ヨッシーの八方掲示板

2007年12月の投稿ログ

35342．空間図形

名前：loof 日付：12月31日(月) 21時14分

解説お願いします。

	35344．Re: 空間図形
	名前：ヨッシー日付：12月31日(月) 21時48分
	とりあえず、１．だけで良いですか？（２．は見えないので) 上の方は、もとの三角柱と、底面が同じ、高さも同じ三角錐なので体積は１／３です。下は残りの２／３です。　 http://yosshy.sansu.org/

	35345．Re: 空間図形
	名前：教得手　学日付：12月31日(月) 22時36分
	(2)が「アとイでは、表面積はどちらが何ｃｍ^2大きいですか。」なら　　アの△ＡＢＣ＝イの△ＤＥＦ　　アの△ＡＢＤ＝イの△ＤＥＢ　　アの△ＡＤＣ＝イの△ＤＣＦ　　△ＤＢＣはア,イに共通よって、イの表面積ほうが長方形BEFC の分(18cm^2)だけ大きいことになります。

35340．小学六年生

名前：さとる 日付：12月31日(月) 20時47分

わからない問題があって久しぶりに投稿させていただきます
どうかよろしくお願いいたします
（１）講堂にある椅子を全部並べるのに、おとな６人なら１時間
、こども１６人なら３０分かかります。おとな２人とこども４人
で、講堂に椅子を並び始めました。椅子をちょうど半分だけ
並べたときに、おとな３人増やして残り半分の椅子を並べました。
①椅子をちょうど半分だけ並べるのに何分かかりましたか
②残り半分の椅子を並べるのに何分何秒かかりましたか

（２）２５ｍプールで、１００ｍ泳ぐのに、ひさしさんは１分２４秒、
たすくさんは１分４８秒かかります。このプールで、ひさしさんと
たすくさんは同時に並んでスタートし、４００ｍ泳ぎました。
ただし、身長は考えず、２人とも一定の速さで泳ぐものとします。
①ひさしさんとたすくさんがすれ違うのは、スタートしてから
何秒後ですか。ただし、答えは少数第二位を四捨五入して求めなさい。
②ひさしさんがたすくさんに追いつくのは、スタートしてからひさしさんが何ｍ泳いだときですか

答え
（１）
①３６分
②２２分３０秒後

（２）
①２３．６秒後
②２２５ｍ

以上です。よろしくお願いいたします。

	35341．Re: 小学六年生
	名前：チョッパ日付：12月31日(月) 21時15分
	(1) おとな1人の1分の仕事量＝1÷6÷60＝1/360 こども1人の1分の仕事量＝1÷16÷30＝1/480 おとな2人とこども4人の1分の仕事量＝2/360＋4/480＝1/72 問1 1/2÷1/72＝36(分) 問2 1/2÷(5/360＋4/480)＝45/2＝22.5(分)＝22(分)30(秒)

	35343．Re: 小学六年生
	名前：チョッパ日付：12月31日(月) 21時24分
	(2) ひさしさんの秒速＝25/21(m/秒) たすくさんの秒速＝25/27(m/秒) 問1 2人であわせて50m泳ぐ。 50÷(25/21＋25/27)＝50÷(225/189＋175/189)＝23.625(秒)→23.6(秒) 問2 2人の泳いだ距離の差が50mになる。 50÷(25/21－25/27)＝189(秒後) 25/21×189＝225(m)

	35346．Re: 小学六年生
	名前：さとる日付：12月31日(月) 23時39分
	チョッパ様へ大晦日のお忙しいときにありがとうございましたよくよませていただいて理解してみます

35337．図形の質問

名前：ひまわり 日付：12月31日(月) 13時50分

小学校六年生です。図形の質問をしたいのですがどうやって書き込みしたらいいでしょうか？教えてください。よろしくお願いします。

	35338．Re: 図形の質問
	名前：Kurdt 日付：12月31日(月) 15時30分
	こんにちは。パソコンから図形をつけて質問する場合は、「添付」のところの「参照」のボタンを押して、そこにはり付けたい絵を選んでから書き込みます。携帯電話で同じ方法が使えるかどうかはちょっとわかりません。携帯電話だとイメぴたに絵を送ってから、返信メールに書いてあるアドレスをここに書き込む方法などがあります。そのときは、パソコン（PC）から見ることを許可しておきましょう。（イメぴたに絵をはった例 → http://imepita.jp/20071231/534810） http://fairytale.holy.jp/

	35339．Re: 図形の質問
	名前：昆布日付：12月31日(月) 16時12分
	ありがとうございます。やってみます。

35334．二次方程式の問題について

名前：くま日付：12月30日(日) 13時18分

はじめまして。中学３年生です。
3(x＋2)2乗＝(x－2)2乗の問題がわかりません。
式の途中で
2(x2乗+8x+4)＝0
となりましたが、解説を見ると
x2乗+8x+4＝0
になっていて、前の２がなくなっていました。
どうしてなのかわかりません。

答えは、x＝－4±2√3です。

教えてください。
よろしくお願いします。

	35335．Re: 二次方程式の問題について
	名前：Kurdt 日付：12月30日(日) 13時27分
	2(x^2+8x+4)=0 の両辺を 2 で割って、 x^2+8x+4=0 になったというだけです。（両辺に 1/2 をかけたと解釈しても可）等式では両辺を（0以外の）同じ数で割ってもよかったですよね。 http://fairytale.holy.jp/

	35336．ありがとうございました。
	名前：くま日付：12月31日(月) 12時18分
	どうもありがとうございました。教えてもらってホッとしました。よいお年を・・・ｍ（＿＿）ｍ

35325．線型代数についてです。

名前：かな日付：12月27日(木) 23時19分

2×2の実対称行列の固有値が実数であること、及び対角化可能であることを直接示すにはどうしたらよいですか。よろしくお願いします。

	35327．Re: 線型代数についてです。
	名前：ヨッシー日付：12月28日(金) 8時53分
	与えられた行列をＡ＝（ａ　ｂ）　　（ｂ　ｃ）として、固有値をλとし　(ａ－λ)(ｃ－λ)－ｂ²＝０を考えると、　λ²－(ａ＋c)λ＋ａｃ－ｂ²＝０判別式を取ると　(ａ＋ｃ)²－４ａｃ＋４ｂ² 　＝(ａ－ｃ)²＋４ｂ²≧０より、実数の固有値を持ちます。一方、２つの固有値をλ1、λ2 とすると、Ｐ＝（　ｂ　　　ｂ　）　　（λ1－ａ　λ2－ａ）Ｑ＝（λ2－ａ　－ｂ　）　　（ａ－λ1　　ｂ　）を考えると、ＱＡＰは、対角行列になります。（途中省略）　 http://yosshy.sansu.org/

	35329．Re: 線型代数についてです｡
	名前：かな日付：12月28日(金) 23時10分
	解説ありがとうございました。(^^)

35318．大学入試

名前：さとる 日付：12月27日(木) 0時50分

グルコース溶液中に酵母と乳酸菌をグルコースが全て消費されるまで一緒の溶液内で培養した。無酸素状態で培養したところ、二酸化炭素が５２８mg生じた。同じグルコース溶液を用いて、酸素がある状態で培養したところ、酸素が
１７２８mg消費された。しかし、エタノールも乳酸も生じなかった。
（１）培養前のグルコース溶液中にはグルコースが何mg含まれていたか？
（２）無酸素状態で生成された乳酸量は何mgか？
（３）酸素がある状態で培養した場合に酵母と乳酸菌により生成されたATP
量（モル）の計は、無酸素状態で培養した場合の何倍になるか？

生物の問題なんですがここ以外に親切に教えて頂けるサイトを知らないので
解答おねがいします♪

	35319．Re: 大学入試
	名前：ヨッシー日付：12月27日(木) 9時24分
	Wikipedia の呼吸にある、　グルコース (C₆H₁₂O₆) + 6 O₂ + 38 ADP + 38 Pi → 6 CO₂ + 6 H₂O + 38 ATP 　…(1) と、同じく嫌気呼吸にある、　アルコール発酵　C₆H₁₂O₆+2ADP+2Pi（リン酸）　→　2C₂H₅OH+2CO₂+2ATP　…(2) 　乳酸発酵　C₆H₁₂O₆+2ADP+2Pi　→　2C₃H₆O₃+2ATP　…(3) を参考にします。 (1)の式は、近年支持されていないと書かれていますが、高校では、こう教えているとも書いてあるので、これを使います。酸素のある状態で、エタノールも乳酸も生じなかったので、(1) の反応のみが行われたと考えられます。このときの酸素(分子量:32)は1.728ｇ＝1.728/32mol＝0.054mol なので、これと反応したグルコース(分子量;180)の量は、　0.054÷６＝0.009(mol) 　0.009×180＝1.620(g)　で、1620mg となります。・・・答え（１）一方、無酸素状態で二酸化炭素(分子量:44)を発生するのは(2)の反応だけであり、そのとき発生した二酸化炭素の量は　0.528ｇ＝0.528/44mol＝0.012mol であり、このとき消費されたグルコースは　0.012÷２＝0.006(mol) であり、残りの 0.003(mol)は、(3)の反応で消費されたと、考えられます。そのときに発生する乳酸(分子量:90)は、0.003×２＝0.006(mol) であり、質量は、　0.006×90ｇ＝540mg　となります。・・・答え（２） (2)の式と、(3)の式は、グルコース1molあたり生成されるATPは、同じなので、(2)(3)の比率にかかわらず、ATP の生成量は 2mol です。一方、(1) の式で生成されるATPは、グルコース1molあたり、38mol なので、有酸素の場合は、無酸素の場合の19倍となります。・・・答え（３）有効数字はほとんど考慮していません。一応、たたき台ということで(^^; 　 http://yosshy.sansu.org/

	35330．大学入試
	名前：さとる日付：12月28日(金) 23時49分
	見やすくて分かりやすい解説ありがとうございます！！！感激です♪♪ またお世話になるかも知れませんがその時はお願いします（・O・）笑

35316．三角関数について

名前：トン（社会人） 日付：12月26日(水) 21時27分

三角関数の問題で解らないところがあります。
sin^(-1)x+cos^(-1)x =π/2　「アークサインｘ+アークコサインｘ＝π/2」　を証明せよ・・という問題です。
回答には次のようにありました。
y1=sin^(-1)x y2=cos^(-1)x とおくと定義より
x=siny1 {(-π/2)≦y1≦(π/2)}・・・A
x=cosy2 (0≦y2≦π）・・・・B
sin^(2)y1+cos^(2)y1=1より
cos^(2)y1=1-sin^(2)y1=1-x^2
y1の範囲よりcosy1≧0なので・・・・・・・？①
cosy1=√（１-ｘ＾２）
またsin^(2)y2+cos^(2)y2=1より
sin^(2)y２=1-cos^(2)y２=1-x^2
y2の範囲よりsiny2≧0なので・・・・・？②
siny2=√（１-ｘ＾２）
ゆえに加法定理を使うと
sin(y1+y2)
=siny1cosy2+cosy1siny2=x・x+√（１-ｘ＾２)・√（１-ｘ＾２)=1
y1 y2 の範囲より
(－π/2)≦y1+y2≦(3/2)π・・・・・？③
この範囲でsin(y1+y2)=1なのでy1+y2=π/2

∴sin^(-1)x+cos^(-1)x =π/2

とありましたが、最初の定義のy1とｙ２の範囲AとBは
理解できたのですが、証明中に出てくる範囲①②③が
どのようにして出てくるのか解りませんでした。
詳しく教えていただけないでしょうか。
宜しくお願い致します。

　　　　　　　　　　　　トン

	35317．Re: 三角関数について
	名前：ヨッシー日付：12月26日(水) 22時11分
	x=siny1 {(-π/2)≦y1≦(π/2)}・・・A のように、y1 が決められていますね？つまり、y1 は、-90°から 90°までの角度で、 120°や、180°や、210°にはならないのです。一方、cosy1＜０となるのは、120°や、180°や、210°のような角度であり、 -90°から 90°までの角度では、必ずcosy1 は、正かゼロです。ｙ＝cosｘのグラフを描いてみればわかります(単位円でも良いです) siny2≧0 も同様です。 (－π/2)≦y1+y2≦(3/2)π　は、 (－π/2)≦y1≦(π/2) と 0≦y2≦π をそれぞれ足して、 (－π/2)＋(－π/2)≦y1＋y2≦(π/2)＋π です。　 http://yosshy.sansu.org/

	35323．三角関数について
	名前：トン（社会人）日付：12月27日(木) 20時14分
	ヨッシーさん　詳しく教えていただきありがとうございます。解りました。立て続けですが、この証明の仕方ですが・・・ sin^(-1)x と cos^(-1)x はともに角度をあらわしていますよね。サイン、コサインの比率がともにxだから、直角三角形の直角以外の二つの角度がsin^(-1)x と cos^(-1)xだから、その二つを足し合わせると、三角形の内角の和はΠだから直角分を差し引いてΠ-Π/2=Π/2 となる。という解答では間違いでしょうか？宜しくお願いします。

	35324．Re: 三角関数について
	名前：ヨッシー日付：12月27日(木) 20時35分
	ｘがマイナスだったらどうしますか？ということですね。ｘ＝-1/2 だと、　y1＝-π/6　←　sin(-π/6)=-1/2 　y2＝2π/3　←　cos(2π/3)=-1/2 より、y1＋y2＝π/2 になるわけですが、直角三角形だと、この説明が出来ません。　 http://yosshy.sansu.org/

	35328．ありがとうございます
	名前：トン（社会人）日付：12月28日(金) 20時33分
	ヨッシーさん難儀かけました。マイナスは全然考えていませんでした。教えて頂、大変勉強になりました。ありがとうございます。　　　　　　　　　　　　トン

35313．時計算

名前：昆布日付：12月26日(水) 13時29分

小学六年生です。１時台のある時間と、５時台のある時間が、長針と短針がちょうど入れ替わった位置にあるのは、１時何分と５時何分か。
この問題を長針と短針の単位あたりの移動角の比12:1を使って解けますか。教えてください。

	35314．Re: 時計算
	名前：ヨッシー日付：12月26日(水) 13時40分
	こちらの時計算の問題２だと思いますが、これの基礎になるのが「長針と短針の単位あたりの移動角の比12:1」です。ここでは、比という言葉を使わずに、１分間に、長針が６°、短針が0.5°動く、という言い方をしています。また、上記のページの解答で、＞このうち短針の動いた角度は＞　1440×１/(12+1)＝1440/13 の部分は、１２：１のうちの１を求める式ですから、ここでは、比１２：１そのものを使っています。　 http://yosshy.sansu.org/

	35315．Re: 時計算
	名前：昆布日付：12月26日(水) 13時47分
	よくわかりました。練習問題をいくつかやってみます。ありがとうございました。

35305．時計算

名前：昆布日付：12月25日(火) 16時7分

小学校六年生です。１０時22分に時計の長針と短針が作る小さい方の角の大きさは何度ですか。答えは１７９度です。解き方を教えてください。よろしくお願いします。

	35306．Re: 時計算
	名前：ヨッシー日付：12月25日(火) 16時18分
	まず、基本事項から。長針は１分間に６°動きます。短針は１分間に0.5°動きます。 10:22 のとき、長針は、12時の位置から、6×22＝132(°) の位置にあります。短針は、10時の位置から、0.5×22＝11(°) の位置にあります。 10時の位置は、12時の位置から、反時計回りに60°の位置なので、短針の位置は、12時の位置から、反時計回りに49°の位置にあります。すると、短針と長針の12時の位置をはさんだ角度は、　132＋49＝181(°) になりますが、これは、180度を超えているので、小さい方の角度は、　360－181＝179(°) となります。　 http://yosshy.sansu.org/

	35308．Re: 時計算
	名前：昆布日付：12月25日(火) 16時38分
	ありがとうございました｡よく解りました｡

35304．和差算

名前：kzkaki　中学三年 日付：12月25日(火) 13時54分

いぜん「パップス＝ギュルダンの定理」でお世話になりました、kzkakiです。ヨッシーさんの「和算目録」というページの中の「和差算」のページでお聞きしたいことがあります。
・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・
和差算　答３
ａとｂの差と、ｃとｄの差が同じであるということは、ａ＋ｄとｂ＋ｃが等しいと言うことです。つまり、ａとｄの和が
　６２÷２＝３１
３１であり、差が７であるので、ｄは
　（３１＋７）÷２＝１９
１９であり、ｃはこれより小さい。
一方、ｂよりｃの方が大きいので、ｃは
　３１÷２＝１５．５
１６以上です。
答え　１６，１７，１８
・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・
この中の、「３１であり、差が７であるので、ｄは」の「d」とは「a」ではないのでしょうか？また、「１９であり、ｃはこれより小さい。
一方、ｂよりｃの方が大きいので、」というところのくだりがよくわかりません。以下、私自身が理解するために計算した方法です。
a+b+c+d=62①
a-b=c-d②
a-d=7③
②より、a+d=b+c④
①、④より、2a+2d=62
a+d=31⑤
③、⑤より、d=12
a=19
a>b,c>d,a>d　　
　　　　　と、ここからわからなくなりました。

	35307．Re: 和差算
	名前：ヨッシー日付：12月25日(火) 16時37分
	ａとｄの和が３１であり、差が７であるので、までがわかっていて、ｄの方がａより大きいので　ｄ(大きい方)＝（３１＋７）÷２＝１９　ａ(小さい方)＝（３１－７）÷２＝１２です。同様に、ｂ＋ｃも、３１であり、ｂよりｃの方が大きいので、ｃは最小でも１６でないと、ｂの方が大きくなってしまいます。下の方の方程式は、ａ＞ｂ＞ｃ＞ｄの条件での式になっています。ａ＜ｂ＜ｃ＜ｄとすると、③が　ｄ－ａ＝７となり、　ａ＝１２　ｄ＝１９となります。よって、ｃ＜ｄ＝１９　より、ｃは１９未満　ｂ＋ｃ＝３１　および　ｂ＜ｃ　より　３１＝ｂ＋ｃ＜ｃ＋ｃ＝２ｃとなり、　３１＜２ｃ　15.5＜ｃより、ｃは16以上となります。　 http://yosshy.sansu.org/

	35320．Re: 和差算
	名前：kzkaki　中学三年日付：12月27日(木) 11時42分
	返信、ありがとうございます。「aとdの差は７」というのは「a-d=7」でなく「d-a=7」ということなのでしょうか？

	35321．Re: 和差算
	名前：ヨッシー日付：12月27日(木) 13時16分
	それは、どちらが大きいかによります。ａ＞ｄ　ならば　ａ－ｄ＝７ａ＜ｄ　ならば　ｄ－ａ＝７です。どちらが大きいかわからないときは、絶対値記号を使って、　\|ａ－ｄ\|＝７と書いたり、２乗して　(ａ－ｄ)²＝４９と書いたりもします。ただしこれらは、差が７であることを示しただけで、実際のａやｄの値を求めるときには、どちらが大きいかを明らかにして、あるいは仮定して求めていくことになります。　 http://yosshy.sansu.org/

