半径rの球の球表面上に3辺の長さが等しくaの三角形を描いたとき
この三角形に球表面上で囲まれる2つの面積のうち面積の小さい方を
求めよ。
という問題を作ったはいいのですがとけません。原始関数で表わせら
れるか際どいのですが、解くアプローチをお願いします。(数値解析以外)
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20075．Re: (untitled) |
| 名前：X 日付：3月2日(水) 16時35分 |
まず適当な座標設定をします。
問題の三角形が載っている球を
x^2＋y^2＋z^2=R^2 ①
(球座標表示を使いたいのでrをRで置き換えています。)
とすると、頂点A,B,Cは球座標表示で表すと
A(R,0,0),B(R,-a/(2R),a/R),C(R,a/(2R),a/R)
と取ることができます。
ここで問題の領域を平面z=Rcosφで切った断面の曲線の端点をD,E
(但しDはy座標が負になるように取る)とすると球座標表示では
D(R,-a/(2R),φ),E(R,a/(2R),φ)
また求める面積をSとすると
dS=dxdy/cosφ ②
ここで②を球座標に変換します。
x=Rcosθsinφ、y=Rsinθsinφと置くと,ヤコビヤンJは
J=(R^2){-((sinθ)^2)sinφcosφ-((cosθ)^2)sinφcosφ}
=-(R^2)sinφcosφ
∴dS=|J|dxdy/cosφ={(R^2)sinφ}dθdφ
∴問題の領域をDと置くと
S=∬[D]dS
=∫[φ:0→a/R]∫[θ:-a/(2R)→a/(2R)]{(R^2)sinφ}dθdφ
=aR∫[φ:0→a/R]sinφdφ
=aR{1-cos(a/R)}
Rを改めてrと置き換えて
S=ar{1-cos(a/r)}
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20096．Re: (untitled) |
| 名前：白拓 日付：3月3日(木) 12時7分 |
返信ありがとうございます。
>頂点A,B,Cは球座標表示で表すと
>A(R,0,0),B(R,-a/(2R),a/R),C(R,a/(2R),a/R)
とありますがB,Cのφは私が計算したら
φ=Cos-1 {(2-5(sin(a/2R))^2)/(2cos(2/2R))}
となりました。
球の中心とD,Eを含む平面で切断したときの球表面にできる
曲線が題意の三角形の一辺ですが、この曲線はz=Rcosφで球を
切断したときの曲線とは異なります。
そのためそれを考慮すると私の計算では2重根号の中に三角関数の
入った定積分になったのですが多分特殊な場合でない限り原始関数では
表せないだろうと思います。
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20106．Re: (untitled) |
| 名前：X 日付：3月3日(木) 17時14分 |
ご指摘ありがとうございます。確かに曲線BCのとり方と△ABCに対する
切断面の取り方を誤っています。
話題とは本質的には別の話ですが、気になったのでレスをします。
>>B,Cのφは私が計算したら
>>φ=Cos-1 {(2-5(sin(a/2R))^2)/(2cos(2/2R))}
>>となりました。
改めてこちらで計算しましたが、計算結果が私とは異なっています。
以下計算過程を示しますので間違っていたらご指摘をお願いします。
問題の三角形を△ABCとし、極座標表示でA(R,0,0)とおくと、対称性よりB,Cは極座標表示でB(R,φ,a/R),C(R,-φ,a/R)と置くことができる。
このときB,Cの座標を直線直交座標系で表すと
B(Rcosφsin(a/R),Rsinφsin(a/R),Rcos(a/R)) ①
C(Rcosφsin(a/R),-Rsinφsin(a/R),Rcos(a/R)) ②
又条件から↑OB・↑OC=(R^2)cos(a/R) ③
①②③から
{Rcosφsin(a/R)}^2-{Rsinφsin(a/R)}^2＋{Rcos(a/R)}^2=(R^2)cos(a/R)
整理して
{(sin(a/R))^2}cos2φ-cos(a/R)＋(cos(a/R))^2=0
∴
φ=(1/2)arccos{{cos(a/R)-(cos(a/R))^2}/(sin(a/R))^2}
=(1/2)arccos{cos(a/R)/(1＋cos(a/R))}
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20107．Re: (untitled) |
| 名前：X 日付：3月3日(木) 19時6分 |
で本題に戻りますが、
No.20106で求めたφをδと置くと
（つまりδ=(1/2)arccos{cos(a/R)/(1＋cos(a/R))}）
辺BCを球：x^2＋y^2＋z^2=R^2との交線の一部として持つ平面は
xcos(a/R)-zcosδsin(a/R)=0
となりますから、辺BCを極座標表示すると
φ=arctan{cosδtan(a/R)/cosθ}(但し-δ≦θ≦δ)
従って,切断面をz軸を含む平面に取ると
S=∫[θ:-δ→δ]∫[φ:0→arctan{cosδtan(a/R)/cosθ}](R^2)sinφdφdθ
=(R^2)∫[θ:-δ→δ]{1-cos(arctan{cosδtan(a/R)/cosθ})}dθ
=(R^2)∫[θ:-δ→δ]{1-1/√(1＋{cosδtan(a/R)/cosθ}^2)}dθ
=(2R^2)∫[θ:0→δ]{1-(cos(a/R)cosθ)/√{(cos(a/R)cosθ)^2＋(cosδsin(a/R))^2}}dθ
=(2R^2)∫[θ:0→δ]{1-(cos(a/R)cosθ)/√
{(cos(a/R))^2＋(cosδsin(a/R))^2-(cos(a/R)sinθ)^2}}dθ
これはβ=√{(cos(a/R))^2＋(cosδsin(a/R))^2}と置くと
S=(2R^2)[θ-arcsin((1/β)cos(a/R)sinθ)][θ:0→δ]
=(2R^2){δ-arcsin((1/β)sinδcos(a/R))}
という形になります。
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20117．Re: (untitled) |
| 名前：xxx 日付：3月4日(金) 1時31分 |
答えは、
R^2*[3 ArcCos{Cos(a/R)/(1＋Cos(a/R))}－π]
ではないでしょうか？
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20122．Re: (untitled) |
| 名前：X 日付：3月4日(金) 13時35分 |
>>xxxさんへ
その通りですね。式の整理不足でした。
>>白拓さんへ
20106のレスの通り、私の計算過程では初等関数で表せない
原始関数は出てきませんでしたが、別の計算方法を使って
いるのでしょうか？。
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20127．Re: (untitled) |
| 名前：xxx 日付：3月4日(金) 15時12分 |
単位球面上の直角三角形ＡＢＣ（Ｃが直角）に対する公式
Tan(B)＝Tan(a)／Tan(c)、（aは辺長ＢＣ、cは辺長ＡＢです。）
から、正三角形(辺長ｄとします)の１頂点の角度θには、
Cos(θ)＝Cos(ｄ)/(1＋Cos(ｄ))
の関係があることが判ります。
また、単位球面上の三角形の面積は、「３角の和－π」で与えれるのを
適用すると、前回の式が得られます。
私のは、Ｘさんの式を整理したのではなく、球面三角法の公式を利用
しただけなんです。
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