2008年02月 の投稿ログ


36242．数と式  
名前：ピー    日付：2月29日(金) 14時15分
1/a)＋(1/b)＋(1/c)=1を満たす１桁の正の整数a,b,cで100a＋10b＋cなる整数dをつくる。
整数dは何個できるか。

答えは10こです。

解き方が分からないので教えてください


36243．Re: 数と式
名前：七    日付：2月29日(金) 14時35分
DSで既に回答されているようですね。
理解できなければもう少し質問を続けてはいかがですか？

36245．Re: 数と式
名前：ピー    日付：2月29日(金) 15時35分
すいません

36238．定積分  
名前：coffee(高２)    日付：2月29日(金) 11時30分
はじめまして、こんにちは。


定積分の表し方がわからないので、∫の上をb,下をaとすると、∫{b～a}
と表記してます。


次の等式を満たす関数f(x)を求めよ。

f(x)=x^2-∫{2～0} xf(t)dt　+2∫{1～0} f(t)dt

という問題なのですが、

-∫{2～0} xf(t)dt　+2∫{1～0} f(t)dt =a

とおいて解いていくのでしょうか？

解き方のヒントをお願いします。


36239．Re: 定積分
名前：七    日付：2月29日(金) 11時42分
f(x)=x^2-∫{2～0} xf(t)dt　+2∫{1～0} f(t)dt
=x^2-x∫{2～0} f(t)dt　+2∫{1～0} f(t)dt
とし，
∫{2～0} f(t)dt＝a … (1)
∫{1～0} f(t)dt＝b または 2∫{1～0} f(t)dt＝b … (2)
とおき
f(x)＝x^2-ax+2b またはf(x)＝x^2-ax+b
を(1)，(2) に代入し，連立方程式を解きます。

36240．Re: 定積分
名前：ヨッシー    日付：2月29日(金) 11時48分

２項目のｘは、∫の中にありますが、ｔとは関係のない文字なので、
　f(x)=x^2-x∫{2～0}f(t)dt + 2∫{1～0} f(t)dt
と書けて、∫{2～0}f(t)dt、2∫{1～0} f(t)dt は、定数なので、
f(x) は、ｘの２次式とわかります。また、x^2 の係数は１です。
　f(x)＝x^2＋ax＋b
とおくと、
　∫{2～0}f(t)dt＝[x^3/3＋ax^2/2＋bx]02
　　＝8/3 ＋ 2a ＋2b
　∫{1～0} f(t)dt＝(省略)
よって、
　f(x)=x^2-x∫{2～0}f(t)dt + 2∫{1～0} f(t)dt
に代入して、係数を比較すると、(以下略)
という感じです。
　
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36270．Re: 定積分
名前：ast    日付：3月1日(土) 22時49分
> 定積分の表し方がわからないので、∫の上をb,下をaとすると、∫{b～a}

ふつうは下が積分区間の左端, 右が右端なので "a から b まで" 積分するといいますね. 区間を表すのに [a, b] や (a, b) を使うのと, 積分域を積分記号の下に書くという書法が大学だと普通に使われるので、∫[a,b] などとしておくと通じやすいでしょう.
# なお, [a, b] は閉区間, (a, b) は開区間で端点を含むか含まないかの違いがありますが, ある点での値を改変しても（近傍での値も連動して改変してしまわない限り）定積分の値に影響しないので, 積分区間が開なのか閉なのかは (少なくとも高校範囲では気) にしなくていいでしょう.

## 掲示板やらを見ていると上から下に読みたがる人は結構見かけますが, 縦書き文化のなせる業でしょうか…….

36235．Σ[n=1..∞　](-1)^(n+1)n/(2n+1)の収束発散判定  
名前：mmm(高3)    日付：2月29日(金) 3時44分
いつもお世話になっています。

学校のプリントに載ってた問題についてです。
宜しくお願い致します。

Σ[n=1..∞　](-1)^(n+1)n/(2n+1)の収束発散を調べています。
n/(2n+1)>(n+1)/(2(n+1)+1)>…
と
lim[n→∞]n/(2n+1)=0が言えれば収束する事が分かるらしいのですが
先ずlim[n→∞]n/(2n+1)≠0となってしまいます。
こういった場合にはどうやって判定すればいいのでしょうか?


36261．Re: Σ[n=1..∞　](-1)^(n+1)n/(2n+1)の収束発散判定
名前：angel    日付：3月1日(土) 20時39分
まず、今回、Σ[n=1..∞] a[n] の形をしていますが、
　lim a[n] = 0
が分かったとしても、それだけでは和の収束には不十分です。
※有名な例として、a[n]=1/n は、lim a[n]=0 でありながら、和が +∞ に発散します。

しかしながら、逆に、
　lim a[n] ≠ 0 ( もしくは発散 )
が分かったなら、その時点で和の発散がいえます。

今回、a[n] は発散しますので、Σ[n=1..∞] a[n] も発散です。

36262．理由
名前：angel    日付：3月1日(土) 20時50分
上の判定ができる理由について。

数列 S[n] を、
　S[n] = Σ[k=1..n] a[k]
で定義してみます。

和が収束するという仮定では、ある値αが存在して
　lim S[n] = α
ということ。
この時、同時に lim S[n-1] = α です。

であれば、その差も収束して、
　lim ( S[n] - S[n-1] ) = α-α = 0

ここで、S[n]-S[n-1] とは、a[n] のことに他なりません。

ゆえに、和が収束するならば、lim a[n] = 0 が成り立つ、ということです。
その対偶として、
　a[n] が発散するかまたは lim a[n] ≠ 0 ならば和が発散する。
が成立します。

36296．Re: Σ[n=1..∞　](-1)^(n+1)n/(2n+1)の収束発散判定
名前：mmm(高3)    日付：3月3日(月) 7時24分
有難うございます。

lim[n→∞]a(n)≠0⇒Σ[n=1..∞]a(n)は発散
という命題が有りましたね。

納得致しました。

36231．(untitled)  
名前：春樹    日付：2月28日(木) 21時58分
Ｐ＝(x-3y)(3x-y)/2+(x+2y)(2x+y)/3+(3x-y)(x+3y)/4

(１)Ｐを簡単にせよ。

(２)ｘ＝√2+√3、ｙ＝√２ー√３のときＰの値を求めよ



(１)を自分で解いたんですが５(７ｘ２乗ー2xy+７ｙ2乗)/１２
になったんですがどうなんでしょうか？


36234．Re: (untitled)
名前：教得手　学    日付：2月28日(木) 22時47分
問題の式が正確なら、(35ｘ^2－16ｘｙ＋17ｘ^2)/12になりますが、(2)の問題を見ると
なんとなく問題の式をタイプミスをされておられそうな気が・・・

36237．Re: (untitled)
名前：ヨッシー    日付：2月29日(金) 9時20分
Ｐ＝(x-3y)(3x-y)/2+(x+2y)(2x+y)/3+(3x+y)(x+3y)/4
だと、
5(7x^2-2xy+7y^2)/12
になりそうですね。
　
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36249．Re: (untitled)
名前：春樹    日付：3月1日(土) 0時25分
あってたんでしょうか？？

(２)はどういうふうにすれば簡単に解けるか教えてもらえませんか？

36250．Re: (untitled)
名前：教得手　学    日付：3月1日(土) 1時25分
> あってたんでしょうか？？

元の式は、あなたが書かれた通り「Ｐ＝(x-3y)(3x-y)/2+(x+2y)(2x+y)/3+(3x-y)(x+3y)/4」なのですか？、それともヨッシーさんが書かれておられる「Ｐ＝(x-3y)(3x-y)/2+(x+2y)(2x+y)/3+(3x+y)(x+3y)/4
」なのですか？

36289．Re: (untitled)
名前：春樹    日付：3月2日(日) 22時53分
すいません式間違っていました。
ヨッシーさんのほうでした。

36298．Re: (untitled)
名前：ヨッシー    日付：3月3日(月) 19時11分
とすると、
　7x^2-2xy+7y^2
の値を求めるわけですが、
　7x^2-2xy+7y^2＝7x^2+14xy+7y^2-16xy＝7(x+y)^2-16xy
または
　7x^2-2xy+7y^2＝7x^2-14xy+7y^2+12xy＝7(x-y)^2+12xy
として、
　x+y＝2√2
　x-y＝2√3
　xy＝-1
を代入します。
　
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36299．Re: (untitled)
名前：教得手　学    日付：3月3日(月) 19時21分
> ヨッシーさんのほうでした。
ならば、5(7x^2－2xy＋7y^2)/12 であっています。

すると
5(7x^2－2xy＋7y^2)/12＝5{7(x＋y)^2－16xy}/12
とか
5(7x^2－2xy＋7y^2)/12＝5{7(x－y)^2＋12xy}/12

このように変形をすれば、ｘ+ｙ＝2√2、ｘ－ｙ＝2√3、ｘｙ＝－1　などを使って何とかなるでしょう。

36229．質問の回答  
名前：ヨッシー    日付：2月28日(木) 18時52分
質問を受けました、

２次方程式 x^2-2tx+t^2-3t=0 の異なる解がともに0より大きくなるように、定数tの値の範囲を求めた。次のア～ケをうめよ。ただし＊には＞、＜、≧、≦のいずれかを入れよ。
f(x)=x^2-2tx+t^2-3tとおく。
頂点の座標は(ア,イ）
異なる２つの解が、ともに0より大きくなる条件は、グラフが下に凸より、
・頂点のy座標(＊ウ)0より、t＞エ
・頂点のx座標(＊オ)0
・f(0)(＊カ）0より、t＜キまたはク＜t
が成り立つことである。
よって、求める定数tの値の範囲はケ＜tである。

について、私のページに回答を載せました。
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36225．ベクトル  
名前：あい    日付：2月28日(木) 16時55分
２つ質問があります、お願いします！！

①空間にいる０（０、０、０）A（０，２，１）B（１，３、-１）C（２，１，０）を考える
二点OAを通る直線と二点BCを通る直線をそれぞれL1L2とするとき
２直線L1L２のどちらにも直交する直線とL1L2との交点の座標を求めよ

②二点A（４，０）B（０．２）と円ｘ＾２+ｙ＾２＝２５の点Pについて内積ベクトルAP・BPの最大値および最小値を求めよ

これを教えてくださいお願いします！！！！


36226．Re: ベクトル
名前：ヨッシー    日付：2月28日(木) 18時3分
(1)
L1、L2 上の点Ｐ1、Ｐ2 の位置ベクトルをｐ1、ｐ2 とすると、
　ｐ1＝ｓＯＡ＝(0,2s,s)
　ｐ2＝ｂ＋ｔＢＣ＝(1,3,-1)＋ｔ(1,-2,1)
　　　＝(1+t, 3-2t, -1+t)
Ｐ1Ｐ2 が、ＯＡ とも ＢＣ とも垂直になるので、
　Ｐ1Ｐ2＝(1+t, 3-2s-2t, -1-s+t)
に対し、Ｐ1Ｐ2・ＯＡ＝０ かつ Ｐ1Ｐ2・ＢＣ＝０
　Ｐ1Ｐ2・ＯＡ＝2(3-2s-2t)＋(-1-s+t)＝5-5s-3t＝０
　Ｐ1Ｐ2・ＢＣ＝(1+t)－2(3-2s-2t)＋(-1-s+t)＝-6+3s+6t＝０
これを解いて、s=4/7, t=5/7
よって求める交点は、s=4/7 のときのＰ1 と、t=5/7 のときのＰ2 なので、
　(0, 8/7, 4/7), (12/7, 11/7, -2/7)

(2)
ｘ2+ｙ2＝２５ 上の点Ｐは
　Ｐ；(5cosθ、5sinθ) と書けるので、
　ＡＰ＝(5cosθ－4、5sinθ)
　ＢＰ＝(5cosθ、5sinθ－2)
にの内積を取って、
　ＡＰ・ＢＰ＝5cosθ(5cosθ－4)＋5sinθ(5sinθ－2)
　　＝25cos2θ＋25sin2θ－20cosθ－10sinθ
　　＝25－10(2cosθ＋sinθ)
合成の公式より
　2cosθ＋sinθ＝√5sin(θ＋α)
　ただし、sinα＝2/√5、cosα＝1/√5
よって、2cosθ＋sinθの最大値は√5、最小値は－√5 なので、
ＡＰ・ＢＰ の最大値は 25+10√5,最小値は 25－10√5
　
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36216．(untitled)  
名前：なな    日付：2月27日(水) 23時53分
aを実数とし、関数f(x)=x^2-2ax+(2a+1)(a-1)の最小値をmとする。
方程式f(x)=0が異なる2つの実数解α、β(α<β)をもつとき、次の問いに答えよ。
(1)mをαで表せ。
(2)α、βがα<1<βを満たすとき、αのとりうる値の範囲を求めよ。
(3)αが(2)で求めた範囲を動くとき、mのとりうる値の範囲を求めよ。


教えてください。


36220．Re: (untitled)
名前：hari    日付：2月28日(木) 10時0分
(1)mをaで表せ。
(2)α、βがα<1<βを満たすとき、aのとりうる値の範囲を求めよ。
(3)aが(2)で求めた範囲を動くとき、mのとりうる値の範囲を求めよ。

ですよね。
(1)
f(x) = (x^2- 2ax + a^2) - a^2 + (2a + 1)(a - 1) = (x - a)^2 + a^2 - a - 1
なのでm = f(a)

(2)
f(1)＜0であればよいです。y = f(x)の図を描いてみよう。

(3)
(2)より0＜a＜3/2のときm = a^2 - a - 1の動く範囲をもとめる問題となります。
f(1/2) ≦ m ＜f(3/2) となるので - 5/4 ≦ m ＜1/4

36247．Re: (untitled)
名前：hari    日付：3月1日(土) 0時19分
訂正です。
(3)
(2)より0＜a＜3/2のときm = a^2 - a - 1の動く範囲をもとめる問題となります。
m = g(a) = a^2 - a - 1とおくと
g(1/2) ≦ m ＜g(3/2) となるので - 5/4 ≦ m ＜1/4

36213．元は物理Ⅰのレンズの問題ですが。  
名前：雪乃    日付：2月27日(水) 23時10分
１／ｘ＋１／１－ｘ＝１／０．０９

これの解き方が分かりません。１／１－ｘの部分は有理化するのですか？ｘの二次方程式が出るらしいのですが。
するとしても１／ｘはどうするのでしょう。
どなたかお願いします


36214．Re: 元は物理Ⅰのレンズの問題ですが。
名前：ヨッシー    日付：2月27日(水) 23時17分
１／ｘ＋１／(１－ｘ)＝１／０．０９
であると解釈します。
両辺　０．０９ｘ(１－ｘ) を掛けて
　０．０９(１－ｘ)＋０．０９ｘ＝ｘ(１－ｘ)
　ｘ2－ｘ＋０．０９＝０
　ｘ2－ｘ＋０．２５＝０．１６
　ｘ－０．５＝±０．４
という具合です。
　
　
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36218．Re: 元は物理Ⅰのレンズの問題ですが。
名前：雪乃    日付：2月28日(木) 0時3分
ヨッシーさんありがとうございます。
助かりました！

36212．ねじれの位置におけるベクトルの垂直と直線の垂直　～直線と直線の位置関係について～  
名前：大学生    日付：2月27日(水) 23時7分
aベクトルとbベクトルの内積が０ならばaベクトルとbベクトルは垂直です。ここでベクトルは平行移動ができるので空間においては、aベクトルとbベクトルがねじれの位置であっても２つのベクトルは垂直と認識されます（内積０だから）。

ここで、疑問に思ったのですが、中学生のときに習った「直線と直線が垂直」であることは「２つの直線が交わる」ことが前提ですよね？
つまりねじれの位置にある２つの直線は方向ベクトルの内積が０であっても２つの直線は「ねじれの位置」であって「垂直」とは言わないですよね？交わりはしないだけで垂直扱いにはするのでしょうか？
僕の認識では「直線と直線の位置関係」は「ねじれの位置」であれば「垂直」とは考えないという認識なのですがいかがでしょう？


36215．Re: ねじれの位置におけるベクトルの垂直と直線の垂直　～直線と直線の位置関係について～
名前：ヨッシー    日付：2月27日(水) 23時24分
高２ぐらいの、空間ベクトルあたりで、定義が拡張されたと思います。

中学のときは、ねじれの位置についての角度は定義していなかった
だけで、垂直であることを否定はしていなかったと思います。
(一切ノーコメントの態度)

余談ですが、小２か小４のときに、
図の、２本の赤線、２本の黒太線を、垂直と主張しましたが
認めてもらえませんでした。

　
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36251．Re: ねじれの位置におけるベクトルの垂直と直線の垂直　～直線と直線の位置関係について～
名前：angel    日付：3月1日(土) 3時20分
立体幾何って、中高でやらないでしたっけ?
そこでねじれの位置での垂直の話も出てきますよ。
※「平面αと直線lが垂直に交わる場合、α上の任意の直線はlと垂直な関係にある」とかが表現できなくなってしまいます。

なお、垂直かつ交わる場合は、直交と呼んで区別します。

36254．Re: ねじれの位置におけるベクトルの垂直と直線の垂直　～直線と直線の位置関係について～
名前：angel    日付：3月1日(土) 12時34分
そもそもの話なのですが、「垂直」って、「交わる」とは関係ない概念だと思いますよ。あくまで、「なす角が直角」ってことですから。
交わるかどうかの観点で、2直線の関係を分類するなら、

・平面幾何
　交わる … 交わる
　交わらない … 平行

・立体幾何
　同一平面上にあり交わる … 交わる
　同一平面上にあり交わらない … 平行
　同一平面上にない(交わらない) … ねじれの位置

となります。
※中学生のころ、教師にこれ(平面幾何のケース)を質問されて、「垂直と平行です」と答えたら怒られましたねぇ…。
※そういう意味で、小学校での教え方は紛らわしくて罪深いですね。

36209．(untitled)  
名前：まき    日付：2月27日(水) 21時50分
Original Size: 240 x 320, 74KB

辺ABが５cm、辺ＡＤが２cm、辺ＦＣが４cm

図で三角形ＡＥＤの面積と三角形ＣＥＦの面積が等しいとき、辺ＢＦの長さを求めよ


これはどのように求めればいいのでしょうか？


36210．Re: (untitled)
名前：チョッパ    日付：2月27日(水) 22時29分
ヒント（のつもり）

四角形ABFEを共通部分とみて，三角形ABC＝三角形DBFとなることを使ってみましょう。

36248．Re: (untitled)
名前：まき    日付：3月1日(土) 0時23分
ありがとうございました。わかりました。

36206．(untitled)  
名前：みり    日付：2月27日(水) 21時32分
ある等差数列の第n項をa[n]とするとき、
a[10]+a[11]+a[12]+a[13]+a[14]=365、a[15]+a[17]+a[19]=-6
が成立している。

(1)この等差数列の初項と公差を求めよ。
(2)この等差数列の初項から第n項までの和をS[n]とするとき、S[n]の最大値を求めよ。


大学の2次試験で出た問題のですが
正解を教えていただけないでしょうか？


36208．Re: (untitled)
名前：X    日付：2月27日(水) 21時42分
(1)
a[n]の初項をa、公差をdとすると
a[n]=a+(n-1)d
これを
a[10]+a[11]+a[12]+a[13]+a[14]=365
a[15]+a[17]+a[19]=-6
に代入すればa,dについての連立方程式が導かれます。

(2)
(1)の結果を使ってS[n]のnの式で表し、平方完成します。

36223．Re: (untitled)
名前：ヨッシー    日付：2月28日(木) 14時2分
(1)
(連続した奇数個の等差数列の和)＝(真ん中の項)×項数
ですので、
　a[12]＝365÷5＝73
　a[17]＝－６÷３＝－２
は、すぐわかります。a[12]からa[17]まで、項が５つ進むと
数列の値が７５減っているので、公差は
　－７５÷５＝－１５
a[n]＝-15n＋ｂ として、a[12]＝73 を満たすようにｂを決めると、
　a[12]＝-180＋ｂ＝73
より、ｂ＝253
初項は　a[1]＝-15＋253＝238

(2)
S[n]は、最初はどんどん増えていき、a[n]が、マイナスになったところで
減り始めます。
よって、a[n]＝-15n+253 において、253÷15＝16.8 より
　a[16]＝13、a[17]＝-2
より、S[16] が最大です。
　S[16]＝238＋223＋・・・＋13＝(238＋13)×16÷2＝2008
で、2008年にちなんだ答えとなりました。
　
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36204．図形  
名前：ピー    日付：2月27日(水) 20時57分
正４面体の隣あった面がなす角の余弦を教えてください

答えは1/3です


36207．Re: 図形
名前：X    日付：2月27日(水) 21時33分
辺の長さaの正四面体OABCを考えます。
今、辺BCの中点をDとすると対称性から
辺OAと点Dを含む平面は△ABCと垂直
ですので求める余弦は
cos∠ODA
に等しくなります。
ということで、
まずOD、ADの長さをaを用いて表し
△ODAに対して余弦定理を使いましょう。

36221．Re: 図形
名前：ピー    日付：2月28日(木) 10時3分
図を描いたのですがよくわかりませんでした
どうして1/3になるのでしょうか？

36222．Re: 図形
名前：ヨッシー    日付：2月28日(木) 11時24分
こういう図を描きましたか？

　
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36227．Re: 図形
名前：ピー    日付：2月28日(木) 18時7分
違う図になってしまいました
Bは隠れてると考えていいですか？

36228．Re: 図形
名前：ヨッシー    日付：2月28日(木) 18時33分
ＢもＣも見えるようにするなら、

こういうのも描けますが、
「△ODAに対して余弦定理を使いましょう。」
とＸさんが言われているので、

で十分でしょう。
　
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36232．Re: 図形
名前：ピー    日付：2月28日(木) 22時41分
何度もすいません
√3a/2はどのようにしてあらわれたのでしょうか？

36236．Re: 図形
名前：ヨッシー    日付：2月29日(金) 8時29分
正三角形の１辺の長さをａとおくと、中線の長さは√3a/2 です。
　
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36241．Re: 図形
名前：ピー    日付：2月29日(金) 14時12分
どうもありがとうございました
余弦定理から
{【(√3a/2)＾2】＋【(√3a/2)＾2】-（a＾2)}/{2*(√3a/2)*(√3a/2)}
を計算してcos=1/3になったのですが合ってますか？

36244．Re: 図形
名前：ヨッシー    日付：2月29日(金) 14時38分
そういうことですね。

あと、図形的には、上の図の、点Ｈというのが、実は、△ＡＢＣの
重心になるのですが、ＨＤ＝ＡＤ／３　および、ＡＤ＝ＯＤ より、
　cos∠ＯＤＡ＝ＨＤ/ＯＤ＝１/３
と理解することもできます。
　
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36253．Re: 図形
名前：ピー    日付：3月1日(土) 12時33分
別回も参考になりました
どうもありがとうございます

