2004年12月 の投稿ログ


18887.(untitled)  
名前:akira(高1)    日付:12月31日(金) 20時40分
円に内接する四角形ABCDの辺BA、CDの延長の交点をPとするとき、
PA=4、AB=2、CD=5となった。
PDの長さを求めよ。
また、このとき2点C、Dを通る他の円にPから接
線を引き、接点TをとするとTA=3√6であった。
TBの長さを求めよ。

答えには、PD=3、TB=9としか書かれておらず、
解説がなく、理解できませんでした。
どうか、教えてください。
よろしくお願いします。



18892.Re: (untitled)
名前:ヨッシー    日付:1月1日(土) 0時59分
私のページの「ご質問に答えるコーナー」に解答を載せました。
 
http://yosshy.sansu.org/

18881.またまた頭が痛いですぅぅぅ。。。  
名前:☆メリクリ☆    日付:12月31日(金) 19時3分
A町から川上のB町までの道のりは20kmあります。
今船でA町からB町まで行くの6時間かかりましたが、途中で機械の故障で40分流されました。流れの速さは毎時2kmです。
船の速さは毎時何kmですか。



18882.Re: またまた頭が痛いですぅぅぅ。。。
名前:☆メリクリ☆    日付:12月31日(金) 19時4分
すいません。学年は6年です。


18883.Re: またまた頭が痛いですぅぅぅ。。。
名前:ひで    日付:12月31日(金) 19時14分
「途中で」というのが難しく感じるところですね。
「途中で」とはいつでもいいんですから、「最初に」流されちゃいましょう。
40分=2/3時間ですから
2×2/3=4/3(km)だけ下ります。だから
20+4/3=21と1/3(km)だけそこから昇らないといけませんね。
時間は6時間のうち2/3時間は最初に流されてますので
6−2/3=5と1/3(時間)
ですから、舟の上りの速さは
(21と1/3)÷(5と1/3)=4(km/時)
となります。ちなみに舟の静水時の速さは川の流れが2(km/時)ですから
4+2=6(km/時)
となります。この問題、どちらを聞かれているのか分かりません。。。
舟の上る速さか、静水時の速さか。


18885.Re: またまた頭が痛いですぅぅぅ。。。
名前:☆メリクリ☆    日付:12月31日(金) 20時7分
Original Size: 567 x 434, 6KB

ありがとうございます。でも…。宿題では図と式の両方を書かなくちゃいけないんです。しかも、船は川を上っていくので、川の流れを引かなくちゃいけないんじゃないかな…。とか思ってしまいます。この4kmっていうのが、何の速さなのか、よくわかりません。こういう問題の図って、どうやって書けばいいのでしょうか。そもそも、わたしが考えている図がまちがっているかもしれません。図を添付しますので、よかったら、どなたか教えてくださいっ!!



18889.Re: またまた頭が痛いですぅぅぅ。。。
名前:AxlRose    日付:12月31日(金) 22時15分
おひさです(´∇`*

うーん、図を描くとしたらこんな感じになるのかな。



この図でいいのかどうかはわからないですけど、
この図を使えばけっこう楽に計算できますね。

まず上の矢印は船が川に全く押し流されなかったときに進む距離です。
もし水に流されなければ当然 B 地点よりも前に行くことになりますね。

このとき、船が走る時間は5時間20分ですね。

で、下の矢印はそれを川の流れが押し戻す距離です。
これによってちょうど B 地点まで戻されてるわけですね。

これは速さが時速 2[km]で 6 時間なので、2×6=12[km] になりますね。

したがって、船の矢印の長さは AB地点の距離の 20[km]に、
この 12[km]をたし合わせた 32[km] になりますね。

これを5時間20分=16/3時間で進むので、
 32÷(16/3) = 6
となり時速 6[km]であることがわかりますね。

http://fairytale.holy.jp


18890.Re: またまた頭が痛いですぅぅぅ。。。
名前:ひで    日付:12月31日(金) 23時23分
メリクリさん>
メリクリさんのこの宿題は塾か何かかな?なんであれ、えらいね!
もうすぐ2005年だけど来年もがんばってね。

さて、メリクリさんの図ですが、私が小学生に教えていたのとは若干違いますけど、それでも正解ですよ。4km/時はこの船が川を上る時の速さです。


AxlRoseさん>
驚きました。そんな解き方もあったんですね。川は常に流れているから6時間丸々。船が上ったのは5時間20分・・・。なるほどねぇ。。。そんな別解があったとはおどろきです。船の実際の速さではなく、見えない静水時の速さをそんな風に扱うとは、驚きです。年末に感動しました!


18891.Re: またまた頭が痛いですぅぅぅ。。。
名前:☆メリクリ☆    日付:1月1日(土) 0時19分
ひでさん・AxlRoseさん>
新年明けましておめでとうございます♪今年もよろしくお願いします!?
色々な解き方があるんですね〜ぇ!!参考にさせてもらいます☆


18893.Re: またまた頭が痛いですぅぅぅ。。。
名前:AxlRose    日付:1月1日(土) 2時48分
あけおめ、ことよろー(´∇`*

旅人算をちょっと応用しただけなのでどうぞご参考に(*゚ー゚)

http://fairytale.holy.jp

18880.教えて下さい!!お願いします;  
名前:はろぉきてぃ*→5年生☆    日付:12月31日(金) 18時42分
Original Size: 512 x 384, 6KB

図のように1目盛り1cmのマス目が入った1辺の長さが5cmの立方体があります。この立方体を図のように黒い部分を反対側の面までまっすぐくり抜きます。残った立体の体積は何cm^3ですか。



18884.Re: 教えて下さい!!お願いします;
名前:AxlRose    日付:12月31日(金) 19時17分
こんばんはー(´∇`*

地道に上から1段ずつ分けて考えていきましょう。

わかりやすいように上の"O"でくりぬかれるところを赤、
前の"T"でくりぬかれるところを青、
横の"H"でくりぬかれるところを緑で書いてます。

2つ以上の色を塗ってあるところももちろんくりぬかれてます。



残った部分は白いところの数を数えればわかりますね。

# 僕の掲示板での図の貼り方は僕の掲示板で説明しておきました(´∇`*

http://fairytale.holy.jp


18894.Re: 教えて下さい!!お願いします;
名前:はろぉきてぃ*→5年生☆    日付:1月1日(土) 10時19分
ありがとうございます!!
いつもわかりやすい図をありがとうございますm(_ _)m
大人の人にこんな事言っていいのかわかりませんけど・・・
あけおめ☆ことよろ〜**ですね!!


18895.おめ(´∀`)
名前:AxlRose    日付:1月1日(土) 12時37分
あけおめ〜(´∇`*
大人とはいえ20代なので気にせずにーw

http://fairytale.holy.jp


18900.Re: 教えて下さい!!お願いします;
名前:はろぉきてぃ*→5年生☆    日付:1月1日(土) 19時23分
これからもっと聞きますよ〜♪ 笑

18877.平面図形  
名前:悠人(高1)    日付:12月31日(金) 15時37分

点Aで外接する2つの円O、がある。円Oの中心を通り円に点Bで接する円Oとの交点を、C,Dとする。さらに直線DAと線分Bとの交点をE、円との交点をFとする。

(1)△CADと△EBDであることを証明せよ。
(2)CE//BFであることを証明せよ

という問題について、(1)は証明できましたが、(2)がわかりません・・・
よろしくお願いします。



18879.Re: 平面図形
名前:ヨッシー    日付:12月31日(金) 16時58分
問題文が、歯抜けになっています。
・2つの円とは、円Oと、何ですか?
文の中で、単に「円」となっているのがそれだと思われますので、
仮にそれを円Pとすると、文の前半は、
「点Aで外接する2つの円O、Pがある。円Oの中心を通り
円Pと点Bで接する直線と円Oとの交点を、点Bに近い方から
C、Dとする。」
あたりかなと推測できますが、「線分B」というのが、いよいよ
理解できません。

問題文を再度検証願います。
 
http://yosshy.sansu.org/


18886.すいません・・・
名前:悠人(高1)    日付:12月31日(金) 20時16分
本当にすいませんでした。
びっくりするくらい問題文が歯抜けになっていました・・
正しい問題は↓です。
どうかよろしくお願いします。

点Aで外接する2つの円O、がある。円Oの中心を通り円に点Bで接する直線と円Oとの交点を、C,Dとする。さらに直線DAと線分Bとの交点をE、円との交点をFとする。

(1)△CAD∽△EBDがであることを証明せよ。
(2)CE//BFであることを証明せよ


18888.Re: 平面図形
名前:えいぶ    日付:12月31日(金) 21時57分
変わってないような気がするのは気のせいですか?

18876.教えてください  
名前:ヨシタケ    日付:12月31日(金) 12時47分
中学3年です。
さいころを6回振るとき、出た目の最大値の数が3である確率を求めよ。

っていう問題なんですけど、3が確実に1回でて、あとの5回は3,2,1の
どれが出てもいいっていう1/6×(3/6)^5 では、答えと合わなかったんです。
どこが間違ってるか教えてください。

ちなみに答えは665/46656です。  



18878.Re: 教えてください
名前:ヨッシー    日付:12月31日(金) 16時47分
ヨシタケさんの解答は、「1回目に3、2回目以降に1,2,3が出る確率」です。
実際は、1,1,1,3,1,1 のような出方でも良いので、そういうのが抜けています。
また、それらの並べ替えも考慮すると、パターンが多すぎて大変です。

(1,2,3で構成される場合の数)から(1,2で構成される場合の数)を
引くことで、(最大が3の場合の数)を求めます。
 
http://yosshy.sansu.org/

18869.速さと比の問題です  
名前:Pico(小学6年)    日付:12月30日(木) 18時28分
次の問題どのように比を使えばいいのかわかりません。よろしくお願いします。
A地点から峠を越えてB地点まで行くのに上り道は時速3km、下り道は時速6kmで歩く人が、行きは3時間30分かかってB地点に着き、帰りは4時間かかってA地点に着きました。A地点から峠までの距離を求めなさい。ただし平地はないものとします。



18873.Re: 速さと比の問題です
名前:ヨッシー    日付:12月31日(金) 0時52分
時速のままでも良いですが、一応分速に直しておきます。
 上り:3km/時=50m/分
 下り:6km/時=100m/分
帰りの方が時間がかかっているので、峠からの距離は、Bの方が遠いことが
わかります。

Cを峠の頂上、Dは、CからBに行く途中の地点で、CA=CDとなる点とします。
A→C→D は、行きも帰りも同じ時間かかるので、差が付くとすれば、
D→B の部分です。
この部分が100mとすると、上り2分、下り1分で、1分の差が付きます。
30分の差が付くには、3000mの距離が必要です。
行きは、この間を
 3000÷100=30分で行くので、
A→C→D の部分は3時間かかります。
このうち、2時間が上り、1時間が下りなので、
A→C の距離は、2×3=6km
 
http://yosshy.sansu.org/


18874.Re: 速さと比の問題です
名前:Pico(小学6年)    日付:12月31日(金) 6時13分
ありがとうございました。
たいへんよくわかりました。

18867.方程式  
名前:なほ    日付:12月30日(木) 10時29分
x^2−x+k=0があり、その二つの解をα、βとする。
kが0≦k≦1/4を動く時、α/βは全ての非負実数となることを示せ。

コレをk=(sin2θ)^2/4とおけば答えが出たのですが、
もっと普通の2次方程式風の解法を探しています。
また、逆も言えるかどうか気になっています。
教えてください。宜しくお願いします。



18868.Re: 方程式
名前:ひで    日付:12月30日(木) 18時19分
α,βに条件はないんですか?
またk=0は含まれているんですか?


18870.Re: 方程式
名前:なほ    日付:12月30日(木) 18時32分
k=0も含みます。
α、βに条件はありません。

某掲示板に同じ質問があった…


18872.Re: 方程式
名前:ひで    日付:12月30日(木) 19時35分
Original Size: 280 x 300, 8KB

ちなみに出所はどこですか?
一応私なりの解答を載せておきますが、試験などでは言葉足らずなところがありますので、注意して下さい。(模範解答ではないです)
見づらいかもしれませんが、図を参照しながらお願いします。
y=x2−x+k(0≦k≦1/4)
とおきグラフをかくと図1のようになります。
(I)k=0のときグラフは図2のようになり、x軸との交点の座標は0,1
 よってα=0,β=1とおくとα/β=0/1=0
(II)k=1のときグラフは図2のようになり、x軸との交点の座標は1/2(重解)
よってα=β=1/2とおくとα/β=(1/2)/(1/2)=1
(III)0<k<1のときグラフは図1,図3のようになる。x軸との交点の座標がα,βであることからα<βとすると図1のようになる。
 またグラフはx=1/2について対称であるから1/2<β<1かつα+β=1 よって
  α/β=(1−β)/β=1/β−1
 ここで1/2<β<1より1<1/β<2となり0<1/β−1<1
(IV)α>βとすると図3のようになる。(III)と同様に考えて0<β<1/2かつα+β=1 よって
  α/β=(1−β)/β=1/β−1
  ここで0<β<1/2より2<1/βとなり1<1/β−1
以上から0≦k≦1/4のときα/β≧0となる。

いかがでしょう?



18875.Re: 方程式
名前:なほ    日付:12月31日(金) 10時17分
なるほど・・
二次方程式!!って感じでとくとこうなるのですね。
参考になりました。

18864.図形  
名前:初夏    日付:12月30日(木) 0時19分
球Pに内接する四面体ABCDがある。AB=BC=CA=a、CD=b、∠ACD=∠BCD=90°とする。球Pの半径をa,bを用いて表せ。
という問題なのですが...体積を出して図形の中心線を通る切り口を考えたりしましたができませんでした。宜しくお願いします。



18865.Re: 図形
名前:tonbi    日付:12月30日(木) 1時52分
こんな感じで
(1)AB=BC=CA=a より△ABCは正三角形となり、
 △ABCの重心から立てた垂線上に、面ABC球の中心があります。
(2)∠ACD=∠BCD=90°よりCDは、△ABCの頂点Cから立てた垂線となります。
 これらのことから、
△ABCの重心とC,Dを通る平面上に球の中心があることになり、その平面上で考えます。

断面が円となり、その半径・中心が、球の半径・中心となっていて、弦CD=b
●CDが断面の円の弦となりますので、球の中心はCDの垂直二等分線上にあります
●△ABCの重心とCとの距離が、球の中心と弦CDの距離となり{(√3)/3}a
●球の中心からCまでの距離が半径r
三平方の定理を用いて
 (b/2)^2+[{(√3)/3}a]^2=r^2
よって
 r=√[{(a^2)/3}+{(b^2)/4}]


18866.Re: 図形
名前:ひで    日付:12月30日(木) 2時2分
Size: 200 x 197, 5KB

tonbiさんのを図にしてみました。
球の対称性と、この三角錐が対称になっていることを上手く利用すれば三平方の定理のみでいけますね。
私は三角柱にして考えてみましたが(^_^)



18871.Re: 図形
名前:初夏    日付:12月30日(木) 19時18分
tonbiさん、ひでさんありがとうございました。助かりました

18855.確率の問題  
名前:tomo    日付:12月29日(水) 15時7分
度々すいません。
A,B,Cがゲームをする。ゲームに勝つ確率はAが1/2、Bが1/3、Cが1/6であり、
1試合で必ず勝者が1人でる。先に3勝したものが優勝となる。
このとき、4試合目で優勝者が決定する確率を求めよ。



18857.Re: 確率の問題
名前:らすかる    日付:12月29日(水) 15時16分
4試合目でAが優勝する場合、4試合目の勝者はAで、
1〜3試合目のうち2試合でAが勝ち、残りの1試合でBかCが勝ちます。
従って確率は(1/2)^3×(1/3+1/6)×3となります。
Bが優勝する場合、Cが優勝する場合も同様に考えて
合計を出せば、それが答です。

http://www10.plala.or.jp/rascalhp

18853.極限  
名前:花の男子高生    日付:12月29日(水) 14時12分
x→∞の時log(5^x-1)÷xを求めよ。

という問題なのですがよく分かりません。
式を微分して分子のみを整理すると
5^xlog5^x÷(5^x-1)-log(5^x-1)…★となり(多分)
5^x-1=Xとおくと
★=(X+1)log(X+1)÷X-logX となりました。
xが十分大きいなら★>0なのでこの式は単調増加である。
y軸以外に漸近線がなさそうなので答えは+∞だ! 
と少々短絡的な思考の末答えのようなものを出しましたが
ひどく不安です。考え方と答えがあっているかどうか
教えてください。



18854.Re: 極限
名前:ひで    日付:12月29日(水) 15時0分
解法を求められているようではないですので。とりあえずニュアンスから求まる解答だけ。。。
まずはx→∞のとき(5x−1)は5xと近似できますよね。ということはlog(5x−1)はほぼlog5x=x・log5と近似できます。すなわちx・log5/x→log5となります。
ただ、この求め方にはかなり無理があり、答案としては問題ありです。


18856.Re: 極限
名前:花パジャ    日付:12月29日(水) 15時11分
log(5^x-1)/x=log(5^x(1-5^-x))/x=(log5^x+log(1-5^-x))/x=log5+log(1-5^-x)/x
x→∞で1-5^-x→1なので(以下略)


18858.Re: 極限
名前:花の男子高生    日付:12月29日(水) 15時59分
ありがとうございました。


18859.Re: 極限
名前:花の男子高生    日付:12月29日(水) 16時28分
すいません。ところで★>0なので
式は単調増加であるということは
間違っていないでしょうか。

18849.確立  
名前:みなみ    日付:12月29日(水) 10時51分
赤球、白球がそれぞれ3こずつ入った袋から1個を取り出し
赤球を撮ったときは袋に戻さないでしろ球を取ったときは袋に
戻るとする。
この動作を繰り返して行うとき2回目に赤球を取る確率は?

どう式を立てればいいのか分かりません



18850.Re: 確立
名前:教員志望(大学生)    日付:12月29日(水) 11時11分
1回目に赤球をとったときと白球をとったときで2回目の状況が違うので場合わけをして考えたらいいです.
まず赤球を連続して取る確率を出して,次に1回目に白球,2回目に赤球をとる確率を出して,2つの確率の和をとればよいですね.
あと,題名は確立ではなく確率ですよね.よく変換間違いを僕もします・・・


18851.Re: 確立
名前:kei(高1)    日付:12月29日(水) 11時16分
一回目に赤球をとる場合と、白球を取る場合の2通りを考えます。

<一回目に赤球をとる場合>
一回目に赤球をとる確率は、3/6。
赤球を取った場合は袋にもどさないので、
袋の中身は(赤球2個、白球3個)となっている。
よってここから赤球をとる確率は、2/5。
一回目、二回目は互いに独立なので、
一回目に赤球をとり、二回目にも赤球を取る確率は、(3/6)*(2/5)
<一回目に白球をとる場合>
一回目に白球を取る確率は、3/6。
白球を取った場合は袋にもどすので、
袋の中身は(赤球3個、白球3個)となっている。
よってここから赤球を取る確率は、3/6。
一回目、二回目は互いに独立なので、
一回目に白球をとり、二回目に赤球を取る確率は、(3/6)*(3/6)

よって、求める確立は、(3/6)*(2/5)+(3/6)*(3/6)=9/20

18845.積分  
名前:けん    日付:12月29日(水) 9時46分
解き方がわかりません。
問 次の立体の体積を求めよ。a>0とする。
(1)2z≦x^2+y^2≦a^2,0≦z
(2)x^2+y^2≦a^2,x^2+z^2≦a^2



18846.Re: 積分
名前:ヨッシー    日付:12月29日(水) 10時1分
まず、どんな立体になるか、想像できないといけません。

(2) はこちらを参照のこと。
 
http://yosshy.sansu.org/


18852.Re: 積分
名前:けん    日付:12月29日(水) 11時34分
(2)はわかりました。
(1)で2z≦x^2+y^2≦a^2の部分がわかりません。

18844.n個の自然数の積  
名前:花の男子高生    日付:12月29日(水) 9時33分
n個の自然数a1,a2,a3,a4,....anがあり
これらn個の和はnより大きい定数kである。
このときこれらn個の自然数の積の最小値を求めよ。

考えたのですが、これはa1〜an-1までがすべて1で
anがk-n+1の時最小値k-n+1をとる、ということで良いのでしょうか?

