2003年04月 の投稿ログ


7043.マクローリン展開  
名前:まり    日付:4月30日(水) 21時30分
少し前に書いたんですが、もう1度質問します。
@f(x)=log(1-x^2)のマクローリン展開を書く。
A@のf(x)で、対数微分法によってf'(x)を求める。
BF(x)=x^2log(1+x)
f(x)=x^2, g(x)=log(1+x) として、Leibnizの公式を使うことにより
 F^(n)(x)を求めよ。
この3問がどうしても分かりません(>_<)
お願いします



7050.Re: マクローリン展開
名前:ヨッシー    日付:5月1日(木) 9時20分
私のページの「ご質問に答えるコーナー」に解答を載せました。
 
http://yosshy.sansu.org/

7039.五進法について  
名前:落合由紀子    日付:4月30日(水) 19時13分
十進法を五進法になおす方法がよく分かりません。
教えてください。
例題 ある自然数Nを5進法であらわすと3243になります。Nの2倍を5進法で表わすといくつになりますか?
答えが12041なのは分かっているのですが、なぜ、そうなるのかが分かりません。よろしくお願いします。



7040.Re: 五進法について
名前:田村 正和    日付:4月30日(水) 19時41分
私のやりかたはこうです。
左から1(=5^0)の位、5の位、5^2の位、5^3の位・・・となるので
(5進数であらわした3243)=5^3×3+5^2×2+5×4+3=(10進数であらわした448)
Nの2倍=(10進数であらわした896)ですので
896÷625(=5^4)=1あまり271
271÷125(=5^3)=2あまり21
21÷25(=5^2)=0あまり21
21÷5=4あまり1
よって
Nの5倍=(5進数であらわした12041)


7041.Re: 五進法について
名前:しんちー    日付:4月30日(水) 20時20分
五進法では、4の次の数がないので桁上がりして10になることに注意します。
別解として、筆算でやると:

3243 の一の位を2倍して、6だけど、6って数はないから1繰り上がって1。
下から二桁目、4を2倍して繰り上がりを足すと9だけど、9って数はないから1繰り上がって4。
下から三桁目、2を2倍して繰り上がりを足すと5だけど、5って数はないから1繰り上がって0。
一番上の桁、3を2倍して繰り上がりを足すと7だけど、7って数はないから1繰り上がって2。

これで結果が12041になります。


7045.Re: 五進法について
名前:ヨッシー    日付:5月1日(木) 0時18分
私のページの「作り散らかした画像集」の15番目に
10進数を3進数に直す方法があります。
5進法の場合も、5で順々に割っていって、それぞれの時のあまりを
下から読んでいけばいいのです。

ただし、この問題は、そのような10進←→5進の変換の問題と言うより、
しんちーさんのように、5進数のまま掛け算をするための、練習問題の
ような気がします。
そうすれば、往復2回の変換をしなくてすみます。
 
http://yosshy.sansu.org/

7036.マクローリン展開について  
名前:まり    日付:4月30日(水) 17時23分
@f(x)=log(1-x^2)のマクローリン展開を書く。
A@のf(x)で、対数微分法によってf'(x)を求める。
BF(x)=x^2log(1+x)
f(x)=x^2, g(x)=log(1+x) として、Leibnizの公式を使うことにより
 F^(n)(x)を求めよ。
この3問がどうしても分かりません(>_<)
お願いします



7037.Re: マクローリン展開について
名前:ast    日付:4月30日(水) 17時36分
マクローリン展開
対数微分法
Leibnizの公式

はそれぞれ判っていてきちんと書けるのですか?


7038.(untitled)
名前:まり    日付:4月30日(水) 17時46分
最近習ったばっかりなので、まだよくわかってません。
できればそのへんも詳しく教えて下さい。

7033.高2です。  
名前:    日付:4月30日(水) 14時25分
l:y=-2x-2
m:y=1/x(x>0)
lとmの最短距離を求めよ



7035.Re: 高2です。
名前:あごら    日付:4月30日(水) 16時18分
l:y=-2x-2
と同じ傾きの直線で
mと接するような直線を
考えたらどうかな?


7044.Re: 高2です。
名前:花パジャ    日付:4月30日(水) 23時29分
m上の任意の点と直線lとの距離を求め、相加相乗平均

7031.(untitled)  
名前:おはようございます    日付:4月30日(水) 9時25分
ジョーカーを除いたトランプ52枚の中から1枚のカードを抜き出し、
表を見ないで箱の中にしまった。
そして、残りのカードをよく切ってから3枚抜き出したところ、
3枚ともダイアであった。
このとき、箱の中のカードがダイヤである確率はいくらか。

今、この問題を某サイトで論争しております・・・
・後からの情報開示で最初に引いた確立は変動しない
 確立・・・1/4
・後からの情報開示も考慮するのは然り
 確立・・・10/49

確立という学問ではどちらが正しいのでしょうか?



7032.Re: 条件つき確率という分野になります
名前:高橋 道広    日付:4月30日(水) 10時52分
2つのくじがあって1本あたりのとき
A君が引いたときあたりになる確率1/2

B君がこっそり残ったくじを見たらはずれだったとき
A君があたりになる確率 1

つまり後からでも 条件がくっつくと確率は変動します。


残りのカードをよく切ってから12枚抜き出したところ、
12枚ともダイアであった。
このとき、箱の中のカードがダイヤである確率はいくらか。
確率は0になります。やっぱり変動しますね(^_^;)

http://micci.sansu.org

7024.確率?問題  
名前:のぼちゃん    日付:4月29日(火) 23時0分
2 個のさいころを振る。出た目の差(大きい方から小さい方を引く)を X とする。
このときの E(X) を計算しなさい。



7029.Re: 確率?問題
名前:しんちー    日付:4月30日(水) 1時24分
実際に P(X=i) (i=0,1,…,5) を計算するところから始めましょう。

7021.漸化式  
名前:WS.    日付:4月29日(火) 22時42分
学校で漸化式an+1=(ran+san)/(pan+qn)型の特性方程式はx+1=(rx+sx)/(px+qx)って習ったのですが何故三項間漸化式みたいにan+2→x2,an+1→x,an→定数みたいな変形が出来ないのですか??そもそも特性方程式ってどうやって出来たものなのですか??誰か知ってる方がいらっしゃったら是非教えて下さい!学年は高1です。



7022.Re: 漸化式
名前:WS.    日付:4月29日(火) 22時43分
SUBをSUPで書いてしまいました(汗
よろしくお願いします


7030.Re: 漸化式
名前:しんちー    日付:4月30日(水) 1時32分
特性方程式は、漸化式を等比数列のものに変形しようというのが動機になっています。
たとえば、a(n+1) = p×a(n) + q … (*) の形であれば、これが等比数列の漸化式になるにはどうしたらよいか、と考えます。
考えた結果、これを a(n+1) - x = p×( a(n) - x ) とすればよいことがわかります。
この式を整理すると a(n+1) = p×a(n) + x - px ですから、(*) と比較して
 q = x - px すなわち x= px + q
となります。
だからもとの式の項を x に置き換えて得られるように見えるのです。

7016.ガウスについて(高2)  
名前:ハリー    日付:4月29日(火) 21時27分
ガウスについてよくわかりません。
y=[x]であればどのようなグラフになるのでしょうか?
よろしくおねがいします。



7018.Re: ガウスについて(高2)
名前:ヨッシー    日付:4月29日(火) 21時47分
[x]は、xを超えない最大の整数を表します。
[1]=1
[1.99]=1
[2]=2
[-3.2]=−4
[−3]=−3
などです。

 
http://yosshy.sansu.org/

7015.6898を引用  
名前:森山    日付:4月29日(火) 21時25分
・無限級数煤in=1,∞)anの和を求めよ。
(2)an=n/(n+1)!
の問題なんですが、分数にわける方法が見つかりません(考えましたがわかりませんでした。)
もう一度教えていただけないでしょうか。
よろしくおねがいします。



7017.ヒント?
名前:nabeX    日付:4月29日(火) 21時42分
n=(n+1)-1です。


7020.Re: 6898を引用
名前:ハリー    日付:4月29日(火) 22時24分
もう少しヒントくださいm(−−)m


7023.Re: 6898を引用
名前:nabeX    日付:4月29日(火) 22時46分
n/(n+1)!={(n+1)-1}/(n+1)!=(n+1)/(n+1)!-1/(n+1)!


7026.Re: 6898を引用
名前:ハリー    日付:4月30日(水) 0時14分
解決しました。ありがとうございました


7028.Re: 6898を引用
名前:しんちー    日付:4月30日(水) 1時4分
私が解いたときは、

(1) 分母が (n+1)! なので、それがヒントになるな
(2) 試しに 1/n! - 1/(n+1)! を計算してみよう
(3) あ、うまくいった

みたいな感じでした。

7007.お願いします。  
名前:鉛筆(高校2年)    日付:4月29日(火) 17時5分
簡単な問題で申し訳ないのですが、教えてください。
「正四面体ABCDの底面の△BCDの重心をKとするとき、
直線AKは底面に垂直であることを示せ。」
というものなのですが…。
よろしくお願いします。



7008.Re: お願いします。
名前:鉛筆    日付:4月29日(火) 17時33分
空間ベクトルを使ってとくものなのですが…。


7014.Re: お願いします。
名前:taka    日付:4月29日(火) 20時40分
AB→=a→、AC→=c→、AD→=d→とし、BC、CDの中点をそれぞれM、Nとでもして、
(直線AKと底面△BCDとか垂直に交わる)⇔(AK⊥BNかつAK⊥DM)を証明すればよい。

因みに{(AK→)・(BN→)=0かつ(AK→)・(DM→)=0}⇔(AK⊥BNかつAK⊥DM) (但しAK→、BN→、AK→、DM→≠0→)を利用する。


7019.Re: お願いします。
名前:鉛筆    日付:4月29日(火) 22時13分
takaさん詳しいご説明ありがとうございました。
おかげさまでどうにか解けそうです。お世話になりました。
簡単なお礼ですみません。

7001.極限  
名前:PROLINK    日付:4月29日(火) 15時16分
lim(n→∞)(a^n+b^n+c^n)^(1/n) a,b,c>0 どうやって解くのでしょうか? だれか教えてください。お願いします。



7002.Re: 極限
名前:しんちー    日付:4月29日(火) 15時53分
a<b<c とすると、a^n + b^n + c^n の主要部分は c^n なので、
どこかから c^n をくくりだして計算してみてはどうでしょう。


7003.Re: 極限
名前:PROLINK    日付:4月29日(火) 15時56分
おお!!なるほど! ありがとうございます!

7000.数列の極限  
名前:jun    日付:4月29日(火) 14時44分
Bn=(A1+A2+・・・An)/n とするときlim(n→∞)An=∞ならばlim(n→∞)Bn=∞であることを示せ。また逆は正しいか。正しくない場合は反例をあげよ。
この問題がよくわかりません。よろしくお願いします!



7004.Re: 数列の極限
名前:ast    日付:4月29日(火) 16時27分
定義に沿って, ε-N の形にしてみたら何か判るかもしれませんね.


7006.反例は A(n)=(1+(-1)^n)*n
名前:ころっさす    日付:4月29日(火) 17時4分
∀L>0∃m∈N(∀n∈N(n>m⇒A(n)>L)⇒∀n∈N(n>2*m∧n>|A(1)+…+A(m)|*4/L⇒
B(n)>(A(1)+…+A(m))/n+(n-m)*L/n≧-|(A(1)+…+A(m))/n|+L/2>L/4))


7009.Re: 数列の極限
名前:jun    日付:4月29日(火) 18時30分
む〜う・・・
イマイチ意図がつかめないです。すいませんが少し説明を加えていただけないでしょうか?


7010.Re: 数列の極限
名前:ころっさす    日付:4月29日(火) 18時47分
卒爾ながらjunさんの所属学科をお聞かせください.


7011.Re: 数列の極限
名前:jun    日付:4月29日(火) 18時59分
え〜と・・ 東工大1類です。1年なのでまだ所属学科は決まってません。一応物理学科志望ですが・・・


7012.Re: 数列の極限
名前:ころっさす    日付:4月29日(火) 19時24分
∀L>0∃m∈N(
∀n∈N(n>m⇒A(n)>L) …… (01)

∀n∈N(
n>2*m∧n>|A(1)+…+A(m)|*4/L …… (02)

B(n)>(A(1)+…+A(m))/n+(n-m)*L/n≧-|(A(1)+…+A(m))/n|+L/2>L/4 …… (03)
))

式の構成は,(01) までが A(n)→+∞ で,
その L,m に対して,(02) を満たす任意の n は (03) を満たす,
つまり B(n)→+∞ ということです.

時に「 A(n)はaに収束 ⇒ B(n)はaに収束 」は学ばれましたか?
いきなり本件のハズはないと思われますが,...

また,反例については確認して頂けましたか?


7013.Re: 数列の極限
名前:jun    日付:4月29日(火) 20時10分
もちろん!その類題として出されました。

わかったような気がします。ありがとうございました。
反例についてですが、オッケーだと思います。

6994.極限  
名前:みのる    日付:4月29日(火) 13時14分
y=xsin(1/x) でx→0のとき、
-x≦xsin(1/x)≦xなので、
漸近線y=-xとy=xの間を、波線を描くような
イメージとわかり、
   x→0のとき、y→0
とわかるのですが、

逆に、x→∞の場合に関しては,”yは発散する”でよいのでしょうか。

この質問の背景には、1/xをaとおいてしまい
与式は、y=sin(a)/a a→0
となり、y→1
という公式をつかった結果、上記のような疑問が。
よろしくお願いします。



6996.Re: 極限
名前:ast    日付:4月29日(火) 13時21分
発散しません.
理由はみのるさんの書き込みの後半で述べておられる通りですね.

実際,
>y=xsin(1/x) でx→∞のとき
単純に見ると ∞*0 の不定形なわけです.


6997.Re: 極限
名前:みのる    日付:4月29日(火) 13時36分
astさん、ありがとうございます。
極限は難しいですね。
グラフからでは、1に収束なんて
みえなかったので。。(_o_)


7005.Re: 極限
名前:しんちー    日付:4月29日(火) 16時57分
Grapes というフリーウェアで描いてみました。
漸近線が y=x と y=-x であるように思えるのですが、
x が大きくなると (x=π くらいですでに) 1/x がほとんど 0 に近くなるため、関数の値はほとんど 1 になるようです。


7025.Re: 極限
名前:みのる    日付:4月29日(火) 23時3分
しんちーさん、ありがとうございました。
私もこのソフトで早速確認しました。(_o_)

6990.質問です。  
名前:田村 正和    日付:4月29日(火) 11時14分
(sinx)^3を微分せよという問題に対して友達が3(sinx)^2・cosxってやってたんですよ。で、私が思わずぷっって笑ってしまってたんですけど、よく見たらsinx=Aとおいて微分してるので正しいのかもと思ったんです。どこが間違っているのか教えてください。



6991.Re: 質問です。
名前:ast    日付:4月29日(火) 11時59分
何が言いたいのやら・・・。


6992.意味のない発言をしない主義
名前:占星術師@田村正和様ファン    日付:4月29日(火) 12時45分
>どこが間違っているか
ぷっって笑ってしまった田村 正和様が何か勘違いなさっていると思うのですが・・・
下の方のスレッドにご自分で書かれている合成関数の微分法から、
sin3xの導関数は確かに3*sin2x*cosxになります。


6993.意味は無くないんだが・・・
名前:ast@俳優の田村正和は好きだが    日付:4月29日(火) 13時0分
落ち着いて考えれば判ると思うので, あえて何も言及しなかったんですが,
お気に召さない方がおられるようなので, 敢えて言いましょう.

>どこが間違っているのか
あきらかに, 田村氏自身の「思わずぷっって笑ってしまってた」
という行為が間違い.

大体, 何がおかしいとおもって「思わずぷっって笑ってしまってた」のかも
判らないし,「どこが間違っているのか」というのが, どう云う意図で
発せられたのかも, わたしにはまったく判らないんですが・・・.


6995.Re: 質問です。
名前:田村 正和    日付:4月29日(火) 13時19分
どうもです。占星術師さん。
私はsin3x=3sinx−4・(sinx)^3を使ってといたんです。
だから答えが違ってたんですね。ありがとうございます。
てっきり宿題の最後にある問題だから難しい問いなんだろうなと勘違いしてました。
どうもすいませんでした。
ところでいまDiver〜の調子が悪いみたいですね。どうしたんでしょう。


6998.Re: 質問です。
名前:田村 正和    日付:4月29日(火) 13時53分
あ、そうか、微分と積分を勘違いしてたんだ。
今気づきました。どうもすいません。

6988.ハノイの塔  
名前:Newton    日付:4月28日(月) 22時53分
ハノイの塔に関する質問です。
ハノイの塔で、3本の柱に順に番号をつけ、1,2,3としたとき、n枚の盤の移動を柱1から柱2、柱2から柱3、柱3から柱1だけに制限した時の移動回数Anの一般式はどうなるのでしょうか?
誰か教えてください!



6989.Re: ハノイの塔
名前:しんちー    日付:4月29日(火) 2時20分
一般の問題では、最短手数を帰納的に計算すると思いますが、
それの応用で解けると思います。

つまり、n枚を柱iから柱jへ制限に従って移動するときの最短移動回数をA[i,j]n とし漸化式を立ててみては。


6999.Re: ハノイの塔
名前:花パジャ    日付:4月29日(火) 13時59分
大きい板は小さい板を追越せないので
n枚目の板(Inと呼ぶ)を1つ動かす為には
n-1枚目までの固まり(Kn-1と呼ぶ)を2個先に動かさなければいけない

Knを1つ動かす為には
Kn-1を2つ動かし、Inを1つ動かし、
Kn-1を2つ動かす

Knを2つ動かす為には
Kn-1を2つ動かし、Inを1つ動かし、
Kn-1を1つ動かし、Inを1つ動かし、
Kn-1を1つ動かす

Knを1つ動かす回数をAn、
Knを2つ動かす回数をBnとして漸化式を立てる

途中、Cn=Bn+1とするといいかも...

6987.(untitled)  
名前:まさる君    日付:4月28日(月) 22時31分
有効数字について詳しく教えてくれませんか?



7027.Re: (untitled)
名前:とも(高3)    日付:4月30日(水) 0時53分
このHPはどうでしょうか。よくわかると思うんですが・・・
http://www.geisya.or.jp/~mwm48961/math/m2si31.htm

6984.ベクトル  
名前:みのる    日付:4月28日(月) 0時31分
子供に
 球(例:x^2+y^2+z^2-100=0)と、平面(例:2x+3y+z-1=0)で
 共通部分を含む球は
  なぜ
    x^2+y^2+z^2-100+k(2x+3y+z-1)=0
とおけるの?と聞かれました。
どのように説明したらよいのでしょうか。



6985.Re: ベクトル
名前:しんちー    日付:4月28日(月) 2時52分
一般に、図形 f(x,y,z)=0, g(x,y,z)=0 に対して
h(x,y,z) = A f(x,y,z)+B g(x,y,z) とおくと、
h(x,y,z) = 0 は f,g の共有点をすべて含む図形になります。

なぜなら、f と g の共有点 (x0,y0,z0) というのは
f(x0,y0,z0)=g(x0,y0,z0)=0 を満たすような点ですから、
h(x0,y0,z0)=0 が成り立ちます。これは、この共有点が h の上にあることを意味します。

実際の問題では A=1 とおいて、h(x,y,z) = f(x,y,z)+B g(x,y,z) とすれば事足りることが多いです。


7034.Re: ベクトル-人の言う事を何でも無批判に信ずるのは止めましょう
名前:我疑う故に存在する我    日付:4月30日(水) 15時23分
一般に、図形 f(x,y,z)=0, g(x,y,z)=0 に対して
A (x, y, z), B (x, y, z) を任意の関数とする時、
h(x,y,z) = A (x, y, z) f(x,y,z)+B (x, y, z) g(x,y,z) とおくと、
h(x,y,z) = 0 は f,g の共有点をすべて含む図形になります。

なぜなら、f と g の共有点 (x0,y0,z0) というのは
f(x0,y0,z0)=g(x0,y0,z0)=0 を満たすような点ですから、
h(x0,y0,z0)=0 が成り立ちます。これは、この共有点が h の上にあることを意味します。

h(x,y,z) = A (x, y, z) f(x,y,z)+B (x, y, z) g(x,y,z) = C (x, y, z) { (x - a)^2 + (y - b)^2 + (z - c)^2 - r^2}^n となったとして、 C (x, y, z) が { (x - a)^2 + (y - b)^2 + (z - c)^2 = r^2 } の近傍で零点を持たない関数の時、 (x - a)^2 + (y - b)^2 + (z - c)^2 = r^2 も、条件を満たす球となります。

子供(何年生?)に説明する方法はともかくとして、問題は正確に解きましょう。


7042.Re: ベクトル
名前:しんちー    日付:4月30日(水) 21時5分
不必要に複雑にする必要もないでしょう。
簡略化している部分がある旨は明記すべきだったと思います。


7051.しんちーさんへ
名前:我疑う故に存在する我    日付:5月1日(木) 10時19分
特に複雑化したつもりはありません。Hilbert の零点定理のアナロジーを述べたまでです。

( f ) を、fから生成されるイデアルとすると、

イデアル (f) + (g) に、 { (x - a)^2 + (y - b)^2 + (z - c)^2 - r^2}^n が属していれば、
(x - a)^2 + (y - b)^2 + (z - c)^2 = r^2 も、条件を満たす球となると言う事です。

一体(小学?)何年生に教えるんでしょうねえ?