36196．ベクトル  
名前：あい    日付：2月27日(水) 16時56分
二題教えてくださいお願いします

①四面体OABCにおいてOA→＝a→　OB→＝b→　OC→＝ｃ→とする
辺OAを２：１に内分する点をR　辺BCを内分する点をQ　辺PQを内分する点をR　直線BRと平面OACとの交点をSとするとき
OS→をあらわせ

②空間内に同一平面内にはない四点OABCがあり、OA→＝a→　OB→＝b→
OC→＝c→　とおき、OP→＝２a→+３b→+４ｃ→
により点Pを定める　また直線OPと平面ABCとの交点をQとする
このとき四面体QOABとQOBCの体積比を求めよ

立体的にイメージもしにくくわかりませんでしたお願いします！！


36198．Re: ベクトル
名前：ヨッシー    日付：2月27日(水) 17時50分
(1)
＞辺BCを内分する点をQ　辺PQを内分する点をR
いくつに内分しましょう？
　
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36199．Re: ベクトル
名前：ヨッシー    日付：2月27日(水) 18時11分

　ＯＰ＝２ａ＋３ｂ＋４ｃ
において、
　ＯＲ＝(２ａ＋３ｂ)／５
とおくと、点Ｒは、ＡＢを３：２に内分する点であり、
　ＯＰ＝５ＯＲ＋４ｃ
と書け、さらに、
　ＯＱ＝(５ＯＲ＋４ｃ)／９
と書くと、点Ｑは、ＲＣを４：５に内分した点であり、
　ＯＰ＝９ＯＱ
と書ける。この点Ｑが、直線ＯＰと平面ＡＢＣとの交点である。

一方、四面体QOABとQOBCの体積比は、△ＡＢＱと、△ＢＣＱの面積比に
なるので、

このような図を書けば、求められます。
　
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36200．Re: ベクトル
名前：あい    日付：2月27日(水) 18時16分
辺BCを２：３に内分する点をQ　辺PQを１：２内分する点をR　

でした、すいません！！！

これでお願いします！！

36201．Re: ベクトル
名前：ヨッシー    日付：2月27日(水) 20時24分
最初の
＞辺OAを２：１に内分する点をR
は、点Ｐ　でしょうね。


内分点の公式より、
　ＯＰ＝(2/3)ａ
　ＯＱ＝(3/5)ｂ＋(2/5)ｃ
　ＯＲ＝(2/3)ＯＰ＋(1/3)ＯＱ
　　　＝(4/9)ａ＋(1/5)ｂ＋(2/15)ｃ
と、それぞれ書けます。
　ＢＳ＝ｔＢＲ　（ｔは実数)
と書くと、
　ＯＳ＝ｂ＋ＢＳ
　　＝ｂ＋ｔＢＲ
　　＝ｂ＋ｔ(ＯＲ－ｂ)　・・・(1)
ここで、ＯＳは、
　ＯＳ＝ｍａ＋ｎｃ
の形に書け、ｂの成分が無いことに着目して、(1) のｂの
係数だけ取り出すと、
　１－(4t/5)＝０
よって、ｔ＝5/4
このとき、
　ＯＳ＝ｂ＋(5/4)(ＯＲ－ｂ)
　　　＝(5/4){(4/9)ａ＋(2/15)ｃ}
　　　＝(5/9)ａ＋(1/6)ｃ
　
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36224．Re: ベクトル
名前：あい    日付：2月28日(木) 16時43分
ありがとうございました、自分では発想ができませんでした！
どうもありがとうございました！！

36194．a,bの値  
名前：よしき    日付：2月27日(水) 14時47分

_a_　- __b_ ＝_X-15_
2X+3 5x+2 (2X+3)(5X+2)
が成り立つ時のa,bの値を求めよ。という問題なんですが
どなたか回答おながいします。　


36195．Re: a,bの値
名前：ヨッシー    日付：2月27日(水) 14時57分
通分して、分子を比較するのが普通ですが、
表記が面倒なので、両辺(2X+3)(5X+2) を掛けます。
（通分したときの、分子だけを取り出したとも言えます）
　ａ(5X+2)＋ｂ(2X+3)＝X-15
展開して、
　(5a+2b)X＋(2a+3b)＝X-15
係数を比較して、
　5a+2b=1
　2a+3b=-15
これを解いて、(以下略)
　
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36189．Σ(√(k+1)-√k)/kの収束発散を調べよ  
名前：mmm(高3)    日付：2月27日(水) 3時51分
宜しくお願い致します。

学校のプリントに載ってた問題です。

[問]Σ(√(k+1)-√k)/kの収束発散を調べよ。

どのように手をつければいいのかさっぱり分かりません。
どうぞご教示ください。


36191．Re: Σ(√(k+1)-√k)/kの収束発散を調べよ
名前：豆    日付：2月27日(水) 8時16分
Σ[k=1→n] (√(k+1)-√k)/k=Σ[k=1→n]1/(k(√(k+1)+√k))
＜(1/2) Σ[k=1→n]1/(k√k)

36252．Re: Σ(√(k+1)-√k)/kの収束発散を調べよ
名前：mmm(高3)    日付：3月1日(土) 8時56分
> Σ[k=1→n] (√(k+1)-√k)/k=Σ[k=1→n]1/(k(√(k+1)+√k))
> ＜(1/2) Σ[k=1→n]1/(k√k)

有難うございます。感動です。意外と簡単なのですね。

36187．高校受験数学 3問  
名前：テツ    日付：2月26日(火) 23時18分
Original Size: 791 x 415, 29KB Original Size: 430 x 289, 28KB Original Size: 838 x 448, 54KB

高校の受験日が近付いていますが、どうしても
同封の問題がどうしても解けません。
3問あります。どうか助けてください。


36188．Re: 高校受験数学 3問
名前：ヨッシー    日付：2月26日(火) 23時48分
左
(1)
メネラウスの定理を使って良いなら
（使わずとも、そこで用いられている考え方を使いますが)
　(AF/FM)(MC/CB)(BD/DA)＝１
　(AF/FM)(1/2)(2/1)＝１
より、
　ＡＦ：ＦＭ＝１：１
(2)同様に
　(AG/GM)(MC/CB)(BE/EA)＝１
　(AG/GM)(1/2)(1/2)＝１
より、
　ＡＧ：ＧＭ＝４：１
ここで、
　ＡＦ：ＦＭ＝１：１＝５：５
　ＡＧ：ＧＭ＝４：１＝８：２
と書くと、ＡＭ＝１０　に対して
　ＡＦ＝５，ＡＧ＝８，ＧＭ＝２
とわかるので、
　ＡＦ：ＦＧ：ＧＭ＝５：３：２
(3)
△ＡＣＭは、△ＡＢＣの面積の１／２であり、
△ＣＦＧは、そのさらに ３／１０(＝FG/AM)なので、
△ＣＦＧは、△ＡＢＣの３／２０
　△ＣＦＧ：△ＡＢＣ＝３：２０
　
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36190．Re: 高校受験数学 3問
名前：ヨッシー    日付：2月27日(水) 7時2分
右
最後の問題だけで良いですね？
△ＡＢＧと△ＡＦＣの相似より
　ＡＢ：ＡＦ＝ＡＧ：ＡＣ
よって、
　ＡＦ・ＡＧ＝ＡＢ・ＡＣ＝６　・・・(i)
一方、方べきの定理より、
　ＡＦ・ＦＧ＝ＢＦ・ＦＣ＝96/25　・・・(ii)
(i)－(ii) より
　ＡＦ(ＡＧ－ＦＧ)＝６－96/25＝54/25
　ＡＦ2＝54/25
　ＡＦ＝3√6/5
　
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36192．Re: 高校受験数学 3問
名前：ヨッシー    日付：2月27日(水) 10時10分
中央(もっと良い方法があるかも知れませんが)

ＦＧ＝ｘと置きます。
△ＡＢＦと△ＧＣＦの相似（相似比√7：１）および、ＡＣ＝７より
　ＡＦ＝√7ｘ
　ＦＣ＝７－√7ｘ
　ＢＦ＝７√7－７ｘ
が順に決まります。
△ＢＧＣと△ＢＣＦ の相似より
　ＢＦ：ＢＣ＝ＢＣ：ＢＧ
　ＢＦ・ＢＧ＝ＢＣ2
　(７√7－７ｘ)(７√7－６ｘ)＝４９
ｘ＜√7 の範囲でこれを解いて、
　ｘ＝(2/3)√7
よって、
　ＢＧ＝3√7

一方、ＡＧとＢＣの交点をＪとし、ＣＪ＝ｙとおくと、
△ＡＣＪと△ＢＧＪの相似（相似比７：３√7) および
△ＡＢＪと△ＣＧＪの相似（相似比√7：１）より
　ＧＪ＝(3√7/7)ｙ
　ＢＪ＝√7ＧＪ＝３ｙ＝７＋ｙ
よって、ｙ＝７／２
これより、ＢＤ＝ＤＣ＝ＣＪ であることがわかり
　ＤＨ＝(2/3)ＡＢ＝14/3
　
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36193．Re: 高校受験数学 3問
名前：なきいるか    日付：2月27日(水) 12時0分
Original Size: 389 x 329, 5KB

AEやDEの長さは中点連結定理より7/2と即座に求まるので、EHの長さを
求めることが目標となります。

中央の問題の原題に「△BCG∽△AHEを証明せよ」という誘導があった
ので、これを利用します(というか、この誘導がないと少しキツイ)

相似の証明は、大まかな流れとして
・円周角の定理より ∠CBG＝∠HAE
・円周角定理と中点連結定理から ∠BGC＝∠BAC＝∠DEC＝∠AEH＝60°
から二角相等。


あとはBGの長さが求まれば、相似比でEHの長さが求まりそうです。
図には60度が多く登場しているので「60度定規形(※)」を使います。
　※…正三角形の半分の直角三角形の辺の長さの比は１：２：√3
　　　30度や60度など、30の倍数の角度がある場合に高頻度で利用

△BCGの点Cから辺BGに向けて垂線CPを下ろすと、△GPCは60度定規形
ですから、GP＝(√7)/2、PC＝(√21)/2 とわかる。
次に△PBCにおいて三平方の定理よりPB＝√(BC2－PC2)＝(5√7)/2
BG＝(√7)/2＋(5√7)/2＝3√7 とわかる。

あとは△BCG∽△AHEから √7：3√7＝EH：7/2　EH＝7/6
よってDH＝7/2＋7/6＝14/3


36246．Re: 高校受験数学 3問
名前：テツ    日付：2月29日(金) 22時8分
お礼が遅れました。
ヨッシさん、なきいるかさん、
有難うございました！！
（難しいです）

36183．高２数学Ⅲ微分の問題です  
名前：雪乃    日付：2月26日(火) 21時22分
●（１／ｘ＾３）´
●（3√ｘ）´　　←３×√ｘではなく、三乗根です
この二門お願いします


36184．Re: 高2数学Ⅲ微分の問題です
名前：hari    日付：2月26日(火) 22時1分
微分の基本
(x^r)' = rx^(r-1)
で両方とも解けますよ。

36185．Re: 高２数学Ⅲ微分の問題です
名前：雪乃    日付：2月26日(火) 22時23分
ありがとうございます。
●（１／ｘ＾３）＝ｘ＾－３
●3√ｘ）＝ｘ＾－１／３
このように考えれば解けましたね。

36197．Re: 高２数学Ⅲ微分の問題です
名前：hari    日付：2月27日(水) 17時11分
3√x = x1/3
ですよ。

36182．鋭角三角形  
名前：テツ    日付：2月26日(火) 20時39分
３辺の長さが4,7,Xである三角形が鋭角三角形になるようなXの値の範囲を求めよ。という問題なんですが、いまいちわかりません。よろしければどなたか回答よろしくおねがいします。


36186．Re: 鋭角三角形
名前：ヨッシー    日付：2月26日(火) 23時2分

この状態が限界です。
　
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36175．(untitled)  
名前：ピー    日付：2月26日(火) 14時6分
正の整数Nを4進法で表すと、abcとなり、6進法で表すとpqrとなる。
ａ、ｂ、ｃとp,q,rの関係がa＋b＋c=p＋q＋rであるときNを10進法であらわす。

N=16a＋4b＋c

N=36p＋5q＋r
までしかわかりませんでした

答えは　　48または49または50または51


よろしくおねがしいます


36176．Re: (untitled)
名前：ヨッシー    日付：2月26日(火) 15時25分
まず、４進数でも６進数でも３桁になるということは、
Ｎは１６以上６３以下、かつ、３６以上２１５以下なので、
３６以上６３以下の数ということになり、
ｐ＝１　は確定。ａは２か３です。

　１６ａ＋４ｂ＋ｃ＝３６ｐ＋６ｑ＋ｒ
　　ａ＋ｂ＋ｃ＝ｐ＋ｑ＋ｒ
上式から下式を引いて
　１５ａ＋３ｂ＝３５ｐ＋５ｑ　・・・(1)
ここで、１５ａ、３５ｐ、５ｑ はすべて５の倍数なので、３ｂも
５の倍数でなければなりません。
ｂは３以下の整数なので、ｂ＝０
ここまで整理すると、(1) は、
　１５ａ＝３５＋５ｑ
　３ａ＝７＋ｑ
と書け、ｑは０から５までの数で、ａは０から３までの数なので、
　ａ＝３，ｑ＝２
が決まります。このとき、
　１６ａ＋４ｂ＝４８
　３６ｐ＋６ｑ＝４８
なので、ｃ＝ｒ で、ｃは０から３までの値なので、Ｎは、
　４８，４９，５０，５１
となります。
　　
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36177．Re: (untitled)
名前：ピー    日付：2月26日(火) 15時46分
Ｎは１６以上６３以下、かつ、３６以上２１５以下
になることが分かりませんので教えてください

たびたびすいません

36178．Re: (untitled)
名前：ピー    日付：2月26日(火) 15時48分
何度もすいません
ｐ＝１　は確定。ａは２か３ということもどうして分かるのか教えてください

36179．Re: (untitled)
名前：ヨッシー    日付：2月26日(火) 17時18分
　100(4)＝16(10)
　1000(4)＝64(10)
より、４進数の３桁の数は、十進数では１６以上６３以下
　100(6)＝36(10)
　1000(6)＝216(10)
より、６進数の３桁の数は、十進数では３６以上２１５以下
両者の交わりを取って、
　３６以上６３以下
です。

ｐ＝２ だと、200(6)＝72(10) となり、
63を超えるので、ｐは２以上にはなりません。よって、ｐ＝１ です。
ａ＝１ だと最大でも 133(4)＝31(10) となり
36より小さくなりますので、ａ＝２，３ です。

そういう意味では、上の解答の「ａは０から３までの数なので」は、
「ａは２か３なので」の方が、絞りやすいですね。
　
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36180．Re: (untitled)
名前：ピー    日付：2月26日(火) 17時20分
まず、４進数でも６進数でも３桁になるということは、
Ｎは１６以上６３以下、かつ、３６以上２１５以下なので、
３６以上６３以下の数ということになり、
ｐ＝１　は確定。ａは２か３です。

　１６ａ＋４ｂ＋ｃ＝３６ｐ＋６ｑ＋ｒ
　　ａ＋ｂ＋ｃ＝ｐ＋ｑ＋ｒ
上式から下式を引いて
　１５ａ＋３ｂ＝３５ｐ＋５ｑ　・・・(1)
ここで、１５ａ、３５ｐ、５ｑ はすべて５の倍数なので、３ｂも
５の倍数でなければなりません。
ｂは３以下の整数なので、ｂ＝０
ここまで整理すると、(1) は、
　１５ａ＝３５＋５ｑ
　３ａ＝７＋ｑ
と書け、ｑは０から５までの数で、ａは０から３までの数なので、
　ａ＝３，ｑ＝２
までは理解できたのですが
cとrがどのように利用するのかわかりません

36181．Re: (untitled)
名前：ヨッシー    日付：2月26日(火) 17時25分
　１６ａ＋４ｂ＋ｃ＝３６ｐ＋６ｑ＋ｒ　・・・(1)
　ａ＋ｂ＋ｃ＝ｐ＋ｑ＋ｒ　　・・・(2)
において、ａ＝３，ｂ＝０，ｐ＝１，ｑ＝２ まで決まれば、
　１６ａ＋４ｂ＝３６ｐ＋６ｑ＝４８
　ａ＋ｂ＝ｐ＋ｑ＝３
が成り立っていますので、あとは、ｃ＝ｒ でありさえすれば、
(1)(2) ともに成り立ちます。
　ｃは、０，１，２，３
　ｒは、０，１，２，３，４，５
のいずれかなので、両者共通に、０，１，２，３ のどれかであれば、
(1)(2)が成り立ちます。
　
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36203．Re: (untitled)
名前：ピー    日付：2月27日(水) 20時54分
返事が遅くなってすいません
解説どうもありがとうございました
なんとか理解できました
ありがとうございます

36167．連立  
名前：春樹    日付：2月25日(月) 21時8分
達也君と和也君がP地より３１km離れたQ地に行くのに、達也君は車で、和也君は歩いて同時にP地を出発しました。達也君は途中のＲ地で車を下りて、歩いてＱ地に向かいました。達也君を乗せてきた車はその後直ちに同じ速さで引き返し、和也君を乗せてＱ地に向かい、２人は同時にＱ地に着いた。車の速さを毎時50km、達也君と和也君の歩くはやさを毎時4kmとして次の問いに答えなさい。


(１)ＰＲ間の距離をｘkm、和也君の歩いた距離をykmとして、連立方程式をたてよ。

(２)　(１)を解きx、yの値を求めよ。

ただいま中三です


36168．Re: 連立
名前：X    日付：2月25日(月) 21時55分

(1)
まず達也君がR地点に到着するまでにかかる時間は
x/50[時間]
従って出発してから和也君が車に会うまでにかかった時間について
y/4=(x-y)/50+x/50 (A)
次に出発してからQ点に到着するまでに達也君、和也君が
かかった時間について
x/50+(31-x)/4=y/4+(31-y)/50 (B)

(2)
まず(A)(B)とも両辺に100をかけて分母を払いましょう。

36172．Re: 連立
名前：春樹    日付：2月25日(月) 22時42分
式に１００かけたあとどう解けばいいのかわかりません。
教えていただけないでしょうか？

36174．Re: 連立
名前：ヨッシー    日付：2月26日(火) 0時24分
100を掛けた式を、それぞれ書いてみてください。
　
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36205．Re: 連立
名前：春樹    日付：2月27日(水) 21時27分
Ａに式が２３y＝４x
Ｂの式が-23x-23y＝-713

になったんですけど、ここからどうすればいいのでしょうか？

36211．Re: 連立
名前：ヨッシー    日付：2月27日(水) 22時56分
Ｂは正しいです。
　
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36217．Re: 連立
名前：まき    日付：2月27日(水) 23時57分
ｂは２７ｙ＝４ｘですか？

36219．Re: 連立
名前：ヨッシー    日付：2月28日(木) 0時16分
ｂは、ではなくＡは、ですね。
　２７ｙ＝４ｘ　・・・(1)
Ｂの方も、－１を掛けて
　２３ｘ＋２３ｙ＝７１３　・・・(2)
としておきます。
(2)×４
　２３・４ｘ＋９２ｙ＝２８５２
(1) を代入
　２３・２７ｙ＋９２ｙ＝２８５２
　７１３ｙ＝２８５２
(以下略)
答えは整数になります。
　
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36230．Re: 連立
名前：春樹    日付：2月28日(木) 21時31分
ありがとうぎざいました。
わかりました

36162．確率  
名前：ぐるる    日付：2月25日(月) 17時41分
等間隔で平行に並ぶ5本の直線a,b,c,d,eと、これに垂直で等間隔かつ平行に並ぶ5本の直線p,q,r,s,tがある。直線の間隔はいずれも１である。
（直線5本は縦横に網目状に並んでいます。）
直線a,b,c,d,eから2本、直線p,q,r,s,tからも2本、適当に選んで、これら4本の直線で作れらる長方形について、次の問いに答えよ。

（１）長方形は全部で何個できるか。また、その面積は何種類あるか。
（２）面積４の長方形ができる確率。
（３）長方形の面積の期待値。

問題文に長方形とありますが、正方形になった場合はどう考えればいいのか困ってます。正方形も長方形の一つと考えるのでしょうか。
それとも別にするべきなのでしょうか。


36163．Re: 確率
名前：ヨッシー    日付：2月25日(月) 17時52分
正方形も長方形の一つと考えるのが、妥当でしょう。
　
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36169．Re: 確率
名前：ぐるる    日付：2月25日(月) 22時12分
ありがとうございます。
では、（１）は全部で100個で、種類は16でいいですか？

36170．Re: 確率
名前：ヨッシー    日付：2月25日(月) 22時31分
100個は良いですが、面積の種類は、１～１６のうちで、出来ない
面積もあります（５とか７とか）ので、それらは除きます。
答えは９種類です。
　
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36171．Re: 確率
名前：ぐるる    日付：2月25日(月) 22時39分
ああ、そうか。なるほど。ありがとうございます。
（２）は17/100でいいでしょうか。

36173．Re: 確率
名前：ヨッシー    日付：2月25日(月) 22時42分
(2)正解です。
　
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36152．因数定理  
名前：ピー    日付：2月25日(月) 12時11分
整式f(x)を【(x-1)＾2】で割ったときの余りは8x-4,【(x-2)＾2】で割った時の余りは4x＋12である。
整式f(x)を【(x-1)＾2】*(x-2)で割ったときの余りをa(x＾2)＋bx＋cで表すときa,b,cの値を求めなさい。
ただしa,b,cは実数とする。


f(x)=g(x)*【(x-1)＾2】＋8x-4
f(x)=g(x)*【(x-1)＾2】＋4x＋12
f(x)=g(x)*【(x-1)＾2】*(x-2)＋a(x＾2)＋bx＋c

より
f(x)=a*【(x-1)＾2＋(2a＋b)x＋(c-a)
までしか分かりませんでした


36153．Re: 因数定理
名前：ヨッシー    日付：2月25日(月) 12時36分
商はそれぞれ違うので、
f(x)=g(x)*【(x-1)＾2】＋8x-4
f(x)=h(x)*【(x-2)＾2】＋4x＋12
のように書いた方が良いでしょう。
また、与えられた、a(x＾2)＋bx＋c は取りあえず忘れて、
下で解説してもらったとおり、
整式f(x)を【(x-1)＾2】*(x-2)で割ったときの余りを　d(x-1)2＋8x－4 と置きましょう。
d を求めた後で、a(x＾2)＋bx＋c の形にすればいいでしょう。
　
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36154．Re: 因数定理
名前：ピー    日付：2月25日(月) 12時47分
下と同じ解き方で解いたのですが変な答えになってしまって
どのように考えるか教えてくれませんか？