教えてください。



18847.Re: n個の自然数の積
名前:ヨッシー    日付:12月29日(水) 10時21分
まぁ、そういうことでしょうね。
a1,a2,a3・・・an の中に、2以上の数が2つあり、それらをm、nとし
 2≦m≦n
であるとすると、
 (m−1)(n+1)=mn−(n−m+1)<mn
となり、両者の差を広げた方が、積は小さくなります。
これを、2以上の数が2つ以上ある限り続けると、最後は上のようになります。
 
http://yosshy.sansu.org/


18848.Re: n個の自然数の積
名前:花の男子高生    日付:12月29日(水) 10時34分
ヨッシーさん、こんなに早くにありがとうございます!!

18838.三角形  
名前:IGA(高1)    日付:12月28日(火) 18時48分
鋭角三角形ABCの頂点B,Cよりそれぞれ対辺AC、ABと交わる点をそれぞれD、Eとする。また、BDとCEの交点をHとし、角Aの大きさをA、辺BCの長さをaとする。

(1)△ABCと△ADEが相似であることを示せ。

これはできました

(2)線分DE、AHの長さをAとaで表せ。
これができません。解説をみるとcosAを使うみたいですが・・・よくわかりません。
お願いします。



18841.Re: 三角形
名前:kei(高1)    日付:12月28日(火) 19時55分
>頂点B,Cよりそれぞれ対辺AC、ABと交わる点をそれぞれD、Eとする。
とありますが、ここのところが意味をなしてないと思います。
問題文の写し違いだと思いますがどうでしょうか。


18860.Re: 三角形
名前:IGA(高1)    日付:12月29日(水) 16時32分
すいません。
正しくは
鋭角三角形ABCの頂点B,Cよりそれぞれ対辺AC、ABに引いた垂線が辺AC、ABと交わる点をそれぞれD、Eとする。また、BDとCEの交点をHとし、角Aの大きさをA、辺BCの長さをaとする。

お願いします。


18861.Re: 三角形
名前:kei(高1)    日付:12月29日(水) 17時53分
BCの中点をMとすると、
中心をMとし、B,C,D,Eを通る円が描けます。_@
(∵∠BEC=∠CDB=90°)
ここで、△MDEについて考えます。
まず、ME=MD=a/2ということが分かる。(∵@)
よって、∠DMEの大きさをAで表せれば、
余弦定理を使ってDEの長さをAとaで表せるので、
 ∠DMEの大きさをAで表すことを考えます。
 ∠ABC=B,∠ACB=Cとすると、
 ∠CME=∠MBE+∠MEB=2B
 ∠BMD=∠MCD+∠MDC=2C
 より、180°+∠DME=∠CME+∠BMD=2B+2Cと分かる。
 ところで、A+B+C=180°なので、∠DME=180°-2Aである。
これで∠DMEの大きさをAで表せたので、余弦定理を使えばよい。
DE^2=(a/2)^2+(a/2)^2-2*(a/2)*(a/2)*cos(180°-2A)
=(a^2)*{(1+cos2A)/2} (∵cos(180°-2A)=-cos2A)
=(a^2)*(cosA)^2 (∵半角の公式を使った。)
ゆえにDE=acosA
(∵DE>0,a>0,cosA>0より)


18862.AHの長さ
名前:kei(高1)    日付:12月29日(水) 18時17分
AHの中点をNとすると、Nを中心としてA,E,H,Dを通る円が描ける。
ここで△NDEについて考える。
まず、DEの長さはacosAであると分かっている。
次に、円周角の公式(名前あってるかな・・・)より、
∠EAD=(1/2)*∠ENDであるので、∠END=2Aであると分かる。
さらに、NE=ND=AH/2であることも分かるので、
余弦定理を用いればAHの値をa及びAで表すことは可能である。
 (acosA)^2=(AH/2)^2+(AH/2)^2-2*(AH/2)*(AH/2)*cos2A
⇔(acosA)^2/AH^2=(1-cos2A)/2=(sinA)^2 (∵半角の公式より)
⇒(acosA)/AH=sinA (∵acosA>0,AH>0,sinA>0より)
⇔AH=a/tanA
計算に自信ないですが考え方はあってると思います。。。(ーー;)


18898.Re: 三角形
名前:IGA@親の実家    日付:1月1日(土) 18時24分
すいません。半角の公式とはなんでしょうか。

18830.重積分  
名前:けん    日付:12月28日(火) 14時43分
またすいません。
問いの解き方を教えてください。
(1)∫∫∫v dxdydz [v:x^2+y^2≦2x,x≦z≦2x] (変数変換を使って)  解→π
(2)∬s√xdxdy [s:(x,y)|x^2+y^2≦x] 解→8/15

18825.3重積分  
名前:けん    日付:12月28日(火) 11時36分
次の問題の解法がわかりません。
∫∫∫v e^(x+y+z)dxdydz V={(x,y,z)|0≦x,y,z≦1}



18827.Re: 3重積分
名前:X    日付:12月28日(火) 13時35分
e^(x+y+z)=(e^x)(e^y)(e^z)

(与式)
=(∫[x:0→1](e^x)dx)(∫[y:0→1](e^y)dy)(∫[z:0→1](e^z)dz)
=([e^x][x:0→1])^3
=(e-1)^3


18828.Re: 3重積分
名前:けん    日付:12月28日(火) 13時45分
ありがとうございました。

18820.順列の問題  
名前:tomo    日付:12月28日(火) 7時40分
1〜9までの9枚のカードから同時に4枚取るとき、
それらのカードの数の積が10の倍数になるのは何通りあるか。
よろしくお願いいたしします。



18823.Re: 順列の問題
名前:らすかる    日付:12月28日(火) 10時45分
10の倍数になるためには、偶数のカードと5のカードが
含まれていなければなりません。
「偶数のカードが1枚以上含まれている場合の数」は
そのままでは計算しにくいので、
(5のカードが含まれている全ての場合の数)−(5のカードが
含まれていて偶数のカードが含まれていない場合の数)
を計算します。

http://www10.plala.or.jp/rascalhp


18824.Re: 順列の問題
名前:tomo    日付:12月28日(火) 11時2分
なるほど。解説ありがとうございます。

18819.文章題、教えてください。  
名前:鈴@小6    日付:12月28日(火) 7時35分
えんぴつが何本かあります。3本ずつ組にすると2本余ります。4本ずつ組にすると3本余ります。7本ずつ組にすると1本余ります。えんぴつは何本あるでしょう。100本以内だとして答えましょう。         
よろしくお願いします。



18822.Re: 文章題、教えてください。
名前:らすかる    日付:12月28日(火) 10時40分
えんぴつを1本増やすと、3本ずつ組にして余りなし、
4本ずつ組にして余りなし、7本ずつ組にして2本余り
となりますね。
従って、3でも4でも割り切れる数の中から7で割ると
2余るものを探し、それから1を引いたものが答となります。

http://www10.plala.or.jp/rascalhp


18826.ありがとうございました。
名前:鈴@小6    日付:12月28日(火) 12時51分
らすかるさん。教えて頂きありがとうございました。
こうやって答えを出すなんて、思いつきませんでした。
気づかない私は馬鹿なのかなぁ・・・・・・・。


18836.Re: 文章題、教えてください。
名前:らすかる    日付:12月28日(火) 16時31分
初めての問題で気付かなくても、一度解法がわかれば
次は解けますよね。
そうやってたくさん問題を解けば、応用もきくようになって
すらすら解けるようになると思います。頑張って下さい。

http://www10.plala.or.jp/rascalhp

18812.共通解の問題  
名前:けーすけ@高1    日付:12月27日(月) 21時54分
こんばんは、冬休み用のワークで
わからない問題があり、参上した次第でございます。

『2つのxの方程式x^2+x+k=0,x^3-x^2+2(k-2)x-(k+2)=0が
2つの共通解を持つとき、kの値と共通解を求めよ。』

というものです。
皆目検討がつかず、あせっております(^^;)
よろしくお願いいたします。



18813.Re: 共通解の問題
名前:kei(高1)    日付:12月27日(月) 22時38分
x^2+x+k=0の両辺を(x-2)倍すると、
x^3-x^2+(k-2)x-2k=0_@となる。
共通解をxとすると、その共通解は@,x^3-x^2+2(k-2)x-(k+2)=0を満たすので、x^3-x^2+(k-2)x-2k=x^3-x^2+2(k-2)x-(k+2)=0が成り立つ。
これを変形して(k-2)x=-(k-2)_Aを得る。
ところで、k-2=0だとすると、方程式x^2+x+k=0が実数解をもたないので、
k-2≠0。
よってAはk-2で割れるので、Aの両辺をk-2で割ると、
x=-1。よって-1は二つある共通解のうちの一つである。
これをx^2+x+k=0に代入して、k=0。
よって方程式x^2+x+k=0はx^2+x+0=0となるので、二つの共通解は0,-1


18814.失礼しました。
名前:kei(高1)    日付:12月27日(月) 23時11分
6行目に「方程式x^2+x+k=0が実数解をもたないので、」と書いてしまいましたが、共通解が実数解であるとは問題文中に書いていませんでしたね。6行目以降を下記のように訂正します。
k-2≠0とすると、
x^2+x+k=0に代入して、k=0。
よって方程式x^2+x+k=0はx^2+x+0=0となり、
その解は-1,0であるが、x=0を方程式x^3-x^2+2(k-2)x-(k+2)=0に代入すると、k=-2となり、k=0と矛盾する。
よってk-2=0⇔k=2
これを方程式x^2+x+k=0に代入して、
二つの(共通)解{-1±√(7)i}/2を得る。

18808.方程式(急いでいます)  
名前:たみこ    日付:12月27日(月) 19時28分
どなたか教えてください。
整係数の代数方程式f(x)=0がx=1-2^(1/3)+2^(2/3)を解としてもてば、f(x)はx^3-3x^2+9x-9で割り切れることを証明せよ。



18809.Re: 方程式(急いでいます)
名前:みっちぃ    日付:12月27日(月) 19時57分
x=1-[3]√2+[3]√4が解のときに,もとの方程式を復元したいので
(x-1)=-[3]√2+[3]√4…@として両辺を3乗.

すると,x^3-3x^2+3x-1=2(2-3*[3]√4+3*[3]√2-1)
x^3-3x^2+3x-1=2-6*([3]√4-[3]√2)となり,

@より,[3]√4-[3]√2=x-1なので,
x^3-3x^2+3x-1=2-6(x-1)⇒x^3-3x^2+9x-9=0

とx=1-[3]√2+[3]√4が解となる整数係数の3次方程式は,
x^3-3x^2+9x-9=0であり,f(x)=(x^3-3x^2+9x-9)*(xの多項式)の
形で書けるので,f(x)はx^3-3x^2+9x-9で割り切れる.


18810.Re: 方程式(急いでいます)
名前:たみこ    日付:12月27日(月) 20時56分
ありがとうございます。質問ですが、表記のことについて、-[3]√2は立方根ということでしょうか?


18811.Re: 方程式(急いでいます)
名前:みっちぃ    日付:12月27日(月) 21時6分
その通りです.混乱させてしまって申し訳ありませんm(_ _)m


18817.Re: 方程式(急いでいます)
名前:ひで    日付:12月28日(火) 1時43分
質問です。
確かにx3-3x2+9x-9=0の解の1つはx=1-21/3+22/3ですが、3次方程式である以上、残り2つの解が(ひょっとすると虚数解になるかもしれませんが)存在することが一般論ですよね。ということは代数方程式f(x)=0の解のうちの2つは、x3-3x2+9x-9=0の解の残りの2つの解にもなっていないといけません。ここでポイントは整係数であることですよね?
すなわちx=1-21/3+22/3を解にもつ3次方程式はx3-3x2+9x-9=0が唯一であることを示さなければならないのではないですか?


18818.Re: 方程式(急いでいます)
名前:ひで    日付:12月28日(火) 2時47分
すいません。自分で先程の返信に怪しい表現(「唯一」という部分)があったことに気づいたので、改めて・・・。m(_ _)m

みっちぃさんの解説だと
「f(x)はx3-3x2+9x-9で割り切れる」⇒「f(x)=0がx=1-x1/3+22/3を解としてもつ」
は示されています。しかし
「f(x)=0がx=1-x1/3+22/3を解としてもつ」⇒「f(x)はx3-3x2+9x-9で割り切れる」
ということが示されていないと思ったんです。
例えば
「f(x)がx=1を解に持てば、f(x)はx2-xで割り切れるか」
という問題があれば、それっておかしいですよね?すなわち例えばf(x)=x3-3x2+3x-1はx=1を解に持ちますが、x2-xでは割り切れません。
この問題のポイントは解が3乗根を持っていることと整数の係数であることだと思うのです。そこをどのように証明に盛り込むかだと思いました。いかがでしょう?


18821.Re: 方程式(急いでいます)
名前:たみこ    日付:12月28日(火) 9時18分
g(x)=x^3-3x^2+9x-9とおく。
また、f(x)をg(x)で割った商をQ(x)、あまりをR(x)とおく。
f(x)=g(x)Q(x)+R(x)・・・(1)
ここで
g(x)=x^3-3x^2+9x-9=(x-1)^3+6x-8
x=1-2^(1/3)+2^(2/3)なので、
x-1=-2^(1/3)(1-2^[1/3])
(x-1)^3=-2(1-3・2^(1/3)+3・2^(2/3)-2)
よって、
g(x)=-2(1-3・2^(1/3)+3・2^(2/3)-2)+6(1-2^(1/3)+2^(2/3))-8=0
よってg(1-2^(1/3)+2^(2/3))=0
(1)からf(x)=g(x)=0より、「R(x)=0となる」
したがって、割り切れる。

ではだめでしょうか?


18829.Re: 方程式(急いでいます)
名前:ひで    日付:12月28日(火) 14時37分
この問題はおそらく私も知っている出所だと思います。
だとすると、相当きっちりした解法が要求されていると思ったんです。
私も全く同じ問題を2ヶ月くらいかかっていて、未だもっともスリムに良い解法が浮かんでいないんです。パワーで持ち込むしか・・・。

さて、たみこさん、もしその解法が許されるなら上の私の発言の「例えば」以降を解いてみて下さい。その証明と同じやり方ではおかしい結果が得られますので。すなわち証明の反例になっていますから。

g(x)=x2-xとおく。
また、f(x)=x3-3x2+3x-1をg(x)で割った商をQ(x)、あまりをR(x)とおく。
f(x)=g(x)Q(x)+R(x)・・・(1)
ここで
g(x)=x2-x=x(x-1)
よって、
g(1)=1×(1-1)=0
(1)からf(x)=g(x)=0より、「R(x)=0となる」
したがって、割り切れる。

という証明になりx3-3x2+3x-1がx2-xで割り切れるという、おかしい結果が出てしまいます。。。(T_T)


18831.Re: 方程式(急いでいます)
名前:たみこ    日付:12月28日(火) 15時24分
それではどこを手直しして証明しなおせばよろしいのでしょうか。


18832.Re: 方程式(急いでいます)
名前:みっちぃ    日付:12月28日(火) 15時38分
>たみこさん
それでいいですよ.ちなみに私の解答も問題はありません.
このあとに,ひでさんの質問にむけた回答を作成します.


18833.Re: 方程式(急いでいます)
名前:たみこ    日付:12月28日(火) 16時13分
みっちぃさんのでよろしいのでしょうか?色々と意見が出ているのですが正確なご解答を教えてくださいますか?


18834.Re: 方程式(急いでいます)
名前:みっちぃ    日付:12月28日(火) 16時21分
>ひでさん
おもしろい問題提起ですね.ありがとうございます.
ひでさんの質問に対する回答はありますが,少し高度な問題で,
完璧に説明しようと思うと高校の範囲を逸脱します.
ですので,ある程度の説明しかできませんがご勘弁ください.

整数(有理数でもよい)係数の方程式は,
解が1つ与えられると,その解を持つ最小次数の有理数係数の方程式と
対になる解が全て復元できるという性質を持ちます.
ポイントは最小次数というところ.

例えば,x=1+√3を解にもつ有理数係数の方程式は,
同時にx=1-√3を持たなければならず,元の方程式は
x^2-2x-2=0となります.

このように,有理数係数の方程式が,無理数や虚数の解を持つとき
1つの解に対して,ペアになる解というのが必ず付きまといます.
もちろん,「実数係数の方程式の解が虚数なら,その共役複素数も解になる」という原理も同じことです.

たみこさんの質問にあったx=1-[3]√2+[3]√4は,ペアになるべき解として
x=1+ω*(-[3]√2+[3]√4),1+ω^2*(-[3]√2+[3]√4)を持ちます.
(これ以外には存在しない!!)
逆に,これらの解を持っていないと,x=1-[3]√2+[3]√4を解にもつような,整数(有理数)係数の方程式は作り得ません.
(その説明は難しい)

つまり,たみこさんの問題が「x^3-3x^2+9x-9で割り切れることを…」
となっているのは,ペアになるべき2つの解が隠れているから,
割る式が3次になっているわけで,
ひでさんの反論で出してきた例とは,本質的に違うわけです.


18835.Re: 方程式(急いでいます)
名前:たみこ    日付:12月28日(火) 16時25分
自分の解答したところで、「R(x)=0となる」のところで×をされてしまったのですが、そこのところ教えていただけますか?


18837.Re: 方程式(急いでいます)
名前:みっちぃ    日付:12月28日(火) 16時34分
>たみこさん
あっています.むしろ,ひでさんの指摘の方が間違っています.

ただ,
>(1)からf(x)=g(x)=0より、「R(x)=0となる」

は,特別なx=1-[3]√2+[3]√4を代入するのだから,
a=1-[3]√2+[3]√4とおいて,
>(1)からf(a)=g(a)=0より、「R(a)=0となる」
の方がよいでしょう.


18840.Re: 方程式(急いでいます)
名前:ひで    日付:12月28日(火) 19時40分
みっちぃさん>
ご回答ありがとうございます。感謝します。

>ひでさんの質問に対する回答はありますが,少し高度な問題で,
>完璧に説明しようと思うと高校の範囲を逸脱します.

そうですね。高校の範囲であればいいんですが、私が取り組んだ問題は某通信制大学のレポート課題でした。大学の課題ということであれば、そこまで厳密に説明しないといけないのではないでしょうか? 実はみっちぃさんと全く同じ解答を作ったことがあるんです。しかし一刀両断されてしまいました。

>たみこさんの質問にあったx=1-[3]√2+[3]√4は,ペアになるべき解として
>x=1+ω*(-[3]√2+[3]√4),1+ω^2*(-[3]√2+[3]√4)を持ちます.
>(これ以外には存在しない!!)
>逆に,これらの解を持っていないと,x=1-[3]√2+[3]√4を解にもつような,整数(有理数)係数の方程式は作り得ません.

私の質問はここに部分なんです。3次方程式の解の公式からも明らかと言えば明らかですよね?しかしこの部分を断定しちゃっていいものなのでしょうか? 実はこの部分を問われている問題ではないかと思っているんです。


18842.Re: 方程式(急いでいます)
名前:みっちぃ    日付:12月28日(火) 20時1分
>ひでさん
確かに,高校生だと確実に○がもらえるんやけど
大学生だとあの解答はまずいですね.
そこまで難しい議論を避けるなら,
R(x)=ax^2+bx+cとおいて,p=1-[3]√2+[3]√4を
f(x)=g(x)Q(x)+R(x)に代入して,(g(x)=x^3-3x^2+9x-9)
f(p)=g(p)=0から
R(p)をa,b,cの方程式にして,a,b,cが有理数であることから,
a=b=c=0を導くのが筋でしょう.

で,ペアになる解についての断定は無根拠ではやめた方がよさそうですね.


18843.Re: 方程式(急いでいます)
名前:ひで    日付:12月28日(火) 21時3分
みっちぃさん>
何度も繰り返しありがとうございます。やはりその進め方になるんですかねぇ・・・。発言番号18829で「パワーで」と書いたのはそのやり方なんです。それでいくと(1-2^(1/3)+2^(2/3))^2の展開が結構面倒であることと、
  p+q×2^(1/3)+r×2^(2/3)=0(p,q,rは有理数) ⇔ p=q=r=0
の証明をしないといけないことが大変でした。それともう一つ。「整係数関数を整係数で割るとその係数は有理数になる」は自明ということにしても問題ないですよね?
※私はその通信大学とは無関係です。ただひょんなことからその問題集を見て、解答を作ってみようと思っただけなんです。。。

18805.恒等式  
名前:ふみや    日付:12月27日(月) 17時6分
(1)a,bは実数で(a+ 1/b=b+ 1/aが成り立つととする。次の問に答えよ。
(a=bでない)
@積a,bの値を求めよ。
AK=a-bとおくとき、Kの値を求めよ。
(2)x+y+z=1/x +1/y +1/z=1ならば、x,y,zのうち、少なくとも、1つは1に等しいことを示せ。

 よろしくお願いします。



18807.Re: 恒等式
名前:HybridTh.(大学3年)    日付:12月27日(月) 17時58分
(1)
a + 1/b = b + 1/a の両辺に ab を掛けて a2b + a = ab2 + b ⇔ (ab + 1)(a - b) = 0.
a ≠ b より ab + 1 = 0, ∴ab = -1.

