2003年11月 の投稿ログ


11772.立て続けにごめんなさい。  
名前:ここあ    日付:11月30日(日) 22時22分
どうしても分からない問題があるので、お願いします。


1 xy=0かつx≠0は、y=0であるための・・・・・・

2 x=y=0は、xy=0かつx+y=0であるための・・・・・・

3 三角形ABCの3辺、BC,CA、ABの長さをそれぞれa,b,cとする。
  (a-b)(a^2+b^2-c^2)は三角形ABCが直角三角形であるための
  ・・・・・・・・


この問題の・・・・・・に必要条件、十分条件、必要十分条件
で適せつなものをかけ。

必要条件、十分条件、のみ分け方も教えてください。
お願いします!!!!!



11773.Re: 立て続けにごめんなさい。
名前:mo^3    日付:11月30日(日) 22時44分
1 p:「xy=0かつx≠0」、q:「y=0」
としますと
p→qは成り立ちます。
p←qはというとx≠0でなくてもいい、つまりx=0でもいいから
これは十分条件

2 p:「x=y=0」、q:「xy=0かつx+y=0」
p→qは成り立ちます。
p←q、x,yはt^2-(x+y)t+xy=0の2解であるからt^2=0∴t=0つまりx=y=0
これは必要十分条件

3 (a-b)(a^2+b^2-c^2)=0ではないですか?

p:(a-b)(a^2+b^2-c^2)=0、q:「三角形ABCが直角三角形」
p→q、a^2+b^2=c^2のときに確かに三角形ABCが直角三角形だが、a=bかつa^2+b^2≠c^2の場合があるのでアウト
p←q、三角形ABCが直角三角形だからa^2+b^2=c^2,a^2+c^2=b^2,b^2+c^2=a^2の三通りが考えられますが、pはa^2+b^2=c^2の場合だけ成り立つのでアウト
これはなんでもない

p→qが成り立つか、p←qが成り立つか、を順に判定していけばいいと思います。


11777.Re: 立て続けにごめんなさい。
名前:Red cat    日付:12月1日(月) 10時47分
私からは
>必要条件、十分条件、の見分け方
を。
p → q
という状況を考えます。

このとき q が成り立つためには p が成り立てば「十分」という意味で、p のことを「(q が成り立つための)十分条件」と言います。

一方、p が成り立つためには、q が成り立つだけでは不十分です。しかし、q が成り立たなければ p も成り立ちません。なぜなら
p → q

¬q → ¬p
は同じだからです(¬p は「p でない」の意味です)。
その意味で、p が成り立つためには q が成り立つことが「必要」という意味で、q のことを「(p が成り立つための)必要条件」と言います。

「必要」か「十分」か言葉に迷ったときは、これを思い出してみてください。

http://redcat.web.infoseek.co.jp/


11781. 立て続けにごめんなさい。
名前:ここあ    日付:12月1日(月) 15時1分
どうもありがとうございました!!!
しっかり覚えて次回からはできるようにしたいです。

11771.命題  
名前:ここあ 高1    日付:11月30日(日) 22時8分
またお願いします!!
xは実数とし、次の命題の逆をのべ、真偽を調べよ。
x≠2⇒x^2-3x+2≠0


この問題がわかりません。

逆はx^2-3x+2≠0⇒x≠2というのはわかったのですが、
答えが真になる理由がわかりません。
反例をおしえていただけませんか?
よろしくお願いします



11774.Re: 命題
名前:Bob    日付:11月30日(日) 22時48分
逆はx^2-3x+2≠0⇒x≠2
もしx=2だったらx^2−3x+2=0となりますね
だからx^2−3x+2≠0ならばx=2になるわけがないつまり
 x≠2だから真

判例とは答えが偽となるときに偽にしてしまうもののこと。
真のときはない


11780.命題
名前:ここあ    日付:12月1日(月) 14時57分
どうもありがとうございました!
助かりました。

11757.簡単な問題なんですが  
名前:さる☆    日付:11月30日(日) 18時13分
x^2+x+1 /x^2+1と,x^3/x^2+4を積分したいので,分子の次数を分母の次数低くしたいのですが,やり方がわかりません。わかる方よろしくお願いします(m>◇<m)



11760.Re: 簡単な問題なんですが
名前:知也    日付:11月30日(日) 18時56分
整式の割り算はわかる?(x^2+x+1)=(x^2+1)+xより(x^2+x+1)/(x^2+1)=1+x/(x^2+1) x^3=x(x^2+4)-4x からx^3/(x^2+4)=x-4x/(x^2+4)


11761.Re: 簡単な問題なんですが
名前:知也    日付:11月30日(日) 18時58分
まあ答えはx+1/2log(x^2+1)+C と1/2x^2-2log(x^2+4)


11762.Re: 簡単な問題なんですが
名前:知也    日付:11月30日(日) 18時59分
ごめんなさい後者のほう積分定数Cを忘れた。


11765.Re: 簡単な問題なんですが
名前:さる☆    日付:11月30日(日) 19時35分
返信ありがとうございます!
整式のわり算はわかります☆けど,x^2+x+1=(x^2+1)+xになるのもわかりますが,なぜそこからx^2+x+1/(x^2+1)=1+x/(x^2+1)になるんですか?なるのなら[x/x^2+1]+1じゃないんですか?それと,そこからx^3の式への導き方や,x^3/x^2+4=x+4xにしてからの積分の方法がつかめません(´へ`)もう少しだけ,砕いて教えていただけませんか?


11767.Re: 簡単な問題なんですが
名前:知也    日付:11月30日(日) 21時13分
それは括弧の位置が違うよ…それとx^3の式の導き方というのがわかりませんというのは?整式の割り算がわかるならx^3/(x^2+4)=x-4x/(x^2+4) はわかるよね?xは普通に積分できるし。4x/(x^2+4) でx^2+4=tとおいて置換積分してみてください。なれれば頭の中で置換積分なんてしなくていいんだけど。∫f'(x)/f(x)dx=log|f(x)|+C f(x)=x^2+4 f'(x)=2xとすれば暗算です。まあ慣れればだけど


11768.Re: 簡単な問題なんですが
名前:知也    日付:11月30日(日) 21時17分
7=3*2+1ですね。では両辺を2で割って、7/2=3+1/2になりますよね。x^2+1≠0 だしx^2+4≠0ですから


11775.Re: 簡単な問題なんですが
名前:さる☆    日付:11月30日(日) 23時50分
なるほど*:☆:*:.゚.:(∀`):☆:*:.゚.:*わかりやすくありがとうごさいましたm(->_<-)m

11755.教えてください。  
名前:ここあ     日付:11月30日(日) 17時59分
期待値で分からない問題があるので教えてください。

Tシュートの成功率が2/3である選手がいる。この選手が4回シュートし たとき、シュートが成功する回数の期待値を求めよ。

U3枚の硬貨を同時に投げて、表が3枚出たときは80点、2枚出たときは
 40点、1枚以下の時は0点を得点として与えるゲームがある。このゲ ームの得点の期待値を求めよ。

よろしくお願いします!!!高校1年生



11758.Re: 教えてください。
名前:あいこ(高1)    日付:11月30日(日) 18時53分
Tについて回答させていただきます。理解しずらかったらすみません。

>
> Tシュートの成功率が2/3である選手がいる。この選手が4回シュートし たとき、シュートが成功する回数の期待値を求めよ。

シュートが成功する回数は、1回、2回、3回、4回の場合があるのは分かりますか?とりあえず、進めていきますね。

成功するシュートの回数をXとすると、X=1,2,3,4である。
また、この選手の失敗する確率は、1/3である。
そうすると、
  X=1になる確率
     4C1(2/3)(1/3)^3=8/81
  X=2になる確立
     4C2(2/3)^2(1/3)^2=24/81
  X=3になる確立
     4C3(2/3)^3(1/3)=32/81
  X=4になる確立
     4C4(2/3)^4=16/81
よって、
  1×8/81+2×24/81+3×32/81+4×16/81=216/81=2.66……
                        ≒2.7
ゆえに 2.7回
最後の四捨五入はおまかせします。 
     


11759.Re: 教えてください。
名前:あいこ(高1)    日付:11月30日(日) 18時56分
すみません確率の”率”が”立”になってました^^;訂正します。


11769.Re: 教えてください。
名前:Bob    日付:11月30日(日) 21時22分
U まず硬貨の出方は(お,お,お)(お,お,う)
          (お,う,お)(お,う,う)
          (う,う,う)(う,う,お)
          (う,お,う)(う,お、お)
        8通り
表3枚1/8
表2枚3/8
表1枚以下4/8
期待値は
(1/8)・80+(3/8)・40+(4/8)・0
=10+15+0=25
25点


11770. 教えてください。
名前:ここあ    日付:11月30日(日) 22時3分
あいこさん、Bobさん、どうもありがとうございました!!!
よくわかりました!

11748.過去の試験問題 (範囲は数学1)  
名前:まきまき 28歳    日付:11月30日(日) 11時36分
受験する学校から直接過去の試験問題を送ってもらったため解答がありません。どうかよろしくお願いします。

問題1 2次方程式 AX^2+2(A−1)X−2A+1=0 のひとつの解が X=−1である。Aの値と2次方程式の他の解を求めよ。

このとき、Aは、そのままX=―1を式に代入して得られる値でよいのでしょうか?これではあまりにも簡単すぎるな…と思い質問させていただきました。

次の問題は図があるのですが、申し訳ありません。図をかけないのです。
問題の内容以外に角度など特別得られる情報はなさそうなのですが…答えていただけますでしょうか?

問題2 円Oの直径PQのQをこえた延長上にPQに等しくQRをとり、Rから円Oにひとつの接線をひき、その接点をTとする。PQ=1のとき、RTの長さと、三角形PTRの面積を求めよ。

図に書いてある数字はPQ=QR=1ということだけで、角度を示す言葉も記号もなく、問題のままの図です。

どうかよろしくお願いします。 



11749.Re: 過去の試験問題 (範囲は数学1)
名前:えいぶ    日付:11月30日(日) 14時18分
問題1
それで結構です。

問題2
RTOが直角なのでRO=3/2,TO=1/2であることに気を付ければピタゴラスの定理をそのまま適用できます。


11750.Re: 過去の試験問題 (範囲は数学1)
名前:    日付:11月30日(日) 14時24分
> 問題1 2次方程式 AX^2+2(A−1)X−2A+1=0 のひとつの解が X=−1である。Aの値と2次方程式の他の解を求めよ。
このとき、Aは、そのままX=―1を式に代入して得られる値でよいのでしょうか?これではあまりにも簡単すぎるな…と思い質問させていただきました。

AX^2+2(A−1)X−2A+1・・・@とする。

自分はいいと思います。もしくは、高校生風に解くのであれば、
AX^2+2(A−1)X−2A+1=0の1つの解が−1なので、
AX^2+2(A−1)X−2A+1=0は
A(X+1)(X−k)=0と因数分解できる。
A(X+1)(X−k)=A(X^2−(k−1)X−k)
=AX^2−AX(k−1)−Ak
=AX^2+X(A−Ak)−Ak…A
@、Aを係数比較すると、A=1
これをAX^2+2(A−1)X−2A+1=0に代入すると、X^2−1=0
よって、X=±1、他の解は1です。


11751.Re: 過去の試験問題 (範囲は数学1)
名前:    日付:11月30日(日) 15時22分
Original Size: 502 x 502, 14KB

2番目のほうです。
三角比を使って面積は求めればよいと思います。
例えば、△ABCの面積=1/2×AB×BC×sinBで求めれます。

図より、三平方の定理より、
RT^2=OR^2−OT^2
    =(3/2)^2−(1/2)^2=2
よって、RT=√2

また、△PTR=1/2×PR×TR×sinR
       =1/2×2×√2×sinR…@
ここで、sinR=OT/OR=1/3A

@、Aより、△PTR=1/2×2×√2×1/3=√2/3

以上です。間違ってたらすみません。



11753.Re: 過去の試験問題 (範囲は数学1)
名前:まきまき 28歳    日付:11月30日(日) 16時57分
とっても判りやすかったです。本当にありがとうございました。
助かりました。

11746.独立し確率  
名前:あいこ(高1)    日付:11月30日(日) 10時37分
A,Bの二人がじゃんけんをして、続けて2回勝った方を勝者とする。4回以下の勝負でAが勝者になる確率を求めよ。



11747.独立試行の確率
名前:あいこ(高1)    日付:11月30日(日) 10時49分
こんにちは、あいこです。手違いで、#11746を誤って載せてしまいました。ごめんなさい。#11746の続きですが…
> A,Bの二人がじゃんけんをして、続けて2回勝った方を勝者とする。4回以下の勝負でAが勝者になる確率を求めよ。
という問題のですが、解答を見ると2回、3回、4回で勝負が決まる場合に分けていました。そして
 2回で決まるのは、AA のときで確率は (1/3)^2
 3回で決まるのは、BAA、△AAのときで
       確率はいずれも (1/3)^3
 4回で決まるのは・・・・・・
      
    ・・・と(まだ解答は続くのですが)書いてありました。
ここで質問ですが2回で決まるときの確立と、3回で決まるときの確立はなぜ上記のようになるのでしょうか?回答お願いします。


11752.Re: 独立し確率
名前:Bob    日付:11月30日(日) 16時8分
Aが2連勝する=AA   おわり
      BAA    終わり
      △AA    終わり
      △△AAなど
いろいろありますが
2回目で決まるとき1回目の勝ちのときだすじゃんけんはグーチョキパーのどれか1/3。2回目もそのどれか1/3
これは1回目2回目独立(1回目に何出そうが2回目に影響を受けない)なので
(1/3)・(1/3)=(1/3)^2

3回目で決まるときですがこれも△(引き分け)はあいこなので相手と同じ物を出す=3通りのどれか=1/3。
1回目Bが勝つ=Aが負け=3種類のどれかをだして負ける=1/3
だから(1/3)・(1/3)・(1/3)=(1/3)^3

またわからなかったらレスしてください。
       


11754.Re: 独立し確率
名前:あいこ(高1)    日付:11月30日(日) 17時43分
Bobさん、回答ありがとうございます。例えば、
◎AさんとBさんが、1回じゃんけんをした時の場合
Aさんが、じゃんけんに負けた時も、勝った時も、あいこの時も、それぞれの確率は1/3なんですねね


11756.Re: 独立し確率
名前:Bob    日付:11月30日(日) 18時2分
(A,B)=(グ,グ)(グ,チ)(グ,パ)
      (チ,グ)(チ,チ)(チ,パ)
      (パ,グ)(パ,チ)(パ,パ)
の9通りのうちA勝ち→(グ,チ)(チ,パ)(パ,グ)
       あいこ→(グ,グ)(チ,チ)(パ,パ)
       B勝ち→(グ,パ)(チ,グ)(パ,チ)
いづれも3/9=1/3


11763.Re: 独立試行の確率
名前:あいこ(高1)    日付:11月30日(日) 19時0分
なるほど。実際に求めてみると、よく分かりますね。分かりやすく教えていただき、どうもありがとうございました。

11740.数学の小手ワザについて・・・  
名前:ジャグラ 高3    日付:11月30日(日) 0時4分
こんばんわ、あと50日余りでセンター試験を迎えるのですが、
スピードが必要なのでテクニックや、色々な方向から解答に導く方法を
教えていただけませんか・・・?
私なりにどうしても数列の和の一般式が求めがたい場合に積分法で求めよう
かなとか・・・。ΣSn=An・Bn・Cn 等をAn,Bn,Cnの一般式の対数を取り
和を導くことなどなど・・・。ただその場合はlogX=k等の条件が与えられて
いないと無理でしょうか・・・・。

あと毎回計算して思うのですが、三角のすべての辺が分かっていて
三角形の3つの頂点を通る外接円の半径Rを求めよとかの問題で、
辺の長さが20,21,27等の大きい数字でありますと、方法はわかるが
計算するのに時間がかかってしまい悲しくなります。
なにか良い方はないでしょうか・・・・。

♯数列に関しては積分法を用いるほどの難解な一般項は求められないとは思い
ますが、柔軟な発想でセンターにものぞみたいので皆さんアドバイスお願い
します(m__m)



11741.Re: 数学の小手ワザについて・・・
名前:Sar    日付:11月30日(日) 0時34分
コンピュータと確率分布で得点と時間を稼ぐ:-)
平面幾何もありかもしれないです。


11776.Re: 数学の小手ワザについて・・・
名前:ケロ    日付:11月30日(日) 23時55分
大きい数字>1)小学校での計算問題に比べたら楽だと思う。
2)計算の工夫をする。
cosθ=(20^2+27^2-21^2)/(2*20*27)= (20^2+(27+21)(27-21))/(2*20*27)
= (20^2)/(2*20*27)+(48*6)/(2*20*27)=10/27+4/15=…。
などとすると約分が出来ます。
3)薄く小さい字ではなく、なるべく大きな字で計算する習慣を付ける(自戒)。一文字で計算用紙がいっぱいになるのは大き過ぎだな。
4)この掲示板の仲間の元気玉をもらう。
5)自分で解けた問題でも、自分はこう解いたけど、ほかにいい方法ありますかとかの質問もいいのでは。
答える側も、すでに解法が出ていても、俺ならこうするとかあれば、どんどんレスしたほうがいいかもしれません。
質問した人にとって、自分に合った解法が見つけられますから。
がんばってください。

11739.(untitled)  
名前:IGA(中三)    日付:11月29日(土) 23時11分
Original Size: 925 x 443, 21KB

bは定数である。

x軸が△PQRの面積を二等分するときのbの値を求めよ。

b<0のときは成り立ちませんね。

答えでは
0≦b≦3/2のとき
なりたたない。
b>3/2のとき成り立つみたいです。

3/2とはいったいどこからでてくるのでしょうか?
(゚ロ゚;)エェッ!?ってかんじです。
よろしくお願いします。

※放物線がいびつなのはお許しください。



11744.Re: (untitled)
名前:高橋道広    日付:11月30日(日) 9時38分
y=4/2x-2とx軸の交点をSとすると S(3/2,0)となりますよね。
y=-x+bがこの点を通るときに b=3/2になります。

b<3/2のときには 三角形PQRのx軸より上部が三角形になって
下部は四角形になっています。
b>3/2の時は 三角形PQRのx軸より上部が四角形になって
下部は三角形になっています。
ということは面積を求めるときに b<3/2 と b>3/2に分けて
考えなくてはいけないということですね。
そして b<3/2の時には
四角形ORQS>三角形ORS>三角形OPS  (OR=2>3/2>b=OPから)
となり面積が等しいときはありません。
だから b>3/2として考えてよい

つまり三角形PQRのx軸より上部が四角形になって
下部は三角形として考えていくわけです。

 


11791.Re: (untitled)
名前:IGA(中三)    日付:12月2日(火) 0時26分
お久しぶりです。高橋さん。
ありがとうございます!わかりやすかったです!!

11736.だれかわかりますか??  
名前:たか    日付:11月29日(土) 19時59分
質点が(ベクトル)r=(t,t^2/2,t^3/3)の軌道を描いて運動しているとき、次のものを求めよ。

1.速度v(ベクトル)と加速度a(ベクトル)
2.t=1のときの速度と加速度の大きさ
3.t=1のときの加速度の接線成分と法線成分



11745.Re: だれかわかりますか??
名前:花パジャ    日付:11月30日(日) 10時8分
r(t)=(x(t),y(t),z(t))で、tに関する1階微分を「'」2階微分を「"」とすると
1.
v(t)=(x'(t),y'(t),z'(t))
a(t)=(x"(t),y"(t),z"(t))
2.
ベクトルの大きさはわかりますよね、省略します
3.
軌道に対する接線、法線ですよね?
軌道に対する接線方向 = 速度ベクトルの方向
なので、t=1での法線成分をpとすると
a(1)=kv(1)+p
と置ける
v(1)との内積を求めると
pv(1)=0
であり、kが求まる(以下略)

11735.(untitled)  
名前:たか    日付:11月29日(土) 19時50分
線素ってなんですかね〜??(**)

11734.ベクトル  
名前:takashi    日付:11月29日(土) 19時49分
曲線の長さの問題なのですが。

曲線r=r(t)のt=aからt=bまでの曲線の長さを求める。
無限にn分割された弧長を儡iとします。

L=lim(n→∞)Σ(i=1,n)儡i  

儡=|决|=|r(t+冲)-r(t)|

*rはベクトルです。

L=lim(n→∞)Σ(i=1,n)(儡i/冲)*冲=∫(a,b) (ds/dt)*dt

上の式の意味がさっぱり分からないのですが、どなたか解説してもらえないでしょうか??・・・

11731.教えてください  
名前:yonyon(中V)    日付:11月29日(土) 18時17分
y=x^2+ax+4の放物線があります。ただしaは定数とする。
(1)y軸の正の向きに1だけ平行移動した放物線の方程式を求めよ
(2)(1)の放物線がy=1に接するとき、aの値を求めよ

僕にはどうしてもできません。どうか宜しくお願いします。



11732.Re: 教えてください
名前:Bob    日付:11月29日(土) 18時53分
(1)y軸の正の向きに1だけ平行移動した=グラフがすべて上に1上がる。
y=x^2+ax+4の放物線のy軸との交点は(0,4)ですよね?
  これを平行移動すると(0,5)をとおるので
y=x^2+ax+5となる。
(2)y=x^2+ax+5がy=1に接する.→頂点のy座標が1
   平方完成します。
   y=x^2+ax+(a^2/4)−(a^2/4)+5
    =(x+a/2)^2+5−(a^2/4)
  頂点は(−a/2,5−(a^2/4))
よって5−(a^2/4)=1
   20−a^2=4
   a^2=16
     a=±4


11733.Re: 教えてください
名前:()()()    日付:11月29日(土) 18時56分
y軸の正の向きに1だけ平行移動したんだから
y=x^2+ax+4より1大きいんだから
y=x^2+ax+4+1つまり
y=x^2+ax+5

y=x^2+ax+5=(x^2+ax+a^2/4)-a2^/4+5=(x+a/2)^2+5-a^2/4
この変形は高校ではよく使うんですが
まだあまりやったことがないと思うので説明しておきます
xの係数に注目して(x+□)^という形をつくります
そして等式が成り立つように定数項で調整します

(x+a/2)^2+5-a^/4を見ると頂点のy座標が5-a^2/4
これが1のときに(1)の放物線がy=1に接します だからa=±4


11737.Re: 教えてください
名前:yonyon(中V)    日付:11月29日(土) 21時0分
有難うございましたm(_ _)m

11730.だれかわかりますか??  
名前:takashi    日付:11月29日(土) 16時55分
ベクトル解析が苦手で、こんなん必要なのかなと思っている今日この頃・・・

∇×(∇φ)=0  を証明してほしいのですが・・・



11742.Re: だれかわかりますか??
名前:Red cat    日付:11月30日(日) 1時35分
Size: 23KB

こんな感じで。(PDF file, 30.1 KB)
#解凍して Adobe Reader 等でご覧ください。

http://redcat.web.infoseek.co.jp/



11743.Red cat さんへ
名前:MOST    日付:11月30日(日) 5時45分
http://www.alpha-net.ne.jp/users2/eijitkn/
の掲示板で解決したみたいですよ。
# って、手遅れですが。

11724.お願いします。  
名前:IGA(中三)    日付:11月28日(金) 23時54分
Original Size: 925 x 443, 14KB

図のように、てんP(−2,1)をとおる放物線・・・と一辺の長さが2の正方形ABCDがあります。辺AB、BCはそれぞれy軸、x軸と並行で辺CDの中点Mは放物線上にあります。

問い
正方形ABCDの対角線の交点が放物線上にあるとき、辺ABと放物線との交点の座標を求めなさい。

まったくわからなかったので、解答を見ました!正方形ABCDの対角線の交点をNとすると、M,Nがともに放物線上にあるときMNの中点はy軸じょうにある とあるのですが、なぜこのようになるのでしょうか?
お願いします!

※図の形がいびつなのはお許しを。



11727.Re: お願いします。
名前:ヨッシー    日付:11月29日(土) 9時34分
MNは、x軸に平行で、この両方を放物線が通るので、
放物線の対称性から、そういうことになります。
 
http://yosshy.sansu.org/


11729.Re: お願いします。
名前:IGA(中三)    日付:11月29日(土) 12時26分
なるほど!わかりました!(結構大きい正方形になるな・・・)
今後ともよろしくお願いします!

11723.さすがです。  
名前:    日付:11月28日(金) 23時4分
なんとも簡潔明快な解答ありがとうございました。
何とか比などを使って解こうとしたのですが、
間違ってしまったようです。
ありがとうございました。今後ともよろしくお願いいたします。

11720.質問です。  
名前:    日付:11月28日(金) 21時19分
Original Size: 512 x 384, 13KB

半径12cmの半円があり、これに接するように半径6cmの円がある。さらに、半径12cmの半円と半径6cmの円に接するように半径rcmの円がある。このとき、rの値を求めよ。

この問題なのですが、一応解いてみたのですが、合っているかわかりません、また、他の方の解答も拝見したいので、よろしくお願いいたします。
ちなみに私の答えはr=2になりました。



11721.Re: 質問です。
名前:    日付:11月28日(金) 21時21分
Original Size: 512 x 384, 11KB

すみません、半円といいながら半円になっていませんでした。
正しくはこちらです。

半径12cmの半円があり、これに接するように半径6cmの円がある。さらに、半径12cmの半円と半径6cmの円に接するように半径rcmの円がある。このとき、rの値を求めよ。

この問題なのですが、一応解いてみたのですが、合っているかわかりません、また、他の方の解答も拝見したいので、よろしくお願いいたします。
ちなみに私の答えはr=2になりました。



11722.Re: 質問です。
名前:ヨッシー    日付:11月28日(金) 23時0分
私のページの「ご質問に答えるコーナー」に解答を載せました。

残念ながら r=2 ではありません。
 
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11718.条件を満たす関数の例  
名前:たくや    日付:11月28日(金) 20時8分
次の問題についてです。
R^2上の関数f(x,y)で次の条件(@),(A),(B)をみたす関数の例を各々1つずつ与えよ。
(@)fは点(0,0)で不連続で,その他の点で連続である。
(A)fは無限集合D_1の各点で連続かつ無限集合D_2の各点で不連続であ   る。
(B)fはR^2の各点で不連続である。
それぞれ次のように考えてみました。
(@)f(x,y)=1/(x^2+y^2)
(A)f(x,y)=1/(x−y)
(B)f(x,y)=1((x,y)が有理点のとき)
          0((x,y)が有理点でないとき)
これで正しいでしょうか? よろしくお願いします。



11719.Re: 条件を満たす関数の例
名前:たくや    日付:11月28日(金) 20時13分
(A)はD_1∪D_2=R^2です。 よろしくお願いします。


11725.Re: 条件を満たす関数の例
名前:ast    日付:11月29日(土) 2時21分
ローマ数字は機種依存文字です. 使用は控えてほしいです.

(i), (ii) は f が定義されない点が存在するので論外です.
# 定義されない点があれば, それは R^2 上の関数ではありません.

(iii) はよさそうですね.


11728.Re: 条件を満たす関数の例
名前:たくや    日付:11月29日(土) 10時24分
(1)f(x,y)=1/(x^2+y^2) ((x,y)≠(0,0))
          0          ((x,y)=(0,0))
(2)f(x,y)=1/(x−y) (x≠y)
          0       (x=y)
とすればOKでしょうか? 

11714.指数の計算  
名前:困ったチャン    日付:11月28日(金) 16時8分
初めまして、指数の計算をど忘れしたので、教えていただけると幸いです。

「X−K*e^X+K = 0」

の解法を教えてください。
K は定数です。



11715.Re: 指数の計算
名前:ヨッシー    日付:11月28日(金) 17時45分
X=0 は、1つの解ではありますね。
あと、K>0 かつ K≠1 のときは、もう1つ解がありそうです。
 
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11716.Re: 指数の計算
名前:高橋道広    日付:11月28日(金) 19時19分
K=0のときX=0
K<>0のとき 
 x=0という解はkが任意の数のときである
 x<>0という解を持つときを調べる
1/K=(e^x-1)/xと変形し
y=(e^x-1)/xのグラフと y=1/kのグラフの交点を求める。

f(x)=(e^x-1)/xとするとf'(x)=(e^x(x-1)+1)/x^2
g(x)=e^x(x-1)+1とおくとg'(x)=xe^x
よりg(x)はx=0のとき最小値0となる。
よってf'(x)>=0となり f(x)は単調増加
lim(x→-∞)f(x)=0 lim(x→∞)f(x)=∞
となるので K>0の時はただひとつの解を持つ 
以上から 
K<=0のとき ただひとつ x=0という解を持ち
k>0のとき x=0ともうひとつの解を持つ

実は f(x)=(e^x-1)/xは y=e^x上の2点(0,1)と(x,e^x)を結ぶ直線の
傾きであるから傾きは1/K k>0となるものはただひとつ存在することが
わかるのです。


11717.Re: 指数の計算
名前:高橋道広    日付:11月28日(金) 19時24分
訂正
そうそう f(x)=(e^x-1)/xは x=0のところが抜けてますから
点(0,1)がありません。
k=1の時は解がありません。
だから ヨッシーさんのおっしゃるとおり 
0<K<1 1<Kの時 解2個
K<=0 k=1の時 解1個となりますね。(^。^)

失礼しました〜(^_^;)

11707.確率です・・・  
名前:ミルク 中3    日付:11月27日(木) 22時48分
「サイコロをn回投げる時、最大値が5最小値が2の確率を求めなさい」

この問題を教えてください。おねがいします。

「最大値が5」という条件だけなら最大値が5以下になる確率から最大値が4以下になる確率を引けば出ると思うのですが・・・
最小値の条件も加わると出来ません・・



11708.Re: 確率です・・・
名前:()()()    日付:11月27日(木) 23時5分
2〜5だけが出る確率は(4/6)のn乗
このうち5が出ない確率は(3/6)のn乗
5がでて2がでない確率は (3/6)のn乗-(2/6)のn乗
よって求める確率は
(2/3)のn乗-(1/2)のn乗-(1/2)のn乗+(1/3)のn乗

解説
最大値が5で最小値が2ということは
2〜5だけがでるものから少なくとも2または5どちらか一方がでないもの
を除いたものである
5が出るときと出ないときでわけ
2〜5だけがでるものから少なくとも2または5どちらか一方がでないもの
を求める


11709.Re: 確率です・・・
名前:ミルク 中3    日付:11月27日(木) 23時10分
どうもありがとうございます。

(3/6)のn乗-(2/6)のn乗で

-(2/6)のn乗をするのはなぜですか?


11711.Re: 確率です・・・
名前:()()()    日付:11月27日(木) 23時16分
5がでて2がでない確率は (3/6)のn乗-(2/6)のn乗

3から5が出る確率が(3/6)のn乗
3から4が出る確率が(2/6)のn乗

5がでるという条件を満たすには「5が出ない確率」を引かなくてはいけないということです

11703.PASCL  
名前:大ちゃん    日付:11月27日(木) 20時27分
PASCALのプログラミングできます?



11704.Re: PASCL
名前:ヨッシー    日付:11月27日(木) 20時45分
私はやったことありません。
 
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11699.連立方程式の応用  
名前:アッキー    日付:11月27日(木) 17時58分
問:ある列車が、840mの鉄橋を渡り始めてから渡り終わるまでに50秒かかり、2240mのトンネルに入り始めてから出てしまうまでに2分かかった。この列車の長さと速さを求めなさい。
と、いう問題なんですけどどうやってといていいのか分かりません。忙しいところ申し訳ありませんが、教えてください。



11700.Re: 連立方程式の応用
名前:ヨッシー    日付:11月27日(木) 18時50分
こちらなどに、方程式による応用問題の解き方の手順がありますが、
これによると、
(1) 何をx、yとおくか?
 「長さと速さを求めなさい。」とあるので、列車の長さをxm、速さを分速ym と
おいてみます。
(2) 式を立てる
 列車の長さ+840mの距離を50秒=5/6分
 列車の長さ+2240mの距離を2分
それぞれかかるので、
 x+840=5y/6
 x+2240=2y
あとはこれを解くだけです。
 
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11701.Re: 連立方程式の応用
名前:ヨッシー    日付:11月27日(木) 18時58分
あ、秒速をymとおいた方が良いかも。

ちなみに、算数では、こんな図を描いて求めます。


 
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11697.等比数列の和  
名前:メグ(17歳)    日付:11月27日(木) 17時1分
(問題)
初項a,公比rの等比数列の初項から第n項までの和をSnとするときS10=21、S15=37のとき、S5を求めなさい。

S5をxとおいて
(省略)
16x=441−42x+x^2
x^2−58x+441=0
(x−9)(x−49)=0
x=9,49
ここから先が解りません。
S5=9、49とふたつ答えがある分けないですよね?
教えて下さい。よろしくお願いします。



11702.Re: 等比数列の和
名前:ヨッシー    日付:11月27日(木) 19時23分
答えは2つですよ。もとの数列を an として、
a1+a2+a3+a4+a5 = b1
a6+a7+a8+a9+a10 = b2
a11+a12+a13+a14+a15 = b3
とおくと、b1, b2, b3 は公比r5 の等比数列になります。
S5 = b1, S10 = b1+b2, S15 = b1+b2+b3 = S10+b3
となるのですが、
S5=9 だと、b1=9, b2=12, b3=16 と 公比 4/3 の等比数列になりますし、
S5=49 だと、b1=49, b2=-28, b3=16 と 公比 -4/7 の等比数列になります。
もとの数列でいうと、それぞれ r=(4/3)1/5, r=-(4/7)1/5 となります。
a は複雑になりますが、S5/(1+r+r2+r3+r4) という形で存在します。
 
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11693.じゃんけんの確率  
名前:仮面浪人(高校3)    日付:11月27日(木) 12時56分
「4人でじゃんけんをするとき1人だけ勝つ確率を求めよ」という問題では解答は「3/1×3×4=27/4」となっており、(勝ち・あいこ・負け)×(グー・チョキ・パーのどれをだすか)×(4人のうち誰か)で答えがでています。しかし「2人がじゃんけんしてどちらかが2連勝したら終わりにする。4回目で終わる確率をもとめよ」という問題では、解答は「2×5×3/1×3/1×3/1×3/1=81/10」で(2人のうちどちらか)×(勝ちのパターン)×(勝ち・あいこ・負け)となっています。最初の問題ではグー・チョキ・パーのどれをだすか考えたのに、なぜ後者では関係ないのでしょうか?2つの問題の違いがわかりません。



11696.Re: じゃんけんの確率
名前:ヨッシー    日付:11月27日(木) 14時26分
確率は、(ある事象の起こる場合の数)÷(すべての場合の数)
が基本ですが、
これを考えるときに、同様に起こりうるものは省略する考え方があります。

例えば、サイコロを2個振って、和が偶数になる確率 の場合、
 すべての場合は 6×6=36
 このうち偶数は 18通り で、確率は、18÷36=1/2
ところが、サイコロAの目が1のとき、サイコロBの目の出方は6通り。
このうち和が偶数になるのは、Bが1,3,5の3通り。
サイコロAが2,3,4,5,6の場合も同様になるので、求める確率は、
 3÷6=1/2

4人でじゃんけんのときは
すべての出し方は 34=81通り
このうち 勝つ人を選ぶのが4通り、その人が何を出すかは3通り。
ここまで決まれば、残りの3人は、それに負ける手を出すので、1通り。
よって、誰か1人が勝つのは、4×3=12通り で、確率は
 12÷81=4/27
とやっても良いし、
A,B,C,DのうちAがグーを出すと決めると
B,C,Dの出し方は33=27通り、
このうちAが勝つのはB、C、Dがともにチョキを出した1通り。
Bが勝つのはBがパーで、C,Dがグーの1通り。Cが勝つのとDが勝つのも
それぞれ1通りずつあって、誰か1人が勝つのは4通り。確率は、
 4÷27=4/27 通り
とすることも出来ます。

後半の問題は、
1回の勝負につき、勝ちか負けかあいこはそれぞれ1/3ずつ
(これをグー・チョキ・パーの出し方は、2人で32=9通り
このうち勝つのは、グーで勝つ、チョキで勝つ、パーで勝つの3通りで、
確率は、1/3 としても良いですが、ある程度知られたことなので、省略しています)
4回までの勝負のパターンは、34=81通り
(これには、2回目、3回目で勝負がつく場合も含みます)
このうち、4回目で勝負がつくのは、
○×○○、○△○○、△×○○、△△○○、×△○○
および、○と×を入れかえた、合計10通りで、確率は、
 10÷81=10/81
 
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11692.じゃんけんの確率  
名前:仮面浪人    日付:11月27日(木) 12時54分
「4人でじゃんけんをするとき1人だけ勝つ確率を求めよ」という問題では解答は「3/1×3×4=27/4」となっており、(勝ち・あいこ・負け)×(グー・チョキ・パーのどれをだすか)×(4人のうち誰か)で答えがでています。しかし「2人がじゃんけんしてどちらかが2連勝したら終わりにする。4回目で終わる確率をもとめよ」という問題では、解答は「2×5×3/1×3/1×3/1×3/1=81/10」で(2人のうちどちらか)×(勝ちのパターン)×(勝ち・あいこ・負け)となっています。最初の問題ではグー・チョキ・パーのどれをだすか考えたのに、なぜ後者では関係ないのでしょうか?2つの問題の違いがわかりません。



11694.Re: じゃんけんの確率
名前:我疑う故に存在する我    日付:11月27日(木) 13時54分
そもそも確率が1より大きくなるのがおかしい。


11710.Re: じゃんけんの確率
名前:()()()    日付:11月27日(木) 23時11分
3/1というのは3分の1のことでしょうか
もしそうなら1/3です
それに
3/1×3×4=27/4というのもおかしいです
聞きたいことが分かりにくいので
もう一度書き込みをやり直してもらえますか?

