次の問題について，解答とは異なる方法で証明してみました。
（問題）ｆ（ｘ，ｙ）が点（ａ，ｂ）で連続ならば，ｘの関数ｆ（ｘ，ｂ）は
ｘ＝ａで連続であり，ｙの関数ｆ（ａ，ｙ）はｙ＝ｂで連続であることを示せ。
（答案）ｆ（ｘ，ｙ）が点（ａ，ｂ）で連続であるから
ｌｉｍ[（ｘ，ｙ）→（ａ，ｂ）]ｆ（ｘ，ｙ）＝ｆ（ａ，ｂ）が成り立つ
よって ｙ＝ｂを固定して考えると
ｌｉｍ[（ｘ，ｂ）→（ａ，ｂ）]ｆ（ｘ，ｂ）＝ｆ（ａ，ｂ）も成り立っている
また ｘ＝ａを固定して考えると
ｌｉｍ[（ａ，ｙ）→（ａ，ｂ）]ｆ（ａ，ｙ）＝ｆ（ａ，ｂ）も成り立っている
よって ｆ（ｘ，ｂ）はｘ＝ａで連続であり，ｆ（ａ，ｙ）はｙ＝ｂで連続である。
このような感じで良いでしょうか？解答は「ε－δ論法」を使って，証明しています。よろしくお願いします。
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11957．Re: 連続であることの証明について |
| 名前：Red cat 日付：12月12日(金) 14時15分 |
しばらくぶりです。
ε - δ 論法については理解しているものとして解答します。
f(x,y) が (a,b) で連続ゆえ
∀ε > 0 に対して δ > 0 が存在して
√{(x - a)2 + (y - b)2} < δ ⇒ |f(x,y) - f(a,b)| < ε
が成り立っています。
このとき、同じ ε , δ に対して |x - a| < δ とすれば
√{(x - a)2 + (b - b)2} = |x - a| < δ
なので |f(x,b) - f(a,b)| < ε となり、f(x,b) は x = a で連続となります。
f(a,y) についても同様に。
http://redcat.web.infoseek.co.jp/
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11960．Re: 連続であることの証明について |
| 名前：ast 日付：12月12日(金) 16時20分 |
なんか違うような・・・.
そもそも定義の話になるわけで, lim_[(x,y)→(a,b)] が存在するということの
定義から lim_[x→a]lim_[y→b] とか, lim_[y→b]lim_[x→a] が両方とも
存在して lim_[(x,y)→(a,b)] に等しい.
という話に持っていかないと証明になってないと思います.
# 片方固定するとかいうのは直観的には正しいのですけれど.
その辺が ε-δ だと量的にも論理的にも直接話ができるので解答は
そうなっているのだと思います.
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11964．Re: 連続であることの証明について |
| 名前：たくや 日付：12月12日(金) 22時24分 |
次のように答案を修正してみました。
「ｆ（ｘ，ｙ）は点（ａ，ｂ）で連続であるからｌｉｍ[（ｘ，ｙ）→（ａ，ｂ）]ｆ（ｘ，ｙ）＝ｆ（ａ，ｂ）が成り立つ
よって （ｘ，ｙ）→（ａ，ｂ）のときの極限値が存在してｆ（ａ，ｂ）となることの定義から 極限値ｌｉｍ[ｘ→ａ]ｌｉｍ[ｙ→ｂ]，ｌｉｍ[ｙ→ｂ]
ｌｉｍ[ｘ→ａ]がともに存在してｆ（ａ，ｂ）となることから，
ｆ（ｘ，ｂ）はｘ＝ａで連続であり，ｆ（ａ，ｙ）はｙ＝ｂで連続である。」
このようにすれば正しいでしょうか？
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11965．Re: 連続であることの証明について |
| 名前：ast 日付：12月13日(土) 0時57分 |
言い方がまずかったかな; なんというか, むしろ改悪されてる
ような・・・；
示すべきことは, f(x,b) → f(a,b) と f(a,y) → f(a,b) なので
骨格は元のままで良かったんですよ, 理由だけ書き足せば.
ま, 記述の仕方に時間かけてても仕方ないので模範(？)解答.
[[解答]]
連続性の仮定から lim_[(x,y)→(a,b)] f(x,y) が存在して, f(a,b) に
等しいことに注意する.
