ヨッシーの八方掲示板

2005年02月の投稿ログ

20052．教えてください。

名前：りんご 日付：2月28日(月) 20時33分

私は中学三年で、フォイエルバッハの定理を証明したいのですが、できるだけわかりやすく教えてもらえますか？お願いします。

	20078．Re: 教えてください。
	名前：ヨッシー日付：3月2日(水) 17時56分
	７日（月）まで待って下さい。　 http://www.geocities.jp/dainembutsu/

20045．位置ベクトル

名前：kei(高1) 日付：2月28日(月) 18時50分

四角形ABCDの頂点の位置ベクトルをA(a→),B(b→),C(c→),D(d→)とおく。a→＋c→=b→＋d→,a→・c→=b→・d→が成り立つとき、四角形ABCDはどんな四角形か。

両方とも条件を使ったのですが、長方形という答えにしかなりません。答えは正方形となっているのですが、答えが間違っているのでしょうか？それとも本当に正方形と言えるのでしょうか？お願いしますm(__)m

	20049．Re: 位置ベクトル
	名前：ヨッシー日付：2月28日(月) 19時28分
	答えが間違っていますね。Ａ(1, 1), Ｂ(3, 1), Ｃ(3, 2), Ｄ(1, 2) のように長方形を座標で表せば、成り立つことが確認できます。　 http://www.geocities.jp/dainembutsu/

	20051．Re: 位置ベクトル
	名前：kei(高1) 日付：2月28日(月) 19時56分
	分かりました。ありがとうございました。

20042．わからないので教えてください。

名前：たけ　日付：2月28日(月) 0時19分

関数y=x-2＋16/(x-2)で(x>2)のときの最小値を求めよ。

	20043．(untitled)
	名前：たけ　大学３年日付：2月28日(月) 1時7分
	解説にはこういう風に載ってるんですけど全く意味がわからなくて。

	20044．Re: わからないので教えてください。
	名前：豆日付：2月28日(月) 9時28分
	正数に関する相加平均≧相乗平均　という関係です．

	20057．(untitled)
	名前：たけ日付：3月1日(火) 1時4分
	ありがとうございます。そういえばそういうのを習った記憶がありますね～。ほんとに助かりました。

20036．三角関数

名前：くう高一 日付：2月27日(日) 18時41分

次の関数の最大値・最小値および0≦θ＜2πの範囲でその値をとるθを求めよ。
(1) sinθsin(π/sin-θ）
(2) cos2θ-4θ

全くわかりません;汗。誰か教えてください、お願いしますm(_ _)m

	20037．すいません
	名前：くう高一日付：2月27日(日) 20時25分
	ごめんなさい、問題が違っていました。 (1) sinθsin(π/3-θ） (2) cos2θ-4sinθ

	20039．Re: 三角関数
	名前：unko(ゆーえぬけーおー) 日付：2月27日(日) 22時27分
	(1) 積の形を和の形に直す (2) sinθ = (1－cos2θ)/2 を使う

	20040．Re: 三角関数
	名前：c.e.s. 日付：2月27日(日) 22時39分
	(1) sinθsin(π/3-θ) =(1/2)[cos{θ-(π/3-θ)}-cos{θ＋(π/3-θ)}] (積和の公式) =(1/2){cos(2θ-π/3)-cos(π/3)} =(1/2)cos(2θ-π/3)-1/4 あとはどうぞ (2) cos2θ-4sinθ =1-2(sinθ)^2-4sinθ (2倍角の公式) =-2(sinθ＋1)^2＋3 あとは条件付の2次関数の問題。

	20041．Re: 三角関数
	名前：くう高一日付：2月27日(日) 23時9分
	皆さん、どうもありがとうございました。

20033．漸化式

名前：はぁ。 日付：2月27日(日) 17時55分

A(1)=A(2)=1
A(n 2)=pA(n 1) qA(n) は、
p=q=1　のとき、
フィボナッチ数列となって、
A(s) と A(t) の最大公約数は、
sとtの最大公約数と一致するわけですが、
このような性質をもつのは、
p=q=1　のときに限られるか。

まったく手詰まりです。
p=q=1のとき、それ自身なら
証明は容易でしたが。

助けてください。

	20034．解答とはずれるかもしれませんが
	名前：風あざみ日付：2月27日(日) 18時11分
	＞A(1)=A(2)=1 ＞A(n＋2)=pA(n＋1)＋qA(n) は、＞p=q=1　のとき、＞フィボナッチ数列となって、＞sとtの最大公約数をdとするとき＞A(s) と A(t) の最大公約数は、＞A(d)と一致する。＞このような性質をもつのは、＞p=q=1　のときに限られるか。という定理とみなして解答します。一般にA(0)=0、A(1)=1、pとqが互いに素な整数であれば sとtの最大公約数をdとしたとき、A(s)とA(t)の最大公約数=A(d) であることがいえます。詳しくは共立出版の「素数の世界」PAUIO　RIBENBOIM著の40～50ページあたりを見てください。

	20035．この問題の解答ですが
	名前：風あざみ日付：2月27日(日) 18時16分
	私が上で述べた命題をうまく用いると反例を作ることが出来ると思います。

20031．二次導関数

名前：みっちー　高２ 日付：2月27日(日) 11時5分

最近ちょっと思ったんですけどy＝f（x）の二次導関数はd^2y／dx^2というふうに表しますよね。
でもこれって（ｙ´の変化量）／（xの変化量）って考えたら
d^2y／d^2x^2　ってなりませんか？
ちょっと質問の意味が分かりづらいと思いますが、どなたか分かる方
よろしくお願いします。

	20032．Re: 二次導関数
	名前：のぼりん日付：2月27日(日) 15時16分
	こんにちは。ｄ^２ｙ/ｄｘ^２は本来、ｄ^２ｙ/（ｄｘ）^２の意味ですから、形式的に計算すると、確かにｄ^２ｙ/ｄｘ^２＝ｄ^２ｙ/ｄ^２ｘ^２と書けそうにも思えます。しかし、ちょっと待ってください。微分演算のｄは、ｘ，ｙ，… の様に数を抽象化した記号ではなく、ｆ（ｘ），ｇ（ｘ），… の様な演算とか操作の意味の記号なのです。ｄｘは、ｘという量を微小量だけ取る、という操作を表す記号なので、本来ｄｘはｄ（ｘ）とでもかくべきものです。ｆ（ｘ）^２＝ｆ^２（ｘ^２）と書けないのと同様、｛ｄ（ｘ）｝^２＝ｄ^２（ｘ^２）と書くこともできません。ｄ^２ｘ^２と書くと、ｘ^２という量の微小量の微小量ｄ｛ｄ（ｘ^２）｝を取ったことになってしまうからです。そうではなく、ｄｘ^２は、ｄｘという微小量の二乗（ｄｘ）^２＝｛ｄ（ｘ）｝^２です。ですから、ｄ^２ｙ/ｄｘ^２と書くのです。

	20038．Re: 二次導関数
	名前：みっちー　高２日付：2月27日(日) 20時29分
	のぼりんさん、説明ありがとうございました。すごく分かりやすかったです。

20030．確率

名前：ソウ　高3 日付：2月27日(日) 0時48分

Ａ,Ｂ,Ｃの3人が次のような「貧民ゲーム」をｎ回行った。
1ゲーム目ではＡが富豪となり、1の球1個、3の球2個の計3個入っている袋を持った。次にＢが平民となり、1の球1個、2の球1個、3の球1個の計3個入っている袋を持った。最後にＣが貧民となり、1の球1個、2の球2個の計3個入っている袋を持った。
次に各自袋から球を1個取り出してその数を比べて1人の勝者を決めていく。ただし、どの球も取り出される確率は同じで取り出した球は戻さないとする。
もし富豪の出した球の数が他より大きいなら富豪が勝者となり、富豪、平民、貧民はそのままで2回目のゲームを行う。また、もし平民の出した球の数が他より大きいなら平民が勝者となり、平民と富豪が交代して2回目のゲームを行う。また、もし貧民の出した球の数が他より大きいなら貧民が勝者となり貧民と富豪が交代して2回目のゲームを行う。
また、袋から球を1個取り出したとき最大の数を出した人が複数なら、その複数の人たちで各自の袋からもう1個取り出しその数を比べて勝者を決める。さらにこれでも決まらなければ、袋から最後の1個を取り出して勝者を決め、次のゲームを行う。このとき次の問に答えなさい。
（1）最初の球を1個取り出したとき、富豪が勝者となる確率はア/イ、平民が勝者となる確率はウ/エオ、貧民が勝者となる確率はカ/キクである。
（2）最初の球を1個取り出したとき勝者が決まらなくて、2個目を取り出したときに、富豪が勝者となる確率はケ/コサである。
（3）1回のゲームで富豪が勝者となる確率はシス/セソである。
（4）このゲームをｎ回繰り返す。このとき、少なくとも1回富豪でないものが勝者となる確率が0.9を越えるようなｎの最小値はｎ=タである。ただし、log10の2=0.30、log10の3=0.48、log10の7=0.85としてよい。

（1）は4/9、4/27、2/27であることはわかりました。しかし、（2）以降がいくら数えても答えが出ませんでした。度重なる質問申し訳ありません。なんとかお教えいただけませんでしょうか？

	20046．Re: 確率
	名前：ヨッシー日付：2月28日(月) 19時10分
	Ａ，Ｂ，Ｃの出す数を (A, B, C) のように書くことにします。 (2) ２回目で富豪が勝つのは、 2-1. １回目 (1, 1, 1) であいこになる確率　1/27 　　　２回目 (3, 2, 2) で富豪が勝つ確率　(2×1×2)/8＝1/2 　　　トータルの確率　1/54 2-1. １回目 (3, 3, x) であいこになる確率　(2×1×3)/27＝6/27 　　　２回目 (3, x, x) で富豪が勝つ確率　(1×2×2)/8＝1/2 　　　トータルの確率　6/54 よって、２回目で富豪が勝つのは、7/54 つづく　 http://www.geocities.jp/dainembutsu/

	20047．Re: 確率
	名前：ヨッシー日付：2月28日(月) 19時19分
	上の解答で、x は、持っている球のどれを出してもいいということです。それから、２つ目の 2-1. は、2-2 の誤り。その、2-2. の中の　(3, x, x) は、Ｃは２回目は参加しないので、 (3, x, -) とでもしておきます。そして、その横の式は、(1×2)/4＝1/2　となります。結果は同じです。 (3) ３回目で富豪が勝つのは、 3-1. １回目 (1, 1, 1) であいこになる確率　1/27 　　　２回目 (3, 3, 2) であいこになる確率　(2×1×2)/8＝1/2 　　　３回目は (3, 2, -) で富豪が必ず勝ちます。　　　トータルの確率　1/54 3-2. １回目 (3, 3, x) であいこになる確率　(2×1×3)/27＝6/27 　　　２回目 (1, 1, -) 出会い個になる確率　1/4 　　　３回目は (3, 2, -) で富豪が必ず勝ちます。　　　トータルの確率　3/54 よって、３回目に富豪が勝つ確率は、　4/54＝2/27 つづく　 http://www.geocities.jp/dainembutsu/

	20048．Re: 確率
	名前：ヨッシー日付：2月28日(月) 19時24分
	以上より、１回のゲームで、富豪が勝つ確率は、　4/9＋7/54＋2/27＝35/54 「ｎ回のうち、少なくとも１回富豪でないものが勝者となる」ことは、「ｎ回とも富豪が勝つ」の余事象ですので、「ｎ回とも富豪が勝つ」確率をまず考えます。それは、　(35/54)^n と書けます。これが、0.1 未満になると、余事象の方は 0.9 を超えるので、　(35/54)^n＜0.1 ｅ（＞１）を底とした対数を取ると、　log(35/54)^n＜log0.1 これを、与えられた対数の値を使って解きます。　 http://www.geocities.jp/dainembutsu/

	20050．Re: 確率
	名前：ヨッシー日付：2月28日(月) 19時32分
	すみません。ｅではなくて、10 を底にします。　 http://www.geocities.jp/dainembutsu/

	20053．Re: 確率
	名前：ソウ　高3 日付：2月28日(月) 22時2分
	ヨッシーさんありがとうございます対数の計算は (35/54)^n<0.1 n×(log35-log54)<log0.1=-1 n>1/(log54-log35) n>1/{log(3^3×2)-log(7×10/2)} n>1/(3log3＋log2-log7-log10＋log2) n>1/(3×0.48＋0.30-0.85-1＋0.30)=1/(1.44＋0.60-1.85) n>1/0.19=5.263… ∴n=6 でよろしいのでしょうか？

	20055．Re: 確率
	名前：ヨッシー日付：3月1日(火) 0時18分
	はい、正解です。　 http://yosshy.sansu.org/

	20056．Re: 確率
	名前：ソウ　高3 日付：3月1日(火) 0時30分
	長々と申し訳ありませんでしたヨッシーさんのＨＰはいつも参考にさせていただいておりますこれからも何かとお世話になることもあると思いますがそのときはよろしくお願いいたしますありがとうございました

20027．(untitled)

名前：以前何度か質問させていただいた者です。 日付：2月26日(土) 21時38分

先日、養成校に無事合格する事ができました！！
この掲示板がなかったら合格はなかったと思います。
よっしーさん、回答してくださった方々、
本当にありがとうございましたｍ(__)ｍ
これからもこの掲示板でたくさんの人に数学を教えてくださいね☆
ありがとうございました。

	20028．Re: (untitled)
	名前：ヨッシー日付：2月26日(土) 22時1分
	合格おめでとうございます。所詮、掲示板は、回答者側の自己満足であることが多いのですが、それでも、こういうお言葉を頂くと、元気が出ます。これからも、頑張ってください。　 http://yosshy.sansu.org/

20025．質問です！！

名前：ゆみ日付：2月26日(土) 19時32分

初項から第n項までの和Snが、次の式で与えられる数列anの一般項を求めよ。
Ｓｎ=４(n乗)－１
この問題で(４n乗－１)－{４(n-1乗)－１}から４(n-1乗)(４－１)にどうやったらなるのか教えて下さい!!!

	20026．Re: 質問です！！
	名前：豆日付：2月26日(土) 19時39分
	4のn乗はPCのテキスト文では4^nと書きます。 4^nは4をn個掛けたものですから4^n=4・4^(n-1)となるのはいいですか？ (4^n-1)-(4^(n-1)-1)=4^n-1-4^(n-1)＋1 =4^n-4^(n-1) =4・4^(n-1)-4^(n-1) =4^(n-1)(4-1)

20021．(untitled)

名前：水色(高１) 日付：2月26日(土) 13時39分

２次方程式の解と係数の関係って具体的にどのように利用、応用できますか？教えてください。よろしくお願いします。

	20022．Re: (untitled)
	名前：ヨッシー日付：2月26日(土) 13時46分
	２つ下の記事「三角比の最大・最小」のような使い方とか。　 http://yosshy.sansu.org/

	20023．Re: (untitled)
	名前：らすかる日付：2月26日(土) 14時16分
	二重根号を外すのにも使えますね。 http://www10.plala.or.jp/rascalhp

20018．教えて下さい

名前：ゆみ日付：2月26日(土) 11時40分

数列1,2,6,15,31,56… のもとの一般項を求めよ。の問題で、６/１(２n2-３n2+n+６) と答えがでたのですが、この後どのように因数分解すればいいのか教えて下さい！！

	20020．Re: 教えて下さい
	名前：ヨッシー日付：2月26日(土) 11時51分
	(２n³-３n²＋n＋６) ／６ですね。 f(n)＝２n³-３n²＋n＋６とおくと、f(-1)＝０　なので、(x＋1)で割り切れます。　 http://yosshy.sansu.org/

	20024．Re: 教えて下さい
	名前：ゆみ日付：2月26日(土) 19時23分
	わかりました！ありがとうございます

20007．三角比の最大・最小

名前：ひろこ　中三 日付：2月24日(木) 21時18分

0度≦θ≦180度とする。xの二次方程式3x^2 8xcosθ 8sinθ=0について、次の条件を満たすようなθの値の範囲を求めよ。　[1]実数の解をもつ[2]正の解だけをもつ[3]負の解だけをもつ

	20008．Re: 三角比の最大・最小
	名前：ひろこ　中三日付：2月24日(木) 21時21分
	式の変形の仕方、考え方を中心に何方かお願いします。

	20009．Re: 三角比の最大・最小
	名前：ひろこ　中三日付：2月24日(木) 21時24分
	3x^2＋8xcosθ＋8sinθ=0です。

	20010．aaa
	名前：はぁ。日付：2月24日(木) 21時37分
	もし、三角関数ではなくて、これが　たとえば、 3x^2＋8kx＋8k = 0 に関してだったのなら、解けますか？

	20011．Re: 三角比の最大・最小
	名前：ヨッシー日付：2月24日(木) 21時44分
	三角関数を除くと、・２次方程式の判別式・２次不等式・解と係数の関係等の知識が必要ですが、すでに習得済みでしょうか？　 http://yosshy.sansu.org/

	20014．Re: 三角比の最大・最小
	名前：ひろこ　中三日付：2月24日(木) 22時21分
	はぁ。様、ヨッシー様　一応数Ⅰ・Aはほとんど習得済みですが、グラフを書いてもあまり自信がありません。

	20017．Re: 三角比の最大・最小
	名前：ヨッシー日付：2月25日(金) 12時13分
	[1] は、判別式を使います。途中、cos^2θ＝１－sin^2θ を使うと、　D/4＝(4cosθ)^2－3・8sinθ 　　＝16(１－sin^2θ)－24sinθ 　　＝-16sin^2θ－24sinθ＋16 　　≧０－８で割って、　　2sin^2θ＋3sinθ－２≦０因数分解して、　　(2sinθ－１)(sinθ＋２)≦０よって、　　－２≦sinθ≦１／２０°≦θ≦180°　より、　０°≦θ≦３０°　または　150°≦θ≦180° こんな感じですね。 [2][3] は、解と係数の関係を使って、正の解のみ　→　２解の和が正　２解の積が正負の解のみ　→　２解の和が負　２解の積が正これと、判別式とで、範囲を決めます。　 http://yosshy.sansu.org/

20004．空間図形

名前：Ｂｏｂ 日付：2月24日(木) 17時28分

追加ですが
リンク先の5番の問2って高校生とかなら
ベクトルとか三角関数とか使うのですが
中学ではどう解くのでしょうか？
http://www.kyoiku.metro.tokyo.jp/pickup/p_gakko/17kensa/mondai_suugaku.pdf

	20005．Re: 空間図形
	名前：豆日付：2月24日(木) 17時44分
	MOを平行移動して手前の面に持ってくれば MO=BXとなる　（XはPFの中点） Xから水平にBFに垂線を下ろしその足をYとすると， MO^2=BX^2=XY^2＋YB^2=3^2＋5^2=34

