線分の３等分

線分の３等分

線分ABの３等分点を、定規とコンパスで作図する方法を、たくさん見つける。

垂線を引く、中点を取る、垂直二等分線を引く、角の二等分線を引く、平行線を引く
30°を含む直角三角形を描く、またそれを利用して、１：２：√3 の比を作る
は、既知のものとして、その作図方法は省略し、補助線も描いていません。

方法１ＡＢを１辺とする正方形を３つ図のように描きＡから対角線ＡＣを引き、ＡＢを含む正方形との交点をＤとし、ＤからＡＢに下ろした垂線の足Ｅが３等分点のひとつとなります。
方法２ＡＢを１辺とする正方形を６つ図のように描きＡから対角線ＡＣを引き、ＡＢを含む正方形との交点をＤとし、ＤからＡＢに下ろした垂線の足Ｅが３等分点のひとつとなります。
方法３ＡＢを１辺とする正方形を３つ図のように描き対角線ＣＤと、ＡＢの交点Ｅが３等分点のひとつになります。
方法４ＡＢを１辺とする正方形を図のように４つ描き、長さＢＣをＢＤの延長上に取り、ＡＥを結びます。ＡＢ＝ＡＦとなる点ＦをＡＥ上にとり、点ＦからＡＢに下ろした垂線の足Ｇが３等分点のひとつになります。（説明）ＡＢを１とすると、ＢＣは２√２となります。 △ＡＢＥにおける三平方の定理より、ＡＥ＝３となります。この上に長さ１のＡＦを取ることにより、1/3 の長さを作っています。
方法５ＡＢを１辺とする正方形を図のように３つ描き、長さＣＤをＣＥに取り、ＡＥを結びます。ＡＢ＝ＡＦとなる点ＦをＡＥ上にとり、点ＦからＡＢに下ろした垂線の足Ｇが３等分点のひとつになります。（説明）ＡＢを１とすると、ＣＤは√５となります。 △ＡＣＥにおける三平方の定理より、ＡＥ＝３となります。この上に長さ１のＡＦを取ることにより、2/3 の長さを作っています。
方法６ＡＢをＢ方向に２倍伸ばした点Ｄを取ります。中心Ａ、半径ＡＤの円と、ＢからＡＢに垂直に延ばした直線との交点をＥとし、ＡＥを結びます。ＡＢ＝ＡＦとなる点ＦをＡＥ上にとり、点ＦからＡＢに下ろした垂線の足Ｇが３等分点のひとつになります。方法４の辺の取り方の変更です。
方法７ＡＢのＢの方向に点Ｃ点ＤをＡＢ＝ＢＣ＝ＣＤとなるように取ります。中心Ａ、半径ＡＤの円と、ＣからＡＢに垂直に延ばした直線との交点をＥとし、ＡＥを結びます。ＡＢ＝ＡＦとなる点ＦをＡＥ上にとり、点ＦからＡＢに下ろした垂線の足Ｇが３等分点のひとつになります。方法４の辺の取り方の変更です。
方法８ＡＢの両端が、30°、90°の直角三角形ＡＢＣを描くと、∠ＡＣＢの二等分線とＡＢの交点Ｄが、３等分点のひとつになります。（説明） △ＡＢＣ、△ＣＢＤはともに、30°を含む直角三角形です。ＤＢ＝１とすると、ＢＣ＝√3、ＡＢ＝３となり、点Ｄは、ＡＢの３等分点になっています。
方法９ＡＢの両端が、30°、90°の直角三角形ＡＢＣを描くと、斜辺ＡＣの垂直二等分線と、ＡＢの交点Ｅが、３等分点のひとつになります。（説明） △ＡＢＣ、△ＡＤＥはともに、30°を含む直角三角形です。ＢＣ＝１とすると、ＡＢ＝√３。一方、ＡＣ＝２よりＡＤ＝１であり、ＡＥ＝２／√３＝２√３／３よって、ＡＥ＝（２／３）ＡＢ　となり、点ＥはＡＢの３等分点になっています。
方法１０ＡＢ：ＡＣ＝√３：１の長さの線分ＡＣを取り、ＡＢと適当な角度で配置します。点Ｃから引いたＡＣの垂線と、ＣＢの垂直二等分線の交点をＥとし、中心Ｅ、半径ＣＥの円と、ＡＢの交点ＦがＡＢの３等分点のひとつになります。（説明）ＡＢ＝３とすると、ＡＣ＝√３方べきの定理より、　ＡＣ²＝ＡＦ・ＡＢ　√3²＝３ＡＦよって、ＡＦ＝１となり、点Ｆは、ＡＢの３等分点になっています。
