2006年07月 の投稿ログ


28011.お願いしますw  
名前:OO高等学校    日付:7月31日(月) 23時29分
√(a^2+b^2)≦|a|+|b|≦√2・√(a^2+b^2) を証明せよ。

度々スイマセンが、宜しくお願いします。



28012.Re: お願いしますw
名前:momono華    日付:8月1日(火) 10時3分
√(a^2+b^2)≦|a|+|b|
両辺正だから
(右辺の二乗) - (左辺の二乗)
= (|a| + |b|)^2 - a^2 + b^2 = |a||b|≧0


|a|+|b|≦√2・√(a^2+b^2)

(右辺の二乗) - (左辺の二乗)
2a^2 + 2b^2 - (a^2 + |a||b| + b^2)
= a^2 - |a||b| + b^2 = (|a| - |b|)^2 +|a||b| ≧0


28015.Re: お願いしますw
名前:OO高等学校    日付:8月1日(火) 14時57分
ありがとうございまぁ〜すw


28025.Re: お願いしますw
名前:angel    日付:8月2日(水) 14時3分
今更ながらツッコんでおきます。

> = (|a| + |b|)^2 - a^2 + b^2 = |a||b|≧0
= (|a| + |b|)^2 - (a^2 + b^2) = 2|a||b|≧0

> (右辺の二乗) - (左辺の二乗)
> 2a^2 + 2b^2 - (a^2 + |a||b| + b^2)
> = a^2 - |a||b| + b^2 = (|a| - |b|)^2 +|a||b| ≧0
(右辺の二乗) - (左辺の二乗)
2a^2 + 2b^2 - (a^2 + 2|a||b| + b^2)
= a^2 - 2|a||b| + b^2 = (|a| - |b|)^2 ≧0

なお、それぞれの等号成立は、前者が a=0 or b=0、後者は |a|=|b| ですね。

28010.同値変形  
名前:まほ    日付:7月31日(月) 22時31分
いつもお世話になっております。以下の問題をお願い致します。
「方程式1+√(x+1)=|x|・・・(※)を考える
 (1) (※)を根号を含まない形に同値変形せよ。
 (2) (※)を解け。」
特に、同値変形の過程で絶対値の扱いを教えてください。



28013.Re: 同値変形
名前:チョッパ    日付:8月1日(火) 12時5分
http://bbs5.cgiboy.com/p/74/00242/

↑に同じ問題があります。
ご参考ください。


28014.Re: 同値変形
名前:チョッパ    日付:8月1日(火) 12時9分
2006年7月25日の問題です。

28001.お願いしますw  
名前:OO高等学校    日付:7月30日(日) 0時19分
xの2つの二次方程式 x^2+ax+1=0 x^2+2x+a^2+a-5=0 が共通な解を持つようなaの値と、そのときの共通な解xの組 (a,x) を求めよ。

計算ミスかわかんないんですが、答えが違っちゃうんです。答えには計算過程が書いていないので、解説宜しくお願いします。



28003.Re: お願いしますw
名前:ヨッシー    日付:7月30日(日) 7時50分
x^2+ax+1=0 ………(1)
x^2+2x+a^2+a-5=0 ………(2)

(1)の解は、解の公式より
 x={-a±√(a^2-4)}/2 ………(3)
これより、
 x^2={a^2-2-+a√(a^2-4)}/2 ………(4)  (-+ は ± の上下逆、(3) と複号同順)
(2) に代入して、整理すると、
 3(a^2-4)±(2-a)√(a^2-4)=0
 √(a^2-4){3√(a^2-4)±(2-a)}=0
これより、
 a^2-4=0 ………(5)  または
 3√(a^2-4)=±(2-a) ………(6)
(5)より a=±2
(6) の両辺2乗して、
 9(a^2-4)=(2-a)^2
これを解いて、 a= 2, -5/2

a=-2 のとき (1)より x=1, (2)より x=1, -3  よって、(a,x)=(-2, 1)
a=2 のとき (1)より x=-1, (2)より x=-1  よって、(a,x)=(2, -1)
a=-5/2 のとき (1)より x=2, 1/2, (2)より x=1/2, -5/2  よって、(a,x)=(-5/2, 1/2)
 
http://yosshy.sansu.org/


28005.ありがとうございますww
名前:OO高等学校    日付:7月30日(日) 16時26分
もう一問なんですが、
|a|+|b|≧|a+b|を使って、|a|-|b|≦|a-b|を証明せよ。
どのように用いればよいのかわかりません………解説お願いしますw


28006.Re: お願いしますw
名前:    日付:7月30日(日) 19時40分
|a|+|b|≧|a+b|より
|a-b|+|b|≧|(a-b)+b|=|a|
よって、|a|-|b|≦|a-b|

短くて済むから回答しましたが
別の質問は新しいスレッドでしましょう。


28008.Re: お願いしますw
名前:OO高等学校    日付:7月30日(日) 23時19分
わかりましたぁ〜
スイマセンでしたぁ〜

27990.曲線の長さ  
名前:(>_<)    日付:7月28日(金) 14時33分
今日の大学の試験で出たんですが、これだけ出来なかったのでおねがいします。
3y^2=x(x-1)^2の0≦x≦1の範囲の第一象限内にある部分の曲線の長さを求めよ。と言う問題でした。
まともに√(1+(y')^2)をつくろうとしたんですがきつそうなのでやめました。いい方法を紹介願います。媒介変数にするのは無駄な作業でしょうか?お願いします。



27993.Re: 曲線の長さ
名前:angel    日付:7月28日(金) 20時32分
> まともに√(1+(y')^2)をつくろうとしたんですが
パラメタを使う方法が思いつかないので、それでいくしかないでしょうね。

3y^2=x(x-1)^2 より、両辺を x で微分して 6yy'=(x-1)(3x-1)
さらに両辺を平方して 36y^2(y')^2=(x-1)^2(3x-1)^2
0<x<1 においては、3y^2=x(x-1)^2 と 36y^2(y')^2=(x-1)^2(3x-1)^2 より
(y')^2=(3x-1)^2/(12x)
よって、
 1+(y')^2=(3x+1)^2/(12x)
 √(1+(y')^2) = (3x+1)/√12x = √3/2・x^(1/2) + √3/6・x^(-1/2)
後は 0〜1 で積分をどうぞ。


28004.Re: 曲線の長さ
名前:(>_<)    日付:7月30日(日) 13時22分
すいません、遅くなりました。
詳しい解説有り難うございました。

27987.解の分離問題  
名前:DB    日付:7月28日(金) 10時50分
こんにちは。

方程式 x2-2mx+m+2=0 が1より大きな異なる2つの解を持つように,mの値の範囲を定めよ。

のような問題は
なぜ「解の分離問題」というのでしょうか。



27989.Re: 解の分離問題
名前:チョッパ    日付:7月28日(金) 12時23分
http://www.webhi.jp/visitor/journal/serial/mathematics/0605.html
には以下のように説明してありました。

『2次方程式の解の分離とは、2次方程式の解がある特定の範囲に存在するという条件の下で方程式の係数がどういう条件を満たすのかを求める、という問題です。』

よかったらご参考にしてみては?

27985.(untitled)  
名前:グラスルーツ    日付:7月28日(金) 2時19分
関数f(x)=-x^2+4ax+b(a,bは定数)があり、
放物線y=f(x)は点(3,2a-9)を通る。

(1) bをaを用いて表せ。
(2) f(x)の最大値が6となるaの値を求めよ。
(3) 0≦x≦10におけるf(x)の最大値が6となるようなaの値を求めよ。

(2)、(3)が分かりません。教えていただけるとありがたいです。



27988.実際の計算はご自分でなさってください。
名前:チョッパ    日付:7月28日(金) 12時13分
(1)
f(3)=-9+12a+bより,
-9+12a+b=2a-9をbについて解くと,b=-10aになります。
(2)
(1)を利用して,f(x)=-x2+4a-10aとします。
f(x)は上に凸ですから,頂点のy座標が6になるようにaを決めます。
よってf(x)を平方完成して下さい。←f(x)=-(x-□)2+△の形で表す。
(3)
aについて場合分けして考えてみましょう。
頂点のx座標が0より小さいとき,最大値はf(0)
頂点のx座標が0以上10以下のとき,最大値は頂点のy座標…(2)
頂点のx座標が0より大きいとき,最大値はf(10)

27982.おそらく曲線の問題です  
名前:三沢    日付:7月27日(木) 22時46分
Find the rectangular form corresponding to the parametric equations:
x = 2 + 4t
y = 3 + t

これが自分の解答なんですが、y = (3/4)x + 5/4
解答が無い為正解かどうか、わかりません。

良かったらご指導、正しい解き方を教えてください。お願いいたします。



27991.Re: 直線の方程式
名前:K.M.    日付:7月28日(金) 15時57分
> Find the rectangular form corresponding to the parametric equations:
> x = 2 + 4t
> y = 3 + t
>
次の媒介変数(本文ではt)方程式に対応する直角座標系の式を求めなさい。
tを消去するだけです。
t=y-3 を上の式に代入して、整理すると y=(1/4)x+5/2

27981.(untitled)  
名前:リッコ    日付:7月27日(木) 20時40分
n
 Σk(k+1)を求めよの答えは1/3×n×(n+1)×(n+2)
k=1
        になるのですが、シグマ計算をせずに、何か公式みたいなもので求められそうな気がするのですが、どうなのでしょうか?

よろしく御願いします。



27983.Re: (untitled)
名前:ZELDA    日付:7月27日(木) 23時0分
k(k+1)=(1/3){k(k+1)(k+2)-(k-1)k(k+1)}
とすれば、f(k+1)-f(k)型になり、

婆=[1,n]k(k+1)=(1/3)n(n+1)(n+2)
と簡単に計算できる。

27979.(untitled)  
名前:けい 高3    日付:7月27日(木) 19時41分
この前問題を書き間違えていたのでもう一度お願いします。
「P(x)=ax^2+bx+c Q(x)=cx^2+bx+a とおく。|x|≦1を満たす全てのxに対して|P(x)|≦1が成り立つ時、|x|≦1を満たす全てのxに対して|Q(x)|≦2が成り立つ事を示せ」

という問題なんですが・・・。何をしてよいかわからず、とりあえずa,b,cをそれぞれP(0),P(1),P(-1)で表してはみたんですが。そのまま行き詰まってしまいました。どなたか教えて下さい。よろしくお願いします。



27998.Re: (untitled)
名前:angel    日付:7月29日(土) 22時49分
これは大変な問題ですね。模試等で出ても、解答は書ききれ無さそうに思います。楽な解法があれば良いのですが。
というわけで、細部は大分端折っていきます。

まず、-1≦x≦1 のP(x)を考えた時。
a≧0 であれば、
 最大値は、両端の P(1), P(-1) のどちらか。
 最小値は、もしあれば放物線の頂点部分。なければ、やはり両端のどちらか。
よって、|P(x)|の最大値の候補は、|P(1)|, |P(-1)|, 頂点部分の |P(x)|
ところで、P(x)のグラフの軸が -1<x<1 の範囲外なら頂点は候補から外れますし、P(x)=0 の判別式が非正の場合、頂点部分の方が x軸に近くなるので、結果 |P(x)| は両端より小さくなります。
勿論、a=0 であればそもそも頂点などありません。
よって、|P(x)|≦1 となるためには、
 ・|P(1)|≦1
 ・|P(-1)|≦1
 ・a=0 or |-b/2a|≧1 or b^2-4ac≦0 or 頂点で |P(x)|=|(b^2-4ac)/(4a)|≦1
これら全てが成立することが必要十分。
まとめると、
 (1) |a+b+c|≦1
 (2) |a-b+c|≦1
 (3) a=0 or |b|≧2|a| or b^2-4ac≦0 or |b^2-4ac|≦4|a|
(1),(2)をまとめて
 (4) |a+c|+|b|≦1
(3)をまとめて
 (5) |b|≧2|a| or b^2-4ac≦4|a|
この (4),(5) 両方が成立することが必要十分

同様に -1≦x≦1 において |Q(x)|≦2 が成立するためには、
 (6) |a+c|+|b|≦2
 (7) |b|≧2|c| or b^2-4ac≦8|c|
この (6),(7) 両方が成立することが必要十分

ここで、問題が「(4),(5)が成立する ⇒ (6),(7)が成立する」と簡易化できたことになります。
さて、個々の条件を見ると、(4)⇒(6) は無条件で成立するため、(5),(7)の or に注意すると、
 (X) |a+c|+|b|≦1 かつ 2|a|≦|b|<2|c| ⇒ b^2-4ac≦8|c|
 (Y) |a+c|+|b|≦1 かつ 8|c|<b^2-4ac≦4|a| ⇒ |b|≧2|c|
の両方が成立することが必要十分。
これで下ごしらえが完了です。


27999.Re: (untitled)
名前:angel    日付:7月29日(土) 23時5分
次に、(X),(Y) それぞれを示していくのですが、|a+c|, ac の形が出てきていますので、a,c の符号によって場合分けします。
 (X-1) a,cが同符号(もしくは一方/両方が0)の場合の(X)
 (X-2) a,cが異符号の場合の(X)
 (Y-1) a,cが同符号(もしくは一方/両方が0)の場合の(Y)
 (Y-2) a,cが異符号の場合の(Y)
さて、
 a,c が同符号であれば、|a+c|=|a|+|c|, ac=|a||c|
 a,c が異符号であれば、|a+c|=||a|-|c||, ac=-|a||c|
ということに注意し、それぞれを示します。なお、(Y-2)だけは計算のみで上手く示せなかったので、また別に。
 (X-1)
  |a+c|+|b|≦1 より |c|≦1-|a|-|b|≦1
  2|a|≦|b|<2|c| より、|a|<|c|
  b^2-4ac < 4|c|^2-4|a||c| = 4|c|(|c|-|a|) ≦ 4|c| ≦ 8|c|
 (X-2)
  2|a|≦|b|<2|c| より、|a|<|c|
  |a+c|+|b|≦1 より ||a|-|c||+|b|=|c|-|a|+|b|≦1、∴|b|≦1+|a|-|c|
  2|a|≦|b|≦1+|a|-|c| より、|a|+|c|≦1
  b^2-4ac < 4|c|^2+4|a||c| = 4|c|(|a|+|c|) ≦ 4|c| ≦ 8|c|
 (Y-1)
  |a+c|+|b|≦1 より |c|≦1-|a|-|b|≦1
  8|c|<b^2-4ac より b^2>8|c|+4ac=4|c|(2+|a|)≧4|c|^2
  よって、|b|>2|c|


28000.Re: (untitled)
名前:angel    日付:7月29日(土) 23時22分
Original Size: 500 x 500, 55KB

では残り。グラフを用いて示します。
放物線を傾けたグラフが出てくるのですが、これは高校範囲なのか微妙。

(Y-2)
 8|c|<b^2-4ac≦4|a| より |a|>2|c|≧|c|
 |a+c|+|b|≦1 より ||a|-|c||+|b|≦1 すなわち |a|+|b|-|c|≦1
 これにより、|a|≦1+|c|-|b|≦1+|c|、|b|^2≦(|c|-|a|+1)^2
 8|c|<b^2-4ac より b^2>8|c|-4|a||c| もあわせると
 8|c|-4|a||c|<(|c|-|a|+1)^2
 ∴|c|^2+2|c||a|+|a|^2-6|c|-2|a|+1>0

 今、b^2>8|c|-4|a||c| のため、|b|≧2|c| が成立するには、
 8|c|-4|a||c|≧(2|c|)^2 が成立すれば十分
 まとめると 4|c|(2-|a|-|c|)≧0
 よって、|c|+|a|≦2 が成立すれば十分

 これをグラフで検証します。|c|を横(x軸)、|a|を縦(y軸)にとり、
  ・|a|>2|c| ( y>2x )
  ・|a|≦1+|c| ( y≦1+x )
  ・|c|^2+2|c||a|+|a|^2-6|c|-2|a|+1>0
    ( x^2+2xy+y^2-6x-2y+1>0、x+y=2 を軸とする放物線の外側 )
 の囲む領域 ( かつ x>0, y>0 ) が、x+y≦2 の範囲に収まることを見ます。
 確かに収まっているため、|b|≧2|c| が成立するに十分。



28002.Re: (untitled)
名前:黒蟻    日付:7月30日(日) 4時11分
P(0)=s,P(1)=t,P(-1)=uとおく。仮定より|s|≦1,|t|≦1,|u|≦1 …☆である。s,t,uを用いてa,b,cを表すとa=(t+u)/2−s,b=(t−u)/2,c=sとなるから、Q(x)=sx^2+(t−u)x/2+(t+u)/2−s=s(x^2−1)+t(x+1)/2+u(1−x)/2 となる。よって

|Q(x)|
=|s(x^2−1)+t(x+1)/2+u(1−x)/2|
≦|s(x^2−1)|+|t(x+1)/2|+|u(1−x)/2| (←三角不等式)
=|s|*|x^2−1|+|t|*|x+1|/2+|u|*|1−x|/2
≦|x^2−1|+|x+1|/2+|1−x|/2 (←☆より)
=(1−x^2)+(1+x)/2+(1−x)/2 (← −1≦x≦1だから絶対値を一気に外すことが出来て、このようになる)
=2−x^2
≦2

以上より、確かに|x|≦1のとき|Q(x)|≦2が成り立つ。


解答の方針:a,b,cをP(0)=s,P(1)=t,P(-1)=uを用いて表し、三角不等式で評価する。絶対値の中身をうまく分けてから三角不等式を使わないと失敗する。たとえば|Q(x)|=|cx^2+bx+a|≦|cx^2|+|bx|+|a|のように評価すると失敗する。


28007.Re: (untitled)
名前:けい 高3    日付:7月30日(日) 22時41分
angel さん、黒蟻さん、どうもありがとうございました!!
angelさんの解法は正直ちょっと難しかったですが
とっても勉強になりました。

実はこの問題は学校の先生に出されたんですが、この問題をする前に
似たような簡単な問題をやってその解法が黒蟻さんのだったんです。
先生は黒蟻さんの解法で解けということだったのかもしれません。

とにかくありがとうございました。

27975.(untitled)  
名前:ヴェイン=ノウス    日付:7月27日(木) 17時49分
過去に東京大学の問題で以下のようなものがありました。
正四角錐に球が内接していて辺の長さを色々変えるとき、錘の表面積をV、球の表面積をSとしたとき、R=S/Vで定まるRの最大値を求めよ。
というものなのですが、この問題において、底面を正方形ではなく円にし、円錐にしてみるとRの値はどうなりますか?



27978.Re: (untitled)
名前:angel    日付:7月28日(金) 9時21分
ざっと計算した感じだと、1/2 が最大値でしょうか。

円錐の底面半径 a, 母線 b とすると、内接する球の半径 r に関して

 r= a/(a+b)・√(b^2-a^2)
 = a・√( (b-a)/(b+a) )
 S=4πr^2=4πa^2(b-a)/(b+a)

一方、
 V=πa(a+b)
よって、
 R=S/V=4a(b-a)/(b+a)^2

今、k=a/b とした時、0<k<1、R=4k(1-k)/(1+k)^2

微分して増減を調べると、k=1/3 の時 R が最大

※計算を大幅に間違えていたので修正


27992.Re: (untitled)
名前:ヴェイン=ノウス    日付:7月28日(金) 19時48分
私も1/2になりました。以前から気になっていたのですが、どうしてこういう感じの問題はどれか一つの変数を固定してもうまくいくのでしょうか。また、もし試験で一辺を定めるという時、どんな表現をすれば減点対象にならないでしょうか。


27994.Re: (untitled)
名前:angel    日付:7月28日(金) 20時26分
> どうしてこういう感じの問題はどれか一つの変数を固定してもうまくいくのでしょうか。

このような図形同士の何かの比の問題であれば、相似な図形では同じ比が得られますから。
今回であれば、円錐の底面半径・母線の比だけで計算ができますよね。

> また、もし試験で一辺を定めるという時、どんな表現をすれば減点対象にならないでしょうか。

私のようなやり方なら、一辺を特に固定することなく話を進めて、いつの間にか比のみの話にすりかえてますから、特に表現に気を使う必要はないでしょう。
もしも、例えば「円錐の底面半径を1と置く」のように前置きして進めるなら、「相似な図形では、それぞれ R の値は一致するため、円錐の底面半径を 1 と置いて一般性を失わない」のように宣言すれば良いかと。
「なぜ相似なら一致するのか」については、場合によっては説明が必要かもしれません。( 今回は無しでも通りそうな気がしますが )


27995.Re: (untitled)
名前:ヴェイン=ノウス    日付:7月28日(金) 21時0分
なるほど。返信ありがとうございます。先ほどangelさんのように辺の長さを設定し計算していたのですが、R=4πa(b-a)/(b+a)^2のところで
k=b/aとおいたのですが、分母が二乗であるため、aが消えませんでした。あと0<k<1となる理由がわかりません。教えていただけますか?


27997.Re: (untitled)
名前:angel    日付:7月29日(土) 12時40分
> よって、
>  R=S/V=4a(b-a)/(b+a)^2
>
> 今、k=a/b とした時、0<k<1、R=4k(1-k)/(1+k)^2

ここのところですね。
 R = 4a(b-a)/(b+a)^2 の分母・分子をb^2で割ると
 R = 4a/b・(1-a/b) / ( (1+a/b)^2 ) = 4k(1-k)/(1+k)^2
 ※ a=kb として代入してから約分しても良いですが…

ところで、円錐を横から見たとき、底面の半径・円錐の高さ・母線 で直角三角形が構成され、b は母線 … 直角三角形の斜辺、a は底面の半径 のため、0<a<b
よって 0<a/b<1 すなわち 0<k<1


28009.Re: (untitled)
名前:(>_<)    日付:7月31日(月) 12時5分
横からすいません、未熟者ですが、
何となくR=4a(b-a)/(b+a)^2のぶぶんで
相加相乗平均が使えそうな気がするんですが
それ使っても同じ答えでるのでしょうか?計算が合わないんですが…


28023.Re: (untitled)
名前:angel    日付:8月2日(水) 13時7分
> 何となくR=4a(b-a)/(b+a)^2のぶぶんで
> 相加相乗平均が使えそうな気がするんですが
> それ使っても同じ答えでるのでしょうか?計算が合わないんですが…

相加相乗は見落としていました。
 (p+q)/2≧√pq ( p,q≧0, 等号成立 p=q )
を変形して
 pq≦(p+q)^2/4 ( p,q≧0, 等号成立 p=q )
より、
 4a(b-a)/(b+a)^2
 = 2・2a/(b+a)・(b-a)/(b+a)
 ≦ 2・( 2a/(b+a) + (b-a)/(b+a) )^2/4 = 1/2
なお、a>0, b>0, b>a より、2a/(b+a), (b-a)/(b+a) は正
等号成立は 2a/(b+a)=(b-a)/(b+a) すなわち b=3a


28031.Re: (untitled)
名前:(>_<)    日付:8月3日(木) 15時22分
やっぱりできましたね(^_^;)
二回置き換えていたとわすれて
答えがあいませんでした(>_<)ありがとうございます。

27967.かけ算  
名前:はなまる    日付:7月27日(木) 13時45分
5^n×4^n/5=−4^n
になりますか?
よろしく御願いします。



27968.Re: かけ算
名前:チョッパ    日付:7月27日(木) 13時55分
なりません。
n=2とすると,
左辺=52×(42/5)=25×3.2=80
右辺=-42=16
になりますから,明らかに違いますね。


27969.Re: かけ算
名前:チョッパ    日付:7月27日(木) 13時57分
間違えました。
右辺=-42=-16です。


27971.Re: かけ算
名前:らすかる    日付:7月27日(木) 14時34分
nによらず、(左辺)>0、(右辺)<0 ですね。
http://www10.plala.or.jp/rascalhp


27972.Re: かけ算
名前:はなまる    日付:7月27日(木) 15時27分
ご返事ありがとうございます。

実は、−を抜かしてました。すみません。

5^n×−4^n/5=−4^n
n=1の時は成り立ちますが、それ以上はなりたちませんよね?

このかけ算は,以下の漸化式の最後ででてきて、答えが合わなくって困っているんです。
A1=1
An+1=4An+5^n

答えは5^n−4^nなのですが、
両辺を5^n+1で割って、計算してもうまくいかないんです。
何ででしょうか。


27973.Re: かけ算
名前:らすかる    日付:7月27日(木) 15時45分
>何ででしょうか。

はなまるさんがどこかで計算ミスしているからでしょう。
計算過程を書いて頂ければ具体的に指摘出来ると思います。

http://www10.plala.or.jp/rascalhp


27974.Re: かけ算
名前:    日付:7月27日(木) 15時58分
an+1=4an+5n
両辺を 5n+1で割って
an+1/5n+1=(4/5)an/5n+1/5
bn=an/5n とおくと

bn+1=(4/5)bn+1/5
両辺から1を引いて
bn+1−1=(4/5)(bn−1)
したがって 数列 {bn−1} は初項 b1−1=1/5−1=−4/5
公比 4/5 の等比数列
よって bn−1=−4/5・(4/5)n−1=−(4/5)n
bn=an/5n=1−(4/5)n
よって an=5n−4n
となるはずです。

(4/5)nを 4n/5n ではなく
4n/5 としているのではありませんか?