36156．Re: 因数定理
名前：ヨッシー    日付：2月25日(月) 12時54分
ちなみに、ｄはいくつになりましたか？
　
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36157．Re: 因数定理
名前：ピー    日付：2月25日(月) 13時1分
dは３になりました
あってますか？

36158．Re: 因数定理
名前：ヨッシー    日付：2月25日(月) 13時9分
ｄ＝３ と求まったのなら、
　d(x-1)2＋8x－4
のｄに代入して、展開すれば、
　3(x^2-2x+1)＋8x－4＝3x^2+2x-1
となり、a=3, b=2, c=-1 となります。

ただし、ｄ＝３ は正しくありません。

整式f(x)を (x-1)2(x-2)で割ったときの商をk(x)，余りを d(x-1)2＋8x－4 とおくと、
　f(x)＝k(x)(x-1)2(x-2)＋d(x-1)2＋8x－4
f(2)＝4・2＋12＝20 および、
　f(2)＝d＋8・2－4＝d＋12
より、ｄ＝８ になります。
　
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36160．Re: 因数定理
名前：ピー    日付：2月25日(月) 16時16分
流れは覚えたのですが
どうしてd(x-1)2＋8x－4とおくのでしょうか？

36161．Re: 因数定理
名前：ヨッシー    日付：2月25日(月) 16時44分
基本から書くと
f(x) を(x-1)2 で割った商を g(x) とすると、あまりは 8x-4 なので、
　f(x)＝g(x)(x-1)2＋8x－4
と書けます。
さらに、g(x) を x-2 で割った商をk(x)、あまりをｄとおくと
　g(x)＝k(x)(x-2)＋ｄ
と書けます。これを、f(x) の式に代入すると
　f(x)＝{k(x)(x-2)＋ｄ}(x-1)2＋8x－4
　　＝k(x)(x-1)2(x-2)＋ｄ(x-1)2＋8x－4
となり、ｄ(x-1)2＋8x－4 の部分が、f(x) を(x-1)2(x-2) で
割ったときのあまりになります。
　


　
http://yosshy.sansu.org/

36164．Re: 因数定理
名前：ピー    日付：2月25日(月) 18時2分
何度もすいません
例えば
f(x)＝g(x)(x-2)＾2＋4x＋12
に
　g(x)＝k(x)(x-1)＾2＋ｄ

としても成り立ちますか？

36165．Re: 因数定理
名前：ヨッシー    日付：2月25日(月) 18時17分
　g(x)＝k(x)(x-1)＾2＋ｄ
(x-1)^2 で割ったあまりは、最大１次になることがあるので、
ｄだけではダメですね。
ｄｘ＋ｅ というように置けばいいですが、その先、うまくいかないでしょう。
　
http://yosshy.sansu.org/

36166．Re: 因数定理
名前：ピー    日付：2月25日(月) 18時51分
疑問まで解説して頂いてどうもありがとうございました

36147．因数定理  
名前：ピー    日付：2月24日(日) 23時30分
整式f(x)をx＋2で割ると余りが-5であり、【(x＋1)＾2】で割ると余りが2x＋3となる。
このときf(x)を(x＋2)*【(x＋1)＾2】で割るとあまりはいくつかという問題

答えは
-4(x＾2)-6x-1

よろしくおねがしいます


36148．Re: 因数定理
名前：らすかる    日付：2月24日(日) 23時53分
f(x)=(x+2)(x+1)^2P(x)+a(x+1)^2+2x+3 とおくと
f(-2)=-5 から a-4+3=-5 ∴a=-4
これを代入して -4(x+1)^2+2x+3=-4x^2-6x-1
http://www10.plala.or.jp/rascalhp

36149．Re: 因数定理
名前：rtz    日付：2月24日(日) 23時57分
f(x)を(x+2)(x+1)2で割った商をP(x)とすると、
f(x)＝(x+2)(x+1)2・P(x)＋a(x+1)2＋2x＋3とおける。

またf(-2)＝-5からaを出せば、余りが出せます。

36150．Re: 因数定理
名前：rtz    日付：2月24日(日) 23時58分
かぶりました、すいません。

36151．Re: 因数定理
名前：ピー    日付：2月25日(月) 12時4分
どうもありがとうございます

36142．フィボナッチ数列  
名前：loof    日付：2月24日(日) 18時11分
Original Size: 395 x 189, 14KB

なぜ面積が変わるのですか？


36143．Re: フィボナッチ数列
名前：チョッパ    日付：2月24日(日) 18時22分
題名との関連がみえない。

理由：
図2のようにAとCをくっつけても直角三角形にならないから。
BとDについても同様。

36144．Re: フィボナッチ数列
名前：らすかる    日付：2月24日(日) 21時32分
＞なぜ面積が変わるのですか？
A,B,C,Dそれぞれの図形が左と右で異なっているからです。
（Cだけ同じ図形の可能性があります。）

左のAの直角を挟む2辺の長さは3と8
右のAの直角を挟む2辺の長さは40/13と8
∴右のAの面積は左のAの面積より4/13大きい。

左のBの直角を挟む2辺の長さは3と8
右のBの直角を挟む2辺の長さは3と39/5
∴右のBの面積は左のBの面積より3/10小さい。

左のCとDを合わせた面積は5×8=40
右のCは左側の辺の長さが40/13、右側の辺の長さが5なので面積は525/26
右のDは下側の辺の長さが26/5なので面積は104/5
よって右のCとDを合わせた面積は5329/130なので左のCとDを合わせた面積より
129/130大きい。
従って右側の図形を合わせた面積は左側の図形を合わせた面積より
4/13-3/10+129/130=1 大きいので、13×5-8×8=1 とちょうど合います。
http://www10.plala.or.jp/rascalhp

36146．Re: フィボナッチ数列
名前：教得手　学    日付：2月24日(日) 21時56分
有名な「騙しの数学」の１つですね。
左の図のＡ～Ｄが重なりも隙間もないとして、右のように並べ替えたと
きわずかに隙間か重なる部分ができるので、きちっと長方形にはならないのです。
左が正確として、各片の斜めの辺の傾きを比較してみれば分かるでしょう。

36139．メネラウスの定理  
名前：loof    日付：2月24日(日) 15時48分
Original Size: 390 x 220, 20KB

（１）の説明お願いします。


36140．Re: メネラウスの定理
名前：ヨッシー    日付：2月24日(日) 16時2分
Size: 169 x 152, 1KB

このように書けばわかるでしょう。
　
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36136．(untitled)  
名前：高1    日付：2月23日(土) 21時11分
y=x^2-5x-6で
y>0はx>-1,6<x
y=0は-1,6
y<0は-1<x<6

答えはこれであっているのでしょうか？
よろしくお願いします。


36138．Re: (untitled)
名前：らすかる    日付：2月23日(土) 21時36分
１箇所不等号の向きが間違っています。
http://www10.plala.or.jp/rascalhp

36134．お願いします  
名前：たけよし    日付：2月23日(土) 19時22分
多項式の公式

太郎：x1,x2.x3のうちの1つ、たとえばx1を除いて、ほかのx2.x3で０になる２次の関数をさがしてみたまえ

次郎：それはこうでしょう。
ｙ＝(x-x2)(x-x3)


なぜ、ｙ=(x-x2)(x-x3)のような式になるので

すか？
三日ぐらい考えてもよくわかりません
とある掲示板に書き込んでみると

「これはいくら考えても解らないと思います。
多分
ｘ＝ｘ１、ｘ＝ｘ２のときｙの値が０になる
ということではないでしょうか？」

「f(x)=(x-x2)(x-x3) は x=x2 x=x3を代入してみると、それぞれ
f(x2)=０(x2-x3)=0 f(x3)=(x3-x2)0=0を満たします。

x1,x2,x3が定数であること、xは「２次の関数」の変数であることに注意すれば分かりやすいのでないでしょうか。

ある数αに対し０になるような関数g(x)は、積の形であらわしたときに (x-α)を含んでいるということです。」

と返事がかえってきました
この式はこのまま覚えろということなのでしょうか？


36135．Re: お願いします
名前：らすかる    日付：2月23日(土) 20時13分
その式が
　xにx2またはx3を代入したときに0になる二次関数である
ということが完全に理解できているのであれば、そのまま覚えれば良いと思います。
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36132．複素数  
名前：ピー    日付：2月23日(土) 15時17分
Original Size: 640 x 480, 55KB

α＝1
β＝２
まで理解でき
【(√2)/(1-i)】＾4 =－1になりません。

教えてください


36133．Re: 複素数
名前：らすかる    日付：2月23日(土) 15時27分
{√2/(1-i)}^2=2/(-2i)=i
i^2=-1
-1 になりますね。
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36145．Re: 複素数
名前：ピー    日付：2月24日(日) 21時42分
返事が遅くなってすいません
どうもありがとうございました

36130．数Ⅲ　微分  
名前：K    日付：2月23日(土) 13時52分
f(x)は０でないxの多項式で，次の等式を満たしているものとする。
xf''(x)+(1-x)f'(x)+3f(x)=0,　f(0)=1
(1) f(x)の次数を求めよ。　　　(2)f(x)を求めよ。

よろしくお願いします。


36131．Re: 数Ⅲ　微分
名前：ヨッシー    日付：2月23日(土) 14時9分
f(x) の次数をｎとします。ただしｎ≧１。
(1)
f(x) の最高次数の項を　ax^n とすると、
f'(x) の最高次数の項は　nax^(n-1) となります。そこで、
xf''(x)+(1-x)f'(x)+3f(x) の、x^n の項を取り出すと、
　-nax^n+3ax^n
であり、これが０になる必要があるので、ｎ＝３　答え　３次

(2)
f(x)＝ax^3＋bx^2＋cx＋d とおくと、(以下略)
　
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36128．円柱と円柱の共通部分  
名前：マリオ    日付：2月23日(土) 10時10分
　xyz空間において、半径が1でｘ軸を中心軸として原点から両側に無限に伸びている円柱C1、半径が1でｙ軸を中心軸として原点から両側に無限に伸びている円柱C2がある。C1とC2の共通部分のうちｙ≦1/2である部分をKとおく。Kの体積を求めよ。

この問題は誘導形式になっていて解答を見て解法は理解できたのですが、C1、C2の共通部分およびKの図形がどのようになるのかがイメージできません。できれば図を載せてもらえないでしょうか。


36129．Re: 円柱と円柱の共通部分
名前：ヨッシー    日付：2月23日(土) 11時32分
こちらおよびその解答をご覧ください。
　
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36122．領域  
名前：Kyu    日付：2月22日(金) 14時14分
平面上の帯状の領域M={(x，y)||y|≦1}内を点Pが次のように運動する。

(イ)Mの内部{(x，y)||y|＜1}においてPは直進する。

(ロ)Mの境界上においてはPは等しい角度で反射する。

原点から傾きa(a＞0)で右方向に出発した点Pが、線分y=x-2(3/2≦x≦5/2)を通過しないようなaの値の範囲を求めよ。

3問連続ですみません。でもこの問題もどうしてもわからないのでお願いします。次のような解説があるのですが、


≪Mの境界l:y=1、m:y=-1。線分の端点A(3/2,-1/2)、B(5/2,1/2)とする。Mをlに関して対象移動した領域をM1、A、Bに対応する点をA1、B1とする。

M1を直線y=3に関して対象移動した領域をM2、A1、B1に対応する点をA2、B2とする。以下これを繰り返す。すると原点から傾きaで出発した点Pが直進して、どの線分AB、A1B1、A2B2、・・・をも通過しないaの値の範囲を求めればよい。≫

この解説が何をやろうとしているのか全然わからないです。反射の問題なのに勝手に直進なんて風にしたら問題が変わっちゃいませんか？どうして直進なんて考えるんですか？
詳しく教えていただけないでしょうか。お願いします！


36126．Re: 領域
名前：ヨッシー    日付：2月22日(金) 17時38分

図のように、何回か反射して線分に当たることと、
ミラー移動した線分に直線で当たることは、同じことです。
よって、ミラー画像をいっぱい作って、それらのどれにも当たらない
直線が引ければ良いのです。
　
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36121．極限付のグラフ  
名前：Kyu    日付：2月22日(金) 14時11分
次の関数のグラフを描きなさい。

y=lim[n→∞]{(sinx)^(2n+1)-(cosx)^(2n+1)}/{(sinx)^2n+(cosx)^2n}(0≦x≦2π)

この問題の解き方が全然わからないです。ヒントに|sinx|＞|cosx|、|sinx|＜|cosx|、sinx=cosx、sinx=-cosxの四つの場合に分けて考えなさいとあるのですが、どうしてこの四つの場合に分けるのですか？あと|sinx|＞|cosx|と|sinx|＜|cosx|の二つの不等式には絶対値記号がついていますが、どうして絶対値記号がついているのですか？どなた様かわかりやすく教えていただけないでしょうか？どうかお願いします。


36127．Re: 極限付のグラフ
名前：みっちぃ    日付：2月23日(土) 6時43分
この関数はn→∞のとき，ほとんどのxで(sinx)^(2n)→0，(cosx)^(2n)→0です。

例えば，例を簡単なものにすると
{(1/n)+(4/n^2)}/{(3/n) -(2/n^2)}の極限は，そのままn→∞にすると「(0に近づく)/(0に近づく)」の不定形なので，
分母・分子とも(1/n)でくくった上で約分すると，{1+(4/n)}/{3-(2/n)}→1/3です。

同様にして，問題の関数も「分母・分子を何かでくくって約分」の手順で，不定形の解除を目指します。
このとき，(sinx)^(2n)または，(cosx)^(2n)で分母・分子をくくりますが，分母・分子とも「(0以外に収束する数)+(0に近づく数)」を作りたいので，

・-1<cosx/sinx <1 ⇔ |sinx/cosx|<1 ⇔ |sinx|<|cosx| (となるx)のとき… 分母・分子とも(sinx)^(2n)でくくる
与式=lim[n→∞] {sinx -(cosx/sinx)^(2n)・cosx}/{1+(cosx/sinx)^(2n)}=sinx
と極限が取れます。

他の場合は，Kyuさんが解いた時のヒントの通りにします。

36118．教えてください。  
名前：プー    日付：2月22日(金) 13時17分
「りんごが５こあります。４こもらいました。
りんごはいま何こあるでしょう。」
こういった添加の問題で式は５＋４ですが、この式の読み方は（１）５に４を加える。
（２）５と４を加える　といったように（１）のパターンで本に書いてあったり（２）のパターンで書いてあったりするのですが、＋記号について詳しくわかる人教えてください。


36120．Re: 教えてください。
名前：ヨッシー    日付：2月22日(金) 13時42分
私は特に「＋研究家」ではありませんが、要するに「に」か「と」の
どちらがこの場合、適当かということですね。

「に」という助詞には、「ある方向に向かっていく」という方向性が
感じられます。その意味では、「添加」の状況においては、「に」を
使うのが日本語としては適当でしょう。
一方、「と」は２つのものが対等／並列に置かれている状況が読みとれます。
「あるグループに男子が５人、女子が４人いる」というような場合です。
ただ、「添加」の場合でも、たとえば、５個と４個が混ざり合う瞬間を
とらえて、足し合わせたととらえると、「と」を使っても、あながち
間違いとは言えないと思います。
また「加える」という言葉が「と」に合っているかというのは別問題です。

ところで、この問題提起の背景は何でしょうか？
小学生に質問されたとか？
　　
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36116．周期について  
名前：トン    日付：2月22日(金) 12時53分
周期について理解出来ずにいます。

e^(ｘi)＝cocx+isinx・・・・・①
e^x・・・・②
書籍より
①周期が２πの関数とありました。これはsinもcosも２πで
元にもどるからですよね？
②の周期は２πiとなっていました。これは何故なのでしょうか？
②についてはまったく解りませんでした。

宜しくお願いいたします。


36117．Re: 周期について
名前：ヨッシー    日付：2月22日(金) 13時5分
f(x) の周期がα（≠０）であるとき
　f(x＋α)＝f(x)
が成り立ちます。

e^(x＋2πｉ)＝e^x・e^2πｉ
　＝e^x(cos2π＋ｉsin2π)＝e^x
より、2πｉが周期となります。
　
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36125．Re: 周期について
名前：トン    日付：2月22日(金) 16時30分
ヨッシーさん

　ご回答ありがとうございます。
f(x) の周期がα（≠０）であるとき
　f(x＋α)＝f(x)になるということは
①は、e^(ｘi)の周期が２πだから
e^｛(ｘ+２π）i｝＝e^(ｘi)・e^(２πi)＝e^(ｘi)・１
というこですか？・・・A
上の計算が自信ないもので何度も申し訳ありません。

私が訊いた内容は
f(x) の周期がα（≠０）であるとき
f(x＋α)＝f(x)になるという定義から求めているものなのでしょうか？・・・・B
宜しくお願いします。

36113．(untitled)  
名前：きゃな    日付：2月21日(木) 22時31分
減点はされませんよね？
ありがとございました。

36110．(untitled)  
名前：きゃな    日付：2月21日(木) 21時40分
すべての自然数nに対して、次の不等式が成り立つことを示せ。
1+1/2+1/3+.....+1/n≧2n/(n+1)

これはどのように証明したらいいのでしょうか？
大学の２次試験なので、減点がないように書きたいのですが…
よかったら教えてください。


36111．Re: (untitled)
名前：hari    日付：2月21日(木) 22時10分
何かと使える帰納法で証明すればよいと思います。
（他の方法もあるでしょう）

F(n) = Σ[k=1~n](1/k) - 2n/(n+1)
とおいてF(n)≧0を示せばよいですね。
F(1) = 0であり
F(j) ≧ 0と仮定すると

F(j+1) = Σ[k=1~j+1](1/k) - 2(j+1)/(j+2) = F(j) + 1/(j+1) + 2j/(j+1) - 2(j+1)/(j+2)
≧ F(j) + j/(j+1)(j+2) ≧ 0

帰納法により示されます。

36112．Re: (untitled)
名前：hari    日付：2月21日(木) 22時19分
訂正
最後から二つ目の不等号は等号でした。

F(j+1) = Σ[k=1~j+1](1/k) - 2(j+1)/(j+2) = F(j) + 1/(j+1) + 2j/(j+1) - 2(j+1)/(j+2)
〓 F(j) + j/(j+1)(j+2) ≧ 0

36115．Re: (untitled)
名前：らすかる    日付：2月21日(木) 23時19分
別解
n=1 のとき 1≧1 となり成り立つ。
n=2 のとき 3/2≧4/3 となり成り立つ。
n=3 のとき 11/6≧6/4 となり成り立つ。
n≧4 のとき (左辺)≧1+1/2+1/3+1/4＞2＞2{n/(n+1)}=(右辺) なので成り立つ。
よってすべてのnについて成り立つ。
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36105．ベクトル　高２  
名前：りの    日付：2月21日(木) 19時56分
平面上の異なる３点Ｏ,Ａ,Ｂに対して、次の式を満たす点Ｐはどのような図形をえがくか。ただし、ｔは実数とする
　　　↑ＯＢ＝(１－ｔ)↑ＯＡ＋２ｔ↑ＯＢ

答えは・・・［↑ＯＣ＝↑ＯＢとなるような点Ｃをとるとき点Ｐは直線ＡＣをえがく］らしいです
学校の宿題なんですが、できれば早めにお願いします
解き方を教えてください


36106．Re: ベクトル　高２
名前：ヨッシー    日付：2月21日(木) 21時28分
Ｐがどこにも出てきませんが？
　
http://yosshy.sansu.org/

36108．Re: ベクトル　高２
名前：Kurdt    日付：2月21日(木) 21時38分
こんばんは。

↑OP=(1-t)↑OA+2t↑OB という問題ですかね。

↑OP=↑OA + t(2↑OB-↑OA)

↑v=2↑OB-↑OA と置くと、
　↑OP=↑OA + t↑v
これは直線の式になっています。

直線であることはわかったので、
この直線が通る２点を考えます。

t=0 のとき ↑OP=↑OA となり、点 A を通る
t=1 のとき ↑OP=2↑OB となり、
↑OC=2↑OB となる点 C を通る。

したがって点 P は直線 AC を描きます。


問題文には誤字がないように注意してください。
http://fairytale.holy.jp/

36124．Re: ベクトル　高２
名前：りの    日付：2月22日(金) 16時28分
すみません。誤字がありました
正しくはKurdtさんのとおりでした

解答ありがとうございました
とても参考になりました

36099．(untitled)  
名前：ロード    日付：2月21日(木) 17時10分
a[1]=1である数列{a[n]}において、初項から第n項までの和S[n]が関係式
nS[n+1]=3(n+1)S[n] (n=1,2,3, ......)を満たしている。
(1)b[n]=S[n]/nとおくとき、b[n]をnを用いて表せ。
(2)a[n]をnを用いて表せ。


教えて下さい。


36101．Re: (untitled)
名前：ヨッシー    日付：2月21日(木) 17時26分
(1)
b[n]=S[n]/nとおく　というのは、すごいヒントですね。
　nS[n+1]=3(n+1)S[n]
を変形して、
　S[n+1]/(n+1)=3S[n]/n
これは、
　b[n+1]＝3b[n]
のことですから、b[n]は、b[1]＝S[1]/1＝a[1]＝１ が初項で、
公比３の等比数列なので、一般項は
　b[n]＝３^(n-1)

(2)
(1) の結果より、
　S[n]＝b[n]・n＝ｎ・３^(n-1)
ｎ＞１ なる整数ｎについて
　a[n]＝S[n]－S[n-1]
　　＝ｎ３^(n-1)－(n-1)３^(n-2)
　　＝(2n+1)３^(n-2)
これは、a[1]＝１ も満たすので、任意の自然数ｎに対して
　a[n]＝(2n+1)３^(n-2)
　
　
http://yosshy.sansu.org/

36109．Re: (untitled)
名前：ロード    日付：2月21日(木) 21時39分
ありがとうございました。
もう一度自分で解いてみます。

36097．１ｋｇ４００ｇの読み方  
名前：micky    日付：2月21日(木) 16時31分
１ｋｇ４００ｇ
は、どう読めばいいのですか？
僕は
「1キロ400グラム｣
だと思っていました。
ところが、周りは
「1キログラム400グラム｣
と読んでいたので、おかしいよ
と思ったのですが、その場で浮いていたのは僕でした。
異様な感じで見られていました。

ちなみに
「１ｍ４０ｃｍ」
は「1メートル40センチ」です。
「1メートル40センチメートル」ではありません。

当然
｢1ℓ５ｄℓ」
は、「1リットル５デシ」です。


36098．Re: １ｋｇ４００ｇの読み方
名前：らすかる    日付：2月21日(木) 16時52分
"1キログラム400グラム" は検索で見つかりません。
それに対し、"1キロ400グラム" はたくさん見つかります。

# Googleならば" "で囲んで完全一致を検索します。

よって「1キロ400グラム」が一般的だと思います。
私も「1キロ400グラム」と読みます。
↓例
http://www.city.asahi.lg.jp/formersites/asahi/section/syouko/sho013.html

