1番目だけ載せておきます。2番目はこれを2回使います。3番目は1番目が理解できれば自分でできるでしょう。
#急ぎかもしれませんが、急かさない方がいいと思いますよ、多分。

ax^2+bx+cの場合で説明します。まず、図1のような図を描きます。□は空欄にしておきます。a,b,cはそれぞれ元の式の係数ですね。ここで、空欄に色々な数を書き込んで、図2の関係が成り立つようにします。そうすると、因数分解した式は(αx+β)(γx+δ)となります。
そこでこのα,β,γ,δの求め方ですが、「手当たり次第にやってみましょう」としか言いようがありません。解法のパターンとかではなく技術ですので、たくさんやってみてコツをつかむしかないんです。

豆さんの記事をもとにすると、こういう図になります。

また、タイムチャートを描くと、下のようになります。
三角形の相似から、解くことが出来ます。

　　
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(1) は自分で書いてても釈然としなかったんですが、
　x+2＞０　かつ　3-x＞０
は、ｘの条件であって、ｘが存在する条件ではないですね。
とすると、ａがいくつでないといけないかということですね。

log_a(x+2)(3-x)=-1　より、
　(x+2)(3-x)＝a^-1＝1/a
これが、−２＜ｘ＜３　の範囲に解を持つａの範囲。
というのが、問題の真相でしょう。
　ｙ＝(x+2)(3-x)　と　直線ｙ＝1/a の交点を調べて、
　０＜1/a＜25/4
よって、
　4/25＜ａ
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コンピュータ上ではxの2乗をx^2と表してもらえると分かりやすいです。あと、問いごとに改行を入れると分かりやすくなってレスも付きやすいと思います。
(問1) 直線7x+y=0と垂直な直線はある定数kを使ってx-7y+k=0…★と表せます。これがx^2+y^2=8に接するので、この円の中心(0,0)と★との距離はこの円の半径と等しくなります(図を描いてみると分かります)。あとは点と直線の距離の公式で解けます。
(問2) A⇔(x-2)^2+(y-3)^2=2^2です。円Aと直線Bが異なる2点で交わるとき、円Aの中心と直線Bとの距離が円Aの半径「未満」になるときです(これも図を描いてみると分かります)。あとはやはり点と直線の距離の公式で解けます。
(問3) (問1)とまったく同じ方法です。
(問4) x^2+y^2=4の中心をCとして、Cから直線y=x+kに下ろした垂線の足をHとします。すると添付した図から、三平方の定理によりCHが求まることが分かります。よって、直線y=x+kと点Cの距離がCHになるという式を立てればよいことになります。

(問1)〜(問4)まで、全て点と直線の距離を使う問題でした。

これは　ａ＞０　の場合の図ですが、こんなふうになってれば良いのですね。
　
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円全体を１とするとき、
上の図の青い部分は　何分のいくつですか？
ということです。
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ひょっとして、円だからわかりにくいですか？

上の図の　？　の部分に当たる数を分数で答えなさい。
さて？
　
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一応、解いておきますね。

座標変面全体は、直線 y=ax+b に対して、
　y＞ax+b の部分　つまり　ax+b-y＜０　の部分（領域Ａ）　と
　y＜ax+b の部分　つまり　ax+b-y＜０　の部分（領域Ｂ）
および、直線 y=ax+b 上の点　に分かれます。
「直線y=ax+bが２点(1,2),(1,-1) を結ぶ線分と共有点を持つ」
ということは、２点(1,2),(1,-1) の一方が、領域Ａにあり、他方が領域Ｂに
あるということです。
また、２点(1,2),(1,-1)の少なくとも一方が、直線 y=ax+b 上にあっても、
共有点を持つことになるので、f(x,y)＝ax+b-y に対し、以下の式が
成り立てばいいことになります。
　f(1,2)・f(1,-1)≦０
よって、
　(a+b-2)(a+b+1)≦０
　a+b-2≦０　かつ　a+b+1≧０　または
　a+b-2≧０　かつ　a+b+1≦０
ですが、　　a+b-2≧０　かつ　a+b+1≦０　はあり得ないので、
結局、点(a,b) の存在領域は以下のようになります。
（境界上の線を含みます）

　
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厳密に言えば、
　Ｘ±Ｙ＝Ｏ1Ｏ2＝√2
は誤りです。
２円の半径、中心の距離によって、
　Ｘ＋Ｙ＝O1O2＝√2
　Ｘ−Ｙ＝O1O2＝√2
　Ｙ−Ｘ＝O1O2＝√2
の３通りがあります。Ｘ±Ｙ＝Ｏ1Ｏ2＝√2　では、３番目が抜けています。
おそらく、その直後に、両辺２乗したりして、符号が逆の場合を、考慮せずに
済むようにしているのだと思いますが。

で、上図のような交わり方だと、
　Ｘ＋Ｙ＝O1O2＝√2
です。他の交わり方があるのは、わかりますか？
　
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y=x/(x^2+1)を微分するとy'=(1-x^2)/(x^2+1)^2になるはずです。以下が表ができるまでの手順です。
(1) 定義域を考えます。例えば分母が0になることがあるような場合、その点は定義域から外れます。今回の場合は、実数全体が定義域です。
(2) y'が0になる点を調べます。今回の場合は、y'=0を解くとx=±1になります。
(3) (2)で求めた点の前後でy'の符号がどのように変化するかを考えます。今回の場合は、x=-1の前後で-から+に、x=1の前後で+から-に、それぞれ変化します。
(4) (存在すればできるだけ)漸近線を求め、-∞と∞のときの様子を調べます。今回の場合は、y=x/(x^2+1)=1/(x+1/x) (分母と分子を共にxで割る)となるので、lim[x→-∞]y=lim[x→∞]y=0となります。(漸近線がy=0ということもできます)
(5) 以上の結果を表にします。
慣れが非常に大事なので、たくさん書いて覚えましょう。2回微分に関しては、「凹凸を調べよ」との指示があったときだけでかまわないと思いますが、気になるならば調べてもかまわないと思います。

分子も分母もある操作をしてみると…