方法１１点ＡからＡＢの方向以外に半直線を引き、ＡＣ＝ＣＤ＝ＤＥとなる点Ｃ，Ｄ，Ｅをこの順に取ります。点Ｃを通って、ＢＥに平行な直線とＡＢとの交点Ｆが、３等分点のひとつになります。
方法１２方法１１と同じように、点Ｃ、Ｄ、Ｅを取り、ＢＥを結びます。ＢＥの中点と点Ａを結んだ線と、ＢＣの交点をＦとします。ＥＦの延長と、ＡＢの交点Ｇが、３等分点のひとつとなります。（説明）チェバの定理を使っています。
方法１３ＡＢと同方向でない、適当な線分ＡＣをとり、ＡＣの中点ＤとＢを結びます。ＢＤの中点をＥとし、ＣＥとＡＢの交点Ｆが、３等分点のひとつとなります。（説明）メネラウスの定理を使っています。
方法１４Ａを通り、ＡＢと同方向でない直線を引き、この直線上にＡＣ＝ＡＤとなる２点Ｃ、Ｄを、点Ａをはさんで両側に取ります。ＣＢの中点をＥとし、ＤＥとＡＢの交点Ｆが、ＡＢの３等分点のひとつになります。（説明）メネラウスの定理を使っています。
方法１５ＡＢとは同一直線上にない点Ｃをとり、Ｃから出る半直線ＣＡ，ＣＢを引きます。ＣＡ上のある点ＤからＡＢに平行に線分ＤＥを引きます。Ｄから、その直線上に等間隔に３つ点を取り、３つめを点Ｅとします。点ＥからＣＡに平行に引いた直線と、ＣＢの交点をＦとし、点Ｆを通って、ＡＢに平行な直線とＣＡとの交点をＧとすると、ＦＧはＤＥと同じ長さになります。ＦＧの三等分点のひとつと点Ｃを結び、ＡＢとの交点Ｈが、三等分点のひとつとなります。
方法１６方法１５で、半直線ＣＡ，ＣＢをＡおよびＢから出した場合です。
方法１７ＡＣ＝３ＡＢ　となる点Ｃを、直線ＡＢ上のＢ側に取ります。ＡＢ＝ＡＤとなる線分ＡＤを、ＡＢとは違う方向に取ります。点ＤからＡＤに垂直に引いた直線と、ＣＤの垂直二等分線との交点をＦとし、中心Ｆ、半径ＦＤの円と、ＡＢとの交点Ｇが、三等分点のひとつになります。（説明）ＡＢ＝ＡＤ＝３　とおくと、ＡＣ＝９方べきの定理より、　ＡＤ²＝ＡＧ・ＡＣ　９＝９ＡＧ　ＡＧ＝１となり、ＧはＡＢの三等分点のひとつとなります。
方法１８ＡＢを１辺に持つ、適当な三角形ＡＢＣを作り、ＢＣの中点をＤ、ＡＣの中点をＥとし、ＡＤとＢＥの交点をＦとします。（Ｆは△ＡＢＣの重心です）点Ｆから、ＡＣに平行に引いた直線とＡＢとの交点Ｇが、ＡＢの三等分点のひとつになります。
方法１９Ａを中心に適当な半径の円を描き、Ｂを中心にその２倍の半径の円を描き、交点をＥとします。 ∠ＡＥＢの二等分線とＡＢとの交点Ｆが、ＡＢの三等分点のひとつになります。（説明）角の二等分線の定理より、　ＡＦ：ＦＢ＝ＡＥ：ＥＢ＝１：２となります。
方法２０ＡＢ＝ＢＣとなる点ＣをＡＢのＢ側の延長上に取ります。点Ａ中心、半径ＡＢの円と、点Ｂ中心、半径ＡＢの半分の円との交点をＤとします。（ＡＤ：ＤＢ＝２：１になれば、どんな長さでも良いです）ＣＤの垂直二等分線と、ＢＣの交点をＦとし、点Ｆ中心、半径ＦＣの円とＡＢの交点をＧとすると、点ＧはＡＢの三等分点のひとつになります。（説明）アポロニウスの定理より、　ＡＧ：ＧＢ＝ＡＣ：ＣＢ＝２：１になります。
方法２１ＡＢ：ＢＣ＝√３：１となる線分ＢＣを引きます。点Ｂ中心、半径ＢＣの円と、ＡＢを直径とする円との交点をＤとし、ＤからＡＢに下ろした視線の足Ｅが、ＡＢの三等分点のひとつになります。（説明） △ＡＢＤは∠ＡＤＢ＝90°の直角三角形になります。ＡＢ＝√3 とすると、ＢＤ＝１。 △ＡＢＤにおける三平方の定理より、　ＡＤ＝√2 △ＤＢＥ，△ＡＤＥは△ＡＢＤと相似な三角形なので、　ＢＥ：ＥＤ＝ＥＤ：ＡＥ＝１：√2 よって、　ＢＥ：ＡＥ＝１：２となります。

