ヨッシーの八方掲示板

2005年11月の投稿ログ

24344．誰か教えてください；

名前：タヵｫ*’ 日付：11月30日(水) 21時24分

世禄角形の６つのちょうてんから、3点を選んで三角形を作るとき、次確立を求めなさい。
1）正三角形ができる。　２）直角三角形ができる
で、全事象は6Ｃ3ですよね？
でも、とき方がよくわからなくて。。。

	24347．Re: 誰か教えてください；
	名前：ヨッシー日付：12月1日(木) 7時50分
	別の掲示板で、どなたかが「高々２０通り」と書かれているのは、「２０通りくらいなら、すべて書き出して数えても、たいしたことではないんじゃない？」という意味です。場合の数の基本は、数え上げです。　 http://yosshy.sansu.org/

24340．(untitled)

名前：けん日付：11月30日(水) 18時46分

１００本中１０本があたりのくじＡと
１０００本中１００本があたりのくじＢがあります。
何回かひくとき、少なくとも一本あたる確率はどちらが高いですか？
また、全部あたる確率はどちらが高いですか？

当たる本数の期待値が同じということはわかりますが、、
実のところ確率がよくわかりません。
おねがいします

	24346．Re: (untitled)
	名前：らすかる日付：12月1日(木) 1時9分
	全部外れる確率はくじAでは (90/100)×(89/99)×(88/98)×… くじBでは (900/1000)×(899/999)×(898/998)×… 90/100=900/1000, 89/99＜899/999, 88/98＜898/998, … なので、 2回以上ひけばくじAの方が全部外れる確率が低くなります。従って、2回以上ひいた場合、少なくとも1本あたる確率はくじAの方が高くなります。全部あたる確率はくじAでは (10/100)×(9/99)×(8/98)×… くじBでは (100/1000)×(99/999)×(98/998)×… 10/100=100/1000, 9/99＜99/999, 8/98＜98/998, … なので、 2回以上ひけばくじAの方が全部あたる確率が低くなります。くじAの方が、少なくとも1本あたる確率は高いが、全部あたる確率は低いということですね。（ただし、ひく回数は2回～100回） http://www10.plala.or.jp/rascalhp

24337．漸化式

名前：ゆみ（高２） 日付：11月30日(水) 16時12分

Ｑ、次の初項と漸化式できまる数列｛ａｎ｝の一般項を求めよ。

ａ１＝１，ａ（ｎ＋１）＝ａｎ＋３（ｎ＝１，２，３，………）

	24339．Re: 漸化式
	名前：X 日付：11月30日(水) 17時25分
	条件式は{a[n]}が初項1、公差3の等差数列であることを示していますので…。

24336．階差数列☆

名前：ピッコロ 日付：11月30日(水) 16時1分

Ｑ、階差数列を利用して，次の数列の一般項ａnを求めよ。
２，３，５，８，１２，………

いまいちよく分からないので誰か教えて下さい。お願いします。

	24338．Re: 階差数列☆
	名前：ヨッシー日付：11月30日(水) 17時17分
	階差数列を利用して、と書いてあるので、階差を取りましょう。　２，３，５，８，１２階差を取って、　３－２，５－３，８－５，１２－８　計算すると　１，２，３，４階差数列をｂn とすると、ｂn＝ｎ求める数列の一般項は、　ａn＝ａ1＋∑[1～n-1]ｂk より、(以下略) 　 http://yosshy.sansu.org/

24334．エントツの二等分

名前：おくちゃん 日付：11月30日(水) 12時31分

高さ10Ｍ　天辺の直径2Ｍ　底辺の直径3Ｍ　厚み0.2Ｍ　のコンクリートのエントツを重量で二等分するには下から何Ｍのところで切るといいですか？ちなみにコンクリートの比重は水の2.35倍です。

	24335．Re: エントツの二等分
	名前：ヨッシー日付：11月30日(水) 15時19分
	高さをｘとし、地面の高さをｘ＝０、頂上の高さをｘ＝１０とします。高さｘでの直径は、２＋0.1x、半径は　１＋0.05ｘとなります。一方、半径がｒＭのときのエントツの断面積は、　π{ｒ^2－(ｒ－0.2)^2}＝(0.4ｒ－0.04)π よって、高さｘの位置の断面積は、　{0.4(１＋0.05ｘ)－0.04}π 　＝(0.02ｘ＋0.36)π 求める高さをｈとすると、　∫[0～h](0.02ｘ＋0.36)dx＝∫[h～10](0.02ｘ＋0.36)dx より、ｈを求めます。　 http://yosshy.sansu.org/

	24341．Re: エントツの二等分
	名前：おくちゃん日付：11月30日(水) 19時23分
	ヨッシー、ありがとう（´o｀）私には一生かかっても解けなかったよ～（T T）

	24348．本当おバカでごめんなさい
	名前：おくちゃん日付：12月1日(木) 8時20分
	折角教えて頂いたのに・・・数をあてはめてみたのですが計算出来ませんでした（；_；）こんなおバカな私にもう一度チャンスを下さいｍ(_ _)ｍ

	24349．Re: エントツの二等分
	名前：ヨッシー日付：12月1日(木) 9時8分
	すみません。高さの取り方が逆でした。最初の設定を、ｘを地面からの高さではなく、頂上から降りた長さとします。最後に答えを　１０－ｈ　で答える必要があります。さて、積分ですが、まず、0.02ｘ＋0.36 を積分すると 0.01x^2＋0.36x です。　F(x)＝0.01x^2＋0.36x とおくと、∫[0～h](0.02ｘ＋0.36)dx＝∫[h～10](0.02ｘ＋0.36)dx において、　(左辺)＝F(h)－F(0)＝0.01h^2＋0.36h 　(右辺)＝F(10)－F(h)＝4.6－0.01h^2－0.36h です。結合して、整理すると、　0.02h^2＋0.72h－4.6＝０　h^2＋36h－230＝０これを解きます。　 http://yosshy.sansu.org/

24328．証明です

名前：てつこ（大学1年生） 日付：11月29日(火) 23時31分

『角の二等分線が、ただ1つしかないことを示しなさい』
という問題なのですが、何をいえば『ただ1つ』であることを示したことになるのかが、よくわからなく、手をつけられない状態です。
よろしくお願いします。

	24330．Re: 証明です
	名前：ヨッシー日付：11月30日(水) 0時22分
	もし∠ＢＡＣの二等分線が、２本あるとし、ＡＢに近い方をＡＤ、ＡＣに近い方をＡＥとする。 ∠ＤＡＥ＝α、∠ＢＡＤ＝β、∠ＥＡＣ＝γ とします。ＡＤとＡＥは、点Ａを共有する別々の直線なので、α＞０。ＡＤが∠ＢＡＣの二等分線であることから、　β＝α＋γ　・・・(1) ＡＥが∠ＢＡＣの二等分線であることから、　β＋α＝γ　・・・(2) (1)を(2)に代入して、　２α＋γ＝γ 　２α＝０　α＝０となり、α＞０　に反する。よって、ＡＤとＡＥは同一の直線であり、角の二等分線は、１つに決まる。　 http://yosshy.sansu.org/

	24342．Re: 証明です
	名前：てつこ（大学1年生）日付：11月30日(水) 19時47分
	背理法で証明するんですね…！！ありがとうございました！

24325．(untitled)

名前：えるも 日付：11月29日(火) 22時6分

放物線y=x^2-4x+3 をCとする。C上の点(0,3),(6,15)における接線をそれぞれ、L1,L2とするとき、
C,L1,L2で囲まれる図形の面積を求めよ。
図形を書いてみましたが、本当にサッパリ分かりません・・・
お願いします

	24332．Re: (untitled)
	名前：ハードゲイ（HG) 日付：11月30日(水) 1時54分
	それぞれの接線の方程式は？その接線の交点は？あとは積分計算だけ。

24323．(untitled)

名前：bouzu(社会人) 日付：11月29日(火) 20時53分

問　あるクラスで歯科検診をするとクラスの三分の一が虫歯でした。虫歯だった女子は５人で、虫歯でない男子は８人です。女子はクラス全体の五分の三です。クラス全員で何人いますか？

小学校６年生の子が持ってきた問題なのですが、小学生の学習内容で解けるのか、何か方法があれば教えてください。方程式を使えば解けるのですが・・・。よろしくお願いします。

	24329．Re: (untitled)
	名前：ケロ＠前座日付：11月30日(水) 0時2分
	三分の一、五分の三と分數で表されてゐますから、人數は３と５の倍數でせう。クラスの人數ですから、いくつか試せば出ると思ひます。先づ人數を決めてしまうわけです。

	24331．Re: (untitled)
	名前：らすかる日付：11月30日(水) 1時5分
	「男子」と「虫歯の女子」を合わせた人数は、クラス全体から虫歯でない女子を除いた人数ですから、「虫歯の人」と「虫歯でない男子」を合わせた人数と同じです。虫歯の女子は5人、虫歯でない男子は8人ですから、「男子」の方が「虫歯の人」より3人多いことになります。男子はクラス全体の2/5、虫歯の人はクラス全体の1/3なので、 (2/5)-(1/3)=1/15から、クラス全体の1/15が3人に当たることがわかります。従って、クラスの人数は45人です。 http://www10.plala.or.jp/rascalhp

	24333．Re: (untitled)
	名前：ヨッシー日付：11月30日(水) 12時3分
	こんな感じです。　 http://yosshy.sansu.org/

	24343．Re: (untitled)
	名前：bouzu(社会人) 日付：11月30日(水) 20時51分
	ケロ＠前座さん、らすかるさん、ヨッシーさん返答ありがとうございました。説明文と図の二つがあったおかげでなんとか理解できたかなって感じです。本当にありがとうございました。

24321．これは・・・

名前：すすか（中３） 日付：11月29日(火) 20時11分

この問題に図があるのですが、図をのせるやり方がわからないので
のせることができませんでした。
それでもこの問題教えてもらえますか？

問　ｘ軸に平行な直線が、関数ｙ＝４分の１ｘ＾2のグラフと交わる点
　　をＡ、Ｂ。関数ｙ＝ａｘ＾2のグラフと交わる点をＣ、Ｄとする。
　　Ｃ、Ｄは線分ＡＢを３等分する点で、点Ｂのｘ座標は４である。
　　ａの値を求めなさい。

よろしくお願いします

	24322．Re: これは・・・
	名前：だるまにおん日付：11月29日(火) 20時39分
	Bのx座標が4であることからB(4，4)，A(-4，4)であり、AB=8となり、 Dのx座標をdとするとCD=2d、これがABの1/3であるので2d=8/3　∴d=4/3 ところでDのy座標は4ですからD(4/3，4)これがy=ax^2の上にあるので・・・？

	24326．Re: これは・・・
	名前：すすか（中３）日付：11月29日(火) 22時57分
	で・・・？ということはａの値は何なのでしょうか？。。。答えは４分の９だそうです。この答えになるまでの過程を知りたいのですが・・

	24327．Re: これは・・・
	名前：すすか（中３）日付：11月29日(火) 23時21分
	↑のはなかったことに！！答えがあいました。どうもありがとうございました

24320．(untitled)

名前：あや（高３） 日付：11月29日(火) 18時17分

△ＡＢＣにおいて、ＡＢ＝3、ＡＣ＝4、∠Ａ＝120°、
∠Ａの二等分線とＢＣの交点をＤとする。
ＢＣ、ＢＤ、ＡＤの長さを求めよ。

どう求めるのかわかりません・・・。
教えてください。

	24324．のぼりんさんにお返事書きましょう
	名前：だるまにおん日付：11月29日(火) 20時55分
	・BC→　余弦定理を使いましょう。・BD→　∠BAD=∠CADですからBD：CD=AB：AC ・AD→　AD=xとおいて△ABD，△ACDの面積をそれぞれxで表しましょう。　　　　すると△ABD：△ACD=BD：CD=3：4なので・・・・

24315．作図の問題

名前：やまやん 日付：11月28日(月) 0時54分

コンパスと定規を用いて、正多角形を作図せよとの問題がありました。そのとき、作図できる正多角形はどのようなものがあるか、作図方法もふまえて答えよとなっていたのですが、どれくらい書けるのか検討がつきませんでした。教えてください。

	24317．Re: 作図の問題
	名前：のぼりん日付：11月28日(月) 7時42分
	正 n 角形がコンパスと定規で作図可能な必要条件は、　　　n=2^rp₁…p_s 　　　r, s: 自然数（＝非負整数）　　　p_i: 2^{2^r_i}+1（r_i は自然数）の形の奇素数と書けることです。＞作図方法もふまえて答えよ要は、上の定理（Gauß の定理）を証明せよとのことでしょう。ガロア理論の本に詳しく出てますので、適宜抜粋して書き写して下さい。

24314．曲線の長さ

名前：haru 日付：11月28日(月) 0時52分

曲線 y^2=4px ( p>0 , 0≦x≦a )
の長さの求め方を教えてください。よろしくお願いします。

	24318．Re: 曲線の長さ
	名前：X 日付：11月28日(月) 14時50分
	問題の曲線の式をyの関数とみて計算します。条件より 0≦x≦a p>0 y^2=4px ゆえ -2√(ap)≦x≦2√(ap) ∴求める曲線の長さをLとすると L=∫[-2√(ap)→2√(ap)]√{1+(dx/dy)^2}dy =…

24310．もうひとつ・・・２次関数で

名前：あや（高３） 日付：11月27日(日) 14時48分

中間テストの時の問題なんですが。
長さ30cmの針金がある。これを2つに切り、それぞれ折り曲げて
正三角形と正六角形を作る。
これら2つの図形の面積の和Ｓを最小にするには
針金をどのように切ればよいか。
また、その時のＳの最小値を求めよ。

どう式を立てるべきなのか、詳しい解き方を教えてください。

	24311．Re: もうひとつ・・・２次関数で
	名前：のぼりん日付：11月27日(日) 15時29分
	正三角形と正六角形の一辺の長さを夫々ｘ（㎝），ｙ（㎝）とします。　　　ｘ，ｙ＞０、　３ｘ＋６ｙ＝３０　…　① が制約条件となります。正三角形と正六角形の面積は夫々（√３/４）ｘ²、（３√３/２）ｙ² なので、　　　Ｓ＝（√３/４）ｘ²＋（３√３/２）ｙ²　…　② です。①の条件の下、②の最小値を求めれば良い訳です。【方法１】①を②に代入してｙを消去し、Ｓをｘの二次関数の形にして、最小値を求める。【方法２】楕円の方程式②に線分①が第一象限で接する様にして、最小値を求める。等の方法で、答えを得ることができます。方式２の方が簡単そうですが、表題からすると、方法１によって解かないと駄目でしょうか。

24307．三角比の面積

名前：あや（高３） 日付：11月27日(日) 13時58分

△ABCにおいて、AB=5、BC=7、∠A=120°のとき、△ABCの面積は？
という問題です。どのように解き進めたらいいのでしょう？

	24308．Re: 三角比の面積
	名前：だるまにおん日付：11月27日(日) 14時6分
	ACの長さがわかれば△ABCの面積もでるのですから、ACの長さを求めよう！と思いましょう。 ACの長さをxとおくと余弦定理より BC^2=AB^2+AC^2-2ABACcosA ∴49=25+x^2+5x ∴x=3 ∴AC=3 よって△ABC=・・・

	24309．Re: 三角比の面積
	名前：あや（高３）日付：11月27日(日) 14時39分
	解けました１ありがとうございます☆

24301．数学B「数列」

名前：博美日付：11月27日(日) 0時34分

こんばんは。高２生です。よくわからない問題があっるのですが,どなたか教えてやってくださいませんか。

初項a,公差bである等差数列の初項から第n項までの和をSnとする。m≠nであって,Sm＝SnならばSm+n＝０であることを証明せよ。

とりあえず以下のように考えてみました。

Sm＝Snより
Sm－Sn＝1/2(m-n)｛2a+b(m+n-1)｝＝０

...実はこの先,どうしたものか困ってしまっています。
ここまではなんとなくあってそうな気がしないこともないのですが。
かなり前の方でつまっていてたいへん恐縮ですが,
どなたか教えてやっていただけませんか。
よろしくお願いいたします。

	24303．Re: 数学B「数列」
	名前：だるまにおん日付：11月27日(日) 4時27分
	1/2(m-n){2a+b(m+n-1)}=0 m≠nすなわちm-n≠0より 2a+b(m+n-1)=0ですね。ということは、 (1/2)(m+n){2a+b(m+n-1)}=0ですね。

	24306．お礼
	名前：博美日付：11月27日(日) 13時37分
	わかりました！本当にありがとうございました。

24295．常用対数

名前：tomo(高２) 日付：11月26日(土) 11時1分

年利率１％、１年ごとの福利で100万円を借りたとき、x年後の元利合計は100(1.01)^x万円となる。
元利合計がはじめて120万円を超えるのは何年後か。
ただし、常用対数表を用いてよい。

式の立て方などが理解できません。
よろしくお願いします。

	24296．Re: 常用対数
	名前：tomo(高２) 日付：11月26日(土) 11時52分
	１年ごとの「複利」です。すいません。

	24298．Re: 常用対数
	名前：ヨッシー日付：11月26日(土) 23時34分
	要するに　100(1.01)^x＞120 となるｘを求めて、小数を切り上げればいいわけですね。両辺１００で割って、　1.01^x＞1.2 両辺の対数をとって、　log1.01^x＞log1.2 　ｘlog1.01＞log1.2 　ｘ＞log1.2÷log1.01 です。　 http://yosshy.sansu.org/

	24319．Re: 常用対数
	名前：tomo(高２) 日付：11月28日(月) 18時42分
	返信が遅れて申し訳ありません。丁寧な解説ありがとうございました。

24290．(untitled)

名前：オレンジパンク 日付：11月26日(土) 2時33分

他の板で返信がつかないのでこちらにも書かせていただきます。次の関数列の一様収束性、広義一様収束性を調べよ。(1){nx(1-x)^n} (2){1/(1+x^2)^n} (3){x^n/(1+x^2)^n} (4){nx/1+n^2・x^2} という問題なのですが簡単に一様収束であるか広義一様収束であるのか見分けられるんでしょうか？？すべてε論法でやるしかないのでしょうか？ε論法をやるまえに検討のつけかたがあるなら教えて欲しいです。２つの収束の違いも理解しようとしたんですけどよくわかりません。