6982.(untitled)  
名前:つとむ    日付:4月27日(日) 14時21分
F(x)が連続かつx+aでは微分可能でlim[x→a]F'(x)=αとなる時
F(x)はx=aでも微分可能で、F'(a)=α になることを示せ

(浪人)



6983.Re: (untitled)
名前:ころっさす    日付:4月27日(日) 15時23分
> x+aでは
が「 aの除外近傍では 」ということなら,平均値定理より x≠a なる任意の x に対し,
(F(x)-F(a))/(x-a)=F'(a+(x-a)*t) かつ 0<t<1 なる t が存在する.
ここで x→a とすると a+(x-a)*t→a であるが,
lim_{x→a} F'(x)=α …… (*) なので,lim_{x→a} F'(a+(x-a)*t)=α.

(*) により a への近づき方によらず収束が保証されていることに注意しましょう.

6976.微分(数V)  
名前:かもちゃん(高3)    日付:4月26日(土) 21時34分
xの関数、yの導関数において次の式を微分する。 
x^3-xy^2+y^3=1
という問題ですが、どうやっていいのやら全く見当もつかないので
教えていただきたいと思っております。よろしくお願いします。



6978.Re: 微分(数V)
名前:田村 正和    日付:4月26日(土) 22時17分
陰関数の微分ですか。
さすがにyをxの式で表すのは数3じゃ無理ですね。
この場合、両辺をxについて微分して(合成関数の微分を使う)
3x^2−y^2−2xy(→かける)×y´+3y^2(→かける)×y´=0
それでy´について整理すればいいだけです。
ところでここってDiverのように利用者が多いですね。
皆さんはなんで検索したらここにつきました?


6981.Re: 微分(数V)
名前:かもちゃん(高3)    日付:4月27日(日) 0時34分
返信有り難うございます。
・・・が、私は理解力がたらないので、
できればもうすこし詳しく教えてください。
すいませんが、お願いいたします。


6986.Re: 微分(数V)
名前:しんちー    日付:4月28日(月) 2時56分
田村さんのおっしゃるとおり、合成関数の微分 dh/dx = (dh/dy)(dy/dx) を用います。
たとえば、y が x の関数であるとき、y^2 を x で微分するにはどうしたらよいかというと、

h(y)=y^2 とおいて、
 dh/dx = (dh/dy)(dy/dx) = (2y)×(dy/dx) = 2yy'
とします。
つまり、y^2 を y で微分して、y' をかけてやれば良いです。
これと積の微分を用いると、前レスの結果が得られます。

6962.不等号の角度  
名前:洋子    日付:4月26日(土) 10時4分
学校の宿題で不等号の角度を調べるんですがわからないんで教えてください



6963.Re: 不等号の角度
名前:洋子    日付:4月26日(土) 10時7分
> 学校の宿題で不等号の角度を調べるんですがわからないんで教えてください。


6964. 不等号の角度?
名前:Bob    日付:4月26日(土) 10時16分
不等号の角度って何でしょうか?
もう少し具体的に(問題文をそのまま写したり…)
お願いします。私は初めて聞く言葉です。あと、学年や科目名(数Tとか)
も書いてください。
http://homepage3.nifty.com/sumida-3/


6965.Re: 不等号の角度
名前:洋子    日付:4月26日(土) 10時19分
< これと> これの角度です。 


6967.Re: 不等号の角度
名前:Bob    日付:4月26日(土) 16時4分
分度器で計ってみるのはいかがでしょうか?
http://homepage3.nifty.com/sumida-3/


6968.Bobさんと同じ内容ですが…
名前:K.N.G.    日付:4月26日(土) 17時18分
フォントサイズを大きくして,
<,<
を印刷して,分度器で測る.
というのはどうでしょう?


6969.Re: 不等号の角度
名前:洋子    日付:4月26日(土) 19時15分
>教科書などによって角度が違うので測ってもあってるかわからないんです。


6971.Re: 不等号の角度
名前:ヨッシー    日付:4月26日(土) 19時45分
いろんな角度があるってことを調べる宿題なのでは?

それとも、「>」のように、短くて分度器では測れない線の角度を
はかる練習なのかも。

「教科書などによって角度が違う」ということ自体、「きまりはない」
ということなので、「45°!」とか答えが出るものではありません。

で、洋子さんは何年なのですか?
 
http://yosshy.sansu.org/


6973.Re: 不等号の角度
名前:洋子    日付:4月26日(土) 20時14分
> 皆さんありがとうございました。
ちなみに私は中学1年生です。

6959.確率の比較  
名前:高校生A    日付:4月26日(土) 1時6分
確率の問題です。全然わかりませんでした。
解ける方是非お願いします。



A君は、1〜6枚のカードのうちから無作為に取り出しそれらに記入されている数のうちから大きい方をA君の得点とする。
B君は、さいころを2回投げて2つの出る目の数の小さくない方をB君の得点とする。
A、B両君のうち得点の高い方を勝ちとする。
A君の勝つ確率とB君の勝つ確率の大小を比較せよ。



A君が勝つ確率のほうが高いということはカードとさいころという違いから判断できるのですがそれを数字を使ってどう証明をしたら良いのかわかりません。



6960.Re: 確率の比較
名前:ヨッシー    日付:4月26日(土) 1時24分
A君の条件がはっきりしませんね。
1〜6枚とは?
カードには何が書かれているのか?
無作為に何枚取り出すのか?
 
http://yosshy.sansu.org/


6961.Re: 確率の比較
名前:ヨッシー    日付:4月26日(土) 2時1分
とりあえず、

A君は、1〜6の数字の書かれた6枚のカードのうちから無作為に2枚取り出し
それらに記入されている数のうちから大きい方をA君の得点とする。
B君は、さいころを2回投げて2つの出る目の数の小さくない方をB君の得点とする。
A、B両君のうち得点の高い方を勝ちとする。
A君の勝つ確率とB君の勝つ確率の大小を比較せよ。

と解釈して、私のページの「ご質問に答えるコーナー」に解答を載せました。
 
http://yosshy.sansu.org/


6980.Re: 確率の比較
名前:高校生A    日付:4月26日(土) 23時20分
すみませんでした・・・
ヨッシーさんのおっしゃるとおりです
A君の条件に「無作為に2枚取り出す」という部分が抜けていました

とてもわかりやすい解答をありがとうございました

6955.繰り返されるゲーム  
名前:さくま    日付:4月25日(金) 10時14分
大学4年です。次の問題を教えて下さい。

A〜Cの3人があるゲームをする。
まず2人が対戦し、以降その勝者とそのとき休みの者が次に対戦していく。
その結果、Aは60回・Bは40回ゲームをした。
このとき、Cのゲーム回数の最小値と最大値はそれぞれいくらか。

さらに、"60"や"40"を一般化して
「Aがa回、Bがb回」とした場合についても
よろしければご教授ください。



6957.Re: 繰り返されるゲーム
名前:ヨッシー    日付:4月25日(金) 20時7分
私のページの「ご質問に答えるコーナー」に解答を載せました。
 
http://yosshy.sansu.org/


6958.Re: 繰り返されるゲーム
名前:さくま    日付:4月25日(金) 23時33分
ヨッシーさま。
素敵な解説ありがとうございました!

6952.割り算  
名前:大和田 裕也    日付:4月24日(木) 21時52分
小学3年
6÷7という式がなりたつもんだい文と式と答え

6949.(untitled)  
名前:さくら(高3)    日付:4月23日(水) 21時36分
みゆきさんありがとうございました!!
最後まで証明することができました☆

6946.不等式の証明  
名前:さくら(高3)    日付:4月23日(水) 20時45分
a,b,c,dを実数とするとき、
√(a+b)^2+(c+d)^2≦√(a^2+c^2)+√(b^2+d^2)
が成り立つことを証明せよ。また、等号が成り立つのはどのようなときか。

という問題で、不等式の両辺を二乗してから(右辺)−(左辺)をするのかと思ったのですが、2√(a^2+c^2)(b^2+d^2)−2(ab+Cd)が残り、続きが分かりません。どうすればいいのか教えて下さい。 



6947.Re: 不等式の証明
名前:みゆき    日付:4月23日(水) 21時10分
(a2+c2)(b2+d2)=(ab+cd)2+(ad-bc)2
を使うのはどうでしょう?


6948.Re: 不等式の証明
名前:みゆき    日付:4月23日(水) 21時12分
付け足し…
(ab+cd)2+(ad-bc)2≧(ab+cd)2


6954.直感的には
名前:repunit    日付:4月25日(金) 7時51分
P(0,0), Q(a,c), R(-b,-d) とおけば、QR≦PQ+PR

6944.単純そうなのに・・・  
名前:katumi    日付:4月23日(水) 17時56分
A+B+C=180°とするとき、
tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC
であることを証明せよ。
という単純そうな問題なのですが、途中で分からなくなってしまいます。
どなたか教えていただけますか。



6945.解答例
名前:K.N.G.    日付:4月23日(水) 18時23分
A+B+C=180°より C=180°-(A+B).
故に tanC=tan{180°-(A+B)}=-tan(A+B) …(1)
また,tan(A+B)=(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)より
tanA+tanB=tan(A+B)(1-tanAtanB)=tan(A+B)-tan(A+B)tanAtanB …(2)
(1),(2)より
tanA+tanB+tanC
=tan(A+B)-tan(A+B)tanAtanB-tan(A+B)
=-tan(A+B)tanAtanB
=tan{180°-(A+B)}tanAtanB
=tanAtanBtanC.■


6951.Re: 単純そうなのに・・・
名前:高橋 道広    日付:4月24日(木) 12時36分
tanC=tan{180°-(A+B)}=-tan(A+B) …(1)
また,tan(A+B)=(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)より

のあとtanC=-(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)として
両辺に1-tanAtanBを掛けると
(1-tanAtanB)tanC=-(tanA+tanB)
展開して tanC-tanAtanBtanC=-tanA-tanB
よってtanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC
となりますね(*^_^*)
http://micci.sansu.org

6940.(untitled)  
名前:高3    日付:4月23日(水) 16時23分
tan(3π/11) + 4sin(2π/11) を求めよ、という問題なんですが...



6942.Re: (untitled)
名前:ころっさす    日付:4月23日(水) 17時7分
x=cos(3*π/11) とおくと倍角公式より 32*x^5-16*x^4-32*x^3+12*x^2+6*x-1=0.

( tan(3*π/11) + 4*sin(2*π/11) )^2
= (1-x^2) * (1-4*x+16*x^3)^2 / (x^2)
= ( 11*x^2 + (-8*x^3-4*x^2+2*x-1)*(32*x^5-16*x^4-32*x^3+12*x^2+6*x-1) ) / (x^2)
= 11.


6950.Re: (untitled)
名前:高3    日付:4月24日(木) 0時46分
自分が手を出すような問題ではないことがわかりました...

6936.式の値  
名前:さくら(高3)    日付:4月22日(火) 20時7分
式の値の求め方が分からないので教えて下さい。

問題)a^2+b^2=1,c^2+d^2=1,ac+bd=1とする。
   このとき,ad−bc,a^2+d^2,b^2+c^2の値を求めよ。

よろしくお願いします。



6937.Re: 式の値
名前:ころっさす    日付:4月22日(火) 20時39分
(a*d-b*c)^2=(a^2+b^2)*(c^2+d^2)-(a*c+b*d)^2=0,
a^2+d^2-1=(a*d)^2-(1-a^2)*(1-d^2)=(a*d)^2-(b*c)^2=0,
b^2+c^2=(1-a^2)+(1-d^2)=1.

a,b,c,dが実数ならベクトルや行列による方法もあります.


6938.Re: 式の値
名前:さくら(高3)    日付:4月22日(火) 21時16分
ころっさすさんありがとうございました〜!!
a,b,c,d,を実数とするとは書いてなかったので、ころっさすさんの、式を変形させて求める解き方でいいのだと思います☆
特に、a^2+d^2−1として考えるなんて思いつかなかったので、驚きました!!なかなか式の変形の仕方って分かりません。。(>_<)

6930.↓無視して下さい。  
名前:渚(17歳)    日付:4月22日(火) 16時16分
>x−1/x=1の両辺を2乗して
x^2−2+1/x^2=1←これに両辺に4を加えて
x^2+2+1/x^2=5

消すの忘れました。

6929.よろしくお願いします。  
名前:渚(17歳)    日付:4月22日(火) 15時37分
(問題)
x−1/x=1のとき、x^2−1/x^2の値を求めなさい。

x^2−1/x^2がx^2+1/x^2なら2乗して後は計算するだけなんですが
・・・

あと二次関数の問題でy=ax^2+2ax+a+6のグラフとx軸との交点を求めるのに因数分解して答えを求めれば良いと思いますが、答え見ますとx=−1±√−6/aになってます。しかし、どうしてもその答えにならないんです。

以上2問の解答よろしくお願いします。

x−1/x=1の両辺を2乗して
x^2−2+1/x^2=1←これに両辺に4を加えて
x^2+2+1/x^2=5



6931.まず1番
名前:ヨッシー    日付:4月22日(火) 17時7分
(x+1/x)2=(x-1/x)2+4x/x=5
より、(x+1/x)=±√5
x2−1/x2=(1+1/x)(1-1/x) より
(与式)=±√5
 
http://yosshy.sansu.org/


6932.そして2番
名前:ヨッシー    日付:4月22日(火) 17時15分
因数分解は無理ですね。
私のページの「ミニ講座」の「二次方程式の基礎」に、解の公式があります。
それに従って解くと、答えは、
 x=−1±√(−6/a)
になります。
ちなみに、x軸との交点という言い方をしていますので、解は実数に限られ、
a<0 です。
 
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6941.Re: よろしくお願いします。
名前:渚(17歳)    日付:4月23日(水) 17時6分
解答ありがとうございました。

続けてなんですが、すみませんアホな質問させて下さい。

(問題1)
a,bが有理数で、(√5a−√3)^2=23+√15bのとき、a,bの値を求めなさい。
(問題2)
2−3√2/4+2√2=a+b√2を満たす有理数を求めなさい。

問題1の方は答えがa=2,b=−4またはa=−2,b=4と2通り。問題2の方はa=5/2,b=−2となります。
それで教えて欲しいんですが、問題1を見てこの問題には答えが2通りあるって解りますか?私はテストで問題1の答えをa=2,b=−4しか書かずに減点されてしまいました。もしあれば教えて下さい。よろしくお願いします。


6943.Re: よろしくお願いします。
名前:ヨッシー    日付:4月23日(水) 17時47分
見ただけでは分かりません。
解いていくうちに分かります。

(√5a−√3)^2=5a^2+3−2a√15
なので、23+√15b と比較して、
 5a^2+3=23
 −2a=b
上から a^2=4 より、a=±2
bはその−2倍なので、 a=2のときb=−4、a=−2のときb=4

2番目は、分母を有理化して、√2のある項とない項とで、比較します。

いずれも、a,bが有理数なので、こういうことが出来ます。
 
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6925.教えて下さい  
名前:優(高2)    日付:4月22日(火) 10時16分
<図形と方程式>の問題です。

方程式x2+y2+2mx−2(m−1)y+5m2=0
が円を表すとき、定数mの値の範囲を求めよ。

 よろしくお願いします。



6927.Re: 教えて下さい
名前:ヨッシー    日付:4月22日(火) 10時36分
変形すれば、
 (x−a)2+(x−b)2=c
の形になることは、明らかです。では、
 (x−1)2+(x−2)2=−4
は、円といえるでしょうか? 半径は?
 
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6928.Re: 教えて下さい
名前:ヨッシー    日付:4月22日(火) 15時36分
ちなみに、答えは
 −1<m<1/3
になります。
 
http://yosshy.sansu.org/


6933.Re: 教えて下さい
名前:優(高2)    日付:4月22日(火) 18時29分
やってみたんですけど、
恥ずかしながら、その
(x−a)2+(x−b)2=c
に変形した式が分からないんですよ・・・。すみません。
数学は超超超苦手なもので。


6934.Re: 教えて下さい
名前:Bob    日付:4月22日(火) 19時59分
ヨッシ−さん。割りこみすいません

円の方程式は
x^2+y^2+lx+my+n…@という形になるんです
これを円の方程式の一般形といいます。(数Uの教科書円の方程式参照)

もう一つ半径と中心座標が与えられた場合の円の方程式は
(x−a)^2+(y−b)^2=r^2…A
ただし中心(a,b)半径rです。

この二つの式は@を平方完成(x、yそれぞれ)するとAになり
Aを展開(崩す)すると@になります。
これでヨッシ−さんの言っていることが納得できるのでは…
http://homepage3.nifty.com/sumida-3/


6935.Re: 教えて下さい
名前:田村 正和    日付:4月22日(火) 20時6分
どうも、DiverNetFreeBBSでお世話になってる田村 正和です。
x^2+y^2+2mx−2(m−1)y+5m^2=0
(x+m)^2+(y−m+1)^2=−3m^2−2m+1
条件は−3m^2−2m+1>0
よって(3m−1)(m+1)<0
したがって−1<m<1/3


6966.Re: 教えて下さい
名前:優(高2)    日付:4月26日(土) 13時38分
皆さんありがとうございました。
解りました。

6920.式の次数って?  
名前:kazu    日付:4月21日(月) 12時28分
A×B=ABで式の次数は2ですが。
A÷Bのときは、次数をどのように考えたらよいのでしょうか教えてください。



6926.Re: 式の次数って?
名前:ヨッシー    日付:4月22日(火) 10時33分
定義の仕方次第だと思いますが、
次数の話は整式に限りたいなぁ、
というのが私の印象です。
 
http://yosshy.sansu.org/

6919.ヒント下さい  
名前:高専生    日付:4月21日(月) 0時17分
空間中で4点 p(x1,y1,z1)・・・p(x4,y4,z4)が与えられたときに、近似する平面からの各点の残差を最小にする方法について考え方のヒントを教えて下さい。



6921.Re: ヒント下さい
名前:花パジャ    日付:4月21日(月) 14時26分
平面を3つのパラメータで表現する、各パラメータで残差を偏微分する...

6898.無限級数の和  
名前:森山    日付:4月20日(日) 16時48分
・無限級数煤in=1,∞)anの和を求めよ。(pは1つの自然数)
(1)an=1/n(n+1)・・・(n+p)

(2)an=n/(n+1)!


よろしくお願いいたします。



6906.Re: 無限級数の和
名前:しんちー    日付:4月20日(日) 18時44分
(1)(2) とも、部分分数に分解して a(n)=b(n)-b(n-1) となるような
分数式 b(n) を求めれば解けます。


6923.Re: 無限級数の和
名前:森山    日付:4月21日(月) 20時58分
部分分数に分けるやり方はわかるんですけど、この問題のようなものは部分分数にするのが難しいのですが、何か簡単に部分分数にできる方法はありますか?


6924.Re: 無限級数の和
名前:しんちー    日付:4月21日(月) 21時26分
ま、分母をどうするかですよね。
(1) は難しいかもしれませんが、(2) はなにか思いつきませんか?

(1) は、分母は n(n+1)…(n+p-1) と (n+1)(n+2)…(n+p) のように、1個だけずらします。あとはうまく分子を決めてやればよいです。

6895.分かりません。。  
名前:さくら    日付:4月20日(日) 14時43分
高校3年です。
分からない問題があるので教えていただけますか??
三角関数の問題です。
 座標平面上に原点Oを中心とする半径1の円がある。その円周上に3点A,B,Cがあり、∠AOB=θ,∠BOC=90゜とする。ただし、Aの座標は(1,0)で、Bは第2象限、Cは第3象限である。
(1) Aから直線BCに下ろした垂線の長さをθで表せ。
(2) △ABCの面積Sをθで表せ。
(3) Sの最大値を求めよ。
よろしくお願いします。



6901.(untitled)
名前:K.N.G.    日付:4月20日(日) 18時2分
点A,B,Cの座標は
A(1,0),B(cosθ,sinθ),C(cos(θ+90°),sin(θ+90°))
と表せる.
ここで,三角関数の公式
cos(α+90°)=-sinα,sin(α+90°)=cosα
を用いると,
点Cの座標は
C(-sinθ,cosθ)
となる.

