2006年08月 の投稿ログ


28436.お願いします  
名前:りんご    日付:8月31日(木) 23時50分
次の数列の初項から第n項までの和を求めよ。

@1,11,111,1111,…
A1・n+2・(n-1)+3・(n-2)+…+(n-1)・2+n・1

やり方はわかるんですが
まだ習ったばかりで不安なので答え教えてください。



28439.Re: お願いします
名前:    日付:9月1日(金) 10時4分
自信がないのだったら,余計に,自分のやった式の変形などを書いて
あっているかどうか,不備な点はないかを質問した方がいいですよ。


28440.Re: お願いします
名前:    日付:9月1日(金) 10時14分
@{an}: 1,11,111,1111,…
{bn}: 9,99,999,9999,… とおくと
an=bn/9
bn=10n−1
よって an=(10n−1)/9

Σ[k=1,n]ak
=Σ[k=1,n](10k−1)/9
=Σ[k=1,n]10k/9−Σ[k=1,n]1/9
=(10/9)(10n−1)/(10−1)−n/9
=10n+1/81−10/81−n/9

一般項を求めるのに 階差数列を用いても出来ますがこれが一番簡単です。


28453.Re: お願いします
名前:    日付:9月2日(土) 17時8分
A1・n+2・(n-1)+3・(n-2)+…+(n-1)・2+n・1
ak=k(n+1−k)=−k2+(n+1)k
Σ[k=1,n](−k2+(n+1)k)
=−(1/6)n(n+1)(2n+1)+(n+1)(1/2)n(n+1)
=(1/6)n(n+1){−(2n+1)+3(n+1)}
=(1/6)n(n+1)(n+2)

28433.3次不等式 ?  
名前:のびのびくん    日付:8月31日(木) 22時4分
度々すみません。
今高2で、今不等式の単元をやっているのですが、学校では3次不等式の答えを求める際に、1つの可能性ごとに数直線を書いて、最終的に5つの数直線を書く方法で習いました。
先生はこれが確実だと言ってましたが、数直線を書かずに他の方法で求めることはできないのでしょうか?
ちなみに私が習ったやり方は
 例)  2x^3 - 3x^2 - 32x + 48 > 0
(2x-3)(x+4)(x-4) >0
1. 2x-3>0, x+4>0, x-4>0 → x>4
2. 2x-3>0, x+4>0, x-4<0 → なし
3. 2x-3<0, x+4>0, x-4<0 →  -4<x<3/2
4. 2x-3<0, x+4<0, x-4>0 → なし

⇒ (-4, 3/2) ∪ (4, ∞)

です。ここにはかけませんでしたが、実際は上記の1〜4 と 最後の答えに1つずつ数直線を書きました。



28434.Re: 3次不等式 ?
名前:ヨッシー    日付:8月31日(木) 22時28分

グラフがオススメです。
上は3次関数のグラフですが、x^3 の係数が正なら左、負なら右のようなグラフになります。
そして、 (2x-3)(x+4)(x-4) のように因数分解できるのなら、必ず
x軸と3ヶ所で交わって、小さい順に -4, 3/2, 4 です。
 (2x-3)(x+4)(x-4)>0
は、このグラフが正の部分(x軸より上)になる範囲なので、
 −4と3/2 の間と、4より大きい部分
と言うことになります。
 
http://yosshy.sansu.org/


28435.Re: 3次不等式 ?
名前:のびのびくん    日付:8月31日(木) 22時36分
グラフで求められるとは・・。
でも三次関数のグラフはこれから習うと思うのですが、まだ書き方を知らない今は数直線方法しかないですよね。
地道にやっていくことにします。
ありがとうございました。


28438.Re: 3次不等式 ?
名前:    日付:9月1日(金) 1時34分
Original Size: 640 x 480, 35KB

数直線と同じことだから,意味は分かると思います。



28495.Re: 3次不等式 ?
名前:のびのびくん    日付:9月4日(月) 22時52分
グラフの意味がやっとわかりとても役に立っています!
表も助かりました。
ありがとうございました。

28431.余剰定理  
名前:まさ    日付:8月31日(木) 18時15分
こんにちは,今大学で余剰定理について勉強しているのですが,
x^96+x^95をx^4+x^3+x^2+x+1で割った余りを求めよという課題を出されました。まったく意味がわからず困っています。よろしくお願いします。



28432.Re: 余剰定理
名前:KINO    日付:8月31日(木) 19時23分
数学系の質問掲示板で非常によく見かける問題です。
下記のサイトが参考になると思います。
http://www.asahi-net.or.jp/~xc8t-tkd/math/sec3052.html
http://www.asahi-net.or.jp/~xc8t-tkd/math/sec2897.html
http://www.asahi-net.or.jp/~xc8t-tkd/math/sec2418.html
http://www.asahi-net.or.jp/~xc8t-tkd/math/sec2245.html

28425.絶対値の二次関数  
名前:flank    日付:8月30日(水) 18時32分
こんにちは。
また投稿させてもらいます。

y=|x^2-3x|-x+2 (0≦x≦4)のグラフを書け。

という問題なのですが、
どうやっていいのか全くわかりません。
どう解けばいいのでしょうか。



28427.Re: 絶対値の二次関数
名前:angel    日付:8月30日(水) 18時52分
絶対値の中身の正負によって場合分け。
つまり、

 x^2-3x≧0 の時
  y=x^2-3x-x+2
 x^2-3x<0 の時
  y=-(x^2-3x)-x+2

という、2つのグラフをつなぎ合わせた形です。概形は↓を参照のこと。
http://r0000.tm.land.to/math/m.php?s=y=abs%28x%2Ax-x%2A3%29-x%2B2&gx0=-2&gx1=6&gy0=-2&gy1=6

28424.二次関数  
名前:flank    日付:8月30日(水) 18時27分
こんにちは。

k≧0とする。関数f(x)=x^2-2kx+1/4について次の問いに答えよ。
(1)0≦x≦1であるすべてのxについて0≦f(x)≦1が成り立つような
  kの値の範囲を求めよ。

という問題で、
答えには、

mを最小値とすると、mの値は
m=-k^2+1/4 (0≦k<1のとき)
  -2k+4/5 (k≧1のとき)
となる。
k≧1のときはm<0であるから条件を満たすことはできない。
よって、0≦k<1のとき
@-k^2+1/4≧0
A-2k+4/5≦1 を同時に満たすようにすればよい。
∴1/8≦k≦1/2

となっていて、
@はわかるのですが、
なぜ-2k+4/5 が1より小さければいいのでしょうか。
-2k+4/5はk≧1のときのmの値だから
あまり関係なさそうに思えるのですが・・・・。



28426.Re: 二次関数
名前:angel    日付:8月30日(水) 18時44分
> なぜ-2k+4/5 が1より小さければいいのでしょうか。
> -2k+4/5はk≧1のときのmの値だから
> あまり関係なさそうに思えるのですが・・・・。

-2k+5/4 は、単に f(1) です。ここでは m とは無関係です。
※これは解説が不親切でしょうね。

0≦k<1のときは、0≦x≦1 における f(x) の最大値は f(0) もしくは f(1) の大きい方です。
よって、(最大値)≦1 ⇔ f(0)≦1 かつ f(1)≦1
ただ、今回は f(0)≦1 が k の値に関わらず成立していますので、
(最大値)≦1 ⇔ f(1)=-2k+5/4≦1

ところで、余談ながら「〜を同時に満たすようにすればよい」というのは、模範解答に載っていたのでしょうか?
解答としてこのような表現を使っては、減点されても文句は言えない所なのですが。ちゃんと書くなら「〜を同時に満たすことが必要十分」ですね。
※解説でなら、このような表現もアリでしょうけど。


28428.Re: 二次関数
名前:flank    日付:8月30日(水) 21時33分
>ただ、今回は f(0)≦1 が k の値に関わらず成立していますので、
(最大値)≦1 ⇔ f(1)=-2k+5/4≦1

この部分がいまいちよくわからないのですが・・・。
また、-k^2+1/4と-2k+4/5がどちらが大きいかは
どう見分ければいいのでしょうか。

※余談について。
 模範解答には「〜を同時に満たすようにすればよい」と
 書いてありました。学校の先生が作ったものですから、
 ミスだったのだとおもいます・・。


28430.Re: 二次関数
名前:angel    日付:8月31日(木) 5時39分
> >ただ、今回は f(0)≦1 が k の値に関わらず成立していますので、
> (最大値)≦1 ⇔ f(1)=-2k+5/4≦1
>
> この部分がいまいちよくわからないのですが・・・。

こちらに関して、まず
> 0≦k<1のときは、0≦x≦1 における f(x) の最大値は f(0) もしくは f(1) の大きい方です。
> よって、(最大値)≦1 ⇔ f(0)≦1 かつ f(1)≦1
は問題ないでしょうか? ここから、実際に計算を進めると
 (最大値)≦1
 ⇔ f(0)≦1 かつ f(1)≦1
 ⇔ f(0)=1/4≦1 かつ f(1)=-2k+5/4≦1
 ⇔ f(1)=-2k+5/4≦1
と、いうことです。

> また、-k^2+1/4と-2k+4/5がどちらが大きいかは
> どう見分ければいいのでしょうか。
見分ける必要はありません。明らかに m≦f(1) です。
なぜなら、m は 0≦x≦1 における f(x) の最小値ですから。
そして、0≦k<1 であれば、f(x) は軸 x=k のところで最小、つまり m=f(k) です。

28422.多項式の除法  
名前:    日付:8月30日(水) 7時10分
(1-a^3-8x^3-6ax)÷(1-a-2x)のやり方がわかりません。
(x^2+3x+2)÷(x+1)ってやつはできたのですが・・
やり方がちがうのですか?お願いします。



28423.Re: 多項式の除法
名前:ヨッシー    日付:8月30日(水) 9時9分
マイナスが煩わしいので、
 (8x^3+6ax+a^3-1)÷(2x+a-1)
とします。
これをxの多項式と見れば、(aの多項式としても出来ます)
 {8x^3+6ax+(a^3-1)}÷{2x+(a-1)}
です。あとは、普通に筆算すれば出来ます。

もちろん、組立除法も出来ます。こちらはaの多項式と見た方が楽です。
 (a^3+6xa+8x^3-1)÷(a+2x-1)
として、

より、
 a^2+(-2x+1)a+(4x^2+2x+1)
が得られます。
 
http://yosshy.sansu.org/


28429.Re: 多項式の除法
名前:    日付:8月31日(木) 1時44分
x二乗の部分がないので空けとけばよかったのですね。
ありがとうございました。

28419.解の公式…?  
名前:高1    日付:8月29日(火) 21時58分
2次方程式(√2-1)x^2+√2x+1=0を解けという問題なのですが、解の公式を使って求めるのですか?
何度か公式にあてはめてやってみたのですが、変な数字になってしまって式が成立しませんでした。計算ミスなのか、それとも他の方法があるのか、教えてください。



28420.Re: 解の公式…?
名前:angel    日付:8月29日(火) 22時6分
解の公式を使っても良いですし、今回の例であれば因数分解もできます。

解の公式を使うことを考えれば、2次の係数 (√2-1) が分母にくるわけで、有理化の必要がでてくることが分かります。
であれば、予め (√2+1) をかけておけば楽になります。

方程式の両辺に (√2+1) をかければ、x^2 +(√2+2)x+(√2+1)=0


28421.Re: 解の公式…?
名前:高1    日付:8月29日(火) 23時38分
因数分解でやってみたらできました。ありがとうございました。

28417.確率で区別するかしないか  
名前:たけし高3    日付:8月29日(火) 17時14分
確率は「区別して考える」ことが前提であることは有名です。
例えば、

赤3白2の玉を一列に並べる場合、左から2つが連続で白である確率を求めよ。

という問題があったとします。その場合の解答を下に書きますので検討してください。

解答@〜区別して考える場合〜
赤3白2の玉を同色でも区別して考えて一列に並べる方法は、
5!通り。
そのうち、左から2つ連続で白が並ぶ通りは、
(2×1)×3! 通り
よって、(2×1)×3!/5!=1/10

解答A〜区別しないで考える場合〜
赤3白2の玉を区別しないで考えて一列に並べる方法は、
5!/(3!2!)=10通り。
そのうち、左2つが連続で白が並ぶ通りは、
1通り。
よって1/10.

これら2つの解答はどちらも正解ですか?
正解であれば、このやり方は一般性があって、どんな問題でも別に区別して考える必要はないのではないか?とも思うのですがどうなんでしょうか?



28418.Re: 確率で区別するかしないか
名前:ヨッシー    日付:8月29日(火) 17時35分
「区別して考える」ことが前提であるかどうかは知りませんが、
「同様に確からしいものを並べ立てて考える」ことは必須です。

この場合は、どちらの場合も、この条件を満たしているので答えは正しくなります。
ただし、区別しないで考えるときは、必ずしもそうでないし、いちいちそれを確かめるのも
面倒ですので、「区別して考える」で統一した方が楽なのです。

 
http://yosshy.sansu.org/

28409.御願いします  
名前:OO高等学校    日付:8月28日(月) 23時22分
sin^2A+sin^2B=sin^2C となるときの、△ABCはどのような三角形か。

どういった手順で解けばよいのかわかりません。
宜しくお願いします。



28410.Re: 御願いします
名前:Bob    日付:8月29日(火) 4時56分
正弦定理
sinA=a/2R
sinB=b/2R
sinC=c/2R 

これらを与式代入
sin^2A+sin^2B=sin^2C
(a^2/4R^2)+(b^2/4R^2)=c^2/4R^2

   a^2+b^2=c^2

もうわかりますね。
あとは・・・・です。


28415.Re: 御願いします
名前:OO高等学校    日付:8月29日(火) 12時9分
大変よくわかりました。
ありがとうございますww

28405.引き続き3次式  
名前:のびのびくん    日付:8月28日(月) 18時42分
説明不足ですみません。
式は問題を読み返しましたが
 4x^3 + 12x^2 -26x - 24 =0
 x^4- 2x^3 -1 = 0
で間違いなく、この方程式を解けという問題です。
すみません、この前高1と書きましたが、それは今は海外のインターナショナルスクールに行っていて、日本での数学のレベルは高1ぐらいだと思ったので高1にしましたが、実際は高2です。
この問題は教科書の中からです。
解説つきの答えの本を見たときに途中のステップが書いていなかったので、もしかしたらグラフを描ける計算機を使って求める問題なのかもしれません。
これらの式を計算機を使わずに求めることはできるのでしょうか?



28406.Re: 引き続き3次式
名前:    日付:8月28日(月) 18時57分
僕の勘違いでなければ
ryo 高@さんのおっしゃっていた因数定理を用いても
この方程式は解けません。
グラフを用いてなら
(1) 4x^3 + 12x^2 -26x - 24 =0
(2) x^4- 2x^3 -1 = 0
(1) は3つの異なる実数解,(2) は実数解を2つもつようですね。


28408.Re: 引き続き3次式
名前:のびのびくん    日付:8月28日(月) 21時42分
解けないと思ったらグラフを使わなければ解けない問題だったとは・・。
七さんにryo高@さん、何度もありがとうございました。
とても分かりやすくて助かりました。
またお世話になるかもしれませんがそのときはよろしくお願いします。

28397.(untitled)  
名前:フィーフィー    日付:8月28日(月) 14時54分
(ab-1)(bc-1)(ca-1) が abc で割り切れる時

ab + bc + ca - 1 が abc で割り切れる証明。

お願いしますm(=_=)m



28398.Re: (untitled)
名前:ヨッシー    日付:8月28日(月) 14時57分
(ab-1)(bc-1)(ca-1)=a^2b^2c^2−(ca^2b+ab^2c+bc^2a)+(ab+bc+ca)−1
より、何か気付きませんか?
 
http://yosshy.sansu.org/

28395.質問  
名前:マリオ    日付:8月28日(月) 11時13分
Original Size: 240 x 320, 28KB

水面上で12p離れた2点S1、S2から、波長4.0pの等しい波が出ている。右図は、それぞれの波源から広がる周期4.0秒の円形波の、時刻0の山の波面(実線)と谷の波面(波線)を表したものである。
図のA点の時刻2.0秒での変位は山、0、谷のうちのどれか。

これはどうやって考えればいいんでしょうか。あと、時刻0、2.0秒とか言うのはどういう事なんですか。



28399.Re: 質問
名前:angel    日付:8月28日(月) 15時51分
「波」とは、個々の地点での振動が、遠隔へと伝播していく現象ですから、
今回のように地点 A で固定して考えれば、問題文に「周期4.0秒」とあることから、
周期 4.0秒の振動と見ることができます。

この振動は、「山→0(標準水面)→谷→0→山」で1周期、図によれば、S1,S2由来の振動は両方とも時刻0で「山」です。

では、2.0秒(0.5周期)経てばどうなるか。山と山の中間はちょうど谷、というのが答えです。

> あと、時刻0、2.0秒とか言うのはどういう事なんですか。
「時間」と「時刻」は物理では良くでてきますので、おさえておくと良いと思います。
「時間」は、ある瞬間からある瞬間までに経過した時の長さ。
「時刻」は、設定したある基準から経過した時間のこと。
例えば、
 ・今日の午前9時から午前10時までの時間は1時間
 ・今日の始まりから1時間経った時の時刻は午前1時
  ※1日の始まりが基準になるのが暗黙の了解
今回は、図の状態になった瞬間が基準であり、時刻0。そこから2秒、時間が経過すれば、時刻2秒ということです。


28400.Re: 質問
名前:ヨッシー    日付:8月28日(月) 16時1分
波はこんなふうに連続的に伝わります。
ある形から、次に同じ形になるまでが周期です。

周期のちょうど半分で、山と谷が入れ替わります。
2秒(半周期)ごとに止めてみるとこんなふうになります。


時刻0の意味とかはangelさんの書かれているとおりです。
 
http://yosshy.sansu.org/


28401.Re: 質問
名前:マリオ    日付:8月28日(月) 16時41分
わかりやすい解答ありがとうございました。理解することが出来ました。

28388.2次関数  
名前:    日付:8月27日(日) 22時49分
2次関数y=x^2-6ax+10a^2+4a-5のグラフの頂点を求めよという問題なのですが、考え方が分かりません。どうしたら解けますか?
ちなみに高1です。



28392.Re: 2次関数
名前:ヨッシー    日付:8月28日(月) 8時33分
a が入っているから解けないのか、そもそも頂点の求め方が分からないのか
分かりませんので、ためしに、
 y=x^2+6x+11 の頂点を求めよ
を、やってみてください。
 

http://yosshy.sansu.org/


28396.Re: 2次関数
名前:    日付:8月28日(月) 11時47分
説明不足ですみません。
aが入ってるので求め方がよくわかりません。

出していただいた問題の答え(-3,2)の求め方はわかるのですが…。


28404.Re: 2次関数
名前:ヨッシー    日付:8月28日(月) 18時41分
一般に、y=(x-m)^2+n の形になれば、頂点は(m,n)ですね?
 正確には y=a(x-m)^2+n ですが、a=1 としました。

y=x^2+6x+11 も、y=x^2+6x+9+2=(x+3)^2+2 と変形出来て、頂点が(-3, 2) と求められます。

では、y=x^2-6ax+10a^2+4a-5 も、
 y=x^2-6ax+(3a)^2+a^2+4a-5
  =(x-3a)^2+(a^2+4a-5)
なので・・・(以下略)
 
http://yosshy.sansu.org/


28407.Re: 2次関数
名前:    日付:8月28日(月) 21時31分
y=(x-3a)^2+a^2+4a-5 になるまではよくわかったのですが、頂点がわかりません。この先を教えていただけますか。


28411.Re: 2次関数
名前:Bob    日付:8月29日(火) 5時0分

x^2+6x+11 =x^2+6x+9−9+11
     =(x−3)^2+2
 この頂点はー3の−をとって3
      あとは2で
  (−3,2)


y=(x-3a)^2+a^2+4a-5
もおなじです

(3a,a^2+4a−5)となります


28413.Re: 2次関数
名前:    日付:8月29日(火) 11時33分
それが答えでよかったんですか。

ヨッシーさんBobさんありがとうございました。

28382.正方形を  
名前:あきら    日付:8月27日(日) 19時38分
100×100の正方形に大小2種類の正方形を隙間、重なりが無いように敷き詰めるとき、そぞれれの正方形の大きさと数を求めよ。という問題です。

中学生でもとけるらしいのですが…今高2です。



28385.Re: 正方形を
名前:らすかる    日付:8月27日(日) 21時49分
答は無数にありますが…
例えば
1辺50の正方形3個と1辺25の正方形4個
1辺50の正方形3個と1辺50/3の正方形9個
1辺50の正方形3個と1辺25/2の正方形16個
1辺50の正方形3個と1辺10の正方形25個
・・・
http://www10.plala.or.jp/rascalhp


28387.Re: 正方形を
名前:あきら    日付:8月27日(日) 22時45分
この問題は答えを一般化できないんですかね?


28390.Re: 正方形を
名前:らすかる    日付:8月28日(月) 0時23分
合計で何個とかの条件はないんですか?
http://www10.plala.or.jp/rascalhp


28403.Re: 正方形を
名前:ヨッシー    日付:8月28日(月) 18時32分
分数を許すなら、別に100×100である必要はないので、
整数に限ると、考えられますが、それにしても、かなりの組み合わせが
あるでしょう。

どこ出だされた問題でしょう?
また、問題全文は?
 
http://yosshy.sansu.org/


28414.Re: 正方形を
名前:あきら    日付:8月29日(火) 12時5分
すみません条件が1つかけていました!合計で101個でした。


28416.Re: 正方形を
名前:らすかる    日付:8月29日(火) 12時41分
合計が101個なら、解はおそらく以下の11個です。
1辺50/3の正方形が20個と1辺200/27の正方形が81個
1辺100/9の正方形が65個と1辺200/27の正方形が36個
1辺100/11の正方形が85個と1辺150/11の正方形が16個
1辺50/7の正方形が52個と1辺600/49の正方形が49個
1辺100/19の正方形が37個と1辺225/19の正方形が64個
1辺5の正方形が76個と1辺18の正方形が25個
1辺25/6の正方形が92個と1辺275/9の正方形が9個
1辺50/13の正方形が100個と1辺1200/13の正方形が1個
1辺100/33の正方形が65個と1辺1600/99の正方形が36個
1辺100/43の正方形が85個と1辺1050/43の正方形が16個
1辺100/49の正方形が97個と1辺2400/49の正方形が4個
ただし、この他に解がない保証はありません。
http://www10.plala.or.jp/rascalhp

28377.3次式  
名前:のびのびくん    日付:8月27日(日) 12時38分
こんにちは、今高1なんですが、
習ったことのない計算がでてきたので質問させていただきます。

 2x^3-x^2^18x +9 = 0

という問題なのですが、文字がx1つだけの3次式というのは見たことがなかったのでとき方がわかりません。
xでくくって
 x(2x^2-x-18)+9= 0
にしてみても、 2x^2-x-18 は解の公式を使わなければならなそうですし。。
どうすればxを解けますか?何か公式でもあるのでしょうか。



28380.Re: 3次式
名前:    日付:8月27日(日) 13時42分
項の組み合わせで共通因数を作りましょう

2x^3−x^2−18x +9 = 0
2x(x^2−9)−(x^2−9)=0

この後はいいですか?


28381.Re: 3次式
名前:ryo 高@    日付:8月27日(日) 14時17分
・・・3次式だけでは問題が分からないのですが。

因数分解をするということにすると、

この場合は因数定理を用いた方が易しいのではないでしょうか?

今回も
(定数項の約数)/(最高次の係数の約数)
で検討を立てると、1/2で0になるので

2x^3-x^2-18x +9=(xー1/2)(2x^2−18)・・・@
             

です。
 
もっとするならば
     @=(2x−1)(x+3)(x−3)

途中は組み立て除法を使うと楽です。


28384.Re: 3次式
名前:のびのびくん    日付:8月27日(日) 20時57分
>七さん
 その後は、
 2x(x^2-9)-(x^2-9)=0
の両辺を (x^2-9) でわって
 2x -1 = 0
になるのですか・・・?

>ryo 高@さん
知識不足で申し訳ありませんが、なぜそうなるのか分かりません・・。
その様な公式があるのですか?


28386.Re: 3次式
名前:    日付:8月27日(日) 22時12分
むやみに0かも知れない数式で割り算をしてはいけません。
x^2−9≠0 と分かっているときならかまいませんが…。

2x(x^2−9)−(x^2−9)=0
(x^2−9)(2x−1)=0
(x+3)(x−3)(2x−1)=0

x=±3,1/2 となります。

3つの式でも掛け合わせて0になるなら,どれか一つは0ですね。

因数定理や,組み立て除法は数学2で学びますが,習った後でもこの因数分解はこの方が楽だと思います。


28389.Re: 3次式
名前:のびのびくん    日付:8月27日(日) 23時13分
なるほど!
これと同じような問題もやってみましたが自分の力で解けました。
そこで他の問題にもチャレンジしてみたのですが、また問題がでてきてしまいました・・。
 4x^3 + 12x^2 -26x - 24 =0
の様な、x^3とx、x^2と数の係数を因数分解できない場合や、
 x^4- 2x^3 -1 = 0 
などの、4次元プラス 3つの項しかない問題でもさきほど教えていただいた方法は使えますか?
自分でもやってみましたがどうもうまく働きません・・。


28391.Re: 3次式
名前:    日付:8月28日(月) 0時41分
4x^3 + 12x^2 -26x - 24 =0
x^4- 2x^3 -1 = 0

これについては,逆にこちらから質問します。
1. 係数は符号も含めてあってますか?
2. 「この方程式を解け」という問題なのですか?
3. 高1ということですが,どんな問題集(でいいのかな)をやっているんですか?

以上をふまえて,新しいスレッドで質問してください。

28376.お願いします  
名前:チャレンジャー号    日付:8月27日(日) 11時25分
次のような数列を考える。初項を2とし、さらにその数列の第(n+1)項と第n項の間では、{第(n+i)項目}={第(n)項目}-{log(n)項目}の関係がある。さてこの条件からこの数列の性質を考えてみようこれは学校の先生から授業で発表しろと言われた問題なんですが次の3つのことが解決できなくて困っています。疑問1 この数列の各項が1より大きくて2以下であること疑問2 この数列の一般項の極限疑問3 この数列の初項から第n項まですべてかけたものの    極限お願いします



28378.Re: お願いします
名前:黒蟻    日付:8月27日(日) 12時15分
>さてこの条件からこの数列の性質を考えてみようこれは学校の先生から授業で発表しろと言われた問題なんですが次の3つのことが解決できなくて困っています。
言いたいことは伝わりますが、全然日本語になっていませんので、日本語を書いて下さい。

>{第(n+i)項目}={第(n)項目}-{log(n)項目}
n+iって何ですか?n+1の間違いですか?log(n)は自然数になるとは限らないので、「log(n)項目」は意味を成しません。「 [log(n)]項目 」([ ]はガウス記号)の間違いですか?あと、log(n)の底は何ですか?