11691.確率の問題(至急お願いします)  
名前:kazu(高1)    日付:11月27日(木) 11時11分
解答をみても、途中の過程が省略されていてイマイチ理解できません。お手数ですが教えていただけませんか?よろしくお願いします。

問 正方形が横に7個に並んでいる。これらすべての正方形をそれぞれ白または黒に塗る。
@異なる塗り方は何通りあるか
A黒が5個以上連続する塗り方は何通りあるか
B黒が4個連続する部分があって5個以上連続しない塗り方は何通りあるか
C黒が3個連続する部分があって4個以上連続しない塗り方は何通りあるか
D黒が2個連続する部分があって3個以上連続しない塗り方は何通りあるか
E黒が2個以上連続しない塗り方は何通りあるか



11695.Re: 確率の問題(至急お願いします)
名前:ヨッシー    日付:11月27日(木) 14時0分
(1) 1つの正方形の塗り方は2通り(白か黒)で、それが7枚あるので、
 27=128 通り
(2)
■■■■■■■
□■■■■■■
■■■■■■□
■■■■■□× ×には■、□が任意に入る → 2通り
□■■■■■□
×□■■■■■ →2通り
の8通り
(3)
■■■■□×× →4通り
□■■■■□× →2通り
×□■■■■□ →2通り
××□■■■■ →4通り
の合計12通り
(4)
■■■□××× →8通り
□■■■□×× →4通り
×□■■■□× →4通り
××□■■■□ →4通り
×××□■■■ →8通り
の28通りですが、■■■□■■■ が ■■■□××× と ×××□■■■ の
両方で数えられているので、
 28−1=27通り

(6)
黒が0枚の場合 →1通り
黒が1枚の場合 →7通り
黒が2枚の場合 →6C2=15通り
黒が3枚の場合 →5C3=10通り
黒が4枚の場合 →4C4=1通り
の34通り。

(5)
(1) の128通りのうち(2)(3)(4)(6)を除いた分なので、
 128−8−12−27−34=47 通り
 
http://yosshy.sansu.org/


11698.Re: 確率の問題(至急お願いします)
名前:kazu(高1)    日付:11月27日(木) 17時12分
本当にすぐ教えていただいて、どうも有難うございます!!私はついさっきまでDのところで頭が混乱してました。こんなにスムーズに解けるなんて感激です!!

11690.Fourier級数なのですが  
名前:みかん    日付:11月27日(木) 10時58分
Fourier変換、Fourier逆変換があまり理解できません。
     
f(t)=A(|t|≦a), 0(|t|>a)
を例にして教えていただけないでしょうか。



11713.Re: Fourier級数なのですが
名前:Red cat    日付:11月28日(金) 10時19分
同一問題が
http://yuki.to/
にありましたので、そちらに回答を付けました。

http://redcat.web.infoseek.co.jp/

11689.複素数  
名前:あ〜く(高3)    日付:11月26日(水) 23時43分
■複素平面において、|z+1/z|≦2の成り立つ部分を図示せよ。

という問題なのですが、式変形では解けるのですが、図形的意味として、上式は何を表しているのか、見当がつきません。

どう考えればよいのでしょうか。宜しくお願いします。

(求める領域は、二つの円内の重ならない部分)



11705.Re: 複素数
名前:ケロ    日付:11月27日(木) 21時20分
zの組み合わせが複雑になればなるほど、元の式の意味はそのままたどるしかないような気がします。
zを実軸を対称軸として移動し、それをzの絶対値で割ったものと元のzとの和が2より小さい。
と言うぐらいしかないのかなあ。函数でもeとxの複雑な組み合わせになれば図形的意味は言葉で表現できないのでは。


11706.Re: 複素数
名前:あ〜く(高3)    日付:11月27日(木) 21時49分
やはりそれくらいですかぁ・・・

三角不等式から大まかな図形的意味を見いだせなかったので、どうもなぁ、と思いまして・・・

有り難うございました。

11685.記号について  
名前:おしえてちょんまげ    日付:11月26日(水) 21時5分
初めてカキコします。
三角形ABCのことを「△ABC」のように書きますよね。
学生の頃、四角形ABCDにも記号があって、(四角形)ABCDのように書いてもよいと習いました。(四角形)の部分は、台形を崩したような四角形の記号が入ります。
ところが、わたしの周りの人は誰一人その記号のことを知りません。
私が間違えているんでしょうか?どなたか教えてください♪



11687.Re: 記号について
名前:arc    日付:11月26日(水) 21時22分
http://simfan.cn1.jp/mathmarks/sub18.htm

平行四辺形は普通に使われますが・・・。


11688.Re: 記号について
名前:ast    日付:11月26日(水) 21時24分
使ってたかどうかはもう忘れましたが, そういう書き方も見たことが
あると思います.
知ってる知らないは, まあ, 方言みたいなもんなので, 間違ってるとか
そういう話ではないと思いますが.

11683.教えてください。  
名前:子連れ狼    日付:11月26日(水) 19時42分
a>1とし、更にp,qを有理数とするとき、p<qが成り立つならば
a^p<a^qがなりたつことを示せ。
全くわからないんでおねがいします。



11686.Re: 教えてください。
名前:ast    日付:11月26日(水) 21時18分
適当に累乗してやって整数乗のときに帰着すればよいと思います.

11682.正多面体  
名前:家持    日付:11月26日(水) 19時8分
正多面体(4・6・8・12.20面体)の体積と表面積と高さの公式を教えてください。
お願いします。



11684.Re: 正多面体
名前:我疑う故に存在する我    日付:11月26日(水) 20時2分
参考書。

一松信、正多面体を解く、東海大学出版会

11673.正弦定理・余弦定理  
名前:あいこ(高1)    日付:11月25日(火) 23時3分
こんばんは。いくつか疑問な点があるので、回答お願い致します。
次の△ABCにおいて、残りの辺と角を求めよ。
(1)a=√3-1, b=2, c=√6
私は余弦定理から
  cosB=1/√2 を導き これより B=45° をだしました。
 そして、
  正弦定理を使い
  2/sin45°= √6/sinC これより sinC=√3/2
   よって C=60°,120° 
 そして、AについてはC=60°のときとC=120°のときに分けて考えて みました。しかし解答は、Cを余弦定理を使って求めているうえ、C=120°で、C= 60°という解が扱われていませんでした。これはどうしてでしょうか?最終的にはB=45° C=120°になります。 



11675.Re: 正弦定理・余弦定理
名前:ヨッシー    日付:11月26日(水) 0時29分
>正弦定理を使い
>  2/sin45°= √6/sinC これより sinC=√3/2
>  よって C=60°,120° 
これは、b=2 ∠B=45°、c=√6 のとき、∠Cの取りうる値は?
という問題ならこれで良いです。実際、図のように△ABCの候補として、
2つ存在します。

ところが、このうちの一方は、a=√3-1 を満たしません。
それが、C=60°の方です。

正弦定理よりも、余弦定理を使った方が良いのは、
三角形のように角度が0<θ<180°の場合、
cos は、角度とcos の値が1対1に対応しますが、
sin は、角度が違っても、sin の値が同じ場合があり、
角度が1つに定まらないことがあり、再吟味が必要になるからです
(sinC=√3/2 →C=60°、120° のように)
 
http://yosshy.sansu.org/


11678.Re: 正弦定理・余弦定理
名前:あいこ(高1)    日付:11月26日(水) 16時32分
ヨッシーさん回答ありがとうございました。c=√6より、cは3辺のなかで最長の辺であるから、その対角にあたるCも三つの角の中で最大でなはければならない。したがって、C=60°ですとこのことを満たさないためC=120°となるんですね。


11680.Re: 正弦定理・余弦定理
名前:ヨッシー    日付:11月26日(水) 18時17分
まぁ、理屈を付ければそうです。
ただ、繰り返しになりますが、余弦定理を使う方がオススメです。
(C=60°について、吟味する必要すらないので)
 
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11681.Re: 正弦定理・余弦定理
名前:あいこ(高1)    日付:11月26日(水) 18時32分
そうですね。こういう場合は余弦定理を使ったほうが失敗しないでね。分かりやすく説明していただきありがとうございました。

11671.幾何  
名前:MOST    日付:11月25日(火) 21時14分
凸多面体Pの辺の長さの和をL, Pを平面で切った切り口の
多角形の辺の長さの和をKとするとき、
K<2L/3 を示せ、という問題なんですが、どう考えたらよいでしょうか?



11712.Re: 幾何
名前:ケロ    日付:11月28日(金) 0時50分
面白い、でもうまく行かない。外接球かな。でもだめだった。結局これ。
凸多面体Pの辺の長さの和Lに対する平面で切った切り口の多角形の辺の長さの最大比は断面以外に頂点が一個しかない場合と考えられます。そのとき、その一個の頂点がその断面に近ければ近いほど、凸多面体Pの辺の長さの和Lは小さくなります。もし、その頂点が断面に張り付いてしまった極限の状況を考えます。
その頂点に多角形の頂点から辺が集まってきます。集まってきた辺の長さの和L’ は、頂点と辺の作る個々の三角形に三角不等式を適用して、K<2L’ と出せます。L=K+L’なので、K<(2/3)L。
今日はこれまで。誤答ならば誤答として参考にしてください。


11726.Re: 幾何
名前:MOST    日付:11月29日(土) 9時8分
私も2/3が最良の評価であることは分かったんですが...
むずかしいですね。


11738.Re: 幾何
名前:ケロ    日付:11月29日(土) 21時2分
上の思考実験を書き直してみます。
先に凸多面体Pを考えるのではなく、断面を先に考えてみました。
辺の長さがKである凸n角形があります。このn角形が切り口となるあらゆる凸多面体を想像します。それらの多面体の中で最も辺の長さの和が小さい多面体が解れば、L/Kの最小値が出ると思うからです。そこで、多角形の外に頂点が一つしかない場合がこの条件を満たすと考えました。もしその頂点以外にもう一つ頂点があるなら、辺の長さの和は確実に増えますから。
n角形の各辺とn角形の外にある頂点とで作られる各三角形を考え、n角形の各辺の長さをk[i]、n角形の各頂点とn角形の外の頂点を結んだ辺の長さをl[i]とおくと、三角不等式から、k[i]< l[i]+ l[i+1]となりますから、Σ[i=1,n](k[i])< 2Σ[i=1,n](l[i])です。Σ[i=1,n](k[i])=K、Σ[i=1,n](l[i])=L-Kをこの不等式に代入すると、3/2<L/K。
ここまで書いてきて、L/Kの最小値を求めるのにこの三角不等式は誤りではないかなと思えてきました。
以前、他の掲示板で相加相乗平均を誤って使ったときと同じ感じ。そのときは中川師匠が完全な形で証明してくれましたが・・・。論理的な思考がすぽっと抜け落ちている感じだけど、それが何なのかよくわかりません。この思考のどこがどう間違っているのか、どなたか説明してもらえないでしょうか。

11666.指数  
名前:モグ    日付:11月25日(火) 12時41分
10^(0.7)のおよその値をできるだけ直観的に知りたいのですが、
何か良い方法はありませんか?



11667.Re: 指数
名前:モグ    日付:11月25日(火) 13時55分
すいません、13^(0.7)に変更させてください。


11669.Re: 指数
名前:Red cat    日付:11月25日(火) 16時29分
http://yuki.to/math2/prybbs.html?mode=res&no=10935
に回答が寄せられています。

http://redcat.web.infoseek.co.jp/

11662.確率  
名前:,あいこ(高1)    日付:11月25日(火) 0時2分
確率の問題です。宜しくお願いします。3個のさいころを投げて出た目をa,b,cとする。積abcが偶数である確率を求めよ。
という問題で、私はまず、
1つが偶数のとき・2つが偶数のとき・3つが偶数のとき というように3つの場合について考えました。しかしその後がなかなか進みません。答えは7/8になるそうです。



11663.Re: 確率
名前:ヨッシー    日付:11月25日(火) 0時46分
「3つとも奇数」である確率をまず出します。
abcが偶数と言うことは、「a,b,c の少なくとも1つは偶数」なので、
「3つとも奇数」の余事象になります。
「3つとも奇数」の確率が 1/8 なので、求める確率は
 1 − 1/8 = 7/8
です。
 
http://yosshy.sansu.org/


11672.Re: 確率
名前:,あいこ(高1)    日付:11月25日(火) 21時39分
ヨッシーさん、回答ありがとうございました。余事象を使って考えるんですね。そのほうがはやいですし、いいですね。

11661.数学を一からやりたい!29歳です  
名前:ゆう    日付:11月24日(月) 23時51分
一からといっても、本当の一からではないのですが。
何からやればいいのか、どういうことをしたらいいのか、ひたすら計算問題をしたらいいのかわからないです。どなたか良い勉強法があればおしえてください。今は、中学の図形問題をやっています。



11664.Re: 数学を一からやりたい!29歳です
名前:ケロ    日付:11月25日(火) 1時10分
数学に関わるきっかけはいろいろありますケロ、平成教育委員会などの算数・数学の問題が面白かったですね。毎日クイズみたいな問題を解こうとしていました。一ヶ月以上考えていて解らなくて忘れてしまった問題もあるような気がします。ずーーーーと大嫌いだった数学がそのうち面白くなって、今では高校の問題が少し解けるようになりました。今なら、ヨッシー師匠のこのHPがリンクしている算数にチャレンジの問題なんかがいいと思います。今は自分はやってないけど。おわり。


11665.Re: 数学を一からやりたい!29歳です
名前:ゆう    日付:11月25日(火) 5時16分
がんばります。ありがとうございます。

11631.微分  
名前:イチゴ(高2)    日付:11月24日(月) 14時48分
こんにちは。この問題で質問があります。宜しくお願いします。

関数f(x)=‐x^3+kx^2-2kx+3が極大値と極小値をともにもつような定数kの値の範囲を求めよ。

解説には、f(x)が極大値と極小値をもつとき、f ’(x)=0は異なる2つの実数解をもつ。とあるのですが、

●「異なる2つの実数解」をもつとはどういうことか分かりません…。
●(x)が極大値と極小値をもつとき、f ’(x)=0は異なる2つの実数解をもつ。といえるのも分かりません…。

宜しくお願いします。



11634.Re: 微分
名前:Bob    日付:11月24日(月) 15時35分
さきほど言ったことと関連するのですが
f’(x)は接線の傾きを表します。
3次関数のグラフを手元に用意してください。(教科書)
おそらくそこにN型(グラフの形)があるはずです。
そうすると一つの山と一つの谷を発見できませんか?
そこの点での接線を引いて傾きを出すと、0になりませんか?
(x軸に平行に接線が引ける)
だからその地点のx座標がc,dとすると
f’(c)=0,f’(d)=0 です。
ただこの0になるx座標は今回の問題ではわかりません。だから
0になることだけはわかっているので
f’(x)=0としてこれを解いて2つの実数解(虚数はこの段階では
でるわけがない)をだすわけです。なぜ「異なる」かというと、さきほどみてもらったグラフの谷と山はちがう位置にありますよね。
つまり異なるx座標なのです。
極大値と極小値とは、その山と谷のy座標のことです。


11638.Re: 微分
名前:イチゴ(高2)    日付:11月24日(月) 16時20分
Bobさん ありがとうございます。
考えてたらこんがらがってきました(><;)
では、
D = 0 ならば重解を持つ
D < 0 ならば実数解を持たない

ときは、なぜ極値がないのですか??

極値がありそうな感じがするのですが…。


11640.Re: 微分
名前:知也    日付:11月24日(月) 16時35分
D<0のときは極値を示すxの値が実数解ではないからです。単調増加です。D=0のときは極大値と極小値のxの値が同じになるので単調増加に見えます。y=x^3のグラフを書いてみてください。でもそれは数Vで習う変曲点の考えが必要かも?


11643.Re: 微分
名前:イチゴ(高2)    日付:11月24日(月) 16時44分
知也 さんありがとうございます。
>数Vで習う変曲点の考えが必要かも?
習っていませんね…。

極値をもたないのは、「f´(x)=0の実数解が1つか、またはない場合である。」と書いてあるのですが、
実数解が1つでも極値があるような気がするのですが…。
この意味を教えて下さい。お願いします…。(><;)


11644.Re: 微分
名前:K.N.G.    日付:11月24日(月) 17時7分
Original Size: 653 x 653, 48KB

極大値…接線の傾きが, 正→ゼロ→負 と変化するところ

極小値…接線の傾きが, 負→ゼロ→正 と変化するところ
を合わせて極値といいます.
つまり, その前後で接線の傾きの正負が入れ替わるところです.

D = 0 のとき, f'(x) = 0 は重解を持つわけですから,
f'(x) = (接線の傾き) = 0 となる x は 1つしかありません.
このようなときのグラフは, 上の図で青色のグラフになります.
接線の傾きに注目すると,
 x < 0 においては, 負
 x = 0 において, ゼロ
 x > 0 においては, 負
となっています.
x = 0 は, パッとみると極値に見えるのですが, その前後で接線の傾きの正負が入れ替わっていないので, 極値ではありません.

D < 0 のとき, f'(x) = 0 は実数解をもたないわですから,
f'(x) = (接線の傾き) = 0 となる x は存在しません.
このようなときのグラフは, 上の図で黒色のグラフになります.
接線の傾きは, 常に負ですよね?
ですから, 極値はありません(視覚的にも明らかに極値はないですよね).

結局, 3次関数が極値を持つのは上の図で赤色のグラフのような形をしているときです.
赤色のグラフにおいて, x = -1 と x = 1 のところに注目すると,
x = -1 では, 接線の傾きは 負→ゼロ→正 と変化しています.
従って, x = -1 で極小となります.
一方, x = 1 では, 接線の傾きは 正→ゼロ→負 と変化しているので,
x = 1 で極大となります.
赤色のグラフでは, 接線の傾きがゼロになる x が 2つ(x = -1 と x = 1)ありますよね?
このように (接線の傾き), つまり 「f'(x) がゼロになる x が 2つあるとき」 3次関数のグラフは極値を持ちます.
「f'(x) がゼロになる x が 2つあるとき」というのは, もちろん「f'(x) = 0 の判別式D が正のとき」ですよね.



11645.Re: 微分
名前:イチゴ(高2)    日付:11月24日(月) 17時18分
K.N.G.さんどうもありがとうございます(^▽^)☆☆
なるほどっ!!
「極値がある」というには極大値、極小値が共にないと
いえないのですね?
「極値がない」というには極大値、極小値が2つともないときですね?


11646.Re: 微分
名前:K.N.G.    日付:11月24日(月) 17時40分
ぼくの書き方が悪かったですね.
極大値, 極小値両方そろわなくても極値といいます.
極大値も極値ですし, 極小値も極値です.
両方まとめて, 極値ということもできます.


11647.Re: 微分
名前:イチゴ(高2)    日付:11月24日(月) 17時47分
K.N.G.さんありがとうございます。(^^)
二次関数のように、接線の傾き=0となるxが1つでも、
極値があるのかと思ってました。

>D = 0 のとき, f'(x) = 0 は重解を持つわけですから,
重解とは何ですか…??


11648.Re: 微分
名前:K.N.G.    日付:11月24日(月) 17時53分
重なった解のことです.
例えば, 2次方程式
 x^2 - 2x + 1 = 0
を解くと
 (x-1)^2 = 0 より x = 1.
となって普通は, 2つある解が 1つになりますよね.
このような解を(解が重なっていると考えて)「重解」と言います.


11649.Re: 微分
名前:イチゴ(高2)    日付:11月24日(月) 17時59分
K.N.Gさんありがとうございます。★11644.のK.N.G. さんの
グラフは全て原点を通っていますが、原点を通ってなくてもいいですか??


11650.Re: 微分
名前:K.N.G.    日付:11月24日(月) 18時35分
あれは説明のためのグラフ, つまり一例に過ぎません.
原点を通らないグラフももちろんあります.


11651.Re: 微分
名前:イチゴ(高2)    日付:11月24日(月) 18時47分
y=x^4-4x+1のグラフは、f'(x) = (接線の傾き) = 0 となる x は 1つしかありませんが、極値がありますが、なぜですか?


11652.Re: 微分
名前:イチゴ(高2)    日付:11月24日(月) 18時55分
|x|…|1|…|

|y'|-|0|+|

|y|\ |−2|/ |


↑見にくいですが、増減表です。xは1つなのに極値があります…。
11644のK.N.G.さんの説明を見て疑問に思いました。教えて下さい。
宜しくお願いします。


11653.Re: 微分
名前:K.N.G.    日付:11月24日(月) 19時7分
もう一度復習すると,
極大値…接線の傾きが, 正→ゼロ→負 と変化するところ
極小値…接線の傾きが, 負→ゼロ→正 と変化するところ
でしたね.

3次関数(y = ax^3 + bx^2 + cx + d の形)の場合は,
f'(x) = (接線の傾き) = 0 となる x が 1つしかないときは, その x の前後でグラフの傾きは 負→ゼロ→負 (または, 正→ゼロ→正)となり, 正負が"入れ替わりません".
従って, 極値とはいいません.

ところが 4次関数の場合は,
イチゴ(高2) さんの書かれた増減表からわかるように,
x = 1 の前後でグラフの接線の傾きは 負→ゼロ→正 となり,
グラフの接線の正負が"入れ替わっています"から, このグラフは x = 1 で極値(極小値)を持ちます.

つまり, 「f'(x) = 0 が重解を持つから y = f(x) は極値を持たない」というのは 3次関数のときしか成り立ちません(4次関数のときはまた違ってきます).


11654.Re: 微分
名前:イチゴ(高2)    日付:11月24日(月) 19時17分
K.N.G.さんありがとうございます(^^)★☆
4次関数の時は違ってくるのですね!!疑問が晴れて本当によかったです!!
どうもありがとうございました。

11624.3次関数の最大値  
名前:高2    日付:11月24日(月) 12時53分
f(x)=x^3-6ax^2+9xa^2 の0≦X≦1における最大値及びそのときのXをもとめよ。

とにかく分からないのでよろしくお願いします。



11637.Re: 3次関数の最大値
名前:Bob    日付:11月24日(月) 15時54分
a>0という条件は入っていませんか?


11639.Re: 3次関数の最大値
名前:知也    日付:11月24日(月) 16時25分
まずグラフの形を想定します。微積は特に数学はとにかく紙と鉛筆で図を書かないとはっきりいって進歩しません。f(x)=x^3-6ax^2+9a^2x=x(x^2-6ax+9a^2)=x(x-3a)^2 これでx=0でx軸と交わり、3aで接する。 f'(x)=3x^2-12ax+9a^2=3(x^2-4ax+3a^2)=3(x-a)(x-3a)=0とするとx=a,3a x=aで極大値をもち極小値x=3aを持つ。場合わけはどうすれば?(1)a≦0のとき(2)0<3a≦1のとき(3)a<1,3a≧1(4)0<a<1のときは?


11642.Re: 3次関数の最大値
名前:知也    日付:11月24日(月) 16時36分
すみません。x=aで極大値、x=3aで極小値というのは間違いです。a<0かa>0で変わってきますから

11622.余弦定理  
名前:,あいこ(高1)    日付:11月24日(月) 11時7分
余弦定理の計算過程についてなのですが、
  cosB=(√6)^2+(√3-1)^2-2^2/2・√6・(√3-1)  ・・・(1)
  =2√3(√3-1)/2√6(√3-1)   ・・・・・・・・・(2)
=1/√2
上の計算式で(1)から(2)への式の変形はどのようにおこなえばよいのでしょうか?   



11632.Re: 余弦定理
名前:K.N.G.    日付:11月24日(月) 15時14分
おそらく
 cosB = {(√6)^2 + (√3-1)^2 - 2^2}/{2*(√6)*(√3 - 1)} …(1)
ですね.
式(1)の右辺の分子を計算すると
 {(√6)^2 + (√3-1)^2 - 2^2}
 = 6 + {3 - (2√3) + 1} - 4
 = 6 + 4 - (2√3) - 4
 = 6 - 2√3
 = 2*(3 - √3)
 = (2√3){(√3) - 1}
これは, 式(2)の分子と一致します.


11633.Re: 余弦定理
名前:,あいこ(高1)    日付:11月24日(月) 15時26分
K.N.Gさんありがとうございました。
式(1)の右辺の分子を計算すると
 {(√6)^2 + (√3-1)^2 - 2^2}
 = 6 + {3 - (2√3) + 1} - 4
 = 6 + 4 - (2√3) - 4
 = 6 - 2√3
 = 2*(3 - √3)    ・・・・(3)
 = (2√3){(√3) - 1} ・・・・(4)
(3)を(4)に変形するときやはり分母の√3 - 1を意識するんですか?(3)から(4)への変形がなかなか自分ではできないので・・・。


11635.Re: 余弦定理
名前:Bob    日付:11月24日(月) 15時46分
慣れないとできない高等手段ですね。
分子の計算の際に分母と約分できるのでは(できるようにむりやり)
と意識するっていうのは、難しいことかも。


11636.Re: 余弦定理
名前:K.N.G.    日付:11月24日(月) 15時48分
そうですね. 「約分できないかな?」と思って, (3)を見ると, 「ん? √3 でくくると, 分母と同じ形 (√3) - 1 がでてくるな.」と気付くわけです. 気付くか, 気付かないかは経験によるところが大きいと思いますが, このような計算をするときは常に「もっと簡単な形にならないかな?」ということを意識しながら計算するといいと思います.


11641.Re: 余弦定理
名前:,あいこ(高1)    日付:11月24日(月) 16時36分
Bobさん、K.N.G. さん、ありがとうございました。経験を重ねていきたいと思います!

11614.複素数平面  
名前:味噌汁    日付:11月24日(月) 0時41分
こんばんは。分からないので教えてください。

z=-sinθ+icosθ
={cos(θ+90°)+isin(θ+90°)}

この式変形がわからないので、できれば詳しく教えていただけないでしょうか…?
たぶん、教科書レベルなのかもしれませんが、これは教科書には載っていなかったと思います。
 
とにかく、分からないので教えていただけないでしょうか。
よろしくお願いします。



11617.Re: 複素数平面
名前:K.N.G.    日付:11月24日(月) 1時27分
 sin(θ + 90) = cosθ
 cos(θ + 90) = -sinθ
という公式を用いています.
この公式は教科書に載っていると思いますよ.


11618.Re: 複素数平面
名前:味噌汁    日付:11月24日(月) 1時40分
え!これでよいのですか!!
これは複素数平面の所の問題なのですが…!!
たしかに
sin(θ + 90) = cosθ
cos(θ + 90) = -sinθ
ならば教科書にのっていますね。
気づきませんでしたあ!!
てっきり、複素数平面の問題だから、そっちの方の考え方で、
例えば、実軸に1虚軸に√3を取った時に60°にするような感じで、今回の90°もそのような感じでやるのではないかと考えていたのですが…
これでよかったのですね!
どうもありがとうございました。


11621.Re: 複素数平面
名前:ast    日付:11月24日(月) 2時43分
複素数平面も座標平面も本質的に同じものです.
そもそも, sin(θ + 90) = cosθ, cos(θ + 90) = -sinθ の証明を
(おそらく単位円を使ってやっているような解説は何処かに落ちて
 いるでしょうが,)きちんと理解していれば, 実際に z=-sinθ+icosθ
を複素数平面上に描いて, それが cos(θ+90°)+isin(θ+90°) に
一致することは, 簡単に見て取れるはずです.

11612.(untitled)  
名前:ai(高2)    日付:11月24日(月) 0時18分
こんばんは。次のページに行ってしまったのでもう一度書きます。
宜しくお願いします。
△OABにおいて、辺OAを3:1に外分する点をC、辺OBを4:1に外分する
点をDとし、線分BC、ADの交点をPとする。
OA↑=a↑、OB↑=bとおくとき、OP↑をa↑、b↑で表せ。

問題を解くときに、
a↑≠0↑,b↑≠0↑,a↑とb↑は平行でない。
がいるのは、恒等式だからですか?三角形だからですか?



11619.Re: (untitled)
名前:ケロ    日付:11月24日(月) 2時11分
三角形なので、a↑≠0↑,b↑≠0↑,a↑とb↑は平行でない。それで、
a↑とb↑は一次独立だ。だから、
pa↑+qb↑=0 (pとqは実数)が成り立つためには、
p=0,q=oでなければならない。となると思います。

11603.算数  
名前:八尾卓哉    日付:11月23日(日) 22時48分
たし算



11607.Re: 算数
名前:ケロ    日付:11月23日(日) 23時36分
ここ
がいいよ。

11597.確率 中3  
名前:ミルク    日付:11月23日(日) 19時52分
「3人でじゃんけんをして、負けたものから順に抜けていき、
 最後に残った一人を優勝者とする時、ちょうど3回目で
 優勝者が決まる確率を求めよ」

この問題を教えてください。よろしくお願いします



11604.Re: 確率 中3
名前:ケロ    日付:11月23日(日) 23時7分
あいこ・あいこ・一人勝ち:(3/3^3)(3/3^3) (3/3^3)= (1/3^6)
あいこ・一人負け・勝ち :(3/3^3)(3/3^3) (3/3^2)= (1/3^5)
= (3/3^6)
一人負け・あいこ・勝ち :(3/3^3)(3/3^2) (3/3^2)= (1/3^4)
= (9/3^6)
答13/3^6。かな?

11592.三角比  
名前:ここあ 高1    日付:11月23日(日) 18時33分
海面上5mの地点から、ロープで結んだ船を引き寄せる。
ロープの長さが20mになったとき、ロープと海面のなす角は約何度か。

この問題を教えてください。
直角三角形のどこの部分に何mの部分があてはまるのか分かりません。



11593.Re: 三角比
名前:K.N.G.    日付:11月23日(日) 18時58分
 ∠O = 90°, 辺OA = 5m, 斜辺AB = 20m
である直角三角形を考えれば, ∠ABO が求める角度になります.
ちなみに, 上のような直角三角形を考えると, 直線OBが海面になります.


11623.三角比
名前:ここあ 高1    日付:11月24日(月) 11時42分
どうもありがとうございました!!!
計算してみます。

11589.微分  
名前:イチゴ高2    日付:11月23日(日) 18時15分
こんばんは。この問題の解き方を教えて下さい。

f(x)=x^3+kx^2+kx+1が、極値をもたないような定数kの値の範囲を求めよ。



11590.Re: 微分
名前:イチゴ高2    日付:11月23日(日) 18時15分
宜しくお願いします。


11591.Re: 微分
名前:K.N.G.    日付:11月23日(日) 18時33分
 f(x) = x^3 + kx^2 + kx + 1
より,
 f'(x) = 3x^2 + 2kx + k
となります. また,
 「f(x) が極値を持たない」 ⇔ 「f'(x) = 0 が異なる 2つの実数解を持たない」
です. 従って, 2次方程式 f'(x) = 0 の判別式を D とすると,
 D ≦ 0
が成り立ちます(D/4 ≦ 0 でもOK).
以下ご自分で計算なさって下さい(分からない所があればまた質問してください).


11595.Re: 微分
名前:イチゴ高2    日付:11月23日(日) 19時14分
K.N.Gさんありがとうございます。質問があります。

「f(x) が極値を持たない」 ⇔ 「f'(x) = 0 が異なる 2つの実数解をも たない」となるのが分かりません…。何故f'(x) なのですか??


11598.Re: 微分
名前:K.N.G.    日付:11月23日(日) 20時7分
(説明の都合上, f(x) の x^3 の係数が正の数であるとします.)

(1) f'(x) = 0 が異なる 2つの解を持つとき
その異なる 2つの解を a, b (a < b) とおき, 増減表を書くと,
x |…| a |…| b |…
f'|+| 0 |−| 0 |+
f |□|max|□|min|□
となります(max が極大で, min が極小値です).
これから, x = aで極大, x = b で極小となることがわかります.

(2) f'(x) = 0 が重解を持つとき
重解を a とおき, 増減表を書くと,
x |…| a |…
f'|+| 0 |+
f |□|---|□
となります(--- のところは極大でも極小でもありません).
これより, 極値を持たないことがわかります.

(3) f'(x) = 0 が(実数)解を持たないとき
増減表を(普通は書かないと思いますが, あえて)書くと,
x |…
f'|+
f |□
となります. 極値はありません.

以上より, (1)のとき, 即ち「f'(x) = 0 が異なる 2つの解を持つ」ときのみ y = f(x) は極値を持ちます.
言い換えれば, (2)や(3)のとき, 即ち「f'(x) = 0 が異なる 2つの解を持たない」ときは, y = f(x) は極値を持ちません.


11599.Re: 微分
名前:イチゴ高2    日付:11月23日(日) 21時1分
K.N.G.さん、 丁寧教えてくださりありがとうございます。

何故 f '(x) = 0 の判別式を D とするのですか?
私はf (x)をDとすると考えてしまいました…。

f (x)と、 f '(x) の意味が良く分かりません…。


11600.Re: 微分
名前:    日付:11月23日(日) 21時47分
f'(x) = 3x^2 + 2kx + kにおいて、


3x^2 + 2kx + k=0の2解が極値になります。

f'(x) = 3x^2 + 2kx + kのグラフも書いてみましょう。


11601.Re: 微分
名前:    日付:11月23日(日) 21時49分
訂正。

極値ではなくて、その2解のx座標をf(x)に入れたものが極値になります。


11602.Re: 微分
名前:K.N.G.    日付:11月23日(日) 22時33分
> 何故 f '(x) = 0 の判別式を D とするのですか?
> 私はf (x)をDとすると考えてしまいました…。

そもそも判別式D とは, 「ある 2次方程式が実数解を持つかどうか"判別する"ための式」です.
一般に,
 ax^2 + bx + c = 0 (a ≠ 0; a, b, c は実数)
という 2次方程式において判別式 D = b^2 - 4ac というものを考え,
 D > 0 ならば異なる実数解を持つ
 D = 0 ならば重解を持つ
 D < 0 ならば実数解を持たない
と判別するわけです.
つまり, 判別式は f(x) という多項式に適用するものではなく, f(x) = 0 という"2次方程式"に適用するものです.


> f (x)と、 f '(x) の意味が良く分かりません…。

ぼくも深く考えずにレスしてしまったのですが, そもそも多項式である f(x) に極値は存在しないはずです.
極値というものは, y = f(x) という 3次関数のグラフに対して考えるものですので, 問題は
「y = f(x) = x^3 + kx^2 + kx + 1 (が表すグラフ)が, 極値を・・・.」
とされるべきです.
もう一度いいますが, 極値とは多項式ではなくて, グラフに対して考えるべきものです.
さて, y = (x) …(*1)の意味ですが, これはもちろん x と y の関係を表した式です. これを図示(グラフ化)すれば"3次関数のグラフ"となるわけdす.
そして, y' = f'(x) の意味ですが, これは, x = x における(*1)が表すグラフの接線の傾きを表します.
例)
3次関数 y = f(x) = x^3 + 1 の x = 2 における接線の傾きは, y' = f'(x) = 3x^2 の x に 2 を代入して f'(2) = 3*2^2 = 12 として求めることができます.


11605.Re: 微分
名前:イチゴ高2    日付:11月23日(日) 23時10分
貴さん、K.N.G. さん、ありがとうございます。
判別式は f(x) という多項式に適用するものではなく, f(x) = 0 という"2次方程式"に適用するものなのですね…。

聞くのは恥ずかしいのですが…実数解とはなんですか?(><;)

>y' = f'(x) の意味ですが, これは, x = x における(*1)が表すグラフ>の接線の傾きを表します.

y' = f'(x)とy' = f'(a)は別ものですか??


11609.Re: 微分
名前:K.N.G.    日付:11月23日(日) 23時48分
> 聞くのは恥ずかしいのですが…実数解とはなんですか?(><;)

実数解とは, その名の通り"実数の解"です.
実数とは, 「数直線上の点にとることができる全ての数」のことです.
例) -3/2, -1, 0, 2.5, π(円周率), 10/3 など


> y' = f'(x)とy' = f'(a)は別ものですか??
f'(a) というのは, f'(x) の x に a を代入したものです.
例えば, f'(x) の x に 2 を入れたものを f'(2) と表します.
例題) f(x) = x^2 + 3x + 1 のとき, f'(1) を求めよ.
 f(x) = x^2 + 3x + 1 であるから, f'(x) = 2x + 3 …(*)
(*)の x に 1 を代入したものが f'(1) であるから,
 f'(1) = 2*2 + 3 = 7
となる.


11611.Re: 微分
名前:イチゴ高2    日付:11月24日(月) 0時13分
K.N.Gさんありがとうございます。もう一つ分からないことがあります…。

普通の増減表は書けるのですが、
11598.のK.N.Gさんが書いた増減表の書き方を教えて下さい!!
どうしてf ´がプラスかマイナスが分かるのですか??


11613.Re: 微分
名前:イチゴ高2    日付:11月24日(月) 0時29分
質問が分かりにくいですよね。
>普通の増減表は書けるのですが、
というのは、K.N.G. さんの増減表はa、bの値が分からないので+−が分からないし、f'(x) = 3x^2 + 2kx + kに代入しようと思ってもkがあるので、f 'がプラスかマイナスか分からなくてどうやればいいのか分かりません…。ということです。この増減表は参考書にも一部あったのですが、どう書いたのか理解できませんでした…。宜しくお願いします。


11615.Re: 微分
名前:K.N.G.    日付:11月24日(月) 0時59分
Original Size: 653 x 653, 19KB

f'(x) = 0 が異なる 2つの実数解を持つとき, y = f(x) のグラフの概形は上図のようになります.
(x^3 の係数が正なので, 上のような形になります.)
ここで, f'(x) は「y = f(x) のグラフの接線の傾きを表す」ということを思い出してください(つまり, f'(x) = [x = x における接線の傾き]です).
y = f(x) のグラフの接線の傾きは
 極大(x = a)までは, 正
 極大(x = a)から 極小(x = b)までは, 負
 極小(x = b)からは, 正
となっていますね.
ですから, f'(x) も 正 → 負 → 正 と変化するわけです.

つまり, 増減表における f'(x) の正負は, グラフの形(具体的に, グラフの接線の傾き)からわかってしまいます.



11616.因(ちな)みに
名前:K.N.G.    日付:11月24日(月) 1時6分
Original Size: 653 x 653, 46KB

y = f(x) (3次関数) の x^3 の係数が負の場合(で, f'(x) = 0 が異なる 2つの実数解を持つとき)は, 上のようなグラフになります.
従って, 増減表における f'(x) の符号は,

x |…| a |…| b |…
f'|−| 0 |+| 0 |−

のように変化します.



11625.Re: 微分
名前:イチゴ高2    日付:11月24日(月) 13時4分
K.N.G. ありがとうございます(^^) 図もありがとうございました!
分かりやすかったです。
すみませんがまだ質問があります。

D=(2k)^2-4*3*k
4k(k-3)≦0
0≦k≦3   ←上の式から0≦k≦3となるのが分かりません…。

宜しくお願いします。


11626.2次不等式の解法
名前:Bob    日付:11月24日(月) 13時14分
4k(k-3)≦0
0≦k≦3   

これをxにして考えて見ましょう
y=4x(x−3)
これを頂点は求めずにx軸との交点だけでグラフを書く。
交点は(0,0)と(3,0)ですね。(y=0とすればすぐ出る)
完成したグラフをみながらy=4x(x−3)≦0を考えます。
するとy≦0の意味はx軸の下部ということ。そうすると
そのときのxの範囲は0≦x≦3 でないですか?
よって今回はxでなくkなので  
0≦k≦3   


11627.Re: 微分
名前:イチゴ高2    日付:11月24日(月) 13時20分
すみません。もう一つ質問させて下さい。追加です。

>f'(x) は「y = f(x) のグラフの接線の傾きを表す」ということを思い>出してください(つまり,f '(x) =[x = x における接線の傾き]で >す).