27976.Re: かけ算
名前:はなまる    日付:7月27日(木) 18時4分
チョッパ さん、らすかるさん、七さん、本当にありがとうございます。

27962.確率の最大値  
名前:白雪キング    日付:7月27日(木) 12時1分
白玉15個と赤玉4個が箱に入っている。この箱から玉を1個
取り出す操作を繰り返す。ただし、取り出した玉は元に戻さない。
n回目に取り出した玉が3個目の赤玉である確率をPnとするとき
Pnが最大となるnの値を求めよ。ただし、3≦n≦19とする。

確率は苦手で説明文を読んでもまるで分からないです。
なるべく詳しく説明つきで教えてもらいたいです。
教科書に式は書いているんですが、式を見ても
式がどうしてそう成り立つのかさっぱりです。
説明を豊富にしてもらえたら幸いです。
おねがいします。



27970.Re: 確率の最大値
名前:angel    日付:8月2日(水) 12時43分
1. (n-1)回の内に赤球を2個取り出し、
2. その後 n回目に、3個目の赤球を取り出す。

の2通りの確率を別個に計算してみましょう。

1.
 (n-1)個を取り出した中で、赤が2個、白が(n-3)個
 赤4個中2個を取り出す組合せは 4C2=6
 白15個中(n-3)個を取り出す組合せは 15C(n-3)
 よって、赤2個・白(n-3)個の組合せは、6・15C(n-3)
 計19個から (n-1)個を取り出す組合せ全体は 19C(n-1)

 赤2個・白(n-3)個となる確率は、
  6・15C(n-3) ÷ 19C(n-1)

2.
 (n-1)個取り出した時点で、残りは(20-n)個、内赤が2個
 よって、n回目に3個目の赤球を取り出す確率は、2/(20-n)

以上 1,2 より、
 P[n] = ( 6・15C(n-3) ÷ 19C(n-1) )×( 2/(20-n) )
 ※ここは、間違いを訂正、カッコをつけて区別を明確にしました。

後は C と ! の計算。aCb=a!/(b!・(a-b)!) を利用すると、
 P[n]
 = 6・15!/( (n-3)!・(18-n)! )÷( 19!/( (n-1)!・(20-n)! )・2/(20-n)
 = ( 12・15!・(n-1)!・(20-n)! ) / ( (20-n)・19!・(n-3)!・(18-n)! )

! 同士の約分を行うと、
 15!/19! = 1/(16・17・18・19)
 (n-1)!/(n-3)! = (n-1)(n-2)
 (20-n)!/(18-n)! = (20-n)(19-n)

よって、
 P[n]=(n-1)(n-2)(19-n)/7752

後は、
 f(x)=(x-1)(x-2)(19-x)
とでも置いて、微分を元にこの3次関数の増減を調べましょう。
計算していくと、x=1.… の時に極小、x=13.… の時に極大と分かりますので、P[n] としては P[13], P[14] のどちらかが最大です。


28017.Re: 確率の最大値
名前:白雪キング    日付:8月2日(水) 5時42分
ありがとうございました。
返事遅れてすみません。

>1.
 (n-1)個を取り出した中で、赤が2個、白が(n-3)個
 赤4個中2個を取り出す組合せは 4C2=6

ここはどうして白が(n-3)個になるんでしょうか?
赤玉2個を取り出しているんだから。白玉は
(n-2)個取り出しているんじゃないでしょうか?
(n-3)の3はどこからきたものなんでしょうか?
それと、赤玉は取り出した後戻さないから(白も戻さないけど)
Cを使って、4C2とすということでしょうか?


2.
 (n-1)個取り出した時点で、残りは(20-n)個、内赤が2個
 よって、n回目に3個目の赤球を取り出す確率は、2/(20-n)

(n-1)個取り出した時点で、残りは(20-n)個というのがよく分かりません。20はどこからきたものなんでしょうか? それをどうして-nするんでしょうか?


>以上 1,2 より、
 P[n] = 6・15C(n-3) ÷ 19C(n-1) ・ 2/(16-n)

これはどうして÷なんでしょうか?
違う事象同士だから、×じゃいけないんでしょうか?


質問ばっかりですみません。
おねがいします。
下がってるけど、みてください(と願いながら)


28022.Re: 確率の最大値
名前:angel    日付:8月2日(水) 12時59分
まず、1,2 の2段階に分けているのは、

 ( n個目で初めて3個目の赤を引く確率 )
 = ( (n-1)個目まででちょうど2個の赤を引く確率 )
  × ( (n-1)個目までで2個の赤を引いた状態で、n個目で赤を引く確率 )

という考え方をしているためです。掛け算している2項の最初が 1 で、次が 2 で説明しているものです。
※これ以外にも、
  ( n個目までで3個の赤を引く確率 ) - ( (n-1)個目までで3個の赤を引く確率 )
 という考え方でもできます。興味があれば計算してみてください。

以下、各疑問点に対して。
> ここはどうして白が(n-3)個になるんでしょうか?
1 では、(n-1)個を取り出すことを考えています。その内、赤は2個のため、残り (n-1)-2=(n-3)個 が白になります。

> (n-1)個取り出した時点で、残りは(20-n)個というのがよく分かりません。20はどこからきたものなんでしょうか? それをどうして-nするんでしょうか?

最初19個で、1が終わった時点で(n-1)個取り出していますから、19-(n-1)=(20-n)個 が取り出されずに残っています。

> >以上 1,2 より、
>  P[n] = 6・15C(n-3) ÷ 19C(n-1) ・ 2/(16-n)
> これはどうして÷なんでしょうか?
申し訳ないです。ここの 2/(16-n) は 2/(20-n) の間違いです。上の記述を訂正しました。
あと、÷ は、1 の結果 6・15C(n-3) ÷ 19C(n-1) に含まれていただけです。深い意味はありません。
式全体としては、1 と 2 で出た確率を掛け算したものになっています。


28034.Re: 確率の最大値
名前:白雪キング    日付:8月3日(木) 18時36分
ありがとうございました!
わかりました!

27961.確率  
名前:白雪キング    日付:7月27日(木) 11時56分
自分は確率がすごい苦手なので
説明をおおくして答えていただきたいです。
ほんと、確率は何がなにやらさっぱりで・・。

ある事件Kにおいて証人AとBは、その事件が起こったといい
証人Cは起こらなかったと述べた。いま、証人A,B,Cが
真実を述べている確率がそれぞれ、4/5,5/7,8/9,であるとき
事件Kが実際に起こっている確率を求めよ。ただし、事件Kが
起こる確率と起こらない確率は等しい。

もう激ムズでさっぱりです。。
おねがいします。



27965.Re: 確率
名前:angel    日付:7月27日(木) 13時32分
条件付確率ですね。

「事件 K が起こった時、A,B,C が…のように証言する確率」は、A,B,Cそれぞれ独立 ( Aの証言にBが左右される等の影響がない ) と考えて良いため、掛け算で出ますね。
しかし、この問題では逆に「A,B,Cが…のように証言した時、実際に事件 K が起こっている確率」となっています。

そのままでは訳がわからないので、何回も事象を繰り返してみます。すると、
 1. 事件 K が起こり、A,B,C が … のように証言する
 2. 事件 K は起こらず、A,B,C が … のように証言する
 3. 事件 K が起こるかどうかはともかく、A,B,C は … のように証言しない
の3パターンが蓄積されていきます。

「A,B,C が … のように証言する」という前提では、1,2 のどちらかにあてはまりますので、「事件 K が起こっている確率」というのは、事件が起こっているパターンである 1 の回数を、1,2 が起こる回数合計で割ったものと見ることができます。

さて、それぞれの確率は、
 1. 1/2・4/5・5/7・(1-8/9)=10/315  ( 約分は中途半端な所で止めています )
 2. (1-1/2)・(1-4/5)・(1-5/7)・8/9=8/315
 3. 1,2以外、1-10/315-8/315=302/315
ですから、
 10/315÷(10/315+8/315)=5/9

※315回繰り返せば、平均として、1 が起こる回数は 10回、1,2が起こる回数の合計は 18回、確率 10÷18=5/9 と考えた方が計算は楽でしょう。


28018.Re: 確率
名前:白雪キング    日付:8月2日(水) 5時53分
ありがとうございましたー!
単純なようで複雑・・。
確率ムズいですね。。

27957.数列の問題  
名前:ファンデル    日付:7月27日(木) 2時53分
a1、a2が自然数で、
(1/an)+(1/an+1)=n (n=1,2,3・・・)
で定義される数列{an}がある。

(1)a2の値は? 
(2)この数列の一般項はnが偶数の時には「 」で、nが奇数の時    「 」である。 「」の中を答えなさい。

数列が苦手でこの問題に困ってます。どなたか詳しく教えていただけないでしょうか。お願いします!



27958.Re: 数列の問題
名前:ファンデル    日付:7月27日(木) 2時58分
少し訂正します。

a1,a2は1項目、2項目です。→a[1],a[2]

(1/a[n])+(1/a[n+1])=nです。


27960.Re: 数列の問題
名前:angel    日付:7月27日(木) 9時56分
まず、n=1 の時、
 1/a[1]+1/a[2]=1 (a[1],a[2]は自然数)
自然数という条件から、a[1]=a[2]=2 しかありません。

次に、数列 b[n]=1/a[n] と置いてみると、b[n]+b[n+1]=n
1項ずらした漸化式は、b[n+1]+b[n+2]=n+1
この2つの漸化式の差を取れば、b[n+2]-b[n]=1
これは、偶数項のみ、もしくは奇数項のみを見ると、等差数列になっているということを表します。


27984.Re: 数列の問題
名前:ファンデル    日付:7月28日(金) 1時47分
「」の中は等差数列ということでしょうか?
式で表すことはできないのでしょうか?

すいませんが、教えて下さい!


27986.Re: 数列の問題
名前:angel    日付:7月28日(金) 9時53分
> 「」の中は等差数列ということでしょうか?
> 式で表すことはできないのでしょうか?
等差数列の一般項を考えて b[n] を式で表し、そこから b[n]=1/a[n] の関係を使って、式で表せばよいお話です。

b[n+2]-b[n]=1 ということから、2項ごとに1増えるわけなので、偶数項、奇数項はそれぞれ、公差 1/2 の等差数列の偶数項、奇数項と一致。
(1)で a[1]=a[2]=2 つまり b[1]=b[2]=1/2 と分かるので、
 nが偶数:b[n]=(n-1)/2 これより a[n]=2/(n-1)
 nが奇数:b[n]=n/2 これより a[n]=2/n

もしくは、
 b[n] の偶数項を取り出した、c[m]=b[2m] は、
  初項 c[1]=b[2]=1/2
  c[m+1]-c[m]=b[2m+2]-b[2m]=1 より公差1の等差数列
 と考えて、
  c[m]=b[2m]=m-1/2
 n=2m とすると、m=n/2 より、b[n]=c[n/2]=n/2-1/2=(n-1)/2
 よって、n が偶数の時 b[n]=(n-1)/2

というように持っていく手もあります。

27956.確率  
名前:至眞    日付:7月27日(木) 0時44分
nを3以上の自然数とする。スイッチを入れると等確率で赤色または青色に輝く電球が横一列にn個並んでいる。これらのn個の電球のスイッチを同時に入れた後、左から電球の色を見ていき、色の変化の回数を調べる。
(1)赤青・・・青、赤赤青・・・青、・・・・・、のように左端が赤色で色の変化がちょうど1回起きる確率を求めよ。
(2)色の変化が少なくとも2回起きる確率を求めよ。

始めに今からする質問は説明しにくいと思いますがお願いします。
まず問題の意味が分かりません。具体的に言います。スイッチは1回だけ入れて、そこから色が勝手に変わるんですか。それともスイッチを入れるたびに変わるんですか。電球を入れる前は何色なんですか。何色でもいいんですか。色の変化がちょうど一回とはどういう意味ですか。長くなりましたが出来れば教えてください。



27959.Re: 確率
名前:らすかる    日付:7月27日(木) 9時10分
>スイッチは1回だけ入れて、

問題文には「スイッチを同時に入れ」とだけ書いてありますから、1回ですね。

>そこから色が勝手に変わるんですか。

「スイッチを入れると等確率で赤色または青色に輝く」と書いてありますから、
スイッチを入れた時にそれぞれの電球がどちらかの色になるか決まります。
「色が勝手に変わる」というようなことは書かれていません。

>それともスイッチを入れるたびに変わるんですか。

スイッチは1回しか入れませんから、スイッチを入れるたびに変わるかどうかは
この問題には関係ありません。

>電球を入れる前は何色なんですか。何色でもいいんですか。

「電球を入れる」とはどういう意味ですか?
「電球のスイッチを入れる」という意味なら、「電球のスイッチを同時に入れた後、」
と書かれていますから、スイッチを入れる前の色はこの問題には関係ありません。

>色の変化がちょうど一回とはどういう意味ですか。

一列の電球を順に見ていった時に赤の次が青、もしくは青の次が赤となっている箇所が
1箇所という意味です。

http://www10.plala.or.jp/rascalhp


27963.Re: 確率
名前:至眞    日付:7月27日(木) 12時19分
ありがとうございます。以上のことを踏まえて質問を追加します。
色が変化するとは一定の時間ごとに変化していくということですか。お願いします。


27964.Re: 確率
名前:らすかる    日付:7月27日(木) 12時34分
「一定の時間ごとに変化」といった内容は問題文にありません。
スイッチを1回入れて電球が赤または青で点灯したら、そのままです。

例えばn=7の時、「赤赤赤青青青青」なら、左から1つ1つ順に見ていくと
色が変わる箇所は1箇所ですね。
問題文に書いてある「色の変化」というのは、そのことを言っているのです。
「青青青青赤赤青青赤青青青青」なら「色の変化は4回」です。

http://www10.plala.or.jp/rascalhp


27980.Re: 確率
名前:至眞    日付:7月27日(木) 20時23分
すっかり分かりました。これで大丈夫です。本当にありがとうございました。

27955.(untitled)  
名前:    日付:7月26日(水) 23時26分
全統模試の小問集合数Uはどんなのがでるんですか

27953.(untitled)  
名前:(>_<)    日付:7月26日(水) 21時52分
すみません、ちょっと物理になってしまうんですが…
糸の長さが1mの先に質量Mの物体がつるされている。
この物体に水平方向から質量M/5の物体が速度vで衝突し
一体となって運動を続け、鉛直方向から糸は60°傾いた。
重力加速度を9.8m/s^2とする。
(1)衝突直後の速度uをvで表せ。
(2)vを求めよ。
(1)は運動量保存よりu=v/6
(2)はエネルギー保存だと思うんですが、答えも合わないし、
問題の「一体となって運動を続け、鉛直方向から糸は60°傾いた」の意味がわかりません。つるされてるのに、一体のまま…?
また、解説には非弾性衝突に注意せよとあったんですが非弾性衝突でエネルギー保存則は使えるのでしょうか?すみませんがお願いします。大学一年の高校物理未習のクラスの問題です。
(v=18.8m/s)



27954.Re: (untitled)
名前:ZELDA    日付:7月26日(水) 23時24分
質量M/5の物体の最初の運動の方向をx軸の正の方向に決める。

(1)衝突中のある瞬間に物体にはたらく力の大きさをfとすると、
2つの物体の運動方程式は (Mの速度をV, M/5の速度をUとする。)

M(dV/dt)=f
(M/5)(dU/dt)=-f

これらを辺々加えると
 M(dV/dt)+(M/5)(dU/dt)=0
⇔d/dt{MV+(M/5)U}=0
両辺をtで積分して
MV+(M/5)U=M・0+(M/5)v
が成立している。(運動量保存している。)

この問題では V=Uが成立しているから
(6M/5)u=(M/5)v
したがって、u=v/6

(2) 非弾性衝突では、力学的エネルギーは保存しません。
というか、(弾性衝突)=(力学的エネルギーが保存する衝突)
という定義なので、明らかに力学的エネルギーは保存しません。

しかし衝突後に関しては、運動方程式を積分することで力学的エネルギーが
保存することを示すことができますが、面倒なので省略します。

力学的エネルギー保存則より Lは糸の長さ, m=6M/5とする。
mgL(1-cos60°)=(1/2)mu^2
ゆえに
u=√(gL)
したがって、
v=6√(gL)
≒18.8


27977.Re: (untitled)
名前:(>_<)    日付:7月27日(木) 18時20分
やはり、保存はしないですよね。
ZELDAさん物理なのに解説ありがとうございました。

27950.(untitled)  
名前:ルクス    日付:7月26日(水) 1時15分
COMMERCEという語を構成する8個の文字を円形に並べる時、
次の設問に答えよ。ただし、相互の位置関係の同じ並べ方、すなわち
回転すると重なる並べ方は同じものとみなす。

(1)並べ方は全部で何通りあるか。
(2)同じ文字が隣り合わないような並べ方は何通りあるか。

分からなくて困っています。どうかお願いします!



27951.Re: (untitled)
名前:らすかる    日付:7月26日(水) 2時47分
例えばOを基準にして残りの文字だけ考えれば、2問とも
直線的な並べ方で考えられます。
(1)
CCEEMMR を並べる方法になるので、7!/(2!2!2!)=630通り
(2)
Cが隣り合う=Eが隣り合う=Mが隣り合う=6!/(2!2!)=180通り
CとEが隣り合う=EとMが隣り合う=MとCが隣り合う=5!/2!=60通り
CとEとMが隣り合う=4!=24通り
従ってどれも隣り合わない並べ方は 630-(180×3-60×3+24)=246通り

http://www10.plala.or.jp/rascalhp

27949.数A  
名前:カツヲ    日付:7月26日(水) 0時40分
高校数Aのプリントでどうしてもわからない問題が3問あるので教えてください。

[1](x^2-3x+2)^6の展開式において、x^3の係数を求めよ。

[2]4人がじゃんけんを1回するとき、あいこになる確率を求めよ。

[3]10人を3つの部屋A,B,Cに入れる方法は何通りあるか。
ただし空き部屋があってはならない。
3^10〜〜〜〜〜(なんとか)になると思います。

どれか1つでも助かりますのでよろしくお願いします。(_ _)



27945.解の分離問題  
名前:DB    日付:7月25日(火) 19時18分
こんにちは。

解の分離問題とはどういう問題なのでしょうか。

またなぜそういう名前なのでしょうか。

27941.楕円と直線の交点の求め方  
名前:図形苦手くん    日付:7月25日(火) 15時32分
はじめまして、どうしたら求められるのか
わからなくて困っています。

中心座標(x0,y0),長軸:a0,短軸:b0,半径:r0の楕円と
a1x+b1y+c1=0の直線との交点(x,y)を求める方法を教えてください。
あと、交点の条件式もあれば教えてください。

よろしくお願いします。

27940.極方程式から直交座標へ  
名前:白雪キング    日付:7月25日(火) 15時22分
極方程式を直交座標による方程式になおせ。

r^(2)sin2θ=2

この計算が教科書を見ても分かりません。
なるべく詳しく教えてほしいです
おねがいします!



27942.Re: 極方程式から直交座標へ
名前:ast    日付:7月25日(火) 18時39分
x = r cos(θ), y = r sin(θ) という基本的な関係式を代入するだけで終わり, 特に何か特殊なテクニックを必要とする問題ではないので, お読みになった解説文とそのどこが判らないのかをもっと具体化なさったほうが宜しいでしょう.

r^(2)sin2θ= r^2 * 2 * sin(θ) * cos(θ) = 2(r cos(θ))(r sin(θ)) = 2xy
ゆえに r^(2)sin2θ=2 ⇔ xy = 1.


27943.Re: 極方程式から直交座標へ
名前:    日付:7月25日(火) 15時55分
r^(2)sin2θ=2 [2倍角の公式より]
r^(2)・2sinθcosθ=2 [両辺を2で割って]
rcosθ・rsinθ=1
xy=1 [y=1/x としてもよい]

27939.2次曲線と極方程式  
名前:白雪キング    日付:7月25日(火) 15時21分
図が想像できず悩んでいます。
また
(1)ではPHが|x-{(√3)/4)}|となっているのに
(2)では{(√3)/3}-rcosθ
となっているのも分かりません。

(1)直交座標において、点A(√3,0)と準線x=4/(√3)からの距離の比が
√3:2である点P(x,y)の軌跡を求めよ。

(2)(1)におけるAを極、x軸の正の部分の半直線Axとのなす角θを
偏角とする極座標を定める。このとき、Pの軌跡をr=f(θ)の形の
極方程式で求めよ。ただし、0≦θ<2π,r>0とする。

(2)は特に分からないのでやさしく教えてください。
おねがいします。



27944.図(極座標の応用)
名前:angel    日付:7月25日(火) 17時24分
Original Size: 300 x 300, 3KB

とりあえず、(2) は、この図を描くところから、でしょうね。
通常は、原点Oを極に取りますが、この問題ではAを極としていますから。



27952.Re: 2次曲線と極方程式
名前:angel    日付:7月26日(水) 10時56分
(1)
AP=√( (x-√3)^2+y^2 )
P,準線間距離:|x-4/√3|
 ※x<4/√3 の場合、距離 (4/√3-x)
  x≧4/√3 の場合、距離 x-4/√3
  の2つのケースをまとめたもの

距離の比 √3:2 のため、
 √( (x-√3)^2+y^2 ) : |x-4/√3| = √3 : 2
よって、
 √3・|x-4/√3| = 2√( (x-√3)^2+y^2 )
両辺とも非負のため、平方して
 3(x-4/√3)^2 = 4( (x-√3)^2+y^2 )
まとめると、最終的に
 x^2+4y^2=4

(2)
AP=r
Pのx座標 (rcosθ+√3)
P,準線間距離:|rcosθ+√3-4/√3| すなわち |rcosθ-√3/3|
距離の比 √3:2 のため、
 r : |rcosθ-√3/3| = √3 : 2
よって、
 √3・|rcosθ-√3/3| = 2r
両辺とも非負のため、両辺平方して片側を移項すると、平方の差として因数分解できて、
 ( (2-√3・cosθ)r+1 )( (2+√3・cosθ)r-1 )=0
ここで、2-√3・cosθ≧2-√3>0 で r ともども非負のため、(2-√3・cosθ)r+1≠0
よって、
 (2+√3・cosθ)r-1=0
 r=1/(2+√3・cosθ)


28021.Re: 2次曲線と極方程式
名前:白雪キング    日付:8月2日(水) 6時57分
ありがとうございました。
まだよく分からなかったので
二回目のしつもんをさせてもらいました。
返事遅れてすいません。

27935.教えてください!  
名前:レイ    日付:7月25日(火) 2時29分
万の位、千の位、百の位、十の位、一の位の数字がそれぞれ0,1,2
または3である5桁の整数のうち、10の倍数でない整数は何個あるか

という問題で悩んでいます。お願いします。



27936.Re: 教えてください!
名前:ヨッシー    日付:7月25日(火) 6時51分
万の位がとれるのは、1,2,3 の3通り。
千の位がとれるのは、0,1,2,3 の4通り。
百の位がとれるのは、0,1,2,3 の4通り。
十の位がとれるのは、0,1,2,3 の4通り。
一の位がとれるのは、1,2,3 の3通り。
です。
 
http://yosshy.sansu.org/

27931.何回もすいません  
名前:りんご    日付:7月25日(火) 0時19分
(1)xの連立不等式x/2-4/3>1/6-(x-3)/2,a-4≧2x-2を満たす整数xが2個あるような定数aの値の範囲を求めよ。

(2)ある会合の費用を出席者から集めるのに、1人900円ずつにすると1人900円ずつにすると1200円余り、830円ずつにすると不足する。また、860円ずつにすると、最後の1人は400円以下になるという。出席者の人数と会合の総額を求めよ。

この2つの問題が答えでません。
お願いします。



27932.Re: 何回もすいません
名前:angel    日付:7月25日(火) 0時35分
(1) まずは素直に不等式を解いてみましょう
  3<x≦(a-2)/2
 となりますから、xの整数解が2個ということは、x=4,5、6は含まれない。
 そうすると、(a-2)/2 の範囲は…?
 5,6 の間になるわけですが、不等号が < か ≦ どちらになるか注意。

(2) x 1文字を使っても、x,y の2文字を使っても良いですが。
 2文字でいきますか。出席者 x人、費用総額 y円とすると、
  1人900円ずつにすると1200円余り
   → 900x = y+1200
  830円ずつにすると不足する
   → 830x < y
  860円ずつにすると、最後の1人は400円以下になる
  → 1人を除いた (x-1) 人が 860円払うと、後必要なお金は400円以下
   → 0 < y-860(x-1) ≦ 400


27948.Re: 何回もすいません
名前:りんご    日付:7月25日(火) 22時11分
ようやく解けました!!
ありがとうございました☆

27929.受験勉強真っ最中  
名前:けい 高3    日付:7月24日(月) 23時41分
「P(x)=ax^2+bx+c Q(x)=cx^2+bx+a とおく。|x|≦1を満たす全てのxに対して|P(x)|≦1が成り立つ時、|x|≦1を満たす全てのxに対して|Q(x)|≦1が成り立つ事を示せ」

という問題なんですが・・・。何をしてよいかわからず、とりあえずa,b,cをそれぞれP(0),P(1),P(-1)で表してはみたんですが。そのまま行き詰まってしまいました。どなたか教えて下さい。よろしくお願いします。



27934.問題がおかしい
名前:だるまにおん    日付:7月25日(火) 1時42分
(a,b,c)=(2,0,-1)が反例を与えます。

27925.お願いします  
名前:りんご    日付:7月24日(月) 22時13分
5/(1+√6)の整数部分をa、小数部分をbとするとき、1/(a+b)+1/(a-b)の値を求めよ。

という問題で、答えが(18+8√6)/15になるんですが
ならないんですよ。
aが2、bが√6-3ですよね?