	20006．Re: 空間図形
	名前：Ｂｏｂ日付：2月24日(木) 17時58分
	なるほど相似と三平方ですねでもＭＯと平行な線ＢＸを思いつくのも大変だしＢＸとＭＯが平行なことを納得させるのもつらそうですね。

	20012．Re: 空間図形
	名前：豆日付：2月24日(木) 21時49分
	本当はMOを含む平行な面で切ってやれば良いのでしょうが、中間の立体はイメージし難いと思います（私自身も立体のイメージは苦手です）。でも、上から見ればOは正方形の中心だからMOの面が手前の面に平行というのはかなり直感的に分かるのじゃないでしょうか？従って、分かりやすい端面に便宜的に持ってきたまでです。実は先の駄レスの中でコメントしようと思って省略しましたが、中学での確率の学習は大変だろうと書きましたが、反面IT技術の進歩で視覚的な学習はし易くなったでしょうと。しかし、その負の面で、自分自身で絵や図を書かない（書けない）生徒も増えてきているのじゃないでしょうか、という危惧もありますねと。 3Dでいろんな方向から見られるテクニックを、自分自身の中で培ういうことも併せて教えることが必要だと思いますし、それは昔に比べればやりやすい環境が整っていると思います。どちらにしても最終的には先生の実力ですね。

	20016．こういう解き方はどうでしょう
	名前：らすかる日付：2月25日(金) 3時13分
	四角形AEFBを正面に見た図を E=(0,0), F=(6,0), A=(0,6) となるようにxy平面上に描くと、 P=(0,2), O=(1/2)×(P＋F)=(3,1), M=(6,6) となるから MO=√{(6-3)^2＋(6-1)^2}=√34 http://www10.plala.or.jp/rascalhp

19995．どうも質問です

名前：Ｂｏｂ 日付：2月23日(水) 23時50分

リンク先の4番の問3なのですが
現在の教育課程で中3が解くのに一番楽な方法は何でしょうか？
相似比と面積比は使えないと思うので・・・
http://www.kyoiku.metro.tokyo.jp/pickup/p_gakko/17kensa/mondai_suugaku.pdf

	19996．Re: どうも質問です
	名前：らすかる日付：2月24日(木) 0時25分
	問2を使うことも考慮して普通に考えると相似からPQ,QCを求めることで△QPCの面積を求め、台形RPCDの面積から引くぐらいでしょうか… http://www10.plala.or.jp/rascalhp

	19997．Re: どうも質問です
	名前：mononobe 日付：2月24日(木) 1時6分
	たいして変わりませんが(相似の利用後の足し算) △ABC∽△PQC∽RQAを利用　△ABCについて　　AB＝4，BC＝8で三平方の定理より、CA＝4√5なので　△PQCについて　　CP＝4 から、PQ＝4√5/5，QC＝8√5/5 　△RQAについて　　QA＝CA－QC＝12√5/5 から、RQ＝6√5/5，AR＝6 　さらに、RD＝AD－AR＝2 四角形RQCD＝△RDC＋△RQCを利用　△RDCについて　　∠RDC＝90°、RD＝2，DC＝4より、面積 4 　△RQCについて　　∠RQC＝90°、RQ＝6√5/5、QC＝8√5/5より、面積 24/5 　四角形RQCD＝△RDC＋△RQC＝44/5

	19998．これが一番楽かも
	名前：らすかる日付：2月24日(木) 12時51分
	△QRAと△QPCの相似比が3：2なので、長方形の一辺を底辺とした高さ比は3：2、従って△QRAのRAを底辺とした高さは4×{3/(3＋2)} ＝12/5なので△QRAの面積は6×12/5÷2＝36/5 △CDAの面積は8×4÷2＝16だから、四角形RQCDの面積は 16－36/5＝44/5 http://www10.plala.or.jp/rascalhp

	19999．駄レスご容赦
	名前：豆日付：2月24日(木) 12時56分
	腰を折るようで，済みません．せっかくBobさんから生々しいものを見せていただいたので，ちょっと感想．１．全部で５０分！一瞬えっ！と思いましたが，よくよく思い起こせば，我々の時代でもこの程度のボリュームはあったのかな，と．年を取ると時間がたつのはやはり早いなあ，と．いずれにせよ見切りを早くしないと，大変ですね．熟考タイプの子には不利ですね．２．中学生で確率を学ぶのですね．実生活に関係が深いとはいえ，教えるのは骨が折れるだろうな，と．ご苦労様です．３．それにしても，試験（テスト）でなく，「検査」というのは正常かどうかお医者さんのチェックを受けているようで圧迫感が強い言い方をするのですねえ．

	20000．超駄レス
	名前：らすかる日付：2月24日(木) 13時3分
	きりば～ん(笑) http://www10.plala.or.jp/rascalhp

	20001．悪乗りついで
	名前：豆日付：2月24日(木) 13時42分
	意味がわかりませんでした．検索してやっと．らすかるさん，狙ってましたね．前後賞はないのでしょうか？

	20002．スレの主旨と無関係な話を続けて申し訳ないですが
	名前：らすかる日付：2月24日(木) 14時55分
	いえいえ、狙っていたわけではありません。豆さんのレスを見てたまたま19999というのが目に止まったので、駄レスする気になっただけです(笑)。それまでは、20000近いということに全く気付いていませんでした。 20001をキリ番とするサイトは見たことないですが、19999をキリ番と認定するサイトは結構多いと思います。ちなみに、私が半管理人のとあるサイト(私のサイトではない)のキリ番は　m×10^n　ただしm,n∈N, m＜10^(n－1) 及び　m×(10^n－1)÷9　ただしm,n∈N, m≦9, n≧3 と定義しています(笑)。 http://www10.plala.or.jp/rascalhp

	20003．Re: どうも質問です
	名前：Ｂｏｂ日付：2月24日(木) 17時25分
	ありがとうございます。

19992．Return Answers

名前：H.Tactais. (fict'name) 日付：2月23日(水) 20時37分

Dear Mr.zo
You have solved answers about No.2 correct.
If you want to know more answers after question's No.2,
you had better check under this.

θの個数は、a=-5/4のとき1個、-5/4＜a＜1のとき2個、1≦a＜5のとき1個である。

	19993．Re: Return Answers
	名前：H.Tactais. (fict'name) 日付：2月23日(水) 20時39分
	Oh, MY GOD. I have some mistakes.Sorry.

19989．三角関数

名前：ソウ　高3 日付：2月23日(水) 6時59分

sin2θ＋sin3θ/sinθ=aを考える。ただし0°＜θ＜180°とする。このとき、次の問いに答えなさい。
（1）sin3θ=アイsin^3θ＋ウsinθである。
（2）a=-1とする。このとき、この方程式を満たすθの値を小さいほうから並べると、θ=エオ°,カキク°である。
（3）この方程式を満たすθが存在するときθの個数は、a=ケコ/サのときシ個、ケコ/サ＜a＜スのときセ個、ス≦a＜ソのときタ個である。

（1）は３倍角の公式であることはわかるのですが、（2）以降がわかりません。どうかご教授願います。

	19990．Re: 三角関数
	名前：ヨッシー日付：2月23日(水) 8時17分
	分かっているところは、答えも書いてくださいね。そうすると、回答者が３倍角の公式を探したり、あるいは解いたりする手間が省けます。また、sin2θ＋sin3θ/sinθ　は、のどちらとも取れます。おそらく左の方と思われますが、（sin2θ＋sin3θ）/sinθ　のように、カッコを使いましょう。もし右なら、sin2θ＋（sin3θ/sinθ）　と書くのが誤解を生まない方法です。で、sin3θ＝－４sin³θ＋３sinθ　ですが、 sinθ＝２sinθcosθ　と合わせると、　ａ＝２cosθ－４sin²θ＋３ sin²θ＝１－cos²θ　より、　ａ＝４cos²θ＋２cosθ－１とりあえずここまでで、（２）は出来るでしょう。　 http://yosshy.sansu.org/

	19991．Re: 三角関数
	名前：ソウ　高3 日付：2月23日(水) 15時5分
	ヨッシーさんありがとうございますわかりにくい書き方をして申し訳ありませんでした自分がわかっているからと、書き込みが雑になってしまったようです以後気をつけます（2）は、4cos^2θ＋2cosθ-1=-1より 4cos^2θ＋2cosθ=0→2cos^2θ＋cosθ=0、これを変形して cosθ(2cosθ＋1)=0、∴cosθ=0,-1/2 cosθ=0よりθ=90°、cosθ=-1/2よりθ=120° でよろしいのでしょうか？

	19994．Re: 三角関数
	名前：H.Tactais. (fict'name) 日付：2月23日(水) 20時40分
	Dear Mr.zo You have solved answers about No.2 correct. If you want to know more answers after question's No.2, you had better check under this. θの個数は、a=-5/4のとき1個、-5/4＜a＜1のとき2個、1≦a＜5のとき1個である。

	20013．Re: 三角関数
	名前：ソウ　高3 日付：2月24日(木) 22時14分
	4cos^2θ＋2cosθ-1=aを変形すると4(cosθ＋1/2)^2-5/4=aになりますよねこのあとどうすればよいのでしょうかこの手の問題が苦手でなかなか慣れません

	20029．Re: 三角関数
	名前：ソウ　高3 日付：2月27日(日) 0時12分
	グラフを書いてy=4(cosθ＋1/4)^2-5/4とy=aとの共有点の個数を考えたら出来ましたご回答してくださった皆さんありがとうございました

19985．群数列

名前：シミーレ　高1 日付：2月22日(火) 23時26分

教えてください。

自然数の列を次のように分ける。
{１}、{２，３}、{４，５，６，７}、{８，９，１０，１１，１２，１３，１４，１５}、……

（１）第ｎ群の最初の数を求めよ。
（２）５００は第何群の第何項か。
（３）第ｎ群に入る数の和を求めよ。

式だけじゃなくてなるべく言葉を入れて解説してくださるとありがたいです。。お願いします。

	19987．Re: 群数列
	名前：ヨッシー日付：2月23日(水) 1時23分
	（１）まず、項数を数えると、第１群から順に　１，２，４，８，１６・・・となり、第ｎ群は２^n個の項があります。すると、　第１群の最後の数は、１　第２群の最後の数は、１＋２＝３　第３群の最後の数は、１＋２＋４＝７　　・・・・　第ｎ－１群の最後の数は、１＋２＋４＋・・・＋２^(n-2)＝２^(n-1)－１　よって、その次の数が、第ｎ群の最初の数なので、・・・（以下略）（２）第９群の最初の数が　２^8＝２５６第１０群の最初の数が　２^9＝５１２であるので、５００は、・・・（以下略）（３）第ｎ群は　２^(n-1)　から　２^n－１　までの　２^(n-1)　個の連続した整数であるので、その和は、等差数列の和の公式　数列の和＝（初項＋末項）×項数÷２より、・・・（以下略）　 http://yosshy.sansu.org/

19983．(untitled)

名前：すすか（中２） 日付：2月22日(火) 21時12分

図を書きたいんですけどどうすればいいですか？

	19984．Re: (untitled)
	名前：すすか（中２）日付：2月22日(火) 21時13分
	（この場に）

	19986．Re: (untitled)
	名前：ヨッシー日付：2月23日(水) 1時13分
	こちらをどうぞ。　 http://yosshy.sansu.org/

19978．ヘロンの公式

名前：Tashe 日付：2月22日(火) 13時47分

ヘロンの公式の解説をお願いします。中学生にもわかるように。公式だけを教えてもらったのですが、意味を知りたいのです。

	19980．Re: ヘロンの公式
	名前：豆日付：2月22日(火) 15時18分
	意味と言うのが，式の導入と言うことだったら，このＨＰの中に詳しい説明が有りますよ．↓ http://yosshy.sansu.org/heron.htm

	19981．三平方の定理を使ってヘロンの公式を導出する方法
	名前：らすかる日付：2月22日(火) 17時6分
	△ABCでAB＝c, BC＝a, CA＝b, a≧b, a≧c とし、 AからBCに下ろした垂線の足をH, AH＝h, BH＝x とする。すると△ABHに関する三平方の定理で x^2＋h^2＝c^2 … (1) △AHC に関する三平方の定理で (a－x)^2＋h^2＝b^2 … (2) (2)－(1)を整理して x＝(a^2＋c^2－b^2)/2a … (3) (3)を(1)に代入して整理すると h^2＝{2(a^2b^2＋b^2c^2＋c^2a^2)－(a^4＋b^4＋c^4)}/4a^2 面積S＝ah/2 なので S^2＝(ah/2)^2＝a^2h^2/4 ＝{2(a^2b^2＋b^2c^2＋c^2a^2)－(a^4＋b^4＋c^4)}/16 ＝(a＋b＋c)(－a＋b＋c)(a－b＋c)(a＋b－c)/16 従って s＝(a＋b＋c)/2 とおくことにより S＝√{s(s－a)(s－b)(s－c)} となる。余談 S^2を一次式の積に因数分解せず、a^2＝p, b^2＝q, c^2＝r とおくと S＝(1/4)√{2(pq＋qr＋rp)－(p^2＋q^2＋r^2)} という公式になりますが、この公式は辺の長さが√nの時に使いやすく、下の方のスレッド(19944番)の問題にも（数が大きくなってちょっと大変ですが、一応）適用出来ます。ひとりごとこの方法のページも作っといてくれないかなぁ… http://www10.plala.or.jp/rascalhp

19976．俵杉算について

名前：よーちん 日付：2月22日(火) 10時31分

この計算について分かりやすく説明するためにはどのようにすればいいにでしょうか？
（例題）下の段に13個、12個，11個・・・・最上段に1個に積み上げると、全部で俵は何個でしょうか。
という問題です｡　計算式とその説明を教えてください。

	19977．Re: 俵杉算について
	名前：らすかる日付：2月22日(火) 11時38分
	（計算式）　(13＋1)×13÷2 （説明）　同じ俵の集まりを逆さにしたものを考えます。　つまり一番下の段が1個、その上の段が2個、…となり、　最上段が13個です。これはもちろん最初の俵の集まりと　同じ個数ですね。　この逆さの集まりを、元の俵の横にくっつけます。　すると、一番下の段が(13＋1)個、下から2段目が　(12＋2)個、…、一番上の段が(1＋13)個となり、全部の　段が同じ個数（＝13＋1個）になりますね。　そうすると全部で個数は(13＋1)個×13段となり、これは　元の俵の個数の2倍ですので2で割れば答が出ます。 http://www10.plala.or.jp/rascalhp

19975．リーマン

名前：M３１ 日付：2月21日(月) 23時47分

リーマン幾何学について勉強しようと思ったのですがリーマン幾何学を理解するうえでどのような知識が必要か教えていただけますか？

	19979．Re: リーマン
	名前：教員志望（大学生）日付：2月22日(火) 15時1分
	とりあえず一冊本を買ってみてはどうでしょうか？私は内容に関しては知りませんが，参考文献などが載ってますし自分に合いそうな本を買うといいと思います．

	19988．Re: リーマン
	名前：のぼりん日付：2月23日(水) 1時53分
	今晩は。私の乏しい経験で言うと、高校数学を前提とするならば、下記の①→⑤の順番に学習するのが一般的ではないかと思います。①から始めて⑤に到達するまで、２年程度はかかると思います。 ①　線形代数・初等解析 ②　集合・位相、群・環・加群 ③　多様体 ④　リー群、ファイバー束 ⑤　接続の幾何学（⊃リーマン幾何学）

	20015．Re: リーマン
	名前：のぼりん日付：2月25日(金) 0時30分
	ひとつ忘れていましたが、微分方程式の基礎知識も必要でしょう。①～③の間で学習するのが通例だと思います。なお、④は、そんなに詳細まで学習する必要はありません。

19967．これは？

名前：すすか（中２） 日付：2月21日(月) 22時34分

次の条件を満たす１次関数の式を求めなさい

（１）ｘの値が１ずつ増加するとｙの値は２ずつ増加し
　　　ｘ＝３の時ｙ＝７である。

（２）ｘの値が１ずつ増加するとｙの値は３ずつ減少し
　　　ｘ＝－２のときｙ＝４である。

お願いします

	19968．Re: これは？
	名前：TAIC 日付：2月21日(月) 22時45分
	まず傾きは？ (1)ｘの値が１ずつ増加するとｙの値は２ずつ増加しってことは傾きは2/1=2である。ここで求める関数をy=2x bとおくとｘ＝３の時ｙ＝７だから７＝２＊３＋ｂ　ｂ＝１　ｙ＝2x 1

	19969．＋が表示されない
	名前：TAIC 日付：2月21日(月) 22時46分
	まず傾きは？ (1)ｘの値が１ずつ増加するとｙの値は２ずつ増加しってことは傾きは2/1=2である。ここで求める関数をy=2x＋bとおくとｘ＝３の時ｙ＝７だから７＝２＊３＋ｂ　ｂ＝１　ｙ＝2x＋1

	19970．Re: これは？
	名前：Ｂｏｂ日付：2月21日(月) 22時48分
	ａ＝傾き＝ｙの増加量／ｘの増加量

	19972．Re: これは？
	名前：すすか（中２）日付：2月21日(月) 22時55分
	ということは（２）の答えはｙ＝ー３ｘー２ですか？

	19973．Re: これは？
	名前：Ｂｏｂ日付：2月21日(月) 22時57分
	あってます。

	19974．Re: これは？
	名前：すすか（中２）日付：2月21日(月) 23時0分
	お二人様どうも、ありがとうございました。

19963．教えてください

名前：すすか（中２） 日付：2月21日(月) 20時59分

２点（－１、６）　（３，１）を通る直線上でｘ座標が
１である点のｙの座標を求めなさい。

２点（－１、－５）　（２，１）を通る直線上で、ｙ座標が
３である点のｘ座標を求めなさい

どちらも式までお願いします

	19964．Re: 教えてください
	名前：Ｂｏｂ日付：2月21日(月) 21時12分
	２点（－１、６）　（３，１）を通るｙ＝ａｘ＋ｂに代入します６＝－ａ＋ｂ１＝３ａ＋ｂこの二つを連立　ａ＝－５／４　ｂ＝１９／４ｙ＝（－５／４）ｘ＋（１９／４）となりｘ＝１を代入し　　　　　　ｙ＝７／２同様に　－５＝－ａ＋ｂ１＝２ａ＋ｂａ＝２　ｂ＝－３ｙ＝２ｘ－３ｙ＝３を代入　　　　ｘ＝３

	19965．Re: 教えてください
	名前：すすか（中２）日付：2月21日(月) 22時19分
	すいません！！最初の問題（－２，６）でした。。。

	19966．Re: 教えてください
	名前：すすか（中２）日付：2月21日(月) 22時27分
	あ、大丈夫です。２番目の式をみて同様にやってみました。解けましたどうもです