28379.Re: お願いします
名前:ZELDA    日付:8月27日(日) 13時7分
(1) 疑問1について
f(x)=x-logx (1<x≦2)とおく。
f'(x)=1-(1/x)
ゆえに、0<f'(x)≦1/2・・・(あ)
また、f(1)<f(x)≦f(2)
   1<f(x)≦2-log2≦2・・・(い)

数学的帰納法により 1<a(n)≦2を示す。

Case1 n=1のとき明らかに成り立つ。
Case2 n=kのとき成り立つと仮定すると、[(い)より ]
1<a(k+1)≦2
したがって、1<a(n)≦2 が成り立つ。

(2) 疑問2について
平均値の定理から
{f[a(n)]-f[1]}/{a(n)-1}=f'(c)≦1/2 [ (あ)より ]
1<c<a(n) を同時にみたす実数cが存在する。
ゆえに、[a(n+1)-1]/[a(n)-1]≦1/2
a(n+1)-1≦(1/2)[a(n)-1]
これを繰り返し用いて
a(n)-1≦(1/2)^(n-1)[a(1)-1]
1≦a(n)≦(1/2)^(n-1)[a(1)-1]+1
ゆえに、lim[n→∞]a(n)=1

(3) 疑問3について
a(2)-a(1)=-log[a(1)]
a(3)-a(2)=-log[a(2)]



a(n+1)-a(n)=-log[a(n)]
各辺を足し合わせて
a(n+1)-a(1)=-log[a(1)a(2)a(3)・・・a(n)]
log[a(1)a(2)a(3)・・・a(n)]=a(1)-a(n+1)
lim[n→∞]log[a(1)a(2)a(3)・・・a(n)]=[lim[n→∞][a(1)-a(n+1)]
=1
ゆえに、lim[n→∞][a(1)a(2)a(3)・・・a(n)]=e

28375.お願いします  
名前:ゆき    日付:8月27日(日) 11時6分
教科書の応用問題ですが、解説が無くて解けません。今、ここに青色の玉があるとする。その総数は13個で、それぞれに1,2,3、・・・、13のように番号を記入するこの条件のもとで(A)13個の玉から3個の玉をとってその中に番号が連続  するような場合はいくつあるか?(B)取り出した3個の玉について、どの2個の玉の番号の差  が3以上になる場合はいくつあるか?(C)取り出した3個の玉の番号の和が3の倍数になるような  場合はいくつあるか?



28393.Re: お願いします
名前:ヨッシー    日付:8月28日(月) 9時40分
13個の玉から3つを取る取り方は、
 13C3=286(通り)
(A)
「番号が連続」が「3つ連続する」の意味なら、
 {1,2,3}{2,3,4}{3,4,5}・・・{11,12,13}
の11通りです。
「番号が連続」が「どれか2個が連続した数である」の意味なら
((B) の傾向からして、こちらかとは思いますが)
11個の玉から3個を選び、一番大きい数に2を足し、真ん中の数に1を足すと、
13個の玉から隣り合わない3個を選ぶのと同じになりますので、
 11C3=165(通り)
これ以外が、どれか2つが連続する場合なので、
 286-165=121(通り) ・・・答え
※11個から{1,2,3} を選んだとすると{1,3,5} とすることにより、隣り合うことを無くしています。
最初から隣り合っていない場合でも
 {3,8,11}→{3,9,13}
のように、別の選び方に直すことにより、11個から選んだのと、13個から
(連続しない3個を)選んだのとが、1対1に対応します。

(B)
(A)の後半と同じように考えると、9個の玉から3個を選んで、
大きい数に4を足し、、真ん中の数に2を足すのと同じですから、
 9C3=84(通り)・・・答え

(C)
13個の玉を、以下の3つに分かれます。
 グループ1:1,4,7,10,13  3で割って1余る数
 グループ2:2,5,8,11    3で割って2余る数
 グループ3:3,6,9,12    3で割り切れる数
3個の和が3の倍数になるには、
グループ1から3個取る:5C3=10(通り)
グループ2から3個取る:4C3=4(通り)
グループ3から3個取る:4C3=4(通り)
各グループから1個ずつ取る:5×4×4=80(通り)
以上より
 10+4+4+80=98(通り)
 

http://yosshy.sansu.org/

28373.よろしくお願いします  
名前:新入生    日付:8月26日(土) 21時40分
xy+2yz+3zx = 1 のとき、

│x+y+z│ の最小値を求めよ。



28374.強引に。
名前:KINO    日付:8月26日(土) 22時51分
x, y, z は実数であるという暗黙の条件があるとみなします。
(複素数でもよいとなると,どう解けばよいのか僕にはわかりません。)

k=x+y+z とおき,k の取り得る値の範囲を調べることにします。
xy+2yz+3zx=1 を x(y+3z)=1-2yz と変形します。ここでもし y=-3z となることがあると仮定すると,0=1+6z2 となり,z が実数であることに反するからです。
そこで x=(1-2yz)/(y+3z) と変形し,x+y+z=k に代入し,分母の y+3z を払うと
y2+(2z-k)y+3z2-3kz+1=0
という方程式を得ます。これを y に関する2次方程式とみると,この方程式が実数解 y を持つためには 判別式≧0 でなければなりません。
このことから,z に関する2次不等式
z2-kz-(k2-4)/8≦0
を得ます。この2次不等式も実数解 z を持たなければならないので,判別式≧0 でなければなりません。この条件から k2≧4/3 を得ます。
したがって |x+y+z|=|k|≧2/√3 という不等式を得て,2/√3 が |x+y+z| の最小値になりそうなことがわかります。
念のため,本当に k=2/√3 となるような実数 x, y, z の組があることをちゃんと確認してみましょう。k=2/√3 を z の2次不等式に代入すると z=1/√3 となり,これらを y の2次方程式に代入すると y=0 が得られます。それらを x=(1-2yz)/(y+3z) に代入すると,x=1/√3 を得て,確かに |x+y+z|=2/√3 となります。

28372.算チャレVer3 227  
名前:ろくわるには    日付:8月26日(土) 17時10分
同じ形とありますが、対称形のように思います。
体積的には変わりませんが。



28394.Re: 算チャレVer3 227
名前:ヨッシー    日付:8月28日(月) 10時13分
確かに、対称形ですね。
失礼しました。
 
http://yosshy.sansu.org/


28412.Re: 算チャレVer3 227
名前:ろくわるには    日付:8月29日(火) 5時57分
返信いただきありがとうございます
いつもお世話になっております
立体感覚がまるでないもので(平面感覚もないですが)
消しゴムを買ってきてカッターで切ってみました
1個目はうまく切れなくて失敗、
2個目で何とか成功しました
それにしても立体切断に適した物ってないものでしょうか?
豆腐、大根、消しゴム・・全部イマイチ
羊羹、カステラ・・もったいない感じ

28364.宜しく御願い致します!  
名前:OO高等学校    日付:8月26日(土) 7時10分
△ABCにおいて、c=3 cosA=-1/2 cosB=11/14 であるとき、残りの辺と角の大きさa,b,cosC を求めよ。

答えは、時間をかければ求められるのですが、こういったタイプの二角夾辺が与えられている三角形(角はcosで与えられている)は、どういった手順で解けば一番効率的で簡単ですか?
sinを出してから、方程式を立てて解いているのですが、あまりにも大変で時間が掛かり、答えも正しいものが出ないときがあるので、テストのときに心配です。
御手数だと思いますが、どうぞ宜しく御願いします。



28365.Re: 宜しく御願い致します!
名前:angel    日付:8月26日(土) 7時35分
図形的に考えれば、
 2角→残りの角
を考えるのが一番素直だと思います。
今回の例であれば、

 cosC
 = cos(180°-(A+B))
 = -cos(A+B)
 = sinAsinB-cosAcosB
 = √(3/4・75/196) + 1/2・11/14
 = ( √(3・75) + 11 )/28
 = 13/14

で、cosC が出ます。

cosC さえ出てしまえば、各 cos から sin を計算して、正弦定理で各長さを出すのが楽でしょう。


28366.Re: 宜しく御願い致します!
名前:angel    日付:8月26日(土) 8時11分
前述の方法が使えなければ、図形的な性質に着目して、

 1. a・cosB+b・cosA = c
 2. a・sinB = b・sinA

なお、1 に関しては、余弦定理
 b^2+c^2-a^2-2bc・cosA=0
 c^2+a^2-b^2-2ca・cosB=0
の辺々の和を取って導くこともできます。
2 に関しては、正弦定理 a/sinA=b/sinB=2R ( Rは外接円の半径 ) の変形とも言えますね。

1,2を連立して解けば、
 a=c・sinA/(sinAcosB+cosAsinB)=c/(cosB・(1+tanB/tanA))
 b=c・sinB/(sinAcosB+cosAsinB)=c/(cosA・(1+tanA/tanB))
a,b が出れば、cosC は余弦定理で出ます。
ただ、やはり計算量は多くなるでしょう。


28367.Re: 宜しく御願い致します!
名前:OO高等学校    日付:8月26日(土) 8時12分
御早い解説、ありがとうございます。
問題を沢山解いて、計算力を付けたいと思います。

28362.場合の数   
名前:天パーに悪いやつはいない    日付:8月26日(土) 3時19分
2桁の自然数の集合を全体集合とし4の倍数の集合をA、6の倍数の集合をBと現すこのときAUBの要素の個数を求めよ・・・・
でn(A)=24−3+1
n(B)=16−2+1
ー3+1がなんの数かわかりません



28363.Re: 場合の数 
名前:angel    日付:8月26日(土) 3時52分
連続する整数の個数を数える場合、a〜b ( a 以上 b 以下の整数 ) の個数であれば、(b-a+1)個となります。
※例:10〜100なら、100-10+1=91個、これは、1〜100の100個から、1〜9の9個を引いた数と同じ

今回、2桁の4の倍数であれば、12〜96の中で4の倍数のものを数えるので、

 3×4, 4×4, 5×4, …, 23×4, 24×4

の個数になりますが、これは 3〜24の連続する整数の個数を数えているのと同じ。
つまり、(24-3+1)個

28358.(untitled)  
名前:flank    日付:8月25日(金) 19時11分
こんにちは。

二次関数y=-x^2+ax+bがある。そのグラフが放物線y=x^2+2x-2の頂点を
通るとき、次の問いに答えよ。

という問題で、
問.aとbの満たす条件を求めよ。
となっていて、答えが、
a-b-2=0
となっています。
どうしてこれが答えになるのでしょうか。


あと一問、
L:y=cx-5
という関数と平行な関数M
これを、
式にすると、
M:L=cx+d
となっているのですが、
M: はどういう意味なのでしょうか。



28370.Re: (untitled)
名前:X    日付:8月26日(土) 9時41分
前半)
y=x^2+2x-2 (A)
から
y=(x+1)^2-3
∴(A)の頂点の座標は(-1,-3)
この点を
y=-x^2+ax+b (B)
のグラフが通りますから、(B)にx=-1,y=-3を代入して整理しましょう。


28371.Re: (untitled)
名前:X    日付:8月26日(土) 9時48分
後半)
「Mの方程式は」ということを強調する意味で付いているだけで、別につけなくても構いません。飽くまで見易くするためのお化粧みたいなものです。

28356.物理です!  
名前:マリオ    日付:8月25日(金) 18時25分
Size: 120 x 160, 4KB

図のようにA、Bの小さな2つのスピーカーから等しい音を出す。マイクを、点PからABに平行に移動していくと音は次第に小さくなってから大きくなり、点Qで極大になった。音の振動数f[Hz]を求めよ。音の速さを3.4×10^2m/sとする。

どうやって考えればいいのか全然わかりません。教えてください。



28357.Re: 物理です!
名前:    日付:8月25日(金) 18時36分
AQ=1.5m, BQ=1.3m
AQ−BQ=λ=0.2m

振動数=v/λ=(3.4×10^2)/0.2=1.7×10^3 Hz


28359.Re: 物理です!
名前:マリオ    日付:8月25日(金) 22時57分
すいません。はじめの部分をもう少し詳しく教えてくれませんか。この問題は何をやったらいいのかがよくわかりません。


28360.Re: 物理です!
名前:    日付:8月26日(土) 0時55分
はじめの部分というのは

AQ−BQ=λ=0.2m

ですか?それともその前ですか?

その前だったら三平方の定理で求めただけです。


28361.Re: 物理です!
名前:マリオ    日付:8月26日(土) 1時8分
>AQ−BQ=λ
これはどういうことですか。

28355.方程式 と 微分  
名前:KS    日付:8月25日(金) 18時7分
わかりません 泣 教えてください。

@logx ^2 = log(x-4)+1 の方程式を解く。( ^2 は二乗の意味です)

Ady/dx = y(y-1)    をとく( dy/dx はdx分のdy です )

お願いします



28369.Re: 方程式 と 微分
名前:ZELDA    日付:8月26日(土) 9時28分
(1)真数条件からx>4
log(x^2)=log(x-4)+1
log(x^2)=log(x-4)+loge
log(x^2)=log[e(x-4)]
あとは、たぶんできると思いますので、省略します。

(2)
定関数y=0,y=1は求める微分方程式の解である。

つぎに、これら以外の場合を考える。
dy/dx=y(y-1)
{1/y(y-1)}dy=dx
ゆえに、
∫{1/y(y-1)}dy=∫dx
log|(y-1)/y|=x+C (C:積分定数)
|(y-1)/y|=e^(x+C)
(y-1)/y=(±e^C)*(e^x)
(y-1)/y=Ce^x
ゆえに、y=(1-Ce^x)^(-1)
この答えは、定関数y=1を含んでいる。

ゆえに、求める微分方程式の解は
y=0,y=(1-Ce^x)^(-1)

28353.化学です!  
名前:マリオ    日付:8月25日(金) 17時21分
 A〜Hの金属がある。B、D、E、F、G及びHは銀白色ないし灰白色であるが、AやCは着色している。Eは常温で水と激しく反応するが、BやGは高温の水蒸気と反応して水素を発生する。A、C、D、F及びHは、高温の水蒸気とも反応しない。B、D、E及びGは希塩酸に水素を発生しながら溶解する。A、F及びHは希塩酸には溶解しないが、希硝酸には溶解する。Cは希塩酸や希硝酸には溶解しないが、王水には溶ける。Gは希硝酸には溶解するが、濃硝酸には溶解しない。FとHで電池を作ると、Fが正極、Hが負極なった。〔A〜Hの金属名:銀、鉄、カルシウム、金、スズ、銅、亜鉛、鉛〕
(1)A〜Hに該当する金属名を答えよ。
AやCは着色している、Cは希塩酸や希硝酸には溶解しないが、王水には溶けるからAは金、Cは銅と解りますが、そのほかが解りません。どのように判別していけばいいのか教えてください。



28354.Re: 化学です!
名前:ヨッシー    日付:8月25日(金) 17時49分

上の表に書いたことは、こちらに詳しく載っています。
 
http://yosshy.sansu.org/

28351.三角比  
名前:flank    日付:8月25日(金) 14時19分
こんにちは。

(cosα)^2は、
cos^2α と書くのか、 cosα^2 と書くのか
どちらなのでしょうか。

また、
a・cosα×a・cosα や、
a・cosα×cosα などの式はどう書き表すのでしょうか。



28352.Re: 三角比
名前:ヨッシー    日付:8月25日(金) 14時24分
 (cosα)^2=cos^2α
 a・cosα×a・cosα=a^2cos^2α
 a・cosα×cosα=acos^2α
です。手で書くことを前提として書いています。パソコンでは、
 a・cosα×a・cosα=(a^2)cos^2α
 a・cosα×cosα=a・cos^2α
と書くのが良いでしょう。
 
http://yosshy.sansu.org/

28349.ベクトルの問題  
名前:ベクトル☆    日付:8月25日(金) 1時15分

四角形ABCDの辺AB、CDの中点をそれぞれP、Qとし対角線AC、BDの中点をそれぞれM,N
とする。

(1)PQおよびMNをADおよびBCで表せ。

(2)直線PQと直線MNが直交するとき、(1)の結果を用いると(3)が分かる。
語群から(3)の答えを選ぶ。

@AD>BC AAD=BC BAD<BC CAD//BC DADとBCが直角

お手数ですがよろしくお願いします。高3です。



28350.Re: ベクトルの問題
名前:ヨッシー    日付:8月25日(金) 10時13分
点A,B,C,Dの位置ベクトルをd とします。このとき、
 AD
 BC
また、点P、Q、M、Nの位置ベクトルをqとします。このとき、
 =()/2
 =()/2
 =()/2
 =()/2
一方、
 PQ=()/2−()/2
  ={()+(d)}/2
  =(BCAD)/2 ・・・答え1
 MN=()/2−()/2
  ={()+(d)}/2
  =(ADBC)/2 ・・・答え2

(2)
PQMN=0 より、
 (BCAD)・(ADBC)
 =|AD|^2−|BC|^2=0
よって、
 |AD|^2=|BC|^2
  答え 2
 
http://yosshy.sansu.org/

28345.図形の問題  
名前:るぁ    日付:8月24日(木) 21時33分
Original Size: 240 x 320, 7KB Original Size: 240 x 320, 7KB

2問とも答えはわかっているのですが、やり方が全くわかりません。
よろしくお願いします。
(1)図は、三角柱ABCDEFから三角錐ABGEを切り取ってできた立体で
Gはもとの三角柱の辺BCの中点である。
もとの三角柱の体積が180cm3のとき、この立体の体積は何cm3か。

(2)図で△ABCはAB=AC,∠BAC=90°の直角三角形で、Dは辺BCの中点である。また、E,Fはそれぞれ辺AB,AC上の点で、AE=CFである。
1.△DEFの面積は何cm2か。

お手数おかけします。



28347.Re: 図形の問題
名前:ヨッシー    日付:8月24日(木) 21時59分
(1)
三角柱ABCDEFが△ABCが底面だったのに対し、三角錐ABGEは、
△ABGが底面になっていて、底面は1/2倍。
高さは共通ですが、三角すいである分、体積は1/3倍になるので、
三角錐ABGEの体積は、三角柱ABCDEFの
 1/2 × 1/3 = 1/6 倍
残った立体は 1−1/6=5/6(倍)

(2)
図に寸法が入っているように見えますが、見えません。
 
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28341.グラフの書き方  
名前:やす    日付:8月24日(木) 19時43分
こんにちわ、今高二でグラフなどの復習をやっているのですが、

 y=-5/2x - 11/4

のように、式に分数が入っている場合グラフにしにくいので
ピッタシの点(整数,整数)を見つけたいのですが、
合いそうな数字を順番に当てはめていくしか方法はないのでしょうか?
それともなにか公式というか、規則みたいなものがあるのですか?



28342.Re: グラフの書き方
名前:    日付:8月24日(木) 19時53分
問題の式が1次関数の式なら
x座標も,y座標も整数になる点(ふつう格子点という言い方をしますが)
は通りません。


28343.Re: グラフの書き方
名前:ヨッシー    日付:8月24日(木) 20時2分
補足すると、
 y=(-5/2)x - 11/4
の両辺に4を掛けて、移項すると
 4y + 10x = -11
となり、整数x,y に対して左辺が必ず偶数になるので、x,y 両方が整数になることはありません。
 
合いそうな数字を順番に当てはめていくしかないですが、
合いそうな数字を効率よく見つける方法を考えることは、意味があります。
 
http://yosshy.sansu.org/


28344.Re: グラフの書き方
名前:やす    日付:8月24日(木) 20時20分
ということは、どちらかが整数になっても片方は分数のままになるということですか?
あと、よかったらその効率の良い探し方というのを教えてもらえませんでしょうか。
私が思うには両方の分母の最小公倍数とかですかね・・?


28346.Re: グラフの書き方
名前:ヨッシー    日付:8月24日(木) 22時18分
「分母の最小公倍数」を掛けて、分母を払うのは必須です。
そして、 9x+6y+3=0 のように、すべての係数(定数項含む)に共通な
約数があれば割って、
 3x+2y+1=0
のようにして、ax+by+c=0 の形にします。ただし、a,b,cは整数で、3数の最大公約数は1であること。

aとbに1以外の公約数があるとき、
 ax+by=−c
の、左辺はその約数の倍数、右辺は違うので、適当な整数はありません。
(上の問題がこの例です)

aとbの最大公約数が1のとき
 ax=−by−c
において、
i)bとcに、1以外の公約数があるとき、xもその数を約数に持ちます。
公約数をmとし、b=mb’、c=mc’、x=mx’として、
 ax’=−b’y−c’
として、再吟味して、求めたx’に最後にmを掛けます。
aとcに、1以外の公約数があるときも同様です。

ii)bとcの最大公約数が1のとき、
 ax=−by−c
において、−cがaで割っていくつ余るか、−bがaで割っていくつ余るかを調べ、
yはaで割っていくつ余るべきかを調べます。
たとえば、
 5x=−4y−7
の場合、−7は5で割ってあまり3(−7=5×(−2)+3ですので)、
−4は5で割ってあまり1なので、yは5で割って2あまる数であれば、
 1×2+3=5
となり、左辺が5の倍数であることと一致します。
あとは、y=2,7,12,17,22
などを当てはめます。
 

http://yosshy.sansu.org/


28348.Re: グラフの書き方
名前:やす    日付:8月24日(木) 22時16分
この様なやり方があったとは知りませんでした。
次から試してみます。
丁寧な説明ありがとうございました。

28339.不等式  
名前:osakana    日付:8月24日(木) 18時36分
■次の不等式を証明せよ。という問題がわかりません。

(1/2)*(3/4)*・・・・・・・・・*(n/n+1)*・・・・・・・・・(999999/1000000)<1/1000

教えてください。よろしくお願いします。



28340.Re: 不等式
名前:らすかる    日付:8月24日(木) 18時56分
(1/2)(2/3)(3/4)…(999999/1000000)(1000000/1000001)=1/1000001
1/2<2/3, 3/4<4/5, 5/6<6/7, … ,999999/1000000<1000000/1000001 から
(1/2)(3/4)(5/6)…(999999/1000000)<(2/3)(4/5)(6/7)…(1000000/1000001)
∴{(1/2)(3/4)(5/6)…(999999/1000000)}^2
 <(1/2)(2/3)(3/4)…(999999/1000000)(1000000/1000001)=1/1000001
なので
(1/2)(3/4)(5/6)…(999999/1000000)<1/√1000001<1/1000
http://www10.plala.or.jp/rascalhp

28336.(untitled)  
名前:Sum    日付:8月24日(木) 9時27分
a,b,c,dを整数としてa≡b(mod2)とする。
x^3-{3(a^2+3b^2)(c^2+3d^2)x}/4+{ac(a+3b)(a-3b)(c+3d)(c-3d)}/4=0が整数解を持つ必要十分条件とその整数解をもとめよ、という問題なのですがどうかよろしくお願いします

28329.数列  
名前:そば    日付:8月23日(水) 21時22分
a[1]=1,a{n+1]+a[n]=nの数列{a[n]}について、a[100]の値は求めなさい、なんですが解き方に悩んでいます



28331.Re: 数列
名前:らすかる    日付:8月23日(水) 22時18分
a[100]
=(a[100]+a[99])-(a[99]+a[98])+(a[98]+a[97])-(a[97]+a[96])
 + … +(a[4]+a[3])-(a[3]+a[2])+(a[2]+a[1])-a[1]
=99-98+97-96+ … +3-2+1-1
=(99-98)+(97-96)+ … +(3-2)+(1-1)
=49
http://www10.plala.or.jp/rascalhp


28332.Re: 数列
名前:ZELDA    日付:8月23日(水) 22時38分
私は一般項を出す方針で解きました。
a(n+1)+a(n)=n
a(n+1)-{(1/2)*(n+1)-(1/4)}=(-1)[a(n)-{(1/2)*n-(1/4)}]
これを繰り返し用いて
a(n)-{(1/2)*n-(1/4)}=[a(1)-{(1/2)-(1/4)}]*(-1)^(n-1)
これを整理すると
a(n)=(1/2)*n-(1/4)+(3/4)*(-1)^(n-1)

ゆえに、a(100)=49

28328.最大値  
名前:喜多    日付:8月23日(水) 21時18分
実数a、bが2a+b=4なる条件を満たすとき、abの最大値がどうなるのかわかりません。



28330.Re: 最大値
名前:黒蟻    日付:8月23日(水) 22時38分
解法1
b=4−2aだからab=a(4−2a)=4a−2a^2=2−2(a−1)^2≦2−0=2
等号はa=1のとき。このときb=2となる。つまり、(a,b)=(1,2)のときabは最大値2を取る。

解法2
a<0,b>0の場合…ab<0となる。
a>0,b<0の場合…ab<0となる。
a<0,b<0の場合…これは有り得ない。
a>0,b>0の場合…(2a)>0,b>0なので、相加相乗平均の不等式が使えて
4=2a+b≧2√(2ab)
4≧2√(2ab)
16≧4(2ab)
2≧ab
となる。等号は2a=bのとき。つまり(a,b)=(1,2)のとき。
以上より、(a,b)=(1,2)のときabは最大値2を取る。

28326.めっちゃわかりにくいし物理ですがだれかおねがいしますorz  
名前:重心    日付:8月23日(水) 19時31分
半径rの円板から半径r/4の円板を切り取ったとき重心の一をGとするとOG間の距離をもとめよ   円↓中心O AO間r OC間r/2

   ┃    r   ┃
   A     G   O  r/2   C   B 



28327.Re: めっちゃわかりにくいし物理ですがだれかおねがいしますorz
名前:zyuusinn    日付:8月23日(水) 19時39分
一→位置
       cを中心とした半径Bの円
  O r/2  D  B  C


28333.Re: めっちゃわかりにくいし物理ですがだれかおねがいしますorz
名前:ヨッシー    日付:8月24日(木) 0時35分
切り取る位置がちょっとわかりませんが、たとえばこんなのとしましょう。

元の円の中心をO、小円の中心をC、切り取ったあとの重心の位置をGとします。
小円と大円の面積比は1:16であるので、小円と切り取ったあとの図形の
面積比は、1:15です。
重心は、そこに集中して質量があると考えられますから、Gの位置に15g、
Cの位置に1gの重りをつるしたら、Oの位置でつり合ったと考えると、
 OC:OG=15:1
の関係にあります。
 
http://yosshy.sansu.org/

28323.わかりません!!  
名前:金海    日付:8月23日(水) 14時22分
△ABCの垂心をH、外心をGとするとき、3点O、G、Hは同一直線上にあることを証明せよ。



28324.Re: わかりません!!
名前:ヨッシー    日付:8月23日(水) 15時6分
△ABCの垂心をH、外心をO、重心をGとするとき ですね。


BC,CA,ABの中点をD,E,F とします。
重心の性質より、
 AG:GD=2:1・・・(1)
△ABCと△DEFは、相似(相似比2:1)であり、
点Hが△ABCの垂心であると同時に、△ABCの外心Oは△DEFの垂心であるので、
 AH:DO=2:1・・・(2)
AHとDOはともにBCと垂直なので、AH//DO
よって、
 ∠HAG=∠ODG・・・(3)
(1)(2)(3)より、
△AHGと△ODGは、相似(相似比2:1)となり、
3点O,G,Hは一直線上にあります。
 
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28314.変数  
名前:どーしても    日付:8月22日(火) 17時57分
大学1年ですがどうしてもわからなかったのでどうかお願いします。
(x+y^2)y'=yを変数変換u=x-y^2により、独立変数u、従属変数yの方程式にせよ、というものです。
ご教授お願いします。 



28321.Re: 変数
名前:SLD10    日付:8月23日(水) 12時6分
>(x+y^2)y'=y,u=x-y^2

u=x-y^2の両辺をxについて微分して、
du/dx=1-2y(dy/dx)

dy/dx=(dy/du)(du/dx)に上の式を代入して、

dy/dx=(dy/du)(1-2y(dy/dx))
(1+2y(dy/du))(dy/dx)=dy/du
dy/dx=(dy/du)/(1+2y(dy/du))

y'=dy/dxとx=u+y^2を元の式に代入して、

(u+2y^2){(dy/du)/(1+2y(dy/du))}=y

28307.さんかいめ  
名前:白雪キング    日付:8月22日(火) 15時25分
座標平面上で点Pを次の規則に従って移動させる。
1個のさいころを投げ、出た目をaとするとき

 a≦2ならばx軸の正の方向へaだけ移動させる
 a≧3ならばy軸の正の方向へ1だけ移動させる

いま、原点を出発点として、さいころを繰り返し投げ、点Pを
順次移動させるものとする。自然数nに対し、点Pが
点(n,0)に到達する確率をp(n)とおき、p(0)=1とする。

(1)p(n+1)をp(n),p(n-1)であらわせ。
(2)p(n)を求めよ。

これもよく分からないです。
問題集も終わりに近づき、難問ばかりです。(´・ω・`)
説明多くで教えてもらいたいです。
おねがいします!