	35331．Re: 和差算
	名前：kzkaki　中学三年日付：12月29日(土) 11時30分
	そうだったのですか… すみません、それらのことは考えられていませんでした。もうひとつだけ、申し訳ないですがお教えください。なぜ、「ａ＜ｂ＜ｃ＜ｄ」になるのでしょうか？

	35332．Re: 和差算
	名前：ヨッシー日付：12月29日(土) 18時20分
	問題文に「小さい数の方から、ａ、ｂ、ｃ、ｄとするとき」とあるからです。　 http://yosshy.sansu.org/

	35333．Re: 和差算
	名前：kzkaki　中学三年日付：12月30日(日) 0時11分
	長々と返信させてしまい、申し訳ありませんでした。この結末が私自身のきわめて単純なミスだったことをふがいなく、申し訳なく思います。

35302．確立

名前：ぐるる 日付：12月25日(火) 0時6分

赤1枚、白2枚、黒3枚の合計6枚のカードがある。これらを無作為に一列に並べる。次の問いを求めよ。
（１）両端が白になる確率
（２）6枚のカードを無作為に一列に並べた後、2枚の白の間に赤がなく、かつ黒があるときに限り、白の間にある黒を取り除く。こうして残ったカードの枚数をXとする。
　(i) X＝3となる確立
　(ii)X＝4となる確立
　(iii)Xの期待値

確立の考え方そのものがちゃんと理解できてないようなので教えてください。よろしくお願いします。

	35303．Re: 確率
	名前：ヨッシー日付：12月28日(金) 0時28分
	確立確率は、その事象の起こる場合の数÷すべての場合の数　です。 (1) 赤1枚、白2枚、黒3枚を順にＡＢＣＤＥＦとします。すべての並べ方は　６！＝７２０(通り) 両端が白になるのは左端がＢで、右端がＣである場合が、４！＝２４(通り) 左端がＣで、右端がＢである場合が、４！＝２４(通り) の合わせて４８通りです。よって、両端が白になる確率は、　４８／７２０＝１／１５ (2) (i)X＝3 というのは、黒を３枚すべて取り除いた場合なので、　赤白黒黒黒白　または　白黒黒黒白赤のいずれかです。赤白黒黒黒白の並び方について、赤の置き方は１通り。白の置き方は２！＝２(通り) 黒の置き方は３！＝１２６(通り) の全部で２４１２通り。白黒黒黒白赤についても同様で２４１２通り。よって、X＝3となる確立確率は、　４８２４／７２０＝１／１５３０ (ii)X＝4 となる並び方は　赤黒白黒黒白、黒赤白黒黒白、　黒白黒黒白赤、赤白黒黒白黒　白黒黒白赤黒、白黒黒白黒赤の６通りで、それぞれについて並べ方が２４１２通りあります。よって、X＝4となる確立確率は、　~~１４４~~７２／７２０＝１／５１０ (iii) X＝5 になるのは　赤黒黒白黒白、黒赤黒白黒白、黒黒赤白黒白　赤黒白黒白黒、黒赤白黒白黒、黒黒白黒白赤　赤白黒白黒黒、黒白黒白赤黒、黒白黒白黒赤　白黒白赤黒黒、白黒白黒赤黒、白黒白黒黒赤の１２通りで、それぞれについて並べ方が２４１２通りあります。よって、X＝5となる確率は、　~~２８８~~１４４／７２０＝２１／５ X＝6 となるのは、残りの　１－1/1530－1/510－21/5＝１２／３よって、求める期待値は　３×1/1530＋４×1/510＋５×21/5＋６×12/3＝５11/2 です。数え方は、もう少し、楽な方法もありますが、基本は数え上げです。　 http://yosshy.sansu.org/

	35322．Re: 確率
	名前：ぐるる日付：12月27日(木) 18時42分
	ありがとうございます。確率の字、間違ってましたね。すみません。あの、質問なんですが、赤1枚、白2枚、黒3枚を順にＡＢＣＤＥＦと区別しなかった場合のとき方はどうなるのでしょうか。

	35326．Re: 確立
	名前：ヨッシー日付：12月28日(金) 0時23分
	まず、上の解答には誤りがありましたので、訂正しました。同じ色を、最初から区別しない場合。 (1) 赤1枚、白2枚、黒3枚の並べ方は　6!/(2!3!)＝60(通り) 両端が白になるとき、中の４枚(赤１枚、黒３枚)の並び方は、　4!/3!＝４(通り) よって、求める確率は、　４／６０＝１／１５ (2) (i)X＝3 というのは、黒を３枚すべて取り除いた場合なので、　赤白黒黒黒白　または　白黒黒黒白赤の２通りです。よって、　２／６０＝１／３０ (ii)X＝4 となる並び方は　赤黒白黒黒白、黒赤白黒黒白、　黒白黒黒白赤、赤白黒黒白黒　白黒黒白赤黒、白黒黒白黒赤の６通りで、確率は、６／６０＝１／１０ (iii) X＝5 になるのは　赤黒黒白黒白、黒赤黒白黒白、黒黒赤白黒白　赤黒白黒白黒、黒赤白黒白黒、黒黒白黒白赤　赤白黒白黒黒、黒白黒白赤黒、黒白黒白黒赤　白黒白赤黒黒、白黒白黒赤黒、白黒白黒黒赤の１２通りで、確率は、１２／６０＝１／５ X＝6 となるのは、残りの　１－1/30－1/10－1/5＝２／３よって、求める期待値は　３×1/30＋４×1/10＋５×1/5＋６×2/3＝11/2 です。　 http://yosshy.sansu.org/

	35373．Re: 確立
	名前：ぐるる日付：1月6日(日) 1時31分
	なるほど。わかりました。ありがとうございました。

35288．教えてください。

名前：akko 日付：12月24日(月) 0時39分

一辺が６ｃｍの正四面体の高さと体積を求めよ。

正三角形ＡＢＣの面積を求めよ。

角ＡＢＣ＝９０度の直角三角形の頂点Ａから、ＢＣに垂直ＡＤを下ろした。ＢＤ＝４、ＣＤ＝３のとき、ＡＤの長さを求めよ。

	35292．Re: 教えてください｡
	名前：hari 日付：12月24日(月) 3時49分
	(1)垂線の足は底面の正三角形の重心にかさなります。 (2)求める面積は△OABの面積の3倍。 1:2:√3の直角三角形の活用 (3) △ABC∽△DBAよりAB : 7 = 4 : AB AB^2 = 28 よってAD = 2√3

	35296．もう少しわかりやすく説明御願いします。
	名前：akko 日付：12月24日(月) 8時26分
	(1)垂線の足は底面の正三角形の重心にかさなります。 (2)求める面積は△OABの面積の3倍。 1:2:√3の直角三角形の活用私にはわかりにくいのでよろしく御願いします。

	35297．Re: 教えてください。
	名前：ヨッシー日付：12月24日(月) 9時38分
	＞私にはわかりにくいのでよろしく御願いします。わかりにくいのは、解答まで５段階ほどあるうちの１段階だけ示されているので、そのあとは自分で埋めていかないといけません。その意味では、３問目も同じくらいわかりにくいのですが、答えが示されているので、安心していませんか？間をきちんと埋めてくださいね。で、もう１，２段階示します。ＡＧの長さを求めましょう。 △ＢＯＤの面積を求めましょう。　 http://yosshy.sansu.org/

	35298．Re: 教えてください。
	名前：教得手　学日付：12月24日(月) 10時35分
	hari さんへの質問に対する回答を書き込んでいる間に、ヨッシ－さんがコメントおよびヒントが書かれておられました。実は私も、ヨッシーさんと同じことを考えておりました。安易に訊くと、その場は解決するように思えますが、力としてはあまり残らないことが多いです。「とことん粘った上で質問する」「最小限のヒントでまた粘る」ことを心掛けるだけで、だいぶ違ってくるはずです。そういう意味で、とことん丁寧な回答を送ることが、本当に親切なものか回答する側でも考えるところでもあります。

	35311．ヒント戴いて考えてみました。
	名前：akko 日付：12月25日(火) 23時4分
	（１）AGの長さは１：２；√３の３√３×３分の２（重心の比が２：１だから）で２√３ｃｍですか？（２）２分の５√３×２分の５×２分の１＝８分の２５√３平方ｃｍですか？

	35312．Re: 教えてください。
	名前：ヨッシー日付：12月25日(火) 23時27分
	それぞれ正解です。では、ｈは？　△ＡＢＣの面積は？というふうに続いていきます。　 http://yosshy.sansu.org/

35287．教えてください。

名前：akko 日付：12月24日(月) 0時29分

図のｘの値を求めよ。（ＡＤは角ＢＡＣの二等分線）

△ＡＢＣ△ＡＤＥとの面積比を求めよ。

	35289．Re: 教えてください。
	名前：教得手　学日付：12月24日(月) 1時4分
	ＡＤが∠ＢＡＣの２等分線だから、ＡＢ：ＡＣ＝ＢＤ：ＤＣ　がいえます。余弦定理より、△ＡＢＣ＝(1/2)・ＡＢ・ＡＣ・sin∠Ａ＝78・sin∠Ａ　　　　　　　△ＡＤＥ＝(1/2)・ＡＤ・ＡＥ・sin∠Ａ＝27・sin∠Ａこの式から比が求められます。

	35290．学先、お返事生有難うございます。
	名前：akko 日付：12月24日(月) 1時38分
	ＡＤが∠ＢＡＣの２等分線だから、ＡＢ：ＡＣ＝ＢＤ：ＤＣ　がいえますと書いていただいてるのですが、私にはわかりずらいのでもう少しわかりやすく教えていただけませんか？あと、余弦定理についてわかりやすく教えていただけると嬉しいです。

	35293．Re: 教えてください｡
	名前：hari 日付：12月24日(月) 4時5分
	問1に関して、三角形の角の二等分線にはそういう性質(定理)があることを覚えてください。問2に関して、akkoさんは中学生とお見受けするので、余弦定理は使えないでしょう。補助線BEをひきます。 △ABE = (9/13)△ABC (高さは共通、底辺の比がAE:AC=9:13なので底辺の比が面積比) △ADE = (6/12)△ABE (高さは共通、底辺の比がAD:AB=6:12なので底辺の比が面積比) よって△ADE = (9/26)△ABC

	35294．Re: 教えてください。
	名前：ヨッシー日付：12月24日(月) 7時24分
	角の二等分線の定理は、こちらに説明があります。また、右の方は、こちらの質問と、同じ考えで解けます。　 http://yosshy.sansu.org/

	35310．ありがとうございます。
	名前：akko 日付：12月25日(火) 22時39分
	よくわかりました。頑張ります。

35285．教えてください。

名前：akko 日付：12月24日(月) 0時23分

	35286．Re: 教えてください。
	名前：akko 日付：12月24日(月) 0時24分
	次の図のｘの値を求めよ。

	35291．Re: 教えてください｡
	名前：hari 日付：12月24日(月) 3時36分
	(1)の三角形の頂点を上から左回りにA、B、Cとし、AB、BC、CA上の内接円との接点をD、E、Fとします。『円外の点から二本の接線を引くとき、接線の交点とそれぞれの接点までの距離は等しい。』ので AD = AF = x DB = AB - AD = 8 - x BE = DB = 8 - x EC = BC - BE = 12 - (8 - x) = 6 + x CF = EC = 6 + x AC = AF + CF = x + (6 + x) = 2x + 6 = 12 よってx = 3と求まります。他の問も同様に解けます。答えは問2は12、問3は2です。

	35295．Re: 教えてください。
	名前：ヨッシー日付：12月24日(月) 7時49分
	２問目と３問目の別解です。　７＋１８＝●＋■＋○＋▲ 　１３＋ｘ＝●＋○＋■＋▲ なので、７＋１８＝１３＋ｘ　より　ｘ＝１２　△ＡＢＯ＝５×ｘ÷２　△ＢＣＯ＝１３×ｘ÷２　△ＣＡＯ＝１２×ｘ÷２より、　△ＡＢＣ＝△ＡＢＯ＋△ＢＣＯ＋△ＣＡＯ＝(５＋１３＋１２)×ｘ÷２＝１５ｘ一方　△ＡＢＣ＝５×１２÷２＝３０より、　１５ｘ＝３０より　ｘ＝２　 http://yosshy.sansu.org/

	35309．ありがとうございます。
	名前：akko 日付：12月25日(火) 22時36分
	よくわかりました。親切に教えてくださってありがとうございます。

35281．大学入試　　

名前：さとる 日付：12月23日(日) 14時45分

トウモロコシに含まれるデンプンから、エタノールが作られる。
２１６０００gのデンプンから９６０モルのグルコースが生成されるとして、
９２ｋｇのエタノールを製造するには何ｋｇのデンプンが必要か？

Ｃ＾６Ｈ＾１２Ｏ＾６→２Ｃ＾２Ｈ＾５ＯＨ＋２ＣＯ＾２
　　デンプン　　　　　エタノール　　　　　　　二酸化炭素

数学と生物が混ざった問題です。
読みにくいかと思いますが解答お願いします。

	35282．Re: 大学入試
	名前：教得手　学日付：12月23日(日) 16時32分
	１モルのグルコースから２モルのエタノールができます。　　　　　　エタノールの分子量は４６だから、１モルのグルコースから 92グラムのエタノールができます。よって、92ｋｇのエタノールを作るには、1000モルのグルコースが必要となります。　また、1000モルのグルコースを生成するには、216×(1000/960) キログラムのでんぷんが必要となります。よって、２２５キログラムが答え。

	35300．(untitled)
	名前：さとる日付：12月24日(月) 22時22分
	早い解答ありがとうございます！！！早速やってみます（＞。＜）

35271．図形と方程式

名前：ボーイ 日付：12月21日(金) 23時42分

直線3x－4y＋9＝0に関して、円(x－1)＾2＋(y＋1)＾2＝12と対称な円の方程式を求めよ。

お願いします!!

	35272．Re: 図形と方程式
	名前：七日付：12月22日(土) 0時30分
	円(x－1)＾2＋(y＋1)＾2＝12 の中心 (1，－1) の直線3x－4y＋9＝0に関して対称な点(a，b)を求め (x－a)＾2＋(y－b)＾2＝12 を答えとすればいいですね。

	35277．Re: 図形と方程式
	名前：らすかる日付：12月22日(土) 11時30分
	参考問題の直線と円は2点で交わりますので、直線に関して対称な円も同じ2点で交わります。このような円は {(x-1)^2+(y+1)^2-12}+k(3x-4y+9)=0 と表されますので、 k≠0で半径が一致するようにkを定めれば求めることができます。 http://www10.plala.or.jp/rascalhp

	35279．Re: 図形と方程式
	名前：豆日付：12月23日(日) 10時49分
	交わらなくても、行けそうな・・・

	35280．Re: 図形と方程式
	名前：らすかる日付：12月23日(日) 13時1分
	そうですね。 http://www10.plala.or.jp/rascalhp

35269．お尋ねします。

名前：YOKO 日付：12月21日(金) 15時57分

最近、算盤の掛け算の暗算で、「両ぎり」をどこかでみたのですが
ずっと探しているのですが。思い出しません。どこに載っていたの
でしょうか、教えてください。よろしくお願いします。

	35273．何度もすみません。
	名前：YOKO 日付：12月22日(土) 0時35分
	こちらで、確かにみたのですが・・・。毎日、開けない日はないので・・・。リンク先もずっと見ているのですが。履歴は、その日だけなので、どなたかこちらのどこどこと教えてくださいませんか？

	35275．Re: お尋ねします。
	名前：YOKO 日付：12月22日(土) 1時16分
	すみません何度も。子供に言われました。「両おとし」「片おとし」というのですね。数学ではなかったので汚してしまって、ごめんなさい。解決しました。削除して下さっても結構です。投稿キーはあるのですが削除がわかりません。本当に、お手数をおかけしますがごめんなさい。

	35276．Re: お尋ねします。
	名前：YOKO 日付：12月22日(土) 1時24分
	恥ずかしいです「両おとし」「片おとし」でした。ごめんなさい。

	35283．Re: お尋ねします。
	名前：ヨッシー日付：12月23日(日) 20時27分
	すみません。４日ほど、バリ島に行ってまして、放ったままになっていました。あいにく、私のページに、そのことについては、触れていません。また、応用計算の利息計算で、「片落とし」「両端入れ」「両端落とし」というのがありますが、掛け算の暗算については、聞いたことがありません。　 http://yosshy.sansu.org/

	35284．Re: お尋ねします。
	名前：YOKO 日付：12月23日(日) 23時19分
	有難うございました。色々と調べました。両おとし、片おとし、言い方を知らなかっただけで、すでに、実行していた事が昨夜分かりました。本当に、長いスペースをとってしまって、ごめんなさい、又質問させてください。有難うございます。

35266．中学入試模試

名前：赤面日付：12月21日(金) 2時31分

初めまして
子供のテスト問題を見ていて解けず恥を忍んでお聞きします

　　１
　　２　　３
　　４　　５　　６
　　７　　８　　９　１０
　１１　１２　１３　１４　１５

この法則で並んでいるとき　70は何段目の何番目にくるかという問題なのですが、解き方をご教授してください。

	35267．Re: 中学入試模試
	名前：hari 日付：12月21日(金) 5時10分
	小学生向けの解き方というのは詳しくないのですが、それぞれの段の最初の数字を並べると１２４７１１… と項の前後関係が見えますよね。この規則に従って書き出してみると (1)１ (2)２ (3)４ (4)７ (5)１１ (6)１６ (7)２２ (8)２９ (9)３７ (10)４６ (11)５６ (13)６７ (14)７９となり13段目とわかります。括弧の数字は段数です。段数と並べた表を作ればさらにわかりやすいかと。

	35268．Re: 中学入試模試
	名前：七日付：12月21日(金) 10時50分
	お気づきだと思いますが 12段目ですね。

	35270．Re: 中学入試模試
	名前：hari 日付：12月21日(金) 18時17分
	あれ… 12を飛ばしてしまいましたか^^;

	35274．Re: 中学入試模試
	名前：赤面日付：12月22日(土) 0時53分
	解答ありがとうございました。

35264．パップス＝ギュルダンの定理について

名前：kzkaki　中学三年 日付：12月20日(木) 17時49分

先日、塾の先生との会話の中で「パップス＝ギュルダンの定理」という言葉が出ました。その先生というのは「定理が重要ではない」という考えを持った人なのですが、私は、そうであっても聞いてしまったからには知りたいので、どなたか、教えてください。（なるべくわかりやすくお願いします）

	35265．Re: パップス＝ギュルダンの定理について
	名前：angel 日付：12月20日(木) 23時12分
	ある平面図形を、軸の周りに回転させて立体が出来たとき、　立体の体積 = 平面図形の面積 × 平面図形の重心が描く円周の長さと計算できます。 ※軸は平面図形と同じ平面上にあり、平面図形とは交わらないとしますこれが、パップス=ギュルダンの定理。重心ってなに? という話がありますし、積分も絡むので、中3 では早いような気もします。しかし、定理そのものは分かりやすい形をしています。

	35278．Re: パップス＝ギュルダンの定理について
	名前：kzkaki　中学三年日付：12月22日(土) 12時14分
	「重心」、かろうじて三角形のものがわかる程度なのでおっしゃるようにまだ無理かもしれません。解説、ありがとうございました。