というところが分かりません(><;)
f '(x) =[x = x における接線の傾き]とは何ですか??
宜しくお願いします。


11628.Re: 微分
名前:イチゴ高2    日付:11月24日(月) 13時25分
Bobさん ありがとうございます!! (^^)良く分かりました☆
上の質問もよろしければお願いします(><)


11629.Re: 微分
名前:Bob    日付:11月24日(月) 13時44分
あまり難しく考えないで下さい。微分の意味は大学に入るとわかると思うんで。(理系だけですが)
高2の段階では微分すること=接線の傾きを求める ということにしましょう。
接線の傾きって言ってもその場所場所(x=1やx=−4など)
によってちがいますよね。だからx=2のときの接線の傾き
はf’(2)  x=−3のときはf’(−3)となります。
ではx=aのときはf’(a)
だからK.N.Gさんのいうx=x(xの値を限定せず広い意味でxをつかっている)
ならf’(x)になりますよね?

★あまり深く考えすぎるとはまるのがこの分野なのでいまは雰囲気だけ
つかんでください。(塾講師5年間やっていますが何人かの生徒がここではまっているので)


11630.Re: 微分
名前:イチゴ高2    日付:11月24日(月) 14時0分
Bobさんどうもありがとうございました(^▽^)ノ
難しく考えないようにします☆

11581.「微分」  
名前:イチゴ高2    日付:11月23日(日) 16時7分
こんにちは。次の問題で質問があります。
宜しくお願いします。

放物線y=-2x^2+3x+1について、直線3x-y+3=0に平行な接線の方程式を求めよ。

3x-y+3=0
y=3x+3
接点の傾きもこれと同じで3
y=-2x^2+3x+1を微分して、
y′=-4x+3
(ここまでは分かるのですが、次から何故このような式を立てるのか分かりません)

これが3と等しいとき ←??
-4x+3=3
-4x=0
x=0
このときy=-2×0^2+3×0+1=1
傾き3で、(0、1)を通る。



11582.Re: 「微分」
名前:K.N.G.    日付:11月23日(日) 16時26分
 y' = -4x + 3
は, 放物線の接線の傾きを表します.
従って, (放物線の傾き y' = -4x + 3) と (直線の傾き 3) とが等しくなるような x を求めるには,
 -4x + 3 = 3
を解けばよいわけです.


11583.訂正です
名前:K.N.G.    日付:11月23日(日) 16時28分
【誤】 (放物線の傾き y' = -4x + 3)



【正】 (放物線の接線の傾き y' = -4x + 3)

に訂正します.


11584.Re: 「微分」
名前:    日付:11月23日(日) 16時41分
3x-y+3=0をyについて解くと、y=3x+3ですね。

この直線の傾きは3です。

平行な直線というものは傾きが等しい直線のことです。


11587.Re: 「微分」
名前:    日付:11月23日(日) 17時52分
Original Size: 653 x 653, 41KB

一応・・・



11588.Re: 「微分」
名前:イチゴ高2    日付:11月23日(日) 18時12分
K.N.G.さん、貴さんどうもありがとうございました。 図もありがとうございます!(^^)
良く分かりました☆

11576.ベクトル  
名前:イチゴ高2    日付:11月23日(日) 14時47分
こんにちは。

y=x^2+3 (1、4) の曲線上の点における接線の傾きを求めよ。
また、接線の方程式を求めよ。

という問題で、
f(x)=x^2+3とおくと、
曲線y=x^2+3上の点(1、4)における接線の傾きは、f´(1)
と、解説にはあるのですが、なぜf´(1)なのですか?
(1、4)の1を使っているのは分かるのですが、なぜか分かりません…。

宜しくお願いします。



11578.題名を間違えました。「微分」です。
名前:イチゴ高2    日付:11月23日(日) 14時55分
  


11579.Re: ベクトル
名前:    日付:11月23日(日) 15時12分
> y=x^2+3 (1、4) の曲線上の点における接線の傾きを求めよ。
> また、接線の方程式を求めよ。
>
> という問題で、
> f(x)=x^2+3とおくと、
> 曲線y=x^2+3上の点(1、4)における接線の傾きは、f´(1)
> と、解説にはあるのですが、なぜf´(1)なのですか?
> (1、4)の1を使っているのは分かるのですが、なぜか分かりませ
>ん…。

点(1,4)における接線を求めるからです。
例えばf(x)=ax^2+bx+cという関数があって、
点(a,b)における接線を求めるとき、
まずf(x)を微分して(f’(x)=2ax+b)求めたい点のx座標をf’(x)に代入して(f’(a)=2a^2+b)傾きを求めます。あとは、この傾きで点(a,b)をとるように設定すればよいかと。


11580.「微分」
名前:イチゴ高2    日付:11月23日(日) 15時57分
貴 さんありがとうございました。分かりました。

11575.数学の質問ではないですが。。。  
名前:    日付:11月23日(日) 14時15分
すみません、10進数を2進数に直すとき→)__ を使いますよね、
ワードでこれを出すことってできるのでしょうか?

どなたかご存知の方いらっしゃいませんか?

)__ の逆なら、オブジェクトの数式3.0っていうものでできたのですが。。。



11596.Re: 数学の質問ではないですが。。。
名前:我疑う故に存在する我    日付:11月23日(日) 19時40分
ワードを使わなくとも Windows 付属の関数電卓で2進をチェックして 1101等と入力し、10進にチェックし直せば13などと変換してくれます。 勿論逆も出来ます。


11620.Re: 数学の質問ではないですが。。。
名前:ヨッシー    日付:11月24日(月) 2時23分
)13
) 6 ……… 1
) 3 ……… 0
) 1 ……… 1
 0 ……… 1
のように、下線を使って書くか、

のように、別のソフトで画像を作るか、でしょうか。
数式オブジェクトも、「付属している」と言うだけで、別ソフトですから。
 

http://yosshy.sansu.org/

11567.ベクトルの問題  
名前:ゆき(高2)    日付:11月23日(日) 1時33分
こんばんは。
下に行ってしまったのでもう一度書きます。
△ABCと点Pに対して、次の等式が成り立つとき、点Pの位置をいえ。
5PA↑+3PB↑+2PC↑=0↑


5PA↑+3PB↑+2PC↑=0↑
−5AP+3(AB−AP)+2(AC−AP)=0
−5AP+3AB−3AP+2AC−2AP=0
10AP=3AB+2AC
  AP=(1/2){(3AB+2AC)/5}

で、−5AP+3(AB−AP)+2(AC−AP)=0
の所を
−5AP+3(AB+PA)+2(AC+PA)=0
にしてはいけませんか?なぜ-なのですか?

宜しくお願いします。



11569.Re: ベクトルの問題
名前:中川 幸一    日付:11月23日(日) 2時25分
Vec(AB)=Vec(OB)-Vec(OA) という変形についてはまだ学校で習っていませんか?
http://www3.ezbbs.net/01/k-nakagawa/


11570.Re: ベクトルの問題
名前:ケロ    日付:11月23日(日) 2時42分
点A、B,Cは前もってどこにあるかわかっています。点Pはどこにあるのか知りたい点です。AP↑とPA↑に矢印をつけてみると、AP↑の方はわかっている点からわからない点に矢印が伸びていますが、PA↑の方はわからない点からわかっている点へ矢印が向いてしまうことになります。わからない場所から物事を調べるのはたいへんなので、わかる場所に立って調べているわけです。
(1/2)は何を表しているのですか??>(3AB+2AC)/5というベクトルと方向は同じでも大きさ(長さ)が半分であることを表しています。
中川師匠すいません。横から。せっかく書いたので。お休みなさい。


11572.Re: ベクトルの問題
名前:中川 幸一    日付:11月23日(日) 6時3分
ケロ さんは凄いですね。
的確なアドバイスを簡潔にしていらっしゃる。
これでゆき さんも理解できたことと思います。

もしもまだ不安でしたら, この系統の問題は典型問題ですので, 教科書や問題集等で類題を探して解いてみてください。
何問か見つかるかと思います。

PS 師匠なんて呼ばなくてイイですよ。私はそんなに凄い人ではないのですから(;^_^A アセアセ…
それに, 横レスも気にしていません。
こうやって, 複数の人たちと一緒になって 1 つのことを解決することはたいへん素晴らしいことだと思います。

http://www3.ezbbs.net/01/k-nakagawa/


11574.Re: ベクトルの問題
名前:ゆき(高2)    日付:11月23日(日) 11時26分
中川 幸一さん、 ケロさんどうもありがとうございました。
良く分かりました(^▽^)

11554.法線  
名前:遙(高3)    日付:11月22日(土) 22時24分
x^2−y^2=1
で、点(a、b)における接線が
ax−by=1 となるのはいいんですが、この時の法線が
bx+ay=0 となるのはどうやって考えるんですか?
先生は法線ベクトルで考えるって言ってたんですが、
法線ベクトルが未だによくわかりません。
よろしくお願いします。



11558.Re: 法線
名前:Bob    日付:11月22日(土) 23時4分
法線の傾き×接線の傾き=−1
接線ax−by=1
   y=(a/b)x−(1/b)
だから傾き(a/b)より
法線の傾き(−b/a)

y=(−b/a)x
これを変形すると


11608.Re: 法線
名前:ケロ    日付:11月23日(日) 23時48分
法線ベクトルで考える>と、接線の方向ベクトルは(b,a)ですから、法線ベクトルを(u,v)とおくと、二つのベクトルは垂直なので、内積が0となりますから、(b,a)・(u,v)=0より、bu+av=0。見つけ方は、uかvに数字でも文字でも好きなものを入れて、もう一方のvかuを求めればいいと思います。眺めていて簡単に出るのが(a,-b)。でも、法線の傾きだけ必要なら、Bobさんの方法で十分だと思います。
法線はy-b=-b/a(x-a)なので、bx+ay=2abとなるのじゃないかな。

11547.「ベクトル」  
名前:イチゴ高2    日付:11月22日(土) 19時22分
こんばんは。この問題が分かりません…。教えて下さい。宜しくお願いします。
△ABCの内部に点Pがあり、3PA↑+4PB↑+5PC↑=0↑
が成り立っている。次の比をそれぞれ求めよ。

(1)直線APと辺BCの交点をDとするとき BD:DC,AP:PD

(2)三角形の面積比 △PBC:△PCA:△PAB



11549.Re: 「ベクトル」
名前:Bob    日付:11月22日(土) 20時1分
このページのゆき(高2)さんの問題の解法を参考に
してください。
3PA↑+4PB↑+5PC↑=0↑
→は省略
AP=(4AB+5AC)/12
=(3/4)(4AB+5AC)/9
PはBCを5:4に内分した点Dとし、ADを3:1に内分した点
よって(1)は
BD:DC=5:4

AP:PD=3:1
(2)はPとA、PとB、PとC、PとDを結び、三角形PDCの面積
を4とおくと、三角形PBDは5
PCAは12、ABPは15
(理由は高さが共通な三角形は底辺の比が面積比だから)
△PBC:△PCA:△PAB =9:12:15=3:4:5


11550.Re: 「ベクトル」
名前:    日付:11月22日(土) 20時17分
Original Size: 512 x 384, 11KB

図です。(3:1に見えませんが。。)

何かの参考になれば・



11561.Re: 「ベクトル」
名前:イチゴ高2    日付:11月22日(土) 23時34分
Bobさん貴さんありがとうございます。

3PA↑+4PB↑+5PC↑=0↑

AP=(4AB+5AC)/12
=(3/4)(4AB+5AC)/9

ではなくて、
PB、PCで考えることはできませんか??


11562.Re: 「ベクトル」
名前:Bob    日付:11月22日(土) 23時47分
できますよ
この問題は3通りの考え方があるわけです。
ただ今回「直線APと辺BCの交点をDとするとき …」
なのでPB、PCで考えてもあまり意味ないのです。=遠回り=時間がかかる。


11563.Re: 「ベクトル」
名前:イチゴ高2    日付:11月22日(土) 23時56分
Bobさんありがとうございます。すみませんが、また質問があります。

AP=(4AB+5AC)/12
=(9/12)(4AB+5AC)/9

で、なぜ前に9/12を出したのですか??


11564.Re: 「ベクトル」
名前:Bob    日付:11月23日(日) 0時8分
内分の公式を思い出して
(4AB+5AC)/9 こういう形でないと内分の公式に
もっていけないので無理やりなおした
だけど元の式=(4AB+5AC)/12には程遠いので
帳尻会わせ。こういうテクを身につけましょう。


11566.Re: 「ベクトル」
名前:    日付:11月23日(日) 0時14分
こういった問題は何回も似たような問題を解いて、パターン化しましょう。


11568.Re: 「ベクトル」
名前:イチゴ高2    日付:11月23日(日) 1時34分
Bobさん貴さんありがとうございました(^^)
よく分かりました☆

11545.(untitled)  
名前:ai(高2)    日付:11月22日(土) 19時10分
こんばんは。
△OABにおいて、辺OAを3:1に外分する点をC、辺OBを4:1に外分する
点をDとし、線分BC、ADの交点をPとする。
OA↑=a↑、OB↑=bとおくとき、OP↑をa↑、b↑で表せ。

という問題で、BP:PC=s:(1-s)、AP:PD=t:(1-t)
を、BP:PC=(1-s):s、AP:PD=(1-t):tとしてもいいのですか?



11548.Re: (untitled)
名前:Bob    日付:11月22日(土) 19時40分
いいのでは?
私が計算したところ
OP→=1/2 a→ +2/3 b→
と出てきましたが…


11552.もう一つお願いします。
名前:ai(高2)    日付:11月22日(土) 21時55分
Bobさんありがとうございます。

計算したら、s=1/3,t=1/2になったのですが、これをどこに代入する

のですか?

答えはOP→=1/2 a→ +2/3 b→で合っています。


11553.Re: (untitled)
名前:Bob    日付:11月22日(土) 22時10分
どういう式をたてました?
OPに関するtとsが入った式を2つ作ったでしょう?
そのどちらに代入しても同じ答え
OP→=1/2 a→ +2/3 b→
がでます。


11555.Re: (untitled)
名前:ai(高2)    日付:11月22日(土) 22時27分
Bobさんありがとうございます!
OPに関するtとsが入った式を2つ作りました。
そこに代入するのですね(^^)
もう一つ質問なのですが、問題を解くときに
a↑≠0↑,b↑≠0↑,a↑とb↑は平行でない。
という条件がなぜいるのですか?


11559.Re: (untitled)
名前:Bob    日付:11月22日(土) 23時6分
今回の問題で言えば三角形だから
a↑≠0↑,b↑≠0↑,a↑とb↑は平行でないにしないと
三角形ができない。


11577.もう一つお願いします。
名前:ai(高2)    日付:11月23日(日) 14時52分
Bobさんありがとうございます。
恒等式だからa↑≠0↑,b↑≠0↑,a↑とb↑は平行でない。ではなくて、
三角形だからa↑≠0↑,b↑≠0↑,a↑とb↑は平行でない。なのですか?

11536.すみません…もう一つお願いしたいのですが…  
名前:味噌汁    日付:11月22日(土) 17時37分
こんにちは。
2003年センター試験UB第二問の問題で、あと一つ疑問点があるのですが、

関数f(x)は
x≦3のときf(x)=x
x>3のときf(x)=-3x+12
で与えられている。このとき、x≧0に対して、関数g(x)を
g(x)=∫[0〜x]f(t)dt
と定める。

(2)曲線y=g(x)をCとする。C上の点P(a,g(a))(ただし0<a<3)におけるCの接線lの方程式は、
y=ax-(1/2)a^2
であり、lとx軸との交点の座標は
ax-(1/2)a^2=0
[a>0だから]
x=(1/2)a

とあるのですが、上の赤のa>0というのは何でしょうか?
別にa>0を言わなくても求まると思うのですが、a>0を言わなければいけない理由は何でしょうか…?a≦0ならば、x=(1/2)aではないのでしょうか?
よろしくお願いします。



11537.Re: すみません…もう一つお願いしたいのですが…
名前:ast    日付:11月22日(土) 18時11分
a=0 ならその変形はできませんよね.


11539.Re: すみません…もう一つお願いしたいのですが…
名前:味噌汁    日付:11月22日(土) 18時22分
なるほど!a=0があったのですね。
理解できました。
どうもありがとうございました^^。

11535.三角比  
名前:ここあ 高1    日付:11月22日(土) 17時18分
地点Bは地点Aよりも標高が70m低く、両地点間の水平距離は
800mである。AからBを見たとき、俯角は約何度か。

この問題を教えてください。図も分からないのですが絵を描くと
どのようになりますか??



11542.Re: 三角比
名前:Bob    日付:11月22日(土) 19時6分
三角形ABCで∠C=90°の図を書きます。
斜辺AB
AC⊥BC
BC=800
AC=70
俯角=見下ろす角度
これでやってみてください。
角度は三角比表(教科書の巻末)を参考にします。


11546.Re: 三角比
名前:Bob    日付:11月22日(土) 19時16分
俯角とは出来た直角三角形でBCに平行でAを通る線を引き、
そこにできる∠ABCの錯角(中学生で習ったやつ)のこと。


11551.Re: 三角比
名前:Bob    日付:11月22日(土) 21時28分
答えは約5°では?


11573.三角比
名前:ここあ     日付:11月23日(日) 10時57分
どうもありがとうございました。
やってみます。

11533.グラフはどのように…?  
名前:味噌汁    日付:11月22日(土) 17時10分
こんにちは。
2003年センター試験UB第二問の問題で、一つ疑問点があるのですが、

関数f(x)は
x≦3のときf(x)=x
x>3のときf(x)=-3x+12
で与えられている。このとき、x≧0に対して、関数g(x)を
g(x)=∫[0〜x]f(t)dt
と定める。

(2)曲線y=g(x)をCとする。………(のように続きます。)

ところで、この
「曲線y=g(x)」
とはどのようなグラフなのでしょうか?
グラフの概形を教えていただけないでしょうか?
よろしくお願いします。



11538.久々の書込みです
名前:K.N.G.    日付:11月22日(土) 18時13分
 g(x) = ∫[0→x]f(t)dt = ∫[0→3]f(t)dt + ∫[3→x]f(t)dt …(*)
と変形してみると,
 x ≦ 3 のとき f(x) = x
 x > 3 のとき f(x) = -3x + 12
ですから, (*)式において,
 ∫[0→3]f(t)dt = ∫[0→3]tdt
 ∫[3→x]f(t)dt = ∫[3→x](-3t + 12)dt
  (※積分区間を注視して下さい.)
となります. 従って
 g(x) = ∫[0→3]tdt + ∫[3→x](-3t + 12)dt
となります. 以下単純な積分計算なのでご自分で計算してみてください. 計算するとわかりますが, y = g(x) は 2次関数になります.


11540.Re: グラフはどのように…?
名前:味噌汁    日付:11月22日(土) 18時48分
なるほど!
理解できました。
どうもありがとうございました。^^


11565.Re: グラフはどのように…?
名前:とも(高3)    日付:11月23日(日) 0時12分
Original Size: 501 x 501, 28KB

不要かもしれませんが一応・・・


11531.ベクトルの問題  
名前:ゆき(高2)    日付:11月22日(土) 16時30分
こんにちは。
△ABCと点Pに対して、次の等式が成り立つとき、点Pの位置をいえ。
5PA↑+3PB↑+2PC↑=0↑
ベクトルが大の苦手です…。宜しくお願いします。



11534.Re: ベクトルの問題
名前:田村 正和    日付:11月22日(土) 17時15分
矢印を省略します。
5PA↑+3PB↑+2PC↑=0↑
−5AP+3(AB−AP)+2(AC−AP)=0
−5AP+3AB−3AP+2AC−2AP=0
10AP=3AB+2AC
  AP=(1/2){(3AB+2AC)/5}


11544.一応…
名前:Bob    日付:11月22日(土) 19時10分
答えは点Pは辺BCを2:3と内分した点をDとして線分ADの中点です。


11556.Re: ベクトルの問題
名前:ゆき(高2)    日付:11月22日(土) 22時31分
田村 正和さん、 Bob さん、ありがとうございます。

AP=(1/2){(3AB+2AC)/5} という式の
(1/2)は何を表しているのですか??教えて下さい。

宜しくお願いします。


11557.Re: ベクトルの問題
名前:Bob    日付:11月22日(土) 22時56分
線分ADの中点です。
1/3 だったらADを1:2に内分した点。
1/4ならADを1:3に内分した点。

11517.複素数  
名前:高3    日付:11月22日(土) 0時13分
原点、O、A、Bの三転は複素数平面でいっぺんが正三角形をなす。
また、P=α^2−2α、q=β^2−2βとする。
|p−q|の最大値、最小値を求めよ。



11529.Re: 複素数
名前:    日付:11月22日(土) 14時17分
いっぺんが正三角形とは・・・


11586.Re: 複素数
名前:花パジャ    日付:11月23日(日) 17時19分
一辺が「○○の」正三角形、なんでしょうね。
一辺を1として、p,qの対称性から
α=e^(iθ),β=e^i(θ+π/3)とすると
|p-q|=|e^(i2θ)-2e^(iθ)-e^(i(2θ+2π/3))+2e^(i(θ+π/3))|
=|e^(iθ)(e^(iθ)-2-e^i(θ+2π/3)+2e^i(π/3))|
=|e^(iθ)(1-e^(i(2π/3)))-2(1-e^(iπ/3))|
ここで
1-e^(i(2π/3))=1-(-1/2+√3i/2)=3/2-i√3/2=-√3i(1/2+√3i/2)=-√3ie^(iπ/3)
1-e^(iπ/3)=1-(1/2+√3i/2)=1/2-i√3/2=-e^(i(2π/3))
なので
|p-q|=|e^(iπ/3)(-√3ie^(iθ)+2e^(iπ/3))|
=|2e^(iπ/3)-√3ie^(iθ)|
=|1+√3i-√3icosθ+√3sinθ|
=|(1+√3sinθ)+√3i(1-cosθ)|
=√((1+√3sinθ)^2+3(1-cosθ)^2)
=√(7+2√3sinθ-6cosθ)
=√(7+4√3((1/2)sinθ-(√3/2)cosθ))
=√(7+4√3sin(θ-π/3))
ここで
7-4√3≦7+4√3sin(θ-π/3)≦7+4√3

7±4√3=(2±√3)^2
なので
2-√3≦|p-q|≦2+√3

11515.教えて下さい!!!!  
名前:由香里    日付:11月21日(金) 23時36分
こんばんは(^0^)/中3なんですけど、わからなくて困っていますどなたか教えて下さい!
AB=4cm、BC=2cmの長方形ABCDがある平面上でこの長方形を頂点Cを中心に90°だけ時計回りに回転させたとき、辺ABが描く図形の面積を求めよ。
  よろしくお願いします☆☆



11522.Re: 教えて下さい!!!!
名前:    日付:11月22日(土) 3時3分
Original Size: 1046 x 772, 157KB

この図の斜線部分を求めればいいのではないでしょうか?
間違ってたらすみませんm(_ _)m



11523.Re: 教えて下さい!!!!
名前:    日付:11月22日(土) 3時24分
図に書き忘れましたが、A',B',C',D'の頂点は直角です。

ついでに面積を求めてみると、AC⊥A'Cなので、扇形ACA'の面積は、
2√5×2√5×π×90/360=5π cu (ACは3平方の定理で)…@

弧BB'とACとの交点をEとすると、∠ECB'=30°なので扇形ECB'の面積は
2×2×π×30/360=π/3 cu…A

また、扇形BB'Cの面積を求めると、∠BCE=60°なので、
2×2×π×60/360=2π/3 cu…B

さらに、△ABCの面積=△A'B'C'の面積=4×2×1/2=4 cu…C


求める図形の面積=@+C(△ABC)−A−B−C(△A'B'C')
        =5π−π/3−2π/3=4π cu

違ってたらごめん!


11524.Re: 教えて下さい!!!!
名前:ヨッシー    日付:11月22日(土) 8時31分

こんな感じで変形すると、半径2√5 の四分の一円から、
半径2の四分の一円を除いた形と同じ面積になります。
 
http://yosshy.sansu.org/


11530.Re: 教えて下さい!!!!
名前:由香里    日付:11月22日(土) 15時49分
貴さんヨッシーさん有り難う御座いました。手書きの図や、動く図と目も見やすかったです☆おかげさまで無事に解くことが出来ました。
これからも、よろしくお願いします(^0^)/

11513.素朴な疑問  
名前:サクシード    日付:11月21日(金) 23時18分
2乗根は、電卓の√キーを押せばすぐに出ますよね?あれって、どうやって計算しているのでしょうか?安い電卓なら、平方根だけしか計算できないので近似値が入れてあるだけかもしれませんが、関数電卓など、xのn乗根なんかの計算ができると、気が遠くなるくらいの組み合わせがあるので、全て近似値が入れてあるとは考えにくいのです。平方根や立方根、果てはn乗根の計算公式なんかあるのでしょうか?あったら教えて下さい。自称高校生。



11514.Re: 素朴な疑問
名前:中川 幸一    日付:11月21日(金) 23時24分
手計算で行う場合は,
m 次方程式 xm-n=0 の実数解として m√n の近似を求める計算をしますね。
この場合, 主に『ニュートン法』という計算手順で考えます。

http://www3.ezbbs.net/01/k-nakagawa/


11527.Re: 素朴な疑問
名前:えいぶ    日付:11月22日(土) 10時57分
数学Cあたりの教科書に書いてあった気がしますが…
ニュートン法…f(x)=0の近似解a1に対してa(n+1)=an-f(x)/f'(x)を繰り返し行い求めていく方法。
図形的に言うと接線とx軸との交点を求めていくことになります。

11510.中学生の問題  
名前:味噌汁    日付:11月21日(金) 19時45分
△ABCと△BCDがある。AB//CDで、BDとACの交点をEとする。EからABに平行になるように線を引きBCとの交点をEFとする。
(要するにAB//EF//DC)
AB=24 , DC=40

(1)BE:ED
(2)BF:BC
(3)EFの長さ
を求めよ。

よく見かける問題ですが、分からないので教えてください。
お願いします。



11519.Re: 中学生の問題
名前:ケロ    日付:11月22日(土) 0時52分
三角形ABE∽三角形CDEなので、
BE:ED=AB:CD=24:40=3:5。
三角形BFE∽三角形BCDなので、
BF:BC=BE:BD=3:8。また、
EF:DC=3:8なので、DCの長さを代入する。


11520.Re: 中学生の問題
名前:味噌汁    日付:11月22日(土) 1時31分
なるほど。そう考えるのですね。
△ABCと△DCBで考えていたのでいくら考えても分からなかったのです。
よくわかりました。
どうもありがとうございました。

11509.三角比  
名前:ここあ    日付:11月21日(金) 18時56分
海面上5mの地点から、ロープで結んだ船を引き寄せる。ロープの長さが20mになったとき、ロープと海面のなす角は約何度か。

この問題を教えてください。



11516.Re: 三角比
名前:ケロ    日付:11月21日(金) 23時52分
約何度か>なので正弦表などを見る問題じゃないかな。
sinθ=5/20=1/4=0.25 だから、約14度?


11532. 三角比
名前:ここあ    日付:11月22日(土) 17時9分
どうもありがとうございます。
正弦表みてみます

11500.はじめまして  
名前:爆・牧師(高校一年)    日付:11月21日(金) 16時58分
 皆さん初めまして、ふらっとここにたどり着きました、以後宜しくお願いします。
 組み合わせの問題で、平面上に7本の直線があり、そのうち3本だけが互いに平行で、他の直線については、どの2直線も平行でないとする。また、7本の直線のうち、どの3本も1点で交わらないとする時の交点の数と三角形の個数を求める問題なのですが、僕は図に書かないと求められません、組み合わせでこれを求められるのでしょうか?



11504.Re: はじめまして
名前:ヨッシー    日付:11月21日(金) 17時55分
もしも、どの2組の線も平行でないならば(もちろん3本以上が1点で交わることもない)
7本の線のうち、2本を選べば、1つの交点が得られるので、その個数は、
7本から2本選ぶ組合せで、7C2=21 です。

一方、3本が平行であるということは、これら3本が、本来交わってできるはずの
交点(3C2=3個)が出来ないということですから、
 21−3=18
です。
 
http://yosshy.sansu.org/


11505.Re: はじめまして
名前:ヨッシー    日付:11月21日(金) 18時0分
三角形の場合は、
 平行な3本を使って出来るはずだった三角形1個 と
 平行な3本のうち2本と、それ以外の4本のうち1本を使って
 できるはずだった三角形 3C2 × 4C1 =12個
を、7C3 から引きます。 答え22個。
 
http://yosshy.sansu.org/


11528.Re: はじめまして
名前:爆・牧師(高校一年)    日付:11月22日(土) 11時57分
 あぁ、そうか、これで図を描かなくても済むようになりました、本当にありがとうございます!!


11585.Re: はじめまして
名前:我疑う故に存在する我    日付:11月23日(日) 16時51分
>三角形の個数
これらの直線で分けられた領域のうち、三角形になる物が幾つかと言うことでしょうか?

それともこれらの直線とその交点によって出来る三角形が幾つあるかという事でしょうか?

11498.複素数の方程式です。  
名前:ほるもん(大卒・・一般市民?)    日付:11月21日(金) 16時8分
z^4+z^3+z^2+z+1=0を解け。
という問題なのですが、z≠1より
z^4+z^3+z^2+z+1={z(1-z^4)}/(1-z)
と変形し、さらにまとめると、z^5=1 (ただしz≠1)となるので
z=r(cosΘ + i・sinΘ)とおけば、〜中略〜
異なる値を与えるのはz=cos(2kπ/5) + i・sin(2kπ/5) (k=1,2,3,4)
cos(π/5)={1+√5}/4
cos^2(π/5)={3+√5}/8
sin(π/5)=sqrt{10-2√5}/4
sin^2(π/5)={5-√5}/8
を計算しておけば
k=1のとき
z=cos(2π/5)+i・sin(2π/5)=
・・・・
こうやっていったのですが、すごく煩雑です。(××;)
よりよい解法はないでしょうか??
よろしくお願いします。



11502.Re: 複素数の方程式です。
名前:ヨッシー    日付:11月21日(金) 17時41分
まず、最初の部分が、ちょっと変ですね。
 (z-1)(z4+z3+z2+z+1)=z5-1
なので、
 z4+z3+z2+z+1=(z5-1)/(z-1)
より、
 z5=1
ですね。

で、答えとしては、
 z=cos(2kπ/5) + i・sin(2kπ/5) (k=1,2,3,4)
で、十分と思いますが、数値に直すなら、
こちらのページの下の方の結果を、
使っても良いでしょう。
煩雑なのは、仕方ありませんね。たぶん。

k=1:z=cos72°+isin72°
k=2:z=-cos36°+isin36°
k=3:z=-cos36°−isin36°
k=4:z=cos72°−isin72°
が、せいぜいでしょうか?
http://yosshy.sansu.org/


11560.Re: 複素数の方程式です。
名前:ほるもん(大卒・・一般市民?)    日付:11月22日(土) 23時21分
ありがとうございます。>ヨッシーさん。
z^4+z^3+z^2+z+1={z(1-z^4)}/(1-z)

z^4+z^3+z^2+z={z(1-z^4)}/(1-z)
のまちがいでした。
やっぱりcos、sinを消すとなると計算が増えるのは
仕方ないんですかね・・・。

11493.わかりません(+_ q ))グスン  
名前:だーやん    日付:11月21日(金) 1時23分
∠XOY内の定点AとOを通る任意の円とOX、OYとの交点をB,Cとするとき、OB+OCが一定であるためには、Aが∠XOYの二等分線上にあることが必要かどうかと、十分であるかどうか調べなさい。

全然わかんなくて困ってます(T∀T)



11494.Re: わかりません(+_ q ))グスン
名前:だーやん    日付:11月21日(金) 1時25分
えっと・・・学年は高三です。
平面幾何の問題です・・・


11503.Re: わかりません(+_ q ))グスン
名前:ボビー    日付:11月21日(金) 17時52分
OAを直径とする円とOX, OYの交点をそれぞれP, Qとおいて、
OP+OQを基準に考えると判りやすいでしょう。
一般のB, Cに対して、△ABP∽△ACQです。


11507.Re: わかりません(+_ q ))グスン
名前:だーやん    日付:11月21日(金) 18時17分
え〜〜・・・・
わかりません(T△T)
ほんとにバカなもんで。
ごめんなさい(T∀T)

11478.(untitled)  
名前:()()()    日付:11月20日(木) 20時32分
あいこさんへ
この前の質問の返事をいちおう書いておいたの
見ておいてください

11472.(untitled)  
名前:IGA(中三)    日付:11月20日(木) 18時5分
Original Size: 925 x 443, 15KB

次の図のように。底面の直径が16pの円柱が水平面に対して、垂直に立っている。この容器に中に半径6pの球Aと半径4pの球Bとがそれぞれ円柱の内側に接するように入っている。

いま水を容器に注ぎ込み、球Bの最上部まで入れた。このとき水の深さを求めよ。
これは楽勝18p

球Aの最上部を通り、底面と平行な平面で球Bを切ったとすると、その切り口の周の長さは?

全く分かりません。

※Aは大きい方 Bは小さい方の 球です。



11483.Re: (untitled)
名前:ケロ    日付:11月20日(木) 21時53分
18pがでたのなら、断面図を正確に描けば小さい球の下部の半径の真ん中に来るのがわかると思います。


11486.Re: (untitled)
名前:IGA(中三)    日付:11月20日(木) 22時20分
すいませんできません(涙)
う〜ん。まだ三平方の立方体もならいたてなので、断面図の描き方もいまいちわかりません。
すいません。本当に数学苦手なんで・・・


11489.Re: (untitled)
名前:ヨッシー    日付:11月20日(木) 23時55分


 
http://yosshy.sansu.org/


11525.Re: (untitled)
名前:IGA(中三)    日付:11月22日(土) 8時41分
ケロさんご返信有り難うございます!
ヨッシーさん、断面図有り難うございます!
わかりやすかったです!

11471.頼みます。  
名前:IGA(中三)    日付:11月20日(木) 17時57分
Original Size: 925 x 443, 17KB

1辺が6の立方体がある。

対角線BHと△ACFの交点をP、BHと△DEGの交点をQとするときPQの長さは?



11475.Re: 頼みます。
名前:ケロ    日付:11月20日(木) 19時23分
体積でやってみます。簡単のため、1辺が1でやってみます。
まず、立方体の体積=1。四面体BAFCの体積=1/12。
次に、四面体BAFCの体積を三角形AFCを底辺として考えると、
三角形AFCの面積=√3/2なので、(1/3)* (√3/2)*BP=1/12だから、
BP=√3/6。ここで、BH=√3より、PQ=BH-2BP=2√3/3。
1辺が6にもどすと、6倍してPQ=4√3。


11476.Re: 頼みます。
名前:IGA(中三)    日付:11月20日(木) 20時15分
あり?答えが違うのですが・・
答えは2√3になるのですが・・・
(もしかしたら問題集の解答ミス??)


11481.Re: 頼みます。
名前:ケロ    日付:11月20日(木) 21時5分
ふい。四面体BAFCの体積=1/12→1/6。ですね


11484.Re: 頼みます。
名前:IGA(中三)    日付:11月20日(木) 22時5分
おお〜さすがケロさんわかりやすいです♪
ちょっと質問なんですが、
>PQ=BH-2BP
ということは、BP=HQということですよね?
なぜこのような関係が成り立つのでしょうか?

すいません。馬鹿で・・・


11488.Re: 頼みます。
名前:ケロ    日付:11月20日(木) 23時9分
サイコロか何か立方体のものを取り出して、一つの頂点を真上にしてみれば、切り取る四面体が上下でまったく同じであることがわかると思います。


11506.Re: 頼みます。
名前:IGA(中三)    日付:11月21日(金) 18時1分
ああわかりました。
△ACF≡△DEGですね。
感謝感謝!ありがとうございます!

11468.2次関数のグラフ  
名前:ここあ    日付:11月20日(木) 17時21分
次の2次関数のグラフがx軸に接するように、定数mの値を定めよ。
またそのときの接線の座標を求めよ。

1 y=x^2+2mx+m+2

2 y=x^2-√5x+m^2+2m

この問題を教えてください。お願いします

        高校1年生



11470.Re: 2次関数のグラフ
名前:Bob    日付:11月20日(木) 17時36分
「2次関数のグラフがx軸に接する」判別式D=0
Dはax^2+bx+c=0におけるb^2−4acのこと

1. D=(2m)^2−4(m+2)=0
   4m^2−4m−8=0
    m^2−m−2=0
     (m−2)(m+1)=0
         m=2,−1
   つまり
  y=x^2+4x+4
  y=x^2−2x+1
  この関数とx軸との交点(接点)は
   (−2,0)、(1,0)
★2もやってみてください
 (注意)あえてD/4 はつかいませんでした。
     まずDを使いこなしてください。
  


11479.Re: 2次関数のグラフ
名前:tk    日付:11月20日(木) 20時44分
二次関数y=ax^2+bx+cがx軸に接する
⇔y=0…(1)とy=ax^2+bx+c…(2)が接する
⇔(1),(2)を連立したax^2+bx+c=0が重解を持つ
⇔ax^2+bx+c=0に対する判別式D=0

ということです。


11508.2次関数のグラフ
名前:ここあ    日付:11月21日(金) 18時46分
どうもありがとうございました!!!!よく分かりました。

11465.かなり簡単な問題。  
名前:IGA(中三)    日付:11月20日(木) 16時58分
Original Size: 925 x 443, 17KB

次の図はBC=4p、BF=12pの直方体ABCDーEFGHの辺DHの点をP、面CGHDの対角線DGの中点をQ、面EFGHの対角線FHの中点をRとしたものである。

線分QRの長さを求めよ。

途方に暮れてしまいました。全く分かりません。
よろしくお願いします!



11466.Re: かなり簡単な問題。
名前:えいぶ    日付:11月20日(木) 17時9分
HGの中点をIとおきます。
ここで2QI=BF,2RI=BCであることが分かるので
ピタゴラスの定理を利用すればいいでしょう。


11467.Re: かなり簡単な問題。
名前:Bob    日付:11月20日(木) 17時13分
RからGHに垂線を引きその交点をSとします。あとは三角形QRS
が直角三角形で、QSはDSの半分、RSもFGの半分。
あとは三平方にもっていく。


11473.Re: かなり簡単な問題。
名前:IGA(中三)    日付:11月20日(木) 18時11分
あれ?妙に簡単だ・・・ヤヴァイです・・・こんな問題ができないなんて・・絶望的だ。

ありがとうございました!

