問題
(1)正９角形の、３つの頂点を結んで、三角形を作るとき、鈍角三角形は何個できるか。
(2)また、３つの内角の大きさがそれぞれ２０°、４０°、１２０°になる三角形は何個できるか。
解答
まず、円周角というものについて説明します。
上図において、円周上の２点Ａ、Ｂと円の中心Ｏとで作る角（∠ＡＯＢ）を中心角といいます。
一方、円周上の点Ｃ、Ｄ、Ｅなどと作る角（∠ＡＣＢ、∠ＡＤＢ、∠ＡＥＢ）を円周角といいます。
ＡＢを結ぶ線分を「弦」といいますが、１つの弦の同じ側に立つ円周角はどの位置にあっても
大きさは等しく、しかも、円周角は、中心角の半分の大きさです。
さて、正九角形の場合、１つの辺に対する中心角は４０°なので、円周角は２０°です。
頂点を１つまたいで２点を選ぶと、そこに立つ円周角は４０°です。
以下、円周角は、６０°、８０°、１００°、１２０°、１４０°となります。
以上を踏まえて、問題の答えです。
(1)
１００°を持つ三角形は以下の３個です。
１２０°を持つ三角形は以下の２個です。
１４０°を持つ三角形は以下の１個です。
１つの三角形が見つかると、それを４０°ずつ回転していけば、
９つの三角形ができます（ただし、正三角形は３つだけ）。
よって、鈍角三角形の個数は、
（３＋２＋１）×９＝５４ 答え ５４個
(2) 内角が２０°、４０°、１２０°の三角形は、以下の２個。
それぞれ９個ずつあるので、
２×９＝１８ 答え １８個
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