35259．教えてください

名前：ゆう日付：12月20日(木) 1時41分

(2/x)+(3/y)=1
の自然数を求めなさい。

という問題を教えてください。

	35260．Re: 教えてください
	名前：ちゃー日付：12月20日(木) 2時32分
	x=5 y=5 はだめなんですか？

	35263．Re: 教えてください
	名前：チョッパ日付：12月20日(木) 14時55分
	3x+2y=xy 3x-xy+2y-6=-6 x(3-y)-2(3-y)=-6 (x-2)(3-y)=-6 (x-2)(y-3)=6 (x,y)=(3,9),(4,6),(5,5),(8,4)

35257．重心に関する問題

名前：ネンドロイド 日付：12月19日(水) 21時1分

平行四辺形ABCDにおいて、辺BCの中点をMとし、
AMとBDの交点をEとする。
このとき、△BMEの面積と平行四辺形ABCDの面積との比を求めよ。

教科書の解説に
△BME=(1/3)△BMAと書いていますが、どうしてこの二つの三角形を
＝できるんでしょうか？

△BMEの底辺はMEで、△BMAの底辺はMA、それで高さは共通らしいですけど、高さが共通というのもよく分かりません。

おねがいします。

	35261．Re: 重心に関する問題
	名前：ちゃー日付：12月20日(木) 2時42分
	ＡとＣをむすんでみるとＢＤはＡＣの中点をとおり △ＡＢＣでＡＭもＢＤも中線になりＥが重心であることがわかりますよってＡＥ：ＥＭ＝２：１ここで△ＡＢＭを改めてＡＭを底辺にして書き直してみるとＡＢＥもＢＥＭともに高さが同じ長さになることがわかりますよってこの２つの三角形の面積比は高さが同じなので底辺の比になります。つまりＡＢＥ：ＢＥＭ＝２：１　　　ＡＢＭ：ＢＥＭ＝３：１になるよって△BME=(1/3)△BMA ここでＢＥＭの面積を１とすると　　　ＡＢＥの面積は２　　つまりＡＢＭ＝３　　　　ＡＭＣも３になります　（底辺も高さも同じ長さ）よって⊿ＡＢＣ＝６　なので　　　△ＡＣＤ＝６　　（合同だから）よって平行四辺形ＡＢＣＤ＝１２　答えは１：１２

	35262．Re: 重心に関する問題
	名前：ネンドロイド日付：12月20日(木) 10時22分
	すごく分かりやすかったです！ありがとうございました！

35249．外心に関する難しい問題（自分にとって）

名前：ネンドロイド 日付：12月19日(水) 4時10分

△ABCの内心をIとするとき、∠BIC=90°+(1/2)∠Aであることを証明せよ。

教科書の解説の一行目に
直線AIと辺BCの交点をDとすると
∠ＢＩＤ＝∠ＢＡＩ＋∠ＡＢＩ
となっていました。
どうして∠ＢＡＩ＋∠ＡＢＩをしたら∠ＢＩＤになるんでしょうか？
問題の解き方も分からず、悩んでいます
おねがいします。

△ABCにおいて、辺BC,CA,ABに関して、内心Iと対称な点をそれぞれ、
P,Q,Rとするとき、Iは△PQRについてどのような点か。

証明問題が苦手です。
分かりやすく教えてもらいたいです

おねがいします。

	35251．Re: 外心に関する難しい問題（自分にとって）
	名前：ヨッシー日付：12月19日(水) 8時52分
	最初だけ．．．＞どうして∠ＢＡＩ＋∠ＡＢＩをしたら∠ＢＩＤになるんでしょうか？一言で言うと、外角の性質より、です。 ∠ＢＩＤ＋∠ＢＩＡ＝180°　であることと ∠ＢＡＩ＋∠ＡＢＩ＋∠ＢＩＡ＝180°であることより　∠ＢＩＤ＝∠ＢＡＩ＋∠ＡＢＩが言えます。　 http://yosshy.sansu.org/

	35256．Re: 外心に関する難しい問題（自分にとって）
	名前：ネンドロイド日付：12月19日(水) 20時20分
	上のほうの問題（問題を同じ書き込みで二問も聞いてすみません。分けるつもりだったんですが、ねぼけてて間違えちゃったみたいです）はよっしー先生の教えで解くことが出来ました。下のほうの問題のヒントをいただけたらありがたいです。おねがいします！

35248．外接円の半径に関する問題

名前：ネンドロイド 日付：12月19日(水) 4時5分

△ABCの垂心をHとし、辺BCの中点をM、線分AHの中点をNとする。線分MNの長さは
△ABCの外接円の半径に等しいことを、証明せよ。

図がうまく書くことができず、どう解いていったらいいのか分かりません。
おねがいします。

	35255．Re: 外接円の半径に関する問題
	名前：ネンドロイド日付：12月19日(水) 20時3分
	なんとかですが、解けました！ありがとうございました。

35247．平行四辺形と証明する問題

名前：ネンドロイド 日付：12月19日(水) 4時2分

鋭角三角形ABCの垂心をH、外心をOとし、Oから辺BCにおろした垂線をOMとする。
また、△ABCの外接円の周上に点Kをとり、線分CKが円の直径になるようにする。
このとき、次のことを証明せよ。

(1)四角形AKBHは平行四辺形である。

おねがいします。

	35250．Re: 平行四辺形と証明する問題
	名前：ヨッシー日付：12月19日(水) 8時40分
	ＣＫは直径なので、ＫＢ⊥ＢＣまた、ＡＨ⊥ＢＣよって、ＡＨ//ＫＢ同様に、ＫＡ⊥ＣＡ　および、　ＢＨ⊥ＣＡ　より　ＢＨ//ＫＡ以上より、四角形AKBHは平行四辺形といえます。　 http://yosshy.sansu.org/

	35254．Re: 平行四辺形と証明する問題
	名前：ネンドロイド日付：12月19日(水) 19時15分
	ありがとうございました！難しいんですね。。証明問題は苦手です・・。でも何度も読んで分かってきました。それではー。

35242．(untitled)

名前：一登　高３ 日付：12月18日(火) 22時41分

数学の水の問題で流入速度＝水面の面積×水面の上昇速度と書いてあるんですが、例えば円錐にみずを入れると水面の面積は変わっていくから水面の面積は一定ではないのでわと思うんですが…

	35243．Re: (untitled)
	名前：ヨッシー日付：12月18日(火) 23時5分
	流入速度が一定の場合、水面の面積は一定でなく、水面の上昇速度も一定でなく、結果、流入速度が一定となるのです。　 http://yosshy.sansu.org/

	35245．Re: (untitled)
	名前：一登　高３日付：12月18日(火) 23時19分
	ということは水面の面積の増加（減少）速度×水面の上昇速度ではないんですか？

	35246．Re: (untitled)
	名前：ヨッシー日付：12月19日(水) 0時6分
	それは、違います。たとえば、断面積一定の円柱の場合、　水面の面積の増加（減少）速度＝０ですが、水は流入するし、水面も上がります。　流入速度＝０×水面の上昇速度＝０ではありませんね。大抵は、時刻ｔを変数として、ある時刻ｔでの、　水面の面積×水面の上昇速度＝流入速度(一定) のような式を作ることになります。　 http://yosshy.sansu.org/

	35252．Re: (untitled)
	名前：豆日付：12月19日(水) 10時30分
	この辺の話は、微分・積分を現実のいろんな現象の分析に活用する際の肝だと思いますので、ヨッシーさんの最後の件を少し書き加えてみます。時刻tで水量がV、水面の面積をS、深さをhとする。わずかな時間Δtの間にそれぞれΔV、ΔS、Δh変化したとする。 ΔVの立体は下底面積S、上底面積S+ΔS、高さΔhの錐台なので、 ΔV≒(S+(S+ΔS))/2・Δh=SΔh+ΔSΔh/2 ここでΔSΔhは微小量の積なのでSΔhに比較して圧倒的に小さいので無視でき、結局 ΔV=SΔh　となる。微小時間で割って、 ΔV/Δt=SΔh/Δt Δt→0とすれば、 dV/dt=S・dh/dt これは流入速度（体積の増加速度）はそのときの水面の面積と水面の上昇速度(深さの変化速度)の積になるということを表しており、流入速度が一定でなくても成立します。

35241．(untitled)

名前：ととろ　中二 日付：12月18日(火) 21時10分

△ABCの辺ABの中点をDとする。AD、DCをとなりあう辺とする平行四辺形ADCEをつくり、点Dと点Eを結ぶと、四角形DBCEが平行四辺形であることを証明したい。【あ】【い】をうめなさい。

証明

Dは中点なので、AD=【　あ　】・・・１
四角形ADCEは平行四辺形だから、
　AD＝EC　・・・２
　AD//EC　・・・３
　１、２から　DB＝【　い　】
　３から、DB//EC

よって、1組の向かい合う辺が等しくて平行なので、四角形DBCEは平行四辺形。

という問題が出て、【あ】はDB、【い】はECがはいります。

もしこの文字が逆→【あ】BD　、【い】CE

では不正解なのでしょうか？？数学的におかしいのですか？教えてください。

宜しくお願いします。

	35244．Re: (untitled)
	名前：ヨッシー日付：12月18日(火) 23時12分
	特に、間違いではありませんし、数学的にもおかしくありません。ただし、高校に向けてのことを言うと、　ＡＤ，ＤＢ　・・・　ＡからＢに向く方向の順　ＤＡ，ＢＤ　・・・　ＢからＡに向く方向の順ということは、意識しておいた方が良いです。線の平行、長さだけでなく、向きも重要になってくるときが、きっと来ます。こちらの高１、４章を参照してください。　 http://yosshy.sansu.org/

35239．不等式　高校1年です

名前：ゆぅ日付：12月18日(火) 18時31分

高一です。

二次不等式の問題で、根本的に解きかたが分からないので、教えてください。

問）　次の二次不等式が指定された範囲内に於いて、常に成り立つように定数ｍの値の範囲を求めよ。
x^2+2mx+1≧0・・・・・0≦x≦2

お願いします。

	35240．Re: 不等式　高校1年です
	名前：angel 日付：12月18日(火) 19時36分
	グラフ y=x^2+2mx+1 の形状に応じて場合分けしてみましょう。 1. 頂点が 0≦x≦2 の範囲にある場合頂点が、最も y の小さくなる所です。　そのため、頂点の y 座標が 0 以上であることが必要十分　※これを満たす m は -1≦m≦0 2. 頂点が 0≦x≦2 の範囲にない場合　グラフの形状として、x=0 から x=2 にかけて単調増加、もしくは単調減少となります。　そのため、x=0,2 両方での y の値が 0 以上であることが必要十分　※これを満たす m は m>0 最終的な答えは、1,2 をあわせて m≧-1 となります。

	35258．Re: 不等式　高校1年です
	名前：ゆぅ日付：12月20日(木) 0時36分
	ありがとうございます。場合わけって二次不等式でも使うんですね・・・なんか分かった気がします。ありがとうございます。

35224．(untitled)

名前：akko 日付：12月17日(月) 22時50分

４番の問題はよくわかりました。他の問題にもチャレンジしてみます。また、疑問がでてきたら、質問させてください。よろしく御願いします。

	35225．教得手　学
	名前：akko 日付：12月17日(月) 22時51分
	ありがとうございます。

	35226．すみません。
	名前：akko 日付：12月17日(月) 22時56分
	変なタイトルになってしまって。教得手学様感謝しております。

	35235．Re: (untitled)
	名前：教得手　学日付：12月18日(火) 0時35分
	どう致しまして。　こちらこそ宜しく！

35214．教えてください。

名前：akko 日付：12月17日(月) 14時25分

４．　２つの円ｐ１、ｐ２と直線ＯＡ、ＯＢは互いに接している。Ｏｐ１の長さは何ｃｍか。ただし、円Ｐ１、ｐ２の半径は、それぞれ３ｃｍ、５ｃｍである。

５．　右の図において、ＡＢ平行ＣＤ、ＡＮ＝ＤＮ、ＢＭ＝ＣＭ、ＡＢ＝４ｃｍ、ＣＤ＝８ｃｍである。このとき、△ＡＢＯ：△ＣＤＯ：△ＭＮＯの比を求めよ。

６．右のずのように、円に接する四角形ＡＢＣＤがあり、ＡＢ＝２ＣＤである。辺ＡＢの延長と辺ＤＣの延長とは点Ｅで交わっており。ＡＥ＝８ｃｍ、ＡＤ＝ＥＤ＝７ｃｍである。ＣＤの長さを求めよ。

	35217．Re: 教えてください。
	名前：教得手　学日付：12月17日(月) 18時44分
	４. 円Ｐ1,円Ｐ2とＯＡの接点をそれぞれＤ,Ｅとすると △Ｐ1ＯＣ∽△Ｐ2ＯＤ　で、Ｐ1Ｃ：Ｐ2＝3：5　となります。よって、ＯＰ1＝ｘ(cm)　とすると　　ｘ：(ｘ＋8)＝3：5　　となります。この比例式を解けば、ＯＰ1が求まります。５. ＭＮはＢＣ,ＡＤの中点だから、ＡＢＭＮＣＤは平行となり　△ＢＡＯ∽△ＣＤＯ∽△ＭＮＯ　となります。　ＢＯ：ＯＣ＝1：2、ＢＭ＝ＭＣ　より、ＢＯ：ＯＣ：ＯＭ＝2：4：1 となります。面積比は相似比の２乗の比だから　△ＢＡＯ：△ＣＤＯ：△ＭＮＯ＝4：16：1　　となります。６. ＡＤ＝ＥＤより、∠Ａ＝∠Ｅまた、∠Ａ＝∠ＢＣＥ　だから、△ＢＣＥは△ＤＡＥと相似な２等辺三角となります。ＣＤ＝ｘ(cm)とすると、ＡＢ＝2ｘ(cm)、ＢＥ＝8－2ｘ(cm)、ＥＣ＝7－ｘ(cm)　となります。また、ＢＥ：ＥＣ＝ＤＡ：ＡＥ＝7：8　より (8－2ｘ)：(7－ｘ)＝7：8　となるので、この不等式を解けばＣＤが求まります。

	35222．教えてください。
	名前：akko 日付：12月17日(月) 21時49分
	教得手　学様ｘ：(ｘ＋8)＝3：5　の（ｘ＋８）の８はどのようにしてでてきたんですか？教えてください。

	35223．Re: 教えてください。
	名前：教得手　学日付：12月17日(月) 22時5分
	ＯＰ1＝ｘＯＰ2＝ＯＰ1＋Ｐ1Ｐ2＝ｘ＋(3+5)＝ｘ＋8 Ｐ1Ｐ2は、２円の半径の和だからです。

	35227．真ん中の問題の疑問を教えてください。
	名前：akko 日付：12月17日(月) 23時3分
	ＢＯ：ＯＣ＝1：2、ＢＭ＝ＭＣ　より、ＢＯ：ＯＣ：ＯＭ＝2：4：1 のＢＯ：ＯＣ：ＯＭ＝2：4：1はなぜそうなるのでしょうか？よろしく御願いします。

	35228．Re: 教えてください。
	名前：ヨッシー日付：12月17日(月) 23時32分
	Ｂ,Ｏ,Ｍ,Ｃが、この順に一直線上にあり、　ＢＯ：ＯＣ＝１：２　ＢＭ：ＭＣ＝１：１ですので、比の値の和を一定にするために　ＢＯ：ＯＣ＝２：４　ＢＭ：ＭＣ＝３：３と、それぞれ、２倍、３倍すると、和が６に揃います。つまり、ＢＣ＝６とすると、　ＢＯ＝２，ＯＣ＝４，ＢＭ＝ＭＣ＝３より、ＯＭ＝ＯＣ－ＣＭ＝１　となり、　ＢＯ：ＯＣ：ＯＭ＝2：4：1 となります。　 http://yosshy.sansu.org/

	35233．Re: 教えてください。
	名前：akko 日付：12月18日(火) 0時20分
	ヨッシー先生、よくわかりました。ありがとうございます。

	35234．Re: 教えてください。
	名前：akko 日付：12月18日(火) 0時31分
	学様６番はよく理解できました。ありがとうございます。

35213．教えてください。

名前：akko 日付：12月17日(月) 14時15分

次の図の長さを求めよ。

	35218．Re: 教えてください。
	名前：ヨッシー日付：12月17日(月) 20時9分
	右のも同じようにして出来ます。　 http://yosshy.sansu.org/

	35221．Re: 教えてください。
	名前：akko 日付：12月17日(月) 21時38分
	左から解答は、４√１５真ん中　２√１５右　　　√３１９　でしょうか？あまり、自信がありません。

	35229．Re: 教えてください。
	名前：ヨッシー日付：12月17日(月) 23時37分
	真ん中、右は正解です。左は、図に、4,1,16 を書き入れてみましょう。　 http://yosshy.sansu.org/

	35236．Re: 教えてください。
	名前：akko 日付：12月18日(火) 0時45分
	左の解答は、√（２５６－２５）＝√２３１でしょうか？

	35238．Re: 教えてください。
	名前：ヨッシー日付：12月18日(火) 0時55分
	はい、正解! 　 http://yosshy.sansu.org/

35211．教えてください。

名前：akko 日付：12月17日(月) 14時11分

１．（１）縦、横、高さが次の長さの直方体の対角線の長さを求めよ。
２．次の図の台形の面積を求めよ。単位はすべてｃｍとする。

	35212．Re: 教えてください。
	名前：akko 日付：12月17日(月) 14時13分
	（１）縦５ｃｍ、横２ｃｍ、高さ４ｃｍ（２）縦６ｃｍ、横６ｃｍ、高さ６ｃｍ（３）縦１０ｃｍ、横８ｃｍ、高さ３√２ｃｍです。

	35216．Re: 教えてください。
	名前：ヨッシー日付：12月17日(月) 18時38分
	左：35173 番の記事で教えてもらった公式を使います。中と右：台形を直角三角形と長方形に分ける線を１本引き、それぞれの面積を出します。　 http://yosshy.sansu.org/

	35220．Re: 教えてください。
	名前：akko 日付：12月17日(月) 21時13分
	１．（１）縦５ｃｍ、横２ｃｍ、高さ４ｃｍ　解答３√５（２）縦６ｃｍ、横６ｃｍ、高さ６ｃｍ　　　解答６√３（３）縦１０ｃｍ、横８ｃｍ、高さ３√２ｃｍ解答√１８２真ん中の問題の台形の面積は解答　７８√３平方ｃｍ右の問題の面積は解答　１３０平方ｃｍでしょうか？

	35230．Re: 教えてください。
	名前：ヨッシー日付：12月17日(月) 23時39分
	全部、正解です。よくできました◎ 　 http://yosshy.sansu.org/

	35232．ヨッシー先生どうもありがとうございます。
	名前：akko 日付：12月18日(火) 0時9分
	嬉しいです。

35210．ヨッシー先生、再度教えてください。。

名前：akko 日付：12月17日(月) 14時1分

②直線y＝３ｘ－２について、次の直線式を求めよ。

（１）ｘ軸について対称な直線・・・答えｙ＝－３ｘ＋２
（２）ｙ軸について対称な直線・・・答えｙ＝－３ｘ－２
（３）原点について対称な直線・・・答えｙ＝　３ｘ＋２
（４）ｙ＝ｘについて対称な直線・・答えｙ＝３分のｘ＋３分の２

