こんばんは。この問題の解き方を教えて下さい。
f(x)=x^3+kx^2+kx+1が、極値をもたないような定数kの値の範囲を求めよ。
|
11590.Re: 微分 |
名前:イチゴ高2 日付:11月23日(日) 18時15分 |
宜しくお願いします。
|
|
11591.Re: 微分 |
名前:K.N.G. 日付:11月23日(日) 18時33分 |
f(x) = x^3 + kx^2 + kx + 1 より, f'(x) = 3x^2 + 2kx + k となります. また, 「f(x) が極値を持たない」 ⇔ 「f'(x) = 0 が異なる 2つの実数解を持たない」 です. 従って, 2次方程式 f'(x) = 0 の判別式を D とすると, D ≦ 0 が成り立ちます(D/4 ≦ 0 でもOK). 以下ご自分で計算なさって下さい(分からない所があればまた質問してください).
|
|
11595.Re: 微分 |
名前:イチゴ高2 日付:11月23日(日) 19時14分 |
K.N.Gさんありがとうございます。質問があります。
「f(x) が極値を持たない」 ⇔ 「f'(x) = 0 が異なる 2つの実数解をも たない」となるのが分かりません…。何故f'(x) なのですか??
|
|
11598.Re: 微分 |
名前:K.N.G. 日付:11月23日(日) 20時7分 |
(説明の都合上, f(x) の x^3 の係数が正の数であるとします.)
(1) f'(x) = 0 が異なる 2つの解を持つとき その異なる 2つの解を a, b (a < b) とおき, 増減表を書くと, x |…| a |…| b |… f'|+| 0 |−| 0 |+ f |□|max|□|min|□ となります(max が極大で, min が極小値です). これから, x = aで極大, x = b で極小となることがわかります.
(2) f'(x) = 0 が重解を持つとき 重解を a とおき, 増減表を書くと, x |…| a |… f'|+| 0 |+ f |□|---|□ となります(--- のところは極大でも極小でもありません). これより, 極値を持たないことがわかります.
(3) f'(x) = 0 が(実数)解を持たないとき 増減表を(普通は書かないと思いますが, あえて)書くと, x |… f'|+ f |□ となります. 極値はありません.
以上より, (1)のとき, 即ち「f'(x) = 0 が異なる 2つの解を持つ」ときのみ y = f(x) は極値を持ちます. 言い換えれば, (2)や(3)のとき, 即ち「f'(x) = 0 が異なる 2つの解を持たない」ときは, y = f(x) は極値を持ちません.
|
|
11599.Re: 微分 |
名前:イチゴ高2 日付:11月23日(日) 21時1分 |
K.N.G.さん、 丁寧教えてくださりありがとうございます。
何故 f '(x) = 0 の判別式を D とするのですか? 私はf (x)をDとすると考えてしまいました…。
f (x)と、 f '(x) の意味が良く分かりません…。
|
|
11600.Re: 微分 |
名前:貴 日付:11月23日(日) 21時47分 |
f'(x) = 3x^2 + 2kx + kにおいて、
3x^2 + 2kx + k=0の2解が極値になります。
f'(x) = 3x^2 + 2kx + kのグラフも書いてみましょう。
|
|
11601.Re: 微分 |
名前:貴 日付:11月23日(日) 21時49分 |
訂正。
極値ではなくて、その2解のx座標をf(x)に入れたものが極値になります。
|
|
11602.Re: 微分 |
名前:K.N.G. 日付:11月23日(日) 22時33分 |
> 何故 f '(x) = 0 の判別式を D とするのですか? > 私はf (x)をDとすると考えてしまいました…。
そもそも判別式D とは, 「ある 2次方程式が実数解を持つかどうか"判別する"ための式」です. 一般に, ax^2 + bx + c = 0 (a ≠ 0; a, b, c は実数) という 2次方程式において判別式 D = b^2 - 4ac というものを考え, D > 0 ならば異なる実数解を持つ D = 0 ならば重解を持つ D < 0 ならば実数解を持たない と判別するわけです. つまり, 判別式は f(x) という多項式に適用するものではなく, f(x) = 0 という"2次方程式"に適用するものです.
> f (x)と、 f '(x) の意味が良く分かりません…。
ぼくも深く考えずにレスしてしまったのですが, そもそも多項式である f(x) に極値は存在しないはずです. 極値というものは, y = f(x) という 3次関数のグラフに対して考えるものですので, 問題は 「y = f(x) = x^3 + kx^2 + kx + 1 (が表すグラフ)が, 極値を・・・.」 とされるべきです. もう一度いいますが, 極値とは多項式ではなくて, グラフに対して考えるべきものです. さて, y = (x) …(*1)の意味ですが, これはもちろん x と y の関係を表した式です. これを図示(グラフ化)すれば"3次関数のグラフ"となるわけdす. そして, y' = f'(x) の意味ですが, これは, x = x における(*1)が表すグラフの接線の傾きを表します. 例) 3次関数 y = f(x) = x^3 + 1 の x = 2 における接線の傾きは, y' = f'(x) = 3x^2 の x に 2 を代入して f'(2) = 3*2^2 = 12 として求めることができます.
|
|
11605.Re: 微分 |
名前:イチゴ高2 日付:11月23日(日) 23時10分 |
貴さん、K.N.G. さん、ありがとうございます。 判別式は f(x) という多項式に適用するものではなく, f(x) = 0 という"2次方程式"に適用するものなのですね…。
聞くのは恥ずかしいのですが…実数解とはなんですか?(><;)
>y' = f'(x) の意味ですが, これは, x = x における(*1)が表すグラフ>の接線の傾きを表します.
y' = f'(x)とy' = f'(a)は別ものですか??