36100．Re: １ｋｇ４００ｇの読み方
名前：ヨッシー    日付：2月21日(木) 17時18分
教科書にどう書いているかを知りたいなら、教科書またはそれに
準ずるものを見てもらうしかありません。

多数決で決めたいなら
「1キロ400グラム｣
「1メートル40センチ」
「1リットル５デシリットル」
にそれぞれ１票。理由はありません。すんなり感です。
　
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36094．宿題の答えがわかりません  
名前：遠藤正臣    日付：2月21日(木) 12時47分
小学４年生の宿題です。７□７□７□７＝２　　□の中に＋－×÷を入れて完成させるのですが　わからないので助けてください


36095．Re: 宿題の答えがわかりません
名前：ヨッシー    日付：2月21日(木) 12時49分
他にもあるかもわかりませんが、
　１＋１＝２
の形に持って行くのが、すぐ思いつきます。
　
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36096．Re: 宿題の答えがわかりません
名前：らすかる    日付：2月21日(木) 13時39分
他にはないようです。
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36092．(untitled)  
名前：ろーりー    日付：2月21日(木) 9時8分
数列{a[n]}をa[1]=1,a[n+1]=3a[n]/(3+a[n]) (n=1,2,3, ......)によって定める。
(1)1/a[1], 1/a[2], 1/a[3] を求めよ。
(2)一般項a[n]を求めよ。
(3)正の整数mに対して、Σ(n=1～m)a[n]a[n+1]を求めよ。

教えてください。


36093．Re: (untitled)
名前：ヨッシー    日付：2月21日(木) 9時35分
私のページに解答を載せました。
　
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36089．二次方程式  
名前：高1    日付：2月20日(水) 20時41分
0.75X^2-12.96X＝X
の二次方程式の解がわかりません

途中計算はどうやったらいいのでしょうか？


36091．Re: 二次方程式
名前：rtz    日付：2月20日(水) 20時50分
明らかにX＝0は解です。
なのでX≠0として式全体をXで割ればただの1次ですね。

36088．数Ⅲ・極限  
名前：K    日付：2月20日(水) 20時13分
次の関数の定義域と連続性を調べ、そのグラフをかけ。
y=lim_{n→∞}(sin^n x－cos^n x)
　
よろしくお願いします。


36090．Re: 数Ⅲ・極限
名前：X    日付：2月20日(水) 20時49分
-1≦sinx≦1,-1≦cosx≦1
に注意して場合分けします。

(i)sinx=-1又はcosx=-1のとき
つまりx=(2n+1)π,(2n+3/2)π(nは任意の整数)のとき
(sinx,cosx)=(-1,0),(0,-1)
∴y=lim[n→∞](-1)^n,lim[n→∞](-1)^(n+1)
これらの関数の値は存在しません。

(ii)sinx=1、つまりx=(2n+1/2)π(nは任意の整数)のとき
(sinx,cosx)=(1,0)
ですので
y=1

(iii)cosx=1、つまりx=2nπ(nは任意の整数)のとき
(sinx,cosx)=(0,1)
ですので
y=-1

(iv)(i)(ii)(iii)以外のとき
-1<sinx<1,-1<cosx<1
ですので
y=0

36082．対数方程式  
名前：s1n    日付：2月20日(水) 18時0分
(16x)^log2底のx = x^5　を満たすxを求めよ。

やり方は分かりますが、途中式の意味が理解できません。

回答の途中式は↓
log2底の16　＋　(log2底のx)^2 =　5log2底のx

と変形しているのですが、自分が変形すると
　(log2底の16x)(log2底のx)=5log2底のx
⇔(log2底の16＋log2底のx)・log2底のx＝5log2底のx　となってしまいます。


36083．Re: 対数方程式
名前：らすかる    日付：2月20日(水) 18時16分
解答はどうなっていますか？
http://www10.plala.or.jp/rascalhp

36084．Re: 対数方程式
名前：s1n    日付：2月20日(水) 18時30分
logの表記の仕方が分からないので簡便に定義します。
EX) logA(B) A：底 B：真数
　解答
真数条件よりx>0であり、16x^log2(x)=x^5の両辺は正の値であるから、
２を底とする対数をとると

log2(16)　＋　(log2(x))^2=5log2(x)
⇔(log2(x))^2 - 5log2(x)＋4=0
⇔(log2(x) - 1)(log2(x) - 4)=0
∴ log2(x)=1,4 ∴x=2,16
出典は数学Ⅱ・Ｂ　チェックアンドリピートです。

36085．Re: 対数方程式
名前：らすかる    日付：2月20日(水) 18時48分
なるほど。
ということは、
左辺の 16x^log[2]x は
(16x)^log[2]x ではなく
16(x^log[2]x) ですから、
底2の対数をとれば
log[2]{16(x^log[2]x)}
=log[2]16+log[2](x^log[2]x)
=log[2]16+(log[2]x)log[2]x
=log[2]16+(log[2]x)^2
となりますね。
http://www10.plala.or.jp/rascalhp

36087．Re: 対数方程式
名前：s1n    日付：2月20日(水) 19時21分
あー　分かりました！　ありがとうございました。

36077．因数分解  
名前：レイ　中3    日付：2月20日(水) 2時38分
－2√(9－x^2)＝x－3
の因数分解がうまく答えと一致しません。
教えてください。
答えはｘ=－9/5，3です


36078．Re: 因数分解
名前：Kurdt    日付：2月20日(水) 2時52分
こんばんは。

√ がついたままでは解けないので両辺を2乗します。
4(9-x^2)=(x-3)^2
36-4x^2=x^2-6x+9
-5x^2+6x+27=0
5x^2-6x-27=0
(5x+9)(x-3)=0
x=-9/5 , 3

最後にそれぞれの解が方程式を満たすことを代入して確かめましょう。
（途中で２乗するので不適な解が出ることがあります）
http://fairytale.holy.jp/

36075．微積  
名前：あい    日付：2月19日(火) 23時56分
y=x^3+1　のグラフを曲線Cとする。定数ｔ＞０に対してC上の点P（ｔ、ｔ＾３+１）を定めてPにおけるCの接線L1とX軸との交点をRとする。次にC上にPと異なる点QをQにおけるCの接線L2がPを通るようにとります。そしてL2とX軸との交点をSとします。
このときⅰ　三角形PRSの面積をｔであらわせ
ⅱ　上で考えた三角形PRSの面積の最小値を求めよ

この問題を教えてくださいお願いします！！！！


36081．Re: 微積
名前：ヨッシー    日付：2月20日(水) 9時34分

ｉ
ｙ＝ｘ3＋１ を微分して、
　ｙ’＝３ｘ2
よって、点Ｐにおける接線の傾きは、３ｔ2
となり、接線の式は、
　ｙ＝３ｔ2(ｘ－ｔ)＋ｔ3＋１
よって、Ｒのｘ座標は、ｙ＝０ として
　３ｔ2(ｘ－ｔ)＋ｔ3＋１＝０
　ｘ＝(２ｔ3－１)/３ｔ2　・・・(1)

一方、点Ｐを通る直線
　ｙ＝ａ(ｘ－ｔ)＋ｔ3＋１
が、ｙ＝ｘ3＋１ と、点Ｐ以外の点で接するとき、
両者を連立させた
　ｘ3－ａ(ｘ－ｔ)－ｔ3＝０　・・・(2)
は、
　(ｘ－ｔ)(ｘ－ｂ)2＝０
と書けるので(ｂは点Ｑのｘ座標)、展開して
　ｘ3－(２ｂ＋ｔ)ｘ2＋(２ｂｔ＋ｂ2)－ｔｂ2＝０
(2)と比較すると
　２ｂ＋ｔ＝０
　２ｂｔ＋ｂ2＝－ａ
　－ｔｂ2＝ａｔ－ｔ3
これらを解いて、
　ａ＝３ｔ2／４
　ｂ＝－ｔ／２
よって、ＰＱを通る直線の式は
　ｙ＝３ｔ2(ｘ－ｔ)／４＋ｔ3＋１
これより、点Ｓのｘ座標は、ｙ＝０ として
　３ｔ2(ｘ－ｔ)／４＋ｔ3＋１＝０
　３ｔ2(ｘ－ｔ)＋４ｔ3＋４＝０
　ｘ＝(－ｔ3－４)／３ｔ2　・・・(3)
以上より、△ＰＲＳの面積は、
　{(２ｔ3－１)/３ｔ2－(－ｔ3－４)／３ｔ2}×(ｔ3＋１)
　＝(３ｔ3＋３)(ｔ3＋１)/３ｔ2
　＝(ｔ3＋１)2/ｔ2

ｉｉ
　f(t)＝(ｔ3＋１)2/ｔ2
とおき、微分して、
　f'(t)＝{６ｔ4(ｔ3＋１)－２ｔ(ｔ3＋１)2}／ｔ4
f'(t)＝０ となるのは、
　６ｔ4(ｔ3＋１)＝２ｔ(ｔ3＋１)2
　３ｔ3＝(ｔ3＋１)
　２ｔ3＝１
よって、
　ｔ＝１／２1/3
のときで、このとき、△ＰＲＳの面積は最小値
　(9/4)２2/3
をとります。
　
http://yosshy.sansu.org/

36086．Re: 微積
名前：あい    日付：2月20日(水) 18時49分
ご丁寧にありがとうございました！！！

36074．円柱の体積は円錐の３倍  
名前：惇（中１の問題？）    日付：2月19日(火) 23時4分
であることは有名な事実ですが実際このことを分かりやすく説明することはできないのでしょうか？教科書をみても水を円柱の容器で汲んで円錐の容器３つに分けている図しかなくイマイチ納得はしにくいです。
あまり複雑すぎず簡単に『円柱は円錐の３倍』であることを誰か示してください。中１が分かるレベルでお願いします。


36079．Re: 円柱の体積は円錐の３倍
名前：らすかる    日付：2月20日(水) 4時41分
立方体は、頂点が立方体の中心で底面が立方体の面である
6個の正四角錐に分けられます。
その正四角錐の高さは立方体の高さの半分ですから、
体積は立方体の高さを半分にした直方体の1/3です。
立方体の高さを半分にしたものをさらに三角柱になるように
半分に切ると、正四角錐も半分の三角錐になりますので、
三角錐の体積は三角柱の体積の1/3であることがわかります。
円柱を底面の中心を通り底面に垂直な面で細く切ることを考えます。
丸いケーキを切り分ける感じです。
十分細かく分ければ、ほとんど三角柱になります。
円錐を同じように切ると、底面積と高さが同じである三角錐になります。
よって細かく切ったもの同士が三角柱と三角錐の関係で
それぞれの体積が1/3ずつですので、全体でも1/3となります。
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36102．Re
名前：soredeha    日付：2月21日(木) 19時8分
1/2*[円柱]+(1/2)^2*1/2*[円柱]>[円錐]>(1/2)^2*1/2*[円柱]

　→　1/2+(1/2)^2*1/2]>[円錐]/[円柱]>(1/2)^2*1/2

1/4+(3/4)^2*1/4++(2/4)^2*1/4+(1/4)^2*1/4>[円錐]/[円柱]>(3/4)^2*1/4++(2/4)^2*1/4+(1/4)^2*1/4

　→　
1/4+(3^2+2^2+1^2)/4^3>[円錐]/[円柱]>(3^2+2^2+1^2)/4^3

1/8+(7^2+6^2+5^2+4^2+3^2+2^2+1^2)/8^3>[円錐]/[円柱]>(7^2+6^2+5^2+4^2+3^2+2^2+1^2)/8^3
.

36073．(untitled)  
名前：かい    日付：2月19日(火) 22時55分
2の倍数でも3の倍数でもない自然数全体を小さい順に並べてできる数列をa(1)，a(2)，a(3)，……，a(n)，……とする。

(1)1003は数列{a(n)}の第何項か。
(2)a(2000)の値を求めよ。
(3)mを自然数とするとき、数列{a(n)}の初項から第2m項までの和を求めよ。

全く解き方の検討がつきません。
教えてください。


36080．Re: (untitled)
名前：らすかる    日付：2月20日(水) 4時51分
2の倍数でも3の倍数でもない自然数ということは、
6で割った余りが1か5になる自然数です。
これを小さい順に書くと、1,5,7,11,13,17,…
つまり 6×0+1, 6×0+5, 6×1+1, 6×1+5, 6×2+1, 6×2+5,…
となりますので、
奇数項は 1,7,13,19,… すなわち a[2m-1]=6m-5
偶数項は 5,11,17,23,… すなわち a[2m]は6m-1
1003=6×167+1=6×168-5 ですから奇数項の a[2×168-1]=a[335]です。
a[2000]=a[2×1000]=6×1000-1=5999
Σ[k=1～2m]a[k]=Σ[k=1～m](a[2k-1]+a[2k])
=Σ[k=1～m](6m-5+6m-1)=Σ[k=1～m](12m-6)
=…
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36070．ベクトル  
名前：DEBORAH    日付：2月19日(火) 20時28分
平面上に△ABCと点Pがあり、
↑2AP＋↑3BP＋4CP=↑0が成り立つとき、
面積比△PBC：△PCA：△PABを求めよ。

面積比の問題があやふやになってしまったので、質問させていただきました。


36072．Re: ベクトル
名前：ヨッシー    日付：2月19日(火) 22時54分
　２ＡＰ＋３ＢＰ＋４ＣＰ＝０
を変形して、
　４ＣＰ＝２ＰＡ＋３ＰＢ
　(4/5)ＣＰ＝(２ＰＡ＋３ＰＢ)／５
ここで、ＡＢを３：２ に内分する点をＤとすると、
　(２ＰＡ＋３ＰＢ)／５＝ＰＤ
より、
　(4/5)ＣＰ＝ＰＤ
　４ＰＣ＋５ＰＤ＝０
よって、ＰはＣＤを５：４ に内分する点。

図のように各部分の面積比が決まるので、
　△PBC：△PCA：△PAB＝10：15：20＝２：３：４
　
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36107．Re: ベクトル
名前：DEBORAH    日付：2月21日(木) 21時32分
理解できました。ありがとうございました

36068．数列  
名前：ぐるる    日付：2月19日(火) 17時19分
数列｛an｝の初項から第ｎ項までの和をSnとする。
Sn=3 - 1/3^(n-1)が成り立つ。
（１）一般項anを求めよ。
（２）Tn={k=1～n}の∑1/akとするとき、Tnを求めよ。
　　　さらに、lim{n→∞}1/anTnを求めよ。
（３）Un={k=1～n}の∑1/（log{10}ak）（log{10}a(k+1)）とするとき、lim{n→∞}Unを求めよ。

anの初項a1=2ということは分かったのですが、それからの解き方がわかりません。教えてください。お願いします。


36069．Re: 数列
名前：ヨッシー    日付：2月19日(火) 17時37分
(1)
ａ1＝Ｓ1＝２　は良いですね。
ｎ≧２ において、
　ａn＝Ｓn－Ｓn-1
より、
　ａn＝1/3n-2－1/3n-1
　　＝2/3n-1
これは、ｎ＝１の場合も成り立つので、
　ａn＝2/3n-1

(2)
　1/ａk＝3k-1/2
より
　Ｔn＝Σ3k-1/2＝(3n-1)/4
1/anTn の Ｔn が、分子か分母かわかりませんので、
自分で確認してください。

(3)も同様です。
　
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36076．Re: 数列
名前：ぐるる    日付：2月20日(水) 2時2分
1/anTn は、　
　1
──
anTn
のつもりでした。

36065．教えて下さい  
名前：リボン    日付：2月19日(火) 9時14分
xの関数f(x)=4^x+4^-x+a(2^x+2^-x)+6-aについて

①t=2^x+2^-xとおくとき、f(x)をtの式で表せ。

②tのとりうる値の範囲を求めよ。

③f(x)=0が異なる4つの実数解をもつためのaの値の範囲を求めよ。


①f(x)=t^2+at-a+4
②t≧2

と出したのですが
どうしても③がわかりません。
教えてもらえませんか？


36066．Re: 教えて下さい
名前：hari    日付：2月19日(火) 9時37分
③ ひとつのtの値に対してxはふたつの値をとるので
t^2 + at - a + 4 = 0がt≧0で異なるふたつの実数解を持てば
f(t) = 0は4つの異なる実数解を持ちます。

Ａｎｓ. -8＜a＜-2-2√5

36062．三角関数  
名前：中村    日付：2月19日(火) 7時31分
O°<θ<2πのとき、y=2sin^2θ+3sincosθ+6cos^2の最大値って
半角の公式を使って解くんですよね？

どう、変形すればいいのでしょうか？


36064．Re: 三角関数
名前：ヨッシー    日付：2月19日(火) 8時45分
式がメチャメチャになってます。
　y=2sin^2θ+3sinθcosθ+6cos^2θ
だと解釈します。
　y=2sin^2θ+3sinθcosθ+6cos^2θ
　　＝2(sin^2θ＋cos^2θ)＋(3/2)2sinθcosθ＋2(2cos^2θ－1)＋２
　　＝(3/2)sin2θ＋2cos2θ＋４
　　＝(5/2)sin(2θ＋α)＋４
ただし、cosα＝3/5、sinα＝4/5
より、最大値 13/2 となります。

倍角の公式と、合成の公式を使っています。

半角の公式では・・・行けるんでしょうかね？
　
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36052．階差数列  
名前：なかにー    日付：2月18日(月) 17時32分
漸化式がAn-A(n-1)=2nとなっていたら、どのように解けばいいのでしょうか???


36053．Re: 階差数列
名前：ヨッシー    日付：2月18日(月) 17時45分
タイトルの通り、階差数列です。

A(0) が与えられているか、A(1) が与えられているかで
計算方法が、若干変わりますが、
A(0) が与えられているとき
　B(n)＝A(n)－A(n-1)＝2n　(n は自然数)
とおくと、
　A(n)＝A(0)＋Σk=1～n(2k)＝A(0)＋n(n+1)

A(1) が与えられているとき
　B(n)＝A(n+1)－A(n)＝2(n+1)　(n は自然数)
とおくと、
　A(n)＝A(1)＋Σk=1～n-1{2(k+1)}＝A(1)＋(n-1)(n+2)
　
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36059．Re: 階差数列
名前：なかにー    日付：2月18日(月) 23時19分
ありがとうございます!!!
A(1)の時にシグマのところが2(k+1)になるのはなぜですか??

36060．Re: 階差数列
名前：ヨッシー    日付：2月19日(火) 1時11分
B(n) の式が 2(n+1) だからです。

これは、An-A(n-1)=2n の n の所に、n+1 を入れたものです。
　
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36048．場合の数の問題  
名前：みつき    日付：2月18日(月) 16時7分
場合の数で以下のような問題があります。

xが４個、yが３個、zが２個、合計で９個の記号があり、この記号を１列に並べる。
同じ記号が並んでもよいものとすると、全部で何通りの並べ方があるか。

並べ方としては、9!/4!･3!･2!＝1260(通り)だと思うのですが、
問題集の回答の解説では9!＝362880(通り)となっています。
「同じ記号が並んでもよい」というのは、同じ記号同士が入れ替わっても別の並べ方とみなすという意味なのでしょうか？


36049．Re: 場合の数の問題
名前：ヨッシー    日付：2月18日(月) 16時41分
9!/4!･3!･2!＝1260(通り) で良いと思いますけどねぇ。
ちなみに、続きの問題はありますか？
同じ記号が並んではいけない、とか。
その解答は？

また、何の問題集でしょう？
市販のものなら、誰かが見つけてくれるかも知れません。

私は、在インドネシアなので、無理ですが。
　　
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36051．Re: 場合の数の問題
名前：みつき    日付：2月18日(月) 17時18分
ご回答ありがとうございます！
出題は市販のSPIの問題集からです。

次の問題は「xxxyyzという順番を含む並べ方は何通りあるか」で、
回答は、指定の並びをAと置き換えると、A,x,y,zの４つの並べ方を考えればよいので、4!＝24(通り)　となっています。

36047．相似  
名前：あい    日付：2月18日(月) 15時3分
原点をOとする座標平面からA(√a,0)B(0,√２a)をとる
ただしa＞０　原点Oから直線ABに垂線を引き、交点をPとする。PからX軸に垂線を比k交点をQとする。さらに、Qから直線ABに垂線を引き交点をRとし、RからX軸に垂線を引き交点をSとする。

この図において三角形OABと三角形おPQが相似であるらしいのですがどうしてですか？教えて下さいお願いします！


36050．Re: 相似
名前：ヨッシー    日付：2月18日(月) 16時48分
Size: 158 x 192, 1KB

図で見えている三角形は、直角三角形で、
●の角と、○の角が余角の関係（足して90°になる）なので、
すべて相似です。

なお、この質問には影響ありませんが、√2a は、(√2)ａ か √(2a) か
区別できないので、パソコンで打つときは、カッコをつけましょう。
　
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36058．Re: 相似
名前：あい    日付：2月18日(月) 23時12分
わかりました！！以後気をつけます！
どうもありがとうございました！

36041．(untitled)  
名前：ｲｴﾓﾝ    日付：2月18日(月) 9時14分
初項a(1)から第n項a(n)までの和S(n)はS(n)=an^2+bnで表される。
この数列{a(n)}は等差数列であることを示せ。


どう書いたらいいか教えて下さい。


36042．Re: (untitled)
名前：ヨッシー    日付：2月18日(月) 9時21分
ｎ＝１のとき
　a(1)＝S(1)　・・・(i)
ｎ≧２ のとき
　a(n)＝S(n)－S(n-1)　・・・(ii)
が言えますから、(ii) から、a(n) の一般式を出して、
それが(i)をも満たすことを言えばいいでしょう。
　
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36036．(untitled)  
名前：かい    日付：2月17日(日) 23時59分
6を分母とする正の既約分数のうち50以下のものの和を求めよ。

これは具体的に既約分数を書き出し
計算すればいいのでしょうか？


36039．Re: (untitled)
名前：らすかる    日付：2月18日(月) 0時40分
分子が6n±1のものなので
1/6+5/6+7/6+11/6+…+295/6+299/6
=(1/6+5/6)+(7/6+11/6)+…+(295/6+299/6)
=1+3+5+…+99
=2500
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36056．Re: (untitled)
名前：かい    日付：2月18日(月) 21時28分
和集合のように解く考え方ではいけないのでしょうか？

大学の２次試験でもこのような解き方でも原点の対象になることはないのですか？

36061．Re: (untitled)
名前：ヨッシー    日付：2月19日(火) 1時13分
(1+2+3+･･･3000)/6 を出しておいて、
分子が、
2の倍数のものを引く
3の倍数のものを引く
6の倍数のものを足す
ということでしょうか？

考え方が、ちゃんと書けていれば、減点はされないと思います。
　
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36063．Re: (untitled)
名前：かい    日付：2月19日(火) 7時32分
はい、どちらでもきちんと説明がされていればいいということですよね？