11458.高2・数Uの計算問題です。  
名前:マイマイ★    日付:11月20日(木) 0時10分
はじめまして。数Uの計算問題なんですが、できそうで出来ません。。。

問題↓

(A-B)(B−C)分のCA + (B−C)(C−A)分のAB + (C−A)(A−B)分のBC


です。
よく見る問題で前もやったことある気がするのですが、やり方をまったく
忘れてしまいました。
分母を全部展開してみて、全分母で通分してみようと思ったのですが、
途中から分からなくなりました。
地道に通分していくのでしょうか。それとも、やり方があるのでしょうか。
教えていただければと思います。
よろしくお願いします。



11462.Re: 高2・数Uの計算問題です。
名前:T    日付:11月20日(木) 12時7分
ca/ (a-b)(b-c) + ab/ (c-a)(b-c) + bc/ (a-b)(c-a)

★(a-b)(b-c)(c-a) で分母をそろえる。
ca(c−a)/(a-b)(b-c)(c-a) 
     +
ab(a−b)/(a-b)(b-c)(c-a)
     +
bc(b−c)/(a-b)(b-c)(c-a)

= ca(c−a)+ab(a−b)+bc(b−c)/(a-b)(b-c)(c-a)
=a^2(b-c)+a(c^2-b^2)+bc(b-c)/ (a-b)(b-c)(c-a)
=(b-c){a^2-(b+c)a+bc}/(a-b)(b-c)(c-a)
=(b-c)(a-b)(a-c)/(a-b)(b-c)(c-a)
=(a-c)/(c-a)=-(c-a)/(c-a)=-1


11518.Re: 高2・数Uの計算問題です。
名前:マイマイ★    日付:11月22日(土) 0時47分
ありがとうございました!!!!!

11456.有理化って・・・。  
名前:だいすけ    日付:11月19日(水) 22時28分
中学で平方根の授業がありました。
有理化ってどうして必要なんですか?
教えてください。
お願いします。



11457.Re: 有理化って・・・。
名前:ast    日付:11月19日(水) 23時31分
計算に都合が良いからです。


11460.Re: 有理化って・・・。
名前:だいすけ    日付:11月20日(木) 9時15分
astさんありがとうございます。

計算に都合が良いからって・・・。
なんか納得できないんですが・・・。
答えなどに書く場合は有理化しなくてもいいんですかね??


11461.Re: 有理化って・・・。
名前:ast    日付:11月20日(木) 10時6分
>答えなどに書く場合は有理化しなくてもいいんですかね??
その場の取り決めで, 有理化するようにと言われていたら
しないといけません. また有理化することで式がさらに簡単に
まとめられる場合はしたほうが良いでしょう.


11464.Re: 有理化って・・・。
名前:だいすけ    日付:11月20日(木) 16時29分
たびたびありがとうございます。
係数でくくるように、無理数でまとめるということですね。
有理化の必要性って何でしょうか?


11469.Re: 有理化って・・・。
名前:tk    日付:11月20日(木) 17時35分
1,直感的にその数の大きさが分かりやすい

 例:1/sqrt(2)=・・・・と考えるよりもsqrt(2)/2=0.707・・・の方が見やすい。(「sqrt(a)」とは「ルートa」のことです。) 

2,あくまでも自分の感覚では、分母にルートがあると「気持ち悪い」です。


11474.Re: 有理化って・・・。
名前:だいすけ    日付:11月20日(木) 18時22分
tkさんありがとうございます。
仮分数を帯分数にするように見やすかったりすると思います。
また高校生の数学になれば有理化のような変形をする
シチュエーションはでてくるんでしょう。

もうちょっと『へぇー』って思える
学問的な説明しても聞きたいんですが・・・。


11480.Re: 有理化って・・・。
名前:()()()    日付:11月20日(木) 21時2分
有理化していない答えも確かに同じものですが
中学のレベルでは有理化していなければ
入試ではバツにされる可能性が高いです
3+4をそのまま3+4と書いてはいけないのと同様に
根号も分かりやすい形に直さなければいけません

大学入試では
その受ける大学のレベルによってもかわってきます
東大のような学校なら
有理化していなくても丸をくれます
(もっと難しいレベルでの問題であるから有理化にこだわらない)

結局は数学的には間違いではないが
聞かれていることが有理化もしろという
意味を含んでいるから有利化の必要があるということです


11482.Re: 有理化って・・・。
名前:だいすけ    日付:11月20日(木) 21時23分
()()()さんありがとうございます。
ちなみに有利化×→有理化○では??
試験や入試というシステムでは有理化した答えを記入したいと思います。

>東大のような学校なら有理化していなくても丸をくれます
>(もっと難しいレベルでの問題であるから有理化にこだわらない)

東大入試問題ならしなくてもいいのですか?
()()()さんは採点されてる方なのでしょうか?


11487.Re: 有理化って・・・。
名前:ast    日付:11月20日(木) 22時38分
>もうちょっと『へぇー』って思える
>学問的な説明しても聞きたいんですが・・・。

嫌味な答えになりますが, 学問的な背景があると頑なに主張する根拠は
なんなんですか. 完全に技術的な都合です.

大学で 「代数学」 を学ぶ機会があれば, 体の拡大(特に二次拡大)について
調べてみれば, あるいは別の見方を"発見"するかもしれませんが.
# それにしたって, たまたま 「二次の根を添加した環は体になる」
# といったようなことでしかありませんが.

### とか書いてると, すぐに的確なツッコミが入るような気もしますが.
### 少なくとも, 今の私の認識はここで述べたものなわけです.


11499.元・採点者の立場から
名前:Red cat    日付:11月21日(金) 16時27分
実はアルバイトで某社の模試採点をやっていました。

採点する側の立場からは
「基本的に有理化してもしなくても同じ」
という寛容な考え方です。
#他社の採点基準は知りませんが.

それでも有理化したいのは
>計算に都合が良い
>直感的にその数の大きさが分かりやすい
>分母にルートがあると「気持ち悪い」
といった
>完全に技術的な都合
程度のものです。数学的な根拠は特に無いですね。
#もっとも、「有理化して答えなさい」と言われて有理化しなかった
#ら、それはバツ(良くて減点)でしょうね。


11512.Re: 有理化って・・・。
名前:()()()    日付:11月21日(金) 21時0分
東大に限らず大学側が有理化について問う必要がない
という考えをもっているところは有理化していなくても
丸をくれます(レベルの高い学校に多い)
つまり有理化しなくてもよいということです

ただしセンター試験では有理化しなければいけません


11521.みなさんありがとうございました。
名前:だいすけ    日付:11月22日(土) 1時39分
astさん、Red catさん、()()()さんありがとうございました。

>嫌味な答えになりますが, 学問的な背景があると頑なに主張する根拠は
>なんなんですか. 完全に技術的な都合です.

生まれたからには、何かしら理由があると思いました。
でも、そのことについて授業では触れませんでしたし
質問しても、その作業を有理化っていうんだよ。。。ぐらいの答えでした。
なんだかしつこく質問してしまったみたいで申し訳ありませんでした。


11677.Re: 有理化って・・・。
名前:ast    日付:11月26日(水) 10時14分
もう目に留まるかどうか知りませんけれど, 書いておきます.

「計算に都合がいい」というだけで 『十分に意味がある』 のです
けれどね.

スレ主さんがどのようなことを指して「学問的」と言っていたのかは
知る由もありませんけれど, 「技術的な話」 が 「学問的でない」 とは,
私個人は, あまり思いません.

ま, 面白いかどうかは別の話ですが.

11455.ベクトルです。  
名前:lalo    日付:11月19日(水) 22時26分
Original Size: 500 x 200, 22KB

またですがすみません。
数Bベクトルの問題です。
基本らしいのですがよくわかりません。
教えていただけないでしょうか?



11459.Re: ベクトルです。
名前:ケロ    日付:11月20日(木) 0時32分
3PA+2PB+PC=0
三角形を描いて、点Pは三角形の中のほうが見やすいかな。
AP↑AB ↑AC↑の向きに矢印を描き次のようになることを確かめてください。
PA↑=-AP↑, PB↑=AB↑-AP↑, PC↑=AC↑-AP↑ 。
これを与えられた式に代入すれば、
AP↑=(2AB↑+AC↑)/6 と出ます。これを
係数の2と1を足したものが分母になるように書き直すと、
AP↑=(1/2)(2AB↑+AC↑)/(1+2) =(1/2)(2AB↑+AC↑)/3 となります。
(2AB↑+AC↑)/3は点Aから見て辺BCを1 : 2に内分した点(この点をMとします)を表しています。
AM↑=(2AB↑+AC↑)/3 です。すると、AP↑=(1/2) AM↑となり、点PはAMの中点ということがわかります。
面積は図の中から見つけてください。


11485.Re: ベクトルです。
名前:lalo    日付:11月20日(木) 22時12分
ありがとうございます。
あの、最後の面積は図の中から見つけてください。というのは
どういうことなのでしょうか?


11490.Re: ベクトルです。
名前:lalo    日付:11月21日(金) 0時3分
AMの中点ということから比がわかるのでしょうか?


11491.Re: ベクトルです。
名前:ヨッシー    日付:11月21日(金) 0時33分
たとえば図は、辺を1:2に内分する点と、別の頂点を結ぶ線を
3:1に内分する点を考えた場合の図ですが、右の図のように
辺の比から、面積の比が求められるということです。

 
http://yosshy.sansu.org/


11492.Re: ベクトルです。
名前:lalo    日付:11月21日(金) 0時57分
Original Size: 200 x 149, 3KB

ということは、PAB:PBC:PCA=3:3:6=1:1:2
となるのですか?



11495.Re: ベクトルです。
名前:ヨッシー    日付:11月21日(金) 1時42分
上の図は、例ですので、最初の問題とは、違います。
でも、この例なら、1:1:2で正解です。

もとの問題では、PはAMの中点ですので...
 
http://yosshy.sansu.org/


11496.Re: ベクトルです。
名前:lalo    日付:11月21日(金) 2時0分
もしかして1:3:2ですか?


11497.Re: ベクトルです。
名前:ヨッシー    日付:11月21日(金) 5時45分
そうゆうことですね。
正解。
 
http://yosshy.sansu.org/


11501.Re: ベクトルです。
名前:lalo    日付:11月21日(金) 17時20分
ご説明ありがとうございました。
まだまだですね。
もっと勉強します。

11448.(untitled)  
名前:たくや    日付:11月19日(水) 17時28分
4ページ目の2変数関数の中間値の定理の項目で,また質問しておきましたので宜しくお願いします。



11451.Re: (untitled)
名前:我疑う故に存在する我    日付:11月19日(水) 18時4分
返信しておきました。


11454.Re: (untitled)
名前:たくや    日付:11月19日(水) 21時43分
ありがとうございます。一般的に2変数関数の中間値の定理は,有界でない場合ではなくて,有界な閉領域で説明されているのでしょうか?


11463.Re: (untitled)
名前:我疑う故に存在する我    日付:11月20日(木) 14時25分
一般には関数が定義されているのが領域か閉領域かだから、そのどちらかで考えるのが普通でしょうが、中間値の定理はそれらと関係なく、一変数・多変数も関係なく、有界・閉・領域も関係なく、定義域の連結性と関数の連続性のみから出ます。


11511.Re: (untitled)
名前:たくや    日付:11月21日(金) 20時48分
ということは,僕の持っている教科書に限って言えば,有界な閉領域を使って説明されているということでしょうか。


11827.Re: (untitled)
名前:我疑う故に存在する我    日付:12月3日(水) 17時43分
多分そうだと思います。
(実際には教科書を見てみないと分らないが)


11870.Re: (untitled)
名前:たくや    日付:12月5日(金) 21時16分
我疑う故に存在する我さんの11463番の回答で,「一般には関数が定義されているのが領域か閉領域かだから,・・・・・」と書かれていますが,半開領域の場合もありますよね?

11445.(untitled)  
名前:クロ 高3    日付:11月19日(水) 16時30分
f(x)=∣x∣+xとする。x=0においては{df(x)}/(dx)は存在するか?

存在しないみたいですが、どうしてかわかりません。
どのように計算していけばよいのですか?



11447.Re: (untitled)
名前:ast    日付:11月19日(水) 17時26分
定義どおり左右からの微分係数を求めると
lim_[h→+0]{f(h)-f(0)}/h ≠ lim_[h→-0]{f(h)-f(0)}/h
となるからです.

ま, 原点以外では微分できるので, それを先に示して
f'(+0) ≠ f'(-0) だと言ってもかまいませんが.


11453.Re: (untitled)
名前:クロ 高3    日付:11月19日(水) 19時29分
わかりました!
ありがとうございました!

11432.側面積  
名前:momomo    日付:11月18日(火) 19時39分
半径rの底面積を持つ円柱があって、コレを切断します。
どんな風にかって言うと説明しがたいのですが、底面の円の中心を通るように切ります。
こんな感じです。ただ、底面と切断面のなす角が45°じゃないですが。(うーん説明下手!)

それでこの立体(切ったときの小さいほう)の体積を1,
とするときの側面積を求めたいのです。

積分を使ってやる方法はわかっています。サインカーブになりますよね。
それで、求める側面積をSとするとこの立体の体積は
1=S×r×1/3 ∴S=3/r
とでますが、これで、十分な解答といえるでしょうか?
「微小体積に分割して・・・」などの説明が要りますか?(説明できないのですが)



11610.Re: 側面積
名前:ケロ    日付:11月24日(月) 0時13分
「微小体積に分割して・・・」、その結果積分という概念が出来たので、積分すればいいと思います。
底面と切断面のなす角をφとすると、計算してみたら少し食い違っているので、どっちがあっているのかわかりませんが一応。
V=1/2∫[-r,r]tanφ√(r^2-x^2) √(r^2-x^2)dx=(2/3)r^3 tanφ
側面積をS1とすると、S1=∫[-r,r]tanφ√(r^2-x^2)=1/2(πr^2tanφ)
だから、
S1=(3πV)/(4r)なので、V=1のとき、S1=(3π)/(4r)。

11429.2次方程式  
名前:ここあ 高校1年生    日付:11月18日(火) 19時11分
2次方程式x^2-ax+1=0の解が0と1の間にあり、他の解が2と3の間にあるように、定数aの値の範囲を求めよ。

この問題を教えてください。



11433.Re: 2次方程式
名前:我疑う故に存在する我    日付:11月18日(火) 19時55分
似たようなことを前に何回か書きました。
二次方程式 x^2 + px + q = 0 が
(1) 2つの異なる正の解を持つ ⇔ p < 0, q > 0, D > 0,
(2) 正の解と負の解を持つ ⇔ q < 0,
(3) 2つの異なる負の解を持つ ⇔ p > 0, q > 0, D > 0.

を使えば、f (x) = x^2 - ax + 1 と置くとき、
(4) f (x) = 0 の全ての解が正
(5) 元の方程式の全ての解が3より小さいと言う事は、
f (x + 3) = 0 が二つの負の解を持つ
(6) 一方の解が1より小さく、もう一方は1より大きいと言う事は、
f (x + 1) = 0 が正の解と負の解を持つ
(7) 同様に f (x + 2) = 0

以上を纏めて得られる。


11434.Re: 2次方程式
名前:我疑う故に存在する我    日付:11月18日(火) 20時31分
削除キーを入れ忘れたので書き直し。

似たようなことを前に何回か書きました。
二次方程式 x^2 + px + q = 0 が
(1) 2つの異なる正の解を持つ ⇔ p < 0, q > 0, D > 0,
(2) 正の解と負の解を持つ ⇔ q < 0,
(3) 2つの異なる負の解を持つ ⇔ p > 0, q > 0, D > 0.

を使えば、f (x) = x^2 - ax + 1 と置くとき、
(4) f (x) = 0 が異なる二つの正の解を持つ。
(5) 元の方程式が異なる解を持ち、全ての解が3より小さいと言う事は、
f (x + 3) = 0 が二つの負の解を持つと言う事と同値。
(6) 一方の解が1より小さく、もう一方は1より大きいと言う事は、
f (x + 1) = 0 が正の解と負の解を持つと言う事と同値。
(7) 同様に f (x + 2) = 0 が正の解と負の解を持つ。

以上を纏めて得られる。


11444.Re: 2次方程式
名前:キューダ    日付:11月19日(水) 16時23分
x^2の係数が正であることに注意し、条件を忠実に表現すると

0〜1に1解がある
f(0)>0
f(1)<0

2〜3に1解がある
f(2)<0
f(3)>0

となり、これらを連立させて解くことができます。


また、二つの解の積が、1であるということに注目すれば、
2〜3に1解があれば、他の解は、1/2〜1/3にあること
になるため、「2〜3の間で、右上がりにx軸を通過する」を意味する、

f(2)<0
f(3)>0

だけを条件にして、解いても良いでしょう。


なお、いずれの場合でも、ある地点で、f(x)が正、別の地点でf(x)が負と
いう条件があるため、「判別式が正」という条件は自動的に満たされています。


11452.2次方程式
名前:ここあ    日付:11月19日(水) 18時49分
我疑う故に存在する我さん、キューダさん、どうもありがとうございました。文章題は苦手なので頑張ります!!

11425.三角関数  
名前:docomo    日付:11月18日(火) 15時51分
加法定理の公式を一般化することはできるのでしょうか?どなたか教えてください。学年は高1です。



11426.Re: 三角関数
名前:Red cat    日付:11月18日(火) 16時24分
一般化というのは
sin (x ± y) , cos (x ± y)
に関する 4 つの公式を一つにまとめられないか、と言うことでしょうか?


11427.Re: 三角関数
名前:ast@学校    日付:11月18日(火) 17時29分
変数の数を増やす一般化(これは本質的に無意味)も考えられますし,
変数を複素数に拡張するという一般化も考えられますし, 一口に一般化
といわれても様々ですので, 訊かれたほうは答えに窮してしまいます.

漠然と考えてみたいというだけなのであれば, あまり感心しません.
先に, 自力で弄れる範囲で考えてみることをお勧めします.


11430.Re: 三角関数
名前:我疑う故に存在する我    日付:11月18日(火) 19時31分
>に関する 4 つの公式を一つにまとめられないか、と言うことでしょうか?

これは「統一的拡張」等という


11435.Re: 三角関数
名前:docomo    日付:11月18日(火) 21時27分
えっと、学校の先生がポロリと口にしたのが気になってたのと、明日がテストなので質問させていただきました。astさんのご意見参考にします。ほかのお2人もありがとうございました。


11449.Re: 三角関数
名前:我疑う故に存在する我    日付:11月19日(水) 17時58分
>学校の先生がポロリと口にした
だったら多分公式集にも載っている
sin (x ± y ± z) 等のことだと思います。

11418.なんどもすいません。困っています  
名前:C言語勉強中    日付:11月18日(火) 0時24分
パスカルの三角形を描いているのですが、なぜかエラーがでてしまいます。
なぜなんでしょうか??ご指摘お願いします。
#include <stdio.h>

int pascal(int, int, int);

main()
{
int tri[9][9];
int lines, n, count, space, i, j, x;

printf("Lines number?:");
scanf("%d", &lines);

while( lines < 1 || lines > 9){
printf("Erorr!\n");
printf("Lines number again?:");
scanf("%d", & lines);
}

n = lines;

for(count=0, i=0; count<lines; count++, n--, i++){
for(space=0; space<(n-1)*2; space++){
printf(" ");
}
for(j=0; j<=i; j++){
printf("%d", pascal(i, j, tri));

if(i == j){
putchar('\n');
}
else if(pascal(i, j, tri) >= 10){
for(x=0; x<2; x++)
printf(" ");
}
else{
for(x=0; x<3; x++)
printf(" ");
}
}
}
return 0;
}

int pascal(int i, int j, int tri[9][9])
{
int k, l;

for(k=0; k<9; k++){
for(l=0; l<=k; l++){
if(l == 0)
tri[k][l] = 1;
else if(k == l)
tri[k][l] = 1;
else
tri[k][l] = tri[k - 1][l - 1] + tri[k - 1][l] ;
}
}
return tri[i][j];
}
となり、
でてきたエラーは、
エラー E2040 hello.c 6: 宣言が正しく終了していない(関数 main )
エラー E2188 hello.c 25: 式の構文エラー(関数 main )
エラー E2188 hello.c 30: 式の構文エラー(関数 main )
エラー E2040 hello.c 43: 宣言が正しく終了していない
*** 4 errors in Compile ***
とでてきました。



11419.Re: なんどもすいません。困っています
名前:ヨッシー    日付:11月18日(火) 3時3分
コンパイラによって、エラーの出方が違います。
こちらは、Microsoft C/C++ Ver.8 ですが、
pascal が予約語なので、pasc にでも変えれば、ちゃんと動きました。
あと、3行目の(int, int, int) の3つ目の int は正しくありません。
(int, int, int[9][9]) でとりあえずは良いと思います。
 
http://yosshy.sansu.org/

11408.教えて下さい。おねがいです!  
名前:高3    日付:11月17日(月) 19時53分
曲線y=ax³+bx²+cx+3(a>0)がx軸と3点(3,0),(α,0),(β,0)(3>α>β)で交わり、3−α=(7-√5)/2,αーβ=√5の関係が成り立つ時、次の問いに答えよ。
(1)a,b,cの値を求めよ。
(2)α≧x≧βの範囲で、この曲線とx軸によって囲まれる部分の面積を求めよ。



11412.Re: 教えて下さい。おねがいです!
名前:ケロ    日付:11月17日(月) 22時16分
(1)まず、αとβを出して、解と係数の関係へ。
持ち込めばいいと思います。
3+α+β=-b/a, 3α+3β+αβ=c/a, 3αβ=-3/a
ですから、α+βとαβの値がわかればa、b、cが出ます。


11431.Re: 教えて下さい。おねがいです!
名前:高3    日付:11月18日(火) 19時32分
(1)はa=1,b=-2,c=-4ともとめることができたのですが、(2)が解けません。教えて下さい。


11437.Re: 教えて下さい。おねがいです!
名前:ケロ    日付:11月18日(火) 22時57分
計算が大変だということですか。もっとエレガントな解法があるかどうか知りませんが、α-βとα+βとαβの値は求まりますね。αとβをそのまま使って積分してみてください。
∫(x^3-2x^2-4x+3)[α,β]=[x^4/4-2x^3/3-2x^2+3x] [α-β]=1/4(α^4-β^4)+…….
すると、α^4-β^4とかα^3-β^3とかの項が出ます。それをα-βとα+βとαβで表してその値を代入すれば少し計算がらくだと思います。例えば、
α^3-β^3=(α-β)( α^2+αβ+β^2)= (α-β)( (α+β)^2-αβ)
と変形して、値を代入します。

11403.関数の増減・極値  
名前:lalo    日付:11月17日(月) 17時1分
いつもすみません。
(1)は f'(3)=f'(5)=0 ということだけわかるのですが
他がよくわかりません。 
数学Uの問題です。お願いします。

(1)3次関数f(x)=x^3+ax^2+bx+eがx=3で極大値56をとり,
  x=5で極小値をもつとき,a,b,cの値を求めよ。
(2)関数f(x)=x^3+(k-9)x^2+(k+9)x+1(kは定数)が極値をもたないような
kの値の範囲を求めよ。  



11405.Re: 関数の増減・極値
名前:我疑う故に存在する我    日付:11月17日(月) 17時55分
略解。(ヒント)

1) f '(3) = f '(5) = 0, f (3) = 56 を連立させる。
ii) f '(x) の判別式 D ≦ 0 を解く。


11409.Re: 関数の増減・極値
名前:lalo    日付:11月17日(月) 20時24分
ヒントありがとうございます。
あの、
1) f '(3) = f '(5) = 0, f (3) = 56 を連立させる。とのことですがどのようにするのでしょうか?
ii) は微分すると、
3x^2+2(k-9)x+k+9
3x^2+2kx-9x+k+9
このあとどうすればよいのでしょうか?


11415.Re: 関数の増減・極値
名前:ケロ    日付:11月17日(月) 23時41分
1)こちらも微分しましたか。極大値、極小値を持つということは導関数f' (x)=0を満たすxがあること。それが、x=3、x=5ですから、微分した式にそれぞれx=3、x=5を代入すれば二つの式、これで、aとbが出ます。もとのf(x)にx=5を代入した式が56に等しくなりますから、それで三つ目の式が出来、cが出ます。
f '(3)=27+6a+b=0, f '(5)=75+10a+b=0, f (3)=27+9a+3b+ef
2)f '(x)= 3x^2+2(k-9)x+k+9=0 として、3x^2+2(k-9)x+k+9=0の判別式です。


11428.Re: 関数の増減・極値
名前:lalo    日付:11月18日(火) 17時42分
ご解説ありがとうございました。
なんとかできました。
まだまだ勉強不足なのでもっとがんばりたいと思います。

11398.性質とはどのように捕らえたらいいですか。  
名前:K_H    日付:11月17日(月) 12時42分
 先日は、不等式の件でいろいろなご助言ありがとうございました。とても参考になりました。ご助言の中にあるように、公理から再構成できれば良いのですが、なかなか難しいですね。

 そこで、不等式について、数学辞典で調べてみたのですが、これまで質問してきた内容は、「不等式の性質」というものにすべて網羅されていました。そこで、新しい疑問が生じました。この、性質と言うのは、どのように捕らえたら良いのでしょうか。同様に、小中の参考書では、計算の約束事としてのっていました。

 これら、性質や、約束事というのは、「きちんとした理由はあるのだけれども、今はその理由に深入りせずにルールだと思ってそのとおり、計算してください。」という解釈にしてしまって良いのでしょうか。

 当方、数学の専門的なことは学んできませんでしたので、このような基本的なことに少々つまづいております。どなたか、よい、アドバイスをいただけないものでしょうか。



11399.Re: 性質とはどのように捕らえたらいいですか。
名前:Red cat    日付:11月17日(月) 12時51分
何かしらの間違いがあれば、どなたかからツッコミが入るでしょう(マテ)から、私の考えを述べます。

「不等式の性質」なるものは、突き詰めれば「順序体の公理」に帰着します(順序体の公理を忘れてしまったので、ここでは深入りしません)。

ただ、公理と言っても、私たちの自然な感覚を損なうものではありませんから、中学生に対して教えるときは、「このくらいは直感でわかってね」という程度でしかやらないのだと考えます。

結論的には、「不等号とは、その様な振る舞いをする記号として定義されている」だけで、その振る舞いについてとやかく論ずるのもどうかな、という気はします。


11404.表現が不適切でした。
名前:K_H    日付:11月17日(月) 17時36分
 お返事ありがとうございます。表現が稚拙なせいか、こちらの意図が十分には伝わりませんでした。申し訳ありません。不等式にこだわるつもりはありません。ただ、教科書で、性質とか、約束事とか書いてある内容をどう考えたらよいのかということをお伺いしたかったのです。

 もし、「性質」とかを証明なしに使っていいものと考えてしまえば、いちいち説明することなしに、「説明できなくてごめんね、でも、この考え方で間違えないよ」といってしまえばいいし。

 もし、証明してから使わなければならないとなれば、これは、たいへんな労力が必要になる。

 と考えたからです。そこで、皆様の、数学的な性質とか、約束事というのをどのように捕らえているか教えて頂きたかったのです。では、失礼しました。


11406.Re: 性質とはどのように捕らえたらいいですか。
名前:Red cat    日付:11月17日(月) 18時6分
まだ読んでいらっしゃるでしょうか。

私の言いたかったことは、最後の 2 行に集約されています。

「性質」とか「約束事」という言葉を使用しているもののほとんどは、正確には「公理」です。

例えば、和の「性質」として、入れ替えが可能である(a + b = b + a)なんてのがあったりしますが、それは、和というものがそもそもその様に振る舞うものとして定義されているからに過ぎません。それを追求されないよう、「約束事」という言葉で「理屈はともかくそう言うものなのだから認めてちょうだい」と言っているのだと考えます。

つまり、公理としての意味合いを持つ「性質」や「約束事」については、それを無理に説明するよりは、そういうものなのだ、と納得してもらうのが良いと思います。

#ちなみに「公理」が証明できないことは良いですよね?


11414.Re: 性質とはどのように捕らえたらいいですか。
名前:ast    日付:11月17日(月) 23時39分
横レスです.

>Red cat さん
公理は証明できませんが, 「ある集合系が公理を満たすこと」 ならば
証明できます.
そういう意味で性質と公理をごっちゃになさってませんか?

仰りたいことは多分, 以下のようなことでしょう.
要するに性質として抽出されるものの多くは, それを公理として
「その性質を持つもの」の理論を演繹できるのだとおっしゃりたい
のですよね?

>K_H さん
あなたが最初にされた不等号の話を例に取ると, あなたは「数の性質」
と 「不等号の性質」 とをはっきり区別しておられなかったと思われ
ます. わたしが前スレでつけたレスにはそういう意図があったのですが.

初等数学における 「大小関係」 は 「数の性質」 によって規定される
と思ってかまいません. 「負の数を掛けるとひっくり返る」とかいう
のも 「数」 なしに規定できないですよね? さらに, これを見方を
変えて, 「不等号の "性質"」 だと見た瞬間に Red cat さんの仰る
ように (順序体の)「公理(の一つ)」 に化けます.

これを 「数の性質」と見たときは, この 「性質」 はきちんと証明
できます.
# 前スレではこのような内容の話が展開されていたわけです.
# 読み直してみてください.

ということで, あなたはそれが 「何の性質なのか」 ということを
区別できる論理を習得する必要があります.

一方, 「約束事」 は 「公理・公準」 です. 問答無用の取り決めです.

### 筋道立てて話が構成できない自分の文章力のなさが恨めしいの
### ですが, 泥沼にはまりそうなのでこの辺で・・・;


11420.ご指摘ありがとうございます。
名前:Red cat    日付:11月18日(火) 9時2分
>そういう意味で性質と公理をごっちゃになさってませんか?
確かにごちゃ混ぜにしていた節があります。

>要するに性質として抽出されるものの多くは, それを公理として
>「その性質を持つもの」の理論を演繹できるのだとおっしゃりたい
>のですよね?
まさしくその通りです。

11385.お願いします・・・。  
名前:しゅん(中3)    日付:11月16日(日) 21時5分
Size: 120 x 128, 4KB

図のように∠BAC=∠CAD=∠DAB=90°、AB=AC=AD=√2cmの三角錐ABCDがある。次の問に答えよ。
(1)三角錐ABCDの体積を求めよ
(2)辺BC上に中点Eをとり、辺AC上に点Fをとって、点EとF、FとDをそれぞれ結ぶ。EF+FDの最小値を求めよ。

よろしくおねがいします・・・。
中学3年で、三平方の定理の単元の問題です。



11386.Re: お願いします・・・。
名前:mo^3    日付:11月16日(日) 21時33分
(1)三角錐ABCDの体積=底面積×高さ÷3
で出るでしょう?

(2)展開図を描きましょう。EF+FDが最小になるときはEFDが一直線になるときです。


11389.Re: お願いします・・・。
名前:しゅん(中3)    日付:11月16日(日) 22時22分
(1)この場合、どこを底面と考えるべきですか?
△ADCを底面にすると、高さABの出し方がわからないのですが・・・。


11390.Re: お願いします・・・。
名前:ヨッシー    日付:11月16日(日) 22時35分
>AB=AC=AD=√2cm
と書いてあるので、AB=√2cm でしょう。
 
http://yosshy.sansu.org/


11391.Re: お願いします・・・。
名前:しゅん(中3)    日付:11月16日(日) 22時47分
ああ・・・。ホントでした。
すみません、気付かなかった。。。
ありがとうございました。

11384.確率  
名前:,あいこ(高1)    日付:11月16日(日) 20時35分
(1)一つのサイコロを6回投げるとき、1の目が3回、2の目が2回、3の目が1回出る確率を求めなさい。
(2)A、B、Cの3人それぞれが1から4までのカードを持っている。3人がそれぞれ一枚のかカードを引くとき、同じ番号のカードが出ない確率を求めなさい。
という問題です。どこから手をつけてよいのか分かりませんでした。宜しくお願いします。ちなみに答えは(1)が5/3888 (2)3/8 です。



11387.Re: 確率
名前:()()()    日付:11月16日(日) 21時42分
(1)サイコロを6回振る目の出方は6*6*6*6*6*6
1が3回出るのはどの3回を選ぶかということから6C3
2が2回出るのは1の出てないものから2つ選ぶので3C2
よって求める確立は
6C3*3C2/6*6*6*6*6*6
(2)こちらの方は(1)より簡単なのでやり方だけ
Aさんがある数字を引いたとき
Bさんの引き方は?
AさんとBさんの数字が決まっているとき
Cさんの引き方は?


11413.Re: 確率
名前:,あいこ(高1)    日付:11月17日(月) 23時10分
Aさんの引き方は4通り
Bさんの引き方は? 3通り
AさんとBさんの数字が決まっているとき
Cさんの引き方は? 2通り
よって確立について考えると、
  4/4*3/4*2/4=3/8
頭に中が整理されました。どうもありがとうございました。
質問です。(1)についてですが、「どの3回を選ぶか」とは、何から3回を選ぶのでしょうか?


11477.Re: 確率
名前:()()()    日付:11月20日(木) 20時31分
返事が遅れてすいません
サイコロを振る回数は6回
そのうち1が出る回数の3回を選ぶということです


11526.Re: 確率
名前:,あいこ(高1)    日付:11月22日(土) 10時6分
こちらこそ遅れてしまいすみません。なるほど、分かりました。確率が本当に苦手なので大変です^^;克服できるよう頑張ります。どうもありがとうございました。

11382.複素数  
名前:たくや    日付:11月16日(日) 19時33分
次の問題についてです。
z=re^(iα)(−π<α≦π)のとき,r−zの絶対値と偏角を求めよ。
絶対値は|2rsin(α/2)|となって求められたのですが,偏角のほうがよく分かりません。偏角をβとすると,r−z=|2rsin(α/2)|(cosβ+isinβ)とできるから,r−z=|2rsin(α/2)|cosβ+|2rsin(α/2)|sinβ・i
よって|2rsin(α/2)|cosβ=r(1−cosα)・・・・・@
   かつ|2rsin(α/2)|sinβ=−rsinα・・・・・A
ここからβ=π/2+α/2と求まったのですが,解答は−π/2+α/2となっています。例えば,−π<α<−π/2の範囲で考えると,
−π<−π/2+α/2<−π/2となるのですが,r−zを幾何的に考えると,どうも偏角がこの範囲に入っていないように思えます。なぜこのようになっているのでしょうか?よろしくお願いします。



11401.Re: 複素数
名前:Red cat    日付:11月17日(月) 14時33分
>どうも偏角がこの範囲に入っていない
では α の範囲によって場合分けすれば良いのではありませんか?


11407.Re: 複素数
名前:たくや    日付:11月17日(月) 18時16分
ありがとうございます。αの範囲によって場合分けをした結果,−π<α≦0のとき β=π/2+α/2, 0≦α≦πのとき,β=−π/2+α/2となりました。 ということは結論から言って−π/2+α/2という解答は誤りだということでしょうか?


11410.Re: 複素数
名前:Red cat    日付:11月17日(月) 21時5分
- π/2 + α/2 と π/2 + α/2 の差が π しかないのが気にかかります。少し検証に時間をください。


11411.Re: 複素数
名前:たくや    日付:11月17日(月) 22時8分
よろしくお願い致します。


11417.Re: 複素数
名前:花パジャ    日付:11月18日(火) 0時13分
r-z=r(1-cosα-isinα)=2r((sin(α/2))^2-isin(α/2)cos(α/2))=2rsin(α/2)(sin(α/2)-icos(α/2))=2rsin(α/2)(cos(α/2-π/2)+isin(α/2-π/2))=2rsin(α/2)e^(i(α/2-π/2))
ですから、
α<0のとき、r-z=-|2rsin(α/2)|e^(i(α/2-π/2))=e^(iπ)|2rsin(α/2)|e^(i(α/2-π/2))=|2rsin(α/2)|e^(i(α/2+π/2))
α>0のとき、r-z=|2rsin(α/2)|e^(i(α/2-π/2))
となり、たくやさんの解の通りになるかと思います


11421.Re: 複素数
名前:Red cat    日付:11月18日(火) 9時6分
冷静に考えたら
- π < α ≦ π
だから
- π/2 < α/2 ≦ π/2
∴ - π < - π/2 + α/2 ≦ 0

#何の問題もないように見えます.


11422.Re: 複素数
名前:花パジャ    日付:11月18日(火) 10時13分
例えば
e^(±iπ/4)=cos(±π/4)+isin(±π/4)=cos(π/4)±isin(π/4)=1/√2±i/√2
を頭に入れて、r=1/√2、α=±π/2(すなわちz=±i)の場合を解いてみる
α=π/2のとき、r-z=1/√2-i/√2=e^(-iπ/4)なので、偏角は-π/4=-π/2+α/2
α=-π/2のとき、r-z=1/√2+i/√2=e^(iπ/4)なので、偏角はπ/4=π/2+α/2

たくやさんが最初に書いているような、幾何的な考察をα→±0にしてみれば、α=0での偏角の不連続性が明確です
ちなみに、α=±πでは共にβ=0です


11423.Re: 複素数
名前:たくや    日付:11月18日(火) 11時54分
御二人の先生,回答ありがとうございます。花パジャ先生に質問ですが,r=1/√2,α=±π/2(すなわちz=±i)の場合を解いてみると書かれていますが,(すなわちz=±(1/√2)i)の間違いではないかと思うのですが,どうでしょうか?


11424.Re: 複素数
名前:花パジャ    日付:11月18日(火) 12時48分
あ...そうです


11436.Re: 複素数
名前:たくや    日付:11月18日(火) 21時52分
御二人の先生で,少し意見に食い違いがあるようですが,この問題の解答は,結局α=0のときも含めて,どのようになるのでしょうか?よろしくお願いします。


11438.Re: 複素数
名前:Red cat    日付:11月18日(火) 23時52分
ちゃんと計算したら、私も
- π < α < 0 のとき β = π/2 + α/2
0 < α ≦ π のとき, β = - π/2 + α/2
となりました。問題集か何かの問題だとすれば、解答はおかしいですね。

ちなみに α = 0 のときは、r - z の絶対値が 0 となるため、その偏角は定義できません。つまりこのときは
「|r - z| = 0, 偏角は定義できない」
が正答となります。


11439.Re: 複素数
名前:たくや    日付:11月19日(水) 9時35分
そしたら,r=0のときはz=0となるので,r−z=0−0=0なので,このときも偏角は定義できないということでしょうか?