(1)
次のような方針で解けると思うのですが…,
計算が面倒なので省略します.
もっとよい解法があるかも.
[方針]
点(p,q)と直線ax+by+c=0の距離dを求める公式
d=|ap+bq+c|/√(a^2+b^2)
を用いて,
点Aと直線BCの距離を求める.

(2)
[解答例]
点A,B,Cを,x軸方向に-1だけ平行移動すると
A(1,0)→A'(0,0)
B(cosθ,sinθ)→B'(cosθ-1,sinθ)
C(-sinθ,cosθ)→C'(-sinθ-1,cosθ)
となる.
△ABC(=S)=△A'B'C'より
S=△A'B'C'
=(1/2)|(cosθ-1)cosθ+sinθ(sinθ+1)| …(*)
=(1/2)|sinθ-cosθ+1|
=(1/2)|√2sin(θ-45°)+1|
=(1/2){√2sin(θ-45°)+1} …(答)
(∵90°<θ<180°より45°<θ<135°であるからsin(θ-45°)>0)
============================================================
(*)のところで以下のような公式を使用しました.
[公式]
原点(0,0)と異なる2点(x1,y1),(x2,y2)が作る三角形の面積Sは
S=(1/2)|(x1)*(y2)-(y1)*(x1)|
となる.
============================================================

(3)
[解答例]
45°<θ-45°<135°より
1/√2<sin(θ-45°)≦1
であるから
1<√2sin(θ-45°)≦√2
となる.
したがって,Sの最大値は
(1/2){(√2)+1}
である.


6902.Re: 分かりません。。
名前:しんちー    日付:4月20日(日) 18時8分
補足させていただきます。
(2) は OA, OB, OC によって三角形を3つに分けると、中心角がわかっていることから面積が楽に出せます。


6903.Re: 分かりません。。
名前:しんちー    日付:4月20日(日) 18時10分
すみません、もう一つ。
(1) は、(2) から逆算すればラクそうです。
BC が簡単に出るからです。


6908.Re: 分かりません。。
名前:さくら    日付:4月20日(日) 19時19分
K.N.G.さん、しんちーさん、丁寧な解き方を教えていただきありがとうございます!!あの、解法を見ながら解いてみたんですが、
(1)K.N.G.さんの言われたように、点と直線の距離で求めました。
   |cosθ−sinθ−1|/√2までは出たんですけど、解答は
  1/√2・(sinθ−cosθ+1)になるようなんです。どのように変形
  したらそうなるのでしょうか??
(3) しんちーさんの言われたように、(2)を三角形を3つに分けて求め   たんです。そうすると、K.N.G.さんの解答例の45゜<θ−45゜   <135゜というところが分からなくなってしまって。。どうしたらよ   いのでしょうか??


6910.(untitled)
名前:K.N.G.    日付:4月20日(日) 21時7分
(1)について
絶対値の中が負なので,絶対値をはずすと符号が逆になります.

(3)について
3つの三角形を考える方法では,△ABC面積Sはどう表されますか?


6912.Re: 分かりません。。
名前:さくら    日付:4月20日(日) 21時39分
(1)について
  分かりました!!ありがとうございます☆
(3)について
  △ABCはS=1/2・(sinθ−cosθ+1)と表されました。


6913.(untitled)
名前:K.N.G.    日付:4月20日(日) 21時51分
(3)
さくらさんが書かれた通り
S=(1/2)(sinθ-cosθ+1)
です.
(ところで,絶対値をはずすときは,(絶対値の中)≧0となることを示しましたよね?)

点Bは第2象限内にあるので
90°<θ<180°
です.
上の不等式の各辺から45°を引くと
90°-45°<θ-45°<180°-45°
即ち,
45°<θ-45°<135°
となります.

と,こんな説明でどうでしょうか?
理解できない点があれば,また質問してください.


6914.Re: 分かりません。。
名前:さくら    日付:4月20日(日) 22時10分
絶対値をはずそうとしたんですが、なんで負になるのかが分からなくて困ってました(泣)うぅ。。どうやって示せばいいのでしょうか??

点Bは第2象限内にあるから90゜<θ<180゜になるというのは分かったのですが、なんで45゜ひくのでしょうか??
教えて下さい〜!!


6915.(untitled)
名前:K.N.G.    日付:4月20日(日) 22時38分
(1)の絶対値のはずし方
|cosθ-sinθ-1|
=|-(sinθ-cosθ+1)|

ここで,三角関数の合成の公式
asinθ+bcosθ=√(a^2+b^2)sin(θ+α)
(但し,αはcosα=a/√(a^2+b^2),sinα=b/√(a^2+b^2)を満たす角)
を用いると
sinθ-cosθ=(√2)sin(θ-45°)
となります.
(-45°はきちんとcos(-45°)=1/√2,sin(-45°)=1/√2を満たしていますね)

したがって
|-(sinθ-cosθ+1)|
=|-{(√2)sin(θ-45°)+1}| …★
となります.
ここで,sin(θ-45°)のとり得る範囲を調べるために
まず,θ-45°の範囲を調べます.

さて,さくらさんの質問
>なんで45゜ひくのでしょうか??
の答えは,まさにこの部分にあります.
θ-45°の範囲を調べるために,
90°<θ<180°の各辺から45°を引くのです.

すると,先ほど書いたように,その範囲は
45°<θ-45°<135°
となります.
θ-45°=45°またはθ-45°=135°のとき,sin(θ-45°)=1/√2 …☆
θ-45°=90°のとき,sin(θ-45°)=1 …☆
ですので,
1/√2<sin(θ-45°)≦1 …(**)
が導かれます.
(☆の辺りは,図(単位円を書いてみるとわかりやすいと思います)

(**)の各辺に√2を掛けると
1<√2sin(θ-45°)≦√2
となります.
これより,★の{  }内は正,
つまり|  |内は負であることがわかります.
したがって,絶対値をはずすときに-1を掛けるわけです.


6916.Re: 分かりません。。
名前:さくら    日付:4月20日(日) 22時58分
とっても分かりやすかったです!!
明日の授業で先生に当てられてもばっちり答えられそうです☆
私のしつこい質問にも全て丁寧に答えていただいて。。
本当にありがとうございました!!
すごくうれしかったです(^∇^)

6891.ベクトル  
名前:まり    日付:4月20日(日) 10時23分
直線Y=I/2をLとする
(1)ベクトルV=(5.0)のLへの正射影を求めよ。
(2)ベクトルVを、Lに平行なベクトルとLに垂直なベクトルの和で表せ。
よろしくお願いします。



6892.Re: ベクトル
名前:ヨッシー    日付:4月20日(日) 11時11分


図のが(1)の答え、

の形に書くのが、(2)の答えです。

ついでに、右の図は、直角三角形の直角から斜辺に垂線をおろしたときの
各線分の長さの比の性質です。
2辺が 2:1 だと、垂線の足は斜辺を4:1に分けます。
 
http://yosshy.sansu.org/

6889.極限の問題  
名前:ヒロロン    日付:4月20日(日) 0時25分
1.次の値を求めよ。
(1)lim(n→∞)(1+1/n^2)^2
(2)lim(n→∞)(a^n+b^n)^-n (0<a<b)
2.次の数列{an}に対してlim(n→∞)an+1/anを求めよ。
(1)an=(n!)^2/(2n)!
(2)an=2^n+3^n
よろしくおねがいします



6893.(untitled)
名前:K.N.G.    日付:4月20日(日) 13時28分
--------Point--------
1/∞=0 を利用します.
---------------------


1.
(1)
(1+1/n^2)^2→(1+0)^2=1.

(2)
(a^n+b^n)^(-n)
=1/(a^n+b^n)^n
(分母・分子をb^(2n)で割ると)
=(1/b^(2n))/{(a/b)^n+1}^n
→0/(0+1)^∞=0/1=0.

2.
(1)
a_(n+1)0/a_n
=[{(n+1)!}^2/(2n+2)!]/[(n!)^2/(2n)!]
(上式を丁寧に計算すると)
=(n+1)^2/{(2n+2)(2n+1)}
(分母・分子をn^2で割ると)
=(1+1/n)^2/{(2+2/n)(2+1/n)}
→(1+0)^2/{(2+0)(2+0)}=1/4.

(2)
a_(n+1)/a_n
=(2^(n+1)+3^(n+1))/(2^n+3^n)
(分母・分子を3^nで割ると)
={2(2/3)^n+3}/{(2/3)^n+1}
→(0+3)/(0+1)=3.

※→は「nを∞にもっていくこと」を表します.


6896.Re: 極限の問題
名前:ヒロロン    日付:4月20日(日) 16時20分
ごめんなさい。1の(1)の問題が間違えていました。

(1)lim(n→∞)(1+1/n^2)^n
  でしたm(><)m


6897.Re: 極限の問題
名前:ヒロロン    日付:4月20日(日) 16時27分
何度もすいません。
1(2)なんですが、答えはbになるはずなんですけれど・・・


6899.(untitled)
名前:K.N.G.    日付:4月20日(日) 17時3分
(1)
(1+1/n^2)^n→(1+0)^∞=1^∞=1.


(2)についてですが,
「FunctionView」という図形描写ソフトで試しに
y=(2^x+3^x)^(-x)
というグラフを描いてみたのですが,
x→∞で,y→3ではないように見受けられました.

また,大雑把に考えてみると
1/(a^n+b^n)^n …(*)
において,0<a<bより
nが増加すれば分母は明らかに増加するので
n→∞のとき,(分母)→∞.
故に,(*)=1/∞=0
となると思うのですが….

※ひょっとしたら僕が何か勘違いをしているかもしれませんが,
※そのときはご勘弁を.


6909.どっちみち b にはなりませんが…
名前:おおさわ    日付:4月20日(日) 19時45分
>K.N.G さん
>nが増加すれば分母は明らかに増加するので

a,b<1 であれば分母は明らかに(上から) 0 に収束しますね。
さらに b = 1 であれば、a<1 ですから、分母は 1 に収束します。
ですから、答えは
b<1 のとき、(与式) = +∞
b=1 のとき、(与式) = 1
b≧1 のとき、(与式) = 0
だと思うのですが。

http://simfan.cn1.jp/mathmarks/


6911.あっ!
名前:K.N.G.    日付:4月20日(日) 21時11分
そうですね,bで場合わけする必要がありますねぇ.
おおさわさん,ご指摘ありがとうございます.


6917.Re: 極限の問題
名前:ヒロロン    日付:4月20日(日) 23時41分
いろいろご指摘ありがとうございます。
けれど、解答のほうにはbのみ書かれているのですが、解答ミスなんでしょうかね〜。


6918.(untitled)
名前:K.N.G.    日付:4月20日(日) 23時46分
恐らく解答ミスだと思いますが,
あれこれ考えるより(あれこれ考えるのも大切ですが…)
学校の先生に質問してみるのが1番だと思います.
質問してみてはどうでしょう?

6881.教えてください。  
名前:高1    日付:4月19日(土) 16時1分
連立方程式X^−2X−3≦0,X^+ax+b≦0の解がー1≦X≦2であるとき、
(1)bをaを用いて表せ。
(2)aの値の範囲を求めよ。



6882.Re: 教えてください。
名前:しんちー    日付:4月19日(土) 16時50分
(1) x^2+ax+b≦0 の解がどうなればよいかはわかりますか?
それがわかれば、
 「x^2+ax+b≦0 の解が α≦x≦β」⇔「x^2+ax+b=0 の解が αとβ (α≦β)」
を使えば解けます。

(2) 「実数解を持つ条件」がヒント。


6886.Re: 教えてください。
名前:花パジャ    日付:4月19日(土) 19時59分
>(2) 「実数解を持つ条件」がヒント。
(1)で求まるbなら、解は実数なのでは?
αをaで表せばどうなるかを求めれば宜しいかと


6887.Re: 教えてください。
名前:しんちー    日付:4月19日(土) 20時55分
おっしゃるとおりです。すみません。

6880.相加相乗?  
名前:Toshi_高1    日付:4月19日(土) 15時54分
Original Size: 307 x 71, 4KB Original Size: 485 x 57, 6KB

(1つめ)
相加相乗平均、n=2の時やn=3の時の証明は何とかできたのですが、
nの時の証明がわかりません。
帰納法で解くのだろう…とは思うのですが。。。
どなたか詳細お願いします。

(2つめ)
a1,a2,…anは少なくとも1つは0でない実数とするとき、
図の関係式が成り立つことを証明せよ。
という問題なのですが、やはりわかりません。
ぱっと見はコーシー・シュワルツの不等式みたいなのですが…。
よろしくお願いします。

こういう文字ばっかりの式の証明は苦手なんですが、どうすればいいんでしょうか?(--;;)



6883.Re: 相加相乗?
名前:しんちー    日付:4月19日(土) 16時52分
(1) 相加/相乗平均の関係の一般形の証明は、なんかとても複雑な帰納法を使うのではなかったかと記憶しています。Webで検索をかけてみてはどうでしょう。

(2) n=2,3 くらいで試してみてから一般形の証明に移りましょう。「特殊から一般へ」


6884.数学に才の無い者のレス
名前:占星術師    日付:4月19日(土) 17時26分
相加平均≧相乗平均ほどの有名公式の証明なら、ネット上にたくさんあります。
高1ということで、予備知識が少なめの証明はたとえばこれ
(指数対数関数の微積分を習えば、もう少しすっきり示せるようになります)
これ以外にも役立つpageがあるかもしれないので、
「相加 相乗 平均 証明」辺りをキーワードに検索すると良いかも、です。

後半はコーシーシュワルツそのもの。変数が多いだけ。
P=a12+a22+......+an2
Q=b12+b22+......+bn2
R=a1b1+a2b2+...+anbn
と置いておきます。証明開始。まず、任意の実数tに対し、
(a1t-b1)2+(a2t-b2)2+...+(ant-bn)2≧0 (☆)
が成り立ちます。当たり前ですな。でもこの不等式を使おうという発想は、
凡人である私にとって、自力到達は無理そう。
ご先祖様の言い伝えのようなものだと思っています。
要は、この問題はそういうレベルの証明なのではないでしょうか。
さて、話を戻して、☆式を整理するとtの2次不等式
Pt2-2Rt+Q≧0
となり、これが任意の実数tで成り立つから、
左辺の判別式≦0 すなわち R2-PQ≦0

6870.(untitled)  
名前:WS.    日付:4月18日(金) 21時43分
何回も同じような質問ばかりしてすみません。Σの上と下につけるタグを教えて欲しいのですが・・・。



6871.Re: (untitled)
名前:みゆき    日付:4月18日(金) 21時57分
過去ログを探す努力はしておくべきです。
6823の記事を見ましょう。


6879.Re: (untitled)
名前:ast    日付:4月19日(土) 10時43分
もしやとは思うけど, Σ の「真上・真下」に添え字は付けられないからね.


6885.Re: (untitled)
名前:WS.    日付:4月19日(土) 18時56分
ありがとうございます・。


6888.Re: (untitled)
名前:WS.    日付:4月19日(土) 21時37分
Σ出来ると思ってたw

6868.確率について  
名前:アラアラ・ライ(高2)    日付:4月18日(金) 21時19分
初めましてアラアラ・ライといいます。高2です。

じゃんけんの連勝の確率について教えて下さい。

A君とB君がじゃんけん(グー、チョキ、パー)をするとき
A君が2.3.4.5.6連勝する確率をそれぞれ教えて下さい。
お願いします。



6869.Re: 確率について
名前:みゆき    日付:4月18日(金) 21時27分
連勝の条件について細かく教えて下さい
勝ち→勝ちでないと連勝とよばないのか?
勝ち→あいこ→勝ちでも連勝とよぶのか?

6866.(untitled)  
名前:    日付:4月18日(金) 20時34分
P=|x-1|+|x-2|+|x-3|+……+|x-100|のときPの最小値とその時のxの値を求めよ



6867.Re: (untitled)
名前:みゆき    日付:4月18日(金) 21時2分
類題
xを実数とする
(1)|x-1|+|x-5|の最小値は?
(2)|x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|+|x-5|の最小値は?

(1)a<bのとき数直線上の点aと点xの距離、点bと点xの距離の和を考え
|x-a|+|x-b|≧b-a(等号はa≦x≦bのとき成立)
よって
|x-1|+|x-5|≧5-1=4
(等号は1≦x≦5のとき成立)
(2)|x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|+|x-5|
を外側から2つずつ組にして
|x-1|+|x-5|≧4(1≦x≦5)…(*1)
|x-2|+|x-4|≧2(2≦x≦4)…(*2)
|x-3|≧0(x=3)…(*3)
不等式を辺ごとに加え
|x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|+|x-5|≧4+2=6
等号は(*1)〜(*3)の等号がすべて成り立つとき
すなわちx=3のときに成立

6864.ビブン セキブン イイキブン♪  
名前:LONER(高3)    日付:4月18日(金) 20時6分
次の問題でF(X)が微分可能であることを前提すると……それに続く(?)下の解放は正しいですか?

XとYは任意。
F(X+Y)=F(X)F(Y)-sinXsinY, F'(0)=0
(2) F'(X)=-sinX を示せ。

これの模範解答は(高校での)微分の定義式に代入して導くものだが……“F(X)が常に微分可能だとわかっているとする”と、次の解答はどうだろうか。

といっても全て書くと繁雑になりそうなので、できるだけ省略して……

両辺をYで微分して
F'(X+Y)=F(X)F'(Y)-sinXcosY
Y=0として
F'(X)=-sinX    (以上)

問題は dX/dY=0, dF(X)/dY=0 としてよいか ということである。
[1]上の文章は…XとYは任意(もちろん実数)。X=1のときにYで微分して…、X=2.3のときにYで微分して…とするのをまとめて、XがXという数字のときにYで微分していると考えられる。
[2]また、X,F(X)は所詮実数(定数)だから、Yで微分すれば0(零)となる とも考えられる。

しかし、
[1]X,Yが任意だと、当然X=2Yとなる数を取るときもあるわけだから、dX/dY=0としてしまうのが正しくないというような気もする。
[2]y=5xという関数をxで微分するとyが実数(定数)だから0=5となってしまいそうな気もする。

いろいろ書きましたが、ともかく、上の解放で良いのかどうかがわからないので、教えてください。
                 お願いします。



6865.補足
名前:LONER(高3)    日付:4月18日(金) 20時11分
> (2) F'(X)=-sinX を示せ。

(2) F'(X)=-sinX
のはじめの(2)は、(1),(2),(3)と設問があるうちの(2)ということです。


6878.Re: ビブン セキブン イイキブン♪
名前:ヨッシー    日付:4月19日(土) 4時33分
大学で習う「偏微分」という考え方ですね。
>X=1のときにYで微分して…、X=2.3のときにYで微分して…とするのをまとめて、
というのがイメージしやすいと思います。

解法は正しいでしょう(たぶん)。
 
http://yosshy.sansu.org/


6890.それでは…
名前:LONER    日付:4月20日(日) 8時42分
偏微分であると知って、早速調べてみました。昔、母親が使っていた本を見て、研究して(といっても少し見ただけ)……自分の考えが正しいことが分かりました。

さて、この方法は「F(X)が微分可能」を前提にしたものですが、これを前提としない場合、あの解放は正しいでしょうか?

高校では、
「lim(h→0){F(X+h)-F(X)}/h が存在する」
⇔「F(X)は微分可能」
としています。

それで模範解答では、この式に代入して
lim(h→0){F(X+h)-F(X)}/h = …
としています。

(2)では、「F'(X)=-sinX を示せ」とあるので、F(X)が任意のXについて存在しそうな気もします。しかし、それでは、「問題文に『示せ』とあるのでこの定理は成り立つ」としているのと同じではないかと思うのです。

最小値などの問題で、Xが、この範囲のときは最小値はあるけど、この範囲のときはない、というように応えなければならない問題があります。これと同じように、Xが、この範囲のときは微分可能で…という答えになるとすると、やはり、(高校での)定義の式に代入して調べないといけないような気がします。

微分可能が前提でない場合、やっぱり、定義の式に代入してやらないと、ダメですよねぇ?