と解答して間違いとして帰ってきてしまいました。せっかく教えていただいたのですが、わたしがあまり理解できていなかったようなので・・。よろしく御願いします。

	35215．Re: ヨッシー先生、再度教えてください。。
	名前：ヨッシー日付：12月17日(月) 18時29分
	全部合ってるはずですが．．．　 http://yosshy.sansu.org/

	35219．Re: ヨッシー先生、再度教えてください。。
	名前：akko 日付：12月17日(月) 20時51分
	そうなんですか・・・・なんでなんでしょう・・・？？

	35231．Re: ヨッシー先生、再度教えてください。。
	名前：ヨッシー日付：12月17日(月) 23時41分
	それは、採点者に聞いてみるしかないですね。途中の式が、まずかったとか？　 http://yosshy.sansu.org/

	35237．Re: ヨッシー先生、再度教えてください。。
	名前：akko 日付：12月18日(火) 0時46分
	そうしか考えれませんね。尋ねてみます。どうもありがとうございました。

35202．一次変換

名前：ゴロー　高校3年 日付：12月16日(日) 17時58分

行列については最後になると思います。
よろしくお願いします。

	35203．Re: 一次変換
	名前：ヨッシー日付：12月16日(日) 18時48分
	私のページに、解答を載せました。　 http://yosshy.sansu.org/

	35205．Re: 一次変換
	名前：ゴロー　高校3年日付：12月16日(日) 18時57分
	たくさんの問題答えてくださって、ありがとうございました。頑張って勉強します。

35201．平面幾何

名前：りんご　高3 日付：12月16日(日) 16時56分

三角形の3辺ＢＣ，ＣＡ，ＡＢ上にそれぞれ点Ｐ、Ｑ、Ｒを
ＢＰ：ＰＣ＝1：2，
ＣＱ：ＱＡ＝2：3，
ＡＲ：ＲＢ＝3：4　となるようにとる。
次の三角形の面積比を求めよ。
①△ＡＱＲ／△ＡＢＣ，△ＢＰＲ／△ＡＢＣ，△ＣＰＱ／△ＡＢＣ
②△ＰＱＲ／△ＡＢＣ

答え　
①9/35，4/21，4/15
②2/7
諸事情によりまったく習ってない状態でやらなくてはならなくなり、まったくわかりません。
よろしくお願いします。

	35204．Re: 平面幾何
	名前：りんご　高3 日付：12月16日(日) 18時56分
	あ、高3と書いてありますが問題集が「センターテスト数学ⅠⅡＡＢ」なのでその範囲だと思います。

	35206．Re: 平面幾何
	名前：ヨッシー日付：12月16日(日) 19時2分
	たとえば、△ＡＢＣと△ＡＱＲの比を求める場合、図のように、 △ＡＲＣは、△ＡＢＣの 3/7倍 △ＡＱＲは、△ＡＲＣの 3/5倍よって、△ＡＱＲは、△ＡＢＣの　3/7 × 3/5 ＝ 9/35(倍) となります。同様に、 △ＢＰＲは△ＡＢＣの　4/7 × 1/3 ＝ 4/21(倍) △ＣＰＱは△ＡＢＣの　2/3 × 2/5 ＝ 4/15(倍) △ＰＱＲは、△ＡＢＣから△ＡＱＲ、△ＢＰＲ、△ＣＰＱを引いたものなので、　１－9/35－4/21－4/15＝(105－27－20－28)/105＝30/105＝2/7 　 http://yosshy.sansu.org/

	35207．Re: 平面幾何
	名前：りんご　高3 日付：12月16日(日) 22時48分
	図まで付けて下さって、ご返答本当にありがとうございます。質問なのですが、図の3・4や3・2というのはどこから出てきたんでしょうか？そのあとは理解できたのですが・・・それと、ここの周辺の問題ではチェバの定理やメネラウスの定理を使っているのですが、この問題は使わなくていいんですよね？お忙しいところすみませんがお願い致します。

	35208．Re: 平面幾何
	名前：ヨッシー日付：12月16日(日) 22時54分
	3,4 は、ＡＲ：ＲＢ＝3：4 3,2 は、ＣＱ：ＱＡ＝2：3 からです。範囲としては、中学入試（算数）の範囲ですので、メネラウスなどは必要ありません。（メネラウスも算数範囲の知識で説明できますが）　 http://yosshy.sansu.org/

	35209．Re: 平面幾何
	名前：りんご　高3 日付：12月17日(月) 0時11分
	なるほど！分りました。ありがとうございました！

35198．行列

名前：ゴロー　高校3年 日付：12月16日(日) 12時20分

何度もすいません。考え方が分からないので、教えてください。
答えはx1=0　x2=-sinα　x3=0　になると思います。

	35200．Re: 行列
	名前：ヨッシー日付：12月16日(日) 16時15分
	私のページに解答を載せました。　 http://yosshy.sansu.org/

35196．相似を使った問題

名前：ｌｏｏｆ 日付：12月16日(日) 10時46分

中３が解ける範囲で、一番難しいと思われるものを出題してください。（解答・解説つきで。）

35192．行列

名前：ゴロー　高校3年 日付：12月15日(土) 22時55分

（1）は解けました。他の問題が解けないので、お願いします。

	35194．Re: 行列
	名前：angel 日付：12月16日(日) 0時29分
	うーん。今時は3次の行列も高校範囲なのですか。大変ですね。高校範囲でどう解くことになっているかは分かりませんが…。 (2) 普通に固有方程式 det(Ａ-xＥ)=0 を解く、で良さそうな。　※det(Ｘ) とはＸの行列式　0 となっている部分が多いので、　　(1-x)(2-x)(1-x)-1・(2-x)・4=0 　が固有方程式。これを解けば x=-1,2,3 　で、固有ベクトルとしては、例えば固有値 3 に対応するものなら、　　(Ａ-3Ｅ)ｖ=ｏ　を満たすようなｖを探せば良いわけで。今回は行列の要素に 0 が多いので、手探りでも何とかなるでしょう。 (3) は2枚目の画像の解説の通り。　例えば、Ｂ・t(0 1 0) = t(0 -3 0) = -3・t(0 1 0) と計算できますから、これだけで t(0 1 0) がＢの固有ベクトルであることが分かります。　※縦ベクトルを書くのがしんどいので、転置(transposed)の t を使って横ベクトル表記にしています。

	35195．Re: 行列
	名前：ヨッシー日付：12月16日(日) 1時44分
	私のページに解答を載せました。　 http://yosshy.sansu.org/

	35199．Re: 行列
	名前：ゴロー　高校3年日付：12月16日(日) 12時20分
	angelさんヨッシーさん丁寧な解答ありがとうございます。

35189．体積

名前：あい日付：12月15日(土) 19時8分

底面の半径がa　高さもa　である直円柱がある。
底面の一つの直径を含み、底面と45度の傾きをなす平面で直円柱を2つの部分に分けるとき、各部分の体積を求めよ

この問題をどっからどうやって考えたらいいのかも切り口もわかりません・・・・・＞＜

どうかよろしくお願いします！

	35191．Re: 体積
	名前：angel 日付：12月15日(土) 22時54分
	文字通り「切り口」が大事ですね。図がイメージできないのであれば、適当に座標を設定してみることです。例えば、直円柱の底面の一方を xy平面上の原点を中心とした円とし、もう一方を平面 z=a 上とします。この直円柱の示す不等式は、　x^2+y^2≦a^2, 0≦z≦a となります。では2つにわける境界は、というと直径の1つ y軸を含む平面、x-z=0 としてみましょう。これで準備が整いました。平面 z=t ( 0≦t≦a ) で直円柱を切った切り口の内小さい方は、　x≧t, x^2+y^2≦a^2, z=t という領域であることが分かります。この面積を求め、t:0～a の区間で積分すれば、体積が計算できます。

	35197．Re: 体積
	名前：教得手　学日付：12月16日(日) 11時0分
	http://www.nihon-kogyo.co.jp/landscape/sonota/pdf/k_493_497.pdf#search='ひずめ形%20体積' 　↑ こういう公式を見つけました。「ひづめ形」の体積の公式において、ａ,ｒ,ｈ→ａ、ｂ→2ａ、(φ→180)とおけば、　Ｖ＝(２ａ^3)/３となります。 angelさんが書かれた解法で計算して、一致するか参照してみて下さい。

35187．証明

名前：やま　高2 日付：12月15日(土) 18時11分

Aをn次の正方行列、Pをn次の正則行列とし、B=P^(-1)APとするとき次の証明をせよ。
B^n=P^(-1)A^nP
これはどのようにして証明すればいいですか？

	35188．Re: 証明
	名前：angel 日付：12月15日(土) 18時25分
	行列の積は、結合法則が成り立つ、つまり (ＸＹ)Ｚ=Ｘ(ＹＺ) なので、　Ｂ^2 　= ( inv(Ｐ)ＡＰ )・( inv(Ｐ)ＡＰ ) 　= inv(Ｐ)Ａ・( Ｐinv(Ｐ) )・ＡＰ　= inv(Ｐ)Ａ・Ｅ・ＡＰ　= inv(Ｐ)・( ＡＥＡ )・Ｐ　= inv(Ｐ)・Ａ^2・Ｐ　※Ｐの逆行列を inv(Ｐ) と表現していますとなります。数学的帰納法を用いて、一般の n について説明すれば良いでしょう。 ※ところで、高校生で2次以外の行列ってやりましたっけ?

	35190．Re: 証明
	名前：やま　高2 日付：12月15日(土) 19時11分
	進学校なもので。　多分普通の高校より進んでると思います。

	35193．Re: 証明
	名前：angel 日付：12月15日(土) 23時1分
	なるほど。ありがとうございます。最近は進学校も進んでいるものですね。 ※妙な表現ですが

35185．行列

名前：ゴロー　高校3年 日付：12月15日(土) 13時37分

問題は写真の通りです。　ご指導お願いします

	35186．Re: 行列
	名前：angel 日付：12月15日(土) 17時52分
	(2)に関しては、(1) の結果があれば、数列の和を求める問題に帰着されます。 (3)に関しては、素直に逆行列を計算するだけ。なので、焦点となるのは (1) ですが、問題の性質上「数学的帰納法」を使うことは避けられないので、n=1,2,3… での計算を実際に少し試して、規則性を見るのが良いでしょう。 …後は、どこが具体的に分からないか、によりますね。

35182．固有値

名前：ゴロー　高校3年 日付：12月15日(土) 2時42分

写真の行列の固有値、固有ベクトルの作る行列Pを求めて、対角行列に変換する問題なんですが、
PやP^-1APの答えは固有値の順番によって答えが変わると思うのですが全部正解なんですか？
例えばP=[(2 2 1)(1 0 3)(1 1 1)]で
P^-1AP=[(1 0 0)(0 -1 0)(0 0 3)]でもいいんですか？

	35183．Re: 固有値
	名前：ヨッシー日付：12月15日(土) 9時12分
	問題ありません。全部正解です。　 http://yosshy.sansu.org/

	35184．Re: 固有値
	名前：ゴロー　高校3年日付：12月15日(土) 12時54分
	分かりました。　ありがとうございます。

35173．ヨッシー先生、お返事ありがとうございます。

名前：akko 日付：12月13日(木) 23時59分

解き方が書いてあるのですが、これは何か覚えておかないと解けない公式があるんでしょうか？
なぜ、そうなるのかが、わからなくて・・・。
すみませんが、再度教えていただきたいです。
お返事まっています、

	35174．Re: ヨッシー先生、お返事ありがとうございます。
	名前：akko 日付：12月14日(金) 0時0分
	投稿番号３５１７１の問題です。また変に送信してしまいすみません。以後、気をつけます。

35175．Re: ヨッシー先生、お返事ありがとうございます。

名前：モッツァレラ 日付：12月14日(金) 0時22分

左・中・右と3つの写真が載せられていますが、

左・右の問題については、中点連結定理を使います。
中点連結定理がどんなものか、およびその証明は教科書を読んでください。
(教科書の最後の方にある索引から、中点連結定理を探してください)

中の問題については、
3辺の長さがa, b, cの直方体の対角線の長さは√(a

)
という公式を使います。この公式の証明(導出)についても、
教科書(三平方の定理の章)を読んでください。

	35176．Re: ヨッシー先生、お返事ありがとうございます。
	名前：モッツァレラ日付：12月14日(金) 0時23分
	すみません、↑はタグミスです。左・中・右と3つの写真が載せられていますが、左・右の問題については、中点連結定理を使います。中点連結定理がどんなものか、およびその証明は教科書を読んでください。 (教科書の最後の方にある索引から、中点連結定理を探してください) 中の問題については、 3辺の長さがa, b, cの直方体の対角線の長さは√(a²+b²+c²) という公式を使います。この公式の証明(導出)についても、教科書(三平方の定理の章)を読んでください。

	35178．Re: ヨッシー先生、お返事ありがとうございます。
	名前：ヨッシー日付：12月14日(金) 8時52分
	中点連結定理で、説明は十分ですが、私は、上の図のように、点Ｏから、下に＋、上に－の目盛りがあって、それぞれ、1,2,･･･9、1,2,･･･7 の線が等間隔に引いてあると考えます。問題の位置は、９と－７の真ん中の位置なので、平均を取って、　(９－７)÷２＝１です。展開すれば、中点連結定理から求める　４．５－３．５と、同じになります。　 http://yosshy.sansu.org/

	35180．ありがとうございました。
	名前：akko 日付：12月14日(金) 21時17分
	ヨッシー先生、モッツァレラさんどうもありがとうございました。

35168．(untitled)

名前：akko 日付：12月13日(木) 23時16分

⑥次の図のｘの値を求めよ。

６．右の図のような縦、横、高さがそれぞれ２ｃｍ、３ｃｍ、５ｃｍの直方体の対角線の長さを求めよ。

（５）
次の図のｘの値を求めよ。

（５）

	35169．教えてください。お願いします。
	名前：akko 日付：12月13日(木) 23時16分
	> ⑥次の図のｘの値を求めよ。 > > > ６．右の図のような縦、横、高さがそれぞれ２ｃｍ、３ｃｍ、５ｃｍの直方体の対角線の長さを求めよ。 > > （５） > 次の図のｘの値を求めよ。 > > >

	35170．変な具合に送信してしまいました。。。。
	名前：akko 日付：12月13日(木) 23時21分
	また、わからない問題があります。教えていただきたいです。お力をかしてください。

	35171．Re: (untitled)
	名前：ヨッシー日付：12月13日(木) 23時31分
	（９－７）÷２＝１ √（２²＋３²＋５²）＝√３８（１０－２）÷２＝４　 http://yosshy.sansu.org/

35166．行列式

名前：ゴロー　高校3年 日付：12月13日(木) 22時10分

この問題はどうやって求めたらいいですか？
答えは5になると思います。

	35172．Re: 行列式
	名前：ヨッシー日付：12月13日(木) 23時56分
	定義通りにやると、０を含む項は省略して　２・２・２・２－２・(－１)・(－１)・２－２・２・(－１)・(－１) ＋(－１)・(－１)・(－１)・(－１) －(－１)・(－１)・２・２＝１６－４－４＋１－４＝５　 http://yosshy.sansu.org/

	35179．Re: 行列式
	名前：ヨッシー日付：12月14日(金) 12時18分
	こちらを参考にしました。　 http://yosshy.sansu.org/

35160．円に関する問題

名前：竹内リンキ 日付：12月13日(木) 16時8分

http://www.geisya.or.jp/~mwm48961/math2/m3cir103.htm

上のサイトの一番下の問題が分からないんですが
どう考えれば答えにたどり着けるんでしょうか？

	35162．Re: 円に関する問題
	名前：教得手　学日付：12月13日(木) 16時36分
	円に内接するこの四角形をＡＢＣＤとします。（ＡＤが直径、∠Ｂ＝∠d となるように記号を付ける）ＡＤが直径だから、∠ＡＣＤ＝90° また、∠ＤＡＣ＝20°だから　∠ＡＤＣ＝70°となります。円に内接するこの四角形では、対角の和は 180°だから ∠d＝180°－∠ＡＤＣ＝110° 難しく考えすぎたのでしょうか。以上で求まりますね。

	35163．Re: 円に関する問題
	名前：竹内リンキ日付：12月13日(木) 16時41分
	自己解決しました。ありがとうございました。

	35164．Re: 円に関する問題
	名前：竹内リンキ日付：12月13日(木) 16時43分
	す、すみません。。更新ボタンを押して誰も答えていないと思ったので上のような文を書いてしまいました。申し訳ございません。 >>学先生とても参考になりました。ありがとうございました。

35156．私の証明

名前：竹内リンキ 日付：12月13日(木) 14時46分

外心と垂心が一致する三角形ABCは正三角形であることを証明せよ。

自分でやってみたんですが、証明をする上で、どこが間違ってるのか（全部間違えてそうだけど・・）
どうやって証明していけばいいのか、外心と垂心の問題を解く上でのコツとかを教えて欲しいです。
以下、私の答えです。

△ABCの外心をOとすると
点Oから各辺への垂直二等分線をそれぞれL,M,Nとする。
AL=BL,BM=MC,CN=NA,OL=OM=ON
OL⊥ABで点N,Mは辺BC,CAの中点なのでMN//ABより
OL⊥MN
OM⊥BCで点N,Mは辺AB,CAの中点なのでLN//BCより
OM⊥LN
ON⊥ACで点N,Mは辺AB,BCの中点なのでON//ACより
ON⊥LM
以上より点Oは△ABCの垂心でもある。
よって△ABCは正三角形である。

教科書の答えが全然違ったんですが、どうしてこれではだめなんでしょうか？
おねがいします。

	35158．Re: 私の証明
	名前：ヨッシー日付：12月13日(木) 15時22分
	△ABCの外心をOとすると点Oから各辺への垂直二等分線をそれぞれL,M,Nとする。点Ｏから、AB,BC,CA におろした垂線の足をL,M,N とする。 AL=BL,BM=MC,CN=NA,OL=OM=ON 点Ｏは外心なので、OA=OB=OC ではありますが、OL=OM=ON とは限りません。 OL⊥ABで点N,Mは辺BC,CAの中点なのでMN//ABより OL⊥MN OM⊥BCで点N,Mは辺AB,CAの中点なのでLN//BCより OM⊥LN ON⊥ACで点N,Mは辺AB,BCの中点なのでON//ACより ON⊥LM 以上より点Oは△ABCの垂心でもある。 OL⊥MN,OM⊥LN,ON⊥LM では、点Ｏが△ＬＭＮの垂心であることを言っただけで、△ＡＢＣの垂心とは限りません。そもそも、点Ｏが△ＡＢＣの垂心であることは、はじめからわかっているので、ここで、示す必要はありません。よって△ABCは正三角形である。正三角形であることは、示されていません。正三角形であることを示すには、ＡＢ＝ＢＣ＝ＣＡを示すか、 ∠Ａ＝∠Ｂ＝∠Ｃを示します。 OL=OM=ON を持ち出しているということは、最初から、△ＡＢＣは正三角形だと決めつけていませんか？それは、証明すべきことで、最初から使って良いことは、点Ｏが、△ＡＢＣの外心であり、同時に垂心であるということです。正しくは、 △ＡＢＣの外心と垂心が一致するということは、点ＡからＢＣにおろした垂線と、、点ＡとＢＣの中点Ｌを結ぶ線(中線)が、同一であるということです。 △ＡＢＬと△ＡＣＬにおいて、　ＢＬ＝ＣＬ　ＡＬは共通　∠ＡＬＢ＝∠ＡＬＣ＝90° より、△ＡＢＬ≡△ＡＣＬとなり、ＡＢ＝ＡＣとなります。同様に、ＢＡ＝ＢＣが言えるので、　ＡＢ＝ＢＣ＝ＣＡとなり、△ＡＢＣは正三角形になります。　　 http://yosshy.sansu.org/

