしました。

33036．偶数である根拠

名前：ShoWat 日付：7月14日(土) 12時2分

【問題】
ｎが整数のとき、
3n^3が偶数ならば、n も偶数である。

【私の考え】
3n^3 が偶数ということは、３が奇数なので、n^3が奇数では3n^3も必ず奇数となってしまうので、n^3は偶数。
また、n が奇数だとすると、n の３乗は、奇数の３乗なので
必ず奇数となってしまい　3n^3=(偶数)に矛盾。
よって、n は偶数。

と考えました。

模範解答がないのですが、これで大丈夫でしょうか。
答案の書き方として、もっときれいな書き方があればそれも併せて教えてください。
　
よろしくお願いいたします。

	33037．Re: 偶数である根拠
	名前：angel 日付：7月14日(土) 13時7分
	気になる点としては、　奇数×奇数=奇数を無条件で使って良いかどうか。感覚としてはほぼ明らかなのですが、「根拠を示していない」と見られる可能性はありますね。書き方は、これでも間違いではないですが、もうちょっと硬い表現を覚えると良いでしょう。特に、「～ということは…だ」は、文意は通じるのですが、曖昧に見える表現でもあります。「同値」「必要十分」「必要」「十分」が使えると、それらしく見えますよ。後、文章は事実一つ毎に一文とするのが、お勧めですね。「背理法」を使う場合の書き方もあります。それらを踏まえて、硬い表現に直したものを作ってみます。

	33038．Re: 偶数である根拠
	名前：angel 日付：7月14日(土) 13時15分
	まず、任意の奇数同士の積は奇数である。実際、任意の奇数 2n-1, 2m-1 ( n,mは整数 ) に対し、以下が成立する。　(2n-1)(2m-1)=4nm-2n-2m+1=2(2nm-n-m+1)-1 ここで、(2nm-n-m+1) は整数であるため、2(2nm-n-m+1)-1 は奇数。すなわち、奇数同士の積が奇数であることが示された。次に、3 は奇数であるため、3n^3 が偶数の時、n^3 も偶数。実際、n^3 が奇数と仮定すると、上記より 3n^3 も奇数となり、3n^3 が偶数であることに矛盾するためである。ここで、n が奇数と仮定すると、同じく n^3 も奇数となり、n^3 が偶数であることに矛盾する。よって、n は偶数。

	33040．解説
	名前：angel 日付：7月14日(土) 13時30分
	おっと。「同値」とか使いませんでしたね。今回は、「～の時…が成立する」だけでいけたので、実は不要でした。今回の証明は、明示してはいませんが、背理法を使ったものです。仰々しく書くなら、　[前提]ならば[結論]が成立することを背理法により示す。　まず[結論]が成立しないと仮定する。　背理法の仮定により…。　これは[前提]に矛盾する。　よって、[結論]が成立することが示された。のようになるのですが、今回のように、　[結論]が成立する。　実際、[結論]が成立しないと仮定すると、… のため、[前提]と矛盾するからである。という簡易な書き方ができます。勿論、「…」の部分が短く書ける時でないと、却って分かりにくくなりますので、注意してください。ちなみに、この解答は、　3n^3 が偶数 ⇒ n^3 が偶数　( 背理法で示す ) 　n^3 が偶数 ⇒ n が偶数　( 背理法で示す ) という二段構成ですが、一段に絞ることもできます。つまり、　3n^3 が偶数 ⇒ n が偶数 ( 背理法で示す ) 書く文章も減ってよりスッキリするので、余裕があれば挑戦するのも良いでしょう。

	33041．Re: 偶数である根拠
	名前：らすかる日付：7月14日(土) 14時17分
	直接対偶を示しても良いかと思います。 nが奇数ならば n=2k+1（kは整数）とすると 3n^3=3(2k+1)^3=24k^3+36k^2+18k+3=2(12k^3+18k^2+9k+1)+1 となり3n^3は奇数。よって3n^3が偶数ならばnは偶数。 http://www10.plala.or.jp/rascalhp

	33043．Re: 偶数である根拠
	名前：ShoWat 日付：7月14日(土) 21時29分
	angel さまいつも丁寧な解説、本当に感謝しています。まだ、数学独特の「硬い」表現はハードルが高いのですが、頑張って身につけるように努力します。ありがとうございました。

	33044．Re: 偶数である根拠
	名前：ShoWat 日付：7月14日(土) 21時33分
	らすかるさまありがとうございます。「命題の証明には対偶を証明する」は、知識としては知っているつもりだったのですが、解答するときは億劫な気がして試みませんでした。こんな姿勢の自分に発破を掛けて頑張ります。今後ともよろしくお願いいたします。

33032．(untitled)

名前：ゴン日付：7月14日(土) 0時40分

お世話になります。
１、マクローリン展開の説き方
２、変曲点の求め方
が分かりません。どなたか簡単な例で説明していただけるとうれしいです。

	33071．Re: (untitled)
	名前：ヨッシー日付：7月17日(火) 11時56分
	1.マクローリン展開は、まさに公式通りなのですが、　f(x)＝sinｘ, f(0)＝0 　f'(x)＝cosｘ, f'(0)＝1 　f"(x)＝-sinｘ, f"(x)＝0 　f⁽³⁾(x)＝-cosｘ, f⁽³⁾(0)＝-1 などを収集して、を得ます。 2. f(x)＝x^3－3x^2－9x＋2 を例に取ると、 f'(x)＝3x^2－6x－9 f"(x)＝6x－6 で、x=1 を境に、f"(x) の符号が変わるので、 x=1 の点、(1, -9) が変曲点、 x＜1 で f"(x)＜0 なので、上に凸 x＞1 で f"(x)＞0 なので、下に凸となります。グラフはこちらを参照。　 http://yosshy.sansu.org/

33031．(untitled)

名前：やすし 日付：7月13日(金) 19時17分

１２車両編成の特急列車と８車両編成の普通列車がすれちがって
最後部の車両が離れるまで、４秒かかった。
一方、特急列車が普通列車を追い抜くまで、３６秒かかった。
特急列車、普通列車の時速を求めよ

特急列車、普通列車どちらも１車両１５ｍとして計算する

方程式の求め方を教えてください

	33034．Re: (untitled)
	名前：教得手　学日付：7月14日(土) 1時0分
	まず、特急列車の長さは　１２*１５＝１８０（ｍ）　　　普通列車の長さは　８＊１５＝１２０（ｍ）ですね。特急列車の速さを　ｘ（ｍ/秒）、普通列車の速さを　ｙ（ｍ/秒）とします。すれ違うとき、１秒間に２列車の進んだだ距離の合計は（ｘ＋ｙ）ｍ「４秒間で、２列車の進んだだ距離の合計が２列車の長さの合計３００ｍに達し、すれ違いが完了した。」・・・・・（１）追い越すとき、１秒間に２列車の進んだだ距離の差は（ｘ－ｙ）ｍ「３６秒間で、２列車の進んだだ距離の差が２列車の長さの合計３００ｍに達し、追い越し完了。」・・・・・（２）（１),(２）よりｘ,ｙに関する連立方程式を立てればよいでしょう。

33028．ベクトル

名前：たけひこ@高校２年 日付：7月13日(金) 14時31分

△ABCの外信Oから直線BC,CA,ABに下ろした垂線の足をそれぞれP,Q,Rとするとき、
→OP+2→OQ+3→OR=→0
が成立しているとする。

①→OA,→OB,→OC,の関係式を求めよ。
②∠Aの大きさを求めよ

①番はできたんですが②番で止まってしまいました
よろしくお願いします！

	33033．Re: ベクトル
	名前：angel 日付：7月14日(土) 0時50分
	直感的には、(1) を解いた時点で、3:4:5 の直角三角形が現れることに気付けば、そこから角度を出すことが可能。地道にやるなら、\|↑OA\|=\|↑OB\|=\|↑OC\| を利用 ( Oは外心…外接円の中心のため ) ちょっと記号を書くのが面倒なので、それぞれのベクトルを a,b,c とし、大きさを r ( 共通 ) としますと、おそらく (1) の答えが 5a+4b+3c=0 両辺と a との内積を計算すると、5aa+4ab+3ca=0 ここから 4ab+3ca=-5r^2 同様に、b,c と内積から計算していくことで、各内積 ab, bc, ca の大きさが分かります。

	33049．Re: ベクトル
	名前：たけひこ@高校２年日付：7月14日(土) 23時49分
	お返事ありがとうございます１番はご指摘の通り5a+4b+3c=0であってると思いますしかし∠Aを求めるにはいたりません＞＜助言通りにab,ac,bcの内積は 5ab=-4r^2 5ac=-3r^2 bc=0 と求まったのですが・・・ここからどうすればよいのか解りません ∠Aを求めるにはやはり(AB)･(AC)=\|AB\|\|AC\|cosA から求めるのでしょうか？なにか根本的に勘違いしていそうです＾＾；

	33057．Re: ベクトル
	名前：ヨッシー日付：7月15日(日) 8時59分
	ｂ・ｃ＝０　がポイントですね。これが何を意味するのか？あとは、（図はすでに描いているとして）「円周角」を利用すれば．．．　 http://yosshy.sansu.org/

	33060．Re: ベクトル
	名前：angel 日付：7月15日(日) 12時0分
	ヨッシーさんに助言頂いたとおり、内積 b・c=0 に気付けば、そこから図形的性質で解けます。それが一番素直でしょう。ただ、ベクトルは、図形的性質をあまり考えずに、計算一筋でも解けるもの ( そこが良いところ ) でもあります。 > ∠Aを求めるにはやはり(AB)･(AC)=\|AB\|\|AC\|cosA から求めるのでしょうか？も十分可能です。　AB=\|↑AB\|=√(↑AB・↑AB)=√( (b-a)・(b-a) )=√(b・b-2a・b+a・a) 　AC=\|↑AC\|=√(↑AC・↑AC)=√( (c-a)・(c-a) )=√(c・c-2c・a+a・a) 　↑AB・↑AC=(b-a)・(c-a)=b・c-c・a-a・b+a・a これに、a・a = b・b = c・c = r^2 と、求めた a・b, b・c, c・a の結果を適用すれば、cosA が分かる、という寸法です。

	33067．Re: ベクトル
	名前：たけひこ@高校２年日付：7月16日(月) 16時48分
	ありがとうございます！簡単な事を忘れていました内積０からOC,OBは90度であり一つの弧に対する中心角は円周角の２倍であるので ∠Aは45度であるということですね！内積計算の方もやってみたいと思いますありがとうございましたまた何かあったらよろしくお願いします

33024．(untitled)

名前：ウー日付：7月13日(金) 13時19分

公務員試験の過去問題で、解説がなかったので教えていただけますか？

赤色のカードが3枚、青色のカードが2枚、黄色のカードが1枚ある。隣り合うカードの色が異なるように、これらのカードを机の上に横一列に並べるとき、このようなカードの並べ方は全部で何通りあるか。
　ただし、左右を入れ替えて同じ並びになるものは2通りとは数えないものとする。また、同じ色のカードは互いに区別できないものとする。
答えは５通りなのですが、どうしてかわかりません。
教えていただけると助かります。

	33025．Re: (untitled)
	名前：ヨッシー日付：7月13日(金) 13時45分
	置き場所は６個なので、そのうちの赤の置き方は ■□■□■□ ■□■□□■ の２通りです。 ■□□■□■ □■□■□■ の２通りは、左右逆にすれば、上と同じになるので、外します ■□■□■□ の場合、黄色の置き方は３通り、残りに青を置けばいいので、並べ方は３通り。 ■□■□□■ の場合、２つ並んだ□のどちらかに黄色を置き、残りは青なので、２通り。合わせて５通りです。具体的には ■■■■■■ ■■■■■■ ■■■■■■ ■■■■■■ ■■■■■■ の５通りです。　 http://yosshy.sansu.org/

	33026．Re: (untitled)
	名前：ウー日付：7月13日(金) 13時54分
	さっそくお答えいただいてありがとうございました。すごいです。よくわかりました数学音痴にはこの手の問題は難しいです。

33021．一様収束

名前：けん日付：7月13日(金) 11時13分

大学2年です。

１．fn(x)=(n^a)x(e^(-n(x^2)))
ただし、a>0
が一様収束、広義一様収束するかを調べたいです。
関数列は0に各点収束するのは分かりました。
fn(x)をxで微分すると、x=1/√(2n)のとき最大でn^(a-(1/2))/√(2e)となります。この点は、n→∞のとき、a>1/2なら発散、a=1/2なら1/√(2e)に収束、a<1/2なら0に収束します。これらを使った、一様収束の定義に基づいた証明が知りたいです。

２．fn(x)=∑(k=1からn)(1/(1＋x^k))
がx>1で一様収束しないことを示したいのですが、
fn(x)<∑(k=1からn)(1/(x^k))<∑(k=1から∞)(1/(x^k))=1/(x-1)として、この後何をすればいいかわかりません。

よろしくお願いします。

	33061．Re
	名前：soredeha 日付：7月15日(日) 15時0分
	>1 a＜1/2 なら、　 sup\|fn(x)-0\|＝n^(a-(1/2))/√(2e) → 0 ( n → ∞ )　だから　　　　　　　　　　　　( -∞ , ∞ ) で　一様収束 .

	33066．Re: 一様収束
	名前：けん日付：7月16日(月) 16時7分
	レスありがとうございます。 ε－δ論法でお願いします。

	33069．Re
	名前：soredeha 日付：7月16日(月) 21時57分
	∀ε、∃no ;　　　\|n^(a-(1/2))/√(2e)\|＜ε　　( n＞no ) x∈(-∞ ,∞ )　⇒　\|fn(x) - 0\|≦\|n^(a-(1/2))/√(2e)\|＜ε　　( n＞no ) .