ありがとうございました。
とても役に立ちました。

36028．関数  
名前：のり    日付：2月17日(日) 23時8分
Original Size: 640 x 480, 98KB

直線①は関数y=2xのグラフであり、曲線②は関数y=a(x＾2)のグラフである。
点Aは直線①と曲線②との交点で、そのx座標は５である。
点Ｂは曲線②上の点で線分ABはx軸に平行である。
点Ｃは線分AB上の点で、AC:CB＝3:2である。

また、点Dはx軸上の点で、線分ADはy軸に平行である。
原点を0とするとき

問題
直線①と線分BDとの交点をEとするとき、三角形AEDと三角形BECの面積の比を最も簡単な整数の比で表しなさい。

答え
５：４

さっぱり分かりません。
よろしくおねがしいます


36031．Re: 関数
名前：ヨッシー    日付：2月17日(日) 23時18分
△ＡＢＥと△ＯＤＥの相似(相似比２：１)より、
　ＢＥ：ＥＤ＝２：１
問題文より
　ＡＣ：ＣＢ＝３：２
以上より、
　△ＡＥＤ：△ＡＢＥ＝１：２＝５：１０
　△ＢＥＣ：△ＡＢＥ＝２：５＝４：１０
より、
　△ＡＥＤ：△ＢＥＣ＝５：４
となります。
　
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36033．Re: 関数
名前：のり    日付：2月17日(日) 23時33分
△ＡＥＤ：△ＡＢＥ＝１：２＝５：１０
　△ＢＥＣ：△ＡＢＥ＝２：５＝４：１０
の比がよく分かりません

36035．Re: 関数
名前：ヨッシー    日付：2月17日(日) 23時56分
いずれも底辺の比です。
　△ＡＥＤ：△ＡＢＥ＝ＥＤ：ＢＥ＝１：２
　△ＢＥＣ：△ＡＢＥ＝ＢＣ：ＡＢ＝２：５
です。
あとは、算数でいうところの、倍数算で、
　１：２＝５：１０
　２：５＝４：１０
のように△ＡＢＥの比の値をそろえています。
　
http://yosshy.sansu.org/

36037．Re: 関数
名前：のり    日付：2月18日(月) 0時13分
何度も質問してすいませんでした。
兄弟でココのサイトを利用しているのでとても助かります
どうもありがとうございました

36026．数列  
名前：みるく    日付：2月17日(日) 22時31分
１からｎまでの自然数１，２，３，……，ｎのうち奇数であるものの２乗の和をＳ(n)，偶数であるものの２乗の和をＴ(n)とする。

Ｓ(5)‐Ｔ(5)，Ｓ(6)‐Ｔ(6)の値をそれぞれ求めよ。


という問題なんですが、全く解き方がわかりません。
教えてください。

お願いします。


36027．Re: 数列
名前：ヨッシー    日付：2月17日(日) 22時35分
S(5) は、自然数１，２，３，４，５のうち奇数であるものの２乗の和
ですから、１と３と５の２乗の和です。S(5)＝35
T(5) は、自然数１，２，３，４，５のうち偶数であるものの２乗の和
ですから、２と４の２乗の和です。T(5)＝20
同様に、S(6)＝35、T(6)＝56 です。
　
http://yosshy.sansu.org/

36032．Re: 数列
名前：みるく    日付：2月17日(日) 23時32分
そういうことなんですね。
ありがとうございます。
問題を読み違えていました。

次の問題として

Ｓ(2m-1)‐Ｔ(2m-1)，Ｓ(2m)‐Ｔ(2m)の値をそれぞれ求めよ。

とあるのですが
これはどうやったらいいんですか？

36034．Re: 数列
名前：らすかる    日付：2月17日(日) 23時47分
S(2m-1)-T(2m-1)
={(2m-1)^2-(2m-2)^2}+{(2m-3)^2-(2m-4)}^2+…+(3^2-2^2)+1^2
={(2m-1)+(2m-2)}{(2m-1)-(2m-2)}
　+{(2m-3)+(2m-4)}{(2m-3)-(2m-4)}+…+(3+2)(3-2)+1^2
=(4m-3)+(4m-7)+…+5+1
=Σ[k=1～m](4k-3)
=m(2m-1)

S(2m)-T(2m)
=S(2m-1)-T(2m-1)-(2m)^2
=-m(2m+1)
http://www10.plala.or.jp/rascalhp

36043．Re: 数列
名前：みるく    日付：2月18日(月) 10時46分
一つ目の式がよくわからないのですが
どうやって考えればいいのでしょうか？

36044．Re: 数列
名前：ヨッシー    日付：2月18日(月) 11時1分
たとえば、ｍ＝４ で、Ｓ(7)－Ｔ(7) を考えると、
　S(7)＝７2＋５2＋３2＋１2
　T(7)＝６2＋４2＋２2
で、S(7) の方が、項が１つ多いのです。よって、
　S(7)－T(7)＝(７2－６2)＋(５2－４2)＋(３2－２2)＋１2
のように、１2 を余らせた形で、S(7) の項と T(7) の項の
ペアが出来ます。
　ａ2－ｂ2＝(ａ－ｂ)(ａ＋ｂ)
で変形すると、
　S(7)－T(7)＝１３＋９＋５＋１＝２８
となります。
あとはこれを、ｍを使った一般式に発展させます。
　
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36045．Re: 数列
名前：みるく    日付：2月18日(月) 12時5分
わかりました！
ありがとうございます。

Σの次はなぜ4K-3になるんですか？

36046．Re: 数列
名前：ヨッシー    日付：2月18日(月) 12時16分
S(2m-1)-T(2m-1)
={(2m-1)^2-(2m-2)^2}+{(2m-3)^2-(2m-4)}^2+…+(3^2-2^2)+1^2
={(2m-1)+(2m-2)}{(2m-1)-(2m-2)}
　+{(2m-3)+(2m-4)}{(2m-3)-(2m-4)}+…+(3+2)(3-2)+1^2
=(4m-3)+(4m-7)+…+5+1
までは理解できたと言うことで良いですか？
では、
　(4m-3)+(4m-7)+…+5+1
を、日本語で説明してみましょう。

たとえば、
　(2n+1)+(2n-1)+(2n-3)+･･･+3+1
は、
「2k+1 の k に、０からｎまでの整数を代入したものをすべて足したもの」
です。それをそのまま式にすると
　Σk=0～n(2k+1)
となります。
　
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36055．Re: 数列
名前：みるく    日付：2月18日(月) 21時27分
とてもわかりやすく丁寧に教えてください、
助かりました。

ありがとうございました。

36022．中点連結定理　中学３年  
名前：のり    日付：2月17日(日) 21時42分
Original Size: 640 x 480, 96KB

三角形ABCがあり、辺AB上に2点D,EをAD=DE=EBとなるようにとる。
また、辺BCの中点をF,線分AFと線分CDとの交点をGとする。
EF=5cmのとき線分CGの長さを求めなさい。

どのように考えて解くのか分からないので教えてください

答えは7.5


36023．Re: 中点連結定理　中学３年
名前：ヨッシー    日付：2月17日(日) 21時47分
以下の手順です。
△ＢＣＤにおける中点連結定理で、ＣＤを求める。
△ＡＥＦにおける中点連結定理で、ＤＧを求める。
ＣＧ＝ＣＤ－ＤＧ　より、ＣＧを求める。
　
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36024．Re: 中点連結定理　中学３年
名前：のり    日付：2月17日(日) 22時1分
△ＢＣＤにおける中点連結定理で、ＣＤを求める。
△ＡＥＦにおける中点連結定理で、ＤＧを求める
の求めかたが分からないのでもし差し支えがなかったら教えてください

36025．Re: 中点連結定理　中学３年
名前：ヨッシー    日付：2月17日(日) 22時25分
Size: 184 x 179, 1KB

上の図で、Ｄ，ＥはそれぞれＡＢ，ＡＣの中点です。
ＤＥの長さを求めなさい。
これは出来ますか？
　
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36029．Re: 中点連結定理　中学３年
名前：のり    日付：2月17日(日) 23時9分
ＤＥの長さは3.5センチです。
分かりました
ありがとうごうざいました

36019．つづき  
名前：ピー    日付：2月17日(日) 19時12分
１０進法表示45.625を2進法に直すととき0.625の少数部分が分かりません


36020．Re: つづき
名前：ヨッシー    日付：2月17日(日) 19時18分
直接的には、
　0.625＝0.5＋0.125＝1/2 ＋ 1/8 より
　0.625(10)＝0.101(2)
です。
下の記事の七さんの方法を使うなら、
　0.625×２＝ 1.25　・・・　小数第一位が１
　0.25×２＝ 0.5 ・・・　小数第二位が０
　0.5×２＝１　・・・　小数第三位が１
となります。
　
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36021．Re: つづき
名前：ピー    日付：2月17日(日) 19時56分
何度も質問に答えていただいてどうもありがとうございました

36012．進法  
名前：ピー    日付：2月17日(日) 17時34分
2進法で表すと111.011を8進法で表す方法が分かりません
10進法に表したら7.375になりました


36013．Re: 進法
名前：七    日付：2月17日(日) 17時59分
小数点を境に3けたずつに区切って
000 → 0
001 → 1
010 → 2
011 → 3
100 → 4
101 → 5
110 → 6
111 → 7
とすればいいです。
したがって
111.011(2)＝7.3(8)
です。

36014．Re: 進法
名前：ピー    日付：2月17日(日) 18時19分
どうもありがとうございます
000 → 0
001 → 1
010 → 2
011 → 3
100 → 4
101 → 5
110 → 6
111 → 7
は8進法のときだけですか？
例えば4,5,6,7進法も同じような考え方ですか？

36015．Re: 進法
名前：ヨッシー    日付：2月17日(日) 18時31分
111.011(2) は、左から
4 が１個、2が１個、1が１個、1/2 が０個、1/4 が1個、1/8 が1個
という意味ですから、８進数でいうと、
１が７個、1/8 が３個 と置き換えられるので、7.3(8) となります。
　２進数→４進数
　２進数→８進数
は、この考えでいけますが、３，５，６，７進数に直すときは、
十進数に直すなどした方が良いでしょう。
　
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36016．Re: 進法
名前：七    日付：2月17日(日) 18時34分
このやり方が出来るのは
2進数，4進数，8進数，16進数 のように 2n進数どうし

3進数，9進数 のように 3n進数どうし

などです。

36017．Re: 進法
名前：七    日付：2月17日(日) 19時9分
例えば
111.011(2)＝7.375(10)
を5進法で表すなら
まず整数部分を 7(10)＝12(5)
にして，12.…(5)としたあと
0.375(10)を5倍して [A]
1.875(10) → 12.1…(5)
0.875(10)を5倍して
4.375(10) → 12.14…(5)
このあと[A] に戻りますから
12.14141414…(5) と循環します。

計算は間違っているかも知れませんが
上記のような方法で変換できます。
5倍して整数部分が出来ないときは末尾に0を書き加えることを忘れずに。

36018．Re: 進法
名前：ピー    日付：2月17日(日) 19時10分
ありがとうございました

36008．|π^2/12-s(n)|<10^-4となる為のnの大きさは?  
名前：miwa    日付：2月17日(日) 2時3分
宜しくお願い致します。

[問]与えられたΣ[k=1..∞](-1)^(k+1)/k^2=π^2/12において,|π^2/12-s(n)|<10^-4となる為にはどのくらい大きい自然数nが選ばれねばならないか決定せよ。
但し,s(n)はこの級数のn項迄の部分和を表す。

という問題なのですがこれはどのようにして解けばいいのでしょうか?

36000．方程式  
名前：ピー    日付：2月16日(土) 17時4分
√x=a＋(1/a) (a>0)のときx-2＋√【(x＾2)-4x】=を求める

√x=a＋(1/a)よりx=【a＋(1/a)】＾2
x-2=(a＋(1/a)】＾2)-2
=(a＾2)＋【1/(a＾2)】
【(x＾2)-4x】=【(x-2)＾2】-4
=【(a＾2)ー【1/(a＾2)】】＾2
までは解けました

このときaの範囲が
(a＾2)≧1
(a＾2)<1と決めるのか分からないのでおしえください
範囲について

以前書き込みをしようとしたら急に書き込みができなくなって心配していましたがまた書き込みができて嬉しいです。
今後もよろしくおねがいします


36002．Re: 方程式
名前：angel    日付：2月16日(土) 18時33分
> このときaの範囲が
> (a＾2)≧1
> (a＾2)<1と決めるのか分からないのでおしえください

問題文中に a>0 としか書いていない以上、a^2 と 1 の大小関係は決まっていません。
なので、場合分けをして解答を書くところになります。

　a^2≧1、つまり a≧1 の場合、…
　a^2<1、つまり 0<a<1 の場合、…

というような書き方になるでしょう。

36003．Re: 方程式
名前：ピー    日付：2月16日(土) 21時49分
a^2≧1、つまり a≧1 の場合、…
　a^2<1、つまり 0<a<1 の場合、…

はどのように考えどのように解くのか分からないのでおしえてください

36004．Re: 方程式
名前：ヨッシー    日付：2月16日(土) 22時23分
√(x＾2 - 4x)=√{(a^2 - 1/a^2)^2}
のルートを外すわけですが、
　√{(a^2 - 1/a^2)^2}
だからといって、すぐに　a^2 - 1/a^2 とは出来ません。
　√22=2
ですが、
　√(-2)2=-2
ではありません。つまり、a^2 - 1/a^2 が、正か負かによって、
外し方が変わってきます。
　a^2 - 1/a^2＞０　のときが　ａ＞１
　a^2 - 1/a^2＜０　のときが　ａ＜１ です。
後者は ａ＞０ なので、それと合わせて、０＜ａ＜１ となります。
　
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36005．Re: 方程式
名前：ピー    日付：2月16日(土) 22時47分
何度もすみません
　a^2 - 1/a^2＞０　のときが　ａ＞１
　a^2 - 1/a^2＜０　のときが　ａ＜１
がよくわからないです
たとえば
　a^2 - 1/a^2＞０
の不等式をとくと
a^2>1/a^2になりa>1になりません

36006．Re: 方程式
名前：ヨッシー    日付：2月16日(土) 22時54分
a^2 - 1/a^2＞０ を、ａ＞０ の範囲で解くと
ａ＞１ になります。
　
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36009．Re: 方程式
名前：ピー    日付：2月17日(日) 13時38分
a^2 - 1/a^2＞０

a^2>1/a^2から両辺をa＾2をかけて
1>a＾4になってしまいます

36010．Re: 方程式
名前：ヨッシー    日付：2月17日(日) 13時54分
1>a＾4 は、1<a＾4 の間違いだと思うのですが、
それを、満たす、ａ は、ａ＞０ の範囲では、ａ＞１ ですね。

正確に書くと、
　a^2 - 1/a^2＞０
両辺 a^2（＞０）を掛けて、
　a^4－１＞０
因数分解して
　(a-1)(a+1)(a^2+1)＞０
両辺 a^2+1 （＞０） で割って、
　(a-1)(a+1)＞０
よって、
　ａ＞１ または　ａ＜－１
ａ＞０ より
　ａ＞１
です。

もう一方の方は、
　(a-1)(a+1)＜０
よって、
　－１＜ａ＜１
ａ＞０ より
　０＜ａ＜１
です。
　
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36011．Re: 方程式
名前：ピー    日付：2月17日(日) 17時3分
途中式ありがとうございました
凄く分かりやすいです

35998．直線と平面が垂直について  
名前：惇（中１の問題？）    日付：2月16日(土) 16時12分
直線Ｌと平面Ｐが垂直であることを確かめるためには『直線Ｌが平面Ｐ上の２本の直線と垂直』であればよいですよね。ここで少し疑問に思ったのですが、質問させてください。
例えば，平面Ｐ上にない直線Ｌが平面Ｐと交わるとき，考えられるのは
①直線Ｌと平面Ｐ上の直線１本と垂直。
②直線Ｌと平面Ｐ上の直線２本（全ての直線）と垂直。（つまり平面と直線が垂直）。
この２種類しかありませんよね？
つまり、逆に言うと，直線Ｌと平面Ｐ上の直線が垂直にならない場合はあるのですか？
『直線Ｌが平面Ｐと交わるならば，直線Ｌと垂直に交わる平面Ｐ上の直線が存在する。』
という僕の論理は正しいですか？


36001．Re: 直線と平面が垂直について
名前：angel    日付：2月16日(土) 18時24分
> 『直線Ｌが平面Ｐと交わるならば，直線Ｌと垂直に交わる平面Ｐ上の直線が存在する。』
> という僕の論理は正しいですか？

はい。正しいです。
確かめるためには、実際に「垂直な直線」を作ってしまえば良いです。

その際の前提としては、

1. 平面α上の任意の直線 l に対し、また l 上の任意の点 X に対し、Xを通り l に垂直な平面α上の直線が存在する。
2. 平面αと交わり、かつ平面αに垂直でない任意の直線 m に対し、「m上の点を通る平面αへの垂線の足」の軌跡は、平面α上の直線となる。
　※確か「射影」と呼んでいたと思いますが…

この 1,2 を元に、直線Ｌが平面Ｐと点Ｘで交わり、かつ垂直でない場合の、Ｌに垂直なＰ上の直線を作ってみます。

i) 前提2 より、Ｌの射影直線Ｌ'が平面Ｐ上に存在する。Ｌ'は明らかに点Ｘを通る。
ii) 前提1 より、Ｌ'に垂直かつＬ'上の点Ｘを通る、Ｐ上の直線Ｍが存在する。

この直線Ｍは直線Ｌと点Ｘで垂直に交わります。
※三垂線の定理の1バリエーション

なお、ＬとＰが垂直な時は trivial(明らか) なので省略します。

35992．Σ[n=0..∞](-1)^n/nの和はどうやって求めれますか?  
名前：mmm    日付：2月14日(木) 3時3分
Σ[n=0..∞](-1)^n/nの収束・発散を吟味して収束ならその和を求めようとしていま
す。

先ず,収束する事は比を採って
lim[n→∞]((-1)^(n+1)/(n+1))/((-1)^n/n)
=lim[n→∞]-n/(n+1)=-1<1
よって　Σ[n=0..∞](-1)^n/nは収束する。

それから和はどうすれば求まるのでしょうか?


35993．Re: Σ[n=0..∞](-1)^n/nの和はどうやって求めれますか?
名前：みっちぃ    日付：2月14日(木) 4時12分
代数計算では無理でしょう。答えは-log2です。(底はe)

f(x)=log(1+x)のマクローリン展開(x=0近傍でのテイラー展開)で求めます。

f(x)のn回微分をf^(n)(x)で表すと，n≧1でf^(n)(x)=(-1)^{n-1}・(n-1)!/(1+x)^nです。
今，f(x)のマクローリン展開は，
f(x)=f(0)+ Σ[n=1..∞] {f^(n)(0)/n!}・x^nであり，
f(0)=log1=0，f^(n)(0)=(-1)^{n-1}・(n-1)!なので，

log(1+x)=Σ[n=1..∞] {(-1)^{n-1}/n}・x^n
x=1代入で，log2 =Σ[n=1..∞] (-1)^(n-1)/n です。

35994．Re: Σ[n=0..∞](-1)^n/nの和はどうやって求めれますか?
名前：らすかる    日付：2月14日(木) 9時47分
＞先ず,収束する事は比を採って
＞lim[n→∞]((-1)^(n+1)/(n+1))/((-1)^n/n)
＞=lim[n→∞]-n/(n+1)=-1<1
＞よって　Σ[n=0..∞](-1)^n/nは収束する。

「比の極限が1より小さい」⇒「収束する」は成り立ちません。
例えば Σ[n=1～∞](-1)^n も隣項の比の極限は-1ですが収束しませんね。
http://www10.plala.or.jp/rascalhp

35997．Re: Σ[n=0..∞](-1)^n/nの和はどうやって求めれますか?
名前：hari    日付：2月14日(木) 17時33分
比を取るのはダランベールの収束判定法ですね。

数列が常に正でないなら絶対値を取って絶対収束性を見ればいいです。

lim|a[n+1]/a[n]|が0以上1未満で収束、1より大きくて発散、1で判定不能です。

36067．Re: Σ[n=0..∞](-1)^n/nの和はどうやって求めれますか?
名前：mmm    日付：2月19日(火) 11時9分
Σ[n=0..∞](-1)^n/n
↓
Σ[n=1..∞](-1)^n/n

でした。お詫びして訂正致します。


> log(1+x)=Σ[n=1..∞] {(-1)^{n-1}/n}・x^n
> x=1代入で，log2 =Σ[n=1..∞] (-1)^(n-1)/n です。

有難うございます。正解は-log2なんですよね。所でマイナスは何処から来るのでしょうか?


> 「比の極限が1より小さい」⇒「収束する」は成り立ちません。
> 例えば Σ[n=1～∞](-1)^n も隣項の比の極限は-1ですが収束しませんね。

そうでした。この判定法が使えるのは正項級数でした。


> 数列が常に正でないなら絶対値を取って絶対収束性を見ればいいです。

絶対収束⇒普通に収束
だからなんですね。


> lim|a[n+1]/a[n]|が0以上1未満で収束、1より大きくて発散、1で判定不能です。

実際に判定してみましたら
lim[n→∞]|a(n+1)/a(n)|=lim[n→∞]|((-1)^(n+1)/(n+1))/((-1)^n/n)|=lim[n→∞]|-n/(n+1)|=1で判定不能になってしまいました。
こういった場合はどうすればいいんでしょうか?