K = a - b の値は, 一意に決まらないような気がします.
例えば, a = 1, b = -1 のときを考えてみると K = 2 ですが, a = 2, b = -1/2 のときは K = 5/2 となります. 文字を使ってよいのなら, K = a - b = a - (-1/a) = a + 1/a です.

(2)
「x, y, z のうち少なくとも1つは 1 に等しい」を式で表せば
 (x-1)(y-1)(z-1) = 0 …(*)
となります. したがって, (*)を示せばよいわけです.

x + y + z = 1/x + 1/y + 1/z = 1 より
 x + y + z = 1 ⇔ (x + y + z) - 1 = 0 …(*1)
 1/x + 1/y + 1/z = 1 ⇔ yz + zx + xy = xyz ⇔ xyz - (xy + yz + zx) = 0 …(*2)
(*1)+(*2) より
 xyz - (xy + yz + zx) + (x + y + z) - 1 = 0
 ⇔ (x-1)(y-1)(z-1) = 0
したがって, 題意は示された.

18794.1次関数の問題。  
名前:シン [中2]    日付:12月27日(月) 13時8分
y=1/3x+bに(0,6)を代入したらy=1/3x−6になって、(2,0)を代入したらy=1/3x−2/3になるのですが、これでいいのでしょうか?それと、mの式ですが、このy=1/3x−6に、xに4を代入するということなのでしょうか?すみませんが教えて下さい。



18795.Re: 1次関数の問題。
名前:シン [中2]    日付:12月27日(月) 13時8分
すみません。。書くところを間違えました。


18798.Re: 1次関数の問題。
名前:顔なし    日付:12月27日(月) 14時1分
(0,6)の0とは6とはそれぞれなんでしょう?
(2,0) 同上


18799.Re: 1次関数の問題。
名前:シン [中2]    日付:12月27日(月) 14時20分
↓に書いてある、問題がぁるんですけど、、書くところを間違えてしまいまして。。直線Lは2点(0,−6),(2,0)を通るから・・・・。。という問題なんです。私の質問の1個↓の質問の問題を見ていただけると幸いです。すみません。。


18801.Re: 1次関数の問題。
名前:顔なし    日付:12月27日(月) 14時50分
 解ってて聞きました、それがヒントになると思って、、。
(0,6)を通る、、、0って?6って?
それで上の式に何を代入したか?


18802.Re: 1次関数の問題。
名前:シン [中2]    日付:12月27日(月) 15時0分
あ!顔なしさんすみません。。ょくゎかりませんょね。。説明がへたくそなので・・・。。自分で何度もやったらわかりました!!迷惑かけてすみません。。ヨッシーさん、ヒントくださってぁりがとぅございます!

18787.1次関数の問題。  
名前:シン [中2]    日付:12月27日(月) 11時10分
直線Lは2点(0,−6),(2,0)を通り、直線mは点(−8,0)を通る。また、点Aは2直線L,mの交点で、そのxの座標は4である。点Bの座標を(6,−3)とするとき、次の問いに答えよ。            (1)直線Lの式を求めよ。 これは、(0,−6),(2,0)を連立方程式で解くのですか?後、(2)直線mの式を求めよ。この問題もよくわからないんです。。詳しい説き方をできれば教えてほしいです。宜しくお願いします。



18791.Re: 1次関数の問題。
名前:ヨッシー    日付:12月27日(月) 12時44分
2点を通る直線の式が、確実に導けるようになることが、この問題
((1)も(2)も)では必要です。

y=ax+b とおいて、(0,-6)および(2,0) を代入して、2つの式を作り、
連立方程式を解いて、a,b を求める。

傾きをまず求めて、(この場合は、1/3 です)
 y=(1/3)x+b
として、(0,-6)または(2,0)を代入して、bを求める。

どちらの方法でも良いです。

1.Lの式を求める
2.L上で、x座標が4の点を求める
3.その点と、(-8,0) とを通る直線mの式を求める。
 
http://yosshy.sansu.org/


18800.Re: 1次関数の問題。
名前:シン [中2]    日付:12月27日(月) 14時21分
y=1/3x+bに(0,6)を代入したらy=1/3x−6になって、(2,0)を代入したらy=1/3x−2/3になるのですが、これでいいのでしょうか?それと、mの式ですが、このy=1/3x−6に、xに4を代入するということなのでしょうか?すみませんが教えて下さい。


18816.Re: 1次関数の問題。
名前:Bob    日付:12月27日(月) 23時46分
L:y=ax+b として
 −6=a・0+b  
 0=2a+b よってL:y=3x−6
A(4,6)・・・・直線Lより
m:y=cx+dとして
 A(4,6)と(−8,0)を通る。
  6=4c+d
  0=−8c+d c=1/2 d=4
 m:y=(1/2)x+4

18786.トレミーの定理  
名前:new(高2)    日付:12月27日(月) 11時8分
トレミーの定理は、平行四辺形や長方形など特殊な場合は成り立たないのですか?平行四辺形で使ってみましたが違う答えが出てきました。教えて下さい。



18788.Re: トレミーの定理
名前:Rov    日付:12月27日(月) 12時2分
「円に内接する四角形ABCDに対して、AC×BD=AB×DC+AD×BC」っていう定理ですよね。これはどんな四角形でも成り立つと思いますよ。(証明も一般の四角形で出来ますし)。newさんの書いた平行四辺形というのは、円に内接してますか?


18793.Re: トレミーの定理
名前:kei(高1)    日付:12月27日(月) 13時7分
長方形でない平行四辺形は絶対に円に内接しませんね。


18796.Re: トレミーの定理
名前:new(高2)    日付:12月27日(月) 13時10分
今見てみましたが、問題には内接しているとは書いてありませんでした。内接さえしていればどんな四角形でも成り立つわけですね?


18797.Re: トレミーの定理
名前:Rov    日付:12月27日(月) 13時11分
内接していれば成り立つと思いますよ。


18806.Re: トレミーの定理
名前:new(高2)    日付:12月27日(月) 17時37分
わかりました。Rovさん、keiさんありがとうございました。

18785.申し訳ないのですがもう1題  
名前:初夏    日付:12月27日(月) 2時16分
実数tに対して直線(1-t^2)x-2ty=1+t^2はtの値によらずある円cに接しているものとする。tがt≧1の範囲を動く時、直線の通過する
範囲を図示せよ。
という問題でc:x^2+y^2=1、接点は((1-t^2)/(1+t^2)、-2t/(1+t^2))というのもすぐにでるのですが...その後が続きません。
宜しくお願いします



18789.Re: 申し訳ないのですがもう1題
名前:ヨッシー    日付:12月27日(月) 12時6分
円の式がわかっているのなら、あとは接線の傾きだけですね。
t≧1 なので、両辺2tで割って、y=・・・の形にして、
傾きの取る範囲を調べたらどうでしょう。
 
http://yosshy.sansu.org/


18790.Re: 申し訳ないのですがもう1題
名前:初夏    日付:12月27日(月) 12時37分
すいません両辺2tで割って動ことなのでしょうか??
私はy=-1/tx+1/tと出したのですがtの値によらず通る点が見つけられずうまくいかないのですが


18792.Re: 申し訳ないのですがもう1題
名前:ヨッシー    日付:12月27日(月) 12時49分
 (1-t^2)x-2ty=1+t^2
移項して整理すると
 2ty=(1−t^2)x−(1+t^2)
両辺2tで割って、
 y=(1−t^2)x/2t−(1+t^2)/2t
(1−t^2)/2t が傾きになります。

ちなみに、tの値によらず、1点を通るとは書いてありません。
「円に接する」です。
 
http://yosshy.sansu.org/


18803.Re: 申し訳ないのですがもう1題
名前:Rattle    日付:12月27日(月) 15時49分
上の直線の式をtに関する二次方程式とみて、それがt≧1で解を持つときのx,yの関係式を求める、という方法はどうでしょう?


18804.Re: 申し訳ないのですがもう1題
名前:花パジャ    日付:12月27日(月) 16時51分
接点の動きを追いかけるのが楽なのでは
その際、t=tan(θ/2)とかと置くとより見やすかったり


18815.Re: 申し訳ないのですがもう1題
名前:初夏    日付:12月27日(月) 23時46分
ヨッシーさん、Rattleさん、花パジャさんありがとうございました。ヨッシーさん、tの値によらず通る点が見つからないと述べたのはそれを基準にして傾きを考えれば(結局は傾き、切片両方いっぺんに動き捉えづらいものなのですね)簡単に図示できるかと思ったからで...分かりにくい文章書いてすいませんでした。これからもどうか宜しくお願いします

18780.(untitled)  
名前:kei(高1)    日付:12月26日(日) 17時27分
I)〜W)より、求める領域は、
放物線y=x^2と直線y=x/2+1/2によって囲まれている部分(ただし、境界線はすべて含む。)と、放物線y=-x^2と直線y=-x/2-1/2によって囲まれている部分(ただし、境界線は、放物線の部分は含み、直線部分は含まない。また、放物線と直線との交点の座標も含まない。)



18783.Re: (untitled)
名前:初夏    日付:12月26日(日) 19時25分
ん〜答えは直線y=1/2x+1/2とy=-1/2x-1/2(-1/2≦x≦1)です。やはり私の計算が途中(T)が違ってました。
ありがとうございました。


18784.Re: (untitled)
名前:kei(高1)    日付:12月26日(日) 22時47分
すいません。
I)の"x^2+y≧0かつx^2-y≧0(⇔y=x^2)"は
"x^2+y≧0かつx^2-y≧0(⇔y≧-x^2かつy≦x^2)"の間違いでした。
たしかにそうなりますね。失礼しましたm(__)m

18777.絶対値の問題なのですが...  
名前:初夏    日付:12月26日(日) 16時9分
| x^2+y |+| x^2-y |≦x+1の表す領域を図示し面積を求めよという問題なのですが4通りに場合わけ(x^2+yが2通りx^2-yが2通りの4通り)をしそれぞれの式を移項したのですが...うまくいきません
宜しくお願いします



18779.Re: 絶対値の問題なのですが...
名前:kei(高1)    日付:12月26日(日) 17時10分
I)x^2+y≧0かつx^2-y≧0(⇔y=x^2)のとき
x^2+y+x^2-y≦x+1⇔-1/2≦x≦1
U)x^2+y≧0かつx^2-y<0(⇔y>x^2)のとき
x^2+y-x^2+y≦x+1⇔y≦x/2+1/2
V)x^2+y<0かつx^2-y≧0(⇔y<-x^2)のとき
-x^2-y+x^2-y≦x+1⇔y≧-x/2-1/2
W)x^2+y<0かつx^2-y<0のとき
これを満たす実数yは存在しない。

18775.式の計算証明問題  
名前:あきたか    日付:12月26日(日) 15時25分
中学2年です。証明の仕方がわかりません。教えてください。
2つの異なる整数a、bがある。aを9でわると余りが7で、bを6でわると余りが4である。このときa+bを3でわると余りが2になるわけを説明しなさい。



18776.Re: 式の計算証明問題
名前:    日付:12月26日(日) 15時42分
>aを9でわると余りが7
ではaを3で割ると余りはいくつか分かりますか?

>bを6でわると余りが4
bを3で割ると余りはいくつか分かりますか?

上の二つが分かればa+bを3で割ったときの余りが分かりますよ。

18771.図形問題です。  
名前:かず    日付:12月26日(日) 11時50分
Original Size: 567 x 419, 23KB

問題は画像に書いておきました。解き方を教えてください。
途中計算などもできる限りお願いしたいと思います。



18772.Re: 図形問題です。
名前:花パジャ    日付:12月26日(日) 13時20分
点Aが辺BCの垂直二等分線上にあることに気付けば余弦定理は要らないですね


18778.Re: 図形問題です。
名前:kei(高1)    日付:12月26日(日) 16時45分
直線ADと直線BCの交点をEとすると、∠E=60°より、ED:EC=2:1
よって、点Aから直線BCに下ろした垂線の足をFとすると、DC平行AFより
DA:CF=ED:EC=2:1。仮定よりAD=BCなので、
(花パジャさんが言うように)点Aは線分BCの垂直二等分線上にある。
よって、α=45°,β=75°


18781.Re: 図形問題です。
名前:kei(高1)    日付:12月26日(日) 17時55分
<別解>
AD=1とすると、BD=√2となる。また、∠ADB=105°である。 
ここで余弦定理を使うと、
AB^2=1^2+(√2)^2-2√2*cos105°(☆)の式を得る。
よってAB=√(√3+2)(∵AB>0)
ここで正弦定理を使うと、
√2/sinα=√(√3+2)/sin105°(☆)の式を得る。
よってsinα=1/√2(★)となるので、α=45°。

(☆)
105°=45°+60°と考えて加法定理を使うと、cos105°の値とsin105°の値は求められる。
(★)
式の途中に出てくる2√(√3+2)は、2を√の中に入れて、
√(4√3+8)とし、さらに√(2√12+8)と変形すると、8=2+6,12=2*6より、
√(2√12+8)=√6+√2だと分かる。


18782.Re: 図形問題です。
名前:    日付:12月26日(日) 18時47分
BCDEが正方形となるように点Eをとれば、
ADEは正三角形ですね。


18839.Re: 図形問題です。
名前:かず    日付:12月28日(火) 18時53分
なぜ点Aが辺BCの垂直二等分線上にあるということがわかるとα=45°,β=75° と求まるのですか?この辺をもう少し詳しく教えてください。よろしくお願いします。


18863.Re: 図形問題です。
名前:kei(高1)    日付:12月29日(水) 18時32分
点Aが辺BCの垂直二等分線上にあるということは、
△ABCはAB=ACの二等辺三角形だということです。_@
ところで、△DACは二等辺三角形なので、∠DCA=15°です。
よって∠ACE=90°-15°=75°と分かります。
ここで、@より、β=∠ACE=75°であることが分かります。
βの値が分かれば、当然αの値も求まります。
(たとえば、四角形の内角の和が360°であることを使う)

18770.連立方程式を教えて下さい。  
名前:ヵナ    日付:12月26日(日) 11時49分
周囲の長さが8kmの池がある。この池をA、B2人が自転車で、同時に同じ場所を出発して、反対の方向にまわると12分で出会い、同じ方向にまわると48分でAがBをちょうど1周追いぬくという。A、Bの速さはそれぞれ時速何kmか。



18773.Re: 連立方程式を教えて下さい。
名前:AxlRose    日付:12月26日(日) 13時23分
こんにちは。

まずは単位を時間にそろえておきます。

周囲の長さが8kmの池がある。この池をA、B2人が自転車で、同時に同じ場所を出発して、反対の方向にまわると1/5時間で出会い、同じ方向にまわると4/5時間でAがBをちょうど1周追いぬくという。A、Bの速さはそれぞれ時速何kmか。

では、これをもとに問題を解いていきましょう。
また、Aの時速をx[km]、Bの時速をy[km]としておきます。

>反対の方向にまわると1/5時間で出会い

これはAが1/5時間走った距離とBが1/5時間走った距離を合わせたものが
ちょうど1周分の距離(8km)になるということです。

したがって、
 (1/5)x + (1/5)y = 8  ……式1
という式が立てられます。

>同じ方向にまわると4/5時間でAがBをちょうど1周追いぬく

これはAが4/5時間走った距離のほうが、Bが4/5時間走った距離よりも
ちょうど1周分だけ(8km)長いということです。

したがって、
 (4/5)x - (4/5)y = 8  ……式2
という式が立てられます。

あとは式1と式2を連立して解けばOKです。
(ちなみに答えは x=25 , y=15 になります。)

http://fairytale.holy.jp


18774.Re: 連立方程式を教えて下さい。
名前:ヵナ    日付:12月26日(日) 13時31分
AxlRoseさん、詳しく教えてくださってぁりがとうございます。よくわかりました(^^)

18760.軌跡の問題を教えてください  
名前:つかさ    日付:12月26日(日) 0時30分
2定点A(-1,0),B(2,1)よりの距離の比が1:√5で
ある点の軌跡の方程式を求めよ。



18764.Re: 軌跡の問題を教えてください
名前:kei (高1)    日付:12月26日(日) 0時57分
2定点A(-1,0),B(2,1)よりの距離の比が1:√5である点Pの座標を(p,q)とすると、PA=√{(p+1)^2+q^2},PB=√{(p-2)^2+(q-1)^2}となる。PA:PB=1:√5より、√5・PA=PB⇔√5√{(p+1)^2+q^2}=√{(p-2)^2+(q-1)^2}
⇒p^2+q^2+(7/2)p+q/2=0が成り立つ。
よって、求める方程式は、x^2+y^2+(7/2)x+y/2=0


18766.Re: 軌跡の問題を教えてください
名前:    日付:12月26日(日) 1時33分
ABを1:√5に内分、外分する点を直径の両端とする円
(アポロニウスの円)になります。


18769.Re: 軌跡の問題を教えてください
名前:つかさ    日付:12月26日(日) 11時49分
ありがとうございます。
アポロニウスの円って初めて聞きました。
調べて見ます

18758.教科書の和積公式の章にあった問題  
名前:kei (高1)    日付:12月25日(土) 23時54分
cos(2π/7)+cos(4π/7)+cos(6π/7)の値を求めよ。
cos(4π/7){2cos(2π/7)+1}=2cos(4π/7){cos(2π/7)+cos(π/3)}として(右辺の)中括弧内で和→積を使って解こうとしてみましたが、分母が42になりうまくいきません。円に内接する正七角形を使って解く方法を親に教えてもらったのですが、この教科書の前後の問題は和積公式から簡単に解けるので、この問題も工夫すれば式変形のみで解けると(勝手に)思ってます。答えは-1/2になるのですが、過程を教えてください。m(__)m



18759.Re: 教科書の和積公式の章にあった問題
名前:    日付:12月26日(日) 0時20分
全体に 2sin(π/7) をかけてみる。


18762.Re: 教科書の和積公式の章にあった問題
名前:kei (高1)    日付:12月26日(日) 0時41分
ありがとうございました!でもどうやったらそんなこと思いつくんですか?(+_+)


18765.Re: 教科書の和積公式の章にあった問題
名前:    日付:12月26日(日) 1時23分
こうしていろいろな解法を知って、引出しを増やしてください。
次からはあなたにも、この方法が使えます。

18757.基本問題なのにさっぱりです  
名前:tomo    日付:12月25日(土) 22時41分
3x+y=6のとき、
 @3x^2(二乗)+y^2の最小値を求めよ。
 Ax≧0、y≧0のとき、3x^2+y^2の最大値を求めよ。
これが全く分からないので教えて下さい。
y=6-3xまで出精一杯です。



18761.Re: 基本問題なのにさっぱりです
名前:kei (高1)    日付:12月26日(日) 0時35分
3x+y=6⇔y=-x+6_*
ここで、3x^2+y^2のyに-x+6を代入すると、
3x^2+(-x+6)^2=12x^2-36x+36=12(x-3/2)^2+9
このグラフを座表平面上に書くと、(3/2,9)を頂点とし、下に凸な放物線となる。
@グラフより答えは9
Ay≧0に、*を代入して、-x+6≧0⇔x≦6,またx≧0より、0≦x≦6となる。
 よって、グラフの、0≦x≦6の部分を考えると、答えはx=6のときの252


18763.別解
名前:    日付:12月26日(日) 0時55分
(1) シュワルツより
(3+1)(3x^2+y^2)≧{√3*(√3)x+1*y}^2=(3x+y)^2
(2) 楕円 3x^2+y^2=k と (2,0),(0,6)を結ぶ線分が
共有点をもつ k (> 0) の範囲を考える。


18768.Re: 基本問題なのにさっぱりです
名前:tomo    日付:12月26日(日) 8時1分
分かりやすいご返答ありがとうございました。

18756.積分  
名前:チェリー    日付:12月25日(土) 17時51分
∫0〜π e(-x^)sinx dx を部分積分ではなく積の微分方を用いて求めよ。
全然分かんないんですけど、教えてください。



18767.Re: 積分
名前:sp@rk    日付:12月26日(日) 2時58分
出題者の意に沿っているかわかりませんが、積の微分を用いると、
{e^(-x)sin(x)}'=-e^(-x)sin(x)+e^(-x)cos(x)…(i)
{e^(-x)cos(x)}'=-e^(-x)cos(x)-e^(-x)sin(x)…(ii)
となるので、(i)+(ii)を計算すると、
-2e^(-x)sin(x)={e^(-x)sin(x)}'+{e^(-x)cos(x)}'
={e^(-x)(sin(x)+cos(x))}'
∴e^(-x)sin(x)=-{e^(-x)(sin(x)+cos(x))}'/2
よって、
∫[0〜π]e^(-x)sin(x)=-[{e^(-x)(sin(x)+cos(x))}'/2]_0^π
=(exp(-π)+1)/2
となる。

18741.座標上の三角形の面積  
名前:赤屍    日付:12月24日(金) 20時28分
座標上に一つの点が(0,0)である三角形があるとき、残りの座標が
(a,b)(c,d)とすると、その三角形の面積は1/2|ad-bc|になる。
これが何故成り立つのかわかりません。どなたか教えていただけないでしょうか?



