３辺の長さがすべて整数である三角形ＡＢＣがある。
∠Ｂの大きさが∠Ａの大きさの２倍であり、∠Ｃ≧９０°とするとき、３辺の長さの和の最小値を求めよ。
三角比を使っていろいろやってみましたけど、どうしてもわかりません。
よろしくお願いします。
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14982．自信なし(実は3回書き換えましたが) |
| 名前：c.e.s. 日付：5月31日(月) 0時52分 |
∠A=α、∠B=2α、∠C=180°-3αとします(すると0°<α≦30°⇔√3/2≦cosα<1)。すると、正弦定理より
b=2Rsin2α(Rは外接円の半径)=4Rsinαcosα=2acosα、
c=2Rsin(180°-3α)=2Rsin3α=2R{3sinα-4(sinα)^3}=…={4(cosα)^2-1}a
となります。このときa+b+c=…=2acosα(1+2cosα)(定義域√3/2≦cosα<1ではcosαに伴って増加する)です。ここからできませんでしょうか…
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14984．Re: (untitled) |
| 名前：らすかる 日付：5月31日(月) 3時25分 |
AB=c,BC=a,CA=b,∠A=θ とすると、
正弦定理より a/sinθ=b/sin2θ=c/sin3θ
a/sinθ=b/sin2θ から 2cosθ=b/a
a/sinθ=c/sin3θ から c=((2cosθ)^2-1)a=b^2/a-a
また、0＜3θ≦90°より0＜θ≦30°なので、
√3/2≦cosθ＜1 すなわち √3≦2cosθ＜2
従って、√3≦b/a＜2 を満たしaがb^2の約数となるa,bの組を探せば良い。
a≦3の時、√3≦b/a＜2を満たすbは存在しない。
a=4の時、6/4＜√3＜7/4＜2=8/4 なのでb=7が√3≦b/a＜2を満たすが、
a=4はb^2=49の約数でないので不適。
同様に、(a,b)=(5,9)(6,11)(7,13)(8,14)(8,15)(9,16)(9,17)
(10,18)(10,19)(11,20)(11,21)(12,21)(12,22)(12,23)(13,23)
(13,24)(13,25)(14,25)(14,26)(14,27)(15,26)(15,27)(15,28)
(15,29)もaがb^2の約数でないので不適。
次の(16,28)が条件を満たし、この時a=16,b=28,c=33で３辺の長さの和=77となる。
(16,29)(16,30)(16,31)はaがb^2の約数でないので不適。
b/a≧√3よりb≧√3a、c=b^2/a-a≧2aであるから、
a≧17の時はa+b+c≧a+√3a+2a＞80となり、上記の解の77より大きくなる。
従って、３辺の長さの和の最小値は77。
# もっとスマートな解法があるかも知れません。
http://www10.plala.or.jp/rascalhp
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14988．Re: (untitled) |
| 名前：花パジャ 日付：5月31日(月) 16時6分 |
正弦定理 sinA/a=sinB/bより cosA=b/2a
3A≦90°なので √3≦b/a<2 …(1)
余弦定理 a^2=b^2+c^2-2bccosAより b^2=a(a+c) …(2)
外周の最小値なので、a,b,cの共通の約数は1と考えて良い
ここで、aとcとが共通の約数を持つと、(2)よりbも同じ約数を持つので、
aとcとは互いに素 …(3)
今、aとbとの最大公約数をkとすると
a=nk …(4),b=mk …(5)
ただし、nとmとは互いに素 …(6)
(4)(5)を(2)に代入して整理すると、(m^2-n^2)k=nc …(7)
(3)(4)より kとcとは互いに素 …(8) なので
n=lk …(9)と表される
(9)を(7)に代入して整理すると、m^2=l(lk^2+c) …(10)
(6)(9)より mとlとは互いに素なので、l=1 …(11)
(11)を(4)(9)(10)に代入し、(6)を書き換えると
a=k^2 …(12),b=mk …(5),c=m^2-k^2 …(13)
kとmとは互いに素 …(14)
kとcとは互いに素 …(8)
また、mとcとが共通の約数を持つと、(13)よりkも同じ約数を持つので、
cとmとは互いに素 …(15)
さて、求める外周であるが、(12)(5)(13)より
a+b+c=m(m+k) …(15)
また、(12)(5)を(1)に代入すると
√3≦m/k<2 …(16)
(16)より、√3k≦m<2kなので、m,kが整数になるには、(2-√3)k≧1が必要
すなわち、k≧4
k=4のとき、(16)よりm=7で、(15)よりa+b+c=77
更に(15)(16)より、a+b+c≧(3+√3)k^2 なので、
k≧5では、a+b+c>118となり、77が最小値
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14989．Re: (untitled) |
| 名前：花パジャ 日付：5月31日(月) 16時9分 |
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c=33なので、お互いに素だ、てのを書き忘れた...
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