35990．ベクトルの問題  
名前：しゅおん    日付：2月14日(木) 1時31分
初めまして。
高校数学のベクトル方程式に関する問題なのですが

V(u)=(-1,√3)に平行で、原点からの距離が4の直線の方程式を求めよ

解答をを見ると、まず上の単位ベクトルを求めた後
-(1/2)x+(√3/2)y=±4
という式が導かれているのですが、なぜこのような式が導けるのかがわかりません。
どなたかご教授願えませんでしょうか。
よろしくお願いいたします。


35991．Re: ベクトルの問題
名前：ヨッシー    日付：2月14日(木) 1時46分
-(1/2)x+(√3/2)y=±4
だと、(-1,√3) に垂直な直線になってしまいますので、
問題が違うか、答えが違うかですが、
ここで使うのは、距離の公式
　点（ｘ0，ｙ0) から、直線　ａｘ＋ｂｙ＋ｃ＝０ までの距離は、
　|ａｘ0＋ｂｙ0＋ｃ|/√(ａ2＋ｂ2)
特に、原点からの距離は、
　|ｃ|/√(ａ2＋ｂ2)
で表される。
を使います。特に、(a,b) が単位ベクトルだと、√(ａ2＋ｂ2)＝１ なので、
　|ｃ|
だけを考えればいいことになります。
　
http://yosshy.sansu.org/

35988．数A  
名前：有    日付：2月13日(水) 21時39分
６人を３つのグループに分けるには何通りの分け方があるか。

よろしくお願いします。


35989．Re: 数A
名前：七    日付：2月13日(水) 23時22分
4人，1人，1人
3人，2人，1人
2人，2人，2人
に分ける場合をすべて求めて足せばいいですね。

同じ人数があるときに注意。

35985．お願いします！！！  
名前：ai    日付：2月13日(水) 13時10分
長さが１である線分ABがあり、線分AB上に点Pをとり、AP=Lとする。
XY平面上でAがY軸上を、点Bがｘ軸上を動くとき、点Pの奇跡がつくる図形の内部の面積はLがいくつのとき最大値いくつをとるか？
また、ｘ、ｙ、ｚを③軸とする空間の中で点Aがｚ軸上を点Bがｘｙ平面上を動くとき点Pの軌跡が作る立体が過去部体積はLがいくつのとき最大値いくつをとるか？

この問題イメージもよくわかりません・・・
できれば図つきとかで詳しく説明していただけませんでしょうか？
ばかなのでよろしくお願いします！！


35986．Re: お願いします！！！
名前：ヨッシー    日付：2月13日(水) 13時23分
とりあえず図です。

　
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35987．Re: お願いします！！！
名前：ヨッシー    日付：2月13日(水) 13時49分

(1)
図において、点Ｐは第１象限にあり、∠ＯＡＢ＝θ　（0°＜θ＜90°)
とします。
このとき、Ａ（０，cosθ）、Ｂ（sinθ，０）となります。
点Ｐのｘ座標は、ＢのＬ倍、ｙ座標はＡの１－Ｌ倍 なので、
点Ｐの座標は、(Ｌsinθ，(1-L)cosθ) となります。
　ｘ＝Ｌsinθ、ｙ＝(1-L)cosθ
０＜Ｌ＜１ より、
　sinθ＝ｘ／Ｌ、cosθ＝ｙ／(1－Ｌ)
sin2θ＋cos2θ＝１ より
　ｘ2/Ｌ2＋ｙ2/(１－Ｌ)2＝１
となり、短径、長径がＬと１－Ｌの楕円になります。
その面積は、πＬ（１－Ｌ）
　πＬ（１－Ｌ）＝π(－Ｌ2＋Ｌ)＝－π{(Ｌ-1/2)2-1/4}
より、Ｌ＝１／２ のとき、最大値π／４ を取ります。

(2)
この立体は、(1) の楕円を、ｙ軸を中心に回転させた回転楕円体で、
３軸方向の径が、Ｌ，Ｌ，１－Ｌ となるので、体積は、
　(4π/3)Ｌ2(１－Ｌ)
　Ｌ2(１－Ｌ)＝－Ｌ3＋Ｌ2
Ｌで微分して、
　－３Ｌ2＋２Ｌ＝Ｌ(－３Ｌ＋２)
よって、Ｌ＝０ で極小、Ｌ＝２／３ で極大となり、
０＜Ｌ＜１ では、Ｌ＝２／３ のとき、最大値 16π/81 を取ります。
　
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35995．Re: お願いします！！！
名前：ai    日付：2月14日(木) 16時38分
ご解答ありがとうございます！

質問がいくつかあるのですが、
（１）　点Ｐのｘ座標は、ＢのＬ倍、ｙ座標はＡの１－Ｌ倍 なので
とありましたが、どうしてそう考えられるのかがわかりませんでした。

（２）３軸方向の径が、Ｌ，Ｌ，１－Ｌ となるので、体積は、
　(4π/3)Ｌ2(１－Ｌ)
とありましたがこれもわかりませんでした。。。

すいませんがまた教えてくださいお願いします！！

35996．Re: お願いします！！！
名前：ヨッシー    日付：2月14日(木) 16時54分

(1) は、図を見ていただければ、わかるでしょう。

(2) は、半径１の球は、ｘ軸、ｙ軸、ｚ軸方向の径がすべて１の
　回転楕円体と言えます。そしてその体積は、(4/3)π です。
　これを、ｘ軸、ｙ軸方向にＬ倍に縮めて、ｚ軸方向に１－Ｌ倍に縮めた
　ものなので、(4/3)π の Ｌ倍のＬ倍の(１－Ｌ)倍の体積になります。
　
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35981．数列  
名前：ai    日付：2月12日(火) 23時26分
整数a1，a2，a3(0＜a1＜a2＜a3＜40)がある、a1，a2，a3は等比数列をなし、a1，a2，a3-1は等差数列をなす　このような数列は○通りあり、a1+a2+a3が最大になるときその値は○である。この丸に答えを当てはめよ。
この解き方を教えてくださいお願いします！！！


35983．Re: 数列
名前：ヨッシー    日付：2月12日(火) 23時44分
等比、等差それぞれの数列の性質より、
　ａ22＝ａ1ａ3　・・・(1)
　ａ1＋(ａ3－１)＝２ａ2　・・・(2)
(1)を4倍したものに(2)を代入して、
　(ａ１＋ａ3－１)2＝４ａ1ａ3
展開して
　ａ12＋ａ32＋１－２ａ1ａ3－２ａ1－２ａ3＝０
　ａ12－２ａ1(ａ3＋１)＋ａ32－２ａ3＋１＝０
ａ1 について解くと、
　ａ1＝(ａ3＋１)±√{(ａ3＋１)2－(ａ3－１)2}
根号の中に着目すると、
　(ａ3＋１)2－(ａ3－１)2＝４ａ3
これが、平方数になるには、
　ａ3＝１，４，９，１６，２５，３６
が考えられ、
それぞれについて
　ａ1＝０，１，４，９，１６，２５
　ａ2＝０，２，６，１２，２０，３０
これより、条件を満たすものは、５通り、ａ1＋ａ2＋ａ3 が最大のものは、
　２５＋３０＋３６＝９１
　　
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35984．Re: 数列
名前：ai    日付：2月13日(水) 11時59分
わかりました！
本当にわかりやすくて助かりました！
どうもありがとうございました！！！！！！！！！！！

35978．お願いします！三角関数  
名前：ai    日付：2月12日(火) 17時14分
以前もおしえていただきありがとうございました！今回もお願いいたします。

cos3θ＝cos4θをとくと、4θ＝３θ+2nπ　、4θ＝－3θ+２ｎπ

と答えに書いてあったのですが、どうしてそのように表すことができるのでしょうか？式整理みたいなものと思うのですがなんだか漠然としていてよくわかりません・・・

どうかお願いします！！！！


35979．Re: お願いします！三角関数
名前：ヨッシー    日付：2月12日(火) 17時24分
まず、-π/２以上 π/２以下の範囲の角α、βで、
　cosα＝cosβ
が成り立っている場合、
　α＝β　または　α＝－β
の関係があるのはわかりますか？
角度の範囲を一般の角に広げると、
　α＝β、α＝β＋２π、α＝β＋４π　また、α＝β－２π、α＝β－４π
などでも成り立ちます。（２πを足しても位置は同じ角ですので）
同様に α＝－β、α＝－β＋２π、α＝－β＋４π
などでも成り立ちます。
これを、整数ｎをつかって、一般化したのが
　α＝β＋２ｎπ
　α＝－β＋２ｎπ
です。このα、βに４θ、３θを当てはめると．．．
　
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35980．Re: お願いします！三角関数
名前：ai    日付：2月12日(火) 22時37分
わかりました！！
本当医どうもありがとうございました！

35975．平面図形  
名前：ストーブ    日付：2月12日(火) 1時29分
原点Oを中心とする半径2の円Kの内部に、1辺の長さが2で対角線の交点がOとなるような正方形ABCDをとる。K上の点Pにおいて、線分POと角θで交わる2本の半直線を引く。このときPがK上のどのような位置にあっても、これら2本の半直線が正方形ABCDを通るようなθの最大値を求めなさい。

解説をお願いします。


35977．Re: 平面図形
名前：らすかる    日付：2月12日(火) 9時18分
θが最も小さくなければならないのは、正方形の辺の延長上に点Pがある場合です。
このとき半直線（の1本）が辺上を通るとき、つまり中心O半径1の円に接するときの
θが最大となります。
θがこれより小さいとき、必ず中心O半径1の円の内部を通りますので正方形も通ります。
逆にθが大きいとき、点Pが正方形の辺の延長上にあれば、
少なくとも1本の半直線が正方形から外れます。
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35974．(untitled)  
名前：チロル    日付：2月12日(火) 1時29分
原点Oを中心とする半径2の円Kの内部に、1辺の長さが2で対角線の交点がOとなるような正方形ABCDをとる。K上の点Pにおいて、線分POと角θで交わる2本の半直線を引く。このときPがK上のどのような位置にあっても、これら2本の半直線が正方形ABCDを通るようなθの最大値を求めなさい。

解説をお願いします。


35976．Re: (untitled)
名前：キモオタ    日付：2月12日(火) 6時24分
チミは全く自分で考えるという発想がないのかね？
何でもかんでも教えて貰えると思ったら大間違いだね．．。
宿題くらい自分でやろうよ。

35967．数A  
名前：なお　高1    日付：2月10日(日) 18時58分
問1,平面上に10本の直線がある。どの2本も平行でなく、どの3本も1点で交わっていない。次の問に答えよ。
（1）交点は全部で何個あるか。
（2）三角形は全部で何個できるか。

問2,男子8人の中から4人を選出する。次のようにする場合、選出方法は何通りか。
（1）特定の2人を含むように選出する場合
（2）特定の2人のうち、一方のみを含むように選出する場合

問3,女子7人を3人と4人のグループに分ける。次のようにする場合、選出方法は何通りか。
（1）特定の2人が同じグループに入るようにする場合
（2）特定の2人が違うグループに入るようにする場合
解説をお願いします。


35968．Re: 数A
名前：ヨッシー    日付：2月10日(日) 19時7分
問1
(1) 10本の直線から、2本を選べば、交点が1つ出来るので、(以下略)
(2) 10本の直線から、3本を選べば、三角形が1つ出来るので、(以下略)

問2
問3
こちらで、かんなさんは理解されたようですので、
彼女に聞いてください。
　
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35982．Re: 数A
名前：なお　高1    日付：2月12日(火) 23時29分
ありがとうございます！

35965．素数  
名前：ユウダイ    日付：2月10日(日) 15時53分
素数だけからなる等差数列でどれだけでも長く連続するものが存在すること示せ。
例えば、3, 5, 7 や 5, 11, 17, 23, 29 は素数だけからなる等差数列である。

長い時間考えたのですがわかりませんでした。かなり悩んでます。誰か教えてください。


35966．Re: 素数
名前：ヨッシー    日付：2月10日(日) 18時53分
こちらには、「予想」とありますが、
証明はされていないようです。
その後証明されたかは知りません。
　
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35958．[問]ボウルIの中に6個の赤チップと4個の青チップがある  
名前：kana    日付：2月10日(日) 1時33分
こんにちは。

[問]ボウルIの中に6個の赤チップと4個の青チップがある。
これらの10枚から無作為に5枚を取り出し,ボウルIIの中に入れる。
2枚の赤チップと3枚の青チップがボウルIからボウルIIに移され,1枚のチップをボウルIIから取り出した時,そのチップが青である条件付確率を求めよ。
[解]
2枚の赤チップと3枚の青チップがボウルIからボウルIIに移されるという事象をA,1枚のチップをボウルIIから取り出した時,そのチップが青であるという事象をBとすると
P_A(B)=P(A∩B)/P(A)=3C1/((6C2×4C2)/10C5)
となったのですがこれで正しいでしょうか?


35959．Re: [問]ボウルIの中に6個の赤チップと4個の青チップがある
名前：ヨッシー    日付：2月10日(日) 1時40分
この問題だけであるなら、
ボウルIIに、2枚の赤チップと3枚の青チップがあります。
１枚取ったとき、そのチップが青である確率を求めよ。
というのと同じですから、確率は、３／５です。
　
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35962．Re: [問]ボウルIの中に6個の赤チップと4個の青チップがある
名前：らすかる    日付：2月10日(日) 5時15分
＞3C1/((6C2×4C2)/10C5)

これを計算すると1より大きい値になりますので、
問題がどうであれ、この式は正しくありません。
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35963．Re: [問]ボウルIの中に6個の赤チップと4個の青チップがある
名前：ヨッシー    日付：2月10日(日) 8時41分
事象Ａ、事象Ｂという表現をするのであれば、
Ｐ(Ａ)＝(6C2×4C3)/10C5＝15×4/252＝5/21
Ｐ(Ａ∩Ｂ)＝5/21×3/5＝1/7
より、
Ｐ(Ｂ/Ａ)＝(1/7)/(5/21)＝3/5
となりますが、上の太字のところで、既にＰ(Ｂ/Ａ)を出していますので、
意味のない計算ですね。
　
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35973．Re: [問]ボウルIの中に6個の赤チップと4個の青チップがある
名前：kana    日付：2月11日(月) 2時33分
間違いのご指摘有難うございます。
大変参考になります。

35955．3角関数  
名前：サマン早（高1）    日付：2月9日(土) 23時28分
０≦ｘ＜２πのとき
cos３x≧cosx
の不等式を解け

宜しくお願いします。


35956．Re: 3角関数
名前：ヨッシー    日付：2月9日(土) 23時38分
基本はグラフを描くことです。

　
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35957．Re: 3角関数
名前：ヨッシー    日付：2月9日(土) 23時55分
式のいじくりだけで解くなら、
　cos3x＝cos(2x+x)＝cos2xcosx－sin2xsinx
　　＝(2cos2x－1)cosx－2sin2xcosx
　　＝2cos3x－cosx－2(1－cos2x)cosx
　　＝4cos3x－3cosx
cos３x≧cosx　より、
cos3x－cosx≧０
cos3x－cosx＝4cos3x－4cosx
　　＝4cosx(cosx－1)(cosx＋1)≧０
-2≦cosx－1＜cosx＜cosx＋1≦2 より
　cosx－1＜cosx≦０　かつ　０≦cosx＋1　または
　０≦cosx－1＜cosx＜cosx＋1
のときに、cos3x－cosx≧０ となる。
以上より、
　π/2≦ｘ≦3π/2　または　ｘ＝０
　
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35964．別解
名前：angel    日付：2月10日(日) 9時20分
今回は和積を使っても解けます。

　cosA-cosB=-2sin((A+B)/2)・sin((A-B)/2)

から、

　(左辺)-(右辺)
　= cos(3x)-cosx
　= -2sin(2x)・sinx

これより、元の不等式は、
　sin(2x)・sinx ≦ 0
と同値。そのため、

　( sinx≧0 かつ sin2x≦0 ) または ( sinx≦0 かつ sin2x≧0 )

となる x の範囲が答えとなります。

35952．平面図形  
名前：雀    日付：2月9日(土) 16時7分
AB=ACである二等辺三角形ABCと外接円Oがある。頂点Aでの外接円の接線ADは、底辺BCに平行であることを証明せよ。

よろしくお願いします。


35953．Re: 平面図形
名前：らすかる    日付：2月9日(土) 17時4分
OB=OCなのでOはBCの垂直二等分線上にある。
AB=ACなのでAもBCの垂直二等分線上にある。
よってAO⊥BC。
ADは接線なのでAO⊥AD。
従ってBC//AD。
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35947．立体図形と三平方の定理  
名前：えみ（中学三年）    日付：2月9日(土) 3時54分
はじめまして。こんばんは、よろしくお願いします。

Ｏを頂点とする四角すいＯＡＢＣＤで、等辺を５、底面の一辺を２とする。ＯＢ上の点をＰ、ＯＣ上の点をＱとするとき、ＡＰ＋ＰＱ＋ＱＤの最小値を求めよ。

展開図を書いてみたのですが、よくわかりません。
この問題の解法を教えてください。よろしくお願いします。


35948．Re: 立体図形と三平方の定理
名前：らすかる    日付：2月9日(土) 6時0分
正四角錐ですか？
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35949．Re: 立体図形と三平方の定理
名前：えみ（中学三年）    日付：2月9日(土) 6時24分
おはようございます。朝早くありがとうございます。

正四角すいです。
わかりづらく書いてすみません。

35950．Re: 立体図形と三平方の定理
名前：らすかる    日付：2月9日(土) 6時43分
△OABと△OBCが辺OBで接し、△OBCと△OCDが辺OCで接している展開図を書きます。
この展開図上で線分ADを描き、OBとの交点をP、OCとの交点をQとすれば
それがAP+PQ+QDの最小値となります。
△OAB∽△ABP で相似比は 5：2 なので AP=2, BP=4/5
△OBC∽△OPQ で相似比は 5：(5-4/5) なので PQ=42/25
よって AD=AP+PQ+QD=2+42/25+2=142/25 となります。
三平方の定理は使いませんでしたね。
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35951．Re: 立体図形と三平方の定理
名前：えみ（中学三年）    日付：2月9日(土) 11時24分
返答ありがとうございます！わかりました！

正四面体の場合の線分の最小値を出す問題の類似問題として、塾で出されたのですが、解き方がわからず困っていました・・・
ご指南本当にありがとうございます！

35943．√の問題  
名前：いちろう（中学3年）    日付：2月8日(金) 2時32分
自然数ｘに対して、√ｘの値に最も近い自然数を　＜√ｘ＞　とあらわすことにする。　たとえば　＜√2＞＝1　　＜2√2＞＝3　

　Pを自然数とするとき　＜√P＞＝10　を満たすPは　何個あるか
求めなさい

　こういう問題なのですが、√81　から　√121　までで
　だいたい予想をつけて　9.5を二乗　10.4を二乗　して
　という方法しか　おもいつかないのですが
　他になにか　方法がありますか？
　
よろしくおねがいします　


35945．Re: √の問題
名前：みっちぃ    日付：2月8日(金) 2時59分
9.5≦√p≦10.5となる自然数pを求めるのが手っとり早いでしょう。

辺々を2乗して90.25≦p≦110.25から，pは91～110の20個と出ます。

35946．Re: √の問題
名前：らすかる    日付：2月8日(金) 3時5分
n-1/2＜√p＜n+1/2
(n-1/2)^2＜p＜(n+1/2)^2
n^2-n+1/4＜p＜n^2+n+1/4
よって＜√p＞=nを満たす整数は
n^2-n+1 から n^2+n までの 2n個です。
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35954．Re: √の問題
名前：いちろう（中学3年）    日付：2月9日(土) 22時35分
みっちいさん、らすかるさん
ご指導ありがとうございました！

35941．微分と積分  
名前：DEBORAH    日付：2月7日(木) 16時31分
二つの放物線　C: y=1/2x^2　、D: y= -(x-a)^2　を考える。
a は正の実数である。

(1) C上の点P( t, 1/2t^2)におけるCの接線Lを求めよ。

(2) LがさらにDとも接するとき、LをCとDの共通接線と言う。
　　2本の（CとDの）共通接線L1とL2を求めよ。

(3) 共通接線L1とL2とCで囲まれた図形の面積を求めよ。

今回もよろしくお願いします。　


35942．Re: 微分と積分
名前：ヨッシー    日付：2月7日(木) 17時41分
私のページに解答を載せました。
　
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35940．数学的帰納法?  
名前：コナン    日付：2月7日(木) 16時17分
x＞0に対して、2次の行列A(x)、Bを

A(x)=(1行1列が√(1+3x^2) 1行2列が3x 2行1列がx　2行2列が√(1+3x^2))

B=A(1)=(1行1列が2　1行2列が3　2行1列が1　2行2列が2)

と定める。

(1)x＞1のとき、0＜y＜xであってA(x)=A(y)Bを満たす実数yが存在することを示せ。

(2)行列A(x)の各成分が自然数であるとする。このとき、A(x)=B^nとなる自然数nが存在することを示せ。


(1)は何とか解けたと思います。でも(2)が全然わからないです。この問題の解法を教えて頂けないでしょうか?どうかよろしくお願いします。


35944．Re: 数学的帰納法?
名前：みっちぃ    日付：2月8日(金) 2時55分
帰納法に近い形になるでしょうね。
f(x)=√(1+3x^2)として，行列はA(x)=[{f(x),3x}{x,f(x)}]とB=[(2,3)(1,2)]とします。

(1)で，x>1のときA(x)=A(y)Bに対して，A(y)=A(x)・B^(-1)の計算により，
「y=2x-f(x)」，「f(y)=2f(x) -3x」…(☆)で求められます。

(2)は，A(x)の各成分が自然数，つまり「xもf(x)も自然数…(★)」のとき，A(y)=A(x)・B^(-1)によって，
・x>1なら0<y<x (∵(1)の結論)
・y，f(y) がともに整数 (∵☆)
となるyが得られる。

つまり，x>1であれば，A(y)も(★)を満たす行列となる。
だから，x→yを作り出す作業を何度も繰り返せば，いつかは，y=1となる時が来て，A(x)=B^nになります。
この『何回も』を『帰納的』という言葉で，帰納法の形式を取らずに行うことができます。
それを，一応しっかりした形で書いたものが，↓の解答。

『与えられたx=x[1]と置く。今，「x[1]，f(x[1])が自然数」…★となるA(x[1])に対して，
x[1]=1のとき，A(x[1])=Bなので題意を満たす。

x[1]>1のとき
A(x[1])=A(x[2])Bによって，
・0<x[2]<x[1] (∵(1)の結論)
・x[2]=2x[1]-f(x[1])，f(x[2])=2f(x[1]) -3x[1] (∵☆)
なので，A(x[2])も★を満たす。

自然数nに対して，帰納的にA(x[n])=A(x[n+1])Bによって，
「0<x[n]<x[n-1]<…<x[1]」かつ「★を満たす」A(x[n])を，A(x[1])=A(x[n])B^(n-1)によって得る事ができる。
さらに，x[1]，x[2]，…x[n]は自然数であることから，x[n]=1となるnが必ず存在する。

従って，このようなnに対してA(x[n])=Bなので，A(x[1])=B^nと書ける。』

35938．曲面積の証明  
名前：曲面積についてです。    日付：2月7日(木) 15時21分
xy平面において、y軸の右側(x＞0)にある曲線Ｃ:x＝φ(t),y＝ψ(t),t∈[a,b]
を考え、Ｃをy軸のまわりに回転して出来る回転面Ｓの曲面積|Ｓ|は、∫[a,b]φ(t)√φ'(t)^2+ψ'(t)^2 dtのように与えられることを証明してください よろしくお願いします。


35939．Re: 曲面積の証明
名前：ヨッシー    日付：2月7日(木) 15時25分
こちらのページが、参考になるかも。
　
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35934．数列  
名前：ゆかり    日付：2月7日(木) 1時25分
はじめましてこんばんは。宜しくお願いします。


動点Pが座標平面上を、原点Oからx軸に沿ってA[1]まで進み、次に左に直角に曲がってA[2]まで進み、さらに左に直角に曲がってA[3]まで進み、……と動いていく。ただし、

OA[1]=1,A[n-1]A[n]=r^(n-1)　(n=2,3,4,…)