18742.学年
名前:赤屍    日付:12月24日(金) 20時30分
学年を書き忘れました。中3です。


18743.Re: 座標上の三角形の面積
名前:SaPiX (中3)    日付:12月24日(金) 21時50分
ベクトルα=(a,b)、β=(c,d)を定義しますと

α・β = ac + bd = |α||β| cosθ
       ac + bd
∴cosθ=-----------                (1)
        |α||β|

(sinθ)^2 + (cosθ)^2 より

sinθ = √{1 - (ac + bd / |α||β|)^2}         (2)

面積S = 1/2 * |α||β| * sinθ より

S = 1/2 * |α||β| * √{1 - (ac + bd / |α||β|)^2}
 = 1/2 * √{|α|^2 * |β|^2 - (ac + bd)^2}      (3)

ここで

|α|^2 = a^2 + b^2
|β|^2 = c^2 + d^2

より中括弧{ }の中を計算しますと(計算してみてください)

S = 1/2 * √(ad-bc)^2
 = 1/2 * (ad-bc)

となります。面積は負にはなりませんから(ad-bc)に絶対値をつけて下の式が出ます


18745.Re: 座標上の三角形の面積
名前:ヨッシー    日付:12月25日(土) 10時9分

上のような図を考えて、面積を出せば、求められます。
パターンは他に色々ありますが、結果は同じです。
 
http://yosshy.sansu.org/


18749.Re: 座標上の三角形の面積
名前:天極(高1)    日付:12月25日(土) 15時0分
Original Size: 460 x 180, 4KB

この図のように、等積変形する方法も考えられますね。



18751.座標上の三角形の面積
名前:赤屍(中3)    日付:12月25日(土) 15時54分
皆さん回答ありがとうございました。とても参考になりました。   特に等積変形の方法は、成る程と思いました。

18739.初めてです☆教えて下さぁぁい!!  
名前:はろぉきてぃ*→5年生☆    日付:12月24日(金) 18時15分
Original Size: 512 x 384, 5KB

図のように色のついた部分まで水の入った立体を水平な床の上に置きます。図のようにこの立体を面EFGHを底面にして置くと水面までの高さは、この立体を逆さにして面ABCDを底面として置いた時の水面までの高さより2cm低くなります。
(1)面EFGHを底面として置いた時の水面までの高さを求めなさい。
(2)面EFGHを底面として置き、面ABCDを取り外しました。FGを床につけたまま、側面BFGKJCが床と45°となるように傾けた時、流れ出た水の量は何cm^3ですか。
(3) (2)の後、再び面EFGHを底面として置き、今度はEFを床につけたまま、側面ABFEが床と45°となるように傾けました。この時の床からの水面までの高さを求めなさい。
(図形のすべての単位はcmです)
よろしくお願いします!!



18746.Re: 初めてです☆教えて下さぁぁい!!
名前:顔なし    日付:12月25日(土) 13時44分
(1)
 入れ物を逆さまにした時、水の高さが低くなったという事は
この容器に今入っている水と同じ量の水を入れても、まだ入る空間は残るということですね。
 残るのは2×12×16(立方センチメートル)です。
言い方を変えれば2×12×16(立方センチメートル)の空間の上と下に同じ量の水が入る空間があるという事です。
 


18747.Re: 初めてです☆教えて下さぁぁい!!
名前:顔なし    日付:12月25日(土) 13時46分
(1)
 入れ物を逆さまにした時、水の高さが低くなったという事は
この容器に今入っている水と同じ量の水を入れても、まだ入る空間は残るということですね。
 残るのは2×12×16(立方センチメートル)です。
言い方を変えれば2×12×16(立方センチメートル)の空間の上と下に同じ量の水が入る空間があるという事です。
 これでまず水の量がわかります。


18750.Re: 初めてです☆教えて下さぁぁい!!
名前:花パジャ    日付:12月25日(土) 15時7分
> 入れ物を逆さまにした時、水の高さが低くなったという事は
>この容器に今入っている水と同じ量の水を入れても、まだ入る空間は残るということですね。

違いますよ。例えば、直方体の箱では、入れ物を逆さまにした時、水の高さが変りませんが、件の容器に今入っている水と同じ量の水を入れるとちょうど一杯になるとは言えないでしょう。


さて、この問題では、「図のように」として水面が面IJKL面より上である、としてあるようですが、もし、下でも良ければ、2つの底面積の異なる直方体の箱での問題になり簡単に解けます。
で、今考えたものの水と空気を入替えれば、求める回答になります。
立体の面IJKL面より上の部分が下の部分より大きいので、「図のように」なっているのに、ひっくり返すと水面が面IJKL面より下というケースが無いこともわかります。

(2)も空気の部分を計算する方が簡単でしょうね


18755.Re: 初めてです☆教えて下さぁぁい!!
名前:顔なし    日付:12月25日(土) 17時28分
大変な勘違いでした

18736.(untitled)  
名前:calamity    日付:12月24日(金) 1時25分
(1)放物線y=x^2-3x+3に点(1.0)から引いた2本の接線と、この放物線が囲む
図形の面積を求めよ。
(2)a>0とする。放物線y=x^2-4ax+3a^2とx軸で囲まれる部分の面積が
100のとき、aの値を求めよ。

(1)は接線の方程式を求めればグラフとの交点から面積を出せそうなんですが
どのように接線をもとめればよいのかわかりません。
(2)は解答では三乗根√75(a^3=75というふうになるんでしょうか?)となっていますが、自分は三乗根√60にしかならないのでできる方がいらっしゃったら教えていただきたいです。 よろしくお願いします。



18737.Re: (untitled)
名前:風あざみ    日付:12月24日(金) 1時56分
(1)
点(1,0)を通る直線はy=m(x-1)です。
放物線y=x2-3x+3の方程式と連立して
x2-3x+3=m(x-1)
x2-(3+m)x+m+3=0
とおいて、(判別式)=0となるようなmを求める。

(2)とにかくy=x2-4ax+3a2とx軸との接点が(3a,0)と(a,0)であることを用いて
a3a{-x2+4ax-3a2}dxを計算するだけです。


18738.(2)は
名前:風あざみ    日付:12月24日(金) 2時23分
とにかく、あなたがどのような計算をしたか書かない限り何もいえません。
とりあえず私の計算結果もa=3√75です。


18744.Re: (untitled)
名前:calamity    日付:12月24日(金) 22時58分
すいません。ただの計算ミスでした。
ありがとうございました。

18732.数列の問題で質問です。  
名前:オリバー    日付:12月23日(木) 21時13分
みなさんこんばんわ。

数列の問題で質問です。

数列{An}={3,−3,5,−5,7,−7,9,−9・・・}
の一般項Anをもとめる。まずnが奇数のときのAnはAn=n+2(n=1,3,5・・・),nが偶数のときのAnはAn=−n−1(n=2,4,6・・・)と表される。

これらの2つの式を1つにまとめて表すと,2つの式の和と差に着目して 

An=(  )+(−1)^n・(  )(n=1,2,3,4・・)
となる。

解き方がよく分からないので手順を教えてください。
よろしくお願いします。



18734.Re: 数列の問題で質問です。
名前:えいぶ    日付:12月23日(木) 23時3分
例えばAとBがあったとき
{A+B+(-1)^n*(-A+B)}/2
はnが奇数のときA,nが偶数のときBとなります。
これを利用します。


18740.Re: 数列の問題で質問です。
名前:オリバー    日付:12月24日(金) 18時41分
返信ありがとうございます。

解答にもあったのですが、いまいち理解できないんです^^;
公式なのでしょうか?

よろしくおねがいします。

18730.はじめまして  
名前:tomo    日付:12月23日(木) 17時0分
現在高1のtomoと申します。
2次関数の決定を忘れてしまい、解けない問題があるので投稿させていただきます。

「2点(1,0)、(4,0)がX軸と交わり、頂点はy=x-1上にある」

というものです。



18731.Re: はじめまして
名前:顔なし    日付:12月23日(木) 17時33分
 「    」に当てはまる二次関数の式を作るんですね?
すぐに式は作れなくともグラフは書けると思います。
出来たグラフに合う式を考えて見ましょう!高校数学でのとき方を知りたいのでしょうけど、とき方は習うより自分で作った方が楽しい。
 さて、頂点の座標はどこにありましたか?


18753.Re: はじめまして
名前:tomo    日付:12月25日(土) 16時37分
いろいろやってみたら解けました!
ありがとうございました。

また些細な事で質問するかもしれませんがどうかよろしくお願いします。

18726.複素数と方程式  
名前:あいこ(高2)    日付:12月23日(木) 14時21分
多項式P(x)を(x-1)^2で割ったときの余りが4x-5で、x+2で割ったときの余りが-4である。
P(x)を(x-1)^2・(x+2)で割ったときの余りを求めよ。

という問題で、
条件から  P(1)=-1 P(-2)=-4

また    問題において商をQ(x)、余りをax^2+bx+cとおいて
      P(x)=(x-1)^2・(x+2)Q(x)+ax^2+bx+c
よって   P(1)=a+b+c=-1 P(-2)=4a-2b+c=-4

ここまで考えられたのですが、3次方程式を解くための、もう一つの式がどうしても作れません。この方法では解けないのでしょうか?

何方か御指導していただけたら幸いです。
 



18727.Re: 複素数と方程式
名前:のぼりん    日付:12月23日(木) 15時8分
「(x−1)^2で割ったときの余りが4x−5」の条件を使い切ってないようです。
P(x)÷(x−1)^2 の余りが 4x−5 だから、(ax^2+bx+c)÷(x−1)^2 の余りも 4x−5 です。
よって、ax^2+bx+c=a(x−1)^2+4x−5=ax^2+(4−2a)x+a−5 で、両辺の各項の係数を比較し、
  b=4−2a, c=a−5
が得られます。この二式から a+b+c=−1 が導けるので、「P(x)÷(x+2) の余りが −4」の条件から得た式 4a−2b+c=−4 と連立させて、P(x)=(x−1)^2・(x+2)Q(x)+x^2+2x−4 と求まります。


18728.Re: 複素数と方程式
名前:あいこ(高2)    日付:12月23日(木) 15時35分
のぼりんさん御指導有難うございます。
>P(x)÷(x−1)^2 の余りが 4x−5 だから、
>(ax^2+bx+c)÷(x−1)^2 の余りも 4x−5 です。

というところなのですが、余りax^2+bx+cを(x−1)^2で割ると余りが 4x−5となる。というのが分かりません。なぜ、P(x)の余りを(x−1)^2で割るとその余りはP(x)を(x−1)^2で割ったときと同じ余りになるのでしょうか?考えたのですがそこが理解できません。

お手数ですが、もしよろしければ御回答宜しくお願い致します。


18729.Re: 複素数と方程式
名前:のぼりん    日付:12月23日(木) 16時59分
いま、P(x)=(x−1)^2・(x+2)Q(x)+ax^2+bx+c とおきました。
左辺を (x−1)^2 で割ると、左辺第一項つまり (x−1)^2・(x+2)Q(x) は割り切れてしまいます。
ですから、余りは第二項以下つまり ax^2+bx+c から生ずる訳です。
従って、P(x)÷(x−1)^2 の余りと (ax^2+bx+c)÷(x−1)^2 の余りは等しくなります。


18752.Re: 複素数と方程式
名前:あいこ(高2)    日付:12月25日(土) 16時31分
お礼が遅れてしまい申し訳ありませんでした。

のぼりんさんの、大変分かりやすい御説明のお陰で理解いたしました。

心よりお礼申し上げます。

18722.3乗以上  
名前:Makoto    日付:12月23日(木) 11時1分
3乗以上の方程式の解き方を完璧に忘れました。
ちなみに現在高校2年でアメリカに住んでいるので、
私立中学で死に物狂いでやった数学もポツリです。

例えば、X3乗=729
こういった問題の数学的解き方が思い出せません。
できれば4乗、5乗(簡単なの)も解きたいのですが。
嗚呼!もどかしい、です。
お助け願います。



18724.Re: 3乗以上
名前:Bob    日付:12月23日(木) 11時35分
x^3=729

自分ですと81×9=9×9×9=9^3  x=9
と出せますが、

素因数分解がいいのでは?
割り算の逆みたいにして割れる小さい数字を探す  
  3 )729
    _____
  3 )243
    _____
  3 ) 81
    __________
3 )27
    __________
  3 ) 9
    __________
  3 ) 3
    __________ 729=(3×3)×(3×3)×(3×3)
             =9×9×9=9^3
              
      1


18725.蛇足ですが
名前:のぼりん    日付:12月23日(木) 12時55分
三乗の項を持つ方程式を、三次方程式と言います。
解の公式は、ヨッシーさんの(http://yosshy.sansu.org/3jieq.htm)に丁寧に書かれています。
四次方程式についても、解の公式があります。ヨッシーさんの掲示板には見当たりませんでしたが、たとえば、http://www80.sakura.ne.jp/~aozora/taiwa/node15.html なんかに出ています。
五次以上の方程式には、解の公式がありません(アーベルの定理)。

18711.分かりそうで分からない問題  
名前:天極(高1)    日付:12月22日(水) 23時34分
Original Size: 625 x 225, 6KB

問題:
半径が一定の円に内接する二等辺三角形のうち、最も面積が大きくなるのは正三角形であることを証明せよ。

画像のように進めて、2sinx+sin2xが最大になるときのxが求められずに挫折しました。
これを解く方法、または本題を解く方法でよりよい方法がありましたら、お願いします。



18719.Re: 分かりそうで分からない問題
名前:ヨッシー    日付:12月23日(木) 7時20分
微分を使えばすぐなのですが、高1ではまだですかね。
 
http://yosshy.sansu.org/


18720.Re: 分かりそうで分からない問題
名前:Rattle    日付:12月23日(木) 8時35分
三角形の一辺が固定されているとき、残りの二辺の長さが等しいときに
その三角形の面積は最大になります。これは簡単に証明できるでしょう。そうすると、三角形のどの辺についても、他の二辺の長さが等しいときにこの三角形の面積が最大、ということになります。このときこの三角形は正三角形です。


18721.Re: 分かりそうで分からない問題
名前:らすかる    日付:12月23日(木) 10時18分
半径rの円に外接する正三角形ABCを考え、BCの中点をDとする。
辺AB上に点Qをとり、点Qを通り辺BCに平行な直線と
辺ACとの交点をPとする。
二等辺三角形DPQの面積を計算して最大値を調べると、
高さが3r/2の時最大値3√3r^2/4となり、この時
二等辺三角形DPQは円に内接する正三角形となる。
この時のP,QをP',Q'とする。
円に内接する任意の二等辺三角形は、底辺をBCと平行、
頂点をDとなるようにとって、頂点を反時計回りにDEFとし、
直線DEとACの交点をE'、直線DFとABの交点をF'とすれば、
(△DEFの面積)≦(△DE'F'の面積)≦(△DP'Q'の面積)
(等号成立は△DEFが正三角形の時)
となるので、正三角形の時に面積が最大となる。

http://www10.plala.or.jp/rascalhp


18733.Re: 分かりそうで分からない問題
名前:天極(高1)    日付:12月23日(木) 22時55分
どうもありがとうございます。

>ヨッシーさん
微分は導関数の出し方あたりなら、といったところです。
よろしければ、微分での解法を教えていただけないでしょうか?


18735.Re: 分かりそうで分からない問題
名前:ヨッシー    日付:12月23日(木) 23時49分
係数は、サクッと省略して、
 f(x)=2sinx+sin2x
の 0<x<π での最大を考えます。
f(x) をxで微分して、
 f'(x)=2cosx+2cos2x
cos2x=2cos^2x−1 より、
 f'(x)=2cosx+2cos^2x−1=(2cosx−1)(cosx+1)
f'(x)=0 となるのは、cosx=1/2 または cosx=−1 のときですが、
0<x<π では、cosx=1/2 つまり x=π/3 のときで、
0<x<π/3 のとき、f'(x)>0 より、単調増加
π/3<x<π のとき、f'(x)<0 より、単調減少となり
x=π/3 のところで極大かつ最大になります。
 
http://yosshy.sansu.org/


18748.Re: 分かりそうで分からない問題
名前:天極(高1)    日付:12月25日(土) 14時57分
重ね重ね、どうもありがとうございます。

18709.ロピタル  
名前:アカギ    日付:12月22日(水) 23時25分
ロピタルの定理の証明をしたいのですが、どなたかわかりませんか?
よろしくお願いします。



18713.Re: ロピタル
名前:のぼりん    日付:12月22日(水) 23時52分
f(a)=g(a)=0 のとき、平均値の定理により、f(a+h)=f’(a+ξ)h、g(a+h)=g’(a+ξ’)h、0≦ξ,ξ’≦h と書けます。よって、g’(a)≠0 のときは、f(a+h)/g(a+h)=f’(a+ξ)/g’(a+ξ’)→f’(a)/g’(a) (h→a) となります。


18714.Re: ロピタル
名前:アカギ    日付:12月22日(水) 23時52分
特に∞/∞の場合についてお願いします。


18715.Re: ロピタル
名前:のぼりん    日付:12月23日(木) 0時8分
正直、18714は、後出しジャンケンみたいで、余り愉快でありません。杉浦「解析入門T」(東京大学出版会)106ページに出ていますので、読んでください。それでわからない様であれば、大学で勉強するまで待ってください。


18717.Re: ロピタル
名前:アカギ    日付:12月23日(木) 0時22分
後だしじゃんけん…すごいタイミング悪かったようですね…。本当にごめんなさい。
0/0に関してはわかりました。ありがとうございます。
∞に関しては教えてもらった文献をあたってみます。


18718.Re: ロピタル
名前:のぼりん    日付:12月23日(木) 2時10分
意図した後出しジャンケンではなかったのですね。邪推して済みませんでした。前掲書では、演習問題の略解として載っており、ε−δも使っていて、相当に判りにくいと思われます。そこで、高校数学の範囲内で ∞/∞ の場合を示しておきます。ちなみに、以下の証明は、同書のものと異なります。

x→a+0 のとき、平均値の定理により、a<x<y に対し、{f(x)−f(y)}/{g(x)−g(y)}=f’(ξ)/g’(ξ’)、x≦ξ,ξ’≦y と書けます。式変形し、f(x)/g(x)={f’(ξ)/g’(ξ’)}・{1−g(y)/g(x)}/{1−f(y)/f(x)} を得ます。x→a+0 とすると、limx→a+0f(x)/g(x)=limx→a+0{f’(ξ)/g’(ξ’)}・{1−g(y)/g(x)}/{1−f(y)/f(x)}=f’(ξ)/g’(ξ’) です。y→a+0 とすると、ξ,ξ’→a+0 でもあるので、limx→a+0f(x)/g(x)=limξ,ξ’→a+0f’(ξ)/g’(ξ’)=f’(a)/g’(a) です。

x→a−0 の場合も同様です。


18723.Re: ロピタル
名前:アカギ    日付:12月23日(木) 11時32分
>意図した後出しジャンケンではなかったのですね。邪推して済みませんでした。
いえいえ、こちらこそ気分の悪い思いをさせてすいませんでした。
たまたま同じ時間に書き込んでしまったようです。今度からは質問前によく気をつけます。

∞に関してもわざわざご丁寧にありがとうございます。
あなたの証明もよく考えて、後に文献の方も見てみます。
中間値、平均値とは切っても切り離せないような印象を受けました。
じっくりやってみます。

18707.高次方程式  
名前:あいこ(高2)    日付:12月22日(水) 22時3分
2つの方程式x^3+6x+20=0・・・*1,x^2-2x+a=0・・・*2が次の条件を満たすように、定数aの値を定めよ。
(1)2つの解を共有する。

という問題で、*1を因数分解し、xの値を求めると、x=-2,1±3@となります。なので、共有する2つの解は
      -2 と 1+3@または1±3@
      1+3@ と 1-3@
というようように考えたのですが、解答には共有する2つの解は
      1+3@と1-3@
となっていました。なぜ、-2と1+3@または1±3@ではなく、1+3@と1-3@と断定できるのでしょうか?もしよろしければ御指導宜しくお願いいたします。
      



18708.Re: 高次方程式
名前:AxlRose    日付:12月22日(水) 22時45分
こんばんは。

2次方程式の解は
 (1)異なる2実数解 (2)重解 (3)共役な複素数解
のいずれかになりますよね。

-2 と 1+3i または 1±3i

はそのいずれのケースにも当てはまらないので、
2次方程式(*2)がこのような解を持つことはないわけです。

http://fairytale.holy.jp


18710.Re: 高次方程式
名前:あいこ(高2)    日付:12月22日(水) 23時26分
AxlRoseさん、御指導有難うございました。
よく分かりました。(1)異なる2実数解 (2)重解 (3)共役な複素数解
について考えるんですね。

有難うございました。

18704.ガウス記号の問題なのですが...  
名前:初夏    日付:12月21日(火) 23時55分
不等式 [x]^2−8[x−0.5]+7<0を満たすxの範囲を求めよ。という問題なのですがtを任意とする整数とすると
t≦x<t+0.5の時 t^2-8(t-1)+7<0→3<t<5
t+0.5≦x<t+1の時 t^2-8t+7<0→1<x<7
の二つに場合わけしtについてといてもxにtを代入しても答えが出ないのはなんとなく分かるんですが...
やはり1個1個答えを確かめるしかないのですか??おしえてください



18705.Re: ガウス記号の問題なのですが...
名前:    日付:12月22日(水) 0時22分
ページ3の18597で同じ問題が出ています。


18706.Re: ガウス記号の問題なのですが...
名前:初夏    日付:12月22日(水) 15時51分
ありがとうございましたっ

18703.作図  
名前:    日付:12月21日(火) 20時30分
定規とコンパスで正九角形が作図できないのはなぜでしょうか?



