図を間違えました。

図のように、半径４の円の一部になります。
黄色の扇形の中心角が240°。
青の扇形の中心角が60°。
よって、合計2×(60+240)＝600(°)
　2×4×π×600/360＝40π/3
　
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ＯＰの中点をＱとします。
図の●の部分の角をθとすると、
　ＡＯ＝ｒ、ＯＱ＝r/2、ＡＱ＝(√5/2)ｒ
より、sinθ＝1/√5、cosθ＝2/√5
よって、
　sin(2θ)＝2sinθcosθ＝4/5
　cos(2θ)＝3/5
となり、ＡＣ：ＣＢ：ＡＢ＝３：４：５　になります。
同様にＡＯ：ＯＥ：ＡＥ＝３：４：５　です。
ＡＯ＝ＡＤ＝ｒ　より、
　ＡＥ＝5r/3
　ＤＥ＝ＡＥ−ＡＤ＝(2/3)ｒ　・・・（答え１）

また、ＡＢ＝２ｒに対して、
　ＡＣ＝(3/5)ＡＢ＝(6/5)ｒ
　ＢＣ＝(4/5)ＡＢ＝(8/5)ｒ
よって、△ＡＢＣ＝(6/5)ｒ×(8/5)ｒ÷２＝(24/25)ｒ^2　・・・（答え２）
　
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図は、正三角形を６つくっつけて正六角形にしたものです。
周囲の長さは、半径の６倍で、直径の３倍です。
　
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入場口１箇所が１分間に処理する量を[1]とします。
２個の入場口で、１０分間に処理する量は[20]、
４個の入場口で、４分間に処理する量は[16]、
この差[4]が、(10−4＝)6分間に、新たに並んだ量です。

上の方の[20]は、人の並ぶ量でいうと、
　６×５＝３０(分)
並んだ人の量です。そのうち１０分は開門後に並んだので、
開門時に並んだ量は２０分かけて並んだことになります。
　
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果たして、線分図が有効かは疑問ですが、書くとしたらこんな感じでしょうか？
　
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以下、太字はベクトルです。
Ｒが、ＱＡをｓ：１−ｓに内分する、また、ＰＢをｔ：１−ｔに内分するとします。
　ＯＱ＝(4/7)ｂ
　ＯＰ＝(3/7)ａ
より、
　ＯＲ＝(1-s)ＯＱ＋sａ＝4(1-s)ｂ/7＋sａ
　ＯＲ＝(1-t)ＯＰ＋tｂ＝3(1-t)ａ/7＋tｂ
ａとｂは、一次独立なので、
　4(1-s)/7＝t
　s＝3(1-t)/7
これを解いて、s=9/37, t=16/37
よって、
　ＯＲ＝(9/37)ａ＋(16/37)ｂ

(2)
３点Ｏ, Ｒ, Ｓは、一直線上にあるので、
ＯＳ＝kＯＲ と書けます。よって、
　ＯＳ＝(9k/37)ａ＋(16k/37)ｂ
また、ＳはＡＢ上の点なので、
　9k/37+16k/37＝１
よって、k=37/25
　ＯＳ＝(9/25)ａ＋(16/25)ｂ
と書けます。
　ＳＰ＝ＯＰ−ＯＳ
　ＳＱ＝ＯＱ−ＯＳ
より、
　ＳＰ・ＳＱ＝ＯＰ・ＯＱ−ＯＳ・ＯＱ−ＯＰ・ＯＳ＋ＯＳ・ＯＳ
ここで、ａ・ｂ＝０　より、
　ＳＰ・ＳＱ＝−{(16/25)ｂ}・{(4/7)ｂ}−{(3/7)ａ}・{(9/25)ａ}＋{(9/25)ａ}・{(9/25)ａ}＋{(16/25)ｂ}・{(16/25)ｂ}
　　＝−(16/25)(4/7)|ｂ|^2−(3/7)(9/25)|ａ|^2＋(9/25)^2|ａ|^2＋(16/25)^2|ｂ|^2
　　＝−64・9/175−27・16/175＋81・16/625＋256・9/625
　　＝−1008/175＋3600/625
　　＝−144/25＋144/25＝０

(3)
(2) の結果より、∠ＱＳＰ＝90° とわかります。
よって、ＰＱの中点が△ＰＱＳの外心となり、ＰＱの半分が求める半径になります。
ＯＰ＝ＯＱ＝12/7 より、
　ＰＱ＝12√2/7
求める半径は、6√2/7 となります。
　
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「ゲームが終了する」というところがややこしいですが、
ｎ点の状態になる確率をP[n] とします。
　P[n]の1/6はP[n+1] になり、1/3 はP[n+2] になり、1/2 はU[n] になります。
逆にたどると、P[n+2]は、P[n]の1/3倍と、P[n+1]の1/6倍が加わったものなので、
　P[n+2]＝1/3×P[n]＋1/6×P[n+1]
　U[n+2]＝1/2×P[n+2]
　U[n+1]＝1/2×P[n+1]
　U[n]＝1/2×P[n]
より、
　U[n+2]＝1/3×U[n]＋1/6×U[n+1]
となります。