6900.Re: ビブン セキブン イイキブン♪
名前:しんちー    日付:4月20日(日) 17時47分
こんにちは。
前提条件がない場合には、おっしゃる通り定義に従って計算する必要があります。
あ、ちなみに

>[1]X,Yが任意だと、当然X=2Yとなる数を取るときもあるわけだから、dX/dY=0としてしまうのが正しくないというような気もする。
>[2]y=5xという関数をxで微分するとyが実数(定数)だから0=5となってしまいそうな気もする。

証明にある、X,Y の関係と「y=5x という関数」といったときの x,y の関係は異なるので注意してください。
前者では、XとYの間には制約条件はないのに対し、後者では「yはxの関数」という制約条件があるからです。
なので、y=5x の両辺をxで微分しても0=5にはなりません。


6939.ビブン セキブン イイキブン♪
名前:LONER    日付:4月22日(火) 22時56分
よくわかりました。
どうも ありがとうございました。

6861.二次関数  
名前:Gazu(17歳;中卒)    日付:4月18日(金) 9時52分
(問題)
区間 a≦x≦a+2 における x の関数 f(x)=−x2+2x の最大値・最小値を求めなさい。

解答見ますと定義域が動くので区間で4つに場合分けして最大値、最小値を求めていますが・・・
@a+2<1つまりa<−1
A1≦a+2<2つまり−1≦a<0
B2≦a+2<3つまり0≦a<1
C1≦a
Aの1≦a+2<2、Bの2≦a+2<3はどのようにして導いたんですか?導き方教えて下さい。間の右よりと間の左よりですよね?という事は区間の中点を取ってAはa+a+2/2<1→a<0Bは同じく計算して0<aで考えてはダメなんでしょうか?すみませんよろしくお願いします。



6862.Re: 二次関数
名前:ヨッシー    日付:4月18日(金) 11時16分
まずはこちらを参照して下さい。
場合分けの考え方は同じです。
上のページのは、xの範囲が、頂点をはさんでちょうど対称になるときを
1つの分類にしていますが、前後どちらかに含めれば、4通りです。

2や3は、単に区間の中央が頂点に一致する点よりも、左か右かではなく
「区間内に頂点を含みつつ」左の場合、右の場合です。
  
http://yosshy.sansu.org/


6863.Re: 二次関数
名前:Gazu(17歳;中卒)    日付:4月18日(金) 13時45分
説明ありがとうございました。

6858.収束  
名前:わからずや    日付:4月17日(木) 12時5分
大学二回生です。よろしくお願いします。

「an=(1+1/n)^n (n=1,2,3,...)が収束することを示せ。」

解答がついていなくて困っています。よろしくお願い致します。
それと、二乗とか、どうやったら表示できるのでしょう?



6859.この証明が載っている本は多いんですけどね
名前:占星術師    日付:4月17日(木) 14時58分
 an
nk=0{nCk/nk}
nk=0{1*(1-1/n)*...*(1-(k-1)/n)/k!}
この中括弧の中身はnと共に単調増加で正、しかもnが増えると
Σで足される項数も増えるので、{an}は単調増加数列。さらに、
 an
≦Σnk=01/k!
=1+1+Σnk=21/k!
(ここでk=2,3,...に対しk!≧2k-1であることを用いて)
≦1+1+Σnk=2(1/2)k-1
=1+{1-(1/2)n}/{1-1/2}
<1+1/(1/2)
=3
すなわち{an}は上に有界な数列。以上のことより{an}は収束。

で、掲示板上でx^2をx2の様にHTMLタグを用いて表記する方法については、
ここをご覧下さい。より詳しくHTMLについて学びたい場合は、
有名pageとほほのWWW入門などが良いかも、です。

6850.数列  
名前:大吉    日付:4月16日(水) 22時28分
数列。。。
次の和を求めよ
1−2+3−4+・・・・+(−1)^n-1×n

 
1−(−1)^n/1-(-1) -(-1)^n×n
から答えまで直せないんです・・・・よろしくお願いします。



6851.Re: 数列
名前:しんちー    日付:4月16日(水) 22時31分
模範解答はどういう式になってます?


6852.Re: 数列
名前:大吉    日付:4月16日(水) 22時49分
答えは
  
Sn=1+x−(2n+1)x^n+(2n-1)x^n+1/(1-x)^2
になってます。


6853.Re: 数列
名前:しんちー    日付:4月17日(木) 0時13分
x が出てきてるけど、正しい問題文が
 1−2x+3x^2+…
みたいになってるのでしょうか。


6854.Re: 数列
名前:大吉    日付:4月17日(木) 9時34分
しんちーさん大変申し訳ありません。
解答は 
  
Sn=1+(-1)^n-1(2n+1)/4
でした。
すいません。


6856.Re: 数列
名前:ヨッシー    日付:4月17日(木) 10時18分
正しくは
 Sn={1+(-1)n-1(2n+1)}/4
ですね。

1−2=−1
3−4=−1
5−6=−1
のように、2つずつくくれば、−1 になるので、
nが偶数のときは Sn=−n/2
nが奇数のときは、Sn-1 にnを足すので
 Sn=−(n−1)/2+n=n/2+1/2
これを、書き換えると
nが偶数のとき Sn=−n/2−1/4+1/4
nが奇数のとき Sn=+n/2+1/4+1/4
なので、
 Sn=(−1)n-1(2n+1)/4 + 1/4
   ={(−1)n-1(2n+1) + 1}/4
です。

 
http://yosshy.sansu.org/


6872.Re: 数列
名前:大吉    日付:4月18日(金) 22時51分
ヨッシーさん、申し訳ありませんが書き換えのところがうまく理解できない
のでもう一度お願いできませんでしょうか・・・すいません。


6873.Re: 数列
名前:大吉    日付:4月18日(金) 23時1分
6850の式変形の件もおねがいしたいのですが。。
申し訳ないです。・・(_._)


6876.Re: 数列
名前:しんちー    日付:4月19日(土) 0時58分
6850. は、大吉さんの出した途中結果がすでに間違っているようです。
2ヶ所間違いがあります。
あと、カッコをしっかりつけて、式が正しく解釈できるようにしましょう。


6877.Re: 数列
名前:ヨッシー    日付:4月19日(土) 3時31分
もし、
>nが偶数のときは Sn=−n/2
>nが奇数のときは、Sn-1 にnを足すので
> Sn=−(n−1)/2+n=n/2+1/2
の最後の行の 「+1/2」がなければ、
 nが偶数のとき Sn=−n/2
 nが奇数のとき Sn=+n/2
となり、
 Sn=(-1)n-1(n/2) ・・・(1)
で終わりです。

一方、
 nが偶数のとき Sn=0
 nが奇数のとき Sn=1/2
を一つの式で表すには、(-1)n-1 という書き方(+と−が
交互に入れ替わる)を利用すると、
1/2 の半分の1/4を基準に−1/4と1/4を交互に足せば、
0と1/2を交互に発生させることができます。つまり、
 Sn=1/4 + (-1)n-1(1/4) ・・・(2)
です。
(1)と(2) を足せば、
 Sn=(-1)n-1(n/2) + 1/4 + (-1)n-1(1/4)
より、
>Sn=(−1)n-1(2n+1)/4 + 1/4
>   ={(−1)n-1(2n+1) + 1}/4
が得られます。

 
http://yosshy.sansu.org/

6849.はじめまして  
名前:田村 正和    日付:4月16日(水) 22時24分
はじめましてかどうかわかりませんが、Diver Net Free BBSで書き込みさせてもらっている田村 正和です。
自己紹介のところ見ましたよ。すごいですね。誕生日が大晦日ってところと特にあの10個の資格の数。
で教えてもらいたい内容なんですが、私はDiverで公開したとおり、18歳の大学生です。あっと大学1年です。下に質問される方は学年を書いてくださいねってのが目に付きました。
大学の授業で物理学1と物理学2というものを学ぶんですが、私は物理が苦手でして近くの塾に週に1度通ってます。
しかし、実際の物理学を学んでみますと数学の内容がほとんどなんですよね。どうなんでしょう?
ie.大学の物理がどのような内容なのか教えてください。お願いします。



6857.Re: はじめまして
名前:ヨッシー    日付:4月17日(木) 10時31分
どうも、いらっしゃいませ。
>>大学の物理
 そんな大昔のことを(^^;
教養時代の物理といえば、「物理学実験」の他は
「力学」と「電磁気学」しか記憶にありません。
(事実それだけだったと思います)>>私は機械工学科
運動方程式、重心の計算など、微積分と微分方程式ばかりだった気がします。
「数学は理科の道具」というのを実感しました。

記憶をたどると、結構基礎的なところから、発展していったような気がします。
突拍子もないところに急に飛ぶようなことは無かったように思います。
専攻にもよるでしょうが。
 
http://yosshy.sansu.org/

6842.集合記号。  
名前:うっしー    日付:4月16日(水) 1時48分
たいしたことではないかもしれませんが、ご存じの方、教えてください。
自然数の集合は「N」,整数の集合は「Z」、有理数の集合は「Q」、実数の集合は「R」、複素数の集合は「C」で表すことがありますよね。
それで、「N]はnatural number、「R」はreal number、「C」はcomplex numberの頭文字をとったものだと思うのですが、「Z」「Q」はどこからきたのでしょうか?
いろいろ調べると、整数、有理数の英語の頭文字はZやQではないみたいですが、ZやQの語源はどこにも書いていなかったです。



6844.Re: 集合記号。
名前:しんちー    日付:4月16日(水) 2時14分
昔どなたかに教えてもらった英語のサイトによれば、

Q for the set of rational numbers and Z for the set of integers are apparently due to N. Bourbaki.
(N. Bourbaki was a group of mostly French mathematicians which began meeting in the 1930s, aiming to write a thorough unified account of all mathematics.)
The letters stand for the German Quotient and Zahlen. These notations occur in Bourbaki's Algébre, Chapter 1.

一応、簡単に訳しておきますと、
ZとQを使い始めたのはブルバキさんらしいと書いてあって、
ドイツ語QuotientとZahlenから来てるそうです。


6874.Re: 集合記号。
名前:うっしー    日付:4月18日(金) 23時15分
どうもありがとうございました。

6841.簡単な問題のはずですが、私にはわからないので教えて下さい。  
名前:えり    日付:4月16日(水) 1時3分
はじめまして。こんばんわ。数学の掲示板があったので私のわからないところを教えていただきたく書き込ませていただきました。私は中学3年生です。
早速わからない問題なのですが、2題あるのですが、教えていただけませんか?よろしくお願いします。

周囲の長さが同じである正方形と正六角形がある。正方形の面積を9とすると、正六角形の面積はいくつか?

あるサークルの部員数は、昨年は全員で35人だった。今年は男子が20%増え女子が20%減ったので、全体として1人減った。今年の男子部員は何人か?



6845.Re: 簡単な問題のはずですが、私にはわからないので教えて下さい。
名前:ヨッシー    日付:4月16日(水) 7時13分

正方形の面積が9なので、1辺は3です。
すると、周囲は12なので、正六角形の1辺は 12÷6=2 となります。
さらに、正六角形は6つの正三角形に分かれ、その1辺が2なので...
(以下略)
答えは、6√3

2番目のは、連立方程式で解きましょう。
昨年、男子x人、女子y人とすると、
 増えた男子 0.2x 減った女子 0.2y
で、減った方が1人多いので
 0.2x+1=0.2y
一方、合計人数より
 x+y=35
で、この2つを連立させて解きます。
答えは 18人
http://yosshy.sansu.org/


6860.解説ありがとうございました。
名前:えり    日付:4月18日(金) 0時16分
よっしーさんへ
返信遅れてすいませんでした。
詳しい解説を教えていただきありがとうございました。
これからもどんどん数学勉強していきます。
また、解からない問題が出てきたらその時はまたよろしくお願いします。

6838.(untitled)  
名前:toppo(高3)    日付:4月15日(火) 23時49分
α+β+γ=2π(α>0,β>0,γ>0)のとき
sinα*sinβ*sinγの最大値を求めよ。

という問題なのですが、わからないです。
誰かわかる人教えて下さい。お願いします。<(_ _)>



6840.Re: (untitled)
名前:ころっさす    日付:4月16日(水) 0時47分
方法1)
α,β,γのうちπを超えるものは高々1個だが,
求める最大値が存在するならそれは0以上ゆえ,α,β,γはπ以下としてよい.
このとき,相乗平均と相加平均との大小関係から
sin(α)*sin(β)*sin(γ)≦( (sin(α)+sin(β)+sin(γ))/3 )^3
さらに,[0,π]でsinは上に凸ゆえ
(sin(α)+sin(β)+sin(γ))/3≦sin( (α+β+γ)/3 )=√(3)/2
等式成立条件は何れもα=β=γ=2*π/3.

方法2)
γ≦2*π/3としてよく
sin(α)*sin(β)*sin(γ)
=(1/2)*( cos(α-β)-cos(α+β) )*sin(γ)
≦(1/2)*( 1-cos(α+β) )*sin(γ)
=(1/2)*( 1-cos(γ) )*sin(γ)
γ/2=tとおくと
=(sin(t))^2 * 2*sin(t)*cos(t)
=2*√( (sin(t))^6 * (1-(sin(t))^2) )
=2*√( 27 * (((sin(t))^2)/3)^3 * (1-(sin(t))^2) )
≦2*√( 27 * ( 1/4 )^4 )
=√(27/8).

6835.微積分(高校〜大学)  
名前:    日付:4月15日(火) 23時7分
◆y=Arcsin(sinx)のグラフを求めよ。
とりあえず逆関数求めて、↓となりましたが、全く手が着きません。
1/sinycos(siny)

◇cos(3Arccosx)をxの多項式で記せ。
こちらにいたっては どうしたらよいかわかりません。


よろしくお願いいたします。



6837.Re: 微積分(高校〜大学)
名前:nabeX    日付:4月15日(火) 23時35分
sinとArcsinは互いに逆関数なわけですから
Arcsin(sinx)=xとなるはずですがそれを考えなくとも
Arcsin(sinx)をxで微分すると1になりますからyは一次関数であることがわかり
x=0のときsinx=0でArcsin(0)=0からグラフのy切片は0とわかります。

cosの3倍角公式を用いてCos(Arccosx)の多項式で書ければOKです。


6875.Re: 微積分(高校〜大学)
名前:nabeX    日付:4月18日(金) 23時56分
某所で見かけましたが私(1)間違ってたみたいですね。その点については申し訳なく思います。
しかし、何のレスもつけずにあのやり口は・・・。

6832.Σ  
名前:大吉    日付:4月15日(火) 22時48分
低レベルですみません。
   n  
bn=煤@(2k-3)2^k
  k=1

から、10+(2n-5)2^n+1
にどうしたらなるのでしょうか?
   



6843.Re: Σ
名前:しんちー    日付:4月16日(水) 2時9分
(等差)×(等比) 型の和ですね。
書き下したほうがわかりやすいでしょう。

例題: S=1×2+3×2^2+ … +(2n-1)×2^n を求めよ。
解き方: 2S=1×2^2+3×2^3+ … +(2n-1)×2^n+(2n-1)×2^(n+1) を考えます。Sの式から右に一個ずらして 2S を書き、辺々引き算すると、
等比数列の公式が使えます。


6846.Re: Σ
名前:repunit    日付:4月16日(水) 7時51分
ak=(2k-7)×2k とおけば、(2k-3)×2k=ak+1-ak だから
bn=an+1-a1 です。


6848.Re: Σ
名前:大吉    日付:4月16日(水) 11時45分
ありがとうございました。
解説みても??な感じでしたので・・
しんちーさん、repunitさんどうもありがとうございます。

6829.受験数学と高校数学の境界的問題?  
名前:くじゃく    日付:4月15日(火) 21時55分
当方、高校生と大学生の境目です・・
証明問題で3日ぐらい考え続けてるんですが、俺にはGive up!です。

1. lim[x→∞]x^p/a^x =0 (a,pは定数でa>1,p≧0)
2. lim[x→∞]a^x/x! =0 (aは定数でa>0)

1.はなんとかa^xをテーラー展開して証明できたんですが、2.がさっぱりです。
あと、1.を高校の教科書に載っている範囲内で証明することは出来るんでしょうか?



6833.Re: 受験数学と高校数学の境界的問題?
名前:しんちー    日付:4月15日(火) 22時50分
x は自然数の範囲としてよいのでしょうか。(とくに 2.)


6834.Re: 受験数学と高校数学の境界的問題?
名前:くじゃく    日付:4月15日(火) 23時6分
あ、2.でxは自然数としてください。
というより、実数全体に及ぶ階乗がどういうものなのか知らない。
√2!とかいう表現をみたことがないので。


6836.Re: 受験数学と高校数学の境界的問題?
名前:nabeX    日付:4月15日(火) 23時25分
2
xを十分大きな自然数にすればa<xと出来ます。ここで
a<nとなるnに対してn<xならば
ax/x!<(an/n!)*(a/n)x-n
と出来るのでa<nですからa/n<1より
ある番号からあとは0<(公比)<1となる等比数列で上から評価できます。

1を高校レベルで…ですが
ax=exlog(a)でありx>0のとき
ex>xn/n!(nは自然数)
を帰納法で示せばp<kなる自然数kを取れば
ax>{xlog(a)}k/k!とでき
xp/ax<xp/{xlog(a)}k/k!となり
右辺は0に収束します。要はテーラー展開と同じですが
不等式評価程度なら航行の範囲を逸脱せずとも可能です。

6828.年齢は・・・・じゃあ黙秘でお願いします  
名前:    日付:4月15日(火) 20時45分
初めまして他の質問に比べて簡単だと思いますけど質問です。
1÷0.1=10を「小学生に分かりやすく」説明するにはどうしたらいいでしょうか?
解答よろしくお願いします。



6831.Re: 年齢は・・・・じゃあ黙秘でお願いします
名前:ヨッシー    日付:4月15日(火) 22時22分
まず、この答えで正しいと言うことをわからせること。
「1リットルの水を0.1リットルずつくんだら何回でなくなるか?」

そのあとは、私のページの「数学テキスト」の第8回あたりをどうぞ。
 
http://yosshy.sansu.org/

6825.(untitled)  
名前:    日付:4月15日(火) 19時22分
1年生から6年生までの児童が1人づついます。彼らが1列に並んでお菓子をもらうことになりましたが、上の学年の人が下の学年の人よりも前にいると、後ろの人から文句が1回出ます。1つの並び方に対して、出る文句の数を「文句数」と呼ぶことにします。ただし同じ人から2回以上文句が出ることもあります。では「文句数」が7となるような並び方は何通りありますか。



6827.Re: (untitled)
名前:みゆき    日付:4月15日(火) 19時48分
http://www.sansu-olympic.gr.jp/
から図書室→1997年→ファイナル問題
の問題6を見てみてください


6830.Re: (untitled)
名前:    日付:4月15日(火) 22時20分
答えは101通りとわかりましたが、解法がわかりません。だれか教えてください。


6839.Re: (untitled)
名前:みゆき    日付:4月15日(火) 23時57分
http://web2.incl.ne.jp/yaoki/week168.htm
ではここを見れば?

6820.三次方程式  
名前:正樹    日付:4月15日(火) 16時31分
Size: 118KB

もうひとつ送ります。


6819.三次方程式  
名前:正樹    日付:4月15日(火) 16時31分
Size: 91KB Size: 119KB

先ほどは返信ありがとうございました。
今度は文字等の詳細を送りますのでもう一度お願いいたします。
容量が大きいので二回にわたり送ります。


6816.三次方程式  
名前:正樹    日付:4月15日(火) 10時58分
N=C+C´-T=(σcbx)/2+σs´As´-σsAs (1)
Ne=(σcbx)/2(h/2-x/3)+σs´As´C´+σsAsC (2)
σs=nσc{(d-x)/x}=(nσc)/x{C+(h/2)-x} (3)
σs´=nσc{(x-d´)/x}=(nσc)/x{C´+x-(h/2)} (4)

(1)〜(4)の公式から下の式が得られる根拠が知りたいです。

x^3-3(h/2-e)x^2+(6n/b){As(e+C)+As´(e-C´)}x-(6n/b){As(C+h/2)(e+c)+As´(h/2-C´)(e-c´)}=0



6818.Re: 三次方程式
名前:ヨッシー    日付:4月15日(火) 15時14分
いまいち、取りかかりにくいのは、
●出典は何か?どの分野で、何を求めようとしているのか?
 式は、文字の羅列のようであって、実はそれぞれ意味を持っています。
 それが見えてこないです。
●同様に、それぞれの文字は何を表しているのか?物理量なのか、定数なのか?
●As という記述があり、おそらく A × s ではなく、1つの量なのだと思いますが、
 これが、大いに不安にさせます。これを許すなら、σs、σc も1つの量なのか、
 σ、s、c はそれぞれ別の文字なのか。

解釈のしようによっては、10を下らない組み合わせがあり、その1つ1つを吟味して、
最終の式になりうる組み合わせを見つけることは、合理的でありませんので、
一度、問題をお返しします。
 
http://yosshy.sansu.org/


6822.Re: 三次方程式
名前:ヨッシー    日付:4月15日(火) 17時31分
(1)(3)(4) は、A=B=C の形になっていますが、使うのは
 A=C
の部分だけです。Bは途中の式で、無視して良いです。
(1) の両辺に e を掛けて (2) を引きます。
σs とσs' の部分に(3)と(4) をそれぞれ代入します。
すべての項にσc が含まれているので、これで割ります。
あとは、分母のxを払うために両辺にxを掛けて(ついでに2も掛ける)
3の項、x2の項、xの項、定数項をまとめ、
3の項、b/3 で割ると、最後の式が得られます。

※2つ目の記事は消しておきますね。
 
http://yosshy.sansu.org/

6810.まえまえからおもっていたこと  
名前:知也    日付:4月14日(月) 23時27分
a^2などの2乗を小さくしてきれいに右上に2という特殊文字?を表すようにするにはどうしたらいいのでしょうか?数列でもAnのnの表し方が分かりません。htmlなんとか言うやつだとおもいます



6811.Re: まえまえからおもっていたこと
名前:ast    日付:4月14日(月) 23時34分
6741 の記事にも出てたわけですが, 過去ログには興味ないわけですね?

