＞　よって、以降が少しわかりにくいのですが、もう少し説明お願いできませんか？
Ｘ と Ｙ の共通部分のことを X∩Y と書きます。
「x∈X かつ x∈Y」と x∈X∩Y とは同値です。

＞　あと、平面で区切られた半空間、一般の凸多面体とその面、辺、頂点も凸集合であることも示したいのですが、何かよい方法はありませんか？
アカギさんは、下線部の集合をどう定義していますか？その定義を明確に書き出し、それらの集合（X とする）が「∀x,y∈X:0≦∀λ≦1:λx+(1–λ)y∈X」を満たすことを示せば良いと思います。

かぶりましたが、方針が違うので（n に関する数学的帰納法）、そのまま書き込みます。

n=2 のとき、–A₁=A₂＞0 なので、��_k=1ⁿ kA_k=A₂＞0 です。

n=m のとき、題意が成り立つとし、n=m+1 の場合を考えます。
　　　A₁≦…≦A_m+1、A₁+…+A_m+1=0、A₁=…=A_m+1=0 ではない
とします。A_m+1＞0 です。
　　　A'₁=A₁，…，A'_m–1=A_m–1，A'_m=A_m+A_m+1
とおくと、帰納法の仮定により、
　　　0＜A'₁+2A'₂+…+mA'_m=A₁+2A₂+…+m(A_m+A_m+1)
　　　　＜A₁+2A₂+…+mA_m+(m+1)A_m+1=��_k=1^m+1 kA_k
と示せました。