二回目の質問となります。
一回目の質問は期間が開きすぎて3ページ目まで下がってしまいました。
もう一度、(1)(2)ともに教えてほしいです。
おねがいします!


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28251.Re: にかいめ
名前:angel 日付:8月18日(金) 15時18分
花パジャさんの回答を、しっかり見直した方が良いと思いますが…
 http://www1.ezbbs.net/cgi/reply?id=yosshy&dd=17&re=28093

とりあえず、
 1の目が出る:x軸の正の方向に 1 動く
 2の目が出る:x軸の正の方向に 2 動く
  それら以外:y軸の正の方向に 1 動く
というのが前提。
で、1,2以外の目が1回でも出れば、点Pの y座標が増えてしまって、二度と Pは x軸上に戻ってこれないことに注意。

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28256.Re: にかいめ
名前:白雪キング 日付:8月19日(土) 9時36分
ありがとうございました!

(1)は勘違いしてました。
理解できました!

(2)のほうなんですが
(1)で得られた漸化式の処理の仕方がよく分かりません。
もうすこしやさしくおしえてもらえないでしょうか?
おねがいします!

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28261.Re: にかいめ
名前:angel 日付:8月19日(土) 16時12分
(1)で得られた漸化式 p[n+1]=(1/6)p[n]+(1/6)p[n-1]
全項左辺に移項すると、p[n+1] - 1/6・p[n] - 1/6・p[n-1] = 0 ですね。

このような隣接三項間漸化式から一般項を求める手法は、もうパターンですから、慣れることです。

一般に、
 p[n+2]+a・p[n+1]+b・p[n] = 0 ( p[n+1]+a・p[n]+b・p[n-1]=0 等、添え字がずれても同じ )
という漸化式があった場合、
方程式 x^2+ax+b=0 を解いてみます。2解α,βが得られたとすると、解と係数の関係により、
 a=-(α+β), b=αβ
よって、元の漸化式は
 p[n+2]-(α+β)p[n+1]+αβp[n]=0
 p[n+2]-αp[n+1]-βp[n+1]+αβp[n]=0
となります。
-αp[n+1], +αβp[n] を移項すると、
 p[n+2]-βp[n+1] = αp[n+1]-αβp[n] = α(p[n+1]-βp[n])
簡単な形にするため、q[n]=p[n+1]-βp[n] と置くと、q[n+1]=p[n+2]-βp[n+1]
よって、
 q[n+1]=αq[n]
これは、q[n] が公比αの等比数列であることを示す。また、q[1]=p[2]-βp[1]
よって、一般項 q[n]=(p[2]-βp[1])・α^(n-1)
p[]だけの式に書き直すと、
 p[n+1]-βp[n]=(p[2]-βp[1])・α^(n-1) …(A)

同様に、
 p[n+1]-αp[n]=(p[2]-αp[1])・β^(n-1) …(B)
 ※α,βを取り替えて計算してみてください。
(A)-(B)を計算して
 (α-β)p[n]=(p[2]-βp[1])・α^(n-1) - (p[2]-αp[1])・β^(n-1)
よって、
 p[n] = ( (p[2]-βp[1])・α^(n-1) - (p[2]-αp[1])・β^(n-1) )/(α-β)

…ここでは文字のみで計算しましたが、実際は数値を代入しつつやることになるでしょう。
なお、α,βが等しい場合、つまり最初に解いた2次方程式が重解を持つ場合は、また別の計算になります。

--------------------------------------------------------------------------------

28281.Re: にかいめ
名前:白雪キング 日付:8月21日(月) 7時41分
ありがとうございました!

でもまだ理解できていません。(´Д⊂
こちらの解説を見つつ、教科書を見ているんですが
どうにもわからないです。
教科書では数値を代入しているようです。

p(n+1)+(1/3)pn=1/2{pn+(1/3)p(n-1)}
p(n+1)-(1/2)pn=-1/3{pn-(1/2)p(n-1)}

と二つの式を出しています。
左辺の数字のプラスマイナスが逆なんじゃないかと疑ってもいるんですが、さらにわからないのはここからで

このあと式が

p(n+1)+(1/3)pn=(1/2)^(n){p1+(1/3)p0}
p(n+1)-(1/2)pn=(-1/3)^(n){p1-(1/2)p0}

となっています。
右辺の変化がわかりません。。。
28261の解説を見ているんですが
よくわからないです・・。
教えてもらえないでしょうか?
おねがいします!


という流れだったんですが、後ろに下がったので
再度掲載させたいただきました。
わからない点は、28281でいっている部分です。
(2)のほうがわからないということです。
教えてください。
おねがいしますm--m



28309.Re: さんかいめ
名前:白雪キング    日付:8月22日(火) 15時29分
2ページ目に下がっている28246の問いにも
答えていただければ幸いです。
どちらも新規で立てるのは出すぎたまねかと思い
ここでお願いさせてもらいました。
よろしくです。


28312.Re: さんかいめ
名前:angel    日付:8月22日(火) 17時38分
申し訳ないです。
この問題では、p[0], p[1], … というように 0 から始まっていますので、私の書いた典型例 ( 1から始まる例 ) とは細部が若干変わりますね。

前半は全く同じなので、後半を書き直したものを載せます。

ところで、p[n+1]-1/6・p[n]-1/6・[n-1]=0 であれば、
方程式 x^2-1/6・x-1/6=0 ( 6x^2-x-1=0 ) を解いて、x=1/2, -1/3
そのため、α=1/2, β=-1/3 です。( α,βの値を取り替えて進めても結果は同じ )

-- 以下書き直した後半部分 --
これは、q[n] が公比αの等比数列であることを示す。また、q[0]=p[1]-βp[0]
よって、一般項 q[n]=(p[1]-βp[0])・α^n
p[]だけの式に書き直すと、
 p[n+1]-βp[n]=(p[1]-βp[0])・α^n …(A)

同様に、
 p[n+1]-αp[n]=(p[1]-αp[0])・β^n …(B)
 ※α,βを取り替えて計算してみてください。
(A)-(B)を計算して
 (α-β)p[n]=(p[1]-βp[0])・α^n - (p[1]-αp[0])・β^n
よって、
 p[n] = ( (p[1]-βp[0])・α^n - (p[1]-αp[0])・β^n )/(α-β)
--


28313.Re: さんかいめ
名前:ヨッシー    日付:8月22日(火) 17時53分
こちらに、隣接三項の一般的なことが載っています。
ただし、公式を使って解くと、その本質が分からなくなってしまいますので、
私は、こう考えます。

漸化式 p[n+1]=(1/6)p[n]+(1/6)p[n-1] が、
 p[n+1]+mp[n]=n{p[n]+mp[n-1]}
と書けたとすると、q[n]=p[n+1]+m[n] は、初項p[2]+mp[1], 公比nの等比数列となります。
そこで、p[n+1]+mp[n]=n{p[n]+mp[n-1]} を展開して、p[n+1]=(1/6)p[n]+(1/6)p[n-1] と比較すると、
 n-m=1/6, nm=1/6
これを解いて、n=m+1/6 より、
 (m+1/6)m=1/6
 6m^2+m-1=0
 (3m-1)(2m+1)=0
よって、m=1/3 このとき n=1/2, または m=-1/2 このとき n=-1/3
これより、p[n+1]+mp[n]=n{p[n]+mp[n-1]} は、
 p[n+1]+(1/3)p[n]=(1/2){p[n]+(1/3)p[n-1]}  ………(1)
 p[n+1]−(1/2)p[n]=(-1/3){p[n]−(1/2)p[n-1]} ………(2)
の2通りに書くことが出来ます。
(1) を用いて、以下のように変形出来ます。
 p[2]+(1/3)p[1]=(1/2){p[1]+(1/3)p[0]}
 p[3]+(1/3)p[2]=(1/2){p[2]+(1/3)p[1]}
 p[4]+(1/3)p[3]=(1/2){p[3]+(1/3)p[2]}
 ・・・・
 p[n+1]+(1/3)p[n]=(1/2){p[n]+(1/3)p[n-1]}
これらを順々に代入していくと、
 p[n+1]+(1/3)p[n]=(1/2)^n{p[1]+(1/3)p[0]} ………(1)'
が得られます。同様に
 p[n+1]−(1/2)p[n]=(-1/3)^n{p[1]−(1/2)p[0]} ………(2)'
が得られます。

とりあえず、ここまで。 
 
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28334.Re: さんかいめ
名前:白雪キング    日付:8月24日(木) 9時16分
ありがとうございました!

ちょっとまだわからないんですが

>(1) を用いて、以下のように変形出来ます。
 p[2]+(1/3)p[1]=(1/2){p[1]+(1/3)p[0]}
 p[3]+(1/3)p[2]=(1/2){p[2]+(1/3)p[1]}
 p[4]+(1/3)p[3]=(1/2){p[3]+(1/3)p[2]}
 ・・・・
 p[n+1]+(1/3)p[n]=(1/2){p[n]+(1/3)p[n-1]}

ここまでわかるんですが、次でどうして
右辺だけわかるんでしょうか?

 これらを順々に代入していくと、
 p[n+1]+(1/3)p[n]=(1/2)^n{p[1]+(1/3)p[0]} ………(1)'

(1/2)は何回も出てきてるからn乗というのはなんとなく
わかるんですが、どうして右辺のp[ ]の中が1とか0になって
いるんでしょうか?

理解が遅くてすみません。
おねがいします。


28338.Re: さんかいめ
名前:ヨッシー    日付:8月24日(木) 10時14分
 p[2]+(1/3)p[1]=(1/2){p[1]+(1/3)p[0]} ………(1)
 p[3]+(1/3)p[2]=(1/2){p[2]+(1/3)p[1]} ………(2)
 p[4]+(1/3)p[3]=(1/2){p[3]+(1/3)p[2]} ………(3)
 p[5]+(1/3)p[4]=(1/2){p[4]+(1/3)p[3]} ………(4)
 ・・・・
 p[n+1]+(1/3)p[n]=(1/2){p[n]+(1/3)p[n-1]} ………(n)
とします。(1)を(2)に代入して、
 p[3]+(1/3)p[2]=(1/2)[(1/2){p[1]+(1/3)p[0]}]
 p[3]+(1/3)p[2]=(1/2)^2{p[1]+(1/3)p[0]}
これを(3)に代入して、
 p[4]+(1/3)p[3]=(1/2)[(1/2)^2{p[1]+(1/3)p[0]}]
 p[4]+(1/3)p[3]=(1/2)^3{p[1]+(1/3)p[0]}
これを(4)に代入して、
 p[5]+(1/3)p[4]=(1/2)[(1/2)^3{p[1]+(1/3)p[0]}]
 p[5]+(1/3)p[4]=(1/2)^4{p[1]+(1/3)p[0]}
・・・・
 p[n]+(1/3)p[n-1]=(1/2)^(n-1){p[1]+(1/3)p[0]}
これを(n)に代入して、
 p[n+1]+(1/3)p[n]=(1/2)[(1/2)^(n-1){p[1]+(1/3)p[0]}]
 p[n+1]+(1/3)p[n]=(1/2)^n{p[1]+(1/3)p[0]}
です。
これが「順々に代入していく」の意味です。 
 
http://yosshy.sansu.org/

28300.微分  
名前:indy    日付:8月22日(火) 4時55分
y=ax^2+2x+cにy=3x,y=xの二直線が同時に接している。
aの値を求めよ。というものです。
接点を(p,3p),(q,q)とおいていくつか関係式を作ったんですがうまくいきませんでした。
どうかご教授お願いします。高校3年です。



28304.Re: 微分
名前:ヨッシー    日付:8月22日(火) 13時14分
接している→連立させて、判別式が0
の方針で行きます。

y=ax^2+2x+c………(1)
y=3x………(2)
y=x………(3)
(1)(2)より ax^2-x+c=0  判別式を取って、1-4ac=0………(4)
(1)(3)より ax^2+x+c=0  判別式を取って、1-4ac=0………(5)
以上より、a,c は、4ac=1 を満たす任意の実数。
ということになり、c が決まらないと、a も決まりません。
  
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28311.Re: 微分
名前:indy    日付:8月22日(火) 17時26分
よくわかりました☆
ありがとうございました。


28315.Re: 微分
名前:ヨッシー    日付:8月22日(火) 18時2分
タイトルが「微分」となっているので、微分による方法も...
a=0 だと、傾き2の直線になり、y=3x,y=x と接することはないのでa≠0 とします。
y=ax^2+2x+c を微分して、y'=2ax+2
i)
y'=3 となるのは、2ax+2=3 より、x=1/2a
このとき y=1/4a+1/a+c=5/4a+c
よって、接線の式は、y=3(x-1/2a)+5/4a+c これが原点を通るので、
 0=-3/2a+5/4a+c=-1/4a+c
これより、c=1/4a ………(1)

ii)
y'=1 となるのは、2ax+2=1 より、x=-1/2a
このとき y=1/4a−1/a+c=-3/4a+c
よって、接線の式は、y=(x+1/2a)-3/4a+c これが原点を通るので、
 0=1/2a-3/4a+c=-1/4a+c
これより、c=1/4a ………(2)

(1)(2)より、(以下同文)
 
http://yosshy.sansu.org/


28316.Re: 微分
名前:どーしても    日付:8月22日(火) 19時2分
わざわざ微分による方法もやってくださってありがとうございます。
そちらの方法でもやってみます。
実は答えはy=(1/4c)x^2+2x+cとなったのですが、ここからcを消去して
この方程式を一般解としてもつような微分方程式を求めるとしたらどうすればよいのでしょうか。cについて解けないのでうまくいかないのですが・・・どうかよろしくお願いします。


28318.Re: 微分
名前:ヨッシー    日付:8月22日(火) 21時0分
y' とか y" を計算して、cを消すのかなぁ?
 
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28320.Re: 微分
名前:indy    日付:8月22日(火) 21時28分
y'とy''を計算してcを消去した結果、y'=y''x+2となったんですが、
これでいいのか自信がなかったので・・・どうでしょうか?


28322.Re: 微分
名前:ヨッシー    日付:8月23日(水) 13時20分
y'=y''x+2 だと、y=ax^2+2x+b の形になるんですよね。
特徴的なのは、x^2 の係数と、定数項が、掛けて1/4 になるという
点だと思いますので、y は残さないといけないと思います。
とすると、y と y' の関係式か、y と y" の関係式か、y,y',y" の関係式ということになるのですが。

そういう式は出来るには出来るんですが、出来た微分方程式が解けなくて(T_T)
 
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28325.Re: 微分
名前:花パジャ    日付:8月23日(水) 17時13分
Y=y/c,X=x/c と置くと Y=(1/4)X^2+2X+1 ですよね
このことを微分方程式でどう表現出来るのだろう?


28337.Re: 微分
名前:    日付:8月24日(木) 9時41分
いかさまみたいな感じがしますが、とりあえず。
y=ax^2+2x+1/(4a)
y'=2ax+2
a=(y’-2)/(2x)を代入して整理
2(y-2x)=(y’-2)x+x/(y’-2) ・・・* 

(y'-2)/x=pとおくと 
2(y-2x)=x^2p+1/p
微分して、
2px=2xp+x^2p’-p’/p^2
p’(x^2-1/p^2)=0
∴p=±1/x or p’=0
(1)p=1/xのとき、y’=3  y=3x+c
*へ戻して、2(x+c)=x+x  ∴c=0
(2)p=-1/xのとき、y’=1  y=x+c
*へ戻して、2(-x+c)=-x-x  ∴c=0
(3)p’=0 のとき、p=2a  y=ax^2+2x+c
*へ戻して、2(ax^2+c)=2ax^2+1/(2a)  ∴c=1/(4a)

よって、微分方程式*の解は、接線も含み、
y=x、3x、ax^2+2x+1/(4a)  

28298.(untitled)  
名前:Sum    日付:8月21日(月) 22時35分
質問なのですが
整数p、q、r、sが
p^2+3q^2=r^2+3s^2を満たすとき
pqrsは一意的にあらわされるのでしょうか?
よろしくお願いします



28302.Re: (untitled)
名前:花パジャ    日付:8月22日(火) 10時22分
p=r,q=sならばp,qに依らず件の式は満たされるが、
pqrs=p^2q^2は一意ではない

p,q,r,sがすべて異なる、という条件下でも、例えば
p=3q+2, r=3q+1, s=q+1
のとき件の式は満たされるがpqrsは一意ではない

28295.三角関数  
名前:    日付:8月21日(月) 18時3分
0≦θ<2π
> コサイン(2θーπ/4)=√3/2・・・・・で
2θーπ/4=tとおく   コサインt=√3/2の解は
t=ーπ/6.π/6。11π/6。13π/6でどうやって11π/6だとわかるんですか  
おねがいしますmm



28305.Re: 三角関数
名前:ヨッシー    日付:8月22日(火) 14時17分
0≦θ<2π なので、
0≦2θ<4π
-π/4≦2θ-π/4≦15π/4 つまり、-π/4≦t≦15π/4 です。
この範囲で、cost=√3/2 となるのは、
 t=-π/6, π/6, 11π/6, 13π/6
(以下略)
 
ご質問の意味は何でしょう?
1.この4つの候補のうち、なぜ 11π/6 が真の解なのか?
 4つともが答えであり、11π/6 だけということはありません。
2.11π/6 は解ではないのではないか?
 11π/6 は、-π/6 と同じ位置の角ですから、-π/6 が解なら、
 11π/6 も解です。しかも、-π/4≦t≦15π/4 の範囲に入っています。
3.-π/6 と π/6 だけが解ではないのか?
 cost=√3/2 を満たすtは、他にも
 t=23π/6, 25π/6, 35π/6, 37π/6 などや、
 t=-11π/6, -13π/6, -23π/6 などがあります。この中で、
 -π/4≦t≦15π/4 を満たすのは、上の4つがあります。
 
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28317.Re: 三角関数
名前:    日付:8月22日(火) 19時36分
分子はどうやってわかるかおねがいしますmm


28319.Re: 三角関数
名前:ヨッシー    日付:8月22日(火) 21時9分

0と、2π、4π、6π などが同じ角度の位置であるのと同じように、
それらから π/6 進んだ、π/6, 13π/6, 25π/6, 37π/6 などは同じ角度の位置であるし、
π/6 戻った、-π/6 ,11π/6, 23π/6, 35π/6 などは同じ角度の位置にあります。
 
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28289.楕円の方程式  
名前:苦手    日付:8月21日(月) 11時42分
楕円の方程式は、
x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1

ここで、以下の2点(60,40) (50,43.301)を通る楕円の aとbを求めたいのですが、ここから先どのようにして、aとbを求めたらよいかわかりません。
やさしくご教授願います。
よろしくお願いします。



28290.Re: 楕円の方程式
名前:ヨッシー    日付:8月21日(月) 12時58分
A=1/a^2、B=1/b^2 とおくと、楕円の式は、
 Ax^2+By^2=1
と書けます。これに、(60,40) (50,43.301) を代入して、
 3600A+1600B=1
 2500A+1874.976601B=1
これを解いて・・・
という具合です。
 
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28291.Re: 楕円の方程式
名前:苦手    日付:8月21日(月) 13時35分
ご回答いただきありがとうございます。
>A=1/a^2、B=1/b^2 とおくと、・・・
のAとBがどのようにしたらでてくるのかわからないのですが、おしえていただけますでしょうか。
AとBは何になる値なのでしょうか。よろしくお願いします。


28292.Re: 楕円の方程式
名前:ヨッシー    日付:8月21日(月) 16時59分
文字が分母にあるよりも、
 3600A+1600B=1
のような形の方が、解きやすいからです。

実際にゴリゴリと解くと、
 A=9899.15764/(11/27499.15764×3600)≒0.0000999946
 B=11/27499.15764≒0.000400012
A=1/a^2 なので、
 a^2=1/A≒10000.54
同様に
 b^2=1/B=2499.923
となり、a=100, b=50 くらいの数になります。
 
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28297.Re: 楕円の方程式
名前:花パジャ    日付:8月21日(月) 21時4分
25√3=43.30127...なので、きっと、ちょうどa=100, b=50なのではないかと邪推...

28284.(untitled)  
名前:DB    日付:8月21日(月) 10時28分
y>f(x)
という式があったのですが、
f(x)はxの関数って意味ですよね・・?
そうすると
y=f(x)ではないのでしょうか。
y>f(x)
という場合は存在するのでしょうか。
f(x)の意味がいまいちまだ理解できなくて・・。



28287.Re: (untitled)
名前:ヨッシー    日付:8月21日(月) 11時11分
「f(x)はxの関数」であるが、yはそれと等しいとは限りません。

y=f(x) と書くと、(x,y) の値の組み合わせ(座標平面上では点(x,y)の位置)として、
(x,f(x))を満たす点の集まり、(多くの場合、グラフの線上)を表し、
y>f(x) と書くと、点(x,y) は、そのグラフよりも、上の部分(yがより大きい領域)
を表す、ということです。

 
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28279.(untitled)  
名前:ゆう    日付:8月21日(月) 0時29分
Original Size: 1424 x 1068, 116KB

cos?とか学校の宿題で出たんですが
まだ習ってなくて解けません。

途中の計算を含めて教えて下さい。



28282.Re: (untitled)
名前:ヨッシー    日付:8月21日(月) 10時16分
三角比の単元に入っていないのに、こういう問題が宿題で出たということでしょうか?
sin, cos, tan の他に、第2象限、第3象限と、基礎知識として知っておくべき事柄が
多く必要な問題ですが、これを基礎知識なしで解けというのは、常識ではあり得ません。

何を習って、何を習っていないか、はっきりさせましょう。
次の問題は、分かりますか?
 sin30°の値は?
 tan60°の値は?
 cos120°の値は?
 
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28296.Re: (untitled)
名前:ゆう    日付:8月21日(月) 18時45分
塾でこの問題が出たんです。学校は三角比をとばして進んでいるので、やり方がわからないんです。
いちおsin,cos,tanの30,45,60の値はわかります。


28301.Re: (untitled)
名前:ヨッシー    日付:8月22日(火) 9時51分
直角三角形を使った、sin30°、cos45°などは、分かるということですね。

まず、こちらを見て、
90°以上の角度とか、マイナスの角度について、sin, cos, tan の決め方を
理解してください。(上から2つめの図です)
ついでに、上から1つめの図で、第2象限とか、第3象限というものも理解しましょう。

その上で、問題に行きます。
(1)
θは第2象限の角なので、sinθ>0,cosθ<0 です。
それを踏まえて、
 sin2θ+cos2θ=1
より、cosθを求めます。
 sin^2θ=(√6−√2)2/42=(8−4√3)/16=(2−√3)/4
 cos^2θ=1−sin2θ=(2+√3)/4
 cosθ=−√{(2+√3)/4}=−√{(4+2√3)/8}=(√3+1)/2√2
  =(√6+√2)/4
tanθは、tanθ=sinθ/cosθ より求められます。

(2)
θは第3象限の角なので、sinθ<0、cosθ<0 です。
 sin2θ+cos2θ=1
の両辺をcos2θ で割って、
 tan2θ+1=1/cos2θ
より、
 cos2θ=1/(tan2θ+1)
これより、cosθが求められ、
 sinθ=cosθ×tanθ
より、sinθが求められます。
 
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28275.平方根  
名前:DB    日付:8月20日(日) 22時13分
√a2=|a|=a(a≧0のとき)
-a(a≦0のとき)
と書いてあったのですが、
√a2はaだけではないのですか??
-aは-√a2ではないのでしょうか・・。


また、
1/√a=√a/(√a)2=√a/a
という式があったのですが、
ここでは上のように、
(√a)2が-aになる場合は考えなくていいのでしょうか。
それとも
√の中に二乗があるのと、√の外に二乗があるのでは
違うのでしょうか。



28276.Re: 平方根
名前:ヨッシー    日付:8月20日(日) 22時42分
√(a^2) と (√a)^2 は、違うものです。


a=2のとき
 √(a^2)=√4=2=a
 (√a)^2=(√2)^2=2=a
a=−2 のとき
 √(a^2)=√4=2=−a
 (√a)^2={√(-2)}^2={(√2)i}^2=−2=a
iはi^2=−1 となる数で、虚数単位と言います。高校で習います。
 
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28285.Re: 平方根
名前:DB    日付:8月21日(月) 10時40分
僕は今高1なのですが、
中学では
√4=2と習ったのですが、
高校では
√4=±2ということなのでしょうか。

あと、
-√4はどうなるのでしょうか。
‐√4=‐2
なのでしょうか。


28288.Re: 平方根
名前:ヨッシー    日付:8月21日(月) 11時19分
違います。
 √4=2
は、ゆるぎありません。

√(a^2)=a としてしまってはいけない理由をまず理解しましょう。
 √(2^2)=√4=2
この場合は、√(a^2)=a と言っていいでしょう。
 √{(-2)^2}=√4=2
これは、√(a^2)=a と言えますか?
言えるということは、√4=−2 だと言うことですが、これは間違いです。
√(a^2)=a は、a が負の場合は成り立たないのです。

そこで場合分けをして、
 aが0か正の数の時は、√(a^2)=a
 aが負の数の時は、√(a^2)=-a
aが負の数ですから、−aは正の数ですよ!