	33156．Re: 一様収束
	名前：けん日付：7月21日(土) 22時19分
	ありがとうございました。

33020．いくつか問題あるんでお願いします

名前：高橋日付：7月13日(金) 10時44分

7の2003乗の下５桁を求めてください。
9の2005乗の下５桁を求めてください。

	33023．Re: いくつか問題あるんでお願いします
	名前：ヨッシー日付：7月13日(金) 12時23分
	f(a) で、a の下５桁を表すことにします。ちなみに、f(a×b)＝f(f(a)×f(b)) です。つまり、下５桁だけ見ていればいいということです。 7^4＝2401　・・・下２桁固定(7^4n は必ず下１桁が01になる) f(7^8)＝64801 f(7^12)＝87201 f(7^16)＝69601 f(7^20)＝12001　・・・下３桁固定 f(7^40)＝24001 f(7^100)＝60001　・・・下４桁固定 f(7^500)＝00001 よって、 f(7^500)＝f(7^1000)＝f(7^2000)＝00001 なので、 7^2003 の下５桁は　7^3 と同じで、00343 9^2＝81 9^4＝6561 f(9^10)＝84401 f(9^50)＝22001 f(9^250)＝10001 f(9^2000)＝80001 なので、これに　9^5＝59049 を掛けて下５桁は　59409＋20000＝79409 　 http://yosshy.sansu.org/

33019．いくつか問題あるんでお願いします

名前：高橋日付：7月13日(金) 10時41分

Ａ＝{1,2,3,…､50}は1から50までの自然数の集合。Ｂ＝{1,2,3,…､20}は1から20までの自然数の集合とする。
　Ａの要素aとＢの要素ｂの組(a､ｂ)で､abの素因数分解に、2個以上の異なる素数が現れるようなものは全部で何個あるか。

	33022．Re: いくつか問題あるんでお願いします
	名前：ヨッシー日付：7月13日(金) 12時3分
	(a,b)の組は全部で　50×20＝1000（個）あります。素因数に２しか含まないもの：2, 4, 8, 16, (32) ３しか含まないもの：3, 9, (27) ５しか含まないもの：5, (25) ７しか含まないもの：7, (49) あと、11, 13, 17, 19, (23), (29), (31), (37), (41), (43), (47) が素数です。 (　)は、Ａだけに含まれる数。ａが１で、ｂが上の数のいずれかである場合は、１２通り。ｂが１で、ａが上の数のいずれかである場合は、２３通り。ａもｂも１の場合、１通り。ａ，ｂいずれも１でない場合で、ａｂの素因数に２しか含まないもの：５×４＝２０（通り）３しか含まないもの：３×２＝６（通り）５しか含まないもの：２×１＝２（通り）７しか含まないもの：２×１＝２（通り）あと、11, 13, 17, 19 しか含まないものがそれぞれ１通りずつ。以上より、　12+23+1+20+6+2+2+1+1+1+1＝７０（通り）は、素因数を１個または０個含むもので、残りの　９３０個が、ａｂに素因数を２つ以上含みます。　 http://yosshy.sansu.org/

33015．(untitled)

名前：高校３年生です。 日付：7月13日(金) 9時0分

すいません。
間違えました。

ｎを正の整数として，I[n]＝∫(log[e]x)^ndx[1,e]とします。このとき，次の不等式が成り立つことを証明しなさい。ただし，eは自然対数の底を表します。

e/n+2<I[n]<e/n+1

宜しくお願いします。

	33027．Re: (untitled)
	名前：キューダ日付：7月13日(金) 14時27分
	I[n]-e/(n+1)=-n*{I[n-1]-e/(n+1)}を導出し、（左辺）≧0と仮定すると矛盾することを利用。

33013．数Cの双曲線

名前：みぉ(高３) 日付：7月13日(金) 4時25分

双曲線x^2/a^2 - y^2/b^2=1 (a>0,b>0)の
焦点と漸近線の距離をもとめよ

答えは、全て等しくb です。

よろしくおねがいします！！

	33029．Re: 数Cの双曲線
	名前：教得手　学日付：7月13日(金) 18時49分
	この双曲線の焦点は、Ｆ1＝(√（ａ^2+ｂ^2),０）　　Ｆ2＝(－√（ａ^2+ｂ^2),０）漸近線は、ｙ＝(b/a)ｘ　, ｙ＝－(b/a)ｘ　ですね。各焦点から２本の漸近線に垂線を下ろした図はｘ軸,ｙ軸について対称な図が出来るので、１つの垂線について求めれば、他はすべて同じになります。そこで　焦点Ｆ1＝(√（ａ^2+ｂ^2),０）と漸近線ｙ＝(b/a)ｘとで考えます。　Ｆ1 からｙ＝(b/a)ｘへ垂線Ｆ1Ａを下ろし、ＡからＯＦ1へ垂線ＡＢを下ろします。　ｙ＝(b/a)ｘの傾きが(b/a)より　　ＯＢ：ＢＡ：ＯＡ＝ａ：(√（ａ^2+ｂ^2) 　△ＯＡＢ∽△ＯＦ1Ａ　だから　　Ｆ1Ａ：ＯＦ1＝ＡＢ：ＯＢ＝ｂ：√（ａ^2+ｂ^2) ところが　ＯＦ1＝√（ａ^2+ｂ^2)　だから　Ｆ1Ａ＝ｂ他の垂線も同様に求まり、距離はすべて等しくｂとなります。

	33030．Re: 数Cの双曲線
	名前：教得手　学日付：7月13日(金) 19時1分
	上のレスにおいて >ＯＢ：ＢＡ：ＯＡ＝ａ：(√（ａ^2+ｂ^2) は　ＯＢ：ＢＡ：ＯＡ＝ａ：ｂ：(√（ａ^2+ｂ^2)　の間違いです

33008．微分（数Ⅱ）

名前：ShoWat 日付：7月12日(木) 23時6分

【問題】
ａを正の定数とする。３次関数y=f(x)=x^3-2ax+a^2x の0≦x≦1 における最大値Ｍ(a)を求めよ。

【答え】
i)3<aのとき
　Ｍ(a)=f(1)=a^2-2a+1
ii)3/4≦a≦3のとき
　Ｍ(a)=f(a/3)=(4/27)*a^3
iii)0<a<3/4のとき
　Ｍ(a)=f(1)=a^2-2a+1

【質問】
正解も途中の過程もおおよそ理解できたのですが、一カ所だけ分からない
ところがあります。それは、

曲線y=f(x)と直線y=(4/27)*a^3 はx=a/3 において接するから、
f(x)-(4/27)*a^3　は(x-a/3)^2 で割り切れる。

という部分です。
前半の「曲線y=f(x)と直線y=(4/27)*a^3 はx=a/3 において接する」の部分そこ自体は分かります。
しかし、後半の「f(x)-(4/27)*a^3　は(x-a/3)^2 で割り切れる」という
部分がなぜそう言えるのかがわかりません。
また、前半部分の「曲線y=f(x)と直線y=(4/27)*a^3 はx-a/3 において接する」を根拠に「f(x)-4/27*a^3　は(x-a/3)^2 で割り切れる」というつながりも理解できません。

どうかよろしくお願いいたします。

	33010．Re: 微分（数Ⅱ）
	名前：ヨッシー日付：7月12日(木) 23時29分
	曲線y=f(x)と直線y=(4/27)a^3 を連立させて、ｙを消去すると３次方程式になります。具体的には、　x^3-2ax+a^2x＝(4/27)a^3 より、　x^3-2ax+a^2x－(4/27)a^3＝０です。これが、　f(x)-(4/27)a^3＝０です。この３次方程式が、３つの解α、β、γを持つとすると、　f(x)-(4/27)a^3＝(ｘ－α)(ｘ－β)(ｘ－γ) と書けます。とくに、α、β、γが実数であれば、　ｘ＝α、β、γ の３つの位置でy=f(x) と、ｙ＝(4/27)a^3 は、交わります。ここで、βとγが同じ値だと、いわゆる重解で、 y=f(x) と、ｙ＝(4/27)a^3 は、ｘ＝αの位置では交わり、ｘ＝βの位置では、接します。そうすると、　f(x)-(4/27)a^3＝(ｘ－α)(ｘ－β)(ｘ－γ) は、　f(x)-(4/27)a^3＝(ｘ－α)(ｘ－β)^2 と書き換えることが出来、ｘ＝β において接するということは、　f(x)-(4/27)a^3 が、(ｘ－β)^2 で割り切れることと、同値になります。　 http://yosshy.sansu.org/

	33035．Re: 微分（数Ⅱ）
	名前：ShoWat 日付：7月14日(土) 11時52分
	ヨッシーさまありがとうございました。接すると言うことは、重解を持つと言うことですね。

33000．(untitled)

名前：高校３年生です。 日付：7月12日(木) 11時10分

ｎを正の整数として，I[n]＝∫(log[e]x)^ndx[1,e]とします。このとき，次の不等式が成り立つことを証明しなさい。ただし，eは自然対数の底を表します。

e/n+2<I[n]<e/n+2

宜しくお願いします。

	33001．Re: (untitled)
	名前：ヨッシー日付：7月12日(木) 11時17分
	左も右も同じですが。　 http://yosshy.sansu.org/

32999．(untitled)

名前：高校３年生です。 日付：7月12日(木) 11時3分

1個のさいころを続けてｎ回振るとき，偶数が2回続けて出ることがない場合の数をa[n]，偶数が2回続けて出ることがない確率をb[n]とします。このとき，次の問いに答えなさい。
（1）ｎ＞＝3とするとき，a[n+1]をa[n-1]とa[n]を用いて表しなさい。

（2）ｎ＞＝3とするとき，b[n+1]をb[n-1]とb[n]を用いて表しなさい。

よろしくお願いします。

	33011．Re: (untitled)
	名前：ぱんだ日付：7月13日(金) 4時0分
	偶数がでたらその次は必ず奇数が出る必要があり、奇数が出たらその次は何でもよい、というルールのゲームです。 n+1回目まで「偶数が２回続けて出ない」確率を求めるとき、 ①１回目が偶数だったとき、２回目は必ず奇数が出なくてはならない（確率1/2）、そして３回目からn+1回目の合計n-1回についてはb[n-1]と同じ条件よって１回目が偶数でなおかつn+1回目まで偶数が２回続けて出ない確率は 1/2・1/2・b[n-1]である。 ②１回目が奇数だったとき、２回目はなんでもよく、結局２回目からn+1回目までの合計n回についてはb[n]と同じ条件よって１回目が奇数でなおかつn+1回目まで偶数が２回続けて出ない確率は1/2・b[n]である。 b[n+1]=b[n]/2+b[n-1]/2　となる。場合の数のほうも同じように自分でやってみてください。ありがちなパターン問題です。

	33012．Re: (untitled)
	名前：ぱんだ日付：7月13日(金) 4時0分
	b[n+1]=b[n]/2+b[n-1]/2　となる。ではなく b[n+1]=b[n]/2+b[n-1]/4　となる。でした。

	33016．Re: (untitled)
	名前：高校３年生です。日付：7月13日(金) 9時18分
	ありがとうございました。

32998．(untitled)

名前：高校３年生です。 日付：7月12日(木) 10時53分

ｎを整数とします。ｘに関する方程式ｎｘ＾2－（3ｎ＋1）ｘ－7＝0が整数解を持つようにｎの値を定めなさい。

お願いします。

	33003．Re: (untitled)
	名前：ヨッシー日付：7月12日(木) 11時42分
	この式をｎについて解くと、　x(x-3)ｎ＝(x+7) ｘ＝０とすると、－７＝０　となるので、ｘ＝０は、解であり得ません。ｘ＝３とすると、－１０＝０　となり、ｘ＝３は、解ではあり得ません。よって、x(x-3)≠０なので、　ｎ＝(x+7)/x(x-3) と書けます。ここで、ｎが整数になるには、ｘ＋７は、ｘでもｘ－３でも割り切れないといけません。ｘ＋７がｘの倍数であることより、ｘは７の約数とわかります。　ｘ＝１　のとき　ｎ＝－４　ｘ＝７　のとき　ｎ＝7/2 　ｘ＝－１　のとき　ｎ＝3/2 　ｘ＝－７　のとき　ｎ＝０逆に、ｎ＝－４　のとき、元の式は、　－４ｘ^2＋１１ｘ－７＝０　(ｘ－１)(－４ｘ＋７)＝０　より、ｘ＝１、4/7　より、整数解ｘ＝１を持ちます。ｎ＝０のとき、－ｘ－７＝０より、整数解ｘ＝－７を持ちます。以上より、ｎ＝０　または　ｎ＝－４　 http://yosshy.sansu.org/

	33004．Re: (untitled)
	名前：らすかる日付：7月12日(木) 12時36分
	つまらぬツッコミ × ｘ＝１、4/7　より、整数解ｘ＝１を持ちます。 ○ ｘ＝１、7/4　より、整数解ｘ＝１を持ちます。 http://www10.plala.or.jp/rascalhp

	33018．Re: (untitled)
	名前：高校３年生です。日付：7月13日(金) 9時21分
	ありがとうございました。

32997．(untitled)

名前：高校３年 日付：7月12日(木) 10時49分

座標平面上に，ｙ＝ｘ＾3－3ｘ＾2－9ｘ＋2で表される曲線があり，この曲線に点Aから接線を引きます。このとき，相異なる接線が3本引けるような点Aの存在範囲を求め，それを図示しなさい。

よろしくお願いします。

	33005．Re: (untitled)
	名前：ヨッシー日付：7月12日(木) 13時29分
	ｙを２回微分して、変曲点が（１，－９）であることを求めておきます。図は、曲線のグラフと、変曲点における接線（曲線の傾きと同じ傾きの直線）を引いたものです。変曲点より左の部分について、青で塗ったところからは、２本の接線が引けます。黄色で塗った部分からは、１本の接線が引けます。同様のことが、変曲点より右にも言えて、結局、接線が３本引ける領域は、下のようになります。　 http://yosshy.sansu.org/

	33017．Re: (untitled)
	名前：高校３年日付：7月13日(金) 9時20分
	ありがとうございました！

32996．(untitled)

名前：高校3年生 日付：7月12日(木) 0時30分

以前質問したものですが、もう一つお願いします。

表面積が一定の直円錐の体積が最大になるときの高さと底面の半径の比を求めよ

という問題です。よろしくお願いします。

	33014．Re: (untitled)
	名前：みっちぃ日付：7月13日(金) 5時37分
	円錐の底面半径をr，高さをh，母線をlとすると，h=√(l^2-r^2)の関係があります。今，円錐の表面積S=π(r^2+lr) 体積V=(π/3)hr^2 です。求めるのは，Vが最大になるh/rの値。 Sが一定なので，定数kに対してS=kπとおくと，l=(k/r -r)と変形できるので V=(π/3)r^2√(l^2-r^2) に代入して =(π/3)r^2√(k^2/r^2 -2k) =(π/3)√(k^2r^2 -2kr^4) よって，「Vが最大」⇔「-2kr^4+k^2r^2=-2k{r^2-k/4}^2 +(k^3)/8が最大」なので， r=(1/2)(√k)のときにVが最大になります。このとき，l=(k/r -r)=(3/2)(√k)だから，l：r=3：1で，h=√(l^2-r^2)なので， h:r=2√2：1

	33045．Re: (untitled)
	名前：高校3年生日付：7月14日(土) 21時37分
	ありがとうございました！

32995．三角形

名前：がうす 日付：7月11日(水) 23時23分

△ABCにおいて、2((sinA)^2+(sinB)^2+(sinC)^2)=<√3(sinA+sinB+sinC)を証明してください。お願いします

	33052．Re: 三角形
	名前：ぱんだ日付：7月15日(日) 0時28分
	問題はそれであっていますか？その命題は成立しません。反例：AB＝７、BC＝２５、CA＝２４のとき左辺＝４、右辺＝56√3/25より左辺＞右辺もう一度問題の確認をお願いします。

32993．数列なんですが…

名前：ｼﾞｪﾝ 日付：7月11日(水) 22時27分

初項から第5項までの和が40,初項から第16項までの和が-48である等差数列の初項と公差を求めよ｡また,初項から第n項までの和を求めよ｡

よろしくお願いします｡

	32994．Re: 数列なんですが…
	名前：カワイ肝油ドロップ日付：7月11日(水) 23時21分
	a[n]=a[1]+(n-1)*d, S[5]=40, S[16]=-48から、　S[5] = a[1] + a[2] + a[3] + a[4] + a[5] = 5a[1] + 10d = 40 ─── (1) 　S[16] = a[1] + a[2] + ... + a[16] = 16a[1] + 120d = -48 ─── (2) (1)と(2)を連立して解くと、a[1]=12, d=-2 また、　S[n] = ∑[k=1,n] a[k] = ∑[k=1,n] (-2k+14) = ...