	24299．Re: (untitled)
	名前：もんもん日付：11月26日(土) 23時48分
	間違っているところがあるかもしれませんが、（広義)一様収束についてこの場合のε論法というのは、ｎのｘに対する依存性を示すものですから、このとき定義によって一様収束ではありえません。しかしnがｘに依存するときでも的確に定義域を変更するならば収束することも同時に示しています。 f_n(x)＝x^n　Ω＝{x;0≦x≦1} について考えてみては如何でしょうか？これは[0,1]において一様収束しません。しかしあるρ＜1に対してx≦ρのとき関数列は収束します。これを広義一様収束といったはずです。正確な定義は任意のコンパクト集合上で一様に極限関数に収束するだったかなぁ・・・以上をふまえれば、ε論法をせずに関数列、及びその極限関数の挙動がわかれば、検討することができるはずです。 (1)　f_n(x)＝n*x(1-x)^n 関数列は原点、ｘ＝１を解とし、それ以外を解としません。然らば関数列は多項式なので、[0,1]において→０となるはずで、区間の端点も０だから故に[0:1]で一様収束、それ以外は発散。正確にはCauchy列を使って、関数列f_n(x)は[0,1]で絶対値の最大値をもつので a_n＝MAX(\|f_n\|）とおいたとき、任意のε>0に対してn_0をとり、すべてのm,n≧n_0に対して｜f_m(x)ーf_n(x)｜≦｜a_m－a_n\| が成立し、数列｛a_n｝は収束するので関数列f_n(x)も収束。もっと具体的にa_nが欲しいときは、区間の端点でf_n(x)＝０からその間で極値をとるのでそのときの値をa_nにとればいいわけです。a_nの収束に用いているのは\|x\|＜１のときx^n→０です。 (2)以降はめんどいのでパスさせて下さい。簡単に（２）は\|ρ\|>0、\|x\|≧\|ρ\|なるとき広義一様収束（３）は全区間一様収束（４）は（２）と同じだと思います・・・間違ってる可能性大です。参考程度にどうぞ

	24302．Re: (untitled)
	名前：オレンジパンク日付：11月27日(日) 3時10分
	ありがとうございます。しかし（１）の答えは極限関数０に[0,1]上一様収束しなくて(0,1)上広義一様収束なんです。やりかたがわかりません。２つの収束の違いは理解できました。他にわかるかたアドバイスほしいです・・困ってます。

	24305．Re: (untitled)
	名前：もんもん日付：11月27日(日) 10時55分
	やはり間違っていましたか。恥を晒してしまいましたね。一応自分でも気づいた間違いを訂正させてください。また、解答をお持ちのようですので他の答えはどうだったのでしょうか？無限区間の取り扱いも間違えてたようなのでそれも訂正します。 (1)f_n(x)＝n*x(1-x)^n これは\|x-1\|<1で極値よりも大きい値、即ち最大値を持ちます。 x=0における極限関数は0～1/eです。これは一つの関数ではありえないので結局 0<ρ_1＜ρ_2＜2なるρ_1、ρ_2があってρ_1≦x≦ρ_2で広義一様収束。でも解答では(0,1)みたいですね。１＜ｘ＜２のとき関数列は→０に行くと思うんですが・・・ (2)について0＜\|ρ\|＜\|R\|、\|ρ\|≦\|x\|≦\|R\|で広義一様収束 (4)は(2)と同様 (3)について\|x\|＜\|R\|なるとき広義一様収束ではないかと思います。以下、自分の理解です。一様収束っていうのは定義された領域（有界閉集合）で極限関数が連続になることを言うわけでして、一様収束を調べる一般の手続きは (ⅰ)極限関数f(x)を求める。←ｘ依存 (ⅱ)\|f_n(x)－f(x)\|＜εからｎの評価式を得る。 (ⅲ)ｎがxに依存しなければ、極限関数が成立する区間で一様収束。 (ⅳ)ｎがxに依存するとき、εをうまくとってそこで一様収束を示せるでも今回の場合、グラフを書けますので極限関数を調べるだけでわかるはずです。極限関数について概略 (1)ｙ軸上を-∞～1/eまでとり原点からx=2までx軸上を進み、ｙ軸に平行でx=2の直線上を-∞～∞（不定） (2)原点からy軸上を1までとりそれ以外はｘ軸上 (3)全てx軸上 (4)ｙ軸上を-1/2～1/2までとりそれ以外はx軸上となるはずです。私はこれらから答えを判断しました。これで間違ってたら私の勉強不足です。はい。

	24312．Re: (untitled)
	名前：オレンジパンク日付：11月27日(日) 17時34分
	だいぶわかってきました。ありがとうございます。あと（４）の極限関数はどうやってだすんでしょうか？？？？０ですか？？

	24316．Re: (untitled)
	名前：もんもん日付：11月28日(月) 2時53分
	分母、分子をnxで割ると分母＝nx＋1/nxこれの最小値はnx＝1のとき２です。n→∞なるときxをどんなに小さくしてもn*x＝1となるｎが存在します。故に1/2に収束します。x<0のときも同様です。というか私の解答はあっているのでしょうか？私には特に(1)がなぜに(0,1)なのかわかりません。もし詳しい解答をお持ちなら教えてもらえると嬉しいです。

	24345．Re: (untitled)
	名前：オレンジパンク日付：12月1日(木) 0時7分
	いろいろ参考にさせてもらい今日のてすとは無事おわりました。参考書などで確認したりして。ありがとうございました。

24286．平面幾何

名前：悩める子羊　日付：11月25日(金) 20時29分

数学の課題で「半径Ｒ１，Ｒ２の２円Ｏ１，Ｏ２が点Ｃで外接している。この２円の共通外接線の接点をＡ，Ｂとする。ＡＣ：ＢＣ：ＡＢ＝√Ｒ１：√Ｒ２√（Ｒ１＋Ｒ２）の関係が成立することを示せ。」という問題があって悩んでいます。
よろしくお願いします m（。_ 。）m

	24289．Re: 平面幾何
	名前：もんもん日付：11月26日(土) 0時29分
	円O1, O2のそれぞれの中心を通る直線に対してO2との交点をD、O1との交点をEとおいたとき三つの相似な直角三角形ができます。即ち ΔEAC∽ΔCBD∽ΔABC となります。理由は考えて見てください。後は相似な関係を用いて辺の比を導くだけです。辺の対応がややこしいかもしれませんがよく考えてやればできます。以下、ABなどと書いたときそれは長さを表しBAと書いても同じとして読んで下さい。相似関係よりAE：CA＝AC：CB，AE:BC＝R1：R2 これを解いて AC：BC＝sqrt(R1)：sqrt(R2) 三平方の定理からAC^2　＋　BC^2　＝　AB^2 整理すると AC^2＊(R1＋R2)/R1　＝　AB^2 ∴AC：AB＝sqrt(R1)：sqrt(R1+R2)

	24300．Re: 平面幾何
	名前：悩める子羊　日付：11月27日(日) 0時5分
	もんもんさん！！ありがとうございましたｖ（＾＾＊）ｖちなみに、ｓｑｒｔはルートのことですか？

	24304．Re: 平面幾何
	名前：もんもん日付：11月27日(日) 9時3分
	そうです。平方根ーSQuare RooTの略です。√と書くと見にくいのであれにしました。

24285．(untitled)

名前：けん（高３） 日付：11月25日(金) 19時28分

lim[n→∞]{(2/5)^n+3}^(1/n) = 3^0 = 1
は、正しい変形でしょうか。挟み撃ちにより、1になるのはわかるのですが、上の変形が正しいかどうか、テストで書いてもいいのかどうか、教えてください。よろしくお願いします。

	24287．Re: (untitled)
	名前：らすかる日付：11月25日(金) 20時50分
	自信があるわけではないのですが、例えば lim[n→∞](3n+5)/(2n-3) を求める問題の場合、分子分母をnで割って (3+5/n)/(2-3/n) と変形し、分子分母それぞれについてn→∞の場合の値を考えて 3/2 という答を出しますよね。それと同じことのように思います。部分部分に分けてn→∞の場合の値を考えた場合に、全ての部分が極限を持ち、かつその極限値を使って行う計算の途中で不定形や不能形にならなければ、少なくとも通常の連続関数を扱う上では問題ないのではないでしょうか。 # でも、そういう問題は（答が簡単に出てしまうから？） # 普通テストで出ませんよね？ http://www10.plala.or.jp/rascalhp

	24288．Re: (untitled)
	名前：けん（高３）日付：11月25日(金) 21時42分
	御返答ありがとうございます。数列の問題で求まった第ｎ項が{(2/5)^n+3}^(1/n)で、最後に極限を求めて終わりというものなんです。参考にさせていただきます。

24283．(untitled)

名前：はんと 日付：11月25日(金) 19時20分

1個のサイコロを何回も振り、n回目に出た目が、
1,2,3のいずれかであれば、X[n]=1
4,5のいずれかであれば、X[n]=-1
6であればX[n]=0
とする(n=1,2,3,…)。
また、Y[n]=X[1]*X[2]*X[3]*…*X[n]とおきY[n]=1となる確率をq[n]とする。
(１)q[n+1]をq[n]で表せ。
(２)q[n]を求めよ。

	24284．Re: (untitled)
	名前：はんと日付：11月25日(金) 19時21分
	書き忘れ。教えてください。よろしくお願いします。

	24291．Re: (untitled)
	名前：キューダ日付：11月26日(土) 7時5分
	Y[n]=1となる確率がq[n]ならば、 Y[n]=-1となる確率は、(5/6)^n-q[n]です。 q[n+1]=(1/2)q[n]+(1/3){(5/6)^n-q[n]}=(1/6)q[n]+(1/3)(5/6)^n (6/5)^(n+1)q[n+1]=(1/5)(6/5)^nq[n]+(2/5) 等と変形して、 q[n]=(5^n+1)/(2*6^n)

	24292．Re: (untitled)
	名前：はんと日付：11月26日(土) 8時4分
	>q[n+1]=(1/2)*q[n]+(1/3){(5/6)^n-q[n]} この式の意味がわかりません・・・

	24293．Re: (untitled)
	名前：キューダ日付：11月26日(土) 9時26分
	Y[n+1]=1となるのは、1=11、であるし、1=(-1)(-1)でもあることを考えると Y[n]=1で、X[n+1]=1　の時と、Y[n]=-1で、X[n+1]=-1　となる場合です。 Y[n]=1になる確率は、q[n]、 X[n+1]=1となるのは、n+1回目に、1,2,3の何れかが出る確率なので、3/6=1/2です。 Y[n]=-1になる確率は、(5/6)^n-q[n]、 X[n+1]=-1となるのは、n+1回目に、4,5の何れかが出る確率なので、2/6=1/3です。従って、q[n+1]=(1/2)*q[n]+(1/3){(5/6)^n-q[n]}　となります。

	24294．Re: (untitled)
	名前：はんと日付：11月26日(土) 9時47分
	よくわかりました。丁寧な回答どうもありがとうございました。

24281．項別積分

名前：きら日付：11月24日(木) 23時19分

Σ(-1)^n+1/n^2・sin(nx) (-π≦x≦π) について次を示せ。　★sin(nx)は分子です！！　　　(1)一様収束する　(2)x=πで項別積分可能でない。　　　お願いします。大学２年

	24313．Re: 項別積分
	名前：オレンジパンク日付：11月27日(日) 17時52分
	（１）は自力でできました！（２）のみ教えてください。

24278．わかりません

名前：すすか（中３） 日付：11月24日(木) 20時46分

この問題をお願いします。

問　ノートの罫線を利用して、１本の棒を７：３の比に分ける方法を
　　考えなさい。

	24279．Re: わかりません
	名前：Ｂｏｂ日付：11月24日(木) 21時54分
	線分を７：３に分けるのかな？教科書にありますよね？線分の分け方は７：３→１０等分１０行罫線をつかって左上から右下にななめに線を引くそうすると相似な三角形が１０個できます？その斜めの線と１０本の罫線の交点が１０等分された点です。わかりづらいよね・・・

	24280．Re: わかりません
	名前：すすか（中３）日付：11月24日(木) 22時54分
	正直に言いますとわかりません。左上から右下に線を引いて、三角形が１０個できると書いてありますが、１０本線を引いたら１０個の三角形ができるということですか？

	24282．Re: わかりません
	名前：ヨッシー日付：11月25日(金) 0時46分
	棒が短すぎたり、長すぎる場合は工夫が必要ですが、適当な長さなら、直接分割することが出来ます。 http://yosshy.sansu.org/

24273．角度

名前：ライダー 日付：11月24日(木) 16時6分

こんにちは。
次の問題を教えてください。
問題
三角形ＡＢＣをＡを中心に左に１２°回転させてできる
三角形ＡＢ´Ｃ´とするとき、∠Ｘの角度を求めなさい。
という問題です。
詳しい説明お願いします。

	24276．Re: 角度
	名前：ヨッシー日付：11月24日(木) 17時12分
	問題に、Ｂ’ が辺ＢＣ上にある、とか書いていませんか？・・・そうであるとして、 △ＡＢＢ’ の辺の長さと角度をよく調べましょう。　 http://yosshy.sansu.org/

24272．角度

名前：ライダー 日付：11月24日(木) 16時0分

こんにちは。
次の問題を教えてください。
問題
四角形ＡＢＣＤは正方形で、三角形はＢＣＥは正三角形です。
∠Ｘの角度を求めなさい。
という問題です、
詳しい説明お願いします。

	24275．Re: 角度
	名前：ヨッシー日付：11月24日(木) 17時10分
	ＡＢ＝ＢＥ＝ＣＤ＝ＣＥであることを踏まえて、　∠ＡＢＥ＝？？？　∠ＡＥＢ＝？？？　∠ＤＥＣ＝？？？　∠ＢＥＣ＝６０° の順に求めていき、最後に　∠ＡＥＤ＝・・・とします。 △ＡＥＤから攻めていっても良いです。　 http://yosshy.sansu.org/

24271．角度

名前：ライダー 日付：11月24日(木) 15時55分

こんにちは
中２です。
次の問題を教えてください。
問題
図の△ＡＢＣは正三角形で、Ｌ//Ｍである。このとき、∠Ｘ＋∠Ｙを
求めなさい。
という問題です。
詳しい説明よろしくお願いします。

	24274．Re: 角度
	名前：ヨッシー日付：11月24日(木) 17時1分
	こう描けばわかるでしょうか？　 http://yosshy.sansu.org/

24269．ヒントください

名前：つなのはるふみ 日付：11月24日(木) 12時4分

今回の難しいですね。ヒントいただけないでしょうか。あつかましいいお願いですみません。

	24270．Re: ヒントください
	名前：ヨッシー日付：11月24日(木) 12時7分
	今回の何？算チャレかな？　 http://yosshy.sansu.org/

24264．指数

名前：華日付：11月23日(水) 22時33分

２＾ｘー２＾－ｘ＝２のとき
２＾２ｘおよび２＾２ｘ－２＾－４/２＾ｘ－２＾－ｘ
の値を求めよという問題がわかりません。
教えてください。

	24265．訂正します
	名前：華日付：11月23日(水) 22時35分
	２＾２ｘおよび２＾４ｘ－２＾－４ｘ/２＾ｘ－２＾－ｘに訂正します。

	24266．Re: 指数
	名前：ヨッシー日付：11月23日(水) 23時3分
	２^x がいくつか分かれば、ほとんど解決です。Ｙ＝２^x とおくと、２＾ｘー２＾－ｘ＝２　は、　Ｙ－（１／Ｙ）＝２と書けます。両辺Ｙを掛けて移項すると、　Ｙ^2－２Ｙ－１＝０Ｙについて解いたら、２^2x＝Ｙ^2 なので、　Ｙ^2＝２Ｙ＋１を計算します。また、２^4x＝Ｙ^4 であるので、これを求めれば、　(２＾４ｘ－２＾－４ｘ)/(２＾ｘ－２＾－ｘ) も計算できます。　 http://yosshy.sansu.org/

24263．(untitled)

名前：ai 日付：11月23日(水) 22時22分

四面体OABCにおいて、辺OAの中点をD、線分BDの中点をEとする。V(OE)をV(OA),V(OB)を用いてあらわせ。

という問題なのですが、始点をOとするとき、
V(OD)=(1/2)V(OA)はあっていたんですが、
どうして
V(OE)
=(1/2)V(BD)
=(1/2){V(OD)-V(OB)}
=(1/2){(1/2)V(OA)-V(OB)}
=(1/4)V(OA)-(1/2)V(OB)
としてはいけないんでしょうか？
-が出てきちゃうんです。分点の公式を使えば間が+になるのはわかるんですが、このやり方は何がいけないんでしょうか？どなたか教えてください。

	24267．Re: (untitled)
	名前：ヨッシー日付：11月23日(水) 23時23分
	V(OE) と V(BD) は、図のように、まったく向きの違うベクトルです。　V(OE)＝V(OB)＋(1/2)V(BD) とすれば、正しいですが、これは結局、分点の公式なのです。　 http://yosshy.sansu.org/

24262．高1ﾃﾞｽ。

名前：タヵｫ*’ 日付：11月23日(水) 19時1分

xとyはxy+x2+y2=1を満たす実数であり、p=x+y,w=xy-x-yのとき、wをｐであらわしたとき、ｐの範囲とｗの範囲を求める問題なんですけど。。。ｗをｐであらわすまではわかったのですが、範囲の求め方かわからないのでどなたかお願いします；

	24268．Re: 高1ﾃﾞｽ。
	名前：X 日付：11月24日(木) 12時13分
	まず p=x+y (A) により w=xy-x-y =xy-p ∴xy=w+p (B) 一方 xy+x^2+y^2=1 ですから (x+y)^2-xy=1 (C) (C)に(A)(B)を代入して p^2-w-p=1 ∴w=p^2-p-1 (D) ここでx,yは実数ですから(A)(B)よりtの二次方程式 t^2-pt+w+p=0 は実数解を持たなければなりません。よって解の判別式をDとすると D=p^2-4(w+p)≧0 (E) (D)を(E)に代入するとpについての不等式が導かれます。その解を(D)に用いてwの範囲を考えましょう。

	24277．Re: 高1ﾃﾞｽ。
	名前：*タヵｫ’** 日付：11月24日(木) 17時27分
	ありがとーございましたぁ！！

24259．積分

名前：ピンクフロイド 日付：11月23日(水) 11時5分

原点を通る直線と、曲線y=x^2-2xで囲まれた図形の面積が32/3である。
この直線の方程式を求めよ。

すみません、よろしくお願いします。

	24260．Re: 積分
	名前：ハードゲイ（HG) 日付：11月23日(水) 11時32分
	直線と2次関数の交点は？　y=ax y=x^2-2x ax=x^2-2x x^2-(a+2)x=0 交点の座標はｘ＝0、a+2 ∫(x-α）（ｘ－β）dx=-1/6(β-α）＾3　を利用すれば ∫（ax-x^2+2x)dx=-∫x(x-(a+2))dx=-1/6(a+2)^3=32/3 a=2

