yukikoさんからの質問１

問題
　f(x)=x²-4tx-2t＋1
のt-1≦x≦t＋1における最大値をM(t),最小値をm(t)とするとき、
次の各問いに答えよ。ただし,tは定数とする。
(1) M(t),m(t)をtを用いて表せ。
(2) M(t)-m(t)の最小値を求めよ。

解答
(1)
２次関数の最大最小の説明を元に、式を変形すると、
　f(x)=(x-2t)²-4t²-2t＋1
よって、f(x) は ｘが全実数をとるとき、 x=2t で最小値 -4t²-2t＋1 をとる。
定義域 t-1≦x≦t＋1 を考えるとき、最大、最小の位置は
定義域の両端 x=t-1、x=t+1、定義域の中央値 x=t、頂点のｘ座標 x=2t の
大小により次の５通りに分けられる。

1. t-1＜t+1≦2t のとき 　つまり 1≦t のとき 　x=t-1 で最大 　x=t+1 で最小	2.t-1＜t＜2t＜t+1 のとき 　つまり 0＜t＜1 　x=t-1 で最大 　x=2t で最小	3. t-1＜t＝2t＜t+1 のとき 　つまり t=0 のとき 　x=t-1,t+1 で最大 　x=2t で最小	4.t-1＜2t＜t＜t+1 のとき 　つまり -1＜t＜0 のとき 　x=t+1 で最大 　x=2t で最小	5. 2t≦t-1＜t+1 のとき 　つまり t≦-1 のとき 　x=t+1 で最大 　x=t-1 で最小

f(t-1)=-3t²+2、f(t+1)=-3t²-4t+2、f(2t)=-4t²-2t＋1 であるから、
まとめると、
　M(t)=-3t²-4t+2 (t≦0)
　　　　-3t²+2 (t>0)
　m(t)=-3t²+2　(t≦-1)
　　　　-4t²-2t＋1　(-1＜t＜1)
　　　　-3t²-4t+2　(1≦t)

(2) M(t), m(t) の値をまとめると以下のようになる。

y=M(x)-m(x) のグラフは以下のようになる。

青は放物線、赤は直線である。
よって、M(t)-m(t) の最小値は t=0 のとき １

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