18716.Re: 作図
名前:のぼりん    日付:12月23日(木) 0時16分
大学で Galois 理論というのを習うと、正 n 角形が定規とコンパスで作図可能であるための必要条件は、n=2rp1…ps と表せることで、ここに r、s は非負整数、p1, …, ps は互いに異なる pi=22ki+1(ki は非負整数) という形の奇素数(これを Fermat 素数といいます)である、という Gauß の定理(※)というのを習います。この定理により、正九角形は作図できないことがわかります。

(※)この証明を一から書くと、一冊の本になってしまうので、大学で習うまで待ってください。Gauß の証明した定理は、本当に沢山あります。Gauß はとんでもない大天才ですね。

なお、誤字があったので書き込み直しました。


18754.Re: 作図
名前:    日付:12月25日(土) 16時39分
有難うございました。

18699.加法定理?  
名前:daisuke(大学1年)    日付:12月21日(火) 17時38分
こんにちは。数学の問題でどうしても解けないところがあるのですが、どなたか教えていただけないでしょうか?

 a*cos(β)+b*sin(β)

加法定理に、こんなのがあったような気がするのですが・・・。
よろしくお願いします。



18700.Re: 加法定理?
名前:daisuke(大学1年)    日付:12月21日(火) 17時39分
↑間違って2重投稿してしまいました。申し訳ありません


18701.Re: 加法定理?
名前:ヨッシー    日付:12月21日(火) 17時44分
結論から言うと、
 sinα=a/√(a^2+b^2)、 cosα=b/√(a^2+b^2)
を満たす角αにおいて、
 a*cos(β)+b*sin(β)=√(a^2+b^2)・sin(β+α)
となります。
 sin(β+α)=sinαcosβ+cosαsinβ
なので、a=sinα、b=cosα になれば、ちょうど良いのですが、
そのためには、a^2+b^2=1 を満たさなければなりません。
ところが、必ずしもそういうわけにはいきません。
そこで、√(a^2+b^2) でくくってやることで、
 sinα=a/√(a^2+b^2)、 cosα=b/√(a^2+b^2)
を、ひねり出します。その結果が、上の式(合成公式)です。
 
http://yosshy.sansu.org/


18702.Re: 加法定理?
名前:daisuke(大学1年)    日付:12月21日(火) 18時21分
なるほど!!!そうやって解くんですね。よくわかりました。ヨッシーさん本当にありがとうございました。

18698.加法定理  
名前:daisuke(大学1年)    日付:12月21日(火) 17時36分
こんにちは!数学でどうしても計算ができないところがあったのですがどなたか教えていただけないでしょうか?

  a*cos(β)+b*sin(β)=???

加法定理にこんなのがあったような気がするのですが、よろしくお願いします。

18689.たくさん、わかりません。助けてくださ〜い。  
名前:☆メリクリ★(6年)    日付:12月19日(日) 21時33分
Original Size: 426 x 586, 4KB

直角をはさむ2辺の長さがAB=90p、BC=9p、重さが180gで、厚さはいちような直角三角形のうすい板ABCをABが水平になってつりあうように支えたときの支点をDとすると、AD:DB=2:1、すなわち、AD=60p、DB=30pとなりました.(図3)
(5)この板のA点に重さ100gのおもりをつけ、D点で支えて
  板が水平になってつりあうためには、B点に何gのおもりをつるせ  ばよいですか。
(6)図4のように、この板のA点に重さ100gのおもりをつけ、AE=45p  のE点で支えて板が水平になってつりあうためには、B点に何gのお  もりをつるせばよいですか。
(7)支点Dを通り、BCに平行な線DFで板を切り、三角形ADFを、ADが水  平になってつりあうように支えた支点をGとすると、AG:GD=2:1と  なりました。(図5)。GDの長さは何pですか。
(8)三角形ADFの重さは何gですか。ただし、DFの長さは6pで、重さ  は面積に比例します。
(9)三角形ADFの重さと、四角形DBCFの重さの比を、最も簡単な整数   の比で答えなさい。
(10)図6のように、四角形DBCFを、DBが水平になってつりあうように   支えたときの支点をHとすると、DHの長さは何pですか。



18691.Re: たくさん、わかりません。助けてくださ〜い。
名前:AxlRose    日付:12月19日(日) 22時37分
Original Size: 426 x 586, 4KB

こんばんは。

まずは図を少し丁寧に書き直しておきます。
(ちょっと間違えていたところも直しました。)

全問を解けそうにはないので自信を持って
答えられるところだけお答えしますね。

(5) D 点で支えているときは三角形の板はきれいにつりあってるので、
新しくおもりをつけるときにこの板の重さなどは考えなくてもOKです。

なので、A のおもりとB のおもりについてだけ考えます。
B のおもりを ○[g]とすると、
 60×100 = 30×○
という(モーメントのつりあいの)式が成り立ちます。

ここから、○ = 200[g] だとわかりますね。

(7) AD は 60[cm] でしたよね。
これが G によって 2:1 に分けられているので、
 GD = (1/3)×60 = 20[cm]
となります。(ちなみに AG は 40[cm] になります。)

(8) もとの3角形ABC と新しい3角形ADF 両方の面積を計算します。
 3角形ABC : 9×90÷2 = 405[cm^2]
 3角形ADF : 6×60÷2 = 180[cm^2]

重さは面積に比例するので、3角形ADF の重さを△とすると、
 180:△ = 405:180
という式が成り立ちます。ここから △ = 80[g] とわかりますね。

(9) 4角形DBCF は3角形ABC から3角形ADF を切り取ったものですね。
だから面積はその引き算をしてあげれば求まります。
 4角形DBCF : 405 - 180 = 225[cm^2]

また、重さの比は面積の比と同じなので、180:225 = 4:5 となりますね。

http://fairytale.holy.jp



18692.Re: たくさん、わかりません。助けてくださ〜い。
名前:ヨッシー    日付:12月19日(日) 23時5分
では(6)です。

D点で、この板が水平につり合っていますが、この点を「重心」といいます。
重心は、その点に、この板の全重量がかかっていると考えても良いのです。
つまり、図のように、点Eから15cmの点Dに、180g の重りが下がっていると
考えられます。(三角形の板の代わりに、です)
あとは、重りの重さと、支点との距離の積が同じになるように(?)の部分の
重さを決めます。(答えは 40g)

次に(10)です。

図3の状態を、△ADFと四角形DBCFに分けて考えます。
△ADFの重心は、Dから20cm左にあり、この点に80g の重りがつるされていると考えます。
それに対して、重さ100gの四角形DBCFは、点Dから何cm右に100gの
重りをつるしたのと同じ働きがあるかを考えれば、DHの長さが出ます。
(答え16cm)
 
http://yosshy.sansu.org/


18693.Re: たくさん、わかりません。助けてくださ〜い。
名前:☆メリクリ★(6年)    日付:12月19日(日) 23時12分
いつも、ありがとうございますm(_ _)m
参考にさせていただきます。自分でも、よく考えてみます(☆人☆)
ペイントって、お絵かきやぬりえをするためのものだと思っていました(>_<)いろんなツールを使えば、難しい図形なんかも描けてしまうのですね(^-^*)♪それがわかっただけでも、大感激ですm(_ _)m

18686.三角形の面積について  
名前:tan    日付:12月19日(日) 19時43分
三角形の面積の公式 S=1/2bcsinA=1/2casinB=1/2absinC

(1)△ABCの面積を求めなさい。
   b=4、c=6、A=30°
   
   S=1/2×4×6×sin30°
    =・・・・・・・この後が解りません。



18687.Re: 三角形の面積について
名前:KG    日付:12月19日(日) 19時49分
1/2×4×6の計算はできますか?
sin30°の値はわかりますか?
もし上記のことがわかるならば,後のこともわかるはずです.


18696.Re: 三角形の面積について
名前:数理パズル推進委員    日付:12月21日(火) 2時42分
sin30° の意味がわかっていないことと同値ですね。
理解しようと自分に言い聞かせながら、
三角比の基礎を教科書を用いて復習することを強くすすめます。

18685.問題ではありませんが・・・  
名前:☆メリクリ★(6年)    日付:12月19日(日) 17時50分
てこの問題で、図を書いて質問したいと思いますが、ワードでは図や腺は書けても、図の中に数字や記号を書き入れることができません。
解答をして下さる方々は、きれいな図や式をとても簡単に書いておられる様子。いったいどうやっておられるのか、教えてください。



18688.Re: 問題ではありませんが・・・
名前:AxlRose    日付:12月19日(日) 19時52分
こんばんは。

「ペイント」というソフトで書くことができますよ。
(Windows なら最初からパソコンに入っています。)

字を入れたいときは左のところにある「A」と書いたところを選んで、
枠を取ってあげればそこに文字を入れることができますよ。

ちなみに保存するときには「bmp」以外の種類で保存しましょう。
(bmp はファイルの大きさがとても大きくなるので。)

http://fairytale.holy.jp

18683.(untitled)  
名前:中3    日付:12月19日(日) 14時55分
円周率πは3.05より大きいことを証明できますか?おしえてください



18684.Re: (untitled)
名前:くぼ    日付:12月19日(日) 15時11分
東大(理系)入試の問題ですね
http://warako.at.infoseek.co.jp/nyuumon-u/math/1.html

18681.極限に関する問題  
名前:秀太    日付:12月19日(日) 9時54分
lim{x−log(1+x)}=∞
x→∞
が直感的には正しいと思いますが
証明ができません。もしかしたら単純なことかもと思いつつ質問してみます。誰か教えてくださいお願いします。



18682.Re: 極限に関する問題
名前:花パジャ    日付:12月19日(日) 10時55分
例えば、X>1で
√x>log(1+x) や (x-1)/2+log2>log(1+x)
であることを示して、x-(左辺)の発散を見る

18679.円と直線  
名前:デザーター    日付:12月19日(日) 7時51分
こんにちは。

「直線lが点Aで円0に接する⇔OA⊥l」

の証明を教えてください。お願いいたします。



18680.Re: 円と直線
名前:のぼりん    日付:12月19日(日) 9時45分
点 A を通る線 ℓ が OA と直交していないと仮定します。鋭角になっている側に点 P を取ります。0°<∠POA<90°なので、P を A に十分近くに取ると、OP<OA になります。

さて、円 O は、点 O からの距離が OA である点全体の集まりです。ということは、P は円 O の内点になります。従って、ℓ は、A から見て P より遠方のある点で、必ず円 O と交わります。つまり、ℓ は円 O に接してません。

逆に、ℓ⊥OA だとします。ℓ 上の A 以外の任意の点 Q を取ると、三平方の定理により、OQ=√(OA+AQ)>OA だから、Q は O の外点です。つまり、ℓ は A で円 O と接しています。


18694.Re: 円と直線
名前:デザーター    日付:12月20日(月) 0時3分
ありがとうございます。
理解できました。

必要条件と十分条件をらくらくと使いこなしているのを見るとうらやましくなります。

どうもありがとうございました。

18677.不等式の証明  
名前:あいこ(高2)    日付:12月18日(土) 17時8分
次の不等式を証明せよ。また、等号が成り立つのはどのようなときか。
   a≧b≧0のとき √(a+b)≧√a - √b
という問題で、等号の成り立つときについてお聞きしたいのですが、解答には、

 等号が成り立つには√ab=0のときである。
 a≧b≧0から 等号はb=0のときに成り立つ。

と書かれていましたが、b=0ではなくa=0ではなぜいけないのでしょうか。

もし宜しければ御指導よろしくお願い致します。



18678.Re: 不等式の証明
名前:風あざみ    日付:12月18日(土) 18時0分
a≧b≧0ですので
a=0のときは
0≧b≧0となって、b=0となります。

つまりa=0と置くと必然的にb=0となってしまうので、わざわざa=0の場合は考える必要はないのです。


18695.Re: 不等式の証明
名前:あいこ(高2)    日付:12月20日(月) 19時56分
風あぜみさん、御指導有難うございました。
よくわかりました。

18672.証明問題  
名前:初夏    日付:12月18日(土) 0時56分
p、qを0でない実数の定数とする。実数あ、b、cが
b/(p+qa)=c/(p+qb)=a/(p+qc)を満たす時a=b=cであることを証明せよ。
という問題なのですが=kとやってガチャガチャやっても解けません。宜しくお願いします。



18673.Re: 証明問題
名前:初夏    日付:12月18日(土) 0時58分
最初の行で実数a,b,cです。打ち間違えました、すいません。


18674.Re: 証明問題
名前:のぼりん    日付:12月18日(土) 1時29分
b/(p+qa)=c/(p+qb)=a/(p+qc)=1/k とおくと、
  bk=p+qa … @
  ck=p+qb … A
  ak=p+qc … B
です。@−A、A−Bを計算し、
  (b−c)k=q(a−b) … C
  (c−a)k=q(b−c) … D
です。C×(c−a)とD×(b−c) を計算すると、夫々の左辺が等しいので、
  q(b−c)^2=(c−a)(b−c)k=q(a−b)(c−a)
です。上式の両辺を q≠0 で割ると、
  b^2−2bc+c^2=(b−c)^2=(a−b)(c−a)=ac−a^2−bc+ab
 ⇔ {(a−b)^2+(b−c)^2+(c−a)^2}/2
   =a^2+b^2+c^2−ab−bc−ca=0
 ⇔ a=b=c
が得られました。


18675.Re: 証明問題
名前:風あざみ    日付:12月18日(土) 1時48分
(p+qa)k=b…(1)
(p+qb)k=c…(2)
(p+qc)k=a…(3)
(1)-(2)より
qk(a-b)=b-c…(4)
(2)-(3)より
qk(b-c)=c-a…(5)
(3)-(1)より
qk(c-a)=a-b…(6)
(4)、(5)、(6)でa-b=x、b-c=y、c-a=zと置きます。
qkx=y…(7)
qky=z…(8)
qkz=x…(9)

(8)に(7)を代入してqky=qk(qkx)=(qk)2x=z
(qk)2x=z…(10)
(10)を(9)に代入すると
qkz=qk((qk)2x)=(qk)3x=x
(qk)3x=x…(11)
x≠0と仮定すると…※
(11)の両辺をxは割れてqk=1
k=1/q…(12)

(12)を(7)、(8)、(9)に代入すると
x=y、y=z、z=xとなる。
a-b=x、b-c=y、c-a=zと置いたのだから、x=y、y=z、z=xをa、b、cで置き戻すと
a-b=b-c…(13)
b-c=c-a…(14)
c-a=a-b…(15)
(13)-(15)より
a-b-c+a=b-c-a+b
整理して2a-b=2b-a
3a-3b=0  ∴a-b=0
x=a-bとおいたのだから、x=0となって
※のx≠0という仮定に反する。

よってx=0となる。
x=0を(7)に代入してy=0
y=0を(8)に代入してz=0
a-b=x、b-c=y、c-a=zと置いたのだから、x=y、y=z、z=xをa、b、cで置き戻すと
a-b=0、b-c=0、c-a=0
よってa=b、b=c、c=a


18676.Re: 証明問題
名前:初夏    日付:12月18日(土) 9時4分
のりぼんさん、風あざみさん。ありがとうございました。理解できました

18662.これ、はじめてやりました!!  
名前:ヨッシー3号    日付:12月16日(木) 21時38分
           問題です
1 青ヨッシーさんは、タマゴ投げをして、25m飛びました。平均は20mです。青ヨッシーさんは平均の何倍投げたでしょうか。
2 ヨッシーさんは、たてと横の比が5:3の長方形を作ろうとおもっています。たてを20pにすると、横は何cmになるでしょうか。
3 ヨッシーの秘密をこたえなさい



18668.Re: これ、はじめてやりました!!
名前:AxlRose    日付:12月17日(金) 0時14分
1. 25÷20=1.25倍

2. たて:横 = 5:3 なので、
横は 20×(3/5)=12cm

3. トゲゾーは食べたくないそうです。(笑

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18658.またまた、よろしくお願いします!  
名前:☆メリクリ★(小6)    日付:12月16日(木) 18時25分
花子さんは、午前8時すぎに家を出て、午後4時前に帰ってきました。時計を見ると、家を出た時刻と帰ってきた時刻では、ちょうど長針と短針が入れ替わった位置になっていました。何時間何分外出していましたか。(頭が痛いですうう・・・)



18660.Re: またまた、よろしくお願いします!
名前:AxlRose    日付:12月16日(木) 20時23分
こんばんは(*゚ー゚)

まずこの問題の文章から家を出たのが8時15分〜8時20分、
家に帰ったのが15時40分〜15時45分の間だということがわかります。

これが答えになるわけではありませんが、一応ある程度の参考にはなります。

ここで出発時間をとりあえず8時□分だとしておきます。

すると、このときの短針は240+0.5×□度のところに、
このときの長針は6×□度のところにあったことがわかります。
(短針は8時ちょうどで240度のところにあって、そこから1分で0.5度動くので。)
(長針は1分で6度動くので。)

では、次に短針がどれだけ動いたかを見ていきましょう。

まず、短針が12時の位置に動くまでの角度は、
 360 -240-0.5×□ = 120-0.5×□ (度)
となりますね。

それが出発時点の長針の位置にまで行かなければならないので、
それに長針の位置である6×□度をたしてあげて、
 120-0.5×□+6×□=120+5.5×□ (度)
となります。

これで行ってから帰ってくるまでの短針の動く角度がわかりました。

ところで、短針は1分で0.5度動くので、
行ってから帰ってくるまでの時間(分)はこれを0.5で割ればいいですね。

なので、
 (120+5.5×□)÷0.5 = 240+11×□ (分) …式1
が行ってから帰ってくるまでの時間になります。

同じように長針が動く角度を考えましょう。

まず長針が15時0分の位置から短針のあったところに動くまでは、
 240+0.5×□ (度)
動けばいいことになりますね。
(出発時間のときの短針のあった角度と同じです。)

なので、それにかかる時間は長針が1分に6度動くので、
 (240+0.5×□)÷6 = 40 + □/12 (分)
となりますね。

これに出発のときから15時までの時間をたせば、
行ってから帰ってくるまでの時間がわかりますね。

出発のときから15時までの時間は 420-□分なので、
 420-□ +40 + □/12 = 460 -(11/12)×□ (分) …式2
が行ってから帰ってくるまでの時間がわかりました。