	24261．Re: 積分
	名前：ピンクフロイド日付：11月23日(水) 17時50分
	ありがとうございます！六分の一公式を使うんですね。公式を使わずにやっていたので計算をまちがえていたようです。

24257．積分

名前：水乃日付：11月21日(月) 19時20分

以下の問題の解法がどうしてもわかりません。教えてください。

aを正の定数とする。f(x)=∫[0→a](1+xt-x^2)*e^(-t)*dtを最大にするxの値をaを用いて表せ。

	24258．Re: 積分
	名前：ヨッシー日付：11月22日(火) 15時45分
	最初に、ｘを定数と見なして、ｔで積分します。次に、f(x) をｘで微分して、増減を調べます。部分積分　∫fgdx＝Fg－∫Fg'dx を使います。　 http://yosshy.sansu.org/

24250．証明問題です！

名前：坂本　中学1年です。 日付：11月21日(月) 0時4分

中学生の問題なのですが、
∠Aが一番大きい三角形ABCがあり、AB、AC、上にそれぞれ点P、Q（P、Qは他の頂点とは重ならない）をとる時、BC＞PQを証明しなさい。
という問題がどうしてもわかりません。
すみませんが、どなたか教えていただけませんか？お願いします！

	24251．Re: 証明問題です！
	名前：はく　のぶなが。日付：11月21日(月) 0時55分
	マルチポスト（複数の掲示板に同じ問題を投稿）は止めましょう。

	24252．Re: 証明問題です！
	名前：坂本日付：11月21日(月) 7時18分
	すみません。早く知りたかったもので…。もう二度としません。

24244．数列

名前：琉架　高２ 日付：11月20日(日) 21時38分

数列{a[n]}が，a[1]=1，a[2]=2+3+2，a[3]=3+4+5+4+3，
a[4]=4+5+6+7+6+5+4，…で与えられている。
(1)a[n]を求めよ。
(2)Σ[k=1,n](a[k])を求めよ。

それぞれ6の倍数ずつ進んでいるようなんですが…
解き方の詳細も教えてください。
お願いします。

	24245．Re: 数列
	名前：だるまにおん日付：11月20日(日) 22時8分
	a[2]-a[1]=2+2+2 a[3]-a[2]=3+2+2+2+3 a[4]-a[3]=4+2+2+2+2+2+4 ・・・・・からわかるように、 a[n+1]-a[n]=(n+1)+2+2+・・・+(2が2n-1個)+・・+2+2+(n+1)=2(n+1)+2*(2n-1)=6n ∴a[n+1]=a[n]+6n ∴a[n]=3n^2-3n+1

	24246．質問
	名前：琉架　高２日付：11月20日(日) 22時47分
	だるまにおんさんありがとうございます。最後の『∴a[n+1]=a[n]+6n，∴a[n]=3n^2-3n+1』がよく分かりません。これは(1)の答えでいいんですよね？そうだったら(2)も教えていただけたら嬉しいです。

	24247．Re: 数列
	名前：だるまにおん日付：11月20日(日) 23時17分
	a[1]=1 a[n+1]=a[n]+6n この漸化式を解きましょう。 n≧2のときは a[n]=a[1]+∑[k=1～n-1]6k =1+6(n-1)n/2 =3n^2-3n+1 n=1のときもこれでOKなのでa[n]=3n^2-3n+1・・・(1)の答 (2)∑[k=1～n]a[k] =∑[k=1～n](3k^2-3k+1) =3n(n+1)(2n+1)/6-3n(n+1)/2+n =n(n+1)(2n+1)/2-3n(n+1)/2+n・・・(2)の答

	24249．Re: 数列
	名前：琉架　高２日付：11月20日(日) 23時20分
	ありがとうございました。やっと分かりました。

	24255．横からRe
	名前：はくx 日付：11月21日(月) 15時0分
	(2)の答えは展開すると n(n+1)(2n+1)/2-3n(n+1)/2+n=n(n+1)(2n+1-3)/2+n =n(n^2-1)+n=n^3

	24256．Re: 数列
	名前：だるまにおん日付：11月21日(月) 18時32分
	3k^2-3k+1=(-k+1)^3-(-k)^3と考えればよかったんですね。

24239．空間ベクトル

名前：水乃日付：11月20日(日) 17時15分

はじめまして。

空間内に4点A(2,0,0),B(0,3,0),C(0,0,1),E(0,1,0)および原点Oをとる。点Qが線分BC上を動くとき三角形AEQの面積を最小にする点Qの座標とそのときの三角形AEQの面積を求めよ

上記の問題の解法を教えて下さい
おねがいします

	24242．←回文
	名前：だるまにおん日付：11月20日(日) 20時41分
	OQ^→=OC^→+tCB^→=(0，0，1)+t(0，3，-1)=(0，3t，1-t)　(0≦t≦1) △AEQ=S，△AEQをxy，yz，zx平面に正射影した図形の面積をS_xy，S_yz，S_zxとすると S_xy²=(3t-1)² S_yz²=(t-1)²/4 S_zx²=(t-1)²なので S²=S_xy²+S_yz²+S_zx² =(1/4)(41t²-34t+9) =(41/4){(t-17/41)²+80/41²} よってSはt=17/41のときに最小値√(20/41)をとる。このときQ(0，51/41，24/41)

	24248．Re: 空間ベクトル
	名前：水乃日付：11月20日(日) 23時15分
	確かに上記の答えになりました～どうも、感謝です。

24237．等差数列

名前：今日って第三日曜日じゃん 日付：11月20日(日) 14時21分

等差数列{an}が、a1+a3+a5=66,a2+a4+a6=54を満たしている。
(1)初項aと公差dを求めよ。
(2)初項から第n項までの和の最大値とそのときのnの値を求めよ。
(3)第(n+1)項から第2n項までの和をその項数で割った値が-99より
　小さくなるようなnの最小値を求めよ。

午前中考えてたんですけど手が出せません。
誠に勝手ながら、ご指導よろしくお願いします。

	24240．Re: 等差数列
	名前：X 日付：11月20日(日) 19時5分
	(1) 条件から a[1]=a a[2]=a+d a[3]=a+2d a[4]=a+3d a[5]=a+4d a[6]=a+5d これらを a[1]+a[3]+a[5]=66,a[2]+a[4]+a[6]=54 に代入すればa,dについての連立方程式を導くことができます。 (2) (1)の結果より、a[n]はnに関して単調減少になりますので、第n項までの和が最大になるのはa[n]が正から負に符号が反転する直前のnのときです。よって条件を満たすnは a[n]≧0 を満たす最大のnということになります。 (3) 条件を不等式で表すと (∑[k=n+1～2n]a[k])/{2n-(n+1)+1}>-99 ∴(∑[k=1～2n]a[k]-∑[k=1～n]a[k])/n>-99 (A) ここで ∑[k=1～n]a[k]=∑[k=1～n]{a+(k-1)d} =(a-d)n+n(n+1)d/2 (B) ∑[k=1～2n]a[k] =2(a-d)n+n(2n+1)d (C) (A)に(B)(C)を代入し、更に(1)の結果を代入すればnについての二次不等式が導かれます。

	24243．Re: 等差数列
	名前：こーん日付：11月20日(日) 21時2分
	有り難う御座います。やってみます。

24230．この前は・・・。

名前：hide 日付：11月20日(日) 0時27分

ありがとうございました！
あの時に返事返せなくてすいませんでした（汗）

また質問なんです。

問・点Pが直線X－2Y+2=0上を動くとき、点A（2,-3）と点Pを結ぶ線分APを2:3に内分する点Qの軌跡を求めよ。

息詰まってます・・・・。
全然わからないんです。
教えてください！！

	24233．息が詰まる？？
	名前：だるまにおん日付：11月20日(日) 15時56分
	x-2y+2=0⇔y=(x+2)/2なのでP(t，(t+2)/2)とおけます。よってQのx座標は(32+2t)/(2+3)=(6+2t)/5，y座標は{3(-3)+2(t+2)/2}/(2+3)=(t-7)/5 ∴Q((6+2t)/5，(t-7)/5) これからtを消去して得られるy=(x-4)/2⇔x-2y-4=0がQの軌跡になります。

24228．ベクトル

名前：磐田日付：11月19日(土) 21時0分

三角形ABCにおいて↑AB・↑AC＝6，↑AB・↑BC=1，↑AC・↑BC=3が成り立つとき三角形ABCの面積を求めよ。

上記の問題の解法を教えてください
おねがいします

	24229．Re: ベクトル
	名前：だるまにおん日付：11月19日(土) 22時0分
	9 =AB^→・AC^→+CA^→・CB^→ =AC{ABcos∠BAC+BCcos∠BCA} =AC² ∴AC=3 5 =AB^→・AC^→+BA^→・BC^→ =AB{ACcos∠CAB+BCcos∠CBA} =AB² ∴AB=√5 2 =AC^→・BC^→+BA^→・BC^→ =BC{ACcos∠ACB+ABcos∠ABC} =BC² ∴BC=√2 へロンの公式より △ABC=(1/4)√{(3+√5+√2)(-3+√5+√2)(3-√5+√2)(3+√5-√2)}

	24232．半分パクって…
	名前：らすかる日付：11月20日(日) 7時9分
	9 =AB^→・AC^→+CA^→・CB^→ =AC{ABcos∠BAC+BCcos∠BCA} =AC² ∴AC=3 2 =AC^→・BC^→+BA^→・BC^→ =BC{ACcos∠ACB+ABcos∠ABC} =BC² ∴BC=√2 CA^→・CB^→ =AC×BC×cos∠ACB =3√2cos∠ACB =3 ∴cos∠ACB=1/√2 より∠ACB=π/4、従って sin∠ACB=1/√2 なので △ABC=(1/2)AC×BC×sin∠ACB=3/2 http://www10.plala.or.jp/rascalhp

	24234．Re: ベクトル
	名前：キューダ日付：11月20日(日) 10時44分
	外積を利用しての、別解です。ＡＢ・ＡＢ＝ＡＢ・（ＡＣ＋ＣＢ）＝６－１＝５ＡＣ・ＡＣ＝ＡＣ・（ＡＢ＋ＢＣ）＝６＋３＝９Ｓ＝｜ＡＢ×ＡＣ｜／２なので、４Ｓ^2＝（ＡＢ×ＡＣ）・（ＡＢ×ＡＣ）＝（ＡＢ・ＡＢ）（ＡＣ・ＡＣ）－（ＡＣ・ＡＢ）（ＡＢ・ＡＣ）＝５×９－６×６＝９従って、Ｓ＝３／２

	24235．Re: ベクトル
	名前：キューダ日付：11月20日(日) 11時18分
	各辺長の２乗を求めた後、ヘロンの公式を変形して得られる 16S^2＝2(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)-a^4-b^4-c^4 を用いるのが、最もシンプルかも知れませんね。 16S^2=2(59+92+2*5)-5^2-9^2-2^4=36

	24236．Re: ベクトル
	名前：磐田日付：11月20日(日) 12時3分
	いろいろな解き方があるのですね。よくわかりました。有難うございました。

24226．面積Sの最大値

名前：Yuma（高３） 日付：11月19日(土) 16時54分

初めまして。次の問題の解き方分からないので、どなたか教えていただけますでしょうか。
面積１の△ABCにおいて、辺AB上に１点Pをとり、Pを通り辺BCに平行な直線と辺ACの交点をQとする。
更に線分PQの中点に関してAと対称な点をRとする。
点Pが辺AB上を動くとき、△ABCと△PQRの共通部分の面積Sの最大値を求めよ。
ちなみに解答は…
点Pが辺ABを２：１に内分するとき最大値１/３　です。
よろしくお願いします。

	24227．Re: 面積Sの最大値
	名前：Yuma（高３）日付：11月19日(土) 16時59分
	ちなみに「△APQ≡△RQP、△APQ∽△ABCであり、AB:AP=１：ｘ」と置くところまではいきました。そのあとの場合わけが必要な感じがするのですが、いまいち分かりません。。。

	24231．Re: 面積Sの最大値
	名前：もんもん日付：11月20日(日) 1時52分
	この問題は随所に平行四辺形が出てきてくらくらしちゃいますねぇ。と世間話はおいといて、好みによりますが私は次のように解きました。図を描くやり方がわからないので見にくいと思いますがお許しを。線分PR,QRの線分BC上の交点をそれぞれD,E、また頂点A,Cの対辺の長さをa,c及び∠ABC＝θ、変数として線分BPの長さをｘとおきます。上の定義によって三角形は決定され、然るに面積関数はそれらの定数と変数ｘによって表示されるはずです。次に平行四辺形や相似の関係を利用するのですがこれは長くなるのでここには書きません。以下、多少省略しながら説明します。面積関数が変化するのは点Rが△ABCの中にあるときか外にあるときかで違ってくるので、そこで場合分けを考えます。 (ⅰ)点Rが△ABCの中にあるとき動点PがA→Bと動くと考えると△PQR（面積）は単調増加なので点Rが線分BCと接するときが最大になり、そのときのｘの値はER＝ｃ－2xなのでｘ＝c/2のとき少し計算して△PQR＝1/4となります。 (ⅱ)点Rが△ABCの外にあるとき比の関係などを使って△PQR、△DERの面積を求めると結局、面積関数 S(x)は S(x) = △PQR-△DER = (2cx-3*x^2)/c^2 となり、微分してｘ＝c/3で最大となり、最大値1/3をとります。従って(ⅱ)のときが答えになります。

	24238．Re: 面積Sの最大値
	名前：Yuma（高３）日付：11月20日(日) 16時46分
	詳しいご返信ありがとうございます。状況はつかめたのですが、場合分け以降がどうしてもわかりません。もんもんさん申し訳ないです。。。（図形がすごく苦手なもので…すみません。）ちなみに、解答の部分に解法のヒントが載っていたので、載せておきます。 △APQ≡△RQP、△APQ∽△ABCであり、AB:AP＝１：ｘとおくと、 [1] 0＜x＜1/2のとき S＝△RQP＝x^2 [2] 1/2≦x＜1のとき線分PR、線分QRと辺BCとの交点をそれぞれS,Tとおくと S＝△RQP－△RTS＝x^2－(2x－1)^2 となっております。こちらを元にした解法がありましたらお願いできますでしょうか。本当に申し訳ありません。。

	24241．Re: 面積Sの最大値
	名前：もんもん日付：11月20日(日) 19時35分
	そのように畏まらなくても結構ですよ。面積関数がどうしてあの式になるのかわからないってことなんだと思いますので、そのあたり詳しく説明します。おそらく面積比と相似比の関係を知らないのではないかと推測するのでこれを解説してから本題に入ります。結果から言うと面積比は相似比の２乗でかかってきます。つまり相似な二つの三角形において相似比をa:b　とおいたとき面積比はa^2:b^2　となります。証明は簡単ですのでやってみましょう。これを用いると示された通りにやれば △APQ:△ABC = 1：x^2 ΔABC＝１　より　ΔAPQ = x^2 = ΔPQR となります。同様にして ΔSTR∽ΔPQR∽ΔABCよりΔSTR：ΔABC = (2x-1)^2：1 ∴ΔSTR=(2x-1)^2 ＊　TR=2x-1　は図形PBTQが平行四辺形であることを使います。ここまで書けば大丈夫ですね。ちなみに私の解答と示された解答の違いはたんに変数を定義する場所を変更して、c=1としてまったく同じになります。私の解答は鈍くさい解答ですがこういったやり方のほうが好きなのでご容赦を。

24224．(untitled)

名前：くみこ 日付：11月19日(土) 10時27分

http://gi.ics.nara-wu.ac.jp/~takasu/lecture/global/H17-global-8.pdfの中で，レスリー行列の最大固有値が1を超えるための必要十分条件が，
B=f_1+f_2\lambda_1 +f_3\lambda_2 +\cdots +f_{\omega}\lambda_{\omega -1}>1
となる理由がわかりません．どなたか教えてください．

24219．不定形？？

名前：もんもん 日付：11月18日(金) 21時59分

極限の計算で困ってまして
a を定数としてf(a) = ∞　のとき
lim[x→a](x - a)/f(x)
これの極限は　０　でいいのか疑問に思うわけです。
つまり
0/∞　＝　0
でいいのかなってことです。全体として０に飛んでいくのはわかるんですがなにかもやもやとしたものが・・・
付随して　0×0　＝　0　としてもいいのか悩んでまして
これが許されるのなら除算は積の逆元として定義されるから
0/0　＝　0　も許されるはず・・・
でもこれがおかしいのは明らかなわけでして、どうにもはまってしまって抜け出せません。
どこが間違っているのか詳しい方指摘、及び解説を願います。

	24222．Re
	名前：はくx 日付：11月19日(土) 2時17分
	>0/∞　＝　0でいいのかどんな絶対値の小さい0でない値(定数)よりも絶対値が小さくなるので 0となります。 >除算は積の逆元として定義され… 0には積の逆元はありません。 aを定数としてa×0=0なのでaが何でもa=0/0となってしまい、定まらないので0/0は不定となります。0×0=0です。

	24225．Re
	名前：もんもん日付：11月19日(土) 15時32分
	おかげさまで咽に刺さった魚の骨のようなものがなくなりました。わかりやすい解説ありがとうございました。

24216．代数

名前：数学まにあ 日付：11月18日(金) 0時37分

n,a,bを正の整数とするとき次を示せ。(a,n)=1,(b,n)=1⇒(ab,n)=1 おそらくCa∈U(Zn)⇔(a,n)=1 nを法とする剰余類の集合Znにおいて、既約剰余類の集合をU(Zn)で表す。という定義を使うのでしょうがわかりません。教えて欲しいです。

	24220．Re: 代数
	名前：のぼりん日付：11月19日(土) 0時21分
	マルチ･ポスト先の別掲示板に回答しました。

	24221．Re: 代数
	名前：ｐｐ日付：11月19日(土) 1時3分
	いやあの定理をつかわないとだめなんです。

	24253．Re: 代数
	名前：ast 日付：11月21日(月) 11時23分
	> いやあの定理をつかわないとだめなんです。定理が出てきているようには見えないんですが……. マルチ･ポスト先の別掲示板にも定理は見当たらないのですが, もしかしてさらに別のところですか?

24215．ベクトル

名前：リョウ 日付：11月17日(木) 21時32分

正射影ベクトルはどうやって証明するのでしょうか？

	24254．Re: ベクトル
	名前：ast 日付：11月21日(月) 11時29分
	> 正射影ベクトルはどうやって証明するのでしょうか？「何の」正射影ベクトル「に関するどういう命題を」証明したいのですか?

