点と平面との距離の公式

公式
空間上の点(x₀, y₀, z₀) から、平面 ax+by+cz+d=0 までの距離は
　|ax₀+by₀+cz₀+d|/√(a²+b²+c²)
で表される。

解説
点Ａ(x₀, y₀, z₀) を通り、平面 ax+by+cz+d=0 に垂直な直線の式は、
ｔ を実数の媒介変数として、
　x=at+x₀, y=bt+y₀, z=ct+z₀　・・・　(1)
と表される。これと、平面
　ax+by+cz+d=0　・・・　(2)
との交点Ｂは、(2) に (1) を代入して、
　a(at+x₀)+b(bt+y₀)+c(ct+z₀)+d=0
展開して、整理すると、
　(a²+b²+c²)t+ax₀+by₀+cz₀+d=0
a²+b²+c²＞0 (平面の法線ベクトルの大きさ故) より、
　t=-(ax₀+by₀+cz₀+d)/(a²+b²+c²)
これを、t₀ とすると、直線(1) と 平面(2) の交点Ｂは
　(at₀+x₀, bt₀+y₀, ct₀+z₀)　・・・　(3)
と表される。ＡＢの距離は、
　√(a²t₀² + b²t₀² + c²t₀²)
　＝|t₀|√(a²+b²+c²)
　＝|ax₀+by₀+cz₀+d|/√(a²+b²+c²)

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