	19971．Re: 教えてください
	名前：Ｂｏｂ日付：2月21日(月) 22時49分
	基本なんでしっかりマスターしてくださいね。

19951．正規分布

名前：米日付：2月21日(月) 16時43分

箱の中に赤球3個と白球7個のあわせて10個の球が入っている。その中から復元抽出法で1個ずつ球を繰り返し取り出すとき、赤球の出た回数をXで表す。
①100回取り出すときP(X＜27またはX＞33）を求めよ
②1000回取り出すときP(X＜270またはX＞330）を求めよ

さっぱりわからないので教えてください。
明日がテストで困ってます。よろしくお願いします。

	19958．Re: 正規分布
	名前：白拓日付：2月21日(月) 19時0分
	教科書を読みましょう。 n が大きいとき，近似的に正規分布 N(np,npq) に従うことを利用して正規分布表を使って求めます。標準偏差は√(npq) (nは回数,pは確率 ,q=1-p)　、変換式Z=(X-x)/√(npq) (Xは確率変数、xは平均値)

	19959．Re: 正規分布
	名前：米日付：2月21日(月) 19時4分
	P(X＜27またはX＞33）のまたはって言うのはどうやって計算したらいいのですか？？

	19961．Re: 正規分布
	名前：白拓日付：2月21日(月) 19時21分
	「または」は「両方が範囲に入る」ということだと思います。　P(X＜27またはX＞33）＝P(X＜27）＋P(X＞33）

	19962．Re: 正規分布
	名前：米日付：2月21日(月) 19時51分
	ありがとうございます。

19948．三角関数、教えてください　

名前：000　　　高1 日付：2月21日(月) 16時31分

sinα＋sinβ＝１　cosα＋cosβ＝1のとき
（sinβ cosβ）の2乗
この値を求めよ。

どうしてもこの問題が解けません、
どうか教えてください。
お願いします。　

	19952．あってるかはしらないよ
	名前：あほ日付：2月21日(月) 17時23分
	sin^2α＋sin^2β＋2sinαsinβ=1 cos^2α＋cos^2β＋2cosαcosβ=1 -------------------------------- 2＋2(sinαsinβ＋cosαcosβ)=2 2(sinαsinβ＋cosαcosβ)=0 2(sinβ(1-sinβ)＋cosβ(1-cosβ))=0 2(sinβ-sin^2β＋cosβ-cos^2β)=0 2(sinβ＋cosβ-1)=0 sinβ＋cosβ=1 sin^2β＋2sinβcosβ＋cos^2β=1 2sinβcosβ=0 sinβcosβ=0 (sinβcosβ)^2=0

	19954．Re: 三角関数、教えてください
	名前：ヨッシー日付：2月21日(月) 17時30分
	あ、すみません。正しい方を消してしまいました。（sinβ＋cosβ）の2乗　を求めよ。です。でも、もう答え出てますね。　 http://yosshy.sansu.org/

	19955．Re: 三角関数、教えてください
	名前：000　　　高1 日付：2月21日(月) 17時39分
	ありがとうございました。本当に助かりました。

19944．平面図形

名前：よーすけ　高２ 日付：2月21日(月) 12時46分

三角形ABCの外側にそれぞれ正方形を作ったところ、面積が41,97,196になった。三角形の面積は？
どのように解いたらいいかわかりません。
教えて下さい、お願いします。

	19945．Re: 平面図形
	名前：ヨッシー日付：2月21日(月) 14時4分
	正方形の面積が４１ということは、１辺はいくつでしょうか？３辺の長さがわかっているので、面積を出すことが出来ます。ヘロンの公式に走りそうですが、余弦定理から１つの角のcos を求めて、 sin を出してから、三角形の面積の公式に持って行く方が楽と思います。４１の正方形が出来ている辺の、向かいの角について、余弦定理を使うのが楽そうです。　 http://yosshy.sansu.org/

	19946．Re: 平面図形
	名前：よーすけ　高２日付：2月21日(月) 15時19分
	ありがとうございます。解くことができました。なぜ、41の向かいのところで余弦定理を使うのが楽だと分かったのですか？

	19947．Re: 平面図形
	名前：白拓日付：2月21日(月) 16時30分
	２つの直角三角形　（各辺が√41,4,5と√97,4,9）をあわせてできた三角形ということに気づけばすぐ面積は求められます。

	19950．Re: 平面図形
	名前：ヨッシー日付：2月21日(月) 16時36分
	もちろん３通りやってみたからですよぉ。＞＞白拓さん４１と９７という数の特殊性に気付けと言うことですね。ひとにらみどころか、よにらみぐらいしないといけないかも。　 http://yosshy.sansu.org/

	19956．Re: 平面図形
	名前：白拓日付：2月21日(月) 18時20分
	√196=14なので怪しいと思いました。

	19957．Re: 平面図形
	名前：白拓日付：2月21日(月) 18時26分
	>ヨッシーさん　もしかしてここのHPを創られたヨッシーさんでしょうか。

	19960．Re: 平面図形
	名前：ヨッシー日付：2月21日(月) 19時5分
	さようですが？　↓ちなみに、ココです。　 http://yosshy.sansu.org/

19933．ベクトル

名前：kei(高1) 日付：2月18日(金) 21時47分

「x,yはx²/4＋y²=1を満たす実数とする。このとき、x yの最大値と最小値を求めよ。Hint:コーシー・シュワルツの不等式を利用する。x,yはx²/4＋y²=1を満たすので、２つのベクトルの設定の仕方に工夫が必要。」ベクトルを使わないのだったら簡単にできるのですが、ベクトルおよびコーシー・シュワルツの不等式を利用する方法が分かりません。お願いします。

ベクトルを使わない方法も一応書いておきます。
x/2=Xとおくと、x²/4＋y²=1⇔X²＋y²=1...(1)
また、x＋y=2X＋y=kとおくと、y=-2X＋k...(2)
(1)と(2)をXy座標にグラフで表して、kが最大・最小となる時の値を求める。

	19934．訂正
	名前：kei(高1) 日付：2月18日(金) 21時49分
	「このとき、x＋yの最大値・最小値を求めよ。」です。

	19935．Re: ベクトル
	名前：wakky 日付：2月18日(金) 23時7分
	以下の通りじゃだめなのかなぁ？

	19936．Re: ベクトル
	名前：kei(高1) 日付：2月18日(金) 23時52分
	うーん。。。19933の解法とほとんど変わらないような気がしますが。。。ベクトルの章なので必ずベクトルを使ったとき方があると思います。それを知りたいのでお願いしますm(__)m

	19937．Re: ベクトル
	名前：豆日付：2月19日(土) 0時4分
	ベクトルおよびコーシー・シュワルツって二つの方法じゃなくて同じことでしょ。 p→=(a,b),q→=(x,y)のとき、\|p→\|・\|q→\|≧(p→,q→)ですから、 2乗して成分で表示すれば(a^2＋b^2)(x^2＋y^2)≧(ax＋by)^2 ここで、a=2，b=1，x=x/2，y=yとおけば、(←この置き方を工夫といっている) (4＋1)(x^2/4＋y^2)≧(x＋y)^2 ∴5≧(x＋y)^2　　-√5≦x＋y≦√5

	19939．Re: ベクトル
	名前：kei(高1) 日付：2月19日(土) 0時17分
	豆さんありがとうございました。間違えて上に出してしまいましたが消す方法が分かりません(ﾉω<｡) よかったら誰か教えてください

	19942．Re: ベクトル
	名前：ヨッシー日付：2月20日(日) 9時18分
	□にレ点を打つのを書き忘れましたが、うまく消せたようですね。　 http://yosshy.sansu.org/

19926．自作の問題

名前：白拓日付：2月18日(金) 11時7分

自作の問題なのですが、どなたか解いてください。よろしくお願いします。
（もしかしたら綺麗な式で表せないかも知れないのですが、
　　　　　　　　そのときは、答えに関係する式でお願いします。）

（１）
0と１の２種類の数字を使ってｎ個１列に数字を並べる。
このとき、0または１がｍ個以上連続して並ばない
並び方にする場合、何通りの並び方があるか。｛1<m<n｝とする。

（２）
次に、上の問題で１列の端と端をつなげて輪にする。
このとき上の問題の条件を満たす並び方は何通りか。
（輪を回転させると同じ並び方になるものは同一の並び方とし、
　そうならず、鏡像として同じ並び方になるものは異なるの並び方とする。）

	19932．Re: 自作の問題
	名前：らすかる日付：2月18日(金) 17時37分
	とりあえず(1)ですが、漸化式ぐらいしか思い付きません。求める組合せの数を f(m,n) とすると f(m,n)=2^n　(n＜m) として f(m,n)=Σ[i=1～m-1]f(m,n-i)　(n≧m) (2)は難しいですね。 http://www10.plala.or.jp/rascalhp

	19943．Re: 自作の問題
	名前：白拓日付：2月21日(月) 11時56分
	ご解答有難うございます。（1）について　　私の用意していた解答と同じに変形するとなりました。　一般項はｎがｍ増えるごとに複雑に形が変わってしまう　みたいなので漸化式で表すしかないかもしれないです。 f(m,k)=2^k　(k＜m)　,f(m,k)=2^k-2(k=m) として f(m,n)=2f(m,n-1)-f(m,n-m) (n＞m) (2)について　　問題を出しておいて恐縮なのですが、解答を用意できていません。　　考え方としては、まず、輪を回転させずに条件を満たす組み合わせ　の数を求める。輪は１周の中で周期的に同じパターンになっていると　回転させたときの重複の度合いが変わるので、nの約数pで構成した　輪のパターンの数をｎの輪から引く（重複も考慮する）。１周中で　周期的にならない組み合わせの数になるので、各pごとの輪もそのよ　うに作り、そのパターン数　にｎ/pをかけて全部足し合わせると求ま　りそうです。

19922．(untitled)

名前：高３日付：2月18日(金) 1時41分

√(x^(2)＋1)/xの導関数を用いて
x-1/(x^(2)√(x^(2)＋1))の不定積分を求める問題なのですが
よく分かりません。
√(x^(2)＋1)/xの不定積分を利用すれば求まるのですが
それもできないし、どうしたらいいか分かりません。

	19924．Re: (untitled)
	名前：xxx 日付：2月18日(金) 6時43分
	ヒントの式を実際に微分し、ルート部分が分母に来るように、整理してみて下さい。綺麗になりますよ。

19919．軌跡

名前：シミーレ　高1 日付：2月17日(木) 19時52分

はじめまして。教えてください。

ｍの値が変化する時、次の２直線の交点Ｐの座標を求めよ。
ｘ－ｍｙ＋１＝０，(ｍ＋１)ｘ―ｍｙ＋２＝０

	19920．Re: 軌跡
	名前：kei 日付：2月17日(木) 20時32分
	x-my＋1=0⇔-my=-x-1...(1) これを(m＋1)x-my＋2=0に代入して次式を得る。 mx＋1=0⇔m=-1/x(x≠0) これを(1)に代入すると、y=-x²-x。よって求める軌跡はy=-x²-x(x≠0)

	19940．Re: 軌跡
	名前：忍日付：2月19日(土) 7時29分
	F, G を x, y の任意の関数とすると、方程式 C : (x-my 1)F {(m 1)x-my 2}G=0 で表される図形は、２直線の交点を通る。 F=x-y, G=y とおくと...

	19941．やってもた
	名前：忍日付：2月19日(土) 7時34分
	C : (x-my＋1)F＋{(m＋1)x-my＋2}G=0

19917．漸化式

名前：けいすけ（高2） 日付：2月17日(木) 17時22分

a_1=2,a_2=4,2a_(n 2)=a_n 3(n=1,2,3・・・)
で求められる数列{a_n}の一般項を求めよ。

nが偶数のときと奇数のときで場合分けを
すれば解けると言われましたが
解き方が解りません・・・
よろしくお願いします。

	19918．Re: 漸化式
	名前：我疑う故に存在する我日付：2月17日(木) 19時34分
	注意!!現在、半角の「＋」が、正しく表示されません全角で入力してください

	19921．Re: 漸化式
	名前：ああああ日付：2月18日(金) 0時50分
	場合わけ無しでやります。 A(1) = 2 A(2) = 4 A(3) = 5/2 2A(n＋2) = A(n)＋3　・・・① 2A(n＋3) = A(n＋1)＋3　・・・② ②－①より、 2(A(n＋3)－A(n＋2)) = A(n＋1)－A(n) ・・・③ ここで、 B(n) = A(n＋1)－A(n) とおくならば、 ③ ⇔ B(n＋2)= B(n)/2 で、 B(1) = A(2)－A(1) = 4－2 = 2 B(2) = A(3)－A(2) = 5/2 － 4 = －3/2 B(n＋2)= B(n)/2 を解く。これは、 x＾2 = 1/2 から、 p, q を定数として、 B(n) = p(1/√2)＾n ＋ q(－1/√2)＾n p, q を決定する。 B(1) = p(1/√2)＋ q(－1/√2) B(2) = p/2 ＋ q/2 これらより、 p = √2－3/2 q = －√2－3/2　と決定され、同時にB(n)が決定された。ところで、 A(n＋1)－A(n) = B(n) であるから、 A(2)－A(1) = B(1) A(3)－A(2) = B(2) A(4)－A(3) = B(3) A(5)－A(4) = B(4) ・・・ A(n－2)－A(n－3) = B(n－3) A(n－1)－A(n－2) = B(n－2) A(n) －A(n－1) = B(n－1) これの総和をとり、 A(n) が決定される。

	19925．Re: 漸化式
	名前：xxx 日付：2月18日(金) 6時59分
	漸化式には、a_(n＋2)から、a_nが現れているので、３項間漸化式かと思うかも知れませんが、a_(n＋1)が無いため、２項間漸化式と変わりません。偶数項は偶数項だけ、奇数項は奇数項だけで考えればいいのです。つまり、 x_1=2,2x_(n)=x_(n-1)＋3 y_1=4,2y_(n)=y_(n-1)＋3 という、２つの問題に分離できます。 a_(n)-3={a_(n-21)-3}/2={a_(n-2k)-3}/2^k n=2k＋1の時は、a_1-3=－1なので、ａ_(2k＋1)＝３－1/2^k n=2k＋2の時は、a_2-3=＋1なので、ａ_(2k＋2)＝３＋1/2^k まとめると、ａ_n＝３＋(-1)^n／2^[(n-1)/2] ※[x]は、ガウス記号で、xを超えない最大の整数

	19929．漸化式
	名前：ああああ日付：2月18日(金) 13時45分
	線形なる漸化式は全てn次方程式の解を求めることに帰着されます。それを意識すれば、もはや場合わけなど最初から考える必要はない。ただの　機械的作業。

	19930．Re: 漸化式
	名前：けいすけ（高2）日付：2月18日(金) 17時21分
	a_1=2,a_2=4,2a_(n 2)=a_n 3(n=1,2,3・・・) ↑ですね。注意書きも読まず申し訳ないです。なるほど、２項間漸化式で考えるんですね。＞ああああさん＞xxx 丁寧な解答どうも有難う御座いました

	19931．Re: 漸化式
	名前：けいすけ（高2）日付：2月18日(金) 17時28分
	＞xxxさん上のレスで呼び捨てになってました申し訳ありませんm( __ __ )m 削除方法がよくわからないのでこういう形で御詫びさせていただきました

19913．確率

名前：桃(高３） 日付：2月17日(木) 11時11分

n個のサイコロを同時に振り、出た目の数の最大のものをＭn,最小のものをＰn とするとき、Ｍn - Ｐn ＞ 1 となる確率を求めよ。という問題ですが、さっぱり分かりません。ヒントに余事象の確率を求める、と有りましたが、それでも解けません。起こり得る場合の総数は６^ｎ　と言うことぐらいは分かりすが・・・
宜しく御願いいたします。

	19914．Re: 確率
	名前：ヨッシー日付：2月17日(木) 11時37分
	余事象は　Ｍn - Ｐn ≦ 1 つまり、「１種類か２種類の目しか出なかった」ということです。　 http://yosshy.sansu.org/

	19915．Re: 確率
	名前：豆日付：2月17日(木) 11時38分
	余事象は　Ｍn - Ｐn ＞ 1　でないこと． Mn－Pn≦1　　つまり，　Mn－Pn＝1または0です．

	19916．Re: 確率
	名前：桃(高３）日付：2月17日(木) 12時37分
	ヨッシーさん、豆さん、有り難う御座いました。後は何とか解けました。

19908．教えてください！！

名前：mimi 日付：2月17日(木) 0時16分

0≦θ＜2πsin(2θ π/3)=1/2となるθを求めるやり方を教えてください！！

	19909．教えてください！！
	名前：mimi（高１）日付：2月17日(木) 0時17分
	0≦θ＜2πsin(2θ π/3)=1/2となるθを求めるやり方を教えてください！！

	19911．Re: 教えてください！！
	名前：kei(高1) 日付：2月17日(木) 0時26分
	0≦θ<2π⇔π/3≦2θ＋π/3<13π/3なので、単位円をかけば、2θ＋π/3=5π/6,13π/6,17π/6,25π/6と分かります。これを解いてθ=π/4,11π/12,5π/4,23π/12となります。

	19912．ありがとうございました！！！
	名前：mimi（高１）日付：2月17日(木) 1時8分
	keiさん☆★本当にありがとうございました(*≧へ≦)/♪♪ ホンマに助かりました！！また教えて下さいＮＥ☆★

19904．三角関数

名前：kei(高1) 日付：2月16日(水) 22時25分

「y=sin²θcos⁶(0≦θ<2π)の最大値とそのときのθの値を求めよ。[Hint:sin²θ=tとおけばtの4次式になるが、相加・相乗平均の関係{a>0,b>0,c>0,d>0のとき、(a b c d)/4≧⁴√(abcd)}を使えば既習範囲で解ける。]」

y=t(1-t)³として相加・相乗平均の関係を使えば、
(3-2t)/4≧⁴√{t(1-t)³}となるのですが、tが消えずにうまくいきません。どう解けばいいのか教えてくださいm(__)m

PS　マルチポストです。禁止されていれば削除してもらってもかまいません。

	19905．Re: 三角関数
	名前：xxx 日付：2月16日(水) 22時54分
	3y=(3t)(1-t)(1-t)(1-t)で考えてみましょう。

	19906．Re: 三角関数
	名前：kei(高1) 日付：2月16日(水) 23時6分
	xxxさん、本当にありがとうございました。 tが消せないとすぐに考えるのではなく、tを消すこと(3倍or1/27倍)を考えるんですね！答えも27/256と合っていました。これからもお願いすることがあるかもしれませんが、そのときはまたお願いしますm(__)m(できればそうならないほうがいいのでしょうが・・・）