ちなみに、-√4=-2 です。
√(-4) は・・・そのうち習うでしょう。お楽しみに。
  
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28272.合同式?  
名前:ゴンタ    日付:8月20日(日) 18時11分
a、bを整数、pを正の整数とするとき、

a-bがpで割り切れる⇔a、bをpで割った余りが等しい

が成り立つらしいのですが@これを証明できません・・・
またAこれは合同式の考え方なのですか?

合同式と言うのを少し聞いたことがあるのですがよくわかりません。
以上ニ点すいませんが分かりやすく説明頂けますか?



28273.Re: 合同式?
名前:のぼりん    日付:8月20日(日) 19時9分

こんばんは。

【⇒】a−b が p で割り切れるとします。ある整数 n により、a−b=np と書けます。b÷p=q 余り r だとします。b=qp+r、0≦r<p です。a=b+np=(n+q)p+r なので、a÷p=n+q 余り r です。よって、a、b を p で割った余りは r で、一致します。

【⇐】a、b を p で割った余りが等しいとします。余りを r とすると、ある整数 m、n が存在して、a=mp+r、b=np+r と書けます。a−b=(m−n)p なので、a−b は p で割り切れます。

なお、合同式を使えばより簡単に示せますが、上記のとおり、別に使わなくても証明できます。


28271.(untitled)  
名前:Ari☆(高2)    日付:8月20日(日) 2時15分
@sin9/28πを鋭角に直すやり方がわかりません。
A0≦θ≦πのとき、√3sinθ−3cosθの最大値と最小値を求めよ。と言う問題で、答えはわかるのですがどうしてそうなるかがわかりません。



28274.Re: (untitled)
名前:昆布マン    日付:8月20日(日) 20時31分
A、√3sinθ−3cosθ
=√12sin(θ+α)  0≦θ≦πより0≦sin(θ+α)≦1
  したがって0≦√12sin(θ+α)≦12 
  最大値12  最小値0


28283.Re: (untitled)
名前:ヨッシー    日付:8月21日(月) 10時18分
(1)は、「鋭角に直す」という言葉の意味が不明です。
問題文を、まるごと書いてみてください。
 
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28286.Re: (untitled)
名前:ヨッシー    日付:8月21日(月) 11時2分
(2)
√3sinθ−3cosθ が、k(cosαsinθ+sinαcosθ) の形に書ければ、
 √3sinθ−3cosθ=ksin(α+θ)
と書けますので、まず、これを目指します。
係数がそれぞれ、√3、-3 なので、cosα、sinα が、この比になるように決めると、
 cosα=√3/√12=1/2、sinα=-3/√12=-√3/2
を得ます。(単純にcosα=√3、sinα=-3 としたのでは、三角比の大前提である
cos^2α+sin^2α=1 を満たさないので、これを満たすように √12で割って調整しています。)
これより、α=-60°、k=√12=2√3 となります。
 √3sinθ−3cosθ=2√3sin(θ−60°)
となり、
 θ=0 のとき、最小値 2√3・sin(-60°)=-3
 θ=150°のとき、最大値 2√3・sin90°=2√3

この問題では、αの値が求められましたが、具体的な値が得られなくても、
sinα、cosα の値が分かっていれば、解くことが出来ます。
 
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28264.(untitled)  
名前:ひろと    日付:8月19日(土) 23時28分
60゜≦x≦120゜のとき、y=2sin^2x-cosx-2の最大値、最小値と、そのときのcosx、sinxの値を求めよ。

答えはわかっているんですが
途中経過がよくわかりません。
教えて下さい。



28267.Re: (untitled)
名前:angel    日付:8月20日(日) 0時5分
sin と cos が混じっているため、(sinx)^2+(cosx)^2=1 を利用して、どちらかに統一を。
そうすれば、2次関数の最大・最小問題になります。

 2(sinx)^2-cosx-2
 = 2( 1-(cosx)^2 )-cosx-2
 = -2(cosx)^2-cosx
 = -2(cosx+1/4)^2 + 1/8

 今、60°≦x≦120°のため、-1/2≦cosx≦1/2
 よって、cosx=-1/4 の時 y最大、cosx=1/2 の時 y最小

28263.お願いします  
名前:りんご    日付:8月19日(土) 23時27分
@4sin^2Θ+4√3cosΘ+5=0(0゜≦Θ≦180゜)を満たすΘの値を求めよ。

Acos^4Θ-sin^4Θ≧cosΘ(0゜≦Θ≦180゜)を満たすΘの値の範囲を求めよ。

@がΘ=150゜
AがΘ=0゜、120゜≦Θ≦180゜になるはずなんですが計算の仕方がわかりません。
教えてください。



28266.Re: お願いします
名前:angel    日付:8月19日(土) 23時59分
いずれにせよ、(sinθ)^2+(cosθ)^2=1 を有効活用し、sin もしくは cos のみの方程式/不等式に持っていくのが基本。

1.
 4(sinθ)^2+4√3・cosθ+5
 = 4(1-(cosθ)^2)+4√3・cosθ+5
 = -( 4(cosθ)^2 - 4√3・cosθ - 9 )

 よって、与方程式は、4(cosθ)^2-4√3・cosθ-9=0 と同値
 2次方程式を解いて、cosθ=( 2√3±√(12+4・9) )/4 = 3√3/2, -√3/2
 -1≦cosθ≦1 より cosθ=-√3/2

2.
 (左辺)-(右辺)
 = ( (cosθ)^2 )^2 - ( (sinθ)^2 )^2 - cosθ
 = ( (cosθ)^2-(sinθ)^2 )( (cosθ)^2+(sinθ)^2 ) - cosθ
 = (cosθ)^2-(sinθ)^2 - cosθ
 = (cosθ)^2-( 1-(cosθ)^2 )-cosθ
 = 2(cosθ)^2-cosθ-1
 = (cosθ-1)(2cosθ+1)
 よって、与不等式は、cosθ≧1 もしくは cosθ≦-1/2 と同値


28278.Re: お願いします
名前:ひろと    日付:8月21日(月) 0時10分
解けました☆
ありがとうございます

28260.式の変換について  
名前:東 誠    日付:8月19日(土) 15時55分
2×c×tan(45°+φ/2)=243.365の式の変換について教えて下さい。
c=?
φ=?

社会人の物ですが宜しく御願いします。
ちなみに32才です・・・

28257.積分  
名前:IGA(高3)    日付:8月19日(土) 11時15分
次の媒介変数表示の曲線とx軸とで囲まれた図形の面積を求めよ。

x=2cosθ
y=sinθ

解答

θ∈[0,π]にたいしてxは単調減少しy≧0である。

x|-2→2
-------------------------------
θ|π→0

ここで  0→π 2→-2としてはいけない理由を教えてください。



28258.Re: 積分
名前:X    日付:8月19日(土) 14時40分
一般に曲線y=f(x)とx軸、直線x=a,x=b(但しa<b)で囲まれた図形の面積Sは
S=∫[a→b]|f(x)|dx
ここで積分する向きは必ずxが増加する向きに取る必要があります。


28268.Re: 積分
名前:IGA(高3)    日付:8月20日(日) 0時16分
>積分する向きは必ずxが増加する向きに取る必要があります。

しかし私がいままで見た問題の中で、定積分の置換積分で置換する前の区間は増加する向きで、置換することによって、減少になった場合そのまま減少の向きで使ってましたが.....もともとのものが増加を表しているからOKということでしょうか。


定積分の置換積分ではそのようでもいいのでしょうか・・・。


28270.Re: 積分
名前:angel    日付:8月20日(日) 0時44分
xがθに対して増加/減少かは気にせずに、

 -2≦x≦2, y=sinθ≧0, dx/dθ=-2sinθ のため、
 (面積)
 =∫[-2,2] ydx
 =∫[π,-π] -2(sinθ)^2 dθ
 =∫[-π,π] 2(sinθ)^2 dθ

と持っていくのはいかがでしょう?
最初の定積分だけ、-2→2 を意識しておけば、後は計算上の問題ですから。


28277.Re: 積分
名前:IGA(高3)    日付:8月20日(日) 23時59分
わかりました。
有り難うございました。

28254.ベクトルなんですが・・・  
名前:サベージ    日付:8月19日(土) 2時43分
△OABにおいて、辺OAを3:1に内分する点をC,辺ABの中点をMとする。
また→OA=→a,→OB=→bとする。

1.→OCを→aを用いて表せ。また,→CMを→a,→bを用いて表せ
2.直線CMと直線OBの交点をDとする。→OD=k→bとおく時、
  実数kの値を求めよ。
3.OA=3,OB=5,線分CMの中点をNとする。2.の点Dに対して,
  ON⊥CDが成り立つ時、cos∠AOBの値を求めよ。

ベクトルの問題では、手も足も出なくなってしまいます。
問題も多いですが、お願い致します。
できれば,式と答えも付けてくだされば助かります。



28265.Re: ベクトルなんですが・・・
名前:angel    日付:8月19日(土) 23時47分
内分、直線上の点の表現、ベクトルの和・差、一次独立なベクトル同士の係数比較、内積の利用等々、慣れましょう。
1.
 CはOAを3:1に内分する点のため、↑OC = 3/4・↑OA = 3/4・↑a
 MはABの中点( 1:1に内分する点 )のため、↑OM = 1/2・↑OA+1/2・↑OB = 1/2・↑a+1/2・↑b
 よって、↑CM=↑OM-↑OC=-1/4・↑a+1/2・↑b

2.
 ↑OD = k・↑OB = k・↑b
 また、D は CM 上にあることから、ある t に関して ↑OD = t・↑OM + (1-t)・↑OC
 1で出した ↑OC, ↑OM を代入し、まとめると
  (3-t)/4・↑a + (t/2-k)・↑b = ↑0
 ↑a, ↑b は平行ではない ( 一次独立 ) のため、それぞれの係数は 0
 よって、(3-t)/4=0 すなわち t=3、t/2-k=0 すなわち k=t/2=3/2

3.
 N は CMの中点 ( 1:1に内分する点 ) のため、
  ↑ON = 1/2・↑OC + 1/2・↑OM = 5/8・↑a + 1/4・↑b
 また、
  ↑CD = ↑OD - ↑OC = -3/4・↑a + 3/2・↑b
 ON⊥CD のため、内積 ↑ON・↑CD = 0 ここで、
  ↑ON・↑CD
  ( 5/8・↑a + 1/4・↑b )・( -3/4・↑a + 3/2・↑b )
  = -15/32・|↑a|^2 + 3/4・↑a・↑b + 3/8・|↑b|^2
  = -15/32・OA^2 + 3/4・OA・OB・cos∠AOB + 3/8・OB^2
  = 165/32 + 45/4・cos∠AOB
 よって、165/32 + 45/4・cos∠AOB = 0、ゆえに cos∠AOB = -11/24


28269.Re: ベクトルなんですが・・・
名前:ヨッシー    日付:8月20日(日) 0時17分
かぶりますが、
私のページの「ご質問に答えるコーナー」に解答を載せました。
 
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28299.Re: ベクトルなんですが・・・
名前:サベージ    日付:8月22日(火) 0時12分
angelさん、ヨッシーさん詳しい解答ありがとうございました。
おかげで理解できました。

28253.教えてください!  
名前:コスモ    日付:8月19日(土) 1時44分
四角形ABCDがあり、AB=2,BC=1+√3,∠DAB=105°,∠ABC=60°,
∠BCD=75°である。

(1) 対角線ACの長さと、∠ACBの大きさを求めよ。
(2) △ACDの面積を求めよ。
(3) 三角錐PACDが半径√3の球に内接する時、三角錐PACDの体積の
   最大値を求めよ。

特に(2)と(3)が分かりません。どうかお願いします!



28262.Re: 教えてください!
名前:angel    日付:8月19日(土) 23時22分
(1)
 △ABCに関して、AB,BC,∠ABCの二辺挟角が分かっていますから、それを元にACが計算できます。
 この場合、∠ABCに関する余弦定理
  AC^2=AB^2+BC^2-2・AB・BC・cos∠ABC
 で。
 ACが出た後は、∠ACBに関しても、余弦定理が使えますね。
 ※正弦定理でもなんとかなりますが、ちょっと注意がいるため、余弦定理の方がお勧め

(2) (1)で△ABCの各数値が分かれば、△ACDに関しても、AC,∠DAC,∠DCA が分かります。
 そうすれば、∠ADC も分かるため、今度は正弦定理で AD, CD が計算できます。
 面積は、1/2・AC・AD・sin∠CAD 等で計算できますね。

(3) (2)の時点で、正弦定理から、△ACDの外接円の半径 R が分かります。
 つまり、AC/sin∠ADC=AD/sin∠DCA=CD/∠DAC=2R

 半径√3 の球に内接するとき、球の中心・△ACDの外心を結ぶ線分は、面ACDに垂直、その長さは √(3-R^2) になります。
 P-ACDの体積が最大の時は、Pが面ACDから最も遠ざかった時。
 PとACDの距離は、√3+√(3-R^2) です。

28246.おねがいしまsu  
名前:白雪キング    日付:8月18日(金) 13時44分
硬貨をn回続けて投げるとき、表が連続して出ることはない確率を
pnとする。
(1)pnをp(n-1),p(n-2)を用いて表せ。ただし、n≧3とする。
(2)p6を求めよ。

解けそうで解けない問題です・・(´・ω・`)
解くコツを教えてもらえないでしょうか?
最近こういう問題が多いけど(確率の分野なので)
解き方に自信がありません。
おねがいします!



28247.Re: おねがいしまsu
名前:白雪キング    日付:8月18日(金) 13時45分
題名のおねがいしまsuはおねがいしますの間違いです!
ふざけてるのではないので、誤解しないでください!(´・ω・`)


28252.Re: おねがいしまsu
名前:angel    日付:8月18日(金) 15時40分
(1) p(n) を p(n-1), p(n-2) を用いて表せ、ということは、裏を返せば、
 p(n-1) と p(n-2) さえ分かれば、十分 p(n) が計算できる、ということ。
 であれば、n-2回目までで何が起こっているかは気にせず、最後の1回、もしくは 2回分に注目しましょう、ということになります。

 n回目から遡って考えると、表が連続して出ないという制限上、
  1. 裏 ← (n-1)回(表が連続で出ない)
  2. 表 ← 裏 ← (n-2)回(表が連続で出ない)
 この2通りが考えられます。

(2) (1) で出た漸化式を順次適用して、p3, p4, … と求めていきましょう。p1, p2 は予め自前で計算しておきます。


28255.Re: おねがいしまsu
名前:白雪キング    日付:8月19日(土) 9時32分
ありがとうございました!

表が連続して出ることはない確率を
pnとする。

ということで
それをpnであらわすということ。。
p(n-1),p(n-2)が分かればいいといいましたが
n回目のときに硬貨は表なのか裏なのか分かっていないと
計算できないんじゃないでしょうか?
というか、計算できないように感じるんですが。。(´・ω・`)

まだよく分かっていないです。
1回目が表であるか、裏であるか、なども考えないといけないんじゃないでしょうか?
でも複雑すぎてよく分からないです。。

もうすこしおしえていただけませんか?
おねがいします。


28259.Re: おねがいしまsu
名前:angel    日付:8月19日(土) 15時30分
> n回目のときに硬貨は表なのか裏なのか分かっていないと
> 計算できないんじゃないでしょうか?

はい。なので、(n-1)回目と n回目に何が出るかに着目しています。

> 1回目が表であるか、裏であるか、なども考えないといけないんじゃないでしょうか?
> でも複雑すぎてよく分からないです。。

こういった場合の考え方は主に2パターンあります。
簡単な例として、「n回投げて全て表が出る確率 q[n]を求めよ」の場合

 A. 1回目、2回目、3回目、… と全ての回での裏表を考えるやり方
  全事象 2^n 通りの中で、全てが表なのは 1通り
  よって、確率 q[n]=1/2^n

 B. 最後(もしくは最初)の数回に着目
  「n回投げて全て表」⇔「(n-1)回投げて全て表」かつ「n回目も表」
  (n-1)回目までの結果と、n回目の事象は独立のため、
   q[n]=q[n-1]・1/2
  q[n]を数列として見た場合、q[1]=1/2 が初項、公比1/2の等比数列、
  よって q[n]=1/2^n

この問題では、全ての回の組み合わせを考えるには複雑なので、B のような考え方をします。

> 1. 裏 ← (n-1)回(表が連続で出ない)
> 2. 表 ← 裏 ← (n-2)回(表が連続で出ない)

もう少し詳しく書けば、

 n回投げて、表が連続で出ない ( 表が出た次の回はいずれも裏になる )
 ⇔ (n-1)回投げて表が連続で出ない、かつ n回目が裏
  もしくは、(n-2)回投げて表が連続で出ない、かつ(n-1)回目・n回目が裏・表

というように状況を説明し直し、確率を計算しやすい形にしているわけです。
※「かつ」の部分の確率は掛け算で、「もしくは」の部分は足し算で計算ですね。
このようにすれば、1回目, 2回目, … と個々の回の裏表を考える必要がなくなりますので。
漸化式を使う場合に重要となる考え方です。


28280.Re: おねがいしまsu
名前:白雪キング    日付:8月21日(月) 7時22分
ありがとうございました!
(1)がわかりました!
丁寧に教えてくださって感激です。

(2)なんですが
教科書の解説では
p1=1,p2=1-(1/2)*(1/2)=3/4
とかなっているんですが
ここはどういう計算をしているんでしょうか?
ここがよくわからないので教えてもらえないでしょうか?
おねがいします!


28306.Re: おねがいしまsu
名前:白雪キング    日付:8月22日(火) 15時21分
よろしければ教えてください
おねがいします。


28310.Re: おねがいしまsu
名前:ヨッシー    日付:8月22日(火) 17時16分
(2)
p1=1:これは、1回目においては、裏が出ても表が出ても、表が連続で出る事にはならないので、
確率は100%です。

p2=1-(1/2)*(1/2)=3/4
2回目に、表が連続で出ない確率は、
 1−(2回目に表が連続して出た確率)
であり、「2回目に表が連続して出た確率」は、
1回目表、2回目表 の確率ですから、1/2×1/2 です。よって、
 p2=1−(1/2)×(1/2)=3/4
です。
 
http://yosshy.sansu.org/


28335.Re: おねがいしまsu
名前:白雪キング    日付:8月24日(木) 9時21分
ありがとうございました!
りかいできました!

28245.にかいめ  
名前:白雪キング    日付:8月18日(金) 13時31分
座標平面上で点Pを次の規則に従って移動させる。
1個のさいころを投げ、出た目をaとするとき

 a≦2ならばx軸の正の方向へaだけ移動させる
 a≧3ならばy軸の正の方向へ1だけ移動させる

いま、原点を出発点として、さいころを繰り返し投げ、点Pを
順次移動させるものとする。自然数nに対し、点Pが
点(n,0)に到達する確率をp(n)とおき、p(0)=1とする。

(1)p(n+1)をp(n),p(n-1)であらわせ。
(2)p(n)を求めよ。

これもよく分からないです。
問題集も終わりに近づき、難問ばかりです。(´・ω・`)
説明多くで教えてもらいたいです。
おねがいします!

二回目の質問となります。
一回目の質問は期間が開きすぎて3ページ目まで下がってしまいました。
もう一度、(1)(2)ともに教えてほしいです。
おねがいします!



28251.Re: にかいめ
名前:angel    日付:8月18日(金) 15時18分
花パジャさんの回答を、しっかり見直した方が良いと思いますが…
 http://www1.ezbbs.net/cgi/reply?id=yosshy&dd=17&re=28093

とりあえず、
 1の目が出る:x軸の正の方向に 1 動く
 2の目が出る:x軸の正の方向に 2 動く
  それら以外:y軸の正の方向に 1 動く
というのが前提。
で、1,2以外の目が1回でも出れば、点Pの y座標が増えてしまって、二度と Pは x軸上に戻ってこれないことに注意。


28256.Re: にかいめ
名前:白雪キング    日付:8月19日(土) 9時36分
ありがとうございました!

(1)は勘違いしてました。
理解できました!

(2)のほうなんですが
(1)で得られた漸化式の処理の仕方がよく分かりません。
もうすこしやさしくおしえてもらえないでしょうか?
おねがいします!


28261.Re: にかいめ
名前:angel    日付:8月19日(土) 16時12分
(1)で得られた漸化式 p[n+1]=(1/6)p[n]+(1/6)p[n-1]
全項左辺に移項すると、p[n+1] - 1/6・p[n] - 1/6・p[n-1] = 0 ですね。

このような隣接三項間漸化式から一般項を求める手法は、もうパターンですから、慣れることです。

一般に、
 p[n+2]+a・p[n+1]+b・p[n] = 0 ( p[n+1]+a・p[n]+b・p[n-1]=0 等、添え字がずれても同じ )
という漸化式があった場合、
方程式 x^2+ax+b=0 を解いてみます。2解α,βが得られたとすると、解と係数の関係により、
 a=-(α+β), b=αβ
よって、元の漸化式は
 p[n+2]-(α+β)p[n+1]+αβp[n]=0
 p[n+2]-αp[n+1]-βp[n+1]+αβp[n]=0
となります。
-αp[n+1], +αβp[n] を移項すると、
 p[n+2]-βp[n+1] = αp[n+1]-αβp[n] = α(p[n+1]-βp[n])
簡単な形にするため、q[n]=p[n+1]-βp[n] と置くと、q[n+1]=p[n+2]-βp[n+1]
よって、
 q[n+1]=αq[n]
これは、q[n] が公比αの等比数列であることを示す。また、q[1]=p[2]-βp[1]
よって、一般項 q[n]=(p[2]-βp[1])・α^(n-1)
p[]だけの式に書き直すと、
 p[n+1]-βp[n]=(p[2]-βp[1])・α^(n-1) …(A)

同様に、
 p[n+1]-αp[n]=(p[2]-αp[1])・β^(n-1) …(B)
 ※α,βを取り替えて計算してみてください。
(A)-(B)を計算して
 (α-β)p[n]=(p[2]-βp[1])・α^(n-1) - (p[2]-αp[1])・β^(n-1)
よって、
 p[n] = ( (p[2]-βp[1])・α^(n-1) - (p[2]-αp[1])・β^(n-1) )/(α-β)

…ここでは文字のみで計算しましたが、実際は数値を代入しつつやることになるでしょう。
なお、α,βが等しい場合、つまり最初に解いた2次方程式が重解を持つ場合は、また別の計算になります。


28281.Re: にかいめ
名前:白雪キング    日付:8月21日(月) 7時41分
ありがとうございました!

でもまだ理解できていません。(´Д⊂
こちらの解説を見つつ、教科書を見ているんですが
どうにもわからないです。
教科書では数値を代入しているようです。

p(n+1)+(1/3)pn=1/2{pn+(1/3)p(n-1)}
p(n+1)-(1/2)pn=-1/3{pn-(1/2)p(n-1)}

と二つの式を出しています。
左辺の数字のプラスマイナスが逆なんじゃないかと疑ってもいるんですが、さらにわからないのはここからで

このあと式が

p(n+1)+(1/3)pn=(1/2)^(n){p1+(1/3)p0}
p(n+1)-(1/2)pn=(-1/3)^(n){p1-(1/2)p0}

となっています。
右辺の変化がわかりません。。。
28261の解説を見ているんですが
よくわからないです・・。
教えてもらえないでしょうか?
おねがいします!


28308.Re: にかいめ
名前:白雪キング    日付:8月22日(火) 15時26分
こちらは再度質問させてもらいました。

28241.空間図形の問題  
名前:るぁ(中3)    日付:8月17日(木) 23時12分
Original Size: 240 x 320, 6KB Original Size: 240 x 320, 6KB

また、質問すいません・・・。
中学1年生の空間図形の問題を解いていたら、
引っかかってしまいました。
やり方を教えてくださると嬉しいです。

左の図の問題です。
(1)直角三角形ABCがある。点Cを通り、辺ABに平行な直線Lを軸として、この三角形を一回転してできる立体の体積を求めなさい。

右の図の問題です。
(2)直方体の頂点の3点B,D,Eの頂点をそれぞれ結び、三角錐A−BDEをつくった。この三角錐の体積を求めなさい。

よろしくお願いします。
いつもすいません。



28242.Re: 空間図形の問題
名前:angel    日付:8月17日(木) 23時53分
前提として、体積の公式
 柱体の体積 = 底面積×高さ
 錐体の体積 = 底面積×高さ×1/3

(1)
 できる図形をイメージすることが大事。
 ABを回転させた部分は円柱の側面に、ACを回転させた部分は円錐の表面になります。
 結局、できる回転体は、円柱から円錐をくりぬいた図形。
 体積も、円柱の体積から円錐の体積を引くことで求まります。
(2)
 どこを底面に、どこを高さとするかが問題。
 BDEを底面としてしまうと計算が大変なので…。
 例えば、ABDを底面とすればAEが高さですね。


28244.Re: 空間図形の問題
名前:るぁ    日付:8月18日(金) 10時52分
angelさん、いつも有難うございます。
いつも助かっています。

(1)45π−15π=30πcm3

(2)1/3×7×(6×5×1/2)=35cm3

となったのですが、あっているでしょうか??
宜しくお願いします。


28248.Re: 空間図形の問題
名前:angel    日付:8月18日(金) 13時56分
正解です。


28250.Re: 空間図形の問題
名前:るぁ    日付:8月18日(金) 14時54分
angelさんの解説はとてもわかりやすく、
いつも助かってます。

有難うございました。

28237.絶対値  
名前:DB    日付:8月17日(木) 19時38分
こんにちわ。

Z会の参考書に、
|a|= a(a≧0のとき)
-a(a≦0のとき)
と書いてあったのですが、
||の中が0になった場合は、
どっちでやればいいのでしょうか。
例えば、
|x-1|+|x-3|≦4
という問題で、答えには、
x≦1のとき、-(x-1)-(x-3)≦4
=x≧0 よって、0≦x≦1
・・・
となっているのですが、
ここではもし、x=1だった場合は最初の||のなかは0になるから、
マイナスをつけずに||をはずすことは考えられないのでしょうか。



28238.Re: 絶対値
名前:DB    日付:8月17日(木) 19時40分
すいません、もうひとつ聞きたい事が、
上の問題で
答えの続きには、
1≦x≦3のとき、・・・・・・
となっているのですが、
xの変域つまり定義域が重なってしまってもいいのでしょうか。


28239.Re: 絶対値
名前:KINO    日付:8月17日(木) 20時38分
-0=0 ですから,0 にマイナスがついていようがいまいが値が 0 であることに変わりありません。

また,x の変域が重なってしまってもいいのか,というご質問ですが,重なってもいいです。
x=1 のときは |x-1|=0 ですので,±|x-1|=0 で符号がプラスだろうがマイナスだろうが同じ値になります。

28231.証明と角度の問題  
名前:るぁ    日付:8月16日(水) 21時5分
Size: 180 x 240, 6KB

証明と角度の問題なのですが、やったのですが、
あっているのかとても不安です。
やり方を教えてください。お願いします。

(1)△DEM≡△FCMであることを証明せよ。
→△DEMと△FCMで、
条件より、DE=CF―1
DM=FM―2
錯角なので、∠EDM=∠CFM―3
1,2,3より)△DEM≡△FCMとなる。
と私がやったところなったのですが、あっているでしょうか?