掲示板で, タグはあまり多用するべきではないと思うのですが・・・.


6815.私はこう考えます(今回は別HN)
名前:たぐtagウマ子(タグ好き人間)    日付:4月15日(火) 10時12分
書き込み欄の削除KEYの右隣に「タグ有効」リンクがありますね。そこから、この掲示板で利用できるHTMLタグの一覧が見られます。

私は普段の書き込みではわけですが、「タグを多用すべきではない」という意見の根拠はおそらくこちらにあるようなことなのでしょう。掲示板によっては、タグの閉じ忘れ等が元で、他人の書き込みの表示まで崩れて大迷惑!という事態になりかねません。

ただ、ここの掲示板(正確にはEZBBS.NETのレンタル掲示板)に限って言えば、万一タグを閉じ忘れても他人の書き込みを巻き込まずに済む仕様のはずです(1つ1つの記事がガッチリと<table>に囲まれています)。また、使用可能タグは基本的な文字装飾とリンク系に限定されるので、見ている人のブラウザに悪影響を及ぼすことはまずあり得ないでしょう。

正しい知識さえあれば、タグは好きなだけ使って構わない、というのが私の意見です。もちろん、数学の質問&回答の場に相応しい節度ある使い方であるべきだとは思いますが。知也様がタグを使ってみたいというのであれば、まずは初歩的な知識を身につけて、ある程度練習なさると良いでしょう。(某数学質問板には書き込み練習用の掲示板が併設されていますから(多分知也様はご存知のはず)、そこを使わせてもらうのも良いかも。私も普段結構使ってます)

その他の参考リンク
掲示板のマナー 一般的な書き込みマナーが書かれています。
機種依存文字 タグ使用と共に、数学系掲示板で問題になるのがこれ。もちろん、機種依存文字を使わないことがネットでは至極当然のマナーだと思いますよ、皆さん。
チャグチャグ馬コ


6823.Re: まえまえからおもっていたこと
名前:おおさわ    日付:4月15日(火) 17時42分
例えば、x2 と表示したい場合は、

x<sup>2</sup> とすれば良いです(ただし括弧は半角)

HTML で数学記号をどう表示するかについては、
私のサイトでも取り扱っておりますので、そちらも一読ください。

http://simfan.cn1.jp/mathmarks/

6804.三角関数  
名前:ツヨシ    日付:4月14日(月) 19時45分
0≦x<2πのとき、cos x=(1-sin x)/(1+sin x)を解け、という問題がわかりません。高3です。誰かよろしくお願いします。



6805.Re: 三角関数
名前:ヨッシー    日付:4月14日(月) 20時36分
両辺 (1+sinx) を掛けて
 cosx(1+sinx)=1-sinx
cosx≧0 は明らかなので、 cosx=√(1-sin2x)=√(1-sinx)(1+sinx)
 (1+sinx)√(1-sinx)(1+sinx)=√(1-sinx)2
1-sinx=0 のとき
 x=π/2 は解の1つである。
1-sinx≠0 のとき、両辺√(1-sinx) で割って
 (1+sinx)√(1+sinx)=√(1-sinx)
両辺2乗して整理すると、
 (1+sinx)3=1-sinx
 sin3x+3sin2x+4sinx=0
 sinx(sin2x+3sinx+4)=0
これを解いて、
 sinx=0, (-3±√7i)/2
以上より、x=0,π/2 (πは解となり得ない)

スマートじゃないなぁ。
 
http://yosshy.sansu.org/


6808.Re: 三角関数
名前:高橋 道広    日付:4月14日(月) 23時2分
y=(1-t)/(1+t)と y=√(1-t^2)のグラフを書いて交点を求める。

なんてのは やりすぎかなあ(~_~;)


6809.Re: 三角関数
名前:高橋 道広    日付:4月14日(月) 23時10分
間違い

y=(1-x)/(1+x)と x^2+y^2=1の交点を考えることと同値になります。


6812.Re: 三角関数
名前:ケロ    日付:4月15日(火) 2時27分
さすがのヨッシーさんも疲れています。とちりのケロがスマートに。sinθcosθ+sinθ+cosθ=1
2 sinθcosθ+2(sinθ+ cosθ)=2
1+2 sinθcosθ+2(sinθ+ cosθ)=3
(sinθ)^2+( cosθ)^2+ 2sinθcosθ+2(sinθ+ cosθ)=3
(sinθ+ cosθ)^2+2(sinθ+ cosθ)+1=4
(sinθ+ cosθ+1)^2=4
{sin(θ+π/4)+1 }^2=4
sin(θ+π/4)+1=±2
sin(θ+π/4)=1 (≠−3)
θ+π/4=π/2
θ=π/4


6813.Re: 三角関数
名前:ヨッシー    日付:4月15日(火) 7時18分
その方針、良いですね。ただし途中からは、
 (sinθ+ cosθ+1)^2=4
 {√2sin(θ+π/4)+1}^2=4
 √2sin(θ+π/4)+1=±2
 √2sin(θ+π/4)=-3, 1
1≦sin(θ+π/4)≦1 より、
 sin(θ+π/4)=1/√2
0≦θ<2π より、
 θ+π/4=π/4, 3π/4
よって、θ=0, π/2
ですね。
http://yosshy.sansu.org/


6814.Re: 三角関数
名前:ヨッシー    日付:4月15日(火) 9時19分
高橋さんの案は、こんな図ですね。

交点の偏角がそのまま答えになっています。
 
http://yosshy.sansu.org/


6824.Re: 三角関数
名前:高橋 道広    日付:4月15日(火) 17時47分
そのとおりです ヨッシーさん 図をありがとう(^。^)

注意をひとつ記載するのを忘れてました。
本当はXをcosx Yをsinxとおくのが普通です。すると
偏角がそのまま答えです。

ここではXをsinx Yをcosxとしているので
(X,Y)=(1,0) から (sinx,cosx)=(1,0)となり x=π/2
(X,Y)=(0,1) から (sinx,cosx)=(0,1)となり x=0

逆転してることに注意してくださいね。
http://micci.sansu.org

6801.初めてですが、よろしくお願いします!!  
名前:ロキ(16歳高2)    日付:4月14日(月) 18時16分
今週の金曜日に確認テストがあるのですが、何問か理解できない問題があります。多いかもしれませんが、一問でもいいので、詳しい解説、お願いします。
(問題)
y+z/x=z+x/y=x+y/z=mとするとき、mの値を求めよ。また、このとき(1+y/x)(1+z/y)(1+x/z)の値を求めよ。

(問題2)
整式P(x)をx2+1,x−3で割った余りが,それぞれ5x+3,−2であるとき,P(x)を(x2+1)( x−3)
で割った余りはax2+5x+bである。このとき,a,bを求めよ。

です。よろしくおねがいします。



6803.Re: 初めてですが、よろしくお願いします!!
名前:ヨッシー    日付:4月14日(月) 19時29分
1番の方は、x,y,z の具体的な数値ではなく、比率が分かればいいので、
x=1 とでもおいてみましょう。
(厳密に解くなら、y=ax,z=bxの形にするのでしょうが)

2番は、
 P(x)=Q(x)(x^2+1)+(5x+3)
 P(x)=R(x)(x-3)-2
であることを押さえた上で、
 P(x)=S(x)(x^2+1)(x-3)+(ax^2+5x+b)
を考えます。
まず、Q(x) を(x-3) で割った余りを c とおいて、
 Q(x)=T(x)(x-3)+c
として、上の P(x)=Q(x)(x^2+1)+(5x+3) に代入するところから始めましょう。
 
http://yosshy.sansu.org/


6806.Re: 初めてですが、よろしくお願いします!!
名前:みゆき    日付:4月14日(月) 20時57分
y+z/x=z+x/y=x+y/z=mはmが定まらないのではと考え、
(y+z)/x=(z+x)/y=(x+y)/z=mと解釈。
y+z=mx
z+x=my
x+y=mz
2(x+y+z)=m(x+y+z)
x+y+z=0のときm=-1
x+y+z≠0のときm=2

ax2+5x+bをx2+1で割ると
余りが5x+b-aで5x+3となる
ax2+5x+bをx-3で割ると
余りが9a+b+15で-2となる
b-a=3
9a+b+15=-2
をとく

6796.二次関数の問題  
名前:Gazu(17歳;中卒)    日付:4月14日(月) 11時30分
大検取って大学目指して勉強してます。数学は苦手で困ってます。他教科も同じ事言えますが・・・
数学出来る人から見ればアホ見たいな質問かも知れませんが、よろしくお願いします。
(問題)
2次方程式 x2+ax−a+1=0 の解が整数になるようなaの値を求めなさい。
解答見ますと解と係数の関係を使って
α+β=−a
αβ=−a+1
これを引き算して(α+β)−αβ=−1
このままでは難しいから(α−1)(β−1)=2
あとは組み合わせで解く(略)

※(α+β)−αβ=−1から(α−1)(β−1)=2へ、どのようにして変形したのですか?
あとなんでこの問題に解と係数を利用して、しかも引き算するんですか?

すみません解りやすく説明して下さい。よろしくお願いします。



6797.Re: 二次関数の問題
名前:しんちー    日付:4月14日(月) 12時55分
別解として、解を実際に解の公式で求める方法もありそうですが、

この解き方:
* 「解が」整数ということで、解に注目するときは解と係数の関係はよく用いられる。
* (α+β)-αβ=-1 の両辺に 1 を加えて左辺を因数分解できる形にするのは整数問題では定石です。
* 辺々引くのは a を消去したいからですね。あくまでもαとβに注目したいわけです。

いずれも、どの問題にも必ずこうやる、といったものではないのですが、
解き方のパターンとして覚えておくとどこかで使えます。
がんばってね。


6798.Re: 二次関数の問題
名前:Gazu(17歳;中卒)    日付:4月14日(月) 16時4分
度々すみません。解らないので教えて下さい。

>(α+β)-αβ=-1 の両辺に 1 を加えて左辺を因数分解できる形にするのは整数問題では定石です。

両辺に1を加えるんだから
(α+β)−αβ+1=−1+1
(α+β)−αβ+1=0←これを因数分解しても(α−1)(β−1)=2にならないんですが、どのように解けばよろしいんでしょうか?よろしくお願いします。


6799.Re: 二次関数の問題
名前:みゆき    日付:4月14日(月) 16時14分
(α+β)-αβ=-1
αβ-(α+β)=1
αβ-(α+β)+1=2
(α-1)(β-1)=2


6800.Re: 二次関数の問題
名前:しんちー    日付:4月14日(月) 17時59分
失礼。みゆきさんのおっしゃるとおりです。

6791.おねがいします。  
名前:今年高3.受験勉強(T_T)    日付:4月14日(月) 2時30分
F(x)=∫0→1|x^3-tx|dxの最小値を求める問題なんですが、答えは1/8らしいんですけど解説がまったくわかりません。どなたか、サルでもわかすように説明お願いいたします。ちなみに、高校の数学の範囲はすべて終了しています。よろしくお願いいたします。



6792.Re: おねがいします。
名前:ヨッシー    日付:4月14日(月) 7時4分

y=x^3-tx のグラフは、tの値によって、上の3通りあります。
よって、積分も、
t<0 のとき ∫0〜1(x^3-tx)dx
0≦t≦1 のとき ∫0〜√t(-x^3+tx)dx+∫√t〜1(x^3-tx)dx
1<t のとき ∫0〜1(-x^3+tx)dx
これを計算して、tと積分値のグラフを書くと

このようになり、2次関数の部分の頂点が最小となります。
 
http://yosshy.sansu.org/

6785.質問とか・・・  
名前:紅朱雀    日付:4月14日(月) 1時38分
新高1です。
お聞きしたいことがあるのですが・・・
虚数「i」や1の三乗根「ω」などを求めるにはどうするのでしょうか?
例えば、iのi乗とかの値を求める方法などです。

また、
http://www4.airnet.ne.jp/tmt/
このようなページがあるのですが、ここのような内容を載せているページを知っていたら教えていただきたいと思います。



6787.Re: 質問とか・・・
名前:ast    日付:4月14日(月) 1時50分
しばらくすれば, 複素数を平面上の点とみることを習うでしょう.

そのとき, x^n - 1 = 0 の解の全体は, とてもきれいな位置関係に
なっていることを知ることになるでしょう.

i^i を求めるには, 対数関数の変数を複素数の範囲まで広げなければ
なりません. (指数関数は対数関数から定義されます.)
このへんは, 大学に入って数学を勉強してください.


6794.Re: 質問とか・・・
名前:ヨッシー    日付:4月14日(月) 10時23分
一応、私のページの「ミニ講座」の「複素数と複素平面」をご覧になることを、お勧めしておきます。
 
http://yosshy.sansu.org/


6802.Re: 質問とか・・・
名前:紅朱雀    日付:4月14日(月) 19時4分
レスありがとうございます。
やはり、今の知識では理解できません・・・。
数学が苦手教科になりそうです・・・(鬱

http://village.infoweb.ne.jp/~fwih1399/index.htm
こちらの数学のところを全部読んだのですが、複素数あたりがよく解りませんでした。
三角関数と平面ベクトルは大体解ったのですが・・・。

なにか解らないことがあればまたお聞きするかもしれません。
では、ありがとうございました。


6807.Re: 質問とか・・・
名前:ast    日付:4月14日(月) 22時54分
蛇足ですが, 「複素平面」というと, 複素数上の次元が 2 の平面
(実数上 4 次元の空間) C^2 とまぎらわしいので,
『複素数平面』と呼ぶことをお奨めします.

6784.数学の質問です☆☆  
名前:NA    日付:4月14日(月) 1時16分
☆aを実数の定数とし、f(x)=x^2-2ax+a^2-1とする。
(1)y=f(x)とx軸との交点をA,Bとする。線分ABの長さを求めよ。
(2)f(k)<0となるkを選ぶとき、f(k+3)の値の範囲を求めよ。

☆実数a,b,cがa≠0、a+b+2c=0をみたすとき、2次方程式ax^2+bx+c=0は相異なる2つの実数解を持ち、そのうち少なくとも1つは正であることを示せ。

どう答えたらいいのでしょうか(^^;)



6786.Re: 数学の質問です☆☆
名前:しんちー    日付:4月14日(月) 1時43分
1問目:
 (1) A,B の座標を実際に求めてもいいですし、A(α,0), B(β,0) としたとき、解と係数の関係を用いて、(β-α)^2 を求めるという手も。
 (2) k と頂点の位置関係がポイントで、場合分け。

2問目:
 判別式は習ってますか?
 また、後半は軸の位置で場合分けして考えるといいでしょう。


6790.2問目のエレガント(?)な解答
名前:回転する「考える人」    日付:4月14日(月) 1時56分
 f(x)=ax2+bx+cとおく.
a≠0より,y=f(x)のグラフは軸がy軸に平行な放物線.
ここで,a+b+2c=0 ⇔ f(0)+f(1)=0 
               ⇔ f(0)=−f(1)
あとはグラフの形を考えれば,題意は自明です.

(佐久間信子たんのファン)

6781.質問  
名前:スカイブルー    日付:4月13日(日) 20時39分
 xが整数のとき、y=1をとり、そのほかならy=0をとる。そうなる関数を1つの式で表したいのですが・・・y=(式)



6782.Re: 質問
名前:nabeX    日付:4月13日(日) 21時52分
y=[cos2(πx)] []はガウス記号
というのはどうでしょう?

6777.余りが、、、  
名前:疑問を感じる    日付:4月13日(日) 16時20分
「自然数aが3の倍数であり、(a-1)×a×(a+1)が15の倍数
であるとき、aを15でわった余りを3つ求めよ」
という問題で、余りがどうしても、2つしか考えられない
のです。ひょっとして、0も余りにはいるのでしょうか?



6778.「あまり0」について
名前:回転する「考える人」    日付:4月13日(日) 16時29分
「あまり0」という表現は,小学校でちゃんと習っているはずですぞ.

(佐久間信子たんのファン)


6779.Re: 余りが、、、
名前:疑問を感じる    日付:4月13日(日) 17時6分
つまり、この場合0が入るということですね?

6771.方程式  
名前:キャリー(新高2)    日付:4月13日(日) 11時14分
aは定数とする。x,yについての連立一次方程式
(a+8)x-4y=1,4x+ay=1がただ一組の解を持つためのaについての条件を求め、さらに、このときの解を求めよ。
最初の式から二番目の式を引いて、因数分解すると(a+4)(x-y)=0になりました。a=-4のときは不適だと分かるのですが、x=yのときはどのように答案を書くべきなのか分かりません・・・。



6774.行列を習っていないのならば….
名前:回転する「考える人」    日付:4月13日(日) 12時21分
 2直線 (a+8)x−4y=1,4x+ay=1 が
1点で交わる条件を考えるのがよいでしょう.
a=0のとき 2直線は 8x−4y=1,4x=1となり
         1点で交わるのでOK.
a≠0のとき 2直線とも傾きが定義できます.
         傾きが一致しなければ1点で交わりますね.

(佐久間信子たんのファン)

6762.(untitled)  
名前:kou(新高B    日付:4月12日(土) 20時57分
cos2/7π+cos4/7π+cos6/7πの値を求めよ。



6764.Re: (untitled)
名前:kou(新高3)    日付:4月12日(土) 21時1分
(↑は誤って送信)
という問題がどうしても解けません。
分母が7の分数を何とかしないと解けないと思って
和積の変換公式でいじってみたのですが、
度数法で書いてある問題のようにはうまくいきません。
値を求めよ、となっているからにはおそらくきれいな
すうじになると思うのですが、どなたかご教示願えません
でしょうか?


6765.私はこう解きます
名前:占星術師    日付:4月12日(土) 22時28分
α=cos(π/7)+i*sin(π/7)とおき、αの共役複素数をα~と表すと、
整数mに対してα7-m=(α~)m ...(1)
α65432+α+1=0 ...(2)
が成り立つ。また、ド・モアブルの公式より整数nに対して
αn+(α~)n=2*cos(nπ/7) ...(3)
が成り立つ。以上を総動員すると、
2{cos(2π/7)+cos(4π/7)+cos(6π/7)}
2+(α~)24+(α~)46+(α~)6 (∵(3))
25436+α (∵(1))
=-1 (∵(2))
故に、
cos(2π/7)+cos(4π/7)+cos(6π/7)=-1/2


6766.こんなカンジかな?
名前:回転する「考える人」    日付:4月12日(土) 22時44分
    2π
 θ=――  z=cos θ + i sin θ とおく.
    7 ,
                      1−z7
   1+z+z2+z3+z4+z5+z6=―――=0   (∵ z7=1)
                      1−z

実部を比較して   1+cos θ +cos2θ +cos3θ +cos4θ +cos5θ +cos6θ =0

ここで,cos6θ =cos θ ,cos5θ =cos2θ ,cos4θ =cos3θ であるから

   1+2(cos θ +cos2θ +cos3θ )=0   (以下略)

(佐久間信子たんのファン)


6767.ありがとうございました
名前:kou(新高3)    日付:4月12日(土) 23時53分
占星術師さん、回転する「考える人」さん、ありがとうございました。
やはり三角関数のやり方だけではとけないんですね。
お二方の説明とも大変分かりやすく、助かりました。


6768.Re: (untitled)
名前:ころっさす    日付:4月13日(日) 0時13分
積和を使うと
( cos(2*π/7) + cos(4*π/7) + cos(6*π/7) )*sin(π/7)
=(1/2)*( sin(3*π/7)-sin(π/7) + sin(5*π/7)-sin(3*π/7) + sin(π)-sin(5*π/7) )
=(1/2)*( -sin(π/7) )


6769.こんなとこにも。
名前:うっしー    日付:4月13日(日) 1時54分
1963年の数学オリンピックの問5にも、次のような類題があります。
「cosπ/7−cos2π/7+cos3/7=1/2 であることを証明せよ」

これもやはり、ド・モアブルが積和公式で解くみたいですね


6770.Re: (untitled)
名前:repunit    日付:4月13日(日) 6時53分
x=2π/7, 4π/7, 6π/7 はいずれも
cos(4x)=cos(3x)
⇔8t4-8t2+1=4t3-3t
⇔(t-1)(8t3+4t2-4t+1)=0
を満たします。(t=cos(x)とおきました。)
cos(2π/7), cos(4π/7), cos(6π/7) はいずれも1でなく、全て異なるので、
8t3+4t2-4t+1=0 の3解ですから、解と係数の関係から与式の値が求まります。

6759.(untitled)  
名前:まさる君    日付:4月12日(土) 18時32分
内角の和が180度ではない三角形を知っていますか?