19899．２次方程式の定数

名前：akeo(高１) 日付：2月16日(水) 17時54分

２次方程式 x^2＋ax＋b=0 の２つの解の和と積を２つの解に持つ２次方程式の１つが、 x^2＋bx＋2a=0 であるという。0でない定数a, bの値を求めよ。

という問題で、

x^2＋ax＋b=0 の２つの解をα, βとすると、
x^2＋bx＋2a=0 において解と係数の関係より、
(α＋β)＋αβ=－b
(α＋β)αβ=2a
ここで、
α＋β=－a
αβ=b
であるから、これを解くと
a=－4, b=－2

というのが模範解答なのですが、私がした回答では、

P(x)=x^2＋bx＋2a とおくと、
P(α＋β)=P(－a)=a^2－ab＋2a=0
P(αβ)=P(b)=b^2＋b^2＋2a=0
であるから、これを解いて、
(a, b)=(－1, 1), (－4, －2)
と、２通り答えがでます。
どこがいけなかったのでしょうか、教えてください。
よろしくお願いいたします。

	19900．Re: ２次方程式の定数
	名前：xxx 日付：2月16日(水) 18時19分
	akeoさんの方法の場合、さらに、 α＋β≠αβ という条件を設けないといけないでしょうね。

	19901．Re: ２次方程式の定数
	名前：akeo(高１) 日付：2月16日(水) 18時48分
	(a, b)=(－1, 1)　を２次方程式に代入すると,α＋β=1, αβ=1で x^2＋bx＋2a=0 では x=1, -2 という解がでて、x=1があるから "２つの解の和と積を２つの解に持つ"というのは、間違っているのですか。

	19902．Re: ２次方程式の定数
	名前：xxx 日付：2月16日(水) 20時51分
	問題文では、「x^2＋ax＋b=0 の２つの解の和と積を２つの解に持つ」となっていますよね。二次方程式で、「これ」と「あれ」を解に持つ方程式と指定されれば、「これ」と、「あれ」だけを解に持つ方程式を作らなければならないでしょう。たとえ、「これ」と「あれ」が一致するからと言って、全くべつの「それ」等を解に含むような二次方程式を示すのは、よくない、ということでしょう。なお、「２つの解」を「別の解」と解釈した場合は、前回書いたように α＋β≠αβが必要になります。でも、重解として持った場合、その同じものを「２つの解」と解釈できないこともありませんね。この解釈の場合、前回の書き込みは、適切なものではなくなってしまいます。 α＋β≠αβとα＋β＝αβを分けて考え、後者の場合は、さらに「重解」という条件を課して、可能かどうかの、チェックを行う事になりそうです。 α＋β＝αβだった場合、P（α＋β）＝０とP（αβ）＝０は、同じ条件になってしまっています。このせいで、緩い条件になってしまっていたということでしょう。 a,bが求まった後、その答えが、題意に即したものか、最後に、チェックすべきだったと思います。

	19903．Re: ２次方程式の定数
	名前：akeo(高１) 日付：2月16日(水) 21時59分
	わかりやすい御返答をありがとうございました。悩みから解放されました。

19893．不定積分

名前：米日付：2月15日(火) 17時13分

１）√ｘ／（ｘ＋１）
２）１／√（６ｘーｘ＾２）
３）ｘ／√（２－ｘ－ｘ＾２）

どうやって解けばいいのかさっぱり」わかりません。
よろしくお願いします。

	19896．Re: 不定積分
	名前：ああああ日付：2月16日(水) 10時22分
	1）　√x = t と置換(≠痴漢） 2）分母の平方根内の2次式を平方完成 → 三角関数による置換 3） 2）と同様

	19897．Re: 不定積分
	名前：米日付：2月16日(水) 16時30分
	どうやって平方根内の２次式を平方完成にするんですか？？

	19907．Re: 不定積分
	名前：a 日付：2月16日(水) 23時27分
	２）１／√（６ｘーｘ＾２） 1/sqr(-(x-3)^2 9)) → (1/3)Sin-1((x-3)/3) みたいな

	19910．Re: 不定積分
	名前：a 日付：2月17日(木) 0時20分
	(1/3)Sin-1((x-3)/3) × Sin-1((x-3)/3) sory...

19887．場合の数

名前：saka(高３） 日付：2月15日(火) 6時45分

10から1000迄の整数の内、４でも５でも６でも割り切れない数はいくつあるか。という問題です。これを解くに、４又は５又は６の倍数である個数(ｍ)を求めるため、
１）４の倍数の項数（ｘ）は、1000=12 4(x-1) より、x=248
２）５の倍数の項数は(y)は、1000=10 5(y-1)より、　y=199
３）６の倍数の項数は(z) は、996=12 6(z-1)より、　z=165
ａ）４と５の公倍数の個数は、1000=20 20(ａ－1)より、ａ=50
ｂ）４と６の公倍数の個数は、996=12 12(ｂ-1)より、ｂ=83
ｃ）５と６の公倍数の個数は、990=30 30(ｃ-1)より、ｃ=33
ｄ）４，５，６，の公倍数の個数は、960=60 60(ｄ-1)より、ｄ=16
以上より、４又は５又は６の倍数の個数（ｍ）を求めるのがよく分かりません。一応ベン図を頼りに、ｍ＝(248 199 165)-(50-16)-(83-16)-(33-16) 16 としてみましたが、問題集の解答と違います。どう考えたらいいのでしょうか？分かり易く教えていただければ幸いです。宜しく御願いいたします。

	19888．Re: 場合の数
	名前：saka(高３）日付：2月15日(火) 6時52分
	失礼しました。＋を半角で入力しましたので＋が抜けています。式の所の空白の所には＋を入れてください。

	19889．Re: 場合の数
	名前：saka(高３）日付：2月15日(火) 7時4分
	1) 1000=12＋4(x-1) 2) 1000=10＋5(y-1) 3) 996=12＋6(z-1) a) 1000=20＋20(a-1) b) 996=12＋12(b-1) c) 990=30＋30(c-1) e) 960=60＋60(d-1) ｍ＝(248＋199＋165)-(50-16)-(83-16)-(33-16)＋16

	19891．Re: 場合の数
	名前：らすかる日付：2月15日(火) 8時1分
	(248＋199＋165)で中心が３回数えられていますから、２回分引かなければなりません。従ってｍ＝(248＋199＋165)－(50－16)－(83－16)－(33－16)－16×2 となります。最後を＋16と考えるのはｍ＝(248＋199＋165)－50－83－33＋16 のように計算した場合ですね。 http://www10.plala.or.jp/rascalhp

	19892．Re: 場合の数
	名前：saka(高３）日付：2月15日(火) 11時31分
	早速御返答いただき有り難う御座いました。

19871．食塩水の濃度（中２）

名前：めい日付：2月14日(月) 16時14分

濃度１０％の食塩水と水を混ぜて、濃度７％の食塩水200g作るには、
濃度１０％の食塩水何g混ぜればよいでしょう。

すみませんが、教えてください

	19873．Re: 食塩水の濃度（中２）
	名前：ホワイトペッパー日付：2月14日(月) 16時33分
	濃度７％の食塩水200ｇには食塩が、200×0,07＝14(ｇ)含まれています。だからこの14ｇを濃度10％の食塩水から供給すればいいんです。つまり、14÷0,1＝140(ｇ) よって140ｇと。

	19874．Re: 食塩水の濃度（中２）
	名前：ヨッシー日付：2月14日(月) 16時37分
	中２なので、単元は、方程式でしょう。方程式で、応用問題を解く手順は、こちらにあります。これに従うと、 (1)求める量をｘと置く・・・食塩水ｘｇを使うとする。 (2)式を立てる。　１０％の食塩水ｘｇに含まれる食塩の量は、ｘ×０．１＝０．１ｘ（ｇ）　７％の食塩水２００ｇに含まれる食塩の量は、２００×０．０７＝１４（ｇ）この両者が等しい（水には、食塩が含まれないので、食塩が増えることはない）ので、　０．１ｘ＝１４ (3)方程式を解く・・・省略 (4)単位等を付けて、答えとする。　・・・省略　 http://yosshy.sansu.org/

19870．確率

名前：さくら（高３） 日付：2月14日(月) 15時17分

３個のさいころを同時に投げて出る３つの目の積について、６の倍数である確率を求めよ。これが分かりません、宜しく御願いします。
（尚、ヒントとして、「まず３つの目の積が３の倍数である確率を先に求める」と出ていました。）

	19872．Re: 確率
	名前：ヨッシー日付：2月14日(月) 16時26分
	すべての目の出方は　６×６×６＝２１６　通りです。２個の目の出方は、以下の通りで、赤は２の倍数で、３の倍数でないもので、１２通り青は３の倍数で、２の倍数でないもので、５通り紫は６倍数で、１５通り白は、いずれでもないもので、４通り。ここに、もうひとつサイコロを振って、掛け算するとき、すでに２の倍数になっている１２通りについては、あと、３か６が出ればいいので、１２×２＝２４　通りすでに３の倍数になっている５通りについては、あと、２か４か６が出ればいいので、５×３＝１５　通りすでに６の倍数になっている１５通りについては、あと、どれが出てもいいので、１５×６＝９０　通りいずれでもない４通りについて、あと６が出ればいいので、４×１＝４　通り以上より、６の倍数となる出方は、　２４＋１５＋９０＋４＝１３３　通り確率は、　１３３／２１６ヒントのやり方は、あまりいい方法ではなかったので、使いませんでした。　 http://yosshy.sansu.org/

	19875．Re: 確率
	名前：xxx 日付：2月14日(月) 17時27分
	別解です。参考にして下さい。 (a＋b＋c＋d＋e＋f)^3を同類項をばらばらにしたまま展開することを考える。項の数は、６＾３＝２１６あり、それぞれは、３個のサイコロを投げた時の出方と、１対１に対応させることができる。ｘ：２の倍数ｙ：３の倍数１：その他とすると、１～６は、１、ｘ、ｙ、ｘ、１，ｘｙに対応 (1＋x＋y＋x＋1＋xy)^3を展開し、x^ay^b（a,b共に１以上）となっている項の係数の合計が、６の倍数が出る場合の数になる。 (2＋2x＋y＋xy)^3=(x＋1)^3(y＋2)^3=(x^3＋3x^2＋3x＋1)(y^3＋6y^2＋12y＋8) から、(1＋3＋3)×(1＋6＋12)=719=133（通り）ちなみに、この方法を使うと、サイコロ２個、(2^2-1^2)(3^2-2^2)=35=15通り、サイコロ３個、(2^3-1^3)(3^3-2^3)=719=133通り、サイコロ４個、(2^4-1^4)(3^4-2^4)=1565=975通り、．．．サイコロｎ個、(2^n-1)(3^n-2^n)　(通り)等と計算できます。

	19876．Re: 確率
	名前：ヨッシー日付：2月14日(月) 17時31分
	あ、文字の色間違えた。 xxxさん。参考にします。＞＞って、私かいっ！　 http://yosshy.sansu.org/

	19877．Re: 確率
	名前：教員志望（大学生）日付：2月14日(月) 18時44分
	ベン図を使ってもいいですね．全体が216通りで2の倍数と3の倍数の集合をかいて，その交わる部分が6の倍数． 2の倍数を数えるよりも2の倍数でないときを数える方が楽なので，補集合（余事象）の考え方を利用して，2の倍数になるのは 216-3×3×3＝189（通り）同様に3の倍数になるのはは 216-4×4×4＝152（通り） 2または3の倍数にならないのは3つのサイコロがすべて1か5であるということなので 216-2×2×2＝208（通り）ベン図をみるともうできるはず． 189＋152-208＝133（通り）いろいろなやり方がありますね．

	19885．Re: 確率
	名前：さくら（高３）日付：2月15日(火) 5時41分
	早速分かり易い御返答有り難う御座いました。ヤット分かりました。

19866．等式の証明

名前：IGA(高１） 日付：2月13日(日) 19時7分

x＋(1/y)=y＋(1/z)=1のとき、等式z＋(1/x)=1を証明せよ。

わかりません。
教えてください。
お願いします。

	19868．Re: 等式の証明
	名前：のぼりん日付：2月13日(日) 19時27分
	今晩は。y=1 のとき条件から x=0 となるので、等式 z+1/x=1 は成り立ちません。そこで、y≠1 とみなします。このとき、条件式から、1/x=y/(y–1)、z=1/(1–y) ですから、z+1/x=1 です。

	19869．Re: 等式の証明
	名前：X 日付：2月14日(月) 10時0分
	>>のぼりんさんへ横から失礼します。 >>y=1 のとき条件から x=0 となるので、等式 z＋1/x=1 は成り立ちません。証明すべき式z＋1/x=1を使って成否判定をするのはいけません。同じことを書くなら x＋(1/y)=y＋(1/z)=1から 1/z=1-y≠0 ∴y≠1 とすべきでしょう。

	19879．Re: 等式の証明
	名前：黒蟻日付：2月14日(月) 22時52分
	これは、問題文の不備だと思います。与えられた条件は x＋(1/y)=y＋(1/z)=1…(1) だけです。問題文が要求しているのは、 (1)が成り立つような任意のx，y，z∈Rに対して、z＋(1/x)=1が成り立つことを示せということですから、問題文に訂正を加えないと y＝1のときz＋(1/x)=1は成り立たない。問題が間違っている。が正解になるのではないでしょうか。

	19881．Re: 等式の証明
	名前：kei 日付：2月15日(火) 0時4分
	あの、Xさんの言ってることは正しいと思うし、この問題文はどこもおかしくないと思います。「x＋1/y=y＋1/z=1である」という条件からy≠1ということが分かります（Xさんが説明したとおり）。黒蟻さんが「y=1のとき・・・」とおっしゃってますが、y=1のときは考えないと思います。y≠1は隠れた条件でしょう。「x 1/y=1のとき・・・」と問題文にあれば、y≠0が隠れた条件であるように。

	19882．Re: 等式の証明
	名前：kei 日付：2月15日(火) 0時8分
	最後の行のx1/yはx＋1/yの間違いでした。

	19884．Re: 等式の証明
	名前：黒蟻日付：2月15日(火) 2時31分
	そうですね。x＋(1/y)=1の方だけを見ていました。y＋(1/z)=1の式も見れば、Ｘさんのおっしゃるように0≠1/z＝1－yだから、y≠1が出てきますね。失礼しました。

	19890．Re: 等式の証明
	名前：のぼりん日付：2月15日(火) 7時46分
	kei さんのおっしゃるとおりですね。安易に回答を作成してしまいました。確かに、y≠1 は条件に黙示的に含まれています。偉そうなことを書いてすみませんでした。また、X さん、申し訳ありませんでした。お詫び申し上げます。

	19894．Re: 等式の証明
	名前：教員志望（大学生）日付：2月15日(火) 20時17分
	もっというとy≠1のときも「x＋(1/y)=y＋(1/z)=1ならばz＋(1/x)=1」という命題は数学的には真ですよね．なぜなら数学では仮定が偽ならば命題は真とするからです．

	19898．Re: 等式の証明
	名前：IGA(高１）日付：2月16日(水) 16時36分
	よく考えてみます。ありがとうございました。

19863．等式の証明

名前：IGA(高１） 日付：2月13日(日) 18時6分

x:y:z=a:b:cのとき、次の等式を証明せよ。

(x＋y)/(a＋b)=(y＋z)/(b＋c)=(z＋x)/(c＋a)

左辺ー右辺をやってもできませんし・・・・。
教えてください。
お願いします。

	19864．Re: 等式の証明
	名前：ヨッシー日付：2月13日(日) 18時11分
	x:y:z=a:b:c ということは、　x/a = y/b = z/c ということなので、x/a = y/b = z/c = t とおき、　x=at, y=bt, z=ct と出来ます。 ※どれかの文字が０である可能性も、否定できません（０を含んだ比を　認めているかも不明です）ので、分数ではまずいですが、　x=at, y=bt, z=ct とすれば、その場合も、含めて、考えることが出来ます。　 http://yosshy.sansu.org/

	19865．Re: 等式の証明
	名前：IGA(高１）日付：2月13日(日) 18時19分
	すごくわかりやすかったです。ありがとうございました。

19858．教えて下さい。

名前：ぴんく中1 日付：2月12日(土) 19時11分

空間図形なんですけど。。1つの直方体があり、aからgまでひもをかける。ひものかけ方は何通りあるか。。。という問題なんですけど。。全然分からないんです涙。。。ポイントがあればすぐ2教えて下さい♪

	19859．Re: 教えて下さい。
	名前：ヨッシー日付：2月12日(土) 21時25分
	ひものかけ方の約束ごとが問題に書かれているはずです。もしそうでなければ、このようなものも含まれて、無限にかけ方が存在することになります。問題はおそらく「辺を横切るのは１度だけ」ということに、なっていると思いますが、だとすると、の６通りです。ポイントは、（色んな）展開図を描いて考えることです。　　 http://yosshy.sansu.org/

	19861．(untitled)
	名前：ぴんく中1 日付：2月12日(土) 23時28分
	ありがとうございました☆詳しくありとても分かりやすかったです♪

19856．(untitled)

名前：ヒックン(高3） 日付：2月12日(土) 0時14分

次の問題が解けなくて困っています。
どなたか、教えてくれませんか？（高3です。）

角BAD=α(定数)のひし形ABCDがある。辺AB上(点Bを除く)に点Pをとり、直線CP,ADの交点をQ、直線DP,BQの交点をRとする。
このとき、αを適当に選べば、任意の点Pに対して角BRDは一定になる
ことを示し、そのようなαに対するcosαを求めよ。

	19857．Re: (untitled)
	名前：ヨッシー日付：2月12日(土) 17時43分
	結果だけなら、α＝６０°、cosα＝１／２　ですね。なぜ分かるかというと、点Ｐを点Ｂに近づけると、 ∠ＢＲＤは、∠ＣＢＤに近づくからです。　 http://yosshy.sansu.org/

	19860．Re: (untitled)
	名前：ヒックン（高3）日付：2月12日(土) 22時36分
	ヨッシー様ヒントをいただき、どうも有り難うございました。

19818．(untitled)

名前：あさみ 日付：2月10日(木) 20時51分

半径×半径×３．１４でなぜ円の面積がでるのか

	19819．Re: (untitled)
	名前：ヨッシー日付：2月10日(木) 20時56分
	こちらをご覧下さい。　 http://yosshy.sansu.org/

	19825．Re: (untitled)
	名前：あさみ日付：2月10日(木) 21時20分
	いまいち分かりません　もういっかい教えて下さい

	19833．Re: (untitled)
	名前：ヨッシー日付：2月11日(金) 8時24分
	円が、上のような四角形に変形できるのは分かりますか？（本当はボコボコした形ですが、もっと細かく切ると、四角形（長方形）に近づきます）で、縦がｒ（半径）、横がπｒ（３．１４×半径）なので、面積は　半径×半径×３．１４になります。　 http://yosshy.sansu.org/

	19844．Re: (untitled)
	名前：あさみ日付：2月11日(金) 15時19分
	じゃあ円の丸い所はどうなるのですか

	19849．分かりましたでも・・・・・・・・・
	名前：あさみ「５年生」日付：2月11日(金) 15時46分
	円の丸い所が直線のなるのはわかりました。でも、なぜ縦は半径なのに横は半径×３．１４なのですか

	19883．Re: (untitled)
	名前：kei 日付：2月15日(火) 0時25分
	（円周）＝（直径）x ３．１４です。では、できた長方形において「円周」とはどこにいったのでしょうか？

19812．微分・積分

名前：あゆみ（高3） 日付：2月10日(木) 14時53分

整式ｆ(ｘ)の不定積分をＦ(ｘ)とすると
　３Ｆ(ｘ)＝ｘｆ(ｘ)＋ｆ(ｘ)＋ｘ、ｆ(0)＝5/3
を満たすｆ(ｘ)は???