この式1と式2はどちらも行ってから帰ってくるまでの時間です。
なので、この2つは=で記号で結ぶことができて、
 240+11×□ = 460 -(11/12)×□
の式をといてあげれば□がわかります。

あとはその□を式1か式2に当てはめれば、
行ってから帰ってくるまでの時間がちゃんとした数でわかりますね。

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18661.Re: またまた、よろしくお願いします!
名前:AxlRose    日付:12月16日(木) 20時30分
ちなみに □ = 140/13 で、答えは 7時間23+(1/13)分になると思います。
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18663.Thank you   d(・∀・)
名前:☆メリクリ★(小6)    日付:12月16日(木) 22時18分
240÷0.5=480(分)=8時間
240÷(6+0.5)=36 12/13
8時間ー36 12/13分=7時間23 1/13分

答えを教えてもらってから、色々考えて見ました(>▽<)
答えは同じになりましたが、この解き方での説明がうまくできません(☆人☆)
偶然答えが同じになっただけでしょうか('_'?)
この解き方でもできるなら、どう説明したらいいでしょうか('_'?)
おもわず頼りにしてしまいます(´∇`*)御免なさいm(_ _)m


18664.Re: またまた、よろしくお願いします!
名前:AxlRose    日付:12月16日(木) 22時49分
先にちょっと訂正だけ。

□ = 240/13 の間違いでした。

そういえばこれも、
 □ = { 240/(6+0.5) }÷2
と書けますね。

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18665.Re: またまた、よろしくお願いします!
名前:ヨッシー    日付:12月16日(木) 22時55分
私のページの「和算目録」の「時計算」の「問題2」をご覧下さい。

出かけている間に、長針と短針と合わせて、8回転=2880° 動きます。
1分間に長針は6°、短針は0.5°動くので、
 2880÷(6+0.5)=443 と 1/13 (分)=7時間13と1/13分
となります。
 
普通は、ここから、出かけた時刻、帰った時刻まで答えさせるのが、
時計算のワンセットになりますが、この問題は、ここまでで終わりです。
 
http://yosshy.sansu.org/


18666.Re: またまた、よろしくお願いします!
名前:AxlRose    日付:12月16日(木) 22時59分
こんなにも簡単だったのかorz
http://fairytale.holy.jp


18667.Re: またまた、よろしくお願いします!
名前:ヨッシー    日付:12月16日(木) 23時1分
上の、13 は 23 の誤りです。
23 と 1/13 分 です。
 
http://yosshy.sansu.org/

18656.たびたびすみません誰か教えてくれませんか?  
名前:中学生    日付:12月15日(水) 20時32分
中学3年です。 1次関数y=x+12のグラフをmと関数y=x×x(xの2乗)のグラフCとの交点をA、Bとし、m上にA、Bと異なる2点P、Qをとる。また、P通りy軸に平行な直線とCとの交点をS、Qを通り、y軸に平行な直線とCとの交点をTとする。4点P、Q、S、Tを頂点とする四角形がひし形になる時の点Pのx座標をpとする。ただしpは点Qのx座標よりもおおきいものとする。
1. 2点P、QがともにAとBの間にあるとき、pの値をもとめよ
2.1で求めた以外のpの値をすべて求めよ。
解きかたはなんとなくわかるんですが式をどう変形して良いのかわかりません 教えてくださいm(__)m



18657.失礼ですが
名前:風あざみ    日付:12月16日(木) 1時52分
あなたはどのような式を立てられたのでしょうか?
ここに書いていただけますか?


18669.Re: たびたびすみません誰か教えてくれませんか?
名前:中学生    日付:12月17日(金) 13時32分
p+q=1 で √2(p-q)=p+12-p^2 という式をたててqの値を代入したんですけどこのあとルートが入っているために解が出てこないんです どうやってとけばいいのでしょうか?


18670.Re: たびたびすみません誰か教えてくれませんか?
名前:ヨッシー    日付:12月17日(金) 13時52分
q=1-p を代入すると、
 (√2)(2p-1) = p+12-p^2
移項して
 p^2 + (2√2 - 1)p - (12 + √2) = 0
この先は、解の公式を使うしかないですね。
√ の中に√ が入りそうになりますが、ちゃんと消えてくれます。
√57 を含んだ答えが出てくるはずです。
 
http://yosshy.sansu.org/


18671.Re: たびたびすみません誰か教えてくれませんか?
名前:中学生    日付:12月17日(金) 21時21分
本当ですね! 消えたー ありがとうございます この間からずっと悩んでたんですよ..

18651.連続関数についての問題です…  
名前:じゅん    日付:12月14日(火) 18時19分
有界閉区間上で定義された連続関数は最大値と最小値を持つことを証明したいのですがやり方がわかりませんヒントだけでも教えてくれませんか?



18653.Re: 連続関数についての問題です…
名前:のぼりん    日付:12月14日(火) 21時24分
有名な定理ですので、初等解析の本、位相の入門書に間違いなく出ています。手許にある本を見たら、
■ 杉浦光男「解析入門T」(東京大学出版会)68ページ定理7.3、70ページ定理7.4
■ 齋藤正彦「数学の基礎」(東京大学出版会)80ページ定理3.3.6
の様に載っていました。証明には幾つかの周辺的な定理が必要ですので、この証明だけ写しても無意味ですから、これらの本を参照下さい。


18697.Re: 連続関数についての問題です…
名前:じゅん    日付:12月21日(火) 16時45分
ありがとうございます!!

18650.教えてください  
名前:けいた 小6    日付:12月14日(火) 17時27分
Original Size: 640 x 480, 16KB

この図形の面積を二等分しなさい!という問題です。
条件は、
・直線
・曲がったりしない
これらを満たす分け方はありますか?



18652.Re: 教えてください
名前:らすかる    日付:12月14日(火) 18時24分
もっと簡単な方法があるかも知れませんが、
とりあえず思い付いた方法です。
各頂点を左上から反時計回りにABCDEFとします。
BFの中点をPとし、CEの中点をQとします。
すると、直線PQはこの図形の面積を二等分します。

http://www10.plala.or.jp/rascalhp


18654.Re: 教えてください
名前:C-D    日付:12月15日(水) 0時23分
Original Size: 432 x 190, 4KB

平行四辺形は、対角線の交点を通る直線で分ければ必ず面積が二等分されます。
(形も大きさも同じ2つの台形に分かれるため)

問題の図形を、上下2つの平行四辺形に分けてみると、
上の平行四辺形も下の平行四辺形も面積を二等分するには…

これと同様に、らすかるさんの二等分法も説明できます。
(他にも二等分の方法はあると思います)



18655.Re: 教えてください
名前:ヨッシー    日付:12月15日(水) 12時49分

図のように、面積が等しい平行四辺形を作って、それを半分にする
(対角線でも良いし、対辺の中点どうしを結んでも良いし、
それこそ、対角線の交点を通る直線なら、2等分出来ます)
方法もあります。
dの部分の長さを決める方法のひとつに、方べきの定理というのがあります。
 
http://yosshy.sansu.org/

18647.表面積Sと体積V  
名前:高校1年 あおい    日付:12月14日(火) 10時57分
次の球ついて、表面積Sと体積Xを求めよという問題の(1)半径1の球(2)半径6の球の解き方がわかりません。教えていただきたいです。



18648.Re: 表面積Sと体積V
名前:Magicdoll    日付:12月14日(火) 11時22分
球の表面積の公式は 4×π×半径×半径
球の体積の公式は  4÷3×π×半径×半径×半径
                        です。
これで求められますよね。
  

18644.双曲線  
名前:kei(高1)    日付:12月14日(火) 0時37分
関数y=k/x(ただし、k<0,0<k)で表されるグラフが双曲線になるのは何故ですか?



18645.Re: 双曲線
名前:ヨッシー    日付:12月14日(火) 1時24分
こういうことではなくて?
 
http://www.geocities.jp/dainembutsu/


18649.Re: 双曲線
名前:kei(高1)    日付:12月14日(火) 12時7分
グラフの回転はまだ習ってないんですが、それを使わないと証明はできないんでしょうか?

18641.定積分  
名前:高蔵    日付:12月13日(月) 23時7分
次の定積分がわかりません。教えてもらえないでしょうか?一応高三の数学だと思うのですが、、、

∫(from 0 to π/2)(cosx/√sinx)dx
∫(from1 to 2)(dx/(√(x^2)-1



18643.Re: 定積分
名前:    日付:12月13日(月) 23時59分
√sinx=tとおくと、cosx/(2√sinx)・dx=dt
0≦x≦π/2→0≦t≦1
与式=∫[0,1]dt/2=1/2

√(x^2-1)+x=tとおく(この形の定石)と、(x/(√(x^2-1)+1)dx=dt
dx/(√(x^2-1)=dt/t
1≦x≦2→1≦t≦3
与式=∫[1,3]dt/t=ln3


18646.Re: 定積分
名前:    日付:12月14日(火) 10時17分
上の積分はミスってますね.
>√sinx=tとおくと、cosx/(2√sinx)・dx=dt
>0≦x≦π/2→0≦t≦1
>与式=∫[0,1]dt/2=1/2
→与式=∫[0,1]2dt=2

18639.関数  
名前:ありさ    日付:12月13日(月) 21時17分
関数f(X)=X二乗(a−X)について
(1)f(X)の極大値を求めよ
(2)極大値をg(a)とするときy=g(a)の
  グラフを書け
という問題を教えてください。グラフもここで教えてもらえる
のですか?  高2の数学です。



18640.Re: 関数
名前:AxlRose    日付:12月13日(月) 21時46分
こんばんは。

まずは展開してから微分しましょう。すると、
 f'(x)=-3x^2+2ax
となります。次に f'(x)=0 となる x を求めます。
 -3x^2+2ax=0
 3x^2-2ax=0
 x(3x-2a)=0
したがって、x=0 , 2a/3 で f'(x)=0 となります。

あとはこれをもとに増減表を書くわけですが、
a の符号によって増減表が異なることに注意しましょう。

例えば a>0 であれば、

 x|…0…2/3a…
 ―┼――――――――

というような増減表になるのに対して、
a<0 であれば、

 x|…2/3a…0…
 ―┼――――――――

というような増減表になります。

これらを求めれば、a に応じて極大値がどう変わるかがわかるので、
(2)もそこから解くことができます。

わかりにくいところが出てきたらまた聞いてください。

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18642.ありがとうございました。
名前:ありさ    日付:12月13日(月) 23時10分
分かりやすかったです。
助かりました〜

18636.直角三角形  
名前:IGA(高1)    日付:12月13日(月) 20時25分
Original Size: 512 x 384, 11KB

角C=90°、AC>BCの直角三角形ABCで、ABの中点M、角Cの二等分線とABの交点をD,CからABにおろした垂線とABの交点をHとするとき、つぎのことを証明せよ。

CDは角MCHを2等分する。

解説によると
AM=CMとなるらしいです。
どうして点Mは直角三角形ABCの斜辺の中点であるから上のように導けるのでしょうか?



18637.Re: 直角三角形
名前:みっちぃ    日付:12月13日(月) 20時58分
直角三角形は,斜辺を直径とする円に内接します.
そのため,ABの中点MはA,B,Cを通る円の中心であり,
AM,BM,CMは全て円の半径だからAM=CMです.


18638.Re: 直角三角形
名前:IGA(高1)    日付:12月13日(月) 21時1分
なるほど!
わかりました。
ありがとうございました。

18635.(untitled)  
名前:☆メリクリ★(小6)    日付:12月13日(月) 16時6分
AxlRoseさん・ヨッシーさんありがとうございましたm(_ _)m
又来た時もよろしくお願いします!!d(・∀・?)

18626.教えて下さい!!  
名前:☆メリクリ★(小6)    日付:12月12日(日) 23時18分
海から港の岸壁に向かって時速36qで進む船が、岸壁から1360mの地点で1回目の汽笛を鳴らしました。次の問いに答えなさい。ただし、空気中の音の速さを毎秒330mとします。
(1)この汽笛の音が岸壁にはね返り、こだまとして船に届くのは、鳴らしてから何秒後ですか。
(2)1回目の汽笛を鳴らしてから4秒後に、2回目の汽笛を鳴らしました。2回目の汽笛の音がこだまとして船に届くのは、1回目のこだまが船に届いてから何秒後ですか。



18627.まずは(1)
名前:AxlRose    日付:12月13日(月) 0時9分
こんばんは。

まずは船の速さを秒速に直しておきましょう。

すると、36km=36000mかつ1時間=3600秒より、
時速36km ⇒ 36000÷3600=10m ⇒ 秒速10m となります。

(1)こだまが帰ってくるまでの時間を□秒としましょう。
音が行ってから帰ってくるまでに進む距離は 330×□[m]です。
この間に船が進む距離は 10×□[m]ですね。

さて、これをたしたものがいくらになるか考えましょう。

まず音が進む距離は行きが1360mで帰りが1360mから
船が進んだ距離を引いたものになりますね。

これに船が進んだ距離をたしてあげれば、
ちょうど1360+1360=2720[m]になります。

したがって、
 330×□ + 10×□ = 2720
という式を立てることができます。

これを解くと □=8秒 と求めることができますね。

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18628.Re: 教えて下さい!!
名前:☆メリクリ★(小6)    日付:12月13日(月) 0時15分
こんな問題初めてなのでびっくりしました(゜□゜)
2番もよろしくおねがいしますm(_ _)m
すごいですね↑↑  尊敬してしまいます(>_<)


18629.次に(2)
名前:AxlRose    日付:12月13日(月) 0時22分
(2)まずは2回目の汽笛を鳴らしてから、その汽笛を聞くまでの時間を求めましょう。

また、この時間を△秒としておきます。

2回目の汽笛を鳴らしたのは1回目の4秒後です。
なので、船は10×4=40[m]進み、岸壁との距離は1320mになってますね。

さて、今回も(1)と同じく、
音が行ってから帰ってくるまでに進む距離は 330×△[m]です。
この間に船が進む距離は 10×△[m]ですね。

そしてこれをたしたものは1320+1320=2640[m]になります。
(考え方はさっきのときと同じです。)

したがって、
 330×△ + 10×△ = 2640
という式が立てられます。

これを解くと △=132/17 [秒] と求まります。

#どうも分数になってしまうようですね;

さて、これをもとに2回目の汽笛の音がこだまとして船に届くのは、
1回目のこだまが船に届いてから何秒後かを求めていきます。

次のような図を考えてみましょう。

    ┌――8秒―――┐
1回目 ├―――┼―――┤
    └4秒―┴―4秒┤
            ├○秒―┐
2回目     ├―――――――┤
        └132/17秒┘

求めたい時間は赤く○秒と書いたところですね。

これは上の図から、
 132/7 - 4 = 64/17[秒]
として求めることができますね。

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18630.Re: 教えて下さい!!
名前:AxlRose    日付:12月13日(月) 0時24分
この問題はかなり難しいと思うので、
わかりにくいところがあればまた聞いてください(´∇`*

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18631.Thank you!!!
名前:☆メリクリ★(小6)    日付:12月13日(月) 0時26分
ほんっとにありがとうございました(>_<)
すっごい尊敬してしまいます(ノ3`*)
又分からない事があったら聞きにきます(^-^)/~~~
では(・∀・)!! おやすみなさい(_ _)...zzZ


18632.Re: 教えて下さい!!
名前:AxlRose    日付:12月13日(月) 0時45分
おやすみなさいませー( ゚◇゚)ノシ
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18634.Re: 教えて下さい!!
名前:ヨッシー    日付:12月13日(月) 6時15分
過去問に、同じようなのがあります。
↓こちら
http://www1.ezbbs.net/cgi/reply?id=yosshy&dd=17&re=17912

念のために計算を書くと、
(1) は、往復2720 の距離を、秒速330m と 10m の両者が近づく旅人算で、
 2720÷(330 + 10)=8(秒)
同じ方法+AxlRoseさんの解説 で、(2) も解くことが出来ます。
 
http://www.geocities.jp/dainembutsu/

18623.数学の宿題  
名前:ゆう    日付:12月12日(日) 20時36分
どうしても問題の内容が理解できません。解き方だけでも教えてください。

三段変速の自転車で、ペダルのついている前の歯車の数と後輪を動かす三つの歯車の歯の数を調べると、次のような表になりました。(↓)
ペダルのついている前の歯車を2回転させるとき、後輪の三つの歯車は、それぞれ何回転するのか調べなさい。

<表> 前 l 後(三段変速)
歯車 42 l 12,14,12 

今日中に答え(出来れば)欲しいです。よろしくお願いします。



18624.Re: 数学の宿題
名前:Bob    日付:12月12日(日) 20時57分
したのHPに出ています
http://yuki.to/math2/prybbs.html?mode=res&no=32679


18625.Re: 数学の宿題
名前:ゆう    日付:12月12日(日) 21時15分
すみません同一人物です。できるだけ早く解答をもらいたくて、いくつかの「質問コーナー」をまたいでしまいました。あちらでさっそく解答をもらえました。お騒がせ致しました。

18618.図形問題  
名前:IGA(高1)    日付:12月12日(日) 12時29分
角A=90°の直角三角形ABCの斜辺BCの中点をMとするとき、AM=BM=CMであることを、中線定理を用いて証明せよ。

解説をみると

AB^2+AC^2=BC^2=4BM^2とやり
これと中線定理を用いて考えますと
2AM^2+2BM^2=4BM^2
AM^2=BM^2となるらしいのですが
どのように考えて2AM^2+2BM^2=4BM^2→AM^2=BM^2というふうに導けるのでしょうか?



18619.Re: 図形問題
名前:IGA(高1)    日付:12月12日(日) 12時29分
Original Size: 512 x 384, 8KB

図です



18620.Re: 図形問題
名前:我疑う故に存在する我    日付:12月12日(日) 14時32分
三点 A, B, C に第四の点 D を加えて長方形 ABDC を考えてみてください。
M は対角線の交点=中心となります。

中線定理を使わずとも明らかと思います。


18621.Re: 図形問題
名前:IGA(高1)    日付:12月12日(日) 14時41分
なるほどわかりました。
ありがとうございました。
2AM^2+2BM^2=4BM^2についてですが・・
移項すれば終わりですね・・・・


18622.Re: 図形問題
名前:Bob    日付:12月12日(日) 14時43分
移項して2で割る

18616.ガウス記号  
名前:さくら (社会人)    日付:12月12日(日) 1時56分
[x]+[x+1/3]+[x+2/3]=[3x]を示せ。

「18597.お教えください」に、12月9日に返信された豆様の解答を参考にして、この問題を解いてみました。
x=n+a  (n:整数 0≦a<1)とおける。
[x]=n、[x+1/3]=n、[x+2/3]=n、[3x]=3nより、[x]+[x+1/3]+[x+2/3]=[3x]は、成り立つ。

ここで、[3x]=3nとしたのですが、たとえばx=ー2の時は[ー6]=ー7なので、3nで表せなくなってしまうことに気がつきました。ということは、この解答は間違えているということは分かったのですが、どうすればいいのか分かりません。どうぞ正しい解答をお教えください。よろしくお願いいたします。



18617.Re: ガウス記号
名前:らすかる    日付:12月12日(日) 2時13分
x=n+a とおいた時、[x]=n は正しいですが、[x+1/3]=n とは限りません。
aが2/3以上の時、x+1/3の整数部は1大きくなりますので、[x+1/3]=n+1 と
なります。この問題では、0≦a<1/3、1/3≦a<2/3、2/3≦a<1の
3つの場合分けが必要になります。
0≦a<1/3の場合
[x]=n, [x+1/3]=[n+a+1/3]=n (∵0≦a+1/3<1),
[x+2/3]=[n+a+2/3]=n (∵0≦a+2/3<1), [3x]=[3n+3a]=3n (∵0≦3a<1)
∴左辺=右辺=3n
1/3≦a<2/3の場合
[x]=n, [x+1/3]=[n+a+1/3]=n (∵0≦a+1/3<1),
[x+2/3]=[n+a+2/3]=n+1 (∵1≦a+2/3<2), [3x]=[3n+3a]=3n+1 (∵1≦3a<2)
∴左辺=右辺=3n+1
2/3≦a<1の場合
[x]=n, [x+1/3]=[n+a+1/3]=n+1 (∵1≦a+1/3<2),
[x+2/3]=[n+a+2/3]=n+1 (∵1≦a+2/3<2), [3x]=[3n+3a]=3n+2 (∵2≦3a<3)
∴左辺=右辺=3n+2
のようになります。
ところで、[-6]=-6ですよ。

http://www10.plala.or.jp/rascalhp


18633.Re: ガウス記号
名前:さくら (社会人)    日付:12月13日(月) 1時33分
らすかる様、私のために今回も詳しく丁寧な解説をどうもありがとうございました。おかげ様で、よく理解することができました。ガウス記号の意味から、勉強し直します。お世話になりました。

18614.三角関数  
名前:ma-kun    日付:12月11日(土) 23時42分
こんばんは!問題を解いていて詰まったので教えてください。

---
x, yがsinx+ycosx=yを満たすとする。yが2≦y≦3の範囲で動くとき,
cosxのとりうる値の範囲を求めよ。
---

よろしくお願いしますm(_ _)m



18615.Re: 三角関数
名前:ヨッシー    日付:12月12日(日) 1時1分
 sinx+ycosx=y
移項して
 sinx = y(1 - cosx)
2乗して、sin^2x = 1 - cos^2x を適用すると、
 1 - cos^2x = y^2(1-cosx)^2
cosx = 1 の場合は、y の値に関係なく、sinx+ycosx=y は成り立つ。
cosx≠1 のとき、両辺 1 - cosx で割って、
 1 + cosx = y^2(1 - cosx)
cosx に対して整理して、
 cosx = (y^2 - 1)/(y^2 + 1) = 1 - 2/(y^2+1) で y≧0 のとき、単調増加します。
 y = 2 のとき cosx = 3/5
 y = 3 のとき cosx = 4/5
答え 3/5≦cosx≦4/5 および cosx = 1
 
http://www.geocities.jp/dainembutsu/

18612.部分積分法  
名前:ts    日付:12月11日(土) 19時52分
∫f(x)g'(x)dx=f(x)g(x)-∫f'(x)g(x)dxの公式を使って解く問題がわかりませんので、教えてください。

(1)(1-x)e^(-2x)dx
(2)x(x-5)4dx



18613.Re: 部分積分法
名前:ts    日付:12月11日(土) 23時19分
わかりました。

18607.漸化式  
名前:やらら    日付:12月10日(金) 19時53分
Original Size: 716 x 965, 76KB

おねがいします。



18609.Re: 漸化式
名前:みっちぃ    日付:12月10日(金) 23時50分
考え方はあっていますが,漸化式はこれだけでは不十分で
a_n,b_n,c_nの定義は同様のものとし
c_n=b_nがわかっていて
求めたいのは,a_n,b_nである.
今,漸化式は3本立ち
a_{n+1}=(b_n+c_n)/3…@
b_{n+1}=(c_n+a_n)/3…A
c_{n+1}=(b_n+a_n)/3…B
であり,b_n=c_nから
@:a_{n+1}=2b_n/3…@'
A,B:b_{n+1}=(a_n+b_n)/3…A'
と2本漸化式が残ります.
あとは,初期値a_0=1,b_0=0を使えば解けると思います.