11440.Re: 複素数
名前:花パジャ    日付:11月19日(水) 10時15分
そうです


11441.Re: 複素数
名前:たくや    日付:11月19日(水) 12時46分
回答どうもありがとうございました。また,よろしくお願いします。


11442.Re: 複素数
名前:ケロ    日付:11月19日(水) 13時21分
感動!
ずっと見てきました。自分でも計算してみました。わけがわからなくなりました。
単なる平行移動なのになぜ不連続点ができるのでしょうか。
複素平面の原点の不思議に思い当たりました。複素平面の原点はただの0ではないのですね。
おそらく無限と繋がっている。複素平面の原点には無限が存在する。
としか思えません。
複素平面上で無限に遠くへ旅する人は原点から現れることになりそうですね。

11378.C言語教えてください☆  
名前:C言語勉強中    日付:11月16日(日) 18時22分
・行列A(L行M列)と行列B(M行N列)の積行列C(L行N列)を求めるソースコードを作っているのですが、なぜか
|1 2|×|1 2|
|3 4| | 3 4|
の答えがうまくいきません。次のソースコードのどこが間違っているか
教えてください。よろしくおねがいします。
<自分の解答>

#include <stdio.h>

main()
{
  int A[5][5], B[5][5], C[5][5];
  int L, M, N, i, j, k;

  for(i=0; i<=10; i++){
for(j=0; j<=5; j++){
C[i][j] = 0;
}
  }

  printf("行列Aの行数と列数、行列Bの列数の入力:");
  scanf("%d %d %d", &L, &M, &N);

  printf("行列Aの要素を入力\n");
  printf("1行1列、1行2列・・・2行1列・・・の順に入力:\n");

  for(i=0; i<L; i++){
for(j=0; j<M; j++){
scanf("%d", &A[i][j]);
}
  }

  printf("行列Bの要素を入力。\n");
  printf("1行1列、1行2列・・・2行1列・・・の順に入力:\n");

  for(i=0; i<M; i++){
for(j=0; j<N; j++){
scanf("%d", &B[i][j]);
}
  }

  for(i=0; i<L; i++){
for(j=0; j<N; j++){
for(k=0; k<M; k++){
C[i][j] = C[i][j] + (A[i][j] * B[i][j]);
}
}
  }
  for(i=0; i<L; i++){
for(j=0; j<N; j++){
printf("%4d", C[i][j]);
}
putchar('\n');
}
}
となったのですが・・・(T_T)



11392.Re: C言語教えてください☆
名前:ヨッシー    日付:11月16日(日) 22時58分
C[i][j] = C[i][j] + (A[i][k] * B[k][j]);
が正解。
 
http://yosshy.sansu.org/


11395.Re: C言語教えてください☆
名前:C言語勉強中    日付:11月16日(日) 23時19分
あっ!!なるほど!ありがとうございました!

11376.高3です☆  
名前:ゆうこ    日付:11月16日(日) 17時34分
昨日も質問したのですが、
@2次元座標(u,v)から(x,y)への変換{x=r cosθ y=r sinθ}により、rθ-
 座標平面の領域{0≦u≦2 0≦v≦2}はxy-平面のどんな領域にうつされる
 か、図示しJacobianを求めよ。
AD:{0≦x+y≦2 0≦x-y≦2}とする。xy-座標平面の領域Dはuv-座標平面のど んな領域からうつされたものか図示し、∫∫D (x-y)e^(x+y) dxdyを求 めよ。
という問題が分かりません(^_^;)教えて下さい



11400.こっちにもあったのね
名前:Red cat    日付:11月17日(月) 13時1分
(1) 問題は正しく書きましょう。
一問目 : {0 ≦ u ≦ 2 , 0 ≦ v ≦ 2} は rθ - 座標平面の領域ではありません。
二問目 : 「xy - 座標平面の領域 D は uv - 座標平面のどんな領域から…」と言われても、どのような変換によって写すのですか?
(2) 丸付き数字(に代表される「機種依存文字」)は使ってはいけません。

11374.算数  
名前:mihoko shimamura    日付:11月16日(日) 15時59分
三角形の性質を中学受験レベルで教えてください。



11383.Re: 算数
名前:C言語勉強中    日付:11月16日(日) 19時58分
三角形の内角の和は180°である。

11372.数学Aの数列の問題  
名前:lalo    日付:11月16日(日) 15時37分
おひさしぶりです。laloです。
よくわからないので教えていただけないでしょうか?
お願いします。
 数列{an}がn・an+1=(n+2) an+1 (n≧1), a1=1/2を満たしている。
(1) an=n(n+1)bnとおくとき、bn+1をbnとnの式で表せ。
(2) Cn=bn+1/2n(n+1)とおくとき、Cn+1とCnとの関係式を求めよ。 
(3) anをnの式で表せ。      



11379.Re: 数学Aの数列の問題
名前:モルモット大臣    日付:11月16日(日) 18時42分
2)でb(n+1)=2n(n+1)c(n)と変形すると逆に複雑となるだけで
私にはそうすることのメリットがよくわかりませんので
1)についてと答えだけです。
1) 題意通り計算するとb(n+1)-b(n)=1/n(n+1)(n+2)
b(n+1)-b(n)={1/n(n+1)-1/(n+1)(n+2)}/2よって
b(n+1)-b(1)={1/2-1/6+1/6-1/12+1/12-...-1/(n+1)(n+2)}/2
=b(1)+{1/2-1/(n+1)(n+2)}/2
=b(1)+n(n+3)/4(n+1)(n+2) b(1)=a(1)/2=1/4だから
b(n+1)=(n^2+3n+1)/2(n+1)(n+2)
以上からb(n)=(n^2+n-1)/2n(n+1)
a(n)=n(n+1)b(n)=(n^2+n-1)/2


11388.Re: 数学Aの数列の問題
名前:lalo    日付:11月16日(日) 22時22分
Original Size: 479 x 96, 15KB

問題がわかりにくくてすみません。
このような問題なんです。



11394.Re: 数学Aの数列の問題
名前:中川 幸一    日付:11月16日(日) 23時0分

http://www3.ezbbs.net/01/k-nakagawa/


11402.Re: 数学Aの数列の問題
名前:lalo    日付:11月17日(月) 16時42分
ご解説ありがとうございます。
よくわかりました。
またよろしくお願いします。

11371.線形部分空間  
名前:かず    日付:11月16日(日) 13時55分
Aをm×n行列とするとき、斉次連立一次方程式Ax=0の解全体のなす集合
{x∈R^n;Ax=0}
はR^nの線形部分空間であることを証明せよ。

問題の意味はわかるんですが、どう進めていいかわかりません。お願いします。



11380.Re: 線形部分空間
名前:ast    日付:11月16日(日) 18時55分
記号の便を考えて, Ker(A) :={x ∈ R^n | Ax = 0} とおきます.

Ker(A) が R^n の線形部分空間であるとは,
(i) x,y ∈ Ker(A) ならば x+y ∈ Ker(A).
(ii) α ∈ R, x ∈ Ker(A) ならば αx ∈ Ker(A).
の 2 条件を満たすことです.

言うまでもないことですが, z ∈ R について,
    z ∈ Ker(A) ⇔ Az = 0
ですから, 何を確かめればいいのか, 大いに悩みましょう.


11381.Re: 線形部分空間
名前:    日付:11月16日(日) 18時57分
線形部分空間の証明は
(1)0
(2)加法
(3)スカラー積
を示す
B={x∈R^n;Ax=0}とする。
(1)はA・0=0 より0∈B
(2)x,y∈Bとして
   A(x+y)=Ax+Ay=0+0=0
 x+y∈B
(3)λ∈R x∈B
   Ax=0より
   A(λx)=λAx=λ・0=0
   λx∈B
三つ示せたので、R^nの線形部分空間である。

11347.三角関数  
名前:味噌汁    日付:11月16日(日) 4時43分
sinθ≧cosθ (0°≦θ≦360°)
のときのθの範囲を求めよ。

答えは
45°≦θ≦225°
らしいのですが、なぜなのか分からないので教えてください。
よろしくお願いします。



11348.Re: 三角関数
名前:中川 幸一    日付:11月16日(日) 4時47分
三角関数の合成をして考えるのですが, 自分の作った解答を教えてくれますか?
http://www3.ezbbs.net/01/k-nakagawa/


11349.Re: 三角関数
名前:味噌汁    日付:11月16日(日) 5時4分
はい。ありがとうございます。

sinθ-cosθ≧0 (0°≦θ≦360°)
三角関数の合成より、
√2sin(θ-45°)≧0…(1)
ここで(0°≦θ≦360°)より、
-45°≦θ-45°≦315°

…とここまではわかるのですが、この後が分かりません。

(1)の解は0°≦θ-45°≦180°

これがわからないのです。
よろしくお願いします。


11350.Re: 三角関数
名前:中川 幸一    日付:11月16日(日) 5時22分
それでは,
sin φ0
となる φ の範囲は?

この問題が解ければ以下の疑問が理解できると思います。

http://www3.ezbbs.net/01/k-nakagawa/


11351.Re: 三角関数
名前:味噌汁    日付:11月16日(日) 5時31分
すみません…分からないのですが…汗汗


11352.Re: 三角関数
名前:味噌汁    日付:11月16日(日) 5時32分
たぶんですが、
φ の範囲は0°+360n≦φ ≦180°+360n
とわかるのですが…


11353.Re: 三角関数
名前:中川 幸一    日付:11月16日(日) 5時33分
単位円を書いて考えてみてください。
http://www3.ezbbs.net/01/k-nakagawa/


11354.Re: 三角関数
名前:味噌汁    日付:11月16日(日) 5時46分
あ!わかりました。
でも、これだと、
-45°≦θ-45°≦315°
という条件は使わなかったみたいに見えますけど、
これは一体何のために求めたのですか?


11355.Re: 三角関数
名前:中川 幸一    日付:11月16日(日) 5時58分
φ=θ-45°
とおいてみてください。

http://www3.ezbbs.net/01/k-nakagawa/


11356.Re: 三角関数
名前:中川 幸一    日付:11月16日(日) 6時1分
ここで書くべきことではないですが, 私の掲示板に来た別の質問にもまた解答を書いておきました。
よかったらあとで確認しておいてください。

http://www3.ezbbs.net/01/k-nakagawa/


11357.Re: 三角関数
名前:味噌汁    日付:11月16日(日) 6時29分
???置いてみましたが、分かりませんでした(涙)
「共通範囲を取った」と言うことでしょうか?


11362.Re: 三角関数
名前:中川 幸一    日付:11月16日(日) 6時51分

http://www3.ezbbs.net/01/k-nakagawa/


11363.Re: 三角関数
名前:味噌汁    日付:11月16日(日) 6時59分
ん?
それは分かるのですが、
-45°≦θ-45°≦315°
という条件は使わなかったみたいに見えますけど、
これは一体何のために求めたのですか?

θ-45°の範囲を二つ求めていますよね?
一つは、-45°≦θ-45°≦315°
一つは、0°≦θ-45°≦180°

のように、θ-45°の範囲が二つあります。

なぜ、後半で求めたものを使い、前半で求めたものは使っていない
(ように見える?)のでしょうか?


11364.Re: 三角関数
名前:中川 幸一    日付:11月16日(日) 7時4分
-45°θ-45°315°
iff
θ360°
となってしまいます。
この範囲では, sin θ0 という範囲にはなりません。

http://www3.ezbbs.net/01/k-nakagawa/


11365.Re: 三角関数
名前:味噌汁    日付:11月16日(日) 7時9分
なるほどです。理解できました。
もう朝ですね…。朝日が眩しいですね…
朝まで付き合っていただきどうもありがとうございました☆。
またぜひ教えてください


11366.Re: 三角関数
名前:中川 幸一    日付:11月16日(日) 7時11分
はい。
お疲れ様でした。

http://www3.ezbbs.net/01/k-nakagawa/

11345.2次関数  
名前:みどり(数1勉強中)    日付:11月16日(日) 3時16分
「ご質問に答えるコーナー」の2003/5/31付けの質問に対する、
解法についての質問です。

問題
aは実数とする。xの二次方程式x2+2ax+2a2−5=0について、(1)2つの解がともに1より小さいとき、aの値の範囲を求めよ。

この解法としまして、満たすべき条件の中に
判別式が0以上
とありますが、「2つの解」とあるのに0以上とするのは
なぜですか。「異なる2つの解」と書いていなければ、重解も
2つと数えるのでしょうか?

卒業して久しいので教科書がなく、基本的なことかも
しれないのですが教えてください。よろしくお願いします。



11346.Re: 2次関数
名前:中川 幸一    日付:11月16日(日) 3時42分
はいそういうことです。

x2-2x+1=0
という方程式は, 下記のように書き換えられ
(x-1)(x-1)=0
x=1, 1
ということになりますが, これをまとめて, x=1 と書きます。
このように, x=1 とのみ書くと, 解が一つしかないように見えますが, 実際は 2 つの解が重複しているためそのように見えます。
よって, ただ単に 2 つの解とあれば, 重複解も考慮しなければなりません。

http://www3.ezbbs.net/01/k-nakagawa/


11416.Re: 2次関数
名前:みどり(数1勉強中)    日付:11月18日(火) 0時0分
ありがとうございました。

11343.教えて  
名前:Jun 高2    日付:11月16日(日) 0時58分
弧度法の問題で「座標平面上で、X軸の正の部分を始線にとる。次の角の動径は、第何象限にあるか。」
(1) 2
答え 第2象限
なぜそうなるのか分かりません。教えてください。



11344.Re: 教えて
名前:えいぶ    日付:11月16日(日) 1時41分
90°180°をラジアンに直すと
90°→π/2≒3.14/2=1.57
180°→π≒3.14
ここで1.57<2<3.14
ゆえに2(ラジアン)の角は第2象限に位置する。
または2*180/π≒114と計算し90°と180°の間にあることを確かめてもよい。

11341.三角関数  
名前:みき高2    日付:11月16日(日) 0時26分
こんばんは。この問題の解き方を教えて下さい…。

xy平面において、2直線y=mx(m>0)のなす角をθとする、tanθ=1/7のときmを求めよ。

宜しくお願いします。



11342.Re: 三角関数
名前:知也    日付:11月16日(日) 0時30分
2直線なのにもう1本は?


11377.三角関数
名前:みき高2    日付:11月16日(日) 17時41分
すみませんでした。もう一本はy=2xです。
宜しくお願いします。


11396.Re: 三角関数
名前:知也    日付:11月16日(日) 23時58分
ヒント 三角関数の加法定理ってしってる?タンジェントのやつ。それと答えは2つあるんやけど、図を書いたらわかりそうやね?求める直線がy=2xより下側にある時は、y=mxとx軸との角度をφとするとtan(θ+φ)=2 tanθ=1/7 tanφ=m だからmが求まる。また上側になるとき、y=2xとx軸との角をφとすると、tanφ=2 tanθ=1/7 tan(θ+φ)=mとなるよ。

11338.高3です☆  
名前:ゆうこ    日付:11月15日(土) 22時2分
@2次元座標(u,v)から(x,y)への変換{x=r cosθ y=r sinθ}により、rθ-
 座標平面の領域{0≦u≦2 0≦v≦2}はxy-平面のどんな領域にうつされる
 か、図示しJacobianを求めよ。
AD:{0≦x+y≦2 0≦x-y≦2}とする。xy-座標平面の領域Dはuv-座標平面のど んな領域からうつされたものか図示し、∫∫D (x-y)e^(x+y) dxdyを求 めよ。
という問題が分かりません(^_^;)教えて下さい

11337.確率  
名前:ねこ    日付:11月15日(土) 19時17分
偶数の目をすべて6の目に治したさいころを1回投げるとき、出る目の期待値を求めよ。

この問題を教えてください。期待値についてもよく意味が分からないので教えてください!お願いします♪



11339.Re: 確率
名前:ゆう    日付:11月15日(土) 22時51分
たぶん、1の出る確率が1/6  3の出る確率が1/6 5の出る確率が1/6で偶数の目が6になるわけだから2 4 6が6 6 6になる。で6の出る確率が3/6 なので、期待値は、1*1/6+3*1/6+5*1/6+6*3/6+6*3/6+6*3/6=21/2
だと思うのですが。高校卒業して10年以上たつのでうまく説明できなくてもうしわけないです。


11367.Re: 確率
名前:ヨッシー    日付:11月16日(日) 7時55分
6の確率を 3/6 とした時点で、「6が3つある」ことを表しているので、
それをさらに、3回登場させては、9回カウントしたことになります。
ですから、
 1*1/6+3*1/6+5*1/6+6*3/6 = 27/6 = 9/2
です。または、3つの6を、それぞれ別のものと考え、それぞれの起こる確率が
1/6 として
 1*1/6+3*1/6+5*1/6+6*1/6+6*1/6+6*1/6 = 9/2
としてもいいです。

 (ある値)×(ある値の起こる確率)
を、すべて足したのが期待値ですが、(ある値の起こる確率)が、すべて同じなら、
(値の平均)が期待値と一致します。
 (1+3+5+6+6+6)/6 = 9/2
 
http://yosshy.sansu.org/


11369.Re: 確率
名前:ゆう    日付:11月16日(日) 12時59分
おはずかしい、勉強になりました。おもしろいですね。また、一から数学やろうと思います。本日より開始!ねこさん、間違ってすみません。


11375.確率
名前:ねこ    日付:11月16日(日) 16時34分
お2人の方どうもありがとうございました。よく分かりました!

11335.複素数の絶対値  
名前:たくや    日付:11月15日(土) 11時19分
次のような問題についてです。
z=re^(iα)(−π<α≦π)のとき,次の数の絶対値と偏角を求めよ。(@)z+r
この絶対値についてですが,解答を見ると2r|cos(α/2)|となっているのですが,−π<α≦πのとき−π/2<α/2≦π/2だからcos(α/2)≧0となるので,絶対値なしでも良いですよね?よろしくお願いします。



11373.Re: 複素数の絶対値
名前:花パジャ    日付:11月16日(日) 15時54分
ええ

11331.三角比  
名前:,あいこ(高1)    日付:11月15日(土) 10時20分
公式で、sinθ=cos(90-θ) sin=sinθ(180-θ) という形のものがありますよね?( )の中が90+θとなる公式を教えてください。



11332.Re: 三角比
名前:ヨッシー    日付:11月15日(土) 10時27分
sin(-θ) = -sinθ , cos(-θ) = cosθ
を使うと、
sin(90°+ θ) = sin(90°-(-θ)) = cos(-θ) = cosθ
cos(90°+ θ) = (略)
 
http://yosshy.sansu.org/


11336.Re: 三角比
名前:えいぶ    日付:11月15日(土) 18時13分
加法定理
sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ
cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ
を使えば
sin(90°+θ)=sin90°cosθ+cos90°sinθ=cosθ
cos(90°+θ)=cos90°cosθ-sin90°sinθ=-sinθ
とすることも可能。
といったところで高1で加法定理を習っているか不安ですが(^^;


11368.Re: 三角比
名前:,あいこ(高1)    日付:11月16日(日) 8時7分
えいぶさん、ヨッシーさんありがとうございました。sinθ=cos(90-θ) sin=sinθ(180-θ) は教科書に載っていたのですが、( )の中が90+θとなる公式はのっていませんでした。参考にさせて頂きます。

11326.教えてください  
名前:幸子(高3)    日付:11月15日(土) 1時12分
漸化式a(n+1)=2{a(n)}^2−1(n=1.2.3.・・・・)をみたす数列{a(n)}について
(1)a1>1のとき数列{a(n)}の項に無数の異なる値が現れることを示せ。
(2)数列{a(n)}の項に現れる値が有限個ならばa1=cosαπ(αは有理数)と表せることを示せ。
(3)a1=cos(2π/P) (pは3以上の素数)とする。数列{a(n)}の項に現れる値がちょうど4個であるときpの値を求めよ。

よろしくお願いします。



11333.Re: 教えてください
名前:ast    日付:11月15日(土) 11時11分
(1) は a_1 > 1 から a_2 > a_1 > 0. こいつから漸化式を使って
数学的帰納法で a_n が単調増大であることを示せば終わりです.

(2) (1) から a_1 ≤ 1 としてよく, 漸化式から, 全ての n で
a_n ≤ 1 は保障されることに注意します.

また, 数列{a_n} が漸化式で与えられているので, 異なる値が有限個
しかなければ, 適当な N で a_N = a_1 となった後, 循環することに
なります.

a_n ≤ 1 なので, a_n = cos(θ_n) となる実数 θ_n (n:自然数)が
とれます. しかも, これを漸化式に放り込むと
  a_[n+1] = 2*cos^2(θ_n) - 1 = cos(2*θ_n)
を得るので, α := θ_1 とおくと, θ_n = 2^(n-1)*α となります.

此処までくれば後は簡単でしょう. a_N = a_1 を考えれば十分です.

(3) (2) の答えをよく見るとわかりそうです.


11334.Re: 教えてください
名前:ast    日付:11月15日(土) 11時17分
書き忘れ, というよりは訂正かな;

a_1 < -1 のときは, a_2 以降が (1) のパターンで単調増大なので,
|a_1| ≤ 1. 以降は漸化式から |a_n| ≤ 1.

です.

11322.否定  
名前:味噌汁    日付:11月14日(金) 22時40分
「a^2≧b^2」の否定を教えてください。
「a^2≧b^2でない」を言い換えたいのですが…
お願いします。



11327.Re: 否定
名前:ast    日付:11月15日(土) 1時34分
a, b は実数でしょうから, a^2 < b^2 です.


11328.Re: 否定
名前:味噌汁    日付:11月15日(土) 1時44分
どうもありがとうございます
(a-b)(a+b)≧0などとするのかどうか混乱していたのですが、
そうやればよいのですね。
ありがとうございました。


11329.Re: 否定
名前:味噌汁    日付:11月15日(土) 1時45分
あっあと、もう一つ疑問が出てきたのですが、
(a-b)(a+b)≧0
のようにしてやるやり方と、やらないやり方はどこで区別すればよいのでしょうか…?


11330.Re: 否定
名前:ast    日付:11月15日(土) 7時44分
疑問の内容がよく理解できないので, 外してるかも知れないけど,
中身はまったく同じなのだから, 区別する必要がない.


11340.Re: 否定
名前:味噌汁    日付:11月15日(土) 23時23分
なるほど!
どうもありがとうございます^^

11321.三角不等式  
名前:司(高2)    日付:11月14日(金) 20時1分
(2sinx−1)(sinx−1)(sinx+1)≧0 (0°≦x≦360°) を解け。という問題を教えてください。



11323.Re: 三角不等式
名前:mo^3    日付:11月14日(金) 23時44分
sinx=t(-1≦t≦1)とおいて普通の3次関数のようにといてみましょう。

(2t−1)(t−1)(t+1)≧0・・・(*)

y=(2t−1)(t−1)(t+1)のグラフを簡単に描いてみると
(*)を満たすのは-1≦t≦1/2、 1≦tです。
ただし-1≦t≦1より
-1≦t≦1/2
-1≦sinx≦1/2
0°≦x≦30°、120°≦x≦360°


11325.Re: 三角不等式
名前:ケロ    日付:11月15日(土) 1時9分
mo^3さんのを勝手に訂正補足。120→150。t=1のとき、x=90。
また、sinのままでやると、(sinx-1)(sinx+1)=(sinx)-1=-(cosx)^2だから、
(2sinx-1)(cosx)^2≦0。ここで、場合分けして、
1) cosx≠0のとき(x≠90,270のとき)、両辺を(cosx)^2で割ると、2sinx-1≦0。
これより、0≦x≦30 or 150≦x≦360 (x≠270)。
2) cosx=0のとき、x=90 or 270。
合わせると、0≦x≦30 or x=90 or 150≦x≦360。


11370.Re: 三角不等式
名前:司(高2)    日付:11月16日(日) 13時6分
わかりやすい説明ありがとうございました!

11315.三角関数  
名前:いつき    日付:11月14日(金) 0時5分
2cosx+3√3tanx >5tanx / sinx (0°<x<180°)
この不等式を解け。という問題を教えてください。

解答を見たところ (@)cosx>0 (A)cosx=0 (B)cosx<0
と場合分けされていました。
どうしてcosxで分母を払うとき、両辺にかける分母の符号によって
場合分けしなければならないのでしょうか。



11318.Re: 三角関数
名前:ヨッシー    日付:11月14日(金) 5時22分
掛ける数が、正か負かによって、不等号の向きが変わるからです。
cosx=0 のときは、そもそも tanxが存在しません。
 
http://yosshy.sansu.org/

11313.三角関数  
名前:T.T.C.    日付:11月13日(木) 23時39分
90°<a<180°、0°<b<90°でsina=(√2/5)、sinb=(√3/5)であるとき、lcos(4a−2b)lの値を求めよ、なんですが倍角の公式を使ってみたので答えが合わないので助けてください。



11324.Re: 三角関数
名前:モルモット大臣    日付:11月15日(土) 0時13分
問題は90°<a<180°、0°<b<90°でsina=(√2/5)、
sinb=(√3/5)の時lcos(4a-2b)l=l2{cos(2a-b}^2-1lここで
{cos(2a-b)}^2=(cos2acosb+sin2asinb)^2と地道に展開し
=[{2(cosa)^2-1}cosb+2sinacosacosb]^2
後はsinb,cosb,sinaは正数、cosaが負の数であることに注意して
sina=√2/5,cosa=-√23/5, sinb=√3/5,cosa=-√22/5をそれぞれ
代入すれば計算は面倒くさいですけどできるはずです。
あるいはsina=√(2/5), cosa=-√(3/5),sinb=√(3/5),cosa=-√(2/5)
の問題の解釈違いということはないでしょうか?

11308.微分  
名前:まさ    日付:11月13日(木) 22時16分
(d/dx)f(x)=a×f(x) (aは実数)
このときのf(x)を求めよ。答えを教えてください。



11310.Re: 微分
名前:中川 幸一    日付:11月13日(木) 22時30分
ただ単に微分方程式を解けばいいの?
http://www3.ezbbs.net/01/k-nakagawa/


11312.Re: 微分
名前:知也    日付:11月13日(木) 23時26分
y=f(x)とおくとdy/dx=ay dy/y=ax aは定数よりlog|y|=ax+B (Bは積分定数)y>0のときはy=exp(ax+B) exp(B)=Cとするとy=f(x)=Cexp(ax) y<0のとき|y|=−y −y=exp(ax+B) -exp(B)=Cとおくとf(x)=Cexp(ax+B) y=0のときはC=0 つまり答えはf(x)=Cexp(ax) Cは定数


11320.Re: 微分
名前:とも(高3)    日付:11月14日(金) 19時10分
与式の左辺はxの関数をxで微分だから
f '(x)=af(x)
両辺をf(x)で割ると
f '(x)/f(x)=a
両辺をxで積分すると
∫f '(x)/f(x)dx=∫adx
log|f(x)|=ax+B (Bは積分定数)
|f(x)|=e^(ax+B)
以下同文。 でもいいですよね?

また、e^ax はexp(ax)と表せるのですね。
勉強になりました。

11307.余弦定理かなあ…?  
名前:味噌汁    日付:11月13日(木) 21時57分
こんばんは。

二等辺三角形△ABCがあり、AB=AC=3である。また、∠A=30°。
このとき、BCの長さを求めよ。

教えてください。お願いします。

自分でやったのですが、
余弦定理より、
BC^2=3^2+3^2-2*3*3*cos30°
=9+9-18*√3/2
ととなってしまい、2乗をはずすと、√のなかに√が入ってきてしまい、よく分からなくなってしまったのですが、どういうことでしょうか…?
よろしくお願いします。



11309.Re: 余弦定理かなあ…?
名前:Bob    日付:11月13日(木) 22時28分

BC^2=3^2+3^2-2*3*3*cos30°
=9+9-18*√3/2
=18−9√3
BC>0より
BC=√(18−9√3)
 =3√(2−√3)
 =3√{(4−2√3)/2} ★根号をはずしやすくするために2√の形
 =3(√3−1)/√2                  をつくる。
=3√2(√3−1)/2
=(3√6−3√2)/2
2重根号のはずし方
http://onohiro.hp.infoseek.co.jp/amanojack/m/kiso048-2.htm

http://homepage3.nifty.com/sumida-3/


11311.Re: 余弦定理かなあ…?
名前:味噌汁    日付:11月13日(木) 22時48分
bobさん、どうもありがとうございました。
理解できました☆。

11298.続きです。  
名前:学生    日付:11月13日(木) 20時7分
ポアソン分布の再生性については知っているのですが、ポアソン過程だと途中の部分がどう示したらいいのか分からないのですが…。
とりあえず、途中までやったので違ってたら指摘お願いします。

N_tをN_t1+N_t2と定義すると、独立かつ定常な増分を持つ。
ポアソン過程であるための条件はP(N_h>2|N_h>1)の極限(h→0)がゼロになればいいので、P(N_h>2)とP(N_h>1)を計算したいのですが、その方法がわかりません。(結果は知ってるのですが、途中経過がわからないので)

これがわかれば、N_tがポアソン過程といえて
E(N_t)=(λ1+λ2)tとなり、示せる。

それではお願いします。



11299.Re: 続きです。
名前:Red cat    日付:11月13日(木) 20時22分
いちいち新規ツリーを立てずとも;;

それはそれとして、Nt が Poisson 過程であるとはどういうことなのか、言えますか?


11314.Re: 続きです。
名前:学生    日付:11月13日(木) 23時57分
N_tが独立増分をもち、定常である。
このとき、0<s<tに対して、P(N_t-N_s=k)=e- λ(t-s)・λ(t-s)^k/k!となるようなλが存在し、ポアソン分布に従うとき
ではないのでしょうか?


11319.Re: 続きです。
名前:Red cat    日付:11月14日(金) 13時14分
>P(N_t-N_s=k)=exp{- λ(t-s)}・λ(t-s)^k/k!
この式にピンときたらしめたもの。
この式こそ、N_t - N_s が Poisson 分布に従っていることの良い証拠ではありませんか?
では (N_1)_t , (N_2)_t がぞれぞれ率 λ_1 , λ_2 の Poisson 過程で、独立であるとしましょう。このとき 0 < s < t に対して
P({(N_1)_t + (N_2)_t} - {(N_1)_s + (N_2)_s} = k)
= P({(N_1)_t - (N_1)_s} + {(N_2)_t - (N_2)_s} = k)
ここで Poisson 分布の再生性を使えば…?

11297.三角関数  
名前:ゆかり    日付:11月13日(木) 19時52分
0℃<θ<90℃のとき sin2θ<1/2をとけ。
y=√2sin(θ+45℃)+1をとけ。
がわかりません。よろしくお願いします。
高2です。



11300.Re: 三角関数
名前:ゆかり(高2)    日付:11月13日(木) 20時32分
後の問題はyの範囲を求める問題です。
あと、℃とまちがえてうってしましました。すみません。


11301.1問目のみ
名前:Bob    日付:11月13日(木) 20時33分
0°<θ<90°のとき
0°<2θ<180°となり、
2θ=A  0°<A<180°
sinA<1/2 となります。ここで
覚えておいてほしいことがあります。
SINがy COSはx とします。
y<1/2
単位円を書いてy=1/2をひいてみましょう。
単位円との交点はA=30°,150°です。y<1/2より
0°<A<30°
150°<A<360°ですが、0°<A<180°なので
0°<A<30°と150°<A<180°となります。よって
0°<2θ<30°と150°<2θ<180°
0°<θ<15°と75°<θ<90°

2問目は問題文を全文書いてもらえますか?

http://homepage3.nifty.com/sumida-3/


11302.Re: 三角関数
名前:Bob    日付:11月13日(木) 20時37分
0°<θ<90°のとき
 45°< θ+45°<135°
 θ+45°=Bとして
45°<B<135°としてみて
 

http://homepage3.nifty.com/sumida-3/


11303.Re: 三角関数
名前:ゆかり(高2)    日付:11月13日(木) 20時49分
Bobさんていねいな解説ありがとうございます。
二問目は三角形ABCについて∠A=θ、<B=90°、AC=1の周の長さをL(θ)とおくとき、L(θ)のとり得る値の範囲を求めよ。という問題です。
L(θ)=1+√2(θ+45°) 0°<θ<90°というとこまではわかったんですが。


11304.Re: 三角関数
名前:ゆかり(高2)    日付:11月13日(木) 20時50分
√2のあとにsinを入れ忘れました。すみませんっ


11305.Re: 三角関数
名前:Bob    日付:11月13日(木) 21時2分
y=√2sin(θ+45°)+1は
y=√2sinB+1  (45°<B<135°) 
   1/√2<sinB<=1 となり
代入すると
  2<√2sinB+1<=√2+1
  2<y<=√2+1  

http://homepage3.nifty.com/sumida-3/


11306.Re: 三角関数
名前:ゆかり(高2)    日付:11月13日(木) 21時10分
Bobさん、本当に助かりました。ありがとうございました!

11289.漸化式の基本問題  
名前:0ポイント(高1)    日付:11月13日(木) 11時4分
(問題)
a1=1、an+1=2an+3n(n=1,2,3・・・)で定義される数列{an}の一般項を求めよ。

両辺を2^n+1で割ると
an+1/2^n+1=2an/2^n+1+3n/2^n+1
an+1/2^n+1=an/2^n+1/2(3/2)^n
an/2^nをbnとおくと
bn+1=bn+1/2(3/2)^n
数列{bn}の階差数列を{Cn}とおくと
Cn=1/2(3/2)^nだから
n≧2のとき
     n-1
bn=b1+Σ1/2(3/2)^k
k=1

=1/2+3/4・2{(3/2)^n-1−1}
  
  =3^n−2^n←答えは間違ってます。

n=1のときは省略します。

答えはan=7・2^n-1−3n−3です。
式の立て方が違いますか?計算が違ってますか?どうしても答えが合いません。教えて下さい。よろしくお願いします。
漸化式を1減らしてan+1=2an+3nとan=2an-1+3(n−1)との階差では求めることが出来たんですが・・・

  



11290.Re: 漸化式の基本問題
名前:Red cat    日付:11月13日(木) 11時10分
a[n + 1]/2^(n + 1) = 2a[n]/2^(n + 1) + 3n/2^(n + 1)
から
a[n + 1]/2^(n + 1) = a[n]/2^n + (1/2) * (3/2)^n
へのプロセスが間違いです。
3n/2^(n + 1) ≠ (1/2) * (3/2)^n

#式は括弧を使うなどして適宜見やすく書いてください。


11293.Re: 漸化式の基本問題
名前:0ポイント(高1)    日付:11月13日(木) 14時23分
Red catさん、解答ありがとうございました。

>#式は括弧を使うなどして適宜見やすく書いてください。
数式を書くの初めてだったので、うまく書けませんでした。本当に見にくいですね!今後気を付けます。すみませんでした。

>3n/2^(n + 1) ≠ (1/2) * (3/2)^n
3nを3^nと間違えていました。私は本当にアホです(泣)
という事は両辺を2^n+1で割る解法は使えないんですね?


11294.Re: 漸化式の基本問題
名前:Red cat    日付:11月13日(木) 15時55分
>両辺を2^n+1で割る解法は使えない
敢えて原文のまま引用しましたが、ちゃんと
2^(n+1)
と書いて頂けますかね.

まあ、先の計算が楽にならないという意味では、使えないと思います。


11317.Re: 漸化式の基本問題
名前:四重人格    日付:11月14日(金) 4時19分
3n/2^(n+1) = (3n+3)/2^n - (3(n+1)+3)/2^(n+1)
ですから、まったく使えないわけでもないでしょうが、
そんなことをするくらいなら、初めから
a[n+1]+3(n+1)+3 = 2(a[n]+3n+3)
とした方が楽ですね。

11284.簡単そうに見えるのですが・・・  
名前:けん    日付:11月12日(水) 23時19分
どうも。高校3年のけんです。
以下の問題で詰まってしまいました。

(問題)------------------------------------------------
x, y, z を互いに異なる複素数とする。このとき

 {x+ky=k …(1)
 {y+kz=k …(2)
 {z+kx=k …(3)

を満たす複素数 k の値を求めよ。
----------------------------------------------------

見た目は簡単そうに思うのですが・・・

とりあえず、x, y, z に関して対称なので(1)+(2)+(3)をして
 (k+1)(x+y+z)=3k
としたのですが、ここからどうにもなりません。
というより、このようにして解けるのかどうかも不安ですが・・・

「複素数」ということで、a+bi(a,b は実数) と置いてやることも
考えたのですが、3つもそうするとなると複雑になるだけですよね?
どのように考えればよいのでしょうか?ヒントだけでも教えて頂ければ
幸いです。よろしくお願いします。

ちなみに、上記問題は数1Aの範囲内での知識でできるみたいです。
複素数って数Bで扱うものじゃなかったかなぁ?



11287.着目点を変えてみると…。
名前:Red cat    日付:11月13日(木) 9時34分
互いに異なる、というところに着目すると
x , y , z が互いに異なる ⇔ (x - y)(y - z)(z - x) ≠ 0
という関係が出ます。そこで
(1) - (2) : x - y + k(y - z) = 0 ∴ x - y = - k(y - z)
(2) - (3) : y - z + k(z - x) = 0 ∴ y - z = - k(y - z)
(3) - (1) : z - x + k(x - y) = 0 ∴ z - x = - k(x - y)
これらを辺辺掛けて
(x - y)(y - z)(z - x) = - k3(x - y)(y - z)(z - x)
ここで (x - y)(y - z)(z - x) ≠ 0 だから 1 = - k3
(以下略)


11291.なるほど!!
名前:けん    日付:11月13日(木) 11時46分
そういうテがありましたか!言われれば分かるのですが、やはり
「思いつく」となると全く別だということですね。。。
Red catさん、どうもありがとうございました!

あとは

 k3=-1
⇔(k+1)(k2-k+1)=0
⇔k=-1, (1±(√3)i)/2
 k=-1のときは (k+1)(x+y+z)=3k において、(左辺)=0, (右辺)=-3 となり不適。

よって、k=(1±(√3)i)/2 …(A)

とやってみましたが、(A)のそれぞれの値に対して、
確かに「x, y, z は互いに異なる」ということは示さなくていいのでしょうか?
つまり、
 「x, y, z は互いに異なる」⇒(A)
が言えただけで、
 (A)⇒「x, y, z は互いに異なる」
までは言えてないような気がするのですが・・・
それとも、十分性は自然と(?)言えてるのでしょうか?