教えて下さい



27926.Re: お願いします
名前:angel    日付:7月24日(月) 22時32分
2 < √6 < 3 なので、1 < √6-1 < 2
よって、a=1, b=√6-2 ですね。


27930.Re: お願いします
名前:りんご    日付:7月25日(火) 0時4分
回答通りになりました!!
ありがとうございました。

27924.大学生です  
名前:ramu    日付:7月24日(月) 18時57分
1/(x-1)(x^2+4)を部分分数分解するやりかたがわからなくなってしまいました。教えてください。



27927.Re: 大学生です
名前:らすかる    日付:7月24日(月) 23時9分
1/(x-1)(x^2+4)=a/(x-1)+(bx+c)/(x^2+4) とおいて通分し、
係数比較でa,b,cの値を定めましょう。

http://www10.plala.or.jp/rascalhp


27928.Re: 大学生です
名前:ramu    日付:7月24日(月) 23時20分
できました!ありがとうございました。

27923.(untitled)  
名前:ATS    日付:7月24日(月) 18時49分
集合の証明について質問があります.

A_1,A_2はR^nの非空凸集合とする.ここで、A_1∩A_2は空である.
このとき、A=A_1-A_2も凸集合である事を示し、0∈R^nはAの要素とは
ならない事を示せ.

この問題の前半部分、Aが凸集合である事は示す事ができました.
後半部分なのですが、次のようにすれば良いのでしょうか?

背理法で示す.0∈R^nがAの要素であるとする.この時、A_1=A_2であるから、A_1∩A_2が空である事に矛盾する.従って、要素ではない.

ここで、0∈R^nがAの要素であれば、A_1=A_2として良いのかが
疑問です.ご教授頂けませんか.



27933.Re: (untitled)
名前:のぼりん    日付:7月25日(火) 8時2分
> ここで、0∈R^nがAの要素であれば、A_1=A_2として良いのかが
∈A だからといって、A=A は言えません。論証を再考した方が良いかと。


27938.Re: (untitled)
名前:ATS    日付:7月25日(火) 10時43分
のぼりん様
やはりそうでしたか・・・.あまりにも単純過ぎると思ったのですが.
再度自分で考えてみます.ありがとうございました.

27915.凸集合の証明.  
名前:ATS    日付:7月23日(日) 22時8分
凸集合の証明で分からない問題があります.

R^n上の集合Sを次のように定義します.
S≡{αA+βB+γC : A,B,C∈R^n, α,β,γ∈R, α+β+γ=1}
この時、Sは凸である事を示せ.という問題なのですが、どのように
すれば良いのでしょうか?ご教授頂けませんか.



27916.Re: 凸集合の証明.
名前:のぼりん    日付:7月23日(日) 22時33分
∀x,y∈S を取ります。
   x=αA+βB+γC
   y=α’A+β’B+γ’C
   α+β+γ=α’+β’+γ’=1
と書けます。0≦∀t≦1 を取ります。
   {tα+(1−t)α’}+{tβ+(1−t)β’}+{tγ+(1−t)γ’}
    =t(α+β+γ)+(1−t)(α’+β’+γ’)=1
なので、
   tx+(1−t)y
   ={tα+(1−t)α’}A+{tβ+(1−t)β’}B+{tγ+(1−t)γ’}C∈S
です。よって、S は凸です。


27917.Re: 凸集合の証明.
名前:ATS    日付:7月23日(日) 22時57分
のぼりん様
ご回答頂きありがとうございました.
私は、x,y∈Sとしてから、tx+(1-t)yからダイレクトに示せない
かと思い苦戦していました.
このような証明方法にも慣れる必要があると思います.

ありがとうございました.

27914.これもお願いします  
名前:猫子    日付:7月23日(日) 21時14分
2次関数y=ax^2+bx+cのグラフをCとする。グラフCをx軸に関して対称移動したグラフは点(−2,1)を通る。

またグラフCをy軸に関して対称移動しさらにx軸方向に-1、y軸方向に3だけ平行移動するとy=ax^2+1のグラフになるとする。

このときa=(ア)b=(イ)c=(ウエ)である


解き方と答えお願いします・・



27921.Re: これもお願いします
名前:Kei    日付:7月24日(月) 18時35分
グラフCをx軸に関して対称移動したグラフをC'とすると、
C:-y=ax^2+bx+c
Cをy軸に関して対称移動したグラフをC''とすると、
C'':y=a(-x)^2-bx+c
Cをy軸に関して対称移動しさらにx軸方向に-1、y軸方向に3だけ平行移動したグラフをC'''とすると、
C''':y-3=a(x+1)^2-b(x+1)+c
となる。C'''がy=ax^2+1となる条件から
2a-b=0
a-b+c=-2
C'が(-2,1)を通る条件から
4a-2b+c=-1
これらを解くと、a=1,b=2,c=-1

27913.数T  
名前:猫子    日付:7月23日(日) 21時13分
 ある正方形の1辺の長さを2倍にし他の1辺の長さを3長くして長方形を作ったらその面積はもとの正方形より91大きくなった。
 このときもとの正方形の1辺の長さを求めよ。

正方形の1辺の長さをxとすると長方形の面積は(ア)x^2+(イ)xである。

よって方程式(ア)x^2+(イ)x=x^(ウ)+(エオ)が成り立ちこれを解くとx=カキク、ケである。
ゆえに正方形の1辺の長さは(コ)である。



至急お願いします。答えも教えて下さい



27922.Re: 数T
名前:Kei    日付:7月24日(月) 18時47分
ある正方形の1辺の長さを2倍にし
→ある正方形の片方の辺の長さを2倍にし
と解釈すれば、
もとの正方形の辺の長さをxとすると、
できた長方形の辺は2x,x+3であるから、
長方形の面積は2x(x+3)=2x^2+6x
題意より、2x^2+6x=x^2+91
(x+13)(x-7)=0
x=-13,7
x>0よりx=7

27912.(untitled)  
名前:Jojo    日付:7月23日(日) 18時58分
angelさん、昆布マンさん、ありがとうございました!
助かりました。

27909.数列  
名前:博美    日付:7月23日(日) 13時43分
こんにちは。高校3年生です。マークの問題で解説がよくわかりません。
どなたかご助言していただけないでしょうか。

(最初省略)
(an=2^(n-1)です。)

数列C[n]を
nが奇数のときC[n]=a[n]+2 nが偶数のときC[n]=a[n]+1
で定めるとき、
c[1]+c[2]+c[3]+...+c[2n-1]+c[2n]=ツ^n+テn−トである。

ツ=4テ=3ト=1らしいです。
解説は「l(←小文字のLです)=1,2,3...」として
c[2l-1]=a[2l-1]+2
c[2l]=a[2l]+1である」とありますが、その意味がわかりません。
どなたかどうかお願い致します。



27911.Re: 数列
名前:ast    日付:7月23日(日) 17時11分
> 「nが奇数のときc[n]=a[n]+2、 nが偶数のときc[n]=a[n]+1で定める」
> 「l=1,2,3...としてc[2l-1]=a[2l-1]+2、 c[2l]=a[2l]+1である」
この二つは, まったく同じ文章です(言いかえとかなんとか言うレベルですらないくらいに本当に同じ文章が書いてあります)ので, まずはそれを実感することから始めると幸せになれるかもしれません.


27918.Re:
名前:博美    日付:7月23日(日) 23時1分
返信ありがとうございます。

わかりました。ではここはOKとします。
このあとどうすればいいのでしょうか。


27919.Re: 数列
名前:ast    日付:7月24日(月) 12時31分
> c[1]+c[2]+c[3]+...+c[2n-1]+c[2n]

> c[2l-1] (=a[2l-1]+2)
> c[2l] =(a[2l]+1)
を l = 1, 2, ..., n について全部加えたものだとわかりますか. 判るのならば, 奇数番目の項と偶数番目の項とに分けて足しなおす
   (c[1] + c[3] + ... + c[2n-1]) + (c[2] + c[4] + ... + c[2n])
ことにしてやれば c[n] は a[n] に置き換えて, 括弧の中はそれぞれ n 項ずつなので a[2l-1] + 2, a[2l] + 1 の +2 とか +1 とかいう定数項は, 足すと単純に n 倍されるだけになるので, 後は {a[2l]} と {a[2l−1]} という二つの和の計算をやるというのがいいでしょうか. この場合, a[2l] = 2^(2n−1) = 2^(2l) * 2^(−1) = (1/2) * 4^l とかいうように a[2l−1] の方も同様に書き直すと, 結局は等比数列の計算をする問題になります.

あるいは, 再び並べ替えて
 (c[1] + c[3] + ... + c[2n-1]) + (c[2] + c[4] + ... + c[2n])
 = {(a[1] + a[3] + ... + a[2n-1]) + 2n} + {(a[2] + a[4] + ... + a[2n]) +1n}
 = (a[1] + a[2] + ... + a[2n-1] + a[2n]) + 3n
というふうにすると, 等比数列の計算を一回やるだけで済みますね.


27920.Re: 数列
名前:ast    日付:7月24日(月) 15時35分
>  (c[1] + c[3] + ... + c[2n-1]) + (c[2] + c[4] + ... + c[2n])
>  = {(a[1] + a[3] + ... + a[2n-1]) + 2n} + {(a[2] + a[4] + ... + a[2n]) +1n}
>  = (a[1] + a[2] + ... + a[2n-1] + a[2n]) + 3n

ああ, はじめから

 (c[1] + c[2]) + (c[3] + c[4]) + ... + (c[2n−1] + c[2n])
 = (a[1] + a[2] + 3)+ (a[3] + a[4] +3) + ... + (a[2n−1] + a[2n] +3)
 = (a[1] + a[2] + ... + a[2n-1] + a[2n]) + 3n

とやったほうがわかり易いのかもしれません. いずれにしても, 自分に都合のいい順番で足し算を実行するのがミソだと思います.

27905.軌跡  
名前:Jojo    日付:7月23日(日) 2時54分
円C:x^2+y^2=1上の点DにおけるCの接線がx軸、y軸と
それぞれ点Q、Rで交わるとする。点QRの中点M(x、y)とすると
点PがC上を動く時、Mの軌跡の方程式は?(ただし、xy≠0)

という問題なのですが、どうしてもわかりません。
お願いします。



27907.Re: 軌跡
名前:angel    日付:7月23日(日) 8時50分
円C上の点Dを、(cosθ,sinθ)とおくと、DにおけるCの接線は
xcosθ+ysinθ=1

よって、Q,Rはそれぞれ (1/cosθ,0),(0,1/sinθ)、Mは(1/(2cosθ),1/(2sinθ))

x=1/(2cosθ), y=1/(2sinθ) の時、
1/x^2+1/y^2=4( (cosθ)^2+(sinθ)^2 )=4

Mの軌跡は 1/x^2+1/y^2=4

※十分条件の検証は省略しています。


27910.Re: 軌跡
名前:昆布マン    日付:7月23日(日) 14時27分
D(a,b)と置きます
円C:x^2+y^2=1上の点DにおけるCの接線は
ax+by=1となります
この直線とx軸との交点つまりy=0のときのxのあたいは
x=1/a なのでMのx座標はx=1/2a
この直線とy軸との交点つまりx=0のときのyのあたいは
y=1/b なのでMのy座標はy=1/2b
またDは円C上の点なので
a^2+b^2=1
x=1/2aより a=1/2x  y=1/2bより b=1/2y
したがって
(1/2x)^2+(1/2y)^2=1
1/x^2+1/y^2=4
 

27898.わからん  
名前:三朗    日付:7月22日(土) 17時6分
kがすべての実数値をとるとき、直線l:y=kx - k^2の通過する領域を求めよ。 

この問題で、直線の方定式をk^2 - xk + y=0として、この判別式が0とするという風に解き方は解りますがなぜこれで解けるのかと言うことがいまいち解りません。教えてください。



27899.Re: わからん
名前:angel    日付:7月22日(土) 18時18分
グラフの問題を方程式として捉えることができるかどうか。考え方・感じ方の問題です。

kを固定して考えた場合、
 l:y=kx-k^2 が点(p,q)を通る
 ⇔ q=kp-k^2 が成立する

kが不定であることをあわせると、
 kが全ての実数値をとる時、l:y=kx-k^2 が通る領域に点(p,q)が含まれる
 ⇔ ある k を固定した時、l:y=kx-k^2 が点(p,q)を通る
 ⇔ ある k に対して、q=kp-k^2 が成立する
 ⇔ k の方程式 k^2-pk+q=0 が実数解を持つ(実数ならばなんでも良い)
 ⇔ 判別式 p^2-4q≧0 すなわち q≦1/4・p^2
 ⇔ (p,q)の存在範囲は、y≦1/4・x^2

ミソは、
 ある実数 k に対して、等式〜が成立する
 ⇔ 等式〜が成立する実数 k が存在する
 ⇔ 等式〜を k の方程式と見た場合、k が実数解を持つ

なお、「kが全ての実数値をとる」の代わりに「kが全ての非負実数値をとる」のように、条件が難しくなれば、「kの方程式が非負実数解を持つ」と応用することで対応できます。

27888.期待値  
名前:ひろ    日付:7月22日(土) 0時38分
袋の中に3個の白球とn個の赤球が入っている。この袋の中から同時に2個の球を取り出したとき、赤だまの数をXとする。
Xの期待値が8/5のとき、nの値はいくつになるか(n≧2)

教えてください。お願いします



27890.Re: 期待値
名前:らすかる    日付:7月22日(土) 2時41分
(1個取り出した時の赤球の個数の期待値)
=(1個取り出した時にそれが赤球である確率)=n/(n+3)
だから、2個取り出した時の期待値は 2n/(n+3)
2n/(n+3)=8/5 を解いて、n=12

http://www10.plala.or.jp/rascalhp


27901.Re: 期待値
名前:ひろ    日付:7月22日(土) 23時5分
らすかるさま
いつもありがとうございます。
期待値と確率は基本的に考え方が同じなのでしょうか


27903.Re: 期待値
名前:らすかる    日付:7月23日(日) 1時30分
期待値と確率は別物です。
(個数の期待値)=0×(0個である確率)+1×(1個である確率)+2×(2個である確率)+…
ですから、上の式を詳しく書くと
(1個取り出した時の赤球の個数の期待値)
=0×(1個取り出した時に赤球が0個である確率)
 +1×(1個取り出した時に赤球が1個である確率)
 +2×(1個取り出した時に赤球が2個である確率)
 +…
であり、1行目と3行目以降は0ですから、結局
(1個取り出した時の赤球の個数の期待値)
=(1個取り出した時にそれが赤球である確率)
となります。
2個以上にならない場合だけ、たまたま期待値と確率が等しいわけです。

http://www10.plala.or.jp/rascalhp


27947.Re: 期待値
名前:ひろ    日付:7月25日(火) 20時25分
らすかるさま

ありがとうございました

27887.最大値  
名前:ひろ    日付:7月22日(土) 0時30分
f(x)=log[2](x+2)+log[4](4-x)の最大値はいくつになるのでしょうか。

教えて頂ければ幸いです。



27891.Re: 最大値
名前:angel    日付:7月22日(土) 5時49分
log[2](x+2)
= log[4](x+2) / log[4]2
= log[4](x+2) / (1/2)
= 2log[4](x+2)
= log[4]( (x+2)^2 )

よって、
f(x)=log[4]( (x+2)^2 ) + log[4](4-x)
 = log[4]( (4-x)(x+2)^2 )

中の3次式で最大を考えると、x=7/2 の時最大ですね。f(7/2)=log[2]11-3/2
勿論、真数条件 -2<x<4 に注意。


27902.Re: 最大値
名前:ひろ    日付:7月22日(土) 23時6分
すみません。計算してみたのですが、x=7/2にはどのような計算でなるのでしょうか


27906.Re: 最大値
名前:angel    日付:7月23日(日) 8時35分
ごめんなさい。計算間違いでした。
最大値は、f(2)=5/2 ですね。

計算としては、
g(x)=(4-x)(x+2)^2 とおくとき、
g'(x) = -(x+2)^2+2(4-x)(x+2) = -3(x-2)(x+2)
よって、x=2 の時、g は極大、かつ -2<x<4 においては最大。
gが最大の時、fも最大。


27946.Re: 最大値
名前:ひろ    日付:7月25日(火) 20時24分
ありがとうございました

27878.教えて!  
名前:masayan    日付:7月21日(金) 15時23分
ある、大学の入試問題ですが、解答がわかりません。
誰か教えてください。

実数a,bが2a+b=4なる条件を満たすとき、abの最大値は次のうちどれか。
(1)1 (2)2 (3)3 (4)4 (5)5

この問題は、(2)が正解かと思っています。

nを2以上の自然数とするとき、(2a+3b)^nの展開式におけるa^2・b^n−2の項の係数は次のどれか。
(1)3^n−2/2(n^2+n)
(2)3^n−2/2(n^2−n)
(3)2・3^n−2(n^2+n)
(4)2・3^n−2(n^2−n)
(5)上のどれでもない。

(3)が正解でしょうか。

a,b,cを整数とするとき、命題
「a,b,cのすべてが2の倍数ならば、積abcは8の倍数である」
の対偶となる命題において、結論の部分にあたるものは次のうちどれか。
(1)abcは8の倍数である。
(2)abcは8の倍数でない。
(3)a,b,cのすべてが2の倍数である。
(4)a,b,cの中に2の倍数は存在しない。
(5)a,b,cの中に2の倍数でないものがある。

答えは、(3)でしょうか。


回答お願いします。



27880.Re: 教えて!
名前:白拓    日付:7月21日(金) 16時37分
数a,bが2a+b=4なる条件を満たすとき、abの最大値は次のうちどれか。

abが最大値をとるときa,bは正
4=(2a+b)≧2√(2ab)
ab≦2, 等号成立は2a=bのときa=1,b=2でab=2
∴abの最大値は2 答え(2)

nを2以上の自然数とするとき、(2a+3b)^nの展開式におけるa^2・b^n−2の項の係数は次のどれか。

2項定理よりa^2・b^n−2の項は、
nC2*(2a)^(2)*(3b)^(n-2)=n(n-1)/2*4*3^(n-2)a^2*b^(n-2)
=2*3^(n-2)*n(n-1)a^2*b^(n-2)
係数は、2*3^(n-2)*(n^2-n) 答え(4)

a,b,cを整数とするとき、命題
「a,b,cのすべてが2の倍数ならば、積abcは8の倍数である」
の対偶となる命題において、結論の部分にあたるものは次のうちどれか。

(5)a,b,cの中に2の倍数でないものがある。
が正解です。


27881.Re: 教えて!
名前:ヨッシー    日付:7月21日(金) 16時42分
b=4-2a を ab に代入すると、
 ab=a(4-2a)=-2a^2+4a=-2(a-1)^2+2
より、a=1, b=2 のとき、最大値 2 よって、正解!

その項だけ取り出すと、
 nC2(2a)^2(3b)^(n-2)
=n(n-1)/2 ×4a^2 × 3^(n-2)b^(n-2)
=2n(n-1)・3^(n-2)・a^2b^(n-2)
係数は、2・3^(n-2)×(n^2-n) よって、(4)が正解。

(5)が正解ですね。対偶命題を書くと、
「積abcが8の倍数でないならば、a,b,c の少なくとも1つは2の倍数ではない」
です。
 
http://yosshy.sansu.org/


27884.Re: 教えて!
名前:masayan    日付:7月21日(金) 17時37分
どうもありがとうございます。
よく、わかりました。
今後もよろしくお願いします。

27876.フーリエ展開  
名前:あおき    日付:7月21日(金) 9時41分
フーリエ展開のの解き方がいまいちよく判りません。どなたか助けてくださいお願いします。

f(x) = 3x 、(-2≦x < 2)



27879.Re: フーリエ展開
名前:白拓    日付:7月21日(金) 16時19分
数学ナビゲーター(http://www.crossroad.jp/mathnavi/)
に以下のような投稿がありました。


-------------------------------------------------------------
□投稿者/ PAC 一般人(5回)-(2006/07/17(Mon) 07:35:23)

フーリエ級数の解き方を教えてください。
f(x) = 3x [-2, 2]

▲▼■
□投稿者/ 白拓 大御所(456回)-(2006/07/18(Tue) 03:03:59)

> f(x) = 3x [-2, 2]

f(x)=3x (-2≦x<2), f(x)=f(x+4n)
の意味なら、

a[n]=0
b[n]=(2/T)∫[-2〜2] f(x)sin(2πnx/T)dt=(2/4)∫[-2〜2]3xsin(2πnx/4)dx
=3∫[0〜2]xsin(πnx/2)dx=3[-{2/(πn)}xcos(πnx/2)][0〜2]
+3{2/(πn)}∫[0〜2]cos(πnx/2)dx
=-12/(πn)cos(πn)+[{12/(πn)^2}sin(πnx/2)][0〜2]=
=(-1)^(n+1)12/(πn)

f(x)=Σ[n=1〜∞]{(-1)^(n+1)12/(πn)}sin(πnx/2)


27895.Re: フーリエ展開
名前:あおき    日付:7月22日(土) 10時16分
クラスメイト(友人)の投稿です。かぶってしまい失礼しました。

3点わからないことがあります。

f(x)=f(x+4n)
a[n]=0
b[n]=(2/T)∫[-2〜2] f(x)sin(2πnx/T)dt

どのようにこれらを求めたのでしょうか? フーリエ展開について全く知識がありません。お手数をおかけするかと思いますが、良かった詳しい解説をお願いします。


27897.Re: フーリエ展開
名前:白拓    日付:7月23日(日) 12時39分
フーリエ級数展開はsin,cosを使って実数の範囲で展開するものと
複素指数を使うものとがありますが、この問題では前者のものとして
計算しました。

>どのようにこれらを求めたのでしょうか?
質問はもっと具体的なものにしてください。

フーリエ級数展開については、下のが分かりやすいかと思います。
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%95%E3%83%BC%E3%83%AA%E3%82%A8%E7%B4%9A%E6%95%B0

27870.不等式の質問  
名前:太郎    日付:7月20日(木) 21時9分
不等式ax+a-1>0の解がx<-2であるとき、定数aの値を求めよ。
この問題で、@a<0でありA方程式ax+a-1=0にx=-2を
代入して解くと、a=-1、これはa<0を満たす、拠ってa=-1。
aの符号が決まって、方程式の解の符号と一致していれば、
その解が不等式の定数と決まるということですか?また
なぜ、そういえるのか理屈が釈然としません。また、
ax+1<x+a^2の解がx>-1のとき、定数aを求めよ。という問題で
この不等式の解がx>-1だから、a<1であるとはじめにあるんですが
どうやったのかわかりません。お願いします。



27874.Re: 不等式の質問
名前:    日付:7月21日(金) 8時9分
次の二つの不等式は解けますよね?

3x>5
-3x>5

この解き方と質問の内容を較べてみてください。


27882.Re: 不等式の質問
名前:太郎    日付:7月21日(金) 17時4分
x>5/3、x<-5/3ですね。
これが質問とどう関係があるのかよくわかりません。すいません・・
二番目の問題の(a-1)x>a^2-1としてここから
なぜ、a>1とでるのかもわからないです、どういう
過程ですか?