32989．数列

名前：めちゃイケナイ　高2 日付：7月11日(水) 20時30分

3つの数１,x,ｙ,がこの順に等差数列をなし、y^2,x,1がこの順に等比数列をなすとき,xとyの値を求めよ。

どなたかよろしくお願いします。

	32990．Re: 数列
	名前：チョッパ日付：7月11日(水) 21時7分
	公差＝x－1より，y－x＝x－1　…ア公比＝x/y²より，1/x＝x/y²　…イアより，y＝2x－1　…ウイより，y²＝x²　…エウをエに代入して (2x－1)²＝x² あとは，計算してみて下さい。

32985．小学生の学習範囲内での正比例の考え方

名前：チョッパ 日付：7月11日(水) 15時50分

『分速60mでx（分）歩いたときの進んだ距離y（m）』
は正比例というのは理解できるのですが，

『1個100円のりんごをx個買ったときの代金がy円』
このxとyの関係は正比例といってよいのでしょうか？

＃自分的には，小数倍･分数倍で微妙だと思うのですが。
＃ご意見，よろしくお願いします。

	32987．Re: 小学生の学習範囲内での正比例の考え方
	名前：ヨッシー日付：7月11日(水) 17時17分
	正比例といって良いでしょう。正比例のグラフは、ご存じの通り、原点を通る直線ですが、その直線の、正の整数の部分だけを、取り上げて利用していると見ればどうでしょう？　 http://yosshy.sansu.org/

	32988．Re: 小学生の学習範囲内での正比例の考え方
	名前：チョッパ日付：7月11日(水) 18時7分
	ご意見ありがとうございます。小学校では，『xが2倍，3倍…になると，yも2倍，3倍…となる関係』と，指導されているみたいです。学校によっては，さらに理解を深めるために『小数倍，分数倍においても成り立っている』ことを確認させているみたいですが，一般的には小学生の範囲では0と正の整数範囲でOKなのかもしれませんね。ただ，1つ心配なのは『教科書でグラフまでふれている』ことです。先程，私が挙げた例をグラフに表すと，直線ではなく点になりますよね。小学生の教科書では，グラフ用紙に点をとり，正比例のグラフが『原点を通る右上がりの直線』となることを確認させています。そのあたりは，どうでしょうか。

	33006．Re: 小学生の学習範囲内での正比例の考え方
	名前：ヨッシー日付：7月12日(木) 15時15分
	最終的に、というか一般化したときに、直線になるものを、直線と教えることは、別段問題はないと思います。その直線を見て「なるほど」と思う子もいれば、「小数や分数の時はどうなのだろう？」と思う子、「マイナスは？」と思う子と色々いるでしょうが、それはそれぞれで理解すればいいと思いますし、整数→分数→実数への拡張のきっかけになればなお良し。　 http://yosshy.sansu.org/

	33007．Re: 小学生の学習範囲内での正比例の考え方
	名前：チョッパ日付：7月12日(木) 16時34分
	再度の返信ありがとうございます。＞最終的に、というか一般化したときに、直線になるものを、直線と教えることは、別段問題はないと思います。この部分で，一般化（yをxの式に表し，それをグラフにするということでしょうか）して直線になれば，正比例ととらえて良いということでしょうか？＃そういえば，大昔の中学入試で文章からグラフを選ぶ問題がありました。『下のグラフは，次の（1）～（3）のそれぞれの2つの量の関係をグラフに表したものです。（1）～（3）のそれぞれにあてはまるグラフを選んで，ア～ウの記号で答えなさい』ア：原点スタートの右上がりの直線（いわゆる正比例のグラフ）イ：いわゆる反比例のグラフウ：右上がりの点のグラフ（1）面積が20cm²の長方形のたての長さと横の長さ（2）1個100円のりんごを買うときの個数と値段（3）時速50kmで走る自動車の走った時間と距離＃グラフとしては区別をつけるが，正比例いいのでしょうね。

32983．ベクトルと領域

名前：バンビ 日付：7月11日(水) 12時43分

三角形OABの辺OA、OB上に、それぞれ点P、Qをとり、
OP（→）＝aOA（→）、OQ（→）＝bOB（→）（0<a<1, 0<b<1)とする。三角形OABの重心Gが三角形OPQの内部に含まれるための必要十分条件をa,bを用いて表せ。また、その条件を満たす点（a,b)はどのような範囲にあるかを座標平面上に図示せよ。ただし、三角形OPQの辺上の点は、三角形OPQの内部に含まれないと考える。

ベクトルに関する問題です。どなたかできるだけ詳しく解説していただけないでしょうか。まったく手が出ません・・・

	32984．Re: ベクトルと領域
	名前：ヨッシー日付：7月11日(水) 15時9分
	詳細は、こちらを見ていただくとして、　ＯＧ＝(ＯＡ＋ＯＢ)／３ですが、　ＯＰ＝ａＯＡ　ＯＱ＝ｂＯＢに対して、　ＯＲ＝ｍＯＰ＋ｎＯＱ　ただし、０＜ｍ＜１、０＜ｎ＜１、０＜ｍ＋ｎ＜１で表される点Ｒは、△ＯＰＱの内部にあります。これを、ＯＧについて考えると、　ＯＧ＝(ＯＡ＋ＯＢ)／３　　　　＝(ＯＰ/ａ＋ＯＱ/ｂ)／３　ただし、０＜1/3a＜１、０＜1/3b＜１、０＜1/3a＋1/3b＜１０＜ａ、０＜ｂは、最初から与えられているので、　1/3a＜１、1/3b＜１、1/3a＋1/3b＜１を満たせばいいことになります。 1/3a＜１　より　ａ＞1/3 1/3b＜１　より　ｂ＞1/3 1/3a＋1/3b＜１　より　b/3＋a/3＜ab 　ab-a/3-b/3＞０　(a-1/3)(b-1/3)＞1/9 よって、ab＝1/9 を、ａ軸、ｂ軸方向にそれぞれ1/3 ずつ移動したグラフを元に、図のような領域になります。　 http://yosshy.sansu.org/

	32986．Re: ベクトルと領域
	名前：バンビ日付：7月11日(水) 16時39分
	ヨッシーさんいつもありがとうございます。明日のテストがんばれそうです。

32975．(untitled)

名前：高校3年生 日付：7月11日(水) 3時28分

1.三辺の長さがａの台形の面積の最大値を求めよ

2.一辺の長さがａの正方形の隅から図のように正方形と長方形を切り取り、蓋つきの直方体の箱をつくる。直方体の箱の体積を最大にするには切り取る正方形の一辺の長さをいくらにすればよいか。

という問題です。よろしくお願いします。

	32978．Re: (untitled)
	名前：ヨッシー日付：7月11日(水) 9時34分
	まず 2 から。図のように、切り取る正方形の１辺をｘ（０＜ｘ＜a/2）とすると、直方体の縦、横、高さは、　x, a-2x, a/2-x となり、体積V(x)は、　V(x)＝x(a-2x)(a/2-x)＝(4x^3-4ax^2+a^2x)/2 xで微分して　V'(x)＝(12x^2-8ax+a^2)/2＝(6x-a)(2x-a)/2 (中略) x=a/6 の時に、V(a/6)＝a^3/27 で、体積最大となります。　 http://yosshy.sansu.org/

	32979．Re: (untitled)
	名前：ヨッシー日付：7月11日(水) 10時1分
	1 の３辺は、上底と、下底と、もう１辺とします。（上底または下底以外の３辺だと、えらく大変です）図のように、３辺の長さが決まっているとき、上底、下底以外の辺が、上底、下底に垂直なときが、面積最大となるので、今後この状態で考えます。図のように、辺の長さをx,y とすると、残る辺z は、　ｚ＝ａ－(x+y) となります。このとき台形の面積は、　(ｘ＋ｚ)ｙ／２＝(ａ－ｙ)ｙ／２という、ｙだけの式になります。最大は、ｙ＝a/2 のとき、a^2/8 となります。　 http://yosshy.sansu.org/

	32980．Re: (untitled)
	名前：豆日付：7月11日(水) 10時20分
	「三辺の長さがａの台形」長さがa,a,a,xで構成される台形じゃないでしょうか？

	32981．Re: (untitled)
	名前：ヨッシー日付：7月11日(水) 11時10分
	あぁ、なるほど。そうも読めますね。（そうとしか読めんか^^;）高さが同じなら、両すぼみより、両開きの方が面積が大きいので、今後、両開き（特殊な例として正方形）で考えます。ＡＥ＝ｘ　などと置く方法もありますが、ここでは、∠ＥＢＡ＝θ（０≦θ＜π/２）と置きます。このとき、　ＢＥ＝ａcosθ 　ＡＥ＝ａsinθ より、ＡＤ＝ａ(１＋２sinθ)　となるので、台形の面積は　(ＢＣ＋ＡＤ)ＢＥ/２＝ａ^2(１＋sinθ)cosθ f(θ)＝(１＋sinθ)cosθ　とおき、θで微分すると　f'(θ)＝cos^2θ－(１＋sinθ)sinθ＝１－2sin^2θ－sinθ よって、f'(θ)＝０となるのは、2sin^2θ＋sinθ－１＝０より、　(2sinθ－１)(sinθ＋１)＝０　sinθ＝1/2、－１０≦θ＜π/２より、θ＝π/6 このとき面積最大で、　ａ^2(１＋sinθ)cosθ＝(3√3/4)a^2 となります。　 http://yosshy.sansu.org/

	32991．Re: (untitled)
	名前：高校3年生日付：7月11日(水) 21時23分
	本当にありがとうございました。もうすぐテストなんですが、頑張りたいと思います。

32968．(untitled)

名前：グレイス 日付：7月10日(火) 21時52分

数学が出来るようになるコツはなんでしょうか？
わたしは、勉強しても一向に成績がよくなりません。
どうすれば、出来るようになるのでしょうか？
２次関数とか全く分からないです．．。

	32977．Re: (untitled)
	名前：ヨッシー日付：7月11日(水) 9時8分
	原因はいろいろ考えられます。・公式を覚えることに一生懸命で、使いこなす訓練をしていない。・解答をみて安心して、自分で解くことをしていない。など、日々の取り組みもそうですが、一番大きいのは、・より基本的な単元で、十分理解できていない。ということです。極端な話、足し算も怪しいのに、九九を覚えようとする。九九もあやふやなのに、割り算をやろうとする。ような状態です。二次関数がわからないということですが、二次方程式になれば別ですが、二次関数の間は、一次関数の考え方を応用することが多いです。・グラフを描く、ｙ切片を求める・変化の割合を求める・ｘが○○のときのｙの値を求める新しいことといえば、・頂点の座標を求めるくらいでしょうか。思い切って、前の単元、さらに前の単元と戻って、穴がないかチェックしてみるのも、結局は近道かも知れません。　 http://yosshy.sansu.org/

32964．(untitled)

名前：ゴン日付：7月10日(火) 20時47分

ロピタルに定理で０／０や∞／∞型とはどういう意味なんですか？
お願いいたします。

	32971．Re: (untitled)
	名前：ミッキー日付：7月10日(火) 23時26分
	lim[x->a]f(x)/g(x)にそれぞれx=aを代入した値が∞/∞，0/0型ということです

	32992．Re: (untitled)
	名前：ゴン日付：7月11日(水) 22時0分
	ありがとうございます。

32963．サイコロ

名前：√ 日付：7月10日(火) 20時46分

よろしくお願い致します。

「正多面体」だったら、どの面も出る確率は同じと考えて良いですか？
正多面体は
４・６・８・１２・２０の５個なので
サイコロは最高２０面までしか作れないということですか？

	32966．Re: サイコロ
	名前：ヨッシー日付：7月10日(火) 21時28分
	「正多面体」だったら、どの面も出る確率は同じと考えて良いですか？は、「良い」です。サイコロは最高２０面までしか作れないということですか？２０面までという表現はともかく、正多面体でなくても、各面の出る確からしさの等しいサイコロは作れます。図は、立方体の各面に、三角形の面が合同な二等辺三角形である四角錐をくっつけたものです。これでも、各面が表になる（または下に来る）確からしさは同じです。同じことを２０面体でやれば、６０までのサイコロが出来ます。　 http://yosshy.sansu.org/

	32967．Re: サイコロ
	名前：√ 日付：7月10日(火) 21時47分
	ヨッシーさん有り難うございました。下の図ですが凹んだ部分が、ある立体になるのですか？

	32969．Re: サイコロ
	名前：ヨッシー日付：7月10日(火) 22時45分
	基本的には、凹んだ部分がないようにします。図のように、四角錐を持ち上げる量によって、２４面体で、サイコロになるもの１２面体で、サイコロになるもの２４面体で、凹んだ部分が出来て、サイコロにならないものが出来ます。　 http://yosshy.sansu.org/

	32970．Re: サイコロ
	名前：√ 日付：7月10日(火) 23時7分
	ヨッシーさん私には、まだ凹んだ部分の無い状態がイメージ出来ないでいます。今晩、ゆっくりイメージしてみます。取り急ぎ、有り難うございました。

	32973．Re: サイコロ
	名前：√ 日付：7月10日(火) 23時45分
	ヨッシーさんやっとイメージ出来ました（＾＾）／有り難うございました。

32962．(untitled)

名前：やすし 日付：7月10日(火) 20時0分

A村からB村までいくのに、半分の距離を歩いて、残りを走ると、
１時間で行きます。　また、３分の２の距離を歩いて、残りを走ると
１時間１０分で行きます。　全行程を歩くとき、走るときそれぞれ
何時間で行くでしょうか。
歩くときも走るときも一定のスピードで行くことができるとします

方程式のやりかたをおしえてください

	32965．Re: (untitled)
	名前：ヨッシー日付：7月10日(火) 21時12分
	方程式ですか！ A村からB村までの距離を１とし、歩く速さを分速ｘ、走る速さを分速ｙとします。半分歩いて、半分走ったときの時間は　1/(2x)＋1/(2y)＝60 2/3歩いて、1/3走ったときの時間は　2/(3x)＋1/(3y)＝70 X＝1/x，Y＝1/y とおくと、それぞれ　X/2＋Y/2＝60 　2X/3＋Y/3＝70 これを解いて、　X＝90, Y＝30 全行程を歩くときの時間　1/x＝X＝90(分) 全行程を走るときの時間　1/y＝Y＝30(分) 　 http://yosshy.sansu.org/

32959．領域の図示

名前：バンビ 日付：7月10日(火) 15時24分

問１）tが実数値をとって変わるとき、２直線tx-y=t,x+ty=2t+1の交点
P(x,y)の軌跡を求めよ。

問２）tがt>=1の範囲を動くとき、問１）の２直線の交点p(x,y)の軌跡を求め、図示せよ。

１）はyを消去してtの２次関数の判別式の条件（xは実数）から0<=x<=2,同様にしてxを消去して0<=y<=2を得たのですが、自信がありません。

２）はまったくわかりません。

どなたかできるだけ詳しく教えていただけないでしょうか。よろしくお願いいたします。

	32960．Re: 領域の図示
	名前：ヨッシー日付：7月10日(火) 17時52分
	1) 結果的に、ｘ、ｙの範囲はそうなりますが、これでは、ｘとｙの関係がわかりません。両式をふつうに解くと、　ｘ＝１＋2t/(t^2+1) 　ｙ＝2t^2/(t^2+1) となります。ここで、－π/２＜θ＜π/２の値を適当に取ると、任意のｔに対して、　ｔ＝tanθ とすることができます。このとき、t^2＝1/cos^2θ を利用すると　ｘ＝１＋２sinθcosθ 　ｙ＝２sin^2θ 変形して　ｘ－１＝２sinθcosθ＝sin2θ 　ｙ－１＝２sin^2θ－１＝－cos2θ よって、　(ｘ－１)^2＋(ｙ－１)^2＝１という関係が得られます。ただし、θはπ/２、－π/２にはならないので、ｘ－１＝０、ｙ－１＝１にはならず、点（１，２）を除いた円になります。 2) t≧1 は、π/４≦θ＜π/２に当たります。 θと円の関係は図のようになるので、 π/４≦θ＜π/２は、図の実線部分になります。　 http://yosshy.sansu.org/

	32961．Re: 領域の図示
	名前：ヨッシー日付：7月10日(火) 17時53分
	上の図で、０°と－６０°あたりに引いてある半径は、関係ありません。　 http://yosshy.sansu.org/

	32972．Re: 領域の図示
	名前：バンビ日付：7月10日(火) 23時43分
	ヨッシーさんいつもありがとうごうざいます。こんな解き方想像もつきませんでした。

	32976．Re: 領域の図示
	名前：ヨッシー日付：7月11日(水) 8時55分
	上にある、　t^2＝1/cos^2θ は、　t^2＋１＝1/cos^2θ の間違いです。前後は合っていると思います。　 http://yosshy.sansu.org/

	32982．Re: 領域の図示
	名前：バンビ日付：7月11日(水) 11時15分
	ありがとうございます。さきほど計算の途中で気づきました。丁寧な解説いつもありがとうございます。