とする。ここで、rは0＜r＜1を満たす定数である。

A[n]の座標を(x[n],y[n])とおくとき、A[n]を求めなさい。またA[n]はどんな点に近づくか求めなさい。


解答ではまずx[2k-1]をx[2k-1]={1-(-1)^kr^2k}/(1+r^2)と求めています。どうしてx[2k-1]から求めているのでしょうか？それからどうしてx[2k-1]={1-(-1)^kr^2k}/(1+r^2)となるのでしょうか？詳しく教えていただけないでしょうか。お願いします。


35936．Re: 数列
名前：ヨッシー    日付：2月7日(木) 1時46分
ｘ座標だけ見ると、
A[1]＝A[2]＝1
A[3]＝A[4]＝1－r^2
A[5]＝A[6]＝1－r^2＋ｒ^4
A[7]＝A[8]＝1－r^2＋ｒ^4－r^6
のように、１つおきに変化するので、まず、
A[1],A[3],A[5] のような奇数番目を求めます。
A[2k－1] は、初項１，公比－r^2 の等比級数のｋ項までの和です。
(たとえば、A[7]＝A[2・4-1] は、４項目までの和です。
　S[k]＝1＋(－r^2)＋(－r^2)^2＋・・・＋(－r^2)^(k-1)　・・・(i)
とおくと、両辺－r^2 倍して、
　－r^2S[k]＝(－r^2)＋(－r^2)^2＋・・・＋(－r^2)^k　・・・(ii)
(i)から(ii)を引いて
　(1＋r^2)S[k]＝１－(－r^2)^k
両辺 1＋r^2 で割って、
　S[k]＝{１－(－r^2)^k}/(1＋r^2)
となります。－r^2 を －1 と r^2 に分けて、上のような式にしています。
　
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35933．教えて下さい  
名前：KYOKO    日付：2月7日(木) 1時23分
こちらの「和算目録」の中のニュートン算を見せていただいて
いたのですが。以下の中の、初めの、６６ｋは９９の間違いですね。
ニュートン算　答２
(1)
時速３３ｋｍで３時間走ると
　３３×３＝９９
６６ｋｍ走ります。→ーーーーーこれなのですが、９９ｋｍの間違いですね
時速３７ｋｍで２時間走ると
　３７×２＝７４
７４ｋｍ走ります。
３時間と２時間の差である１時間の間にバスは
　９９－７４＝２５
２５ｋｍ走ります。
答え　時速２５ｋｍ

よろしくお願いします。


35935．Re: 教えて下さい
名前：ヨッシー    日付：2月7日(木) 1時32分
ご指摘ありがとうございます。

確かに、９９が６６になっていますね。
その次からは、正しくなっていますね。

直しておきました。
　
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35928．方程式  
名前：うしし    日付：2月6日(水) 18時6分
A駅から２６㎞離れたC駅まで、途中のB駅を通って走る電車がある。
この電車は、A,B間をB,C間より１時間あたり９㎞速く走り、A,B間は１２分、B,C間は１０分かかるという。
次の問に答えよ。

１、この電車のA,B間Ｍの速さをX㎞/時、B,C間の速さをｙ㎞/時として、X,Yについての連立方程式をつくりなさい。また、その連立方程式をといて、x，ｙの値を求めなさい。


２、A,B間の距離とB,C間の距離をそれぞれ求めなさい。


35929．Re: 方程式
名前：ヨッシー    日付：2月6日(水) 18時14分
1. 立てるべき式を言葉で言うと、
　A,B間をB,C間より１時間あたり９㎞速く走るということ・・・(1)
　A,B間を12分、B,C間を10分 で走り、合わせて26km 走るということ・・・(2)
この２つの式で連立方程式が出来ます。
これを解くと、ｘ＝７５，ｙ＝６６

2. 各区間の速さ、時間がわかっているので、それぞれの距離は、
　距離＝速さ×時間
で出ます。
　片方が15km、もう一方が11km で、合わせて26kmです。
　
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35927．(untitled)  
名前：曲面積    日付：2月6日(水) 17時17分
アステロイドx^2/3+y^2/3＝a^2/3をx軸のまわりに回転してできる曲面積はどうなりますか。よろしくお願いします。

35926．大学受験  
名前：さとる    日付：2月6日(水) 17時5分
酵母菌は酸素があると好気呼吸と嫌気呼吸を同時に行なうことができる。
ある条件において、グルコースを含む培養液で酵母菌を培養したとき、
放出された二酸化炭素が１００mg、吸収された酸素は３２mgであった。
この場合、酵母菌の嫌気呼吸によって放出された二酸化炭素は何㎎であっ
たか。
また、グルコースが好気呼吸で完全に分解される際の呼吸商も求めよ。


入試ででた問題なんですが、少し不安なので解答おねがいします。


35931．Re: 大学受験
名前：rtz    日付：2月6日(水) 19時41分
生物選択ではなかったですが、
好気がグルコース1と酸素6から二酸化炭素6、水6、
嫌気がグルコース1(とその他)から二酸化炭素2(とその他)、
というのが正しいなら、

酸素は好気でしか消費しません。
好気の酸素と二酸化炭素の比は1:1から、
32mgの酸素のmol数＝44mgの二酸化炭素のmol数より、
好気で排出された二酸化炭素は44mgです。つまり嫌気は56mgです。

35924．線形代数Ⅱの問題なのですが……  
名前：冷凍ビーム    日付：2月6日(水) 1時12分
次の問題がわからないのですが……

Ａ＝７　５
　　-2　１　とする。Ａの固有値がλ＝ａ＋ｂｉと複素共役λ’であるとすると、ａ＝○、ｂ＝○である。

Ｐ＝○　○
　　２　○　とすると、

Ｐ^-1ＡＰ＝ａ　-b
　　　　　 ｂ　ａ　　となる。

aとbは解けるのですが、Ｐがわかりません。
答えは分かっているんです。
a=4,b=1
P=-3 1
2 0
です。
よろしくお願いします。


35925．Re: 線形代数Ⅱの問題なのですが……
名前：ヨッシー    日付：2月6日(水) 12時55分
一応、私のページに解答を載せましたが、Ｐは一意に決まらないですね。（たぶん）
ある決まった変形で得られる行列を期待した問題なのでしょうか？
　
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35930．Re: 線形代数Ⅱの問題なのですが……
名前：冷凍ビーム    日付：2月6日(水) 19時2分
返答ありがとうございます！
決まらない問題ですか……
明日教授に聞いてみますね！
また何かあったらよろしくお願いします！
それでは、失礼します！

35919．(untitled)  
名前：とろろ　三平方    日付：2月5日(火) 23時40分
Original Size: 1024 x 768, 21KB

また教えてください。
ワークに

図のように円Ａ，ＢがＣで接し、2つの円と点Ｐ、Ｑで接する接線と直線ＡＢとの交点をＤとします。円Ａの半径を６㎝、∠ＰＡＣ=６０°とする。円Ｂの半径を求めなさい。

∠Ｐ＝∠Ｑ＝９０°ってところまではわかるんですが・・・。わかりそうで、わからないんです。教えてください。お願いします。。。


35922．Re: (untitled)
名前：ヨッシー    日付：2月5日(火) 23時59分
図ではＣが抜けていますが、たぶんあそこでしょう。

△ＡＰＣは１辺６cmの正三角形で、また∠ＣＰＤ＝∠ＣＤＰ＝30°なので、
　ＣＤ＝ＣＰ＝６cm
円Ｂの半径をｘとすると、ＢＣ＝ＢＱ＝ｘであり、ＢＤ＝２ｘ であるので、
　ＣＤ＝３ｘ＝６cm
よって、ｘ＝２(cm)　となります。
　
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35932．Re: (untitled)
名前：とろろ　三平方    日付：2月6日(水) 22時24分
あっごめんなさい。わかりました。ありがとうございました。またお願いします・・・。

35916．(untitled)  
名前：zb    日付：2月5日(火) 21時30分
次の式の漸化式でaｎの一般公を求めたいのですが解き方＆答えをお願いします
a1=１,a2=１
an+2 ＋ ２an+1 ＋ an＝ｎ


35917．Re: (untitled)
名前：S    日付：2月5日(火) 22時19分
b[n] = a[n] + a[n+1] とおけば、
a[n+2] + 2a[n+1] + a[n] = n ⇔ b[n+1] + b[n] = n
b[n]の一般項を出してこれよりa[n]の一般項を求める。
で出来ると思います。

しかし一番良い方法かは分かりません。

35918．Re: (untitled)
名前：zb    日付：2月5日(火) 22時35分
b[n+1] + b[n] = n
と事前に考えてはみたんですがどうもそこからどーもうまくいかなくて...

35921．Re: (untitled)
名前：ヨッシー    日付：2月5日(火) 23時54分
a1=1,a3=-2,a5=-5,a7=-8
a2=1,a4=5, a6=9, a7=13
のようになるので、
n が奇数の時　a[n]＝-3(n+1)/2 + 4＝-3n/2 + 5/2
n が偶数の時　a[n]＝2n - 3
これを、奇数偶数どちらも成り立つように変形すると

※たとえば、ｎが奇数の時３、偶数の時５ を表す式は、平均の４を使って、　４＋(-1)^n　と書けるような変形を使います。

　a[n]＝(n/4)＋(7n/4)(-1)^n -1/4－（11/4)(-1)^n
　　＝{(n-1)＋(7n-11)(-1)^n}/４
と書けます。
　
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35923．Re: (untitled)
名前：ヨッシー    日付：2月6日(水) 0時30分
あ、上の解答は、あくまでも、答えの見当が付いたというレベルのものですので、
正確には、漸化式に代入するなりして、確実に条件を満たすことを，言っておかないと
いけません。
　
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35913．負の階乗について  
名前：haru    日付：2月5日(火) 20時18分
よろしくお願いします。
負の二項分布のところで出てきたのですが、例えば（－３）!は（－３）×（－２）×（－１）×…となっていくのか、それとも（－３）×（－４）×（－５）×…となっていくのかわからなくなってしまいました。わかりましたら教えてください。


35914．Re: 負の階乗について
名前：ヨッシー    日付：2月5日(火) 20時31分
こちらの第４の広場などどうでしょう？
と、完全に他力本願モード。
　
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35937．Re: 負の階乗について
名前：haru    日付：2月7日(木) 14時36分
回答ありがとうございました。
このサイトを見ても納得できないので、また調べてみます。

35910．(untitled)  
名前：ラディン.ms    日付：2月5日(火) 18時42分
すべての実数xに対し　Σk=0n-1[x+(k/n)]=[nx]が成り立つことを証明せよ。ただし[ ]はガウス記号で，nは自然数である。

よろしくお願いします。


35911．Re: (untitled)
名前：rtz    日付：2月5日(火) 20時11分
x＝y＋z (yは整数、0≦z＜1)として、
zはt/n≦z＜(t+1)/n (0≦t≦n-1、tは整数)を満たすとすれば、

∑[k＝0～n-1] [x＋(k/n)]
＝∑[k＝0～n-1] [y＋z＋(k/n)]
＝∑[k＝0～n-1] y＋[z＋(k/n)]
＝∑[k＝0～n-t-1] y＋[z＋(k/n)]＋∑[k＝n-t～n-1] y＋[z＋(k/n)]
＝∑[k＝0～n-t-1] y＋∑[k＝n-t～n-1] y＋1
＝ny＋t
＝ny＋[nz]
＝[ny＋nz]
＝[n(y＋z)]
＝[nx]

35915．Re: (untitled)
名前：ラディン.ms    日付：2月5日(火) 20時54分
ありがとうございます。熟読してみます。

35907．平均の速度  
名前：√    日付：2月5日(火) 10時26分
初歩的な質問で　すみません。

ＡＢ間　４０Ｋｍ　１時間
　ＢＣ間　１００Ｋｍ　２時間
　　ＣＤ間　３００Ｋｍ　５時間

の時、ＡＤ間の平均の速度は
（４０＋１００＋３００）Ｋｍ　／　（１＋２＋５）時間
で、よろしいでしょうか？


35908．Re: 平均の速度
名前：ヨッシー    日付：2月5日(火) 10時33分
それで正しいです。

１区間ごとの速さを出して、足して３で割るのは、ありがちな
間違った方法です。
　
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35909．ありがとうございました
名前：√    日付：2月5日(火) 10時36分
ヨッシーさん　有り難うございました。

35903．ありがとうございます。  
名前：昆布    日付：2月4日(月) 23時41分
ヨッシー先生及び諸先生方、お蔭様で志望校に無事合格できました。
昨日教えていただいた、ニュートン算がそのままでました。この一問で合格したと思います。本当にありがとうございました。
これからもよろしくお願いします。


35904．Re: ありがとうございます。
名前：Kurdt    日付：2月4日(月) 23時56分
おぉ、合格おめでとうございます（´∇｀*

中学でも授業進度が速くて大変なこともあるでしょうが、
また質問の際には微力ながらお手伝いさせていただきます。
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35905．Re: ありがとうございます。
名前：ヨッシー    日付：2月4日(月) 23時58分
おめでとうございます。
そんな切羽詰まった中で質問されていたとはつゆ知らず、
十分な対応が出来たかわかりませんが、合格されて良かったです。

これから、まだまだ勉強は続きますので、さらに上を目指して頑張ってください。
　
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35902．順列についてお願いします。  
名前：KYOKO    日付：2月4日(月) 19時45分
以前。食塩水の問題の基礎をきちんと教えていただきました。
アレルギーでしたが、結構分かってきました。

今度も、順列の問題がでたらこれさえ、押さえておけばというのを教えて下さい。よろしくお願いします。


35906．Re: 順列についてお願いします。
名前：ヨッシー    日付：2月5日(火) 0時6分
順列にしろ、組み合わせにしろ、基本は数え上げです。

たとえば、ＡＢＣの３つの文字を並べる場合、
ＡＢＣ，ＡＣＢ，ＢＡＣ，ＢＣＡ，ＣＡＢ，ＣＢＡ
の６通りがあります。
では、ここにもう一文字増えて、ＡＢＣＤの４文字を並べるとどうでしょう。
もちろん、最初は数え上げです。
Ｄを１文字目に持ってきた時を考えると、
ＤＡＢＣ，ＤＡＣＢ，ＤＢＡＣ，ＤＢＣＡ，ＤＣＡＢ，ＤＣＢＡ
の６通りがありますが、ここで、
「頭文字Ｄになっただけで、残り３文字は、さっきの６通りと同じじゃん」
と気づくわけです。すると、頭がＡの時も６通り、Ｂの時も、Ｃのときも
６通りですから、Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ の４つの文字について、
　４×６＝２４(通り)
という式が、作れます。さらにもう一文字増えて、ＡＢＣＤＥの５文字になると、
　５×２４＝１２０(通り)
です。

このように、数え上げと、気づきの繰り返しで、場合の数に関する
式が自分で作れるようになれば、どんな問題でもこわくありません。
　
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35912．Re: 順列についてお願いします。
名前：KYOKO    日付：2月5日(火) 20時15分
ハーハーと急いで帰ってきました。っていうか
苦手な数学が、好きになってきました。

でも不思議なのは、先生は、どうして、この大切な部分を
教えてくれないのでしょう。一つの問題をして
後は「もう分かるだろう、考えろ」っていう感じで・・。

「数え上げ」うーーん。すごく、よく分かりますね。
父にも、よく、問題をイメージできる絵か数直線に表せとか
色々と式を書く前に正しい考え方をしろ、その上その絵を
正確に書けと言われてきたのとなんか、似ています。
数学の得意な人にはわからない
苦しみを、父は分かっていませんけれど、２階へ上がってくる
足音が聞こえると、英語と差し替えます。英語を出していれば
下りていきます。早く、数学の本、隠さなくて良いようになりたい
そう思っているのは、本人なのですが。

又、一つ賢くなりました。又色々と問題を解いてみたいと思います。
春休みが終わる頃には、数学をみんなに追いつくのに、
苦手なノートを出してきて、勉強しています。
有難うございました。
楽しみに帰ってきて、嬉しかったです。

35920．Re: 順列についてお願いします。
名前：KYOKO    日付：2月5日(火) 23時44分
毎日、こちらの問題を追いかけて
勉強させてもらっていますが。今日は何故か
ヨッシー先生のこの一言が忘れられずずっと眺めていました。

■このように、数え上げと、気づきの繰り返しで、場合の数に関する
式が自分で作れるようになれば、どんな問題でもこわくありません。■

どんな問題でもこわくありません。っていうことばです。
ものすごく、心強い、言葉です。本当に、今日は、どんな問題を
やらされるのだろうと、毎日、そうなんです。ビクビクして
こわかったんです。ようやく、自分の気持ちも素直に言えて
すっきり！！「こわくない、こわくない」これも
数学の回答の一つだったのです。本当に、もうこわくないよって
言ってほしいです毎日。帰ってきて何度も眺めていて、本当に
有難うございましたといいたくなりました。もう一度。

35895．速さ  
名前：昆布    日付：2月4日(月) 15時51分
小６です。よろしくお願いします。
長さ24mの貨物列車が走っています。後ろから来た長さ110mの特急列車が追いついてから追い越すまでに１６秒かかりました。もし貨物列車がはじめの速さの１／４だけ速く走り、特急列車ががはじめの速さの１／４だけ遅く走っていたとすると特急列車が追い越すのに４４秒かかります。はじめに走っていた特急列車の速さは毎秒何ｍですか。


35897．Re: 速さ
名前：rtz    日付：2月4日(月) 16時28分
貨物の長さが24m(＝1両分)はありえないと思いますが…？

貨物、特急ともに元の速さの1/4速く(＝5/4倍の速さで)走れば、
追い越すのに16÷5/4＝64/5秒かかります。

追い越す距離は変わりませんから、
時間比64/5：44＝16：55から速さ比55：16
これは、
(特急の5/4倍の速さ－貨物の5/4倍の速さ)：(特急の3/4倍の速さ－貨物の5/4倍の速さ)
ですから、55－16＝39が特急の速さの1/2倍ですので、特急の速さは78です。

速さの比の16に当たる速さは(110＋24)÷44＝67/22[m/秒]ですから、
特急の速さは67/22×78/16＝2613/176[m/秒](≒53.4[km/時])ですが…。

35898．Re: 速さ
名前：ヨッシー    日付：2月4日(月) 16時54分
別解

最初の状態での、両者の速さの差は
　(24＋110)÷16＝134/16＝737/88(m/秒)
速度を変えたあとの、両者の速さの差は
　(24＋110)÷44＝134/44＝268/88(m/秒)
貨物と特急の速さの、それぞれの 1/4 の和が
　737/88－268/88＝469/88
であるので、速さそのものの和は
　469/88×4＝1876/88
和差算により
　特急の速さ(1876/88＋737/88)/2＝2613/176(m/秒)
　貨物の速さ(1876/88－737/88)/2＝1139/176(m/秒)
となります。
　
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35900．Re: 速さ
名前：昆布    日付：2月4日(月) 17時20分
貨物列車の長さは242mのまちがいでした。すみません。当てはめてやってみたら、特急列車の速さが毎秒39mと答えが出ました。ありがとうございました。

35888．電車が、すれ違う時  
名前：√    日付：2月4日(月) 0時1分
よろしく　お願い致します。

電車が（反対方向に）すれ違う時、

①二つの電車の速さを足す。
②二つの電車の長さを足す。

二つの電車が出会ってから離れるまでの時間は、
②÷①で良いですか？


35889．Re: 電車が、すれ違う時
名前：ヨッシー    日付：2月4日(月) 0時1分
すれ違うための時間を求めるのなら、それで良いです。
　
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35890．あー　間に合わなかった
名前：√    日付：2月4日(月) 0時13分
ヨッシーさん　有り難うございました。

急いで修正したのですが、間に合いませんでした。

はい。
出会ってから、離れるまでの時間です。

35891．では、追い越す時は
名前：√    日付：2月4日(月) 0時23分
また　よろしく　お願い致します。

では、追い越しにかかる時間は（追い越しきるまで）

①速さの差（速い方－遅い方）
②電車の長さの和

②÷①で良いですか？

35892．Re: 電車が、すれ違う時
名前：ヨッシー    日付：2月4日(月) 0時31分
式はそれで良いんですけど、本質を理解していないと、同じ疑問が何度も出てきます。

たとえば、すれ違いの場合、
　４０ｍ　速さ２０ｍ／秒　の電車Ａ
　６０ｍ　速さ３０ｍ／秒　の電車Ｂ
の２台の電車がすれ違うとき。
電車Ｂに乗っている人から見れば、４０ｍの電車が、５０ｍ／秒の
速さでやってきて、自分の乗っている６０ｍの電車の横を通過していった。
と見えるでしょう。

これは、長さ６０ｍの橋の中程に立っている人が、５０ｍ／秒の
速さでやってきて、橋を渡っていく、４０ｍの電車を見ているのと
見え方は同じです。

すると、電車同士のすれ違い(追い抜き)も、電車が橋を渡る問題と、
同じであるとわかります。
　
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35893．有り難うございました
名前：√    日付：2月4日(月) 0時53分
ヨッシーさん　有り難うございました。

理解できました。

35886．教えて下さい  
名前：KYOKO    日付：2月3日(日) 23時45分
こちらの、ジャンル別検索で「割合」の３８９番の答えなのですが
問題のどこにも食塩水の重さは書かれていません。
答えの出し方に、１００ｇと出てくるのですが、問題のところが
抜けているのでしょうか。それとも、・・・・どうして？１００ｇ
ですか？教えて下さい。


35887．Re: 教えて下さい
名前：ヨッシー    日付：2月3日(日) 23時49分
こちらというのは、どちらのことでしょうか？
　
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35896．間違いかな？ごめんなさい。
名前：KYOKO    日付：2月4日(月) 15時53分
どこだったか、自分でも分からなくなって[算チャレ」って言葉が
多すぎて。ただ今。以前アレルギーの食塩水の色々なこと
教えていただいたので、探しては解き、探しては解きを
繰り返しているうちに。どこか分からなくなりました。
ごめんなさい。少し時間下さい。有難うございました。

35899．Re: 教えて下さい
名前：ヨッシー    日付：2月4日(月) 17時4分
私のページも掲示板も、検索して何かを探すような仕組みは、
付いてませんので、たぶん、よそのページかと思われます。
　
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35901．Re: 教えて下さい
名前：KYOKO    日付：2月4日(月) 17時56分
どうもすみませんでした。(^_^;)

35870．ニュートン算  
名前：昆布    日付：2月3日(日) 18時53分
すみません。もう一問お願いします。
いつも一定の割合で水が流れ込んでいる水槽があります。この水槽が満水になった状態から全ての水をくみ出すのに、ポンプを５台使うと１５分かかり、ポンプを７台使うと５分かかります。水槽を空にしてから全てのポンプを止めたとき、水槽が再び満水になるのは、何分何秒後ですか。答えは、３分４５秒後です。ニュートン算が苦手です。考え方を教えてください。