(2)上の図の問題の続きなのですが、
∠ACB=50°、∠EDF=34°であるとき、∠DMCの大きさを求めよ。
→∠DMC=155°となったのでしょうが、あっていますでしょうか?

よろしくお願いします。



28233.Re: 証明と角度の問題
名前:ryo 高@    日付:8月17日(木) 12時10分
(1)
 ・・・・条件って何ですか??
問題が無いんで条件よりと言われて「合ってますか?」と問われて「合ってます!」なんて答えられないですよ〜。

まぁ、その辺は大目に見たとしても

>錯角なので、∠EDM=∠CFM―3
↑これはまずいです。
錯角とは常に等しいとは限らないので理由になりません。
よって

改)辺DEと辺CFが平行な位置関係にあるので錯角は等しい。
∴∠EDM=∠CFM・・・B

とでもしていただければ結構だと思います。

(2)
答えから。
∠DMC=164°



では根拠。
△DEM≡△FCMより
∠CFM=34°
また条件より
∠ACB=50°
ここで△CMFにおいて
内角と外角の関係より
∠CMF=16°
∴∠DMC=164°

です。
http://ryo4212.blog53.fc2.com/


28234.Re: 証明と角度の問題
名前:angel    日付:8月17日(木) 12時17分
(1) は、問題の前提がないと判断がつかないところ。問題文も載せてください。

なお、細かいところですが、3 に関しては、

> 錯角なので、∠EDM=∠CFM―3
 → DEとCFが平行のため、錯角は相等しい。よって ∠EDM=∠CFM

のような書き方が望ましいです。「平行なので錯角が等しい」がポイントですから。
※勿論、DEとCFが平行という前提がある時のお話

(2) △DEM≡△FCM という前提で、∠DMC=164°となりました。
 ∠CFM=∠EDF=34° ∠ACB=50°、外角=2内角の和から、∠CMF=∠ACB-∠CFM=16°
 ∠DMC=180°-∠CMF=164°


28235.Re: 証明と角度の問題
名前:るぁ    日付:8月17日(木) 13時48分
ryoさん、angelさん有難うございます。

(1)の問題の前提は、
上の図のように、△ABCの辺AB上に点Dをとり、Dを通り辺ACに平行な直線と辺BCとの交点をEとする。また、辺ACの延長上に点FをDE=CFとなるようにとり、DFとBCとの交点をMとする。
これについて次の問いに答えなさい。
です。書き忘れてしまい、申し訳ありません。

→△DEMと△FCMで、
条件より、DE=CF―1
DM=FM―2
辺DEと辺CFが平行なので錯覚が等しい。
よって∠EDM=∠CFM―3
1,2,3より△DEM≡△FCMとなる。


(2)は理解できました。
有難うございます。


28236.Re: 証明と角度の問題
名前:angel    日付:8月17日(木) 19時9分
その問題の前提ですと、「DM=FM」は直接は出てこない条件になりますね。
合同の証明は、

 ・問題の前提より DE=FC …1
 ・問題の前提よりDEとCFが平行のため、錯角は相等しい。よって、
   ∠EDM=∠CFM …2
   ∠DEM=∠FCM …3
 1,2,3より、二角挟辺相等のため △DEM≡△FCM

といった形で。

※「相当」という誤字を「相等」に修正


28240.Re: 証明と角度の問題
名前:るぁ    日付:8月17日(木) 22時45分
有難うございました。
本当に分かりやすかったです。

28219.(untitled)  
名前:しい    日付:8月16日(水) 0時14分
Original Size: 320 x 240, 11KB Original Size: 320 x 240, 11KB Original Size: 320 x 240, 10KB

数列{an}は1,2,4,5,7,8…のように3の倍数でない自然数を小さいものから順に並べてできる数列である。

(1) a9,a10を求めよ。

(2) 数列{an}の奇数番目の項を取り出して小さいものから順に並べた数列 1,4,7…を{bn}とする。
T 一般項bnを求めよ。
U 書くのが難しいので図

(3)同様

(4)同様



28220.Re: (untitled)
名前:しい    日付:8月16日(水) 0時15分
多いのですが
1問でもいいのでお願いします


28222.Re: (untitled)
名前:サボテン    日付:8月16日(水) 9時44分
問題文が完全に読めなかったので、ヒントだけ書いておきます。
a_nの奇数番目の項と偶数番目の項に分けましょう。
そうすると、奇数番目の項は3で割って1あまる数であり、偶数番目の
項は3で割って2あまる項で構成されていることが分かります。

つまり、a_n=3(n-1)/2+1=3n/2-1/2 (n:奇数)
=3(n-2)/2+2=3n/2-1(n:偶数)
となっています。
b_nも同様の考え方で解く事ができます。


28223.Re: (untitled)
名前:白拓    日付:8月16日(水) 11時4分
>しいさん
マルチポストはいけませんよ。
ナビゲータにすでに投稿してしまいました。

28216.図形の問題(中2)  
名前:るぁ(中3)    日付:8月15日(火) 20時44分
Size: 180 x 240, 6KB Size: 180 x 240, 6KB

今、中学1,2年の復習をしていたら、
わからない点がたくさんありました。
教えてください、お願いします。

1(1)図で、△ABCはAB=ACの二等辺三角形、△ADEは△ABCと合同な三角形で、BC=DEである。また、Fは辺ACとDEとの交点である。

(2)図で、A,B,C,Dは円Oの周上の点で,ABは直径である。また、Eは点Cを接点とする円Oの接線と直線OBとの交点である。
∠CDA=112°のとき、∠CEBの大きさは何度か。

2(1)図でOは原点、Aはy軸上の点、B,C,E,Fはx軸上の点で、EO=OFである。また、D,Gはそれぞれ線分AB,AC上の点で、四角形DEFGは正方形である。
点A,Bの座標がそれぞれ(0,5),(-2,0)のとき、次の@Aに答えなさい。
@直線ACの式を求めよ。
A点Eの座標を求めよ。

長々とすいません。教えてくださりますと嬉しいです。



28217.Re: 図形の問題(中2)
名前:るぁ(中3)    日付:8月15日(火) 20時46分
1(1)図で、△ABCはAB=ACの二等辺三角形、△ADEは△ABCと合同な三角形で、BC=DEである。また、Fは辺ACとDEとの交点である。

の問題の続きを書くのを忘れていました。すいません・・。

∠BAD=38°,∠ABC=63°のとき、∠AFDの大きさは何度か。
が続きになります。


28221.Re: 図形の問題(中2)
名前:angel    日付:8月16日(水) 5時22分
1.
(1) 外角=2内角の和 という関係から
 ∠AFD=∠AFE+∠E
 ところで、△ABC≡△ADE、△ABCはAB=ACの二等辺三角形のため、∠B=∠C=∠D=∠E
 また、∠BAC=∠DAE のため、∠BAD=∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC=∠EAF

(2) 円の半径から二等辺三角形を考える
 △OCE に関して、OCは半径、CEは接線のため ∠OCE=90°
 (1)と同じく、外角を考えると ∠COA=∠OCE+∠E
 △OAD, △OCD がそれぞれ二等辺三角形のため、
 ∠A=∠ODA, ∠ODC=∠OCD よって、∠A+∠OCD=∠ODA+∠ODC=∠D
 四角形の内角の和から、∠A+∠OCD+∠D+∠COA=360°

2.
(1) 図形が、y軸に関して対称なことに注意
 Cの座標は (2,0)、ACの方程式は y=-5/2・x+5
 ※なぜ OB=OC か…
  □DEFGが正方形のため、DE・AO・GFが平行、DG・EFが平行
  また、問題の条件より OE=OF
  これらより DG は y軸に直行し、かつ y軸によって二等分される
  ゆえに △ADG は AD=AG の二等辺三角形
  DG・EFが平行のため、それぞれ同位角により ∠ADG=∠ABC, ∠AGD=∠ACB
  よって、△ABCも二等辺三角形、AO は BC の垂線のため、O は BCの中点
(2) 方程式を立てる
 AC上の点 G(t, -5/2・t+5) に対し、GF=2OF なぜなら EF=GF, OE=OF から。
 つまり、点G の y座標は x座標の倍。-5/2・t+5=2t
 これを解いて t=10/9、点F,G の x座標は 10/9
 よって、E の座標は (-10/9,0)


28226.Re: 図形の問題(中2)
名前:るぁ(中3)    日付:8月16日(水) 13時57分
angelさん、本当に有難うございました。
とっても分かりやすかったです。

1(1)は、∠AFD=101°になりました。
(2)は∠CEB=46°になりました。

あっているでしょうか??
またお手数かけます。
申し訳ございません。。


28228.Re: 図形の問題(中2)
名前:angel    日付:8月16日(水) 17時39分
> あっているでしょうか??
はい。正解です。


28229.Re: 図形の問題(中2)
名前:るぁ    日付:8月16日(水) 18時23分
有難うございました。

28215.円の動きかた  
名前:ちぇり    日付:8月15日(火) 19時56分
夏休みの塾の宿題です。どうしてもわからないので、どうぞ教えてください。小学校6年生です。
「半径が12cmの円の内側を、半径が7cmの円が動きます。
一番最初に両方の円周が重なっている点Qが、再び重なるまで内円を動かすと、内円は何回転しますか?」
よろしくお願いいたします。



28224.Re: 円の動きかた
名前:angel    日付:8月16日(水) 12時23分
Original Size: 610 x 240, 20KB

内側の円の点Q がどのように動くか、考えてみましょう。
円の動きとしては、内側の円が時計周りに動くものとします。
この時、内側の円の回転自体は反時計であることに注意してください。

点Q が外側の円を離れてから、また外側の円上にくるまでで、

 (外側の円上の2箇所のQ間の円弧の長さ)=(内側の円周の長さ)

という関係になっているのが前提です。
そうすると、(半径の比)=(円周の比)=7:12 なので、内側の円の点Q は、外側の円周上には、その長さの 7/12 毎(時計周り)に来ることになります。
よって、元の位置に戻るまでには 12回、外側の円周上に Q が来ます。

各1回に対し、前のQ→次のQ は 7/12回転(210°) 時計周りに動いた位置にあります。
内側の円は、反時計周りに回転しているため、5/12回転(150°)しています。

よって、5/12回転×12=5回転



28230.Re: 円の動きかた
名前:ちぇり    日付:8月16日(水) 19時47分
ありがとうございました。わかったような気がします。
内円は、反対に回転することがポイントなのですね。
もう1度図を書いてみま〜す!

28207.  
名前:    日付:8月15日(火) 13時40分
π+4nπ<2θ<2π+4nπがなんで第3.4象限になるかわかりません おねがいしますmm



28243.Re: 数
名前:soredeha    日付:8月19日(土) 16時5分
π+4nπ<2θ<2π+4nπ より
π<2θ-4nπ<2π
これより、2θ-4nπ は 第3.4象限にある。
n が整数なら、2θ と 2θ-4nπ の動径は一致する。


28293.Re: 数
名前:    日付:8月21日(月) 17時59分
ありがとううございますmm

28206.関数  
名前:三角    日付:8月15日(火) 12時19分
0≦θ<2π
コサイン(2θ−4π)=√3/2・・・・・で
ーπ/4≦2θーπ/4<15/4πどっからーπ/4・・・15/4π。。がでるんですかおねがいしますmm



28225.Re: 関数
名前:    日付:8月16日(水) 12時31分
2行目は2θーπ/4でした;;mm


28227.あと;;
名前:    日付:8月16日(水) 15時34分
この範囲で   2θーπ/4=tとおく   コサインt=√3/2の解は
t=ーπ/6.π/6。11π/6。13π/6でどうやって11π/6だとわかるんですか


28294.Re:角 関数
名前:    日付:8月21日(月) 18時1分
> 0≦θ<2π
> コサイン(2θーπ/4)=√3/2・・・・・で
2θーπ/4=tとおく   コサインt=√3/2の解は
t=ーπ/6.π/6。11π/6。13π/6でどうやって11π/6だとわかるんですか  
おねがいしますmm

28205.三角関数  
名前:三角関数    日付:8月15日(火) 11時44分
0≦θ<2πの範囲で
サインθ=tとおくとー1≦t<1となるのはなんでなんですか
おねがいします



28212.Re: 三角関数
名前:N&M    日付:8月15日(火) 18時2分
Original Size: 469 x 418, 14KB

−1≦t≦1の間違いではないでしょうか?

図のように、単位円を考えると分かりやすいです。
(単位円とは原点を中心とする、半径1の円です。)

図のように動径、θを定めると、動径と単位円との交点からY軸におろした垂線の足がsinθとなります。(X軸におろした足はcosθです)

0≦θ<2πという範囲で動径を動かしてみると、sinθの値は単位円の最上部〜最下部までしか移動せず、−1≦sinθ≦1と分かります。
すなわち、 −1≦t≦1 となります。



28213.Re: 三角関数
名前:    日付:8月15日(火) 19時10分
ありがとうぅございますmmm

28200.アルファベット  
名前:カオリ    日付:8月15日(火) 1時20分
767 409 311 101 ; SQT_

ここから推測される下線部のアルファベットは何が入るでしょうか?

a)C b)G c)R d)V e)U

答えはa)とe)となっています。
どういう法則になっているのかわかりません。
どなたか教えてください。



28210.Re: アルファベット
名前:KINO    日付:8月15日(火) 17時46分
フランス語かもしれませんね。
フランス語については全くの素人ですが,

先頭の数字に着目した場合,

7 は sept,
4 は quatre,
3 は trois,
1 は un,

ということで,これらの頭文字に注目して SQTU.

また,"767" と三桁の数字を読むとも考えると,おそらく 767, 409, 311 の読みの頭文字は SQT ですが,"101" は cent un というそうで,
SQTC と推測されます。

もしかしたらイタリア語やスペイン語でも同じ様な感じなのかもしれませんが,そこまではわかりません。


28211.Re: アルファベット
名前:カオリ    日付:8月15日(火) 17時58分
実はフランスの大学の試験問題なんです。
それを知らずに見抜くなんてすばらしいです!
全然思いつきませんでした…
どうもありがとうございました!!

28198.18、高3です。  
名前:masa    日付:8月15日(火) 0時0分
定数a(1<a<2)に対して、数列{Xn}をX[1]=a、Xn+1=√(3Xn -2)(n=1,2,3,,)
で定める。
1、a<=Xn<2を示せ(n=1,2,3,,,)
f(x)=√(3x-2)とおき、F(x)単調増加関数
ゆえにa<=x<2のときf(a)<=f(x)<f(2)=2でa<f(a)となる(証明アリ)
そして数学的帰納法でa<=Xn<2を示そうとしたんだが
[1]n=1成立、[2]n=kのときa<=Xk<2と仮定すると、Xk+1=f(Xk)
だからf(a)<=f(Xk)<f(2)ゆえにa<f(a)<=f(Xk)<2となると
個人的には思うのだが解答はa<=f(Xk)<2となっていて、なぜ[<]ではなく
[<=]となるのか理由がわからないので教えてください。お願いします



28201.Re: 18、高3です。
名前:KINO    日付:8月15日(火) 7時21分
実数 s, t について,s≦t は「s=t または s<t」という意味ですから,
a<f(Xk) から a≦f(Xk) を導くことには問題はありません。
ただ,数学的帰納法で証明したい事柄が,a≦Xn と等号つきで書いてあるので,
解答ではそれと同じ形式になるように等号つきの不等号を用いているのでしょう。
もちろん,この問題では等号の付かない a<f(Xk)=Xk+1 を導いた段階で
「n=k+1 のときにも成り立つ」と述べても構わないと思います。


28218.Re: 18、高3です。
名前:masa    日付:8月15日(火) 23時3分
返信ありがとうございました。
不等式の基本的なことですね…。しっかり理解しました。
どうもありがとうございました。

28193.中3  
名前:furu    日付:8月14日(月) 20時20分
(√3+√2)^2(√3-√2)^2+(1+√3)^2(2-√3)/(√12-√27)
を解くとき
どうやってまとめて計算すると
良いのでしょうか。
教えてください。



28202.Re: 中3
名前:KINO    日付:8月15日(火) 7時27分
第一項は,
(√3+√2)2(√3-√2)2={(√3+√2)(√3-√2)}2,
第二項の分子は
(1+√3)2=2(2+√3)
となることから,式の展開の公式のひとつ,和と差の積
(a+b)(a-b)=a2-b2
を利用するとよいと思います。


28204.Re: 中3
名前:furu    日付:8月15日(火) 11時33分
解りました。
ありがとうございます!!

28192.図形と方程式について…  
名前:がががSPx    日付:8月14日(月) 20時17分
 放物線Y=X^2+X/2+1が直線Y=-X/2+Kから切り取る線分の長さが3√5/2であった。このとき、Kのあたいを求めなさい。
 どう解いたらいいのでしょうか。おしえてください。



28203.Re: 図形と方程式について…
名前:KINO    日付:8月15日(火) 7時43分
放物線が直線から切り取る線分の長さがどのような式で表されるか,
まずはそこからおさえましょう。

とりあえず,放物線と直線が異なる2点で交わらないと話にならないので,y=x2+x/2+1 と y=-x/2+k から y を消去して得られる2次方程式
x2+x/2+1=-x/2+k, つまり
x2+x+1-k=0
が異なる2実数解をもつような k の範囲を求めます。
なお,実際には k の範囲を求めなくても問題は解けますが,こういうことを事前に確かめるくせを
今のうちにつけておいた方がよいのではないかと思いますので書きました。

さて,k が上で求めたような範囲にあるとき,交点は2つありますから,それぞれの x 座標を a, b とおきましょう。
解の公式を使って a, b を具体的に求めてしまってもよいと思いますが,
解と係数の関係を利用すると面倒な計算を減らすことができます。

交点の座標は (a,-a/2+k), (b,-b/2+k) と表せますから,切り取られる線分はこの2点を結ぶ線分ですので,
その長さの2乗は (5/4)(a-b)2 となります。
これが (3√5/2)2 に等しいというわけです。

あとは,解と係数の関係から,
a+b=-1, ab=1-k
なので,(a-b)2=(a+b)2-4ab という関係を利用して (a-b)2 を k で表せば解けます。

あとは,それで得られた k が最初に求めた k の範囲にちゃんとおさまっていることを確認すれば完璧です。


28232.Re: 図形と方程式について…
名前:がががSPx    日付:8月16日(水) 21時39分
解けました!ありがとうございます。
また、お尋ねすることがあるとおもいますが、宜しくお願いします!

28179.(untitled)  
名前:チャーハン    日付:8月13日(日) 22時13分
>生ハムさん
わかりました、ありがとうございます。

はじめの質問のほう、どなたか、見ておられたらお願いします。

28178.(untitled)  
名前:けん(大1)    日付:8月13日(日) 21時33分
(1+x)^a のマクローリン展開は

a=0,-1 の時だけはちょっと気をつけないといけないらしいのですが、マクローリン展開では駄目ということですか?マクローリン展開をすると具体的にどの部分で不都合がでてくるのでしょうか?

C(a,n)=a(a-1)(a-2)...(a-n+1)/(n!)
とありますが、aやnが整数でない場合は、どうなるのでしょうか?
a!、n!の定義についてです。最後が1になるとは限らないので、どう定義するんでしょうか?



28195.Re: (untitled)
名前:KINO    日付:8月14日(月) 22時49分
基本的に,黄桃さんの御回答 (28100) にほとんど回答が書かれています。よく読みましょうね。>けんさん

(1+x)a は x>-1 で定義されているとします。

a=0 のとき,(1+x)0=1 という定数関数になりますから,マクローリン展開は (1+x)0=1 です。
この場合は「気をつける」,というより,つまらない場合であるということでしょう。

a=-1 のときは黄桃さんの御回答にちゃんとマクローリン展開の式が書かれています。

> (a=-1の時、等比級数の式から 1/(1+x)=1-x+x^2+..... , |x|<1 です)。

等比級数の公式は,|r|<1 のとき1+r+r2+...=1/(1-r) が成り立つ,というもので,r=-x とおけば黄桃さんが書かれた式が出てきます。
このような特殊な例では,こういう方法で高階導関数を求めなくてもマクローリン展開を得ることができます。

> C(a,n)=a(a-1)(a-2)...(a-n+1)/(n!)
> とありますが、aやnが整数でない場合は、どうなるのでしょうか?
> a!、n!の定義についてです。最後が1になるとは限らないので、どう定義するんでしょうか?

まず,n は必ず0以上の整数です。ですから,n! は通常の意味です。

また,a! などという記号は出てきていません。ですから,a! について悩む必要はありません。

そして,C(a,n) の値は,等号で結ばれた右辺の式を用いて計算すれば求まります。

例えば a=1/2,n=3 のときは,これらを代入して
C(1/2,3)=(1/2)(1/2-1)(1/2-2)/3!=(1/2)(-1/2)(-3/2)/3!=1/16
となります。

この C(a,n) を一般化された二項係数といいます。
そしてその定義は,C(a,n)=a(a-1)(a-2)...(a-n+1)/(n!) という式そのものです。


28208.Re: (untitled)
名前:けん(大1)    日付:8月15日(火) 16時50分
御返事ありがとうございます。a=0,-1 の時にそのような方法が正しいのはわかります。ですが、あえて場合分けはしなければならないのでしょうか?公式のそってマクローリン展開を行うと、不都合が起きるのですか?あえてマクローリン展開の公式を使わずとも展開式が求まると言われればそれまでですが、場合分けをしなければならないのですか?

C(a,n)=a(a-1)(a-2)...(a-n+1)/(n!)
であって、
C(a,n)=a!/(n!)(a-n)!
ではないということですか?


28209.Re: (untitled)
名前:KINO    日付:8月15日(火) 17時37分
> C(a,n)=a(a-1)(a-2)...(a-n+1)/(n!)
> であって、
> C(a,n)=a!/(n!)(a-n)!
> ではないということですか?

はい,その通りです。勝手に a! などという記号を使って書き換えてしまったからご自分で混乱してしまったようですね。

そして,C(a,n)=a(a-1)(a-2)...(a-n+1)/(n!) の式を見ると,別に a=0, -1 のときに特別扱いする必要がないこともわかるかと思います。
正の整数 n の値によらず,常に C(0,n)=0 であることや,
C(-1,n)=(-1)(-2)...(-n)/(n!)=(-1)n であることから,
a=0, -1 のときの (1+x)a の展開式も出てきます。

というわけで,「場合分けをしなければならないか」というご質問については,「その必要はない」が答えです。
こうしたことは,C(a,n) に具体的に a=0 や a=1 を代入してみればわかることです。


28214.Re: (untitled)
名前:けん(大1)    日付:8月15日(火) 19時20分
丁寧な御解説、どうもありがとうございました。

28174.放物線上の動点からの距離  
名前:生ハム    日付:8月13日(日) 20時54分
放物線y=x2上を動く点Pから点(8,-1)までの距離の最小ってどうやって出したらいいんでしょうか??
学年は高2です。m(_"_)m



28184.Re: 放物線上の動点からの距離
名前:サボテン    日付:8月14日(月) 13時13分
微分法は習っていらっしゃるんでしょうか?


28185.Re: 放物線上の動点からの距離
名前:生ハム    日付:8月14日(月) 13時21分
まだ習ってません。教科書のあとのほうに乗ってたかな?程度です。


28187.Re: 放物線上の動点からの距離
名前:サボテン    日付:8月14日(月) 13時41分
では微分法を使わないで解く方針を。
最小になる点を(X,Y)とします。
y=x^2に(X,Y)で接する直線をy=ax+bとおきます。この時Xで接するため、X=a/2→a=2X
直線の方程式を-ax+y-b=0と書き直すと、これは(-a,1)と言うベクトルに垂直な直線を表しています。
これが(X,Y)と(8,-1)をつなぐベクトル(X-8,Y+1)に平行ならば距離
が最小になりいます。
即ち
(X-8)/(-2X)=(X^2+1)  (a=2X,Y=X^2より)
変形し、2X(X^2+1)+X-8=0
あとはこれを解いて答えを得ます。


28188.Re: 放物線上の動点からの距離
名前:生ハム    日付:8月14日(月) 14時0分
お答えいただきありがとうございます。
でもまだベクトルもやってなくって、なんだかよくわかりません。
ごめんなさい。。。


28189.Re: 放物線上の動点からの距離
名前:サボテン    日付:8月14日(月) 16時12分
どういう単元でこの問題が出題されたのでしょう?

先ほどの回答は、最短距離になるような点Aは(8,-1)と結ぶと、点Aを通る接線と直交すると言う性質を用いたものです。
お力になれず申し訳ないです。


28191.Re: 放物線上の動点からの距離
名前:angel    日付:8月14日(月) 18時38分
いずれにせよ、因数分解の効かない3次方程式を解く必要があるため、高校生範囲では解けないですね。
サボテンさんの解法は、直感的にこう考えてみては。
※あくまで直感的に。

 y=x^2 上の 2点 (a,a^2), (b,b^2) を、点(8,-1) を中心とする円が通るとする。
 (a,a^2), (b,b^2), (8,-1) の3点で、二等辺三角形が構成されるため、
 (a,a^2), (b,b^2) の垂直二等分線は、(8,-1)を通る。
 この垂直二等分線の方程式は x+(a+b)y=(a+b)(a^2+b^2+1)/2
 (8,-1) を通るため、a,b には 8-(a+b)=(a+b)(a^2+b^2+1)/2 の関係がある。

 さて、円の半径を徐々に縮めていくと、(a,a^2),(b,b^2) が近づいて行き、ついには2点が一致する。
 先ほどの式に a=b を適用すると 8-2a=a(2a^2+1)

 この a の方程式は、y=x^2 の (a,a^2) における接線 y=2ax-a^2 と、(a,a^2),(8,-1) を結ぶ直線が垂直である場合のそれと一致している。


28194.Re: 放物線上の動点からの距離
名前:生ハム    日付:8月14日(月) 21時51分
>サボテンさん
円と直線の応用問題として出てきました。

>angelさん
ありがとうございます。
何とか理解できました。


最後になりましたが、お二人にはお手間を取らせてしまって、申し訳ありませんでした。おかげで理解できました。ありがとうございます。

28173.二項定理  
名前:チャーハン    日付:8月13日(日) 19時24分
(a+b)(a+b)(a+b) の時、a二個、b一個を取れば、
3C1=3と書いてあるのですが、組み合わせの定義を
みるとn個の異なるものからr個取り出したものと
書いてあります。(a+b)(a+b)(a+b)は三つとも同じものから
a二個、b一個を取り出しているのになぜCを使うのですか?
それとその組み合わせの値がなぜ(この場合a2^bの)係数に
対応しているのかさっぱり理解できません。解説をお願いします。



28177.Re: 二項定理
名前:生ハム    日付:8月13日(日) 21時31分
>組み合わせの値がなぜ(この場合a2^bの)係数に対応しているのかさっぱり理解できません。
(a+b)(a+b)(a+b)の「(a+b)」を右から@、A、Bと呼ぶことにします。
この式を展開してa2^bの項を作ろうとすると「@のa×Aのa×Bのb、@のa×Aのb×Bのa、@のb×Aのa×Bのa」の3通りの組み合わせがあります。a2^bが3つできるから「3a2^b」、つまり係数は3になります。

>(a+b)(a+b)(a+b)は三つとも同じものからa二個、b一個を取り出しているのになぜCを使うのですか?
これは説明の仕方がわかりません。ごめんなさい。^^;


28181.Re: 二項定理
名前:soredeha    日付:8月14日(月) 1時44分
(a+b)(a+b)(a+b)
={a(a+b)+b(a+b)}(a+b)
=(aa+ab+ba+bb)(a+b)
=aa(a+b)+ab(a+b)+ba(a+b)+bb(a+b)
=(aaa+aab)+(aba+abb)+(baa+bab)+(bba+bbb)
=aaa+(aab+aba+baa)+(abb+bab+bba)+bbb
=a^3+3C1a^2b+3C2ab^2+3C3b^3
=3C0a^3+3C1a^2b+3C2ab^2+3C3b^3


28182.Re: 二項定理
名前:チャーハン    日付:8月14日(月) 0時0分
ありがとうございます、aab、aba、baaを足すかから係数が3になるのはわかったのですが、
なぜ、Cを使うのでしょうか?Cは異なるものから選ぶときに
使うのではないのですか?それとCだとaab、aba、baaは一通りでは
ないのですか?