という問題で何から手をつけたらいいのか分かりません(>_<)
ｆ(ｘ)は何次関数でもいいのでしょうか？？どなたか宜しくお願いします(>_<)!!

	19813．Re: 微分・積分
	名前：ＫＧ日付：2月10日(木) 16時7分
	まず，微分してしまった方が楽のような気がしますから，　　３Ｆ(ｘ)＝ｘｆ(ｘ)＋ｆ(ｘ)＋ｘから，　　３ｆ(ｘ)＝ｆ(ｘ)＋ｘｆ'(ｘ)＋ｆ'(ｘ)＋１　　∴ ２ｆ(ｘ)＝ｘｆ'(ｘ)＋ｆ'(ｘ)＋１ここで，ｆ(ｘ)がｎ次式で，ｘ^n の係数がａであるとします．すると，両辺の最高次の項について，　　２ａｘ^n＝ｘ・ｎａｘ^(n-1) が成り立ちますから，　　２ａ＝ｎａで，ａ≠０より，　　ｎ＝２したがって，ｆ(ｘ)は２次式ですから，　　ｆ(ｘ)＝ａｘ^2＋ｂｘ＋(５/３) とおけます．

	19814．Re: 微分・積分
	名前：あゆみ（高3）日付：2月10日(木) 19時32分
	なぜ３Ｆ(ｘ)＝ｘｆ(ｘ)＋ｆ(ｘ)＋ｘ　が３ｆ(ｘ)＝ｆ(ｘ)＋ｘｆ'(ｘ)＋ｆ'(ｘ)＋１　になるのか教えて下さい(>_<)!! ３Ｆ(ｘ)　⇒　３ｆ(ｘ) ｘｆ(ｘ)　⇒　ｆ(ｘ) ｆ(ｘ)　　⇒　ｆ'(ｘ) ｘ　　　　⇒　１というのは納得なのですが　ｘｆ'(ｘ)　はどこから出てきたのですか??(>_<)すみません……宜しくお願いします！！

	19815．Re: 微分・積分
	名前：ＫＧ日付：2月10日(木) 19時55分
	積の導関数 (ｕｖ)'＝ｕ'ｖ＋ｕｖ' です．　　(ｘｆ(ｘ))'＝(ｘ)'ｆ(ｘ)＋ｘ｛ｆ(ｘ)｝' 　　　　　　　　＝ｆ(ｘ)＋ｘｆ'(ｘ) となります．

	19816．Re: 微分・積分
	名前：あゆみ（高3）日付：2月10日(木) 20時23分
	積の導関数 (ｕｖ)'＝ｕ'ｖ＋ｕｖ' …というのは、私は数Ⅲで習ったのですが数Ⅲの範囲ですか??　それとも数Ⅱの範囲で知っていなければいけない範囲なのでしょうか？？(>_<)

	19817．Re: 微分・積分
	名前：ＫＧ日付：2月10日(木) 20時29分
	数学Ⅲですね．

	19823．Re: 微分・積分
	名前：あゆみ（高3）日付：2月10日(木) 21時11分
	この問題は入試問題で、数Ⅱまでの範囲なので数Ⅱの範囲までの知識で解けるはずなのですが………(>_<) 数Ⅲのその公式を使わず、数Ⅱの範囲では不可能なのでしょうか？？質問ばっかりでほんとうにすみません(>_<)

	19836．Re: 微分・積分
	名前：ＫＧ日付：2月11日(金) 9時14分
	＞まず，微分してしまった方が楽のような気がしますから，＞　　３Ｆ(ｘ)＝ｘｆ(ｘ)＋ｆ(ｘ)＋ｘ＞から，＞　　３ｆ(ｘ)＝ｆ(ｘ)＋ｘｆ'(ｘ)＋ｆ'(ｘ)＋１　としましたが，数学３を使いたくなければ，　　　３Ｆ(ｘ)＝ｘｆ(ｘ)＋ｆ(ｘ)＋ｘ　のままで，両辺の最高次の項の係数を比較してみてください．　なお大学入試では，出題範囲が数学１Ａ２Ｂであっても，数学３Ｃを用いて解くことはいっこうにかまいません．

	19838．Re: 微分・積分
	名前：あゆみ（高3）日付：2月11日(金) 11時28分
	ですよね(>_<)でも数Ⅲをあまりやらなかったので分からなかったもので…(>_<)すみません。できました！！Ｆ(ｘ)の最高次の係数をａとすると、３ａｘ＾ｎ＝ｘ・ｎ・ａ・ｘ＾(ｎ－１) 　　　　ｎ＝３となるのでＦ(ｘ)は３次式でＦ(ｘ)＝ａｘ＾3＋ｂｘ＾2＋ｃｘ＾3＋ｄ　とおけるのでｆ(ｘ)＝３ａｘ＾2＋２ｂｘ＋ｃ　となり、ｆ(０)＝ｃ＝5/3 これらを解くと、ａ＝7/18，ｂ＝7/6，ｃ＝5/3，ｄ＝5/9　となるのでｆ(ｘ)＝7/6ｘ＾2＋7/3ｘ＋5/3 でどうですか？？？(>_<)

	19839．Re: 微分・積分
	名前：あゆみ（高3）日付：2月11日(金) 11時31分
	まちがえました！！＞Ｆ(ｘ)＝ａｘ＾3＋ｂｘ＾2＋ｃｘ＾3＋ｄ　とおけるので ⇒Ｆ(ｘ)＝ａｘ＾3＋ｂｘ＾2＋ｃｘ＋ｄ　とおけるのででした！！

	19847．Re: 微分・積分
	名前：ＫＧ日付：2月11日(金) 15時39分
	いいようです

19806．質問（グラフ理論）

名前：教員志望（大学生） 日付：2月10日(木) 12時3分

グラフ理論におけるグラフって,なんでグラフっていうんでしょうか？そもそもグラフとはどんな意味なんでしょうか？われわれは折れ線グラフや棒グラフ,関数のグラフのイメージがあるため，グラフ理論におけるグラフの名前の由来がわかりません．定義した人がつけたって言われればそれまでですが，何か意味があるのでしょうか？？

	19837．Re: 質問（グラフ理論）
	名前：ワットマン日付：2月11日(金) 10時52分
	数学専攻だった私も、詳しくは知らないけれど、Googleとかで調べるといろいろ出てきましたよ。とりあえずはそういう解説ページを見てみるのが一番早いかも。　ざっと見た感じでは、グラフというのは、頂点と線を結んだ図形のことで、たとえば「一筆書き」の問題がどうやら発祥のようでもある。　最近NHKの放送で話題になった、「ＪＲ日本最長片道切符の旅」だっけ、これもグラフ理論が使われているようですね。この最長片道切符の路線を計算しているのを見たりすると、雰囲気が味わえるかもしれませんね。

	19841．Re: 質問（グラフ理論）
	名前：教員志望（大学生）日付：2月11日(金) 12時41分
	解答していただきありがとうございます．しかし，すみません．質問がうまく伝わらず・・・僕は離散数学専攻で，グラフ理論に関する論文もいくつか読んでいます．質問はネーミングの問題です．なぜ“graph”と名づけたんでしょうか？ graphには図式や図表という意味があるようですが，確かにグラフ理論のグラフも隣接関係を表している．何らかの関係をあらわすという意味で名づけたんでしょうか？

	19886．算数オリンピックの問題
	名前：白拓日付：2月15日(火) 6時20分
	点と線からなる図形も英語ではgraphというようです。

	19895．Re: 質問（グラフ理論）
	名前：教員志望（大学生）日付：2月15日(火) 20時20分
	英語での点と線からなる図形というのは，数学で発生したものなんでしょうか．興味深いです．ワットマンさん，白拓さんアドバイスしていただきありがとうございます．

19803．教えてください。

名前：ココロ(中２) 日付：2月10日(木) 11時45分

計算課程抜粋

(１＋２ａ)(１－２ａ)＜０
　　　　　↓何を何に掛けたの？
すなわち(２ａ＋１)(２ａ－１)＞０

レベルの低い質問ですみません。よろしくお願いします。
　

	19804．Re: 教えてください。
	名前：教員志望（大学生）日付：2月10日(木) 11時58分
	両辺に-1をかけたんです．右辺はかわらず0，左辺は(1-2a)に-1をかけて(2a-1)，(1 2a)は足し算の順番をいれかえて(2a 1)にしたんです．また負の数を両辺にかけるので不等号は逆向きになります．

	19805．Re: 教えてください。
	名前：教員志望（大学生）日付：2月10日(木) 12時0分
	すいません．あまり読まずに送信してしまいました・・・ (1 2a)は(1＋2a)に，(2a 1)は(2a＋1)に訂正します．

	19808．>教員志望（大学生）
	名前：ココロ(中２) 日付：2月10日(木) 13時12分
	説明ありがとうございました。

19802．因数分解

名前：IGA(高１） 日付：2月10日(木) 11時33分

kの値を適当に定めて、次の式をx,yの１次式の積に因数分解せよ。

2x^2-xy-y^2 8x y k

k=6のときにできるみたいですがどうしたらk=6と出てくるのでしょうか。
教えてください。お願いします。
ちなみに今日は学校の入試の関係上学校が休みです。

	19807．Re: 因数分解
	名前：ヨッシー日付：2月10日(木) 12時53分
	２ｘ^2－ｘｙ－ｙ^2＋８ｘ＋ｙ＋ｋｘについて整理すると、２ｘ^2＋(８－ｙ)＋(－ｙ^2＋ｙ＋ｋ) これを、たすきがけで書くと、このようになるところまでは、見当が付きます。あとは、係数を比較して、ｂ－ａ＝１、ａ＋２ｂ＝８　より、ａ＝２，ｂ＝３を求め、ｋ＝ａｂ＝６　を得ます。　 http://yosshy.sansu.org/

	19828．Re: 因数分解
	名前：IGA(高１）日付：2月10日(木) 23時25分
	なるほど！わかりました。ありがとうございました。

19796．因数分解

名前：IGA(高１） 日付：2月9日(水) 19時59分

次の二次式を複素数の範囲で因数分解せよ。
2x^2＋x＋1

この式を＝０としてやるとできると思ったのですが、２をかけるということを後からつけたさなければなりません。
どのようなやり方が一番いいのでしょうか？

あと私のパソコンは半角の＋（プラス）がこの掲示板で表示されないのですが・・・何がおかしいのでしょうか？

	19797．Re: 因数分解
	名前：ヨッシー日付：2月9日(水) 20時31分
	ａｘ^2＋ｂｘ＋ｃ＝０　の解がｘ＝α、βであるとき、　ａｘ^2＋ｂｘ＋ｃ＝ａ(ｘ－α)(ｘ－β) と因数分解される。というのが、２次方程式の解と、因数分解の関係です。ｘ^2 の係数が付くのは、必然です。場合によっては、どちらかの（）の中に入れてしまう場合があります。たとえば、２ｘ^2＋ｘ－１　は、＝０として２次方程式を解くと、　ｘ＝－１，1/2 ですが、２(ｘ＋１)(ｘ－1/2) とするよりも、(ｘ＋１)(２ｘ－１) とするのが自然です。半角（＋）が空白になるのは、２／８頃から起こっています。問い合わせ中です。　 http://yosshy.sansu.org/

	19799．Re: 因数分解
	名前：IGA(高１）日付：2月9日(水) 21時38分
	わかりました。ありがとうございました。

	19809．Re: 因数分解
	名前：らすかる日付：2月10日(木) 13時37分
	現在の状況でどうしても「+」を使いたい場合は「+」とすれば出ることは出ますね。 http://www10.plala.or.jp/rascalhp

19791．答えを教えていただけませんか？

名前：仕事中 日付：2月9日(水) 10時58分

今、仕事でどうしても解かなくてはいけない方程式があるんですけど・・・。数学が苦手なのです。
どうか答えを教えていただけないでしょうか？
x^3-1.20x^2-0.538=0

	19792．Re: 答えを教えていただけませんか？
	名前：豆日付：2月9日(水) 11時18分
	1.4544あたりに根があります．精度を上げたければ電卓などで確認してください．当方洒落たソフトなどもっていないので概数で．

	19793．Re: 答えを教えていただけませんか？
	名前：仕事中日付：2月9日(水) 12時5分
	どうもありがとうございます。本当に助かりました。

19788．固有値および固有ベクトル

名前：kou 日付：2月9日(水) 9時1分

固有値および固有ベクトルは何を表現しており、
何の目的で求めるのですか？

抽象的な質問で申し訳ありませんが、教えてください。
お願いいたします。

	19789．Re: 固有値および固有ベクトル
	名前：ワットマン日付：2月9日(水) 9時18分
	確かに抽象的だね(^^) 分かる範囲で答えますね。　固有値、固有ベクトル、というのは、たとえば２×２行列で表される変換（この場合１次変換）の「クセ」を表すものです。　この方向（固有ベクトル）なら、単純に実数倍（固有値倍）されていますよ、ということで、この一見、分からない変換の正体が見えるわけですね。　さらに言えば、この固有ベクトルは、だいたいは１次独立に取ることができて、そうすると、平面なら、他の任意のベクトルは、この２本の固有ベクトルの１次結合として、一意的に表されますから、この変換の計算まで楽にできることになります。　たとえば、変換をAで表すと、その固有値がα、βで、それぞれの固有ベクトルがv(a),v(b)とすると、　A v(a)=α v(a)などとなり、任意のベクトルは v(x)=s v(a) t v(b) と一意的に書けますから　A v(x)=sα v(a) tβ v(b) となることになります。　あたかも、２本の固有ベクトルが、ｘ軸、ｙ軸上の単位ベクトルのように働いてくれるので、分かりやすいわけですね。　そういうことで、数学の知恵、というのは、何か便利なために教えられているもので、何か意味がありますから、いろいろと関心を持って学んで下さい。

	19790．Re: 固有値および固有ベクトル
	名前：ワットマン日付：2月9日(水) 9時26分
	すみません、　A v(a)=α v(a)などとなり、任意のベクトルは v(x)=s v(a) ＋ t v(b) と一意的に書けますから　A v(x)=sα v(a) ＋ tβ v(b) となることになります。というように「ｔ」の前にプラス記号を補って読んで下さいね。なぜか半角だと記号が入りません。

19780．あっているか見てほしいのですが…

名前：あゆみ（高3） 日付：2月8日(火) 23時33分

2ｘ＾2 5ｘ 2≧0を満たすｘの値の範囲は（　ア　）である。
3ｘ＾2 3ｘ-6≧0を満たすｘの値の範囲は（　イ　）である。

上の（　ア　）（　イ　）の結果を用いて、
不等式｜2ｘ＾2 5ｘ 2｜-｜3ｘ＾2 3ｘ-6｜≧0を解くと、その解は（　ウ　）である。

…という問題で答えは　2/5≦ｘ　と出たのですがあっていますか？？もし間違っていたのならやり方をお聞きしたいのですが、どなたか宜しくお願いします(>_<)

	19785．Re: あっているか見てほしいのですが…
	名前：xxx 日付：2月9日(水) 0時16分
	x^2の係数が、２と３です。ｘが大きくなったとき、 3x^2 ...の方が大きくなって、不等式が成り立たなくなるのでは？方法としては、方法１、ア、イで求めた範囲で分割し、それぞれの範囲での不等式を解く方法２、ア、イで求めたものを手がかりにグラフを描き、条件に当てはまる部分を探す。方法２の場合、ｘ＝－２付近でのグラフの傾きをしっかり調べる必要がありますね。

	19811．Re: あっているか見てほしいのですが…
	名前：あゆみ（高3）日付：2月10日(木) 13時52分
	わかりました！！ウの答えは、ｘ≦－２、2/5≦ｘ　でどうでしょう?!(＞_＜)

	19827．Re: あっているか見てほしいのですが…
	名前：xxx 日付：2月10日(木) 22時40分
	f(x)=2x^2+5x+2=(2x+1)(x+2) g(x)=3x+3x-6=3(x-1)(x+2) とおいておきます。前回も書きましたが、x^2の係数が２と３です。 xがプラス方向に大きくなる、あるいは、マイナス方向に大きくなると、 f(x)は2x^2がその値の大部分を占め、g(x)は3x^2がその大部分を占めます。すると、2x^2<3x^2なので、\|f(x)\|<\|g(x)\|となり、与えられた不等式は成り立たなくなります。従って、その様な場所では解はないはずなので、０近辺で、閉じた区間で与えられるはずだと、見当をつけてください。方法１ですが、f(x)=0からは、-2,-1/2で、g(x)=0からは、-2,1で範囲を分ける必要があると、出てきます。つまり、x<-2,-2<x>-1/2,-1/2<x<1,1<xの４つの区間に分けて考えなければならないという事です。(x=-2,-1/2,1は、何れかの範囲に組み入れて下さい) 方法２ですが、グラフｙ=\|f(x)\|と、y=\|g(x)\|をかいてみてください。絶対値付きなので、y<0となった部分を、折り返すようなグラフです。これは、方法３になりますが、本当は、\|f(x)\|≧\|g(x)\|は、 f(x)^2≧g(x)^2を解けばいいのです。 -5x^4+2x^3+60x^2+56x-32≧0 となり、面倒そうですが、実はf(-2)=g(-2)=0が解っているので、 (x+2)^2を因数に持つ事が解っていて、 (x+2)^2(5x-2)(x-4)≦0となり、 x=-2,5/2≦x≦4 が答えです。

19777．場合の数

名前：あゆみ（高3） 日付：2月8日(火) 23時24分

大、中、小のサイコロをそれぞれ1個ずつ計3個を同時に投げるとき、出た目の積が３の倍数となる場合の数は？

という問題です(>_<)宜しくお願いします！！

	19778．Re: 場合の数
	名前：xxx 日付：2月8日(火) 23時29分
	３の倍数にならない場合の数を数え、全体から引きましょう。

	19781．Re: 場合の数
	名前：あゆみ（高3）日付：2月8日(火) 23時37分
	あ！3の倍数で考えていたから大変だったようです(>_<)ありがとうございました！！ 4通りずつあるから 6・6・6－4・4・4＝152　であっていますか(>_<)??