6760.うろ覚え
名前:おおさわ    日付:4月12日(土) 19時28分
ユークリッド空間内なら、
三角形の内角の和は、必ず 180゚ になります。

ただし、ユークリッド空間内で無い場合は(例えば球面とか)、
三角形の内角の和が 180゚ になるとは限りません。

http://simfan.cn1.jp/mathmarks/

6757.(untitled)  
名前:tk(高二)    日付:4月12日(土) 14時18分
学校で数学についての論文を書くことになりまして、参考になる本を探しています。主に数学の歴史や」数学が実社会にどんな役割を果たしているか、を書こうと思っています。

6751.ただ自分で考えていただけですが・・・  
名前:ark@高3    日付:4月11日(金) 22時53分
まずxy平面上の第1象限に点A(ax、ay)を取ります。
そして次にx<0において、H:y=1/x を描きます。
この時、H上に点Pをとり、その点Pについての接線を直線L とし、L⊥AQ となるような点Qの軌跡の式と概形を求めなさい。

というような問題を勝手に作って考えていたのですが、行き詰まってしまいました。
考え方だけでも良いのでご教授下されば幸いです。

 



6752.Re: ただ自分で考えていただけですが・・・
名前:ark@高3    日付:4月11日(金) 22時55分
私は・・・

点Pを(p,1/p)と定めて、点Qについて解いてみようと考えたのですが、如何せんややこしくて・・・


6753.Re: ただ自分で考えていただけですが・・・
名前:しんちー    日付:4月12日(土) 0時3分
Q は L 上の点っていうことでよろしいですか?
それならば、

(1) L を求める (1/x の微分を用いて)
(2) Q は L 上の点だから、適当に文字を使っておける。
(3) (AQ の傾き)(L の傾き) = -1 から、Q を求める。
(4) p を消去

で解けます。


6754.Re: ただ自分で考えていただけですが・・・
名前:ark@新高3    日付:4月12日(土) 2時8分
すみません。点QはL上という条件を書き忘れていました。

>しんちーさん
(4)の所までは、予め出来ていたのですが、私が解いたところ・・・

Qx=p(axp3-ayp+2)/p4+1

Qy=(2-ax)p4+ayp2-2p+2/p(p4+1)

のように・・・


6755.Re: ただ自分で考えていただけですが・・・
名前:ケロ    日付:4月12日(土) 3時1分
接線の傾きだけではだめかな。
−1/p^2=(Qy−1/p)/(Qx−p)

(Qy−1/p)/(Qx−p)*(Qy−ay)/(Qx−ax)=−1  
では。


6758.Re: ただ自分で考えていただけですが・・・
名前:花パジャ    日付:4月12日(土) 17時34分
あるpに対して、
1)Lの式を求める
2)点Aを通り、Lに垂直な直線の式を求める

2)をpに関して解き、1)の式に代入、では?


6780.Re: ただ自分で考えていただけですが・・・
名前:ark@新高3    日付:4月13日(日) 20時15分
昨日から色々試してみましたが、pの消去がどうもできません・・・

別のやり方があるのでしょうか・・・


6783.Re: ただ自分で考えていただけですが・・・
名前:ケロ    日付:4月13日(日) 23時22分
ぼくの最初の式は接線の式に(Qx、Qy)を代入したことになるので
そのままpについて解けます。
それを二番目の式に代入すればQxとQyの複雑そうな式ができます。
グラフはわかりません。


6793.Re: ただ自分で考えていただけですが・・・
名前:花パジャ    日付:4月14日(月) 10時15分
私の書いた2)とは、ケロさんの2番目の式に1番目の式を代入したもの
 −1/p^2*(Qy−ay)/(Qx−ax)=−1  
すなわち
 p^2=(Qy−ay)/(Qx−ax)
1) (=ケロさんの1番目の式)より
 p−Qx=p^2*Qy−p
 2p=Qx+p^2*Qy
両辺を2乗して...


6795.Re: ただ自分で考えていただけですが・・・
名前:花パジャ    日付:4月14日(月) 11時27分
あとで、グラフを描く事など考えたら
 ax=Rcosφ
 ay=Rsinφ
 Qx=ax+rcosθ
 Qy=ay+rsinθ
と置くとどうかな
 p^2=tanθ
なので
 2p=Qx+p^2*Qy
を2乗して、両辺に(cosθ)^2をかけて
 2sin(2θ)=(r+Rcos(θ-φ))^2


6847.遅れました(汗
名前:ark@新高3    日付:4月16日(水) 8時26分
皆様 有り難う御座いました

6747.(untitled)  
名前:    日付:4月11日(金) 20時11分
P(x)を(x+2)^3で割った余りが4x^2+3x+5、(x-1)で割った余りが3のとき、P(x)を(x+2)^2・(x-1)で割った余りを求めよ



6748.Re: (untitled)
名前:みゆき    日付:4月11日(金) 21時10分
例題などを参考に解けないものでしょうか?
P(x)を(x+2)^3で割ったときの商をf(x)とおけば
P(x)=(x+2)^3f(x)+4x^2+3x+5…(*1)
P(1)=3
これらから
27f(1)+12=3
f(1)=-1/3
f(x)をx-1で割った余りは-1/3、商をh(x)とすれば
f(x)=(x-1)h(x)-1/3
(*1)に代入して
P(x)=(x+2)^3{f(x)=(x-1)h(x)-1/3}+4x^2+3x+5
=(x+2)^3(x-1)h(x)-(1/3)(x+2)^3+4x^2+3x+5
ここで
(x+2)^3=(x+2)^2(x-1+3)
=(x+2)^2(x-1)+3(x+2)^2
とすれば
あとは項を整理して(x+2)^2(x-1)でくくり
答えは3x^2-x+1となります。

6740.o(^-^)o  
名前:WS.    日付:4月10日(木) 22時30分
携帯からなので下にうまくレスできません。新規投稿ですみません指数のタグ、できたら教えていただきたいのですが…。



6741.Re: o(^-^)o
名前:ヨッシー    日付:4月10日(木) 23時4分
すべて半角で
x<SUP>2</SUP> → x2
ついでに、
A<SUB>n</SUB> → An
です。
<SUP> と </SUP> が対になっていないと、
他の部分にも影響しますので、注意してください。
 
http://yosshy.sansu.org/


6746.Re: o(^-^)o
名前:WS.    日付:4月11日(金) 18時37分
ありがとうございます!

6738.△方程式  
名前:大吉    日付:4月10日(木) 21時50分
sin3x=sin3y, cos2x=cos2y, sinx=siny[不成立」

0<x<180「<の下に両方とも=がつきます」
0<y<360「<の下に両方とも=がつきます」
これを満たすx、yを求めなさい。
yの式の作り方がいまいちわかりません。
おねがいします。



6742.Re: △方程式
名前:ヨッシー    日付:4月10日(木) 23時31分
sinx≠siny を具体的に書くと、
 x≠y かつ x≠π−y
ということで、これは覚えておきます。
 sin3x=sin3y
ということは、
 3y=3x+2π …(1)
 3x=π−3y …(2)
のどちらかです。
(他にも、3x=3y、3x=3π−3y がありますが、sinx≠siny に反します)
(1) (2) をそれぞれ cos2x=cos2y に代入して、x,yを求めます。
 
http://yosshy.sansu.org/


6743.Re: △方程式
名前:ヨッシー    日付:4月10日(木) 23時33分
 3y=3x+4π
 3x=5π−3y
も、あり得ますね。

ほかに、もっと良い解き方があるかも。
 
http://yosshy.sansu.org/


6744.Re: △方程式
名前:大吉    日付:4月10日(木) 23時45分
ありがとうございます。
ちょっと考えてみます。


6749.Re: △方程式
名前:大吉    日付:4月11日(金) 21時41分
ヨッシーさん、(1)はどのような考えでしょうか?


6775.Re: △方程式
名前:ヨッシー    日付:4月13日(日) 13時32分
上の方法では、もれなくあげることが難しそうなので、
別の方法で解いてみました。

私のページの「ご質問に答えるコーナー」をご覧ください。
 
http://yosshy.sansu.org/

6737.漸化式  
名前:スカイブルー    日付:4月10日(木) 21時22分
b1=b、c1=c、bn+1=2xbn+ycn+1,cn+1=ybn+2xcn このとき{bn} {cn}の一般項を求めたい。x,yは実数とする。



6739.Re: 漸化式
名前:ヨッシー    日付:4月10日(木) 22時8分
 bn+1=2xbn+ycn+1
の、最後の 1 がなければ、私のページの「覚え書きコーナー」の
「漸化式と特性方程式」の中の、「連立漸化式」が、使えるのですが...
 
http://yosshy.sansu.org/


6745.Re: 漸化式
名前:辺々足す 引く とできそうです    日付:4月11日(金) 8時44分
dn+1=(2x+y)dn+1になるので ここから dnがでます
 ただしdn=bn+cn
en+1=(2x-y)en+1になるので ここから enがでます
 ただし en=bn-cn 
もとめた2つの式を連立方程式とみて bn cn を求めます。

最近は解答を書かず 方針のみ書く方が多いのでそれに習います。
やってみてわからなかったら レスをください。
より詳しく解説します。
http://micci.sansu.org

6730.∞×0はどうして不定形の形なのか  
名前:    日付:4月10日(木) 7時58分
∞×0はどうして不定形の形なのか



6732.Re: ∞×0はどうして不定形の形なのか
名前:nabeX    日付:4月10日(木) 8時52分
n→∞で
n*1/n2→0ですし
n2*1/n→∞ですし
n*1/n→1ですから、どれも∞×0の形ですが
値が異なるので不定形です。


6756.(untitled)
名前:おおさわ    日付:4月12日(土) 12時22分
感覚的な考えです。厳密には少し違います。

1/0 = ∞ ですから、
0・∞ = 0/0 となって、不定形になりますね。

http://simfan.cn1.jp/mathmarks/


6776.Re: ∞×0はどうして不定形の形なのか
名前:しんちー    日付:4月13日(日) 15時5分
たぶん、彼 (or 彼女) は 0/0 がなぜ不定形になるのかも疑問なのでしょう、

6728.軌跡  
名前:キャリー    日付:4月9日(水) 20時17分
x=2sinθ-cosθ+2,y=sinθ+2cosθ-3で表される点(x,y)はどのような曲線上を動くか?
全く方向が見えません・・・。



6729.Re: 軌跡
名前:しんちー    日付:4月9日(水) 20時36分
sin θ, cos θ をそれぞれ x,y で表して、
sin^2 θ + cos^2 θ = 1 を用います。


6731.Re: 軌跡
名前:repunit    日付:4月10日(木) 8時25分
x-2=-√(5)×cos(θ+φ), y+3=√(5)×sin(θ+φ)
と変形する手もありそうです。


6733.Re: 軌跡
名前:みゆき    日付:4月10日(木) 11時0分
(x,y)=(-θ回転行列)(1,2)+(2,-3)
とも考えられます。


6735.細かいですが
名前:repunit    日付:4月10日(木) 17時52分
> (x,y)=(-θ回転行列)(1,2)+(2,-3)
(x,y)=((π/2-θ)回転行列)(2,1)+(2,-3) では?


6736.Re: 軌跡
名前:みゆき    日付:4月10日(木) 18時26分
(x,y)=((π/2-θ)回転行列)(2,1)+(2,-3)
ですね。

6724.三角比  
名前:フォース    日付:4月9日(水) 0時53分
三角形ABCで、辺BCを1:2の比にわける点をDとするとき、
線分ADの長さを、a,b,cを用いて表せ。どなたかお願いします<(_ _)>



6725.Re: 三角比
名前:ast    日付:4月9日(水) 1時3分
「線分を」と言ってるので内分だとは思いますが,
a,b,c は何なのでしょう・・・;


6726.Re: 三角比
名前:しんちー    日付:4月9日(水) 1時32分
通常の AB=c, … なのではないでしょうか。
これって中線定理の一般形ですね。


6727.Re: 三角比
名前:ヨッシー    日付:4月9日(水) 6時4分
私のページの「覚え書きコーナー」の中の「定理の覚え書き」の中に
「中線定理」および、「スチュワートの定理」があります。
ご覧ください。
 
http://yosshy.sansu.org/

6722.(untitled)  
名前:しげる    日付:4月8日(火) 18時57分
正の整数Nを4進法および6進法で表すと、3桁の数abcおよびpqrになり、またa+b+c=p+q+rである。このときNを10進法で表せ。但し、答えは1つとは限らない。



6723.Re: (untitled)
名前:しんちー    日付:4月8日(火) 20時54分
「正の整数Nを4進法で表すと、3桁の数abcになる」
を式で表せますか?

ヒント: 10進法で 123 っていうのは、1×100+2×10+3 ですね。
4進や6進ではどうなるでしょう。


6734.Re: (untitled)
名前:ヨッシー    日付:4月10日(木) 17時16分
条件より、
 N=16a+4b+c=36p+6q+r …(1)
 a+b+c=p+q+r …(2)
ただし、文字はすべて整数で、
 1≦a≦3, 0≦b≦3, 0≦c≦3, 1≦p≦5, 0≦q≦5, 0≦r≦5
(1)-(2) より
 15a+3b=35p+5q
 3(5a+b)=5(7p+q)
5a+b は5の倍数であり、0≦b≦3 より、b=0
よって、
 3a=7p+q
1≦a≦3 より、3a=7p+q=9 より、p=1, q=2 このとき a=3
(1) または (2) より、
 c=r=0,1,2,3
(1)より、
 N=48,49,50,51
 
http://yosshy.sansu.org/

6718.複素数平面2  
名前:さる    日付:4月8日(火) 13時26分
またまたですみませんが(−1+浮Ri)^n−(−1−浮Ri)^nを簡単にせよ。という問題なんですが、これを極形式になおして計算すると最後に2cos(120゜×n)になってmを正の数とするならばn=3mならば2、n=3m−1、3m−2ならば−1になるんですがなぜ3m−1、3m−2を2m、mで表してはいけないんですか?教えてください。 



6720.Re: 複素数平面2
名前:ヨッシー    日付:4月8日(火) 14時26分
120°なので、3倍すると、360°となり元に戻ります。
つまりnが3の倍数なら、角度は全部0°と同じです。
nが3の倍数+1なら、角度は全部120°と同じです。
nが3の倍数+2なら、角度は全部240°と同じです。
それ以外の場合はありません。
これらを順に、3m,3m−2,3m−1 で表しています。
3m,3m+1,3m+2 という分け方でも同じですが、
おそらく、nが正の整数としているのでしょう(書いてませんが)。
だから、正の整数mに対して、3m,3m−2,3m−1 と書いています。
nが0以上の整数なら、0以上の整数mに対して、
3m,3m+1,3m+2 とします。
nが負でも良いのなら、どちらでも良いです。
 
http://yosshy.sansu.org/


6721.Re: 複素数平面2
名前:さる    日付:4月8日(火) 14時53分
度々すみません(>ω<)ありがとうございましたm(__)m

6704.複素数平面  
名前:さる    日付:4月7日(月) 10時45分
α+iβ=(1+i)rをα-r/β-rの形に直してこの3点αβrを頂点とする三角形はどんな物か求めるという問題なんですが、α+iβ=(1+i)rをα-r/β-rの形に直すとα-r/β-r=-iになぜなるかやり方がわかりません。この直し方分かる方がいたら教えてください。お願いします。



6705.Re: 複素数平面
名前:みゆき    日付:4月7日(月) 11時47分
α+iβ=(1+i)r=r+ir
α+iβ-r-ir=α-r+(β-r)i=0
α-r=-(β-r)i
(α-r)/(β-r)=-i


6709.Re: 複素数平面
名前:さる    日付:4月7日(月) 12時35分
分かりやすくしてもらえて嬉しいです(^-^)ありがとうございます!m(__)m))


6710.Re: 複素数平面
名前:ast    日付:4月7日(月) 16時28分
実に下らない事ですが, r ではなくて γ(ガンマ) なのでは・・・?


6711.Re: 複素数平面
名前:さる    日付:4月7日(月) 18時4分
そうなんですけど自分の携帯にはないので(;_;)


6712.Re: 複素数平面
名前:ast    日付:4月7日(月) 18時7分
なるほど, これは失礼しました.

6694.因数分解の問題  
名前:根本政寛(高二)    日付:4月7日(月) 3時7分
もうすぐ高校2年なのに、因数分解がまだスラスラわかりません。数学は他の教科よりは少しはできるので、大学受験の時受験科目にいれようと思っているので、いま因数分解の復習をしています。その中でとくにわからなかったのを質問したいので、ぜひおしえてください。おねがいします

@4a^2b^2-(a^2+b^2-c^2)^2

A4x^4-5x^2y^2-9y^4

B(a^2-b^2)x^2-(a^2+b^2)x+ab

Cab^2-b^2c-c^2a+bc^2



6697.Re: 因数分解の問題
名前:中川 幸一    日付:4月7日(月) 3時36分
まず最初に注意!!
丸文字は機種依存文字なので使わないようにしましょう。

(1)
4a2b2-(a2+b2-c2)2
=(2ab+a2+b2-c2)(2ab-a2-b2+c2)
={(a+b)2-c2}{c2-(a-b)2}
=(a+b+c)(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)

(2)
4x4-5x2y2-9y4
=(x2+y2)(4x2-9y2)
=(x2+y2)(2x+3y)(2x-3y)

(3)
(a2-b2)x2-(a2+b2)x+ab
=(ax+bx-a)(ax-bx-b)

(4)
ab2-b2c-c2a+bc2
=(b-c)(ab+ac-bc)

(3), (4) は説明を省略してしまいました。
すみません。
http://8417.teacup.com/arith_math/bbs


6698.Re: 因数分解の問題
名前:ジョセフ・ジョースター    日付:4月7日(月) 3時52分
どうもありがとうございます。
すいません!わかりました。丸文字は使わないようにします。
ところで、できれば(3)(4)もやり方を自分のものにしないと本番で出たとき再現できないので、途中式を教えていただけませんでしょうか。(何度も本当にすみません。)


6699.Re: 因数分解の問題
名前:中川 幸一    日付:4月7日(月) 4時3分
(3) は 2次方程式と思って考えてください。
(4) は a について考えてみてください。
http://8417.teacup.com/arith_math/bbs


6707.Re: 因数分解の問題
名前:ヨッシー    日付:4月7日(月) 12時22分
(3) もたすき掛けでやるならば、
 (a-b)(a+b)x^2-(a^2+b^2)x+ab

 a-b   -b  -ab-b^2
 a+b   -a  -a^2+ab
--------------------------
(a-b)(a+b) ab  -a^2-b^2

より、{(a-b)x-b}{(a+b)x-a}
 

http://yosshy.sansu.org/

6693.微分と偏微分  
名前:たかし    日付:4月7日(月) 2時29分
経済学の勉強をしていて、計算問題で微分と偏微分を使う問題があるのですが、解答をみても詳しい解説が載っていないので微分と偏微分の計算方法が分からないので、微分と偏微分の計算方法を教えてください。

問題にある式は、
@ u=-2x^2+20x をxで微分する
A z=2x^3+6y^2 をxで偏微分する
の2つがあります。

今まで、微分と偏微分ともに学校で習ったことがなく、まったく何も分からないので、できれば簡単な解説をお願いします。



6696.Re: 微分と偏微分
名前:中川 幸一    日付:4月7日(月) 3時17分
微分と偏微分の違いは分かっていますか?
まずは, この問題の解き方より根本的に『微分と偏微分とは何ぞや』を勉強した方が良いと思います。
そうすればこの問題もすぐに理解できるはずです。

ちなみに解答だけ載せておくと,
(1) du/dx = 4x + 20
(2) ∂z/∂x = 6x2
http://8417.teacup.com/arith_math/bbs


6717.Re: 微分と偏微分
名前:おおさわ    日付:4月8日(火) 12時24分
偏微分について簡単に説明しておくと、
∂z/∂x は、「z を、x 以外を定数と見て微分する。」と言う意味です。
ですから、
z = 2x3 + 6y2
の y は、x で偏微分するとき、普通に定数ですから、削除してしまってかまいません。
従って答えは、∂z/∂x = 6x2 となります。

http://simfan.cn1.jp/mathmarks/

6687.(untitled)  
名前:武田鉄也    日付:4月6日(日) 22時17分
指数はどのようにして入力するのですか?