ポイントは,全ての頂点にいる確率についての漸化式を立てること.
たまに,漸化式を用いた確率の問題に,a_n,b_n,c_nの漸化式だけでは
解けない問題もあり,
このときは,更に全状態の確率の和を使います.
今の問題では,a_n+b_n+c_n=(2/3)^n…Cです.
(多分,b_n=c_nの条件を使わなかった時はCが必要だと思う)

これら,全てわかっている情報を式にすることが大切です.

18604.3点を通る円  
名前:daisuke(大学生)    日付:12月10日(金) 11時39分
 こんにちは。daisukeといいます。数学の問題で解き方を忘れてしまったものがあるのですが、どなたか教えていただけないでしょうか?

  xy平面上の3点(a,b)(c,d)(e,f)を通るような円の式

 っていうのはどうやって求めればよかったでしょうか?
 どなたか教えていただけるとありがたいのですが。よろしくお願いします。



18605.Re: 3点を通る円
名前:    日付:12月10日(金) 13時2分
円の方程式は,
x^2+y^2+px+qy+r=0と書けますから,3点を代入すれば,
p,q,rの一次方程式3本から決定できます.


18606.Re: 3点を通る円
名前:花パジャ    日付:12月10日(金) 14時25分
別解)
三角形の任意の2辺の垂直二等分線の交点が件の円の中心、であることを使って、
豆さんの式のp,q(円の中心は(-p/2,-q/2))を求め、
円の中心と任意の頂点との距離(=半径)を直接求めるなり、豆さんの式に任意の頂点を代入するなりして、r(半径=√((p^2+q^2)/4-r))を求める


18610.Re: 3点を通る円
名前:daisuke    日付:12月11日(土) 9時32分
みなさん。ありがとうございました。たすかりました。

18597.お教えください  
名前:花の男子高生    日付:12月9日(木) 21時5分
不等式 [x]^2-8[x-0.5]+7<0 
を見たすxの範囲を求めよ。

という問題なのですが、
場合わけして不等式を解いてからが
よく分かりません。
お願いします。



18598.Re: お教えください
名前:花の男子高生    日付:12月9日(木) 21時37分
すいません。
[] はガウス記号です。


18599.Re: お教えください
名前:花の男子高生    日付:12月9日(木) 21時39分
ぬおー潰れてしまいました。
[ ]はガウス記号です。


18601.Re: お教えください
名前:    日付:12月9日(木) 23時56分
x=n+a  (n:整数 0≦a<1)とおける。
1) 0≦a<0.5 のとき、
[x]=n  [x-0.5]=n-1
不等式は、n^2-8(n-1)+7<0
3<n<5  n=4
∴4≦x<4.5
2) 0.5≦a<1 のとき、
[x]=[x-0.5]=n
不等式は n^2-8n+7<0
1<n<7  n=2,3,4,5,6
∴ 2.5≦x<3 ・・・,6.5≦x<7

両方あわせて、
2.5≦x<3, 3.5≦x<5,  5.5≦x<6, 6.5≦x<7


18608.Re: お教えください
名前:花の男子高生    日付:12月10日(金) 23時38分
ありがとうございました!!
二つの場合を足したものが答えなのですね。

18596.答えがでないんですよ  
名前:中学生    日付:12月9日(木) 20時51分
中学3年です。 1次関数y=x+12のグラフをmと関数y=x×x(xの2乗)のグラフCとの交点をA、Bとし、m上にA、Bと異なる2点P、Qをとる。また、P通りy軸に平行な直線とCとの交点をS、Qを通り、y軸に平行な直線とCとの交点をTとする。4点P、Q、S、Tを頂点とする四角形がひし形になる時の点Pのx座標をpとする。ただしpは点Qのx座標よりもおおきいものとする。
1. 2点P、QがともにAとBの間にあるとき、pの値をもとめよ
2.1で求めた以外のpの値をすべて求めよ。
解きかたはなんとなくわかるんですが式をどう変形して良いのかわかりません 教えてくださいm(__)m



18602.Re: 答えがでないんですよ
名前:X    日付:12月10日(金) 9時14分
>>解きかたはなんとなくわかるんですが式をどう変形して良いのかわかりません。

変形の方法が分からないという式を、その式が導出したところまで掲載してください。それとも、問題から式を導出する事自体ができないのでしょうか?。教えてください。


18603.Re: 答えがでないんですよ
名前:中学生    日付:12月10日(金) 11時36分
ひし形ということから2番はp-q=(p^2-q^2) これから p-q=(p-q)(p+q)
p+q=1がでてきたんです すいません変形するのはここまで出来たんですけどひし形ということから傾きをかけると−1になるということからq=1-p を代入したんですけど、うまく解けないんです。そもそもとき方が違うのかもしれません。曖昧な答えですみません。

18593.三角関数  
名前:moe 高1    日付:12月9日(木) 17時15分
次の値を0°〜45°の三角比で表せという問題で、

sin(-210°)

tan(-319°)

sin(-250°)
はどうなるのか教えてください。



18594.Re: 三角関数
名前:みっちぃ    日付:12月9日(木) 17時54分
方針は,まず,考えてる角度に360°を足したり引いたりしても
同じ角度になるので,取りあえず考えやすい角度に直します.
例) -200°=-200°+360°=160°

次に,
sin(90°-x)=cosx,cos(90°-x)=sinx,tan(90°-x)=1/tanx…@
sin(180°-x)=sinx,cos(180°-x)=-cosx,tan(180°-x)=-tanx…A
sin(-x)=-sinx,cos(-x)=cosx,tan(-x)=-tanx…B
を使います.

-210°=150°なのでsin(-210°)=sin150°=sin(180°-30°)
Aより,=sin30°

-319°=41°なので,tan(-319°)=tan41°

-250°=110°なのでsin(-250°)=sin110°
Aより,sin110°=sin80°
@より,sin80°=cos10°
です.


18595.Re: 三角関数
名前:moe 高1    日付:12月9日(木) 20時21分
ありがとうございます。

疑問に思ったのですが、

>-250°=110°なのでsin(-250°)=sin110°
>Aより,sin110°=sin80°
>@より,sin80°=cos10°

のところは、sin70°ではないのでしょうか。


18600.Re: 三角関数
名前:みっちぃ    日付:12月9日(木) 22時57分
ごめんなさい.
そのとおりです

18586.お願いします。(2項定理)  
名前:大輔(高1です)    日付:12月8日(水) 16時40分
@(1+2x+3x^2)^8の展開式におけるx^5の係数を求めよ
A(10.1)^10の1の位の数を求めよ
この2問教えてください。よろしくお願いしますm(__)m



18587.Re: お願いします。(2項定理)
名前:みっちぃ    日付:12月8日(水) 17時12分
>(1+2x+3x^2)^8の展開式におけるx^5の係数を求めよ

a=1,b=2x,c=3x^2として(a+b+c)^8とみて展開すると,
当然a,b,cの次数の合計は8.
このうち,x^5となる項をa,b,cを用いて表してみると
a^3*b^5,a^4*b^3*c^1,a^5*b^1*c^2の3つのみとわかる.
(これは数えるほかない!!)

a^3*b^5の係数は,8C3*5C5=56
a^4*b^3*c^1の係数は,8C4*4C3*1C1=280 
a^5*b^1*c^2の係数は,8C5*3C1*2C2=168
(この数え方はよろしいでしょうか?)

56a^3*b^5=56*(2x)^5=56*32x^5
280a^4*b^3*c^1=280*(2x)^3*(3x^2)=280*8*3x^5
168a^5*b^1*c^2=168*(2x)*(3x^2)^2=168*2*9x^5
最後に,この3数を足せばよい.(計算は省略します.悪しからず☆)

>(10.1)^10の1の位の数を求めよ
{10^1+10^(-1)}^10の1の位なので,10^0の係数を見つければよい
という基本方針になる(ただし,これだけでは不十分).

すると,10=xとおけば,{x+x^(-1)}^10の定数項は
10C5*5C5=1008である.(8を答えにしてはダメ!!)

最後に繰り上がりに注意する.
繰り上がってくる可能性のある項は10^(-2)=x^4*{x^(-1)}^6の項で
10C6*4C4=210

従って,(10.1)^10の1の位付近の数は,1008+201*10^(-2)=1010.1より
0が答え.


18588.Re: お願いします。(2項定理)
名前:xxx    日付:12月8日(水) 17時34分
> 10C5*5C5=1008である.
10C5=252ですよ^^;
だから、答えは、4ですね。


18589.Re: お願いします。(2項定理)
名前:みっちぃ    日付:12月8日(水) 17時43分
ほんまや.しくったorz


18590.Re: お願いします。(2項定理)
名前:大輔(高1です)    日付:12月8日(水) 18時18分
ありがとうございます!もしよかったら次の問題も教えてもらえると
嬉しいです。
「H大学には4つの食堂がありC君とD君は毎日、前日とは異なる
3つの食堂のうちの1つを無作為に選んで利用している。最初の日、
2人は別の食堂を利用したとして以下の確率を求めよ。」
@n日後に初めて出会う確率(ただしn>=1)
An日後に2人が出会うのがちょうど2回目である確率
(ただしn>=2)
@は分かるんですんで(参考になればと思い書きましたが)A教えて
下さい。度々すいません。。


18591.Re: お願いします。(2項定理)
名前:みっちぃ    日付:12月8日(水) 22時12分
C,D君が違う食堂にいた次の日に同じ食堂になる確率は,2/9.
これは,食堂がa,b,c,dとある中,C,D君がそれぞれc,dの食堂にいた翌日,
C,D君はそれぞれ3ヶ所を選ぶので,全事象は9通り.
そのうち同じ食堂になるのは,2人がa,bの食堂を同時に選んだ時の2通り.

よって,n日目で初めて同じ食堂になる確率は2*7^{n-1}/9^n

次に,C,D君が同じ食堂にいた次の日に同じ食堂になる確率は1/3.
これは,2人がaにいた翌日,b,c,dで出会う3通りがあるから.

i)一回目に出会ったのが(n-2)日目以前のとき
「違う食堂→違う食堂」となるのは,(n-3)回より(7/9)^{n-3}
「違う食堂→同じ食堂」となるのは,2回より(2/9)^2
「同じ食堂→違う食堂」となるのは,1回より2/3
1日目から(n-2)日目のどれかで,一度出会うので*(n-2)

ii)一回目で出会ったのが(n-1)日目のとき
「違う食堂→違う食堂」となるのは,(n-2)回より(7/9)^{n-2}
「違う食堂→同じ食堂」となるのは,1回より2/9
「同じ食堂→同じ食堂」となるのは,1回より1/3

i),ii)をそれぞれかけて,足せば答えです.

18585.正多面体の展開図  
名前:しまっち    日付:12月8日(水) 9時35分
四面体の展開図は2個、六面体の展開図は11個、八面体と十二面体と二十面体の展開図の個数が知りたいです。



18592.Re: 正多面体の展開図
名前:らすかる    日付:12月9日(木) 9時34分
正八面体の展開図は正六面体と同じく11個、
正十二面体の展開図は43380個、
正二十面体の展開図は正十二面体と同じく43380個です。

http://www10.plala.or.jp/rascalhp

18583.教えてください  
名前:剣壱  中学3年    日付:12月8日(水) 0時11分
2直線x/a+y/b=1 x/b+y/a=1 が互いに交わらないとき、aとb
の間の関係式を解け。 という問題なんですがよく分かりません。教えてください



18584.Re: 教えてください
名前:ヨッシー    日付:12月8日(水) 0時15分
平面上で、
 直線が交わらない←→平行である
なので、両者が平行(完全に一致する場合を除く)となるように、
a,b の関係を求めます。
y=・・・
の形にして、傾きを比較しましょう。
 
http://www.geocities.jp/dainembutsu/

18581.分からない  
名前:佐藤 由和    日付:12月7日(火) 22時1分
反比例のグラフの書き方が良く分からない。



18582.Re: 分からない
名前:ヨッシー    日付:12月8日(水) 0時6分
まず、何か式が与えられているのでしょうか?たとえば、
 y=1/x
のような。だとすれば、上の式を満たす、x、y の組合せ
(1,1)(2,1/2)(3,1/3)
(1/2,2)(1/3,3)(−1,−1)(−2,−1/2)
などを座標として、グラフ用紙上にいっぱい取って、それらを、
なめらかに結びます。
 
http://www.geocities.jp/dainembutsu/

18579.逆正接の取る値について  
名前:taka    日付:12月7日(火) 19時37分
atan(b/a)=xという式があるとき、xが0〜2πの値を取るようにbが正でaも正、bが正でaが負、bが負でaが正、bが負でaも負の4つの場合で場合わけをして表したいという事がありました。どのように4つの場合を定義したらよいのでしょうか?ちなみに0点を円の中心から-1の位置に置いた時の式も教えて頂けたら幸いです。

18576.すいません。教えてください  
名前:   (中3)    日付:12月7日(火) 18時1分
公立に通う中学3年の者です。
3点О(0,0)A(4,3)B(5,1)を頂点とする三角形ОABがある。点PをとってОPの
中点をQ、QAの中点をR、RBの中点をSとする。
(1)P(x、y)、S(x´、y´)とするときx´およびy´をx、yの式であらわせ
というのがあったのですがどうしても分かりません。お願いです教えて下い。   



18577.Re: すいません。教えてください
名前:X    日付:12月7日(火) 18時38分
ある2点C(t,u),D(v,w)に対し線分CDの中点をEとするとEの座標は
((t+v)/2,(u+w)/2)

という公式は頭に入っていますでしょうか?
この問題はこの式を繰り返し使います。

まずP(x,y)に対し、線分OPの中点がQですから、Qの座標は
(x/2,y/2)
従って、A(4,3)より、線分QAの中点Rの座標は
((4+x/2)/2,(3+y/2)/2)
つまり
(2+x/4,3/2+y/4)
同様に、B(5,1)より、線分RBの中点Sの座標は
((2+x/4+5)/2,(3/2+y/4+1)/2)
つまり
(7/2+x/8,5/4+y/8)
これが(x',y')と一致しますから
x'=x/8+7/2
y'=y/8+5/4


18578.Re: すいません。教えてください
名前:   (中3)    日付:12月7日(火) 18時42分
ありがとうございます

18570.高1です。。。  
名前:ラン     日付:12月6日(月) 22時47分
三角関数でグラフを書くとき、y=2sin xなどでは、もととなるy=sin xのグラフを書くべきなのでしょうか。



18571.Re: 高1です。。。
名前:AxlRose    日付:12月7日(火) 0時0分
こんばんは。

y=sinx のグラフも一緒に書かないといけないということはないですよ。

とにかくグラフの最大値が 2で、最小値が -2で、周期が 360°
であることがわかるように書けば問題はないでしょう。

http://fairytale.holy.jp


18573.Re: 高1です。。。
名前:ひで    日付:12月7日(火) 8時37分
高1ということなので。。。
たとえばですが、授業中に「今度の定期考査では必ずy=sinxのグラフも合わせてかくように」といった前もっての指示があれば、かくようにしましょう。試験問題文章における解答の仕方の指示、定期考査前の解答の仕方の指示の連絡は守るようにしてください。
なお、何も指示がない場合は、AxlRoseさんのおっしゃる通りでいいと思います。
それと、分かっているとは思いますが、新カリですので。AxlRoseさんがおっしゃっている「360°」とは新カリは弧度法で授業が進められているはずですので、「2π」のことです。


18575.Re: 高1です。。。
名前:えいぶ    日付:12月7日(火) 17時55分
y=a*sin(kx)をかくときは元のグラフを書かなくてもいいと思いますが
y=a*sink(x-p)+pのように移動する時は元のグラフを書くべきです。

18568.高校一年です  
名前:マイケル    日付:12月6日(月) 20時21分
次の各方程式が異なる2つの実数解をもつように定数kの範囲を求めよ。

√x=k(x+1)

この問題がわかりません。誰か教えてください。お願いします。



18572.Re: 高校一年です
名前:ヨッシー    日付:12月7日(火) 6時35分
y=√x と y=k(x+1) のグラフの交点の数で考えます。
y=k(x+1) は、点(−1,0)を必ず通ります。
 
http://www.geocities.jp/dainembutsu/


18580.Re: 高校一年です
名前:ひで    日付:12月7日(火) 20時48分
高校一年ということですので、ひょっとするとy=√xの無理関数を使うのがNGかもしれませんので・・・。
まず式の中に「√x」がありますからxの定義域はx≧0となります。(厳密にはこれも数IIIになりますが)
その前提のもと両辺を2乗してみましょう。
  x=k2(x+1)2
    k2x2+(2k2−1)x+k2=0
とかけますから
  y=k2x2+(2k2−1)x+k2
とおいて、このグラフがx軸とx≧0の部分でいくつ交わるか考えればいいわけです。x2の係数がk2≧0よりk=0ならば一次関数(直線)、k≠0ならばk2>0より下に凸な二次関数(放物線)になります。後は解の判別をグラフから行ってみてください。
ただこの解法は結構面倒です。将来的に数学IIIを勉強したら、ヨッシーさんの答案が最良だと思います。

18565.連立方程式  
名前:さくら (社会人)    日付:12月6日(月) 2時11分
いつも、詳しく教えていただいてありがとうございます。
今回は、連立方程式の問題なのですが、数字が簡単そうなので、グラフを書いてやってみようと思ったのですが、チンプンカンプンになってしまいました。
どうぞよろしくお願いいたします。

x−y=[x]
x+4y=4
を解け。([x]は、xを越えない最大の整数)



18566.Re: 連立方程式
名前:sp@rk    日付:12月6日(月) 2時53分
x−y=[x]…(1),x+4y=4…(2)
とおく。(1)より、y=x-[x]であり、[x]≦x<[x]+1なので、
0≦y<1…(3)
となる。(2)より、y=-(x/4)+1なので(3)と合わせて、
0<x≦4…(4)
となります。後は、0<x<1、1≦x<2、2≦x<3、3≦x<4、x=4と5通りの
場合分けで解けばよいです。
例えば、0<x<1のとき、(1)からx-y=[x]=0となるので(2)に代入して、
(x,y)=(4/5,4/5)が得られます。
他の場合も同様に解いて、
(x,y)=(4/5,4/5),(8/5,3/5),(12/5,2/5),(16/5,1/5),(4,0)
となります。

因みに、f(x)=x-[x]のグラフは、nを整数とするとき、
n≦x<n+1のとき、f(x)=x-nとなります。


18567.Re: 連立方程式
名前:sp@rk    日付:12月6日(月) 3時12分
Original Size: 653 x 653, 30KB

f(x)=x-[x]のグラフを青、g(x)=-(x/4)+1のグラフを赤で描くと、以下のようになります。x=0でグラフが交わっているように見えますが、
f(0)=0,g(0)=1なので交わっていません。



18569.Re: 連立方程式
名前:さくら (社会人)    日付:12月6日(月) 20時39分
sp@rk様、私のために、真夜中に難しい問題を考えて解いていただき、丁寧な解説とグラフまで書いていただき、本当にありがとうございました。ガウス記号がついていると、簡単な連立方程式がこんなにも難しくなってしまうことが、よく分かりました。お世話になりました。解答がないので、本当に助かりました。

18559.高1です  
名前:NAKe    日付:12月5日(日) 13時28分
白玉5個と赤球2個が入った袋から2個同時に取り出すとき、その中に含まれる白球の期待値を求めよ〜さっぱり分かりません・・・誰か助けて〜



18560.Re: 高1です
名前:我疑う故に存在する我    日付:12月5日(日) 15時19分
先ずは白球2個、1個、0個出る確率を求める。


18563.Re: 高1です
名前:数理パズル推進委員    日付:12月5日(日) 17時17分
期待値の意味がわかっていますか?