	19782．Re: 場合の数
	名前：xxx 日付：2月8日(火) 23時46分
	ｏｋです。でも、次のような検算もできるようにしておくと、なおいいでしょう。大が３の倍数で、他は何でも良い２×６×６大が３の倍数でなく、中が３の倍数で、小はなんでもよい４×２×６大・中が３の倍数でなく、小が３の倍数４×４×２

	19783．Re: 場合の数
	名前：あゆみ（高3）日付：2月8日(火) 23時55分
	すごいですね(>_<)!!そういう考え方もあったなんて…☆!!勉強になりました!!　どちらのやり方でもできるように頑張ります！！　助かりました♪ありがとうございました♪♪

	19787．Re: 場合の数
	名前：xxx 日付：2月9日(水) 0時50分
	参考までにＡ：３の倍数が出た事を表すＢ：３の倍数以外が出た事を表す（Ｂ，Ｂ，Ａ，Ｂ，Ｂ，Ａ）×（Ｂ，Ｂ，Ａ，Ｂ，Ｂ，Ａ）×（Ｂ，Ｂ，Ａ，Ｂ，Ｂ，Ａ） →(2A 4B)^3=8A^3 48A^2B 96AB^2 64B^3 8 48 96から152

	19810．Re: 場合の数
	名前：あゆみ（高3）日付：2月10日(木) 13時39分
	まだまだ他のやり方があったんですね？！(>_<)♪♪ なんで（Ｂ，Ｂ，Ａ，Ｂ，Ｂ，Ａ）×（Ｂ，Ｂ，Ａ，Ｂ，Ｂ，Ａ）×（Ｂ，Ｂ，Ａ，Ｂ，Ｂ，Ａ）　という風になるのか教えてほしいのですが…(>_<)宜しくお願いします!!!!

	19826．Re: 場合の数
	名前：xxx 日付：2月10日(木) 22時39分
	次の式を、計算しないで、「展開」することを考えてみて下さい。 (1+2+3+4+5+6)(1+2+3+4+5+6)(1+2+3+4+5+6) 111+112+113+...+665+666 となりますが、項の数は２１６です。xyzで、大のさいころでは、x 中のさいころでは、y 小のさいころでは、z がでた場合をあらわすことと「みなす」ことができます。ところで今回の問題は、さいころをふってますが、各面の１～６を ○２つと×４つにし、３つのさいころを振って、○が一つでもでるような場合の数はいくつかと、読み直す事ができます。 (2A+4B)^3=8A^3+48A^2B+96AB^2+64B^3 は、○が3つでるのは８通り、○が２つ×が一つ出るのは、４８通り、．．．と見る事ができます。

19775．２次方程式と判別式

名前：IGA(高１） 日付：2月8日(火) 22時58分

kを実数とするとき、次のｘの２次方程式の解を判別せよ。
x^2 ＋(k＋1)x-3=0
判別式D=k^2＋2k＋13
k^2＋2k＋13>0のとき
k^2＋2k＋13=0を解くと・・・とやると
kは虚数解が出てきてしまいます。
よってｋが実数であることに反するので解なし・・・・とやりたいところですが異なる二つの実数解を持つらしいのです。
何故でしょうか。お願いします。

	19779．Re: ２次方程式と判別式
	名前：xxx 日付：2月8日(火) 23時29分
	・判別式＞０・判別式＝０・判別式＜０が何を意味するか、教科書を読み直してみましょう。

	19784．Re: ２次方程式と判別式
	名前：IGA(高１）日付：2月9日(水) 0時8分
	それらはわかりますが・・ k^2＋2k＋13がたすき掛けできないからk^2＋2k＋13=0を解いてそれをもとにk^2＋2k＋13>0を解くという意味ですが・・・・。すいませんよくわかりません。お願いします。

	19786．Re: ２次方程式と判別式
	名前：xxx 日付：2月9日(水) 0時24分
	問題では、何を求めているのですか？もし、「重解をもつようなｋを求めよ」ならば、ｋについての方程式Ｄ＝０を解く事になりますが、この問題では、その様な事を求めてはいません。

	19795．Re: ２次方程式と判別式
	名前：IGA(高１）日付：2月9日(水) 19時51分
	すいません。まだわかりません。どのように解けばいいのでしょうか。

	19798．Re: ２次方程式と判別式
	名前：黒蟻日付：2月9日(水) 21時13分
	kは実数ですから、D＝k^2＋2k＋13＝(k＋1)^2＋12≧0＋12＞0です。従って、kの値に関係なく常にD＞0です。従って、方程式x^2 ＋(k＋1)x-3=0 は、kの値に関係なく常に2個の異なる実数解を持ちます。＞k^2＋2k＋13>0のとき k^2＋2k＋13=0を解くと・・・とやると kは虚数解が出てきてしまいます。よってｋが実数であることに反するので解なしそのやり方ですと、次のようになります。判別式はD＝k^2＋2k＋13である。D＝0を解くと、kは虚数解が出てくるので、y＝x^2＋2x＋13のグラフはx軸と交わりを持たず、常にy＞0であることが分かる。従って、kの値によらず常にD＞0となることが分かり、方程式x^2 ＋(k＋1)x-3=0は、kの値に関係なく常に2個の異なる実数解を持つ。 IGA(高１）さんは、「k^2＋2k＋13=0 (つまりD＝0)を解くと」の部分を勘違いされているようです。何のためにD＝0を解くかというと、それは、Dの正負を判定するためです。「もしもD＝0となるようなk＝a，bが存在したら、k＝a，bを境目にしてDの正負が入れ替わり、逆に、そのようなkが存在しなかったら、Dの正負は常に変わらない」ということです。今回は虚数解が出てきました。IGA(高１）さんの、「よってｋが実数であることに反するので」の部分までは正しいのですが、その後の「解なし…」は違います。正しくは、「kが実数であることに矛盾するので、D＝0となることはない。」です。ここから、常にD＞0であることが分かるということです。

	19800．Re: ２次方程式と判別式
	名前：IGA(高１）日付：2月9日(水) 22時41分
	ありがとうございます。今後ともよろしくお願いします。

19767．複素数

名前：IGA(高１） 日付：2月8日(火) 20時9分

α=a＋bi(a,bは実数）のとき|α|=√（a^2＋b^2)である。
これを証明してくれませんか？
お願いします。

	19768．Re: 複素数
	名前：豆日付：2月8日(火) 20時25分
	定義だと思うのですが、もし問題として出たのなら出展を明示してください。

	19769．Re: 複素数
	名前：IGA(高１）日付：2月8日(火) 20時51分
	いえ問題ではないです。ただなんでこういえるのだろうかと思いまして・・・。

	19770．Re: 複素数
	名前：Ｂｏｂ日付：2月8日(火) 20時56分
	αを複素平面上にあらわしあとは三平方の定理で距離を出したことに過ぎません。

	19771．Re: 複素数
	名前：えいぶ日付：2月8日(火) 21時5分
	複素平面（ガウス平面）ではこのようになります。

	19772．Re: 複素数
	名前：IGA(高１）日付：2月8日(火) 22時51分
	なぜaとbの距離を出すことにより、\|α\|がわかるのでしょうか？お願いします。

	19774．Re: 複素数
	名前：Ｂｏｂ日付：2月8日(火) 22時56分
	えいぶさんの図を利用しますが Oとαを結びましょう。その線分の長さが｜α｜です。

	19776．Re: 複素数
	名前：IGA(高１）日付：2月8日(火) 23時0分
	わかった気がします。ありがとうございました。

19761．不等式

名前：弱きもの（高３ 日付：2月8日(火) 14時47分

0 ＜　θ(1)　＜ π/2 として、
漸化式 θ(n+1) = sin(θ(n))　が成立している。
sinx ≧ x－(x^3)/6 を用いることにより、 (x＞0)
θ(n) ≧ θ(1)/n を示せ。

うまく証明できません。
お願いします。

	19762．Re: 不等式
	名前：豆日付：2月8日(火) 16時29分
	n=2のときは証明出来ますか？それがいければ数学的帰納法でいけると思います．

19753．入試問題

名前：りんご(高２) 日付：2月7日(月) 18時57分

ｆ(ｘ)＝ｘ－１、ｇ(ｘ)＝(ｘ+１)^３であるとき、
　　　　ｐ(ｘ)ｆ(ｘ)+ｑ(ｘ)ｇ(ｘ)＝１
をみたす整式ｐ(ｘ)、ｑ(ｘ)の組の中で、ｐ(ｘ)の次数が最小であるものを求めよ。

解き方がわかりません。宜しくお願いします。

	19754．これは入試問題ですか？
	名前：非常に簡単。日付：2月7日(月) 19時42分
	高校入試の問題ですよね。大学入試にしては簡単すぎますから。まず、ｐ(ｘ)ｆ(ｘ)+ｑ(ｘ)ｇ(ｘ)＝１を整理して、ｐ(ｘ)ｆ(ｘ) = １－ｑ(ｘ)ｇ(ｘ) ここで、右辺はxについて 3次以上であるからして、 f(x)が1次の式であることより、 p(x)は 2次以上であることが必要である。最小次数を聞いているのだから、 p(x)を2次と仮定する。即ち、 p(x) = aｘ^2 + bx + c　と仮定する。すると同時に、 q(x) = k(定数)　と仮定される。この仮定の下で、与式に x=1　を代入することにより、ｐ(1)ｆ(ｘ) = １－kｇ(1) ⇔　8k = 1 　つまり、このとき k = 1/8 である。これより、 (x－1)(aｘ^2 + bx + c) = １－(x＋1)＾3/8 ⇔ ax＾3＋(b－a)x＾2+(c－b)x－c－1 = －(x＾3＋3x＾2＋3x＋1)/8 の両辺を係数比較することにより、 a= －1/8、 b= －1/2、 c= －7/8　を得、最小次のp(x)が決定された。（終）

	19756．Re: 入試問題
	名前：Ｂｏｂ日付：2月7日(月) 20時34分
	いや高校入試ではないのでは？ 3乗が出てるし。高2ということを考えれば大学入試では？？

	19758．Re: 入試問題
	名前：りんご(高２) 日付：2月7日(月) 22時3分
	大学入試の問題のはずなんですが。どうもありがとうございました！

19751．高校数学　連立漸化式について

名前：石井日付：2月7日(月) 18時44分

はじめまして。自分でも分からず、周りにも分かる人もいないので教えてください。問題は細野真宏著の『数列が面白いほど分かる本』という本のなかにあります。問題は以下です。
a［n+1］ = 4a［n］ + 8b［n］… �@
b［n+1］ = 1a［n］ + 6b［n］ … �A　a1=０、b1=1
でa［n］、b［n］を求めよという問いです。以下の
（　）
（　）は２行２列の行列です。１つのかっこで表示することができませんでした。すいません。
解答では
（４８）
（１６）の固有値は２、８である。２に対する固有ベクトルは
x＋４y=０、８に対する固有ベクトルはx-2y=０
a［n+1］ + 4b［n+1］ = 8(a［n］ + 4b［n］) ←x＋４y=０から
b［n+1］　- 2b［n+1］ =2(a［n］ - 2b［n］)　←x-2y=０から
　固有値と固有ベクトルが入れかわっていることに注意（と細野氏も書かれています）
でここからa［n］ + ４b［n］、a［n］- 2b［n］　を等比数列であらわし、
a［n］、b［n］を解いてあります。
固有値と固有ベクトルを求めるところまではわかり、問題も解けます。
わからないのはどうして、固有値と固有ベクトルがいれかわっているのかがわかりません。実際に、固有値２の固有ベクトルx＋4y=０という式と同じかたちa［n+1］ + 4b［n+1］を�@、�Aからもとめるとa［n+1］ + 4b［n+1］ = ８(a［n］ + 4b［n］)でa［n+1］ + 4b［n+1］ = ２(a［n］ + 4b［n］)ではありません。x-2y=０も同様に�@、�Aからa［n+1］ - 2 b［n+1］ =２(a［n］ - 2b［n］)であり、a［n+1］ - 2b［n］ =８(a［n］ - 2［n］)ではありません。
他の連立漸化式の問題を解いても固有値と固有ベクトルがいれかわっているので理由があるはずですがわかりません。不動直線をひいてグラフでかんがえたりしても分かりません。他の参考書をみても行列を使ってなくわかりませんでした。
細野先生は解法をおぼえて変形の理由は大学に入って考えようと書かれています。（線形代数と関係しているんでしょうか？）しかし、問題が解けても気持ち悪く気になってしまいます。
どうしてしょうか。どうして　a［n+1］ +○ b［n+1］を固有値(a［n］ + ○b［n］)であらわすと固有値と固有ベクトルがいれかわるのかおしえてください。
見づらい表示、表現かと思いますがよろしくお願い致します。

	19757．Re: 高校数学　連立漸化式について
	名前：中村千恵子日付：2月7日(月) 21時7分
	`Ａ＝（ａ，ｂ），Ｂ＝（ａ，ｃ），ｘ＝（ｐ），ｙ＝（ｑ，－ｐ），Ａｘ＝ｋｘ　　（ｃ，ｄ）　　　（ｂ，ｄ）　　　（ｑ）のとき，ｙＢ＝（ａ＋ｄ－ｋ）ｙが成り立つということですね．背景は・正方行列とその転置の固有多項式は相等しい・正方行列とその転置の固有値が相異なるとき，それらに従う固有ベクトルは直交することです．`

	19794．Re: 高校数学　連立漸化式について
	名前：石井日付：2月9日(水) 13時28分
	お答えありがとうございます。詳しく読んで、勉強させていただきます。また、質問するかもしれませんが、よろしくお願いいたします。

19748．加法定理

名前：pip　高1 日付：2月7日(月) 16時6分

次の式の等式の証明の仕方がわかりません。

cos^4αーsin^4α＝ｃｏｓ２α

4乗のときってどう考えれば良いのか困ってます。
よろしくおねがいします。

	19749．Re: 加法定理
	名前：非常に簡単。日付：2月7日(月) 16時33分
	高次であるからして、因数分解を考える。その問題の場合、まさにそれで終束する。左辺に因数分解を試みる。左辺= (cosα)^4ー(sinα)^4 = ((cosα)^2－(sinα)^2)((cosα)^2＋(sinα)^2) = (cosα)^2－(sinα)^2 = cos2α Q.E.D

	19755．Re: 加法定理
	名前：pip 日付：2月7日(月) 19時57分
	ありがとうございました.

19741．三角形の問題です

名前：ソラ　高1 日付：2月7日(月) 11時38分

△ABCの辺CA上に∠BAC＝∠DBC、∠ABE＝∠ABEとなる点D、Eをとる。BC＝９、CA＝１５のときCD、DEの長さをもとめよ。
という問題です。
分からないのでよろしくお願いします。

	19742．Re: 三角形の問題です
	名前：ヨッシー日付：2月7日(月) 12時9分
	∠ABE＝∠ABE の部分、たぶん間違ってます。訂正をお願いします。　 http://yosshy.sansu.org/

	19743．Re: 三角形の問題です
	名前：ソラ　高1 日付：2月7日(月) 13時29分
	すみません。訂正いたします。 ∠ABE＝∠DBEです。

	19745．Re: 三角形の問題です
	名前：ヨッシー日付：2月7日(月) 13時52分
	△ＡＢＣと△ＢＤＣが相似なので、抜き出して描くと、以下のようになります。相似比は、５：３なので、　ＣＤ＝９×3/5＝27/5 また、ＡＢ：ＢＤ＝５：３　および、角の二等分線の定理より、　ＡＥ：ＤＥ＝５：３ＡＤ＝１５－27/5＝48/5　より、　ＤＥ＝ＡＤ×3/8＝18/5 　 http://yosshy.sansu.org/

	19747．Re: 三角形の問題です
	名前：ソラ　高1 日付：2月7日(月) 14時25分
	図まで描いてくださってたすかりました。ありがとうございました。

19739．方程式。

名前：高２日付：2月7日(月) 1時22分

x^4＋2x^3＋x^2－2x－1 = 0 　を解け。
相反方程式に似ているのですが、
うまく解けません。Ferrari の解法で解くより
賢い方法はあるのでしょうか。

	19746．Re: 方程式。
	名前：xxx 日付：2月7日(月) 14時21分
	x^4+2x^3+x^2=2x+1 x^2(x+1)^2=2(x+1/2) x+1/2=y^2/2とおくと、 (y^2-1)^2(y^2+1)^2=16y^2 y^4-1=±4y y^4+2y^2+1=2y^2±4y+2 (y^2+1)^2=2(y±1)^2 一方の符号のみを考えればよい（理由はお考え下さい）プラスの方を採用し、 (y^2+√2y+√2+1)(y^2-√2y-√2+1)=0 （中略） 2x=-(√2+1)±i√(√8+1)，(√2-1)±√(√8-1)

	19750．Re: 方程式。
	名前：tellurium 日付：2月7日(月) 17時22分
	変数変換x→x+tによって相反方程式に帰着できます。整数tはご自分で探してみてください。

19727．複素数とその演算

名前：IGA(高１） 日付：2月6日(日) 18時56分

次の等式が成り立つような実数ｘ、ｙの値を求めよ。
(1-i)/(x+i)=i/(y+i)

どすればいいでしょうか。
方針を教えてください。

	19728．Re: 複素数とその演算
	名前：ヨッシー日付：2月6日(日) 19時1分
	例えば、　(a+b)＋(2a-b)i＝(4a-2b)＋(-a+2b)i を満たす実数a,b を求めるには、　a+b＝4a-2b 　2a-b=-a+2b を解けばいいのです。　 http://yosshy.sansu.org/brooks.htm

	19729．Re: 複素数とその演算
	名前：のぼりん日付：2月6日(日) 19時32分
	もう既に、管理人さんが解答されましたが、折角書いたので書き込みます。　　(x-1)/(x²+1)-i(1+x)/(x²+1) 　　=(1-i)(x-i)/{(x+i)(x-i)} 　　=(1-i)/(x+i)=i/(y+i)=i(y-i)/{(y+i)(y-i)} 　　=1/(y²+1)+iy/(y²+1) だから、左辺と右辺の実数部分と虚数部分の係数を比べ、題意の等式が成り立つためには、　　(x-1)/(x²+1)=1/(y²+1)　…　① 　　(1+x)/(x²+1)=y/(y²+1)　…　② が必要十分です。①の左辺と②の積は、①の右辺と②の左辺の積に等しいので、　　(x-1)y/{(x²+1)(y²+1)}=(1+x)/{(x²+1)(y²+1)} 　⇔　(x-1)y=x+1　…　③ が必要です。①より x≠1 だから、③を y について解いて①から y を消去すると、　　x²+1=(x-1)(y²+1)=(x-1){(x+1)²/(x-1)²+1) 　　=(x+1)²/(x-1)+(x-1) 　⇔　x³-x²+x-1=(x²+1)(x-1)=(x+1)²+(x-1)²=2x²+2 　⇔　(x-3)(x²+1)=x³-3x²+x-3=0 x は実数なので、x=3 です。③に代入し、y=2 です。

	19760．Re: 複素数とその演算
	名前：花パジャ日付：2月8日(火) 14時22分
	(2)の符号が... ところで、もとの式の両辺に(x+i)(y+i)をかければいいのでは

	19766．Re: 複素数とその演算
	名前：IGA(高１）日付：2月8日(火) 20時0分
	できました。ヨッシーさん、のぼりんさん、花パジャさんありがとうございました。

19726．分数式

名前：IGA(高１） 日付：2月6日(日) 18時52分

k=1,2,3の各場合について、次の式を計算し簡単にせよ。

{a^k/(a-b)(a-c)}+{b^k/(b-c)(b-a)}+{c^k/(c-a)(c-b)}

{-a^k(c-a)-b^^k(a-c)+c^k(a-b)}/-(a-b)(a-c)(c-b)
までやりまして
k=1,2,3を代入していく。
k=1のとき答えと一致したのですが
k=2,3のときは答えが一致しません。
ご指摘お願いします。

	19732．Re: 分数式
	名前：のぼりん日付：2月6日(日) 19時51分
	問題に関し、判っている情報は、答えも含め、全て書き込んでください。また、回答者にはあなたの解答が判らないのですから、それも示さないと、どこが間違っているのか指摘しようがありません。

	19765．Re: 分数式
	名前：IGA(高１）日付：2月8日(火) 19時49分
	できそうなのでもう一回やってみます。ありがとうございました。

19725．どうやって解くんだ?