6690.Re: (untitled)
名前:ast    日付:4月6日(日) 22時26分
x の自乗 なら x^2 というように [^] を使えば通じます.

sup タグを使う手も有りますが, 私は余りお奨めしません.

6684.(untitled)  
名前:ボブサップ    日付:4月6日(日) 22時2分
0.3と3/10 は違いませんか?



6695.この事を聞いてるんスよね?
名前:ジョセフ・ジョースター    日付:4月7日(月) 3時15分
同じじゃないッスか???

0.1=1/10

0.01=1/100

0.001=1/1000

0.0001=1/10000………と続きます。


6701.Re: (untitled)
名前:武田鉄也    日付:4月7日(月) 8時55分
でも 3÷10=0.333333333333....... と続くのですよ。


6702.Re: (untitled)
名前:しんちー    日付:4月7日(月) 9時10分
0.3333… と続くのは 1/3 です。3/10 ではありません。


6708.なんだこれ
名前:占星術師    日付:4月7日(月) 12時25分
>でも 3÷10=0.333333333333....... と続くのですよ。
そんな話は初耳ですな。3÷10=0.3がふつうでしょう。
武田 鉄也氏には、10÷3を計算し、
答を小数で表してみることをお勧めします。

(ネタかも知れないが、マジレスしてみる)


6715.Re: (untitled)
名前:ジョセフ・ジョースター    日付:4月7日(月) 22時5分
整数であれば、10という数で割った商が無理数になることはないでしょう。

6676.証明わかんないっす・・・・  
名前:キャリー    日付:4月6日(日) 21時9分
a,b,cを実数とする。
@a+b+c=1のとき、ab+bc+ca≦1/3
Aa+b+c=1のとき、a^4+b^4+c^4≧abc
この前(4/1)もカキコしてヒントを頂いたのですが、やっぱり分かりませんでした・・・。



6679.@はノーヒントだとキビシイですね.
名前:回転する「考える人」    日付:4月6日(日) 21時37分
 a+b+c=1より,証明すべき不等式は
   3(ab+bc+ca)≦(a+b+c)2   …☆
と同値です.☆の(右辺)−(左辺)は,2乗の和に変形できます.
両辺の次数を揃えるという発想ですが,なかなか気付ける
ものではありません.

(佐久間信子たんのファン)


6680.Re: 証明わかんないっす・・・・
名前:ヨッシー    日付:4月6日(日) 21時45分
前の記事での中川さんのヒントを、一応書いておきます。

(1)a2±ab+b2≧0
(等号は a=b=0 のときなりたつ)
(2)a2+b2+c2≧bc+ca+ab
(等号は a=b=c のときなりたつ)
(3)(a+b+c)2≦3(a2+b2+c2)
(等号は a=b=c のときなりたつ)
(4)bc+ca+ab≦(1/3)(a+b+c)2
(等号は a=b=c のときなりたつ)
http://yosshy.sansu.org/


6681.2度目の書き込みですが(^^;)
名前:ark@新高3    日付:4月6日(日) 21時53分
問1.の別解ですが・・・

初期条件より、解t=a,b,cとなるような3次関数f(t)は
f(t)=t^3 - t^2 + (ab+bc+ca)t - abc・・・(1)
とおくことが出来る。
また(1)より、(t)=3t^2 - 2t + ab+bc+ca
である。
よって、f(t)=0は異なる3つの実数解を持つので、(t)の判別式Dについて
D/4 = 1 - 3(ab+bc+ca)≧0・・・(2)
と分かる。

よって、(2)より
ab+bc+ca≦1/3 と分かる。

・・・というのはどうでしょうか?


6682.すみません・・・
名前:ark@新高3    日付:4月6日(日) 21時56分
6行目と8行目の (t) は・・・
「(t)」です・・・


6683.ん??
名前:ark@新高3    日付:4月6日(日) 21時58分
fダッシュ(t)と打ち込んだのですが、何故か表示されておらず・・・
何故でしょう?


6685.細かいですが・・・
名前:みゆき    日付:4月6日(日) 22時4分
異なる3つの実数解

実数解にした方が良いと思います。


6686.Re: 証明わかんないっす・・・・
名前:キャリー    日付:4月6日(日) 22時7分
@は解決しましたが、Aが本当に分かりません・・・。
何度もごめんなさい。


6691.Re: 証明わかんないっす・・・・
名前:ころっさす    日付:4月6日(日) 22時35分
x^2+y^2+z^2≧x*y+y*z+z*xを2回利用すると
a^4+b^4+c^4
=(a^2)^2+(b^2)^2+(c^2)^2
≧(a^2)*(b^2)+(b^2)*(c^2)+(c^2)*(a^2)
=(a*b)^2+(b*c)^2+(c*a)^2
≧(a*b)*(b*c)+(b*c)*(c*a)+(c*a)*(a*b)
=a*b*c*(a+b+c)


6692.Re: 証明わかんないっす・・・・
名前:キャリー    日付:4月6日(日) 22時46分
みなさん有難う!!
すっごくためになりました★これですっきり!


6700.Re: 証明わかんないっす・・・・
名前:ark    日付:4月7日(月) 5時22分
>みゆきさん
訂正有り難うございます。
いや・・・お恥ずかしい・・・

6672.I can't understand  
名前:数学    日付:4月6日(日) 12時59分
理解できません。
 -(b-c)(a-b)(a-c)
=(a-b)(b-c)(c-a)
  なんで一つのかっこだけ符号が変わるのですか?



6673.そんなに難しいことじゃないのよ〜.
名前:回転する「考える人」    日付:4月6日(日) 13時21分
 −(b−c)(a−b)(a−c)
=(a−b)(b−c)・{−(a−c)}
=(a−b)(b−c)(c−a)


6674.Re: I can't understand
名前:数学    日付:4月6日(日) 13時52分
本当ですね。この式を見たらわかりました。
『−』は−1なんですよね。
ありがとうございました。

6669.複素数  
名前:tk    日付:4月6日(日) 2時4分
zを複素数、n,kは2以上の自然数とする。
多項式1+Z2+Z+・・・・+Zn-1が、
多項式1+Zk+Z+・・・・+Z(n-1)kを割り切るための必要十分条件は何か示せ。

という問題です。どなたかよろしくお願いします。



6713.Re: 複素数
名前:しんちー    日付:4月7日(月) 18時34分
「k を n で割った余りを r としたとき、
n と r が互いに素であること」
ってのはどうでしょう。

(1) まず、具体例で試してみてください。
(2) 始めの式 F の解を2つめの式 G に代入して 0 にすることを考えます。
(3) F の解は、1 の n 乗根のうち、1 以外のものすべてです。

答えがあっているかについてはあまり自信がありません。
条件が足りない可能性もありそうです。


6714.Re: 複素数
名前:nabeX    日付:4月7日(月) 20時46分
私はまだ問題に手をつけてないので申し訳ないのですが、

>「k を n で割った余りを r としたとき、
>n と r が互いに素であること」
これはつまり、kとnが互い素ということですよね。


6716.Re: 複素数
名前:しんちー    日付:4月8日(火) 10時41分
あっ、そうですか?
そっかそっか、ユークリッドの互除法を考えればそうか。
たしかにそれだとすっきりですね。

で、この条件であってるでしょうか?

6658.審議  
名前:中川 幸一    日付:4月5日(土) 22時24分
高校・高専1〜3年の数学掲示板での問題なんですが,
2sin x+sin2 x=1
のとき,
5-cos2 x+sin3 x
の値を求めよ。
の問題について, いろんな人たちが議論しています。
論点は, arcsin を認めるか?
また, sin x = -1-√2 (iff arcsin (-1-√2) ) も認めるかです。

皆さんはどのように考えていますか?
http://8417.teacup.com/arith_math/bbs

6657.確立  
名前:だめだめ君    日付:4月5日(土) 22時22分
すいません、
確立なんですけど、独立と、俳反の区別がうまくつかないんですが・・



6659.Re: 確立
名前:高校生になるぜ!    日付:4月5日(土) 22時26分
うけねらいは止めてください!


6660.Re: 確立
名前:だめだめ君    日付:4月5日(土) 22時28分
??


6661.Re: 確立
名前:高校生になるぜ!    日付:4月5日(土) 22時32分
相手を間違えたようです。すいません


6662.Re: 確立
名前:だめだめ君    日付:4月5日(土) 22時32分
いえいえ


6663.Re: 確立
名前:高校生になるぜ!    日付:4月5日(土) 22時34分
教えてくれますか?
@定数項とは何ですか?
Axの降べきの順にするとき、yだけの式はどのようにまとめれば良い のですか?
Bたすきがけのコツがあったら教えてください。


6664.Re: 確立
名前:だめだめ君    日付:4月5日(土) 22時46分
1、2X^2+3X-5ってあった時にXの値に関係なく一定なもの。ここでは、-5
が、定数項
2、xをそろえたあとyの降べきの順でいいのではないのでしょうか。
とくにいじらなくてもいいと思いますけど、、
3、こつは、・・・ないかも


6665.Re: 確立
名前:だめだめ君    日付:4月5日(土) 22時50分
わすれた・・・。
あってるかどうかわからん。ごめんなさい。


6666.Re: 確立
名前:高校生になるぜ!    日付:4月5日(土) 22時52分
ありがとうございました。
あなたの疑問もすぐ解決すといいですね!


6667.Re: 確率
名前:しんちー    日付:4月6日(日) 0時14分
排反は、重なり合わない事象です。
独立は直感的にとらえるのはちょっと難しいですが、重なり合っててもOKです。

例: サイコロを1回振ったときの目
A = 出た目が偶数
B = 出た目が奇数
C = 出た目が5以上

A と B は排反です。
A と C は背反ではないですが、独立です。


6668.Re: 確立
名前:だめだめ君    日付:4月6日(日) 0時30分
わかりやすいお答え感謝します。
高校生になるぜさん疑問解決しました。


6671.Re: 確立
名前:高校生になるぜ!    日付:4月6日(日) 9時16分
おめでとう!
お互いいろいろがんばりましょう

6656.Please tell me !  
名前:高校生になるぜ!    日付:4月5日(土) 22時21分
@定数項とは何ですか?
Axの降べきの順にするとき、yだけの式はどのようにまとめれば良い のですか?
Bたすきがけのコツがあったら教えてください。



6675.Re: Please tell me !
名前:Bob    日付:4月6日(日) 14時42分
例. 3x^3+x^2・y−x・y^2+2x^2+2y−4
 @定数項とは上の式の最後のところの−4のような
  文字係数がついてない項のこと
 
 Axの降べきの順とはxの高次のものからまとめることです。
  上式ですと、xがついているのは最初の4項ですね
  これをxの3乗、2乗、1乗の順に整理すると
  よって3x^3+(y+2)x^2−y^2・x+2y−4

  つまりxの降べきの順に整理するときはyだけの式は定数項扱い
  になります。(yの降べきの順はこの逆)
 
 Bコツといっても…
  
http://homepage3.nifty.com/sumida-3/

6654.答えが合いません。  
名前:新高1    日付:4月5日(土) 22時12分
因数分解してください。
 
  a(x-2y)+b(2y-x)
 = a(x-2y)-b(-2y+x)
= (a-b)(x-2y) と答えが出たのですが、
解答を見ると (a-2b)(x-2y) となっています。僕の答えは間違いで すか?



6655.Re: 答えが合いません。
名前:しんちー    日付:4月5日(土) 22時17分
あなたのであっています。

6650.内接円の問題です・・・  
名前:Toshi_高1    日付:4月5日(土) 10時10分
前回ありがとうございました。

△ABCの各頂点から対辺またはその延長線上に下ろした垂線の足を各々A',B',C'とし、AA'=x , BB'=y , CC'=z とします。
この時、△ABCの内接円の半径rをx,y,zで表せ。
またy=12,z=18の時xの値を求めよ。
なお、x,y,z,rは全て整数値とする。

これはどのように解けば良いでしょうか。
みなさんの意見よろしくお願いします。。。



6651.Re: 内接円の問題です・・・
名前:ヨッシー    日付:4月5日(土) 10時37分
a=BC, b=CA, c=AB とおきます。また、△ABC の面積をSとおきます。
 S=ax/2=by/2=cz/2
より、a=2S/x, b=2S/y, c=2S/z
一方
 S=(a+b+c)r/2
より、(以下略)。

とりあえず、ここまで。
http://yosshy.sansu.org/


6703.Re: 内接円の問題です・・・
名前:Toshi_高1    日付:4月7日(月) 10時18分
ありがとうございました!
S=(a+b+c)r/2 a=2S/x, b=2S/y, c=2S/z
から求めることが出来ました。

6645.K.N.G様、どうもありがとうございました!!  
名前:川上剛志(新高1)    日付:4月4日(金) 21時58分
今さっき拝見させていただきました。とりあえず、(1)は今理解できたので、これから(2)以降を見ながら解いていきます。再びどこかでつまずいてしまったらもう1度お伺いさせていただきたいと思いますので、その時はどうぞよろしくお願い致します。本当にお世話になりました!!



6646.Re: K.N.G様、どうもありがとうございました!!
名前:川上剛志(新高1)    日付:4月4日(金) 22時0分
どうもすみません、「お礼」なのにまちがえて新しく投稿してしまいました(汗)


6647.こちらこそ,すみません.
名前:K.N.G.    日付:4月4日(金) 22時32分
またまた訂正です.

(5)
(与式)=x4-2x2y2+y4 ←この行は無視して下さい.

6641.因数分解の問題  
名前:川上剛志(新高1)    日付:4月4日(金) 19時9分
数学があまり得意でない新高1です。恐らく基本問題なのだろうと思うのですが、ちょっと自力ではどうしても解けなかったので、8問も大変申し訳ないんですが、どなたか解き方を教えていただけませんでしょうか?

(問)次の式を因数分解せよ。

(1)(b-c)^3+(c-a)^3+(a-b)^3

(2)x^4+x^2+1

(3)x^4-3x^2+1

(4)x^4+4

(5)x^4-27x^2y^2+y^4

(6)(x+1)(x+3)(x+5)(x+7)+15

(7)(a+b+c)(ab+bc+ca)-abc

(8)a^6-b^6



6642.とりあえず(4)まで
名前:K.N.G.    日付:4月4日(金) 20時39分
(1)
x3+y3+z3=(x+y+z)(x2+y2+z2-xy-yz-zx)+3xyz
という公式を使います.
(a-b)3+(b-c)3+(c-a)3
(※見易さのため順番を変えました)
において,x=a-b,y=b-c,z=c-aとおくと
(与式)={(a-b)+(b-c)+(c-a)}{(a-b)3+(b-c)3+(c-a)3-(a-b)(b-c)-(b-c)(c-a)-(c-a)(a-b)}+3(a-b)(b-c)(c-a)
=3(a-b)(b-c)(c-a) ((下線部)=0より)

(2)
x4+x2+1
=x4+x2+1-x2
=(x2+1)2-x2
=(x2+1-x)(x2+1+x)
=(x2-x+1)(x2+x+1)
※この問題はやったことがないとちょっとツライですね.
※(2乗)-(2乗)の形を予想します.

(3)
(2)と同様に考えます.考えてみてください.

(4)
(2)と同様に考えますが,加えるのはx2ではなく4x2です.考えてみてください.


6643.残り
名前:K.N.G.    日付:4月4日(金) 21時8分
(5)
これも (2乗)-(2乗) の形をつくるのですが,
さっきまでとは少しだけ性質が違うので説明します.
(与式)=x4-2x2y2
+y4
=x4-2x2y2+y4-25x2y2
=(x2-y2)2-(5xy)2 ←(2乗)-(2乗)の形ですね.
=(x2-5xy-y2)(x2+5xy-y2)

(6)
与式の第1項を全部展開するのは相当面倒です.
そこで,次のような巧い方法があります.
(与式)={(x+1)(x+7)}{(x+3)(x+5)}+15
=(x2+8x+7)(x2+8x+15)+15
ここで,x2+8=t とおくと
=(t+7)(t+15)+15
=…
※あとは展開して,また因数分解し,
※最後にtにx2+8を代入すればOKです.
※考えてみてください.

(7)
展開して,aについて整理すると
(与式)=(b+c)a2+(b2+2bc+c2)a+bc(b+c)
=(b+c){a2+(b+c)a+bc}
=(b+c)(a+b)(a+c)
=(a+b)(b+c)(c+a) ←きれいな形にしただけです.1行前の形でもOKです.

(8)
(与式)=(a3)2-(b3)2
と変形すると,(2乗)-(2乗)の形が見えますね.
あとは,考えてみてください.

※わからないところがあったら,また質問してください.


6644.すみません
名前:K.N.G.    日付:4月4日(金) 21時14分
(2)の2行目
【誤】x4+x2+1-x2
  ↓ ↓ ↓
【正】x4+2x2+1-x2
に訂正してください.

6638.クイズとしてもらった問題です  
名前:ciel(新高1)    日付:4月4日(金) 14時25分
四角形ABCDにおいて、∠ABD=50°、∠DBC=∠DCA=30°、∠ACB=40°とすると、∠DACは何度でしょう。できれば2通りの方法で解いて下さい。

  A・          
      D・      左の図の点を結んだような形です。
 
 B・    C・     

何かの本のおまけ問題らしいです。
どうしてもわかりません。よろしくお願いします。



6640.Re: クイズとしてもらった問題です
名前:みゆき    日付:4月4日(金) 16時51分
ラングレーの問題
もしくは
フランクリンの凧(たこ)
をkey wordにして検索してみて下さい。
ここにも類題がありました。


6652.Re: クイズとしてもらった問題です
名前:ciel    日付:4月5日(土) 15時27分
みゆきさんありがとうございます。
でもいろいろ調べてやってみたのですが二等辺三角形が作れないために解けませんでした。どなたか解ける方いらっしゃいますか?


6653.Re: クイズとしてもらった問題です
名前:中川 幸一    日付:4月5日(土) 20時34分
『図形のひろば』

上記のサイトを参考にしてみてください。
かなりたくさんの解答があります。
http://8417.teacup.com/arith_math/bbs

6635.すごく恥ずかしいのですが…(新中学一年生)  
名前:アクリル    日付:4月3日(木) 20時14分
割り引きの計算の仕方がわかりません。例えば6800円の一割り引きの計算の仕方を教えて下さい。お願いします。バカですみません…



6636.Re: すごく恥ずかしいのですが…(新中学一年生)
名前:ヨッシー    日付:4月3日(木) 20時19分
1割というのは 1/10(10分の1)のことですね。小数でいうと 0.1 です。
6800円の1割は
 6800×0.1=680(円)
これを引くので、
 6800−680=(省略)

また、1割引きのことを「9がけ(9掛け)」といって、0.9 を掛けて
 6800×0.9=(省略)
とするやり方もあります。答えはどちらも同じです。
なぜかわかりますか?
 
http://yosshy.sansu.org/

6628.二点間を直線で結ぶ・・・How?  
名前:DEW(新高2)    日付:4月3日(木) 16時2分
相異なる二点を、その二点間の距離よりも短い定規のみを用いて作図することは可能なのでしょうか?可能であればその手順を教えてください。



6629.Re: 二点間を直線で結ぶ・・・How?
名前:DEW(新高2)    日付:4月3日(木) 16時3分
「二点間を直線で結ぶ」の誤りです。

6626.初歩すぎると思うんですけど(汗)  
名前:ぷう。(新高1)    日付:4月3日(木) 15時38分
いまいち、係数と次数の意味がよく分かりません。
方程式とかは解けるんですけど、下の問題だとどうなるんでしょうか?

●次の単項式が、[ ]内の文字に着目した時の係数と次数はなにか?
-3ax2y3[xとy]

↑これだと、係数は−3で、次数は5でいいんですか?

●次の多項式は、[ ]内の文字に着目すると何次か。
ax2+3bxy-cy2[xとy]

↑これは、1になるんでしょうか?

●次の式を[ ]内の文字について降べきの順に整理せよ。
x-ax2+2x3+b[x]

↑2x3-ax2+a+b になるのでしょうか?

あまりに初歩と思われるでしょうが(。> <)。
是非、教えてください!!



