＞　y(0),y(1)はべき乗ではなくてただの番号なんですが
ｙ（０）、ｙ（１） が定数である、ということでしょうか。そう解釈して回答します。

視認で、
　　　ｙ＝ｙ（１）　…　�@
が方程式
　　　ａ（ｄ^２ｙ/ｄｘ^２）−（ｙ−ｙ（１））/ｂ＝０　…　�A
の特殊解であることは一目瞭然です。よって、�Aの線形性より
　　　ａ（ｄ^２ｙ/ｄｘ^２）−ｙ/ｂ＝０
の一般解を求め、�@に加えれば、�Aの方程式の一般解になります。

図のように、格子点に番号を付けるロジックで、番号は自然数で、１ずつ増えています。
f(1,m) は、１＋２＋・・＋ｍ なので、m(m+1)/2
f(m,1) は、f(1,m-1)+1　なので、m(m-1)/2＋１＝(m^2-m+2)/2
ここまでは書かれている通りです。

100はというと、
f(1,13)＝91、f(1,14)=105 より、
f(14,1),f(2,13),f(3,12)・・・f(1,14) の中にあり、m+n=15 を満たし、
その９番目(100−f(1,13)＝９)なので、f(6,9)＝100 となります。
　
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ファイルを削除してしまいましたので。

(1)ＦとＦ’を原点周りに-45°回転させ、(√2,0)、(-√2,0) とします。
この２点を焦点とし、ｘ軸、ｙ軸を、長軸、短軸にする楕円を考えます。
楕円の式を
　x^2/a^2＋y^2/b^2＝１　　（ａ＞ｂ＞０）
とします。
楕円上の点から、両焦点への距離の和は、２ａで表されるので、
　２ａ＝2√3　よって、ａ＝√3
焦点のｘ座標は　±√(a^2−b^2)より、
　a^2−b^2＝２　よって、ｂ＝１

求める楕円上の点を(x,y)、回転後の楕円　x^2/3＋y^2＝１ 上の点を
(X,Y) とすると、(x,y) を -45°回転したのが(X,Y) なので、
　X=xcos45°＋ysin45°
　Y=-xsin45°＋ycos45°
これを、X^2/3＋Y^2＝１ に代入すれば、求める楕円の式になります。

(2)
(1)と同様に、回転して、２焦点を、(√2,0)、(-√2,0) とします。
双曲線の式を
　x^2/a^2−y^2/b^2＝１　（ａ＞０，ｂ＞０)
とします。
　焦点までの距離の差は、２ａ　と書けます。
　焦点のｘ座標は　±√(a^2＋b^2) と書けます。
以下同様です。
　
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図形的に考えます。
楕円の場合は、ＰＦ＋ＰＦ’が常に一定であることを言います。
双曲線の場合は、ＰＦ’−ＰＦが常に一定であることを言います。
ＰＱ＝ＰＦ’ をうまく使いましょう。

おまけです。

　
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ち、中学でその問題ですか！？
余りに難しいような…

先ず、４で割ると３余り、３で割ると１余る整数 ｘ を考えます。
　　　ｘ＝４ｉ＋３＝３ｊ＋１　（ｉ，ｊ は整数）　…　�@
と表せます。

取り敢えず、何でも良いからこの様な数を見付けます。虱潰しに捜し、
　　　７＝４×１＋３＝３×２＋１　…　�A
を得ます（虱潰しでない手もありますが、この位なら大丈夫でしょう）。
�@−�Aを計算すると、４（ｉ−１）＝３（ｊ−２） です。
４ と ３ は互いに素なので、この数は １２ の倍数です。
それを １２ｎ とおくと、４（ｉ−１）＝３（ｊ−２）＝１２ｎ で、ｉ＝３ｎ＋１、ｊ＝４ｎ＋２ です。
これを�@に代入すると、
　　ｘ＝４ｉ＋３＝４（３ｎ＋１）＋３＝７＋１２ｎ
　　　＝３ｊ＋１＝３（４ｎ＋２）＋１＝７＋１２ｎ
となります。

逆に、任意の整数 ｎ に対し、７＋１２ｎ は、４で割ると３余り、３で割ると１余ります。

つまり、�@の整数は、
　　　ｘ＝７＋１２ｎ　（ｎ は整数）　…　�B
です。よって、�Bを満たす二桁の自然数が幾つあるか数えれば良い訳です。