32956．領域の図示

名前：バンビ 日付：7月10日(火) 12時23分

問）ｔが0<t<1の範囲を動くとき、直線y=2tx-t^2の通過しうる範囲を図示せよ。

解）y=x^2より下の範囲でかつ
x軸以下の範囲ではy>=2x-1,
x軸以上の範囲ではy<=2x-1,また0<=x<=1の範囲ではy>=2x-1

*解答を図示できずにすみません・・・

上の問をtについて、t~2-2xt+y=0・・・①と変形して、tが少なくとも一つは0<t<1に解をもつ・・・として進めることはわかるのですが、
もしこの問題を「tが0<t<1の範囲に一つも解を持たない」の余事象を考える方法で解こうとすれば、どのように解けばよいのでしょうか。（そのように考えることは可能でしょうか。）

私なりに解こうとしても解答のようになりませんでした・・・
①において「虚数解をもつまたは、y=f(t)とするとf(0)f(1)>=0」の余事象ととらえて「x^2-y<0またはy>=0かつy>=2x-1またはy<=0かつy<=2x-1」の余事象で「x^2-y>=0かつy<0またはy<2x-1かつy>0またはy>2x-1」を図示すれば・・・と考えたのですが。

おそらく考え方に大きな間違えがあると思うのです。どなたかできるだけ詳しく教えていただけないでしょうか。どうぞよろしくお願いいたします。

	32957．Re: 領域の図示
	名前：ヨッシー日付：7月10日(火) 13時29分
	f(0)f(1)>=0 だからといって、０＜ｘ＜１に解がないとは限りません。　 http://yosshy.sansu.org/

	32958．Re: 領域の図示
	名前：バンビ日付：7月10日(火) 14時11分
	ヨッシーさんありがとうございました。おかげさまで余事象の解き方でも解答と同じになりました。解答の方法よりも（場合分けがたくさんでてくる）楽に解くことができました。感謝いたします。

32949．積分

名前：こぶ平 日付：7月9日(月) 20時34分

明日、テストなので出来るだけ早い回答をお願いします。勝手ながらすいません。

次の関数をxについて微分せよ。
y=∫e^t sint dt[x,x^2]

模範解答
e^t sintの不定積分のの1つをF(t)とする。
∫e^t sint dt[x,x^2]
=F(x^2)-F(x) F'(t)=e^t sint
よって
y'=d/dx∫e^t sint dt[x,x^2]
　=2xF'(x^2)-F'(x)
=2x(e^x2)sinx^2-(e^x)sinx

この解答で、よって　のあとの2行目でF'(x^2)の係数に2xがきていますが、これはどうしてなのでしょうか。x^2の微分が出てきたということは予想がつくのですがどうしてそうなるのか、教えてください。

	32952．Re: 積分
	名前：ヨッシー日付：7月9日(月) 23時17分
	これは、教科書の合成関数の微分の項を見てもらうのが一番はやいと思います。私の手元にある教科書は、こんな感じです。この場合、ｕ＝x^2、ｙ＝F(u) ですから、　dy/dx＝du/dx・dy/du du/dx＝2x、dy/du＝F'(u)＝F'(x^2) となります。　 http://yosshy.sansu.org/

	32974．Re: 積分
	名前：ぱんだ日付：7月10日(火) 23時56分
	以前この掲示板で私が別の方にした説明をコピーして貼り付けますね。まず、微分の意味というものを考えてみましょう。例えばdy/dxとは「ｙをｘで微分したもの」です。数Ⅲではこのように「どの文字をどの文字で微分したか」が重要なポイントになります。ではそのdy/dxとは直観的に言うと何なのか？例えばｘｙ平面にグラフを書いたときの「傾き」であったり「ｘとｙの変化の割合」であったりします。さて、今回の問題を考えるときはdy/dxを「ｙはｘの何倍変化するか」という捉え方をするとわかりやすいと思います。今ＡとＢの歯車が接していて、ＢはＣとも接しています。Ａをｘ回動かすと連動してＢがｙ回動き、それに連動してＣがｚ回動くシステムです。今、dy/dx=3という条件が与えられました。これはどういうことでしょうか？（下の答えを見る前に少し自分で考えてみてください）「ｘを少しだけ動かすとｙはその（約）3倍（の速さで）動く」ということです。今さらにdy/dz=2という条件が与えられました。これは「ｙを少しだけ動かすとｚはその2倍動く」ということです。ではここで問題です。dz/dxはいったいなんでしょうか？ dz/dxとは、ｚはｘの何倍の速さで動くのかということです。その答えは当然（dy/dx）×（dz/dy)＝３×２＝６です。合成関数の微分の公式はこのように捉えると複雑な証明ではなく、簡単に直観的に理解できると思います。さて、今y=(3x+1)^4という式をｘで微分することを考えて見ましょう。 3x+1=uとおいてみてください。ｘが動くと連動してuも動き、それに連動してyの値も動きます。 uはｘを使ってu=3x+1と表され、yはuを使ってy=u^2と表されます。 ※yを直接ｘで表すのが不可能（あるいは難しい）場合はこのように間に「ｙともｘとも比較しやすいもの」を仲介に持ってきます。このuの役を媒介変数と呼んだりします。さて、dy/dxを求めたいがｙとｘは直接の関係は複雑なので仲介にuを持ってきます。 dy/dx=(dy/du)×(du/dx)={d/du(u^2)}×{d/dx(3x+1)} =2u×3=2(3x+1)×『3』となります。 y=f(2x) u=2xについて、ｙをｘで微分したものが{f(2x)} 'です。 dy/dx=(dy/du)×(du/dx)=f '(u)×2=f '(2x)×2となるわけです。

32947．log

名前：K'z 日付：7月9日(月) 19時42分

log[2]x+log[8]x=2(log[2]x)(log[8]x) []内はlogの底です。
のxを求めたいのですが、スムーズな解き方が分かりません。
返答よろしくお願いします。

	32950．Re: log
	名前：教得手　学日付：7月9日(月) 20時36分
	log[8]x＝log[2]x／log[2]8＝log[2]x／3 だから与えられた方程式は log[2]x+log[2]x／3＝2(log[2]x)(log[2]x／3) log[2]x＝ＡとおくとＡ+Ａ/３＝２(Ａ^2) /３変形すると　　２Ａ（Ａ－２)＝０　∴　Ａ＝０,２　log[2]x＝０　,log[2]x＝２　よって　ｘ＝1,４

	32951．Re: log
	名前：K'z 日付：7月9日(月) 22時12分
	分かりやすい解答ありがとうございました。

32945．円の方程式

名前：えいく 日付：7月9日(月) 19時2分

「原点Oにおいてｙ軸に接する半径３の円」の方程式を求めたいのですが
高２です。
お願いします。。。

	32953．Re: 円の方程式
	名前：ヨッシー日付：7月9日(月) 23時21分
	こういうことですよね？半径は３ですね。中心の座標は？　 http://yosshy.sansu.org/

32944．塩水算

名前：ボス日付：7月9日(月) 18時59分

380ｇの水に食塩を□ｇ加えると20%の食塩水になります。小学六年生です、よろしくお願いします。

	32946．Re: 塩水算
	名前：教得手　学日付：7月9日(月) 19時25分
	20 ％の食塩水というのは全体の 1/5 が食塩すなわち　食塩の重さの５倍が全体の重さ　　（食塩の重さ）：（水の重さ）＝１：４　で混ぜたものだから、380グラムの水にその１/４である 95グラムの食塩を加えればよいことになります.

	32948．Re: 塩水算
	名前：ボス日付：7月9日(月) 20時17分
	ありがとうございます。

32943．(untitled)

名前：えちか 日付：7月9日(月) 18時48分

8a÷２aわ、どうやれば？？？

	32954．Re: (untitled)
	名前：ヨッシー日付：7月9日(月) 23時24分
	ａが　ａａａａａａａａのように、８つあります。これが８ａです。１回につき、２ａ、つまり　ａａずつ、取っていくと、何回でなくなるでしょう？式で書くなら、　８ａ÷２ａ＝(８×ａ)÷(２×ａ)＝８×ａ÷２÷ａ＝８÷２×ａ÷ａです。　　 http://yosshy.sansu.org/

32941．指数関数

名前：高校1年 日付：7月9日(月) 15時22分

x+2y+1=0のとき2^x（2のｘ乗）+4^y（4のy乗）の最小値を求めよという問題なのですが、解き方の手順が分かりません。
答えはx=-1/2、y=-1/4のときsqrt（2）（ルート2）です。
よろしくお願いします

	32942．Re: 指数関数
	名前：豆日付：7月9日(月) 16時27分
	相加相乗平均の関係から 2^x+4^y=2^x+2^(2y)≧2√(2^x・2^(2y))=2√2^(x+2y)=2√2^(-1)=√2 等号はx=2yのとき　つまりx=-1/2、y=-1/4のとき

32937．(untitled)

名前：ゴン日付：7月8日(日) 22時2分

すみません。おねがいします。
Ｘ＾２＋Ｙ＾２＝４の偏微分です。

32936．重複組み合わせ（数Ａ）

名前：ShoWat 日付：7月8日(日) 18時15分

【問題】
サイコロを４回投げ、k回目にでた数をak(k=1,2,3,4)とする。
a1≦a2＜a3≦a4 となる目の出方は何通りあるか。

【模範解答】
i)a1≦a2≦a3≦a4　となる組み合わせは、
　異なる６個から重複を許して４個選ぶ組み合わせなので、
　6H4=6+4-1C4=9C4=125・・・①

ii)a1≦a2＝a3≦a4　となる組み合わせは、
　異なる６個から重複を許して３個選ぶ組み合わせなので、
　6H3=6+3-1C3=8C3=70・・・②

よって、求める場合の数は①－②
　126-70=56（答）

【質問】
模範解答のii)の
「a1≦a2＝a3≦a4　となる組み合わせは、
　異なる６個から重複を許して３個選ぶ組み合わせ」
の部分が理解できません。

サイコロの目の数１～６から、重複を許して、たとえば、「１、２，２，４」
などと選ぶので、結局は「４つ」選ぶということだと思うのですが、どうも
a2=a3を１かたまりと見ているようです。
でもそれは、「１、２、４」と選んでいるのであって、「１，２，２，４」
とは異なると思うのですが、、、、。
混乱して分かりません。何卒よろしくお願いいたします。

　

	32938．Re: 重複組み合わせ（数Ａ）
	名前：ヨッシー日付：7月8日(日) 22時51分
	３つ選んで、小さい順に並べたとき、真ん中に来た数を２つに増やして、　a,b,b,c という４つの数を作る、選び方です。３つの数を選ぶことと、真ん中２つが同じ４つの数を選ぶことは、ピッタリ一致します。たとえば、３つの数字１，２，３から重複を許して３つ選んで、a1,a2,a3 とするとき　a1≦a2≦a3 となる選び方は、 (1,1,1),(1,1,2),(1,1,3),(1,2,2),(1,2,3),(1,3,3),(2,2,2),(2,2,3),(2,3,3),(3,3,3) の１０通りで、これは　3Ｈ3＝5Ｃ3＝１０　と一致するのは、公式の通りです。一方、　a1＜a2≦a3 となる選び方は、上の１０通りから、　a1＝a2≦a3 となる選び方を引けばいいので、３つの数字から重複を許して２つ数字を選んで、 (1,1) (1,2) (1,3) (2,2) (2,3) (3,3) 左の方の数を２つに増やして (1,1)→(1,1,1) (1,2)→(1,1,2) (1,3)→(1,1,3) (2,2)→(2,2,2) (2,3)→(2,2,3) (3,3)→(3,3,3) として、６通りと求めます。残りの、(1,2,2),(1,2,3),(1,3,3),(2,3,3) は、 a1≦a2≦a3　ではあるが、a1＝a2≦a3 ではない選び方つまり、　a1＜a2≦a3 である選び方です。　 http://yosshy.sansu.org/

32930．反復試行の確率Pnの最大

名前：グラテス　～オカリスの夢～ 日付：7月8日(日) 16時41分

10本のくじの中に2本の当たりくじがある。当たりくじを3回引くまで繰り返しくじを引くものとする。ただし、一度引いたくじは毎回元に戻す。n回目で終わる確率をPnとするとき、次の問いに答えよ。

(1)Pnを求めよ

(2)Pnが最大となるnを求めよ

(2)を特に難しく感じるので、できれば途中の式や考えを教えてほしいです。
おねがいします。

	32939．Re: 反復試行の確率Pnの最大
	名前：ぱんだ日付：7月9日(月) 1時2分
	(1)はn-1回目までにちょうど２回当たりが出ていて、なおかつ n回目に当たりが出る確率です。（２）は、P_(n+1)/P_nの値が１より大きい範囲と小さい範囲を考えてみましょう

32929．反復試行と確率の範囲

名前：グラテス　～オカリスの夢～ 日付：7月8日(日) 16時37分

何枚かの硬貨を投げたとき、少なくとも1枚は表である確率が0.9以上であるようにしたい。何枚の硬貨が必要か。

問題を解く過程も知りたいのですが
参考書に載っている「1枚の硬貨をn回投げる反復試行と同じ」というのもよく分かりません。
そのあたりも教えてほしいです。
おねがいします。

	32934．Re: 反復試行と確率の範囲
	名前：カワイ肝油ドロップ日付：7月8日(日) 17時54分
	＞「1枚の硬貨をn回投げる反復試行と同じ」について。＞何枚かの硬貨を投げたとき、少なくとも1枚は表である確率が0.9以上であるようにしたい。何枚の硬貨が必要か。というのは、何回か硬貨を投げたとき、少なくとも1回は表が出る確率が0.9以上であるようにしたい。何回の試行が必要か。というのと同じことになるので、そのようなことが書かれていたんでしょう。んで、 (少なくとも1回は表が出る確率) = 1 - (すべて裏が出る確率) ≧ 9/10 ですので、n回投げるとすると、 1 - (1/2)^n ≧ 9/10 (1/2)^n ≦ 1/10 ∴ 2^n ≧ 10 これを満たす最小のnは、n=4 よって4回の試行が必要。つまり(本来の問題の形式にあわせて)4枚の硬貨が必要。

32925．二次方程式

名前：悟飯日付：7月8日(日) 1時55分

2x^2-6x+3=0の二つの解をa、b（a<b）とするとき、b/a=pとおく。
（１）ｐ+1/pおよびp^2+1/p^2の値を求めよ。
（２）(1)のｐに対して、p^3+1/p^3およびp^5+1/p^5の値を求めよ。

３乗や５乗のうまい計算方法があれば教えてください。

	32926．Re: 二次方程式
	名前：らすかる日付：7月8日(日) 3時23分
	(1) 解と係数の関係から a+b=3, ab=3/2 p+1/p=b/a+a/b=(a^2+b^2)/(ab)=(a^2+2ab+b^2-2ab)/(ab) ={(a+b)^2-2ab}/(ab)={3^2-2・(3/2)}/(3/2)=4 p^2+1/p^2=(p+1/p)^2-2=4^2-2=14 (2) p^3+1/p^3=(p+1/p)(p^2-1+1/p^2)=4・(14-1)=52 p^5+1/p^5=(p^2+1/p^2)(p^3+1/p^3)-(p+1/p) =14・52-4=724 順番に計算すると以前の結果がうまく使えるようになっていますね。 http://www10.plala.or.jp/rascalhp

	32940．Re: 二次方程式
	名前：悟飯日付：7月9日(月) 1時47分
	ありがとうございます。なるほどそうしたらいいんですね。

32923．ベクトル

名前：みるく 日付：7月7日(土) 23時59分

高３なんですが、ベクトルの応用になるとわかりません。
もう少しで模試もあるので
解き方を教えてください。

1辺の長さが1の正四面体OABCにおいて、(OA)=(OB)、(OB)=(b)、(OC)=(C)とする。
2(OA)＝(OD)を満たす点Dをとり、三角形ABDの重心をE、三角形OBCの重心をFとする。
(1)(OE)、(OF)を(a)、(b)、(c)を用いて表せ。
(2)線分EFを平面ABCとの交点をPとする。(OP)を(a)、(b)、(c)を用いて表せ。
(3)(2)のPに対して、直線OPと平面BCDとの交点をQとする。線分OQの長さを求めよ。

()はベクトルです。　　例:(a)=ベクトルa

お願いします。

	32955．Re: ベクトル
	名前：ヨッシー日付：7月9日(月) 23時26分
	一応、問題を想像で訂正しておきます。 1辺の長さが1の正四面体OABCにおいて、(OA)=(a)、(OB)=(b)、(OC)=(c)とする。 2(OA)＝(OD)を満たす点Dをとり、三角形OBDの重心をE、三角形OBCの重心をFとする。以下そのまま。　　 http://yosshy.sansu.org/

32921．(untitled)

名前：ＴＡＫＵ 日付：7月7日(土) 22時46分

次の問題の解き方が分かりません。どうか教えて下さい。

lim[n→∞]n^(n)/(2n)!