11292.Re: 簡単そうに見えるのですが・・・
名前:Red cat    日付:11月13日(木) 12時1分
>「x, y, z は互いに異なる」
は前提としてあるので、明らかに不合理な k = - 1 を除けば問題はないと思います。きちんとチェックはしていないので不安ですが…。


11295.Re: 簡単そうに見えるのですが・・・
名前:我疑う故に存在する我    日付:11月13日(木) 18時27分
問題の意味が
i) その様な複素数 k に対して、もし解が存在すれば、 x, y, z は相異なる
ii) その様な複素数 k に対して、x, y, z が相異なる解が少なくとも一つ存在する
のどちらか曖昧であるが、k = -ω(ω:1の原始3乗根)とすれば i) は言えないが、 ii) は言えます。

ii) x = 0, y = 1, z = -ω とすればよい。
i) x = y = z = (1 - ω)/3 が一つの解になっている。


11296.Re: 簡単そうに見えるのですが・・・
名前:我疑う故に存在する我    日付:11月13日(木) 19時4分
追伸

k = -ω(ω:1の原始3乗根)の時、係数行列の階数が2になるので、
(x, y, z) = t(0, 1, -ω) + (1 - t)((1 - ω)/3, (1 - ω)/3, (1 - ω)/3)
が、一般解となっている。 t = 0 の場合以外は、 x, y, z は相異なる。

11271.三角関数の問題  
名前:まさじゅうろう    日付:11月12日(水) 19時27分
今日、学校の実力テストが返却されました。その中の問題が解答を見ても全く解りません。どうやって解いて行けばいいのか教えていただけませんでしょうか。

0°≦θ≦67,5°の時、−sinθ/(2-cosθ)の最小値とその時のθの値を求めよ。

というものです。僕は、高校2年です。お願いします
ちなみに解答では
 (0−sinθ)/(2-cosθ)・・@とおいてcosθ=x,sinθ=yとすると
 x^2+y^2=1なので
 @=(0-y)/(2-x) だから点P(2,0)点Q(x,y)とするとPQを結ぶ線 分の傾きを考える
と書いてあったのですがなぜこれで求まるのか全然理解できません。



11275.Re: 三角関数の問題
名前:ast    日付:11月12日(水) 20時48分
小数点はコンマでなくてピリオドを使うべきですね,
少なくとも日本では. # EU とかでは知りませんけれど.

また, 丸付き数字(やローマ数字)などは機種依存文字
といって, Web 上で使うべきではありません.

閑話休題.
こういうのは, 座標平面とグラフを使って, 視覚的にやる
というのはよくやる手です.

まず, わからない値を文字でおきます.
とりあえず, k = -sin(θ)/(2-cos(θ)) とでも置きましょう.

で, sin(θ) とか cos(θ) とかの変化は, x = cos(θ), y = sin(θ)
という置き換えで, 単位円上の点の動きとして捉えられます.

すると, k = -y/(2-x) なんだから, k は丁度, 直線 y = k*(x-2) の
傾きです. この直線は 点(2,0) を通ります.


11279.Re: 三角関数の問題
名前:ast    日付:11月12日(水) 21時18分
・・・と, またやってしまった.

# 記述を簡素化するために, よくやる記号の濫用ではありますが,
# 混乱するといけませんので, 修正しておきます.
# 定点の座標と, 変数とが同じ文字で表されていても, きちんと
# 区別して考えるべきです.

以下, 訂正版.
k = -sin(θ)/(2-cos(θ)) とでも置きましょう.
sin(θ) とか cos(θ) とかの変化は, s = cos(θ), t = sin(θ)
という置き換えで, 単位円上の 点(s,t) の動きとして捉えられます.

すると, k = -t/(2-s) だから変形すると, t = k*(s-2) です.
これは, 点(s,t) が 直線 y = k*(x-2) 上の点でもあると言ってる
わけです. 特に, k はこの直線の傾きです. また, この直線は
点(2,0) を通ります.


11285.Re: 三角関数の問題
名前:まさじゅうろう    日付:11月12日(水) 23時26分
説明本当にありがとうございます。
図形的に考えるのですね。なんか、モヤモヤが晴れました。

文字の誤りは失礼しました。以後気を付けます。

11263.お願いします  
名前:カレーコロッケ(高)    日付:11月12日(水) 16時17分
2^n−2^n−1



11264.↑修正
名前:カレーコロッケ(高1)    日付:11月12日(水) 16時22分
2^n−2^n−1は−2で良いんですか?


11265.Re: お願いします
名前:Red cat    日付:11月12日(水) 16時26分
2n - 2n - 1 ?
2n - 2n - 1 ?
いずれにしても - 2 にはなりませんね。


11267.再度修正
名前:カレーコロッケ(高1)    日付:11月12日(水) 16時35分
2^n−1÷2^nの間違いでした。


11268.Re: お願いします
名前:とも(高3)    日付:11月12日(水) 17時40分
2^(n−1) ÷ 2^nなら
指数は かけ算ならたし、
    わり算なら引くので

(与式)=2^(n-1-n)
=2^(-1)
=1/2
 ですかね。

11262.もう1つ質問です。  
名前:学生    日付:11月12日(水) 16時11分
以下でのことでポアソン過程のことで質問したものです。
分かりやすい説明ありがとうございました。理解できました。
それともう1つ質問なのですが、(N_t1)と(N_t2)がそれぞれ率λ1、λ2をもつ独立なポアソン過程とする。
このとき、(N_t1+N_t2)は率λ1+λ2を持つポアソン過程であることを示せ。

また教えていただけると助かります。



11266.Re: もう1つ質問です。
名前:Red cat    日付:11月12日(水) 16時32分
これはポアソン分布の再生性の話を知っていればすぐにできます。
詳しい説明については、少し時間を頂けますか?


11286.Re: もう1つ質問です。
名前:学生    日付:11月13日(木) 2時14分
了解です。明日(14日)の夜までに返答いただけると助かります。


11288.Re: もう1つ質問です。
名前:Red cat    日付:11月13日(木) 10時56分
★Poisson 分布の再生性
確率変数 X が平均 λ の Poisson 分布に従うことを X 〜 Po(λ) で表す。
[定理] X と Y が独立で X 〜 Po(λ1) , Y 〜 Po(λ2)
⇒ X + Y 〜 Po(λ1 + λ2)
(証明)
P(X + Y = n) = Σk = 0 n P(X = k) P(Y = n - k)
= Σk = 0 n (e- λ1 λ1k/k!) (e- λ2 λ2n - k/(n - k)!
= e- (λ1 + λ2) Σk = 0 n λ1k λ2n - k/{k!(n - k)!}
= e- (λ1 + λ2)1 + λ2)n/n!
∴ X + Y 〜 Po(λ1 + λ2)

率 λ の Poisson 過程において、時刻 0 から時刻 t までの間の事象の発生数は平均 λt の Poisson 分布に従います。このことを念頭におけば、解答を導けるかと思います。

11260.不等式についての続きです。  
名前:K_H    日付:11月12日(水) 13時0分
以前、不等式について質問したK_Hです。早速のお返事ありがとうございます。この掲示板はすすみが早いですね。私の書き込みが埋もれてしまいました。さて、話の続きですが、
私の質問内容は、A<Bが成り立つとき、両辺に−1をかけると、不等号がひっくり返るのをスマートに説明できないかというもでした。

ヨッシーさんのお返事で、A+Bを両辺から引けばよいと言うのはすばらしいアイデアです。とてもいい考え方ですね。ですが、この説明だと、両辺に−1をかけるという説明ではなく、A<Bがなり立つとき、−Aと−Bでは、どちらが大きいかという問題になってしまうのではないでしょうか。つまり、この考え方と、両辺に−1をかけるとという演算をどのように結びつければ良いでしょうか。そこで、今は悩んでいます。

astさんのお返事では、幾何学的に分かるとありました。これは、−1をかけることは、数直線上で0を中心に対称の位置を取ることを指していると思うのですが、私のまとめでは、幾何学の対称はまだ論じていないので、このような説明をすることはできませんでした。そこで、むしろ幾何学的な対称を先にまとめた方がいいのでしょうか。

よろしければお返事ください。



11261.Re: 不等式についての続きです。
名前:Red cat    日付:11月12日(水) 14時45分
不等式の両辺に - 1 を掛けるということだけに着目するのなら、結果だけ見ればそうなってる、という意味で、ヨッシーさんのやり方はスマートです。
ast さんのやり方は多くの教科書で採用されている(と思われる)、標準的なやり方です。

しかし - 1 を掛けることは所謂「負の数を掛ける」ことの極限までの抽象化であり、あまり物事を抽象化しすぎるのも、中学生を対象とする限りは決して良いとは思えません。その意味では「不等式の両辺に『負の数』を掛けると向きが変わる」という、広い捉え方をさせる方が良いような気がします。

そこで、幾何学的対称性を使わずに、正負の数の掛け算の性質だけを使って何とかならないものか、と思案してみました。

A > B ... (1) , C は負の数とします。
(1) の両辺から B を引きます。
A - B > 0
従って A - B は 0 より大きいから正の数です。
正の数と負の数を掛けると負の数になるので
C(A - B) < 0
∴CA - CB < 0 ... (2)
(2) の両辺に CB を加えます。
CA < CB
確かに不等号の向きが変わりました。
しかしこの方法も、詰まるところは
「正の数と負の数を掛けると負の数になることを、どう説明するか」
に問題が帰着するため、それを、やはり幾何学的対称性を使わずに説明できるのかどうか、悩むところです。

#誤字の修正と一部表現訂正. 再投稿です.


11282.Re: 不等式についての続きです。
名前:ast    日付:11月12日(水) 22時14分
これはどうやら,
「-1 を掛ける操作が不等号の向きを変えるように見えるだけ」
だと言っても納得してくれなそうですね・・・.

事実は, 「どんな A < B についても, -B より -A が大きい」
という問題「そのもの」を指していると思うのですが・・・.

# 何か公理的に再構成しているのなら異なる見方をするのもアリですが

### ちなみに私が「幾何的に」といった部分では「対称性」なんか
### 必要ないと思いますよ.
### ただし, 「数を引く」という操作が数直線上でどのような操作
### として現れるかということから, 負の数を代数学でやるように
### a+(-a)=0 を満たす数として導入すると, |a|=|-a| になる.
### というようなことを順番にまとめないといけないはずですが.


11283.Re: 不等式についての続きです。
名前:Red cat    日付:11月12日(水) 23時10分
>「-1 を掛ける操作が不等号の向きを変えるように見えるだけ」
ああ、なるほど。でも中学校の教科書では多分
「負の数を掛けると不等号の向きが変わる」
という意味合いの記述にしかなっていなかったと記憶します。
#つまり「そう見える」だけで本質は別のところにあるのに、「本当
#にそうなる」と認識させようとしているわけ。
そこで「- 1」には拘らず、むしろ「(負の数を)掛けると(不等号の向き
が)変わる」に拘ってみたのですが、うまいこといかん(+ +);

ってゆうか、この辺は ast さんの仰るように数直線でも描いて実際に
やってみせて、後は中学生なら直感で理解してくれ、というのが私の本
音なのですが(汗)
#よもや中学生相手に順序体の公理を説明するわけにもいかんでしょう
#(爆)

11257.2変数関数の中間値の定理  
名前:たくや    日付:11月12日(水) 11時19分
教科書に次のように載っていました。「f(x,y)を有界閉領域D上の連続関数とする。P,QをDの2点でf(P)<f(Q)となるものとする。このときf(P)<c<f(Q)となる任意の数cに対し,f(R)=cとなるD上の点Rが存在する。」ここで疑問に思ったのですが,f(x,y)が有界でない領域D上の連続関数でも,この中間値の定理は成り立っているのではないでしょうか?よろしくお願いします。



11258.Re: 2変数関数の中間値の定理
名前:我疑う故に存在する我    日付:11月12日(水) 12時33分
有界でなくても成立します。
f(R)=cとなるD上の点Rが存在しないとすると、
D1 = D ∩ {S | f (S) < c}, D2 = D ∩ {S | f (S) > c} と置けば、
D が連結でなくなり、領域であることに反する。


11446.Re: 2変数関数の中間値の定理
名前:たくや    日付:11月19日(水) 16時59分
「f(x,y)を有界閉領域D上の連続関数とする。」と書かれていますが,これはD上すべての点で定義されていて,それが連続だという意味でしょうか?


11450.Re: 2変数関数の中間値の定理
名前:我疑う故に存在する我    日付:11月19日(水) 18時4分
>これはD上すべての点で定義されていて,それが連続だという意味でしょうか?
その通りです。これはD上すべての点で定義されていて、全ての点で連続だという意味です。
D の連結性だけを仮定して導くことが出来ます。

11252.教えてください。  
名前:学生    日付:11月12日(水) 4時14分
ある店に到着する客の数が1時間あたり平均10人のポアソン過程にしたがう。このとき、続けて到着する客の時間間隔が2分から7分である確率を求めよ。

計算の仕方がよくわからないので、よろしくお願いします。



11256.Re: 教えてください。
名前:Red cat    日付:11月12日(水) 10時35分
長さ t (時間) の時間間隔に k 人が到着する確率は
pk(t) = e- 10t (10t)k/k!
と書けます。
このとき、ある客が来た時点を時間 0 として、次の客が到着するまでの時間を確率変数とみなし、それを T とすると
P(T < t) = 1 - e- 10t
となることが知られています。従って
2 分 = 1/30 時間 , 7 分 = 7/60 時間
に注意して、求める確率は
P(1/30 ≦ T < 7/60)
= P(T < 7/60) - P(T < 1/30)
= (1 - e- 7/6) - (1 - e- 1/3)
= e- 1/3 - e- 7/6
= e- 1/3(1 - e- 5/6)
となります。約 0.11 (11%) となります。

11248.よろしくお願いします。  
名前:たくや    日付:11月11日(火) 23時12分
5ページ目にたくやのボルツァノワイヤシュトラースの定理についての質問が入っています。下の方に下がってしまいましたが,回答よろしくお願いします。



11251.Re: よろしくお願いします。
名前:Red cat    日付:11月12日(水) 0時6分
>非有界点列が収束部分列を持たないのは,どのような時でしょうか?
私が挙げた例 an = n などがそうです。
一般的な条件となると私にはちょっとわかりません(汗)。


11254.Re: よろしくお願いします。
名前:たくや    日付:11月12日(水) 8時46分
ありがとうございます。結局,非有界な無限集合を考えて,ボルツァノワイヤシュトラースの定理が成り立つ場合もあれば,そうでない場合もあるので,一般的に非有界の場合は考えないということですよね?


11255.Re: よろしくお願いします。
名前:Red cat    日付:11月12日(水) 9時1分
>一般的に非有界の場合は考えない
「考えない」というと極端ですが、少なくともボルツァノ - ワイヤシュトラースの定理に限って言えばそうです。


11259.Re: よろしくお願いします。
名前:我疑う故に存在する我    日付:11月12日(水) 12時40分
>非有界点列が収束部分列を持たないのは,どのような時でしょうか?
数列 {an} が収束部分列を持たないための必要十分条件は、任意の N に対し、| an | < N なる n が有限個となることです。空間の点列でも同様です。


11443.Re: よろしくお願いします。
名前:たくや    日付:11月19日(水) 13時23分
ありがとうございます。また宜しくお願いします。

11241.接線  
名前:味噌汁    日付:11月11日(火) 2時30分
こんにちは。

円x^2+y^2=100に、第二象限にある円外の点Aから引いた2本の接線が直行し、接点の一つの座標が(6,8)であるとき、点Aの座標を求めよ。
また、点Aとこの2つの接点を通る円の方程式を求めよ。

よろしくお願いします。



11242.Re: 接線
名前:ヨッシー    日付:11月11日(火) 6時50分
点Aと、2つの接点と、中心Oとで正方形が出来るので、
もうひとつの接点は、(6,8)を90°動かした
(−8,6)か、(8,−6)です。
よって、点Aは、
 (6,8)+(−8,6) か
 (6,8)+(8,−6) のどちらかで、第2象限にある方です。

点Aと2つの接点で直角二等辺三角形が出来るので、求める円の中心は
2接点の中心、半径は5√2 です。
 
http://yosshy.sansu.org/


11243.参考図
名前:Red cat    日付:11月11日(火) 16時37分
Original Size: 451 x 451, 6KB

こんな感じ。



11249.Re: 接線
名前:味噌汁    日付:11月11日(火) 23時57分
ヨッシーさん、Red Catさん、
丁寧な説明をどうもありがとうございます。

(6,8)を90°動かすと(-8,6)or(8,-6)になることはどのようにして分かるのでしょうか?

点Aは2つの接点の和であるとはなぜ言えるのでしょうか?

何度もすみません…よろしくお願いいたします。


11253.Re: 接線
名前:ヨッシー    日付:11月12日(水) 6時30分
Original Size: 195 x 221, 2KB

図で、長方形は6×8の長方形です。
 
http://yosshy.sansu.org/



11270.Re: 接線
名前:味噌汁    日付:11月12日(水) 19時17分
図解などの詳しく丁寧な説明をどうもありがとうございます。
ヨッシーさん、Redcatさん、どうもありがとうございました。
またぜひ教えてください。^^


11278.Re: 接線
名前:ケロ    日付:11月12日(水) 21時12分
複素平面で考えると、(6,8)→6+8i
90度回転させた接点はiを掛ける:(6+8i)i=-8+6i→(-8,6) ;第二象限・・・(1)
-90度回転させた接点は-iを掛ける:(6+8i)(-i)=8-6i→(8,-6) ;第四象限・・・(2)
(1)が条件に合うので、点Aはベクトルと同じに考えて最初の接点と(1)の接点の和:(6+8i)+(-8+6i)=-2+14i
円の中心は最初の接点と(1)の接点の中点:((6+8i)+(-8+6i))/2=(-2+14i)/2=-1+7i。でも。


11316.Re: 接線
名前:味噌汁    日付:11月14日(金) 0時52分
さらに、どうもありがとうございます。
理解が深まりました。☆^^

11238.等積変形  
名前:IGA(中三)    日付:11月10日(月) 23時2分
Original Size: 925 x 443, 27KB

次の図のようなものがあり、四角形AOCBを二等分する点Aを通る直線を求めよ。という問題があったとします。
もちろん等積変形をやりますよね?っていうかやります。
それで青い線と赤い線で考えるのですが、
なんか青い線でやると、答えがうまくあわず、赤い線は答えがあうのですが、青い線はなぜうまくいかないのでしょうか?

青い線はx軸と交わります。交点をEとする。つまり三角形AOEと考えます。
赤い線はACと平行な線を原点をとおるようにして、BCの延長線との交点を、Hとすると、△ABHでやりますよね?

どうして青い線はうまくいかないのだろうか?教えてください!



11239.Re: 等積変形
名前:ヨッシー    日付:11月11日(火) 0時15分
実際に書いてみればわかるのですが、赤い線の方は、
BHの中点が四角形AOCB上の点なので、それがそのまま答えになりますが、
青い線の方は、OEの中点は、Cよりも右に行ってしまい、
2等分した三角形のどちらも、四角形AOCBにすっぽり入らないのでダメなのです。

逆にBがもっと下の方だったりして、求める線がOCを通るような答えになるときは、
青の線がOKで、赤の線がNGになります。
 
http://yosshy.sansu.org/


11245.Re: 等積変形
名前:IGA(中三)    日付:11月11日(火) 16時43分
ああ〜やっぱりそうですかあ。
わかりました。ありがとうございます!m(_ _)m

11227.ひろみちさんへ  
名前:Red cat    日付:11月10日(月) 15時43分
まだ読んでいらっしゃるでしょうか?
No. 11108でご質問なさった問題
http://www1.ezbbs.net/cgi/reply?id=yosshy&dd=17&re=11108
ですが、著作権等の問題がなければ、将来的に私のサイトで題材にしたいと思っているのですが、何か情報をお持ちであればお知らせ下さい。

#数学とあまり関係ない話題で失礼いたします。



11232.Re: ひろみちさんへ
名前:我疑う故に存在する我    日付:11月10日(月) 19時54分
ひろみちさん、Red cat さん
No. 11108 にレスを一つ付け加えておきました。

Red cat さん
どんなサイトになるか楽しみです。


11240.おじゃまします。
名前:味噌汁    日付:11月11日(火) 0時50分
楽しみです。
Red catさんのサイトを見てみたい〜♪

11220.星形多角形  
名前:我疑う故に存在する我    日付:11月10日(月) 13時7分
古い話題なので再投稿。

11053.星型多角形

名前:香奈 日付:11月3日(月) 17時50分
星型多角形の解き方を教えてください。

調べたところ
i) 内角の和
ii) 星形正多角形
等の話題が見つかりました。

i) について、1点の周りを m 回まわる星形 n 角形については、外角の和は 360°× m.
従って内角の和は、 180°×(n - 2m)

ii) については、一松信、正多面体を解く 東海大学出版会、に星形正多角形も詳しく書かれています。新改訂がどんどん出ているので、書店で買うときにはチェックを。

11214.円について  
名前:らいす    日付:11月10日(月) 0時0分
1)直径はその円の最大の弦であることを証明せよ。
 
2)点Aから等距離にある円Oの弦の長さがすべて等しいためには
 点Aが円Oの中心であることが必要か十分か。
 
3)円Oの弦AB上の点Pで等しい角をなす2つの弦が等しいためには
 弦ABが円Oの直径であることが必要か十分か。

4)円Oと点Aが与えられたとき、円上の点PでAPが最小である位置と
 最大である位置を求め、証明せよ。

なるべく分かりやすく詳しく(早めに)解答をお願いします。



11217.Re: 円について
名前:ast    日付:11月10日(月) 0時29分
どこかで見たような・・・


11228.Re: 円について
名前:    日付:11月10日(月) 15時59分
0

11212.確率、簡単なのに点数が・・とれなかった。゚゚(´□`。)°゚。ワーン!!  
名前:IGA(中三)    日付:11月9日(日) 23時4分
6本のうち2本があたりであるくじをA、Bの二人がこの順に1ぽんずつひくとき、2人ともはずれのくじを引く確率は?

樹形図がかけませんでした。できれば樹形図をかいてくださるとありがたいです。

※トリプルで質問してごめんなさい。こんなバカスカ、スレたてて本当にごめんなさい。ごゆるしください。今日のテストでわからなかったので・・



11218.Re: 確率、簡単なのに点数が・・とれなかった。゚゚(´□`。)°゚。ワーン!!
名前:mo^3    日付:11月10日(月) 0時51分
Aがはずれを引く確率:4/6(6本のうち4本がはずれ)
Bははずれを引く確率:3/5(5本のうち3本がはずれ)

なので(4/6)*(3/5)=2/5

中学では樹形図なのかな?
コレはなんか樹形図描きにくいと思う、mo^3です。

私はケアレスミスをよくします。
ケアレスミスをするうちはまだまだなんだとおもう・・・。
精進、精進!


11219.Re: 確率、簡単なのに点数が・・とれなかった。゚゚(´□`。)°゚。ワーン!!
名前:arc    日付:11月10日(月) 1時40分
Original Size: 640 x 480, 5KB

このような問題の樹形図は、こんなんでよかったと思います。

(マウスで適当に書いたので汚くてすみません・・・。)



11221.Re: 確率、簡単なのに点数が・・とれなかった。゚゚(´□`。)°゚。ワーン!!
名前:IGA(中三)    日付:11月10日(月) 14時33分
Oh!わかりやすい。パターンとして覚えた方がいいかも知れませんが
>(4/6)*(3/5)=2/5
とするのはなぜでしょう?
なぜかけ算?教えてください!お願いします。


11234.Re: 確率、簡単なのに点数が・・とれなかった。゚゚(´□`。)°゚。ワーン!!
名前:ケロ    日付:11月10日(月) 20時16分
1に対して4/6、4/6を1としたとき3/5でいいと思います。


11235.Re: 確率、簡単なのに点数が・・とれなかった。゚゚(´□`。)°゚。ワーン!!
名前:IGA(中三)    日付:11月10日(月) 21時31分
間違ってます。ケロさん。答えは2/5になるのですが、


11236.Re: 確率、簡単なのに点数が・・とれなかった。゚゚(´□`。)°゚。ワーン!!
名前:ケロ    日付:11月10日(月) 21時53分
いや、4/6を1と考えたときその3/5という意味です。


11237.Re: 確率、簡単なのに点数が・・とれなかった。゚゚(´□`。)°゚。ワーン!!
名前:IGA(中三)    日付:11月10日(月) 22時13分
ああ〜なるほど。なんとなくわかりました。う〜む。
ありがとうございました!

11210.立体  
名前:IGA(中三)    日付:11月9日(日) 22時56分
Original Size: 925 x 443, 16KB

次の図において、立体OーABCDは、OA=10p、AB=2√10p、△OAB=30平方センチメートルの四角錐である。
問いに答えよ。

OB上に、AE+CEの長さが最も短くなるように点EをとるとAE+CE=??pである。
??を求めよ。

それで解答を見たところ、まず展開する。
対角線OB、ACの交点にEがあるとき、OB垂直AC、AE=CE
それでAE=CEが成り立つのが・・・あとその後も・・わかりません。
よろしかったら誰か教えてください。



11216.Re: 立体
名前:えいぶ    日付:11月10日(月) 0時20分
たぶん「四角錐」というのは「正四角錐」のことを言いたいと思うのでそれでいきます(四角錐だけだと条件が不足します。
正四角錐なので四角形ABCDは正方形で三角形は皆二等辺三角形です。
展開すると△ABCも△AOCもともに二等辺三角形になるのでOB⊥AC、AE=CEが成り立ちます。
△OAB=30cm2でAE⊥OBですから△ABCにおいてAEを高さとして
面積=AE×BO÷2=30が成り立ちます。
ここでBO=10ですからAE×10÷2=30でAE=5となります。
ACの長さはこの2倍ですから5×2=10
答えAC=10cm


11222.Re: 立体
名前:IGA(中三)    日付:11月10日(月) 14時36分
あれ?答えが違うような・・・あり?


11223.Re: 立体
名前:IGA(中三)    日付:11月10日(月) 14時37分
答えは12になるはず!・・・・なのですが・・


11224.Re: 立体
名前:atusin    日付:11月10日(月) 15時5分
この答えは、12cmであっていると思います。えいぶさんは、簡単な計算ミスをしている。えいぶさんの解答の下から三段目おかしいと思いません?なぜならば、「AE×10÷2=30でAE=5」というのは変でしょう。
 (誤)AE×10÷2=30 → (正)AE×10÷2=30 
     AE=5     AE=6
AE×2=AC AE×2=AC
AC=10 AC=12


11225.Re: 立体
名前:atusin    日付:11月10日(月) 15時6分
この答えは、12cmであっていると思います。えいぶさんは、簡単な計算ミスをしている。えいぶさんの解答の下から三段目おかしいと思いません?なぜならば、「AE×10÷2=30でAE=5」というのは変でしょう。
 (誤)AE×10÷2=30 → (正)AE×10÷2=30 
     AE=5     AE=6
AE×2=AC     AE×2=AC
AC=10     AC=12


11226.Re: 立体
名前:atusin    日付:11月10日(月) 15時8分
この答えは、12cmであっていると思います。えいぶさんは、簡単な計算ミスをしている。えいぶさんの解答の下から三段目おかしいと思いません?なぜならば、「AE×10÷2=30でAE=5」というのは変でしょう。
(誤)AE×10÷2=30
     AE=5    
AE×2=AC    
AC=10    

(正)AE×10÷2=30 
       AE=6
AE×2=AC
AC=12


11229.Re: 立体
名前:えいぶ    日付:11月10日(月) 16時36分
そんなに言わなくても…(笑
すいませんでした。


11230.Re: 立体
名前:IGA(中三)    日付:11月10日(月) 16時50分
はは〜ご返答有り難うございます。
それでまだわからないのですが・・・
>展開すると△ABCも△AOCもともに二等辺三角形になるのでOB⊥AC、AE=CEが成り立ちます。

なぜに二等辺三角形になると上のような条件があげられるのでしょう?
教えてくださると助かります!


11244.Re: 立体
名前:IGA(中三)    日付:11月11日(火) 16時42分
どなたか教えてくださると助かります!


11250.Re: 立体
名前:IGA(中三)    日付:11月12日(水) 0時4分
う〜むやっぱりなぜに二等辺三角形になると上のような条件があげられるのがわからないです・お願いいたします!

11208.特異問題  
名前:IGA(中三)    日付:11月9日(日) 22時40分
Original Size: 925 x 443, 23KB

次の図のように歯車A(小さい)とB(大きい)がかみ合っている。歯車Aの歯数は24で、毎秒5回転している。
歯車Bの歯数がxで毎秒y回転するとするとき次の問に答えなさい。

y=3のとき、x=??である。
??を答えよ。

全く分かりません。このような歯車問題は初めてだったので、テストでは全く手がでませんでした。
図が汚いのはおゆるしください。



11209.Re: 特異問題
名前:えいぶ    日付:11月9日(日) 22時55分
歯車の問題はたいてい左右の歯車の回転数と歯の数との積を考えるとうまくいきます。
「歯車Aの歯数は24で、毎秒5回転している。」
これからAとBの接点Pでは毎秒24*5=120個の歯が通過しています。
歯車Bも同様で
「歯車Bの歯数がxで毎秒y回転する」
からxy=120が成り立ちます。
ゆえにy=3のときx=120/3=40

答えx=40


11211.Re: 特異問題
名前:IGA(中三)    日付:11月9日(日) 22時59分
うわ!なんて簡単なんだ!くっそ・・ちょっとでも一回でも経験しておけば・・・テストで解けた・・・・悔しい。

えいぶさんわかりやすい解説ありがとうございます!助かります!♪

11202.高3です☆  
名前:ゆうこ    日付:11月9日(日) 18時1分
@∫∫D (2x−y)dxdy D:x≦y≦2x、 x+y≦3 の
 重積分を求めよ。
A∫(0〜4)∫(y〜2√y)F(x,y)dxdyの積分順序を変更せ  よ。
B∫(1〜e) ∫(0〜logy)xdxdyを求めよ。
という問題が分かりません。
教えて下さいm(__)m



11203.Re: 高3です☆
名前:あ〜く@高3    日付:11月9日(日) 18時54分
(1)Ω=Ω1∪Ω2であれば、∫∫Ωf(x,y)dxdy=∫∫Ω1f(x,y)dxdy+∫∫Ω2f(x,y)dxdyであるので、Dの図を書くことによって、
 (与式)=∫[0,1]∫[x,2x](2x-y)dxdy+∫[1,3/2]∫[x,-x+3](2x-y)dxdyとなります。

(2)[0,4]において、x=y,x=2√yであるのでy=x,y=x2/4。よって
 (与式)=∫[0,4]∫[x2/4,x]F(x,y)dydx

(3)(与式)
 =∫[1,e](logy)2/2 dy
 =[1,e][y・(logy)2/2]-∫[1,e]logy dy

と出来ます。(1)(2)は図を書けば分かると思います。

幼稚な説明でしたが、参考になれば幸いです。


11204.(untitled)
名前:ゆうこ    日付:11月9日(日) 19時21分
ありがとうございます(^o^)
できればどなたか図を書いてもらえませんか???

11198.教えてください  
名前:ジャグラ 高3    日付:11月9日(日) 16時38分
こんにちわ、昨日模試を受けたのですがその時の問題で
b^2-ab+3b=4 となるa,bともに整数となる組み合わせは全部でいくら
存在するか,という問題で詰まり解けなかったのですが解答を拝見した時
愕然としました。 それは簡単な表で数えているのです。数えるという方法
も一つの方法であると自負しますが、もし、右辺が1000等大きな数になれ
ばどうすれば・・・。
私なりに限られた時間でどうにかしてa,bに範囲をつけられないかと思い
まず、f(b)=b^2-ab+3b-4=0 として判別式を用いてD=(3-a)^2+16≦0
がf(b)が実数解が持つための必要十分条件ですよね?
また題意から実数解かつ整数解となるのは√D=α^2と表せるときだと
思ったのです。しかし、限られた時間内に考える余地はなくできなかった
のですが....後になって慎重に考えてみれば何気に難しいしw
どうればよいのでしょうか。。。教えてください(m__m)



11199.Re: 教えてください
名前:ジャグラ 高3    日付:11月9日(日) 16時41分
日本語が少しおかしい所はご容赦くださいーー;


11200.Re: 教えてください
名前:モルモット大臣    日付:11月9日(日) 17時20分
b^2-ab+3b=4で左辺にb=0を代入すると0=4となりb=0は解でないから
ab=b^2+3b-4と変形後両辺をb≠0で割るとa=b+3-4/b、ここでa,bが整数よりa=b+3-4/bの右辺のb+3も整数、よって-4/bが整数となる条件を考えれば良いですね。


11201.暇人してます(汗
名前:あ〜く@高3    日付:11月9日(日) 17時21分
<解法1>
 b2-ab+3b=4
⇔b2-(a-3)b-4=0・・・(1)
(1)をbに関する二次方程式と考え、その二つの解をα,β(α<β)とすると、解と係数の関係より、
・a-3=α+β・・・(2)
・-4=αβ・・・(3)
が得られる。この時、a,b∈Zより、α,β∈Zなので(3)からα、βは-4の因数。
従って、-4の因数は6個なので、a,b∈Zとなるa,bの組は6個
(因数と表記していいか微妙・・・?)

<解法2>
(1)を整理するとa=(b-1)(b+4)/b・・・(4)
(4)よりaが整数になるには、b+4の約数の中にbがなければならない。
(∵b-1とbは互いに素である)
よって、上記の条件⇔4≡0(mod b)
(以下、同上)

普通(?)に解けば、このようになりますが、その解答では因数〜の所を表にしていただけではないでしょうか?

また、(1)のbが実数解を持つ条件はD=(a-3)2+16>0となり、bはあらゆる整数aに対して実数値を得ます。


11206.Re: 教えてください
名前:ジャグラ 高3    日付:11月9日(日) 19時47分
モルモット大臣さん>
返答ありがとうございます。b≠0でないからそのよう
に導けるのですね・・・納得しました!!(^〜^

あ〜くさん>
返答ありがとうございます。解法を2つも教えていただいて嬉しいです。
解法(1)については納得しました。ためになった感じです。

(2)についても面白いと思いましたねー。「bとb-1」が素であると言う
条件には気づきませんでした。いや面白いよ、マジで!
逆に言えばもしこの素がb,b+3であれば,b+3がbで割り切れる場合と
b+4がbで割り切れる場合と、(b+3)(b+4)がbで割り切れる条件が
必要となってくるのでしょうか...そう考えれば(1)の解法の方が
いいのかな?どちらにしてもタメになります^〜^
ただ分からない記号がありまして・・・;;
modと線が3本あるのが分からないです・・・。

まぁいっか!

11197.数列(?)・面積計算  
名前:あ〜く@高3    日付:11月9日(日) 15時58分

ak=(t2k-t2k+12
(0<t<1, k∈Z)
となるakを定義する。
この時、lim[n→∞]Σ[k=-n〜n]akの値を求めよ。

自分で問題を作成していて(ぇ)、元々は

0≦x≦1においてL:y=x,C:y=x2,点P(t,t)を考える。
この点Pを通るx軸,またはy軸と平行な直線をひきCとの交点をとり(A)、次にこの交点を通るy軸に
平行な直線をひき、さらにLとの交点をとる(B)。
(ここからこの交点について(A)を行い、それ以降(B)(A)(B)・・・)
この作業を限りなく行い、[上記の交点、又は点P]と[その交点ともっとも近い交点]を結んだ階段
状の線とLによって囲まれる面積は、どのような値に近づいていくか。

という問題だったのですが、結局、私の下手な方法(?)では、上の問題に帰結してしまいます。

このような問題はどのように解けばよいのでしょうか。
よろしくお願いします。



11215.すみません・・・
名前:あ〜く(高3)    日付:11月10日(月) 0時13分
ある人に質問(通っている塾の先生です)したところ・・・

「積分つかってみ。それならできるだろうから」

と言われました。・・・どこをどうしたらいいのかサッパリ・・・

アドバイス宜しくお願いしますm(_ _)m

11192.確立の問題  
名前:原田 宏樹    日付:11月9日(日) 3時11分
「1枚のコインを連続して3回投げてときに、3回連続して表が出る確率は」という問題の答えを教えてください。よろしくお願いします。



11194.Re: 確立の問題
名前:田村 正和    日付:11月9日(日) 7時57分
表になる確率は1/2
表→表→表これは独立事象ですので(1/2)3=1/8

11185.(untitled)  
名前:ドラドラ(17)    日付:11月8日(土) 23時12分
自然対数の底をeとするとき、e^3/4と2の大小関係は?
よろしくおねがいします。



11187.Re: (untitled)
名前:ケロ    日付:11月9日(日) 0時22分
(e^3)/4と2なら、2=2*4/4=(2^3)/4で較べられます。
e^(3/4)と2なら、(e^(3/4))^4=e^3と2^4 を計算すればよいと思います。


11193.Re: (untitled)
名前:田村 正和    日付:11月9日(日) 7時56分
結果から言うと2<e(3/4)<e3/4
数学の部屋の掲示板でも同じものを見ましたが同一人物でしょうか?

11172.EASY関数  
名前:IGA(中三)    日付:11月8日(土) 13時13分
放物線y=x
直線y=6x+m
の共有点が1個になるようにmの値を求めなさい。

それで6x+m=x2
になってx2ー6xーm=0となるまではわかります。
それでこれがx=aだけを解とする。2次方程式を
 2a=6
a2=-m
↑は連立方程式だと・・・

がわかりません。ご教授お願いいたします。
なぜこのような式が導けるのでしょうか?



11173.Re: EASY関数
名前:Bob    日付:11月8日(土) 13時28分
x^2ー6xーm=0となるまではわかります>>
それでこれがx=aだけを解とする
(x−a)^2=0になればいい。
x^2ー6xーm=0  =  (x−a)^2=0
これを解くと−6=−2a
      a^2=−m

上式よりa=3 下式に代入 9=−m
              よってm=−9

おまけですが、判別式というのがあります。通常Dとします。
 ax^2+bx+c=0で
 D=b^2−4acで
 D>0は共有点2個(解2個)
 D=0は共有点1個(解1個=重解)
 D<0は共有点0個(解なし)となる。
高1で習います。それをつかえば、今回
D=(−6)^2−4・1・(−m)=0
 36+4m=0
     m=−9
 

http://homepage3.nifty.com/sumida-3/


11176.Re: EASY関数
名前:IGA(中三)    日付:11月8日(土) 17時39分
>x^2ー6xーm=0  =  (x−a)^2=0
これを解くんですよね?
そうすると
ー6xーm=-2ax+a^2
でどうしてもここでとまってしまいます。
私の解釈が違うと思うのですが、ご指摘お願いします。


11178.Re: EASY関数
名前:モルモット大臣    日付:11月8日(土) 19時16分
X^2-6X-m=X^2-2aX+a^2は恒等式であるのでXの2次の係数、1次の係数、0次の係数は等しい。これらを比較すると2次の係数はどちらも1、2次の係数=-6=-2a0次の係数=-m=a^2ですね。


11179.Re: EASY関数
名前:モルモット大臣    日付:11月8日(土) 19時18分
2次の係数=-6=-2a間違ってしまいました。削除できないのでもう一度
X^2-6X-m=X^2-2aX+a^2は恒等式であるのでXの2次の係数、1次の係数、0次の係数は等しい。これらを比較すると2次の係数はどちらも1、1次の係数=-6=-2a、0次の係数=-m=a^2ですね。


11181.Re: モルモット大臣さんBobさんありがとうございます。感謝感謝!感慨無量です。
名前:IGA(中三)    日付:11月8日(土) 20時44分
Oh!Bobさん、モルモット大臣さん、的確な解説有り難うございます。
本当に感謝しています。
恒等式とはいったい・・・・なんでしょうか?暇ならレスをしていただけるとありがたいです。

PSモルモット大臣さんへ
本当にこの前はありがとうございます。このうれしさはこの文章にかききれないくらいです。
解答もなぜあんな(・∀・)イイ!!やり方がかいてないんだろう?っておもいます。補助線2本で終わらせるのには感激しました!