名前：しゅう（高２） 日付：2月6日(日) 17時33分

30240という数字は２乗すると
30240＾2＝914457600　となります。この数の各桁の（0は除く）数字を
すべて掛けると
9*1*4*4*5*7*6=30240
と、またもとに戻ります。もう一つ、60480についても
60480^2=3657830400
3*6*5*7*8*3*0*4=60480となります。さて、
こういう数は他にあるのでしょうか？教えて下さい。

	19731．Re: どうやって解くんだ?
	名前：のぼりん日付：2月6日(日) 19時43分
	簡単なところで言うと、１もそうですね。

	19736．Re: どうやって解くんだ?
	名前：c.e.s. 日付：2月6日(日) 23時10分
	1億までの中にはその3つ(1,30240,60480)しかありませんでしたねぇ…

	19764．Re: どうやって解くんだ?
	名前：らすかる日付：2月8日(火) 18時27分
	10^300まで調べましたが、7個しかありませんでした。 1個目: 1 2個目: 30240 3個目: 60480 4個目: 51597803520 5個目: 687009790646587541893939200 6個目: 2639216811747930700939756830720000000 7個目: 399953837788563897626396208106026886244605021117749733129069000654848000000000 4×10^77（≒7個目）から10^300までの間に1個もないとなると、 8個目があるのかどうか気になるところです。しかし、10^300まで調べるのに19時間程度かかりましたので、これ以上調べるのはちょっと無理ですね。 http://www10.plala.or.jp/rascalhp

	19832．Re: どうやって解くんだ?
	名前：らすかる日付：2月11日(金) 8時20分
	その後プログラムを高速化して、10^1000まで調べましたが、上記の7個以外にはありませんでした。（実行時間：10^100までで約10秒、10^1000までで約24時間）どうも7個で全てのような感じがしますが、証明は難しそうですね。 http://www10.plala.or.jp/rascalhp

	19834．Re: どうやって解くんだ?
	名前：ヨッシー日付：2月11日(金) 8時33分
	ご苦労様です。元々の問題自体、すでに数学的興味が薄れつつありますが、計算ロジックの方は、価値ありそうですね。　 http://yosshy.sansu.org/

	19835．Re: どうやって解くんだ?
	名前：らすかる日付：2月11日(金) 9時11分
	いつもお邪魔しております。計算ロジックの基本は単純で、 (2^2)^i×(3^2)^j×(5^2)^k×(7^2)^l＜10^2000　(i,j,k,l≧0) となる全てのi,j,k,lの組合せについて実際に値を計算して、結果の各桁の数字が数字毎に何個ずつあるか集計し、 i＝(2の個数)＋(4の個数)×2＋(6の個数)＋(8の個数)×3 j＝(3の個数)＋(6の個数)＋(9の個数)×2 k＝(5の個数) l＝(7の個数) となっているかどうかをチェックするというものです。この方式では10^300までで19時間だったのですが、後でik≠0の場合の計算を省略出来ることに気付いて実行時間のオーダーをn^5からn^4に減らせたので 10^1000まで計算することが出来ました。これ以上は、10^2000までで16日、これはやれないことはないですが、10^10000までで27年（笑）は無理ですね。 http://www10.plala.or.jp/rascalhp

19722．入試問題

名前：りんご(高２) 日付：2月6日(日) 15時39分

平面上に三角形ＯＡＢがあり、点Ｐが
Ⅴ(ＯＡ)+xⅤ(ＡＰ)＋(２－３x)Ⅴ(ＢＰ)＝Ⅴ(０)　(０≦ｘ≦２/３)
をみたすとき、次の問を答えよ。
(１)Ⅴ(ＯＰ)＝rⅤ(ＯＡ)+sⅤ(ＯＢ)と表したとき、r、sをxを用いて表せ。
(２)０≦x≦２/３をみたすすべてのxについてar+bs＝１が成り立つような定　　数a、bの値を求めよ。
(３)xが０≦x≦２/３の範囲を動くとき、rのとり得る値の範囲を求めよ。

という問題なんですがわかりません。ヒントだけでもいいので教えてください。よろしくおねがいします。

	19723．Re: 入試問題
	名前：Ｂｏｂ日付：2月6日(日) 15時52分
	（１）だけＶ（ＡＰ）＝Ｖ（ＯＰ）－Ｖ（ＯＡ）Ｖ（ＢＰ）＝Ｖ（ＯＰ）－Ｖ（ＯＢ）これをⅤ(ＯＡ)+xⅤ(ＡＰ)＋(２－３x)Ⅴ(ＢＰ)＝Ⅴ(０)に代入 Ⅴ(ＯＡ)+x｛Ｖ（ＯＰ）－Ｖ（ＯＡ）｝　　　　　＋(２－３x)｛Ｖ（ＯＰ）－Ｖ（ＯＢ）｝＝Ⅴ(０) 整理して（１－ｘ）Ⅴ(ＯＡ)+（２－２ｘ）Ｖ（ＯＰ）　　　　　　　　　＋（３ｘ－２）Ｖ（ＯＢ）＝Ⅴ(０) （２－２ｘ）Ｖ（ＯＰ）　＝（ｘ－１）Ⅴ(ＯＡ)+（－３ｘ＋２）Ｖ（ＯＢ）ｒ＝ｘ－１　ｓ＝－３ｘ＋２

	19724．Re: 入試問題
	名前：ワットマン日付：2月6日(日) 16時0分
	こんにちは。さっそくですけれども・・ (1)は、いわゆる「始点をそろえる」ことになりますから、与式を全部始点「Ｏ」に変えてみて下さい。　たとえば、V(AP)=V(OP)-V(OA) などですね。　(2)は(1)の結果を代入し、xの恒等式とみて係数比較などで解けるはずです。　ただ、(3)でrの値の範囲を聞いているのに、今私の手元で計算すると、(1)でrが定数となってしまいました。念のため、問題文の仮定の与式をもう一度ご確認下さい。

	19752．Re: 入試問題
	名前：りんご(高２) 日付：2月7日(月) 18時52分
	なんとか、解くことができそうです。Ｂobさん、ワットマンさんありがとうございました！

19717．ありがとうございます。

名前：ぴんく中1 日付：2月6日(日) 9時46分

またまた質問すみません涙円錐の表面積を求める問題なんですが、底面の半径、母線、角度しか分からないんですけど、こういう場合は母線を高さとしていいのでしょうか？教えて下さい★

	19719．Re: ありがとうございます。
	名前：ヨッシー日付：2月6日(日) 12時2分
	こういう展開図は描いたのでしょうか？この図に、分かっているという「底面の半径、母線、角度」を書き込んでみましょう。　 http://yosshy.sansu.org/brooks.htm

19715．グラフ理論

名前：アカギ 日付：2月6日(日) 1時10分

グラフ理論というものがあるそうです。
点と線で物事を表す理論ですが、グラフ理論で表現できるもので、身のまわりの事物、事象ってありますか？
今少し勉強していますが、これが何に使えるのか、どんな考え方なのか、いまいちわかりません。
また、このグラフ理論における同形、位相同形を知って考えたのですが、数学的に同じとはどういう意味があるのでしょうか？
どなたか教えてください。よろしくお願いします。

	19718．Re: グラフ理論
	名前：我疑う故に存在する我日付：2月6日(日) 10時17分
	グラフ理論の最も古典的(応用)例の一つは一筆書き可能性の判定です。一筆書き可能性は位相(同型)によって変わらない性質の一つです。

	19720．Re: グラフ理論
	名前：教員志望（大学生）日付：2月6日(日) 13時29分
	身近なものとして電車の路面図があります．路面図で重要視されるのは駅と駅の隣接関係ですよね．方向は結構曖昧ですよね．グラフ理論も同じようなものです．駅が点で駅と駅を結ぶ線路が線といった感じです．要するに，何かと何かの隣接関係を考えるときに位置などは関係なく，グラフで表現するというのは本質のみに注目するということですね．同じように何かをグラフで表現してみると面白いかもしれませんね．あと，いろいろな本を読んでみてはどうでしょうか．今はたくさんの本がありますし，いろいろな解説も書いてまりますからいいと思います．あと数学的に同じとはどういう意味かですが，それはその場その場で定義するものであり意味といわれても物と物とを区別する判断基準といった感じでしょうか．参考にしていただければ嬉しいです．

	19773．Re: グラフ理論
	名前：アカギ日付：2月8日(火) 22時52分
	ありがとうございました。参考になりました。さらに調べてみると、サラリーマンの巡回問題、結婚問題、４色問題などありました。また詳しく勉強してみます。

19713．♪質問です♪中1

名前：ぴんく 日付：2月6日(日) 0時31分

すみません涙教えて下さい。。今、角柱、円柱、角錐、円錐で母線を高さとして良いんですか？ただの三角形は駄目ですけど。。。教えて下さいっ★

	19714．Re: ♪質問です♪中1
	名前：アカギ日付：2月6日(日) 1時7分
	母線と高さは違いますよ。高さとは上の面や（～柱の場合）、上のとがった部分（～錐の場合）から底面に垂直に降ろした線の長さのことです。だから柱なら母線と一致しますが、錐なら違うものになります。雑な説明でごめんなさい。。

19707．これは。。。

名前：すすか（中２） 日付：2月4日(金) 22時18分

二等辺三角形ABCの等しい辺AB、AC上にBD=CEとなるように、
それぞれ点D、Eをとり、BとE,CとDをそれぞれ結びます。

問　↑の図を書きなさい

問　BEとCDの交点をPとするとき、三角形PBCはどんな三角形になりますか？

よろしくお願いします

	19708．Re: これは。。。
	名前：tobira 日付：2月5日(土) 0時48分
	問２だけ・・・ △DBCと△ECBについて　　BD＝CE（仮定）　　BC＝CS（共通）　　∠DBC＝∠ECB（二等辺三角形の底角）　　　二辺とその間の角がそれぞれ等しい　△DBC≡△ECBとなるので　　∠EBC＝∠DCE 以上より　△PBCは、PB＝PCである二等辺三角形

	19711．問1
	名前：Ｂｏｂ日付：2月5日(土) 11時33分
	コンパスと定規で作図可能。作図はＢＣ（長さは任意）をかきＢに針を刺し適当な半径の円弧をえがきＣに針を刺し同じ半径で円弧をえがきその交点をＡとしてＢ,Ｃと結ぶと⊿ＡＢＣが完成次にＢＤの長さを適当にとりＤをＡＢ上に打つ。その長さをコンパスでとってＣに針を刺し円弧をかきＡＣとの交点をＥとする。あとはBとE,CとDをそれぞれ結びます

19692．どれかひとつでもおねがいします。

名前：math 日付：2月3日(木) 23時55分

問題は画像ファイルにかいてあります。たくさんあってすみません。どれかひとつでも、解答をお願いします。

	19698．Re: どれかひとつでもおねがいします。
	名前：ヨッシー日付：2月4日(金) 9時53分
	おそらく、答えを書いても理解したとは言い難い状況になると思いますので、まずは、例題で、ご機嫌伺い。（例１）ｙ＝ｘ^2－２ｘ＋２　について次の問いに答えよ。 (1) グラフの概形を描け　（解答は省略） (2)基本変形した式を求めよ　ｙ＝(ｘ^2－２ｘ＋１)＋１　ｙ－１＝(ｘ－１)^2 (3)頂点の座標と軸の式を求めよ　(2) の式より、　頂点（１，１）　軸　ｘ＝１ (4)ｙ＝ｘ^2をどのように移動した式かを書け　ｘ軸方向に１、ｙ軸方向に１移動した式 (5)０≦ｘ≦３のとき、最大値および最小値を求めよ　グラフより　ｘ＝３　で最大値５、ｘ＝１　で最小値１ (6)ｘ≦１のとき、逆関数を求めよ。　ｙ－１＝(ｘ－１)^2　および　ｘ≦１より　ｘ－１＝－√（ｙ－１）　ｘ＝１－√（ｙ－１）　ｙ＝１－√（ｘ－１） http://yosshy.sansu.org/

	19699．Re: どれかひとつでもおねがいします。
	名前：ヨッシー日付：2月4日(金) 10時40分
	（例２）　ｙ＝(３ｘ－５)/(ｘ－２) について、次の問いに答えよ。 (1) グラフの概形を描け　（解答は省略） (2)基本変形した式を求めよ　ｙ＝{(３ｘ－６)＋１}/(ｘ－２) 　　＝３＋１/(ｘ－２) 　ｙ－３＝１/(ｘ－２) (3)漸近線の方程式を書け　ｘ＝２　と　ｙ＝３ (4)ｙ＝１／ｘをどのように移動した式かを書け　ｘ軸方向に２、ｙ軸方向に３移動した式 (5)逆関数を求めよ。　ｙ－３＝１/(ｘ－２)　より、　ｘ－２＝１/(ｙ－３) 　ｘ＝２＋１/(ｙ－３)　　・・・・　ここまででもいいし　　＝(２ｙ－５)/(ｙ－３)　　・・・　ここまで変形してもいい　あとは、ｘとｙを入れ替える。　　 http://yosshy.sansu.org/

	19701．Re: どれかひとつでもおねがいします。
	名前：ヨッシー日付：2月4日(金) 10時45分
	(例３) 次の式を√を使わずに　ａ^b　およびその掛け算の形に書け (1) √(ａｂ^-1) 　(与式)＝(ａｂ^-1)^1/2 　　＝ａ^1/2ｂ^-1/2 (2) ³√(ａｂ²ｃ^-1) 　(与式)＝(ａｂ²ｃ^-1)^1/3 　　＝ａ^1/3ｂ^2/3ｃ^-1/3 　 http://yosshy.sansu.org/

19690．ベクトル？

名前：にーと（高校生） 日付：2月3日(木) 23時32分

２つの変数ｘとｙ間の関連の度合いを示す相関係数ｒ（ｘ，ｙ）は，ｘとｙをベクトルで表現したときに，２つのベクトルXとyとのなす角度θ の余弦（ c o s θ ）に一致する。
ここで，ある被験者から集められた３つの変数ｘ，ｙ，ｚのデータについてｘとｙ間，ｙとｚ間，ｘとｚ間の相関係数をそれぞれ求め，
ｒ ( ｘ , ｙ ) ＝ａ，ｒ ( ｙ , ｚ )＝ｂ，ｒ ( ｘ , ｚ ) ＝ｃ
とするとき，次のア～オのうち起こり得ないものはどれとどれか。
アａ＝ｂ＝ｃ＝１
イａ＝ｂ＝ｃ＝０
ウａ＝ｂ＝ｃ＝－ 1/2
エａ＝ｂ＝ｃ＝－１
オａ＝－１，ｂ＝ 1/2 ，ｃ＝ 1/2

１アとイ
２イとウ
３ウとオ
４エとオ
５ウとエ
教えてください…

	19691．Re: ベクトル？
	名前：ヨッシー日付：2月3日(木) 23時50分
	ベクトルのなす角なので、とりあえず、０°≦θ≦180° とします。それぞれの式を日本語で理解しましょう。アａ＝ｂ＝ｃ＝１　ｘとｙが０°、ｙとｚが０°、ｚとｘが０° イａ＝ｂ＝ｃ＝０　ｘとｙが90°、ｙとｚが90°、ｚとｘが90° ウａ＝ｂ＝ｃ＝－ 1/2 　ｘとｙが120°、ｙとｚが120°、ｚとｘが120° エａ＝ｂ＝ｃ＝－１　ｘとｙが180°、ｙとｚが180°、ｚとｘが180° オａ＝－１，ｂ＝ 1/2 ，ｃ＝ 1/2 　ｘとｙが180°、ｙとｚが60°、ｚとｘが60° ベクトルを思い浮かべてみましょう。答えは４です。　 http://yosshy.sansu.org/

	19703．ありがとうございます
	名前：に日付：2月4日(金) 14時57分
	アとウはわかったのですが、イの場合がよくわからないのですが…

	19704．Re: ベクトル？
	名前：ヨッシー日付：2月4日(金) 15時2分
	ちょうど、ｘ軸とｙ軸とｚ軸の関係ですね。　 http://yosshy.sansu.org/

	19705．Re: ベクトル？
	名前：に日付：2月4日(金) 16時22分
	ありがとうございました！！！

19686．教えてください。

名前：いなかもん（高校生） 日付：2月3日(木) 19時26分

底面の円の半径が10ｃｍ，高さが20ｃｍの直円錐がある。その底面の円板上に底面があって,直円錐に内接する立方体の一辺の長さは？

	19687．Re: 教えてください。
	名前：kei 日付：2月3日(木) 19時50分
	求める長さをxcmとすると、立方体の底面の対角線の長さは√2xcm。ここで、円錐の頂点をP、立方体をABCD-EFGHとして（底面の正方形がEFGH)、点A,C,Pを通る平面を考えます。（点B,D,Pでもかまいません。）すると、この平面上に点E,Gもあります。また、この平面と、円錐の底面の円が交わる点をI,Jとします。三角形PIJにおいて、△PIJ∽△PACより、 (底面の円の直径)：AC=(円錐の高さ):{(円錐の高さ)-x}です。つまり、10*2:√2x=20:(20-x)ということです。これを解けばxの値は求まります。