28183.Re: 二項定理
名前:soredeha    日付:8月14日(月) 1時25分
>(aab+aba+baa)
aab  b が左から3番目にある :{1,2,3}→3
aba  b が左から2番目にある :{1,2,3}→2
baa  b が左から1番目にある :{1,2,3}→1   3C1


28199.Re: 二項定理
名前:チャーハン    日付:8月15日(火) 0時17分
やっとわかりました、ありがとうございました。

28168.3次方程式  
名前:きゆ    日付:8月12日(土) 21時33分
f(x)=x^3+(2k-1)x^2-(k-6)+lはf(1)=0を満たしている。
@方程式f(x)=0が虚数解をもつようなkの値の範囲を求めよ。

A方程式f(x)=0が相異なる3つの実数解をもつとき、
(1)kの値の範囲を求めよ。

(2)方程式f(x)=0の3つの解をα、β、γ(α<β<γ)とする。kの値がk≧4の範囲で変化するとき、α^2+β^2/γ^2のとり得る範囲を求めよ。

解き方がよくわかりません。
解き方と回答を教えてください。



28171.Re: 3次方程式
名前:angel    日付:8月13日(日) 10時22分
まず、f(1)=0 から、l の値が l=-(k+6) と分かります。
それをもとに f(x) を因数分解すると、 f(x)=(x-1)(x^2+2kx+k+6)

1. 方程式 x^2+2kx+k+6=0 が虚数解を持つ事になるので、判別式を調べます

2.
(1) f(x)=0 が異なる3実数解を持つということは、
  x^2+2kx+k+6=0 が、1でない異なる2実数解を持つということ。
  x=1 を左辺に代入した 3k+7≠0 と、2次方程式の判別式から k の範囲を割り出します。

(2) k≧4 の場合、x^2+2kx+k+6=0 の解は、ともに 1 より小さくなります。
 ということは、α,β は x^2+2kx+k+6=0 の解、γ=1
 結局、α^2+β^2/γ^2=α^2+β^2=(α+β)^2-2αβ となるため、
 解と係数の関係から、この式を k で表すことができます。


28196.Re: 3次方程式
名前:きゆ    日付:8月14日(月) 23時34分
ごめんなさい。
ちょっと、わからないです。


28197.18、高3です。
名前:masa    日付:8月14日(月) 23時59分
定数a(1<a<2)に対して、数列{Xn}をX1=a、Xn+1=√(3Xn -2)(n=1,2,3,,)
と定める。
1、a<=Xn<2を示せ(n=1,2,3,,,)
f(x)=√(3x-2)とおき、F(x)単調増加関数
ゆえにa<=x<2のときf(a)<=f(x)<f(2)=2でa<f(a)となる(証明アリ)
そして数学的帰納法でa<=Xn<2を示そうとしたんだが
[1]n=1成立、[2]n=kのときa<=Xk<2と仮定すると、Xk+1=f(Xk)
だからf(a)<=f(Xk)<f(2)ゆえにa<f(a)<=f(Xk)<2となると
個人的には思うのだが解答はa<=f(Xk)<2となっていて、なぜ[<]ではなく
[<=]となるのか理由がわからないので教えてください。お願いします

28166.一本のひも  
名前:N&M    日付:8月12日(土) 19時59分
自分はcityさんの質問を見て、説明方法に悩んでしまいました。
そこで、便乗して質問したいのですが、面積が最大になる図形が円であることを証明するには、どのようにすれば良いのでしょうか??
どなたかご教授のほどをよろしくお願いいたします。(高校3年)



28167.Re: 一本のひも
名前:のぼりん    日付:8月12日(土) 20時47分

こんばんは。変分法の知識が必要となるため、高校数学の範囲では証明できないと思われます。同範囲の逸脱を許容するとしても、量的に掲示板に書き込むのは困難です。判り易く説明してある本を紹介しますので、本屋で眺めてみて、もし理解できそうだったら、挑戦してみて下さい。

◆ 高橋康「量子力学を学ぶための解析力学入門」(講談社)122〜123ページ

幸いにも、初等解析の基礎知識が多少あれば、同証明を追うのは、大して難しくありません。



28172.Re: 一本のひも
名前:N&M    日付:8月13日(日) 15時19分
やはり証明は大変難しいようですね。
自分の無力さを実感いたしました。
大変丁寧なお返事、ありがとうございました。

28156.一本のひも  
名前:city    日付:8月12日(土) 9時47分
一本のひもを使ってできる、一番大きい面積のかたちをおしえてください。
(小学3年生)



28160.Re: 一本のひも
名前:angel    日付:8月12日(土) 11時8分
それは円ですね。

細長い図形を使ってしまうと、面積が小さくなってしまうため、なるべく大面積の図形にしようとすると、丸っこい形になっていくのです。

例えば、1m のひもが有ったとして。
  5cm×45cm の長方形 … 225cm^2
 10cm×40cm の長方形 … 400cm^2
 20cm×30cm の長方形 … 600cm^2
 25cm の正方形    … 625cm^2
というように、長方形同士を比較すると、細長い長方形から正方形に近づくにつれ、面積が大きくなっていきます。

正多角形同士で比較すると、同じく 1m のひもに対して
 正三角形 … 481cm^2
 正方形  … 625cm^2
 正六角形 … 722cm^2
 正十角形 … 769cm^2
 正二十角形 … 789cm^2
 円    … 796cm^2
というように、辺の数が増えるごとに面積が大きくなり、円の面積に近づいていきます。
※数値は概算です


28170.Re: 一本のひも
名前:city    日付:8月13日(日) 8時23分
ありがとうございます。

28150.(untitled)  
名前:けん(大1)    日付:8月11日(金) 21時16分
@f(x)=|x-a|(x-a)のとき、f'(x)=2|x-a|を教えて下さい。

Af(x)=sin(1/x)は区間I=(0,1)で一様連続であるかをε、δを使って説明して下さい。

以上よろしくお願いします。



28151.Re: (untitled)
名前:ドンガメ    日付:8月11日(金) 23時25分
(1)はx-aの正負で場合分け。
(2)f(x)がIで一様連続であるとは、
  ∀ε>0 ∃δ>0 ∀x,y∈I (|x-y|<δ) |f(x)-f(y)|<ε
  である。その否定は、
  ∃ε>0 ∀δ>0 ∃x,y∈I (|x-y|<δ) |f(x)-f(y)|≧ε …(*)
  である。
  さて、f(x)=sin(1/x),I=(0,1)について、
  ε=1/2,x=2/{(2n-1)π},y=1/{(2n-1)π} (n∈N)とすると、
  x,y∈I であり、
∀δ>0について、十分大きいnをとると、|x-y|<δ である。
  このとき、
|f(x)-f(y)|=|sin{(2n-1)π/2}-sin(2n-1)π|=1≧ε
である。
よって、(*)は真であるので、f(x)はIで一様連続ではない。


28155.Re
名前:soredeha    日付:8月12日(土) 1時13分
> @f(x)=|x-a|(x-a)のとき、f'(x)=2|x-a|を教えて下さい。

x≠a なら
f '(x)=|x-a|'(x-a)+|x-a|(x-a)'
   =±1(x-a)+|x-a| (復号は x>a のとき +、x<a のとき - を選択するものとする。)
   = |x-a|+|x-a|=2|x-a|


28164.Re: (untitled)
名前:けん(大1)    日付:8月12日(土) 16時30分
@はわかりました。ありがとうございます。

Aなんですが、

∀δ>0について、十分大きいnをとると、|x-y|<δ である。

が分かりません。nが十分大きいとき、|x-y|は0に近づきますが、それよりも小さい任意のδはとれないんですか?


28169.Re: (untitled)
名前:ドンガメ    日付:8月12日(土) 22時43分
(*)を見て分かるように、δは先に与えられて、それに応じて十分大きいnをとれば、|x-y|<δであるということです。x,yを先に決めてδを任意にとるのではありません。
一般に、二変数命題関数P(x,y)について、
∃x ∀y P(x,y)⇒∀y ∃x P(x,y)
ですので、「∀δ>0について、十分大きいnをとると、|x-y|<δである」を論理記号で書いて、
∀δ>0 ∃m∈N ∀n>m |x-y|<δ 
←∃m∈N ∀δ>0 ∀n>m |x-y|<δ  ・・・(☆)
です。明らかに(☆)において「⇒」は成立ちません。
したがって、けんさんの質問されていることは、「∀δ>0について、十分大きいnをとると、|x-y|<δである」の質問になっていないのです。
>nが十分大きいとき、|x-y|は0に近づきますが
これをε-N式に書くと、先ほどの、
∀δ>0 ∃m∈N ∀n>m |x-y|<δ 
です。δをεと思って頂ければ分かると思います。


28175.Re: (untitled)
名前:けん(大1)    日付:8月13日(日) 21時29分
∀ε>0 ∃δ

というのは、

ε=1のときとε=2のときとでは同じδであるんですか?
それとも、異なるεに対しては異なるδが存在すればいいんですか?


28186.Re: (untitled)
名前:KINO    日付:8月14日(月) 13時28分
∀と∃という記号は,それらが出現する順番によって意味が大きく異なる場合がありますので注意が必要です。

> ε=1のときとε=2のときとでは同じδであるんですか?
いいえ。

> それとも、異なるεに対しては異なるδが存在すればいいんですか?
その通りです。
より正確には,

異なるεの値に対して,それに応じて取ることができるδの値が違っていても良いということであって,δとして必ず別の値をとる必要はありません。


28190.Re: (untitled)
名前:けん(大1)    日付:8月14日(月) 18時11分
よくわかりました。ありがとうございました。

28144.お願いします  
名前:ゆーへー    日付:8月11日(金) 19時10分
Size: 167 x 41, 3KB

Aを始点、Bを終点として一筆がきができます。さて、その方法は何通りあるでしょうか。



28145.Re: お願いします
名前:ゆーへー    日付:8月11日(金) 19時19分
27通りか28通りですよね?


28158.Re: お願いします
名前:ヨッシー    日付:8月12日(土) 10時37分
6×6×6×2×2=864(通り)

解説は、こちらの問6をご覧下さい。
 
http://yosshy.sansu.org/


28162.Re: お願いします
名前:ゆーへー    日付:8月12日(土) 12時47分
ありがとうございました。
こんなに簡単な式で解けるんですね!

28138.方程式  
名前:(>_<)    日付:8月11日(金) 16時52分
こんにちは。
分からない事があったので宜しくお願いします。
三次多項式f(x)=x^3+ax^2+bx+1と二次多項式g(x)=x^2+cx+1があり、
g(x)=0の解は全てf(x)=0の解であるという条件が成り立っているという。
(1)g(x)=0が重解をもつ場合のcの値を求めよ。
(2)g(x)=0が重解を持たないとき、f(x)はg(x)で割り切れる事を
示し、さらにx=−1はf(x)=の解である事を示せ。
(3)a≠bならば、g(x)=0が重解を持つ事を示し、さらにc=-2である事を示せ。
(1)は判別式よりc=2,-2
(2)怪しいです・・・
g(x)=0は二解をもつのでα、βとすると
g(x)=(x-α)(x-β)
条件よりf(x)=(x-α)(x-β)(x-γ)とおけて、
わり算実行すると確かにf(x)はg(x)で割り切れる。
また、f(-1)=a-b=0⇔a=bより
f(x)=0⇔x^3+ax^2+ax+1=0
⇔(x+1){x^2+(a-1)x+1}=0
よりx=-1はf(x)=0の解である。
(3)は(2)の逆みたいなもんでしょうか?わかりませんでした。
(2)、(3)の解説お願いします。



28146.Re: 方程式
名前:angel    日付:8月11日(金) 20時1分
(2)
 割り切れる、の説明はちょっと曖昧と取られるかも。
  条件より f(x)=0 が x=α,βを解にもつため、f(α)=f(β)=0
  因数定理により、f(x) は (x-α), (x-β) を因数に持つ。
  (x-α), (x-β) はそれぞれ異なるため、あるγに対して
   f(x)=(x-α)(x-β)(x-γ)=(x-γ)g(x)
  これは f(x) が g(x) により割り切れることを示す
 のような説明でどうでしょう。
 なお、f(x)=0 が x=-1 を解に持つことは、αβγ=-1, αβ=1 から持っていきます。

(3)
 g(x)=0 が重解を持たない ⇒ f(-1)=0 ⇔ a=b を利用して。
 その対偶、a≠b ⇔ f(-1)≠0 ⇒ g(x)=0 が重解を持つ
 ここで、f(-1)≠0 ⇒ g(-1)≠0 ( ∵g(x)=0 の解は全て f(x)=0 の解 )
 そのため、c≠2、(1) の結果と合わせて c=-2


28152.Re: 方程式
名前:(>_<)    日付:8月11日(金) 23時26分
ありがとうございます。
>f(x)=0 が x=-1 を解に持つことは、αβγ=-1, αβ=1 から持っていきます。
自分の解答(x=−1はf(x)=の解である事を示せ。)
>f(-1)=a-b=0⇔a=bより
f(x)=0⇔x^3+ax^2+ax+1=0
⇔(x+1){x^2+(a-1)x+1}=0
よりx=-1はf(x)=0の解である。

これだと減点されてしまうでしょうか?お願いします。


28153.Re: 方程式
名前:angel    日付:8月11日(金) 23時36分
> これだと減点されてしまうでしょうか?お願いします。
残念ながら、大幅に。
この時点では、a,b の関係は未だ確定していませんから、a=b を元に話を進めているのはマズいですね。
※a=b というのは、f(x)=0 が x=-1 を解に持つことから判明するため、話の順序が逆なのです。


28161.Re: 方程式
名前:(>_<)    日付:8月12日(土) 12時5分
なるほど!!確かに逆ですね・・
有り難うございましたm(_ _)m

28136.複素平面の問題教えてください  
名前:そふぃあ    日付:8月11日(金) 13時24分
複素平面上の4点z=π/2,z=π/2+i,z=-π/2+i,z=-π/2をこの順に得られる折れ線をCとするとき、次の複素積分の値を求めよ。

∫c coszdz
よろしくお願いします。



28157.Re: 複素平面の問題教えてください
名前:のぼりん    日付:8月12日(土) 11時11分
cosz=(eiz+e−iz)/2 で被積分関数を指数関数に分解すると、
   ∫±izdz=±(e±ib−e±ia)/i (a,b∈
だから、これを複数回適用して計算できます。

28134.平行四辺形  
名前:さっちゃん    日付:8月10日(木) 23時54分
平行四辺形の斜辺長さの求め方を教えてください。



28137.Re: 平行四辺形
名前:ヨッシー    日付:8月11日(金) 15時27分
直角三角形には斜辺がありますが、平行四辺形には斜辺というものは
ありません。
対角線のことなのか?辺のことなのか?

いずれにしても、対象学年と、具体的な求めたい部分が分からないと、
答えにくいです。
 
http://yosshy.sansu.org/

28132.漸化式の問題です(高3  
名前:N&M    日付:8月10日(木) 20時28分
「An+2=An+12006/An2005
A1=p,A2=qのとき、Anを求めなさい」という問題です。
どなたか解法のヒントだけでも良いので、ご教授お願いします。



28133.Re: 漸化式の問題です(高3
名前:angel    日付:8月10日(木) 20時46分
B[n]=log(|A[n]|) と置くとき、B[1]=log(|p|), B[2]=log(|q|)
B[n+2]=2006B[n+1]-2005B[n]
なお、p,q の符号に応じて
 ・p,q が同符号 … A[n] は全て同符号
 ・p,q が異符号 … A[n] は交互に正負を繰り返す


28135.Re: オォ!
名前:N&M    日付:8月11日(金) 11時58分
対数をとって、隣接3項間漸化式ということですね!
明瞭な御返答、ありがとうございました。


28143.Re: 漸化式の問題です(高3
名前:angel    日付:8月11日(金) 19時7分
失礼。上の案だと、p,q の正負等での場合分けが煩わしいので、
A[n]=p^X・q^Y の形に決め打った方が話が早そうですね。
解答としては以下のような形でしょうか。

 数列 b[n], c[n] を次のように定める。
  b[n+2]=2006b[n+1]-2005b[n], b[1]=1, b[2]=0
  c[n+2]=2006c[n+1]-2005c[n], c[1]=0, c[2]=1

 この b[n], c[n] の一般項はそれぞれ 〜 (解法略)
 また、b[n], c[n] の各項は、帰納的に全て整数 (証明略)

 この b[n], c[n] に対し
  A[n]=p^b[n]・q^c[n]
 と定める時、A[n] は与漸化式を満たし、かつ A[1]=p, A[2]=q (証明略)
 すなわち、この A[n] は与条件を満たす

 逆に、与条件により、A[n] は一意に定まる
 よって A[n]=p^b[n]・q^c[n]=〜 …(答)

28127.微分  
名前:インディアンス    日付:8月10日(木) 4時48分
二直線y=x,y=3xに同時に接するような二次多項式をパラメータcを用いて
表してください。誰かお願いします。

28126.集合で・・  
名前:チャーハン    日付:8月10日(木) 3時17分
a(1,2,3)b(2,6)ならa∩b=空集合と解説してある
横に、どんな集合においても、空集合はその部分集合であると
書いてあるんですが、この日本語の意味がわかりません。
空集合とはふたつ以上の集合に共通の要素がないことでは
ないのですか?具体例を挙げて、解説してください。
それとこれに関連するのですが、集合(1,2,3)の部分集合の
個数を求めよという問題で、答えが2^3=8となっていて、
何故、2^3と計算するのですか?また正解の8個の中に
空集合と(1,2,3)も含まれるそうですが、空集合のほうは
上記の疑問と絡んでますが、(1,2,3)が、(1,2,3)の
部分集合なのが解せません、部分じゃないと思うのですが、
これは決まりであって理屈はないのですか?以上長くなりましたが
よろしくお願いします。



28128.Re: 集合で・・
名前:ast    日付:8月10日(木) 9時43分
> a(1,2,3)b(2,6)ならa∩b=空集合と解説してある
記号の意味が判然としません. 集合を, その要素を並べることによって表すときには括弧はブレイス(波括弧){} とするのが慣例です. 仮に a = {1, 2, 3}, b = {2, 6} であるのならば a ∩ b = {2} で空集合ではないので, もっと別の意味であるのかと疑わずにはいられません.

> 空集合とはふたつ以上の集合に共通の要素がないことではないのですか?
そうではありません. 要素を一つも持たないものもやはり集合であると考えたものが空集合です. ある集合が与えられて, そこからいくつか要素を取り除いたものを考えれば部分集合を作ることができるので, 全部取り除いたらどうなるのかと考えれば, どんな集合でも空集合はやはり部分集合になると考えるのが妥当です.

> 何故、2^3と計算するのですか?
場合の数という単元を学習すれば同じようなことをやるだろうとおもいますが, 1, 2, 3 のそれぞれに, {入れる, 入れない} の 2 つのラベルを貼って, 「入れる」のラベルを貼ったものを全部集めると一つの部分集合を作れます. これは「重複順列」というやつで, (google などの web 検索をすればすぐに判るけれども)そのような場合の総数の数え方は簡単なパターンで計算できて, この場合 2^3 個ということになります.

> (1,2,3)が、(1,2,3)の部分集合なのが解せません、部分じゃないと思うのですが、
> これは決まりであって理屈はないのですか?
はい, 決まりであって理屈ではありません. 全体は自分自身の最も大きい「部分」であるという決まりで集合を考えます. これはたとえば「x が A または B に属す」というときに A と B の両方に x が属していてもいい, という決まりを作る(数学では普通そう決めます)のと同じです.


28130.Re: 集合で・・
名前:チャーハン    日付:8月10日(木) 15時22分
>記号の意味が判然としません
a = {1, 3, 5}, b = {2, 6}でした。すいません。
>そうではありません. 要素を一つも持たないものもやはり集合であると考えたものが空集合です.
例えば、a = {  }で1つの集合とカウントする訳ですか?
またa = {1, 3, 5}に部分集合 {  }があるという理解で
いいですか?最後の質問の納得しました。


28131.Re: 集合で・・
名前:angel    日付:8月10日(木) 16時38分
「1個もない」状態を 0 で表すように、「要素が何も含まれていない集合」を、空集合φ={} で表します。
AがBの部分集合、とは、A⊂B、つまり「Aの要素は全てBの要素である」という決め方がなされます。ので、A=B かどうかは意識されません。
※A=Bを明確に区別する場合もあって、その時は、⊆, ⊂ と使い分けをしますし、「真部分集合」という呼び方を使います。

28117.事象AとBが独立で・・・  
名前:まあ    日付:8月9日(水) 10時40分
事象AとBが互いに独立であり,P(A)=1/2,P(B)=1/3であるときのP(A∩B)P(AUB)の値はどうなりますか?
すみません教えてください。



28118.Re: 事象AとBが独立で・・・
名前:ドンガメ    日付:8月9日(水) 15時40分
P(A∩B)P(A∪B)=P(A)P(B){P(A)+P(B)-P(A∩B)}
       =P(A)P(B){P(A)+P(B)-P(A)P(B)}
=(1/2)(1/3){(1/2)+(1/3)-(1/2)(1/3)}
=1/9

28114.またもやすみません;;  
名前:Minnie    日付:8月8日(火) 17時59分
前回投稿させていただいた、Minnieです。
その度は、らすかるさん、千尋さん、ありがとぅござぃました♪
ですが、すみません。
改めて質問ですm(_ _)m
私は今、中1なのですが、幾何学の先生はなんと正四面体の展開図を、
@正三角形 
A平行四辺形
のほかに、後6つも見つけたそうです!(合計8つ!!!)
なんとか、ご存知ないでしょうか。訳の分からない質問で、すみません。
ご回答頂ければ幸いです♪



28116.Re: またもやすみません;;
名前:らすかる    日付:8月8日(火) 19時21分
正四面体の展開図は、2つしかありません。
「後6つ見つけた」ということなら、それは一般的な「展開図」ではありません。
一般に言う展開図には
 ・切って良いのは辺のみで、面は切ってはならない
 ・展開した全ての面を同一平面上に描かなければならない
 ・複数の図形に分割してはならない
 ・裏返したものは同一視する
といった暗黙の条件があります。
これらの条件を守る限り、正四面体の展開図は2つしか出来ません。
「後6つ」というのでしたら、暗黙の条件を破ったのでしょう。
上の条件を無視すれば、いくらでも出来ます。
例えば、ある面を半分に切って展開すれば、長方形にも出来ます。
http://www10.plala.or.jp/rascalhp


28303.Re: またもやすみません;;
名前:    日付:8月22日(火) 10時48分
どんなんですか

28106.(untitled)  
名前:    日付:8月7日(月) 22時34分
θが3/4のときのサイン
コサイン 
タンジェント・・・・
で円の半径が2のとき・・としてあるんですが
なんでこれは円の半径を2にしようとしたんですか???・・・
おねがいします



28107.Re: (untitled)
名前:ヨッシー    日付:8月7日(月) 23時19分
3/4 というのは 3π/4 のことでしょう。

半径1とすると、角度 3π/4=135° の位置では、
1,√2/2,√2/2 の直角二等辺三角形が出来ます。

これを、半径2にすると、
2,√2,√2 のように、分数でなくなるのです。
 
http://yosshy.sansu.org/

28102.三角形と比  
名前:hiro(高2)    日付:8月7日(月) 9時32分
AB=AC=5,BC=4である二等辺三角形ABCの内接円の中心をIとする。
辺BAの延長と点Eで、辺BCの延長と点Fで接し、
辺ACと接する∠B内の円の中心をGとする。
(1)線分AIを求めよ。
(2)AG//BFを証明せよ。
(3)線分AGの長さを求めよ。

(1)は5√21/7だと分かったのですが、
後の2つがわからないです。
詳しい解説をお願いします。



28103.Re: 三角形と比
名前:だるまにおん    日付:8月7日(月) 11時2分
(2)
∠EAC=2∠GACです。一方、∠ACB+∠ABC=∠EACより∠EAC=2∠ACBです。よって∠GAC=∠ACBとなり、AG//BFとなります。

(3)
線分BCの中点をM、GからACに下ろした垂線の足をHとすると、(2)よりAM=GFとなるのでAM=GHになります。また、∠GHA=∠AMC=90度で、そのうえ(2)より∠GAH=∠ACMも示せています。したがって△GAH≡△ACMです。よってAG=5

28097.こんなんですみませんmm  
名前:・・・    日付:8月6日(日) 17時53分
次の値を求めよ・・・・で
COS(ー9/3)π
TAN17/6π



28098.Re: こんなんですみませんmm
名前:・・・    日付:8月6日(日) 20時59分
あとなんかコツ的なこともおねがいします


28105.Re: こんなんですみませんmm
名前:moto    日付:8月7日(月) 18時14分
cos(−9/3)π
=cos(−3π)
=cos(π−2*2π)
=cosπ
=−1

tan(7/6)π
=tan(π+1/6π)
=tan(1/6)π
=(√3)/3

コツかどうか・・・ですが、2点ほど
 公式を覚える
 覚えた公式になるように式変形をする

28096.(untitled)  
名前:けん(大1)    日付:8月6日(日) 17時32分
(1+1/x)^1/3=1+(1/3)(1/x)+(1/2)(1/3)(1/3-1)(1/x)^2+…

とあるんですが、二項定理から導いてるんですが、どうやるんでしょうか?(1+x)^aでaが自然数の場合しか見たことが無いので、aが一般の実数である場合についての解説もお願いします。



28100.マクローリン展開
名前:黄桃    日付:8月6日(日) 23時26分
(1+x)^a のマクローリン展開を考えて見てください。
a=0,-1 の時だけはちょっと気をつけないといけません
(a=-1の時、等比級数の式から 1/(1+x)=1-x+x^2+..... , |x|<1 です)。
どんなaでも |x|<1 なら
(1+x)^a=Σ_[n=0,∞] C(a,n)x^n
となることがわかります。
ただし、C(a,n)=a(a-1)(a-2)...(a-n+1)/(n!) です。


28119.Re: (untitled)
名前:けん(大1)    日付:8月9日(水) 18時58分
a=0,-1 の時だけはちょっと気をつけないといけませんというのは、マクローリン展開では駄目ということですか?具体的にどの部分で不都合がでてくるのでしょうか?
a=-1の時、等比級数の式から 1/(1+x)=1-x+x^2+..... , |x|<1 ですというのはどういう意味ですか?