11182.Re: EASY関数
名前:ヨッシー    日付:11月8日(土) 21時15分
簡略ですが、こちらをご覧下さい。
 
http://yosshy.sansu.org/


11184.Re: EASY関数
名前:IGA(中三)    日付:11月8日(土) 22時23分
ヨッシーさんありがとうございます♪
いや〜わかりやすかったです。

11164.とけないです  
名前:ゆりえ    日付:11月8日(土) 0時50分
xyz空間においてyz平面上の双曲線y^2-z^2/2=1をz軸のまわりに
1回転してできる回転体Qと2平面z=y+1及びz=y−1によって囲まれる
立体図形をKとする。
(1)回転体Q上の点をP(x、y、z)とする時、x^2+y^2を
zで表せ。
(2)平面z=y+t(−1≦t≦1)をαとし、回転体Qの方程式と平面αの方程式から
zを消去することによって、平面αによるKの切り口のxy平面上への正射影の周の方程式
および正射影の面積を求めよ。
(3)平面αによるKの切り口の面積S(t)を求めよ。
(4)Kの体積Vを求めよ。
学校の課題で出たのですが解けません。
お願いします。



11167.Re: とけないです
名前:ケロ    日付:11月8日(土) 1時53分
(1)zがzのときの、なんだか変な表現だな、断面の円の半径の2乗はy^2=z^2/2+1だから、x^2+y^2≦z^2/2+1。
(2)問題の通り代入する。楕円だから面積は?
(3)平面αのxy平面との傾きは1だから√2倍かな。
(4)面積を−1から+1まで積分。
で出ると思います。


11170.(4)で質問です
名前:ゆりえ    日付:11月8日(土) 11時17分

tがdtだけ動いても、断面に垂直な方向にはdt/√2しか動かないので
V=∫[-1,1]2π(1+t^2)*(dt/√2)
としなくていいのでしょうか?


11190.Re: とけないです
名前:ケロ    日付:11月9日(日) 2時59分
dt/√2ですね。でも何か余分だなあ。
(2)で正射影の面積がわかったら、わざわざ平面αによる切り口の面積に戻さないで、正射影で出来た物体を考え、その物体をxy平面に垂直に切り刻んでz=−1の平面へ落とせばいいのかもしれません。(3)の導入はいらないかも。
そうすればそのまま、V=∫[−1,1]√2(1+t^2)dt で済むと思います。


11191.Re: とけないです
名前:ケロ    日付:11月9日(日) 3時7分
パイが抜けました。
V=∫[−1,1]√2(1+t^2)dt→V=∫[−1,1]√2π(1+t^2)dt


11233.Re: とけないです
名前:ケロ    日付:11月10日(月) 20時5分
というよりむしろ(訳文調)、(2)で面積が出たときすでにもとの立体は切り刻まれて平面z=-1上に乗っかっているのかも(独り言)。

11158.確率  
名前:IGA(中三)    日付:11月7日(金) 22時7分
二つのさいころA,Bを同時に投げるとき、Aのさいころの出た目をa、Bのさいころのでた目をbとする。
そのとき3辺の長さがap、bp,9pとなる三角形ができる確率をもとめなさい。
これがまったく・・・テストで出たのですが、勘でやってたまたまできたのですが・・・実力ではないので、気になります。
ご教授お願いします!



11160.Re: 確率
名前:Bob    日付:11月7日(金) 23時56分
(a,b)の組み合わせは36通り
実はここで三角形の辺の性質をつかいます。
「三角形の3辺をx,y,zとし、その最大辺をzとすると
 z<x+y」
場合わけします。
T.a+b>9 のとき
U.a+9>bのとき
V.b+9>aのとき
にしてかぶっている物は一つとみなせばいい。

http://homepage3.nifty.com/sumida-3/


11162.Re: 確率
名前:Bob    日付:11月8日(土) 0時21分
U、Vは同じなのでVは考えずに
T+U−(TとUの共通部分)

http://homepage3.nifty.com/sumida-3/


11163.Re: 確率
名前:Bob    日付:11月8日(土) 0時43分
すいません最初のレスの最大辺をカットしてください。「どの2辺の和をとってももう1辺はそれをこせない。」です。
http://homepage3.nifty.com/sumida-3/


11171.Re: 確率
名前:IGA(中三)    日付:11月8日(土) 11時49分
(゚ロ゚;)エェッ!?うむ・・・ちょっとあまりよくわかりません。
整理すると・・・なんかややこしくて・・・
すいません。途中式をかいてもらえるとありがたいです。
>すいません最初のレスの最大辺をカットしてください。「どの2辺の和をとってももう1辺はそれをこせない。」です。

>最大辺をカット とありますが最大辺とはいったいどこのことをいってるのでしょうか?

すいません。馬鹿で・・・


11174.Re: 確率
名前:ヨッシー    日付:11月8日(土) 13時46分
この問題の場合、さいころの目はたかだか6なので、
9cmが最長の辺になることは決まっています。

一方、他の2辺が、1cmと1cmとかだと、三角形が出来ませんね。

では、どんなときに三角形が出来るかというと、
6cmと3cmでもまだダメで、

2辺の和が10以上である
(4,6)(5,5)(5,6)(6,4)(6,5)(6,6)
の6通りのときに三角形が出来ます。
 
http://yosshy.sansu.org/


11175.Re: 確率
名前:IGA(中三)    日付:11月8日(土) 17時30分
ヨッシーさん、Bobさんありがとうございます!
理解できました。
図、わかりやすかったです!

11157.正四角錐  
名前:由香里    日付:11月7日(金) 21時58分
正四角錐P-ABCDにおいて辺PD,PBの中点をG,Eとする。また、平面AEG
と辺PCとの交点をEとする。辺PD=PA=PB=PC=9,辺DA=AB=BC=CD=6
とするとき次の問いに答えよ。
(1)PF:FCを求めよ。
(2)四角形AEFGの面積を求めよ。
(3)四角錐P-AEFGの体積を求めよ。
     教えて下さい。



11161.Re: 正四角錐
名前:高橋 道広    日付:11月8日(土) 0時16分
学年がわからないので困りますが…
高校生なら ベクトルを使うと解けます。

ベクトルを使わないとすると メネラウスの定理を使うと解けます。

それも使わないとすると 相似を使って解きます。

(1)を とりあえず最後の方法ので解きます。
この立体を真横からみますBとDが重なって Eとgがかさなる方向からです。
すると平面AEGは直線に見えます。
このとき、PF:FCをメネラウス または 相似で解けばでるでしょう。

相似によるとき方は真横から見た図でAPに平行でB(D)を通る平行線を引き PCとの交点をHとすると PF:FH:HC=1:1:1であることがわかります。
このことから PF:FC=1:2となるのです。

学年を教えてください。


11169.Re: 正四角錐
名前:由香里    日付:11月8日(土) 7時32分
学年は中3です。もう一度おしえてください!!!!!


11186.Re: 正四角錐
名前:高橋 道広    日付:11月9日(日) 0時6分
Original Size: 237 x 150, 2KB

前に行った事を書くと 図のようになります
この立体を真横から見るときにBとD EとGがかさなるようにみると、平面AEGは直線に見えます。このとき PF:FCをもとめることになります。
そこでBを通りAFに平行な直線とPCとの交点をHとすると(青い直線)
CH:HF=CB:BA=1:1  HF:FP=BE:EP=1:1であることから PF:FC=1:2になります
http://micci.sansu.org



11188.Re: 正四角錐
名前:高橋 道広    日付:11月9日(日) 0時35分
Original Size: 240 x 163, 3KB

(2)は少々大変です。√とか三平方の定理は習いましたか?答えに√が出て
くるのでたぶん習っているのでしょう。
四角形AEFGはいわゆるタコ型になります。この面積は1/2×2つの対角線の長さの積ででますから 対角線の長さをだせばいいわけです。

対角線GEは簡単ですね。三角形BDPの2辺の中点を結んでいるのでBDの半分。
BDは正方形の対角線ですから 6√2になります。

AFの方はまた図を書きます。三角形ACPを取り出して書いたのが上の図です。
必要な補助線は青で書きました。
PF:FC=1:2より FC=6
AC=6√2
MC=3√2
MK:KC=PF:FC=1:2より KC=2√2
三角形FKCで 三平方の定理より FK=2√7
三角形AKFで三平方の定理より AF=2√15

これより 面積は 1/2×3√2×2√15=3√30となります。


 
http://micci.sansu.org



11189.Re: 正四角錐
名前:高橋 道広    日付:11月9日(日) 0時38分
(3)は全体の高さがPHでこれは三平方の定理で出します。
求めるものの体積は A-PEG と F-PEGに分割するとできるでしょう。
もう眠くなったので書いてるうちに寝ています(~_~;)
計算も間違ったりしそうです。

あとは自分でやってみてください。
また明日 できたかどうか見てみます。もし できてなかったら そのときに解答を書きますね。
http://micci.sansu.org


11196.Re: 正四角錐
名前:由香里    日付:11月9日(日) 15時48分
ありがとうございました☆☆図までついていて分かりやすかったです。
これをいかして、似たような問題は解けるようにしていきま〜す!!
また、質問したら教えて下さいね。

11156.微分  
名前:かえで    日付:11月7日(金) 21時15分
x≧0を満たすIについて、不等式I^3+2>3Iは成り立つか。

答えは「成り立たない」なのですが、証明の仕方を教えて下さい。高2です。



11159.Re: 微分
名前:ケロ    日付:11月7日(金) 23時38分
1)じっと眺めていると、x=1のとき、左辺=3、右辺=3となり、不等式が成り立たない。終わり。
でもいいと思いますが。
2)f(x)=x^3-3x+2 を微分すると、f’(x)=3x^2-3=3(x+1)(x-1)となり、x=1で極小ですから、f(1)=0となります。
1)のように、一つでも「成り立たない」例が挙げられれば、証明されたことになると思います。

11152.指数の問題について  
名前:荒木明日香    日付:11月7日(金) 18時3分
自然数m、nで、mのn乗を求めるアルゴリズムを作成したいのですが分かりません。
※ヒント
n=64は6回の乗算で求められる。
という問題なんですが。



11155.Re: 指数の問題について
名前:ヨッシー    日付:11月7日(金) 20時34分
(amn=amn
を利用して、掛ける回数を出来るだけ減らそうと言う主旨でしょう。

例えば、
 m12 はmを12回掛けるよりも、
 ((m3)22
を使えば、
 a=m*m*m
 b=a*a
 c=b*b
と、4回の乗算で出来ます。

要は、指数を素因数分解して、素因数の数だけ処理をすれば良いということでしょう。
 
http://yosshy.sansu.org/


11165.Re: 指数の問題について
名前:キューダ    日付:11月8日(土) 0時57分
プログラムとして実現させるためのアルゴリズムとしては、
nを二進法で表示し、1が立った位のところを計算で用意し、
最後に、それらを、掛け合わせるというのが、シンプルでかつ
実用的な方法です。

例えば、100乗なら、
2乗、4乗、8乗、16乗、32乗、64乗と順に求め、
最後に、64乗、32乗、4乗をかけ合わせると言うものです。
合計8回のかけ算で、100乗の計算ができることとなります。

但し、単純にこの方法を用いると、各2^k乗をメモリに用意し
なければいけなません。そこで、これをちょっと改良したのが次の方法です。

a.累乗数nを二進法で表す。
b.二進法で表示された数字の先頭の1を消す。
c.b.で得た数字の並びの1を“SX”、0を“S”で置き換える。
d.cでできたSとXからなる文字列を左から読み取り、
  Sは自乗、Xは、mをかけると解釈する。

この一連の操作によって、最後にmのn乗が計算できます。

例えば、100=64+32+4は二進法で1100100なので、
先頭の1を取り、100100、次にSX、Xへの置き換えで
“SXSSSXSS”となり、
(1乗)→2乗→3乗→6乗→12乗→24乗→25乗→50乗→100乗
と計算できます。


ただしこれらは、あくまで、「アルゴリズム化が容易な」という方法であり、
「かけ算の回数が最小」というものではありません。
(64乗の場合は例にあるように6回で最小です。)

もし、かけ算の回数を最小にするような方法は?という様な方向への問題であ
るなら、ヨッシーさんの回答にあるように、累乗数を因数に分解することを
利用すると、上の2進数を利用する方法より少ない回数で可能な場合があります。
(例えば15乗です。)

ただし、この因数に分解する方法も、因数の探索が困難な場合、
素数乗の場合等、考慮すべき問題があります。

一般のnが与えられ、最小回数を求める問題は困難です。
が、n=154や233等と与えられ、このときどのように計算すべきかとなれば、
数理パズルとしては面白い問題となります。

11148.五角形  
名前:mie 中2    日付:11月7日(金) 7時23分
はじめまして、

半径66センチの円の中に作った五角形の一辺の長さはいくつになるか
教えて下さい。宜しくお願いいたします。



11150.Re: 五角形
名前:ヨッシー    日付:11月7日(金) 11時46分
√{(5−√5)/8} と書いて、わかります?
これに、132を掛けた数で、約77.6cmになります。
 
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11142.If you have time,please teach me!!  
名前:IGA(中三)    日付:11月6日(木) 23時9分
Original Size: 925 x 443, 17KB

次の図のように、2点A(3,0)、B(9,0)wp通る直線lがある。また、点Pは直線l上を動く点である。このとき次の問に答えよ。

点Pからx軸にひいいた垂線とx軸との交点をQてんPからy軸にひいた垂線とy軸との交点をRとする。いま4点PQORを頂点とする、四角形がせいほうけいになるときのてんPの座標を2つもとめよ。

それで下の方のせいほうけいについてなんですけど
点Pのx座標をpとする。
OQ’=P’Q’だからp=ー(−3p+9)
というそうです。
このわけを教えてくださるとありがたいです。まったくわかりません。



11145.Re: If you have time,please teach me!!
名前:mo^3    日付:11月7日(金) 1時22分
B(0,9)ですね。
直線の方程式は
3x+y=9・・・*
です。
y>0の部分にできる正方形のP点はx座標、y座標が等しくなければいけないので、その点をtとすると*から
3t+t=9
t=9/4となりますね。
y<0の部分にできる正方形のP´点は上と同様にx座標をpとおくとy座標は-pであることが正方形になるための条件ですよね。
だから*より
3p-p=9
p=9/2となります。
質問の答えになってない?


11153.Re: If you have time,please teach me!!
名前:IGA(中三)    日付:11月7日(金) 18時20分
ありがとうございます。わかりやすかったです。
今後ともよろしくお願いします。
うれしいです。

11141.2次関数のグラフの応用  
名前:Boo    日付:11月6日(木) 22時39分
初めまして。いきなりで、次の問題なのですが…

問 地上10mの所から、真上に20m/秒の速さでボールを投げる。
  x秒後のボールの地上からの高さをymとするとき、xとyの関係が
  y=−5x^2+20x+10
  で表されたとすると、高さが15m以上であるxの範囲を求めなさい。

答えが“2−√3≦x≦2+√3”となるのですが、どうしても違う気が…
途中の計算のしかたや、答えへの導き方など詳しく解説もつけていただけたら幸いです!
どうか、ヨロシクお願いします。



11147.Re: 2次関数のグラフの応用
名前:ヨッシー    日付:11月7日(金) 5時26分
高さyが
 y=−5x2+20x+10
で与えられているので、
 −5x2+20x+10≧15
を解くだけです。
移項して
 −5x2+20x−5≧0
−5で割って、
 x2−4x+1≦0  不等号が逆になります。
2−4x+1=0 の解は x=2±√3 なので、
 2−√3≦x≦2+√3
です。
現象としては、2−√3秒後に15mに達し、最も高いところ(式によると
2秒後に30m)に達したあと、落ちてきて、2+√3秒後に15mまで
落ちてくる、という具合です。

類題 地上20mのビルの屋上の縁から、真上に20m/秒の速さでボールを投げる。
  x秒後のボールの地上からの高さをymとするとき、xとyの関係が
  y=−5x^2+20x+20
  で表されたとすると、高さが15m以上であるxの範囲を求めなさい。
  ただし、ボールは地上まで落ちていくものとする。

答えは 0≦x≦2+√5 です。 
http://yosshy.sansu.org/


11151.Re: 2次関数のグラフの応用
名前:Boo    日付:11月7日(金) 13時39分
ありがとうございました!問題、解けました。
途中の式とかも、少し怪しかったんですが…合ってました(笑)
詳しい解説に、発展問題までつけていただいてスミマセンです。

11136.  
名前:T    日付:11月6日(木) 19時17分
円(x+1)^2+y^2=4…@がある。円@上の点A(-1/3,4√2/3)における接戦lと
x軸との交点をBとし点Bから円@にひいたもう一方の接戦をmとする。
(1)中心がx軸上にあり2直線l,mに接する円のうち円@に外接する2つの円の方程式を求めよ。
(2)(1)で求めた2円と2直線l,mとの4つの接点を通る円の方程式を求めよ

という問題を教えてください。



11139.Re: 円
名前:ヨッシー    日付:11月6日(木) 21時51分


まず、交点Bを求めますが、これは直角三角形の辺の比から求められるでしょう。
大中小3つの円は、それぞれ△BHI、△BDE、△BFG に内接し、
これらは、相似で、大と中、中と小の比も同じ、BA:BCです。
これより、半径が先に求まり、最初の円に接するように中心を決めれば、出来ます。

4点JKLMを通る円は、中心はx軸上で、JとLを通ることだけ考えれば、
対称性からKとMも通ります。
線分JLの垂直2等分線とx軸の交点が中心となりますが、これは結局
大円の中心と、小円の中心の中点になります。
 
http://yosshy.sansu.org/


11140.Re: 円
名前:T    日付:11月6日(木) 22時34分
理解できました。ありがとうございます。

11130.不等式の基本について  
名前:K_H    日付:11月6日(木) 12時35分
いつもこのHP、楽しみに読ませて頂いています。私は、社会人ですが、数学に多少なりとも興味を持っており、基本的な数学をまとめています。今は、小学校で習ってきたものをまとめています。
将来の目標は、相対性原理が分かるという、リーマン幾何学の理解だと思っていますが、それは、いつになることやら、

それはいいとして、ひとつ質問です。

不等式の基本に、両辺にマイナスをかけると不等号がひっくり返る
というのがあります。

  A>B  (両辺に−1をかけると)
 −A<−B (不等号記号が逆なる)

 これについて、うまい説明の仕方はないでしょうか。参考書では実際に、2と3の数字を使って、はいこうなりましたとありましたが、もっと、スマートな説明方法はないものかとお知恵を拝借したいのですが、よろしければ、何かご意見ください。



11131.Re: 不等式の基本について
名前:ヨッシー    日付:11月6日(木) 12時52分
両辺に同じ数を足す、同じ数を引く、でも
不等号は変わらないことは、了解済みとします。

A>B の両辺からA+Bを引くと
−B>−A になります。
 
http://yosshy.sansu.org/


11137.Re: 不等式の基本について
名前:ast    日付:11月6日(木) 19時27分
数直線上で幾何的に示すことも可能ですね.

11124.積分  
名前:リカコ    日付:11月6日(木) 2時34分
f(x)=∫(0→∞)e^(-t)t^(x-1)dt (x>0)について

1.f(x+1)=xf(x)を証明せよ。
2.f(x)f(1-x)= π/sinπx (0<x<1)を証明せよ。
3.f(1/2)を求め、さらに広義積分∫(−∞→∞)e^(-x^2)dxを求めよ。

ヒントから教えていただけないでしょうか?



11125.Re: 積分
名前:中川 幸一    日付:11月6日(木) 2時53分
もしも大学生であるならば, Γ関数というのを調べてみてください。
それできっと理解できると思います。

http://www3.ezbbs.net/01/k-nakagawa/


11143.Re: 積分
名前:リカコ    日付:11月7日(金) 0時5分
1.は部分積分で証明できました。
そして2.なんですけど、1.を利用して
(左辺)=f(x)f(1-x)
=(x-1)f(x-1)×(x-2)f(x-2)
・・・・・・・・・・・・・
=(x-1)(x-2)(x-3)・・・1f(1)
でここでf(1)=∫(0→∞)e^(-t)dt =1より、
(左辺)=(x-1)!になってしまいました。
どのようにπ/sinπx を導けば良いのでしょうか?
お願いします<(_ _)>


11144.Re: 積分
名前:リカコ    日付:11月7日(金) 0時19分
何回もすいません。
3.なんですけど、
f(1/2)=∫(0→∞)e^(-t)t^(-1/2)dt
=2∫(0→∞)e(-t)d(√t)
になるみたいなのですが、2∫(0→∞)e(-t)d(√t)の2は
どこからでてきたのでしょうか?


11146.Re: 積分
名前:中川 幸一    日付:11月7日(金) 1時35分
2. は β関数 を使うと綺麗に行くかな?
3. は x=1/2 とおいて計算してみよう!!
もう一つの方は f(1/2) が求まれば, ノーヒントでもたぶん解けると思います。

http://www3.ezbbs.net/01/k-nakagawa/


11149.Re: 積分
名前:Red cat    日付:11月7日(金) 9時37分
>f(1/2)=∫(0→∞)e^(-t)t^(-1/2)dt
>=2∫(0→∞)e(-t)d(√t)
ひとまずここを解決しましょう。
d(√t) = {d(√t)/dt} dt = {(1/2) * (1/√t)} dt
∴ 2 d(√t) = t^(- 1/2) dt
これで x = √t とおけば
f(1/2) = 2∫(0→∞)e(- x^2)dx
とわかります。f(1/2) の具体的な値は、2. の結果に x = 1/2 を代入して求めます。
2. については後ほど。


11154.Re: 積分
名前:Red cat    日付:11月7日(金) 18時37分
自宅からです。
参考書をめくってみましたが、2. の証明ははっきり言ってえげつないくらいに難しいです。とりあえず参考書のみ挙げておきます。

杉浦光夫「解析入門 I」(東大出版会)
の p.326 から始まる「第 IV 章 積分法」の「Γ 関数の性質」の節


11207.Re: 積分
名前:リカコ    日付:11月9日(日) 21時54分
そんなに難しいのですかあ〜(;一_一)
図書館行って参考書探してみます!

11108.命題論理  
名前:ひろみち    日付:11月5日(水) 23時33分
<問題>
ユニコーンが架空の動物ならそれは不死である。ユニコーンが
角を持っていれば魔法を使うことができる。ユニコーンが架空
の動物でなければ死ぬ運命にある。ユニコーンが架空であるか、
あるいは死ぬ運命ならば角を持っている。ユニコーンは架空の
動物か?魔法が使えるか?角を持っているか?命題論理で示せ。

自分の理解できたところは、
問題をよんで
ユニコーンが架空の動物→A
ユニコーンが不死→B
ユニコーンが角を持っている→C
ユニコーンが魔法を使える→Dとおくと条件を
@A⇒B
AC⇒D
BAの否定⇒B
CAUBの否定⇒Cとかけるところまでわかりました。
ここからどのように命題論理で求めればよいのでしょうか?
真理値表を書くとすれば、どのように書けばよいでしょうか?
お願いします。



11111.Re: 命題論理
名前:ast    日付:11月6日(木) 0時22分
なんか知らんが、ユニコーンが架空かどうかってのは判りようがない。
にも関わらず、ユニコーンは角を持ち、したがって魔法を使う。
というわけですな。


11112.Re: 命題論理
名前:ひろみち    日付:11月6日(木) 0時40分
>ユニコーンは角を持ち、したがって魔法を使う。

と言えるのはどうしてですか??


11113.Re: 命題論理
名前:ast    日付:11月6日(木) 0時48分
>>ユニコーンは角を持ち、したがって魔法を使う。
>と言えるのはどうしてですか??
「ユニコーンが架空であるか、あるいは『ユニコーンが架空の動物で
なければ死ぬ運命にある』(という前提で、)死ぬ運命ならば角を持って
い」て、「角を持っていれば魔法を使うことができる」から。


11114.Re: 命題論理
名前:ast    日付:11月6日(木) 0時53分
「[ユニコーンが架空であるか、あるいは『ユニコーンが架空の動物で
なければ死ぬ運命にある』(という条件下で、)死ぬ運命]ならば角を持って
い」て、「角を持っていれば魔法を使うことができる」から。

のほうがいいのかな。結局、ユニコーンが架空であるか否かに関わらず
ユニコーンは角を持つと書いてある。ということが判ります。
すっきり書き直せば No.11111のようになるということです。


11115.Re: 命題論理
名前:ひろみち    日付:11月6日(木) 1時1分
なるほど!そこまでわかりました!
そこで命題論理で示せと書いていたのですが、
どのように示せば良いのでしょうか?


11117.Re: 命題論理
名前:ast    日付:11月6日(木) 1時6分
>そこで命題論理で示せと書いていたのですが、
>どのように示せば良いのでしょうか?
習ったこと無いんで(記述の仕方を)知りません。

したがって、以下はただの戯れ言です。
まず、A or ¬A は常に真な論理体系で良いんですよね。
で、 [A or ¬A] ⇒ [A or B] ⇒ C ⇒ D の各命題は真だからとか
そういうようなことを書くんじゃないですかね。


11118.Re: 命題論理
名前:Red cat    日付:11月6日(木) 1時26分
1 (1) A ⇒ B
2 (2) C ⇒ D
3 (3) ¬A ⇒ ¬B
4 (4) A ∨ ¬B ⇒ C (以上 4 つ前提)
(5) A ∨ ¬A (排中律)
6 (6) A (仮定)
6 (7) A ∨ ¬B (2. ∨-導入)
4,6 (8) C (4,7. ⇒-除去)
9 (9) ¬A (仮定)
3,9 (10) ¬B (3,9. ⇒-除去)
3,9 (11) A ∨ ¬B (10. ∨-導入)
3,4,9 (12) C (4,11. ⇒-除去)
3,4 (12) C (5,6-8,9-12. ∨-除去)
2,3,4 (13) D (2,12. ⇒-除去)

この記法はE.レモンによるらしい(詳細知らず)です。
(1) 〜 (13) が行番号、前提と仮定にはその左に行番号と同じ数字をふってあります。
それ以外のところは、その行がいかなる前提 or 仮定に依存しているかを示すものです。
例えば 8 行目は「4,6」とあるので、4 行目の前提と 6 行目の仮定に依存する事を表します。

こうしてみると、「A ⇒ B」は全く不必要な前提ですね。


11119.Re: 命題論理
名前:ひろみち    日付:11月6日(木) 1時39分
例えば
4,6 (8) C (4,7. ⇒-除去)であれば
4 行目の前提と 6 行目の仮定に依存する事を表すことはわかりましたが、
()内の(4,7. ⇒-除去)の意味がわかりません。


11120.Re: 命題論理
名前:Red cat    日付:11月6日(木) 1時51分
>(4,7. ⇒-除去)の意味
関連するところだけ取り出してみるとわかります

4 (4) A ∨ ¬B ⇒ C (前提)
6 (7) A ∨ ¬B
4,6 (8) C (4,7. ⇒-除去)

至極当然のことを言っているように見えませんか?

----------

以下トリビアなので興味がなければ無視してください。
同じ命題を直観論理でやろうとすると、実は結論を出すことが出来ません。
実際、私たちは A(ユニコーンが架空の動物)である事を確認する手段を持ちえませんし、逆にそうでないことを確認する手段もありません。
このことから、直観論理の真理値表を長々と書いてみると、結局私たちは C であるかどうかも D であるかどうかも、確認する手段を持ち得ない、と結論することが妥当に見えてきます。


11121.Re: 命題論理
名前:ひろみち    日付:11月6日(木) 2時10分
4,6 (8) C (4,7. ⇒-除去)
の意味は
「行番号8は4.6に依存しているため、4と7は除去できる」という意味
でよろしいでしょうか?(私の理解のための再確認です<m(__)m>)

ということは、ユニコーンは架空の動物であれ、そうでなかれ、
ユニコーンは角を持ち、魔法が使えるってことですね?


11122.Re: 命題論理
名前:ひろみち    日付:11月6日(木) 2時12分
ついでに
>(4,7. ⇒-除去)
の-(ハイフン??)は意味があるのですか?


11128.Re: 命題論理
名前:Red cat    日付:11月6日(木) 9時39分
>4と7は除去できる
除去できるのは ⇒ という記号です。
一般に α と α ⇒ β から β を導く推論のことを「⇒-除去則」と言っているだけの話です。ハイフンにも意味はないです。

詳しいことは
金子洋之「記号論理入門」(産業図書,1994)
をご参照下さい。
#入手困難かも知れません。
##ひろみちさんの学年が不明なので、適切な参考書であるかどうかは
##保証できませんが…。
###しかもこの本、間違いが多い;;

ast さんの記法を使うなら
[¬A ⇒ ¬B] ⇔ [A ∨ ¬B] ⇒ C ⇒ D
とするのが良いでしょうか。
#[¬A ⇒ ¬B] ⇔ [A ∨ ¬B] で排中律を使いますが、両者の真理値
#表を比べても良いでしょう。


11138.Re: 命題論理
名前:ひろみち    日付:11月6日(木) 21時28分
理解できました☆
ありがとうございました!


11231.Re: 命題論理
名前:我疑う故に存在する我    日付:11月10日(月) 19時48分
>真理値表を書くとすれば、どのように書けばよいでしょうか?
お願いします。

質問に少し曖昧な点もあるが、次のように考えるのが、手間はかかっても迷うこともなく、一番単純。
(Red cat さんが >直観論理の真理値表を長々と書いてみると、と言っているのを詳しく書いた物。)

A:ユニコーンが架空の動物
B:ユニコーンが不死
C:ユニコーンが角を持っている
D:ユニコーンが魔法を使える

なる4つの命題を定義し、これらから作られる次の4つの命題を考える。

i) A⇒B (これは (¬A)∨B と同値。命題論理ではこう解釈する。)
ii) C⇒D
iii) Aの否定 (= ¬A) ⇒ B
iv) [AU[Bの否定]] ⇒ C

A, B, C, D に真理値 (T, F) の組み合わせ16通りを全て当てはめて考えて、 i), ii), iii), iv) の四つの真理値を計算し、その値が全て T なる物を探し出す。これが存在しなければ公理系 i), ii), iii), iv) は矛盾を持つと言う事になる。ただ一つ定まれば、決定可能(完全)と言う事になる。2つ以上有れば不完全となるが、A の値が T, F の何れをも取り得るとしても、 B の真理値は一意に定まることがある。この値が T なら、 i), ii), iii), iv) から B が導出可能と言う事になる。

11104.(untitled)  
名前:中3です。    日付:11月5日(水) 21時13分
 次の計算をしなさい。
(1/x-2)-(2/x+3)-(3x-1/x2+x-6)←x2はxの二乗を表します。
の問題のやり方が分かりません><

 次の式を因数分解しない。
x2-2xy-x+y2+y-6←x2はxの二乗を表します。



11107.Re: (untitled)
名前:モルモット大臣    日付:11月5日(水) 23時10分
(1)与式1/(x-2)-2/(x+3)-(3x-1)/(x^2+x+6)=1/(x-2)-2/(x+3)-(3x-1)/{(x-2)(x+3)}より(x-2)(x+3)で通分すると
{x+3-2(x-2)-(3x-1)}/{(x-2)(x+3)}=(8-4x)/{(x-2)(x+3)}
=4(2-x)/{(x-2)(x+3)}=-4(x-2)/{(x-2)(x+3)}=-4/(x+3)

(2)与式x^2-2xy-x+y^2+y-6=x^2-2xy+y^2-x+y-6=(x-y)^2-(x-y)-6
ここでx-y=Aとおくと(x-y)^2-(x-y)-6=A^2-A-6=(A-3)(A+2)
ここでA=x-yに戻せば(x-y)^2-(x-y)-6=(x-y-3)(x-y+2)

11103.(untitled)  
名前:中学3年生    日付:11月5日(水) 20時39分
すみません、全然わからないので教えて下さい。お願いします。
1.
(1)3つの連続した自然数があり、最小の数と最大の数との積は、中央の数の6倍より90大きい。このとき、中央の数を求めなさい。

(2)5でわっても6でわっても1余る自然数は、100から300までの自然数の中でなんこありますか。

2.あるテーマパークがあり、入場料をX%値上げすると、入場者数はX/2%減るという。次の問いに答えなさい。
(1)入場料を50%値上げすると、入場料収入は何%増加するか求めなさい。
(2)入場料収入を8%増加させるには、入場料を何%値上げすればよいか求めなさい。ただし、答えは2つ書きなさい。



11109.Re: (untitled)
名前:ケロ    日付:11月5日(水) 23時33分
(1)文章どおりに書いていってください。
3つの連続した自然数→n-1、n、n+1があり、最小の数→n-1と最大の数→n+1との積→(n-1)(n+1)は→=、中央の数→nの6倍→6nより90大きい→6n+90。(n-1)(n+1)= 6n+90このとき、中央の数→nを求めなさい。


11110.Re: (untitled)
名前:モルモット大臣    日付:11月6日(木) 0時1分
1-(1)連続した3つの自然数をx-1,x,x+1とおけば(x-1)(x+1)=6x+90を解けばよいですね。
1-(2)5で割っても6で割っても1余る自然数は5と6の最小公倍数で割ると1余る数ですよね。
2-(1)(2)入場料をY,入場者数をZとすると値上げ前の入場料収入=YZ
X%値上げ後の入場料収入はY(1+X/100)Z(1-X/200)ですから考えてみてください。


11134.Re: (untitled)
名前:我疑う故に存在する我    日付:11月6日(木) 13時39分
中学3年生さん、問題追加。
2.あるテーマパークがあり、入場料をX%値上げすると、入場者数はX/2%減るという。次の問いに答えなさい。
(3)入場料収入は最大何%増やせるか?或は限りなしか?
直感で答えて下さい。


11269.Re: (untitled)
名前:中学3年生    日付:11月12日(水) 18時29分
みなさん、ありがとうございましたm(__)m
すっかりお礼が遅くなってしまいました、すみません。
追加問題ですが・・・少し考えてみましたが、私の頭の中は?だらけです(笑)またわからないことがあったら教えて下さい。

11101.線形写像  
名前:オオニシ    日付:11月5日(水) 18時45分
ちなみに
e1={0,1}
e2={1,0}
です。

11100.線形写像  
名前:オオニシ    日付:11月5日(水) 18時40分
1次写像fはe1を30°反時計回りに回転し、e2を半分に縮小するものとする。fのe1,e2に関する表現行列を求めよ。



11106.Re: 線形写像
名前:ケロ    日付:11月5日(水) 22時14分
(1/2 0 )
(-1/2 √3/2)
にらんでたら答だけ出ましたが、一般的にはどう計算するのかな。
フーセイ師匠、見てないかな。どなたかお願いします。


11116.フーセイ師匠ではありませんが…。
名前:Red cat    日付:11月6日(木) 1時6分
f(e1) = (- 1/2,(√3)/2) = {(√3)/2}e1 - (1/2)e2
f(e2) = (1/2,0) = (1/2)e2
となります。表現行列 A は
(f(e1) f(e2)) = (e1 e2)A
となる行列のことで、
A =
((√3)/2 0)
(-1/2 1/2)


11133.Re: 線形写像
名前:我疑う故に存在する我    日付:11月6日(木) 13時18分
その行列を列ベクトルに左から掛けるか、行ベクトルに右から掛けるかによって、その行列は転置の関係になっている。

11097.組合せの問題  
名前:lalo    日付:11月5日(水) 17時34分
すみません、またですがお願いしますm(_ _)m
数Tの問題です。

11人の生徒の中から5人の委員を次のように選ぶ方法は何通りあるか。
(1)何も条件をつけずに選ぶ。
(2)生徒Aが含まれるように選ぶ。
(3)生徒Aを除いて選ぶ。
(4)生徒A、Bを除いて選ぶ。
(5)生徒AまたはBの少なくとも1人が含まれるように選ぶ。



11098.Re: 組合せの問題
名前:ヨッシー    日付:11月5日(水) 17時44分
(1) 11人から5人を選ぶ組合せ
(2) Aはもう選ばれているものとして、残り10人から4人を選ぶ組合せ
(3) A以外の10人から5人を選ぶ組合せ
(4) A、B以外の9人から5人を選ぶ組合せ。
(5) (1)−(4)

(5) は (4) の余事象なので、全事象(1) から (4) を引けば、求められます。
 
http://yosshy.sansu.org/


11102.Re: 組合せの問題
名前:lalo    日付:11月5日(水) 18時53分
なんとかできました。
アドバイスありがとうございました。

11091.漸化式の問題です。  
名前:さゆり(17歳)    日付:11月5日(水) 11時45分
(問題1)
次の漸化式の一般項{an}を求めなさい。a1=2,an=2an-1+2^n+1(n≧2) 

解答見ますとan=2an-1+2^n+1の両辺を2^nで割って
an/2^n=2an-1/2^n+2^n+1/2^n

an/2^n=an−1/2^n-1+2
数列{an/2^n}が公差2の等差数列であることを示してるから、あとは等差数列の一般項の公式で求める。
なぜ両辺を2^nで割るのか分かりません。

(問題2)
次の漸化式の一般項{an}を求めなさい。a1=1,an+1=2an+2n

この問題も両辺を2^n+1で割って求めています。
an+1/2^n+1=2an/2^n+1+2n/2^n+1

なぜ2^n+1で割るのでしょうか?問題1,2もanの係数を消したい(?)ので2で割るのは分かりますが、なぜn+1乗(問題2)で割るのでしょうか?
あとan+1/2^n+1=2an/2^n+1+2n/2^n+1から、どのように展開して解けば良いのでしょうか?