27885.Re: 不等式の質問
名前:    日付:7月21日(金) 18時13分
もうちょっと頑張ってもらいましょう.
不等号の向きに注意してください.


27889.Re: 不等式の質問
名前:太郎    日付:7月22日(土) 1時30分
わかりませんね、この二つの問題は同じタイプだと
思うので、一番を例に僕の題意の理解を書きますと
xが-2より小さいときax+a-1>0が成立するための
唯一の数aを求めよ。こう考えてるんですが、あってますか?
二番目の問題も一緒の理解ですが、(a-1)x<a^2-1(二回目の
書き込みの符号は間違えてました)も両辺を(a-1)で割ってみようにも
符号がわからないし、xの符号もわからないので解けないと思います、
符号の向きに注意せよとはどういうことですか?それと上記の僕の
理解は間違っているのなら指摘していただきたいのですが。


27893.Re: 不等式の質問
名前:    日付:7月22日(土) 7時57分
>xが-2より小さいときax+a-1>0が成立するための
唯一の数aを求めよ。こう考えてるんですが、あってますか?

概ね良いと思いますが、ちょっと違うかな。

こう考えてください。1番目に関しては
ax+a-1>0・・・(1) の解がx<-2・・・(2) であるとは
この二つの式は同じ意味である(同値である)、ということです。
(1)の式は変形すると、
ax>1-a・・・(3) となります。この式が(2)と同じ意味だとすると、
左辺をxにするためにaで割らないといけないですね。その際、
(2)ではx< とxは小さいほうになっていますから、
(3)の不等号の向きが逆になっています。
ということはa<0でないといけないということです。
その条件の下で、(1)をaで割れば、向きが逆になって、
x<(1-a)/aとなり、これが(2)と同じだとすると、
(1-a)/a=-2  これを解いてa=-1で確かにa<0 でOKということです。

掛け算・割り算のときに不等号の向きが変わる理屈は二つの例題
で簡単に解けましたが、文字になるとちょっと混乱したのかもしれま
せんね。 2番も大丈夫ですよね?


27904.Re: 不等式の質問
名前:太郎    日付:7月23日(日) 2時11分
確かにxが二より小さいのに不等号が>になっているから
aがマイナスと決定できますね、二番も解けますね。
最後までお付き合いいただいてありがとうございました。

27866.部分積分・・・?  
名前:tiktak    日付:7月20日(木) 15時43分
∫siny/2ydyってどうやって計算するんですか?解答お願いします。



27873.Re: 部分積分・・・?
名前:ZELDA    日付:7月20日(木) 23時1分
積分計算ソフトを用いて計算させたところ、答えがでませんでした。
不定積分は簡単な関数にはならないようです。
私の持っている公式集で調べたところ、初等関数では表せないと書いてありました。


27875.Re: 部分積分・・・?
名前:黒蟻    日付:7月21日(金) 9時10分
∫[0〜∞]siny/ydy=π/2となることが知られています。

27865.マクローリン展開。  
名前:Mika    日付:7月19日(水) 21時21分
f(x)=1/(1-x)のマクローリン展開とその収束範囲の求め方について教えてくださいお願いたします。



27877.Re: マクローリン展開。
名前:黄桃    日付:7月21日(金) 10時56分
解法1:地道に f^(n)(x) を計算して x=0 を代入する。その後、ダランベールの判定法などで、収束半径を計算。

解法2:なんらかの方法で級数展開をする。マクローリン展開の一意性よりこれは解法1のものと一致する。収束半径は、1と同様に求める。

本問は解法1でもできますが、無限等比級数の公式: |r|<1 において、
Σ_[n=0,∞] r^n(=1+r+r^2+...)=1/(1-r)
を思い出せば、r=x とすることで、
f(x)=Σ_[n=0,∞] x^n
であり、収束半径は 1 であることが直ちにわかります。
この方法は、r=-x や r=x^2 とおくなど、いろいろ応用がききます。

27857.まだ理解できません  
名前:白雪キング    日付:7月19日(水) 12時21分
次の直交座標による方程式を、極方程式になおせ。
三角関数の合成の部分がよく分かりません。
分かりやすく教えてもらえないでしょうか?
x=rcosθ,y=rsinθを代入するのは分かるのですが
三角関数の合成計算がなんともしがたい。。

1)x+√3y=2
2)x^2 +y^2 +2x-2y=0
3)x^2 -y^2=1

2)の計算式の途中
r^2 +2r(cosθ-sinθ)
=r^2 +2(√2)rcos(1/(√2)cosθ-1/(√2)sinθ)
この計算の場合、どうしてcosが外にでているのに
カッコ内にcosが残っているのか理解できません。

全ての問題の計算式も教えてください。
おねがいしますー!



27864.Re: まだ理解できません
名前:だるまにおん    日付:7月19日(水) 15時39分
x=rcosθ,y=rsinθを代入すると…

1)
rcosθ+√3rsinθ=2
r(cosθ+√3sinθ)=2
2r{cosθ(1/2)+sinθ(√3/2)}=2
r{cosθ(1/2)+sinθ(√3/2)}=1
r{cosθcos(π/3)+sinθsin(π/3)}=1
(ここでcosαcosβ+sinαsinβ=cos(α-β)を使うと)
∴rcos(θ-π/3)=1 

2)
r2cos2θ+r2sin2θ+2rcosθ-2rsinθ=0
r2-2r(-cosθ+sinθ)=0
r2-2√2r{cosθ(-1/√2)+sinθ(1/√2)=0
r2-2√2r{cosθcos(3π/4)+sinθsin(3π/4)}=0
(ここでcosαcosβ+sinαsinβ=cos(α-β)を使うと)
r2-2√2rcos(θ-3π/4)=0
∴r-2√2cos(θ-3π/4)=0

>2)の計算式の途中
>r^2 +2r(cosθ-sinθ)
>=r^2 +2(√2)rcos(1/(√2)cosθ-1/(√2)sinθ)
>この計算の場合、どうしてcosが外にでているのに
>カッコ内にcosが残っているのか理解できません。

おそらく間違いでしょう。

3)
r2cos2θ-r2sin2θ=1
r2(cos2θ-sin2θ)=1
r2cos2θ=1
…これは合成しなくてもいい気がしますが…
答えはどうなっていましたか?


27867.Re: まだ理解できません
名前:白雪キング    日付:7月20日(木) 16時41分
ありがとうございました!

(1)の答えは教科書では
rsin(θ+(π/6))=1
となっているんですが、だるまにおんさんの答えも
ありなんでしょうか?
せっかく教えていただいてるのにこんなこといって
すみません。

(2)は教科書にはっきりと

>2)の計算式の途中
>r^2 +2r(cosθ-sinθ)
>=r^2 +2(√2)rcos(1/(√2)cosθ-1/(√2)sinθ)
>この計算の場合、どうしてcosが外にでているのに
>カッコ内にcosが残っているのか理解できません。

と(上の1行、下の2行は私の書き込みですが)書かれているので
間違いなのがショックです。
こういう誤植ってたまにあるみたいですね。
生物の教科書でも誤植がありました。
教科書を信じてやっているだけに裏切られた気持ちでショックです。

それと(2)の答えも教科書とちょっと違って
>r-2√2cos(θ-3π/4)=0
ではなくて
r=-2√(2)cos(θ+(π/4))
となっています。
微妙に違うようなんですが、どっちもありなんでしょうか?

(3)はr^(2)cos2θ=1
が答えになっています。

質問のほうよろしくお願いします。
他の方の意見も聞きたいです。
よければ他の方も書き込みしてもらえないでしょうか?
おねがいします!


27868.Re: まだ理解できません
名前:angel    日付:7月20日(木) 17時33分
三角関数は、見かけが違っても内容が同じになる表現が、幾つかありますからね。
合っているかどうかを見極める訓練になると思ってやると良いでしょう。

(1)
> ∴rcos(θ-π/3)=1 

> (1)の答えは教科書では
> rsin(θ+(π/6))=1
> となっているんですが、

一般に sin(α+π/2)=cosα のため、α=θ-π/3 を代入して、
 sin(θ+π/6)=cos(θ-π/3)

なので、だるまにおんさんの答えと教科書の答えは同じものです。

(2)
> >r-2√2cos(θ-3π/4)=0
> ではなくて
> r=-2√(2)cos(θ+(π/4))

r=… の形に合わせると、
 r=2√2・cos(θ-3π/4)
 r=-2√2・cos(θ+π/4)

一般に cos(α+π)=-cosα のため、α=θ-3π/4 を代入して、
 cos(θ+π/4)=-cos(θ-3π/4)

よって、これらも同じもの。


27869.Re: まだ理解できません
名前:angel    日付:7月20日(木) 17時58分
> 間違いなのがショックです。
> こういう誤植ってたまにあるみたいですね。
> 生物の教科書でも誤植がありました。
> 教科書を信じてやっているだけに裏切られた気持ちでショックです。

勿論、教科書に間違いがないのが理想ですが、人間のやることですからミスはつきものです。
合っているか、間違っているかを自分で判断できる力をつけることです。
※問題の解法を組み立てる力と、論理・計算の妥当/不当を見分ける力は、また少し別物ですから。


27937.Re: まだ理解できません
名前:白雪キング    日付:7月25日(火) 10時1分
ありがとうございました!
レス遅れてすいません!

27851.分数の累乗について  
名前:藤原    日付:7月19日(水) 3時12分
1.95の1/3乗の答えがわかりません。
解き方を教えてください。
お願いします。



27862.Re: 分数の累乗について
名前:らすかる    日付:7月19日(水) 14時11分
x^3=1.95 とおくと
20x^3-39=0
f(x)=20x^3-39 とおいてニュートン法を適用すると
f'(x)=60x^2 なので
x ← x-(20x^3-39)/60x^2=(2/3)x+{39/(60x^2)}
1.2^3=1.728, 1.3^3=2.197 なので初期値を5/4として
(2/3)(5/4)+{39/(60(5/4)^2)}=937/750
(2/3)(937/750)+{39/(60(937/750)^2)}=2467970156/1975430250
従って x≒2467970156/1975430250≒1.249332977

http://www10.plala.or.jp/rascalhp

27850.応用解析学  
名前:あき    日付:7月19日(水) 0時56分
part4
周回積分1/2πi兎^iπ/z(z-1)^2 dzを求めなさい。積分路Cは原点を中心に半径2の円周に沿って1周するものとする。

27849.応用解析学  
名前:あき    日付:7月19日(水) 0時52分
part3
複素関数f(z)=u+ivの虚部v=3xy+3yが調和関数であることを示し、対応する正則関数f(z)を求めなさい。



27908.Re: 応用解析学
名前:soredeha    日付:7月23日(日) 11時50分
V が 調和関数 ⇔ V は C^2級であり、Vxx+Vyy=0
V=3xy+3y ⇒ Vx=3y、Vy=3x+3  --------------(0)
       Vxx=0、Vyy=0

f'(z)=Ux+iVx=(Uy+iVy)/i より   
Ux=Vy   ------------------(1)
Vx=-Uy  ------------------(2)
(0)を 代入
Ux=3x+3   ---------------(1')
3y=-Uy    --------------(2')  
(1') より  U=∫(3x+3)dx=(3/2)x^2+3x+h(y)  
これを (2') へ代入
3y=-h'(y)   h(y)=∫(-3y)dy=-(3/2)y^2+C
U=(3/2)x^2+3x-(3/2)y^2+C
f(z)=U+iV
  ={(3/2)x^2+3x-(3/2)y^2+C}+i(3xy+3y)
  ={(3/2)x^2+3xyi-(3/2)y^2}+(3x+3yi)+C
  =(3/2){x^2+2xyi-y^2}+3(x+yi)+C
  =(3/2)(x+iy)^2+3(x+yi)+C
  =(3/2)z^2+3z+C  ( C∈R )

27848.応用解析学  
名前:あき    日付:7月19日(水) 0時47分
part2
次式で与えられる閉曲線Cを複素平面上に図示し、周回積分∫z^2dzを求めなさい
z=2+e^(i/2)πt (0≦t≦1)
z=6+i-4t (1≦t≦2)
z=-2-ie^(i/2)πt (2≦t≦3)
z=3e^iπt (3≦t≦4)

27847.応用解析学  
名前:あき    日付:7月19日(水) 0時32分
大学のテスト勉強で分からない問題が4つあったので、解答の仕方と解答を教えて頂けますか?お願いします!
part1
Z^3=8の方程式を満足するすべての解を求め、複素平面上に図示しなさい。



27852.Re: 応用解析学
名前:ZELDA    日付:7月19日(水) 8時49分
Z=r(cosx+isinx) (0≦x<2π)とかける。
Z^3=r^3{cos(3x)+isin(3x)}=8(cos0+isin0)
ゆえにr=2, 3x=2nπ (n:整数)
ゆえにr=2, x=0,2π/3,4π/3
ゆえに、求めるZは
z=2,-1+√3,-1-√3


27853.Re: 応用解析学
名前:ZELDA    日付:7月19日(水) 8時50分
すいません。先ほどの答えですが、間違っています。
正しくは
Z=2, -1+i√3 ,-1-i√3


27854.Re: 応用解析学
名前:あき    日付:7月19日(水) 9時28分
頑張って理解します!ありがとうございます♪

27844.確率3  
名前:ひろ    日付:7月18日(火) 19時40分
2本の当たりくじが入っている20本のくじがある。
このくじをA,B,Cの順で1本ずつ引くとき、Bの当たる確率、Cの当たる確率を求めよ。
ただし、引いたくじは元にもどさない。



27860.Re: 確率3
名前:らすかる    日付:7月19日(水) 13時57分
20本のくじは、どれを引いても当たる確率が2/20=1/10ですから、
引く順番に関係なくB、Cの当たる確率もAと同じく1/10です。

地道に計算するなら、
(Aが当たる確率)=1/10
(Aが外れる確率)=9/10
(Aが当たった場合にBが当たる確率)=1/19
(Aが外れた場合にBが当たる確率)=2/19
従って
(Bが当たる確率)=(1/10)×(1/19)+(9/10)×(2/19)=19/190=1/10

(Aが当たった場合にBが外れる確率)=18/19
(Aが外れた場合にBが外れる確率)=17/19
(Aが当たってBが当たる確率)=(1/10)×(1/19)=1/190
(Aが当たってBが外れる確率)=(1/10)×(18/19)=18/190
(Aが外れてBが当たる確率)=(9/10)×(2/19)=18/190
(Aが外れてBが外れる確率)=(9/10)×(17/19)=153/190
(Aが当たってBが当たった場合にCが当たる確率)=0
(Aが当たってBが外れた場合にCが当たる確率)=1/18
(Aが外れてBが当たった場合にCが当たる確率)=1/18
(Aが外れてBが外れた場合にCが当たる確率)=1/9
従って
(Cが当たる確率)
=(1/190)×0+(18/190)×(1/18)+(18/190)×(1/18)+(153/190)×(1/9)
=342/3420
=1/10

http://www10.plala.or.jp/rascalhp


27872.Re: 確率3
名前:ひろ    日付:7月20日(木) 22時30分
らすかるさま
とても難しいですね
私には解くのは大変そうです

27842.確率1  
名前:ひろ    日付:7月18日(火) 19時37分
赤球、青球、白球がそれぞれ3個ずつ入っている袋がある。
この袋から3個の球を同時に取り出すとき、次の確率はいくつになるか。
(1)赤球、白球、青球が1個ずつである確率
(2)少なくとも1個は赤球である確率

宜しくお願いします



27861.Re: 確率1
名前:らすかる    日付:7月19日(水) 14時1分
(1) (3C1)^3/9C3=9/28
(2) 1-6C3/9C3=16/21

http://www10.plala.or.jp/rascalhp


27871.Re: 確率1
名前:ひろ    日付:7月20日(木) 22時30分
らすかるさま
ありがとうございました

27841.(untitled)  
名前:谷川    日付:7月18日(火) 19時33分
二次方程式x^2 + (a-8)x - (ab - 12) = 0がすべての実数aに対して実数解を持つような実数bの値の範囲を求めよ。



27863.Re: (untitled)
名前:らすかる    日付:7月19日(水) 14時21分
与方程式の判別式は
D=(a-8)^2+4(ab-12)=a^2+(4b-16)a+16
これが常に0以上になれば良いので、これをaの2次方程式とみて
重解を持つかまたは実数解なしであればよく、
D'/16=(b-4)^2-4=b^2-8b+12=(b-2)(b-6)≦0
∴2≦b≦6

http://www10.plala.or.jp/rascalhp

27840.円の中の円  
名前:yama    日付:7月18日(火) 19時5分
Original Size: 521 x 514, 27KB

図形問題の質問です。図のように径の分かっている円の中に、径が分かっている円を2つ描いた場合、残りのスペースに収容できる最大の円の径はどれくらいになるかを求めたくて考えていますが、どうも分かりません。

既知:R,r1,r2
求めたい:r3

補足
図のように半径Rの円の内側の円はそれぞれ接するものとします。


円の中の円が2つなら、とても簡単なのですが・・・
よろしければご教示ください
対象学年は・・・高校生になるのでしょうか?
高校卒業していても解けないので・・・



27845.Re: 円の中の円
名前:ヨッシー    日付:7月18日(火) 20時14分
こちらのような左右対称なら、簡単ですが、
かなりやっかいな式になりますね。
範囲としては、三平方の定理と、1次方程式なのですが・・・
 
http://yosshy.sansu.org/


27846.Re: 円の中の円
名前:angel    日付:7月18日(火) 23時35分
高校の知識で式はたてられますが、計算は高校の範囲では無さそうです。

まず一点注意点を。
r3 は、必ずしも最後の円が、他2円および外側の円全てに接するとき最大とは限りません。
場合によっては、1つの円は無くても同じでしょう。
※円2の方が円1より大きければ、円2・円3・外側の円の中心が一直線に並ぶ時が最大、というパターンがありうる。

それはそれとして、図のように接する場合。
円3が円1・外側の円に接する場合、円3の中心の軌跡は楕円です。
同じく、円3が円2・外側の円に接する場合も、軌跡は楕円です。
よって、円3の中心は、2つの楕円の交点(おそらく2通り)として求められます。


27896.Re: 円の中の円
名前:angel    日付:7月22日(土) 12時50分
高校の範囲で考えてみました。
外側の円の中心をO、半径を 1、それぞれの円の中心をA,B,X、半径を a,b,x ( 0<a,b,x<1 ) とし、
∠AOB=α,∠BOX=β,∠XOA=γ とすると、

 1. α+β+γ=360°
 2. △OABの3辺は、1-a, 1-b, a+b
 3. △OBXの3辺は、1-b, 1-x, b+x
 4. △OXAの3辺は、1-x, 1-a, x+a

1より、cos(β+γ)=cosα
sinを消すため、展開して移行して平方すると、
 (cosβcosγ-cosα)^2=(sinβ)^2(sinγ)^2
 (cosβcosγ-cosα)^2=(1-(cosβ)^2)(1-(cosγ)^2)
 ∴(cosα)^2+(cosβ)^2+(cosγ)^2-2cosαcosβcosγ=1
2 より余弦定理を適用すると、
 cosα=(1-a-b-ab)/((1-a)(1-b))
3,4 より
 cosβ=(1-b-x-bx)/((1-b)(1-x))
 cosγ=(1-x-a-xa)/((1-x)(1-a))
これらを、先ほどの cos だけの等式に代入することで、x の2次方程式ができあがります。

…計算がすごく面倒なので、その先は解いていません。

27835.お願いします  
名前:ABC    日付:7月18日(火) 17時52分
(1) x^3-1/x^2-x+1*x^3+1/x^2-2x+1÷x^2+x+1/x^2-1

(2) x^2+2x+4/x^2+4x+4÷x^3-8/2x+4*x^2-4/2x
この問題の計算がわかりません。
教えてください。



27836.Re: お願いします
名前:angel    日付:7月18日(火) 18時8分
…カッコが無いと分からない…
(1) (x^3-1)/(x^2-x+1) * (x^3+1)/(x^2-2x+1) ÷ (x^2+x+1)/(x^2-1)
(2) (x^2+2x+4)/(x^2+4x+4) ÷ (x^3-8)/(2x+4) * (x^2-4)/(2x)

として。
1.
 (与式)
 = (x-1)(x^2+x+1)/(x^2-x+1) * (x+1)(x^2-x+1)/(x-1)^2 ÷ (x^2+x+1)/( (x-1)(x+1) )
 = (x-1)(x^2+x+1)・(x+1)(x^2-x+1)・(x-1)(x+1) / ( (x^2-x+1)・(x-1)^2・(x^2+x+1) )
 = (x+1)^2

2.
 (与式)
 = (x^2+2x+4)/(x+2)^2 ÷ (x-2)(x^2+2x+4)/( 2(x+2) ) * (x-2)(x+2)/(2x)
 = (x^2+2x+4)・2(x+2)・(x-2)(x+2) / ( (x+2)^2・(x-2)(x^2+2x+4)・2x )
 = 1/x


27837.Re: お願いします
名前:ヨッシー    日付:7月18日(火) 18時17分
かなり良心的に読み解いて、
(1) (x^3-1)/(x^2-x+1)×(x^3+1)/(x^2-2x+1)÷(x^2+x+1)/(x^2-1)
(2) (x^2+2x+4)/(x^2+4x+4)÷(x^3-8)/(2x+4)×(x^2-4)/2x
と思われます。割り算は、分母子ひっくり返して
(1) (x^3-1)/(x^2-x+1)×(x^3+1)/(x^2-2x+1)×(x^2-1)/(x^2+x+1)
(2) (x^2+2x+4)/(x^2+4x+4)×(2x+4)/(x^3-8)×(x^2-4)/2x
までは良いでしょう。あとは、因数分解して
 x^3-1=(x-1)(x^2+x+1)
 x^2-2x+1=(x-1)^2
などです。すると、x^3-1 から出てきた x-1 と、x^2-2x+1 から出てきた x-1 とが
約分出来たりします。そうして、分母と分子をできるだけ簡単な式に
していきます。

それぞれ
 (1) x^2+2x+1
 (2) 1/x
になります。
 
http://yosshy.sansu.org/


27838.Re: お願いします
名前:ABC    日付:7月18日(火) 18時43分
よくわかりました
あと、カッコ書くの忘れてました。

27831.すいません!  
名前:ジャン    日付:7月18日(火) 0時41分
Size: 1KB

図形の問題なのですが、円に内接する四角形があり、AB=10、
BC=9、AC=8、BD=5、CD=4、∠BAD=∠CADの時
BE×ECは?という問題がわかりません。
どうかお願いします。



27832.Re: すいません!
名前:ジャン    日付:7月18日(火) 1時4分
Original Size: 512 x 384, 14KB

すいません!!図はこちらです。



27833.Re: すいません!
名前:ヨッシー    日付:7月18日(火) 9時11分

図の●を付けた角は、円周角などにより、すべて等しい角です。
よって、BE=CE であることもわかります。
また、△AECと△CEDは相似で、相似比は2:1であることと、
CEが共通に含まれることから、
 DE:CE:AE=1:2:4
となり、
 AD:DE=3:1
となります。ED=x とおくと、AD=3x となり、
方べきの定理より
 BD・CD=AD・DE
 20=3x^2
より、
 x^2=20/3
よって、BE=EC=2x より
 BE・EC=4x^2=80/3
 
http://yosshy.sansu.org/

27823.お願いしますw  
名前:OO高等学校    日付:7月17日(月) 14時0分
1、xについての二次方程式(1+i)x^2+2(a+i)x+(5-3i)=0 が実数解  つように、実数の定数aを求めよ。

2、xを未知数とする2つの二次方程式
   x^2+kx+3=0……@  x^2+x+3k=0……A
  が共通な解を持つようにkの値を定め、そのときの共通解を求めよ。



27824.Re: お願いしますw
名前:OO高等学校    日付:7月17日(月) 14時3分
一番の問題文の一部が抜けていました。↓です。宜しくお願いします。

1、xについての二次方程式(1+i)x^2+2(a+i)x+(5-3i)=0 が実数解を持つように、実数の定数aを求めよ。


27825.Re: お願いしますw
名前:チョッパ    日付:7月17日(月) 15時55分
1.
与式を(x^2+2ax+5)+(x^2+2x-3)i=0に変形することにより,
虚数単位iの係数が0になることと,x^2+2ax+5=0が実数解を持つことを条件にして考えてみては。。。

2.
共に実数解を持つためにはk^2≧12かつk≦1/12ですから,
k≦-2√3

また,共通解をαとすると,
α^2+kα+3=α^2+α+3k
(k-1)α=3(k-1)
k≠1なので。。。
あとはできますよね。多分。。。


27827.Re: お願いしますw
名前:OO高等学校    日付:7月17日(月) 17時42分
わかりましたァ〜
ありがとうございますww

27814.確率3  
名前:ひろ    日付:7月17日(月) 10時44分
原点Oから出発してすう直線上を動く点Pがある。サイコロを投げて出た目の数kに対して点Pは+kだけ移動するものとする。
サイコロを3回なげたとき、点Pの座標が15となる確率を求めよ。

連続ですが宜しくお願いいたします



27817.Re: 確率3
名前:らすかる    日付:7月17日(月) 12時16分
3回の和が15になるのは
(6,6,3)(6,5,4)(6,4,5)(6,3,6)
(5,6,4)(5,5,5)(5,4,6)
(4,6,5)(4,5,6)
(3,6,6)
の10通りなので、求める確率は 10/6^3=5/108

http://www10.plala.or.jp/rascalhp


27820.Re: 確率3
名前:ひろ    日付:7月17日(月) 13時28分
らすかるさま
和で考えればいいのですね。
ありがとうございました。

27813.確率2  
名前:ひろ    日付:7月17日(月) 10時42分
ある製品10個の中に振り用品が2個含まれている。この中から3個の製品を取り出すとき、少なくとも1個の不良品が含まれている確率を求めよ。
宜しくお願いします。



27816.Re: 確率2
名前:らすかる    日付:7月17日(月) 12時14分
不良品が1個も含まれていない確率は 7C3/10C3 なので
少なくとも1個の不良品が含まれている確率は 1-7C3/10C3=17/24

http://www10.plala.or.jp/rascalhp


27822.Re: 確率2
名前:ひろ    日付:7月17日(月) 13時37分
らすかる様

お尋ねします。
不良品が10個の中に2個含まれているので

>不良品が1個も含まれていない確率は 7C3/10C3 なので

この部分の8_C_3/10_C_3=8/15ではダメなのでしょうか


27826.Re: 確率2
名前:らすかる    日付:7月17日(月) 15時58分
あ、そうですね。間違えました。
1-8C3/10C3=8/15 でした。

http://www10.plala.or.jp/rascalhp

27812.確率1  
名前:ひろ    日付:7月17日(月) 10時41分
赤球が4個と白球が2個入った袋がある。いま、この袋から同時に球を2個取り出す。このとき、赤球を2個取り出す確率はいくつか。
赤球を1個と白球を1個取り出す確率はいくつか。

宜しくお願いします。
最初は2/5ちょっと不安です



27815.Re: 確率1
名前:らすかる    日付:7月17日(月) 12時12分
前半は 4C2×2C0/6C2=2/5
後半は 4C1×2C1/6C2=8/15

http://www10.plala.or.jp/rascalhp


27821.Re: 確率1
名前:ひろ    日付:7月17日(月) 13時29分
らすかるさま
助かりました。
ありがとうございました

27807.角の三等分  
名前:まど    日付:7月16日(日) 22時14分
1つの直線上に4点B、D、E、Cがこの順にあり、BD=4、DE=2、EC=3である。この直線上にない点AがあってAD、AEが∠BACを3等分する。このとき、AH⊥BCとなる点HをBC上にとると、点Hは線分(直線ではない)DE上にあることを示せ。
という問題が出されました。
教えていただけないでしょうか.