24214．ニュートン？の定理の証明

名前：koh 日付：11月17日(木) 19時51分

こんな感じの問題の証明なんですが、わからないので教えてください！
ちなみに高一です!!
http://www.shirakami.or.jp/~eichan/java/javafr.html

	24217．Re: ニュートン？の定理の証明
	名前：ヨッシー日付：11月18日(金) 1時14分
	↑これの方はこちら。　 http://yosshy.sansu.org/

	24218．Re: ニュートン？の定理の証明
	名前：ヨッシー日付：11月18日(金) 1時21分
	↑これの方はこちら。　 http://yosshy.sansu.org/

24204．角度

名前：ライダー 日付：11月16日(水) 22時59分

何個も質問しててすいません・・・
問題は
幅acmの細長い紙を、図のように、BCを折り目にして折ったとき、二重になった部分を△ABCで、∠CAB＝３０°のとき、∠BCAの大きさを求めよ。
という問題です。詳しい説明お願いします。

	24207．Re: 角度
	名前：納豆日付：11月16日(水) 23時45分
	まず、一番下の直線（点Ｃを通っている直線）を点Ｃの左側に延長します。点Ｂから、垂線を下ろして、この直線との交点をＤとします。 ∠ＡＣＢ=xとすると、BCで折り返したことから、 ∠ＢＣＤと∠ＡＣＢは等しくなります。（折り返す前は、∠ＡＣＢは∠ＢＣＤにぴったり重なります）よって、∠ＢＣＤ=xになります。直線ＡＢと直線ＤＣは平行なので、錯角が等しいことから ∠ＡＢＣ＝∠ＢＣＤ=xになります。ここで、△ＡＢＣに注目すると、 ∠ＡＢＣ＝∠ＡＣＢ=x ∠ＢＡＣ＝30° 三角形の内角の和＝180°なので、 x+x+30=180 2x=150 x=75 よって、∠ＢＣＡ＝75°

24203．(untitled)

名前：ライダー 日付：11月16日(水) 22時50分

こんにちは。中２です。
問題は
∠A＝∠D、∠B＝２∠Cであり、∠Aと∠Cの比は３：２である。
このとき、∠A,∠B,∠C,∠Dの大きさを求めよ。
という問題です。詳しい説明をお願いします。

	24205．Re: (untitled)
	名前：納豆日付：11月16日(水) 23時34分
	∠Ｃの角度を2xとします。 ∠Aと∠Cの比は３：２なので、∠A=3x ∠A＝∠Dなので、∠D=3x ∠B＝２∠Cなので、∠B=4x 四角形の内角の和＝３６０°なので、 ∠Ａ＋∠Ｂ＋∠Ｃ＋∠Ｄ＝３６０°になります。 ∠Ａ＋∠Ｂ＋∠Ｃ＋∠Ｄ＝3x+4x+2x+3x=12x 12x=360° x=30° これを代入して、 ∠A=90°∠Ｂ=120°∠Ｃ=60°∠Ｄ=90°

24202．角度２

名前：ライダー 日付：11月16日(水) 22時39分

こんにちは！！
中２です。
図の角度Xについて詳しくおしえてください。
よろしくおねがいします。

	24206．Re: 角度２
	名前：納豆日付：11月16日(水) 23時37分
	６角形の内角の和＝７２０°になることを使えばできると思います。ちなみに、一般にn角形の内角の和＝180°×(n-2)です。三角形の内角の和が１８０°なので、多角形をいくつかの三角形に分割すると分かると思います。

24201．角度

名前：ライダー 日付：11月16日(水) 22時28分

Xが折る前どこにあるかは書いてありません。

24199．積分

名前：コパン 日付：11月16日(水) 20時39分

半径が３の球に内接する直円錐のうちで、体積が最も大きいものの底面の半径、高さ、及びそのときの体積を求めよ。
お願いします！

	24210．なぜ積分？？
	名前：ヨッシー日付：11月17日(木) 10時32分
	底面の半径をｘとします。図は、この円錐を底面と平行な方向から見た図です。同じ底面の半径でも、左の図より右の図の方が、高さが大きいので、体積も大きくなります。よって、円錐の内部に、球の中心を含む場合のみを考えます。（底面上に中心がある場合も含みます。ｘ＝３のときです) 下の図のようにＡ，Ｂ，Ｃ，Ｄ，Ｏをとります。ＤはＢＣの中点（＝底面の中心)で、Ｏは、球の中心です。このとき、高さをｈとすると、　ＯＤ＝√(９－ｘ^2) より、　ｈ＝ＡＯ＋ＯＤ＝３＋√(９－ｘ^2) よって、体積Ｖは、　πｘ^2ｈ/３＝(π/３)ｘ^2{３＋√(９－ｘ^2)}　ただし、(０＜ｘ≦３) 　f(x)＝ｘ^2{３＋√(９－ｘ^2)}　とします。　f'(x)＝２ｘ{３＋√(９－ｘ^2)}－ｘ^2・２ｘ/２√(９－ｘ^2) 　　＝６ｘ＋２ｘ√(９－ｘ^2)－ｘ^3/√(９－ｘ^2) f'(x)＝０　となるのは、０＜ｘ≦３　の範囲では　ｘ＝2√2 のとき。前後のf'(x)の正負を調べると、　ｘ＝2√2 で、f(x) は最大となります。このとき、ｈ＝４、体積は　32π/３　となります。　 http://yosshy.sansu.org/

24197．教えてください

名前：ジオバンニ 日付：11月16日(水) 18時22分

1+2+3+4+5は
なぜ
5×(5+1)÷2へ
導かれるのか
教えてください。

	24198．Re: 教えてください
	名前：tarame 日付：11月16日(水) 18時32分
	S＝ 1 +(1+1)+(1+2)+(1+3)+(1+4) ＋）S＝ 5 +(5-1)+(5-2)+(5-3)+(5-4) --------------------------------- 　2S＝(5+1)+(5+1)+(5+1)+(5+1)+(5+1) S＝5×(5+1)÷2

	24212．Re: 教えてください
	名前：ヨッシー日付：11月17日(木) 10時45分
	こちらもご覧ください。　 http://yosshy.sansu.org/

24195．(untitled)

名前：ちぃ（小６） 日付：11月16日(水) 16時58分

Ｘ二乗-4ｙ二乗=12
∮がわかる人いたら教えてください。

	24196．Re: (untitled)
	名前：ヨッシー日付：11月16日(水) 17時27分
	もし、問題集の問題なら、問題をそのまま写してください。　 http://yosshy.sansu.org/

24194．三角形の重心

名前：tomtom 高３ 日付：11月16日(水) 16時15分

高さｂ、底辺ｃ、ｃ上のa＝頂点からｃへの垂線の三角形で

m=∬1dxdy=面積
重心Ｇ（g1,g2）
g1=1/m*∬Xdxdy=(a+b)/3
g2=1/m*∬Ydxdy=b/3
上のｇ１、ｇ２の証明を教えていただけませんか？
よろしくお願いします。

	24223．Re: 三角形の重心
	名前：ｔｍｐ日付：11月19日(土) 1時54分
	面積の式、及び重心の式も証明するのでしょうか？また上記説明ではaが何を意味するものなのかいまいちわかりません。もう少し詳しく書いてもらえれば解答できます。ただ全部書くのはあれなんで、どこがわからないのか明確に書いてもらえると助かります。蛇足ながら重積分って高校のときにやるもんでしたか？

24191．数列

名前：琉架　高２ 日付：11月16日(水) 3時24分

次の漸化式を解いて、一般項a[n]を求めよ。
(1)a[1]=5,a[n+1]=3a[n]+2^(n+1)　(n=1,2,3,…)
(2)a[1]=0,a[n+1]=2a[n]+n^2　　　(n=1,2,3,…)

この2問が分かりません。
F[(n+1)]=r*F[(n)]の形にすばいいとは思うんですができません。
できるだけ詳しく教えてください。
よろしくお願いします。

	24192．Re: 数列
	名前：ヨッシー日付：11月16日(水) 7時36分
	(1) 　a[n+1]+α・2^(n+1)＝3{a[n]+α・2^n} と書けたとします。展開して、整理すると　a[n+1]＝3a[n]+α・2^n よって、α・2^n＝2^(n+1)　より、α＝２　b[n]＝a[n]＋2^(n+1) とおくと、b[n]は、初項 b[1]＝5＋4＝９、公比３の等比数列。　b[n]＝3^(n+1) よって、　a[n]＝3^(n+1)－2^(n+1) (2) 　a[n+1]+{α(n+1)^2＋β(n+1)＋γ}＝2{a[n]+(αn^2＋βn＋γ)} と書けたとします。展開して整理すると　a[n+1]＝2a[n]＋αn^2＋(β－2α)n＋(γ－α－β) よって、αn^2＋(β－2α)n＋(γ－α－β)＝n^2 より、α＝１、β＝２、γ＝３　b[n]＝a[n]＋n^2＋2n＋3 とおくと、b[n]は、初項　b[1]＝６、公比２の等比数列　b[n]＝3・2^n よって、　a[n]＝3・2^n－n^2－2n－3 　 http://yosshy.sansu.org/

24187．どなたかお願いします。

名前：高三です。 日付：11月15日(火) 23時35分

ｘの整式P（ｘ）＝ｘ＾７５－2ｘ＾50＋3ｘ＾25をｘ＾2＋ｘ＋1で割った余りをax＋ｂとする。ただしa、ｂは実数である。（1）このとき、ｘ＾2＋ｘ＋1＝0の解をの一つをωとするときP(ω)を求めてa,bを求めよ。（2）このときP（ｘ）をｘ＾2－ｘ＋1で割った余りを求めよ。ってゆうもんだいなのですがどなたかお願いします。

	24190．Re
	名前：はくx 日付：11月16日(水) 2時8分
	（1）ｘ＾2＋ｘ＋1＝0 ωは x^3-1=(x-1)(ｘ＾2＋ｘ＋1)=0の解の一つなのでω^3=1 P(ω)=ω^75－2ω＾50＋3ω^25=(ω^3)^25-2(ω^3)^16ω^2＋3(ω^3)^8ω =1-2ω^2+3ω=1-2ω^2+3ω+2(ω＾2＋ω＋1)=5ω+3 {ω＾2＋ω＋1＝0より、P(ω)のω^2の項を消去｝ ∴a=5, b=3 （2）ｘ＾2－ｘ＋1=(-x)^2+(-x)+1=0 の解の一つはx=-ω P(x)=Q(x)(ｘ＾2－ｘ＋1)+R(x) (Q(x)は与式によるP(x)の商、R(x)は余り) P(-ω)=Q(-ω)((-ω)＾2－(-ω)＋1)+R(-ω)=Q(-ω)×0+R(-ω)=R(-ω) P(-ω)=((-ω)^3)^25-2((-ω)^3)^16(-ω)^2＋3((-ω)^3)^8(-ω) =-1-2ω^2-3ω=-1-2ω^2-3ω+2(ω＾2＋ω＋1)=(-ω)+1 ∴余り=x+1

24180．置換積分がわかりません

名前：高校3年生！！ 日付：11月15日(火) 11時24分

∫x/(x-2)^3 dx　
上記の問題がわかりません。教えて下さい！

	24181．Re: 角度
	名前：はくx 日付：11月15日(火) 14時46分
	t=x-2 とおくと dt=dx ∫x/(x-2)^3 dx=∫(t+2)/t^3 dt=∫t^(-2)+2t^(-3) dt

24177．(untitled)

名前：ぺす日付：11月14日(月) 20時56分

方程式x^3-3x^2-9x+m=0が異なる２個のせいの飼いと１個の婦の飼いを持つとき、定数mの値の範囲を求めよ。

お願いします、教えてください！

	24178．Re: (untitled)
	名前：ヨッシー日付：11月15日(火) 9時6分
	m=-x^3+3x^2+9x と表せます。　y=-x^3+3x^2+9x のグラフと、直線ｙ＝ｍとが、ｘ＜０で１つ、ｘ＞０で２つの共有点を持てばいいです。　f(x)＝-x^3+3x^2+9x とおくと、f'(x)=-3x^2+6x+9=-3(x+1)(x-3) 　f(-1)＝-5 　f(3)＝27 より、y=f(x) のグラフは以下のようになります。これより、　０＜ｍ＜２７となります。　 http://yosshy.sansu.org/

	24183．Re: (untitled)
	名前：ぺす日付：11月15日(火) 18時33分
	ありがとうございます！学校の授業より分かりやすかったです！

24176．高３です。数学ⅢC教えてください

名前：rui 日付：11月14日(月) 13時50分

関数f(x)は全ての実数で微分可能であり、f(0)＝2　であるとする。
(1)f'(0)＝1である時、次の式が成り立つように定数a,bの値を定めよ。

　　lim 1/h{f(ah)cosh-b}＝3
　　h→0

(2)全ての実数xで次の等式を満たすf(x)を求めよ。

　　　lim 1/h{f(x+h/2)-f(x)}＝1+x+x^2/1+x^2
　　　h→0

　

ⅢC全くダメなのでなるべく細かく教えていただければ幸いです。
よろしくお願い致します。

	24179．Re: 高３です。数学ⅢC教えてください
	名前：はくｘ日付：11月15日(火) 10時56分
	(1)f(ah)cosh-b=0 2-b=0 ∴b=2　 lim 1/h{f(ah)cosh-2}＝(f(ax)cosx)'\|(x=0) h→0 =af'(x)cosx-f(ax)sinx\|(x=0)=af'(0)=3 ∴a=3 (2) lim 1/h{f(x+h/2)-f(x)}＝1/2×lim 1/(h/2){f(x+h/2)-f(x)} h→0 h→0 =f'(x)/2=1+x+x^2/(1+x^2) f(x)=∫1+x+x^2/(1+x^2)dx=2x+x^2/2-Tan^(-1)x+C f(0)=2 ∴C=2 ∴f(x)=2x+x^2/2-Tan^(-1)x+2

24174．距離空間の問題です

名前：カイト 日付：11月14日(月) 1時25分

以下の証明をお願いします。
他の掲示板でも質問させていただいていますがよろしくお願いします。
なお、metric cpaceとは距離空間のことです。

(1)　n≧2　2次元ユークリッド空間(R)x=(x[1],x[2])　,y=(y[1],y[2])　σ(x,y)=max｛｜x[1]-y[1]｜,｜x[2]-y[2]｜｝とするとき、

　　　　(R^2,ρ),(R^2,σ)もmetric space　

(2)　上の(1)において、さらにR^2のユークリッド距離をd^2とし、d^2,ρ,σにより定まる　R^2の位相をθ(d^2),θ(σ),θ(ρ)とするとき、

　　　θ(d^2)=θ(σ)=θ(ρ)となることを示せ

(3) (X,d):metric space X⊃A,Bについて、d(A,B)=inf｛d(a,B)｜a∈A｝=inf｛d(A,b)｜b∈B｝

(4) (X,d):metric space X⊃Aのとき、∀ε＞0に対し、L/(A;ε)=｛x∈X｜d(x,A)＜ε｝と定義するならば、L/(A;ε)はXの開集合である。

(5) (X,d):metric space f,g:X→Rを実数値連続関数とする。

　　　このとき、以下のⅰ)～ⅳ）は、それぞれ連続であることを示せ

　 ⅰ)　　∀a∈Rについて、af:X→Rを(af)(x)≡af(x)と定義する

　　ⅱ)　｜f｜:X→Rを　｜f｜(x)≡｜f(x)｜と定義する

　 ⅲ)　　f∨g、f∧g:X→Rを、それぞれ(f∨g)≡max｛f(x),g(x)｝、(f∧g）

　　ⅳ)　E≡｛x∈X｜g(x)≠0｝⊂Xとして、f/g:E→R　を(f/g)(x)≡f(x)/g(x)と定義する

(6) (X,d),(Y,ρ) :metric space f:X→Yが写像のとき、次の各条件は同値である

　　　ⅰ)　fはx上で連続

　　　ⅱ)　Yの任意の開集合はHに対して、f^-1(H):Xの開集合

　　　ⅲ)　Yの任意の閉集合はFに対して、f^-1(F):Xの閉集合

　　　ⅳ)　∀Aに対して、ｆ(補集合A)⊂｛補集合f(A)｝

(7)　集合R^+=｛x∈R｜x＞0｝の任意の2点x,yに対して、d(x,y)=｜1/x-1/y｜とするとき
　　(R^+,d)は完備ではない

(8) (X,d):metric space X∋x[0]を任意に固定して、f:X→Rをf(x)=d(x,x[0])(x∈X)と定義するとき、fは連続である

24173．動く範囲

名前：ひろ日付：11月14日(月) 0時27分

x,yがx+y=π/3を満たしながら動くとき
Z=sinx+sinyの動く範囲を求めよ。

詳しく教えて頂ければ幸いです。

	24175．Re: 動く範囲
	名前：ヨッシー日付：11月14日(月) 8時6分
	y=π/3-x とおくと、　Ｚ＝sinｘ＋sin(π/3-x) 　　＝sinｘ＋sinπ/3cosｘ－cosπ/3sinｘ　　＝sinπ/3cosｘ＋cosπ/3sinｘ　　＝sin(π/3＋ｘ) 途中、　１－cosπ/3＝１－1/2＝1/2＝cosπ/3 を使用しています。　 http://yosshy.sansu.org/

	24186．Re: 動く範囲
	名前：ひろ日付：11月15日(火) 22時58分
	ありがとうございます。このような問題はひらめきが大切ですね。

	24193．Re: 動く範囲
	名前：ヨッシー日付：11月16日(水) 10時1分
	因数分解でしばしば見られるようなひらめきは必要ありません。１つ目の変形は、x+y=π/3　を使った単純な代入。２つめの変形は　ａsinｘ＋ｂcosｘ＝√(ａ^2＋ｂ^2)sin(ｘ＋α) 　cosα＝ａ/√(ａ^2＋ｂ^2)、sinｘ＝ｂ/√(ａ^2＋ｂ^2) の｢合成の公式｣を使った変形です。　 http://yosshy.sansu.org/

24169．(untitled)

名前：yuki 日付：11月13日(日) 17時50分

４桁の整数ｎの千の位、百の位、十の位、一の位の数字をそれぞれa,b,c,dとする。a＞b＞c＞dを満たすｎは何個か

	24170．確立
	名前：yuki 日付：11月13日(日) 17時58分
	４桁の整数ｎの千の位、百の位、十の位、一の位の数字をそれぞれa,b,c,dとする。a＞b＞c＞dを満たすｎは何個か考えても意味がわかりません　どなたかおしえてください

	24171．Re: (untitled)
	名前：らすかる日付：11月13日(日) 18時43分
	5432 とか 7520 のように、 (千の位の数字)＞(百の位の数字)＞(十の位の数字)＞(一の位の数字) を満たす数がいくつあるか、という意味です。 http://www10.plala.or.jp/rascalhp

