円に外接する四角形の２本の対角線の中点と、円の中心は同一直線上にある。
ニュートンの定理１
円に外接する四角形の２本の対角線の中点と、円の中心は同一直線上にある。
予備証明
△ＡＤＯと△ＢＣＯが、点Ｏを共有して、互いに、重ならずに存在するとします。
このとき、点Ｌを
△ＡＤＯ＋△ＢＣＯ＝△ＡＤＬ＋△ＢＣＬ
となるようにとるとき、点Ｌは、点Ｏを含む直線上にある。
ＡＤとＢＣが平行なときは、点Ｏを通って、ＡＤに平行な直線が、点Ｌの存在する
範囲であることは明らかであるので、ＡＤとＢＣが平行でない場合を考えます。
ＡＤとＢＣの交点をＥとし、線分ＡＤ，ＢＣを一方の端点が、点Ｅに重なるまで、等積変形します。
このとき、線分ＡＤ，ＢＣがそれぞれ、線分ＥＤ’，ＥＣ’に移動したとします。
四角形Ｄ’ＥＣ’Ｏは、△ＡＤＯ＋△ＢＣＯ を保持しています。
ここで、点Ｏを通り、Ｄ’Ｃ’に平行な直線を引き、この直線上に点Ｏとは違う点Ｌをとると、
四角形Ｄ’ＥＣ’Ｌは、四角形Ｄ’ＥＣ’Ｏと面積は等しく、△ＡＤＯ＋△ＢＣＯ を保持しています。
さらに、線分ＥＤ’，ＥＣ’を元の線分ＡＤ，ＢＣの位置まで等積変形すると、
△ＡＤＬ＋△ＢＣＬ は、△ＡＤＯ＋△ＢＣＯ を保持しています。
よって、条件を満たす点Ｌは、点Ｏを含む直線上にあります。
ただし、その直線は、直線ＡＤや、直線ＢＣを越えないこととします。
証明
ＥはＡＣの中点なので、
△ＡＢＥ＝△ＡＢＣ / 2
△ＣＤＥ＝△ＡＣＤ / 2
２式を足して
△ＡＢＥ＋△ＣＤＥ＝四角形ＡＢＣＤ / 2 ………(1)
同様に
△ＡＢＦ＋△ＣＤＦ＝四角形ＡＢＣＤ / 2 ………(2)
また、四角形ＡＢＣＤは円Ｏに外接するのだから、辺ＡＢ，ＢＣ，ＣＤ，ＤＡ上の円との接点をそれぞれＰ，
Ｑ，Ｒ，Ｓとすると、
ＡＳ＝ＡＰ，ＢＰ＝ＢＱ，ＣＱ＝ＣＲ，ＤＲ＝ＤＳ
これより、
ＡＢ＋ＣＤ＝ＡＤ＋ＢＣ
円の半径をｒとすると、
△ＡＢＯ＝ｒ・ＡＢ/2，△ＣＤＯ＝ｒ・ＣＤ
/ 2
これより
△ＡＢＯ＋△ＣＤＯ＝ｒ・(ＡＢ＋ＣＤ) /
2
同様に
△ＡＤＯ＋△ＢＣＯ＝ｒ・(ＡＤ＋ＢＣ) /
2
ゆえに
△ＡＢＯ＋△ＣＤＯ＝△ＡＤＯ＋△ＢＣＯ
この両辺の和は四角形ＡＢＣＤの面積に等しいので、
△ＡＢＯ＋△ＣＤＯ＝四角形ＡＢＣＤ / 2 ………(3)
△ＡＢＬ＋△ＣＤＬ＝(一定)であるような点 Ｌ は一直線上にある（予備証明より）ので、
(1),(2),(3)より、３点Ｅ，Ｆ，Ｏ は、一直線上にある。
証明終わり
special thanks bunny_star さん