４章　ベクトル　１節　ベクトルとその演算
※太字の英文字（AB や a）はベクトル（）を表します。

　平面上の動点がＡから出発してＢまで移動することは、右の図のように、線分ＡＢに矢印を書きたしたもので表される。このように矢印によって向きを指定された線分を有向線分とよび、Ａ をその始点、Ｂ をその終点という。
　ＢからＡへの移動は、右の図のように、上の図と逆向きの矢印のついた有向線分で表される。
　平面上の有向線分ABの向きと長さだけを考え、その位置を無視したとき、それを平面上のベクトルまたは単にベクトルといい、ＡＢで表す。
　そして、線分ＡＢの長さをベクトルＡＢの大きさといい、|ＡＢ|で表す。すなわち
　　　|ＡＢ|＝ＡＢ
　ベクトルはその大きさと向きによって定まるから、ＡＢとＣＤが等しいということは、それらの大きさと向きが一致することである。
　ＡＢとＣＤが等しいとき
　　　ＡＢ＝ＣＤ
と書く。
　また、右の図からわかるように、
　　　ＡＢ＝ＣＤ
ならば、有向線分ＣＤを平行に移動して、有向線分ＡＢと重ね合わせることができる。逆にこれができれば、ＡＢ＝ＣＤである。
　ベクトルを
　　　ａ＝ＡＢ、　ｂ＝ＣＤ
のように、文字ａ、ｂなどで表す。
　ＡＢとＢＡは大きさは同じであるが向きが反対である。このように ａ と大きさは同じで、向きが反対のベクトルを ａ の逆ベクトルといい、−ａ で表す。したがって
　　　−ＡＢ＝ＢＡ
である。
ベクトルの加法
　ａ に等しいベクトルをＡＢ、ｂ に等しいベクトルをＢＣとする。このとき、ベクトル ｃ＝ＡＣ を ａ と ｂ の和と定義し
　　ａ＋ｂ＝ｃ
と書く。
　この定義は、始点Ａのとり方に関係しない。
零ベクトル
ＡＡは”向きをつけた線分”ではないが、これを大きさ０で任意の向きをもつベクトルと考え、0 で表す。0 を零ベクトルという。
（１）　零ベクトルの大きさは　|0|=0
（２）　零ベクトルの向きは任意
（３）　ａ＋(-a)＝0
（４）　ａ＋0＝ａ
ベクトルの加法に対して、次の基本性質が成り立つ。
　（１）　ａ＋ｂ＝ｂ＋ａ　　（交換法則）
　（２）　（ａ＋ｂ）＋ｃ＝ａ＋（ｂ＋ｃ）　　（結合法則）
（ａ＋ｂ）＋ｃ または ａ＋（ｂ＋ｃ） は、かっこを省略して ａ＋ｂ＋ｃ と書くことができる。
ベクトルの減法
　２つのベクトル ａ，ｂ に対して
　　ｂ＋ｘ＝ａ
を満たすベクトル ｘ を
　　ｘ＝ａ−ｂ
と表し、ｘ を ａ から ｂ を引いた差という。
ベクトルの実数倍
ベクトル ａ と実数 ｍ の積 ｍａ は次のようなベクトルである。
（ｉ）　ａ が ０ でないとき
　　(1) ｍ＞０ ならば、ｍａ は ａ と同じ向きで大きさが ｍ|ａ| に等しいベクトル
　　(2) ｍ＜０ ならば、ｍａ は ａ と反対の向きで大きさが |ｍ||ａ| に等しいベクトル
　　(3) ｍ＝０ ならば、ｍａ は零ベクトル ０
(ii)　ａ が ０ のとき　ｍａ は零ベクトル ０
ベクトルの平行
　いずれも零ベクトルでない２つのベクトル ａ，ｂ が、同じ向きまたは反対の向きをもつとき、ａ と ｂ は互いに平行であるといい、ａ//ｂ と書く。
　ａ≠０、　ｂ≠０　のとき
　　　a＝ｍｂ　←→　ａ//ｂ
ベクトルの実数倍について、次の基本性質が成り立つ
　（１）　（ｍｎ）ａ＝ｍ（ｎａ）　　　（結合法則）
　（２）　（ｍ＋ｎ）ａ＝ｍａ＋ｎａ　　　（分配法則Ｉ）
　（３）　ｍ（ａ＋ｂ）＝ｍａ＋ｍｂ　　　（分配法則ＩＩ）
（ｍｎ）ａ または ｍ（ｎａ） はかっこを省略して ｍｎａ と書ける。
ベクトルの成分
　平面ベクトルＰＱが与えられたとき、ＰＱのｘ軸への正射影をＡＢ、ｙ軸への正射影をＣＤとすれば、図からわかるように
　　ＰＱ＝ＡＢ＋ＣＤ　・・・・・・(1)
である。この ＡＢ，ＣＤ をそれぞれｘ軸方向、ｙ軸方向のＰＱの成分ベクトルという。
　平面上の任意のベクトルはその成分ベクトルの和として表される。
　大きさ１のベクトルを単位ベクトルという。
　特に、ｘ軸の正の向きと同じ向きをもつ単位ベクトルを ｅ で表し、ｅ をｘ軸方向の基本ベクトルという。
　同様にして、ｙ軸方向の基本ベクトルを考え、これを ｆ で表す。
　(1) において、ＰＱの成分ベクトルは、それぞれ ｅ、ｆ に平行であるから、それらの実数倍として表される。
　　ＡＢ＝ｍｅ、　　ＣＤ＝ｎｆ
とすれば、ｍ、ｎ はそれぞれＯＥ、ＯＦに関するＰＱの成分であって、次のように表せる。
　　ＰＱ＝ｍｅ＋ｎｆ　　（ＰＱの基本ベクトル表示）
このとき、ｍをＰＱのｘ成分、ｎをＰＱのｙ成分という。
ベクトルは、そのｘ成分とｙ成分とによって定められる。
上図から、明らかに
　　　
ベクトルの成分と座票差
　点Ｐ，Ｑの座標をそれぞれ (ｘ、ｙ)、(ｘ'、ｙ') とする。
　ＰＱのｘ成分ｍ、ｙ成分ｎ は次の式で求められる。
　　　ｍ＝ｘ'−ｘ、　　　ｎ＝ｙ'−ｙ
このとき、
　　　
ａ＝ｍｅ＋ｎｆ であるとき、ベクトル ａ を簡単にベクトル（ｍ，ｎ）とも書く。すなわち
　　　ａ＝（ｍ，ｎ）
この書き方をベクトル ａ の直交軸Ｏｘｙ に関する成分表示という。
成分による演算
（１）　（ａ1，ａ2）＋（ｂ1，ｂ2）＝（ａ1＋ｂ1，ａ2＋ｂ2）
（２）　（ａ1，ａ2）−（ｂ1，ｂ2）＝（ａ1−ｂ1，ａ2−ｂ2）
（３）　ｋ（ａ1，ａ2）＝（ｋａ1，ｋａ2）

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