数学が苦手でとても困ってます。数学が得意な方なら初歩的な問題かもしれませんが、出来るだけ詳しい説明よろしくお願いします。



11092.Re: 漸化式の問題です。
名前:ast@学校    日付:11月5日(水) 15時31分
なぜと訊かれても非常に難しい. 端的には「そうやるとたまたま上手くいくから」
でしかないのですが・・・.

おそらく混乱の原因は
>問題1,2もanの係数を消したい(?)ので2で割るのは分かりますが
というところが, ちょっと発想が違うからじゃないかなぁと思います.

2^n や 2*n も a_n と一緒に変化するので, 捕らえにくいために
新たに b_n := a_n/2^n という数列の添え字の中に 2^n なんかを
「閉じ込める」ということをやっています.

うまく閉じ込めると, 漸化式の係数が n を含まない定数になって,
すでに知っている定数係数漸化式の解法が適用できるようになって
非常にうれしいですね. と解答には書いてあるわけですね.


11093.Re: 漸化式の問題です。
名前:さゆり(17歳)    日付:11月5日(水) 15時58分
う〜ん???・・・もう少し自分なりに考えてみます。
ありがとうございました。


11195.Re: 漸化式の問題です。
名前:ジャグラ 高3    日付:11月9日(日) 14時28分
an=2an-1+2^n+1  の漸化式を見てふと気になったのですが、
これを別解として積分法で導くことは可能でしょうか?
もう少しで分かりそうなんですが^^;

あと直接関係ないかもしれませんが、2an-1=bn 2^n+1=cn等で
置き換えて,log2(bn)=n-1 log2(cn)=n+1 等の関係を用いて
解に導く事は可能でしょうか・・?

11085.(untitled)  
名前:Alice 中3    日付:11月4日(火) 23時50分
つけくわえます・・・
「Aの値の範囲をもとめよ。」
です。

11083.お願いします・・・  
名前:Alice 中3    日付:11月4日(火) 23時29分
X^2−2AX+2A=O
の解をもつようなAの値をもとめよ。
という問題のやり方がわかりません。
途中計算を教えてくださればありがたいのですが・・・



11086.Re: お願いします・・・
名前:Alice 中3    日付:11月5日(水) 0時18分
大変申し訳ないのですが
解決しました。
今後宜しくお願いいたしいます。

11077.「命題の真偽」  
名前:ai(高2)    日付:11月4日(火) 22時49分
こんばんは。次の問題の解き方を教えて下さい。

次の命題の真偽を調べよ。
(1)すべての実数xについて、x^2-x+1>0
(2)ある実数x、yについて、x^2+xy+y^2<0

(1)は、「すべての実数xについて」(2)は、「ある実数x、yについて」の意味が良く分かりません…。

もう一つ、真偽を調べ方を教えて下さい。宜しくお願いします。



11084.Re: 「命題の真偽」
名前:ヨッシー    日付:11月4日(火) 23時37分
<真であることをいう場合>
・式変形などで、普遍的に成り立つことを示す
・対偶を調べる
<偽であることをいう場合>
・反例をあげる

が、一般的な方法です。

(1) x^2-x+1=x^2-2(1/2)x+(1/2)^2+3/4
   =(x-1/2)^2+3/4
 と変形します。
 「すべての実数xについて」は、文字通り「xがどんな実数でも」
 「1つでも成り立たないのがあってはダメ」という意味です。

(2) x^2+xy+y^2=x^2+2(y/2)x+(y/2)^2+3y^2/4
  =(x+y/2)^2+3y^2/4
 と変形します。
 「ある実数x、yについて」は、「1つでも成り立つx、yが見つかればOK」
 ということです。
答えは順に
(1) すべての実数xについて成り立つので「真」
(2) すべての実数x、yについて(左辺)≧0 なので、
 x^2+xy+y^2<0 を満たすx、yは1つもなく「偽」
 
http://yosshy.sansu.org/


11095.Re: 「命題の真偽」
名前:ヨッシー    日付:11月5日(水) 16時49分
上の5行は、厳密に言えばウソでしたね。上の(2)の証明がその証拠。

「すべての○○○について×××」の形の命題
「真」を言うには
 ・式変形などで、普遍的に成り立つことを示す
 ・対偶を調べる
「偽」を言うには
 ・反例をあげる

「ある○○○について×××」の形の命題
「真」を言うには
 ・ひとつ成り立つものを見つける
「偽」を言うには
 ・式変形などで、普遍的に成り立つことを示す
 ・対偶を調べる

です。
 
http://yosshy.sansu.org/


11099.Re: 「命題の真偽」
名前:Red cat    日付:11月5日(水) 17時48分
補足(ツッコミともいう(滝汗))。
>「ある○○○について×××」の形の命題
>「偽」を言うには
> ・式変形などで、普遍的に成り立つことを示す
「全ての○○○について×××」ならば「ある○○○について×××」です。


11105.Re: 「命題の真偽」
名前:ai(高2)    日付:11月5日(水) 21時55分
こんばんは。ヨッシーさん、Red catさん、どうもありがとうござます。分かってきました★☆

すみません(><)
「対偶を調べる」とは、どのようなことを言うのですか??


11126.Re: 「命題の真偽」
名前:中川 幸一    日付:11月6日(木) 2時59分
対偶を調べると言うことは,
原命題 p→q に対して, ¬q→¬p を調べると言うことです。
また, どうしてこのようなことを考えるかというと, 原命題とその対偶とは真偽相伴うからです。

http://www3.ezbbs.net/01/k-nakagawa/


11127.Re: 「命題の真偽」
名前:我疑う故に存在する我    日付:11月6日(木) 8時33分
Red cat さん 
>「全ての○○○について×××」ならば「ある○○○について×××」です。
これは成立しない。
(○○○が全く存在しない場合には。)
例えば、空集合の元は全て1より大きい。 よって空集合には1より大きい元が存在する。


11129.Re: 「命題の真偽」
名前:Red cat    日付:11月6日(木) 9時42分
>○○○が全く存在しない場合
おぉ!これを忘れていました。follow ありがとうございます。

11076.高校1年生の範囲?  
名前:ある高校2年生    日付:11月4日(火) 22時15分
このような問題を微分で解いたのですがどうも1年生の範囲で
できるそうなんですがわかりません。
是非教えてください。

問題

a,bは定数で、a>0とする
関数f(I)=I−b/I2+a(但し、Iの右側にある数字は指数とする)が、最大値1/6 最小値が−1/2である時、
a、bそれぞれの値を求めよ。



11087.Re: 高校1年生の範囲?
名前:ヨッシー    日付:11月5日(水) 0時40分
x=(√a)tanθ とおくのは、ありですか?
 
http://yosshy.sansu.org/


11088.Re: 高校1年生の範囲?
名前:ケロ    日付:11月5日(水) 1時13分
たぶん、f(x)=(x-b)/(x^2+a) だと思います。
それなら、f(x)がy=1/6とy=-1/2 にそれぞれ接しているとして、
f(x)=1/6 、f(x)=-1/2として分母を払い、
判別式=0 で出ると思います。(ケロにもどします。)


11123.Re: 高校1年生の範囲?
名前:ある高校2年生    日付:11月6日(木) 2時17分
ありがとうございます!
やっと解けました。

単に二次関数の範囲でいけたんですね・・・・
コーシーとかそっちを考えてしまいました。

11071.はじめまして。高2の問題です  
名前:lalo    日付:11月4日(火) 19時28分
傾きmが負である直線lがm<-1/2のときは定点A(1,2)を
-1/2≦m<0のときは定点B(3,1)を通るものとする
このとき直線lとx軸およびy軸が作る三角形の直線を挟む
2辺の長さの和の最小値と、そのときのlの傾きmを求めよ

という問題がよくわかりません。
かなり難しいのですが教えていただけないでしょうか?



11074.Re: はじめまして。高2の問題です
名前:ヨッシー    日付:11月4日(火) 21時6分

m=-1/2 を境にして、傾きが大きい方(水平に近い方)と小さい方(垂直に近い方)に
分けて、それぞれ最小値を求めて、より小さい方が答えです。

例えば、m<-1/2のとき(垂直に近い方)
(1,2) を通る直線の式は、
 y=m(x−1)+2
よって、y切片はx=0を代入して、y=2−m
x切片はy=0を代入して、x=1−(2/m)
2辺の長さの和は 2−m+1−(2/m)=1−m−(2/m)
よって、
 −m−(2/m)が最小の時、2辺の長さの和は最小になります。
−m>0 −(2/m)>0 より、相加相乗平均より
 −m−(2/m)≧2√m(2/m)=2√2
等号は −m=−2/m のときで、m=−√2
このとき、2辺の長さの和は 1+2√2

-1/2≦m<0 のときも、同様です。
 
 
http://yosshy.sansu.org/


11075.Re: はじめまして。高2の問題です
名前:lalo    日付:11月4日(火) 21時37分
ご丁寧にありがとうございました。
あの、
2辺の長さの和は 2−m+1−(2/m)=1−m−(2/m)
とありますが1−m−(2/m)は1+m−(2/m)
ではないでしょうか?


11082.Re: はじめまして。高2の問題です
名前:ヨッシー    日付:11月4日(火) 23時27分
おっと!
実は、そうでもなくって、
 2−m+1−(2/m)=3−m−(2/m)
が正解。
で、最後の答えも 3+2√2 です。
 
http://yosshy.sansu.org/


11096.Re: はじめまして。高2の問題です
名前:lalo    日付:11月5日(水) 16時55分
すみません。ありがとうございました。
わからないことが結構あるのでこれからもよろしくお願いします。

11064.少し難しめ  
名前:IGA    日付:11月4日(火) 17時31分
x^3y-xy^3-x^3+xy^2+xy^2+x^2y-y^3を因数分解せよ。という問題です。
それで
=x^3y-x^3-xy^3+xy^2+x^2y-y^3
=x^3(y-19-xy^2(y-1)+y(x^2-y^2)

と上の式のように、着目するのはどうしてでしょう。
わかりずらい質問なので、くわしくいうと、
共通因数をくくり出すときの、項(ー1、+2なのどのことを項といったようなきがする・・・??)を並び替えるとき、このように着目するのは、何か根拠があってでしょうから。
地道にやっていくと、何十通りあるから、地道にやっていくともちろん莫大な時間がかかります。
どうか教えてください。

ちなみに何通りあるでしょうか?←これは暇があったらでいいです。



11069.Re: 少し難しめ
名前:IGA(中三)    日付:11月4日(火) 18時48分
学年は中三であります。


11070.Re: 少し難しめ
名前:ヨッシー    日付:11月4日(火) 19時0分
式は正確に!
>1行目 xy^2 が2つあります。
>4行目 )が9になってます(SHIFT 押しぞこない)

>x^3(y-1)-xy^2(y-1)+y(x^2-y^2)
にするのは、どうしてと言われても、解答者がそうしたいから
(まずそれを思いついたから)としか言いようがありません。つまり、
x^3y と -xy^3 だけ次数が違うので、これと共通因数を持つものとして
 x^3y に対して -x^3 →x^3(y-1)
 -xy^3 に対して xy^2 → -xy^2(y-1)
ここで、 -xy^3 に対して y^3 としないのは、(y-1) の部分を共通にしたいからです。

私なら、前から2つずつくくって、
 (x^3y-xy^3)-(x^3-xy^2)+(x^2y-y^3)
=xy(x^2-y^2)-x(x^2-y^2)+y(x^2-y^2)
としますけど。これも、最初にこれを思いついたから、としか言えません。

高校以上なら、1つの目安として、
因数定理「f(a)=0 なら、f(x) は (x-a) を、因数に持つ」を利用して、
x^3y-xy^3-x^3+xy^2+x^2y-y^3 の x に y を代入すると、0になるので、
(x-y) が因数になることはわかります。
さらに x に -y を代入しても同様に、(x+y) が因数になることがわかります。
 
http://yosshy.sansu.org/


11072.Re: 少し難しめ
名前:IGA(中三)    日付:11月4日(火) 20時3分
すいません。こう複雑な式になると、パソコンで表すとちょっとミスが・・返信有り難うございます。
う〜ん。やはり経験によっての勘か・・・
難しいです。問題集でも(難)とかいてあったし・・
ありがとうございます!

11061.極限の問題です、よろしくお願いします。  
名前:Toshi_高校生です    日付:11月4日(火) 13時45分
こんにちは、久しぶりです。
数列A(n)において、A(1)=3/2,A(n+1)=1/3{(A(n))^2+2} (nは自然数)
という関係があるとき、
この数列の各項は、常に正であり、かつその値が減少していく数列であることを証明せよ。

更に、lim(n→∞)A(n)を求めよ。

という問題です。極限はある程度少し数IIIを見て理解はしているのですが…?です。よろしくお願いします。



11065.Re: 極限の問題です、よろしくお願いします。
名前:我疑う故に存在する我    日付:11月4日(火) 17時45分
>1/3{(A(n))^2+2}
(1/3){(A(n))^2+2}?  1/(3{(A(n))^2+2})

どちらにしてもヒント:y = x と、 y = 1/3(y^2 + 2) のグラフを書いて、 A(n) の様子を見ること。


11090.Re: 極限の問題です、よろしくお願いします。
名前:中川 幸一    日付:11月5日(水) 4時1分
図を作ってみました。
参考までにどうぞ。

http://www3.ezbbs.net/01/k-nakagawa/


11094.Re: 極限の問題です、よろしくお願いします。
名前:我疑う故に存在する我    日付:11月5日(水) 16時48分
中川さん、図を有り難う御座います。Toshiさん、図から分りますね。

先ず、 A(n) > 0 はすぐ出る。f (x) = (1/3)(x^2 + 2) と置くと、A(2) = f(3/2) = (17)/(12), A(1) > A(2) . 後は平均値の定理を使って帰納的に、A(n) - A(n + 1) = f '(c)(A(n - 1) - A(n)) > 0, よって狭義単調減少。単調有界だから収束。 A(n + 1) = f(A(n)) で n を ∞ に飛ばせば、 x = (1/3)(x^2 + 2), これを解いて、 x = 1, 2, x < A(1) = 3/2 より、x = 1. 別解法。一度解が分れば、解と A(n) の間で平均値の定理を使い、 A(n + 1) - 1 = f '(c)(A(n) -1)) ≦ {(17)/(18)}(A(n) -1)) ( n ≧ 2) で、 (17)/(18) < 1 だから、 1 に収束。


11135.Re: 極限の問題です、よろしくお願いします。
名前:Toshi_高校生です    日付:11月6日(木) 17時21分
我疑う故に存在する我さん、中川 幸一 さん。
ありがとうございます!

ネットに繋ぐ時間が余りとれないのでいつも返事が遅れてすみません…(--;)

11054.(untitled)  
名前:ともこ(3回生)    日付:11月3日(月) 20時14分
1、2、3、4、5、6、7の各数字を1つずつ記入した7枚のカードがある。これらをA、B、Cの3つの箱に分けて入れる。空の箱があってはならないとすると、分け方は何通りあるか。
また、箱をA、B、Cのように区別しない場合の分け方は何通りあるか。

これって、仕切り棒を使った解き方でも求められるんですか?



11055.Re: (untitled)
名前:mo^3    日付:11月3日(月) 20時38分
>仕切り棒を使った解き方

では、解けません。カード一つ一つに区別があるからです。
これはカードの視点に立ってみて、各カードの箱の選び方がA,B,Cの3通りあると考えます。
ただ、「全部A」や「Cには入らずA,Bのみに入る」など、このような分け方があるのでその分を引く必要があります。

区別しないとき

A(1,2,3)、B(4,5,6)、C(7)
A(7)、B(1,2,3)、C(4,5,6)
・・・・・
と1,2,3/4,5,6/7という風にまずA,B,Cを区別して
分ける。コレの区別をなくすと3!同じのが出てしまいます。
なので、区別しないときは3!で割ります。


11058.Re: (untitled)
名前:ともこ(3回生)    日付:11月3日(月) 23時45分
ですね、仕切り棒を使っては解けませんね。
基本的なことを理解できてないみたいです。
こんなんだったら高校生の時ちゃんと数学勉強しとくんだったーー。
なんて今更思ってしまいます!!
いやいや、これから試験までがんばるぞーー!!
返信ありがとうございました!!

11053.星型多角形  
名前:香奈    日付:11月3日(月) 17時50分
星型多角形の解き方を教えてください。



11057.Re: 星型多角形
名前:IGA    日付:11月3日(月) 22時31分
いったい何を解くのでしょうか?


11132.Re: 星型多角形
名前:我疑う故に存在する我    日付:11月6日(木) 13時7分
調べたところ
i) 内角の和
ii) 星形正多角形
が出ました。
i) について、1点の周りを m 回まわる星形 n 角形については、外角の和は 360°× m.
従って内角の和は、 180°×(n - 2m)

11050.超難問  
名前:IGA    日付:11月3日(月) 16時57分
Original Size: 925 x 443, 15KB

私の地域ででた難問です。(私にとって)
次の図のように直径ABの長さが20pである半円Oの周上に、
AP=12pとなる点Pをとる。半円上に、角BOQ=1/2角AOPとなる点Qをとる。
また直線PQが直線ABと交わる点をRとする。次の問に答えよ。

(1)この図形で、角AOP=2a°であるとき角BPRのおおきさを求めよ。
      これは楽勝でした。1/2a°
(2)線分BRの長さは何センチメートルか?
これも余裕でわかりました。答えは16p。
(3)△BQRの面積はなん平方センチメートルか?

これがまったくわからりません。解答をみてもあまりにも長く・・
理解できませんでした。
わがままなのですが、この(3)を求めるための筋道を教えて欲しいのですが・・・
例 1 ○と○が相似である
  2 △○○○で、三平方の定理で・・・
とこんなかんじで・・・・
あまりものわがままなので、腹がたったら無視してもかまいません。
どうか愚かな私に教えていただけないでしょうか?
お願いします。



11051.Re: 超難問
名前:我疑う故に存在する我    日付:11月3日(月) 17時34分
1)三角法の半角の公式より、 BQ が求まる。
2)同様に Q から直線 AB への距離も求まる。
2)’或は三平方の定理より AQ が求まり、 AQB の面積も求まり、高さも求まる。
3)AB + BR が求まっているのなら、 AQR の面積も求まり、 AQB の面積を引けばよい。


11052.Re: 超難問
名前:IGA    日付:11月3日(月) 17時47分
私のわがままな要求に応えてくださり有り難うございます。
>1)三角法の半角の公式より、 BQ が求まる。
三角法?半角の公式?おそらく円周角についてでしょうか?
QB=6?
>2)同様に Q から直線 AB への距離も求まる。


三角法と半角の公式についてご教授お願いします。


11059.Re: 超難問
名前:モルモット大臣    日付:11月3日(月) 23時55分
∠PAR=∠BQR=90-a°∠ARP=∠QRB=a/2°だから△APR∽△QBRです。
BR=16からAP:AR=12:20+16=12:36=1:3です。これからQB:QR=1:3
ここで△OAPは頂角2a°等しい2辺が10、底辺が12の二等辺三角形だから
頂角を二等分したこの半分の三角形を考えると各辺6,8,10の有名な直角三角形になります。よってこの半分の三角形でsina°=3/5,cosa°=4/5と求まります。三角関数はO.K.ですよね。
次に△OBQにおいて余弦定理からQB^2=OB^2+OQ^2-2OB×OQcosa°ですからQB^2=10^2+10^2-2×10×10×4/5=40よりQB=√40、よってQR=3√40
最後に△QBR=1/2×QB×QR×sin(90-a°)=1/2×QB×QR×cosa°だから
△QBR=1/2×√40×3√40×4/5=48 よく計算ミスをするので間違ってたらごめんなさい。なお半角の公式とはcos2a=2(cosa)^2-1=1-2(sina)^2のことだとおもいます。


11060.Re: 超難問
名前:ケロ@蛙宇宙高3    日付:11月4日(火) 1時16分
三角形OAPと三角形OBQを重ねると三平方の定理でBQが出ると思います。
図は下記。
http://www.geocities.co.jp/Bookend-Soseki/7526/rakugaki4.htm


11062.Re: 超難問
名前:IGA    日付:11月4日(火) 15時31分
すいません。みなさんありがとうございます。
私は中三なので・・・・あまりよく理解できません。

ではありがとうございます。


11066.Re: 超難問
名前:我疑う故に存在する我    日付:11月4日(火) 17時47分
最初から中3と書いて下さい。


11068.Re: 超難問
名前:IGA    日付:11月4日(火) 18時47分
すいません。最初のうちは、中三とかいており、みなさんもう私の学年が分かったと思い、かきませんでした。本当にごめんなさい。
ご迷惑をおかけしました。


11073.Re: 超難問
名前:モルモット大臣    日付:11月4日(火) 20時33分
中学3年生とは知らずに三角関数をばりばり使ってごめんなさい。お詫びに少し簡単にしました。これなら理解できると思いますが。
考え方としては△BOQの∠BOQ=a°を有効に使うため△AOPの∠AOP=2a°の角の二等分線を引いてAPとの交点をCとします。△AOPはAO=PO=10の二等辺三角形だからAP⊥OCで交点CはAPの中点。
よって△OACはOA=10,AC=6, CO=8の有名な直角三角形。次に△OQBにおいてQから辺OBに下ろした垂線の足をDとすると直角三角形△OCAと△直角三角形ODQにおいて∠ACO=∠QDO=90°、OA=OQ=10、∠AOC=∠QOD=a°より△OCA≡△ODQよってQD=AC=6
ここでQD⊥BCだからQDは△BQRのBRを底辺とした場合の高さでもある。
よって求める△BQR=16×6÷2=48


11080.Re: 超難問
名前:IGA(中三)    日付:11月4日(火) 23時12分
え!え!え!え!びっくりです。
えええ!本当にびっくりです。問題集の解答より数百倍簡単なやり方です!いや〜解説を越えるとは!いや〜ほんとうにすごい!
解説はいろいろ相似な図形をもとめたりして、なんべんもめんどくさい計算をし、ややこしい計算をするのに・・・・
くわしくいいますと、△PARを求めていろいろそうさを・・・
補助線2本でそれを一瞬にして終わらすとは・・・・あっぱれ!
感動しました。本当に冗談抜きで・・・
ありがとうございます!モルモット大臣さん!
ああ〜うれしくてたまりません。カキコしてよかった!


11081.Re: 超難問
名前:IGA(中三)    日付:11月4日(火) 23時13分
我疑う故に存在する我さん、ケロ@蛙宇宙高3さん、モルモット大臣さんありがとうございます。
すいません私の不注意のせいで、あなたがたの貴重な時間をぶちこわしにしてしまいました。深くお詫び申し上げます。
みなさまご教授有り難うございます。

11048.(untitled)  
名前:みーたん    日付:11月3日(月) 15時45分
こんにちわ。
台径の形をした円柱の表面積の出し方を
教えてください。



11049.Re: (untitled)
名前:花パジャ    日付:11月3日(月) 15時53分
大きい円錐 - 小さい円錐、といった形ですか?

11045.確率  
名前:高校1年生    日付:11月3日(月) 15時7分
5本の当たりくじが入っている20本のくじから、1本引いてもとに
戻すことを5回繰り返すとき、少なくとも2回は当たりくじを引く確率
を求めよ。

この問題を教えてください。



11046.Re: 確率
名前:Bob    日付:11月3日(月) 15時35分
すべて外れくじと1回あたりくじのときを
全体から差し引く。

反復試行なので
すべてはずれくじの確率
5C5(15/20)^5(5/20)^0

1回あたりくじのときは
5C1(5/20)^1(15/20)^4

あとは
全体の確率の1からさしひくだけ
1−5C5(15/20)^5(5/20)^0
              −5C1(5/20)^1(15/20)^4


11056.確率
名前:高校1年生    日付:11月3日(月) 21時32分
どうもありがとうございました!よくわかりました☆

11033.すいません  
名前:IGA    日付:11月2日(日) 17時40分
以前に同じような質問をしたのですが、ちょっと微妙に違います。
3でわっても4でわっても1あまる2桁の整数のうちもっとも小さい整数を求めよ。

3でわって1余る数・・・3の倍数ー2
4でわって1余る数・・・4の倍数ー3
ですよね?
ここからは3と4の最小公倍数をもとめて12でこのあとの作業が・・
以前の問題ではー2とー3のところが同じ数だったので、できたのですが・・・・違うので・・ご教授お願いいたします。



11035.Re: すいません
名前:Bob    日付:11月2日(日) 18時56分
答えは13ですが
この問題の場合
3で割っても4でわってもあまりが1ということは
3と4の公倍数に1を加えたものが全て該当します。この中で
最小の2桁の整数は13です。
まあこういう問題は4桁とかにならない限り、
該当する者を書き並べた方が早いような気がします。
3でわって1余る数・・・3の倍数+1
4でわって1余る数・・・4の倍数+1
と考えて見ました。

http://homepage3.nifty.com/sumida-3/


11036.Re: すいません
名前:IGA    日付:11月2日(日) 19時9分
なるほど!ともに余りが最初から同じな場合には素直にかけばいいのですね!たしかに・・・
ありがとうございました!!!感謝します。

11023.n進法  
名前:IGA    日付:11月2日(日) 12時0分
n進法について質問なんですが、
n進法→○進法に変えるやりかたがまったく、
例を挙げますと、
5進法で表された数431(5)を十進法で表しなさい。
という問題なんですが・・・
まったくわかりません。

431=4*5^2+3*5+1*1=116
と答えはなっているのですが、え!これで十進法になってるの?
ってかんじです。
はっきりいって私は何が分かって何が分からないのかわかりません。
とりあえずabc(n) a*n^2+b*n+c*1というのはわかります。



11026.Re: n進法
名前:Bob    日付:11月2日(日) 14時49分
n進法を10進法になおす公式である
abc(n) a*n^2+b*n+c*1 はいいとして
○進法は○個の数字をつかって数を表示する。
5進法は「0、1,2,3,4」
2進法はコンピュ−ターでつかわれ「0,1」
10進法は「0,1,2,3,4,5,6,7,8,9」を使う。
普段私たちがつかってますね。

今回すでに5進法表記の431を10進法に直す。
IGAさんの思考順序を示します。
(1)431(5)とは「今、5進法ですよという印」と思ってください。
(2)10進法に直せという指令を受ける。
(3)abc(n) a*n^2+b*n+c*1 を思いだしnを5にする。
 431=4*5^2+3*5+1*1=116となる。
おまけ
4進法の231を10進法になおす。
231⇒2・4^2+3・4+1・1=32+12+1=45

abc(n) a*n^2+b*n+c*1 はa*n^2+b*n^1+c*n^0が本来の形です。

http://homepage3.nifty.com/sumida-3/


11029.Re: n進法
名前:IGA    日付:11月2日(日) 17時4分
は〜なるほど!こういうことだったのか!10進法に直すときはabc(n) a*n^2+b*n+c*1を使うのですか!ありがとうございます。わかりやすかったです。(残念なことにこの問題は少なくなっているみたいです。私の住んでいる地域では出ないかも・・)


11030.Re: n進法
名前:Bob    日付:11月2日(日) 17時32分
少ないというかむしろ中学校指導要領から2年前
削減された高校にも移ってないかも。
わたしは個人的には好きな分野ですね。

http://homepage3.nifty.com/sumida-3/


11032.Re: n進法
名前:IGA    日付:11月2日(日) 17時36分
(゚ロ゚;)エェッ!?そうなんですか?悲しい・・
Z会の問題なんですけど・・・
ショックです。
ま〜テストにでるからやらないとかは勉強ではあっちゃいけないんですよね。きっと・・・

11022.微分  
名前:かえで    日付:11月2日(日) 11時12分
条件I+2y=10、I≧0、y≧0のもとで、U=xy^2は、I=ア、y=イで最大値ウをとる。ア、イ、ウを求めよ。  高二です



11025.Re: 微分
名前:Bob    日付:11月2日(日) 14時28分
I+2y=10を変形し、I≧0をつかう。
x=−2y+10≧0
  −2y≧−10
    y≦5
y≧0より0≦y≦5 y=(10−x)/2 とすれば
0≦x≦10でもある。
U=xy^2に y=(10−x)/2 を代入
U=x・{(10−x)/2}^2
=(1/4)x^3−5x^2+25x
あとは増減表を0≦x≦10の範囲で書き、最大値が出る。そのときのx
がわかれば I+2y=10に代入してyを出す。おそらくそのyが0≦y≦5 の範囲に入っているはず。

http://homepage3.nifty.com/sumida-3/


11038.Re: 微分
名前:キューダ    日付:11月2日(日) 21時40分
相加相乗平均の関係より

10 = x + y + y ≧ 3 * (x * y * y)^(1/3) = 3 * U^(1/3)

U ≦ (10/3)^3 = 1000/27 (等号は x=y=10/3の時)

という方法もあります。

11020.質問  
名前:IGA    日付:11月2日(日) 10時38分
このまえヨッシーさんが、すすめてくださった「数学は暗記科目」からの問題なんですが・・
3でわると1あまり、4でわると2あまる2桁の整数のうちもっとも大きいものを求めよ。

という問題なんですが、本の解説をみてもいまいち・・・
3でわると1あまる整数は見方を変えると、3の倍数ー2なのですが・・
なぜこのような式が成り立つのか?すいません。
どなたか、お暇がありましたらレスお願いいたします。



11021.Re: 質問
名前:IGA    日付:11月2日(日) 10時40分
>「数学は暗記科目」→「数学は暗記科目である」でした。


11024.Re: 質問
名前:Bob    日付:11月2日(日) 14時13分
3でわると1あまる整数は
1、4、7,10,13・・・
これをよくみると
3−2、6−2、9−2、12−2、15−2…
となる
だから「3でわると1あまる整数は3の倍数−2」
4でわると2あまる2桁の整数も同様に
2、6、10、…
おそらく4の倍数−2となる。

http://homepage3.nifty.com/sumida-3/


11028.Re: 質問
名前:ケロ@蛙宇宙高3    日付:11月2日(日) 17時2分
4=1*3+1=1*3+0+1=1*3+(3-3)+1=(1*3+3)-3+1=2*3-2.
7=2*3+1=2*3+(3-3)+1=(2*3+3)-3+1=3*3-2.
11=3*3+1=(3*3+3)-3+1=4*3-2.

3n+1=3n+0+1=3n+(3-3)+1=(3n+3)-3+1=4n-2.
となると思います。


11031.Re: 質問
名前:IGA    日付:11月2日(日) 17時34分
ありがとうございます!感謝感謝(^^;

11005.城北高  
名前:IGA    日付:11月1日(土) 22時32分
Original Size: 925 x 443, 14KB

図のようにAB=3m、BC=4mの長方形の台で玉突きをする。
ただし、玉は台の縁では当たったときと同じ角度ではねかえるものとする。
(1)点Aで突いた玉が、BC上の点Pにあたり、はねかえってPH垂直ACとなるようなHの方向に進むとき、BPの長さを求めよ。

それで解答を見たところとてもちんぷんかんぷんだったので、ご教授お願いします。

2角そうとうにより△CHP相似△CBA
ゆえにAB:BP=CB:BA
BP=xmとすると、3:x=4:3
よってx=9/4

この式だとだいぶなにかが省かれているような気がするのですが・・
なんか比例式と相似な図形の関係が、違うような気がします。
とするとこの比例式に沿って考えると
△ABP相似△CBAですよね?
上の関係だと、2角相等の証明は?
それとも△ABP≡△CHPなのでしょうか?



11006.Re: 城北高
名前:IGA    日付:11月1日(土) 22時41分
Original Size: 925 x 443, 14KB

もう一つあったので・・・
(2)点Aで突いた玉が、BC上の点Qではねかえり、ACの中点Mを通っていくとき、BQの長さを求めよ。

という問題なんですが、Mから垂直におろした線とAQの交点の延長戦と交わる点をM’とする、M’からABにむかって垂線を引く。その交点をEとする。(ABの延長)
それで平方線の定理をつかうという・・・

それで疑問なんですが、BEが1.5mと解答にあるのですが、どこからこのようなかずがでてくるのですか?
ご教授お願いします!



11007.Re: 城北高
名前:IGA    日付:11月1日(土) 22時42分
図が汚くてごめんなさい。拡大すればきれいになります。お願いたします。


11008.Re: 城北高
名前:Bob    日付:11月1日(土) 22時57分
(1)∠ACB=∠PCH(共通)
   ∠CBA=∠CHP=90°
   2角相当より
僊BC∽儕HC
  また
  ∠ABP=∠CHP=90°
  ∠APB=∠CPH(問題文より)
   2角相当より
  僊BP∽僂HP
 さらに上の2つから
  僊BC∽儕BA
  BP=xとすると AB:PB=BC:BA
  3:x=4:3
    x=9/4

http://homepage3.nifty.com/sumida-3/


11010.Re: 城北高
名前:IGA    日付:11月1日(土) 23時5分
Oh!ありがとうございます。
すいません。ご丁寧に。(1)ありがとうございます。


11011.Re: 城北高
名前:IGA    日付:11月1日(土) 23時5分
(2)を誰かお願いいたします。すいません。一つのスレに2問にしちゃって。ご教授お願いします。


11012.Re: 城北高
名前:ヨッシー    日付:11月1日(土) 23時11分
私のページの「ご質問に答えるコーナー」に解答を載せました。
 
http://yosshy.sansu.org/


11013.Re: 城北高
名前:Bob    日付:11月1日(土) 23時20分
Mから垂直におろした線とBCとの交点をRとする。
僂MR∽僂AB
(角C共通と90°で2角相等)
相似比1:2(CM:CAより)
よってMR=1.5
ここで角RQM'が角AQBと対頂角で同じ
問題文より角MQRも同じ
ここで儁QRと儁'QRで
∠MRQ=∠M'RQ=90°
∠MQR=∠M'QR
QR共通
1辺とその両端の角が等しいので
儁QR≡儁'QR
MR=M'R=1.5
M'R=EB=1.5
僊BQ∽僊EM'より

AB:AE=BQ:EM'
3:(3+1.5)=x:2
x=4/3

http://homepage3.nifty.com/sumida-3/


11014.Re: 城北高
名前:IGA    日付:11月1日(土) 23時20分
すいませんが、ご質問に答えるコーナーにいっても、ないのですが・・・


11015.Re: 城北高
名前:IGA    日付:11月1日(土) 23時39分
おお!感動ものです。いや〜かなりわかりやすかったです。感謝します。このように発展するのはちと難しいですね。補助線を引くのが苦手で。ま〜慣れます。
わかりやすい解説ありがとうございました。(問題集の解答は最低限のことしかかいてなくて馬鹿な私じゃわからないのです)

ちょいと解説を見て思ったことなんですが、
「これは’鏡映’の考えである。」とあったんです。
’鏡映’とはいったいなんでしょうか?気になります。
お暇がありましたらいいのでレスお願いいたします、


11017.Re: 城北高
名前:ヨッシー    日付:11月1日(土) 23時54分
そろそろ見えるかな?

私のページにあるような図が「鏡映」の考え方、です。

これを使うと、Aから打って、壁で5回反射してBに達したとき、
玉の動いた距離が最も短いのは?
などのような問題も、下の図のように3通りあることもすぐわかり、長さの比較も容易です。

 
http://yosshy.sansu.org/


11018.Re: 城北高
名前:IGA    日付:11月2日(日) 0時26分
>ヨッシーさんへ
すいません。前回といい今回といいお世話になりまして・・・
ありがとうございます。わかりやすかったです。
少し難しい定理がからんでくるのですね。
ありがとうございました!


11019.Re: 城北高
名前:ヨッシー    日付:11月2日(日) 0時43分
別にメネラウスの定理を使わないと解けないわけではありませんが、
式が1つですむので使いました。


たとえば、こういう図を描けば、BQ:QC=1:2 であるとすぐ分かります。
http://yosshy.sansu.org/

10999.(untitled)  
名前:IGA    日付:11月1日(土) 11時44分
Original Size: 925 x 443, 14KB

次の図において、AP:PB=1:1、BQ:QC=1:3。CR:RA=2:3とする。
このとき三角形の面積比△ABC:△PQRをもっとも簡単な整数比で表すと何か?答えなさい。

という問題なのですが、できません。
解答を見てもぴんときず・・・・・
△APR=(1*3/2*5)*△ABCというこのは?なんなんでしょうか?
どうしてかけ算をして分数に?
お願いします!



11001.Re: (untitled)
名前:mo^3    日付:11月1日(土) 13時0分
高さが共通なので面積の比は底辺の比です
△APC=△ABC×1/2
△APR=△APC×3/5
なので
△APR=△ABC×(1/2)×(3/5)

>△APR=(1*3/2*5)*△ABC
この書き方じゃ解りにくいと思います。
他の△BPQ、△QCRも同様ですね。


11002.Re: (untitled)の意味は?いったい・・・
名前:IGA    日付:11月1日(土) 14時25分
mo^3 さん!ありがとうございます。
すごくわかりやすかったです〜
助かります!
ありがとうございました!

10998.漸化式  
名前:かなえ(高1)    日付:11月1日(土) 11時36分
(問題)
a1=1,an+1=2an+3n(1,2,3,・・・)で定義される数列{an}の一般項を求めよ。

2anのようにanに係数が付いている場合どのように解いて行けば良いのでしょうか?解答見てもあまりよく解りません。詳しい説明よろしくお願いします。



11003.Re: 漸化式
名前:mo^3    日付:11月1日(土) 14時31分
a[1]=1,a[n+1]=2a[n]+3n  (n=1,2,3,・・・)

(1)階差型で解く
次のような操作をします

  a[n+2]=2a[n+1]+3(n+1)
−) a[n+1]=2a[n]+3n
 ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄
a[n+2]-a[n+1]=2(a[n+1]-a[n])+3

b[n]=a[n+1]-a[n]とおいて
b[n+1]=2b[n]+3、b[1]=a[2]-a[1]=4 

これの一般項を求めてb[n]=7・2n-1-3
∴a[n+1]-a[n]=7・2n-1-3
この階差数列を解く

(2)等比数列型で解く
a[n+1]=2a[n]+3nの3nの部分が一次式なので
a[n+1]-{α(n+1)+β}=2{a[n]-(αn+β)}
という形に持っていきたいと考えまして、この式を展開して
a[n+1]=2a[n]-αn+α-β

与式と見比べて-α=3 α=-3、α-β=0 β=-3となります。
ゆえに
a[n+1]+3(n+1)+3=2(a[n]+3n+3)
{a[n]+3n+3}は公比2の等比数列だから
a[n]+3n+3=2n-1(a[1]+3・1+3)
∴a[n]=7・2n-1-3n-3


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