やすくんからの質問１

問題
０°≦θ≦１８０°とする。
ｘについての２次式　ｆ(ｘ)＝ｘ²＋2(4cosθ−1)ｘ＋1について次の問いに答えよ。
(1) ２次関数 ｙ＝ｆ(ｘ)の最小値をｇ(θ)とするとき、ｇ(θ)の最大値を求めよ
(2) ｆ(１）＜０となるよう、θの値の範囲を定めよ
(3) ２次方程式　ｆ(ｘ)＝０が異なる２つの解を持つように、θの値の範囲を求めよ。

解答
(1) ２次関数の最大・最小に従って、f(x) を変形すると、
　f(x)＝(ｘ＋4cosθ−1)²−(4cosθ−1)²＋1
よって、f(x) はｘ＝１−4cosθ のとき、最小値−(4cosθ−1)²＋1 をとる。
ここで、ｇ(θ)＝−(4cosθ−1)²＋1 とおくと、
　−1≦cosθ≦１　より、
　cosθ＝1/4 のとき 最大値 1 をとる。

(2) ｆ（１）＝１²＋2(4cosθ−1)＋1＝8cosθ＜０　より、
　cosθ＜０
０°≦θ≦１８０°より、
　９０°＜θ≦１８０°

(3) 判別式を取って、
　(4cosθ−1)²−１＞０
よって、
　(4cosθ−1)²＞１
　4cosθ−1＜−１　または　4cosθ−1＞１
(i) 4cosθ−1＜−１ より、
　4cosθ＜０　　９０°＜θ≦１８０°
(ii) 4cosθ−1＞１ より、
　4cosθ＞２
　cosθ＞1/2 より、
　０°≦θ＜６０°
以上より、
　０°≦θ＜６０°　または　９０°＜θ≦１８０°

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