こんばんわ、かなり初歩的な証明問題だと思いますが、いざ証明すると
なると戸惑ってしまいます；－；しかも、教科書の問題なので答えがなく
答えあわせもできない状況なのでどなたかご教授願います！
問）a,bが定数のとき、次の不等式を証明せよ。
｛f(ax＋b)｝'=af'(ax＋b)
おそらく合成関数の証明の後の問題なので、合成関数を用いることは
想像できるのですが・・・。
一応私なりに考えた結果、g(x)=ax＋b=yとみて、またz=f(y)から
z=f｛g(x)｝,,,,,うーん、ここから上手くいかない＾－＾；
と言うか、全然進んでません（死
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14101．Re: 合成関数 |
| 名前：K.N.G. 日付：4月1日(木) 2時10分 |
こんにちは. 証明するのは"不等式"ではなくて"等式"ですよね？
(勘違いしていたら, ごめんなさい.)
(合成関数の微分法を証明済みとして)
ax + b = g(x) と置くと,
{f(ax + b)}' = {f(g(x))}'
= (df/dg) * (dg/dx) (∵合成関数の微分)
= f '(g(x)) * a
= f '(ax + b) * a
= a * f '(ax + b)
というような感じの証明でいいのではないでしょうか...
もっと, 簡単に書いてしまえば,
{f(ax + b)}' = f '(ax + b) * (ax + b)' = a * f '(ax + b)
となりますが.
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14102．Re: 合成関数 |
| 名前：ジャグラ 日付：4月1日(木) 2時39分 |
K.N.G.さん返答ありがとうございます！
すみません、勘違いして不等式とうってしまいました；－；
不等式なら証明できませんよね（笑）
はやり合成関数の考え方で解くのですね！証明の流れは分かりやすく
本当に感謝します。 ですが、恥ずかしながら
{f(g(x))}'=(df/dg) * (dg/dx）に到るプロセスをきちんと納得できて
いない見たいです・・・。
すみません、私自身合成関数の証明は理解していたつもりでしたが
実際できてませんでした。そこでもう少し詳しく教えて頂けないでしょうか？
fと表記した時点で一瞬の関数を表しているのかな・・・、
合成関数を勉強しているとそんな気がしなくもないです＾－＾；
今まではf(x)で関数だと認識していたのですが・・・。
♯気にせず合成じゃ！みたいなノリで行けば困らないと思うのですが、
実際定義が私からしてみると複雑です；－；
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14103．Re: 合成関数 |
| 名前：K.N.G. 日付：4月1日(木) 3時24分 |
--合成関数の微分-----------------------------
y = f(t), t = g(x) が共に微分可能であるとき,
合成関数 f(g(x)) も微分可能であり,
dy/dx = (dy/dt)*(dt/dx)
となる.
---------------------------------------------
というのが合成関数の微分です. 証明は教科書を参照して下さい.
｢微分可能である｣とか細かいことを無視すると, 要するに
｢y = f(t), t = g(x) のとき, f(g(x)) を x で微分したもの(dy/dx) を求めたかったら,
まず y を t で微分したもの(dy/dt) と t を x で微分したもの(dt/dx)
を掛け合わせれば求まりますよ.｣
ということです.
本問の場合, 上に合わせて,
y = f(t) = f(ax + b), t = g(x) = ax + b と置くと,
{f(ax + b)}' = dy/dx
= (dy/dt) * (dt/dx)
= f '(t) * g '(x)
= f '(ax + b) * a
= a * f '(ax + b)
となるわけです. 先ほどの投稿の書き方とちょっと違いますが, 本質的には変わりません. というか, もしかすると先ほどの書き方は間違っているかもしれない(意味はとれると思うのですが..)ので, こちらを参考にして下さい.
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14104．Re: 合成関数 |
| 名前：ジャグラ 日付：4月1日(木) 4時49分 |
K.N.G.さん返信ありがとうございます。
y = f(t) = f(ax + b), t = g(x) = ax + b
の部分とdy/dt) * (dt/dx）の部分を参照しながら考えれば
理解できました！結局合成関数の意味するところは、間接的に微分している
所ですよね。良心的なご説明でとても助かりました。
それと、実はもう一つ些細な疑問があるのですが････
一般的にf(x)とf^-1(x)はy=xに関して対称であるとのことですが、
それはy=xとひっくり返しても同じエネルギー（？ｗ）を持っているため
反対方向からアプローチしても大丈夫ということだからですか？
よろしければ教えてください。
♯本当に些細で申し訳ありません。
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14115．Re: 合成関数 |
| 名前：K.N.G. 日付：4月1日(木) 14時9分 |
逆関数について, 個人的には次のように捉えています.
先ず, 1対1対応の関数 y = f(x) について, x と y を入れ替え x = f(x) とし, これを y = f-1(x) の形に変形したとき, f-1(x) を f(x) の逆関数といいます.
数式上で｢x と y を入れ替える｣という操作は, グラフ上では｢x軸と y軸を入れ替える｣という操作に置き換えられます(グラフはそのままです). つまり, x軸(横軸)を y軸とみて, y軸(縦軸)を x軸とみるわけですから, f(x) と f-1(x) は, 自然 y = x に関して対称になります.
> それはy=xとひっくり返しても同じエネルギー（？ｗ）を持っているため
というエネルギーからのアプローチ(?)は, 僕にはちょっとわかりません. 不勉強なものでm(__)m
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14116．訂正です |
| 名前：K.N.G. 日付：4月1日(木) 14時13分 |
2行目の
> x と y を入れ替え x = f(x) とし
を
x と y を入れ替え x = f(y) とし
に訂正してください. すみません.
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14135．Re: 合成関数 |
| 名前：ジャグラ 日付：4月1日(木) 20時12分 |
K.N.G.さん返答ありがとうございます。
逆関数は私の苦手のするところでエネルギーとか変な事言って
混乱させてしまい申し訳ありません。
これほど丁寧に答えていただきありがとうございました！
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