	24172．Re: (untitled)
	名前：yuki 日付：11月13日(日) 19時8分
	あ。なるほど。分かりました。くだらない質問に丁寧に答えて下さってありがとうございました。

24164．角度

名前：ライダー 日付：11月13日(日) 13時33分

こんにちは！！
中２です。
長方形の紙を図のようにおりました。
点線の部分は折る前の図です。
ＸとＹの部分の角度を求めます。
出来れば詳しく教えてくださればありがたいです。
よろしくお願いします。

	24165．Re: 角度
	名前：はくx 日付：11月13日(日) 14時22分
	36°と書かれた角とxの右隣りの角度は錯角なので36° 紙を折ることのよってできたxとこの角度は等しいからx=36° y＝180-36°-x=108°

	24185．Re: 角度
	名前：ライダー日付：11月15日(火) 22時0分
	錯角によって３６°になるのはわかったんですが、それによってなぜXと３６°が等しいことがわかるんですか？すいませんがくわしく説明お願いします！！

	24189．Re: 角度
	名前：ヨッシー日付：11月16日(水) 0時57分
	Ｘって、折り曲げる前は、どこにあったんでしょうか？　 http://yosshy.sansu.org/

	24200．Re: 角度
	名前：ライダー日付：11月16日(水) 22時27分
	Xが折り曲げる前どこにあったかは問題は書いていません。しかし、長方形の紙を２つに折ったと書いてあります。

	24208．Re: 角度
	名前：はくx 日付：11月17日(木) 0時24分
	長方形の紙を２つに折ったなら元あった場所の形と折って新しくできた形は一致しますね。

	24209．Re: 角度
	名前：ヨッシー日付：11月17日(木) 7時41分
	もちろん書いてありませんね。でも、図の36°の錯角に当たる角が、折り曲げる前はＸとぴったり重なる、つまり等しいということを「折る」という言葉から読み取らないといけません。「数学力｣って｢読解力」なのです。　 http://yosshy.sansu.org/

	24213．Re: 角度
	名前：ライダー日付：11月17日(木) 18時35分
	よくわかりました。本当にありがとうございました！！

24162．平均値の定理

名前：デザーター 日付：11月13日(日) 12時17分

こんにちは。

関数ｆ（ｘ）＝√(4-x^2)　は閉区間[-2,2]で連続、開区間(-2,2)で微分可能であり、
(f(2)-f(-2))/(2-(-2)) = f'(c)
-2＜ｃ＜2
を満たす。このときｃの値を求めよ。

なのですが、
傾きが０であるときのｘ座標を求めればよいのですよね。
図より、ｆ（ｘ）のグラフは原点中心の半円なので、明らかにｃ＝０が答えでしょうが、
ところで、ｃ＝０と代数計算でどうやって求めるのでしたっけ…？
忘れしてしまいました。
教えてください。お願いします。

	24163．Re: 平均値の定理
	名前：だるまにおん日付：11月13日(日) 12時39分
	f(2)=0，f(-2)=0なので(f(2)-f(-2))/(2-(-2))=0だから方程式f´(x)=0の-2＜x＜2を満たす解を求めればいいのでは？ f´(x)=-x/√(4-x²)=0⇒x=0　∴c=0

	24166．Re: 平均値の定理
	名前：デザーター日付：11月13日(日) 15時10分
	なるほど。教えていただきまして、どうもありがとうございました。

24161．(untitled)

名前：7777 日付：11月13日(日) 11時3分

x≧0、ｙ≧0、ｚ≧0、ｘ+ｙ+ｚ≦3、ｘ+2ｚ≦4、ｙ-ｚ≦1の六平面で囲まれた立体の体積を求めたいのですが、どうしたらいいんでしょうか？どなたか教えてください。

	24168．Re: (untitled)
	名前：紅生姜日付：11月13日(日) 17時39分
	求める立体をKとし、体積をVとする。 Kを平面z＝k (0≦k)で切断すると、切断面は、 x＋y≦3－k かつ 0≦x≦4－2k かつ 0≦y≦1＋k …() であり、この領域の面積をS(k)とおく。　Ⅰ)0≦k≦1 のとき　　()を満たす領域は台形でこのとき、　　S(k)＝(2－2k＋3－k)(1＋k)/2＝1/2×(－3k^2＋2k＋5) 　Ⅱ)1≦k≦2 のとき　()を満たす領域は台形でこのとき、　S(k)＝(k－1＋3－k)(4－2k)/2＝4－2k 　Ⅲ)2≦k のとき　　()を満たす領域はない。 Ⅰ),Ⅱ),Ⅲ)より、　 V＝∫[0→2]S(k)dk 　　＝∫[0→1]{1/2×(－3k^2＋2k+5)}dk＋∫[1→2](4－2k)dk ＝1/2×[0→1][－k^3＋k^2＋5k]＋[1→2][4k－k^2] ＝1/2×5＋4－3＝7/2 よって、求める体積は、7/2 …(答) となります。体積を考えるときは、まず切断面の面積を考えます。その後、(微小体積)＝(切断面の面積)×(微小高さ) となり、適当な範囲で積分して求めます。

24154．(untitled)

名前：けん（高３） 日付：11月12日(土) 21時4分

n→∞のとき、{(2/5)^n+3}^1/n→0
は正しいでしょうか、よろしくお願いします。

	24155．正しくない
	名前：だるまにおん日付：11月13日(日) 11時15分
	{(2/5)ⁿ+3}^1/n =(1/5)5{(2/5)ⁿ+3}^1/n =(1/5)(2ⁿ+35ⁿ)^1/n ここでnが多少大きければ、 35ⁿ＜2ⁿ+35ⁿ＜5ⁿ+35ⁿ=45ⁿ ⇒53^1/n＜(2ⁿ+35ⁿ)^1/n＜54^1/nが成り立つので n→∞のとき53^1/n→5，54^1/n→5であるから挟み撃ちの原理により(2ⁿ+35ⁿ)^1/n→5となることがわかります。よってn→∞のとき{(2/5)ⁿ+3}^1/n=(1/5)(2ⁿ+35ⁿ)^1/n→1なので、正しくないと思われます。

	24156．Re: (untitled)
	名前：紅生姜日付：11月12日(土) 21時37分
	n＞1において、 0＜(2/5)^n＜2/5 ⇔3＜(2/5)^n+3＜2/5＋3 ⇔3^(1/n)＜[(2/5)^n＋3]^(1/n)＜(17/5)^(1/n) よって、 lim[n→∞]3^(1/n)＝3^0＝1 lim[n→∞](17/5)^(1/n)＝(17/5)^0＝1 はさみうちの原理より、 lim[n→∞][(2/5)^n＋3]^(1/n)＝1 となります。

	24159．Re: (untitled)
	名前：黒蟻日付：11月13日(日) 2時16分
	{(2/5)^n＋3}^1/n＞{0＋3}^1/n＝3^(1/n)→1 (n→∞) {(2/5)^n+3}^1/n＜{1^n＋3}^(1/n)＝4^(1/n)→1 (n→∞) よって、挟み撃ちの原理から{(2/5)^n＋3}^1/n→1 (n→∞)

	24160．これいけるかな・・・
	名前：だるまにおん日付：11月13日(日) 13時45分
	lim[n→∞]log{(2/5)ⁿ+3}^1/n＝lim[n→∞](1/n)log{(2/5)ⁿ+3}＝0　∴lim[n→∞]{(2/5)ⁿ+3}^1/n＝1

	24167．これじゃダメかな・・・
	名前：らすかる日付：11月13日(日) 16時26分
	lim[n→∞]{(2/5)^n+3}^(1/n) = 3^0 = 1 http://www10.plala.or.jp/rascalhp

	24182．Re: (untitled)
	名前：けん（高３）日付：11月15日(火) 18時13分
	レスありがとうございます。模範解答は挟み撃ちでした。らすかるさんがこれじゃだめかな・・・と仰っている lim[n→∞]{(2/5)^n+3}^(1/n) = 3^0 = 1 は正しい変形と言えるのでしょうか・・・学校の先生には、よくわからないって言われてしまいました。

24153．(untitled)

名前：けん（高３） 日付：11月12日(土) 20時57分

x→0のときのsinx/x^2の極限について、以前ここで質問させていただいて、極限はないと分かりました。ですが、右側極限は∞、左側極限は負の∞のようです。どうやれぼ求められるでしょうか。

	24157．Re: (untitled)
	名前：のぼりん日付：11月12日(土) 23時3分
	高校数学の範囲で厳密な議論をするのはなかなか難しいのですが、　　　ｓｉｎｘ/ｘ^２＝（ｓｉｎｘ/ｘ）（１/ｘ）と変形すれば、ｘ→±０のとき、ｓｉｎｘ/ｘ→１、１/ｘ→±∞（複号同順）だから、　　　ｓｉｎｘ/ｘ^２→±∞（ｘ→±０）（複号同順）でどうでしょうか。

	24184．Re: (untitled)
	名前：けん（高３）日付：11月15日(火) 18時45分
	レスありがとうございます。 lim[x→+0](sinx/x)(1/x) =lim[x→+0]1/x の部分なのですが、 lim[x→+0](sinx/x)(1/x) =lim[x→+0](sinx/x)*lim[x→+0]1/x とできるのは、lim[x→+0](sinx/x)とlim[x→+0]1/xの両者が有限値になるときという条件が必要で、ここでは　lim[x→+0]1/x　が有限値ではないので、同値変形が崩れてしまう気がします。ほかの方法はないでしょうか・・・

	24188．Re: (untitled)
	名前：のぼりん日付：11月15日(火) 23時39分
	＞　同値変形が崩れてしまう気がします良いところに気を留められましたね。その様な考え方は、とても大切です。もっとも、ｌｉｍ｛ａ（ｘ）ｂ（ｘ）｝＝ｌｉｍ｛ａ（ｘ）｝ｌｉｍ｛ｂ（ｘ）｝の変形は、両者が有限のときのみしかできない訳ではなく（勿論その場合は問題なく成り立ちますが）、片方が有限、他方が無限のとき（☺）でも大丈夫です。例えば、本問の場合、ｘ→＋０のときｓｉｎｘ/ｘ→１なので、ｓｉｎｘ/ｘ＞１/２と考えて構いません。よって、ｓｉｎｘ/ｘ^２＞１/（２ｘ）→∞（ｘ→＋０）です。この証明は、「ほかの方法」とも言えますが、普遍化すれば、☺ の証明にもなります。

24138．教えてください。

名前：hide 日付：11月12日(土) 0時15分

宿題をやってるんですが、やり方がわからなくて。。。
高２です。

①問目
　Ｘ２（←Ｘの2乗っていう意味）＋Ｙ２＝１の円と、
　直線３Ｘ＋４Ｙ＝Ｎの接する時のＮの値を求めよ。
②問目
　Ｘ２＋Ｙ２＝１０，点（１,３）の接線の方程式を求めよ。

今ホントにわからなくて困ってます！
教科書は学校に忘れるし最悪・・・（笑）
ど～か、お願いします！！

	24140．Re: 教えてください。
	名前：ヨッシー日付：11月12日(土) 0時26分
	（１）公式：点(x0,y0) から、直線 ax+by+c=0 までの距離は、　\|ax0+by0+c\|/√(a^2+b^2) 　特に、原点からの距離は、　\|c\|/√(a^2+b^2) これを使って、原点から　３Ｘ＋４Ｙ＝Ｎ　までの距離が、１（円の半径）になるようにします。（２）＞Ｘ^2＋Ｙ^2＝１０　上の点（１,３）における接線の方程式ですね。原点と、点（１，３）を結ぶ直線の傾きは３であるので、接線の傾きは－１／３　です。点（１，３）を通って、傾き－１／３の直線は？公式：　円　ｘ^2＋ｙ^2＝ａ^2　上の点(x0,y0) における接線の方程式は、　x0x＋y0y＝ａ^2 というのもあります。　 http://yosshy.sansu.org/

24137．普通の積分なんですが・・・

名前：ren 日付：11月12日(土) 0時7分

∫(0→1)log(1+x^2)dx
という問題なんですが(書き方間違ってたらすみません)、もらった答えと合わないので途中式を誰か教えてください。
答えはlog2-2+π/2らしいです。。
よろしくお願いします。

	24139．黄色が積分範囲・・・・
	名前：だるまにおん日付：11月12日(土) 0時56分
	∫[0→1] log(1+x²) dx =[xlog(1+x²)][0→1]-∫[0→1] 2x²/(1+x²) dx =log2-∫[0→1] 2x²/(1+x²) dx (♪) ∫[0→1] 2x²/(1+x²) dxにおいてx=tanθと置換すると ∫[0→1] 2x²/(1+x²) dx =2∫[0→π/4] tan²θ dθ =2∫[0→π/4] (1/cos²θ-1) dθ =2[tanθ-x][0→π/4] =2-π/2 よって(♪)の続きは =log2-(2-π/2) =log2-2+π/2

	24142．だるまにおんさんありがとうございます！
	名前：ren 日付：11月12日(土) 1時11分
	わかりました！できました☆ 僕は与式からいきなりx=tanθとおいて、 (与式)＝∫[0→π/4](1/cosθ)^2＊log(1/cosθ)^2 dθ ･･･①として (1/cosθ)^2＝tとおくと　　①＝∫[1→2]tlogtdt 　　　＝4[2(t^2logt)-t^2][1→2] 　　　＝2log2-3/4 とやってしまったんですが、どこを間違えたのかわかりません↓↓できたらそれも教えてください。。

	24145．虎は死して皮を残し、、、in置換積分
	名前：だるまにおん日付：11月12日(土) 20時41分
	`＞(1/cosθ)²=tとおくと＞①=∫[1→2]tlogtdt が間違いかな。dθをそのままdtにしていますね。 (1/cosθ)²=t こう置換したとき dt/dθ=2cosθsinθ/(cosθ)⁴なので本当はdt=2cosθsinθdθ/(cosθ)⁴であり dt≠dθですね。`

24134．行列

名前：みら蟹 日付：11月11日(金) 21時45分

A^3-3A^2+3A-E=O　ならば　A-2E　は逆行列をもつことを示せ。

det(A)=xとすると、
det(A^3-3A^2+3A-E)=x^3-3x^2+3x-1=(x-1)^3=det(O)=0 x=1
det(A-2E) = 1-2 = -1≠0　　　　　　　Q.E.D

であっていますでしょうか？

	24135．Re: 行列
	名前：のぼりん日付：11月11日(金) 23時9分
	一般に、det(A+B)≠det(A)+det(B)、det(aA)≠a･det(A) だから、残念ながら全くの間違いの様に思われます。A³–3A²+3A–E=O だから、　　　(A–2E)(–A²+A–E)=–A³+3A²–3A+2E=E 　∴ (A–2E)^–1=–A²+A–E としてはどうでしょう。

	24151．Re: 行列
	名前：みら蟹日付：11月12日(土) 19時55分
	確かに具体的な数値で計算してみたら私はとんでもないことをしていますね。ご指摘有り難うございました。解答を参考にさせていただきます。

24133．確率教えてください

名前：至眞日付：11月11日(金) 17時0分

Aの箱には赤玉2個、白玉3個が入っている。Bの箱には赤玉3個、白玉3個が入っている。Cの箱には赤玉4個、白玉3個が入っている。
(1)　Aの箱から2個、Bの箱から2個、Cの箱から2個の合計6個の玉を取り　出したとき、赤玉3個、白玉3個である確率を求めよ。
(2)　無作為に1個選んで1個の玉を取り出したところ赤玉であった。選　んだ箱がAの箱であった確率を求めよ。

	24136．Re: 確率教えてください
	名前：らすかる日付：11月11日(金) 23時51分
	(1) 地道に場合分けして計算するしかないような気がします。 Aから赤赤：2C2/5C2=1/10 Aから白白：3C2/5C2=3/10 Aから赤白：2×3/5C2=6/10　←分母を揃えておきます Bから赤赤：3C2/6C2=1/5 Bから白白：3C2/6C2=1/5 Bから赤白：3×3/6C2=3/5 Cから赤赤：4C2/7C2=2/7 Cから白白：3C2/7C2=1/7 Cから赤白：4×3/7C2=4/7 従って Aから赤赤、Bから白白、Cから赤白：(1×1×4)/(10×5×7)=4/350 Aから白白、Bから赤赤、Cから赤白：(3×1×4)/(10×5×7)=12/350 Aから赤赤、Bから赤白、Cから白白：(1×3×1)/(10×5×7)=3/350 Aから白白、Bから赤白、Cから赤赤：(3×3×2)/(10×5×7)=18/350 Aから赤白、Bから赤赤、Cから白白：(6×1×1)/(10×5×7)=6/350 Aから赤白、Bから白白、Cから赤赤：(6×1×2)/(10×5×7)=12/350 Aから赤白、Bから赤白、Cから赤白：(6×3×4)/(10×5×7)=72/350 なので、求める確率は (4+12+3+18+6+12+72)/350=127/350 (2) Aから取り出して赤の確率=2/5 Bから取り出して赤の確率=1/2 Cから取り出して赤の確率=4/7 従ってAである確率は (2/5)÷(2/5+1/2+4/7)=28/103 http://www10.plala.or.jp/rascalhp

	24141．Re: 確率教えてください
	名前：ケロ＠前座日付：11月12日(土) 1時9分
	自信なかつたのですが　らすかる雀師の答えを見たら大丈夫さうなので。（１赤・赤＋６赤・白＋３白・白）（３赤・赤＋９赤・白＋３白・白）（６赤・赤＋１２赤・白＋３白・白）。係數は場合の數で。展開して。赤・赤・赤・白・白・白の項の係數を求める。と。同じに成ります。

	24143．Re: 確率教えてください
	名前：至眞日付：11月12日(土) 1時36分
	(1)はやっぱり地道にするしかないんですね。分かりました。本当にありがとうございました。

	24144．Re: 確率教えてください
	名前：至眞日付：11月12日(土) 1時51分
	すいませんケロ＠前座さんの（１赤・赤＋６赤・白＋３白・白）（３赤・赤＋９赤・白＋３白・白）（６赤・赤＋１２赤・白＋３白・白）の導出過程がどうしても分かりません。出来れば詳しく教えていただけないでしょうか。

	24146．Re: 確率教えてください
	名前：至眞日付：11月12日(土) 13時15分
	いや24143の事は何とか分かりました。引き続きなんですが、らすかるさんの解答の(2)なんですがAから取り出して赤の確率(他も同様)に1/3はかけんでええんですか。

	24147．Re: 確率教えてください
	名前：らすかる日付：11月12日(土) 13時39分
	かけてもいいですが、全部に掛けても消えて同じことなので省略しました。 http://www10.plala.or.jp/rascalhp

24110．(untitled)