このとき,
lim_[x→a] f(x,b)
= lim_[x→a]lim_[(x,y)→(x,b)] f(x,y)
= lim_[(x,y)→(a,b)] f(x,y)
= f(a,b)
が成り立ち, f(x,b) は x=a で連続. 同様に
lim_[y→b] f(a,y)
= lim_[y→b]lim_[(x,y)→(a,y)] f(x,y)
= lim_[(x,y)→(a,b)] f(x,y)
= f(a,b)
となるので, f(a,y) は y=b で連続.
[[/解答]]
### って書いてて自信なくなってきた・・・；
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11979．Re: 連続であることの証明について |
| 名前：我疑う故に存在する我 日付：12月15日(月) 12時35分 |
＞ ast さん
= lim_[x→a]lim_[(x,y)→(x,b)] f(x,y) は、
lim_[(x,y)→(x,b)] f(x,y) の存在を仮定しているので不完全。
たくやさんの最初の解答で良いと思われます。
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11981．Re: 連続であることの証明について |
| 名前：ast@学校 日付：12月15日(月) 14時52分 |
＞lim_[(x,y)→(x,b)] f(x,y) の存在を仮定しているので不完全。
＞たくやさんの最初の解答で良いと思われます。
その極限の存在を仮定しているから不完全, というのはなんか変です.
そもそも ε-δ で書いたものを焼き直してるだけですし.
と, ましたが, 確かに言葉が足りていないですね, では次のように
『(a,b) の 十分近くにある (x,b) について』
などと入れてやれば, もとの連続性の仮定からその極限の存在は保証されて
いるのでうまくいく,と思うのですが如何でしょうか？
たくやさんの最初の解答では, 根拠となるものが明示されていないために
示すべき内容が 「成り立つから成り立つ」 と書いてあるように読めてしまいます.
なので, No11960 では 「なんか違うような」 と発言しました. 今もそう思います.
# そもそもが自明な内容なので, 根拠となるものがまったく陽に現れない
# のでは証明と呼ぶのはまずいと思います.
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11982．Re: 連続であることの証明について |
| 名前：我疑う故に存在する我 日付：12月15日(月) 16時8分 |
＞ ast さん
＞『(a,b) の 十分近くにある (x,b) について』
＞などと入れてやれば, もとの連続性の仮定からその極限の存在は保証されて
元の文章では、あくまで (a, b) のみでの連続性を仮定しているだけですから、
x がどれだけ a に近くても x = a でない限り、 (x, b) での連続性は保証されません。
＞たくやさんの最初の解答では, 根拠となるものが明示されていないために
ｙ＝ｂを固定して考えると・・・・と、論拠を示しています。即ち、
(x, y) が特別の条件の下に (a, b) に近づくと言うことですから、
十分な論拠と思われます。
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11986．Re: 連続であることの証明について |
| 名前：ast@学校 日付：12月15日(月) 18時46分 |
すみません漸く理解しました. どうも集中力がなくなっている模様;
要するに, 『lim_[x→a] f(x,b) = lim_[(x,b)→(a,b)] f(x,b)』 である
ので, たくやさんの最初の解答でいいというわけですね.
# しかし, やはり見た感じすっきりしないので, 上の一文は入れるべきかと.
# と言い訳をしておきます.
とりあえず, 私の中で気持ち悪い部分は解消しました.
また, 報告までに記しておきますが, 私の勘違いは |(x,y)-(a,b)| = δ,
|(x,y)-(x,b)| = δ_1, |(x,b)-(a,b)| = δ_2 とおいたときには,
δ_1^2+δ_2^2 = δ^2 なので, δ_1 + δ_2 < δ なることができない.
というのを見落としていたことによるものでした.
以上, お騒がせしました.
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12150．Re: 連続であることの証明について |
| 名前：Red cat 日付：12月24日(水) 14時41分 |
私が油断している間にかなり話が進んでいたようです。
ast さんご自身はすでに理解なさっていると思いますが、たくやさんに誤解のないよう補足。
lim_[x→a]( lim_[y→b] f(x,y) ) ,
lim_[y→b]( lim_[x→a] f(x,y) )
が両方とも存在しても、f(x,y) が点 (a,b) で連続であるとは結論できません。ただし、逆は言えます。つまり
f(x,y) が点 (a,b) で連続 ⇒
lim_[x→a]( lim_[y→b] f(x,y) ) ,
lim_[y→b]( lim_[x→a] f(x,y) )
はともに存在し、その値は f(a,b) に等しい。
http://redcat.web.infoseek.co.jp/
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