	35159．Re: 私の証明
	名前：竹内リンキ日付：12月13日(木) 16時4分
	ありがとうございました。垂線であるALと外心Oからの垂線が同一線上にあることを述べてから、外心からの垂線の特徴の垂直二等分線から BL=CLを述べて、ALが共通であると述べて一気に証明するんですね。なかなか難しいですが、覚えていきたいと思います。似たような問題が教科書にあれば、それで練習していきたいです。証明はどうも苦手なので、ここでたびたび聞きに来るかもしれませんがどうかよろしくおねがいします。

35155．外心を利用しての証明？

名前：竹内リンキ 日付：12月13日(木) 14時36分

△ABCの辺BC,CA,ABの中点をそれぞれ、L,M,Nとする。
△ABCの外心Oは△LMNの垂心であることを証明せよ。

どうやって証明していくんでしょうか？
外心であるところを利用するようなんですが、証明問題は苦手でうまくいきません。
おねがいします。

	35157．Re: 外心を利用しての証明？
	名前：ヨッシー日付：12月13日(木) 15時2分
	△ＡＢＣの外心は、点Ｌ、Ｍ、Ｎから、辺ＢＣ，ＣＡ，ＡＢに垂直に引いた３直線の交点です。一方、中点連結定理により、ＢＣ，ＣＡ，ＡＢと、ＭＮ，ＮＬ，ＬＭは、それぞれ平行であるので上記の３直線は、Ｌ、Ｍ、Ｎから、ＭＮ，ＮＬ，ＬＭにおろした垂線であり、それらの交点は、△ＬＭＮの垂心となり、△ＡＢＣの外心と一致することになります。　 http://yosshy.sansu.org/

	35161．Re: 外心を利用しての証明？
	名前：竹内リンキ日付：12月13日(木) 16時28分
	ありがとうございました。質問があるのですが一方、中点連結定理により、ＢＣ，ＣＡ，ＡＢと、ＭＮ，ＮＬ，ＬＭは、それぞれ平行であるので上記の３直線は、Ｌ、Ｍ、Ｎから、ＭＮ，ＮＬ，ＬＭにおろした垂線であり、ＭＮ，ＮＬ，ＬＭは、それぞれ平行である、というのは分かるんですが、どうして△ＬＭＮの中にそれぞれ垂線をひいて、その３線が交わる点が外心と一緒といえるんでしょうか？

	35165．Re: 外心を利用しての証明？
	名前：ヨッシー日付：12月13日(木) 18時35分
	＞どうして△ＬＭＮの中にそれぞれ垂線をひいて、その３線が交わる点が外心と一緒といえるんでしょうか？もしや、△ＬＭＮの外心と思っていませんか？　 http://yosshy.sansu.org/

35152．解き方がわかりません・・・・よろしくお願いします。

名前：akko 日付：12月13日(木) 0時20分

次の図のｘの値を求めよ。

	35153．Re: 解き方がわかりません････よろしくお願いします｡
	名前：hari 日付：12月13日(木) 1時52分
	①円周上の点を左上から左回りにA, B, C, D、交点をOとし、補助線AB, CDをひくと、対頂角と円周角が等しいことから△OAB∽△ODCより 3 : x = 4 : 5 x = 15/4 ③円周上の点を左上から左回りにA, B, C、円外の点をDとする。接弦定理より△ABC∽△DACなので BC : AC = AC : CD ACをyおくと 5 : y = y : 3 三平方の定理より x^2 = 9 + y^2 よってx = 2√6 ②円周上の点を左上から左回りにA, B, C, D、円外の点をOとし、補助線AB, CDをひくと、内接四角形の対角の和が180°から△OAB∽△OCDより x : 8 = 3 : 4 x = 6

	35167．ありがとうございました。
	名前：akko 日付：12月13日(木) 22時59分
	hari先生、有難うございます。ご親切に教えてくださって有難うございます。 ③の接弦定理より△ABC∽△DACというのが私にはわからなくて・・・接弦定理を使ったら、角BAD＝角ACDと思ったんですが、私が接弦定理をあんまり理解できてないみたいで・・すみませんが、もう少しだけわかりやすく説明してもらえますか？

	35177．Re: 解き方がわかりません････よろしくお願いします｡
	名前：hari 日付：12月14日(金) 4時52分
	接弦定理ではどことどこの角度が等しくなるか押さえておいてください。それはご自分で確認お願いします。 ③に関しては∠ABC = ∠DACです。実は別に今回の場合接弦定理を使わなくても直角三角形なので相似がいえます。一般に∠C = 90°直角三角形ABCがあったとします。 CからABにおろした垂線の足をDとすると △ABC ∽ △CDB ∽ ACD となります。

	35181．よく理解できました。
	名前：akko 日付：12月14日(金) 21時39分
	ありがとうございました。また、よろしく御願いします。

35150．行列の応用問題

名前：ゴロー　高校3年 日付：12月12日(水) 22時29分

全体的に分からないので、よろしくお願いします。

	35151．Re: 行列の応用問題
	名前：ゴロー　高校3年日付：12月13日(木) 0時9分
	写真がうまくアップできていませんでした。

	35154．Re: 行列の応用問題
	名前：hari 日付：12月13日(木) 2時45分
	(1) A^2を計算するとa^2B1B2 + b^2C1C2になるので A^nをa^n B1B2 + b^n C1C2と仮定して帰納法で示すのがいいと思います。 (2) (1)でn≧1でA^n = a^n B1B2 + b^n C1C2がわかったのでn = -1でも成り立つのではと予想を立てます。右辺のn = -1を代入したものをDとおいて AD = DA = Eを示せばDが逆行列であるといえます。（ある行列が逆行列を持つときそれはただ一つ） B1B2 + C1C2 = Eも示さないといけませんね。

35140．定理がよくわからない

名前：イヴィ・アトランタ 日付：12月11日(火) 21時48分

中線定理
△ABCの辺BCの中点をMとすると
AB^2+AC^2=2(AM^2+BM^2)

メネラウスの定理
△ABCの辺BC, CA AB　またはその延長が、
三角形の頂点を通らない１つの直線と
それぞれ点P, Q, R で、交わるとき
(BP/PC)*(CQ/QA)*(AR/RB)=1

チェバの定理
△ABCの3頂点A, B, C と、三角形の辺上にも
その延長線上にもない点O　とを結ぶ直線が、
対辺BC, CA, AB　またはその延長と交わるとき
交点をそれぞれ、P, Q, R とすると
(BP/CP)*(CQ/QA)*(AR/RB)=1

チェバの定理の逆
△ABCの辺BC, CA, AB　またはその延長上に
それぞれ、点P, Q, R があり、この3点のうち、1個
または3個が辺上にあるとする。
このとき、BQ, CR　が交わり、かつ
(BP/PC)*(CQ/QA)*(AR/RB)=1
が成り立つならば、3直線AP, BQ, CR は1点で交わる。

という4つの定理がよく理解できません。
教科書を何度も読んだんですが、どうにも理解できません。
教えて欲しいです。。
でも、あんまり質問が多いと嫌かもしれないので、
それだったら、自分で何とかしようと思うんですが
なんともならならなかったので、ここで聞こうと思ったんですが
何を言ってるかよく分からなくなったんですが、
図などで教えてもらえれば、と思って書き込ませてもらいました。
おねがいします。

	35141．Re: 定理がよくわからない
	名前：ヨッシー日付：12月11日(火) 22時31分
	とりあえず、こちらをご覧ください。　 http://yosshy.sansu.org/

	35142．Re: 定理がよくわからない
	名前：イヴィ・アトランタ日付：12月11日(火) 23時0分
	中線定理はなんとか理解できました。メネラウス定理の左辺のつくりかたで今悩んでいます。。

	35143．Re: 定理がよくわからない
	名前：イヴィ・アトランタ日付：12月11日(火) 23時1分
	ヨッシーさんありがとうございました。サイトのほうへ行って見ます。

	35144．Re: 定理がよくわからない
	名前：イヴィ・アトランタ日付：12月11日(火) 23時13分
	ヨッシーさんの定理の覚え書きを見ていて疑問ができたんですがチェバの定理やメネラウスの定理で三角形ＡＢＣの辺ＢＣ，ＣＡ，ＡＢ上に点Ｄ，Ｅ，Ｆをとり、線分ＡＤ，ＢＥ，ＣＦが１点Ｇで交わるとき次の式が成り立つ。　(ＡＦ/ＢＦ)(ＢＤ/ＣＤ)(ＣＥ/ＡＥ)＝１ａ＝△ＢＣＧ、ｂ＝△ＣＡＧ、ｃ＝△ＡＢＧとします。というのは分かるんですがＡＦ/ＢＦ＝ｂ/ａ、ＢＤ/ＣＤ＝ｃ/ｂ、ＣＥ/ＡＥ＝ａ/ｃというように、ＡＦ／ＢＦといった分数からどうしてｂ/ａとできるんでしょうか？それと、メネラウスの定理は点Ｆからのびる線が点Ｃより右にあると思ってたんですがふつうの三角形でもどうして成立するんでしょうか？おねがいします。

	35145．Re: 定理がよくわからない
	名前：ヨッシー日付：12月11日(火) 23時22分
	チェバの図で、ＡＦ/ＢＦ＝ｂ/ａを説明すると、　ＡＦ/ＢＦ＝△ＡＦＣ/△ＢＦＣ　　高さ一定で、底辺比が面積比同様に　ＡＦ/ＢＦ＝△ＡＦＧ/△ＢＦＧよって、　ＡＦ/ＢＦ＝(△ＡＦＣ－△ＡＦＧ)/(△ＢＦＣ－△ＢＦＧ)＝ｂ/ａメネラウスを説明するには、これだけで十分ですが、チェバと図を共通にするために三角形にしています。　 http://yosshy.sansu.org/

	35146．Re: 定理がよくわからない
	名前：イヴィ・アトランタ日付：12月12日(水) 7時54分
	昨日からずっと考えているのですがヨッシーさんのレスを見てぼんやりとですが分かってきましたありがとうございました！

35138．ターナーの定理

名前：ゴリラさん 日付：12月11日(火) 20時47分

初めまして！ちょっと分からないことがあって質問したいのですが、タイトルにあるようにターナーの定理についてなんですが、調べてもどこにもなくて困ってます。何が分からないかというと、『ターナーの定理；三角形ABCの外接円に関して互いに反点である２点P、Qがあって、・・・』とあり、証明で、『・・・また、OC＾２＝OP×OQが成り立っているから、OCは３点C、P、Qを通る円に接している。よって角OCP=角OQC・・・』という部分です。全然分かりません。なんでそうなるのでしょうか？

	35139．Re: ターナーの定理
	名前：ヨッシー日付：12月11日(火) 21時14分
	点Ｏは、どういう点ですか？式を見ると、方べきの定理のような気はしますが。　 http://yosshy.sansu.org/

35133．三角形の基本らしいです

名前：イヴィ・アトランタ 日付：12月11日(火) 18時23分

こんにちは
質問があってこさせてもらいました。

AB=4, BC=3, CA=2 である△ABCにおいて、∠Aおよびその外角の二等分線がBCと交わる点を
それぞれ、D, E, とする。線分DEの長さを求めよ。

自分で考えると
AB:AC=BD:CDと式を立ててみるんですが
4:2=x:(3-x)　となって前へ進めません。
このとき、外分点を求める(-nx+my)/m-n とかいうのはいらないんでしょうか？

質問ばかりですみません
おねがいします。

	35134．Re: 三角形の基本らしいです
	名前：教得手　学日付：12月11日(火) 19時48分
	まず AC^2+BC^2＝13＜16＝AB^2　より、∠ＡＣＢは鈍角になります。つぎに、4:2=x:(3-x)を解いて、ＢＤ＝2 ,ＤＣ＝1　となります。 △ＡＢＣにおいて余弦定理を使うと、cos∠Ｂ＝7/8 よって、ＡからＢＥへ下ろした垂線をＡＨとすると、ＢＨ＝7/2 ∴ＤＨ＝3/2　となります。また、余弦定理より、ＡＤ＝√6 ∠ＤＡＥ＝∠ＡＨＤ＝90°より、△ＥＤＡ∽△ＡＤＨゆえにＤＥ＝ｙとおくと,ｙ：√6＝√6：3/2 これを解くと、ｙ＝4 したがって、ＤＥ＝４　となります。

	35135．Re: 三角形の基本らしいです
	名前：イヴィ・アトランタ日付：12月11日(火) 20時35分
	ありがとうございました！早く応答レスをいただけて嬉しいです！

	35148．Re: 三角形の基本らしいです
	名前：七日付：12月12日(水) 13時6分
	解決しているようですが △ABC の内角∠Aの二等分線とBCとの交点をDとすると BD:DC＝AB:AC＝2:1だから DC＝1 また頂点Aにおける外角の二等分線とBCの延長との交点をEとすると BE:EC＝AB:AC＝2:1 したがって BC:CE＝1:1 ですから CE＝3 よって DE＝DC＋CE＝4

35128．対角化

名前：ゴロー　高校3年 日付：12月10日(月) 23時35分

応用問題がなかなか解けません。　よろしくお願いします。

	35147．Re: 対角化
	名前：X 日付：12月19日(水) 16時7分
	(1) (i)a=0のとき Aは単位行列となり既に対角化されていますので Pは任意の直交行列。又、対角化した行列は3次元の単位行列です。 (ii)a≠0のとき Aの固有方程式は (t-1-2a)(t-1+a)^2=0 ∴固有値は2a+1,1-a 2a+1に対する固有ベクトルは kτ(1,1,1) (A) 又、1-aに対する固有ベクトルは lτ(1,0,-1)+mτ(0,1,-1) (B) (k,l,mは実数) 従ってPが単に対角化に使う行列であれば τ(1,1,1),τ(1,0,-1),τ(0,1,-1) を並べて P=M{(1,1,0),(1,0,1),(1,-1,-1)} とするところですが、Pは直交行列ですので並べる縦ベクトルは単位ベクトル、かつ互いに直交 (※P) でなければなりません。そこでそのような縦ベクトルの選び方ですがまず(A)から τ(1/√3,1/√3,1/√3) (A)' は必ず必要です。残り二つは(B)から作るわけですが、解答と同じ作り方ですとまず一つ目として mτ(0,1,-1) の形の単位ベクトルを選び τ(0,1/√2,-1/√2) (B)' 二つ目の単位ベクトル(↑rとします)は(B)より ↑r=lτ(1,0,-1)+mτ(0,1,-1)(B)" として(A)'(B)'(それぞれ↑p、↑qとします)から ↑p・↑r=↑q・↑r=0 (C) \|↑r\|=1 (D) の条件を使ってl,mについての連立方程式を立ててその値を決定します。これらから P=(↑p,↑q,↑r) となります。ですが解答にある通り、↑q、↑rは他の選び方もあります。例えば↑qとして(B)から lτ(1,0,-1) の形の単位ベクトル τ(1/√2,0,-1/√2) を選び(B)"(C)(D)を使って↑rを決定しても、何も問題ありません。 (2) ↑xが ↑x≠↑0、↑x∈R^3 を満たすものと仮定して解答します。 ↑x=P↑y (E) と置くと τx=(τ↑y)(τP) これらを τxAx>0 に代入すると (τ↑y)(τPAP)↑y>0 (F) ここで(1)の結果からτPAPはAを対角化したもの (∵)Pは直交行列ゆえP^(-1)=τP ですので ↑y=τ(t,u,v) と置くと(F)より (2a+1)t^2+(1-a)u^2+(1-a)v^2>0 (G) (E)よりyも ↑y≠↑0、↑y∈R^3 なる任意のベクトルであることに注意すると (G)が成立するためには 2a+1>0 かつ 1-a>0 ∴-1/2<a<1

	35253．Re: 対角化
	名前：X 日付：12月19日(水) 16時20分
	補足します。 (※P)の(∵) 行列Pが縦ベクトル↑x1,↑x2,↑x3でできているとします。つまり P=(↑x1,↑x2,↑x3) このときτPPの(i,j)成分は τ(↑xi)(↑xj)=↑xi・↑xj (注)τ(↑xi)は↑xiを横ベクトルにしたものになります。になりますので τPP=E であることから ↑xi・↑xj=0 (i≠jのとき) (A) ↑xi・↑xj=1 (i=jのとき) (B) (A)より ↑x1・↑x2=↑x2・↑x3=↑x3・↑x1=0 ∴↑x1、↑x2、↑x3は互いに直交します。又(B)より \|↑x1\|=\|↑x2\|=\|↑x3\|=1 ∴↑x1、↑x2、↑x3は単位ベクトルです。

35122．また、教えていただきたいです。

名前：akko 日付：12月10日(月) 21時50分

①（１）黒い色の部分の面積を求めよ。（中学数学）
　（２）△ABCの面積を求めよ。

②図のような半径１０ｃｍの半径を直線ｌを軸として、９０°回転させたあとにできる立体について次の問いに答えよ。
（１）表面積を求めよ。

③図のように、放物線ｙ＝２/９x2上に２点A（６・８）,
B（－３・２）がある。またx軸上に点ｐをとって、AP+PBが最も短くなるようにするとき、点ｐのx座標を求めよ。

来年１月に受験するのでたびたびお世話になるかもしれませんがよろしくお願いします。
　　　　　　　　　　　　

	35124．Re: また、教えていただきたいです。
	名前：akko 日付：12月10日(月) 22時45分
	①の（２）間違いですので、無視してください。すみません。

	35125．Re: また、教えていただきたいです。
	名前：ヨッシー日付：12月10日(月) 22時58分
	①(1)この図だけでは、面積は求まりません。 ②球面の１／４と、平面になっている半円２つなので、　４π・10²／４＋π・１０²＝200π ③ 図のように　点Ｂ’（－３，－２）をとると、　ＡＰ＋ＰＢ＝ＡＰ＋ＰＢ’ であり、ＡＰＢ’が直線になるときが、最短です。　 http://yosshy.sansu.org/

	35130．お返事ありがとうございます。
	名前：akko 日付：12月11日(火) 8時2分
	②の考え方が私にはわかりにくいので、もう少しわかりやすく教えていただけませんでしょうか？球の面積を求める公式はわかるんですが・・・４パイRの2を使うんですよね。すみません。

	35131．Re: また、教えていただきたいです。
	名前：ヨッシー日付：12月11日(火) 8時47分
	図のような、球を１／４に切った立体が出来ます。青い部分が、球面の１／４で　４πｒ²÷４黄色の部分が、切り口で、半円が２つですから　πｒ²÷２×２合わせて、　πｒ²＋πｒ²＝２πｒ² ｒ＝１０とすると、200π　です。　 http://yosshy.sansu.org/