35874．Re: ニュートン算
名前：Kurdt    日付：2月3日(日) 20時19分
こんばんは。

ポンプ1台が1分でくみ出す水の量を1とします。
すると5台15分のときは5×15=75
7台5分のときは7×5=35となります。
水そうを空にするのにかかった時間の差が10分であることに注意すると、
この75-35=40は、10分の間に注がれた水の量だとわかります。
これで、1分あたりに注がれる水の量が計算できますね。

次に7×5=35のときから、この5分間で注がれた水の量を引きます。
すると0分の時点でいったいどれぐらい水が入っていたか、
水そうが満杯のときの水の量がいくらだったかがわかります。
ここまで来ればあとは簡単なわり算で計算できますね。
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35879．Re: ニュートン算
名前：昆布    日付：2月3日(日) 21時11分
0分の時点でいったいどれぐらい水が入っていたかは、わかりますが、なぜそのことから水槽が満杯のときの水の量がいくらだったかがわかるのかがわかりません。

35880．Re: ニュートン算
名前：Kurdt    日付：2月3日(日) 21時17分
「この水槽が満水になった状態から全ての水をくみ出すのに」
と問題文に書いてありますね。

ということは、0分の時点で水そうは満水だったのです。
だから0分の時点での水の量と満水の水の量は同じですね。
http://fairytale.holy.jp/

35881．Re: ニュートン算
名前：昆布    日付：2月3日(日) 21時21分
そういうことですね。とてもよくわかりました。ありがとうございます。

35869．流水算  
名前：昆布    日付：2月3日(日) 18時47分
もう一問お願いします。
ボートに乗って、川の上流にあるＡ地点から下流にいるＢ地点にまで行くとき、ボートを川の流れに沿って漕ぐ場合は１０分、ボートを漕がない場合は３５分かかります。
Ｂ地点からＡ地点までボートを漕いでいくには、何分何秒かかりますか。答えは、２３分２０秒です。


35872．Re: 流水算
名前：チョッパ    日付：2月3日(日) 19時58分
考え方

A地点とB地点の間の距離を700mとして、下りの速さと川の流れの速さを求めてみましょう。
そうすれば、先に進めるでしょう。

35876．Re: 流水算
名前：昆布    日付：2月3日(日) 20時40分
ボートを漕いでいくと、ＡからＢまで毎分７０ｍで進むので
ＡからＢまでを１０分で進む。
ボートを漕がずにいくと、毎分２０ｍで進むので３５分で進む。
ここまではわかりました。ここからがわかりません。

35877．Re: 流水算
名前：Kurdt    日付：2月3日(日) 20時45分
その毎分70[m]はよりくわしく考えてみると、
「こぐことによるボートの速さ」と「川の流れの速さ」
をたしたものになっています。
川の流れに沿ってこいでるのだから当然ですよね。

ここから「こぐことによるボートの速さ」だけを計算しましょう。
また、川の流れに逆らってボートをこぐときの速さは、
「こぐことによるボートの速さ」から「川の流れの速さ」
を引いたものになりますね。
http://fairytale.holy.jp/

35878．Re: 流水算
名前：昆布    日付：2月3日(日) 20時56分
やっとわかりました。ありがとうございました。

35865．微分の積の法則  
名前：だい    日付：2月3日(日) 17時3分
Wikipediaの最尤法という項目に書かれている数式で
P^49(1-P)^31をPについて微分すると、
49P^48(1-P)^31-31P^49(1-P)^30
となっているのですが、積の公式を使うと
49P^48(1-P)^31＋31P^49(1-P)^30
になると思ったのですが、どうして31P^49の前の符号が－になるのでしょうか？


35867．Re: 微分の積の法則
名前：Kurdt    日付：2月3日(日) 17時37分
(1-P)^31 を微分すると、
{(1-P)^31}'=31{(1-P)^30}(1-P)'=-31(1-P)^30 となります。

合成関数の微分法で (1-P) を微分するのを忘れないようにしましょう。
http://fairytale.holy.jp/

35894．Re: 微分の積の法則
名前：だい    日付：2月4日(月) 10時50分
分かりました。ありがとうございました。

35863．時計算  
名前：昆布    日付：2月3日(日) 16時13分
小６です。お願いします。
１２時２０分ちょうどを表す時計の長針と短針で作る角度と、１２時ア分イ秒を表す時計の長針と短針で作る角度は、等しくなります。
ア、イにあてはまる数を答えなさい。
ただし、イは帯分数とします。


35866．Re: 時計算
名前：Kurdt    日付：2月3日(日) 20時9分
こんにちは。

まずは12：20のときの短針と長針が作る角度を計算しておきます。
これは110°になることがわかりますね。

次に1：00のときを基準にして、時間を戻していきます。
1：00のときの短針と長針の作る角度は30°です。
そして、1分戻すたびに長針は6°ずつ、短針は0.5°ずつ戻るので、
短針と長針の作る角度は6-0.5=5.5°ずつ広がっていきます。

30°から110°になるには、80°広げないといけません。
だから80÷5.5=14+(6/11)分だけ1：00から戻すことになります。

あとはここから時刻と秒を計算していくだけです。
（それがけっこう面倒だったりもしますが）

1：00から14+(6/11)分を引くと、12時45と(5/11)分となります。
(5/11)分に60をかけて秒に直すと、27と(3/11)秒になると思います。
だから答えは12時45分27と(3/11)秒になるでしょう。
http://fairytale.holy.jp/

35868．Re: 時計算
名前：昆布    日付：2月3日(日) 18時25分
はじめに書けばよかったのですが、
答えは、１２時４５分　　２７と３／１１秒になっているのですが・・・

35873．Re: 時計算
名前：Kurdt    日付：2月3日(日) 20時9分
間違えていた部分を赤字で直しておきました；
http://fairytale.holy.jp/

35875．Re: 時計算
名前：昆布    日付：2月3日(日) 20時33分
どうもありがとうございました。
よくわかりました。

35860．よろしくおねがいします  
名前：たけよし    日付：2月3日(日) 12時34分
正の実数ｘを小数点2位以下を切り捨てた数、四捨五入した数、切り上げた数を[ ]によって表せ。

答え
[10x]/10 10x+0.5/10 -[-10x]/10

あと、「切り上げた数」とはなんですか？
よろしくおねがいします


35861．Re: よろしくおねがいします
名前：ヨッシー    日付：2月3日(日) 12時38分
「切り捨てた数」「四捨五入した数」はわかるけれども、
「切り上げた数」がわからないと言うことでしょうか？

四捨五入を日本語で説明してみてもらえますか？
　
http://yosshy.sansu.org/

35862．Re: よろしくおねがいします
名前：教得手　学    日付：2月3日(日) 14時29分
それと、[ ]の記号の意味は？
[ ]と書けば、ガウス記号と決まったわけでもないので、断りを入れねばなりません。（ガウス記号の意味は掴んでいますか？）

また、答えの式は正確に書かれましたか？

35864．Re: よろしくおねがいします
名前：たけよし    日付：2月3日(日) 16時16分
＞よっしー先生
四捨五入というのは、求めるけたで、4以下なら切り捨て、5以上なら切り上げて1とし、求めるけたに加えるということですよね

ぼくは「四捨五入した数、切り上げた数」のちがいがわかりません（最初からそう書かなくてすいません）

＞教得手　学先生

　はい。　これはガウス記号を勉強しているときにでた問題なので
　そうだとおもいます
　
　こたえは正確です

35882．Re: よろしくおねがいします
名前：ヨッシー    日付：2月3日(日) 21時22分
1.23
　→切り捨て　1.2
　→四捨五入　1.2
　→切り上げ　1.3
1.26
　→切り捨て　1.2
　→四捨五入　1.3
　→切り上げ　1.3

＞解答は正確か？
四捨五入の解答には、[ ]が付いていませんが。
　
http://yosshy.sansu.org/

35883．Re: よろしくおねがいします
名前：たけよし    日付：2月3日(日) 21時33分
すいません　間違えてました
[10x+0.5]/10 でした

では、なぜ
-[-10x]/10になるのですか？

35884．Re: よろしくおねがいします
名前：ヨッシー    日付：2月3日(日) 22時2分
>では、なぜ
>-[-10x]/10になるのですか？
ここで、いよいよ、教得手　学さんの言われる
「ガウス記号の意味は掴んでいますか？」が、試されるわけですが、
-[-10x]/10 の x にたとえば、1.200001 なんかを代入して、1.3 になるメカニズムを
理解すれば、納得できると思います。
　
http://yosshy.sansu.org/

35857．関数と整数問題  
名前：mixture    日付：2月3日(日) 7時4分
はじめまして。確かめたいことがあるのですが　　y=x^2-2ax (x≧-4)
でのyの最小値をもとめる問題です。

x=-4の前後でaを場合わけをしてみたのですが、解等の書き方が分かりません。それは
a<-4のときx=-4最小値8a+16
a=-4のときx=-4で-16
a>-4のときx=aで-a^2
と、私は3つに分けましたが、例えばa≦-4のときとa>-4とも分けられます。
どちらがいいのでしょうか。教えてください。


35858．Re: 関数と整数問題
名前：ヨッシー    日付：2月3日(日) 9時14分
ａ＝－４ の場合が、ａ＜－４ の解にも、ａ＞－４ の解にも一致するので、
　ａ≦－４　と　ａ＞－４　に分けることも
　ａ＜－４　と　ａ≧－４　に分けることも
出来ます。また、上のように、ａ＝－４ を独立させても良いです。

どれが良いということは言えません。どれも正解です。
　
http://yosshy.sansu.org/

35859．Re: 関数と整数問題
名前：mixture    日付：2月3日(日) 9時16分
ヨッシー 様、
わざわざご丁寧にありがとうございました。参考になりました。
感謝いたします。

35855．積分について  
名前：とも    日付：2月3日(日) 2時44分
積分について書かれた本で、∫√(sinx)dxは初等関数で表せないと書いてあったのですが、一般に、∫f(x)dxが初等関数で表せるか否かの判別はどのようにするのですか？どなたかご存知でしたら教えてくださいm(__)m


35856．Re: 積分について
名前：らすかる    日付：2月3日(日) 4時44分
一般的に判別する方法は多分ないと思います。
http://www10.plala.or.jp/rascalhp

35852．数B●ベクトルの問題  
名前：もも    日付：2月2日(土) 23時23分
△OABにおいて、辺OBの中点をM、辺ABを１：２に内分する点をC、
辺OAを２：３に内分する点をD、線分CMと線分BDの交点をPとする。
↑OA＝↑a、↑OB＝↑bとするとき

①↑OPを↑aと↑bを用いて表せ。

②直線OPと辺ABの交点をQとするとき、OP:PQ、AQ:QBを求めよ。

週末課題のプリントで出た問題です。
よろしくおねがいします!!


35854．Re: 数B●ベクトルの問題
名前：ヨッシー    日付：2月2日(土) 23時44分
以下、太字はベクトルを表します。



(1)
ＤＰ：ＰＢ＝ｓ:(１－ｓ) とすると、
　ＯＰ＝(1-s)ＯＤ＋sＯＢ
　　＝(2/5)(1-s)ａ＋sｂ　・・・(i)
ＣＰ：ＰＭ＝ｔ：(１－ｔ) とすると、
　ＯＰ＝(1-t)ＯＣ＋ｔＯＭ
　　＝(1-t)(２ａ＋ｂ)/３＋(t/2)ｂ
　　＝(2/3)(1-t)ａ＋(2+t)ｂ/6　・・・(ii)
ａとｂは、平行でないので、(i)(ii) の係数を比較して、
　(2/5)(1-s)＝(2/3)(1-t)
　s＝(2+t)/6
これを解いて、s=4/9, t=2/3
(i)または(ii)より、
　ＯＰ＝(2/9)ａ＋(4/9)ｂ

(2)
　ＯＱ＝ｋＯＰ　(ｋは実数)
とおくと、(1)の結果より、
　ＯＱ＝(2k/9)ａ＋(4k/9)ｂ
ＱはＡＢ上の点なので、係数の和が１。よって、
　(2k/9)＋(4k/9)＋１
　ｋ＝3/2
よって、ＯＱ：ＯＰ＝３：２　なので、
　ＯＰ：ＰＱ＝２：１
また、
　ＯＱ＝(1/3)ａ＋(2/3)ｂ
より、
　ＡＱ：ＱＢ＝２：１
　
http://yosshy.sansu.org/

35849．証明  
名前：ケンタ    日付：2月2日(土) 21時3分
１＋１＝２の証明法と、π＞３の証明を教えてください｡


35850．Re: 証明
名前：チョッパ    日付：2月2日(土) 21時56分
＞π＞３の証明

円の中に内接正六角形をかく。

円の半径をrとすれば，
円周＝2πr
内接正六角形の周りの長さ＝6r
だから，

2πr＞6r
π＞3

これでいいと思うのですが。。。

35851．Re: 証明
名前：ケンタ    日付：2月2日(土) 22時15分
ありがとうございます。もう一方はどうですか？

35848．化学の問題です（平衡定数）  
名前：デ・カルト    日付：2月2日(土) 17時18分
0.72molのH_2と0.84molのI_2を，一定容器内で400℃で反応させたところ，HIが1.20mol生じて平衡に達した。よって，この反応の４００℃の平衡定数は（　a　）である。
また，この値から計算すると，1.00molずつのH_2とI_2から生じるHIは（　b　）molとなる。

aの答えは５０となります。
bは，生じたHIをx molとすると，
　　 　　H_2　　　＋　　　I_2　　　⇔　　　2HI
平衡時（1-x/2)mol 　　　(1-x/2)mol 　　　　　(x)mol
となり，そこから方程式を作れば答えは出るのですが，これは
　　 　　H_2　　　＋　　　I_2　　　⇔　　　2HI
平衡時（1-x)mol 　　　　(1-x)mol 　　　 (2x)mol
とすることと同じですか？
上のようにした後方程式を立てても答えが一致しませんでした。

よろしくお願いします。

35845．小６算数  
名前：KIRARI    日付：2月2日(土) 11時2分
小６です。
宿題プリントがまったくわかりません。
わかりやすくおしえてください。
よろしくおねがいします。

お父さんが４歩で歩く長さを、えり子さんは５歩歩いて同じ長さになります。また、お父さんが６歩歩く間に、えり子さんは５歩歩きます。

１．お父さんが３６歩歩く間にえり子さんが歩いたきょりを、お父さんは何歩で歩くのでしょうか。

２．お父さんとえり子さんの速さの比を、かんたんな整数の比で求めましょう。

３．えり子さんは学校から家に向かって、お父さんは家から学校に向かって同時に出発して歩き始めました。えり子さんは２００歩歩いたときに、お父さんに出会いました。えり子さんはそのまま歩き続けて家に着きました。学校から家までえり子さんは全部で何歩歩いたのでしょうか。


35846．Re: 小６算数
名前：angel    日付：2月2日(土) 13時44分
参考解答（最も細かく書いた場合）

( お父さんが4歩で歩く長さ ) = ( えり子さんが5歩で歩く長さ ) = 20[俺メートル]
( お父さんが6歩歩く時間 ) = ( えり子さんが5歩歩く時間 ) = 30[俺秒]
という単位、「俺メートル」「俺秒」を決めます。
※20は4,5の(最小)公倍数、30は6,5の(最小)公倍数です。
　(最小)公倍数を使うと、後の計算が楽になるため採用しています。
　20 や 30 の代わりに 1 を使っても全く問題はありません。が、分数計算が出てきます。

すると、
　お父さんが1歩で歩く長さ：20[俺メートル]÷4[歩] = 5[俺メートル/歩]
　えり子さんが1歩で歩く長さ：20[俺メートル]÷5[歩] = 4[俺メートル/歩]
　お父さんが1歩歩く時間：30[俺秒]÷6[歩] = 5[俺秒/歩]
　えり子さんが1歩歩く時間：30[俺秒]÷5[歩] = 6[俺秒/歩]

(1)
　お父さんが36歩歩く時間 = 5[俺秒/歩] × 36[歩] = 180[俺秒]
　同じ時間でえり子さんが歩く歩数 = 180[俺秒]÷6[俺秒/歩] = 30[歩]
　同じ時間でえり子さんが歩く距離 = 4[俺メートル/歩]×30[歩] = 120[俺メートル]
　えり子さんが歩いた距離をお父さんが歩く場合の歩数
　　= 120[俺メートル]÷5[俺メートル/歩] = 24[歩]…(答え)

(2)
　同じ時間に歩く距離を比較してみます。
　30[俺秒]の間歩く場合、
　　※30としているのは、前の※と同じ理由、30でなく1でも問題ありません
　お父さんの歩く歩数 = 6[歩]
　えり子さんの歩く歩数 = 5[歩]
　お父さんの歩く距離 = 5[俺メートル/歩]×6[歩]=30[俺メートル]
　えり子さんの歩く距離 = 4[俺メートル/歩]×5[歩]=20[俺メートル]

　同じ30[俺秒]で歩く距離の比は
　　お父さんの歩く距離：えり子さんの歩く距離 = 30[俺メートル]：20[俺メートル] = 3：2
　よって、速さの比も 3：2 …(答え)

　※すばやく解くなら、
　　　お父さんの速さ = 5[俺メートル/歩]÷5[俺秒/歩] = 1[俺メートル/俺秒]
　　　えり子さんの速さ = 4[俺メートル/歩]÷6[俺秒/歩] = 2/3[俺メートル/俺秒]
　　から比を計算しても良いです

(3)
　※2人が出会うまでに歩いた時間は同じで、
　　・お父さんがえり子さんに出会うまでに歩いた距離
　　・えり子さんがお父さんに出会った後に歩いた距離
　　が等しいことに着目します。

　えり子さんがお父さんに出会うまでに歩いた時間
　　= 200[歩]×6[俺秒/歩] = 1200[俺秒]
　その時間にお父さんが歩いた歩数
　　= 120[俺秒]÷5[俺秒/歩] = 240[歩]
　その歩数でお父さんが歩いた距離
　　= 240[歩]×5[俺メートル/歩] = 1200[俺メートル]
　お父さんがえり子さんに出会うまで歩いた距離をえり子さんが歩く場合の歩数
　　= 1200[俺メートル]÷4[俺メートル/歩] = 300[歩]
　えり子さんが歩いた全歩数
　　= お父さんに出会うまでの歩数 + お父さんに出会ってからの歩数
　　= 200[歩] + 300[歩] = 500[歩]…(答え)

　※(2)の結果を使うなら、
　　　お父さんに出会うまでのえり子さんの歩数：お父さんに出会ってからのえり子さんの歩数
　　　= お父さんに出会うまでの距離：お父さんに出会ってからの距離
　　　= えり子さんの速さ：お父さんの速さ
　　　= 2：3
　　から、
　　　お父さんに出会ってからのえり子さんの歩数
　　　　= 200[歩]×3/2 = 300[歩]
　　と、計算を簡略化できます。

35847．Re: 小６算数
名前：チョッパ    日付：2月2日(土) 13時46分
＞お父さんが４歩で歩く長さを、えり子さんは５歩歩いて同じ長さになります。
まずは，同じ長さを1として2人の歩幅の比を求めます。
お父さんの歩幅：えり子さんの歩幅＝1÷4：1÷5＝1/4：1/5＝5/20：4/20＝5：4

＞１．お父さんが３６歩歩く間にえり子さんが歩いたきょりを、お父さんは何歩で歩くのでしょうか。
『また、お父さんが６歩歩く間に、えり子さんは５歩歩きます。』
これを利用します。
お父さんが36歩歩く間に，えり子さんは5×(36÷6)＝30歩歩きます。
えり子さんの30歩ぶんのきょりは，歩幅の比を使うことによって4×30＝120となります。
よって，そのきょりをお父さんは120÷5＝24歩で歩きますね。

＞２．お父さんとえり子さんの速さの比を、かんたんな整数の比で求めましょう。
速さ＝(歩幅)×(同じ時間の歩数)ですから，
お父さんの速さ：えり子さんの速さ＝5×6：4×5＝30：20＝3：2ですね。

＞３．えり子さんは学校から家に向かって、お父さんは家から学校に向かって同時に出発して歩き始めました。えり子さんは２００歩歩いたときに、お父さんに出会いました。えり子さんはそのまま歩き続けて家に着きました。学校から家までえり子さんは全部で何歩歩いたのでしょうか。
えり子さんが200歩歩く間に，お父さんは200÷5×6＝240歩歩きますね。
お父さんの240歩ぶんのきょりは5×240＝1200ですから，そのきょりをえり子さんは1200÷4＝300歩で歩きます。
よって，200＋300＝500歩ですね。

35853．これならどうかな
名前：七    日付：2月2日(土) 23時35分
１．お父さんが6歩あるく間に，えり子さんは5歩あるきます。そしてえり子さんが5歩あるく長さを，お父さんは4歩であるきます。
したがって，お父さんが３６歩あるく間にえり子さんは25歩あるき、その距離をお父さんは20歩であるきます。

２．父さんが6歩あるく間にえり子さんはお父さんの4歩分をあるきますから
速さの比は 6：4＝3：2

３．
えり子さんが5歩あるく間にお父さんは6歩あるきますから
えり子さんが２００歩あるく間に、お父さんは240歩あるきます。
お父さんが4歩であるく距離をえり子さんは5歩であるきますから
お父さんの240歩分をえり子さんは300歩であるきます。
したがって学校から家までえり子さんは全部で
200＋300＝500 歩 あるくことになります。

35834．和算目録についてお願いします。  
名前：KYOKO    日付：2月1日(金) 1時28分
いくつかの和算をクリックしますと、算数、数学の部屋に戻ると
言うのがありますが、戻って、どこを見ればいいのですか？
見当たらないのですが。教えてください、よろしくお願いします。


35837．Re: 和算目録についてお願いします。
名前：ヨッシー    日付：2月1日(金) 8時31分
算数、数学の部屋は、すべてのページの起点となるページです。
「算数、数学の部屋」→「和算目録」
「算数、数学の部屋」→「この掲示板」
「算数、数学の部屋」→「覚え書きの各記事」
という進み方ですので、「算数・数学の部屋に戻る」は、文字通り
起点に戻る、というだけの話で、その先に、たとえば和算について、
発展的な内容があるわけではありません。
　
http://yosshy.sansu.org/

35838．Re: 和算目録についてお願いします。
名前：らすかる    日付：2月1日(金) 12時8分
「消去算」「年齢算」「植木算」「差分算」「平均算」「分配算」は
　「ここに問題が表示されます。」
　「算数・数学の部屋に戻る」
　「ここに解答が表示されます。」
　「算数・数学の部屋に戻る」
しか表示されない、ということを言っているような…
http://www10.plala.or.jp/rascalhp

35841．Re: 和算目録についてお願いします。
名前：ヨッシー    日付：2月1日(金) 18時3分
あ、なるほど。
それらのページは、まだ出来上がっていないページです。
　
http://yosshy.sansu.org/

35843．Re: 和算目録についてお願いします。
名前：KYOKO    日付：2月1日(金) 23時25分
お返事有難うございました。分かりました。

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