C(a,n)=a(a-1)(a-2)...(a-n+1)/(n!)
とありますが、aやnが整数でない場合は、どうなるのでしょうか?
a!、n!の定義についてです。最後が1になるとは限らないので、どう定義するんでしょうか?

28093.確率苦手です・・。  
名前:白雪キング    日付:8月6日(日) 11時19分
座標平面上で点Pを次の規則に従って移動させる。
1個のさいころを投げ、出た目をaとするとき

 a≦2ならばx軸の正の方向へaだけ移動させる
 a≧3ならばy軸の正の方向へ1だけ移動させる

いま、原点を出発点として、さいころを繰り返し投げ、点Pを
順次移動させるものとする。自然数nに対し、点Pが
点(n,0)に到達する確率をp(n)とおき、p(0)=1とする。

(1)p(n+1)をp(n),p(n-1)であらわせ。
(2)p(n)を求めよ。

これもよく分からないです。
問題集も終わりに近づき、難問ばかりです。(´・ω・`)
説明多くで教えてもらいたいです。
おねがいします!



28111.Re: 確率苦手です・・。
名前:白雪キング    日付:8月8日(火) 12時18分
これも教えてもらえないでしょうか?
おねがいします!


28112.Re: 確率苦手です・・。
名前:花パジャ    日付:8月8日(火) 13時21分
3以上の目が一度でも出たら、y=0にはならないので
点(n,0)に到達するまでは1か2しか出ない

(1)
点(n+1,0)に到達するには、
直前に点(n,0)に到達し1の目が出るか、
直前に点(n-1,0)に到達し2の目が出るか、のいずれかである。
(点(n-1,0)に到達し1の目が2回出るパターンは前者に含まれている)

 p(n+1)=(1/6)p(n)+(1/6)p(n-1)
(2)
上式を変形すると
 p(n+1)-p(n)/2=-(p(n)-p(n-1)/2)/3=(p(1)-p(0)/2)/(-3)^n=1/(-3)^(n+1)
別の変形を行うと
 p(n+1)+p(n)/3=(p(n)+p(n-1)/3)/2=(p(1)+p(0)/3)/2^n=1/2^(n+1)
両式の差から
 5p(n)/6=(3^(n+1)-(-2)^(n+1))/6^(n+1)
よって
 p(n)=((3^(n+1)-(-2)^(n+1))/5)/6^n


28139.Re: 確率苦手です・・。
名前:白雪キング    日付:8月11日(金) 18時3分
ありがとうございました!
お返事遅れてすみません!

>3以上の目が一度でも出たら、y=0にはならないので
 点(n,0)に到達するまでは1か2しか出ない

 (1)
 点(n+1,0)に到達するには、
 直前に点(n,0)に到達し1の目が出るか、
 直前に点(n-1,0)に到達し2の目が出るか、のいずれかである

1の目と2の目を考えているようなんですが
問題文を見ると

>a≦2ならばx軸の正の方向へaだけ移動させる
 a≧3ならばy軸の正の方向へ1だけ移動させる

だから(n+1,0)に到達するには

直前に点(n,0)に到達し、次にx方向に1だけ移動するのは
さいころのどの目なのか、問題文のどこから読み取ればいいんでしょうか? 2の目、1の目ではaだけ移動するようで、適していないし、けれど
3,4,5,6の目がでても1移動するのはy軸だし。
どうしてここで1の目がでればいい、と分かるんでしょうか?
教えてください。

直前に点(n-1,0)に到達し2の目が出るか。
これも同様で、どうして2の目なのか分けがわからないッス。
うーん、さいころの目は全部で6つあるのに、どうして2だと特定できるんでしょうか?

おねがいします!


28147.Re: 確率苦手です・・。
名前:花パジャ    日付:8月11日(金) 20時45分
2の目のときはa=2,1の目のときはa=1だから

28092.確率  
名前:白雪キング    日付:8月6日(日) 10時58分
1の目が出ているサイコロがある。このサイコロを等確率で
いずれかの横の面の側に倒す。この操作を繰り返して
n回目に1か6の目が出る確率を求めよ。ただし、1と6とは反対側の
面にあるものとする。

歯が立ちません。
説明多くで教えてください。
質問が多くなるかもしれません。式が理解できていないので・・。
おねがいします!



28104.Re: 確率
名前:らすかる    日付:8月7日(月) 15時45分
>式が理解できていない
式を書いて頂かないと、その式についての説明は出来ません。

その式と関係なく解くなら、
n回目に1か6の目である確率をp[n]とすると
1か6の目→次の回は1,6以外
1,6以外→次の回は1/2の確率で1か6
となるから、p[n+1]=(1/2)(1-p[n]) (p[1]=0)
この漸化式を解いて
p[n]={1-1/(-2)^(n-1)}/3
http://www10.plala.or.jp/rascalhp


28110.Re: 確率
名前:白雪キング    日付:8月8日(火) 12時18分
n回目に1か6の目が出ている確率をPnとすると
(n+1)回目に1か6の目が出るのは、n回目に
1も6もでていないときである。
このとき、次の(n+1)回目に1か6の目が出る確率は
1/2である。

ここまでは分かるんですが。

よって
P(n+1)=1/2(1-Pn),P1=0
P(n+1)-a=-(1/2)(Pn-a)とすると、a=1/3

この式がまるで分からないです。

そして式は続いていくんですが
よく分かりません

ゆえに
P(n+1)-(1/3)=-(1/2)(Pn-(1/3))
よって
Pn-(1/3)=(-1/2)^(n-1)(P1-(1/3))=-(1/3)(-1/2)^(n-1)

P(n+1)がPnに変わるのは何故なんでしょうか?

すなわち
Pn=1/3{1-(1/2)^(n-1)}
これはn=1のとき、P1=0を満たす。

式はここまでです。
式の始まりから終わりまでよく分からないです。
解説多めで教えてもらえないでしょうか?
おねがいします!


28115.Re: 確率
名前:らすかる    日付:8月8日(火) 19時2分
n回目に1か6の目が出ている場合、n+1回目に1か6の目が出る確率は0
n回目に1か6の目が出ていない場合、n+1回目に1か6の目が出る確率は1/2
はよろしいでしょうか。
n回目に1か6の目が出ている確率はPn
n回目に1か6の目が出ていない確率は1-Pn
ですから、
n+1回目に1か6の目が出る確率P[n+1]は
P[n+1]=Pn×0+(1-Pn)×(1/2)=(1/2)(1-Pn)
となります。
1回目に1か6が出ることはありませんので、P1=0です。

次に
P[n+1]=(1/2)(1-Pn)
という漸化式を解くために
P[n+1]-a=-(1/2)(Pn-a)
とおいて整理し、aを決定します。この式を整理すると
P[n+1]=(1/2)(3a-Pn)
であり、前の式と比較すると3a=1ですから、a=1/3となります。
従って
P[n+1]=(1/2)(1-Pn)

P[n+1]-(1/3)=-(1/2){Pn-(1/3)}
と変形出来るわけです。

ここでQ[n]=P[n]-(1/3) とおくと、
P[n+1]-(1/3)=-(1/2){Pn-(1/3)}

Q[n+1]=-(1/2)Q[n]
また
Q[1]=P[1]-(1/3)=-(1/3)
となります。
Q[n]は初項-(1/3)、公比-(1/2)の等比数列ですから、
公式により Q[n]=-(1/3){-(1/2)}^(n-1)
となります。
Q[n]=P[n]-(1/3)ですから、
P[n]-(1/3)=-(1/3){-(1/2)}^(n-1)
となり、1/3を移項して
P[n]=-(1/3){-(1/2)}^(n-1)+(1/3)
=(1/3){1-(1/2)^(n-1)}
という式が出ます。

慣れれば、Q[n]に置き換えずに「P[n]-(1/3)」という形のまま
計算出来ます。解答はそうしていますね。
http://www10.plala.or.jp/rascalhp


28140.Re: 確率
名前:白雪キング    日付:8月11日(金) 18時12分
ありがとうございました!
お返事遅れてすみません!

聞きたいことがあるんですが

>次に
 P[n+1]=(1/2)(1-Pn)
 という漸化式を解くために
 P[n+1]-a=-(1/2)(Pn-a)
 とおいて整理し、aを決定します。この式を整理すると
 P[n+1]=(1/2)(3a-Pn)
 であり、前の式と比較すると3a=1ですから、a=1/3となります。

P[n+1]=(1/2)(1-Pn)を次の式で
P[n+1]-a=-(1/2)(Pn-a)としていますが
ここがよく分かりません。右辺の部分なんですが、-aが加わったのは分かるんですが、どうして右辺の(1-Pn)の部分の1が(Pn-a)とaに置き換わっているんでしょうか? 1はどこへいったんでしょうか? ここが分からないです。
右辺の-(1/2)の-は理解できました。Pnをカッコ内で前へ持ってくるためにしたんですね。
教科書もあとちょっとでおわりなんですが、苦手な範囲でなかなかりかいできません。
おしえてください。
おねがいします!


28159.Re: 確率
名前:angel    日付:8月12日(土) 10時45分
横槍です。

> P[n+1]=(1/2)(1-Pn)を次の式で
> P[n+1]-a=-(1/2)(Pn-a)としていますが
> ここがよく分かりません。

P[n+1]-a=-(1/2)(Pn-a) となるような a が見つかると、問題を解く上で都合が良いので、そのような a を見つけようという意図があります。

 ・P[n+1]-a=-(1/2)(Pn-a) なる a があると都合が良いので、そのように置いてみる
 ・P[n+1]=(1/2)(1-Pn) と係数比較すると、a=1/3 の時一致することが分かる
 ・改めて P[n+1]=(1/2)(1-Pn) を P[n+1]-1/3=-(1/2)(P[n]-1/3) と変形して解き進める

問題を解くとき、道なりに沿って式を変形するだけでは答えに辿り着けないことが多いです。
このように、先に変形した後の形を決め打ってから、都合の良い数値を見つける手法がしばしば取られます。

28091.確率  
名前:白雪キング    日付:8月6日(日) 10時41分
袋Aには白玉4個、袋Bには赤玉4個が入っている。ただし、全ての玉は
同じ大きさであるとする。2つの袋から同時に任意の玉を1個ずつ
取り出して入れ替えるという操作を繰り返すとき、次の確率を求めよ。
(1)4回後、袋Aの中には赤玉4個が入っている確率
(2)4回後、元の状態に戻る確立

計算式が理解できません。
分数同士を掛け合わせたり足したりしているようですが
どうして分数がその値になるのか、かける場合と足す場合の違いなど
疑問が多いです。

どうかやさしくおしえてください。
おねがいします!

(2)を重点的に教えてもらいたいです。



28109.Re: 確率
名前:白雪キング    日付:8月8日(火) 12時9分
教えてもらえませんか?
おねがいします!


28113.Re: 確率
名前:花パジャ    日付:8月8日(火) 15時35分
Original Size: 668 x 324, 6KB

こんな感じ。
遷移確率を求め、共に1回目はA→Bで4回目が(1)D→E(2)B→Aなので
2回目がどうなるかを考える。



28141.Re: 確率
名前:白雪キング    日付:8月11日(金) 18時27分
ありがとうございました!
お返事遅れてすみません!

図を描いていただいて本当に感激しております。
本当にありがとうございます!

でもちょっと、私の頭ではまだ理解にいたっていないので(すいません)、ちょっとたずねたいんですが
この図は、赤に着目しているんでしょうか、白に着目しているんでしょうか?
それと、C,D,Eは何を表しているんでしょうか? 袋A,Bにどちらかだと思っているんですが、ちょっとそこが分からないです。
それと式の作り方が難しいんですが、基本的に袋の中の赤玉と白玉を書けたらいいんでしょうか?
例えば2(1/4)(3/4)の2は何を表しているんでしょうか? (1/4)(3/4)はそれぞれ、赤玉or白玉をあらわしているのは分かるんですが、
2がどうして入るのか分かりません。
ここも教えてもらいたいです。

おねがいします!


28142.Re: 確率
名前:白雪キング    日付:8月11日(金) 18時28分
>袋A,Bにどちらかだと思っているんですが、ちょっとそこが分からな いです。
 それと式の作り方が難しいんですが、基本的に袋の中の赤玉と白玉を 書けたらいいんでしょうか?

袋A,Bのどちらかだと思っているんですが、ちょっとそこが分からないです。
それと式の作り方が難しいんですが、基本的に袋の中の赤玉と白玉を掛けたらいいんでしょうか?

に訂正です。誤字がありました。すみません。


28149.Re: 確率
名前:花パジャ    日付:8月11日(金) 21時13分
あ、袋の名にA,Bが使われていたか orz
では、私の回答中「A,B,C,D,E」を「ア,イ,ウ,エ,オ」に替えて
読んで下さい。

>この図は、赤に着目しているんでしょうか、白に着目しているんでしょうか?
袋Aの赤、もしくは、袋Bの白
(袋Aの赤と袋Bの白は同数で
袋Aの白と袋Bの赤は同数です)

>2がどうして入るのか分かりません。
状態が変らないのは
袋Aの赤と袋Bの赤とが入替る場合と
袋Aの白と袋Bの白とが入替る場合との
確率が同じ2通りの場合があるから

28088.二項定理  
名前:あすみ    日付:8月5日(土) 19時20分
次の展開式において、[ ]内の項の係数を求めよ。

(1)(x+2y+3z)^6 [xy^2z^3]

問x>0のとき、不等式
(1+x)^n≧1+nx+2分の1n(n-1)x^2が
成り立つことを説明せよ。

この問題らをお願いします。



28089.Re: 二項定理
名前:badman    日付:8月5日(土) 22時14分
(1)は項が3つあるので多項定理です。
ただただ機械的に解くだけなら公式を用いて
(求めたい係数)=(6!/1!・2!・3!)・2^2・3^3
です。
意味としては6つの()から項を1つずつ選ぶ通りが6!通り
更にそれぞれが重複する組み合わせが12通り.
それに項の係数の掛けられる分がうしろの2^2・3^3です,


28090.Re: 二項定理
名前:あすみ    日付:8月5日(土) 23時37分
すいません。
もう少し説明をしていただけますか?


28129.Re: 二項定理
名前:badman    日付:8月10日(木) 13時40分
どこが分からないのでしょうか??

28085.(untitled)  
名前:けん(大1)    日付:8月5日(土) 17時52分
@一様連続性を

任意のε(>0)で、あるδが存在して、
|x1-x2|<δ⇒|f(x1)-f(x2)|<ε

と習いました。参考書を見ると、次も同値と書いてあります。

lim(h→0)sup|f(x+h)-f(x)|=0

どうして同値なのでしょうか?

Af"(a)が存在すれば、
lim(h→0){f(a+h)-2f(a)+f(a-h)}/h^2=f"(a)
が成り立つことを、コーシーの平均値の定理を用いて示して下さい。

以上二つですが、よろしくお願いします。



28087.Re
名前:soredeha    日付:8月7日(月) 16時28分
任意のε(>0)で、あるδが存在して、|x1-x2|<δ⇒|f(x1)-f(x2)|<εとする。
x1=x+h  x2=x を代入すると  |h|<δ⇒|f(x+h)-f(x)|<ε
x について 上限をとると      sup[x]|f(x+h)-f(x)|≦ε
つまり
任意のε(>0)で、あるδが存在して、|h|<δ ⇒ sup[x]|f(x+h)-f(x)|≦ε
これは、lim(h→0)sup|f(x+h)-f(x)|=0  を意味する。
逆も同様に示せる。


28095.Re: (untitled)
名前:けん(大1)    日付:8月6日(日) 17時28分
逆がよく分からないです。説明して頂けないでしょうか?
Aもどなたかお願いします。


28099.Re
名前:soredeha    日付:8月7日(月) 16時31分
lim(h→0)sup|f(x+h)-f(x)|=0  とする。
これを、ε-δ で表現すると
任意のε>0 に対して δ>0 が存在して、「 |h|<δ⇒ sup|f(x+h)-f(x)|<ε  」
一般に  |f(x+h)-f(x)|≦sup|f(x+h)-f(x)|  だから
「 |h|<δ ⇒  |f(x+h)-f(x)|<ε 」
x=x2 h=x1-x2  を代入すると   
「 |x1-x2|<δ ⇒ |f(x1)-f(x2)|<ε 」


28108.Re
名前:soredeha    日付:8月8日(火) 1時12分
(2)
p(x)=f(a+x)-2f(a)+f(a-x)    q(x)=x^2  とすると
p'(x)=f'(a+x) - f'(a-x)    q'(x)=2x
p(0)=0  q(0)=0
{f(a+h)-2f(a)+f(a-h)}/h^2
={p(h) - p(0)}/{q(h) - q(0)}=p'(ξ)/q'(ξ) ( 0<ξ<h )
p'(ξ)/q'(ξ)={f'(a+ξ) - f(a-ξ)}/(2ξ)
       ={(f'(a+ξ)-f'(a)) - (f'(a-ξ)-f'(a))}/(2ξ)
       =(1/2){(f'(a+ξ)-f'(a))/ξ+(f'(a-ξ)-f'(a))/(-ξ)}
 → (1/2){f''(a)+f''(a)}=f''(a)  ( h → +0 )


28120.Re: (untitled)
名前:けん(大1)    日付:8月9日(水) 19時0分
レスありがとうございます。Aについてなんですが、

lim(h→0){f(a+h)-2f(a)+f(a-h)}/h^2
で、ロピタルの定理を使っても答えが出たんですが、正しいやり方ですか?


28121.Re
名前:soredeha    日付:8月9日(水) 21時54分
使い方によっては間違いになります。


28122.Re: (untitled)
名前:けん(大1)    日付:8月9日(水) 22時55分
どういう意味ですか?
どうやれば正しくてどうやると間違いになるんですか?


28123.Re
名前:soredeha    日付:8月9日(水) 23時49分
どうロピタルの定理を使ったか拝見しましょう。


28124.Re: (untitled)
名前:けん(大1)    日付:8月9日(水) 23時53分
lim(h→0){f(a+h)-2f(a)+f(a-h)}/h^2
=lim(h→0){f'(a+h)-f'(a-h)}/2h

です。


28125.Re
名前:soredeha    日付:8月10日(木) 0時14分
最後(答)まで書いてください。


28148.Re: (untitled)
名前:けん(大1)    日付:8月11日(金) 21時12分
ほかのところにはロピタルの定理は使っていません。

この後は、a+h-a と a-(a-h)に分けて微分の定義通り進めました。

それから、@についての質問なんですが、

任意のε(>0)で、あるδが存在して、|x1-x2|<δ⇒|f(x1)-f(x2)|<εとする。
x1=x+h  x2=x を代入すると  |h|<δ⇒|f(x+h)-f(x)|<ε
x について 上限をとると      sup[x]|f(x+h)-f(x)|≦ε(イコールがついている)
つまり
任意のε(>0)で、あるδが存在して、|h|<δ ⇒ sup[x]|f(x+h)-f(x)|≦ε
これは、lim(h→0)sup|f(x+h)-f(x)|=0  を意味する。

lim(h→0)sup|f(x+h)-f(x)|=0  とする。
これを、ε-δ で表現すると
任意のε>0 に対して δ>0 が存在して、「 |h|<δ⇒ sup|f(x+h)-f(x)|<ε  」(イコールがついていない)
一般に  |f(x+h)-f(x)|≦sup|f(x+h)-f(x)|  だから
「 |h|<δ ⇒  |f(x+h)-f(x)|<ε 」
x=x2 h=x1-x2  を代入すると   
「 |x1-x2|<δ ⇒ |f(x1)-f(x2)|<ε 」

どうして同じ式でイコールがついたりつかなかってりするんですか?


28154.Re
名前:soredeha    日付:8月12日(土) 0時55分
>どういう意味ですか?
どうやれば正しくてどうやると間違いになるんですか?

二回微分しては間違いになるということです。

> sup[x]|f(x+h)-f(x)|≦ε(イコールがついている)

上限をとるとイコールを付ける必要がある。lim の定義にはイコールは付かないが、εは任意なのでこれでもよい。

>「 |h|<δ⇒ sup|f(x+h)-f(x)|<ε  」(イコールがついていない)

lim の定義にはイコールは付かない。


28163.Re: (untitled)
名前:けん(大1)    日付:8月12日(土) 16時18分
重ね重ねありがとうございます。

二回微分しては間違いになるということですが、どうしてなんですか?


28165.Re
名前:soredeha    日付:8月12日(土) 19時20分
x=a 以外に f ''(x) の存在が仮定されていない。


28176.Re: (untitled)
名前:けん(大1)    日付:8月13日(日) 21時30分
理解できました。長々とありがとうございました。

28081.(untitled)  
名前:Sum    日付:8月5日(土) 13時51分
既約で有理係数を持つ3次方程式っていうのは
ようするに係数が既約って意味でいいのでしょうか?
それと有理数で既約とはどういういみなのでしょうか?



28082.Re: (untitled)
名前:のぼりん    日付:8月5日(土) 14時10分

> ようするに係数が既約って意味でいいのでしょうか?
「係数が既約」とはどういう意味でしょうか?

> それと有理数で既約とはどういういみなのでしょうか?
係数がすべて有理数である三次式 f(x) があり、f(x) は有理数の範囲では因数分解できず、それにより f(x)=0 という方程式が与えられているんじゃないでしょうか。



28083.Re: (untitled)
名前:Sum    日付:8月5日(土) 14時26分
ありがとうございます。
えっと前半部分については
係数a,b,c,dが既約・・・?という感じでちょっと
混乱気味なんです。
えっとつまりたとえば
f(x)=x^3+5x^2+10x+1などですか?


28084.Re: (untitled)
名前:angel    日付:8月5日(土) 14時57分
> 既約で有理係数を持つ3次方程式っていうのは
・既約な3次方程式
・有理係数を持つ3次方程式
の両方を満たす、ということではないでしょうか?
「既約な3次方程式」は、「有理数の範囲で既約」と考えたものでしょう。
つまり、「有理数解を持たない」ということでしょうね。


28086.Re: (untitled)
名前:Sum    日付:8月5日(土) 18時20分
わかりました。どうもありがとうございました

28077.極方程式  
名前:白雪キング    日付:8月5日(土) 11時32分
極方程式r=b/(1-acosθ) (b≠0,0<a<1) で与えられる曲線と
媒介変数表示された曲線x=(4/3)cost,y=(2√3/3)sintを
x軸方向に2/3平行移動した曲線が一致するようにa,bの値を定めよ。

難しくて分からないです。
どうかくわしくやさしくおしえてください。
おねがいします!



28079.Re: 極方程式
名前:angel    日付:8月5日(土) 12時29分
まずは、おさえるべき幾つかのポイントが。

> 媒介変数表示された曲線x=(4/3)cost,y=(2√3/3)sint
この形は楕円ですね。
 x=pcost, y=qcost ( p>q>0 ) で表される曲線は、x軸上に長軸、y軸上に短軸があり、原点を中心とする楕円。
 長半径は p、短半径は q
 ※ p<q であれば、x軸上に短軸、y軸上に長軸が来ます
 x,y での方程式は、x^2/p^2 + y^2/q^2 = 1
 今回、p=4/3, q=2√3/3=2/√3 をあてはめると、9x^2/16 + 3y^2/4 = 1

> x軸方向に2/3平行移動した曲線
元の曲線を表す方程式の x を x-2/3 に置換したものが、平行移動後の曲線を表します。
 元が 9x^2/16 + 3y^2/4 = 1 のため
 移動後は 9(x-2/3)^2/16 + 3y^2/4 = 1
 分母を払ってまとめると、3x^2+4y^2-4x-4 = 0

> 極方程式r=b/(1-acosθ) (b≠0,0<a<1) で与えられる曲線
分母を払い、x=rcosθ を適用すると、
 r(1-acosθ)=b
 r=arcosθ+b
 r=ax+b
 r=a(x-(-b/a))
この式は、「直線 x=-b/a との距離の a 倍が、原点との距離」を意味しますから、
原点を焦点とし、直線 x=-b/a を準線とする、離心率 a の二次曲線、今回 0<a<1 のため楕円を表すことになります。
ここからさらに r=√(x^2+y^2) を適用すると、
 √(x^2+y^2)=ax+b
 x^2+y^2=(ax+b)^2
 (1-a^2)x^2+y^2-2abx-b^2=0
というように、x,y の方程式に直すことができます。

ここまで、式を見た段階で念頭に置きたいイメージですね。


28080.Re: 極方程式
名前:angel    日付:8月5日(土) 12時50分
実際にどう解くかは何通りか考えられます。楽なのは 2 でしょうか。

1. 2つの方程式を見比べて、係数比較する
 y^2 の係数を 1 にあわせると、
 一方は
  3/4・x^2 + y^2 - x - 1 = 0
 一方は
  (1-a^2)x^2 + y^2 - 2abx - b^2 = 0
 この係数比較から、a=1/2, b=1 が分かります

2. 曲線の通る特定の点を元に方程式をたてる
 3/4・x^2 + y^2 - x - 1 = 0 と x軸, y軸 それぞれの交点を考えると、
 少なくとも (2,0), (0,1) を通ることが分かります。
 極座標で表すと、(2,0°), (1,90°) ですね。
 これをそれぞれ r=b/(1-acosθ) に代入すると、
  2=b/(1-acos0°), 1=b/(1-acos90°)
 ここから a=1/2, b=1 がでます。
 ※ a,b の値を出した後、両曲線の方程式を比較して、ちゃんと一致することを調べる必要があるでしょう。

3. 図形的な特徴に注目
 楕円の焦点の位置に関しては、
  (長半径)^2 = (短半径)^2 + (中心・焦点間距離)^2
 離心率に関しては、
  (離心率) = (中心・焦点間距離) ÷ (長半径)
 今、長半径が 4/3、短半径が 2/√3 と分かっていますから、中心・焦点間距離が 2/3、離心率が 1/2 と分かります。この離心率が a の値に相当。
 後、長軸の端の点に着目すると、
  (長軸の端・焦点間距離) = (長軸の端・準線間距離) × (離心率)
 位置的には、準線 - 長軸の端 - 焦点 - 中心 がこの順に並んでいます。
 それを考えると、長軸の端・準線間距離は 4/3 ですから、焦点・準線間距離は 2 と分かります。
 原点が焦点であれば、位置関係に注意すると準線は x=-2 この -2 が -b/a の値に相当します。


28094.Re: 極方程式
名前:白雪キング    日付:8月6日(日) 11時47分
ありがとうございました!
すごくわかりやすかったです!

