問題
ｉを虚数単位とする。実数Xに対し、Z=(１+Xi)/(1-Xi)とおく。
(１)Zの絶対値はいくらか？
(２)Z4が実数となるような実数Xは何個あるか。またそのうち最大のものは何か。
解答１（計算のみで解く方法）
(1)
Z=(1+Xi)/(1-Xi)
の両辺に (1+Xi) を掛けて
Z=(1+Xi)2/(1+X2)
=(1-X2+2Xi)/(1+X2)
|Z|=√{(1-X2)2+(2X)2}/(1+X2)
=√(1+2X2+X4)/(1+X2)
=１
(2)
(1+X2)Z=(1-X2+2Xi)
２乗して
(1+X2)2Z2=(1-X2+2Xi)2
={(1-X2)2-4X2+4X(1-X2)i}
={(1-6X2+X4)+4X(1-X2)i}
さらに２乗して
(1+X2)4Z4={(1-6X2+X4)2-16X2(1-X2)2+8X(1-X2)(1-6X2+X4)i}
これの虚数部が０になればいいので、
X(1-X2)(1-6X2+X4)=0
X=0,X=±1 はすぐ求められる。
1-6X2+X4=0
より、
X2=3±2√2
X=±√(3±2√2)=√2±1，-√2±1
以上７個。最大のものは √2+1。
解答２（複素平面を使う方法）
(1)
図のように、1+Xi と 1-Xi を、複素平面上に書きます。
ただし、 −π/2＜θ＜π/2
1+Xi＝ｒｅiθ
1-Xi＝re-iθ
より、
Ｚ＝(r/r)ｅiθ-(-iθ)＝ｅ2iθ
より、
Ｚは絶対値１、偏角２θの複素数になります。
(2)
Ｚ4＝ｅ8iθ＝cos(8θ)＋ｉsin(8θ)
より、8θ＝ｎπとなるθを求めます。
−π/2＜θ＜π/2
の範囲でこれを解くと、
θ＝-3π/8，-π/4，-π/8，０，π/8，π/4，3π/8
の７個
ｘ＝tanθより、ｘが最大になるのは、θ＝3π/8 のとき。
上図において、△ＯＡＢは、ＯＢ＝ＡＢの直角二等辺三角形です。
ＯＢが求めるｘの値になります。
角の二等分線の定理より、
ＢＣ：ＣＡ＝ＯＢ：ＯＡ＝１：√２
ＢＣ＝１より、ＣＡ＝√２
ＯＢ＝ＡＢ＝ＢＣ＋ＣＡ＝１＋√２
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