|
|
11609.Re: 微分 |
名前:K.N.G. 日付:11月23日(日) 23時48分 |
> 聞くのは恥ずかしいのですが…実数解とはなんですか?(><;)
実数解とは, その名の通り"実数の解"です. 実数とは, 「数直線上の点にとることができる全ての数」のことです. 例) -3/2, -1, 0, 2.5, π(円周率), 10/3 など
> y' = f'(x)とy' = f'(a)は別ものですか?? f'(a) というのは, f'(x) の x に a を代入したものです. 例えば, f'(x) の x に 2 を入れたものを f'(2) と表します. 例題) f(x) = x^2 + 3x + 1 のとき, f'(1) を求めよ. f(x) = x^2 + 3x + 1 であるから, f'(x) = 2x + 3 …(*) (*)の x に 1 を代入したものが f'(1) であるから, f'(1) = 2*2 + 3 = 7 となる.
|
|
11611.Re: 微分 |
名前:イチゴ高2 日付:11月24日(月) 0時13分 |
K.N.Gさんありがとうございます。もう一つ分からないことがあります…。
普通の増減表は書けるのですが、 11598.のK.N.Gさんが書いた増減表の書き方を教えて下さい!! どうしてf ´がプラスかマイナスが分かるのですか??
|
|
11613.Re: 微分 |
名前:イチゴ高2 日付:11月24日(月) 0時29分 |
質問が分かりにくいですよね。 >普通の増減表は書けるのですが、 というのは、K.N.G. さんの増減表はa、bの値が分からないので+−が分からないし、f'(x) = 3x^2 + 2kx + kに代入しようと思ってもkがあるので、f 'がプラスかマイナスか分からなくてどうやればいいのか分かりません…。ということです。この増減表は参考書にも一部あったのですが、どう書いたのか理解できませんでした…。宜しくお願いします。
|
|
11615.Re: 微分 |
名前:K.N.G. 日付:11月24日(月) 0時59分 |
f'(x) = 0 が異なる 2つの実数解を持つとき, y = f(x) のグラフの概形は上図のようになります. (x^3 の係数が正なので, 上のような形になります.) ここで, f'(x) は「y = f(x) のグラフの接線の傾きを表す」ということを思い出してください(つまり, f'(x) = [x = x における接線の傾き]です). y = f(x) のグラフの接線の傾きは 極大(x = a)までは, 正 極大(x = a)から 極小(x = b)までは, 負 極小(x = b)からは, 正 となっていますね. ですから, f'(x) も 正 → 負 → 正 と変化するわけです.
つまり, 増減表における f'(x) の正負は, グラフの形(具体的に, グラフの接線の傾き)からわかってしまいます.
|
|
11616.因(ちな)みに |
名前:K.N.G. 日付:11月24日(月) 1時6分 |
y = f(x) (3次関数) の x^3 の係数が負の場合(で, f'(x) = 0 が異なる 2つの実数解を持つとき)は, 上のようなグラフになります. 従って, 増減表における f'(x) の符号は,
x |…| a |…| b |… f'|−| 0 |+| 0 |−
のように変化します.
|
|
11625.Re: 微分 |
名前:イチゴ高2 日付:11月24日(月) 13時4分 |
K.N.G. ありがとうございます(^^) 図もありがとうございました! 分かりやすかったです。 すみませんがまだ質問があります。
D=(2k)^2-4*3*k 4k(k-3)≦0 0≦k≦3 ←上の式から0≦k≦3となるのが分かりません…。
宜しくお願いします。
|
|
11626.2次不等式の解法 |
名前:Bob 日付:11月24日(月) 13時14分 |
4k(k-3)≦0 0≦k≦3
これをxにして考えて見ましょう y=4x(x−3) これを頂点は求めずにx軸との交点だけでグラフを書く。 交点は(0,0)と(3,0)ですね。(y=0とすればすぐ出る) 完成したグラフをみながらy=4x(x−3)≦0を考えます。 するとy≦0の意味はx軸の下部ということ。そうすると そのときのxの範囲は0≦x≦3 でないですか? よって今回はxでなくkなので 0≦k≦3
|
|
11627.Re: 微分 |
名前:イチゴ高2 日付:11月24日(月) 13時20分 |
すみません。もう一つ質問させて下さい。追加です。
>f'(x) は「y = f(x) のグラフの接線の傾きを表す」ということを思い>出してください(つまり,f '(x) =[x = x における接線の傾き]で >す).
というところが分かりません(><;) f '(x) =[x = x における接線の傾き]とは何ですか?? 宜しくお願いします。
|
|
11628.Re: 微分 |
名前:イチゴ高2 日付:11月24日(月) 13時25分 |
Bobさん ありがとうございます!! (^^)良く分かりました☆ 上の質問もよろしければお願いします(><)
|
|
11629.Re: 微分 |
名前:Bob 日付:11月24日(月) 13時44分 |
あまり難しく考えないで下さい。微分の意味は大学に入るとわかると思うんで。(理系だけですが) 高2の段階では微分すること=接線の傾きを求める ということにしましょう。 接線の傾きって言ってもその場所場所(x=1やx=−4など) によってちがいますよね。だからx=2のときの接線の傾き はf’(2) x=−3のときはf’(−3)となります。 ではx=aのときはf’(a) だからK.N.Gさんのいうx=x(xの値を限定せず広い意味でxをつかっている) ならf’(x)になりますよね?
★あまり深く考えすぎるとはまるのがこの分野なのでいまは雰囲気だけ つかんでください。(塾講師5年間やっていますが何人かの生徒がここではまっているので)
|
|
11630.Re: 微分 |
名前:イチゴ高2 日付:11月24日(月) 14時0分 |
Bobさんどうもありがとうございました(^▽^)ノ 難しく考えないようにします☆
|
|
|