	32922．Re: (untitled)
	名前：らすかる日付：7月7日(土) 23時29分
	0≦lim[n→∞]n^n/(2n)! =lim[n→∞]n^n/{2n・(2n-1)・(2n-2)・…・(n+1)・n!} ≦lim[n→∞]n^n/{n^n・n!} =lim[n→∞]1/n! =0 ∴lim[n→∞]n^n/(2n)!=0 http://www10.plala.or.jp/rascalhp

32919．連立方程式の利用

名前：中学２年 日付：7月7日(土) 11時45分

３種類のおもり○、△、□がある。A、Bのてんびんの左右の皿におもりをのせると、てんびんはつりあう。Aの左皿には△が２つと、○が１つ。右皿には□が１つある。Bの左皿には○が１つあり、右皿には△、□がそれぞれ１つずつある。Cのてんびんの右皿に□のおもりを２つのせたとき、てんびんをつり合わせるには、左皿に△のおもりをいくつのせればよいか？

	32920．Re: 連立方程式の利用
	名前：教得手　学日付：7月7日(土) 12時56分
	文章の表現がおかしいのですが、書いてあるように乗せてＡ、Ｂの天秤がそれぞれ釣り合っているということでしょうか？ならば、△の重さは０ということになってしまうのですが・・・問題にミスがないか、確認してください。

32914．共通接線の方程式（高２）

名前：ShoWat 日付：7月7日(土) 0時34分

【問題】
２曲線 y=f(x)=-x^2+2x-5・・・① と y=g(x)=x^2・・・② がある。
(1) y=g(x) 上の点(a,g(a)) における接線の方程式を求めよ。
(2) y=f(x) と y=g(x) の共通接線の方程式を求めよ。

【質問】
（ア）共通接線は傾きが同じなので、f'(x)=g'(x)
よって、
　　　-2x+2=2x
　　　x=1/2
と考えましたが、模範解答と異なります。
　　　なぜ、どこがおかしいのか教えてください。

（イ）下記に、自分なりの答案を示します。確かに答えだけは、
　　　正解と一致しているのですが、自分でも疑問を感じながら作成した
　　　ものです。

　　　釈然としないながら、答えだけは合っているのです。釈然としない
　　　部分を＊１、＊２で示しますので、質問を挿入する形になり、醜く
　　　なってしまいましたが、何卒よろしくお願いいたします。

【私の答案】
共通接線は傾きが等しいので、f'(x)=g'(x)
よって、
　　　-2x+2=2x
　　　x=1/2・・・③’

（＊１　先の質問と重複しますが、このx=1/2 が正解の接線の傾きと異な
　　　るのはどういうことなのか分かりません。また、このx=1/2は何を
　　　示した数値なのでしょうか。）

f(x)をxで微分して、
f'(x)=-2x+2

点(a,f(a))におけるf(x)の接線の方程式は、

（＊２　点(a, f(a))におけるf(x)の接線ということは、設問の(1)で求め
　　た点(a,g(a))でのg(x)の接線と同じx座標で接線を持つことになりま
　　す。また、このf(x)とg(x)の接線は共通接線なので傾きが等しいの
　　で、結局この２つの接線はx=aで重なり、f(x)とg(x)はx=aで接する
　　ことになってしまいます。しかし、実際にf(x)とg(x)のグラフを描け
　　ば分かるように、１カ所も接しない位置関係にあります。
　　　つまり、(1)で求めた点g(a, g(a))における接線と点f(a,f(a))に
　　おけるf(x)の接線を共通接線として考えること自体、実際のf(x)と
　　g(x)のグラフとの共通接線にはなり得ないのですが、妙に答えだけは
　　一致しています。なぜ、一致してしまっているのか、教えてくださ
　　い。）

y=f'(a)(x-a)+f(a)
=(-2a+2)(x-a)-a^2+2a-5
=(-2a+2)x+2a^2-2a-a^2+2a-5
=(-2a+2)x+a^2-5・・・④
③＝④より
2ax-a^2=(-2a+2)x+a^2-5・・・⑤
⑤に③’を代入して、
2a*(1/2)-a^2=(-2a+2)(1/2)+a^2-5
a-a^2=-a+1+a^2-5
-a^2-a^2+a+a+4=0
2a^2-2a-4=0
a^2-a-2=0
(a-2)(a+1)=0
a=-1, 2

y=g'(a)(x-a)+g(a)
=2a(x-a)+a^2
=2ax-2a^2+a^2
=2ax-a^2・・・・⑥

i)a=-1のとき
　⑥にa=-1を代入して
　y=2(-1)x-(-1)^2
=-2x-1
ii)a=2のとき
　⑥にa=2を代入して
　y=2*2x-2^2
=4x-4

（ウ）模範解答について
＊３　なぜ、「よって～」と言えるのか、「依って」は具体的に何を
　　根拠に、どういう因果関係で①、③からyを消去していいと言えるの
　　か。

＊４　も分かるようで、今ひとつすっきり納得がいきません。何となく
　　感覚で「そうかなぁ」という感じです。
　　私も、二次関数　y=h(x)・・・⑦で、
　　y=0・・・⑧　としたとき、
　　⑦が⑧と接するとき、⑦の判別式Ｄ＝０というのは分かるのですが、
　　ここでのように、「④の２次方程式が重解を持つ」根拠に、
　　「①、③は接するので」と持ってこられると、その関連がすっきり
　　とは理解できないのです。一見同じことを言っているようなのです
　　が、実は違うことを言っている感じがしています。
　
（エ）別解があれば教えて下さい。

【模範解答】
(1)
②をxで微分して、g'(x)=2x
よって、点(a, g(a))における接線の方程式は、
y=g'(a)(x-a)+g(a)
=2a(x-a)+a^2
=2ax-2a^2+a^2
=2ax-a^2・・・・③

(2)
③が①とも接するとき、y=f(x)とy=g(x)の共通接線と言える。
よって、①と③よりyを消去して、・・・＊３
-x^2+2x-5=2ax-a^2
x^2+2(a-1)x-a^2+5=0・・・④
①、③は接するので、④の２次方程式は重解を持つ。・・・＊４
∴判別式 D/4=(a-1)^2-(-a^2+5=0
2a^2-2a-4=0
a^2-a-2=0
(a-2)(a+1)=0
∴a=2, -1
これを③に代入して、
y=4x-4・・・（答）
y=-2x-1・・・（答）

直に話をすれば言いたいことが通じると思うのですが、文字を通してなので、残念ながら、なかなか細かいニュアンスまでは伝えきれませんが、何卒よろしくお願いいたします。

	32915．Re: 共通接線の方程式（高２）
	名前：angel 日付：7月7日(土) 9時49分
	とりあえず、私の思うところから。まず、(1),(2)と小問が分かれているので、「(1)の結果を利用して(2)を考えなさい」という意図があるのだと思いますが、私が(2)だけを見せられたら、多分(1)と同じことを途中で考えることはしません。小問を使って誘導するタイプの問題は、最終的な答え ( 最後に出てくる小問の答え ) にたどり着くためのマイルストーンが示されているという点で、一般的には楽 ( 難易度として易しめ ) なのですが、逆に非効率的な回り道をさせられる可能性もあり、「そんな誘導するなよ」と恨みがましく感じる時も多々あります。 ※尤も、小問にもともと誘導の意図がなく、雑多な問題の寄せ集めになっているだけの場合もあるのでしょうが。で、(2) の別解です。前提として、放物線 y=px^2+qx+r の接線として、x=α のタイプのものがなく、全て y=ax+b と表せることに注意です。　共通接線を y=ax+b と置く。　これが曲線 1,2 とそれぞれ接するため、　　i. -x^2+2x-5=ax+b 　　ii. x^2=ax+b 　この2個の2次方程式はいずれも重解をもつ。　すなわち、それぞれの判別式は0に等しい。よって、　　Di=(a-2)^2-4(b+5)=0 　　Dii=a^2+4b=0 　この連立方程式を解いて ( 計算略 )、(a,b)=(4,-4),(-2,-1) 　答え y=4x-4, y=-2x-1

	32916．模範解答の意図
	名前：angel 日付：7月7日(土) 11時0分
	まず模範解答の構成から。 (2) 共通接線が、曲線2と x=a で接すると仮定する → (1)の結果より、その接線は y=(aを使ったxの一次式) で表せる ※以降、この接線が曲線1と接する条件を探っていく放物線である曲線1と、直線が接するのであれば、その共有点に関する x座標の方程式 ( 2次方程式 ) は重解を持つ ⇔ 方程式の判別式が 0 ( f(x)=(aを使った一次式) の判別式 ) = 0 から、a の値を割り出すその a の値を適用し、直線を決定する ※曲線2に接する直線を、曲線1にも接するよう調整した結果なわけなので、両方に接する共通接線と言えるさて、疑問＊3,4 について。これは、微分の範囲ではなく、数Iの範囲になりますね。放物線が絡む場合、微分→傾きと攻めるアプローチ(数II)と、2次方程式→判別式と攻めるアプローチ(数I)の両方があります。場面に応じて使い分けられると強力な武器になります。 ※厳しいことを言うなら、使い分けられないと苦しい、ともなりますけど。公式っぽく書くなら、　放物線 y=px^2+qx+r と、直線 y=ax+b が接する　⇔ xの2次方程式 px^2+qx+r = ax+b が重解を持つ　※放物線(2次関数)に限らず、3次関数やもっと高次の関数でも実は同じなのですが… でも公式と割り切るのは味気ないですし、暗記に頼るのは個人的にお勧めしないので解釈について。　・曲線(直線)同士の共有点について　　曲線(直線) y=f(x) と y=g(x) の2つがあった場合。　　それらの共有点は、　　　　連立方程式　　　　{　y=f(x) 　　　　{ y=g(x) 　　の解 (x,y) に一致する。　　この形では、解 x が求まった時点で、y=f(x)=g(x) として y も一意に求まるため、いきおい x に着目することになる。　　で、「共有点の x座標」は、方程式 f(x)=g(x) の解となる。　　これは、上の連立方程式から y を消去した形である。　・放物線(2次関数)と直線の位置関係について　　放物線と直線の位置関係には、以下の3通りがある。　　　1. 共有点を持たない　　　2. 1つの接点(共有点)を持つ　　　3. 2つの交点(共有点)を持つ　　つまり、「接する」と「共有点が1つ」は同値　・以上より　　放物線(2次関数) y=f(x) と直線 y=g(x) が接する　　⇔ 放物線 y=f(x) と直線 y=g(x) はただ1つの共有点を持つ　　⇔ 共有点の x座標の満たす方程式 f(x)=g(x) はただ1つの実数解を持つ　　⇔ 2次方程式 f(x)=g(x) の判別式が 0 に等しい

	32917．問題点の指摘
	名前：angel 日付：7月7日(土) 10時59分
	さて、ShoWat さんの解答における問題点について。まず、答えがあっているのは割りとすごい偶然ではないかと思います。何故あっているか、ちょっと考えてみても分かりませんでした。ではどこが問題か。まず、「共通接線」は、接線が共通なのであって、接点は共通とは限りません。接線が共通という観点から、　曲線1との接点の x 座標が a　⇒ 接線の傾き f'(a) 　曲線2との接点の x 座標が b　⇒ 接線の傾き g'(b) 　以上より、f'(a)=g'(b)が「必要」( 十分とは限らない ) は妥当です。接点は共通とは限らないため、接点の x座標として、a,b 2種類用意することになります。で、ここから a と b の関係を探っていくアプローチもありえます。ところが、ShoWat さんは、「f'(x)=g'(x)」を計算しています。これは、f'(a)=g'(b) を解く代わりに f'(a)=g'(a) を考えているのと同じわけで、「接点が共通 (x座標がa)」という前提がないと成り立ちません。ここが根本的な問題です。ここら辺の話については、両放物線と接線 ( y=4x-4, y=-2x-1 ) をグラフに描いて見てみることをお勧めします。 ※今回に限らず、問題の答えを可視化して、「問題を解くための前提として考えていたこと」に矛盾していないかどうかを確かめるのは、自分の論理の強化に良いと思います。追記：グラフは既にご覧になっているようですね。失礼しました。

	32918．Re: 共通接線の方程式（高２）
	名前：黄桃日付：7月7日(土) 11時1分
	angelさんが書いているようなので屋上屋ですが、せっかく書いたのでアップしときます。2 だけ読んでいただければ十分です。ポイントは、２つの曲線の共通接線、とは、異なる２点で接していてもいい、ということです。放物線だと図が描きづらいので、円にしますと、 ○　○　と２つ離れた円がある場合共通接線は４本あります：○X○　タイプのが２本と○二○タイプの２本です。 1:x=1/2 とは、(x,f(x))における y=f(x) の接線の傾きと (x,g(x))における y=g(x) の接線の傾きが等しい、ということを表しています。つまり (1/2,f(1/2) における y=f(x) の接線と (1/2,g(1/2))における y=g(x) の接線は平行、ということです。 2:上のポイント参照。答が一致する理由は、次の通り。一般には共通接線は２本引けます。実は f(x) やg(x)をy軸方向に平行移動しても２つの共通接線の交点のx座標は一定です(f(x),g(x)が xの２次式の時の特殊事情です）。だから、y=g(x)を y=f(x)に「接する」まで平行移動してやれば、２本の接線がついには「一致」してしまいます。この状態がShoWatさんが思っている「共通接線」の状態で、この時２本の接線の交点のx座標は接点のx座標と一致します。この事実、つまり、共通接線が２本引けるならその交点のx座標は1/2である、を利用しているため答があっているのです。 3:も上のポイントを参照してください。共通接線の接点はy=f(x) と y=g(x)とで異なってもいいのです（というか、一般には異なります）。だから、こんな面倒な方法をとっているのです。 *4: f(x):２次式 h(x):1次式とするとき、f(x)=h(x)の解が１つ、ということは f(x)-h(x)=0 の解が１つ、ということと同じなのはいいでしょうか？ f(x)-h(x)=0 は２次方程式ですから、判別式が使えます。そして、放物線y=f(x)と直線y=h(x)が接する、というのは、y=f(x),y=h(x)の連立方程式の解が１つだけ、ということであり、y を消去すれば f(x)=h(x) という２次方程式の解が１つだけ、ということに他なりません。

	32933．Re: 共通接線の方程式（高２）
	名前：ShoWat 日付：7月8日(日) 17時42分
	angel 日付：7月7日(土) 9時49分さんへありがとうございました。すっきりしました。 (2) の別解は流石です。根本的なところからの丁寧な解説ありがとうございました。

	32935．Re: 共通接線の方程式（高２）
	名前：ShoWat 日付：7月8日(日) 17時44分
	黄桃日付：7月7日(土) 11時1分さんへ根本的な考え方から丁寧に解説いただき大変わかりやすかったです。 2だけ～ということですが、実は1の方が「なるほど！」と感銘を受けました。ありがとうございました。

32912．(untitled)

名前：mika 日付：7月6日(金) 22時45分

皆さん
すんごい
むずかしいのに
よくわかりますね!?!?