	35132．ありがとうございます。
	名前：akko 日付：12月11日(火) 13時51分
	わかりやすい図を作って戴きうれしいです。ヨッシーさん、すごくわかりやすく教えていただいて感謝しています。

35118．一次変換

名前：ゴロー　高校3年 日付：12月9日(日) 23時45分

2度すいません。　一次変換の問題なんですが・・・よろしくお願いします。

	35119．Re: 一次変換
	名前：ヨッシー日付：12月9日(日) 23時57分
	(1) は、ｚ座標はそのままで、ｘｙだけの変換になります。ｙ＝－ｘに関する対称移動は（ｘ，ｙ）→（－ｙ，－ｘ）なので、（ｘ，ｙ，ｚ）→（－ｙ，－ｘ，ｚ）に移る、行列を作ればいいでしょう。 (2) 点Ａ(p,q,r) をｘ＋ｙ＋ｚ＝０に関して対称に移動することを考えます。点Ａを通り、ｘ＋ｙ＋ｚ＝０に垂直な直線の式は、　ｘ＝ｔ＋ｐ、ｙ＝ｔ＋ｑ、ｚ＝ｔ＋ｒ　（ｔは実数）であり、この直線と、ｘ＋ｙ＋ｚ＝０との交点は、　(ｔ＋ｐ)＋(ｔ＋ｑ)＋(ｔ＋ｒ)＝０　ｔ＝－(ｐ+ｑ＋ｒ)／３より、　((２ｐ－ｑ－ｒ)／３，（２ｑ－ｒ－ｐ）／３，（２ｒ－ｐ－ｑ）／３) であるので、移動先の点は、この点に関し、点Ａと対称な点となります。その点は　（（ｐ－２ｑ－２ｒ）／３，（ｑ－２ｒ－２ｐ）／３，（ｒ－２ｐ－２ｑ）／３）となるので、解答のような行列になります。　 http://yosshy.sansu.org/

	35126．Re: 一次変換
	名前：ゴロー　高校3年日付：12月10日(月) 23時8分
	なるほど…ありがとうございます！

35110．行列

名前：ゴロー　高校3年 日付：12月9日(日) 22時10分

写真の問題がわかりません。
答えはa=6,b=-3,c=-2です。

	35114．Re: 行列
	名前：ヨッシー日付：12月9日(日) 22時27分
	そのまま計算すると、　ｘ^tＡｘ＝ｘ²(a+2b)＋ｘｙ(-3b+4c-1)＋ｙ²(a+3c) となるので、　a+2b=0 　-3b+4c-1=0 　a+3c=0 これを解いて、a=6,b=-3,c=-2 となります。　 http://yosshy.sansu.org/

	35117．Re: 行列
	名前：ゴロー　高校3年日付：12月9日(日) 23時38分
	ありがとうございます！

35108．関数の問題を教えてくださいませんか？

名前：akko 日付：12月9日(日) 19時58分

①３点A（４，５）B（－１，１)C（３,３）を頂点とする△ABCの重心の座標を求めよ。

②直線y＝３ｘ－２について、次の直線式を求めよ。
（１）ｘ軸について対称な直線
（２）ｙ軸について対称な直線
（３）原点について対称な直線　
（４）ｙ＝ｘについて対称な直線

③－２ｘ＋１と原点について対称な直線の式を求めよ。

困っています。お力をかして戴きたいです。

	35109．Re: 関数の問題を教えてくださいませんか？
	名前：ヨッシー日付：12月9日(日) 21時51分
	(1) 重心の公式３点Ａ(x1,y1)、Ｂ(x2,y2)、Ｃ(x3,y3) を頂点とする三角形の重心の座標は　（(x1+x2+x3)/3, (y1+y2+y3)/3）と表される。に当てはめます。 (2) （１）ｘ軸について対称な直線・・・ｙを－ｙに置き換えます（２）ｙ軸について対称な直線・・・ｘを－ｘに置き換えます（３）原点について対称な直線・・・ｘを－ｘに、ｙを－ｙに置き換えます（４）ｙ＝ｘについて対称な直線・・・ｘとｙを入れ替えます (3) －２ｘ＋１　だけでは直線を表しません。　 http://yosshy.sansu.org/

	35111．Re: 関数の問題を教えてくださいませんか？
	名前：akko 日付：12月9日(日) 22時18分
	（３）は直線ｙ＝－２ｘ＋１と原点について対称な直線の式を求めよでした。よろしくお願いします。早速のお返事有難うございます。

	35113．Re: 関数の問題を教えてくださいませんか？
	名前：ヨッシー日付：12月9日(日) 22時22分
	いや、そうだとは思ってましたけど、 (2)の（３）ができたら、この問題も出来るでしょう。　 http://yosshy.sansu.org/

	35115．Re: 関数の問題を教えてくださいませんか？
	名前：akko 日付：12月9日(日) 22時49分
	ヨッシーさん、答えはｙ＝－２ｘ－１でよろしいですか？

	35116．Re: 関数の問題を教えてくださいませんか？
	名前：ヨッシー日付：12月9日(日) 23時19分
	正解です。　 http://yosshy.sansu.org/

	35121．Re: 関数の問題を教えてくださいませんか？
	名前：akko 日付：12月10日(月) 21時32分
	すごくわかりやすかったです。

35107．数列

名前：ぐるる 日付：12月9日(日) 17時33分

等比数列anがあり、a1=2,a4=16で、数列bnがあり、b1=2,b(n+1)-bn=an +3 (n=1,2,3・・・）を満たしている。

（１）anをnを用いて表せ。
（２）bnをnを用いて表せ。
（３）Sn=a1b1+a2b2+a3b3+・・・+anbnとする。Snをnを用いて表せ。

（３）がよくわかりません。教えてもらえますか？

	35112．Re: 数列
	名前：ヨッシー日付：12月9日(日) 22時21分
	(1) 実数に限ると、公比は２です。　ａn＝２ⁿ (2) 　ｂ_n+1－ｂ_n＝２ⁿ＋３より、　ｂ_n＝ｂ₁＋Σ_k=1～n-1(２ⁿ＋３) 　　＝２＋(２ⁿ－２)＋３(n-1) 　　＝２ⁿ＋３(n-1) (3) ａ_nｂ_n＝４ⁿ＋３(n-1)２ⁿ より、　Ｔ＝Σ_k=1～n４^k 　Ｕ＝Σ_k=1～n{３(k-1)２^k} とおくと、　Ｔ＝(４ⁿ⁺¹－４)/３　Ｕ＝０・２＋３・４＋６・８＋・・・＋３(n-1)２ⁿ ２Ｕ＝　　　　０・４＋３・８＋・・・＋３(n-2)２ⁿ＋３(n-1)２ⁿ⁺¹ 下式から上式を引いて、　Ｕ＝３(n-1)２ⁿ⁺¹－３(４＋８＋・・・＋２ⁿ) 　　＝３(n-1)２ⁿ⁺¹－３(２ⁿ⁺¹－４) 　　＝３(n-2)・２ⁿ⁺¹＋１２よって、　Ｓ＝(４ⁿ⁺¹－４)/３＋３(n-2)・２ⁿ⁺¹＋１２　 http://yosshy.sansu.org/

	35129．Re: 数列
	名前：ぐるる日付：12月11日(火) 3時16分
	ありがとうございます。よくわかりました。

35102．ベクトル

名前：あい日付：12月8日(土) 19時55分

→p*→q＝→q*→pですか？
交換法則は成り立つのでしょうか？
お願いします。

	35104．Re: ベクトル
	名前：ヨッシー日付：12月8日(土) 19時58分
	＊は、何の印でしょうか？内積なら成り立ちます。外積なら、成り立つとは限りません。　 http://yosshy.sansu.org/

	35123．Re: ベクトル
	名前：あい日付：12月10日(月) 22時3分
	×のつもりでした。×を表しませんでしたか？＞＜外積と内積の違いを教えてください。。。

	35127．Re: ベクトル
	名前：ヨッシー日付：12月10日(月) 23時10分
	* は、プログラム言語やExcel などで、掛け算を表しますが、外積を表す×までをも表すとは、聞いたことがありません。以下、太字は、ベクトルです。　ａ＝(ｘ1，ｙ1) 　ｂ＝(ｘ2，ｙ2) とし、ａとｂのなす角をθとすると、　ａ・ｂ＝\|ａ\|\|ｂ\|cosθ＝ｘ1ｘ2＋ｙ1ｙ2 が内積の定義です。外積は、私のページの覚え書きコーナーの「ベクトルの外積」をご覧ください。　 http://yosshy.sansu.org/

	35149．Re: ベクトル
	名前：あい日付：12月12日(水) 17時19分
	わかりましｙた、とても助かりましたありがとうございました！

35097．メネラウスの定理

名前：ｌｏｏｆ 日付：12月8日(土) 12時54分

任意の点ってなんですか？

	35098．Re: メネラウスの定理
	名前：らすかる日付：12月8日(土) 16時30分
	文脈によって最適な説明が変わります。 http://www10.plala.or.jp/rascalhp

	35099．このときの任意の点の意味を教えてください。
	名前：ｌｏｏｆ日付：12月8日(土) 17時22分
	三角形ＡＢＣの辺ＢＣ，ＣＡ，ＡＢ上に点Ｄ，Ｅ，Ｆをとり、線分ＡＤ，ＢＥ，ＣＦが１点Ｇで交わるとき、以下の等式が成り立つ。

	35100．Re: メネラウスの定理
	名前：ヨッシー日付：12月8日(土) 17時38分
	おおざっぱに言って、「任意の」は「すべての」と同じと思って良いです。上の例だと、点Ｇは、ある特定の点（たとえば重心とか）ではなく、どの位置にとっても成り立つという意味です。それは、△ＡＢＣ内のすべての点、と言い換えても良いでしょう。　 http://yosshy.sansu.org/

35096．sin nXとcos nXについて

名前：daigoron 日付：12月8日(土) 12時45分

sinnA=nsinAcos~(n-1)A+……
connA=cos~nA-……
になるらしいのですが、よくわかりません

	35103．Re: sin nXとcos nXについて
	名前：ヨッシー日付：12月8日(土) 20時22分
	……で表すなら、ある規則で並んでいるはずですが、上の式からは、その規則が読み取れません。右辺の２項目以降は、示されていませんか？　 http://yosshy.sansu.org/

	35105．Re: sin nXとcos nXについて
	名前：daigoron 日付：12月9日(日) 9時21分
	パソコンで打ち方がわからないので添付ファイルに示しました。

	35106．Re: sin nXとcos nXについて
	名前：X 日付：12月9日(日) 13時35分
	ドモアブルの定理により(オイラーの公式でも可) cosnx+isinnx=(cosx+isinx)^n (A) (A)の右辺を二項定理を用いて展開して実部と虚部にまとめ、両辺を比較します。

35093．(untitled)

名前：櫻　井 日付：12月8日(土) 11時9分

ある小学校で男子の割合は全体の４５％です。男子の平均身長は全体の平均身長より1．1cm高いとき、女子の平均身長は全体の平均身長より何㎝低いですか？

	35095．Re: (untitled)
	名前：Kurdt 日付：12月8日(土) 11時49分
	こんにちは。これは男子と女子の身長を図に表したものです。青い部分が男子の身長で、ピンクの部分が女子の身長です。それぞれ横の長さは人数の比（45：55）を表しています。また、灰色の線は平均身長を表しています。平均身長が灰色の線のところになるということは、青い部分のうち、灰色の線より上に出ているところと、黄色い部分の面積が等しくなっているということですね。黄色い部分に面積を移すとちょうど平らになるわけですから。青い部分のうち、灰色の線より上に出ている部分の面積は、横が45％なので0.45、たては平均身長より1.1cm高いので1.1です。黄色い部分の面積は横が55％なので0.55、たては○としておきましょう。あとはこの両者の面積が等しくなるように○を決めればいいですね。答えは 0.9[cm] になります。 http://fairytale.holy.jp/

35091．又教えてください。

名前：baberu 日付：12月8日(土) 2時1分

全国のお父さん向け
ヨッシーの数学テキスト
の、答えはどこにあるのでしょうか。最後のほうは、「ここをクリック」と言うのがあるのですが。よろしくお願いします。

	35092．Re: 又教えてください。
	名前：ヨッシー日付：12月8日(土) 6時53分
	印刷をすれば出ます。というのは、一つの方法ですが、印刷しなくても、見ることは出来ます。ヒントは、マウスでドラッグ、文字反転　 http://yosshy.sansu.org/

	35094．Re: 又教えてください。
	名前：らすかる日付：12月8日(土) 11時9分
	Ctrl+A でも可 http://www10.plala.or.jp/rascalhp

	35120．Re: 又教えてください。
	名前：baberu 日付：12月10日(月) 21時26分
	お返事遅くなってすみません。肩の脱臼で固められていました。それにしても、もう・・・「どうなってるんですかあああ？」もう自分が馬鹿に見えて見えて、本当に馬鹿な大人になっちゃってって落ち込むばかりです。ここにくる、子供達は、礼儀も正しく写真をＵＰする方法も既に知っている。みんなどんな教育を受けてどんな、レベルの子供達だろうっていつも思っていました。それにしても、本当に、この回答を見せる技っていうのでか？ここは、数学だけではなく、パソコンの質問も受けてくれそうだと思うほど、もう、すっごおおおおい天才の方ばかりで子供を、こんな風に育てようと思えば、どんな事からすればよいかと、子育てに詰まってしまいそうです。びっくり！仰天！あっけにとられました！超天才ぐルーープさんですね！よだれをたらして、寝ている子供をみてため息ばかりで今夜は眠れそうにありません。私のためにもずっとここ開けて置いてくださいね。本当に有難うございました。

35083．回転体

名前：ケンタ 日付：12月7日(金) 1時0分

半径aの球の中央から、半径bの円柱状の穴をくりぬいた立体の体積を求めよ。ただしa<bとする。

	35084．Re: 回転体
	名前：ケンタ日付：12月7日(金) 1時1分
	すみません。a＞bです。

	35085．Re: 回転体
	名前：hari 日付：12月7日(金) 1時36分
	円柱の軸を含む平面で切って円柱の軸をx軸、円の中心を通りx軸に垂直な直線をy軸に取ります。くり抜く体積は 2πb^2√(a^2 - b^2) + 2∫[√(a^2 - b^2),a]π(a^2 - x^2) dx になることがわかります。

	35086．Re: 回転体
	名前：らすかる日付：12月7日(金) 4時52分
	《参考》底面の半径がaで高さが2aの円柱の上下から底面の半径がaで高さがaの円錐をくりぬいたものにおいて、円柱の底面に平行な面で切った断面積を考えると、これは半径aの球の断面積と等しい。半径aの球の中央から半径bの円柱状の穴をくりぬくというのは、上記円柱を底面の半径が√(a^2-b^2)になるように細く削ることにほかならない。このように削ると半径√(a^2-b^2)の球と体積が等しくなる。 http://www10.plala.or.jp/rascalhp

	35088．Re: 回転体
	名前：X 日付：12月7日(金) 14時43分
	別解) 問題の立体の球の中心を原点として、くりぬいた円柱の中心軸 (lとします)に垂直にx軸を取ります。今、中心軸がlである、底面の半径xの円柱でこの立体を切った側断面の面積を Sとすると S=2πx√(a^2-x^2) よって求める体積をVとすると V=∫[b→a]Sdx =∫[b→a]2πx√(a^2-x^2)dx =[-(2/3)2π(a^2-x^2)^(3/2)][b→a] =(4π/3)(a^2-b^2)^(3/2) (「バウムクーヘン積分」でネット検索してみて下さい。)

35081．同じような問題です。

名前：ケンタ 日付：12月7日(金) 0時47分

関数　y＝logXのグラフ上の２点A,Bを結ぶ線分ABの中点が、点P（2,0）であるという。２点A,Bの座標,および,曲線　Y=logXと線分ABで囲まれた部分の面積を求めよ。

	35082．Re: 同じような問題です。
	名前：ケンタ日付：12月7日(金) 0時57分
	条件から面積S=∫2+√3→2-√3[logX－{log(2+√3)/√3}(X-2)]dxまで出せたんですが、ここから先がわかりません。

	35087．Re: 同じような問題です。
	名前：ヨッシー日付：12月7日(金) 8時37分
	S=∫2+√3→2-√3[logX－{log(2+√3)/√3}(X-2)]dx の {log(2+√3)/√3}(X-2) の方は、１次式なので、積分はすぐ出来るでしょう。問題は、∫logｘdx ですが、以下のようにやります。部分積分により　∫logｘdx＝∫(x)'logｘdx＝ｘlogｘ－∫ｘ(logｘ)'dx 　　＝ｘlogｘ－ｘ＋ＣＣは積分定数ですが、定積分なら関係ありません。　 http://yosshy.sansu.org/

35079．数Ⅲです

名前：ケンタ 日付：12月6日(木) 23時37分

ヨッシーさん、教得手　学さん、ちゃーさん、前回の質問に答えてくれてありがとうございました。
またわからない問題があるので質問します。
曲線ｙ＝１－√ｘとx軸、y軸で囲まれた部分を、y軸の周りに１回転させてできる立体の体積を求めよ。
です。解答お願いします。　　答はπ/５です。

	35080．Re: 数Ⅲです
	名前：ヨッシー日付：12月7日(金) 0時12分
	ｙ座標ｙにおける切り口の半径は　ｘ＝(1-y)² より、切り口の面積は、　πｘ²＝π(１－ｙ)⁴ これを、0から1まで積分して　π∫₀¹(１－ｙ)⁴dy 　　＝π[(１－ｙ)⁵／５]₀¹ 　　＝π／５　 http://yosshy.sansu.org/

35077．極限値

名前：やす　高3 日付：12月6日(木) 17時27分

マクローリン展開を用いて答える問題です。
lim[x→0](xcos(x)-x)/(log(1+x^3))
はどうなるのでしょうか？

	35078．Re: 極限値
	名前：ヨッシー日付：12月6日(木) 18時16分
	f(x)=xcosｘ-x=a₀+a₁x+a₂x²+･･･ g(x)=log(1+x³)=b₀+b₁x+b₂x²+･･･とおきます。 f(0)=a₀=0 f'(x)=cosｘ-xsinｘ-1=a₁+2a₂x+3a₃x²+･･･　より f'(0)=a₁=0 f"(x)=-2sinｘ-xcosｘ=2a₂+6a₃x+12a₄x²+･･･　より f"(0)=2a₂=0 f⁽³⁾(x)=-3cosｘ+xsinｘ=6a₃+24a₄x+60a₅x²+･･･　より f⁽³⁾(0)=-3=6a₃　よって、a₃=-1/2 g(0)=b₀=0 g'(x)=3x²/(1+x³)=b₁+2b₂x+3b₃x²+･･･　より g'(0)=b₁=0 g"(x)=(6x-3x⁴)/(1+x³)²=2b₂+6b₃x+12b₄x²+･･･　より g"(0)=2b₂=0 g⁽³⁾(x)={(6-12x³)(1+x³)²-6(6x-3x⁴)(1+x³)x²}/(1+x³)⁴=6b₃+24b₄x+60b₅x²+･･･　より g⁽³⁾(0)=6=6b₃　よって、b₃=1 よって、 lim_x→0f(x)/g(x)＝-1/2 　 http://yosshy.sansu.org/