19684．積分（面積）

名前：お米（高３） 日付：2月3日(木) 18時34分

どうもこんにちは。証明の問題です。
関数y=f(x)は区間［a,b］で下に凸で、この二次導関数は連続です。
点(a,f(x)),点(b,f(x))を通る直線をｍとするとき、直線ｍと曲線y=f(x)
で囲まれる図形の面積は、1/2∫[b→a](x-a)(b-x)f"(x)dx
となる。

こういう問題があったのですが、２，３質問があります。
はじめこの問題を見たとき、どんなf(x)でも成り立つのは不思議だな、
面積なのに、二次導関数が出てくるのは不思議だな、と思いました。

まず、証明するには、こうしました。
以下、区間［a,b］で考える。（積分も区間［a,b］）
直線ｍとy=f(x)に囲まれる図形の面積なので、この面積は、
台形－{y=f(x)とx軸とで囲まれた面積}＝1/2(f(b)+f(a))(b-a)-∫f(x)dx
こうなればよい。……

こうして、与えられた式を２回部分積分すれば上の式に行き着くのですが、
これでは、証明になっていても、なかなか納得できません。
問題をつくった人は、どうして1/2(f(b)+f(a))(b-a)-∫f(x)dxの式から、
1/2∫(x-a)(b-x)f"(x)dxの式を導き出せたのでしょうか。
（多項式で、展開はできるけど、因数分解はできない、という感じです。）

次に、1/2∫(x-a)(b-x)f"(x)dxこの式を一回、部分積分すると、
∫f'(x){x-(a+b)/2}dxこうなります。
この式には(a+b)/2と、a,bの中点が出てくるんですけど、
何か中点と関係があるのでしょうか。

	19688．Re: 積分（面積）
	名前：中村千恵子日付：2月3日(木) 22時45分
	問題のアイデアは，F''，G'' が [a，b] で連続，F，G が区間の端で 0 になるとき，∫F×G''＝∫F''×G となること，辺りでしょうね．普通，こういう変形を微分を廻すと言います．後半ですが，∫f'=0 なので，中点はこの段階では無関係．∫f'×x に幾何的な意味を与えたいなら，横方向の分割とみてはどうですか？

	19693．Re: 積分（面積）
	名前：お米（高３）日付：2月4日(金) 0時7分
	回答ありがとうございます。 ∫F×G''＝∫F''×G　は、確かになりますね。微分を廻す、というのは初めて聞きました。 >後半ですが，∫f'=0 なので，この部分なんですが、私の思い違いかもしれませんが、 ∫[b→a]f'(x)dx＝f(b)-f(a)となり、０になるとは限らないのでは…

	19695．Re: 積分（面積）
	名前：中村千恵子日付：2月4日(金) 0時47分
	略さずに書くと，m の式を y=px+q として，∫(px+q-f(x))dx=∫(f'(x)-p)×(2x-a-b)/2 dx=∫f''(x)×(x-a)(b-x)/2 dx．つまり，先の ∫f'=0 をもとの f で書くなら ∫(f'(x)-p)=0 ということ．

	19702．Re: 積分（面積）
	名前：お米（高３）日付：2月4日(金) 13時21分
	なるほど。そういうことでしたか。いや、わかりました。どうもありがとうございます。

19679．極限

名前：ライラプス（大学１年） 日付：2月3日(木) 2時2分

ｆ（ｘ）＝ｘＣＯＳ１／ｘ（ｘ＝／０）・・０ではないという意味です。
　　　　　０　（ｘ＝０）
について微分可能性を調べなさい。という問題です。
私なりに考えてみたのですが、
ｆ（ｘ）＝ｘＣＯＳ１／ｘ（ｘ＝／０）では微分可能なのでｘ＝０の時を調べればよい。そして計算すると・・
ｌｉｍ　ｃｏｓ１／ｘとなりました。
ｘ→０
ここからどのように答えを導けばよいかわかりません。。
ご指導お願い致します☆

	19680．Re: 極限
	名前：豆日付：2月3日(木) 8時28分
	cos(1/x)ですね．括弧は正確に書かないと，誤解を招きます． x=0で微分可能とはxがどんな近づき方をしても同じ値に収束するという事です．逆にいうと，近づき方が違う場合に収束値が違えば微分不可能ということになります．今回，振動して一定値に収束しない事は感覚的に分かりますから，上の条件を見つけてやればよい．例えば下記条件A,Bの比較： A：x=1/(2π)，1/(4π)，・・・・→0 B：x=1/π，1/(3π)，・・・→0

	19689．Re: 極限
	名前：ライラプス（大学１年）日付：2月3日(木) 23時5分
	豆さん。レスありがとうございます。私もｘ＝１／２ｎπ、ｘ＝１／πｎ／２の時を考えれば、明らかに収束しないと答案を作成したんですが、きちんと説明せよと言われました（＞＜）ご解説お願いします。

	19697．Re: 極限
	名前：豆日付：2月4日(金) 8時49分
	ｘ＝１／πｎ／２自体が振動するから具合が悪いのじゃないですか？私の示した例は振動してないですよね．明らかにという表現も工夫したほうが良いのかもしれませんね．

	19706．Re: 極限
	名前：豆日付：2月4日(金) 16時30分
	忘れないうちに今後のために書いておきますが，今回のライプラスさんの対応は，もし私のレスを参考に答案を作ったのでなければ，「後出しじゃんけん」でマナー上は良くないことです．質問する場合は，全ての条件，経緯などを要領よく書いて最初から入れておいてください．（大学生なら尚更です）そうすれば余分なコメントもしなくて済む．

	19710．Re: 極限
	名前：ライラプス（大学１年）日付：2月5日(土) 2時28分
	豆さん。本当に申し訳ありませんでした。。私の認知不足でした（＞＜）今後はきちんと記載するよう心がけますので！豆さんのご解説は理解できました☆ただ・・・。どのように答案を作成したらよいかわかりません。。お忙しいと思いますが、ご指導お願い致します！！

	19712．Re: 極限
	名前：豆日付：2月5日(土) 18時57分
	lim[x→0]cos(1/x)が一定値に収束するか、という課題。 x=1/(2nπ)のとき、n→∞のときx→0。このとき、cos(1/x)=cos(2nπ)=1 x=1/((2n+1)π)のとき、n→∞のときx→0。このとき、cos(1/x)=cos((2n+1)π)=-1 よって、一定値に収束しない。これで十分だと思いますが。

	19716．Re: 極限
	名前：ライラプス（大学１年）日付：2月6日(日) 2時1分
	豆さん☆ 本当に感謝してます！！親切に解説していただきありがとうございました☆

19675．教えてください

名前：デコボコ（高１） 日付：2月2日(水) 20時50分

座標A(0.a)B(0.b)C(c.0)但しa>0,b>0,c>0,a>bとする。角ACBをθとするθが最大となるときはどんなときか？理由も。

	19676．Re: 教えてください
	名前：ヨッシー日付：2月2日(水) 23時25分
	a も b も c も、勝手に動いて良いのですか？それとも、a と b は固定されていて、c が動くとき、θの最大値を求めよ、ということでしょうか？　 http://yosshy.sansu.org/

	19677．Re: 教えてください
	名前：ヨッシー日付：2月2日(水) 23時26分
	あ、「求めよ」ではなくて、「最大となるときはどんなときか？」でしたね。　 http://yosshy.sansu.org/

19671．慎也(高３)さん

名前：ヨッシー 日付：2月2日(水) 16時50分

この２つでしょうか？
　
http://yosshy.sansu.org/

	19673．Re: 慎也(高３)さん
	名前：ヨッシー日付：2月2日(水) 17時1分
	を利用して、(２^3x)' を計算すると、　(２^3x)'＝(３log２)２^3x ですので、　(２^3x/３log２)'＝２^3x となり、　∫２^3xdx＝２^3x/３log２となります。後半は、ｘ＝log３のところで、ｅ^x－３は、負から正に変わるので、　∫_(0～log３)(３－ｅ^x)dx＋∫_{(log３～２)}(ｅ^x－３)dx と、分けて考えます。　 http://yosshy.sansu.org/

19668．(untitled)

名前：慎也（高３） 日付：2月2日(水) 16時44分

　　　　2　　3x　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　∫　２　　　ｄｘ　　が全然わかりませんよろしくお願いします　　　　　0　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

	19669．Re: (untitled)
	名前：慎也（高３）日付：2月2日(水) 16時45分
	> 　　　　2　　3x　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　∫　２　　　ｄｘ　　が全然わかりませんよろしくお願いします　　　　　0

	19670．Re: (untitled)
	名前：慎也（高３）日付：2月2日(水) 16時45分
	`> 　　　　2　　3x　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　∫　２　　　ｄｘ　　が全然わかりませんよろしくお願いします　　　　　0`

	19672．Re: (untitled)
	名前：ヨッシー日付：2月2日(水) 16時51分
	上に、新しい記事を立てました。　 http://yosshy.sansu.org/

19663．算数オリンピックの問題

名前：白拓日付：2月2日(水) 1時1分

算数オリンピックの確率の問題です。答は231/1024 (＝3*7*11/2＾10)です。
かなり面倒な計算で答は求まったのですが、
綺麗な解法をどなたか教えてください。よろしくお願いします。

	19674．Re: 算数オリンピックの問題
	名前：xxx 日付：2月2日(水) 19時1分
	大きい方からｋ組（２ｋ人）が条件に従って並んでいたとします。次に大きい１組が、条件を満たしつつ列に入ろうとする事を考えると、まず男は、好きな場所に入れます。つまり（２ｋ＋１）通りあります。次に女は、この（２ｋ＋１）人の列の、一番左以外なら、どこでもｏｋです。つまり、（２ｋ＋１）通りあります。１組なら、１通り、２組なら、上×３×３３組なら、上×５×５４組なら、上×７×７５組なら、上×９×９６組なら、上×１１×１１こんな感じではどうでしょうか

	19683．算数オリンピックの問題
	名前：白拓日付：2月3日(木) 14時22分
	なるほど、ありがとうございます。

19657．微分積分

名前：アカギ 日付：2月1日(火) 22時45分

Ｒ３において

１．平面ax+by+cz=d上の点（x0,y0,z0）での法線を求めよ。
２．（a,b,c）を法線ベクトルとし、点（x0,y0,z0）通る平面を求めよ。
３．球面x^2+y^2+z^2=r^2上の点(x0,y0,z0)での法線ベクトルと接平面の方程式を求めよ。

以上３問について、どなたか教えてください。よろしくお願いします。

	19658．Re: 微分積分
	名前：豆日付：2月1日(火) 23時51分
	表題の微分積分は無関係ですね。１．平面ax+by+cz=d　の法線ベクトルは(a,b,c)ですから、その方向で、(x0,y0,z0)を通る直線の方程式は、　(x,y,z)=t(a,b,c)+ (x0,y0,z0) ２．逆に法線ベクトルが（a,b,c）で、(x0,y0,z0）を通る平面は　a(x-x0)+b(y-y0)+c(z-z0)=0 3原点と点(x0,y0,z0)を結んだ直線は球に垂直だから、法線ベクトルは (x0,y0,z0)。　従って、それに垂直な平面はx0x+y0y+z0z=d。これが、(x0,y0,z0）球面と接するので、　x0x+y0y+z0z=r^2 平面の方程式と、法線ベクトルの関係をしっかり理解することが大切ですね。

	19694．Re: 微分積分
	名前：アカギ日付：2月4日(金) 0時23分
	無関係なんですか？微分積分の問題として出されたので…すっかりそうだと思い込み、全くできませんでした。ベクトルの問題なんでしょうか？？

	19696．Re: 微分積分
	名前：ヨッシー日付：2月4日(金) 5時13分
	ベクトルの問題と言うより、空間図形の問題ですね。この辺になると、ベクトルはもはや道具の１つに過ぎません。　 http://yosshy.sansu.org/

	19709．Re: 微分積分
	名前：アカギ日付：2月5日(土) 1時32分
	そうですか。そこまで深い理解はできたかどうかわかりませんが…。とりあえずこの問題は答えまで行き着くことができました。豆さん、ヨッシーさん、ありがとうございました。

19653．とある大学の入試問題

名前：彷徨(高３生) 日付：2月1日(火) 19時42分

問１
u,vを任意の実数とし、f(uv)＝uf(v)+vf(u) という関係が成り立つ。
このとき、
(1)　f(0)、f(-1) を求めよ。
(2)　f(v/u) を u,v,f(u),f(v) を用いて表せ。

問２
y＝2^x(2^x + 2)　の逆関数は、 y=log(底2)(a) である。
aを求めよ。

今日友人が受けてきた大学の入試問題で、答えを聞かれたのですが、分からなくて困っています。どうかよろしくお願いします。

	19654．Re: とある大学の入試問題
	名前：花パジャ日付：2月1日(火) 20時19分
	問1 u=0,v=2からf(0) u=v=1からf(1) u=v=-1とf(1)からf(-1) u=u,v=v/uからf(v/u)

	19661．Re: とある大学の入試問題
	名前：彷徨(高３生) 日付：2月2日(水) 0時31分
	返信ありがとうございます。 f(0)＝f(-1)＝0 f(v/u)＝{f(v)-(v/u)f(u)} / u であってますでしょうか？あと、どなた様か問２の方もよろしくお願いします。 y＝2^x(2^x + 2)　の逆関数は、 y=log(底2)(a) である。 aを求めよ。

	19662．Re: とある大学の入試問題
	名前：ヨッシー日付：2月2日(水) 1時1分
	とりあえず、ｘとｙを入れ替えて、　ｘ＝２^y(２^y＋２)＝２^2y＋２・２^y ここで、ｙ＝log₂ａの形であると、知らせてくれているので、　ｘ＝２^(2log₂a)＋２・２^(log₂a) 　　＝ａ^2＋２ａこれをａについて解けばいいです。ただし、ｘ＞０であることと、真数条件よりａ＞０であることに注意します。　 http://yosshy.sansu.org/

19650．証明の仮定について（中学２年生）

名前：aya（大学生・家庭教師） 日付：2月1日(火) 2時12分

証明の仮定について質問があります。

＊ＡＢ＝ＡＣの二等辺三角形ＡＢＣで、∠Ｂ＝７５°のとき、∠Ａの大きさを求めよ。
この問題では『（仮定）∠Ｂ＝７５°』ですよね。
仮定はだいたい「～とき」「～ならば」の前にあり、図形の性質ではなく、その問い一問限りに有効な数値など（角度や長さ）だと思っていました。でも、
＊平行四辺形ＡＢＣＤで・・・
という問題に対し『（仮定）ＡＢ//ＣＤ、ＡＤ//ＣＢ』と生徒さんのノートに書いてありました。黒板を丸写ししてある問題なので、先生が書いたものでしょう。
「平行四辺形ＡＢＣＤで」という問題では平行四辺形であることは問題として大前提であり、二組の対辺がそれぞれ等しいのは性質であり、自明のこと（証明の際に「仮定より」と書かなくて良い）だと認識していました。しかし、性質も仮定に入るのですか？

また（雑ですが図を載せます）
＊三角形ＡＢＣで底辺ＢＣの中点はＭである。（問題前文は覚えてません）
という問題では『ＢＭ＝ＣＭ』はＭが中点なら当たり前ですが、これは仮定でしょうか？

問題集などを買ってちゃんと指導できるように勉強しているのですが、どこまでが仮定でどこからが仮定ではない（「仮定より」と書かなくて良い）のかが、どうしてもわかりません。
どうぞよろしくお願いします。

	19651．Re: 証明の仮定について（中学２年生）
	名前：ワットマン日付：2月1日(火) 3時3分
	はじめまして。　まず、どこまでを仮定としてよいか、というのは、その問題文や、そのテストのおかれた状況などで変わってくると思います。　たとえば、平行四辺形の２組の対辺の長さが等しいことを示せ、という問題なら、「これは性質ですから自明です」と答えた場合、零点ですね。これはお分かりだと思います。　しかし、もっと複雑な問題で、この性質（実は定理）を使うことが前提にあるような問題なら、仮定というよりは、隠れた条件として、使って良いことになります。むしろ、それを覚えているか、と問うているのですから、はっきり文に示して使わないと点になりません。　ちょっと混乱しているような文面だったので、一度、「定義」「定理」「仮定と結論」などについて、ご確認されてはいかがですか？　平行四辺形について言えば、「四辺形で、２組の対辺が平行なもの」が定義。つまり無条件に使って良いことです。　次に「２組の対辺の長さがそれぞれ等しい」「２組の対角はそれぞれ等しい」「対角線をお互いに２等分する」というのは「定理」であって、本来は、定義から証明すべきものです。　ただ、議論する上で、いちいち定義にさかのぼっていると、複雑になるので、一定の結論は認めて、その上に議論を積み重ねていく場合、その一定の結論のことを「定理」と呼んでいます。これは時として「性質」とか呼ばれますが、論理上はあまり意味のない言葉で、厳密には「定理」と呼ぶべきものです。　ですから、その定理を示せ、という問題なら、定義と他の定理（三角形の合同条件とか）を使って示すことになりますし、　もっと複雑な問題で、明らかにこの定理を使って良い場面なら、使うべきです。いかがでしょうか。　さらにご質問がございましたら、具体的な問題をこちらに書いていただけるとよろしいかと存じます。

	19721．Re: 証明の仮定について（中学２年生）
	名前：aya（大学生・家庭教師）日付：2月6日(日) 15時24分
	丁寧なお答えありがとうございます。問題の難易度によって、仮定かそうでないかを判断する・・・おそらくそれが一番正しいのだと思います。どうにも納得できなかったのですが、色々と問題を解いて「状況判断かな？」という気は少ししていました。まだ少し不安なところもありますがその考え方でいきたいと思います。また分からない事がありましたら、こちらでお世話になるかもしれません。ありがとうございました。

19647．線形代数

名前：シュリセル 日付：2月1日(火) 0時24分

線形代数
2005年1月31日 0:03:46 syuriseru
線形の勉強をしててわからない問題があったので、教えてください。どうかヨロシクおねがいします。

ａ0、ａ1、ａ2∈Ｒ（ａ0≠０）に対して、Ｄ2（ａ0、ａ1、ａ2）＝｛｛Ｘｎ｝の１から∞までの和┃Ｘｎ∈Ｒ、ａ2Ｘn＋2＋ａ1Ｘn＋1＋ａ0Ｘn＝０を考える。
（１）Ｄ2（ａ0、ａ1、ａ2）がＲ上のベクトル空間となることを示してください。
（２）Ｄ2（ａ0、ａ1、ａ2）の一組の基底と次元を求めてください

	19660．Re: 線形代数
	名前：中村千恵子日付：2月2日(水) 0時22分
	問題は正確に写しましょう．

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