32911．三角関数

名前：ぐるる 日付：7月6日(金) 22時39分

y=2sin(x+30°)+cos(2x+60°)　（0°≦ｘ≦180°）である。
（１）ｘ＝120°のときのｙの値を求めよ。
（２）ｚ＝sin(x+30°)とする。0°≦ｘ≦180°において、ｚのとりうる値の範囲を求めよ。また、ｙをｚを用いて表せ。
（３）ｙの最大値、最小値を求めよ。また、そのときのｘの値を求めよ。

三角関数は苦手なので教えてもらえるとうれしいです。

	32913．Re: 三角関数
	名前：カワイ肝油ドロップ日付：7月6日(金) 23時39分
	問題を解く前に、余弦の加法定理。 cos(2θ) = (cosθ)^2 - (sinθ)^2 = 1 - (sinθ)^2 - (sinθ)^2 = 1 - 2(sinθ)^2 ─── () 以下、角度の゜を省略してかきます。 (1) x=120を代入して、　y = 2sin(150) + cos(300) = 2･(1/2) + 1/2 = 3/2 (これが分からないなら、図に描いて考えましょう) (2) 0≦x≦180 → 30≦x+30≦210 (すべての辺にそれぞれ30を加えただけ) ∴ -1/2 ≦ z ≦ 1 また、()より cos(2x+60) = cos{2(x+30)} = 1 - 2*{sin(x+30)}^2 = 1 - 2z^2 ∴y = 2z + 1 - z^2 = - z^2 + 2z + 1 (3)(y = - 2x^2 + 2x + 1 という2次関数の、-1/2 ≦ x ≦ 1 における最大･最小と同じ) すんません、急用が出来たのでいったんここまで。(3)は自分で考えてみてください

	32928．Re: 三角関数
	名前：悟飯日付：7月8日(日) 14時45分
	(2)が正直わからないのですが、なぜ 0≦x≦180 → 30≦x+30≦210 (すべての辺にそれぞれ30を加えただけ) ∴ -1/2 ≦ z ≦ 1 なのですか？

	32931．Re: 三角関数
	名前：カワイ肝油ドロップ日付：7月8日(日) 16時55分
	x+30 = θ とおいて考えてみましょう。このときθの取り得る値の範囲が 30 ≦ θ ≦ 210 ということは、sin(x+30)=sinθ=zの最大値：θ=90(x=60)のときz=1，最小値：θ=210(x=180)のときz=-1/2 となるので、zの取り得る値の範囲は -1/2 ≦ z ≦ 1 となります。 (単位円を描いて、30≦θ≦210におけるsinθの値の範囲を調べてみましょう) <訂正> (2)の、＞また、()より＞cos(2x+60) = cos{2(x+30)} = 1 - 2{sin(x+30)}^2 = 1 - 2z^2 ＞∴y = 2z + 1 - z^2 = - z^2 + 2z + 1 において、いくつか-2z^2と書くべきものを-z^2と書いてしまいました。正しくは、また、()より cos(2x+60) = cos{2(x+30)} = 1 - 2{sin(x+30)}^2 = 1 - 2z^2 ∴y = 2z + 1 - 2z^2 = - 2z^2 + 2z + 1 </訂正>

	32932．Re: 三角関数
	名前：カワイ肝油ドロップ日付：7月8日(日) 17時15分
	では、やり残した(3)について、簡単に説明しておきます。前回も書きましたが、y = - 2x^2 + 2x + 1 という2次関数の、 -1/2≦x≦1 における最大･最小を求める場合と同じように考えます。 (3) 　y = -2z^2 + 2z + 1 = -2(z-(1/2))^2 + 3/2 よって最大値は z (= sin(x+30)) = 1/2 のときで、 30≦x+30≦210 に注意して x+30=30，150、つまり x=0，120 　∴最大値：3/2 (x=0，120) また、最小値は -1/2≦z≦1 より z (= sin(x+30)) = -1/2 のときで、 30≦x+30≦210 に注意して x+30=210、つまり x=180 またこのとき、最小値y=-2(-(1/2)-(1/2))^2+(3/2)=-1/2 　∴最小値：-1/2 (x=180)

32908．積分

名前：バンビ 日付：7月6日(金) 16時8分

曲線C：y=x^3-xとする。C上の点Pを通る直線がPとは異なるC上の点QにおいてCに接しているとする。ＰおよびＱのX座標をそれぞれa,bとするとき
1)bを、aを用いて表せ。

２）２点Ｐ、Ｑにおける、Ｃの接線のなす角が４５度のとき、a^2の値を求めよ。

３）２）のような２点Ｐ、Ｑに対して、直線ＰＱと曲線Ｃとで囲まれた部分の面積をもとめよ。ただしa＞１とする。

１）はb＝±√a＾3/3a-2 (aは２／３ではない）となったのですが全く自信がありません。あっているのでしょうか。

２）３）についてもどなたかできるだけ詳しく教えていただけないでしょうか。よろしくお願いいたします。

	32909．Re: 積分
	名前：カワイ肝油ドロップ日付：7月6日(金) 19時6分
	(1) 点Q(b, b^(3)-b)における接線の式を求め、点P(a, a^(3)-a)のx座標，y座標を代入。それをbについて解くと、b=a，-a/2となるが、＞Pとは異なるC上の点Q であることに注意して、b=-a/2 (2) 点Pにおける接線mの傾き：3a^(2)-1は、点Qにおける接線nの傾き：(3a^2/4)-1 より常に大きい。つまり、 (直線mとx軸のなす角α)＞(直線nとx軸のなす角β) よって、 tan(α-β) = tan(π/4) = 1　─── () ここで、 tan(α-β) = (tan(α)-tan(β))/(1+tan(α)tan(β)) = { (3a^(2)-1) - ((3a^2/4)-1) } / ( 1 + (3a^(2)-1)((3a^2/4)-1) ) = ･･･ = (9a^2)/(9a^(4)-15a^(2)+8) ()より (9a^2)/(9a^(4)-15a^(2)+8) = 1 → 9a^(4)-24a^(2)+8=0 したがって、 a^2 = (12±sqrt(144-72))/9 = ･･･ = (4±2sqrt(2))/3 ここに、π/4=45度，sqrt(a)=√a (3)は、a＞1より、a^2 = (4+2sqrt(2))/3 であることと、点Pがx=1より右側にあることがわかる(すなわち、直線PQと曲線Cによる囲まれ方が 1通りしかないことが分かる：積分区間[-a/2, a]において直線PQが上で曲線Cが下)。よって、直線PQ：y=f(x)，曲線C:y=g(x)としたとき、 ∫[-a/2, a]{f(x)-g(x)}dx を求めればいいと思います。計算がめんどくさくなりそうなので自分でやってみてください＾＾；その際、求めた答えにa^2が出てくるので、それに a^2 = (4+2sqrt(2))/3 を代入して整理してください。

	32910．Re: 積分
	名前：カワイ肝油ドロップ日付：7月6日(金) 19時12分
	(3)をざっと計算してみたところ、(27+18sqrt(2))/24という答えになりました。適当に計算＆見直しはしてないため、間違ってる可能性は高いですが参考までに。

	32924．Re: 積分
	名前：バンビ日付：7月8日(日) 0時59分
	カワイ肝油ドロップ様とても参考になりました。詳しい解説ほんとうにありがとうございました。

32901．(untitled)

名前：ゴン日付：7月5日(木) 23時28分

１）（2cos3x+5sin4x)
２）lim n^n+2分の1e-n分のn！　　　　１，２の積分をお願いします。
　　x→∞

32896．幾何学

名前：ＹＭ日付：7月5日(木) 16時13分

ａ，ｂ，ｃ，ｄをａ＜ｂ＜ｃ＜ｄとなっている実数とする。

　Ａ＝[ａ，ｂ)＝｛ｘ∈Ｒ：ａ≦ｘ＜ｂ｝、Ｂ＝[c､d)＝｛ｙ∈ R ：ｃ≦ｙ<d｝
とするとき、次の問いに答えよ。また、その理由を述べよ。
(1)　A×BはR＾２の開集合であるか。
(2)　Ａ×Ｂはｓ×ｓの開集合であるか。

32895．幾何学

名前：ＹＭ日付：7月5日(木) 16時10分

ｆを集合Xから位相空間（Y,Ｕ)への全射とするとき、次のことがらを証明せよ。
(1)Ｔ＝｛ｆ^(-1)(U)|U∈Ｕ｝とおくとき、ＴはＸ上の位相である。
(2)Ｔはｆを（Ｘ、Ｔ）から（Ｙ，Ｕ）への連続写像とするＸ上の最も弱い位相である。

お願いします。

32894．代数学

名前：ＹＭ日付：7月5日(木) 16時7分

Ｖをベクトル空間とする。ｎ個の線型独立なベクトルx1、x2････xn∈Ｖ
がＶの基底をなすための必要十分条件は、これらに任意のベクトルｙ∈Ｖを付け加えたx1、x2････xn、ｙが線型従属になることである。

教えてください。

32893．解き方がわかりません。

名前：ＹＭ日付：7月5日(木) 16時3分

fを集合Ｘから集合Ｙへの全射とする。Ｘの任意の２つの元x1、x2についてx1～x2をf(x1)＝f(x2)と定めるとき、次の問いに答えよ。
(1)～はＸ上の同値関係であることを証明せよ。
(2)｜Ｘ／～｜＝｜Ｙ｜を証明せよ

証明2つ、よろしくお願いします。

	32906．Re: 解き方がわかりません。
	名前：angel 日付：7月6日(金) 1時8分
	数学の部屋掲示板 http://kent.parks.jp/59/otona/bbs.cgi? で、masumotoさんという方が同じ質問をされて、幾つか回答がついています。ご参考まで。上の質問等に対しても同様。

32888．三角形

名前：やす日付：7月5日(木) 12時10分

こんにちは、いつもお世話になっています。
SATというTOEFLのような試験の数学のセクションの問題をいろいろと解いているのですが、1つわからないところがでてきました。
R(2,3) S(5,6)　は三角形RSTの2つの頂点で、３つの辺の変化の割合の合計が１であるとき、∠R,∠S,∠T　のどれが直角でしょう？
という問題で、私は∠Tだと思ったのですが、答えは"どれでもない"でした。
∠Rと∠Sの場合は何故直角にならないかはわかるんですが、計算すると線分RSの変化の割合は1で、そこからｘ軸に平行な線とｙ軸に平行をひいて、交点を∠Tとした場合、この２線の変化の割合は０で、∠Tが直角にはならないのですか？

説明がよくわからなくてすみません、図がかければよいのですがやり方がわからないので、もし上の説明がわかりにくいようでしたら別に言い方を考えておきます。

どなたかわかる人がいましたらよろしくお願いします。

	32890．Re: 三角形
	名前：ラディン.ms 日付：7月5日(木) 13時10分
	R(2,3) S(5,6)　は三角形RSTの2つの頂点で、３つの辺の変化の割合の合計が１であるとき、∠R,∠S,∠T　のどれが直角でしょう？ >> 変化の割合ではなく傾きでは？そこからｘ軸に平行な線とｙ軸に平行をひいて、交点を∠Tとした場合、この２線の変化の割合は０で、∠Tが直角にはならないのですか？ >> なりません。傾きにせよ変化の割合にせよ定義ができない。ＲＴの傾きは確かに０ですが，ＳＴの傾きは定義できない。

	32891．Re: 三角形
	名前：ヨッシー日付：7月5日(木) 13時20分
	「変化の割合」というのは、辺の傾きのことと思われます。（以下、傾きと言うことにします）ｘ軸に平行な直線の傾きは０ですが、ｙ軸に平行な直線の傾きは定義できない、（俗に言う無限大）というのが上の説明では∠Ｔが直角とは言えない理由です。さて問題の方ですが、ＲＳの傾きが１なので、ＳＴとＴＲの傾きの合計が０にならないといけません。 ∠Ｓや∠Ｒが直角だと斜辺に当たる辺の傾きが１にならないといけないので、 ∠Ｓや∠Ｒは、直角になりません。 ∠Ｔが直角とすると、ＳＴとＴＲの傾きの積が－１ということです。ＳＴの傾きをｘとすると、ＴＲの傾きは　－１／ｘ　と表せ、条件より、　ｘ－(1/x)＝０　ｘ^2－１＝０より、ｘ＝±１　で、ｘ＝１　または　－１／ｘ＝１　となり、ＲＳの傾きと一致してしまい、三角形が出来ません。よって、「どれでもない」ということになります。　 http://yosshy.sansu.org/

	32898．Re: 三角形
	名前：やす日付：7月5日(木) 20時19分
	＞ラディン.ms さん、ヨッシーさんすみません、私のミスです。他に言い方があるとはわかっていたのですが、それが何か思い出せず、意味が伝わると思った変化の割合を使いましたが、傾きでした。＞ヨッシーさんなんとなくわかってきた気がするのですが、１つだけ質問があります。何故ＳＴの傾きをｘとするときに　ＴＲの傾きは　－１／ｘ　と表すのですか？

	32899．Re: 三角形
	名前：ヨッシー日付：7月5日(木) 20時29分
	ＳＴとＴＲが直交するので、　傾きの積が－１　→　直交するという性質より。傾き２の直線に直交する直線の傾きは　-1/2 傾き３の直線に直交する直線の傾きは　-1/3 傾き－４の直線に直交する直線の傾きは　1/4 傾き2/3の直線に直交する直線の傾きは　-3/2 などです。　 http://yosshy.sansu.org/

	32900．Re: 三角形
	名前：やす日付：7月5日(木) 21時45分
	あの式でしたか、やっとわかりました。お二方のおかげで解答に納得することができました。ありがとうございました。

32881．(untitled)

名前：ゴン日付：7月5日(木) 0時55分

基礎の５＾Ｘてどうなるんでしたっけ？
お願いします。多分ｌｏｇだと・・・。

	32885．Re: (untitled)
	名前：ヨッシー日付：7月5日(木) 8時53分
	「基礎の」って何ですか？　 http://yosshy.sansu.org/

32880．数列

名前：ぐるる 日付：7月5日(木) 0時30分

等差数列 {a[n]}の公差が-3のとき、a2+a3=65を満たす。
（１） a[n]をｎで表せ。
　　20
（２）∑|ak|の値を求めよ
　　 k=1

　　20
（３）∑｛（ak+|ak|）/2｝²の値を求めよ
　　 k=1

特に（２）（３）がわかりません。よろしくお願いします。

	32886．Re: 数列
	名前：教得手　学日付：7月5日(木) 9時1分
	(1) ａ2＋ａ3＝(ａ1－３)＋ (ａ1－６)＝６５より　ａ1＝３７よって　ａ[n}＝３７－３（ｎ-1）＝４０－３ｎ (2) ４０－３ｎ＜０　を解くとｎ＞４０/３　ｋ≦１３　のときは　\|ak\|＝４０－３ｎ　ｋ≧１４　のときは　\|ak\|＝－(４０－３ｎ)＝３ｎ－４０ ∑\|ak\| [k=1～20]＝∑(４０-３ｎ)[k=1～13]＋∑(３ｎ－４０)[k=14～20] 　＝４０１３－３∑ｎ[k=1～13]＋３∑ｎ[k=14～20]－４０７　・・・・・ (3) ∑｛（ak+\|ak\|）/2｝＾2　[k=1～20] 　　＝∑{(ak+\|ak\|)/2}＾2 [k=1～13]＋∑{(ak+\|ak\|)/2}＾2 [k=14～20] ＝∑{2ak/2}＾2 [k=1～13]＋∑{0/2}＾2 [k=14～20] ＝∑(ak)＾2 [k=1～13] 　　＝∑(４０－３ｎ)＾2 [k=1～13]　＝160013－240∑ｎ [k=1～13]＋9*∑ｎ^2 [k=1～13] 　　＝・・・・・・・このように、\|ak\|≧０のときと \|ak\|＜０のときとを分離して和を求めればいいですね。