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方法１ＡＢを１辺とする正方形を３つ図のように描きＡから対角線ＡＣを引き、ＡＢを含む正方形との交点をＤとし、ＤからＡＢに下ろした垂線の足Ｅが３等分点のひとつとなります。
方法２ＡＢを１辺とする正方形を６つ図のように描きＡから対角線ＡＣを引き、ＡＢを含む正方形との交点をＤとし、ＤからＡＢに下ろした垂線の足Ｅが３等分点のひとつとなります。
方法３ＡＢを１辺とする正方形を３つ図のように描き対角線ＣＤと、ＡＢの交点Ｅが３等分点のひとつになります。
方法４ＡＢを１辺とする正方形を図のように４つ描き、長さＢＣをＢＤの延長上に取り、ＡＥを結びます。ＡＢ＝ＡＦとなる点ＦをＡＥ上にとり、点ＦからＡＢに下ろした垂線の足Ｇが３等分点のひとつになります。（説明）ＡＢを１とすると、ＢＣは２√２となります。 △ＡＢＥにおける三平方の定理より、ＡＥ＝３となります。この上に長さ１のＡＦを取ることにより、1/3 の長さを作っています。
方法５ＡＢを１辺とする正方形を図のように３つ描き、長さＣＤをＣＥに取り、ＡＥを結びます。ＡＢ＝ＡＦとなる点ＦをＡＥ上にとり、点ＦからＡＢに下ろした垂線の足Ｇが３等分点のひとつになります。（説明）ＡＢを１とすると、ＣＤは√５となります。 △ＡＣＥにおける三平方の定理より、ＡＥ＝３となります。この上に長さ１のＡＦを取ることにより、2/3 の長さを作っています。
方法６ＡＢをＢ方向に２倍伸ばした点Ｄを取ります。中心Ａ、半径ＡＤの円と、ＢからＡＢに垂直に延ばした直線との交点をＥとし、ＡＥを結びます。ＡＢ＝ＡＦとなる点ＦをＡＥ上にとり、点ＦからＡＢに下ろした垂線の足Ｇが３等分点のひとつになります。方法４の辺の取り方の変更です。
方法７ＡＢのＢの方向に点Ｃ点ＤをＡＢ＝ＢＣ＝ＣＤとなるように取ります。中心Ａ、半径ＡＤの円と、ＣからＡＢに垂直に延ばした直線との交点をＥとし、ＡＥを結びます。ＡＢ＝ＡＦとなる点ＦをＡＥ上にとり、点ＦからＡＢに下ろした垂線の足Ｇが３等分点のひとつになります。方法４の辺の取り方の変更です。
方法８ＡＢの両端が、30°、90°の直角三角形ＡＢＣを描くと、∠ＡＣＢの二等分線とＡＢの交点Ｄが、３等分点のひとつになります。（説明） △ＡＢＣ、△ＣＢＤはともに、30°を含む直角三角形です。ＤＢ＝１とすると、ＢＣ＝√3、ＡＢ＝３となり、点Ｄは、ＡＢの３等分点になっています。
方法９ＡＢの両端が、30°、90°の直角三角形ＡＢＣを描くと、斜辺ＡＣの垂直二等分線と、ＡＢの交点Ｅが、３等分点のひとつになります。（説明） △ＡＢＣ、△ＡＤＥはともに、30°を含む直角三角形です。ＢＣ＝１とすると、ＡＢ＝√３。一方、ＡＣ＝２よりＡＤ＝１であり、ＡＥ＝２／√３＝２√３／３よって、ＡＥ＝（２／３）ＡＢ　となり、点ＥはＡＢの３等分点になっています。
方法１０ＡＢ：ＡＣ＝√３：１の長さの線分ＡＣを取り、ＡＢと適当な角度で配置します。点Ｃから引いたＡＣの垂線と、ＣＢの垂直二等分線の交点をＥとし、中心Ｅ、半径ＣＥの円と、ＡＢの交点ＦがＡＢの３等分点のひとつになります。（説明）ＡＢ＝３とすると、ＡＣ＝√３方べきの定理より、　ＡＣ²＝ＡＦ・ＡＢ　√3²＝３ＡＦよって、ＡＦ＝１となり、点Ｆは、ＡＢの３等分点になっています。