名前：ＴＳＩ 日付：11月10日(木) 18時44分

Ｒの出し方教えてください
高さ　206.5mm
長さ　8160mm

	24111．Re: (untitled)
	名前：らすかる日付：11月10日(木) 18時58分
	Ｒって何ですか？ http://www10.plala.or.jp/rascalhp

	24113．Re: (untitled)
	名前：ＴＳＩ日付：11月10日(木) 19時2分
	すいません。わかりにくい質問をしました。弧の長さのことです。カーブの大きさとかを表す時に使うRです。

	24115．Re: (untitled)
	名前：ヨッシー日付：11月10日(木) 19時27分
	カーブの大きさなら、曲率半径だと思われますので、図のような円弧の半径のことではないでしょうか？円弧の中心は、はるか下の方にありますので、半径を折り曲げて表しています。　 http://yosshy.sansu.org/

	24121．Re: (untitled)
	名前：らすかる日付：11月10日(木) 20時50分
	ヨッシーさんの図の通りなら、長さ=L, 高さ=Hとして、 L≫H の場合、R≒L^2/8H となります。 H=206.5mm、L=8160mmの場合、R≒40300mmです。正確には、L/{2sin(2arctan(2H/L))}＝40409.303268… ですね。 http://www10.plala.or.jp/rascalhp

	24130．Re: (untitled)
	名前：ＴＳＩ日付：11月11日(金) 7時34分
	ありがとうございます！これに追加で円弧の長さはわかりますか？

	24131．Re: (untitled)
	名前：花パジャ日付：11月11日(金) 12時58分
	R=L^2/8H+H/2=40409.3033 弧長=4Rarctan(2H/L)=8173.92824

	24132．Re: (untitled)
	名前：ＴＳＩ日付：11月11日(金) 13時3分
	大変助かりました。ありがとうございます！！

24105．またまたすいません

名前：数学まにあ 日付：11月10日(木) 10時49分

(2)10進法で表された数の各桁の数字の和が３で割り切れれば、もとの数が３で割り切れることを示せ。　(3)10進法で表された数の奇数位の和と偶数位の数の和との差が11で割り切れるとき、もとの整数は11で割り切れることを示せ。　　　すべて合同式の問題です。教えて欲しいですm(_ _)m

	24108．Re: またまたすいません
	名前：ヨッシー日付：11月10日(木) 11時37分
	各桁の数字というのを一般化するのが難しいですね。ある数Ａの 10^n の位の数をａn とします。ただし、ｎは０以上の整数。このとき、　Ａ＝∑ａn・10^n と書けます。　10≡1 (mod 3) ですので、　10^n≡1^n≡1 (mod 3) よって、　Ａ≡∑ａn (mod 3) となり、Ａの各桁の数字の和と、Ａそのものとは、３で割ったあまりは同じである。つまり、Ａの各桁の数字の和が割り切れれば、Ａも３で割り切れます。同様に　Ａ＝∑ａ2n・10^2n＋∑ａ(2n+1)・10^(2n+1) と表せるので、　10^2≡1 (mod 11) より、　10^2n≡1 (mod 11)　および　10^(2n+1)≡10≡-1 (mod 11) となり、　Ａ≡∑ａ2n－∑ａ(2n+1) (mod 11) より、奇数位の和と偶数位の数の和との差が11で割り切れるとき、もとの整数は11で割り切れます。　 http://yosshy.sansu.org/

	24148．Re: またまたすいません
	名前：数学まにあ日付：11月12日(土) 15時36分
	ある数Ａの 10^n の位の数をａn とします。ただし、ｎは０以上の整数。このとき、　Ａ＝∑ａn・10^n の意味が理解できないので解説おねがいします。

	24149．Re: またまたすいません
	名前：ヨッシー日付：11月12日(土) 19時4分
	たとえば、2345 という数字を考えると、　a0＝5, a1＝4, a2＝3, a3＝2 にあたります。もとの数、2345 は、　5×1 ＋ 4×10 ＋ 3×100 ＋ 2×1000 ＝5×10^0 ＋ 4×10^1 ＋ 3×10^2 ＋ 2×10^3 ＝a0×10^0 ＋ a1×10^1 ＋ a2×10^2 ＋ a3×10^3 ＝∑ａn・10^n です。 ※10^n は、10のｎ乗の意味で、10 をｎ回掛けます。10^0＝１　です。 ※Σａn・10^n は、ｎに0,1,2,3・・・を代入したものを合計するという意味です。　 http://yosshy.sansu.org/

	24158．Re: またまたすいません
	名前：数学まにあ日付：11月13日(日) 0時38分
	なるほどなるほど！！！助かりました★で・・・勉強しててもう一個わからないのがでてきました。整数a,b,n(n>1)につぃて以下を示せ。　a≡b(mod n)⇔aをnで割った余りと、bをnで割った余りが等しい　　という問題で←側の証明はできたのですが→側がわからないので教えて欲しいです。

24103．合同式

名前：数学まにあ 日付：11月10日(木) 0時9分

定理　a,bを整数、m,nを１より大きい整数とする。(m,n)=1であればa≡b (mod m),a≡b (mod n)⇔a≡b (mod mn) この定理は(m,n)=1のとき　a≡0 (mod m),a≡0 (mod n)⇒a≡0 (mod mn)という命題から容易に導かれることを示せ。　誰か完全解答おねがいします。わかりません泣

	24104．Re: 合同式
	名前：風あざみ日付：11月10日(木) 0時35分
	a≡b (mod m)であればa-b≡0　(mod　m) a≡b (mod n)であればa-b≡0　(mod　n) a-b=cとおくと c≡0　(mod　m),c≡0　(mod　n)となります。ここで、(m,n)=1のとき　a≡0 (mod m),a≡0 (mod n)⇒a≡0 (mod mn) を用いると c≡0　(mod　mn)となる。 c=a-bだったから a-b≡0　(mod　mn) したがって a≡b　(mod　mn)

	24106．Re: 合同式
	名前：数学まにあ日付：11月10日(木) 10時50分
	ありがとうございます。

24101．(untitled)

名前：7777 日付：11月9日(水) 23時34分

a+b+c=1のとき、a^n+b^n+c^nの最小値はいくらになるんでしょうか？どなたかおしえてくれませんか？予想では、全部1/3のとき、1/3^(ｎ-1)になりそうですが・・・。

	24102．Re: (untitled)
	名前：7777 日付：11月9日(水) 23時36分
	a,b,cはすべて正です

	24107．Re: (untitled)
	名前：ヨッシー日付：11月10日(木) 11時23分
	３変数の相加･相乗平均より、　a^n+b^n+c^n≧３(a^n・b^n・c^n)^(1/3)＝３(abc)^(n/3) 等号は、a^n＝b^n＝c^n ですが、ｙ＝ｘ^n のグラフがｘ＞０で単調増加であることから、　a^n＝b^n＝c^n　→　ａ＝ｂ＝ｃよって、ご想像の通り、ａ＝ｂ＝ｃ＝1/3 のとき、　３(abc)^(n/3)＝1/3^(ｎ-1) です。　 http://yosshy.sansu.org/

	24109．横レス
	名前：だるまにおん日付：11月10日(木) 18時15分
	～nが自然数の場合～ nが自然数の場合に限りますが、チェビシェフの不等式を使うと以下のような、ややハイテンション気味の答案を作ることもできます。 a≦b≦cとしても一般性を失いません。そこでチェビシェフの不等式を繰り返し使って、 aⁿ+bⁿ+cⁿ ≧(1/3)(a+b+c)(a^n-1+b^n-1+c^n-1) ≧(1/3)²(a+b+c)(a^n-2+b^n-2+c^n-2) ・・・ ≧(1/3)^n-1(a+b+c)(a+b+c) ＝(1/3)^n-1 よって、ご想像の通り(1/3)^n-1が最小値。

	24127．Re: (untitled)
	名前：7777 日付：11月10日(木) 22時50分
	お二方、ありがとうございます！おかげで理解できました。

24096．(untitled)

名前：ピタゴラス 日付：11月9日(水) 21時41分

ｍは整数でありｐは素数とする。ｘｙ平面上の放物線Ｃ：ｙ＝ｘ*2、と直線ｌ：ｙ＝ｍｘ+ｐは異なる２点で交わり、２交点のｘ座標は整数である。
（1）交点のｘ座標をｐを用いて表せ

	24097．題名がない
	名前：だるまにおん日付：11月12日(土) 20時44分
	`C：y=x²，ℓ：y=mx+pが2点で交わり、またその交点のx座標が整数ということは 2次方程式x²=mx+pが異なる二つの整数解を持つということです。その二つの整数解をα，β(α＜β)とすると、解と係数の関係よりαβ=-pであり、また、pが素数なので、(α，β)= (-1，p) or (-p，1)となります。`

	24112．Re: (untitled)
	名前：ピタゴラス日付：11月10日(木) 19時0分
	あやのさん同様に完璧な回答を依頼してもよろしいでしょうか・・・だるまにおんさん。

	24114．Re: (untitled)
	名前：だるまにおん日付：11月12日(土) 20時44分
	`「よって交点のx座標は(-1とp)または(-pと1)」という一文を付け加えれば完璧になります。`

	24116．Re: (untitled)
	名前：ピタゴラス日付：11月10日(木) 19時43分
	あ、すみません！問題を付け忘れていました汗　東大がこれで終わるわけありませんねｗ（2）Ｃとｌで囲まれた部分が面積Ｓが整数となり、かつ、ｐ＜50えお満たすようなｍ、ｐの組を全て答えよ。もしよければあやのさんのように専用のページで回答お願いします。すいません贅沢で、あまりに美しいので

	24117．Re: (untitled)
	名前：だるまにおん日付：11月12日(土) 20時44分
	`あぁｗｗ、あれは他の素晴らしい方の作成なさったページを勝手に引っ張ってきたんですよ。`

	24118．Re: (untitled)
	名前：ピタゴラス日付：11月10日(木) 20時2分
	それならこのページでかまいません！

	24122．Re: (untitled)
	名前：だるまにおん日付：11月12日(土) 20時45分
	では、(2)から。 (2)(i)交点のx座標が(-1，p)のとき x²-mx-p=0において解と係数の関係よりm=p-1である。よって S=∫[-1→p]{(mx+p)-x²}dx =∫[-1→p]{(p-1)x+p-x²}dx =-∫[-1→p](x+1)(x-p)dx =(p+1)³/6 Sは整数なので(p+1)³/6は整数、ゆえに(p+1)は6の倍数。 p+1が6の倍数になるような50未満の素数pは5，11，17，23，29，41，47 よって(m，p)=(4，5)(10，11)(16，17)(22，23)(28，29)(40，41)(46，47) (ii)交点のx座標が(-p，1)のときも面積は(p+1)³/6であり、(なぜなら(i)の様子とy軸対称だから) (i)と同様に解と係数の関係よりm=1-pなので、求めるm，pの組は (m，p)=(-4，5)(-10，11)(-16，17)(-22，23)(-28，29)(-40，41)(-46，47) (i)(ii)より答えは(±4，5)(±10，11)(±16，17)(±22，23)(±28，29)(±40，41)(±46，47)

	24123．Re: (untitled)
	名前：ピタゴラス日付：11月10日(木) 21時13分
	有難うございました！わかりました！何故だるまにおんさんはなんでもおわかりになられるんですかね・・・貴方様の頭脳は素晴らしすぎるものがありますね・・・誠の有難うございました

	24124．Re: (untitled)
	名前：ピタゴラス日付：11月10日(木) 21時20分
	ってゆううか何でｐは素数だから（-1、ｐ）などと断定できるんですか?

	24129．Re: (untitled)
	名前：だるまにおん日付：11月12日(土) 20時45分
	`素数の約数は1とそれ自身だからです。例えば7の約数は1と7ですし、59の約数は1と59です。だから、pを二つの異なる整数の積に分解しようと思ったら1×pしかありえませんね。本問はマイナスがついてるので、1にマイナスがつく場合とpにマイナスがつく場合があったわけです。`

24095．(untitled)

名前：calamity 日付：11月9日(水) 21時7分

0<a<1とする。座標平面状で原点A(0)から出発してｘ軸の正の方向にaだけ
進んだ点をA(1)とする。次にA(1)で進行方向を反時計回りに120°回転し、a^2だけ進んだ点をA(2)とする。以後同様にA(n-1)で反時計回りに120°回転し
a^nだけ進んだ点をA(n)とする。
このとき点列A(0)、A(1)・・・の極限の座標を求めよ。

具体的な数字をいれてやってみたのですがいまいち規則性みたいなのが
飲み込めないでいます・・
どなたか解説をお願いします

	24098．Re: (untitled)
	名前：通りすがり日付：11月9日(水) 22時19分
	ω=a(cos120°+isin120°)=(a/2)(-1+√3i)とでも置けば、 A(n)の極限ってのは、ω+ω²+ω³+…+ωⁿの和をとって、 nを無限大に飛ばせばいいですよね。この手の問題の定石です。あるいは、まだ複素数をやっていないのならば、ナンセンスではありますが、 x成分、y成分に分けて、それぞれの数列の極限をとるしかありません。

	24099．Re: (untitled)
	名前：通りすがり日付：11月9日(水) 22時22分
	虚数単位を見やすくしたつもりだったんですが、斜体にしたら、余計に分かりにくかったですね。。

	24119．Re: (untitled)
	名前：calamity 日付：11月10日(木) 20時2分
	複素数は習いましたがどうして複素数をとるんですか？

	24120．Re: (untitled)
	名前：calamity 日付：11月10日(木) 20時6分
	あと、ｘ成分とｙ成分にわけてやるやり方も教えてください！

	24125．Re: (untitled)
	名前：通りすがり日付：11月10日(木) 21時37分
	120°回転して、その前のa倍進むというのは、複素数の得意とするところです。前回、勢いでタイプミスをしてしまいました。正しくは、a+ω²+ω³+…+ωⁿでしたね。ザッと計算すると(a/2)(a-i√3)になるので、計算ミスをしていなければ、A(n)の行き着く先は((3/2)a,-(√3/2)a)と求まります。ｘ成分とｙ成分に分けてやるのは、実際にA(0),A(1),A(2),A(3)…なんて計算して、ｘ成分とｙ成分それぞれの数列を見つける地味な作業で、しかも、それぞれの数列が正しいことを証明しなければならないおまけ付きですから、オススメできません。複素数をやってるとのことなので、上のように解くことを強くオススメします。

	24126．Re: (untitled)
	名前：通りすがり日付：11月10日(木) 21時41分
	あら、(a/2)(a-i√3)じゃなくて(a/2)(3-i√3)ですね。。

	24128．Re: (untitled)
	名前：通りすがり日付：11月11日(金) 0時48分
	問題文をよく読まずにやるから、、、 a(1+ω+ω²+ω³+…+ωⁿ)が本当ですね。それで、同じように計算すると、(a(2+a)/(2(1+a+a²)),a²√3/(2(1+a+a²)) になるはずです。ここまでミスが続くと、いい加減に自分が信じられなくなるんですが。。

24091．高３です。教えてください

名前：rui 日付：11月9日(水) 16時34分

初めまして。友達からこのサイトのことを聞いてやってきました。早速ですが

ｎを自然数とする。座標平面上の2n+2個の点からなる集合
　　Ｌ＝｛x,y｜x,yは整数　0≦x≦n、0≦y≦1｝
のうちの3点を頂点とする三角形をすべて考える。これらの三角形の面積の総和を求めよ。

式が　 n
　Ｓ＝ Σ　(1/2×k×1)×(n-k＋1)(ｎ＋1)
　　　k=1

となって答えが出るみたいなんですけどこの式の立て方がわかりません。
よろしくお願いします。

	24092．Re: 高３です。教えてください
	名前：らすかる日付：11月9日(水) 18時4分
	底辺がkの三角形の面積は 1/2×k×1 y=0に2点がある時、底辺がkとなるのは n-k+1 通り頂点は n+1通り y=1に2点がある時も同じだから S=Σ[k=1～n](1/2×k×1)(n-k+1)(n+1)×2 となります。 ruiさんが書かれた式は、2倍がないので正しくないと思います。 http://www10.plala.or.jp/rascalhp

	24100．ありがとうございます★
	名前：rui 日付：11月9日(水) 23時28分
	2つの場合に分けて考えるんですね？で、どちらの場合も同じだから2倍すると。わかりました！らすかるさんありがとうございましたm(_ _)m

24088．三角形と角度

名前：ｎo 日付：11月9日(水) 12時57分

3次元空間で、同一平面上に4点、A、B、C、Rがあります。
点Rが、3点A、B、Cで構成される△ABCの内側にあるか、外側にあるかを判断できるような条件として、わかりやすい条件はないでしょうか。

自分で考えてみたものとしては、
「角ARBと角BRCと角CRAの和が360°になるときは点Rは内側にあり、和が360°にならないときは点Rは外側にある。」
と考えたのですが、正しいでしょうか…。

よろしくお願いいたします。

	24089．Re: 三角形と角度
	名前：ヨッシー日付：11月9日(水) 13時20分
	それでいいと思いますが、点Ｒが辺上にあるとき・内部にあるとみなす・辺上にあるかの判定は別途行うのどちらかを決める必要があります。あと、ベクトルＲＡ、ＲＢ、ＲＣを作って、３つの外積　ＲＡ×ＲＢ、ＲＢ×ＲＣ、ＲＣ×ＲＡが、同じ向きか否かで判定出来ると思います。　　 http://yosshy.sansu.org/

	24090．Re: 三角形と角度
	名前：ｎo 日付：11月9日(水) 13時27分
	返答ありがとうございます。外積を使う方法も考えてみたいと思います。あとは、辺上にあるときですね…

24081．お願いします

名前：てる　高3 日付：11月8日(火) 22時25分

xy平面において、原点oを通る互いに直交する2直線を引き、直線x＝－1および直線x＝3√3との交点を、それぞれp、qとする。op＋oqの最小値を求めよ。ただし、交点p、qは、y＞0の範囲にあるものとする。

この問題ですが、まず僕の解答を書きます。
点ｐ、qの座標を（－1、a）　（3√3、b）とおく
（｜op｜＋｜oq｜）^2＝28＋a^2＋b^2　
ここで　ab＝3√3
また、a＞0、b＞0なので相加平均と相乗平均の関係より
a＋b≧2√ab＝2√3√3
（a＋b）^2≧12√3
a^2＋b^2≧6√3
28＋a^2＋b^2≧28＋6√3
（｜op｜＋｜oq｜）^2≧28＋6√3
よって｜op｜＋｜oq｜の最小値は3√3＋1