ちょっと疑問があるんですが

 r(1-acosθ)=b
 r=arcosθ+b
 r=ax+b
 r=a(x-(-b/a))
この式は、「直線 x=-b/a との距離の a 倍が、原点との距離」を意味しますから、
原点を焦点とし、直線 x=-b/a を準線とする、離心率 a の二次曲線、今回 0<a<1 のため楕円を表すことになります。

上の部分がうまく理解できませんでした。
離心率というのは初めて聞きました。
直線x=-b/aがあって、その直線とr=b/(1-acosθ) という円の
間の距離をa倍した値が、原点との距離、ということでしょうか?
書きながらよく分からなくなってきました・・。

それと離心率が分からなかったので、解答方法の3番も分からなかったんです。自分としては1番が一番単純で利用しやすそうでした。

上の疑問(直線との距離)だけ、聞きたいです。
おねがいします!


28101.Re: 極方程式
名前:angel    日付:8月6日(日) 23時38分
> 離心率というのは初めて聞きました。

おっと…。離心率の話は高校で習うものと思っていました。
もし教科書に出ていなければ、単なるお話としてご覧下さい。

離心率は2通りの意味合いがあって、
・楕円の2焦点の離れ具合
  (離心率)=(焦点・中心間距離)÷(長半径)
  離心率 0 は2焦点が一致、つまり円(真円)
  離心率が 1 に近づくにつれ、楕円は細長くなる

・2次曲線(楕円・放物線・双曲線)の形状を表す数値
  一般に 2次曲線は、
   (焦点からの距離) = (準線からの距離)×(離心率)
  の関係を満たす点の軌跡として表現することができます。
  高校でも、放物線の典型 4px=y^2 ( 焦点(p,0), 準線 x=-p ) の話で、
  焦点・準線が出て来るはずですね。
  ※楕円・双曲線には焦点が2つありますので、焦点・準線の組は2通りとることが可能です。

  なお、離心率 0〜1 は楕円、1 は放物線、1〜 は双曲線になります。

楕円に関しては、この2通りの離心率は一致します。

2次曲線には、図形的にも色々な性質がありますので、知っていると面白いですね。
ざっと挙げると、
 ・2次方程式で表現できる
   一般に ax^2+bxy+cy^2+dx+ey+f=0 で表される曲線が2次曲線
 ・離心率を用いた表現
   (焦点からの距離)=(準線からの距離)×(離心率) で表される点の軌跡
   離心率が一致する2次曲線は相似。特に全ての放物線は、離心率 1 のため相似。
 ・円錐曲線
   直円錐を切断した断面は、楕円(円を含む)・放物線・双曲線のいずれかになる
 ・2焦点からの距離
   楕円は、2焦点からの距離の和が一定な点の軌跡
   双曲線は、2焦点からの距離の差が一定な点の軌跡
 ・円と楕円
   楕円は、円の縦・横の比を変えて拡大・縮小した図形
 ・光の反射
   楕円の一方の焦点から出た光線が楕円上で反射すると、もう一方の焦点へ向かう
   双曲線の一方の焦点から出た光線が双曲線上で反射すると、もう一方の焦点から出た光と一致する
   放物線の焦点から出た光線が放物線上で反射すると、放物線の軸に平行な光になる。
   ※逆に、放物線の軸に平行な光束は、放物線上で反射されると、その焦点へと集約される

…等々

28071.必要条件と十分条件の違い  
名前:ゴンタ    日付:8月4日(金) 23時41分
2つ質問があります。
@f'(α)=0はx=αで極値をとるための必要条件ですよね?

A高校数学の問題の出し方である『〜は・・・であるための???条件』という問題でしたら解き方は分かるのですが、所詮機械的な解法しか覚えていませんので。。。必要条件と十分条件の違い。これを分かりやすく教えてくれませんか?できれば日常生活の例などを用いて。



28073.Re: 必要条件と十分条件の違い
名前:黄桃    日付:8月5日(土) 5時8分
>f'(α)=0はx=αで極値をとるための必要条件ですよね?

f(x)がいたるところ微分可能であれば、そうです。そうでない場合、例えば、f(x)=|x| は、x=0 で極小値をとりますが、x=0 で微分可能ではないので、f'(0)=0 になりません。

>『〜は・・・であるための???条件』

『AはBであるための???条件』についてですが、私は次の冗談みたいな理解が気に入っています。
「Bであるかどうか知りたいけど、今はAであることしかわからないや」
という状況で、Aが、
「あると便利なら十分条件」
「ないと困るなら必要条件」
ということです。つまりAがあればとりあえずBができれば十分条件、AがないとどうにもBができなければ必要条件、ということです。

日常的な例をあげます。
缶詰をあけようと思います:Aとして缶詰をあける、です。
Bとして、缶切りをもっている、とします。
缶切りがあれば便利ですから、「缶切りをもっている」ことは「缶詰をあける」ための十分条件です(缶切りがあれば開きますから)。でも、もしかしたら、ナイフのような刃物でも開けることができるかもしれませんから、「缶切りがないと缶詰があかない」とは限らないので、必要条件ではありません(この辺議論が分かれるかもしれません)。でも、多分、素手では缶詰はあけられないので、「何か道具がある」ことは「缶詰を開ける」ための必要条件です(道具がないと困りますから)。

もう一つ簡単な例をあげましょう。60点以上が合格、という資格試験を受けるとします。
(1)「100点満点をとることは、この資格試験に合格するための??条件」
(2)「少なくとも50点をとることは、この資格試験に合格するための??条件」
をかんがえます。(1)は100点なら文句なく合格(あれば便利;十分)ですから十分条件です。(2)は60点以上が合格ですから、50点はないとアウト(ないとダメ)です。だから必要条件です。ちなみに、ちょうど60点とることが必要十分条件です。

28067.二次関数  
名前:ゴメス    日付:8月4日(金) 21時27分
放物線Y=x^2-8a+24が、x軸の正の部分と異なる二点で交わるとき
定数aの範囲を求めよ。この問題で三つの条件の二つ目の解説で
f(0)>0 これはy軸の正の部分で交わらないとx軸の0や負の
部分で交わるからと書いてあるんですが、下に凸で異なる二点で
交わるのだから、x=0の時y軸の+の点でしか交わらないのは当たり前なのに
なぜ、これが条件に入るんですか?これなしではなぜ、成立しない
のですか?教えてください。



28069.Re: 二次関数
名前:ATS    日付:8月4日(金) 23時8分
一つ疑問なのですが・・・お書きになった関数であれば、
軸はx=0ですので、x軸と異なる二点で交わる事はあっても、正の
部分で異なる二つの共有点を持つ事はないと思うのですが・・・.


28070.Re: 二次関数
名前:不良教師    日付:8月4日(金) 23時17分
ATSさんの言うとおり、まず問題のチェックをしてみてください。

さて、
>下に凸で異なる二点で交わるのだから、x=0の時y軸の+の点
>でしか交わらないのは当たり前なのに

とありますがなぜ当たり前なのですか?例えば、下に凸で異なる二点で交わるy=x^2-1はx=0の時y軸の-の点で交わりますよ。

28066.式の値  
名前:ひろ    日付:8月4日(金) 21時19分
(1)sin10°+sin20°+cos100°+sin200°
(2)cos80°+sin160°+cos250°+sin550°
(3)(sin20°/cos290°)+{tan140°*sin(-230°)}/sin230°
(4)cos485°/{tan215°*cos(-395°)} + tan(-130°)*cos410°/sin230°
以上、教えて頂ければ幸いです。



28075.Re: 式の値
名前:昆布マン    日付:8月5日(土) 11時9分
sin(-x)=sin(x)
cos(-x)=cos(x)
sin(90-x)=cosx
cos(90-x)=sinx
sin(180-x)=sinx
cos(180-x)=-cosx
tanx=sinx/cosx
などを使えばいいのでは?

28045.教えてください  
名前:ゆーへー    日付:8月4日(金) 13時56分
4人乗りと5人乗りの自転車が1台ずつあり、
a、b、c、d、e、f、gの7人が同じ目的地に出かける。
(誰が運転するか、どの席に座るかは区別してないものとする。)
全員が運転でき、かつ全員が2台の自転車に分乗するものとするとき、
分乗の組み合わせは何通りあるか?


早急にお願いします。
お願いします。



28049.Re: 教えてください
名前:千尋    日付:8月4日(金) 18時52分
教えてあげようかぁ〜??


28064.Re: 教えてください
名前:ゆーへー    日付:8月4日(金) 19時9分
自分でやってみたんですけど
91通りになったんですけどあってますかね?


28068.Re: 教えてください
名前:らすかる    日付:8月4日(金) 22時52分
はい、合ってます。
http://www10.plala.or.jp/rascalhp

28044.対数の問題  
名前:K    日付:8月4日(金) 10時48分
logx^2 = log(x-4)+1 の方程式を解け。

ちなみに ^2 は二乗。



28047.Re: 対数の問題
名前:K'    日付:8月4日(金) 15時46分
Size: 150 x 32, 2KB

普通に解けば、こうだわな。



28050.Re: 対数の問題
名前:千尋    日付:8月4日(金) 18時52分
頑張ってください

28042.確率の難しい問題  
名前:白雪キング    日付:8月4日(金) 7時20分
袋の中に1から7までの数字が1つずつ書いてある7個の玉が
ある。この袋から1個の玉を無作為に取り出し、その数を記録して
もとの袋に戻す。これをn回繰り返したとき、記録したn個の和が
偶数である確率をPnとする。ただし、n=1のとき、P1は取り出した
1個の玉に書かれている数が偶数である確率とみなす。

(1)P1,P2を求めよ。
(2)P(n+1)をPnで表せ。
(3)Pnを求めよ。
(4)n回の試行後に記録したn個の数の積が3の倍数である
確率Qnをもとめよ。ただし、n=1のとき、Q1は取り出した1個の
玉に書かれている数が3の倍数とする。

(1)はなんとか分かるんですが
(2)以降が難しくて分かりません。
確率の難しい問題のようで、説明を多くして
教えてもらえるとありがたいです。
おしえてください。
おねがいします!



28051.Re: 確率の難しい問題
名前:千尋    日付:8月4日(金) 18時52分
頑張ってください難しくて分かりません中2なので


28065.Re: 確率の難しい問題
名前:ZELDA    日付:8月4日(金) 19時16分
(2)
Case1 n回目までの和が偶数でn+1回目に偶数がでる場合
Case2 n回目までの和が奇数でn+1回目に奇数がでる場合

ゆえに、P(n+1)=(3/7)P(n) +(4/7)[1-P(n)]
=(-1/7)P(n)+(4/7)

(3) 
(2)の結果を変形して
P(n+1)-1/2=(-1/7)[P(n)-1/2]
これを繰り返し用いて
P(n)-1/2=[P(1)-1/2]×(-1/7)^(n-1)
P(n)=1/2 + [P(1)-1/2]×(-1/7)^(n-1)
後は、P(1)を代入してください。

(4)
n個の積が3の倍数になるのは、3または6が少なくとも1回でる場合である。この余事象:3、6が1回もでない場合を考えればよい。

Q(n)=1-(5/7)^n


28074.Re: 確率の難しい問題
名前:白雪キング    日付:8月5日(土) 10時4分
ありがとうございました!
質問があるのですが

>(3) 
 (2)の結果を変形して
 P(n+1)-1/2=(-1/7)[P(n)-1/2]

これの解き方が教科書では数列{P(n+1)-1/2}として
公比が-(1/7),初項が[P(1)-1/2]として解いています。

そして、等比数列であるから
Pn-(1/2)=(-1/7)^(n-1)*{(3/7)-(1/2)}
となっています。
この左辺は
P(n+1)-1/2の間違いじゃないんでしょうか?
どうして数列{P(n+1)-1/2}の式を出すと
(n+1)がnに変わってしまうんでしょうか?

ここが分からないので教えてもらえないでしょうか?
おねがいします。


28076.Re: 確率の難しい問題
名前:angel    日付:8月5日(土) 11時21分
横槍です。

> そして、等比数列であるから
> Pn-(1/2)=(-1/7)^(n-1)*{(3/7)-(1/2)}
> となっています。
> この左辺は
> P(n+1)-1/2の間違いじゃないんでしょうか?

いえ、間違いではないです。

> どうして数列{P(n+1)-1/2}の式を出すと
> (n+1)がnに変わってしまうんでしょうか?

それは式の意味するところが違うため。
式の形を簡単にすると、
 1. a[n+1] = r・a[n]
 2. a[n] は初項 a[1]、公比 r の等比数列
 3. a[n] = a[1]・r^(n-1)
で、1⇒2⇒3 という説明になっています。

1 は、隣合う2項の関係を表す式で、漸化式 ( 隣接2項間漸化式 ) です。a[n+1] を計算する式ではなく、a[n], a[n+1] の関係を表すことに意味があります。
※ a[n] = r・a[n-1] のように書いてもほぼ同じ

3 は、数列 a[n] の一般項を表す式です。なので、項同士の関係ではなく、項の計算式そのものです。

このように、1,3 それぞれ式の意味が違います。
そのため、2 をクッションとして入れるような考え方をします。1⇒2 であり、2⇒3 ですね。
つまり、3 を考えるときは、あくまで 2 を前提として考えれば、1 を考える必要はないのです。
※慣れれば、2 を挟まなくても 1⇒3 と考えても良いですが。


28078.Re: 確率の難しい問題
名前:白雪キング    日付:8月5日(土) 11時38分
ありがとうございました!
よくわかりました!
(3)でつまってて、(4)のほうは理解できていたので
もう質問はないです。
なかなか理解できない私に付き合ってくださってありがとうございました!

28041.物理もいいんですか??  
名前:コスモ    日付:8月4日(金) 1時53分
実は物理をやったことがないので、問題が分からなくて困っています。

4.0kgのおもりを軽い糸でつるし、糸の他端を手で持った。重力加速度の大きさを9.8m/s^2として次の問いに答えよ。

(1) 手を等速度で上方に動かす時の糸の張力は何Nか。
(2) 糸を46Nの力で鉛直上方に引く時のおもりの加速度の大きさはいくらか。
(3) おもりを3.0m/s^2の加速度で鉛直下方に下降させるときの糸の張力は何Nか。

上の3つなんですが、できれば式もつけていただけるとありがたいです。



28052.Re: 物理もいいんですか??
名前:千尋    日付:8月4日(金) 18時53分
頑張ってください

28040.すみません!!  
名前:ライド    日付:8月4日(金) 1時35分
Oを原点とする座標平面上にC:x^2+y^2−4x+2y−4=0
L:y=mx+2mがある。

CがLから切り取る線分の長さが4√2であるとき、m=ア、
またはイウ/エオ である。

さらに、m=イウ/エオの時、LとCの2つの交点とOを通る
円の中心の座標は(カ、キクケ/コ)である。

この問題を教えてください。計算のやり方を忘れてしまったので、
困っています。



28053.Re: すみません!!
名前:千尋    日付:8月4日(金) 18時53分
頑張ってください

28037.お願い致します。  
名前:Minnie    日付:8月3日(木) 21時30分
HP拝見させていただきました。とっても分かりやすくて、すごく参考になりました。ありがとぅござぃます(^−^*))
なのですが、まだ良く分からない事があるので質問させて下さい。

正四面体の展開図は、いったいいくつあるのでしょうか・・・。
私が考えられたのは、
@正四面体⇒正三角形
A正四面体⇒平行四辺形
だけでした・・・×−×);;;
良ければ、その他の展開図を教えていただけないでしょうか。
宜しくお願いしますm(_ _)m



28038.Re: お願い致します。
名前:らすかる    日付:8月3日(木) 21時32分
正四面体の展開図は(裏返しは同一視して)2つしかありません。
http://www10.plala.or.jp/rascalhp


28054.Re: お願い致します。
名前:千尋    日付:8月4日(金) 18時54分
頑張ってください

28033.わからん  
名前:高2    日付:8月3日(木) 18時26分
Original Size: 240 x 320, 28KB

図のような装置を組み立てて回路を閉じ、一定時間放置すると、電極Aに標準状態で1.12gの気体がは発生した。

(1)実験後、電解槽Uをはずして、電極CをEに、電極DをBにつなぎ変えて一定時間放置したところ、電極Aから標準状態で2.24gの気体が発生した。このとき、電極Fで起こる変化をイオン反応式(半反応式)で記せ。
(2) (1)の実験の後、さらに放置すると電極Fで起こる変化をイオン反応式(半反応式)で記せ。

*電解槽T・・・A、白金 B、白金 溶液、希硫酸
電解槽U・・・C、鉛 D、酸化鉛 溶液、希硫酸
電解槽T・・・E、白金 F、白金 溶液、硫酸銅(U)水溶液
流れた電子・・・0.20mol

どうやって考えればいいんでしょうか。(1)は図のイメージもつかむことが出きません。



28046.Re: わからん
名前:angel    日付:8月4日(金) 14時51分
電解槽IIは、鉛蓄電池です。
具体的には、
 負極C:Pb → Pb[2+] + 2e-
 正極D:PbO2 + 4H+ + 2e- → Pb[2+] + 2H2O
 全体:Pb + PbO2 + 2H2SO4 → 2PbSO4 + 2H2O
のような反応により、電気を生じます。
負極では Pb は酸化数 0→2 と酸化され、正極では Pb は酸化数 4→2 と還元されます。

よって、この問題では電解槽I, III での電気分解の様子を考えることになります。
電極が白金Ptなので、各電極に現れるのは、溶液由来の物質。
 陰極(負極に接続)であるB,Fでは、電子が流入するため、陽イオン由来の物質が現れます。
  2H+ + 2e- → H2↑  ( もしくは 2H2O + 2e- → H2↑ + 2OH- )
  Cu[2+] + 2e- → Cu↓
 ですね。
 陽極である A,E からは電子が出て行くため、陰イオン由来の物質が現れます。…といっても、硫酸イオンが分解することはないため、水が酸化されて酸素が発生します。
  2H2O → 4H+ + O2↑+ 4e-  ( もしくは 4OH- → 2H2O + O2↑ + 4e- )

さて、接続し直した後ですが、F に析出していた銅が電極として働きます。かつ、F が陽極に変わりますから、
  Cu → Cu[2+] + 2e-
の反応により、析出した銅はまた溶液中に溶けていきます。
溶けた後は、また白金電極ですから、酸素が発生するように変わります。


28055.Re: わからん
名前:千尋    日付:8月4日(金) 18時54分
頑張ってください

28030.物理ですが ・・おねがいします  
名前:    日付:8月2日(水) 22時15分
止まっていた自動車Aが一定の加速度で走り始めた
そのときその横を10m/sの一定の速さで同じ向きにはしって来た
自動車Bが追い越していった
自動車Aがはっしんしてから100m走ったときに自動車Bと同じ速度になった
1)自動車Aはあと何m走れば自動車Bにおいつくことができるか    400m??
2)おいついたとき自動車Aからみた自動車Bの相対速度
左向きに10m/s
であっていますか??



28036.Re: 物理ですが ・・おねがいします
名前:to    日付:8月3日(木) 21時14分

(1)はあと・・・となっているので、400−100=300 では?
(2)は合っていると思います。


28039.Re: 物理ですが ・・おねがいします
名前:通りすがりの者    日付:8月3日(木) 23時48分
それは、物理教員O竹さんのプリント問題ですか?


28056.Re: 物理ですが ・・おねがいします
名前:千尋    日付:8月4日(金) 18時54分
頑張ってください

28026.cosh-1x  
名前:けん(大1)    日付:8月2日(水) 16時47分
y={e^x+e^(-x)}/2
の逆関数を求めるため、まずe^xについて解いたところ、
e^x=y+√(y^2-1)
e^x=y-√(y^2-1)
の二つが出てきました。いずれの場合も、e^x>0を満たすため、いずれか一方を不適とすることができませんでした。

よろしくお願いします。



28027.Re: cosh-1x
名前:花パジャ    日付:8月2日(水) 18時56分
y={e^x+e^(-x)}/2がy軸に対して対称なので
(x→-xに対してyが変らない)
y>1のyに対してxは2つあります
(e^x=y+√(y^2-1)ならe^(-x)=y-√(y^2-1)
e^x=y-√(y^2-1)ならe^(-x)=y+√(y^2-1) )


28028.Re: cosh-1x
名前:けん(大1)    日付:8月2日(水) 19時11分
cosh-1x=log{x+√(x^2-1)}ですよね?
そのためにはマイナスの方を消さなければならないんですが、どうやればいいんですか?


28029.Re: cosh-1x
名前:花パジャ    日付:8月2日(水) 19時57分
x≧0という条件をつける


28048.Re: cosh-1x
名前:けん(大1)    日付:8月4日(金) 17時52分
ありがとうございました。


28058.Re: cosh-1x
名前:千尋    日付:8月4日(金) 18時55分
頑張ってください

28019.もう一回、おねがいします。  
名前:白雪キング    日付:8月2日(水) 6時55分
(1)ではPHが|x-{(√3)/4)}|となっているのに
(2)では{(√3)/3}-rcosθ
となっているのも分かりません。

(1)直交座標において、点A(√3,0)と準線x=4/(√3)からの距離の比が
√3:2である点P(x,y)の軌跡を求めよ。

(2)(1)におけるAを極、x軸の正の部分の半直線Axとのなす角θを
偏角とする極座標を定める。このとき、Pの軌跡をr=f(θ)の形の
極方程式で求めよ。ただし、0≦θ<2π,r>0とする。

(2)は特に分からないのでやさしく教えてください。
おねがいします。

(1)は分かったのですが
(2)がまだあいまいです。


(2)
AP=r
Pのx座標 (rcosθ+√3)
P,準線間距離:|rcosθ+√3-4/√3| すなわち |rcosθ-√3/3|
距離の比 √3:2 のため、
 r : |rcosθ-√3/3| = √3 : 2
よって、
 √3・|rcosθ-√3/3| = 2r
両辺とも非負のため、両辺平方して片側を移項すると、平方の差として因数分解できて、
 ( (2-√3・cosθ)r+1 )( (2+√3・cosθ)r-1 )=0
ここで、2-√3・cosθ≧2-√3>0 で r ともども非負のため、(2-√3・cosθ)r+1≠0
よって、
 (2+√3・cosθ)r-1=0
 r=1/(2+√3・cosθ)


Pのx座標 (rcosθ+√3)
P,準線間距離:|rcosθ+√3-4/√3| すなわち |rcosθ-√3/3|

Pのx座標、P,準線間距離はどうやってきめているのでしょうか?
よく分からないです。。
何故(1),(2)でPHの値が変わっているのでしょうか?
底も教えてほしいです。

二回目ですが、おねがいします!



28020.Re: もう一回、おねがいします。
名前:白雪キング    日付:8月2日(水) 6時56分
27962.確率の最大値
これにも遅くなりましたが返信しているので
おねがいします!


28024.Re: もう一回、おねがいします。
名前:angel    日付:8月2日(水) 13時45分
Original Size: 500 x 300, 6KB

とりあえず、図を正確にイメージできるかどうか。

> (2)(1)におけるAを極、x軸の正の部分の半直線Axとのなす角θを偏角とする極座標を定める。

通常、極座標は、原点 O を極とすることが多いです。ところが、この問題では、A を極としている。ここで注意が必要。

ということで、ひたすら図を見てください。

> 27962.確率の最大値
> これにも遅くなりましたが返信しているので
> おねがいします!
挙げられた疑問点に回答をしました。



28032.Re: もう一回、おねがいします。
名前:白雪キング    日付:8月3日(木) 18時6分
ありがとうございました!
図でとてもわかりやすかったです。

>√3・|rcosθ-√3/3| = 2r
両辺とも非負のため、両辺平方して片側を移項すると、平方の差として因数分解できて、
 ( (2-√3・cosθ)r+1 )( (2+√3・cosθ)r-1 )=0

この√3・|rcosθ-√3/3| = 2rを平方して計算するというのが
よく分かりません。
平方すると、4r^(2)-3{cos^(2)θ-(2/3)cos(√3)θ}r-1=0
になるんですが
このあと、どうやってけいさんしていけばいいんでしょうか。
cosの扱いがよく分からず、( (2-√3・cosθ)r+1 )( (2+√3・cosθ)r-1 )=0に到達できません。

ちなみに教科書では|rcosθ-√3/3|を{(√3)/3}-rcosθとなっているんですがこういうとこは別に気にしてなくていいんでしょうか?

おねがいします!


28035.Re: もう一回、おねがいします。
名前:angel    日付:8月3日(木) 21時3分
> >√3・|rcosθ-√3/3| = 2r
> 両辺とも非負のため、両辺平方して片側を移項すると、平方の差として因数分解できて、
>  ( (2-√3・cosθ)r+1 )( (2+√3・cosθ)r-1 )=0

こういう形です。
 √3・|X|=Y (Y≧0)
 両辺平方して (√3・X)^2=Y^2 ( 平方した段階で、絶対値記号は外せる )
 移項して左右反転して Y^2-(√3・X)^2=0
 因数分解して (Y-√3・X)(Y+√3・X)=0
 ※別に途中反転はしなくても良いですが。
このように持っていくと、( 2r-√3・rcosθ+1 )( 2r+√3・rcosθ-1 )=0 となります。それを r についてまとめたのが件の式です。

> ちなみに教科書では|rcosθ-√3/3|を{(√3)/3}-rcosθとなっているんですがこういうとこは別に気にしてなくていいんでしょうか?

実は、P は直線 x=4/√3 よりも、必ず左に来ます。それは長さの比の条件から分かります。
そのため、|rcosθ-√3/3| の代わりに √3/3-rcosθ でも良いです。
※そうすれば、上のように平方して因数分解に持っていく必要はなくなりますね。

一般には、P が x=4/√3 よりも右にあるか、左にあるか確定していない状況で計算しますので、|rcosθ-√3/3| を使います。


28043.Re: もう一回、おねがいします。
名前:白雪キング    日付:8月4日(金) 7時25分
ありがとうございました!
わかりました!

28016.2問あります。すいません。  
名前:たけし高3    日付:8月1日(火) 15時5分
@y=(x-1)^2(x-1-3ルート2)=f(x)とy=m(x-1-3ルート2)=g(x)で囲まれる2つの領域のうち、f(x)≦y≦g(x)を満たす領域の面積が4であるとき、mの値を求めよ。
という問題なのですが解けません(TT)。よろしくお願いします。
A座標平面上の定点A(a、b)(ab≠0)に対して、Aを通る曲線CについてC:x^2/(p+1) +y^2/p-1 =1 (pは1、-1ではない)を考えるとき、このような曲線Cは2つしかなく、一方が楕円でもう一方が双曲線である。この2曲線について、Aにおけるそれぞれの接線は垂直であることを示せ。

すいません。よろしくお願いします


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