方法１１点ＡからＡＢの方向以外に半直線を引き、ＡＣ＝ＣＤ＝ＤＥとなる点Ｃ，Ｄ，Ｅをこの順に取ります。点Ｃを通って、ＢＥに平行な直線とＡＢとの交点Ｆが、３等分点のひとつになります。
方法１２方法１１と同じように、点Ｃ、Ｄ、Ｅを取り、ＢＥを結びます。ＢＥの中点と点Ａを結んだ線と、ＢＣの交点をＦとします。ＥＦの延長と、ＡＢの交点Ｇが、３等分点のひとつとなります。（説明）チェバの定理を使っています。
方法１３ＡＢと同方向でない、適当な線分ＡＣをとり、ＡＣの中点ＤとＢを結びます。ＢＤの中点をＥとし、ＣＥとＡＢの交点Ｆが、３等分点のひとつとなります。（説明）メネラウスの定理を使っています。
方法１４Ａを通り、ＡＢと同方向でない直線を引き、この直線上にＡＣ＝ＡＤとなる２点Ｃ、Ｄを、点Ａをはさんで両側に取ります。ＣＢの中点をＥとし、ＤＥとＡＢの交点Ｆが、ＡＢの３等分点のひとつになります。（説明）メネラウスの定理を使っています。
方法１５ＡＢとは同一直線上にない点Ｃをとり、Ｃから出る半直線ＣＡ，ＣＢを引きます。ＣＡ上のある点ＤからＡＢに平行に線分ＤＥを引きます。Ｄから、その直線上に等間隔に３つ点を取り、３つめを点Ｅとします。点ＥからＣＡに平行に引いた直線と、ＣＢの交点をＦとし、点Ｆを通って、ＡＢに平行な直線とＣＡとの交点をＧとすると、ＦＧはＤＥと同じ長さになります。ＦＧの三等分点のひとつと点Ｃを結び、ＡＢとの交点Ｈが、三等分点のひとつとなります。
方法１６方法１５で、半直線ＣＡ，ＣＢをＡおよびＢから出した場合です。
方法１７ＡＣ＝３ＡＢ　となる点Ｃを、直線ＡＢ上のＢ側に取ります。ＡＢ＝ＡＤとなる線分ＡＤを、ＡＢとは違う方向に取ります。点ＤからＡＤに垂直に引いた直線と、ＣＤの垂直二等分線との交点をＦとし、中心Ｆ、半径ＦＤの円と、ＡＢとの交点Ｇが、三等分点のひとつになります。（説明）ＡＢ＝ＡＤ＝３　とおくと、ＡＣ＝９方べきの定理より、　ＡＤ²＝ＡＧ・ＡＣ　９＝９ＡＧ　ＡＧ＝１となり、ＧはＡＢの三等分点のひとつとなります。
方法１８ＡＢを１辺に持つ、適当な三角形ＡＢＣを作り、ＢＣの中点をＤ、ＡＣの中点をＥとし、ＡＤとＢＥの交点をＦとします。（Ｆは△ＡＢＣの重心です）点Ｆから、ＡＣに平行に引いた直線とＡＢとの交点Ｇが、ＡＢの三等分点のひとつになります。
方法１９Ａを中心に適当な半径の円を描き、Ｂを中心にその２倍の半径の円を描き、交点をＥとします。 ∠ＡＥＢの二等分線とＡＢとの交点Ｆが、ＡＢの三等分点のひとつになります。（説明）角の二等分線の定理より、　ＡＦ：ＦＢ＝ＡＥ：ＥＢ＝１：２となります。
方法２０ＡＢ＝ＢＣとなる点ＣをＡＢのＢ側の延長上に取ります。点Ａ中心、半径ＡＢの円と、点Ｂ中心、半径ＡＢの半分の円との交点をＤとします。（ＡＤ：ＤＢ＝２：１になれば、どんな長さでも良いです）ＣＤの垂直二等分線と、ＢＣの交点をＦとし、点Ｆ中心、半径ＦＣの円とＡＢの交点をＧとすると、点ＧはＡＢの三等分点のひとつになります。（説明）アポロニウスの定理より、　ＡＧ：ＧＢ＝ＡＣ：ＣＢ＝２：１になります。
方法２１ＡＢ：ＢＣ＝√３：１となる線分ＢＣを引きます。点Ｂ中心、半径ＢＣの円と、ＡＢを直径とする円との交点をＤとし、ＤからＡＢに下ろした視線の足Ｅが、ＡＢの三等分点のひとつになります。（説明） △ＡＢＤは∠ＡＤＢ＝90°の直角三角形になります。ＡＢ＝√3 とすると、ＢＤ＝１。 △ＡＢＤにおける三平方の定理より、　ＡＤ＝√2 △ＤＢＥ，△ＡＤＥは△ＡＢＤと相似な三角形なので、　ＢＥ：ＥＤ＝ＥＤ：ＡＥ＝１：√2 よって、　ＢＥ：ＡＥ＝１：２となります。