6627.Re: 初歩すぎると思うんですけど(汗)
名前:ぷう。(新高1)    日付:4月3日(木) 15時41分
ごめんなさい、パソコンで二乗とかの出し方がわからないので
すごく見にくいですね。


6630.Re: 初歩すぎると思うんですけど(汗)
名前:ヨッシー    日付:4月3日(木) 16時4分
●-3ax2y3[xとy]
 a は文字ではなく、数字として扱いますので、係数は -3a です。
 次数は5です。

●ax2+3bxy-cy2[xとy]
 ax2,3bxy,-cy2 の3つの項があり、
 x,yのみを文字と考えると、次数は順に、2,2,2 です。
 多項式の次数は、各項の次数の中で最大のものを言いますから、
 次数は2です。

●x-ax2+2x3+b[x]
 これは、書き間違いだと思いますが、a ではなく x ですね。
 2x3-ax2+x+b

2乗などは ^2 のように書けば相手に通じます。 x^2 (xの2乗) のような感じです。
 
http://yosshy.sansu.org/brooks.htm


6632.Re: 初歩すぎると思うんですけど(汗)
名前:ぷう。(新高1)    日付:4月3日(木) 16時29分
こんなにレスが早いとは思ってみなかったのでびっくりです!!
わかりやすい説明ありがとうございましたヽ(*´ー`)ゞ
もっとしっかり勉強頑張ります。(笑)

6622.(untitled)  
名前:隼士[新高1]    日付:4月3日(木) 9時46分
先日、割られる数が一次式の場合の組み立て除法を勉強したのですが、割られる数が二次式の場合の組み立て除法はないのでしょうか?



6623.Re: (untitled)
名前:ヨッシー    日付:4月3日(木) 14時9分
ない!
とは言い切れませんが、私は見たことありません。

こちらでは、「整式を1次式で割り算したときに、商と余りを簡単に求める方法である」
と言い切ってますし、こちらも同様ですね。
 
http://yosshy.sansu.org/brooks.htm


6624.Re: 2次の組立除法
名前:しんちー    日付:4月3日(木) 14時38分
できました。
直前の桁だけではなくて、その前の桁も使えばできました。
http://www.yl.is.s.u-tokyo.ac.jp/~shin/math.pdf


6625.Re: (untitled)
名前:ヨッシー    日付:4月3日(木) 15時16分
うまくできましたね>>しんちーさん
これなら、3次、4次と、いくらでも出来ますね。

では蛇足ながら、
下のように n を上げた方が、私としては好みです。


しんちーさんの文書は
↓ここをクリック!
http://www.yl.is.s.u-tokyo.ac.jp/~shin/math.pdf

 
http://yosshy.sansu.org/brooks.htm


6633.Re: (untitled)
名前:しんちー    日付:4月3日(木) 16時30分
あ、その方が見やすいですね。
リンクもちゃんと張っていただいて、ありがとうございます。


6634.Re: (untitled)
名前:隼士[新高1]    日付:4月3日(木) 19時49分
皆さん、お返事ありがとうございます。参考書にも載っていないようなことを1つ学べたのでとても勉強になりました。これから、何故このようになるのかじっくり考えてみようと思います。
本当にありがとうございました。

6617. 狽フ計算  
名前:Toshi_高1    日付:4月2日(水) 23時1分
狽フ書き方が出来ないので、(上[例:n],下[例:k=1])と表します。

数列{An}は整数pを初項とし、公差3の等差数列、
数列{Bn}は整数3pを初項とし、公差1の等差数列です。
Sn=(n,k=1)|Ak-Bk| をpの関数と考えて、
その最小値をnを用いて表しなさい。

という問題です。とりあえず{An}と{Bn}の一般項を求めたりしてみたのですがわかりません。
答えしかわからない状態なので、よければ教えていただけないでしょうか?



6620.Re:  狽フ計算
名前:しんちー    日付:4月2日(水) 23時27分
一般項を求めて代入してみるので、正しいと思います。
絶対値記号があるので、場合分けして計算します。
具体例でいうと、
 (-9)+(-7)+(-5)+(-3)+(-1)+1+3+5
なら、負の部分と正の部分に分けて
 (9+7+5+3+1)+(1+3+5)
として、前半、後半それぞれを和の公式で計算すればよいでしょう。


6631.Re:  狽フ計算
名前:Toshi_高1    日付:4月3日(木) 16時23分
しんちー さん、ありがとうございました。
けれどもやっぱりまだわかりません。

もらったプリントの答えは

nが奇数…p=(n-1)/2 の時最小値(n^2-1)/2
nが偶数…p=(n/2)-1 の時最小値(n^2)/2

となっているのですが…どうしてもこうなりません。
もらった答えの方が間違っているのでしょうか?
解説どなたかよろしくお願いいたします。。。
すみません…


6648.Re:  狽フ計算
名前:ヨッシー    日付:4月5日(土) 1時11分
私のページの「ご質問に答えるコーナー」に解答を載せました。

プリントの答えは正しいです。
 
http://yosshy.sansu.org/


6649.Re:  狽フ計算
名前:Toshi_高1    日付:4月5日(土) 9時56分
ヨッシーさんありがとうございました!
じっくり読んでみます。

6612.因数分解がわかりません!  
名前:ベッカム様Love    日付:4月2日(水) 22時27分
私は15歳です。
因数分解してください。

@ x⁴-15x²+9
A a²(b-c)+b²(c-a)+c²(a-b)
=a²b-a²c+b²c-ab²+ac²-bc²
=(b-c)a²-(b²-c²)a+(b²c-bc²)
=(b-c)a²-(b+c)(b-c)a+bc(b-c)
ここから先がわかりません。お願いします。
 それと、高校新入生さんの未解決問題もお願いします。私も気になり ます。
D ax²+(ab+1)x+b
E 3x²+2(3a+b)x+4ab
F abx²+(a²-b²)x-ab
G 2abx²-(4a+3b)x+6



6619.さまざまなテクニックを身に付けましょう.
名前:回転する「考える人」    日付:4月2日(水) 23時8分
@ x4−15x2+9
 =(x4−6x2+9)−9x2
 =(x2−3)2−(3x)2
 ={(x2−3)+3x}{(x2−3)−3x}
 =(x2+3x−3)(x2−3x−3)
2乗−2乗の形を作ることによって解決する.知らないとできないだろう.

A (b−c)a2−(b+c)(b−c)a+bc(b−c)
 =(b−c){a2−(b+c)a+bc}
 =(b−c)(a−b)(a−c)
 =−(a−b)(b−c)(c−a)
※(b−c)をくくり出せば,さほど難しくはない.3行目でも間違いではないが,
 4行目のように,文字の並びがキレイになるようにすることが多い.

D ax2+(ab+1)x+b
 =(ax+1)b+(ax2+x)
 =(ax+1)b+(ax+1)x
 =(ax+1)(b+x)
 =(ax+1)(x+b)

E 3x2+2(3a+b)x+4ab
 =(2x+4a)b+(3x2++6a)
 =2(x+2a)b+3(x+2a)
 =(x+2a)(2b+3)

※まず,次数の低い文字(ここではb)についてまとめるのがポイント.

F abx2+(a2−b2)x−ab
 =(ax−b)(bx+a)

G 2abx2−(4a+3b)x+6
 =(2ax−3)(bx−2)

※「たすきがけの展開」の逆のパターン.多少の試行錯誤はやむを得ない.


(HNが変わっても佐久間信子たんのファン)

6610.(untitled)  
名前:呆け人    日付:4月2日(水) 19時25分
逆関数の定義より、f-1(f(x))=xが成り立つとありましたが
これはどう導いたのですか。



6611.Re: (untitled)
名前:しんちー    日付:4月2日(水) 19時29分
定義です。
つまり、与えられた関数 f に対してその式を満たすような関数を f^(-1) と定義してるわけです。

6601.数学が苦手で困ってます。  
名前:kou(高1)    日付:4月2日(水) 14時35分
(問題1)
曲線y=x^2−2x−3と直線y=mx−2m−7について、交わるための条件を求めよ。
両式からyを消去して
x^2−(m+2)x+2m+4=0
あとは判別式で解いて、答えはm≦−2、6≦mになりますが、なんでm<−2、6<mでなく<に=が付くんですか?判別式をDとすると2点で交わるのはD>0ですよね?

(問題2)
x、yの間に3x^2+2y^2=6xのの関係があるとき、x^2+y^2の最大値および最小値を求めよ。

条件式が2次式だからxの変域に制限を付けなきゃいけないんですよね?制限を付けなきゃ最小値を求めることができないしね。

3x^2+2y^2=6xから
y^2=6x−3x^2/2≧0

6x−3x^2/2≧0
=6x−3x^2≧0←両辺を2で割る
=−3x(x−2)≧0
=x(x−2)≦0←両辺を−3で割ったので不等号の向きが変わる。
∴0≦x≦2
こんな計算の流れで合ってますか?

以上2問説明よろしくお願いします。



6602.Re: 数学が苦手で困ってます。
名前:しんちー    日付:4月2日(水) 15時8分
はじめまして。

(問題1)
この問題の場合、「1点で接する」も「交わる」に含まれているのでしょう。
「共有点をもつための…」と書いてあるべきだと思います。

(問題2)
あってます。細かいところだけ言うと

* 「6x-3x^2/2」は「(6x-3x^2)/2」と書くべき
* 「両辺を2で割る」は「2をかける」ですね。
* 不等式を「=」で結んでいくのはやめましょう。

ちなみに、与えられた関係式は、(x,y) が、中心(1,0)、横の直径 (みたいなもの) が 2 の楕円上にあることを意味しています。
すると、図からも 0≦x≦2 であることがわかります。


6603.Re: 数学が苦手で困ってます。
名前:みゆき    日付:4月2日(水) 15時15分
(問題1)
交わるのは2点の場合だけでなく1点の場合も含みます。
交わるための条件は、
x^2-2x-3=y=mx-2m-7をみたすxが存在すること
つまり、x^2-2x-3=mx-2m-7が実数解をもつこと
に帰着され、実数解をもつということは判別式D≧0になります。
(問題2)
式の表し方が変かな?と思うところを直します。
3x^2+2y^2=6xから
y^2=(6x−3x^2)/2≧0
(6x−3x^2)/2≧0
6x−3x^2≧0←両辺に2をかける
−3x(x−2)≧0
x(x−2)≦0←両辺を−3で割ったので不等号の向きが変わる。
∴0≦x≦2


6604.Re: 数学が苦手で困ってます。
名前:みゆき    日付:4月2日(水) 15時18分
しんちーさんとかぶってしまいました。
同じ内容なのでスペースの無駄でしたら削除して下さい。
削除KEYを記入していません。


6605.>しんちサン♪、みゆきサン♪へ
名前:kou(高1)    日付:4月2日(水) 17時1分
とても解りやすい説明ありがとうございました。

(問題)
2曲線y=2x^2−ax−1とy=x^2+x−2とが2点で交わるとき、aの値の範囲を求めよ。
解答見ますと
両式からyを消去して
x^2−(a+1)x+1=0
判別式をdとすると求める条件式はD>0
あとは計算して答えはa<−3、1<aである。

>この問題の場合、「1点で接する」も「交わる」に含まれているのでしょう。
しかし、上記の問題の答えには不等号に=が付いていませんが、これはどのように考えればよろしいんでしょうか?この問題に関しては、ただ単に「1点で接する」が含まれていないだけで考えればよろしいんでしょうか?何度もすみません。よろしくお願いします。


6606.Re: 数学が苦手で困ってます。
名前:ヨッシー    日付:4月2日(水) 17時28分
これは、「2点で」と明記されているので、D>0 となります。
>ただ単に「1点で接する」が含まれていないだけ
です。

しんちーさんの書かれたとおり、「交わる」という表現は、やや不親切ですね。
こういう場合もあると、知っておくと良いでしょう。
http://yosshy.sansu.org/


6637.みなさんへ♪♪
名前:kou(高1)    日付:4月4日(金) 9時13分
理解できました。有り難うございました。

6598.因数分解  
名前:高校新入生    日付:4月2日(水) 12時58分
僕は15歳です。今年の4月から高校生になります。高校から予習しなさいという指示が出てて、入学後すぐに確認テストが行われます。そして僕は次の問題がわかりません。
次の式を因数分解して下さい。途中式も詳しくお願いします。

@ 3a⁴b−4a²b³−a³b²
A ab−a−b+1
B x²-2x²y+2y-x
C ab²-b²c-c²a+bc²
D ax²+(ab+1)x+b
E 3x²+2(3a+b)x+4ab
F abx²+(a²-b²)x-ab
G 2abx²-(4a+3b)x+6

    返事を待っています。よろしくお願いします。



6599.甘えん坊さんへ!!
名前:Gaku    日付:4月2日(水) 13時27分
オイオイ!!@〜G全部教えて下さい〜だって?それで君はそのまま解答を写して終わりってか〜?少なくともどこまで解って、どこから解らないから教えてなら解るけどね〜(@_@)もう一度自分でやってみな!!


6600.(untitled)
名前:K.N.G.    日付:4月2日(水) 13時33分
(1)
どの項も a2b を共通に含むことがわかります.
したがって a2b でくくると
(与式)=a2b(3a2-4b2-ab)

(2)
(与式)=a(b-1)-(b-1)=(b-1)(a-1)=(a-1)(b-1)

(3)
このパターンの因数分解は次数の低い文字(本問ではy)に着目します.
(与式)=-2y(x2-1)+x2-x
=-2y(x+1)(x-1)+x(x-1)
=(x-1){x-2y(x+1)}

(4)
(3)と同様の考え方で,aに着目します.
(与式)=a(b2-c2)-b2c+bc2
=a(b-c)(b+c)-bc(b-c)
=(b-c){a(b+c)-bc}

(5)以降はいわゆる「たすき掛け」の問題です.
公式 (ax+b)(cx+d)=acx2+(ad+bc)x+bd
を用いるのですが,この公式でいうbとdを
「たすき掛け」と呼ばれる方法でみつけます.
説明しにくいので,どなたかお願いします.


6608.Re: 因数分解
名前:ヨッシー    日付:4月2日(水) 17時44分
(1) の (3a2-4b2-ab) は、さらに因数分解できます。
これも、たすき掛けです。

で、たすき掛けって言うのは、私のページの「作り散らかした画像集」の
25番目にあるやつですが、こういうの見たことあります?
 
http://yosshy.sansu.org/

6593.数列ー格子点(?)ー  
名前:    日付:4月2日(水) 6時40分
nを自然数として、
(1)|x|+|y|≦nとなる三つの整数組(x.y)の個数。
(2)|x|+|y|+|z|≦nとなる三つの整数組(xyz)の個数。ようになる。
====================================================
(一)図をかくと、ダイヤ◆のようになる。
ここで、x≧0、y≧0の部分について、境界軸上ふくめて格子点数かぞえると、
(1/2)*(n+1)×(n+2)でそれが四個分。
ただし、軸上の格子点はそれぞれ2回、(0.0)は4回数えているので、
(2n+1)×2+1を引いて、これらより
2N^2+2N+1となる。・・・・・答

(ニ)はわかりません。

ご指導お願いいたします。



6594.Re: 数列ー格子点(?)ー
名前:ヨッシー    日付:4月2日(水) 8時58分
Size: 147 x 145, 1KB

(1) の数え方はそれでも良いですが、次のようにすると、数列っぽいし、(2) にも活かせます。
図は、n=3の場合ですが、xの範囲は −3≦x≦3 です。
x=−3 のとき、該当する点は(−3,0)の1個。
x=−2 のときは3個、
 ・・・
x=0 のとき7個、
 ・・・
x=3 のとき1個
なので、(1+3+5+7)+(1+3+5)=25
一般化すると、
 Σk=0〜n(2k+1)+Σk=0〜n-1(2k+1)
 =n(n+1)+(n+1) + n(n-1)+n
 =2n2+2n+1
です。

(2) も同様に考えて、(いきなり一般化から入りますが)
 zの範囲は −n≦z≦n なので、
z=0 のとき |x|+|y|≦n より、格子点の数は 2n2+2n+1 個
z=1 のとき |x|+|y|≦n-1 より、格子点の数は 2(n-1)2+2(n-1)+1 個
 ・・・
z=n のとき 1個
これを 0〜n(z≧0側) と 1〜n(z<0側) について足せば求められます。
 
http://yosshy.sansu.org/



6595.Re: 数列ー格子点(?)ー
名前:ヨッシー    日付:4月2日(水) 9時30分
Size: 145 x 135, 1KB

蛇足ですが、
図の●と○に分けて数えると、
 (n+1)2+n2
となります。
http://yosshy.sansu.org/



6596.Re: 数列ー格子点(?)ー
名前:    日付:4月2日(水) 10時11分
Σ{K=0~n}(2k^2+2k+1)
Σ{K=O~(n-1)}(2k^2+2k+1)
により、
(2/3)(4n^2+7n)-(2n^2+2n+1)
でしょうか?


6597.Re: 数列ー格子点(?)ー
名前:ヨッシー    日付:4月2日(水) 10時27分
上2行までは正しいですね。
2乗の和が入るので、答えは3次式になります。

答えがでたら、実際にnに、0,1,2,3を代入してみましょう。
1,7,25,63 になれば正解です。
 
http://yosshy.sansu.org/

6588.証明  
名前:キャリー    日付:4月1日(火) 21時4分
私は証明が苦手な高1です。
a+b+c+d<3+abcd
a+b+c=1のとき、ab+bc+ca≦1/3
この二つの変形の仕方がわかりません・・・。



6590.2次の対称不等式
名前:中川 幸一    日付:4月2日(水) 0時5分
下の問題のHintを書いておきます。
(1)〜(4)が証明できればこの問題も自ずと解答が導けるはずです。

(1)a2±ab+b20
(等号は a=b=0 のときなりたつ)
(2)a2+b2+c2bc+ca+ab
(等号は a=b=c のときなりたつ)
(3)(a+b+c)23(a2+b2+c2)
(等号は a=b=c のときなりたつ)
(4)bc+ca+ab(1/3)(a+b+c)2
(等号は a=b=c のときなりたつ)

http://8417.teacup.com/arith_math/bbs

6585.二次関数の問題です  
名前:KZZ(高1)    日付:4月1日(火) 19時7分
二次関数 y=ax^2+bx+cのグラフをFとする。
(1)グラフFが点(3,-2)を通り、y>0となるxの値の範囲が1<x<2であるとき
a=アイ、b=ウ、c=エオでする。

(2)グラフFの頂点が(3,-2)であるとする。このとき
また,y<0となるxの値の範囲がp<x<p+4であるとき,
p=コ,a=サ/シである。

こんな問題なんですが、自分でやったところ範囲分けが複雑になるので途中でわけがわからなくなってしまいました…よろしくお願いします。



6586.(1)
名前:K.N.G.    日付:4月1日(火) 20時19分
問題文の
> y>0となるxの値の範囲が1<x<2であるとき
は,「y>0となるxの値の範囲が1<x<2のみであるとき」ではないでしょうか?
そうでないと解けないような気がします.

(1)
グラフFは,点(3,-2)を通り,y>0となるxの値の範囲が1<x<2のみである.
以上より,グラフFは,上に凸で,x軸と2点(1,0),(2,0)で交わるグラフであり,従って y=a(x-1)(x-2) …(*)と表せることがわかります.
グラフFは,点(3,-2)を通ることより,(*)に x=3,y=-2 を代入すると,a=-1 を得られます.
a=-1 を(*)に戻すと,
(*) ⇔ y=-(x-1)(x-2)=-x2+3x-2
故に,a=-1,b=3,c=-2 とわかります.


6587.図を
名前:K.N.G.    日付:4月1日(火) 20時32分
Original Size: 668 x 668, 45KB

載せときます.



6589.Re: 二次関数の問題です
名前:KZZ(高1)    日付:4月1日(火) 23時40分
なるほど〜ということは(2)の問題もp<x<p+4のみである、とならなくては解けないって事ですよね?


6591.(untitled)
名前:K.N.G.    日付:4月2日(水) 0時47分
Original Size: 668 x 668, 52KB

そうだと思います(僕が勘違いしてなければ…).
例えば(1)では,図のような放物線も「点(3,-2)を通り,y>0となるxの値の範囲が1<x<2である」の条件を満たしています.



6592.(2)
名前:K.N.G.    日付:4月2日(水) 1時24分
Original Size: 668 x 668, 22KB

頂点が(3,-2),y<0となるxの値の範囲がp<x<p+4のみであることより
グラフFは,図のようになります.

図より
{p+(p+4)}/2=3,∴p=1.
従って,Fとx軸との交点は(1,0),(5,0).
これより,Fは
y=a(x-1)(x-5)
と表せる.
次に,Fが点(3,-2)を通ることから
-2=a(3-1)(3-5),∴a=1/2.
以上より,p=1,a=1/2.



6609.Re: 二次関数の問題です
名前:KZZ(高1)    日付:4月2日(水) 18時48分
なるほど〜よく解りました。
詳しい解説ありがとうございました


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