となったのですが、答が合いません。何度も見直したのですが分かりません。どこで間違っているのでしょうか？。ちょっと読みづらいですがよろしくお願いします。

	24082．Re: お願いします
	名前：キューダ日付：11月8日(火) 22時42分
	（｜op｜＋｜oq｜）^2 = ={√(a^2+1)+√(b^2+27)}^2 =28+a^2+b^2+2√{(a^2+1)(b^2+27)} ですよ

	24083．Re: お願いします
	名前：てる　高3 日付：11月8日(火) 23時17分
	すいません（｜op｜＋｜oq｜）^2のopとoqはベクトルのつもりで書きました。（｜op｜＋｜oq｜）^2＝｜op｜^2＋2｜op｜｜oq｜＋｜oq｜^2 opとoqは直交するから｜op｜｜oq｜＝0なので（｜op｜＋｜oq｜）^2＝28＋a^2＋b^2　となりませんか？

	24085．Re: お願いします
	名前：キューダ日付：11月8日(火) 23時47分
	> opとoqは直交するから｜op｜｜oq｜＝0なので間違いです。op・oqならば、0ですが、｜op｜｜oq｜というのは、あくまで、opの長さと、oqの長さの積です。 (op+oq)^2=｜op｜^2＋2 op・oq ＋｜oq｜^2=｜op｜^2＋｜oq｜^2 とか、 (op+oq)^2=(pq)^2=\|pq\|^2 のような変形（これは、ピタゴラスの定理ですね）が可能ですが、求めようとしている、｜op｜＋｜oq｜というのは、直角三角形ＯＰＱの斜辺でない二辺の長さの和であるから、（｜op｜＋｜oq｜）^2は、「和の２乗」であり、「２乗の和」（＝当然斜辺の長さの２乗になる）ではありません。

	24093．Re: お願いします
	名前：てる　高3 日付：11月9日(水) 18時28分
	説明ありがとうございます。やっと理解できました。

24073．使いたくないんです…！！

名前：すばる 日付：11月8日(火) 20時20分

ご無沙汰してます。
毎度くだらない質問ですみませんが、お助け願います。

AB=4,BC=5,CA=3の△ABCがあり、AB上にP,BC上にQをとり、PQが△ABCの面積を2等分するようにとるとき、PQの最小値を求めよ。

相加・相乗平均の関係を使わずに解けないでしょうか…？キライなんですよねアレ↑どうも扱いずらくて。よろしくお願いします。

	24084．Re: 使いたくないんです…！！
	名前：通りすがり日付：11月8日(火) 23時37分
	まぁ、こじつけで解くのなら、「ＰＱが最小になるのは、△BPQがBP=BQの二等辺三角形になる時であるから」なんて断言しちゃって、54sin∠B=12よりsin∠B=3/5、また、BP=BQ=XとおくとX²*sin∠B=6からBP=BQ=√10、そして、最後に余弦定理を使えば出ますよね。他の可能性を全く想定してないので、ツツかれたら終わりですが。。確か今度が、新学習指導要領になってからの初の入試だったはずなので、範囲がどうなるのかは分かりませんが、相加平均・相乗平均、コーシー・シュワルツ、チェビシェフ、あるいは、２次の対称形不等式など、微分を使わずに最大・最小を求めさせる問題がセンターや２次で出る可能性があるわけですから、選り好みはしない方がいいとは思いますね。

	24087．Re: 使いたくないんです…！！
	名前：すばる日付：11月9日(水) 2時34分
	うーむ…わかりました。仕方がないので相加・相乗平均と仲良くなれるように努力します。どうもありがとうございました。

24071．教えてください！!

名前：あや（高3） 日付：11月8日(火) 19時54分

(1)(cosX+2sinX)^2+(2cosX-sinX)^2
(2)(tan40゜+tan50゜)^2-(tan40゜+tan130゜)^2
・・・という問題なんですが。
解き方がわからず困っています。
どなたか教えてくれませんか？

	24072．Re: 教えてください！!
	名前：だるまにおん日付：11月8日(火) 20時19分
	(1)(cosx+2sinx)²+(2cosx-sinx)² =cos²x+4cosxsinx+4sin²x+4cos²x-4cosxsinx+sin²x =5(cos²x+sin²x) =5

	24074．Re: 教えてください！!
	名前：だるまにおん日付：11月8日(火) 20時40分
	(2)tan130゜=-tan50゜です。なので与式=(tan40゜+tan50゜)²-(tan40゜-tan50゜)²=4tan40゜tan50゜ここで、tan50゜=tan(90゜-40゜)=1/tan40゜ですから、4tan40゜tan50゜=4

	24075．Re: 教えてください！!
	名前：あや（高3）日付：11月8日(火) 20時38分
	(1)の場合、５(cos^2X+sin^2X)＝５になるのは、なぜでしょうか？その過程を教えてください。

	24076．Re: 教えてください！!
	名前：だるまにおん日付：11月8日(火) 20時42分
	どんなθに対してもsin²θ+cos²θ=1になります。こういう公式だ、といえば思い出されますでしょうか。

	24077．Re: 教えてください！!
	名前：あや（高3）日付：11月8日(火) 20時41分
	あっ、基本的なことを忘れてました。ありがとうございました！

24069．連日すみませんが完全回答をお願いします

名前：あやの 日付：11月8日(火) 18時22分

ＡとＢ二人があるゲームを繰り返し行う。
一回ごとのゲームでＡがＢに勝つ確立はｐ、ＢがＡに勝つ確立は1-ｐであるとする。ｎ回目のゲームで初めてＡとＢの双方が４勝以上になる確立をＸｎとする。
１）Ｘｎをｐとｎで表せ

２）ｐ＝1/2のとき、Ｘｎを最大にするｎうぃ求めよ

	24078．Re: 連日すみませんが完全回答をお願いします
	名前：あやの日付：11月8日(火) 20時48分
	だるまにおんさーん助けてくださいー

	24080．Re: 連日すみませんが完全回答をお願いします
	名前：Magicdoll 日付：11月8日(火) 21時44分
	（1）とりあえずｎ回目でAとBの両方が４勝するってことは AかBのどっちかがｎ回目に勝つってことになりますよね。ここで場合分け… (ⅰ)ｎ回目にAが４勝して終わる確率　　ｎ回目はAが勝つから、（ｎ－1）回目まででAは３勝しかしない。　　ここでAが（ｎ－1）回目までで３勝する勝ち方は　　（ｎ－1）回から３回だけ勝つので　　ｎ－1　C　3＝（ｎ－1）（ｎ－2）（ｎ－3）/3×2×1　　　　（コンビネーション（ｎ－1）の3。書き方わかんない…）　　1回ごとにAがBにかつ確率はｐだから　　Aが（ｎ－1）回目までで３勝する確率は　　{（ｎ－1）（ｎ－2）（ｎ－3）/3×2×1}×ｐ＾3 　　あとはBが余りの（ｎ－4）回勝って、その後Aが4勝目をするから　　求める確率は　　{（ｎ－1）（ｎ－2）（ｎ－3）/3×2×1}×ｐ＾3 　　　　　　×（1－ｐ）＾（ｎ－4）×ｐ（最後のｐはAの4勝目です） (ⅱ)ｎ回目にBが４勝して終わる確率　　ｎ回目はBが勝つから、（ｎ－1）回目まででBは３勝しかしない。　　ここでBが（ｎ－1）回目までで３勝する勝ち方は　　（ｎ－1）回から３回だけ勝つので　　ｎ－1　C　3＝（ｎ－1）（ｎ－2）（ｎ－3）/3×2×1　　　　（コンビネーション（ｎ－1）の3。やっぱり書き方わかんない…）　　1回ごとにBがAにかつ確率は（1－ｐ）だから　　Aが（ｎ－1）回目までで３勝する確率は　　{（ｎ－1）（ｎ－2）（ｎ－3）/3×2×1}×ｐ＾3 　　あとはAが余りの（ｎ－4）回勝って、その後Bが4勝目をするから　　求める確率は　　{（ｎ－1）（ｎ－2）（ｎ－3）/3×2×1}×（1－ｐ）＾3 　　　　　　×ｐ＾（ｎ－4）×（1－ｐ）以上(ⅰ)(ⅱ)より求める確率は {（ｎ－1）（ｎ－2）（ｎ－3）/3×2×1}×{ｐ＾3× （1－ｐ）＾（ｎ－4）×ｐ+（1－ｐ）＾3×ｐ＾（ｎ－4）×（1－ｐ）} 　　計算は御自分でどうぞ…（漸化式が速いんだろうけど…）（2）とりあえず（1）の答えにｐ＝1/2を代入して　　{（ｎ－1）（ｎ－2）（ｎ－3）/3×2×1}×(1/2＾ｎ×2) 　＝{（ｎ－1）（ｎ－2）（ｎ－3）/3×2×1}×1/2＾（ｎ-1）　＝An 　ｎ＝λとして　Aλ+1/Aλ＞1ならAλ+1＞Aλ 　Aλ+1/Aλ＝1ならAλ+1＝Aλ 　Aλ+1/Aλ＜1ならAλ+1＜Aλ 　なので　A1＜A2＜…Aκ＜Aκ+1＞（又は＝）Aκ+2＞… 　となり最大値はAκ+1（↑で＝だったらAκ+2も答えになります）　これは結構計算楽だと思いますんでご自分でどうぞ…

	24086．Re: 連日すみませんが完全回答をお願いします
	名前：Magicdoll 日付：11月9日(水) 0時8分
	問題読み違えましたTT 方針を述べると（1）はAもしくはBが3勝、2勝、1勝、0勝のいづれかになる場合を全体の確率1からひけばよいです。やりかたは読み間違えた解答と同様に考えれば解けます。（2）も読み間違えた解答と同様に解けます（多分全く同じでいけます）お騒がせしました（;´▽｀lllA``

	24094．Re: 連日すみませんが完全回答をお願いします
	名前：あやの日付：11月9日(水) 19時20分
	n=8でいいでしょうか？

24057．(untitled)

名前：ぺす日付：11月7日(月) 21時31分

すべての実数xについて、ax^2+bx+c>0となるような実数a,b,cの条件を求めよ。

授業で説明されたのですがよく分かりません。どなたか丁寧に教えてくださいませんか？

	24059．Re: (untitled)
	名前：ヨッシー日付：11月7日(月) 22時13分
	y=ax^2+bx+c のグラフを考えます。左のようなグラフだと、波線の部分で、ｙ＜０になるので、ダメです。つまり、右のようなグラフにならないといけないのですが、このグラフの特徴を日本語で言うと、・下に凸なグラフである。・ｘ軸と交わらないこれらを、ａ，ｂ，ｃを使って表すとどんな式になるでしょう？また、ａ＝０　で　ｂ≠０のときつまり、１次関数のときは、必ず、ｙ≦０となる部分が出てきますので、不適です。では、ａ＝０、ｂ＝０のときは？　　 http://yosshy.sansu.org/

	24060．Re: (untitled)
	名前：ぺす日付：11月7日(月) 22時36分
	お返事ありがとうございます。ということは、a>0,D<0,C>0となり、 D<0よりb^2-4ac<0ですよね？次にa>0,C>0より-4ac<0ですから、 b^2<-4acということになるのですか？

	24062．Re: (untitled)
	名前：ヨッシー日付：11月8日(火) 13時21分
	まず、ａ≠０の場合ですが、　ａ＞０、Ｄ＜０で十分です。ｃ＞０はいりません。なぜなら、ａ＞０かつｃ＜０だと、Ｄ＞０になり得ないからです。これから得られる答えが、　ａ＞０，ｂ^2－４ａｃ＜０です。次に、ａ＝０，ｂ＝０　から得られる、　ａ＝０、ｂ＝０、ｃ＞０も答えです。　 http://yosshy.sansu.org/

	24079．Re: (untitled)
	名前：ぺす日付：11月8日(火) 20時49分
	ありがとうございました。

24056．(untitled)

名前：クーデタ 日付：11月7日(月) 19時41分

十元連立非線形偏微分方程式とはどのような式なんですか？
教えてください。お願いします

	24070．Re: (untitled)
	名前：通りすがり日付：11月8日(火) 18時38分
	「十元連立非線形偏微分方程式」。私は、読んで字のごとくだと思いますが、どこに引っかかっているのかによって説明が異なります。クーデタさんが高校生だとすれば、「十元連立」はいいですよね？次の「非線形」というのは、線形代数学の範囲で解を持たないことを意味します。「偏微分方程式」は、未知関数の偏微分を含んだ等式で表現される微分方程式です。（偏微分ってのは、xyz空間における曲面の微分なんだと思っていればいいです。）つまり、「十元連立の偏微分を含んだ微分方程式があって、どうも解があるらしいけれど、その解は高校までの数学では求められないらしい」なんて解釈で、今はいいんじゃないでしょうか。実際には、一つの非線形偏微分方程式も解析的には解けない場合が多いです。大学に行けば、カオスがどうのこうのってやるかも知れません。

24049．完璧な回答を誰かお願いします

名前：あやの 日付：11月7日(月) 18時14分

Kは整数であり、3次方程式
Ｘ３乗-13Ｘ+K＝0
は3つの異なる整数解をもつ。Kとこれらの整数解を全て求めよ。

	24050．完璧な回答を誰かお願いします
	名前：だるまにおん日付：11月7日(月) 18時31分
	完璧な解答

	24053．Re: 完璧な回答を誰かお願いします
	名前：ヨッシー日付：11月7日(月) 19時2分
	じゃあ、完璧な解答の添削。　×復号　○複号　 http://yosshy.sansu.org/

	24054．Re: 完璧な回答を誰かお願いします
	名前：あやの日付：11月7日(月) 19時25分
	誠に親切に有難うございます。しかも即答。感謝します。では

	24055．高野栄治さん、勝手にお借りしてすみませんでした。
	名前：だるまにおん日付：11月7日(月) 19時38分
	あ、ほんとだ。漢字が違う・・・・・

	24061．Re: 完璧な回答を誰かお願いします
	名前：らすかる日付：11月8日(火) 0時47分
	じゃあ、私も添削。　×１つの解は極値のと極値の間に在ります。　○１つの解は極値と極値の間に在ります。 http://www10.plala.or.jp/rascalhp

	24063．Re: 完璧な回答を誰かお願いします
	名前：だるまにおん日付：11月8日(火) 7時47分
	あ、ほんとですね・・・(汗)

	24064．Re: 完璧な回答を誰かお願いします
	名前：キューダ日付：11月8日(火) 7時33分
	用語「極値」の使い方が間違ってます。 ×：１つの解は極値のと極値の間に在ります。 ○：解の１つは、これら極値を与える２つｘの間に無ければならない。あやのさんへ８ページ目にある、23703に同内容の投稿があります。別方針で解いていますので、そちらも参考にしてみて下さい。

	24067．Re: 完璧な回答を誰かお願いします
	名前：キューダ日付：11月8日(火) 7時40分
	×：これら極値を与える２つｘの間に ○：これら極値を与える２つのｘの間に

	24068．Re: 完璧な回答を誰かお願いします
	名前：だるまにおん日付：11月8日(火) 17時19分
	やばい・・・私が何も読まずにリンクしたと思われてしまう・・・！！

24041．(untitled)

名前：oh 日付：11月7日(月) 13時34分

同一平面上で考えます．
三角形ABC内に点Rがある場合は
角ARB＜πかつ角ARC＜πかつ角BRC＜π
だが、点Rが三角形の外にあると、どれかひとつがπよりも大きくなる．

以上のことは，いずれの場合でも成り立つでしょうか．
よろしくお願いいたします．

	24043．Re: (untitled)
	名前：ヨッシー日付：11月7日(月) 14時31分
	おっしゃりたいこと（というか、期待されていること)はよくわかりますが、普通、角ＡＲＣといったときは、図に書かれたθではなく、小さい方を言うので、このままでは、答えはＮｏです。例えば、△ＡＢＣを、この図のように(反時計回りに)配置し角ＡＲＢを「ＡＲをＲを中心に反時計回りに回転させたとき、ＡがＲからＢの方向に伸びる半直線上に来るまでの角度」と定義し、角ＡＲＢと角ＢＲＡを、厳密に区別するならば、　角ＡＲＢ、角ＢＲＣ、角ＣＲＡについて「少なくとも１つがπより大きくなる」とすれば、ＯＫです。ちなみに「どれかひとつがπよりも大きくなる」は「２つが大きいこともある」ので、誤りです。　 http://yosshy.sansu.org/

	24044．(untitled)
	名前：ｎo 日付：11月7日(月) 16時22分
	ありがとうございました。どこかしっくりしない気がしていました。厳密な定義づけが必要だったのだと気がつきました。ありがとうございました。また質問するかもしれませんがよろしくお願いします。

	24045．もう一つ質問です
	名前：ｎo 日付：11月7日(月) 16時50分
	「２つが大きいこともある」とは、どのようなときでしょうか？

	24047．横レス
	名前：らすかる日付：11月7日(月) 17時10分
	例えば、辺BC上に点Dをとり、線分DAの(A側の)延長上に点Rをとったような場合です。 http://www10.plala.or.jp/rascalhp

	24048．(untitled)
	名前：ｎo 日付：11月7日(月) 17時12分
	ありがとうございます！理解できました！本当にありがとうございました！

24036．正五角形の外接円の直径

名前：沼澤　國男 日付：11月6日(日) 22時35分

生五角形の一辺が１００ｃｍの外接円の直径の求め方

	24037．生五角形
	名前：だるまにおん日付：11月6日(日) 23時22分
	正弦定理より 100/sin(π/5)cm ちなみにsin(π/5)=√{(5-√5)/8}

24033．極座標・極方程式

名前：デザーター 日付：11月6日(日) 12時20分

こんにちは。

極座標において、点（-3,0）を通り、始線に垂直な直線をｌとする。極０と直線ｌからの距離の比が１：２の点Pの軌跡の極座標を求めよ。

という問題なのですが、一体どんな感じの図になるのでしょうか・・・。ｒもよくわからないし・・・
あと、どんな、解法になるのでしょうか・・・。

教えてください。お願いいたします。

	24034．Re: 極座標・極方程式
	名前：紅生姜日付：11月6日(日) 14時59分
	解答例としては、極座標P(r,θ)において、直交座標に直すと、P(rcosθ,rsinθ)となる。また、直線lの方程式は直行座標系で、 x＝－3であるから、Pと直線lの距離は、 rcosθ－(－3)＝rcosθ＋3 となる。題意より、 r:rcosθ＋3＝1:2 ⇔2r＝rcosθ＋3 よって、Pの軌跡の極方程式は r＝3/(2－cosθ) …(答) となって、楕円だと分かります。焦点と点P及び準線と点Pとの距離をそれぞれa,bとすると、 a/b＞1のとき、Pの軌跡は双曲線 a/b＝1のとき、Pの軌跡は放物線 a/b＜1のとき、Pの軌跡は楕円となります。

