等差数列{a[n]}(n=1,2,・・・)の初項から第n項までの和をS[n]とする。S[n]を大きい順に並べると第3項までそれぞれ22,21,20となるとき、この数列の一般項a[n]を求めよ。ただし、a[n]は無限数列とする。
問題の意味が良く分かりません。教えてください。
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27806.Re: 数列 |
名前:angel 日付:7月16日(日) 22時6分 |
初項が正の数、項差が負の数のため、途中で数値が正→負に反転します。 そのため、和を考えると、最初のうちは増加していきますが、 項の数値が負に転じたところから減少していく、という状況です。
正→負に反転する部分をイメージしてみましょう。
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27811.Re: 数列 |
名前:至眞 日付:7月17日(月) 7時40分 |
自分に読解力がないだけに話なので、何を言ってもご了承ください。 分からないところをはっきりします。 >S[n]を大きい順に並べると第3項までそれぞれ22,21,20となるとき とありますがS[n]を大きい順に並べるとはどういうことですか。S[n]は複数あるんですか。そこがもうよく分かりません。また第3項までとはS[n]の初項から第3項までということですか。
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27828.Re: 数列 |
名前:angel 日付:7月17日(月) 19時0分 |
何かしら数列を考えて、状況をシミュレートしてみましょう。
例えば、a[n]=21-5n、つまり、 16, 11, 6, 1, -4, -9, … という数列を考えてみると、その先頭n項の和は S[n]=n(37-5n)/2 16, 27, 33, 34, 30, 21, … という、これまた数列をなします。 この S[n] の中で大きい項を順番に並べれば、 S[4]=34, S[3]=33, S[5]=30, S[2]=27, S[6]=21, … となるわけです。
ここでは、a[n] の4,5項目で正→負の切り替わりが起こっており、S[n]に関しては、4項目が単調増加・減少の境目になっています。
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27829.Re: 数列 |
名前:至眞 日付:7月17日(月) 19時43分 |
本当にありがとうございます。めちゃくちゃすっきりしました。お蔭で問題の意味を理解する事が出来ました。これでもう一回挑戦したいと思います。
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27830.Re: 数列 |
名前:至眞 日付:7月17日(月) 23時48分 |
いやあ、もう一回挑んだんですが分かりませんでした。情けない。出来れば教えてください。
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27834.Re: 数列 |
名前:ヨッシー 日付:7月18日(火) 11時20分 |
まず、公差はマイナスであることは分かりますか? 公差がプラスなら、どんな小さい数(マイナスで絶対値が大きい)から 始めても、ずっと先で必ず、正になるので、和も無限に大きくなります。
angel さんの 27828番の記事にもあるように 最大値の前後では、単調増加→最大値→単調減少 となります。 ですから、この問題の場合、最大値の前後では 20, 21, 22, ・・・ ………(1) 20, 22, 21, ・・・ ………(2) 21, 22, 20, ・・・ ………(3) 22, 21, 20, ・・・ ………(4) のいずれかになっているはずで、21, 20, 22 や 22, 20, 21 のようにはなりません。 (1)の場合、第n項までの和が20 とすると、第n+1項、第n+2項は、 21-20=1, 22-21=1 より、公差が0となり不適。 以下、同様に第n+1項、第n+2項と公差を調べると、 (2) 2, -1 公差-3 (3) 1, -2 公差-3 (4) -1, -1 公差0 ここで(4)が候補から消えます。 (2)において、第n+1項の 2 から逆にたどると 2, 5, 8, 11 となり、 2+5+8=15, 2+5+8+11=26 で、和が22 になりません。 (3) において、第n+1項の 1 から逆にたどると、 1, 4, 7, 10 で和が22になります。 (以下略)
http://yosshy.sansu.org/
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27839.Re: 数列 |
名前:angel 日付:7月18日(火) 18時53分 |
ヨッシーさん、フォローありがとうございます。
さて、問題のa[n]は、初項から途中のある項までが正、そこから先が負、となっていますので、最後の正の項までの和が、S[n]の最大値であることは分かりやすいのですが…。 No.2, No.3 はどれか、というところには一応注意。 a[n]が正→負に切り替わるあたりを見てみると、 ここまでの和:小 → 項は正、和:中 → 最後の正の項、和:大 最後の正の項、和:大 → 最初の負の項、和:中 → 項は負、和:小 というように、和は 小→中→大→中→小 で推移します。 これら以外は、No.2, No.3 に関わりはありませんが、では「小」はどうでしょうか? 把握しておく必要があります。 ※No.1〜3 は「大中中」の組合わせではなく、「大中(左)小(左)」や「大中(右)小(右)」である可能性も、まだ否定できないため、
最後の正の項を p>0, 公差を -d (d>0, d>p), 和の最大値を M とすると、和の推移は M-2p-d → (+p-d): M-p → (+p): M → (+p-d): M+p-d → (+p-2d): M+2p-3d ここで、 中(左)-小(右): ( M-p ) - ( M+2p-3d ) = 3(d-p) > 0 中(右)-小(左): ( M+p-d ) - ( M-2p-d ) = 3p > 0 であることから、やはり「小」がNo.3以内に入ることはないと分かります。
※和が n の2次関数として表されることを考えると、実は自明ともいえるのですが… ※細かく言うと、2項目がいきなり負になるパターンも言及し、それは無いことを示しておく必要もあるとは思います。
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27855.Re: 数列 |
名前:至眞 日付:7月19日(水) 12時7分 |
本当にお二方とも感謝いたします。こんなに詳しく書いてくれるとは思いませんでした。これでもう完璧に理解する事が出来ました。ありがとうございました。
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