柴田さんからの質問１
質問
幾何学でベクトルが役に立つとよく言うんですが、
普通の図形の問題などでは、どう利用したらいいのか分かりません。
ベクトルではない線分とかってベクトル成分とかで表せないんですか？
回答（以下太線はベクトルを表します）
ベクトルの基本的なことは、こちらやこちらを見ていただくとして、
例として、三角形の重心が、中線を２：１に内分する点であることを
ベクトルを使って示します。
△ＡＢＣにおいて、ＢＣ，ＣＡ，ＡＢの中点をＬ，Ｍ，Ｎ
とします。
ａ＝ＡＢ， ｂ＝ＡＣ
とおき、AGをａとｂで表すことを考えます。
その結果、AG＝2ＡＬ/3、ＢＧ＝2ＢＭ/3、ＣＧ＝2ＣＮ/3 が言えることを示します。
| 使用する基本性質１ ２点Ｂ、Ｃについて、ａ＝ＡＢ、ｂ＝ＡＣとするとき ＢＣ＝ｂ−ａ で表される。 |
| 使用する基本性質２−１ ２点Ｂ、Ｃについて、ａ＝ＡＢ、ｂ＝ＡＣとするとき、ＢＣをｍ：ｎに内分する点ををＰとするとき、 ＡＰ＝(ｍｂ＋ｎａ)/(ｍ＋ｎ) ………(1) で表せる。 同様に、ＢＣをｍ：ｎに外分する点ををＰとするとき、 ＡＰ＝(ｍｂ−ｎａ)/(ｍ−ｎ) ………(2) で表せる。 |
| 使用する基本性質２−２ 上記(1) において、ｔ＝ｍ/(ｍ＋ｎ) とおくと、ｎ/(ｍ＋ｎ)＝１−ｔ なので、 ＡＰ＝ｔｂ＋(１−ｔ)ａ と書ける。ただし、０＜ｔ＜１ 上記(2)において、ｔ＝ｍ/(ｍ−ｎ) とおくと、−ｎ/(ｍ−ｎ)＝１−ｔ なので、 ＡＰ＝ｔｂ＋(１−ｔ)ａ と書ける。ただし、ｍ＞ｎのとき、ｔ＞１。ｍ＜ｎのとき、ｔ＜０。 また、 ＡＢ＝０ｂ＋(１−０)ａ ＡＣ＝１ｂ＋(１−１)ａ 以上より、直線ＢＣ上の任意の点Ｐについて、 ＡＰ＝ｔｂ＋(１−ｔ)ａ （ｔは任意の実数） と書ける。特に、０＜ｔ＜１ のとき、Ｐは線分ＢＣ上にある。 |
| 使用する基本性質３ ａとｂが一次独立（平行でない）のとき、 ｍａ＋ｎｂ＝０ ならば ｍ＝０ かつ ｎ＝０ 拡張して、 ｍａ＋ｎｂ＝ｐａ＋ｑｂ ならば ｍ＝ｐ かつ ｎ＝ｑ |
ＡＭ＝ｂ/2 より、線分ＢＭ上の任意の点Ｐについて、
ＡＰ＝ｓＡＭ＋(１−ｓ)ＡＢ＝ｓｂ/2＋(１−ｓ)ａ （ただし、０＜ｓ＜１）
ＡＮ＝ａ/2 より、線分ＣＮ上の任意の点Ｑについて、
ＡＱ＝ｔＡＣ＋(１−ｔ)ＡＮ＝ｔｂ＋(１−ｔ)ａ/2 （ただし、０＜ｔ＜１）
が成り立つ。
ＧはＢＭとＣＮの交点なので、
ＡＰ＝ＡＱ
が成り立つときのｓ、ｔの値における、ＡＰ，ＡＱがいずれもAGを表す。
ＡＰ＝ＡＱより、
ｓｂ/2＋(１−ｓ)ａ＝ｔｂ＋(１−ｔ)ａ/2
基本性質３より、
ｓ/2＝ｔ かつ １−ｓ＝(１−ｔ)/2
これを解いて、ｓ＝2/3、ｔ＝1/3。このとき、
AG＝ａ/3＋ｂ/3
ＬはＢＣの中点なので、
ＡＬ＝ａ/2＋ｂ/2
よって、AG＝2ＡＬ/3 ………(a)
ＢＧ＝ＡＧ−ＡＢ＝ａ/3＋ｂ/3−ａ＝ｂ/3−2ａ/3
ＢＭ＝ＡＭ−ＡＢ＝ｂ/2−ａ
よって、ＢＧ＝2ＢＭ/3 ………(b)
ＣＧ＝ＡＧ−ＡＣ＝ａ/3＋ｂ/3−ｂ＝ａ/3−2ｂ/3
ＣＮ＝ＡＮ−ＡＣ＝ａ/2−ｂ
よって、ＣＧ＝2ＣＮ/3 ………(c)
(a)(b)(c) より、重心は中線を２：１に内分する点であることが言える。
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