	32887．Re: 数列
	名前：ヨッシー日付：7月5日(木) 9時5分
	(1) 初項をa1とすると、公差が-3なので、　a2＝a1-3 　a3＝a1-6 となり、a2+a3=2a1-9＝65　より、　a1＝37 となり、一般項は　a[n]＝37-3(n-1)＝40-3n (2) a[n] は、37から、どんどん減って、　a13＝1, a14＝-2 のところで、マイナスに変わります。よって、求める式は、　(a1+a2+・・・+a13)－(a14+a15+・・・+a20) ＝(37+34+31+・・・+1)＋(2+5+8+・・・+20) ＝(37+1)×13÷２＋(2+20)×７÷２＝247＋77＝324 (3) ak が正だと（ak+\|ak\|）/2＝ak ak が負だと（ak+\|ak\|）/2＝０なので、求める式は、a13 までの２乗和を求めればよく　Σ(k=1～13)(40-3n)^2＝Σ(k=1～13)(1600-240n+9n^2) 　（以下略）　 http://yosshy.sansu.org/

	32902．Re: 数列
	名前：ぐるる日付：7月5日(木) 23時57分
	丁寧な説明ありがとうございます。理解することができました。

32876．積分

名前：至眞日付：7月4日(水) 18時11分

I[n]=∫x^n・e^xdx
問1　I[n]をx,e^xを用いて表せ。
問2　∫[0,1]x^n・e^xdxを求めよ。

問1はI[n]を部分積分して漸化式で解くのかと思いましたが分かりませんでした。なので推測して証明するのでしょうか。その場合偶奇で分けると思うのですがどうでしょうか。問2はわかりません。お願いします。

	32879．Re: 積分
	名前：angel 日付：7月4日(水) 22時44分
	はい。部分積分で良いと思います。 F=∫fdx に対し、∫fgdx = Fg-∫Fg'dx となるわけですが、 f,g どちらに x^n, e^x を対応させるか、ですね。結論としてはどちらでも良いです。微妙に f=x^n の方が分かりやすいかも? 　I[n] = ∫x^n・e^x dx 　= 1/(n+1)・x^(n+1)・e^x - ∫1/(n+1)・x^(n+1)・(e^x)' dx 　= 1/(n+1)・x^(n+1)・e^x - 1/(n+1)・∫x^(n+1)・e^x dx 　= 1/(n+1)・x^(n+1)・e^x - 1/(n+1)・I[n+1] と、I[n] の漸化式ができあがります。後は、両辺に 1/n! をかける、もっと突き詰めるなら (-1)^n/n! をかけてあげれば形になります。 ※偶奇で分けるというのは必要ないけど、この (-1)^n の部分を予感していたのだとしたら鋭い

	32882．Re: 積分
	名前：至眞日付：7月5日(木) 2時2分
	ありがとうございます。一応問1は解けたと思いますが、x,e^xを用いて表すというのは∑を使って表しても良いのでしょうか。そして問2は問1でできた式に(x＝1代入)-(x=0代入)で良いのでしょうか。お願いします。

	32905．Re: 積分
	名前：angel 日付：7月6日(金) 1時2分
	はい。Σで表せばそれで十分でしょう。もしかすると、まとめる際に　e^x・Σ[k=1,n] (-1)^k/k・x^k という形が現れるので、　e^x・Σ[k=1,n] (-1)^k・∫x^(k-1)dx 　= -e^x・∫( Σ[k=1,n] (-x)^(k-1) )dx 　= -e^x・∫( 1-(-x)^n )/(1+x) dx　　( x=-1 の時は別途定義 ) のような変形から綺麗にまとまるのではないか? ということでしょうか。この形をΣを使わずに綺麗に表せるならそれでも良いでしょう。ただ、ちょっと上手い方法が思いつきませんね。( 部分積分してみても、log が出て紛糾する ) 問2に関してもそれで良いでしょう。問1がΣでまとめた形になるのなら、問2もΣを使った形で十分だと思います。

	32907．Re: 積分
	名前：至眞日付：7月6日(金) 3時16分
	わかりました。これでもう大丈夫です。本当にありがとうございました。

32869．Calculo

名前：えれな　17歳 日付：7月4日(水) 6時43分

私はスペイン人なのですが、スペインでは

http://euler.us.es/~renato/clases/programa/img109.png
http://delta.cs.cinvestav.mx/~gmorales/Biberstein/fvd/img5240.png

↑をCalculoといいます。日本ではこういった問題をなんと言いますか？辞書でも調べたのですが、いろいろ訳があってその中でどれが正しいのか分かりませんでした。教えてください。(この答えを質問しているわけではありません)よろしくお願いします。

	32873．Re: Calculo
	名前：ヨッシー日付：7月4日(水) 9時15分
	画像を見えるようにしておきます。 Calculo の英語がわかれば、調べやすいですが、「積分(せきぶん)」とか「微分(びぶん)」と言ったことでしょうか？下の方は、「偏微分(へんびぶん)」ですかね？　 http://yosshy.sansu.org/

	32875．Re: Calculo
	名前：えれな　17歳日付：7月4日(水) 14時23分
	ヨッシーさん、ありがとうございました！わざわざ見れるようにもしていただいて、大変助かりました。!Gracias!(ありがとう)

	32878．Re: Calculo
	名前：花パジャ日付：7月4日(水) 21時3分
	単純に「計算」? 　http://www.google.co.jp/search?hl=ja&q=Calculo+%E8%A8%88%E7%AE%97&lr=

	32883．Re: Calculo
	名前：黄桃日付：7月5日(木) 8時35分
	Ca´lculo (aの上に´がついてる）ですね？英語では Calculus ですから、微積分(学)でいいと思います。Hasta la vista.

	32884．Re: Calculo
	名前：黄桃日付：7月5日(木) 8時45分
	ごめんなさい。ただの Calculo なら、花パジャさんのおっしゃる通りです。ただ、見る限り「計算問題」というようりは微積分の公式、という感じです。

32866．数理統計学

名前：音楽の友 日付：7月4日(水) 0時6分

Ｘを非負整数を取る確立変数とする。
E(X)<∞ならば,E(X)=∑[k=1,∞]P(X≧k) となる事を示せ。
またこれを利用して幾何分布の平均を計算せよ

	32867．Re: 数理統計学
	名前：みっちぃ日付：7月4日(水) 3時17分
	E(X)=Σ[k=0..∞] kP(X=k) =Σ[k=1..∞] kP(X=k) =Σ[k=1..∞] {Σ[j=k..∞] P(X=j) } =Σ[k=1..∞] P(X≧k)　　　　　　(q.e.d) 幾何分布はP(X=k)=p(1-p)^kより P(X≧k)=Σ[j=k..∞] p(1-p)^j =(1-p)^kである。従って，E(X)=Σ[k=1..∞] (1-p)^k =(1-p)/p

	32872．Re: 数理統計学
	名前：音楽の友日付：7月4日(水) 9時12分
	みっちぃさん、ありがとうございます。

32865．図形と方程式

名前：めちゃイケナイ　高2 日付：7月3日(火) 21時36分

直線l：x－3ｙ＋6＝0がある。また,点（3,－2）を通り,直線ｌに平行な直線をｍとする。
（1）ｍの方程式を求めよ。
（2）2直線lとｍの両方に接する円Ｃの直径を求めよ。また、円Ｃの中心のｘ座標をｔとするとき、円Ｃの中心のｙ座標をtを用いて表せ。
（3）（2）の円Ｃがx軸と2点Ｐ,Ｑで交わり,ＰＱ＝3√6／2となるとき,この円の中心を求めよ。

（1）はy＝1／3x－3となりました。（2）（3）をお願いします。

	32868．Re: 図形と方程式
	名前：みっちぃ日付：7月4日(水) 3時43分
	(2) lとmが平行なことから，図のように，直径は(3，-2)とl：x-3y+6=0の距離と等しくなるので，点と直線の距離から 15/√10 = 3(√10)/2 また，中心は，l，mに平行で，2直線のちょうど真ん中に来るので，y切片は-1/2となり， y=(1/3)x -1/2上なので，x座標がtなら，y座標は(1/3)t -1/2 です。

	32871．Re: 図形と方程式
	名前：ヨッシー日付：7月4日(水) 9時4分
	(3) 求める円の中心のｙ座標をｙとすると、図のように、円の半径 3√10/4 と、ＰＱの半分 3√6/4 とｙとで直角三角形になりますので、三平方の定理より、　ｙ＝±(3/4)√(10－6)＝±3/2 y=(1/3)x -1/2 より、ｘを求めると、　(6, 3/2), (-3, -3/2) となります。　 http://yosshy.sansu.org/

	32877．Re: 図形と方程式
	名前：めちゃイケナイ　高2 日付：7月4日(水) 19時57分
	よく,わかりました。丁寧に有難うございました。

32856．式の展開について質問です。

名前：中３日付：7月2日(月) 21時36分

（a＋b)^2(a－b)^2{a^4＋(ab)^2＋b^4}
の答えを教えてください。
僕の答えだと
a^8＋b^8－a^6b^2－a^2b^6となりましたが
解答にはa^12－2a^6b^6＋b^12と書いてあります。
どうしても解答のようにならないので
皆さんの意見をお聞かせください。
(ex)解答が間違ってるとか。

	32857．Re: 式の展開について質問です。
	名前：ぱんだ日付：7月2日(月) 21時56分
	もしもその問題がそれであっているのであれば、あなたの予想通り、「解答が間違っている」ことになります。あなたの答えが正解です。しかし、私の予想をいわせていただくと、おそらくそれは「問題が間違っている」のだと思います。問題は（a＋b)^2(a－b)^2{a^4＋(ab)^2＋b^4}ではなく（a＋b)^2(a－b)^2{a^4＋(ab)^2＋b^4}^2ではないでしょうか？その場合は模範解答があっています。もう一度問題を確認してみてください。

	32858．Re: 式の展開について質問です。
	名前：中３日付：7月2日(月) 22時15分
	早急な解答感謝します。明日数学の試験なのですっきりしました。塾の先生の解答ミスでした。

	32863．Re: 式の展開について質問です。
	名前：中３日付：7月3日(火) 16時16分
	(a＋b)^2(a－b)^2{a^4＋(ab)^2＋b^4}^2 の答えはa^16-2(ab)^8＋b^16ではないのですか？ {(a＋b)(a-b)}^2{a^4＋(ab)^2＋b^4}^2 =(a^2-b^2)^2{a^4＋(ab)^2＋b^4}^2 ={(a^2-b^2)(a^4＋a^2b^2＋b^4)}^2 =(a^8-b^8)^2 =a^16-2(ab)^8＋b^16

	32864．Re: 式の展開について質問です。
	名前：Vector Space 日付：7月3日(火) 17時32分
	＞{(a＋b)(a-b)}^2{a^4＋(ab)^2＋b^4}^2 ＞=(a^2-b^2)^2{a^4＋(ab)^2＋b^4}^2 ＞={(a^2-b^2)(a^4＋a^2b^2＋b^4)}^2 ＞=(a^8-b^8)^2　←　() ＞=a^16-2(ab)^8＋b^16 ()が違いますよ。 { (a^2 - b^2)(a^4 ＋ a^2 b^2 ＋ b^4) }^2 =(a^6 - b^6)^2 =a^12 - 2a^6b^6 + b^12 です。参考：(x - y)(x^2 + xy + y^2) = x^3 - y^3 (これは高校で習う公式ですが、x=a^2，y=b^2として確かめてみてください。)

	32874．Re: 式の展開について質問です。
	名前：中３日付：7月4日(水) 12時13分
	ありがとうございました。お恥ずかしい限りです。

32852．今度は自力で解けないです(;.;)

名前：助けてください 日付：7月2日(月) 15時40分

銀の結晶は面心立方格子をとる。銀原子の半径を1.4*10^(-8)cmとして以下の問いに答えよ。
ただし、√2=1.41、π=3.14、アボガドロ数を6.0*10^(23)とし、また、原子は完全な球形で
結晶中で互いに接しているものとする。

問１、単位行使の体積は何cm^(3)か。有効数字2桁で答えよ。

問２、銀1molの結晶の体積は何cm^(3)か。有効数字2桁で答えよ。

問２で、単位立方格子の体積は銀の結晶の体積に等しい、となっています。そこが分かりません。
銀の原子が４つ入っているので4/{6.0*10^(23)}となっています。
原子数/アボガドロ数でどうして物質量を表せるんでしょうか？

この二題がどうしても分かりません。
教えてください

	32853．Re: 今度は自力で解けないです(;.;)
	名前：ヨッシー日付：7月2日(月) 17時31分
	(1) 図は、単位格子の１つの面の断面図です。対角線が半径４つ分（直径２つ分）になっています。よって、図の正方形の１辺は、原子の半径の2√2倍になります。　1.410^(-8)×2×1.41＝3.9510^(-8) (cm) 体積は　{3.9510^(-8)}^3＝6.2×10^(23) (cm^3) (2) この立方格子には、　角の原子(原子の1/8の体積)が８つ・・・原子１個分の体積　面の原子(原子の1/2の体積)が６つ・・・原子３個分の体積で、原子４個で、上記の体積（6.2×10^(23)cm^3）を持つことになります。銀1mol は、銀原子 6.010^(23)個なので、上の単位立方だと、　1.510^(23)　個に相当します。よって、体積は、　1.510^(23)×6.16×10^(23)＝9.2cm^3 上の記事に出てくる、4/{6.010^(23)} を使うなら、 1mol は、原子 6.010^(23) 個なので、原子１個は　1/{6.010^(23)} mol 原子４個は　4/{6.010^(23)} mol であり、これが、6.2×10^(23) (cm^3) に相当します。よって、1mol の体積は、　6.16×10^(23)÷[4/{6.0*10^(23)}]＝9.2cm^3 となります。　　 http://yosshy.sansu.org/

	32854．Re: 今度は自力で解けないです(;.;)
	名前：助けてください日付：7月2日(月) 18時21分
	ありがとうございました。質問があるのですが、問１に関してはありません。問２なんですがこの立方格子には、　角の原子(原子の1/8の体積)が８つ・・・原子１個分の体積　面の原子(原子の1/2の体積)が６つ・・・原子３個分の体積で、原子４個で、上記の体積（6.2×10^(23)cm^3）を持つことになります。上記の体積（6.2×10^(23)cm^3）は原子の間の空間も含む立方体の体積ではないのでしょうか？それがどうして、原子4個分の体積と同じ、ということになるのでしょうか？銀1mol は、銀原子 6.010^(23)個なので、上の単位立方だと、　1.510^(23)　個に相当します。よって、体積は、　1.510^(23)×6.16×10^(23)＝9.2cm^3 銀1mol は、銀原子 6.010^(23)個、というのは分かるのですが、どうしてそれを4で割ってしまうのでしょうか？ 4つの原子全部あわせて１molだから、4で割るってことでしょうか？上の記事に出てくる、4/{6.010^(23)} を使うなら、 1mol は、原子 6.010^(23) 個なので、原子１個は　1/{6.010^(23)} mol 原子４個は　4/{6.010^(23)} mol でありこれが一番の疑問なんですが、原子数/アボガドロ数で物質量を表す、これは公式なんでしょうか？質量/分子数＝mol　みたいなものとして、覚えておくべきものなんでしょうか？いろいろと質問してすみません。おねがいします。