27808.Re: 角の三等分
名前:まど    日付:7月16日(日) 22時16分
1つの直線上に4点B、D、E、Cがこの順にあり、BD=4、DE=2、EC=3である。この直線上にない点AがあってAD、AEが∠BACを3等分する。このとき、AH⊥BCとなる点HをBC上にとると、点Hは線分(直線ではない)DE上にあることを示せ。
という問題が出されました。
教えていただけないでしょうか。


27810.Re: 角の三等分
名前:angel    日付:7月17日(月) 1時39分
△ABEではADが∠BAEを、
△ADCではAEが∠DACを二等分しています。
そのため、
 AB:AE=BD:DE=4:2
 AD:AC=DE:EC=2:3

さて、△ABEで考えたとき。
 AB:AE=4:2
 BH=√(AB^2-AH^2), HE=√(AE^2-AH^2)
のため、AH:HE の比は、4:2 よりも大きくなります。
つまり H は BEを4:2に内分する点DよりもE側。

同様に、△ADCで考えたとき、H は E よりも D側。

つまり、H は線分DE上にあります。

解答を書く時には、表現をちょっと考えた方が良いですが…


27819.Re: 角の三等分
名前:まど    日付:7月17日(月) 13時27分
助かりました。ありがとうございます。

27804.数列  
名前:至眞    日付:7月16日(日) 13時58分
等差数列{a[n]}(n=1,2,・・・)の初項から第n項までの和をS[n]とする。S[n]を大きい順に並べると第3項までそれぞれ22,21,20となるとき、この数列の一般項a[n]を求めよ。ただし、a[n]は無限数列とする。

問題の意味が良く分かりません。教えてください。



27806.Re: 数列
名前:angel    日付:7月16日(日) 22時6分
初項が正の数、項差が負の数のため、途中で数値が正→負に反転します。
そのため、和を考えると、最初のうちは増加していきますが、
項の数値が負に転じたところから減少していく、という状況です。

正→負に反転する部分をイメージしてみましょう。


27811.Re: 数列
名前:至眞    日付:7月17日(月) 7時40分
自分に読解力がないだけに話なので、何を言ってもご了承ください。
分からないところをはっきりします。
>S[n]を大きい順に並べると第3項までそれぞれ22,21,20となるとき
とありますがS[n]を大きい順に並べるとはどういうことですか。S[n]は複数あるんですか。そこがもうよく分かりません。また第3項までとはS[n]の初項から第3項までということですか。


27828.Re: 数列
名前:angel    日付:7月17日(月) 19時0分
何かしら数列を考えて、状況をシミュレートしてみましょう。

例えば、a[n]=21-5n、つまり、
 16, 11, 6, 1, -4, -9, …
という数列を考えてみると、その先頭n項の和は S[n]=n(37-5n)/2
 16, 27, 33, 34, 30, 21, …
という、これまた数列をなします。
この S[n] の中で大きい項を順番に並べれば、
 S[4]=34, S[3]=33, S[5]=30, S[2]=27, S[6]=21, …
となるわけです。

ここでは、a[n] の4,5項目で正→負の切り替わりが起こっており、S[n]に関しては、4項目が単調増加・減少の境目になっています。


27829.Re: 数列
名前:至眞    日付:7月17日(月) 19時43分
本当にありがとうございます。めちゃくちゃすっきりしました。お蔭で問題の意味を理解する事が出来ました。これでもう一回挑戦したいと思います。


27830.Re: 数列
名前:至眞    日付:7月17日(月) 23時48分
いやあ、もう一回挑んだんですが分かりませんでした。情けない。出来れば教えてください。


27834.Re: 数列
名前:ヨッシー    日付:7月18日(火) 11時20分
まず、公差はマイナスであることは分かりますか?
公差がプラスなら、どんな小さい数(マイナスで絶対値が大きい)から
始めても、ずっと先で必ず、正になるので、和も無限に大きくなります。

angel さんの 27828番の記事にもあるように
最大値の前後では、単調増加→最大値→単調減少 となります。
ですから、この問題の場合、最大値の前後では
 20, 21, 22, ・・・  ………(1)
 20, 22, 21, ・・・  ………(2)
 21, 22, 20, ・・・  ………(3)
 22, 21, 20, ・・・  ………(4)
のいずれかになっているはずで、21, 20, 22 や 22, 20, 21 のようにはなりません。
(1)の場合、第n項までの和が20 とすると、第n+1項、第n+2項は、
 21-20=1, 22-21=1 より、公差が0となり不適。
以下、同様に第n+1項、第n+2項と公差を調べると、
(2) 2, -1 公差-3
(3) 1, -2 公差-3
(4) -1, -1 公差0
ここで(4)が候補から消えます。
(2)において、第n+1項の 2 から逆にたどると
 2, 5, 8, 11 となり、
 2+5+8=15, 2+5+8+11=26 で、和が22 になりません。
(3) において、第n+1項の 1 から逆にたどると、
 1, 4, 7, 10 で和が22になります。
(以下略)
 
http://yosshy.sansu.org/


27839.Re: 数列
名前:angel    日付:7月18日(火) 18時53分
ヨッシーさん、フォローありがとうございます。

さて、問題のa[n]は、初項から途中のある項までが正、そこから先が負、となっていますので、最後の正の項までの和が、S[n]の最大値であることは分かりやすいのですが…。
No.2, No.3 はどれか、というところには一応注意。
a[n]が正→負に切り替わるあたりを見てみると、
 ここまでの和:小 → 項は正、和:中 → 最後の正の項、和:大
 最後の正の項、和:大 → 最初の負の項、和:中 → 項は負、和:小
というように、和は 小→中→大→中→小 で推移します。
これら以外は、No.2, No.3 に関わりはありませんが、では「小」はどうでしょうか? 把握しておく必要があります。
※No.1〜3 は「大中中」の組合わせではなく、「大中(左)小(左)」や「大中(右)小(右)」である可能性も、まだ否定できないため、

最後の正の項を p>0, 公差を -d (d>0, d>p), 和の最大値を M とすると、和の推移は
 M-2p-d → (+p-d): M-p → (+p): M → (+p-d): M+p-d → (+p-2d): M+2p-3d
ここで、
 中(左)-小(右):
  ( M-p ) - ( M+2p-3d ) = 3(d-p) > 0
 中(右)-小(左):
  ( M+p-d ) - ( M-2p-d ) = 3p > 0
であることから、やはり「小」がNo.3以内に入ることはないと分かります。

※和が n の2次関数として表されることを考えると、実は自明ともいえるのですが…
※細かく言うと、2項目がいきなり負になるパターンも言及し、それは無いことを示しておく必要もあるとは思います。


27855.Re: 数列
名前:至眞    日付:7月19日(水) 12時7分
本当にお二方とも感謝いたします。こんなに詳しく書いてくれるとは思いませんでした。これでもう完璧に理解する事が出来ました。ありがとうございました。

27803.交項級数について。  
名前:Mika    日付:7月16日(日) 12時47分
チョット自信が無いので質問させて頂きます。

(1)∞
   ((-1)^n)(n!)/[(n + 1)!]
   n=1

(n!)/[(n + 1)!]はダランベールの判定法により発散ですが。
n=1        
ライプニッツの法則により収束するので2つの結果から条件収束になるのでしょうか?

(2)

倍(-1)^k}{k^(-10/11)}
k=1

この場合ですと納n=1→∞](1/n^p) , p>1の時に収束。よって発散し、またライプニッツの定理により収束し条件収束。
この考えで良いでしょうか?

27800.二次関数 最小・最大の文章問題  
名前:高3の夏    日付:7月15日(土) 23時23分
初めてですがどうぞよろしくお願いします。
この二次関数の文章問題の解き方がわかりません!
どうかお願いします!!

ある商品は1個の値段が100円のとき1日200個売れる。
1個の値段が1円下げるごとに、1日の売り上げ個数が3個
ずつ増えることがわかっている。1日の売り上げ高を最大に
するには何円値下げすればよいか。

この問題の解き方をお願いします。



27801.Re: 二次関数 最小・最大の文章問題
名前:チョッパ    日付:7月16日(日) 9時7分
おはようございます。
x円値下げしたときに,売り上げ高が最大になったとします。
x円値下げすると200+3x個売れるので,
その売り上げ高をy円とすると,
y=(100-x)(200+3x)となります。ただしxは0以上の整数。
y=-3x2+100x+20000
y=-3(x2-100x/3)+20000
y=-3(x-50/3)2-2500/3+20000
y=-3(x-50/3)2+57500/3
ここでx=50/3のとき最大になりますが,xは0以上の整数なので,x=17のとき最大になります。
(16<50/3<17より,17の方が50/3に近いため。)


27802.訂正です。
名前:チョッパ    日付:7月16日(日) 9時12分
ただしxは0以上の整数。⇒xは0以上100以下の整数。


27809.Re: 二次関数 最小・最大の文章問題
名前:高3の夏    日付:7月16日(日) 23時11分
チョッパさん詳しい解説ありがとうございます!!
おかげでよくわかりました!

27796.円周上に異なる4点があるとき  
名前:白雪キング    日付:7月15日(土) 19時24分
異なる4点 a,b,c,d が|a|=|b|=|c|=|d|,
a+b+c+d=0を満たすとき、a,b,c,dを頂点とする四角形は
長方形であることを証明せよ。

問題集582番の問題なんですが、それでは
4点a,b,c,d,をそれぞれA,B,C,Dとして
(a+b)/2=-(c+d)/2
を1番として、線分AB,CDの中点をそれぞれM,Nとする。
となっているんですが
a+b≠0のときは図が想像できて分かるんですが
a+b=0のときには図が想像できないのでどうして長方形が成立するのか
よく分かりません。

おしえてください。
おねがいしますー!



27797.Re: 円周上に異なる4点があるとき
名前:angel    日付:7月15日(土) 22時8分
複素平面の問題ですね。

a+b=0 の時の方がやりやすいように思います。
a+b=0 であれば、A,B は、原点に関して対称な位置にきます。
この時、c+d=0 も成立しているので、C,D も原点に関して対称。

つまり、対角線 AB,CD は、互いに他を二等分するため、□ACBD は平行四辺形。
また、AB,CD は、原点を中心とする、半径 |a|( =|b|=|c|=|d| )の円の直径になりますから、AB=CD

よって、□ACBD は、対角線の長さが等しい平行四辺形 = 長方形。


27856.Re: 円周上に異なる4点があるとき
名前:白雪キング    日付:7月19日(水) 12時10分
ありがとうございましたー!
対角線上にAB,CDがあるってことなんですね。
気づけなかったです

27795.極座標  
名前:白雪キング    日付:7月15日(土) 19時9分
直交座標で表された点を極座標(r,θ) (r≧0,-π<θ≦π)になおせ。

1)(-1,0)
2)(0,-1)
3)(-√3,-1)

問題自体は分かるんですが
どうにも分からない点があります。
条件なんですが
(r≧0,-π<θ≦π)
-π<θ≦πだったら、範囲は-180°<θ≦180°、ということですよね。
それならば、範囲は180°一つだけになってしまわないでしょうか?
-180°より大きくて180°より小さいのは180°しかないように思えるんですが。。

おねがいします!



27799.Re: 極座標
名前:angel    日付:7月15日(土) 22時23分
> -π<θ≦πだったら、範囲は-180°<θ≦180°、ということですよね。
> それならば、範囲は180°一つだけになってしまわないでしょうか?
> -180°より大きくて180°より小さいのは180°しかないように思えるんですが。。

いいえ。θを小さい方から大きい方に推移させていくと、
 -180°→ -90°→ 0°→ 90°→180°
これはちょうど、
 180°→ 270°→ 360°≡0°→90°→180°
と推移させているのと同じこと。

例えば 3) の問題であれば、(2, -5π/6) ( -5π/6(rad)=-150°) ですね。
θの範囲が 0≦θ<2πであれば、(2, 7π/6) ( 7π/6(rad)=210°) としているところです。


27859.Re: 極座標
名前:白雪キング    日付:7月19日(水) 12時23分
なるほど!
ありがとうございました!
範囲が180°だけってのもおかしな話でしたよね。
うっかりでした!

27794.極方程式  
名前:白雪キング    日付:7月15日(土) 19時3分
次の直交座標による方程式を、極方程式になおせ。
三角関数の合成の部分がよく分かりません。
分かりやすく教えてもらえないでしょうか?
x=rcosθ,y=rsinθを代入するのは分かるのですが
三角関数の合成計算がなんともしがたい。。

1)x+√3y=2
2)x^2 +y^2 +2x-2y=0
3)x^2 -y^2=1

2)の計算式の途中
r^2 +2r(cosθ-sinθ)
=r^2 +2(√2)rcos(1/(√2)cosθ-1/(√2)sinθ)
例えばこれは
√2がどうして追加する数字に選ばれたんでしょうか?
他の数字ではダメだったんでしょうか?
そしてどうしてカッコ外にcosがでてきてしまっているのに
カッコ内は1/(√2)がかけられているだけですんでいるんでしょうか?

とまあ、このように三角関数の合成部分ですごく悩んでいます。
おねがいします。
おしえてくださいー!



27798.三角関数の合成
名前:angel    日付:7月15日(土) 22時16分
極方程式に関わらず、三角関数の合成一般のお話として。

 a・sinθ + b・cosθ
 = √(a^2+b^2)・( a/√(a^2+b^2)・sinθ + b/√(a^2+b^2)・cosθ )

と変形します。すっきりさせるために、
 α = a/√(a^2+b^2) )^2, β= b/√(a^2+b^2)
と置きましょうか。すると、

 a・sinθ + b・cosθ
 = √(a^2+b^2)・( α・sinθ + β・cosθ )

この時、α^2+β^2=1 が成立するため、あるφに対して、
 cosφ=α, sinφ=β
が成立します。
よって、
 a・sinθ + b・cosθ
 = √(a^2+b^2)・( cosφ・sinθ + sinφ・cosθ )
 = √(a^2+b^2)・sin(θ+φ)

そのため、√(a^2+b^2) という数字が出て来るわけです。α^2+β^2=1 なる α,βを作り出すために。


27858.Re: 極方程式
名前:白雪キング    日付:7月19日(水) 12時22分
ありがとうございましたー!
まだちょっと疑問が残ったので
質問させてもらいました!
問題自身の解き方もよく分かってなかったんですよね。
でも三角関数の合成方法は
あやふやながら分かりました!

27788.因数分解について  
名前:トン(社会人)    日付:7月14日(金) 22時31分
因数分解の方法が解かりません。次のような問題でした。
-(x-2z)y+(x+2z)(x-2z)
上の式を因数分解すると
(x-2z)(x-y+2z)となるとありました。
どのようにして因数分解するのでしょうか?
宜しくお願いします。



27791.Re: 因数分解について
名前:のぼりん    日付:7月15日(土) 0時22分
x−2z が共通因数なので、それで括ると、解答の式が得られます。


27792.Re: 因数分解について
名前:トン(社会人)    日付:7月15日(土) 7時37分
解かりました。
ありがとうございます

27786.漸化式  
名前:白拓    日付:7月14日(金) 20時36分
A[1]=1
A[n]=A[n-1]+Σ[k=1〜n-1]A[k]*A[n-k] (n>1)

という漸化式を解いて、A[n]を一般的な式で表してください。
よろしくお願いします。



27787.Re: 漸化式
名前:らすかる    日付:7月14日(金) 21時56分
↓ここによると、
http://www.research.att.com/~njas/sequences/A006318
A[n]=Σ[k=0〜n-1]{(n+k-1)C(n-1)×(n-1)Ck/(k+1)}
となるらしいです。

http://www10.plala.or.jp/rascalhp


27790.Re: 漸化式
名前:白拓    日付:7月15日(土) 0時0分
ご返信ありがとうございます。
この漸化式は
 00101000001212021 のように
(1) 左から数えたとき、常に0の個数の方が1と2の個数の和より大きい
(2) 0の個数をnとしたとき列全体の数字の個数は2n-1,列の数字は0,1,2のいずれか。
(3) 列中に11と22の並びがない。
という規則をみたす0の個数がnの列の組み合わせA[n]についてのものです。
一般的な式は単純な形にならないようですね。

27782.(untitled)  
名前:あやめ    日付:7月13日(木) 21時33分
友人から貰った問題なんですが
「不等式(x^2-1)/3≦y,y≦x/4の表すxy平面内の領域をDとする。次の式の最大最小を求めよ。また、最大最小値が無いときはそれを示し、解答欄に×と記入しなさい。
(1)x+y
(2)x^2+y^2+xy
(3)x^3+2x^2+x-3xy-4x」
です。[1]はなんとか・・・ですが、それ以降が分からないです××
(問題に間違いがあったので一部訂正しました)

27774.不等式の証明  
名前:けん    日付:7月13日(木) 0時25分
(1+a^3)(1+b^3)(1+c^3)≧(1+abc)^3を証明するにはどうしたらいいでしょうか。



27777.Re: 不等式の証明
名前:    日付:7月13日(木) 11時34分
a=b=-1、c=1のとき、成立しませんので、非負とします。

うまい方法があるのでしょうが、まともにやっても大変ではありません。
両辺を展開して引き算すると、与式は次と同値です。
(b^3c^3+c^3a^3+a^3b^3-3a^2b^2c^2)+(a^3+b^3+c^3-3abc)≧0
さて、
a^3+b^3+c^3-3abc=(a+b+c)((b-c)^2+(c-a)^2+(a-b)^2)/2≧0
ですので、
a,b,cの代わりにbc,ca,abを入れてやればもう一方も示せます。

27770.極限  
名前:ケン    日付:7月12日(水) 20時32分
f(x)=sinxの剰余項R2n+1に付いて、limn→∞|R2n+1|を求めよ。ただし、R2n+1は
Sinx=nΣk=1((-1)^k-1・x^2k-1/(2k-1)!)+R2n+1で定義されるものである。
以下の様に解きました。
R2n+1=(-1)^n・cos(θx)・x^2n+1/(2n-1)!でこれをn→∞にしたらどうなるんでしょうか?

27769.数V  
名前:猫子    日付:7月12日(水) 19時25分
お願いします教えて下さい。。

曲線y=x^4-3x^2+2とx軸で囲まれた部分の面積Sを求めよ



27776.Re: 数V
名前:ヨッシー    日付:7月13日(木) 10時38分
まずは、x^4−3x^2+2=0 を解いて、x軸との交点を調べます。
x^2=X とおくと、
 X^2−3X+2=0
 (X−1)(X−2)=0
 X=1,2
 x=±1,±√2
よって、図のようなグラフになります。

f(x)=x^4−3x^2+2 において、f(-x)=f(x) なので、グラフはy軸に
対して、対象です。よって、図の黄色の部分を求めて2倍すれば良いです。

∫[0〜1]f(x)dx−∫[1〜√2]f(x)dx を求めます。
 (与式)=(中略)=(12-4√2)/5
2倍して、(24-8√2)/5 です。
 
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27768.これどうなるんですか?  
名前:まど    日付:7月12日(水) 18時12分
直角に交わっている半直線OA、OBがあり、OA上に点P、OB上に点Qをとって、PQ=1cmになるように動かすとき、PQの通る部分の面積はいくらですか。



27772.Re: これどうなるんですか?
名前:angel    日付:7月12日(水) 23時58分
P,QがOに一致する場合は抜いて考えてみます。
OP=cosφ,OQ=sinφ なるφ ( 0<φ<π/2 ) が存在して、
PQの方程式は、x/cosφ+y/sinφ=1

これを x=p (0<p<1) で斬ってみます。

p/cosφ+y/sinφ=1 かつ、0<φ<π/2 かつ p≦cosφ なるφが存在するため、
y=sinφ-ptanφ (0<φ<π/2, p≦cosφ)

微分して増減を考えると、cosφ=p^(1/3) の時が極大、0≦y≦(1-p^(2/3))^3

P,QがOに一致する場合も含めると、領域の境界は (p,(1-p^(2/3))^3) という点からなる軌跡、x^(2/3)+y^(2/3)=1 (0≦p≦1 より 0≦x,y≦1)
パラメタで書けば、x=(sinθ)^3, y=(cosθ)^3 (0≦θ≦π/2)
この曲線と x軸・y軸で囲まれた領域がPQの通過する範囲となります。

面積は、
∫[0,1] ydx
= ∫[0,π/2] y・dx/dθ dθ
= ∫[0,π/2] 3(cosθ)^4・(sinθ)^2 dθ
= 3/16


27805.Re: これどうなるんですか?
名前:まど    日付:7月16日(日) 22時3分
本当にありがとうございました。

27766.(untitled)  
名前:(>_<)    日付:7月12日(水) 16時54分
改めて質問させていただきます。
問題1idiv(A,B)に相当するプログラムを書いてください。
問題2ニュートン法で√xの近似値を求めるプログラムを書いてください。
問題2はなんとかもう少しでできそうなんですが、
def sqrtByNewton(A){
Epsilon =0.0001;
P=0;
Q=deval(A);
if(!((Q-P>-Epsilon)&&(Q-P<Epsilon))){
P=Q;
print(Q);
Q=P-(P*P-A)/(2*P);
}
return(Q);
}
多分これで大丈夫かと思うんですが…見て頂けたらうれしいです。
問題1は整数の場合なんですが、整数問題にちかいと混乱してしまいます。お願いします。
def idvi(A,B){
…先ほどのN%Kに相当するプログラムに近いやつでしょうか?