35075．(untitled)

名前：櫻　井 日付：12月6日(木) 13時39分

50円のみかんと８０円のりんごを合わせて２０個買います。みかんとりんごの数を最初考えていたものと逆にしたため１２０円安くなりました。最初みかんを何個買おうとしていましたか？

	35076．Re: (untitled)
	名前：ヨッシー日付：12月6日(木) 14時2分
	りんごとみかんが１０個ずつだと、個数を逆にしても、値段は同じです。りんごの方が１個多いと、（合わせて２０個ではそういうことは起こりませんが）個数を入れ替えると、多かった１個がみかんになるだけなので、３０円安くなります。１２０円安くなったということは、最初りんごの方が４個多かったということです。　 http://yosshy.sansu.org/

35071．(untitled)

名前：あい日付：12月6日(木) 1時54分

f(xの逆関数をg(x)とする
f(1)=2,f`(1)=2.f``(1)=3のときg``(2)の値を求めよ

このとき方がわかりません・・・・

よろしくお願いします＞＜

	35072．Re: (untitled)
	名前：hari 日付：12月6日(木) 2時54分
	逆関数の微分dy/dx = 1/(dx/dy)を用いて g''(x) = (g'(x))' = (1/f'(x))' = - f''(x)/f'(x)^2 となるのでg''(1)ならわかるけどg''(2)はわからないのでは…

	35073．Re: (untitled)
	名前：らすかる日付：12月6日(木) 8時1分
	y=f(x) とすると x=g(y) g'(y)=d{g(y)}/dy=dx/dy=1/(dy/dx)=1/(d{f(x)}/dx)=1/f'(x) g''(y)=d{g'(y)}/dy=d{1/f'(x)}/dy=d{1/f'(x)}/dx・dx/dy =-f''(x)/{f'(x)}^2・1/f'(x)=-f''(x)/{f'(x)}^3 ∴g''(2)=-f''(1)/{f'(1)}^3=-3/8 http://www10.plala.or.jp/rascalhp

	35074．Re: (untitled)
	名前：hari 日付：12月6日(木) 9時15分
	あ…すいません/(´д｀)

	35089．Re: (untitled)
	名前：あい日付：12月8日(土) 0時35分
	わかりました！すごくややこしいんですね・・・私にはですけど＞＜逆関数の導関数の公式として　dy/dx=1/(dx/dy)　と習ったんですけどこれの意味がさっぱりわからないんです・・・適当に式をあわせて変形して使っているという漢感じで・・・どういうほうに考えればわかりやすいでしょうか？申し訳ないですがお願いします。

	35090．Re: (untitled)
	名前：らすかる日付：12月8日(土) 1時28分
	説明が適切かどうかわかりませんが… dy/dx つまりある点でのグラフの傾きは、lim[⊿x→0]⊿y/⊿x という意味ですよね。そう考えると lim[⊿x→0]⊿y/⊿x = lim[⊿x→0]1/{⊿x/⊿y} = 1 / {lim[⊿x→0]⊿x/⊿y} = 1/(dx/dy) のように変形できますね。 http://www10.plala.or.jp/rascalhp

	35101．Re: (untitled)
	名前：あい日付：12月8日(土) 19時53分
	そうなんですか・・・わかりましたありがとうございました。

35060．ｕ∈Ｒ^2を以下の点に写す写像は一次変換です。その変換の標準基底に関する表現行列Ａを求めてください。

名前：表現行列について質問します 日付：12月4日(火) 22時14分

(1)直線y＝√3xに関して折り返した点。

(2)原点を中心として、反時計回りに角度θ回転した点。
大学1年です。よろしくお願いします。

	35068．Re: ｕ∈Ｒ^2を以下同文
	名前：ヨッシー日付：12月5日(水) 9時14分
	たとえば、(2)は、高校で習ったとおり、 (cosθ　-sinθ) (sinθ　 cosθ) ですよね？ (1) は、一般的に解くと　ｙ＝ａｘ　(ａ≠０) に対して点Ａ（ｍ，ｎ）と対象な点を考えると、点Ａを通り、ｙ＝ａｘに垂直な直線は　ｙ＝(-1/a)（ｘ－ｍ）＋ｎこれと、ｙ＝ａｘの交点は　－ｘ／ａ＋ｍ／ａ＋ｎ＝ａｘより、　－ｘ＋ｍ＋ａｎ＝ａ²ｘ　ｘ＝(ｍ＋ａｎ)/(ａ²＋１) このとき、　ｙ＝ａ(ｍ＋ａｎ)/(ａ²＋１) よって、移動先の点は、点Ａを、点（(ｍ＋ａｎ)/(ａ²＋１)，ａ(ｍ＋ａｎ)/(ａ²＋１)）に関して、対象に移動させた点であるので、　（２(ｍ＋ａｎ)/(ａ²＋１)－ｍ，２ａ(ｍ＋ａｎ)/(ａ²＋１)－ｎ）と書け、求める行列は、となります。このａに√3 を代入すれば、求める行列が得られます。　 http://yosshy.sansu.org/

	35069．Re: ｕ∈Ｒ^2を以下同文
	名前：ヨッシー日付：12月5日(水) 9時17分
	別な方法としては、２点（１，０）（０，１）がどこに移るかを調べる方法です。多くの場合、これで求められます。　 http://yosshy.sansu.org/

	35070．Re: u∈R^2を以下の点に写す写像は一次変換です｡その変換の標準基底に関する表現行列Aを求めてください｡
	名前：かな日付：12月5日(水) 10時20分
	なるほど(^^)ありがとうございました。

35058．積分の問題

名前：りな　高専4 日付：12月4日(火) 17時41分

置換の方法など教えてください。
お願いします。

∫(1-x^x)^(1/2)dx

∫1/((cosx)^4)

∫(sinx)^3/(1+2cosx)

＋以下の証明
∫(1/(sinx)^2)=-(1/tanx)+c

まとめてですみません。

よろしくお願いします。

	35059．Re: 積分の問題
	名前：成瀬日付：12月4日(火) 20時12分
	(2) ∫ 1/(cos⁴x) dx = ∫ (1/cos²x)(1/cos²x) dx = ∫ (1 + tan²x)(1/cos²x) dx … (A) ここで, u = tanx とおけば (A) = ∫ (1 + u²) du となります. (3) ∫ sin³x/(1 + 2cosx) dx = ∫ (1 - cos²x)sinx/(1 + 2cosx) dx … (B) ここで, u = cosx とおけば (B) = - ∫ (1 - u²)/(1 + 2u) du となります. (4) 右辺を微分してみて下さい.

35030．円の面積比

名前：7bitm 日付：12月3日(月) 1時7分

友達に出す問題を作って、中学校までの内容（三平方まで）を使って解いたのですが、答えに自信がありません。
どんな解き方でもいいので、答えを出していただけないでしょうか。

Aを中心とする円の円上にBを取り、Bを中心として円を書きました。
円の交点の一方をCとして、半直線CAを引きます。
半直線CAと円Bの交点をDとします。
AD=a,CD=b とするとき、円Aと円Bの面積比をaとbを使って、出してください。

（図の青い線をa、赤い線をbとしたときの２つの円の面積比です。
　ただ、円Bが円Aより大きい事もありますが。）

自分が出した答えは、　円A＞円B　→　円A：円B＝a+b：b
円A＜円B　→　円A：円B＝b-a：b
なのですが、どうでしょうか。

	35033．Re: 円の面積比
	名前：らすかる日付：12月3日(月) 1時55分
	円Aと円Bの面積比を答える問題で、場合の分け方を「円A＞円B」と「円A＜円B」にするのは好ましくないかも知れません。 Dが線分AC上にあるとき △ABC∽△BCD から AD+CD：BC=BC：CD ∴(BC)^2=CD(AD+CD) なので (AD+CD)^2/(BC)^2=(AD+CD)/CD Dが線分AC上にないとき △ABC∽△BCD から (CD-AD)：BC=BC：CD ∴(BC)^2=CD(CD-AD) なので (CD-AD)^2/(BC)^2=(CD-AD)/CD http://www10.plala.or.jp/rascalhp

	35037．Re: 円の面積比
	名前：7bitm 日付：12月3日(月) 2時29分
	場合分けの指摘と、答え、ありがとうございます。自分は補助線を10本ほど引いて出していたのですが、相似であっさりと出てしまうんですね。自分が考えるより簡単な方法で解けるのか知りたいので、もう一問いいでしょうか。図において、点Aと点Bが円の中心のとき、△DEFが二等辺三角形になることの証明をして下さい。

	35038．Re: 円の面積比
	名前：らすかる日付：12月3日(月) 9時9分
	円周角の定理を使ってよければ、△ADB∽△BED を使って ∠EFD=(1/2)∠CAD=∠BAD=∠DBE=2∠DCE=∠DAF から △FDE∽△AFD http://www10.plala.or.jp/rascalhp

35029．(untitled)

名前：あい日付：12月3日(月) 0時58分

無限等比級数で公比が１のとき収束条件には入っていませんよね。これはなんでですか？
というか収束ってどうなることでしょうか？
そこがわかっていないです・・・
よろしくお願いします！

	35032．Re: (untitled)
	名前：hari 日付：12月3日(月) 1時29分
	無限等比級数をa・r^nとすると公比rが1ならずっとaのままです。収束って極限の単元で習いませんでしたか？例えば1/n は n→∞で0に限りなく近づきます。これを収束といいます。 ∞にとんだり、振動することを発散といいます。

	35050．極限
	名前：あい日付：12月4日(火) 1時57分
	じゃあそのときa+a+a+a+・・・・で∞に発散するからということでしょうか？収束とは０だけじゃなく１とか２とかの数字におさまることも収束といいますよね？？？＞＜ちょっとあやふやで心配です。

	35054．Re: (untitled)
	名前：七日付：12月4日(火) 13時16分
	> じゃあそのときa+a+a+a+・・・・で∞に発散するからということでしょうか？ aが正ならそうです。無限等比級数は初項 a，公比 r とすると a＝0 のとき 0 に収束， a≠0 のとき \|r\|＜1 ならば a/(1-r) に収束し， \|r\|≧1 のときは発散します。教科書に書いてあると思います。

	35057．Re: (untitled)
	名前：あい日付：12月4日(火) 15時20分
	そうですねわかりました！えっとそれは教科書にも書いてあるしわかるんですが、収束条件ではなくて収束するときの値をしりたいというか収束とはどういうことかを知りたいんです（発散なら∞というように）固有地におさまるときを収束というのでしょうか？そこがあやふやです・・・

	35062．Re: (untitled)
	名前：七日付：12月4日(火) 23時9分
	数列の一般項 a_nや数列の和 S_n などが収束するとは n を限りなく大きくするときつまり n→∞ のとき a_nやS_n などがある有限の値 α，βに限りなく近づく a_n→α や S_n→β ということです。このとき「a_nはαに収束する。」「 S_nはβに収束する。」といいます。有限の値とは例えば 0，－1，log 2，sin 53°，－10¹⁰⁰ などの実数です。具体的に書き表すことが出来なくても，2＜α＜3 のようになっていてもかまいません。一方，発散するとは a_n→∞ や S_n→－∞ のように限りなく大きく(小さく)なっていく場合や振動する場合があります。振動するとは例えば a_n＝(－1)ⁿの場合 a_nは－1，1，－1，1，… を限りなく繰り返し， S_nは－1，0，－1，0，… を限りなく繰り返し一定の値に近づくことはありません。 a_n＝(－2)ⁿ などの場合も a_nや S_nは絶対値はしだいに大きくなっていきますが正，負を繰り返します。このような場合が振動です。このことはやはり教科書のもっと前の『数列の極限』の最初のところに書いてあると思います。

	35065．Re: (untitled)
	名前：あい日付：12月5日(水) 2時1分
	わかりました、丁寧にご解答くださりありがとうございました！

35011．単位

名前：yamasita 日付：12月2日(日) 2時51分

体積の単位は？

	35012．Re: 単位
	名前：らすかる日付：12月2日(日) 3時33分
	たとえば、立方光年 http://www10.plala.or.jp/rascalhp

	35017．Re: 単位
	名前：ヨッシー日付：12月2日(日) 12時24分
	たとえば、立方オングストローム　 http://yosshy.sansu.org/

	35019．Re: 単位
	名前：らすかる日付：12月2日(日) 12時59分
	上記二つの比は約10^78倍と書くととてつもなく大きく感じますが約58!倍と書くとあまり大きく思えません。 http://www10.plala.or.jp/rascalhp

	35020．Re: 単位
	名前：七日付：12月2日(日) 15時30分
	心配しなくても，上に書かれた2つの単位の間にも km³(立方キロメートル)，m³(立方メートル)，cm³(立方センチメートル)＝cc，mm³(立方ミリメートル)， kl(キロリットル)，l(リットル)，dl(デシリットル)，ml(ミリリットル)，立方ヤード，立方インチ，ガロン，パイント，立方尺，立方寸，石，斗，升，合などがあります。

	35023．Re: 単位
	名前：教得手　学日付：12月2日(日) 18時44分
	（注）宝石で使うカラットという単位は、体積でなく重さの単位。　　　　（１カラット＝０.２グラム）

35006．１次従属

名前：マロ　高２ 日付：12月2日(日) 0時40分

次の各組の３つのベクトルが１次従属であるようなxの値を求めよ。
(x,1,2)、(2,1,3),(x,0,1)
よろしくお願いします。

	35007．Re: １次従属
	名前：ヨッシー日付：12月2日(日) 1時38分
	１次従属であるとは、　(2,1,3)＝s(x,1,2)＋t(x,0,1) と書けるということです。各成分の比較をして、　2＝(s+t)x 　1＝s 　3＝2s＋t より、s＝1, t＝1, x＝1 となります。　 http://yosshy.sansu.org/

	35027．Re: １次従属
	名前：マロ　高2 日付：12月3日(月) 0時44分
	(1,x,1)、(x,1,1)、(1,1,x) のように全てにxが含まれてる場合はどうするんでしょうか？

	35041．Re: １次従属
	名前：ヨッシー日付：12月3日(月) 8時38分
	(1,x,1)=s(x,1,1)+t(1,1,x) とおくと、　sx+t=1　…(1) 　s+t=x　…(2) 　s+tx=1　…(3) (1)＋(3) 　(s+t)(x+1)=2 (2)を代入して、　x(x+1)=2 　x²+x-2=0 　(x-1)(x+2)＝0 より、x=1,-2 　 http://yosshy.sansu.org/

35004．三角形の面積の期待値

名前：リュート　高３ 日付：12月1日(土) 23時18分

初めまして。
早速なのですが、次のような問題です。

　図のように、2個一組の点がn列（n≧2）、等間隔で並んでいます。
　点同士の横の間隔は1、縦の間隔は2です。
　この中から無作為に3点を選び、線で結びます。
　このときできる三角形の面積の期待値を求めなさい。
　ただし、三角形ができない場合の面積は0とします。

この手の問題はまず漸化式を立てるのが定石だと思っていたのですが、全く歯が立ちませんでした。
考え方から間違っているのでしょうか。
よろしくお願いします。

	35005．Re: 三角形の面積の期待値
	名前：らすかる日付：12月2日(日) 0時26分
	上から2つ、下から1つ選ばれる場合、下からどの点が選ばれても面積は同じで (三角形の面積)=(上から選ばれた2点の距離) となりますので、 (三角形が出来る確率)×(1～nの中から2つの数字を選んだ時の差の期待値) で求まることになりますね。 http://www10.plala.or.jp/rascalhp

	35021．Re: 三角形の面積の期待値
	名前：リュート　高３日付：12月2日(日) 16時56分
	三角形が出来る確率のほうは求まったのですが、差の期待値というのが分かりません。少し糸口が見えてきましたが……ごめんなさい、もうすこしお願いします。

	35026．Re: 三角形の面積の期待値
	名前：らすかる日付：12月2日(日) 21時15分
	(差の期待値)=(2数の差の合計)/(2数の組合せ数) であり、 2数の差の合計は Σ[1≦b＜a≦n]a-b=Σ[b=1～n-1]Σ[a=b+1～n]a-b 2数の組合せ数は nC2 ですね。 http://www10.plala.or.jp/rascalhp

	35045．Re: 三角形の面積の期待値
	名前：リュート　高３日付：12月3日(月) 19時15分
	なんとか解くことができました。最後は意外にも簡単な式になるのですね。文章題で２重の∑を使うのは初めてだったので、とても参考になりました。ありがとうございます。

35003．関数

名前：のり日付：12月1日(土) 21時57分

f(x)=(x＾2)-2x＋2, g(x)=2(x＾2)-8x＋3とする。
放物線y=f(x)上の点Ｐにおける接線lが、放物線y=g(x)と異なる2点で交わる時放物線y=g(x)と直線lで囲まれた部分の面積の最大値とそのときの点Ｐの座標を求めなさい。

簡単な積分しか分かりません。
面積の求めかたがよく分かりません。
図も創造ができませんでした

	35018．Re: 関数
	名前：ヨッシー日付：12月2日(日) 12時42分
	図はこんな感じです。あとは、解答に書いてあるとおりです。　 http://yosshy.sansu.org/

	35022．Re: 関数
	名前：hari 日付：12月2日(日) 18時21分
	積分は ∫[α,β](x - α)(x - β)dx = - (1/6)(β - α)^3 の公式を使ってます。

	35024．Re: 関数
	名前：のり日付：12月2日(日) 19時54分
	グラフどうもありがとうございます。 lとg（ｘ）の連立で 2(x＾2)-8x＋3=f'(x) (x-t)＋f(t) より 2(x＾2)-(8＋f'(ｔ)）x＋3＋f'(x)t－f(t)=0となり回答の①と合いません判別式D=(b＾2)-4acより【(8＋f'(ｔ)）＾2】-42(x＾2)3＋f'(x)t－f(t)となりＤ＝60-4(t-3)＾2になりませんでした面積の求めかたで ∫(α β) -2(x-α)(x-β)dxから分かりませんでした。

	35031．Re: 関数
	名前：hari 日付：12月3日(月) 1時19分
	どうも解答にミスがあるようです。しかしのりさんの解答もちらほらと重大な間違いがあります。xとtを混同しないでくださいね。 ①は正しくは 2x^2 - (8 + f'(t))x + 3 + tf'(t) - f(t) = 0 でしょう。判別式は D = 64 - 4(x ｰ 3)^2 となります。面積は先に回答した通りです。

	35039．Re: 関数
	名前：のり日付：12月3日(月) 7時2分
	D = 64 - 4(x ｰ 3)^2になりません。 f(t)とf’(t)が消えません。途中式を教えていただけたら嬉しいです

	35043．Re: 関数
	名前：hari 日付：12月3日(月) 9時37分
	f(t)とf'(t)は具体的に書き表せます。 f(t)はf(x)にx = tを代入したもので、f'(t)はf'(x)にx = tを代入したものです。