	32855．Re: 今度は自力で解けないです(;.;)
	名前：ヨッシー日付：7月2日(月) 18時45分
	>上記の体積（6.2×10^(23)cm^3）は原子の間の空間も含む立方体の体積ではないのでしょうか？そうです。 >それがどうして、原子4個分の体積と同じ、ということになるのでしょうか？原子の体積を聞いているのではなく、隙間も含めて、結晶の体積を聞いています。 >銀1mol は、銀原子 6.010^(23)個、というのは分かるのですが、どうしてそれを4で割ってしまうのでしょうか？ >4つの原子全部あわせて１molだから、4で割るってことでしょうか？みかんを６０個買おうと思います。店では、１つの箱に４個入れて売っています。箱を何個買えばいいでしょうか？というのと同じです。銀1molにするには、原子を 6.010^(23)個集めないといけません。ある立方格子には、原子が４つ入っています。この立方格子を、何個集めればいいでしょう？→1.510^(23)個 >これが一番の疑問なんですが、原子数/アボガドロ数で物質量を表す、これは公式なんでしょうか？ >質量/分子数＝mol　みたいなものとして、覚えておくべきものなんでしょうか？公式といえば公式です。金属1molに含まれる原子数は(アボガドロ数)個＝6.010^(23)個という決まりが１つあって、　ａモルに含まれる原子数＝ａ×(アボガドロ数) 　原子ｘ個のときのモル数＝ｘ÷(アボガドロ数) というのは、自然と出てくるでしょう。分子性物質の場合の　質量/分子量＝モル数を、原子の個数で置きかえたようなものです。　 http://yosshy.sansu.org/

	32861．Re: 今度は自力で解けないです(;.;)
	名前：助けてください日付：7月3日(火) 6時23分
	ありがとうございました。物分りが悪くて申し訳ないのですがもう一度質問させてください。みかんを６０個買おうと思います。店では、１つの箱に４個入れて売っています。箱を何個買えばいいでしょうか？というのと同じです。銀1molにするには、原子を 6.010^(23)個集めないといけません。ある立方格子には、原子が４つ入っています。この立方格子を、何個集めればいいでしょう？→1.510^(23)個立方格子には4つの原子が入っており、その立方格子は6.2×10^(23) (cm^3)の体積を持つ。立方格子内の原子は4つあるが、それぞれが１molある。だから。この立方格子を1/4にする。なので、アボガドロ数も1/4されて、1.510^(23)個となる。書いてみたんですが、この考え方は間違ってそうですね。。聞きたいことをまとめてみると、立方格子の中に原子が4つも入っているのに＞銀1molにするには、原子を 6.010^(23)個集めないといけません。となっていて、原子が4つでは足りない、というニュアンスを感じます。それで、４つの原子ひとうひとつは1molなのか、0.25molなのか分かりません。問題文のどこから読み取ればいいんでしょうか。（というか、読み取る必要があるのか、今の私には分かりません。すいません。混乱しています）それと＞この立方格子を、何個集めればいいでしょう？立方格子というのは、区切られて隔離された空間のようなイメージなんですが、切ったり、付け足したりできるんでしょうか？この問題の場合、立方格子が１つでは足りないのでしょうか？おねがいします。

	32862．Re: 今度は自力で解けないです(;.;)
	名前：ヨッシー日付：7月3日(火) 8時56分
	まずは、間違い訂正。立方格子の体積は、　{3.9510^(-8)}^3＝6.2×10^(23) (cm^3) ではなく　{3.9510^(-8)}^3＝6.2×10^(-23) (cm^3) ですね。これで、混乱されていたのなら、申し訳ない。で、改めて、この問題を書き換えてみます。銀1mol は、銀原子 6.0×10^(23)個のことですから、銀原子を6.0×10^(23)個集めて、結晶を作ると、体積はいくらになるでしょうか？ただし、原子４個で、6.2×10^(-23) (cm^3) の体積を持ちます。と読み替えるとどうでしょう？　 http://yosshy.sansu.org/

	32870．Re: 今度は自力で解けないです(;.;)
	名前：ぱんだ日付：7月4日(水) 8時22分
	横レス失礼します。化学が苦手になる典型的な例ですね。アボガドロ定数やモル数の本質を理解すれば一気に苦手感が薄まると思います。例えば今あるビーカーの中に酸素がどれくらいあるかを表現するのに最も正確な方法は「個数」です。「今このビーカーには酸素分子が～個ある」みたいに説明すれば体積などのようにあいまいなものではなく、厳然と定義できます。しかし、ちょっと問題がありますよね。そう、数が大きすぎるわけです。このビーカーの中に酸素が12×10^23個とか18×10^23個とか言われてもピンときませんよね。そこで昔の人はこう考えました。「水素原子１ｇ分の分子の数が6.02×10^23個だったので、この個数を1モルと定義しよう。（つまり、モルとは原子や分子の『個数』を表す言葉です！）これからはこの個数の何倍かで分子や原子の量を表せるな。よし、この個数（定数6.02×10^23個）をアボガドロ数と名づけよう。」では問題です。今ビーカーの中に12.04×10^23個の酸素分子が入っています。この酸素は何モルでしょうか？「当然２モル！」と思えましたか？次に問題です。その酸素分子は何グラムでしょうか？酸素原子は１モルで１６ｇです。（水素分子の１６倍の質量です。これが原子量１６ということ）酸素分子は１モルで３２ｇです。（分子量３２）酸素分子２モル分なら、、、「当然３２×２＝６４ｇ」と理解できましたか？数学にしても化学にしても共通するのは「いかめしい公式に振り回されるのではなくまず本質を直観的に理解してほしい」ということです。モル数はその典型ですね。いかめしい名前がついて色々な公式が出てくるので公式にたよりがちになってしまいますが、本当は本質さえ理解していたら、上のように小学生レベルの問題になります。最も大切なのは比の感覚でしょうか。頑張ってくださいね。

	32889．Re: 今度は自力で解けないです(;.;)
	名前：助けてください日付：7月5日(木) 12時54分
	ありがとうございました。歯痛でしばらく苦しんでいたのでここにくるのが遅れてしまいました。申し訳ございません。なんとなくですが、分かってきました。比の計算に持っていけば楽なのかな、と思いました。ただ銀原子を6.0×10^(23)個集めて、結晶を作ると、体積はいくらになるでしょうか？ただし、原子４個で、6.2×10^(-23) (cm^3) の体積を持ちます。というヨッシーさんの問題の答えが分かりません・・。ここを教えてもらえないでしょうか？何度も何度もすみません。

	32892．Re: 今度は自力で解けないです(;.;)
	名前：ヨッシー日付：7月5日(木) 13時27分
	銀原子を6.0×10^(23)個集めて、結晶を作ると、体積はいくらになるでしょうか？ただし、原子４個で、6.2×10^(-23) (cm^3) の体積を持ちます。と、最初の、問２、銀1molの結晶の体積は何cm^(3)か。有効数字2桁で答えよ。は、全く同じ問題です。　(6.0×10^(23))×(6.2×10^(-23))÷４＝9.2（cm^3）です。　 http://yosshy.sansu.org/

	32927．Re: 今度は自力で解けないです(;.;)
	名前：助けてください日付：7月8日(日) 8時49分
	ありがとうございました！

32849．C3H8Oの化合物

名前：バンビ 日付：7月2日(月) 13時44分

分子式C3H8Oで表される化合物A,B,Cがある。AとBは金属ナトリウムと反応するが、Cは反応しない。Aを酸化するとDを経由してEが得られる。一方Bを酸化するとFが得られる。Eに炭酸ナトリウム水溶液を加えると発砲する。BとEの混合物に酸触媒を加えて加熱すると、芳香を有するGと無臭のHが生成する。Bと濃硫酸を170度に加熱するとIが得られる。Iを重合して得られるポリマーは各方面に広く用いられる。

１）Dの名称を教えてください。（アルデヒドであることはわかるのですが炭素数が３のものの名称が教科書になくて困っています）

２）Eの名称を教えてください。（カルボン酸だと思うのですが・・・）

３）Eと炭酸ナトリウムとの反応を化学反応式で書け。これも教えてください。

４）D,Fにはいくつかの構造異性体がある。そのなかには二重結合をもたないものがある。その構造式を一つだけ書け。

４）は炭素３つが環状につながって、そのうちの一つの炭素のうでに、一つのヒドロキシル基がついているものでしょうか（残りのうでにはもちろん水素原子）。もしそうならその名称を教えていただけないでしょうか。

以上よろしくお願いいたします。

	32850．Re: C3H8Oの化合物
	名前：ヨッシー日付：7月2日(月) 14時37分
	Ｄ：プロピオンアルデヒドＥ：プロピオン酸というのを見つけました。ネットで確認して下さい。 3) は、酢酸ナトリウムの兄貴のようなものが出来るのでしょうかね？だとすると、　2C2H5COOH＋Na2CO3→C2H5COONa＋CO2＋H2O かな？ 4)シクロプロピルアルコール　かな？ http://yosshy.sansu.org/

	32851．Re: C3H8Oの化合物
	名前：バンビ日付：7月2日(月) 14時57分
	ヨッシーさんありがとうございました。検索することを忘れていました・・・お手間をとらせて申し訳ありませんでした。

32843．お願いします

名前：にぱ～☆ 日付：7月1日(日) 21時3分

男女の産まれる確率が、どちらも５０％だとしたとき、八代続けて第一子が女の子である確率はどれぐらいか？

ゲームネタですが、よろしくお願いしますｗｗ

	32844．Re: お願いします
	名前：教得手　学日付：7月1日(日) 21時45分
	(１/２)^8＝１/２５６

32836．漸化式と数列

名前：かな日付：7月1日(日) 16時59分

b＝0でない定数とする。数列{an}をa1＝3,n+1＝4an-b(n＝1,2,3,…)によって決める。
c＝(　　)とすると、an+1-ｃ=4(an-c)(n＝1,2,3,…)が成り立つ。
したがって、

5　　　　　　　　　　 5
∑akを使ってbを表すと ∑ak＝(　　)－(　　)bである。
k＝1　　　　　　　　　k＝1

　　　　 5
さらに、∑ak＝239のとき、b＝(　　)である。
　　　　k＝1

参考書を見たりしてみたのですが、分かりません。
どなたか教えて下さい。
よろしくお願い致します。

	32842．漸化式
	名前：カメ仙人日付：7月1日(日) 20時46分
	`a_n+1=pa_n+q (p≠1)型の漸化式 ①a_n+1-c=4(a_n-c)-----(2) 　を展開してa_n+1＝4a_n-b-----(1) 　と係数比較してcを求める　答え．c=b/3 ②(2)の式は初項a₁-c，公比4の等比数列　ということから一般項a_nを求める　答え．a_n={(3-b)/3}・4^n-1+b/3 ③ここまでの結果を使ってシグマ計算を行います　結果的には等比数列の和の公式（r≠1の方）を使うことになります`

32835．(untitled)

名前：バンビ 日付：7月1日(日) 16時4分

1)ｎを自然数とするとき、x^nをx^2-5x+6で割ったときの余りを求めよ。

２）２行２列の正方行列A=(1 2 , -1 4)のとき、A^n（ｎは自然数）を求めよ。

どなたかできるだけ詳しく教えていただけないでしょうか。どうぞよろしくお願いいたします。

	32837．Re: (untitled)
	名前：チョッパ日付：7月1日(日) 18時2分
	1） xⁿ=(x-2)(x-3)Q(x)+ax+b x=2を代入 2ⁿ=2a+b x=3を代入 3ⁿ=3a+b …以下，お任せ。

	32838．Re: (untitled)
	名前：ｈａｒｕ日付：7月1日(日) 18時31分
	２）は行列の対角化を行ってみます。行列の対角化で検索すると、Ｐ＾（－１）ＡＰと出てくるのでそれをＢとすると、ＢＢＢＢＢ…とＢをｎ回掛けると、それがＡ＾ｎとなります。まずは検索してみてください。

	32840．Re: (untitled)
	名前：ｈａｒｕ日付：7月1日(日) 19時57分
	うっかりしていました。Ａ＾ｎ＝ｐＢ＾ｎｐ＾（－１）でした。すみませんでした。

	32841．行列のn乗
	名前：カメ仙人日付：7月1日(日) 20時41分
	問題(1) チョッパさんのつづき 2ⁿ=2a+b-----------① 3ⁿ=3a+b-----------② ①，②を解いて a=3ⁿ-2ⁿ b=3・2ⁿ-2・3ⁿ よって xⁿをx²-5x+6で割ったときのあまりは (3ⁿ-2ⁿ)x+(3・2ⁿ-2・3ⁿ) 問題(2) A=(1 2) (-1 4) CH式（ケーリーハミルトン）より A²-5A+6E=0 問題(1)のxをAにおきかえて Aⁿ=(A-2)(A-3)Q(A)+(3ⁿ-2ⁿ)A+(3・2ⁿ-2・3ⁿ)E こまでいけば大丈夫ですよねこの問題は誘導式ですので対角化などはしないほうがスマートなとき方になります

	32847．Re: (untitled)
	名前：バンビ日付：7月2日(月) 1時47分
	チョッパさんharuさんかめ仙人さん詳しい説明本当にありがとうございました。今後ともどうぞよろしくお願いいたします。

32831．(untitled)

名前：sakura 日付：7月1日(日) 12時54分

時計の針が１０時８分をさしています　長針と短針が最初に重なるのは今から何分後ですか？

	32832．Re: (untitled)
	名前：チョッパ日付：7月1日(日) 12時56分
	10時から11時の間で重なる時刻を求める。 (先程の解答の中にやり方があったと思う）その時刻と現在の時刻を比較する。できるところまでやってみよう！！

	32833．Re: (untitled)
	名前：sakura 日付：7月1日(日) 13時0分
	ありがとうございました

	32834．Re: (untitled)
	名前：ラディン.ms 日付：7月1日(日) 13時4分
	参考までに答えは512/11分後かな

32829．ありがとうございますっ！！！

名前：sakura 日付：7月1日(日) 12時49分

チョッパさんラディン．ｍSさんありがとうございます！！！助かりましたぁ～

	32830．Re: ありがとうございますっ！！！
	名前：チョッパ日付：7月1日(日) 12時53分
	返事は右上の返信ボタンを押してしましょうね。

32823．算数

名前：ブリーフ 日付：7月1日(日) 12時9分

Ａさんの家から学校まで、１.６ｋｍあります。
ある日、Ａさんは家を出て毎時３．６ｋｍの速さで歩き始めましたが、途中から毎時４ｋｍで歩いたので、家から学校間で２５分かかりました。毎時３．６ｋｍで歩いたのは、何分間ですか。

	32824．Re: 算数
	名前：ラディン.ms 日付：7月1日(日) 12時22分
	つるかめ算全部４ｋｍ/ｈで歩いたと仮定すると　家から学校までは5/3km 実際の距離との差は1/15km これを速さの差0.4km/hで割れば終わり 1/6時間だから１０分（答）

	32848．Re: 算数
	名前：Wakky 日付：7月2日(月) 2時46分
	３．６ｋｍ／時の歩いた時間をｔ時間とおく２５分は、２５／６０時間なので、 3.6t + 4.0((25/60)-t) = 1.6 後は、この方程式を解く。

32822．小６です

名前：sakura 日付：7月1日(日) 12時1分

時計が４時１５分をさしています。長針と短針のなす角度が４時十五分のとき同じになる時刻が五時までにもう一回あります　その時刻を求めなさい　ただし秒未満は切り捨てて答えなさい。。。。教えてください

	32826．Re: 小６です
	名前：ラディン.ms 日付：7月1日(日) 12時54分
	時計算４時１５分のとき短針と長針のなす角度は　　120°-5.5°*15=37.5° ４時～５時で短針と長針が同じ位置に来るのは　120°/5.5°=21+(9/11)より４時｛２１＋（９/１１）｝分求める時刻はこれより後です 37.5°/5.5°＝7-(2/11)　よって４時　21+(9/11)+7-(2/11)=28+(7/11) ［分] 秒まで考えると28分｛38+(2/11)｝秒秒未満切捨て　４時２８分３８秒対称性を使って解くこともできます１回目に３７．５°になるときと２回目に３７．５°になるときは長針と短針が同じ位置にくるときを挟んで対称ですというかこっちの方がはやい

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