27773.Re: (untitled)
名前:ast    日付:7月12日(水) 23時2分
お示しのプログラムだと, P=0 のとき困るのを除けば, if 文でなく while 文にするだけで大体動くんじゃないでしょうか. if 文だと繰り返してくれません.

def abs(X){
if(type(X) != 1){print("argument missmatch"); break;}
if(X < 0){X = -X;} else {X = X;}
return(X);
}

def newton(F,K,X0){ /* F:def-poly, K: opt-error order */
if(type(F) != 2 && type(K) != 1){print("argument missmatch"); break;}
E = 10^(-K);
V = var(F);
X = X0;
while(abs(subst(F,V,X)) > E){
X=X-(subst(F,V,X))/subst(diff(F,V),V,X);
}
X = deval(X);
return(X);
}

def sqrt_new(A){
X=newton(x^2-A,8,1);
return(X);
}

/* demo */
for(I=0;I<100;I++){
print(deval((I/100)^(1/2) - sqrt_new(I/100)));
}

end$

くらいでなんとなく動いてるような感じではあります. もちろん, この例示でも分母が 0 になるのとかをどうするかとかぜんぜん気にしてないので, たまにエラー吐きます. あとどっかに爆発して飛んでくかどうか, それも気にしていません.


27781.Re: (untitled)
名前:(>_<)    日付:7月13日(木) 20時24分
確かにそうでした。m(_ _)m
今日やってみたところエラーでした。
問題1も問題2出来ましたm(_ _)m
ありがとうございました。

27761.ライプニッツの定理  
名前:ネスタ    日付:7月12日(水) 1時25分
(x^2-1)dv/dx=2nxv・・(b) (v=(x^2-1)^n)とし(b)の両辺を(n+1)回微分するとどうなるかという問題なんですが、ライプニッツの定理を使うのはわかるのですがいまいちわかりません。
よろしくお願いします。
回答は、(x^2-1)・d(n+2)v/dx^n+2+(n+1)・2x・d^n+1/dx^n+1+(n(n+1))/2・2・d^nv/dxです。



27775.Re:
名前:soredeha    日付:7月13日(木) 10時0分
[d^n+1/dx^n+1](x^2-1)dv/dx=[d^n+1/dx^n+1]dv/dx(x^2-1)
.

27758.三角関数  
名前:三朗    日付:7月11日(火) 20時14分
A + B + C = πのとき等式cosAcosBcosC = 1が成り立つとする。
このとき、cos^2A + cos^2B + cos^2Cの値を求めよ。



27763.Re: 三角関数
名前:ヨッシー    日付:7月12日(水) 5時28分
−1≦cosx≦1 なので、cosAcosBcosC = 1 が成り立つには、
cosA = cosB = cosC = 1 または cosA = cosB = -1, cosC = 1
などの場合しかありませんが、いずれの場合も
A + B + C は、πの偶数倍になるので、A + B + C = π になることはありません。

cosA + cosB + cosC = 1
である可能性はありませんか?
 
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27780.Re: 三角関数
名前:コブクロ    日付:7月13日(木) 20時18分
問題はあっています。


27785.Re: 三角関数
名前:ヨッシー    日付:7月14日(金) 18時40分
出典は何でしょうか?
また、対象学年は?
 
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27789.Re: 三角関数
名前:コブクロ    日付:7月14日(金) 22時40分
定期テストの問題です。高2です。


27793.Re: 三角関数
名前:ヨッシー    日付:7月15日(土) 10時46分
では、模範解答というものがあるはずですね。
それを参照してみてください。

もしくは、先手を打って、上の私の回答を、先生に見せて吟味してもらってみては?
「A,B,Cは、実数とは言ってないよ。」と切り返されるかも知れませんが。
 
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27749.だ円  
名前:白雪キング    日付:7月11日(火) 12時0分
中心をOとする定点C1とその内部の点Aを中心とする
定円C2がある。C1に内接し、C2に外接する円の中心Pの
軌跡はだ円になることを示せ。

だ円の証明がどうにも分かりません。
焦点をだすらしいのですが
抽象的な式ばかりが繰り返されてよく分かりません。

できれば詳しく教えてもらいたいです。
おねがいします。



27751.Re: だ円
名前:angel    日付:7月11日(火) 13時45分
だ円というのは、
 ある2定点F,F'に対し、FP+F'P が一定となる点 P の軌跡
です。( この F,F' を、だ円の焦点と呼びます )

なので、この F,F' に相当する点を見つけ出し、FP+FP' が一定の値になることを示す、というのが基本方針。

この問題では、出てくる定点が A,O 位しかないので、これを焦点の候補として考えてみましょう。
C1の半径を R, C2の半径を r, 件の円(中心P)の半径を x とすると、
円の内接/外接の条件
 内接:OP=R-x
 外接:AP=x+r
を使えば、OP+AP=R+r (一定) が分かり、Pの軌跡が、A,Oを焦点とするだ円(の全部または一部)であることが分かります。


27752.Re: だ円
名前:白雪キング    日付:7月11日(火) 14時14分
ありがとうございました。
だ円というものにまだ慣れていませんが
焦らず理論的に考えて解いていけばいいのか、というのが分かりました。

27748.内分、外分  
名前:白雪キング    日付:7月11日(火) 11時57分
円x^(2)+y^(2)=16上の点Pからx軸へ垂線PHをひく。このとき、
次の軌跡の方程式を求めよ。

(1)線分PHを1:3に内分するQの軌跡

内分だから(3a+b)/(1+3)。
a,bはどの部分に当たるのかよくわかりません。

(2)線分PHを1:3に外分するRの軌跡

これも(-3a+b)/(1-3)。
a,bがどの部分に当てはめればいいのか分かりません。

詳しく教えてください。
おねがいします。



27750.Re: 内分、外分
名前:ヨッシー    日付:7月11日(火) 13時12分
まず、軌跡がどのような図形になるか、グラフ上で想像しましょう。
少なくとも、こういう図を描くことは必要でしょう。

Qの座標を(X,Y) とすると、Pの座標は、x座標は同じ、y座標は4/3倍
拡大した位置にあるので、P:(X, 4Y/3)。
これが x^2+y^2=16 を満たすので、
 X^2+(4Y/3)^2=16
よって、Qの軌跡は
 x^2+16y^2/9=16
 x^2/16+y^2/9=1
 
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27753.Re: 内分、外分
名前:白雪キング    日付:7月11日(火) 14時18分
ありがとうございました。
外分の場合はどうなるのでしょうか?
公式で考えるとややこしくなりますね。
1:3だから3倍、ということでしょうか?

こちらも教えてもらえないでしょうか
内分のほうは公式で考えず、3/4というのは
分かりました。
でも外分となるとどうなるのか
よくわかりません。
おねがいします。


27754.Re: 内分、外分
名前:ヨッシー    日付:7月11日(火) 17時30分

まずは、図を描きましょう。
 
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27755.Re: 内分、外分
名前:angel    日付:7月11日(火) 17時31分
・RP:RH=1:3
・R,P,H が、この順で一直線上
→ つまり、RP:PH=1:2 ( RP:RH=RP:(RP+PH)=1:3 )

というのが 1:3に外分。
1:3というのは同じで、内分の場合は Q は PH の内側、外分の場合は R は PH の外側 ( この場合は P の外 )、という違いが出ます。


27784.Re: 内分、外分
名前:白雪キング    日付:7月14日(金) 17時23分
わかりましたー
ありがとうございましたー^^

27744.算数  
名前:yoshida    日付:7月11日(火) 2時18分
すみませんが、算数の問題なんですが
ABCの3人の年齢の和が124歳で
BがAの3倍の年齢の時にCが生まれた
CがBの3倍の年齢の時Aは14歳だった
ABCそれぞれの年齢を求めなさい
と言う問題を算数的に教えていただけませんか?
よろしくお願いします<(_ _)>



27746.Re: 算数
名前:らすかる    日付:7月11日(火) 8時51分
「BがAの3倍の年齢の時にCが生まれた」 … (1)
「CがBの3倍の年齢の時Aは14歳だった」 … (2)
(1)から B≧A≧C … (3)
(2)から C≧B … (4)
(3)(4)から A=B=C これは(2)に矛盾するので解なし。

問題が間違っていませんか?

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27747.Re: 算数
名前:ヨッシー    日付:7月11日(火) 9時3分
さらに、仮に
「BがCの3倍の年齢の時Aは14歳だった」
であっても、年齢算としては、解けません(整数解なし)。
そこで、
「3人の年齢の和が123歳」
「BがCの3倍の年齢の時Aは15歳だった」
として考えます。

図の上のような、2つの図が考えられます。
右の図の、四角で囲った部分は、左の図と同じです。
そこで、両者の目盛りが一致するように、右の図のBを9等分すると、
下のようになります。
小さい目盛り1つ分が、3歳(Aの15歳の時の5分の1)となるので、
右の図での3人の年齢は、ABCの順に、15,27,9 合計51であるので、
合計123になるようにそれぞれ (123−51)÷3=24 を足して、
 39,51,33
となります。
 
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27743.ベクトルです。  
名前:おおぬき    日付:7月11日(火) 0時31分
初めまして,おおぬきと申します。
いつも楽しく拝見させていただいてます。

問題は以下です。

2点A(-1,2),B(1,2)でm+n=1が成り立つとき,OC=m^2OA+n^2OB を満たす点Cはどのような図形上にいるか。(ただし,OA,OB,OCはそれぞれベクトル)

宜しくお願い致します。

ちなみに,私が出せた答は,放物線となりました。



27756.Re: ベクトルです。
名前:ヨッシー    日付:7月11日(火) 17時53分
Cの座標を(x,y) とすると、n=1-m とあわせて、
(x,y)=m^2(-1,2)+(1-m)^2(1,2)
 x=-2m+1
 y=4m^2-4m+2=(-2m)^2+2(-2m)+2
-2m=x-1 を代入して、
 y=(x-1)^2+2(x-1)+2 = x^2+1
となり、放物線になります。
 
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27731.ローラン展開  
名前:ぽん    日付:7月10日(月) 12時31分
次の関数についてz=0まわりのローラン展開の主要部を求めよ。(1)(z+1)/z^3(1+z^2+z^4) (2)1/sin^2 z お願いします。
どのようにローラン展開したらいいんでしょうか?



27762.Re: ローラン展開
名前:soredeha    日付:7月12日(水) 1時39分
(1)(z+1)/z^3(1+z^2+z^4)
|z|<1/2 ⇒ |-(z^2+z^4)|=|z|^2|1+z^2|≦|z|^2(1+|z|^2)
<(1/4)(1+1/4)<(1/4)・4=1
1/(1+z^2+z^4)=1 - (z^2+z^4)+(z^2+z^4)^2 - (z^2+z^4)^3+・・・
=1 - z^2+0z^3+・・・
(z+1)/(1+z^2+z^4)=(z+1)(1 - z^2+0z^3+・・・)
        =1z - z^3+0z^4+・・・
       +1 - z^2+0z^3+・・・
         =1+z - z^2 - z^3+・・・
(z+1)/z^3(1+z^2+z^4)=(1+z - z^2 - z^3+・・・)/z^3
          =1/z^3+1/z^2 - 1/z - 1+・・・
(2)
1/(sinz)^2=1/{z - (1/3!)z^3+・・}^2
     =1/{z^2 - (1/3)z^4+・・・} 
     =(1/z^2){1 - (1/3)z^2+・・・}^(-1)  
=(1/z^2){1+(1/3)z^2+・・・}
=1/z^2+1/3+・・・


27778.Re: ローラン展開
名前:ぽん    日付:7月13日(木) 12時20分
1/{z^2 - (1/3)z^4+・・・}=(1/z^2){1 - (1/3)z^2+・・・}^(-1) =(1/z^2){1+(1/3)z^2+・・・}
(2)についてここの変形がわかりません。あと1/3ではなくて1/3!ではないのでしょうか??ありがとうございます。


27779.Re: ローラン展開
名前:ぽん    日付:7月13日(木) 12時27分
すいません追加です。(1)について 1 - (z^2+z^4)+(z^2+z^4)^2 - (z^2+z^4)^3+・・・=1 - z^2+0z^3+・・・
の変形も教えてください。


27783.Re: ローラン展開
名前:soredeha    日付:7月14日(金) 5時52分
>(1)について 1 - (z^2+z^4)+(z^2+z^4)^2 - (z^2+z^4)^3+・・・
=1 - (z^2+z^4)+{四次以上}
=1 - z^2+0z^3+・・・

(2)
1/(sinz)^2=1/{z - (1/3!)z^3+・・}{z - (1/3!)z^3+・・}
     =1/{z^2 - (1/3!)z^4 - (1/3!)z^4+・・・} 
     =(1/z^2)1/{1 - [(1/3)z^2+・・・]}  
=(1/z^2){1+[(1/3)z^2+・・・]+[(1/3)z^2+・・・]^2+・・・}
=(1/z^2){1+(1/3)z^2+・・・}
=1/z^2+1/3+・・・
.

27730.級数の質問です。  
名前:みく    日付:7月10日(月) 12時21分
級数の考え方に自信が無いので質問させていただきます。

あ)納n=1→∞]((-1)^n)(n^(-1/2))

い)納n=1→∞](n^(-1/2))

え)納n=1→∞](sin(n))/((n^2) + 1)

お)納n=1→∞](n)/{(n^3) + 1}


い)が発散するのは理解できるのですが、あ)が発散しないのがいまいち理解できません。

え)は lim[n→∞]sin(n)で(-1)^nなると思うのですがこの場合、分母が収束するので、収束という風に考えれば良いのでしょうか?

お)は(n^3)/(n^3)をかけて、(1/n^2)/(1+(1/n^3))となりlim[n→∞]で0収束という感じでOKでしょうか。

解説、ご指摘よろしくお願いいたします。



27738.Re: 級数の質問です。
名前:angel    日付:7月10日(月) 17時11分
あ.
 正負が交互に反転する数列の和ですから、2項ずつまとめて考えると、
 大体 n^(-3/2) の和程度と見積もれます。

え.
 sin(n) は、綺麗な数値としては求まりませんね。
 1(rad)≒57.3°なので sin(1)≒sin57.3°, sin(2)=sin114.6°, …
 この級数に関しては、絶対収束を考えると良いと思います。
 ( |sin(n)|≦1 )

お.
 0<n/(n^3+1)=1/(n^2+1/n)<1/n^2
 収束する Σ1/n^2 より小さく、かつ単調増加なため収束、と考えることが出来ます。


27739.Re: 級数の質問です。
名前:みく    日付:7月10日(月) 19時13分
angelさんご丁寧にアドバイスをして頂きまして有難うございます。

え)は1に絶対収束
お)は0に収束    という考えいいでしょうか?

最後に1点質問なのですが、どのように式変形もしくは(-1)^nを扱えば、n^(-3/2)とすることができるのでしょうか?


27745.Re: 級数の質問です。
名前:angel    日付:7月11日(火) 3時19分
えーと。級数が収束するか、発散するかの判定だけの問題ではないのでしょうか?
私の知識では、極限値までは分かりません。

> え)は1に絶対収束

納n=1→∞]|(sin(n))/((n^2) + 1)| を考えると、
 0≦|(sin(n))/((n^2) + 1)|≦1/(n^2+1)
のため、(お) とほぼ同様の理屈で収束します。
よって、絶対値記号を外した 納n=1→∞] (sin(n))/((n^2) + 1) も、なんらかの値に収束します。( 絶対収束 )

> 最後に1点質問なのですが、どのように式変形もしくは(-1)^nを扱えば、n^(-3/2)とすることができるのでしょうか?

2項ずつまとめた和を考えます。奇数項の和、偶数項の和、両方を考える必要があることに注意。

a[k],S[n] を次のようにおきます。
 a[k]=(-1)^k・k^(-1/2)
 S[n]=Σ[k=1,n] a[k]

nが奇数の場合のS[n]を考えると、
 S[2m+1]
 = a[1]+Σ[k=1,m]( a[2k]+a[2k+1] )
 = -1 + Σ[k=1,m] 1/√(2k)-1/√(2k+1)
 = -1 + Σ[k=1,m] 1/√( ( 2k(2k+1) )・(√(2k)+√(2k+1)) )
 < -1 + Σ[k=1,m] 1/2・(2k)^(-3/2)
 = -1 + √2/8・Σ[k=1,m] k^(-3/2)
のため、lim[m→∞] S[2m+1] は収束

同様に、nが偶数の場合のS[n]
 S[2m]
 = Σ[k=1,m]( a[2k-1]+a[2k] )
 = Σ[k=1,m] (-1/√(2k-1)+1/√(2k))
 = -Σ[k=1,m] 1/√( ( 2k(2k-1) )・(√(2k)+√(2k-1)) )
これも同じ理屈で lim[m→∞] S[2m] は収束

最後に、lim[k→∞] a[k]=0 のため、
 lim[m→∞] S[2m+1] = lim[m→∞] S[2m]
となることが分かります。
よって、
 lim[n→∞] S[n] = lim[m→∞] S[2m+1] = lim[m→∞] S[2m]
ということで、収束。


27757.Re: 級数の質問です。
名前:みく    日付:7月11日(火) 19時49分
angelさん、有難うございます。発散、収束の判定の問題だったのですがテスト対策でしっかり理解を深めておこうと思いました。お手数をおかけして申し訳ないです。ご丁寧な解説のおかげで、理解できました。

本当に有難うございます。

27723.公式の証明  
名前:フリーズランサー    日付:7月10日(月) 2時3分
次の公式の証明、できる人いますか?

Γ(z)Γ(1−z)=π/sinπz

よろしくお願いします。
対象学年は、大学生です。



27733.Re:
名前:soredeha    日付:7月10日(月) 14時11分
Γ(z+1)=zΓ(z)
1/Γ(z)=ze^(γz)Π[n=1,∞](1+z/n)e^(-z/n)
sinz=zΠ[n=1,∞](1 - z^2/n^2π2)     より従う。
.


27737.Re: 公式の証明
名前:フリーズランサー    日付:7月10日(月) 17時5分
soredehaさん、ありがとうございます。

27722.微分  
名前:ハッチ&クララ    日付:7月10日(月) 2時1分
区間 0≦x≦1 において、
関数 f(x)=3x^3 −xk^2 +2
 の最大値と最小値を求めよ。ただし、k>0とする。

という問題で、 k/3 が区間に含まれるか否かで、場合わけをして解きました。
しかし、私は、0と1の半分の1/2が k/3 の右側か左側かで場合わけをしたのに対して、解答は f(x)=2を解いて、 f(0)= f(k√3 /3)を出して場合わけをしていて答えが違っていました。
私の解答は間違いでしょうか?わかりにくくて申し訳ありません。教えてください。お願いします



27729.Re: 微分
名前:angel    日付:7月10日(月) 11時13分
3次関数のグラフは、2次関数とは違って、極値の周辺での対称性がありません。
なので、0と1の半分で1/2 という数字は、出番がないのです。
そのため、模範解答の方が正しいです。

結局のところ、最大値の候補 f(0)とf(1) のどちらが大きいか、という場合分けをしているのと同じですので、f(0)=f(1) の時が境になります。

1/2=k/3 の時のグラフ y=3x^3-9/4・x+2
 http://r0000.tm.land.to/math/m.php?s=y=2%2Bx%2A%283%2Ax%2Ax-9/4%29&gx0=-0.504&gx1=1.496&gy0=1.016&gy1=3.016

1=k√3/3 の時のグラフ y=3x^3-3x+2
 http://r0000.tm.land.to/math/m.php?s=y=2%2Bx%2A%283%2Ax%2Ax-3%29&gx0=-0.508&gx1=1.492&gy0=0.604&gy1=2.604

この2つを見比べてみましょう。後者の方が f(0)=f(1) で、境目のケースになっていることが分かります。

※解答としては、
  f(x)=f(0) (x>0) を解いて x=k/√3、k/√3≧1 の時…、k/√3<1の時…
 よりも、
  f(1)>f(0) を解いて k<√3、k<√3 の時、最大値 f(1)、k≧√3 の時、最大値 f(0)
  ( 厳密には、k=√3 の時は、f(0),f(1)が共に最大値 )
 の方が書きやすいと思いますけどね。


27732.Re: 微分
名前:ハッチ&クララ    日付:7月10日(月) 13時36分
迅速でとってもとってもわかりやすいご解答ありがとうございました。
お名前の通りのかたですね。ホントに助かりました。
ありがとうございました。

27719.順列2  
名前:ひろ    日付:7月9日(日) 23時3分
0,1,2,3の4種類の数字から相違なる3個の数字を並べて3桁の整数を作るといくつできるか。
そのうち偶数であるのはいくつか。

宜しくお願いします。



27721.Re: 順列2
名前:ヨッシー    日付:7月10日(月) 0時16分
100の位の選び方が1,2,3 の3通り。
10の位の選び方が、100の位以外の3通り。
1の位が残りの2通りで 3×3×2=18(個)

1の位が0であるとき、10の位の選び方は3通り、100の位は2通りで
合わせて 3×2=6(個)
1の位が2であるとき、100の位の選び方は1,3の2通り、10の位は2通りで、
合わせて 2×2=4(個)
合計 10個です。

具体的には
偶数:102, 120, 130, 132, 210, 230, 302, 310, 312, 320
奇数:103, 123, 201, 203, 213, 231, 301, 321
です。
 
http://yosshy.sansu.org/


27771.Re: 順列2
名前:ひろ    日付:7月12日(水) 20時59分
ありがとうございます。
具体例があって助かります

27718.順列  
名前:ひろ    日付:7月9日(日) 23時2分
360の正の約数の個数は何個か?
さらに、これらの約数の総和はいくつか。
教えてください。
24個,1170になるみたいです。



27720.Re: 順列
名前:ヨッシー    日付:7月10日(月) 0時9分
個数については、こちらをどうぞ。

約数の和については、たとえば、6=2×3 ですがその約数の和は
(1+2)×(1+3)で求められます。展開すると、
(1+2)(1+3)=1+2+3+6
で、ちゃんと和になっていますね。同様に12=22×3 の和は
(1+2+2^2)(1+3)=1+2+4+3+6+12
のようになります。では、360は?
 
http://yosshy.sansu.org/

27715.Risa/Asir  
名前:(>_<)    日付:7月9日(日) 21時57分
Risa/Asirてご存じでしょうか?
数学のプログラムを書こうというやつなのですが。
じつはこれをしていて分からない事があって数学とは少し違うかもしれませんが分かる方がいらっしゃればお願いします。
問題:N%Kに相当するプログラムをかいてください。

神戸大学のホームページで無料ダウンロードできます。



27724.Re: Risa/Asir
名前:ast    日付:7月10日(月) 3時25分
野呂先生とか院生の中山君とかに訊きに行けばいいのでは. 喜んで教えてくれそうな気がしますよ.

まあ適当に mydiv.rr を

def mydiv(N,K){
if(type(N) != 1 || type(K) != 1){


27725.Re: Risa/Asir
名前:ast    日付:7月10日(月) 3時28分
おろ?

def mydiv(N,K){
if(type(N) != 1 || type(K) != 1){


27726.Re: Risa/Asir
名前:ast    日付:7月10日(月) 3時29分
タブが悪いのかな…

def mydiv(N,K){
if(type(N) != 1 || type(K) != 1){
print("need input numbers");
return 0$
}
while(N > K){
N = N - K;
}
return(N);
}
end$


27727.Re: Risa/Asir
名前:ast    日付:7月10日(月) 3時39分
お, 書けた. とりあえず, N も K も正の数という仮定で単純に引き算するだけのを書きました. マニュアル見ると usage は

poly % m
:: 整数による剰余
return
整数または多項式
poly
整数または整数係数多項式
m
整数

ということなので, % と今の mydiv (ってしまった, あまりを求めるんだから名前を mymod とかにすればよかった)がかけ離れていることがわかりますね. 何が使っていい操作なのかよく分かりませんが, 割り算していいのなら 割って元の式から引けばいいだけですね.

で, いろいろ弄って慣れてみるというのがレポートの趣旨なはずなので, 適当に触ってみるのがいいとおもいますよ. asirgui ならヘルプからオンラインマニュアルが見られるので, 開きながらやるといいでしょう.


27728.Re: Risa/Asir
名前:ast    日付:7月10日(月) 5時51分
Asir にも久しぶりに触ったのでうれしくなってきたので, とりあえず % とはいろんなところで違う(整数じゃないもので割ったり, 多変数多項式割ったりする場合とか)挙動を示すようなのですが, 条件があってるときにはそれっぽい動きをするようにしてみました: 例によってタブを削ってあるので適宜タブを補ってください.

