ニュートンの定理１

円に外接する四角形の２本の対角線の中点と、円の中心は同一直線上にある。

証明
ＥはＡＣの中点なので、
　△ＡＢＥ＝△ＡＢＣ / 2
　△ＣＤＥ＝△ＡＣＤ / 2
２式を足して
　△ＡＢＥ＋△ＣＤＥ＝四角形ＡＢＣＤ / 2　………(1)
同様に
　△ＡＢＦ＋△ＣＤＦ＝四角形ＡＢＣＤ / 2　………(2)
また、四角形ＡＢＣＤは円Ｏに外接するのだから、辺ＡＢ，ＢＣ，ＣＤ，ＤＡ上の円との接点をそれぞれＰ， Ｑ，Ｒ，Ｓとすると、
　ＡＳ＝ＡＰ，ＢＰ＝ＢＱ，ＣＱ＝ＣＲ，ＤＲ＝ＤＳ
これより、
　ＡＢ＋ＣＤ＝ＡＤ＋ＢＣ
円の半径をｒとすると、
　△ＡＢＯ＝ｒ・ＡＢ/2，△ＣＤＯ＝ｒ・ＣＤ / 2
これより
　△ＡＢＯ＋△ＣＤＯ＝ｒ・(ＡＢ＋ＣＤ) / 2
同様に
　△ＡＤＯ＋△ＢＣＯ＝ｒ・(ＡＤ＋ＢＣ) / 2
ゆえに
　△ＡＢＯ＋△ＣＤＯ＝△ＡＤＯ＋△ＢＣＯ
この両辺の和は四角形ＡＢＣＤの面積に等しいので、
　△ＡＢＯ＋△ＣＤＯ＝四角形ＡＢＣＤ / 2　………(3)

△ＡＢＬ＋△ＣＤＬ＝(一定)であるような点 Ｌ は一直線上にあるので、
(1),(2),(3)より、３点Ｅ，Ｆ，Ｏ は、一直線上にある。
証明終わり

special thanks bunny_star さん

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