18555.無茶な話・・・  
名前:美穂子高2    日付:12月5日(日) 3時46分
「組み立て除法が成り立つことを証明せよ」

これ・・・できますかね??
私じゃぁさっぱり解りません。。。
誰か教えて〜



18557.Re: 無茶な話・・・
名前:のぼりん    日付:12月5日(日) 11時29分
f(x) =fnxn + fn–1xn–1 + …f1x + f0x – aで割り算した結果、
  f(x) = (x – a)p(x) + q
  p(x) = pn–1xn–1 + pn–2xn–2 + … p1x + p0
と表せたとします。このとき、
  pn–1 = fn
  pk–1 = fk + pka   for k = 1, 2, …, n–1
  q = f0 + p0a
となります。これを図式で表すと、

 a) fn  fn-1    fn-2    … f1   f0
      apn-1    apn-2   … ap1   ap0
  ────────────────────────
   fn  fn-1+apn-1 fn-2+apn-2 … f1+ap1 f0+ap0
   ||  ||     ||     … ||   ||
   pn-1 pn-2    pn-3    … p0    q

と組立除法になりました。


18574.Re: 無茶な話・・・
名前:tarame    日付:12月7日(火) 9時48分
f(x)=a(0)x^n+a(1)x^(n-1)+…+a(n) …(1) のとき
【組立除法】
α)a(0) a(1) a(2) a(3) … a(n)

────────────────
  b(0) b(1) b(2) b(3) … b(n)  において

┏ b(0)=a(0)
┗ b(k)=a(k)+αb(k-1) (1≦k≦n) …(2) である。

一方、
f(x)=(x−α){b(0)x^(n-1)+b(1)x^(n-2)+…+b(n-1)}+b(n) より
=b(0)x^n+b(1)x^(n-1)+…+b(n-1)x−αb(0)x^(n-1)−αb(1)x^(n-2)−…−αb(n-1)+b(n)
=b(0)x^n+{b(1)−αb(0)}x^(n-1)+…+{b(n-1)−αb(n-2)}x+b(n)−αb(n-1)

(1)より
┌ a(0)=b(0)
└ a(k)=b(k)−αb(k-1) (1≦k≦n) …(3)

(2)(3)より、組立除法は成り立つ。

18549.コーシー・シュワルツの不等式  
名前:高陽(高1    日付:12月4日(土) 23時2分
i=1、2、・・・n に対して、ai>0、かつbi>0であるとき、
n n n
蚤ibi≦(蚤i^2)^1/2(巴i^2)^1/2
i=1 i=1 i=1
(等号成立は a1/b1=a2/b2=・・・=an/bn)が成り立つ。
これが書いていた本の証明なんですが、
n
p(x)=(aix-bi)^2 ・・・@ とすると
   i=1
@は任意のxについて、p(x)≧0 (p(x)=0となるのは x=a1/b1=・・・=an/bnのとき)
@を整理して
n n n
p(x)=(蚤i^2)x^2-2(蚤ibi)x+巴i^2
i=1 i=1 i=1
p(x)≧0よりpの判別式は0以下であり、判別式の値が0となるのはあるxに対してp(x)=0のときなので、
n n n
@の判別式=(-2蚤ibi)^2-4(蚤i^2)(巴i^2)≦0
i=1 i=1 i=1
即ち・・・・(以下略)

これの疑問点というのは、何故、「p(x)≧0よりpの判別式は0以下」なのかというところです。よろしくお願いします。



18550.Re: コーシー・シュワルツの不等式
名前:高陽(高1    日付:12月4日(土) 23時5分
i=1 と nが3つ並んでたりするのは、どれも狽フ上下についてるやつです。


18551.Re: コーシー・シュワルツの不等式
名前:kkk    日付:12月4日(土) 23時9分
任意の「実数x」 に p(x)≧0 なので、
2次関数のグラフを書けば ほぼ明らかですよ。


18552.日本語訂正。
名前:kkk    日付:12月4日(土) 23時11分
○任意の実数x について、
×任意の実数x に


18553.Re: コーシー・シュワルツの不等式
名前:高陽(高1    日付:12月4日(土) 23時26分
分かりました。ありがとうございます。

18544.(untitled)  
名前:アキラ    日付:12月4日(土) 10時53分
O(0,0,0),A(1,0,0),B(0,1,0),C(1,a,0),D(0,1,a)
∠APO=∠BPO=∠CPD=π/2を満たすPが存在するaの範囲を求めよ。ただしPはO,A,B,C,Dとは一致しない。



18547.Re: (untitled)
名前:Re:    日付:12月4日(土) 22時49分
π/2の特殊性に着目しましょう。


18548.さらに忠告すると、
名前:kkk    日付:12月4日(土) 23時2分
π/2の特殊性に着目して、
式を立てるわけですが、
式の同値性に注意して、
同値変形していきましょう。

18540.数A  
名前:ペコ    日付:12月4日(土) 0時57分
初めまして。高1のペコデス☆☆

次の式のとりうる範囲を求めよ。sinθ+2、2cosθ、-3cosθ+1。ただし、0°≦θ≦180°とする。

△ABCにおいて、a:b=(1+√3):2,外接円の半径R=1,C=60°のとき、a,b,c,A,B,を求めよ。これはc=√3とでて、その続きが解けませんでした。

お願いします。



18541.返信
名前:数理パズル推進委員    日付:12月4日(土) 6時26分
次の式のとりうる範囲を求めよ。sinθ+2、2cosθ、-3cosθ+1。ただし、0°≦θ≦180°とする。
↑ これはできてしかるべきです。
sinθ , cosθ の意味がわかっていれば解けます。

0°≦θ≦180° において、
0≦sinθ≦1 であり、 -1≦cosθ≦1 である。
よって、
2≦sinθ+2≦3
-2≦2cosθ≦2
-2≦-3cosθ+1≦4

次、△ABCにおいて、a:b=(1+√3):2,外接円の半径R=1,C=60°のとき、a,b,c,A,B,を求めよ。

余弦定理より、
AB^2 = BC^2 + AC^2 - 2BC*AC*cos60°
 3 = a^2 + b^2 - ab 

あとは、 aとbの比例関係式を使えば、
aとbのうち 片方の値がわかり、
再び比例関係式によって、もう片方の値もわかります。

具体的には、 b=sqr(2) ( 注:sqr(a) は実数aの平方根のうちの正の方を表すと定義されているものとする)

a= (sqr(2)+sqr(6))/2

次に、 点Aから 線分BCに垂線を下し、
その線分との交点をHとおきます。

すると、a b の値から、
すぐに AH = BH とわかり、
角Bの大きさが、 45°とわかります。
残りの 角Aの大きさは当然 75°です。


18558.Re: 数A
名前:ペコ    日付:12月5日(日) 13時6分
とても親切にありがとうございました。
参考にして、もう1回自分で解いて見ます!!

18537.すいませんっ!  
名前:calamity    日付:12月3日(金) 19時53分
もう一つわからない出てきました。円の問題なんですが・・

座標平面上に直線l(エル):mx-y+3m=0と円C:x^2+y^2=4がある
ただし、mは定数とする
(1)でmの値に関わらず通る点A(-3,0)を求めました
(2)で円Cが直線lから切り取る長さが2√3になるときの定数mの値
m=±√2/4を求めました
次の問題がわからないのでよろしくお願いします
(3)円Cが直線lから切り取られる線分の長さが2√3以上となるように、
直線lを動かす。このとき、切り取られる線分が通過してできる領域Dの
面積を求めよ。



18542.こうすればいいですよ。
名前:数理パズル推進委員    日付:12月4日(土) 7時12分
原点から直線Lまでの距離を計算すれば、ほぼ終わりです。

ちなみに計算すると、 1ですね。
よって、 1 :sqr(3) : 2  の
有名角三角形の辺の比が利用できますね。

あとは小学校レベルの図形の問題に帰着されます。

がんばって。


18543.訂正
名前:数理パズル推進委員    日付:12月4日(土) 7時15分
前文で申し上げた直線Lとは、
直線l(エル):mx-y+3m=0 において、
m = ±sqr(2)/4 の場合のものです。


18545.Re: すいませんっ!
名前:calamity    日付:12月4日(土) 20時19分
ご回答ありがとうございます。
自分でグラフを書いてみたのですがよくわかりません
申し訳ありません・・
引き続きみなさんご回答おねがいします


18546.Re:
名前:Re:    日付:12月4日(土) 22時37分
原点から直線までの距離 の意味がわかりますか。

原点から、その直線に垂線を下ろして、
その交点をHとおくとき、
原点から直線までの距離 は OH の長さを意味します。


18556.Re: すいませんっ!
名前:calamity    日付:12月5日(日) 8時6分
距離が1というのは求めることができましたが動く領域がよくわかりません


18561.通過領域
名前:数理パズル推進委員    日付:12月5日(日) 17時12分
Original Size: 653 x 486, 22KB

この図をみればわかると思います。
まず半円の面積Sを求め、それから、
中心角120°の扇形と有名角三角形を利用して、
青色の網目部Rを引きます。
すると、求める通過領域の面積が
2(S-R) であることは明らかですね。

具体的には、S = 2π、 R = 4π/3 - sqr(3)
だから、 求める値は、 4π/3 - 2sqr(3)

ゲーム終了。



18562.図について。
名前:数理パズル推進委員    日付:12月5日(日) 17時12分
図をクリックすると、
拡大化されますから、
見やすいと思います。


18564.Re: すいませんっ!
名前:calamity    日付:12月5日(日) 20時58分
わかりやすい図までありがとうございます。
よくわかりました。ありがとうございました!

18535.再び  
名前:利彦(高1)    日付:12月3日(金) 18時7分
前回の証明の件なのですが、足りない部分があるそうなのですが
その部分の結論は教えてもらったのですが、証明が出来なくて、また参上しました。
前回は「内心をIとすると・・・」あるのですがそのIについてです。

AC'上にIがあるということを証明せよ。

これが証明できないと成り立たないそうなので、教えてください。
追伸:一番分からないことは、Iは内心であり、垂心でもあるというのが結論でいっていますが、それなら垂心=外心にもなります。
外心と内心は一致しないはずだったと思っているのですが、これらの部分も教えていただければありがたいと思います。



18538.Re: 再び
名前:えいぶ    日付:12月3日(金) 20時45分
C'は△ABCの傍心ですからAC'は∠Aの2等分線ですよね?
Iは△ABCの内心ですから∠Aの2等分線上にありますよね?
ってことはつまりIは∠Aの2等分線上、つまりAC'上にありますよね?

追伸部分に返信。
>Iは内心であり、垂心でもある
△ABCの内心であり△A'B'C'の垂心でもある
ということですよね?念のため。

>垂心=外心にもなります。
なぜ?

>外心と内心は一致しないはず
なぜ?


18539.Re: 再び
名前:利彦    日付:12月3日(金) 21時41分
返信ありがとうございます。分かりやすく回答して頂き、理解することが出来ました。また追伸部分の質問なのですが、後々他の問題を解いたときに、
矛盾点が生じていた事にきずきました。まことにお騒がせした事申し訳ありません。今後はこのような事がないように質問していきます。
今後ともよろしくお願いします。

18530.対数  
名前:calamity    日付:12月3日(金) 0時34分
不等式f(x)=log2(-x^2+6x-5)<aを満たす整数xの値が2個だけであるような、定数aの値の範囲を求めよ(真数条件より1<x<5)

解答はlog2(3)<a≦2みたいです・・解き方わからないんで
できるだけくわしくお願いします



18532.Re: 対数
名前:ヨッシー    日付:12月3日(金) 9時4分
a=log2a なので、
log2(-x^2+6x-5)<a は、底が1より大きいので、不等号の向きはそのままで、
 −x2+6x−5<2a
とおけます。

図より、y=2a の線より下にxが整数の点●が2つあるのは、
 3<2a≦4
のときです。
 
http://yosshy.sansu.org/


18536.Re: 対数
名前:calamity    日付:12月3日(金) 19時27分
グラフの交点で求めるんですね!よくわかりました
ありがとうございます。

18524.2次曲線の区分け  
名前:haru    日付:12月2日(木) 16時6分
X^2+Y^2/(1-e^2)=K^2という形の2次曲線で、e<1のとき、この曲線は楕円になり、e>1のとき双曲線になるというのはわかりますが、e=1のとき、放物線になるというのがわかりません。どうしてそうなるのかわかりましたら教えてください。



18526.Re: 2次曲線の区分け
名前:ヨッシー    日付:12月2日(木) 16時56分
そもそも 0 で割ることになるので、ダメですよね。
式がまちがってませんか?
 
http://yosshy.sansu.org/

18522.15進法です  
名前:みるく    日付:12月2日(木) 14時40分
問題は、
「15進法の1から10までの整数を1・2・3・4・5・
 6・7・8・9・A・B・C・D・E・10とするとき、
  @51C9C/5Cの値を15進法の数で表せ 
  A15進法の方程式X^2-11X+k=0がx=3の解をもつとき、
   他の解を15進法で表せ。」
 です。前回4進法の計算を10進法に直す方法を教えていた
 だいたのですが、AとかBとかアルファベットはどのように
 扱えばよいのでしょうか??
  教えてください!!よろしくおねがいします。
 



18523.Re: 15進法です
名前:ヨッシー    日付:12月2日(木) 15時45分
()内の数字で、何進法かを表すとすると、
 9(15)=9(10) までは同じで、
 A(15)=10(10)
 B(15)=11(10)
  ・・・・
 E(15)=14(10)
 10(15)=15(10)
  ・・・
 100(15)=225(10)  ・・・ 15(10)×15(10)
 1000(15)=3375(10) ・・・ 15(10)×15(10)×15(10)
基本的には、上のことを踏まえて、まず十進法に直して、計算してから
十五進法に直すのがわかりやすいでしょう。答えは、D3B(15)。

方程式の方は、11(15)=16(10) なので、十進法で、
 x^2 - 16x + k = 0
を考えて、x=3 を代入して k を求め、もうひとつの解を求めて、
十五進法に直します。答えは x=D(15) です。
 
http://yosshy.sansu.org/


18527.Re: 15進法です
名前:みるく    日付:12月2日(木) 19時7分
解けました!!
アルファベットも数字と同じ感覚で扱えば良いのですね。
変換になれるようにもっと勉強します。
ありがとうございました!!
今後もよろしくお願いいたしますm(__)m

18516.傍心の証明の応用(だと思います。)  
名前:利彦(高1)    日付:12月1日(水) 19時20分
Original Size: 360 x 264, 279KB

こんにちは。期末が近いのに一つ難問に出会ってしまいました。
問題内容は理解したのですが、どのように証明したらよいかが、
まったくわからないので、ご助力をお願いします。

△ABCの傍心をA'B'C'とするとき
△ABCの内心と△A'B'C'の垂心は一致することを証明せよ。
(図の解説:点A'B'C'はそれぞれの円の中心。点ABCは△A'B'C'上にある。)

よろしくお願いします。



18520.Re: 傍心の証明の応用(だと思います。)
名前:H2O    日付:12月2日(木) 1時54分
難しくないですよ。
内心も傍心も角の2等分線の交点であること,
対頂角は等しいことなどを利用すればいいんです。

内心をIとすると,
内心と傍心の定義から2点I,C’は∠BACの2等分線上にある。
よって   ∠BAI=∠CAI ・・・・・・・・・(1)
CAの延長上の点をDとすると
   ∠CAB’=∠DAA’=∠BAA’ ・・・・・・(2)
また,
   ∠BAI+∠CAI+∠CAB’+∠BAA’=180° ・・・・・・(3)
(1),(2),(3)より ∠BAI+∠BAA’=90°
ゆえに  A’B’⊥IA すなわち A’B’⊥AC’

以下同様にすればいいので,自分で考えてみてください。


18529.Re: 傍心の証明の応用(だと思います。)
名前:利彦    日付:12月2日(木) 23時42分
なるほど、よく理解できました。
定義の勉強不足のような感じがしました(笑)。
ご回答ありがとうございますm(__)m。

18515.わけがわかりません(^^;  
名前:たぁ    日付:12月1日(水) 19時11分
f(x)=ax^2+bx+1とする。
任意の一次関数g(x)に対して常に
∫[上1,下0] f(x)g(x)dx=0がなりたつ時、定数a,bの値を求めよ。

よろしくお願いします。



18519.Re: わけがわかりません(^^;
名前:    日付:12月1日(水) 22時41分
難しく考えずに、普通にやったらどうでしょう。
g(x)=mx+nとおいて、積分をして、m,nの係数を0とすればよい。
(m,nがどんな数でも0になります)

18514.実は困っています。  
名前:GEO    日付:12月1日(水) 19時5分
問題を出されてそれをOHPを用いて解法を発表しなくてはならないのですがよくわかりません。アドバイスいただけますか?

問 4点A(1,2,3),B(1,1,4),C(2,1,3),D(2,3,2)に対し、次のものを求めよ。
(1)三角形ABC
(2)B,Cを通る直線とAとの距離
(3)AB,AC,ADを3辺とする平行六面体の体積



18521.Re: 実は困っています。
名前:ヨッシー    日付:12月2日(木) 8時54分
(1) 三角形ABC の何でしょう?
 形なら、1辺が√2 の正三角形です。
 面積もすぐ出ますが、ヘロンの公式ではなく、
 BCを底辺とした高さを求めておきましょう。
(2) (1) ですでに答えが出ていますね。
(3) スカラー3重積というのがあるのですが、これは使わずに、
 ABCを通る平面の式を求め、これと点Dとの距離を求めましょう。
 
http://yosshy.sansu.org/


18528.Re: 実は困っています。
名前:GEO    日付:12月2日(木) 22時54分
三角形ABCの面積です。まず1つの座標を原点に移動してそれを全部の点に対応させて外積をするんですか?たしか外積では平行四辺形の面積なのでそれを割るのではないですか?


18534.Re: 実は困っています。
名前:ヨッシー    日付:12月3日(金) 17時16分
外積を使っても良いですが、△ABCが1辺が√2 の正三角形とわかったところで、
高さが√6/2 とわかるので、(底辺)×(高さ)÷2 で求めてはどうですか?
というのが上の記事です。
高さがわかった時点で、(2) も解けたことになります。

外積を使うなら、言われるように外積ベクトルの大きさの半分が三角形の面積になります。

また、平行六面体の体積は
 AB・(AC×AD)
の絶対値です。(↑これがスカラー三重積)
 
http://yosshy.sansu.org/


18554.ありがとうございます
名前:GEO    日付:12月5日(日) 0時0分
そのようにやってみます。


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