---------------- mymod.rr ここから ---------------------
print("try type mymod(poly,num),\n poly: polynomial or integer,\n num: interger.")$

def mymod1(A,B){
if(type(B) == 1 && B < 0) B = -B;
if(type(A) == 1 && A < 0){
A = -A;
while(A >= B){
A = A - B;
}
A = -A;
return(A);
} else if(type(A) == 1 && A > 0){
while(A >= B){
A = A - B;
}
return(A);
}
}

def mymod(P,M){
if( (type(P) != 1 && type(P) !=2) || type(M) != 1){
print("undefined arithmetic operation.\nreturn to toplevel");
break$
}
if(M < 0)M = -M;
if(type(P) == 1){
mymod1(P,M);
} else {
V = var(P);
D = deg(P,V) + 1;
C = newvect(D);
for(I=0;I<D;I++){
C[I] = coef(P,I);
}
for(I=0;I<D;I++){
if(type(C[I]) == 1){
C[I] = mymod1(C[I],M);
} else if(type(C[I]) == 2){
C[I] = mymod(C[I],M);
}
}
R=0;
for(I=0;I<D;I++){
R = R + C[I] * V^I;
}
return(R);
}
}
end$
------------------- mymod.rr ここまで ----------------------

飽くまで一例であって, 完全に % をエミュレートする実装にはなっていませんから, このまま使うということはしないでください.


27765.Re: Risa/Asir
名前:(>_<)    日付:7月12日(水) 16時31分
返事おそくて申し訳ありませんでした。
詳しく説明していただきありがとうございます。
あと一つわからないのがでてきてしまったので別のをたてて
質問したいと思います。よろしくお願いします。
一応ダウンロードはしてるんですが自宅のは作動しなくて週一回しか
Asirに触れられなかったもので少し遅れをとってしまいまして…。


27767.Re: Risa/Asir
名前:ast    日付:7月12日(水) 17時0分
別になにかを説明した覚えが無いのですが……. 例も % とは相当結果が違いますし…….

処理の内容とか, 何もツッコミが無いというのが逆に不思議です…….

27714.極限値  
名前:まゆ    日付:7月9日(日) 20時52分
lim_[x→∞]n^1/n


もういっこあるのですが、この極限値の求め方も襲えてください。。

大学1年



27717.Re: 極限値
名前:まゆ    日付:7月9日(日) 22時51分
> lim_[n→∞]n^1/n
>
>
> もういっこあるのですが、この極限値の求め方も襲えてください。。
>
> 大学1年

問題間違えてたので、修正しました。


27736.Re: 極限値
名前:angel    日付:7月10日(月) 16時46分
n^(1/n)=1+t と置くと、t>0 であり、n>2 では n=(1+t)^n > 1+nt+n(n-1)/2・t^2
これを t に関する2次不等式として解いて n→∞ とすれば、t→0 が分かりますので、
lim n^(1/n) = 1

27713.極限値  
名前:まゆ    日付:7月9日(日) 20時48分
lim_[x→∞]a^n/n!

の極限値を求める方法が分かりません。。
教えていただけませんか??

大学1年



27716.Re: 極限値
名前:まゆ    日付:7月9日(日) 22時50分
> lim_[n→∞]a^n/n!
>
> の極限値を求める方法が分かりません。。
> 教えていただけませんか??
>
> 大学1年


27735.Re: 極限値
名前:angel    日付:7月10日(月) 17時14分
m+1>|a| なる自然数 m に対して、n≧m+1 の時、
 |a^n/n!|
 = |a|^(n-m)・|a|^m/( nP(n-m)・m! )
 = |a|^m/m!・|a|^(n-m)/nP(n-m)
 < |a|^m/m!・(|a|/(m+1))^(n-m)
と考えると、その絶対値は、公比 1未満の等比数列よりも小さく見積もることが出来ますから、0 に収束することが分かります。

27710.(untitled)  
名前:コブクロ    日付:7月9日(日) 19時22分
Original Size: 240 x 320, 27KB

図で示される振動が媒質の1点(原点)に起こり、x軸の正の向きに4.0m/sの速さで伝わる。振動が起こってから0.60s経過したときの波形をかけ。

波長は1.6mと分かっているんですが・・・書き方が分かりません。僕はx軸の負の向きに続きの波形をかき、そこから3/2周期だけずらしたものだと思ったんですが、この考えでは答えと一致しません。この考えの何所が悪いのでしょうか。



27711.Re: (untitled)
名前:コブクロ    日付:7月9日(日) 19時27分
Size: 120 x 160, 4KB

図を間違えました。



27734.Re: (untitled)
名前:angel    日付:7月10日(月) 16時26分
図が拡大にならないのですが、
 y=-0.2sin(2πt/0.4)
のグラフになっていると考えて良いでしょうか?

振動の周期が 0.4(s) なので、波速 4.0(m/s) であれば、確かに波長 1.6(m) であり、
 y=0.2sin(2πx/1.6 +α)
の形の波形になると考えられます。

ところで、波が x軸の正の方向に伝わるということは、xの値が大きいほど、過去の振動の様子が反映されていることになります。
逆に元のグラフでは、tの値が大きいほど、未来の振動の様子が映るわけですから、
 ・t-yのグラフの t=0.6 付近
 ・x-yのグラフの x=0 付近
では、波と波の間隔はともかくとして、形はちょうど左右逆になっていると考えられます。
よって、
 t=0.6 の時 y=-0.2sin(2πx/1.6)

※もしくは、時刻t 位置 x における振動は、時刻 t-x/v における原点の振動と同じことから、t=0.6, v=4.0 の時、
 y=-0.2sin(2π・(0.6-x/4.0)/0.4)=-0.2sin(2πx/1.6)

27707.わからないんです・・・コサインとサインとΓ関数が・・・  
名前:フリーズランサー    日付:7月9日(日) 2時47分
A・・・[{−cosπ(α−β)+eの(−πir)乗cosπ(r−α−β)}/{isinπr}]×[{cosπ(α−β)−eの(πir)乗cosπ(α+β−r)}/{isinπr}]
B・・・[{2πiΓ(r−1)Γ(r)}/{Γ(α+1)Γ(β+1)Γ(r−α)Γ(r−β)}]×[{2πiΓ(1−r)Γ(2−r)}/{Γ(−α)Γ(−β)Γ(1+α−r)Γ(1+β−r)}]
のとき、A−Bがどうしても解けないんです。どなたか、解ける方はいらっしゃいませんか・・・
対象学年は大学1年生以上です。私自身、大学一年ですので・・・



27708.追加
名前:フリーズランサー    日付:7月9日(日) 4時43分
計算結果は1桁の数になるらしいです。


27709.追加2
名前:フリーズランサー    日付:7月9日(日) 4時47分
α、β、rは、文字らしいです。iは虚数単位。πは円周率だそうです。Γ(x)は、Γ関数です。以上のみ、情報として与えられています。

27702.証明  
名前:    日付:7月8日(土) 22時35分
等式証明の問題なのですが、
x→1−0のとき
log x ・ log(1−x) =0

をどのようにして証明すればよいでしょうか?
よろしくお願い致します。



27703.Re: 証明
名前:angel    日付:7月8日(土) 23時6分
片側極限ですね。
y=1/(1-x) と置換すると、
 lim[x→1-0] logx・log(1-x)
 = lim[y→+∞] log( (y-1)/y )・log(1/y)
 = lim[y→+∞] logy・( logy-log(y-1) )
 = lim[y→+∞] logy/y・y( logy-log(y-1) )

ところで、
 lim[y→+∞] logy/y=0
 lim[y→+∞] y( logy-log(y-1) )=1

よって、
 lim[y→+∞] logy/y・y( logy-log(y-1) ) = 0


27706.Re: 証明
名前:    日付:7月9日(日) 2時27分
angel様、ご丁寧に解説していただきありがとうございました!!

27700.グラフの書き方  
名前:ミクロン    日付:7月8日(土) 21時20分
初歩的なところですがつまづいてます…

関数f(x)が次のように与えられている

x≧1のとき f(x)=3x-5
x<1とのき f(x)=-2

このときの点(1,-2)はどのようにうてばよいのでしょうか?



27701.Re: グラフの書き方
名前:angel    日付:7月8日(土) 22時6分
↓のようなグラフのことでしょうか。
http://r0000.tm.land.to/math/m.php?s=y=%28x%2Babs%28x-1%29%29%2A3/2-7/2&gx0=-4&gx1=4&gy0=-4&gy1=4

グラフ全体が連続なので、○や●を打つ場所は無いですね。
どのようなところを悩んでいるのでしょうか。

27698.確率  
名前:ラブーン    日付:7月8日(土) 18時11分
0以上1以下の実数を選ぶ、この時
(1)選んだ数が1/3である確率
(2)選んだ数が1/3以下か3/4以上である確率
(3)選んだ確率が1/2である確率

どうしてもわかりません、アドバイス願います。



27699.Re: 確率
名前:ラブーン    日付:7月8日(土) 18時15分
すみません、問題を書き間違えました。

(1)選んだ数が1/3以下である確率
(2)選んだ数が1/3以下か3/4以上である確率
(3)選んだ数が1/2である確率

正しくは以上です。よろしくお願いします。

27693.三角関数  
名前:コブクロ    日付:7月7日(金) 23時58分
関数y= 3sin^2θ + 4sinθcosθ + cos^2の最大値、最小値を求めよ。ただし、0≦θ≦π/2とする。

やり方が分かりません。教えてください。



27694.Re: 三角関数
名前:だるまにおん    日付:7月8日(土) 4時40分
y=3sin2θ+4sinθcosθ+cos2θ
=2sin2θ+2(2sinθcosθ)+(sin2θ+cos2θ)
=2sin2θ+2sin2θ+1
=(2sin2θ-1)+2sin2θ+1+1
=-cos2θ+2sin2θ+2
=2sin2θ-cos2θ+2
=√5sin(2θ-α)+2 ただしsinα=1/√5,cosα=2/√5 ←三角関数の合成
よって最大値は√5+2,最小値は-√5+2


27704.Re: 三角関数
名前:コブクロ    日付:7月8日(土) 23時35分
最小値が答えと違います。


27705.Re: 三角関数
名前:だるまにおん    日付:7月9日(日) 0時29分
すいません・・・「0≦θ≦π/2」を「0≦θ≦2π」と勘違いしていました。

0≦θ≦π/2⇒-α≦2θ-α≦π-αなので最小値は√5sin(-α)+2=1になります。

27692.組み合わせ・確率について  
名前:社会人9年目    日付:7月7日(金) 23時39分
はじめまして。「順列・組み合わせ」で検索して
このページにたどり着きました。次の問題にアドバイス
いただけたら幸いです。

問題:
袋の中にm種類のおはじきが、1種類につきn個ずつ、
合計m×n個入っています。この中からL個のおはじきを
取り出したとき、少なくともk種類のおはじきが入っている
確率を求めなさい。
ただし、L≧m、L≧n、k≦mとします。

よろしくお願いいたします。



27697.Re: 組み合わせ・確率について
名前:らすかる    日付:7月8日(土) 9時43分
おはじきを区別すると、おはじきが特定のi種類である場合の数は
Σ[j=1〜i](-1)^(i-j)・iCj・(jn)CL
だから、少なくともk種類のおはじきが入っている確率は
〔Σ[i=k〜m]mCi{Σ[j=1〜i](-1)^(i-j)・iCj・(jn)CL}〕/(mn)CL

http://www10.plala.or.jp/rascalhp


27740.Re: 組み合わせ・確率について
名前:社会人9年目    日付:7月10日(月) 19時57分
らすかるさん、ありがとうございます!
とても助かりました。返事が遅くなって申し訳ありません。

実際のアプリケーションでは、m=10^7、n=10^3と
膨大なため、エクセルでも計算できず困っています。

もしこの点についても「このソフトを使えば出来る」等
ご存知の方がいらっしゃればご教授ください。

たびたびで申し訳ありませんがよろしくお願いいたします。


27741.Re: 組み合わせ・確率について
名前:らすかる    日付:7月10日(月) 22時28分
Lはいくつぐらいでしょうか?
Lがm,nと比較して十分小さく、かつ概算で良ければ、
もっと簡単な式に出来ると思います。

http://www10.plala.or.jp/rascalhp


27759.Re: 組み合わせ・確率について
名前:社会人9年目    日付:7月11日(火) 22時35分
らすかるさん、たびたびありがとうございます。

Lは実際のところ「任意」ですが、はじめに書きましたとおり
L≧m、L≧nであろうと思われます(下記参照)。
式の簡略化についてコメントがあればお願いいたします。


以下のような要求;
「m×n=10^10個のおはじきから、なるべくたくさんの種類
のおはじきを取り出したい。しかし、実際には一つ一つ
取り出すので、取り出す数はなるべく少なくしたい」の下に、
「少なくともk種類のおはじきが取り出せる確率が
**%以上になるのはLが○○個以上のときである」
というような理由付けされたLを見つけたい、というのが
本問題の狙いでした。

この主旨に沿うと、kは「ほぼm」、**=80〜90%となりますので、
必然的にLは大きくなると予想されます。

27689.お願いします。  
名前:にっし    日付:7月7日(金) 19時49分
関数 f(x)=x^4 -2ax^2 + 4(a-1)x -a(a-1) (aは正の整数)は、
x=1で極小値をとる。

(1)定数aの値を定めよ。

教えてください。。。

27688.数学  
名前:あき    日付:7月7日(金) 18時44分
a,bの小数第2位を四捨五入すると、それぞれ4.1,1.1となる。(a-b-3)²の値の範囲を求めよ!
についてもお願いします!!



27695.Re: 数学
名前:だるまにおん    日付:7月8日(土) 4時49分
4.05≦a<4.15,1.05≦b<1.15なので-0.1<a-b-3<0.1
よって0≦(a-b-3)2<0.01

27687.数学  
名前:あき    日付:7月7日(金) 18時41分
ある分数に195/56をかけても、135/44をかけても自然数になる。最小のものを答えよ!
についてわかる方いらっしゃいますか?



27691.Re: 数学
名前:チョッパ    日付:7月7日(金) 22時33分
△/□×195/56=○/1,△/□×135/44 =◎/1になるような分数△/□で最も小さいものですね。
分数をできるだけ小さくしようと思えば,
『分母はできるだけ大きく,分子はできるだけ小さく』ですね。
ただしかけ算したあとに,分母が1にならなければなりませんから,
□は195と135の最大公約数,△は56と44の最小公倍数となります。

27686.数学3微分法  
名前:カカ    日付:7月7日(金) 17時7分
d^k+1/dx^k+1 x^k logx=d^k/dx^k(d/dx x^k logx)
=d^k/dx^k(kx^k-1 logx+x^k・1/x)
=k・d^k/dx^k-1 logx+d^k/dx^k x^k-1
=k・(k-1)!/x+0=k!/xの式でどうやったら最終的にこの式にたどりつくのがよくわかりません。途中経過も添えて詳しく説明してください。
よろしくお願いします。

27683.(untitled)  
名前:のん    日付:7月7日(金) 14時38分
この問題ですが、数えるしか方法はないものでしょうか。
答えは、(1)は24通り(2)は12個です。
なにかいいアイデアがありましたらよろしくお願いします!・・。



27684.Re: (untitled)
名前:のん    日付:7月7日(金) 14時39分
Original Size: 1691 x 698, 31KB

すみません。問題をはり忘れました!



27685.Re: (untitled)
名前:angel    日付:7月7日(金) 15時52分
(2)は市松模様にマスを塗り分ければ、同じ色のマスしか通れないことが分かって 12 という数字が出てきますが…
(1)は数える位しかなさそうに思います。
※対角線に関して線対称なので、半分数えれば良いですが。

27681.図形の面積問題  
名前:浪人    日付:7月7日(金) 1時45分
Original Size: 365 x 346, 30KB

正方形の辺の長さが5のとき円周率をπとして
斜辺部分の面積をもとめよ
という問題ですが
解き方がみえてこないので質問させてください



27682.Re: 図形の面積問題
名前:らすかる    日付:7月7日(金) 9時8分
面積は
25{5π-√7-11arccos(3/4)}/8
となります。解き方は以下のページをご覧下さい。

http://web2.incl.ne.jp/yaoki/amens3.htm

27674.複素数  
名前:ブラックリン    日付:7月6日(木) 22時29分
複素数平面上の異なる3点O(0),A(α),B(β)について、
等式2α^(2)-2αβ+β^(2)が成り立つとき
△OABはどのような三角形か。

計算していって
点A(α)は点B(β)を原点の周りに±45°回転移動する、というのは
なんとか分かるんですが
OBを1/√2倍する、
するとOBの長さが√2になりOAの長さが1になる、というのが
分かりません。
辺の長さはどのようにして察すればいいんでしょうか?
α=β*(1/√2){cos(±45°)+isin(±45°)}
という式を見ても
私には辺の長さは分からないんですが
この式から辺の長さがどのように分かるんでしょうか?

あいまいな質問ですみません。
教えてください。m--m



27680.Re: 複素数
名前:angel    日付:7月6日(木) 23時38分
複素数の掛け算、割り算の性質として、
 z=z1・z2 であれば
  |z|=|z1|・|z2|
  arg(z)=arg(z1)+arg(z2)

 z=z1/z2 であれば、逆になって
  |z|=|z1|/|z2|
  arg(z)=arg(z1)-arg(z2)

これを念頭に。

> α=β*(1/√2){cos(±45°)+isin(±45°)}

z=(1/√2){cos(±45°)+isin(±45°)} と置けば、
|z|=1/√2, arg(z)=±45°

よって、|α|=|β|・|z|=|β|/√2

図形的には、OA=|α|, OB=|β| であるため、OA:OB=1:√2 と分かります。
また ∠AOB=45°と分かるため、△OABは、45°,45°,90°の直角三角形、すなわち直角二等辺三角形。
OBが斜辺のため、∠OAB=90°

27672.argの計算  
名前:ブラックリン    日付:7月6日(木) 21時6分
arg(√3)/2+arg{(√3)+i}/2

この計算の場合、前の部分のarg(√3)/2はcosで計算するんでしょうか?
sinで計算するんでしょうか?
後ろの部分は普通に計算すれば良さそうですが
前の部分はiが抜けていて、どう計算すればいいかわかりません。
おねがいします。



27679.Re: argの計算
名前:angel    日付:7月6日(木) 23時23分
arg(x+yi) は、
cosθ=x/√(x^2+y^2), sinθ=y/√(x^2+y^2)
となるようなθを調べることになります。
※ i の項がなければ実数、すなわち y=0 ということですね

特に、
 z が正の実数の時、arg(z)=0 ( 0°)
 z が正の実数×i の時、arg(z)=π/2 ( 90°)
 z が負の実数の時、arg(z)=π ( 180°)
 z が負の実数×i の時、arg(z)=3π/2 ( 270°)

この例では、
 arg(√3/2)=0 ( 0°)
 arg( (√3+i)/2 )=π/6 ( 30°)

27668.複素数平面  
名前:ブラックリン    日付:7月6日(木) 18時27分
複素数平面上の点P(z)が原点を中心とする半径rの円周上を動くとき、
w=z+(4/z)を満たす点Q(w)が常に実軸上を動く。このときの
rの値を求めよ。

これは本当に問題文が理解できません。
どうやって解けばいいんでしょうか。
教科書では
w~=w (~は共役な複素数を表す)
w-w~=0
ですすめていっています。
この計算式がよく分かりません。
具体的には
(z-z~)+4(z~-z)/(zz~)
これを因数分解したのか次で
(z-z~){1-(4)/(zz~)}となっています。
私が計算したら
(z-z~)+4(z~-z)/(zz~)は
(z-z~){1+(4)/(zz~)}になるのですが
どう計算すれば(z-z~){1-(4)/(zz~)}となるのでしょうか?

そのあと、|z|=rとしている点も理解できません。

おねがいします。



27671.Re: 複素数平面
名前:angel    日付:7月6日(木) 19時21分
> 点P(z)が原点を中心とする半径rの円周上を動くとき、
これを数式で表すと、|z|=r ( zz~=r^2 ) ですね。

> 点Q(w)が常に実軸上を動く。
これを数式で表すと、w=w~ です。
実際、w=x+yi と置いてみれば、
 w が実数 ⇔ y=0 ⇔ y=-y ⇔ x+yi=x-yi ⇔ w=w~
ですから。

> どう計算すれば(z-z~){1-(4)/(zz~)}となるのでしょうか?
 z-z~+4(z~-z)/(zz~)
 = z-z~-4(z-z~)/(zz~)
 = (z-z~)(1-4/(zz~))

> これは本当に問題文が理解できません。
Qの条件から、w-w~=0 となることが分かっていますので、
zの条件(|z|=r)、z,wの関係(w=z+4/z)を元に w-w~ を z,z~,r で表してみて、
w-w~=0 から r の条件を洗い出そう、という考え方になります。


27676.Re: 複素数平面
名前:ブラックリン    日付:7月6日(木) 22時46分
ありがとうございました。
難しいですね。。
なかなか自力で正解にいたれない問題ばかりです。複素数平面は。

27667.複素数平面  
名前:ブラックリン    日付:7月6日(木) 18時18分
複素数平面上で、点P(z)が、点1+iを中心とする半径1の、
点iを除く円周上を動くとき、w=(1-iz)/(1+iz)である
点Q(w)はどんな図形を描くか。

計算していって
|-w-1-2i|=|w+1|
になったんですが
片方の絶対値内の符号だけを逆にしてもいいんでしょうか?
等式ではマイナスをかけるならどちらにもかける、と習った気がするんですが
教科書では次の式で
|w+1+2i|=|w+1|
となっています。
どうしてでしょうか?

おねがいします。



27670.Re: 複素数平面
名前:angel    日付:7月6日(木) 19時7分
> 片方の絶対値内の符号だけを逆にしてもいいんでしょうか?

良いです。
式の値(絶対値)そのものは変わっていませんから。

例えば、|3+4i|=|4+3i|=5 ですが、絶対値記号の中を符号反転した場合、
|-3-4i|=|3+4i|=5 で値は変わりません。
そのため |-3-4i|=|4+3i| も成立しますね。


27673.Re: 複素数平面
名前:ブラックリン    日付:7月6日(木) 21時7分
ありがとうございました。
絶対値というのが大切なんですね。
勉強になりました。

27666.複素数平面  
名前:ブラックリン    日付:7月6日(木) 18時12分
こんにちは。

1)複素数平面上で点zが円|z|=1の上を動くとき
 w=4z+(4/z)を満たすwはどのような図形を描くか。

|z|=1より-1≦z≦1になりますよね。
それでz=x+yi(x,yは実数である)とおいたとき
教科書には
-1≦x≦1となっています。
yiはどこにいったんでしょうか?
iは絶対値が外れたときに消滅したと分かるんですが
yはどこへ消えたんでしょうか?
-1≦x+y≦1が正しいと私は感じるんですが
どうしてこれでは間違いなんでしょうか?