	24039．Re: 極座標・極方程式
	名前：デザーター日付：11月7日(月) 0時49分
	ありがとうございます。わかりました。あと、 OP:Pｌ＝１：２なので、これは「アポロニウスの円」の考えを使うと、円ではないでしょうか。なぜ楕円なのでしょう？

	24040．Re: 極座標・極方程式
	名前：ヨッシー日付：11月7日(月) 8時45分
	「アポロニウスの定理」は、点と点からの距離が○：△というものですが、これは、点と線なのでこうなります。　 http://yosshy.sansu.org/

	24150．Re: 極座標・極方程式
	名前：デザーター日付：11月12日(土) 19時20分
	なるほど。そういうわけですか。どうもありがとうございました。わかりました。

24031．直角二等辺三角形

名前：めぇ（中３） 日付：11月6日(日) 11時40分

∠C=90°である直角二等辺三角形ABCで、∠Aの二等分線と辺BCとの交点をDとすると、AC+CD=ABである。これを証明しなさい。
どうか教えてください。

	24032．Re: 直角二等辺三角形
	名前：らすかる日付：11月6日(日) 11時57分
	DからABに下ろした垂線の足をEとすると、 △ADE≡△ADC から AC=AE、ED=CD また、∠EDB=180°-90°-45°から△BDEは直角二等辺三角形になるので、ED=EB 従って AC+CD=AE+ED=AE+EB=AB http://www10.plala.or.jp/rascalhp

24029．(untitled)

名前：こーん 日付：11月6日(日) 0時33分

半径1の球に内接する直円錐がある。
（1），この円錐の体積Vを円錐の高さｘを用いて表せ。（ｘ＞1）
（2），Ｖの最大値およびそのときのｘの値を求めよ。

解き方の過程を教えていただけたら幸いです。

	24030．円錐
	名前：だるまにおん日付：11月6日(日) 4時45分
	(1)球の中心をO，円錐の頂点から底面の円に下ろした垂線の足をH，底面の円の円周上のある点をPとしますと，底面の円の半径PH=√(PO²-OH²)=√(2x-x²)なので，円錐の体積=(底面積)×(高さ)÷3=π(2x²-x³)/3 (2)(1)の結果を微分しましょう。

	24035．Re: (untitled)
	名前：こーん日付：11月6日(日) 17時39分
	理解しました、ありがとうございます。

24025．正１２角形

名前：つかさ 日付：11月5日(土) 22時18分

正１２角形を定規とコンパスで描くにはどのようにすればいいのでしょうか。
詳しく教えて頂ければ幸いです。

	24027．Re: 正１２角形
	名前：のぼりん日付：11月5日(土) 23時17分
	①　円Ｏを描きます。 ②　円Ｏに内接する正三角形△ＡＢＣを描きます。Ａ→Ｂ→Ｃと右回りに取ります。 ③　円Ｏに内接する正方形□ＡＤＥＦを描きます。Ａ→Ｄ→Ｅ→Ｆと右回りに取ります。 ④　弧ＤＢの長さを取り、Ｂから右回りに同じ長さの位置で点を次々に取っていくと、Ｄに到達します。隣り合う各点を結べば、正十二角形になります。

	24028．別解
	名前：らすかる日付：11月5日(土) 23時27分
	(1) 正12角形の頂点の1つAと中心Oを適当にとります。 (2) Oを中心としてAを通る円を描きます。 (3) 直線AOを引き、円との新しい交点をDとします。 (4) Aを中心としてOを通る円と円Oとの交点と　Dを中心としてOを通る円と円Oとの交点を作図すると、　正六角形の頂点ABCDEFが作れます。 (5) ACとBDの交点をP, BDとCEの交点をQ, CEとDFの交点をRとし、　直線OP, OQ, ORと円Oとの交点計6個を作図すると、　ABCDEFと合わせて正12角形の頂点となります。 http://www10.plala.or.jp/rascalhp

	24038．Re: 正１２角形
	名前：つかさ日付：11月7日(月) 0時26分
	ありがとうございます。やってみたのですが、なんだかちょっと形が悪くなってしまいました。もう一度やってみます

	24042．Re: 正１２角形
	名前：tarame 日付：11月7日(月) 13時43分
	コンパス(半径)は、すべて同じです。 (1)円Ｏを描く (2)円Ｏの円周上の１点をＡとし、Ａを中心とする円Ａを描く (3)円Ｏと円Ａの交点の１つをＣとし、Ｃを中心とする円Ｃを描く (4)円Ａと円Ｃの交点をＰとする (5)直線ＯＰと円Ｏとの交点をＢとし、Ｂを中心とする円Ｂを描くこれで、円Ｏとの交点が７個できるので、その点とＯを結んだ直線を引けば、12個の交点ができます。

24021．(untitled)

名前：けん（高３） 日付：11月4日(金) 23時55分

x→0のときのsinx/x^2の極限について教えてください。挟み撃ちを使おうとしたんですが、うまくできません。よろしくお願いします。

	24022．The 極限
	名前：だるまにおん日付：11月5日(土) 7時30分
	lim[x→+0]sinx/x² =lim[x→+0](sinx/x)(1/x) =lim[x→+0]1/x =+∞ lim[x→-0]sinx/x² =lim[x→-0](sinx/x)(1/x) =lim[x→-0]1/x =-∞ よって、極限なし？

	24051．Re: (untitled)
	名前：けん（高３）日付：11月7日(月) 18時33分
	レスありがとうございます。 lim[x→+0](sinx/x)(1/x) =lim[x→+0]1/x の部分なのですが、 lim[x→+0](sinx/x)(1/x) =lim[x→+0](sinx/x)*lim[x→+0]1/x とできるのは、lim[x→+0](sinx/x)とlim[x→+0]1/xの両者が有限値になるときという条件が必要で、ここでは　lim[x→+0]1/x　が有限値ではないので、同値変形が崩れてしまう気がします。極限は求められないんでしょうか。

	24052．グラフ描いてみました
	名前：だるまにおん日付：11月7日(月) 18時51分
	グラフ描いてみました。どうでしょう。極限値は「なし」ですね。

	24152．Re: (untitled)
	名前：けん（高３）日付：11月12日(土) 20時52分
	どうもありがとうございました。

24020．指数関数と極限

名前：けん日付：11月4日(金) 21時55分

lim n→∞　（１＋ｍ／ｎ）＾ｎ＝　ｅ＾ｍ
はｍがどんな値でも成り立ちますか？
またそれを証明しなさい。
という問題です。だれか教えてください。

	24024．Re: 指数関数と極限
	名前：ヨッシー日付：11月5日(土) 16時31分
	まず、ｅの定義ですが、　ｅ＝lim n→∞ (１＋1/n)^n ですね。ｍが定数のとき、　ｎ→∞ ならば、　n/m→∞　（m≠0) なので、　lim n→∞(１＋m/n)^n＝lim n→∞{(１＋m/n)^(n/m)}^m＝ｅ＾ｍまた、ｍ＝０のときは、明らかに、　lim n→∞(１＋m/n)^n＝１＝ｅ^0 よって、与式は成り立ちます。　　 http://yosshy.sansu.org/

	24026．ヨッシーさんへ
	名前：黒蟻日付：11月5日(土) 22時32分
	＞ｎ→∞ ならば、　n/m→∞　（m≠0)なので、左側は変数(＝n)を自然数として考えていて、右側は変数(＝n/m)を実数として考えている(mを実数とします)から、＞lim n→∞{(１＋m/n)^(n/m)}^m＝ｅ＾ｍこれが成り立つのは明らかでないと思います。もしこの方法を使うのであれば、lim[R∋x→∞](1＋1/x)^x＝e を先に証明しなければなりません。

	24058．Re: 指数関数と極限
	名前：けん日付：11月7日(月) 21時57分
	レスありがとうございます。やはり明らかではないですよね？ｌｉｍは同時にやらなければならないと学校で習ったのですが lim n→∞{(１＋m/n)^(n/m)}^m＝ｅ＾ｍのように、単純にｍ乗したものの極限だから先に極限ｅをとってからそのｍ乗としていいのかがわかりません。証明はできませんか？教科書には載っていませんでした。だれかおしえてください。

24018．わかりません！！

名前：トッシュ 日付：11月4日(金) 20時19分

ラプラス変換なんですが・・・
L[sinh(at+b)],(a≠0,b≠0)
と
f1(t)=t^2+2 , (-∞<t<∞)
f2(t)=(t^2+2)u(t) の時、L+,L-を求めよ。
と
(2 t<=0
f(t)={
(4-2e^-t t>=0

の１次導関数のL+,L-を求めよ。

という問題です。お願いします。

	24023．Re: わかりません！！
	名前：のぶなが。日付：11月5日(土) 7時34分
	L+,L- とは何のことでしょうか。あと問題文の式の括弧を修正してください。

24013．この方程式を解いていただけませんか？

名前：迷える小泉 日付：11月3日(木) 23時21分

Ｘ＾5＝1
Ｘ＾5-1＝0
この方程式を解いていただけませんか？長いと思うのですが、詳しく知りたいのでよろしくお願いいたします！！

	24016．Re: この方程式を解いていただけませんか？
	名前：ヨッシー日付：11月4日(金) 13時11分
	私のページの「ミニ講座」の「複素数と複素数平面」をご覧ください。「累乗根」のところに、１の５乗根のイメージが書いてあります。　 http://yosshy.sansu.org/

24012．(untitled)

名前：Ｕ日付：11月3日(木) 22時33分

ⅹの方程式
　　ⅹ4＋2mⅹ2＋(2－m)=0 (m:実数)
について
　(1)相異なる実数解を４つ持つときのmの値の範囲を求めよ。
　(2)相異なる実数解をちょうど２つ持つときのmの値の範囲を求めよ。

これが分かりません…。教えてください!！

	24014．Re: (untitled)
	名前：だるまにおん日付：11月4日(金) 8時34分
	x⁴+2mx²+(2-m)=0・・・<鶴> x²=t(≧0)とおくと、<鶴>はt²+2mt+(2-m)=0・・・<亀>になります。 (1)<鶴>が相異なる実数解を4つ持つときは、<亀>がt＞0の範囲に異なる2つの実数解を持つときですね。 f(t)=t²+2mt+(2-m)とおくと、そのようになるためには・f(t)=0の判別式D＞0 ・f(t)の軸が正の範囲にある・f(0)＞0 が必要十分条件ですからそのときのmの範囲はm＜-2 (2)<鶴>が相異なる実数解を2つ持つときは、<亀>がt＞0の範囲に重解を持つか、もしくはt＞0の範囲に只1つの解を持つときですね。

	24017．Re: (untitled)
	名前：Ｕ日付：11月4日(金) 18時7分
	分かりました!!だるまにおんサンありがとうございました!!!!

	24019．Re: (untitled)
	名前：Ｋ日付：11月4日(金) 20時44分
	私もこれ分からなかったので助かりました～！

24004．数Aの図形の問題です。

名前：大学受験生（高3） 日付：11月2日(水) 22時30分

△ABCにおいて、∠DME＝90°となるようにAB上にDを、BCの中点にMを、CA上にEを置いたとき、DE＜DB＋ECとなることを証明せよ。

という問題なんですが、
DE＜DM＋EM、DM＜DB＋BM、EM＜EC＋CM、BM＝CM　より
DE＜DB＋EC＋BC　まではやってみたのですがそのあとどうすればいいかわかりません。ちなみにうちの学校の１年生の宿題らしいです(^^;どなたかわかる方教えてください。よろしくお願いします。

	24007．Re: 数Aの図形の問題です。
	名前：ヨッシー日付：11月3日(木) 14時9分
	図のように△ＭＥＣを180°回転して、ＭＣがＭＢに重なるようにすると、　ＥＣ＝ＢＦ　ＤＥ＝ＤＦであるので、（以下略）　 http://yosshy.sansu.org/

	24009．Re: 数Aの図形の問題です。
	名前：大学受験生（高3）日付：11月3日(木) 16時45分
	わかりました！気づけば簡単ですね。。どうもありがとうございます(^^)

24002．(untitled)

名前：けん（高３） 日付：11月2日(水) 18時29分

sinxの逆関数です。→(sin-1x)'=1/√(1-x2)を証明したいのですが、
±1/√(1-x2)になってしまいます。どうやればマイナスを消せるでしょうか、よろしくお願いします。

	24003．Re: (untitled)
	名前：通りすがり日付：11月2日(水) 20時17分
	逆関数の導関数を求めるわけですから、(f^-1)'(y)=1/(f'(x))を使ったということですよね。 y=arcsinxとでも置けば、siny=xですから、 (arcsinx)'=1/cosy=1/√(1-sin²y)=1/√(1-x²) 本当は、「狭義単調かつ連続で、、」と能書きがいりますが、 xの範囲も問題で言われていないので、そこまでは問わないのでしょう。ちなみに、-1/√(1-x²)はcos^-1xの導関数です。

	24006．Re:
	名前：soredeha 日付：11月3日(木) 7時27分
	-π/2≦y＝sin-1x≦π/2　　　とすれば　　　　cosy≧0 .

24001．解析学的に証明

名前：mae 日付：11月2日(水) 10時47分

三角形ABCにおいて、AB＜ACの時、∠B＞∠Cであることを、解析学的に証明しなさい。

幾何学的証明は、簡単ですが、解析学的証明は慣れませんのでよろしくお願いします。

	24005．Re: 解析学的に証明
	名前：soredeha 日付：11月3日(木) 7時19分
	正弦定理より、　　　ｃ＝2R sinC　　b＝2R sinB AB＜AC 　⇒　2R sinC＜2R sinB　⇒　sinC＜sinB C≧B　とすると C＝B　　ならば　　sinC＝sinB C＞B　　ならば　　90°≧C　　のとき　　90°≧C＞B＞0　　より　　　sinC＞sinB Ｃ＞90°　　なら　　90°＞180°－C＞B＞0　　　よって　　　sinC＝sin（180°－C）＞sinB 従って　　　　　　　　sinC＜sinB　⇒　C＜B .

23997．６の倍数

名前：へ（高一） 日付：11月1日(火) 22時39分

nは整数とするとき、次の整数は６の倍数であることを証明せよ。
１、n^2+5n
２、2n^3+4n
３、n(n-1)(2n-1)

この問題について先生に｢n=0のときは0になるからこの問題おかしくないですか｣と聞くと先生は｢0ってのは6×0やから6の倍数｣って言われました。
でもなんか納得いきません。わかりやすく説明していただけませんか？

	23999．Re: ６の倍数
	名前：デザーター日付：11月1日(火) 23時41分
	１８は６×３だから６の倍数。１２は６×２だから６の倍数。６は６×１だから６の倍数。０は６×０だから６の倍数。０は６を「０倍」したものなので、立派な「倍したかず」。つまり倍数です。倍した数のことを倍数という。みたいなかんじ。だから、１倍でも２倍でも３倍でも０倍でも、ｎ倍でも、何でもいい。ただし、ｎは整数。主にnは自然数を言うみたいですが、整数でもいいみたいです。以下ウィキペディアより元になる数があり、その数を整数倍（特に自然数倍）した数を倍数（ばいすう）という。整数 a, b において、b ÷ a が割り切れれば、b は a の倍数であるという。整数 a, b において、a の整数倍が b になっていれば、b は a の倍数であるという。 http://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%80%8D%E6%95%B0

	24000．Re: ６の倍数
	名前：ast 日付：11月2日(水) 7時11分
	納得がいかないのは「どういう数の枠組みの中で」その倍数という概念を考えているのかという「考える対象の全体」というのを普段ちゃんと意識しないからです. 小学校なんかでは自然数しか相手にしませんから6の倍数というのは 6 × (自然数) のことです. 特に最小公倍数とかいう派生概念をすっきり述べるために 0 は倍数から除きます. そういう前提で教科書は書いてあります. 一方, 中学生以降なら負の数の概念を習って整数を扱いますから, 「6の倍数」というのを「自然数の枠組み」で 6 × (自然数) として考えるのか「整数の枠組み」で 6 × (整数) で考えるのか, きちんと自分で区別をしなければなりませんし, その区別は文脈から読み取るしかありません.

	24015．Re: ６の倍数
	名前：soredeha 日付：11月4日(金) 9時50分
	６の倍数＝｛６、１２、１８、・・・｝　　　６づつ増えるので｛・・・、－１２、－６、０、６、１２、１８、・・・｝　　　も　　６の倍数 .

23996．選択問題

名前：ひろ日付：11月1日(火) 22時29分

集合a_0を大学の学生全体の集合、集合a_1を男性全体の集合、
集合a_2を４０歳以上の人の全体の集合とする。
そしてA=｛a_0,a_1,a_2｝と定義する。このとき、∩Aはどのような集合か。
正しいものを選べ。
(1)４０歳以上の人の男子学生全体
(2)大学の４０歳以上の人か、あるいは男性全体
(3)大学の男性の人か、あるいは３０歳以上の人全体
(4)大学の学生で４０歳以上の男性全体

教えて頂ければ幸いです。

	24008．Re:
	名前：soredeha 日付：11月3日(木) 14時34分
	a_0＝｛大学の学生全体｝　　a_1＝｛男性全体｝　a_2＝｛４０歳以上の人全体｝ ∩A＝∩[k=1,2,3] a_k　の意味なら ∩A＝｛大学の学生全体｝∩｛男性全体｝∩｛４０歳以上の人全体｝ →　(4)大学の学生で４０歳以上の男性全体 .

	24011．Re: 選択問題
	名前：ひろ日付：11月3日(木) 20時57分
	soredehaさまありがとうございました。解りやすくて助かりました。

23994．2次間数(高1)

名前：パックン 日付：11月1日(火) 22時6分

g(x)＝x^2－2x＋2(a≦x≦a＋2)
の最大値、最小値を求めよ。
宜しくお願いします。

	23998．Re: 2次間数(高1)
	名前：ヨッシー日付：11月1日(火) 23時30分
	まず、ｙ＝ｘ＾２－２ｘ＋２のグラフを描きましょう。　ａ＝－２　つまり、　－２≦ｘ≦０　のとき　ｙの最大・最小は？　ａ＝－0.5　つまり、　－0.5≦ｘ≦1.5　のとき　ｙの最大・最小は？　ａ＝０　つまり、　０≦ｘ≦２　のとき　ｙの最大・最小は？　ａ＝0.5　つまり、　0.5≦ｘ≦2.5　のとき　ｙの最大・最小は？　ａ＝２　つまり、　２≦ｘ≦４　のとき　ｙの最大・最小は？それぞれ調べてみましょう。最小・最大を与えるｘの位置が変わるところを境にして、ａを場合分けします。　 http://yosshy.sansu.org/

EZBBS.NET produced by Inside Web