ちなみに、「1/6にU[n+1]をかけて、1/3にU[n]をかける」のではなく、
「U[n+1]に1/6をかけて、U[n]に1/3をかける」のです。
　
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(1)
図は、展開図の一部です。
ＭＣを直線で結んだときが、一番短いです。
Ｍから、ＯＣに垂線をおろし、その足をＤとします。
ＭＤ＝√3、ＭＣ＝１＋４＝５
より、ＭＰ＋ＰＣ＝ＭＣ＝√28＝2√7
　
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まずは、図だけ。
　
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△ＤＡＥにおける三平方の定理より
　ＤＥ＝√(８^2＋４^2)＝４√5
△ＤＣＧにおける三平方の定理より
　ＤＧ＝√(５^2＋４^2)＝√41
△ＤＧＱにおける三平方の定理より
　ＤＱ＝√(４１＋３^2)＝5√2
ここのところは、ＣＰ，ＣＤ，ＣＧで作られる直方体の対角線の長さということで、
　ＤＱ＝√(３^2＋４^2＋５^2)＝5√2
としても出来ます。
△ＥＦＱにおける三平方の定理より
　ＥＱ＝√(５^2＋５^2)＝5√2

よって、△ＤＥＱはＤＱ＝ＥＱの二等辺三角形になります。
ＤＥの中点をＲとすると、ＥＲ＝2√5
△ＥＲＱにおける三平方の定理より
　ＲＱ＝√(20＋50)＝√70
よって、△ＤＥＱの面積は、
　△ＤＥＱ＝4√5×√70÷２＝10√14
一方、ＥＱを底辺とすると、ＤＳは高さになるので、
　ＤＳ＝10√14×２÷5√2＝4√7
　
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展開図を描くまでもありませんが、ＱはＨＧの中点です。
すると、ＨＱ＝４、ＨＤ＝４、ＡＤ＝７ なので、
　ＡＱ＝√(４^2＋４^2＋７^2)＝√81＝９
　
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原寸大のグラフを貼っておきます。


最初の部分は
　1/(2n+1)+1/(2n+3)+...1/(4n−1)
である方が、右辺と合いますね。

まず、
　(1/2n)[1/{1+(1/2n)} + 1/{1+(3/2n)}+ ... + 1/{1+((2n-1)/2n)}]
を２倍した、
　(1/n)[1/{1+(1/2n)} + 1/{1+(3/2n)}+ ... + 1/{1+((2n-1)/2n)}]
を考えます。
横が、1/n で、縦が、1/{1+(1/2n)}、1/{1+(3/2n)}・・・1/{1+((2n-1)/2n)}
の長方形の面積の合計が上の式です。
1/{1+(1/2n)}、1/{1+(3/2n)}・・・1/{1+((2n-1)/2n)}　は、y=1/(1+x) の
ｘに、1/2n, 3/2n, 5/2n,…(2n-1)/2n を代入すると得られますので、
この長方形群は、y=1/(1+x) に沿うように並びます。
これで、ｎ→∞にすると、長方形の面積は、∫[0→1]1/(1+x)dx に近づきます。
あとは、２で割れば終わりです。

（グラフの形はデタラメです）
　
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y=2x²-ax=x(2x-a)
より、y=2x²-ax のグラフは、下に凸で、
　ｘ＝０　と、ｘ＝a/2 で
ｘ軸と交わります。0≦a≦2 より、0≦a/2≦1 なので、グラフは上図のようになります。
よって、0≦x≦1 では、頂点で最小、ｘ＝１で最大になります。
（特に、ａ＝２では、ｘ＝０でも最大になりますが、Ｍを決めるにはｘ＝１を
見ておけば十分です）

　y=2x²-ax=2(x-a/4)²-a²/8
より、最小値は　ｍ＝-a²/8
ｘ＝１の時、ｙ＝２−ａ　より、Ｍ＝２−ａ

あとは、ｍ≦ｘ≦Ｍ が、−1/4≦ｘ≦２ の内部に位置するようなａの範囲を決めます。すなわち、
−1/4≦ｍ　かつ　Ｍ≦２　です。

答えは、０≦ｘ≦√2　になります。
　　
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定理ではなくて定義かと思いますが、
直角三角形ＡＢＣ（∠Ｃ＝90°）において、∠Ａ＝θ(シータ) が決まったら、
△ＡＢＣの辺の比も決まります。これを、θを使って、
　sinθ＝BC/AB　：サイン(シータ)
　cosθ＝AC/AB　：コサイン
　tanθ＝BC/AC　：タンジェント
　cosecθ＝AB/BC　：コセカント
　secθ＝AB/AC　：セカント
　cotθ＝AC/BC　：コタンジェント
と定義します。下の３つは、上の３つの逆数で表されますので、実際の問題では、
滅多に出てきません。
ですから、sin,cos,tan をしっかり覚えましょう。

その次に、
　sin30°＝1/2, cos45°＝√2/2, tan60°＝√3
など、代表的な角度の三角比を押さえます。

さらに、
　tanθ＝sinθ/cosθ
　sin²θ＋cos²θ＝１　　sin²θ は (sinθ)²＝sinθ×sinθ のことです。
この両辺を cos²θで割った、
　tan²θ＋１＝1/cos²θ
など、いくつかの公式も、必要になるでしょう。
　
　
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