	35044．Re: 関数
	名前：のり日付：12月3日(月) 16時38分
	計算をすると 64＋16((2t＾2)-2)＋【(2t-2)＾2】＋3t((2t＾2)-2)＋【(t＾2)-2t＋2】となりtの３乗がでて計算が合いませんでした

	35046．Re: 関数
	名前：hari 日付：12月3日(月) 19時44分
	一回の計算で諦めていませんか？おかしいなと思ったら慎重に計算し直してみてください。 f'(t) = 2t - 2 ですよ。 ①をax^2 + bx + c = 0とおくと a = 2 b = 2(t + 3) c = t^2 + 1 となるはずです。 D/4 = (b/2)^2 - ac = 16 - (t - 3)^2 となり、D = 64 - 4(t - 3)^2になります。すいません。先の返事で間違いがありました。 D = 64 - 4(t - 3)^2 でしたね。tをxと書き間違えてしまって申し訳ない。

	35047．Re: 関数
	名前：のり日付：12月3日(月) 21時27分
	解説ありがとうございます Cの部分が合いませんので教えてください 3t((2t＾2)-2)＋【(t＾2)-2t＋2】から 5(t＾2)-8t＋2になってしまいます。話が変わるのですが解等から（α-β)＾３が（√D/2)＾3になるのかが分かりませんさらに最後不等式≦が現われるのかが分かりません。そして-4(t-3)＾2はどこえ消えたのですか？

	35048．Re: 関数
	名前：hari 日付：12月3日(月) 21時33分
	まあまあ、一つずつ行きましょう。ちゃんと修正後の①を見てくれてますか？ c = 3 + tf'(t) - f(t) f'(t) = 2t - 2 f(t) = t^2 - 2t + 2 ですよ。

	35051．Re: 関数
	名前：のり日付：12月4日(火) 7時1分
	お聞きしたいのですが ①の 3 + tf'(t)について添付してある参考書は 3 ＊ tf'(t)と書いてありますがどちらが正しいですか？ 3 + tf'(t)でしたらＣの値が合いました。

	35052．Re: 関数
	名前：hari 日付：12月4日(火) 10時16分
	35031で既に解答に誤りがある旨を指摘しています。ご自分でf(x)の接線とg(x)を連立してみればわかります。

	35061．Re: 関数
	名前：のり日付：12月4日(火) 22時16分
	ごめんなさい解説が間違ってました D = 64 - 4(t - 3)^2 からどのように求めるのか分かりません教えてください

	35064．Re: 関数
	名前：hari 日付：12月5日(水) 0時9分
	さて、接線とg(x)の解をα, β(α＞β)とおくと求める面積は ∫[β,α]ｰ2(x ｰ α)(x ｰ β)dx となるのはいいですか？ここで ∫[β,α](x ｰ α)(x ｰ β)dx = ｰ(1/6)(αｰβ)^3 という公式みたいなものがあります。簡単に導けるので挑戦してみてください。よって面積は(1/3)(αｰβ)^3となります。また、 ax^2 + bx + c = 0の解をα, β(α＞β)とすると D = b^2 ｰ 4acとしてx = (ｰb ± √D)/2a となるので α ｰ β = (ｰb + √D)/2a - (ｰb - √D)/2a = √D/a ですね。今、a = 2なので面積は(1/3)(√D/2)^3となります。ここでDに注目すると D = 64 ｰ 4(t ｰ 3)^2 ≦ 64 です。なぜなら-4(t ｰ 3)^2≦0だからです。二次関数の最大値を求める問題と同じです。 D≦64がわかったので (1/3)(√D/2)^3 ≦ (1/3)(√64/2)^3 = 64/3 となります。

	35066．Re: 関数
	名前：のり日付：12月5日(水) 7時58分
	おはようございます ∫[β,α]ｰ2(x ｰ α)(x ｰ β)dxが分かりません x = (ｰb ± √D)/2a もどのように現われたのかが分かりません x＝の値がαとβの値と考えていいですか？毎日質問ばかりしてすいません

	35067．Re: 関数
	名前：ヨッシー日付：12月5日(水) 8時45分
	y=f(x)=x²-2x＋2 上の点(t,f(t))における接線の式は、傾きが 2t-2 であることより　ｙ＝(2t-2)(x-f(t)) 　　＝(2t-2)(x-t²+2t-2) です。これから、g(x) を引いたものを、図のβからαまで積分したものが求める面積です。具体的にいうと、　∫_β^α{(2t-2)(x-t²+2t-2)-g(x)}dx 　＝∫_β^α{-2x²+(2t+6)x+(2t-2)(-t²+2t-2)-3}dx です。この、　-2x²+(2t+6)x+(2t-2)(-t²+2t-2)-3＝０の解が、α、βなので、x² の係数－２を使って、　-2x²+(2t+6)x+(2t-2)(-t²+2t-2)-3＝－２(x-α)(x-β) と書けます。したがって、求める面積は、　∫_β^α－２(x-α)(x-β)dx と書けます。 x = (ｰb ± √D)/2a　は、２次方程式の解の公式そのものです。　 http://yosshy.sansu.org/

35002．関数グラフ

名前：のり日付：12月1日(土) 21時52分

(1)傾きの求めかたは分かるのですがm,n,2がどこから現われたのが分かりません

(2)2行目と3行目の絶対値の中がよく分かりませんでした

	35008．Re: 関数グラフ
	名前：ちゃー日付：12月2日(日) 1時51分
	m,n,2がどこから現われたのが分かりません？？？？？？どういうことでしょうか？疑問点をもうすこし具体的にお願いします

	35013．Re: 関数グラフ
	名前：のり日付：12月2日(日) 6時50分
	傾きは(yの増加量)/xの増加量よりＡＣの傾きの【(m＾2)-(n＾2)】/(m-n)に出てくるmとnはどこから現われたのですか？間たBDの傾きの2mと2nはどこから現われたのか分かりません説明不足ですいません

	35014．Re: 関数グラフ
	名前：ちゃー日付：12月2日(日) 9時30分
	ｙ＝ｘ＾２とｙ＝ｍｘの交点がＡよって　連立して座標を出します　　ｘ＾２＝ｍｘ　　ｘ（ｘ－ｍ）＝０　ｘ＝０,ｍ　よって図から　　　　ｘ＝ｍ（Ａのｘ座標は明らかに０じゃない）　　　Ａ（ｍ，ｍ＾２）同じくｙ＝（１／２）ｘ＾２とｙ＝ｍｘとの交点がＢそうするとＢ（２ｍ，２ｍ＾２）ｙ＝ｘ＾２とｙ＝ｎｘの交点がＣＣ（ｎ，ｎ＾２）ｙ＝（１／２）ｘ＾２とｙ＝ｎｘとの交点がＤＤ（２ｎ，２ｎ＾２）あとはいいでしょうか？

	35025．Re: 関数グラフ
	名前：のり日付：12月2日(日) 20時12分
	ちゃーさんありがとうございます。 (1)は理解できましたが(2)がよく分かりません。三角形の面積は底辺＊高さ÷2ですが絶対値の中の4m(n＾2)-4n(m＾2)をどのように求めるるのか分かりません同様にm(n＾2)-n(m＾2)も最後 \|m-n\|=3になることも分かりません

	35034．Re: 関数グラフ
	名前：ちゃー日付：12月3日(月) 2時5分
	座標平面上で、Ａ( ａ，ｂ )、Ｂ( ｃ，ｄ )、O( ０，０ ) のときＳ＝(１/２)\| ａｄ－ｂｃ \|　　　（\|　　\|は絶対値を表す）という公式があります。これを使っているのです。

	35035．Re: 関数グラフ
	名前：ちゃー日付：12月3日(月) 2時18分
	その公式証明は http://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q1211061672です絶対値の中は別に逆になっていても問題ありません。あしからずそんで、その公式使うと（１／２）｜４ｍ＾２nー４ｍｎ＾２｜　　　　　　　　　　　　－（１／２）｜ｍ＾２ｎ－ｍn^2\| ＝（１／２）｜４ｍｎ（ｍ－ｎ）｜　　　　　　　　　　　　－（１／２）｜ｍｎ（ｍ－ｎ）｜＝（１／２）・４｜ｍｎ（ｍ－ｎ）｜　　　　　　　　　　　　－（１／２）｜ｍｎ（ｍ－ｎ）｜＝２｜ｍ｜｜ｎ｜｜ｍ－ｎ｜となります

	35036．Re: 関数グラフ
	名前：ちゃー日付：12月3日(月) 2時22分
	すいません＝２｜ｍ｜｜ｎ｜｜ｍ－ｎ｜はまちがえで＝３／２　・＝２｜ｍ｜｜ｎ｜｜ｍ－ｎ｜です。またＡのｘ座標がｍ　　Ｂのｘ座標がｎなので問題よりその差が３なので｜ｍ－ｎ｜＝３　になるわけです。

	35063．Re: 関数グラフ
	名前：のり日付：12月5日(水) 0時6分
	返事が遅くなってごめんなさいちゃーさん何回も解説をしていただいてありがとうございます。今後もまたご迷惑をおかけするときがありますが、宜しくおねがいします

35000．図形と計量

名前：ケンタ 日付：12月1日(土) 16時55分

３問連続すみません。解答お願いします

	35015．Re: 図形と計量
	名前：教得手　学日付：12月2日(日) 11時44分
	(1) ア・・・ＰＱ：ＰＲＰＢ：ＰＱ＝ＰＲ：ＰＢ、∠ＢＰＲは共通より　△ＰＢＱ∽△ＰＲＢ (2) 三平方の定理より、ＯＰ＝１０ＰＯは円Ｏ'に接するので、その接点をＳとすると、ＯＳ＝２円Ｏ'の半径をｘとおくと、ＯＯ'＝６－ｘ、Ｏ'Ｓ＝ｘ三平方の定理を使うと、ｘが求まります。ＲＱは円Ｏ''の弦だから、∠ＲＯ'Ｏ''＝９０° △ＡＰＯ'でＡＯ'とＡＰが求まっているので、Ｏ'Ｐも求まります。すると、cosθ も求まります。 ∠Ｏ'ＰＡ＝∠Ｏ'ＰＢ＝θ、∠ＯＰＢ＝∠ＯＰＡ＝２θ よって、∠Ｏ'Ｏ''Ｏ＝∠ＢＰＯ'＝・・・とこんな方向でどうでしょう。

	35016．Re: 図形と計量
	名前：ヨッシー日付：12月2日(日) 12時23分
	(1) ＰＡ²＝ＰＱ・ＰＲ　これは、方べきの定理ともいいます。イはＰＲＢです。文章の通りに、三角形の相似を調べればわかります。 (2) ＯＰ＝１０　△ＯＡＰにおける三平方より。角の二等分線の定理より、ＯＯ’：Ｏ’Ａ＝ＯＰ：ＡＰ＝１０：８＝５：４および　ＯＡ＝６　より　Ｏ’Ａ＝６×（４／９）＝８／３ＲＱは円Ｏ”の弦(直径)であり、Ｏ’はその中点なので、　∠ＲＯ’Ｏ”＝90° △ＡＯ’Ｐにおいて、　ＡＰ＝８、ＡＯ’＝８／３より、　Ｏ’Ｐ＝８√10／３よって、cosθ＝ＡＰ／Ｏ’Ｐ＝３／√１０＝３√１０／１０ ∠ＡＰＯ’＝∠ＯＰＯ’＝θ ∠ＢＰＯ＝∠ＡＰＯ＝２θ より∠Ｏ’Ｏ”Ｏ＝∠Ｏ’ＰＢ＝３θ cosθ の部分以外は、中学の範囲です。　 http://yosshy.sansu.org/

34999．図形と計量

名前：ケンタ 日付：12月1日(土) 16時53分

解答お願いします。

	35010．Re: 図形と計量
	名前：ちゃー日付：12月2日(日) 2時18分
	余弦定理より (2√2)＾2 = 2＾2 + ((√5) + 1)＾2 - 2×2((√5) + 1)cos∠ABC 8 = 4 + 6 + 2√5 - 4((√5) + 1)cos∠ABC 4｛(√5) + 1｝cos∠ABC = 2 + 2√5 = 2(1 + √5) よって cos∠ABC = 1/2 0°< ∠ABC < 180°より ∠ABC = 60° 正弦定理より R = CA/(2sin∠ABC) = (2√2)/(2×(√3)/2) = (2√2)/(√3) = (2/3)√6 (2) 円に内接する四角形の対角の和だから ∠BAD + ∠BCD = 180° S1 = △ABD = (1/2)AB・ADsin∠BAD = ADsin∠BAD S2 = △BCD = (1/2)BC・CDsin∠BCD = ((1 + √5)/2)CDsin(180°- ∠BAD) = ((1 + √5)/2)CDsin∠BAD S1 = ｛(√5) - 1｝S2 より ADsin∠BAD = 2 CDsin∠BAD 即ち CD = (1/2)AD △ABC で余弦定理より AC = 2√2 AD = 2 CD より, △ADC に余弦定理を用いると 8 = 4CD＾2 + CD＾2 - 4CD＾2cos120° = 7CD＾2 CD > 0 より CD = √(8/7) = (2/7)√14 よって AD = 2CD = (4/7)√14 で △ECD ∽ △EAB (二角相等) で相似比が CD:AB = (2√14)/7:2 = √14:7 = √2:√7 従って S3/S4 = 7/2 従って S1 + S2 + S4 = S3 で ((√5) - 1)S2 + S2 + S4 = (7/2)S4 (√5)S2 = (5/2)S4 故に S2/S4 = (√5)/2

34998．(untitled)

名前：ケンタ 日付：12月1日(土) 16時52分

センターの問題です。解答お願いします

	35009．Re: (untitled)
	名前：ちゃー日付：12月2日(日) 2時12分
	式 ① から y = 4(x＾2 - 2x) + 5 = 4｛(x - 1)＾2 - 1｝ + 5 = 4(x - 1)＾2 + 1 従って頂点は (1, 1) 一方 ② の頂点は (-a, b) であるから比較して a = -1, b = 1 (2) 4x＾2 - 8x + 5 = 17 と置ける。 4x＾2 - 8x - 12 = 0. 両辺 4 で割り x＾2 - 2x - 3 = 0 (x + 1)(x - 3) = 0 x = -1, 3 ここで ② において x = -1, y = 17 とすると -2(-1 + a)2 + b = 17 おなじく　　　　　 x = 3, y = 17 とすると -2(3 + a)2 + b = 17 この２つを連立して a = -１ b = 25 y = -２(x - 1)＾2 + 25 よって軸の方程式は x = 1 頂点の座標は (1, 25) (3) C1 を x 軸方向に c, y 軸方向に -4c 平行移動してみると y = 4(x - c)＾2 - 8(x - c) + 5 - 4c　となりますここで x = 0 と置くと 4c＾2 + 8c + 5 - 4c = 4c＾2 + 4c + 5 これが4 となるようにすればよい。 4c＾2 + 4c + 1 = 0 (2c + 1)＾2 = 0. c = -1/2 -4c = -4×(-1/2) = 2 であるから, 最小値は 2 大きくなる

34995．関数

名前：あい日付：12月1日(土) 15時30分

y=-2x-6/x-3 のグラフが　Y=kx と共有店をもたないときkの範囲を求めよ

この模範解答は、まずｋ＝０のときｘ＝-3が解となり不適
らしいんです。
なぜ不適なのかがわかりません。

簡単とは思いますがよろしくお願いします！

	34997．Re: 関数
	名前：ヨッシー日付：12月1日(土) 15時41分
	共有点を持たない場合を調べているので、解があったらいけないのです。　 http://yosshy.sansu.org/

	35028．Re: 関数
	名前：あい日付：12月3日(月) 0時55分
	あそうですね！！すごく簡単な質問をしてしまいごめんなさい！いつも丁寧にありがとうございます！

34989．円と三角形

名前：ノリコ 日付：12月1日(土) 13時32分

半径√５／２の円に内接する二等辺三角形ABCにおいて、AB=AC=２、Aを通るこの円の直径をADとする。
このときの△ABCの面積をもとめよ。

解答　　
ADとBCの交点をHとすると、BC=2BH＝２・AB・sin∠BAD＝４／√５
また、AH＝√（AB＾２－BH＾２）
　　　　＝√｛２＾２－（２／√５）＾２｝
　　　　＝４／√５
よって△ABC＝１／２・BC・AH
　　　　　　＝８／５

△ABC＝１／２・BC・AHという部分がよくわかりません。
また違った解答がありましたら教えていただけると嬉しいです！！
詳しい説明お願いします！！！

	34991．Re: 円と三角形
	名前：ヨッシー日付：12月1日(土) 14時2分
	ＢＣを底辺とすると、高さはＡＨになります。　 http://yosshy.sansu.org/

	34992．Re: 円と三角形
	名前：ヨッシー日付：12月1日(土) 14時12分
	他の解き方（算数的解き方）ＢＤ＝１が、与えられれば、算数で解けます。 △ＡＢＤは直角三角形で、△ＡＨＢ、△ＢＨＤと相似です。辺の比は、　ＤＨ：ＢＨ＝ＢＨ：ＡＨ＝１：２であるので、　ＤＨ：ＡＨ＝１：４ △ＡＢＨの面積は△ＡＢＤの４／５となります。　△ＡＢＨ＝１×（４／５）＝４／５ △ＡＢＣ　はその２倍で、８／５　 http://yosshy.sansu.org/

	34993．Re: 円と三角形
	名前：ヨッシー日付：12月1日(土) 14時15分
	他の解き方２　sin∠ＢＡＤ＝２／√５　より　cos∠ＢＡＤ＝１／√５ ∠ＢＡＣ＝２∠ＢＡＤ　と、２倍角の公式より　sin∠ＢＡＣ＝２sin∠ＢＡＤcos∠ＢＡＤ＝４／５三角形の面積の公式より　△ＡＢＣ＝(1/2)ＡＢ・ＡＣsin∠ＢＡＣ＝８／５　 http://yosshy.sansu.org/

34988．チャート式数学ⅠAについてです。

名前：中3 日付：12月1日(土) 13時26分

問題 xについての不等式x^2－2x－8＜0,x^2＋(a-3)x
－3a≧0を同時に満たす整数がただ一つ存在するように定数aの値の範囲を求めよ。
チャート式は解説が分かりづらいのですか。詳しく教えていただけますか。
疑問点・場合分けをする際a>-3の場合(i)-3<a<2のときとあるのですが
何故2がでてくるのですか？

	34990．Re: チャート式数学ⅠAについてです。
	名前：ヨッシー日付：12月1日(土) 14時0分
	それだけでは、なぜ２を持ち出したかわかりませんね。それが、最終的に答えにどう結びついたかが、わからないと。ところで、答えは、ａ＞１　ですか？　 http://yosshy.sansu.org/

	34994．Re: チャート式数学ⅠAについてです。
	名前：中3 日付：12月1日(土) 15時8分
	そうです。

	34996．Re: チャート式数学ⅠAについてです。
	名前：ヨッシー日付：12月1日(土) 15時38分
	それなら、２の出る幕はないですね。場合分けは、　ａ＞－３　と　ａ＜－３だけで良いです。ａ＝－３が、答えにならないのは調べれば明らかです。　 http://yosshy.sansu.org/

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