おねがいします。



27669.Re: 複素数平面
名前:angel    日付:7月6日(木) 18時55分
z・z~=|z|^2 という関係から、
|z|=1 の場合、1/z=z~/|z|^2=z~

よって、z=x+yi と置く時、
 4z+4/z
 =4(z+z~)
 =4((x+yi)+(x-yi))
 =8x
そのため、y の範囲を考える必要はなくなります。


27675.Re: 複素数平面
名前:ブラックリン    日付:7月6日(木) 22時37分
ありがとうございました。
8xを出す式は分かりました。

質問なんですが
教科書には
「|z|=1から-1≦x≦1」
となっています。

この|z|=1から-1≦x≦1にいたるまでの計算を教えてもらいたいです。
もしyの範囲も考えるとしたら、どうなるかも、教えてもらいたいです。

質問が分かりづらかったらすみません。
おねがいします。
教えてください。


27677.Re: 複素数平面
名前:angel    日付:7月6日(木) 23時0分
> この|z|=1から-1≦x≦1にいたるまでの計算を教えてもらいたいです。
> もしyの範囲も考えるとしたら、どうなるかも、教えてもらいたいです。

z=x+yi と置く時、|z|^2=zz~=x^2+y^2 ですから、
|z|=1 ⇔ x^2+y^2=1
ところで、y^2≧0 のため、x^2≦1 すなわち、-1≦x≦1 ( |x|≦1 )

|z|=1 でなくとも、同様の理屈で、-|z|≦x≦|z| また、-|z|≦y≦|z|

ちなみに、この辺の論理展開は、解答を書く上では必要ないでしょう。

ところで、x,y単独で範囲を考えるのは楽ですが、一緒に考える場合は注意が必要です。( 例えば、x+yに関して、|z|=1 の時は -√2≦x+y≦√2 )
あまりないとは思いますが…。
もし必要な場合は、「偏角」を絡めて、三角関数の計算が出てくるでしょう。

27659.微分の問題について  
名前:カカ    日付:7月5日(水) 18時49分
関数f(x)=a√x(x>=1,x^2+b(x<1)がx=1で微分可能であるように定数a,bの値を定めよ。

解答の
lim h→-0 f(1+h)-f(1)/h=(1+h)^2+b-a/hのところがよくわかりません。何故aのところが1+bではないんでしょうか?本来なら1+bになるんじゃないですか?理屈を教えてください。



27660.Re: 微分の問題について
名前:ヨッシー    日付:7月5日(水) 20時39分
h→-0 なので、
f(1+h) は、f(1) より、ちょっと左よりの値なので、
 f(x)=x^2+b
を採用します。f(1) は、文句なしに
 f(x)=a√x
です。

まぁ、h→+0 と h→-0 とが一致するという考えでやった方が、
理解はしやすいかも知れません。
 
http://yosshy.sansu.org/

27658.教えてください  
名前:高校生    日付:7月5日(水) 13時12分
数学の参考書で、難問題などを扱っている問題集があれば、教えてください。(ちなみに、いまはチャート式を使っています)



27663.Re: 教えてください
名前:ヨッシー    日付:7月6日(木) 16時48分
チャートでも、色によって、難易度が分かれていますが、たぶん
それでも飽き足らないのでしょう。
だとすると、「大学への数学」のようなものを使うか、
ハイレベルの添削コースの問題集などになるでしょうか?
 
http://yosshy.sansu.org/


27690.Re: 教えてください
名前:だるまにおん    日付:7月7日(金) 21時43分
2ちゃんねるの大学受験板でこんなスレッドを発見しました。

「最難レベル数学総合問題集スレ」
http://etc4.2ch.net/test/read.cgi/kouri/1142761589/l50


27764.Re: 教えてください
名前:高校生    日付:7月12日(水) 13時7分
ありがとうございます。
返信遅れてすみません。(学校のパソコンなので)
あとで見てみます。

27655.三角比について  
名前:K.S    日付:7月4日(火) 22時39分
こんにちは。

三角比とは直角三角形だけで成り立つのでしょうか??

例えば、
「三角形ABCの3つの角の大きさをA,B,Cとするとき、
次の関係が成り立つ事を示せ。」
(1)cosB+C/2=sinA/2
という問題では、A,B,Cのどれかが
90°というのが前提条件なのでしょうか。



27657.Re: 三角比について
名前:ヨッシー    日付:7月5日(水) 8時52分
この設問について言えば、直角三角形である必要はありません。
例えば、3つの角が50°、60°、70°の三角形なら、
 cos(50°+60°)/2=cos55°=sin70°/2=sin35°
 cos(60°+70°)/2=cos65°=sin50°/2=sin25°
 cos(70°+50°)/2=cos60°=sin60°/2=sin30°
などが成り立ちます。
一般に
 cos(90°−α)=sinα
 sin(90°−α)=cosα
が成り立ちます。この設問で言うと、
 A=180°−(B+C)
 A/2=90°−(B+C)/2
より、
 cos{(B+C)/2}=cos(90°−A/2)=sin(A/2)
が成り立ちます。
 
 
http://yosshy.sansu.org/

27654.(untitled)  
名前:K.S    日付:7月4日(火) 21時11分
こんにちは。

鈍角の三角比について聞きたいのですが、
例えば、任意の点をP(x、y)として、
動径を120°まで動かしたら、
座標が(-x,y)になるのはわかるのですが、
なぜ比が、-1:2:√3になるのでしょうか。
三角比は長さの比のはずだから、
-1ではなくて1なのではないのでしょうか。

参考はhttp://www.kwansei.ac.jp/hs/z90010/sugaku1/sankaku/donkaku/image/zahyou1.gif で・・・。



27664.Re: (untitled)
名前:ヨッシー    日付:7月6日(木) 16時53分
直角三角形の辺の長さの比で、三角関数を論じられるのは対象の角が、
0°<x<90°の範囲だけです。
それ以外のもの(例えば120°など)は、単位円上の点のy座標、x座標
として、拡張解釈をします。
ですから、cos120°=-1/2 だからといって、内角に120°を含む直角三角形を
考えているわけではありません。
ですから、ここで言っている、-1:2:√3 という比は、(どこに書いてあったか知りませんが)
あまり意味のない比です。
 
http://yosshy.sansu.org/

27653.平面と平面の交点について  
名前:あき    日付:7月4日(火) 20時9分
点A(153,158,0)から以下の方向余弦を持ち、
サイズ300×300の平面P1
横方向の方向余弦(1,0,0)
縦方向の方向余弦(0,1,0)

点B(-256,0,133)から以下の方向余弦を持ち、
サイズ512×512の平面P2
横方向の方向余弦(1,0,0)
縦方向の方向余弦(0,0,-1)

上記の条件で、平面P2を正面に見たときに平面P1が
交わってる座標を求めよ。

27652.出張です  
名前:ヨッシー    日付:7月4日(火) 19時32分
7/8まで、海外出張です。
頻繁には来られませんので、回答は、常連の方お願いします。
 
http://yosshy.sansu.org/

27644.式と曲線  
名前:みく    日付:7月4日(火) 3時47分
(x^2)+(y^2)-(2x)-(4y)=20 上の点が(5, 5)のときの接線の方程式を求めなさい。

答え:4x + 3y = 35

どなたか答えまでの過程を教えてくださいお願いします。



27645.Re: 式と曲線
名前:    日付:7月4日(火) 8時7分
与式を変形すると,
(x-1)^2+(y-2)^2=25
(5,5)は確かにこの円上の点で,そこでの接線は
(5-1)(x-1)+(5-2)(y-2)=25 ・・・これは公式にありますね
∴ 4x+3y=35

一般に円C:(x-a)^2+(y-b)^2=r^2上の点P(s,t)での接線は,
接線上の点をQ(x,y),円の中心をA(a,b)とすれば,
AP→・PQ→=0ですから,
(s-a)(x-s)+(t-b)(y-t)=0
(s-a)(x-a)+(t-b)(y-b)=(s-a)^2+(t-b)^2
Pは円上の点なので,上式の右辺=r^2
よって,(s-a)(x-a)+(t-b)(y-b)=r^2


27651.Re: 式と曲線
名前:みく    日付:7月4日(火) 19時31分
てっきり微分方程式を使うのかと思ってましが、円の方程式に変形できるんですね。豆さん、どうも有難うございます。


27656.Re: 式と曲線
名前:    日付:7月5日(水) 6時33分
もし,微分を使うなら,与式をxで微分して,
2x+2yy’-2-4y’=0
x=y=5を代入して,
10+10y'-2-4y'=0
y'=-4/3
よって接線は
y-5=-4/3(x-5)
∴4x+3y=35

27642.(untitled)  
名前:なおき    日付:7月3日(月) 22時55分
台形ABCDがある。AB上に点P、CD上に点Qがあり、AD//PQ//BCである。対角線ACがPQと交わる点をRとおく。AD=4cm、BC=9cmとし、△APR=△CQRのとき、
線分PQの長さを求めてください。



27650.Re: (untitled)
名前:花パジャ    日付:7月4日(火) 18時40分
△ABC:△CDA=9:4
△APR:△ABC=PR^2:9^2
△CDA:△CQR=4^2:RQ^2
△APR:△CQR=1:1
より
PR:RQ=3:2
なので
PR=(3/5)PQ
RQ=(2/5)PQ
また
PR/9+RQ/4=1
なので
PQ=6

27638.極限  
名前:ポン他    日付:7月3日(月) 18時17分
始めまして
極限値をどうやって求めるのかわかりません
誰か助けてー

   lim (sin(x-1))^(x^2 -1)
   x→0

 
   lim ((e^x -e^-x)/(e^x -e^-x))^e^2x
   x→+0

お願いします

27637.確率  
名前:mop(高3)    日付:7月3日(月) 18時16分
赤白2種類のボールがそれぞれ4個ずつ、合計8個袋に入っている。
この袋の中から、無作為にボールを1個ずつ取り出し、1列のマス目に
順に並べていく。同じ色のボールは区別できないものとする。

マス目が5個の場合、赤いボールが2個である確率を求めよ。


という問題なのですが、どう解けばいいのか分かりません。
どなたか教えてください。よろしくお願いしますm(__)m



27643.Re: 確率
名前:らすかる    日付:7月4日(火) 2時41分
5個取り出したうちちょうど2個が赤である確率ですから、
4C2×4C3÷8C5=3/7 ですね。

http://www10.plala.or.jp/rascalhp

27633.線形代数の問題(大学一年)です。  
名前:ゆうこ    日付:7月3日(月) 16時40分
(a1,a2,a3)∈R^3を与えられた実3次ベクトルとするとき、次の集合WがR^3の部分空間になるかどうか答えよ。
@W={(x1,x2,x3)∈R^3|a1x1+a2x2+a3x3=0}
AW={(x1,x2,x3)∈R^3|a1x1+a2x2+a3x3=1}

という問題なのですが、考え方からまったくわかりません…(;;
どなたか、よろしかったらお教え願います。



27634.Re: 線形代数の問題(大学一年)です。
名前:angel    日付:7月3日(月) 17時9分
「部分空間」というのも「ベクトル空間」の一つですから、
「ベクトル空間」としての要件を満たすかどうかを調べましょう。

その「要件」は、以前の授業で出てきているはずですから、それに照らし合わせてみましょう。
例えば、x,y∈W ⇒ x+y∈W とか、x∈W, k∈R ⇒ kx∈W とか。
 http://next1.cc.it-hiroshima.ac.jp/MULTIMEDIA/linearalg02/node3.html
にあるようなものです。

1. は調べれば要件を満たすことが分かります。
2. は、o∈W を満たさないため、部分空間にはなりません。

27631.わかりません  
名前:火刹    日付:7月3日(月) 14時28分
また教えてください


ジョーカーを含む53枚のトランプから5枚のカードを引くとき、
ジョーカー、ハートのエース、スペードのエースの3枚が含まれる
ような引き方は何通りあるか。



27636.Re: わかりません
名前:らすかる    日付:7月3日(月) 17時44分
残りの50枚から2枚選ぶ組合せなので、50C2=1225通り
http://www10.plala.or.jp/rascalhp

27630.積分です。  
名前:かもめ    日付:7月3日(月) 14時16分
また積分の問題で投稿させていただきます。

∫[1/3→34/3] (3x - 2)^(-4/5) dx

答え、5

(-4/5)があり、すごく計算しにくいのですが、どの様に式を変えれば解きやすくなりますか?



27635.Re: 積分です。
名前:    日付:7月3日(月) 17時45分
前提を二つほどはっきりさせましょう
(1)負の数が底の指数計算→指数の分母が奇数なので底の-はそのまま外へ出せる
(2)積分区間中で被積分関数の分母が0になる→極限値があればそれを積分値とする

被積分関数の置き換えを(敢えて)すれば
3x-2=tとおけば 3dx=dt x:1/3→34/3に対しt:-1→32

与式=(1/3)∫[t:-1→32]t^(-4/5)dt
=(1/3){lim[a→-0]∫[t:-1→a] t^(-4/5)dt+ lim[b→+0]∫[t:b→32] t^(-4/5)dt}
=(5/3){ lim[a→-0](a^(1/5)+1^(1/5))+ lim[b→+0](32^(1/5)-b^(1/5))}
=(5/3)(1+2)
=5


27641.Re: 積分です。
名前:Mika    日付:7月3日(月) 21時10分
豆さんご丁寧な解説ありがとうございました。おかげで判りました。

27622.極限  
名前:(>_<)    日付:7月2日(日) 22時55分
こんばんは。分からない問題があったので宜しくお願いします。
lim[n→∞](n!)^1/(nlog(n))です。
自分はa[n]=(n!)^1/(nlog(n))とおいて、両辺の対数をとり、
log(a[n])=log(n!)*1/(nlog(n))
={log(n)+log(n-1)+log(n-2)+…+log2+log1}*1/nlog(n)
={log(n/n)+log(1-1/n)+log(1-2/n)+…+log(2/n)+log(1/n)}*1/n として区分求積法でもとめるのかと考えたんですが、すすめていくと、log(0)などのでてほしくない数がでてしまいました。
どなたかお願いします。ちなみに答えはeになるそうです



27627.Re: 極限
名前:angel    日付:7月3日(月) 10時34分
> {log(n)+log(n-1)+log(n-2)+…+log2+log1}*1/nlog(n)
> ={log(n/n)+log(1-1/n)+log(1-2/n)+…+log(2/n)+log(1/n)}*1/n として

ここはダウト。
log(x)/log(n)=log(x/n) では無いです。
※log(x)/log(n)=log[n](x) という底変換になりますから。

区分求積法ではなく、次の関係を利用した方が良いように思います。
 ∫[1,n] logx dx < log2+…+logn = log1+log2+…+logn < ∫[1,n+1] logx dx
 ※ log1=0 および、logx が単調増加関数のため


27639.Re: 極限
名前:(>_<)    日付:7月3日(月) 20時21分
ありがとうございます。
∫[1,n] logx dx < log1+log2+…+logn < ∫[1,n+1] logx dx
この不等式をどのように使えばよろしいのでしょうか。
左辺=nlogn-n+1、右辺=(n+1)log(n+1)-n
n→∞のときn>1としてよく、各辺をnlognで割って、
左辺=1-1/logn+1/nlogn→1
右辺=?
はさみうちよりlog(a[n])=1よって、lim[n→∞]a[n]=eでしょうか?
右辺のが分かりません。お願いします。


27646.Re: 極限
名前:angel    日付:7月4日(火) 9時4分
> はさみうちよりlog(a[n])=1よって、lim[n→∞]a[n]=eでしょうか?

そうです。

右辺に関しては、
 log(n+1)/log(n)
 = 1 + ( log(n+1)-log(n) )/log(n)
 = 1 + log(1+1/n)/log(n)
 → 1
を利用すれば、
 ( (n+1)log(n+1)-n )/( nlog(n) )
 = (1+1/n)log(n+1)/log(n) - 1/log(n)
 = (1+1/n)(1+log(1+1/n)/log(n)) - 1/log(n)
 → 1


27649.Re: 極限
名前:(>_<)    日付:7月4日(火) 16時15分
あっなるほどですm(_ _)m
納得しました。ありがとうございました。

27621.(untitled)  
名前:三朗    日付:7月2日(日) 22時29分
次のような直線の方程式をベクトルを用いて求めよ。
(1)点A(1、2)を通り、2点B(1、3)、C(3、7)を通る直線に平行な直線。
(2)点A(3、1)を通り、OAに垂直な直線。ただしOは原点。



27625.Re: (untitled)
名前:ヨッシー    日付:7月2日(日) 23時25分
(1)求める直線上の点をX()とすると、
 AX=kBC (kは実数)

(2)求める直線上の点をX()とすると、
 AXOA=0
 
http://yosshy.sansu.org/

27620.最大最小問題  
名前:あやめ    日付:7月2日(日) 22時20分
友達から出された問題なんですけど
「不等式(x^2-1)/3≦yの表すxy平面内の領域をDとする。次の式の最大最小を求めよ。また、最大最小値が無いときはそれを示し、解答欄に×と記入しなさい。
(1)x+y
(2)x^2+y^2+xy
(3)x^3+2x^2+x-3xy-4x

(1)は解けたんですけど、(2)以降が分かりません。どうやって解いたら委員でしょうか?」



27628.Re: 最大最小問題
名前:angel    日付:7月3日(月) 13時11分
(2)
 Dほとんど関係ないですね…。
 x^2+y^2+xy=(x+y/2)^2+3y^2/4
 なので、最小値 0、x=y=0 の時成立。( これはDに含まれる )

 なお、最大値はありません。x>0 であれば、yの値を十分大きく取ることで、幾らでも式の値を大きくできるからです。

(3)
 最大値も最小値もありません。
 x>0 であれば、yの値を十分大きく取ることで、幾らでも式の値を小さくできるので、最小値なし。
 逆に x<0 であれば、yの値を十分大きく取ることで、幾らでも式の値を大きくできるので、最大値もなし。


27640.Re: 最大最小問題
名前:あやめ    日付:7月3日(月) 21時9分
(2)はDって関係なかったんですね…。
できれば(2)(3)で数式的な解き方も教えてくれませんか?


27647.Re: 最大最小問題
名前:angel    日付:7月4日(火) 9時34分
> できれば(2)(3)で数式的な解き方も教えてくれませんか?
「最大値/最小値がない」の解答でしょうか。
※確かに私の説明では、感覚的すぎて解答にはならないですからね

背理法が楽でしょう。
例えば (3) の「最大値がない」であれば、

 f(x,y)=x^3+2x^2+x-3xy-4x とし、(x^2-1)/3≦y において最大値 M を持つと仮定する。
 x=-1 の時、f(x,y)=f(-1,y)=5+3y であり、yの範囲は y≧0
 ゆえに
  M<5 であれば、f(-1,0)=5>M これは、M が最大値であることに矛盾
  M≧5 であれば、f(-1,M/3-1)=M+2>M (M/3-1≧0) これは、Mが最大値であることに矛盾
 いずれにしても、M が最大値であることに矛盾する。
 よって、f(x,y) は (x^2-1)/3≦y においては最大値を持たない。

 ※x=-1 の時、というのは適当に持ってきたもので、x<0 であれば大筋は変わりません。


27648.補足
名前:angel    日付:7月4日(火) 14時37分
> なお、最大値はありません。x>0 であれば、yの値を十分大きく取ることで、幾らでも式の値を大きくできるからです。

この「x>0 であれば」は余計でしたね。xの値に関わらず、yの値を十分大きく取れば、幾らでも式の値は大きくなります。

上に示した解答例に合わせると、次のように、x=0 を考えるのが楽でしょう

 f(x,y)=x^2+y^2+xy とし、(x^2-1)/3≦y において最大値 M を持つと仮定する。
 最小値は 0 のため、M≧0 である。
 x=0 の時、f(x,y)=f(0,y)=y^2 であり、yの範囲は y≧-1/3
 ゆえに
 f(0,√(M+1))=M+1>M (√(M+1)≧-1/3) これは、Mが最大値であることに矛盾
 …(以下略)


27661.Re: 最大最小問題
名前:なおき    日付:7月5日(水) 20時43分
回答ありがとうございます^^

追加で質問なんですが、同じ人から追加でこんなことも言われました。
「同じ領域D内を(x.y)が動き、このxyが任意の実数tに対してt^2-x+y=0を満たしている時、(1)~(3)の最大最小値を求めよ。無い場合は解答欄に×と記入しなさい。」
新しく条件式が追加されたんですけど、これって答えに影響あるんですか?
答えが変わるようなら教えてくださいm(__)m


27665.Re: 最大最小問題
名前:angel    日付:7月6日(木) 18時11分
あやめさん = なおきさん ?

> このxyが任意の実数tに対してt^2-x+y=0を満たしている時、

…これを追加すると、条件を満たすx,yが無くなってしまいますね。


27678.Re: 最大最小問題
名前:あやめ    日付:7月6日(木) 23時1分
すみませんでした。
なおきというのは、パソコンを共用で使っている弟です。
名前を変えるのを忘れていました(汗汗

27619.証明の問題で分からない所があります。  
名前:中二    日付:7月2日(日) 22時17分
中二の者です。今学期の中間テストに次の様な証明問題が出題されました。この問題の解法を分かりやすく教えてもらえないでしょうか。
学校の先生は、意味不明な事を言っています。例えば
はいる法?漢字は分かりません。とか判例とかです。
次の命題を証明せよ
(命題)
2直線が交わって出来る4つの角のうち向き合う角
⇒その二つの角は等しい
どう証明するのかさっぱり分かりません。
あと、⇒とはどういう意味ですか?



27624.Re: 証明の問題で分からない所があります。
名前:ヨッシー    日付:7月2日(日) 23時17分

証明はたとえば、次の通りです。
 A=180°−B
 C=180°−B
よって、
 A=C
同様に、
 B=180°−A
 D=180°−A
よって、
 B=D

→ は、一般に「ならば」という意味です。この場合
(ある2つの角が)2直線が交わって出来る4つの角のうち向き合う角
であるならば、その二つの角は等しい
となります。

はいる法は「背理法(はいりほう)」、判例は「反例」でしょう。
 
http://yosshy.sansu.org/


27626.Re: 証明の問題で分からない所があります。
名前:中二    日付:7月2日(日) 23時42分
ヨッシーさんへ(様へ)
解法有難う御座いました。
続けての質問申し訳ないのですが、もう一つ質問があります。
先ほどの問題と同様に全く分かりません。
自分なりの解法を出してみようと思ったのですが。
問題
2直線m.Lに交わる直線pを引く。この時m//L⇒同位角は等しくなる。
又、m//L⇒錯覚は等しくなる。
この事を証明せよ。という問題です。


27662.Re: 証明の問題で分からない所があります。
名前:ヨッシー    日付:7月6日(木) 15時14分
これは、平行とは何か?ということに関わってきます。

ある1本の直線に対して、同じ角度で引いた、2本の直線を平行と呼ぶ。
ということになっているなら、同位角は定義そのままですので、証明のしようが
ありません。
同位角が言えれば、いずれかの対頂角を取れば、錯角になります。
 
http://yosshy.sansu.org/

27614.積分です。  
名前:かもめ    日付:7月2日(日) 12時46分
どうしても解けない私には難しい積分があります、よかったら皆さんのお力を貸してくださいお願いします。

(1)∫[0→π](2x)cos(x)dx

(2)∫[π/6→π/2]cos(x)dx/[sin(x)]^(1/2)



27615.Re: 積分です。
名前:のぼりん    日付:7月2日(日) 15時29分

(1) ∫π 2xcosxdx=[2xsinx]π−∫π 2cosxdx=…
と計算できます。

(2) ∫π/6π/2cosx/√(sinx)・dx=∫π/6π/2d(sinx)/√(sinx)=…
と計算できます。



27618.Re: 積分です。
名前:かもめ    日付:7月2日(日) 22時5分
のぼりんさん有難うございます。

[2xsin(x)]−∫2sinxdx ではないでしょうか?


∫(sinx)dx/√(sinx)=問題はこのあとなのですが

u=sinxと置いた場合。
∫1/(u)^(1/2) duとなってしまい√uが分母にきて?見慣れない形になってしまいます・・・。


27623.Re: 積分です。
名前:のぼりん    日付:7月2日(日) 22時57分

(1) ご賢察のとおりです。27615.は誤字でした。

(2) 1/u1/2=u−1/2 とすれば、見慣れた形になりませんか?



27629.Re: 積分です。
名前:かもめ    日付:7月3日(月) 14時11分

解けました、ありがとうございます!

27611.面積は変化する??  
名前:フミ    日付:7月2日(日) 2時52分
(問題)
周囲の長さが20cmの長方形の面積を13cm^2以上15cm^2以下にするにはどのようにすればよいか?

この問題を見て思ったのですが、周囲の長さが20cmとすでに決まっていても、つくられる四角形の形によって面積は変わるものなのでしょうか??



27612.Re: 面積は変化する??
名前:らすかる    日付:7月2日(日) 3時50分
変わりますよ。
例えば、一辺が5cmの正方形なら25cm^2、1cm×9cmの長方形なら9cm^2ですね。
短くない方の辺をxとおけば 13≦x(10-x)≦15, x≧5 と式が立てられますので、
この不等式を解きましょう。

http://www10.plala.or.jp/rascalhp


27617.Re: 面積は変化する??
名前:フミ    日付:7月2日(日) 19時57分
なるほど。
らすかるさん、回答ありがとうございます!

27610.無限等比級数  
名前:カカ    日付:7月1日(土) 18時12分
問題 直角三角形ABCの斜辺BC(=a)をn等分する点を、Bの方から順にM1,M2・・・・・・M(n-1)とするとき、lim[n→∞][1/n-1] [n-1]納k=1]AMk^2を求めよ

答え 凾`BMkにいて予言定理によりAMk^2=AB^2+BMk^2-2AB・BMkcosB
また、僊BCにおいて AB=acosB BMk=ka/nのところの

BMk=ka/nがどうしてなるかよくわかりません。教えてください。



27613.Re: 無限等比級数
名前:チョッパ    日付:7月2日(日) 12時21分
BM1=a/nを理解されてますか?


27616.Re: 無限等比級数
名前:カカ    日付:7月2日(日) 16時32分
わかりません。


27632.Re: 無限等比級数
名前:チョッパ    日付:7月3日(月) 15時19分
BC=5cmを10等分すると・・・
1つあたり,5÷10=5/10=1/2cmになりますよね。

この問題では
『斜辺BC(=a)をn等分する点を、Bの方から順にM1,M2・・・・・・M(n-1)とするとき』とありますから,
1つあたり,すなわちBM1=a÷n=a/nになります。


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